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Vibraciones en diferentes mediosUnidad 3
Seales y vibracionesIntroduccinAcstica musical: entender cmo
funciona la msica, fsica y psicolgicamente.
Ciencias o disciplinas relacionadas: fsica, fisiologa,
psicologa, y muchas ingenieras y tecnologa.
La msica es fundamental para los seres humanos: ha formado parte
de la cultura a travs de toda la historia.
Vibraciones en cuerdasAhora nos vamos a ocupar de una de las
ramas ms antiguas de las matemticas, la teora de la cuerda
vibrante, que tiene sus races en las ideas del matemtico griego
Pitgoras.
Norbert Wiener, I Am a Mathematician (1956)Puntos histricos de
la ciencia de los instrumentos de cuerdasPitgoras (siglo 6 A.C.).
Cultura griega. Estudi las vibraciones en las cuerdas y los sonidos
musicales. Report que al dividir la longitud de una cuerda vibrante
en fracciones simples se producen intervalos musicales
consonantes.Galileo (siglo 16 D.C.). Relacion el nmero de
vibraciones por unidad de tiempo y el tono de una cuerda.Brook
Taylor (siglo 18 D.C.). Encontr una solucin dinmica para la
frecuencia de una cuerda vibrante basndose en la forma curva de una
cuerda cuando sta se encuentra en su modo fundamental.Daniel
Bernoulli (Siglo 18 D.C.). Desarroll y resolvi las ecuaciones
diferenciales parciales que caracterizan a una cuerda
vibrante.Vibraciones estacionariasCada punto de una cuerda vibra
transversalmente con un movimiento armnico simple de amplitud
constante, cuya frecuencia de vibracin es la misma para todas las
partes de la cuerda
Vibraciones estacionariasDinmica de las vibracionesVibraciones
estacionariasDinmica de las vibracionesVibraciones
estacionariasDinmica de las vibracionesEjemplo: La cuerda E de un
violn ha de ajustarse a una frecuencia de 640 Hz en el modo 1. Su
longitud y masa (desde el puente a su extremo) son 33cm y 0.125g,
respectivamente. Qu tensin se necesita?Informacin detallada sobre
instrumentos de cuerdasSe recomienda revisar el libro The Science
String Instruments, editado por Tomas Rossing (2010). En el se
discute una basta cantidad de instrumentos de cuerdas, entre los
que se encuentran aquellos de cuerdas pulsadas, guitarras, piano,
instrumentos elctricos y virtuales, entre otros.Vibraciones en
Barras Al estudiar las vibraciones de las cuerdas se supuso que la
nica fuerza de restitucin era debida a la tensin de la cuerda y no
se tuvo en cuenta su rigidez.
Pasaremos ahora al extremo opuesto, donde la fuerza de
restitucin se debe nicamente a la rigidez del objeto vibrante. Este
es el caso de una varilla o de una viga sujeta en uno o ms puntos,
pero no sometida a ninguna tensin.
Barra sujeta en un extremo. Consideremos una barra rectangular
de longitud L, altura h y ancho b (Fig.1). El mdulo de elasticidad
de la barra (mdulo de Young) es E y su masa por unidad de volumen o
densidad es r.
La forma de vibracin de la varilla en su modo fundamental, con
un solo nodo en su extremo fijo, se muestra en la Fig. 2; se
muestra como vibra la varilla en el segundo y tercer modo (con dos
y tres nodos, respectivamente, incluyendo el extremo fijo).
Varilla libre en sus dos extremos. En la Fig. 3 se muestran los
tres primeros modos normales de oscilacin de una varilla que est
libre en sus dos extremos.
Figura 3. Los tres primeros modos de vibracin de unavarilla
libre en sus dos extremos.
RESONANCIA EN RECINTOS RECTANGULARESMODOS DE RESONANCIALa teora
de modos analiza la presencia de un Fenmeno comn en los
recintos.Estas teoras, de aplicacin incierta en salas de gran
volumen, debido a la complejidad de problemas adicionales que
presentan, se aplican con xito en recintos pequeos de formas
geomtricas regulares. Es decir que, el comportamiento modal
vinculado con las formas y dimensiones de salas de 200 a 500
personas, estudios de grabacin, controles, etc., se puede predecir
y eventualmente corregir. Se verifica que, entre dos puntos de una
sala, el sonido no se transmite en forma continua con una respuesta
plana perfecta.La respuesta acstica del recinto se presenta en
paquetes de frecuencias.
Es normal que cada pocos ciclos, aparezcan picos y valles con
excursiones de 10 dB o ms, que irn aumentando en densidad, a medida
que se incrementa la frecuencia.
Una posible solucin para modificar este comportamiento, sera la
de tratar la totalidad del recinto con materiales absorbentes, a
fin de recrear un campo con caractersticas de espacio libre, es
decir, sin reflexiones y por lo tanto sin reverberacin.
Subjetivamente, estaramos perdiendo una cualidad fundamental del
odo, tal es la placentera sensacin de percibir un campo
reverberante, reflejado.
Debemos, por lo tanto, analizar y corregir estas
variaciones.
Si mximos y mnimos de la figura anterior se hallan
razonablemente juntos , es decir con f pequeos, el odo no alcanzar
a percibirlos y lo interpretar como una buena respuesta.
Entre dos paredes paralelas, hecho muy comn en recintos pequeos,
el sonido va y viene por mltiples reflexiones, por lo que es
factible que se produzcan ondas estacionarias.
Si la separacin entre paredes coincide con /2 de una determinada
frecuencia, resultar un recorrido total de un completo,
producindose un pico de resonancia que reforzar esa frecuencia en
particular.
El efecto podemos analizarlo recordando el comportamiento de la
onda estacionaria en un tubo cerrado.
Si a un tubo cerrado lo excitamos con una seal de determinada
frecuencia, a lo largo del mismo se producir una onda estacionaria,
suma de la seal incidente y de la reflejada, con mximos y mnimos
ubicados espacialmente, a distancias mltiplos de la longitud de
onda de la seal incidente Considerando que un recinto posee, como
mnimo, seis superficies, este efecto se repetir para todas las
combinaciones posibles de ellas y para aquellas distancias que
coincidan con valores de , 2, 3, etc.
Si pensamos que gran cantidad de recintos tienen formas
equivalentes a paraleleppedos rectangulares, estos refuerzos
ocurrirn a tres frecuencias bsicas correlacionadas con sus
dimensiones (alto, largo y ancho), ms sus mltiplos, ms los
infinitos caminos posibles involucrados con reflexiones que
retornen a su origen. Si bien en el desarrollo de este captulo
analizaremos la divisin del espectro en regiones acsticas, debemos
fijar algunos conceptos sobre el comportamiento de un recinto
pequeo en funcin de la frecuencia.
Las frecuencias altas se comportaran como rayos de luz, es
decir, en lnea recta.
Por otra parte, las frecuencias inferiores a los 200 Hz.,
excitarn al recinto en sus modos naturales de resonancia,
magnificando la percepcin de las mismas, en detrimento de aquellas
donde no existan modos. La razn es, que en trminos de longitud de
onda, los recintos chicos son acsticamente pequeos para frecuencias
bajas y grandes para las altas.En el rango de bajas frecuencias,
existen tres tipos de modos de resonancia:
Modos axiales (dominantes)
Son aquellos que involucran reflexiones sobre dos superficies
vinculadas con las tres dimensiones principales del recinto (ancho,
largo y alto), establecindose a partir de dos ondas que se propagan
en forma paralela a cada uno de los ejes.Estos modos son los ms
importantes y fciles de predecir, dado que ocurrirn a todas las
frecuencias y sus mltiplos cuya longitud de onda sea igual a la
mitad de las tres dimensiones principales.
Modos tangenciales Son aqullos vinculados con las reflexiones
sobre dos pares de superficies opuestas, por lo que involucran
cuatro superficies con un total de cuatro ondas.
En cada reflexin, perdern parte de su energa debido a la
absorcin, por lo que tendrn menor peso que los axiales
(aproximadamente 3 dB).
Modos oblicuos
Son aqullos vinculados con las reflexiones sobre las seis
superficies del recinto, con un total de ocho ondas en el trayecto,
por lo que tendrn menor peso an que las axiales (aprox. 6dB). Estos
modos son de frecuencias ms altas que el menor modo axial.
La reduccin de energa por onda, para los modos tangenciales y
oblicuos se halla compensada por el incremento del nmero de ondas,
por lo que la contribucin de cada una de ellas a la energa total
ser la misma.
Esta es una de las razones por lo que no es conveniente
ignorarlos.
Expresin matemtica que vincula todos los modos posibles
L
b
h
Figura 1. Barra sujeta en uno de sus extremos.
L
b
h
Figura 1. Barra sujeta en uno de sus extremos.
modo 3
modo 2
modo 1
Figura 3. Los tres primeros modos de vibracin de una
varilla libre en sus dos extremos.
