Embed Size (px)
Citation preview
�
�
�
�Los números
Los números naturales y enteros
Los números naturales (N)
Necesitamos los números constantemente en nuestra vida. Cuando trabajamos, compramos, nosdivertimos generalmente tenemos que contar. Los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... los pode-mos utilizar para realizar dos funciones: nos permiten contar los elementos de un conjunto, función
cardinal y también podemos usarlos para ordenar o numerar los elementos de un conjunto, es sufunción ordinal. Cualquier número natural se obtienen sumando la unidad (1) al anterior.
Ejercicios
1. Escribe con números las siguientes cantidades:
a) cuatro millones cuatro mil cuatro b) cien millones ochenta y nueve c) cien mil ciento tresd) un billón e) mil millones f) tres trillones
2. Escribe con letra las cantidades: a) 1.000.001 b) 1.100
3. Escribe el número anterior y posterior de las siguientes números:
a) 1.000.000 b) 3000 c) 5.600.000 d) 19.999e) 3.245.678 f) 899.000 g) 20.000.000 h) 6.000.000
4. En las siguientes expresiones faltan los paréntesis para ser correctas:
a) 85 - 45 - 32 = 72 b) 125 - 36 - 6 = 95 c) 528 - 345 + 17 = 166
5. En un aula hay diez filas de mesas con diez mesas cada fila. En otra aula hay ocho filas de mesascon nueve mesas en cada fila. ¿Cuántas mesas hay en la primera aula más que en la segunda?
6. Para cada frase, escribe la expresión numérica que corresponde y el resultado:
a) Al resultado de sumar 8, 12 y 9 lo multiplicas por 5.
b) Al triple de 12 le restas el doble de 3.
c) A 25 le restas 13 y al resultado lo multiplicas por 6.
d) A 120 le restas 40 y a este resultado le restas la suma de 30 y 50.
e) Al resultado de sumar 39 y 11 lo multiplicas por 3 y le restas 15.
f ) A 125 le restas el producto de 4 por 12 y le sumas el doble de 5.
7. Completa la siguiente frase: seis es igual a dos veces ...... y ...... es igual a tres veces dos.
8. Completa la siguiente frase: la mitad de ...... es 50 y 50 es igual a ...... veces 25.
9. Ordena los siguientes números de menor a mayor: 53.425, 35.422, 23.452, 35.242 y 32.542
1
Los números 2
Los números enteros (Z)
Las cantidades de algunas magnitudes como la temperatura no es posible expresarlas sólo connúmeros naturales. Por esta razón se amplia el conjunto de números naturales N con los númerosnegativos -1, -2, -3 , -4, -5 . . ., y resulta el conjunto Z de los números enteros. Este conjunto serepresenta en una recta eligiendo un punto origen para el cero (0) y llevando varias veces un segmentounidad a la derecha y a la izquierda del punto origen. Sumando la unidad (+1) obtenemos un númeroentero mayor, situado a la derecha. Pero, si sumamos -1 obtenemos un número entero menor que estásituado a la izquierda del número.
La suma de números enteros tiene las mismas propiedades que la suma de números naturales, perola diferencia fundamental entre los números naturales y los enteros es la existencia de los números
opuestos.
Cada número entero tiene un número opuesto o simétrico que sumado con él da el cero (0)
Por ejemplo, el número -4 tiene un opuesto y es el 4, ya que (−4) + 4 = 0. La sustracción de dosnúmeros enteros se define como la suma de uno con el opuesto del otro: a− b = a+ (−b).
Ejercicios
1. Expresa las siguientes situaciones mediante números enteros:
a) doce grados bajo cero y tres grados sobre cero.
b) la altitud de un pico de 850 m.
c) un buzo está a 200 m de profundidad.
d) le debo al banco ciento veinticinco euros.
2. Completa los números que faltan:
a) (+10) + (-5) + (+7) + (-9) = ? + (-2) =
b) (-15) + (+5) + (-3) + (+15) = 0 + ? =
c) (-15) + (+12) + (+7) + (-12) = (+19) + ? =
d) (+8) + (-9) + (+5) + (-8) = (-17) + ? =
3. Realizar las siguientes restas:
a) -4 + 10 = b) 10 - (-4) = c) -10 - 4 = d) -10 - (-4) =e) (-2) - (-2) = f) 5 - (-5) = g) 2 - (3) - (-5) = h) -3 - (-6) - (-9) =
4. Realiza las siguientes sumas y restas de números enteros:
a) (-2) + (+4) + (-8) =
b) 3 + (-2) + (-4) =
c) (-2) - (+4) - (-8) =
d) 3 - (-2) - (-4) =
e) (-5) + (-4) + 7 =
f ) -5 - (-4) -7 =
5. Realiza las siguientes operaciones:
a) -2 + (-3) + 6 - (-7) + (-6) =
b) 5 - 7 -8 - (-7) - (-5) - (-12) + (-3) =
c) -7 - (-4) + (-6) - (-8) - 9 + (-7) =
d) 9 - (-6) + (-8) + 7 + (-7) + (-3) - (-5) - (-4) - (-5 + 8) =
ACT - Nivel II ESA
Los números 3
6. Realiza las siguientes operaciones:
a) 16 - (18 + 2) b) -24 - (1 - 6 + 3) c) -13 + (14 - 21) d) - (8 + 4 - 10) + (2 - 12)e) -15 - (3 - 13) f) 35 + (-15 - 5) + 4 g) 33 + (-5 + 4 - 8) h) -(-20 - 31) - [6 + (2 - 15)]
7. Ordena de mayor a menor las siguientes series de números enteros, representandolos en unarecta:
a) -3, 25, -16, -8, 5, 0, 9 b) -10, -23, 8, 10, -12, 23, -8, 0 c) 17, 4, -11, -1, 1, 0, 15, -3
8. Sustituye el símbolo ? por < o >, según corresponda:
a) -3 ? -9
b) 2 ? -5
c) -2 ? -5
d) 8 ? -3
e) 25 ? 14
f ) -12 ? -20
g) 10 ? -12
h) -5 ? 10
9. Calcula: a) (-4) -8 b) 7 - (-9) c) 4 - (-1) d) (-6) -9 e) (-3) - (-6) f) (-8) - (-13)
10. Las letras x e y representan números enteros. Indica los números enteros que representan, ob-servando las siguientes igualdades:
a) (−5) · x = 5 b)3 · x = 0 c) 12÷ x = −6 d) 3÷ x = −1
e) 4 · y = 0 f) 2 · y = −18 g) (−15)÷ y = 3 h) 23 · y = 34
11. Efectúa:
a) -3 + 5 -6 +7 -10 +1 - 6 + 8
b) -(-1 + 4) - (-7 + 1)
c) -(-2 + 8) - (9 - 5)
d) -15 - (5 - 7) - (3 - 9)
e) 8 -5 -(-2) +5 -(-1) + 4 - 7 + 2
f ) -(-6) -5 + 15 - (-3) + 4 + 6 -1 -14
g) -2 - (5 - 9 + 6) + 4 -(9 + 3 - 11)
h) -4 -1 + 12 + 5 - 6 -7 + 3 - 11 + 9
i) - (-5) -7 + 9 - (-4) +3 + 6 -1 - 13
j) -7 -(3 - 4 + 5) + 3 - (2 + 3 - 9)
k) -10 - (7 - 9)
l) 9 + (-6 + 5)
m) -3 - (-5 + 7 - 2)
n) -(-4 + 5 - 3) - 6
ñ) 8 - (4 -6)
12. A las 10 h. la temperatura era de -5 oC y a las 13 h. la temperatura subió 7 oC, y a las 16 h.volvió a subir otros 2 oC. ¿Qué temperatura marca el termómetro?
13. El Everest tiene 8.848 m de altura y la Fosa de las Marianas -11.022 m, ¿qué distancia hay entreestos dos puntos de la Tierra?
14. En un plueblo había 3.850 habitantes. Primero vinieron al pueblo 250 personas, después se fueron89. ¿Cuántos habitantes hay ahora en este pueblo?
15. Una ciudad tiene 24.500 habitantes, cada persona consume al día 250 L de agua, aproximada-mente. ¿Cuántos litros de agua se consumen en esta ciudad en una semana?
16. Realizar las siguientes operaciones:
a) 7 − [−9 − (4 + 13) + 2] + 10− [6− (−5 + 4)− 2] + 1 =
b) [6 + (−2− 3)− 3(−2 + 26)]− 4 + [−(9− 7 · 2)− 4 + 5(−3)] =
c) 6− 2(−5) + (−4− 3)(−8 + 3) + (−2)(−5) − (−12) : (−3) =
d) [−9− (4− 13)− 2]− 10 + [6− (−5) · 4− 2] + 5 =
e) 7 · (−2)− (−3− 2) · (5− 3)− 2(−5)− (−25) : 5 =
f ) [−9− (4− 1) + 2] + 10− [6 + (−5) · 4 + 2]− 5 =
g) [−1− (−1) + 2] + 1− [6 + (−5) · 2− 2] =
ACT - Nivel II ESA
Los números 4
17. Hallar:
a) (18 + 36) -4·8 -12 - (3·2)
b) 9·4 + 38 -12 -2·9
c) 40 - 8·2 - 10 + 20 + 4·8
d) 6000:20 - 34·8 + 12·9
e) 125 - 4·2 + 3·9 - 18
f ) (29 + 11) - (8·3) - 2 - (4 + 2)
g) 120 - (14·2) - (18 + 3) - 15
h) 528 - 47 + 540:3
18. En una localidad de 2900 habitantes se consumen en un mes 43500 L de leche. ¿Cuántos litrosde leche consume cada persona al mes?
19. Los dos primeros libros, de una colección de 100 libros, cuestan 3 euros y los restantes 2 euroscada uno. ¿Cuánto cuesta toda la colección? ¿Y comprar sólo los 28 primeros libros?
20. En una ciudad se consume en una semana 72.450 kg de fruta, aproximadamente. ¿Cuántoskilogramos de fruta se consumen al día, si cada día se consume la misma cantidad?
21. Calcula:
a) [7 (4 + 8 · 2)− (9 : 3− 1)]
b) − (−21 + 31)− [12− (9− 13)]
c) (5− 2)− 3 · 4− (−2)− (−5)− 3− 2
d) 2 · (3 + 2 · 6 : 3)− (16 : 2 + 1)
e) 3 · 2− 5 (6− 8) : (4− 2) + 3 · 5 : 3
f ) 4 · 2− 18 (7− 9) : (5− 3)− 3 · 5
g) −27 : (−3) (−2)+5·4−3 (11− 7) : (4− 6)
h) {−8− [7 − (15− 19)] + 3}−[−6− (−9 + 12)]
22. Arquímedes, famoso matemático griego, nació el año 287 a. C. y vivio 75 años. ¿En qué año secumplirá el 2500 aniversario de su muerte?
23. Una chica dice a otra: "Si la cantidad de caramelos que tengo la multiplicas por cien y le restasuno, te quedan noventa y nueve". ¿Cuántos caramelos tiene?
24. Escribe la expresión numérica correspondiente a cada frase y halla el resultado:
a) Al resultado de dividir 16 entre -2 le sumas -4 y le restas -12.
b) Al triple de 7 le restas el doble de -5 y le sumas el triple de -8.
c) A 13 le restas el cociente de -22 y -11 y le sumas 15.
25. Un caracol está en el fondo de un pozo de 10 m de profundidad. Quiere salir del pozo y duranteel día asciende 3 m, pero durante la noche desciende 2 m. ¿Cuántos días tardará en llegar albrocal del pozo?
26. Compré dos pantalones a veintiún euros cada pantalón, también compré cuatro camisas a doceeuros cada camisa. ¿Cuánto dinero me sobró, si tenía un billete de cien euros?
27. Se ha leído un termómetro cuatro veces. A las seis de la mañana marcaba -6 oC, a las doce de lamañana había subido 2 oC, a las seis de la tarde señalaba -2 oC y desde esta hora a las doce dela noche, la temperatura descendió 6 oC. ¿Qué temperatura marcaba el termómetro a las docede la mañana? ¿Y a las doce de la noche?
28. Escribe el entero que representa las siguientes situaciones:
a) 3 grados bajo cero =
b) debo 2.000 e=
c) 25 metros de profundidad =
d) 80 metros de altura =
e) 6 metros a la derecha =
f ) 3.000 años antes de Cristo =
ACT - Nivel II ESA
Los números 5
Potencias de exponente natural
Una potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicación en la que todos los factores
son iguales. La base es el factor que se repite, y el exponente, el número de veces que se repite.
Base −→ an←−Exponente
an = a · a · a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸
n veces
Ejercicios
1. Escribe como potencia las expresiones que lo sean:
a) 2 x 2 x 2 x 2 b) 12 x 12 c) 8 x 8 x 8d) 3 + 3 + 3 + 3 e) 4 x 3 x 4 x 3 f) 9 x 9 x 9 x 9
2. Expresa como potencia y calcula el resultado de cada una:
a) 5 elevado a 4 b) 6 elevado a 3 c) 10 elevado a 5d) 3 elevado a 6 e) 10 elevado a 3 f) 10 elevado a 18
3. Las potencias cuya base es un número entero negativo y exponente impar son negativas. Si el
exponente es par siempre son positivas.
Completa el siguiente cuadro:
Potencia Base Exponente En forma de multiplicación Valor
(−3)5 -3 5 (−3) (−3) (−3) (−3) (−3) -243
-5 4
4 16
3 -1000
4. Indica la base y el exponente de las siguientes potencias y calcula su valor:
a) 34
b) (−3)4
c) 33
d) (−3)3
e) (−2)3
f ) (2)1
g) (2)0
h) (−7)0
i) (−1)7
j) −72
k) (−7)2
l) 125
m) (−1)12
n) −112
ñ) 023
o) −17
p) (−1)7
q) (−2)0
5. Copia en tu cuaderno las siguientes propiedades de las potencias y comprueba que son ciertascon ejemplos numéricos:
• ap · aq: El producto de potencias de la misma base es una potencia que tiene la misma base
y de exponente la suma de los exponentes de los factores.
•ap
aq: El cociente de dos potencias con la misma base es una potencia que tiene la misma base
y el exponente es igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del
divisor.
• (ap)q: Una potencia de una potencia es otra potencia con la misma base y de exponente el
producto de los exponentes.
• (a · b)n: La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores.
• La potencia de una suma NO es igual a la suma de las potencias de los sumandos.
ACT - Nivel II ESA
Los números 6
6. Sustituye cada signo ? pr el número que corresponda:
a) [(−3) · 2]4 =?4 · 16 =?
b) [? : 3]3 = (−2)3 =?
c) [(−2) ·?]3 = (−2)? · 53 = −8·? =?
d) [(−6) :?]4 = (−6)? : 2? =? :? =?
7. Sustituye cada signo ? pr el número que corresponda:
a) (11)12 =(
114)?
b) 78 =(
7?)4
c) 524 =(
5?)?
d) 1 =(
137)?
8. Escribe en una sola potencia:
a) 23 · 23 b) 67 ÷ 63 c) 72 · 78 d) 815 · 812
e)1015 ÷ 107 f) 57 · 54 g) 155 ÷ 157 h) 43 · 43
9. Escribe en una sola potencia:
a) 23 · 22 · 24 b) 3 · 32 · 33 c) 23 · 20 · 26 d) 44 · (22)3
e)55·55
54 f) 75·78
(72)4·73 g) 53·56÷52
53·50 h) 37 · 34 ÷ 34
10. Sustituye cada signo ♣ por el número que le corresponda:
a) 110 =(
114)♣
b) 76 =(
7♣)3
c) 514 =(
5♣)♣
d) 1 =(
37)♣
11. Calcula:
a) 31
b) 30
c) (−2)3
d) −23
e) (−3)2
f ) −32
g) −40
h) 23 · 22
i) 23 ÷ 22
j) 23 · 20
k)(
23 · 2)2
l)(23 + 2
)2
m)(53)2
n) (5 · 5)2
ñ) (5 : 5)2
o) (5 + 5)2
p)(33 · 32
)2
q)(
33)3
: 35
r) (3 · 1 · 2)4
s) (32 : 8)3
t) (1 · 10)5
u) (6 : 2)4
v) (3 · 2)3
w)(22 + 3
)2
x)((
32)0)21
12. Efectúa
a)104 · 103
(102)3
b)102 · 105
(100)3
c)10 · 103
(102)0
d)a7 · a9 · a2
a4 · a3
e)a0 · b2 · a7 · b3
a4 · b
f )104 : 103
(102)3
13. Nombra los siguientes números y exprésalos en forma de potencias de 10 (notación científica):
a) 70.000 b) 8.000.000 c) 900.000 d) 50.000.000 e) 15.000 f) 230.000.000
14. El número estimado de estrellas en nuestra galaxia es 1011 y el número aproximado de galaxias deluniverso similares a la nuestra es de 1012. Escribe estos números en notación decimal y nómbralos.¿Qué número aproximado de estrellas existen en todas las galaxias?. Escribe el resultado ennotación decimal y nómbralo.
15. Calcula: a) (−3)2 · 2− 22 · 23 b) 24 − (−3)2 − (−2)3 − 23 c) (−2)2 · 2− 23 · 20
16. Calcula: a) (| −3 |)3 b) (− | −1 |)2 c) (| 5 |)0
17. Pasa a potencia única:
a) 72 · 62 b) 73 · 63 c) (−7)2 · 62 d) 7−2 · 73
e) 6−2 · 6−5 f) 90 · 93 g) 10−20 · 104 h) 10−20 · 10−4
ACT - Nivel II ESA
Los números 7
Divisibilidad. Múltiplos y divisores.
Dados dos números naturales a y b se dice que a es divisible por b si la división a:b es una división
exacta (resto cero). Podemos decir que a es múltiplo de b.
Para obtener los múltiplos de un número basta con multiplicar por dicho número los númerosnaturales. Para obtener los divisores de un número hay que descomponer el número en producto dedos factores de todas las formas posibles. Los factores obtenidos son los divisores del número dado.
Figura 1: tabla de multiplicar
Ejercicios
1. Copia en tu cuaderno las siguientes afirmaciones y pon ejemplos numéricos:
a) Un número es múltiplo de otro cuando es el resultado de multiplicar el segundo por unnúmero natural.
b) Para obtener los múltiplos de un número se múltiplica ese número por los números naturales.
c) Un número es divisor o factor de otro cuando la división del segundo por el primero esexacta.
2. Sustituye ? por lo que corresponda:
Multiplicación Divisiones asociadas Múltiplos Divisores
4 · 7 = 28 28:7 = 4; 28:4 = 7 28, múltilpo de 4 y 7 4 y 7, divisores de 28
8 · 7 = 56 56:? = 7; 56:? = 8 56, ? de 7 y 8 7 y 8, ? de 56
?·? = 72 72:8 = ?; 72:? = 8 72, múltiplo de ? y ? ? y ?, divisores de 72
3. Escribe los seis primeros múltiplos de 5.
4. Halla 10 múltiplos de: 4, 15, 7, 9, 6, 25, 24 y 40.
5. Comprobar si 142 es múltiplo de 7.
6. Comprobar si 448 es múltiplo de 7.
ACT - Nivel II ESA
Los números 8
7. Indica cuales de los siguientes números son múltiplos de 4: 14, 38, 28, 18, 44 y 54.
8. Escribe 4 múltiplos de 9 mayores que 54.
9. Escribe 3 números mayores de 50 que tengan a 8 por divisor.
10. Halla los múltiplos de 3 comprendidos entre 50 y 60.
11. Copia en tu cuaderno las siguientes reglas de divisibilidad y comprueba con ejemplos que sonciertas:
a) Un número es divisible por 2 si termina en 0 ó cifra par.
b) Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
c) Un número es divisible por 5 si termina en 0 ó en 5.
d) Un número es divisible por 11 si la diferencia de la suma de las cifras de lugar par y las delugar impar es 0 ó múltiplo de 11.
12. Escribe todos los múltiplos de 9 comprendidos entre 100 y 200.
13. Señala cuáles de los siguientes números son divisibles por 2:
a) 238 b) 275 c) 990 d) 727 e) 2500 f) 37229
14. Señala cuáles de los siguientes números son divisibles por 5:
a) 238 b) 275 c) 990 d) 727 e) 2500 f) 37229
15. Señala cuáles de los siguientes números son divisibles por 2 y 5:
a) 238 b) 275 c) 990 d) 727 e) 2500 f) 37229
16. Señala cuáles de los siguientes números son divisibles por 3:
a) 311 b) 328 c) 2628 d) 12000e) 102 f) 1350 g) 106 h) 32528
17. Señala cuáles de los siguientes números son divisibles por 11:
a) 2827 b) 528726 c) 917290 d) 5005e) 31 f) 3233 g) 99 h) 34740
18. Sin efectuar las operaciones, averiguar si 5 es divisor de:
a) 75 + 35 b) 73 - 35 c) 80 - 25 d) 80 + 25 e) 1000 - 75 f) 1000 + 25
19. De los siguientes números: 231, 426, 520, 1.080, 2.745, 4.500:
a) ¿Cuáles son múltiplos de 2? b) ¿Cuáles son múltiplos de 3?c) ¿Cuáles son múltiplos de 5? d) ¿Cuáles son múltiplos de 10?
20. En el número 1a880 encuentra a para que dicho número sea:
a) Divisible por 2 b) Divisible por 3 c) Divisible por 5
21. Averiguar cuánto debe valer a para que se cumpla que:
a) 1a40 sea múltiplo de 3 b) 215a sea múltiplo de 2 y 5 c) 32a5 sea múltiplo de 3 y 5
ACT - Nivel II ESA
Los números 9
Números primos y compuestos
Un número a es primo si sólo tiene dos divisores: el mismo y la unidad.
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
Un número a es compuesto si tiene otros divisores además de él mismo y la unidad. Un número
compuesto se puede descomponer como producto de otros números (factores). Factorizar un número
es descomponerlo en producto de factores primos.
m.c.d. y m.c.m.
Máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor de sus divisores comunes. Para
calcularlo multiplicamos los factores primos comunes elevados al menor exponente.
Mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor de sus múltiplos comunes. Para
calcularlo multiplicamos los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente.
Ejercicios
1. Factoriza en números primos los siguientes números: 60, 48, 80, 100, 6, 15, 24, 40, 120,150, 400,1001.
2. Descomponer los siguientes números como producto de sus factores primos:
a) 144 b) 350 c) 2160 d) 1024 e) 2000f) 3960 g) 210 h) 1260 i) 3025 j) 111
3. Calcula los divisores de cada uno y señala cuáles son primos:
a) 7 b) 8 c) 23 d) 101 e) 57f) 18 g) 29 h) 39 i) 47 j) 77
4. Calcula los divisores comunes de los siguientes grupos de números:
a) 6 y 8 b) 24 y 36 c) 9, 12 y 18 d) 3, 4, 6 y 12e) 27, 36 y 63 f) 315 y 735 g) 12 y 20 h) 14 y 16
5. Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes grupos de números:
a) 4 y 6 b) 5 y 10 c) 6 y 9 d) 7 y 3e) 8 y 12 f) 15 y 20 g) 4, 6 y 8 h) 5, 10 y 6
6. Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes grupos de números:
a) 240 y 360 b) 24 y 36 c) 15 y 20 d) 12 y 18e) 180 y 45 f) 25 y 37 g) 40 y 85 h) 54 y 92
7. Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes grupos de números:
a) 75, 80 y 90 b) 260, 130 y 220 c) 500, 720 y 1.440 d) 89 y 15e) 24, 56 y 110 f) 495, 275 y 459 g) 666, 999 y 3.996 h) 17 y 34
ACT - Nivel II ESA
Los números 10
Números racionales (Q). Fracciones
Para expresar las partes de una unidad utilizamos los números fraccionarios. Una fracción es:
una expresióna
bdonde a y b son números naturales; a es el numerador y b es el denominador. Una
fraccióna
bexpresa el cociente entre a y b. Para calcular el valor décimal de una fracción se divide a
entre b. Podemos decir, que: una fraccióna
bes el cociente exacto de la división a:b, siendo b 6= 0.
b → denominador: número de partes iguales en que se divide la unidad.
a → númerador: número de partes que se toman de la unidad.
Ejemplo: si queremos repartir 2 folios entre 3 chicos en partes iguales, ¿qué cantidad de papel le
corresponde por igual a cada uno? La respuesta es que a cada uno le corresponde exactamente2
3de
folio, esto significa que la fracción2
3es el cociente exacto de dividir los 2 folios entre los 3 chicos, es
decir,2
3= 2 : 3.
Fracciones equivalentes, propias e impropias
• Las fraccionesa
byc
dson equivalentes si cumplen unas de estas condiciones:
1. Tienen el mismo valor numérico.
2. Verifican la siguiente igualdad:a
b=c
d→ a · d = b · c
• Una fracción es propia cuando su numerador es menor que el denominador. Representa un número
menor que la unidad. Ejemplo: si comemos2
6de tarta, ¿queda aún tarta?
• Una fracción es impropia cuando su numerador es mayor que el denominador. Se suele llamar
también número mixto:8
6=
6 + 2
6= 1 +
2
6
Ejercicios
1. ¿Son equivalentes las fracciones2
5y
8
20¿Y las fracciones
3
5y
6
30?
2. Calcular los valores de a en las siguientes fracciones para que sean equivalentes:
a)9
12y
3
ab)
9
ay
15
5c)
8
5ya
20
3. Averiguar que pares de fracciones son equivalentes:
a) 2/3 y 5/6 b) 1/2 y 2/4 c) 25/40 y 5/8 d) 3/4 y 30/40e) 51/39 y 17/13 f) 31/29 y 33/86 g) 12/7 y 84/49 h) -2/5 y -6/15
4. Clasifica las siguientes fracciones en positivas y negativas:
a) −1
5b)−9
−2c)−5
12d) −
2
−3e) −−3
−4f) −−2
5g)−3
−(−2)h) −
−1
(−3)2
5. Obtener el valor de x:
a)1
8=x
1000b)
15
16=x
10000c)
8
1000=
1
xd)x
50=
18
100
ACT - Nivel II ESA
Los números 11
6. María tiene 240 euros, y entrega la mitad a su hermana. Su hermana compra unas zapatillas de4’8 euros, una camiseta de 9’5 euros y un bolso de 18 euros. ¿Qué dinero le queda a la hermana?
7. Representa mediante ”tartas” los siguientes números: 2/3, 1/6, 5/2, y 7/4. ¿Cuáles de ellos sonnúmeros mixtos?
8. Los 3/4 de bolígrafos que hay en una clase son azules, y el resto, de otros colores. ¿Qué fracciónrepresentan estos últimos respectos al total de bolígrafos?
Amplificación y simplificación de fracciones. Fracción irreducible
• Si multiplicamos el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número distinto decero, obtenemos una fracción equivalente a la fracción dada.
a
b=a · n
b · n=c
dLa fracción
c
dse ha obtenido por amplificación de la fracción
a
b
• Si dividimos el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número distinto de cero,obtenemos una fracción equivalente a la fracción dada.
a
b=a : n
b : n=e
fLa fracción
e
fse ha obtenido por simplificación de la fracción
a
b
• Una fracción es irreducible cuando no se puede simplificar, es decir, el numerador y denominadorno tienen divisores comunes. Para obtener la fracción irreducible dividimos numerador y denomina-dor por el máximo común divisor (m.c.d) de ambos números.
Ejercicios
1. Calcular por amplificación fracciones equivalentes a4
5
2. Calcular por simplificación fracciones equivalentes a56
32hasta obtener su fracción irreducible
3. ¿La fracción irreducible de72
48es
3
2?
4. Calcular directamente la fracción irreducible de96
504
5. Calcula la fracción irreducible equivalente a las siguientes: 4/8, 5/15, 6/18, 2/6 y 30/45
6. Indica si la fracción55
70es o no irreducible, ¿por qué?
7. Indica si la fracción55
72es o no irreducible, ¿por qué?
8. Simplifica las siguientes fracciones: 3/15, 7/14, 10/15, 25/15, 12/19 y 33/121
9. Simplifica las siguientes fracciones:
a)95
10b)
7
28c)
28
7d)
15
95e)
15
3f )
5
30g)
6
15h)
15
45
10. Calcula la fracción irreducible, y representa mediante ”tartas” las siguientes fracciones:
a)4
8b)
5
15c)
6
18d)
2
6e)
30
45f )
18
12g)
80
40h)
33
121
11. Completa las siguientes proporciones: a)3
4=· · ·
20b)
2
5=
8
· · ·
ACT - Nivel II ESA
Los números 12
Representación gráfica de fracciones
A cada fracción le podemos asociar un único punto en la recta. Para hacerlo se traza una recta y sefija en ella un punto correspondiente al cero y un segmento unidad. Según sean las fracciones propiaso impropias se procede de diferente manera.
Ejercicios
1. Representar sobre la recta numérica las siguientes fracciones: a)4
5b)
13
4
2. Representa en la recta numérica las fracciones que se indican: a)−4
3b)−1
3c)
2
3d)
4
3
3. Representa en la recta numérica y ordena de menor a mayorlos siguientes números:
a)7
6b)−3
5c)−4
5d)
7
4e)
5
2f )−1
3
4. Representa: 1/3, 3/4, -5/4, -2/3 y -1/2. Ordenalos de menor a mayor.
Porcentajes
El porcentaje es un caso particular de las proporciones. Un 15 % de descuento significa que de cada100 e del precio de un artículo el comercio descuenta 15 e. El importe del descuento es una magnitudproporcional al precio original. Por tanto, para dar solución al problema, si tenemos en cuenta que elprecio del artículo es de 14’40 e, hay que resolver la siguiente relación de equivalencia:
15
100=x
14′40=⇒ x =
15 · 14′40
100, en general: x =
porcentaje · cantidad
100
Ejercicios
1. Expresa el porcentaje expresado por las siguientes fracciones:
a)2
100b)
14
25c)
1
2d)
99
100e)
2
5f )
1
4g)
3
30h)
2
50
2. Expresa en forma de fracción irreducible los siguientes porcentajes: 4 %, 99 %, 50 %, 75 %, 13 %
3. Aplica los siguientes porcentajes a la cantidad de 5400:
a) 5 % b) 12 % c) 8 % d) 15 %e) 1 % f) 10 % g) 25,5 % h) 99 %
4. En el campeonato escolar el equipo de fútbol del colegio jugó 40 partidos de los que ganó 25,empató 10 y perdió 5 partidos. ¿Qué porcentaje representan los partidos ganados, empatados yperdidos?
5. El 3 % ( 3 por ciento o 3 de cada 100, es decir,3
100) de los alumnos de un colegio llevan gafas.
Hay 12 alumnos con gafas. ¿Cuántos alumnos tiene el colegio?
6. En un colegio electoral han votado 990 personas, de las cuales2
5son mujeres y el resto hombres.
¿Cuántos hombres y mujeres votaron? ¿Qué porcentaje de hombres y mujeres votaron?
7. Al comprar un ordenador cuyo precio de catálogo es de 720 e, te aplican un IVA del 16 %.¿Cuánto debes pagar por el ordenador?
8. Isabel tiene ahorrados 3.000 e en la caja de ahorros del barrio, que le da un 2,5 % anual poreste dinero. ¿Qué interés le produce su capital al final de año?
ACT - Nivel II ESA
Los números 13
Operaciones con fracciones
Reducción de fracciones a común denominador
Para reducir fracciones a común denominador, es decir, a fracciones equivalentes con el mismodenominador se procede de la siguiente manera:
1. Se toma como denominador común de todas las fracciones el mínimo común múltiplo (m.c.m)
de los denominadores.
2. Se divide el m.c.m. por el denominador de la fracción y el resultado se multiplica por el nume-
rador.
La primera utilidad que encontramos cuando reducimos fracciones a un común denominador esque podemos comparar fracciones, es decir, establecer que fracción es mayor o menor. Para comparardos fracciones: se reducen a común denominador y será mayor la que tenga mayor numerador.
Ejercicios
1. Reducir a común denominador las fracciones2
21,
3
14,
4
7y
5
6.
2. Reduce a común denominador: a)5
8y
3
7b)
7
6y
4
9c)
3
14,
3
35y
1
7
3. Reduce a común denominador las siguientes fracciones:
a)2
3y
5
4
b)7
24y
3
8
c)1
2,
7
8y
3
10
d)3
6,
1
8y
5
12
e)5
7,
2
3y
3
14
f )3
4,
5
12y
7
3
4. Indica cuál es la fracción mayor de cada par:
a)4
3y
5
6
b)2
3y
4
5
c)1
3y
2
5
d)4
7y
5
11
e)8
9y
11
12
f )3
4y
7
8
5. Un estanque está lleno hasta sus3
4, y otro igual hasta sus
2
3, ¿cuál contiene mayor cantidad de
agua?
Al igual que con los números naturales y enteros, con las fracciones se pueden realizar las cuatrooperaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división, obteniéndose como resultado otra fracción.
Los resultados deben simplificarse siempre. La fracción final debe ser irreducible.
Suma y resta de fracciones
Para sumar o restar fracciones es necesario que las fracciones tengan el mismo denominador. Sepueden presentar dos casos:
• Fracciones con igual denominador: se suman los numeradores teniendo en cuenta sus signos y
se deja el mismo denominador.
• Fracciones con distinto denominador: en primer lugar debemos obtener fracciones equivalentes
que tengan el mismo denominador (m.c.m. de los denominadores), y a continuación sumaremos lasfracciones como en el primer caso.
ACT - Nivel II ESA
Los números 14
Ejercicios
1. Sumar: a)5
8+
7
8b)
9
6−
1
6
2. Calcular la siguiente suma de fracciones:3
5+
7
4−
13
15
3. Sumar las siguientes fracciones y expresar el resultado en forma de fracción irreducible:
a)3
5+
4
3
b)3
5−
2
5
c)7
12+
7
4
d)13
12−
2
3
e)1
2−
1
4
f )1
3−
1
5
g) 1−3
4
h)1
6+
3
4−
1
2
4. Haz las siguientes sumas y restas:
a)2
7+
1
2+
5
14
b)4
9+
5
6+
1
9
c)7
8+
3
5+
3
4
d)1
2+
1
3+
1
4
e)5
2+
4
3+
8
9
f )7
2−
1
4+
3
8
g)4
3+
1
9−
2
15
h) 3−1
2−
1
4
Multiplicación de fracciones
El producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los
numeradores, y como denominador, el producto de los denominadores de las fracciones.
a
b·c
d=a · c
b · d
División de fracciones
Inversa de una fracción
La inversa de una fracción es otra fracción que tiene por numerador el denominador de la primera,
y como denominador, el numerador de la primera.
Inversa dea
b−→b
a
Al dividir dos fracciones se obtiene otra fracción que se puede obtener multiplicando la primera
fracción por la inversa de la segunda.
a
b:c
d=a
b·d
c=a · d
b · c
Operaciones combinadas
Para realizar operaciones combinadas de fracciones hay, que respetar el orden en las operaciones,a saber:
I) Eliminar paréntesis.
II) Efectuar las operaciones de multiplicación y división de fracciones en el orden en que aparecen,de izquierda a derecha.
III) Efectuar las operaciones de suma y resta de fracciones en el orden en que aparecen, de izquierdaa derecha.
a)1
2−
3
2·
(1
3+
2
5+
1
30
)
b)
[(1
3+ 3
)
:
(
2−1
4
)]
: 3 c)1
3·
21
4−
1
5:
1
25
ACT - Nivel II ESA
Los números 15
Ejercicios
1. Calcular el producto de las siguientes fracciones: a)3
2·
5
7b)
6
11·
5
4·
3
2
2. Escribe las fracciones inversas:1
3,
2
5, −
5
2,−1
10y 8
3. Calcular los siguientes cocientes:
a)2
3:
5
2b)
1
3:
3
5c)
15
7:
10
3d)
21
3:
(
−7
3
)
4. Efectúa y simplifica:
a)7
2− 3
b) 1−3
4
c)2
3−
1
8−
3
16
d) 7 +11
7+
13
14− 5
e)27
4−
3
8− 1
f )1
2+ 1−
11
12
g)1
5+
1
3+
2
15+ 2
h)2
9:
1
3
i)3
4: 6
j)5
2:
1
3
k) 2 :4
3
l)3
5· 15
m)3
5·
1
3
n)1
9· 3
ñ) 8 +1
2+ 3 +
1
4+
1
8
o)4
3+
1
9−
2
15
5. Haz las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma de fracción irreducible:
a)3
5· 15
b)1
3· 9
c)2
3·
4
5
d)1
8·
16
15
e)2
3:
1
4
f )5
2: 3
g)3
10·
10
9
h)5
2:
1
3
6. Opera y simplica al máximo:
a)3
8
(5
3−
1
2
)
b)4
11
(3
4−
1
5
)
c)1
2+
2
3+
1
4+
8
15
d)9
13−
5
13
e) 3 +3
4−
9
16
f )20
8÷
(−6
5
)
g) 1−
(
1 :3
4
)
+8
5:
(7
2− 3
)
h)
[11
2:
(1
4−
2
3
)]
·1
11
i)
(5
3:
10
3−
2
3· 5
)
·1
2
7. Resuelve las operaciones siguientes y da el resultado en forma de fracción irreducible:
a)10
3− 6
b)9
4÷
12
9
c)−6
4·
15
2
d)20
−8÷
(−2
5
)
e)1
−3:
1
3
f )7
2+ 3 ·
(−1
3+
2
9
)
8. Resuelve las operaciones siguientes y da el resultado en forma de fracción irreducible:
a)1
4−
2
5+
3
12
b)5
6−
3
7+
10
21
c)8
5·
10
3·
9
2
d)
(−3
7
)(−14
2
)
·5
3
e)6
7+
4
5−
3
6
f )
(5
6−
3
7+
10
21
)
:5
42
ACT - Nivel II ESA
Los números 16
9. calcular:
a)3
4·
5
6+
5
6·
1
9b)−3
11·
1
4+
6
5·−3
11c)
2
3·
1
5+
2
3·
5
6d)
1
2·
3
4−
1
2·
1
6
10. Calcular: a)
6
5+
4
37
5+
5
3
b)2−
2
31
5−
2
3
− 3
11. Calcular: a) 5− 3 ·
(
4 :3
5+ 1
)
b)
(7
4+
2
3−
1
5
)
:
(2
4+
1
9−
1
10
)
12. Unos zapatos cuestan en una zapatería 39,07 e. En otra tienda el precio de los mismos zapatoses de 41 e, pero en esa tienda ofrecen una rebaja del 5 %. ¿Dónde salen más baratos los zapatos?
13. María se quiere comprar un piso de 60.000 e. Sabiendo que el IVA es del 7 %, ¿cuánto tendráque pagar María por el piso?
14. Las monedas de 50 céntimos, 20 céntimos y 10 céntimos de euro están hechas de una aleaciónllamada ”Oro Nórdico”, de forma que cada 100 partes, 89 partes son de cobre, 5 de aluminio, 5de cinc y 1 parte de estaño.
a) Obtener el porcentaje de cada metal en las monedas.
b) La moneda de 50 céntimos tiene un peso de 7 g. ¿Cuántos gramos tiene de cobre? ¿Y dealuminio? ¿Y de cinc? ¿Y de estaño?
15. A lo largo de todo el curso, Pedro ha conseguido ahorrar 155,06 e. Antes de irse de vacacionesdesea comprarse una bicicleta que cuesta 178,2 e, pero que se vende con un descuento del 15 %¿Le alcanzará a Pedro el dinero ahorrado para comprarse esta bici?
16. En vacaciones, a Beatriz le pusieron una multa de 90 e por dejar el coche en la parada del bus.Se olvidó de la multa, y la tuvo que pagar fuera de plazo con un 15 % de recargo. ¿Cuánto pagópor la multa?
17. Calcula y simplifica: a) 1−
(
1 :3
4
)
+5
2:
(7
2− 3
)
b)
[1
3+
1
2
(1
2−
1
4
)
+ 5
]
− 3
18. Calcula y simplifica: a)3−
1
2·
4
3(1
2− 4
)
· 7b)
−3
5·
(5
−7
)
·7
3−3
2+ 1
19. Una familia dispone de 1.202 e de presupuesto mensual. Dedica 1/4 en pagar la vivienda y 1/2a gastos de alimentación. ¿Qué fracción representan los demás gastos? ¿Qué cantidad disponepara pagar la vivienda? ¿Y para la alimentación? ¿Y para los demás gastos?
20. Calcula y simplifica en cada caso:
a)
(8
9−
7
6
)
·
(6
5−
3
10
)
:
(1
2+
3
4
)
b)1
3·
(
1−1
2
)
+2
3−
1
4
21. A un enfermo hay que suministrale 900 mg de una medicación formada por 1/3 de antibióticos,1/4 de penicilina y el resto de analgésico. ¿Cuántos mg de antibiótico hay que emplear? ¿Y depenicilina? ¿Y de de analgésico?
22. Calcula y simplifica en cada caso:
a)3
2·
1
2+
3
6+ 1
2
3+
3
9
b)−3 +
1
2·
4
3(1
2− 3
)
· 2−
5
3: 7
ACT - Nivel II ESA
Los números 17
23. Luis tiene 150 cromos. Le regala a su hermana Elisa 2/3 de los cromos; y ésta a su vez le regala1/10 de su parte a su amigo Fernando.
a) ¿Cuántos cromos obtuvo Fernando?
b) ¿Cuantos cromos le quedaron a Elisa? ¿Y a Luis?
24. Calcula y simplifica en cada caso:
a)3−
1
2·
4
3(1
2− 3
)
· 7+
7
3: 2 b)
2
3+ 5
(1
2− 1
)
7
4− 2
+
(1
2− 4
)
· 3
25. Ana va a una tienda a comprarse un equipo de música de 138 e. Calcula cuánto deberá pagarpor el equipo de música si le hacen una rebaja del 10 % y además le tienen que cobrar un 16 %de I.V.A.
26. Escribe la expresión numérica. se divide 30 por 1/2 y se suma 10. Calcula el resultado.
27. Una marca de leche contiene un 3 % de materia grasa . Si un litro de leche pesa 1.050 g:
a) ¿cuánta grasa hay en ese litro?
b) ¿cuál sería el tanto por ciento de grasa en un vaso de esa misma leche?
28. Calcula y simplifica en cada caso:
a)
(
−−1
3
)
· (−4) +2
5b) 1−
(
1 :3
4
)
+8
5:
(7
2− 3
)
c)8
5·
[2
7+
(
−1
3
)
+2
5
]
29. El precio de un articulo, que vale 50 e,sube un 10 % y posteriormente baja un 10 %. Calcula siel precio final del articulo es igual al inicial.
30. Calcula y simplifica en cada caso:
a)
5
2−
5
6+
2
3−5
42
3−
5
4·
(1
3+
5
6
) b)−
1
5·
10
24
3·
3
2+
6
3
c)
2
4+ 6−
5
3
1 +4
5
d)
1
2+ 1
1−1
2
1 +1
2
31. Un embalse se encuentra al 22 % de su capacidad, lo que representa 176 hm3. ¿Cuál es lacapacidad total del embalse?
ACT - Nivel II ESA
Los números 18
Solución de los ejercicios
Números enteros - páginas 2, 3, 4
1.
2. a) 5 b) 2 c) -27 d) +13
3. a) 6 b) 14 c) -14 d) -6 e) 0 f ) 10 g) +4 h) +12
4. a) -6 b) -3 c) +2 d) 9 e) -2 f ) -8
5. a) 2 b) 11 c) -17 d) 10
6. a) -4 b) -22 c) -20 d) -12 e) -5 f ) 19 g) 24 h) 58
7.
8.
9. a) -12 b) 16 c) 5 d) -15 e) 3 f ) 5
10. a) -1 b) 0 c) -2 d) -3 e) 0 f ) -9 g) -5 h) No tiene solución dentro de los números enteros
11. a) -4 b) 3 c) -10 d) -7 e) 10 f ) 14 g) -1 h) 0 i) 6 j) -4 k) -8 l) 8 m) -3 n) -4ñ) 10
12. +4 C
13. 19.870 m
14. 4.011 habitantes
15. 42.875.000 L de agua
16. a) +37 b) -89 c) 57 d) +17 e) 11 f ) +7 g) +9
17. a) 4 b) 44 c) 66 d) 136 e) 126 f ) 8 g) 56 h) 661
18. 15 L/Hab
19. 202 e, 58 e
20. 10.350 kg
21. a) 138 b) -26 c) -7 d) +5 e) 16 f ) 11 g) +8 h) -7
22. 2.288 años d. C. / +2.288 años.
23. 1
24. a) 0 b) +7 c) 26
25. 10 m
26. +10 e
27. -4 C, -8 C
28. a) -3 C b) -2.000 e c) -25 m d) +80 m e) +6 m f ) -3.000 años
ACT - Nivel II ESA
Los números 19
Potencias - páginas 5, 6
1. a) 24 b) 122 c) 83 d) No, son sumas. e) 42 · 32 f ) 94
2. a) 54 = 625 b) 63 = 216 c) 105 = 100000 d) 36 = 729 e) 103 = 1000 f ) 1018 = 1 trillón
3.
4. a) 81 b) 81 c) 27 d) -27 e) -8 f ) 2 g) 1 h) 1 i) -1 j) -49 k) 49 l) 1 m) 1 n) -1 ñ) 0o) -1 p) -1 q) 1
5.
6. a) -3, 1296 b) -6, -8 c) 5, 3 , 125, -1000 d) 2, 4, 4, 1296, 16, 81
7. a) 3 b) 2 c) 24 d) 0
8. a) 26 b) 64 c) 710 d) 827 e) 108 f ) 511 g) 15−2 h) 46
9. a) 29 b) 36 c) 29 d) 47 e) 56 f ) 72 g) 54 h) 37
10. a) 0 b) 2 c) 2, 7 d) 0
11. a) 3 b) 1 c) -8 d) -8 e) 9 f ) -9 g) -1 h) 32 i) 2 j) 8 k) 256 l) 100 m) 15625 n) 625ñ) 1 o) 100 p) 59049 q) 81 r) 1296 s) 64 t) 10000 u) 81 v) 216 w) 49 x) 1
12. a) 10 b) 107 c) 104 d) a11 e) a3 · b4 f ) 10−5
13.
14.
15. a) -14 b) 7 c) 0
16. a) 27 b) 1 c) 1
17. a) 422 b) 423 c) (−42)2d) 7 e) 6−7 f ) 93 g) 10−16 h) 10−24
ACT - Nivel II ESA
Los números 20
Fracciones - página 11
1.
2.7
4
3. Sí
4.4
21
5. a)1
2b)
1
3c)
1
3d)
1
3e)
2
3
6. No
7. Sí
8. a)1
5b)
1
2c)
2
3d)
5
3e) f )
3
11
9. a)19
2b)
1
4c)
4
1d)
3
19e)
5
1f )
1
6g)
2
5h)
1
3
10. a)1
2b)
1
3c)
1
3d)
1
3e)
2
3f )
3
2g)
2
1h)
3
11
11. a) 15 b) 20
Porcentajes - página 12
1. a) 2 % b) 56 % c) 50 % d) 99 % e) 40 % f ) 25 % g) 10 % h) 4 %
2. a)1
25b)
99
100c)
1
2d)
3
4e)
13
100
3. a) 270 b) 648 c) 432 d) 810 e) 54 f ) 540 g) 1377 h) 5346
4. a) 62’5 % b) 25 % c) 12’5 %
5. 400
6. a) 40 % b) 60 % c) 594 d) 396
7. 835’2
8. 75 e
ACT - Nivel II ESA
Los números 21
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.
ACT - Nivel II ESA
