Los nmeros naturales El principio de induccin matemtica Divisin exacta y divisin entera Descomposicin en factores primos Mximo comn divisor y mnimo comn mltiplo. Algoritmo de Euclides Representacin de un nmero natural en una base cualquieraLos nmeros enteros

Los nmeros racionales Relacin de orden en el conjunto de los racionales Densidad del conjunto de los racionales. Propiedad arquimediana Cardinal de los racionales Representacin decimal de los nmeros racionalesLos nmeros irracionales Los nmeros realesVolver a pgina principal

Los nmeros naturales

Los nmeros naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar: ={1,2,3,4...}

Con los nmeros naturales se puede sumar. De hecho, con la operacin suma, los naturales forman un semigrupo conmutativo.Con la operacin producto los naturales tambin tienen estructura de semigrupo conmutativo.El infinito de los nmeros naturales se denomina infinito numerable. Cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia biyectiva con el conjunto de los nmeros naturales se dice que es infinito numerable. Por ejemplo, el conjunto de las potencias sucesivas de un nmero , es decir, el conjunto cuando es distinto de 0, 1 y -1, es un conjunto infinito numerable. El conjunto de los nmeros enteros y el de los racionales tambin son infinitos numerables como se ver ms adelante.El conjunto de los naturales es un conjunto totalmente ordenado, es decir, existe una relacin de orden total, lo que significa que existe una relacin de orden y que dos elementos cualesquiera pueden ser siempre comparados entre s usando dicha relacin. Dicho de otra forma, dados dos naturales, e , o bien , o bien.Todo subconjunto no vaco del conjunto de los naturales tiene un elemento mnimo, esto es, existe un elemento tal que para todo de se tiene . Por ejemplo, el subconjunto formado por los nmeros pares tiene como elemento mnimo a 2.Principio de induccin matemtica: si un subconjunto de verifica que y, si , resulta que , entonces .Esto nos permite realizar razonamientos por induccin cuando queremos probar que una determinada propiedad se cumple para todo natural. Por ejemplo, si queremos probar que la suma de los primeros nmeros naturales es podemos hacerlo por induccin en la forma siguiente:Para es claro que la suma de los 1 primeros nmeros naturales es . Suponiendo cierta la frmula para , es decir, , veamos que tambin es cierta para ,

Luego la frmula es vlida para todo n natural.

Ejercicio: Demostrar, razonando por induccin, las siguientes frmulas:

Dados dos nmeros naturales , no es cierto en general que exista un natural tal que . Si tal existe se denomina cociente exacto de por , y la divisin se denomina exacta. En este caso se dice que es divisible por , o que es un divisor de , o que es un mltiplo de . Cuando no es as, siempre es posible encontrar y que verifiquen con Los nmeros , , y se denominan dividendo, divisor, cociente y resto respectivamente y el procedimiento para determinar y a partir de y se denomina divisin entera. Descomposicin en factores primos: Un nmero primo es aqul nmero natural que slo es divisible por s mismo y por la unidad, por ejemplo 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ..., son nmeros primos.Hay infinitos nmeros primos. Un famoso procedimiento para encontrar nmeros primos es la denominada criba de Eratstenes, que consiste en tomar una lista de los nmeros naturales e ir tachando sucesivamente los mltiplos de cada natural que an no hubiera sido tachado previamente.

El uso de nmeros primos grandes tiene aplicaciones en criptografa (ocultacin de secretos).Todo nmero natural admite una descomposicin en producto de nmeros primos. Esta descomposicin es nica salvo el orden de los primos considerados. En el siguiente recuadro tienes algunos ejemplos.

Encontrar la factorizacin de nmeros grandes es un problema con elevada complejidad computacional, de hecho no hay ningn algoritmo eficiente para ello. Por eso varios sistemas criptogrficos se basan en este problema.

Mximo comn divisor y mnimo comn mltiplo. Algoritmo de Euclides.

El mximo comn divisor de dos nmeros se define, como su propio nombre indica, como el divisor ms grande que ambos nmeros tienen en comn. Si disponemos de la factorizacin de ambos nmeros, entonces el mximo comn divisor se obtiene quedndose solamente con aquellos factores comunes a ambas descomposiciones y elevados al menor de los exponentes con los que aparezcan.El mnimo comn mltiplo, nuevamente como indica su nombre, es el mltiplo ms pequeo que ambos nmeros tienen en comn. Atendiendo a las descomposiciones de ambos nmeros, el mnimo comn mltiplo se obtiene considerando todos los factores distintos que aparecen (comunes y no comunes), cada uno de ellos elevado al mayor exponente con el que aparezca.

Segn se dijo antes, calcular la factprizacin deoun nmero es un proceso muy costoso. Sin embargo, puede calcularse el mximo comn divisor de dos nmeros de una manera eficiente, sin necesidad de factorizar previamente ambos nmeros. Es lo que se conoce como algoritmo de Euclides y consiste en lo siguiente:

Dados dos nmeros , comenzamos relizando la divisin entera de entre .Cada paso consiste en una nueva divisin, en la que el dividendo es el nmero que actu de divisor en la divisin anterior y el divisor es el nmero que se obtuvo como resto en la divisin anterior.Cuando en una divisin se obtiene resto nulo, el mximo comun divisor de los nmeros de los que partimos ser el nmero que ha actuado como divisor en esa ltima divisin efectuada y que result ser una divisin exacta.

Una vez obtenido el mximo comn divisor de esta manera, se te ocurre cmo obtener el mnimo comn mltiplo sin necesidad de factorizar los nmeros? Representacin de un nmero natural en una base cualquiera:

El mtodo de divisiones enteras sucesivas permite escribir cualquier nmero natural en forma nica en una base cualquiera p, en la forma siguiente:

en base p, donde .Para lograr dicha expresin basta con realizar sucesivas divisiones enteras de n por p y tomar los restos, es decir,

hasta que en la r-sima divisn, se tenga . Se toma , y hemos terminado.

Ntese que nuestra actual notacin posicional para los nmeros naturales se corresponde con la representacin de los nmeros naturales en base decimal (p=10). Se denomina notacin posicional porque el valor de una cifra depende de la posicn que sta tenga en el nmero: un 5 en el lugar de las unidades vale 5, mientras que en el lugar de las centenas vale 500.La notacin binaria, tan comn en el mundo de la informtica es el resultado de tomar p=2 y representar los nmeros naturales en dicha base.Conoces otras representaciones en bases distintas? Hexadecimal, sexagesimal...

Los nmeros enteros

Cuando se necesita adems restar surgen los nmeros enteros ={ ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Los enteros se obtienen a partir de los naturales aadiendo los opuestos para la operacin suma.Si a y b denotan nmeros naturales, la suma de dos nmeros enteros a+(-b), se define como:

el entero positivo a-b, si a > b,0, si a=bel entero negativo -(b-a) si a < bLa suma de dos enteros negativos se define como (-a)+(-b)=-(a+b)

De hecho, los enteros, con la operacin suma tienen estructura de grupo conmutativo.Si adems de la suma, consideramos la operacin de multiplicacin definida como(-a)(-b)=ab(-a)b=a(-b)=-(ab),

el conjunto de los enteros, con ambas operaciones tiene estructura de anillo conmutativo y con unidad.Por cierto, qu hay ms?, nmeros enteros o nmeros naturales?. Ntese que se puede establecer una correspondencia biyectiva entre ambos conjuntos, , por ejemplo como sta:

si n es un entero positivo

Por tanto, el conjunto de los enteros es tambin infinito numerable. Tambin es un conjunto totalmente ordenado, cuando se considera la relacin de orden definida en la forma obvia y que extiende la relacin de orden que se tiene en . Tambin es cierto que en los enteros todo subconjunto acotado inferiormente tiene elemento mnimo, y recprocamente, todo subconjunto acotado superiormente tiene elemento mximo.

Los nmeros racionales

Si se necesita adems dividir, surgen los nmeros racionales (o fraccionarios, o quebrados),={... 1/2, 5/3, 8/10, 238476/98745, ...... }

Los racionales se obtienen a partir de los enteros aadiendo los inversos para la multiplicacin.La suma de dos racionales a/b y c/d se define como a/b+c/d=(ad+cb)/bd.El producto de dos racionales a/b y c/d se define como ac/bd.Dos nmeros racionales a/b y c/d son iguales si y slo si ad=bc.

(En todo lo anterior, a, b, c y d denotan nmeros enteros) Un nmero racional se dice que est expresado mediante una fraccin irreducible si el numerador y el denominador no tienen factores comunes.De este modo, el conjunto de los racionales, con las operaciones de suma y producto tiene estructura de cuerpo conmutativo.En se pueden resolver todas las ecuaciones lineales, es decir, aqullas de la forma ax+b=0, con a y b racionales.En se puede definir un orden total compatible con las operaciones suma y producto definidas anteriormente y que extienda el orden existente en y en . Para ello basta con definirlo como sigue:

Dados dos nmeros racionales a/b y c/d, donde b y c son enteros positivos (esto siempre puede conseguirse, por ejemplo, si b es negativo basta con multiplicar a y b por -1 para obtener un nmero racional igual que el dado pero con denominador positivo), se dice que si y slo si respecto del orden existente en el conjunto de los enteros.Por tanto con dicho orden es un conjunto totalmente ordenado.