Los rayos X característicos: una revisión

8/6/2019 Los rayos X caractersticos: una revisin

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2011Vol. 7 No. 3:3

doi:10:3823/075

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Los rayos X caractersticos:una revisin.

Len Garzn Ruiprez.

Resumen

El concepto de elemento y sus aplicaciones a la mejora de la condicin humana ya la comprensin de la estructura de la materia (una manifestacin de la cual es laradiacin) se hunden en el origen de las civilizaciones. Los esfuerzos realizados a lolargo de dcadas han cristalizado en las leyes de Mendeleev y Moseley. El anlisisde stas, con los medios actuales, demuestra su inadecuacin, lo que justifica una

rigurosa revisin.Aqu se demuestra que las relaciones entre las energas de los rayos X caractersticosy el nmero atmico obedecen excelentemente y con suficiente precisin a ecua-ciones polinmicas. Una derivacin importante de dichas ecuaciones es la conexincon el lgebra matricial.Las aplicaciones son numerosas: permiten obtener las energas para casos problem-ticos, predecir valores, completar tablas, verificar valores tericos y obtener caracte-rsticas de las soluciones complejas.

Palabras clave:Espectros de rayos X, espectros luminosos, luz, materia, predic-ciones, radiacin.

Characteristic X-Rays: a review.

Abstract

The concept of element and its applications to improving the human condition andunderstanding of the structure of matter (the radiation being a manifestation of thematter) plunging into the origin of civilizations. The efforts made along of decadeshave crystallized in the laws of Mendeleev and Moseley, the analysis of which bycurrent means show their inadequacy, which justifies a rigorous review.Here it is shown that the relations between energies of the characreristic X-rays andatomic numbers obey excellently and with sufficient precision to polynomial .

An important derivation of these equations is the connection to the matrix algebra.The applications are numerous: It is feasible to obtain energy for problem cases,predicted values, complete tables, check theoretical values and obtain features ofcomplex solutions.The concept of element and its applications to improving the human condition andunderstanding of the structure of matter (the radiation being a manifestation ofwhich) plunging into the origin of civilizations. The efforts made along of decadeshave crystallized in the laws of Mendeleev and Moseley, the analysis of which bycurrent means show their inadequacy, which justifies a rigorous review.Here it is shown that the relations between energies of characteristic X-rays and ato-mic numbers obey excellently and with sufficient precision to polynomial equations.An important derivation of these equations is the connection to the matrix algebra.The applications are numerous: It is feasible to obtain energy for problem cases,predicted values, complete tables, check theoretical values and obtain features ofcomplex solutions.

Keywords: Leight, luminous spectra, matter, predictions, radiation, X-Ray spectra.

Grupo de Procesos Biolgicos de Desarrollo.Universidad de Oviedo.C/Independencia 1333004- Oviedo

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mailto:garzonio7%40yahoo.es?subject=mailto:garzonio7%40yahoo.es?subject=


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Introduccin

Dedico este trabajo a la memoria de William Prout, Santiago

Ramn y Cajal y Severo Ochoa de Albornoz.

La siguiente secuencia muestra el origen, la evolucin y las im-plicaciones de los rayos X.

La conduccin de la electricidad a travs de gases a baja pre-sin Rayos andicos, catdicos y rayos X radiaciones deenfrenamiento y de rayos X caractersticos betatrn y ace-leradores de partculas produccin de rayos X continuos confinamiento de partculas LHC(CERN) Astronoma de rayos X.

Descubiertos por Rntgen en 1895, los Rayos X son una herra-mienta que ha proporcionado nuevas dimensiones a diversasactividades humanas, no solamente a las Ciencias de la Saludsino tambin a la Ciencia en general y al desarrollo tecnolgicoque abarca la pequea y la gigantesca Ciencia.

Desde el punto de vista epistemolgico constituyen un impor-tante hito en el camino hacia una integracin de los saberes enlo que se ha venido en llamar conocimiento, aunque todava,segn nuestra opinin, falte por recorrer una parte importantedel camino. Al igual que la luz, se trata de una radiacin elec-tromagntica de una energa unas 1000 veces superior.

La radiacin X tal y como se produce en un tubo de rayos X sellama Bremsstrahlung o radiacin de enfrenamiento. Se generacuando una carga en movimiento experimenta una acelera-cin como ocurre con los electrones del tubo de rayos X alchocar contra la superficie del antictodo, donde son frenadosinteriormente hasta el final de su recorrido. La distribucin es-pectral de la radiacin de enfrenamiento es anloga a la delcuerpo negro. Superpuesta a esta radiacin continua existenunas lneas (imgenes de la rendija del espectrmetro) cuya es-tructura depende de la naturaleza del antictodo. Se trata delespectro caracterstico. Una imagen del mismo la proporciona

el espectro del hidrgeno en el que se exhiben las series deLyman, Balmer, Paschen, Brackett y Pfund.

Las relaciones entre energa, longitud de onda y/o frecuencia,debidas a Einstein, son E=hu=hc/l, siendo h la constante dePlanck, ula frecuencia, lla longitud de onda y c, la velocidadde la luz en el vaco. La estructura de las series del espectrocaracterstico presenta la siguiente forma:

K1K2K1L1L2L1L2L1M1,

donde se indican las series K las L y la M.

Moseley (1913) encontr que la energa de las lneas de las se-ries K y L variaban segn una relacin cuadrtica [1,2,3].

Mediante la utilizacin de los valores actuales (disponibles, su-ficientemente abundantes y precisos) de las energas de las l-neas del espectro caracterstico de Rayos X, se ha podido com-

probar que las mejores ecuaciones, para reproducir universal-mente con excelente precisin las energas de las mencionadaslneas, son en general polinomios, de los cuales el de tercergrado (PTG) es el ms apropiado [4]. La mencionada ecuacines aplicable a la obtencin y/o prediccin de las energas de losrayos X de ciertos tomos problemticos y de los valores de lasenergas para ciertas series obtenidas tericamente.

Resultados y discusin

A continuacin se van a mostrar sucesivamente las aportacio-

nes al corpus doctrinal de los ms importantes investigadoresen este campo. Histricamente el primero se refiere a Sir Wi-lliam Prout.

Unos 55 aos antes del descubrimiento de Mendeleev-Meyer(1869 -1872) un mdico (y fisilogo) ingls, que ejerca su oficioen Londres, William Prout, en 1816, al observar que las masasde los tomos (elementos qumicos) relativas al patrn H=1.00,eran, con solo dos excepciones, prcticamente nmeros ente-ros, sugiri la hiptesis, segn la cual los tomos, lejos de sercorpsculos indivisibles, estaban formados por agregados detomos de hidrgeno [5].

Algunos milenios antes se consideraba que los elementos esta-ban formados por corpsculos indestructibles. Parece ser queestas elucubraciones fueron realizadas por filsofos hindes(Kanada) primero, por atomistas griegos (Demcrito, Leucipo yEpicuro) despus y resumidas ms tarde por Tito Lucrecio Caro,en su De Rerum Natura. Tras una poca de unos ocho siglos enbsqueda de la piedra filosofal y del elixir de vida, el qumicoDalton en 1808 asumi que los tomos estaban formados poragregados de tomos de hidrgeno [5 ].

Debido a las excepciones, Prout escribi su artculo bajo unseudnimo en la Royal Society, cuya revista vena publicando

muchos otros, como la presencia en el estmago de cido clor-hdrico libre, la savia de la vid, la tinta de la sepia y el veneno dela boa constrictor, segn seala oportunamente Fred Hoyle [6].Las ideas de Prout no han sido valoradas adecuadamente, ha-bindose cometido con su autor inexplicables injusticias. En loque sigue se trata de considerar sucintamente la importanciade la ley de Prout [7].

Al cambiar completamente el concepto de tomo, las ideas deProut aparecen ante nosotros como evolucionistas y unita-rias, puesto que, por una parte, cualquier tomo procede delanterior, segn un principio de construccin, que recuerda elmoderno aufbau; y, por otra, un principio unitario, en cuantoque el hidrgeno constituira la materia prima del universo [7].Con su ley evolucionista, Prout se adelanta unos cuantos aosa Darwin. Sin embargo, su ley fue rechazada; y, en cambio, conms discrepancias y errores, la tabla peridica y los trabajos deVan den Broek, fueron aceptados [8].


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Como es sabido, la ley de Prout fue revitalizada muchos aosdespus, cuando Aston en 1920 demostr la universalidad dela isotopa, consistente en que los tomos cuyo ncleo contie-

ne el mismo nmero de protones y diferente nmero de neu-trones, poseen las mismas propiedades qumicas, pudindosediferenciar en las propiedades fsicas.

Prout orden los tomos (elementos) segn la masa atmicacreciente, que era entonces prcticamente la nica caracte-rstica expresable cuantitativamente con suficiente precisin.Posteriormente, aparecieron las ordenaciones de Mendeleev-Lothar Meyer, en las que la variable ordenadora era tambinla masa atmica. Mendeleev probablemente no conoca lostrabajos de Prout.

El siguiente investigador fue Dimitri

Mendeleev (1869)

La metodologa por l utilizada estaba motivada por el deseode facilitar a sus alumnos el estudio de la Qumica, introducien-do en ella una cierta racionalidad, que no posea. Jugando conlos valores de las masas de los elementos y con sus caracte-rsticas qumicas (cualitativas), encontr que stas se repetanaproximadamente para los mismos intervalos de valores de lamasa. Imitando la estructura de una hoja de calendario obtuvouna ordenacin (plana) de los valores de las masas en filas y/ocolumnas.

Meyer utiliz diferente metodologa, ms en consonancia conlas corrientes cientficas de la poca. En particular trabaj cuan-titativamente con las propiedades [9].

stas pueden referirse a los tomos considerados aisladamenteo a sus colectividades. En el primer caso se habla de propie-dades atmicas; en el resto, de propiedades macroscpicas.

Los espectros de lneas son un claro ejemplo de propiedadesatmicas y las termodinmicas de propiedades macroscpicas.Las respuestas de los tomos, obviamente, se hallan escritas enlos diagramas de Meyer.

En los diagramas (actualizados) se representan los tomos me-diante su nmero atmico, Z (en el eje horizontal) y los valo-res de la propiedad, P, (en el eje vertical). Por ello, a cualquierpar de valores (P,Z) le corresponde un punto en el diagrama ycontrariamente. Cuando se unen los puntos aparece una lnea.Contemplada globalmente, exhibe un motivo de difcil clasifi-cacin, pues es ondulada, aunque no regularmente. Las irregu-laridades se muestran en que las ondulaciones son de distintaamplitud y en la presencia a lo largo de toda la lnea, de dientesde sierra, de diferente intensidad. A pesar de estos hechos, tan-to la Tabla como los diagramas se siguen considerando comolas expresiones de la periodicidad, lo que carece de sentido

puesto que no es cierto que la periodicidad de las propiedadesse pueda mantener actualmente.

Aqu se demuestra que La llamada periodicidad, en todocaso, queda reducida a la de las estructuras electrnicas

de los tomos. Las propiedades de los tomos se repiten por-que lo hacen las estructuras; es lo que se ha venido diciendoy an se dice. Lo que ocurre es que esta repeticin es solo

aproximada y presenta serias dificultades para el 6 y 7 pe-riodos [10,11].

Si la ley peridica fuese exacta, las lneas exhibidas por cual-quier propiedad en los diagramas de Meyer seran lisas, estoes, sin dientes de sierra. Sin embargo, los valores observadosmuestran que los dientes de sierra son una caracterstica co-mn a todos los periodos. El 2 y 3 presentan abundantes ymarcadas anomalas de este tipo. Los dos siguientes, el 4 y el5, son los ms regulares y parecidos entre s. En el 6 periodo,la presencia de los lantnidos quiebra la ley, que apenas serehace en el 7 y ltimo periodo.

Los aspectos que se pueden considerar como invariantes, pa-recen ser los puntos singulares, puesto que la mayora de laspropiedades los exhiben, con la excepcin de las llamadas pro-piedades termodinmicas, en las cuales las ondulaciones apa-recen generalmente desdobladas, desapareciendo la esbeltezde los picos singulares. Atribuimos este comportamiento alcarcter cooperativo de las citadas propiedades, lo que porotra parte es esencial, pues por ejemplo, carece de significadofsico hablar de la temperatura y del cambio de fase de un solo

tomo.

Resumiendo podemos decir que la ley peridica se reduce aque, en los diagramas de Meyer, las posiciones de los valoresmximos y/o mnimos son independientes de la propiedad

FIGURA 1. Este diagrama muestra que las ondulaciones cor-respondientes a los periodos 4 y 5 son las mejordefinidas. Las parejas de puntos 7-8,9-10,15-16,32-33 estn invertidas. Los puntos singulares corre-sponden a los metales alcalinos.


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considerada, es decir, iguales para todas ellas. Y probablemen-te ocurra lo mismo para los puntos anteriores y posteriores alos puntos singulares.

Para los dems, las irregularidades determinan que los gru-pos no estn bien definidos. La invarianza mencionada vieneexpresada por la existencia de ciertas secuencias de nmerosenteros, en las que cada nmero coincide con el de electronesdel correspondiente tomo. Los valores son los siguientes:

2, 10,18,36,54,86,1183,11,19,37,55,87

Las diferencias entre cada dos nmeros sucesivos son las si-guientes: 8,8,18,18,32,32.

Como resumen conceptual del abundante material grficohemos encontrado que la informtica nos proporciona unaelegante demostracin de la esencia de la periodicidad. Setrata del comando f= diff(P) de las primeras diferencias entrelos sucesivos valores de la propiedad P. Se pueden mostrar f-cilmente aunque los valores numricos de f indican claramentelas abscisas (Z) de los puntos singulares.

Las dos primeras series forman el marco de las primeras tablascortas de Mendeleev [10,11]. Corresponden a los gases inertesy a los metales alcalinos.

A partir del tomo Z=20 aparecen los 10 tomos de la primeraserie de transicin, repitindose este escenario anlogamenteen el tomo Z = 38, para formar la 2 serie de transicin, y deforma distinta en el Z = 56, para formar la 3 serie de transicin,que alarga de nuevo la tabla, distorsionando las relaciones de

grupo. Los elementos de las series de transicin (orbitales d)se caracterizan porque las variaciones de casi todas las pro-piedades son pequeas y suaves, caracterstica que contrasta

con las variaciones bruscas que ocurren en el entorno de lospuntos singulares, particularmente entre los gases nobles y loselementos alcalinos.

En la produccin de luz y de rayos X se arranca un electrn.Si ste pertenece a la periferia del tomo, en la desexcitacinestamos frente a los espectros pticos, que aparte de muypocos casos, son muy complejos. Si el electrn pertenece alinterior, en la desexcitacin estamos frente a la espectrometrade rayos-X. La energa en este ltimo caso es miles de vecessuperior, segn dijimos.

El hecho de que las caractersticas ms importantes de los ra-yos X, es decir, la energa de cada lnea para cada serie, nomuestren un comportamiento anlogo al de las dems propie-dades, es decir presente oscilaciones, indica que la estructuraprofunda es muy similar para todos los tomos. Con objeto derelativizar la importancia de la tabla peridica mencionaremosque las abundancias solares de los tomos indican que entre elhidrgeno y el helio completan un 98 % del total, los siguientesC, O, N son del orden de 0.001%, siendo el Li, Be y B los menosabundantes. El resto de los tomos apenas llega al 2% del total.No debindose olvidar que estamos hablando de la materiabarinica, que a su vez, representa un 4% del total [12].

Queremos hacer notar que la descripcin del escenario ante-rior coincide bastante bien con el tratamiento cuntico y elprincipio de exclusin de Pauli, obtenindose la expresin 2n2(n, nmero cuntico principal), mencionando que dicho trata-miento no explica la repeticin de los nmeros 8, 18 y 32.

FIGURA 2. La variacin del RA y la de sus primeras diferen-cias con Z. Ntese la coincidencia de los puntossingulares con los correspondientes de las prim-eras diferencias.

FIGURA 3. Polarizabilidad y sus primeras diferencias con Z.Este diagrama es anlogo al precedente.


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Por su aspecto, habamos pensado hace tiempo que dichaslneas obedecan a curvas parablicas, en las que el ajuste noacababa de ser excelente. Otro tipo de funciones que se han

ensayado y que al igual que las parbolas son aproximaciones,son las funciones gamma y beta principalmente [4].

Recientemente, al comprobar que los polinomios de grado tresreproducen con asombrosa precisin los valores de las ener-gas de los Rayos X caractersticos, pensamos que quizs lasrespuestas de la estructura perifrica de los tomos, que eslo que muestran los diagramas de Meyer, obedeceran a lasmismas ecuaciones.

Se puede demostrar, en efecto, que la ecuacin de tercer gra-do se ajusta a las variaciones del volumen atmico, desde lospuntos singulares del 4 y 5 periodos hasta el correspondiente

mnimo. Por su forma se habla de la funcin Stick de Hokey.

El siguiente investigador fue HGJ Moseley

Para ste investigador, un mismo tomo puede ser excitadocon diferente cantidad de energa. Para las ms bajas, los to-mos en su desexcitacin, emiten radiacin luminosa continua ydiscontinua, que tiene la expresin ms sencilla en el espectrodel hidrgeno, y mucho ms complicada en la de los tomosms complejos, como es el caso del hierro con unas 5000 l-neas. El llamado anlisis espectral se basa en la especificidaddel espectro discontinuo.

Para energas superiores en un factor de 1000, la radiacinemitida consta tambin de un fondo continuo (generalmentellamado Bremsstralung) y de una serie de lneas, que recuerdanlas del hidrgeno (espectro caracterstico). Para establecer lasrelaciones entre tomos y radiacin, Moseley abord el estudiode una parte bastante reducida de las series conocidas en supoca, que de acuerdo con las medidas de Bragg, compren-dan las mismas series dadas en la introduccin. De todas ellasMoseley estudio las series K y L [13].

Anlogamente a como lo hiciera Mendeleev con las masas

atmicas y las propiedades de los elementos qumicos conoci-dos, Moseley, unos 50 aos despus, coloc las fotografas delos espectros de rayos X en el orden creciente que indicaba elpuesto del elemento en la Tabla peridica, pudindose obser-var el comportamiento cuadrtico de la frecuencia de las lneasespectrales. Comparando los resultados tericos de Bohr conlos suyos, Moseley pudo escribir su ley en la forma E = E0f (Z-)

2en la cual E0= 13.605 ev . f y dependen de la lnea elegida.Valen 3/4 y 1 para la serie K y 5/36 y 7.4 para la serie L.

A pesar de los escasos datos de Moseley, sus seguidores seinteresaron en una cuestin que al propio Moseley apenas leinquietaba; la interpretacin del parmetro s , que tomaron

como una constante de apantallamiento, debida al efecto Fa-raday. Esta interpretacin y la de Withaker, proponiendo dosconstantes, una interna, externa la otra, aunque puedan me-jorar las ecuaciones de Moseley, no son universales ni suficien-temente precisas [3].

Puede resultar interesante considerar cuales fueron las princi-pales motivaciones que le impulsaron a trabajar en este tema.Para ello, es conveniente recordar la metodologa que utiliz.

Para cada elemento obtena el valor de la magnitud Q=(E/E0f)0.5al cual aada un nmero apropiado, (alrededor de uno,para la serie K y de 7.4 para la L) de manera que la suma coin-cidiera lo ms exactamente posible, con el nmero atmico, esdecir, el nmero aadido debera ser igual a Z-Q.

Se trataba de un tanteo para que encajaran las piezas de unaespecie de puzzle, que recordaba los solitarios de Mendeleevmanejando las fichas de los elementos conocidos, de mane-ra que los de anlogas propiedades qumicas (cualitativas) sesituaran dentro de una misma fila o columna. Procede aquhacer unas consideraciones sobre el asunto. En la Tabla deMendeleev al igual que en las triadas de Dobereiner [11], las

relaciones entre los elementos y/o los huecos son locales, loque permiti la prediccin de tres de ellos; en cambio, en laordenacin de Moseley las relaciones entre los elementos seextienden a toda la Tabla, mediante la expresin matemticade la ley. Y sin embargo, parece que el propio Moseley no va-lor esta caracterstica.

El origen de la ley de Moseley puede considerarse como el re-sultado de una convergencia y posterior interaccin de variascircunstancias. En primer lugar nos referiremos a las interac-ciones entre diferentes campos del conocimiento: Qumica cl-sica, Fsica atmica, Cristalografa clsica, Optica y anlisis es-

pectral. Las interacciones entre esos campos han contribuidoa borrar las fronteras de separacin existentes, originndosede este modo lo que se llama conocimiento. Lo que queremoshacer resaltar es que Moseley liderara silenciosamente un mo-vimiento tan actual, hace unos 100 aos!

FIGURA 4. Variacin de las energas con Z. La falta de resolu-cin no permite visualizar las 9 series.


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Puede ser ilustrativo y clarificador la lectura de las siguientelneas del propio Moseley [2].

En la introduccin de su trabajo escribe: In the absence of anyavailable method of spectrum analysis, the characteristic ty-pes of X radiation, which an atom emits if suitable excited,have hitherto described in terns of their absorption in alumi-nium. The interference phenomena, that is, the interactionbetween X-ray and crystal structurewas shown by W. H. andW.L. Bragg allowing the accurate frequencies measures. Moreforward Moseley say a description of a method of photogra-phing these spectra, which makes the analysis of the X-raysassimple as an other branch of spectroscopy repeating the dealof spectral analysis. Al final de este prrafo introductorio puedeleerse: The results already obtained show that such data havean important bearing on the question of the internal structure

of the atom, and strongly support the view of Rutherford andof Bohr. Ms adelante Moseley escribe: the prevalence of linesdue to impurities suggests that this prove a powerful methodof chemical analysis. Its advantage over ordinary spectrosco-pic method lies in the simplicity of the spectra .It may evenlead to the discovery of missing elements

Resumiendo las ideas desarrolladas parece que la motivacinms fuerte del autor fue: the search of a method of spec-troscopic X-ray analysis

Estas lneas indican con suficiente claridad cuales fueron las

principales motivaciones que impulsaron a Moseley a elegir eltema de sus investigaciones.

El descubrimiento por Max Von Laue de la difraccin de losrayos X por los cristales mostr simultneamente la naturalezaondulatoria de los rayos X y la teora de Bravais [14] acerca de laexistencia natural de redes cristalinas, as como el mecanismode la difraccin realizado por los Bragg [13] emergiendo entreellos las figuras de Rutherford, Planck y Einstein [15,16,17]. Enresumen, una inestimable herencia para un joven investiga-dor! .

Posiblemente la Tabla Peridica de Mendeleev-Meyer fuesetambin un motivo de inspiracin para Moseley y en particular,la manera de gestionar los huecos, que tan buenos serviciosprestaron al profesor ruso.

Creemos pertinente mencionar aqu los trabajos de A. van denBroek, citado por Moseley, debido a sus implicaciones con laTabla peridica y el nmero atmico. En lugar de considerar alhidrgeno como patrn de masas, Van den Broek tom unaextraa entidad, consistente en la mitad del tomo de helio, ala que asign una masa de 2 unidades. Consecuentemente, laordenacin de Prout resulta mucho ms realista que la de Vanden Broek. Estamos frente a una situacin paradjica, que an

persiste [10,18,19,20,21,22,23,24,25].

El verdadero mrito de Moseley fue la introduccin emprica oms bien semiemprica del nmero atmico.

Las aportaciones de Len Garzn

Las investigaciones llevadas a cabo por el autor abarcan la pe-

riodicidad y la ley de Moseley. Con respecto a la primera sedemuestra que la periodicidad se reduce, en todo caso, a lade las estructuras atmicas de los elementos representativosy gases inertes. Con respecto a la ley de Moseley se distinguendos partes, la primera acerca de la utilizacin de un parmetrodiferente del sigma y la segunda sobre la utilizacin de polino-mios, preferentemente de tercer grado, y del Algebra matricial,a la descripcin exacta de la relacin entre la energa de losrayos X caractersticos y el nmero atmico.

Se ha mejorado la metodologa de Moseley definiendo un pa-rmetro w dado por le ecuacin w = Z/Q, de donde se obtiene:

w = E0f Z2/E; E = E0 f (Z/w)2.

Si la ley de Moseley fuese suficientemente precisa, el valor dew debera mantenerse constante, lo que no es el caso, pudin-dose demostrar (a partir de los valores de E actualizados) quese satisfacen las siguientes relaciones:

wK =1.0818-0.0015341 Z (13,92)wL = 1.4121-0.0040303 Z (20,95)wM = 1.4121-0.0040303 Z (57,95)

indicando que los valores del parmetro dependen de Z. Lo

que significa que incluso con nuestra mejora, la ley de Moseleysigue siendo una aproximacin.

La ley de Moseley exige que para cada serie se conozca elvalor de f, que viene dado por la expresiones (deducidas dela teora de Bohr) fK=1-1/4 = 3/4; fL= 1/4-1/9 = 5/36, para las

FIGURA 5. El comportamiento horizontal de las energas: n-tese que es suave dentro de cada serie y bruscocon el cambio de serie.


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dos series que l estudi, y a la M que se ha aadido, para lacual se obtiene el valor fM= 1/9-1/16 = 7/144. Corresponden alas transiciones en el modelo de Bohr 21, 32 y 43, res-

pectivamente. Para el doblete Ka1y Ka2 el valor de f tomadopor Moseley es el mismo, lo que significa que sus ecuacionesno tienen la suficiente resolucin. La ecuacin de Moseley seestableci para unos 40 valores de la energa y hoy da nosencontramos con unos mil, correspondientes a las nueve seriesde las lneas ms intensas.

Gracias al desarrollo de la Tecnologa, cuya evolucin no esttan mediatizada como la de la Ciencia, disponemos hoy decentenares de valores de propiedades de los niveles energ-ticos de los tomos, y de los correspondientes valores de lastransiciones de energa, que son suficientemente precisos yfiables. Las ms importantes son X-Ray Data Booklet y Deslat-

tes et al [26,27]. Insistamos en la diferente filosofa subyacentede ambas fuentes de datos. Mientras la primera se refiere avalores experimentales suficientemente precisos, la segunda,como correspondiente a resultados de la Mecnica cuntica,posee una precisin que va ms all de las necesidades de losinvestigadores experimentales.

Como es sabido, desde los primeros tiempos de la espectrome-tra, las energas de las lneas espectrales se interpretan comodiferencias entre dos expresiones, llamados trminos espec-trales, los valores de los cuales pueden obtenerse mediante lamecnica cuntica, particularmente utilizando las ecuaciones

de Dirac-Fock- Hartre y el mtodo del campo autoconsistente.Este mtodo terico se ha aplicado con xito por Deslattes ycolaboradores [27].

Por su comodidad de manejo vamos a referirnos seguidamen-te a los valores de las energas de los rayos X tal y cono apare-cen en la publicacin Data Booklet.

Los valores de las energas se dan en ev, generalmente conuna aproximacin de 0.1 ev, en una tabla de doble entrada,fcilmente transformable en una matriz E (m,n), de m filas y ncolumnas. El valor de m es alrededor de 20, tratndose de una

conveniencia tipogrfica.

El retculo formado por los valores de las energas presenta lassiguientes caractersticas: En las columnas la energa crece mo-ntonamente de arriba hacia abajo. Para las filas, sin embargo,la conducta es diferente y anloga para todas ellas mostrandopequeas variaciones dentro de cada serie y grandes variacio-nes al cambiar la serie, como corresponde al carcter disconti-nuo de los niveles energticos.

Dicho retculo constituido no est libre de ciertas irregularida-des, que se han atribuido a las dificultades experimentales desu medicin. Esta proposicin equivale a una hiptesis, apoya-

da por una universalidad suficientemente contrastada. Cuandoun determinado valor es anmalo, es necesario volver a ajustarlos valores, prescindiendo del supuesto valor errneo. Los hue-cos reciben el mismo tratamiento.

A partir de los valores de las energas se puede comprobar elgrado de adecuacin de las mismas a las ecuaciones de Mo-seley. Los resultados son que dicha adecuacin es nula para la

serie K, mejorando para las series L y M. Con nuestro parmetrolos resultados mejoran para la serie K. En cualquier caso conestas ecuaciones resulta imposible reproducir el retculo deenergas. Al no ser universales y exactas, deben buscarse otrasecuaciones con mejores prestaciones.

Se ha ensayado el ajuste de los valores (E, Z) a diversas ecuacio-nes y encontrado la que nos ha parecido ms aceptable tenien-do en cuenta ciertos criterios matemticos y fsicos. Los pri-meros se refieren a la bondad del ajuste, debiendo exigir quesea lo ms perfecto posible y los segundos, a que el nmerode parmetros sea reducido y a ser posible posean significadofsico. Como es sabido, sucede generalmente en la Ciencia que

el ajuste no es perfecto para la inmensa mayora de las leyesempricas, y si lo es, puede razonablemente pensarse que setrata de una ley natural, como ocurri con los datos de las tem-peraturas del fondo csmico de microondas, en el que para T=2.375 K el ajuste a la curva correspondiente es prcticamenteperfecto [7].

Mediante la utilidad Matlab se ha seleccionado como mejorfuncin E = f(Z) la polinmica de grado tres, que se puede es-cribir, en la sigiente forma:

E=a1Z3+a2Z

2+a3Z+a4

en la que:

Los valores de la variable discreta Z cubren un determinadointervalo.

FIGURA 6. Comparacin de las ecuaciones de Moseley con

polinomios de 2 y de 3. Ntese que hasta Z=45todas ellas coinciden. La mejora introducida pornosotros se hace evidente a partir del valor de Zanterior.


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Los coeficientes son reales. Al ser E una funcin creciente con Z, el valor 3a1Z

2 + 2a2Z +a3deber ser positivo.

A partir de la funcin general E = f(Z), en lo que sigue nos re-feriremos a la ecuacin equivalente, p = f(Z)-E = 0.

Se ha obtenido el correlato matemtico para cada tabla com-probando que las ecuaciones reproducen con muy buena pre-cisin los valores tabulados y por consiguiente las caractersti-cas del retculo. Adems se pueden hacer interpolaciones y/oextrapolaciones que permiten hacer predicciones.

Desde un punto de vista lgico la ecuacin anterior p=0 debe-ra ser simtrica en el sentido de que para cada valor entero de

Z debe de haber un valor de E y solo uno, y contrariamente. Sinembargo desde un punto de vista matemtico el ltimo casotropieza con el inconveniente de que, de acuerdo con el teore-ma fundamental del lgebra, una ecuacin de grado tres tienetres races. Estamos por tanto frente a una situacin paradjica,que se resuelve si tenemos en cuenta el hecho de que las dosraces son complejas conjugadas de la forma a+bi, a-bi. Para unpolinomio de grado 2 existen dos valores de Z y cuatro para elcaso de un polinomio de grado 4.

Puede ser interesante estudiar las relaciones entre los tres po-linomios citados. Se pueden asimilar a las siguientes ecuacio-nes; x2-1=0, x3-1=0 y x4-1=0, cuyas soluciones son +1, -1; +1,-1/2+v3i/2,-1/2-3i/2 y +1, -1 +i, -i respectivamente. Como losnmeros atmicos no pueden ser negativos, la nica opcinque nos queda corresponde al polinomio de grado 3. Se puedecomprobar que las races imaginarias satisfacen las ecuaciones.Por ahora desconocemos el papel jugado por las races com-

plejas, pues en principio un nmero atmico parece que nopodra ser complejo.

La ecuacin anterior puede escribirse en la forma:

a1Z3+a2Z

2+a3Z+a4-E = 0 (1)

o bien :

p1Z3+p2Z

2+p3Z+p4= 0 (2)

siendo:

p1=1 p2=(a2/a1) p3= (a3/a1) p4= (a4-E)/a1 (3)

El polinomio anterior se suele escribir como:

p= [1 p1p2p3p4] (4)

La conexin del polinomio con el lgebra de matrices se llevaa cabo por medio de una expresin que proporciona las racesdel polinomio, a saber: r=roots(p). Las races son de la forma:

r1=a+b*i ; r2=a-b*i ; r3= Z, (5)

La correspondiente matriz es:

A = [r10 0 ; 0 r2 0 ; 0 0 r3] (6)

A partir de esta matriz junto con una serie de comandos esfcil obtener cualquier propiedad asociada con el sistema deenergas.

La conexin entre el vector columna r y la matriz A es la si-guiente:

A = diag ( r )

La matriz anterior tiene unos valores propios, existiendo lassiguientes relaciones:

p = poly (A) ; r=eig (A). (7)

Si las races de la euacin polinmica son Z1 Z2 Z3podemosescribir:

p=(Z-Z1) (Z-Z2) (Z-.Z3) (8)

de donde por identificacin con el polinomio de partida, ob-tenemos las siguientes expresiones:

p2=-[A(1,1)+A(2,2)+A(3,3)]

p3

=[A(1,1)A(2,2)+A(1,1)A(3,3)+A(2,2)A(3,3)] (9)

p4=A(1,1)*A(2,2)*A(3,3)

Combinando las ecuaciones (3) y (8) obtenemos: E = - a1p4+a4Para una ecuacin de tercer grado la matriz A tiene tres races:

FIGURA 7. Comparacin de las energas experimentales ytericas. Se puede calcular fcilmente que la coin-cidencia de los valores est dentro del 0.01%.


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A(1,1), A(2,2) y A(3,3), siendo las dos primeras complejas conju-gadas y la tercera real, que es igual a Z, es decir: A(1,1)=a+bi;A(2,2)=a-bi; Z=A(3,3)=0. Sumando las dos primeras se tiene:

a=(A(1,1)+A(2,2))/2. Como los valores absolutos de A(1,1) y A(2,2)son iguales, se puede escribir: abs(A(1,1)) = abs(A(2,2))=V. Lla-mando beta al ngulo formado por V y el eje negativo de las xpodemos escribir cos(beta)=a/V; b=a*sin(beta). El programa es:

clear,clc ; %matri200 ;for Z=41:62;

E=0.051847.*Z.^3+5.1786.*Z.^2+167.55.*Z-2535;

p=[1 100 3232 -(2535+E)/0.051847];r=roots(p);A=diag(r);

a=(A(1,1)+A(2,2))./2;V=abs(A(1,1));beta=acos(a./V);

b=V.*sin(beta);p4=-A(1,1)*A(2,2)*A(3,3);

E1=-0.051847.*p4-2535;pows=[Z,E1,beta,a,b];end;end

Nuestras ecuaciones obviamente deben ser coherentes con elcorpus doctrinal existente, de acuerdo con el cual, las fuentesde radiacin en el tomo, cuando es adecuadamente excita-do, se generan en las transiciones electrnicas entre nivelesdiscretos de energa. En efecto, el comportamiento de dichasecuaciones obtenidas empricamente, muestra que existenniveles y subniveles energticos, como ya haba encontradoexperimentalmente Bragg, con anterioridad a los trabajos deBohr. Se incluyen los errores que en forma de barras presentannuestras ecuaciones. Finalmente, se debe mencionar que se haencontrado una nueva y poderosa herramienta que nos permi-

te contemplar un amplio horizonte lleno de posibilidades parael enriquecimiento del corpus doctrinal. As hemos encontradoalgunos invariantes.

En las lneas que siguen se explica el modus operandi que he-mos encontrado como ms asequible. Partimos de la tabla devalores que proporciona la literatura asequible. En el archivomatlab con nombre rayos2240 comprobamos que es comple-to. Presenta 18 filas y 8 columnas, la primera es Z=[22:40] y lasegunda corresponde a las series K,L,M, con 3 columnas parala primera, 5 para la segunda y 1 para tercera. La primera ope-racin es transformar la tabla en una matriz E(m,n). Esta opera-

cin exige que al final de cada fila se coloque un punto y coma,situando todos los valores entre corchetes: E=[.]. Los coman-dos son: Z=[22:40], n=[2:7], polyfit(Z,E(:,n),3), para obtener lasecuaciones de ajuste de grado 3 damos a n los valores sucesi-vos desde 2 a 7. A continuacin escribimos; plot(n,E(:,n),-*) yfinalmente : plot(Z,E(:,n),-).

Una aplicacin importante de las ecuaciones obtenidas es laprediccin de energas para los elementos que no han sidoestudiados y/o no han sido identificados.Aunque hoy da el ltimo elemento sintetizado es Z=107, aquhemos extrapolado hasta el Z=118. Los elementos ms all delEs (Z=99) son muy inestables y no tiene sentido estudiar las

energas de rayos X emitidas.

En la Tabla1,semuestran las energas para varios elementos,algunos de los cuales poseen energas conocidas, particular-mente para los Actnidos. Algunos de stos se pueden utilizarpara hacer comparaciones.

82 74965 72803 84938 10551 10449 12610 12624 14764 2347.8

83 77100 74812 87347 10839 10730 13018 12981 15246 2425.9

84 79276 76857 89802 11131 11014 13435 13344 15740 2505.5

85 81495 78938 92303 11427 11302 13861 13713 16246 2586.6

86 83757 81056 94852 11727 11594 14298 14087 16763 2669.1

87 86063 83212 97449 12031 11890 14744 14468 17292 2753.1

88 88412 85406 100090 12339 12189 15201 14854 17833 2838.6

89 90807 87638 102790 12652 12492 15668 15246 18386 2925.7

90 93247 89910 105530 12969 12798 16145 15644 18952 3014.2

91 95733 92220 108330 13291 13108 16633 16048 19531 3104.3

92 98266 94571 111170 13616 13422 17132 16457 20122 3195.9

93 100850 96961 114070 13946 13740 17642 16873 20727 3289

94 103470 99393 117020 14281 14061 18162 17295 21345 3383.7

95 106150 101870 120020 14619 14386 18694 17723 21976 3479.9

96 108880 104380 123080 14963 14714 19238 18158 22621 3577.7

97 111650 106940 126190 15310 15047 19793 18598 23279 3677.1

98 114480 109540 129360 15662 15382 20360 19045 23952 3778

99 117350 112180 132580 16019 15722 20939 19498 24639 3880.5

100 120280 114860 135860 16380 16065 21529 19958 25341 3984.6

101 123260 117590 139200 16746 16412 22132 20424 26057 4090.3

102 126300 120370 142590 17116 16763 22748 20896 26788 4197.6

103 129380 123190 146040 17491 17117 23376 21375 27533 4306.6

104 132520 126050 149550 17870 17475 24017 21861 28294 4417.1

105 135720 128960 153120 18254 17836 24670 22353 29071 4529.3

106 138970 131920 156750 18643 18201 25337 22851 29863 4643.1

107 142270 134920 160440 19036 18570 26017 23357 30671 4758.5

108 145640 137970 166420 19434 18942 26710 23869 31495 4875.6

109 149060 141070 168010 19837 19318 27417 24388 32335 4994.4

110 152530 144210 171890 20244 19698 28137 24913 33191 5114.8

111 156070 147410 175830 20656 20081 28871 254 46 34064 5236.9

112 159660 150650 179840 21073 20468 29620 25985 34954 5360.7

113 163320 153940 183910 21495 20859 30382 26532 35861 5486.2

114 167030 157290 188040 21922 21253 31159 27085 36785 5613.4

115 170800 160680 192240 22353 21651 31950 27646 37726 5742.2

116 174640 164120 196510 22790 22053 32756 28213 38685 5872.8

117 178540 167620 200850 23231 22458 33577 28788 39662 6005.1

118 182500 171170 205250 23677 22867 34413 29370 40656 6139.2

TABLA 1. Extrapolatin total. Se puede comprobar que los valorescorrespondientes a los transurnidos y actnidos coinciden muybien con los valores de la tabla.


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10 U d Li f C ti C Att ib ti 3 0 Li

Conclusiones

1. Los nmeros atmicos Z de los puntos singulares y los de

los inmediatamente anteriores (Z-1) y posteriores (Z+1) sonlos invariantes del sistema.2. El estudio de los rayos X por Moseley fue motivado por su

inters hacia el anlisis espectroscpico aunque su aporta-cin fue el descubrimiento emprico del nmero atmico.La ley de Moseley es aproximada y no es universal. Utilizan-do otro parmetro la mejora no cambia lo suficiente.

3. Las ecuaciones cbicas son universales y suficientementeprecisas. La conexin con el lgebra de matrices despliegaun abanico de muchas posibilidades.

4. La universalidad de las ecuaciones de tercer grado permitedisponer de una herramienta eficacsima en la determina-cin de la energa de los rayos X de cualquier elemento.

AgradecimientosAgradezco la colaboracin prestada por la Doctora AngelesCavero Cavero en la realizacin de este trabajo.

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