2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-1

Capítulo 5 Los números

reales y sus

representaciones

2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-2

Capítulo 5: Los números reales y sus

representaciones

5.1 Números reales, orden y valor absoluto

5.2 Operaciones, propiedades y aplicaciones de los números reales

5.3 Números racionales y representación decimal

5.4 Números irracionales y representación decimal

5.5 Aplicaciones de decimales y porcentajes

2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-3

Sección 5.3

Números racionales y

representación decimal

2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-4

• Definición y propiedad fundamental

• Operaciones con números racionales

• Densidad y media aritmética

• Forma decimal de los números racionales

Números racionales y representación

decimal

2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-5

Números racionales =

{x | x es un cociente de dos enteros con

denominador diferente de 0}

Definición: Números racionales

2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-6

Se dice que un número racional está en sus

términos simplificados si el máximo común

divisor del numerador (número colocado arriba) y

del denominador (número colocado abajo) es 1. Los

números racionales se escriben en los términos

simplificados usando la propiedad fundamental de

los números racionales.

(Véase la siguiente diapositiva).

Términos simplificados

2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-7

Si a, b y k son enteros con b ≠ 0 y k ≠ 0, entonces

.a k a

b k b

Propiedad fundamental de los

números racionales

2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-8

24

27Escriba en términos simplificados.

Solución

24 8 3 8.

27 9 3 9

Ejemplo: Escritura de una fracción en

términos simplificados

2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-9

Para los números racionales

a y d se conocen como “extremos”.

b y c se conocen como “medios”.

Prueba de los productos cruzados para

verificar la igualdad de números racionales

and , 0, 0,a c

b db d

y

if and only if .a c

a d b cb d si y solo si

2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-10

a c ad bc

b d bd

.a c ad bc

b d bd

y

Suma y resta de números racionales

Si y son números racionales, entonces b

a

d

c

2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-11

En la práctica, en los problemas que implican

suma y resta de números racionales, primero se

rescriben las fracciones con el mínimo común

múltiplo de sus denominadores, conocido como

mínimo común denominador (MCD).

Suma y resta de números racionales

2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-12

4 2

9 15

Efectúe cada una de las operaciones.

a) b) 4 2

9 15

Solución

a)

b)

4 2 20 6 26

9 15 45 45 45

4 2 20 6 14

9 15 45 45 45

Ejemplo: Suma y resta de fracciones

2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-13

.a c a c

b d b d

Multiplicación de números racionales

Si y son números racionales, entonces b

a

d

c

2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-14

5 3.

9 10Encuentre el producto de

Solución

5 3 15 1 15 1

9 10 90 6 15 6

Ejemplo: Multiplicación de números

racionales

2012 Pearson Education, Inc. S Diapositiva 5-3-15

Si a y b son números reales, y b ≠ 0, entonces

1.

aa

b b

Definición de división

2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-16

.a c a d ad

b d b c bc

División de números racionales

Si y son números racionales, donde ,

entonces

b

a

d

c

0

d

c

2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-17

2 5.

9 6Calcule el cociente de

Solución

2 5 2 6 12 4 3 4

9 6 9 5 45 15 3 15

Ejemplo: División de números racionales

2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-18

Si r y t son números racionales distintos, con r < t,

entonces existe un número racional s tal que

r < s < t.

Esto nos lleva a la conclusión de que existe una

cantidad infinita de números racionales entre dos

números racionales diferentes.

Propiedad de densidad de los

números racionales

2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-19

Para obtener la media aritmética, o

promedio, de n números, se suman los

números y luego se divide la suma entre n. En

el caso de dos números, aquel número que se

encuentra a la mitad de ellos es el promedio.

Media aritmética

2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-20

Solución

3 2 9 10 19

5 3 15 15 15

19 19 1 192

15 15 2 30

Sume las fracciones.

Divida la suma entre 2

para obtener la respuesta.

Ejemplo: Obtención de la media

aritmética (promedio)

Obtenga el promedio de .3

2y

5

3

2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-21

Cualquier número racional se puede expresar

como un decimal exacto o un decimal

periódico.

Forma decimal de los números

racionales

2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-22

Un número racional en sus términos simplificados

tiene como resultado un decimal exacto si el

único factor primo del denominador es 2 o 5 (o

ambos).

Un número racional en sus términos simplificados

tiene como resultado un decimal periódico si

tiene un primo diferente a 2 o 5 en la factorización

con números primos del denominador.

Criterios para decimales exactos o

periódicos

2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-23

Sin dividir, determine si la forma decimal de los

siguientes números racionales es exacta o periódica.

a) b) 7

15

15

16

Solución

a) Periódica; hay un múltiplo de 3 en el

denominador.

b) Exacta; el denominador es 24.

Ejemplo: Determinar si un decimal es

exacto o periódico