Los gráficos existenciales

de C. S. Peirce

Arnold Oostra

Universidad del TolimaCentro de Sistemática Peirceana

René Magritte, Clarividencia (1936)

la segunda derivada es positiva

la curva tiene un mínimo

P

C

C

P

C

P

Elementos

Hoja de aserción

Letras

Cortes

Reglas de formación

• Lo verdadero

• Afirmar la proposi-ción que representa

• Afirmar el significado de todos los gráficos

• Negar el significado del gráfico

Se puede…

• Dejar una porción de la hoja en blanco

• Escribir una letra

• Escribir dos o más gráficos juntos

• Encerrar un gráfico en un corte

A

“G y H”G H

“no G”G

Significa…

Conectivos lógicos básicos

(no A ) y (no B )

A o B

A y no B

A implica B

A B

A

A

A B

B

B

(A implica B ) y (C o (B y D ))

((A implica B ) implica A ) implica A

B B DCA

B A AA

Gráficos más complejos

Áreas y paridad

A

B

A

A

CB

C D

E

• Un área es una porción de la hoja de aserción limitada por cortes

• Un área es par o impar según el número de cortes que la rodean

Áreas vacías

Un corte doble consiste en un par de cortes encajados sin ningún gráfico entre ellos

Nótese que también pueden aparecer cortes vacíos

A

A

Los gráficos pueden deformarse continuamente

B

BAA

B A

Lógica topológica

René Magritte, La condición humana (1935)

Hacia la transformaciónHay fórmulas proposicionales diferentes cuyos

gráficos difieren en muy poco

(no B ) implica (no A )

A implica (B implica C )

AB B A

CBA A B C

A implica B

(A y B ) implica C

Reglas de transformación

(B) Borramiento (en par)

En un área par puede borrarse cualquier gráfico.

A B C A B

A B A

A B A CC

B

B

(E) Escritura (en impar)

En un área impar puede escribirse cualquier gráfico.

A C A B C

A A B CB

E

(I) Iteración (hacia adentro)

Cualquier gráfico puede iterarse (repetirse) en su área o en cortes realizados en la misma (que no formen parte del gráfico que se va a iterar).

A B A A B

A A A

A A BB

I

I

A

(D) Desiteración (hacia afuera)

Cualquier gráfico que pudiera ser resultado de iteración, puede borrarse.

A AA B BD

(C) Corte doble

Un corte doble puede escribirse o borrarse alrededor de cualquier gráfico en cualquier área.

BC

A BA

Reglas de transformaciónBorramiento

(área par)

Escritura(área impar)

Iteración(hacia adentro)

Desiteración(hacia afuera)

Corte doble

CB B

B

C B CB B

B C C

B AA B

B

E

I

D

C

A

A C A C

A A

A B A B

René Magritte, Carta blanca (1965)

A implica (B implica C ) (A y B ) implica C

(A implica B ) implica B A o B

Fórmulas equivalentes

C CBA A BC

BA BDI

B A

Deducción

B A

AD

A

B

CA

B

B

B

Deducción A, A implica BB

Deducción A, A implica BB

Premisas

BA

A

Deducción A, A implica BB

PremisasDesiteración

B

A

Deducción A, A implica BB

PremisasDesiteraciónCorte doble

B

A

Deducción A, A implica BB

PremisasDesiteraciónCorte dobleBorramiento

B

Deducción A implica B, B implica CA implica C

Premisas

B C

A B

Deducción A implica B, B implica CA implica C

Premisas

B

A

C

B

Deducción A implica B, B implica CA implica C

PremisasIteración

B

A

C

B

CB

Deducción A implica B, B implica CA implica C

PremisasIteraciónDesiteración

B

A

C

B

C

Deducción A implica B, B implica CA implica C

PremisasIteraciónDesiteraciónCorte doble

B

A

C

B

C

Deducción A implica B, B implica CA implica C

PremisasIteraciónDesiteraciónCorte dobleBorramiento

A

C

Deducción A implica B, B implica CA implica C

PremisasIteraciónDesiteraciónCorte dobleBorramiento

A C

Esquema

B

C

C

B

A

A

A implica BB implica C

A implica C

Teorema

Corte doble

Teorema

Corte dobleEscritura

A

B

Teorema (A y B ) implica A

Corte dobleEscrituraIteración

A

AB

Teorema A implica (B implica A )

Corte dobleEscrituraIteraciónCorte doble

A

AB

René Magritte, Castillo en los Pirineos (1961)

Charles S. Peirce(1839 – 1914)

Diagramas en el razonamiento

Pues el razonamiento matemático consiste en

construir un diagrama de acuerdo con un

precepto general, en observar ciertas relaciones

entre partes de ese diagrama —[relaciones] que

no están requeridas de manera explícita por el

precepto—, en mostrar que estas relaciones

valdrán para todos los diagramas tales, y en

formular esta conclusión en términos generales.

Todo razonamiento necesario válido es

entonces, de hecho, diagramático.

soluciónconclusión

diagramatransformado

diagramaproblemapremisas

El método diagramático

formación

transformación

Gráficos existenciales

Ven, Lector mío, y construyamos un diagrama

que ilustre el curso general del pensamiento;

quiero decir, un sistema de diagramatización

mediante el cual se pueda representar con

exactitud cualquier curso del pensamiento.

Así el sistema de gráficos existenciales es un

diagrama burdo y generalizado de la mente.

Gama

Beta

Niveles de gráficos existenciales

Alfa Cálculo proposicional

Cálculo de predicados

Lógicas modales

es estudiante

es inteligente

E

I

I

E

I

E

Elementos Beta

Hoja de aserción

Letras

Cortes

Línea de identidad

Interpretación o lectura

existe tal que R

existe tal que no R

no existe tal que R

no existe tal que no Rtodo es R

R

R

R

R

Deducción todo H es M, S es H

S es MPremisas

H M

S H

Deducción todo H es M, S es H

S es MPremisasIteración

H M

S H

Deducción todo H es M, S es H

S es MPremisasIteraciónEscritura

H M

S H

Deducción todo H es M, S es H

S es MPremisasIteraciónEscrituraDesiteración

M

S H

Deducción todo H es M, S es H

S es MPremisasIteraciónEscrituraDesiteraciónCorte doble M

S H

Deducción todo H es M, S es H

S es MPremisasIteraciónEscrituraDesiteraciónCorte dobleBorramiento

M

S

Deducción todo H es M, S es H

S es MPremisasIteraciónEscrituraDesiteraciónCorte dobleBorramiento

MS

llueve

llueve

llueve

I

E

Elementos Gama

Hoja de aserción

Letras

Cortes

Línea de identidad

Cortes quebrados

Modalidades básicas

posiblemente no A

A es posibleposiblemente A

A es necesarionecesariamente A

A es imposiblenecesariamente no A

A

A

A

A

René Magritte, La traición de las imágenes (1929)

Bibliografía• Don D. Roberts, The Existential Graphs of Charles S. Peirce.

The Hague: Mouton, 1973.

• Jay J. Zeman, The Graphical Logic of C. S. Peirce. Ph.D. Thesis, University of Chicago, 1963. (Disponible en Internet)

• Jay J. Zeman, “The Tinctures and Implicit Quantification over Worlds”. En: Jacqueline Brunning, Paul Fortster (eds.), The Rule of Reason. The Philosophy of Charles Sanders Peirce. Toronto: University of Toronto Press, 1997.

• Fernando Zalamea, Los gráficos existenciales peirceanos. Universidad Nacional, 2010. (Por aparecer)

• Arnold Oostra, “Los gráficos Alfa de Peirce aplicados a la lógi-ca intuicionista”. En: Cuadernos de Sistemática Peirceana 2, 2009. (Por aparecer)

Muchas gracias

aaoostra@gmail.com