LPM-MATEMATICAS-2-V2-P-117-166

6 =6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x666

9=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x999


6 =6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x666

















BLOQUE 4

118 L ib ro para e l maest ro

102

secuencia 24

En esta secuencia vas a conocer las leyes de los exponentes y vas a utilizar la notación científica para resolver problemas.

PRODUCTO DE POTENCIASPara empezarEn la secuencia 26 de tu libro Matemáticas i, volumen ii estudiaste que una potencia es la multiplicación de un número por sí mismo varias veces. Por ejemplo: 7 × 7 × 7 × 7× 7 es la quinta potencia de 7, se escribe 75 y se lee como 7 elevado a la 5 o simplemen-te 7 a la 5. El 7 es la base y el 5 es el exponente.

La segunda potencia de un número también se llama el cuadrado del número o el nú-mero elevado al cuadrado, y la tercera potencia de un número también se dice el cubodel número o el número elevado al cubo.

En esta sesión harás productos de potencias con la misma base.

Consideremos lo siguienteCalculen los resultados de los siguientes productos y respondan las preguntas.

a) 2 × 2 × 2 × 2 =

b) El resultado se puede expresar como una potencia de 2, ¿cuál es el exponente?

2 × 2 × 2 × 2 = 2

c) 23 × 24 = × =

d) El resultado se puede expresar como una potencia de 2, ¿cuál es el exponente?

23 × 24 = 2

e) 25 × 21 = × = = 2

f) 2 = 256

Comparen sus respuestas. Comenten como hicieron para encontrar los exponentes.

SESIóN 1

Potencias ynotación científica

MAT2 B4 S24.indd 102 9/10/07 12:39:40 PM

Propósito de la sesión. Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular productos de potencias enteras positivas de la misma base.

Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con sus alumnos con el propósito de que recuerden algunos conceptos básicos que se vieron en el libro de Matemáticas I, volumen I y volumen II. Usted puede plantear otros ejemplos para que puedan distinguir la base y el exponente, así como para que recuerden qué deben hacer para elevar un número a una determinada potencia.

Propósito de la sesión en el aula de medios. Realizar el producto de potencias enteras y positivas de la misma base.

Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 1.

Propósito de la actividad. Se espera que los alumnos calculen numéricamente el resultado de las operaciones y que encuentren la potencia con la que se puede expresar el resultado.

Posibles errores. Un error común es que los alumnos identifiquen una potencia con una multiplicación, por ejemplo que interpreten 25 como 2 × 5.

En lo que se refiere a la potencia 1, en Matemáticas I no estudiaron ese caso de mane-ra explícita, por lo que es posible que tengan dificultades para interpretarla.

Sugerencia didáctica. Mientras los alumnos resuelven, procure identificar sus dificultades y errores, para que en el momento de la comparación de resultados puedan aclararse algunos de ellos. Particularmente, usted puede precisar que la potencia 1 indica que la base se debe multiplicar sólo una vez.

En caso de que los alumnos continúen teniendo algunas dudas, podrán aclararlas con las actividades del apartado Manos a la obra.

Eje

Sentido numérico y pensamiento algebraico.

Tema

Significado y uso de las operaciones.

Antecedentes

En la secuencia 26 del libro Matemáticas I, volumen II, los alumnos tuvieron un primer acercamiento al trabajo con potencias.

Con el libro de Matemáticas II, se espera que los alumnos amplíen sus conocimientos sobre el tema incorporando la multiplicación y la división de potencias positivas, las potencias de una potencia, así como la interpretación de exponentes negativos.

Propósito de la secuencia Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular productos y

cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Interpretar el significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.

Utilizar la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.

Sesión Propósitos de la sesión Recursos

1Producto de potencias Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular productos de potencias enteras positivas de la misma base.

Interactivo Potencias y exponentes

Aula de medios Leyes de los exponentes I (Calculadora)

2Potencias de potencias Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular potencias de potencias enteras positivas.


3Cocientes de potencias Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular cocientes de potencias enteras positivas de la misma base.


Aula de medios Leyes de los exponentes III (Calculadora)

4Exponentes negativos Interpretar el significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.


Aula de medios Leyes de los exponentes II y IV

(Calculadora)

5Notación científica Utilizar la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.

Video Números muy grandes y muy pequeños

Interactivo Potencias y exponentes Programa integrador 19

16

4

8 16 128

7

32 2 64 6

8

119L ib ro para e l maest ro

103

IIMATEMÁTICAS

Manos a la obraI. Escriban cada una de las potencias como multiplicaciones y respondan las preguntas.

a) 23 × 22 = × × × ×

23 × 22

b) ¿Cuántos 2 se están multiplicando en total?

c) 21 × 26 = ×

21 × 26

d) ¿Cuántos 2 se están multiplicando en total?

e) 27 × 23 =

f) ¿Cuántos 2 se están multiplicando en total?

II. Completen la siguiente tabla de multiplicación de potencias de base 2. Escriban todos los resultados utilizando una potencia de esa misma base.

× 21 22 23 24 25

21 26

22 23

23 26

24

25

El resultado del producto de dos potencias de la misma base se puede expresar como otra potencia de esa misma base, ¿cómo podemos encontrar el exponente del resultado?

Comparen sus respuestas. Comenten:

a) La multiplicación 32 × 34 se puede expresar como una potencia de 3, ¿cuál es el ex-

ponente de esta potencia?

b) La multiplicación 47 × 45 se puede expresar como una potencia de 4, ¿cuál es el ex-


c) La multiplicación (2a)(2b) se puede expresar como una potencia de 2, ¿cuál es el ex-


MAT2 B4 S24.indd 103 9/10/07 12:39:41 PM

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen porqué se suman los exponentes en un producto de potencias de la misma base; es decir, que esto es así porque se cuentan cuántos factores de la base aparecen en total.

Respuestas.a) 2 × 2 × 2 × 2 × 2.

b) Hay 5.

c) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2.

d) Hay 6.

e) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2× 2 × 2 × 2 × 2.

f) Hay 10.

Sugerencia didáctica. Es posible que algunos alumnos escriban en los incisos a), c) y e) sólo el resultado numérico (por ejemplo, para el inciso e) 128 × 8 = 1 024); si esto sucede, invítelos a que expresen cada una de las potencias escribiendo todos los factores, pues eso les permitirá identificar el número total de factores para cada potencia.

Propósito de la actividad. Que los alumnos sean capaces de generalizar la regla de los exponentes para multiplicar potencias de la misma base y que la expresen de manera verbal y de manera algebraica.

Sugerencia didáctica. Con el propósito de que los alumnos se percaten de que el procedimiento que se muestra con la base 2 es el mismo para otras bases, usted puede pedir a los alumnos que hagan una tabla similar para cualquier otra base.

Respuestas.a) 6

b) 12

c) a + b

Sugerencia didáctica. Es importante que comente el último inciso con sus alumnos, pues su propósito es establecer la regla algebraica. Usted puede plantear otro ejemplo utilizando otra base y letras distintas.

22 23 24 25 24 25 26 27

24 25 27 28

25 26 27 28 29

26 27 28 29 210


104

secuencia 24

A lo que llegamosEn un producto de potencias de la misma base el resultado es igual a la misma base elevada a la suma de los exponentes

(a n)(a m) = a n+m

Por ejemplo:

27 × 210 = 27+10 = 217

iii. Expresen como potencia de la misma base el resultado de los siguientes productos de potencias:

a) 28 × 24 = b) 52 × 59 =

c) 75 × 712 = d) (3a)(3b) =

e) (n 3 )(n 2) = f) (m a)(m b) =

Lo que aprendimos1. Relaciona las columnas

( ) 3 × 3 × 3 × 3 × 3

( ) 23 × 24

( ) 26

( ) 23 + 24

(a) 14

(b) 64

(c) 53

(d) 24

(e) 47

(f) 35

(g) 48

(h) 27

(i) 12

2. Expresa el resultado de las siguientes operaciones como una potencia:

a) 36 × 33 = b) 52 × 56 = c) 210 × 25 =

d) 81 × 87 = e) (7 × 7 × 7) × (7 × 7) = f) (63) × (6 × 6 × 6) =

g) 213 × 21 = h) 45 × 42 × 46 = i) 31 × 312 × 37 =

MAT2 B4 S24.indd 104 9/10/07 12:39:42 PM

Sugerencia didáctica. Usted puede sugerirles que agreguen algunos ejemplos más.

Propósito del interactivo. Que los alumnos exploren diferentes ejemplos para comprobar la generalidad de la regla de los exponentes al multiplicar potencias de la misma base.

Integrar al portafolios. Con la actividad 1 usted puede identificar si los alumnos confunden todavía la potencia con la multiplicación; si esto es así, revise junto con ellos cada uno de los casos para que distingan la expresión de una suma reiterada mediante una multiplicación, y la expresión de un producto de potencias de la misma base.

Con la actividad 2 usted puede identificar si cometen algunos errores en la aplicación de la regla de los exponentes que acaban de aprender; en ese caso revise junto con ellos nuevamente el apartado A lo que llegamos de esta sesión.

Sugerencia didáctica. En los dos últimos ejercicios el maestro puede sugerirles que realicen la primera multiplicación y luego la otra. Si lo considera pertinente, puede comentar en grupo que ahí se generaliza la regla y se suman los tres exponentes.

212 511

717 3a + b

n5 m a + b

f

h

b

d

39 58 215

88 75 66

214 413 320


105

IIMATEMÁTICAS

POTENCIAS DE POTENCIASPara empezarEn la sesión anterior realizaste productos de potencias de la misma base. En esta sesión harás potencias de potencias.

Consideremos lo siguienteCalcula el resultado de las siguientes potencias de potencia. Todos los resultados se pue-den expresar como una potencia, encuentra cuál es.

OperaciónExpresa el resultado como una potencia de la misma base

(22)3 = = 2

(24)2 = = 2

(52)2 = = 5

(33)2 = = 3

(23)3 = = 2

Comparen sus respuestas. Comenten cómo hicieron para encontrar el exponente con el que expresaron el resultado.

Manos a la obraI. Responde las preguntas.

a) Señala cuál de los tres procedimientos siguientes es correcto para encontrar el resultado de (23)3.

(23)3 = (6)3 = 216.

(23)3 = (2)6 = 64.

(23)3 = (8)3 = 512.

b) El resultado se puede expresar como una potencia de 2, ¿cuál es el exponente?

•

•

•

SESIÓN 2

MAT2 B4 S24.indd 105 9/10/07 12:39:42 PM

Propósito de la sesión. Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular potencias de potencias enteras positivas.

Propósito de la actividad. Que los alumnos calculen numéricamente el resultado de las potencias de potencias y que, posteriormente, encuentren la potencia con la que puede expresarse ese resultado.

Posibles procedimientos. Un primer reto que los alumnos deben enfrentar es ¿cómo interpretar la expresión que se les plantea? Por ejemplo, ¿qué quiere decir (22)3? Anime a los alumnos a que expresen su interpretación planteando las operaciones que consideren necesarias. Además del cálculo numérico, otras formas de responder son las siguientes:

(22)3 = (2 × 2) (2 × 2) (2 ×2)

(22)3 = 22 × 22 ×22

En el primer caso pueden contar el número de factores para encontrar el resultado, mientras que en el segundo pueden sumar los exponen-tes.

Respuestas.

(22)3 = 43 = 64 = 26

(24)2 = 162 = 256 = 28

(52)2 = 252 = 625 = 54

(33)2 = 272 = 729 = 36

(23)3 = 83 = 512 = 29

Sugerencia didáctica. Mientras los alumnos trabajan, usted puede observarlos para identificar dos o tres formas distintas de resolver. Posteriormente puede pedir a algunos de esos alumnos que pasen al pizarrón a mostrar cómo resolvieron algunos de los ejercicios. Destaque aquellas expresiones que sean distintas pero correctas, e invite a los alumnos a identificar las que sean erróneas.

Propósito de la actividad. Confrontar los errores más comunes que suelen cometer los alumnos al evaluar las potencias: confundir una potencia con una multiplicación, y sumar los exponentes en una potencia de potencia.

Respuestas.

a) El procedimiento correcto es el tercero.

b) El exponente es 9.

c) El primer procedimiento es incorrecto porque se está multiplicando la base por el exponente. El segundo procedimiento es incorrecto porque se están sumando los exponentes.

Sugerencia didáctica. Invite a los alumnos a que argumenten por qué consideran que un procedimiento es correcto o incorrecto.


106

secuencia 24c) Explica dónde está el error en los dos procedimientos que no señalaste.

ii. Responde las preguntas.

a) Expresa las siguientes multiplicaciones como una potencia de potencia:

23 × 23 × 23 × 23 = (23)

64 × 64 × 64 × 64 × 64 × 64 × 64 = (64)

b) Desarrolla la siguiente potencia de potencia:

(32)5 = × × × × × × × × ×

32 × 32 × 32 × 32 × 32

c) ¿Cuántos 3 se están multiplicando en total?

d) Desarrolla (53)2

(53)2 = ×

53 × 53

e) ¿Cuántos 5 se están multiplicando en total?

Comparen sus respuestas. Comenten: la potencia de potencia (53)4 se puede expresar como una potencia de base 5, ¿cuál es el exponente?

iii. Expresa como potencia el resultado de las siguientes potencias de potencias:

a) (32)7 = b) (56)3 =

c) (27)1 = d) (n 4)8 =

e) (2a)b = f) (m a)b =

El resultado de una potencia de potencia, se puede expresar como otra potencia de esa misma base, ¿cómo podemos encontrar el exponente del resultado?

MAT2 B4 S24.indd 106 9/10/07 12:39:43 PM

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen una potencia de potencia y que justifiquen porqué se multiplican los exponentes en una potencia de potencia.

Respuestas.

a) (23)4

(64)7

b) 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3× 3 × 3 × 3 × 3.

c) 10

d) 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5

e) 6

En la confrontación grupal se espera que el grupo identifique que hay que multiplicar 12 veces el 5. Si hay dificultades puede hacerse un proceso similar al que se propone en la actividad:

(53)4 = (53) × (53) × (53) × (53) = 5 × 5 × 5 × × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5× 5 = 512

Propósito de la actividad. Establecer algebraicamente la regla de la potencia de potencia. Para encontrar el exponente del resultado se multiplican los exponentes. 314 518

27 n 32

2a b m a b

Sugerencia didáctica. Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos y anótelas en el pizarrón. Resalte las diferencias que hubiera y si no saben cuál es la respuesta correcta, sigan resolviendo y regresen a esta parte cuando terminen la sesión.


107

IIMATEMÁTICAS

A lo que llegamosEn una potencia de potencia, el resultado es igual a la base elevada al producto de los exponentes.

(a n)m = a nm

Por ejemplo:

(85)3 = 85 × 3 = 815

Lo que aprendimos1. Relaciona las columnas

( ) 52 × 53

( ) 52 + 53

( ) (52)3

(a) 30

(b) 56

(c) 255

(d) 150

(e) 55

(f) 25

(g) 256

2. Expresa el resultado de las siguientes operaciones como una potencia:

a) (36)1 = b) (51)4 =

c) (210)5 = d) (42)6 =

e) (34)2 = f) (27)5 =

g) ((23)2)4 = h) ((32)5)7 =

MAT2 B4 S24.indd 107 9/10/07 12:39:44 PM

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que agreguen algunos ejemplos más.

Integrar al portafolios. En caso de que algunos alumnos cometan errores en el primer ejercicio, particularmente en el caso de la potencia de potencias, trate de identificar cuáles son los errores y coméntelos durante la comparación de resultados (por ejemplo, sumar los exponentes o considerar sólo uno de los exponentes).

Sugerencia didáctica. En los dos últimos casos se tiene que aplicar la regla dos veces consecutivas. Usted puede comentar en grupo que en estas situaciones se generaliza la regla, por lo que se multiplican los tres exponentes.

36 54

250 412

38 235

224 370

Propósito del interactivo. Que los alumnos exploren diferentes ejemplos para comprobar la generalidad de la regla de los exponentes para calcular potencias de potencias.

e

d

b


108

secuencia 24

COCIENTES DE POTENCIASPara empezarEn las sesiones anteriores realizaste productos de potencias de la misma base y potencias de potencias. En esta sesión harás cocientes de potencias de la misma base.

Consideremos lo siguienteEncuentra el resultado de los siguientes cocientes de potencias de la misma base y ex-présalo utilizando una potencia:

Operación Expresa el resultado como una potencia de la misma base

25

22 = 324

= = 2

34

32 = = 3

2

2 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

2 × 2 × 2 × 2 = = 2

24

27 = 16128

= =1

2

3

3= 3 × 3

3 × 3 × 3 × 3= =

1

3

22

28 = = 1

2

Comparen sus respuestas. Comenten cómo hicieron para encontrar el resultado de cada cociente y cómo encontraron los exponentes que faltaban.

Manos a la obrai. Encuentra el resultado de los siguientes cocientes y exprésalo

como una potencia de la misma base.

a) 26

22 = 644

= = 2

b) 34

33 = =

c) 27

23 = =

Recuerda que:

Para simplificar una fracción, se

divide por el mismo número al

numerador y al denominador.

Por ejemplo: 624

= = 14

÷ 6

÷ 6

Entonces 624

y 14

son equivalentes.

SESIÓN 3

MAT2 B4 S24.indd 108 9/10/07 12:39:46 PM

Propósito de la sesión. Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular cocientes de potencias enteras positivas de la misma base.

Propósito de la sesión en el aula de medios. Realizar el cociente de potencias enteras positivas de la misma base.


Propósitos de la actividad. Que los alumnos calculen numéricamente el resultado de los cocientes de potencias y que identifiquen cuál es el exponente de algunas potencias; que expresen el resultado mediante una potencia.

Posibles dificultades. Es probable que algunos alumnos tengan dificultades para simplificar las fracciones, si esto es así, usted puede ayudarles a recordar cómo se hace esto (en la siguiente actividad se les aclara). Lo importante es que en este momento los alumnos tengan la oportunidad de explorar cómo se obtiene el resultado de un cociente de potencias de la misma base, y para ello se les dan algunas pistas en algunos de los casos de la misma tabla. Más adelante se les muestra el procedi-miento correcto.

Respuestas.

8 = 23

819

= 9 = 32

26

24 = 64

16 = 4 = 22

18

= 123

32

34 = 9

81 = 1

9 = 1

32

22

28 = 4

256 = 1

64 = 1

24

Sugerencia didáctica. Si hubo dificultades para simplificar las fracciones, dedique un poco más de tiempo a revisar con los alumnos cómo se hace esa simplificación apoyándose en la información del marco Recuerda que; si lo considera pertinente, usted puede mostrar otros ejemplos en el pizarrón o pedir a algunos alumnos que simplifiquen otras fracciones.

Respuestas.

a) 16 = 24

b) 8127

= 3 = 31

c) 1288

= 16 = 24

d) 13

= 131

e) 864

= 18

= 123

f) 92187

= 1243

= 135


109

IIMATEMÁTICAS

d) 32

33 = 927

= = 1

3

e) 23

26 = =

f) 32

37 = =

II. En un cociente de potencias, se puede expresar cada potencia como una multiplica-ción y, para simplificar, se separan los factores:

26

22 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 22 × 2

= 22

× 22

× 2 × 2 × 2 × 2

a) ¿Cuál es el resultado de 22

?

b) Completa las operaciones con el resultado de 22

:

26

22 = 22

× 22

× 2 × 2 × 2 × 2 = × × 2 × 2 × 2 × 2 =

c) El resultado lo podemos expresar como una potencia de 2:

26

22 = 2

d) En el siguiente cociente de potencias, completa los resultados para simplificar los factores:

23

25 = 2 × 2 × 22 × 2 × 2 × 2 × 2

= 22

× 22

× 22

× 12

× 12

= × × × 12

× 12

=

e) Expresa el resultado utilizando una potencia de 2:

23

25 = 1

2

f) Completa las operaciones y encuentra el resultado:

2

2= 2 × 2 × 2 × 2 × 2

2 × 2 × 2 × 2 × 2 =

g) 27

27 =

III. Expresa el resultado de los siguientes cocientes utilizando una potencia de la misma base.

a) 29

24 =

MAT2 B4 S24.indd 109 9/10/07 12:39:47 PM

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen por qué se restan los exponentes en un cociente de potencias.

Con frecuencia se utiliza la cancelación de factores diciendo frases como “este factor se va con éste” o “cancelamos estos factores”, lo que lleva a los alumnos a pensar que todos los factores del numerador o del denominador se anulan, y que el resultado es 0.

En esta actividad se hace explícito que no se está cancelando, sino que, al separar los factores, algunas divisiones dan como resultado 1. También se explora el resultado de un cociente de potencias de la misma base en el que los exponentes son iguales.

a) 22

= 1

b) 26

22 = 2

2 × 2

2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 1 × 1 × 2 ×

× 2 × 2 × 2 = 16

c) 26

22 = 24

d) 23

25 = 2

2 × 2

2 × 2

2× 1

2× 1

2 =

= 1 × 1 × 1 × 12

× 12

= 14

e) 23

25 = 1

22

f) 25

25 = 2

2 × 2

2× 2

2× 2

2× 2

2 = 1

g) 27

27 = 1

Sugerencia didáctica. Se espera que los alumnos ya hayan identificado que es necesario restar los exponentes. Si no es así, usted puede sugerirles que realicen sus procedimientos como se hizo en la actividad anterior.

a) 29

24 = 25

b) 38

31 = 37

c) 54

58 = 1

54

d) 48

414 = 1

46


110

secuencia 24

b) 38

31 =

c) 54

58 =

d) 48

414 =


a) ¿Cuál es la relación entre los exponentes del cociente y el exponente del resultado?

b) ¿Cuál es el resultado de 59

59 ?

A lo que llegamos

• En un cociente de potencias de la misma base, cuando el exponente en el numerador es mayor que el exponente en el denominador, el resultado es igual a la misma base elevada a la diferencia de los exponentes.

En general, si n > m. a n

a m=an−m

Por ejemplo:613

65 = 613−5 = 68

• Cuando el exponente en el numerador es menor que el exponente en el denominador, el resultado es igual a una fracción con numerador igual a uno y con denominador igual a una potencia de la misma base elevada a la diferencia de los exponentes.

En general, si n < m.a n

a m =1

a m−n

Por ejemplo:7 4

7 12 = 1712−4 = 1

78

• Si los dos exponentes son iguales, el resultado es igual a uno.

En general,a n

a n = 1

Por ejemplo:96

96 = 1

MAT2 B4 S24.indd 110 9/10/07 12:39:49 PM

Respuestas. Para encontrar los exponentes del resultado se deben restar los exponentes del cociente.

El resultado de 59

59 es 1.

Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con los alumnos, posteriormente pídales que agreguen en sus cuadernos algunos ejemplos distintos a los que se muestran en cada uno de los casos.

Propósito del interactivo. Que los alumnos exploren diferentes ejemplos para comprobar la generalidad de la regla de los exponentes para calcular el cociente de potencias.


111

IIMATEMÁTICAS

Lo que aprendimosExpresa el resultado de los siguientes cocientes de potencias. Utiliza una potencia de la misma base.

a) 39

34 = b) 512

53 =

c) 28

21 = d) 43

43 =

e) 62

69 = f) 36

311 =

g) 211

211 = h) 810

821 =

i) m 18

m 9 = j) a 7

a 15

EXPONENTES NEGATIVOSPara empezarEn la sesión anterior encontraste el resultado de cocientes de potencias. En esta sesión trabajarás con exponentes negativos.

Consideremos lo siguienteCompleten los resultados y respondan las preguntas:

26 25 24 23 22 21 20 2−1 2−2 2−3 2−4 2−5 2−6 2−7

4 2 12

14

a) ¿Entre cuánto se divide para pasar del resultado de 24 al resultado de 23?

b) ¿Entre cuánto se divide para pasar del resultado de 22 al resultado de 21?

c) ¿Entre cuánto se divide para pasar del resultado de 2−1 al resultado de 2−2?

d) ¿Entre cuánto se divide para pasar del resultado de 2−2 al resultado de 2−3?

Comparen sus respuestas. Comenten cómo hicieron para encontrar el resultado de 20 y de las potencias con exponente negativo.

SESIÓN 4

MAT2 B4 S24.indd 111 9/10/07 12:39:50 PM

Propósito de la sesión. Interpretar el significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que hay un patrón en las potencias consecutivas: siempre se multiplica por dos o se divide entre dos. Se les da el resultado de dos potencias negativas para que los alumnos puedan intuir que el patrón se continúa hacia los negativos.

Posibles dificultades. Es probable que algunos alumnos no sepan cuál es el resultado que corresponde a 20, pero pueden responder identificando el patrón. En actividades posteriores de esta misma sesión, tendrán oportunidad de justificar el resultado de esa potencia.

Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos comenten entre ellos y que estén todos de acuerdo en las respuestas de la tabla, pues ésta puede servirles de apoyo para actividades posteriores. Usted puede sugerirles que revisen sus resultados considerando que siempre se hace la misma operación para pasar de una potencia a la siguiente.

35 59

27 1

167

135

1 1811

m9 1a8

Propósito de la sesión en el aula de medios. Realizar productos y cocientes de potencias enteras, fraccionarias, positivas y negativas.


Entre 2

Entre 2

Entre 2

Entre 2

64 32 16 8 1 18

116

132

164

1128


112

secuencia 24

Manos a la obrai. Entre dos potencias consecutivas, como las de la tabla, siempre se hace la misma

operación para pasar de una potencia a la siguiente. Completen los resultados.

a)1

8 =

1

2 = 2−3

b) 1

16 =

1

2 = 2

c) 1

32 =

1

2 = 2

d) 1

64 =

1

2 = 2

ii. Completen lo que falta en la tabla y respondan las preguntas:

33 32 31 3−2 3−3 3−4

1 13

a) Los resultados de 132 y de 3−2, ¿son iguales o son diferentes?

b) ¿Cuánto es el resultado de 30?

iii. Encuentren los resultados de las siguientes potencias. Exprésalos sin utilizar otra potencia.

a) 50 =

b) 5−2 =

c) 5−4 =

Comparen sus respuestas. Hagan una tabla como las anteriores para verificar sus resultados.

A lo que llegamos

Una potencia con exponente negativo es igual a una fracción cuyo numerador es uno y cuyo denominador es una potencia de la misma base con exponente igual al valor abso-luto del exponente negativo. Si n > 0

a -n = 1a n

Una potencia con exponente cero es igual a uno.

a 0 = 1

MAT2 B4 S24.indd 112 9/10/07 12:39:52 PM

Propósito de la actividad. Establecer la relación entre una potencia de exponente negativo y un cociente en el que el numerador es 1 y el denominador es una potencia de la misma base con exponente positivo.

Respuestas.

a) 18

b) 18

= 123

= 2–3

c) 132

= 125

= 2–5

d) 164

= 126

=2–6

Propósito de la actividad. Establecer el mismo patrón para potencias de base 3 : siempre se divide entre 3 para pasar de una potencia a la siguiente.

Respuestas.

a) Son iguales.

b) Es 1.

Respuestas.

a) 1

b) 125

c) 1625

Sugerencia didáctica. En caso de que identifique en sus alumnos dificultades para resolver esta actividad, proponga que hagan una tabla parecida a las anteriores para las potencias de base 5, la actividad puede ser resuelta entre todo el grupo.

Sugerencia didáctica. Usted puede sugerirles que escriban otros ejemplos.

Propósito del interactivo. Que los alumnos exploren diferentes ejemplos de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.

30 3–1

27 9 3 19 1

27 1

81


113

IIMATEMÁTICASIV. Encuentren los exponentes que faltan.

a) 72

76 =

1

7 = 7 b) 8

815=

1

810= 8

c) 26

2 =

1

2 = 2–18 d) a 1

a 5 =

1

a = a

e) 38

38= 1 = 3 f) 4

46= 1 = 4

g) 610

610= 6 h) 53

50= 5

A lo que llegamosEn cualquier cociente de potencias de la misma base, el resultado es igual a una poten-cia de la misma base elevada a la diferencia de los exponentes. En general

a n

a m = a n-m

Por ejemplo:

815

89 = 815-9 = 86

67

612 = 67-12 = 6-5

54

54 = 54-4 = 50 = 1

V. Expresen el resultado de cada cociente utilizando una potencia de la misma base.

a) 511

516 = 5 b) 78

719 = 7

c) a 4

a 6 = a d) b 15

b 27 = b

e) 211

224 = 2 f) 24

211 = 2

MAT2 B4 S24.indd 113 9/10/07 12:39:54 PM

Propósito de la actividad. Generalizar la regla para un cociente de potencias de la misma base: para obtener el resultado se restan los exponentes del cociente.

Sugerencia didáctica. Una vez que los alumnos hayan resuelto, enfatice aquellos casos en los que resulta el exponente cero, pues es otra oportunidad para que los alumnos puedan justificar porqué una potencia con exponente cero es igual a la unidad.

Respuestas.

a) 72

76 = 1

74 = 7–4

b) 85

815 = 1

810 = 8–10

c) 26

224 = 1

218 = 2–18

d) a1

a5 = 1

a4 = a–4

e) 38

38 = 1 = 30

f) 46

46 = 1 = 40

g) 610

610 = 1 = 60

h) 53

50 = 125

1 = 53

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que escriban en su cuaderno otros ejemplos que ilustren esta regla.

Respuestas.

a) 5–5

b) 7–11

c) a–2

d) b–12

e) 27

f) 2–7

Propósito del interactivo. Que los alumnos exploren diferentes ejemplos para comprobar la generalidad de la regla de los exponentes para calcular el cociente de potencias de la misma base.


114

secuencia 24

Lo que aprendimos1. Encuentra el resultado de las siguientes potencias. Exprésalos sin utilizar otra potencia.

a) 3−4 = b) 2−8 =

c) 2−1 = d) 9−2 =

e) 5−2 = f) 30 =

g) 150 = h) 4−1 =

2. Relaciona las columnas de manera que los resultados sean los mismos

( )22

23 (a) 3−2

( )35

37 (b) 3−8

( )33

39 (c) 2−4

( )27

27 (d) 2−1

( )24

28 (e) 3−6

( )32

310 (f) 20

( )27

29 (g) 2−2

3. Calcula las siguientes potencias de diez, utiliza números decimales cuando sea necesario.

104 103 102 101 100

10−1 10−2 10−3 10−4 10−5 10−6

MAT2 B4 S24.indd 114 9/10/07 12:39:55 PM

Integrar al portafolios. Considere las tres actividades que se proponen en este apartado para valorar los aprendizajes de los alumnos. En caso de que identifique dificultades en la resolución, resuelva algunos de los ejercicios apoyándose en tablas y en los análisis como los que se presentan en la actividad II del apartado Manos a la obra; asimismo, revise nuevamente con ellos los apartados A lo que llegamos de esta sesión.

Respuestas.

El resultado puede expresarse con una fracción o con números decimales.

a) 134

= 181

b) 128

= 1256

c) 121

= 12

d) 192

= 181

e) 152

= 125

f) 1

g) 1

h) 141

= 14

Propósito de la actividad. Hallar el resultado de las potencias de 10 ; estos resultados podrán utilizarse en la siguiente sesión. Los alumnos pueden encontrar los resultados obteniendo primero los resultados como fracción y luego convirtiéndolos a número decimal; también pueden ir dividiendo entre 10 para obtener el resultado de cada potencia.

Respuestas.

104 = 10 000

103 = 1 000

102 = 100

101 = 10

100 = 1

10–1 = 0.1

10–2 = 0.01

10–3 = 0.001

10–4 = 0.0001

10–5 = 0.00001

10–6 = 0.000001

d

a

e

f

c

b

g


115

IIMATEMÁTICAS

NOTACIÓN CIENTÍFICAPara empezarNúmeros muy grandes y muy pequeños

¿Cuál es la masa del Sol? ¿Cuál es el tamaño de un átomo? Para manipular y hacer ope-raciones con cantidades muy grandes o muy pequeñas se utiliza la notación científica.

Respondan las preguntas.

a) ¿Cuántos ceros hay después del 1 en 104?

b) ¿Cuántos ceros hay después del 1 en 1029?

c) ¿Cuántas cifras hay después del punto decimal en 10−6?

d) ¿Cuántas cifras hay después del punto decimal en 10−42?

Consideremos lo siguienteLas cantidades muy grandes o muy pequeñas las podemos expresar utilizando po-tencias de 10. Completa la siguiente tabla.

MedidaMedida expresada

utilizando una potencia de diez

Distancia media de la Tierra a la Luna

km 3.8 × 105 km

Distancia media de la Tierra al Sol

150 000 000 km 1.5 × km

Año luz (distancia que recorre la luz en un año)

9 500 000 000 000 km × 1012 km

Tamaño de un bacteria 0.005 mm × 10−3 mm

Tamaño de un virus mm 1.8 × 10–5 mm

Tamaño de un átomo 0.0000000001 mm mm

Comparen sus respuestas. Comenten cómo son los números que multiplican a las potencias de 10 en la tabla.

Recuerda que:

Al multiplicar números decimales, una manera de saber dónde colocar el punto decimal es sumando el número de cifras que hay a la derecha del punto decimal en el primer factor y en el segundo factor, y en el resultado poner esa cantidad de cifras decimales. Por ejemplo: 1.2 × 0.7 = 0.84, ya que 12 × 7 = 84 y hay dos cifras en total a la derecha del punto decimal, en los dos factores.

Cuando hagan falta lugares para poner el punto en el lugar adecuado se completa la cantidad con ceros. Por ejemplo:2.841 × 0.00005 = 0.00014205, ya que 2841 × 5 = 14205 y hay ocho cifras en total a la derecha del punto decimal,en los dos factores.

SESIÓN 5

MAT2 B4 S24.indd 115 9/10/07 12:39:56 PM

Propósito de la sesión. Utilizar la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.

Sugerencia didáctica. Comente la situación que se plantea con los alumnos, e invítelos a plantear otras situaciones en las que es necesario trabajar con cantidades demasiado pequeñas o demasiado grandes. Seguramente hallarán ejemplos en algunos de los temas que han tratado en las clases de Ciencias, también es probable que en algunas de las actividades comerciales o productivas de la región se presenten cantidades de ese tipo.

Descripción del video. Se dan los contextos necesarios para entender situaciones en las que se utilizan números muy grandes o muy pequeños.

Propósito de la actividad. Que los alumnos generalicen los resultados obtenidos en el ejercicio 3 del apartado Lo que aprendimos de la sesión anterior, para encontrar la relación entre las potencias de 10 y el resultado expresado en números decimales.

Respuestas.

a) 4

b) 29

c) 6

d) 42

Sugerencia didáctica. Invite a los alumnos a que lean la información que se les presenta en el marco Recuerda que. Si lo considera necesario, puede comentar esa información con todo el grupo y resolver el primer renglón de la tabla como un ejemplo.

Posibles procedimientos. Algunos alumnos podrían buscar los resultados realizando las operaciones con papel y lápiz, otros podrían usar la calculadora. Durante la comparación de resultados, invite a unos y a otros a mostrar al grupo cómo completaron la tabla. Usted puede aprovechar el momento para que los alumnos aprendan a utilizar la calculadora para hacer operaciones con exponentes. Es importante aclarar a los alumnos que una desventaja de las calculadoras es que, la mayoría de ellas, sólo puede presentar 8 dígitos en la pantalla, por lo que es probable que les presente la palabra error en la pantalla si tratan de trabajar con más de 8 dígitos.

380 000

108

9.5

5

0.000018

1 × 10–10 También 10–10


116

secuencia 24

Manos a la obrai. Realiza las multiplicaciones.

5.153 × 100 =

5.153 × 101 =

5.153 × 102 =

5.153 × 103 =

5.153 × 104 =

5.153 × 1010 =

5.153 × 1015 =

5.153 × 1020 =

Escribe una regla para realizar multiplicaciones cuando uno de los factores es una

potencia de 10 con exponente positivo:

ii. Realiza las multiplicaciones.

7.25 × 10–1 = 7.25 × 0.1 = 0.725

7.25 × 10–2 = 7.25 × 0.01 =

MAT2 B4 S24.indd 116 9/10/07 12:39:56 PM

Propósito de la actividad. Que los alumnos se den cuenta de que hay un patrón cuando multiplicamos por potencias de 10 con exponente positivo: el punto se va recorriendo hacia la derecha, en ocasiones es necesario agregar ceros al resultado. Usted puede recordarles que, en el caso de los números que no tienen cifras después del punto decimal, el punto está hasta la derecha, aunque no se coloque explícitamente.

Sugerencia didáctica. Si lo considera conveniente, usted puede organizar la comparación de resultados de esta tabla antes de pasar a la siguiente actividad.

Propósito de la actividad. Que los alumnos se den cuenta de que hay un patrón cuando multiplicamos por potencias de 10 con exponente negativo: el punto se va recorriendo hacia la izquierda.

5.153

51.53

515.3

5153

51530

51530000000

5153000000000000

515300000000000000000

0.0725

Sugerencia didáctica. Solicite un voluntario para leer su texto frente al grupo. Escriba en el pizarrón las frases que puedan ser mejoradas y pida al resto del grupo que las comenten. Cuando terminen, reescriban la regla entre todos.


117

IIMATEMÁTICAS

7.25 × 10–3 =

7.25 × 10–4 =

7.25 × 10–5 =

7.25 × 10–6 =

7.25 × 10–10 =

7.25 × 10–15 =

7.25 × 10–22 =

7.25 × 10–30 =

Escribe una regla para realizar multiplicaciones cuando uno de los factores es una

potencia de 10 con exponente negativo:

III. Realiza las siguientes multiplicaciones. Utiliza las reglas que escribiste.

a) 1.9164 × 107 =

b) 4.4 × 1018 =

c) 2.57 × 10−8 =

d) 9.23 × 10−21 =

Comparen sus respuestas. Entre todos escriban en el pizarrón una regla para multiplicar números cuando uno de los factores es una potencia de 10.

MAT2 B4 S24.indd 117 9/10/07 12:39:57 PM

0.00725

0.000725

0.0000725

0.00000725

0.000000000725

0.00000000000000725

0.000000000000000000000725

0.00000000000000000000000000000725

Propósito de la actividad. Que los alumnos logren identificar que no es necesario realizar la multiplicación con lápiz y papel o con la calculadora, basta con recorrer el punto decimal tantos lugares como sea necesario.

Respuestas.

a) 19 164 000

b) 4 400 000 000 000 000 000

c) 0.0000000257

d) 0.00000000000000000000923

Sugerencia didáctica. Utilice la misma estrategia que con la regla anterior para lograr tener una regla común.


118

secuencia 24

A lo que llegamos

La notación científica es una convención para expresar cantidades muy grandes o muy pequeñas.

Un número está en notación científica cuando se expresa de la forma

a × 10n

Donde a es un número mayor que 1 y menor que 10 y n es un número entero.

Por ejemplo, los siguientes números están en notación científica:

1.76 × 1015

4.034 × 10–8

Cuando multiplicamos un número por una potencia de 10 con exponente positivo, el punto se recorre hacia la derecha tantos lugares como el valor del exponente. Si es nece-sario, se completa la cantidad con ceros. Por ejemplo:

1.76 × 1015 = 1 760 000 000 000 000

El punto se recorre hacia la derecha 15 lugares

Cuando multiplicamos un número por una potencia de 10 con exponente negativo, el punto se recorre hacia la izquierda tantos lugares como el valor absoluto del exponente: Si es necesario, se completa la cantidad con ceros. Por ejemplo:

4.034 × 10–8 = 0.00000004034

El punto se recorre hacia la izquierda 8 lugares

iV. Responde las preguntas

a) La distancia media de Urano al Sol es aproximadamente de 525 000 000 km. Seña-la cuál de las siguientes expresiones es igual a esta cantidad en notación científica.

• 525 × 106 km. • 5.25 × 109 km.

• 5.25 × 108 km. • 525 × 108 km.

MAT2 B4 S24.indd 118 9/10/07 12:39:58 PM

Sugerencia didáctica. Como una actividad adicional, usted puede pedir a los alumnos que busquen en el periódico, en revistas o en las páginas electrónicas y en los libros que se señalan en el apartado Para aprender más, datos numéricos expresados con la notación científica o que ellos mismos los expresen de esa manera. Con esa información pueden hacer un cartel de Datos interesantes y exhibirlo en el salón o en el periódico mural de la escuela.

Propósito del interactivo. Reconocer números representados en notación científica.

Practicar la representación de números muy pequeños y muy grandes usando notación científica.

Respuestas.

a) 5.25 × 108 km.

b) 3 × 10–4 mm.


119

IIMATEMÁTICASb) Una célula mide aproximadamente 0.0003 mm. Señala cuál de las siguientes ex-

presiones es igual a esta cantidad en notación científica.

• 3 × 10–3 mm.

• 0.3 × 10–3 mm.

• 0.3 × 10–4 mm.

• 3 × 10–4 mm.

V. Relaciona las columnas para que cada número quede expresado en notación científica:

( ) 56 712 000 000 000 000 (a) 6.1 × 10–11

( ) 0. 0000000000061 (b) 3.88 × 1022

( ) 388 000 000 000 000 000 000 000 (c) 8.54 × 10–20

( ) 0. 0000000000000000000854 (d) 5.6712 × 1015

(e) 3.88 × 1023

(f) 8.54 × 10–19

(g) 5.6712 × 1017

(h) 6.1 × 10–13

(i) 8.54 × 10–21

(j) 6.1 × 10–12

(k) 5.6712 × 1016

(l) 3.88 × 1024

Comparen sus respuestas.

MAT2 B4 S24.indd 119 9/10/07 12:40:00 PM

k

j

e

c


120

secuencia 24

Lo que aprendimos1. Expresa en notación científica los siguientes números.

a) 1 200 000 = b) 73 000 000 000 000 =

c) 37 850 000 = d) 0.0000009 =

e) 0.000000000828 = f) 0.003371 =

2. Señala con una cuáles de los siguientes números están en notación científica.

( ) 5.65 × 1023 ( ) 5 650 000 ( ) 56.5 × 10234

( ) 17 × 10–11 ( ) 1.7 × 10–16 ( ) 0.0000000000017

( ) 325.435 × 105 ( ) 0.65 × 1034 ( ) 0.003 × 10–8

3. Completa la siguiente tabla.

Medida Medida expresada en notación científica

Masa de la Tierra 5.974 × 1024 kg

Masa del Sol 1 989 100 000 000 000 000 000 000 000 000 kg 1.9891 × kg

Vida media de un muón (partícula similar a un electrón)

0.0000022 s × 10–6 s

Masa de un protón 1.6 × 10–27 kg

4. Expresa en notación científica el resultado de las siguientes multiplicaciones:

a) (4 × 105) × (3 × 108) =

b) (1.3 × 104) × (7 × 106) =

c) (8 × 10–4) × (6 × 10–3) =

d) (5 × 108) × (2.1 × 10–2) =

5. Para conocer más sobre el cálculo con exponentes y potencias pueden ver el programa Leyes de los exponentes y notación científica.

MAT2 B4 S24.indd 120 9/10/07 12:40:00 PM

Integrar al portafolios. Considere los ejercicios 1 y 4 para valorar los aprendizajes de los alumnos. Si identifica que aún tienen dificultades, revise junto con sus alumnos algunos de los incisos (unos de potencias positivas y otros de potencias negativas) y analícelos de manera similar a como se presenta en las actividades I y II del apartado Manos a la obra. Comente nuevamente con los alumnos el apartado A lo que llegamos de esta sesión.

Posibles errores. Algunos alumnos podrían responder que 0.65 x 1034 está en notación científica; esto es erróneo porque 0.65 no es un número entre 1 y 10. Usted puede recomendar-les que lean nuevamente el apartado A lo que llegamos de esta sesión y que identifiquen las condiciones para que se considere que un número está en notación científica.

Posibles procedimientos. Algunos alumnos encontrarán el resultado numérico de las multiplicaciones y posteriormente lo expresarán en notación científica. Por ejemplo:

(4 × 105) × (3 × 108) = 400 000 × 300 000 000 = 120 000 000 000 000 = 1.2 × 1014

Otros alumnos se darán cuenta de que se puede multiplicar aparte los números y las potencias de diez, pero es posible que no expresen el resultado final en notación científica. Por ejemplo:

(4 × 105) × (3 × 108) = 12 × 1013

1.2 × 106 7.3 × 1013

3.785 × 107 9 × 10–7

8.28 × 10–10 3.371 × 10–3

¸

¸

5 974 000 000 000 000 000 000 000 kg

1030

2.2

0.0000000000000000000000000016 kg

1.2 × 1014

9.1 × 1010

4.8 × 10–6

1.05 × 107

Propósito del programa integrador 19. Ejemplificar las leyes de los exponentes y explicar el uso de la notación científica para manejar y operar cantidades muy grandes o muy pequeñas.

Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.


121

IIMATEMÁTICAS

Para saber más

Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos y Claudia Gómez. “Potencias, chismes y cadenas”, “Unidades astronó-micas y microscópicas”, “Numerotes” y ”Un número muy grande” en Una ventana alinfinito. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.

Tonda Mazón, Juan. “Potencias de diez” y “Notación científica” en La medición y susunidades. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.

MAT2 B4 S24.indd 121 9/10/07 12:40:00 PM


122

secuencia 25

En esta secuencia estudiarás los criterios de congruencia de triángulos.

tres lados igualesPara empezarFiguras congruentes

En geometría, a las figuras que son iguales se les llama figuras congruentes. Una forma de verificar la congruencia entre dos o más figuras geométricas es sobreponiéndolas y ver que coincidan.

Lo anterior significa que dos polígonos son congruentes si se puede hacer corresponder los lados y los ángulos de uno con los lados y los ángulos del otro, de manera que:

a) Cada lado de uno de los polígonos mida lo mismo que su correspondiente en el otro polígono, y

b) Cada ángulo interno de uno de los polígonos mida lo mismo que su correspondiente en el otro polígono.

Consideremos lo siguienteConstruyan y recorten dos triángulos cuyos lados midan lo mismo que los siguientes segmentos:

sesión 1

Triánguloscongruentes

MAT2 B4 S25.indd 122 9/10/07 12:40:34 PM

Propósito de la sesión. Identificar el criterio Lado, Lado, Lado (LLL) para la congruencia de triángulos.

Propósito de la actividad. Que los alumnos se familiaricen con el término figuras congruentes y que identifiquen las condiciones para que dos polígonos sean congruentes.

Sugerencia didáctica. Asegúrese de que los alumnos puedan enunciar las condiciones para que dos polígonos sean congruentes, pues esos criterios les permitirán trabajar con el resto de las actividades de esta secuencia.

Descripción del video. Se dan las condiciones para que dos polígonos sean congruentes. Se utilizan los recursos visuales para comparar polígonos distintos, sobreponiendo lados, ángulos y figuras completas para verificar si son congruentes o no.

Posibles procedimientos. Para trazar el triángulo algunos alumnos podrían medir los segmentos y después intentar construir el triángulo al tanteo.

Permita que lo construyan como puedan, posteriormente puede recordarles que hay formas de construir el triángulo utilizando regla sin graduación y compás.

Propósito del interactivo. Explorar la congruencia de triángulos con el criterio Lado, Lado, Lado.

Eje

Forma, espacio y medida.

Tema

Formas geométricas.

Antecedentes

Desde la primaria los alumnos se han familiariza-do con la reproducción de figuras considerando su tamaño y forma. En el libro Matemáticas I, volumen I, en la secuencia 5 Simetría, estudiaron las características de la congruencia de figuras: segmentos correspondientes iguales y ángulos correspondientes iguales; en la secuencia 19 Existencia y unicidad del volumen II, estudiaron los criterios para determinar si existe un triángulo a partir de ciertas medidas de los lados, y si existe sólo una solución o varias.En esta secuencia, a partir de ciertos datos, los alumnos explorarán, mediante construcciones, si tales datos son suficientes y si hay más de una solución correcta. Se espera que logren enunciar los criterios de congruencia de triángulos.

Propósito de la secuencia Determinar los criterios de congruencia de triángulos a partir de construcciones

con información determinada.


1Tres lados iguales Identificar el criterio Lado, Lado, Lado (LLL) para la congruencia de triángulos.

Video Figuras congruentes

Interactivo Congruencia de triángulos

2Un ángulo y dos lados correspondientes iguales Identificar el criterio Lado, Ángulo, Lado (LAL) para la congruencia de triángulos.


3Un lado y dos ángulos correspondientes iguales Identificar el criterio Ángulo, Lado, Ángulo (ALA) para la congruencia de triángulos.


Programa integrador 20


123

IIMATEMÁTICAS

a) ¿Pudieron construir un triángulo cuyos lados midan lo mismo que los tres segmentos

dados? ¿Por qué?

b) ¿Los triángulos que construyeron son congruentes o son diferentes?

c) ¿Cómo son las medidas de los lados de uno de los triángulos respecto a las medidas

de los lados del otro triángulo?

d) ¿Cómo son las medidas de los ángulos de uno de los triángulos respecto a las medidas

de los ángulos del otro triángulo?

e) ¿Creen que se pueda construir un triángulo con la misma medida de lados y que sea

diferente a los que construyeron?

Comparen sus respuestas.

Manos a la obraI. En la siguiente figura, el segmento AB mide 7 cm y el radio de la circunferencia con

centro en A mide 5 cm. Elijan tres puntos de la circunferencia que no sean colineales con A y B, y denótenlos como C1, C2 y C3, respectivamente.

Recuerden que:

Tres puntos son colineales si

pertenecen a una misma recta.

A B

Recuerden que:Un triángulo se puede denotar por las letras asignadas a sus tres vértices. Así el triángulo

O

PQ

se denota como el triángulo OPQ.

MAT2 B4 S25.indd 123 9/10/07 12:40:34 PM

Sugerencia didáctica. Apoye la formulación de argumentos por parte de sus alumnos recordán-doles algunas de las propiedades de los triángulos que estudiaron en primero: dados tres segmentos, es posible construir un triángulo si la suma de las medidas de cualesquiera dos segmentos es mayor que la medida del tercero.

Invite a las parejas de alumnos a que comparen los triángulos que construyeron; se espera que identifiquen que todos los triángulos son iguales, en caso de que alguna pareja piense que es posible construir triángulos diferentes con las medidas que se les dieron, en las siguientes actividades tendrán oportunidad de confrontar sus afirmaciones.

Propósito de la actividad. Que logren identificar que tener como datos dos lados de un triángulo no lo determina.

Sugerencia didáctica. Es importante que lea y comente con sus alumnos la información sobre cómo se denota un triángulo para que puedan contestar las preguntas que después se les plantean.

Las medidas que se les solicitan de cada uno de los lados dependerán de los puntos que los alumnos hayan elegido en la circunferencia.

sí

son congruentes

iguales

iguales

no


124

secuencia 25a) Tracen el triángulo ABC1, ¿cuánto mide el lado BC1?

b) Tracen el triángulo ABC2, ¿cuánto mide el lado BC2?

c) Tracen el triángulo ABC3, ¿cuánto mide el lado BC3?


a) ¿Cómo son los triángulos entre sí: congruentes o distintos?

b) ¿Pueden construir más triángulos que tengan un lado de 7 cm de largo y otro de 5 cm y que sean diferentes entre sí? Constrúyanlos.

ii. En la siguiente figura el segmento O1O2 mide lo mismo que el segmento MN. El radio del círculo con centro O1 mide lo mismo que el segmento SP. Y el radio del círculo con centro en O2 mide lo mismo que el segmento QR.

M

n

sP

Q R

O1 O2

Figura 1

Construyan dos triángulos cuyos lados midan lo mismo que de los segmentos MN, OP y QR. Usen al segmento O1,O2 como uno de los lados.

a) ¿Lograron elegir dos puntos que cumplieran con las condiciones pedidas?

Justifiquen su respuesta

b) Midan los ángulos internos de los triángulos que construyeron y contesten, ¿cómo

son entre sí las medidas de los dos triángulos?

Comparen sus respuestas. Midan los ángulos de los triángulos y verifiquen sus respuestas. Comenten: ¿podrán construir algún triángulo cuyos lados midan lo mismo que los segmentos MN, OP y QR pero las medidas de sus ángulos distintos sean distintas a las de los triángulos que construyeron?

A lo que llegamosDadas las medidas de los tres lados, todos los triángulos que se pueden construir con esas medidas son congruentes entre sí.

Si se toman solamente las medidas de dos lados, se puede construir muchos triángulos diferentes entre sí que tengan dos lados con esas longitudes.

MAT2 B4 S25.indd 124 9/10/07 12:40:35 PM

Sugerencia didáctica. Apoye la puesta en común de los alumnos para que se percaten de que con esos dos datos (dos lados correspon-dientes iguales) es posible construir una infinidad de triángulos diferentes entre sí.

Propósito del interactivo. Que los alumnos recuerden cómo se puede construir con regla no graduada y compás un triángulo cuyos lados midan lo mismo que tres segmentos dados.

Propósito de la actividad. Que los alumnos recuerden cómo se puede construir con regla no graduada y compás, un triángulo cuyos lados midan lo mismo que tres segmentos dados.

Sugerencia didáctica. Recuerde a los alumnos la definición de figuras congruentes: lados y ángulos correspondientes iguales.

Sugerencia didáctica. Comente esta informa-ción con los alumnos y ayúdeles a recordar que en Matemáticas I aprendieron que si se dan las medidas de los tres lados, es posible construir un triángulo único.


125

IIMATEMÁTICASIII. Las medidas de los lados del triángulo ABC son iguales a las medidas de los lados del

triángulo DEF.

Marquen del mismo color las parejas de lados que tienen la misma medida.

Marquen del mismo color las parejas de ángulos iguales.

A

BC

D

E

F

a) ¿Son congruentes los triángulos ABC y DEF?

Completen las siguientes afirmaciones para que sean verdaderas:

b) El lado AB es el correspondiente del lado

c) El lado BC es el correspondiente del lado

d) El lado CA es el correspondiente del lado

e) El ángulo ABC es el correspondiente del ángulo

f) El ángulo BCA es el correspondiente del ángulo

g) El ángulo CAB es el correspondiente del ángulo

A lo que llegamosPara que dos triángulos sean congruentes es suficiente que las medi-das de los tres lados de un triángulo sean iguales a las medidas de los tres lados correspondientes de otro triángulo.

Éste es un criterio de congruencia de triángulos que se denota por LLL.

MAT2 B4 S25.indd 125 9/10/07 12:40:36 PM

Sugerencia didáctica. Recuerde a los alumnos que en la notación de ángulos, la letra que aparece en medio de las otras dos denota el vértice del ángulo al que se hace referencia.

Sugerencia didáctica. Comente a los alumnos que, para verificar la congruencia de polígonos, es necesario comprobar la igualdad de ángulos y lados correspondientes, mientras que para verificar la congruencia de triángulos sólo se necesita comprobar la igualdad de lados correspondientes.

sí

DEF

EFD

FDE

DE

EF

FD


126

secuencia 25

Lo que aprendimosJustifica si en cada figura los triángulos resaltados son congruentes entre sí.

Paralelogramo Pentágono regular Papalote Heptágono irregular

un ángulo y dos lados correspondientes igualesPara empezarEn la sesión anterior aprendiste el criterio de congruencia LLL: dos triángulos son con-gruentes si las medidas de los tres lados de uno son iguales a las medidas de los tres lados correspondientes del otro. Para denotar que dos triángulos son congruentes se utiliza el símbolo . Y se escribe: OAB OCD. Y se lee: el triángulo OAB es congruente con el triángulo OCD.

Consideremos lo siguienteConstruyan dos triángulos de tal manera que dos lados de cada triángulo midan lo mis-mo que los segmentos dados y que el ángulo formado por esos dos lados mida 45°.

R s

u V

a) ¿Los triángulos que construyeron son congruentes o son diferentes?

b) ¿Creen que se pueda construir un triángulo distinto a los que constuyeron de tal manera que dos de sus lados midan lo mismo que los segmentos dados y que el án-gulo formado por esos lados mida lo mismo que el ángulo dado? Justifiquen su respuesta

Comparen y comenten sus respuestas.

sesión 2

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Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de su respuesta a este ejercicio. Si tienen dificultades repasen la información del apartado A lo que llegamos.

Respuesta. En el paralelogramo, los triángulos comparten un lado y, por definición, los otros dos lados correspondientes son iguales. En el pentágono regular cada triángulo tiene dos lados iguales a los lados del pentágono y el tercer lado es igual a una diagonal; por ser un polígono regular, todas las diagonales miden lo mismo.

En el papalote y en el heptágono irregular sus lados correspondientes no son iguales.

Propósito de la sesión. Identificar el criterio Lado, Ángulo, Lado (LAL) para la congruencia de triángulos.

Sugerencia didáctica. Ayude a los alumnos a recordar distintas formas para obtener un ángulo de 45º : bisectar uno de 90°, trazar la diagonal de un cuadrado (estos procedimientos son con regla y compás), medir con el transpor-tador…

Una vez que hayan construido sus triángulos, anime a las parejas para que respondan a los incisos a) y b) y que después comparen sus respuestas grupalmente. En caso de que haya diferencias, en las siguientes actividades tendrán la oportunidad de verificar si están en lo correcto o no.

Propósito del interactivo. Explorar la congruencia de triángulos con el criterio Lado, Ángulo, Lado.

son congruentes

no


127

IIMATEMÁTICAS

Manos a la obraI. Anoten las medidas de los lados y ángulos de los siguientes triángulos.

Triángulo 1 Triángulo 2 Triángulo 3 Triángulo 4

a) ¿Cuáles triángulos son congruentes entre sí?

b) ¿Qué tienen en común los cuatro triángulos?

A lo que llegamosSi dos lados de un triángulo miden lo mismo que sus correspondien-tes dos lados de otro triángulo, no podemos garantizar que los trián-gulos sean congruentes.

II. Los siguientes triángulos tienen un lado que mide 7 cm, otro lado de 4 cm y un án-gulo de 45º. En cada triángulo marquen de rojo el lado que mide 7 cm, de negro el que mide 4 cm y de azul el ángulo de 45°.

a) ¿Cuánto mide el tercer lado en cada triángulo?

b) ¿Hay alguna pareja de triángulos congruentes? ¿Cuál?

c) ¿El triángulo A es congruente con el triángulo C? Justifica

tu respuesta

Triángulo A

Triángulo BTriángulo C

MAT2 B4 S25.indd 127 9/10/07 12:40:37 PM

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que la igualdad de dos lados correspondientes y de cualquier ángulo, no garantiza la congruencia.

Sugerencia didáctica. Enfatice con los alumnos la característica de que el ángulo igual no es, en todos los casos, el que forman los lados de 7cm y 4 cm.

Es importante que los alumnos argumenten su justificación, aunque no necesariamente tiene que ser la misma que está indicada como respuesta.

ninguno

un lado de 4cm y otro de 3cm

sí B y C

nono tienen sus tres lados iguales


128

secuencia 25

A lo que llegamosSi dos triángulos tienen dos lados correspondientes con la misma medida y un ángulo igual, no necesariamente son congruentes.

iii. El siguiente triángulo tiene un lado de 5 cm, otro lado de 3 cm y el ángulo formado por esos dos lados mide 45º.

a) Marquen los lados que miden 5 cm y 3 cm y el ángulo entre ellos.

b) ¿Cuánto mide su tercer lado?

c) ¿Cuánto miden sus otros dos ángulos? y

d) ¿Los triángulos que construyeron en el apartado Consideremos lo

siguiente son congruentes con éste?

A lo que llegamosSi dos triángulos tienen dos lados correspondientes iguales y el ángu-lo entre ellos es igual al ángulo entre los correspondientes, entonces los triángulos son congruentes.

Éste es un segundo criterio de congruencia de triángulos que se deno-ta por LAL.

Lo que aprendimosConstruyan un triángulo isósceles y tracen la bisectriz de uno de sus ángulos.

a) ¿En cuántos triángulos quedó dividido el triángulo isósceles?

b) ¿Cómo son esos triángulos entre sí?

Justifiquen su respuesta

c) ¿Pasará lo mismo si trazan cualquiera de las otras dos bisectrices? ¿Por

qué?

MAT2 B4 S25.indd 128 9/10/07 12:40:38 PM

Sugerencia didáctica. Enfatice a los alumnos que el ángulo igual es el que se forma por los lados iguales.

Sugerencia didáctica. Subraye el hecho de que para establecer que dos triángulos son congruentes, es suficiente identificar la igualdad de tres de los seis elementos del triángulo, aunque esos tres elementos deben cumplir ciertas condiciones.


Respuesta.

a) En dos triángulos

Las respuestas en los demás incisos dependen de si la bisectriz la trazaron por el ángulo desigual del triángulo isósceles o por uno de los ángulos que son iguales.

A

DB C

A

E

B C

Caso I Caso II


129

IIMATEMÁTICAS

un lado y dos ángulos correspondientes igualesPara empezarEn las primeras dos sesiones aprendiste dos criterios para garantizar la congruencia de trián-gulos. En el primero, LLL, basta con garantizar la igualdad de las medidas de los tres ladosde un triángulo con las medidas de sus correspondientes lados en el otro triángulo. En el segundo, LAL, es suficiente garantizar la igualdad entre dos lados de un triángulo y el án-gulo que forman entre ellos y sus correspondientes lados y ángulo que forman entre ellos.

Comenten: ¿creen que existan más criterios de congruencia de triángulos?

Consideremos lo siguienteLean las siguientes afirmaciones y escriban si son falsas o verdaderas.

a) Si dos ángulos de un triángulo son iguales a sus correspondientes de otro triángulo,

entonces los triángulos son congruentes.

b) Si los tres ángulos de un triángulo miden lo mismo que los tres ángulos de otro trián-

gulo, entonces los triángulos son congruentes.

c) Si dos ángulos de un triángulo y el lado comprendido entre ellos miden lo mismo que sus correspondientes en otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Comparen y justifiquen sus respuestas.

Manos a la obraI. Cada uno de los integrantes del equipo construya un triángulo de tal manera que dos

de sus ángulos midan 60° y 90°, respectivamente. Comparen los triángulos que cons-truyeron y contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Cuánto mide el tercer ángulo en cada uno de los triángulos que trazaron?

b) ¿Cuánto miden los lados en cada uno de los triángulos que trazaron?

Comparen sus respuestas. Comenten: ¿pueden construir más triángulos que cumplan con las condiciones pedidas y que sean diferentes a los que ya tienen? ¿Por qué?

sesión 3

MAT2 B4 S25.indd 129 9/10/07 12:40:39 PM

Propósito del interactivo. Que los alumnos exploren las condiciones para los criterios de congruencia de triángulos.

Propósito de la sesión. Identificar el criterio Ángulo, Lado, Ángulo (ALA) para la congruencia de triángulos.

Sugerencia didáctica. Invite a los alumnos a que justifiquen sus respuestas dibujando triángulos que cumplan con las condiciones u otros que contradigan la afirmación.

Sugerencia didáctica. Recuerde a los alumnos que dados dos ángulos de un triángulo, el tercer ángulo está determinado.

Recuérdeles también que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°.

Propósito del interactivo. Explorar la congruencia de triángulos con el criterio Ángulo, Lado, Ángulo.

falsa

falsa

verdadera

30°


130

secuencia 25

En un triángulo, el lado

común a dos ángulos

es el lado que forma

parte de los dos ángulos.

ii. En cada triángulo, anoten las medidas de los ángulos internos y de los lados.

a) ¿Las medidas de los ángulos internos

del triángulo A1B1C1 son iguales a las

medidas de los ángulos internos del

triángulo A2B2C2 ? y ¿son

iguales a las medidas de los ángulos in-

ternos del triángulo A3B3C3 ?

b) ¿Cuánto miden los lados A1C1 , A2B2 ,

B3C3?

c) ¿Son congruentes los triángulos entre

sí? Justifiquen su respuesta

A lo que llegamos

a1 B1

c1

a2 B2

c2

a3 B3

c3

Si dos triángulos tienen dos ángulos correspondientes iguales y el lado común a los ángulos mide lo mismo en ambos triángulos, entonces podemos asegurar que los triángu-los son congruentes. Éste es el tercer criterio de congruencia de triángulos que se denota por ALA. Y no es necesario probar la igualdad del tercer ángulo y de los otros dos lados.

• Si dos triángulos tienen dos ángulos correspondientes iguales, no se puede garantizar que sean congruentes.

• Si dos triángulos tienen sus tres ángulos correspondientes iguales, no se puede garan-tizar que sean congruentes.

iii. Cada integrante del equipo construya un triángulo de manera que dos de sus ángulos midan 70° y 40°, respectivamente, y que el lado común a los dos ángulos mida 5 cm.

a) ¿Cómo son entre si los triángulos que construyeron, congruentes o

diferentes?

b) ¿Pueden construir dos triángulos diferentes y que cumplan con las

condiciones pedidas?

c) ¿Cuánto mide el tercer ángulo en cada uno de los triángulos que

trazaron?

Comparen sus soluciones. Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen sus respuestas.

A lo que llegamos

MAT2 B4 S25.indd 130 9/10/07 12:40:40 PM

Propósito de la actividad. Que los alumnos se percaten de que la igualdad de los tres pares de ángulos correspondientes, no garantiza la congruencia de triángulos.

Respuestas.

a) Sí. Sí.

b) 4 cm.

c) Las medidas de los lados del triángulo A1B1C1 son distintas a las medidas de los lados del triángulo A2B2C2 y también son distintas a las medidas de los lados del triángulo A3B3C3.

Sugerencia didáctica. Comente esta informa-ción con los alumnos y compárela con la del apartado anterior, para que los alumnos puedan tener una idea amplia sobre cuáles son las condiciones que aseguran la congruencia de dos triángulos.

Congruentes

no

70º


131

IIMATEMÁTICAS

Lo que aprendimos1. De los siguientes triángulos, encierra el que sea congruente con el triángulo verde.

100º

50º

2 cm

100º

50º

2 cm2 cm50º

100º 100º

50º

2 cm

A

B C

SR

Recuerda que:

La bisectriz de un ángulo es una

recta que divide al ángulo en dos

ángulos iguales.

2. En el siguiente triángulo isósceles se trazaron las bisectrices de los ángulos iguales ABC y ACB respectivamente.

¿Son congruentes los triángulos ABS y ACR?

Justifica tu respuesta.

3. Para conocer algunas aplicaciones de la congruencia de triángulos en la solución de problemas pueden ver el programa La congruencia en los polígonos.

Para saber más

Sobre congruencia de triángulos, consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:

Ruiz, Concepción y Sergio de Régules. “Aire de familia” en Crónicas geométricas. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.

2 cm50º

90º

MAT2 B4 S25.indd 131 9/10/07 12:40:41 PM

Respuesta.

El triángulo congruente con el verde es el último triángulo de izquierda a derecha.


Respuestas.

Los triángulos ABC y ACR sí son congruentes. Una forma de justificarlo es:

ABS = ACR (porque resultan de una bisectriz que dividió a cada ángulo en dos ángulos iguales).

BAS = CAR (porque se trata del mismo ángu-lo para los triángulos).

AB = AC (porque son los lados iguales del triángulo isósceles o porque son los lados opuestos a los ángulos iguales del triángulo isósceles).

Propósito del programa integrador 20. Ejemplificar los criterios de congruencia de triángulos a partir de las medidas de sus lados y de sus ángulos.



Eje

Forma, espacio y medida.

Tema

Formas geométricas.

Antecedentes

En el primer grado de la secundaria los alumnos estudiaron algunas propiedades de las mediatrices y las bisectrices: aprendieron a trazarlas y a resolver algunos problemas geométricos. Asimismo, desde la escuela primaria, los alumnos han trabajado distintos aspectos de los triángulos: aprendieron a calcular su área y perímetro y a describir algunas de sus características geométricas.

En esta secuencia se espera que los alumnos amplíen sus conocimientos sobre las propiedades de los triángulos incorporando la caracterización de rectas y puntos notables del triángulo, y que a partir de esos conocimientos sean capaces de elaborar argumentos para validar o invalidar determinadas afirmaciones.

132

secuencia 26

En esta secuencia explorarás las propiedades de las mediatrices, alturas, medianas y bisectrices en un triángulo.

MediatricesPara empezarEn la secuencia 12 de tu libro Matemáticas i, volumen i, aprendiste que la mediatrizde un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio. Los puntos que están sobre la mediatriz equidistan de los extremos del segmento.

Utiliza regla y compás para trazar la mediatriz del siguiente segmento sin medirlo.

Consideremos lo siguienteTraza una circunferencia que pase por los tres vértices del triángulo.

sesión 1

Puntos y rectas notables deltriángulo

MAT2 B4 S26.indd 132 9/10/07 12:41:08 PM

Propósito de la sesión. Identificar que las mediatrices de un triángulo concurren y que el punto de concurrencia es el centro de la circunferencia que circunscribe al triángulo.

Materiales. Instrumentos geométricos.

Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario recuerde a los alumnos cuál es el procedimiento para trazar la mediatriz de un segmento:

Se abre el compás a una medida mayor que la mitad del segmento.

Se apoya el compás en uno de los extremos del segmento y se traza un círculo con la medida elegida.

Se apoya el compás en el otro extremo del segmento y se traza un círculo con el mismo radio del círculo anterior que corte a este último. Se traza un segmento que pase por los puntos en los que se cortan ambos círculos. Esta es la mediatriz.

Insista en el uso de los instrumentos geométri-cos para realizar los trazos.

Posibles procedimientos. Aún cuando, en la actividad anterior, se sugiere que el trazo de mediatrices es un procedimiento central en esta sesión, es probable que algunos alumnos no lo consideren como un recurso para resolver este problema y que intenten resolverlo haciendo mediciones con la regla graduada y tratando de ubicar, por aproximaciones, un punto que esté a la misma distancia que los otros tres. Si esto sucede, puede invitar a los alumnos a que utilicen los instrumentos geométricos aunque en las siguientes actividades tendrán oportunidad de ver cómo se resuelve el problema trazando mediatrices.

•

•

•

Propósitos de la secuencia Explorar las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.


1

Mediatrices Identificar que las mediatrices de un triángulo concurren y que el punto de concurrencia es el centro de la circunferencia que circunscribe al triángulo.

Interactivo Rectas y puntos notables del triángulo

2

Alturas Identificar que las rectas determinadas por las alturas de un triángulo concurren y que el punto de concurrencia puede quedar dentro, en o fuera del triángulo.


3

Medianas Identificar las propiedades de las medianas de un triángulo. Identificar que las rectas determinadas por las medianas de un triángulo concurren y que el punto de concurrencia es el centro de masa del triángulo.


Aula de medios Bisectriz, altura, mediana y mediatriz

de un triángulo cualquiera (Geometría dinámica)

4

Bisectrices Identificar que las bisectrices de un triángulo concurren y que el punto de concurrencia es el centro de un círculo inscrito al triángulo.

Video Rectas notables del triángulo


Aula de medios Trazar el incírculo de un triángulo

(Geometría dinámica) Programa integrador 21


133

IIMATEMÁTICASComparen sus trazos y comenten las estrategias que utilizaron para trazar la circunfe-rencia.

Manos a la obraI. En el siguiente triángulo se trazaron las mediatrices de los lados FD y DE . El punto Q

es la intersección de estas mediatrices.

D

F E

Q

a) ¿Cómo son entre sí las distancias del punto D al Q y el punto F al Q?

b) ¿Cómo son entre sí las distancias del punto D al Q y el punto E al Q?

Justifiquen sus respuestas.

c) ¿Consideran que la mediatriz del lado FE pasará por el punto Q?

¿Por qué?

Las tres mediatrices de un triángulo pasan por un mismo punto. Ese punto se llama circuncentro del triángulo.

MAT2 B4 S26.indd 133 9/10/07 12:41:08 PM

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que el circuncentro es equidistante de los vértices del triángulo.

Propósito del interactivo. Trazar las mediatrices del triángulo.

Respuesta. Es posible que algunos alumnos realicen la justificación con base en la medición de las distancias. Pídales que también la hagan con base en las propiedades de las mediatrices.

Iguales

Iguales


134

secuencia 26ii. Tracen en cada uno de los siguientes triángulos sus mediatrices:

a) Completen con SÍ o NO la siguiente tabla:

Tipo de triánguloEl circuncentro

queda dentro del triángulo

El circuncentro queda fuera del triángulo

El circuncentro queda en un lado

del triángulo

Las mediatrices pasan por los vértices del triángulo

Obtusángulo

Acutángulo

Equiángulo

Rectángulo

Comparen y comenten sus respuestas.

a

B

c

Obtusángulo

L

M

n

Acutángulo

Q

O

P

Equiángulo

R

sT

Rectángulo

MAT2 B4 S26.indd 134 9/10/07 12:41:09 PM

Propósito de la actividad. Que los alumnos distingan en qué tipo de triángulos el circuncen-tro puede quedar dentro , en o fuera del triángulo.

Propósito del interactivo. Explorar la ubicación del circuncentro en diferentes tipos de triángulos.

NO SÍ NO NO

SÍ NO NO NO

SÍ NO NO SÍ

NO NO SÍ NO


135

IIMATEMÁTICASIII. En el triángulo ABC tracen un círculo que tenga como centro el punto P y como radio

la distancia que hay del punto P al vértice A.

A

B

C

P

Éste círculo pasa también por B y por C, ¿a qué creen que se deba?

Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen sus resultados.

A lo que llegamosEl circuncentro de un triángulo equidista de sus vértices y es el centro del círculo que pasa por sus tres vértices. A este círculo se llama circuncírculo del triángulo.

El circuncentro de un triángulo puede quedar dentro deltriángulo, en él o fuera de él, según que éste sea acután-gulo, rectángulo u obtusángulo.

F

G

ECircuncírculo

Circuncentro

Mediatriz

O

Mediatriz

Mediatriz

MAT2 B4 S26.indd 135 9/10/07 12:41:09 PM

Propósito de la actividad. Que a partir de la noción de equidistancia los alumnos conozcan la noción de circuncírculo.

Propósito del interactivo. Que los alumnos exploren que las mediatrices de un triángulo concurren en un punto llamado circuncentro, que equidista de los tres vértices del triángulo.

Sugerencia didáctica. A partir de esta actividad comente con sus alumnos que para todo triángulo existe un circuncírculo.

En la secuencia 28 de su libro Matemáticas I, volumen II, los alumnos aprendieron que dados tres puntos que no son colineales, siempre se puede trazar una circunferencia que pase por ellos, y que el centro de la circunferencia es el punto de intersección de las mediatrices.

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que regresen al problema inicial y que verifiquen si el punto que marcaron efectivamente es el lugar donde se cruzan las mediatrices.

Sugerencia didáctica. Pida a una pareja de alumnos que haga un cartel con esta informa-ción y que la peguen en un lugar visible del salón de clases. Enfatice con todo el grupo en la distinción de circuncentro y circuncírculo.

Propósito del interactivo. Generalizar las características del circuncentro de un triángulo.


136

secuencia 26

Lo que aprendimos1. Traza dos triángulos que tengan el mismo circuncentro.

2. Traza las mediatrices de un triángulo acutángulo y las mediatrices de un triángulo

obtusángulo. ¿Los circuncentros quedan dentro o fuera de los triángulos?

3. Traza el circuncírculo de un triángulo rectángulo. ¿En qué parte del triángulo quedó

ubicado el circuncentro?

alturasPara empezarUna altura en un triángulo es el segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto o a la prolongación de éste.

90

Consideremos lo siguienteEn el patio de la escuela se quiere pintar una mariposa como la que se muestra en el dibujo.

7 cm

5 cm

3 cm

sesión 2

MAT2 B4 S26.indd 136 9/10/07 12:41:10 PM

Posibles procedimientos. Para el problema 1 los alumnos podrían trazar primero un círculo y ubicar sobre la circunferencia distintos puntos, a partir de la elección de tres de esos puntos pueden trazar un triángulo.

Para los problemas 2 y 3 los alumnos pueden orientarse con la actividad II del apartado Manos a la obra.

Propósito de la sesión. Identificar que las rectas determinadas por las alturas de un triángulo concurren y que el punto de concurren-cia puede quedar dentro, en o fuera del triángulo.


Propósito de la actividad. Que los alumnos enfrenten la necesidad de calcular la altura de un triángulo obtusángulo considerando que un triángulo tiene tres alturas.


137

IIMATEMÁTICASPara saber cuántos litros de pintura se tienen que comprar hay que calcular el área de las alas de la mariposa. Ayúdales a calcular el área de las alas.

a) El área de una de las alas de la mariposa es

b) El área de las alas de la mariposa es

Comenten los procedimientos que utilizaron para calcular el área de las alas de la mariposa.

Manos a la obraI. La siguiente ilustración muestra una de las alas de la mariposa. Tracen su altura to-

mando el lado V1V3 como base.

V1

V3 V2

a) ¿Pudieron trazar la altura? ¿Cómo lo hicieron?

b) Si toman el lado V2V3 como base, ¿se puede trazar su altura?

¿Cómo lo harían?

Comparen sus respuestas y comenten por qué el segmento AD no es altura del trián-gulo ABC.

B

D

C

A

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Posibles procedimientos. Dado que en este tipo de triángulos es necesario prolongar dos de sus lados para identificar sus alturas correspon-dientes, lo más probable es que los alumnos tomen como base el lado que mide 7 cm y que consideren la altura que corresponde a ese lado, pues ésta es más sencilla de identificar que las otras dos. Pero no es necesario que lo hagan así, pueden considerar cualquiera de las alturas. Para las respuestas tome en cuenta que las medidas que obtengan serán aproximaciones debido a que los instrumentos geométricos no son totalmente precisos.

Respuestas.

a) 5.25 cm2

b) 10.5 cm2

Sugerencia didáctica. Apoye a los alumnos para que recuerden cómo trazar la perpendicular a una recta por un punto dado. En la secuencia 5 de su libro Matemáticas II Volumen I, se muestra un procedimiento para trazar perpendi-culares.

Respuesta. Para trazar ambas alturas es necesario prolongar los lados que se toman como base tanto como sea necesario para que del vértice opuesto se pueda trazar una perpendicular a la prolongación del lado.

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen uno de los principales errores que se cometen al trazar alturas de triángulos. Este error se genera porque la mayoría de las veces se trazan alturas sólo de triángulos isósceles y equiláteros.

Respuesta. El segmento AD no es la altura porque no es perpendicular al lado BC.


138

secuencia 26ii. En los siguientes triángulos se trazaron las rectas determinadas por dos de sus alturas.

Tracen la recta determinada por la tercera altura en cada triángulo.

Triánguloobtusángulo

O

P Q

H'

e

D

F

H

Triánguloacutángulo

Comparen sus respuestas y comenten:

a) ¿La recta determinada por la altura desde el vértice Q pasa por el punto H’?

b) ¿La recta determinada por la altura desde el vértice F pasa por el punto H?

iii. Tracen las tres alturas del triángulo UVW.

V

u W

¿Cuál es el punto por el que pasan las tres rectas determinadas por las alturas del

triángulo?

Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente y calculen el área de un ala de la mariposa tomando como base uno de los lados del triángulo.

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Propósito de la actividad. Identificar que las rectas determinadas por las alturas de un triángulo concurren.

Posibles errores. Es probable que algunos alumnos, al ver que la perpendicular coincide con uno de los lados, piensen que hicieron mal el trazo y que intenten otra forma de trazar cuidando que la altura no se encime con el lado. Durante la comparación de resultados usted puede comentar las características de las alturas de este tipo de triángulo.

Sugerencia didáctica. Si los alumnos consideraron una sola altura invítelos a que calculen nuevamente el área pero tomando otra altura, la medida del área que les resulte debe ser aproximadamente igual a su primer cálculo.


139

IIMATEMÁTICAS

A lo que llegamosUn triángulo tienen tres alturas, una por cada lado.

Las tres rectas determinadas por las alturas de un triángulo pasan por un mismo punto. A ese punto se le llama ortocentro del triángulo. En un triángulo obtusángulo, el orto-centro queda fuera del triángulo; en un triángulo acutángulo, el ortocentro queda dentro del triángulo y en un triángulo rectángulo, el ortocentro es uno de sus vértices.

Lo que aprendimos1. En el diagrama se muestran los triángulos: AC1B, AC3B, AC4B y AC6B. ¿Cuál de ellos

tiene mayor área? ¿Por qué?

C1

A B

C3 C4 C6

2. Encierra el triángulo en el que la recta trazada sea una de las tres alturas del triángulo.

MAT2 B4 S26.indd 139 9/10/07 12:41:12 PM

Sugerencia didáctica. Pida a un equipo de alumnos que elabore un cartel con esta información y que lo peguen en el salón de clases.

Respuestas.

1. Todos los triángulos tienen la misma área pues el segmento AB es el mismo para todos y la altura que corresponde a ese lado mide lo mismo también para todos.

2. El primer triángulo es el correcto.

Propósito del interactivo. Mediante la manipulación del interactivo se pretende que los alumnos observen que si se toma un lado del triángulo como base y se mantiene la altura, se pueden trazar infinidad de triángulos que tengan las mismas áreas.

Propósito del interactivo. Generalizar las características del ortocentro de un triángulo.


140

secuencia 263. Localiza el ortocentro de los siguientes triángulos.

MedianasPara empezarUn malabarista realiza un acto de equilibrio con platos circulares. Usa tres varillas para equilibrar los tres pla-tos por el centro. Y camina por una cuerda tensa.

Consideremos lo siguienteUn malabarista realiza con mucho éxito un espectáculo de equilibrio con platos circulares. Ahora ha decidido mostrar a su público algo diferente. Pidió a un alfarero fabricar platos triangulares. El alfarero trabajó en el pedido y le presentó al malabarista los siguientes modelos:

sesión 3

Modelo E Modelo IModelo A

Modelo R

Modelo O

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Propósito de la sesión. Identificar las medianas de un triángulo y enunciar sus propiedades.

Materiales. Instrumentos geométricos, tijeras y el anexo Recortables 3. Platos triangulares.

Sugerencia didáctica. Invite a los alumnos a comentar por qué es posible que el malabarista pueda equilibrar los platos circulares.

Propósito de la sesión en el aula de medios. Reafirmar lo que se entiende por bisectriz, altura, mediana y mediatriz para un triángulo cualquiera.



141

IIMATEMÁTICASCuando el malabarista vio los platos le dijo al alfarero que sólo uno de ellos serviría para su espectáculo de equilibrio. El alfarero le contestó que todos los platos le servirían.

Recorten los triángulos del anexo Recortables 3. Platos triangulares, elijan uno y tra-ten de equilibrarlo sobre la punta de un lápiz. Contesten:

¿Con quién están de acuerdo, con el malabarista o con el alfarero?

¿Por qué?

Comparen y justifiquen sus respuestas.

Manos a la obraI. En los siguientes triángulos tomen como base los lados TS y BC, respectivamente.

Midan y tracen lo que consideren necesario en cada triángulo y completen la siguien-te tabla.

R

T D S

A

B M C

¿Cuánto mide?Triángulo verde Triángulo morado

Triángulo RTD Triángulo RDS Triángulo ABM Triángulo AMC

Base

Altura

Área

A partir de la tabla contesten las siguientes preguntas.

a) ¿Cómo son entre sí las áreas de los triángulos RTD y RDS?

c) ¿Cómo son entre sí las áreas de los triángulos ABM y AMC?

c) ¿Cuál de las dos rectas dividió al triángulo correspondiente en dos triángulos de

igual área, la determinada por R y D o la determinada por A y M?

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Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que la mediana divide al triángulo en dos triángulos de igual área.

2cm 5cm 3.5cm 3.5cm

4cm 4cm 4cm 4cm

4cm 10cm2 7cm2 7cm2

Propósito del interactivo. Que los alumnos identifiquen que la mediana divide al triángulo en dos triángulos de igual área.

distintas

iguales

A y M


142

secuencia 26Comparen sus respuestas y comenten: ¿pueden trazar otras rectas que dividan a cada triángulo en dos triángulos de igual área?

En un triángulo, a los segmentos que van de un vértice al punto me-dio del lado opuesto se les llama medianas del triángulo. Una media-na divide al triángulo en dos triángulos de igual área.

ii. Tracen la mediana que falta en los siguientes triángulos:

a) ¿La mediana que trazaron en el triángulo rosa pasa por el punto X?

b) ¿La mediana que trazaron en el triángulo azul pasa por el punto Y?

c) ¿La mediana que trazaron en el triángulo verde pasa por el punto Z?

Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto; a ese punto se le llama baricentro o centro de gravedad.

Ñ

M

n

X

O

Y

Q

P

D

F

e

Z

MAT2 B4 S26.indd 142 9/10/07 12:41:17 PM

Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos cómo tendría que ser la recta RD para que efectivamente sea una mediana del triángulo.

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que las medianas de un triángulo concurren.

Propósito del interactivo. Generalizar las características del baricentro de un triángulo.

Sí

Sí

Sí


143

IIMATEMÁTICASIII. Tracen las medianas del siguiente triángulo y llamen G al punto en el que se cortan.

D

F

E

a) ¿Cuánto mide el área de cada uno de los 6 triángulos en los que quedó dividido el

triángulo DEF?

A lo que llegamosLas medianas de un triángulo lo dividen en 6 triángulos que tienen la misma área. Por esto el triángulo se equilibra cuando coincide el baricentro con la punta del lápiz. Esta característica le da al baricen-tro el nombre de gravicentro o centro de masa.

Retomen el ejercicio del apartado Consideremos lo siguiente. Determinen los baricentros de los triángulos que recortaron (anexo Recortables 3. Platos triangulares) y equili-bren los triángulos por el baricentro.

Lo que aprendimos1. Traza las medianas de los siguientes triángulos:

2. Dibuja dos triángulos que tengan el mismo baricentro.

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Propósitos de la actividad. Que los alumnos identifiquen la igualdad de áreas de los triángulos en los que queda dividido un triángulo por las medianas.

Que constaten por qué al baricentro se le denomina también centro de gravedad.

Sugerencia didáctica. Pida a un equipo que elabore un cartel con esta información, que lo ilustren y que luego lo peguen en el salón de clases.

Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos quién tenía finalmente la razón, el malabarista o el alfarero. Pida que argumente sus respuestas.


144

secuencia 26

BisectricesPara empezarRespondan y comenten las siguientes preguntas:

a) ¿Qué es un ángulo?

b) ¿Qué es la bisectriz de un ángulo?

Los puntos de la bisectriz de un ángulo equidistan de los lados del ángulo.

M

n

L

P

P es un punto de la bisectriz del ángulo LMn. Comprueben que P esté a la misma dis-tancia del lado LM que del lado Mn.

Consideremos lo siguienteEncuentren un punto que esté a la misma distancia de los tres lados del triángulo.

a

c

B

Marquen con rojo el punto que encontraron.

Comenten los procedimientos que siguieron para encontrar al punto.

sesión 4

Recuerden que:

La distancia de un punto a una

recta se mide por el segmento

perpendicular que va del punto

a la recta.

MAT2 B4 S26.indd 144 9/10/07 12:41:18 PM

Propósito de la sesión. Identificar que las bisectrices de un triángulo concurren y que el punto de concurrencia es el centro de un circulo inscrito al triángulo.


Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario recuerde a los alumnos el procedi-miento para trazar la bisectriz de un ángulo. Este procedimiento se muestra en la secuencia 12 de su libro Matemáticas I, volumen I.

Propósito de la sesión en el aula de medios. Reafirmar los conocimientos relativos a la bisectriz para trazar el incírculo de un triángulo dado.


Sugerencia didáctica. Aclare a los alumnos que esta expresión se refiere a que si se toma un punto de la bisectriz de un ángulo, ese punto estará a la misma distancia de uno y de otro lado del ángulo.

Sugerencia didáctica. Recuerde a los alumnos que una forma de mostrar esta igualdad es usando la congruencia de triángulos.

Posibles errores. Algunos alumnos podrían relacionar este problema con el que resolvieron en la sesión 1, por lo tanto es posible que tracen mediatrices en lugar de bisectrices. En las siguientes actividades tendrán la posibilidad de corregir este error.


145

IIMATEMÁTICAS

Manos a la obraI. Tracen las mediatrices y las medianas del siguiente triángulo.

A

C

B

a) ¿El punto determinado por las mediatrices del triángulo equidista de sus lados?

b) ¿El punto determinado por las medianas del triángulo equidista de sus lados?

II. En los siguientes triángulos se trazaron las bisectrices de dos de sus ángulos y los puntos en los que esas bisectrices se cortan. Tracen en cada triángulo la bisectriz del tercer ángulo.

a) b)

G E

F

O

M

L N

P

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Propósito de la actividad. Identificar la concurrencia de bisectrices.

no

no


146

secuencia 26

c) d)

W X

Y

R

a

B c

Q

a) ¿La bisectriz del ángulo GFe pasa por el punto O?

b) ¿La bisectriz del ángulo LnM pasa por el punto P?

c) ¿La bisectriz del ángulo XWY pasa por el punto R?

d) ¿La bisectriz del ángulo Bac pasa por el punto Q?

iii. En el siguiente triángulo se trazaron dos de sus bisectrices, el punto i y las perpendi-culares del punto i a los lados del triángulo.

a e c

D

F

B

i

Respondan con falso o verdadero a los siguientes enunciados:

a) El punto i equidista de los lados ac y aB.

b) El punto i equidista de los lados ca y cB.

c) La distancia iF es mayor que la distancia iD.

d) Tracen la semirrecta Bi, esta semirrecta es la bisectriz del ángulo cBa.

Comenten y justifiquen sus respuestas.

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verdadero

verdadero

falso

Propósito de la actividad. Que los alumnos justifiquen de manera informal la concurrencia de las bisectrices.

verdadero


147

IIMATEMÁTICASIV. En el siguiente triángulo se trazaron sus tres bisectrices y las perpendiculares del

punto I a los lados del triángulo.

A

E

CD

B

F

I

Tracen un círculo con centro en I y radio IE.

Comparen sus trazos y comenten:

a) ¿El círculo pasa también por los puntos D y F?

b) ¿El círculo toca al lado BC en un punto distinto a D?

c) ¿El círculo toca al lado CA en un punto distinto a E?

d) ¿El círculo toca al lado AB en un punto distinto a F?

Realicen el mismo ejercicio con cada uno de los triángulos de la actividad II.

Al círculo que está dentro del triángulo y que sólo toca a sus tres lados en tres puntos, uno por cada lado, se le llama incírculo o círculo inscrito en el triángulo.

Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen sus trazos.

A lo que llegamosLos triángulos tienen tres bisectrices, una por cada uno de sus ángulos internos.

Las tres bisectrices de un triángulo secortan en un punto que equidista de los tres lados del triángulo. A ese punto se le llama incentro ya que es el centro de un círculo inscrito en el triángulo. B D C

E

A

FIncírculo

Incentro

I

Bisectriz

Bisectriz

Bisectriz

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Propósito de la actividad. Identificar el incírculo de un triángulo.

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que regresen al problema inicial y que tracen las bisectrices para ubicar el incentro y que tracen el incírculo.

Sugerencia didáctica Pida a una pareja de alumnos que haga un cartel con esta informa-ción y que la peguen en un lugar visible del salón de clases.

Propósito del interactivo. Generalizar las características del incentro de un triángulo.

sínonono


Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a los ejercicios 5 y 6. Si tienen dificultades repasen la información del apartado A lo que llegamos.

Descripción del video. Es formalizador, en el se dan definiciones y propiedades de puntos y rectas notables del triángulo. Asimismo se presentan algunos problemas.

Sugerencia didáctica. También puede solicitar a los alumnos que escriban cómo se llama el punto notable que se marca en cada triángulo.

148

secuencia 26

Lo que aprendimosPuntos y rectas notables del triángulo

Ahora conoces las propiedades de mediatrices, alturas, medianas y bisectrices en el triángulo. Explica cómo cambian las posiciones de sus puntos de intersección depen-diendo en qué triángulos sean trazados.

1. Dibuja las bisectrices de un triángulo isósceles.

2. Dibuja el incírculo de un triángulo equilátero.

3. Dibuja las bisectrices de un triángulo rectángulo.

4. Dibuja el incírculo de un triángulo obtusángulo.

5. En los siguientes triángulos determina cuáles son las rectas notables que se trazaron.

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Bisectrices Medianas

Mediatrices Alturas


149

IIMATEMÁTICAS6. En los siguientes triángulos traza todas sus rectas notables y remarca sus puntos notables.

7. Para conocer algunas aplicaciones de las propiedades de los puntos y las rectas notables de los triángulos en la solución de problemas pueden ver el programa Puntos y rectas en el triángulo.

Para saber más

Sobre los puntos y rectas notables del triángulo, consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:

Ruiz, Concepción y Sergio de Régules. “La recta de Euler” en Crónicas geométricas.México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.

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Propósito del programa integrador 21. Presentar la manera de obtener la fórmula para calcular la suma de los ángulos internos de polígonos convexos.


Documents

LPM-MATEMATICAS-2-V2-P-117-166