SETIMA UNIDAD

LOGICA PROPOSICIONAL1

La lógica es la disciplina en la que mayor medida juegan un rol decisivo la exactitud y la precisión. Ellas forman parte de la naturaleza misma de la lógica y no existe ni manera de enseñarla ni manera de aprenderla que no las tenga muy en cuenta desde el comienzo. Pero esto no es una desventaja para el estudiante sino que, contrariamente a lo que a menudo se supone, el hecho de que el trabajo del lógico tenga necesariamente que ser exacto y preciso da lugar a que sus afirmaciones sean muy claras y, por ende, no tengan ni las ambigüedades ni las oscuridades que siempre acompañan aquello que se dice de modo inexacto e impreciso. Nuestra experiencia nos inclina a pensar que se aprende con más facilidad y con mayor seguridad aquello que es claro. Esta presunción es correcta en gran medida. consecuentemente, el rigor de la lógica, entendido en términos de exactitud y precisión, es una característica que tiende más a facilitar su aprendizaje que a dificultarlo.

En las otras asignaturas y en nuestra vida ordinaria nosotros usamos el lenguaje para hablar de las cosas y de los acontecimientos que realmente ocurren o que imaginamos. En lo que sigue cambiaremos de punto de vista o de perspectiva. Nuestra atención no se centrará en las cosas ni en ningún tipo de acontecimiento sino en el lenguaje mismo. Esto no significa que vamos a hacer un curso de Gramática pero sí que vamos a actuar en un nivel muy parecido, pues nos va a interesar el lenguaje en sí mismo. La diferencia entre el trabajo del gramático o del lingüista y nuestra tarea consiste en que a nosotros sólo nos importan estrictamente los aspectos lógicos del lenguaje que, en general, son los referentes a las relaciones de éste con la verdad y con las maneras como ella puede ser transferida de una afirmación a otra.

I. Breve reseña histórica de la lógica

1. Aristóteles y los orígenes de la lógicaLa disciplina científica conocida comológica en sentido más propio se denomina Lógica Matemática debido a que unade sus principales características, a partirdel siglo pasado, ha sido la incorporacióna su campo de métodos y símbolos algebraicos. El desarrollo desbordante deesta disciplina durante el último siglo

1 PISCOYA, Luis. Filosofía y Lógica. Lima, Edimaso, ¿1992? Pp. 89-114.

ha dado lugar a que influya decisivamente en la ciencia contemporánea tanto en sus proyecciones teóricas como tecnológicas. Así, por ejemplo, puede afirmarse que la actual revolución electrónica debe su dinamismo y eficacia a las contribuciones del álgebra de Boole, a las creaciones de Turing y a la teoría lógica de circuitos eléctricos de Claudio Shannon, entre otros aportes.

Los orígenes de la lógica científica se remontan al filósofo griego Aristóteles (384-322 a.C.) quien en su trabajo conocido como el Organon desarrolló el primer estudio sistemático de la de-ducción en la sección denominada Primeros Analíticos. Aristóteles examinó en particular un tipo especial de deducción: el silogismo. Un ejemplo típico de él nos lo proporciona el razonamiento: Si todos los cuadrados son rombos y todos los rombos son paralelogramos, entonces todos los cuadrados son paralelogramos.

El acierto de Aristóteles radicó principalmente en estudiar estas deducciones considerando sólo su forma o estructura con independencia de su significado contenido. De esta manera un razonamiento como: Si todos los peruanos son americanos y todos los americanos son occidentales, entonces todos los peruanos son occidentales es desde el punto de vista lógico igual al anterior porque tienen exactamente la misma estructura o forma. Desde el punto de vista de su significado el primero habla de figuras geométricas y el segundo de seres huma-nos pero si se examina las relaciones que existen entre sus términos se encontrará que en ambos casos son las mismas. Los dos ejemplos corresponden al esquema "Si todo A es B y todo B es C, luego todo A es C".

Lo dicho anteriormente nos sirve para hacer comprensible que la notable contribución aristotélica fue desarrollar una teoría sobre los razonamientos o deducciones que no tenga en cuenta el contenido de los mismos sino su forma o estructura. Esta es la razón por la que la lógica desde su creación es una ciencia formal o estructural y este carácter lo mantiene hasta nuestros días después de veinticuatro siglos. Asimismo el tratamiento estructural que hizo el estagirita (así se lo llama a Aristóteles por haber nacido en Estagira) de la deducción le posibilitó otro aporte sustancial al desarrollo de la lógica y de la matemática: el método axiomático. Debido a que todos los razonamientos podían ser considerados como estructuras Aristóteles axiomatizó su teoría del silogismo, o silogística, seleccionando como puntos de partida cuatro estructuras básicas, a las que llamó axiomas, y

luego construyó todas las demás como derivaciones de las básicas. De esta manera la teoría del silogismo constituye el primer sistema axiomático de la historia de la ciencia.

Casi contemporáneos con Aristóteles fueron los lógicos estoicos quienes tuvieron el mérito de profundizar en algunos campos a los que el autor del Organon no les había concedido suficiente atención. Estos filósofos son los precursores más lejanos de la actual lógica proposicional y de las teorías que incluyen predicados relacionales que son indispensables para dotar a la matemática de una lógica adecuada que el silogismo no proporciona. También los lógicos conocidos como megáricos hicieron en épocas cercanas a Aristóteles, aportes ingeniosos a la llamada lógica modal. El más importante de ellos, Diodoro Cronos, se dedicó a la lógica de las modalidades temporales esclareciendo relaciones importantes entre verdad y tiempo. Sin embargo el influjo de Aristóteles fue avasallador y los estoicos y megáricos fueron desconocidos en la edad media durante la cual las investigaciones lógicas se centraron en el silogismo y sus aplicaciones. Esta temática acaparó las preocupaciones de Boecio, Tomás de Aquino, Pedro Hispano y Juan Buridano. Escaparon a ella Abelardo, Lulio y Occam que visualizaron otros horizontes, especialmente este último que trabajó apreciablemente la lógica proposicional y conoció sus principales reglas de inferencia a pesar de no manejar un lenguaje simbólico adecuado, lo que hizo muy difícil su tarea. Por añadidura su conocida concepción nominalista de los universales que interpreta a los conceptos como nombres genéricos es muy próxima a la noción contemporánea de predicado lógico.

2. Los precursores de la lógica matemática.Los especialistas consideran al filósofo alemán Leibniz (1646 - 1716) como el primer genuino precursor de la lógica matemática aunque reconocen que esta idea ya estaba en germen en la obra Ars Magna del español medieval Raimundo Lulio. Leibniz fue el primero que sostuvo con claridad que el método para convertir la teoría de la deducción lógica en una ciencia estricta e infalible era convertirla en un cálculo mediante la utilización de procedimientos matemáticos. Esta nueva ciencia sería una mathesis universalis cuya función consistiría en demostrar la verdad de las afirmaciones filosóficas y científicas sin tener en cuenta su significado sino solamente su estructura expresada en símbolos de un lenguaje artificial construido especialmente para calcular. Leibniz decía que calcular era operar con

símbolos y consecuentemente así como se podía calcular con símbolos aritméticos también ello era factible con símbolos que representen estructuras deductivas. El ideal leibniziano era lograr un instrumento lógico lo suficientemente poderoso como para traducir cualquier discusión significativa sobre la corrección de las deducciones a una operación en la que los oponentes se limiten a revisar los cálculos para ubicar el error de manera parecida a como se corrige una suma cualquiera.

El proyecto de Leibniz era demasiado ambicioso y por ello fracasó. Aunque su intuición fue grande estuvo lejos de lo posible y de la construcción de un lenguaje simbólico que supere significativamente la vieja silogística aristotélica. Fue la inexistencia de un lenguaje lógico-matemático adecuado hasta mediados del siglo XIX lo que llevó al filósofo Kant (1724 - 1804), a pesar de su genialidad, a afirmar erróneamente que la lógica creada por Aristóteles era un conocimiento acabado, cerrado y completo puesto que la investigación post-aristotélica no había ni refutado ni aportado nada nuevo en relación con las enseñanzas del Organon. Este famoso error del filósofo de Könisberg se debió fundamentalmente a que no conoció o no valoró suficientemente los avances de los estoicos, de los megáricos y de Guillermo de Occam.

El creador indiscutible de la Lógica Matemática fue el inglés George Boole (1815 - 1864) a través de sus obras Análisis matemático de la lógica e Investigaciones de las leyes de pensamiento. Boole utilizó el lenguaje del álgebra para atacar los problemas lógicos tradicionales planteados por el silogismo aristotélico, los cuales resolvió a través de procedimientos mecánicos de cálculo. Sin embargo este nuevo lenguaje, conocido como Algebra de Boole, manifestó su potencia resolviendo problemas que excedían los alcances de la lógica aristotélica y poniendo por primera vez en evidencia los errores del estagirita. El Álgebra de Boole también se conoce como un álgebra de clases o un álgebra de conjuntos que continuó investigando Augusto De Morgan (1806 - 1878). Posteriormente el inglés Jevons, el alemán Schroeder y el soviético Poretskiy convirtieron el álgebra de clases en un álgebra de proposiciones y Gottlob Frege en su trabajo titulado Begriffsschrift (en español Ideografía) propuso un método de cálculo de matrices para la lógica proposicional muy semejante al que se usa actualmente. Asimismo Frege desarrolló de manera importante la lógica predicativa con el fin de aplicar el método axiomático a la naciente

teoría de conjuntos de G. Cantor.

3. La lógica matemática contemporáneaLa Lógica Matemática contemporánea debe mucho de manera inmediata a las enseñanzas de Frege y el hito que marca su inicio es la obra monumental de Bertrand Russell y Alfred Whitehead titulada Principia Mathematica aparecida en 1910, editada en Inglaterra, en tres tomos. El propósito de esta obra fue poner toda la matemática conocida hasta entonces en estricto orden lógico utilizando lo que ahora se conoce como un lenguaje lógico de primer orden. Para ello Russell y Whitehead aprovecharon los hallazgos del matemático italiano Peano expuestos en su libro Los principios de la aritmética presentados por un nuevo método en el que se aplica por primera vez el método axiomático a la aritmética. Debido a este hecho el simbolismo lógico más usado actualmente (es el que se usa en este manual) recibe el nombre de notación Peano - Russell.

La aparición de las geometrías no euclidianas por creación de Lobachevski (1793 - 1856), Bolyai (1802 - 1860) y Riemann (1826 - 1866) introdujo en la matemática espacios hiperbólicos y esféricos que alteraban el espacio rectilíneo trabajado por Euclides. Alteraciones semejantes en el álgebra tradicional habían sido introducidas por la creación del álgebra abstracta por Evaristo Galois antes de 1832. Estos hechos crearon la necesidad de estudiar a las teorías matemáticas mismas a fin de determinar sus propiedades. David Hilbert en esta línea de trabajo inventó la Metamatemática cuyo objetivo es el estudio de las teorías matemáticas aplicando los lenguajes lógicos que habían sido creados por Frege y Russell. Notables investigadores han dedicado sus mejores esfuerzos a la Meta-matemática y a la solución de 'sus grandes problemas que en gran medida fueron planteados por Hilbert en un Congreso de Matemáticas realizado en 1900. El más conspicuo de todos ha sido Kurt Gödel quien demostró alrededor de 1930 el más importante teorema de Lógica Matemática de este siglo conocido como Teorema de las proposiciones indecidibles. En 1938 Claudio Shannon aplicó el álgebra de las proposiciones al diseño de circuitos eléctricos a conmutadores y relays que constituye el aporte más importante a la construcción de las modernas computadoras electrónicas digitales. De esta manera la Lógica Matemática dejó de ser un instrumento puramente teórico para convertirse en un instrumento que sirve de soporte a la tecnología más sofisticada de nuestro siglo.

La diversificación de las investigaciones en Lógica Matemática durante los últimos sesenta años ha conducido al surgimiento de ramas altamente especializadas. El polaco Lukasiewicz desarrolló las lógicas polivalentes y Tarski, del mismo origen, creó la semántica lógica con sus investigaciones sobre el concepto de verdad en los lenguajes formalizados y demostró la necesidad ineludible de usar metalenguajes, reafirmando así los resultados de Russell y Hilbert. A partir de estos resultados se ha formulado la moderna teoría de modelos que tiene entre sus representantes a Keisler, Kreisel, Morley y Robinson. De otra parte Hans Reichenbah, Keynes, Carnap y Popper han desarrollado las lógicas probabilitarias y las han aplicado al análisis de teorías físicas y del método de investigación científica. Estos estudios y sus resultados han contribuido al nacimiento y afianzamiento de una nueva disciplina llamada Epistemología cuyo sentido es el análisis de la ciencia utilizando instrumentos proporcionados por la Lógica Matemática a través de sus diferentes ramas. Han destacado como epistemólogos el mismo Popper, Hempel, Nagel, S. Barker, Stegmüller y el argentino Mario Bunge, entre otros. En Estados Unidos han descollado alrededor de la década del cincuenta los trabajos de Kleene y los de Church sobre funciones recursivas cuyos resultados han permitido esclarecer a nivel teórico y práctico las limitaciones y los alcances de una computadora electrónica cualquiera. También son notables en este país los trabajos del profesor W. O. Quine quien ha inventado lenguajes muy complejos y potentes. Sin embargo el mayor aporte de la lógica norteamericana está dado por la demostración que hizo Paul Cohen en la década del sesenta de la independencia de la hipótesis del continuo en la teoría de conjuntos de Cantor. Este teorema, que al igual que el de Gödel constituye una respuesta a uno de los veinte problemas de Hilbert, puede ser considerado el segundo en importancia en la Lógica Matemática de nuestro siglo.

En la Unión Soviética también han habido aportes sustanciales a través de Malsev, Kolmogorov, P.S. Novikov, A. Markov y Shanin, entre otros. En la China se han destacado Wang Hsien Chun, Hao Wang y Shih Hua. El segundo ha trabajado en Estados Unidos y ha aportado al método de procesamiento de teoremas lógicos a través de computadoras.

4. La lógica matemática en América Latina.

La Lógica Matemática ha ocupado la actividad de un número creciente de investigadores latinoamericanos durante los últimos veinte años. Tal vez el núcleo más activo sea el ubicado en Brasil en las Universidades de San Pablo y Campiñas. Su representante más distinguido es Newton da Costa quien es creador de lenguajes lógicos especiales conocidos como paraconsistentes debido a que hacen un uso muy especial del principio de no contradicción. Otro sector importante de investigadores se agrupa airededor de la Universidad de Bahía Blanca en Argentina y entre ellos merece especial mención L. Monteiro que con un grupo de profesores colaboradores ha hecho importantes publicaciones en lógica algebraica. En Chile destacó un residente alemán Gerold Stahl quien hizo investigaciones metamatemáticas. En las universidades católicas de Santiago y Val-paraíso existe un grupo de profesores que trabajan en lógica algebraica y lógica probabilitaria.

En el Perú la actividad en Lógica Matemática es muy reducida y los trabajos están orientados en su mayor parte a la divulgación, especialmente en niveles introductorios. Sin embargo la actividad es creciente y su núcleo se encuentra en la Universidad de San Marcos.

5. La lógica matemática y otras "lógicas".El filósofo Hegel es uno de los grandes responsables de las ambigüedades producidas con el uso diversificado de la palabra lógica. En efecto escribió el libro titulado La Ciencia de la lógica que no es una obra científica sino de filosofía metafísica. Con las modificaciones adecuadas C. Marx fundó a partir de Hegel el método dialéctico materialista al que algunos de sus seguidores han denominado lógica dialéctica. Este método también es filosófico y no es, ni Marx pretendió que lo fuera, un procedimiento .altamente sofisticado de cálculo que sólo es posible si se usa un lenguaje matemático.

Sin embargo, debido a que a veces se ha usado la palabra lógica libremente por el motivo antes explicado, se han cometido confusiones adicionales al considerar como métodos lógicos a formas del antiguo pensamiento oriental Indioy Chino que difieren sustancialmente del racionalismo occidental y se aproximan más a lo que los antropólogos llaman pensamiento mágico-religioso. Es verdad que esas formas del pensar tienen su propia estructura interna y que existen leyes y reglas que las gobiernan, las cuales en un sentido especial constituyen su

lógica interna. Pero eso es hablar de lógica en un sentido no científico y, por tanto, muy lejano al de la Lógica Matemática.

Es difícil definir breve y elementalmente a la Lógica Matemática. Empero, para los fines que nos proponemos es suficiente decir que es una ciencia formal dedicada a la construcción de lenguajes especiales, llamados lenguajes formales, que sirven para expresar o mostrar la estructura de las teorías científicas y para dar las reglas que permiten transformar una estructura dada en otra. Como puede comprenderse a partir del estudio de su historia y de sus problemas, esta disciplina se encuentra indisolublemente unida a la matemática y sus principales esfuerzos y logros han estado orientados hacia el esclarecimiento de los fundamentos de la aritmética, de la teoría de conjuntos, de la geometría y del álgebra abstracta. Es a partir de sus aportes en estos campos que la Lógica Matemática ha influido decisivamente en la construcción de computadoras y en la elaboración de lenguajes para la comunicación entre el hombre y la máquina.

Como se comprende, no existe dificultad en que alguien hable de otras lógicas siempre y cuando no pierda de vista la diametral diferencia que existe entre éstas y la Lógica Matemática. En el caso de un manual para escolares como éste, hacer una distinción enfática es' tarea ineludible que esperarnos haber cumplido.

CUESTIONARIO

1. ¿Qué importancia histórica tiene el Organon y quién fue su autor?

2. ¿Cómo se denomina el tipo especial de deducción a cuyo estudio dedicó Aristóteles sus mayores esfuerzos?

3. ¿Aristóteles estudió las deducciones desde el punto de vista de su estructura o desde el punto de vista de su contenido?

4. ¿Por qué ya para Aristóteles la lógica es una ciencia formal?

5. ¿Existieron en la antigua Grecia, además de Aristóteles, otros filósofos interesados en la lógica?

6. ¿Cuál es el primer sistema axiomático de la historia?

7. ¿Cuál fue el aporte de Guillermo de Occam?

8. ¿Por qué Leibniz es el primer precursor genuino de la Lógica Matemática?

9. ¿Por qué la Lógica Matemática creada por G. Boole es un lenguaje muy distinto al de Aristóteles?

10. ¿Por qué Leibniz quería convertir la lógica en un cálculo?

11. ¿Estuvo en lo correcto el filósofo Kant cuando consideró a la lógica un conocimiento cerrado y agotado por Aristóteles?

12. ¿Cómo se tituló la obra de Gottlob Frege?

13. ¿Cuál es el hito que marca el inicio de la Lógica Matemática contemp oránea?

14. ¿Cuáles fueron los hechos que crearon la necesidad de que Hilbert inventara la Metamatemática?

15. ¿Quién fue Kurt Gödel?

16. ¿Cuál fue la contribución de Claudio Shannon?

17. ¿Qué estudios han contribuido al surgimiento de la Epistemología?

18. ¿Conoces los nombres de dos lógicos soviéticos?

19. ¿Conoces los nombres de dos lógicos latinoamericanos?

20. ¿Qué diferencias existe entre la Lógica Matemática y las otras "lógicas"?

II. Las Proposiciones

1. Las tres funciones básicas del lenguaje2

El lenguaje es un instrumento tan sutil y complicado que a menudo se pierde de vista la multiplicidad de sus usos. Aquí, como en otros campos, existe el peligro de dejarnos llevar por nuestra tendencia a simplificar las cosas.

Una queja corriente de aquellos que adoptan un punto de vista demasiado estrecho acerca de los usos legítimos del lenguaje, concierne a la manera en que se 'desperdician' palabras en funciones de tipo social. "¡Tanta charla para decir tan poco!", afirma en resumen este tipo de crítica. Y en más de una oportunidad hemos oído decir a una persona: "Fulano de tal me preguntó cómo estaba. ¡Qué hipócrita! ¡Si no le preocupa en lo más mínimo cómo estoy yo!". Tales observaciones revelan una falta de comprensión de los complejos propósitos para los cuales es usado el lenguaje. Esto se manifiesta también en la deplorable conducta de la persona fastidiosa, quien, cuando se le pregunta cómo se encuentra, procede a describir el estado de su salud, habitualmente con gran extensión y detalle. Pero la gente, por lo general, no habla en las fiestas para instruirse mutuamente. Y de ordinario, la pregunta: "¿Cómo está usted?" es un saludo amistoso, no un pedido de informe médico.

Un uso muy importante del lenguaje es comunicar información. Por lo común, esto se realiza mediante la formulación y la afirmación (o negación) de proposiciones. Del lenguaje usado para afirmar o negar proposiciones, o para presentar razonamientos se dice que cumple una función informativa. En este contexto, usamos la palabra 'información' de modo que incluya también la mala información, o sea tanto las proposiciones falsas como las verdaderas, tanto los razonamientos correctos como los incorrectos. El discurso informativo es usado para describir el mundo y para razonar acerca de él. Que los presuntos hechos descriptos sean o no importantes, sean generales o particulares, no interesa. En todos los casos, el lenguaje con que se los describe o se transmite algo acerca de ellos es usado informativamente.

Además del informativo, podemos distinguir otros dos usos o funciones básicas del lenguaje,

2 Esta lectura la hemos tomado de la décima edición del libro de Irving M. Copi: Introducción a la lógica (Buenos Aires, Editorial Universitaria, 1971). pp. 34-37.

a los que nos referiremos como el uso expresivo y el uso directivo. Así como la ciencia nos ofrece los ejemplos más claros de discurso in-formativo, la poesía nos suministra los mejores ejemplos del lenguaje que cumple una función expresiva. Las siguientes líneas de Burns:

¡Ah, mi amor es como una rosa roja, roja / recién florecida en la primavera; Ah, mi amor es como una melodía tocada con dulce entonación!

no pretenden de ningún modo informarnos acerca de hechos o teorías concernientes al mundo. El propósito del poeta es comunicar, no conocimiento, sino sentimientos y actitudes. El .verso no fue escrito para transmitir ninguna información, sino para expresar ciertas emociones que el poeta experimentaba muy agudamente y para despertar en el lector sentimientos similares. El lenguaje tiene una función expresiva cuando se lo usa para dar expansión a sentimientos y emociones, o para comunicarlos.

Sin embargo, no todo lenguaje expresivo es poético. Expresamos pena exclamando: " ¡Qué desgracia!" o " ¡Dios mío!", y entusiasmo voceando: " ¡Bravo!" o " ¡Magnífico!". El novio expresa su delicada pasión murmurando: "¡Querida!" o " ¡Tesoro!". El poeta expresa sus emociones complejas y concentradas en un soneto o en alguna otra forma de poesía. Un fiel puede expresar su sentimiento de admiración y de temor reverente ante la vastedad y los misterios del universo recitando el Padre Nuestro o el Salmo 23 de David. Todos éstos son usos del lenguaje no dirigidos a comunicar información, sino a expresar emociones, sentimientos o estados de ánimo. El discurso expresivo, como tal, no es verdadero ni falso. Pues, si alguien quiere aplicar solamente criterios de verdad o falsedad de corrección o incorrección, a un discurso expresivo tal como un poema, juzgará erróneamente y perderá mucho de su valor. El estudiante cuyo goce del soneto de Keats, Primera ojeada al Homero de Chapman, lo siente empañado por su conocimiento histórico de que fue Balboa y no Cortés quien descubrió el Océano Pacífico es un 'pobre lector' de poesía. El propósito del poema no es enseñar historia, sino algo enteramente distinto. Esto no significa que la poesía no tenga ninguna significación literal. Algunos poemas tienen efectivamente un contenido informativo que puede ser un elemento importante de su efecto total. Algunas poesías pueden muy bien ser una crítica de la vida, para decirlo con las palabras de un gran poeta. Pero esos poemas son algo más que puramente expresivos, en el

sentido en que estamos usando el término aquí. Puede decirse que tales poesías tienen un 'uso mixto', o que cumple una función múltiple.

La expresión puede ser descompuesta en dos componentes. Cuando una persona se maldice a sí misma en momentos en que está sola, cuando un poeta escribe poemas que no muestra a nadie o cuando un hombre ora en la soledad, su lenguaje expresa o revela su propia actitud pero no está destinado a despertar una actitud similar en algún otro. Por otro lado, cuando un orador trata de instar a su auditorio, no a la acción, sino a que comparta su entusiasmo; cuando un enamorado corteja a su amada en lenguaje poé-tico; cuando la multitud vitorea a su equipo deportivo preferido, el lenguaje usado no solamente pone de manifiesto las actitudes de los que hablan, sino que pretende también despertar las mismas actitudes en sus oyentes. El discurso expresivo, entonces, se usa ya sea para manifestar los sentimientos del que habla o para despertar ciertos sentimientos en el auditorio. Por supuesto que puede ser usado simultáneamente para ambos fines.

El lenguaje cumple una función directiva cuando se lo usa con el propósito de originar (o impedir) una acción manifiesta. Los ejemplos más claros de discursos directivos son las órdenes y los pedidos. Cuando una madre indica a su pequeño que se lave las manos antes de comer, no pretende comunicarle ninguna información ni tampoco manifestar o despertar alguna emoción particular. Su lenguaje está dirigido a obtener resultados, a provocar una acción del tipo indicado. Cuando la misma señora pide al almacenero que le mande ciertas mercaderías a su casa, está usando nuevamente el lenguaje de manera directiva para motivar o causar una acción. Plantear una pregunta es, por lo común, pedir una respuesta y debe clasificarse también como discurso directivo. La diferencia entre una orden y un pedido es bastante sutil, pues casi cualquier orden puede traducirse en una solicitud agregando las palabras "por favor", o mediante cambios adecuados en el tono de voz o en la expresión facial.

En su forma crudamente imperativa, el discurso directivo no es verdadero ni falso. Una orden como "cierre la ventana" no puede ser verdadera ni falsa en ningún sentido literal. Que la orden sea o no obedecida, ello no afecta ni determina su valor de verdad, pues no tiene ningún valor de verdad. Podemos no estar de acuerdo acerca de si una orden ha sido o no obedecida; podemos diferir en cuanto a saber si una orden

debe ser o no obedecida; pero nunca podemos diferir acerca de si una orden es verdadera o falsa, pues no puede ser ninguna de ambas cosas. Sin embargo, las órdenes tienen ciertas propiedades que presentan alguna analogía con la verdad o falsedad del discurso informativo: son las cualidades de ser 'razonables' o 'adecuadas' y `no razonables' o 'inadecuadas'. Y los problemas relativos a la adecuación de las órdenes pueden plantearse y resolverse por métodos que se hallan estrictamente dentro del ámbito de la lógica.

2. Las proposicionesA continuación escribiremos un conjunto de afirmaciones con las que está familiarizado todo estudiante del último año de secundaria.

a. La pizarra es verde.a. Los átomos tienen un núcleo.b. El Teorema de Pitágoras está demostrado en los Elementos.b. La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180 grados.c. 8 > 3 + 4d. La tierra es de forma plana.e. La tierra es el centro del universo.h. El postulado V de Euclides puede ser demostrado como teoremas dentro de los Elementos.

Es sencillo constatar que estas afirmaciones pertenecen a campos distintos. La primera, por ejemplo, a la vida cotidiana de cualquier escolar. Las otras, a la matemática, a la física, etc. Asimismo, todas ellas están expresadas en un lenguaje determinado que en este caso es el español, con excepción de la quinta que está expresada en lo que llamaremos lenguaje matemático. La afirmación '8 > 3 + 4' puede figurar de la misma manera en un libro en inglés, francés o cualquier otro idioma ya que es una expresión matemática que es parte de un lenguaje distinto a los indicados y que se usa internacionalmente. Además, debido a que están expresadas o formuladas en un lenguaje, todas están constituidas por un conjunto de signos escritos que respetan ciertas reglas. Por ejemplo, la que dice que el verbo copulativo 'ser' o 'estar' debe estar entre el sujeto y el predicado. Hablando en términos que describen mejor lo que observamos, cada una de las afirmaciones está expresada por una sucesión o secuencia finita de signos, cada uno de los cuales es una letra de nuestro alfabeto.

De otra parte, sabemos que algunos de nuestros ejemplos son afirmaciones verdaderas (los cinco primeros) y que otros están constituidos por

afirmaciones falsas (los tres últimos). Esto significa que hay secuencias finitas de signos que con sentido pueden ser calificadas de verdaderas y que hay secuencias finitas de signos que pueden ser calificadas de falsas. Las secuencias finitas de signos de esta clase nos interesan particularmente y se denominan proposiciones. En armonía con esto proporcionaremos la siguiente definición.

Definición I. Diremos que son proposiciones:i) Todas las secuencias finitas de signos que con sentido pueden ser calificadas de verdaderas.ii) Todas las secuencias finitas de signos que con sentido pueden ser calificadas de falsas

De conformidad con la definición anterior todas las afirmaciones que hemos formulado al comenzar esta explicación son proposiciones. Las cinco primeras, por ser secuencias finitas de signos que podemos calificar de verdaderas, satisfacen la primera condición de la definición. Las tres últimas, por ser secuencias finitas de signos que podemos calificar de falsas, satisfacen la segunda condición de la definición. Podríamos definir abreviadamente 'proposición' indicando que es toda secuencia finita de signos que con sentido puede ser calificada de verdadera o de falsa. Esta definición es correc-ta a condición que se entienda que esto no significa que una misma secuencia finita de signos pueda ser verdadera y falsa a la vez.

Es importante puntualizar que así como a las personas y a las cosas les asignamos nombres que nos permiten hablar sobre ellas, de la misma manera podemos darles nombres a las proposiciones, los mismos que pueden ser muy breves para ganar simplicidad. De este modo podemos convenir que en nuestro listado inicial cada una de las letras es el nombre de la proposición a la cual antecede. La primera proposición tiene como nombre 'a', la segunda tiene como nombre 'b', y así sucesivamente hasta llegar a la octava cuyo nombre es 'h'. En adelante, para abreviar, llamaremos a tales proposiciones por su nombre.

Hay proposiciones que son oraciones como es el caso de todas las de nuestro listado excepto 'e'. Estas oraciones están formuladas en un lenguaje que en nuestra situación concreta es el español, pero bien podría serlo el inglés, el francés, el alemán, o cualquier otra lengua que se use en la vida diaria o cotidiana. A tales lenguas se les denomina lenguajes naturales o vernáculos, y a las proposiciones que son oraciones dadas en estos lenguajes se les llama proposiciones en lenguaje natural. En cambio la proposición 'e'

está formulada usando signos especiales que no son los que usamos en la comunicación familiar o social sino cuando trabajamos en Matemática. Esta proposición está dada en un lenguaje especializado, el matemático. Y a los análogos a éste les llamaremos lenguajes formalizados, los mismos que no son usados en la comunicación cotidiana sino principalmente en la actividad científica.

En los lenguajes naturales hay oraciones que no son proposiciones. Tal es el caso de las oraciones interrogativas como ¿Qué hora es? u oraciones imperativas, como ¡Vete a dormir! que son ciertamente secuencias finitas de signos pero que no pueden ser calificadas como verdaderas o como falsas. Lo mismo ocurre con exclamaciones como ¡Gracias a Dios! Las oraciones de nuestro listado son de naturaleza especial, pues a ellas sí sin dificultad las podemos calificar de verdaderas o de falsas debido a que todas afirman o aseveran "algo". Cuando ese "algo" es el caso entonces decimos que son verdaderas y cuando ese "algo" no es el caso, entonces decimos que son falsas. Por esta razón estas oraciones se llaman gramaticalmente aseverativas y podemos decir que toda oración aseverativa es una proposición.

Sin embargo no podemos sostener que toda proposición es una oración aseverativa pues la proposición 'e', que está escrita en lenguaje formalizado, no es exactamente una oración aseverativa sino es más propiamente un tipo de fórmula matemática.

Hay expresiones exclamativas como ¡Oro!, o ¡Fuego!, por citar sólo dos ejemplos, que podrían ser interpretadas como proposiciones en el sentido de que ellas pueden traducirse por 'En mi mina hay oro' y 'Allí hay fuego', respectiva-mente. De' esta suerte las anteriores ex-clamaciones resultan proposiciones abreviadas o elípticas. La interpretación anterior en general es correcta y podemos decir que cuando una exclamación puede ser expresada de modo más detallado mediante una oración aseverativa entonces tal exclamación puede ser considerada una proposición elíptica o abreviada.

De otra parte, es importante advertir que hay un cierto tipo de frases que a menudo originan dificultades en los estudiantes que tienden a confundirlas con proposiciones. Por ejemplo, las frases 'El autor del Quijote'. El hijo de la Reina Madre', 'El cuadrado de dos', y las de su tipo, no son proposiciones porque no aseveran nada. Estas frases se reducen a ser meros artificios para sustituir nombres, pues la primera puede ser sustituida por 'Miguel de Cervantes', la

segunda por 'Luis Miguel' y la tercera por '4'. En efecto, un nombre no es una proposición sino sólo puede ser un componente de ella. Consecuentemente, cuando nos encontramos ante una secuencia finita de signos que puede ser sustituida por un nombre, con toda seguridad tal secuencia no es una proposición. A las secuencias finitas de signos de esta clase las llamaremos descripciones definidas.

El uso de la palabra 'proposición' es muy dinfundido entre los especialistas, pero algunos prefieren usar palabras como 'enunciado', 'sentencia', 'oración', etc. para referirse a lo que, en este texto, denotamos con 'proposición'.

CUESTIONARIO

I. Indicar cuáles son proposiciones en el siguiente listado.

1. Ama a tu prójimo como a ti mismo.2. Los perros son animales domesticables.3. (a + b)2 = a2 + 2ab +b2

4. x+y=y+x5. Existe al menos un habitante en la Luna.6. ¡Eureka!7. El hijo de Carlos V.8. El cuadrado de cuatro.9. El hombre que escribió El capital nació el 5 de mayo de 1818.10. ¡Tierra!11. ¿Qué está pasando en el África?12. ¿Por qué hay tanta explotación en el mundo?13. Las águilas de América del Norte son carnívoras.14. Los elefantes son animales livianos.15. Los vendedores de armas son piadosos.16. ¿Cuál es la identidad de Amarilis?17. La Geometría de Riemann es para un espacio esférico.18. El creador de la teoría de la Relatividad era pacifista.19. Los guionistas de la película El padrino.20. La raíz cuadrada de 9 es un número par.21. 3 + 322. 5223. La fabricación de bombas atómicas requiere de conocimientos de, física.24. Honrarás a tus padres.

II. Indicar cuáles en el listado anterior son descripciones definidas.

III. Responde a las siguientes preguntas.

1. ¿Es el álgebra un lenguaje formalizado?2. ¿Es el quechua un lenguaje formalizado?3. ¿Constituyen el sistema Morse y las señales luminosas del semáforo lenguajes naturales?

4. ¿Es la expresión 'El Teorema de Pitágoras' el nombre de un matemático o de una proposición?5. ¿De qué otra manera se puede llamar a las proposiciones?6. ¿Qué es una proposición elíptica?7. ¿Por qué es falsa la proposición 'Toda proposición es una afirmación matemática?8. ¿Qué ocurriría si la ciencia no se expresara mediante proposiciones?

III. Las conectivas y las tablas de verdad.

En lo que sigue procederemos a explicar la función de una clase especial de términos que los lógicos suelen denominar conectivas proposicionales porque, en general, cumplen la función de conectar o enlazar a las proposiciones entre sí. En algunos libros de lógica se les denomina conectores; en otros, términos de enlace u operadores proposicionales. Los autores que los denominan operadores proposicionales desean enfatizar que estos términos además de enlazar proposiciones establecen operaciones entre ellas, que son análogas a cualquier operación matemática. Nosotros hemos preferido usar la denominación conectivas proposicionales porque es la que con mayor frecuencia se usa en los textos de lógica que hay en lengua española.

1. La conjunciónPara explicar esta conectiva tomemos como punto de partida las dos siguientes proposiciones:

j. Lima es la capital del Perú.k. Bogotá es la capital de Colombia.

Sobre la base de estas dos proposiciones, enlazándolas mediante la partícula `y' nosotros podemos construir una nueva. De este modo tenemos:

m. Lima es la capital del Perú y Bogotá la capital de Colombia.

Como puede observarse la proposición 'm' tiene como componentes a las proposiciones 'j' y 'k', las mismas que se encuentran ligadas por la partícula 'y', a la cual llamaremos conjunción. Asimismo a la nueva proposición 'm' la denominaremos proposición conjuntiva y quien la afirma dice la verdad solamente en el caso que la proposición 'Lima es la capital del Perú' sea verdadera y la proposición 'Bogotá es la capital de Colombia' sea verdadera. Vale decir, las dos proposiciones componentes deben ser verdaderas para que una proposición conjuntiva sea verdadera.

Siguiendo el mismo procedimiento nosotros podemos construir un número ilimitado de proposiciones conjuntivas. Todo lo que necesitamos hacer es elegir pares de proposiciones y luego ligarlas mediante la conectiva 'y'. De esta manera tendremos tantas proposiciones conjuntivas como deseemos y

todas ellas tendrán en común una forma lógica o estructura que puede ser representada así

… y …

En este esquema los puntos suspensivos que están hacia la izquierda de la `y' representan el lugar que ocuparía la primera proposición y los puntos suspensivos hacia la derecha de la 'y' representan el lugar que ocuparía la segunda proposición. Este recurso también nos muestra que para entender la estructura lógica de una proposición conjuntiva no es indispensable recurrir a ejemplos concretos sino que los puntos suspensivos son suficientes para indicarnos que los lugares a la derecha y a la izquierda de la 'y' pueden ser ocupados por cual-quier par de proposiciones.

Debido a lo anterior es posible que en lugar de los puntos suspensivos utilicemos las últimas letras de nuestro alfabeto (p, q, r, s, etc.) para representar proposiciones sin necesidad de interesarnos en especificarlas al detalle. A estas letras se les denomina variables proposicionales por analogía con las variables algebraicas de expresiones tales como `2x + c', en las que la variable algebraica `x' representa a cualquier número. De modo semejante, por ejemplo, la variable proposicional p representa a cualquier proposición. En armonía con lo anterior proporcionaremos la siguiente definición.

Definición 2. Son variables proposicionales las letras p, q, r, etc. que tienen la función de representar a cualquier proposición.

Empleando variables proposicionales, la estructura lógica de cualquier proposición conjuntiva puede ser formulada así:

p y q

donde la variable proposicional p representa la primera proposición que elijamos y la variable proposicional q representa la segunda. Pero además, para incrementar este nuevo lenguaje que estamos construyendo, podemos reemplazar la 'y' por el signo especial al que llamaremos conectiva de conjunción y lo traduciremos al castellano por 'y'. De esta manera, utilizando variables proposicionales y el signo ' podemos representar de la siguiente manera la estructura lógica de cualquier proposición conjuntiva.

p q

La expresión anterior constituye en sentido estricto una fórmula lógica que no está dada en idioma español sino en un lenguaje formalizado

que denominaremos en adelante lenguaje lógico y el cual iremos incrementando progresiva-mente. Debido al nivel elemental de este curso, a la fórmula anterior también la llamaremos proposición conjuntiva sin entrar en otras distinciones propias de niveles más avanzados. El mismo procedimiento será adoptado en adelante en casos similares.

El vocabulario lógico introducido anteriormente nos permite ahora dar una definición que establezca las condiciones de verdad de una proposición conjuntiva.

Definición 3. Si las variables proposicionales p y q representan cualquier par de proposiciones, luego la proposición conjuntiva p q es verdadera solamente en el caso que p sea verdadera y q también sea verdadera. En cual quier otro caso la proposición p q es falsa.

Para determinar cómo funciona esta definición en la práctica es necesario recurrir a un artificio lógico llamado tabla de verdad, el cual parece que fue conocido de manera rudimentaria desde la antigüedad. La presentación que hoy día tiene es la que usó el filósofo Wittgenstein en su libro Tractatus Logico Philosophicus. La tabla de verdad es necesaria debido a que por definición de variable proposicional es posible que p y q representen en unos casos a proposiciones verdaderas y en otros a proposiciones falsas, lo que nos da varias posibilidades de combinar sus valores. Sin embargo, todo lo que puede ocurrir debido a esto es que p sea en unos casos verdadera y en otros casos falsa y lo mismo con q. Consecuentemente, p puede asumir o tomar dos posibles valores (Verdadero — Falso) y la variable q también. Luego, la tabla de verdad debe presentar en orden todas las com-binaciones posibles de los valores de las variables p y q para luego aplicar la co-rrespondiente definición y establecer la verdad de la proposición conjuntiva. El proceso de construcción de la tabla de verdad puede hacerse siguiendo las siguientes reglas.

R1. Dibújese una tabla, denominada de doble entrada, como la siguiente, de tal manera que para cada variable proposicional exista una correspondiente columna debajo de ella y los valores que asuma la proposición conjuntiva por aplicación de la Definición 3 puedan ser escritos, paralelamente y en correspondencia con los valores de las variables proposicionales. Al sector de la tabla donde deben estar las columnas de valores de las variables se les llama margen.

R2. Escríbase en columnas todas las combinaciones posibles de los posibles valores de las variables p y q de tal manera que éstos aparezcan ordenados por pares. (Úsese para el valor verdadero la abreviatura V y para el falso F). A cada uno de dichos pares se le denomina arreglo. El número de valores que van a constituir cada columna se calcula aplicando la fórmula: No. de valores de cada columna = 2n. En esta fórmula la letra ‘n’ es una variable numérica cuyo valor depende del número de variables proposicionales que tenga la proposición que vamos a tabular. En nuestro caso, dado que nuestra proposición a tabular con tiene solamente las variables p y q, entonces ‘n=2’ y, consecuentemente, ‘2n = 4’. El número de arreglos coincide con el número de valores que constituyen cada columna.

Efectuado lo dicho en R2, la tabla queda así:

Es recomendable escribir en la primera columna como aparece aquí, la mitad de valores verdaderos y la mitad de valores falsos. En la segunda columna un cuarto de valores verdaderos y un cuarto de valores falsos, en la tercera, cuando hay tres variables, un octavo y así sucesivamente. Estas sucesivas divisiones entre dos de los valores de las columnas son siempre posibles debido a que todo número que se obtiene aplicando la fórmula 2n es siempre par.

R3. Inspecciónese cada uno de los arreglos y escríbase debajo de la conectiva de la proposición conjuntiva el valor que les corresponde de acuerdo a lo establecido por la Definición 3. Por ejemplo, en este caso la proposición conjuntiva es verdadera solamente en el primer arreglo, pues es el único en el que se cumple que ambas variables proposicionales

son verdaderas como lo prescribe la Definición 3. En todos los demás arreglos le asignaremos a la proposición conjuntiva el valor falso porque al menos una de dos variables proposicionales es falsa. Así obtenemos una nueva columna de valores que llamaremos matriz de la conjunción. La tabla queda finalmente de esta manera:

Tabla 1

Este proceso de construcción de una tabla de verdad puede parecer largo y tedioso a un principiante. Sin embargo, con muy poca práctica, se encuentra que es muy sencillo y rápido. Lo que ocurre es que la explicación ha sido lo más detallada posible para que queden claros todos los aspectos que deben tenerse en cuenta, para lograr una comprensión lúcida que permita luego construirla mecánicamente, pues la construcción de una tabla de verdad es un procedimiento mecánico y a los procedimientos de esta clase se les denomina en lógica algoritmos.

Es importante aclarar, antes de seguir adelante, que algunas palabras que en el lenguaje natural no tienen exactamente el mismo uso que 'y', deben ser traducidas al lenguaje lógico por la conectiva de conjunción. Es el caso de palabras como 'pero', 'sin embargo', 'aunque', que, desde el punto de vista lógico, son equivalentes a 'y'. Si asumimos que la variable proposicional p representa a la proposición 'Carlita irá al cine' y que la variable q representa a la proposición `Carlita no tiene dinero', la proposicón p q es la traducción lógica de las siguientes proposiciones:

Carlita irá al cine pero no tiene dinero.Carlita irá al cine, sin embargo no tiene dinero.Carlita irá al cine aunque no tenga dinero.

De otra parte la conjunción en lógica es conmutativa, mientras que en el lenguaje natural no ocurre siempre así. Por ejemplo, en lenguaje natural la proposición 'Gustavo disparó y mató al venado' tiene distinto sentido que 'Gustavo mató al venado y disparó'. La diferencia radica en que la primera sugiere claramente una relación de causalidad que se desvirtúa en la segunda que ya no expresa claramente a qué disparó Gustavo. Sin embargo,

la conectiva de conjunción no establece ningún tipo de nexo causal o de orden. Consecuentemente, las dos proposiciones anteriores son completamente equivalentes para los fines del análisis lógico. En armonía con ello las siguientes proposiciones son lógicamente equivalentes aunque en el lenguaje natural no sea así:

Aníbal abrazó a su novia y se fue a la China.Aníbal se fue a la China y abrazó a su novia.

CUESTIONARIO

I. Expresar en el lenguaje lógico, usando variables proposicionales y la conectiva adecuada, las siguientes proposiciones:

1. El número ocho es una potencia par y Lima es una ciudad grande.2. 2n es una potencia par pero 3n es una potencia impar.3. La raíz cuadrada de 2 es irracional y el gato es también irracional.4. Pedrito predica caridad; sin embargo vive con mucho lujo.5. Francisco es a la vez juez y parte.6. Fortunato cobra dinero a pesar de que no trabaja.7. Sam, el defensor de los torturados, es también empresario.8. Pan y circo destruyeron a los romanos.9. Fútbol y circo distraen a las multitudes.10. La integral de Newton era correcta pero la de Riemann más sencilla.

II. Señalar cuáles en el siguiente listado son afirmaciones falsas.

1. El signo especial llamado conectiva de conjunción forma parte del lenguaje natural.2. Las variables proposicionales tienen alguna analogía con las variables algebraicas.3. Como el alfabeto es finito nosotros podemos obtener nuevas variables proposicionales, en caso de necesitarlas, escribiendo la misma letra con diversos subíndices y tendremos p1, p2,...pn

4. El margen de una tabla para una proposición con cuatro variables proposicionales tiene 12 arreglos.5. La matriz de la conjunción es verdadera para el tercer arreglo.6. Para que una proposición conjuntiva sea falsa es suficiente que uno de sus componentes sea falso.

III. Responder a las siguientes preguntas.

1. ¿Cómo sería la matriz de la conjunción si en lugar de comenzar el margen con un arreglo

constituido por dos valores verdaderos lo comenzáramos con un par de valores falsos?2. ¿Cómo se define algoritmo?3. ¿Son las cuatro operaciones elementales de la aritmética algorítmicas?4. ¿Por qué la matriz de una conjunción de dos variables proposicionales no puede tener dos valores verdaderos?5. ¿Qué relación hay entre el número de valores que puede tomar una variable y la definición de proposición?6. ¿Podemos entender el primer arreglo del margen como un par de proposiciones verdaderas?7. ¿Qué es lo importante en la tabla de verdad, el valor de las proposiciones o su significado?

2. La disyunción

A menudo nosotros nos encontramos con proposiciones tales como las siguientes:

a. Enrique es un buen jugador de ajedrez o un buen lector.b. El marco de una pintura puede ser de forma rectangular o de forma circular.

Lo que tienen en común las proposiciones 'a' y 'b' es que ellas han sido construidas sobre la base de otras proposiciones que han sido enlazadas mediante la partícula 'o' que en lógica se denomina conectiva de disyunción. De manera detallada, las proposiciones que constituyen la proposición cuyo nombre es 'a' son 'Enrique es un buen jugador de ajedrez' y 'Enrique es un buen lector'. En nuestro ejemplo aparecen de manera abreviada que evita redundancias no elegantes en idioma castellano. La proposición disyuntiva que forman estas proposiciones es de carácter inclusivo en el sentido de que, aunque se dice que Enrique tiene una entre dos propiedades, no excluye la posibilidad de que pueda poseer ambas. Es completamente posible que alguien pueda ser al mismo tiempo un buen jugador de ajedrez y un buen lector.

Distinta es la situación del ejemplo nombrado por ‘b’. La razón de ello es que las proposiciones componentes 'El marco de una pintura puede ser de forma rectangular' y 'El marco de una pintura puede ser de forma circular' no pueden ser ambas verdaderas. Si se da el caso de que el marco es rectangular, entonces ya no puede ser circular y si se da el caso de que es circular, entonces ya no puede ser rectangular, porque tales propiedades son excluyentes entre sí. Vale decir, en nuestro segundo ejemplo la verdad de una de las

proposiciones componentes excluye la verdad de la otra. Por eso se dice que se trata de una disyunción en sentido exclusivo. Aunque en español en ambos casos se usa la misma letra ‘o’, en lógica la disyunción exclusiva se denota por el signo ‘~’ para distinguirla de la inclusiva que se denota por el signo ‘’.

Utilizando las variables proposicionales que representan en cada caso a las proposiciones componentes, la estructura lógica de la disyunción inclusiva es mostrada por la siguiente fórmula:

p q

y la de la disyunción exclusiva por

P q

Debemos anotar que la distinción anterior es importante, pero de la disyunción exclusiva se puede prescindir con relativa facilidad en lógica, razón por la que muchos autores no la men-cionan.

Definición 4. La proposición disyuntiva inclusiva p q es verdadera siempre que p sea verdadera o que q sea verdadera o que ambas variables sean verdaderas. Es falsa sólo cuando ambas variables son falsas.

Definición 5. La proposición disyuntiva exclusiva p ~ q es verdadera si una, y solamente una de las variables proposicionales, es verdadera. En cualquier otro caso es falsa.

Con el auxilio de estas definiciones ya nos encontramos en condiciones de construir la tabla de verdad de la disyunción inclusiva y de la exclusiva. Para ello es necesario proceder exactamente de la misma manera como procedimos en el caso de la conjunción, hasta la aplicación de la regla R2.

En el momento de realizar el paso co-rrespondiente a la regla R3 entonces la variante consistirá en que aplicaremos la Definición 4, para obtener la matriz de la disyunción inclusiva y la Definición 5 para obtener la matriz de la disyunción exclusiva. La tabla de verdad de la disyunción inclusiva es como a continuación se grafica:

Tabla 2

Asimismo la tabla de verdad de la disyunción exclusiva queda graficada del siguiente modo:

Tabla 3

Es evidente que la disyunción inclusiva sólo es falsa en el cuarto arreglo debido a que es el único en que ambas variables son falsas. La disyunción exclusiva es verdadera en los arreglos segundo y tercero porque sólo en ellos una y sólo una de las variables es verdadera. Remarcaremos que la diferencia entre ambas tablas se encuentra en el valor correspondiente al primer arreglo que es verdadero en la disyunción inclusiva y falso en la exclusiva que no admite que dos proposiciones sean verdaderas.

3. La negaciónLa negación es una conectiva especial porque no enlaza proposiciones sino que se aplica directamente a sólo una proposición. Esto lo comprenderemos muy fácilmente usando ejemplos. Tengamos las proposiciones:

a. El libro es rojo.b. El número dos es par.

En efecto, a partir de ella es posible construir nuevas proposiciones que sean sus negaciones, introduciendo la partícula 'no'. Así tenemos:

c. El libro no es rojo.d. El número dos no es par.

Y este procedimiento podemos aplicarlo tanto como queramos pues, dada una proposición, siguiendo un mecanismo semejante a éste, siempre es posible construir una nueva que sea su negación. Por eso se le denomina proposición negativa. Sin embargo, el uso de la partícula 'no' en lógica no se hace dentro de la oración como en los casos anteriores, en los que se respeta la gramática española usual. Los

lógicos, por razones que luego expondremos, prefieren construir la negación de una proposición anteponiéndole la partícula 'no'. Siguiendo este criterio, las negaciones lógicas de 'a' y 'b' son

e. no — (El libro es rojo)f. no — (El número dos es par)

Esto nos permite comprender que la estructura lógica de una proposición negativa cualquiera puede ser graficada como sigue:

no — (…………….)

Si usamos variables proposicionales y el signo ‘’ que se usa en lógica para expresar la partícula 'no'. entonces tenemos que una proposición negativa se escribe en lenguaje lógico así:

p

Es claro que 'c' y 'd' no son afirmaciones elegantes en español aunque sean lógicamente correctas. Para salvar este detalle ellas pueden ser traducidas por `No es el caso que el libro sea rojo' y por 'No es el caso que el número dos sea par'. Asimismo resulta muy intuitivo que cuando una proposición es verdadera su correspondiente proposición negativa debe ser falsa y viceversa.

Definición 6. La proposición negativa p es verdadera solamente cuando la variable p es falsa y es falsa solamente cuando la variable p es verdadera.

Con ayuda de esta definición y de las reglas R1 y R2 podemos construir fácilmente la tabla de verdad para una proposición negativa. La variante en este caso será, además de la aplicación de la Definición 6, que como sólo hay una variable proposicional, entonces en el margen habrá sólo una columna. Asimismo, la columna tendrá solamente dos valores debido a que en este caso n=1 y 21=2.

Tabla 4

Debe observarse que los valores de la matriz de p se escriben en columna debajo de la conectiva ‘’ para no confundirlos con los valores de la variable p. Asimismo, la disposición de la tabla nos permite comprender

ahora que, es muy conveniente colocar la negación delante de la variable para poder escribir los valores de la matriz sin dar lugar a confusiones. Anotamos también que la conectiva de negación funciona como un artificio inversor que transforma el valor verdadero en falso y viceversa.

CUESTIONARIO

I. Usando el lenguaje lógico expresar las siguientes proposiciones, distin- guiendo las disyunciones inclusivas de las exclusivas.

1. Luis es pinponista o tenista.2. Esta figura es un triángulo o un cuadrado.3. Volverás con el escudo o sobre el escudo.4. Se presentarán al llamamiento los que tengan libreta electoral o sean mayores de 18 años.5. Ingresarán a la universidad los que aprueben el examen de ingreso o los que estén exonerados de él.6. El soldado sobrevivirá o perecerá en combate.7. El libro es voluminoso o interesante.8. Mario es cuentista o novelista.9. O aceptas el aumento o vas a la cárcel.10. Recibirás el dinero o la casa pero no ambas cosas.11. Perico es alto.12. Perico es alto o María es estudiosa.13. César conquista las Galias o Cleopatra no es reina de Egipto.14. Perico no es piadoso o Jaime no es belicoso.15. Perico nunca ganará el premio.

II. Usando el lenguaje lógico expresar las siguientes proposiciones (no debe usarse la disyunción exclusiva).

1. O x = 5 o las raíces de la ecuación no son enteras.2. No es el caso que y = 6 o' el resultado de la suma será par.3. No ocurre que haga frío o el viento es caliente.4. El 3 nunca será par.5. No iré al cine o no vendrás a la casa.

III. Indicar cuáles en el siguiente listado son afirmaciones falsas.

1. La matriz de la disyunción exclusiva tiene más valores verdaderos que la matriz de la inclusiva.2. Si a la negación de p la negamos nuevamente obtenemos una matriz igual a los valores de p.3. Basta que una variable sea verdadera para que la matriz de la disyunción inclusiva sea verdadera.4. La disyunción exclusiva es verdadera en el

único caso en que la inclusiva es falsa.

IV. Responder a las siguientes preguntas.

1. ¿Por qué la negación es un mecanismo inversor?2. ¿En qué se diferencia la negación lógica de la castellana?3. ¿Existe en español un signo especial para la disyunción inclusiva y otro para la exclusiva?

4. El condicional

Iniciaremos esta explicación a partir de algunos ejemplos muy cercanos a nuestra experiencia:

a. Si son dados el par de puntos A y B. entonces se puede trazar una recta que los una.b. Si Ricardo Palma ha nacido en Lima, entonces es peruano.c. Si todos los gatos son negros, entonces algunos gatos son negros.d. Si Túpac Amaru hubiera atacado el Cusco, entonces su revolución hubiera triunfado.e. Si la Luna se ve blanca, entonces la Luna es de queso.

Todas estas proposiciones, llamadas proposiciones condicionales, tienen la característica común de tener una estructura del tipo 'Si... entonces...' Lo que las diferencia es que los componentes que ocupan los lugares que corresponden a los puntos suspensivos son en cada ejemplo distintos. Corno en los casos anteriores, a la lógica le interesa fun-damentalmente el aspecto estructural. Por eso la expresión ‘Si… entonces…’ constituye la conectiva denominada condicional cuyo signo lógico es ‘’.

A la proposición que se encuentra entre 'Sí' y 'entonces' se denomina antecedente y a la que se encuentra después de 'entonces' se le denomina consecuente. Por ejemplo, de manera detallada, en la proposición 'a' el antecedente es 'son dados el par de puntos A y B. y el consecuente es 'se puede trazar una recta que una a los puntos A y B'. Este consecuente no coincide exactamente con el que aparece en 'a' pero es estrictamente equivalente a él. Lo que ocurre es que 'a', como las otras proposiciones de nuestro listado, contiene algunas abreviaciones propias del idioma español que nosotros hacemos completamente explícitas cuando damos la versión detallada.

De manera intuitiva y sin mayor discusión, se puede conceder que las cuatro primeras proposiciones del listado son verdaderas. La proposición ‘a’ porque es un postulado

conocido de la Geometría. La proposición ‘b’ porque establece una condición que satisfacen todos los limeños que, por ser tales, son nece-sariamente peruanos. Aceptamos la verdad de ‘c’ porque esta proposición no afirma a secas ‘Todos los gatos son negros’. Más bien, nos dice que si este fuera el caso, si aceptamos esta hipotética situación en la que todos los gatos son negros, entonces algunos de ellos (una parte) tienen que ser negros.

La proposición ‘d’ es usualmente reclamada como verdadera por los historiadores, pues no se afirma que Túpac Amaru atacó el Cusco, sino que si se hubiera producido esa hipotética situación entonces hubiera triunfado su revolución. Bajo esta condición nosotros aceptamos que ‘d’ expresa un razonamiento verdadero a pesar de que sabemos que el an-tecedente aisladamente no es una proposición verdadera ni el consecuente tampoco. A las proposiciones como ‘d’ se las llama condicionales contrafácticos, porque se acepta su verdad a pesar de que sus antecedentes y sus consecuentes van contra los hechos. Otro ejemplo de este tipo es 'Si Dante Alighieri hubiera nacido en Lima, entonces sería paisano de José Santos Chocano', cuya verdad es irreprochable.

Una situación distinta nos plantea la proposición ‘e’. Todos diríamos que es falsa. Lo importante en este caso es precisar cuál es la variante que presenta esta proposición condicional respecto a las anteriores que nos obliga a calificarla de falsa. Una primera inspección nos muestra que el antecedente ‘La Luna se ve blanca’ es verdadero mientras que el consecuente ‘La Luna es de queso’ es decididamente falso. Esta es ciertamente una situación nueva, como lo demostraremos.

En efecto, examinando el ejemplo ‘a’ ocurre que su antecedente es una proposición verdadera y su consecuente también es una proposición verdadera. Lo mismo puede decirse de ‘b’. En el caso de la proposición condicional ‘c’ encontramos que el antecedente es una proposición falsa y el consecuente una propo-sición verdadera. Examinando la proposición condicional ‘d’ es claro que el antecedente es una proposición falsa y el consecuente también es una proposición falsa. Sin embargo, estos distintos valores de los antecedentes y consecuentes de estas cuatro proposiciones condicionales parecen no alterar fundamental-mente la situación general, pues ocurre que cada una de ellas es verdadera. En cambio cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es

falso la situación general sí cambia, pues la proposición condicional resulta falsa, como es el caso de ‘e’. Este análisis puede ser esquematizado como sigue, usando la abreviación V para verdadero y la abreviación F para falso.

a. (antecedente = V, consecuente = V) = Vb. (antecedente = F, consecuente = V) = Vc. (antecedente = F, consecuente = F) = Vd. (antecedente = V, consecuente = F) = F

Esto muestra claramente que las proposiciones cuya estructura lógica está dada por ‘Si... entonces…’ solamente son falsas cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Asimismo, si usamos variables proposicionales para el antecedente y el conse-cuente, y el signo '' entonces tenemos que la expresión lógica de una proposición condicional es:

pq

Definición 7. La proposición condicional pq, que tiene corno antecedente a p y como consecuente a q, es falsa solamente cuando p es verdadera y q es falsa. En cualquier otro caso es verdadera.

Con ayuda de esta definición y siguiendo las reglas que ya conocemos, construiremos a continuación la tabla de verdad de una proposición condicional.

Tabla 5

La tabla anterior permite entender que el condicional puede ser interpretado como una prohibición que dice que no es posible que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso. Si esto sucede, entonces, la proposición condicional es falsa. Igualmente nos asegura que una proposición condicional con an-tecedente verdadero sólo es verdadera cuando su consecuente también es verdadero.

Es necesario aclarar, además, que la verdad de una proposición condicional es completamente independiente de las relaciones que puedan existir o no entre los significados del antecedente y del consecuente. En los ejemplos de nuestro listado

existe relación entre lo que afirman los antecedentes y los consecuentes; hablan de lo mismo, por decirlo así. Cuando esto ocurre, entonces hay una relación de atingencia entre el antecedente y el consecuente. Sin embargo, pueden encontrarse muchos ejemplos de proposiciones condicionales verdaderas en las que no se da una relación de atingencia, pues lo que dice el antecedente es completamente diferente de lo que dice el consecuente. Así tenemos la proposición ‘Si 2 + 2 = 4, entonces el Perú está en Sudamérica’ es verdadera a pesar de que no existe relación entre los significados de sus proposiciones componentes, porque el antecedente '2 + 2 = 4' es verdadero y el consecuente 'el Perú está en Sudamérica' también es verdadero.

Asimismo, la proposición, en lenguaje lógico, pq no sólo sirve para expresar proposiciones de la forma ‘Si p, entonces q’, sino también proposiciones frecuentes en español de las formas:

p solamente si qq si pq porque pq siempre que p

Para ilustrar lo anterior daremos algunos ejemplos. Supongamos que la variable p representa la proposición ‘Gustavo compra un reloj’ y que la variable q representa la proposición ‘Gustavo recibe una propina de su padre’. Luego la proposición pq es la expresión lógica de las siguientes proposiciones formuladas en lenguaje natural:

Como se aprecia, cuando se usa ‘...solamente si...’ el orden dado en el len-guaje natural se conserva en el mismosentido en la expresión lógica. Perocuando se usan las partículas ‘... si...’,‘… porque...’ y ‘… siempre que…’ elorden de las proposiciones se invierte cuando se pasa a la expresión lógica.

De otra parte, en el vocabulario lógico se dice

que cuando se tiene una proposición condicional pq, entonces el consecuente es condición necesaria del antecedente y el antecedente es condición suficiente del consecuente.

CUESTIONARIO

I. Señalar el antecedente y el consecuente de cada una de las siguientes proposiciones.

1. Si vas a la Iglesia entonces eres creyente.2. Si comes alimentos entonces no adelgazarás.3. Si lloras, entonces no demostrarás valor.4. Si Arístides no es honrado entonces nadie es honrado en Atenas.5. Si Pancho no es deshonesto entonces nadie es deshonesto.6. Si los precios suben por la crisis, entonces hay quien está ganando dinero con la crisis.7. Si la Aritmética es consistente, luego la Geometría también lo es.8. Si hay problemas sociales, entonces seremos muy cautos con las distracciones.

II. Expresar en el lenguaje lógico las siguientes proposiciones.

1. Iré al cine solamente si tengo dinero.2. Las crisis se producen porque alguien toma malas decisiones.3. Un número es par si es divisible por 2.4. Una figura es un triángulo siempre que tanga exactamente 3 lados.5. La Geometría de Riemann fue posible porque existió la de Euclides.6. Los vendedores de armas ganan dinero solamente si hay guerra.7. Si alguien gana dinero con la crisis entonces hay alguien que tiene interés en mantener la crisis.8. No es posible gastar en distracciones porque no hay dinero para la solución de las necesidades primarias.

III. Realizar las siguientes preguntas:

1. Construir cinco ejemplos de condicionales contrafácticos.2. Construir cinco ejemplos de condicionales que tienen el antecedente falso y el consecuente verdadero.3. Construir cinco ejemplos de condicionales falsos.

IV. Responder a las siguientes preguntas.

1. ¿A qué se llama relación de atingencia entre el antecedente y el consecuente?2. ¿Es necesario que haya relación de atingencia entre el antecedente y el consecuente para que

una proposición condicional sea lógicamente correcta?

V. En los ejercicios del grupo II indicar cuáles son las condiciones necesarias y cuáles son las condiciones suficientes examinando cada una de las proposiciones listadas.

5. El bicondicional.El bicondicional es una conectiva que en algunos libros es llamada equivalencia. En el lenguaje natural su sentido está dado por la expresión ‘… si y solamente si…’ que en el lenguaje lógico se denota mediante el signo ‘’ que es una flecha en ambas direcciones. Las proposiciones bicondicionales se encuentran especialmente en la matemática. Por ejemplo, ‘Un número es par si y solamente si es divisible por 2’. En el lenguaje natural también encontrarnos proposiciones bicondicionales tales como ‘Héctor viajará a Huancayo si y solamente si toma el tren’. Lo que caracteriza esencialmente a esta clase de proposiciones es que establecen las siguientes proposiciones, cada una de las cuales está constituida por dos proposiciones condicionales de sentido inverso.

a. Si un número es par, entonces es divisible por dos y si un número es divisible por dos, entonces es par.b. Si Héctor viaja a Huancayo, entonces toma el tren y si Héctor toma el tren, entonces va a Huancayo.

Como puede apreciarse, las proposiciones bicondicionales sancionan relaciones más exigentes que las puramente condicionales. Establecen que si el antecedente es verdadero, entonces el consecuente tiene que ser verdadero pero, además, que si el consecuente es verdadero, entonces el antecedente también tiene que serlo. En otras palabras, la verdad o falsedad de una proposición exige necesariamente la verdad o falsedad de la otra.

Definición 8. La proposición bicondicional pq es verdadera cuando las variables p y q tienen el mismo valor, esto es, cuando ambas son verdaderas y cuando ambas son falsas. En cualquier otro caso es falsa.

Con el auxilio de esta definición y de reglas que ya no nocesitamos repetir, construiremos la tabla de verdad de una proposición bicondicional de la siguiente manera.

Tabla 6

Observando la tabla anterior se encontrará que la conectiva bicondicional puede ser interpretada como inversa de la disyunción exclusiva, en el sentido de que es verdadera en los arreglos en los que la disyunción exclusiva es falsa y es falsa en los arreglos en los que la disyunción exclusiva es verdadera.

Asimismo, en la proposición bicondicional pq se dice que p es condición necesaria y suficiente de q y que q es condición necesaria y suficiente de p.

IV. Las conectivas como funciones de verdad.

El concepto de función es uno de los más fundamentales de la matemática y por ello desde los cursos introductorios de aritmética y álgebra todo estudiante lo conoce. Como es sabido, una función aritmética es ‘y = 2x’ que se comporta de la siguiente manera:

Cuando ‘x’ es igual a 1, entonces ‘y’ es igual a 2.Cuando ‘x’ es igual a 2, entonces ‘y’ es igual a 4.Cuando ‘x’ es igual a 3, entonces ‘y’ es igual a 6.Y así sucesivamente...

Puede apreciarse fácilmente que el mecanismo de la función consiste en que a un determinado valor de la variable 'x' le corresponde un único valor de la variable 'y'. Y no es posible que dos valores distintos de la variable 'y' correspondan al mismo valor de la variable 'x'. Este tipo de correspondencia, que va de los valores de 'x' a los valores de 'y', es lo que da lugar a que los valores de 'y' sean determinados única y exclusivamente por los valores de 'x'.

De otra parte, analizando cualquiera de las tablas de verdad que hemos construido por ejemplo la de la conjunción, encontramos que en ella se establece una correspondencia de tal manera que a cada arreglo (a cada par de valores de p y de q) le corresponde solamente un valor en la matriz, y los valores de ésta son determinados única y exclusivamente por los valores de las variables proposicionales. Veámoslo en la tabla.

Debido a la existencia de este tipo de correspondencia, que va de los valores de las variables proposicionales a los valores de la matriz, es que, por analogía con la matemática, se ha llamado a las conectivas funciones. Pero como en este caso las variables no asumen valores numéricos sino sólo el valor verdadero y el valor falso, entonces para tipificarlas se les denomina funciones de verdad. El lógico que inició el estudio de las funciones de verdad fue Gottlob Frege en su libro escrito en alemán bajo el título de Begriffsschrift, publicado en 1879.

Definición 9. Las proposiciones conjuntivas, disyuntivas, negativas, condicionales y

bicondicionales son funciones de verdad debido a que los valores de sus matrices son determinados de manera única y exclusiva por los valores de sus componentes.

V. Clases de proposiciones.

Las conectivas lógicas que hemos introducido en las secciones precedentes constituyen, junto con las variables proposicionales, los elementos básicos del lenguaje de la lógica proposicional desarrollada en este curso. A partir de ellos construiremos proposiciones más complejas, analizaremos la corrección lógica de argumentos o razonamientos y esbozaremos alguna aplicación de la lógica a la solución de problemas tecnológicos.

Antes de continuar, es necesario que sobre la base de lo hasta aquí dicho demos una clasificación muy sencilla de las proposiciones que las divide en atómicas y moleculares. A las primeras también se les denomina simples y a las segundas compuestas.

Definición 10. Se dice que una proposición es atómica cuando no contiene entre sus signos a ninguna conectiva proposicional y puede ser representada sólo por una variable proposicional p.

Definición 11. Se dice que una proposición es molecular cuando entre sus signos contiene al menos una conectiva proposicional.

En armonía con las definiciones anteriores, todas las proposiciones para las cuales hemos construido tablas de verdad son moleculares, pues ellas contienen necesariamente una conectiva proposicional. En cambio, las proposiciones siguientes, debido a que todas carecen de conectivas proposicionales, son ató-micas.

a. La pizarra es verde.b. El lápiz es rojo.c. El teorema de Pitágoras está demostrado en los Elementos.d. El número dos es par.e. La Tierra es el centro del Universo.

Asimismo, a modo de ejemplo, daremos un razonamiento para luego señalar las proposiciones atómicas que lo constituyen y las variables proposicionales que pueden representar a cada una de ellas.

O los pájaros están trinando o la bebé está llorando. Si la bebé no está llorando, el viento

no está soplando. O los pájaros no trinan o el viento no sopla. En consecuencia, si la bebé no está llorando los pájaros no están trinando.

Las proposiciones atómicas que constituyen este razonamiento son:

Los pájaros están trinando (la representamos por p).

La bebé está llorando (la representamos por q).

El viento está soplando (la representamos por r).

Evidentemente, toda proposición negativa es también molecular de acuerdo con la Definición 11. Las proposiciones moleculares pueden ser claramente distinguidas porque contienen conectivas y están separadas por punto y seguido.

CUESTIONARIO

I. Subiendo que las letras p, q, etc. representan proposiciones, expresar completamente en lenguaje lógico las siguientes afirmaciones.

1. p, si y solamente si p2. No p si y solamente si no p3. Si no p, entonces no q4. Si no q, entonces p5. No p si y solamente si q

II. Traducir al lenguaje lógico las siguientes afirmaciones.

1. Un número es par si y solamente si es divisible por 2.2. Iré a juicio si y sólo si estoy seguro de ganar.3. Ganarás dinero solamente si trabajas.4. Juan campeonará si gana la pelea.5. El postulado V es verdadero si y sólo si el espacio es recto.

III. Dados los bicondicionales pq y rs, ¿cuál de las siguientes proposiciones queda establecida por ellos?

1. p q y q r2. p q y r p3. p q y q p

IV Indicar cuáles del siguiente listado son afirmaciones falsas.

1. El bicondicional es verdadero allí y sólo allí donde la disyunción ex-clusiva es falsa.2. En la matemática no hay funciones constantes.

3. Dos condicionales con cuatro variables distintas son equivalentes a un bicondicional con dos variables distintas.

V. Indicar usando variables proposicionales cuántas proposiciones atómicas distintas hay en cada uno de los siguientes razonamientos. Se recomienda hacer un listado de proposiciones atómicas y poner a un costado las variables que las representan.

1. Si está lloviendo o nevando entonces está corriendo viento. Y si no está corriendo viento entonces no está nevando.2. Usted se casará o se convertirá en una actriz. Si usted no se convierte en una actriz usted no será famosa. Usted será famosa o no se casará. Por tanto, usted no se convertirá en una actriz.3. Si la gente no piensa en la crisis, entonces alguien la distrae. Si el fútbol es una distracción de masas, entonces puede ser propiciado por los beneficiados por la crisis.

LeibnizInsigne filósofo y genuino precursor de la

Lógica Matemática.