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La Teoría de la Relatividad: 6: Los diagramas espacio-tiempo de Minkowski
http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.mx/2009/03/6-el-espacio-y-el-tiempo-unificados.html[29/09/2013 09:02:24 p. m.]
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M I É R C O L E S , 1 8 D E M A R Z O D E 2 0 0 9
6: Los diagramas espacio-tiempo de Minkowski
La Teoría Especial de la Relatividad, tal y como fue enunciada por vezprimera por Einstein, era una teoría puramente algebraica, sin referenciaalguna a ningún tipo de geometría. Se debe a Hermann Minkowski laproeza de haberla convertido en una teoría geométrica llevando a cabo depaso la unificación de dos conceptos que en la mecánica clásica habíansido considerados completamente independientes y separados el uno delotro: el espacio y el tiempo. Gracias a Minkowski, el espacio y el tiempofueron unificados en un solo concepto básico e indivisible bajo una solapalabra, el espaciotiempo (aquí lo llamaremos espacio-tiempo en elentendido de que ambos conceptos han sido fusionados en uno solo), demodo tal que no era posible hablar ya del espacio como entidad individualy del tiempo como entidad individual también, separados el uno del otro.Pero aquí nos estamos adelantando a nuestra historia.
Considerando para fines ilustrativos una velocidad de la luz de c = 1metro por segundo, el diagrama espacio-tiempo para un rayo de luzes el siguiente:
S E G U I D O R E S
A R C H I V O D E L B L O G
▼ 2009 (77)
▼ marzo (77)
Indice
Prólogo
El movimiento absoluto
Un descubrimientosorprendente
La física es parada de cabeza
Las consecuencias directas dela teoría
El experimento que antecedió ala teoría
6: Los diagramas espacio-tiempo de Minkowski
7: Las transformaciones deLorentz
8: Representaciones
La Teoría de la RelatividadESTE ES UN TRABAJO BAJO CONSTRUCCION
La Teoría de la Relatividad: 6: Los diagramas espacio-tiempo de Minkowski
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Sobre el mismo diagrama, la especificación de la coordenada x de unapartícula material que nos indica la posición en la cual se encuentra lapartícula y del tiempo t al que corresponde esta coordenada, se dice quedetermina un evento o un suceso. Si representamos la posición x en eleje de las abcisas (eje horizontal) y el tiempo t en las ordenadas (ejevertical), cada punto del plano x-t corresponde a un posible evento. Enun diagrama así podemos representar dos eventos distintos vistos por unmismo observador, trátese de dos eventos distintos que ocurren en elmismo lugar en tiempos diferentes, dos eventos distintos que ocurren almismo tiempo en distintos lugares, o dos eventos distintos que ocurrenen tiempos diferentes en lugares diferentes, como es el siguiente caso:
El lugar en un plano x-t de los eventos que representan las coordenadasapareadas de una partícula en varios instantes se conoce en los estudiosde la relatividad como línea del mundo (world line) y también comolínea del universo. En la Teoría Especial de la Relatividad, la línea delmundo es siempre una línea recta como la línea azul que tenemos en eldiagrama de arriba porque la partícula material viaja siempre enmovimiento rectilíneo en una misma dirección, recorriendo distanciasiguales en tiempos iguales. Si en el instante t1 la coordenada de una
partícula móvil es x1, entonces las magnitudes x1 y t1 determinan el
evento E1. Análogamente, x2 y t2 determinan el evento E2. Los eventos
para un mismo y único observador están separados en el espacio por unadistancia Δx = x2 - x1 y en el tiempo por una distancia Δt = t2 - t1.
En los estudios sobre la relatividad, no se acostumbra revolver peras conmanzanas, no se acostumbra revolver metros con segundos al medir sobre
matriciales
9: Suma relativista develocidades
10: Una teoría libre deasimetrías y de paradojas
11: El efecto Doppler relativista
12: Dinámica relativista
13: La ecuación más famosa deEinstein
14: Física atómica relativista
14: Invariantes
Rotaciones y transformaciones
15: Los 4-vectores I
Los 4-vectores II
El germen de una idea
17: El principio de equivalencia
19: Predicciones,confirmaciones, y reflexiones
20: Introducción al cálculotensorial
22: Tensores de orden superiory mixtos
23: Aritmética de tensores
Propiedades de los tensores
24: El tensor métrico
Gimnasia de índices
La derivada covariante de untensor I
La derivada covariante de untensor II
La derivada covariante de untensor III
La derivada covariante de untensor IV
El determinante del tensormétrico
La divergencia de un tensor I
La divergencia de un tensor II
Electrodinámica relativista I
Electrodinámica relativista II
El tensor energía-tensión
Electrodinámica relativista III
La ruta geodésica I
La ruta geodésica II
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coordenadas rectangulares. Para que en un diagrama espacio-tiempotanto el eje horizontal como el eje vertical usen el mismo tipo deunidades, se acostumbra multiplicar el tiempo en el eje vertical quecorresponde al tiempo por la constante universal absoluta que es lavelocidad de la luz c, ya que con ello ct se convierte en una distancia queestá medida en metros, no en segundos. De este modo, no mezclamosperas con manzanas, al medir tanto en el eje vertical como en el ejehorizontal lo estamos haciendo en metros. En todos los diagramasespacio-tiempo que serán utilizados aquí, la ordenada vertical estará endimensiones de metros, o sea multiplicada por c, representado en laordenada vertical como ct. Aunque aparezca t en lugar de ct, sesobreentenderá que siempre nos estamos refiriendo a ct. Además, parafines de simplificación, le seguiremos dando a c el valor de 1 metro porsegundo. Sin embargo, para fines de cálculo numérico, estamos enlibertad de regresar a las mediciones en segundos sobre el eje vertical.
En la última gráfica de arriba, tenemos representados dos eventosdistintos, uno ocurriendo en la posición x1 en un tiempo representado en
la posición ct1, y el otro evento ocurriendo en la posición x2 en un
tiempo representado en la posición ct2. Poniendo números y usando una
velocidad de la luz igual a c = 1 metro/segundo, las coordenadasrespectivas de cada evento y la distancia entre ambos eventos es:
x1 = 1 metro
x2 = 2 metros
ct1 = 1 metro
ct2 = 3 metros
Δx = x2 - x1 = 2 metros - 1 metro = 1 metro
cΔt = ct2 - ct1 = 3 metros - 1 metro = 2 metros
PROBLEMA: Una vara de medir de tres metros de largo se encuentraen reposo en el marco de referencia del observador O, y sus extremoscoinciden con las coordenadas x1 = 2 metros y x2 = 5 metros. Trazar las
líneas del mundo de los extremos de la vara de medir en un diagramaespacio-tiempo del observador O.
El diagrama espacio-tiempo pedido es el siguiente:
La ruta geodésica III
El transporte paralelo
La derivada absoluta
El tensor de Riemann I
El tensor de Riemann II
La ecuación de desviacióngeodésica
La geometría Euclideana y laRelatividad
Los tensores de Ricci y EinsteinI
Los tensores de Ricci y EinsteinII
Orbitas planetarias relativistas
La reducción a los límitesclásicos
La solución de Schwarzschild I
La solución de SchwarzschildII
La solución de SchwarzschildIII
El abandono de la "accion adistancia"
Los agujeros negros: Génesis
28B: Los agujeros negrosestáticos
28C: Los agujeros negrosdinámicos
28D: Los agujeros negros:Evaporación
28E: Los agujeros negros:Entropía generalizada
28F: Radiación gravitacional
Cosmología relativista I
Cosmología relativista II
29A: Axiomatización de laTeoría Relativista
Las escalas de Planck
El puente Einstein-Rosen
Cosmología Cuántica
Perspectivas futuras
Bibliografia
Enlaces Wikipedia
A1: El papel original deEinstein de 1905
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No es un requisito indispensable que en la construcción de un diagramadel espacio-tiempo se utilicen ejes ortogonales (perpendiculares, puestosen ángulos rectos el uno con respecto al otro). Es factible e inclusivedeseable por razones que pronto serán obvias construír el diagramaespacio-tiempo utilizando ejes que no son perpendiculares. Acontinuación tenemos un diagrama en el cual los ejes principales no sonperpendiculares:
Obsérvese la manera de leer las coordenadas de un punto cualesquiera eneste tipo de diagrama, trazando desde el punto líneas paralelas a uno delos ejes principales hasta topar con el eje principal de la otra coordenada.
Y a continuación tenemos otro diagrama espacio-tiempo en el cual los ejesprincipales tampoco son perpendiculares:
A2: La ecuación de ondaelectromagnética
A4: Relatividad General:Manuscritos originales
A5: La ecuación de ondarelativista de Dirac
A6: Programas de simulacióncomputarizada
D A T O S P E R S O N A L E S
ARMANDO MARTÍNEZ TÉLLEZ
VER TODO MI PERFIL
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Para un mismo observador, el anterior diagrama espacio-tiempo nos dála distancia Δx que separa dos eventos E1 y E2, y nos dá también la
distancia cΔt que separa a dichos eventos. Pero este diagrama espacio-tiempo describe la situación de un solo observador. El diagrama espacio-tiempo para un observador solitario no nos es de mucha utilidad en laresolución de problemas propios de la relatividad. Es necesario juntar dealguna manera los diagramas espacio-tiempo de dos observadores queestán en movimiento relativo el uno con respecto al otro en uno solo. Loque estamos buscando es algo que geométricamente nos permitavisualizar en un mismo diagrama la situación de dos observadores. Estose logra con un procedimiento que nos fue dado por el matemáticoHermann Minkowski que será dado a continuación.
Procedimiento para construír un diagrama espacio-tiempo
(1) Supondremos que la velocidad de la luz tiene un valor de c = 1metro/segundo. Empezamos trazando dos coordenadas perpendicularesque representan el diagrama espacio-tiempo de un observador al cualllamaremos O y que se considera a sí mismo en estado de reposo en sumarco de referencia S, con la coordenada horizontal asignada a larepresentación de la posición de un objeto en el eje-x y con la coordenadavertical asignada a la representación del tiempo en el cual el objeto estáen cierta posición:
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(2) El diagrama espacio-tiempo más elemental que combina a dosobservadores es el diagrama trivial en el cual ambos observadores estáreposo el uno frente al otro en el mismo lugar (x = x’) y tienen sus relojessincronizados al mismo tiempo (t = t’), lo que permite que los orígenes deambos sistemas de referencia S y S’ coincidan en un mismo punto:
En forma similar a como sucede para el observador O, el eje ct’ es el lugarde los puntos tales que los eventos que ocurren a lo largo de dicho ejeocurren en el mismo lugar x’ = 0 pero en tiempos distintos para un
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observador O.
(3) Para trazar un diagrama espacio-tiempo combinado juntando a dosobservadores diferentes que están en movimiento relativo el uno conrespecto al otro a una velocidad V, trazamos primero el eje-t’ del marcode referencia S’ sobre el diagrama espacio-tiempo del observador enreposo usando para ello la velocidad relativa entre ambos observadores.No es necesario que los orígenes de los diagramas espacio-tiempo delobservador O y del observador O’ coincidan, esto es mera cuestión deconveniencia. Construiremos un diagrama en el que ambos orígenescoinciden.
Suponiendo que la velocidad relativa entre ambos marcos de referencia esde V = 0.4c (o.4 metros/segundo) entonces para moverse una distancia x= 1 metro el observador O’ debe de haberse movido en un tiempo t = x/V= 2.5 segundos con respecto al origen, y para moverse una distancia x = 2metros el observador O’ debe de haberse movido en un tiempo t = x/V =5 segundos. Todos estos puntos están conectados con una línea recta, lacual trazamos sobre el diagrama como se muestra arriba. Esta rectacorresponde al tiempo t’ del marco de referencia S’. Obsérvese que entremenor sea la velocidad relativa V más y más cercana estará la línea quehemos trazado a la vertical que corresponde a t, hasta que ambas llegan acoincidir cuando la velocidad relativa entre los dos observadores es cero.Para mayor simplicidad, prescindiremos de las graduaciones que hemospuesto en las coordenadas de ambos ejes del observador O:
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(4) A continuación trazamos sobre el diagrama espacio-tiempo la rutaque corresponde a la trayectoria de un rayo de luz con una velocidad c = 1metro/segundo:
(5) Ahora vamos a trazar la coordenada de x’ superimponiéndola en el
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mismo diagrama. Para poder localizarla en dicho diagrama, considéreseprimero un rayo de luz lanzado en el marco de referencia del observadorO’ en un tiempo (medido en metros) ct’ = -a desde la coordenada x’ = 0,un evento al que llamaremos E, el cual es reflejado en sentido opuesto enun tiempo ct = 0 por un espejo en un evento al que llamaremos P, pararegresar nuevamente a la coordenada x’ = 0 en un evento al quellamaremos R ocurriendo en el tiempo ct’ = +a (podemos imaginar lo queocurre como una descripción geométrica en el espacio-tiempo delexperimento llevado a cabo por el viajero en el ferrocarril al que vimos enla entrada titulada “La física es parada de cabeza” cuando nosencontramos por vez primera el efecto relativista de la dilatación deltiempo):
Desde la perpectiva del observador estacionario O, la situación del rayode luz que fue reflejado en el marco de referencia de O’ es la siguiente:
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Tanto en el marco de referencia del observador O’ como en el marco dereferencia del observador O la luz sigue teniendo la misma velocidad,como lo enuncia el segundo postulado de la Teoría Especial de laRelatividad. Por lo tanto, el rayo de luz que es lanzado en el marco dereferencia de O’ también tendrá la misma pendiente de 45 grados en elmarco de referencia de O. En el diagrama de arriba ubicamosarbitrariamente sobre el eje ct’ el evento E en el punto ct’ = -a, ytrazamos desde dicho punto una trayectoria de 45 grados quecorresponde al rayo de luz que es lanzado por el observador O’. Por otrolado, ubicamos sobre el eje t’ el evento R en el punto ct’ = +a, y trazamosdesde allí la trayectoria que representa el rayo de luz reflejado por elespejo desde el punto que debe representar al evento P, una línea rectatambién de 45 grados (en concordancia con el segundo postulado de laTeoría Especial de la Relatividad) pero yendo de derecha a izquierda,extendiendo dicha línea hasta que se cruce con la otra línea que habíamostrazado. Esto nos dá unívocamente en el diagrama la localización delevento P. Por último, trazamos una línea punteada que conecta el origencomún de ambos observadores hasta el punto que representa al evento P.Esta es la línea que corresponde a la coordenada de x’. No tardamos endescubrir que el ángulo que forma la coordenada x con la coordenada x’es el mismo ángulo que el que forma la coordenada ct con la coordenadact’. Con esto, hemos terminado esencialmente con la construcción deldiagrama.
Una cosa que resalta del diagrama espacio-tiempo final es el hecho deque los dos eventos identificados con cuadritos rojos y con los números 1y 2 que son simultáneos para el observador O’ (ambos ocurren en sutiempo t’ = 0) no ocurren al mismo tiempo en el marco de referencia delobservador O. Esta es nuestra perspectiva geométrica del verdadero
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origen de los fenómenos relativistas de dilatación del tiempo ycontracción de longitud: la simultaneidad deja de ser absoluta. Enel universo de los absolutos, en la física pre-relativista, si dos eventosocurrían al mismo tiempo para un observador estacionario, tambiénocurrían al mismo tiempo para otro observador en movimiento, lo cualdeja de ser válido en la Teoría Especial de la Relatividad.
Una cosa que no hemos hecho y la cual dejaremos pendiente por elmomento es graduar (marcar con divisiones igualmente espaciadas) lascoordenadas (x,t) del observador O y las coordenadas (x’,t’) delobservador O’ de modo tal que podamos resolver gráficamente unproblema relativista obteniendo aproximaciones numéricas al igual quecomo lo hacen los ingenieros que utilizan papel gráfico para la resoluciónaproximada de problemas de otra índole (el Smith Chart utilizado para laresolución de problemas eléctricos de líneas de transmisión, y el diagramade humedad o carta psicométrica usada para la resolución de problemasde humedad relativa y punto de rocío). Esta graduación es conocidatambién como la calibración de los ejes, y se puede llevar a cabomediante cálculos numéricos con las ecuaciones de transformación deLorentz que veremos posteriormente o con el procedimiento geométricode la hipérbola invariante.
Así pues, nuestro principal medio de trabajo para el análisis geométricode los problemas de la Teoría Especial de la Relatividad es el diagramaespacio-tiempo de Minkowski:
Este es el diagrama espacio-tiempo desde la perspectiva del observadorO en reposo. Si queremos, podemos dibujar también el diagrama espacio-
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tiempo desde la perspectiva del observador O’ cuando este se consideraen reposo y cuando ve al observador O en movimiento hacia la izquierda:
En esencia, lo que hemos hecho a sido tomar el diagrama básico para unobservador O en reposo en un marco de referencia S, trazando sobre elmismo la línea que marca la trayectoria de un rayo de luz con unapendiente de 45 grados que corresponde a una velocidad c de 1 metro porsegundo:
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y sobre este diagrama, usando como referencia común la bisectriz queambos diagramas deben tener identificando en el mismo la línea delmundo de un rayo de luz común a ambos observadores O y O’ en losmarcos de referencia S y S’, hemos agregado al diagrama del observadorestacionario O el siguiente diagrama espacio-tiempo de O’ (nos quedapendiente el asunto de cómo se lleva a cabo la graduación o calibraciónde los ejes x’-t’):
para así tener el siguiente diagrama espacio-tiempo combinando a ambosobservadores desde la perspectiva del observador estacionario O:
PROBLEMA: Representar en un diagrama espacio-tiempo cuatroeventos distintos cuyas coordenadas son las siguientes:
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E1(x1, c t1) = (1, 2)
E2(x2, c t2) = (2, 5)
E3(x’1, c t’1) = (4, 1)
E4(x’2, c t’2) = (2, 2)
Los eventos E1 y E2 están especificados sobre las coordenadas del
observador en reposo O en su marco de referencia S, y en el diagramaespacio-tiempo combinado estarán ubicados en las siguientes posiciones(se han representado los dos eventos en el diagrama con unos cuadritosde color púrpura):
Los eventos E3 y E4 están especificados sobre las coordenadas del
observador en movimiento O’ en su marco de referencia S’, y en eldiagrama espacio-tiempo combinado estarán ubicados en las siguientesposiciones (se han representado los dos eventos en el diagrama con unoscuadritos de color verde):
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Cuanto más alta sea la velocidad relativa V entre dos marcos de referenciaacercándose o alejándose a una velocidad cada vez más cercana a lavelocidad de la luz, tanto más se irán cerrando los ejes que correspondenal marco de referencia en movimiento S’ como podemos apreciarlo en elsiguiente diagrama espacio-tiempo:
En el diagrama espacio-tiempo de arriba, tenemos sobrepuestos a tresobservadores, el observador que consideramos estacionario, elobservador O’ que se está moviendo a una velocidad relativa V con
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respecto al observador O, y un tercer observador O’’ que se está moviendoa una velocidad todavía mayor con respecto al observador O. Nótesecómo se van cerrando cada vez más y más los ejes coordenados x-t de unobservador móvil conforme va aumentando su velocidad V con respectoal observador estacionario.
Cuando se prescinde de un diagrama espacio-tiempo como el caso en elque se vaya a efectuar un cálculo numérico, para la especificacióncompleta de un mismo evento E cualquiera se deben especificar cuatrocoordenadas, las coordenadas (x,t) del evento en el marco de referencia S,y las coordenadas (x’,t’) del evento en el marco de referencia S’, de modotal que un evento quedará registrado como E(x,t,x’,t’) en forma completa.Esto es válido para cualquier evento. El único evento que tendrá lasmismas coordenadas tanto para S como para S será el que ocurra en elpunto común de origen, o sea E(x,t,x’,t’) = (0,0,0,0). En todos los demáscasos las coordenadas diferirán. Sin embargo, al hablar de un evento seestá hablando de un mismo y único evento visible para todos losobservadores. Cuando un carro choca contra otro, ya sea visto por unobservador estacionario o por un observador móvil, no existen dosmarcos de referencia distintos en los cuales uno de los carros choque y elotro no. Distintos observadores siempre se podrán poner de acuerdo enun evento específico, cada uno asignándole sus propias coordenadas. Enlo que no se podrán poner de acuerdo es en la duración del lapso detiempo entre dos eventos distintos E1 y E2 y en la distancia espacial que
separe a dos eventos distintos. Un observador dirá que el lapso de tiempoentre dos eventos E1 y E2 fue Δt mientras que el otro dirá que fue Δt’.
Un observador dirá que la distancia espacial entre dos eventos fue Δxmientras que el otro dirá que fue Δx’, y en los diagramas de arribapodemos ver por qué no podrán ponerse de acuerdo jamás, a menos deque tomen en cuenta las correciones relativistas.
Dado un evento E cualquiera puesto en un diagrama espacio-tiempo queinvolucre a dos observadores en movimiento relativo el uno con respectoal otro, las coordenadas del mismo se pueden obtener tanto en un marcode referencia como en el otro trazando desde el evento líneas paralelas acada uno de los ejes coordenados respectivos de cada observador, como lomuestra el siguiente diagrama:
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En el diagrama espacio-tiempo de arriba tenemos un evento A. Trazandouna línea horizontal hacia la izquierda hasta llegar al eje vertical ctpodemos obtener el valor de ct con lo cual podemos obtener el tiempo, ytrazando una línea vertical hacia abajo podemos obtener la coordenadade la distancia x. Del mismo evento A podemos hacia la línea ct’ unalínea paralela a la coordenada x’ con lo cual obtenemos el valor de ct’, ypodemos trazar hacia abajo otra línea paralela a ct con lo cual obtenemosel valor de x’.
PROBLEMA: Mediante un diagrama espacio-tiempo, obtener yexplicar el efecto relativista de la dilatación del tiempo.
El análisis se llevará a cabo considerando a nuestro proverbial viajero elcual dentro de un vagón de ferrocarril arroja un rayo de luz hacia arribadesde una linterna, el cual es reflejado por un espejo regresando al puntode partida, mientras que un observador sentado a un lado de las vías delferrocarril observa al rayo de luz recorrer una trayectoria mayor. En laconstrucción de cualquier diagrama espacio-tiempo se vuelve necesarioidentificar claramente los eventos que ocurren. En este caso, nos bastacon identificar sobre el diagrama espacio-tiempo dos eventos: el primerevento que llamaremos E1 ocurre cuando el rayo de luz sale de la
linterna, y el segundo evento que llamaremos E2 ocurre cuando el rayo
de luz regresa reflejado por el espejo al punto desde donde fue lanzado.Ambos eventos ocurren en el mismo lugar para el observador viajero O’,al cual le asignaremos la coordenada x’ = 0, pero en tiempos diferentest’1 y t’2. Una vez localizados ambos eventos en el sistema de referencia S’
de O’, nos basta con trazar dos líneas horizontales desde las coordenadas(x’, t’1) y (x’, t’2) hacia el eje de tiempos del observador O para obtener
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las coordenadas correspondientes en el marco de referencia de O de losdos eventos:
Darse cuenta de que efectivamente hay una dilatación del tiempo requiereque pongamos sobre los ejes del diagrama espacio-tiempo divisionesgraduadas en los ejes de los tiempos, o sea que llevemos a cabo lacalibración de los ejes, lo cual se verá en una entrada posterior. Obsérveseque a diferencia de como sucede con el observador O’, los eventos E1 y
E2 no sólo ocurren en tiempos diferentes t1 y t2; también ocurren en
lugares diferentes x1 y x2.
PROBLEMA: Ilustrar mediante un diagrama espacio-tiempo elfenómeno de la contracción de longitud sobre una vara de medición,suponiendo que:
a) El observador en reposo O es el que tiene la vara de medir y elobservador O’ es el que la ve pasar frente a él.
b) El observador en movimiento O’ es el que lleva consigo la vara demedir y el observador en reposo O es el que la ve pasar frente a él.
a) En el primer caso, si el observador en reposo es el que tiene una varade medir de longitud L0, las líneas del mundo de los dos extremos de la
vara de medir se mantendrán como dos líneas verticales paralelasproyectadas hacia arriba como lo muestra el siguiente diagrama espacio-tiempo:
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En este caso, el observador estacionario O mide para la vara al mismotiempo t = 0 en su tiempo propio una longitud L0. Pero el observador
móvil O’ mide la coordenada de cada extremo de la vara en tiemposdiferentes y concluye que hubo una contracción en la longitud de la vara.
b) En el segundo caso, si el observador en movimiento O’ es el que llevaconsigo la vara de medir de longitud L0, las líneas del mundo de los dos
extremos de su vara de medir se mantendrán como dos líneas paralelaslas cuales a su vez serán paralelas a su eje vertical ct’ como lo muestra elsiguiente diagrama espacio-tiempo:
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En este caso, el observador O’ mide para su vara al mismo tiempo t’ = 0en su tiempo propio una longitud L0. Pero el observador O mide la
coordenada de cada extremo de la vara en tiempos diferentes y concluyepor su parte que hubo una contracción en la longitud de la vara.
Hemos visto una forma convencional del diagrama espacio-tiempo deMinkowski, pero no es la única manera de construír un diagrama espacio-tiempo. Otra forma de lograrlo es recurriendo a un truco. El trucoconsiste en que sobre un mismo diagrama, usando el mismo origen parados observadores distintos que se están moviendo a una velocidadrelativa V el uno con respecto al otro, se tracen dos ejes de espacioscorrespondiendo a los espacios propios medidos por cada observador, yademás se tracen dos ejes de tiempos correspondiendo a los tiempospropios medidos por cada observador, de modo tal que el eje de tiemposde un observador sea perpendicular al eje de espacios del otroobservador y que el eje de espacios de dicho observador seaperpendicular al eje de espacios del otro observador. Esto es lo que nosproduce esencialmente lo que se llama un diagrama espacio-tiempode Loedel, así llamado en referencia a su creador, el físicolatinoamericano Enrique Loedel Palumbo:
La Teoría de la Relatividad: 6: Los diagramas espacio-tiempo de Minkowski
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El diagrama de Loedel es una modificación con fines didácticos deldiagrama espacio-tiempo que fue concebido por Hermann Minkowski.
Ahora veremos con mayor detalle el asunto de la simultaneidad, vistodesde la óptica de la Teoría Especial de la Relatividad.
El primer contacto que tienen muchos estudiantes con la explicación dela pérdida de la simultaneidad absoluta se basa en un ejemplo como elsiguiente en el cual tenemos a nuestro proverbial pasajero de ferrocarrilcolocado justo a la mitad de los dos extremos del convoy de vagones. Enel marco de referencia S del observador situado a un lado de las vías delferrocarril justo a la mitad de dos torres de luz se activan en formasincronizada (al mismo tiempo) dos pulsos luminosos emanados de lasdos torres de luz usando relojes sincronizados en el marco de referenciade S para lanzar los pulsos luminosos, en forma tal que el estallido deuno de los pulsos luminosos coincidirá justo con el extremo delantero delferrocarril y el estallido del otro pulso luminoso coincidirá justo con elextremo trasero del ferrocarril:
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El observador estático situado a un lado de las vías del ferrocarril en elmarco de referencia S recibe los dos pulsos luminosos al mismo tiempo, ypor lo tanto concluye que ambos eventos fueron simultáneos dentro de sumarco de referencia. Por su parte, en virtud de que la luz tiene unavelocidad finita y en virtud de que el pasajero del ferrocarril está enmovimiento rápido, uno de los pulsos luminosos le llega primero que elotro, y el pasajero concluye que los destellos no ocurrieron al mismotiempo, que no fueron simultáneos, dada la diferencia de tiempos en quetardan en llegarle los dos rayos de luz a su plataforma móvil, y por lotanto para él los eventos no son simultáneos en su marco de referencia S’.
La anterior es una explicación simplista y en cierta forma errónea porqueno toma en cuenta para nada los efectos relativistas de la dilatación deltiempo y la contracción de longitud. La pérdida en la simultaneidad sedebe, según la explicación anterior, a la velocidad finita de la luz. Si nohubiese dilatación del tiempo ni contracción de longitud, si no hubieserelatividad, si existiesen el tiempo absoluto y el espacio absoluto, lapérdida en la simultaneidad sería meramente una ilusión, una pérdida desimultaneidad aparente. La situación actual es más complicada que ladescrita en el ejemplo anterior precisamente porque hay efectosrelativistas de dilatación del tiempo y contracción de longitud.Efectivamente, hay una diferencia de tiempos en la llegada de los dospulsos luminosos al viajero en el ferrocarril, pero también hay unapérdida de simultaneidad real que no es ocasionada por la velocidadfinita de la luz sino por efectos de índole relativista, y es en este caso endonde los diagramas espacio-tiempo de Minkowski resultan de una ayudainvaluable para entender lo que está sucediendo, permitiéndonos ir másallá de la anterior explicación simplista. Para entender lo que estásucediendo, es necesario identificar a los dos eventos que ocurrensimultáneamente en el marco de referencia S como E1 y E2 y ver las
coordenadas (x’,t’) de cada uno de dichos eventos en el marco dereferencia S’.
Si dos eventos ocurren al mismo tiempo en el mismo lugar se puedeafirmar sin lugar a dudas que ambos eventos son simultáneos. Cuandodos aviones chocan en el aire, no existe marco de referencia alguno en elcual la colisión de ambos aviones no sea simultánea. Pero entre mayor sea
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la distancia entre dos eventos que ocurren en distintos lugares tantomayor será la dificultad para los observadores en decidir por cuentapropia el asunto de la simultaneidad.
Considérese el siguiente diagrama espacio-tiempo de Minkowski queilustra la situación de eventos que son simultáneos en un marco dereferencia S del observador O y que NO son simultáneos en un marco dereferencia S’ del observador O’, así como eventos que son simultáneos enun marco de referencia S’ pero que NO son simultáneos en el marco dereferencia S:
En este diagrama, los eventos A y B ocurren simultáneamente a unmismo tiempo en el marco de referencia S en dos lugares distintos quepodemos identificar como x1 y x2. Pero resulta claro que,
relativísticamente hablando, los mismos eventos A y B ocurren entiempos diferentes en el marco de referencia de S’, los cuales podemosubicar en los tiempos t’1 y t’2. Los dos eventos A y B ocurren en tiempos
diferentes en lugares diferentes para un observador situado en S’. Aquílo que es simultáneo para S no es simultáneo para S’. Por otro lado, loseventos C y D ocurren simultáneamente a un mismo tiempo en el marcode referencia S’ en dos lugares distintos que podemos identificar como x’3
y x’4. Pero resulta claro que, relativísticamente hablando, los mismos
eventos C y D ocurren en tiempos diferentes en el marco de referencia deS, los cuales podemos ubicar en los tiempos t3 y t4. Los dos eventos C y
D ocurren en tiempos diferentes en lugares diferentes para unobservador situado en S. Aquí lo que es simultáneo para S’ no essimultáneo para S. Y en cuanto a los eventos E y F, tales eventos no sonsimultáneos ni para S ni para S’. Todo esto lo podemos ver claramente talcomo es en los diagramas espacio-tiempo de Minkowski.Desafortunadamente, aunque estos gráficos son de gran ayuda, no se
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prestan para cálculos numéricos de precisión, para lo cual tendremos querecurrir a una herramienta algebraica conocida como las ecuaciones detransformación de Lorentz.
A continuación tenemos otro diagrama espacio-tiempo que nos ilustrarala falla de la simultaneidad dentro de la Teoría Especial de la Relatividad:
En este diagrama espacio-tiempo, para el observador en el marco dereferencia S cuyas coordenadas son (x, ct), dos eventos son simultáneoscuando de acuerdo con su reloj ocurren al mismo tiempo t = t0 en dos
lugares diferentes que podemos identificar simplemente como x1 y x2,
marcados por los puntos obscuros que están puestos sobre la líneahorizontal que corresponde a un tiempo t = t0.
Sin embargo, para el otro observador cuyas coordenadas son (x’, ct’), losdos eventos no ocurren simultáneamente, ocurre primero uno ydespués ocurre el otro. En su reloj un evento ocurre primero en eltiempo t’1 y el otro evento ocurre después en el tiempo t’2. Esta anomalía
relativista en la simultaneidad es precisamente la que ocasiona losefectos físicos de la dilatación del tiempo y la contracción de longitud.Todas las dificultades para comprender las aparentes paradojas que estándetrás de la Teoría Especial de la Relatividad surgen de nuestra renuenciaa rechazar de manera definitiva el falso concepto de la simultaneidadabsoluta. Si hubiera simultaneidad absoluta, no habría dilataciónrelativista del tiempo ni contracción de longitud, aunque ello requeriríaneceariamente la aceptación del movimiento absoluto, lo cual a estasalturas ya hemos descartado por completo.
PROBLEMA: Mediante un diagrama espacio-tiempo, obtener yexplicar el efecto relativista de la contracción de longitud.
Si en lugar de un diagrama espacio-tiempo trazado sobre una hojahacemos un esfuerzo extra por representar dos coordenadas de la
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posición (x,y) y la coordenada del tiempo (ct) apuntando esta últimahacia arriba, podemos dibujar algo que se conoce como superficies desimultaneidad tanto para el observador O en reposo en el marco dereferencia S como el observador en movimiento O’ en el marco dereferencia S’:
En el diagrama de la izquierda, tenemos dos eventos representados conpuntitos rojos que ocurren al mismo tiempo, simultáneamente, en elmarco de referencia S del observador O, y tenemos otros dos eventosrepresentados con puntitos amarillos que ocurren en tiempos diferentesen el marco de referencia S’ del observador O’. Pero en el diagrama de laizquierda, los dos eventos representados con puntitos amarillos sí ocurrenal mismo tiempo, simultáneamente, en el marco de referencia S’ delobservador O’, aunque los eventos representados con puntitos rojos y queeran simultáneos en el marco de referencia S del observador O han dejadode ser simultáneos para el observador O’.
La limitante de que ningún objeto puede viajar a una velocidad mayor quela velocidad de la luz se refleja no tan sólo en un cuadrante del diagramaespacio-tiempo, se refleja en los cuatro cuadrantes, y el “origen” delobservador puede no necesariamente coincidir con el origen del diagramaespacio-tiempo que está situado en x = 0 y ct = 0, en virtud de que lafijación de las coordenadas es una mera cuestión de conveniencia:
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En el diagrama de arriba, tenemos a un cuerpo que al moverse del puntoA al punto B se ha movido en línea recta de x1 = 0.5 metros y x2 = 0.75
metros a partir de un tiempo t1 = 0.5 segundos a un tiempo t1 = 1.75
segundos, siendo por lo tanto su velocidad igual a v = 0.2 c. Puesto que elavance natural del tiempo es siempre hacia arriba, el cuerpo sólo puededesplazarse también junto con el tiempo de abajo hacia arriba, encualquier trayectoria rectilínea cuya pendiente no exceda la velocidad dela luz, lo cual está marcado por el área punteada. Del punto B hay unconjunto de puntos que marcan el futuro de la posición del cuerpo en eldiagrama espacio-tiempo, y hay también un conjunto de puntos quemarcan el pasado de la posición del cuerpo en el diagrama espacio-tiempo.
No es necesario limitarnos a un diagrama espacio-tiempo de tan sólo dosdimensiones. Podemos agregar una dimensión adicional, comocorrespondería a la coordenada y en un plano Cartesiano x-y, para tenerlo que parece ser un cono dentro del cual están circunscritas lastrayectorias posibles de un objeto, llamado cono de luz:
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De este modo, podemos tener las siguientes dos trayectorias rectilíneasposibles en el siguiente diagrama espacio-tiempo tridimensional:
Antes del advenimiento de la Teoría Especial de la Relatividad, podíamoshablar acerca de un “ahora” universal, podíamos hablar acerca de un“pasado” común universal y acerca de un “futuro” común universal,comunes a todos los que habitamos en este Universo, puesto que eltiempo absoluto marchaba al unísono por igual en todo el Universo, sinretrasarse ni adelantarse en ninguno de sus confines:
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Pero a partir del advenimiento de la Teoría Especial de la Relatividad,para cada observador hay un “pasado”, un presente y un “futuro”,delimitados por el cono de luz:
En este último diagrama, la línea del mundo (de color verde) correspondea un observador que está en reposo. El punto en el que se tocan los dosconos de luz que corresponden al “pasado” y al “futuro” del observadorviene siendo el “ahora” del observador. Puesto que ningún objeto puede
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moverse a una velocidad mayor que la velocidad de la luz, la única formade poder llegar al “ahora” desde el pasado (suponiendo una línea delmundo con un movimiento rectilíneo) es haciéndolo dentro del cono deluz inferior. Y la única forma de poder llegar a cierto punto del diagramaespacio-tiempo en el “futuro” es estando dentro del cono de luz superior.Las regiones de espacio-tiempo de color gris en el diagrama dearriba son, por lo tanto, regiones de espacio-tiempo a las que elobservador no tiene acceso. Esto fija de manera unívoca todas lasrelaciones que pueda haber de causa-efecto entre dos observadores. Losúnicos eventos que pueden cambiar el estado de un observador o de unobjeto en su posición actual en el espacio-tiempo deben estar situados enó dentro del cono de luz que corresponde a su “pasado”. Y los únicoseventos que pueden ser influenciados por eventos en los que participe unobservador o un objeto deben estar situados en ó dentro del cono de luzque corresponde a su “futuro”. De este modo, en el siguiente diagramaespacio-tiempo:
el evento que tuvo lugar en el punto C pudo muy bien haber cambiado loque está sucediendo en el “ahora” del observador que se encuentra en elpunto A, y el observador A puede hacer algo para intervenir sobre lo quesucede en el evento que tiene lugar en el punto B. Pero no puede hacernada para modificar lo que ocurra en los eventos E y D porque estánfuera de su alcance al no poder establecer una comunicación con ellosdebido a la limitante absoluta de la velodidad de la luz. Los puntos E y Destán en regiones prohibidas. Cabe aclarar que la línea en el diagramaque corresponde a la coordenada X no está inclinada como pareceestarlo; es una línea perfectamente horizontal como puede comprobarloel lector en el monitor de su computadora con la ayuda de una hoja depapel. Se trata de una ilusión óptica, como lo es la ilusión del concepto de
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la simultaneidad absoluta que tanto trabajo le cuesta a muchosestudiantes sepultar.
¿Entonces ya no podemos hablar de un pasado común y un futuro comúna todos los habitantes del Universo como se acostumbraba hacerlo antes?Sí, pero desde la perspectiva relativista. En el siguiente diagramaespacio-tiempo tenemos los conos de luz que corresponden no a uno sinoa dos eventos A y B:
En este diagrama, el “ahora” del evento A no puede tener efecto algunosobre el “ahora” del evento B porque ello requeriría atravesar la zona grisque le está vedada a ambos eventos. Para poder tener efecto alguno sobreel “ahora” de B, el “ahora” del evento A debería ser capaz de podertransmitir información al “ahora” del evento B a una velocidad mayor quela velocidad de la luz, lo cual es imposible. Sin embargo, ambos conos deluz tienen dos zonas en común, las zonas en las cuales se traslapan losdos conos de luz. La zona común en la cual se traslapan los pasados deambos, de color rosa, es la zona en la cual ambos eventos puedenintercambiar información que sea capaz de cambiar el “ahora” de cadauno de ellos, es la zona denominada pasado común. Y la zona comúnen la cual se traslapan los futuros de ambos, de color azul cielo, es la zonaen la cual ambos eventos podrán intercambiar información en su futuro(a menos de que ocurra un cambio en la línea del mundo de uno de elloso de ambos), es la zona denominada futuro común. De cualquiermanera, y hablando del Universo como un todo, sí podemos hablar de un“ahora” universal que sin embargo no es un “ahora” absoluto, porque enla infinitud de las regiones locales de las que está hecho el Universo habrávariaciones en la marcha del tiempo como las que predice la Teoría de laRelatividad.
En los diagramas espacio-tiempo que hemos visto, sólo hemos
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considerado objetos que mantienen una trayectoria rectilínea a velocidadconstante sobre la cual se pueden aplicar los principios propios de laTeoría Especial de la Relatividad. Pero también podemos trazar en undiagrama espacio-tiempo la trayectoria de un objeto que no mantiene unatrayectoria rectilínea, que está cambiando constantemente de dirección.Un diagrama tal tendría un aspecto como el siguiente:
En esta trayectoria tenemos a un viajero que se ha trasladado del punto Pal punto Q en un lapso de tiempo Δτ medido en el reloj con el que vaviajando el viajero. Este es precisamente el tipo de movimientos quedeben caer bajo el ámbito de una teoría expandida para analizarmovimientos no-rectilíneos o acelerados, una Teoría General de laRelatividad. La trayectoria de un cuerpo que no avanza en línea rectadentro del cono de luz debe ser tal que la velocidad de la luz nunca debeser excedida, o sea que la tangente de la curva nunca debe apartarse másde 45 grados del eje vertical que representa a la coordenada del tiempo. Acontinuación tenemos un ejemplo de un recorrido válido y un recorridoinválido:
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Obsérvese del diagrama anterior izquierdo cómo el cono de luz es algoque viaja junto con el observador móvil, el cual puede definir en cualquiermomento cuál será el instante en que su reloj sea ajustado para marcar el“pasado”, el “futuro” y el “presente” (el instante a partir del cual seempieza a tomar el tiempo para llevar las cuentas de una sucesión deeventos).
Partiendo de sus dos postulados, Einstein dedujo correctamente lasnuevas leyes para las transformaciones llevadas a cabo entre dos marcosde referencia distintos, formalizadas algebraicamente con las ecuacionesde transformación de Lorentz, pero fue Hermann Minkowski el quedemostró que si dejábamos de ver a las tres dimensiones del espacio y ala dimensión del tiempo como entidades separadas y las uníamosgeométricamente en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones, entonceslas transformaciones relativistas podían ser vistas como correspondiendoa rotaciones llevadas a cabo en este espacio-tiempo cuatri-dimensional, locual fue una enorme simplificación creando una nueva perspectiva acercadel espacio y del tiempo. Al principio Einstein no dió mucha importanciaa la interpretación geométrica de Minkowski, tomándola meramentecomo una formalidad matemática sin significado físico real, peroeventualmente cambió su actitud adoptando el punto de vista cuatri-dimensional geométrico que después emplearía para la postulación de laTeoría General de la Relatividad.
PUBLICADO POR ARMANDO MARTÍNEZ TÉLLEZ EN 22:00
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