Logica_Lenguaje y Significado Gris.pdf

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Lógica, lenguaje y significado

Lógica intensional y gramática lógica

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Traducción: Edgar J. Andrade

Carlos M. Márquez

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Colección Lecciones de Ciencias Humanas



L.T.F. GAMUT es un pseudónimo colectivo de los

profesores de la Universidad de Ámsterdam J.F.A.K.van Benthem, profesor de Lógica Matemática;

J.A.G. Groenendijk, profesor del departamento de

Filosofía; D.H.J de Jongh, profesor de los departa-

mentos de Filosofía y Matemáticas; M.J.B. Stokhof,

profesor del departamento de Lingüística

Computacional, y profesor de Lingüística de la

Universidad de Utrecht, H.J. Verkuyl.

Traductores

Edgar José Andrade Lotero

Matemático de la Universidad Nacional de Colombia.

Magister en Lógica de la Universidad de Ámsterdam.

Estudiante de doctorado en Lógica de la misma

universidad. Profesorde la Universidad del Rosario.

Carlos Mario Márquez Sosa

Filósofo de la Universidad Nacional de Colombia.

Magister en Filosofía y estudiante de doctorado en

Filosofía de la misma universidad. Catedrático de la

Universidad del Rosario y de la Universidad Nacional

deColombia.



UR



LÓGICA, LENGUAJE Y SIGNIFICADOLógica intensional y gramática lógica

L.T.F. Gamut

Traducción:

Edgar J. Andrade y Carlos M. Márquez



COLECCIÓN LECCIONES DE CIENCIAS HUMANAS

© 2010 Editorial Universidad del Rosario © 2010 Universidad Colegio Mayor de Nuestra Señora del Rosario,

Escuela de Ciencias Humanas © 2010 L .T.F. Gamut © 2010 Edgar J . Andrade y Carlos M. Márquez, por la traducción

© 1982 Uitgeverij Het Spectrum

ISBN: 978-958-738-013-2

Primera edición en español: Bogotá, D.C., abril de 2010 Traducción: Edgar J . Andrade y Carlos M. Márquez

Coordinación editorial: Editorial Universidad del Rosario

Corrección de estilo: Mónica Laverde H.Diagramación: Edgar J . Andrade

Diseño de cubierta: María del Pilar Palacio Impresión: J avegraf

Editorial Universidad del Rosario Cra 7 No. 13-41 ofc. 501 Tel.: 2920200 Ext. 7724 Bogotá, Colombia

[email protected] Todos los derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida sin el permiso previo

escrito de la Editorial Universidad del Rosario.

L .T.F. G AMUT, Lógica, lenguaje y significado: Lógica intensional y gramática lógica, Traducción de Edgar J . Andrade y Carlos M. Márquez/ L.T.F. Gamut

Traducción de: Lógica, taal en betekenis. Vol. 2: Intensionele lógica en logische grammatica Bogotá: Editorial Universidad del Rosario, 2010.

446 p.— (Colección Lecciones de Ciencias Humanas).

ISBN: 978-958-738-013-2

Lógica intensional / Lógica modal / Teoría de tipos Gramática lógica / Gramática de Montague.

513.1 SCDD 20

Impreso y hecho en Colombia

P r i n t ed a n d m ade i n Col omb i a

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]



Contenido

índice de cuadros xi

Nota de los traductores xii

Prólogo de la versión en inglés xvii

Prefacio xix

Capítulo 1. Orígenes de la lógica intensional 1

1.1. I ntroducción 11.2. La Teoría del Significado por Correspondencia 21.3. Naturalismo versus convencionalismo 3

1.4. Variaciones de la Teoría del Significado por Correspondencia 41.5. Semántica lógica como una teoría Referencial delSignificado 5

1.6. Problemas con la Teoría Referencial del Significado 7

1.7. La Teoría del Significado de Frege 101.8. Dependencia del contexto 16

Gapítulo 2. Lógica proposicional intensional 19

2.1. I ntroducción 192.2. La semántica de mundos posibles 19

2.3. L ógica proposicional modal 23



i i i Ló g ic a , l e n g u a j e y s ig n if ic a d o

2.3.1. Antecedentes históricos 23

2.3.2. Sintaxis y semántica 26

2.3.3. El enfoque sintáctico de la noción de validez 352.3.4. Modalidades aléticas y epistémicas 37

2.3.5. Una aplicación 38

2.4. L ógica temporal proposicional 40

2.4.1. Sintaxis y semántica 40

2.4.2. ‘Ahora’: una extensión 47

2.4.3. Otros enfoques 49

2.5. T iempo y modalidad combinados 51

Capítulo 3. Lógica de predicados intensional 55

3.1. Contextos opacos: modalidadesde d i cto y de r e 55

3.2. Nombres propios y descripcionesdefinidas 61

3.3. L a semántica de la lógica de predicados modal 66

3.3.1. Fórmulas sin variables 663.3.2. Identidad 71

3.3.3. Variables y cuantificadores 73

3.3.4. Un dominio: el predicado de existencia 78

3.4. Otras clases de contextos 82

3.5. Una nota metodológica 88

Capítulo 4. Teoría de Tipos y Gramática Categorial 934.1. I ntroducción 93

4.2. La Teoría de T ipos 94

4.2.1. Distinción de tipos en el lenguaje natural 94

4.2.2. Sintaxis 98

4.2.3. Semántica 103

4.3. Gramática Categorial 115

4.3.1. I ntroducción 1154.3.2. Características de la Gramática Categorial 115

4.3.3. L a adecuación descriptiva de la gramática categorial 1224.3.4. La Gramática Categorial y la Teoría de T ipos 125

4.4. A-abstracción 1284.4.1. E l A-operador 128



Co n t e n id o IX

Capítulo 5. Teoría de Tipos Intensional 1465.1. I ntroducción 146

5.2. Construcciones y conceptos intensionales 1465.3. Sintaxis 1485.4. Semántica 1515.5. Los operadores A y v 1595.6. A-conversión 1635.7. Operadores temporales 1655.8. Teoría de T ipos Di-sorteada 166

Capítulo 6. Gramática de Montague 1746.1. I ntroducción 174

6.1.1. La composicionalidad del significado y la sintaxis 1756.1.2. Lenguaje objeto y metalenguaje: clausura semántica 1786.1.3. La semántica y la teoría de la verdad 180

6.2. La organización de una Gramática deMontague 1836.3. Una Gramática de Montague para unfragmento del español 188

6.3.1. Categorías y expresiones básicas 1886.3.2. Términos, verbos intransitivos, oraciones 1916.3.3. La organización del proceso de traducción 1956.3.4. La traducción de los términos 1986.3.5. Verbos transitivos 2076.3.6. La función de los postulados de significado 2146.3.7. Postulados de significado para el fragmento 217

6.3.8. Ambigüedades de alcance, lecturas de r e y reglasde cuantificación 223

6.3.9. El verbo transitivo ser 2346.3.10. Reglas de conjunción, disyunción y negación 2396.3.11. Complementos oracionales e infinitivos, adjetivos,

cláusulas relativas y adverbios 2436.4. Conceptos individuales 253

* 6.4.1. Argumentos para la introduccióndeconceptosindividuales 2536.4.2. Consecuencias de la introducción de conceptos

individuales 2566.4.3. Algunos ejemplos 2606.4.4. Postulados de significado 262

6.5. Composicionalidad, forma lógica y formagramatical 266



Ló g ic a , l e n g u a j e y s ig n i f ic a d o

Capítulo 7. Desarrollos recientes 2777.1. I ntroducción 2777.2. La Teoría de los Cuantificadores Generalizados 279

7.2.1. Objetivos principales 2797.2.2. Los SN como cuantificadores generalizados 2837.2.3. Determinantes: dos perspectivas 2857.2.4. Algunas propiedades fundamentales 2877.2.5. Restricciones globales 3077.2.6. Determinantes lógicos 3157.2.7. Desarrollos posteriores 322

7.3. La Gramática Categorial F lexible y la Teoría de T ipos 322

7.3.1. Cambio de categoría 3227.3.2. Un punto de vista lógico 3257.3.3. Desarrollos adicionales 329

7.4. Teoría de Representación de Discursos 3307.4.1. Introducción 330

7.4.2. Algunos problemas con las relaciones anafóricas 3327.4.3. Una introducción informal a la DRT 339

7.4.4. Definiciones formales 3467.4.5. DRT y la composicionalidad 3577.4.6. Conclusión 370

olución de los ejercicios selecionados 373

Motas bibliográficas 415

Bibliografía 418

ndice analítico 432



/

Indice de cuadros

4.1. T ipos y expresiones 1004.2. T ipos e interpretaciones 107

5.1. T ipos e interpretaciones intensionales 1535.2. T ipos y expresiones intensionales 158

6.1. Categorías y expresiones 1906.2. Categorías y expresiones 2576.3. Variables e interpretación 258

7.1. Interpretación de SN 2887.2. SN monótonos 2967.3. Complejidad contable de los determinantes 3067.4. Determinantes cuantitativos 316



Nota de los traductores

L ógica, l engu aj e y si gni f i cado es una obra en dos volúmenes que pueden leerseindependientemente. Ella es el resultado del trabajo conjunto de un grupo delógicos, filósofos y lingüistas holandeses, a comienzos de los años ochenta,cuyo pseudónimo colectivo es L .T .F . Gamut.1 El volumen 1, I n t r odu cci ón a la lógica, como su nombre lo indica, presenta una introducción a la lógica

proposicional y de predicados, así como a distintas extensiones y variacionesde las mismas. También incluye una discusión formal sobre la Teoría de lasImplicaturas Pragmáticas de Grice, así como de algunos modelos formalesde la sintaxis del lenguaje natural. El volumen 2, L ógica i n t en si ona l y gra-

mát i ca l ógi ca, es una aplicación de los sistemas lógico-formales al estudio delsignificado del lenguaje natural. En éste se presenta una discusión de la Teoríadel Significado por Correspondencia y se discuten las paradojas que llevan

a una distinción entre sentido y referencia. Tal distinción da lugar a unalógica con una semántica intensional. Por consiguiente, el libro estudia endetalle una variedad de sistemas lógicos intensionales, entre ellos la lógica proposicional modal y la lógica de predicados modal. También introduce la Teoríade T ipos, aumentada con el A-operador. La versión intensional de esta lógicaresulta idónea para la representación del significado referencial (aunqueintensional) del lenguaje natural. Dicho sistema es el utilizado por Montague

para la creación de su famosa Gramática Lógica, la cual se estudia en profun

1L .T.F. G AMUT es un pseudónimo colectivo de los profesores de la Universidad de Áms- terdam J .F.A.K. van Benthem, profesor de Lógica Matemática, J .A.G. Groenendijk, profesor del departamento de Filosofía, D.H.J de J ongh, profesor de los departamentos de Filosofía y Matemáticas, M.J .B. Stokhof, profesor del departamento de Lingüística Computacional, y del profesor de Lingüística de la Universidad de Utrecht, H.J . Verkuyl.



Mo t a d e l o s t r a d u c t o r e s x i i i

d idad en este volumen. F inalmente, se presenta una serie de avances en elestudio de la semántica formal del lenguaje natural, propiciados por el marcode trabajo creado por la Gramática de Montague.

La versión original en holandés, publicada en 1982 por Uitgeverij Het Spec-trum, fue seguida por la versión en inglés de The University of Chicago Press,en 1991- Aunque ya existe la versión en español del volumen 1, realizada en2002 por la Editorial Eudeba, la versión en español del volumen 2 había quedado en el aire. E sta situación se soluciona con la presente publicación de laEditorial de la Universidad del Rosario. En este momento, este influyente librosobre semántica formal está siendo traducido también al francés y al chino.

L ógica, l engua j e y si gni fi cado. L ógi ca i n ten sion al y gr amáti ca lógica trata,en su mayor parte, sobre estudios semánticos del lenguaje natural. Variosde los fenómenos tratados, sin embargo, tienen manifestaciones distintas endistintos lenguajes. Los estudios semánticos que se exponen en el presentelibro analizan los fenómenos como ocurren en la lengua inglesa. Sin embargo,no siempre hay una estricta correspondencia entre los ejemplos en inglés y enespañol. Es por esta razón que ha sido preciso modificar el texto para preservarlos fenómenos semánticos que se discuten, aunque no se preserve la traducciónliteral de algunos de los ejemplos. A continuación presentamos una lista de lasmodificaciones más notables.

En primer lugar, uno de los fenómenos que recibe más atención en laGramática de Montague, en parte debido a su compromiso con el principiode composicionalidad, es el análisis de las ambigüedades de dicto y de r e enoraciones como (1) (cf. §6.3.8.):

(1) J ohn seek s a u n i cor n J uan busca un unicornio

La traducción al español de la oración J ohn seeks a un i cor n es ambigua entreJ uan busca un un i cor n i o y J uan busca a un un i cor n i o. Mientras que la oraciónen inglés es ambigua, y es precisamente dicha ambigüedad lo que constituye eltema de análisis, en español dicha ambigüedad se pierde debido al uso de la pre

posición a.En español, el complemento directo de un verbo transitivo debe estar

precedido por la preposición a cuando éste es animado y definido, exceptoen algunos casos en los que la preposición es obligatoria, como en agar r ar se a o ayudar a. Debido a que la preposición o depende de si el objeto directo esdefinido o no, en los casos en los cuales éste es animado, la ambigüedadde di cto/ de re desaparece Compare las oraciones J uan busca una secr et ar i a y



xiv LÓGICA, LENGUAJ E Y SIGNIFICADO

J uan busca a una secr eta r i a. La primera sólo puede significar que J uan buscaa alguien, quien quiera que sea, que cumpla el papel de secretaria — la lecturade dicto. L a segunda sólo puede significar que J uan busca a una persona enparticular, que resulta ser una secretaria — la lectura de re. Es por esta razónque se decidió utilizar el ejemplo J uan busca un t esor o en lugar del ejemplo(1), pues sólo en casos muy especiales la preposición a puede ocurrir antesdel objeto directo inanimado (por supuésto, cuando dicha preposición no es

obligatoria).2En segundo lugar, los pronombres en español pueden convertirse en sufijos;

cosa que no ocurre en inglés. El uso de variables sintácticas en la Gramática de

Montague requirió algunas modificaciones para su adaptación al español, comolo atestiguan las adaptaciones a las reglas S8, n (p. 225) y S16 (p. 245). En elprimer caso, la regla debe adaptarse al uso de sufijos, como en el ejemplo (2):

(2) J uan intenta encontrarlo

La regla de cuantificación, es decir S8, n debe identificar el sufijo l o, para

reemplazarlo por un término, por ejemplo un tesor o. Oraciones como la delejemplo (2) son creadas por medio de la regla S16, la cual debió adaptarsecon ese propósito, pues en este tipo de construcciones, un pronombre en suforma acusativa se convierte en un sufijo.

En tercer lugar, las dos reglas anteriores también tuvieron que adaptarsepara dar cuenta del cambio en el orden de las palabras. L o que queremos decires que en español, cuando un verbo transitivo tiene como objeto directo un

pronombre, dicho pronombre debe ir antes del verbo. Esto no ocurre en inglés:

(3) J ohn seeks i t

J uan busca loacusat i vo

J uan lo busca

Esto implica que la regla de los verbos transitivos, es decir S7 (p. 208), hayasido modificada para dar cuenta de esta inversión en el orden de las pala

bras. L o mismo ocurre, aunque implícitamente, en el caso de la regla S16, alreemplazar un pronombre por un sufijo.

En cuarto lugar, algunos efectos morfológicos se han dejado implícitos,como la concordancia de género y número, aunque ellos deberían incorporarse

2 Compare las siguientes expresiones: Am bos cr eían qu e l os astr os r egían a la s p a sion es

(Octavio Paz), E l su i c i d i o de la m u ch a ch a .. . exc i t ó a la op in i ón púb l i ca (M. Vargas Llosa)



IMOTA DE LOS TRADUCTORES XV

en un tratamiento más riguroso. También se omitió un comentario con respecto a la traducción de that en lógica intensional, cuya contraparte en españolque es más compleja debido al subjuntivo explícito en éste último — compare,

por ejemplo, tha t M ar y com es y que M ar ía venga — . En consecuencia, un tratamiento sistemático de la expresión que no se puede hacer sin el correspondienteestudio del modo subjuntivo.

Algunas dificultades en la traducción surgieron en otros lugares. Un casoparticular es el de los elementos de polaridad negativa. Se necesitan algunosajustes, ya que al traducir expresiones con any, como en (4), se pierde porcompleto el funcionamiento de any , puesto que tanto any th ing como no th ing

se traducen por nada. Algo similar ocurre con needn’t.

(4) Nobody saui anything Nadie vio nada

Con respecto a los cuantificadores generalizados, tratados en la sección 7.2., serequirieron ciertas modificaciones. Por ejemplo, la discusión sobre la restricción

adjetival de los determinantes (cf. §7.2.5.) es prácticamente superflua en español, si no fuera por casos como todos los grandes , que pueden aparecerpor ejemplo en oraciones como todos los grandes escr i tor es han ganado su fam a con m ucho esfuer zo. En inglés el orden relativo entre adjetivos y sustantivoses inverso al español. Es por eso que es más natural agrupar el determinante al l con el adjetivo que le sigue. Esto hace posible pensar que expresiones como all r ed forman un único componente. Su traducción en español,todos l os r ojos , ciertamente no es un determinante.3 Colocar el adjetivo antes

del sustantivo es permitido en algunos casos, pero con el efecto pragmático decomunicar un efecto subjetivo de impresión o de algo extraordinario (compareuna t r em end a tr agedi a). Así pues, al traducir el fenómeno de la restricciónadjetival, se buscaron ejemplos en los cuales dicho efecto pragmático fueramoderado, como en el caso de t odos l os gr an des .4

Este libro es una excelente introducción a la semántica formal, que, a pesarde sus años, aún permanece vigente. Estamos seguros de que esta versión en

español será de gran utilidad para filósofos, lingüistas e incluso matemáticosinteresados por un tratamiento formal del lenguaje natural, a nivel de estudiosde los últimos años de pregrado y a nivel de maestría y doctorado.

3 La expresión tod os l os r o jos puede ser un sustantivo, como cuando se utiliza como respuesta a una pregunta; por ejemplo ¿cuál es de est os ca r r os t e gu st a n ?

4Estas dificultades fueron, en parte, resueltas con el auxilio de las siguientes fuentes de l B B j í (2004) M í (1999) Z (2006)



x v i Ló g ic a , l e n g u a j e y s ig n i f ic a d o

Finalmente, queremos expresar nuestro agradecimiento a J uan Felipe Córdoba, director de la Editorial U niversidad del Rosario, quien con su paciencia yapoyo ha hecho posible la realización de este proyecto. Asimismo, queremosagradecer a Martin Stokhof y a los demás autores por su entusiasmo sobreesta versión en español y toda la ayuda prestada para que haya llegado a buentérmino.

y L os tr ad uctor es

Amsterdam y Bogotá,septiembre de 2009



Prólogo de la versión en inglés

Los holandeses no sólo tienen lo que debe ser el mayor número de lingüistas

per capi ta del mundo; también tienen una larga y rica tradición de combinar lalingüística, la lógica y la filosofía del lenguaje. Así pues, no debe sorprendernosque haya sido una colaboración interdisciplinaria de académicos holandeses

la que haya creado la primera introducción exhaustiva a la lógica, el lenguajey el significado, que incluye, por una parte, una introducción a la lógica muydetallada, comenzando desde lo básico y, por otra, plantea en cada punto conexiones con el estudio del significado del lenguaje natural. Por estas razones,este libro constituye una introducción y un tras fondo lógico de muchas preocupaciones centrales de la semántica, así como de la filosofía del lenguaje.

Está diseñado de una hermosa forma pedagógica, donde los desarrollos

centrales se introducen muy cuidadosamente; además, es rico en ejemplosy ejercicios y tiene una gran cantidad de material relacionado opcional quepuede incluirse u omitirse de acuerdo con los distintos tipos de cursos (o en unentrenamiento autodidacta) para los cuales puede ser usado. Puedo imaginarloajustado de manera muy fina a distintos cursos en los currículos de lingüística,filosofía, ciencia cognitiva, inteligencia artificial o lingüística computacional.Sería menos adecuado para un curso de lógica dentro de un programa de ma

temáticas, puesto que hace menos énfasis sobre las demostraciones y lametamatemática que el que haría un libro de lógica con orientación matemática; aunque, ciertamente, el libro no tiene faltas de rigor. Creo que los autoreshan hecho un trabajo fantástico para combinar la accesibilidad pedagógica conuna gran atención al rigor, cuando éste es relevante.

Una diferencia muy notable con respecto a otros textos introductoriosde lógica más familiares es la inclusión de introducciones accesibles a muchos



xviii LÓGICA, LENGUAJ E Y SIGNIFICADO

tópicos no característicos de la lógica, los cuales van desde aproximaciones alas presuposiciones y a las lógicas multi-valuadas, hasta asuntos sobre la fun-damentación de la Teoría de Modelos. Adicionalmente, en el volumen 2 seprofundiza sobre un ámplio rango de tópicos más avanzados (pero siemprede manera muy accesible). Por esta razón, el libro le ofrece al estudiante unaperspectiva invaluable sobre la lógica como un área en activo crecimiento, desarrollo y controversia y no simplemente como un repositorio de un conjuntoúnico de axiomas y teoremas eternos. El volumen 2 presenta una introducción

extraordinaria a las preocupaciones interdisciplinarias de la lógica y la semántica e incluye una introducción a las bases de la Gramática de Montague y ala semántica modelo teórica en general.

Conocí este libro en su versión holandesa durante un periodo sabático enlos Países Bajos, en 1982-83; me hizo muy feliz aprender holandés para poderapreciar lo maravilloso que es, pero, al mismo tiempo, me sentí muy triste deno ser capaz de usarlo tan pronto volví a casa. Comencé a hacer lobby para

traducirlo al inglés y estoy encantada de que se haya hecho realidad. Espero quelos profesores y estudiantes de habla inglesa aprecien este libro tanto como heanticipado que lo harán. Los autores son académicos de primer nivel y líderesen sus campos y creo que han creado un texto que le dará a los estudiantesprincipiantes la mejor entrada posible al área de estudio aquí tratada.

Bar bar a H. Par tee

Departamento de L ingüísticaUniversidad de Massachusetts



Prefacio

L ógica, l enguaj e y si gni f i cad o consta de dos volúmenes que pueden leerse independientemente: el volumen 1: Introducción a la lógica , y el volumen 2:L ógi ca in ten sional y gr amáti ca l ógica. J untos proveen una visión gene

ral de la lógica moderna, desde la perspectiva del análisis del lenguajenatural. Representan el esfuerzo combinado de dos lógicos, dos filósofos y unlingüista. Se ha hecho un intento por integrar las contribuciones de estas disciplinas en un todo consistente. Esta empresa fue inspirada por la convicciónde los autores, a saber, de que la lógica y el lenguaje son inseparables, enparticular cuando se trata el análisis del significado. L a investigación combinada de la lógica y el lenguaje es una tradición filosófica que puede remon

tarse al menos hasta Aristóteles. El surgimiento de la lógica matemática, porun lado, y la lingüística estructural, por el otro, dieron lugar a un periodode desarrollo separado. Sin embargo, con el madurar de estas disciplinas, surelevancia mutua se ha hecho evidente. Una nueva región interdisciplinariaha emergido entre los límites de la filosofía, la lógica y la lingüística. Lógi-

ca, lenguaje y significado es una introducción a este nuevo campo. El volumen 1 establece bases sólidas en la lógica proposicional clásica y la lógica

de predicados. El volumen 2 extiende estas bases por medio de la inspección de sistemas lógicos más completos, tales como la lógica intensional y la Teoría de T ipos, y muestra la aplicación de estos en la construcción de unagramática lógica.

En el volumen 1 se introduce la lógica desde una perspectiva lingüística,aunque se ha hecho un esfuerzo por mantener el interés de aquellos lectoresque sólo quieren aprender lógica (quizás con la excepción de aquellos con un



X X Ló g ic a , l e n g u a j e y s ig n i f ic a d o

algunos temas que no se encuentran en otros textos introductorios, temas comola lógica multi-valuada, la lógica de segundo orden y la relación entre lógica ylingüística matemática. Incluso se ha hecho un primer intento de presentar una

pragmática lógica. También se tratan algunos otros temas más tradicionalescomo la Teoría de las Descripciones Definidas y el papel de investigar sobrelos fundamentos de las matemáticas.

En el volumen 2 se asume que hay una familiaridad con la lógica proposicional y la lógica de predicados, pero no necesariamente una familiaridad conel volumen 1. L a primera mitad de este volumen trata acerca de diferentessistemas de la lógica intensional y acerca de la Teoría de T ipos. L a interacción

entre los orígenes de estos sistemas en lógica y filosofía y el papel que juegan en el desarrollo de teorías intensionales del significado es una temáticacomún que se tratará a lo largo de los capítulos. En el curso de esta exposición,el lector cuidadoso obtendrá gradualmente una familiaridad con la lógica yfilosofía, necesarias para un entendimiento apropiado de la gramática lógica.La Gramática de Montague, la forma más conocida de gramática lógica, sedescribe en detalle y se aplica sobre un fragmento del idioma español. Seguido

a esto, se presta atención sobre algunos de los desarrollos más recientes engramática lógica tales como la Teoría de los Cuantificadores Generalizadosy la Teoría de Representación de Discursos.

Un objetivo importante de este libro es introducir a los lectores a la grandiversidad presente en el campo de la lógica formal. El lector se enfrentará amuchos tipos de lógica — es decir, combinaciones de lenguajes formales, interpretaciones semánticas y nociones de consecuencia lógica— cada una con su

propio campo de aplicación.Frecuentemente la ciencia sólo es capaz de ver cuáles de las teorías expli

carían lo que se investiga y cómo podrían modificarse o reemplazarse cuandose examina el fenómeno muy de cerca. En este campo, también es preciso elanálisis formal de patrones y teorías de razonamiento que conduzcan al desarrollo de nuevas alternativas. Aquí, la precisión formal y la creatividad van dela mano.

Es deseo de los autores que los lectores desarrollen un entendimiento activo de las temáticas presentadas, que se lleguen a ver los métodos formalescomo métodos flexibles para responder a cuestionamientos semánticos y que ellector, eventualmente, esté en posición de poder aplicar estos métodos. Coneste propósito, se han incluido diversos ejercicios. E stos ejercicios podrán ayudar a hacer apropiados los dos volúmenes como textos para cursos de amplitud

f did d di L l i l j i i l i d (



PREFACIO x x i

cados con un asterisco) también han sido incluidas, para facilitar el estudio

individual.Con el fin de subrayar su visión común, los autores de estos dos volúme

nes han fusionado sus identidades en la sigla L .T .F . Gamut, la cual funciona(o al menos funcionó hasta el momento de la escritura del presente libro) entres universidades diferentes de Holanda. L .T .F . Gamut está compuesto porJ ohan van Benthem, lógico de la U niversidad de Groningen; J eroen Groenen-dijk, filósofo, Dick de J ongh, lógico, y Martin Stokhof, fi lósofo, los tres de laUniversidad de Ámsterdam; y Henk Verkuyl, lingüista de la Universidad

de Utrecht.

Este trabajo no surgió así sin más. Parte de él ha estado en circulacióncomo notas de clase para estudiantes. Los ejercicios, en particular, derivan deun fondo común construido a lo largo de años por los autores y sus colegas.Los autores desean expresar su agradecimiento a todos aquellos que, de una uotra forma, contribuyeron en la elaboración de esta obra. Debernos un agradecimiento especial a Pier Rodenburg, quien ayudó a la escritura en sus primerasetapas, a Michael Morreau , por su traducción al inglés del primer volumen

y partes del segundo, y a Babette Greiner, por su traducción al inglés de lamayoría del volumen 2.

Resumen del volumen 2

El capítulo 1 provee un trasfondo para los sistemas de la lógica intensional,presentados en los capítulos 2 y 3. Se discuten la naturaleza y los límites de lasemántica de la lógica de predicados y se esbozan los intentos de Fregede desarrollar una Teoría Intensional del Significado.

El capítulo 2 se centra en la parte proposicional de la lógica intensional.Se hace una caracterización general de la semántica de los mundos posibles,y luego ésta se demuestra con base en la lógica proposicional modal y la lógicatemporal proposicional. No sólo se presta atención a los asuntos lógicos yfilosóficos, sino también a sus aplicaciones potenciales en el análisis del lenguaje

natural.El mismo tratamiento se le da a la lógica de predicados intensional en el

capítulo 3, la cual aparece aquí casi exclusivamente como una lógica de predicados modal. Se comparan diferentes opciones semánticas alternativas.Asimismo, se discuten temas como la designación rígida, junto con ciertos cuestionamientos metodológicos más generales, que surgen en relación con la lógica



x x i i Ló g ic a , l e n g u a j e y s ig n i f ic a d o

El capítulo 4 introduce y compara la Teoría de Tipos y la GramáticaCategorial. Una razón importante para preferir lenguajes tipo-teóricos es ladiversidad sintáctica y semántica del lenguaje natural. Incrementar la apli

cabilidad de sistemas lógicos en el análisis sistemático del lenguaje natural estambién la razón más importante para introducir A-abstracciones. Anticipandola discusión de la Gramática de Montague, en el capítulo 6 se discuten ciertosrequerimientos metodológicos que deben satisfacerse en tales aplicaciones, junto con el rol que las A-abstracciones pueden cumplir para ayudar a satisfacerdichos requerimientos. E l capítulo 4 contiene también una exposición de los

principios de la Gramática Categorial.

En el capítulo 5, la lógica intensional y la Teoría de Tipos se combinan.Esta combinación produce la Teoría de T ipos Intensional, que es el sistemalógico que se utiliza en la Gramática de Montague con el fin de proveer unasemántica lógica para (un fragmento de) un lenguaje natural. Se ha incluidouna sección sobre Teoría de Tipos Di-sorteada, con el objetivo de presentar demanera más comprensible ciertas propiedades formales de la Teoría Intensionalde Tipos.

El capítulo 6 comienza con una discusión acerca de algunas suposicioneshechas cuando los sistemas lógicos se aplican de manera sistemática al análisissemántico del lenguaje natural. Seguidamente, se expone el modelo más conocido de gramática lógica: la Gramática de Montague. L a forma y función dela Gramática de Montague es mostrada en detalle aplicándola a la sintaxis ysemántica de un fragmento del español.

El capítulo 7 es una revisión general de tres desarrollos recientes en semántica modelo-teórica del lenguaje natural. El primero es la Teoría de Cuan-tificadores Generalizados, la cual fue desarrollada a finales de los setentay se reconstruyó sobre el análisis de expresiones cuantificadas que puedenser halladas en la Gramática de Montague. Este desarrollo es particularmenteinteresanté porque ubica la gramática lógica dentro de limitaciones empíricasreales. En segundo lugar, se presta atención sobre los recientes intentos parahacer que la Gramática Categorial ‘clásica’ se convierta en una herramienta

más útil para la descripción del lenguaje natural. El tercer desarrollo es laTeoría de Representación de Discursos, la cual se desarrolló a principio de losochentas. Esta teoría tiene como objetivo mejorar la gramática lógica con respecto a problemas con las relaciones anafóricas y extender el modelo a niveldel discurso.

Notas bibliográficas y referencias a la literatura relevante concluyen este



PREFACIO x x i i i

Conocimiento previo requerido y notación

Se asume que el lector está familiarizado con la sintaxis y semántica de la lógicaproposicional y la lógica de predicados y con la Teoría de Conjuntos básica,incluyendo la noción de función (los capítulos 2 al 4 del volumen 1 proveenuna introducción apropiada al tema). En particular, el lector debe tener unentendimiento de la noción de lenguaje formal y de la noción de fórmula. Conrespecto a la notación usada en lógica proposicional: aquí haremos uso delos conectores A (conjunción), V (disyunción), -> (negación), —>(implicación(material)) y «-* (equivalencia (material)). Las letras p, q, r se usan para hacer

referencia a letras proposicionales; cuando sea necesario se adicionarán primasy subíndices, como en p', p", po, pi , etc. Estos símbolos, junto con los paréntesis‘(’ y ‘)’, nos permiten introducir fórmulas como - '~,_,(p —>q) y ((p Aq) Vr). Engeneral, sólo los paréntesis más externos se suprimen, como en (p A q) V r.

Las letras griegas </>, '0, x, <//, 0", etc., se utilizan como metavariables para

hacer referencia a fórmulas en general.

Conceptos como fór m u l a pr oposi ci on al y fór m u l a de la lógi ca de pr edi cados

se introducen por medio de definiciones inductivas (es decir, recursivas). Talesdefiniciones siempre finalizan con una, así llamada, cláusula inductiva, quedecreta que nada es una fórmula si no es construida con las cláusulas anteriores.La noción de prueba inductiva también se introduce en el volumen 1, pero tales

técnicas matemáticas de prueba han sido omitidas en el texto.

A diferencia de otros textos sobre el tema, las sucesiones de símbolos nose deben considerar aquí como fórmulas en sí mismas, sino como nombres que

hacen referencia a estas fórmulas. Por ejemplo, el símbolo (cadena de longitud1) A únicamente hace referencia al signo de la conjunción. Él, en si mismo, noconstituye la conjunción. Así, oraciones como A es el sign o de la con j u n ción no constituyen un abuso de notación; no hay comillas faltantes (a propósito,en ambos volúmenes se ha preferido utilizar itálicas, en vez de las comillas,para mencionar una expresión).

Sobre el mismo principio, no existe un lenguaje único para la lógica pro

posicional: cualquier conjunto de letras proposicionales dado genera su propiolenguaje, es decir, su propio conjunto de fórmulas construido a partir de estasletras proposicionales. Así pues, ‘p’, íq ’’ y ‘r ’ no son en sí mismas letras proposicionales; ellas son metavariables que hacen referencia a letras proposicionalesen cualquiera de una variedad de diferentes lenguajes. Comentarios similares semantienen para la lógica de predicados.

Con respecto a la lógica de predicados se asume la familiaridad del lector



x x i v LÓGICA, LENGUAJE y SIGNIFICADO

x , y , Z i , 22, etc.), la distinción entre (ocurrencias) libres y acotadas de variables dentro de las fórmulas y con la noción de alcance de los cuantificadores

V (cuantificador universal) y 3 (cuantificador existencial). Las fórmulas quecarecen de variables libres hacen referencia a sentencias. Para la fórmula resultante de la substitución de y por (las ocurrencias libres de) x en una fórmula0, se tiene la notación [y/ x\ 4>.

En la semántica de la lógica proposicional hacemos uso de valuaciones,escritas como V , V 1, etc. Las nociones de tautología, contradicción y equivalencia (lógica) se presuponen, así como la noción de validez de un esquema

argumentativo 0 i ,. . . , (j)n / i p■Para ‘0 es una tautología’ escribimos |=n / ip es un esquema argumentativo válido’ escribimos 0i , . . . , 0n |='ip. Las negaciones de estos dos son 0 y 0 i , . . . , 0n y= xp, respectivamente.

La semántica de la lógica de predicados se presenta en términos de modelos(M , M ', y así sucesivamente), que consisten en un dominio D junto con una

función de interpretación /m, la cual asigna valores adecuados para las constantes y las letras predicativas. Así, por medio de la definición de verdad de

Tarski, cualquier modelo M dado tiene su propia función de valuación Vm?la cual asigna para cada sentencia en el lenguaje un valor de verdad 1 (si lasentencia es verdadera) o un valor de verdad 0 (si la sentencia es falsa), yuna variedad de funciones de valuación Vm,3 para las fórmulas. Las valuaciones dependen de cuál asignación g se escoja, estas asignaciones son funcionesque vinculan las variables del lenguaje en cuestión en D . Una sentencia 0 es‘verdadera en el modelo M ’ sólo si Vm(0)=1. Con relación a las asignaciones,

la siguiente notación es útil: g[x/ d ] hace referencia a la asignación que señala elvalor d a la variable x y que en cualquier otro caso concuerda con g.

Dada esta semántica, nociones como la validez universal de las fórmulas,la validez de los esquemas argumentativos, la equivalencia de las sentencias y(vía asignación) la equivalencia de fórmulas pueden introducirse. Principios

como x x ' f=0 [xVx]0, s = t (=0 <->[t/ s\ (j> y V x ( A ( x ) <->B ( x ) ) |=0 <-»[B/ Á\ <¡) se llaman principios de extensionalidad.

Alguna familiaridad con la noción de derivabilidad sintáctica 0i, ..., 0nHip (tp es derivable a partir de 0 i ,..., (pn ) es útil pero no esencial. Una noción dederivabilidad axiomática funcionaría tan bien como el sistema de deducciónnatural que se introdujo en el volumen 1. Un entendimiento de los significadosde teoremas metalógicos, como el de completitud y su converso, el teorema devalidez, es igualmente deseable pero no esencial para el lector de este volumen.

Entre las notaciones usadas en Teoría de Conjuntos tenemos: 0 para el



PREFACIO X X V

para el conjunto que contiene únicamente 1 y 2; y (a i ,... ,a„) para una n-

tupla ordenada. A x B se refiere al producto cartesiano {(a, b) : a € A&¿b € B } de A y B\ A C B significa lA es un subconjunto de (no necesariamente unopropio). El conjunto {A : A C B } de todos los subconjuntos de un conjuntoB es llamado el conjunto potencia de B , y para su notación se utiliza p ( B ) . Propiedades de relaciones como (ir)reflexivilidad, simetría y transitividad seasumen como familiares.

Descripciones definidas t x <fr (los x tales que (f>) normalmente se analizan en

la forma “russelliana” : una fórmula ip que contenga una descripción definidai x (j) se lee como 3x(\ / y([y/ x\ (/ > <> x = y) A [ x/ i x <p]i(>), asumiendo que y es librepara x en cf>.

F inalmente, se debe mencionar la forma en la cual se presentan las traducciones del lenguaje natural al lenguaje de la lógica de predicados y proposicional. El siguiente ejemplo hará esto lo suficientemente claro:

Todos los pr ofesor es aman a Andrés, per o él no ama a todos los profesores.

Traducción en la lógica proposicional: p A q

Claves: p: Todos los pr ofesores aman a Andrés; q: Andrés no ama a todos los profesores.

Traducción en la lógica de predicados: \ / x(Tx —>Axa) A ¡i x (T x >Aax) Claves: a: Andrés;

T x: x es un pr ofesor;

Axy: x ama a y.

Estas traducciones son importantes principalmente para los ejercicios.



Capítulo 1

Orígenes de la lógica intensional

1.1. Introducción•?

En este volumen introduciremos la lógica intensional con cierta profundidad.La lógica intensional es probablemente la extensión más importante de lalógica estándar, es decir, la lógica proposicional y la lógica de predicados (verel vol. 1). La lógica intensional tiene múltiples aplicaciones, tanto en el análisisde los problemas filosóficos, como en la investigación de la semántica de los lenguajes naturales. Así pues, antes de embarcarnos en una exposición de la lógicaintensional misma, vamos a esbozar el trasfondo lógico y filosófico sobre el cualésta fue desarrollada.

La lógica intensional tiene más de una raíz. Una de éstas es el intento porresolver los problemas que surgen cuando uno trata de extender los métodos

semánticos, apropiados para la interpretación de los sistemas de la lógica estándar, a la interpretación de lenguajes que son ‘más ricos’ que aquellos de lalógica proposicional y de la de predicados. No todas las extensiones de la lógicaestándar requieren nuevos métodos semánticos. Algunas, como la lógica desegundo orden (ver vol. 1, cap. 5) no requieren más que una adaptación de losmétodos por medio de los cuales se ha establecido la semántica de la lógicaproposicional y de predicados. Pero para otras extensiones esto es diferente.Un ejemplo de esta clase de sistema es la lógica modal proposicional, que es



2 Ló g ic a , l e n g u a j e y s ig n i f ic a d o

el tema del capítulo 2. E n la lógica modal proposicional se añade la expresión□ que es interpretada como necesar iamente o es n ecesar i o que. Una semánticaadecuada para estos sistemas lógicos requiere una extensión real de los métodos

semánticos estándar. Un lenguaje natural como el español es, por supuesto,un segundo ejemplo de un lenguaje más rico. La simple transferencia de lasemántica de la lógica de predicados a la semántica del español da lugar a todaclase de problemas, lo cual sugiere que es necesario usar métodos semánticosmás ricos. Con el fin de ver este punto claramente, es importante entender

justamente qué clase de teoría del significado es inherente a la semántica dela lógica estándar.

1.2. La Teoría del Significado por Correspondencia

Existe una familia de teorías del significado que surgen del siguiente principio: el significado es una relación entre los símbolos de un lenguaje y ciertasentidades que son independientes de ese lenguaje. Estas teorías pueden sercolectivamente designadas como

T eorías del Si gni fi cado por Cor r espond en ci a.

La ‘independencia’ de las entidades significa, entre otras cosas, que las entidades postuladas son independientes de quien usa el lenguaje en cuestión y de lascircunstancias en que éste es usado.

Este punto de partida difícilmente puede ser considerado universal. Existen, por ejemplo, teorías que dicen que el significado de un símbolo resideen el uso que se hace de éste. L a teoría según la cual ‘el significado es uso’,defendida por el segundo Wittgenstein, es un ejemplo de una teoría de este estilo. E xisten también teorías que identifican el significado de un símbolo con elconjunto de todos los estímulos que causan como respuesta el uso de dichosímbolo. Aquí, el significado es definido en términos de la disposición delos usuarios del lenguaje para exhibir ciertas clases de comportamiento. Comoejemplos tenemos las teorías conductistas del significado de Bloomfield, Morrisy Skinner. Finalmente, existen teorías que aceptan el significado por correspondencia como una explicación parcial del significado, en el sentido en que se

piensa que la correspondencia de las entidades da cuenta sólo de un aspectodel significado total de los símbolos. La teoría de Grice de las implicaturas(ver vol. 1 cap. 6) es un ejemplo de tal teoría.

El punto de partida común de las Teorías del Significado por Correspondencia, como se formuló anteriormente, se puede desarrollar en dos direccionesdivergentes. Estas direcciones difieren en dos puntos principales: la natu r al eza



ORÍGENES DE LA LÓGICA INTENSIONAL 3

mas. El segundo punto parece más controvertido que el primero, que ahora parece haber sido aceptado por todo el mundo con mayor o menor satisfacción.Sin embargo, vamos a ver brevemente el primer punto.

1.3. Naturalismo versus convencionalismo

El debate tradicional sobre la relación entre símbolos y entidades se centra ensi la relación es una relación natural o si es puramente convencional. Ésteparece no ser un debate muy animado en estos días, pero la disputa entrenaturalismo y convencionalismo persistió desde los tiempos clásicos hasta bien

entrado el siglo XVIII.En su forma más ingenua, el naturalismo establece que el significado de una

palabra es inherente a su sonido. La relación entre símbolo y entidad es, en estecaso, más bien extremadamente ‘natural’. Es claro que esta forma ingenuade naturalismo no es viable. Si esto fuera cierto, por ejemplo, nosotros notendríamos ninguna dificultad en aprender un lenguaje extranjero: presumiblemente lo entenderíamos inmediatamente (al menos en su forma hablada). Otro

problema para el naturalismo ingenuo es la existencia de homónimos;palabras que tienen el mismo sonido y significado diferente. Incluso el fenómenode la onomatopeya, tan apreciado por el naturalismo, presenta problemas:¿debe la diferencia entre el francés cocorico y el inglés cockadoodledo sertomada como indicación de que los gallos franceses y otros miembros de su especie en el otro lado del canal cacarean diferente al iniciar el día?

P latón defiende una forma menos ingenua de naturalismo en su diálogo

Crát i l o. Él supone que existe alguna afinidad entre ciertos sonidos y propiedades, por ejemplo, entre el sonido de la letra r y la propiedad de moción(movimiento). De acuerdo con Platón, las palabras caracterizan la esencia deaquello a lo que ellas refieren, en virtud de esta clase de relaciones. Algunaspalabras obtienen su significado directamente de esta forma, otras palabras,por vía de la composición de significados, relaciones etimológicas o transferencias metafóricas de significado. Pero esta forma de naturalismo, como laanterior, enfrenta problemas insuperables. Por ejemplo, ninguna afinidad natural entre los sonidos y las propiedades parece ser evidente si se comparanlenguajes diferentes en familias lingüísticas diferentes. Además, ¿cómo se explican los sinónimos en la teoría?

El debate entre naturalismo y convencionalismo se desarrolló posteriormente, en una controversia entre anomalistas y analogistas, acerca de si el lenguajees regular o no. Se supuso que la irregularidad producía un argumento a favor



4 Ló g i c a , l e n g u a j e y s ig n i f ic a d o

del naturalismo. Después de todo, si el lenguaje es puramente una cuestión deconvención, entonces el lenguaje no tendría necesidad de irregularidades.

En última instancia, la idea de que el significado es convencional resultóvictoriosa. La relación de los significados obtenidos entre una palabra y unacosa no es natural, sino convencional. Existen, por supuesto, limitaciones a laconvencionalidad, ya que uno no tiene la libertad de cambiar el significadode las palabras a voluntad. Estos cambios se dan en virtud de la conveniencia,familiaridad o por otras razones de tipo práctico.

1.4. Variaciones de la Teoría del Significado por

Correspondencia

Al interior de la Teoría del Significado por Correspondencia se han desarrolladodiferentes variantes con ideas divergentes sobre la naturaleza de las entidadesque forman el segundo argumento de la relación de significado. Aquí vamos aconsiderar brevemente tres de estas variantes.

L a primera puede ser llamada conceptual ismo. De acuerdo con esta varian

te, el significado es una relación entre símbolos y contenidos de conciencia. Losconceptos, que son expresados por medio de predicados, y las proposiciones,que son expresadas por medio de oraciones, son entidades mentales; el lenguaje funciona, entonces, como un sistema de símbolos observables que mediaentre individuos, lo que hace posible la comunicación. Locke ha defendido estaposición: “El uso de las palabras es el de ser marcas sensibles para las ideas, ylas ideas que ellas representan son su significación propia e inmediata”1 (Essay Concerning Human Understanding, 1689, cap. 2, libro 3). La concepciónconceptualista del significado se encuentra aún en la lingüística moderna:

En rasgos generales, la comunicación lingüística consiste en la producción de cierto fenómeno acústico que es públicamente observable y externo, y cuyas

estructura fonética y sintáctica codifica los pensamientos o ideas interiores de un hablante2 Katz (1966) (note que Katz cambió a la posición de un platónico en su libro de 1981).

Una segunda variante de la Teoría del Significado por Correspondencia

puede ser llamada p la ton ismo. De acuerdo con esta variante, los conceptos y lasproposiciones no son entidades mentales, sino cosas reales; sólo que éstos nopertenecen al mundo de los fenómenos observables, sino al mundo de las ideas.Los símbolos lingüísticos se refieren a cosas en el mundo observables sólo de

1N. de T .: la traducción es nuestra.2N. de T.: la traducción es nuestra.




una manera indirecta, es decir, por medio del reflejo del mundo de las ideasen el mundo observable.

La tercera variante es lo que podemos llamar realismo. De acuerdo con

el realismo, las entidades con las cuales los símbolos lingüísticos mantienen larelación de significación pertenecen a la realidad concreta y observable que nosrodea: ellas son individuos, propiedades, relaciones y estados de cosas. Unejemplo típico de esta posición es la Teoría Pictórica del Significado, que fuepresentada por Wittgenstein en el T r actatu s L ogicoPhi l osoph i cu s. La relación entre símbolos y cosas es de referencia. Esta teoría, que fue abandonadaposteriormente por Wittgenstein, tiene el presupuesto fundamental de que ca

da símbolo en un lenguaje ideal debe referirse a alguna cosa única, y que cadacosa sería la referencia de un único símbolo.Extrayendo de esta teoría sólo la idea de que la relación de significado

es de referencia, nosotros arribamos a lo que podría ser llamada una Teor ía Refer en cia l del Signi f i cado. Esta teoría es fácilmente compatible con cualquierade las tres perspectivas sobre la naturaleza de las entidades, ya que estableceque el significado de un símbolo es lo que éste refiere. Así que el hecho de queuna teoría del significado sea en sí misma referencial no dice nada acerca dela naturaleza de las entidades a las que los símbolos refieren.

1.5. Semántica lógica como una Teoría Referencial

del Significado

La semántica de la lógica estándar se puede ver como una Teoría Referen

cial del Significado —y, por consiguiente, como una Teoría del Significadopor Correspondencia— . Tomemos, por ejemplo, la forma en que se enseña lasemántica de la lógica de predicados (véase vol. 1, cap. 3). Cuando definimosun modelo para la lógica de predicados, lo primero que hacemos es escogeralgún conjunto de entidades como nuestro dominio. El conjunto es independiente de las expresiones que colectivamente forman un lenguaje para la lógicade predicados. Nosotros, entonces, especificamos una relación entre el len

guaje de la lógica de predicados en cuestión y el dominio. Por medio de unafunción de interpretación, a los símbolos constantes se les asignan como sureferencia elementos individuales en el dominio y a los símbolos de predicadoconjuntos de elementos en el dominio (o conjuntos de sucesiones ordenadas den elementos en el dominio, en el caso de letras predicativas n-arias). Con estocomo base, estamos en posición de definir la referencia relativa a este modelode todas las oraciones de nuestro lenguaje (es decir sus valores de verdad)



6 Ló g ic a , l e n g u a j e y s ig n if ic a d o

en la así llamada definición de verdad. Así que este método de interpretaciónsemántica evidentemente sigue un principio, del cual dijimos en el §1.2. que es

característico de la Teoría del Significado por Correspondencia: el significadoes una relación entre los símbolos de un lenguaje y ciertas entidades que son

independientes de ese lenguaje.La semántica de la lógica de predicados es indiferente a la clase de cosas que

nosotros ponemos en el dominio de nuestros modelos. Conjuntos de personas,números o puntos matemáticos servirán igualmente como dominios. En efecto,cualquier conjunto servirá. Cualquiera que sea el dominio, la Teoría del Signi

ficado es siempre referencial: los significados de los símbolos son siempre susreferentes.

Esta identificación entre referencia y significado y la forma en que la interpretación semántica procede son suficientes para atribuir a la lógica estándaruna propiedad especial que veremos brevemente a continuación. Una característica importante del proceso de interpretación semántica, que tambiénes compartida por los sistemas no estándar que nos hemos encontrado, es

que se mantiene un estricto paralelismo entre las construcciones sintácticas ysus interpretaciones semánticas. L a definición de verdad refleja la definiciónsintáctica de las fórmulas del lenguaje en cuestión. Existe una consideración metodológica subyacente a esta práctica, una que puede ser invocadadesde Frege. Frege, lógico y matemático alemán, en su Begr i f fsschr i f t , de 1879,realizó el primer análisis satisfactorio de oraciones con predicados relaciónalesy cuantificación múltiple. El punto fundamental de su solución a estos viejosproblemas es que cada oración, sin importar cuán compleja sea, es el resultado de un proceso de construcción sintáctico sistemático que se realiza paso apaso y en el cual cada paso puede recibir una interpretación semántica. Esto esbien conocido como el pr i n ci pi o de com posi ci onal i d ad semán ti ca.

Una consecuencia de todo esto es que la lógica proposicional y la lógica depredicados estándar son sistemas lógicos extensionales. Se dice que un sistemalógico es extensional si expresiones con la misma referencia (o extensión) pueden ser sustituidas libremente entre sí. Así, el teorema que se presenta a

continuación, conocido como el pr i n ci p i o de extenciona l id ad , se puede probarpara la lógica proposicional y la lógica de predicados (véase §4.2.2. en el vol.l,una formulación precisa de este principio y de los que siguen a continuación):

x x' h 0 <-*■[x7x]<t>

Este teorema establece que si x y x ' tienen el mismo valor de verdad,entonces ' puede ser sustituido por x en 0 sin ningún cambio de su valor de



O r íg e n e s d e l a l ó g ic a i n t e n s i o n a l 7

conservación del valor de verdad’). L a lógica de predicados también satisfacealgunos otros principios de extensionalidad. Así por ejemplo, tenemos:

V x ( A ( x ) B ( x )) f=0 <->[B/ A]<f>

Este teorema dice que si A y B expresan propiedades que tienen la mismaextensión (propiedades que tienen las mismas entidades), entonces estas expresiones podrían ser intercambiadas en fórmulas (j) sal va ver i ta te. Otro ejemplode extensionalidad de la lógica de predicados es lo que se llama la L ey de

L ei bn i z de I n d i scem i bi l i d ad de l os I dén ti cos:

s = t \ = 4> [t/ s]<f>

En esta ley s y t son términos, es decir, constantes individuales o variables(si no existen símbolos funcionales en el lenguaje).

La extensionalidad es tanto la fortaleza, como la debil idad de la lógica pro

posicional y la lógica de predicados estándar. Esto muestra que al estudiar lavalidez de las inferencias en cualquiera de estos dos sistemas, es suficiente considerar las referencias de las expresiones y el principio de composicionalidad(que aquí se enuncia así: la referencia de una expresión compuesta está en función de la referencia de sus partes constitutivas). Por otra parte, como veremos,existen también leguajes más ricos, que no son extensionales, para los cualeslos métodos semánticos de los sistemas de lógica estándar no son adecuados.Como ya hemos indicado, los lenguajes naturales no son los únicos que sonesencialmente más ricos en este aspecto. Adicionar una sola expresión o unasola construcción a alguno de los sistemas estándar puede ser suficiente paracrear un sistema que necesita una semántica esencialmente más rica. En loscapítulos siguientes trataremos muchos de estos sistemas. Pero antes de pasara ellos, vamos primero a considerar brevemente algunas de las dificultades quesurgen si la semántica referencial se aplica al lenguaje natural, dado que, principalmente, estos problemas son los que dieron lugar al desarrollo de la lógica

intensional.

1.6. Problemas con la Teoría Referencial del Significado

La Teoría Referencial del Significado establece, a grandes rasgos, que el significado de una expresión es idéntico a su referencia Como una teoría del




Esta teoría nos conduce a concluir que, ya que el significado es la misma referencia el nombre propio Odiseo nunca ha significado nada y que el nombre pro

pio Sócrates significó algo una vez, pero no volvió a significar nada. Nos fuerzaa concluí1-, también, que una descripción definida como el pr esi d en te de l os Estad& s U ni dos de Amér i ca cambia de tiempo en tiempo su significado.

La£ aplicaciones de la Teoría Referencial del Significado a los lenguajes naturales entrañan una cierta cantidad de realismo, ya que los lenguajes naturalesse utilizan para decir cosas acerca de la realidad. Pero seguir la línea de unateoría referencial realista del significado parecería forzar un vínculo muy fuerte

entre significado y la realidad. Sería preferible que los significados de lossímbolos fueran en algún sentido más independientes de la realidad, sin renunciar a la idea de que existe una relación de referencia que se mantiene entresímbolos y entidades. Un ejemplo famoso que ilustra esto muy bien es la

par ad oja del l ucer o m atu t i no/ el l ucer o vesper t i n o , formulada por Frege en So-

bre sefi t i d o y r efer en cia (Frege, 1892b), la cual evidencia que el hombre que

podría ser considerado como creador de los sistemas de lógica (extensional)

estándar, fue consciente del carácter no extensional de los lenguajes naturales. Como Frege señala, las siguientes dos oraciones tienen diferente contenidocognitivo:

(1) £1 lucero matutino es el lucero matutino

(2) £1 lucero matutino es el lucero vespertino

La oración (1) es una tautología y una verdad analítica a pr io r i , mientras que la (2) expresa un descubrimiento astronómico significativo y, comotal, es una oración sintética a poster i or i . Sin embargo, ambas expresiones, el l ucer o m atu t i no y el l u cer o vesper t i n o, refieren a la misma cosa, a saber, el planeta Venus. Así que si el significado y la referencia coincidieran, entoncestendríamos que aceptar que las dos oraciones tienen el mismo significado, lo

cual obviamente no es el caso.

Esta es una situación verdaderamente paradójica. Si (2) es verdadera (locual e? cierto) y el significado coincide con la referencia, entonces (2) expresalo mismo que (1). Pero, mientras que (1) debe ser siempre aceptada porcualqüier persona que elija considerar la cuestión, (2) no fue consideradaverdadera por un largo tiempo. L a conclusión que Frege esboza desde esteargumento es que significado y referencia no son lo mismo, sino que son, enl ú # did i d di t d l t E ibl b l



O r í g e n e s de la ló g i ca in te ns ion a l 9

Esto no quiere decir que no exista ninguna relación entre significado y referencia. Dos expresiones que tienen el mismo significado deben también tener la

misma referencia. Así que, en este sentido, el significado determina la referencia. Pero, como hemos visto, lo contrario podría no ser cierto: dos expresiones,en nuestro ejemplo el lu cer o m atu t i no y el l u cer o vesper t i n o , podrían tener lamisma referencia sin tener exactamente el mismo significado. Es la diferenciadel significado entre las dos expresiones lo que da cuenta de la diferencia delsignificado entre (1) y (2). Parecería, entonces, que cualquier teoría semánticaapropiada para los lenguajes naturales tendrá que distinguir entre significado

y referencia.Otros problemas que tienen que ver con la identificación entre significado y referencia surgen en conexión con lo que se ha llamado construcciones (d e or a cion es) i n ten si on al es. Si el significado de una expresión es sólo su referencia, entonces nosotros esperaríamos que una expresión B , con la mismareferencia (y así, con el mismo significado) que una expresión A , pueda sersiempre sustituida por A en cualquier oración, sin alterar el significado de esta

última oración. Existen, sin embargo, oraciones cuyo significado es afectadopor una sustitución de este estilo. Compare las siguientes dos oraciones:

(3) J uan está buscando al comandante supremo de las Fuerzas Armadas deEE.UU.

(4) J uan está buscando al presidente de los Estados Unidos de América

Las expresiones com an dan te supr em o de las Fuer zas A rm ad as de EE.UU.

y pr esi d en te de l os E stad os U ni dos de Amér i ca , siempre refieren a la mismapersona, pero (3) y (4) no tienen el mismo significado: (3) puede ser verdadera,aunque (4) sea falsa, y viceversa. Aquí, como en el ejemplo anterior, la solución obvia es distinguir entre significado y referencia y estipular que sólo lasexpresiones con el mismo significado (y no sólo la misma referencia) puedenser libremente sustituidas entre sí.

El propio Frege fue el primero en proponer una solución en esta línea.En una serie de artículos, entre los cuales “Sobre sentido y referencia” es elmás conocido, él desarrolló una teoría del significado, que ha sido incorporadaen gran medida a la lógica intensional moderna. Discutiremos algunos pocosaspectos de esta teoría en §1.7. Debe notarse que ni la solución bosquejadaaquí ni los problemas para los cuales fue diseñada están vinculados necesariamente con el realismo tal como es aparente a partir del hecho de que Frege es



10 Ló g ic a , l e n g u a j e y s i g n if ic a d o

1.7. La Teoría del Significado de Frege

La distinción fundamental trazada en la Teoría del Significado de Frege es entresent i d o (Sinn ) y r efer en ci a (Bed eu tu n g). De acuerdo con Frege, hay más cosasen el significado completo de una oración, aparte de su sen t ido ; existe tambiénf uer za (K r a f t ) y ton o (Fär bung). La fuerza de una oración es algo parecidoa lo que actualmente se denomina su “fuerza ilocucionar ia”; es decir, aquellaparte de su significado que determina qué función tiene la oración. Esta indica si nosotros estamos tratando con una aserción, una pregunta, etc. Por eltono de una expresión, Frege hace referencia a las ideas ( Vorstel lungen) queun usuario del lenguaje asocia con una expresión. Frege enfatiza que estas asociaciones mentales son subjetivas y que, por tanto, pueden no jugar un papelen la comunicación; proceso en el cual nosotros sólo podemos transmitir cosasobjetivas, cosas que son comunes a cualquiera con el cual nos comuniquemos.Es esta parte objetiva del significado lo que Frege llama sentido.

Así pues, la Teoría del Significado de Frege distingue entre sentido y referencia. Hemos visto ya un ejemplo que puede motivar la distinción, pues lo que

la paradoja de el lucero matutino/el lucero vespertino muestra es que sentido yreferencia son dos cosas diferentes; no que la referencia no importa en la Teoríadel Significado de Frege. Aunque sentido y referencia se distinguen entre sí,esto no significa que no tengan nada que ver el uno con el otro. La referencia,podemos decir, es lo que explica la función del sentido: las expresiones tienenun sentido sólo en virtud del hecho de que ellas también tienen una referencia ysu sentido, en efecto, no es más que la forma como se presenta su referencia. De

esta manera, el sentido determina la referencia. Dos expresiones con el mismosentido tienen ip so fa cto la misma referencia, aunque esto no es válido de manera recíproca. Frege desarrolló la distinción entre sentido y referenciaen numerosos artículos e intentó decir cuál era exactamente el sentido y lareferencia de cierta clase de expresiones. En lo que sigue, vamos a discutirbrevemente su perspectiva sobre el sentido y la referencia de nombres propiosy oraciones.

En el trabajo de Frege los nombres incluyen no solamente nombres propios,como Amste rdam y Sócrates , sino también descripciones definidas, como el l u cer o mat u t i n o, el p r esid en te de l os E stad os U ni dos de Amér i ca y l a segun da poten cia de 2. Ellos son, aproximadamente, lo que en lógica es llamado término:expresiones que refieren a una entidad. Así, para Frege, la referencia de unnombre es una entidad. Por su parte, el sentido es lo que este autor denominael m odo de pr esen t aci ón ( di e A r t des Geben sei n s) de la entidad es la manera



O r íg e n e s d e l a l ó g ic a in t e n s io n a l 11

(5)

En (5), las líneas a, b y c se intersecan en un punto común P . Este punto

P podría ser caracterizado mediante diferentes formas: como la intersección dea y b, como la intersección de a y c, como la intersección de b y c y, finalmente,como la intersección de a, b y c. Vemos entonces que una entidad singular, elpunto P , es la referencia de cuatro nombres diferentes. Estas cuatro descripciones tienen sentidos diferentes, pero la misma referencia. Cada una presenta la misma entidad de maneras distintas. Es muy importante notar quees posible estar muy familiarizado con el sentido de un nombre sin conocer

cuál es su referencia. Cualquiera con una competencia mínima en el españolentiende el sentido de el ci u dadan o más r i co de l os E sta d os U ni dos , peroesto no significa que conozca cuál individuo es lo suficientemente afortunadopara ser el referente de la expresión. El sentido es “el modo de presentación”,pero la familiaridad con la referencia de una expresión dada es solamenteuna posibilidad y podría no ser asumida. El sentido es solamente el criteriopor medio del cual la referencia puede ser determinada bajo varias circunstan-cias.

¿Cómo resuelve Frege la par adoja del lu cer o mat ut i n o/ el lu cer o vesper t i n o en su Teoría del Significado? Los sentidos de el lu cer o m at ut i n o y el l ucer o ves-

per t i no son diferentes y las dos expresiones determinan su referencia. Para ellucero matutino esto puede explicitarse como ‘el cuerpo celeste más brillanteen el cielo del este al amanecer’, y para el lucero vespertino puede ser ‘el cuerpoceleste más brillante en el cielo del oeste al atardecer’. Una vez más, es muyposible estar familiarizado con los sentidos de los dos nombres sin saber a qué

cuerpo celeste se refieren. Esto nos da una explicación simple de la diferencia cognitiva entre (1) (El lucero matutino es el lucero matutino) y (2) (E llucero matutino es el lucero vespertino). La oración (1) es verdadera sóloen caso de que la referencia de el l ucer o m atu t i no sea la misma que la referencia de el lu cer o matu t i n o.

Que esto es así es claro, independientemente de cuál sea de hecho la re




con el sentido de el lu cer o m atu t i no , con tal de que uno sepa el significadode es). Así, saber que (1) es verdadera es una cuestión a pr i or i . En cambio, laoración (2) es verdadera sólo en caso de que la referencia de el l ucer o matu-

t i n o sea la misma que la referencia de el l u cer o vesper t i n o. Que esto sea el casono puede ser determinado solamente con base en el significado de los dosnombres. Es necesario saber exactamente cuál es la referencia de las dos expresiones, por lo que la verdad de (2) fue aparente sólo cuando los astrónomosdescubrieron que las dos expresiones se referían al mismo objeto celeste, asaber, el planeta Venus.

Bajo el punto de vista de Frege los nombres pueden tener sentido sin tener

automáticamente referencia. Un ejemplo de esto es la descripción el pr i m er hom bre en M ar te. En el momento en que este libro es publicado, esta expresiónno tiene referencia, aunque tiene un sentido. Nosotros sabemos qué propiedadestendría que tener una cosa para responder a esta descripción. Este es un casoespecial de un fenómeno más general, a saber, que la referencia de un nombrepuede variar de situación a situación. Un ejemplo de esto es la expresión la r ein a de H olan da , expresión que cambió su referencia recientemente en 1980.

Pero las situaciones temporalmente diferentes no son las únicas quetenemos en mente. Podemos, por ejemplo, imaginar situaciones en las cualesel lucero matutino tiene una referencia diferente. Existen situaciones imaginarias en las cuales no es Venus sino Marte el cuerpo celeste más brillanteal amanecer (manteniendo aún que Venus es el más brillante al atardecer).En tal situación posible, aunque no actual, el nombre de el l ucer o matu t i no podría tener una referencia diferente a la del nombre el l u cer o vesper t i n o y,

como resultado, (2) sería falsa. Que existan situaciones en las cuales (2) puedaser falsa es la razón por la cual (2) no expresa una proposición necesaria sinocontingente.

Este último aspecto de la Teoría del Sentido de Frege y la referencia de losnombres ha sido muy criticado en los años recientes, al menos en lo que concierne a nombres propios reales como Dukak i s y Sócrates. Actualmente, laperspectiva prevalente parece ser que los nombres propios difieren de las des

cripciones definidas en que los primeros siempre se refieren al mismo individuo,bajo cualquier circunstancia. Se supone que su referencia es absoluta e inmutable. La diferencia podría ser ilustrada por medio de oraciones ‘contrafácticas’como la presentada en el ejemplo (6):

(6) Si Dukakis hubiera ganado las elecciones presidenciales en 1988,




Esta oración introduce una situación distinta a la situación actual, una situación que es al menos parcialmente determinada por la condición ‘Dukakis ganalas elecciones de 1988’. La diferencia entre el nombre propio Dukak i s y la des

cripción definida el pr esi d en t e de l os E sta d os U ni dos es que la referencia delúltimo en la situación distinta no es la misma que su referencia en la situaciónactual; esta es Dukakis y no Bush, mientras que la referencia del nombre propio Dukak i s es la misma en ambas situaciones: el hombre Dukakis. Esta tesisacerca del comportamiento semántico de los nombres propios se conoce comodesign aci ón rígida. Volveremos sobre esto más extensamente en §3.2. Con estoconcluimos nuestra discusión de la teoría de los nombres de Frege y pasamos

a su perspectiva sobre las oraciones.De acuerdo con Frege, una oración tiene tanto sentido como referencia, tal

como ocurre en el caso de los nombres. Su análisis está restringido a oracionesque expresan aserciones, aunque como hemos notado, él era consciente de otrasfunciones que el lenguaje puede cumplir. Cada oración, dice Frege, correspondea cierto pensamien to (Gedanke ), cada oración expresa un pensamiento o unaproposición. Aunque nos parece que el término pensamien to tiene un ‘tono’

subjetivo, se sigue de las ideas de Frege sobre la naturaleza del significado queel pensamiento expresado por una oración es un pensamiento de algo objetivo.Una y la misma proposición es transmitida a todos los usuarios del lenguajeque entienden la misma oración.

¿Podemos ahora establecer que la referencia de una oración es la proposición que ésta expresa? Frege no piensa así y sus razones se pueden parafrasearen los ejemplos que siguen. Compare las siguientes dos oraciones:

(7) E l comandante supremo de las Fuerzas Armadas de EE.UU. es unhombre

(8) E l presidente de los Estados Unidos de América es un hombre

Claramente estas oraciones expresan proposiciones diferentes. Pero entonces,

asumiendo el principio de acuerdo con el cual la referencia de una expresión compuesta esta en función de la referencia de sus partes componentes, lareferencia de una oración no puede ser la proposición que ésta expresa; pues,de acuerdo con este principio, (7) y (8) tienen la misma referencia, aun cuandoestamos de acuerdo en que expresan proposiciones diferentes. Frege concluyeque si la proposición expresada por una oración no es su referencia, entonces

d b id




Así, Frege considera si la oración debe o no tener una referencia adicional asu sentido. El razonamiento de que las oraciones tienen referencia se ejemplificaa continuación. Considere la oración:

(9) Ulises arribó a ítaca

Nosotros sabemos que el nombre Ulises no tiene referencia. Entonces, en vistadel principio de la composicionalidad de la referencia (véase atrás), la oracióncompleta (9) tampoco puede tener una referencia. Al respecto, Frege señalados puntos: primero, la proposición expresada por (9) es independiente de siel nombre Ulises tiene o no referencia; segundo, si alguien quiere aseverar que

(9) es una oración verdadera o falsa, entonces tendrá que asumir que existealgo que es la referencia de Ulises. Así que la referencia de Ulises importa,incluso aunque ésta no afecte el sentido de la oración (9). Aparentemente,concluye Frege, esto es importante en la determinación de la referencia deesta oración. La referencia de la oración debe ser su valor de verdad, ya que esla verdad o falsedad de la oración la que es determinada por la referencia de lasexpresiones que aparecen en ella.

E l sentido de una oración es, entonces, la proposición que ésta expresa ysu referencia es su valor de verdad. Como con los nombres, una oración puedeperfectamente tener un sentido sin tener una referencia. L a oración (9), porejemplo, expresa una proposición, pero no tiene un valor de verdad. Y como enel caso de los nombres, el sentido de una oración es un criterio para determinarsu referencia; pues una oración es verdadera sólo en caso de que la proposiciónque ésta expresa sea verdadera. En otras palabras, el sentido de una oración

determina lo que debe ser válido si la oración es verdadera. Esto concuerdacon la afirmación de Wittgenstein en el Tracta tus 4.024: “Entender una proposición significa conocer qué es el caso si es verdadera” (Wittgenstein, 1921).3

Frege también tiene una teoría acerca del sentido y la referencia de lasexpresiones predicativas. No describiremos esta teoría aquí, ya que es un pocomás complicada y no ha tenido la misma influencia sobre la semántica de lalógica intensional que la anterior teoría.

Concluimos nuestra discusión sobre la Teoría del Significado de Frege condos principios que el autor usa en su razonamiento y que son colectivamentereferidos como “principios de Frege”. Estos pueden ser formulados como sigue:

(10) La referencia de una expresión compuesta está en función de lareferencia de sus partes componentes

3N de T : la traducción es nuestra



O r íg e n e s d e l a l ó g i c a i n t e n s i o n a l 15

(11) El sentido de una expresión compuesta está en función del sentido de

sus partes componentes

Estos dos principios pueden presentarse también como reemplazo de los si

guientes principios:

(12) Si dos expresiones tienen la misma referencia, entonces la substituciónde una por la otra en una tercera expresión no cambia la referencia de

esta última

(13) Si dos expresiones tienen el mismo sentido, entonces la substitución deuna por la otra en una tercera expresión no cambia el sentido de esta

última

Hemos encontrado el principio (12) numerosas veces en la argumentación deFrege. Existe una diferencia de opinión acerca de si el principio (13) puedeser adscrito a Frege mismo, pero la opinión general es que éste es al menos“fregeano”, incluso si no es de Frege. Los dos principios se conocen tambiéncomo pr i n ci p i os de com posi ci ona l i dad , de la referencia y del sentido, respecti

vamente. El primero (12), es precisamente el principio de extensionalidad quees válido en la lógica estándar. Como vimos en §1.6., el primer principio no esválido para construcciones intensionales, como es claro en la siguiente oración:

(14) J uan dijo que el barbero de Pedro es el esposo de María

Si J uan no está equivocado en sus creencias, y si el barbero de Pedro y el

esposo de María son en efecto la misma persona, entonces el barber o de Ped r o y el esposo de M ar ía tienen la misma referencia. Pero (14) seguramente notiene la misma referencia (el mismo valor de verdad) que (15):

(15) J uan dijo que el esposo de María es el esposo de María

Esto no corresponde con el principio (12). Este problema con las construcciones intensionales podría ser abordado de varias formas. Uno podría, porejemplo, tratar de restringir (12) a la construcción extensional en la cualla substitución pueda hacerse libremente. Pero Frege deseaba mantener (10) y(12) incondicionalmente, así que escogió otra solución. Propuso que las expresiones no tuvieran su referencia normal en construcciones intensionales, sinoque se refirieran más bien a sus sentidos. Dijo que en tales casos las expresiones tienen una r efer en ci a in di r ecta ( un ger ad e B edeu tu ng), la cual es lo que es




normalmente su sentido. Un par de oraciones como (14) y (15) no son entoncescontraejemplos de (9) y (12). L a expresión el ba r bero de Ped r o sólo se puederemplazar por una expresión con la misma referencia, y en el contexto de decir

que , esto significa que ellas deben tener el mismo sentido. Oraciones como la(14) tienen el mismo valor de verdad que oraciones como la (16):

(16) J uan dijo que el peluquero de Pedro es el esposo de María

El análisis intensional moderno es tal que los dos métodos para lidiar con lasdificultades del principio de composicionalidad de la referencia no pueden distinguirse. Facetas de ambas aproximaciones han tomado forma en los análisis

modernos.E l lector habrá notado que estos principios (10) y (11) implícitamente pre

suponen un análisis sintáctico. Que una expresión como m u j er es y hombres vie jos se refiera a personas de edad de cualquiera de los dos sexos o a lasmujeres y a los hombres viejos, no puede ser determinado solamente con base en el significado de los elementos léxicos vi ej o, hombr es, y, y mujeres. Aquí surge una de las preguntas más importantes que debe ser afrontada si

deseamos aplicar la semántica lógica al lenguaje natural: ¿qué nivel de análisissintáctico presuponen el principio (10) y (11)? Volveremos a esta cuestión enel capítulo 6.

1.8. Dependencia del contexto

Como hemos visto, uno de los problemas que condujeron al desarrollo de la

lógica intensional fue lo inapropiado de la semántica extensional de la lógicaestándar para las construcciones intensionales. Otro problema fue el hecho deque la lógica estándar se restringe a proposiciones que no son dependientesdel contexto, y este problema proporciona una buena ilustración de la importancia de la noción de contexto en la lógica intensional. Esta noción esimportante no sólo en el análisis de proposiciones dependientes de contexto,pues, como veremos, también hace posible una explicación formal de la dife

rencia entre sentido y referencia.En lógica, tradicionalmente se supone que las proposiciones no dependen ni

del tiempo ni del lugar, de tal manera que puede decirse incondicionalmenteque son verdaderas o falsas. Y proposiciones lógicas como el conocimiento im pl i ca cr een ci as , proposiciones matemáticas como 5 + 7 = 12 y proposicionesteológicas como las cr een ci as im pl ican conoci m i en to son claramente ejemplosd i d d f l d d d d d l it ió l l



ORÍGENES d e l a l ó g ic a in t e n s io n a l 17

evaluadas. Pero con respecto a esto, ellas son excepcionales. La mayoría de lasproposiciones, como (17) por ejemplo, no tienen esta propiedad:

(17) La reina está pronunciando un discurso

Se han hecho intentos para adaptar proposiciones como (17) de tal formaque su verdad y falsedad ya no cambie de situación a situación. Esto se ha logrado al construir dentro de las oraciones mismas una especificación de lassituaciones en las cuales las oracións se pueden proferir. Oraciones como (17)

podrían, por ejemplo, expandirse en algo como (18):

(18) El 9 de junio a las 8 p.m., la reina de Holanda está pronunciando un

discurso

Podría argüirse que (18) es situacional, pues aunque el lugar no es mencionado,el tiempo si lo es. Una elaboración como ‘en el Palacio Noordeinde’ se necesitaría para remediar esto. Pero incluso presumiblemente esto podría no sersuficiente, pues ¿en cuál de las muchas salas, cámaras y mazmorras del palacio

fue dado el discurso?, ¿y entre cuáles puntos exactos del tiempo? Obviamentepodríamos seguir elaborando esta oración más allá de todo reconocimiento. Envez de hacer esto, sería más natural interpretar la oración sobre la base deltrasfondo del contexto en el cual es usada. Este contexto provee el aquí yel ahora del cual depende la verdad de una oración situacional. Así que unaoración como está l l ovi end o será verdadera en un contexto situacional dado sies el caso que está lloviendo en ese contexto. Una oración en tiempo pasado,

como l lovió, se refiere a un momento en el tiempo anterior al actual, provistopor el contexto en el cual es proferida, y de esta manera es un poco más complicada. Requiere no de uno, sino de dos contextos. U na oración como qui zá está

l lov iendo introduce un estado de cosas concebible que ciertamente no necesitaestar presente en el contexto dado. Así que al interpretar una oración en cualquier contexto dado, es necesario, con frecuencia, tomar otros contextos enconsideración.

El nombre semán ti ca i n ten si ona l , que se da a la semántica lógica en la queel proceso de interpretación es como el esbozado arriba, se deriva de la distinción entre in tensión y extensión. La intensión de una expresión puede jugarel papel de contenido conceptual, mientras que su extensión comprende todoaquello que ejemplifica ese contenido conceptual. Tomemos la expresión dígi to ,por ejemplo. La intensión de la palabra (al menos en el sentido que tiene en laaritmética) es el concepto ‘símbolo singular que refiere a un número’ y su




extensión es el conjunto de símbolos {0,1, 2,3, 4, 5, 6, 7,8,9}. La extensión es,entonces, lo que hasta el momento hemos llamado referencia.

La idea que hemos introducido aquí es que las expresiones podrían tenerdiferentes referencias (extensiones) en diferentes contextos. L a expresión el p r e-

sid en t e de l os E stad os Uni dos, por ejemplo, tuvo a Cárter como su referencia en1979, a Reagan en 1980 y a Bush en 1989. Otro ejemplo es el l ucer o matu t i no, el cual bajo otras circunstancias astronómicas concebibles podría haberse referido a cualquiera entre un número de cuerpos celestes y no a Venus. La lógicaintensional tiene, como la versión formal de la noción de in tensión de lalógica tradicional, el fenómeno de r efer en ci a múlt ip le. Una in tensión es una

función que da la referencia de una expresión en cada uno de los contextos bajoconsideración. Esta noción formal de intensión parece capturar la esencia de lanoción de sent ido de Frege como un criterio para la determinación de la referencia de las expresiones. La intensión de la expresión el pr esid en te de l os E stad o Unidos es, por ejemplo, la función que a cada contexto (momento en el tiempo)le asigna la persona que ocupa la oficina del presidente en ese momento.

Tal función de contextos aplicada a individuos se llama también un concepto

i nd iv idua l . Los predicados pueden también cambiar su referencia de contexto en contexto. Por ejemplo, actualmente la referencia del predicado hombre amer icano ya no incluye al individuo Elvis Presley, aunque aún lo hacía en elaño 1976. L a intensión de un predicado es, entonces, una función que asignaa cada contexto dado el conjunto de individuos que forman la referencia deese predicado en ese contexto particular. Como argumentamos ampliamenteantes, la referencia de una oración como está l l ovi end o puede también cam

biar de contexto (tiempo y lugar) a contexto. L a intensión de una oración es,entonces, una función que asigna a cualquier contexto dado el valor de verdadde la oración en ese contexto particular. La intensión de una oración tambiénse llama una proposición.

Las siguientes son las dos nociones simples que conforman los fundamentosde la lógica intensional moderna: contexto y r efer en ci a múlt ip le. Mostraremosahora el aparato técnico de la lógica intensional en su forma más simple: la

lógica proposicional con la adición de operadores intensionales. Sólo después dehaber completado esto en el capítulo 2, volveremos al caso relativamente complicado de la lógica de predicados intensional en el capítulo 3. Allí, variosproblemas surgirán de la interacción entre cuantificadores y operadores intensionales. Después de una introducción a la Teoría de los Tipos en el capítulo 4,seguiremos con la Teoría de T ipos Intensional en el capítulo 5. Esta teoría juegaun papel importante en la gramática lógica que se introduce en el capítulo 6



Capítulo 2

Lógica proposicional intensional

2.1. Introducción

Como vimos en el capítulo 1, hay muchas clases diferentes de construccionesintensionales. Entre éstas, las construcciones modales y temporales son las quemás atención han recibido en la lógica filosófica. Es por esta razón que hemos

escogido trabajar aquí con la l ógica pr oposi ci ona l modal y la l ógica tem pora l proposicional , y con la combinación de las dos. Otros ejemplos de contextosintensionales que han sido estudiados formalmente son el conocimiento y lacreencia (l ógi ca epi stém i ca ) y el permiso y la obligación (l ógica d eón t i ca). Comenzamos con una sección sobre el enfoque semántico que es común a todosestos sistemas. Este surgió en los años cincuenta con el trabajo de autorescomo Carnap, K anger, Hintikka y Kripke.

2.2. La semántica de mundos posibles

Por razones de conveniencia, comenzamos con el siguiente lenguaje extremadamente simple. Una expresión O se añade al vocabulario de la lógicaproposicional, la cual, cuando se coloca en frente de una fórmula cf>, resultaen una nue a fórmula O fi E presiones como O se llaman d De es



20 Ló g ic a , l e n g u a j e y s ig n if ic a d o

ta manera, obtenemos fórmulas como Op. O p—>p. O p—>OOp, Op—>q, q—>Op. O/Oq—>Op), etc. La idea intuitiva es que O haga las veces de una construcciónintensional como debe ser el caso que, yo séque, si em pr e será el caso que, hubo un t i em po en el que, es necesar i o que, es posi bl e que. Bajo la segunda interpretación, por ejemplo, las tres primeras fórmulas dicen: Yo séque p; Si yo séque p, en t on ces p es el caso, y si yo séque p, en t on ces yo séque yo séesto. Debeser claro que la extensionalidad de la lógica proposicional estándar se pierde sise introduce este tipo de construcciones. Claramente, puede ser cierto que dosproposiciones p y q tengan el mismo valor de verdad, de tal manera que p <->q sea verdadero, a pesar de que yo séque q no se siga de yo séque p, es decir,

sin que Op +* O q sea verdadero.

Los aspectos del contexto que deben tomarse en cuenta dependerán dela interpretación que se escoja para el operador O. Si sólo estamos interesados en construcciones temporales como si em pr e será el caso que y hubo un t i em po en el que, entonces los contextos se reducen a momentos en el tiempo.Si sólo estamos interesados en construcciones modales como es necesar i o que y

es posi bl e que, entonces podemos identificar los contextos que deben tenerse encuenta con todas las situaciones posibles. Y si estamos tratando con construcciones modales y temporales al mismo tiempo, entonces los contextos seránsituaciones posibles en ciertos instantes de tiempo. El punto es que el conjuntoK de contextos con el que escojamos trabajar depende, en gran medida, de loque queramos que signifique el operador O.

En vista de lo anterior, parecería ser necesaria una noción de signifi

cado dependiente del contexto, es decir, una en la cual los valores deverdad de las proposiciones no sean absolutos, sino relativos a los contextosen los que su verdad sea evaluada. En términos formales, esto significa reemplazar la semántica simple de la lógica proposicional, en donde las fórmulasreciben valores de verdad absolutos, por un sistema en el que las funciones deevaluación asignan valores de verdad relativos a algún contexto k (que se tomade un conjunto K de tales contextos). Las cláusulas para los conectivos de la

lógica proposicional estándar permanecen esencialmente iguales. Por ejemplo,una fórmula recibirá el valor de verdad 1 en un contexto dado sólo en elcaso en el que la fórmula (j) reciba el valor de verdad 0 en dicho contexto. Enefecto, el conjunto K de todos los contextos entra en juego únicamente cuandocomenzamos a evaluar sentencias de la forma O 4> en un contexto dado k . Larazón de esto es que la verdad de cualquier fórmula como ésta en un contextok depende de la verdad de (¡), no sólo en ese mismo contexto k , sino también en



LÓGICA PROPOSICIONAL INTENSIONAL 21

Por ejemplo, la verdad de la construcción hubo un t i em po en el que p dependede la existencia de algún contexto (punto en el tiempo) k ! , anterior al presente

contexto (punto en el tiempo) k en el cual p es verdadero. A su turno, paraque yo séque p sea verdadero en un contexto k , es necesario no sólo que p seaverdadero en k , sino también en todos los contextos k! que son compatiblescon el conocimiento que yo tengo en k : con todas las, así llamadas, al ternat ivas epi stém i cas que yo tengo en el contexto k.

¿Son relevantes los valores de verdad de 0 en todos los contextos k! enK para la determinación del valor de verdad de O ó en cualquiera de estos

contextos? Esto depende de cuál concepto intensional O estemos modelando.Si estamos interpretando a O como es l ógi cam en te n ecesar i o que , entonces esplausible estipular que 0 <fi sea verdadera en cualquier contexto k únicamenteen el caso en que sea verdadera en cualquier contextok únicamente en el caso en que </>sea verdadera en aquellos contextos k ' donde

valen las mismas leyes físicas que en A;. Y si O hace las veces de la construcción temporal hubo un t i em po en el que, entonces importarían únicamente loscontextos (puntos en el tiempo) anteriores a k . Así, para establecer el casogeneral, los contextos que deben tomarse en cuenta para evaluar la fórmulaO (j) en algún contexto k dependerán de la interpretación dada a O. Según seala interpretación, los contextos dependerán también de ciertas características del mismo contexto k . El conjunto de puntos anteriores a k en el tiempo

obviamente será diferente para distintos puntos en el tiempo k.

L o mismo puede verse en las construcciones epistémicas. Las alternativasepistémicas que tenemos que considerar al evaluar una sentencia dependende nuestro contexto, como es evidente a partir del siguiente ejemplo concreto. Consideremos un jugador de ajedrez que está en la mitad de un juego.El conoce dónde están todas las piezas en el tablero y está familiarizado conlas reglas del juego, así que, en principio por lo menos, está en posición de cal

cular todas sus alternativas epistémicas: aquellas posiciones que pueden seralcanzadas al continuar el juego. Pero las alternativas epistémicas variaráncon el estado del juego. En efecto, el conjunto de alternativas epistémicas del

jugador se reduce a medida que el juego progresa, debido a que cada jugadaexcluye todo un árbol previo de posibles desarrollos alternativos. De esta manera, la afirmación conozco que l as negr as no ganarán puede ser falsa en ciertocontexto es decir en cierto estado dado del juego al haber continuaciones



mientras que esta afirmación en un estado posterior del juego se vuelve verdadera, cuando las negras pierden todas las piezas excepto el rey.

Así pues, los contextos que deben tomarse en consideración al evaluar unafórmula 0 (¡> pueden depender no solamente de la interpretación que se tengaen mente para O, sino también del contexto particular en el cual la evaluaciónha de tener lugar. Aquellos contextos k ' que son relevantes cuando evaluamosdentro de un contexto k se llaman accesibl es d esde k. De esta manera, el valorde verdad de O (f> en k depende de los valores de verdad que toma <p en loscontextos k ' que son accesibles desde k . La manera en la que Ocp depende deestos valores de verdad depende, a su vez, de la interpretación que se tengaen mente de O. Si queremos que O signifique es necesar i o que , por ejemplo,entonces <j) debe ser verdadera en todos los contextos accesibles desde k paraque (j) sea verdadera en k . Pero si queremos que O signifique es posi bl e que ,

entonces es suficiente que (p sea verdadera en alguno de esos contextos. Cadainterpretación de O da lugar a algunas condiciones sobre los valores de verdadde (p en contextos accesibles, las cuales deben ser satisfechas para que Ocp seaverdadera.

L a discusión informal anterior nos lleva a la siguiente definición formal:

Definición 2.1.

Un modelo M consiste en:

(i) un conjunto no vacío K de contextos

(ii) una relación binaria R en K , la relación de accesibilidad

(iii) una función de valuación V que asigna un valor de verdad V^ ip ) a cada

letra proposicional p en cada contexto k € K

(M odelos como éstos se llaman frecuentemente ‘Modelos de K ripke’). A partirde esta definición, se puede establecer una definición de verdad que proporcioneel valor de verdad de una fórmula (p en el contexto k de un modelo M .En esta definición, las cláusulas para los conectivos estándar retienen su formausual, mientras que la cláusula para el operador intensional O depende de lainterpretación que se le desee dar. Más adelante, en §§2.3. y 2.4., veremosformulaciones precisas de la cláusula intencional para dos interpretacionesdiferentes de O.

En algunos casos es conveniente hacer un diagrama de los contextos y surelación de accesibilidad. Los contextos y sus relaciones se representan por



medio de puntos, conectados por flechas que indican cuáles contextos son accesibles desde cuáles otros. Un ejemplo de uno de tales diagramas se presenta

en l a figura (1):

Sólo el contexto 2 es accesible desde 1; desde 2 son accesibles el mismo 2, el 3,el 4 y el 7; ningún contexto es accesible desde 7, y así en adelante.

Vamos a mostrar por qué la extensionalidad falla en cualquier sistema

de estos, incluso sin los ejemplos concretos que presentaremos a continuación.El hecho de que p <-> q sea verdadero en k no es en sí mismo garantía de

que Op <-> O q sea también verdadero en k , puesto que la verdad de estaúltima fórmula depende del patrón de verdad y falsedad exhibido por p y qencontextos distintos al mismo k . Y la verdad de p <->q en el contexto k no nosdice nada acerca de este patrón.

2.3. Lógica proposicional modal

2.3.1. Antecedentes históricos

Los conceptos modales que se consideran en la lógica proposicional modalderivan más de la filosofía que del lenguaje natural. Las construcciones modalesde éste incluyen todas las formas que contienen elementos tales como puede ,tal vez, debe y ciertos. Pero la filosofía tiene sus modalidades tradicionalespropias, como: es necesar i o que, es posi bl e que, es con t i n gen t e que. En §2.3.4.retornaremos a la cuestión de si las construcciones modales en el lenguajenatural siempre expresan una de estas modalidades filosóficas.

Las modalidades filosóficas crean uno de los temas tratados en lógica tradicional. Aristóteles consideró los silogismos modales y los Escolásticos sepreocuparon por la semántica de las nociones modales. En una tabla muy

(1)

8



famosa en su Cr ít i ca a la Ra zón Pu r a , Kant refiere a las modalidades como lacuarta categoría principal de proposiciones. Pero, por lo menos en el inicio,no hubo lugar para las modalidades en la lógica moderna. Frege discutió la tabla de K ant en su Begr i f fsschr i f t y removió las modalidades de la agenda lógicacon una sola frase: “Al decir que una proposición es necesaria, meramentedoy una impresión de las razones para mi juicio” . E l conten ido de tal juicio,sostiene Frege, es independiente de esas razones y es únicamente el contenidolo que le interesa a la lógica. Pero las modalidades fueron capaces de penetraren la lógica moderna disimuladamente.

Hacia el cambio de siglo, algunos partidarios acérrimos de la lógicamoderna dictaron que la implicación material era el único tipo de implicación. El resto de nosotros simplemente tendría que aprender a tragarse las

consecuencias contraintuitivas de esto, incluyendo el hecho de que dadas dosproposiciones cualquiera, una debe implicar a la otra: dado que (0—> i / j ) V(?/>—>0)es una tautología. Esta y otras par adojas de la im pl i caci ón m at er i a l , tales como0—>('0—>0) y -i0—>(0—>?/>), continuaron, sin embargo, creándole problemas aalgunos escritores, notablemente a C.I . Lewis (el hecho de que la metanotaciónde derivabilidad (H) sea capaz de explicar la implicación, tanto como lo hacela implicación material, parece haber sido pasado por alto tanto por creyentescomo por no creyentes. Por lo menos no es verdad que para cualquiera de estasfórmulas 0 y t/>, o bien 0 \ ip o bien ^ h 0).

Lewis introdujo una impl icac ión estr ic ta -3 como complemento a laimplicación material — la cual debía formalizar aspectos (diferentes) de la implicación y también intentó capturar las propiedades de la implicación estrictapor medio de sistemas axiomáticos. Sin embargo, resultó más bien difícil juzgarla validez de sus axiomas. Es mucho más fácil (aunque tal vez no es enteramente correcto en todos los aspectos) entender por qué la implicación estrictaes más estricta que la implicación material. Una implicación material 0—>■•?/; esequivalente a -i (0A -^). E lla sólo afirma que no es el caso que 0 y -i ip. Pero laimplicación estricta dice mucho más que esto: no sólo este no es el caso, sinoque no podría ser el caso: 0-3'0 es equivalente a -iO(0A->?/>) (no es posible que0 y irp sean el caso).

De esta manera, la modalidad 0 (es posi bl e que ) apareció de nuevo en la

lógica. Su contraparte conceptual □ (es necesar i o que ) no puede estar, entonces, muy lejos. Gracias a la equivalencia entre las fórmulas - '0 (0A ->-0), □-'(0A—ii/ j) y D (0 —>•0)) -3 puede ser vista como una im pl icaci ón m ater i a l necesar ia . Aunque los fundamentos para introducir un nuevo operador modal parezcanhaber sido débiles, su traducción a términos modales regresó las nociones mo



dales a la lógica y, con el transcurso del tiempo, han incluso logrado captargran parte de la atención (aunque la noción de la implicación estricta ha sidorevivida algunas veces en años recientes, notablemente en la llamada ‘lógicade la relevancia’).

Desde el comienzo, la lógica modal mostró incertidumbre acerca de la validez de sus principios lógicos, la cual es completamente ajena a la lógica clásicafregeana. Principios como (2) pueden haber sido suficientemente claros, así co

mo el (3):

(2) <->■ (Lo imposible es lo que necesariamente no es el caso)

(3) <-»■Ocj) (L o que no puede no ser el caso es necesario)

Pero (2) y (3) parecen ser más bien definiciones que principios. F órmulas como(4) y (5) también parecen ser relativamente poco problemáticas:

(4) □</>—►4> (L o que es necesariamente verdadero es verdadero)

(5) □(</>—>-(/>) —>(Dtp —* Di/O (Las consecuencias estrictas de las verdadesnecesarias son en sí mismas verdades necesarias)

El principio (5), que es equivalente a (□(</> —>ip) A 0<p) —►□?/), puede considerarse como una forma de modus ponens. Pero la validez de los principiosse vuelve mucho más complicada de juzgar tan pronto como oper ad ores m o-

dal es api l ados comienzan a complicar las cosas. Dos de tales principios cuyavalidez es discutible son (6) y (7):

(6) □</>—>□□</> (Si algo es necesario, es necesario que así sea)

(7) 0□</>—* 4> (L o que es posiblemente necesario es verdadero)

Muchas teorías axiomático-sintácticas surgieron de preferencias distintas paraesos y otros principios similares, y hacia los años sesenta parecían una junglaenredada y cada vez más impenetrable.

Esta incertidumbre acerca de la validez de algunos principios puede serconsiderada como un signo de que varias nociones modales (débiles y fuertes)estaban interfiriendo entre sí en nuestros juicios intuitivos, y de que unasemántica que arrojara nueva luz sobre todas esas teorías sintácticas, hacíamuchísima falta. Esta es la razón por la cual la semántica de los mundosposibles causó tal impacto hacia 1960.



2.3.2. Sintaxis y semántica

En §2.2. discutimos sobre la idea básica detrás de la semántica de los mundosposibles. Tal como es aplicada a la lógica proposicional modal, ella se reducea lo siguiente: los operadores □ y 0 se añaden a la lógica proposicional por

medio de la siguiente adición a la definición de un lenguaje proposicional L :

(8) Si 0 es una fórmula en L , entonces D0 y 00 también lo son

De acuerdo con (8), ahora tenemos □ p, DpVOg, “ (pAr/). p ^HOp , y 0p—►□Opcomo ejemplos de fórmulas. Las pilas de operadores como las de los ejemplos(6) y (7) también se llaman i teraciones.

Ejercicio* 2.1.

Traduzca las siguientes oraciones en fórmulas de la lógica proposicional modal.Represente la estructura lógica tan bien como se pueda y establezca todas lasclaves de traducción que se utilicen.

(a) Es posible que usted no me entienda, pero no es necesario que así sea

(b) Si está lloviendo, entonces debe ser posible que llueva

(c) Si es posible que si puede estar lloviendo, entonces está lloviendo

(d) Si puede ser necesario que esté lloviendo, entonces debe estar lloviendo

(e) Tal vez está lloviendo, y puede que esto sea necesario (trate de encontrardos traducciones)

La semántica de la lógica proposicional modal es, como hemos dicho, unejemplo concreto de una lógica proposicional intensional como se discutióen §2.2. L os contextos a los que hacíamos referencia en ese apartado se llaman ahora mundos posibles, una noción que se remonta a Leibniz (la idea deLeibniz de que este mundo en que vivimos es el mejor de todos los mundosposibles fue el blanco de sarcasmos de Voltaire en Cánd i do). Leibniz distinguía

entre verdades de hecho, que valdrían (únicamente) para el mundo en el quevivimos, y verdades racionales, que valdrían en todos los mundos que Dioshubiera creado. Las últimas yacen, claramente, cerca de la idea de verdadesnecesarias como verdades en todos los mundos posibles.

La idea detrás de la semántica de los mundos posibles es que la verdadde □</>y de 00, en cualquier mundo posible dado, depende de la verdad de 0



en otros mundos posibles. Puede que no sea necesario tomar en consideracióntodos los mundos posibles; formalmente esto puede ser capturado por unarelación de accesibilidad que diga cuáles mundos son importantes. Podemosdar ahora la siguiente definición:

Definición 2.2.

Un modelo M para la lógica proposicional modal consiste en:

(i) un conjunto no vacío W de mundos posibles

(ii) una relación binaria R en W . la relación de accesibilidad

(iii) una función de valuación V que asigna un valor de verdad V^(p) a cada

letra proposicional p en cada mundo w € W

Algunas veces, un elemento especial vj q de W es señalado como el mundoactual, pero esto no es realmente necesario. Un conjunto de mundos posiblesW junto con una relación de accesibilidad apropiada R se llama un marco (otambién estructura) . Así pues, un modelo M consiste en un marco F y unafunción de valuación V . Cualquier marco F dado puede ser transformado en

una variedad de modelos diferentes, dependiendo de la función de valuaciónque se adicione. Esto se debe a que un marco sólo fija cuáles mundos posiblesvamos a considerar y cuáles de estos mundos son accesibles desde cuáles otros.Una valuación puede necesitarse para decidir qué hechos ocurren en cada unode los mundos posibles, y en general habrá muchas maneras diferentes dehacer esto. Cada una corresponde a un modelo distinto M . Un modelo es unaespecificación exacta de un estado particular de la realidad actual y la posible.Un marco provee, por decirlo de alguna manera, una estructura, un armazónque puede conformar la base para muchos tipos de estados.

La definición de verdad nos dice ahora qué formulas (f) son verdaderasen qué mundos posibles w de cualquier modelo dado M . Los valores de verdad de todas las letras proposicionales están fijas para cada mundo posibleen M , por medio de la función de valuación F de M . Lo que la definición deverdad hace, entonces, es determinar cuáles valores de verdad deben ser atribuidos a las fórmulas compuestas en cada uno de los mundos posibles. En

otras palabras, la definición de verdad establece, para un M dado, cómo puedeextenderse la función de valuación disponible para las letras proposicionalesa una función de valuación Vm que se pueda aplicar a todas las fórmulas dellenguaje en cuestión. Como de costumbre, esto se hace al establecer la manera



como el valor de verdad de las fórmulas compuestas debe depender del valorde verdad de sus partes componentes. La innovación de la lógica proposicionalintensional es que los valores de verdad son relativos a los mundos posiblesen los cuales la evaluación se lleva a cabo y puede depender, en parte, de losvalores de verdad de otras fórmulas en otros mundos posibles. L a definiciónde verdad para la lógica proposicional modal es la siguiente:

Definición 2.3.

Si M es un modelo, W es su conjunto de mundos posibles, R su relación deaccesibilidad y V su valuación, entonces Vm,„.(</>), el valor de verdad de 0 enw dado M se define por las siguientes cláusulas:

(i) V m ,w ( p ) = V M , para todas las letras proposicionales p

(ü) Vm.iuC-1«/») = 1 sii = 0

(iii) Vm }W{ 4> VO = 1 sii Vm,w{4>) = 0 o V m ,w W = 1

(iv) V m ,«;(□$) = 1 sii para todo w ' G W tal que wRw ' : Vm,u»(0) = 1

(v) VmiIU(04>) = 1 sii para por lo menos un w ' G W tal quew R w ' : V = 1

Claramente, los conectivos ->y —» tienen los mismos significados aquí que enlas tablas de verdad de la lógica proposicional estándar. L o mismo se aplicapara A, V, y <->, cuyas cláusulas hemos omitido. Es sólo con las cláusulas para□ y 0 que todo el mecanismo de los mundos posibles se pone en movimiento.

De acuerdo con (iv), necesar iamente significa ver dad er o en todos l os m un dos accesibles, mientras que de acuerdo con (v), posib lemente significa verdadero en al m en os un m undo accesi bl e. Esto expone claramente la analogía entre □ yV en oposición a 0 y 3; analogía que muchos autores han notado. E sto tambiéndeja claro por qué, al igual que con los cuantificadores, sólo es necesario tomaruno de los operadores como primitivo, dado que el otro se puede definir entérminos del primero. E l operador 0 se puede definir como — i, por ejemplo,

tal como 3 se puede definir como -A/-*. El lector puede verificar fácilmente queesta definición pone en evidencia inmediatamente la validez de los principios

(2)y (3).Para mostrar cómo funcionan las cláusulas (iv) y (v), pasaremos a consi

derar los dos modelos sencillos presentados en (9) y (10):



(9)

W l

P

w 3-' P

(10) g

• . •W 1 < 1Ü2-.p P

El modelo M dibujado en (9) se puede entender de la siguiente manera: haysolamente tres mundos posibles, w i, u>2y W 3 , así que W = {un, w 2, ^3}. Lasflechas representan la relación de accesibilidad entre los mundos: W 2 es accesible desde w\ y desde él mismo, W 3 es accesible desde W 2 y ningún mundoposible es accesible desde W3. Si escribimos a R como un conjunto de parejas

ordenadas, obtenemos a partir de (9) que R = { (w \ , w 2), (w 2, ’2), ( '2, 3)}.Así pues, hemos determinado el marco para M . Asumiendo que estamos tratando con un lenguaje con una sola letra proposicional p, (9) también fija lafunción de valuación V (y, de esta manera, siguiendo la definición de verdad,

fija también el valor de verdad de todas las fórmulas en todos estos mundosposibles): VWl (p) = VW 2(p) = 1 y VW 3(p) = 0. Con esto hemos especificado

completamente a M .

¿Qué pasa con el valor de verdad de □ p y 0p en los distintos mundos

posibles? Dado que w \ Rw 2 y Vm,w 2{p ) {= VW 2(p))= L entonces, Vm.w Op) =1. Y puesto que u >2 es el único mundo accesible desde w\ , también tenemos

que Vm,u>i(Pp) = 1. En w 2, 0p es verdadera, dado que p es verdadera en el

mismo w 2 y W 2Ru>2 Pero □p es falsa en w 2, puesto que W 2R 1V 3, mientras quep es falsa en W 3 . Finalmente, Vm,w 3(0p ) = 0 y Vm,»3(^p) = 1, ya que nohay mundos que sean accesibles desde W 3 (así que p es verdadera en todoslos mundos [inexistentes] que son accesibles). La fórmula 0~p son verdaderas en W 3 .

Nuestro segundo ejemplo de un modelo se representa en (10). Al interpretar

las W , R y V características del diagrama tenemos que W = { 1,^2}; R ={ ( w i , w i ) , { w i , w 2 ) , { w 2 , w i } } y Vm (p) = 0, VW 2(p) = 1. Se puede calcularahora el valor de verdad de varias fórmulas, al igual que en el primer ejemplo.A manera de ilustración, determinaremos el valor de verdad de dos fórmulascon operadores modales apilados, es decir, DOp y OCIHp-



¿□Op es verdadera en w {! Esto es así sólo en el caso en que para todo w ' talque w \ Rw ' tengamos Vm.w'ÍOp) = 1. Sabemos que w\ Rw\ y w \ Rw 2, así que<)p tendría que ser verdadera tanto en w\ como en w 2. Ahora, 0p es verdaderaen w i , puesto que w \ Rw 2 y p es verdadera en w2. Pero 0P no es verdadera enw 2, ya que sólo w\ es accesible desde w 2, y allí p es falsa. Luego, la respuesta

es no: DOp es falsa en w\ . ¿Tal vez DOp es verdadera en w 2? Para esto, Optendría que ser verdadera en todos los mundos accesibles desde w 2. Hay sólouno de esos, que es w\ , y Op es en efecto verdadera allí, puesto que w\ Rw 2 yp es verdadera en w 2 Así que la respuesta es sí: CHOp es verdadera en w 2.

La segunda fórmula que vamos a considerar es Od P - ¿Esta fórmula esverdadera en w \? L o será sólo en el caso en que haya algún w ' con w\ Rv/ en el cual □~>p sea verdadera, puesto que w \ Rw \ y w \ Rw 2, podemos decir quew\ y w 2 son ambos candidatos. Pero resulta que C ]p es falsa en w 2. Así que w\ no es el w ' que estamos buscando.Pero EHp es verdadera en w 2, dado que sólo w 2Rw\ y ->p es verdadera enw\ . De esta manera, w 2 es el w ' que estamos buscando, y OD^P es verdaderaen W\ . Podemos verificar rápidamente que esta fórmula es falsa en w 2: dadoque sólo w 2Rw ] , la fórmula D-ip tendría que ser verdadera en w\ : sin embargoeste no es el caso, puesto que w i R w 2 y p es verdadera en w 2; en consecuenciaOCHp es falsa en w 2 (podríamos haber anticipado este resultado, en vista de

las equivalencias dadas arriba, OD^P es justamente la negación de DOp)-Para cualquier modelo M dado, siempre hay algunas fórmulas que son

verdaderas en cada uno de los mundos posibles de M . Por ejemplo, 0P A 0 -ipy □p —>p son verdaderas en cada mundo posible del modelo (11):

(u) 0 0• •W 1 , * W 2

P P

Decimos que las fórmulas que son verdaderas en cada uno de los mundos delmodelo son vál i das en dicho modelo, y lo escribimos como Vm(^) = 1. Entrelas fórmulas válidas en M podemos distinguir aquellas cuya validez dependede la valuación V particular en el modelo M , de aquellas cuya validez es

independiente de dicha V . El primer tipo de fórmulas es válido en M en virtudde los hechos que suceden allí, pero el segundo tipo parece ser indiferente aellos. Aparentemente, las fórmulas del segundo tipo son válidas puramente envirtud de la estructura básica del modelo, es decir, de su marco. L a fórmulaOp A 0~>p es un ejemplo del primer tipo. Si fuéramos a cambiar el modelo en



(11) al hacer que VW 2(p) = 1, en lugar de O, entonces esta fórmula no seríavál ida; sin embargo, Clp —»p aún sería válida. En efecto, no importa cuál V escojamos en (11), Dp —* p siempre será válida en todos los mundos posibles.Claramente este es el ejemplo del segundo tipo de fórmulas. Su validez puedeperderse sólo si la estructura subyacente del modelo se cambia, como se ve a

partir del modelo dado en (12), donde Clp —>p no es válida:

(12) 0• •w 1 W 2

P -«P

Mientras □ p es verdadera en w¿, p es falsa en dicho mundo, así que \ 3p —>

p es falsa allí también. Decimos que el modelo (12) es un con tr aejem pl o de (la validez de) Dp —>p. L o que esto significa es que hay una relación entrelos marcos y las fórmulas válidas en los modelos construidos con base en ellos.Si una fórmula 0 es válida en todo modelo construido a partir del marco F , entonces decimos que 0 es vál ida en F . De cierta manera, cualquiera de estasfórmulas expresa una propiedad de F ; a menudo resulta ser una propiedad deuna clase completa de marcos. Comparemos, por ejemplo, el marco del modelo

(11) con los tres marcos del (13):

F i : F 2: F 3:

Q 0 0 0 0Wi Wl W 2 W l * W 2

La fórmula Dp —»p e s válida en todos estos marcos (y muchos más además deestos). Ellos, tienen una propiedad en común que es responsable de su validez,a saber, la ref lexiv idad de sus relaciones de accesibilidad. En efecto, esta es lapropiedad expresada por Dp —♦p, dado que puede demostrarse que Dp —♦pcaracteriza la clase de los marcos reflexivos: Dp —►p es válida en cualquiermarco con una relación de accesibilidad reflexiva. De manera recíproca, si□p —>p es válida en un marco, entonces el marco tiene que tener una re

lación de accesibilidad reflexiva. Esto puede verse fácilmente de la siguientemanera. Primero debemos mostrar que Dp —>p es válida en cualquier marcocon una relación de accesibil idad reflexiva. Así, supongamos que M tiene unmarco F con una relación de accesibilidad R que es reflexiva y que en algúnvo tenemos V\ ijU,(D0) = 1. Entonces, en todo w ' tal que wRw \ V m ,w '(4>) = 1-



Ahora, dado que R es reflexiva, tenemos que w R w , así que en particular tenemos V m = 1- Esto significa que Vm,iu(D0 —*•(f>) = 1 y puesto que w esarbitrario, □<j> —* <f> es verdadera en todo w en M , así que □</>—* <t> es válida en M . Y puesto que M era un modelo arbitrario con un marco reflexivo,□0 —>(f) es válida en cualquier modelo M , que tenga un marco F , con una

relación R reflexiva. Ahora, sólo resta mostrar que si □(/> —><j) es válida enun marco, entonces este marco debe tener una relación de accesibilidad reflexiva o, equivalentemente, que un contraejemplo a □<£ —>cp puede construirseen cualquier marco que no tenga una relación reflexiva. Así, sea F un marcocuya relación de accesibil idad no es reflexiva. Esto significa que hay algún w en F tal que no se tiene wRw . Ahora, obtenemos nuestro contraejemplo alconstruir un modelo M con F como su marco, y con una valuación V tal queVw(p) = 0, mientras que Vwi(p) = 1 para todos los demás mundos w ' en este

marco. Entonces tenemos que l /,„(D p)=l y Vw(p )= 0, así que Vw(\ 3p —>p)=0.De esta manera, □(p no es válida en M . La figura (12) es un ejemplo de

Esto nos trae a una de las principales ocupaciones de los lógicos modales,que es establecer relaciones entre la validez de fórmulas y las propiedades delos marcos. Se ha prestado atención de manera particular a los principios modales como (2) a (7). Resulta que el principio (5), □(<£ —►ip) —>(□cp —>Oip), es

válido en todos los marcos, sin importar qué relación de accesibilidad tengan.Pero muchos otros principios modales resultan corresponder a característicasparticulares de las relaciones de accesibilidad. Acabamos de ver que el principio (4), □$>—>(p, corresponde a la reflexividad de R , y que el principio (6),D<f> —>□□(/>, corresponde a la t rans i t i v idad de R. No daremos una pruebacompleta de este hecho aquí, pero haremos una demostración del hecho deque un contraejemplo de □</>—>□□<¿>siempre puede construirse en un marco

no transitivo. En cualquier marco de este tipo siempre habrá tres mundos (nonecesariamente distintos) w\ , y W 3 tales que W] Riu ?, w^ Rw^ , perono w \ R 2^. Esta situación puede representarse como en (14):

ello.

(14)

Si ahora escogemos una V W3 tal que VWl(p) = 0 y Vw(j>) = 1 para todos losdemás w , entonces tenemos que V u¡1 (dp) = 1 y VWl (□□?>) = 0, puesto queVW2 (Dp) = o.



El principio (7), 0n</> —►<t>, expresa la sim et r ía de R . La prueba de estehecho la dejamos al lector (ver ejercicio 3a). Este no es el lugar para entraren detalles sobre estas correspondencias y las implicaciones que ellas tienensobre las numerosas axiomatizaciones divergentes que han sido desarrolladas para la lógica proposicional modal. Hemos ilustrado aquí estos asuntos

para enfatizar la flexibilidad de la semántica de los mundos posibles, que esciertamente de importancia para su aplicación en las investigaciones sobrelenguaje natural. Es esta flexibilidad la que nos permite representar distintasinterpretaciones de las nociones modales, al imponer distintos requerimientosen la re lación de accesibilidad R. Esto no significa que esta flexibilidad seailimitada. Resulta que hay propiedades bastante simples de los marcos queno pueden ser caracterizadas por medio de una fórmula. Por ejemplo, no hayfórmula que caracterice la irreflexividad de los marcos, lo cual es una restricción clara en el poder expresivo de la lógica proposicional modal.

Ejercicio* 2.2.

(a) A partir del siguiente modelo:

Decida si cada una de las siguientes cuatro fórmulas es verdadera en w\ ,

en w -2 y en todo el modelo.

(i) Dp —>COp

(ii) -O p

(iii) p —>DOp

(b) A partir del siguiente modelo W = {iui, w 2, w3 , w^ } ; R = { ( w i ,w 2),

{w 2, W3), (w3, Wi ), (w 3, w 4), {w4, w 2)}\ VWl( p )= V W 3( p ) =VW l ( q ) = Vw 2(q) = 1, VW 2(p) = VW 4(p) = VW 3 (q) = VW 4 (q) = 0.

(i) Dibuje un diagrama del modelo

(ii) Determine:

W\P

1) VWl(Dq)

2) VW2(D -(p ->9))

3) VW 3( n ( ( p A q ) V(-ipA-ig)))



4) VWl(0Oq)

5) VWl( 0p / \ 0q)

(iii) Decida si las siguientes formuléis son válidas en el modelo:

1) OD p V OO D p

2) Dp —►>p

3) (p -*■0p ) A (q -> 0q)

4) 0 (p V ->p) -> D(p V -.q)

(iv) Decida si las siguientes fórmulas son válidas en el marco del modelo:

1) Dp —>0p

2) 00Dp -► P

Ejercicio* 2.3.

(a) Muestre que OD0 —>0 es válida en todo marco con relación simétrica R yconstruya un contraejemplo para esta fórmula en un marco no simétrico

(b ) ¿Qué clase de marcos es caracterizada por 000 —► 0? ¿Qué clase por

0000 —>■0? Y en general, ¿por 0i •••0n4> ~>0?

Ejercicio 2.4.(a) Interprete □ como cr eo que. ¿Qué significa 0, dado que mantenemos los

principios (2) y (3) de §2.3.1.? ¿Cuál de los principios del (4) al (7) esplausible para esta interpretación de □?

(b) Ahora responda la misma pregunta para es obl i gator i o que como la interpretación de □

(c) ¿Qué restricciones en la relación de accesibil idad harían válida la expresión Si no cr eo que 0, en t on ces cr eo que no cr eo que 0 sea el caso ?

(d) ¿Qué propiedades de los marcos es caracterizada por D0 —» 00? ¿Éstaes una propiedad razonable si interpretamos □ como es obl i gator i o que ?

Ejercicio 2.5.

Una relación R se dice conectada si para todo w , w'\ si w ^ u i ' , entonces wRw '

o w ' Rw , y universa l si para todo w , w w R w ' . Muestre que para todo marco F cuya relación R es reflexiva y simétrica se sigue que R es universal si y sólo siR es conectada.



2.3.3. El enfoque sintáctico de la noción de validez

Nuestro enfoque de la lógica intensional es completamente semántico. Sinembargo, puede ser instructivo mencionar el aspecto sintáctico, aunque seabrevemente. Con este propósito, presentaremos ahora una discusión corta de lamanera en que el sistema de deducci ón n atur al, que fue introducido en el vol. 1

como una explicación sintáctica de la validez en la lógica proposicional y depredicados, puede ser extendido a la lógica proposicional modal. En el restode nuestra discusión de la lógica intensional y de la teoría de tipos no entraremos a considerar en ningún momento enfoques sintácticos de la validez, así quelos lectores que no están familiarizados con la deducción natural pueden omitiresta sección, sin riesgo de quedar estancados más adelante.

La siguiente regla de introducción para □ es bastante aceptable: si (p puede

ser derivada sin hacer ninguna suposición en absoluto, entonces aparentemente$ es necesaria, así que podemos obtener la conclusión □<f>. Esta regla, emitidaen la forma que presentamos a continuación como I D, m, puede ahora añadirsea nuestro sistema de deducción natural de la lógica proposicional:

1.

m. cj)

n . D<t> ID , m

La restricción en esta regla consiste en que en el paso m no puede haber

suposiciones no eliminadas. El hecho de que esta restricción sea necesaria esinmediatamente obvio del hecho de que sin ella siempre derivaríamos p —>Op.

Por otro lado, no es posible dar una regla de eliminación para □ que seasimple e intuitivamente llamativa. En lugar de ello, podemos dar axiomas,que pueden ser vistos como suposiciones de trasfondo o como postulados designificado. L os axiomas pueden introducirse en la deducción natural comofórmulas que siempre pueden escribirse en cualquier lugar de una derivación,sin que sean defendidas en forma alguna. Si tomamos como nuestros axiomastodas las fórmulas que tienen la forma general de (5) (repetida a continuación),obtenemos la lógica pr oposic iona l modal m in im al (algunas veces llamada K ):

(5) D(4> - xl>) - (U<)> DVO



Toda sustitución de <f> y ip por fórmulas en (5) da como resultado un axioma.Decimos que (5) es un esquema de axiomas. Como ejemplo, damos la siguientederivación de D(p A q) —>Dp, en la lógica proposicional modal minimal K :

1 - p A q Suposición2. p EA, 13- (p A q) -*• p I ->4. D ((pA g)-»p ) ID, 35. D ((p A q) —* p) —>(ü (p A q) Qp) Axioma6. □ (p A q) —* Clp E —>, 5, 4

Es posible dar pruebas de validez y de completitud para esta lógica minimal K .Hay una prueba de validez que establece que si h 0 en K , entonces </>es

válida en todos los modelos M , y una prueba de completitud que estableceque las fórmulas que son válidas en todos los modelos son derivables en K (laprueba del teorema de validez viene siendo poco más que el comentario hechoanteriormente, en el sentido de que (5) es válida independientemente de larelación de accesibilidad del modelo).

Como se ha mencionado anteriormente, hay interpretaciones de □ para lasque no todos los modelos son adecuados, sino sólo aquellos cuyas relaciones de

accesibilidad satisfagan ciertos requerimientos. Puede ser, por ejemplo, quese requiera que esta relación sea reflexiva, transitiva y simétrica. Estos requerimientos han sido ligados anteriormente a las fórmulas (4), (6) y (7), las cualesrepetimos a continuación:

(4) Uct> - 0

(6) n<f) □□</>

(7) <>□</>—><f>

El sistema obtenido al añadir (4), (6) y (7) como esquemas de axiomas a lalógica proposicional modal minimal se conoce como S5. Para este sistema también se pueden demostrar teoremas de validez y de completitud. Si hay unaderivación de una fórmula 4> en S5, entonces <j) es válida en todo modelo en el

cual R es reflexiva, transitiva y simétrica, es decir, una relación de equivalencia(validez), y si </>es válida en todos estos modelos, entonces también hay unaderivación en S5 (completitud). Demostrar la completitud de toda clase desistemas axiomáticos distintos es algo que le gusta más a los lógicos modales,que mostrar que una fórmula dada caracteriza una clase particular de marcos,



un asunto que consideramos más arriba brevemente. También es considerablemente más difícil. El hecho de que las cosas no sean tan simples como puedenparecer resulta claro de la siguiente consideración: puede argumentarse que si□ se interpreta como es lógi cam en te n ecesar i o , entonces sólo debemos teneren cuenta aquellos modelos en los que cada mundo es accesible desde todos los

otros mundos (incluyendo él mismo), es decir, en el cual la relación de accesibilidad R es universal. L ógi cam en t e n ecesar i o significaría, entonces, verdadero en todos l os m undos posi bl es. Pero resulta que el sistema correspondiente aesta restricción en los modelos coincide con S5.

Las observaciones anteriores deben haber ilustrado sumariamente los principios del enfoque sintáctico de la lógica intensional. Como lo habíamos mencionado anteriormente, no volveremos a tratar sobre este tema.

Ejercicio 2.6.

Más arriba se afirmó que (¡> es derivable en S5 si y sólo si (f) es válida en todos losmodelos en los que R es una relación de equivalencia. También, fue dicho queel sistema S5 es completo con respecto a la clase de modelos en los cuales R esuniversal. ¿Qué puede deducirse de estos dos hechos acerca de la posibilidad decaracterizar modalmente a la propiedad de que una relación R sea conectada?

2.3.4. Modalidades aléticas y epistémicas

En esta sección consideraremos brevemente si las expresiones modales en lenguaje natural corresponden siempre a las modalidades filosóficas de la lógicamodal. Estas modalidades filosóficas también se conocen como modalidadesalét i cas (término derivado de la palabra griega a léthei a , “verdad”). Ellas ver

san sobre la verdad de las oraciones. Por supuesto, hay construcciones en ellenguaje natural en las cuales las expresiones modales son aléticamente significantes. Algunos ejemplos de éstas pueden encontrarse en el ejercicio 1 de§2.3.2. Pero también hay expresiones modales como (15) y (16) que no parecenser aléticas:

(15) Tal vez está lloviendo en California del Sur

(16) J uan debe estar en su cuarto

Estas afirmaciones no parecen versar más sobre la verdad de Está l l ovi endo en Cal i for n i a del Sur y J uan está en su cu a r t o , que sobre la información que



está disponible a quien quiera que las profiera. Si el tal vez en (15) fuera unamodalidad alética, entonces (17) tendría sentido:

(17) Tal vez está lloviendo en del Sur, pero no está lloviendo en Californiadel Sur

Entonces podríamos representar (15) como ()p y así (17) correspondería a lafórmula (}pA~>p. Pero mientras que esta última fórmula tiene sentido, lo mismono puede decirse de (17). Aparentemente, (15) no expresa una modalidadalética, sino lo que puede llamarse una modalidad epi stém i ca : lo que (15)expresa es el hecho de que la i n fo rmac ión que está disponible al hablante no lepermite decidir si está lloviendo en California del Sur o no. L a segunda partede (17) niega justamente esto, lo cual hace imposible interpretar la oración.

La modalidad en la oración (16) también parecería ser epistémica: (16) nosignifica que es un hecho necesario que J uan se encuentre en su cuarto, sinoque la información disponible a quien quiera que esté profiriendo la oraciónsugeriría que él está ahí. Una continuación típica de (16) sería algo como (18):

(18) J uan debe estar en su cuarto; él siempre está ahí a esta hora

Si (18) fuera interpretada como una modalidad alética y bajo la suposiciónbastante razonable de que la relación de accesibilidad es reflexiva, de tal manera que □(/>— <j) es válida, entonces se seguiría de (16) que (19):

(19) J uan está en su cuarto

Pero esto no es correcto de acuerdo con el significado de (16), dado que lamodalidad epistémica expresada en (16) es esencialmente más débil que la modalidad alética representada por □.

2.3.5. Una aplicación

El verdadero poder de los operadores modales en los argumentos se pone enevidencia sólo cuando los operadores se combinan con la lógica de predicados.Pero aquí también hay algunos problemas que pueden ser clarificados al nivel

elemental de la lógica proposicional modal. Un ejemplo de esto es la discusiónde Tomás de Aquino sobre el argumento de que la Providencia de Dios implicael fatalismo. De acuerdo con este argumento, el hecho de que yo esté de pieaquí ahora mismo es necesario (en otras palabras, mi libre albedrío no tiene que ver en el asunto). Esto se explica de la siguiente manera: durante la



Creación, Dios vio todo, incluso el que yo esté parado aquí. Y si Dios me vioparado aquí durante la Creación, entonces es necesariamente verdadero que yoesté parado aquí. Este argumento, formalizado en lógica proposicional modal,tiene la forma del siguiente esquema argumentativo válido:

(20) p, P~ > q , <7-► U p/ U p Claves: p: Y o estoy parado aquí;q: Dios me vio parado aquí durante la Creación

Tomás de Aquino nos hace notar que la última premisa es la más crucial: ¿aqué se le está aplicando la cualificación de necesar iamente ? En la formalizaciónde (20), la cualificación sólo se aplica al consecuente de la implicación en laúltima premisa. Pero esta premisa parecería plausible sólo si la cualificaciónse aplicara a la implicación como un todo. Esto significaría que la premisadebería ser D(q —>p ), en lugar de q —►Dp, caso en el cual el argumento tienela forma del esquema argumentativo i n vál i do (21):

(21) p , p + q , □(<? -» p)/ U p

El argumento colapsa debido a una sutileza lógica relacionada con el alcance de la expresión modal necesariamente. Existen otros argumentos filosóficos

bien conocidos que han sido sometidos a este tipo de análisis. Otro ejemploes el argumento de Aristóteles sobre la batalla naval,1 que intenta demostrarque □ »VD-i< , es decir: todo es necesario, en el sentido en que todo es o biennecesariamente verdadero, o bien es necesariamente falso, a partir de la leydel tercero excluido, </>V-></>. Fue este argumento el que dio lugar a las lógicasmulti-valuadas, en donde se introdujeron otros valores de verdad distintos a 0 y1 (el lector puede consultar el capítulo 5 del volumen 1 para una discusión deeste tema). Este enfoque permitía escapar de las conclusiones fatalistas aldeclarar que <j> V *<j) es inválida. Esos valores de verdad múltiples y tablasde verdad extendidas fueron muy populares en los años veinte y treinta, yse buscó en ellos una semántica para la lógica proposicional intensional; lacual nunca fue encontrada. Tampoco se necesita ninguna, puesto que las consideraciones basadas en la lógica modal que aquí se presenta son casi siempresuficientes para inhabilitar los argumentos como los de Aristóteles sobre labatalla naval. Cualesquiera sean las virtudes de la lógica multi-valuada, sumotivación original no es convincente.

1N. de T .: Cf. Perl H er m enei as, cap. I X.



2.4. Lógica temporal proposicional

2.4.1. Sintaxis y semántica

Hablando técnicamente, la l ógica tem por al está estrechamente relacionada conla lógica modal. En lógica temporal, los contextos se convierten en momen

tos en el tiempo, con an ter i o r a como su relación de accesibilidad (esta es lamanera tradicional de proceder, pero esto no significa que sea la única. Actualmente, muchos semanticistas prefieren analizar los contextos por medio deintervalos de tiempo en vez de momentos).

La lógica temporal se originó a partir de la observación de que los tiempos verbales manifiestan un comportamiento bastante regular, el cual parecíasusceptible a ser formalizado. Se introdujeron dos operadores, G y H , co

mo análogos del operador □ de la lógica modal. El operador G se interpretacomo si em pr e será el caso qu e , y el operador H como siem pr e ha si d o el caso que. Ahora, como tales, G y H son difíciles de interpretar como tiempos comunes y corrientes, pero así como □ está complementado por 0, G y H tienensus propios complementos, F y P . que se leen como será en al gún m om en to en el fu t u r o el caso que y f u e en algún m om en to en el pasado el caso que , respectivamente. Así, el operador F sirve como una contraparte formal aceptablepor lo menos de algunas formas del tiempo verbal futuro, mientras que P hacelo mismo para el tiempo pasado. L os cuatro operadores de tiempos verbalesse resumen en (22):

(22) G(¡)\ siempre va a ser el caso que 0

H 0: siempre ha si do el caso que (f>

F <fi: será en algún momento en el f u t u r o el caso que <p

P 0: fue en algún momento en el pasado el caso que 0Si añadimos los operadores G. F , H y P a la lógica proposicional, obtenemos la lógica temporal proposicional. Si p se interpreta ahora comoM aría

está can tan do, por ejemplo, entonces (23) muestra cómo algunos tiempos vebales pueden ser representados en lógica temporal proposicional:

p María está cantando

F p María cantaráP p María cantóP P p María había cantadoF P p María habrá cantadoP F p María cantaría



gg claro que no toda combinación de F y P corresponde a un tiempo verbalqUe ocurra en lenguaje natural. Tampoco es posible expresar todos los tiempos verbales por medio de esos operadores. Por ejemplo, la diferencia entreel pasado simple y el pasado perfecto no se puede representar. Pero esto essuficiente para comenzar.

Ejercicio* 2.7.

Traduzca las siguientes oraciones en fórmulas de la lógica temporal proposicional. Represente la estructura lógica tan bien como se pueda y establezca la

clave de traducción que se utilice.

(a) Ahora usted todavía esté joven, pero un día no lo será más

(b) Te soy fiel y siempre lo seré

(c) J uan leyó La guer r a y la paz y Carlos también

(d) Cuando María entró, J uan había puesto la botella de whiskey en lanevera

(e) Cuando María entró, J uan estaba a punto de poner la botella de whiskey

en la nevera

(f) Una batalla naval tendrá lugar o no. Y si tiene lugar, éste siempre hasido el caso

(g) Sólo si tú siempre estás conmigo, yo seré feliz

Un modelo M de la lógica temporal proposicional consiste de un conjunto no

vacío T de momentos en el tiempo, una relación R an ter i o r a , una valuación V , la cual asigna un valor de verdad Vt(p) a p en t para cada letra proposicional p y cada momento en el tiempo t G T. Tal como en lógica modal, T y R formanun marco, que en lógica temporal algunas veces se llama un eje temporal. A continuación presentamos la definición de verdad que corresponde a losoperadores intensionales:

Definición 2.4.

Sea M un modelo que tiene a T como su conjunto de momentos en el tiempoy R como su relación an te r i o r a; entonces V m s e define de la siguientemanera:



(i) W G ¿ ) = 1 sii para todo í 'g T tal que t R t ' : Vm,v (4>) = 1

(ü) M ,t(F 0) = 1 sii para al menos un t ' e T tal que t R t ’ : Vjyi.t'W»)=1

(iii) yM ,í(H ) = 1 sii para todo í 'e T tal que t ' R t : Vm.í'Í ) = 1

(iv) Vm,í(P</>) = 1 sii para al menos un t ' G T tal que t ' R t : yM,í'W)=1

Hasta ahora no hemos puesto requerimientos especiales en el eje temporal.Tampoco hemos dicho nada acerca de las propiedades que debe tener la relación R para que pueda hacer las veces de una interpretación de la relaciónan ter i or a. Una de las líneas de investigación en lógicatemporal considera cuáles principios lógico-temporales son plausibles y cuáles requerimientosdeben colocarse en el eje temporal para asegurar su validez. Otro enfoque

complementario ha intentado averiguar cuáles principios son válidos, dadasciertas restricciones particulares en el eje temporal. Como en el caso de lalógica modal, la noción de val i dez en u n m ar co ha jugado un papel importanteen esto.

Discutiremos ahora unos pocos principios lógico-temporales plausibles ymiraremos cuáles propiedades del eje temporal son expresados por ellos, si esque hay alguna. Claramente, (24) y (25)

(24) G (</> (Gcf) -► Gi¡>)

(25) H (0 - » %¡f) -> (H <j) -» H i p )

serán válidos en cualquier eje temporal, puesto que tanto G como H son versiones del operador modal □, y el principio modal correspondiente es válidoindependientemente de la relación de accesibilidad. Debemos notar, sin embargo, que los principios lógico-temporales (26) y (27) que corresponden alprincipio modal (4) no tienen la plausibilidad intuitiva de este último:

(26) G(f) —►<j)

(27) H</>—>c ¡ )

Estos dos principios son equivalentes a 4> —* F<f> (si <f> es el caso, entonces <f) será el caso) y </>—>Pe?) (si fue el caso), respectivamente.Ahora, si suponemos que R sea i r ref lexiva, lo cual es una restricción bastanterazonable puesto que esto significa que ningún momento en el tiempo puedeser anterior a sí mismo, (26) y (27) resultan inválidos. Pero como en el caso de



la lógica modal, este requerimiento de irreflexividad no puede ser expresadopor medio de una fórmula. Además de (24) y (25), tenemos los siguientesprincipios intuitivos válidos:

(28) 0 H F 0

(29) (p > G P 0

(30) P <f> -> H (F 0 V <j> V P 0)

(31) F 0--» G (P 0 V<?¡>V F 0)

(32) P 0 -» G P 0

(33) F<¿>--» H F <j)

El principio (28) dice que lo que ahora es el caso, siempre ha sido en el pasado algo que pasaría. P or su parte, (29) dice que lo que ahora es el casosiempre será algo que ha pasado. El principio (30) establece que si (J) fue unavez el caso, entonces siempre ha sido el caso de que o bien cf) pasaría, o bien(¡> estaba pasando, o bien que 4> ya había pasado. La fórmula (31) dice algo

análogo a la (30) acerca del futuro. El principio (32) establece que cualquiercosa que haya pasado, siempre será algo que ha pasado. F inalmente, la fórmula(33) hace la afirmación análoga a la (32) acerca del futuro.

Es bastante fácil verificar que los principios (28) y (29) son verdaderosen cualquier marco. De esta manera, ellos no establecen ningún requerimientosobre el eje temporal. L os principios (30) y (31) son válidos en todos los marcoscuya relación R es conectada (marcos en los cuales para cualquiera de los dos

momentos distintos en el tiempo, uno es anterior al otro). Si R no es conectada,entonces una configuración como la (34) es posible:

Si suponemos que Vt 3(p) = 1 y que Vt (p) = 0 para todos los demás t , tenemosun contraejemplo para (31). La razón es que F p son verdaderas en t i , puesto



que p es verdadera en í,3- Pero G(P<¿>V (f> V F <f>) es falsa en t i , puesto queP 0 V (j) V F<p es falsa en ¿2- Esto último es cierto porque no se tiene que ¿2 3,ni que t ^R t ^ , ni que ¿2 = ¿3, mientras que £3 es el único momento en el tiempoen el que p es verdadera. Como resultado, ni F p, ni P p, ni p son verdaderasen Í2- Así, los principios (30) y (31), que son aceptables intuitivamente, excluyen cualquier eje temporal con bifurcaciones o ramificaciones, lo cual parecebastante razonable (una aplicación posible para un eje temporal con ramificaciones se presenta, sin embargo, en §2.5.).

Los principios (32) y (33) son válidos sólo en el caso en que R sea t ransi t iva. Si R no es transitiva, entonces una configuración como la que aparece en (35)

es posible.

(35) • ------------

—IP ~ 1P P

Aquí no tenemos que t i R t ^ . Si suponemos que Vt 3(p ) = 1 y Vt(p) = 0 paratodos los demás t , tenemos un contraejemplo para el principio (33): F p esverdadera en ¿2, porque p es verdadera en ¿3 y t'¿ R t $ . Pero H F p no es verdaderaen Í21 dado que Fp es falsa en t i , porque no es cierto que t i R t ^ , y Í3 es el únicomomento en el cual p es verdadera.

Estas y otras relaciones similares entre los principios (24) a (33) y las propiedades de la relación an ter i o r a (y, de esta manera, de distintas estructurastemporales) han sido estudiadas a profundidad en la lógica temporal. Hemosvisto que una línea similar de investigación se ha seguido en la lógica modal.Una gran diferencia entre la lógica modal y la temporal es que con la lógicatemporal parece más razonable comenzar escogiendo una semántica. A diferencia de nuestras intuiciones sobre modalidades, que conciernen a la validez de

varios principios lógicos más que las relaciones entre mundos posibles, nuestrasintuiciones temporales parecen tener implicaciones sobre la estructura deltiempo. Así, con la lógica temporal parecería razonable enfocar las cosasde atrás para adelante, al intentar primero formular esas intuiciones y después ir en busca de los principios sintácticos a los que ellas dan lugar.

Actualmente, hay distintas conceptualizaciones concretas sobre el tiempoque son consideraras en la lógica temporal. Todas ellas, sin embargo, tienenalgo en común: la suposición de que el tiempo es un orden lineal, es decir,que la relación an ter i o r a tiene las propiedades de un orden lineal: transiti-vidad, asimetría (y por lo tanto irreflexividad) y conectitud. Debido a estaspropiedades, una relación an ter i o r a lineal se representa comúnmente por <.De ahora en adelante, el conjunto de momentos en el tiempo está ordenado



por <> Y todos los principios del (24) al (33) son válidos. Es útil representarlas distintas conceptualizaciones del tiempo, junto con sus diversas estructurasdel eje temporal, como líneas de números. Una conceptualización intuitiva quees llamativa consiste en tomar los núm er os en ter os como nuestro modelo del ejetemporal: . . —n, . . —2, —1 ,0 ,1 ,2 , . .n, — De esta manera, el tiempo notiene ni principio ni final y transcurre en pasos discretos. Esto es bastante

plausible si, por ejemplo, los días del calendario se toman como las unidadesde tiempo. También podemos concebir el tiempo no como dividido en pasosdiscretos, sin importar qué tan pequeños sean (horas, minutos, segundos, na-nosegundos), sino teniendo una estructura mucho más fina, en la que siempreexiste un momento entre otros dos momentos cualquiera. Esta propiedad general de las relaciones, que se expresa por la fórmula VxVy ((x / ¡/A Rx y ) —>^ z(z x A z y A R x z AR z y )) , se llama densidad. La idea de que el tiempo es

un orden denso puede ser modelada al representar los momentos en el tiempocomo núm er os r aci ona l es , que incluyen los números enteros. Así, el tiempo notiene ni comienzo ni fin y entre dos momentos cualquiera en el tiempo siempreencontramos otro.

Determinar los principios de la lógica temporal que se siguen de una esco-gencia dada del eje temporal es un asunto más bien técnicamente complicadoy que está por fuera del alcance de esta introducción. Al tomar los números

racionales como nuestro modelo del eje temporal, por ejemplo, obtenemos lossiguientes tres principios, además de los (24) a (33):

(36) F 0 + F F 0

(37) -i G (0 A —i 0 )

(38) —iH (0 A —>0)

El principio (36) dice que si 0 va a pasar, entonces será el caso que 0 pasará. Elhecho de que este principio no sea válido en un eje temporal discreto, como los números enteros, es evidente a partir del siguiente ejemplo. TomemosUn su cesor del t r on o ha nacid o como p y los días como nuestras unidades detiempo. F p, Un su cesor del t r on o nacerá será verdadera un lunes, en el caso enque un sucesor haya sido traído al mundo al día siguiente, es decir, un martes.Pero la verdad de F p un lunes no garantiza la verdad de F F p en ese mismo

día. Si hay una revolución el miércoles, por ejemplo, o si la familia real muerepor alguna otra razón, entonces F p no necesariamente es verdadera en ningúndía después del lunes. Resulta que el principio (36) corresponde a la densidadde la relación an ter i or a. El principio (37) dice que el tiempo nunca se detiene,



puesto que G (0 A -'</>) sólo sería verdadero en el último instante de tiempo t . La razón es que G(<f> A ~¡4>) es verdadera en t sólo cuando <j) A ~><j> es verdaderaen todos los instantes t ' que vienen después de t , y esos momentos t ' no existensi t es el último. El principio (38) expresa, de manera similar a la anterior, elhecho de que el tiempo no tiene un comienzo.

Una tercera conceptual ización del tiempo la encontramos en la física, dondelos números reales se toman como modelo del eje temporal. Esta conceptualización se necesita para describir situaciones como la de (39):

Asumiendo que usted camina 1 kilómetro por hora, le tomará \ Í 2 horas caminar desde A hasta B . Esto se sigue del teorema de Pitágoras, que dice quec2 = a2 + b . Pero desde los antiguos griegos sabemos que y/ 2 no es un númeroracional, lo que significa que no puede expresarse como una fracción. Por lo

tanto, no podríamos ni siquiera estar seguros de que habría un momento enel que llegaríamos al punto B si el eje temporal consistiera sólo de númerosracionales. Los principios de la lógica temporal que corresponden a esta tercera clase de estructura temporal son mucho más complicados que los otrosprincipios que hemos visto.

Ejercicio* 2.8.

(a) Considere el siguiente modelo:2) ¿35 45 5 j 6}j

R — {( lí ¿2), (¿2, ¿3), (¿3, h ) i (Í4, ¿ó), (Í5, ¿6)};VtÁP) = Vt2(p) = v t3(p) = v t6(p) = 1; v u (p) = VtB(p) = 0

(i) Dibuje el diagrama del modelo

(ii) Decida si las siguientes fórmulas son válidas en el modelo:

1) -ip -+ F Gp

2) F ~Hp



(b) Decida cuál propiedad del eje temporal es caracterizada por cada unode los siguientes principios:

i) F G <j) -> GF<¿>

ii) G(<f> A V FG(<>A

iii) P P (p —* P 4>

Ejercicio 2.9.

Proporcione un marco que consista en tres puntos y en el cual F p —> G (p V

P p V F p) sea válida, y uno con la misma cantidad de puntos en el que no lo

éea.

2.4.2. 'Ahora’: una extensión

Muchas investigaciones sobre la lógica temporal con orientación lingüísticahan tratado de adaptar y extender los lenguajes de la lógica temporal y susemántica para poner en consideración más aspectos del comportamiento delos verbos y otras expresiones temporales, tales como los adverbios. A manera

de ilustración, describiremos brevemente una de esas extensiones de la lógicatemporal, el operador A (A de ahora), introducido por K amp. A primeravista, podría parecer que ahora es un término redundante. Después de todo,(40) ciertamente significa la misma cosa que (41):

(40) Ahora J uan está durmiendo

(41) J uan está durmiendo

Esto sugeriría la siguiente definición para la interpretación del operador A :

(42) VM,t(A 0) = 1 si y sólo si VM , M ) = 1

Si suponemos que p remplace a J uan está du rm i endo, entonces (42) aseguraría

que A p es equivalente a p. lo cual es justamente lo que (40) y (41) parecensugerir. Pero las cosas no son ni cercanamente tan simples como esto, lo cuales evidente si consideramos (43):

(43) Algún día tú estarás agradecido por lo que estoy haciendo ahora



El ahora en (43) se refiere al momento en el que la oración es proferida. Laoración es en tiempo futuro, lo que significa que su traducción formal será dela forma F (tú estás agr ad eci do p or lo que estoy h aci en d o ahora ). Si evaluamosdicha fórmula en el momento t , será verdadera sólo en el caso en el que hayaotro momento t ' posterior a t en el cual tú estás agr ad ecido p or lo que es-

toy ha ci en d o ahora sea verdadera. Pero entonces, de acuerdo con la definiciónde ahora dada en (42), (43) será verdadero en el momento t sólo en el caso enel que haya un momento t ' posterior a t , en el cual es verdadero que tú estás agradeci do por lo que estoy h aci en d o , entonces, en t ' . Pero esto no es lo que(43) significa. Así que la interpretación de ahora en (42) no funciona. Aparentemente, necesitamos una manera de referirnos otra vez a los momentosoriginales de la proferencia, incluso si el proceso de interpretación nos lleva aotros momentos. E sto puede hacerse al añadir un momento fijo ío a las estruc

turas: el momento ahora. El operador A puede entonces ser interpretado dela siguiente manera:

(44) FM,t(A 0) = 1 si y sólo si VM ,to{<t>) = 1

Dada esta interpretación, el ahora en (43) se referirá, en efecto, otra vez almomento de la proferencia to, incluso si ocurre dentro del alcance del tiempo

futuro.Ahora podemos dar cuenta de la diferencia entre dos ejemplos bien cono

cidos de K amp:

(45) Nació un niño que gobernaría el mundo

(46) Nació un niño que gobernará el mundo

L a oración (45) puede ser representada como (47),

(47) P ( 3 x ( C x A B x A F R x ) )

en donde C x reemplaza a x es un n iño , B x a i ha nacid o y R x a x gober n ará el mundo. Obsérvese que el momento en el que x gobierna el mundo puede sero bien anterior o posterior al momento de la proferencia,puesto que el ope

rador temporal F ocurre dentro del alcance del operador P . Esto encaja biencon el gober n aría en (45). El gobernará en (45), por otra parte, establece queel momento en el que x gobernará el mundo ocurre después del momento de laproferencia. De esta manera, (46) puede ser analizada con la ayuda del operador A y puede ser representada como (48):



(48) P ( B x ( C x A B x A A F R x ) )

Dada la interpretación de A en (44), el operador F en (48) determina algúnmomento en el futuro que tenemos ahora, incluso si ocurre dentro del alcance

de P-

Otra aplicación de la técnica de K amp para lidiar con el comportamientos e m á n t i c o de ahora se presenta en §3.4.

2.4.3. Otros enfoques

El tratamiento que presentamos arriba sobre las expresiones temporales pormedio de los operadores temporales se debe a Prior. El suyo es ciertamenteel enfoque más conocido, pero no es el único, e incluso puede no ser el mejor.

Por lo tanto, mencionaremos brevemente otros dos enfoques distintos.El primero fue desarrollado por Reichenbach, quien asocia tres puntos tem

porales contextúales con cada expresión temporal: un pu n t o de di scu r so S (quees comparable con el ¿o de K amp), un pu n to de even t o E (el tiempo en el cual elevento descrito en la expresión tiene lugar; anteriormente incorporado a la definición de verdad) y un pu n to de r efer en cia R (el cual representa, podríamosdecir, la posición de ventaja temporal adoptada por el hablante). Entonces, los

tiempos verbales pueden ser representados por medio de diagramas simples.A manera de comparación, véase (49):

(49) E , R , S María cantaS — E , R María cantaráE , R—S María cantóE — R — S María había cantado

S —E — R María habrá cantadoR — E —S María cantaría

Esto nos da las representaciones de los mismos tiempos verbales que fuerontratados por medio de los operadores temporales en (22). Un aspecto interesante de este enfoque es que nos permite dar cuenta de las diferencias entreel pasado simple M ar ía can tó y el pasado compuesto M ar ía ha can ta d o , como

la diferencia en la posición de ventaja temporal adoptada por el hablante, lacual puede ser representada por la posición de R:

(50) E — 5, R María ha cantadoE . R S María cantó



El hecho de que esta teoría tampoco dé cuenta completa de todas las construcciones temporales se vuelve evidente cuando tratamos de encontrar unarepresentación para M aría habría can tad o. Esto no puede hacerse con un únicopunto de referencia R . Sin embargo, sí hay un análisis de este tiempo verbal entérminos de operadores temporales, a saber, P F P p. U na integración de esos

dos enfoques está aún en proceso de desarrollo.El segundo enfoque alternativo asume que las construcciones temporalesen lenguaje natural son tan complejas que es necesaria una maquinaria lógicamás poderosa: lógica de predicados multi-sorteada con cuantificación explícitasobre momentos de tiempo (el lector es referido a §5.3. en el volumen 1).Hemos mencionado ya que los operadores temporales se comportan en granmedida como cuantificadores y que lo mismo aplica para los adverbios temporales como si em pr e, al gunas veces, n unca , f r ecu en t em en t e, r ar am ent e, y así enadelante. En este enfoque, las letras de predicados reciben una variable extrapara momentos en el tiempo (í, t ' , t " , etc.) y las letras proposicionales se vuelven predicados unarios. El lenguaje también incluye la relación an ter i o r a < . Las construcciones que ya tratamos en (22) y en (49) las rehacemos en (51):

(51) P t o María canta3 t (t o < t A P t ) María cantará3 t ( t < t o A P t ) María cantó3 t 3 t ' (t ' < t o A t < t ' A P t ) María había cantado3 t3 t ' {t o < t ' A t < t ' A P t ) María habrá cantado3 t 3 t ' (t ' < t o A t ' < t A P t ) María cantaría3 t 3 t ' 3 t " ( t " < t o A t " < t' A t < t! A P t ) María habría cantado

Aquí, cuantificamos explícitamente sobre momentos en el tiempo. Un mo

mento especial to aparece una vez más como la representación del momentoactual de evaluación (‘ahora’). Las fórmulas en (51) son relativamente complejas y difíciles de interpretar, en comparación con las fórmulas correspondientesde la lógica temporal. Ellas se vuelven un poco más legibles, sin embargo, sise introduce además de to otro momento fijo en el tiempo t \ , como una representación del punto de referencia, una jugada que también tiene la ventaja depermitirnos expresar la diferencia entre el pasado simple y el pasado compues

to. Una teoría que desarrolla estas ideas es la de Paul Needham. L ógicas depredicados temporales como estas dan lugar a representaciones de construcciones simples relativamente complicadas, pero debemos decir en su defensaque por lo menos proveen un aparato técnico que es capaz de representar unavariedad tremendamente amplia de construcciones temporales, construcciones



para las cuales la lógica temporal necesitaría un nuevo conjunto completo deoperadores (la Teoría de T ipos Di-sorteada, un sistema lógica que será discutido en §5.8., puede usarse como una herramienta formal en este tipo deenfoques).

2.5. Tiempo y modalidad combinadosConstrucciones contrafácticas como las que encontramos en (52) parecen com

binar tiempo y modalidad:

(52) Si hubiera ido, habría encontrado la felicidad

En efecto no fu i , per o podr ía haber l o hecho. Aquí vemos diferentes clases de

intensionalidades interfiriendo entre sí. Muy a menudo el resultado completono es más que la suma de sus diferentes partes, pero en algunos casos nuevosenigmas emergen a partir de esta combinación, la cual requiere de nuevas y

creativas soluciones semánticas.Una lógica modal y temporal combinada se obtiene si añadimos no sólo □,

sino también los operadores G y H a la lógica proposicional. Varias estructurassemánticas pueden escogerse, pero para no permitir que las cosas se vuelvan

como de ciencia ficción, tomaremos simplemente un conjunto W de mundosposibles, cada uno con el mismo eje temporal fijo. Podemos, entonces, hablar entérminos del valor de verdad de una fórmula <f> en un mundo w en un tiempo t . Hay una relación an ter i o r a < en el conjunto T de momentos en el tiempo y unarelación de accesibilidad R en W . Las cláusulas clave en la definición de verdad

son entonces:

(53) Vm,u),«(□</>) = 1 si y sólo si para todo w ' tal que w R w Vm,w',t{4>) = 1

(54) VM,u,,t(G0) = 1 si y sólo si para todo t ! tal que t < t = 1

La cláusula para □</>expresa una necesidad temporalizada: □</>es verdaderaen w en t si y sólo si 0 es verdadera en t en cada mundo w ' accesible desdew . Tendremos que decir algo para permitir que la accesibilidad de los mundos cambie de tiempo en tiempo. Esto puede hacerse al proveer a R de un

parámetro temporal, de esta manera se obtiene un conjunto de relaciones deaccesibilidad R t , una para cada t e T . La cláusula para □ entonces se vuelve:

(55) Vm,io,í(n</>) = 1 si y sólo si para todo w 1 tal que wR tw ' : Vm,tu',t(0) — 1



Parafraseando, 'C\<p es verdadera en w y t si y sólo si (j) es verdadera en t encada mundo accesible desde w en el tiempo t . Esta última opción se vuelveun poco más concreta si Rt se define de la siguiente manera: wR t w ' es verdadera sólo en caso que w y w ' tengan la misma historia hasta t (tiempo en el cualellos pueden divergir o no). Obtenemos, entonces, una estructura temporalrami f icada intuitivamente plausible, como lo dibujamos en (56):

La línea gruesa representa la historia actual del mundo. Supongamos que esel año 1978 y que estamos mirando los partidos del mundial de fútbol, que en

ese año fueron en Argentina. La primera ronda se jugó entre los tiempos ío y ¿i,

los cuartos de final se jugaron entre t\ y t ?, las semifinales entre t¿ y £3, ylas finales en Í4. El resultado actual de toda la cadena de eventos, 2, fue queArgentina le ganó a Holanda en la final. Otro resultado posible habría sido 1, enel cual Holanda le gana a Argentina en la final. E ste resultado aún era posibleen ¿3, el momento en el que las semifinales acababan de jugarse. La cadena deeventos que resulta en 3 es una en la cual Brasil no fue eliminado en lasprimeras rondas debido a un promedio de gol más bajo que el de Argentina(que fue lo que en efecto sucedió), y subsecuentemente termina ganando lacopa. Por su parte, 4 establece la cadena de eventos que se parece a 3 hasta elpunto en el que Brasil llega a la final, pero en la cual Brasil es derrotado porAlemania Occidental. Las cadenas de eventos que terminan en 3 y en 4 fueronposibilidades al comienzo del torneo, pero no después de la primera ronda.

Esta concepción del tiempo, en la cual cada punto en el tiempo es seguidopor una cantidad de ‘futuros’ posibles divergentes, parecería la más apropiadapara lidiar con el contrafáctico en (52): Yo en efecto no fu i , p er o f u e en el m om en to un h echo necesar i o que si hu bi er a id o, habr ía encont r ad o la fel i ci d ad . La formalización obvia de (52) parecería ser entonces P (-ipA D(p—>Fq)), en lacual p reemplaza a voy y q a en cu en tr o la fel i ci dad . Esta fórmula se vuelveverdadera en situaciones como la de (57):



Pero las cosas no pueden ser tan simples como esto. Dado que es claro que

□ ((<M x)—►V’) siempre se sigue de □((?!>—►V’)>1° Que significa que P (->pA D((pAr) —»F<?)) se sigue de P(->p A D(p —>Fg)). Ahora, supongamos que r reem

plaza a muero. Entonces (58) se sigue de (52):

(58) Si hubiera ido y hubiera muerto, habría encontrado la felicidad

Esta inferencia es, por lo menos, poco probable. Pero ya sea que (58) es verdadera o no, parece extraño que ella deba seguirse de (52), como es evidente

en (59):

Así pues, esta formalización del contrafáctico no es completamente satisfactoria. Parecería que (52) debería interpretarse como (60):

(60) Si hubiera ido, y nada más cambia, habría encontrado la felicidad

Así pues, tendremos que encontrar alguna interpretación semántica para lacualificación nada más cambia. En este caso particular, la cualificación significaalgo como: Fui , per o apar te de esto, el mundo per m an eció tan cer can o com o es posi bl e a lo que en real i dad es. En general, entonces, en una construcción



contrafáctica, □(<£ —>x¡j) no debe interpretarse como: vale en todo mundoposible donde ( f > vale, sino más bien como: i p vale en todo mundo posible donde<j) vale, y que en todos los demás aspectos se parece al mundo real de la maneramás cercana posible. Si vamos a hacer precisa esta idea, entonces tendremosque introducir algunos nuevos elementos en la semántica. Una posible solución,

como hace Lewis, es asumir no sólo una relación de accesibilidad entre mundosposibles, sino una re lación de simi l i tud. Esta relación fijaría el grado en elcual los distintos mundos posibles se parecen entre sí. Dada esta relación desimilitud, no es difícil ver que D(< —►tp), bajo la interpretación cualificada quehemos dado arriba, puede ser verdadera sin que □((Â x) —* i p) sea verdadera.La razón de esto es que es de suponer que los mundos posibles, que se parecenal mundo real tanto como es posible y que hacen (f> A x verdadera, son menos

parecidos al mundo real que los mundos posibles que se parecen al mundo realtanto como es posible y que sólo hacen verdadera a <p.

En consecuencia, podríamos ir un paso más allá e intentar definir la relación de similitud en términos de la verdad de las fórmulas, en lugar de asumirlacomo dada. El lector es referido al trabajo hecho por Veltman y K ratzer parala elaboración de esta idea. El resultado es una teoría que puede también ser

aplicada a las oraciones condicionales indicativas normales, y ella provee una

interpretación de si . . .entonces que parece más natural que la implicaciónmaterial, al menos para el lenguaje natural.



Capítulo 3

Lógica de predicados ¡ntensional

3.1. Contextos opacos: modalidades de d i cto y de re

Para introducir la lógica intensional de predicados, retornaremos a un temade §1.6. En esta sección introdujimos las construcciones intensionales comoconstrucciones para las cuales no son válidos ciertos principios de sustituciónde la lógica de predicados, relacionados con el principio de extensionalidad. Siguiendo a Quine, dijimos que estas construcciones intensionales crean contex-

tos opacos. Estos contextos se deben distinguir de los con t ext os tr an spar ent es,

en los cuales los principios de sustitución son válidos. Presentaremos a continuación algunas construcciones que dan origen a contextos opacos, junto conejemplos que muestran que ellas violan el principio de extensionalidad (1):

(1) s = t \ = 4> <->[t/ s\ (j)

Ci tación: la oración (4) no se sigue de las (2) y (3):

(2) El gladiador pronunció las palabras A ve Caesar

(3) Caesar es Gaius J ulius



(4) El gladiador pronunció las palabras A v e Ga i u s J u l i u s 1

D iscu r so in d i r ecto : la oración (7) no se sigue de las (5) y (6):

(5) J ulián dijo que J uan besó a María

(6) J uan es el muchacho más inteligentede laclase

(7) J ulián dijo que el muchacho más inteligente de la clase besó a María

Construcciones con verbos que expresan acti tudes proposicionales, talescomo descubrir, creer, sospechar y conocer, la oración (10) no se sigue de la

(8) y la (9):

(8) El detective sabe que el ladrón entró através de la claraboya

(9) Biggles es el ladrón

(10) El detective sabe que Biggles entró a través de la claraboya

Construcciones con verbos que expresan i n tenc iones , tales como buscar, desear, etc. (vimos un ejemplo de esto en §1.6.):

(11) J uan está buscando al comandante supremo de las Fuerzas Armadas delos Estados Unidos de América

(12) E l presidente de los Estados Unidos de América es el comandantesupremo de las Fuerzas Armadas de los Estados Unidos

1N. de T.: para que el verbo p r o n u n c i a r cree un contexto opaco, se requiere que el prin

cipio de extensionalidad (1) falle en casos tales como el conformado por los ejemplos (2) a (4). Sin embargo, podría argumentarse que dicho caso no es un contraejemplo de dicho prin

cipio, por lo siguiente: en primer lugar, la expresión Caesar (Gaiu s Ju l ius) es usada en (3), mientras que sólo es mencionada en (2) (resp. (4)). Segundo, por esta razón, el antecedente

del principio de extensionalidad (1) aplicado a (2) y (4) debe ser “Caesar e s Ga i u s J u l i u s ” y no (3). Pero, a diferencia de (3), “Caesar es Gaius J u l ius ” es falsa, luego los ejemplos (2) a(4) no pueden conformar un contraejemplo del principio (1). Esto demostraría que el verbo

p ronunc ia r no crea contextos opacos. No obstante, el argumento en cuestión no es sólido. En efecto, las expresiones Caesar y Ga i u s Ju l i u s son mencionadas en (2) y (4) precisamente

como resultado del contexto creado por el verbo p ronunc ia r . La falla del principio (1) es creada precisamente por la distinción entre uso y mención, originada gracias al verbo p r o

nunc iar . Por varias razones, las expresiones en cursivas, es decir, mencionadas, deben estar

sistemáticamente relacionadas a las expresiones usadas. Esto significa que (3) es, en efecto, el legítimo antecedente del principio de extensionalidad aplicado a (2) y (4). Para una discusión sobre la citación [ quo t a t i on ] , ver Davidson (1979).



13) J uan está buscando al presidente de los Estados Unidos de América

D esi gn ación tem por al : la oración (16) no se sigue de la (14) y la (15):

14) George Bush es el presidente de los Estados Unidos

15) En 1963, el presidente de los Estados Unidos fue asesinado en Dallas,

Texas

16) En 1963, George Bush fue asesinado en Dallas, Texas

Modal idad: es una verdad necesaria que nueve excede a siete: dado el sig

nificado de nueve, si et e y excede, la oración nueve excede a si et e es una verdadnecesaria. Pero ciertamente (17) no es una verdad necesaria:

17) E l número de planetas excede a siete.

La verdad o falsedad de (17) no se determina solamente sobre la base deas expresiones que contiene. En efecto, (17) expresa un hecho astronómicocontingente; que existen más de siete planetas es algo que fue descubierto aravés de observación e inferencia. Así pues, (20) no se sigue de (18) y (19):

18) Nueve necesariamente excede a siete

19) Nueve es el número de planetas

(20) El número de planetas necesariamente excede a siete

Además de las anteriores construcciones, existen muchas otras que tambiéndan lugar a contextos opacos. En efecto, casi todas las categorías de expresionescontienen elementos que pueden crear contextos opacos; por ejemplo, adjetivoscomo sospechoso, pr esun to, adverbios como aparentemente, etc.

Los filósofos han mostrado diferentes reacciones con respecto a la invalidezdel principio de sustitución (1) en el caso de contextos opacos. Retornemos

a la oración (20). Puede argumentarse que existe una lectura de (20) en lacual la oración se sigue efectivamente de (18) y (19). Esta lectura puede serparafraseada de la siguiente manera: el núm er o que es de hecho el núm er o de pl an etas es necesar i am en te m ayor que si ete. Mientras que esta lectura setraduce como (21), la lectura de (20) en la cual (20) no se sigue de (18) y (19)se traduce como (22):



(21) 3x(x = el número de planetas AD(x > 7))

(22) CBx(x = el número de planetas Ax > 7)

La lectura de (22) dice que en toda situación posible, el número de planetas

excederá a siete, cualquiera que sea este número. Las lecturas (21) y (22) de(20) conllevan una distinción trazada tradicionalmente en lógica modal entremodalidades de r e y de d i cto. Esta distinción se puede expresar en un lenguajepara la lógica de predicados que contenga un operador adicional □ en términos del alcance de □. Consideremos ejemplos un poco más simples como (23)

y (24) y sus traducciones, (25) y (26):

(23) Necesariamente existe algo que es mayor que siete

(24) Existe algo que es necesariamente mayor que siete

(25) \ 23x(x > 7)

(26) 3xD(x > 7)

En (25) el alcance de □ es 3x(x > 7) mientras que en (26) es (x>7). E l alcancede una ocurrencia de □ puede ser considerado como el con t ext o opaco creadopor este operador. Si todas las variables que caen dentro del alcance de □ estánligadas también por cuantificadores que caen bajo su alcance, entonces se diceque □ es una modalidad de dicto. Como ejemplos, entonces, tenemos (22) y(25). Si, por otra parte, hay una variable libre dentro del alcance de □, es decir, una variable acotada por un cuantificador fuera del alcance de □, entonces

se dice que es una modalidad de re. Como ejemplos, entonces, tenemos (21) y(26). Tradicionalmente, una modalidad de d i cto era vista como una atribuciónde verdad necesaria (o posible) a una proposición (d ic tum ) y una modalidad de r e era vista como 7 de una propiedad necesaria (o posible) a una entidad(res). L a distinción tradicional se corresponde con la distinción formal. A laseverar la verdad de (25), uno asevera que la proposición 3x(x > 7) es necesariamente verdadera, mientras que al aseverar la verdad de (26) uno aseverala existencia de una entidad que necesariamente tienen la propiedad de sermayor que siete.

Algunos filósofos tienen objeciones sobre esta última modalidad. Para ellos,?1reconocimiento de modalidades de r e conduce a un resurgimiento del esen-

cial ismo , posición filosófica que distingue entre propiedades accidentales de las:osas y propiedades esenciales. Estos filósofos tienen objeciones contra esta



posición y por ello rechazan las modalidades de re, como carentes de significado y consecuentemente como inútiles; a lo sumo ellos sugieren reducir lasmodalidades de r e a modalidades de d i cto. Uno de los oponentes vigorosos alas modalidades de r e ha sido el filósofo y lógico Quine. I ncluso si dejáramosa un lado la cuestión de si el reconocimiento de las modalidades de r e real

mente conduce al esencialismo, a nosotros nos parecería que una posición comola suya es particularmente inapropiada para nuestros propósitos. En nuestraopinión, no debe permitirse nunca que las objeciones filosóficas pesen mucho siel objetivo es la descripción del lenguaje natural. N osotros buscamos descripciones de cómo hablamos, no de cómo tendríamos que hablar con el objetivode ganarnos la aprobación de los filósofos. Es muy posible que los hablantes de los lenguajes naturales hagan presuposiciones filosóficamente dudosas,

pero este es un hecho de la vida que no debería esconderse debajo de la alfombra de una reformulación filosóficamente más sofisticada. Sin embargo, nosparece un hecho indiscutible que las modalidades de re ocurren en los lenguajesnaturales. Un ejemplo es (27):

(27) Cualquiera de los presentes pudo haber cometido el asesinato

Es claro lo que esto significa. La oración (27) podría formalizarse como VxOM x . Claramente esta no significa lo mismo que la fórmula OVxAí x , la cual es latraducción de (28):

(28) Es posible que alguno de los presentes haya cometido el asesinato

No es claro cómo una modalidad de re como (27) podría reducirse a unamodalidad

de d i cto.Además, nosotros creemos que la semántica de los mundos

posibles provee una interpretación clara de las modalidades de re.

Al añadir operadores modales o temporales a la lógica de predicados,obtenemos un sistema de lógica intensional de predicados. Los operadorestemporales tienen la misma clase de ambigüedades que las que hemos vistocon respecto a los operadores modales. La oración (29), por ejemplo, tiene doslecturas distintas: (30) y (31). La clave de la traducción se presenta en (32):

(29) El presidente recibió una condecoración

(30) P3x(\ / y(Py +->y = x ) A D x )

(31) 3x(V y(P y V = x) A P D x )



(32) P x : x es presidente; D x : x recibió una condecoración

La misma distinción de las modalidades se puede trazar aquí: se dice que(30) es la lectura de d i cto y (31) la lectura de re. El lector puede practicartrabajando con el alcance de los cuantificadores, los operadores modales y losoperadores temporales en la traducción de los siguientes ejercicios:

Ejercicio* 3.1.

Traduzca las siguientes oraciones a fórmulas de la lógica intensional de predi

cados:

(a) Lendl podría ganar el Wimbledon algún día

(b) Quizá todo el mundo se ha percatado siempre de algo

(c) Quizá existe algo acerca de lo cual todo el mundo se ha percatado

(d) Si cualquiera puede ser más inteligente que alguien más, entonces cualquiera puede ser el más inteligente

(e) Puedes engañar a algunas personas todo el tiempo y a todas las personas

en algún momento, pero no puedes engañar a todas las personas todo eltiempo

(f) El presidente siempre será un demócrata (trate de encontrar dos traducciones para esta oración)

(g) Todo estudiante de colegio cree que un matemático escribió A l i ci a a t r avés del espejo (trate de encontrar tres traducciones para esta oración,

representando ‘x cree que 0’ como D (x , cf>))

Ejercicio 3.2.

Busque algunos ejemplos de expresiones intensionales (es decir, expresionesque no permiten la sustitución de expresiones materialmente equivalentes que3e encuentren bajo su alcance) en cada una de las siguientes categorías: (a)adjetivos; (b) adverbios; (c) conjunciones; (d) preposiciones; (e) determinantes.

La exposición de la semántica de la lógica de predicados dada en §3.2. se enfoca:asi exclusivamente en el caso especial de la lógica modal de predicados. Laogica modal de predicados es el miembro más antiguo de la familia intensional



y del que se tiene mayor comprensión; y sirve como guía de lo que pasa enla lógica de predicados temporal, la lógica de predicados epistémica y otrossistemas relacionados.

3.2. Nombres propios y descripciones definidas:

designación rígidaComo veremos en el resto del capítulo, no existe una sola semántica parala lógica modal de predicados. Diferentes elecciones de dominios y diferentes interpretaciones de las constantes y de los cuantificadores dan origen ainterpretaciones semánticas divergentes. Presentaremos a continuación algunas definiciones de verdad diferentes, que surgen a partir de estas elecciones,comparando sus ventajas y desventajas.

Además de un marco, el cual se constituye por un conjunto W de mundosposibles y una relación de accesibilidad R, un model o par a l a lógica modal de pr ed i cad os requiere de un dominio sobre el cual se decide el rango de loscuantificadores. Aquí enfrentamos, entonces, dos elecciones posibles: (1) todomundo w tiene su propio dominio D w\ el modelo tendrá entonces una familia{ D w \ w G W } de dominios; o (2) consideramos un dominio fijo D compartidopor todos los mundos posibles. Y a que (2) es un caso especial de (1) (aquel

en el cual para todo w , w ' G W, D w = D w>), comenzaremos con una discusiónsobre (1), pero veremos también que algunas consideraciones podrían llevarnos,finalmente, a preferir la aproximación (2). Sin embargo, antes de ofrecer unadefinición general de la interpretación de un lenguaje de la lógica modal depredicados, nos concentraremos primero en la interpretación de las constantes,enmarcándonos en el debate sobre el significado de los nombres propios y delas descripciones definidas.

Al interpretar las constantes tenemos nuevamente que enfrentar una elección posible entre dos alternativas. Una vía sería escoger alguna entidadfija como la interpretación de una constante c; en este caso tendríamos unafunción de interpretación I que asigna entidades a constantes. La otra vía seríahacer que la interpretación de las constantes dependa del mundo: para cadaw G W, I w (c) sería algún miembro de D w . Decimos que c se interpreta comoun i n d i v i duo (entidad) en el primer caso y como un con cept o in di vid ual en el

segundo. Así pues, como lo señalamos en §1.8., un concepto individual es unafunción que va de mundos a individuos. L os conceptos individuales abren todaclase de posibilidades interesantes. Una persona, por ejemplo, desde la perspectiva de los conceptos individuales, no necesita ser identificada como algún



elemento de un dominio, sino que podría ser vista (en la lógica temporal) como una función que va de momentos en el tiempo a entidades biológicas, unatransición conceptual que podría brindarnos alguna luz sobre el hecho de quelos individuos pueden ‘cambiar’. No podemos hacer una pausa aquí para seguiresta línea de pensamiento; sin embargo, el lector interesado podría remitirsea Stevenson 1886, por ejemplo.

Es quizá sorprendente el hecho de que la primera forma de interpretar constantes sea la preferida. Nosotros preferimos interpretarlas como individuos. Larazón de esto es que el lenguaje natural contiene expresiones que funcionande esta forma: los n om br es pr opi os. Más adelante nos extenderemos sobre estepunto. Los lenguajes naturales también contienen expresiones de otra clase, lascuales se refieren a entidades; sin embargo, podrían tener referencias diferentesen mundos posibles diferentes: d escr i pci ones defi ni das. Esto se muestra, por

ejemplo, en la oración (20), en la cual el núm er o de pl an etas funciona comouna descripción definida. Si la referencia de el n úm er o de pl an etas fuera lamisma en todo mundo posible, el referente en todos los casos sería nueve yla oración (22) sería verdadera, contrario a nuestras conclusiones sobre (20).Una descripción puede funcionar de muchas formas diferentes en el contexto de una oración, dependiendo de su alcance. ¿Es necesario que el ganadorgane? Esto depende del alcance de los operadores en UW ( i x W x ) . La descripción i x W x puede ser reescrita de forma “russelliana” de dos maneras distintas,dentro y fuera del alcance de □. En consecuencia, se obtienen (33) y (34):

(33) D3x ( V y (W y <->x = y) A W x )

(34) 3x(\ / y(W y <-*•x = y) A U W x )

Ahora bien, (33) siempre es verdadera (siempre que el juego se juegue), pero

presumiblemente (34) es falsa: el ganador actual podría haber sido vencido.Note que la primera lectura es de d i cto y que la segunda es de r e : existe unavariable libre x dentro del alcance de □. En el ejemplo anterior de los planetas,as cosas siguieron el curso contrario; la lectura de d i cto era falsa y la lectura de ~e menos obvia era verdadera. La distinción entre de d i cto y de r e desaparecería¡i las descripciones definidas tuvieran una interpretación fija, es decir, la mismanterpretación en cualquier mundo.

Los filósofos han dedicado una cantidad de energía considerable a las di-srencias y similitudes entre nombres propios y descripciones definidas. Unaregunta de central importancia ha sido siempre si los nombres propios tienenno significado, y si lo tienen, cómo ha de representarse. Frege, como vimos en



§1.7., consideraba que cada nombre, incluyendo cada nombre propio, tiene unsentido, que puede ser expresado como una descripción definida. De acuerdocon Frege, es un defecto lamentable de los lenguajes naturales el hecho de queno todo el mundo asocie la misma descripción definida con el mismo nombrepropio. Algunos ven a Ar is tóte les como el d escu br i d or de la l ógi ca sil ogísti ca ,mientras que otros lo ven como el Estagir i ta que er a tu tor de Al eja n d r o Magno.

De acuerdo con Frege, esto nunca debería permitirse en un lenguaje lógicamente ideal: cada nombre propio debería ser introducido explícitamente pormedio de una sola descripción definida.

Considerar las descripciones definidas como los significados de los nombrespropios resuelve un número considerable de dificultades. Primero, existe el problema de cómo los nombres propios refieren a los individuos, o de cómo identificamos el individuo al cual un nombre propio refiere. Necesitamos saber a qué

aludimos con un nombre; con el fin de escoger algún individuo en particularcomo la referencia de un nombre, tenemos que explotar cualquier propiedadque distinga este individuo de otros en el dominio. Si los nombres propios noson realmente más que una abreviación para descripciones definidas, entoncesel problema desaparece: el significado de la descripción definida indica propiedades que distinguen al individuo en cuestión de todos los demás. Segundo,existen problemas con los nombres propios que son como la paradoja del lu

cero matutino y el lucero vespertino, la cual fue discutida en extenso en §1.6.H esper u s y Phosphorus son dos nombres propios que, como l ucero m atu t i no y lu cer o vesper t i n o refieren el mismo objeto, es decir, el planeta Venus. Si lossignificados de los nombres propios H esper u s y Phosphorus son descripciones,entonces es claro por qué H esper u s es H esper u s y H esper u s es Ph osph oru s tienen significados totalmente distintos. Un tercer problema concierne a oracionescomo Pegaso no exi ste. Una representación formal como >3x(p = x ) no podría

nunca ser verdadera en la clase anterior de modelo, asumiendo que Pegaso esrepresentado en el lenguaje por medio de una constante p. Más aún, existe unargumento filosófico de acuerdo con el cual cualquiera que asevere la verdadPegaso no exi ste está forzado a conceder que existe un individuo no existente, asaber, el referente del nombre propio Pegaso (este acertijo filosófico es conocidocomo ‘la barba de P latón’). Si los nombres son analizados como descripción,los dos problemas desaparecen. Entendiendo que Pegaso significa el caballo volador y, reescribiendo esto siguiendo a Russell, Pegaso no exi ste se reduce aN o exi ste un ún i co cabal l o vol ador , que tiene a >3x (Vy ( (Hy A F y ) x = y) ) como su representación formal. Esta fórmula podría bien ser verdadera en unmodelo y, además, no contiene nombres que puedan ser explotados en un tipode argumento como el de la barba de Platón.



Estas ideas acerca de los nombres propios resuelven ciertos problemas, perotambién dan lugar a otros. Hemos visto que en el lenguaje natural no todo elmundo asocia la misma descripción con el mismo nombre propio. Esto implicaque la gente podría asignar diferentes significados al mismo nombre propio,y también que algunos podrían asociar un significado erróneo a éste. Podríasuceder que una descripción esté asociada con un nombre que no se aplique al

individuo al cual éste se refiere y esto, de alguna manera, es una consecuenciacontraintuitiva.

Se ha sugerido que se logra una mejor explicación de los significados delos nombres propios si los consideramos como descripciones complejas. Parael nombre Agamenón , por ejemplo, podríamos tener algo como lo siguiente: el r ey de M i cen as que l i d er ó un a exped i ci ón de todos l os gr i egos con tr a T r oya, des-

t r u yó la ci udad depués de di ez años de guer r a y a su r et or n o fu e asesin ado por

su esposa y su am an te. Ahora bien, supongamos que existió un rey de Micenasque hubiese logrado todo lo que se supone que Agamenón logró, pero que alretornar a casa vivió felizmente. Entonces, bajo la perspectiva anterior tendríamos que decir que nunca existió un Agamenón. La reacción normal, sinembargo, sería decir que Agamenón ciertamente existió, pero de él se asumió erróneamente que había sido asesinado. L o mismo se aplica a toda la otrainformación que tenemos acerca de la historia personal de Agamenón: esta

también podría resultar errónea. Esta dificultad podría, quizás, ser evitada dela siguiente forma: suponga que 0i , . . . , 0n son fórmulas, cada una de las cualestiene una variable libre x y expresa una de las propiedades que creemos quetuvo Agamenón. Ahora bien, sería posible afirmar acerca de cada una de estaspropiedades tomadas individualmente que Agamenón podría no haberlas tenido. Pero entonces Agamenón podría aún responder a la siguiente descripcióndisyuntiva:

3 5) A 02 A . . . A 0 n ) V (4>\ A -102 A . . . A 0 n ) V . . . V ( 0 j A 0 2 A . . . A

V ( 0 i A 02 A . . . A 0 „ ) )

ísto, sin embargo, no es del todo satisfactorio. Quizá estaríamos preparados amadir disyunciones a la fórmula en la cual más de sólo una de las fórmulas 0istá negada, pero ¿dónde trazaríamos el límite?, ¿diríamos que Agamenónis el único individuo que tiene, digamos, un 50 % de las propiedades listadas

i?, ¿no podría ser el caso que algunas propiedades pesaran más que otras?)arecería que debemos concluir que, al menos en su forma presente, esta teoríarea más problemas de los que soluciona y que no ofrece una interpretaciónatisfactoria para los nombres propios.



El fi lósofo y lógico K ripke introdujo una aproximación muy diferente a lagemántica de los nombres propios y las descripciones definidas (ver K ripke,1972). Mientras que las últimas pueden cambiar su referencia de mundo ainundo, de acuerdo con K ripke los primeros refieren a la misma cosa en todo mundo en el cual tienen referencia. E sto es lo que K ripke denomina desig nad or es rígi dos. Ya hemos ilustrado esta diferencia en el comportamiento delos nombres propios y las descripciones definidas en §1.7., con un con t r afácti co:

(36) Si Dukakis hubiese ganado las elecciones presidenciales en 1988,entonces el presidente de Estados Unidos habría sido un demócrata

En todos los mundos posibles introducidos por el antecedente de esta implicación Dukak i s refiere a la misma persona que refiere en el mundo actual,

mientras que la persona referida como el pr esi d en t e de E sta d os U ni dos en cada uno de estos mundos es diferente de la persona a la cual esta expresiónse refiere en el mundo actual. De esta manera, K ripke reduce el, así l lamado,problema de la identidad transmundana al estatus de un pseudo problema.Este es un problema bien conocido, originado por la semántica de mundos posibles: ¿qué quiere decir que un individuo en un mundo dado es el mismo queun individuo en otro mundo? De acuerdo con K ripke, carece de sentido tratar

de determinar si dos entidades en dos mundos diferentes son, en efecto, unay la misma, comparando sus propiedades. Por el contrario, esto es algo dadopreviamente. Al expresar una oración como (36), introducimos otros mundosposibles en los cuales la presencia de Dukakis no es problemática, aunque elDukakis en estos mundos podría diferir del real en varios aspectos.

Entonces, ¿cómo responde la posición de K ripke con respecto a los otrostres problemas que hemos mencionado? La explicación general que da sobre

cómo los nombres propios se relacionan con las descripciones es que los nombres son con frecuencia asignados a los individuos por medio de descripciones.Esto ocurre, por ejemplo, en L l am aréa la cabra más pequ eña J enny. Unavez la referencia ha sido establecida de esta manera, el nombre J enny continuaaplicándose al mismo individuo, incluso si la descripción original no se ajustamás (porque J enny ha crecido). La cabra en cuestión seguirá siendo llamada J enny cuando ella tenga sus propios hijos y el descubrimiento de que ella noera realmente la cabra más pequeña en el momento de su ‘bautismo’ no cambiará el hecho de que ese es su nombre. Esto también explica cómo los nombrespropios llegan a referir. La referencia del nombre es determinada no por el significado del nombre, sino por la descripción por medio de la cual el nombre fueoriginalmente f i j a do en el baut i smo ini cia l . El segundo problema será discutido



en §3.3.2., cuando lleguemos al tema de la identidad. Una solución al tercerproblema que es compatible con la posición de Kripke tendrá que esperar hastaque la noción del predicado de existencia sea introducida en §3.3.4.

Las ideas de K ripke acerca del significado y los roles de los nombres propios

son bastante atractivas. Si estas ideas se proyectan sobre la semántica formalde la lógica modal de predicados, entonces las constantes individuales, comoversiones formales de los nombres propios, tendrán que ser interpretadas como individuos, más que como conceptos individuales.

3.3. La semántica de la lógica de predicados modal

3.3.1. Fórmulas sin variablesI nicialmente, es de gran ayuda omitir los cuantificadores cuando se explica lasemántica de la lógica modal de predicados, para posponer las complicacionesresultantes de la interferencia entre cuantificadores y operadores modales.

Hemos decidido que la interpretación de las constantes será independientede los mundos. Pero ya que ciertamente queremos que los valores de verdad de las oraciones y la referencia de las descripciones definidas sea relativa

a los mundos posibles, debemos interpretar las letras predicativas en cadamundo de forma separada. Así, una letra predicativa n-aria se interpreta encada mundo w como un subconjunto IW(P) de ( Dw ) n . Para recapitular, veamosla siguiente definición:

Definición 3.1.

Un modelo M para el lenguaje L de la lógica de predicados modal consiste en:(i) un conjunto no vacío W de mundos posibles,

(ii) una relación de accesibilidad R sobre W ,

(iii) una función dominio D que le asigna un dominio D w a cada mundow € W ,

(iv) una función de interpretación I le que asigna una entidad /(c) a cadaconstante c de L y para todo mundo w G W un subconjunto IW(P) de(D iü) a cada letra predicativa 7var ia P de L

\ hora bien, queremos saber qué significa, en un modelo M , que una fórmula:arente de variables es verdadera en un mundo w. Como veremos pronto,



no existe una única definición de verdad para la lógica de predicados modalque sea claramente superior al resto. En varios puntos tendremos que escogerentre diferentes alternativas y las elecciones que hagamos serán guiadas por lasaplicaciones que tengamos en mente para el lenguaje natural. Los lectores conotras aplicaciones en mente podrían estar de acuerdo o diferir. L o importante

es que los motivos tras nuestras elecciones sean revelados.El primer problema al que nos tenemos que enfrentar al dar una definiciónde verdad es que las entidades que la función de interpretación I le asigna a lasdiferentes constantes no necesariamente existen en todo mundo posible dondelas evaluemos. ¿Cuál, por ejemplo, es el valor de verdad de la oración (37) eneste nuestro mundo real (asumiendo que ninguno ha existido alguna vez)?:

(37) Eva era más rubia que Adán

Parecería que la opción más natural que podemos tomar es no entender(37) como falsa, sino dejar su valor de verdad indeterminado. Debemos, sinembargo, ser cuidadosos cuando escribimos la definición de verdad: -i0 sólopodría tener un valor de verdad si 0 tiene uno. Por ejemplo, una oración como(38) podría terminar con un valor de verdad y (37) sin uno:

(38) Eva no era más rubia que Adán

También privaremos a 0 —>xp de un valor de verdad si 0 o ■0carecen de uno. Ladefinición a la que arribamos con estas consideraciones, dada a continuacióncomo definición 3.2, aún tiene algunos inconvenientes. Retornaremos a ella enbreve y sugeriremos algunas mejoras:

Definición 3.2.

Sea M un modelo, 0 una fórmula de la lógica de predicados modal carente devariables y w E W . Entonces, el valor de verdad de 0 en w dado M , denotadopor VmiUi(0)>se define de la siguiente manera:

(i) V m ,w { P c \ ■■■Cn ) = 1 si y sólo si 7(ci) G D w, I ( cn ) G D w y

(/(c1), . . . / (c n))G J tt(P )

= 0 si y sólo si J (ci) G D W: . . . I (cn ) G D w , y( I ( c l ) , . . . I ( c n ) ) t I v, {P )

(ii) Vm,id( 0) = 1 si y sólo si Vm,u;(0) = 0= 0 si y sólo si Vm,«j(0) = 1



(iii) V m ,w(<t> VO = o si y sólo si Vm,w(<f>) = l y Vm.wWO = 0

= 1 si y sólo si Vm,w {<j>) = 1 y VMtW(^ ) = 1,

o V m = 0 y V m ,w ( i P) = 1,o Vm,w(0) = 0 y V m ,w (4>) = 0

(iv) Vm,w(C0) = 1 si para cada w ' £ W tal que w Rw Vm.ib' {4>) — 1= 0 si hay un w ' £ W tal que w R w ' y

Vm,«;' (0) = 0

Las cláusulas para los otros conectivos y para 0 se siguen de las cláusulasanteriores, junto con las definiciones de dichos conectivos en términos de —>y-i, y la definición de 0 en términos de > y □.

Todos los comentarios hechos anteriormente acerca de la interpretaciónde las constantes y los predicados y acerca de algunas fórmulas que tienenvalores de verdad indefinidos tienen cabida en esta definición. Pero existenaún algunos problemas. Resulta que la cláusula (iv), que trata acerca de□0, es demasiado estricta. L os requisitos que ella pone para que oracionesde la forma 0(¡) sean verdaderas son demasiado estrictos. De acuerdo con esta cláusula, cualquiera de estas oraciones puede ser verdadera en un mundo

sólo si todas las constantes que ocurren en ésta refieren a entidades que estánpresentes en todos los mundos accesibles desde ese mundo. De otra forma, elvalor de verdad de 0 <p será indefinido, ya que el valor de verdad de <p seráindefinido en algún mundo accesible. Esto significa, por ejemplo, que en nuestro mundo no es necesario que Am ster dam sea Am ster dam ni que el Sol sal ga si el Sol sal e — pues Amsterdam y el Sol podrían no existir— . Es decir, desdenuestro mundo actual pueden ser accesibles otros mundos posibles en los cuales

Amsterdam y el Sol no existan. Un posible remedio sería hacer más flexiblea cláusula (iv) de tal manera que 0 (f) sea verdadera en un mundo w sólo en el:aso en que 4> es verdadera en todos los mundos accesibles desde w , en los:uales (j) tiene un valor de verdad (es decir, en todos los mundos que contienenas entidades referidas por las constantes en (f>). En consecuencia, la cláusulaiv) para el valor de verdad de 0 <¡> se convierte en (iv’):

0V’) VmiU)(D0) = 1 si Vm,u/(0) = 1 para cada w ' £ W tal que wRw ' y tal que Vm,«/(</>) está definido= 0 si Vm,w ' W = 0 para por lo menos un w ' £ W conwRw '



Al reemplazar (iv) por (iv’) en la definición 3.2 eliminamos las complicacionesanteriores, pero nuevas complicaciones surgen en su lugar. Por ejemplo, (39)se vuelve verdadera en el mundo actual sin que (40) se vuelva verdadera:

(39) Es necesario que Adán sea mortal

(40) Adán es mortal

La cláusula (iv’) tiene el efecto de que no todos los mundos accesibles desde w tengan que ser tomados en cuenta al evaluar el valor de verdad de una fórmulade la forma □<£. E sto puede conducir a que el mismo w no sea tomado encuenta, incluso si w es, en efecto, accesible desde sí mismo. En otras palabras,la reflexibilidad de R no continúa siendo garantía suficiente para la validez delprincipio lógico H(p —><p. Se podrían hacer ajustes ad hoc con el fin de volver

a obtener esta garantía, exigiendo explícitamente que (p sea verdadera en w si □</>es verdadera en w (asumiendo que R es reflexiva). Reemplazaríamosentonces la cláusula (iv’) por la (iv”):

(iv”) Vm,«;(□(/>) = 1 si Vm,w(<f>) = 1 y V m = 1 Para cada w ' G W

tal que wRw ' y tal que Vm,uj'(0) está definido= 0 si Vjvi.tt/(</>) = 0 para algún w ' G W con wRw '

Sin embargo, ésta sigue siendo una solución ad hoc que deja muchos otrosproblemas sin resolver. Otros principios que eran válidos en la lógica proposicional modal quedan en peligro. Un ejemplo: D(<f> A ip) —>Ocp ya no seríaválida. La razón es que para que □(</>A tp) sea verdadera sólo se requiere que4> A ip sea verdadera en todos los mundos que tienen en su dominio los referentes de las constantes que ocurren en 0 o en xp. Podría haber una menor cantidad de dichos mundos que la cantidad de mundos que contienen los

referentes de las constantes que sólo ocurren en <p. Esto también puede ilustrarse con respecto a un modelo concreto. M tiene como conjunto de mundosposibles el conjunto w i , w 2 ,w 3, con la relación de accesibilidad dada en (41):

(41)

Se define la función dominio de la siguiente manera: D Wl = {a, b }; I ) W2 ={a, 6}; D W3 = {a}. La interpretación de una letra predicativa A en este modelo se define por: I Wl (A) = {a , b}, I W 2{A ) = {a, b}, I W3( A ) = 0, y la de



s constantes c\ y C2 se define como I (c\ ) = a; I ( c2) = b. Ahora bien, enVI tenemos VWl (0 (A c i A A 02 )) = 1, de acuerdo con (iv”) (y, también, decuerdo con (iv’)), dado que VWl (A cx A A c 2) = VW 2(Ac\ A A c 2) = 1; mientrasue VW 3(Ac i A A c 2 ) es indefinido. Pero, por otra parte, VWl (n A c i ) = 0, dao que VW 3(A c\ ) = 0.

Problemas como este parecen sugerir que una interpretación ‘fuerte’ de losonectivos sería preferible a la interpretación ‘débil’ dada en la definición 3.2.ajo la interpretación débil, el valor de verdad de una conjunción es indefinidoalguno de sus conjuntos está indefinido, incluso si el otro conjunto es falso,

or otra parte, bajo la interpretación fuerte, una conjunción es falsa si uno deis conjuntos lo es, incluso si el otro de los conjuntos no es ni falso ni verdadero,e esta manera, volvemos a los problemas de la lógica multi-valuada, como loscutimos en §5.5. del volumen 1. Esto no es una coincidencia. Aunque antes

«calificamos la lógica multi-valuada como un modelo serio de modal idad ,ta se está volviendo cada vez más importante en la investigación actualbre parc ia l idad de la interpretación.

Volviendo al ejemplo y recalculando los valores de verdad bajo la inter-etación fuerte de los conectivos, vemos que V W3 (Ac\ A AC 2 ) = 0, en lugarser indefinido, ya que VW 3( A c i ) = 0. Como resultado, tenemos entonces que

! (D (A ci A AC2)) = 0, en lugar de VWl (□(J4ci A A c 2)) = 1. De modo que este

idelo ya no es más un contraejemplo de la validez de D(<pAtp) —>□<£. Es muyíible que la aproximación esbozada arriba, dadas estas modificaciones, rete en una semántica satisfactoria. Pero la definición de verdad aún pareceecer de un sustento intuitivo coherente, así que mencionaremos algunasas posibilidades. Una respuesta enteramente diferente a los problemas delefinición 3.2 es imponer las siguientes restricciones en la función dominio:

) Si wRw ' , entonces D w C D w>

3 significa, en otras palabras, que durante las transiciones a otros mun-accesibles nada se podría perder. Es decir, el dominio solamente podríaerse más grande. Esta restricción tiene el efecto de que la referencia dequier constante en un mundo posible dado también se encuentra en elinio de cualquier mundo accesible desde ese mundo. Así pues, dado (42),

3mos introducir la cláusula original (iv) en la definición 3.2. sin caer enomplicaciones que ya hemos discutido; pues dada la restricción (42), poos estar seguros de que Amsterdam, y el Sol se encontrarán en cualquierdo posible que sea accesible desde éste, así que el hecho de que Ámste r sea Amsterdam y que el Sol salga si el Sol sale se vuelven verdades



necesarias. Más aún, (39) y (40) se vuelven indefinidos, de tal forma queno constituyen más un contraejemplo a □<£ —></>. Puede verse fácilmenteque los problemas que teníamos con principios como □(<¿>A ip) —* □</>también se resuelven de esta forma.

Parece probable, sin embargo, que el r equi si to de dom i n i os cr ecien t es tenga ramificaciones que son menos que enteramente aceptables. Una de estas esque no sigue siendo verdadero que Amsterdam y el Sol puedan no haber existido: ambos existen en cada mundo posible que es accesible desde éste. Debenotarse que una objeción relacionada puede hacerse a las cláusulas (iv’) y(iv”): dado que Amsterdam está presente en nuestro mundo, estas cláusulasimplican que es necesario que Amsterdam exista en nuestro mundo, y así con

lo demás.

3.3.2. Identidad

Nuestra decisión de tratar a las constantes como designadores rígidos tieneconsecuencias inesperadas para la validez de ciertos principios concernientes ala identidad. No tenemos mucha libertad al interpretar el predicado de iden

tidad:

(43) En cada mundo w, I w (= ) = { { d , d ) \ d G D w}

Dada la definición de verdad y el requisito de dominios crecientes de (42) o lacláusula modificada (iv”), (44) será un principio válido:

(44) 6 = c —>□(& = c)

Como lo mencionamos en §3.2., el planeta Venus es la referencia de dos nom

bres propios: H esper u s (el lucero vespertino) y Phosphorus (el luceromatutino). Parecería que tratar los nombres propios como designadores rígidosinevitablemente conduce a la conclusión de que (45) es una verdad necesaria:

(45) H esper us es Phosphorus

K ripke está dispuesto a aceptar esta conclusión. Para él, el estatus de unaproposición como necesaria no tiene nada que ver con cómo llegamos a reconocer su verdad, sino que sólo se sigue del hecho de que ésta no podríahaber sido de otra forma más que verdadera. K ripke distingue entre verdades necesarias y verdades a pr io r i . Una proposición es a p r i o r i si el estatusde su verdad puede establecerse solamente razonando, independientemente



de la experiencia (sensible). E sto hace de a p r i o r i una noción epistémica.Por su parte, una proposición es necesaria si describe una situación que nopodría haber sido diferente de lo que es. Esto hace de necesar iamente unanoción ontológica. Con frecuencia, se ha argumentado que las dos nocionescoinciden, pero de acuerdo con K ripke esto es un error: existen ejemplos deproposiciones necesariamente verdaderas que no son a pr i or i . La oración (45)

es un ejemplo de esto. Aunque (45) es una verdad necesaria, su verdad nopuede ser establecida independientemente de la experiencia sensible. Esto dis

tingue a (45) de (46):

(46) H esper u s es H esper u s

La oración (46) es necesaria y a pr i or i . Así, el problema original de Fregesobre la diferencia entre estas dos oraciones puede tratarse adecuadamente conla Teoría de los Designadores Rígidos. Como otro ejemplo de proposicionesnecesariamente verdaderas que no requieren ser a pr i or i , K ripke mencionaverdades matemáticas que aún no han sido probadas. O bien la conjetura deGoldbach (‘todo número par más grande que 2 es la suma de dos primos’), obien su negación, son un ejemplo de una proposición de este estilo, dependiendode cuál de las dos sea verdadera. Cualquiera de las dos que sea verdadera es

necesariamente verdadera. Pero ya que la verdad de la conjetura de Goldbachaún no ha sido decidida, ésta no es una verdad acerca de la cual tengamos unconocimiento a pr i or i . Quizá tengamos un conocimiento a p r i o r i de esto algúndía, si alguien tiene éxito en probar o refutar la conjetura de Goldbach. Perono tenemos garantía de que esto se pueda hacer. Así pues, aunque sea unaverdad necesaria, no podemos concluir que también sea una verdad a pr i or i .

Parece que K ripke ha dado una solución satisfactoria a los problemas con

los nombres propios que discutimos en §3.2. (ver §3.3.4. para el problema dela no existencia de Pegaso). Debe notarse, sin embargo, que surgen complicaciones al tratar contextos de creencia en una semántica de mundos posiblescon designación rígida. Si la creencia se analiza como una relación entre individuos y proposiciones, como hemos propuesto, y si los nombres propios soninterpretados como designadores rígidos, la oración (48), en vista de (45), seseguirá de (47):

(47) Los babilonios creían que H esper u s es H esper u s

(48) Los babilonios creían que H esper u s es Phosphorus



No es del todo claro si tenemos aquí un problema con la Teoría dela Designación Rígida o un problema con el análisis propuesto de creenciaen la semántica de mundos posibles (también ver los comentarios al final de

§3.5.)

Ejercicio 3.3.

Aplique la definición 3.2., con (iv”) en vez de (iv). Considere un mundo en elcual Adán exista, pero Eva no. Determine el valor de verdad de las siguientes

fórmulas en ese mundo:

(a) [H3a;(x = A dán )

(b) D3a;(x = E v a )

¿Cuál es la relación entre (iv”) y el requisito de dominios crecientes?

3.3.3. Variables y cuantificadores

Encontramos el mismo problema en la semántica de la cuantificación que elque teníamos en la semántica de constantes: ¿el rango de los cuantificadores

son individuos o conceptos individuales? Una vez más, nuestra preferenciaes por los individuos. La razón de esto es que los lenguajes naturales contienenuna clase de expresiones, denominadas descripciones definidas, que podríanpensarse como designadoras de conceptos individuales. Ahora bien, si el rangode los cuantificadores fuera de conceptos individuales en la lógica de predicadosmodal, los principios (49) y (50) terminarían siendo válidos:

(49) \/x4> —> [ryxj)/ x](¡)

(50) [ryip / x](f) —►3xcj)

Si en particular, y si 0 es verdadera para elconcepto particular ryxp, entonces existe al menos un concepto individual parael cual 0 es verdadera. Aquí tenemos algunos ejemplos para ilustrar esto. Laoración (52) no se sigue de (51):

(51) Todo el mundo puede perder este juego

(52) El ganador puede perder este juego



Tampoco (55) se sigue de (53) ni (54):

(53) Todos los números más grandes que siete son necesariamente másgrandes que siete

(54) El número de planetas es un número más grande que siete

(55) E l número de planetas es necesariamente más grande que siete

Y , finalmente, otro ejemplo que realmente pertenece a la lógica deóntica. L;oración (57) no se sigue de la (56):

(56) E l presidente de Estados Unidos debe haber nacido en los EstadosUnidos

(57) Existe alguien que debe haber nacido en Estados Unidos

En la definición de verdad, entonces, utilizaremos asignaciones g que asignanun individuo a cada variable. El rango de los cuantificadores son individuos,pues parece razonable que al evaluar oraciones cuantificadas en un mundo dadow , tomemos en cuenta sólo individuos en (el dominio de) ese mundo. Rem

plazaremos ahora la definición 3.2 por una definición de valuaciones Vm,iu,g,

basada en modelos M , mundos w en estos modelos, y asignaciones g para todo el lenguaje modal de la lógica de predicados modal. Primero definiremos lainterpretación de los términos:

(58) [íJ m,3 1I ( t ) si t es una constante

g(t) si t es una variable

En consecuencia, la definición completa es la siguiente:

'Definición 3.3.

lea M un modelo, 4> una fórmula de la lógica de predicados modal y w G W . ’ntonces, Vm ,w,g(<t>), el valor de verdad de é en w dados M y g, se define de

i siguiente manera:

vi) Vm,w,g (P t \ . . . t n ) = 1 si y sólo si [íiJ m.s £ D w, ••• , [ínjM ,g G D w

Y (líljM ,*, ••• i | [ínjM,ff) e Iw(P) = 0 si y sólo si [íl]M.g £ Dwi " ' >PnjM.g G D w

y (PljM.g, ••• , [ínlM.g) ^ Iw{P)-



(ii) = 1 si y sólo si Viv[,w,g(0) = 0

= 0 si y sólo si VM,w,g(<f>) — 1

(Üi) Vm,id,g (</>->■0) = o si y sólo si V m ,w ,g{<t>) = 1 y VM ,w ,g{tp ) = 0

= 1 si y sólo si VM,w,g(<¡>) = 1 y ,w ,g(Í’ ) = 1)

o VM ,W,g{<f>) = 0 y V M ,w ,gW 1,

O ^M,tu,p(0) = 0 y ,w,g(.1p') 0

(iv) UM,w,g(D0) = 1 si y sólo si para cada w ' G W tal que w Rw

M,u)',g(0) = 1= 0 si hay un w ' G W , tal que wRw ' y

,u/,g(0) 0

(v) VM ,w,g(Vx(j )) = 1 si para cada d G D w : VM,w,g[x / d\ (<t>) = 1= 0 si hay un d G D w tal que VM,w,g[x/ d\ (<f>) = 0

Las cláusulas para los otros conectivos y para 0 y 3 se siguen de las anteriorescláusulas, junto con las definiciones de dichos conectivos en términos de —* y -i; la definición de 0 , en términos de □ y -i, y 3, en términos de V y

Como en la lógica estándar, los valores de verdad de las sentencias, es decir,fórmulas que carecen de variables libres, son independientes de la asigna

ción g. Así, para las sentencias (j) podemos escribir simplemente V m ,w {)- Si esta definición de verdad fuera aplicada sin asumir dominios crecientes(o sin remplazar la cláusula (iv) por una versión apropiadamente adaptadade (iv”)), entonces caeríamos en los problemas de fórmulas con valores deverdad indefinidos, que ya hemos encontrado. Pues si alguna de las entidades

en un mundo w falta en alguno de los mundos accesibles desde w, entoncesyM ,w (yxD(¡)) siempre sería indefinido ahí. Asumiremos, entonces, que o bienel requisito de dominios crecientes se satisface, o bien la cláusula (iv) ha sidoremplazada por una versión apropiadamente adaptada de (iv”).

En la semántica de la lógica de predicados modal se ha prestado mucha atención a las interacciones entre operadores modales y cuantificadores.Esto ha puesto de relieve la distinción entre modalidades de d i cto y modalidades de re. Al estudiar las interacciones entre □ y los cuantificadores, lavalidez de los siguientes cuatro principios puede ser revisada:

(59) DVx<¿>->

(60) VxD4> —>0 \ / x4>



(61) 03x0 —>3xD0

(62) 3XD0 —»D3x0

El más conocido de estos esquemas es el (60): la fór m u l a Barcan , la cual

fue bautizada de este modo en honor a Ruth Barcan, quién demostró quees problemática. Se puede obtener una equivalencia con 0 en vez de □ paracada una de estas fórmulas, al aplicar contraposición (esto es, por medio de la

equivalencia de 0 —>x Y -1X

(63) 3x0</>- >03x0

(64) 03x0 —>3x00

(65) VxO4> —>OVx0

(66) 0Vx0 —►VxO 0

Como ejemplo mostraremos cómo (63) se puede derivar de (59): DVx0 —*VxD0 implica -Vx!30 —>-O Vx0, entonces, 3x~00 —>0-V x0, de esta manera,

3x0_l</>—>O3x->0. Pero si el esquema D\ fxVxD0 es verdadero para todaslas fórmulas 0, entonces es verdadero en particular para todas las fórmulas

->0. Así, 3 x 0 —>O3x-i-i0, lo cual inmediatamente implica 3x00 —>03x0.A diferencia de (60) y (64), parece que (59) y (63) son válidas. Es claro, por

ejemplo, que (67), que puede simbolizarse como 3x00, es una oración muchonás fuerte que (68), que puede simbolizarse como 03x0; en otras palabras, es;laro que (67) implica (68):

67) Existe alguien que posiblemente lo haga mejor que yo

58) Es posible que alguien lo haga mejor que yo

(ue (68) es más débil que (67) es claro, por ejemplo, a partir del hecho de que58) puede estar seguida de (69), mientras que esto es absurdo para (67):

9) Pero es improbable que exista alguien que lo vaya a hacer mejor que yo

¡to se explica en la semántica que hemos dado: (63), y con ello (59), es válida,entras que (64), y con ello la fórmula Barcan (60), es inválida. L a validez de0 (f> —►03x0 puede ser probada de la siguiente manera: si Vm,u;,p(3xO0) = 1,

;onces M,u),g[x/dj(O0) = 1 para algún d € D w . Así, V m ,w ' ,g\ x/ d\ {<t>) = 1 para



algún w ' con wRw ' . En este w ' tenemos, entonces, V^ .w ' ,a{3x<¡>) — 1, de talmanera que VM,w,g(03x</>) = 1.

Que 03x0 —* 3x0<f> no es válida para cada fórmula <j) es claro a partir delcontraejemplo dado a 03 A r —►30A x en (70), en el cual D Wl= { a } 1 D W2= {a , b }; /w (A )=0,7W2(A )={6}:

(7°) 0 0• •

W\ * W2

Dado que, por una parte, V m ,w 2(3 x A x ) = 1 , tenemos que Vm,»](03xAx)=1; por otra parte, tomando g ( x ) = a , vemos que V m ^Ô A x) = 0 y, en consecuencia, Vm,wi(3x0A x ) = 0, dado que a es el único valor de g ( x ) que se encuentra

en w\ .El principio (61) y su equivalente (65) son extremadamente implausibles.

De acuerdo con (65), por ejemplo, (72) se sigue de (71):

(71) Todo el mundo puede ganar en este juego

(72) Es posible que todo el mundo gane en este juego

Es evidente que algo en estos principios no funciona y que (61) y (65), enefecto, se vuelven inválidos en la semántica que hemos dado. A primera vista,(62) y (66), los recíprocos de (61) y (65), parecen mucho más plausibles. Valela pena notar que aceptar la validez de (62) y (66) prácticamente conducea aceptar el requisito de dominios crecientes. E sto último puede mostrarse deforma muy sencilla. Supongamos que todos los dominios en un modelo M se

incrementan y que Vfo)1ü>ff(3xlH</>) = 1. Entonces, debe existir un d G D w talque Vm,iUi9[z/¿] (□</>) = 1. Supongamos ahora que wRw\ es decir, w ' es accesibledesde w . Entonces, dado que se requieren dominios crecientes, tenemos que

d G D w’ y VM.,w',g[x/ d\ (<t>) = 1) de tal modo que VjvitW>!g(3x<j>) = 1. Como esteargumento se aplica a todos los mundos w ' que son accesibles desde w, tenemos

ahora Vm)W)9(D3x<£) = 1- De este modo, queda demostrado que (62) es válidoen este modelo.

Que (62) y (66) no sean válidos si el requisito de dominios crecientes nose satisface puede mostrarse de la siguiente manera. Sea M un modelo queno satisface el requisito de dominios crecientes. E ntonces, existen dos mundosposibles, w y w\ tales que v j R.u A y existe una entidad d tal que d G D v¡ yd ^ D w ' . Ahora bien, (62) puede ser falseado en w haciendo que (/> sea tal que d



satisface 0 en w y en todo mundo accesible desde w y que tenga a d en sudominio, mientras ninguna entidad en w ' satisface 0. Y a que dada dicha 0 yasumiendo que ésta tiene una variable libre x , tenemos que V m =1, pues de acuerdo a la cláusula (iv”), VM,w,g[x/ d\ { D0) — 1- Sin embargo,Vm,w,g(D3x0) = 0, dado que Vm,«/,g(3x0) = 0. En consecuencia, tenemos queVm,íü,9(3xD0 -» □ 3x0) = 0.

E jemplos como este señalan una correspondencia más general entre losprincipios propuestos para la lógica de predicados modal y las condicionesestructurales sobre marcos de mundos posibles con dominios de individuosadjuntos. Este tema puede ser desarrollado como en lógica proposicional modal(cf. §2.3.2.) pero no lo haremos acá.

Aunque (62) y (66) podrían parecer plausibles a primera vista, es aún posible imaginar situaciones en las cuales, al violarse (66), se quisiera aceptar (72)sin tener que aceptar automáticamente (71). Es concebible que exista un

juego en el cual todo el mundo puede ganar (esto es, uno en el cual todo elmundo puede terminar exactamente con el mismo puntaje), sólo bajo la condición de que J osé, que es un jugador particularmente malo, no participe. Pero este requisito no quiere decir que todo el mundo pueda ganar el juego, yaque J osé siempre será superado. Será claro que este problema sólo podrá serresuelto a través de un análisis en el que los aspectos modales, temporales,epistémicos y deónticos de la intensionalidad sean tomados en cuenta.

Para concluir, vale la pena retornar brevemente a una opción que anteriormente habíamos rechazado: fijar el rango de los cuantificadores sobre conceptosindividuales y no sobre individuos. Esta opción era extremadamente mala bajoel test propuesto por los principios discutidos anteriormente: todos estos principios se vuelven válidos, lo cual es suficiente para remover completamente ladistinción entre modalidades de d i cto y modalidades de re.

Ejercicio* 3.4.

(a) Pruebe que (65) es inválida.

(b) Demuestre que aceptar la fórmula Barcan (64) implica asumir dominiosdecrecientes, es decir, asumir que si wRw ' , entonces D w¡ C D w .

3.3.4. Un dominio: el predicado de existencia

En la semántica de la lógica de predicados modal dada en las últimas seccio-íes, no hemos asumido que todas las fórmulas deban tener valores de verdad:n todos los mundos posibles. E sto da lugar a varios problemas con la validez



de los principios modales, algunos de los cuales hemos visto que son solucion a b a s . Pero aún no es claro si alguno de tales problemas permanece, lo quegenera una situación insatisfactoria. Más aún, argumentos de principio puedenser erigidos en contra de la idea de fórmulas que no son ni verdaderas ni falsa,ya que esto viola el principio de bivalencia.

Es posible hacer arreglos de tal forma que el principio de bivalencia sea

válido, lo cual significa que a cada fórmula atómica P er ■ Cn se le debe asignar un valor de verdad en todo mundo posible. Una forma obvia de hacer estoconsiste en asegurar que todas las constantes individuales tengan referentesen todos los mundos posibles. E sto viene a ser lo mismo que crear un únicodominio para todos los mundos posibles. Desde el punto de vista de cada unode estos mundos, entonces, existen dos clases de entidades: las que realmenteexisten en el mundo y las entidades que realmente existen en cualquiera de

los otros mundos. En cada mundo, la pertenencia de los predicados tendráque ser definida para todas las entidades en ese mundo (incluso paraaquellos que no existen realmente ahí). E sta parecería ser una solución bastante radical para todos los problemas con valores de verdad indefinidos.

Al interior de esta aproximación, parece deseable tener alguna manera dedistinguir entre individuos que realmente existen en algún mundo dado y todas las otras cosas allí. Hacemos esto por medio de un pr edi cad o de exi sten cia

E. Este predicado señala en cada mundo posible los individuos que realmenteexisten allí. Al introducir este predicado obtenemos una solución para algunosde los problemas con la no existencia de Pegaso que mencionamos anterior

mente.No es del todo claro cómo una oración como (73) podría ser verdadera en

la aproximación de designadores rígidos:

(73) Pegaso no existe

La traducción natural de (73), -G x (p = x ) , se vuelve falsa o indefinida entodas las variantes de la semántica dadas anteriormente. Pero usando el predicado de existencia, (73) puede ser considerado como *Ep , una fórmula que esverdadera sólo en aquellos mundos en los cuales p se refiere a un individuo noexistente. Una semántica con un dominio común y un predicado de existenciatampoco padece las desventajas de que una entidad existe necesariamente si

esta entidad existe, la cual sí se presenta en otros sistemas que hemos visto.Es muy posible encontrar objeciones filosóficas a un dominio que contenga

todos los individuos posibles, o a analizar la existencia como un predicado.Pero como señalamos en §3.1., no tenemos que darle la última palabra a las



consideraciones filosóficas si nuestro objetivo es la aplicación de los métodos lógicos en la descripción del lenguaje natural. Además, oraciones como(73), en las cuales la existencia de cierta clase de individuos es aseverada onegada, no son las únicas para las cuales disponer de individuos no existentesparecería ser una ventaja. Considere (74), por ejemplo:

(74) J uan está hablando acerca de Pegaso

Obviamente podría no permitirse que la verdad de esta oración dependierade la existencia de Pegaso. Ahora bien, el análisis natural de (74) es uno en elcual habl ar a cer ca de es visto como una relación entre J uan y Pegaso. Pero estosignifica que, si (74) es verdadera, deben permitirse entidades no existentes queentren en la relación.

Esta aproximación conduce a la siguiente definición de un modelo, alter

nativa de la definición 3.1.:

Definición 3.4.

Un modelo para un lenguaje L de la lógica de predicados modal consiste en:

(i) un conjunto no vacío W de mundos posibles

(ii) una relación de accesibilidad R en W

(iii) un dominio D

(iv) una función de interpretación I que asigna:

(a) un elemento /(c) de D a cada constante c en L

(b) un subconjunto no vacío IW(E ) de D en E , para todo mundo w G W

(c) el conjunto identidad { {d , d ) \ d eD } al símbolo =, para todo mundo w

(d) un subconjunto I W( P ) de D n para cada letra predicativa n-aria P enL , para cada w G W

'Sta definición conduce a la siguiente alternativa de la definición 3.3. de ver-ad, presentada en §3.3.3.:

)efinición 3.5.

ea M un modelo, w G W , y g una asignación. Entonces VM,w,g(<f>), el valor3 verdad de ) = 1 Si y sólo si VM ,w,g{(t>) = 0

(iii) V m ,w ,g(4> —>■Í>) =1 si y sólo si Vm,w,g(<t>) = 0 O V¡VI,w,sW0 = 1

(iv) ,iu,g ( 0) — 1 y solo si para cada uj tal que u j R uj . (¿) = 1

(v) Vm,™,9(Vx0) = 1 si y sólo si para todo d e D : VM tW,g[x/ d\ W = 1

La fórmula Barcan es verdadera en cualquiera de estos modelos con un dominiocomún, ya que ésta satisface el requisito de dominios crecientes mencionadoen el ejercicio 3.4.(b). Las objeciones que fueron originalmente planteadas enconexión con la fórmula Barcan, sin embargo, ya no son válidas, pues ahora

el rango de los cuantificadores no son sólo individuos existentes, sino tambiénindividuos posibles. L a lectura original de la fórmula Barcan puede, con laayuda del predicado de existencia, reconstruirse como:

(75) V x ( E x —►□</>) —►\ J i x (E x —>(p)

Restringir el cuantificador a £ e n (75) tiene el efecto de restringir su rangosobre los individuos existentes. Pero, a diferencia de la fórmula Barcan original,

(75) no es universalmente válida bajo la definición 3.5 de verdad.En efecto, los cuantificadores en la mayoría de representaciones de

oraciones del lenguaje natural de la forma todos los A son B y algunos A son B terminarán siendo restringidos a E . Esto es, que estas oraciones seránrepresentadas como Wx(Ex —>( A x —>B x ) ) y 3 x ( E x A ( A x A B x )), respectivamente. Así que la validez de la fórmula Barcan no tiene efectos adversossobre la aplicabilidad de esta semántica. Otro principio más escurridizo que

ya no será válido si sus cuantificadores se restringen a i? es el (59), conversode la fórmula Barcan. Esto debe ser así, pues de lo contrario (76) conduciríaa (77) después de la sustitución de E x por </>, lo que a su vez implicaría (78):

(76) UN x ( E x -></>) -> V x ( E x -+ U<j>)

(77) ÜN x(E x —* E x ) —y Wx(E x —> D E x )

(78) \ / x ( E x ^ D E x )

Además, con (78) nos enfrentaríamos nuevamente con el espectro de que todoslos individuos que existen en un mundo existen necesariamente.



Ejercicio* 3.5.

(a) Demuestre que (75) no es válido.

(b) ¿Bajo qué condición (78) sería válida en un modelo?

Ejercicio 3.6.

Proporcione un ejemplo de una expresión que pueda ser vista como un predicado unitario P , para el cual se cumple el requisito de que para todo mundo:I W(P ) C IW(E ) no es válido. ¿Puede usted pensar en una expresión que debaser considerada como una relación binaria Q para la cual el requisito para todo

mundo w : {x| hay un y tal que (x, y) € I W(Q ) } Q I w (E ) no sea válida?

3.4. Otras clases de contextos

En la anterior exposición de la lógica intensional de predicados nos hemosconcentrado casi exclusivamente en la lógica de predicados modal. Pero otros>peradores intensionales, por ejemplo los operadores temporales, también se>ueden añadir a la lógica de predicados. Toda la discusión anterior sobre cómoas constantes y los cuantificadores son interpretados y sobre la escogencia de

ominios podría repetirse más o menos de la misma manera.Los principios (59) a (62), discutidos en §3.3.3., tienen variantes en la lógi-

a, temporal. Las siguientes dos fórmulas son, por ejemplo, versiones de la lógicaimporal de la fórmula Barcan (60) para el futuro y el pasado, respectivamente:

r9) \ / xG(¡) —* GVx0

0) VxH</>—>HVx0

il y como están formulados, no estamos inclinados a aceptar la validez de3) y (80) más que la de la fórmula Barcan. Y lo mismo se aplica, muta t i s i t a nd i s , a los otros principios en lógica temporal correspondientes a (59),0 y (62).A l adoptar momentos de tiempo como nuestros contextos, encontramos

ívamente varias formas alternativas de formular la semántica. Podemos dar

ada momento en el tiempo su propio dominio, o podemos introducir unninio único que sea común a todos los momentos en el tiempo.Las ventajas y desventajas de las diferentes alternativas son las mismaslas de la lógica modal. Además, el estatus de principios como el (79)



y el (80) en las diferentes alternativas es análogo también al estatus de loscorrespondientes principios modales. Las consideraciones con respecto a cómolas constantes y variables individuales son interpretadas son las mismas que

en la lógica modal.

Ejercicio 3.7.

(a) Traduzca las siguientes dos oraciones al lenguaje de la lógica de predicados modal:

(i) Un día todo el mundo será feliz por siempre.

(ii) Existe siempre alguien que es feliz sólo si alguien más no lo es.

(b) Demuestre que si asumimos que todo punto en el tiempo es seguidode otro y que la relación ‘ser anterior temporalmente a’ es transitiva,no puede haber un modelo M y un punto en tiempo t en el cual (i) y(ii) sean verdaderos.

(c) Considerar el predicado de existencia E . ¿Es razonable diseñar requisitosespeciales sobre I ( E ) en una lógica temporal de predicados? En caso

afirmativo, ¿cuáles serían?

Cuando lidiamos con los operadores temporales y modales al mismo tiempo,nuestros contextos serán mundos en momentos de tiempo, como lo explicamosen §2.5. Así pues, tenemos diferentes interpretaciones alternativas disponiblespara los operadores modales. E n lo que concierne a los operadores temporales, la combinación con operadores modales no parece introducir nuevas posibilidades en la discusión. En el capítulo 5 encontraremos un sistema lógicointensional con operadores modales y temporales y en el cual el rango de loscuantificadores es único. Esta es, entonces, una semántica que sigue las líneas

de §3.3.4.Otras extensiones de la lógica intensional pueden obtenerse al incluir tam

bién más factores diferentes en los contextos. L os contextos que hemos vistohasta ahora —mundos posibles, momentos en el tiempo y la combinación delos dos— podrían usarse también en el análisis de expresiones epistémicas ydeónticas. Pero estas no son las únicas clases de expresiones con interpretaciones dependientes de contexto. Pronombres personales como yo, el , n osot r os, y

usted/ ustedes, expresiones locativas como aquí y al lí, y pronombres deícticoscomo esto y aquello son otros ejemplos. Consideremos los pronombres yo yusted. Así como el estatus de verdad de (81) depende del tiempo del contexto,los valores de verdad de (82) y (83) dependen del contexto:



(81) Está lloviendo

(82) Y o vivo en Ámsterdam

(83) Usted trabaja en París

La oración (82) es verdadera en un contexto dado sólo en caso de que elindividuo que esté hablando en ese contexto viva en efecto en Ámsterdam.Por su parte, (83) es verdadera en un contexto dado sólo en caso que quienquiera que sea señalado en ese contexto en efecto trabaje en París. E l punto esque, con el fin de representar esto, los contextos necesitan más que un mundoy un tiempo: se requiere un hablante y alguien con quién se esté hablando,un destinatario. Las expresiones locativas como aquí y a l lí requieren másextensiones a la noción de contexto: con el fin de interpretar (84) los con

textos tendrán también que especificar un lugar (realmente una oración como(81) también depende de un lugar):

(84) Y o vivo aquí

Podemos ahora imaginar un contexto como una secuencia de parámetros: unmundo posible w , un momento en el tiempo t , un hablante s, un destinatario

a y un lugar p. Por supuesto existen siempre otras especificaciones que puedenser añadidas a esta lista. L os parámetros hablante, destinatario y lugar son confrecuencia tratados al interior de marcos en el mundo en momentos de tiempo.Una distinción es entonces trazada entre índ i ces , o mundos en momentos detiempo, y contextos de uso, la cual especifica hablantes, destinatarios y lugares.Así se torna posible trazar una línea entre expresiones cuya interpretacióndepende del contexto de uso. El primero en explorar sistemáticamente estadistinción fue K aplan (1978, 1979). Algunos autores, Cresswell notablemente,objetan el carácter ‘abierto’ de la noción de contexto. De acuerdo con ellos,no existe un límite para los parámetros posibles, por lo que prefieren unaaproximación en la que los contextos sean conceptos no-analizados que puedaniener ciertas clases de propiedades. En vez de especificar un contexto comoentre otras cosas) un individuo a que es el hablante y un individuo b que es;1destinatario, ellos dirían que existe un contexto que tiene la propiedad deontener un hablante a y un destinatario b. El estatus de verdad de oraciones

orno (82) en cualquiera de estos contextos ya no depende entonces de algún'arámetro en ese contexto, sino más bien de las propiedades de ese contexto.

No es claro aún si esta aproximación conduce a resultados distintos a latra. Para ilustrar esto, utilizaremos el resto de esta sección para mostrar



¿istintas formas de representar pronombres personales de primera y segundapersona. Un primer intento de explicación del carácter contextual de yo y usted podría ser algo como lo siguiente: un modelo M se compone de un conjuntode mundos posibles W , con una relación de accesibilidad R , un conjunto T demomentos en el tiempo con una relación de ser an ter i or tem por a lm ent e a >, undominio D de entidades, y una función de interpretación I . Un contexto k

es considerado como una secuencia (w , í, s, a) en la cual w £ W , t £ T ys a £ D (no existe necesidad de asegurar que s y a sean elementos diferentesde D ). Así pues, un contexto k fija un mundo posible w. un momento en eltiempo í, un hablante s y un destinatario a. Los símbolos s y a 110 debenpensarse como nombres de individuos; ellos son ‘metanombres’. Un contextotendría la siguiente forma (w \ ,t s,d 2 ,dg). Deseamos representar la expresiónyo y usted en nuestro lenguaje por medio de constantes individuales, por lo

que reservamos las constantes i e y, respectivamente, con este propósito. Estasconstantes pueden, por supuesto, no ser tratadas como designadores rígidos,pues la idea es precisamente la contraria: sus referencias dependen esencialmente de los contextos en los cuales se interpretan. Las expresiones yo y usted no son en todo caso nombres de individuos particulares. Así, haremos unaexcepción de la regla de que las constantes son designadores rígidos para i ey, exigiendo que la función de interpretación I en un modelo cumpla con lo

siguiente:I k ( i ) = «fe e I k (y) = ak , para todo k

Así, dado un contexto k, I asigna el hablante en k, sk , a la constante i , y eldestinatario en k , ak , a la constante y. La función de interpretación I interpreta i e y, en otros mundos, como concept os in di vid ual es. Un concepto individual, subrayamos, es una función de contextos a individuos. La interpretación

de i podría ser vista como el concepto de un hablante y la de y como el concepto de un destinatario. En vez de I k {i ) = «fe, podríamos también escribir/(z)(/c)=Sfe, la cual se lee como: el concepto individual /(i ), el cual I le asigna ai cuando es aplicado al contexto k, toma el valor sk .

Esta aproximación da cuenta del carácter contextual de yo y usted y, conesto, de oraciones como (82) y (83). Pero es aún ingenuo en algunos aspectos.Considere las oraciones (85) y (86):

(85) Y o soy el hablante

(86) Yo seré siempre el hablante



Incluso si estas oraciones son un poco extrañas, ellas ilustran un punto general que queremos hacer. La oración (85) expresa una verdad necesaria: yo serefiere, en todo contexto, a quienquiera que sea el hablante en ese contexto;así pues, (85) nunca puede ser falsa. L a oración (86), por otra parte, puede serfalsa. Incluso aunque (85) siempre es verdadera, (86) es ciertamente falsa encualquier situación realista. Pero en la aproximación que acabamos de esbozar,

ambas se vuelven verdaderas en todos los contextos. Las oraciones (85) y (86)pueden representarse como (87) y (88), respectivamente:

(87) Si

(88) G Si

Aquí, el predicado S funciona como una representación de es el habl an te. La

interpretación de S en esta aproximación es, por supuesto, fija: S tiene sóloun individuo en su extensión en cualquier contexto k : s^ , es decir:

I s ( S ) = {sfc}, para todo k

Ahora bien, puede fácilmente confirmarse que (85) es verdadera en todo con

texto k : tenemos que I k { i ) = «fc para todo k y, entonces, que I k ( i ) € I k { S )

para todo k. Esto significa que V m íu) = L para todo k. Pero esto también significa que (88) es verdadera en todo contexto k , pues (88) sólo puede ser falsa en un contexto k si existe algún contexto k' en el futuro de k

esto es, para el cual t k < t */) en el cual Si sea falsa. Pero hemos visto que Si esverdadera en todo contexto, así que no puede existir tal k ! . Así pues, los resul-ados que esta aproximación da son consistentes con el significado de oracionesorno la (85), pero ciertamente no con aquellos de oraciones como la (86). Y

stas no son las únicas oraciones problemáticas. L a solicitud expresada por laración (89), por ejemplo, se vuelve extremadamente difícil de satisfacer:

59) ¿Me recordarías mañana que [yo] debo llamar a María?

asiblemente, una solución se encuentra a lo largo de las siguientes líneas.) que (86) expresa es que quienquiera que sea ahora el hablante (yo), ésterá en todos los estados del futuro el mismo hablante. El pronombre personal

exhibe así la misma clase de comportamiento que el modificador temporalora, el cual se refiere al tiempo en el cual la oración fue proferida, incluso siurre en una cláusula anidada (ver §2.4.2.). Exactamente de la misma forma,hace referencia al mismo individuo al hace referencia ahora, al momento de



la proferencia, es decir, al hablante. Esta es la razón por la cual (86) puede serfalsa incluso aunque (85) sea siempre verdadera. E xisten formas diferentesde dar cuenta de este aspecto del comportamiento semántico de yo (y porsupuesto de usted). Una posibilidad es la siguiente: restringimos nuestros contextos a momentos en el tiempo (el parámetro de mundos posibles no importanen este contexto). En vez de incluir s y a como parámetros en nuestros con

textos, añadimos dos funciones s y a al modelo. Estas funciones dicen quién esel hablante y quién el destinatario en cada momento en el tiempo. Entonces,introducimos un momento fijo en el tiempo t o , justo como hicimos cuando nosenfrentamos con ahora en §2.4.2. El único problema es que varios momentosen el tiempo pueden funcionar como el momento de la proferencia, así queparecería aconsejable generalizar el método dado en §2.4.2. Obtenemos así elmétodo de dobl e i n d exación desarrollado por K amp (1971): la idea es que las

oraciones son interpretadas con respecto a dos momentos en el tiempo t y t 1. El primero es denominado el momento de proferencia y el segundo, el momento de la evaluación. Comenzamos evaluando una oración hecha en el tiempo t con respecto a este tiempo t . Pero el proceso de evaluación podría conducirnosa considerar momentos en tiempos distintos a t . Un ejemplo: con el fin dedeterminar si P(</>) es verdadera en un modelo dado en un tiempo t debemostratar de encontrar un momento anterior a t , en el cual <f> sea verdadera. Ahora

bien, si </> contiene expresiones como ahora y yo que necesariamente hacen referencia al punto t original, entonces necesitaremos alguna forma de seguirle lapista a este t . Hacemos esto considerando siempre dos momentos en el tiempo.En consecuencia, las valuaciones son las siguientes: V m es el valor deverdad de cf) en M en el momento t ! , dado t como el momento de proferencia.No desarrollaremos todos los detalles de este método de interpretación aquí,pero estableceremos una indicación de cómo éste soluciona los problemas anteriores con (85) y (86). L a función de interpretación I funcionará tambiéncon dos momentos t y t ! . Para casi todas las expresiones, sólo el momento deevaluación tiene alguna importancia, pero para algunas como i e y, es sólo elmomento de proferencia el que cuenta:

V W = s( t )

V ( 5 ) = {s(t')}

La interpretación del pronombre personal yo es la siguiente: el hablante en elmomento de la proferencia; y la interpretación del predicado S es: el conjuntode todos los individuos que son el hablante en el momento de la evaluación.Bajo esta interpretación (87), la representación de (85), es, como se requiere,



siempre verdadera. Pero esto ya no implica que (88), la representación de (86),deba ser siempre verdadera. P odemos construir un modelo en el cual (87) essiempre verdadera, pero en el cual (88) es falsa, al menos en un momentoen el tiempo.

De ninguna manera hemos agotado los rompecabezas interesantes que surgen del comportamiento semántico de yo y usted. L o anterior fue sólo un in

tento por ilustrar cómo podemos tratar uno de estos problemas. Sin embargo,esto también muestra la importancia de mantener una cierta flexibilidad conrespecto al aparato semántico disponible. Ocasionalmente sucede que ciertasideas, como nuestras ideas originales acerca de la estructura de los contextos, se traducen directamente a otros reinos y a otros fenómenos nuevos. Sinembargo, esto no sucede con mucha frecuencia.

3.5. Una nota metodológica

A pesar de su origen relativamente reciente, a finales de los cincuenta y principios de los sesenta, la lógica intensional se ha convertido en uno de los másimportantes campos de la lógica filosófica. Esta también ha demostrado seruna herramienta valiosa en la semántica de los lenguajes naturales. Pero elestatus de la lógica intensional no es inexpugnable. Deseamos concluir este

capítulo con algunas de las objeciones que se le han hecho y que aún se lehacen.

Estas objeciones son de dos clases. Algunas son objeciones de p r i n c i p i o ,objeciones de una naturaleza metodológica y filosófica. Otras son de naturaleza em pír i ca y conciernen a los límites de la aplicabilidad de la semánticaintensional. No estamos en capacidad de hacer justicia a todas las objecionesque mencionaremos en esta corta sección, así que el lector será remitido a la

literatura para una explicación más completa.Las objeciones de principio levantadas en contra de la lógica intensional

se encuentran usualmente dirigidas a su aparato conceptual. Los mundos posibles y los individuos posibles son los objetivos principales. Se argumentaque estos conceptos son fundamentalmente oscuros. No sabemos exactamente qué es un mundo posible, y no tenemos ninguna forma de hallarlo. Lanoción de un mundo posible es puramente metafísica, es arbitraria y carece

completamente de contenido empírico. Todo lo que es analizado en términos demundos posibles —el concepto de intensionalidad, el concepto de necesidad yposibilidad, las modalidades de d i ct o y de r e , entre otros— consecuentementecontinúa siendo tan oscuro como antes. Aunque podría parecer como si ellos



hubiesen sido aclarados, la lógica intensional realmente sólo consiguió sustituiruna noción oscura por otra. Más aún, se supone que las nociones intensionalesconducen a posiciones filosóficas dudosas. Para algunos, como mencionamosen §3.1., reconocer modalidades de r e conduce a un esencialismo embarazoso.Además, algunas veces se piensa que la semántica intensional va acompañada

de más problemas de los que resuelve. Entre estos, el ‘problema de identidadtransmundana’ es uno de los más notorios (ver §3.2.). Este problema de determinar si una entidad en un mundo es la misma que una entidad en otrose supone que eclipsa los problemas que la lógica intensional resuelve. Dudas similares se mantienen acerca de los mundos posibles. ¿Cuántos de estosexisten?, ¿qué cuenta como un mundo posible y qué no?

Las reacciones a estas objeciones en la literatura son bastante divergentes.Por ejemplo, la reacción de K ripke al problema acerca de qué son los mundosposibles es la siguiente: argumenta que es incorrecto pensar los mundos posibles como cosas acerca de las cuales podemos descubrir algo por medio deobservaciones. E stos deben ser más bien pensados en términos epistemológicos, como determinados por los términos descriptivos que asociamos a ellos.Entre estos términos tenemos, por ejemplo, contrafácticos como si D ukakis hubiese ganado las elecciones presidenciales en 1988, entonces el presidente de E sta d os U ni dos habría si do un dem ócrat a (cf. (6) en §1.7.). Esta oracióntiene el efecto de introducir un mundo posible, uno en el cual Dukakis ganalas elecciones presidenciales en 1988. Así, de acuerdo con K ripke, los mundosposibles no son cosas que puedan ser descubiertas, sino cosas que deben serintroducidas, que deben ser estipuladas. Desde este punto de vista, el problema de la identidad transmundana no es un problema genuino: no necesitamosaveriguar si un individuo en un mundo dado es el mismo que un individuo en

otro mundo (así que no importa que no podamos realizar esta hazaña). Nonecesitamos nunca averiguar esto porque los únicos mundos con los que tratamos son aquellos que hemos introducido y que contienen uno o más de losindividuos que se encuentran en este mundo o en otros mundos posibles yaintroducidos. L os individuos podrían ser muy diferentes, en los mundos estipulados, de lo que son en el mundo real, pero no tenemos que preocuparnosnunca por sus identidades.

Por su parte, la interpretación ontológica de Lewis es diametralmenteopuesta a la interpretación semántica de K ripke. Lewis defiende una concepción puramente realista de los mundos posibles. Para él, los mundos posiblesexisten en la misma medida en que existe el mundo actual. E l mundo actualno ocupa un lugar excepcional en la perspectiva de Lewis; este es sólo uno de



l o g i c a , l e n g u a j e y s i g n i f i c a d o

los muchos mundos posibles, justo como este momento es uno de los muchosmomentos posibles en el tiempo. Esto arrojo, una luz completamente diferente sobre el problema de la identidad transmundana. E l que los individuos enmundos posibles diferentes puedan ser idénticos a otros está fuera de cuestión.

En vez de la relación de identidad, Lewis introduce su relación de contrapartida. Dos individuos en mundos diferentes pueden asemejarse tanto que ellosson contrapartes en sus respectivos mundos.

Otra forma de lidiar con las objeciones a la lógica intensional es de naturaleza más bien metodológica. Toda teoría, se argumenta, hace uso de conceptosque no analiza y que son considerados primitivos y los conceptos primitivosusados en la semántica intensional son las nociones de mundos posibles y de

individuos posibles. El contenido de los conceptos primitivos de la teoría quedatotalmente determinado por el rol que éstos juegan en la teoría. En el caso de lalógica intensional, esto da cuenta de lo siguiente: consideremos a la lógica modal proposicional, por ejemplo, una de las cosas que queremos de la semánticaes una forma de dar cuenta de la validez intuitiva de □(</>—>ip) —>(□(/>—>Hip) como un principio de inferencia. Resulta que esto puede explicarse asumiendo

un conjunto W y luego estableciendo definiciones de verdad tales que la ver

dad sea relativa a elementos de este conjunto, pues con la definición usual deverdad para fórmulas de la forma 0<j>, el principio es en efecto válido. Además,imponiendo una estructura particular sobre este conjunto W , por medio deuna relación R, otros principios se vuelven también válidos. En ningún puntode esta historia tenemos que tomar en cuenta la naturaleza de W (o R ). Ni siquiera tenemos que pensar acerca de W como un conjunto de mundos posibleso de R como una relación de accesibil idad. Cualquier conjunto de objetos y

cualquier relación con las propiedades correctas podría servir igual. Así pues,por lo que concierne a la teoría semántica de la lógica intensional, desde esteperspectiva, el significado de los elementos de W no necesita ir más allá delrol que ellos juegan como parámetros en la definición de verdad dada por estateoría. En consecuencia, la discusión filosófica sobre la naturaleza de los mundos posibles podría ser vista como parte del debate general en la filosofía dela ciencia acerca del rol de los términos teóricos en la ciencia.

Desde el punto de vista de las aplicaciones de la semántica intensional enas investigaciones sobre lenguaje natural, estas objeciones podrían o no ser'orrectas, pero ellas son en todo caso irrelevantes, pues, como hemos argu-nentado en §3.1., la argumentación filosófica está fuera de lugar si el interésirincipal es la descripción del lenguaje natural. Después de todo, lo que es-amos tratando de describir no es cómo deberíamos hablar si queremos com



LÓGICA DE PREDICADOR IN i tiMîwiMML

placer a los filósofos, sino cómo en efecto hablamos. Las objeciones hechas ala lógica intensional no son refutadas desde el punto de vista de la lingüística,simplemente se dejan de lado.

Un comentario final que puede ser hecho en conexión con estas objeciones de principio es que es al menos debatible si posiciones como el esencialismo son realmente tan objetables como ha sido alegado por algunos filósofos.Otros son de la opinión de que estas son doctrinas filosóficas fértiles e interesantes y ven a la lógica intensional como una ayuda apropiada para másinvestigaciones en dichas doctrinas.

Suficiente de objeciones filosóficas y metodológicas. Las otras objeciones

que se han hecho son de tipo empírico; aquí sólo discutiremos brevemente dosde ellas. L a primera concierne a si una teoría semántica completa y empíricamente adecuada puede desarrollarse sobre la base de la lógica intensional.Un problema serio en conexión con esto es la existencia de con t ext os hi per in tensionales. Estos difieren de los contextos intensionales normales en queincluso las expresiones lógicamente equivalentes no pueden ser sustituidas enellos salva ver i ta te. El contexto creado por □ es un ejemplo de un contexto

intensional normal. Si 0 y tp son fórmulas lógicamente equivalentes (y así, tienen el mismos valor de verdad en todos los mundos), entonces Oi p se sigue de□0. El contexto creado por creer, por otra parte, se podría decir que es hiper-intensional. Incluso si (f> y ip son lógicamente equivalentes, la verdad de Juan cr ee que 0 no implica la verdad de J uan cr ee que ip, ya que podría muy bienser el caso que J uan no fuera consciente de esta equivalencia. El mismo puntopuede ser hecho usando los designadores rígidos. Asumiendo que el verbo cr eer crea contextos intensionales normales, y dado que

H eper us y Ph osph or u s son

designadores rígidos que refieren a la misma entidad, se seguiría de J uan cr ee que H esper u s es H esper u s que J uan cr ee que H esper u s es Phosph or u s, lo cualclaramente no es el caso. Así pues, es evidente que la semántica intensionaltiene complicaciones cuando se aplica al verbo creer.

No se ha alcanzado ningún consenso sobre cómo resolver esto. Se ha propuesto que la solución reside en una semántica intensional más refinada. Los

anteriores ejemplos indican que se requiere algo más que sólo la equivalencialógica, es decir, la igualdad de intensión, para la intercambiabilidad salva ver i-

ta te en contextos hiperintensionales. Aparentemente las expresiones necesitantener más propiedades semánticas en común que sólo las propiedades de tenerla misma referencia en todos los mundos posibles. Quizá las formas en quelas intensiones de las expresiones son construidas desde las intensiones de suspartes componentes también deben ser tomadas en cuenta



Igualmente, se ha propuesto que los contextos hiperintensionales yacen másallá de los límites de la semántica (intensional) y que una solución satisfactoriasignificaría ir más allá de estos límites. Se argumenta que la semántica debeunir fuerzas con la pragmática, con el fin de dar un tratamiento adecuadoa contextos hiperintensionales, como aquellos creados por el verbo creer. Las

relaciones entre lenguaje y usuarios del lenguaje pueden, en gran parte, serabstraídas en la semántica, pero no enteramente, y se piensa que el análisisde los contextos de creencia constituye un área en la cual la interpretaciónsemántica debe tomar en cuenta a los usuarios del lenguaje.

Sea como sea, si los contextos hiperintensionales deben yacer dentro o fuerade los límites de la semántica intensional, esto de ninguna forma disminuiríasu utilidad en la investigación sobre la semántica del lenguaje natural. Más

aún, incluso con los refinamientos propuestos y las extensiones añadidas, lasemántica intensional todavía tendría una parte esencial que jugar.Otras dudas acerca de la adecuación empírica de la semántica intensional

conciernen a qué tan adecuada es la noción de intensión en la explicación delconcepto de significado. Dada una aproximación metalingüística al significado,parecería un error hacer la ecuación intensión=significado. L a intensión de unafunción es una función que indica su referencia en varios contextos. Pero la

familiaridad con el significado de una expresión no siempre es suficiente parapermitir a alguien determinar su referencia. Así pues, intensión y significado nopueden ser simplemente igualados. En consecuencia, algunos ven en la noción

de intensión una explicación de la competencia semántica de un usuario idealdel lenguaje. Otros distinguen entre un componente psicológico individual delconcepto de significado y un componente social. De esta forma, la noción deintensión que se originó en las semánticas intensionales puede funcionar comouna explicación abstracta de la función del lenguaje como instrumento comúnpor medio del cual una comunidad lingüística puede hablar acerca del mundo.Estas indicaciones no disminuyen la utilidad de las semánticas intensionalesmás de lo que lo hicieron las indicaciones filosóficas y metodológicas. Sin embargo, hacen un llamado a un poco de modestia. El fenómeno del lenguajetiene facetas que yacen más allá del alcance de las semánticas intensionales.



Capítulo 4

Teoría de Tipos y Gramática Categorial

4.1. Introducción

El tema de este capítulo es la T eoría de T ipos, un sistema lógico más poderosoque la lógica de predicados estándar. Puede ser considerado como una extensión de la lógica de segundo orden, la cual es un sistema lógico que permiteque los cuantificadores tengan rango no sólo sobre individuos, sino también

sobre propiedades (ver vol. 1. cap. 5 para una introducción). La sección 4.2.contiene una exposición de la Teoría de Tipos y algunos comentarios sobresu aplicabil idad en lingüística. L a 4.3. se consagra a la Gr amáti ca Ca tego-

r ia l , un modelo para descripciones sintácticas que encaja muy bien con la Teoría de T ipos y que a menudo se utiliza en modelos de gramáticas que usantécnicas lógicas, también llamadas gramáticas lógicas. U no de tales modeloses la Gramática de Montague, el cual es el tema del capítulo 6. El operador A

se añade a la Teoría de T ipos en §4.4. Con la adición del A-operador se incrementa mucho la capacidad de la Teoría de T ipos para ayudar en la descripciónde la semántica del lenguaje natural. En el capítulo 5, la Teoría de Tipos y laL ógica Intensional se fusionan en la Teoría I n ten sion al de T i pos.



4.2. La Teoría de Tipos

4.2.1. Distinción de tipos en el lenguaje natural

Además de los conectivos y los cuantificadores (y algunas veces la identidad ylos símbolos de funciones), los lenguajes de la lógica de predicados contienen

sólo dos clases de símbolos. Hay constantes individuales y variables, que sonexpresiones que hacen referencia a las entidades de un dominio dado. Además,están las constantes de predicados, que son expresiones que hacen referencia aconjuntos de entidades, en el caso de las constantes de predicados monádicos,y a conjuntos de sucesiones ordenadas de n entidades, en el caso de constantesde predicados n-ádicos.

Esto significa que en lógica de predicados únicamente se puede hablaracerca de las propiedades de las entidades y de las relaciones entre ellas. Enun lenguaje natural como el español, por otro lado, podemos hablar acerca demucho más que eso. Podemos hablar acerca de las propiedades mismas, porejemplo. El punto es que cualquier sistema lógico que sea un instrumentoapropiado para el análisis del lenguaje natural necesita una estructura másrica que la lógica de predicados. Consideremos ahora varias clases de oracionesque carecen de traducción directa en la lógica de predicados e intentemospensar en nuevos tipos de expresiones que necesitaríamos para expresarlas

adecuadamente en un formalismo lógico.Nuestros primeros ejemplos conciernen oraciones con cuantificación sobre

propiedades. Además de oraciones que atribuyen alguna propiedad fija auna o más entidades, hay, por ejemplo, oraciones que hablan sobre la existencia de una propiedad común a dos entidades, sin decir explícitamente cuáles esta propiedad común. Consideremos (1):

(1) Si J uan está satisfecho de sí mismo, entonces hay por lo menos unacosa que él tiene en común con Pedro

La oración (1) contiene cuantificación sobre propiedades. Otro ejemplo es (2),la cual afirma que una entidad particular tiene todas las propiedades quetipifican una clase particular de entidades:

(2) Papá Noel tiene todos los atributos de un sádico

r-*a oración (2) dice de cada propiedad que si ella es una propiedad de sadismo,entonces también es una propiedad de Papá Noel. Si fuéramos a cuantificar noólo sobre entidades, sino también sobre propiedades de entidades, entonces



necesitaríamos extender la lógica de predicados introduciendo variables distintas a las que ya tenemos, que sólo toman valores en el conjunto de entidades.Además de las letras de predicados, necesitamos var i abl es de pr ed i cad os , detal manera que podamos cuantificar sobre este tipo de variables en la sintaxis.Si X es una de tales variables, (1) y (2) pueden representarse como (3) y (4):

(3) Z j - 3X ( X j A X p )

(4) V X (V x (S x —* X x ) —>X s )

El sistema lógico con cuantificación, tanto sobre entidades como sobre propiedades de entidades, se llama lógica de predicados de segundo orden. La lógica de predicados estándar se llama algunas veces l ógi ca de pr ed i cados

de pr i m er ord en. Dado que no hay un teorema de completitud para ella, lalógica de predicados de segundo orden ha sido estudiada menos intensamentepor los lógicos (ver vol. 1, cap. 5). Este hecho, no obstante, no parece tenermucha importancia para su utilidad en lingüística.

Pero la lógica de predicados de segundo orden no agota el poder expresivodel lenguaje natural mucho más de lo que lo hace la lógica de primer orden. Larazón es que en el lenguaje natural no sólo tenemos oraciones que cuantifican

sobre propiedades de entidades, sino que también tenemos oraciones que a suvez atribuyen propiedades a esas propiedades. El predicado r o j o , a manerade ilustración, expresa una propiedad de los individuos, así que el predicadocolor expresa una propiedad de propiedades de individuos. Así, en una oracióncomo E l r ojo es un col or , la cual representamos con C(R) , el predicado desegundo orden color se aplica al predicado de primer orden rojo. Tambiénpodemos cuantificar sobre propiedades de propiedades, como en El r ojo t i en e

al go en común con el ver de.Esta oración puede representarse con

37í(' H (R ) A

7í(G)) . Así que no sólo debemos introducir constantes de predicados para estaclase, como C, sino que también debemos introducir variables de predicados,como Tí , para ser capaces de cuantificar sobre propiedades de propiedadesde entidades que son representadas por esos predicados. En principio no haylímite para esta jerarquía de predicados de orden cada vez mayor. Esto tienecomo resultado que la lógica de predicados deba extenderse con constantesy variables de predicados de orden arbitrario. En lenguaje natural, los órde

nes cuarto y superiores de la jerarquía se usan raramente, si es que alguna vezlo son.

Además de predicados de orden superior, hay otra clase de expresiones quepor razones lingüísticas son muy útiles al añadirse a la lógica de predicados.



Los siguientes ejemplos ilustran este punto. El primer ejemplo es conformadopor expresiones con adverbios predicativos:

(5) J uan está caminando rápido

En la oración (5), la expresión rápi do es, desde un punto de vista lingüístico,

un modificador que actúa sobre el verbo está cam i nan do. Desde una perspectiva lógica, la propiedad de caminar rápido se le atribuye a la entidad J uan.Esta propiedad no puede ser vista como una conjunción de dos propiedades,‘ser rápido’ y ‘caminar’, dado que la oración (5) no significa la misma cosa quela oración (6):

(6) J uan está caminando y J uan es rápido

En términos lógicos, rápi do es una expresión que cuando se aplica al predicadode primer orden cam inando , se vuelve un nuevo predicado de primer orden:cam i nan do rápi do. Desde un punto de vista lógico, los ad jet i vos r el at i vos sonexpresiones de la misma clase. La oración (7) puede representarse en lógica depredicados de primer orden por medio de la fórmula (8):

(7) J umbo es un elefante rosado

(8) E j A R j

En otras palabras, el adjetivo rosado puede representarse como un predicadode primer orden estándar. Pero lo mismo no aplica para adjetivos relativostales como pequeño. La oración (9) es de la misma clase que la oración (7):

(9) J umbo es un elefante pequeño

Pero la oración (9) no puede analizarse como una conjunción de dos predicadosde primer orden. La fórmula (10), que obtendríamos, expresa algo que es falsogeneralmente:

(10) E j A S j

Bien puede ser el caso que J umbo sea pequeño (para un elefante), pero in

cluso los elefantes pequeños son criaturas de tamaño considerable. El adje-ivo relativo pequeño funciona de la misma manera que el adverbio predicativoapido. Cuando se aplica al predicado elefante, resulta en el nuevo predicadol efan te pequ eño.



L os adverbios predicativos y los adjetivos relativos no son la misma clase de expresiones que los predicados de segundo orden, como color. Cuandose aplica a un predicado de primer orden un predicado de este último tipo,el resultado no es un nuevo predicado de primer orden, sino una oración. Color , cuando se aplica a r o j o , resulta en la oración E l r ojo es un col or . Pero rápi d o ,al aplicarse a caminando , resulta en el nuevo predicado cam i nan do rápi do.

Las expresiones que a su vez modifican los adverbios predicativos y los adetivos conforman un categoría de expresiones distinta a las anteriores. Comoejemplos tenemos muy , como en J uan está cam i nan do muy rápi do , y te r r ib le-

mente, como en J umbo es un elefan te t er r i bl em en te pequ eño. Una expresióncomo t e r r i b l emen te , cuando se aplica a adjetivos relativos como pequ eño , resulta en un nuevo adjetivo relativo compuesto: t er r i bl em en te pequeño. Otra clase

distinta de expresiones ha de encontrarse en las preposiciones. En la oraciónM ar ía está sen tad a j u n t o a J uan , la preposición j u n t o a es una expresión quecuando se aplica al término Juan resulta en el adverbio predicativo j u n t o a iJuan.

Esos ejemplos deben dejar claro que un lenguaje lógico tiene que conteneruna gran diversidad de expresiones para ser un instrumento útil en el análisisdel lenguaje natural. Un sistema lógico que satisface este requerimiento fue

desarrollado a comienzos del siglo veinte, aunque su motivación original noera lingüística sino puramente lógica. Este sistema, que se llama la Teor ía de T i pos o la Teoría de T i pos F i n i t os, fue desarrollado por Russell como unarespuesta a las paradojas que habían sido descubiertas en la Teoría de Conuntos. Una de las paradojas más conocidas es la Par ad oja de Ru ssel l , la cualél mismo descubrió. Esta paradoja surge tan pronto como asumimos que paratoda propiedad P hay un conjunto { x \ P x } , conformado por todas y sólo aque

llas entidades que tienen P. Bajo esta suposición, por ejemplo, existe el conjunto { x | x = x}: este es el conjunto universal que contiene todo lo que existe, dado que todo es igual a sí mismo. Y dado que este conjunto contiene todo, también debe contenerse a sí mismo como un elemento: {x | x = x } € { x \ x = x}.Ahora, consideremos esta propiedad de auto-pertenencia: algunos conjuntosespeciales como {x | x = x} tienen esta propiedad x £ x, pero las entidadesmás familiares no la tienen. El número 0, por ejemplo, no es un miembro desí mismo, dado que él ni siquiera es un conjunto. Y {0} ^ {0}, dado que {0}tiene un sólo elemento, el número 0, y 0 7 {0}. Tampoco el conjunto N de losnúmeros naturales es un elemento de sí mismo. N ^ N, dado que este conjuntoúnicamente contiene números, mientras que N no es en sí mismo un númerosino un conjunto de números. Así pues, consideremos el conjunto R de todas



las entidades que no pertenecen a sí mismas: R — {x \ x x}. La paradojade Russell aparece ahora si intentamos decidir si el conjunto R pertenece a sí mismo o no. Supongamos, para comenzar, que R G R. R debe satisfacer su propio requerimiento de pertenencia x £ x, así que R ^ R. Luego,R G R es imposible. Pero si, por otro lado, R ^ R. entonces R satisface supropio requerimiento de pertenencia, así que R G R. Vemos, entonces, que

R ^ R también es imposible.La Teoría de T ipos soluciona esta paradoja al localizar las entidades enniveles claramente distintos. La relación de pertenencia se permite sólo entreentidades que están separadas exactamente un nivel. Esta distinción entre niveles tiene paralelo en el lenguaje de la Teoría de T ipos por medio de unadistinción entre diferentes tipos de expresiones. Dos expresiones a y B quehacen referencia a entidades de distintos niveles se clasifican en tipos diferentes. E l símbolo G, el cual expresa la relación de pertenencia, puede aplicarsea dos símbolos a y B sólo si B es una expresión de un tipo que hace referencia a conjuntos de entidades que son referidas por expresiones de tipo a. Esto hace que sea imposible crear una paradoja de Russell, dado que a £ a no es una expresión bien formada. Esta solución explícita al problema de lasparadojas basada en tipos no es la más favorecida hoy en día. Hay formaliza-dones axiomáticas de la Teoría de Conjuntos en las que se integra la Teoría de

T ipos, aunque ésta no está presente de manera explícita en el lenguaje. Estosformalismos no sólo evitan la paradoja de Russell, sino que también tienen laventaja de ser más fáciles de trabajar que la Teoría de Tipos. Sin embargo, enlo que concierne a las aplicaciones en análisis lingüísticos, la Teoría de T ipossigue siendo una herramienta útil.

4.2.2. Sintaxis

Consideraremos ahora la manera en que se construyen los lenguajes utilizadosen la Teoría de Tipos. Comenzaremos por determinar los tipos de expresionesque debe tener cualquiera de estos lenguajes. Resulta que podemos comenzarcon sólo dos tipos básicos en el análisis de los ejemplos del lenguaje natural,presentados anteriormente. Todos los demás tipos restantes que se necesitanpueden construirse a partir de ellos.

Nuestros dos tipos básicos serán e, que es el tipo de aquellas expresiones

que hacen referencia a entidades, y t . que es el tipo de aquellas expresiones quehacen referencia a valores de verdad. E jemplos de expresiones de tipo e sonlas constantes y variables individuales que nos son familiares de los lenguajesde la lógica de predicados estándar, y las fórmulas son ejemplos de expresiones



de tipo t . El conjunto de todos los tipos puede definirse en términos de estosdos tipos básicos, de la siguiente manera:

Definición 4.1.

T, el conjunto de tipos, es el conjunto más pequeño tal que:

(i) e,í £ T

(ii) si a, b € T , entonces (o, 6) 6 T

El requerimiento de que T sea el conjunto más pequeño que satisface (i) y (iitiene el mismo efecto que la clausura usual o cláusula de inducción: ‘(iii) ñadí es un elemento de T excepto con base en (i) y (i i)’. La cláusula (ii) en est¡

definición genera, comenzando con e y t , un suministro de tipos en principieilimitado. L a idea general detrás de un tipo (a, b) es la siguiente: una expresióide tipo (a, b) es una expresión que cuando se aplica a una expresión de tip<a resulta en una expresión de tipo b. En otras palabras, si a es una expresión de tipo (a, b) y (3 es una expresión de tipo a, entonces a(/ 3) será un,expresión de tipo b. Este proceso de aplicar un a de tipo (a, 6) a un ¡3 de tip>a se llama apl i cación (fu n ci ona l ) de a a (3.

Un ejemplo de un tipo derivado es (e, t ). Cuando una expresión de este tipse aplica a una expresión de tipo e, resulta en una expresión de tipo t . Laletras de predicado monádicas pertenecen a este tipo, dado que el resultado daplicar un predicado monàdico a una constante o variable individual, que soexpresiones de tipo e, es una fórmula y ellas son de tipo t . Un segundo ejemplde un tipo derivado es ((e, t ) , t ) . Las expresiones de este tipo son aquellas qucuando se aplican a predicados monádicos resultan en una fórmula. Así, estí

expresiones son predicados de predicados monádicos sobre individuos, es decipredicados de segundo orden.El tipo ((e, t ) , (e, í)) contiene expresiones que cuando se aplican a pred

cados monádicos resultan de nuevo en un predicado monàdico. Los adverbi«predicativos y los adjetivos relativos corresponden ambos a expresiones de es'tipo.

Un tipo que merece una mención especial es (e, (e , t ) ) . Una expresión ceste tipo, cuando se aplica a una expresión de tipo e, resulta en un prec

cado monàdico. Los predicados diádicos se considerarán expresiones de ti¡(e, (e , t ) ) en la Teoría de Tipos. Una oración como J uan ama a M ar ía se trduce en la lógica de predicados como la fórmula L j m , en la cual el predica<diàdico L es una expresión, la cual en combinación con las dos constantes •



T i po C l a se de exp r esi ón E j emp l o

e Expresión de entidades J uan( e , t ) Predicados monádicos de pri

mer ordenCamina, Rojo, Ama a María

t Oración J uan camina, J uan ama a

María( t , t ) Modificadores de oraciones No

(e,e) Funciones de entidades en enti El padre dedades

( ( e, t ) , (e , t ) ) Modificador de predicados Rápido, Maravillosamente

{e, (e, í » Relaciones binarias de primer Amar, Está entre Ámster-orden dam y

( e , ( e , ( e , t ) ) ) Relación ternaria de primer or Está entre (y)den

{ { e , t ) , t ) Predicado monádico de segundo

orden

Es un color

<(e, t ) , «e, t ) , t ) ) Relación binaria de segundo or Es un color más brillanteden que

<e,((e,í),i)> Relación binaria entre entidades

y predicados de primer ordenEs una propiedad de

{ ( ( e , t ) , t ) , t ) Predicado monádico de tercer Es un predicado de segundoorden orden

Cuadro 4.1. Tipos y expresiones

individuo j y m resulta en la fórmula L j m . En un lenguaje de la Teoría de Tipos, L es tratado como una expresión que, cuando se aplica a una constantede individuo m , resulta en un predicado monádico L ( m ) , una expresión de tipo(e, t ). Este predicado monádico L (m) expresa la propiedad de am ar a M aría. Este predicado puede, a su vez, aplicarse a la constante de individuo j , comoresultado de lo cual obtenemos la fórmula (L (m ))(j ). La fórmula dice que elindividuo J uan tiene la propiedad de amar a María. L a proposición es equivalente a la proposición de que J uan conlleva la relación de ‘amar’ a María,como resultará evidente a partir de la interpretación semántica de la Teoríade Tipos. Este tratamiento de letras de predicado diádicas como L se generaliza fácilmente a letras de predicado n-ádicas. Como ilustración, el cuadro4.1. resume algunos tipos, junto con sus glosas y ejemplos. Hemos obtenido deesta manera una definición que fija los tipos tratados por la Teoría de Tiposy una indicación de cómo deben funcionar las expresiones de tipos derivados.Así que podemos continuar y definir el lenguaje de la Teoría de Tipos, como

mostraxemos a continuación.

E l vocabular io de un lenguaje L de la Teoría de T ipos contiene algunos’ímbolos que son compartidos por todos los lenguajes de esta teoría y algu-ios símbolos que son característicos de L . La parte compartida consiste en:



(i) Para cualquier tipo a, un conjunto infinito VA R a de variables de tipo a

(ii) Los conectivos usuales A, V, —», <->

(iii) Los cuantificadores V y 3

(iv) Dos paréntesis ( y )

(v) El símbolo de identidad =

La parte del vocabulario que es característica de L contiene:

(vi) Para cada tipo a, un conjunto (posiblemente vacío) C O N ¿ de constantesde tipo o

Obviamente, las constantes y las variables de distintos tipos deben mantenerseseparadas. Escribiremos va para variables de tipo a y ca para constantes de tipoa (aunque omitiremos los subíndices cuando esto no sea motivo de confusión).

En la práctica, trataremos de volver a las notaciones familiares de la lógicade predicados estándar cuando ello sea posible. Así pues, intentaremos representar las distinciones entre tipos de manera tipográfica, escribiendo x , y , . . .

para variables sobre entidades; X . Y . . . . para variables de predicados de primerorden; y X , y , . . . para variables de predicados de segundo orden. Las constantes individuales las escribiremos como letras minúsculas a , b , c , . . . , l , m , n yasí en adelante; las constantes de predicados n-ádicos de primer orden las escribiremos como letras mayúsculas A, B , C , . . . , L, M , R , y así; y las constantesde predicados de segundo orden, como C. H . M , T > , . . . Cualquier desviación deesta práctica será mencionada de manera explícita.

La definición inductiva de las fórmulas es más complicada que en la lógicade predicados. La razón de esto es que se debe hacer una definición general delo que significa ser una expresión de tipo a G T; las fó rmu las serán entoncesaquellas expresiones que son del tipo particular t . Una característica especialde las expresiones de este tipo, sin embargo, es la manera en que puedenformarse. Inicialmente, las expresiones se forman por medio de constantes yvariables, utilizando la aplicación funcional. Entonces, a partir de expresiones

de tipo t se pueden formar nuevas expresiones, por medio de los conectivos ylos cuantificadores, mientras que la inserción del símbolo de identidad = entredos expresiones cualquiera del mismo tipo también resulta en una expresiónde tipo t . Aquí está la definición precisa que fija la sintaxis de los lenguajes dela Teoría de Tipos:



Definición 4.2.

(i) Si a es una variable o una constante de tipo a en L , entonces a es unaexpresión de tipo a en L

(ii) Si a es una expresión de tipo (a, b) en L y (3 es una expresión de tipo a en L , entonces (£*(/?)) es una expresión de tipo b en L

(iii) Si 0 y V’ son expresiones de tipo t en L (es decir, fórmulas en L ), entoncestambién lo son -i0, (0 A ■0), (0 V ip), (0 —>ip) y (0 <->i p)

(iv) Si 0 es una expresión de tipo t en L y v es una variable (de tipo arbitrarioa), entonces Vi>0 y 3v<p son expresiones de tipo t en L

(v) Si a y (3 son expresiones en L que pertenecen al mismo tipo (aunque

arbitrario), entonces (a — ¡3) es una expresión de tipo t en L

(vi) Toda expresión en L debe ser construida a partir de (i) a (v) en unnúmero finito de pasos

Nos referiremos al conjunto de todas las expresiones en L de tipo a comoWE Z , o, si es claro cual L queremos utilizar, como W E a . En esta terminología, las fórmulas son elementos de W E t . La cláusula (ii) de la definición

anterior puede parecer más bien generosa con respecto al uso de los paréntesis,dado que coloca paréntesis alrededor tanto del argumento, como de la expresión completa. Sin embargo, esto a menudo ayuda a mantener legibles lasexpresiones. Cuando no sea así, trataremos de omitir los paréntesis superfluos.E sto se aplica, por ejemplo, a todos los paréntesis exteriores. Pero los paréntesis ‘interiores’ a menudo pueden omitirse, especialmente cuando el tipo de lasexpresiones es claro. A manera de ejemplo, de acuerdo con la definición 4.2.,

nuestra traducción de J uan ama a M ar ía es la fórmula ((L (M ))(j )). Si omitimos los paréntesis exteriores tenemos (L (m ))(j ). El par de paréntesis exterioresen (L (m )) no cumple ningún propósito para evitar ambigüedades, así que estostambién pueden omitirse, lo que resulta en L ( m ) ( j ) .

Ejercicio* 4.1.

Sea j una expresión de tipo e; M de tipo (e, t )\ S de tipo ((e, t ) , {e , t ) ) \ y C detipo ( ( e , t ) , t ) .

(a) Determine cuáles de las siguientes cadenas de símbolos son expresionesbien formadas de la Teoría de Tipos:



(i) J(M) (ü) S ( M ( j ))(iii) S ( M ) (iv) ( S ( M ) ) ( j )

(v) C(M) (vi) ( C ( M ) ) ( j )

(vii) C { S (M ) ) (viii) (,S ( S { M ) ) ) { j )

(b) Determine los tipos a y 6 en las siguientes expresiones, dado que todas

ellas son de tipo t :

(i) (ca(M))(j) (ii) Ca (M ( j ) )

(iii) (S (M ))(ca)(iv) Cb( {S (M) ) ( ca ) )

(v) Cb((C a( S)) (M ))

Ejercicio* 4.2.

Traduzca las siguientes oraciones en fórmulas de la Teoría de Tipos. Representelas descripciones el sal am i y el sofá mediante constantes de tipo e. Establezcala clave de traducción y dé los tipos de las distintas expresiones:

(a) J uan duerme apaciblemente

(b) J uan duerme, aparentemente

(c) Alberto rebana el salami cuidadosamente

(d) Si no haces nada, no harás nada malo

(e) María está sentada en el sofá

(f) María está sentada entre J uan y Alberto

(g) María está sentada en el sofá entre J uan y Alberto

Ejercicio 4.3.

¿Es posible asignar tipos a a , (3 y 7 de tal manera que tanto (a(/3))(7) comoa(/?(7)) sean expresiones bien formadas?

4.2.3. Semántica

Como de costumbre, la interpretación semántica de las expresiones bien formadas de un lenguaje de la Teoría de T ipos se basa en la definición de aquellasexpresiones bien formadas dadas en la sintaxis. Por ejemplo, si W es una expresión bien formada de tipo (e, t ) que hace las veces de camina , y j es una



expresión bien formada de tipo e, entonces W ( j ) es una expresión bien formada de tipo t . Ahora bien, dado que las expresiones de tipo t hacen referencia avalores de verdad y que las expresiones de tipo e hacen referencia a entidades,la interpretación de las expresiones de tipo (e, t ) tiene que ser algo que retorneun valor de verdad cuando se aplique a entidades. Esto significa que la interpretación del predicado monádico W es una función de entidades en valores de

verdad, a saber, una función que produce el valor de verdad 1 cuando se aplicaa una entidad d que tiene la propiedad de caminar, y 0 cuando se aplica a unaentidad d que no tiene esta propiedad. Es decir, dado un dominio conformadopor personas, el predicado W no se interpreta como el conjunto de todas laspersonas que caminan, sino como la función que asigna el valor de verdad1 a los elementos de dicho conjunto (las personas que caminan), y el valor deverdad 0 a las demás personas en el dominio. Cualquier función que asigne 1

a los elementos de un conjunto A que sean elementos de un subconjunto B de A y asigne 0 a los demás, se llama la fu n ci ón car acter íst i ca de B ( sobr e A ).

Veamos un ejemplo: si A = { a , b , c , d } y B = { a , b} , entonces la funcióncaracterística de B sobre A, escrita como /g , puede definirse como /s (a ) =/s(6) = 1 y f f í(c) = f s { d ) = 0. La función f u tiene como dominio el conjuntoA , su rango es el conjunto de valores de verdad {0,1} y asigna el valor deverdad 1 a todos los elementos de A que están en B y el valor de verdad 0 a

todos los elementos de A que no lo están.Los conjuntos y sus funciones características resultan ser la misma cosa.

Dado cualquier subconjunto X de un conjunto Y , podemos construir la funcióncaracterística de X sobre Y . Recíprocamente, dada cualquier función f d e Y a {0,1} podemos determinar el subconjunto X de Y del cual esa funciónes la función característica. Si X C Y , entonces f x es aquella función de Y en

{0,1} tal que para todo y G Y : f x ( y ) = 1 si y sólo si y G X . Y si f x es una

función de Y en {0,1}, entonces X = { y | f x ( y ) = 1}- En otras palabras,las afirmaciones ‘y G X ' y ‘f x ( y ) = 1’ son equivalentes, así que los conceptosfu n ción car acter íst i ca de un con ju n to X y un con ju nt o X son intercambiables.

Dado un dominio D , los predicados monádicos son interpretados comolas funciones características de los subconjuntos de ese dominio. En vistade la intercambiabilidad antes mencionada, esta situación no es diferentea la de la lógica de predicados estándar. Predicados monádicos distintos se

interpretan como funciones características distintas. La interpretación de unpredicado monádico es un elemento del conjunto de todas las funciones características de subconj untos del dominio D . La notación para este conjuntode funciones es {0 ,1}°. Así, para todo subconjunto X deD , {0, \ }D contiene la



función característica f x Dado que los conjuntos y sus funciones características son intercambiables, el conjunto de todas las funciones característicasde los subconjuntos de D y el conjunto de todos los subconjuntos de D también son intercambiables. En resumen, {0 ,1 }D es intercambiable por p ( D ) , elconj un to poten cia de D .

La interpretación de las expresiones de la Teoría de T ipos sigue este patrón

funcional de manera general. Una expresión de tipo (a , b) es tratada comouna función de ‘cosas de tipo a' en ‘cosas de tipo b\ La notación general parael conjunto de todas las funciones que vinculan un conjunto X con un conjuntoY es Y x . Así pues, este conjunto contiene todas las funciones que asignan unelemento de y a cada elemento de X . El conjunto de funciones {0 ,1 }D quemencionamos arriba es un caso particular. Los conjuntos X y Y puedentambién ser conjuntos de funciones, así que también tenemos, por ejemplo,({0,1 } D ) D , el conjunto de todas las funciones de D en el conjunto de todas las

funciones de D en {0,1}, y {0 ,1}(D \ el conjunto de todas las funcionesde funciones de D en D en el conjunto {0,1}. Obsérvese como los paréntesisson importantes para resolver ambigüedades en estos casos.

Por medio de esta notación, podemos representar para todo tipo a el dominio dentro del cual cualquier expresión de ese tipo ha de ser interpretada.Las expresiones de tipo e han de ser interpretadas como elementos de D . Lasexpresiones de tipo i, las fórmulas, han de ser interpretadas como elementosdel conjunto {0,1} de los valores de verdad. Y tal como en la definición de lostipos, construiremos ahora los dominios en los cuales esos tipos derivados hande ser interpretados a partir de D y {0,1}. El dominio de interpretación deexpresiones de tipo a, dado un dominio D , se escribe como D a¡D y se definede la siguiente manera:

Definición 4.3.

(i) D e,D = D

(ii) D¿ £) = {0,1}

(iii) D <a,6)>D = D ^“'d

Omitiremos el subíndice D siempre que esto no sea motivo de confusión. Presentamos a continuación dos ejemplos a manera de ilustración. En la Teoríade Tipos, un predicado diádico L (ama) es una expresión de tipo (e, (e , t ) ) . El dominio de interpretación correspondiente D e e t^ es el conjunto de fun

ciones es decir, (D P e)De, es decir, ({0 ,1 } D ) D . El dominio de interpre



tación de los predicados diádicos es, de esta manera, el conjunto de las funciones que vinculan entidades con (funciones características de) conjuntos deentidades. En términos concretos, esto significa lo siguiente: el predicado diàdico L se interpreta como una función de entidades en conjuntos de entidades.Esta función vincula una entidad d con el conjunto de todas las entidades queestán relacionadas por L con d, es decir, en el conjunto de todas las entidades

que aman a d. La función característica de este conjunto puede, entonces, aplicarse a una entidad para obtener un valor de verdad. Como había sido mencionado anteriormente, no hay diferencia esencial entre esta manera de interpretarlos predicados diádicos y la manera estándar: hay una correspondencia uno auno entre las funciones en ({0 ,1}D)D y los subconjuntos del conjunto D 2, elconjunto de todos los pares ordenados de elementos de D . La razón es que si/ es un elemento de ({0 ,1 }°)°, entonces, para todo d i G D , f (d \ ) G {0 ,1}D

y para cada d 2 £ D tenemos que ( f (d.¡ ))(e?2) G {0,1}. El conjunto A quecorresponde a / puede definirse así: A = { {d i , d2) | ( f (d \ ) ) ( d 2) = 1}. Recíprocamente, si A es un subconjunto de D 2, entonces la función / correspondientea A puede definirse así: para todo d\ G D , f (d \ ) es la función para la cual,para todo <¿2G D , (f ( d \ ) ) ( d 2) = 1 si y sólo si (di, (¿2) G A.

Un segundo ejemplo es el siguiente: consideremos el predicado de segundo orden C (col or ), el cual es de tipo ( ( e , t ) , t ) . El dominio de interpretación

es el conjunto de funciones {0,1}fí0’1}/J ). Así pues, el dominio de interpretación de los predicados de segundo orden es el conjunto de funcionesque vinculan (funciones características de) conjuntos de entidades con valoresde verdad, es decir, el conjunto de funciones características de conjuntos defunciones características de conjuntos de entidades. Cualquiera de tales funciones caracteriza un subconjunto del conjunto potencia del dominio D . En lalógica de segundo orden, tales subconjuntos son la interpretación de predica

dos de segundo orden. La interpretación de la Teoría de T ipos no introducenada nuevo en esta parte tampoco. E l cuadro 4.2. presenta un resumen delas interpretaciones de las expresiones incluidas en el cuadro 4.1. Por razones de legibilidad, la frase ‘funciones características de un conjunto’ ha sidoreemplazada por ‘conjunto’ en todos los lugares menos en el primero.

Un modelo M para un lenguaje L de la Teoría de T ipos consiste en undominio no vacío D junto con una función de interpretación I . Por medio deD y de los valores de verdad, los dominios de interpretación para expresiones de tipos arbitrarios se definen como en la definición 4.3. La función deinterpretación I asigna a cada constante en L algún elemento del dominiode interpretación, que corresponde al tipo de la constante. Es decir, para cada



T i po I n t e r p r e t a c ión

e Entidadt Valor de verdad(e, t ) Funciones de entidades en valores de verdad, es decir, (funciones

características de) conjuntos de entidades (í, t ) Funciones de valores de verdad en valores de verdad

(e, e) Funciones de individuos en individuos

((e,í ), (e, í)) Funciones de conjuntos de entidades en conjuntos de entidades(e, (e, t ) ) Funciones de entidades en conjuntos de entidades, es decir, con juntos de pares ordenados de entidades

(e, (e, (e, í})) Funciones de entidades en funciones de entidades a conjuntos deentidades, es decir, conjuntos de triplas ordenadas de entidades

( { e , t ) , t ) (Funciones características de) Conjuntos de conjuntos de enti

dades((e, t ) , ( ( e , t ) , t ) ) Funciones de conjuntos de entidades en conjuntos de conjuntos

de entidades, es decir, conjuntos de pares ordenados de conjuntos

(c, { ( e , t ) , t ) ) Funciones de entidades en conjuntos de conjuntos de entidades( ( ( e , t ) , t ) , t ) (Funciones características de) Conjuntos de conjuntos de con

juntos de entidades

Cuadro 4.2. Tipos e interpretaciones

tipo a, I es una función de C O N ¿ en D a,D- Además de esto, necesitamosasignaciones que interpretarán las variables. Una vez más, si v es una variable

de tipo a, la interpretación de v es un elemento del dominio correspondiente.En otras palabras, para cada tipo a, las asignaciones son funciones de V A R a en D Ü)D. Hemos definido de esta manera la interpretación de las expresionessimples (no compuestas) de L , dado un modelo M y una asignación g. Restaproveer una definición de la interpretación de las expresiones compuestas deL . Esto se hace, de acuerdo con el principio de composicionalidad, en términosde las expresiones de las cuales ellas se componen.

La situación es diferente, sin embargo, a la de la lógica de predicados,dado que no todas las expresiones compuestas son fórmulas. Por esta razón,necesitamos más que sólo una definición de verdad, es decir, una definición deVM ,g. Debemos definir el concepto general de i n t er pr et aci ón de a con r especto a un m odel o M y una a si gnación g , que denotaremos con [ck J m , - A sí comouna valuación Vm.g puede ser considerada como una función de fórmulas envalores de verdad, la función de interpretación [[J m,9 puede ser considerada

como una función que para todos los tipos a vincula W E a con D a£). Paraa = t , entonces, | m.o funciona como una valuación. L a definición de [a]M.gcorre, como es usual, paralela a la construcción sintáctica de las fórmulas bienformadas de L , la cual fue dada en la definición 4.2.



Definición 4.4.

(i) Si a £ C O N q , entonces [ajM ,9 = I ( a )

Si a £ V A R a , entonces [o:1m,9 = g(&)

(ii) Si a € WE^ a by p £ WE%, entonces [c*(/3)jM,g = W m ,9(| [/31m,9)

(iii) Si <j>, rp £ W E f , entonces

[-'0jM,g = 1 sii [01m,9 = 0

[0 A 4>}M,g = 1 sii 101M,g = W m ,j = 1

10 V V’Jm.p = 1 SÜ [01m,9 = 1 O = 1

10 -> V’lM ,g = 0 SÜ [0]m,9 = 1 y M m ,9 = 0

[0 -01m ,9 = 1 SÜ 101M,g = H m ,9

(iv) Si 0 £ W E f ' , v £ V A R a , entonces

| Vu0lM,g = 1 sii para todo d £ D ajD:| [0lMi9[v/d] = 1

pu0]M ,g = 1 sii existe por lo menos un d £ D Qi£) tal que:| [0lM,g[v/<fl = 1

(v) Si a , (3 £ W E j¿, entonces | a = /3]M,g = 1 sii I a]M,g = I/?1m >9

Ahora, la definición de verdad puede extraerse de esta definición general de la

interpretación de una expresión arbitraria con respecto a un modelo M y una

asignación g. Una sentencia 0 se dice ver dad er a con respecto a M sólo en el

en que | 0 J m = 1 (como en la lógica de predicados, dado que las sentencias carecen de variables libres, sus valores de verdad son independientes de las

asignaciones. Como resultado de ello, estas últimaspueden omitirse). Una

sentencia 0 se dice um ver salm en t e vál id a sólo en el caso en que [01m , — 1 para

todo modelo apropiado M , y una vez más la notación es |=0. También decimos

que dos sentencias 0 y tp son equivalentes sii |= 0 <-► ip. es decir, sii [01 m, =

HV’J m, para todo M . De manera más general: las fórmulas 0 y xp se dicen

equivalentes sii para todo modelo M y toda g, [0]M,g = Mivi.g- En la Teoría

de Tipos no hay razón para restringir la noción de equivalencia sólo a fórmulas.

Cualesquiera dos expresiones a y / 3 (del mismo tipo) se dicen equivalentes sii

para todo modelo M y toda g, [c*1m,9 = [/?1m,9- Para expresiones que carecen

de variables libres, esto se reduce a que a y fü sean equivalentes sólo en el caso



en Que H a = P ’ Debemos dejar claro en este punto que para las fórmulas 0yt p , (f ><+'4>y(P = 'tP significan exactamente la misma cosa. Ambas dicen que(f) y tp hacen referencia al mismo valor de verdad.

Ilustraremos ahora la definición de verdad aplicándola a algunos ejemplosconcretos. La cláusula (ii) asigna, entre otras cosas, la definición de verdada fórmulas de la forma

a(/ 3).La fórmula

W ( j ) ,nuestra representación de la

oración J uan está cam i nando, es un ejemplo de ello. Aquí W es una constante de tipo (e, t ), mientras que j es una constante de tipo e. L a fórmulaW ( j ) es de tipo t . La cláusula (ii) define la interpretación de esta fórmula conrespecto a un modelo M y una asignación g, de la siguiente manera: ella esel resultado de aplicar la interpretación con respecto a M y g del predicadoW a la interpretación con respecto a M y g de la constante j . De manera

más sucinta: [W (j)J M,g = P lM .gdb'jM ,;?)- De acuerdo con la cláusula (i),

tenemos que = I ( W ) y { j j M . g = I ( j ) > Y de acuerdo con la definición de la función de interpretación I , sabemos que I [ W ) es un elemento delconjunto de funciones D ê— {0 ,1}D. Esta es la función característica del conjunto de entidades en D que poseen la propiedad expresada por W , la cual es,por supuesto, el conjunto de entidades que caminan. La interpretación de laconstante I ( j ) es un elemento de D e, lo que significa que ella es un elementodel dominio D . Ella es, entonces, una entidad. L a interpretación, es decir, el

valor de verdad, de la fórmula W ( j ) ha de obtenerse ahora al aplicar I ( W ) a I ( j ) . Ella es 1 cuando I ( j ) es un elemento del conjunto caracterizado por

y 0 de lo contrario.

La cláusula (ii) también establece la definición de verdad para las sentencias que atribuyen propiedades a propiedades. Por ejemplo, tomemos lasentencia C(R) , la cual es la representación de la oración E l r ojo es un co-

lor. La cláusula (ii) define la interpretación de C(R) de la siguiente manera:

De acuerdo con la cláusula (i), esto es igual a

I ( C ) ( I ( R ) ) . La función de interpretación I establece que I (C ) S d| D( ^=

{0, l }«0-1) ). La interpretación del predicado de segundo orden C es, entonces, (la función característica de) un conjunto de (funciones características de)conjuntos de entidades. Los últimos son las denotaciones de aquellas propiedades que en sí mismas tienen la propiedad de ‘ser un color’. Más aún, tenemosque I ( R ) 6 D P e = {0 ,1}D: la interpretación de R es (la función característica

de) un conjunto de entidades, a saber, aquellas que tienen la propiedad de‘rojez’. La predicación de segundo orden C(R) es verdadera en un modelo Msólo en el caso en que el resultado de aplicar I ( C ) a I ( R ) sea 1. Es decir, sóloen el caso en el que el conjunto de entidades que forma la interpretación de R



en M sea en sí misma un elemento del conjunto de los conjuntos que formanla interpretación de C en M .

La cláusula (ii) de la definición 4.4. también es responsable de la interpretación de sentencias atómicas con relaciones. P or ejemplo, consideremosla fórmula la cual es nuestra representación de la oración Juan

ama a M ar ía en la Teoría de Tipos. Aplicando la cláusula (ii), obtenemos

que [L (m )(j)]M l9 = P 'C 'OjM dbjM .a)- Obsérvese que esto es claramenteanálogo a los ejemplos anteriores: la interpretación de una sentencia atómicase obtiene al aplicar la interpretación de los predicados a la interpretación delas constantes. L a cláusula (i) define | ?]M,g como J (j ), es decir, como unaentidad en el dominio D . Pero, ¿cómo se determina la interpretación de lospredicados en este caso? L (m ) es una expresión compuesta y no una constante,así que la cláusula (i) no será de mucha ayuda. La respuesta es que la cláusula

(ii) de la definición 4.4. también determina la interpretación de esta clase deexpresiones. En efecto, es responsable de la interpretación de todas las expresiones que se obtienen por medio de la aplicación funcional, es decir,la aplicación de una expresión de tipo (a, b) a una expresión de tipo a. Talesexpresiones incluyen no sólo fórmulas, sino también expresiones de tipos distintos a t . El predicado compuesto L ( m ) es uno de estos casos. Es una expresiónde tipo (e, í), formada al aplicar la expresión L . que es de tipo (e, (e , t ) ) , a m,

que es de tipo e. Su interpretación se obtendrá, una vez más, por medio de laclausula (ii): [L (m)]M,5 = I¿]| m , j ( H m , j ).

Hemos llegado nuevamente a las constantes: = HL ) ( J ( r n ) )

I ( m ) es un elemento de D . e I ( L ) es un elemento del conjunto de funciones:(Dpe)De _ (| q, i}D)£> c omo tal, ella es una función que, cuando se aplica

a una entidad, produce (la función característica de) algún conjunto de entidades. Aplicando I ( L ) a una entidad d, obtenemos el conjunto de entidades

que aman a d. Así que aplicando I ( L ) a obtenemos (la función característica de) el conjunto de entidades que aman a María. E sta funciónes [[í/(m)]M,g, la interpretación del predicado compuesto L ( m ) . Cuando se leaplica a el resultado es el valor de verdad 1 si J uan en efecto amaa María, y 0 en caso contrario. Vemos que L (m)(jf), la representación dela oración J uan am a a M ar ía en la Teoría de T ipos, tiene exactamente lasmismas condiciones de verdad que L j m , la presentación estándar en lógica

de predicados.Desde la perspectiva de la semántica del lenguaje natural, sin embargo, la

Teoría de T ipos tiene una ventaja en comparación con la lógica de predicados.Esta última interpreta los nombres propios Juan y M aría y el verbo amar al



combinar l°s tres en Ia interpretación de la oración completa en un sólo paso. El«ritagrna nominal am a a M ar ía no recibe ninguna interpretación independien-te E sto es distinto en la Teoría de Tipos: allí, la interpretación del predicadoc0inpuesto L ( m ) es una representación de la interpretación del sintagma nominal am a a M ar ía. En esta medida, la Teoría de T ipos es más apropiada parala estructura sintáctica y semántica de la oración J uan ama a María.

Regresamos ahora a la definición de verdad número 4.4. La cláusula (ii) daladefinición de verdad de las fórmulas atómicas. Hemos discutido tres ejemplosdistintos a este respecto. Hay, por supuesto, muchas otras clases de formuláisatómicas, pero se interpretan de manera análoga.

Las condiciones de verdad para las negaciones, disyunciones, conjuncionesy demás se dan en la cláusula (iii). Ellas son las mismas que en lógica estándar y no necesitan de elaboración posterior.

Los cuantificadores existencial y universal son manejados por la cláusula(iv). En particular, ella incluye la cuantificación sobre entidades de la lógica depredicados que nos es familiar y que llamaremos ahora cua n t i f i caci ón de pr i-

m er or den. Esta clase de cuantificación se interpreta exactamente como en lasemántica de la lógica de predicados. Pero además de cuantificación de primerorden, la cláusula (iv) también maneja la cuantificación sobre otros tipos de cosas además de entidades. Como un ejemplo de esta cu an ti f i cación de or den su-

per ior , consideremos la fórmula 37í(H (R ) A 7í(G )) , la representación de la oración E l r ojo y el v er de ti en en algo en común. R y G son constantes de tipo (e, t ) y Tí es una variable de tipo {{e, t ) , t ) . La interpretación de 37 i (7í(R ) AH (G ) ) se

determina de la siguiente manera: \ ^H {J~L(R) A7í(G))]m,9 = 1 si y sólo si existe un d € D ((eit))t> tal que p i {R ) A H {G ) }Mtg[n/ d] = 1. D<<eit)>t) es el conjunto

de funciones d| D< ^= {0 ,1}Í 0,1 D. Este es el conjunto de propiedades de propiedades de entidades. Así que la fórmula 3T i {7í(R) A H (G ) ) es verdadera sólo

en el caso en que haya alguna propiedad d de las propiedades de entidadestal que p i ( R ) A H { G ) lM ,s[H/rf] = 1- Este es el caso si lH (R)¡M ,g[n / d \ = 1 y[[W(G)| mtg[n/ d\ = 1- La interpretación de esas dos fórmulas atómicas es una

vez más el deber de la cláusula (ii). Así que tenemos P~í{R)}M ,g[n/ d\ — 1 sü

MM ,g[«/d](| [-RlM ,íf['H/d]) = 1-

A partir de (i) sabemos que l R }M ,g[n/ d\ = H R ) Y que 1 1 M ,g[n/ d\ = g[H / d \ (H ) = d. Así que ' H (R ) es verdadera con respecto a M y g[H / d] sii

I { R ) tiene la propiedad d. La fórmula completa 3H ( 7 i ( R ) A 7 i (G )) , entonces,es verdadera si hay alguna propiedad de propiedades de entidades que seacompartida por el rojo y el verde. Tal propiedad puede encontrarse fácilmente:la propiedad de segundo orden ‘color’ es un ejemplo, así que la oración (10) es



otras cosas, se explica por qué no puede haber un teorema de completitud p.,ra la lógica de segundo orden. Un argumento muy similar aplica para la TeJría de T ipos, la cual incluye a la lógica de segundo orden. En vista del hech0de que ninguno de esos asuntos tiene relación directa con la aplicación de Iq.sistemas lógicos en lingüística, la cual es nuestra preocupación principe]no los trataremos en profundidad aquí.

Ejercicio* 4.4.

Considere el modelo que se muestra más adelante en la figura. Su dominioconsiste en tres puntos, P\ , P% y P 3 , los cuales se denotan por las constantesindividuales ei, e2 y <23. L a propiedad ‘rodeado’ se expresa por la constante de predicado C, de tipo (e, t ) ; la relación que existe entre dos puntos, si hay

una flecha apuntando del primero al segundo, se representa por la constantediàdica de predicado A, de tipo ( e , ( e , t ) ) . La propiedad de segundoorden, de ser una propiedad que se aplica a los puntos que satisfacen ‘rodeado’, se representa por la constante £ , de tipo ((e, t ) , (e, t ) ) . Finalmente,la operación que vincula propiedades con sus complementos (la operación de‘negación de predicados’) se denota por T , una constante de tipo ((e, t ), (e, t)).

P 3

(a) Escriba la función de interpretación I .

(b) Determine para cada una de las siguientes fórmulas si es verdadera o noen este modelo y explique su interpretación:

(i) 3 x 3 y 3 z ( A ( y ) ( x ) A C{y ) A A ( z ) ( x ) A ~^C(z))

(ii) V z ( j 4 (x ) (x ) <->-•C ( x ))

(iii) V x(A (x)(x) -► 3 y ( A ( y) ( x ) A C { y ) ) )

(iv) V X 3 x X ( x )

(v) V X(V y(C (y) ->■~^X ( y ) ) ( 3 y (X ( y ) A A ( y ) ( y ) ) V ~^3yX(y ) ) )

(vi) 3 X { £ { X ) A £ { T ( X ) ) )



¿g Gramática Categorial

31 Introducción

sintaxis de la Teoría de Tipos es muy parecida a la Gr amáti ca Cat egor i al . También hay algunas diferencias, de las cuales hablaremos en §4.3.4. La for

mulación original de una Gramática Categorial fue hecha por el lógico polacoLesniewski, quien desarrolló en 1929 lo que él llamaba ‘una teoría de categorías semánticas’. Su sistema fue desarrollado posteriormente por otro lógicopolaco, Ajduciewicz. El vínculo entre la Gramática Categorial y la descripciónsistemática de la sintaxis de los lenguajes naturales fue fundada por Bar-Hillelen los cincuentas. Para el análisis de la sintaxis de los lenguajes naturales, Bar-Hillel propuso entender una gramática categorial como un sistema mecánico

de aceptación.E r los cincuentas y los sesentas, esta idea fue sacada de primer plano

por la expansión de la Gramática Transformacional-Generativa. J ohn L yonsfue el primero en proponer que se añadiera un componente transformacional ala Gramática Categorial, pero esta propuesta tampoco fue acogida en los círculos lingüísticos.

Las cosas no cambiaron mucho hasta el comienzo de los setentas, que vieronun creciente interés en las preguntas semánticas y en la aplicación de métodos

lógicos a la semántica. Alrededor de este tiempo, la idea de emplear unaGramática Categorial fue adoptada por varios filósofos y lógicos que estabaninteresados en el análisis del lenguaje natural, entre ellos Lewis, Montague,Cresswell, Bartsch y Vennemann y Geach. La razón de este renovado interésfue que la Gramática Categorial se presta muy bien para el tipo de semánticaque se hace en lógica, especialmente para la de la Teoría de Tipos.

4.3.2. Características de la Gramática Categorial

Una Gr amáti ca Categor i al Pu r a tiene las siguientes cuatro características:

(a) Hay un conjunto finito (y en la práctica pequeño) de categor ías básicas

(b) A partir de esas categorías básicas, se construye un conjunto de cate-

gorías der i vad as

(c) Hay una o dos r eglas si n tácti cas que describen la operación sintáctica deconcatenación y que determinan la categoría que resulta de esta operación



(d) Todo elemento léxico es asignado a una categoría

Aquí hay un ejemplo simple de una Gramática Categorial (como de costumbre,omitimos los paréntesis exteriores):

(i) Las categorías básicas son n (para ‘nombres’) y o (para ‘oraciones’)

(ii) Las categorías derivadas pueden obtenerse de la siguiente manera: si 4

y B son categorías, entonces (A \ B ) también es una categoría

(iii) La regla sintáctica es: si a es una expresión de categoría A y (3 es unaexpresión de categoría (A \ B ), entonces a(3 es una expresión de categoría

B

(iv) Juan es de categoría n; camina es de categoría n\ o, y rápi do es de categoría ((n \ o)\ (n \ o))

Una expresión de categoría A \ B junto con una expresión de categoría A forman una expresión de categoría B . La regla sintáctica es la responsable deesto: ella decreta que si primero escribimos una expresión de categoría A ydespués seguida a ella una expresión de categoría A \ B , entonces la expresióncompleta es una expresión de categoría B .

Obsérvese que la categoría de una expresión compuesta a (3 se obtiene al‘borrar’ la categoría de a en la categoría (derivada) de ¡3. Si esto no es posible,

entonces la expresión compuesta no es gramatical. El asunto de ‘borrar’ esreminiscente de la manera como el denominador es borrado al simplificar unaexpresión como 2 x 1/2. En efecto, otras notaciones para categorías derivadas que nos muestran esta analogía con fracciones se pueden encontrar en laliteratura, como A ¡B o B :A .

De acuerdo con esta gramática rudimentaria, las expresiones en (14) y (15)son de categoría o; ellas son, en otras palabras, oraciones:

(14) Juan camina n n\ o

lo

camina rápido n\ o (n\ o)\ (n \ o )

n\ o

l 1'3; Juan n

o



En general, entonces, una gramática categorial nos permite determinar si elresultado de combinar expresiones de cualquier categoría dada es en sí mismauna expresión gramatical, y si lo es, determinar su categoría. Recíprocamente también nos permite encontrar si una expresión compuesta dada está enla categoría o o no. En otras palabras, una gramática categorial provee unprocedimiento automático para determinar cuáles expresiones son oraciones y

cuales no.El ejemplo anterior es de una gramáti ca un i d i r ecci onal . Sólo se puede trabajar en una dirección, en el sentido en que si se tiene una expresión decategoría A \ B , entonces se tiene que escribir una expresión de tipo A al ladoi zqu i e rdo , para obtener una expresión de tipo B . Por supuesto, hay muchasexpresiones que resultarían en una nueva expresión si algo fuera escrito a suderecha. Tomemos, por ejemplo, un adjetivo como el pobr e. J unto con Juan, obtenido de la categoría n , obtenemos el pobr e J uan, así mismo en la categorían. La definición de las categorías derivadas puede modificarse, de la siguientemanera, para permitir expresiones como esta:

(v) Si A y B son categorías, entonces tanto (A \ B ) como (A / B ) son cate

gorías.

De esta manera obtenemos una gramática categorial bidireccional. Aquí, la dirección de la barra diagonal indica si la concatenación ocurre al lado izquierdoo al derecho. Tal gramática categorial necesita dos reglas sintácticas:

(vi) (1) Si a está en la categoría A y (3 está en la categoría A \ B , entoncesa 0 está en la categoría B

(2) Si a está en la categoría A / B y ¡3 está en la categoría B , entoncesa ¡3 está en la categoría A

Ambas reglas manejan la misma operación sintáctica, a saber, concatenación.En el ejemplo dado en (16), ambas clases de categorías derivadas estáninvolucradas:

(16) Elpobre

n/ n

-------rn

n\ o

Juan amaa la afortunada María n (n\ o)/ n n/ n n

n

T o



En otra variante de la Gramática Categorial, las expresiones en categoríasderivadas pueden concatenarse con varias otras expresiones de manera simultánea. En tal Gramática Categorial hay una nueva regla para construir categorías derivadas: (vii). La regla sintáctica correspondiente es entonces (viii).

(vii) Si A , B y C son categorías, entonces A \ B / C es una categoría

(viii) Si a está en la categoría A , ( 3 está en la categoría A \ B / C y 7 está en lacategoría C, entonces a / 3 " f está en la categoría B

De esta manera, el verbo transitivo amaa puede ser categorizado como n\ o/n,en lugar de (n \ ó)/ n . E sto significa analizar la oración J uan am aa M ar ía enla manera indicada en (17), en lugar de (18):

(17) Juan amaa María n n\ o/ n n

o

(18) Juan amaa María n (n \ o)/ n n

n\ o

1 ô

El análisis representado en (17) atribuye menos estructura a la oración deeste ejemplo que el análisis de la figura (18). En (18), am aa M ar ía es tratado como un constituyente único, pero no así en (17). Hablando de manera

general, un análisis como el presentado en (18) será preferido, de tal manera que las categorías de la forma A \ B / C no serán necesarias. U na excepciónes, por ejemplo, formada por las conjunciones coordinativas, para las cuales la categorización o\ o/ o se prefiere sobre o\ (o/o) u (o\ o)/o. Compárenselos análisis dados en (19) y (20):

(19) María n

canta

n\ o

y

o\ o/ o

Juan

n

baila

n\ o To

o



(20) María canta V n\ o o\ (o/ o)

Juan n

baila n\ o n

o o

o/ o

o

El análisis de y dado en (20) predice que M ar ía com e y es un componentede la oración entera, mientras que de acuerdo con (19), la oración tiene aM ar ía com e, y , y Juan bebe como sus tres componentes. El último análisis

es ciertamente el más realista.Debemos observar que nuestras intuiciones acerca de qué componentes

tiene una expresión y a qué categorías pertenecen dichas expresiones no sonndependientes de las funciones semánticas atribuidas a las expresiones encuestión. Esta es precisamente la razón por la cual las gramáticas categorialesfiguran, en particular, en modelos de la gramática orientados a la semántica.

En 1960 fue demostrado por Bar-H illel, Gaifman y Shamir que una gramática categorial pura es equivalente a una gramática independiente del contexto(para la definición de una gramática independiente del contexto, véase vol. 1,

cap. 7). E sto se aplica tanto a la gramática unidimensional como a la bidirec-cional. La equivalencia aquí es una equ i val encia débi l : todos los tres tipos degramática pueden ser usados para generar el mismo lenguaje. Ellos, sin embargo, no generan el lenguaje de la misma manera; ellos no son f ue r temen te equivalentes. En consecuencia, ellos no atribuyen la misma estructura a todaslas expresiones de ese lenguaje. En el caso de una gramática unidireccionaly una bidireccional esto se puede ver fácilmente. Una gramática categorial

unidireccional siempre distinguirá más elementos léxicos que una gramáticabidireccional, dado que cualquier elemento léxico sencillo que pueda apareceren distintas posiciones tendrá, necesariamente, que ser colocado en más de unacategoría. E sto se ilustra en la expresión (21), la cual representa un análisisde J uan am aa M ar ía en una gramática unidireccional (izquierda):

(21) Juan n

amaa María

n\ o (n \ o)\ (n \ o)



Los nombres propios pueden aparecer tanto a la izquierda como a la derechade un verbo transitivo. En una gramática bidireccional, los nombres en ambas posiciones pueden pertenecer a la misma categoría, como resulta aparenteen (17) y (18). En una gramática unidireccional, por otro lado, los nombres

propios que aparecen en esas posiciones deben ser de categorías distintas,dado que el análisis sólo se puede hacer en una dirección. Así es que en lafigura (21), por ejemplo, M ar ía está en la categoría (n \ o)\ (n \ o ), mientrasque Juan está en la categoría n. Pero como el nombre M aría también puede, por supuesto, aparecer a la izquierda del verbo, como en M ar ía am aa Juan, es claro que M ar ía tendrá que ser colocada en al menos dos categoríasdistintas. L o mismo aplica para todas las expresiones que puedan aparecer en

lugares diferentes de una oración.L a diferencia entre una gramática categorial bidireccional y una gramáticandependiente del contexto es en esencia la siguiente: una gramática categorialbidireccional siempre indica cuál entre dos componentes dados es dependienteiel otro, mientras que una gramática independiente del contexto no siemprejrovee esta información.

Aquí hay un ejemplo de una gramática independiente del contexto sencillar una gramática categorial bidireccional equivalente:

dramática independiente del contexto:

1. S = > N P V P

2. N P = > N

3. V P =>V N P

4. Aclj =>• elpobre, laafortunada

5. N => J uan , M ar ía

6. N =>■Ad j N

7. V => besaa, amaa

ramática categorial bidireccional:

1. Expresiones de categoría n: J uan, M ar ía

2. Expresiones de categoría (n\ o)/n: besaa, amaa

3. Expresiones de categoría n /n : el pobr e, laafort un ada



Ejercicio* 4.5.

(a) Convierta la siguiente gramática independiente del contexto (‘|’ distingue, como de costumbre, opciones distintas para la reescritura de unsímbolo) en una gramática categorial bidireccional, que tenga como categorías básicas S (para oraciones), C N (para nombres comunes) y T

(para sintagmas nominales completos):

a) S = > N P V P

b ) V P => Víntrans \ Vtrans N P

c) N P =4>P r op N \ D et N

d) N = > N Ad j

e ) D et =>• el, un

/) P r opN => Juan, Pedr o

g) N =>■hombre, caballo

h) ’ifitrciTis —r* camma, suda

0 Vtrans => adm i r a a, m al d i ce a, per sigu e a

j ) A d j => verde, grande, honesto

(b) Intente encontrar expresiones que puedan servir como ejemplos de expresiones de las siguientes categorías:

(i) (T \ S )\ (T \ S )

(ii) ((T \ S )\ (T \ S ))/ T

(iii) (T \ S )/ (C N / C N )

¿Qué reglas deben añadirse o modificarse en la sintaxis independiente decontexto dada en (a) para que tales expresiones sean incorporadas?

E jercicio 4.6.

¿De qué categoría son las expresiones casi y a lo sumo, tal como ocurren enfrases como casi todos y a lo sum o dos ? Especifique el tipo correspondiente yproporcione una descripción de la clase de objetos semánticos denotados poresas expresiones.



iponga que todos los elementos léxicos de un cierto lenguaje pertenecen aía sola categoría. ¿Es posible que una gramática categorial unidimensional-oduzca expresiones complejas del lenguaje que sean estructuralmente ambi-ras? ¿Qué sucede a este respecto en el caso de una gramática bidireccional?

.3.3. La adecuación descriptiva de la gramática categorial

lomo lo mencionamos anteriormente, las gramáticas categoriales puras sonquivalentes a las gramáticas independientes del contexto. Este resultado seemostró a comienzos de los años sesenta, durante los buenos tiempos de laramática transformacional, cuando la creencia de que se necesitan gramáticas

e capacidad generativa superior al de las gramáticas independientes del con-exto para la descripción del lenguaje natural estaba firmemente establecida.]sta es, ciertamente, una de las razones por las cuales la gramática categoriallabia tenido tantas dificultades para adquirir un estatus respetable entre losingüistas orientados a la sintaxis. La situación ha cambiado, pero sólo recien-emente. Algunos desarrollos nuevos que ayudaron a provocar este cambio se>resentarán en el capítulo 7.

¿Por qué se creía que las gramáticas independientes del contexto, y porcorrespondencia las gramáticas categoriales puras, eran descriptivamente inadecuadas? Las razones tienen que ver, principalmente, con la existencia de variasconstrucciones que tales gramáticas supuestamente no pueden manejar, por lomenos de una manera intuitivamente adecuada. Para ilustrar este caso, discutiremos brevemente tres de estos fenómenos.

En primer lugar, en el lenguaje natural hay componentes discontinuos.Compare las oraciones (22) y (23):

(22) L a situación fue completamente solucionada

(23) La situación fue solucionada completamente

En (22), el componente fu e solu cionad a ocurre de manera discontinua, es decir,es interrumpido por otra expresión. Esto contrasta con su continuidad en (23).En una gramática categorial en su forma pura, esta discontinuidad representaun problema. Las reglas no permiten que ninguna parte de un componenteesté separada del resto, dado que la única operación que se permite es laconcatenación sencilla entre dos cadenas de símbolos. Por lo tanto, nos vemosforzados a considerar fu e y solucionada como elementos léxicos separados y

jercicio 4.7.



a colocar cada uno de ellos en (por lo menos) dos categorías distintas, de talmanera que puedan formar componentes tanto continuos, como discontinuos.La oración (24) proporciona otro ejemplo de este fenómeno:

(24) J uan se P°ne el sombrero negro si M aría no se lo pone

Aquí tenemos la ocurrencia tanto de un componente continuo, como deuno discontinuo de se pone, en la primera y en la segunda cláusula, respectivamente. Aquí tampoco hay más opción para la gramática categorial, sinola de clasificar se pone, p one y se de manera separada, como tres elementosléxicos distintos. Mientras que esto no constituye ningún problema formal,ciertamente parece no acomodarse a la intuición de que el mismo componenteaparece en las dos cláusulas de (24), incluso si es continuo en la primera y

discontinuo en la segunda.Un segundo fenómeno que presenta problemas para las gramáticas catego-riales puras y las gramáticas independientes del contextose centra alredde la intuición de que la oración (25) significa lo mismoque la oración(2

(25) J uan ama a María y J orge a J ulia

(26) J uan ama a María y J orge ama a J ulia

Esta relación entre (25) y (26) puede explicarse de varias maneras. Unaposibilidad es que (25) se deriva de (26), al suprimir la palabra ama en la frasede la derecha. Otra conjetura es que la ‘parte faltante’ de (25) se introduzcadurante el proceso de interpretación. De cualquier manera, suprimir un componente o introducir uno pone en el panorama una dependencia del contexto,dado que el pedazo a ser suprimido o introducido debe estar siempre presente

en otra parte de la estructura (por supuesto, esta no es la única condición).Tales procesos tan sencil los que dependen del contexto caen fuera del alcancede las gramáticas independientes del contexto y de las gramáticas categoria-les puras. Obsérvese, sin embargo, que las explicaciones anteriores acerca delo que está ocurriendo no son las únicas: no hay una demostración de queuna descripción adecuada del fenómeno en cuestión deba involucrar algunadependencia del contexto de este tipo.

Un tercer fenómeno que ilustra el hecho de que la limitada capacidad ge

nerativa de las gramáticas independientes del contexto y de las gramáticascategoriales puras puede llevar a resultados poco intuitivos es el orden de las palabras. Ambas clases de gramática decretan un orden fijo y, por lo tanto,parecen fallar en su papel de herramientas descriptivas adecuadas para los



lenguajes en los cuales no es el orden de las palabras sino, por ejemplo, unsistema de casos el que determina las relaciones gramaticales, o incluso paralenguajes en donde el orden de las palabras en las cláusulas principales difiere del orden de las palabras en las cláusulas subordinadas, como en algunoslenguajes germánicos.

Objeciones como estas han convencido a mucha gente, por un largo tiempo, de que las gramáticas independientes del contexto son inadecuadas paradar una descripción adecuada de los lenguajes naturales, que esté acorde connuestras intuiciones acerca de los componentes de las oraciones y demás. Esteveredicto ha sido extendido a las gramáticas categoriales puras, la clase degramáticas introducidas en §4.3.2.

Por un largo tiempo esas conclusiones no han sido desafiadas. Sin embargo,

las gramáticas categoriales siguen siendo atractivas para aquellas personasque están interesadas en la semántica, dado que ellas proveen una explicaciónsencilla de la correlación entre las categorías sintácticas de las expresiones y susfunciones semánticas. Es por esta razón que la Gramática Categorial funcionade manera prominente en varios modelos de ‘gramática lógica’ (ver capítulo6), la primera de las cuales fue desarrollada en los setenta. Se han propuestovarias maneras de tratar los problemas mencionados anteriormente.

Una manera, que continúa por el camino de la gramática transformacional, es la de incluir una gramática categorial como el punto de partida de uncomponente transformacional. El componente básico de una gramática transformacional generalmente es una gramática independiente del contexto, y laidea es reemplazarlo por una gramática categorial. Esta sugerencia fue hechapor J ohn L yons (1968) y David Lewis (1972) la elaboró en detalle. L a idea esque los fenómenos discutidos anteriormente puedan explicarse por medio detransformaciones. Pero obsérvese que si hacemos esto, todas las objecionesque se han hecho acerca del excesivo poder generacional de las gramáticastransformacionales aplicarían también en este caso.

Una segunda posibilidad es incrementar el poder generativo de la mismagramática categorial. En las gramáticas categoriales puras, la concatenación esla única operación sintáctica que puede ser aplicada. Es posible incrementar laproducción, por así decir, de las reglas sintácticas al incluir otras operacionessintácticas. E sta segunda opción fue la seguida por Richard Montague (1970a;1973). Regresaremos a esto en el capítulo 6.

Estos dos enfoques aceptan la sabiduría tradicional concerniente a la poca adecuación descriptiva de las gramáticas independientes del contexto. Peroúltimamente, algunas personas han comenzado a cuestionar los hechos alega



dos: ¿acaso no son los lenguajes naturales realmente independientes del contexto? Es decir, ¿no pueden describirse los lenguajes naturales por medio demecanismos independientes del contexto? Esta discusión ha desenmascaradomás de un argumento poco sólido y en el momento el asunto es considerado como abierto (véase Pullum y Gazdar (1982) y Savitch et al. (1987) parauna visión general de varios argumentos, tanto nuevos como viejos). Más aún,el sentimiento general entre muchos lingüistas, hoy en día, es que cualquieraque sea la respuesta final a esta pregunta, tratar de definir una gramática independiente del contexto para un lenguaje natural es en sí mismo una empresavaliosa y significativa, aunque sea sólo para precisar en dónde aparece la dependencia del contexto, si es que la hay. Además, el interés creciente en modeloscomputacionalmente adecuados y eficientes del lenguaje natural y la ausenciasignificativa de éxito por parte de las personas que trabajan con las gramáticas

transformacionales para encontrar alguna restricción real en su poder generativo han sido influencias estimulantes. Varios modelos de gramáticas han sidoconcebidos con este espíritu, el más influencial de todas es la ‘Gramática deEstructura de Frase Generalizada’ (Gazdar, 1982; Gazdar et al., 1985) y la‘Gramática Funcional Léxica’ (Kaplan y Bresnan, 1982).

En lo que respecta a la gramática categorial, desarrollos similares han tenido lugar en este campo. En este contexto es importante llamar la atención

sobre el hecho de que los argumentos en contra de la adecuación descriptiva de las gramáticas categoriales puras involucran a menudo un llamamiento,implícito o explícito, a las intuiciones acerca de la estructura de los componentes de las expresiones y acerca de las categorías de las expresiones del léxico,entre otros. Resulta que las gramáticas categoriales pueden enriquecerse detal manera que les permite tratar los fenómenos mencionados anteriormente,pero a menudo de una manera poco ortodoxa. Según algunas personas, esto

sólo muestra que, por ejemplo, la noción de estructura de los componentes esuna noción más teórica de lo que se ha reconocido y que, por lo tanto, losargumentos que hacen uso de dicha noción también son sesgados por la teoría.Algunas de las técnicas que han sido introducidas en la Gramática Categorial alo largo de los últimos años serán discutidas en detalle en §7.3. Las referenciasa la literatura relevante se presentarán en la misma sección.

4.3.4. La Gramática Categorial y la Teoría de Tipos

En esta sección haremos algunas observaciones acerca de las relaciones entrela sintaxis de los lenguajes de la Teoría de T ipos y la Gramática Categorial.



En primer lugar, llama la atención la similitud entre la definición de lostipos y la manera en que las categorías son definidas en la Gramática Catego-rial. Se especifica un número finito de tipos básicos y una regla dice cómo lostipos derivados pueden construirse a partir de ellos. L a notación de los tiposderivados difiere de la que le hemos dado a las categorías derivadas, pero com0

resulta claro a partir de (27), la diferencia no es esencial:

(27) Juan nada {N(e¿) ( j e))

n n\ o

--------1--------o

Nadar es saludable (H({e,t),t)(S{e,t )))n\ o (n \ o)\ o

o

Sin embargo, existen algunas diferencias esenciales entre los otros dos principios de la Gramática Categorial. La Teoría de T ipos hace uso de otras operaciones sintácticas además de la concatenación, a saber, una operación queintroduce paréntesis. E sta operación sirve para fijar el alcance de las relaciones

entre varias clases de expresiones. Como resultado del uso de estos paréntesis,las expresiones de los lenguajes de la Teoría de T ipos carecen de la ambigüedadque se encuentra en muchas expresiones de los lenguajes naturales.

Hay otro aspecto en el cual la sintaxis de la Teoría de T ipos difiere dela producida por una Gramática Categorial. No todas las expresiones en ellenguaje de la Teoría de T ipos se colocan en una categoría particular, en este caso un tipo particular. Los cuantificadores, los conectivos y la relaciónde identidad se introducen sin cat egor emát i cam en te. Es decir, estas expresio

nes no son tratadas como elementos léxicos de un tipo particular. En el casode los conectivos, debe observarse que tal introducción sincategoremática no esnecesaria (este asunto se discute en §2.7. del volumen 1). La negación ->puede,por ejemplo, introducirse como una expresión de tipo (t , t ) , dado que resultaen una nueva fórmula cuando se aplica a una fórmula. De manera análoga,la conjunción A puede introducirse como una expresión de tipo (i, ( t , t ) ) . Deesta manera, las expresiones pueden generarse por una notación en donde los

conectivos se escriben como operadores en frente de sus argumentos, en lugarde estar entre ellos, como es usual. Un ejemplo: la fórmula (j> A (tp V x ) apare

cería en esta notación como A(^)(V('¡/’)(x))- El árbol de construcción para laúltima fórmula se da en (28) (cada expresión está seguida por su tipo):



(28) A(<¿)(V(VO(x))>*

A(</>), (í,í) v(VO(x), *

v(V»), (M)<t>, t

Ip, t

En esta notación, los paréntesis son superfluos. Podríamos igualmente escribirA0 V ,¡/,X- Esta variante sin paréntesis en la notación se conoce como notación polaca. Las cosas se vuelven un poco más complicadas en el caso de la identidad. L a razón es que dos expresiones de cualquier tipo pueden ligarse por

medio de la relación de identidad = y dar como resultado una fórmula, por lotanto, el símbolo = tendría que tratarse como una expresión de todos los tiposde la forma (a , (a , t )). L o que esto quiere decir es que se debe introducir paracada tipo (a, ( a , t ) ) una relación de identidad de este tipo. En el caso de loscuantificadores, la introducción categoremática enfrenta dificultades considerables. L a manera obvia sería tratar los cuantificadores como expresiones queconvierten fórmulas en otras fórmulas. Pero este enfoque falla, como veremos

ahora.De acuerdo con esta idea, los cuantificadores se tratan como expresio

nes de tipo ( t , t ) . En este caso, sin embargo, la correspondencia entre el tipode una expresión y su interpretación semántica conlleva dificultadesinsuperables. Como ya hemos visto, una expresión de tipo (a, b) se interpreta como una función de D a en D/;. En el caso especial de las expresiones detipo (í, t ) , la interpretación semántica es, entonces, una función de valores de verdad en valores de verdad. Ahora bien, aquí está una lista de las cuatro

funciones de {0, 1} en {0, 1}:

(i) La función que vincula ambos valores de verdad con 1

(ii) La función que vincula cada valor de verdad en el otro

(iii) La función que vincula ambos valores de verdad con 0

(iv) La función que vincula cada valor de verdad consigo mismo

L a interpretación de una fórmula como VxP (x) sería, entonces, el resultadode aplicar la interpretación de Vx a la interpretación de P ( x ) . Ahora bien,la interpretación de P ( x ) es un valor de verdad. La interpretación de Vx debería ser, en vista de su tipo sintáctico, una de las cuatro funciones anteriores



de valores de verdad en valores de verdad. L o que esto quiere decir es que elvalor de verdad de una fórmula \ / xP(x) dependería sólo del valor de verdadde P ( x ) . El valor de verdad de P ( x ) , es decir, una fórmula con una variablelibre x , depende de si g ( x ) , la entidad particular que la asignación g le asignaa x , tiene la propiedad expresada por el predicado P o no. Pero, por supuesto,de esto no depende la verdad de la afirmación de que todas las cosas tienen la

propiedad P . Para esto debemos saber, en otras palabras, si P ( x ) es verdad ono con respecto a toda asignación g. El valor de verdad de P ( x ) con respectoa una única asignación no es suficiente. La conclusión que debe sacarse deesto es que la interpretación semántica de una expresión cuantificadora comoVr no puede ser identificada con ninguna de las cuatro funciones posibles detipo (t , t ) . Y esto significa que sintácticamente la expresión Vr no puede sertratada como una expresión de tipo ( t , t) . Así que la manera obvia de introdu

cir los cuantificadores de manera categoremática no es factible. Esto no quieredecir, sin embargo, que no hay manera alguna de introducir los cuantificadoresde manera categoremática. Regresaremos a este asunto en §4.4.3.

4.4. Aabstracción

4.4.1. El Aoperador

Ahora extenderemos la Teoría de T ipos descrita en §4.2. al añadir una nueva clase de expresión: el operador A. Este operador nos permite formar nuevas expresiones a partir de expresiones, al abstraer sobre variables. Al haceresto, incrementamos el poder expresivo de la Teoría de T ipos de una maneraque resultará de especial interés en el análisis del lenguaje natural.Antes de continuar introduciendo el A-operador, consideremos brevemente algunas de las formas y construcciones de un lenguaje natural como el español

que hacen deseable tal operador. Comencemos discutiendo la traducción de lasiguiente oración en la Teoría de Tipos:

(29) Trotar es saludable

Una traducción de esta oración en la Teoría de T ipos puede obtenerse dela siguiente manera: dado que t r o ta r expresa una propiedad de individuos, laexpresión puede ser traducida como una constante de predicado J de tipo

(e, t ) . Salud able expresa, por lo menos en este contexto, una propiedad depropiedades de individuos y, como tal, debe ser traducida como una constante

de tipo ( ( e , t ) , t ) . La oración (29) debe traducirse como la fórmula 'H.(J), lacual expresa la proposición de que t r ota r es una act i v id ad saludable.



Miremos ahora una oración aparentemente análoga y consideremos cómola traduciríamos:

(30) No fumar es saludable

Una vez más tenemos una oración en la cual una propiedad, la de ser salu

dable, se atribuye a una propiedad de individuos, la de no fumar. La traducción de saludable no presenta ningún problema nuevo; como en (29),se traduce como una constante Tí de tipo ( ( e , t ) , t ) . El problema reside en latraducción de no fum ar . Comencemos por traducir f uma r como una constanteS de tipo (e, t ). Ahora, el problema es que la negación no puede ser aplicadaa esta constante 5, dado que el símbolo de negación -i sólo puede aplicarse afórmulas y no a expresiones de otros tipos. La expresión no f um a r podría, por

supuesto, ser traducida en su conjunto como una constante N de tipo (e , t ) . Pero esto ignoraría el hecho de que el significado de no fum a r se compone delsignificado de las palabras no y f uma r . En el español hay un proceso productivo que permite que la palabra no sea combinada con expresiones de variostipos, lo que da como resultado nuevas expresiones compuestas. De maneraparalela, el significado de las expresiones compuestas se construye a partir delsignificado de las expresiones que las componen. Quisiéramos ahora construir

un proceso similar en la Teoría de T ipos, de tal manera que obtengamos unamejor correspondencia con el lenguaje natural.

Aquí hay un segundo ejemplo de un proceso productivo de este tipo quefunciona en el lenguaje natural: la coordinación de predicados. Consideremos

el ejemplo (31):

(31) Beber y conducir es imprudente

En (31) encontramos una expresión compuesta, beber y conducir, queexpresa una propiedad de individuos. Esta expresión se forma a partir dela conjunción y, junto con los predicados beber y conducir . Al traducir (31),encontramos dificultades similares a las que encontramos en (30). Dado quela conjunción A sólo puede ser utilizada para unir fórmulas, no puede ser utilizada en predicados. Podríamos, por supuesto, decidir simplemente traducir

beber y cond u cir como una constante sencilla no analizada de tipo (e, t ), pero,una vez más, esto sería ignorar el hecho de que el significado de la expresióncompuesta se construye a partir de los significados de las expresiones conducir ,y , y beber , de las cuales se compone. El mismo comentario se aplica tanto a



imp ruden te como a no f um a r en (30). Imp r uden t e es un predicado compuesto de segundo orden, el cual es el resultado de un proceso productivo que seaplica al predicado de segundo orden prudente.

Otro ejemplo más se encuentra en los predicados reflexivos, como se ad-

miró. Si este predicado fuera a tratarse independientemente del predicadoadm i r ó, entonces perderíamos la posibilidad de explicar los vínculos cercanos

entre las propiedades que expresa. No podríamos, por ejemplo, dar cuenta dela equivalencia entre (32) y (33):

(32) J uan admiró a J uan

(33) J uan se admiró

El proceso mediante el cual el predicado compuesto se adm ir ó se obtiene a par

tir del predicado adm i r ó es, aparentemente, aquel en el cual se adm i r ó puedeser predicado de una entidad d sólo en el caso en que adm i r ó pueda ser predicado del par (d, d ).

Esos son algunos cuantos ejemplos que sugieren la necesidad de extender laTeoría de T ipos. Para dar cuenta de estas construcciones, se añade la siguienteregla a la definición 4.2. de §4.2.2.:

(vii) Si a es una expresión de tipo a en L y v es una variable de tipo b, entonces Av a es una expresión de tipo (b ,a) en L

Consideremos un ejemplo. Sea W una constante de tipo (e, t ) y x una variablede tipo e. En consecuencia, W ( x ) es una fórmula en la cual x aparece como unavariable libre. De acuerdo con la cláusula (vii), podemos formar la expresiónAx ( W ( x ) ) a partir de W( x ) . Dado que W ( x ) es de tipo t y x es de tipo e,

esta nueva expresión Ax ( W ( x ) ) es de tipo (e , t ) . Decimos que la expresiónAx(W (®)) ha sido formada a partir de la expresión W( x ) , por abstracción sobre la variable libre x . Decimos que las ocurrencias libres de la variable x ena están acotadas en Ax a por el A-operador Xx.

Es importante hacer en este punto un comentario con respecto a los paréntesis. Recordemos que los paréntesis alrededor de W ( x ) en X x (W ( x ) ) seintroducen por la aplicación de W a x (véase la cláusula (ii) de la definición4.2.). Aquí no pueden omitirse, dado que el resultado de hacerlo, que seríaAxW ( x ) , es una expresión con una estructura sintáctica diferente. Ella es loque obtendríamos si primero abstraemos (vacíamente) sobre x en W y después aplicamos el resultado de esto, AxW , a x. Ahora bien, resulta que en estecaso particular el omitir los paréntesis no es dañino en términos semánticos,



como se verá más adelante, a partir de la interpretación de la A-abstracción,dado que Ax W ( x ) y Ax (W ( x ) ) son equivalentes. Sin embargo, generalmenteno es el caso que si aplicamos A-abstracción a una expresión compleja formada por aplicación funcional, los paréntesis exteriores alrededor de la segunda puedan ser omitidos sin causar ningún daño semántico. Un caso en cuestiónes Ax ( A ( x ) ( x ) ) , que será discutido más adelante. Omitir los paréntesis alre

dedor de ( A ( x ) ( x ) ) generaría Ax A ( x ) ( x ) , y esta expresión tiene un significadodistinto.

Ahora bien, ¿qué interpretación debe darse a las expresiones formadas deesta manera por medio de (vii)? Consideremos el ejemplo de A x(W (x)) unavez más. Como ya hemos visto, esta expresión compuesta es de tipo (e, t ). Unaexpresión de este tipo se interpreta como una función de entidades en valoresde verdad. En consequencia, la interpretación de A x(W (x)) es del mismo tipo

que la interpretación de la constante W. Resultará aparente, a partir de lacláusula que define las interpretaciones de las expresiones formadas por A-abstracción, que las interpretaciones de Ax(VF(x)) y W 110 sólo son del mismo

tipo, sino que también son idénticas.Para ponerlo de manera general, la interpretación de una A-abstracción

AX(,Qa (los subíndices se refieren a los tipos de las expresiones) es una función,a saber, una perteneciente al conjunto de funciones D ^6. Por esta razón, la A-

abstracción también se conoce como la abstr acci ón fu n ci on al . Obsérvese que sia es de tipo t , entonces la interpretación de Axba t es un elemento del conjuntode funciones {0, l }Db. Ella es, en otras palabras, la función característica de unconjunto. Dado que los conjuntos pueden ser identificados con sus funcionescaracterísticas, Axbat puede servir para denotar un conjunto. En estos casos,el A-operador también se conoce como el abstr actor de con ju n tos.

Añadimos ahora la siguiente cláusula a la definición 4.4. de §4.2.3., la cual

determina cómo las expresiones de un lenguaje L de la Teoría de T ipos debenser interpretadas con respecto a un modelo dado M y una asignación g:

(vi) Si a G WE q y v G V A R b, entonces [Am]M ,g es aquella función h Gtal que para todo d G D 5: h (d ) = [a]M.g[i>/d]

A manera de ilustración, volvamos al ejemplo de Ax(W/ (x)), en el cual W esuna constante de tipo (e, t ) y x es una variable de tipo e. La cláu

dice que [Ax(VF(x))]M,g es la función h derivada del conjunto de funcionesD P e tal que para todo d G D e tenemos: h(d) = [VK (x)jM ,3[x/d]- Sabemos

que ü P e = {0, 1}° = el conjunto de funciones características de conjuntos deentidades. Así que h es la función característica de un conjunto de entidades.



Esta función está definida de la siguiente manera: para todo d € D tenemos

h (d ) = \ W(x )\ M,g[x/ d\ De esta manera, h(d) = 1 sii \ W{x)hA,g[x/ d\ = 1.Sabemos que [W (x)]Mi9[as/<i] = 1 sii [W1Miff[a./<fl([a;]Miff[x/d]) = 1 sii I ( W ) ( d ) =1. Así pues, h(d) = 1 sii d tiene la propiedad expresada por W. Esto significaque h es la función característica del conjunto de todas las entidades que tienen

la propiedad expresada por W . L o que, a su vez, significa que la interpretaciónde Ax ( W ( x ) ) es igual a la interpretación de W . Esto es así dado que [W ]m,9 =I ( W ) , mientras que para todo d en D tenemos que h(d) = 1 sii I ( W ) ( d ) = 1,así que h = I ( W ) . Podemos, por lo tanto, decir que X x { W (x)) y W sonequivalentes.

Consideremos ahora cómo los ejemplos de expresiones compuestas, las cuales discutimos al comienzo de esta sección, pueden ser analizadas en la Teoría

de T ipos enriquecida con el A-operador. La oración (30), N o fu m ar es sa-

ludable, puede ser traducida de la siguiente manera: sea S la traducción def uma r , ésta es una constante de tipo (e, t ) ; sea x una variable de tipo e. Ahora bien, S (x ) es una fórmula, una expresión de tipo t . Aplicando negación aesta fórmula obtenemos una segunda fórmula >S(x). Aplicando A-abstracciónsobre la variable x, obtenemos la expresión Xx ^S ( x ) . Esta última es de tipo(e, t ), dado que hemos abstraído sobre una variable de tipo t en una expresión

de tipo t . La expresión Xx>S(x) es, por lo tanto, un predicado de entidades, taly como lo es S. Para encontrar cuál propiedad es expresada por este predicado,

debemos determinar su interpretación: [A2:-iS(x)]m,s es la función h € DP®tal

que para todo d € D e tenemos que h(d) = [-,<S,(x)jM ,0[®/d]- E sto es: h(d) = 1

sii I -l‘S'(x)]i i,g[i/c¡] 1 SÜ | 5(x)]M,g[x/d] 0 SU [S']m,</[x/cí] (IMlM.gli/ci)) 0 s*iI ( S )( d ) = 0. De esta manera: h(d) = 1 sii d no tiene la propiedad expresada

por S. E sto significa que | [Ax-i5 (x)J m,3 es la función característica del con

junto de no fumadores, esto es, expresa la propiedad no fum ar . La expresiónde la oración (30) puede ahora obtenerse al aplicar el predicado de segundoorden H , la traducción de la palabra saludable, como aparece en (29) y (30),a Ax-iS(x). E l resultado, entonces, es x-i S(x)).

En (31), B eber y con d u ci r es im pr ud ent e, hay dos predicados compuestos: beber y con d u cir , que es un predicado de primer orden, e imprudente, en este caso un predicado de segundo orden. El primero de estos predicados

compuestos puede traducirse de la siguiente manera. Sean D\ y D ? las traducciones de beber y conduci r , respectivamente. Ambas son constantes de tipo(e, t ) . Sea x una variable de tipo e. Aplicando A-abstracción sobre x en laconjunción D \ (x ) A D 2(x ) obtenemos X x(D \ ( x ) A D 2( x ) ) . Esta expresión esuna vez más de tipo (e , t ) . La razón por la cual Ax(-Di(x) A D 2( x ) ) expresa



la propiedad de beber y conducir es evidente a partir de su interpretación:[Ax { D i ( x ) A D 2(x))]m ,9 es la función h 6 T>f>e tal que para todo d e D

tenemos h(d) = 1 sii [L>i(x) A D 2(x ) }M ,g[x/ d\ = 1 sii P i(*)lM ,ff[*/d] = 1 y| i?2(®)1m,j[x/<Í] = 1 sii I ( D l ) ( d ) = /(D 2)(<¿) = 1. Una traducción del predicado compuesto de segundo orden imp ruden te se obtiene por A-abstracciónsobre una variable del mismo tipo de los predicados de primer orden. Co

mo anteriormente, sea W la traducción de prudente. Esta constante es detipo ( ( e , t ) , t ) . Sea X una variable de tipo (e , t ) . Entonces, -'W (A ’) es unaformula que expresa el hecho de que X no tiene la propiedad de propiedades de ‘ser (una propiedad) prudente’. Abstraer sobre X da como resultadola expresión A-X’-i W (X ). Esta expresión es de tipo ((e,í ), i), dado que hemos abstraído sobre una variable de tipo (e, t ) en una fórmula. Este predicado compuesto de segundo orden expresa una propiedad de propiedades, asaber, la propiedad de ‘ser una propiedad imprudente’. Esto, debido a que

[A X - 'V'V(X)J m,9 es aquella k e d [D‘ ^= {0, l } 0’1}0) tal que para todas

las funciones h € D ^6 : k ( h ) = 1 sii I -,W (X )]M ,g[x/J i] = 1 sii (W )(/i ) = 0; esdecir, sii h no pertenece al conjunto de propiedades prudentes. Ahora bien, latraducción de la oración (31) puede obtenerse aplicando la traducción de im-

pruden te a la traducción de beber y conduci r . X X ( X ) ( X x ( D i ( x ) A D 2( x ) ) ) .

Una estrategia general para traducir predicados compuestos por no, y, o

y demás puede extraerse de estos ejemplos. Dado que en la Teoría de T iposlos conectivos y la negación sólo pueden aplicarse a fórmulas, las fórmulas seconsiguen aplicando primero los predicados originales a una o más variables.Los conectivos y/o la negación pueden aplicarse a esas fórmulas y abstraersobre las variables en cuestión genera el predicado compuesto requerido.

Ahora bien, también es posible, por supuesto, tratar la composición depredicados sin el A-operador. Indicaremos brevemente cómo se puede realizar

este proceso en el caso de la negación. En primer lugar, se debe retirar larestricción en la definición 4.2. de que la negación deba ser aplicada sólo aexpresiones de tipo t , es decir, a fórmulas. En su lugar, estipulamos quesi a es una expresión de tipo (a, t ), entonces -ic* también es una expresiónde este tipo (por ejemplo, f um a r y no f um a r son de tipo (e,í); pruden te eimp ruden te son de tipo ( ( e , t ) , t ) ) . La definición 4.4. también debe extenderse, definiendo a la interpretación de ->a, como aquella función en

D (a,t>= {0, l }Da tal que para todo d e D a : | H*J m,9(gO = 1 si H ]m,9(cO = 0y = 0 si [a]M ,g(d) = 1. De esta manera, por ejemplo, <S se interpreta como aquella función que devuelve el valor 1 cuando se aplica a d sólo enel caso en que la función que interprete a S devuelva el valor 0 para d, es decir,



sólo en el caso en que d no fume; este es el resultado correcto. Modificaciones (similares a las definiciones 2 y 4 darían cuenta de la composición de predica- Idos con los otros conectivos. E ntonces, ¿por qué necesitamos el A-operador? 1L a ventaja de un A-operador es que provee un tratamiento un i f o rme no sólo deestos ejemplos, sino también de muchos otros. Por esta razón, no abordaremos icon más detalle la posibilidad de no utilizar un A-operador.

Otro ejemplo de lo que el A-operador permite manejar hábilmente son los Ipredicados reflexivos, como se adm i r ó en (33), J uan se adm ir ó. Aquí también Idebemos volver primero a las fórmulas. Sea A una constate de tipo (e, (e , t ) ) ]la cual es la traducción de a dm i r ó, y sea x una variable de tipo e. A (x ) ( x ) |es, entonces, una fórmula. A partir de ésta, la expresión X x ( A ( x ) ( x j ) se puedeobtener por abstracción sobre x. Aquí, ambas ocurrencias de la variable x son acotadas por el A-operador. Esta nueva expresión es de tipo (e, í), por lo

tanto, no es del mismo tipo que A . Su interpretación se hace de la siguientemanera: [[Ax(j4(x)(x))| M,g es la función h € ü P e tal que para todo d € D

tenemos que h (d )=1 sii I ^(x)(x)]Mig[a;/d]=l sii I A (x)]M ,9[a/(fl([(z)jM ¿[z/d])=l

sii M M ,9[x/d](I ( )lM ,g[x/d])(I ( )lM >g[x/d])=l sii I ( A ) ( d ) ( d ) = 1. Es decir, unaentidad d tiene la propiedad expresada por \ x (A ( x ) {x ) ) sólo en el caso en queel par de entidades (d ,d) satisfaga la relación expresada por el predicado A.

-Como lo mencionamos anteriormente, omitir los paréntesis exteriores de

(t4(x)(x)) resultaría en la expresión Ax^4(x)(x), que no sólo tiene una estructura sintáctica diferente, sino también una interpretación diferente. La razónde esta diferencia es que Ax A ( x ) ( x ) es equivalente a A ( x ) y el significado deA ( x ) y de A x(A (x)(x)) obviamente no son idénticos.

No sólo las variables sobre las cuales abstraemos sino también las expresiones en las cuales ellas ocurren pueden ser de cualquier tipo. Sea A comoanteriormente y sean x e y variables de tipo e. Podemos abstraer ahora sobre

la variable y en la fórmula A ( y ) { x ) . El resultado, \ y (A ( y ) ( x ) ) , es de tipo (e, t )y expresa la propiedad de ‘ser admirado por x’. Entonces, podemos abstraersobre x en esta nueva expresión para obtener la fórmula AxAy ( A ( y ) ( x ) ) , quees de tipo (e, (e,i)), dado que está formada por abstracción sobre una variable de tipo e en una expresión de tipo (e, t ). Obtenemos, de esta manera, unpredicado binario que expresa la relación ‘ser admirado por’.

Es importante notar que cuando hay varias variables, el orden en el cual la

abstracción tiene lugar sí importa. Si primero abstraemos sobre x en A ( y ) ( x ),obtenemos la expresión Ax ( A ( y ) ( x ) ) , que expresa la propiedad de ‘admirar ay' Si entonces abstraemos sobre la variable y , obtenemos el predicado binarioAyAx(^4(y)(x)), el cual, tal como la constante A, expresa la relación ‘admirar’.





(g) Siempre ser uno mismo es imposible

(h) Ser perfecto es tener todas las propiedades buenas

(i) Compartir todas sus malas propiedades con María

(j) Ser o no ser

4.4.2. Aconversión

Una A-abstracción como Ax->(S'(x)) de tipo (e , t ) se comporta exactamenteigual que cualquier otra expresión del mismo tipo. E sto significa que estepredicado puede ser utilizado no sólo para representar predicaciones de ordensuperior, como en H(Xx > (S ( x ) ) ) , sino también para representar predicación

de primer orden. De esta manera, ella puede ser aplicada a una constante detipo e, por ejemplo j , de donde resulta la fórmula Ax~<(S(x))(j) que expresala proposición de que la entidad referida por j tiene la propiedad de ‘no fumar’.E sto es lo mismo que la proposición de que esta entidad no fuma, la cual puederepresentarse por medio de la fórmula equivalente -i ( S ( j ) ) . L o que hemos hechoaquí es omitir el Ax en Ax->(5(x)) y reemplazar las ocurrencias libres de x enla parte restante, -i(S(x)), por j . La notación general para el resultado de

reemplazar todas las ocurrencias libres de una variable v en una expresión¡3 por una expresión 7 es [7 / v\ (3. Así que en esta terminología, lo que hemoshecho es formar \ j / x ] * (S (x)) a partir de A x->(5(x))(j).

Surge entonces la pregunta de si una expresión de la forma Xvf3(^) siemprepuede reducirse a [7 / v] f3, preservando el significado. Este proceso de reducción se conoce como A-conversión. Así que la pregunta a ser respondida aquí es si la A-conversión siempre resulta en una expresión equivalente, esto es, si

(34) puede responderse afirmativamente o no:

(34) Pregunta : ¿Es cierto que para todo v, (3, y 7 se tiene que Xv(3{^) esequivalente a [7 / v\ ( 3?

Anteriormente hemos visto varios casos particulares que confirman (34). Alilustrar la cláusula que trata sobre la interpretación de la A-abstracción, porejemplo, hemos visto que Ax ( W ( x ) ) y W son equivalentes. E sto implica que

Ax {W ( x ) ) { c e ) y W { C e ) son equivalentes para cualquier constante individualce. En efecto, [ce/ x ] W ( x ) y W ( c e) son la misma expresión. También se sigue apartir de la interpretación de X x ( A ( x ) ( x ) ) que A x(yl(x)(x))(ce) es equivalentea ¿ (ce)(ce), es decir, a [ce/ x ] ( A ( x ) ( x ) ) .



Sin embargo, (34) no puede afirmarse incondicionalmente. Esto puede evidenciarse por medio de una situación similar que aparece en la lógica de primerorden. No es cierto que para todo </>, |=Vx</>—» Vy[y/x]0. La razón de estoes que puede suceder que la variable y que reemplaza a x en </>puede estaracotada en (p, por un cuantificador Vy o 3y que ya existía en (¡>. Como ejemplode una (p en la que esto ocurre, considere 3yR x y . Puede verse fácilmente que

\ y/ x] (p es la fórmula 3Ryy , de donde Vy[y/x]</>es Vy3yi?yy, la cual es equivalente a 3Ryy El hecho de que Vx3y R x y y 3yR y y no sean, en general, fórmulasequivalentes resulta obvio al considerar el caso particular en el cual R es larelación ^. La fórmula Vx3y ( x ^ y) claramente no es equivalente a 3y ( y ^ y), dado que la primera es verdadera en cualquier modelo cuyo dominio contienemás de un solo elemento, mientras que la segunda no es verdadera en ningúnmodelo: 3y(y ^ y) es una contradicción. Si tomamos ahora 3y(x ^ y) comonuestra fórmula ¡3, entonces \ x(3 (y) es Ax3y [ x y ) (y ) y [y/ x]/ 3 es 3y (y ± y). Ciertamente, Ax3y ( x ^ y) (y) y 3y (y ^ y) no son expresiones equivalentes. Laexpresión Ax3y(x ^ y ) expresa la propiedad ‘hay alguien además de x ’ (la pro

piedad de no estar sólo), dado que | Ax3y(x ^ y)]M.g es la función que asignael valor l a d, sólo en el caso en que haya algún d' ^ d en el dominio, y elvalor 0 cuando no sea así. En consecuencia, si D contiene más de un elemento,entonces la función [Ax3y(x ^ y)]]M,g asigna el valor 1 a cada elemento de D .

Ahora bien, | [Ax3y(x ^ y)(y)jM ,3 es el valor asignado por | Ax3y(x ^ 2/)lM ,g

a y (y), así que este valor también será 1 si el dominio contiene más de un sóloelemento. E sto contrasta con | 3y(y ^ y)]M.£, la cual, ciertamente, será 0. Deesto se sigue que Ax3y(x ^ y) (y) y 3y(y ^ y) no son fórmulas equivalentes.

En lógica de predicados hay, sin embargo, una condición bajo la cual Vx0

y V yi y/ x ]^ resultan equivalentes: la condición de que y sea l i bre par a x en 4>. Esta condición puede ser usada para nuestros propósitos, aunque aquí debeser generalizada, debido a la capacidad del A-operador para acotar variables.

Veamos la definición 4.5.:

Definición 4.5.

Una variable v' es l i bre par a v en la expresión (3 si y solamente si ningunaocurrencia libre de v en f3 está dentro del alcance de un cuantificador 3v ' o V i/, o de un A-operador Xv ' .

Resulta que Av/ 3(v' ) y [v' / v\ f3 son equivalentes si v ' es libre para v en ¡3. Comohemos visto, sin embargo, algunas de las expresiones 7 con las que hemostrabajado son más complejas que una simple variable v ' . En tales casos, la



A-conversión se permite sólo si todas las variables libres en 7 son libres p^v en (3. De esta manera tenemos el teorema 4.1.

Teorema 4.1. I

Si todas las variables libres de 7 son libres para v en f3, entonces A 1

/ v]¡3 son equivalentes. 1

No demostraremos este teorema aquí. La demostración es por inducción en¡3. El teorema 4.1. es particularmente útil, dado que permite reducir expresiones largas y complejas a expresiones cortas y más legibles que significanlo mismo. También facilita una demostración simple de cómo el orden en elque una expresión se aplica a otras dos puede ser importante. Si, por ejem

plo, XxXy (A ( y ) ( x ) ) se aplica primero a j y después a m, entonces obtenemosX xX y ( A { y ) ( x ) ) ( j ) ( m ) . Esto determina el orden en el cual la A-conversión debetener lugar. E l functor XxXy (A ( y ) ( x ) ) se aplica primero al argumento j , y elresultado, XxX y ( A ( y ) ( x ) ) ( j ) , que es de nuevo un functor, se aplica al argumento m (si escribimos los paréntesis exteriores de X xX y ( A ( y ) ( x ) ) ( j ) obtenemos( X xXy (A ( y ) ( x ) ) ( j ) ) ( r n ) , lo cual hace que la expresión sea más clara; pero, dado que A ( y ) ( x ) es de tipo t, no es necesario hacer esto). E l primer paso enla reducción, entonces, es aplicar A-conversión en XxX y { A { y ) ( x ) ) ( j ) , lo cualreduce la expresión X xX y ( A ( y ) ( x ) ) ( j ) ( m ) a Ay ( A ( y ) ( j ) ) ( j n ) . El siguiente pasoes substituir m por y , y como resultado se obtiene A (r n ) ( j ) . Dicha expresión esadecuada para el significado de XxXy (A ( y ) ( x ) ) . Esta última expresión, como lovimos anteriormente, se debe interpretar como la relación ‘es admirado por’.La aplicación a la constante j resulta en \ y (A ( y) ( j ) ) , que expresa ‘ser admirado por j \ La aplicación de esta última expresión a m resulta en A ( m ) ( j ) , quesignifica lo mismo que ‘j admira a m\ Si, por otro lado, XxX y ( A ( y ) ( x ) ) se apli

ca primero a m y después a j , el resultado es XxXy (A ( y ) ( x ) ) ( r n ) ( j ) . La primeraA-conversión tiene como resultado Ay ( A ( y ) ( m ) ) ( j ) , y la segunda, A ( j ) ( r n ) .

Hay casos en los cuales el teorema 4.1. no es aplicable directamente, peroincluso allí la situación tiene solución. Regresemos, por ejemplo, a la fórmulaAx 3 y ( x y ) ( y ) , sobre la cual la A-conversión no es sancionada directamentepor el teorema 4.1. El problema radica en el cuantificador 3y. Podemos deshacernos de este cuantificador reemplazando 3y (x y) por la fórmula 3z ( x 7 z) ,

que tiene el mismo significado. Esto es así dado que 2 es libre para y en x / y. De esta manera, obtenemos Xx3 z ( x 7 z ) { y ) y, por consiguiente, y es libre parax en 3z ( x z ), así que la A-conversión resulta ahora en 3z( y z ). Es claroque la última fórmula tiene el significado correcto.



pos preguntas teóricas pueden hacerse en relación con la A-conversión en•teínas lógicos como este. Primero, ¿será cierto que al aplicar A-conversiones

Sl manera sucesiva a una fórmula compleja se llega siempre a un estado en elual ya no es posible aplicar más la A-conversión? La respuesta es sí; la A-

°onversión no puede aplicarse de manera indefinida. Este resultado no es paranada trivial. Hay expresiones — aunque la verdad no pueden formularse enla versión de la Teoría de Tipos con A-abstracción que trabajamos aquí—en las cuales serían posibles ilimitadas A-abstracciones. Un ejemplo de talexpresión es A x(x(x))(A x(x(x))), la cual es una suerte de paradoja de Russellen forma de lambdas: [A x(x(x))/x](x(x)) es Ax(x(x))(A x(x(x))).

La segunda pregunta surge del hecho que en expresiones complejas la A-conversión, a menudo, pueda aplicarse en distinto orden. A partir del resultado mencionado arriba, sabemos que la A-conversión debe parar en algúnpunto, así que la pregunta sería: ¿será cierto que este punto es independien

te del orden con que arranquemos y acaso diferentes series de A-conversionessiempre dan el mismo resultado? La respuesta a esta pregunta es afirmativa, pero condicionada. Se debe permitir que las variables acotadas sean reemplazadas por otras variables, tal como lo hemos hecho anteriormente alsustituir z por y en 3z ( x y). El resultado final siempre es único cuando no selleve cuenta de tales variaciones de variables acotadas. E l resultado, también,está lejos de ser trivial. Este resultado no es válido, por ejemplo, para la teoría

intensional de tipos que discutiremos en el capítulo 5.

Ejercicio* 4.10.

Sea j una constante de tipo e; M , de tipo (e, t ), y A de tipo (e, (e, í}). Másaún, x e y son variables de tipo e, y Y es una variable de tipo (e, t ). Reduzcalas siguientes expresiones por medio de la A-conversión tanto como sea posible:

(i) A x(M (x))(j)

(ii) AY ( Y ( j ) ) ( M )

(iii) A xA Y (Y (x))(j)(M )

(iv) Ax V y { A ( x ) ( y ) ) ( j )

(v) AxV y ( A ( x ) ( y ) ) ( y )

(vi) X Y ( Y ( j ) ) X x ( M (x))

(vii) XY \ / x (Y ( x) )X y (A ( x) (y ) )



Es posible definir los conectivos y cuantificadores usuales utilizando sólo ]aidentidad y el A-operador. Presentamos la definición de la tautología T

)la cual es una noción auxiliar útil, donde p es una variable de tipo t : 1

T ~def Ap(p) |Provea las definiciones de negación, conjunción y del cuantificador universal. 1

4.4.2.1. El Aoperador y la composicionalidad

Hemos visto cómo el A-operador nos permite hacer una traducción formal devarias expresiones y construcciones del lenguaje natural. Ahora indicaremos,

de manera breve, cómo este operador permite que el proceso de traducciónse realice más sistemáticamente. El propósito principal de traducir un lenguaje natural en un lenguaje formal es obtener una interpretación semánticadel primero, vía la semántica del segundo. Esto se logra ya que el significado de una traducción correcta es igual al significado de lo que es traducido.

Para que la interpretación semántica sea satisfactoria, sin embargo, es necesario que el proceso de traducción cumpla con ciertos requerimientos. Entre

ellos, dos importantes son que el proceso sea exp líci t o y que pueda ser especificado de un a man er a f i n i ta. Tal como en el caso de la sintaxis, el requerimientode que el proceso de traducción sea explícito significa que no debe recaer demanera alguna en el conocimiento o creatividad del traductor: el proceso debeser tal que podría, por lo menos en principio, ser automatizado. Más aún, elproceso de traducción, aunque esencialmente finito, debe traducir un númeropotencialmente infinito de oraciones.

Una manera de hacer esto es seguir el camino de las reglas sintácticas dellenguaje natural en cuestión, de las cuales hay un número finito. Aquí asumimos que hay traducciones disponibles para todos los elementos léxicos dellenguaje, los que también son un número finito. Entonces, para cada reglasintáctica que dice cómo se pueden usar las expresiones para formar expresiones complejas, formulamos una regla paralela, que dice cómo la traducciónde dichas expresiones pueden ser combinadas para traducir las expresionescomplejas. Esto guarda una gran semejanza con el principio de composiciona

lidad del significado y en efecto la semejanza no es sólo una coincidencia. Dadoque las traducciones forman representaciones semánticas de lo traducido,la composicionalidad del significado trae consigo la com posi ci ona l i da d de la traducción.

Ejercicio 4.11.



Ahora bien, debe ser claro que la manera en que hemos traducido hastalas oraciones del lenguaje natural en lógica de predicados estándar no

ni explícita, ni composicional. Consideremos la oración (35), por ejemplo,cual se traduciría de manera más natural como (36):

(35) J uan fuma y bebe

(36) S j A D j

Esta manera de traducir no es muy explícita, pues hace uso esencial de nuestroconocimiento del significado de (35), en particular, de nuestro conocimiento deque (35) expresa la conjunción de dos oraciones. Además, no es composicional,dado que no ofrece ninguna explicación de cómo la traducción (significado) de(35) se construye a partir de las traducciones (significados) de Juan y f uma y bebe, o de cómo la traducción de fu m a y bebe se construye a partir de lastraducciones de f um a y bebe. De hecho, en el lenguaje de la lógica de predicadosno es posible dar cuenta de esto, dado que la expresión fu m a y bebe no puedetraducirse en tal lenguaje. Como hemos visto, sin embargo, si añadimos un A-operador, dicha traducción se hace posible, pues los elementos léxicos de (35)son representados de la siguiente manera: Juan: j , fu m a: S, bebe: D . La frase

fum a y bebe puede ser representada por (37), mientras que la oración (35) setraduce como (38):

(37) Xx (S ( x ) A D ( x ) )

(38) Xx (S ( x ) A D ( x ) ) ( j )

Aplicando A-conversión a (38) obtenemos la oración más familiar (36) (qui

tando o poniendo algunos paréntesis). Así que el resultado es el mismo, perola manera en que fue obtenido es preferible.

Un segundo ejemplo es el de la traducción de las oraciones que contienentérminos cuantificados. L a oración (39), por ejemplo, se traduce como (40):

(39) Todo hombre camina

(40)V x ( M ( x )

-»W{ x ) )

Esta traducción en lógica de primer orden estándar tampoco es composicional.No tenemos términos separados para todo hombr e. Utilizando el A-operador,sin embargo, es posible darle una traducción (y por lo tanto su significadopropio) en la Teoría de Tipos. Todo hom br e se traduce como (41):



(41) AY Vx(M (x) -» F (x))

Aquí, Y es una variable de tipo (e, t ), así que (41) es una expresión de t ip9( ( e , t ) , t ) . Como tal, su interpretación es (la función característica de) alg^ 1conjunto de conjuntos de individuos. E n otras palabras, (41) es un predicadosegundo orden que expresa ÍY es una propiedad que es verdadera de todos 1<9

hombres’. Aplicando (41) al predicado W , la traducción de camina , obteneiQqJ(42) como nuestra traducción de (39):

(42) AF V x(M (x) -» Y ( x ) ) ( W )

Esta fórmula expresa la proposición de que la propiedad de ser algo que cami

na es una de las propiedades de todos los hombres, lo que significa que ‘todo

hombre camina’. Una vez más, (42) se reduce por A-conversión a la versión

más familiar (40). Así que no es el resultado de la traducción el que es mejor,

sino la manera de llegar a ella. E l A-operador nos permite traducir (39) compo-sicionalmente, a partir de las traducciones de todo hom br e y camina. Incluso,el determinante todo puede traducirse de manera separada, a saber:

(43) A XA F V x(X (x) -» Y ( x ) )

De esta manera, el determinante se traduce como una expresión de tipo((e, t ) , ( (e, t ) , t ) ) . Su interpretación puede considerarse como una relación binaria de segundo orden, es decir, una relación entre conjuntos de individuos.Según esta relación, un conjunto A se relacionará con un conjunto B solamentecuando todos los elementos de A sean elementos de B . Aplicando (43) a unpredicado monádico de primer orden, por ejemplo M , obtenemos el predicadomonádico de segundo orden (44):

(44) A X A F V x(X (x) -» Y ( x ) ) ( M )

Esta es la traducción composicional del término cuantificado todo hombre. Laexpresión (41) puede recuperarse al aplicar A-conversión a (44).

El procedimiento delineado anteriormente también puede aplicarse a otrostérminos cuantificados, como una m u jer , t r es m uchachos , el r ey de F r an ci a , y

a otros determinantes como un , el, todo, dos, etc. Regresaremos a este temacon mayor profundidad en el capítulo 6. Allí daremos un procedimiento detraducción para un fragmento del idioma español, trabajando dentro de la gr a

máti ca de M ont agu e.



F A operador también hace posible introducir cuantificadores de mane-W t oremát i ca en lugar de sin categoremát i ca. Aquí, nos restringiremos aCü antificad°res de primer orden. El tratamiento categoremático de cuan-

l°s 0 , g de orden superior es completamente análogo. Introduciremos losti .ecadores de primer orden 3 y V de manera categoremática, tratándolos

CU o predicados de segundo orden, es decir, como expresiones de tipo ((e, t ) , t) . C ^ S X ° iQ ge aplican a los predicados de primer orden, entonces, los cuantificadores resultan en una fórmula. Los cuantificadores siguen siendo constanteslógicas Por lo tanto, debemos añadir cláusulas a la definición de la funciónde in te r p r e ta c ió n que establezcan cuáles elementos de D ^ e>í)it) deben tomarse

como interpretaciones de los cuantificadores:

1. 7(3) es la función /g G {0,1 }í° 1 tal que si h e {0 ,1}D. entonces

f 3 (h ) = 1 sii hay un d e D tal que h(d) — 1

2. /(V ) es la función /v G {0 ,1}Í 011D tal que si h G {0,1}-°, entoncesf y ( h ) = 1 sii para todo d G D : h (d) = 1

En palabras más sencillas: 1(3) es (la función característica de) el conjunto desubconjuntos no vacíos de D. es decir, (la función característica de) { A \ A C

D & A 7 0}. /(V ) es (la función característica de) el conjunto de subconjuntosde D que contienen todos los elementos de D . es decir, el conjunto con D como su único elemento: { D } . Para un predicado monádico de primer ordenP , la fórmula 3(P ) es verdadera sólo cuando por lo menos una cosa en eldominio es un P . Y la fórmula V(P ) es verdadera solamente cuando todoen el dominio es un P .

El A-operador se necesita, ahora, para convertir las fórmulas con una

variable libre v (es decir, precisamente la clase de fórmulas a las cualesnormalmente le aplicaríamos el cuantificador 3v o Vt>) en predicados monádi-cos a los cuales se les pueda aplicar los cuantificadores 3 y V, que hemosintroducido de manera categoremática. Así que escribimos V A x(A (x)(z)) enlugar de Vx(^4(x)(x)), y 3 \ x V \ y (A (x ) ( y) ) en lugar de 3xVy (A ( x ) ( y ) ) . Paraponerlo de manera general: 3Ax0 debe escribirse en lugar de 3xtj), y VAx0en lugar de Vx<£.

Hemos interpretado 3 como el conjunto de todos los conjuntos no vacíosde D . Esto significa que el cuantificador 3 es equivalente a la expresiónA K 3x(Y (x)) en la Teoría de T ipos, que contiene el cuantificador normal 3x.De la misma manera, V es equivalente a A F V x(F (x)). La expresión 3 y laexpresión equivalente X Y 3 x ( Y (x)) pueden verse como representaciones lógi



cas del término cuantificado algún (o alguien , si el dominio en cuestión coq í siste sólo de personas). La expresión V, y por lo tanto \ Y V x (Y ( x )) , reprelsenta de manera similar el término cuantificado todo. Por ejemplo, el vínClQcon la manera en que el término todo hombre fue representado en (41) es obvi0

También es posible dar un tratamiento categoremático de las expresiones en U Teoría de Tipos que corresponden a determinantes. Sin embargo, los determi.

nantes no crean problemas nuevos, así que no lo haremos aquí. Tal vez esimportante resaltar que aunque ahora tenemos dos maneras aparentementedistintas de traducir algún, a saber, 3 y XY 3 x ( Y ( x ) ) , las dos son en efecto equivalentes, así que no hay razón para preferir una en lugar de la otraAmbas expresiones representan el mismo significado, así que la diferencia espuramente notacional.

Un último punto que queremos resaltar concierne a la representación de las

expresiones cuantificadas como muchos, la mayor ía, pocos, más de la mi tad, etc. Estas expresiones no pueden representarse por medio de los cuantificado-res familiares de la lógica de predicados estándar. Sin embargo, ellos puedenrepresentarse en la Teoría de T ipos con A-abstracción. Pero incluso aquí hayuna diferencia esencial entre, por una parte, aquellas expresiones cuantificadas que pueden representarse en términos de cuantificadores estándar, talescomo t odos, un, exa ctam en t e un o, t r es a lo sum o, más de cuat r o, y similares,

y, por otra, las expresiones que acabamos de mencionar, que no pueden serrepresentadas de esta manera. E sta diferencia se puede ilustrar de la siguientemanera: las oraciones con cuantificación restringida como un hombre o t o-

dos l os m uchachos siempre pueden parafrasearse usando el cuantificador norestringido correspondiente:

(45) Un hombre está caminando

(46) Todos los muchachos están durmiendo

(47) Alguien (es un hombre y camina)

(48) Todo (duerme, si es un muchacho)

En el caso de los cuantificadores restringidos como muchos hom br es y la ma

yor ía d e m ucha chos, sin embargo, las parafrases de este tipo son bastante

extrañas, como se puede ver claramente en los siguientes ejemplos:

(49) Muchos millonarios son felices

(50) Muchos (son millonarios y felices)



iJua parafrase utilizando el cuantificador universal no resulta mejor:

(51) Muchos millonarios son pobres

(52) Muchos (son pobres, si son millonarios)

Mientras que (51) es sencillamente falsa, (52) es verdadera dado que hay relativamente pocos millonarios (y dado el significado de la implicación material).£1 punto es este: las oraciones con cuantificadores estándar restringidos siempre pueden reducirse a oraciones en las cuales un cuantificador, que es unpredicado monádico de segundo orden, se aplica a algún predicado de primerorden compuesto. Sin embargo, esto no es cierto para oraciones con cuantificadores como muchos , la mayor ía y similares, los cuales son cuantificadores

restringidos. Tales oraciones no pueden reducirse a oraciones en las cuales elcuantificador se vuelve un predicado monádico de segundo orden que se aplica a un predicado compuesto. L os cuantificadores como muchos y la m ayor ía son esencialmente binarios. Esto puede demostrarse rigurosamente, pero no loharemos aquí. Tales expresiones deben ser, entonces, interpretadas como expresiones de tipo ((e, t ), ((e, t ) , t ) ) , esto es, como relaciones binarias de segundoorden. Permítasenos dar un ejemplo: un conjunto A de individuos se relaciona

con un conjunto B , por medio de la relación más de la m i t ad sii más de lamitad de los elementos de A también están en B . Una complicación adicionalocurre con expresiones como muchos , pocos y la m ayoría. Estas expresionestambién deben ser interpretadas como relaciones binarias de segundo orden,pero no es obvio exactamente a cuáles relaciones binarias de segundo orden serefieren. L a proporción de A s que deben ser B s para que la oración muchos A s son B s sea verdadera es un asunto, en gran medida, dependiente del contexto.

El análisis de las expresiones cuantificadas esbozado anteriormente juegaun rol muy importante en el marco de la Gramática de Montague, que será introducida en detalle en el capítulo 6. Recientemente, este análisis ha inspiradomuchas investigaciones sobre la naturaleza de las expresiones cuantificadasque se conoce como la ‘Teoría de los Cuantificadores Generalizados’. Estateoría se introduce en el capítulo 7.



Capítulo 5

Teoría de Tipos Intensional

5.1. IntroducciónEste capítulo consiste, principalmente, en una exposición de la T eoría de T i-

pos I nt en sional , un sistema obtenido al enriquecer la Teoría de T ipos con unasemántica intensional. L a semántica intensional particular usada aquí difiere enmuchos aspectos de la que se presentó en la sección 3.3.4. para la lógicade predicados modal. Volveremos sobre las diferencias y similitudes dentro depoco. Una razón para tratar esta teoría particular de tipos intensional es que

la necesitaremos más adelante cuando lleguemos a la Gramática de Montague (en el capítulo 6). La última sección de este capítulo contiene algunasobservaciones sobre la Teoría de T ipos Di-sorteada. Así como la Teoría de T ipos Intensional, aquella es una extensión de la teoría de tipos extensional quetratamos en el capítulo 4.

5.2. Construcciones y conceptos intensionales

Hay mucho por decir sobre la Teoría de T ipos Intensional como un interdiarioentre el lenguaje natural y su interpretación semántica. Como argumentamosen la sección 4.2.1., los lenguajes naturales contienen expresiones de muchos



tipos divergentes. Por consiguiente, es apropiado utilizar un lenguaje lógico conuna estructura de tipos. Además, los lenguajes naturales son intesionales, puescontienen expresiones y construcciones que crean contextos opacos. Hemosvigto muchos ejemplos de esto en el capítulo 3, en particular en la sección 3.1.Los contextos opacos son también conocidos como cont ext os i n ten si on al es, ylas expresiones y construcciones a las que dan lugar, en cuanto tal, se dice que

son intensionales.La intensionalidad de los lenguajes naturales es relevante en muchos aspectos. Para comenzar, los lenguajes naturales contienen expresiones temporales,modales y deónticas, las cuales involucran intensionalidad. Un sistema lógico adecuado debería contener expresiones que correspondan a las anteriores.Además de esto, sin embargo, debería contener expresiones que refieran directamente a entidades intensionales como proposiciones, conceptos individualesy propiedades; dado que los lenguajes naturales contienen también estas expresiones. Como ejemplo de expresiones de este estilo, considere lo siguiente:

(1) J uan afirma que la reina de Holanda reside en La Haya

La expresión a f i rma en (1) no puede reemplazarse por una relación entre unindividuo, en este caso J uan, y una oración , en este caso (2):

(2) L a reina de Holanda reside en La Haya

La razón es que (1) podría ser verdadera sin que J uan sostenga una relacióncon esta u otra oración en español. El no necesita haberla escrito, pronunciadoo algo parecido. J uan podría ser un galés iletrado que no reconocería una oración en español si la viera, y aún así podría seguir afirmando que la reina deHolanda reside en La Haya. El podría afirmar esto, por ejemplo, pronunciando

las palabras M ae brenh i nes yr I salm aen yn byw ’n yr Hág, que corresponden ala traducción galés de (2). E sto último sugiere fuertemente que a f i rma r e s unarelación, no entre individuos y oraciones, sino entre individuos y proposic io-

nes. En particular (1) dice que J uan mantiene la relación con la proposiciónexpresada no solamente por (2) sino también por su traducción galés y por la

siguiente oración:

(3) La mujer monarca de Holanda vive en La Haya

En la oración (1), entonces, la expresión Juan hace referencia a un individuoy la rein a de H ol anda r esi de en L a H aya hace referencia a una proposición,



mientras que a f i rma hace referencia a la relación entre el individuo y la pf ■posición. Esto, por supuesto, no implica decir que la verdad de (1) excluiiJque J uan mantuviera cierta relación con oraciones particulares. Típicamente Ial afirmar una proposición, uno debe deci r , escr i b i r , gr i ta r o pr ofer i r alg ’oración que exprese la proposición. E l punto es sólo que (1) no es acerca 3proferir sino de afirmar.

Si una teoría lógica consiste en proveer representaciones de oraciones qn jhacen referencia a entidades intensionales como proposiciones, entonces se re-lquerirá de expresiones que correspondan a esas entidades. La expresión la reina de H ol and a r esi d e en L a H aya hace referencia a una proposición, y una traducción composicional del significado de (1) requerirá de una teoría lógica conla capacidad para hacer referencia a proposiciones. E jemplos similares a (1)pueden construirse para mostrar que también se requieren expresiones lógicasque hagan referencia a conceptos individuales y a propiedades.

Vimos en la sección 1.8. que las proposiciones, los conceptos individualesy las propiedades son las intensiones de oraciones, términos y predicados, respectivamente. E l concepto de intensión, que podría ser definido en términos dereferencia múltiple, es la contraparte formal de la noción “fregeana” de Sinn. Esta noción se encuentra en el núcleo del concepto de significado; allí dondela semántica intensional nos permite definir conceptos intensionales, la actual Teoría de T ipos Intensional nos provee de expresiones por medio de las cuales podemos hacer referencia a estos.

5.3. Sintaxis

Al definir la sintaxis de la Teoría de Tipos Intensional, comenzamos, como decostumbre, presentando los tipos posibles:

Definición 5.1.

El conjunto T de tipos en la Teoría de T ipos Intensional es el conjunto máspequeño tal que:

(i) e , t e T

(ii) Si a, b G T , entonces (a, b) G T

(iü) Si a G T , entonces (s, a) G T



. y corno en la Teoría de T ipos E xtensional, tenemos a e y t como nuestrostipos básicos, e, una vez más, es el tipo de aquellas expresiones que hacen

Í&rencia a entidades, y t , el tipo de aquellas expresiones que hacen referencia a^ oreS J e verdad. L a cláusula (ii) también permanece como es usual; lo que esuevo es la cláusula (iii). Esta cláusula nos permite formar un nuevo tipo (s ,a)

¿ado un tipo arbitrario a. Obsérvese que s no es un tipo; su único propósito

^permitirnos formar nuevos tipos compuestos. No existen, entonces, expresio-es de “tipo” s. Esta restricción es eliminada en la Teoría de Tipos Di-sorteada,la cual se trata brevemente en la sección 5.8. Un tipo {s, a) puede ser usadoen la construcción de otro nuevo tipo compuesto, de acuerdo con las cláusulas(¡i) y (iii). Expresiones del tipo (s , a ) serán usadas para hacer referencia afunciones desde mundos posibles a entidades de tipo a; esas expresiones hacenreferencia a entidades intensionales.

El vocabulario de cualquier lenguaje L de la Teoría de Tipos Intensional

particular está conformado por una parte compartida por todos los lenguajesde la Teoría de T ipos Intensional, junto con un número desímbolos que sonpeculiares a este lenguaje. La parte compartida es:

(i) Para cada tipo a, un conjunto infinito V A R a devariables detipo a

(ii) Los conectivos A, V, —», <->

(iii) Los cuantificadores V y 3

(iv) E l símbolo de identidad =

(v) Los operadores □, 0, A y v

(vi) Los paréntesis ( y )

La parte que es peculiar a L consiste en:

(vii) Para cada tipo a, un conjunto (posiblemente vacío) C O N de constantesde tipo a

Así como en la Teoría de T ipos ordinaria, aquí debemos tener cuidado de noconfundir las constantes y las variables de tipos diferentes. Con este

fin usaremos convenciones notacionales ya introducidas e introduciremos otrasnuevas donde sea necesario. La sintaxis podría definirse, ahora, siguiendo laslíneas de la Teoría de Tipos ordinaria. En comparación con la definición 4.2.desde la sección 4.2.2. las cláusulas (vi), (vii), (viii) y (ix) son nuevas:



Definición 5.2.

(i) Si a G V A R a o a G CO N j¿, entonces a G WE%

(ii) Si a G W E ( a bj y ¡3 G , entonces (a(¿3)) G WÜ^

(iii) Si <t>,ip G W-E f, entonces -.</>, (0 A </>), (</>V ), (</ )> i j>) y (<f> JG WE% T |

(iv) Si <j) G WE t y v G V A R a, entonces W 0, 3?;<jí>G W E ^

(v) Si a, /? G WE% , entonces (a = (3) G W-Ef

(vi) Si a G y¡ )G V ARb, entonces A va G V A R (b,a)

(vii) Si ^ G W E ^ entonces □</>, 04> G W E ^

(viii) Sia G WE%, entonces Aa G WE ^ g

(ix) Sia G WE^ga y entonces va G W E ^

(x) Todo elemento de WE% , para cada a, se construye en un número finitode pasos usando (i)-(ix)

La cláusula (vii) introduce los operadores modales □ y 0 en la forma usual. Noentraremos en el problema de introducir también operadores temporales, yaque esto complicaría las cosas innecesariamente. Más tarde volveremos sobreello. L a cláusula (vii) sirve para introducir un operador A, leído como ‘cap’o ‘arriba’, el cual cuando se aplica a una expresión de cualquier tipo a seconvierte en una nueva expresión dé tipo (s , a ). Como se verá cuando entremosa la parte semántica, una expresión Aa hace referencia a la intensión de a . Por

ejemplo, si <f> G W E ^ , entonces A(p G WE ^ s . Así, cuando (f) hace referenciaa un valor de verdad, A(p hace referencia a una función de mundos posibles avalores de verdad, es decir, a una proposición.

El operador v , introducido en la cláusula (ix) y que se lee ‘cup’ o ‘abajo’,sólo puede aplicarse a una expresión si ésta es de algún tipo intensional (s, a). Si a G W E ^ s a j , entonces '"Ja G W E l a . Veremos que para cualquier mundo

posible dado w , va hace referencia al resultado de aplicar la referencia de a

en w a w . Obviamente, esto solamente tiene sentido si a es de algún tipointensional y, como tal, hace referencia a una función de mundos posibles enalgún dominio cualquiera. Dos ejemplos: si a G C O N ^ s ey entonces va G W E g

(y AVQí G W E ^ g e ). Además, si < \ > E W E [ , entonces A ( f > € W E ^ s y así v/V>gW/ E í¿ .



Ejercicio* 5.1.

las siguientes oraciones de símbolos son expresiones bien formadas dellenguaje de la Teoría de Tipos Intensional?

(b) ¿Cuál es el tipo de a en cada uno de los siguientes cuatro casos?

(i) p G W E [ y a(Ap) G W E [

(ii) j G W E Le y a(Aj) G W E \

(iii) j G WE% y Aa(va(j))(a) G W E ( J

(iv) p G W E L[s t) y va (AVp) G W E Le

5.4. Semántica

El primer paso para dotar la Teoría de Tipos Intensional de una semántica,nuevamente, consiste en especificar dominios de interpretación apropiados para los diferentes tipos que tenemos a nuestra disposición. Lo que es nuevo esque estamos ahora tratando con tipos intensionales, es decir, con tipos de laforma (s, a). Una expresión de cualquier tipo intensional (s, a) será interpreta

da como una función definida desde mundos posibles a elementos del dominiode interpretación correspondiente al tipo a. Así, definimos los dominios de interpretación para expresiones de los varios tipos sobre la base de algún dominiode individuos D y un conjunto de mundos posibles W. Esta definición del dominio de interpretación de expresiones de tipo a con respecto a un dominio D y un conjunto W de mundos posibles, que escribimos D a.D.w, se presenta dela siguiente forma:

Definición 5.3.

(i) * Í (A¿) (ü) M ( * j ) (iii) M (A;)(iv) M (v;) (v) * Í (AM ) (vi) ítf(AV;)

(vii) M (VAj ) (viii) M (AVj ) (ix) A {M ( j ) )

(x) V**X7') (xi) A(* í (/)) (xii ) A(M (/))(xiii) A/V (xiv) * í (VAAj )

(i ) L)e_D,W = D

( i i i ) D (a,b),D,W = I \ d,vÍ ^

( i i ) T>t,D,w = {0,1}

( i v ) D(s,a),r>,w = D ^ DW



Siempre que sea posible, los subíndices D y W serán omitidos. Las tres p jmeras cláusulas, que ya son familiares, establecen que aquí también laspresiones de tipo e refieren entidades, mientras que las expresiones de tipo '■refieren valores de verdad y expresiones de tipos funcionales (o, b ) se refieren Jfunciones definidas desde cosas de tipo o a cosas de tipo b. Es sólo en la nue\ 3cláusula (iv) donde el conjunto W de mundos posibles se encuentra realmente!

involucrado. = D ^, que es el conjunto de todas las funciones con tycomo dominio y D a como rango. Por ejemplo: ^ = {0,1}™ = j lconjunto de todas las funciones que van desde mundos posibles hasta valo-1res de verdad. U na expresión de tipo (s, t ) se refiere, entonces, a una funciónque va desde mundos posibles hasta valores de verdad. Funciones de este tipo 1serán llamadas proposiciones. Así, D (S)t) es el conjunto de proposiciones. Un

segundo ejemplo: D( s<e = (0, l D )w: el conjunto de funciones desde

mundos posibles hasta (funciones característica) de conjuntos de individuos.Una expresión de tipo (s, (e , t ) ) se refiere, entonces, a funciones desde mundosposibles a conjuntos de individuos. E n este caso, los conjuntos de individuossirven como interpretaciones de predicados y un predicado hace referenciaen diferentes mundos a diferentes conjuntos. Esta referencia múltiple de unpredicado puede ser vista como una función que va desde mundos posiblesa conjuntos de individuos, y esta función podría ser vista como la intensióndel predicado. Cualquiera de estas intensiones será llamada una propiedad. Así, es el conjunto de propiedades de individuos, y expresiones del tipo (s, (e, t )) se refieren a propiedades de individuos. Tendremos más que decirsobre la relación entre predicados y propiedades y más sobre la relación entrereferencia e intensión, una vez que hayamos tratado los modelos de la Teoríade T ipos Intensional. El cuadro 5.1. contiene más ejemplos de interpretación deexpresiones de tipos que involucran s (ejemplos de tipos que no involucran s se encuentran en el cuadro 4.2.). L os términos en itálica en el cuadro 5.1. son

expresiones comúnmente usadas para las entidades intensionales en cuestión.

Un modelo M para un lenguaje de la Teoría de T ipos Intensional L consiste en un conjunto no vacío D , su dominio, un conjunto no vacío de mundosposibles W y una función de interpretación I . Al igual que en la sección 3.3.4.,hemos decidido tratar con un dominio único. Este no es el único camino quetenemos, puesto que también debemos introducir una relación de accesibilidad

entre los mundos. Asumiremos que todo mundo es accesible desde sí mismoy desde cualquier otro mundo; sin embargo, elegiremos a R como la relaciónuniversal que incluye todos los pares de mundos en W. Así pues, la semánticapuede ser definida evitando toda mención de R (como en efecto será definí-



I n t e r p r e t a c ión

Funciones de mundos en entidades, es decir, concep t os i nd i v i

dua les

Funciones de mundos en valores de verdad, es decir, p r opos i c i o

n es

Funciones de mundos en conjuntos de entidades, es decir, p r o

p i eda des de p r i m er or den

Funciones de mundos en funciones de entidades en conjuntos de entidades, es decir, r el ac i ones d iádi cas de p r i m er or den Funciones de mundos en conjuntos de conjuntos de entidades Funciones de conceptos individuales en valores de verdad, es decir, (la función característica de) un conjunto de conceptos

individualesFunciones de mundos en conjuntos de conceptos individuales, es

decir, una propiedad de conceptos individuales Funciones de proposiciones en valores de verdad, es decir, (la

función característica de) un conjunto de proposiciones

s , t )

s, (e, t) )

s , ( e , (e, <)))

s,«e,í),í»(s,e),t)

s,((s,e),t))

(s,t),t)

Cuadro 5.1. Tipos e interpretaciones intensionales

da), de donde se obtiene el sistema modal S5 (ver la sección 2.3.2.). Pero,obviamente, R podría también haberse escogido de forma distinta.

A continuación, la función de interpretación I asigna una interpretación

a cada constante en el lenguaje de la teoría de tipos L . En sistemas lógicosextensionales como la teoría de tipos tratada en el capítulo 4, la interpretación de una constante de tipo a es siempre un elemento de D a. En un sistemaintensional como el presente, sin embargo, esto no será así. Queremosque las interpretaciones de expresiones, por ejemplo el valor de verdad de unafórmula dada, sean capaces de variar de mundo a mundo. Así pues, las referencias de las constantes deben ser capaces de variar de mundo a mundo. Para

este fin, la función de interpretación I asigna a cada constante una función queproduce, para cada mundo, la interpretación de esa constante en ese mundo.Es decir, si a es una constante del tipo a, entonces 7(a) G D ^,i .e.,/(a ) esuna función definida desde mundos posibles hasta elementos de D a. I ( a ) ( w ) es, entonces, un elemento de D a, a saber, la referencia de a en w. Obsérvesecómo difiere esto de la forma como fueron presentadas las cosas en la lógicade predicados modal, en la sección 3.3. Allí, sólo se permitió a los predicados

que variaran su interpretación de mundo a mundo y las constantes individuales fueron tratadas como designadores rígidos, con la misma referencia paratodo mundo. Aquí, este no es el caso: en la Teoría de T ipos I ntensional sepermite que constantes del tipo e refieran a diferentes entidades en diferentesmundos. Por supuesto, las constantes individuales podrían ser tratadas como



designadores rígidos, simplemente estipulando que para cada constante a detipo e, I ( a ) es una función que toma el mismo valor en cada mundo, es deciruna fu n c ión constan te. Además de interpretar las constantes de esta formatambién hacemos uso de asignaciones g para interpretar las variables. Comode costumbre, si v es una variable de tipo a, entonces g ( v ) es un elemento deD

Dada esta definición de modelos M y asignaciones g, podemos definiren Ia forma inductiva usual. Nos referimos a [c*J m,u>,3como la exten-

sión (la referencia) de a en w , dado M y g. La definición es la siguiente:

Definición 5.4.

(i) Si a E C O N q , entonces [aJ M,u;,g = I ( a ) ( w )

Si a E VARa i entonces [a]M ,w,s = 0(<*)

(ii) Si a € W E f afi ) y p e W E ¿, entonces [a (/3)J M,<!,,</ =

(iii) Si <¡) y i p E W E f , entonces = 1 sii = 0

[<>A = 1 SÜ = = 1\(j) V 1pJtA,w,g = 1 sii [[< jM,iu,g = 1 O = 1

|(j) ►V’Im ,w,g ~ 0 SÜ =1 V = 0

| (f) <—* í/’JMjIüjS = 1 SÍÍ |0Jm,iü,5 = M m ,w,9

(iv) Si (/>E W E y v E V A R a , entonces

IW</>]m,w>9 = 1 sii para todo d E D a : \ 4>\ M,w,g[v/ d\ = 1

[3v0¡M,w,ff = 1 sii para algún d E D a : [0]M,w,g[v¡d\ = 1

(v) Si a,/ 3 E W E ^ i entonces {a = /?]M ,w,g = 1 sii = 1

(vi) Si a € WE q y v E V A R entonces ([A'uajM.iu.j es la función h E D ?6tal que para todo d E D¿ : h(d) = [a]M.tu,g[i;/d]

(vii) Si 4> E W E [\ entonces

[□0J m,u>,3 = 1 sii para todo w ' E W : = 1IO01m,w,9 = 1 sii para algún w ' E W : [0]m,u/,3 = 1

(viii) Si a € WE{¿, entonces es la función h E tal que paratodo w ' E W : h (w ' ) = [ajM.u/.s

(ix) Si a € WE ^ s a), entonces t'ajM .iu.g = I a]M ,™,9(w)



Xal como en la definición 4.4. de la sección 4.2.3., estamos ahora en posición¿e definir los conceptos de ver dad r ela t i va a M , val i dez un i ver sal y equivalen-

cia. Las mismas observaciones se aplican aquí, como allí. Lo que es nuevo encomparaci°n con la interpretación de la Teoría de T ipos Extensional son lascláusulas (i), (vii), (viii) y (ix). En (i), la extensión de una constantea en un mundo w es definida como el resultado de aplicar la interpretación

¿e a a este mundo w. La cláusula (vii) define el valor de verdad de fórmulascon operadores modales: □(j> es verdadera en w sólo en caso de que 

sea verdadera en al menos algún mundo.

Por su parte, la cláusula (viii) define las extensiones de expresiones dela forma Aa. Cada una de las expresiones es de algún tipo intensional (s ,a) y su dominio de interpretación es, de acuerdo con la definición 5.3., el conjunto

de funciones D ^, el cual consiste en todas las funciones definidas desde mundos a cosas del tipo a. En algún mundo dado w , Aa es interpretado como lafunción de mundos a extensiones que, cuando es aplicada a algún mundo w ' , toma la extensión de a en w ' como su valor. Un ejemplo hará esto más claro. Sicj) es una fórmula, entonces A en ese mundo

como su valor: es la función h G {0 ,1 }W tal que: h (w ' ) = [[</>]]para todo w ' G W . La expresión A(p es, entonces, interpretada como la proposición expresada por <p. Obsérvese que la referencia de A(f> es la misma entodo mundo w. Esto significa que AAé es una función constante que va desdemundos a proposiciones expresadas por (f>: la proposición expresada por 0 novaría de mundo a mundo.

Tomemos un segundo ejemplo. Si M es un predicado constante de primer

orden unitario, es decir, si es del tipo (e, í), entonces AM es de tipo (s, (e, t ) ) . Laextensión de AM es la función que va desde mundos a conjuntos de entidadesque, cuando es aplicada a un mundo w ' , toma como valor la extensión deM en w ' : [aM]m,w,s es entonces ese h G L )''^ tal que para todo mundo

w ' G W. h(u / ) = En consecuencia, la expresión AM se refiere a lapropiedad expresada por la letra predicativa M .

La cláusula (ix) define las extensiones de expresiones de la forma J'a.

La expresión a es siempre de algún tipo intensional (s, a) y su extensiónes siempre una función de mundos a D a. La expresión va es de tipo a ysu extensión es, por lo tanto, algún elemento de D a. En (ix) se estipula que laextensión de va en w es aquel elemento de D a que podría obtenerse aplicando



la extensión de a en w a w : [[v«]M,tu,g = I£*1m u>g( )- Entendamos esto denuevo con un ejemplo: sea m una constante de tipo (s, e); su extensión es una,función de mundos a individuos; supongamos que para un cierto w se tieneque (= I ( m ) ( w ) de acuerdo con la cláusula (1)) es la función qUeindica el individuo más poderoso en cada mundo posible; llamaremos a esta,

la función “mandamás”. La extensión de vm en w se obtiene por la aplicaciónde a w: [vm]M,iu,g = IMlM .tu.gíw). La extensión de vm en w es el“mandamás” de w.

Obsérvese que la extensión de m podría variar de mundo a mundo. Estipulamos que m hace referencia a la función mandamás en w, pero esto no dicenada acerca de la extensión de m en algún otro mundo w'\ podría allí haberalgún otro concepto individual, digamos, el concepto individual que indica el

individuo más rico en cada mundo.Aquí tenemos un segundo ejemplo. L a expresión AM es de tipo (s , (e, t )) ¡

y tiene como su referencia, como hemos visto, la propiedad expresada por M . La expresión VAM es de tipo (e , t ) . Su extensión en algún mundo w se obtiene aplicando la extensión de AM en w a w: [[vaMJ m,u;,9 = IAAíjM/«j,g(w). ]La extensión de AM es aquella función cuyo valor en cualquier mundo es la

extensión de M en ese mundo; así [AM| M,íu,g (u>) = I M ]Mi«,i9. Una diferencia

entre este ejemplo y el precedente es que mientras la extensión de m puededepender de tu, la extensión de AM es independiente de w. La afirmación deque la propiedad AM pertenece a un individuo j en un mundo w equivale adecir que j pertenece a aquel conjunto de entidades que es el valor de AMen w. Ahora, la referencia de VAM en w es precisamente ese conjunto, así quela afirmación anterior podría traducirse como VAM (j), equivalente a la fórmulamás simple M ( j ) , como veremos en la sección 5.5., donde retornaremos a la

interacción entre Ay v.La definición 5.4. define las extensiones de las expresiones; ahora definire

mos sus intensiones. Debe ser claro de ahora en adelante que la intensión dea puede ser definida en términos de su referencia múltiple, es decir, las variasdenotaciones que tiene en diferentes mundos. E sto significa que la intensiónde a puede ser definida en términos de su extensión. Así, la intensión de a enM relativa a g , que se escribe I n tM ,g ( a ) , es definida de la siguiente forma:

Definición 5.5.

Si a 6 WE ¡¿, entonces I n tM ,g(oi ) es aquel h G DgV tal que para todo w ' G W '■

h (w ' ) [q| m>iu/i9



La definición 5.5. afirma que la extensión de a en un mundo w es el resultadode aplicar Ia intensión de a a ese mundo w . Es decir, I n tM ,g {oi ) (w ) = [a]M,uj,g-pe acuerdo con la cláusula (i) de la definición 5.4., para una constante a se

tiene | a]M,iu,s = I ( a ) ( w ) Esto significa: I n t M t 9 ( a ) — /(a ). Vemos que lasconstantes son interpretadas intensionalmente.

Comparando la definición de intensiones con la cláusula (viii) de la defini

ción 5-4., vemos que la extensión de Aa es precisamente la intensiónde a. Es decir, [AajM,tu,s e I n t M ,g( a ) han sido definidos de tal manera queellos son una y la misma función. L o que esto significa es que dada una expresión a el A -operador nos capacita para formar una expresión Aa cuya extensiónes la intensión de a. Esto significa que el A-operador provee expresiones querefieren a las diferentes clases de objetos intensionales que son la intensión deexpresiones diferentes. Así pues, hemos cumplido con el requisito mencionado

en la sección 5.2.Vale la pena mencionar el siguiente hecho: por definición, los principiosfamiliares de extensionalidad no son válidos en la lógica intensional. Es decir,en un sistema intensional no tenemos (4):

(4) a = f3 |=7 = \ (5/ a] 7

(En la teoría de tipos, poner el signo de identidad = entre dos expresiones cual

quiera del mismo tipo produce como resultado una fórmula. Así, (4) expresa elprincipio de extensionalidad de forma muy general, abarcando substitución defórmulas, predicados, etc.). En la lógica intensional, expresiones con la mismaintensión podrían ser sustituidas por otras, sin afectar el valor de verdad deuna fórmula. La Teoría de T ipos Intensional provee expresiones que, como sunombre lo indica, denotan intensiones y podría suceder que dos expresionesdenotaran la misma intensión. Si Aa y A/3 denotan la misma intensión, entonces a y (3 podrían ser sustituidas libremente entre sí. En consecuencia, elsiguiente teorema puede demostrarse:

T eorema 5.1.

Aa =A /?h 7 = [/J /a]7

El cuadro 5.2. ilustra las extensiones e intensiones de varias clases de expre

siones. Obsérvese la siguiente regularidad: la extensión de una expresión de«P o (s, a) es la intensión de alguna expresión de tipo a. Obsérvese tambiénla forma en que las intensiones y las extensiones de varias expresiones con ysin A y v están relacionadas.



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idere el siguiente modelo M : D = {a ,b , c,d } y W = {w \ ,u ) 2, W 3 }. Sean9° m constantes de tipo e. En w\ y w2, j denota a; en W 3 denota b; m

j t a c en todo w . M es una constante de tipo (e, t ) . En wi, M es verdaderoa y b; en para c y d, y en W 3 para ningún individuo. M es una constante

P ^ ipo ( s , ( e , t ) ) . En w\ y w2, M denota la propiedad que expresa M ,

en ^3 se refiere a Ia propiedad que es verdadera para todas las entidades.

Con base en lo anterior:

(a) Escriba la función de interpretación I de M

(b) Determine los siguientes valores:

Ejercicio* 5.2.

(i) I Í1m ,U)2,S (ü) [aÍ J m,«n,3(iii) [A j 1m ,iu3,9 (iv) [ (Í )lM ,u;2,g

(v) (vi) (VíW(j)]M,tüi,s(vii) |Ví\ f ( j )]m ,u;2,S (viii) =A M]M,tui,g(ix) [V* í = M j M ,w3,g

(c) Decida si las siguientes fórmulas son válidas en M:

(i) 0 ( * Í =A M )(ii) m(víW = M )

( i i i ) 3xD(m = x )

Ejercicio 5.3.

Sean y variables de tipo (s, e) y j , m constantes del mismo tipo. Además, sea

x una variable de tipo e y j una constante de ese tipo. Determine cuáles delas siguientes fórmulas son válidas:

(i) V*Vy(;t = y > □(* = y )) (ii) ; = m ->□(/ = m )(iii) 3 * □(* =;') (iv) 3 D( =A j )

(v) 3xü\(Ax = j ) (vi) 3xD (x j)

(vii) 3xD(x =v ;') -»•3*P (* = j )

5.5. Los operadores A y v

Como hemos visto, Aa denota la intensión de a . Es decir, para cualquier M ,i v y g tenemos:



(5) IAa]M,™,g - I n t M ,g(at )

La denotación de va en cualquier mundo w es la extensión de a en w apliCa(J

a w : IvalM,w,9 = M m ,«>,$(«>). Así que ahora la pregunta que surge es córnQ|los operadores A y v interactúan entre sí.

Primero consideramos VA . L a expresión VAa denota, en w , el resultado d<Japlicar la intensión de a a w . Esto es así porque [va&J m,iu,g = I aí*J m,u;,9(h>) jel cual, dado (5), es precisamente igual a I n tM ,g {oi ) (w ). Al aplicar la intensiónde a a w , obtenemos la extensión de a en w . En consecuencia, I n t M ,g (ct ) (w ) =

Mm.w,;?- Así, hemos demostrado que [VA)a]M,u>,9 = Ya que el argumento anterior se aplica a cualquier a , M , w y g, hemos probado el siguienteteorema:

Teorema 5.2.

VAfct: es equivalente a a

Esto significa que a podría ser escrita siempre en lugar de V/Y*. Sin embargo,lo mismo no aplica para AVa. Esto puede demostrarse por medio del siguienteejemplo abstracto: sea M un modelo con dos mundos, W\ y w ?. Considere la

constantep de tipo (s, t ). La extensión de p es una proposición. Se puede asumirque la extensión de p en w\ es la proposición k , que tiene el valor de verdad1 cuando es aplicada a W\ y el valor de verdad 0 cuando es aplicada a w2. Podemos ir más allá y estipular que la extensión de p en es la proposiciónk ' , que tiene el valor de verdad 0 cuando es aplicada al mundo w\ y el valorde verdad 1 cuando es aplicada a i «2. Es decir:

I (p )(w i ) = k 1{p ) (w2)

=k' k(u¡\ ) = 1 k '{w \ ) = 0

k (w 2) = 0 k (w 2) = 1

Ahora tenemos que [vapJ m.um,g Esto puede verse de las siguienteforma (en virtud de la claridad los subíndices M y g han sido omitidos):

r PU = Ia función h £ 0, l™ tal que para todo w ' € W : h (w ' ) = [vp]|u/

La proposición h se determina de la siguiente manera:

h (w i) = [vp]Wl = M U M = I ( p ) (w i ) (w i ) = k (w i ) = 1; y

h (w 2) = [vp]W2 = W ^í ^) = I ( p ) ( w 2 )(w 2) = k ' (w2 ) = 1;



roposieión h es, entonces, aquella función de mundos en valores de verdad^ torna 1 como su valor en cada mundo. Ella siempre es verdadera. Pero

nG es esta proposición invariablemente verdadera; es l (p )(w \ ) = k.

j\ dernás, k y h son diferentes proposiciones. Así, i ¿ H ®n 1° CU&1irve como un contraejemplo a la equivalencia entre AVa y a.

E s t e ejemplo abstracto puede hacerse un poco más claro. Supongamos quela oración M ar ía v i en e es verdadera en w\ y falsa en w 2. La proposición k podría, entonces, verse como la proposición expresada por esta oración; esdecir, la proposición de que M ar ía vi ene. La proposición k' es expresada porla oración M ar ía n o vi ene. Es decir, la proposición de que M ar ía n o vi ene. De acuerdo con nuestra anterior estipulación, la extensión de la constante p en w i , el mundo en el cual ella viene, es la proposición de que M ar ía v i en e ,mie n tr a s que la extensión de la constante en w 2, el mundo en el cual ella novien e, es la proposición de que M ar ía n o vi ene. Esto hace de p una representación apropiada de la expresión si M ar ía v i en e o no, tal como aparece en

(6):

(6) J uan sabe si María viene o no

Pues considere los dos argumentos válidos siguientes:

(7) J uan sabe si María viene o noMaría viene

J uan sabe que María viene

(8) J uan sabe si María viene o noMaría no viene

J uan sabe que María no viene

La validez de (7) y (8) muestra que, si suponemos que María viene, la extensión de M ar ía v i en e o no es la proposición de que María viene, es decir, k, mientras que si suponemos que ella no viene, la expresión tiene como su extensión la proposición de que ella no viene, es decir, k !. Por lo tanto, p es unarepresentación adecuada para la expresión M ar ía v i en e o no. Esta expresiónsirve, entonces, como un ejemplo en el lenguaje natural de una expresión

a

para la cual AVa ^ a .

Existen, por supuesto, expresiones a para las cuales AVa y a son equivalentes. L os contraejemplos que hemos visto explotan precisamente el hecho deque las expresiones podrían tener diferentes extensiones en diferentes mundos.



En efecto, si a es una expresión que no permite tal variación en su ext4sión, entonces AVa y a resultan ser equivalentes. Un tipo de expresiones cujextensión no puede variar de mundo a mundo son las variables: su extenstodepende sólo de la asignación que se encuentra bajoconsideración.Otro eje^pío, como hemos visto, es cualquier expresión de la forma A/3: así AVA/3 lsiempre equivalente a A/3 (un hecho que también se sigue del teorema 5.2.1

De manera más general, podemos definir una clase de expresiones cuya extejsión no varía de mundo a mundo: las expr esion es i n t en sion al m en t e cer radas '1

Definición 5.6.

I C E L , la clase de expresiones intensionalmente cerradas en L , es el subcon-j junto más pequeño de W E L tal que: I

(i) Si v e V A R a, entonces v € I C E L I

(ii) Si a € WE%, entonces Aa € I C E L

(iii) Si (p e W E 4¿ , entonces □</>, 0(p e I C E L

(iv) Si a es construido con elementos de I C E L usando sólo conectivos, cuan-

tificadores y A-operadores, entonces a e I C E L

Debe observarse que donde se permitan otras relaciones de accesibilidad R distintas a la universal, las extensiones de □(p y 0y 0 (p serán invariantes demundo a mundo sólo si la extensión de (p lo es. La definición 5.6. estará,entonces, sujeta a las modificaciones apropiadas.

Podemos establecer ahora los siguientes teoremas:

Teorema 5.3.

Si a e I C E L , entonces para todo M , w , w '

No demostraremos este teorema aquí. Como una consecuencia inmediata delteorema 5.3., tenemos el teorema 5.4.:

Teorema 5.4.

Si a e I C E L, entonces AVa es equivalente a a



alíñente, obsérvese que los teoremas 5.3. y 5.4. son válidos en una solarC ión: pertenecer a I C E L en ambos casos es una condición suficiente, pero

necesaria. Por ejemplo, las propiedades relevantes son ciertas para todas lasfámulas válidas, pero no todas las fórmulas válidas son elementos de I C E L .

Ejercicio 5.4.

S u p o n g a que tí J M .un.sM = 1 para todo w , y lq }M ,w 2,g(w) = 0 para todo w. •Es \ q \w una función constante?, ¿son Avq y q equivalentes?

Ejercicio* 5.5.

Demuestre el teorema 5.4. si a es una variable (de algún tipo intensional (s ,a )).

E jercicio 5.6.

Suponga que definimos una relación de accesibilidad R en W de la siguientemanera: para todo w , w w R w q y si wRw ' , entonces w ' = w q . ¿Se requiere deuna modificación en la definición 5.6. para que el teorema 5.3. continúe siendoválido? Si es así, ¿cuál sería esta modificación? Si no, ¿por qué no?

5.6. Aconversión

Una cuestión final que tenemos que examinar concerniente a la Teoría de Tipos Intensional es la determinación de las condiciones bajo las cualesla aplicación de A-conversiones conduce a resultados equivalentes. Recordemosque la condición correspondiente en el caso de la Teoría de T ipos E xten-

sional era que ninguna variable libre resultara acotada en el proceso deconversión (ver teorema 4.1., en la sección 4.4.2.). Claramente esta condición permanece vigente. Sin embargo, para la Teoría de T ipos Intensional esnecesario formular una nueva condición que tiene que ver con el hecho de que

estamos lidiando con expresiones cuya extensión podría variar de mundo amundo.

El siguiente ejemplo informal servirá como ilustración. Considere la ex

presión Xx3 y[ J (x = y ) (en la cual x e y son variables de tipo e). Ésta expresa una propiedad de entidades, a saber, la propiedad que una entidadd tiene si existe alguna entidad que es necesariamente (es decir, en todoslos mundos posibles) idéntica a d. Por supuesto, todas las entidades tienenesta propiedad, ya que todas ellas son necesariamente idénticas a sí mismas.



Esto significa que la fórmula X x 3yO (x = y ) ( j ) (en la cual j es una constan*]de tipo e) es siempre verdadera. Al aplicar A-conversión a ella obtenemos l ]fórmula 3y O ( j = y ). Esta fórmula es verdadera sólo en caso de que exista wentidad que, en cualquier mundo dado, sea idéntica a la entidad que j tengacomo su extensión en ese mundo. Esto es así sólo si j es un designador rígi^Men otras palabras, si j denota la misma entidad en cada mundo. Pero eslJ «

no está garantizado: la extensión de j podría muy bien variar de mundo a f mundo en un modelo, lo cual significa que la verdad de 3y O ( j = y) no está ga- |rantizada tampoco. Así pues, este es un caso en dónde la A-conversión n0conduce a un resultado equivalente.

Acabamos de ver cómo pueden surgir problemas si una expresión que noestá intensionalmente cerrada es ubicada por la A-conversión dentro del alcance de un operador intensional, tal como □, 0 o A (tratar a las constantes

individuales como designadores rígidos evitaría el ejemplo anterior, pero otroscontraejemplos que involucren, digamos, constantes predicativas podrían generarse fácilmente). El teorema 5.5. brinda dos condiciones bajo las cuales la A-conversión puede aplicarse libremente:

T eorema 5.5.

\v(3{p¡) es equivalente a [y/v]/3 si:

(i) Todas las variables libres en 7 son libres para v en ¡3

(ii) O bien 7 € I C E L , o bien ninguna ocurrencia libre de v en /? cae dentrodel alcance de □, 0 o A

Obsérvese que, nuevamente, el teorema sólo establece una condición suficiente, exactamente por la misma razón que ocurre en los teoremas 5.3. y 5.4.

Por razones mencionadas en la sección 4.4., la A-abstracción tiene un papelimportante que jugar si la Teoría de Tipos Intensional es aplicada como unformalismo para la representación del lenguaje natural. El proceso de A-conversión, entonces, nos capacita para reducir algunas fórmulas largas y complejas

y convertirlas en fórmulas relativamente cortas y simples. El teorema 5.5. nosasegura que, por ejemplo, Xx ' X ( x ) ( j ) y yX ( j ) representan el mismo significado.

Ejercicio* 5.7.

Sea j una constante de tipo e; j de tipo (s ,e) ; M de tipo (e, t ) ; M de tipo( s , ( e , t ) ) y i de tipo ((s, e), ((s, e), t } ) . Sean x e y variables de tipo e; x_,y,z



• o (Sie) y * ^S' e’ Aduzca las siguientes expresiones tanto ¿e tipo osible usando los teoremas 5.2., 5.4. y 5.5.:coioo sed v

r \ \ X {V X ( j ) ) {M ) (ii) AxA x (vJ C(x))(j)(AM )1 X x X X a C x ( x ) ) ( j ) (AM ) (iv) AxAxQ(vX (x))(AM )(j)

L XxA(M (x ) Av M {x ) ) (y ) (vi) X zX yC\ (m (¿) (y )) (Aj ) ( j )

(vü) At/(AÂ3x(l(a:) ( y ) AAx = y ) (AYe)( Ax )

Ejercicio 5.8.

Asuma que las descripciones son analizadas, no en la forma “russelliana”, sinopor medio de i-operador (ver vol. 1, §5.6.). Suponga que se quiere expresarla afirmación de r e de que el único individuo que tiene la propiedad F necesariamente tiene la propiedad

G.¿Qué está mal con la fórmula

n G ( i x F x ) ?

Trate de dar una formalización mejor, usando tanto el A-operador como el

i-operador.

5.7. Operadores temporales

La Teoría de T ipos Intensional expuesta en las páginas precedentes es prácti

camente idéntica al sistema I L de Montague, que se aplica en su gramática.La diferencia es que I L también incluye operadores temporales. En efecto,I L es una extensión sencilla de nuestro formalismo en la cual los operadorestemporales P , F , H y G son añadidos a la sintaxis. L a semántica es adaptadaañadiendo a los modelos un conjunto de momentos temporales T , linealmenteordenados por la relación < (ver la sección 2.4.). L os dominios de interpretación dependen de T . Sólo en la cláusula (iv) de la definición 5.3. (sección

5.4.), sin embargo, aparece una diferencia real. Esta cláusula se convierte enla siguiente:

( V ) D (s ,a),D,W,T = D ^D ,M /,T

W x T es el conjunto de todas las parejas ordenadas ( w ,t ) , en el cual w esun mundo y í un momento en el tiempo. Ahora, los contextos no son mundos

posibles; se han convertido en mundos posibles en momentos particulares deltiempo (ver sección 2.5.). Expresiones de un tipo intensional (s ,a ) denotan,entonces, funciones de mundos en momentos de tiempo a cosas de tipo a. Parauna constate, la función de interpretación I asigna una función que, para cada



mundo en un tiempo, produce la denotación de esa constante en el mund !ese tiempo. Si a es una constante de tipo a, entonces /(a ) G D ^xr . 11

Ahora, la definición de la extensión presenta parejas (w ,t ) , en vez de síqSpies mundos w . La única diferencia real que existe está en las cláusulas (yu9(viii) y (ix) de la definición 5.4., en la sección 5.4. Las nuevas versiones déestas cláusulas son las siguientes:

(vii’) Si ,9 = 1 Para todo w ' G W y to<Mt G T : | 0 ] t ' ) , g 1

(viii’) Si a G W E ¿ , entonces [Aa]M,(w,t),g es la función h G D ^xT tal qUepara todo w ' G W y todo í ' g T : h ((w ' , t ' ) ) = I M I m,«*'}.»

(ix’) Si a G entonces («;,*>,» = W m ,(w,í ),s( (^ *))

Obsérvese que, de acuerdo con la cláusula (vii’), □ significa ahora necesaria-

m en te en todos l os ti em pos. La interpretación es diferente de la dada en la sección 2.5., en la cual la modalidad era relativizada a un momento en el tiempo. Como hemos señalado, hay un amplio campo de libertad para definir las cosas como uno desea. La definición 5.4. requiere aún de algunas modificaciones para las cláusulas sobre operadores temporales, pero ya que son sencillaslas dejaremos de lado.

La definición de intensión, finalmente, necesita la siguiente adaptación: lasintensiones tienen ahora que ser funciones de mundos y tiempos en extensiones. Además de esta, otras extensiones son posibles, algunas de ellas fuerondiscutidas en la sección 3.4.

5.8. Teoría de Tipos DisorteadaEsta sección, que no es requerida para un entendimiento completo del capítulo6, abarca el tema de la Teoría de Tipos Di-sorteada. Así como la Teoría de Tipos Intensional, la de T ipos Di-sorteada es una extensión de la Teoría de TiposExtensional estándar, que tratamos en el capítulo 4. Aquí también los mundos posibles jugarán un papel importante, pero ellos serán introducidos deforma diferente: como una segunda clase de entidad que puede ser tratadade la misma manera como las entidades ‘normales’ en el dominio (así, la Teoría de T ipos Di-sorteada es una lógica multi-sorteada, en el sentido del volumen 1, capítulo 5). A pesar del papel esencial jugado por los mundos posibles,la Teoría de T ipos Di-sorteada, a diferencia de la de T ipos Intensional, es un



extensional, pues cumple con los principios de extensionalidad familia-^ de la lógica de predicados y la Teoría de T ipos Estándar. La razón principal

mencionarla aquí es que puede conducirnos a un mejor entendimiento de

^Teoría de Tipos Intensional.En la Teoría de Tipos Intensional s, a diferencia de e y í, no es un tipo bá-

es s ol a m e n t e un dispositivo técnico que nos permite construir tipos^^'puestos de la forma (s, a). Por su parte, en la Teoría de Tipos Di-sorteadaes t r a t a d o como un tipo básico al igual que e y t . Para esta teoría, el conjunto

de tipos T 2 es definido de la siguiente forma:

Definición 5.7.

T2 es el menor conjunto tal que:

(i) e . t , s € T2

(ii) Si a, b £ T2, entonces (a, b ) € T2

El conjunto de tipos T de la Teoría de Tipos Intensional es un subconjuntopropio de T2. Así, por ejemplo, ambos s y (e, s) están contenidos en T2, pero no en T. Expresiones del tipo s denotan mundos posibles. Los dominios de interpretación correspondientes a los varios tipos, dado un dominioD de entidades y un conjunto W de mundos posibles, pueden ser definidosde la siguiente manera:

Definición 5.8.

(i) De,D,W = D (ii) D t,D,W = {0, 1}

(iii) D s,d ,w = w (iv) B {afi) tDtW = D f a üDww

Obsérvese que el dominio de interpretación correspondiente a un tipo intensional (s , a) no está determinado en una cláusula separada, tal y como aparece en la Teoría de T ipos Intensional (ver definición 5.3)., sino que cae ba

jo la cláusula (iv). Tales tipos están ahora garantizados por la cláusula (ii)de la definición 5.7., ya que s es ahora en sí mismo un tipo. Dado que, de

acuerdo con la cláusula (iii) de la definición 5.8, D S=W , la cláusula (iv)da D(sa)=D ^. En consecuencia, el resultado es exactamente el mismoque en la Teoría de T ipos Intensional.

Ahora que s es sólo un tipo normal, podemos tener variables y constantesde tipo s, que denotan mundos posibles. También se posibilita cuantificar y



abstraer sobre mundos posibles. L a sintaxis de la Teoría de T ipos Di-sorteaJes análoga a la de la Teoría de T ipos Extensional. La única diferencia es que Jvocabulario ahora contiene variables y constantes de tipo s y de tipos construí dos usando s. Como veremos, los operadores modales □ y 0 y los operadorÂ y v, ahora familiares por la Teoría de Tipos Intensional, son completaraenyprescindibles en la Teoría de Tipos Di-sorteada. El rol que antes jugaban fot

malmente ha sido asumido por la cuantificación, la abstracción y la aplicaciónsobre mundos posibles. 1

En la Teoría de Tipos Di-sorteada, tal y como en la de Tipos Extensional!las extensiones de expresiones son relativas a modelos y asignaciones. L a fun-1ción de interpretación de un modelo asigna un elemento de D a a constantes 1de tipo a, las asignaciones hacen lo mismo para las variables, y la defini- Ición de la extensión de una expresión relativa a un modelo y asignación es, j

entonces, la misma que la definición correspondiente para la Teoría de Tipos IExtensional (ver definición 4.4. en la sección 4.2.2.). Nuevamente, esto divergede la situación presentada en la Teoría de T ipos Intensional, donde la interpretación no vincula una constante, digamos, de tipo a, con una extensión, esdecir, con un elemento de D a, sino con una intensión, es decir, con un elementode D (say La extensión de una expresión era relativa a mundos posibles, dandocuenta del carácter dependiente del contexto de las expresiones. E sto se logra

de forma distinta en la Teoría de T ipos Di-sorteada: equipando expresionescuya extensión varía de mundo a mundo con una variable de tipo s. La interpretación de una de estas fórmulas llega a ser relativa a un mundo posibleasignado por la asignación de esa variable.

Esto puede ilustrarse por medio de un ejemplo. E l verbo camina r es unaexpresión cuya extensión varía de contexto a contexto. En la Teoría de TiposIntensional este verbo fue representado por medio de una constante C de ti

po (e, t ) . La función de interpretación I asigna a C una intensión, es decir,I ( C ) G D<s,(e,t))- La extensión de C en cualquier mundo dado w puede obtenerse a partir de esta intensión como el valor tomado por la intensión en w. En la Teoría de Tipos Di-sorteada cam ina r se representa por medio de unaexpresión compuesta C (m ), donde C es una constante de tipo (s , (e, t )) y m esuna variable de tipo s. El resultado es que camina r vuelve a ser representadopor una expresión de tipo (e, t ). La función de interpretación vincula C con una

extensión, es decir, con un elemento D ^g t . La extensión de C [m ) se obtieneal aplicar la extensión de C a la extensión de m . Esta última es g (m ), el mundoque la asignación g asigna a m . L a extensión de esta representación de cami-

nar , C(m ) , depende, entonces, de lo que el mundo g asigne a m. Vemos que la



íiencia de contexto de caminar aparece aquí como una dependencia

p o las asignaciones.La r e l a c i ó n entre C y C(r r i ) podría hacerse más precisa, comparando losdélos de la Teoría de T ipos Intensional y de la de T ipos Di-sorteada. Sea M

111 modelo para la Teoría de T ipos Intensional, ambos basados en los mismos

conjuntos D y W . Luego, M consiste en D y W junto con /m, donde 7m vincula constantes de tipo m con elementos de D (s a). M >2consiste en el mismoD y W junto con I m 2 , donde 7m2vincula constantes de tipo a con elementosde Da- Además, sea C una constante en la Teoría de T ipos Intensional, cuyo tipo es (e,<), y sea C una constante en la Teoría de Tipos Di-sorteada,cuyo tipo es (s, (e , t ) ) . Asuma que I m ( C ) = I m 2(C) ■ Se sigue que la extensiónde C relativa a M , w , y g, es precisamente la extensión de C(rri) relativa a

M 2 yg[ rn/ w \ ' La demostración es la siguiente. E scoja un w y un g arbitrarios. IC]m,u;,9 — I m ( C ) ( w ) (ver la definición 5.4. en la sección 5.4.). Además,

tenemos tC (m)]M2,u>,9[m/u>] = 2(C ){g[m / w \ (m )) = I m 2 { C ) ( w ) (compare esto con la definición 4.4. en la sección 4.2.2.). De acuerdo con nuestro su

puesto, I m ( C ) = I m 2(C) del cual se sigue inmediatamente que I m ( C ) ( w ) =I m 2(C) {w) Finalmente, dado que w y g fueron escogidos arbitrariamente, te

nemos que |CJ m,u),9 [C(?Tl)]]M2,g[m/iü]-La relación entre C y C (m ) podría generalizarse: expresiones de la Teoría

de T ipos Intensional pueden siempre traducirse a fórmulas di-sorteadas quetienen el mismo significado. Mostraremos esto definiendo una traducción deexpresiones de la Teoría de T ipos Intensional a expresiones de la Teoríade T ipos Di-sorteada que preserve las interpretaciones en el sentido discutido anteriormente. No es sorprendente que las constantes ca sean siempretraducidas como nuevas constantes C(s a), que son entonces aplicadas a m.La traducción de una expresión compleja a será realizada de la misma manera

en que a es construida, excepto cuando □, 0,Aov entren en a . Intuitivamentedebe ser claro que □ corresponde a Vm y 0 a 3m , A a Am y v a la aplicacióna m . Así, □, 0 y A corresponden a ligar ocurrencias libres de m, mientras quev introduce dichas ocurrencias. Damos ahora una definición inductiva precisade la traducción, escrita como trans—a :

Definición 5.9.

(i) trans—ca = cM (m ) trans—va = va

(ii) trans—(a(/3)) = (trans—a(trans—/3))



(iii) trans—<(f) = -"trans—<j)

trans—(0 A x¡j) = (trans—<¡) A trans—■0); de igual forma para V , —», <-►

(iv) trans—Vu <j) — Vv trans—0; de igual formai para 3v(¡>

(v) trans—(a = ¡3) = (trans—a = trans—/?)

(vi) trans—Xv a = Xv trans—a

(vii) trans—□</>= Vm trans—4>

(viii) trans-0 0 = trans-^

(ix) trans—Aa = Am trans—a

(x) trans—va = (trans—a (m ))

Es posible convertir cualquier modelo M de la Teoría de T ipos Intensional enun modelo M 2 de la Teoría de T ipos Di-sorteada tal que para toda expresiónq, para todo w € W y para toda asignación g tenemos el teorema 5.6.:

Teorema 5.6.

[trans Ol\ M 2,g[Tn/w\

M 2 puede obtenerse de M . tomando el dominio D y el conjunto de mundos

W e n M y definiendo /m2(c) >para cada constante c, como 7m (c) . Requerimosuna prueba inductiva con el fin de mostrar que el teorema 5.6. es, en efecto,válido. Trataremos solamente los pasos no triviales de la prueba (asumiendo

en la inducción que el teorema 5.6. es válido para todo w ' € W ). Las cláusulashan sido numeradas de tal manera que correspondan con la numeración en ladefinición 5.4.

Definición 5.10.

(i) [trans—c]M2 9[m/u,j = [c(m)J MaiS[m / w ]

= I m { c ) ( w ) = [c 1m ,w ,p

/ .... |t (traducción)(v i l) [trans-D0J )M2!g[m/u)] = 1 ^ [Vm trans-0]M2,g[m/H = 1



(definición de verdad) .. n ri^ para todo u; : J = [trans—ajM 2,g[m/tu] • ”or

hipótesis de inducción, esto significa que para todo w ' : [</>]M,u>',g = 1 ^

[□</>] = 1

(viii) | trans £*jM2,<7[m/u>] — [[Atti trans (y ]]jvi .g[m /w ], que es la función h talque para todo w ' : h (w ' ) = [a]M,iu',5, lo que significa que h —

(ix) [trans ®lM 2,9[m/tu] | trans [[trans—£*jM2,g[m/uj] ( 0(hipótesis de inducción) v ,

= N M ,!»,!/W =r a j M ,I1,,5

Es asombroso que el proceso de traducción haga uso sólo de una variable m con rango sobre mundos posibles. El poder expresivo de la Teoría de TiposDi-sorteada es claramente más grande que el de la Teoría de T ipos Intensional.

Esta traducción de una teoría a otra nos arroja más luz sobre la de Tipos Intensional. Así, por ejemplo, la equivalencia de J ,\ \ y a en esta teoríareaparece en la Teoría de T ipos Di-sorteada simplemente como un caso deA-conversión válida. L a fórmula correspondiente a VAn es Ama ( m ) , y esta, envista del hecho de que el teorema 4.1. de la sección 4.4.2. también es válidopara la Teoría de Tipos Di-sorteada, es equivalente a a .

También llega a ser más claro por qué AVa no siempre es equivalente a a.

El contraejemplo dado en la sección 5.5. podría reconstruirse en este nuevomarco de la siguiente manera: en vez de la constante p que apareció allí,hacemos uso de la expresión Aw (q (w ) = q (m )), en la cual w y m son variablesde tipo s, mientras que q es de tipo ( s , t ) . Si se toma q para representar laproposición de que M ar ía v i en e , entonces q(w) es verdadera en g (w ) si M aría viene es verdadera en g(w ) , y q (w) es falsa en g (w ) si M ar ía vi en e es falsaen g (w ) . Así, la expresión Aw(q (w) = q { r r i ) ) denota la proposición de que

María viene en aquellos mundos en los cuales es verdadero que ella viene, y laproposición de que María no viene en aquellos mundos en los cuales es falso queella viene. Es decir, \ w (q {w ) = q(m )) representa M ar ía v i en e o no. Así comoAvp y p no eran equivalentes, tenemos ahora que Xm (\ w (q (w ) = q (m ))(m )) y \ w (q (w ) = q (m) ) no son equivalentes, pues \ m (X w (q (w ) = q (m )) (m )) sereduce a Am (q (m ) = q (m )) y esta expresión hace referencia a una proposicióndiferente de aquella referida por Aw( q (w ) = q(m ) ). De la misma forma queAvp en la sección 5.5., Am( q (m ) = q {m ) ) hace referencia a la proposiciónque es verdadera en cada mundo.

En la sección 5.5. observamos que existen circunstancias bajo las cuales AVaes equivalente a a, entre otros, donde a es intensionalmente cerrado. ¿Cuál esahora la caracterización en la Teoría de T ipos Di-sorteada de las expresiones





bastante similares en ambos casos. Otra razón para preferir un lenguajecon operadores intensionales sobre un lenguaje di-sorteado tiene que ver conla diferencia en su poder expresivo. Un lenguaje con operadores intensionalestiene la ventaja de que se le puede dar exactamente el poder expresivo que

se requiere para una aplicación particular. Teniendo en mente aplicacionescomo la semántica de un lenguaje natural, se vuelve una pregunta empíricacuán expresivo es este poder. Para dar un ejemplo, ¿necesitamos o no necesitamos la cuantificación sobre momentos en el tiempo con el fin de traducirlas expresiones temporales del lenguaje natural en una forma satisfactoria?Esta es una pregunta compleja, pero a la vez fascinante. En §2.4.3. notamosque en el curso del tiempo, los formalismos temporales han sido equipadoscon más y más operadores, con el fin de lidiar con las expresiones y cons

trucciones temporales, y que algunos de ellos han dado razones para utilizarlenguajes que permiten cuantificación sobre momentos. Es difícil resolver unasunto como este; la pregunta no es sólo si teorías diferentes capturan todoslos fenómenos. Su simplicidad y elegancia también está en juego.



Capítulo 6

Gramática de Montague

6.1. Introducción

En este capítulo estudiaremos extensivamente la Gr amáti ca de M on ta gue. Estagramática, desarrollada por el lógico americano Richard M ontague a comienzosde los setenta, busca definir una semántica modelo-teórica para el lenguaje natural. La versión más común de la Gramática de Montague, que presentaremosen este capítulo, logra este objetivo al relacionar de una manera explícita ysistemática las expresiones de un lenguaje natural con las expresiones de un

sistema lógico de la Teoría de T ipos I ntensional, de tal manera que las interpretaciones de las segundas sirvan también como interpretaciones de lasprimeras.

E l modelo de Montague no fue el único intento que se realizó en aquelmomento de utilizar los métodos semánticos de la lógica en la descripción delos significados de las expresiones del lenguaje natural. Otros, por ejemplo,Creswell, Bartsch y Nennemann, y Lewis, hicieron propuestas que iban en lamisma dirección. Un denominador común para tales modelos es el de ‘gramáticas lógicas’. En este capítulo nos preocuparemos exclusivamente por el modelode Montague. Esto, debido a que la Gramática de Montague todavía sirve comoel modelo estándar de una Gramática Lógica. De esta manera, la introducciónexhaustiva que haremos a continuación le permitirá a los lectores, si así lo



desean, dominar relativamente rápido las particularidades de otros modelos.También, los desarrollos más recientes en semántica formal, que serán discutidos en el capítulo 7, sólo pueden entenderse apropiadamente dentro del marcode la Gramática de Montague. L o mismo sucede con las corrientes actualescomo la semántica situacional, la cual, por lo menos en sus comienzos, cobró sumomen t um al comenzar como un minucioso ataque a algunos de los puntos

esenciales de la Gramática de Montague.La idea de la empresa de una Gramática L ógica para el lenguaje natural

no es ni obvia ni improvisada. E n el capítulo 1 del volumen 1 discutimos brevemente los desarrollos históricos de la lógica y la lingüística y sus relaciones.La discusión trató de dejar claro que la idea de un objetivo común ciertamente tiene sus raíces en la historia, pero al mismo tiempo se hace plausiblesólo con ciertos desarrollos relativamente recientes en ambas disciplinas. Este

capítulo comienza con una corta discusión de tres suposiciones metodológicasde la Gramática Lógica, tres principios generales que subyacen casi todos losintentos de aplicación sistemática de la semántica modelo-teórica al lenguajenatural. Ellos tratan sobre el principio de composicionalidad del significado ysus consecuencias para la sintaxis, el problema de la clausura semántica y larelación entre verdad y significado.

6.1.1. La composicionalidad del significado y la sintaxis

El principio de composicionalidad del significado tiene consecuencias importantes para la relación entre sintaxis y semántica. Usualmente, en un sistemalógico la definición de la interpretación semántica de las expresiones sigue demanera cercana el camino de su construcción sintáctica. La razón para estoes que la semántica debe especificar la interpretación de un número infinito deexpresiones, pero de manera finita. La manera obvia de proceder, entonces,es que la definición de la semántica sea paralela a la definición finita y recursiva de la sintaxis. Este método asegura que a toda regla sintáctica que permita construir cierto tipo de expresión a partir de una o más expresiones, lecorresponda una regla semántica, la cual establece cómo la interpretación dela expresión recientemente formada debe obtenerse a partir de la interpretaciónde sus partes componentes. Para ponerlo de manera sucinta, los lenguajes

lógicos satisfacen el siguiente principio: la interpretación de una expresióncompleja es una func ión del significado de sus partes. Este es el principiode composicionalidad del significado, también conocido como el ‘principio deFrege’.



La formulación real de un sistema lógico no siempre exhibe su composic¡„ 'nalidad, pero todos estos sistemas, en efecto, están en conformidad, o puedenreformularse para que estén en conformidad, con el principio de composicioQaJlidad. Por ejemplo, en el volumen 1, §2.7., se da una definición alternativa delsistema de la lógica proposicional que es equivalente a la definición usual, perojmuestra su composicionalidad de manera explícita. Compare también los co

mentarios hechos anteriormente, en §§4.3.4. y 4.4.3., acerca de la posibilidad deintroducir los cuantificadores existencial y universal de manera categoremáti-ca, en lugar de hacerlo de manera sincategoremática. En efecto, la composicionalidad es un punto de partida tan básico para la manera lógica de hacersemántica, que en la lógica como tal siempre pasa desapercibida.

Sin embargo, si consideramos el lenguaje natural, la composicionalidaddel significado requiere de más cuidado por las siguientes razones: es evidente

que la composicionalidad brinda un método finito para la interpretaciónsemántica de un número infinito de expresiones de un lenguaje determinado.Dado que un modelo especifica la interpretación de los componentes básicos,las reglas semánticas que corresponden a las reglas sintácticas determinan demanera única la interpretación de todas las expresiones complejas. Pero debeprestarse atención a que, en efecto, la composicionalidad pone restriccionescomplejas sobre la sintaxis, la semántica y la relación entre ellas. Por un lado,

toda regla sintáctica debe tener una interpretación semántica; y por otro, todoslos aspectos de la semántica que no están relacionados con la interpretaciónde las expresiones básicas deben vincularse a una operación sintáctica. En unsistema lógico cumplimos con estos requerimientos simplemente construyendola semántica de acuerdo con la sintaxis. Pero el lenguaje natural no es algo

que construyamos; es algo que es dado.

En efecto, la suposición de que la semántica del lenguaje natural puede

definirse de manera composicional no está libre de controversia. Tarski, uno delos fundadores de la semántica modelo teórica moderna, no tenía mucha fe enla posibilidad de aplicar sus métodos al lenguaje natural. La razón es que ellosrequieren mínimamente que la sintaxis del lenguaje sea especificada de maneraexacta, rigurosa y formal, y Tarski creía que esto era un fin inalcanzable para

el lenguaje natural.

Esta visión prevaleció por mucho tiempo entre los filósofos y los lógicos.

No fue sino hasta el desarrollo de la Gramática Generativa, al final de los añoscincuenta y comienzos de los sesenta, que comenzó a emerger una actituddiferente. Debido al enorme impacto de la lingüística generativa, creció laconvicción de que la descripción exacta de la sintaxis del lenguaje natural



dría darse y que la posibilidad de una semántica lógica para el lenguaje

^tural sería real.

I rónicamente, la idea de utilizar los métodos de la semántica lógica en elestudio del lenguaje natural no fue acogida calurosamente entre la mayoría delingüistas de la tradición “chomskiana”, y todavía no lo ha sido, por lo menos

de manera oficial, aunque algunos resultados y métodos sí han sido adoptados,por otra parte, personas como K atz han argumentado a favor de una versión dela composicionalidad de la siguiente manera: un usuario competente es capazde interpretar un número teóricamente infinito de oraciones. La interpretacióndel usuario del lenguaje se basa en su conocimiento del significado de unnúmero finito de elementos léxicos y su conocimiento (implícito) de las reglassintácticas, también en número finito. La hipótesis de la composicionalidad,que requiere que a toda regla semántica corresponda una regla sintáctica,parece ofrecer una explicación para este hecho (esta línea de argumentaciónse encuentra en varios autores: cf., por ejemplo, Frege 1923. Debemos notarque el argumento no demuestra que el lenguaje natural es composicional; sólomuestra que debe haber algún método efectivo para computar significados. Yla composicionalidad es sólo uno de los candidatos).

Probablemente hay dos razones grandes por las cuales los partidarios de laGramática Generativa son escépticos con respecto a la empresa de la Gramática Lógica. U na es su compromiso con el mentalismo, una doctrina que noparece encajar con el enfoque basado en la noción de verdad del que partenlas gramáticas lógicas (véase §6.1.3. más adelante). L a otra es que la GramáticaLógica, con su principio de composicionalidad del significado, va en contra dela tan querida autonomía de la sintaxis de la tradición generativa, pues la composicionalidad no sólo requiere de una sintaxis bien definida en la cual basaruna interpretación semántica; también pone algunas restricciones sobre ella.

Como lo hemos mencionado arriba y sobre lo cual hablaremos detalladamentemás adelante, en §6.2., se sigue de la composicionalidad que todos los aspectosno léxicos del significado deben estar basados en la sintaxis (aquí debemos tener en cuenta que sólo estamos considerando una gramática de oraciones queconsta de una sintaxis y una semántica, la cual no hace referencia al discurso,la entonación, el contexto extralingüístico, ni nada similar). Esto significa, porlo menos en principio, que consideraciones semánticas pueden influenciar a la

sintaxis, rompiendo con la supuesta autonomía de la segunda.Qué rol juega el principio de composicionalidad en el marco general de

la Gramática Lógica es algo que discutiremos en §6.2. En §6.5. discutiremoscon cierto detalle su estatus metodológico y su relación con el contraste entre



La formulación real de un sistema lógico no siempre exhibe su compos¡pifJnalidad, pero todos estos sistemas, en efecto, están en conformidad, o pue<Wl

reformularse para que estén en conformidad, con el principio de composición^ :lidad. Por ejemplo, en el volumen 1, §2.7., se da una definición alternativa delsistema de la lógica proposicional que es equivalente a la definición usual, perolmuestra su composicionalidad de manera explícita. Compare también los co- ¡

mentarios hechos anteriormente, en §§4.3.4. y 4.4.3., acerca de la posibilidad deintroducir los cuantificadores existencial y universal de manera categoremáti-ca, en lugar de hacerlo de manera sincategoremática. En efecto, la composicionalidad es un punto de partida tan básico para la manera lógica de hacer

semántica, que en la lógica como tal siempre pasa desapercibida.

Sin embargo, si consideramos el lenguaje natural, la composicionalidaddel significado requiere de más cuidado por las siguientes razones: es evidente

que la composicionalidad brinda un método finito para la interpretaciónsemántica de un número infinito de expresiones de un lenguaje determinado.Dado que un modelo especifica la interpretación de los componentes básicos,las reglas semánticas que corresponden a las reglas sintácticas determinan demanera única la interpretación de todas las expresiones complejas. Pero debeprestarse atención a que, en efecto, la composicionalidad pone restriccionescomplejas sobre la sintaxis, la semántica y la relación entre ellas. Por un lado,

toda regla sintáctica debe tener una interpretación semántica; y por otro, todoslos aspectos de la semántica que no están relacionados con la interpretaciónde las expresiones básicas deben vincularse a una operación sintáctica. En unsistema lógico cumplimos con estos requerimientos simplemente construyendola semántica de acuerdo con la sintaxis. Pero el lenguaje natural no es algoque construyamos; es algo que es dado.

En efecto, la suposición de que la semántica del lenguaje natural puede

definirse de manera composicional no está libre de controversia. Tarski, uno delos fundadores de la semántica modelo teórica moderna, no tenía mucha fe enla posibilidad de aplicar sus métodos al lenguaje natural. La razón es que ellosrequieren mínimamente que la sintaxis del lenguaje sea especificada de maneraexacta, rigurosa y formal, y Tarski creía que esto era un fin inalcanzable parael lenguaje natural.

Esta visión prevaleció por mucho tiempo entre los filósofos y los lógicos.

No fue sino hasta el desarrollo de la Gramática Generativa, al final de los añoscincuenta y comienzos de los sesenta, que comenzó a emerger una actituddiferente. Debido al enorme impacto de la lingüística generativa, creció laconvicción de que la descripción exacta de la sintaxis del lenguaje natural



¿r ía darse y que la posibilidad de una semántica lógica para el lenguaje

Natural sería real.

rrónicamente, la idea de utilizar los métodos de la semántica lógica en eltudio del lenguaje natural no fue acogida calurosamente entre la mayoría de

Hngüistas de la tradición “chomskiana”, y todavía no lo ha sido, por lo menos

J e manera oficial, aunque algunos resultados y métodos sí han sido adoptados,por otra parte, personas como K atz han argumentado a favor de una versión dela composicionalidad de la siguiente manera: un usuario competente es capazde interpretar un número teóricamente infinito de oraciones. La interpretacióndel usuario del lenguaje se basa en su conocimiento del significado de unnúmero finito de elementos léxicos y su conocimiento (implícito) de las reglassintácticas, también en número finito. La hipótesis de la composicionalidad,

que requiere que a toda regla semántica corresponda una regla sintáctica,parece ofrecer una explicación para este hecho (esta línea de argumentaciónse encuentra en varios autores: cf., por ejemplo, Frege 1923. Debemos notarque el argumento no demuestra que el lenguaje natural es composicional; sólomuestra que debe haber algún método efectivo para computar significados. Yla composicionalidad es sólo uno de los candidatos).

Probablemente hay dos razones grandes por las cuales los partidarios de la

Gramática Generativa son escépticos con respecto a la empresa de la Gramática Lógica. Una es su compromiso con el mentalismo, una doctrina que noparece encajar con el enfoque basado en la noción de verdad del que partenlas gramáticas lógicas (véase §6.1.3. más adelante). L a otra es que la GramáticaLógica, con su principio de composicionalidad del significado, va en contra dela tan querida autonomía de la sintaxis de la tradición generativa, pues la composicionalidad no sólo requiere de una sintaxis bien definida en la cual basar

una interpretación semántica; también pone algunas restricciones sobre ella.Como lo hemos mencionado arriba y sobre lo cual hablaremos detalladamentemás adelante, en §6.2., se sigue de la composicionalidad que todos los aspectosno léxicos del significado deben estar basados en la sintaxis (aquí debemos tener en cuenta que sólo estamos considerando una gramática de oraciones queconsta de una sintaxis y una semántica, la cual no hace referencia al discurso,la entonación, el contexto extralingüístico, ni nada similar). Esto significa, porlo menos en principio, que consideraciones semánticas pueden influenciar a lasintaxis, rompiendo con la supuesta autonomía de la segunda.

Qué rol juega el principio de composicionalidad en el marco general dela Gramática L ógica es algo que discutiremos en §6.2. En §6.5. discutiremoscon cierto detalle su estatus metodológico y su relación con el contraste entre



1

forma lógica y forma gramatical. Por ahora es suficiente haber mencionada «spapel importante que juega en la empresa de la Gramática Lógica. 1

6.1.2. Lenguaje objeto y metalenguaje: clausura semántica

Hay una condición técnica que debe ser cumplida por un lenguaje para qu 1

sea posible definir su semántica siguiendo la manera de un sistema lógico a Isaber, la relación entre el lenguaje al cual queremos darle una semántica,se llama el l engua j e obj eto, y el lenguaje en el cual formulamos la semántica*!que se llama el metalenguaje. Esos dos lenguajes pueden ser en efecto diferen- ites; por ejemplo, en los capítulos anteriores hemos usado el español como unmetalenguaje con el cual se ha formulado la semántica de varios lenguajes lógicos, que en este caso cumplen el papel de lenguaje objeto. Pero es posible que

el lenguaje objeto sea parte del metalenguaje. De esta manera, la semánticade un fragmento del español puede presentarse en español. L os términos ‘lenguaje objeto’ y ‘metalenguaje’, entonces, se refieren más bien a las distintasf unc iones del lenguaje, que pueden ser desempeñadas por distintos lenguajes,pero también por uno solo.

La pregunta que ahora surge es si es posible que el lenguaje objeto y elmetalenguaje sean idénticos. A primera vista, nada parece hablar en contra de

la suposición de que este sea el caso, pero un escrutinio detallado mostrará queesto lleva a problemas inesperados.

Al describir la semántica de un lenguaje objeto, entre otras cosas, tenemosque establecer en el metalenguaje las condiciones de verdad de las oraciones dellenguaje objeto. Trabajando al estilo familiar “tarskiano”, esto significa queen el metalenguaje hay nombres disponibles para las oraciones del lenguajeobjeto. Usualmente utilizamos las mismas oraciones, transformándolas en nom

bres al poner comillas o escribiéndolas en cursivas. Como resultado, es posibledefinir en el metalenguaje un pr ed i cado de verdad , es decir, un predicado delmetalenguaje de una oración del lenguaje objeto que es cierto si y sólo sila oración es verdadera. En otras palabras, dar las condiciones de verdad de lasoraciones del lenguaje objeto se reduce a especificar la extensión del predicadode verdad.

T odo esto está muy bien, excepto cuando el lenguaje objeto y el metalen-guaje son idénticos. La razón es que el predicado de verdad i p so fa d o haceparte también del lenguaje objeto, al igual que los nombres de las oracionesdel lenguaje objeto; esto da lugar a par ad ojas semán t i cas. Por ejemplo, supongamos que el español es nuestro lenguaje objeto y nuestro metalenguaje.En ese caso, el español contendría al mismo tiempo su propio predicado es



■ Jndera y l°s nombres para todas sus oraciones; lo que significaría que es1)6 ¡ble formular oraciones tales como (1):

oración (1) no es verdadera

gsta oración produce una paradoja. Para que (1) sea verdadera, (1) no debe

r verdadera, dado que eso es lo que (1) significa. Pero si (1) no es verdadera entonces la afirmación expresada por (1) es verdadera y, por lo tanto,(1) también lo es. P odemos concluir que no es posible formular una teoríasemántica para un lenguaje objeto en un metalenguaje que es idéntico al lenguaje objeto sin que nos metamos en problemas. Pero, el problema es aún másserio, dado que en una situación en la cual el lenguaje objeto y el lenguajeson diferentes también puede ocurrir el mismo resultado poco placentero. Por

ejemplo, si describiéramos el significado de la oración (1) en un lenguaje distinto a' español, digamos en holandés, la paradoja no desaparecería, sino quesencillamente tendría distintas palabras. El problema radica en un lenguajeobjeto que permite autoreferencia, por ejemplo, al contener nombres para suspropias oraciones y al contener su propio predicado de verdad. Tales lenguajesse llaman cer r ad os semán t i cam en t e. Debemos concluir que una semánticaconsistente, aquella que no produzca paradojas tales como la indicada an

teriormente, sólo puede definirse para aquellos lenguajes que no sean cerradossemánticamente.Como lo muestra el ejemplo (1), el español es cerrado semánticamente, por

lo que no es posible darle una teoría semántica consistente. Dado que esto escierto de manera general para todos los lenguajes naturales, parece que debemos concluir que la empresa de la Gramática L ógica va por mal camino desdeel puro comienzo. Hay varias maneras de evitar esta conclusión. Tal vez la máscomún sea trazar un curso seguro al formular la semántica, no para todo ellenguaje, sino sólo para los fragmentos que no sean cerrados semánticamente.La pérdida de general idad parece más bien pequeña. Por supuesto, si seguimoseste enfoque, resulta posible formular de nuevo la semántica en el mismo lenguaje. En este caso, el lenguaje objeto pertenece al metalenguaje pero no esidéntico a él, y de aquí no se sigue ninguna paradoja. E sta manera de resolverel problema es esencialmente la de Tarski (1935; 1944). Como resultado, obtenemos una jerarquía de lenguajes cada vez más inclusivos en la cual el lenguaje

de nivel n + 1 funciona como metalenguaje para el lenguaje de nivel n . Desdeun punto de vista empírico, se arguye, la restricción que esto implica no esimportante, pero hay varias condiciones formales que deben cumplirse en unateoría semántica así definida.



Además de este enfoque más bien formal, se han propuesto algunos otro8que toman la paradoja más seriamente. Observemos que si seguimos el enfoqêde Tarski, las oraciones paradójicas no reciben el significado que parecen tenerintuitivamente, pues estos dan lugar a paradojas. Si en el lenguaje natura]solamente hubiera oraciones autoreferenciales, tales como (1), esto parecería un

pequeño precio a pagar, pero las paradojas semánticas también son generadaspor otros ejemplos más naturales. Compárense las dos afirmaciones en (2) (sjsubstituyéramos, por ejemplo, la A y la B por los nombres de dos políticosque aspiran al mismo puesto, podríamos obtener ejemplos más naturales):

(2) A: T odo lo que diga B acerca de mí es falso

B: Todo lo que diga A acerca de mí es verdadero

Ahora, suponga que en efecto A y B dicen sólo una cosa acerca del otro,a saber, las afirmaciones en (2). ¿L o que dice A es verdadero? Si esto es así,la afirmación de B de que todo lo que A diga acerca de B es cierto, deberíaser falsa. Dado que, por hipótesis, la única cosa que A dice acerca de B es quecualquier cosa que B diga acerca de A es falsa, esto implica que la afirmaciónde A es falsa. De manera similar, la afirmación de A es verdadera si es falsa.La paradoja surge nuevamente. E jemplos como los de (2) pueden multiplicarse y pueden hacerse más naturales describiendo mejor las circunstancias.Para muchos esto sugiere que las paradojas semánticas son un asunto menosmarginal de lo pensado y que en lugar de evitarlas —que es lo que finalmentehace el enfoque de Tarski— deben ser abordadas de frente. Varias solucioneshan sido propuestas para el problema de establecer una teoría semántica quehaga frente a estas paradojas, por ejemplo por K ripke, Herzberger, Guptay, recientemente, por Barwise y E tchementdy en el contexto de la semánt i ca si tuac ional .

En conclusión, podemos decir que cualquiera que sea la posición que tomemos aquí, la existencia de paradojas semánticas no excluye la posibilidadde una semántica modelo teórica para el lenguaje natural. Pero, por supuesto,debemos tomar medidas. Ya sea que nos restrinjamos describiendo el lenguajenatural en la manera sugerida por Tarski, o que adoptemos un enfoque másdirecto, pero también más complejo, como los que proponen K ripke y demás.

6.1.3. La semántica y la teoría de la verdad

No parece haber obstáculos formales o metodológicos para la aplicación de losmétodos de la semántica lógica y modelo teórica al lenguaje natural. Sin em-



hargo, puede argumentarse que aunque tal vez sea posible describir los significados de las expresiones del lenguaje natural de manera similar a los de lasexpresiones lógicas, no es obvio en lo más mínimo que sea provechoso aproxi-

arse al significado del lenguaje natural por este medio. Aquí llegamos a un

asunto fundamental.

Como se explicó en el capítulo 1, la semántica modelo teórica puede verse

como una Teoría Referencial del Significado. El significado se explica en térmi-nOS de la relación de referencia, o denotación, que ocurre entre expresiones yalgún conjunto independiente de entidades. Esto vale tanto para una semántica intensional, como para una extensional: la referencia múltiple, en términosde la cual se define la intensión, también es una relación de referencia, con unparámetro extra. Por lo tanto, las nociones de referencia y verdad deben considerarse como las nociones clave de la semántica modelo teorética. Y si intenta

mos utilizar los métodos de esta última en nuestra descripción del significadoen el lenguaje natural, asumimos, implícita o explícitamente, que por lo menos una parte sustancial del significado de las expresiones del lenguaje naturalpuede ser capturada en términos de las nociones de referencia y verdad. Enotras palabras, uno de los puntos de partida de la Gramática L ógica es la ideade que la teoría semántica para un lenguaje natural debe contener por lo menosuna definición de verdad para dicho lenguaje.

Exactamente en este punto hay una marcada oposición entre los proponentes de la Gramática L ógica y los que se adhieren a la Gramática Generativa.Mientras que los primeros ven el significado esencialmente como una relaciónentre las expresiones de un lenguaje y algo más, ‘allá afuera’, que es a lo quese refieren las expresiones, o sobre lo que hacen afirmaciones o preguntas; laúltima sostiene que el significado consiste en las representaciones mentales queacompañan una expresión lingüística. La controversia puede ser muy grande,

entre un gramático lógico que considera que las representaciones mentales no juegan ningún papel y un mentalista que niega que el lenguaje tenga algunafunción referencial. O puede ser menos dramática, puesto que un gramáticológico puede reconocer la existencia de representaciones mentales y el mentalista puede admitir que el lenguaje de alguna manera, indirectamente, tambiénse relaciona con lo no mental. Pero en cualquier caso, la diferencia es de principio, porque mientras puede haber acuerdo en otras cosas, esto representa unadiferencia de opinión fundamental acerca de lo que constituye el significado:su relación con el ‘mundo’ o su relación con lo ‘mental’.

No podemos detallar los argumentos que han sido propuestos a favor dela primera posición. Simplemente llamamos la atención sobre la tradición, que



__ ..„v, nace mucho tiempo en filosofía y en lógica, que sume que cualqUje ®teoría semántica debe contener por lo menos una teoría de la verdad. Acer«^ 1de ello ha habido acuerdos y todavía los hay. Y desde finales de los sesentas §e 1han hecho varias propuestas para aplicar los métodos de la semántica modela 1teórica en el análisis del lenguaje natural. Sin embargo, debe tenerse en cuenta 1

que aquí debemos distinguir entre dos corrientes de pensamiento principales ' Todas las propuestas toman la formulación de las condiciones de verdad '

de las oraciones o, más generalmente, de las condiciones de denotación de lasexpresiones, como una parte esencial de la teoría, pero no todas las propuestas 1están de acuerdo ni con respecto al método para llevar a cabo esto, ni conrespecto a si la definición de las condiciones de verdad es suficiente en sí mismapara un análisis del significado del lenguaje natural.

Con respecto al último aspecto, podemos distinguir entre los ‘extensionalis-tas’ y los ‘intensionalistas’. Un extensionalista prominente es Davidson, quiensostiene que es posible y necesario hacer semántica para un lenguaje naturalsolamente en términos de condiciones de verdad. Davidson comparte esta opinión con Quine, quien por razones filosóficas y metodológicas siempre se haopuesto al uso de nociones tales como ‘significado’, ‘sinonimia’, y otras porel estilo, incluso en lógica. L a posición de que una explicación de los hechos

semánticos que utilice tales nociones sería una explicación de obscu r um per obscur ior ha sido promovida y defendida enérgicamente por Quine en numerosos lugares. De acuerdo con Quine y Davidson, entonces, el uso de nocionesteóricas como aquellas de mundos posibles, intensión, y por consiguiente dela semántica intensional como tal, deben ser evitadas, puesto que no podemosesperar ninguna ganancia conceptual sobre el significado del lenguaje naturala partir de ellas. E llos consideran que la semántica teórica debe ser formulada

en términos puramente extensionales.La corriente de pensamiento intensionalista sostiene que tal posición está de

masiado inspirada en motivos filosóficos y que presta muy poca atención a losrequerimientos de una teoría semántica del lenguaje natural que sea empíricamente adecuada. De acuerdo con los intensionalistas, el carácter intensionaldel lenguaje natural es obvio. Muchas expresiones y construcciones son problemáticas para una semántica estrictamente extensional (Cf. los ejemplos en

§§1.6. y 3.1.). Una semántica extensional no puede remontar esas dificultades. Si nuestro objetivo es una semántica para el lenguaje natural que seaadecuada empíricamente, más que una teoría semántica que cumpla algunasrestricciones filosóficas independientes, la manera obvia de proceder es utilizando una semántica intensional. Esta opinión ha sido propuesta tanto teórica



I 0 prácticamente por varios autores, notablemente por Montague, Lewis yrggwell- Los modelos que ellos han desarrollado realmente apuntan a proveer

U marco de trabajo para una teoría semántica del lenguaje natural que seampíricamente adecuada. Por esta razón, estos modelos pueden ser realmente

caracterizados como ‘gramáticas lógicas’.E s t e capítulo está dedicado a la exposición de una de esas gramáticas

lógicas y, por las razones indicadas en §6.1., el modelo que hemos escogido esel desarrollado por Richard Montague.

6.2. La organización de una Gramática de Montague

E s t a sección trata la organización de una Gramática de Montague. Adoptamosel modelo de Montague como fue propuesto en “The Proper Treatment of Quantification in Ordinary English” (1973): el modelo PTQ. Este modelo esuna de las versiones posibles de la teoría general sobre sintaxis y semántica queMontague formuló en su “Universal Grammar” (1970b). Esta teoría general hallevado a varios modelos organizados de maneras un poco diferentes; por ejemplo, el enfoque de Montague en “English as a Formal Language” (1970a) difiereen varios aspectos del modelo PTQ, por lo que sería equivocado presentar, estrictamente hablando, el modelo PTQ como l a Gramática de Montague. Porotra parte, el modelo PTQ es la implementación de las ideas de Montague másconocida y más extensamente utilizada, e incluso cuenta como la formulaciónparadigmática de la Gramática L ógica como tal. Así pues, con estas reservasen la cabeza, nos concentramos en el modelo PTQ en el resto de este capítulo.

Metodológicamente, la noción de Montague más importante es la siguiente: la tarea principal de una teoría lingüística debe ser sentar las bases parauna teoría semántica. Esta presuposición tiene consecuencias para la organi

zación de la gramática. Una semántica composicional requiere de una teoríasintáctica. En otras palabras: interpretar una expresión compleja de manera composicional no es simplemente interpretar la expresión como tal, sinointerpretarla dado un análisis sintáctico. El análisis sintáctico nos dice quésubexpresiones componen la expresión compleja, qué reglas se utilizaron paraformar esta expresión y en qué orden se compuso la expresión. Necesitamosesta información si queremos construir el significado de la expresión a partir

de los significados de sus partes componentes, como lo requiere la composicio-nalidad. La interpretación semántica se realiza no sobre expresiones como tal,sino únicamente sobre expresiones dado un análisis sintáctico. En este sentido,una teoría semántica presupone una teoría sintáctica.



La interpretación modelo teorética usual de los lenguajes lógicos cumplecon este requerimiento. Los lenguajes lógicos se caracterizan por el hecho deque las expresiones y sus análisis sintácticos no pueden distinguirse: una expresión muestra su análisis sintáctico en su estructura. Para cada expresión hayexactamente un árbol de construcción, el cual puede deducirse sin ambigüedada partir de la expresión, gracias al uso de los paréntesis. En el lenguaje natural hay oraciones sintácticamente ambiguas, donde una expresión puede serel resultado de distintos procesos sintácticos y, por lo tanto, puede tener más deun análisis sintáctico. Algunas veces, análisis sintácticos distintos pueden darlugar a diferencias en significados. Como resultado, podemos determinarel significado de una expresión solamente con base en su análisis sintáctico.Los siguientes tres ejemplos ilustrarán este punto. Considere la oración (3):

(3) J uan ve mujeres y hombres ancianos

L a oración (3) tiene dos lecturas: en una, J uan ve mujeres y hombres, estos últimos ancianos; en la otra, J uan ve mujeres ancianas y hombres ancianos. L a expresión componente m u jer es y hom bres an ci an os es la fuente de laambigüedad. El alcance del adjetivo ancianos determina a cuál conjunto depersonas se retire la expresión. Cuando el alcance es solamente el nombre

común hombres, la referencia es la de la primera lectura, mientras que la segunda lectura de (3) es aquella en la cual ancianos se aplica a la expresióncompuesta m u j er es y hom bres. Las dos maneras correspondientes de construirm u jer es y hombr es an ci an os pueden representarse de la siguiente forma:

(4) a. [mujeres y [hombres ancianos]]

b. [[mujeres y hombres] ancianos]

L os dos significados de (3) pueden construirse utilizando los análisis sintácticos(4a) y (4b). Así pues, el proceso de interpretación funciona mejor sobre representaciones como (4a) y (4b), que sobre expresiones desestructuradas comom u jer es y hombr es an ci an os. La ambigüedad de (3) es estructura l : ella resideen las dos estructuras distintas que pueden asignarse a m u jer es y h om br es an-

cianos. Pero no todas las ambigüedades sintácticas pueden reducirse a tales

ambigüedades estructurales. Considere las oraciones (5) y (6):

(5) Todos en este cuarto hablan un idioma

(6) J uan busca un tesoro



Cada una de estas oraciones también tiene dos lecturas. En una lectura de(5) hay un idioma que todos hablan en el cuarto, por ejemplo, español, mientras que otras personas pueden también hablar otros idiomas; la otra lectura¿ice que todos hablan solamente un idioma, posiblemente distinto para cadapersona. Una ambigüedad de d i cto/ de re ocurre en (6). La interpretación de r e

establece que hay un tesoro que es buscado por J uan, pero la interpretaciónde d i cto no implica la existencia de un tesoro.1Tales ambigüedades no puedenreducirse a ambigüedades estructurales, como sí era el caso para (3), dado queoraciones como (5) y (6) sólo tienen una estructura componente. Aparentemente, para oraciones como éstas hay di st i nt as m aner as de der ivar l as, aunquetodas resulten en la misma expresión con la misma estructura pero con distintosignificado. Las dos maneras de derivar (5) difieren en el orden en el cual seintroducen los términos cuantificados todos en este cua r t o y un id i oma. Si introducimos un id iom a primero, obtenemos la segunda lectura; si comenzamoscon t odos en este cua r t o obtenemos la primera lectura. Algo similar sucede con(6), como mostraremos más adelante. La ambigüedad de (5) o (6) es el resultado de la existencia de más de una derivación sintáctica; de aquí que seafrecuentemente llamada ambigüedad d er i vacional . La ambigüedad estructuralde (3) puede considerarse como un caso especial de ambigüedad derivacional.

Podemos concluir que la derivación de una expresión es la que determina su significado. Utilizaremos el término anál i sis si n táct i co en este sentido,refiriéndonos a la historia derivacional de una expresión, distinguiéndola de lanoción de anál i si s estr uctu r al .

Una teoría semántica composicional no sólo presupone una teoría sintáctica, también impone ciertas condiciones sobre ella. Toda ambigüedad que no sealéxica, es decir cualquier ambigüedad que no pueda reducirse a la ambigüedadde un elemento del léxico, debe corresponder a una ambigüedad derivacio

nal. Otra condición requiere que toda operación sintáctica sea semánticamente interpretable; su efecto semántico debe ser expresable explícitamente y entérminos generales.

Todo esto significa que la sintaxis de la Gramática de Montague no esautónoma, o por lo menos no se requiere que así sea. Consideraciones semánticas pueden ser de suma importancia en la formulación de la sintaxis. Una

1N. de T .: este fenómeno de ambigüedad derivacional no ocurre en español cuando el objeto directo de buscar (y de la gran mayoría de verbos transitivos) es animado y definido. Por ejemplo, si en lugar de un tesor o , lo que J uan busca fuera una secretaria, la oración Juan busca un a secreta r ia sólo tiene una lectura de d i c to — como si esta frase fuera la de un aviso en un periódico— , mientras que la lectura de r e sólo puede ser expresada por Ju an busca a una sec re t a r i a . La preposición a debe ir antes del objeto directo cuando éste es animado y definido.



ambigüedad sintáctica puede construirse, por así decirlo, sólo por razonessemánticas; similarmente, consideraciones semánticas pueden forzar a escogerentre análisis sintácticos alternativos, cuya escogencia no puede basarse sóloen consideraciones sintácticas. Todavía es una pregunta abierta si esta trans-greción potencial de la semántica a la autonomía de la sintaxis se encuentraen la realidad, es decir, en la descripción actual de algún lenguaje natural.

Aunque impone condiciones en la forma y contenido de la sintaxis, lasemántica nos permite explicar ciertas características semánticas sin dependerde consideraciones sintácticas. Dos oraciones con el mismo significado puedendiferir considerablemente en su sintaxis, incluso hasta el extremo de que a partir de un punto de vista sintáctico no sea plausible relacionarlas. Por ejemplo,consideremos las oraciones en sus formas activa y pasiva. Una teoría semántica explícita nos permite dar cuenta de la conformidad en significado sin tener

que suscribirnos a las hipótesis de que las oraciones son iguales en algún nivelsintáctico. Es suficiente que sus análisis sintácticos determinen la misma interpretación semántica. En este sentido, la naturaleza y el poder de la semánticacomposicional equilibra la transgresión a la autonomía de la sintaxis al permitirnos eliminar de esta última consideraciones irrelevantes, es decir, semánticas.

La organización del modelo PTQ no sólo es dictada por los principios anteriormente expuestos, sino también por su método característico de vincular la

sintaxis y la semántica. Es posible definir d i rec tamente una semántica modeloteórica para un lenguaje natural. El análisis sintáctico de una expresión provee la base para una interpretación directa en un modelo, de la misma maneraen que esto se hace para las expresiones de los lenguajes lógicos. Montagueadoptó este método de interpretación directa en su “English as a Formal Lan-guage” (1970a). Sin embargo, en el modelo PTQ utilizó un método indirecto. En este modelo, las expresiones del lenguaje natural se traducen primero a

expresiones de un lenguaje lógico, como se muestra en (7). Las expresioneslógicas se interpretan de la manera modelo teórica usual. De ello se sigue quelas expresiones del lenguaje natural se interpretan indirectamente a través de lainterpretación de las expresiones lógicas en las cuales son traducidas.

(7)

Como de costumbre, el lenguaje lógico no es ambiguo; por lo tanto, la semántica asigna un significado a cada expresión lógica. Si la interpretación semántica



de una expresión lógica debe funcionar indirectamente como la interpretaciónixiántica de una expresión del lenguaje natural, algunas condiciones deben re

querirse para el proceso de traducción. Si una expresión del lenguaje natural esambigua, necesitamos asignarle más de un significado. En el modelo PTQ, estoimplica que una expresión ambigua deba traducirse en expresiones lógicas distintas y no equivalentes. El principio de composicionalidad requiere que todaambigüedad no léxica se corresponda con una ambigüedad derivacional, comoge explicó anteriormente.

Dado que el proceso de traducción no es más que un proceso indirectode interpretación, él también debe adaptarse al análisis sintáctico. Una traducción no se obtiene para la expresión como tal, sino únicamente para unaexpresión dado su análisis sintáctico. Si hay distintas formas de analizar, esdecir, de derivar una expresión, debe haber traducciones distintas, que re

presenten los distintos significados (como lo veremos más adelante, no todaambigüedad derivacional corresponde a una ambigüedad semántica genuina,mientras que lo contrario sí es cierto).

Así que en el modelo PTQ, la composicionalidad juega un papel en dosniveles distintos. El primero es el nivel de la interpretación del lenguaje lógico,el cual satisface la composicionalidad como de costumbre. Pero la composicionalidad también está involucrada en el segundo nivel, el de la traduccióndel lenguaje natural al lenguaje lógico. Esto es necesario si queremos asegurar la composicionalidad del proceso de interpretación del lenguaje natural:debemos, por lo tanto, hacer que el proceso de traducción sea un proceso com-posicional. T odos los elementos léxicos del lenguaje natural se traducen en expresiones del lenguaje lógico y de esta manera se les asigna significados únicos.Las reglas sintácticas nos dicen cómo construir nuevas expresiones a partir deexpresiones existentes; a cada una de estas reglas se asocia una regla de tra

ducción, la cual especifica la traducción de las expresiones complejas, dada latraducción de sus partes componentes. Al final, toda expresión se construyea partir de las expresiones básicas, por medio de la aplicación de un númerofinito de reglas sintácticas. L a construcción suministra el análisis sintáctico,el cual determina una traducción única y, de esta manera, con un significadoúnico. Si una expresión puede analizarse sintácticamente de más de una forma,entonces tiene más de una traducción y, por lo tanto, posiblemente más de un

significado.La estructura general del modelo p t q queda así definida. En las siguientes

secciones daremos un ejemplo de una gramática acorde con el modelo PTQ para un pequeño fragmento del español, que cubre más o menos la misma área



cubierta por el mismo Montague en el modelo p t q . Esta descripción no buscadar más que una ilustración tangible de los principios y nociones anteriormentemencionados, para permitirle al lector entender el trabajo de Montague y eitrabajo de otros en la tradición que él fundó. Algunas construcciones serán 1examinadas más detenidamente que otras; nos limitaremos a un análisis deta

llado de aquellas construcciones y análisis que forman el núcleo del fragmentodel modelo PTQ.

Nuestra exposición procederá paso por paso. Para facilitar la exposición, yesperamos que también su entendimiento, nuestro fragmento se construirá deuna manera que inicialmente se desvía en un aspecto importante del modelo PTQ. En un estadio posterior añadiremos las complicaciones adicionales yasí obtendremos un fragmento que es sustancialmente del modelo PTQ. Comparado con la riqueza y vastedad del lenguaje natural, este fragmento es muyrestr ingido. Sin embargo, contiene el análisis de varios fenómenos que deben serexplicados por toda teoría semántica adecuada. El limitado rango descriptivodel fragmento no debe tomarse como una indicación de que las posibilidadespara la aplicación de la Gramática de Montague también son limitadas. Unagran variedad de fenómenos, interesantes sintáctica y semánticamente, hansido descritos y estudiados dentro del marco de trabajo de la Gramática deMontague; algunos ejemplos serán mencionados en §6.5.

6.3. Una Gramática de Montague para un fragmento

del español

6.3.1. Categorías y expresiones básicas

El modelo PTQ utiliza una sintaxis categorial para generar las expresiones deun lenguaje natural. Como lo indicamos en §4.3., una sintaxis categorial puraconsiste en cuatro cosas: (i) una enumeración de las categorías básicas; (ii)una definición de las categorías derivadas; (iii) un lexicón ; es decir, una especificación de los elementos léxicos de cada categoría; y (iv) una especificacióndel comportamiento de la operación sintáctica de concatenación. Esta forma desintaxis categorial es equivalente a un sistema sencillo de reglas de reescritura

independientes del contexto y, por lo tanto, sabemos que tendrá dificultadespara dar cuenta de algunos fenómenos tales como el orden de las palabras, supresión, constituyentes discontinuos, características morfológicas, entre otras;la mayoría de estas serán tratado más adelante. Con el transcurso de los añosse han hecho varias propuestas para solucionar la falta de adecuación de la



•jitaxis categorial pura. Una sugerencia temprana, hecha por Lyons y Lewis, e usar una sintaxis categorial pura como un componente base y añadir unimponente transformacional para tratar esos fenómenos. Hoy en día, otrasestrategias son más populares, una de ellas es introducir cierta flexibilidadsistemática en la asignación de categorías a las expresiones. Este enfoque será

abordado en el capítulo 7.

En el modelo PTQ, Montague en efecto solucionó los contratiempos queacabamos de referir de manera más bien cruda y ad hoc, a saber, simplemente permitió el uso de toda clase de operaciones sintácticas en las reglassintácticas. En una sintaxis categorial pura y unidimensional, la única operación sintáctica permitida para formar expresiones es la concatenación (yasea a la derecha o a la izquierda). Por consiguiente, tal sintaxis tiene sólo unaregla sintáctica. En el modelo PTQ, expresiones complejas pueden obtenerse

mediante otros métodos además de la simple concatenación de dos expresionesde categorías convenientes y, por consiguiente, el número de reglas sintácticascrece de manera proporcional. Así mismo, el poder generativo de la sintaxis

se incrementa.Las operaciones sintácticas utilizadas en las reglas sintácticas del frag

mento del modelo PTQ son más bien un conjunto heterogéneo. Encontramosla operación sencilla de concatenación (derecha e izquierda), pero también

operaciones que introducen sincategoremáticamente expresiones que cambianel orden de las palabras, que regulan la forma morfológica de las expresiones, eincluso encontramos operaciones que desempeñan varias de esas tareas al mismo tiempo. Desde un punto de vista lingüístico moderno, la manera obvia dehacer las cosas es buscar restricciones sobre las operaciones admisibles. Variaspropuestas se han hecho en esta dirección.

Definamos ahora una sintaxis categorial para un fragmento pequeño del

español, comenzando con una definición de las categorías:

Definición 6.1.

C A T , el conjunto de las categorías, es el menor conjunto tal que:

(i) O, N C , V I G C A T

(ii) SiA , B

GC A T

, entoncesA / B

GC A T

La sintaxis contiene tres categorías básicas: O , la categoría de las oraciones;N C, la categoría de los sustantivos; y VI . la categoría de sintagmas verbalesintransitivos. Las categorías derivadas A / B son categorías functoriales: una



cubierta por el mismo Montague en el modelo p t q . Esta descripción no buscadar más que una ilustración tangible de los principios y nociones anteriormentemencionados, para permitirle al lector entender el trabajo de Montague y ejtrabajo de otros en la tradición que él fundó. Algunas construcciones seránexaminadas más detenidamente que otras; nos limitaremos a un análisis detallado de aquellas construcciones y análisis que forman el núcleo del fragmentodel modelo p t q .

Nuestra exposición procederá paso por paso. Para facilitar la exposición, yesperamos que también su entendimiento, nuestro fragmento se construirá deuna manera que inicialmente se desvía en un aspecto importante del modelo p t q . En un estadio posterior añadiremos las complicaciones adicionales yasí obtendremos un fragmento que es sustancialmente del modelo PTQ. Comparado con la riqueza y vastedad del lenguaje natural, este fragmento es muy

restringido. Sin embargo, contiene el análisis de varios fenómenos que deben serexplicados por toda teoría semántica adecuada. El limitado rango descriptivodel fragmento no debe tomarse como una indicación de que las posibilidadespara la aplicación de la Gramática de Montague también son limitadas. Unagran variedad de fenómenos, interesantes sintáctica y semánticamente, hansido descritos y estudiados dentro del marco de trabajo de la Gramática deMontague; algunos ejemplos serán mencionados en §6.5.

6.3. Una Gramática de Montague para un fragmento

del español

6.3.1. Categorías y expresiones básicas

El modelo PTQ utiliza una sintaxis categorial para generar las expresiones deun lenguaje natural. Como lo indicamos en §4.3., una sintaxis categorial puraconsiste en cuatro cosas: (i) una enumeración de las categorías básicas; (ii)una definición de las categorías derivadas; (iii) un lèxi con ; es decir, una especificación de los elementos léxicos de cada categoría; y (iv) una especificacióndel comportamiento de la operación sintáctica de concatenación. Esta forma desintaxis categorial es equivalente a un sistema sencillo de reglas de reescritura

independientes del contexto y, por lo tanto, sabemos que tendrá dificultadesPara dar cuenta de algunos fenómenos tales como el orden de las palabras, supresión, constituyentes discontinuos, características morfológicas, entre otras;la mayoría de estas serán tratado más adelante. Con el transcurso de los añosse han hecho varias propuestas para solucionar la falta de adecuación de la



sintaxis categorial pura. U na sugerencia temprana, hecha por Lyons y Lewis,fue usar una sintaxis categorial pura como un componente base y añadir uncomponente transformacional para tratar esos fenómenos. Hoy en día, otrasestrategias son más populares, una de ellas es introducir cierta flexibilidadsistemática en la asignación de categorías a las expresiones. Este enfoque seráabordado en el capítulo 7.

En el modelo PTQ, Montague en efecto solucionó los contratiempos queacabamos de referir de manera más bien cruda y ad hoc, a saber, simplemente permitió el uso de toda clase de operaciones sintácticas en las reglassintácticas. En una sintaxis categorial pura y unidimensional, la única operación sintáctica permitida para formar expresiones es la concatenación (yasea a la derecha o a la izquierda). Por consiguiente, tal sintaxis tiene sólo unaregla sintáctica. En el modelo PTQ, expresiones complejas pueden obtenerse

mediante otros métodos además de la simple concatenación de dos expresionesde categorías convenientes y, por consiguiente, el número de reglas sintácticascrece de manera proporcional. Así mismo, el poder generativo de la sintaxis

se incrementa.Las operaciones sintácticas utilizadas en las reglas sintácticas del frag

mento del modelo PTQ son más bien un conjunto heterogéneo. E ncontramosla operación sencilla de concatenación (derecha e izquierda), pero también

operaciones que introducen sincategoremáticamente expresiones que cambianel orden de las palabras, que regulan la forma morfológica de las expresiones, eincluso encontramos operaciones que desempeñan varias de esas tareas al mismo tiempo. Desde un punto de vista lingüístico moderno, la manera obvia dehacer las cosas es buscar restricciones sobre las operaciones admisibles. Variaspropuestas se han hecho en esta dirección.

Definamos ahora una sintaxis categorial para un fragmento pequeño del

español, comenzando con una definición de las categorías:

Definición 6.1.

C A T , el conjunto de las categorías, es el menor conjunto tal que:

(i) O, N C , V I G C A T

(ii) Si A , B G C A T , entonces A / B G C A T

La sintaxis contiene tres categorías básicas: O. la categoría de las oraciones;NC, la categoría de los sustantivos; y VI , la categoría de sintagmas verbalesintransitivos. Las categorías derivadas A / B son categorías functoriales: una



D ef i n i c i ón Ca t egor i a l _______ Desc r i p c i ón _________ Exp r es i ones

O Oraciones

N C SustantivosHombre, mujer, lenguaje, tesoro, elefante, reina, parque, yate, anillo

V I Sintagmas verbales intransitivos

Fumar, dormir, hablar, caminar, pasear

T = O / V I Términos J uan, María, Carlos, Elisa, e/o, él \ , ...

V T = V I / T ( = V I / ( O / V I ) ) Sintagmas verbales transitivos

Añorar, amar, conocer, buscar, encontrar, ser, besar

V I / O Verbos de complementos de oraciones Creer que, afirmar que

V I / V I Verbos de complementos infinitivos

Intentar, desear

N C / N C Adjetivos prenominalesVerde, grande, rosado, cuadrado, imaginario

O / O Adverbios modificadores de oraciones N ecesariamente

Cuadro 6.1. Categorías y expresiones

expresión de categoría A / B toma una expresión de categoría B comoargumento y produce una expresión nueva de categoría A . En efecto, la cláusula (ii) de la definición 1 determina un número infinito de categorías derivadas;sin embargo, sólo usaremos algunas cuantas de ellas. Para algunas categoríasderivadas introduciremos abreviaciones especiales. El cuadro 6.1. resume lascategorías que se utilizarán, da una definición si el nombre de la categoríaes una abreviación de una categoría derivada y presenta una caracterizaciónlingüística más familiar. El cuadro también presenta el léxico de nuestro fragmento: al lado de cada una de las categorías se listan los elementos léxicosde esa categoría. En las siguientes secciones, designaremos a menudo los elementos léxicos (también llamados exp r esi on es bási cas ) de una categoría A como B a . De acuerdo con el cuadro 6.1., entonces, B ^ c es el conjunto {hombre ,

m u jer , l en gu a j e, tesor o, el efa n te , r ei n a , pa r qu e}. Obsérvese que el número deexpresiones básicas de la categoría T es infinito. Para cada número naturaln , éln 6 B t . La función de esas expresiones, llamadas var i abl es si n tácti cas, será clara más adelante.



Hasta ahora hemos definido tres de los cuatro componentes de una sintaxiscategorial- las categorías básicas, las categorías derivadas y el lexicón. Faltadar la enumeración de las reglas sintácticas que definen cómo crear nuevasexpresiones a partir de otras ya existentes. Las reglas sintácticas para el fragmento serán el tema de las siguientes secciones. Sus definiciones se presentarán

una por una: primero, unas pocas para mostrar cómo se traduce el subfrag-mento resultante; después, añadiremos gradualmente más reglas sintácticas yde traducción.

6.3.2. Té rm inos, verbos intransitivos, oraciones

Una regla sintáctica debe proveer tres tipos de información: (i) las categoríasde las expresiones a las cuales se puede aplicar, (ii) la categoría a la cual

pertenecen las nuevas expresiones que resultan después de la aplicación de laregla, y (iü) la operación sintáctica que debe aplicarse para obtener una nuevaexpresión. J untas, las reglas sintácticas nos proporcionan una definición delas expresiones del lenguaje. Por consiguiente, podemos considerar una enumeración de las reglas sintácticas como una definición que determina paracada categoría A las expresiones que pertenecen a ella. En otras palabras, sidenotamos como P¿\ al conjunto de todas las expresiones que pertenecen a A ,

se puede considerar que el conjunto de las reglas sintácticas proporciona unadefinición recursiva de PA para todo A € C A T .

En esta sección daremos las reglas para la generación de oraciones simplestales como:

(8) J uan camina

(9) Todo hombre duerme(10) El elefante fuma

(11) Una mujer pasea

(12) Un solo elefante habla

Nuestra primera preocupación aquí es el análisis de los términos, tanto nombres propios como expresiones cuantificadas. El punto de partida de toda lasintaxis es la siguiente r egl a básica:

SI : B a C PA i para toda categoría A



Esta regla establece que todo elemento léxico de una categoría A es una expresión de categoría A : las expresiones básicas están incluidas en el conjuntode todas las expresiones.

La siguiente regla es una r egla de apl i cación fun ci on al , que son aquellasque describen cómo las expresiones de ciertas categorías functoriales, es decircategorías de la forma A / B , se combinan con expresiones de categoría B para

producir expresiones de categoría A . La regla S2 establece cómo los términos ylos sintagmas verbales intransitivos se combinan para formar oraciones. La categoría de los términos, T , es una categoría functorial: T se define como O / V I La categoría de las frases verbales intransitivas, VI , es una categoría básicaasí como la categoría de las oraciones O. L a regla es la siguiente:

S2: Si 6 G P v i y a € P t , entonces F i ( a ,8 ) £ P o y

F \ (a , 8 ) = aó' , donde 8' es el resultado de reemplazar el verbo principal en 5 por su forma en tercerapersona singular

Por ejemplo, el término J u a n y el verbo intransitivo c am i n a r se combinan porS2 para formar la oración J uan cami na, ya que J u a n e P r (gracias a la regla Si,dado que J u a n G B t ) y c am i n a r G P y i (por la misma razón). Si aplicamos F\

a J u a n y c a m i n a r , el resultado es una oración: F \ (J u a n , cam i n a r )G

Pq Lafunción de la operación sintáctica F i tiene dos propósitos: conjugar el verboprincipal en la V I y concatenar el T y el V I conjugado. En este ejemploc am i n a r es el único verbo y, por lo tanto, F\ (J u a n , cam i n a r ) = J u an cam i n a . Algunas V I contienen más de un verbo principal: cam i n a r y habl a r ,dorm

o am ar a M ar ía. Esas V I se forman por medio de reglas para la conjuncióla disyunción, las cuales se estudiarán en §6.3.10. El aplicar F\ a T y a dichaV I coordinada resulta en la declinación de todos los verbos principales en la VI : F \ ( J u an , cam i n a r y habl a r ) = J uan cam in a y habl a . Para contrastar, consideremos la expresión i n t en t a r habl a r , la cual también contiene dos verbos nodeclinados, pero de los cuales sólo uno es un verbo principal: F \ (J u a n , i n t en t a r hab la r ) = J u an i n t en t a h abl ar .

El fragmento no contiene términos plurales; por lo tanto F\ no necesita hacer más que declinar el verbo principal. Y sólo lo necesita hacer para la tercerapersona, dado que pronombres en primera o segunda persona no aparecen en el

fragmento. Más aún, F\ asume un procedimiento para reconocer un verbo principal en una VI . El modelo PTQ no provee dicho procedimiento, aunque variosmétodos se han propuesto en trabajos posteriores. También, la definición de F\ asume que para cada verbo se conoce su forma presente singular de la tercera



persona. Desde el punto de vista de la organización lingüística, sería preferibletratar dichos detalles morfológicos en un componente morfológico separado, enlugar de hacerlo en la sintaxis. P ero ciertamente tal componente no es esencialpara el modelo PTQ. Considerando el objetivo restringido del modelo PTQ, esclaro por qué Montague no se preocupó con ese tipo de detalles. Su objetivoprincipal era mostrar cómo se pueden relacionar sistemáticamente la sintaxisy la semántica modelo teórica; los detalles sintácticos y morfológicos, aunqueinteresantes por derecho propio, fueron puestos de lado por el momento.En las siguientes secciones nos encontraremos con instancias similares, perono las discutiremos de manera explícita; simplemente asumiremos que ciertosprocedimientos están disponibles y no negaremos que ciertas funciones de lasoperaciones sintácticas puedan ser tratadas de una mejor manera en otra parte

de la gramática.

Las reglas SI y S2 nos proporcionan un procedimiento para formar oraciones con nombres propios (o variables sintácticas) en la posición del sujeto.En oraciones como las (9) a (12), el sujeto es un término cuantificado. Paraproducir este tipo de oraciones necesitamos reglas que formen términos cuan-tificados de categoría T a partir de N C , sustantivos, al introducir de manerasincategoremática las expresiones todo, el / la , u n (a) , un solo:

S3: Si Q 6 P n c , entonces i*2(C) £ P r y ^MC) = todo ( S4: Si C £ P n c , entoncesF3{¿) 6 PT y F3(Q = el / l a (

S5: Si £ € P n c , entoncesF ^ ) £ P t y F a { C) = un ( a ) £S6: Si £ € P n c - entoncesF ^ ( Q e P t y i's(C) = un sol o £

Las reglas S3 a S6 proporcionan cuatro formas distintas de producir términoscuantificados. Cada una de las operaciones F¿ a F?, toman un N C como ar

gumento e introducen de manera sincategoremática un determinante distinto,combinándolo con el N C para producir un T . Podemos darnos cuenta de que

estas reglas toman elementos de P n c como entrada, no sólo elementos de B n c Hasta ahora, sólo hemos visto expresiones básicas de la categoría NC, peroN C también contiene expresiones complejas: por ejemplo, frases nominalesque consisten en un adjetivo y un nombre común, tales como m u j er al t a oelefante rosado, o un sustantivo con una cláusula relativa restrictiva, comohombr e que du erm e, m u j er que m i r a a Carl os. En §6.3.11. retomaremos estelema.

El método empleado aquí, el cual introduce los determinantes de manerasincategoremática, tal como los cuantificadores se introducen en los lenguajeslógicos, es el que Montague usó en el modelo PTQ. Esto significa que se debe



proveer una regla aparte, o una operación aparte, para cada determinan.Podríamos elegir tratar los determinantes de manera categoremática. En t vlcaso, consideraríamos todo, el/ la, u n (a), un sol o como elementos de la categ0rT / N C . Una regla de aplicación funcional sería suficiente para combinar deter 1minantes y N C en T(las reglas y las operaciones que no son parte del fragmen.to,

sino que se introducen para mostrar opciones alternativas se marcan con uq J comilla. que se lee ‘prima’, para distinguirlas de sus contrapartes ‘actuales’)-

S3’:: Si o G P t / n c y ( e P n c , entonces F ^ ( a , C) G P t , y 1F£ (a, C) = <

El término todo hom br e se forma al aplicar F!¿ al T / N C todo y el N C hombr e.

La operaciónF!¿

los concatena. Si nos restringimos a determinantes simples,no hay ninguna razón convincente para preferir un método en lugar del otro.

Pero una vez que tomamos en cuenta determinantes complejos, la situacióncambia. Por ejemplo, podríamos considerar que la construcción posesiva el/ la ... de J uan , como en la madr e de J uan, es un determinante. Un N C , madre, se combina con éste para formar un término, la madr e de Juan. Para talesdeterminantes, la introducción sincategoremática ya no es plausible. Más bien,

el / la ... de J uan debe considerarse como un elemento complejo de P t / n c ■ Ytal vez otra razón para preferir el enfoque categoremático viene del hecho deque hay un número (potencialmente) infinito de numerales que actúan comodeterminantes.

Utilizando las reglas SI a S6, o SI , S2 y S3’, podemos construir las oraciones (8) a (12). En la Gramática de Montague, la derivación de una expresiónse representa por un árbol de anál i si s. La figura (13) muestra dos árboles deanálisis para la oración (9): el árbol de análisis (a) muestra la derivación uti

lizando S3, y el árbol de análisis (b), la derivación usando S3’.

(13) a. Todo hombre duerme, O, S2

Todo hombre, T, S3 duerme, VII

hombre, NC

b. Todo hombre duerme, O, S2

Todo hombre, T, S3’ duerme, VI

Todo, T /NC hombre, NC



j n0do de un árbol de análisis se rotula con una expresión, su categoría y el jxibre de la regla que se usa para formarla (SI nunca se menciona. El modelo

da el número de la operación sintáctica en lugar del nombre de la regla

• táctica, que es como lo hacemos aquí).Antes de añadir más reglas a la sintaxis, las cuales nos permitirán tratar con

¿s construcciones y expresiones, miraremos primero cuál es la organización

del proceso de traducción utilizado en este sencillo fragmento. La traducción de jos términos es especialmente importante. L os nombres propios y los términoscuantificados son tratados igual por las reglas sintácticas: ellos pertenecen a lamisma categoría sintáctica. Como veremos, esto tiene consecuencias más biende largo alcance para la traducción del fragmento.

6.3.3 La organización del proceso de traducción

En el modelo PTQ, se asigna un significado a las expresiones del español por medio de una traducción en expresiones de un lenguaje lógico. Este lenguaje es ellenguaje de la Teoría de T ipos Intensional, que se definió en el capítulo 5. Envarios momentos hemos argumentado que para representar adecuadamentelos significados de las expresiones del lenguaje natural necesitamos por lo menos un lenguaje con una estructura de tipos y una semántica intensional (cf.§§3.1., 4.2.1., 5.2.).

Antes de continuar con la especificación del proceso de traducción, primerodebemos introducir algunas convenciones notacionales (cf. también el cuadro5.2.).

j , m , b, e son constantes de tipo ex , y , z , x o , . . . , x n son variables de tipo e

X, Y ,Z, 5X n son variables de tipo (s, (e, t ))

X , Y , Z, Xo, - ••, X n son variables de tipo (s, ({s, (e, t ) ) , t ) )

En el proceso de traducción, cada expresión del español se asocia con unaexpresión lógica del tipo adecuado, es decir, de un tipo que se ajuste a lasignificación semántica de su categoría. Así que, primero que todo, estableceremos una correspondencia sistemática entre las categorías de nuestra sintaxiscategorial y los tipos de la Teoría de T ipos Intensional. Dada esta correspondencia, el proceso de traducción debe producir para cada expresión de alguna

categoría, una expresión lógica del tipo correspondiente. Para las expresionesléxicas la traducción puede darse por medio de una lista finita. Para las expresiones derivadas (infinitas en número), el proceso de traducción seguirá loslincamientos de las reglas sintácticas; dado que, como lo observamos en §6.2., si



queremos que la semántica de nuestro fragmento del español sea composición;,]

e proceso de traducción también debe ser composicional. Por lo tanto, la tralucción de las expresiones derivadas debe hacerse especificando una regla h

tra ucción para cada regla sintáctica, la cual define cuál será la traduccir^resu tante, según las traducciones de las expresiones de entrada de la reo-i*1sintáctica.

Comencemos por definir la correspondencia entre las categorías y los tinosUno de los principios líderes detrás de la sintaxis categorial es que la categoríasintáctica de una expresión refleja su función semántica. En la Gramátic

de Montague esta idea se incorpora por medio de la correspondencia entr!categorías y tipos. En la Teoría de Tipos, el tipo de una expresión concuerdadirectamente con su función semántica: la extensión de una expresión de tipoe es un individuo, una de tipo t denota un valor de verdad, la interpretación

de una expresión de tipo (a, b) es una función que asigna objetos de tipo b aobjetos de tipo a, y así en adelante. Si definimos una correspondencia entrelas categorías y los tipos obtenemos, indirectamente, una relación entre lascategorías sintácticas de expresiones en español y sus funciones semánticas.Por consiguiente, definimos una función / que vincula categorías con tipos dela siguiente manera:

Definición 6.2.

/ es una función de C A T en T tal que:

(i) /(O ) = t

(ii) f ( N C ) = f ( V I ) = {e , t )

(iü) f ( A / B ) = ( ( s , f( B ) ) , f( A ) )

La categoría O de las oraciones corresponde al tipo t de las fórmulas. Tanto laa egona V I de los sintagmas verbales intransitivos, como la categoría N C de

ios sustantivos corresponden al tipo de los predicados monádicos de primeror en \e>)• Esto ultimo ilustra que si dos categorías son distintas, ellas nonecesariamente corresponden a tipos distintos. Aunque dos expresiones pertenecientes a la misma categoría sintáctica necesariamente tienen la mismamncion semántica, la recíproca no es cierta. Por ejemplo, hombre y caminar

enen J a rnj fundón semántica! pero pertenecen a categ0nas distintas.

aecir, las diferencias sintácticas entre ellas no son determinantes para su



Ta cláusula (iii) de la definición 2 define el tipo correspondiente a las cate-rías derivadas. De manera general, una categoría functorial A / B correspon ena función de intensiones de objetos de tipo /(-B ) en objetos de tipo /

*r U decir una expresión de una categoría functorial opera semánticamenteSh e las intensiones de sus argumentos. La razón para determinar as cosas

Í S a manera es que algunas expresiones crean contextos intensiones (c . la

Hsta elaborada, aunque incompleta, en §3.1.). Por ejemplo, el verbo transitivo^ sca r crea un contexto intensional, como es evidente a partir del hecho e

que (16) no se sigue de (14) y (15):

(14) J uan busca al comandante supremo de las Fuerzas Armadas de EE.UU.

(15) El presidente de EE.UU. es el comandante supremo de las Fuerzas

Armadas de EE.UU.

(16) J uan busca al presidente de EE.UU.

Dos términos con la misma extensión perodistinta intensióncomo el coman-

dante supr em o de las Fuer zas A rm ad as de EE.UU.y el pr esi d en t e de EE.UU., no

pueden sustituirse salva veñta t e en el contexto J uan busca... En la Gramaticade Montague esto se toma en cuenta al estipular que buscar opera semánticamente sobre la intensión de sus objetos. Note que dos expresiones con la

misma intensión pueden sustituirse entre sí en un contexto intensional, como

es evidente a partir del hecho de que (18) se sigue de (17).

(17) J uan busca al barbero de Pedro

(18) J uan busca al peluquero de Pedro

En §6 3 5 regresaremos al tema de la representación de la naturaleza mtensio-

nal de algunos verbos transitivos. El hecho de que en toda categoría functorialse puedan encontrar expresiones que crean un contexto intensional es una

justificación para asociar toda categoría functorial con un tipo de la forma

((s, b ) , a ) .El segundo paso para determinar el proceso de traducción consiste en espe

cificar la traducción de los elementos léxicos del fragmento. La mayoría de loselementos serán asociados a constantes del lenguaje lógico, pero otras serán

asociadas a expresiones lógicas complejas. Al anterior grupo pertenecen loselementos de B T , el verbo transitivo ser y el adverbio modificador oracionalnecesariamente. Todos los demás elementos léxicos se traducen como constantes del tipo apropiado. Nos aseguraremos de que no ocurra que dos elementos



queremos que la semántica de nuestro fragmento del español sea composicionalel proceso de traducción también debe ser composicional. Por lo tanto, la traducción de las expresiones derivadas debe hacerse especificando una regla detraducción para cada regla sintáctica, la cual define cuál será la traducciónresultante, según las traducciones de las expresiones de entrada de la reglasintáctica.

Comencemos por definir la correspondencia entre las categorías y los tipos.Uno de los principios l íderes detrás de la sintaxis categorial es que la categoríasintáctica de una expresión refleja su función semántica. En la Gramáticade Montague esta idea se incorpora por medio de la correspondencia entrecategorías y tipos. En la Teoría de Tipos, el tipo de una expresión concuerdadirectamente con su función semántica: la extensión de una expresión de tipo

e es un individuo, una de tipo t denota un valor de verdad, la interpretaciónde una expresión de tipo (a , b ) es una función que asigna objetos de tipo b aobjetos de tipo a, y así en adelante. Si definimos una correspondencia entrelas categorías y los tipos obtenemos, indirectamente, una relación entre lascategorías sintácticas de expresiones en español y sus funciones semánticas.Por consiguiente, definimos una función / que vincula categorías con tipos dela siguiente manera:

Definición 6.2.


(i ) / (O ) = t

(ii) f ( N C ) = f ( V I ) = (e , t )

(iii) f ( A / B ) = ( { s J ( B ) ) , f ( A ) )

La categoría O de las oraciones corresponde al tipo t de las fórmulas. Tanto lacategoría V I de los sintagmas verbales intransitivos, como la categoría N C delos sustantivos corresponden al tipo de los predicados monádicos de primerorden (e, t ) . Esto último ilustra que si dos categorías son distintas, ellas nonecesariamente corresponden a tipos distintos. Aunque dos expresiones pertenecientes a la misma categoría sintáctica necesariamente tienen la mismafunción semántica, la recíproca no es cierta. Por ejemplo, hombre y caminar tienen la misma función semántica, pero pertenecen a categorías distintas.Es decir, las diferencias sintácticas entre ellas no son determinantes para sufunción semántica.



La cláusula (iii) de la definición 2 define el tipo correspondiente a las categorías derivadas. De manera general, una categoría functorial A / B correspondea una función de intensiones de objetos de tipo f ( B ) en objetos de tipo f ( A ) . gs decir, una expresión de una categoría functorial opera semánticamentesobre las intensiones de sus argumentos. La razón para determinar las cosasde esta manera es que algunas expresiones crean contextos intensionales (cf. la

lista elaborada, aunque incompleta, en §3.1.). Por ejemplo, el verbo transitivobuscar crea un contexto intensional, como es evidente a partir del hecho de

que (16) no se sigue de (14) y (15):

(14) J uan busca al comandante supremo de las Fuerzas Armadas de EE.UU.

(15) El presidente de EE.UU. es el comandante supremo de las FuerzasArmadas de EE.UU.

(16) J uan busca al presidente de EE.UU.

Dos términos con la misma extensión perodistinta intensióncomo el coman-

dant e su pr em o de las Fuer zas A rm ad as de EE.UU. yel p r esi d en te de EE.UU., nopueden sustituirse sa lva ver i ta te en el contexto J uan busca... En la Gramáticade Montague esto se toma en cuenta al estipular que buscar opera semánticamente sobre la intensión de sus objetos. Note que dos expresiones con la

misma intensión pueden sustituirse entre sí en un contexto intensional, comoes evidente a partir del hecho de que (18) se sigue de (17):

(17) J uan busca al barbero de Pedro

(18) J uan busca al peluquero de Pedro

En §6.3.5. regresaremos al tema de la representación de la naturaleza intensio

nal de algunos verbos transitivos. El hecho de que en toda categoría functorialse puedan encontrar expresiones que crean un contexto intensional es una

justificación para asociar toda categoría functorial con un tipo de la forma

El segundo paso para determinar el proceso de traducción consiste en especificar la traducción de los elementos léxicos del fragmento. La mayoría de loselementos serán asociados a constantes del lenguaje lógico, pero otras serán

asociadas a expresiones lógicas complejas. Al anterior grupo pertenecen loselementos de B'p, el verbo transitivo ser y el adverbio modificador oracionalnecesariamente. Todos los demás elementos léxicos se traducen como constantes del tipo apropiado. Nos aseguraremos de que no ocurra que dos elementos



léxicos se vinculen con la misma constante y daremos cuenta de la sinonim^lde expresiones léxicas por otros medios (ver §6.3.6.).

Para incrementar la legibilidad de las traducciones, es una práctica cornún

en la Gramática de Montague utilizar constantes que reflejen los elementosléxicos correspondientes. Por supuesto, éstos deben ser distinguibles: en este

libro incluimos las constantes en versales. Por ejemplo, el V I cam i na r se asocia con la constante CAMINAR de tipo (e , t ) . Formalmente, la asociación deelementos léxicos con constantes se realiza por una función g, que cumple conlos siguientes requerimientos:

(i) g es una función de B a (con la excepción de B t , ser y necesariamente) en c o r r f a

(ii) Sia ¡3,

entoncesg( a ) ± g(/ 3)

La cláusula (i) determina queg asigna constantes de tipo f ( A ) a las expresionesbásicas de categoría A, con las excepciones establecidas, las cuales tienen untratamiento por separado. Por ejemplo, g i homb re ) = HOMBRE. La cláusula (ii)garantiza que dos elementos léxicos no sean vinculados con la misma constante.La función g es la fundamentación del proceso de traducción. Así, la primeraregla de traducción se formula de la siguiente manera:

T I (a): Si a está en el dominio de g, entonces a se traduce como g (a )

Con excepción de los elementos de B t , ser, y necesar iamente, los elementosléxicos de la categoría A se traducen, por medio de T I , en constantes detipo f ( A ) . T I será extendida con las traducciones de otros elementos léxicos.Entonces funcionará de manera análoga a su contraparte sintáctica SI , la cualcomienza el proceso de traducción.

El tercer paso del proceso de traducción consiste en la definición de las reglas de traducción que corresponden a las reglas sintácticas. U na regla sintáctica opera sobre una o más expresiones para producir una expresión nueva. Laregla de traducción correspondiente define la traducción de la expresión nuevaen términos de las traducciones de las expresiones que son sus partes componentes. Daremos ejemplos de esto en las siguientes secciones.

6.3.4. La traducción de los términos

Esta sección trata principalmente de las reglas de traducción que le corresponden a las reglas S3 a S6, las reglas sintácticas que construyen los términoscuantificados a partir de N C .



La composicionalidad de la semántica requiere la composicionalidad de, traducción y, por consiguiente, los términos deben tener una traducción

r separado. Se pueden considerar algunos términos, tales como los nombres

ropi°s y as descripciones definidas, que hacen referencia a individuos: Juan ge refiere a cierto individuo J uan, el p r i m o más pequeño al número 2. Pero los

términos cuantificados son distintos, y esto complica la historia. Por ejemplo,consideremos el término cuantificado Todo hombr e. No se puede considerarque este término hace referencia a un individuo, puesto que no hay ningúnindividuo que sea todo hombre. En §4.4.3., mostramos cómo se puede obteneruna traducción por separado de los términos cuantificados. Consideremos por

ejemplo:

(19) Todo hombre duerme

La oración (19) se interpreta como la afirmación de que la acción de dormirtiene la propiedad de ser verdadera para todo hombre. El término cuantificadotodo hom bre se considera como un predicado de segundo orden que es verdaderode una propiedad de individuos si todo individuo que es un hombre tiene esapropiedad. Al final esta es justamente la lectura familiar en primer orden de

(19), la cual se lee como que para todo individuo es cierto que si es un hombre,

él duerme. Así que semánticamente todo hom bre se considera como una funciónaplicable a una propiedad. Note que esto concuerda con el hecho de que los términos también se comportan sintácticamente como functores. L a categoría T se define como la categoría functorial O/ V I . Sintácticamente, la aplicación deun término a un V I resulta en una oración; semánticamente, la aplicación de lainterpretación de un término a una propiedad, expresada por un VI , resultaen un valor de verdad (de dicha oración). El tipo que corresponde a la categoría

T refleja esto:

(20) f ( T ) = f ( 0 / V I ) = « s , f ( V I ) ) , f ( 0 )) = ( (s, (e, t ) ) , t )

Las expresiones de este tipo hacen referencia a (las funciones característicasde) conjuntos de propiedades de primer orden (cf. tabla 5.2.). El término todo hombre se traduce en la expresión (21), la cual hace referencia al conjunto depropiedades que son verdaderas de todo hombre:

(21) AXVx (h o m b r e (x ) —>v X ( x ) )

En (21), X es una variable de tipo ( s , ( e , t ) ) y x es una variable de tipoe. Con respecto a una asignación de valores, la variable X hace referencia



a una función de mundos posibles en conjuntos de entidades, es decir, vhace referencia a una propiedad. Aplicada a un mundo posible, una propiedadproduce el conjunto de entidades que tienen la propiedad en ese mundo. Conrespecto a una asignación de valores, y X hace referencia en un mundo posibleal conjunto de entidades que en ese mundo tienen la propiedad a la cual X

hace referencia: VX es de tipo (e, t ) y JX ( x) es una fórmula que es verdaderaen un mundo si el individuo referido por x tiene la propiedad referida por X es decir, pertenece al conjunto de entidades referidas por VX en ese mundo. Laconstante HOMBRE, la traducción del N C h omb r e , es de tipo f ( N C ) = (e,t). La expresión HOMBRE(x) es verdadera en w sii x pertenece al conjunto de loshombres en w . La fórmula (22) afirma, con respecto a una asignación, quetodos los individuos que son hombres tienen la propiedad referida por X :

(22) Vx (h o mb r e —>v X (x ))

Aplicando A-abstracción sobre la variable X obtenemos (21), la traducción detodo hombr e. Esta expresión es de tipo ((s , (e, t ) ) , t ) , que se refiere en un mundow al conjunto de todas esas propiedades que todo hombre en w tiene, lo cual esexactamente lo que queríamos para la traducción del término cuantificado todo hombre. Cuando aplicamos (21) a una expresión de tipo (s, (e, t ) ) . una expre

sión que denota propiedades, obtenemos una fórmula que es verdadera en w sila propiedad en cuestión es un elemento del conjunto de propiedades a las cuales (21) hace referencia en w . Por ejemplo, el V I d orm i r se traduce en la constante DORMIR de tipo f ( V I ) = ( e , t ) . La expresión ADORMIR se refiere a lapropiedad expresada por DORMIR y es de tipo (s, (e,t)). Si aplicamos (21) aaDORMIR, el resultado es la fórmula (23):

(23) AArVx(HOMBRE(x) —>v X (x ))(ad o r mi r )

Esta fórmula es verdadera en w sii dormir es una de las propiedades que todohombre tiene en w. Por medio de la A-conversión (teorema 6.5. en §5.6.),podemos reemplazar (23) por (24), la cual, a su vez, puede reducirse a (25)por el teorema de VA-eliminación (teorema 6.2. en §5.5.):

(24) Vx (h o mb r e (x ) -^va d o r mi r (x ))

(25) Vx (h o mb r e (x ) —*■d o r mi r (x ))

Esto nos lleva de nuevo a la representación en la lógica de predicados estándarde la oración (19).





y si Elisa está despierta, la propiedad de estar despierto también pertengicerá a la extensión de (26). El conjunto de propiedades al que hace referencia !una m u j er contendrá propiedades mutuamente excluyentes tan pronto corri0exista más de una mujer.

T4 proporciona un análisis “russell iano” de las descripciones definidastales como el t esor o , la cual traduce así:

(27) AJ í3x(Vy(TESORO(y) <->x = y ) A v X ( x ) )

En un mundo w , (27) se refiere al conjunto de aquellas propiedades que sonciertas de un único individuo que es un tesoro en w . La existencia y la unicidadse afirman en este análisis, mas no se presuponen (para una discusión de estosasuntos, véase §§5.2. y 5.5. en el volumen 1. E l análisis presentado aquí no es el

único posible dentro del marco de trabajo de la Gramática de Montague, peroes el utilizado en el modelo p t q ). Dada T6, la traducción de un solo el efan te serefiere al conjunto de propiedades para las cuales hay precisamente un elefante(no necesariamente el mismo siempre) que tiene esa propiedad.

El análisis de los términos cuantificados, delineado anteriormente, afectael análisis de los nombres propios. Los nombres propios pertenecen a la mismacategoría sintáctica que los términos cuantificados. Sintácticamente no hay nin

guna diferencia entre los dos. Su distribución, es decir, la posición que puedentomar en una oración, es virtualmente la misma; el considerarlos como pertenecientes a categorías sintácticas diferentes sería muy poco natural y, más aún,complicaría la sintaxis enormemente. Toda regla aplicable tanto a los términos cuantificados, como a los nombres propios tendría que ser duplicada. Otrarazón para analizar los nombres propios de la misma manera que los términoscuantificados es que a ese nivel se vuelve posible dar una interpretación di

recta de los nombres propios como elementos en una conjunción, tal comoen J uan y Carl os, Car los o una m uj er , los cuales no pueden obtenerse si nosacogemos a un análisis que los considera como expresiones que denotan individuos (véase §6.3.10.). Hay razones suficientes, por lo tanto, para considerarque los nombres propios y los términos cuantificados pertenecen a la mismacategoría. Como resultado, los nombres propios se traducirán en expresiones de tipo /(T )=((s, ( e , t ) ) , t ) y no como constantes de tipo e, como en elcapítulo 5. Ahora, esto parece más problemático de lo que realmente es. Larazón es que los nombres propios también pueden hacer referencia a conjuntosde propiedades. En la oración (8), Juan cam in a , se puede interpretar que lapropiedad de caminar pertenece al conjunto de las propiedades de J uan. Porsupuesto, esta es sólo una manera más elaborada de decir que J uan tiene la



piedad de caminar. Así como un nombre propio se analiza sintácticamenteQino un functor que toma un V I para producir una O, también puede verse

semánticamente como una función que, aplicada a una propiedad (expresadael Vi), produce un valor de verdad (expresado por la O ). El nombre pro-

jo Juan , entonces, se traduce como (28), donde X es una variable de tipo

l s ¿)) y j una constante de tipo e:

(28) \ X VX ( j )

La fórmula "'JX ( j ) es verdadera en w con respecto a una asignación si el individuo al que se refiere j en w pertenece al conjunto de entidades a las que serefiere yX en w , el cual es el conjunto de entidades que tienen la propiedad ala cual X se refiere bajo esa asignación. El tipo de (24) es ( ( s, (e , t ) ) , t ) , y su

referencia en w es el conjunto de las propiedades que son verdaderas del individuo j e n w . La traducción del nombre propio Juan se utiliza en la traducciónde la oración (8) de la misma manera en la que se usaron los términos cuan-tificados. El V I cam ina se traduce como la constante CAMINA de tipo ( e , t ) ,

y ACAMINA se refiere a la propiedad expresada por camina. Aplicando (28) aaCAMINA producimos la fórmula (29):

(29) AA"v J í ( j ')(aCAMINa )

Ella afirma que la propiedad de caminar pertenece al conjunto de propiedadesde J uan. P or medio de la A-conversión y de la VA -eliminación, (29) se reduce a(30):

(30) CAMINA(j)

En este caso también obtenemos la representación estándar de la lógica depredicados de primer orden.

Este tratamiento de los nombres propios ha sido posible gracias al hechode que el conjunto de propiedades de un individuo y el individuo mismo estánrelacionados de manera única. Dos individuos son idénticos sii ellos tienen lasmismas propiedades, es decir, sii sus conjuntos de propiedades son idénticos.La fórmula (31) es una formalización de esto:

(31) VxVy(x = y <->A XvX (x) = AX yX ( y ) )

El principio (31) es un principio válido de la Teoría de Tipos Intensional.No todo conjunto de propiedades corresponde a un individuo, por supuesto.



Por ejemplo, (21) y (26) se refieren a conjuntos de propiedades que, except0 >

en casos excepcionales, no definen un individuo.La traducción de las expresiones básicas de la categoría T, de los nombres

propios J uan, M ar ía, Car l os, El i sa y de las variables sintácticas ¿I q , . . . , ¿in jproporciona en la siguiente adición a la regla T I :

T l (b): J u an X X vX ( j )

M ar ía * A XVX (m)Ca r l o s i—►AX yX ( c ) él n ^ X X vX ( x n )

Las variables sintácticas, al igual que los nombres propios, se traducen comoexpresiones que se refieren a conjuntos de propiedades de individuos: con respecto a una asignación

g, él n se refiere al conjunto de propiedades de

g(xn),

el individuo denotado por x n . Volveremos a las variables sintácticas en §6.3.8.Ahora tenemos una definición uniforme de la traducción de todos los

términos en nuestro fragmento. L o que falta por definirse para completar la traducción del fragmento de §6.3.2. es la traducción de la regla sintáctica S2, lacual combina T y V I para formar oraciones. En vista de lo anterior, la reglade traducción parece obvia. Una oración de la forma T + V I afirma que la propiedad expresada por el V I pertenece al conjunto de propiedades a las que serefiere el T . Un V I ó se traduce en la expresión 6' de tipo (e, i). La expresiónAó, de tipo (s , (e, t )) , se refiere a la intensión de 5' , una función de mundosposibles a conjuntos de individuos, es decir, la propiedad expresada por 5' . Elresultado deseado se obtiene al aplicar la traducción del T a la intensión de latraducción del VI . La regla de traducción T2, entonces, dice así:

T2: Si ¿ G P y i y a £ P t y ¿ h á' y a h a', entonces

Fi(a,<5) ^ a ' ( AS' ) Veremos este patrón en todas las reglas de traducción correspondientes a unaregla sintáctica de aplicación funcional: un functor opera en la intensión de suargumento.

El tipo correspondiente a una categoría functorial A / B es f (A / B ) =«s, / (£ ) ) , f ( A ) ) . El tipo correspondiente a la categoría del argumento es f ( B ) . Si la categoría de S es B , y ¿i—><5', entonces Aó' es de tipo (s, f ( B ) ) y, por lo

tanto, es un argumento apropiado para la traducción a ' de una expresión a decategoría A / B .

No traducimos expresiones en sí mismas, sino las expresiones dado un análisis sintáctico, pues, como lo observamos en §6.2., sólo así podemos garantizar lacomposicionalidad de la traducción y, por lo tanto, de la interpretación.



La razón es que hay expresiones ambiguas que deben recibir más de unatraducción. Así pues, el proceso de traducción opera sobre árboles de análisis jntáctico que representan la derivación de las expresiones. Comenzamos por laarte d e abajo del árbol, con la traducción de los elementos léxicos, y subimos

nodo tras nodo, aplicando en cada paso la regla de traducción que le corresp o n d e a la regla sintáctica nombrada por el nodo. U tilizando este método,

construimos una traducción única que proporciona el significado que corresp o n d e al análisis codificado en el árbol. La traducción en sí misma tambiénp ued e representarse en un árbol estructural. La figura (32) muestra un árbold e análisis y el árbol de traducción correspondiente para la oración (10), El

el efante fu m a:

(32) a. El elefante fuma, O, S2

E l elefante, T , S4 fuma, VI

Ielefante, NC

b. AX3x(\ /2/(ELEFANTE(y) <->x = y) Av A '(a:))(AFUMAR), í, T 2

\AX3x(Ví /(EL EFANTE(y) <->x = y) Av X (x )), FUMAR, (e , t )

\ ( s , ( e, t ) ) , t ) , T 4

ELEFANTE, (e, t )

La figura (33) muestra cómo se puede reducir el resultado por medio de A-conversión y VA -eliminación.

(33) 3x(V í /(elefan te(j/) «-» x = y) A fu m ar (x)), VA-eliminación

$3x(V j/(elefante(j /) h j : = y) AvaFUMAR(x)) , A-conversión

$A X 3x(V j/(elefante(í / ) x = y) Av X (x ))(afum ar), í, T2

A X 3z(V 2/(elefan te(«/) *->x = y ) Av X (x )), fum ar , (e, í)«* , (e , t », t ) ,T 4

ELEFANTE, (e , t )



En §6.3.2. sugerimos una introducción categoremática de los determj. ■tes. En dicho enfoque, los determinantes serían expresiones de categQK T / N C y sus traducciones serían de tipo f ( T / N C ) = ( (s, f ( N C ) ) , f ( T ) ) ^((s, (e, £)), ( (s, (e, t ) ) , t ) ) . Las expresiones de este tipo se refieren a relacionéentre propiedades de individuos. Podemos traducir el determinante todo (34):

(34) AYAA¡:Vx(vY (x) -^v X ( x ) )

Esta expresión se refiere a la relación entre propiedades que es verdadera parados propiedades Y y Ai en un mundo w sii todos los individuos que tienen lapropiedad Y en w tienen la propiedad X en w (cf. la discusión en §4.4.3.)Aplicando (34) a AHOMBRE, una expresión que se refiere a la propiedad de ser

un hombre, resulta (35):

(35) AY AX Vx(vY (x) - v X (x ))(ah o mb r e )

Esta expresión se refiere al conjunto de propiedades X que satisfacen la relacióndescrita por (34) con respecto a la propiedad de ser un hombre. Puede serreducida por medio de A-conversión y VA-eliminación; el resultado, (36), es la

traducción del término todo hom br e , y es idéntica a la traducción producidapor el método sincategoremático (21):

(36) AXVx (h o mb r e (x ) ->v X ( x ) )

En este enfoque, la traducción de los determinantes todo , el / la , un (a) y un solo se definen por la regla T I , dado que son considerados como expresiones

básicas:

T l (c’): todo i—►AY AXVx(vY (x) X (x))el / l a i ►Ay A AT3x(Vy(vY (y ) <-+x = y ) Av X (x))un ( a ) i—* A Y A X3x(vY (x) Av X ( x ) )

un sol o i—>A yX X 3xVy((vy (y) Av X (y)) x = y)

Es predecible la traducción de la regla de aplicación funcional S3’, la cualcombina determinantes y N C para producir términos:

T 3’: Si a € P t / n c y C £ P n c y o- y C C , entoncesF ' (a , O H a ' r O



1enf°(lue categoremático, la traducción de expresiones complejas que con-P 1 términos se construye de manera análoga. El lector puede verificar que

bos enfoques producen los mismos resultados.

Ejercicio* 6.1.

(a) Construya el análisis y el árbol de traducción para la oración Una muj er pasea , utilizando las definiciones categoremáticas y sincatcgoremáticas

de los determinantes

(b) Proporcione una traducción para el determinante ningún

g 3.5. Verbos transitivos

En esta sección añadimos a nuestro fragmento la regla sintáctica S7, la cualcombina un verbo transitivo con un término para formar un verbo intransitivo complejo y no-léxico. Tales V I no-léxicos se combinan con términos paraformar oraciones por medio de la regla S2, tal como lo hacen los elementosléxicos de dicha categoría. Esto nos permite proporcionar un análisis de lasoraciones con predicados relaciónales que preserve el análisis tradicional sujeto-predicado. Para la nueva regla sintáctica S7 hay una regla de traduccióncorrespondiente que define la interpretación de V I complejos.

El tratamiento de verbos transitivos nos llevará a un segundo aspecto importante del modelo PTQ: el análisis de verbos intensionales y de ambigüedadesde alcance. Nos interesa encontrar un análisis correcto y composicional de oraciones como:

(37) J uan encuentra un tesoro


(39) Toda mujer añora un solo anillo

Varios aspectos que ofrece el análisis del modelo PTQ serán discutidos de manera separada en las siguientes subsecciones. La traducción de las oraciones enlas cuales aparece el verbo transitivo ser no serán tratadas hasta §6.3.9. Allí demostraremos cómo su uso, tanto en afirmaciones de identidad, como (40), y

en afirmaciones predicativas, como (41), pueden tratase de manera uniforme.

(40) J uan es María

(41) J uan es una mujer



La regla sintáctica S7, que combina V T y T en VI , es una regla de apli(:ac¡ . lfuncional, dado que V T se define como VI / T . Los verbos transitivos son, p 9lo tanto, functores cuya entrada es un término y cuya salida es un VI :

S7: Si a G P v t y o¡ G P t , entonces Fe(a, a) G P y i y

_ . . i a ' a , si a es una variable sintáctica;F& (c, a) = < .I oca, en cualquier otro caso

donde o! es la forma acusativa de a

Obsérvese que la regla sintáctica S7 puede tener un efecto morfológico. Si eltérmino en el que la regla opera es una variable sintáctica, su forma morfológica

debe ajustarse. También es importante observar el orden inverso entre el verboy la variable sintáctica.2 La figura (42) muestra un árbol de análisis de (37):

(42) J uan encuentra un tesoro, O, S2

J uan, T encontrar un tesoro, VI , S7

encontrar, VT un tesoro, T, S5

tesoro, NC

Este ejemplo muestra que a las oraciones con predicados relaciónales se lesasigna la estructura tradicional sujeto-predicado.

Nuestro fragmento contiene únicamente expresiones básicas de categoría

VT .Si fuéramos a añadir un verbo triàdico, tal como

dar (a),éste se combi

naría, por ejemplo, con el objeto indirecto M aría para producir la expresióncompleja dar a M ar ía, de categoría VT.

La regla de traducción correspondiente a S7 sigue el patrón de otras reglasde aplicación funcional. El tipo que se asocia con la categoría V T es f ( V T ) =

f ( V I / T ) = ( ( s , /(T )>, f ( V I ) ) = ( ( s , f (S / V /)), f ( V I ) ) = ( ( s , ( (s, (e, í)>, f», (e, t )). De manera semántica, un V T es una función que, cuando se aplica a unapropiedad de segundo orden, produce un conjunto de individuos. Así que su

referencia puede ser vista como una relación entre individuos y propiedadesde segundo orden. Estas últimas son propiedades de propiedades de primer

2N. de T.: esta inversión no ocurre en idiomas como el inglés. Compare John seeks i t y J ua n lo busca. La regla S7 que presentamos aquí es una adaptación para el español.



es decir, funciones de mundos posibles en conjuntos de propiedades01 'ndividuos. La referencia de un término es un conjunto de propiedades de•i dividuos, así que su intensión es una propiedad de segundo orden. Como

costumbre, el V T , al ser un functor, opera semánticamente sobre la in-tensión del T , el cual es su argumento. Hay varias razones para preferir estareducción de los V T con respecto a una traducción que los trate como rela

ciones entre individuos, es decir, como expresiones de tipo (e, (e , t ) ) . Primero,nos permite considerar a los V T de manera general como functores, tomando como argumentos términos en posición de objetos directos, ya sea que esostérminos sean nombres propios o términos cuantificados. Segundo, hace posibledar cuenta de la naturaleza intensional de verbos como buscar. Más adelantetrataremos con más detalle este tema, pero primero formularemos la regla de

traducción:

T7: Si <5 G P v t y a G i r y o H ^ y ^ H entoncesFe(ó,a ) >->•á'(Aa')

El efecto de T 7 se ilustra por medio del árbol de traducción en la figura (43),el cual muestra la traducción de la oración (37), dado el árbol de análisis de

la figura (42):

(43) ENCONTRAR(AAX3a;(TESORO(a;) AvX(x) ) ) ( j ) , A-conversión y VA-eliminaciónt AXvX (j)(AENCONTRAR(AAX3a:(TESORO(x) AvX(z)))), t, T2

AX VX ( j ) , ENCONTRAR(AAX3a:(TESORO(a;) Av X(a:))),

((s, ( e , t ) ) , t ) , Tl(b) (e, t ) , T7

E N C O N T R A R , AX3x(TESORO(x) AVX ( x )),

((a, {{s, (e,í)),í)>, (e, í)),T l(a) {(s, (e,t)),t),T 5

t e s o r o , (e , í ) , Tl(a)

La traducción del V T encon t r a r se aplica a la intensión de la traducción deltérmino un tesor o, de acuerdo con la regla T7. El resultado, e n c o n t r a r ( a A X

3x (t e s o r o (x ) Av X ( x ) ) ) es de tipo (e , t ) . En un mundo, la denotación de estaexpresión es un conjunto de individuos, a saber, aquellos que encuentran untesoro en ese mundo. La propiedad expresada por en con tr ar un tesor o es referida como a e n c o n t r a r (a A X 3x (t e s o r o (x ) Av X (x))) y es de tipo (s, (e,t )) .



La fórmula (37) afirma que esta propiedad de individuos es una propj Bjde J uan. E sta afirmación se expresa por medio de la fórmula X X AX c o n t r a r (a A X 3x (t e s o r o (x ) A v X ( x )))). Por medio de la A-conversiónVA-eliminación, ella se reduce a ENCONTRAR(AAX3x(TESORO(x) VI (a;))jH

El modelo PTQ tiene una notación para relaciones binarias que guarda semejanza con la de la lógica de predicados estándar, también adoptar ®

esta convención que exponemos a continuación:

Convención notacional 1 1

Si 7 es una expresión de tipo (a, (b , i)), a una expresión de tipo a, y /}llTJexpresión de tipo b, entonces escribiremos 7(/5, a) en lugar de (7(a))(jM

Esta convención notacional, que llamaremos de ahora en adelante CN1, nos]dice que podemos tratar funciones de objetos de tipo a en conjuntos de objetos 1de tipo b como relaciones entre objetos de tipo b y objetos de tipo a. Latraducción de (37) ahora puede escribirse también de la siguiente manera:

(44) ENCONTRAR^',AAX3x(TESORO(x) A V X ( x ) ) )

Ejercicio* 6.2.

Construya los análisis y los árboles de traducción de las oraciones Juan conoce a M ar ía 3 y Toda m u j er añor a un sol o an i l l o. Reduzca el resultadode la traducción, utilizando A-conversión, VA-eliminación y la CN1.

Ahora bien, ¿hasta qué punto son adecuados los resultados de la aplicaciónde las reglas? Intentaremos responder esta pregunta considerando primero otroejemplo: (45), la traducción de la oración (38):

(45) BUSCAR(j,A A I 3x(tesor o(x ) Av X ( x ) ) )

Esta traducción se obtiene exactamente de la misma manera en que (44) seobtiene a partir de la oración (37), sólo que usa un verbo transitivo distinto. Lafórmula (45) afirma que la relación de buscar se obtiene entre el individuo J uan

y la propiedad de segundo orden de ser una propiedad de un tesoro. ¿Acasopodemos considerar esta fórmula como una representación adecuada del significado de (38)? Al responder esta pregunta debemos tener en mente cuáles son

3N. de T .: al realizar la traducción, no se preocupe por la preposición a.



bjetivos. Deseamos encontrar una representación correcta del signi-las oraciones de nuestro fragmento. El significado de una oración

grad° otras cosas, en sus relaciones lógicas con otras oraciones. Debe-apaiece, lotanto, asignar una interpretación lógica a una oración de tal maneraííl°S’ gXplique el hecho de que ella conlleva unarelaciónde implicación lógica

Que S ertas oraciones y no con otras. En el casode la oración (38). debemos0011 lar loshechos semánticos relevantes de la siguiente manera: (46) no se si-f°ede (38) (J ua n busca un t esor o.), (48) no se sigue de (38) y (47), y (38) y (49)

fcfson equivalentes:

(46) Los tesoros existen

(47) Los tesoros y los barcos fantasmas no existen

(48) J uan busca un barco fantasma

(49) J uan busca todos los tesoros

Obviamente la oración (38) tiene otras relaciones lógicas con otras oraciones,pero si queremos asegurarnos de que (45) es una representación correcta de unaparte importante del significado de (38), debemos ser capaces de dar cuen

ta, por lo menos, de las relaciones de implicación mencionadas anteriormente.Así que queremos construir buscar como una relación entre un individuo y cierto objeto semántico de tal manera que demos cuenta de los hechos semánticosque acabamos de mencionar. Es evidente que no podemos considerar a buscar como una relación entre dos individuos. Si lo hiciéramos, el significado de (38)sería que J uan conlleva la relación de buscar con cierta entidad que es untesoro, pero esto implicaría que (46) se seguiría de (38), lo cual contradice los

hechos.En lo precedente, hemos resuelto analizar los términos de manera bastan

te general como conjuntos de propiedades de individuos, teniendo en cuentaque no es necesario que todos esos conjuntos definan un individuo único. Porejemplo, como observamos en §6.3.4., no hay un individuo con todas las propiedades en el conjunto A A 3x(mujer(x) Av X ( x ) ) (a menos que sólo existauna mujer). Y todo individuo que es un hombre tiene más propiedades que

aquellas en el conjunto A XV x(hombre(x) —>v X ( x) ) (de nuevo, a menosque sólo haya un hombre): por ejemplo, tomemos la propiedad de ser iguala J uan, la cual es una propiedad de J uan, pero no de J orge. Un análisis queconsidera a buscar como una relación entre un individuo y un conjunto depropiedades de primer orden debe preferirse a uno que la considera como una



k relación entre dos individuos, dado que la primera, pero no la segunda danlcuenta del hecho de que (46) no se sigue de (38). Í !

Obsérvese que la relación de buscar puede darse entre J uan y el conjunt Á propiedades de primer orden denotadas por AX3x(TESORO(x)AvX(x)))

so en aquellas situaciones en las que no haya tesoros. En esas situaciones i j j

relación de buscar es verdadera del individuo J uan y el conjunto vacío. Si en u 'cierto mundo el conjunto de propiedades en cuestión es vacío, dado que no ha 1

tesoros, esto significa que en dicho mundo J uan nunca encontrará lo que estálbuscando, pero esto no implica que J uan no pueda buscar lo que en efecto no 1

existe. Para ponerlo en otras palabras, (46) no se sigue de (38), y la negación

de (38) no se sigue de (46). E sos resultados son bastante satisfactorios.

Pero si miramos a (45), veremos que buscar no se considera como una

relación entre un individuo y un conjunto de propiedades de primer orden,sino como una relación entre un individuo y una función de mundos posibles a conjuntos de propiedades de primer orden. Buscar no opera sobre eltérmino mismo, sino sobre su intensión. ¿Por qué? La razón es que buscar no permite substitución de expresiones que sólo son equivalentes extensional-mente. Con respecto a (38) la razón de esto es bastante evidente. Supongamos que (47) es verdadera. En tal situación X X 3 x ( te s o r o ( x ) Av X ( x ) ) y

AX3x(BARCO-FANTASMA(x) Av X ( x ) ) serían equivalentes extensionalmente,dado que ambas denotarían el conjunto vacío. Sin embargo, (48) no se siguede (38), incluso si (47) es verdadera. Pero nótese que aunque en esta situaciónlos términos un tesor o y un barco fan ta sm at i en en la misma extensión, ellostienen distintas intensiones. Hay mundos donde los tesoros existen pero no losbarcos fantasmas, y viceversa. En un mundo en el cual existan ambas entidades de cuentos de piratas, sus conjuntos de propiedades serán diferentes. Estos

hechos semánticos, tanto como el hecho de que (38) y (49) no son equivalentes,se explican perfectamente al considerar a buscar como una relación entre unindividuo y una propiedad de segundo orden.

Con respecto a los hechos semánticos observados anteriormente, el análisisdel modelo PTQ sobre los verbos transitivos y sus objetos directos es satisfactorio. Una propiedad de segundo orden, aunque tal vez no sea la primera cosaque viene a la mente, es semánticamente adecuada como el segundo argumento

de la relación de buscar. Pero, ciertamente, el análisis que hemos desarrolladohasta ahora deja sin explicar varios aspectos del significado de buscar. Paraponer esto de manera más precisa, hasta ahora hemos especificado únicamente aquellos aspectos que hacen de buscar un verbo transitivo intensional, esdecir, hemos explicado lo que todos los verbos transitivos intensionales tienen



F pero no lo que diferencia a uno del otro. Veremos en §6.3.7. cómo unetl c rnás específico del significado de buscar se explica en el modelo ptq.^Pûestro análisis de los verbos transitivos, entonces, es satisfactorio para

verbos transitivos intensionales, pero en efecto trata todo verbo transitivo^ el fuera intensional. Si regresamos a la traducción (44) de la oración (37),

remos por qué esto es así. En (44) encontrar también es tratado como una re-

lación entre un individuo y una propiedad de segundo orden, por lo cual (37) noi jjca ja existencia de tesoros. Pero esto no es correcto; uno simplementeo puede encontrar cosas que no existen. Así que encontrar expresa una

relación entre individuos. A diferencia de la relación de buscar, esta relaciónes extensional, y (52) se sigue de (50) y (51):

(50) J uan encuentra al comandante supremo de las Fuerzas Armadas de

EE.UU.

(51) El presidente de los Estados Unidos de América es el comandantesupremo de las Fuerzas Armadas de EE.UU.

(52) J uan encuentra al presidente de los Estados Unidos de América

Aunque los verbos extensionales e intensionales tienen distintas propiedades

semánticas, ellos pertenecen a la misma categoría sintáctica. El análisis delos verbos intensionales parece requerir de un análisis similar al de los verbosextensionales. En §6.3.7. veremos que podemos explicar la naturaleza extensional de ciertos verbos transitivos al poner mayores restricciones sobre susinterpretaciones, sin perder la ventaja ganada por el análisis con respecto alos verbos intensionales. Además, esto proveerá una solución al siguiente problema: queremos que buscar exprese una relación entre individuos en casos

como:

(53) J uan busca a María

De acuerdo con (53) la relación de buscar se obtiene entre dos individuos, asaber, J uan y María, y en este caso se pueden sacar conclusiones existenciales,dado que (54) se sigue de (53):

(54) Hay alguien a quien J uan está buscando

Un segundo problema es la explicación de ambigüedades de alcance. El ejercicio2 ilustra que al derivar la oración (39), Toda m u j er añora un sol o an i l l o, con los



medios sintácticos a disposición hasta ahora sólo obtenemos la lecturacual el alcance de toda m u jer es más amplio que el alcance de un sol o oLa otra lectura no puede producirse todavía, lo cual es insatisfactorio AiHjsimilar ocurre con la representación de la ambigüedad de di cto/ de r e prodi jjlpor oraciones con verbos intensionales. Hasta este punto sólo hemos esta«preocupados por la representación adecuada de la lectura de dicto de

oración como J uan busca un t esor o. Pero, de manera general, las oración !en las cuales ocurren expresiones que crean un contexto intensional tienen

además de una lectura de dicto, una lectura de re, como vimos en §3.1 / jlectura de r e de (38) puede parafrasearse de la siguiente manera:

(55) Hay algo que es un tesoro y que J uan está buscando

Dedicaremos la sección 6.3.8. al tratamiento de este fenómeno; dicha sección trata sobre la introducción en nuestra gramática de otro método de construcción de oraciones. P ero primero debemos tratar los problemas mencionadosanteriormente. L os postulados de significado juegan un papel central en estetratamiento y, por lo tanto, en §6.3.6. discutiremos la función de los postuladosde significado en general.

6.3.6. La función de los postulados de significado

En el modelo PTQ la interpretación semántica de la Teoría de T ipos Intensionalsirve como la interpretación indirecta de un fragmento del español. La interpretación determina cuáles modelos son adecuados para dicha teoría. Pero no todomodelo que es adecuado para una Teoría de T ipos Intensional será i pso fa d o un modelo adecuado para el español. Esto es así, dado que dichos modelos contienen muy poca información acerca de los significados de las expresiones del

español. Los significados de las constantes lógicas, es decir, los conectivos,los cuantificadores, el predicado de identidad, el A-operador, los operadores Ay v, y los operadores modales se definen exactamente, pero para todas lasdemás expresiones sólo se describe la naturaleza general de sus significados.Por ejemplo, para la constante lógica -i la semántica no sólo establece que suinterpretación es una función de valores de verdad en valores de verdad, sinoque además especifica cuál función es: la que vincula 0 con 1 y 1 con 0. Pero

el significado de una expresión que no es una constante lógica no es completamente especificado de la misma manera. Para tales expresiones la semánticasólo establece qué tipo de interpretación tiene, es decir, a cuál dominio pertenece su interpretación, pero no especifica cuál elemento de este dominio es su



retación. Por ejemplo, la semántica determina que la constante j de tipo¡pterp terpreta como una función de mundos en individuos, I ( j ) G D w , pero£ ggpecifica la función exacta de D en W . Similarmente, sabemos de lasn° S aI1tes SOLTERO y CÉLIBE que sus significados son funciones de mundos00108 njuntos de individuos, pero nada más.6 0 g¡ traducimos el español en el lenguaje de la Teoría de Tipos, heredaremos

a distinción. El significado de algunas expresiones se especifica exactamente*,nichas expresiones son las que se traducen en constantes lógicas o en expresiones en las cuales sólo aparecen constantes lógicas y variables acotadas. Losejemplos en nuestro fragmento son los determinantes. Esto debe ser así dadoque toda teoría semántica del idioma español debe contener por lo menos unainterpretación fija de las constantes lógicas. E sta es la única manera de explicarlas inferencias válidas en español que dependen del significado de las contra

partes en este idioma de las constantes lógicas.Por otra parte, también queremos que nuestra teoría semántica explique

aquellas inferencias cuya validez depende de algo más que la interpretaciónde las constantes lógicas. Por ejemplo, queremos explicar el hecho de que (57)se sigue de (56):

(56) J uan camina rápidamente

(57) J uan camina

Se puede considerar que la validez de esta inferencia se debe a una propiedadsemántica del adverbio rápi dam en te. Hay una clase grande de adverbios conla misma propiedad, pero no todo adverbio la tiene: por ejemplo, (57) no sesigue de (58):

(58) J uan camina frecuentemente

Otro ejemplo de una derivación válida que depende del contenido semánticode las expresiones que no son constantes lógicas es provisto por (59) y (60):

(59) J uan es soltero

(60) J uan no está casado

Como lo mencionábamos anteriormente, los modelos de la Teoría de T iposIntensional sólo nos dan la información de que SOLTERO y CASADO (las traducciones de las expresiones en español soltero y casado) son interpretados



.como propiedades de primer orden. Pero si vamos a explicar la relación eny(59) y (60), esas constantes deben conllevar una relación específica entre siV j.cualquier modelo la función de interpretación debe asignarles interpretacifw Btales que la extensión de so l t e r o y la de CASADO sean disyuntas para w f l mundo. La semántica de la Teoría de T ipos Intensional permite tanto model®

en los cuales este es el caso y modelos en los que no. Para esta t eor ía ambas clases de modelos son admisibles. Pero, si queremos utilizar la teorf»*para dar una semán t i ca par a el español , claramente el segundo caso debe serexcluido. Queremos que la teoría semántica admita sólo aquellos modelos en loacuales SOLTERO y CASADO sean interpretados de tal manera que se relacionencomo se indicó anteriormente.

La función de los postulados de significados es la de restringir la clase

de todos los modelos a una cierta subclase. La subclase debe consistir en

aquellos modelos en los cuales algún tipo de relación semántica entre (clases

de) predicados sea válido, ciertas subclases de expresiones tengan propiedadessemánticas específicas, y así en adelante. Para los ejemplos que acabamos de

mencionar preferiríamos solamente aquellos modelos que validan las siguientesfórmulas:

(61) VxVXD((7 (X))(x) —>v X(x)), para

7 = RÁPIDAMENTE, LENTAMENTE, . . . (pero no: USUALMENTE, . . . )

(62) Vx D (so l t e r o (x ) —>-iCASADo(x))

El postulado de significado (61) nos dice algo acerca de la interpretación deuna subclase de adverbios; lo encontramos antes en §4.2.1. En todo modeloen el cual (61) sea válido, se tiene que (57) se sigue de (56). El postuladode significado (62) explica el hecho de que (59) implica (60), porque en todo

modelo en el cual (62) es válido, las extensiones de SOLTERO y de CASADO sondisyuntas para todo mundo.

Los postulados de significado son fórmulas de nuestro lenguaje lógico. Lasusamos para imponer restricciones sobre los modelos para nuestro lenguajelógico y, por lo tanto, indirectamente, para el lenguaje natural, al estipular que solamente consideramos aquellos modelos en los cuales los postuladosson válidos (algunas veces este tipo de información semántica también puede

inducirse en un modelo de otras maneras, es decir, sin utilizar un postuladode significado. Véase §6.3.9. para un ejemplo).Al utilizar postulados de significado entramos en la dimensión desconocida

entre la semán t i ca de las or aci ones y la semán t i ca de las pal abras. Los postulados de significado se usan para capturar parte del significado léxico de las



ggiones; pero hay un límite para la cantidad de información que podemosin du ci r , o que quisiéramos introducir, en nuestros modelos, por medio deA r tillados de significado. Por ejemplo, (62) sólo establece que el significado

soltero se relaciona manera especificada con el significado de casado.^6 „p\ ciertamente, no proporciona el contenido semántico completo de estePgíO ’ / . .ustantivo. Si es posible y para qué propósitos sería necesario representar el sig-

•ficado completo de un elemento léxico, es una pregunta difícil de responder.£1 problema más complicado es cómo hacer una distinción entre implicaciones que dependen del significado de las expresiones y aquellas que se debena circunstancias fácticas. Queremos que la teoría semántica explique la primera, pero no la segunda (lo cual, en cualquier caso, probablemente no lolograría). Este problema es, en efecto, el mismo con el cual todo lexicógrafose las tiene que ver: distinguir entre información semántica y la información

fáctica cargada por un elemento léxico. No hay una solución simple para esteproblema.

6.3.7. Postulados de significado para el fragmento

Antes de formular un postulado de significado para verbos transitivos, queexplique la extensionalidad de un verbo como encontrar , formularemos primeroun postulado de significado acerca de los nombres propios.

Como se discutió en §3.2., los nombres propios, a diferencia de las descripciones definidas, son designadores rígidos. En cada mundo posible elloshacen referencia al mismo individuo. Hemos considerado todas las constantes individuales como designadores rígidos en la lógica de predicados modal,pero no lo hemos hecho así en la Teoría de T ipos Intensional. La extensiónde una constante de tipo e puede diferir entre mundo y mundo. Recuérdeseque el nombre propio Juan se traduce como \ X JX ( j ) . En un mundo w esta

expresión se refiere al conjunto de propiedades que (en este mundo w ) son verdaderas del individuo que es el referente de j en ese mundo. En diferentes mundos, \ X JX ( j ) puede referirse no sólo a diferentes conjuntos de propiedades,sino también a diferentes conjuntos de propiedades de diferentes individuos.Asumiendo que Juan es un designador rígido, esto no es lo que queremos:AX vX ( j ) se debe referir a conjuntos (posiblemente distintos) de propiedades del mismo individuo, a saber, J uan, para cada mundo. Al requerir que la

referencia de la constante j sea el mismo individuo en todos los mundos, capturamos el hecho de que el nombre propio Juan funciona como un designadorrígido. No imponemos esta restricción en todas las constantes de tipo e, sinosólo en aquellas que son usadas en la traducción de los nombres propios. En



el fragmento, estas son las constantes j , m , b y e. Así pues, formulamos lossiguientes postulados de significado:

PS1 3xG (x — a), donde a = j , m ,b , o e

Para cada una de las constantes j , m , b ye, PS1 afirma que hay un individuo que es idéntico a la extensión de la constante en cada mundo posible, es

decir, que es un designador rígido. Si permitimos únicamente aquellos modelosde la Teoría de T ipos Intensional en los cuales PS1 es válido, aseguramos queJ uan, M ar ía, Car l os y El isa sean designadores rígidos.

Un resultado inmediato de PS1 es que si dos nombres propios se refieren aun mismo individuo en un mundo, así lo harán en todos los mundos. En otraspalabras, (63) es un principio válido:

(63) a = (3 es equivalente a Aa =A (3, donde a , (3 es j , m , b, o e

Un principio equivalente (véase la discusión en el §3.3.2.) es el (64):

(64) a = (3 es equivalente a D (a = ¡3), donde a , ¡3 es j , m , b, o e

Otra consecuencia de PS1 concierne a la relación entre expresiones que se refieren a individuos y la expresión correspondiente que se refiere a conjuntos de

propiedades de individuos. Un individuo se caracteriza por el conjunto de suspropiedades; esto significa que si dos expresiones a y (3 se refieren al mismoindividuo en un mundo w , las dos expresiones X X ' X ( a ) = X X JX (¡3) se refieren al mismo conjunto de propiedades en ese mundo. En otras palabras, (65)es un principio válido (Compare el principio (31) que se discutió en §6.3.4.):

(65) a ~ ¡3 es equivalente a X X vX ( a ) = X X vX(/ 3), donde a, (3 son

expresiones de tipo e

Ahora, si además a y (3 son designadores rígidos, es decir, a y (3 se refieren almismo individuo en cada mundo, entonces A X vX (a) y XX^X(¡3 ) se refierenal mismo conjunto de propiedades en todos los mundos. Por lo tanto, el principio (66) y su equivalente (67) son también válidos:

(66) ot. = f3 es equivalente a AXXwX ( a ) =A X X WX((3), donde a y ¡3 sondesignadores rígidos

(67) q = (3 es equivalente a □(A X vX (a ) = AX vX(/3)), donde a y (3 son

designadores rígidos



jsjo solamente las constantes j , r n .b y e son designadores rígidos, lo son también las variables. La extensión de una variable en un mundo no depende delmundo sino de la asignación. Para designadores no rígidos el principio (65)eS válido, pero (66) y (67) no lo son. Por ejemplo, si c y d se refieren ambosal mismo individuo en w\ pero no en w 2, entonces AX wX ( c ) y \ X ' JX ( d ) serefieren al mismo conjunto de propiedades sólo en w\ y no en w 2. Por lo tanto,

AAX VX (c) =A \ X yX (d ) no es cierto.Así pues, para designadores rígidos a, y sólo para designadores rígidos a, se tiene que a y AX X VX ( a ) son maneras enteramente equivalentes de identificar un cierto individuo. Si a es un designador rígido, entonces cualquierexpresión en la cual AAX vX ( a ) ocurre puede convertirse en una expresiónequivalente en la cual a ocurre, dado que a y AAX vX ( a ) están ambas necesariamente ligadas al mismo individuo.

El segundo postulado de significado que se va a discutir aquí formula unapropiedad de ciertos verbos transitivos. Observábamos en §6.3.5. que algunosverbos transitivos, tales como buscar, pueden considerarse como relacionesentre individuos y propiedades de segundo orden. Tal enfoque explica hechossemánticos importantes acerca de esos V T intensionales, tal como el hecho deque la oración J uan busca un t esor o no implica la existencia de tesoros. Por otrolado, este análisis falla para un V T extensional como encontrar , queremos quela existencia de los tesoros sea implicada por J uan en cu en tr a un t esor o. En

consecuencia, debemos ser capaces de considerar estos V T extensionales comouna relación entre individuos. En el postulado de significado PS2 establecemosque las propiedades de segundo orden que se relacionan con individuos pormedio de la relación expresada por un V T extensional están determinadaspor una relación entre individuos:

PS2 3SV xV X D (á(x,X ) <->v X (aAywS ( x , y ) ) \ donde S =

AMAR, CONOCER, O ENCONTRAR

La variable S en PS2 es de tipo (s, (e, ( e,t )) ) , una relación binaria de primer orden, y X es una variable de tipo (s, { (s, (e, t ) ) , t ) ) , una propiedad desegundo orden. El PS2 expresa que para cada <5para el cual está definido hayuna relación S entre individuos tal que 5(x, X ) es verdadera sii VX (AAy wS(x , y) ) ,o en otras palabras, la propiedad de estar en la relación S con x pertene

ce al conjunto de propiedades VX . Veremos que para cada ó para el cualPS2 está definido existe exactamente un S que satisface esta condición.

Primero introduzcamos algunas convenciones. Siempre que digamos quela oración </>es um ver salm en te vál id a (\ = (fi) queremos decir que — 1



para cada modelo M en el cual los postulados de significado son verdad J Tales modelos se llaman ‘admisibles’. Más aún, diremos que las fórmulasip son equivalentes si | 0]m.9 = M m ,9 para toda asignación g y todo iq0a !9admisible M ; y decimos que (p y xp son equi val ent es por PS2 sien todos los modelos admisibles para cada asignación g que satisface PS2 Co®

respecto a S, es decir, que asigna un valor a S tal que | [VxVXD(á(x, X ) <vX (AAyv5(x, y ) ) ) } M ,g — 1, donde 6 es como en PS2. Consideremos un ejemplo 1La traducción de (68) (=(37)) es (69) (=(44)):

(68) J uan encuentra un tesoro

(69) ENCUENTRA(j¡,A AX3x(TESORO(x) AVX(x )))

Por PS2 se tiene que existe una relación S entre individuos tales que (69) esequivalente a (70):

(70) VAA X 3x(t e s o r o (x ) Av X (x))(aAy v S ( j , y ) )

La fórmula (70) se reduce a (71) por A-conversión y VA-eliminación, y (71) esa su vez equivalente a (72):

(71) 3x(t e s o r o (x) AvaAy v S ( j , y ) ( x ) )

(72) 3x (t e s o r o (x ) Av S ( j , x))

En otras palabras, debido a PS2 existe una relación 5 entre individuos talque (69) es equivalente a (72); en donde (72) es la afirmación de que hay untesoro que tiene la propiedad de estar en la relación S con j . La convenciónnotacional CN2 provee una expresión para cada VT, la cual jugará el papel

de la relación S.

Convención notacional 2

Si S es una expresión de tipo ((s , ((s, (e , t ) ) , t )), (e,í)), entonces podemosescribir 5* en lugar de \ y \ x 8 ( x A X X wX ( y ) )

La expresión <5* se refiere a la relación entre individuos que es verdadera para

individuos x e y sii la relación S es verdadera entre x y la intensión del con junto de todas las propiedades de y, es decir, AAX wX ( y ) . Gracias a esta convención notacional, VxVy(á* (x, y)<+S(x,A X X ^ X { y ) ) ) es válida universalmente, lo cual implica que podemos escribir <5*(x, y) en lugar de la afirmaciónS ( x A X X ^ X ( y ) ) .



pjo toda afirmación de la forma S(x, X ) se puede cambiar por una, a, _ ¿00 equivalente con ó*, dado que no toda expresión de tipo (s, ( (s, (e , t ) ) , t ) )

refiere a una propiedad de segundo orden que se relaciona con un indivis o e sp e c í f i co . Por ejemplo, AX3x (t e so r o (x ) Av.X (x)) no define un individuo^necífico, porque si hay más de un tesoro o si no hay tesoros, entonces\ X(T E SOR O(x) AvX (x)) no hace referencia a un conjunto de propiedadesque sea el conjunto de propiedades de un individuo específico. Aunque la CN2ge define para todas las expresiones de tipo ( ( s , ( { s , ( e , t ) ) , t ) ) , { e , t ) ) , lo quea c a b a m o s de decir muestra que la CN2 es meramente una convención nota-cional y que ella no implica que 6* pueda siempre reemplazar a S en PS2. Larelación BUSCAR puede ser verdadera de un individuo, por ejemplo j , y de unapropiedad de segundo orden, por ejemplo aAX3x (t e s o r o (x )AvA '(x)), sin quesea cierto que la relación BUSCAR* sea verdadera de j y un cierto individuoen e sa situación. La conexión que nos interesa entre 5 y ó* sólo se obtiene enaquel las situaciones donde <5es verdadera de un individuo x y una relación dese gun do orden que corresponde a un individuo específico y , es decir, la propiedad de segundo orden que se refiere en todo mundo al conjunto de propiedades

de y (en ese mundo).Un ejemplo de dicha propiedad de segundo orden es la propiedad a la

que AAX vX (m ) hace referencia. Gracias a PS1, m es un designador rígido y,por lo tanto, AX X VX (m) se refiere a la función que para cada mundo posible

proporciona el conjunto de propiedades del mismo individuo, María. Gracias aCN2 podemos escribir <5*(x, m) en lugar de 5 ( x ,A X X yX (m)), y de esta maneratenemos una relación entre individuos siempre que un nombre propio ocurraen el segundo argumento de un verbo intensional como buscar. Así (74), latraducción de (73) (=(53)), es equivalente a (75):

(73) J uan busca a María

(74) BUSCA ( j , A X X v X ( m ) )

(75) b u s c a * (j, m)

Esto no elimina la intensionalidad de buscar. La equivalencia de (74) con (75se debe simplemente al tratamiento de los nombres propios y a la convenciónotacional. Más aún, obtenemos una explicación del hecho de que (73) implica (76) (=(54)), puesto que (75) implica a (77):

(76) Hay alguien a quien J uan está buscando

(77) 3x BUSCAR* ( j , X )



Para aquellos ó para los cuales PS2 postula su extensionalidad, toda afir^.. . 9 f de la forma S(x, X ) es equivalente a una afirmación acerca de individuosejemplo, como vimos anteriormente, por PS2, S(j /' XX 3./ (tesoro(j :| av i

es equivalente a la afirmación de que hay una entidad x que es un tesoro y 1 *

está en la relación s con j . De la misma manera, PS2 asegura queVx(TESORO(x) —>v X(x))) es equivalente a la afirmación de que para todaenB

tidad x, si es un tesoro, está en la relación S con j . La extensión de 5, yaq Jsu existencia está garantizada por PS2, no es más que ó*. Podemos demostrar Ique PS2 y CN2 implican el teorema 6.1.:

T eorema 6.1.

|=V xV X D (5(x,X ) <->v X (AAy<5*(x,y))), donde <5os igual AMAR, CONOCER o ‘ENCONTRAR.

Demostrac ión. Primero demostramos la equivalencia de á*(x, y) y wS(x,y) por PS2. De acuerdo con CN2, <5*(x, y) es equivalente a S(x, AX X '/X (y ) ) . porPS2 esto es equivalente a VAA XvX (y)(AAyv5(x, y) ) , el cual por VA-eliminarción y A-conversión equivale a VAAy vS ( x , y ) ( y ) . Aplicando VA-eliminación yA-conversión una vez más, también es equivalente a vS(x, y). Entonces, alreemplazar 6* por v5 en PS2 queda demostrado el teorema.

El teorema 6.1. nos permite sustituir fórmulas VX (AAy 5 * ( x , y ) ) para todas lasfórmulas 6 (x, X ), si S es un verbo extensional.

Veamos de nuevo la traducción de (68), J uan en cu en tr a u n tesor o. Yahemos reducido (78) (=(44) y (69)), que es el resultado directo del proceso detraducción, a (79) (=(72)):

(78) ENCONTRAR ',A AX3x(TESORO(x) AV X (x)))

(79) 3x(tesoro(x) Av S ( j ,x))

También hemos demostrado que VS es equivalente a á*, y por esta razón podemos reducir (79) a (80) (=(66)):

(80) 3x(tesoro(x) A e n c o n t r a r * (j, x)

La fórmula (80) proporciona la representación de (68) que nos es familiar de lalógica de predicados de primer orden. Debe subrayarse que las fórmulas (78),(80) y todos los pasos intermedios son equivalentes por PS2 y que, en consecuencia, todas representan el mismo significado. L a reducción de (78) a (80) se



gólo Por conveniencia. Obsérvese también que podemos obtener el mismob0,06 jn sin el paso intermedio (79), dado que, por el teorema 6.1., (78) es

Í cen te a (81):

81) vaA X3x(tesoro(x) Av X ( x ) ) ( AXy en con tr ar *(j, y))

teorema 6.1., por lo tanto, establece que la afirmación de que la relaciónN C O N T R A R es verdadera de j y la propiedad de segundo orden AAX3;r (TESORO

, % X ( x ) ) es equivalente a la afirmación de que la propiedad de estar en lare lac ión ENCONTRAR* con j pertenece al conjunto de propiedades de un tesoro.La reducción de (81) a (80) procede siguiendo los pasos intermedios (82), (83)

y (84):

(82) AX3x(tesoro(x) Av X ( x ) ) ( A X y ENCONTRAR*(j, y) ) por VA-eliminación

(83) 3x(tesor o(x) AvaAy ENCONTRAR* (j, y) ( x ) ) por A-conversión

(84) 3x (t e s o r o (x ) A Ay e n c o n t r a r *(j, y)(x)) por VA-eliminación

Todo esto muestra que restringir los modelos de la Teoría de T ipos Intensional

por medio de PS2 nos da una semántica más satisfactoria para las expresionesdel español. Los verbos extensionales se interpretan como relaciones entreindividuos, mientras que, al mismo tiempo, la representación de los verbosintensionales continúa siendo como se definió en §6.3.5. El método mixto depostulados de significado y convenciones notacionales fue tomado del modeloPTQ. Nótese, sin embargo, que sería posible introducir el teorema 6.1. comoun postulado de significado en lugar de PS2. En §6.3.9., en la discusión sobreel verbo transitivo ser, exploraremos este otro enfoque con un poco más dedetalle.

Ejercicio* 6.3.

Reduzca las traducciones de las dos oraciones del ejercicio 2 utilizando CN2,P Sl y PS2. Para cada paso en la reducción, indique qué lo valida.

6.3.8. Ambigüedades de alcance, lecturas de r e y reglas de cuantificación

En §6.3.5. hemos mencionado dos problemas sobre el análisis de oraciones consintagmas de verbos transitivos. En §6.3.7. dimos una solución para el primerproblema, acerca el de cómo representar la naturaleza extensional de ciertos



V T mientras conservamos una representación satisfactoria de la intens¡QBlidad de otros. El segundo problema es cómo explicar las ambigüedad^ 1alcance y la representación de lecturas de r e en oraciones con verbos inteiJ Jnales. Para ilustrar el problema de las ambigüedades de alcance, considero^»la oración (85) (=(39)): 08

(85) Toda mujer añora un solo anillo ■

Si analizamos esta oración utilizando las reglas que hemos definido hasta ahor» i

obtenemos a (86) como su traducción reducida: TB

(86) Vx mu j e r (x ) —>3í /Vz ((a n i l l o (z ) A a ñ o r a r *(x ,¿)) <->y = z) ^ 1

Esta fórmula establece que para cada mujer hay precisamente un anillo queella añora, posiblemente diferentes anillos para diferentes mujeres. Ahora bien,también hay una lectura de (85) que puede parafrasearse como (87):

(87) Hay un solo anillo que toda mujer añora

En esta lectura, es posible que alguna mujer añore más de un anillo, perosólo un anillo es añorado por todas las mujeres. Nuestra teoría semántica

debe proporcionar ambas interpretaciones para (85) y para oraciones ambiguassimilares. L a ambigüedad de (85) se debe a la ambigüedad del alcance de lasexpresiones todo y un sol o. La distinción entre lecturas de d i cto y de r e tambiénse puede formular en términos del alcance relativo de las expresiones. Porejemplo, consideremos (88) (=(38)):


Esta oración tiene dos lecturas; una, la lectura de d i cto , resulta de la aplicaciónde las reglas que tenemos hasta ahora. La otra, la lectura de re, se puedeparafrasear como (89) (=(55)):

(89) Hay algo que es un tesoro y que J uan está buscando

A diferencia de la lectura de dicto, la lectura de re de (89) implica la exis

tencia de tesoros. Como lo sugiere la formulación de (89), un t esor o tiene unalcance más amplio sobre el verbo intensional buscar en la lectura de re, mientras que en la lectura de d i cto, u n tesor o ocurre dentro del alcance de bus

car. Hay muchas ambigüedades que se basan en el alcance relativo de ciertas





La regla S8, n no es una sola regla sintáctica, sino un esquem a de reglas. Esabreviación para un número infinito de reglas. Para todo número n tenei^Juna regla sintáctica a partir del esquema de reglas S8, n . El índice n indica lJvariable sintáctica que sustituimos por el término a . Por ejemplo, si querern<J Lque el término un tesor o sea sustituido por él\ en (92), aplicamos S8, 1 conJ lse muestra en la figura (93):

(93) Un hombre lo7 busca, O, S8, 1

un tesoro, T Élx lo7 busca, O

Si queremos sustituir el término I 07 por todo hombr e, entonces debemos usar

S8,7:

(94) Un hombre busca todo tesoro, O, S8, 7

todo tesoro, T Un hombre I07 busca, O

Si la misma variable sintáctica ocurre en una oración más de una vez, reem

plazamos la primera ocurrencia por el término en cuestión y las demás porpronombres anafóricos apropiados. De esta manera, cuantificar el término una mu j e r en (95) resulta en (96):

(95) É li pasea y J uan loi busca

(96) Una mujer pasea y J uan la busca

(La construcción de oraciones con y tales como (95) y (96) será tratada en§6.3.10.). La formulación de la regla de cuantificación, tomada esencialmentedel modelo PTQ, tiene algunos inconvenientes. Por ejemplo, ella no manejapronombres reflexivos, que son necesarios en algunos casos: si cuantificamosJuan en (97), obtenemos (98) y no (99), como deberíamos:

(97) É li loi ama

(98) J uan lo ama

(99) J uan se busca a sí mismo



inconveniente es el hecho de que S8, n permite cuantificaciones ‘vacías’,puede aplicarse a un término y a una oración en la cual no ocurra

• ina var iable con índice n: el resultado sintáctico será bien formado, pero signara un significado incorrecto. Tales problemas han sido tratados en la

"teratura y aquí no nos detendremos en ellos. F inalmente, obsérvese que S8,gracias a la cláusula (ii), permite la sustitución de variables por variables:

33te hecho no será tomado en consideración en adelante.La construcción de una oración por medio de una regla de cuantificación

gerá llamada la maner a i nd i r ecta d e con str u cci ón . La vía directa de construcción de la oración (85) y la manera indirecta se presentan en la figura (100):

(100) a. Toda mujer añora un solo anillo, O, S2

toda mujer, T, S3 añorar un solo anillo, VI, S7

mujer, NC añorar, VT un solo anillo, T, S6I

anillo, NC

b. Toda mujer añora un solo anillo, O, S8, 4

un solo anillo, T, S6 Toda mujer I04 añora, O, S2

anillo, NC toda mujer, T, S6 I04 añora, VI , S7

mujer, NC añorar, VT éU, T

Ahora debemos demostrar que la construcción indirecta resulta en la lectura

de (85) que nos hacía falta hasta ahora, la que parafraseamos en (87). L aregla de traducción correspondiente a S8, n dice lo siguiente:

T 8, n: Si a G P t Y <t> € Pn V cu 1—> o! y ó t—;> ó' , entoncesF 7,„(a,<¿>)â'(AAx„<¿>')

Un simple ejemplo demostrará cómo funciona T 8, n . Supongamos que hemosconstruido la oración (101) al sustituir Juan por e/3 en (102):

(101) J uan camina

(102) él3 camina



Por la regla T l (b), que se describe en §6.3.4., las variables sintácticas se t r a ^l 'cen en expresiones que se refieren a conjuntos de propiedades de primer orcj J Stal como cualquier otro término. La variable e/3 se traduce como X X ^ X x * . 7atraducción de (102) es (103), por la aplicación de T2; (103) se reduce a (lQ Ide la manera usual.

(103) A X v X ( x 3) (acamina)

(104) c a m i n a (x 3)

La fórmula (104), con la variable libre £3, se convierte en un predicado pormedio de A-abstracción: Ax3CAMiNA(x3). Su intensión, presentada en (105))se refiere a la propiedad de caminar:

(105) a Ax 3c a m i n a (x 3)

De acuerdo con la regla T 8, 3, la cuantificación del término Juan en (102)se reduce semánticamente a la afirmación de que la propiedad que expresa laoración con la variable sintáctica é/3 es una propiedad de J uan. L a fórmula(105) se refiere a dicha propiedad y la fórmula (106) la adscribe a J uan. Pormedio de (107), la fórmula (106) se reduce a (108):

(106) X X ^ X (j)(aAx3camina(x3))

(107) vaAx 3c a m i n a (x 3) ( j )

(108) CAMINA(j)

La fórmula (108) da el significado de (101), que en este caso es el mismo tantopara la forma de construcción directa como para la indirecta.

Este ejemplo simple ilustra concretamente el efecto semántico de la aplicación de la regla S8, n. De manera general, la semántica de este proceso puededescribirse de la siguiente manera: la substitución de una variable sintáctica éln por un término a en una oración cp se reduce a la afirmación de que la propiedadexpresada por la oración cp con la variable libre éln pertenece al conjunto depropiedades a las que a se refiere. Al abstraer sobre x n y aplicar el A-operador,transformamos la traducción <p' de cp en la expresión AXxn<p'. que se refiere a la

propiedad en cuestión. Al aplicar a', la traducción de a, a AXxn(p' obtenemosla fórmula a'(AAx n (j>'), la cual expresa la afirmación deseada.

En el caso de (101), la manera de construcción indirecta produce el mismoresultado que la manera directa. Esto está muy bien, puesto que (101) no es



• .in Pero en otros casos, por supuesto, los distintos métodos de construca 0 l b l g U £ ’" — ____t _ . _ _ j ___________ / o r \• n generan resultados distintos. L a traducción de (85) mediante el métodoCl°|n rtn se muestra en (109), esta vez no con un árbol estructural, sino ^'r'iiidire1'" con

una lista:

(109) 1.

2.

3.4.5.6.

7.8 .

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

ék >-> \ X v X ( x * ) añor ar i—» AÑORAR

Fe (añor a r a i s) ►A Ñ or a r ( aA X vX (x 4))

mu j e r i—>m u je r

F í m u jer ) t —►A X V x(mu jer (x) —»v X (x ))F i ( t o d a m u j e r , I o í añor a r ) i—>AXVx (m u j e r (x )

- vX (x )) (a a ñ o r a r (a A X v X (x 4)))= Vx (m u j e r (x ) —>v a a ñ o r a r (a A X v X (x 4))(x ))= Vx (m u j e r (x ) —►a ñ o r a r (a A X v X (x 4))(x ))

= Vx Í m u j e r (x ) —>a ñ o r a r (x ,a AATvX (x 4)))

= Vx (m u j e r (x ) —>a ñ o r a r , (x,x4))an i l l o i—>a n i l l o

F5(ani l lo) i -» \ X 3 zV y ( (ani l lo( í / ) Av X ( y ) ) <->z = y')

F t ^ (u u sol o a n i l l o, t od a m u j er I 04 añor a r ) 1—»

A X 3zV ?/ (anill o(j/) Av X ( y )) <->2 = y j

^ Ax 4Vx (m u j e r (x ) —♦a ñ o r a r , (x ,x4))^

3z V j/^(a n i l l o (2/) A v a Ax 4Vx (m u j e r (x ) —*

a ñ o r a r , ( x , x4 ) )( y ) ) <-► z = y\

3zV?/ (a n i l l o (?/) A Ax 4Vx (m u j e r (x ) —*

añ ora r , (x ,x4)) ( y ) ) *-*2 = y j

32Vj/ (AN iLL O(y) A V x(m u jer(x) —>a ñ or a r ,(x ,y ) ) ) <->

T lbT ía

T7T ía

T3T2

A-conv.

VA -elimin.CN1

CN2

T ía

T 6

T 8, 4

A-conv.

' -elimin.

A-conv.

Un par de aclaraciones son necesarias. L os pasos 7 a 10 muestran que reducimoslas subexpresiones tanto como es posible durante el proceso de traducción. Por

supuesto, no es necesario hacerlo, aunque sí hace las cosas más simples. L a reducción de 9 a 10 es posible simplemente por CN2, dado que la variableX4 es un designador rígido; PS2 no se necesita aquí todavía. Podemos escogerotra variable distinta a la utilizada en la descripción de la regla de traducción,como hicimos en el paso 12; de nuevo, esto no es necesario, pero sirve para evitar confusiones. El patrón general de la traducción de una oración que se derivapor medio de una regla de cuantificación se muestra aquí en el paso 13. A partir

de la traducción de toda m u jer I 04 añor a , paso 10, se forma la expresiónaAx4Vx(mujer(:e) —>añorar * (x, £4 )), la cual se refiere a la propiedad de serañorado por todas las mujeres. La traducción del resultado de la cuantificaciónun sol o ani l lo en toda m u jer I 04 ama , paso 13, establece que esta propiedad



pertenece al conjunto de propiedades para las cuales es verdadero que „mente un anillo tiene esas propiedades, la cual es la misma que la afirmT^Bde que existe exactamente un anillo que es añorado por todas las mujeres"^cual es lo que expresa de manera más simple el paso 16. ‘r'

Al comparar el final del proceso de traducción de la construcción indir«J

de (85) — que es el paso 16 de (109)— con (86) — que es la traducción dejlconstrucción directa- - vemos que las dos lecturas de (85) se representan ahorSde manera adecuada. Las maneras de construcción directa e indirecta son deri Ivaciones distintas de la misma oración. Sin embargo, no hay una diferencia queBle corresponda en la estructura de los componentes. Si fuéramos a representar ■la estructura de los componentes en la gramática, la oración (85) obtendría la 1misma estructura, expuesta en (110), para ambos casos:

(110) o[ r [ t od o Nc [mu j er ] ] v i [ v T [ a ñor a ] r [ u n solo ]Nc[an i l l o ] ] ]

Este ejemplo ilustra lo que se ha establecido en §6.2.: es la historia derivacionalde una oración, y no la estructura de sus componentes, la que determina susignificado.

L a regla de cuantificación S8, n es un ejemplo de una regla sintáctica quees motivada primariamente por la semántica. Por supuesto, también desempeña cierta función sintáctica, generando pronombres anafóricos, pero la razónprincipal para su introducción es semántica, a saber, dar cuenta de las ambigüedades de alcance. Así que vemos aquí, de manera concreta, cómo elprincipio semántico de composicionalidad afecta los contenidos de la sintaxis. Obsérvese que el proceso de cuantificación nos proporciona un númeroinfinito de maneras de derivar una oración: podemos utilizar otra variablesintáctica en cualquier momento. Dado que esas variantes no conllevan dife

rencias semánticas (todas las fórmulas resultantes, a pesar de ser diferentes,son equivalentes), no las tendremos en cuenta.

La regla de cuantificación también nos permite derivar la lectura de re de(88). L a figura (111) muestra el árbol de análisis para esta lectura:

(111) J uan busca un tesoro, O, S8, 0

un tesoro, T, S5 J uan lo0 busca, O, S2

tesoro, NC J uan, T I04 buscar, VI, S7

buscar, VT él0, T



m pagos importantes en la traducción de este árbol son los siguientes:

1 9 ') 1 J ua n l oo bu sc a b u s c a r ( j , A X vX (x o )) T lb(1 ' 2. ==B U S C A R »(j, x0) CN2

3 F 7 , o( u n t eso r o , J u an l o0 busca ) i —> T 8, 0

AX3a:(TESORO(a;) AvX (a;))(AAxoBUSCAR»(j,a;o))k"4. = 3x (t e s o r o (x ) A b u s c a r »(j,x)) A-conv.,

VA -elimin

La traducción de 1 a 2 depende del hecho de que xo es un designador rígido. Laración en la cual aparece xq, es decir, Juan loo busca, puede verse como

la expresión de una propiedad de individuos, esto es, la propiedad de ser buscado por J uan. La traducción de (88) por medio de la manera indirecta deconstrucción se presenta en el paso 4 de (112), la cual afirma que hay algoque es un tesoro y que es buscado por J uan. E sta afirmación expresa la lectura

de r e de (88).

Ejercicio* 6.4.

(a) Construya tres árboles de análisis para la oración Todo hombr e busca un tesoro que den lugar a tres traducciones lógicamente diferentes

(b) Muestre que las construcciones directas e indirectas de la oración Juan en cu en tr a u n tesoro llevan a resultados equivalentes

Haremos ahora algunas consideraciones finales. La primera concierne a la diferencia entre las lecturas de r e y de d i cto de oraciones como la (88). Hemosobservado que la lectura de d i cto de (88) no implica la existencia de tesoros, mientras que la lectura de re sí lo hace. La pregunta ahora es si sus dostraducciones, (113) (=(45)) y (114), expresan esta diferencia:

(113) BUSCAR^',A AX3x(TESORO(x) AVX (x)))

(114) 3x (t e s o r o (x ) a b u s c a r * ( j ,x))

En efecto, la respuesta debe ser no; aunque esto todavía no se ha garantizado. En la Teoría de Tipos Intensional, cuantificamos sobre individuosposibles y, por lo tanto, (114) sólo nos dice que es posible que una entidadsea un tesoro. Dicho sea de paso, en (116) — que es la traducción de (115)—no implica la existencia de mujeres:

(115) J uan conoce a una mujer

(116) 3x(mujer(x) A con ocer* ( j , x ) )



La introducción de un predicado existencial E nos permite varias manera« dtratar este problema. Por ejemplo, la información de que los elementos 1¿j9eos se relacionan con individuos que en efecto existen puede añadirse a 1traducciones. T ía se podría reemplazar entonces por cláusulas como:

mu j e r >—►Ax(mujer(x) A E ( x ) )

Otro método es la introducción de postulados de significado:

Va£](<5(x) —►E ( x ) ) , para 6 = MUJ ER, TESORO, .. .

Este postulado impone restricciones sobre las funciones de interpretación delos modelos, tales como:

Para todo w: / ( tesoro)(w) C I ( E ) ( w )

Cada solución afirma, no que los tesoros existen, sino sólo que si hay algo quees un tesoro, en efecto existe. Ahora bien, (114) implica la existencia de tesoros: si (114) es verdadera, hay una entidad que existe en efecto y que es untesoro. Pero esta conclusión no puede obtenerse a partir de (113). La distinciónde re/ de di cto se explica pues como una distinción entre lecturas existenciales y

no existenciales. Algunas veces la distinción entre (113) y (114) se describecomo la distinción entre las lecturas específi cas y no específi cas de (88). Cuandoalguien está buscando un tesoro, puede estar buscando el tesoro que se le regaló en su cumpleaños y que ha desaparecido. Esto corresponde a la lecturaespecífica de (88). Por otro lado, esta persona puede estar feliz con cualquiertesoro viejo que pueda encontrar: esto correspondería a la lectura no específica.No es claro que podamos tomar a(113)ya(114) como representaciones de las

lecturas específica y no específica de (88), respectivamente. El problema aquí es que parece que las intensiones y convicciones de la persona que busca también son importantes para establecer la distinción entre ambas lecturas. Porejemplo, supongamos que J uan cree que hay tesoros y que en uno de esos tesoros hay una corona de oro. El quiere encontrar ese tesoro. E n este caso J uanestá buscando un tesoro específico. No podemos representar esta situación con(113), dado que se supone que ésta es la lectura no específica de (88). Porotro lado, (114) implica la existencia de tesoros, y a partir del hecho de que J uan está buscando un tesoro específico no quisiéramos concluir que ese tesoroexiste. También, (114) establece que hay una entidad que es un tesoro que J uanestá buscando, pero esto no implica que J uan sepa que la entidad que él estábuscando sea un tesoro. Supongamos que, en efecto, él no lo sabe (él cree que





iirce, asi parece, presupone una sintaxis que provea varias maneras de conguna oración que muestre una ambigüedad de alcance. 1i;r

La regla de cuantificación nos garantiza un método para representarbigüedades de alcance. En esta sección hemos buscado los alcances relat\ Sde los términos cuantificados en posiciones de sujeto y objeto y los alcancejjyj verbos intensionales y términos cuantificados. Pero hay muchas otras fuenlS

de ambigüedades de alcance que pueden ser tratadas de la misma manera N |

encontraremos con algunos de estos casos en §6.3.10. y §6.3.11.

6.3.9. El verbo tran sitivo ser

Hasta ahora no hemos discutido el verbo ser. Recuérdese que en §6.3.1. go '

introdujo ser como una expresión básica de categoría V T . En el modelo ptq el ser de identidad y el de cópula se consideran como el mismo verbo transitivo.Esto es bastante notable, dado que la tradición lógica sostiene que es necesariodistinguir, desde un punto de vista lógico, entre es en afirmaciones de identidad y es en afirmaciones predicativas. Compare por ejemplo (121), la traducciónlógica estándar de (119), con (122), la traducción de (120):

(119) J uan es María

(120) J uan es un hombre

(121) j = m

(122) hombre( j)

Es, tal como aparece en (119), se presenta como la relación de identidad en(121), mientras que la cópula es en (120) parece haber desaparecido en la traducción y,en cambio, se ha fusionado con la aplicación del predicado HOMBR a la constante j . Así pues, parece que tenemos que distinguir entre dos verbosdistintos. Sin embargo, como veremos, es posible considerar las ocurrencias dees en (119) y (120) como ocurrencias del mismo verbo, con el mismo significado y, sin embargo, es posible brindar representaciones equivalentes de las

oraciones respectivas y, en efecto, reducibles a (121) y (122).Dado que el verbo ser se considera como un verbo transitivo ordinario,

la derivación sintáctica de ambas oraciones es la misma, como lo ilustra lafigura (123):



„s Q J uan es María, O, S2(123) a- ^

Juan, T ser M aría, VI, S7

ser , V T M aría , T

L u Juan es un hombre, O, S2

Juan, T ser un hombre, V I, S7

ser, V T un hombre, T , S5

Ihombre, NC

Como se mencionó en §6.3.3., el verbo ser obtiene una traducción especial.

Esta traducción es la siguiente:

T l (c): ser t->A XAxvX (aAj/(x = y ))

Dado que ser es de categoría V T , su traducción es de tipo f ( V T ) = ((s, (( s, (e, t ) ) , t ) ) , (e, t )). Semánticamente, expresa una relación entre individuos y pro

piedades de segundo orden. T ic en efecto define qué relación es, a saber,la relación que es cierta en un mundo entre un individuo x y una propiedad desegundo orden X sii la propiedad de ser igual a x, es decir, AAy ( x = y) , pertenece al conjunto de propiedades que en ese mundo hacen referencia a X ,es decir, sii vX (AAy(x = y) ) . A primera vista, esta traducción parece brindarsólo el significado del ser de identidad, pero, como veremos, también brindael otro significado. Consideremos primero (124), la traducción de (119):

1. Ma r ía >—* \ X J X (m ) T lb2. ser i—>AXAxvX (AA?/(a: = y) ) T ic3. F 6( ser , Ma r ía) h-» AXAxvX (aAy ( x = y ) ) ( A\ X v X (m ) ) T7

4. = \ x VA\ X ' JX ( m ) C X y ( x = y) ) A-conv.5. = \ x \ X v X ( m ) ( A\ y ( x = y) ) VA -elimin.6. = \ x WA\ y ( x = y ) ( m ) A-conv.7. = \ x \ y ( x = y ) ( m ) VA -elimin.8. = X x ( x = m) A-conv.

9. J u a n AX vX ( j ) T lb10. F \ ( J u a n ,ser M a ría ) i—>X X VX ( j ) ( AX x ( x = m ) ) T21 1 . =VAX x (x = m ) ( j ) A-conv.12. = X x ( x = m ) ( j ) VA-elimin.13. = ( j = m ) A-conv.



El V I ser M ar ía se refiere al conjunto de las entidades x para las cuales es verdadero que la propiedad de ser idéntico a x es una propiedad de María, como loestablece la fórmula 5; como es evidente a partir de la fórmula equivalente en 8,éste es el conjunto de entidades idénticas a María, el cual es, por supuesto, elconjunto singleton con María como su único elemento. La oración completa

afirma que la propiedad de pertenecer a este conjunto es una propiedad de J uan. Esta afirmación es equivalente a la afirmación realizada en el paso 13,que dice que J uan es idéntico a María. L a traducción de (120) se da en (125);

1. h om b r e i—>HOMBRE T ía

2. F a (h o mb r e ) h->A X 3z (h o m b r e (z ) Av X ( z ) ) T5

3. ser i—►AXAx v X (aAy ( x = y ) ) T ic

4. F s ( ser ,u n h om b r e) i—>AXAx v X (aA?/(x = y ) )

(a A X 3z (h o m br e (z ) Av X ( z ) ) )

T7

5. = Aa:VAAAr3z(HOMBRE(z) Av X ( z ) ) ( A X y ( x = y ) ) A-conv.

6. = A xA X 3z(hombre(z) Av X ( z ) ) ( X y (x = y ) ) VA -elimin.

7. = Ax 3z (h o m b r e (z ) AvaAy ( x = y ) (z)) A-conv.

8. = A x3z(hombr e(z) A Ay ( x = y ) ( z ) ) VA -elimin.

9. = Ax 3z (h o m br e (z ) A ( x = z)) A-conv.

10. J u a n >->AX vX ( j ) T lb

1 1 . F i ( J u a n , ser u n h om br e) >—>

A X vX (j )( AAx3z(HOMBRE (z) A ( x = z ) ) )

T2

12. =v a Ax 3z (h o m b r e (z ) A (x = z ) ) ( j ) A-conv.13. = Ax3z(hombre(z) A (x = z))(j) VA -elimin.

14. = 3z(hombre(z) A ( j = z)) A-conv.

15. = HOMBRE(j) lógica de

primer orden

Como resulta claro a partir del paso 6, el VI ser un h om bre se refiere al conjuntode las entidades x para las cuales es verdadero que la propiedad de ser igual a

x pertenece al conjunto de aquellas propiedades X tales que hay un hombreque tiene X . La fórmula equivalente en 9 deja ver claramente que este es el con

junto de entidades x tales que x es idéntico a un hombre. De acuerdo con el paso12 de (125), (120) afirma que la propiedad de pertenecer a este conjunto esuna propiedad de J uan; esta afirmación se reduce al paso 14, la afirmación deque hay un individuo que es un hombre y que es idéntico a J uan. Por supuesto,esto es equivalente al paso 15, la afirmación de que J uan es un hombre. Las

fórmulas 14 y 15 son equivalentes en lógica de predicados estándar.En efecto, hay una vía más corta para este resultado. L a traducción de ser

un hom bre es, después de todo, Ax 32:(h o m b r e (2:)A(x =2;)), y ella se refiere alconjunto de entidades x tales que hay un hombre que es idéntico a x . Porsupuesto, esto es el conjunto de todos lo hombres, es decir, el mismo conjunto



gj que se refiere nuestra constante HOMBRE. Así que después de la línea 9,p o d r í a m o s haber continuado (125) de la siguiente manera:

(126) 10.10. = H O M B R E

11. F \ ( J u a n , ser u n h o m b r e ) ^ X X ^ X (j)(AHOMBRE)12. = H O M B R E ( j )

Teoría de TiposT2A-conv.,v A -elimin.

C o n c l u i m o s que la traducción de ser, así como se define en T ic, brinda las e m á n t i c a correcta para su uso tanto en afirmaciones predicativas, como

en afirmaciones de identidad.Como lo ilustran los resultados anteriores, el verbo ser es tratado como un

verbo extensional. Como cualquier verbo transitivo, se supone que expresauna relación entre individuos y propiedades de segundo orden. Pero nuestratraducción T ic, en efecto, define esta relación y además lo hace como una

relación extensional.Los mismos hechos también podrían haberse explicado de una manera

distinta. Supongamos que no le hubiéramos dado una traducción por separadoa ser, sino que la tradujéramos por una constante SER, como cualquier otroVT . En vista de su extensionalidad, PS2 también habría sido aplicable a estaconstante SER. Entonces, (127) y (128) habrían resultado ser las traduccionesde (119) y (120):

(127) SER*(j, m )

(128) 3x (h o mb r e A SER*( j ,m))

Obsérvese, sin embargo, que estos resultados sólo explican la extensionalidadde ser, ellos no representan su significado completo. Por ejemplo, de acuerdocon (127), J uan es M ar ía afirma que existe una relación extensional entre J uan

y María, pero no especifica cuál, a saber, la relación de identidad. Para darcuenta de esto, debemos añadir otro postulado de significado:

Este postulado de significado define a SER» como la relación de identidad.Utilizando PS3, (127) y (128) pueden reducirse a (124) y (125). Esto ilustra elhecho de que proporcionar la traducción especial T ic para la expresión ser no

es la única manera de dar cuenta de su significado. Podemos obtener los mismos resultados por medio de postulados de significado. También podemos combinar los efectos de PS2 y PS3 en un sólo postulado de significado para SER:

PS3 VxVyD(s e r *(x, y) ** (x = y))

PS4 IH(s e r = AXAxvX (AAy(x = y)))



Aquí tenemos un solo postulado de significado que expresa exactamente lo qUehabía sido formulado en la regla de traducción. Este procedimiento tambiénpuede aplicarse en otros casos. Por ejemplo, podríamos haber traducido losdeterminantes en constantes, t o d o , EL, etc., explicando con un postuladode significado su relación con los cuantificadores lógicos (por supuesto, estoasume que introducimos los determinantes de manera categoremática). Esta

habilidad para cambiar entre reglas de traducción y postulados de significadoevidencia que los dos métodos tienen el mismo propósito: dar mayor especificación, y en algunos casos una especificación completa, para los significadosde los elementos léxicos. En efecto, las cosas también funcionan al contrario. En lugar de utilizar un postulado de significado, podríamos expresar laextensionalidad de los V T por medio de reglas de traducción especiales. Porejemplo, en lugar de traducir encontrar por ENCONTRAR y luego relacionarlocon ENCONTRAR* por medio de PS2, podemos expresar la intensionalidad dekiss directamente en su traducción:

T l (a ’): encon t r a r h->AXAxvX (AA ?/(encontrar *(x, y)))

La similitud con la regla de traducción de ser es obvia. Sin embargo, obsérveseque hay una diferencia: T i c no sólo expresa el hecho de que ser es extensional,es decir, de que ser expresa una relación entre individuos, sino que tambiénestablece cuál relación se está expresando: la relación de identidad. T ía’ dice

que encontrar es una relación extensional, pero no la define mucho más precisamente que eso.

Ejercicio 6.5.

Muestre cómo la regla de traducción especial T lb para nombres propios puedereemplazarse por un postulado de significado.

El siguiente ejercicio trata sobre las relaciones lógicas entre oraciones dellenguaje natural. Para las oraciones del lenguaje natural definimos la relaciónse sigu e de a continuación: la oración B se sigue de las oraciones A i , . . . , A n sii para cada análisis sintáctico de B y A i , . . . , A n se tiene que la traducciónde B , en dicho análisis, se sigue de las traducciones de A i , . . . , A n (algunasveces también se puede utilizar la noción se sigue de un anál i sis ..., la cuales una versión relativizada de la primera noción).

Ejercicio* 6.6.

Muestre que J uan busca a E li sa no se sigue de J uan busca a la r ei n a y Elisa es la rei na.



^ 3.10. Reglas de conjunción, disyunción y negación

Comenzamos con la conjunción y la disyunción. Consideremos las siguientesoraciones:

(129) J uan duerme y María pasea

(130) Un hombre camina y pasea

(131) Todo hombre fuma o besa a una mujer

(132) Todo hombre ama a María o a Elisa

La oración (129) es un caso simple de coordinación copulativa (conjunción) deoraciones, a diferencia de (130), (131) y (132), que no se pueden reducir a oraciones coordinadas por la cópula. La razón es que, ciertamente, las oracionescorrespondientes, de (133) a (135), tienen un significado distinto:

(133) Un hombre camina y un hombre pasea

(134) Todo hombre fuma o todo hombre besa a una mujer

(135) Todo hombre ama a María o todo hombre ama a Elisa

Explicaremos dichos hechos al introducir no sólo reglas de conjunción y disyunción de oraciones, sino también de conjunción y disyunción de V I y una reglade disyunción para términos (no introduciremos una regla de conjunción paraestos últimos, dado que tendríamos que hacer un análisis de la pluralidad, lo

cual está por fuera del alcance de esta introducción). Las reglas sintácticasy las reglas de traducción correspondientes se muestran a continuación:

S9: Si <f>, i¡) 6 P o , entonces Fa(4>, ip) e P o y Fg(ct),i l j ) = >4>' y i l > l—>V’/i entonces F s (4>, i p) i—>(</>' A ip1).

S10: Si 4>,rp € P o , entonces Fg((t>,rl>) € P o y F g^,^) = <j> o ip.

TIO: Si<j), ip 6 P o y <t > * 4>' y ^ * 4>', entonces Fg(4¡,x¡;) n * (<j>' V ip').Sil: Si 7 , 5 € P v i , entonces Fs(7 ,<5) € P v i -

T i l: Si 7 ,á 6 P v i y 7 •l ' y <5 >6 ' , entonces F8(7 ,<5) >—►\ x ( i ' ( x ) A S ' ( x ) ) .

S12: Si 7,(5 € P v i , entonces Fg(7 ,á) £ P V I .

T12: Si 7 ,á G P v i y 7 i—►7 ; y ¿ i—<•(5', entonces Fg(7 ,i5) i—>\ x ( ^ ' ( x ) V <5'(x)).

S13: Si a , (3 G P t , entonces Fg(a,/3) € PT -

T13: Si q, ¡3 e P t y a •—*a ' y P P ' , entonces Fg(a,/3) i—> A X(a'(X ) V P ' ( X ) ) .





(139) 1. Fg(María, E l i sa) >->XX {XY vY (m ) ( X ) A A yvY (e)(X ))

2. = A X (vX (m ) Vv X (e))

3. F6(amar , María o E l i sa) h->AMAR(aAX(vX(t7i) Vv X ( e ) ) ) 4. F\ (todo hombre, amar a Mar ía o a El i sa)

AFVx(hombre(x) —>v Y(x ) ) (aam ar(aA X (vX (m ) Vv X(e) ) ) )

= V:e(h o m b r e (x )—>a m a r (x ,a A X (vX (m ) Vv X (e))))5.

6.

7.

= Vx (h o mbr e(x ) —»-A AX(vX(ra) Vv X(e) ) (aA j/AMAR,(x ,y)))= Vx (h o mbr e(x ) —>(amar *(x ,m) V amar *(x ,e)))

T 13

A-conv.,

T7

T2

A-conv.,VA -elimin.CN1.PS2.

A-conv.,VA -elimin.

Esta traducción determina el significado adecuado de (132). El PS2 se necesitaen la línea 6, dado que la CN2 aquí no es suficiente: X X X ( m ) \ / v X ( e) ) no serefiere a un único individuo (asumiendo que m y e se refieren a individuosdistintos), a diferencia de AX ^ X ( m ) y A X vX (e).

Otra cosa que ahora resulta evidente es que si cuantificamos un término enuna oración con y en la cual la misma variable sintáctica ocurre más de unavez, obtenemos una coreferencia semántica de las distintas ocurrencias. Consi

deremos (140) (=(96)):

(140) Una mujer pasea y J uan la ama

En la oración (140), el pronombre anafórico la se refiere a una mu jer , estaafirma que hay una mujer que pasea y que es amada por J uan. La figura (141)muestra las partes relevantes del análisis de la oración (140). Los pasosrelevantes de la traducción se presentan en (142):

(141) Una mujer pasea y J uan la ama, O, S8, 1

Una mujer, T E li pasea y J uan loi ama, O

(142) 1. éli pasea y J uan l o\ am a* >p a s e a r (x i ) A T9

AMAR* ( j , Xi)2. F i : i (u n a m u j er , é li pasea y J uan l o\ am a )

i—> A X 3 x (m u j er (x ) Av X (x ) )

(a Ax i (p a s e a r (x i ) A A M A R *(j ,x i ))) T8, 13. = 3x(MUJ E R (x) A PASEAR(x ) A A M A R *(j,x)) A-conv., VA-elimin.



El modelo PTQ tiene reglas separadas para combinar los términos y los V I con

el propósito de formar oraciones negadas:

S14: Si a G P t y ó 6 P v i , entonces F \ o(oc,S) G P o y

F i o(a, S) — a5' , donde 5' es el resultado de reemplazar el primer verbo por su forma negativa en tercerapersona singular del tiempo presente

La regla de traducción correspondiente es la siguiente:

T14: Si a € P t y S G P v i y ot >—*•a 1 y 8 i—* 6' , entoncesF i 0 ( a , ó ) i-» -ia'(A¿')

La figura (143) muestra el árbol de análisis de dos oraciones formadas por laregla S14. Sus traducciones se dan en (144) y (145):

(143) a. J uan no fuma, O, S14

J uan, T fuma, VI

b. María no ama a todos los hombres, O, S14

María, T amar a todos los hombres, VI , S7

amar, VT todos los hombres, T , S5I

hombre, NC

(144) -iFUMAR(j)

(145) -nVx(HOMBRE(x) —>A M A R *(m,x))

Utilizando esta construcción, la negación siempre obtiene elalcancemás am

plio. Para las oraciones (144) a (145) este análisis es correcto.Algunasveces,no obstante, un término en posición sujeto debe tener un alcance más amplioque la negación. Esto se logra al cuantificar sobre el término en una oraciónformada por S14. Por ejemplo, la derivación de la oración E l el efa n t e no pasea se presenta en la figura (146); los pasos relevantes de la traducción se presentanen (147):

(146) El elefante no pasea, O, S8, 7

el elefante, T , S4 él7 no pasea, O, S14

elefante, NC éb, T pasear, VI



íl47) 1- F w (éh ,p a sea ) h->-iPASE AR ) T142. e l e f a n t e , é/7 n o pa sea) 1—»X X 3 x T8, 7

(Vj/(ELEFANTE(y) <->•x — y) Av X(x))

(aAx7->PASEAR(x7))

3. =3x(Vy (E L E F AN T E (y)-^x=y)A-iP ASE AR (x)) A-conv., VA-elimin.

O b s ér v e s e que, dada la manera en la que se formula arriba, la regla de negaciónf u n c i o n a adecuadamente sólo si se aplica a un VI que contenga exactamenteun v e r b o principal. Es posible, sin embargo, formular una regla para el casomás general. En el modelo p t q las reglas para la introducción de los tiemposverbales son similares a las reglas de la negación.

Tal como sus contrapartes lógicas, la cópula (conjunción), la disyunción y lane gac ión (y los tiempos verbales) del lenguaje natural se introducen sincate-

goremáticamente. Esto no es necesario, así como lo vimos para el caso de losdeterminantes. En §4.3. discutimos, en cierta medida, la introducción catego-remática de la conjunción y similares. Un análisis categoremático similar alallí bosquejado ciertamente puede implementarse para el modelo PTQ.

Ejercicio* 6.7.

Elabore un árbol de derivación y una traducción para la oración J uan besa a

Mar ía o a la rei n a y l a ama.

6.3.11. Complementos oracionales e infinitivos, adjetivos,

cláusulas relativas y adverbios

En esta sección discutiremos brevemente algunas reglas que producen oraciones como las presentadas de (148) a (153):

(148) J uan afirma que la reina pasea

(149) J uan intenta encontrar un tesoro

(150) Elisa es un elefante rosado imaginario

(151) María ama a un hombre que camina

(152) J uan camina lentamente

(153) Necesariamente, todo hombre es un hombre



Para la construcción de oraciones como (148), es suficiente formula la reglade aplicación funcional que define cómo una expresión de categoría VI / O secombina con una de categoría O para formar un V I (obsérvese que F u essimplemente la operación de concatenación):

S15: Si S E Py i / o y 4> £ P o , entonces F u ( 6, (p) E P v i y

û(¿><f>) = H

La regla de traducción que le corresponde a S15 sigue el patrón de las demásreglas de aplicación funcional:

T15: Si 6 E P yi / o y € P o y l—>4>' y 0 l—* <f>', entonces

F n (M ) ^ ¿ '(V )

La traducción de la oración (148) en la construcción directa es la siguiente:

(154) AFIRMAR(j,A 3x(Vy(RE INA(í/) <->X = y) A pasear(x)))

De manera semántica, el functor a f i rm ar que opera sobre la intensión de suargumento. El tipo que le corresponde a la categoría V I / O es { {s , t ) , (e, t ) ) . Así pues, a f i rm a r que se interpreta como una relación entre un individuo yuna proposición; en (154) estos son J uan y la proposición de que la reina

pasea. L a expresión A3x(Vy(RElNA(y) <->x = y) A PASEAR(x)) se refiere a laproposición que es verdadera en un mundo w si el individuo que es la únicareina en w está paseando en w . Esta proposición es la intensión de la oraciónLa r ei n a pasea. La traducción (154) presenta la lectura de d i ct o de (148). Enesta lectura, (156) no se sigue de (148) y (155):

(155) Elisa es la reina

(156) J uan afirma que Elisa pasea

En efecto, (154) y (157), las traducciones de (148) y (155) respectivamente, noimplican (158), la traducción de (156):

(157) 3x(Vy(RElNA(y) <->x = y) A e = x )

(158) AFIRMAR( j ,a PASEAR(e))

Además de la lectura de d i cto de (148), también está la lectura de re, que separafrasea de la siguiente forma:

(159) De la reina, J uan afirma que ella pasea



Una representación de la lectura de re se obtiene al cuantificar el término¡a re ina en una oración con una variable sintáctica, a saber, la oración Juan af i rma que éh pasea. Este es el resultado:

(160) 3(V y(R E lN A (y) <-*■x = y ) A a f i r m a r ^',A p a s e a r (x ) ))

Esta lectura de (148) implica (158), dada (157) como premisa adicional. Parala construcción de oraciones con un complemento infinitivo, como (149), esnecesario añadir la siguiente regla de aplicación funcional:

S16: Si 7E P vi / v i Y SeP v i , entonces F i2(7,¿)GP y/ y^12(7, 5)=7<5', donde 6 ' se obtiene de 6 al reemplazar todas las ocurrencias de l on por sufijos —lon , para

todo n

La regla de traducción que le corresponde a S15 es la siguiente:

T16: Si 7 G P v i / v i Y & £ P v i y 7 ^ 7 ' y í m entonces

^12(7^) 7'(A¿0

La oración (149), J uan i n ten ta en con tr ar un tesor o, también tiene dos lectu

ras. La construcción directa resulta en la siguiente traducción:

(161) INTENTAR(j,AENCONTRAR(AAX3x(TESORO(x) A V X (x ) ) ) )

Aunque la extensionalidad de encontrar no sea evidente en (161), ella está garantizada por PS2, así que no entraremos en detalles al respecto. En estepunto todavía no podemos aplicar el teorema 6.1., dado que I N T E N T A R no tie

ne un sujeto. L a expresión E N C 0N T R A R (AA X 3 x(u N l C 0 R N l 0(x ) A v X ( x ) ) ) , sinembargo, es equivalente a (162), por lo que ahora es posible aplicar el teorema6.1., que resulta en (163), la cual es a su vez reducible a (164):

(162) Ay ENCONTRAR(y,A AX3x(tesoro(x) A v X ( x ) ) )

(163) A í/(AX3x(tesoro(x) Av X (x ))(aAz ENCONTRAR*(y,z ) ) )

(164) Ay3x(TES0R0(x) A encontrar*( y , x ) ) La fórmula (161) puede, entonces, reducirse a (165):

(165) INTENTAR(j,A Ay3x(TESORO(x) A ENCONTRAR*(y, x)))



Esta fórmula representa la lectura de d i ct o de (149) y, por lo tanto, no irripli^la existencia de tesoros. Una vez más, la lectura de r e se obtiene por medio decuantificación:

(166) 3x(TESORO(x) A INTENTAR(j,AAy ENCONTRAR* (y , x)))

El modelo PTQ introduce un postulado de significado para explicar la relación entre buscar e i n ten t a r encont r a r .

PS5 Vx V X D (b u s c a r (x , X ) <-> i n t e n t a r (x ,a e n c o n t r a r (X)))

Por medio de este postulado de significado (165) equivale a (167) (=(113)),la representación de la lectura de d i cto de J uan busca un t esor o , y (166) esequivalente a (168) (=(114)), la representación de la lectura de re:

(167) b u s c a r ( j ',a A X3x (t e s o r o (x ) Av X ( x )))

(168) 3x (t e s o r o (x ) A b u s c a r * ( j ,x ))

Obsérvese que el modelo PTQ considera que i n t en ta r es una relación entreun individuo y una propiedad. L a oración (149) significa que J uan está en larelación de ‘intentar’ con respecto a la propiedad de encontrar un tesoro. Esto

no afirma, como debería hacerlo, que J uan no estará feliz a menos que sea él elque tiene esta propiedad. Si queremos explicar esto, debemos explicar lo quese conoce como propiedades de control de los verbos que toman complementosinfinitivos. Los siguientes ejemplos pueden clarificar este aspecto:

(169) J uan le promete a María desenterrar un tesoro

(170) J uan le pide a María desenterrar un tesoro

En (169) Juan es el sujeto del verbo capturar, el de (170) es M aría. Los postulados de significado pueden dar cuenta de este tipo de diferencias. Por otrolado, podríamos analizar también los complementos infinitivos como expresiones que se refieren a proposiciones en lugar de propiedades, tal como en elcaso de los complementos oracionales. Los adjetivos prenominales son expresiones que se combinan con un sustantivo para formar otro sustantivo: ellos

pertenecen a la categoría N C/ N C. La oración (150) ilustra cómo se le aplicaun adjetivo a un N C que ya consiste en un adjetivo y un sustantivo. La reglade aplicación funcional de un N C/ N C a un N C y la regla de traducción correspondiente son las siguientes:



S17: Si 7 G P n c / n c y ( 6 P n c , entonces F 13(C,7) G P n c

y *13(7,0 = C7 T17: Si 7 G P n c / n c Y C € P n c y 7 ^ V y C •-»C'>entonces

* 13(7 , 0 « v m

O b s é r v e s e que la operación sintáctica F 13 concatena los dos argumentos en el

orden i n v e r s o . De manera semántica, los adjetivos son funciones de propiedadesde p r i m e r orden en conjuntos de individuos: f ( N C / N C ) = ( ( s , (e , t ) ) , (e, t )) . Laoración (150) se traduce por medio de T17 como (171):

(171) IMAGINARIO(AROSADO(AELEFANTE))(e)

Como de costumbre, los adjetivos, al ser functores, operan sobre la intensiónde sus argumentos. La razón de esto es que hay adjetivos intensionales. I m a-

ginar ia , por ejemplo, es uno de estos casos; nótese que (150) no implica (172):

(172) Elisa es un elefante rosado

Cuáles individuos son elefantes rosados imaginarios no depende de cuáles individuos son elefantes rosados. Así que la extensión de el efa n te r osad o no jueganingún papel para establecer la extensión de el efa n tes r osad os im agin ar ios.

Más bien, es la propiedad de ser un elefante rosado, es decir, la función queasigna en cada mundo posible el conjunto de elefantes rosados en dicho mundo,la que determina cuál es el conjunto de elefantes rosados imaginarios en unmundo dado w . Para simplificar, podemos ponerlo así: algo es un elefanterosado imaginario en w si es un elefante rosado en un mundo w ' que seaepistémicamente accesible desde w . Por lo tanto, un adjetivo tal como imag i-

na r i o es intensional; requiere la intensión completa de su argumento y no sólo

su extensión. Otros ejemplos de adjetivos intensionales son posi bl e, ex, fu tu r o, presunto y supuesto.

También hay adjetivos extensionales, por supuesto; (173) se sigue de (172):

(173) Elisa es un elefante

La extensión de el efa n te r osado depende de la extensión de elefante. Podemosexpresar este aspecto del significado de los adjetivos intensionales en un postulado de significado:

PS6 VXVxD(7(X )(x) —>v X ( x ) ) , donde 7 es ROSADO,

VERDE, LARGO, CUADRADO



Se pueden hacer más distinciones dentro de la clase de adjetivos extensionaleg ]Por ejemplo, rosado y cuadrado tienen la siguiente propiedad: siempre que alg0sea un A rosado (cuadrado), no solamente es un A , sino también es rosado(cuadrado). Tales adjetivos se llaman a veces ‘intersectivos’, dado que el conjunto denotado por la combinación de uno de estos adjetivos y un N C puedeconsiderarse como la intersección entre el conjunto denotado por el adjetivo y

el conjunto denotado por el NC. Los así llamados adjetivos relativos son exten-sionales, pero carecen de la propiedad de intersectividad. A partir de Jumbo

es un el efan te pequeño concluimos que J umbo es un elefante, pero no que seapequeño. Estas propiedades semánticas de las diferentes clases de adjetivospueden explicarse también por medio de postulados de significado.

Otra manera de formar N C complejos que se presenta en el modelo ptq

es la de combinar sustantivos con cláusulas relativas restrictiva. El N C com

plejo en la oración (151), M ar ía am a a un hombr e que cam i n a , consiste en unN C lexical simple, hombre , y una cláusula relativa restrictiva, que camina. Este N C expresa una propiedad compleja: ser un hombre y ser algo quecamina. El modelo PTQ forma tales N C complejos al combinar un N C y unaoración con una variable sintáctica. En el caso en cuestión estos son hombre y élo cam i na , respectivamente. La segunda oración expresa una propiedad,dado que se traduce en una fórmula que contiene una ocurrencia libre de unavariable lógica, a saber, CAMINAR(xo). El resultado de abstraer sobre x q es elpredicado AxoCAMINAR(xo). Unir hombre con élo cam i na de manera semántica consiste en la conjunción de los predicados HOMBRE y AxoCAMINAR(xo):

A x(hom br e(x) A AxoC AM IN Ar(xo)(x)), la cual se reduce a A x(hom bre(x) A

CAMINAr(x)). Una manera más corta de obtener esta traducción es escribirdirectamente Axo(hombr e(xo) AC AM IN Ar(xo)). La formación de cláusulas relativas es un proceso sintáctico más bien complicado, por lo que no entraremosen los detalles de la formulación de la operación sintáctica que ella involucra. La

regla sintáctica y la regla de traducción tienen la siguiente forma general:

S18, n : Si C € P /vc y ) € P n c

T18, n: Si £ G P n c y G P o y C l—* C y <t> l— 4>' i entonces14(C><t>) *-* Ax„(C'(xn) A </>')

Estas reglas, así como las reglas de cuantificación, son esquemas de reglas;para cada n existe, en efecto, una regla. Para ilustrar este caso, daremos lospasos relevantes en la traducción de (151):



/i 74) 1- F u (h om b r e, élo cam i n a ) >> T18, OAx o (h o m b r e (x o ) A c a m i n a r (x o ))

2. F 4 (h om br e que cam i n a ) t—> T5A X 3 x ( A x 0(hombre(x0) A c a m i n a r ( x 0))(x) A v X ( x ) )

3 . = A X 3x(h om br e(x) A caminar (x ) A v X (x)) A-conv.

La traducción final de (151) es (175):

(175) 3x ( H O M B R E (x ) A C A M I N A R (x ) A A M A R »(m , x ) )

Los adverbios predicativos, tales como l en tamen te en (152), son expresionesque producen un V I cuando se aplican sobre un VI . Parece obvio considerarloscomo pertenecientes a la categoría VI / VI , pero ya hemos reservado esta categoría para expresiones tales como i n t en ta r y desear. Los adverbios predicativosno pueden ser considerados como pertenecientes a la misma categoría, dadoque su comportamiento sintáctico es diferente. Por otro lado, queremos queoperen sobre Vis. El modelo P T Q resuelve este dilema introduciendo una nuevaclase de categoría funcional A //B , además de A /B (y si es necesario, inclusoA ///B , y así en adelante). Sin embargo, estas categorías distintas son vinculadas al mismo tipo semántico: f ( A / / B ) = f ( A / B ) = ((s, f ( B ) ) , f ( A ) ) . Así pues, distinguimos l en tamente de manera sintáctica de i n ten ta r al cate

gorizarla como un VI / / VI . Pero no hay diferencia en la semántica: ambosverbos de categoría V I j V I y VI / / V I son considerados semánticamente comofunciones de propiedades de individuos en conjuntos de individuos.

La regla de aplicación funcional y la regla de traducción que introducenlos adverbios predicativos son:

S19: Si 7 G Pv i / / v i Y ¿ £ P v i , entonces ¿<15(7, 6 ) G P v i y

15 (7> = ¿7

T19: Si 7 G Pv i / / v i y ^£ P v i y 7 7 ' y 5 ó', entonces

15(7 ,S) |- >7'(a<5')

La operación sintáctica F 15 concatena los dos argumentos en el orden inverso.Por su parte, la traducción de (152) es (176):

(176) L E N T A M E N T E (AC A M I N A R )(j)

Los adverbios predicativos se traducen en expresiones del mismo tipo que lasde los adjetivos prenominales. L a razón es que f ( V I ) = f ( N C ) , f ( V 1 / / V I ) =



f (N C / N C ) . La extensionalidad de algunas expresiones de este tipo se est lblece por medio del PS6. El PS6 es válido no sólo para las traducciones delalgunos adjetivos prenominales, sino también para varios adverbios predica Itivos. Los últimos incluyen l en tamen te , pero no f r ecuen tem en t e, dado que ]_ ■oración (152) implica (178), pero (177) no implica (178):

(177) J uan camina frecuentemente

(178) J uan camina

Además de los adverbios predicativos, en el fragmento hemos incluido adverbios que modifican oraciones. La expresión N ecesar i am en te en (153), Necesa-

r i am en te todo hombr e es un hombr e, produce otra oración cuando se aplica auna oración. La regla de aplicación funcional y la regla de traducción son lassiguientes:

S20: Si 7 G Po/ o y (t> e P o, entonces F i ei 'íA ) G P 0 y

*16(7, 0) = 70 T20: Si 7 G P o/ o y 0 € P o y 7 7; y <t> l—><f>r, entonces

*16( l A ) 7'( V )

La regla de traducción dice que un modificador de oraciones opera semánticamente sobre la proposición expresada por la oración que es su argumento.Es una función, no de valores de verdad en valores de verdad, sino de proposiciones en valores de verdad. Ciertamente, casi todos los modificadores deoraciones son intensionales. El valor de verdad de n ecesar i am en te <¡) en unmundo w depende no sólo del valor de verdad de (/> en w ; el valor de verdadde (f> en otros mundos también juega un papel importante. L a expresión A(p' se

refiere a la intensión de 4>', es decir, la función que asigna a cada mundo posible el valor de verdad de 4>' en dicho mundo. Así pues, semánticamente eladverbio modificador de oraciones necesar iamente es una función de mundosposibles en valores de verdad. N ecesar i am en te se traduce como la constanteN E C E S A R I A M E N T E , de tipo f ( 0 / 0 ) = { ( s , t ) , t ) y añadimos el siguiente postulado de significado (la variable p es de tipo (s , t )):

P S 7 VpD(N E CE SAR I AM E N TE (p) <->D vp)

Un método alternativo sería especificar la relación entre necesar iamente y 0 en la regla de traducción. Esta traducción, que es la que encontramos en elmodelo P T Q , es la siguiente:



T l (d): n ecesa r i a m en t e t-» \ pC¡vp

La traducción de (153) en la manera directa de construcción es (179):

^7 9 ) □Vx(hombre(x) —►hombre(x))

por supuesto que la construcción indirecta de (153) produciría un resultadodistinto.

Hemos afirmado que casi todos los modificadores de oraciones son intensio-nales. De manera semántica, un modificador extensional de oraciones es unafunción de valores de verdad en valores de verdad. Hay exactamente cuatro detales funciones (ver §4.3.4.); una de ellas es la negación. La negación de oraciones vista como modificador de oraciones es un adverbio extensional, el cual

puede ser definido en términos de por medio de un postulado de significado.El modelo PTQ también contiene reglas para los tiempos verbales, para

preposiciones, y para la cuantificación de términos en expresiones distintas aoraciones. Los tiempos verbales se tratan por medio de reglas que son similaresa la regla S14 para la negación. Esta regla es problemática en varios aspectos ylas objeciones que pueden elevarse en su contra son válidas también para lasreglas de tiempos verbales en el modelo PTQ. No trataremos este asunto aquí.

Las preposiciones se tratan como expresiones de tipo (V I / / V I J / T . Ellasse combinan con un término para formar un adverbio predicativo (complejo).Entre las preposiciones también hay unas que son intensionales y otras queson extensionales. Compare (180) y (181):

(180) J uan pasea por un jardín

(181) J uan habla acerca de un tesoro

Las reglas que introducen y que traducen preposiciones siguen el patrón familiar de las reglas de aplicación funcional. La naturaleza extensional de ciertaspreposiciones se explica por medio de un postulado de significado. Estas sedejan como ejercicio para el lector.

Además de la regla de cuantificación S8, n, descrita en §6.3.8., la cual nospermitió cuantificar términos en oraciones, el modelo PTQ también introduce

reglas para la cuantificación de términos en V I y NC. No es clara la razón paratener la segunda regla, la cual permite la cuantificación en NC. No hay ejemplosconocidos para los cuales esta regla sea esencial. La regla de cuantificación V I ,Por otro lado, es un aditamento esencial. Por ejemplo, consideremos la oración(182). Su lectura de d i cto sólo puede explicarse por medio de dicha regla:



182) J uan intenta encontrar un tesoro y besarlo

La cuantificación del término un tesor o en la oración J uan i n ten ta encontr ar ijy besarloo produce la lectura de re de (182), mientras que la construccúf directa no explica la coreferencia entre l o y un un icor n i o. Por lo tanto, nesitamos una tercera forma de construcción. Esta es provista por la regla S2jn y la regla de traducción correspondiente:

S21, n: Si a £ P x y 6 £ P y i , entonces F 7 ín(a ,S) e P v i

T21, n: Si a £ P x y ó £ P y i y ol cu ! y <5 >5' , entoncesF 7 tTl( a , 6 ) (->■\ y a ' (A\ x n ( 6 ' ( y ) ) )

Estas reglas también son esquemas de reglas. L a operación sintáctica F l n es la

misma qUe se usó en la regla de cuantificación S8, n. La derivación de (182) serepresenta en la figura (183) y los pasos relevantes en su traducción en (184);

(183) J uan intenta encontrar un tesoro y besarlo, O, S2

J uan, T intentar encontrar un tesoro y besarlo, VI, S16

intentar, V I /VI encontrar un tesoro y besarlo, VI, S21, 0

un tesoro, T , S5 loo encontrar y loo besar, VI, S21, 0

tesoro, NC loo encontrar, VI, S7 loo besar, VI, S7

/ \ / \encontrar, VT élo, T besar, VT élo, T

(184) 1. F j o( u n t e so r o , l oo en c on t r a r y I oq besar) >—>A?/AX3x(tesoro(x) Av X ( x ))

(a Ax o (A z (e n c o n t r a r „( z , x 0) A BESAH»(z,x0))( y )) )

~ AyAX3x(TES0R0(x) Av X ( x ) )

(aAx0(en con tr ar »(í /, x0) A BESAR* (y , x0)))= A?/3x (t ESORO(x ) A ENCONTRAR»( y , x ) A BESAR»( y , x ) )

T21, 0

A-conv.A-conv.,VA-elimin.,

A-conv.T16( i n t en t a r , en con t r a r un tesor o y besa r l o ) *—►in ten ta r

(AAj/3x(TESORO(x) A ENCONTRAR»(y , x ) A BESAR* ( y , x ) ) ) F\ ( J uan , i n t en t a r en con t r a r un t esor o y besa r l o) i—>i n tenta r T2, CN1 (j,A A ?/3x(tesor o(x) A en con t r a r »( y , x ) A BE SA R»(y,x)))



derivación resulta en la lectura de dicto de (182), con la correferencia

r f # a a d a entre un t esor o y lo.

Ejercicio* 6.8.

1 Elabore un árbol de análisis y una traducción reducida para cada lecturade la oración J uan af i r ma que El isa i n tent a en con tr ar un t esor o

(b) Formule una regla sintáctica y una regla de traducción para preposiciones

(c) Elabore dos árboles de análisis con dos traducciones que no sean equivalentes para J uan cam i na p or un jar dín

(d) Formule un postulado de significado para preposiciones extensionalescomo por, en las cuales, a pesar de (c), la oración Juan cami na por un

ja r dín no sea ambigua

6.4. Conceptos individuales

6.4.1. Argumentos para la introducción de conceptos individuales

Un aspecto del modelo PTQ que no ha sido discutido hasta ahora es el uso queMontague hace de los conceptos individuales. En el fragmento tratado en §6.3.,los sustantivos y los verbos intransitivos se analizan como propiedades de entidades. En el modelo PTQ, sin embargo, los N C y los V I se analizan comopropiedades de conceptos individuales. Ellos no expresan propiedades de entidades, sino propiedades de funciones de contextos en entidades. El argumentode Montague para esta aproximación es que ella proporciona una explicaciónpara la invalidez de inferencias como las siguientes:

(185) El porcentaje de holandeses en contra de la energía nuclear es 38

(186) El porcentaje de holandeses en contra de la energía nuclear aumenta

(187) 38 aumenta

(188) La población de Ámsterdam es igual a la población de Rotterdam

(189) La población de Ámsterdam disminuye

(190) La población de Rotterdam disminuye



Estos ejemplos requieren que los contextos se interpreten como momentos en J Btiempo, o como mundos en momentos en el tiempo.

La invalidez de las oraciones (185) a (187) es innegable: en cualquier n Jmentó en el tiempo 38 es igual a 38; 38 no puede ni disminuir ni aumentar«El valor de un concepto individual puede aumentar o disminuir. La oración 1

(185) establece que 38 es en este momento el valor de la función que para |cualquier momento en el tiempo devuelve un número que representa el p0Ncent aje de holandeses en contra de la energía nuclear en ese momento.oración (186) establece que este concepto individual aumenta, lo cual es unaafirmación acerca de la relación entre sus valores en cierto periodo. Aumentar d i sm i nu i r y cambiar son propiedades características de funciones de momen

tos en el tiempo en números. Las oraciones (185) y (186) hacen afirmaciones

distintas acerca de los conceptos del individuo el p or cen t a j e de hol an deses en con t r a de la ener gía nuclear , el primero hace una afirmación acerca del valor del concepto en este momento y el segundo le adscribe una propiedad alconcepto.

El argumento (188) a (190) tampoco es válido. A partir del hecho de que eneste momento los dos conceptos de individuo la pobl ación de Am ster d am y la población de Rott er d am tienen el mismo valor no se sigue que si el concep

to la población de Am ster d am disminuye, también lo hace la pobl ación de Rotterdam. Otros nombres que se refieren a conceptos individuales son precio, tem per atu r a, ti em po de vi aj e, etc. Es de recalcar que aunque las propiedades delos conceptos de individuo tales como aumentar, disminuir y cambiar puedendefinirse en términos de los valores de los conceptos de individuo en varios momentos en el tiempo, ellos no son, en consecuencia, propiedades de esos valores.Aumentar, por ejemplo, no es una propiedad del valor de un concepto individual en un momento dado en el tiempo, sino una propiedad del concepto ensí mismo.

No todo el mundo está de acuerdo en que la introducción de conceptosde individuo es la manera más apropiada para explicar la invalidez de estasinferencias y otras similares. Una objeción que se escucha a menudo es quelos números no deben considerarse como entidades básicas y, por lo tanto,que temperatura, número y porcenta je no son funciones de momentos en eltiempo en entidades, es decir, ellos no son conceptos individuales.

Sin embargo, la aproximación aquí desarrollada tiene ciertas ventajas apre-ciables. Primero, ella explica la invalidez de estas inferencias. Segundo, si losnúmeros se analizan no como entidades básicas sino como entidades de ordensuperior, un tratamiento uniforme de los sustantivos y los verbos ya no es feha



ciente. Tercero, hay otras ora<:¡ones y expresiones para las cuales parece que unanálisis en términos de conc(,ptog (je individuo es particularmente apropiado.Consideremos lo siguiente:

M 91) El tesorero de la organización fje caridad es la presidenta delComité de Entretenimiento

(192) El tesorero de la organización de caridad renunció

(193) La presidenta del Coinjté de Entretenimiento renunció

Esta inferencia tampoco es válida. La invalidez se explica por la suposiciónde que (192) y (193) afirm^ algo acerca de conceptos individuales. La oración (192) establece que el individuo que es ahora el valor del concepto de

individuo ‘tesorero ya no scr¿ más su valor; en (193) lo mismo se afirmadel concepto ‘presidenta’. I<ero a partir del hecho de que ambos conceptos deindividuo tengan el mismo valor en este momento, lo cual es expresado en laprimera premisa, (191), y ej hecho de que este individuo ya no sea más el tesorero, lo cual es lo que estêce (192). no se sigue que este individuo ya nosea más la presidenta, 00%, lG diría (193). Otro ejemplo con un sustantivo‘funcional’ es (194):

(194) El presidente es un republicano, pero el año entranteserá un demócrata

Esta oración tiene dos lectilras La más improbable afirma que el mismo indivi-uo que es ahora el presidente permanecerá en el cargo el próximo año pero que

cambiará su color político para entonces. La lectura en la cual se afirma del

concepto de individuo el p r esi d en te que su valor es ahora algún miembroe Partido Republicano pero qUe el próximo año será un individuo distinto, un

miembro del Partido Derti¿cra a! eg ciertamente más probable.

^No toda oración que contenga tal sustantivo funcional es una afirmación acerca de un concept0 de individuo. Por ejemplo, en (195) se habla de laacción de un individuo y, por lo tantQj (196) se sigue de (191) y (195):

(195) El tesorero e la organización de caridad está huyendo

(196) La presidenta del Comité de Entretenimiento está huyendo

Las oraciones (185), (18¡J ) y (191) —qUe se vieron atrás— también son afirmaciones acerca de individuos.



Realizar un análisis utilizando los conceptos de individuo parece permita 1nos explicar estos y otros fenómenos similares. La manera en que el model0 flP TQ da cuenta del hecho de que algunos N C y V I expresan propiedades de Iconceptos de individuo, mientras que otros expresan propiedades de entidadeses interesante pero difícil de apreciar. Es por esta razón que no presentamos el 1modelo en su forma final en las secciones anteriores. E n §6.4.2. resumiremos los 1

cambios que deben ser hechos al modelo para permitir la introducción de con-ceptos individuales e indicar cómo el resultado del modelo explica la invalidez Ide inferencias, como las que se discutieron en esta sección.

6.4.2. Consecuencias de la introducción de conceptos individuales

Los conceptos individuales son objetos de tipo ( s, e) . N C y V I se refieren aconjuntos de conceptos individuales y deben ser traducidos en expresiones lógicas de tipo ( ( s , e ) , t ) . Esto hace posible tratar N C y V I no como categoríasbásicas, sino como categorías functoriales de tipo A /B y A // B, donde f ( A ) = t yf ( B ) = e, loque produce f ( A / B ) = f ( A / / B ) = ((a, f ( B ) ) , f ( A ) ) = ((a,e),t).

Esto significa que A es O; para B escogemos crear E , una nueva categoríabásica, y establecer que f ( E ) = e. Esto da lugar a las siguientes definiciones:

Definición 6.3.

C A T , el conjunto de categorías, es el conjunto más pequeño tal que:

(i) O, £ G C A T

(ii) Si A, B G C A T , entonces A / B , A / / B G C A T

Definición 6.4.


(i) f ( 0 ) = t , f ( E ) = e

(n) f (A / B ) = f ( A / / B ) = ((s , f ( B ) ) , f ( A ))

Dadas estas nuevas definiciones categoriales de N C y VI , la definición de las

categorías definidas en términos de ellas (en nuestro fragmento estas son todaslas categorías derivadas excepto O / O ) se deben ajustar a este cambio. También, a ellas se les asigna otro tipo, como resultado del nuevo tipo asignado aV I y a NC . En el cuadro 6.2. presentaremos las nuevas definiciones y los tipos



T ^ f f r ía D ef i n i c i ón T i p o N u evos el emen t os léxi cos

Número,tesorero,presidenta,temperatura,porcentaje,población

Aumentar,

disminuir,cambiar,

renunciar

38

Cuadro 6.2. Categorías y expresiones

correspondientes para las categorías más importantes. También introducimos

varios nuevos elementos léxicos.Nótese que no hay elementos léxicos ni expresiones derivadas de categoría

E . Una expresión de categoría E se referiría directamente a una entidad:f ( E ) = e. El único tipo de expresiones que se podrían considerar como perteneciente a esta categoría son los nombres propios, pero, según argumentamosen §6.3.4., hay buenas razones para tratarlos a la par con los términos cuan-tificados.

Nótese también que no es estrictamente necesario introducir la nueva categoría E\ en lugar de ello, podríamos haber retenido V I y N C como categoríasbásicas y haber cambiado sólo la definición de la /. Aparte de la definiciónde nuevas categorías y de la introducción de elementos léxicos adicionales,la sintaxis permanece como estaba. L os cambios en el proceso de traducciónson menores; las principales diferencias conciernen al tipo de constantes y devariables utilizadas en las reglas de traducción. En el cuadro 6.3., que se en

cuentra en la siguiente página, presentamos la descripción de tres tipos queserán usados regularmente en las secciones siguientes.

La traducción de aquellas expresiones básicas que no se traducen por separado se altera únicamente en que el tipo de las constantes que se relacionan

O t E e

N C O / E ( { s ,e ) ,t )

V I 0 / / E { { s ,e ) , t )

T O ¡V I - «s, «s, e), t», í)0 / { 0 / / E )

V I / T = V T V I / ( 0 / V I ) = <(s,((s,«s,e),í »,t)},((s,e},í))

( 0 / / E ) / ( 0 / ( 0 / / E ) )



T i p o Va r i ab l e D escr i pc i ón de la ex tens i ón

((s,e),t) U, V(s,({s,e),t)) U,V («,«*, «a, e>,t»,t)> U , V

Conjunto de conceptos individuales Propiedad de conceptos individuale Propiedad de segundo orden de conc individuales 1,|'

Cuadro 6.3. Variables e interpretación

con ellas por medio de g se modifica. Por ejemplo, HOMBRE y NÚMERO son*ahora constantes de tipo f ( N C ) = ( 0 / E ) = ( ( s , e) , t ) . Las traducciones de loglV I básicos, por ejemplo PASEAR y a u m e n t a r , son también constantes de esteltipo. L a regla de traducción T I permanece igual:

T l (a): Si a está en el dominio de g, entonces a i—>g (a )

Los términos se traducen ahora en expresiones lógicas de tipo f ( T ) = (/S)( { s , e ) , t ) ) , t ) . Estas se refieren a conjuntos de propiedades de conceptos individuales. Además de las propiedades usuales de los nombres propios, tambiéntenemos como elementos léxicos los nombres de los números, por ejemplo 38. En la traducción de este nombre propio utilizamos a 38 como una constantede tipo e. La traducción de los nombres propios y de las variables sintácticas sedefine así:

T l (b): J u a n AC/vC/(Aj )M aría XU vU {Am )

E l i s a •—►AU vU {Ae)

38 ^ XU VU (A38) éln ^ AC/ví /( fe)

La traducción de Juan , XUvU (Aj ) , se refiere en un mundo w al conjunto de

propiedades de conceptos individuales que son las propiedades en w del concepto individual que es la referencia de Aj en w . La referencia de Aj en w esla función de mundos en individuos que asigna a cada mundo w ' el individuoque es la referencia de j en w ' . Como se observó en §5.4., la referencia de Aa esla misma en todo w , así que Aj se refiere siempre a la misma función. Tambiénretenemos el PS1; por lo tanto, j es un designador rígido y Aj se refiere auna f u n ci ón con stan te , una función que asigna los mismos valores a todos sus

argumentos. Así pues, en cada mundo, Aj se refiere a la misma función constante, a saber, la función que en todos los mundos devuelve el único referentede j . Por supuesto, hay una relación uno a uno entre un individuo y la funciónconstante de mundos posibles a dicho individuo. Similarmente, si a es un designador rígido, entonces a y Aa se relacionan de manera única también: ellos



tifican al mismo individuo. Extenderemos el PS1 a las constantes como* e°ias cuales figuran en la traducción de los nombres de los números; estas

tantes también se consideran designadores rígidos.0001La traducción de un término cuantificado también resulta en una expresión

' a que tiene como extensión un conjunto de propiedades de conceptos• dividuales- Las reglas de traducción T3 a T6 se formulan de la siguiente

manera:

T3: Si C £ Pn c y C |- >C'>entonces F2(0 i-> ^

T4: Si C G P n c y C |- >C'. entoncesF 3(C) -» X U 3 ^ y ( C ( y ) ~ K = y) A v U ( k) )

T5: Si C £ P n c y ( >-* (', entonces F4(C) •-* AC/3*(C'(t) Av U ( ¿) )

T 6: Si C 6 P n c y ( M entonces

Fb(c) - xu s& yitfto ) aV u ( s )) ~

Por ejemplo, el término la temper atu r a se traduce por medio de T4 en (197):

(197) A í 73 ^.(V i / (tem p er at u r a( i / ) <-► * = i/) A v U { pc >)

La referencia de (197) en un mundo w es el conjunto de las propiedades deconceptos individuales que sean propiedades de un único concepto individualque tiene la propiedad TEMPERATURA en uj .

La traducción del verbo transitivo ser se modifica de la siguiente manera:

T l (c): ser i->AUA vU (aAi/(v^ =v y ))

Como antes, la traducción da cuenta de la naturaleza extensional de ser. Ellaexpresa la relación entre conceptos individuales y propiedades de segundoorden de conceptos individuales que se define en términos de la identidad

individual: v^c=vi/ es verdadera en w con respecto a una asignación g sii9 {K . ) (w )=g ( y ) (w ), es decir, sii el valor de g(¿) en w es idéntico al valor deg(y) en w. La expresión AAy(vx . =v y) se refiere a la propiedad de conceptosindividuales de tener el mismo valor que g(?c). Así pues, la interpretación deser es aquella relación que existe en un mundo w entre un concepto individualy una propiedad de segundo orden sii la propiedad de tener el mismo valor quedicho concepto individual es una propiedad que pertenece al conjunto de propiedades de los conceptos individuales, que son el valor en

w de la propiedad

de segundo orden en w.

La traducción de necesariamente, la última expresión básica que se traduceseparadamente, se queda como estaba, dado que la definición categorial deO /O no ha cambiado en esta nueva aproximación.



No se necesitan cambios en las reglas de traducción que corresponden 1reglas sintácticas de aplicación funcional. Sin embargo, en las reglas de V iducción de las reglas de cuantificación y de la regla de las cláusulas relat'necesitamos hacer una pequeña modificación. En las reglas viejas cuantificáb ;mos sobre variables de tipo e, pero ahora cuantificamos sobre variables de ti *"(s, e). Por ejemplo, la nueva regla de cuantificación T8, n se formula de la lguiente manera:

T8, n: Si a E PT y (j> G P o y ce a ' y <f> i-» <ff, entoncesF 7 ¡n(a, 4>) c/ (AX? <j/ )

Ajustes similares han de hacerse para las reglas de conjunción y disyunción.

6.4.3. Algunos ejemplos

Para ilustrar, daremos las traducciones de dos ejemplos discutidos en §6.4.1.Consideremos primero las traducciones (185) a (187). Por conveniencia, representaremos el N C complejo el por cen t aj e de holand eses en con tr a de la energía

nuclear como PORCENTAJ E. Así, las traducciones de (185) a (187) son:

(198) 3*(Vz/(porcentaje(i/) <-* ^ = y) a v * = 38)

(199) 3*(V i/(po r c e nt a j e (z/) <->* = y) a a u m e n t a r (x ))

(200) a u me n t a r (a38)

Los pasos relevantes en la traducción de (198) son:

(201) 1 . Fe (ser , 38) AUA vU (aAí/(ví =v í/))(AAt/v(7(A38))) T7

2. = \ x _( \ U v U (A38)(AAi/(v;t =v y ) ) ) A-conv.,VA -elimin.3. = A*(Aj,(vt =v y ) C 38») A-conv.,

VA -elimin.4. = X k . C k =va38) A-conv.,5.

o o

C OI I * > •

 T2

Aí/3;t(Vy(PORCENTAJ E(i/)<->;t = y) Av U ( ¿) ) ( A K. = 38))7. = (198) A-conv.,

-elimin.

El V I ser 38 expresa la propiedad de que los conceptos de individuos tienenel valor 38. La oración (185) afirma que hay un único concepto que es igualal porcentaje de holandeses en contra de la energía nuclear y que tiene esta



"edad, es decir, que el valor de dicho concepto es 38. Es evidente que (200)Pr°^ gigue de (198) y (199). L a propiedad de aumentar puede ser verdadera0 0 un concepto en cierto momento; el valor de este concepto puede ser 38 en

momento, pero esto no implica que el concepto A38 tenga la propiedad deD n r ni / 'n n f r o r i A ol n n n / - » / - » oí m í o ' '

de un _________ ______________________ , _______ ^ A;

R entar. Por el contrario, el concepto al que A38 se refiere es una funciónngtante y, ciertamente, la especificación de la propiedad a la que AUMENTAR

jjgce referencia requiere que los conceptos de la cual ella es verdadera tenganvalores distintos en momentos distintos. La afirmación (200) nunca será verdadera Pero incluso sin dicha especificación de lo que significa que un conceptoaumente, un contraejemplo puede construirse fácilmente.

El segundo ejemplo que discutiremos es el brindado por las oraciones (191)a (193). Los N C tesorer o de la or gan i zaci ón de car id ad y pr esi d en ta del Co-

m itéde E n tr et en i m i en to serán representados por las constantes TESORERO y

P R E S I D E N T A . Así, las oraciones (191) a (193) se traducen mediante las siguientes foi muías:

(202) 3*(Vz/(TESORERO(i / ) <->* = y)

A 3.z(Vy (PRESIDENTA (l/) <->z = y) A V %=V z))

(203) 3*(V l / (TESORERO( l / ) <->* = y) A R E N U N C I A R ^))

(204) 3^(V i/ ( p r e s i d e n t a ( i/) <-*■£ = <y) A RE NU NC IAR ))

Los pasos relevantes de la traducción de (202) son:

1. F e(ser ,el t esor er o ) AUA vU (AAi/(va: =v y ) )

( A A(/3.z(Vy(TESORERO (</) <->z = y ) Av U ( z ) ) )

T7

2. —AA í73z(V i/(tesorero(i/)<->z = y ) Av U ( z ) ) A-conv.,

(AAy ( V K y ) ) VA -elimin.3. = A3¿(Vi/(TESORERO(i/)<->z = y) A-conv.,

AAy(vt = v y ) ( z ) ) VA -elimin.

4. = A;<:3.z(Vi/(TESORERO(i/)<->z = y ) Av x. = V ¿) A-conv.

La fórmula (202) afirma que el único concepto que es el tesorero y el únicoconcepto que es la presidenta tienen el mismo valor: ambas posiciones estánocupadas por la misma persona. Del hecho de que ambos conceptos tengan el

mismo valor en ese momento y del hecho de que un concepto tenga la propiedadde renunciar en ese momento, sin embargo, no se sigue que el otro conceptotambién tenga esa propiedad. También en este caso, un contraejemplo es fácilde construirse; por lo tanto, el argumento no es válido.



Los otros ejemplos discutidos en §6.4.1. se explican He mConcluimos que en lo que concierne a la ex p l i ca d de * 7 “ * «««.

nos. la mtroducción de conceptos de i n d i v l o p ^ d u t l u ^ ^satisfactorios. Pero nnr , i lLe resultados

? pO i S l ip i lGS tO, I lO DodBTTlOS r ip ia r l oo

ahora toda expresión se considera como una afirmación acer“ ' I da* <Jindividuos y ciertamente esto es mucho para ser bn en T íZ or„ ^ ¿

J uan ca n ,,„a y Todo hom br e añora un „a t e son, despi de todoacerca de individuos. Ciertamente, como ya lo hemos observarir maci°3|oraciones que contienen nombres funcionales como tesorero acerca de conceptos de individuos. macionea

son vflT d«d^r oCno h lt ‘ m atado T a Z “ “ 4“ ,?6 <191) * <193) »»implican (196). J unto con los N C ^ * ' ^

a u m en t a r , los cuales expresan propiedades de conceptos de m d i X 'TN C como un i co rn i o — v V I romn u ,idades de individuos. La situación en h uV ™ d o - que expresan propia

que encontrábamos en el análisis de l o T v I T e*C°ntramos refleJa el dilemaV i n t e n í a l e s , - %

dúos y propiedades de segundo orden Par« e relaciones entre indivi-

algunos V T se introdujo un postulado de s i ^ f i ^ ^ J t ' ’"“ ^ ^ *la misma manera. gnmcado. Aquí procederemos de

6.4.4. Postulados de significado

otro para s “ ° de si®n¡fi“ do para VS y

PSS W d f s ^“ ” V •¥ (Vt),! d°"de ¿ S ta * undistinto a

aum ent ar , d ism in u i r , eam b,ar y r enu nc ia r

c o r t a d “ : z z z : : i * ‘T : r p¡: dades de * ¡“una propiedad de individuos tal ni,!''!.,'1,08,] e mplo>PS8 implica que haydadero de un concepto de inHi vi •• mundo posible, c a m i n a r es ver-

duo que es el valor del concento 7 " !r pr°piedad es verdadera del indivi-

E1 modelo p tq introduce un m U° ^ CUal CAMINAR es verdadera,

anteriormente para verbos tranJ tivos“ C°nVenCÍ° na1’ SÍmÍlar a la introducida


e t r i S r T T 68“ " * “ f 0 <<"’ e>’ *>• podemosescribir ó* en lugar de Ax(S(Ax) )





Formulado de esta manera, el postulado de significado e™cualquier concepto de individuo * (constante o n o e l T u T “ qUe P J

, a a rmacion de que x tiene la propiedad S es equivalente™!* ""»»fecon de que cierto concepto constante tiene dicha p Z w l “ “concepto que es la función constaute que para todo m ™ ^ i “ “ H tvalor el valor de x en w Y en i « ndo “ «ene J 51, . A Y’ en eíecto>las afirmaciones acerca rU i C!°m0tos constantes son afirmaciones acerca de individuos como loanteriormente. El modelo pt q da otros postulados de kgnificado p ^ T “ '“41

Pdra |0g^

P S!0 u í w d - ) r t3l (,:=A x ))’ d0nde'5eSlatraducci<i"d e iun N O distinto a num er o, tesor er o, pr esi d en ta , pr eci o temperatura o porcentaje ’

Este postulado de significado afirma que todo concepto de indiviH

bajo un N C como hom bre, m u j er o u n . com ,o es una t o coZ ^ V ^ es claro por que hay un postulados de significado para V I v t nstante- Nopesar de la negativa del modelo p t q , el que haya una NC' Apor el hecho de que el teorema 6 2 no p« t i a diferencia se establece

N C Para los cuales el PS10 está definido. PoTotro fado los de Iosson válidos para los N C: ’ S18uientes teoremas

Teorema 6.3.

3* ( W Av U(K ) ) es equivalente a 3x { 8* ( x ) Av U ( \ ) )

Teorema 6.4.

Vac(í(t) C %)) es equivalente a Vx (ót ( x ) -+v U(Ax) )

Teorema 6.5.

AvCffAx j f ^ ~ ^ A U(¿) ) es equivalente a 3x(Vy(í *(y) x = y)

Teorema 6.6.

K ^ ^ A ^ = y) es equivalente a 3xVy ( (ó* ( y ) Av U (Ay ) ) <_»x = y)

- - - ¿ z z z z x s z “



pjQ no tendr á consecu encias. F in alm en te, darem os algun os ejem plos

pafa '°S aCiones acerca de conceptos de individuo que, gracias a los teoremas

afir® equ ival en tes a afir m acion es acer ca de in divi du os:6.2. a 6

U n elefante pasea >—►3 ^( e l e f a n t e (^ ) A p a s e a r ^ ) )

= 3 (E L E F AN T E (a:) A PASEAR* C x ) ) , por el teorema 6.2.

= 3 x(E L E F A N T E * (x) A P ASEA R * (v V ) ) , por el teorema 6.3.

= 3 x ( e l e fa n t e * ( x ) A PASEAR* ( x ) ) , por VA-e l iminación

(208)

Otra manera de obtener este resultado es esta:

(209) Un elefante pasea h-> 3^(elefante(^) A P ASE AR ))

= 3x(elefan te*(x) A pasear(ax)), por el teorema 6.3.

= 3x (e l e f a n t e *(x ) A p a s e a r *(x )), por la CN3

Un segundo ejemplo es la representación (un poco simplificada) de (195):

(210) El tesorero de la organización de caridad está huyendo

(-+ 3 (V j/(tesor ero(i /) pc = y) A está h u y e n d o ^ ) )

= 3^(Ví/(tesorero(i/) 7c = y) A está huyendo* (v*))

Esta fórmula no se puede reducir más, dado que el PS10 no está definidopara el N C tesor er o: la fórmula (210) dice que el individuo que es el valor delconcepto el t esor er o tiene la propiedad de estar huyendo; la oración (196) recibeuna traducción similar. Se sigue de (202), que es la traducción de (191), y de(210) que la presidenta del Comité de Entretenimiento ha dimitido. La fórmula(202) afirma que el valor del concepto tesorero y del concepto presidenta son elmismo individuo. La fórmula (210) afirma que ese individuo tiene la propiedadde estar huyendo. De esta manera, esta propiedad es verdadera del individuoque es el valor del concepto presidenta.

Una última observación concierne a la reformulación del postulado de significado PS2, la cual da cuenta de la extensionalidad de algunos V T y tambiénconcierne a la CN2. Los contenidos del PS2 no han cambiado: ahora vincularelaciones entre conceptos de individuo y propiedades de segundo orden deconceptos de individuos con relaciones entre individuos. El PS2, la CN2 y el

teorema 6.1. se reformuían de la siguiente manera:

PS2 35V*VUD (¿ k , U ) U (aAz/(v5(v ,v y)

donde 6 es igual que antes




Si 6 es una expresión de tipo {{ s, ( { s , ( ( s , e) , t ) ) , t ) ) , ( { s , e) , t ) ) , entonces ipodemos escribir <5* en lugar de Xy \ x 5(Ax , A \ U vU ( Ay) )

Teorema 6.1.

VacVUD(á(ac, U ) <->v U (Aái/(vá*(v;t,v y ) ) ) ) , donde 6 es igual que antes.

Por medio del teorema 6.1., recién reformulado, podemos reducir (211) a (212) !la cual es, a su vez, reducible a (213) gracias al teorema 6.3.:

(211) BE SAR(Aj ,A Aí73 (UNIC 0R NI0(a:) A V £/(*)))

(212) 3*(U N I C 0R N I 0(;t) A BESAR* ( j ,v *))

(213) 3x (u n i c o r n i o *(x ) A BE SAR*(j, x ) )

De esta manera, la introducción de los conceptos de individuo no afecta los resultados del fragmento sin conceptos de individuo; ellos pasan sin restriccionesy además permiten dar cuenta de los ejemplos dados en §6.4.1. y, por lo tanto,permiten también formular una semántica más adecuada para el español.

Ejercicio* 6.9.¿Cuál de las siguientes oraciones puede reducirse a fórmulas que tengan lanotación *? ¿De qué depende la reducción?

(i) J uan encuentra a María

(ii) J uan encuentra un tesoro

(ii i) J uan busca a María

(iv) J uan busca un tesoro

6.5. Composicionalidad, forma lógica y forma gramatical

En esta sección retomaremos brevemente un tema de §6.1.1.: el estatus me

todológico del principio de composicionalidad y su relación con el contrasteentre forma lógica y forma gramatical.

El término ‘forma lógica’ hoy en día puede significar dos cosas bien diferentes (aunque tal vez relacionadas históricamente). Puede referirse a una



• i ampliamente util izada y explorada en la Gramática Generativa desdn°Cletentas. En la Gramática Generativa, la ‘forma lógica’ representa un nivel

ecífic° de descripción en la gramática, distinto de la estructura superficialde la estructura subyacente. E l término ‘forma lógica’ también puede ser

y ... a(j0 para denotar un concepto que es mucho más antiguo y que tiene un

^ f i l o s ó f i c o .Para comenzar por el segundo significado, se ha hecho una distinción entre

la forma gramatical y la forma lógica de una expresión en lógica y en filosofía envarios momentos de la historia. Especialmente desde el desarrollo de la lógica cuantificacional moderna a finales del siglo X I X , la idea de que la formagramatical ‘observable’ de una oración puede inducir a error con respecto asu forma lógica real fue formulada con vigor y convicción por personajes tannotables como Frege, Russell y Wittgenstein (ver capítulo 1, volumen 1, paramás detalles). Esta ‘tesis de la forma que induce a error’ y la visión concomi

tante del lenguaje natural como irregular, poco sistemático, vago y deficiente,ha dominado el pensamiento filosófico y lógico acerca del lenguaje hasta bienentrada la segunda mitad del siglo X X .

Esta distinción entre forma lógica y forma gramatical es más bien extrañapara la Gramática Lógica. L a siguiente cita de ‘Universal Grammar’ (1970b)de Montague puede servir como ilustración:

En mi opinión no hay ninguna diferencia teórica importante entre los lenguajes

naturales y los lenguajes artificiales de los lógicos; en efecto considero posible entender la sintaxis y la semántica de ambos tipos de lenguaje dentro de una única teoría natural y matemáticamente precisa. En este punto difiero de varios filósofos pero concuerdo, creo, con Chomsky y sus asociados. Es claro,

sin embargo, que no se ha construido aún una teoría semántica adecuada y

comprehensiva y que no existe todavía una teoría sintáctica comprehensiva y

semánticamente significativa.4

En esta cita es evidente que Montague siente que su convicción de que el len

guaje natural puede describirse de manera rigurosamente formal es compartidapor lingüistas de la tradición chomskiana. Sin embargo, —y esto nos conduceal segundo significado de la frase ‘forma lógica’ y al tema de la composiciona-fidad— también está convencido de que el trabajo en la tradición generativano ofrece una teoría semántica y que la teoría sintáctica que ésta presentaprobablemente falla en producir una base adecuada para la semántica.

Con respecto a la primera afirmación, ‘semántica’ significa en el libro de

Montague ‘semántica veritativo-condicional’ y, en efecto, esta clase de semántica nunca le ha interesado a los lingüistas generativos. Para ser precisos, c]

4N. de T.: la traducción es nuestra.



gramática. Es suficiente observar lo siguiente: el nivel de la forma lógj|

se considera como un nivel de descripción que es distinto tanto de la estructu^superficial, como de la estructura subyacente (o ‘profunda’) de una expresión

Ella sirve para explicar varios fenómenos, tales como correferencia y alcance

una expresión sólo está parcialmente determinada por su estructura sintácticasuperficial, y esta relación es de uno a muchos. Este último hecho significaque incluso si el nivel de la forma lógica fuera algo como una representación ouna interpretación modelo-teórica en todo el sentido de la palabra (lo cual noes cierto), todavía no encajaría con el principio más básico de la GramáticaLógica, a saber, la composicionalidad del significado.

E l desacuerdo entre la Gramática L ógica y la Gramática Generativa seilustra claramente por la segunda afirmación atribuida arriba a Montague,a saber, que las teorías sintácticas existentes no son ‘semánticamente significativas’. Para ponerlo crudamente, mientras que el punto de partida paraMontague es la semántica, para Chomsky es la sintaxis. E l primero adopta elprincipio de composicionalidad del significado y el segundo aboga por la autonomía de la sintaxis. Como lo observamos en §§6.2. y 6.11., esos dos principiospueden estar en conflicto entre sí.

Así pues, dos cosas deben observarse. Primero, ni la noción filosófica tradicional ni la noción moderna de forma lógica, la cual se utiliza en la GramáticaGenerativa, parecen jugar un papel en la Gramática Lógica. Segundo, el punto divisorio principal entre la Gramática Generativa y la Gramática Lógicaparece ser el principio de composicionalidad. Esto genera varias preguntas: siqueremos identificar un nivel de representación en la Gramática Lógica comoun nivel de la forma lógica que aproxime el que se utiliza en la Gramática

Generativa, ¿cuál nivel es éste? y ¿cuál es exactamente el estatus del principiode composicionalidad y, por lo tanto, del desacuerdo entre la Gramática Generativa y la Gramática Lógica? ¿Su estatus es fáctico o más bien metodológico?En el resto de esta sección intentaremos contestar estas cuestiones brevemente.

pero no a través de un proceso de interpretación. En efecto, no es siempre claro

si la forma lógica es parte de la semántica o de la sintaxis. L a forma lógica de



w S ab°ra en adelante utilizaremos la frase ‘forma lógica’ para significar latación de una expresión que determina su significado. En el modelo

represen , g niveles de representación distintos. Podemos distinguir entre:■

(i) Expresi°nes

L ) Árboles de análisis

(iii) E x p r e si o n es lógicas

Tjnaexpresión es una cadena generada por la sintaxis, es decir, una sucesión de¿nbolos que la gramática declara como bien formada. Por su parte, el árbol

de análisis codifica la historia derivacional de una expresión. Contiene la información que especifica cuáles expresiones básicas se usaron y cuáles reglas seemplearon para formar expresiones complejas. Finalmente, la expresión lógica

es el resultado del proceso de traducción aplicado al árbol de análisis.Consideremos ahora nuestro ejemplo, ya algo desgastado:


La oración (214), que es una cadena generada por la sintaxis, es decir, al nivel(i), se representa a sí misma. E n el segundo nivel hay dos representaciones: losárboles de análisis correspondientes a las construcciones directas e indirectas.

Las repetimos en la figura (215):

(215) a. J uan busca un tesoro, O, S2

J uan, T buscar un tesoro, VI , S7

buscar, VT un tesoro, T , S5

Ibuscar, VT

b. J uan busca un tesoro, O, S8, 0

un tesoro, T , S5 J uan loo busca, O, S2

tesoro, NC J uan, T loo buscar, VI, S7

buscar. VT élo, T

Finalmente, en el tercer nivel encontramos de nuevo dos representaciones:las dos traducciones (reducidas) de (216) y (217) (ignorando de nuevo losconceptos individuales):



(216) b u s c a r ( j ',a A X 3x (t e s o r o (x ) A v -X(x)))

(217) 3x (t e s o r o (x ) a b u s c a r , ( j , x ) )

Con respecto a los árboles de análisis y las expresiones lógicas, debeque las representaciones a esos niveles no son únicas. Hemos acentuado <*^1.

varias oportunidades para las traducciones: todos los pasos de reducciónplificación que aplicamos ‘preservan el significado’, en el sentido de que sienÜHprocedemos de una expresión a otra que le es equivalente. Así que no

sentido hablar, por ejemplo, de l a expresión lógica que es la representaciójde la lectura de r e de (214). Por razones prácticas obvias, utilizaremos (21tBcomo representación en la mayoría de los casos y en ciertas circunstancias po¿Iejemplo cuando queramos aplicar un mecanismo sintáctico de prueba, incluso I

puede ser necesario que así sea. Pero (217), al ser una representación de uno de *los significados de (214), no tiene un estatus privilegiado: cualquiera de un Jnúmero infinito de expresiones equivalentes serviría.

Lo mismo vale para los árboles de análisis. Esto tal vez sea más claro en elcaso de (215b), donde una elección distinta de variable sintáctica habría resultado en un árbol de análisis distinto, que obviamente determinaría el mismosignificado, dado que habría resultado en una traducción que es equivalente a

(217). Con respecto a la construcción directa ejemplificada en (215a), nóteseque el modelo PTQ también nos permite utilizar el mecanismo de cuantifica-ción de una manera ‘vacía’, es decir, sin efectos semánticos. El árbol de análisisen la figura (218) ilustra esto:

(218) J uan busca un tesoro, O, S8, 3

J uan, T Élo busca un tesoro, O, S2

él3, T buscar un tesoro, VI, S 7

buscar, VT un tesoro, T , S5

Itesoro, NC

Este árbol conduce a una traducción que es equivalente a (216) y, por lo tanto,

también representa el significado de d i cto de (214).Ahora bien, ¿qué pasa con la forma lógica? ¿Cuál de estas representaciones

determina el significado de (214)? Dado que (214) es ambigua, deben asignársele dos formas lógicas distintas, y por lo tanto (214), es decir, la representaciónde nuestro ejemplo de una cadena generada por la sintaxis categorial, no puede



coin0 una de e as‘ ^sto era esperar, pues como vimos en §6.2. la^ptar .cjorialidad implica que el significado se determina dado un análisis.c°P iP°S eva a analizar el nivel de los árboles de análisis y de las traduccio-ggt o * * ambos niveles podrían considerarse como el nivel de la forma»es- ®nc0in0 pueden ayudar a aclararlo las siguientes consideraciones.lóg¡ca' ncemos con las traducciones. Debemos tener en mente que no es

E /ad o hablar de una única expresión lógica como la representación; másaPr°Pdebem0s contar como tal toda una clase de expresiones equivalentes.

observar dos cosas. Primero que todo, dicha clase determina, porfi 'ción, un significado único. Pero en segundo lugar, no queda mucho de

acerca de la noción resultante de forma lógica, dado que la equivalencia[ó ‘ca de dos expresiones no descansa sobre ninguna semejanza interesante

entre sus formas.Con respecto a los árboles de análisis, lo importante que debemos notar es

que éstos determinan una traducción única. Un árbol tiene expresiones básicas en sus hojas, y en cada nodo tiene una única expresión derivada y unaindicación de la regla sintáctica que se utilizó para formarla. Las expresionesbásicas tienen una traducción única, que se da en la regla de traducción T I .Igualmente, cada expresión derivada tiene una única traducción, que está determinada por la regla de traducción que le corresponde a la regla sintáctica.

Dado que las expresiones lógicas no son ambiguas, se sigue que un árbol deanálisis determina un significado único. Observábamos anteriormente que, aligual que con las traducciones, debemos tomar una clase de equivalencia deárboles de análisis y no un sólo árbol como la representación del significado deuna expresión. La relación de equivalencia relevante es la de generar una expresión lógica equivalente como traducción. Aquí también observamos que nohay identidad formal entre los miembros de una misma forma lógica, aunque

es de esperar que las similitudes formales sean mayores que en el caso de lasexpresiones lógicas.

Así pues, concluimos que tenemos dos candidatas para servir de formaslógicas. ¿Hay alguna razón para elegir una en lugar de la otra? En efecto, lacomposicionalidad nos proporciona una respuesta. Se puede observar que es elprincipio de composicionalidad del significado el que determina que nuestragramática debe contener el nivel de representación de los árboles de análisis. La

razón es que la composicionalidad establece que el significado de una expresiónestá determinado por, o más bien es una función del, significado de sus partes.El significado, debemos resaltarlo una vez más, son los objetos semánticos en elmodelo, es decir, los individuos, las propiedades, proposiciones, propiedadesde segundo orden y demás que asociamos con las expresiones. Las expresiones



lógicas sirven para representarlos, pero no debemos confundirlas con ellogpunto es que esta descripción de la composicionalidad se refiere a la nrJ Binformal de las ‘partes’ de una expresión. De alguna manera, el punto pr¡n . / Jpara hacer sintaxis, o más bien una sintaxis semánticamente significativaexplicar esta noción. Un simple ejemplo de una expresión ambigua es snfi^ - »

para mostrar que las partes no se pueden identificar con los elementos léxiHa partir de los cuales se construye una expresión. El ejemplo (214) tiene a Jsignificados distintos, ambos expresados por el mismo conjunto de expresión ibásicas. Y , como lo observamos en §6.2., los componentes de una expresión!tampoco son los objetos semánticos relevantes, dado que una expresión puedeser ambigua sin tener dos estructuras componentes distintas. Pero la composi. 1cionalidad requiere simplemente que haya ‘partes’ distintas siempre que no ha

ya ambigüedad léxica, y si ninguna de las nociones conocidas son suficientes, laspartes deben ‘inventarse’. En el marco del modelo P T Q esto ha conllevado a lanoción de derivaciones codificadas en árboles de análisis y a la introducción dereglas de cuantificación, entre otros. Hay otras opciones disponibles, y se handesarrollado otras técnicas, pero lo importante a observar aquí es que la compo-

si ci onal i d ad dem anda un ni vel de r epr esen t aci ón si n ambigüedad en la sintaxis. Esto crea la necesidad del nivel de los árboles de análisis (o alguna cosa pa

recida) , pero también muestra el carácter opcional del nivel de las expresiones

lógicas. E sto se debe a que si los árboles de análisis determinan el significado,las traducciones no pueden añadirles nada: ellos deben ser superfluos; y enefecto lo son. Dado que un árbol de análisis determina una traducción única yque las expresiones lógicas no son ambiguas, siempre es posible eludir el nivelde traducción e interpretar los árboles de análisis directamente. Simplementepodemos asignarle directamente a las expresiones básicas los objetos semánticos que son las interpretaciones de las traducciones de esas expresiones y, en

lugar de reglas de traducción, podemos utilizar las operaciones semánticasque les corresponden para operar sobre objetos semánticos. Este es el métodoutilizado por Montague en “English as a Formal L anguage” (1970a).

Así pues, concluimos que si debemos ponerle la etiqueta del nivel de formalógica a uno de los tres niveles de representación en el modelo P T Q , la elecciónmás razonable es la de los árboles de análisis. Ellos determinan el significadode manera única y son elementos necesarios de la gramática, de acuerdo con

el principio de composicionalidad.Volvamos ahora a la segunda pregunta, que trata sobre el estatus de la

composicionalidad. ¿Debemos considerarla una hipótesis empírica, o es másbien un principio metodológico? Las consideraciones anteriores sugieren unarespuesta. H emos observado que el principio de composicional idad requiere



F ,a rep resen tación un nivel sin ambigüedad en la sintaxis. Cuando se traíapara gUajes artificiales, simplemente configuramos la sintaxis de tal manerade reqUerimiento se cumpla. Por ejemplo, las expresiones de los lenguajesQue ajenen su historia derivacional codificada en su estructura, a través del

jB P "T paréntesis o de dispositivos similares: a cada expresión le correspondeárbol de análisis único y, por lo tanto, puede interpretarse completamente

Ul'inanera composicional. Para un lenguaje natural las cosas son distintas. Por* * tenemos una noción de estructura sintáctica (de los componentes),

la cual puede asumirse que está motivada independientemente de consideraciones semánticas. Por otro lado, nos enfrentamos a la tarea de explicar lanoción de ‘parte de’, de la cual habla la composicionalidad. Supongamos quenos encontramos con expresiones ambiguas que no son ‘ambiguas estructu-ralmente’, es decir, que no pueden dividirse en componentes de dos maneras

distintas. Ante esta situación podemos proceder de dos maneras: o bien se puede admitir un nivel de representación sintáctica distinto a la estructura de loscomponentes, y de esta manera cumplir con la composicionalidad; o se puedeestipular que los componentes son las ‘partes’ relevantes y que, por lo tanto,el significado del lenguaje natural no puede describirse composicionalmente.

El punto importante que debemos observar es que la primera alternativasiempre está abierta para nosotros, a menos que decidamos por adelantado lo

que puede y lo que no puede hacer parte de nuestra sintaxis. Si comenzamoscon la suposición de que nuestra sintaxis debe representar la estructura de loscomponentes y sólo la estructura de los componentes; entonces podemos, enefecto, decir que la hipótesis de que la semántica de un lenguaje natural comoel español es composicional se puede ‘falsear’ por los hechos. P ero podemosobservar que esta suposición inicial no es un hecho empírico, sino más bien unadecisión metodológica. Así pues, parece razonable concluir que cualquiera que

sea el enfoque que tomemos, la composicionalidad es un asunto metodológico:nosotros decidimos describir la semántica de nuestro lenguaje de manera composicional, o decidimos que no; pero en ambos casos lo que está en discusiónes, más bien, un asunto metodológico que de hechos.

6.6. Observaciones finales

Las secciones anteriores se dedicaron a la introducción en profundidad de laspeculiaridades de un modelo en particular de Gramática Lógica, el modeloPTQ de Montague. Las razones para escoger este modelo en lugar de otro seexpusieron en §6.1. Una vez dominado el modelo PTQ, el lector encontrará que



es una tarea relativamente sencilla conocer otros modelos y enfoques que comparten sus principales suposiciones de fondo. Véase, por ejemplo, Bartsch yVennemann (1972); Bartsch (1976b); Cresswell (1973, 1985); y Lewis (1972)

También debe ser posible para el lector encontrar su camino a través de laenorme cantidad de literatura teórica, u orientada empíricamente, presentadaen los artículos originales de Montague. Es virtualmente imposible dar aquí un

sondeo del trabajo realizado en esta área y debemos limitarnos a señalar unaspocas contribuciones y colecciones individuales importantes.

Comencemos por mencionar algunos otros textos introductorios y exegéti-cos. Dowty et al. (1981) proveen una extensiva introducción al modelo p t q

en inglés; Link (1979) y L óbner (1976) proveen una introducción en alemán.Partee (1975) presenta un artículo extenso que introduce el modelo p t q paralos lingüistas generativos. L a introducción a los trabajos de Montague, com

pilados en M ontague (1974), se concentra más en los aspectos filosóficos ylógicos de sus estudios. H alvorsen y L adusaw (1979) desmenuzan y explican lateoría semiótica general de Montague, formulada en su “Universal Grammar”(1970a).

Un estudio exhaustivo, orientado matemáticamente, del contenido y el papel del principio de composicionalidad, al cual esta introducción le debe mucho,puede encontrarse en J anssen (1986). Este documento también contiene varias contribuciones a temas empíricos (cláusulas relativas, tiempos verbales yaspecto), y una aplicación de varias de las técnicas de Montague a problemasde la semántica de los lenguajes de programación. Un estudio más orientadoempíricamente sobre la composicionalidad se halla en Partee (1984). La composicionalidad fue descrita anteriormente como el punto divisorio entre laGramática Generativa y la Gramática Lógica; pero estas empresas tambiénpueden contribuir una a la otra. Varios autores se han preocupado por estetema; véase Partee (1973, 1979a); Cooper y Parsons (1976); Bach (1979b), yMcCloskey (1979). Una semántica modelo teórica al estilo de Montague también se emplea en otros modelos de gramática, notablemente en la gramáticageneralizada de las estructuras de frase: ver K lein y Sag (1985), y Gazdar et al . (1985). Uno de los principales defectos de la Gramática de Montague desdeel punto de vista de la Gramática Generativa es la introducción en la sintaxisdel nivel de los árboles de análisis. Cooper ha desarrollado un mecanismo decuantificación alternativo al del modelo PTQ que, aunque depende ampliamen

te de la disponibilidad de los árboles de análisis como una herramienta teórica,continúa siendo composicional. Véase Cooper (1984) para un análisis completamente desarrollado de su mecanismo de ‘almacenamiento’. Una aplicaciónde estas ideas se puede encontrar en Partee y Bach (Mathematical Centre).



0 0 enfoque distinto al problema de representar ambigüedades de alcance, queequiere una cierta relajación del requerimiento de composicionalidad, es el¿e H e n d r i k s (1988). El problema de la posibilidad de una ‘gramática monoes-trato’, es decir, una gramática con sólo un nivel de representación, se encuentraen el c e n t r o de varios desarrollos, por ejemplo, el de la gramática generalizadaje estructura de frase (véase arriba). Véase también Hausser (1984). L a aná

fora se ha estudiado intensivamente tanto en la Gramática Generativa como enla Gramática Lógica. El análisis que el modelo PTQ ofrece, aunque es adecuadotambién para una clase de casos más grandes, requiere extensión y refinamiento. Tratamientos tempranos representativos son ofrecidos por Bartsch (1979);Cooper (1979); Partee (1979b), y Hausser (1979). Dos números especiales deL i ngui st i cs and Ph i l osoph y, 6(1): (1983) y 7(3):(1984), contienen varias contribuciones interesantes: la de Landman y Moerdijk merece mención especial en

este contexto. Los problemas concernientes a la anáfora y los términos indefinidos generaron una teoría completamente nueva a comienzos de los años ochenta: la Teoría de Representación de Discursos, la cual discutiremos en ciertodetalle en §7.4. Las referencias a la literatura en esta área las daremos allí.

Mencionemos brevemente algunas contribuciones en otros asuntos empíricos particulares. El trabajo de Dowty sobre el análisis del aspecto de variosverbos y de los tiempos verbales se puede encontrar en Dowty (1979). Véasetambién Bennett (1977) y Verkuyl (1989). K amp (1980) tiene un interés similar a este. L os verbos de control se tratan en Bach (1979a) y en K lein y Sag(1985). L os adjetivos y los adverbios se analizan en Bartsch (1976a); Cress-well (1976, 1979); Kamp (1975), y K lein (1980). Véase también Stalnaker yThomason (1973). La pluralidad también es un asunto que ha sido objetode varios estudios, véase especialmente Scha (1981); Verkuyl (1981); Link(1983), y L andman (1988). Otro tópico es el de la negación, para el que sepueden consultar J acobs (1982) y Verkuyl (1987). Un análisis de los genéricos

se presenta en Carlson (1977, 1982). Las preguntas se estudian en Hamblin(1973); K arttunen (1977); Hausser y Zaefferer (1979); Belnap (1982); Groe-nendijk y Stokhof (1982, 1984, 1988b); Hausser (1983); Engdahl (1985). Lasemántica de las construcciones nominalizadas ha llevado a propuestas interesantes sobre la clase de teoría semántica que mejor se acomoda al lenguajenatural; sobre este tema véase Turner (1983); Chierchia (1982, 1984), y Chier-chia y Turner (1988).

La lista anterior está lejos de ser completa. El lector puede dar un vistazoa muchos otros temas tratados en la tradición de Montague mirando entrecolecciones como Davidson y Harman (1972); K eenan (1975); Partee (1976);Guenthner y Rohrer (1978); Guenthner y Schmidt (1979); Davis y Mithun



(1979); Rohrer (1980); Groenendijk et al. (1981, 1984); Báuerle et al. (I97g\ .Báuerle et al. (1983); Landman y Feltman (1984); Groenendijk et al. (1987a bVK lein y van Benthem (1988), y Groenendijk et al. (1988).

Además de la Teoría de Representación de Discursos, en el capítulo 7troduciremos otros dos desarrollos importantes en la semántica modelo teóricadel lenguaje natural. Ellos son la Teoría de los Cuantificadores Generalizadosy la Gramática Categorial flexible. Las referencias a la literatura relevante sedarán allí.



Capítulo 7

Desarrollos recientes

7.1. Introducción

Este capítulo introducirá tres temas que actualmente están en el centro de in

terés del campo de la semántica lógica. Los tres se desarrollan dentro del marcode la Gramática de Montague, como se describió en el capítulo 6. aunque sedesvían del camino trazado por ella en aspectos fundamentales. E stos trestemas son la Teoría de Cuantificadores Generalizados, la Gramática Categorial

Flexible y la Teoría de Representación de Discursos.

La Teoría de los Cuantificadores Generalizados puede ser vista como undesarrollo del análisis de Montague en el modelo PTQ sobre las expresiones

cuantificadas, utilizando las herramientas de la Teoría de Modelos Abstracta. Sus objetivos son parcialmente descriptivos y su naturaleza, parcialmenteteórica. El trabajo descriptivo involucra una variedad de tópicos, tales comola estructura semántica interna de los términos, la distribución de los ítems depolaridad negativa, la inserción (a l l í) hay y la reducción de la conjunción.La investigación más teórica se centra en las restricciones de los posibles significados de los términos del lenguaje natural, en el poder expresivo de los

lenguajes naturales con respecto a los significados posibles y en los universalessemánticos, entre otros. Las referencias clave son Barwise y Cooper (1981); van



Benthem (1983, 1984b, 1987); Keenan y Moss (1984); Keenan y Stavi (1986)y Keenan (1987).

El marco de la Gramática Categorial se ha desarrollado en los años recien-tes y se ha convertido en una herramienta flexible y adecuada para capturarvarias generalizaciones de la sintaxis y la semántica del lenguaje natural. La,diferencia principal con el modelo PTQ de Montague reside en que la relación

entre expresiones y categorías se hace más flexible; es decir, ya no se asumeque una expresión (no ambigua) pertenece sólo a una categoría y se postulanvarias reglas para permitir cambiar la categoría que el léxico le asigna inicialmente a una expresión, por un conjunto bien definido de otras categorías. Deesta manera, varios fenómenos con los que la gramática categorial en su formaoriginal no podía tratar, por ejemplo, los componentes discontinuos ahorapueden describirse adecuadamente. Más aún, el componente con el que se cam

bia de categoría nos permite simplificar un poco la complejidad de la asignaciónde categorías y tipos del modelo PTQ de Montague. Además, el lazo estrictamente funcional entre las categorías sintácticas y los tipos semánticos se haaflojado un poco. Trabajos importantes en este campo se pueden encontraren Partee y Rooth (1983); Zwarts (1986); van Benthem (1986), y Moortgat(1988).

Por su parte, la Teoría de Representación de Discursos es, de alguna ma

nera, la más antagónica al marco de la Gramática de Montague. Uno de losmotivos para su desarrollo fue encontrar alternativas para varios aspectos centrales de la Gramática de Montague y uno de sus objetivos es trascender larestricción que esta última tiene de trabajar sólo con oraciones extendiendoel análisis a discursos o textos. La Teoría de Representación de Discursos fuedesarrollada por Hans Kamp (1981) e Irene Heim (1982, 1983), pero se hanpropuesto ideas similares en marcos bastante diversos (véase, por ejemplo,

K arttunen (1976); Seuren (1985)). E sta teoría tiene aspectos tanto descriptivos, como teóricos: en el lado descriptivo encontramos tópicos tales como ladistinción entre términos referenciales y no referenciales, particularmenteen conexión con la anáfora (por ejemplo las notorias oraciones burro); másaún, la teoría se ha probado con respecto al tratamiento de tiempos y aspectosverbales (por ejemplo, Partee (1984) y K amp y Rohrer (1983)) y de actitudesproposicionales (Asher (1986) y Zeevat (1987)). La ambición más teórica es

la posible síntesis de dos enfoques con respecto al significado: la concepciónveritativo condicional y modelo teórica y el punto de vista procedimental y re-presentacional. Otro objetivo importante ya ha sido mencionado: la extensióndel dominio de las teorías semánticas de oraciones a textos (‘discursos’).



72. La Teoría de los Cuantificadores Generalizados

721 Objetivos principales

Un aspecto importante de una teoría semántica como la Gramática de Mon-tague es la asociación de cierto tipo de objetos semánticos (valores de verdad,

propiedades, etc.). En general, no se imponen mayores restricciones sobre laasociación que las que se requieran para explicar nuestras intuiciones acercade las relaciones semánticas, tales como la implicación. Cuando sea necesario, las restricciones se formulan por medio de postu l ad os de si gni f i cad o , lascuales, en su mayoría, se aplican a expresiones individuales o a clases restringidas de expresiones. Su función es aislar algunos elementos dentro de latotalidad de objetos semánticos de cierto tipo para considerarlos como los po

sibles significados para una (clase de) expresión (es). Pero, excepto por estaclase de restricciones, la Gramática de Montague se preocupa por una clase completa de objetos semánticos de un tipo.

La Teoría de los Cuantificadores Generalizados trata sobre los objetossemánticos que son la interpretación de los términos: conjuntos de propiedades. Dentro de esta teoría, un punto de interés principal es la estructura dedichos objetos semánticos: ¿qué propiedades formales tienen, cuáles subclases

naturales se pueden distinguir y cuáles de esas se puede considerar que de hechorepresentan significados de los términos del lenguaje natural? L a investigaciónde tales tópicos va más allá de la mera formulación de una relación entre unacategoría sintáctica y un tipo semántico. Presentaremos a continuación algunosejemplos.

Una de las primeras líneas de investigación trata de lograr una clasif icación de los cuantificadores generalizados en términos de sus propiedades formales,

intentando dar una explicación de varios fenómenos lingüísticos. Un ejemplosencillo de esto es la inserción (a l l í) hay. Algunos términos pueden ocurrir enel contexto (1):

(1) Hay ... en el jardín

Otros no, como lo muestra la diferencia entre (2a) y (2b):

(2) a. Hay alguien en el jardín

No hay nadie en el jardín

Hay dos unicornios en el jardín



b. *Hay todo el mundo en el jardín1

*Hay J uan en el jardín

*Hay los dos unicornios en el jardín

La pregunta que surge es la siguiente: ¿hay propiedades del significado d I

términos que permitan distinguir entre los términos que pueden ocurrj^Bel contexto de (1) de aquellos que no? ¿Acaso esas propiedades pueden exnlijH junto con un análisis semántico de la frase (a l lí) h ay ..., por qué esos térn|nos encajan o no? Para ejemplos de respuestas a dichas preguntas véase 9ejemplo, Barwise y Cooper (1981); Zwarts (1981), y de J ong y Verkuyl (19»4\ I

Otro ejemplo de investigación en esta dirección trata sobre la distribuc^M

de las expresiones con ‘polaridad negativa’. Compárense (3) y (4):

(3) Este niño no come en absoluto

*Este niño come en absoluto

(4) Nadie vio nada

* Alguien vio nada

Tradicionalmente, la posibilidad de ocurrencia de expresiones con polaridad

negativa, tales como en absol u to y nad i e , ha sido conectada con la ocurrencia deun elemento negativo en la oración (de aquí su nombre): la negación nadie en(3), versus alguien en (4). La explicación tradicional, sin embargo, es problemática para la interpretación de oraciones tales como (5) y (6):

(5) No salió nadie

(6) *Nadie salió

E l postulado de un elemento negativo abstracto en la estructura sintácticaprofunda, que será fusionado con el elemento sobre el que opera en un estadoposterior de derivación, no es una solución muy atractiva. Una explicaciónen términos de las propiedades semánticas de este tipo de expresiones (nadie versus alguien , más de n versus m enos de n) parece preferible.2

1N. de T .: siguiendo la práctica lingüística usual, una oración que se considere mal formada en español irá precedida por el símbolo Si la oración no es claramente mal formada, pero tampoco es claramente bien formada, irá precedida del símbolo *?’.

2N. de T.: el tema se discute a profundidad en Zwarts (1981, 1986). Para una discusión

de estos elementos en el idioma español, consúltese Bosque (1980).



f último ejemplo trata del fenómeno de la r ed u cci ón de la con j u n ción (el* ce adopta de la gramática transformacional): compare (7) y (8):

0oi»bre bt

^ j uan juega y J uan canta

(g) J uan juega y canta

dos oraciones son equivalentes. La tradición transformacional sostuvo en' tiempo que (8) se deriva de (7), por medio de la transformación conocida

‘reducción de la conjunción’. Pero compare (9) y (10):

(9) Nadie juega y nadie canta

(10) Nadie juega y canta

Las dos oraciones no son equivalentes: (9) implica (10), pero no al contrario,y la transformación propuesta no debería ser aplicable en este caso (asumiendo que las transformaciones deben preservar el significado). Este problema esdifícil de enfrentar para una perspectiva transformacional tradicional. Por otrolado, si renunciamos a la suposición de que la identidad del significado debeexplicarseen términos de la identidad de la estructura sintáctica (profunda), lasituación cambia. Si tenemos una semántica explícita, como la de la Gramática

deMontague, que nos permite dar cuenta de las relaciones semánticas, como lasinonimia y la implicación en términos de relacionesentre objetos semánticos(modelo teóricos), y no de relaciones entre estructurassintácticas, la preguntatieneque reformularse así: ¿qué propiedades de los tipos de los objetos semánticos asociados a los términos garantiza tales relaciones de sinonimia?

Debe ser claro a partir de esta corta exposición que incluso los resultadoscon una mayor orientación empírica siempre tendrán implicaciones teóricas o

metodológicas. Discutiremos esto más adelante.Una segunda rama de investigación dentro de la Teoría de los Cuantifica-

dores Generalizados consiste en la búsqueda de universa les , es decir, la formulación de regularidades universales significativas que gobiernen los objetossemánticos que son el significado de los términos. De manera característica, lalingüística “chomskyana” busca los principios gramaticales que aíslan la subclase de todos los lenguajes humanos posibles de la clase de todos los lenguajes

Posibles. Tales principios gramaticales formarían una gramática universal (pa-ece obvio asociar tal gramática con principios universales del pensamiento

humano. E sto es lo que Chomsky hizo al apelar a la tradición racionalista),m embargo, Montague procedió desde un punto de partida distinto, con un



objetivo diferente: él quería un marco uniforme y matemáticamente ■que contuviera tanto a los lenguajes naturales, como a los lenguajes f0Esta era su concepción de una ‘gramática universal’ (véase Montaguecap. 4)). 4,

La Teoría de los Cuantificadores Generalizados busca explorar los int Jde la tradición “chomskyana” dentro del marco de la semántica modelo teór Hel dominio semántico de los términos, el conjunto de todos los conjuntos de n 9

piedades de individuos, es extremadamente ‘grande’. A p r i or i , la suposicióndque todos esos significados potenciales son adecuados, es decir, que en efectoexpresan significados de términos del lenguaje natural, no parece plausibl •por lo tanto, debemos formular restricciones universalmente válidas. Las invesl

tigaciones sobre las propiedades universales de los significados de los términos |

del lenguaje natural han sido desarrolladas mayoritariamente por Barwise y

Cooper (1981). Algunos ejemplos de este tipo de universales semánticos

se discutirán en §7.2.4.

Un tercer tópico en la Teoría de los Cuantificadores Generalizados es la

búsqueda de restr icciones, es decir, propiedades formales que definen ciertas

clases de determinantes que tienen cierto interés particular debido a razones

independientes. Este tipo de investigación está estrechamente relacionada conla anterior. Por ejemplo, van Benthem (1983) hace la pregunta sobre cuáles

propiedades caracterizan la clase de determinantes lógicos (todos, algunos, n in gun o, n o todos, es decir, el cuadro aristotélico tradicional). Ciertamente,esta clase es interesante no sólo desde una perspectiva lógica, sino también

desde el punto de vista de la semántica del lenguaje natural. L a preguntatambién puede hacerse de la manera contraria: dada una cierta restricción (oconjunto de restricciones) global, ¿cuál es la clase de expresiones del lenguajenatural que la(s) cumplen? Algunos resultados en este campo se discutirán en

§§7.2.5. y 7.2.6.

Otro tópico de investigación, que también se conecta con los mencionadosanteriormente, es el del poder expr esi vo de los lenguajes naturales. Esta investigación busca restricciones que puedan reducir todos los objetos semánticospotenciales a un número expresable. La estrategia que más comúnmente sesigue asume restricciones intuitivamente plausibles y luego intenta demostrarque todos los significados en dichas clases restringidas pueden expresarse en el

lenguaje natural. Cuanto más independiente es la motivación de las restricciones, más soportan los resultados de la estrategia el principio de expresibilidadde los lenguajes naturales (y, si uno lo desea, del pensamiento humano). Lainvestigación en esta área no se discutirá aquí (véase Keenan y Moss (1984))-



i S N como cuantificadores generalizados en la Gramática«o 2 L7 ¿ de Montague

fc sección repetiremos brevemente las carnet eríst icas más importantes del©*eS a. qUe Montague da a los términos y desarrollaremos sus aplicacio-trftta la T e o r í a de los Cuantificadores Generalizados. Para asegurarnos de queDeS T a exposición concuerda con la literatura sobre este tema, adoptaremosnUtermin°l°6ia lingüística común de ahora en adelante. Así, 5W denota los sin-18 as nominal es , es decir expresiones como nombres propios, descripciones y

términos cuantificados. La abreviatura SN corresponde a la T de términos deMontague. Por su parte, S V denota los sintagmas verbales, tanto los V I comolos V T y N denota todos los sustantivos, llamados N C en la Gramática deMontague. D E T se utiliza para referirse a la categoría de los determinantes,es decir, los artículos y las expresiones tales como t odo, al gún. Además, utiliza

remos E en lugar de D para referirnos al dominio y reservaremos la expresiónD para la interpretación de los determinantes.

El análisis de Montague de los SN , como fue descrito en el capítulo 6,depende de dos principios: un i f o rm idad y composicional idad. El efecto de uniformidad es doble. Primero, las expresiones que exhiben un comportamientosintáctico similar, es decir, que obedecen las mismas leyes de distribuciónsiempre que ellas sean determinadas sintácticamente, se consideran como per

tenecientes a la misma categoría sintáctica. Por esta razón, tanto nombrespropios y descripciones, por un lado, como SN cuantificados, por el otro, se clasifican como SN , a pesar de que su comportamiento semántico sea diferente.Segundo, una categoría sintáctica corresponde a un tipo semántico, es decir,todas las expresiones de una categoría tienen la misma suerte de significado(recordemos que la gramática categorial fue concebida originalmente comoun sistema de categorías semánticas). Esto significa en el caso de los SN , que

el análisis de los SN cuantificados como conjuntos de propiedades se extendió alos nombres propios.

La composicionalidad implica que un SN tiene un significado independiente, son unidades sintácticas independientes y su significado son los bloquesde construcción para los significados de unidades más grandes. La compo-sicionalidad conlleva ‘naturalmente’ a un análisis semántico de los SN comocuantificadores generalizados y, por lo tanto, como coniuntos de propiedades

(véase §§4.4.3. y 6.3.4.).Podemos explicar esto último brevemente de la siguiente manera: conside

remos la oración (lia), su estructura sintáctica (11b), y su traducción (11c)en lógica de predicados:



(11) a. Todo hombre camina

b. o [sjv [todo hombre] s v [camina]] l

c. Vx (h o mb r e (x ) —+c a m i n a r (x )) I

El significado asignado a la expresión todo hom bre en (11c,) no es indenpr jcompare (12):

(12) a. Todo hombre duerme

b. Vx (h o m b r e (x ) —>d u e r me (x ))

En la comparación de los significados de (l ia) y (12a) se puede apreciarhay algo que es intuitivamente diferente en las dos oraciones (a saber, caminar 1do rm i r ) y algo que es igual (a saber, todo hom br e lo hace). El procedimiento

ahora es cambiar por una variable aquello que es diferente en ambos casos y 1abstraer sobre dicha variable, reteniendo de esta manera el factor de significado constante. Con la semántica intensional del modelo P T Q , obtenemos lasiguiente representación:

(13) AXVx(hombre(x) —>v X ( x ) ) , donde X es de tipo (s, (e, t )).

A pesar del análisis del modelo P TQ que discutimos en el capítulo 6, que

es fuertemente intensional, la Teoría de los Cuantificadores Generalizados esextensional. Primero, uti liza sólo modelos extensionales M = (E , []), dondeE es el conjunto de individuos y [] es una función de interpretación que asignainterpretaciones extensionales a las expresiones (es decir, que asigna a unaexpresión aquello que es la extensión de dicha expresión en la lógica intensionalde p t q ). Segundo, las extensiones son extensionales: individuos en lugar deconceptos individuales, conjuntos de individuos en lugar de propiedades, etc.

En otras palabras, (14), y no (13), es la representación del significadoasignado por la Teoría de los Cuantificadores Generalizados al SN todo hombre:

(14) AXV x(hombre(x) —►X ( x ) ) , donde X es de tipo (e, t )

Sin embargo, es común escribir esos significados directamente en el metalen-guaje, utilizando alguna notación de la Teoría de Conjuntos, sin un lenguajelógico intermediario. Es decir, obtenemos representaciones tales como (15):

(15) [todo hombre] = { X C E \ [hombre] C

La restricción a modelos extensionales parece más severa de lo que realmentees. En efecto, no hay muchos SN o determinantes intensionales.



^ Determinantes: dos perspectivas

de la Teoría de los Cuantificadores Generalizados podemos distinguirpeot r°"ectivas diferentes con respecto a los determinantes: una perspectivados Pe y una f unc iona l . La segunda está estrechamente relacionada con elft l 0**0 lingüístico tradicional de las oraciones, en el que las oraciones están

■L T stas de Un sujeto y un predicado, o en otras palabras, de un SN y un SV. ^ ¡dgremos la siguiente oración sencilla (16a) y su estructura constituyente

(16b):

a. Todo hombre duerme(16)b. o [sN[DET[ todo ] 7v[hombre]] [dormir]]

E l determinante todo se combina con el sustantivo hombre para formar el SN todo hombre. En términos de la sintaxis categorial, un determinante esde categoría SN / N . Semánticamente, esto implica que ella se interpreta comouna función: aquella que le asigna la interpretación de un SN , un conjunto deconjuntos de individuos, a la interpretación de un N , un conjunto de individuos. Esta perspectiva funcional se refleja en el marco de la Gramática deMontague en el análisis de los SN (compárese §6.3.2. y la representación

de todo hom br e , (13), en §7.2.2.).Una manera distinta de ver los determinantes es considerarlos como rela

ciones. Según esta perspectiva, todo en (16a) es una expresión que relacionaun N con un S V para formar una O. Tanto hombre como do rm i r se interpretan como conjuntos de individuos y todo se considera como una relación entreconjuntos, a saber, la relación que se obtiene entre dos conjuntos X e Y siiX C Y . Considerada de esta manera, la oración (16a) afirma que el conjunto

de los hombres es un subconjunto del conjunto de los individuos dormidos.A primera vista, las dos perspectivas parecen ser muy distintas. P ero si con

sideramos de nuevo la representación de los significados de los SN en el marcode la Teoría de T ipos, y en particular al tipo de esta representación, vemosque ambas perspectivas vienen a ser lo mismo. El tipo de un determinante enla perspectiva funcional es ( {e , t ) , ( (e. t ) , t ) ) . El dominio semántico correspondiente está formado por el conjunto de funciones que vincula (las funciones

características de) los conjuntos de individuos con (las funciones características de) conjuntos de conjuntos de individuos. En general, se tiene que unafunción que vincula objetos de un tipo a con un conjunto de objetos de tipo b puede identificarse con una relación entre objetos de tipo a y objetos



correspondiente R f C E a x E\ ¡ se define de la siguiente manera:

en {0, l } Ea tal que para todo daeE a, ( f R (db) )( d a) = l sii (da,db) e R. Deta manera, las ‘funciones determinantes’ corresponden de manera única a | J‘relaciones determinantes’ entre conjuntos de individuos.

los SN . La perspectiva funcional provee el marco para la descripción actualcomo en la Gramática de Montague. La perspectiva relacional es a menuda!

más comprensible para un análisis de los determinantes como tal. En adelante discutiremos ambas perspectivas, comenzando con la funcional y dejando la

perspectiva relacional para después.

Una observación final concierne un posible malentendido. E n §4.4.3., observábamos que los determinantes como la m ayor ía y más de la mi tad sonesencialmente relaciónales, a diferencia de, por ejemplo, todo y algún. En vistade lo que hemos dicho anteriormente, esto podría llevar a un malentendido,dado que acabamos de establecer que las perspectivas relacional y funcionalson intercambiables, es decir, vienen a ser lo mismo.

El punto es que algunos determinantes, tales como los determinantes ‘lógicos’ todo y algún , nos dan razones para un tercer análisis alternativo: podemosconsiderarlos como predicados de segundo orden, es decir, como expresionesde tipo ((e , t ) , t ) . Por ejemplo, todo afirma acerca de una propiedad (compleja)que todo objeto en el dominio tiene dicha propiedad. Esto se define extensio-nalmente de la siguiente manera:

Lo mismo ocurre con algún, que afirma acerca de una propiedad que no es

(17) [todo] = { E }

vacía:

(18) [algún] = { X \ X C E & X ¿ Q)}

(19) Alguna mujer pasea



to es e s e n c i a l tener una manera de representar predicados complejos,P&ríi ser una m u j er que pasea (por ejemplo, por medio de A-abstracción).

1.^ qO*** H Sf sin embargo, que un determinante como la mayor ía no permite sergs claro, -

como un predicado de segundo orden; no podemos definir su inter- 30 t ción sin hacer referencia por separado a la interpretación del sustantivo,for aci ón (19) puede parafrasearse como (20):

* El conjunto de las mujeres que pasean es no vacío / contiene a alguien

(es decir, es un elemento de (18))

pero una paráfrasis similar de (21) no tiene sentido, como lo muestra (22):

(21) La mayoría de hombres duerme

(22) El conjunto de los hombres que duermen contiene la mayoría de las

cosas

Otras reducciones posibles también resultan igualmente inadecuadas. En otraspalabras, la interpretación de la m ayor ía se refiere, esencialmente, tanto alconjunto que es la interpretación del SV, como al conjunto que es la interpretación del sustantivo: ella expresa una relación entre los dos. En este sentido,la m ayor ía es un determinante esencialmente relacional. Sin embargo, se puede

observar que en este último sentido del término ‘relacional’, tanto la perspectiva relacional como la perspectiva funcional que se describieron anteriormentepresentan una interpretación ‘relacional’ de los determinantes.

7.2.4. Algunas propiedades fundamentales de los SN y de loscuantificadores

7.2.4.1. Terminología, ejemplos e interpretación indefinida

Es importante hacer una distinción sistemática entre los SN y sus interpretaciones. Un SN es un objeto lingüístico y sintáctico, una expresión del lenguajenatural. Por su parte, un cuantificador es un objeto semántico, un conjuntode conjuntos. L os modelos M son parejas ordenadas (E , | ]), donde E es unconjunto de individuos, el dominio del modelo, y | ] es una función de inter

pretación que asigna interpretaciones a las expresiones del lenguaje natural.A diferencia del método utilizado en la Gramática de Montague, la Teoría

de los Cuantificadores Generalizados no utiliza un nivel de traducción intermedio en un lenguaje lógico interpretado (como I L en PTQ; pero Montague



SN __________________ In te rp re tac ión

Todo N {* X C E & [N] n i = 1NJ }Un N {* X C £ & [ N ] n I ^ 0 }No todo N l C £ & [ N ] n J ^ [ N ] }

Ningún N X C E & ¡N] n X = 0}Sólo N X C E 8 ¿ [N] n X = X }

Exactamente 2 N {* X C E & ¡N ¡ n X = 2}A lo sumo 2 N {* X C E 8 ¿ [N ] f l l <2 }Por lo menos 2 N X C E & |N] n i >2 }

Cuadro 7.1. Interpretación de SN

también usó la interpretación directa; véase “English as a Formal Language” en Montague (1974)). Las interpretaciones se escriben directamente en elmetalenguaje, el cual es español enriquecido con la notación de la teoría deconjuntos y de la lógica.

A manera de ejemplo, daremos las interpretaciones de algunos SN en el cuadro 7.1, utilizando c a r d ( X ) para referirnos a la cardinalidad de X . Obsérveseque la interpretación de un SN depende del modelo: en las interpretaciones del

dominio de M , E ocurre como un parámetro. En otras palabras, cuál es la interpretación en particular del cuantificador depende del modelo. Por supuesto,estamos interesados principalmente en las propiedades de las interpretacionesde los STVsin importar el modelo (en adelante omitiremos X C E siempre que nohaya lugar a confusión).

Antes de discutir algunos ejemplos de dichas propiedades, debemos considerar brevemente cuál tratamiento debemos darle a los SN ‘presuposicionales’,

tales como las descripciones definidas. La interpretación de el r ey d e F r an ci a esel conjunto de conjuntos tales que el rey de Francia pertenece a X , si es quehay un único rey de Francia. Pero si dicho individuo no existe, ¿cuál será lainterpretación? En principio, hay varias opciones entre las que podemosescoger y nuestra selección dependerá, entre otras cosas, de lo que consideremos que sea el estatus de oraciones en las cuales ocurran expresiones presuposicionales, en el caso en que las presuposiciones no sean satisfechas. Sipensamos que (23) es falsa bajo las circunstancias presentes, podemos escoger(24) como la interpretación de el r ey de Fr anci a:

(23) El rey de Francia es calvo

(24) [el rey de FranciaJ ={A’| card([[rey de Francia]) = l 8 ¿ [[rey de Francia]] C X )



por otro lado, si consideramos que (23) no t i en e ningún valor de verdad, esmejor que al SN en cuestión sólo lo interpretemos en una subclase de modelosy que consideremos la condición card(| AT]) = 1 como una condición necesariapara que la interpretación esté definida:

(25) [el rey de Francia] =

{{X | [rey de Francia] C X }, si ca rd {\ rey de Francia]) = 1;indefinido, en cualquier otro caso

En general, la gente que trabaja en la Teoría de los Cuantificadores Generalizados escoge la segunda opción, sin mucha discusión. Como consecuenciade ello, la función de interpretación | ] es parcial: algunas oraciones no tienenvalor de verdad y esto genera la pregunta (abierta) sobre la manera, si es que

es posible, en que se le asigna un valor de verdad a las oraciones compuestas, enlas cuales ocurre una oración sin valor de verdad (véase el volumen 1 §5.5. parauna discusión general y algunas referencias bibliográficas sobre el tema).

A pesar de los problemas sin resolver con respecto al enfoque de ‘la interpretación indefinida’, será este tipo de interpretación la que emplearemos,dado que, como ya lo hemos dicho, es la que generalmente se usa en la Teoría delos Cuantificadores Generalizados. Otros ejemplos de STVque obtienen sólo una

interpretación condicional son (26) y (27):

(26) (los dos[indefinido, en cualquier otro caso

(27) lalgún N ] - í ([X 1 ° £ 2}'"* 2 2;I indefinido, en cualquier otro caso

Obsérvese que algún se interpreta como un determinante plural y no singular,en donde este último es la opción usual de los sistemas lógicos.

Ejercicio* 7.1.

Elabore la interpretación de los siguientes SN :

(i) J uan

(ii) unos pocos N

(iii) no todo N



(iv) ninguno de los dos N

(v) un número finito de N

7.2.4.2. M onotonicidad

Una propiedad fundamental de los cuantificadores y de los SN que se trabajaen la Teoría de los Cuantificadores Generalizados es la m on oton i ci d ad ascen-

dente. Consideremos los ejemplos (28) a (33) (usamos aquí J=para denotarimplicación entre oraciones del lenguaje natural):

(28) Todos los hombres caminaron rápidamente f= Todos los hombrescaminaron

(29) Todas las mujeres caminaron \ = Todas las mujeres se movieron

(30) Un hombre fumó un cigarro |=Un hombre fumó

(31) Un niño estaba soñando J=Un niño estaba dormido

(32) Ambos niños jugaban en la calle (= Ambos niños jugaban

(33) Más de la mitad de las niñas viven en Hoorn (= Más de la mitad de lasniñas vive en una ciudad

Claramente, todas esas implicaciones son válidas, lo cual se debe al signif icado de los SN en cuestión. Aparentemente, todo N , un N , am bos N, y más de la m it ad de los ./V tienen algo en común en sus interpretaciones, lo que da cuentade estas inferencias.

Un SN se interpreta como un cuantificador, es decir, como un conjuntode conjuntos. L os conjuntos que forman cuantificadores pueden tomarse como

interpretaciones (parciales) de predicados: una oración de la forma [SN SV] esverdadera sii [SV ]g[SN ]. Ahora bien, si consideramos los ejemplos (28) a (33),vemos que el predicado en la premisa está necesariamente subordinado al predicado en la conclusión: [caminó rápidamente]C [caminó], [estaba soñando]C [estaba dormido], [viven en Hoorn] C [viven en un pueblo], etc., en cadaM adecuado.

Aparentemente, la interpretación de los SN e n (28) a (33) es tal que siempreque un conjunto le pertenezca, todos los conjuntos ‘más grandes’ tambiénle pertenecen. Ellos expresan lo que se llama los cuantificadores monótonos ascendentes (también conocidos como ‘monótonamente creciente’). Sea Q uncuantificador en M , es decir, un conjunto de conjuntos de individuos en E m : entonces podemos definir esta propiedad de la siguiente manera:



pefin*c*on

q s e dice m onót ono ascen den te en M sii para todo X , Y C. E : s\ X 6 Q y% C Y , entonces Y € Q

(Es claro que la interpretación está determinada por M . en tanto que la cuan-tificación es sobre subconjuntos de E ). Un SN se dice monótono ascendentesi expresa un cuantificador monótono ascendente en todo modelo en que suinterpretación esté definida:

Definición 7.2.

Un SN es m onót on o a scen d en te sii para todo M : si |S./V] está definido en M ,

entonces [S7V]m es monótono ascendente en M

Otra manera de describir ‘a es monótono ascendente’ es ‘a es cerrado bajoextensiones’. La definición 7.1. nos da un test para monotonicidad ascendente:

Test 1 de m onoton i ci d ad a scen d en te Si iSVi] C [SV2], entonces S N SV\ f= S N SV 2

Con este test es claro por qué el SN ni un solo m uchacho, presentado en elejemplo (34), no es monótono ascendente:

(34) Ni un solo muchacho caminó rápidamente ^ Ni un solo muchachocaminó

Ejercicio* 7.2.

(a) ¿Cuál de los siguientes SN es monótono ascendente?

(i) por lo menos n N

(ii) los n N

(iii) pocos N

(iv) n N

(v) María

(vi) la mitad de los N



(b) Sea P un predicado tal que para todo M : [P ] = E m - Muestre que siSN es monótono ascendente y | S7V] ^ 0, entonces para todo M :[P J _ [SWJ . M uestre también que esta propiedad no es una condición suficiente 1para la monotonicidad ascendente.

Una definición equivalente de monotonicidad ascendente es la siguiente:

Definición 7.3.

Q es m onót on o ascen den te en M sii para todo X ,Y C E : si X fl Y £ Q entonces X £ Q y Y £ Q .

Esta definición también da lugar a un test:

Test 2 de m on oton i ci d ad ascend en te S N SV i y SV 2 \ = SN SV í y S N SV 2

La interpretación de una conjunción de dos SV es la intersección de las interpretaciones de los dos SV. Los siguientes dos ejemplos ilustran este últimotest:

(35) Todas las muchachas estaban fumando y bebiendo (= Todas las

muchachas estaban fumando y todas las muchachas estaban bebiendo

(36) Ni un solo muchacho estaba cantando y bailando ^ Ni un solomuchacho estaba cantando y ni un solo muchacho estaba bailando

El conjunto de los SN que son monótonos ascendentes es cerrado bajo conjunción y disyunción. En otras palabras, la conjunción o disyunción de dos SN que son monótonos ascendentes es un SN monótono ascendente. Compárese:

(37) Todos los muchachos y una muchacha caminaron rápidamente (=Todoslos muchachos y una muchacha caminaron

(38) Dos hombres o ambas mujeres estaban soñando f= Dos hombres oambas mujeres estaban dormidas

Semánticamente, la conjunción de dos SN es la intersección de sus interpretaciones:

ISN x y 57V21 = { S N i ] n ¡SN 2j

Es fácil ver que la monotonicidad ascendente se preserva bajo la intersección.Sean Q i y Q 2 monótono ascendentes. Asumamos que para X e Y : X £ Qi (~)Q 2



v C Y Entonces, X e Q x y X E Q 2, y por la monot0rmici(lad i n d e n t e

de <3i y ^2’ Y e y Y E ^2’ de donde se sigue que Y $ <Qi 0 Q i

Ejercicio 7.3.

pefina la disyunción de los SN y muestre que la monoto^ ida(1 ascendente se

preserva bajo la disyunción.

Ejercicio* 7.4.

Muestre que la definición 7.1. es equivalente a la definicj^Q 7 3

La monotonicidad descendente es una propiedad de los SJV y de los cuantificadores que es, de alguna manera, la imagen recíproca die Ja monotonicidad

ascendente. Daremos una formulación exacta de ella adelante. Consideremos los ejemplos (39) a (42):

(39) Ningún hombre caminó |=Ningún hombre caminó r ápidamente

(40) No toda mujer estaba dormida f=No toda mujer estaba soñando

(41) Menos de la mitad de las muchachas fumaban (% enoS de ja mâd de

las muchachas fumaban cigarros

(42) Pocos muchachos estaban jugando (=Pocos muchachos estaban jugando en la calle

Todas estas inferencias son válidas. Si las comparados CQn (28) a (33^veremos que la implicación va de manera inversa. monotonicidad as

cendente da cuenta de las inferencias en las que el Predicado (el SV ) en la

conclusión contiene el predicado en la premisa. En los ejempios anterioresel predicado en la premisa contiene el predicado en la C0nClusión- [caminó]

2 [caminó rápidamente], [estaba dormido] D [estaba soñando], etc., paratodo M . Aparentemente, es cierto en (39) a (42) quesienipre que un COnjunto

pertenece a la interpretación del SN , también lo hacen toados sus subconjuntosEstos SN son ‘cerrados bajo inclusión’, que es otrarnar]era de decir que sonmonótonos descendentes. La definición es la siguiente;

Definición 7.4.

Q es m onót ono d escen d en te en M sii para todo X , Y c jr . gj X E Q y X D Y entonces Y £ Q



Como se mencionó anteriormente, un SN se llama monótono descendente Jsu interpretación, siempre que esté definida, es un cuantificador monóton0 ]descendente:

Definición 7.5. 1

Un SN es m onót ono d escen d en te sii para todo M : si {SN^ está definido en Kflentonces ¡STVJm es monótono descendente en M ’

Los cuantificadores y los SN monótono descendentes también se llaman ‘monótonamente decrecientes’. Existe un test para monotonicidad descendente que essimilar al de monotonicidad ascendente:

T est 1 de m onoton i cid ad d escen d en t e

Si ISVi] D I SV21 entonces S N SV 1 (= S N SV 2

Este test muestra que, por ejemplo, todo hom br e no es monótono descendente,como se puede apreciar en (43):

(43) Todo hombre caminó ^ T odo hombre caminó rápidamente

Ejercicio 7.5.

(a) ¿Cuál de los siguientes SN es monótono descendente?

(i) muchos N

(ii) la mitad de los N

(iii) (pero) J uan no

(iv) a lo sumo n N

(v) exactamente n N(vi) tampoco N

(b) ¿Las propiedades de monotonicidad ascendente y descendente se excluyen mutuamente?

Una definición equivalente para monotonicidad descendente en términos deuniones es la siguiente:

Definición 7.6.

Q es m onót ono d escen d en te en M sii para todo X , Y C E : si X U Y £ Q, entonces X e Q y Y e Q



gj test correspondiente es:

T est 2 de m on oton i ci d ad d escen d en te S N SV i o SV 2 1= S N SV i y S N SV 2

Semánticamente, la disyunción de dos S V se interpreta como unión, mientras

ue la conjunción se interpreta como intersección:

[SVi o SV 21 = [5Vi ] U 15Va]

Algunos ejemplos que ilustran el test son los siguientes:

(44) Ninguna de las dos muchachas estaba bebiendo o fumando |=Ningunade las dos muchachas estaba bebiendo y ninguna de las dos muchachas

estaba fumando

(45) Todos los muchachos cantan o bailan ^ Todos los muchachos cantan ytodos los muchachos bailan

El conjunto de todos los SN monótonos descendentes es cerrado bajo disyunciones y conjunciones, tal como su contraparte monótona ascendente. L ainterpretación de una disyunción de

SN es, por supuesto, la unión de la inter

pretación de los elementos que la constituyen:

[SV: o SV 21 = [SV i] U [SV2J

Se puede argumentar que la monotonicidad descendente se preserva bajo uniones de la siguiente manera: tomemos X e Y arbitrarios, tales que X U Y £ Qi U Q 2. Entonces, se tiene que X U Y £ Q\ o X U Y £ Q 2 y, por lo tanto,

X ,Y £ Q i o X , Y £ Q 2, dado que Q\ y Q¿ son monótono descendentes. Porlo tanto, en cualquier caso X £ Q\ U Q 2 e Y £ Q\ U Q 2.

7.2.4.3. Monotonicidad ascendente y descendente y la negación de loscuantificadores

Hemos observado que hay una relación especial entre la monotonicidad ascendente y la descendente. Una es espejo de la otra: la monotonicidad ascendenteinvolucra clausura bajo extensión y la monotonicidad descendente involucraclausura bajo inclusión. No sólo por las definiciones respectivas podemos apreciar esta relación, sino también por medio de varios ejemplos. Consideremoslos ejemplos en el cuadro 7.2., los cuales muestran, claramente, que los SN



M onót on o ascen d en tes M onót on o d escen d en tes

Todo N Muchos N Al menos n N

No todo N Pocos N A lo sumo n N

Más de la mitad de los N Menos de la mitad de los N

J uan J uan no

Cuadro 7.2. SN monótonos

monótono descendentes son las negaciones de los SN monótonos ascendenjtes; algunas veces literalmente (Juan vs. J uan n o) , otras veces implícitamente(muchos vs., pocos).

Usualmente se distinguen dos tipos de negación de los cuantificadoresa saber, una interna y una externa, las cuales se definen a continuación:

Definición 7.7.

La negaci ón ext er n a >Q de Q en M es { X C| X 0 Q }

Definición 7.8.

La negaci ón i n ter n a Q > de Q en M es {X C| (E —X ) € Q }

De acuerdo con una definición alternativa, aunque equivalente, la negaciónexterna ~<Q de Q se obtiene, como se define a continuación, al tomar el complemento de Q con respecto al conjunto potencia del dominio E :

Definición 7.9.

Este cuantificador contiene exactamente aquellos subconjuntos de E (aquelloselementos de p { E ) ) que no están en Q.

La negación interna de Q, Q>, también se puede obtener al tomar paracada elemento de Q su complemento con respecto al dominio E :

Definición 7.10.

Q> = {F C E | existe un X £ Q : Y = E — X }

Este cuantificador contiene exactamente aquellos subconjuntos de E cuyocomplemento con respecto a E está en Q: de aquí que la definición 7.10. seaequivalente a la definición 7.8.

>Q = p ( E ) Q



Veamos algunos ejemplos. Recordemos que la interpretación de todo N , un

0 t odo N y de ni ngún N se dio en el cuadro 7.1. (cf. p. 288). L a negaciófgierna de todo N es no todo N , lo cual puede mostrarse de la siguiente

uianera:

(46) - ’IItodo I x & [todo N j } (utilizando la definición 7.7.)

={X | [J V] n X ^ pV ]}=[no todo N ]

Su negación interna es n in gún N :

(47) [todo N j > = { X | (E - X ) G [todo N ]} (definición 7.8.)

={X I [iV] n {E - X )=p V ]}={X I {N j n X =0}=[ningún N j

La negación externa de un N es ni ngún N :

(48) -i[un N ]={X | X £ [un N j } (utilizando la definición 7.7.)

={X | [TV] í~lX=0}=[ningún N j

Y su negación interna es no todo N :

(49) [un 7V ]-i={X \ (E X ) € [un N j } (definición 7.8.)

= { X I [TV] n { E X ) ¿ 0}={X I I N I n X + [AT ]}=[no todo N j

Tanto la negación interna como la externa ‘invierten’ la monotonicidad del

cuantificador:

Hecho 7.1.

Si Q es monótono ascendente, entonces >Q y Q> son monótonos descendentes

Hecho 7.2.

Si Q es monótono descendente, entonces >Q y Q~> son monótonos ascendentes

A manera de ejemplo, demostraremos el hecho 7.1. Asumamos que Q esmonótono ascendente. Tomemos X , Y arbitrarios, tales que X G *Q y Y C X . Ahora bien, se tiene que X Q y, por lo tanto, Y ^ Q. De lo contrario, asu

mamos que Y G Q. Entonces, dado que Y C X y Q es monótono ascendente,X G Q, lo que contradice la suposición. Así, Y G ~>Q y, por lo tanto de estamanera -iQ'es monótono descendente. De manera similar, asumamos que Q esmonótono ascendente, X G Q~<, y Y C X . Entonces, tenemos que ( E —X ) G Q.



Dado que Y C X , se sigue que ( E - X ) C ( E Y ) y, por lo tanto, (p0r, 1monotonicidad ascendente de Q) ( E — Y ) € Q , lo cual implica que Y £Esto significa que Q—> es monótono descendente. La demostración del hec 'l7.2. es similar.

Ambos tipos de negación se cancelan a sí mismas:

Hecho 7.3.

-i-iQ = Q — QI*

No es generalmente válido que ->Q-> = Q. Lo que sí se tiene es que —iQ—, J |equivalente al dual de Q , escrito como Q * . que se define de la siguiente manera-

Definición 7.11.

El dual Q* de Q en M es { X C E \ (E — X ) £ Q }

Algunos cálculos con la definición 7.11. y las interpretaciones de un N y todo N muestran que el uno es el dual del otro. También hay cuantificadores queson equivalentes a su propio dual, los cuantificadores autoduales. Los nombrespropios, por ejemplo, son autoduales:

[J uan] = [J uan]*

Dado que Q* — <Q < y que tanto la negación interna como la externa reversanla monotonicidad del cuantificador, se sigue que el dual de un cuantificadortiene el mismo tipo de monotonicidad que el cuantificador mismo:

Hecho 7.4.

Si Q es monótono ascendente (descendente), entonces Q* es monótono ascendente (descendente)

Es fácil ver que es cierto que Q* * = Q. El diagrama (50), ‘cuadro de oposición’de la lógica tradicional, resume las relaciones entre todo N , un N , no todo N y ni ngún N :

(50) negac ión i n t er n a todo N < -----------------------» ningún N

dua l dua l

un N <------------------------>no todo N negac ión i n t er na



Los SN monótono ascendentes y descendentes forman dos clases importantes de SN del lenguaje natural, los cuales están relacionados por medio de laae gaeión- En Seneral>la mayoría de los SN ascendentes no son marcados yla mayoría de los descendentes son SN ascendentes negados (implícita o explícitamente) ■Pero no hay razón para darle a esta negación un status sintáctico,dado que la relación en cuestión se puede formular en términos puramente

semánticos.La clasificación de los SN en monótono ascendentes o descendentes no es

exhaustiva; algunos no son ni lo uno ni lo otro. Por ejemplo, consideremos

el SN de la forma exactam en te n N :

(51) Exactamente seis muchachos caminaron rápidamente Exactamente

seis muchachos caminaron

(52) Exactamente seis muchachos estaban dormidos ^ Exactamente seis

muchachos estaban soñando

El primer ejemplo muestra que exacat am en te sei s muchachos no es monótonoascendente y el segundo, que no es monótono descendente. Otro ejemplo de

un SN no monotónico es unos pocos N :

(53) Unos pocos muchachos estaban soñando ^ Unos pocos muchachosestaban dormidos

(54) Unos pocos muchachos caminaron ^ Unos pocos muchachos caminaron

rápidamente

Un ejemplo final está dado por los SN de la forma sól o SN. Compárese:

(55) Sólo J uan caminó rápidamente Sólo J uan caminó

(56) Sólo J uan estaba dormido ^ Sólo J uan estaba soñando

(57) Sólo el hombre estaba soñando ^ Sólo el hombre estaba dormido

(58) Sólo el hombre caminó ^ Sólo el hombre caminó rápidamente

Con respecto a (56), puede ser útil tener en mente que Sól o Ju an significa algocomo J uan y n ad i e más ; un contraejemplo sería una situación en la cual J uanes el único dormido y no sueña.



Obsérvese que sólo, tal como ocurre en las oraciones (55) a (58), no es ll H|determinante sino un modificador de SN . Más aún, debemos observarel estatus de determinante de pocos y de muchos es controversial. AlgUtlQg jargumentan que son adjetivos. Un análisis similar ha sido propuesto para loglnumerales como seis en sei s muchachas. En §7.2.5. trataremos este análisjg jmás detalladamente.

Ejercicio* 7.6.

¿L a interpretación de exactam en te un m uchacho es un cuantificador no monótonj

en todo modelo?

7.2.4.4. Monotonicidad y universales semánticos

Haremos un breve desvío para mirar dos ejemplos, ambos tomados de Bar-wise y Cooper (1981), sobre los intentos de aplicar las nociones introducidasanteriormente. Barwise y Cooper están interesados en la formulación de uni-

ver sal es semán t i cos, que son propiedades de los significados de las expresionesdel lenguaje natural, en nuestro caso SN , y que pueden considerarse válidospara todo lenguaje natural, pero que no son simplemente verdades necesarias(lógica o matemáticamente).

El primer ejemplo de dichos universales ilustra la importancia de la mono-tonicidad y es el siguiente:

Restr i cci ón de m on oton i ci d ad

En todo lenguaje natural, los SN que no son compuestos expresan cuan-tificadores monotónicos o conjunciones de cuantificadores monotónicos

SN ‘no compuestos’ quiere decir: nombres propios, SN de la forma ‘determinante simple + N \ y SN tales como alguien, todos, nada. Debemos aclararque una restricción como esta no es una verdad a pr i or i . No hay leyes lógicas omatemáticas que le prohíban a un SN simple tener el mismo significado queel SN no monotónico (y compuesto) un número par de hombres. En otraspalabras, no hay ninguna razón lógica por la cual un lenguaje natural no debatener un determinante simple con el mismo significado de un núm er o pa r de. Si todos los lenguajes satisfacen la restricción de monotonicidad, y hasta

donde sabemos así es (aunque véase §7.2.5.), ella expresa una propiedad delos lenguajes que, por un lado, no es una necesidad lógica pero que, por otro,ís válida universalmente para los lenguajes naturales. Esta es una contribuciónsignificativa a la caracterización de la noción de ‘lenguajes humanos posibles’.



f restricción de monotonicidad no da ninguna pista de por qué esto hager así. En general, esto es cierto para todos los universales. Una formu-

* una propiedad universal es una cosa; la explicación que se le de estra En el chso de la restricción de monotonicidad, Barwise y Cooper inten

taron dar una explicación (que no retomaron para otros universales). La ideaque los SN monótonos son ‘más fáciles’, es decir, es más fácil verificar o

gjsear oraciones con SN monótonos que oraciones con SN no monótonos (estetópico se discutirá más generalmente en §7.2.5.). De cualquier manera, con osin explicación, el hecho simple (si en efecto así es) formulado por la restricciónde monotonicidad es sorprendente y la Teoría de los Cuantificadores Generalizados nos brinda las herramientas necesarias para su formulación.

El segundo ejemplo trata sobre la relación entre la monotonicidad y laconjunción de SN . Hemos observado anteriormente que, en lo que respecta

a su semántica, la conjunción de SN viene a ser lo mismo que tomar la intersección de las interpretaciones de los SN que se unen en la conjunción. Apartir de esta perspectiva general, no hay razón para dudar que todo par (esdecir, toda n-tupla) de SN puede unirse en conjunción. Sin embargo, aparentemente hay restricciones sobre la conjunción de SN en el lenguaje natural.Comparemos los siguientes ejemplos:

(59) un hombre y dos mujeres

todos los muchachos y María

el padre de Pedro y muchos niños

(60) ningún hombre y pocas mujeres

ninguna de las muchachas y a lo sumo tres muchachos

menos de la mitad de los niños y ningún adulto

(61) un hombre y pocas mujeres

*J uan y ninguna mujer

*dos cellos y pocos violines

Ambos SN en las conjunciones de (59) son monótono ascendentes y los delas conjunciones en (60) son monótonos descendentes. En (61) se intenta

hacer una conjunción de SN que tienen distintos tipos de monotonicidad ylos resultados no son bien formados. Esos ejemplos, y otros similares que involucran la disyunción, pueden llevar a la conclusión de que la coordinaciónpor medio de y y o es posible sólo cuando ambos SN son ya sea monótono



ascendentes o descendentes. E sta restricción puede relacionarse con el hee que las propiedades de monotonicidad ascendente y descendente se n °1

servan bajo intersecciones y uniones, mientras que la intersección y lade un cuantificador ascendente y uno descendente no resulta normalmente0*un cuantificador monótono. (:H

Ejercicio* 7.7.

Muestre que la interpretación de J uan y n inguna m u jer no es un cuantificaHmonótono. daor

Resta ver hasta qué punto esta última observación explica la restricción. 0mo lo indica la restricción de monotonicidad, los lenguajes naturales prefiere^SN monotonos que sean simples; aunque ciertamente también hay SN com

puestos no monotónicos. El hecho de que la conjunción o la disyunción de WSN con monotonicidad contrastante resulten en un cuantificador no monotóni-co no es ninguna razón para que dichos SN coordinados no estén bien formados

Dos observaciones más son suficientes para mostrar que no se ha dicho laultima palabra en el tópico de la monotonicidad y la coordinación. La primeraobservación tiene que ver con el hecho de que un SN coordinado, que consistede dos S7V con monotonicidad contrastada unidos por pero , está en efecto bien

formado:

(62) muchos hombres pero pocas mujeres

J uan pero ninguna mujer

muchos niños pero menos de la mitad de los adultos

Incluso, parece que pero produce SN bien formados sólo si coordina SN con

monotonicidad distinta. Comparemos:

(63) *algunos muchachos pero dos mujeres

*todos los muchachos pero mi hermana

*nmguna de las muchachas pero a lo sumo tres muchachos

Si nos atenemos al enfoque usual, que se viene desde Frege, en el que pero es

semánticamente equivalente (es decir, en cuanto concierne a las condicionesae verdad) a y, los ejemplos en (63) generan dudas acerca de la explicaciónpropuesta anteriormente sobre la restricción en la coordinación de SN pormedio de y.



m T a segunda observación tiene que ver directamente con la restricción pro-en sí misma. Su explicación no sólo debería parecer sospechosa, sino

pUgSlos siguientes ejemplos también crean dudas con respecto al fenomeno, i

c0pio tal:

(64) a lo sum° SGÍS muchachas y por lo menos cuatro muchachos

el padre de Pedro y unas pocas mujeres

ninguno de los muchachos y exactamente una mujer

unos pocos hombres y un número par de mujeres

Tndos estos son SN bien formados, pero ninguno está compuesto por dos SN con igual monotonicidad. En el primer ejemplo se unen un SN monotono ascendente y un SN monótono descendente; en el segundo, un SN monotonoascendente y un SN no monotónico; en el tercero, un SN monotono descendentev un SN no monotónico, y en el cuarto, finalmente, dos SN no monotomcos.En todos los casos, el resultado es un SN b ien formado no monotomco.

Este fenómeno muestra que el universal propuesto por Barwise y üooPe^que dice que la coordinación de SN se restringe a SN con igual monotonicidad,no es válido y que debe ser reemplazado por un análisis más refinado. Sin em

bargo, es bastante notable que la Teoría de los Cuantificadores Generalizadosnos permita formular tales hipótesis falseables.

7.2.4.5. Persistencia y antipersistencia

Las propiedades de persistencia y antipersistencia que discutiremos a continua

ción se relacionan estrechamente, como resultará evidente, con las propiedadesde monotonicidad ascendente y descendente. L a diferencia principal yace en ehecho de que la persistencia y la antipersistencia son propiedades, ya no de S completos, sino de determinantes. E sto implica que debemos considerar lascosas desde una perspectiva relacional (ver §7.2.3.). Un determinante D E se considerará como una expresión que toma unJ Vyun SV para formar un U . Semánticamente, la interpretación de un determinante D será tratada como

una relación entre conjuntos (de ahora en adelante, quedaremos satisfechos conestablecer definiciones, hechos, etc., únicamente para los objetos semánticos,confiando que el lector será capaz de proporcionar las definiciones correspon

dientes para las expresiones sintácticas).



Definición 7.12.

Un determinante D es pers is tente sii para todo X , Y, Z : si D ( X , Z ) y X Q ylentonces D (Y , Z ) f l

La persistencia es una propiedad del primer argumento de una relación d et j

minante. Si vemos a los determinantes como expresiones lingüísticas, es u Jpropiedad que se le atribuye al N al que se le aplica el determinante, gglresulta claro cuando convertimos la definición anterior en un test:

T est de per sist en cia ISi [J ViJ c [7V2], entonces D E T N x V P \ = D E T N 2 V P ]

Un determinante es persistente si es cerrado bajo la extensión de su primer

argumento, es decir, el N al cual se aplica. Veamos unos pocos ejemplos:

(65) Algunos hombres caminaron; los hombres son seres humanos J=Algunos seres humanos caminaron

(66) Por lo menos cuatro muchachas estaban fumando; las muchachas sonmujeres (= por lo menos cuatro mujeres estaban fumando

(67) Todos los muchachos beben; los muchachos son hombres ^ todos loshombres beben

Algunos y por lo m en os n son determinantes persistentes; todo no es un determinante persistente.

La imagen espejo de la persistencia es la antipersistencia:

Definición 7.13.

D es ant ipers is tente sii para todo X , Y , Z : si D ( X . Z ) y Y C X , entonces D(Y , Z)

Un determinante antipersistente es un determinante cuyo primer argumento

es cerrado bajo inclusión. El test correspondiente es, por supuesto, el siguiente:

T est de an ti per si sten ci a

Si [N 21 C [iVi], entonces D E T N i V P (= D E T N 2 V P

Los siguientes ejemplos muestran que todo, n i n gún y a lo sum o n son determinantes antipersistentes:



Todos los niños caminaron; los niños pequeños son niños |=todos losniños pequeños caminaron

Ninguna mujer estaba fumando; las muchachas son mujeres f= ninguna

muchacha estaba fumando

Í70) A 1° sumo tres ingleses se pusieron de acuerdo; los londinenses soningleses (= a lo sumo tres londinenses se pusieron de acuerdo

Muchos determinantes, incluyendo los léxicamente simples, no son ni persistentes, ni antipersistentes: muchos, pocos, l os n, am bos, exa ctam en t e n , más de la m i ta d de, m en os de la m i ta d de. A este respecto, el par persistencia/anti-persistencia es notablemente distinto del par monotonicidad ascendente/

descendente.Los determinantes persistentes y antipersistentes se vinculan por medio de

la negación. Tanto la negación externa como la interna de un determinantetransforma un determinante persistente en uno antipersistente, y viceversa;por lo tanto, tanto la negación externa como la interna de un determinanteno persistente (es decir, un determinante que no es ni persistente ni antipersistente) producen un determinante no persistente.

Ejercicio 7.8.

Defina la negación externa e interna de los determinantes y demuestre las

afirmaciones hechas anteriormente.

Hemos observado, y las definiciones han ilustrado, que la persistencia y la

monotonicidad están estrechamente relacionadas. La persistencia es la mono-tonicidad ascendente del primer argumento de una relación determinante yla antipersistencia es la monotonicidad descendente del primer argumento. Demanera análoga, la monotonicidad (ascendente o descendente) de un SN es lamonotonicidad (ascendente o descendente) del segundo argumento del determinante en dicho SN . La terminología usual es ‘monotonicidad izquierda’(ascendente o descendente) y ‘monotonicidad derecha’ (ascendente o descen

dente). La notación usada frecuentemente es esta: | mon, para monotonicidad'zquierda ascendente, y m on | , para monotonicidad derecha descendente, y981 en adelante. En total, hay cuatro posibles combinaciones de dichas propiedades de monotonicidad de los determinantes. Algunos ejemplos de expresionesque exhiben las cuatro combinaciones posibles se presentan en (71):

(68)

(6



De te rm i nan t e ri f icación Falsif icación Total

n 1 n + 11 n n + 1k n — (k — 1) n + 1

* k k + 1 n + 1n k + 1 n + (k + 1)

TodoAlgún

Por lo menos k A lo sumo k

Exactamente k

(71) ]m on | algunos por i0 menos n un número infinito[ m o n | todo

[ m o n [ ningún a lo sumo n un número finito Tmon [ no todos

Podemos considerar que los ejenip]os en ia primera y tercera fila tratan demanera progresiva, de izquierda a derecha, desde el caso más sencillo hastael más general. Esto se refleja en su forma lingüística: las expresiones en la primera columna son simples (excepto por no todos), y las de la segunda y tercera

columna son compuestas. 0 bsérvese también que en la primera columna teñe-

mos os determinantes tradicionales del cuadro aristotélico de oposición. Estasobservaciones muestran, una vez inás, que la monotonicidad y la persistencia

son^nociones fundamentales en la semántica de las expresiones cuantificadas(más tarde veremos cuál combinación de propiedades producirá exactamenteel cuadro de oposición lógico).

Una observación final acerca dc¡l ro[ central de la monotonicidad, tomadae van Benthem (1984a), tiene que ver con la ‘facilidad’ cuantitativa con la cual

una oración de la forma (A ,B ) fruede ser falseada o verificada. Consideremos el cuadro 7.3., el cual indica, para unos pocos determinantes, el número

e elementos que tienen que comprobarse para verificar o falsear una afirmación de la forma D E T ( A , B) . Por ejemplo, supongamos que ¡muchacha]contiene seis elementos (es decir, = 6). Entonces, la afirmación Algunas muchachas están bai l and o sólo necesita que una muchacha esté bailando paraser confirmada, pero para ser falseac]a debemos comprobar todos los seis elementos de ¡muchacha]].

Otro ejemplo es el siguiente: considerem0s la oración P or lo m en os tr es mu-

cha chos están fum an do, supongamos que hay diez muchachos (es decir n = 10).a afirmación será verificada si podamos encontrar tres muchachos fumand o

( — 3). Será falseada si podemos concluir que ocho muchachos no están fumando, es decir, n — (k — 1) = 10 — (3 _ i ) = g



úniero n + 1 resulta ser un mínimo demostrable: para cualquier deter-■ D la suma de los números de las instancias de verificación o falsación es

! qUe n-1-1. También, es posible demostrar que todos los determin o 1 ue tienen ‘complejidad contable minimal’, es decir, para los cuales este0aflteS ^ jgual a n + 1, son monótonos (ascendentes o descendentes). Esto

° servir para enfatizar de nuevo el rol fundamental de la monotonicidadPu respecto a los determinantes y cuantificadores del lenguaje natural.

725. Restricciones globales

7 2 5.1. Introducción

jjemos mencionado varios objetivos de la Teoría de los Cuantificadores Genera

lizados, incluido la investigación de restricciones sobre los determinantes y loscuantificadores y la búsqueda de una caracterización de clases específicasde dichas expresiones, lo que puede ser interesante por otras razones no relacionadas. En esta sección, discutiremos algunas restricciones globales que han sidopropuestas en la literatura y esbozaremos cómo pueden usarse para caracterizar la clase de los determinantes lógicos (todo, algún, no todo, ningún). Nuestra exposición de este tema se basará, principalmente, en el trabajo de

van Benthem (1983, 1984b).La búsqueda de restricciones globales no se limita a los determinantes y a

los cuantificadores, dado que es generalmente válido, excepto para unos pocostipos simples, que el conjunto de todos los objetos semánticos de un tipo sea‘muy grande’, en el sentido en que el lenguaje natural expresa sólo una parte(a veces muy pequeña) de tales objetos. Esto es particularmente llamativo sisólo contamos las expresiones realizadas léxicamente, pero también es válido

si también tomamos en consideración expresiones compuestas. Además, en casitodos los tipos hay especímenes más bien ‘extraños’, objetos semánticos quese comportan mal y que nunca serían clasificados como significados de expresiones del lenguaje natural. Esto también es una razón para averiguar si talvez hay restricciones globales en la clase entera de objetos de cierto tipo queayudan a reducirla a un subconjunto más pequeño y preferible de expresionesque se ‘comportan bien’.

La búsqueda de restricciones globales no se restringe, por lo tanto, a losdeterminantes y cuantificadores. En efecto, los postulados de significado familiares de la Gramática de Montague también pueden interpretarse como clasesde restricciones globales (por lo menos aquellos que se aplican a clases deOpresiones).



De te rm i nan t e Ver i f i ca ci ón Fa l si f i ca ci ón Total ~~ Todo re 1 n + 1Algún 1 n n + 1

Por lo menos k k n — (k — 1) re + 1A lo sumo k re — k k + 1 re + 1

Exactamente k re k + 1n + (k +

1)Cuadro 7.3. Complejidad contable de los determinantes

(71) fmon T algunos por lo menos re un número infinitol m o n | todo[ m o n i ningún a lo sumo re un número finito

}m on i no todos

Podemos considerar que los ejemplos en la primera y tercera fila tratan delmanera progresiva, de izquierda a derecha, desde el caso más sencilloel más general. Esto se refleja en su forma lingüística: las expresiones en la prÜlmera columna son simples (excepto por no todos), y las de la segunda y tercera

columna son compuestas. Obsérvese también que en la primera columna tenemos los determinantes tradicionales del cuadro aristotélico de oposición. Estas

observaciones muestran, una vez más, que la monotonicidad y la persistenciason nociones fundamentales en la semántica de las expresiones cuantificadas(más tarde veremos cuál combinación de propiedades producirá exactamenteel cuadro de oposición lógico).

Una observación final acerca del rol central de la monotonicidad, tomadade van Benthem (1984a), tiene que ver con la ‘facilidad’ cuantitativa con la cualuna oración de la forma (A ,B ) puede ser falseada o verificada. Conside

remos el cuadro 7.3., el cual indica, para unos pocos determinantes, el númerode elementos que tienen que comprobarse para verificar o falsear una afirmación de la forma D E T ( A , B) . Por ejemplo, supongamos que [muchacha]contiene seis elementos (es decir, n = 6). Entonces, la afirmación Algunas muchachas están bai l and o sólo necesita que una muchacha esté bailando paraser confirmada, pero para ser falseada debemos comprobar todos los seis elementos de | muchacha].

Otro ejemplo es el siguiente: consideremos la oración P or lo m en os tr es mucha chos están fum an do, supongamos que hay diez muchachos (es decir re = 10)-La afirmación será verificada si podemos encontrar tres muchachos f u m a n d o

(k = 3). Será falseada si podemos concluir que ocho muchachos no están fumando, es decir, re — (k — 1) = 10 —(3 — 1) = 8.



1 «-mita ser un mínimo demostrable: para cualquier deter-

. t i" "n ^ e s 1'

^ ; Í f t t qen ‘complejidad contable E s t o

< « o « W »1“ " ¿ í ’ d e n°evo°eTrol fundamental de la monotonicidad

Pe" * % I Z

determinantes y cuautificadores del lenguaje natural, con respeC

Restricciones globales7.2-5-

7 2 5.1 Introducción

H emos menC^ los determinantes y los

y >a « a ^ ' Z Z Z 2 Z . Z Z Z

de dichas expresrones, loque pu ôs I<stricc¡ones globales que han sido

propuesta®^n la literatura y esbozaren.»

b . ^ « t “ a " r P— en ., en el trabajo de

van Benthem (1983, 1984b). jos determinantes y aLa búsqueda de restricciones globa es no ^ ^ unf)s pocQS

los cuantificadores, dado que es genera m semánticos de un tipo seatipos simples, que el conjunto de todos los sólo J ^ r t e•muy grande', eu el sentido en que el l e g a j e Uamatiío si

(a veces muy pequeña) de tales objetos. Es o p también es válidosólo contamos las expresiones realizadas lencamente p e ^ ^

si también tomamos en consideración objetos semánticos quetodos los tipos hay especímenes mas ’ ■ ■r' (ios de expre-* comportan mal y que nunca serían clareados comc' ¿ t ú sioues Sel lenguaje natural. Esto también es una ra*m para engua ^

vez hay restricciones globales en la clase entera e o de expresione5ayudan a reducirla a un subconjunto mas peq

que se ‘comportan bien’. , , tanto a losLa búsqueda de restricciones globales no se restrmge, y » lo _tanto, ^

determinantes y cuantificadores. En efecto, los pos u a dfiares de la G rafi t ica de Montague también pueden m t e r p r e c o m o ode restricciones globales (por lo meuos aquellos que se aphean

expresiones).



7.2.5.2. Conservatividad 1

Nuestra perspectiva continúa siendo relacional. La primera restricción globjjque consideramos tiene que ver con la propiedad de los determinantes qUe 1llama conservat iv idad: 1

Definición 7.14.

D es conservat ivo sii para todo X , Y : D ( X , Y ) sii D ( X , X f l 7 )

La definición 7.14. establece que para verificar o falsear una afirmación de la Iforma D E T ( A ,B ) es suficiente mirar la interpretación de A y la intersecciónde las interpretaciones de A y B . En otras palabras, sólo lo que está en ([ J— [£?]) U ([A ] n I B } ) ) es relevante; el contenido de \ B } - [A ] no es relevantey tampoco lo es lo que está por fuera de [A ] y [£?], es decir,

E —([[A] U [£]),

Una noción relacionada es la propiedad de ‘vivir en’ de los cuantificadores,definida por Barwise y Cooper:

Definición 7.15.

Q vi ve en X sii para todo Y : Y € Q sii X fl T & Q

Un cuantificador puede vivir en varios conjuntos; todo hombr e, por ejemplo,vive en E (el dominio) y en [hombre]. Intuitivamente, este último es un con junto interesante: es la restricción natural del determinante todo en el SN todo hombre. De acuerdo con Barwise y Cooper, el papel central que juega larestricción en la cuantificación en el lenguaje natural (‘toda cuantificaciónen el lenguaje natural es una cuantificación restringida’) se expresa en el siguiente universal:

En todo lenguaje natural, los determinantes simples junto con unN producen un SN que vive en [J V]

De acuerdo con este universal, el hecho de que D E T ( A ) viva en [A ] sería válidopara todos los determinantes simples, es decir, \ D ET \ sería un determinanteconservativo. Obsérvese que este universal es una restricción fuerte sobre laclase de relaciones que puede expresar un determinante simple. Ciertamente,

hay determinantes no conservativos y no hay una razón lógica por la cual nopuedan lexicalizarse en el lenguaje por medio de una expresión simple.

Excepciones aparentes son sólo y muchos. Como de costumbre, se puedederivar un test a partir de la definición 7.14. (usaremos para denotar la



nlicación mutua entre oraciones del lenguaje natural. Es decir, ‘A O B

Unifica lA \ = B y B \ = A ’).

Test de con ser vat i vi d ad

D E T N V P O D E T N son N que SV

Compárense los siguientes ejemplos:

(72) Todos los muchachos caminaron <& Todos los muchachos sonmuchachos que caminaron

(73) Algunas muchachas están bailando <=>Algunas muchachas sonmuchachas que están bailando

(74) Sólo hombres fuman cigarros <£ > Sólo hombres son hombres que fuman

:igarros

Es claro que sólo no es un determinante conservativo: sól o hom br es no vive en[hombre]. La manera obvia de salvar el universal es considerar a sólo no comoun determinante, sino como un modificador de SN (es decir, como una expresión de tipo SN / SN ) . Las construcciones como las de (75) parecen confirmaresta perspectiva; por lo tanto, el análisis de sól o hombr es en (76), en el cual Arepresenta un determinante plural morfológicamente ‘nulo’, parece razonable(compárese la discusión en la sección sobre monotonicidad en §7.2.4.):

(75) Sólo J uan

Sólo el vecino

Sólo unas pocas muchachas

( 7 6 ) s w [ s n /,s j v [s ó 1o ] s i v [ D £ ; r [ A ] ^ [ h o m b r e s ] ] ]

Esto explica sólo , pero ¿cómo explicamos muchos ?

Ejercicio 7 . 9 .

De una interpretación de muchos que no sea conservativa.

Aunque el ejercicio 7.9. tiene una solución, puede haber razones para dudar delestatus de determinante de muchos , dado que, al igual que con pocos , un análisis de muchos como un adjetivo (N / N ) parece plausible. En primer lugar,ambos pueden ocurrir en posición prenominal, precedidos por un determinante



( l os m u ch os er r ores, l os pocos r esul t ad os). En segundo lugar, ambónformas comparativas y superlativas (más/ m enos, l a mayoría / l a m i n o r ' ^ ^ ' tercer lugar, pueden ocurrir como predicados ( l os n iños son muchos/ po f l

Ya sea que tratemos estas dos excepciones de esta o de otra manera °C°’Sseguro decir que la propiedad universal propuesta por Barwise yválida, por lo menos para el español.3 ':><r f s

Obsérvese, sin embargo, que si imponemos la conservatividad como ®restricción global sobre los significados de los determinantes del lenguaje ¡8tural, lo que obtenemos es considerablemente más fuerte. La conservati 'j Jcomo una restricción global viene a ser lo mismo que la afirmación de mitodos los determinantes, tanto simples como complejos, son conservativos Lmcontraejemplos de esta afirmación más fuerte ocurren en la forma de ‘detennti

nantes intensionales’. Asumiendo que se pueden formar nuevos determinantespor medio de la modificación adjetival de otros existentes, los siguientes sonejemplos de determinantes:

(77) Todos

Todos los grandes

(78) Algunos

Algunos pequeños(79) Todos

Todos los supuestos

Un momento de reflexión nos muestra que no sólo los determinantes simples en(77) y (78) son conservativos, sino que también lo son los complejos y restringidos: la restricción adjetival por medio de adjetivos intersectivos extensionales

preserva la conservatividad. Pero (79) muestraque esto no es cierto para larestricción por medio de adjetivos intensionales, como en (80):

(80) Todas las supuestas mujeres son hombres Todas las supuestasmujeres son mujeres que son hombres

Usualmente, estos casos se excluyen por medio del siguiente razonamiento: laTeoría de los Cuantificadores Generalizados era extensional de todas maneras,y si quisiéramos “intensionalizarla”, tendríamos que modificar la noción deconservatividad.

3N. de T .: ciertamente también para el inglés, que es el idioma original de los estudios de Barwise y Cooper.



I rimera vista es a Parece ser una reacción más bien extraña, aún si secuenta que hay una alternativa obvia: (81) no debe considerarse como

t jefleen de ¡os componentes del SN en (80), sino (82):la estruC

I d e t / d e t [supuesto]] ^[mujeres]](81) ^

g ' s N[ d e t \t°d°] TVU/7V[supuesto] n[mujeres]]]

tonces en lugar de (80), tendríamos la frase inobjetable (83):

-podas las supuestas mujeres son hombres <=>Todas las supuestasmujeres son supuestas mujeres que son hombres

por supuesto, si escogiéramos analizar el SN en (80) de la manera sugeridapor (82), deberíamos hacerlo así también en general, es decir, no sólo para elcaso de los adjetivos intensionales, sino también en el caso de los extensiona-les. En otras palabras, conjeturamos simplemente que no hay tal cosa como larestricción adjetival de los determinantes; los adjetivos son modificadoresdenombres de categoría N / N 4

Pero también hay buenas razones para escoger no tener que salvar de estamanera la universalidad de la conservatividad. Dado que si ignoramos la posibilidad de la restricción adjetival con los adjetivos intensionales, podemosdemostrar lo siguiente (cf. Keenan y Stavi (1986), donde se presenta una discusión cuidadosa de la conservatividad):

Hecho 7.5.

La clase de todos los determinantes conservativos es exactamente la clase de

todos los determinantes generados por (i) todos y algunos, (ii) combinaciones“booleanas” y (iii) restricción adjetival extensional

Ejercicio* 7.10.

Muestre que las operaciones booleanas y la restricción extensional preservanla conservatividad.

4N. de T.: dado que en inglés el orden de los adjetivos con respecto a los sustantivos es, salvo algunos casos marginales, contrario que en español, el argumento en cuestión es más

mteresante en el primer idioma que en el segundo. En español es mucho más claro que los ®djetivos no modifican al determinante, sino al sustantivo.



Gracias al hecho 7.5.. es atractivo retener la restricción adjetival de l0sminantes como un proceso sintáctico: puesto que puede decirse que el lenatural es ‘expresivamente completo’, v i sàv i s las denotaciones posiblesdeterminantes. ‘ 1

Un último contraejemplo potencial de la conservatividad como unUUcl T)iyvpiedad universal de los determinantes del lenguaje natural es todos

y Solo} Compare:

(84) Todos y sólo los muchachos patinaban o- Todos y sólo los muchach ison muchachos que patinaban

Obsérvese que la oración de la derecha de (84) es equivalente a (85):

(85) Todos los muchachos son muchachos que patinan y sólo los muchachos 'son muchachos que patinan

La oración del lado derecho de la ‘y’ en (85) es una tautología y, por lo tanto,es equivalente a (86):

(86) Todos los muchachos son muchachos que patinan

Ciertamente, el significado de (86) es distinto al de la oración de la izquierda de(84). Sin embargo, este contraejemplo puede cuestionarse: su validez dependede que t odo y sól o, como ocurre en t odos y sól o l os m uchachos , tenga el estatus de determinante. Anteriormente hemos observado que puede haber razonespara que sólo tenga el estatus de un modificador de SN . Sin embargo, todos y sólo no encaja fácilmente dentro de dicho análisis. En general, se asume quela coordinación no es (muy) ‘trans-categorial’: la coordinación es posible sólo

entre expresiones que pertenezcan a la misma categoría (principal). Esto parecería sostener, después de todo, el estatus de sólo como determinante, al

menos como aparece en esta construcción.Hemos prestado bastante atención a la conservatividad, dado que es la res

tricción global más importante y poderosa que se ha propuesto en la literatura.

7.2.5.3. Variedad

Una restricción global sencilla sobre los determinantes, que es plausible intuitivamente, es que los determinantes tengan la propiedad de la variedad:

5N. de T.: el determinante en la expresión tod os y sól o podría expresarse más c l a r a m e n t e

por t odos au nqu e ún i cam en te. Hemos escogido l a primera opción por razones de comodidad-



peflni^-

variedad sii existen X , Y tales que D ( X . Y ) y existen X . Y tales

If** oner la restricción de que los determinantes deben tener esta propiedad

(¡luyen determinantes ‘sin interés’, que son o bien siempre verdaderos o^ nunca verdaderos: sólo entran en consideración las relaciones contingentes.

Todos los determinantes simples tienen esta propiedad. Una excepción apaléate es por lo m en os n en un modelo con dominio de cardinalidad < n. Pero

este caso, como lo decidimos anteriormente, la interpretación de los de-lipjiinantes es indefinida (ver §7.2.4.). Si tenemos esto en cuenta (“en todomodelo donde D E T esté definido . . . ”), todos los determinantes simples tienen

la propiedad de la variedad.Los determinantes que no muestran variedad son combinaciones booleanasde determinantes, tales como un o o ni ngun o (que es válida para toda pareja(X, Y)) , o por lo m en os cuatr o y a lo sum o tr es (que no es válida para ningunapareja (X , Y ) ) . La existencia de este tipo de determinantes arroja una nuevaluz sobre el estatus de la variedad como una restricción global. Desde luegoque los determinantes como los de los ejemplos anteriores no son muy útiles:en este sentido no son expresiones ‘significativas’. Por otra parte, ellos existen ytienen significado. Por lo tanto, no podemos considerar la variedad como unarestricción que excluye sólo a las relaciones determinantes que son ‘antinaturales’, en el sentido de que no se usan en el lenguaje natural.

7.2.5.4. Continuidad

En la sección de aplicaciones, §7.2.4., discutimos la restricción de monotonici-dad, la cual establece que todos los SN simples del lenguaje natural expresancuantificadores monótonos o conjunciones de estos.

Un argumento para mostrar que no todos los determinantes simples sonmonotónicos se puede derivar de un ejemplo como un solo, que significa exac-

tam en te un o. Este no es un determinante monotónico, como lo muestran lossiguientes ejemplos:

(87) Un solo muchacho estaba soñando y= Un solo muchacho estaba dormido

(88) Un solo muchacho estaba dormido ^ Un solo muchacho estaba soñando



Gracias al hecho 7.5., es atractivo retener la restricción adjetival de lrminantes como un proceso sintáctico: puesto que puede decirse que elnatural es ‘expresivamente completo’, vi sàv i s las denotaciones posible¡determinantes.

Un último contraejemplo potencial de la conservatividad como \ piedad universal de los determinantes del lenguaje natural es

todos

utla Pro.

y sólo} Compare:

(84) Todos y sólo los muchachos patinaban <=>Todos y sólo los muchachos«son muchachos que patinaban

Obsérvese que la oración de la derecha de (84) es equivalente a (85):

(85) Todos los muchachos son muchachos que patinan y sólo los muchachosson muchachos que patinan

La oración del lado derecho de la ‘y’ en (85) es una tautología y, por lo tanto,es equivalente a (86):

(86) Todos los muchachos son muchachos que patinan

Ciertamente, el significado de (86) es distinto al de la oración de la izquierda de(84). Sin embargo, este contraejemplo puede cuestionarse: su validez dependede que t odo y sól o, como ocurre en tod os y sól o l os m uchachos, tenga el estatus de determinante. Anteriormente hemos observado que puede haber razonespara que sólo tenga el estatus de un modificador de SN . Sin embargo, todos y sólo no encaja fácilmente dentro de dicho análisis. En general, se asume quela coordinación no es (muy) ‘trans-categorial’: la coordinación es posible sólo

entre expresiones que pertenezcan a la misma categoría (principal). Esto parecería sostener, después de todo, el estatus de sólo como determinante, almenos como aparece en esta construcción.

Hemos prestado bastante atención a la conservatividad, dado que es la restricción global más importante y poderosa que se ha propuesto en la literatura.

7.2.5.3. Variedad

Una restricción global sencilla sobre los determinantes, que es plausible intuitivamente, es que los determinantes tengan la propiedad de la variedad:

5N. de T.: el determinante en la expresión tod os y sól o podría expresarse más claramente por t odos aunqu e ún ica m en te . Hemos escogido la primera opción por razones de comodidad.



peSnicW” T. I «-

tra variedad, sii existen X , Y tales que D ( X , Y ) y existen X , Y tales

•mponer Ia restricción de que los determinantes deben tener esta propiedad

cluyen determinantes ‘sin interés’, que son o bien siempre verdaderos o• nunca verdaderos: sólo entran en consideración las relaciones contingentes.

Todos los determinantes simples tienen esta propiedad. Una excepción apante es por lo m en os n en un modelo con dominio de cardinalidad < n. Pero

en este caso, como lo decidimos anteriormente, la interpretación de los denominantes es indefinida (ver §7.2.4.). Si tenemos esto en cuenta (“en todomodelo donde D E T esté definido . . . ”), todos los determinantes simples tienen

la propiedad de la variedad.Los determinantes que no muestran variedad son combinaciones booleanasde determinantes, tales como uno o ni ngun o (que es válida para toda pareja(.X ,Y) ), o por lo m en os cuat r o y a lo sum o tr es (que no es válida para ningunapareja ( X , Y ) ) . La existencia de este tipo de determinantes arroja una nuevaluz sobre el estatus de la variedad como una restricción global. Desde luegoque los determinantes como los de los ejemplos anteriores no son muy útiles:eneste sentido no son expresiones ‘significativas’. Por otra parte, ellos existen ytienen significado. Por lo tanto, no podemos considerar la variedad como unarestricción que excluye sólo a las relaciones determinantes que son ‘antinaturales’, en el sentido de que no se usan en el lenguaje natural.

7.2.5.4. Continuidad

En la sección de aplicaciones, §7.2.4., discutimos la restricción de monotonici-dad, la cual establece que todos los SN simples del lenguaje natural expresancuantificadores monótonos o conjunciones de estos.

Un argumento para mostrar que no todos los determinantes simples sonmonotónicos se puede derivar de un ejemplo como un sol o , que significa exac-

tam en te uno. Este no es un determinante monotónico, como lo muestran lossiguientes ejemplos:

(87) Un solo muchacho estaba soñando Un solo muchacho estaba dormido

(88) Un solo muchacho estaba dormido Un solo muchacho estaba soñando



Debe añadirse que el estatus de un sol o como determinante no es incontr 3vertible. Por otro lado, si uno lo acepta como determinante, la monotoniciJ Bcomo tal puede no ser una restricción global. En dicho caso, parece necesa^Bformular una propiedad más débil que caracterice exactamente aquellos detaSminantes que son o bien monotónicos, o bien una conjunción de determinant!3monotónicos. Esta propiedad más débil es la continuidad: '

Definición 7.17.

D es con t inuo sii para todo X , Y \ ,Y2, Y : si D ( X , Yí) y D (X , Y¿) y Y i cy c y !entonces D ( X , Y )

En Thijsse (1983), donde se propone a la continuidad como la propiedad rele-

vante, encontramos el siguiente hecho:

Hecho 7.6.

El conjunto de todos los determinantes continuos es exactamente el conjunto

de todos los determinantes monotónicos y sus conjunciones

Ejercicio* 7.11.

Muestre que todos m en os un o puede tomarse como la conjunción de determinantes monotónicos, pero no así un núm er o pa r de.

7.2.5.5. Extensión

La última restricción global propuesta y defendida en la literatura que queremos considerar aquí concierne una forma de independencia del contexto:

Definición 7.18.

D tiene extensión sii para todo X , Y ,E ,E ' : si E C E \ entonces D ( X , Y) enE sii D ( X , Y ) en E '

Los determinantes que tienen extensión son independientes del contexto, puessi se extiende el número de elementos del dominio, no se produce ninguna

diferencia en su interpretación. Estos son determinantes que no se refieren ala cardinalidad del dominio. Un ejemplo de una interpretación de un determinante que no tiene extensión es el siguiente:

lmuchoSl = { ( x . r ) | í í g ^ p > i r g j }



interpretación, muchos significa algo como ‘relativamente muchos o^ s en comparación con el dominio entero’. Esta interpretación es esen-

‘111110 te dependiente del contexto: si la cardinalidad del dominio se aumentadiminuye- el determinante puede hacer válidos algunos pares que no eran

válidos anteriormente.

7 2 6. Determinantes lógicos

P «ta última sección discutiremos brevemente el conjunto de restricciones*hre los determinantes que produce exactamente la clase de los determinan

tes lógicos (todo, algún, ningún, no todo). Nuestra exposición se basa en van

Benthem (1983, 1984b).■ A diferencia de las discutidas anteriormente, estas restricciones no son (to

das) restricciones globales, que expresan propiedades intuitivas y universalesdel significado de los determinantes del lenguaje natural. Más bien, nos preocupan aquí los principios con los cuales, de alguna manera, se caracterizanlos contenidos de estos determinantes lógicos, lo que explica qué es ser undeterminante lógico. Por supuesto, las restricciones discutidas anteriormente

todavía juegan un papel: ellas establecen el escenario.

7.2.6.1. El árbol de números

En esta sección introduciremos una restricción sobre los determinantes que,en combinación con la conservatividad y la extensión, hace posible la representación sencilla y transparente de los determinantes que satisfacen estasrestricciones. E ste método de representación, en forma de patrones que losdeterminantes le asignan a ‘árboles de números’, permite comprender claramente el carácter de varios determinantes y especificar más exactamente lo

que distingue a un determinante lógico de uno no lógico.La restricción en cuestión concierne el caracter cuan t i t a t i vo de ciertos de

terminantes. Consideremos (89):

x r X

---- -XY

a = c a r d ( X — Y )

V a 6c

) b = c a r d ( Y — X )

V y y c = c a r d ( X O Y )

^— __ ^ -----

d = ca r d (E — ( X U Y ) )



De te rm i nan t e Def in ic ión

Todo a = 0

Algún C 0

Ningún c = 0

La mayoríaMuchos“

c > a ..C \ C+Òc+a — c + a + b + d

aLa interpretación de m u c h o s es la interpretación dependiente

del con tex to presentada en §7.2.5. |

Cuadro 7.4. Determinantes cuantitativos

Con la ayuda de los números a, b, c, y d , definidos de esta manera,

mos definir la propiedad de cuantitividad. Un determinante cuantitativo es u*

determinante que no es sensitivo a las propiedades de los elementos, ni tamilpoco a las relaciones entre ellos, que pertenecen tanto al dominio, como a losconjuntos que dicho determinante relaciona:

Definición 7.19.

D es cuantitativo sii para todo X , Y : D ( X , Y ) depende sólo de a, b, c y d

De esta manera, los determinantes cuantitativos se pueden definir en términosde a, b, c, y d. únicamente. Presentamos algunos ejemplos en el cuadro 7.4.

No todos los determinantes son cuantitativos. Algunos dependen de másfactores además del número de elementos involucrados: por ejemplo, puedenser sensitivos a propiedades de (algunos de) estos elementos o a las relacionesentre ellos. Dos ejemplos de determinantes no cuantitativos que se han discutido frecuentemente son los determinantes de restricción adjetival, tales como

tod os l os gran des, y los determinantes posesivos, tales como de M ar ía. La siguiente definición equivalente de la cuantitividad puede ser útil para decidir

cuándo los determinantes son cuantitativos o no:

Definición 7.20.

D es cuan t i t a t i vo sii para toda permutación n de E : D (X ,Y ) sii D(Tr(X),Tt(Y)M

Una permutación de E no afecta los números relevantes a, b, c y d, peropuede afectar las propiedades de algunos de los elementos en el dominio y susrelaciones con otros elementos. Un determinante cuantitativo es insensitivo atales permutaciones, pero t odos los gr an des , por ejemplo, no lo es:



te modelo M es verdadero que todos l os gr an d es(X ,Y ). pero 110 es ciertotodos l os p equ eños(X .Y ), antes de la permutación n. En efecto, si sus-

'tuímos un elemento de los X grandes por un elemento de los X pequeños,ha cambiado cuantitativamente; 7r crea un modelo M ' en el cual a, b. c,

d tienen el mismo valor que en M . Pero en M ' no es cierto que todos los ^grandes(X,Y): los X grandes no están sólo en la parte sombreada (menos elintruso pequeño), sino que también hay un elemento grande por fuera de Y . Así que el determinante todos l os gran des es sensitivo a otras cosas distintasal número de elementos; su naturaleza (en este caso el que sea grande o no),también es relevante. Esto es, por supuesto, lo que se supone que la restricciónadjetival del determinante simple todo con grande debe hacer.

Un ejemplo similar muestra que un determinante posesivo tal como de

María tampoco es cuantitativo. En este caso, la relación de posesión es relevante para la validez de las afirmaciones de la forma de M ar ía( X ,Y ) . Estarelación no se preserva bajo permutaciones de E .

Casos como este se pueden cubrir por medio de una noción más sutil,llamada ‘cualidad’. Un dominio tiene cierta estructura, así que podemos limitarnos a aquellas permutaciones que la preservan. Los mismos determinantes,tales como todos los grandes y de M aría , suministran la información acerca

de la estructura relevante: todos l os gran des es cualitativo con respecto a todaslas 7r tales que x € [grande]] <=>7r(x) € [grande], y así en adelante.

La cuantitividad es una noción muy poderosa y, combinada con la conser-vatividad y la extensión, produce el siguiente resultado: si un determinante escuantitativo, sabemos que sólo a, b, c y d son relevantes para su interpretación. Si el determinante también satisface extensión, d ya no es relevante. Sitambién es conservativo, b tampoco juega ningún papel. En otras palabras,

la interpretación de todos los determinantes que son cuantitativos, conservativos e independientes del contexto con respecto a E se puede formular solamente en términos de los números a y c. Su significado queda completamenteespecificado sólo después de establecer el valor de verdad que produce el deter-



minante para cada par de números (a, c): verdadero o falso. En otras 1un determinante cuantitativo, conservativo que satisface extensiónsiderarse como una asignación de + o — para todos los pares de númerr ^ iLa representación resultante utiliza el ‘árbol de números’: °S 'Q' c). 1

c a r d ( X ) = 0 0,0

= 1 1,0 0,1

= 2 2,0 1,1 0,2

= 3 3,0 2,1 1,2 0,3

etc.

Si X no tiene elementos, tampoco X —Y , ni X H Y . Por consiguiente, a = c = q0,0. Si la cardinalidad de X es 1, entonces hay dos posibilidades para a y c- ei Ielemento pertenece a X — Y y, por lo tanto, no pertenece a X 0 V: i q 1

o viceversa: 0,1. Si X tiene dos elementos obtenemos tres posibilidades distiiZltas para a y c: ambos elementos pertenecen a X —Y y, por consiguiente. XfiYes vacío: 2,0; hay un elemento en 1 - 7 y uno en X fl Y : 1,1; y ambos 1elementos pueden pertenecer a X fl Y , mientras que X — Y es vacío: 0,2. Deesta manera se construye el árbol completo.

Podemos caracterizar el significado de un determinante que sea cuantitativo, conservativo y que satisfaga extensión en términos del árbol de números,

simplemente al establecer a qué pa r t e del árbol le asigna un más, es decir,para cuáles pares de números (a, c) es verdadero. Por ejemplo, todo es verdadero en la rama de la derecha del árbol, ningún es verdadero en la ramaizquierda; el es verdadero en (0,1) y no en otro lugar; y así sucesivamente.

Varios determinantes monotónicos pueden ser caracterizados en términosde los árboles: un determinante es mon| si en la línea horizontal a la derecha decualquier más sólo hay signos más. De manera análoga, un determinante

es l m o n si es verdadero para la línea a la izquierda de cualquier más. Para undeterminante que sea ]m on es cierto que si hay un más en un cierto punto, haysólo signos más en el triángulo que se extiende hacia abajo y que tiene comoápice dicho punto; lo mismo para [ m o n , pero con un triángulo que se extiende hacia arriba.

Para muchos propósitos, el árbol de númferos es una herramienta útil y seutiliza frecuentemente en la literatura.

7.2.6.2. Caracterización de los determinantes lógicos

¿Qué propiedades adicionales distinguen a los determinantes lógicos dentrode la clase de determinantes que satisfacen cuantitividad, conservatividad y



uaciones

b t •' ? Ahora presentaremos un análisis con el propósito de revelar algunasg;CtenS'0nsenl¿nticas que pueden ser interesantes en sí mismas.

J CÍ°nhem0s discutido las dos primeras propiedades: ellas son la continuidad¡ 'edad. Los determinantes lógicos son rnon j o m o n i y, Por 1° tanto,

y Ia. enos también satisfacen la variedad.c°nl‘ ¿os propiedades adicionales que necesitamos tienen que ver con una

. regularidad en el comportamiento de los determinantes y una inde-caS encia relativa con respecto a números específicos. Estas dos propiedadesPe” en ser características fundamentales de los determinantes lógicos (y de

¡^conceptos lógicos en general).La primera de estas dos propiedades es la siguiente (en adelante. ' D ( a , c )'.

te significa que D asigna un más al par (a,c); y ‘-i.D(a, c)’, etc., significa

queD asigna un menos al par (a, c)).

Definición 7.21.

D tiene la pr opi edad del más sii: si D( a , c), entonces D ( a + 1, c) oD (a, c + l );si -iD(a , c), entonces *D ( a + 1, c) o ~^D(a, c + 1)

Esta definición de la propiedad ‘del más’ establece que D no tiene ‘callejonessin salida’: si asigna un cierto valor de verdad, entonces es posible preservar

este valor de verdad si le añadimos un elemento a X . En particular, el númeroespecífico de elementos en X no influye en el comportamiento de D , mientrasque, por el contrario, esto es esencial para un determinante como l os n.

La segunda propiedad adicional, llamada un i f o rm idad u homogeneidad , esmás bien complicada de formular de manera exacta y general (además,varias formulaciones alternativas están disponibles). Esta propiedad hace queel patrón de valores de D sea ‘suave’, al no permitir en el árbol aquellos deter

minantes que muestran ‘patrones con saltos’. Por ejemplo, si un determinantees uniforme y muestra un patrón a de valores de verdad en algún lugar en elárbol, entonces no tiene permitido tener otro patrón, digamos b, en otra parteen el árbol:

a. + b. +

+

Esta caracterización informal se utiliza en la siguiente definición:

Definición 7.22.

D es un i f o rme sii D sólo muestra un patrón de valores de verdad



Si consideramos, como lo hace van Benthem (1987), que los cuantifir. 1son ‘autómatas semánticos’ que calculan un valor de verdad cuando se les j 8par de conjuntos como entrada, la uniformidad viene a ser lo mismo ^hecho de que un determinante siempre siga el mismo procedimiento. ^

Dadas estas dos propiedades adicionales, es claro cómo aparecen los r jminantes lógicos. ('r'

Consideremos el ápice del árbol de números, dónde c a r d ( X ) = fl Q i .J

c a r d ( X ) = 0 0,0

= 1 1,0 0,1

Un determinante imprime un patrón de signos más o menos en él. Hay o^Jpatrones posibles:

1. ++ +

2 . + ++ +

4. 5.

+

7. - 8. -

+

La propiedad de variedad prohíbe 1 y 8: la segunda fila debería tener tantomás, como menos. L a propiedad del más elimina a 4 y a 5: el más y el menosde la primera fila, respectivamente, deberían ocurrir de nuevo en la segundafila. Sólo quedan cuatro patrones, es decir, cuatro determinantes:

2. + 3. +

+ +

6. 7. -

+ +

En efecto, estos son los patrones de ningún, todo, no todo y algún , respectivamente. Para demostrarlo, debemos evidenciar que estos patrones persistenen el árbol completo de la manera adecuada. Podemos ver que esto es así alrefleccionar sobre la uniformidad y la continuidad. La uniformidad aseguraque obtendremos el mismo patrón en todo el árbol. E sto implica, por ejemplo,que las primeras cuatro líneas horizontales del árbol para todo se parecen aesto:



w = 1 - +

= 2= 3 ...

c a r d ( X ) = 0 +

trón de todo, dado anteriormente en 3. es el siguiente: ‘debajo de un más^ tramos a la izquierda un menos y a la derecha un más’. Esto nos da los

eIlCOn la rama derecha, con los menos inmediatamente a la izquierda. Lasmás en i»otras

posiciones en las líneas horizontales se determinan por la continuidad:Ha*dice qUe sólo puede haber menos hacia la izquierda (dado que entre dos

, la continuidad sólo permite otros más):nías,

c a r d ( X ) =0 += 1 - +

= 2 - - +

= 3 - - - +

Así pues, debido a la uniformidad y a la continuidad, el patrón 3, realizado enel ápice del árbol de números, sólo se puede extender en el patrón realizadopor el determinante todo.

Consideremos otro ejemplo: algún. El árbol de c a r d ( X ) = 0,1,2 y 3 tieneel siguiente esquema:

c a r d ( X ) =0

= 1 - +

= 2 - += 3 - +

En vista de la uniformidad, el patrón 7 es único y llena la rama izquierda delárbol, así como las posiciones inmediatamente adyacentes. El resto se completade nuevo por la continuidad y consiste sólo de signos más:

c a r d ( X ) =0= 1 - +

= 2 + += 3 - + + +

(Obsérvese que tener una tercera columna de la forma — + — llevaría a unacuarta columna que viola la continuidad). Con el mismo tipo de razonamiento,se puede mostrar que los patrones 2 y 6 se pueden expandir sólo en los de n i n-

gún y n o todo , respectivamente. Este es, por supuesto, sólo un esquema de lademostración. Para más detalles, debe consultarse la literatura mencionadaanteriormente. También se pueden encontrar allí los resultados sobre el efectode debilitar o borrar alguna de las propiedades involucradas.



¿Qué clase de determinantes resulta si no utilizamos la propiedad de la conf nuidad? 1

7.2.7. Desarrollos posteriores

Debemos hacer énfasis en que la lectura de las secciones precedentes sólo da Iuna primera visión superficial del campo y de sus muchos conceptos y prin, jcipios. Por ejemplo, se han realizado muchas investigaciones empíricas queno hemos mencionado: ter M eulen (1983); van Benthem y ter Meulen (1984)-Groenendijk et a l (1987b) y Gárdenfors (1988) son colecciones en las que sepueden buscar tales trabajos. Tampoco hemos prestado atención a la investi

gación de los determinantes por medio de conceptos de la Teoría de las Relaciones (véase Zwarts (1983) y, especialmente, van Benthem (1984b), donde seestudia la conexión entre el último enfoque y el de las restricciones globales).Tampoco tratamos la investigación sobre cuestiones de ‘expresibil idad’ (véase,por ejemplo, K eenan y Moss (1984), Thijsse (1984) y Keenan (1987)).

Otra falencia es que no le prestamos atención a las condiciones que tienenque ser satisfechas para incorporar la Teoría de los Cuantificadores Generalizardos a la gramática. Es obvio que ciertas condiciones deben imponerse sobre loscomponentes semánticos de dicha gramática y que el componente semánticotambién necesita satisfacer ciertos requerimientos. Algunas discusiones sobreeste tema son Zwarts (1986) y van Benthem (1986). El trabajo de Keenany Faltz (1985) debe mencionarse también en este contexto, dado que intentatransferir el concepto de estructura booleana, como se observó en el dominiode las interpretaciones de SN , a otros componentes de la gramática.

Ejercicio 7.12.

7.3. La Gramática Categorial Flexible y la Teoría de Tipos

En años recientes ha habido ciertos desarrollos interesantes en las investigaciones sobre Gramática Categorial, parcialmente inspirados en la Gramáticade Montague (véase el capítulo 6). Discutiremos algunos aspectos de este progreso, dado que involucra más vínculos con la Teoría de Tipos.

7.3.1. Cambio de categoría

Varias de las objeciones en contra de la sintaxis categorial clásica, mencionados en el capítulo 4, conciernen la rigidez de la asignación de las categorías alas expresiones. El lenguaje natural es más bien flexible en el comportamiento



¿e la combinación categorial. Por ejemplo, la negación no, que usualmente se jggifica como o/ o, no sólo ocurre como negación de oraciones (N o es el caso

e A r tu r o l l or e) , sino también como negación de predicados (L a m ayoría de t ebés no l l or an ), como negación de SN (N o t odo bebél l or a), como negación

j e adverbios (n o cr u elm en te) , entre otros. Y a desde 1972, Peter Geach propuso explicar este fenómeno introduciendo reglas de cambio de categorías que-:operan sobre las categorías básicas asignadas a una expresión y así producir

categorías admisibles sucesivas.Para evitar el exceso de barras diagonales utilizaremos una notación dis

tinta a la anterior:

(a, b ): ‘de la categoría a a la categoría V

Esta notación no se interpretará direccionalmente, es decir, no indica cuál

lado es el argumento que es tomado por el functor. Si se llega a requerir, elaspecto direccional se puede introducir en un estado posterior (obsérvese, sinembargo, que también hay otras razones lingüísticas de principio para preferirun enfoque no direccional; compárese Hoeksema (1984)).

Con esta notación, las reglas de Geach para cambio de categoría se leen dela siguiente manera:

Si una expresión tiene categoría (a, b), entonces también tiene categoría((c, o), (c, b)), para todas las categorías c

Por ejemplo, la negación de oraciones (o, o) también puede ocurrir como negación de predicados ((n, o), (n, o)), o cuando se usa la regla de Geach repetidamente, como en ((n , (n, o)), (n, (n, o))), se obtiene la negación de un verbotransitivo. Otra aplicación de este mecanismo concierne al análisis categorial

de los verbos transitivos que tienen SN complejos en la posición de objetodirecto. Una expresión como canta todas las baladas produce las siguientescategorías:

cantar todas las baladas(■n , (n , o ) ) ( (n , o) , o)

Estas categorías no se pueden combinar, por medio de la aplicación funcional,para formar la categoría final deseada, a saber,

(n, o).La regla de Geach nos da

una solución instantánea: ((n, o), o) se cambia por ((n , ( n , o ) ) , ( n , o )), y así la aplicación funcional es suficiente para producir el resultado deseado.

Otra manera, en efecto equivalente, de describir lo que está ocurriendo esafirmar que hay un incremento en las posibilidades de combinación categorial.



Además del método de aplicación funcional (que consiste de dos reglas,nuestra aproximación no direccional):

a + (a, b) =>■b ( ‘a combinado con (a, b ) produce í>’)(a, 6) + a =4>b

también permitimos la com posic ión fu n ci on a l :

(a ,b ) + (6, c) =>(a, c) (‘(a, 6) combinado con (6, c) produce (o, c)’)(6, c) + (a, 6) =>• (a, c)

Para ver que esto viene a ser lo mismo, obsérvese que con a = n. b = (n, ó) yflc — o, la derivación anterior del sintagma verbal es una instancia de la primera i

regla de composición.

Muchos lingüistas han (re) descubierto la regla de Geach como una herrarmienta descriptiva. Daremos otro ejemplo, esta vez de carácter morfológico,que aparece en M oortgat (1988) y Hoeksema (1984). Los verbos pueden nomi-nalizarse, como en en señar es un a acti vi d ad gr at i f i can te. Parece natural que secategorice esta nominalización como ((n, o) , n), en otras palabras: una propiedad se convierte en un objeto. Pero esto genera problemas con una expresióncomo constr u yen d o Ver sal l es, donde el verbo nominalizado construyendo tiene

un objeto directo. Una manera de explicar esto es por medio del siguienteanálisis:construir Versalles(n, (n, o)) + n

•U- -yendo

(n,o) + ((n, o), n)

4n

Aquí, primero hemos combinado cons t ru i r como verbo transitivo con su objetodirecto Versalles, nominalizando el resultado al combinarlo con la partículayendo. El problema es, por supuesto, obtener la forma morfológica correcta,es decir, obtener la partícula en el verbo.

Por lo tanto, el siguiente análisis, que usa la regla de Geach, sería másnatural desde un punto de vista metodológico:

construir -yendo( n , ( n , o ) ) + ((n,o),n) JJ. Versalles

(n, n) + n

n



tipos de reglas de cambio se han propuesto en los años recientes. Un

mpl° es la ‘reSla de Montague’:

de categoría a a categoría ( (a ,b ) ,b ) , para toda categoría b

Este principio explica el fenómeno de la coordinación, como en el siguiente

ejempl°:María y todo muchacho

n a-

( (n , o ) ,o ) A ( ( n , o ) , o )

U((n,o),o)

Compárese el tratamiento de los términos y los nombres propios en §6.3.4.Otras formas de flexibilidad en la Gramática Categorial se pueden encontrar, por ejemplo, en Partee y Rooth (1983); van Eyck (1985); Groenendijk y

Stokhof(1984,1988a).

7.3.2. Un punto de vista lógico

No toda transición entre categorías debe considerarse como un tipo de regla de

cambio bien motivado. En efecto, los ejemplos dados anteriormente muestranun patrón bien definido. E sto fue observado por Lambek (1958), quien hace unaanalogía con las imp l i cac iones lógicas: en muchos aspectos, un tipo funcionalcomo (a, b) se comporta como una implicación a —>b. Esta analogía nos dauna explicación de los tipos de cambio anteriores en términos de implicacioneslógicas entre formulas implicacionales:

a —>b |=(c —y a) —>(c —>b) (Regla de Geach)a \ = (a —> b) —> b (Regla de Montague)

Este test también es adecuado para otros tipos de flexibilidad. Por ejemplo,Partee y Rooth usan la ‘disminución del argumento’:

( ( (a ,b ) , b) ,c) => (a, c)

que también es válida como una ley de la implicación:

((a —►b) —>b) —►c )=a —>c

Estas transiciones válidas se pueden describir como una lógi ca i m pl i caciona l , tal como lo hizo Lambek. Para este propósito, la deducción natural, como se



presenta en el volumen 1, capítulo 4, resulta ser muy útil. El ‘L am bek calcul us' se puede describir como una lógica implicacional i n tu i c i on i s ta , con varias res- [tricciones adicionales sobre las reglas de ‘contabilidad’ para las suposicionesque se usan en las derivaciones.

Ejemp lo : Una derivación de la regla de Geach

1 a -->b

2 c —>a

3 c

4 a

5 b

6 c —>b

7 (c -» a) — b)

=»E, 2, 3

=>E, 4, 1=>I

=>I

No todas las leyes de la implicación del sistema presentadas en el volumen 1son admisibles aquí; por ejemplo, b —►a no se deriva de a. Esto, dado que elLambek calculus sólo permite retirar las suposiciones que en efecto se usan.

Y , ciertamente, en el lenguaje natural las transiciones como o => (n, o) (‘unaoración se vuelve un verbo intransitivo’) no parecen ocurrir.

Incluso así, existen varias opciones lógicas defendibles para un sistemarazonable de cambio de categoría. Por ejemplo, en la variante más estricta noes válido que:

a —>(a —>b) h a —y b

La razón es que el uso múltiple de la misma suposición (que se necesitaría enesta derivación) tampoco es permitida en el L ambek calcul us. Se podría argumentar que este patrón ocurre ocasionalmente en el lenguaje natural, porejemplo, en una transición como la siguiente:

lavar

(n, (n,o))lavarse(n,o)

Pero no parece que haya una licencia lingüística general para perder argumentos de esta manera. Sin embargo, la imagen general es esta: debajo de la lógicaintuicionista, o incluso la lógica condicional minimal del volumen 1, yace un espectro de lógicas implicacionales más débiles que pueden servir como ‘motores



categoriales’ para el cambio de categoría. Un sistema interesante de este tipoeS el L ambek calculu s, que permite retirar sólo una ocurrencia de una suposición en la regla de introducción para la implicación. Es decir, es una lógica deocurrencias de premisas. Pero para ciertas aplicaciones, también es prudenteestudiar lógicas más fuertes que permitan usos múltiples de suposiciones.

Una manera más sistemática de ver tales opciones para el cambio de categoría tiene que ver con la siguiente pregunta más bien obvia: en el análisisque acabamos de presentar, las transiciones de categoría tomadas como implicaciones muestran un patrón sintáctico y deductivo interesante, pero ¿cuál essu signi f icado semántico?

Esta pregunta es fácil de responder en casos específicos. Por ejemplo, la regla de Geach es atractiva precisamente por su ‘receta’ naturalsubyacente para

convertir un significado decategoría (a, b) en uno de categoría ((c, a), (c. b)):

de a Ay(c a)A2c[i f(a;6)(y(c a)(zc))]

Obsérvese cómo el A-operador introducido en el capítulo 4 juega aquí un papelcrucial.

De manera análoga, aquí está la receta para la regla de Montague:

de M a a Ay(a 6)[y(aj6)(M a)]

La evaluación de expresiones procede, entonces, por medio de una interacciónde cambio de categoría y aplicación funcional ordinaria, de la siguiente manera:

María canta todas las baladas

n (n, (n, o)) ((n,o),o)

An n,(n,o)) )a C((n,(n,o)),(n,o))

^'E(n,(n,o))^yn [C ((n ,o),o) (* (n,(n,o)) (?m ))]

+

( n , o )

[ C ( ( n , o ) ,o ) (% ( n , ( n , o ) ) (?/n))] (- (n ,(n,o)))

que se reduce por A-conversión a:

A /n [C((n,o),o)(- (n,(n,o))(yn))]

+

Ayn [C((ni0)t0) (5(n,(n,o)) (2/n))]{An) que se reduce a la lectura deseada:

Podríamos imponer la restricción general sobre las reglas de cambio de categoría que dice que las reglas ‘razonables’ son las que tienen una explicación



tipo-teórica. Ahora, podemos hacer algunas observaciones lógicas sobre estetema (véase van Benthem (1986, cap. 7)). Todas las derivaciones en el Lambek calculus pueden recibir sistemáticamente tales términos tipo-teóricos: las transiciones de categoría correspondientes son correctas en el sentido que acabamosde plantear. También hay resultados recíprocos que indican cómo términostipo-teóricos se pueden asociar, efectivamente, con derivaciones implicaciona-les. La situación general es diversa. Cálculos implicacionales distintos corresponden a f ragmentos distintos de un lenguaje tipo-teórico con A-operadores—en donde el cálculo intuicionista completo corresponde al lenguaje completo,pero el L ambek calcul us utiliza sólo una parte— . Más aún, ha habido más investigaciones sobre restricciones adicionales a los cambios de categoría ‘naturales’,es decir, ‘A-recetas’, que pretenden asegurar que las ‘A-transformaciones’ de las

denotaciones originales retengan aproximadamente el mismo comportamiento

semántico que los originales.

De esta manera, parece que hay una familia de gramáticas categorialesde cambios de categoría flexibles. Las investigaciones actuales se concentransobre las propiedades técnicas de dichas gramáticas. Un asunto importanteaquí es reconocer el poder de dichas gramáticas (véase vol. 1, cap. 8). Probablemente, las gramáticas categoriales basadas en las reglas Lambek originalesreconozcan sólo lenguajes independientes del contexto, pero esta cuestión nose ha resuelto aún. Resulta curioso que cálculos más poderosos puedan perder poder de reconocimiento, incluso al punto de que sólo puedan reconocerlenguajes regulares.

Una segunda serie de preguntas concierne a las propiedades semánticasde los A-términos que las gramáticas flexibles le asignan a las expresiones.Por ejemplo, se ha demostrado que, sin importar cuántas lecturas de unaexpresión sean producidas por derivaciones en el

L ambek calculus,las ‘recetas

de significado’ relacionadas producen sólo un número f i n i t o de significadoslógicos no equivalentes. En este sentido, la riqueza de los cambios de categoríase mantiene dentro de bordes razonables.

Además, en este escenario se investigan varias general izaciones de propiedades semánticas importantes, tales como la monotonicidad (véase §7.2.). Nosólo los SN y los determinantes pueden ser monótonos, también pueden serlo

los adjetivos, las expresiones adverbiales y las preposiciones. Este es un ejemplode una tendencia actual de formular de manera general observaciones semánticas acerca de categorías especiales (cuantificadores, verbos, adverbios). Porejemplo, la noción central de conservatividad encontrada en los determinantesresulta ser una instancia de un comportamiento res t r i c t i vo general de sintag-



pxas nominales a lo largo de expresiones enteras. Testigos de esto son patrones

como los siguientes:

■Todo A le teme a u n B ^ Todo A le (teme n(A x B )) a un B

m Ningún A le dio un i? a todos los Cs Ningún A le (dio n(^ x B x C ))

un B a todos los Cs

E n efecto, podemos d e r i v a r de manera sistemática tales formas más complejas de conservatividad, a través de A-recetas que acompañan la derivacióncategorial de dichas oraciones. De esta manera, incrementamos nuestra comprensión del sistema categorial de lenguajes naturales como estos.

7.3.3. Desarrollos adicionalesEn este momento se están investigando varias extensiones y variantes delenfoque explicado anteriormente. Hemos mencionado la discusión acerca

de la naturaleza precisa del vínculo entre el cambio semántico de tipos y elcambio sintáctico de categoría. Otros tópicos tratan sobre varias extensiones

del enfoque tipo-teórico hasta ahora formulado. Una de tales extensiones tratasobre el siguiente fortalecimiento lógico: la Gramática Categorial estándar

produce significados que pueden describirse al utilizar sólo ap l i cación fu n ci o-

nal, los cambios de categoría introducidos en §7.3.1. y §7.3.2. también danlugar a la A-abstracción. El siguiente paso puede ser la admisión de ident idad lógica entre términos tipo-teóricos. Un ejemplo lingüístico de esta característica es el que se presenta a continuación, el cual proviene del alemán:

Der Heinrich

El determinante d e r e s de categoría ((n, o), ((n, o), o)) y el nombre propio He i n-

r ich es de categoría n. Si un SN , es decir ((n, o), o), es el resultado de la aplicación de uno al otro, la categoría de He in r i ch debe convertirse a (n, o). Unareceta posible podría ser utilizar la siguiente identidad:

n =>• (n, o)

de A n a Ayn [An = Vn] (la propiedad de ser A n )

Otra extensión lleva a la adición de tipos in tensionales (véase §5.6.), dadoque los cambios de categoría también ocurren en contextos intensionales; hasta ahora, ningún sistema ha sido propuesto para este propósito. Finalmente,



mencionamos un asunto posiblemente más sorprendente: es posible proponerun mecanismo general para el lenguaje natural, tal como el cambio de categoría; sin embargo, no podemos dejar el asunto así no más, dado que estemecanismo expondrá comportamientos i n te rac t i vos con otras característicasimportantes del lenguaje natural. Por ejemplo, si podemos hacer deduccioneslógicas a partir de cierta expresión, ¿qué pasa si esta expresión se exponea un cambio de categoría? ¿Se preservarán las conclusiones y, en dicho caso, dequé manera? En efecto, hay una línea de investigación actual que trata sobrela inferencia y el cambio de categoría en los cálculos combinados. Otros tipos deinteracción todavía esperan ser investigados.

L iteratura adicional sobre estos temas se puede encontrar en Oehrle et al. (1988); Buszkowski et al. (1988) y K lein y van Benthem (1988).

7.4. Teoría de Representación de Discursos

7.4.1. Introducción

La Teoría de Representación de Discursos es una teoría semántica para ellenguaje natural desarrollada a comienzos de los ochenta por Hans Kamp(1981). Muchas ideas incorporadas en esta teoría estaban presentes de forma

seminal en trabajos anteriores de varios autores. Aproximadamente al mismotiempo se desarrollaron propuestas similares de manera independiente, entreotras, las presentadas por Irene Heim (1982, 1983) y Pieter Seuren (1985).

Una de las características de la Teoría de Representación de Discursos,como su nombre lo sugiere, es que se centra en la interpretación semántica dediscursos, es decir, en sucesiones coherentes de oraciones, también llamadas‘textos’; en lugar de oraciones aisladas, como en la Gramática de Montague.

En la Teoría de Representación de Discursos, de ahora en adelante d r t (porsu sigla en inglés), la unidad primaria semántica (y sintáctica) no es la oración,sino el discurso (o el texto).

Otra característica de la DRT es que considera la interpretación semánticano como una relación directa entre expresiones y (un modelo de) la realidad,sino que postula un nivel intermedio de representación semántica en dondese almacena la información expresada por un discurso. Esta característica se

refleja también en el nombre de la teoría.A diferencia del nivel intermedio de la Gramática de Montague, en dondelas estructuráis sintácticas se traducen en expresiones del sistema de la lógicaintensional (véase §6.2.), el nivel correspondiente de la representación de discur-



gos en la DRT se considera un componente esencial de la gramática. Se asumeque no es posible proceder sin este nivel de análisis, mientras que el nivel detraducción en la Gramática de Montague sólo está allí por conveniencia, lo quelo hace eliminable gracias a la composicionalidad de los procesos de traduccióne interpretación. Así pues, el “representacionalismo” de la DRT la convierte en

una teoría no composicional.La idea es que una representación de discurso refleja la información expre

sada por un discurso. Como tal, debe ser considerada como una descripciónparcial de la realidad. Ciertamente, un texto nunca da información sobre todolo que es verdadero en alguna realidad (ficcional o de otro tipo); él sólo describea lo sumo una parte de ella. El significado de una expresión será consideradoprimariamente como la contribución de dicha expresión a la representación del

discurso, dado por el todo mayor en el cual ella ocurre. Este concepto de significad i difiere del concepto familiar de interpretación de una expresión en unmodelo. En este último, una expresión es interpretada dentro de una imagencompleta de la realidad.

Sin embargo, este nivel más familiar de interpretación semántica tambiénestá presente en la DRT, en la forma de la definición de la verdad de un discurso,la cual se define en términos de si la información parcial representada puede

imbuirse en el modelo completo.Hay varios motivos para el desarrollo de la DRT. Primero que todo, están en

juego asuntos generales teóricos y metodológicos. Se asegura que la DRT salvala brecha entre la visión (psico-) lingüista del significado, en la cual las estructuras sintácticas se relacionan con las representaciones mentales y la visiónlógico-semántica, en la cual las estructuras sintácticas se relacionan con (unmodelo de) la realidad. A este respecto, se dice que la DRT reconcilia la visión

declarat iva o estática del significado, con la visión pr oced im en tal o dinámica. Lavisión dinámica, que es dominante en ciencia cognitiva, sostiene que el significado de una expresión debe considerarse como una instrucción para el oyentede ‘construir’ (parte de) una representación. La visión estática es defendidausualmente por lógicos y filósofos del lenguaje; ella conecta el significado concondiciones de verdad o, más generalmente, con condiciones de denotación.

Por supuesto que los motivos detrás del desarrollo de la DRT no son sólo

metodológicos; esta teoría también pretende dar cuenta de cuestiones empíricas que otras teorías semánticas, por ejemplo la Gramática de Montague, nopueden explicar. Un grupo importante de dichos fenómenos trata sobre la interpretación de pronombres y, en particular, de las relaciones anafóricas entrepronombres y términos indefinidos, tanto dentro, como a través de las fronte



ras de la oración; la DRT provee una solución para varios problemas en estecampo. Otras áreas en las que la DRT se ha aplicado incluyen la interpretaciónde tiempos y aspectos verbales, en particular el papel que estos juegan en establecer la coherencia de textos, y el análisis de oraciones de creencia y otrosreportes de actitudes proposicionales.

En esta introducción nos concentraremos en algunos problemas centralesdel primer grupo de fenómenos. L o hacemos así por razones de exposición,dado que aquí se puede mostrar más claramente el contraste entre la DRT y

la Gramática de Montague. Alguna distorsión puede resultar de este enfoque.Ciertamente, no debe entenderse que la aplicación de la DRT a otros fenómenosempíricos es menos importante. El lector es referido a los trabajos de Heim,K amp y Seuren y a la literatura mencionada en §7.4.6.

Introduciremos la DRT desde el punto de vista de la Gramática de Monta

gue. En §7.4.2. presentaremos ciertos problemas con las relaciones anafóricasy términos indefinidos que surgen en la Gramática de Montague. L uego, esbozaremos la solución que la DRT ofrece para esos problemas. E n §7.4.3. daremosuna introducción informal a la DRT. En §7.4.4. daremos definiciones de la sintaxis y la semántica del lenguaje formal usadas en la DRT para representar lainformación expresada por un discurso.

Como lo indicamos anteriormente, el nivel intermedio de representación de

discurso que la DRT postula va en contra del principio metodológico de la com-posicionalidad, que ocupa una posición central en la Gramática de Montague.En §7.4.5. trataremos este asunto y sostendremos que, a diferencia de lo quese sugiere usualmente, el “representacionalismo” n o es esencial para la DRT,

en el sentido de que su poder explicativo no lo presupone. El éxito empírico dela DRT descansa más bien sobre su visión procedimental y dinámica del significado.

7.4.2. Algunos problemas con las relaciones anafóricas ylos términos indefinidos

En la Gramática de Montague, como se presentó en el capítulo 6, los pronombres anafóricos, es decir, los que se interpretan como ‘refiriéndose de nuevo’a la denotación de un término, se analizan sistemáticamente como variablesacotadas. Los siguientes ejemplos ilustran esto:

(91) J uan ama a María y él la besa

(92) Toda mujer ama a un hombre que la admira



En la oración (91) se entiende que él se refiere de nuevo a J uan y la, a María;en (92), el pronombre la está acotado por el término cuantificado toda m uj er . por supuesto, también hay lecturas de (91) y (92) en las que los referentesde los pronombres están determinados de manera distinta; pero este uso deíc-tico de los pronombres no nos concierne aquí, y en adelante ignoraremossistemáticamente esta posibilidad.

Las lecturas previstas de (91) y (92) se obtienen en la Gramática de Mon-tague por medio de las reglas de cuantificación (véase §6.3.8.). Por ejemplo,la oración (91) se deriva de una estructura oracional en la que ocurren dosvariables sintácticas distintas, él\ I 02 am a y él\ I 02 besa, en las cuales se introducen sucesivamente los términos Juan y M aría , por medio de la regla decuantificación S8, n. El efecto de esta regla es el siguiente: el término en cuestión se sustituye por la primera ocurrencia de la variable sintáctica relevante

y los pronombres adecuados, es decir, los que concuerdan en género, número ycaso con el término en cuestión, toman el lugar de las otras ocurrencias. Dichosea de paso, se puede observar que el uso de un tipo de pseudo-pronombre como una variable sintáctica puede llevar a confusiones: las variables sintácticasen sí mismas no son pronombres, pero pueden reemplazarse por ellos de sernecesario. Podríamos haber utilizado x e y en lugar de éli y éfo.

Semánticamente, el proceso de cuantificación corresponde a lo siguiente:

una variable sintáctica se traduce en una variable lógica. Luego, la fórmulaque es la traducción de la oración en la cual ocurre la variable sintáctica setransforma en una expresión que se refiere a la propiedad por A-abstracciónsobre la variable lógica. Los términos se traducen en expresiones que se refierena conjuntos de propiedades y la traducción de la oración final, con el terminocuantificado, es el resultado de aplicar la traducción del término a la intensiónde la A-expresión. El resultado es una fórmula que afirma que la propiedad

expresada por la A-expresión pertenece al conjunto de propiedades que es ladenotación de la traducción del término. Si éste es un término cuantificado, talcomo toda m u jer o un hombr e, entonces por A-conversión el cuantificador queaparece allí acota las ocurrencias de las variables libres en la oración original.En la traducción de los nombres propios, todas las ocurrencias se reemplazanpor la constante que aparece en la traducción del nombre propio. En estesentido, los pronombres anafóricos se consideran como variables acotadas en

la Gramática de Montague.¿Cuáles son las dificultades que surgen de este tratamiento de pronombres

anafóricos, para los cuales la d r t intenta dar una solución? En esta sección nosrestringiremos a la discusión de tres ejemplos que, aunque son aparentemente



simples, ilustran los problemas mayores. Por supuesto, hay más fenómenos relacionados con los términos y las relaciones anafóricas. Para una revisiónrigurosa y extensiva referimos a Heim (1982, cap. 1).

El primer tópico se centra en el tratamiento de las relaciones anafóricas quecruzan los bordes de la oración. La Gramática de Montague no puede tratarefectivamente este tipo de relaciones anafóricas. Consideremos el ejemplo (93):

(93) Un hombre camina por el parque. El silba

El pronombre él, en la segunda oración, está acotado por el término un hombre de la primera oración. En otras palabras, esta sucesión de oraciones tiene elmismo significado que la oración simple (94):

(94) Un hombre camina por el parque y silba

Derivar (94) en la Gramática de Montague con la lectura deseada es fácil . Elproceso de cuantificación, bosquejado en los párrafos anteriores y discutidoextensivamente en §6.3.8., nos permite derivar (94) con la traducción reducida(95) (ignoraremos la estructura interna de cam in a por el parque y la traduciremos por la constante de predicado sencilla CAMINA POR EL PARQUE):

(95) 3x (h o m b r e (x ) A c a m i n a po r el p a r q u e (x ) A s i l b a (x ))

Esta fórmula no sólo expresa el significado correcto de (94), sino que tambiénprovee el significado de (93). A primera vista, extender la Gramática de Montague para obtener un tratamiento satisfactorio de ejemplos como (93) pareceser un asunto sencillo. Podemos introducir una operación sintáctica de ‘se-

cuenciar oraciones’, que se interpreta semánticamente como una conjunción,y aplicar también la regla de cuantificación a las sucesiones de oraciones. Sicomenzamos con las oraciones El i cam in a por el par que y Eli si lba, formamos, a partir de ellas, El i cam i na por el parque. E l i si lba, y en esta estructuracuantificamos el término un hombre. El resultado (reducido) es (95).

Pero hay un problema. El discurso (93) se puede continuar con oracionesen las que el pronombre él ocurre de nuevo, con la intención de referir de nuevo

a un hombre, tal como ocurre en (96):

(96) Un hombre camina por el parque. Él silba. Aparentemente [él] está debuen humor



Si derivamos las dos primeras oraciones de (96), es decir (93), como se describió anteriormente, no es posible añadir la tercera oración de tal manera que laocurrencia de él sea acotada por un hombre. En general — y también en el casode (93)— esta manera de dar cuenta de la referencia anafórica que cruza losbordes de las oraciones presupone que primero se genere el texto completo,con variables sintácticas en los lugares adecuados, después de lo cual tienelugar la introducción de los términos requeridos y sus pronombres anafóricosdependientes, por medio del proceso de cuantificación.

Pero desde la perspectiva semántica, realizar este proceso implica que lainterpretación de un término y de los pronombres anafóricos relacionados sólotenga lugar cuando se esté seguro de que el discurso o texto no continuará, sinoque está cerrado. E sto implica que el proceso de interpretación no proceda pasopor paso, aunque así sea como percibimos el proceso intuitivamente. Cuando

leemos u oímos un texto, analizamos e interpretamos primero la primera oración, después la segunda y así en adelante. En otras palabras, la interpretaciónes un proceso de incrementos: la interpretación de oraciones anteriores influenciará la de oraciones posteriores, lo que presupone que la interpretación de lasprimeras oraciones estará disponible más adelante. Por otro lado, la maneraque tiene la Gramática de Montague de explicar las relaciones anafóricas pormedio de las reglas de cuantificación no concuerda bien con esto. Siempre que

una relación anafórica cruce la frontera de una oración, la interpretación de laprimera oración no puede determinarse hasta que el discurso esté completo,es decir, hasta que el texto completo esté disponible. En otras palabras, untexto sólo se puede interpretar holísticamente, no por incrementos.

Uno podría considerar esto como un resultado un tanto contraintuitivo,como una de esas ocasiones inevitables en las que la explicación teórica y laintuición pre-teórica divergen. Pero un segundo ejemplo mostrará que el pro

blema es más profundo. Consideremos la siguiente variación de (93):

(97) Exactamente un muchacho camina por el parque. É l silba

Si derivamos (97) de la misma manera que (93), cuantificando el términoexactam en te un m uchacho en la sucesión abierta de oraciones Elo cam i na por el par que. Elo si lba, el resultado es la traducción (reducida) presentada en (98):

(98) EkVy((MUCHACHO(y) A CAMINA POR EL PARQUE(y) A SIL BA(y)) X=y)

Pero (98) no representa el significado de (97). Esta fórmula dice que hay exactamente un individuo que tiene las propiedades de ser un muchacho, de caminar



por el parque y de silbar; en otras palabras, hay exactam en te un m uchacho cam in and o y si l bando p or el parque no excluye que otros muchachos caminenen el parque. Sin embargo, el significado de (97), por otro lado, es que hayexactamente un muchacho en el parque y que este muchacho está silbando.Por lo tanto, es (99), y no (98), la fórmula que proporciona la representacióncorrecta del significado de (97):

(99)3x(Vy((MUCHACHO(y)ACAMINA POR EL PARQUE(y))<->X=y)ASILBA(x))

Esta observación muestra que el problema de extender la Gramática de Monta-gue de la manera esbozada anteriormente no es sólo que explique las relacionesanafóricas que cruzan los bordes de las oraciones de una manera contraintui-

tiva; sino también que produce predicciones erradas.La diferencia entre los ejemplos (93) y (97) también hace que sea intuitiva

mente claro por qué este método es, en general, incorrecto. La idea subyacentees considerar un discurso o un texto como una descripción de una propiedadcompleja adscrita subsecuentemente al término en cuestión. En el ejemplo (93),esto resulta en que la propiedad ‘caminar por el parque y silbar’ se aplicaa un hombre, lo cual es correcto. Por otra parte, el resultado de la opera

ción en el caso de (97) es que la propiedad ‘caminar por el parque y silbar’ seaplica a exactam en t e un m uchacho, lo cual no es el significado de (97); mientrasque (93) y (94) son equivalentes a (100), (97) no es equivalente a (101):

(100) Un muchacho camina por el parque y silba

(101) Exactamente un muchacho camina por el parque y silba

En la sucesión de oraciones de (97), primero se afirma que hay exactamente unmuchacho que está caminando por el parque y luego se afirma de este muchachoque está silbando. E sto también puede describirse de la siguiente manera:la primera oración i n t roduce un individuo, el único muchacho que camina por elparque, y la segunda oración proporciona una descripción adicional de esteindividuo: él silba. Esto sugiere una manera bastante general de tratar lacontinuación de un texto. Por ejemplo, la sucesión en (97) se puede continuarcomo en (102):

(102) Exactamente un muchacho camina por el parque. E l silba. El tiene losojos azules



Como lo observamos anteriormente, el enfoque de la cuantificación encuentradificultades aquí. Sin embargo, si seguimos la sugerencia hecha anteriormente, parece que hay una manera de evitar estas dificultades. Mientras el textocontinúa, vamos atribuyéndole más propiedades al individuo introducido. Porsupuesto, podemos tratar un ejemplo como (93) de la misma manera: la primera oración introduce un individuo (no necesariamente único) que es un hombre

y que camina por el parque. Las oraciones subsecuentes adscriben más propiedades al individuo: silba, está de buen humor y así en adelante.

Tales individuos, primero introducidos y después descritos en un discurso otexto, se llaman aveces r efer en t es del d i scu r so. Ellos son lugares para los individuos a los que se refiere el discurso o texto. Observamos anteriormente que undiscurso dado casi siempre proporciona sólo una descripción parcial de ciertodominio. Ya sea que el discurso es verdadero o no, en un modelo dado depende

de si se puede establecer una correspondencia entre los referentes del discursointroducidos por el discurso e individuos reales en el dominio del modelo, de talmanera que todas las afirmaciones hechas en el discurso acerca de los referentesdel mismo sean verdaderas. Algunas veces hay una sola manera de obtener talcorrespondencia y algunas veces hay más de una.

Estas observaciones informales acerca de cómo interpretar un discursoyacen en el fondo del enfoque de la DRT. Pero antes de entrar en detalles quere

mos discutir un tercer fenómeno que la Gramática de Montague no puedeexplicar y para el cual la DRT propone una solución.El problema en los ejemplos discutidos anteriormente trata sobre

sucesiones de oraciones, donde un pronombre en una oración está relacionadoanafóricamente con un término indefinido en una oración precedente. El tercerfenómeno también trata sobre términos indefinidos y pronombres anafóricos,pero esta vez dentro de las fronteras de la oración. Consideremos los siguientesejemplos:

(103) Si J uan tiene un burro, [él] lo golpea

(104) Todo granjero que tenga un burro lo golpea

En la oración (103) encontramos un término indefinido en el antecedente deuna implicación y un pronombre en el consecuente; en la oración (104) encon

tramos un término indefinido en una cláusula relativa que modifica un términocuantificado universalmente y un pronombre en la cláusula principal. Ambasoraciones ilustran el mismo problema, el cual se conoce en la literatura comoel problema de las oraciones burro. El problema es el siguiente: un análisis



semántico correcto de los ejemplos (103) y (104) debe producir las sigUierit 1traducciones (reducidas):

(105) Vx ((b u r r o (x ) á t e n e r ( j u a n ,x )) —►g o l p e a r ( j u a n ,x))

(106) VxVy ((GRANJ ERO(x) A BURRO(y) A t e n e r (x , y )) —►GOLPEAR(x, y)\

El problema, por supuesto, no es cuál es el significado de las oraciones (103)y (104) o cómo debe representarse; las fórmulas de la lógica de predicados deprimer orden (105) y (106) expresan sus significados adecuadamente. El núcleo

del problema, como en los ejemplos discutidos anteriormente, es cómo obtener

las representaciones de (105) y (106).Veamos más de cerca el ejemplo (103). Notamos inmediatamente que el

término indefinido un bur r o aparece de nuevo en (105), no como un cuanti-ficador existencial, sino como uno universal que tiene alcance sobre toda laimplicación. Esto es correcto en vista del significado de (103); la preguntaahora es cómo obtener este significado de una manera composicional. Parecerazonable asumir que al término un bu r r o , tal como ocurre en oraciones como(103) y (104), se le asigna su significado usual, representado en IL por la expresión familiar AX 3x [BURRO (x) A v X(x)]. Pero si queremos derivar (103)

de tal manera que el pronombre l o en el consecuente de la implicación estéacotado por el término un bur r o en el antecedente, nos vemos en dificultades.La única manera en podríamos obtener esta acotación sería cuantificando eltérmino un bur ro en la oración Si J uan I oq t i en e, en t on ces [él ] I oq golpea. E l resultado de esta operación es (107):

(107) 3x (b u r r o (x ) A (t e n e r ( j u a n ,x ) —>g o l p e a r ( j u a n ,x )))

Pero esta fórmula no expresa el significado de (103). L a única alternativa queofrece la Gramática de Montague es la introducción directa del término, esdecir, una derivación sin ninguna cuantificación. El resultado de esto es (108):

(108) 3x [b u r r o (x ) A t e n e r ( j u a n ,x ) ] —>g o l p e a r ( j u a n , x )

Aquí, la ocurrencia de x en el consecuente no está acotada por el cuantificador

existencial en el antecedente y, por lo tanto, no hay explicación para la relaciónanafórica entre un bur ro y l o; en consecuencia, (108) no es equivalente a la traducción correcta (105). En general, una fórmula de la forma 3x0 —>xp esequivalente a Vx(0 —>ip) sólo si tp no contiene ocurrencias libres de x. El consecuente de (108) contiene una ocurrencia libre de x y, por lo tanto, no es equi-



lente a (105). E ncontramos el mismo problema, por supuesto, si tratamos¿e o b t e n e r de manera composicional a (106) como una traducción de (104).

E s t o s ejemplos son similares a los que discutimos anteriormente en relaciónn jas relaciones anafóricas. Si no hay un pronombre anafórico, como en (109),d e m o s arreglárnoslas con la representación estándar de un bur r o y el resul

tado es la traducción adecuada (110):

(109) Si J uan tiene un burro, entonces J avier se pone furioso

(110) 3x (BURRO(x ) A TENER(J UAN, x)) —>ESTAR FURIOSO( J AVIER)

El problema específico creado por los ejemplos de oraciones burro es el deencontrar una manera semántica de tratar con los términos indefinidos queexplique el hecho de que en una construcción su significado es existencial y

en otra construcción es universal. En la sección 7.4.3. mostraremos que analizar utilizando referentes del discurso provee una solución adecuada para este

problema.

Ejercicio 7.13.

Muestre que la oración (104) no puede tratarse satisfactoriamente dentro del

fragmento de la Gramática de Montague del capítulo 6.

7.4.3. Una introducción informal a la D R T

En la sección 7.4.2. discutimos varios fenómenos concernientes a los términosindefinidos y a los pronombres anafóricos que no se pueden resolver dentrodel marco de la Gramática de Montague, tal como se presentó en el capítulo 6. Una de las afirmaciones empíricas de la DRT es que ofrece un marco

semántico dentro del cual se puede dar una descripción uniforme y elegantede estos hechos. Esta sección introducirá este marco al mostrar cómo tratarestos problemas.

No hay realmente una formulación definitiva de la DRT a la cual adherirse.Las definiciones dadas a continuación difieren en diversos aspectos de la versiónoriginal de la DRT presentada en K amp (1981). Sin embargo, confiamos en quelos lectores serán capaces de explorar la literatura sobre el tema después de

familiarizarse con la versión que aquí presentamos.Al igual que la Gramática de Montague, la DRT ofrece una interpreta

ción semántica de (un fragmento) del lenguaje natural. La primera diferenciaconsiste en que la Gramática de Montague es una gramática de oraciones ,



mientras que la DRT, en principio, intenta interpretar su cesi on es de oración

nes. Para el tipo de ejemplos que discutiremos aquí, esta diferencia no resultaser tan importante, dado que todas las instancias de sucesiones de oracionescon las que nos encontraremos pueden ser parafraseadas como conjuncionesde oraciones. Sin embargo, la afirmación es que la manera en que se tratan las

sucesiones de oraciones provee una perspectiva fructífera para el tratamientode casos más complicados.

La DRT ofrece una interpretación semántica, por lo cual se justifica espe- jrar una s in tax is como punto de inicio para el análisis y un modelo como puntofinal. No entraremos en detalles con respecto a la sintaxis del fragmento aquí tratado, simplemente asumiremos que hay disponible una sintaxis que asignaestructuras constituyentes simples a las oraciones del fragmento. También

asumiremos que el fragmento contiene: sintagmas verbales extensionales intransitivos y transitivos; sintagmas nominales comunes; nombres propios-pronombres personales singulares; términos cuantificados de manera universal y existencial; cláusulas relativas restrictivas, y operaciones oracionales denegación, disyunción, implicación y secuenciadora de oraciones. Los modelosextensionales simples de la lógica de predicados de primer orden pueden servirde modelos para el fragmento.

Una propiedad característica de la dr t es que, dada una estructura sintáctica, las (sucesiones de) oraciones están provistas de representaciones. Uno delos mecanismos de la DRT es un conjunto de reglas que convierten estructurassintácticas en estr u ctu r as de r ep r esen t aci ón de d i scu r sos, llamadas DRS por sussiglas en inglés. Estas reglas se llaman r eglas de con str u cci ón de DRS.

Las DRS son expresiones de un lenguaje formal no muy ortodoxo. Introduciremos dos clases de notaciones para DRS, ambas pueden encontrarse en laliteratura sobre la DRT: notaciones pictóricas y lineales. En esta sección daremos un esbozo del proceso de construcción de las DRS y de la interpretaciónde las DRS resultantes de utilizar la notación pictórica. En §7.4.4. pasaremosa considerar una definición formal de la sintaxis y la semántica de las DRS, utilizando la notación lineal.

Como primer ejemplo de construcción de una DRS para una oración dellenguaje natural, consideremos (111):

(111) J uan ama a una muchacha que lo admira

Asumimos una estructura constituyente de la oración (111). El primer pasoen la construcción de la DRS es poner la oración en una caja:



(112) J uan am a a una m uchacha que lo admi ra

El segundo paso en la construcción conduce a la siguiente caja:

(113)

J u a n = x

x ama a una muchacha que lo admi ra

En la transición de (112) a (113) tres cosas han sucedido: (i) se introdujo unavariable x en la caja, llamada un mar cad or de r efer en ci a en la DRT, que juegael papel de lo que hemos llamado, en §7.4.2., un referente de discurso; (ii) sereemplazó en la oración el término que es el sujeto de la oración, el nombre

propio Juan, por el marcador de referencia x; (iii) se añadió una afirmaciónde identidad J u a n = x. La aplicación de la regla que le corresponde a losnombres propios siempre hace que estas tres cosas ocurran. La regla se aplica

siempre que nos encontremos con algo de la forma o [sj v[nom br e pr op i o] v i [ ■•]]

(aunque no exclusivamente en este caso).Continuando con la construcción, el tercer paso conduce a la siguiente caja:

(114)x , y

J u a n = x x am a a y muchacha (y ) y lo admi ra

En este paso se introduce un nuevo marcador de referencia y. Los marcadoresse introducen no sólo para los nombres propios, sino también para los términos indefinidos, como una muchacha, o en este caso, una muchacha que lo admira. En lo que quedaba de la oración original en la caja (113), se reemplaza este término por el marcador y, recientemente introducido. El resultadoes la fórmula x am a a y. Finalmente, se añade la formula mucha cha ( y ) y seaplica simultáneamente una reconstrucción a la cláusula relativa. En esencia,

la reconstrucción viene a ser lo mismo que reemplazar el pronombre relativoQue por el marcador y. Si la oración original hubiese sido J uan ama a una muchacha, tendríamos la caja (114) menos la última línea y la construcción

de la dr s estaría completa.



Sólo resta hacer una cosa con nuestra oración: debemos hacernos cargo c]e¡pronombre anafórico l o. La regla de construcción de DRS relevante substitu.ye el pronombre por un marcador apropiado introducido previamente. Dadoque l o es masculino, el único marcador apropiado es la x, que fue introducidapor Juan. En otras instancias podría haber más de un candidato y, por consiguiente, más de una d r s habría sido posible. En el caso actual, sin embargo

el resultado no es ambiguo:

(115)x, y

J u a n = x x ama a y muchacha (y )

y admi ra a x

De esta manera se alcanza el estado final del proceso de construcción de dr s,

no hay más reglas de este sistema que se puedan aplicar a la caja (115). Elresultado es una caja que contiene dos tipos de cosas: (i) un conjunto de marcardores de referencia: {x, y}; (ii) un conjunto de fórmulas: {J u a n = x, x am a a y, m uchach a (y ), y adm i r a a x } . Las fórmulas que ocurren en una DRS se llamancondiciones. En nuestro ejemplo, todas las condiciones son fórmulas atómicas.

Tales DRS simples, que consisten en un conjunto de marcadores de referenciay un conjunto de condiciones atómicas, forman los bloques de construcciónde DRS básicos. Más adelante veremos que las DRS también pueden contenercondiciones complejas.

Si la oración (110) fuera a continuarse con la oración (116), entonces estaoración debería añadirse a la caja (115) y el proceso de construcción continuaría.

(116) Ella también lo ama

El resultado final luciría de la siguiente manera:

(117)x, y

J u a n = x x ama a y muchacha (y ) y admi r a a x y ama a x



£ajas como esta están hechas para representar el significado de (sucesiones de)oraciones. Así pues, debemos considerar ahora la interpretación de las DRS.

fiemos observado que una DRS se considera como una descripción parcial de(un modelo de) la realidad. Para ponerlo de otra manera, podemos consideraruna DRS como un modelo parcial de la realidad. En (117) y (115), este es unmodelo con un dominio que contiene dos individuos cuyas propiedades están

(parcialmente) especificadas por las fórmulas presentadas en los dos ejemplos.La idea ahora es que una DRS puede llamarse verdadera con relación a unmodelo ordinario total M si el modelo parcial correspondiente a la DRS puedetomarse como una parte de M , es decir, si puede imbuirse en M .

La interpretación de una DRS procede de la siguiente manera. Un modeloM especifica un dominio D y una función de interpretación I . La función I interpreta los nombres propios, los nombres comunes y los verbos, de la mismamanera en las constantes individuales y los predicados se interpretan en lógica

de predicados.

Definimos la noción de una im bui ci ón ver i f icador a de una DRS en un modelo M . Dicha imbuición verificadora es una función / que asigna elementosde D a los marcadores de referencia en la DRS, de tal manera que todas lascondiciones en la DRS sean verdaderas en M . En términos de esta noción de

imbuición verificadora se define la noción de verdad de una DRS en un modeloM. Una DRS es verdadera en M sii hay por lo menos una imbuición verificadora para la dr s en M . Por ejemplo, la dr s (117), la dr s de la sucesión deoraciones (110) y (116), es verdadera sii hay una imbuición verificadora / queasigne individuos de D a los marcadores de referencia x e y, de tal maneraque /(x ) = J uan, y f ( y ) sea una m uchacha amada por Juan quien a su vez l o ama y adm ir a. En otras palabras, las condiciones de verdad de la DRS (117)

tienen los mismos efectos que si el término indefinido una m uchacha que lo admira fuera analizado como un término cuantificado existencialmente conel alcance amplio sobre la conjunción de (110) y (116), y los pronombres fuerananalizados como variables acotadas. Esto ocurre a pesar de que no se utilizó ninguna cuantificación existencial para obtener dicho resultado. El efectode la cuantificación existencial es el resultado de las condiciones de verdadPara las d r s , lo que requiere la existencia de p or lo men os una imbuición

verificadora de la DRS en el modelo.Pero vimos anteriormente que los términos indefinidos algunas veces corres

ponden a la cuantificación universal. ¿Cómo logra la DRT dar cuenta de esto?tratamiento de la d r t a la oración (104), repetida a continuación como



(118), ilustra este punto:6


El primer paso en la construcción de una d r s para (118) es, de nuevo, poner laoración entera en una caja. La oración tiene la forma o[ sN [ t od o jvc[a]] v/[/3]],

es decir, su sujeto es un término universal. El segundo paso en la construcción es la aplicación de la regla de construcción de dr s para SN universales.Esta regla introduce algo nuevo, a saber, una relación de implicación —>entrelas DRS. Después de estos dos pasos iniciales, el resultado luce de la siguientemanera:

(119)x

gran je ro (x ) x t i en e un bur r o

=> x l o golpea

La DRS (119) está compuesta por tres cajas. La caja exterior, donde habíamos

puesto la oración original, se llama la DRS principal. La relación de implica

ción —*■entre las dos sub-DRS las convierte en una condición compleja y esta

condición compleja se coloca dentro de la DRS principal. El proceso también introduce una relación de subordinación entre las DRS. Las dos sub-DRS rela

cionadas por —>están subordinadas a la DRS principal y la de la derecha de

—►está subordinada a la de la izquierda.

En la caja de la izquierda se introduce un marcador de referencia x . Enla caja de la derecha aparece una fórmula que resulta de reemplazar el SN universal en la oración por el marcador x introducido. Las fórmulas en la caja

de la izquierda corresponden al N C y a su cláusula relativa, que se tratan de lamisma manera como se ilustró en el ejemplo (111), con un término indefinido.

Las dos sub-DRS en (119) están sujetas a reglas de construcción de DRS

adicionales. Así pues, dentro de las cajas de la izquierda y de la derecha,continuamos el proceso de construcción de DRS. En la caja de la izquierdaaparece el término indefinido un bur r o y aplicamos la regla de construcciónpara términos indefinidos, como se discutió en el análisis de la oración (111).

Esto significa que se introduce un nuevo marcador y en la caja de la izquierda,®N. de T .: el ejemplo (118) se tradujo del inglés, donde no aparece el modo subjuntivo

de la oración. N inguna de las discusiones en esta sección tienen relación con dicho modo,así que podemos obviarlo y concentrarnos en el problema de la resolución de anáforas.





la fuerza de un cuantificador existencial, mientras que en el primero se ad quiere la fuerza universal, dado que ocurre dentro del antecedente de una condicional. ^

Cerramos esta sección haciendo notar que la oración condicional (12;nresulta exactamente en la misma dr s que la oración (118), que acabamos ritratar: e

(121) Si un granjero tiene un burro, lo golpea

La construcción de una DRS asociada con una oración condicional consiste en la

introducción de dos sub-DRS conectadas por —>en la DRS principal. En la dr s

antecedente continuamos con la reconstrucción del antecedente de la oración

en este caso un gr an jer o t i en e un bur r o ; en la DRS consecuente continuamos con el consecuente de la oración, en este caso él lo gol pea.

Ejercicio* 7.14.

Construya las dr s para las siguientes (sucesiones de) oraciones:

(a) Un muchacho ama a todas las muchachas

(b) Todo muchacho ama a todas las muchachas

(c) Si J uan ama a María, entonces ella lo ama. Si ella lo odia, él la odia

Ejercicio* 7.15.

Formule una regla de construcción de dr s para los SN sujetos que tenganel determinante exactam en te un o y utilícela para construir una DRS para elejemplo (97), discutido en §7.4.2.: E xactam en te un m uchacho cam in a por

el par que. E l sil ba.

7.4.4. Definiciones formales

En esta sección daremos las definiciones formales de la sintaxis y la semánticade las dr s en una notación lineal basada en la Teoría de Conjuntos.

En el vocabulario del lenguaje de las dr s encontramos constantes individuales y marcadores de referencia (que juntos forman la clase de los términos),constantes predicativas n-árias, la identidad, la negación, disyunción e implicación (así pues, si identificamos los marcadores de referencia con variables,

el vocabulario del lenguaje de las d r s forma realmente un subconjunto dellenguaje de la lógica de predicados de primer orden).



Como lo indicamos en §7.4.3., una DRS puede verse como un par (V ,C ),donde V es un conjunto (finito y posiblemente vacío) de marcadores de refe-

xicia y C es un conjunto (finito y posiblemente vacío) de condiciones. Estasáttimas pueden ser atómicas complejas (hablando estrictamente, C no es un

;unto de fórmulas, sino más bien un conjunto de ocurrencias de fórmulas, ona agrupación o un conjunto múltiple de fórmulas. En el resto de esta sección

ignoraremos este detalle técnico). Las condiciones complejas están formadas«•partir de DRS, así que las definiciones de las DRS y de las condiciones tienen que hacerse de manera simultánea. Utilizaremos los caracteres griegos enminúsculas <f> y V como metavariables que toman valores sobre condiciones ylos caracteres griegos en mayúsculas $ y $ como metavariables que toman

valores sobre las DRS.

Definición 7.23.

(i) Si P es una constante de predicado n-aria y t i , . . . , í n son términos,

entonces P (¿i ,. . ., t n ) es una condición

(ii) Si t y t ' son términos, entonces t = t! es una condición

(iii) Si $ es una DRS, entonces es una condición

(iv) Si $ y son DRS, entonces ($ —>'J ') es una condición

(v) Si $ y 'I' son DRS, entonces ($ V \I>) es una condición

(vi) Si x i , . . . , x n son marcadores de referencia ( n > 0), y c/>i, •••, <t>m son

condiciones (m > 0), entonces ({x i ,. . . , x„}, { 4> i, •. •, m}) es una DRS

(vii) Únicamente los elementos que cumplen con las cláusulas (i) a (vi) sonuna DRS o una condición

Por medio de las cláusulas (i) y (ii) se pueden formar clausulas atómicas queno difieren en ningún aspecto de las fórmulas atómicas de la lógica de predicados. Las cláusulas (iii) a (v) forman negaciones, implicaciones y disyunciones.Mientras que en la lógica de predicados esas operaciones convierten fórmulasen fórmulas más complejas, aquí convierten las DRS en condiciones complejas.Es sólo por medio de la cláusula (vi) que se pueden formar las DRS. En efecto,las operaciones en las cajas que se usan en las reglas de construcción de DRS,

tales como añadir marcadores de referencia y condiciones a las DRS, se pueden

ver como tales operaciones de la Teoría de Conjuntos.



El conjunto de marcadores de referencia en una DRS cumple el papel de unmecanismo de cuantificación. Las ocurrencias libres de los marcadores de referencia en las condiciones (atómicas o complejas) de las DRS son acotadas pordicho conjunto. L a fuerza de acotación de los conjuntos de marcadores de referencia es más poderosa que la de los cuantificadores en la lógica de predicados.

Los cuantificadores sólo pueden acotar variables dentro de su alcance.Si identificamos el alcance de un conjunto de marcadores V en una d r s

( V , C ) con las condiciones en C , entonces el conjunto V puede acotar marcadores por fuera de su alcance. Esto ocurre en el caso en que {V, C ) sea elantecedente de un condicional (V, C ) —>( V ' , C ' ) . En el caso en que un marcador x £ V ocurra libremente en el consecuente ( V ' ,C ) , dicha ocurrenciaqueda acotada por el conjunto V en el antecedente.

Esta noción más general de acotación de variables es una característicaesencial de la DRT; ella constituye el núcleo del tratamiento de las oracionesburro por parte de la DRT, en las cuales un término indefinido dentro delantecedente de una estructura implicacional puede vincularse anafóricamentea un pronombre por fuera de su alcance en el consecuente.

En el lenguaje de las DRS definido anteriormente, esta noción más relajadade acotación se restringe a las implicaciones. En una disyunción no es posible

que el conjunto de marcadores de uno de los componentes de la disyunciónacote marcadores en el otro componente. Similarmente, un conjunto de marcadores bajo el alcance de la negación no tiene fuerza para acotar por fuerade la negación. Por supuesto que las propiedades de acotación de las DRS,

discutidas aquí informalmente, son efectuadas por su semántica, sobre lo cualvolveremos más adelante.

A manera de ilustración, presentamos las DRS de los dos ejemplos discutidosen §7.4.3. en la notación lineal de la definición 7.23. En la notación pictóricade cajas, la sucesión de oraciones J uan am a a un a muchacha que lo admir a. E l l a (tam bién ) l o am a se representó como (122) (=(117)):

(122)x, y

J u a n = x x ama a y muchacha (y ) y admi ra a x y ama a x

En el formalismo de la definición 7.23., (122) corresponde a la siguiente DRS:



(123) ( { x , y } , { j u an=x , amar (x ,y ), m u c h a c h a (y ) , a d mi r a r ^, x ), amar (y , x)})

Muestro segundo ejemplo es la DRS de la oración burro Todo gr an jer o que tenga un bur r o lo gol pea (=(120)):

(124)

La DRS principal de (124) consiste en un conjunto vacío de marcadores de

referencia y un conjunto de condiciones con un elemento: una condición compleja que tiene la forma de una implicación. La caja a la izquierda del signo deimplicación, la DRS antecedente, se escribe como (125) en la notación lineal

de la definición 7.23.:

(125) ({x, y } , {g r a n j e r o (x ), BURRo(y), t e n e r (x ,y)})

La caja de la derecha del signo de implicación, la DRS consecuente, se escribeahora como (126):

(126) (0, {g o l pe ar (x ,?/)})

Las DRS (125) y (126) juntas forman la condición compleja (127):

(127) (({x, y } , {g r a n j e r o (x ), BURRo(y), t e n e r (x , y ) }) —»(0, {g o l pe ar (x ,y ) } ) )

La DRS (124) como un todo corresponde, entonces, a (128):

(128) (0, (({x, y}, {g r a n j e r o (x ), BURRo(y), t e n e r (x , y)}) —►

(0, {g o l pear (x ,y)})))

Por razones de legibilidad, algunas veces escribiremos (0, {0 i , . . . , 4>n } ) como{0 1 ,.. . ,0„} y {0} como 0 y omitiremos los paréntesis exteriores. Con estasconvenciones, (128) se puede escribir como (129):

(129) ({x, y}, {g r a n j e r o (x ), BURRo(y), t e n e r (x ,y)}) —>g o l p e a r (x ,y)

X

gran jer o (x) x t i en e a y

bur ro (y)

=>■ x gol pea a y



Ejercicio* 7.16.

Escriba en la notación lineal de la definición 7.23. la DRS para las (sucesio de) oraciones (a) a (c) y la DRS para (d): ' nes

(a) Un muchacho ama a una muchacha


(c) Si juan ama a María, entonces ella lo ama. Si ella lo odia, él la odia

(d) Exactamente un muchacho camina por el parque. É l silba

Ahora, consideraremos la interpretación semántica de las DRS utilizando unmodelo, tal como se hace con las fórmulas de cualquier lenguaje lógico Parael lenguaje de las DRS que tratamos aquí, los modelos extensionales de primerorden son adecuados. De esta manera, un modelo M = (D , I ) consiste en undominio D y una función de interpretación /, que interpreta las constantesindividuales y las constantes de predicado de la manera usual.

Dado que la definición sintáctica define tanto las condiciones como las dr s

la definición semántica también tiene que establecer las interpretacionespara las dos clases de expresiones. Se definen simultáneamente dos nociones:

N mi£í <t>, que significa que la condición 0 es verdadera en el modelo Mcon respecto a la asignación g

^ Que significa que la asignación h es una imbuición verificadorapara la dr s <E>en el modelo M con respecto a la asignación g

En términos de estas dos nociones daremos la interpretación de las condicionesy as DRS, por medio de una definición recursiva simultánea. Utilizaremos la siguiente convención notacional:

P J m.3 = /m(¿) si t es una constante individual

Wm,s = g ( t ) si t es una variable

h\ x i , . . . . xn ] g significa que la asignación h difiere a lo sumo de la asig- nación g en los valores que le asigna a los marcadores de referencia

x i , . . . , x n (para n = 0, esto viene a ser lo mismo que h = g)

Definición 7.24.



(i) ■ ■' ’ *") SÍÍ •••, PnlM.g) € /m ^)

(ii) H m ,5 * = SÜ W M'3 = M’9

pi ) 9 S" n0 hay nin§una ^ tal que h ^

,.y) | M g ($ —>V ) sii para toda h, si h ]=M,g entonces existe una k tal

que k | =m,/i ^

(v) (=M9 ($V sii existe al§una h tal que h ^M’9 $ ° eXÍSte alguna h tal que h | =M ,g ^

( v i ) h ( = M jfl < { * ! , . . . , X n } , {</»!, . . . , < ¿m }} SÜ ^ & H M .h ¿ 1 & • • •

& 4>m

Definimos la noción de verdad en una DRS en términos de la noción de una

imbuición verificadora para una DRS:

Definición 7.25.

U na DRS $ es verdadera en un modelo M con respecto a una asignación g,

t=M,g sü existe una asignación h tal que h | =M ,g $

Obsérvese que la noción de verdad de una DRS juega un papel implícito en la

defin ición 7.24., en las cláusulas (iii)-(v). Utilizando la noción de verdad de una

DRS definida en 7.25., estas cláusulas se pueden escribir de manera más económi

ca así:

(Üi’) t=M,p Sii ,g $

( iv’) f=Mifl ($ -► $) sii para toda h, si h t=M,g entonces | =M ,h V

(v ’) )=M ,g ($ v ’í ' ) si i N , g ^ ° I =m , j ^

En palabras: una condición -<$ es verdadera con respecto a una asignación

g sii la DRS $ es falsa con respecto a g, una condición es verdadera con

respecto a g sii \I>es verdadera con respecto a toda asignación h quesea

una imbuición verificadora para $ con respectoa g, y una condición $ V ^ es

verdadera con respecto a g sii $ es verdadera con respecto a g o í e s verdadera

con respecto a g.L a definición de verdad también deja claro que el conjunto de marcadores

de referencia en una DRS cumple el papel de un mecanismo de cuantificación.



Una drs ({#1, . . . , xn}, {(¡)X, . . . , 4>m}) es verdadera con respecto a g sii %alguna asignación h que difiere a lo sumo de g con respecto a los valoreg^Jle asigna a x \ , . . . , x n y tal que (j)\ ,. . . ,<pm son verdaderos con respecd |h. E sto significa que una drs tal como ({x, y}, { P ( x ) , R (x , y)}) obtiene i 1mismas condiciones de verdad que la fórmula de la lógica de predicados Hpr im er orden 3x3y(P (x) A i?(x,y)).

En caso de que el conjunto de marcadores de referencia de una d r s nrJvacío, sus condiciones de verdad coinciden con las condiciones de verdad Hp o

* i • • Uconjunto de condiciones. Por ejemplo, de acuerdo con la cláusula (vi) de

definición 7.24., h es una imbuición verificadora para (0, (Q (x )}) con respecto ¡Jg sii h es una asignación que no difiere en ningún aspecto de g, es decirsii h = g, y Q ( x ) es verdadera con respecto a g. En caso de que Q ( x ) sea falsa

con respecto a g, (0, {Q (x)}) no tiene imbuición verificadora con respecto a g, yen caso de que (0, {Q (x)}) sea verdadera con respecto a g,la misma g es laúnica imbuición verificadora para (0,{Q (x)}) con respecto a g. De acuerdo

con la definición 7.25., esto significa que la DRS (0, (Q (x)}) es verdadera conrespecto a una asignación g sii la condición Q ( x ) es verdadera con respecto a g.

En general, es cierto que f=M,s (0, {(f>i, •••, 0m}) sii (=M,9 & ... & |=M g </>m.Para ilustrar la manera en que funcionan las definiciones 7.24. y 7.25.,

consideraremos de nuevo las DRS de la sucesión de oraciones J uan ama a un a m uch acha que lo adm ir a. E l l a lo ama (t am bién ), presentadas en (123),y la DRS de la orac ión burro Todo granjero que tenga un burro lo golpea ,presentada en (128). Primero la interpretación de (130) (=(123)):

(130) ({a:,í/}, {J UAN=X, AMAR(x,y ), MUCHACHA(y), ADMIRAR(y, x), AMAR(y, x)})

De acuerdo con la definición 7.25., la DRS (130) es verdadera (podemos omitirla referencia a una asignación dado que (130) no contiene variableslibres) sii hay una asignación h que sea una imbuición verificadora para (130).De acuerdo con la cláusula (vi) de la definición 7.24., este es el caso sii hayuna asignación h tal que \ =h j uan=x , |=/ j amar (x ,y ), | =h muchacha (y), (=*.ADMiRAR(y,x) y 1= AMAR(y, x). De acuerdo con las cláusulas (i) y (ii), este esel casa sii hay una asignación h tal que /i (x )=/( j uan), { h ( x ) , h ( y )) 6 /( amar ),

h ( y ) e l ( muchacha), ( h ( y ), h ( x ) ) 6 /( admir ar ) y ( h ( y ), h ( x ) ) e /( amar ). Enotras palabras, la DRS (130) es verdadera bajo exactamente las mismascircunstancias que la fórmula de la lógica de predicados (131), que a su vez esequivalente a (132):

(131) 3x3y(juAN=x A muchacha (y) A amar (i ,?/) A admir ar ^,x) A amar (?/,i ))



132) 3z[MUCHACHA(y) A AMAR(j>y) A ADMIRAR(y, j ) A AMAR( y , j ) ]

uestro segundo ejemplo, consideraremos la interpretación de la DRS (133)

^°(128)) que corresponde a la oración burro (104):

1 3 3 ) (0, «{x ,y }, {GRANJER0(x),BURR0(y),TENER(x,y)}) -»•

1 (0, {golpear (x , y ) } ) ) )

pado que el conjunto de marcadores de la DRS principal de (133) es vacío, sus

condiciones de verdad coinciden con las de su única condición (134) (=(127)):

(134) (({x, y}, (g r a n j e r o (x ),BURRo(y), tener (x ,y)}) ->

(0,{GOLPEAR(x,y)}))

De acuerdo con la cláusula (iv) de la definición 7.24., la oración (134) es verdadera sii la DRS consecuente (0, {g o l pear (x ,y)}) es verdadera con respectoa todas las asignaciones h que sean imbuiciones verificadoras de la DRS antecedente ({x, y}, (g r a n j e r o (x ), BURRo(y), t e n e r (x ,y)}). La verdad de la DRS

consecuente (0, {g o l pe ar (x ,y)}), que tiene un conjunto vacío de marcadores,viene a ser la verdad de su condición g o l pear (x ,y). Esto significa que las condiciones de verdad para (134), y por lo tanto para (133), vienen a ser las

siguientes: para toda asignación h, si h (x ) G /( g r a n j e r o), h (y ) £ /( b u r r o ) y ( h ( x ) , h ( y ) ) € /( tener ), entonces (/i(x),/i(y)} € /( g o l pear ). En otras palabras, la verdad de las condiciones de la DRS (133) para la oración burro(118) son las mismas que las de su traducción (135) (=(106)) en la lógica depredicados:

(135) VxVy ((g r a n j e r o(x ) A b u r r o (x ) A t e n e r (x ,y)) —>g o l pear (x ,y))

Es esta interpretación de la implicación en la dr t la que se hace cargo de que

cualquier conjunto de marcadores en el antecedente pueda acotar ocurrencias

de variables en el consecuente y la que le da fuerza universal.

Ejercicio 7.17.

Determine las condiciones de verdad de la DRS de las (sucesiones de) oraciones

(a) a (c), y (d), del ejercicio 7.16., aplicando las definiciones 7.24. y 7.25.:

(a) Un muchacho ama a una muchacha




(c) Si juan ama a María, entonces ella lo ama. Si ella lo odia, él la odia

(d) Exactamente un muchacho camina por el parque. E l silba

Hasta ahora no le hemos prestado casi atención a la negación y a la disyunciónde las DRS. Cerraremos esta sección con unas pocas observaciones acerca de

estas operaciones. Primero, veamos la negación. Consideremos las siguientesdos sucesiones de oraciones:

(136) No es cierto que un hombre camine por el parque. Él silba

(137) Ningún hombre camina por el parque. É l silba

En ambos casos observamos que el pronombre en la segunda oración no puedeser vinculado anafóricamente a los términos un hom bre o ni ngún h om bre de la

primera oración. Este hecho se explica en la DRT. Utilizando una vez másla notación de cajas, la construcción de DRS de la primera oración daría comoresultado la DRS (138):

(138)

hombre (x)

cam in a por el par que(x )

Esta DRS tiene un conjunto vacío de marcadores de referencia y contiene unaúnica condición, la negación de la DRS que corresponde a un h om br e camina p or el par que. Si añadimos la segunda oración a esta DRS, no podemos ir másallá de lo siguiente:

X

—1hombre (x)

cam in a por el par que(x)

él camina

No podemos resolver el pronombre. En la DRS principal no se han introducidomarcadores de referencia. El conjunto de marcadores dentro de la negaciónno es accesible. También podemos ver esto de la siguiente manera: tomemos larepresentación lineal (140) de la DRS (139), en donde reemplazamos el pronombre por el marcador x :



t a ocurrencia del marcador x en la condición SILBAR(x) es libre. El conjunto. marCadores de la DRS a la cual pertenece es vacío, pero no lo es en el consecuente de la implicación. El ejemplo es una instancia del hecho generalde que l°s términos en una oración negada no pueden tener una relación anafó

rica con los pronombres en oraciones subsiguientes.En el segundo ejemplo, (137), obtenemos un resultado equivalente. En lanotación de cajas obtendríamos la siguiente DRS como su interpretación:

(140) (0 , {" ' ( {x }, {H O M B R E (x), C AM INA PO R E L P A R Q U E (x)}) , S I L BAR (x ) })

X =¿* cam i na por el par que (x)

hombre(x )

él cam i na

Una vez más, el pronombre no se puede resolver. De manera correspondiente,en la representación lineal (142) encontramos una ocurrencia del marcador

x en la condición SILBAr (x ) que no está acotada:

(142) (0, {«{x }, {h o mbr e(x )) ->

—.<0, {c a m i n a POR EL pa r q u e(x )})), s i l ba r (x )})

Bajo esta representación no es la negación como tal la que bloquea la relación

anafórica en (137), sino más bien el hecho de que los términos dentro de unaoración condicional no pueden entrar en una relación anafórica con pronombres en oraciones subsiguientes del discurso. Esto significa que en el caso de losdiscursos (143) a (145), la DRT predice correctamente que los pronombres

en la segunda oración no pueden estar relacionados anafóricamente con términos de la primera oración:

(143) Todo hombre camina por el parque. E l camina

(144) Si un granjero tiene un burro, él lo golpea. E l lo odia

(145) Ningún hombre camina por el parque. El silba

Sin embargo, algunas veces discursos estructuralmente similares son correctos:

(146) Todo jugador escoge un peón. Él lo pone en el primer cuadrado



(147) Si un cliente entra, lo tratas bien. Le ofreces una taza de café y le dice8que espere

En (146) y (147), la primera oración corresponde a una DRS que contieneuna condición que tiene la forma de una implicación. Para obtener una representación correcta de los significados de (146) y (147) necesitaríamos que la

condición que corresponde a la segunda oración estuviera incluida en el conse-cuente de la implicación que corresponde a la primera oración. Así pues, no esimposible construir una DRS para estos discursos, pero el proceso de construcción de las DRS para la segunda oración tiene que tener una forma diferentea la del procedimiento normal, en el cual las segundas oraciones entrarían en laDRS principal, en estos casos, las segundas oraciones deben entrar en la dr s

consecuente de la representación de la primera oración. Más aún, tendríamosque explicar por qué este procedimiento no está permitido para (143) y paramuchos otros casos.

Se pueden hacer observaciones similares con respecto a la doble negación.En algunos casos, aunque no en todos, obtenemos relaciones anafóricas:

(148) No es cierto que J uan no tenga un carro. Es rojo y está parqueado enfrente de esta casa

La DRT no puede explicar esto fácilmente; la negación bloquea las relacionesanafóricas y esta característica de la negación no es aniquilada por la doblenegación.

Se pueden observar limitaciones similares en la explicación de las relacionesanafóricas con disyunciones. La interpretación de las disyunciones como seda en la definición 7.24. prohíbe relaciones anafóricas entre un pronombre queesté en la oración de la derecha de la disyunción y un término que esté en la de

la izquierda. Por consiguiente, las oraciones como (149) y (150) no pueden explicarse simplemente tomando la disyunción de las dos oraciones componentes:

(149) O bien no hay baño aquí o bien éste es un lugar curioso

(150) O bien J uan no tiene un burro o bien lo golpea

Este hecho es sorprendente, dado que estas disyunciones parecen ser simples

variaciones de oraciones burro ordinarias; la disyunción burro (150) es equivalente a nuestro ejemplo anterior (103). Pero no hay una manera fácil y directade mejorar el lenguaje de las DRS y su interpretación para obtener mejores

resultados para estos ejemplos problemáticos.



proporcione las DRS que representen correctamente el significado de los ejem

plos (144) a (147).

74.5. D R T y la composicionalidad

U no de los puntos de partida de la semántica modelo-teórica es que el significado reside en las condiciones de verdad. La noción de verdad de las DRS,

definida en §7.4.4., nos proporciona condiciones de verdad para las DRS y,de una manera indirecta, por medio de su reconstrucción en DRS, nos brinda condiciones de verdad para las oraciones y discursos del lenguaje natural.Consideremos el siguiente par de ejemplos:

(151) Un hombre camina por el parque(152) No todo hombre no camina por el parque

Las DRS correspondientes a (151) y (152) son (153) y (154), respectivamente:

(153) ({x}, {HOMBRE(x), CAMINA POR EL PARQUE(x)})

(154) (0, {-'(({x}, {h o mbr e (x )}) —>•-.(0, {cam i n a po r el pa r q u e(x )}))})

Utilizando nuestras convenciones de abreviación, esta última puede escribirsede la siguiente manera:

(155) ->(({x},HOMBRE(x)) —>-"CAMINA POR EL PARQUE(x))

En efecto, algunos cálculos muestran que (153) y (154) tienen las mismas

condiciones de verdad en la DRT, tal como las fórmulas correspondientes enla lógica de predicados. Por consiguiente, si identificamos el significado lógicocon las condiciones de verdad, debemos concluir que (151) y (152) tienen elmismo significado lógico.

Por otro lado, consideremos lo que pasa si continuamos cada una de lasoraciones (151) y (152) con la oración E l sil ba. Tenemos, entonces, los siguientes dos discursos (el primero de los cuales ya lo encontramos anteriormente;

(156)=(93)):

(156) Un hombre camina por el parque. Él silba

(157) No todo hombre no camina por el parque. Él silba

Ejercicio* 7.18.



Claramente, ahora hay una diferencia: sólo en el caso de la oración (15^podemos interpretar el pronombre en la segunda oración como ligado anafórt 1camente a un término en la primera. Este hecho se refleja en las DRS (158) vi

(159) de los discursos (156) y (157):

(158) ({x}, {h o m b r e (x ), c a m i n a po r el p a r q u e (x ), s i l b a r (x )})

(159J (0, {-'(({x }, {h o mb r e (x )}) ->

—-<0, {c a m i n a po r EL p a r q u e (x )})),s i l b a r (x )})

Esta última se puede abreviar de nuevo de la siguiente manera:

(160) {- '(({x }, h o mb r e (x )) -> -.c a m i n a po r el p a r q u e (x )), s il b a r (x )}

Mientras que la DRS (159) tiene un conjunto vacío de marcadores, el conjuntode marcadores de (158) es el conjunto no vacío {x}. Es precisamente esta diferencia la que explica el hecho de que en (156) el pronombre de la segundaoración se pueda vincular anafóricamente al término indefinido en la primera oración, mientras que tal vínculo anafórico no es posible en (157). Dadoque en (159) el conjunto de marcadores {x} está dentro de una condición en suconjunto de condiciones, es imposible que acote la variable x en otra condición,en este caso SlLBAR(x), en dicho conjunto.

Así pues, a pesar de que (151) y (152) tienen las mismas condiciones deverdad, es decir, el mismo significado lógico, las diferencias entre (156) y (157)muestran que tienen un papel distinto en el discurso, es decir, un ‘significadode discurso’. Por consiguiente, para ser capaces de explicar esta diferencia,parece esencial que las oraciones (151) y (152) correspondan a DRS distintas,con propiedades de discurso distintas.

En consecuencia, es posible concluir que el nivel de representación de discurso es un nivel esencial en la semántica. Si las DRS (153) y (154), que corresponden a las oraciones (151) y (152), son distintas pero su significado lógicoes el mismo, es sólo su diferencia en f o rm a , su diferencia com o r epr esen ta

ciones, la que puede explicar la diferencia en el comportamiento en el discurso.Asociar las DRS a sucesiones de oraciones por medio de reglas de construcción de DRS es, entonces, un elemento esencial de la interpretación semántica

que no se puede eliminar.Esta conclusión entra en contradicción con el principio de composiciona-

lidad, el principio líder de la Gramática de Montague. L a situación a la quenos estamos enfrentando es la siguiente: la d r t ofrece una teoría semántica no



jüposicional que es capaz de explicar ciertos fenómenos empíricos que, co-jjjo lo demostramos en §7.4.2., no se pueden explicar mediante la semánticac0mposicional ofrecida por la Gramática de Montague. Esto parece sugerir,j e una manera más bien poderosa, que la composicionalidad ha sido refutada Por es os hechos. Pero ¿cómo es esto posible, teniendo en cuenta queen el capítulo 6 hemos enfatizado el hecho de que la composicionalidad es un

principio metodológico en lugar de una hipótesis empírica? Es el principio decomposicionalidad en sí mismo el que muestra la salida a este dilema. Consideremos de nuevo los discursos (156) y (157). Ellos son sucesiones simplesde dos oraciones pero, aunque la segunda oración es la misma en ambos, susignificado difiere. Por consiguiente, la composicionalidad dicta que la primeraoración de (156) y (157) difiere en significado. Pero ¿no acabamos de ver queellas tienen las mismas condiciones de verdad? Entonces la composicionalidad

muestra que su significado no reside en sus condiciones de verdad.¿Qué noción de significado puede darnos medios para encontrar una di

ferencia entre los dos discursos? De cierta manera, la noción de significadorequerida ya está implícita en la definición 7.24., en particular en la cláusula(vi), en donde se define la interpretación de las DRS. Esto, dado que se puedeobservar que la noción recursiva básica en la semántica de las DRS es la de unaasignación h , que es una imbuición verificadora para una DRS con respecto a

una asignación g.

La noción de verdad de una DRS no es la noción semántica recursivabásica en la DRT; es una noción semántica derivada. En la definición 7.25.,la verdad de una DRS se define en términos de sus condiciones imbuidas. Laverdad se usa aquí como una noción global; no es la misma noción quelubrica los engranajes de la definición de interpretación. Por ejemplo, la verdadde una condición de la forma <£—>'!' se define en términos de las imbuicionesverificadoras de $ y 'I', y no en términos de sus condiciones de verdad.

De esta manera, lo que la d r t - interpretado apropiadamente, es decir,composicionalmente— muestra en realidad es que el significado de una oracióno un discurso no se puede identificar con sus condiciones de verdad, sino másbien reside en las condiciones de imbuición de las DRS en las cuales se traduce.

En efecto, dos DRS pueden tener las mismas condiciones de verdad, incluso

cuando sus condiciones de imbuición difieran. Por ejemplo, las DRS (153) y

(154), las cuales corresponden a las oraciones inaugurales de los discursos(156) y (157), tienen las mismas condiciones de verdad, pero difieren no sóloen su forma, sino también en sus condiciones de imbuición.



Así pues, no hay necesidad, en absoluto, de concluir que necesitamos \ltlnivel de representación como un nivel esencial de interpretación. No hay ur^razón em pír i ca para abandonar la composicionalidad, pues es esta la que llevaa la conclusión de que lo que realmente necesitamos es una noción más rica

de significado que la de la semántica estándar.L o que podemos concluir de todo esto es que, en principio, nada se inter

pone en el camino de una unificación de la DRT con la Gramática de Montagueen una teoría global del significado del discurso, en tanto que interpretemosapropiadamente lo que sucede en la DRT. No podemos discutir aquí todos losdetalles de dicha unificación, por una razón, y es que la DRT es una teoríaextensional de primer orden, mientras que en la Gramática de Montague utilizamos una semántica de orden superior intensional. De nuevo, esta elección demarco lógico está dictada por la composicionalidad. Así pues, nuestra teoría

unificadora debe extender la interpretación del discurso a esa lógica de ordensuperior intensional. Hacer esto está por fuera del alcance de esta introducción.Nos concentraremos en el caso de primer orden, sólo para mostrar el camino.

Haremos esto al comparar, para unos pocos ejemplos, las representacionessemánticas en el lenguaje de las DftS con las traducciones en lógica de predicados de primer orden. En esta comparación, nos concentramos en la cuestiónde hasta qué punto estas dos maneras de representación se pueden obtener

por medio de un proceso composicional. L a respuesta a esta pregunta será quealgunas veces las DRS se pueden obtener de una manera ‘más composicional’ que la de las traducciones de la lógica de predicados, pero que en otroscasos, la construcción de DRS también deja algo que desear. I ndicaremos unamanera de superar esta falta de composicionalidad en la DRT, regresando allenguaje de la lógica de predicados de primer orden, pero interpretándola

de una manera diferente.

Consideraremos primero la oración burro simple (161).

(161) Si un hombre camina por el parque, [él] silba

Su traducción en lógica de predicados, presentada en (162) y la DRS correspondiente, presentada en (163) difieren esencialmente en su estructura:

(162) Vx((hombre(x) A CAMINA POR el parque(x)) —»silbar(x))

(163) (0, {({x }, h o m b r e (x ), CAMINA POR EL p a r q u e (x )}) —>

(0, {s i l b a r (x )})})

Desde un punto de vista composicional, la DRS (163) es una mejor representación de la oración (161), que la fórmula (162). Las dos oraciones un



hombre cam i na por el parque y él si l ba, a partir de las cuales está forma

da Ia oración (161), se pueden recobrar en la DRS (163) como las sub-DRS

({x}, (hombre(x), camina POR el parque(x)}) y (0, {si lbar(x)}). Este no gg el caso para la traducción en lógica de predicados presentada en (162).gn efecto, una traducción composicional de la oración (161) en la lógica de

predicados conllevaría a la fórmula (164):

(164) 3x (h o mbr e (x ) A c a m i n a po r el pa r q u e(x )) —►s i l ba r (x )

Por supuesto que (164) no es una traducción apropiada de (161). La variable

en el consecuente no está acotada por el cuantificador existencial en el antece

dente; (164) no es equivalente a la interpretación correcta, pero no composicio

nal, presentada en (162). Hemos visto que la interpretación de la relación de

implicación en la DRT asegura que el conjunto de marcadores en el antecedente tiene fuerza acotadora sobre variables en el consecuente.

Como un segundo ejemplo, consideremos, una vez más, la sucesión simple

de dos oraciones, (165) (=(156)=(93)):


Esta vez, la traducción en lógica de predicados presentada en (166) (=(95)) y

la DRS correspondiente presentada en (167) (=(158)) tienen esencialmente la

misma estructura:

(166) 3x (h o mbr e (x ) A c a m i n a po r el pa r q u e(x ) A s i l ba (x ))

(167) ({x}, {h o mbr e(x ), cam i n a po r el pa r q u e(x ),s i l b ar (x )})

A diferencia del ejemplo previo, las dos oraciones un hombre camina por el par que y él si lba, a partir de las cuales se construye la oración (165), no se

pueden recuperar en la DRS (167) como sub-DRS. Para que así fuera, necesi

taríamos una operación sobre las DRS, digamos A, que convertiría dos DRS en

una nueva. Si tal operación estuviera disponible, la oración (165) se podría

representar más composicionalmente como (168):

(168) ({x}, {h o mbr e(x ), c a m i n a po r el pa r q u e(x )}) a (0, {s i l b ar (x )})

En efecto, la estructura de (168) es lo que sería la traducción de (165) en lógica

de predicados si la construyéramos composicionalmente, tal como lo muestra

(169):



(169) 3x(hombre(x) A camina por el parque(x)) A silba(x)

Pero de nuevo, esta fórmula no da una interpretación correcta del significadode (165). Para que la conjunción de las d r s en (168) tenga sentido, debemosañadir (170) como una cláusula a la definición 7.23.:

(170) Si $ y ^ son DRS, entonces (<E>A '!') es una d r s

Y debemos añadir una cláusula a la definición 7.24. para representar su interpretación.

Para encontrar la interpretación del operador A, primero observaremos denuevo la interpretación de las DRS. Como hemos visto, la definición 7.24. presenta la interpretación de las DRS en términos de la noción relacional h (=m ,3:

l h es una imbuición verificadora de la DRS con respecto a g\ Lo que esto

significa es que podemos tomar la interpretación de una DRS como una rela-ción en tr e asi gn aci ones de val or es a l os m ar cad or es de r efer en ci a. En lógicade predicados ordinaria, en donde definimos la noción de una fórmula comoverdadera con respecto a una asignación, podemos ver el significado de unafórmula como un conjunto de asignaciones : las asignaciones bajo las cualesla fórmula es verdadera. Similarmente, el significado de una DRS se puedetomar como un conj u n to de par es or denad os de asign aciones. Por ejemplo, elconjunto de pares de asignaciones que son la interpretación de la DRS simple({x}, {F (x)}) se puede escribir como:

(171) { ( g , h ) | h[x )g & h ( x ) € /(/)}

Obsérvese que el orden de los pares en (171) es el contrario al de la noción deh ¡=M,g. La razón de esto es que tiene sentido considerar dichos pares en términos de entradas y salidas. Con respecto a una asignación de entrada g ,

la salida del procedimiento que interpreta ({x}, {.F (x)}) corresponde aquellasasignaciones h que difieren de g a lo sumo en que asignan un objeto a x talque dicho objeto pertenece a la interpretación del predicado F .

Desde esta perspectiva, la tarea de encontrar una interpretación de $ A í 'viene a ser la de especificar la relación de entrada-salida de $ A 'I', en términosde las relaciones de entrada-salida asociadas con <t»y Un candidato para lainterpretación de A que resulta más o menos obvio es el siguiente: si h tiene queser una salida posible para $ A Í con respecto a g como su entrada, entonces,tiene que haber alguna k tal que k sea una salida posible para $ con respectoa g como entrada y h sea una salida posible para 'I' con respecto a esta k comoentrada. En términos de la noción h | =M,g de la definición 7.24., esto se reducea la adición de la siguiente cláusula:



(172) h (=m,s $ A í» sii existe alguna k tal que k (=M,g $ y h [=M,fe ^

Por e jemplo , para (165), esto signif ica que la secuencia de oraciones puede ser

representada por med io de la con junc ión de las d r s en (168). B a j o l a c l áu

sula (172) par a la in terpr etación de la creación de sucesiones, la interpr etación

qu e (168) obt iene es la m ism a que la de la DRS or ig in a l (158). D e esta man era ,

obtenemos la forma que t iene la DRT para interpretar sucesiones de oraciones

con un término indef in ido en la p r imera o rac ión y un pronombre en la segun

da . T am bién pod em os representar la ahora por m ed io de un a DRS en la cua l las

oraciones componentes de (165) están representadas por sub-D R S en (168).Para un último ejemplo en la discusión de composicionalidad, volvemos de

nuevo sobre la oración burro (173) (=(104)):


L a o r ac ión (173) obt iene la misma t raducc ión (175) (=(106)) en lógica de

predicados que (174) (=(121)) y ambas se representan por la misma DRS (176)(=(128)):


(175) VxVy ((g r a n j e r o (x ) A b u r r o (x ) A t e n e r (x , y )) —>g o l p e a r (x , y ))

(176) (0, ( ({x , y } , {g r a n j e r o (x ), b u r r o ( j /) , t e n e r (x , y )}) —►

(0, {g o l p e a r (x , y )}) ) )

Como lo comparábamos en el ejemplo anterior, encontramos en este caso unabrecha más dramática de la composicionalidad en la traducción en lógica depredicados. La oración (173) contiene el término indefinido un bur ro quenormalmente se traduce como un sintagma cuantificado existencial. En la tra

ducción (175), sin embargo, estamos forzados a asociarlo con su cuantificaciónuniversal. Más aún, este cuantificador debe recibir alcance amplio sobre laimplicación como un todo, mientras que el término indefinido un bur r o ocurredentro de la cláusula relativa que es parte del sujeto del término de (173) y,por consiguiente, a partir de un punto de vista composicional, debería estardentro del antecedente.

Pero, de manera similar, no se puede encontrar ninguna subexpresión en

la DRS (176) que corresponda al sintagma nominal común gr an j er o que tenga un bur ro y que forme un componente en la oración (173). E sto mismo es ciertopara el sintagma verbal intransitivo t i en e un burr o en la oración (174). Unad r s que correspondería a esta última oración sería (177):



(177) ( { y } , (BURHo(y), t e n e r (x ,y)})

Para llegar desde aquí a la representación de gr an jer o que tenga un k jpodemos utilizar nuestro nuevo operador A:

(178) (0,(G R A N J E R O (x )})

A( {y }, (G R A N J E R O (y ), t e n e r (x , y )})

El sintagma verbal l o golpea se puede asociar con la DRS (179):

(179) (0, {g o l p e a r (x , y)})

Lo que necesitamos ahora es una operación que combine la d r s (178), qUelcorresponde al sintagma nominal común de la oración (173), con la d r s (179)

;jue corresponde a su sintagma verbal. Esta operación tiene que convertir estas DRS en una implicación que tenga (178) como su antecedente y (179) como

su consecuente. Más aún, el marcador de referencia x debe quedar acotado, es

iecir, el antecedente debe, además, contener un conjunto de marcadores {x}.DR S (180) serviría, pues obtendríamos la interpretación correcta, dado que

illa tiene las mismas condiciones de imbuición que la DR S original (134):

180) (({x}, ( g r a n j e r o (x ) }) A ( {y }, (B U R R O (y ), t e n e r (x , y )})) —>(0, {g o l p e a r (x , y )})

*ero este resultado sólo se puede obtener al reemplazar el conjunto vacío eni primera oración de la conjunción de (178) por el conjunto { x } . Esta es unauerte de maniobra sintáctica que es, para decir lo menos, difícil de interpretarsmánticamente. No es la clase de movida que se permite en un marco com-

osicional, pues nos fuerza a romper una estructura que ya estaba construida,ería preferible, si pudiéramos, simplemente preponer {x} al antecedente:

.81) {x}((0, ( g r a n j e r o (x ) }) A ( {y }, (B U R R o (y ), t e n e r (x , y )})) —>(0, {g o l p e a r (x , y )})

sro esto no cuadra con la cláusula (vi) de la definición 7.23. de la sintaxis; las d r s y de las condiciones. De acuerdo con esta cláusula, el conjunto de

arcadores {x } debe combinarse con un conjunto de condiciones y no con unaIS.

En efecto, en el momento en que se pueda conectar un conjunto de mar-dores con una DRS para formar una DRS nueva y más compleja, podemosfinir una noción i t e ra t iva de cuantificación, conectando un conjunto sin



* 11 {%} a una DRS’ en lugar de una noción no iterativa de la definición

23 U6 611 Un aS° com 'na un conjunto {xi>•••>xn}, para n > 0, con uni'unto de) condiciones. E sto último se necesitaba en la definición 7.23.,

esto que el añadir un conjunto de marcadores cambia su estatus sintáctico:PUto convierte a las condiciones en DRS. Una noción iterativa de la cuantifica- jón en DRS aplica un conjunto unitario {x} sobre una DRS $, la cual resulta

una DRS {x}<fr, a la que se puede anteponer otro conjunto unitario, digamos, i io qu e resulta en {j /}{x }$ . Por supuesto, si definimos la cuantificación deesta m a ner a , también podemos retornar al cuantificador familiar 3x y omitir

el uso de conjuntos de marcadores.E ntonces, tiene mu ch o sent ido om it i r com pletam ente la noc ión s intácti ca

de una con dic ión (o , de m an era a l tern at iva , añadi r un a operación que convierte

una condi c ión en u n a DR S; sin em bar go, aquí escogerem os la pr im era op ció n ) .

Así, ya no necesitamos más los conjuntos de condic iones; los reemplazaremos por conjunciones de DRS, ut i l izando la noción de conjunción antes def in ida.

Todo esto r esu lta en qu e la sin taxis de las DRS se pu ede hacer i dént ica a la

de la l ógica de pred icados de pr im er o rden ord in ar ia , con u n a excepc ión hasta

ahora y es que aún nos hace fa lta el cuantif icador universal; pero veremos

más adelante que puede introducirse y definirse en términos del cuantif icador

existencial y la negación de la manera usual .

Para obtener los efectos de laD R T ,

sólo tenemos que adaptar la semántica.En lugar de definir la noción de ‘la fórmula 0 es verdadera con respecto a laasignación g\ definimos la noción ‘la asignación h es una imbuición verificadorapara la fórmula 0 con respecto a la asignación g. El sistema que obtenemosde esta manera se llama l ógi ca de pr ed i cad os d i nám ica (véase Groenendijk yStokhof (1988a, 1991) para una introducción más detallada).

L legamos entonces a la siguiente definición de la interpretación semánticade la lógica de predicados dinámica (d p l ):

Definición 7.26.

(i) h (=m ,9 P ( t i ,..., ín) sii h = g y ([íiJ M,fc, •••, IMlvu) G I m { P )

(ii) h |=m,9 t = t ' sii h = g y [í ]M ,/i = [í'J m,/!

(iii) h (=M,g ~'0 sii h = g y no hay ninguna k tal que k (=M,h 0

(iv) h [=M,g (0 A i / j ) sii existe k tal que k (=m.s <t> y h |=M.fc

(v) h (0 ~>VO sü h = g y para todo k , si k <j>, entonces existe j tal que j |=M,fc V’



(vi) h (0 V sii h = g y existe A; tal que k cf> o k h M)ft $

(vn) h 3x<t> sii existe k tal que k [ x ] h y h h M,fc<¿>

(Vüi) V * s i i h = g y para toda * , s¡ k [ x ] K _ exhte . ^

L as cláusulas (i) a (ül) y (T) a (vi) m I

de la definición 7.24. La cláusula (¡v) introduce la c o n j u n t e D »»“ fc"

lo discútanos anteriormente. E a (vi¡) encontramos la i c i ó n i ter ad >

cuantificacion DRS. Por su parte, la cláusula (vüi) introduce u n í ™ ' '*

tenstica, a saber, la cuantificación universal Como va 1 ■,v *i V& (arac'se puede definir de la manera usual c o l - l ^ C o l ™ H lector, lo siguiente es válido: puede verificar el

(182) Para todo M , g y h , h |=M-J Vx<t, sii h f=„,9 -,3^ V

e. cnantificador existencia, no se pnêtificador universal. En otras palabras 3 x ó v a S y del cuan‘

no tienen las mismas condicC es de^mbuL d! ^ ^ ^ ?qUÍValentes>P“»3x F ( x ) y i \ / xi F (x) se 1, . !! de imbmcion. Por ejemplo, a las fórmulaspor medio de la definición 7.26.gnan ^ SlgUlentes condlcl°nes de imbuición,

(183) h 3x F ( x ) sii h [x\ g y h ( x ) G I ( F )

(184) h N m,3 -V x -F (X) sii h = g y para a,g| ¡n * ^ ^ ^ g /(J ^

^ 1 2 “ »“ * W " individuo pertenezca a la interpre-en la asignación de un L d v H “ “ “ * P ^ ^ e n t e difiera de g

p a c i on e s de ^ <“ *

otra, por mediocte la <v>ni,r ^ ““ * * ^ fórmulas “ o st i ó n le añadimos digamos Gl x ) Las fóimirlí,rlt’lr>!l y S1e'sta última contiene la misma variable X,

«(* ), d ^ W A G W y

(!S5) h | =M ,ff 3x F ( x ) A G ( x ) sii h[x ]g



el caso de (185), encontrarnos que la variable x en la segunda fórmula de la'unción sigue acotada por el cuantificiador existencial de la primera fórmula

^l a c o n j u n c i ó n . Es decir, encontramos que 3 x F ( x ) A G ( x ) tiene las mismas6 d i c i o n e s de imbuición que 3 x ( F (x ) A G (x )) . En efecto, lo siguiente es válido

£fla DPL:

(187) Para todo g y ^ h =M’9 a ip sii h | =M,g 3x(<f) A -i/’)

gn (186), sin embargo, la variable en la segunda fórmula de la conjunción,Q(x), no está acotada por el cuantificador universal. La condición (186) requiere que h ( x ) , que debe ser igual a g ( x ) , sea un elemento de I { G ) .

Por supuesto que estos hechos encajan con nuestra discusión anterior, enesta sección, sobre la diferencia entre los discursos (188) (=(165) y (189)

(=(157)):


(189) No todo hombre no camina por el parque. E l silba

Estos dos discursos se traducen en las siguientes fórmulas de la DPL:

(190)3x(hombre(x) A caminar por e l parque(x)) A SILBAR(: r )

(191) ->Vx(HOMBRE(2:) —►-'CAMINAR POR EL PARQUE(x)) A SILBAR(x)

Como lo acabamos de ver, las primeras fórmulas de las conjunciones (190)y (191) no son equivalentes en la D P L , precisamente porque el cuantificadorexistencial en (190) también tiene fuerza de acotación sobre la segunda fórmulade la conjunción (190). En la D P L , (190) es equivalente a (192):

(192) 3x(hombre(x) A caminar por el parque(x) a silbar(x))

Esto no es válido para (191).Por supuesto que las condiciones de verdad para la primera fórmula de las

conjunciones (190) y (191) son las mismas, incluso si su significado completoes diferente. L a definición de verdad sigue siendo la misma que la de la D R T :

Definición 7.27.

Una fórmula 4> es verdadera en un modelo M con respecto a una asignación9i [=M,g 4> sii existe una asignación h tal que h (=M.g </>



Si regresamos de nuevo a nuestros dos ejemplos simples, dadas las con Jnes de imbuición (183) de 3xF (x) y (184) de -iVx-iF (x), puede veri ficf Bfácilmente que sus condiciones de verdad son las mismas de acuerdo 1definición 7.27. En efecto, es válido de manera general que: '

(193) Para todo M , g y h, h | =M,g 3x0 sii f=M,g -,Vx-'0

Otro hecho importante sobre la DPL está relacionado con la interpretaciónlas oraciones burro. Las fórmulas (197), (198) y (199) son las traduccione¿Jde las oraciones burro (194), (195) y (196), respectivamente (=(161), (173^(174), respectivamente):

(194) Si un hombre camina por el parque, [él] silba



(197) 3x(hombre(x) A caminar por el parque(x)) —>silbar(x)

(198) V x ( (g r a n j e r o (x ) A 3y(BURR0(y) A t e n e r (x , y ) ) ) —►g o l p e a r (x , y))

(199) 3x (g r a n j e r o (x ) A 3y(BURRo(y) A t e n e r (x ,y ) ) ) —►g o l pe a r (x ,y)

Por supuesto que las traducciones (197) a (199) no serían traducciones en

lógica de predicados ordinaria. El hecho esencial que determina que sean

traducciones correctas en la DPL se ilustra mejor con el ejemplo más sencillode los tres. La fórmula (197) es una implicación con un antecedente cuantifi-cado existencialmente y un consecuente en el cual ocurre una variable ‘libre’.

En efecto, la variable no es libre en absoluto en la D P L : está acotada por el cuantificador existencial en el antecedente. Dado que tenemos un cuantificadoruniversal a nuestra disposición, este hecho se puede establecer de la siguientemanera: en la D PL la fórmula (197) tiene exactamente la misma interpretaciónque (200), la cual es la traducción usual en la lógica de predicados de primerorden de la oración burro (194):

(200) Vx ((g r a n j e r o (x ) A 3y(BURRO(y) A t e n e r (x ,y ))

—>g o l pe a r (x ,y )))

De manera general, tenemos la siguiente equivalencia:

(201) Para todo M , g y h, h [=m,3 3x0 —►%¡) sii h (=M,g Vx(0 —>i¡))



diferencia de la lógica de predicados, la equivalencia de 3 x 0 —>t/>y Vx(0 —>i\ es válida sin importar si contiene ocurrencias libres de x . Por supuesto,de acuerdo con (201), las fórmulas (198) y (199) también son equivalentes y, ¿s aún, son equivalentes a (202), que es su traducción correcta en lógica

predicados ordinaria:

(202) VxVy((GRANJERo(x)A BURRo(y)A t e n e r ( x , y ))—►g o l p e a r ( x , y) )

Concluiremos esta sección observando que, aparte de ofrecer un sistemalógico con apariencia más ortodoxa y que provee una herramienta mejor paraun análisis semántico composicional de los discursos en lenguaje natural, laPPL y la DRTtienen el mismo impacto empírico. En particular, los casos problemáticos de relaciones anafóricas discutidas al final de §7.4.4. son igualmente

problemáticos en el marco de la DPL.Se necesita una semántica dinámica esencialmente más rica, una semántica más dinámica, para tratar esos fenómenosproblemáticos (véase Groenendijk y Stokhof (1988a)).

E jercicio* 7.19.

Considere de nuevo el ejemplo (97), que se trató en §7.4.2. y sobre el cual versael ejercicio 7.15.: E xactam en te un muchacho cam i na por el parque. E l si l ba.

De una traducción correcta de (97) en (a) lógica de predicados; (b) en ellenguaje DRS de la definición 7.1. y, (c) en lógica dinámica de predicados.Compare entre sí las traducciones realizadas en (a), (b) y (c) con respecto asu ‘nivel de composicionalidad’.

E jercicio* 7.20.

Considere la siguiente alternativa para la interpretación semántica de la dis

yunción:h Nm,9 4> V ip sii h t=M,s 4> o h | =M ,g

(i) Discuta las diferencias entre esta interpretación y la de la disyuncióncomo se da en la cláusula (iv) de la definición 7.26.

(ii) ¿Es posible explicar los ejemplos (149) y (150) del §7.4.4. bajo esta in

terpretación de la disyunción?(ni) Intente encontrar un ejemplo típico de una sucesión de oraciones que

exhiba el tipo de relación anafórica que se puede explicar con base enesta interpretación alternativa de la disyunción.



Ejercicio* 7.21.

En la lógica de predicados ordinaria es posible comenzar a partir de un con. junto mínimo de conectivos y cuantificadores y definir los otros en términosde éstos. Por ejemplo, A, V, y 3 se pueden definir en términos de -t, V, y 'Determine dicho conjunto mínimo para la lógica dinámica de predicados.

Ejercicio* 7.22.

Varias nociones de implicación son factibles para la lógica dinámica de predi

cados (y la dr t ). Considere las siguientes tres alternativas:

(a) (j) j=a i p sii para todo M , g , y h : si h | =M,g <t> entonces h (=M .g ^

(b) (f> (=6 0 sii para todo M , g: si |=m ,9 4> entonces (=M,g

(c) <f) f=c sii para todo M , g , y h : si h | =M ,g <t> entonces h ^

Con base en lo anterior:

(i) Determine para cuáles de esas tres nociones de implicación es válido que:3xF (i) f=F ( x ); 3x F ( x ) |=3y F ( y ) .

(ii) Determine para cuál de las tres nociones es válido que: (f) f=ip sii |=(f>—

(ii i) En lógica de predicados ordinaria la relación de implicación es reflexiva ytransitiva. ¿Es esto cierto para las tres nociones definidas anteriormente?Si no lo es, presente un contraejemplo.

7.4.6. ConclusiónLas conclusiones principales que se obtienen a partir de la discusión anteriorson las siguientes. Primero que todo, se ha mostrado ampliamente que elcambio de la DRT a partir de una semántica estática y basada en oraciones,hacia una semántica dinámica y basada en discursos, es una movida muy exitosa. Segundo, hemos visto que algunas de las características distintivas de lad r t , el lenguaje DRS poco ortodoxo, y en particular su postulado de un nivel

intermedio de representación semántica entre la sintaxis del lenguaje natural y la interpretación semántica, no son ingredientes necesarios para su éxitoempírico. En lugar de ello, podemos usar el lenguaje de la lógica de predicadosde primer orden, interpretada de la manera composicional usual, si utilizamosuna noción dinámica más rica en significado.



L a lógica dinámica de predicados no es simplemente una variante notacio-paJ más ortodoxa de la d r t ; ella nos permite, en la medida en que esto esposible en el lenguaje de primer orden, obtener traducciones composicionalesdirectas de las oraciones que ejemplifican el alcance empírico de la D R T .

D a d o que la DPL es un marco lógico composicional ortodoxo, no parece seruna

tarea mayor transferir su interpretación dinámica a lenguajes intensionalesde or den superior, tales como el utilizado en la Gramática de Montague, y deesta manera intentar una unificación de la Teoría de Representación de Dis

cursos y la Gramática de Montague.

La Gramática de Montague también se puede beneficiar de tal empresa.En §7.4.2. se mostró que los mecanismos de las reglas de cuantificación noson adecuados para explicar las relaciones anafóricas sobre las cuales trata

l a DRT. En efecto, las traducciones en la DPL que obtenemos para las oraciones burro y el tratamiento de la DPL de otras relaciones anafóricas dentro yfuera de los límites de la oración sugieren, convincentemente, que no necesitam os el mecanismo de cuantificación para explicar las relaciones anafóricas. L astraducciones que la DPL ofrece se parecen a las que obtenemos en una construcción directa, donde se establecen las acotaciones adecuadas por medio dela dinámica del mecanismo de interpretación, en lugar del mecanismo de lasreglas de cuantificación. Esto le quita la última de las dos funciones: explicarlas relaciones anafóricas. La única función de las reglas de cuantificación quepermanece es la de explicar las ambigüedades de alcance (pero como lo indicam os en §6.6., se han desarrollado alternativas que explican las ambigüedadesde alcance de una manera diferente).

F inalmente, le recordamos al lector que el tipo de fenómenos que se hanestudiado en el marco de la DR T no se limitan a lo que aquí ha sido el énfasis

principal, a saber, las relaciones anafóricas. Un primer ejemplo de otro campo de aplicación es el de los estudios sobre tiempos y aspectos verbales.En Hinrichs (1986): Kamp (1981); K amp y Rohrer (1983), y Partee (1984), seexpone el punto de vista de que el papel de los tiempos y aspectos verbalesen el discurso es un tema importante de la semántica de los tiempos y aspectosverbales y que el enfoque dinámico del significado arroja nueva luz sobre este

análisis.

Otro fenómeno que ha sido tratado dentro del marco de la DR T es el análisis semántico de las oraciones sobre creencias y otros reportes de actitudesproposicionales. En Asher (1986, 1987) y Zeevat (1987), se expone el puntode vista de que la filosofía representacional detrás de la D R T provee mejoresmedios para tratar muchos de los problemas añejos en este campo. Así pues,



esta es un área en donde se considera que el “representacionalismo” de la dr t

contribuye positivamente a nuestro entendimiento del fenómeno en cuestión.

Además de los tiempos y aspectos verbales y las actitudes proposicionales,también se han discutido otros fenómenos de la DRT, tales como el impactoen el discurso de muchos otros términos y determinantes, además del pequeño

grupo discutido anteriormente, y más relaciones anafóricas complejas en contextos intensionales (véase K admon (1987); Roberts (1987, 1989), y van Eyck(1985)).



Solución de los ejercicios seleccionados

Capítulo 2

E je rc i c io 2.1.

(a) 0~*p A -O -i p clave: p: usted me entiende(b) Op—OOp clave: p: está lloviendo(c) 0(0p—>p) clave: p: está lloviendo

(d) <COp—O p clave: p: está lloviendo(e) 0p A OOp clave: p: está lloviendo (esto = está lloviendo )

o: Op A OüOp clave: p: está lloviendo (esto = puede estar lloviendo)

E je rc i c io 2.2.

ítem (a):

(i) En w\ : VWl (D p )= 0 , porque VW 2(p )—0 y w \ Rw 2■De lo que se sigue queVWl {D p ^ D D p )= l , en w 2 : VrW2(D p)=l, pues VWl (p )= 1 y sólo w\ es accesible desde w 2, y V W2(□□p)=0 porque VW] (□p)=0 y w 2Rw \ . Entonces,VW 2(Op— »□□p)=0. Dado que VW 2(C\ p— ► □□p)=0, Dp- DDp no es válidaen M .

(ii) En w\ : V ,1(-iD p)=l porque VrWl(Dp)=0; en w 2 : V W2 (-O p)=() porqueVm 2(\ H p)= l . Así, en el modelo M -O p no es válida.

(iii) K ,1(0p)=l , porque VWl (p )= 1 y w i R w i , y VW2(0 p)=l , porque Vru,1(p)=ly w 2R w \ . Esto significa que tanto V ül(D 0p)=l como VU)2(D 0p)=l ya partir de ahí VWl (p—O 0p )=l y VWl (p—0<)p)=l . Entonces, en M .(p—OOp) es válida.



ítem (b):

(i) Vea la figura:p, q w i w 2 ->p, q

P w 3

(ii) 1. V W2 (g)=l implica que VWl (□g)=l, porque solamente w 2 es accesibledesde w\ .

2. VW 3 ( i ( p * q ))=1 implica que K ,2(D -i(p->g))=l porque solamente

u >3 es accesible desde w 2.3. VWl(pA q) = l implica que VWl((pA q)V (~<pA <q))=l y VWi (^ pA ^ q ) )= l

implica que VW4(( p A q) V (>p A ->q))=l. Entonces, V 3(D((p A q) V(~tp A > q ) ) )= l , porque solamente w\ y son accesibles desde w3.

4. VW 3( p ) = l , entonces VW 2(H \ p)= 1, porque solamente es accesibledesde w 2, entonces VWl (0D p)=l , porque vú\ Rw2.

5. VW 2( p ) = 0, entonces Vvn (()p )= 0 . porque solamente w 2 es accesibledesde w i , entonces VWl (0p A ( )q )=0 .

(ii i) 1. V ,(Dp)=l si y sólo si w = w 2 . En consecuencia, 14,(0Clp)=l si y sólosi w = w i o w = v ) 4 , porque w 2 es accesible sólo desde w\ y 104. De esto

se sigue que K u(00n p)=l si y sólo si w = w 3, porque tanto í/7] como104 son accesibles sólo desde W 3 . Entonces, V W2(§D pV OODp)—0 y

ODp V OOCp no es válido en M .

2. V (D p)=l si y sólo si w = w 2 . También VW 2{ p p ) = 1. Entonces, paratodo G W, V (Dp—>-ip)=l. En M , IHp— es válido.

3- VWl(p)=\ y V J,1(0p)=0, dado que VW 2(p)=0 y sólo w 2 es accesibledesde w\ . Se sigue que VWl(p— >0p)=0 y de ahí que Vm ((p—>0p) A(9-^0q))=0. En M . (p—>0p) A (<?—»O«?) es válido.

4. La fórmula p V ^pes una tautología. Entonces, Vw(()(p V _ip))=lpara todo w £ W para el que hay un w' 6 W7 tal que w R w ' . Porotra parte, V i(D(p V ->g))=0, dado que VW2(p V -ig)=0 y w \ Rw 2 De esto se sigue que VWl (0(p V -ip)—>D(p V -i ))=0. Entonces, 0 (p V->p)—>[H(p V -ip) no es válido en M .



(jV) 1. Suponga Vr¿(D p) = l para algún w G W y un V ' arbitrario en elmarco. E sto significa que (p ) = 1 para todo u/ accesible desde w. Cada w en el marco tiene un w ' accesible desde él. De ahí V ^ ( ()p )—\ . Entonces Dp—>0p es válido en el marco.

2. Suponga V ,(00np) = l para algún w G W y un V ' arbitrario en

el marco. E ntonces, hay un w ' y un w " tal que w Rw ', w ' R w " , yF '„(I H p)=1. Para probar la validez de 00Op—>p es suficiente mostrar que w " R w debe ser válido (si esto es verdad, V ¿{p )=1 se siguede V (D p)=l). Este es, en efecto, el caso:si w =w \ , entonces debe ser el caso que w ' = w 2 y w"=w^ \ si W=W 2 , entonces debe ser el caso que w ' = w s y w " = w \ o w " = si w = w 3, entonces debe ser el caso que w ' =w \ o w ' = w 4 y w " = w 2;

si w = w 4, entonces debe ser el caso que w ' = w 2 y w " = w ^ .En todos los casos w " R w . Entonces, 00E\ p—>p es válida en el marco.

Ejerc ic io 2.3.

ítem (a):

(i) Suponga que M es un modelo con un marco simétrico subyacente. Suponga ahora que V^,(0n<^)=l- Debe mostrarse que Vw {4>)— 1. De V (O d0)=lse sigue que para algún w ' tal que wRw' \ V^,/(D0)=1. De la simetría deR se sigue que w ' Rw . Este hecho, junto con el hecho de que VU,/(D 0)=1,implica que VW(4>)=1.

(ii) Suponga ahora que la relación R en un marco no es simétrica. Entonces,

hay mundos w\ y tales quew 1R.W 2, mientras que W 2RW 1 no se obtiene.Ahora, en ese marco definimos un modelo estipulando que Vw ( p ) = l siy sólo si W 2Rw . En consecuencia, V W2 (□/->) = 1 y, entonces, VWl (0Dp)=l.Sin embargo, VWl {p )= 0, por lo que se sigue que VWl (0Op—>p)=0. En estemodelo 0 \ 3p—>p no es válido.

ítem (b):

Solamente daremos los resultados. En los marcos, 000^ —►V 2 = w ); 0000<t> —> (f> corresponde a la fórmulaV'u;Ví; 1\/i> 2V'6'3( ( wR v 1A v\ Rv 2 A v \ R v ¿)^ v ¿=w ). Así, la generalización para elcaso con sucesiones arbitrarias 0 i, ■•■, 0n será obvia.



E je rc i c io 2.7.

(a) p A F i p clave:(b) p A G p clave:(c) P p A P q clave:

(d) P (pA P i j) clave:

(e) P (p A F g) clave:(f) (F p V -iF p) A (F p—>HFp) clave:(g) G q —>Gp o G q Gp clave:

E je r c i c i o 2.8.

ítem (a):

(i) Vea la figura:

p: usted es joven,p: te soy fiel.p: J uan lee L a guer r a y l a paz.

q: Carlos lee L a guer r a y la paz. p: María entra.

q: J uan pone la botella de whiskeyen la nevera,como en (d).

p: una batalla naval tiene lugar,p: tú estás conmigo.q: yo estoy feliz.

(ii) 1. Dado que Vt(-ip )=1 sólo en los casos Í =Í 4 y Í =Í 5, necesitamos deter

minar V í(F Gp) solamente para esos valores de t . Ahora Vts(Gp)=lporque V t6(p)=1 y te es el único t después de £5. Además, V t6 (Gp)=l,dado que no hay t tal que t ^R t . En consecuencia, Vt4(F G p)=l yV'Í5(F G p)=l y -ip—>FGp es válida en el modelo.

2. Vrt4(F -.p)=l , dado que V'Í5(p)=0 y t 4R t 5 , pero Vu (F F ->p)=0 porque>p no es verdadero en t e. De ahí que F->p—>FF-ip no sea válida enel modelo.

3. V¿6(P —ip—>-ip)=0, dado que Vt 6 ( P ^ p ) = l y Vt6(-ip)=0. De esto sesigue que, por ejemplo, V t5 (G (P ^p—>->p))=0 porque t 5 R t 6 y, Porconsiguiente, G (P -ip—>-ip) no es válida en el modelo.

4- Vt6(p A G p)=l, mientras que Víf] Í H p)=0. porque t 5 R t 6 y Vt 5 ( p ) ^ De lo que se sigue que (p A G p)—>Hp no es válida en el modelo.



í t e m ( b ) :

(i) Validez de FG<£—>GF4> en el marco F significa, con respecto al tiempoeje T de F , que si dos puntos del tiempo están después de un punto dadoen el tiempo, siempre habrá un punto en el tiempo que esté después deestos dos puntos; es decir, si tRt \ y t R t 2 , entonces hay un Í3 en T tal quet \ R t 3 y t 2R t 3 . En otras palabras, una configuración como en la figura (a)siempre puede extenderse a una configuración como la que se presenta

en la figura (b).(a) (b)

Asuma primero que esta propiedad es cierta para F y que Vrt(FG)=lpara algún t £ T en un modelo en F . Entonces, hay un t\ € T tal quet R t i y para cada t! con t \ R t ' es el caso que Vf (< j ) )= l . Ahora, tome unt 2 arbitrario con t R t 2 . Como se asumió, hay un t¿ con t \ R t z y t 2Rt¿. Dado que t i R t ^ , Vt 3 ((f>)= 1, y porque t 2R t s es cierto, V¿2(F<f>)=l es cierto

también. Dado que t 2 ha sido escogido arbitrariamente con la propiedadt R t 2 , se sigue que Vrt(G F 0)=l. Esto significa que si la propiedad rela-cional dada es cierta para F , F G 0—>GF >es válida en cada modelo enF .

Suponga ahora que la propiedad no es cierta para F . Entonces, haypuntos en el tiempo t , t i , t 2 € T de F tales que t R t ] y t R t 2 , mientrasque no hay ¿3 tal que t \ Rt^ y t 2Rts . Ahora se define un modelo enF , estipulando que Vt ' ( jp )= 1 si y sólo si t \ R t ' . Entonces, Vt1(G p)=ly, en consecuencia, V f(F G p)=l. Por otra parte, V¿2(F p)=0 porque nohay t! con t 2R t ' tal que V t ' ( p ) = 1. Entonces, V ^GF pÔ. De ahí queF G p—>GFp no sea válida en este modelo y que también falle en F .

(ii) La validez de G(<f> A ~ <j>) V F G (0 A -■</>) en un marco F significa que enel eje temporal del marco cada punto en el tiempo es seguido por un

punto final (excepto por el punto final mismo). I ndicamos en el textoque t es un punto final en el tiempo si y sólo si Vt (G(<j) A ->0))=1. Estoimplica que Vt (FG((f> A ~'4 >))=1 si y sólo si t es seguido por un puntofinal y Vt(G(<j> A V FG((/> A -i0))=l si y sólo si t es un punto final oes seguido por uno.



(iii) L a validez de P P - P , en un marco significa que la relación de accesibilidad R de el marco es transitiva. Para ver esto, suponga primero queR es transitiva y que Vt(P P <£)=l. Entonces, habrá un t ' y un t " cont ” R t ' y t ' R t tal que Vt"( ( j ) )= 1. Dado que R es transitiva, t " R t tambiénes cierta y de ahí Vt(P</>)=l. Por esto, para cada modelo en un marco

con una relación de accesibilidad transitiva, P P 0— es válida.Suponga ahora, por otra parte, que R 110 es transitiva. En este caso, hayt " , t ! y t con t " R t ' y t ' R t , mientras que t " R t no es cierta. Ahora, se defineun modelo estipulando que V t " ( p ) = 1; pero V hace falso a p en todas lasdemás partes. Entonces, V t { P P p)=l es en efecto cierto, mientras queV¿(P P p)=0. Así, P P p—>Pp no es válida en este modelo.

Capítulo 3


Las claves y dominios serán dejados implícitos en la siguiente solución. Además,abreviamos H0A</>AG</!>como A </>(si em pr e (p) y P 0V 0V F <f> como Ecfr (algunas veces 4 >)• Será claro que A <j> es equivalente a —>E—10, y E ó a -iA

(a) O FW l w

(b) 0 V x (H x > H 3 yA x y )

(c) ( }3yW x (H x—* U A xy )

(d) \ / x \ / y ( x 7 y—►OS'xy)—>VxOVy(x ^ y + S x y )

(e) \ / x (3y ()K F xy A VyOEFxy A -lOVyAFxy)(U stedes es interpretado aquí como todos. Esta es solamente una lecturaposible).

(f) 3x(Vy(P y <->y = x ) A G D x )

(E l presidente actual siempre será un demócrata)y: G3x(Vy(Py y = x ) A D x )

(Quienquiera que sea el presidente, él o ella será un demócrata)(g) V x (S x ^ >B (x , 3 y (M y A W y t ) )) (d e d i ct o )

3 y (M y A V x (S x—>B(x, W y t ) ) ) (de re)

V x (S x ^ 3 y (M y A B (x , W y t ) )) (d e r e , pero para cada estudiante posiblemente uno diferente).



E je rc i c io 3.4.

(a) Construimos un contraejemplo para VxO0— en la siguiente figura:

D Wl — D W2 — D w3 — {a , 6}; IW l ( A ) — i / ),IW 2(A ) {a } , I W 3 (A ) { }-Es claro que para un g arbitrario, Vjyi,W 2,g[x/ a)(Ax) = 1 y de ahí que

^M,iui ,g[x/ a\ (O A x ) = 1. También V^j[^W 3 g x {A x ) 1 y, consecuentemente, Vm,íü1,9[x/6](0 x)=1. De esto se sigue que FM,iu1,g(Vx0 4x)=l.Por otra parte, dado que Vm,w 2^ x A x ) = 0 y que Vm,w 3^ x A x ) = 0,VM,u;i(OVxAa:)=0. Entonces, Vx<M x—»OVxAx no es válida en M .

(b) Suponga que M satisface el requisito de dominios decrecientes y queVm,u)(<v|3x0)=1. Para mostrar que (64) es válida en M debemos mostrar que Vm,w(3x<>0)=1- Tomemos un g arbitrario. El hecho de queVm,uj.c/(O3x0)=1 significa que para algún w ' con w Rw ', es el caso que

Vm,w',9(3x0)=1 y, entonces, VM w ig[x / d]((j ))=1 es el caso para algún d £ D w>. Dado que M satisface el requisito de dominios decrecientes, es ver

dad también que d £ D w . Esto significa que M.u,;g[I /(i](O 0)=l y de

ahí que Vm,u>,9(3xO0)=1.

Si M no satisface el requisito de disminución de dominios, entonces haymundos w y w ' donde wRw ' , con una entidad d tal que d £ D wt yd £ D w . Ahora hagamos que g { y ) ~ d . Entonces, VMjli)/>9[x/d](x=y) =1 y,por consiguiente, VM,ti/,s(3x(x=y))=l y VM ,u),g(03x(x=y))=l. Por otraparte, para todo d' £ D w (observe que d! siempre es diferente al d de

arriba) y wRw ' , el valor de V m .,w ' ,g[x / d,') (x = y ) es siempre 0 o indefinido.Entonces, VM w ^ x/ d ' ] (0 {x = y))= 0 y, por consiguiente, Vm,u;,9(03x(x =

y ) -»• 3x0(x = y) ) = 0.

E je rc i c io 3.5.

(a) Definimos M de la siguiente manera: W = { 1,^2}; R = {(^1,^2)};D = {a, 6}; IW l (E ) = {a}; I W 2( E ) = {a, 6}; I m (A ) = I W 2(A ) = {a}.Mostraremos que Vm,wi (Vx(.E x—>DAx)—► □Vx(.Ex—>Ax)) = 0. Parauna asignación arbitraria g, ,Wljg[x/ b](E x) = 0 es cierta y, entonces,

VM .w ^ g l x / b ^ E x * ^ ^ 1 También V ^ W 2^ x/ a] { A x ) = l es cierta, por lo



que V ^ Wug[x/ a]{ U A x ) = l y VMtWug[x/ a](E x > O A x )= l . En consecuencia,M.ioi ,3(Wx (Ex EH.í4.x)) 1. Por otra parte, * ))—0, (jg

donde se deduce que VM .Wl,g (O \ / x (E x ^ A x ))= 0 . que es lo que se quería.

(b) En un modelo M , (78) es válida si y sólo si el predicado de existencia en M es creciente, es decir, si wRvo' implica que I W(E ) C I W>(E). Supongamos que se cumple la condición anterior y que Vm,u),j(É2:)=1.Esto significa que g (x ) £ I W(E ). Dado que I W(E ) C I w i , g ( x ) £ I W' (E ) será válida para todo w ' con wRw ' , Vm,™', g ( E x ) = l . Esto prueba queVM ,y j ,g (OE x )= l . Dado que g fue escogido arbitrariamente, se sigue queVm , w ( V x ( E x ^ O E x ) ) = 1 . Ahora, asuma que Vm ,w (V x (E x— >D £’x ) )= ;1 y

suponga que w Rw ', d £ I W(E ) . Basta mostrar que d £ I W>(E ) es válida

también. Ahora, VM ,w,g[x/ d \ (E x * O E x )= l . Dado que d £ I W(E ), también se sigue que VM w^ x / ^ (E x )= l y así, VM w g[x/ ^ ( \ J E x )= l . Pero estosignifica que Vm,w ',g[ x/ d \ (Ex )= 1 y, entonces, d £ I W' (E ) .

Capítulo 4

E je rc i c io 4.1.

(a) (i) no; (ii) no; (iii) sí, tipo (e, t)\ (iv) sí, tipo í; (v) sí, tipo í; (vi) no; (vii)sí, tipo £; (viii) sí, tipo t .

(b) (i) c0(M ) debe ser del tipo (e,i), dado que j es del tipo e, entoncesa = ( ( e, t ) ,{ e, t ) ) .

(ii) M ( j ) es del tipo t , entonces a = (t , t ) .

(iii) S (M ) es del tipo (e, t ) , entonces a es e.

(iv) De nuevo, a=e, entonces b= ( t , t ) .

(v) Dado que ca es aplicable a 5, a = (((e, t ) ,(e, t )), a ') ,para alga'; dado que ca(S), al ser del tipo a' , es aplicable a M , o! — ((e, t ) ,a") para algún tipo a", entonces b= (a " , t ) para el mismo tipo a” . Enconsecuencia, no tenemos aquí una única solución.



j : J uan; a: Alberto; m : María; s: el salami; c: el sofá; M : dormir; S: rebanar;f {: sentar; T : profundamente (tipo ((e,i ), (e, í ))); C : cuidadosamente (tipo((e, t ) , (e, í ))); ci: presumiblemente (tipo ( t , t ) ) ; c 2: hacer (tipo ((e, í ) , (e,t)));c3: mal (en (d), tipo (((e,í ), (e,í )) , ((e,í ), (e,*)))); C4: en ((e, ((e,f), (e,í ))));

C5: entre (y), (tipo (e, (e, ((e, í ) , (e,£))))); W : mal (en (e), tipo ((e,i ) ,í )).

Traducciones:

(a) (T (M ))(j)

(b) c i ( M ( j ) )

(c) ( C (S ( sM a )

(d) Vx(-3Y ( c 2 ( Y ) ( x ) ) - -3y(c3(c2)(y)(x)))

(e) V x(-ay(c2(y)(x)) - -a y (c2(y)(x) a w (y )))

(f) ((c4(c))(i?))(m)

(g) ((c5Ü')(a))(i?))(m)

(h) ((c5(j)(a))((c4(c))(fí)))(m)

E jercicio 4.4.

ítem (a):

7(c1)=P 1; 7(e2)=(P 2); /(e3)=(P 3); 7(M )(P 1)=1; 7(M )(P 2)=1; 7(A7)(P3)=0;I ( A ) (P \ ) es la función /1 tal que /i (P i )=0,/i (P 2)=/i (P 3)=1- 7(A )(P 2) esla función /2 tal que /2(P i)=/2(P 2)=/2(P 3)=0. /(A )(P 3) es la función / 3

tal que /3(P i)=0 y / 3(P2)=/3(P 3) = 1. 7 (£)(/x)=l sii X # 0, X + {P 3}-

7(T )(/x)(y)=l sii (/x)(y )=0.

ítem (b):

(i) Esta fórmula expresa que hay un punto con flechas a dos puntos, unode los cuales es rodeado, mientras que el otro no lo es. Esto es válidopara P i, por lo que la sentencia es verdadera. L a interpretación puedeobtenerse con la ayuda de la definición 4, de la siguiente manera:

E je rc i c io 4.2.



Supongamos que g (x )—P 1; g(y )=P¿\ g(z )= P z . Por esta elección,I ( A ) ( 9 ( v ) ) ( 9 ( v ))=1 y I ( A ) (g ( z ) ) (g ( x ) )= l , entonces IA (¡/)(®)]Mj9[A ( z ) ( x )1m ,s =1-

Además, I (M ) ( g ( y ) ) = l , entonces [M (y)]M ,s=l y I ( M ) ( g (z ))= Q , en consecuencia [M (2)]m,9=0 y [_,M (z)]]M ,g=l- De este hecho y del precedente

se sigue que \ A (y)(: r) A M (y ) A ( A ) ( z ) ( x ) A m,9=1, de donde sesigue que l 3 x 3 y 3 z ( A ( y ) ( x ) A M ( ¡ / ) A yl(z)(x) A -iM (z))J m,j=1.

(ii) Esta fórmula expresa que una flecha va desde un punto hacia sí mismosi y sólo si no está rodeado. Esto es verdadero porque hay una flechadesde P3 hacia sí mismo y P 3 es el único punto no rodeado.

Esto puede elaborarse de la manera que proponemos a continuación:

| [j4(x)(x)lM,g,[a;/Pi]=::íJ4(;l:)(*c)]M,g,[a:/P2]= y I .(*c)(*z')jM,g,[:r/P3] = l- Más aún: [-<(M (*))]mj,[x/J ií] = H M (x))1m,9,(x/p2] = °> mientras que

| [-.(M(a:))]M,g,[i/P3j=1- De ahí>I ^ X * ) ^ ^ M i x ) l M ig,[x/ d\ =t para todo d, € D , lo cual significa que ¡[Vx(A(:z)(x) «->' iM (i ))J m,9=1.

(iii) Esta fórmula expresa que para cada punto que tenga una flecha que llegaa él mismo hay también una flecha que va hacia un punto rodeado. Estoes verdadero: P3 es el único punto con una flecha que va hacia él mismoy desde P3 hay una flecha que va hacia P2, el cual es un punto rodeado.


tenemos [A (x)(£)]m,p,[x/Pi] = 0 y I ^(x)(a::)lM ,9,[x/P2] = 0, mientras que

I - -(y)(a')lM ,3,[x/P3][y/P2] = 1 y I - ( )lM,g,[a:/P3][j//P2] — !• De los dosúltimos resultados se sigue que l 3 y ( A ( y ) ( x ) A M (y))]M ,g,[x/p3]=l y Quel A ( x ) ( x ) + 3 y ( A ( y ) ( x ) A M {y )) \ y l ^ x/ P^ = l . De los dos primeros resul

tados obtenemos que l A ( x ) ( x ) * 3 y ( A ( y ) ( x ) A M (y))]M)fli[a./P .] = l , parai = 1,2. De ahí, p / x (A (x ) ( x ) ^ 3 y ( A (y ) ( x ) A M ( y ) ) ) } Mt 9t[x/ p 3 ]= l .

(iv) Esta fórmula significa que cada subconjunto del dominio contiene unelemento. Esto no es verdadero: el conjunto vacío no contiene elementos.Más formalmente, supongamos que g ( X ) es la función característica de0, es decir, la función en el dominio que asigna el valor 0 para todos lostres puntos. Entonces, { X ( x ) j M ^ t[x/ P^ = g (X ) (g [ x / P i ] ( x ) )= g (X ) (P i ) = 0

y, además, [X (x)])m,3,[x/P2] = = 0. Esto implica que[3x X (o;)Im ,9=0 y, entonces, que | VX3x X (x )]m =0.

(v) Esta fórmula expresa que si un conjunto de puntos no contiene elementosrodeados, es porque contiene un elemento con una flecha apuntando hacia



sí mismo o porque es el conjunto vacío. Esto es verdad: un conjunto sinelementos rodeados sólo puede ser {P 3} o 0. E sto se puede elaborar de lasiguiente manera: basta— asumiendo que [[Vy(M (y)— (y))lM ,s,[X/C]=l>para algún C arbitrario en el dominio— mostrar que [3y ( X (y)AA(y)(y))V- ,3yX(y)]Mg![X/C]=l.

Primero, mostramos que C no contiene P\ o P2, es decir, que

l X ( y ) } M ,g,[X/C] [ v/Pi ] = l X ( y ) l M ,g , [ x / C\ w n ] = Por ejemplo, supongaque I X (2 /)lM ,g ,[x /q[y /P 1]= 1; de donde I -’X(y)])M ,g,[x/C][y/Pi]=0 consecuentemente, dada nuestra suposición, [M (y)]Mi9i[x/C][v/Pi]—10- Así,I (M ) (g [ X / C ] [ y / P i ] { y ) )= I ( M ) (P i ) = 0 , lo cual contradice nuestras suposiciones. Ahora hay dos posibilidades: (a)[[X (y)]M ,g,[x/C][y/P3]=0; o (b)

l X (y) ÍM ,g , [ x /C] [ y/P 3r l - En (aM 3yX (y)J M ,<,,[x/C]=0 y, en consecuencia, [-'3yX (y)]M)gi[x/C ]=1- En (b)>I (2/)(2/)1m,<?,[X/C][j//p3]:=1 y también\ X (y)A j4(y)(y)]M,g,[x/C'][j//P3]= l! entonces l 3 y ( X ( y ) A A ( y ) ( y ) ) j M i gt [x/ c\ =1. En ambos casos, 13 y ( X ( y ) A A ( y ) ( y ) ) V ->3i yX ( y )¡Migt [X / C¡=l ■

(vi) Esta fórmula afirma que hay un grupo tal que tanto él como su complemento contienen puntos rodeados. Esto es verdadero. Tome {P i}, porejemplo. Tanto {P i} como {P 2, P3} contienen un punto rodeado.


-f(^)(/{P i})=/ (^)(/{P 2,P3})=:1; 7(r )(/{P i})=/{P 2 ,P3}- Supongamos queg ( X ) = f { Pl y, entonces, tanto [£pO ]M,9 = 1, como [T (X )1m,s = /{p2,p3}son ciertas y, en consecuencia, I (P (X))1m,p = 1- Con esto

\ £ { X ) A £(T (X ))J M .9=1 y, finalmente, [3X (£(X ) A £ (T (X )))]M ,9=1-

E je rc i c io 4.5.

(a) Las expresiones básicas reciben las siguientes categorías:

CN: hombre, caballo

T: J uan, Ped r o

T /C N : el, un

CN/CN: ver de, grande, h onesto

T\ S: caminar, suda

(T \ S)/T : adm i r a a, mal d i ce a, per si gue a



(b) (i) M odificadores de predicado como su av em en te, rápi d am en te ...; porejemplo, suda su av em en te

(ii) Preposiciones como sobr e, en cim a, por en cim a ; por ejemplo, sobre el caball o

(iii) Posesivo de; por ejemplo, el caball o de J uan

(iv) L a cópula es; por ejemplo, es hon esto (hay un problema aquí: expresiones como es hon esto y es ver de se convierten en categorías T\ Sentonces debe ser posible combinarlas con modificadores de predicado, pero este no es el caso. En la Gramática de Montague esteproblema se resuelve por ‘duplicación’ de categorías (ver §6.2.11.)).

L a gramática independiente de contexto completa es:

S =>N P V P N => h om br e, cabal l o

V P => V P A d v A d v => su a vem en te, rápi d am en te

I VintT A d v => P N P

V P =► i Vtr N P Víntr =>• cam i n a , j u r a

i,A d j Vcjyp Vtrans =► adm i r a a, m a l d i ce a, per si gu e a ( P r o pN Vcop es

N P =>■< A d j =>• ver d e, gr a n d e, h on es to

[ D et N

P r o pN => J u a n , P ed r o D et =- el , un N =► A d j N D et => N P Po s

P =>■sobr e, en ci m a, por en ci m a P os => de

E je rc i c io 4.8.

(i) no (vi) sí, (e, ( ( e , t ) t ) ) (xi) sí, t

(ü) sí, t (vii) no (xii) no

(iii) sí, (e, t ) (viii) sí, (e, t ) (xiii) sí, t (iv) sí, (e , t ) (ix) no (xiv) sí, t

(v) sí, t (x) sí, t



E je rc i c io 4.9.

L a clave usada en la siguiente solución es:

E : bañar £>: saludable

C : poner M i : resulta en jaque mate

B : restaurar -M 2: posible

F : haber olvidado W i : bueno

Gv. haber sabido H 2: malo

G 2: saber ahora L j : crecer

C\ \ siempre, tipo ( t , t ) ¿ 2: brillar

c2: otra vez, tipo (t , í) M : humano

T : correctamente, tipo

((e, (e,í )),(e, (e,í}>)

ü i : perfecto

S i : adelante i?2: ser (existir)

52: atrás Q: reina

L: amar a m: María

/C: importante

Las traducciones son:

1. /C (A x((r (£))(x)(x)))

2. £>(Ax 3 y ( L ( y ) ( x ) ) )

3. XUXy \ x (( S\ ( U ) ) ( y) (x ) V (52(f7))(y)(x)) (compare la respuesta (d))

4. A 4i(Ax((Si(C))(</)(x) V (S2(C ))(g)(x)))

5. A x(L i(x) A L 2( x) A V y ( M ( y ) - > c i ( c 2 (JB ( y ) ( x ) ) ) ) ) , tomado como el conjunto de los objetos que satisfacen la descripción (hay, además, una lecturadel sintagma nominal, la cual se omite aquí)

6. A x3y(F (y)(x))=A x3y(Gi(y)(x) A ->G2(y)(x))

7. - i.A/í 2(A x (c i (x = x )))

8. X xRi ( x) = Xx \ / X ( ' H \ ( X )—>X (x ))

9. A xW í(7í2(X )— (X (x) «-*•X ( m ) ) )

10. Xy {X x (R 2( x ) ) ( y ) V -.(Ax(J ?2(x))(y))) es decir: Xy (R 2 (y) V ->i?2(y))



\ quí las traducciones surgen, en general, de una interpretación de las formas;ategoriales generales, junto con una explicación detallada de las constantesógicas, cuando es posible.

Ejerc ic io 4.10.

'i )M (j); (i i )M (j); (i i i )M (j); (iv)Vy(A (J )(y)); (v) A-conversión directa no esposible: y no es libre para x en Vy (A ( x ) ( y ) ) . Sin embargo, A-conversión esposible si Vy {A ( x ) ( y ) ) es traspuesto primero en Vz (A ( x ) ( z ) ) , en cuyo caso unoobtiene Vz (A ( y ) ( z ) ) . (vi) M ( j ) . (vii) Aquí también, A-conversión directa no3S posible. Por trasposición de V x (Y ( x ) ) en Vz (Y ( z ) ) , uno primero obtiene

1 z( \ y ( A ( x ) ( y ) ) ( z) ) y, entonces, Vz (A ( x ) ( z ) ) .

Capítulo 5

E je rc i c io 5.1.

ítem (a):

(i) sí, t (vi) sí, t (xi) sí, ( s , t )

(ii) no (vii) sí, t (xii) no

(iii) no (viii) no (xiii) sí, (s, (s, e))

(iv) sí, t (ix) no (xiv) sí, t

(v) no (x) no

ítem (b):

(i) a es de tipo ((s, i ) , t), dado que Ap es de tipo (s, t )

(ü) (<*.e),t)(iii) y a ( j ) es de tipo í, entonces, va es de tipo (e , t ) y a, de tipo (s, (e, t )) (iv) v a es de tipo ((s, í ) , e) y, entonces a es de tipo (s, ( (s, t ) , e))


ítem (a):

I ( j ) { w i ) = I { j ) ( w 2) = a ; I { j ) ( w 3 ) = b

I ( m ) ( w )—c para todo w £ W I ( M ) ( w 1) ( a ) = I { M ) { w 1) (b )= l



j ( M ) ( m ) ( c ) = I ( M ) ( w i ) ( d ) = 0 /(M )(^2)(a)=/(M )(w 2)(6)=0j l M ) i w 2 ) ( c ) = I {M ) ( w 2) ( d ) = l j ( M ) ( m ) { e) = 0 para todo e G D

I (í\ í)(w 3 ) { ' w ) ( e) = l para todo w G W y para todo e G D

ítem (b):

(i) ¡ j Í M , W 2 ,9 = I ( j ) M = a

(ii) [AÍllM,«;i,g= aquella h G D w tal que para todo w G W: /i(u;)=[7]]m,w,s,es decir, I ( j )

(iii) Iaj ] m ,U;3,s=í 0')> como en (¡i)

(iv) l M ( j ) } M , w 2, g = l M } M , w2, g { b l M , W 2 , 9 ) = I ( M ) ( w 2 ) ( I { j ) { w 2 ) ) = I ( M ) ( w 2 ) ( a )

= 0

(v) IvM }W 3= l M íw 3( m ) = I ( M ) { w 3 ) {w 3) = la función desde {0 ,1 } D que pro

duce el valor 1 para todo e G D

(vi) = l M } w l {w i ) = I ( M ) ( w i ) (w i ) = I ( M ) { w i ) yÍv^Ü')Ui=/ (?w')(wi)(lí;i)(7(Í)(u;i))=/ (M)(wi)(a)=1

(vii) IvíW(j)l«;2=/(^)(u ;2)(w2)(-/'(j)(^2))= (M )(u;2)(a)=0

(viii) [íW =A M j Wl = 1 sii M «, ! = IAM ]W1. Ahora, IíW]Wl es la funciónI ( M ) ( w i ) = I ( M ) . Por otra parte, [AM ]Wl es la función h tal que paratodo w G W: h ( w ) = l M } w y este es, además, exactamente igual a I ( M ) .

De esto se sigue que \ M = h M \ Wl= \

(ix) 3 = 1 sii r ^]u ,3=lM l W3. Ahora, como en (v), M \ W3 es lafunción de {0,1}D, lo cual produce el valor 1 para todo d G D . Porotra parte, \ M }W3= I ( M ) ( w s ) , la función que asigna el valor 0 para todod e D . Así, ! M =M }W3=0 .

Item (c):(i) Dado (bviii), | íW=AM ]m ,íí )i ,s=1 es válida. En consecuencia, se sigue

que [0 (^=a- )1m,iu,9=1^ para todo w G W. Entonces 0 (^=",ed£,eM )es válida en M .



(ii) Dado (bix), |v íVf=M]M,u>3,g=0 es válida. Esto significa que para to fl

w G W , [□(víW=M)J m,w,9=0, por lo que □ (vftí=M ) es inválida en \ J

(iii) En todo w G W , m refiere a c. E sto significa que [m =x]M w g [x/cp J 1

P ( m=* )]M,ti;,s,[x/c]=l Y p x D (m =x )lM,w,9=l , para todo w G W. significa que 3x\ J Í(m=x) es válida en M .

E je rc i c io 5.5.

[AvalM,ít;,g= la función h G tal que h(u/)=| [vajM,w',9, para todo w' c 1W = la función h G D™ tal que /i(«/)=[a]M ,iu',s(u/)> Para todo w ' G W = l«|función h G tal que h ( w ' ) = g ( a ) ( w l ) , para todo w' G W . Esto significa

que h = g ( a ) , entonces, [AVajM ,u =7i=s(oO =I ajM ,■</;,<?•

E je rc i c io 5.7.(i) víW(j) (teorema 5).

(ii) AxAX ( v X ( x ) ) ( j ) ( AM ) se reduce a X X ( V X ( j ) ) ( AM ) y luego a VAM (j)por el teorema 5, y éste se reduce a M ( j ) por el teorema 2.

(iii) \ x\ X \ I \ (v X ( x ) ) ( j ) ( AM ) no se reduce, porque la variable x está en elalcance de □ y j ^ I C E .

(iv) X X AxD(vX (x))(AM ) ( j ) se reduce a AxD(VAM (x ))(j ) por el teorema5, porque AM G I C E . Por el teorema 2, AxD(VAM (x))(j ) se reduce aA xD M (x)(j ), el cual no puede ser reducido, dado que x está en el alcancede □ y j £ I C E .

(v) AxA(M (x) Av íW'(x))(y) se reduce a A(M (y) Av %í(y) ) por el teorema 5,dado que y G I C E .

(vi) XpcXyD (B ( ^ ) ( y ) ) (A { j ) ( j ) se reduce a XyC\ (B(Aj ) ( y ) ) ( j ) por el teorema 5,porque Aj G I C E . Dado que y está en el alcance de □ y j ^ I C E , Xy\ Z\ (B(A ( j ) ( y ) ) { j ) no puede ser reducida más allá.

(vii) Dado que z G I C E , XyX?cA3x(B(?c)(y) A Ax=i /)(AVz)(Ax) se reducepor el teorema 3 a X yX ^ 3 x ( B ( ^ ) ( y ) A Ax=t/)(z)(Ax), el cual se reducepor el teorema 5 a AÂ3x(i?(a:)(z) A Ax=z)(Ax), nuevamente, porquez G I C E . La reducción se detiene aquí, dado que x está en el alcance de3x. Si reemplazamos este cuantificador y su variable acotada por 3y y y,respectivamente, podemos continuar con la reducción con la ayuda delteorema 5, porque Ax G I C E , de donde se obtiene A3y (B (A x ) ( z ) AA y=z ) .



Cap'tul° 6

¡¡j er ct ci o 6.1.

ítem (a): Categoremáticamente, el árbol de análisis se da en la figura a:

una mujer pasea, O, S2a-

una mujer, T , S3’ pasear, VI

una, T /N C mujer, NC

El árbol de traducción se da en la figura b:

3 x ( m u j e r ( x ) A PASEAR(x) ) , VA-eliminaciónJ k

3 x ( m u j e r ( x ) A v a p a s e a r ( x ) ) , A-conversiónA

VA X 3 x (m u j er (x ) A v X ( x ) ) (a p a s ea r ) , í, T2

A X 3 x (m u j er (x ) A v X ( x ) ) , VA-eliminación pasear , (e , t ) ,Tla

$A X 3 x (v a m u j er (x ) A v X (x ) ), A-conversión

$Ay AX3x(vy(x) A v X ( x ) ) ( a m u j e r ) , ( ( s , (e, í ) >, í ) , T3'

m u j er , (e, t) , T l o

AF AX3x(vy(x) A v X(x)), «a, (e , t» , ((s, ( e, t)),t ) ,), Tic '

Sincategoremáticamente, el árbol de análisis se da en la figura c:

C . u n a m u j e r p as ea , O , S2

una mujer, T , S5 pasear, VI

Imujer, NC



El árbol de traducción se da en la figura d:

d. 3 x ( m u je r ( x ) A p a s ea r ( x ) ), VA-el im ina ción

$3x (m u jer (x ) A va p as ear (x ) ) , A - convers ión

$A X 3 x (m u j er (x ) A X ( x ) ) (a p a s e a r ) , t , T 2

A X 3 x (m u j er (x ) A v X ( x ) ) , ( ( s, ( e, t ) ) ,í),T 5 p a s e a r , (e,í ),T la

M U J E R , ( e, t ) , T \ a

ítem (b):

X Y AX-i3x(vY (x) A vX (x))

E jercicio 6.2.

(i) Arbol de análisis: véase figura a; árbol de traducción: véase figura b

(ii) Á rbol de análisis: véase figura c; árbol de traducción: véase figura d

a. J uan conoce a María, O, S2

J uan, T conocer a María, VI, S7

conocer, VT María, T

b - C 0N 0C E R (j ,A AX w X { m ) ) , NCIAV*

C O N O C E R ( A A X v X ( m ) ) (j ) , v A - el i m i n a ci ó n

$v A cON oc er (A AX v X (m)) (j), A-conversión

± v

A X v X O ) ( a c o n o c e r ( a \ X v X ( m ) ) ) , t , T2

A X v X ( j ) , ( ( s , (e, í )) , í ) , T lb C ON OC E R(A A X v X (m ) ), (e, í ) , T 7

C O N O C E R ,(( s ,( {s ,(e ,í ) ), t ) ), (e ,í », T ía AX v X ( m ) , { { s , ( e , t ) ) , t ) , T lb



toda mujer, T , S3 añora un solo anillo, VI, S7

mujer, NC añora, VT un solo anillo, T , S6

Ianillo, NC

c- toda mujer añora un solo anil lo, O, S2

V x (m u j e r (:e ) —>•AÑ ORARAS,A A X 3 2/V z ((an i l l o(z) Av X ( z ) ) <-» ?/=z )) )VA -elim , A -conv , NCI

$AyVx(MUJ ER(x)—* Vy(x ))(AAÑORAR(AX3í/Vz((ANILLO(z) A vX (z)) <->y = z ))), t , T2

A yVx (M U J E R (a:)—*v y ( x ) ) ( ( s , ( e , t ) ) ,t ) , T 3

m u j e r , ( e , t ) , T í a a ñ o r a r ( a A X 3 i /V z ((a n i l l o (z ) A vX(z)) «-> y = z ) ) (e, t), T 7

AÑORAR , T í a ( (s , ((s , (e, í » , t ) ) , (e, í ))

A X 3 j /V z ( (a n i l l o (z ) A v X ( z ) ) <->y = z ) ( ( s , ( e, t ) ) , t ) , T 6

Ia n i l l o , ( e,í ) , T í a

E je rc i c io 6.3.

(i) C0N0C E R (j,A A X v X (m ))=C O N O C E R * (j , m ) P S 1 y C N 2

(ii) Vx(mujer(x)->añorar(x,a AX3yV2:((HOMBRE(z)A

y X ( z ) ) +->y = z )))=Vx (mu j e r (x )—>VAAX3yVz((ANiLLo(z) Av X ( z ) )

y = z ) [ A\ m AÑORAR*(x, m))) Teorema 1

=Vx (mu j e r (x )—>AAr3yVz((ANlLLO(,2:) Av X ( z ) ) <->y = z )

(AAm AÑORAR*(x, m))) VA-elim.

=Vx(MUJ ER(x)—>3yV.2(( ANILLO (2 )

AVAAm AÑORAR»(x,m)(z)) <-> y = z ) ) A-conv.

=Vx (mu j e r (x )—>-32/Vz ((a n i l l o (z )

A A m AÑORAR*(x , m) ( z ) ) <-► y=z) ) VA-e l im.

=V x (m u j e r (x )—>3 j/V2:((ANILLO(z )

Aañorar*(x, z )) y—z )) A-conv.



•ici o 6.4.

(a):

ración Todo hombr e busca un tesor o tiene tres lecturas diferentes. Primero

iodo, tiene una lectura de d i cto que no nos compromete a la creencia deos tesoros existan. Segundo, hay una lectura en la cual cada hombre buscaismo unicornio existente. Y tercero, la oración puede significar que cadabre busca a un unicornio que existe; la oración es indeterminada en cuantorealmente todos los hombres tratan de encontrar el mismo unicornio. Lasñas dos lecturas son ambas de re.

primera lectura puede construirse directamente, como se muestra en lara a:

todo hombre busca un unicornio, O, S2

todo hombre, T , S3

Ihombre, NC

traducción de a es:

t eso ro h->t e s o r o T í a

F ±(t esor ó) i—>A X 3 x (t e s o r o (x ) A wX ( x ) ) T 5

buscar BUSCAR T í a

F e(bu sca r , u n t esor o)*—> b u s c a r (a A X 3 x (t e s o r o (x ) A VX (x ) )) T 7

homb r e H OM BRE T í a

F 2(/i om 6re) h-> A y \ /y(H O M B R E (y)—>v y ( y ) ) T 3

F \ {t odo hom br e, buscar u n t esor o ) i—>A y V í /(H O M B R E (y)—>v ^(2/))(a b u s c a r (a A X 3 x (t e s o r o (x ) Av X ( x ) ) ) ) T2

>• =V y(H O M B R E (y)—>VAB U S C A R (A A X 3x (T E S O R O (x )A

vX(x)))(y)) A-conv.>• =Ví/(HOMBRE(y)-> BUSCAR(AAX3x(TESORO(x)A

vX (x)))(y )) VA-elim.LO. =Ví /(h o mbr e ( j/)—>b u s c a r (?/, AAX3x(TESORO(x)A

V*(z))) CN1

busca un unicornio, VI, S7

buscar, VT un unicornio, T , S5

Iunicornio, NC



La segunda lectura se puede obtener por la cuantificación de un un i corn i o ent odo hom br e loo busca, como se muestra en la figura b:

b. todo hombre busca un tesoro, O, S8, 0

un unicornio, T , S5

Itesoro, NC

todo hombre loo busca, O, S2

todo hombre, T , S3 loo buscar, VI, S7

I / \hombre, NC buscar, VT élo, T

La traducción del árbol de análisis b es la siguiente:

1. élo A X vX (x0) T lb2. buscar i—>B U S C A R T ía

3. F 6(bu sca r , élo) »-*■b u s c a r (a AXvX (x 0)) T74. homb r e *—>H O M B R E T ía5. F 2( hombre ) i—>AYVY(HOMBRE(y)—>vY(y)) T36. F \ ( t od o h om b r e ,I o q busca r ) i—>AYVy(HOMBRE(y)—>

vy(y ))(ABUSCAR(AA XvX (x 0))) T27. =Vy(HOMBRE(y)—>VABUSCAR(AAXvX (x0))(y)) A-conv.

8. =Vy(HOMBRE(y)-+BUSCAR(AAXvX (x0))(y)) VA-elim.

9. =V y (H O M B R E ( y )— >B U S C A R ( y,A A XvX (x0))) CN110. = V y ( H O M B R E ( y ) - > B U S C A R * ( y , x o ) ) CN2

11. t eso ro i—* T E S O R O T ía12. F ^ t esor o) >-+A X3x(tesoro(x) A vX(x)) T513.

F i f i {uv / t eso ro , tod o h om br e loo busca) i—>

AX3x(tesoro(x) A vX (x))(AAx0Vy(HOMBRE(y)—>

BUSCAR*(y,x0))) T8.014. 3x(tesoro(x) A VAAx0Vy(HOMBRE(y)—>

B U S C A R * ( y , X 0 ) ) ( x ) ) A-conv.15. 3x (t e so r o (x ) A Ax0Vy(HOMBRE(y)- BUSCAR*(y,x0))(x)) VA-elim.

16. 3x(tesoro(x) A Vy(buscar*(y, x))) A-conv.

En la tercera lectura, un tesor o tiene un alcance más amplio que buscar, peroestá en el alcance de todo hombr e. Esta lectura puede obtenerse al cuantificarprimero un tesoro en la oración él\ loo busca. Esto resulta en él\ bu sca un tesoro. Entonces todo hom br e puede cuantificarse, como se muestra en c:



c. todo hombre busca un tesoro, O, S8, 1

todo hombre, T , S3

Ihombre, NC

eli busca un tesoro, O, S8, 0

un tesoro, T , S5 éli loo busca, O, S2

I ^ \tesoro, NC éli , T lo o buscar, VI , S7

/ \buscar, VT élo, T

La traducción de c procede de la siguiente manera:

1.2.3.4.

5.

6.7.8.

9.10.11.

12.

13.14.

15.16.17.18.

19.

20.

21.

élo AX vX (x0)buscar i—►BUSCAR

Fe(buscar , élo ) ^ b u s c a r (a AXvX (x 0)) éh *-+AF vr (x i )F\ (él \ ,l oQ bu scar ) XY vF(xi)

(a b u s c a r (aAXvX (x0)))

=v a b u s c a r (aAXv A'(xo))(x 1)

=b u s c a r (aAXv X (x 0))(x !)

=b u s c a r (x i , aAXvX (xo))

=BUSCAR* (xi,Xo) t eso ro h->t e s o r o

F i { t e s o r o ) >—>AX3x(tesoro(x) A vX(x))

F 7 to (u n t esor o , él\ l oo bu sca ) i—>

AX3x(tesoro(x) a vX(x))(aAxoBuscar*(xi,xo))

3x(TESORO(x) A VAAxoBUSCAR*(xi, xo)(x))

3x(tesoro(x) A AxoBuscar*(xi,xo)(x))

3x(tesoro(x) A BUSCAR»(xi, x)) h omb r e *->HOMBRE

F 2( hombre ) i—>AXVy(HOMBRE(y)—>vX(y))

F T ¿(tod o h om br e, él\ bu sca u n t esor o) i—►AX3y(HOMBRE(y)—*•v X ( y ) )

(aAxi3x(tesoro(x) a buscar*(xi,x)))

=Vy(HOMBRE(y)—>vaAxi3x(tesoro(x)A

buscar* (xi,x)) (y ) ) =Vy(HOMBRE(y) —>Axi3x(TESORO(x)A

BUSCAR*(xi,x))(y))

=Vy (hom br e (y)—>3x( t e s o r o (x) A BU SCAR*(y, x)))

T lb T ía

T7 T lb

T2A-conv.VA-elim.CN1

CN2 T ía T5

T8,0A-conv.VA-elim.

A-conv. T ía T3

T 8,l

A-conv.

VA-elim.A-conv.



ítem (b):

Comenzamos con la construcción indirecta de J uan en cu en tr a un tesor o. Estose representa en el árbol de análisis d:

d. J uan encuentra un tesoro, O, S8, 3

un tesoro, T, S5 J uan I03 encuentra, O, S2

I /tesoro, NC J uan, T I03 encontrar, VI, S7

encontrar, VT él3, T

La traducción del árbol d es:

1. él3 ~ X X y X { x 3 ) T lb2. encon t r a r 1—>ENCONTRAR T ía

3. F 6( encon t r a r , él3) i->ENCONTRAr (aAXv X (x 3)) T7

4. J uan AY v Y ( j ) T lb

5. F i(J uan, l o 3 enc on t r a r )AY V y (j)(AENCONTRAR(AAXVX (X3))) T2

6. = VAENCONTRAR(AAXVX (x 3))(j) A-conv.

7. =ENCONTRAR(AAXVX(x 3))(j) VA-elim.8. = ENCONTRAR(j, AAXVX(xa)) CN1

9. =ENCONTRAR*(j, X3) CN2

10. t eso ro 1—►TESORO T ía

11. F4( tesoro ) AX3x (t e so r o (x ) A v^(x)) T5

12. F i ¿( u n t eso r o , J uan l o 3 encuen t r a ) 1—>AX3x (t e so r o (x )A

VX(x ))(AAx3ENCONTRAR*(j,X3)) T8,3

13. 3x(TESORO(x) A VAAx3ENCONTRAR*(j, x3)(x)) A-conv.14. 3x(TESORO(x) A Ax3ENCONTRAR*(j, ®3)(x)) VA-elim.

15. 3x(TESORO(x) A ENCONTRAR»(j, x)) A-conv.

La construcción directa se muestra en la figura e.:

e. J uan encuentra un tesoro, O, S2

J uan, T encuentra un tesoro, VI , S7

encuentrar, VT un tesoro, T, S5

Itesoro, NC



La traducción del árbol de análisis e es:

1. t eso ro h-» t e so r o T ía

2. F i ( t e s o r o ) AX3x (t e so r o (x ) A S/X ( x ) ) T5

3. encon t r a r i—*•e n c o n t r a r T ía

4. F e(en con t r a r , un teso r o )

e n c o n t r a r (a AX3x (t e so r o (x ) a v X (x ))) T7

5. J uan AY v Y ( j ) T lb

6. F\ (J uan,en cu en t r a u n t eso r o ) i—>AY v Y ( j )

(a en c o n t r a r (aAX3x (t e so r o (x ) av X (x )))) T2

7. =v ae n c o n t r a r (a AX3x (t e so r o (x ) Av X ( x ) ) ) ( j ) A-conv.

8. =e n c o n t r a r (a AX3x (t e so r o (x ) Av X ( x ) ) ) ( j ) VA-elim.

9. =ENCONTRAR( j , AX X 3x(TESORO(x) AV AT(x ))) CN1

10. =vaAX3x (t e so r o (x )AVX (x ))(AAy ENCONTRAR*(j , y) ) Teorema 1

11. =AX3x (t e s o r o (x ) Av X ( x ) ) ( A X y e n c o n t r a r *( j , y ) ) VA-elim.

12. = 3x(TESORO(x) A VAAy ENCONTRAR* (j, y) (x)) A-conv.

13. =3x (t ESORO(x ) A Ay ENCONTRAR* (j, y)(x)) VA-elim.

14. =3x (t ESORO(x ) A ENCONTRAR*( j , x ) ) A-conv.

E je rc i c io 6.6.

El problema es mostrar que (iii) no se sigue de (i) y (ii):

(i) J uan busca a la reina

(ii) Elisa es la reina

(iii) J uan busca a Elisa

Esto lo hacemos analizando sintácticamente cada una de las oraciones, detal forma que la traducción de (iii) no se siga de la traducción de (i) y (ii),dado este análisis sintáctico. Las oraciones (ii) y (iii) no son ambiguas, puedenconstruirse de diferentes formas, pero al final resultan en la misma traducción,(iv) y (v), respectivamente:

(iv) 3x(Vy(RElNA(y) x = y ) A x = e )

(v) BUSCAR* ( j , e )



Por otra parte, la oración (i) es ambigua. Tiene una lectura de r e y una de dicto. Obtenemos la última construyendo (i) directamente, como en a:

a. J uan busca a la reina, O, S2

J uan, T busca a la reina, VI , S7

buscar, VT la reina, T , S4

Ireina, NC

Este análisis sintáctico produce la siguiente traducción:

(vi) BUSCAR(j,A AX3x(Vy(RE lNA(y) x=y) Av -X(x)))

La fórmula (v) no se sigue de las fórmulas (vi) y (iv). Asumamos un modeloM con un mundo w tal que (vi) y (iv) sean verdaderas en w , dado M . Uncontraejemplo se puede producir fácilmente mostrando que no se sigue que (v)

sea verdadero en M para w.

Para ver esto, observemos primero que de la definición de BUSCAR* se sigue

que (v) es equivalente a (vii):

(vii) BUSCAR(j,A XXwX ( e ) )

La fórmula (vii) se sigue de (vi) sólo si AAX3x(Vy(REINA(y) x = y ) Av X ( x ) ) se refiere en M a la misma función de mundos en conjuntos de propiedades deprimer-orden, como lo hace AX X y X ( e) (la extensión de estas dos expresiones

depende sólo del modelo M , no del mundo o la asignación. Esto se debe aque ellos son expresiones intensionalmente cerradas que no contienen variables

libres. E ste es el caso si para todo w 1 £ W en M . AX3x(Vy(RElNA(y)

x = y ) Av X (x)) se refiere al mismo conjunto de propiedades de primer-orden

que AXvX(e)).

Esto es verdad sólo si (iv) 3x(Vy(RElNA(y) <-> x=y) A x=e) es verdadero en todo w ' . Por suposición, (iv) es verdadero en w y, entonces, tantoAX3x(Vy(RElNA(y) «->x=y) Av X { x ) ) como AXvX(e) refieren en w al mismo

conjunto de propiedades de primer-orden.

Sin embargo, esto no dice nada sobre el valor de verdad de 3x(Vy(RElNA(y) <-x=y) Ax=e) en mundos diferentes de w. Entonces, sin contradecir nuestra suposición original, podemos asumir que M , además de w, también contiene unmundo w' en el cual (iv) es falso. En w ', AX3x(Vy(RElNA(y) <->x = y ) AvX(x))

y XX JX (e) refieren a conjuntos diferentes de propiedades de primer-orden.



De esto se sigue que AAX3x(Vj/(RElNA(y) «-» x = y ) A v X ( x ) ) y AAXvjf(ejrefieren en M a funciones diferentes y, de ahí también, que la fórmula (v) no sesigue de (vi), incluso si (iv) es válida. Así podemos construir un contraejempl0para la declaración de que (v) se sigue de (vi) y (iv), tomandoun modelo JVJcon un mundo w en el cual tanto (vi), como (iv) sonverdaderas,mientras que(v) no es verdadera; y un mundo w' en el cual (iv) no sea verdadera.

Esto muestra que (iii) no se sigue de (i) y (ii). Después de todo, hemosdado análisis sintácticos para (i), (ii) y (iii), tales que la traducción de (iii) nose sigue de las traducciones de (i) y (ii).

Se debe notar, sin embargo, que la lectura de r e hace válido el argumentoEsta lectura resulta de una construcción indirecta, como se muestra en lafigura b:

b. J uan busca a la reina, O, S8, 4

la reina, T , S4 J uan I04 busca, O, S2

reina J uan, T I04 buscar, VI, S7

buscar, VT éU, T

La traducción que resulta es la siguiente:

(viii ) 3x(V j/(reina(j/) <-* x = y ) A b u s c a r * ( j , x ))

La fórmula (v) se sigue directamente de (viii) y (iv).

E je rc i c io 6.7.

Para la oración J uan besa a M ar ía o a la r ei n a y la ama, hay dos árboles deanálisis, que resultan en dos traducciones que no son equivalentes. El primerárbol de análisis se da en la figura a.:

a. J uan besa a María o a la reina y la ama, O, S8, 0

María o la reina, T , S13 J uan lao besa y lao ama, O, S2

/ \ ^ \

María, Tía reina, T , S4J uan, T loo besar y loo amar, VI, Si lI \

reina, NC loo besar, VI, S7 loo amar, VI, S7

/ \ / \besar, VT élo, T amar, VT élo, T



,a traducción del árbol de análisis a es:

besar * BESAR

él0 A X vX (x0))F e{besa r , élo) i->besar(aAX v X ( x 0 ))

am a r BESAR

F e(am a r , élo ) b e s a r (a A X v X ( x 0))

F e(am a r , élo ) l—>A x ( b e s a r (a AAÍ v X ( x 0) )(x ) A a m a r (a AATv X ( x o ) ) ( x ))

= A x (b e s a r (x , a A X v AT(x 0)) A a m a r (x , a A X v X ( x o )))

= A x (b e s a r * (x , x o ) A a m a r * (x , x 0))

Juan i—>AX v X ( j )

F \ {J u an , l oo besar y l oo am ar )

A XvX (j )( aAx(besar*(x,xo) A amar *(x,x0)))

= VAAx(BESAR»(x, X 0) a AMAR*(x, X 0 ) ) ( j )

=Ax(besar*(x, x 0) A amar *(x, x0))(j)

= BESAR»( j , X 0) A AMAR* (J , X 0)

M aría t—►AX v X (m ) r e i n a i—»REINA

F 3( r e i n a ) AY3x(Vy(RElNA(y) <->■x = y ) A vY(x))

Fq (M ar ía, la r ei n a)^ > X Y (AXVX (m)(X)V AY3x(Vy(REiNA(y) <-»• x=y) A vY (x))(X))

= \ X ( v X ( m ) V 3x(Vy(RElNA(y) <-*■x=y) A vX(x)))

F ' j ^ (M ar ía o la r ei n a, J u an l oo besar y loo am ar ) i—> AX(vX(m) A 3x(Vy(RElNA(y) <->■x=y) A vX(x)))

(AAx0(BESAR*(j,X0) A AMAR*(j, X 0 ) ) )

VAAx0(b e s a r *( j , x0) A AMAR*(j,x0))(m)A

3x(Vy(REiNA(y) x=y)AvaAx0(besar*(j, x 0 ) A AMAR*( j , x0))(x))

Ax0(BESAR*(j,X0) A AMAR*(j,X0))(m)A

3x(Vy(REiNA(y) <->x = y )

AAx 0(bESAR*( j , X0) A AMAR*(j, x0))(x))

=(besar *(j , xo) A amar * ( j , m )) V 3x(Vy(REiNA(y) <->■X=y) A BESAR*(j, x) A AMAR*(j, x))

1.2-3.

4.5.6 .

7.8.

9.10.

11.12.

13.14.15.16.

17.

18.19.

20 .

21.

22.

T ía T lb T7 T ía

T7

T i lCN1CN2 T lb

T2A-conv.VA-elim.A-conv. T lb T ía T4

T13A-conv.

T8, 0

A-conv.

VA-elim.

A-conv.

De esta manera, obtenemos una lectura en la cual la oración puede ser verdadera en una situación cuando no hay reina, esto eso, en la situación en la cual

es verdad que J uan besa y am a a M ar ía.



a lectura en la cual se asegura la existencia de la reina puede obtenersealizando la oración sintácticamente, como se muestra en la figura b:

J uan besa a María o a la reina y la ama, O, S8, 2

la reina, T , S4 J uan besa a María o a él2 y la ama, O, S8, 0

reina, NCMaría o él2, T , S13 J uan loo besa y loo ama, O, S2/ \

María, T él2, T J uan, T

loo besar y loo amar, VI, Si l

loo besar, VI, S7 loo amar, VI, S7

/ \ / \ besar, VT élo, T amar, VT élo, T

^ traducción del árbol de análisis b es la siguiente:

. J uan loo besa y I oq ama i—►...BESAR*( j , X0) A AMAR*( j , X0)

M aría i—>X X vX(m)

él 2 ^ X X v X ( x 2))

Fg(Mar ía, él 2) ^ X X ( X X V X { m ) { X ) V A XvX (x2)(X ))

=AX(vX(m) V vX (x2))F j to(M ar ía o él2, J uan loo besa y loo am a o)i—►AX(vX(m) V vX (x2))(AAx0(BESAR*(j,x0)A

AMAR*(j,X0)))VAAx0(BESAR*(j, Xo) A AMAR*(j, X0))(m )V

VAAxo(BESAR*(j, X0) a AMAR*(j,X0))(x2)

Ax 0(besar *( j ,Xo) A AMAR*(j, x0))(m)V

Ax0(BESAR*(j,X0) A AMAR*(j, X0))(x2)

= (BESAR* ( j , m ) A AMAR*(j,m)) V (BESAR* (j, X2)A

AMAR*( j , X2))

10. r e i n a r e in a

I I . F 3 ( r e i n a ) i->AX3x(Vy(REINA(y) <->x = y ) A vX(x))

12- F ’j ^ i l a r ei na, J uan besa a M ar ía o a é/2y l o ama)AX3x(Vy(RElNA(y) x=y) A

vX (x )) (aAx2((besar *( í , m) A AMAR*(j,m))V

(BE SAR *(j, X2) A AM AR *(j, X2))))

7.

9.

ver (1) a(13) arriba

T lb T lb T13A-conv.

T8, 0

A-conv.

VA-elim.

A-conv. T ía T4

T8, 2



13. =3x(Vy(REiNA(y) <->x=y)VAAx2( (besar* (j, m)A AMAR»(j,m)) V (BESAR*(j, x2) A AMAR*(j, x2)))(x)) A-conv.

14. =3x(Vy(RElNA(y) <->x = y ) A Ax2( (BESAR* (j, m)A

AMAR*(j,m)) V (BESAR*(j,x2) A AMAR*(j, x2)))(x)) VA-elim.

15. =3x(Vy(REINA(y) <->x=y) A ((BESAR* (j, m)A

AMAR*( j , m )) V (BESAR*(j, x) A AMAR*(j, x))) A-conv.

E je rc i c io 6.8.

ítem (a):

La oración J uan af i r ma que El isa t rat a de en cont r ar u n t esoro contiene dosexpresiones intensionales: a f i rma r y t r a tar de encont r ar . El término un tesoro

puede tener un alcance estrecho o amplio con respecto a ambas expresiones.De esto resultan tres lecturas, las cuales pueden parafrasearse de la siguientemanera:

(i) Hay un unicornio y J uan afirma que Elisa trata de encontrarlo.

(ii) J uan afirma que hay un unicornio y que Elisa trata de encontrarlo.

(iii) J uan afirma que Elisa trata de encontrar un unicornio.

La tercera lectura, en la cual un t esor o tiene un alcance estrecho con respectoa a f i rma r y t r a tar d e en con t r ar , es el resultado de construir el árbol de manera

directa, como se muestra en la figura a:

a. J uan afirma que Elisa trata

de encontrar un tesoro, O, S2

J uan, T, S4 afirma que Elisa trata de

encontrar un tesoro, VI, SI5

afirma que, V I /O Elisa trata de encontrar

un tesoro, O, S2

Elisa, T trata de encontrarun tesoro, VI, S16

trata de, V I /V I encontrar un tesoro, VI, S7

encontrar, VT un tesoro, T , S5

Itesoro, NC



Traducción:

1. tesoro i-> t e s o r o T í a

2. F ^ tesor ó) i—>AX3x(tesoro(x) A SJX ( x ) ) T53. encontrar i—>ENCONTRAR T í a

4. F ^ en con t r ar un tesor o) i—>ENCONTRAR(aAX3x(TESORO(x) A v X ( x ) ) ) T7

5. t ra ta de i—>TRATA T í a

6. F i 2 (tr at ar de, en con tr ar u n tesoro) i—>

TRATAR(Aen con tr ar (A\ X3x(TESORo(x) A vX(x)))) T 1 6

7. E l i sa A y v y ( e ) T l b

8. F i (E l i sa t r ata de encont r ar un tesor o) i—►AXvX(e)(atratar(aencontrar(aAX3x(tesoro(x) A vX(x))))) T2

9. = vaTRATAR(a ENCONTRAR(aAX3x (t e so r o (x ) Av X(x))))(e) A-conv.

10. =tratar (aencontrar(aAX3x(tesoro(x) A vX(x))))(e) VA-conv.11 . =TRATAR(e, aencontrar(aAX3x(tesoro(x) A v X ( x ) ) ) ) C N 1

12. =TRATAR(e, A Ay e n c o n t r a r C N 1 ,

( y , aAX3x(tesoro(x) Av X ( x ) ) ) ) A-abstr.13. =TRATAR(e, aAj/(vaAX3x(tesoro(x) A v X ( x ) )

(AAzENCONTRAR*(y, z)))) Teorema 114. =TRATAR(e, AAyAX3x(TESORO(x) A v X ( x ) )

(AAz ENCONTRAR»( y , z) ) ) VA-elim.

15. =TRATAR(e, AAy3x(TESORO(x)Ava Az ENCONTRAR* (y, z)(x))) A-conv.16. =TRATAR(e, AAy3x(TESORO(x) A Az ENCONTRAR»(y, z)(x))) VA-elim.17 . =TRATAR(e, AAy3x(TESORO(x) A ENCONTRAR* ( y , x))) A-COnv.18. a f i rm a r que a f i r m a r T í a

19. F u (a f i r m a r que, E l isa t ra ta de encont r ar un tesor o) i—>AFIRMAR(ATRATAR(e, A Ay3x(TESORO(x) AENCONTRAR* (y, x)))) T 1 5

20. Juan ■-»X X v X ( j ) T l b

21. F i (J u an , asegur ar que E l i sa tra ta de encon tr ar u n tesor o) i—►AXvX(j)(AASEGURAR(ATRATAR(e, Ay3x(TESORO(x)AENCONTRAR* (y, x))))) T2

22. =vaasegurar(atratar(c, Aí/3x(tesoro(x)AENCONTRAR* (y, x))))(j) A-conv.

23. =ASEGURAR(ATRATAR(e, Ay3x(TESORO(x) Aen c o n t r ar *(y, x))))(j) VA-elim.

24. =ASEGU RAR ( j , ATRATAR(e. Ay3x(TESORO(x)A

encontrar,(y, x ) ) ) ) C N 1

En la segunda lectura, un t esor o tiene alcance estrecho con respecto a asegurar, pero alcance amplio sobre t r a tar de encont r ar . Por supuesto, esta lectura seobtiene usando la regla de cuantificación, como se muestra en la figura b:



b.

J uan, T afirma que Elisa trata de encontrar un tesoro, VI, S15

afirma que, V I /O Elisa trata de encontrar un tesoro, O, S8, 0

un tesoro, T, S5

| Elisa trata de encontrarloo, O, S2 tesoro, NCElisa, T

tratar de encontrarloo, VI, S16

\tratar de, V I /V I loo encontrar, VI, S7

^ \ encontrar, VT élo, T

J uan afirma que Elisa trata de encontrar un tesoro, O, S2

Omitiendo los pasos que resultan en la traducción de El i sa tr ata de encon tr ar l oo, los cuales son completamente análogos a los pasos 1 a 17 en la traducción dea, obtenemos la siguiente traducción de la figura b:

1. F \ (E l i sa , t r a t a r de encon t r a r l oo)

2. t e s o r o h->t e s o r o

3.4.

T R A T A R (e, A A y E N C ON T R A R » (y , X 0) )

5.

6 .

7.8.

9.

10.

11 .

12.

13.

14.

F \ { t e so r o ) t— * A X 3 x ( t es o r o (x ) A vX ( x ) )

F j f i ( u n t eso ro , E l i sa t r a t a de encon t r a r l o o) ►A X 3 x ( te so r o

(x ) A v X ( x ) ) (AA x0 T R A T A R (e, AXy e n c o n t r a r » ( y , x o ) ) ) = 3 x ( t e s o r o ( x ) A

VAA x0TR AT AR (e, A A y e n c o n t r a r * (y, x 0))(x ))

= 3 x ( t e s o r o ( x ) A Ax0T RAT A R(e, AAy en co n t r a r »( y , x0 )) (x ) )

= 3 x(tE S O R O( x) A T R A T A R ( e , aAj/ e n c o n t r a r » ( y, x) ) )

a f i r m a r q ue i —»a f i r m a r

F\ \ (a f i r ma r que, E l i sa t r a ta de en con t r a r un tesor o)>—>

a f i r m a r (a 3 x ( t e s o r o (x ) Av t r a t a r ( c , A \ y e n c o n t r a r » ( y , x ) ) ) )

J u a n i - AX v X { j )

F \ ( J u an , a f i r ma que E l i sa t r a t a de encon t r a r un t eso ro ) >—* \ X V X ( j ) ( A A F I R M A r ( A 3x (t E S O R O (x ) A

T R A T A R (e, A Ay e n c o n t r a r » ( y , Xo) ) ) ) ) v a a f i r m a r (a 3 x ( t e s o r o (x ) a

T R A T A R (e, AAy e n c o n t r a r » ( y, x ) ) ) ) ( j ) a f i r m a r (a 3 x ( te so r o (x ) A

T R A T A R (e, AAy e n c o n t r a r » ( y, x ) ) ) ) ( j )

a f i r m a r ( j , a 3 x (t e s or o (x ) A

T R A T A R (e,A\ y

e n c o n t r a r »( y , x ) ) ) )

ver arriba

T ía

T5

T8, 0

A-conv.

VA-elim.

A-conv.

T ía

T15

T lb

T2

A-conv.

VA-elim.

CN1

F inalmente, en la tercera lectura, un tesoro tiene un alcance amplio sobrea fi r ma r y sobre t r a tar de encont r ar . Esta lectura se puede obtener tambiéncon la ayuda de la regla de cuantificación, como se muestra en la figura c:



c. J uan afirma que E lisa trata deencontrar un tesoro, O, S8, 0

un tesorcj, T , S5

Itesoro, NC

J uan afirma que Elisa trata de

encontrarloo, O, S2

J uan, T afirmar que Elisa trata

de encontrarloo, VI, S15

afirmar que, V I /O Elisa trata de

encontrarloo, O, S2

Elisa, T tratar de

encontrarloo, VI, S16

tratar de, V I /V I loo encontrar, VI, S7

encontrar, VT élo, T

Omitiendo nuevamente los pasos que dirigen la traducción de J uan afi r ma que Elisa trata de encontrar loo >porque son completamente análogos a los de latraducción del árbol a con élo en lugar de un tesor o, obtenemos la traducción

del árbol c que se muestra a continuación:1. ( Juan afirma que El i sa tr atar de encont rar l o o) i—>

AFIRMAR(j, ATRATAR(e, AXy ENCONTRAR*(y , X0)))

2. tesoro i—►tesoro3. F<i(tesoro) h->AX3x(tesoro(x) A S/X ( x ) ) 4. F j ü(un tesor o, Juan afi rma que El i sa tr ata de encont rar l oo)

AX3x (t e so r o (x ) A vX(x ))

(AAxo AFIRMAR(j, ATRATAR(e, AA?/ ENCONTRAR»(y, X o))))5. =3x (t e so r o (x )aVAAxoAF I RM AR (j , AT RAT AR(e, AAy E NC ONT RAR »(y, X o)) )(x ) )

6. =3x (t eso r o (x )A Ax0AFIRMAR(j, ATRATAR(e, AAy ENCONTRAR»(y, x0)))(x))

7. =3x (t eso r o (x )AAFIRMAR(j, ATRATAR(e, A Xy ENCONTRAR»(y, x))))

ve r arriba

T í a

T 5

T8, 0

A-conv.

VA-el im.

A-conv.

ítem (b):

S21: si 7 G P(vi / / v i )/ T y a € PT , entonces ^1 7(7 , a) G Pyi / / v i y F n h , <*)=7a T21 : si 7 G P ( v i / / v i ) / t y Q ^ P t y 71—>7' y a * - + a ' , entonces F i e ^ , a ) * - + y ( Aa ' ) .



ítem (c):

El árbol de análisis en la figura d representa la construcción directa:

d. J uan camina por un jardín, O, S2

J uan, T caminar por un jardín, VI, S19

por un jardín, V I //V I , S21 caminar, VI

por, (V I //V I )/T un jardín, T , S5

I jardín, NC

La traducción del árbol de análisis d es la siguiente:

1. jar dín <—> j ar dín Tía2. F i (ja r dín) i—>AX3x ( j ar dÍn (x ) A vX(x)) T5

3. por h->POR Tía

4. F\ e{por , un jar dín) i->po r (aAX3x ( j ar d ín(x ) A vX(x))) T21

5. caminar >—>CAMINAR Tía

6. F 15(por , un jar dín, cam inar ) >—>

po r (aAX3x ( j ar d ín(x ) A vX(x )))(acaminar ) T19

7. Juan h-»AX yX { j ) Tlb

8. Fi J uan , cami nar por un ja r dín i—>X X ^ X ( j ) (apor (aAX3x ( j ar d ín(x ) a vX(x )))(acaminar )) T2

9. avpor (aAX3x ( j ar d ín(x ) a vX(x )))(acaminar )( j ) A-conv.

10. POR(AAX3x (J ARDÍN(i ) A vX(x)))(ACAMINAR)(j) VA-elim.

Esta traducción expresa que hay una relación triádica POR entre la propiedad de segundo orden expresada por un j ar dín , la propiedad de caminar yel individuo Juan. Esto deja indeterminada la existencia de jardines, lo cual

no está en concordancia con el significado de la oración analizada. La construcción indirecta dada en la figura e resulta en una traducción en la cual la

existencia de jardines puede inferirse:

e. J uan camina por un jardín, O, S8, 0

un jardín, T, S5 J uan camina por élo, O, S2

jardín, NC J uan, T caminar por élo, VI, S19

por élo, (V I //V I ), S21 caminar, VI

por, (V I //V I )/T élo, T



La traducción de e es la siguiente:

P O R (A A X v X ( a :o ))( AC A M I N A R )(j )1.2.3.4.

5.

6.

Juan cam ina por élo jar dín i-+ j ar d ín F 4(jar dín) h->AX3x(jardÍn(x) A ^ X ( x ) ) F \ fl (un jar dín, Juan camina por élo)y—> AX3x(jardín(x) A vX(x)) (AAx0POR(AAXVX(a:o))(ACAMINAR)(j))

3x(jardín(x) A vaAx0 por (aAXvX(x 0)) (a c a m i n a r )( j )(x ))3x ( j a r d ín (x ) A Ax 0po r (aAXvX'(x 0))(Aca min a r ) 0')(x ))3x ( j ar d ín (x ) a po r (aAXvAT(x ))(a c a m i n a r )( j ))

ver arribaT íaT5

T 8 , 0

A-conv.

VA-elim.A-conv.7.

ítem (d):

La oración J uan cam i na p or un jar dín no es ambigua: por denota una relaciónentre una entidad, una propiedad y otra entidad. El siguiente postulado designificado da cuenta de esto:

3£>VXVXVxD (E N(X)pO(x) «-» VX (AAy D ( y ) { X ) { x ) ) )

D es una variable del tipo (e, ((s, (e, i )), (e, £))), el tipo de relación triàdica entre entidades, propiedades de entidades y entidades. Con la ayuda de

la siguiente convención notacional, obtenemos una notación para la relacióntriàdica cuya existencia está garantizada por el postulado de significado:

POR ^ d e f X y X X X x POR(AA yvY (j/))(X )(x)

El siguiente teorema es válido, gracias al significado del postulado y a la convención notacional:

VXVXVx D (e n (X)(A:)(x ) «-» vX (AAy E N*(y)(X)(x)))

El resultado de la construcción directa de J uan cam i na p or un jar dín puede,ahora, reducirse con la ayuda de este teorema:

POr(aAX3x(jardÍn(x) A v X (x )))(a CAMINAr )( j ) ver arriba=vaAX3x(jardÍn(x) A vX (x ))(AAy POR*(y)

(a CAMINAr )( j )) Teorema 1=AX3x ( j a r d Ín (x ) A v X (x))(AAy POR*(y)

(a c a m i n a r )( j í )) VA-elim.=3x(jardÍn(x) A VAAy POR*(y)(ACAMlNAR)(j)(x)) A-conv.=3x(jardÍn(x) A Ay POR»(y)(ACAMlNAR)(j)(x)) VA-elim.=3 x ( j a r d í n (x ) A p o r *(x )(a c a m i n a r )( j )) A-conv.

10.11.

12.

13.

14.

15.



jjl resultado de la construcción indirecta puede reducirse también a 15. Sólonecesitamos la convención notacional para efectuarlo.

7. = 3x ( jARDÍN(a ; ) A P O R (a A X v X ( x ) ) ( AC A M l N A R )(j )(x )) ver arr iba

8. = 3x ( j A R D Í N ( x ) A P O R * (x )(A C A M I N A R )(j )) C N

Capítulo 7

Ejerc ic io 7.1.

(i) {X \ j e X }

(ii) {X \ 2 < c a r d ( X f l i N j ) } (para lo cual podemos añadir la condición deque c a r d ( X fl | ArJ ) no exceda un número especificado contextualmente

(‘relativamente pocos Ar’))

(üi) { x \ < b ¿ x n m ¿ x }

(iv) {X | X f l | 7 V ]=0 }, con la presuposición de que c a r d ( l N } ) = 2

(v) {X \ ca r d (X fl [ÍVJ ) es finito}

E je rc i c io 7.2.

(a) (i), (ii) y (iv) son monótonos ascendentes; los otros no lo son.

(b) Dado que [ S N j es no vacío y que { P j = E , se sigue que hay un X que X G { S N j y X C |P j . De ahí, [P ] 6 I S N j , si SN es monótono

ascendente.

Esta propiedad no es una condición suficiente para la monotonía ascen

dente. Por ejemplo, todo o n i ngún N , satisface esta condición pero no esmonótona ascendente.

E je rc i c io 7.4.

Asuma que Q satisface la definición 1 y escoja X y Y tales que X H Y G Q. Dado que X O Y C. X y l n Y C 7 ,s e sigue, por la definición 1, que X G Q

y Y € Q, lo cual significa que Q satisface la definición 3.Asuma que Q satisface la definición 7.3. y escoja X y Y tales que X C Y

y X G Q. Si X C Y , entonces X fl Y = X y, por consiguiente, Y GQ por ladefinición 3; así, Q satisface la definición 7.1.



E je rc i c io 7.6.

Si \ mu chacho\ m es un singleton, \ ex act am en t e un m uchacho J m es monotónico ascendente; y si lm uchacho }M =® , \ exact am en t e un m uchacho }^ esnotónico descendente.

E je rc i c io 7.7.

Considere los siguientes ejemplos:

(i) J uan y ninguna mujer caminaron rápidamente ^ J uan y ninguna mujer

caminaron.

(ii) J uan y ninguna mujer caminaron V J uan y ninguna mujer caminaronrápidamente.

El primer ejemplo muestra que Juan y n inguna m u jer no es monótono ascendente; el segundo muestra que tampoco es monótono descendente.

De manera formal, escoja un modelo M y sean X , Y y Z tales que X G\ J uan y n inguna mujer]m, Y = X — {j }, y Z = X U {w}, con v G f m u j er j w

Tenemos que \ J uan y n in gu na m u j er \ = {X \ j G X k, X D \ m u j er \ = $}. Ahora,tenemos Y C X y Y ^ | J uan y n inguna m u j er }] de donde J uan y ninguna mu je r no es monótono descendente. También, tenemos Z D I y Z ^ \ Juan y n inguna m u jer ]|; por lo que Juan y n in guna m u jer no es monótono ascendente.


Primero consideremos la negación, que definimos de la siguiente manera:

^ D = { { X , Y ) \ ( X , Y ) t D }

Para X e Y arbitrarios tenemos: { X , Y ) G >D sii (por definición de ¡D ) (X ,Y ) £ D sii (por conservatividad de D ) (X ,X fl Y ) £ D sii (por definiciónde ->D) ( X , X r \ Y ) 6 <D.

Ahora, consideremos la conjunción, la cual se define así:

d x A d 2= d x n d 2= { ( x ,y) | {x,y) e d, & {x, y ) e d 2}

Se sigue que: {X ,Y ) € D\ A D 2 sii (por definición de D\ A D 2) (X , Y ) € D\ y ( X , Y ) £ D 2 sii (por conservatividad de D\ y de D 2) ( X , X fl Y ) E D\ y(X , X fl Y ) 6 D 2 sii (por definición de D\ A D 2) (X ,X fl Y ) G D\ A D 2.

Finalmente, miremos la restricción:

D A ( X , Y ) = D ( X n A , Y )



Entonces: (X , Y ) G D a sii (por definición de D a ) ( X n A , Y ) G D sii (porconservatividad de D ) { X n A, X n A n Y ) G D sii ( X n A, X n A n X nY) £O sii (por conservatividad de D ) ( X n A, X D Y ) G D sii (por definición de

D a ) ( X , x n Y ) e D A .

E jerc ic io 7.11.

Todos excepto uno tiene el mismo significado que exa ctam en te uno no,

lo cual, a su turno, puede verse como la conjunción al m en os uno no y a lo s um o un o no. Ya que tanto al m en os un o, como a lo sum o son determinantes monotónicos, es suficiente mostrar que este tipo de negación convierte undeterminante monótono en otro determinante monótono. L a definición es la

siguiente:

D i * = { ( X , Y ) | (X , E Y ) G D )

Se puede probar que esta negación invierte la monotonicidad: D es m on |(mon ],) sii D i * es m on J. (m on | ). Mostramos que si D es m on | , entoncesD ~ '* es m on | . Suponga D es m on j. Escoja X , Y y Z tales que (X , E Y ) G

D y Y C Z . Lo primero garantiza, por la definición deD>* , que (X , Y ) 6 D~<*. Lo segundo implica que E —Z C E —Y , de donde, por monotonía descendentede

D , { X , E —

Z ) G

D .Por definición de

D~<*,nuevamente, tenemos

(X , Z ) G

D 1*, lo que muestra que D ¡* es m on | . El otro caso es similar.Se puede mostrar de la siguiente manera que un núm er o par no es una

conjunción de determinantes monotónicos: en vista del hecho 6, es suficientemostrar que este determinante no es continuo.

Construya M de la siguiente manera: E m = {1,2, 3,4}, [-/VJ m = {1,2, 3,4},I i1m={1,2}, [VblM ={l , 2,3}, I V 3J m={1,2,3,4}. Entonces, tenemos que {u n núm er o par de 7V'Vi| M=[[wn núm er o pa r de N V3]m=1, pero que | un númer o

par de N F2]m=0, aun cuando [Vi]m Q

E je rc i c io 7.14.

(a)x

muchacho ( x )

y

muchacha(y ) x ama a y



(b)

x

muchacho (x) muchacha (y)

y x ama a y

(c)x , y

x —J uan y—Mar ía

x ama a y

x odia a y

y ama a x

y odi a a x

Note que para obtener una representación correcta del significado de esta se

cuencia de oraciones, los marcadores de referencia x y y y las condiciones x = J u an y y = M ar ía tienen que ponerse en el DRS principal y no en los

antecedentes de la primera oración; de otro modo, ellos no podrían ligar

las ocurrencias de x y y en el segundo condicional. Esta es la manera general

en la que DRT maneja los nombres propios: ellos siempre introducen nuevos

marcadores en el DRS principal.


La regla de construcción DRS para los SN con el determinante e x a c t a m e n t e

uno se lee de la siguiente manera: (i) adicionar un marcador de referencia

nuevo x para el DRS; (ii) si a es el NC del SN, adicionar una condición o¡{x) al DRS; (iii) reemplazar el sujeto SN de la oración con el marcador de refer^ncja

x ; (iv) adicionar una condición que consiste de dos sub-DRSs conectada?* p0r

—►al DRS; (v) repetir los pasos (i) a (iii) en la caja de la izquierda con un

marcador nuevo y; (vi) adicionar una condición y = x a la caja de la derecha.

Usando esta regla de construcción la secuencia de oraciones (96) resuHa en

el siguiente DRS:



X

m u ch ach o(x ) x cam in a por el pa r que

y

m uchacho (y) y cam i na p or el parque

=> x=y

silba(x)


(a) ({x }, {M U C H AC H O(x ) , ( {{y }, M U C H AC H A(y )}) - » (0, {a m a r (x , y )})) })

(b) (0, {(({£}> {m u c h a c h o (x )}) —>

(0, {( ( {y }, {M U C H AC H A(y )}) - > (0, {a m a r (x , y ) }) ) }) ) })

(c) ({x , y }, {x = J UAN, y = MAR ÍA , ((0, {a m a r (x , y ) }) - »

(0, {A M A R ( y , x ) }) ) , ({0, {O D l A R (y , x ) }) - +

(0,{ODIAR(x,y)}})}|

(d) ( {x }, {M U C H A C H O ( x ), C A M I N A R E N E L P A R Q U E (x ),

( ( {y }, {M U C A C H O (y ), C A M I N A R E N E L P A R Q U E ( y )}) —>

(0, {y =x }) ) , s i l b a r (x )})

Si usamos nuestras convenciones notacionales abreviadas, (a)-(d) podemos

escribir como:(a) ({x }, {m u c h a c h o (x ), ( ({y }, m u c h a c h a (y)) - > a m a r (x , y))})

(b) ( {x }, m u c h a c h o (x ) ) ->(({y}, M U C H A C H A ( y ) ) - > a m a r (x , y ))

(c) ( {x , y }, {x =J U A N , y =M A R Í A , (a m a r (x , y )—>AM AR (y , x ) ) ,

(o D i A R (y , x ) — >o d i a r (x , y))})

(d) ( {x }, {M U C H A C H O ( x ), C A M I N A R E N E L P A R Q U E (x ),

( ( {y }, (M U C H A C H O ( y ), C A M I N A R E N E L P A R Q U E ( y )}) —>y = x ) ,

s i l b a r (x )})



ercic io 7.18.

143) ( {x }, {h o m b r e (x ) } ) - > {c a m i n a r e n e l p a r q u e (x ), s i l b a r (x )}

144) ({x }, {H O M B R E (x )}) —► {-'CAM INA R e n e l p a r q u e (x ), c a s a (x )}

145)( {x }, { j u g a d o r (x )}) ->

{P E Ó N ( y) , E S C O G E R (x , y ) , PONE R e n E L C U A D R A D O ( x , y ) })

146) ( {x }, {c l i e n t e (x ), e n t r a r (x ) } ) — >

{t r a t a r AMABLEMENTE(uSTED,x), O F R E C E R C A F É (U S T E D , x ) }

erc ic io 7.19.

la DRS, una fórmula de la lógica de predicados y una fórmula DPL que repre- uten correctamente el significado de (96) son (a), (b) y (c), respectivamente

vitamos el uso de material equivalente en (b) para hacer más fácil la com-

ir ación):

(a) ({x}, {M U C H A C H O ( x ), C A M I N A R E N E L P A R Q U E (x ),

(({y}, ( M U C H A C H O ( y), C A M I N A R E N E L P A R Q U E (y )})— >

(0,{y=x})),SIL BAR(x)})

(b) 3x(MUCHACHO(x) A C A M I N A R E N E L PARQUE(x)A

Vy((MUCHACHO(y)ACAMINAR EN EL PARQUE(y))—> y = x ) ASILBAR(x))

(c) 3x(MUCHACHO(x) A CAMINAR E N E L P A R Q U E ( x ) A

Vy((MUCHACHO(y)ACAMINAR E N E L P A R Q U E ( y ) ) — > y = x ) )ASILBAR(x)

3sólo en la fórmula DP L (c) que la traducción de la primera oración de (96)

jarece como una subfórmula en la traducción de la sucesión de oraciones,

anto en la DR S (a) como en la fórmula lógico-predicativa (b), la traducción

3la segunda oración tiene que traerse bajo el alcance del cuantificador {x}

3x, respectivamente, para obtener resultados semánticamente correctos. En

msucesión, la fórmula DPL es la única traducción composicional de las tres; la

RS y la traducción a lógica de predicados son igualmente no-composicionales.

ote que en la semántica de DP L (b) y (c) son equivalentes.

' jerc ic io 7.20.

ajo la interpretación de la disyunción dada en la definición 4, un cuantificador

cistencial 3x en la primera disyunción no puede acotar ocurrencias libres de



x en la segunda disyunción (ni de manera contraria). Más aún, si continuamosuna disyunción 0 V tp con una nueva conjunción: (0 V VO A \ >un cuantificadorexistencial 3x en 0 o ip no puede acotar ocurrencias de x en x-

Bajo la definición alternativa de disyunción propuesta, todavía no es posible para un cuantificador en la primera disyunción acotar variables en la segunda (ni viceversa). Entonces, esta interpretación alternativa de disyunción

no puede ayudar a explicar relaciones anafóricas en las disyunciones burroproblemáticas (148) y (149), discutidas en §7.4.4.

Dicho sea de paso, estos ejemplos son de la forma ->3x0(x) V tp{x). Así,la negación bloquea la acotación de variables fuera del alcance de la negaciónpor cuantificadores dentro del alcance de la negación; ninguna definición alternativa de la disyunción puede ayudar a explicar las relaciones anafóricas enestos ejemplos. Lo que también parece necesario es una definición alternativa

de la negación.Pero la interpretación alternativa de la disyunción propuesta difiere de la

original en otro aspecto. De acuerdo con la definición alternativa, es posiblepara un cuantificador 3x en cualquiera de las disyunciones <p o ip acotar ocurrencias libres de x en x en Ia conjunción (0 V i p) A x- En efecto, (0 V i p) A x es fuertemente equivalente a (0 A x ) V (ip A x), en el sentido de que tienen lasmismas condiciones de imbuición. En consecuencia, si cada una de las disyun

ciones 0 y V’ contiene una ocurrencia del mismo cuantificador 3x, ambas ocurrencias unirán ocurrencias libres de x en x simultáneamente. (3x0 V 3x ip) A x

es equivalente a (3x0Ax)V(3x?/>Ax) y, por consiguiente, 3x(0A x) V3x(?/>Ax)-En consecuencia, podemos usar la noción alternativa de disyunción para ex

plicar las relaciones anafóricas en una sucesión de oraciones como la siguiente:

(203) Un profesor o un profesor asistente atenderán la reunión. E l la

reportará a la facultad

Para traducir los dos términos indefinidos un p r ofesor y un p r ofesor asi sten te debemos usar el mismo cuantificador 3x; por su parte, el pronombre en lasegunda oración debe ser traducido por la variable x .


En DPL hay un único subconjunto más pequeño que {3, V, A, V, —>}en términos del cual el resto de constantes lógicas puede definirse.

Como se explicó en el texto, Vx0 puede definirse como -i3x->0, pero 3x(p nopuede definirse como —Nx^ 4>. 3x0 y ->Vx—'<¡> no son fuertemente equivalentes



en DPL. Ellas no tienen las mismas condiciones de imbuición, a pesar de qUe

tienen las mismas condiciones de verdad.

Similarmente, es posible definir <j) V ip como A -| V0 y definir 0—como —i( >A pero no es posible definir <fr A ip como V ~>ip) o como

. Estas tres fórmulas tienen las mismas condiciones de verdad perono las mismas condiciones de imbuición (dicho sea de paso, lo mismo es válidopara (j) y

En consecuencia, el único subconjunto mínimal posible del conjunto totalde constantes lógicas {3, V, A, V, -► }es el conjunto {3, A}.

E j er ci c io 7.22.

(i) 3x F x \ £ a F x 3x F x y=a 3 y F y

3 x F x \ £ b F x 3x F x (=5 3y F y 3x F x |=c F x 3x F x \ =c 3y F y

(ii) <f) (=c 1 ¡J sii f=c

Esto no es válido para las nociones \ =a y \ =b. La noción \ =c permite a loscuantificadores en la premisa acotar variables en la conclusión, de la misma manera en que un cuantificador en el antecedente de una implicación

puede acotar variables en el consecuente. Como noción de vinculación,f=c hace posible la explicación de las relaciones anafóricas en argumentaciones del lenguaje natural tales como: todos l os ser es hu m an os son mor t al es. Sócrat es es un ser hum ano. E n t on ces él es mor tal .

(iü) diferencia de f=Q y |=¿, la relación de implicación |=c no es ni reflexiva, ni transitiva. Un contraejemplo de reflexividad es F x A 3 xG x

F x A 3x G x . Mientras la ocurrencia de x en F x en la premisa es libre,su ocurrencia en la conclusión está acotada por el cuantificador en lapremisa. Un contraejemplo de transitividad es: aunque 3x F x (=c 3y F y

Y 3yF y \ =c F y son válidos, no es válido que 3x F x f=c F y .



Notas bibliográficas

Estas notas bibliográficas contienen sugerencias para lecturas futuras, sin ninguna pretensión de ser exhaustivas. En general, no se repiten las referencias a la literatura

presentadas al interior del texto.

1. Orígenes de las lógica intensional

Los artículos originales en los que Frege desarrolla sus ideas acerca del significado son Frege (1892b,a, 1918a,b, 1923). Estos artículos se recogen en Frege (1962a,b). Traducciones al inglés de los primeros dos artículos pueden encontrarse en Geach

y Black (1960}, y de los otros artículos en Geach (1975). La referencia para una exposición y valoración detallada de la filosofía del lenguaje de Frege se encuentra en Dummett (1973); ver también Dummett (1981). Un estudio desde una perspectiva histórica es Sluga (1980). Una colección de artículos recientes está en Wright (1984).

2. Lógica proposicional intensional

Dos excelentes» libros de texto sobre lógica modal proposicional son Hughes y Cresswell (1968) y Chelllas (1980). Un estudio general de los sistemas intensionales con varias aplicaciones pmede encontrarse en van Benthem (1988). Para conexiones computacio- nales recientes, ver también Goldblatt (1987). Una colección útil de estudios de varias ramas de la l»ógica intensional es Gabbay y Guenthner (1984). Un trabajo pionero en la construcción de sistemas actuales de lógica intensional es Lewis (1918). Para el trabajo origimal de Carnap, Kanger, Hintikka y Kripke, ver Carnap (1947); Kanger

(1957); Hintüxka (1961); Kripke (1963).No existein trabajos introductorios de estatus similar disponibles para la lógica

temporal (peiro cf. Rescher y Urquhart (1971)). El lector puede consultar el traba-



original de Prior (1967). Un estudio técnico avanzado es van Benthem (1983).1análisis del tiempo de Reichenbach puede encontrarse en Reichenbach (1947). Un tudio polémico interesante de la relación entre la lógica estándar y la lógica temporal ede encontrarse en Needham (1975). Para el análisis de Kamp del n-operador, ver

amp (1971).El análisis de Lewis de los contrafácticos puede encontrarse en Lewis (1973). Ver

mbién Veltman (1981, 1985), y Kratzer (1981).

Lógica de predicados intensional

a mayoría de los libros de texto sobre lógica intensional se concentran en la lógica roposicional. Pero Hughes y Cresswell (1968) contiene una sección interesante sobre gica modal de predicados. Hintikka (1969) y Plantinga (1974) hacen un análisis osóficamente interesante. Se recoge un número de artículos clásicos en este campo

Quine, Kaplan, Kripke y Hintikka, entre otros, en Linsky (1971).Para la Teoría de Designación Rígida el lector puede consultar, además de los

tículos de Kripke referidos en este texto, los trabajos de Kripke, Putnam, Donellan Kaplan que pueden encontrarse en Schwartz (1977) y en French et al. (1979).

Quine, por su parte, expresó sus ideas acerca de la lógica intensional en una serie e artículos; ver Quine (1961). Para la Teoría de Contrapartes de Lewis ver Lewis 968, 1973).

Teoría de Tipos y la Gramática Categorial

■ose dispone de libros de texto accesibles sobre Teoría de Tipos. Una formulación mprana puede encontrarse en Church (1940). Para la Teoría Finita de Tipos de ussell ver Russell (1908). El lector podría consultar también Hindley y Seldin (1986).

La formulación original de la sintaxis categorial fue dada por Lesniewski (1929). er también Adjuciewicz (1935). Para las proposiciones hechas por Bar-Hillel, ver ar-Hillel (1953); para las de Lyons ver Lyons (1968). Otra literatura relevante Lewis (1972); Montague (1970a, 1973); Cresswell (1973); Geach (1972); Bartsch

Vennemann (1972) y Bartsch (1976b). Ver también §7.3. para referencias a litera- ra más reciente.

> Teoría de Tipos Intensional

n estudio lógico extensivo de la Teoría de Tipos Intensional y de la Teoría de Tipos i-sorteada se encuentra en Gallin (1975). Ver también J anssen (1986).

Para la Teoría de Preguntas usada en §5.5. ver Groenendijk y Stokhof (1982, 1984, 988b).



6. G r a m á t i ca d e M on t a g u e

La última sección de este capítulo contiene referencias a textos introductorios y a otra literatura. Ver también las referencias en el capítulo 7.

Las ideas de Tarski referidas en §6.1.2. pueden encontrarse en Tarski (1935, 1944). Para la teoría de Kripke ver Kripke (1975); para la alternativa de Gupta ver Gupta (1982). Ambos se han reimpreso, entre otros artículos relevantes, en Martin (1984). Ver también Barwise y Etchemendy (1987).

7. D esarr o l los recientes

Ver las referencias dadas en el texto. Un desarrollo importante e influyente no tratado en el capítulo 7 es la ‘semántica situacional’. Ver Barwise y Perry (1983) y el número especial de L ingu i sti cs and Phi losophy, 8 (1985).



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f

f

Indice analitico

C A T , 189, 191, 196, 256

C O N , 101, 107, 108, 149, 150, 154,

198

D E T , 283, 285, 303, 304, 306, 308,309, 311, 313

N , 283, 285, 289, 296-300, 303, 304,

308, 309N C , 189, 193, 194, 198, 248, 283

O, 189, 192, 196, 203, 244, 285, 303

SN , 283-296, 299-303, 305, 308, 309,311-313, 322, 323, 328, 329,344 346

V A R , 101, 107, 108, 131, 149, 150,154, 162

V I , 189, 192, 194, 283, 341, 344

WE , 102, 107, 108, 131

VA-eliminación, 200, 203, 205, 206, 210,220

A

abstracción, xxii, 131, 136, 139,144, 164, 200. 228, 287, 329,333

conversión, 136,138,139, 164, 171,172, 200, 203, 205, 206, 209,210, 220, 222, 223, 333

operador, 128, 130-132, 134, 137,

140-143, 162, 165, 214, 240,327, 328

K , 35árbol

de análisis, 194, 195, 205, 208, 209,230, 242, 253, 269-273

de construcción, 126, 184

de números, 315, 318, 320, 321de traducción, 205, 207, 209

estructural, 229árboles

análisis, 269éln, 190, 225

índice, 84, 226, 227a lo sum o, 291, 301-304, 306, 313

de d i cto, 185

de re, 185de re, 185, 223VI , 190



de d i cto, 214, 224, 225, 231-233, 244,246, 251, 253, 270, 433

de re, 185, 214, 224, 225, 230-233, 244-246, 252, 270, 433

abajo, 150abstracción

funcional, 131sobre una variable, 134sobre una variable libre, 130, 134

abstractor de conjuntos, 131abstraer vacíamente, 130acotada

ocurrencia, xxivactitudes proposicionales, 56, 278, 332,

371, 372adjetivo, 57, 60, 96, 184, 193, 243, 246-

248, 275, 300, 309, 311, 328extensional, 247, 248intensional, 247, 310, 311

intersectivo, 248, 310prenominal, 246, 250pronominal, 249relativo, 96, 97, 99, 248

adverbio, 47, 57, 60, 215, 216, 243,275, 323, 328

extensional, 251

predicativo, 96, 97, 99, 249-251predicativos, 249que modifica oraciones, 197, 250temporal, 50

alétheia, 37alcance, xxiv, 39,48, 49, 58, 60, 62,

126, 137, 164, 172, 184, 213,

214, 224, 225, 234, 242, 268,275, 338, 343, 345, 348, 363,371

estrecho, 225relativo, 224, 234

algunas veces, véase adverbio temporal

alternativa epistémica, 21ambigüedad, 59, 184-187, 224

de d i cto, 233

de re, 233de d i cto, 185, 214

de re, 185, 214

de alcance, 207, 213, 224, 225, 230,233, 234, 371

derivacional, 185, 187, 225

estructural, 184, 185

anáfora, 275, 278, 344relación anafórica, 335, 355, 369

análisis

árbol, 194, 195, 205, 208, 209, 230,242, 253, 269-273

estructural, 185

sintáctico, 16, 115, 183-187, 204,

238analogistas, 3anomalistas, 3

antipersistencia, 303-305aplicación

funcional, 99, 101, 110, 112, 131,192, 194, 204, 206, 208, 244-

246, 249-251, 260, 323, 324,327

argumento

disminución, 325

Aristóteles, xix, 23, 39

argumento batalla naval, 39arriba, 150

artículo, véase determinanteasignación, xxiv, 74, 75, 80, 162, 168,

170, 199, 200, 203, 204, 219,220, 278, 318, 322, 345, 350-353, 359, 362, 365-367



autómata semántico, 320autonomía de la sintaxis, 177, 186, 268autoreferencia, 179, 180axioma, 24, 35, 36

esquema, 36 f

bautismo inicial, 65Bedeutung (Frege), 10

ungerade, 15

cópula, 234caja, 340cap, 150

caracterizaciónde marcos, 31categoría, 24, 189-193, 195, 196, 202,

204, 206-208, 213, 225, 234,244, 246, 249, 256, 257, 278,279, 283, 285, 311, 312, 322,323, 325-329

asignación de, 189básica, 115,116, 121,188, 189,191,192, 256, 323

cambio de, 278, 322, 323, 327-330

derivada, 115-118, 188-190, 197,256

functorial, 192, 197, 199, 204, 249,

256c ier tos , 23citación, 55, 56

cláusula, 20, 22, 28inductiva, xxiii

intencional, 22relativa, 243, 248, 260, 274, 337,

341, 344, 363relativa restrictiva, 193, 248, 340

clausura semántica, 175complemento

infinitivo, 190, 245, 246

oracional, 190, 246componente

discontinuo, 122, 123composición de predicados, 133, 134composicionalidad, 7, 175, 176, 199,

267, 271-275, 332, 357, 359,

360, 363, 369de la referencia, 14-16

de la traducción, 140, 199, 204,331, 363

del sentido, 15

del significado, 6, 140, 175, 268,271

principio de, 15, 225, 230, 266, 268,272, 274, 358, 359

concatenación, 115, 117, 122, 124, 126,188, 189, 244

concepto individual, 18, 61, 73, 85, 156,254, 258, 259, 263

conceptualismo, 4

conectivos, 20, 22, 28, 162, 214, 240,370

interpretación ‘fuerte’ y ‘débil’ delos, 70

conjunción, xxiii, 111, 126, 129, 202,

239, 240, 243, 248, 292, 295,301, 302, 334, 343, 365-367

reducción de la, 277, 281regla de, 192, 239, 260

conjunto potencia, xxv

conjunto vacío, xxiv

conocer, véase actitudes proposicionales

conocimiento, 16, 19, 177

conservatividad, 308-312, 315, 317, 318,328, 329

constante

individual, xxiii



construcción

de oraciones, 214, 225, 226, 244,245

extensional, 15intensional, 9, 20

manera directa de, 227, 371manera indirecta de, 227

contexto, 16-18, 20-22, 40, 85, 165,168, 169, 172, 177, 188, 254,264, 275, 279, 280, 314-317,322, 328

de uso, 84

funciones de, 253hiperintensional, 91, 92

intensional, 19, 197, 214, 329, 372momentos en el tiempo, 20

opaco, 55-58, 147

transparente, 55

contexto:, 83

contradicción, xxivcontraejemplo, 16, 31, 32, 34, 43, 44,

161, 164, 171, 261, 299, 310,312, 370

contrafáctico, 12, 52, 53, 65, 89

contrapartida, 90

convención notacional, 210, 220, 221,

350CN1, 210

CN2, 220, 266

CN3, 262convencionalismo, 3coordinación, 325

correferencia, 241, 252

creencia, 16, 19, 72, 73, 92, 332, 371creer, véase actitudes proposicionales,

véase actitudes proposicionales

cuadro de oposición, 298

cuantificación, 225de orden superior, 111vacía, 270

cuantificador, 18, 28, 50, 149, 162, 193,214, 238, 287, 288, 290, 293,

294, 302, 307, 308, 313, 348,370

autodual, 298dual, 298existencial, xxiv, 176, 338, 346, 361,

365-368múltiple, 6

monótono ascendente, 290, 291monótono descendente, 294monotonicidad, 297, 298negación de, 295

Teoría de Cuantificadores Generalizados, xx, xxii, 277, 279,

281-287, 289, 290, 301, 303,

307, 310, 322 Teoría de los Cuantificadores Generalizados, 276

universal, xxiv, 176, 345, 365-368cup, 150

de d i cto , 55

de d i cto, 58-60, 62, 75, 78, 88de re, 55de r e, 58-60, 62, 75, 78, 88, 89debe, 23deducción natural, xxiv, 35, 325definición de verdad, véase modelo

de un discurso, 331definición inductiva (recursiva), xxiii

densidad, 45dependencia

del contexto, 16, 20, 172, 315, 316derivabilidad

axiomática, xxiv



sintáctica, xxiv

descripción definida, xxv, 8, 13, 61-63,65, 66, 73, 199, 202

descubrir, véase actitudes proposicionales t

designador rígido, 65, 71, 72, 79, 85,91, 164,217-219, 221,229, 231,

258, 263

destinatario, véase índice, véase índice

determinante, 142, 144, 193, 194, 196,206, 207, 215, 225, 238, 243,

282, 283, 328, 329, 346, 372antipersistente, 304

complejo, 194

conservativo, 308

continuo, 314

cuantitativo, 315

homogeneidad, 319

intensional, 310lógico, 315

persistente, 304

posesivo, 316

que tiene extensión, 314

simple, 194, 300

uniformidad, 319

variedad, 312

vive en, 308

discurso, xxii, 177, 278, 330-332, 334-337, 339, 355-360, 367, 369372

análisis de, 278

punto de discurso, 49referente, 337, 341

representación, 275, 276

representación de, 345

discurso indirecto, 56

disyunción, xxiii, 111, 239, 240, 243,292, 293, 295, 301, 302, 346,348, 354, 356, 369

regla de, 239, 260doble indexación, 87

dominio, xxiv, 5, 6, 94, 150-152, 155,165-167, 170, 198, 214, 258,278, 282, 283, 285-288, 296,308, 313-317, 322, 337, 343,350

creciente, 71, 73, 75, 77, 78

de expresiones de tipo a, 105

DPL , 365, 367-369, 371

DRS, 340-348, 350, 352, 354, 356-366,369, 370

condición, 342, 347

imbuición verificadora, 343, 345,350-352, 359, 362, 365

regla de construcción, 340, 342, 344

346subordinación, 344, 345

verdad de, 351

DRT, 330-333, 337, 339-341, 343, 348,353-361, 363, 365, 367, 369-372

y la composicionalidad, 357

dual, véase cuantificador dual

eje temporal, 41-43, 45-47, 51

con ramificaciones, 44

ramificado, 44

el / la , 193, 206

elemento léxico, 116, 119, 192

eliminación: AV, 160en absoluto, véase polaridad negativa

entidad, 2-8, 10, 11, 61, 62, 66-68,149, 152, 153, 155, 157, 159,163, 166, 167, 203, 211, 212,



222, 231-233, 236, 253, 254,256, 257, 263

intensional, 147-149, 152equivalencia, xxiv, 24, 30, 108, 155,

161, 171, 221, 222, 271, 369débil, 119

fuerte, 119lógica, xxiv

material, xxiii

relación, 36, 37, 271esencialismo, 58, 89

esquema

argumentativo, xxiv, 39axioma, 36

de demostración, 321

de reglas, 226, 248, 252

estructura

de representación de discursos, 340

modal, véase marco

sintáctica, 268, 273subyacente, 267, 268

superficial, 267, 268

temporal, 44-46

temporal ramificada, 52

expresión

básica, 190, 234, 259

regla, 191tipo, 98

cerrada intensionalmente, 162, 164,172

extensión, 1, 2, 6, 17, 18, 47, 154, 155,162-166, 168, 169, 178, 196,197, 201, 202, 212, 216-219,

222, 247, 258, 259, 275, 278,284, 295, 304, 314, 315, 317-319, 329, 436

extensionalidad, 7, 20, 23, 217, 222,237, 238, 245, 250, 262, 265

principio de, xxiv, 7, 15extensionalistas, 182

Färbung (Frege), 10fórmula

Barcan, 76, 78, 81, 82válida, 30válida en F , 31

formagramatical, 266lógica, 266que induce a error, 267

frecuentemente, véase adverbio tem

poralfuerza (Frege), 10función

característica, 104, 105, 142, 143de interpretación, xxiv

dominio, 66, 69, 70f u tu ro , 40

Geach

regla de, 323, 324, 327gedanke (Frege), 13gramática

lógica, 175categorial, xxii, 115, 117, 276, 325,

328, 329bidireccional, 117, 119-121flexible, 322

de estructura de frase generalizada, 125

de lógica, 175de Montague, xx, xxii, 174, 175,

183, 185, 188, 194, 196-198,202,274,330-339, 358-360, 3

flexible, 328generativa, 176, 177, 181, 267, 268

274, 275



independiente del contexto, 119,120, 122-125

lógica, xix, xx, xxii, 18, 177-179,181, 183, 267, 268, 273-275

universal, 281 t

ha si d o , 40hablante, véase índicehistoria derivacional, 185, 230, 269, 273

ideas (Frege), 10identidad, 71, 238

predicado de, 71ser, 235

transmundanaproblema de la, 89, 90

imbuición verificadora, 343, 345, 350352, 359, 362, 365

implicación (material), xxiiiindiscernibilidad de los idénticos, 7individuo, véase entidad

intención, 56intensionalistas, 182interpretación

directa, 186, 202, 288indirecta, 186, 214

intersección, xxivintroducción

categoremática, 127, 206, 243sincategoremática, 126, 194

kraft (Frege), 10

lógica

de predicados, xix-xxi, xxiii-xxv,1,2, 5-7, 38, 50, 200,201,203,210, 236, 283, 343, 345, 347,348, 352, 353, 357, 360-363,365, 368-370

de primer orden, 95

de segundo orden, 95, 106, 113de predicados dinámica, 365de predicados intensional, 18de predicados modal, 217de primer orden, 211, 222, 338,

340, 346, 352, 360, 365, 368,

370de proposicional, xx, xxvde tipos di-sorteada, 166deóntica, 19, 74epistémica, 19implicacional, 325, 326multi-valuada, xx, 39, 70

proposicional, xix, xxiii, xxiv, 1,6, 7, 18, 20, 26, 28, 35, 39, 40,51, 176

proposicional modal, xxi, 23, 26-

28, 33, 38proposicional modal minimal, 35,

36

segundo orden, xx, 1temporal, xxi, 19, 40-42, 44-47,

50, 51, 82Lambek calculus, 326-328lectura

específica, 232no específica, 232

lectura existencia, 231lenguaje objeto, 179lexicón, 191ley de Leibniz, 7libre

ocurrencia, xxivl i bre para x , 137

lugar, véase índice

marcador de referencia, 341marco, 27

irreflexivo, 33



reflexivo, 31transitivo, 32

mentalismo, 177metalenguaje, 179metavariable, xxiiimodalidad, 24

alética, 37epistémica, 38

modelode K ripke, 22de lógica proposicional intensional,

22

de la lógica temporal proposicio

nal, 41lógica modal de predicados, 61lógica proposicional modal, 27 Teoría de T ipos, 106 Teoría de T ipos Intensional, 152,

154, 159, 160, 164, 165, 168-170

momentos de tiempo, 50, 82-84monótono

ascendente, 290, 295

decreciente, 294, 295descendente, 294

números enteros, 45

números racionales, 45nadie, véase polaridad negativanaturalismo, 3necesario, 20

físicamente, 21lógicamente, 21

negación, xxiii

externa, 296interna, 296regla de, 242

negación de los cuantificadoresexterna, 296

interna, 296nombre propio, 8, 61-63, 110, 258, 325,

333nominalización, 324notación polaca, 127nunca, véase adverbio temporal

obligación, 19ocurrencia

acotada, xxivlibre, xxiv

operación sintáctica, 189

F l, 192, 204

FIO, 242F l l , 244

F12, 245

F13, 246F14, 248

F15, 249

F16, 250F2, 193

F2\ 194, 206

F3, 193, 201

F4, 193, 201F5, 193, 201

F6, 208, 209

F7,n, 225, 227, 252, 260F8, 239

F9, 239operador

A, 128, 130-132, 134, 137,140-143

temporal, 49, 150, 165operadores modales apilados, 29

oracionescontrafácticas, 12oraciones burro, 337orden

lineal, 44



paréntesis, 101, 102, 105, 126, 130paradoja

de la implicación material, 24de Russell, 98, 139del lucero matutino/el ucero ves

pertino, 8, 63del mentiroso, 179semántica, 178

parcialidad de la interpretación, 70

pasado, 40pensamiento (Frege), 13

permiso, 19

persistencia, 303-305Platón, 3

platonismo, 4

polaridad negativa, 277, 280

p or lo m enos, 288postulado de significado, 216

PS1, 218

PS10, 264

PS2, 219, 265

PS3, 237

PS4, 237

PS5, 246PS6, 247

PS7, 250

PS8, 262PS9, 263pragmática, 92, 112

predicado

de existencia, 66

de verdad, 178principio

de extensionalidad, 157de Frege, véase composicionalidadproducto cartesiano, xxvpronombre

anafórico, 241

deíctico, 83personal, 83, 85

pronombresreflexivos, 226

propiedad, 147, 148, 152, 163accidental, 58

de primer orden, 153, 158esencial, 58

proposición, 13, 147, 148, 152, 153, 158puede, 23punto

de evento, 49de referencia, 49

raramente, véase adverbio temporal

realismo, 5reducción, véase A-conversiónreferencia

auto-, 179indirecta, 15

múltiple, 18marcador de, 341

referencia (Frege), 10indirecta, 15

referencia múltiple, 18referente del discurso, 337regla

básica, 191de cuantificación, 225de Geach, 323de la negación, 242de Montague, 325

regla de traducción T (c), 235

T l (a ’), 238 T I (a), 198, 258 T l (b), 204, 258 T l (c’), 206 T l (c), 259



T l (d), 250 TIO, 239 T i l , 239 T12, 239 T13, 239 T14, 242

T15, 244 T16, 245

T17, 246

T18, 248

T19, 249 T2, 204

T20, 250 T21, 252

T3, 201

T3\ 206

T3), 259 T4, 201, 259

T5, 201, 259

T6, 201, 259 T7, 209 T8,n, 227

T8,n), 260 T9, 239

regla sintáctica

51, 191

510, 239511, 239512, 239513, 239514, 242

515, 244

516, 245

517, 246518, 248519, 24952, 192

520, 250

S21, 25253, 193S3’, 19454, 19355, 19356, 19357, 20858, 22559, 239

relaciónanafórica, 335anterior a, 40, 41conectada, 34

de accesibilidad, 22de contrapartida, 90de equivalencia, 36de similitud, 54irreflexiva, 33reflexiva, 31transitiva, 44

representación mental, 181restricciones, 282

globales, 307

S5, 36semántica

de las oraciones, 216

de las palabras, 216semántica situacional, 180sentencias, xxivsentido (Frege), 10ser , 234siempre, véase adverbio temporalsignificado

léxico, 216significado por correspondencia, 2sinn (Frege), 10sinonimia, 182sintagma



verbal intransitivo, 189, 196verbal transitivo, 207

ntaxis categorial, 188stema lógico

extensional, 7, 182 t intensional, 157, 182

ospechar, véase actitudes proposicionales

érmino, 191érmino cuantificado, 259al vez, 23autología, xxiv

eoríade Tipos, 18de Tipos Intensional, 18del Sentido de Frege, 12, 14del Significado, 6del Significado de Frege, 10, 11, 14Semántica no Composicional, 358

Conductista del Significado, 2de Conjuntos, xxiii, xxiv, 284, 288,

346, 347

de Cuantificadores Generalizados,xxii, 277, 279, 281-287, 289,290, 301, 303, 307, 310, 322

de las Descripciones Definidas, xx

de las Relaciones, 322de los Cuantificadores Generaliza

dos, xx

de Modelos Abstracta, 277de Representación de Discursos,

xx, xxii, 278, 330, 371de Significado de Grice, 2

de Tipos Intensional Di-sorteada,166

del Significado, 2, 5, 9, 360del Significado por Corresponden

cia, 2, 4-6Intensional de Tipos, xxiiIntensional del Significado, xx, xxiPictórica del Significado, 5Referencial del Significado, 5, 7, 8,

181 Teoría de Categorías Semánticas, 115

Teoríasdel Significado, 2

tesis de la forma que induce a error,267

tiempo discreto, 45tiempo verbal, 40tipo

básico, 98derivado, 99di-sorteado, 167intensional, 329

todo, 193, 206tono (Frege), 10traducción

composicional, 140explícita, 140finita, 140formal, 140función /, 196, 257

un solo, 193, 206un(a ) , 193, 206unión, xxiv

universales semánticos, 281, 300de significado es uso, 2de Tipos, xix, xx, xxii, 285, 322de Tipos Di-sorteada, xxii, 51 va a ser , 40de T ipos Intensional, 146, 148, 149, validez

151-153, 157, 163-166 en un marco, 42



en un modelo, 30teorema, xxivuniversal, xxiv, 155

valuación, xxivvariable

libre, 128, 130meta-, xxiiisintáctica, 190, 258

verboextensional, 222

verdadrelativa, 155

VI , 189, 196VT , 207vocabulario, 100Vorstellungen (Frege), 10

yo, 83

Documents

Logica_Lenguaje y Significado Gris.pdf