LOS ANGULOSNombre: Eduardo Rodríguez Huamanlazo

Grado: 2do “A”

Trabajo: Geometría

Contenido

1 Definiciones 2 Las unidades de medida de ángulos 3- Clasificación de ángulos 4 -Ángulos relacionados 5 -Ángulos de un polígono 6- Ángulos respecto de una circunferencia 7- Trisección del ángulo 8 -Ángulos tridimensionales 9 -Ángulos en un espacio vectorial 10- Galería de ángulos

DEFINICIÓN Es la parte

del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal. Pueden estar definidos sobre superficies planas o curvas.

LAS UNIDADES DE MEDIDA DE ÁNGULOSLas unidades utilizadas para la

medida de los ángulos del plano son:

Radián Grado centesimalGrado sexagesimal Los ángulos se pueden medir

mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestica, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS

Ángulo recto: es aquel cuya medida es de 90° ∠ α = 90° Ángulo agudo: es aquel cuya medida es menor que 90° ∠ α = < 90°  Ángulo extendido: es aquel cuya medida es de 180°∠ α = 180° Ángulo obtuso: es aquel cuya medida es mayor que 90° y menor que 180°∠ α = > 90° < 180º  Ángulo completo: es aquel cuya medida es de 360°∠ α = 360°

ÁNGULOS RELACIONADOSEn función de su posición, se denominan: ángulos adyacentes, los que tienen un vértice y un lado

común, pero no tienen ningún punto interior común, ángulos consecutivos, los que tienen un lado y el vértice

común, ángulos opuestos por el vértice, aquellos cuyos lados son

semirrectas opuestas. En función de su amplitud, se denominan: ángulos congruentes, aquellos que tienen la misma

amplitud, es decir, que miden lo mismo, ángulos complementarios, aquellos cuya suma de

medidas es π/2 radianes o 90°, ángulos suplementarios, aquellos cuya suma de medidas

es π radianes o 180°, ángulos conjugados, aquellos cuyas medidas suman 2π

radianes o 360°.

ÁNGULOS DE UN POLÍGONOEn función de su posición, se denominan: ángulo interior o interno de un polígono,

es el formado por lados adyacentes, interiormente,

ángulo exterior o externo de un polígono, es el conformado por un lado y la prolongación del adyacente.

 ÁNGULOS RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden

ser: Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de

ésta. La amplitud de un ángulo central es igual a la del

arco que abarca. Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos.

Ángulo semi-inscrito, si su vértice está sobre ésta, uno de sus lados la corta y el otro es tangente, siendo el punto de tangencia el propio vértice.

La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.

La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones;Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de ésta.

La amplitud de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.

TRISECCIÓN DEL ÁNGULO La trisección del ángulo es un problema

clásico que consiste en dividir un ángulo dado en tres partes iguales usando sólo regla y compás. Es imposible de resolver con esas condiciones.

ÁNGULOS EN UN ESPACIO VECTORIAL Dado un espacio vectorial, cuyo cuerpo es el conjunto de los

números reales y en el que existe un producto escalar entre vectores , se define el ángulo formado por dos vectores no nulos x e y mediante la expresión:

Si el cociente anterior es 0, se dice que ambos vectores son ortogonales o perpendiculares. El cociente anterior está en el intervalo ( − 1,1)debido a la Desigualdad de Cauchy-Schwarz, lo que garantiza que siempre puede aplicarse el arcocoseno. Normalmente, se toma la rama del arcocoseno de forma que el ángulo que forman dos vectores siempre está en el intervalo [0,π] (geométricamente, se elige el menor de los ángulos que forman dos vectores). Las principales propiedades que cumple el ángulo de dos vectores son las siguientes:

Si multiplicamos uno de los vectores por un escalar positivo, el ángulo no cambia.

Si multiplicamos uno de los vectores por un escalar negativo, el ángulo pasa a ser el complementario.

Se cumple el Teorema del coseno, es decir, dados x e y no nulos,

ÁNGULOS TRIDIMENSIONALES Los ángulos de Euler, son tres

coordenadas angulares que indican la orientación de un sistema de referencia de ejes ortogonales, normalmente móvil, respecto a otro fijo.

GALERÍA DE ÁNGULOS

MAPA CONCEPTUAL