CAPTULO I

FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR

1. Marco terico:

1.1. Antecedentes de la investigacin:

El trabajo aborda el estudio de las fuerzas y tensiones internas de las vigas sometidas a flexin, diagramas de fuerzas y momentos flectores.

Tambin se estudian las deformaciones en vigas por tres mtodos diferentes y finalmente se estudia la resolucin de vigas estticamente indeterminadas, tanto horizontales como inclinadas, por varios mtodos.

1.2. Antecedentes tcnicos:

Debido a que las vigas son elementos cuya disposicin en las estructuras es principalmente horizontal, aunque tambin pueden ser inclinadas, pero que en todo caso tienen la importante funcin de servir de apoyo de otros miembros estructurales que le transmiten las cargas verticales generadas por la gravedad, las cuales actan lateralmente a lo largo de su eje. Gracias a estos elementos se pueden construir todo tipo de maquinarias y estructuras, tales como chasis de vehculos, soporte de maquinarias, vigas de puentes y edificaciones, etc. Esta condicin hace que las vigas estn sometidas a esfuerzos diferentes a la tensin simple, representados por los esfuerzos de flexin.

1.3. Tipos de vigas.

De acuerdo al nmero y tipo de los apoyos que soportan la viga, existen dos grandes grupos de vigas:

1.3.1. Vigas Isostticas o estticamente determinadas: en estas vigas el nmero de reacciones externas coincide con el nmero de ecuaciones de equilibro disponibles. No sobra ni faltan reacciones para que el slido permanezca en equilibrio estable, tiene grado de indeterminacin (G.I) cero. A continuacin se muestran algunos ejemplos:

a-Viga simplemente apoyada de un tramo: # Reacciones = 3 # Ecuaciones = -3 ( Fx, Fy , MA) G.I. = 0

b-Viga en cantiliver, voladizo o mnsula: # Reacciones = 3 # Ecuaciones = -3 ( Fx, Fy , MA) G.I. = 0

c-Viga simplemente apoyada con volados: # Reacciones = 3 # Ecuaciones = -3 ( Fx, Fy , MA) G.I. = 0

d-Viga contina de dos tramos, con volados yarticulacin: # Reacciones = 4 # Ecuaciones = -4 ( Fx, Fy , MA, MCizq o MCder) G.I. = 0

1.3.2. Vigas hiperestticas o estticamente indeterminadas: presentan un nmero mayor de reacciones externas que de ecuaciones de equilibrio disponibles, lo cual significa que estas vigas presentan al menos una condicin de sujecin adicional a las mnimas requeridas para que se mantenga en equilibrio estable, es decir, tienen 9 reacciones sobrantes, cuya eliminacin las convertira tericamente en isostticas. A continuaron se muestran algunos ejemplos:

a- Viga empotrada y apoyada en un rodillo: # reacciones = 4 # ecuaciones = -3 ( Fx, Fy , MA) G.I. = 1

b-Viga empotrada- empotrada: # reacciones = 6 # ecuaciones = -3 ( Fx, Fy , MA) G.I. = 3

c-Viga de dos tramos empotrada y apoyada: # reacciones = 5 # ecuaciones = -3 ( Fx, Fy , MA) G.I. = 2

1.4. Definicin de fuerza cortante y momento flector. En la figura se muestra una viga horizontal elemental, isosttica de un solo tramo, con una carga puntual P, en la seccin a-a se hace un corte imaginario para observar las fuerzas internas que aparecen para satisfacer las condiciones de equilibro, tal como se muestra en el diagrama de cuerpo libre de abajo.

1.4.1. Fuerza Cortante: Del equilibrio de fuerzas verticales practicado a cualquiera de los dos segmentos de viga separados, aparece una fuerza interna Va-a, llamada resistente, debido a que se opone al efecto de las fuerzas activas externas, cuya direccin es perpendicular al eje longitudinal de la viga AB, el cual coincide a su vez con el eje X del sistema de referencia particular XY de la viga . Para el caso de vigas inclinadas la fuerza cortante Va-a, tiene la misma inclinacin, puesto que se orienta segn el eje particular de la viga y no segn el sistema global vertical-horizontal.

En este sentido se define la fuerza cortante como la sumatoria de la componente perpendicular al eje, de las fuerzas externas situadas a la izquierda o a la derecha de la seccin de viga estudiada:

La convencin de signos ms comn, es aquella que considera positiva la fuerza cortante que hace deslizar hacia arriba, la porcin de viga situada a la izquierda de la seccin estudiada, en caso contrario se considera negativa. En otras palabras cuando la sumatoria de fuerzas a la izquierda de la seccin es positiva la fuerza cortante tiene el mismo signo, igual para el caso contrario, tal como se muestra en el siguiente diagrama fig 1.3.a. En la Fig. 1.3.b. se muestra la convencin de signos desde el punto de vista de la deformacin de un elemento diferencial situado justo en la seccin a-a.

1.4.2. Momento Flector: el equilibrio rotacional de los segmentos de viga estudiados se logra con la aparicin del Momento Flector Ma-a, sealado en el diagrama de cuerpo libre anterior. De esta manera este se puede definir como la sumatoria de los momentos de las fuerzas externas situadas a la izquierda o a la derecha de la seccin estudiada, considerando que el plano de aplicacin de las fuerzas es XY (hoja de papel), y la direccin del momento flector es perpendicular a este, es decir el eje particular Z:

En cuanto al signo del momento flector, es importante resaltar que este no depende de su sentido de rotacin, tal como sucede con el momento de equilibrio, sino ms bien de la curvatura que sufre la viga por la aplicacin del mismo. De tal manera que una curvatura cncava hacia arriba se considera positiva, lo contrario es negativo. En la siguiente figura se ilustra esta convencin.

Los momentos flectores positivos generan traccin o alargamiento en las fibras inferiores de la viga y compresin o acortamiento en las superiores, los negativos producen lo contrario, como se muestra en la parte superior de la figura anterior. En los grficos inferiores, de la figura anterior, se muestra el efecto de fuerzas individuales y el sentido de curvatura de la viga, considerando un empotramiento imaginario en la seccin a-a.

1.5. Relacin entre carga, corte y momento flector.

Resulta particularmente importante, conocer no solo el valor del corte y del momento flexionante en un punto de la viga, sino ms bien a lo largo de todo el elemento, debido a que en su diseo, se debe considerar la condicin ms desfavorable de esfuerzo resistente en el interior del slido, por lograr esto se construyen los llamados diagramas de fuerza cortante y momento flector. La realizacin de estos diagramas requiere conocer la relacin existente entre las cargas externas y las fuerzas internas de corte y momento flector.

En el siguiente grfico, se ha considerado una viga simplemente apoyada, con un sistema de cargas distribuida general q, de signo positivo, por tener sentido vertical hacia arriba. 1 y 2 representan dos secciones de la viga separadas una distancia dx. A la derecha se ha graficado en forma ampliada, el diagrama de cuerpo libre del elemento diferencial de viga contenido entre las secciones 01 y 02, que incluye tanto las fuerzas externas q, como las fuerzas internas V y M, las cuales se supusieron con signo positivo. Para la cara de la seccin 01, los valores de fuerzas cortantes y momentos flexionantes son respectivamente V y M, mientras que para la seccin 02, son los valores de la seccin 01 ms un cierto diferencial dV y dM respectivamente.

Equilibrando el elemento diferencial tenemos:

1.5.1. Relacin Carga Corte: por sumatoria de fuerzas verticales,

De esta manera se encuentran las siguientes relaciones:

1.a - El signo de la carga, define la inclinacin de la pendiente del diagrama de corte.

1.b - La intensidad de la carga q define la variacin de la pendiente del diagrama de corte.

2- Se puede calcular el corte en la seccin 02, con el corte anterior en la seccin 01, ms el rea del diagrama de carga existente entre las secciones 01 y 02:

1.5.2. Relacin Corte Momento: por sumatoria de momentos en el punto 0:

Las relaciones entre corte y momento son:

3.a. El signo del diagrama de corte, define la inclinacin de la pendiente del diagrama de Momentos:

3.b. La Intensidad del diagrama de corte, define la variacin de la pendiente del diagrama de Momentos, como se muestra a continuacin:

4- Se puede calcular el momento en la seccin 02, con el momento anterior en la seccin 01, ms el rea del diagrama de corte existente entre las seccin 01 y 02:

1.6. Esfuerzo cortante en viga

Consideremos a continuacin la viga simplemente apoyada de la fig. 2.4.a, la misma presenta una carga puntual P aplicada perpendicularmente al eje de la viga. La seccin transversal de la viga esta compuesta por cuatro placas, inicialmente independientes entre si. Para el momento de aplicacin de la carga P, la deformacin por flexin que aparece en la viga, hace que las placas deslicen horizontalmente unas sobre otras. Si ahora asumimos que las placas tienen algn pegamento o soldadura, de tal manera que impida el deslizamiento anterior, instintivamente podemos visualizar la aparicin de una fuerza horizontal entre las placas, que las mantendr unidas entre si. Esta fuerza generada tiene las caractersticas de una fuerza cortante por ser tangente o paralela a la superficie de contacto entre las placas. Considerando la seccin con las placas soldadas de la fig. 2.4.b, donde se aprecian los prismas de esfuerzo normal a compresin y traccin, podemos notar como las resultantes C1 y C2 de compresin, tienen diferente magnitud, por lo tanto en el plano b se produce una fuerza cortante Vb, que mantiene en equilibrio las dos placas superiores, de igual manera se cumple en las dos placas inferiores a traccin, por la simetra los cortes Vb = Vd. Las caras a y e, por ser libres no pueden generar fuerza cortante, mientras que en el plano c, se produce el mayor desequilibrio de fuerzas normales puesto que se suman las dos fuerzas de compresin superior con las dos de traccin inferior, las cuales deben ser equilibradas por la fuerza cortante Vc. Este ejemplo permite de antemano suponer que a diferencia de los esfuerzos normales, los esfuerzos cortantes presentan sus valores mximos en el eje neutro, mientras que los esfuerzos mnimos estn en las fibras superiores e inferiores de la seccin estudiada.

La parte izquierda de la figura de abajo representa la seccin longitudinal del elemento diferencial dx, contenido entre las secciones 1 y 2, y los respectivos diagramas de esfuerzo normal en ambas secciones, considerando que estos diagramas difieren en intensidad, debido a la variacin de magnitud de momento flector existente entre ambas secciones. En la seccin transversal de la derecha, se establece una fibra situada a una distancia variable y, medida desde el eje neutro cuya seccin transversal es dA. La distancia y1 esta situada en el plano de separacin entre dos placas, por ejemplo el plano b, el rea rayada representa la placa superior.

Si consideramos que dv es un diferencial de fuerza cortante resistente, que aparece entre las placas soldadas, por lo que matemticamente se puede expresar como un esfuerzo cortante por un rea de aplicacin horizontal:

La diferencia de fuerzas horizontales generadas por los esfuerzos normales ubicados a ambos lados en las secciones 1 y 2 es:

Sustituyendo en la la ec. 2.4.a.:

dM / dx = V; relacin encontrada anteriormente entre corte y momento flector.

Finalmente la frmula de esfuerzo cortante en vigas sustituyendo a b por t ser:

1.6.1. Relacin entre el Corte Vertical y el Corte Horizontal: La fuerza cortante que hasta ahora se estudiado es horizontal, sin embargo la fuerza tomada de los diagramas de corte es vertical. Para relacionar estas fuerzas consideremos el cubo diferencial de la figura siguiente:

Colocamos los esfuerzos cortantes indicados en las caras verticales y horizontales, como se aprecian en las figuras de la izquierda. Hacemos una sumatoria de momentos producidos por las fuerzas cortantes de la figura a la derecha, respecto del punto o, conseguimos:

Los cortes horizontal y vertical son iguales. A este esfuerzo se le llama flujo cortante.

CAPTULO II

2.1. Planteamiento operacional:

2.1.1. Descripcin del problema:

En el presente trabajo se hace un estudio terico y prctico del clculo de vigas. Se hace un enfoque simplificado de la abundante bibliografia existente, y se resuelven problemas prcticos, de algunos casos comunes presentes en el campo trabajo de la ingenieria, abundando en las explicacines de aquellos aspectos donde los alumnos presentan ms dudas, de acuerdo a la experiencia docente.

2.1.2. Planteamiento especfico:

El trabajo aborda el estudio de las fuerzas y tensiones internas de las vigas sometidas a flexin, diagramas de fuerzas y momentos flectores.

2.1.3. Justificacin:

En ingeniera y arquitectura se denomina viga a un elemento constructivo lineal que trabaja principalmente a flexin. En las vigas la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser horizontal. El esfuerzo de flexin provoca tensiones de traccin y compresin. En las zonas cercanas a los apoyos se producen esfuerzos cortantes. Tambin pueden producirse tensiones por torsin, sobre todo en las vigas que forman el permetro exterior de un forjado. Estructuralmente el comportamiento de una viga se estudia mediante un modelo de prisma mecnico. Las vigas se consideran como estructuras planas, y estarn sometidas a cargas puntuales o uniformemente distribuidas, y actan en la direccin perpendicular al eje mayor.

2.2. Formulacin de los objetivos:

2.2.1. Objetivo general:

Estudiar las vigas a flexin pura y no uniforme, es decir bajo la aplicacin de cargas externas que generan en su interior fuerzas cortantes y momentos flectores.

2.2.2. Objetivos especficos:

Estudiar la relacin que existe entre las fuerzas externas y las internas. Aprender como varan las fuerzas internas y externas a lo largo de la viga, mediante la elaboracin de diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores.

2.3. Declaracin de la hiptesis:

2.3.1. Hiptesis:

Un elemento est sometido a cargas de flexin cuando soporta fuerzas y momentos externos con direccin perpendicular a la de su eje centroidal.Los elementos sometidos a flexin se denominan vigas y los puentes, pasarelas y losas son ejemplos reales de este tipo de solicitacin

CAPTULO III

3.1. PROBLEMAS

3.1.1. Problema 1: Calcule la fuerza cortante V y el momento flexionante M en una seccin transversal justo a la izquierda de la carga de 1600 lb que acta sobre la viga simple AB que se muestra en la figura.

-Fv=0Seccin (1-1) 40x90Ra+Rb-800-1600=0Fv=0Ra+Rb=2400 lbV+1400-1600=0V=200 lb-Ma=0Rb*120-800*30-1600*90=0*M=0120Rb=1680001400x-M-1600(x-30) =0M=-200x+48000Rb= 1400 lbSi x= 40 entonces M=40000 lb/pulgRa= 1000 lbSi x= 90 entonces M=30000 lb/pulg

3.1.2. Problema 2: Un arquero aplica una fuerza de tiro de 130 N cuando tensa por completo la cuerda del arco que se muestra en la figura. Determine el momento flexionante en el punto medio del arco.

Fx=02Tcos 70 130 =0T=190 N

(+ antihorario)M=0-M+190*cos 70*700+190*sen70*350=0M= 45.5 N*m + 62.5N*mM= 108 N*m

3.1.3. Problema 3: Para la viga mostrada, calcule el valor de la Fuerza Cortante y del Momento Flector en la seccin 2-2.

Clculo de Reacciones: Mb = 0 1 10 5 2 1 + 5 + 4 Rc 5 10 = 0 Rc = 11,25 Kn Fy = 0 -10 + Rb 5 2 + 11,25 10 = 0 Rb = 18,75 KnLa Fuerza Cortante en 2-2 ser: V2-2 = FcIzq 2-2 = -10 + 18,75 5 1.5V2-2 = 1,25 KnEl Momento Flector en 2-2 ser:M 2-2 = McIzq2-2 = -10 2,5 + 18,75 1,5 5 x 1,5 1,5/ 2 M2-2 = - 2,5 Kn. m

3.1.4. Problema 4: Calcule el valor de la carga P y del momento Md, sabiendo que en la seccin 3-3 el corte es de 1.250 Kg. y el Momento Flector es de -666,67 Kg-m

En este caso trabajaremos con la porcin de viga situada a la derecha de la seccin 3-3, para no tener que calcular las reacciones en A. Obsrvese que se definen V3-3 y M3-3 positivos para el lado derecho.

Los momentos flectores producidos por la carga triangular y la fuerza P son negativos, respecto a 3-3, mientras que MD es positivo.

3.1.5. Problema 5: Hallar el momento flector y la fuerza cortante de una carga triangular en una viga simplemente apoyada.

Solucin:Peq = rea = Hl/2xeq = CG = 2l/3S MA = 0 Peq xeq RB l=0RB = Hl/3S MB = 0 RA l - Peq (l - xeq) =0RA = Hl/6a) Mtodo de cortes

La carga equivalentePeq = rea = Hx2/2lxeq = CG = 2x/3S Mcorte = 0 RA x- Peq (x xeq) M = 0M = (Hl/6)x (Hx2/2l)(x/3)M = Hlx(1- x2/l2)/6 (iS Fy = 0 RA - Peq Q = 0Q = Hl/6 Hx2/2lQ = H (l/6 x2/2l) (ii

b) Mtodo de la doble integracinp = Hx/lIntegrandoQ = -Hx2/2l + c1M = -Hx3/6l + c1 x + c2

Las condiciones de borde

x = 0 M = 0 c2 = 0x = l M = 0 0 = -Hl2/6 +c1lc1 = Hl/6de dondeQ = - Hx2/2l + Hl/6 (iiiM = -Hx3/6l + Hlx/6 (iv

c) mtodo de la doble integracin de funciones singularesp(x) = Ra -1 - (H/l)1 + Rb-1p(x) = (Hl/6)-1- (H/l)1+(Hl/3)-1

Integrando y aplicando las propiedades de las funciones de singularidadQ= Hl/60- (H/2l)2+(Hl/3)0M= (Hl/6)1- (H/6l)3+(Hl/3)1Cuando 0 < x < l1 = x3 = x1 = 0Q= Hl/6 - (Hx2/2l) (vM=Hlx/6 Hx3/6l (viLos resultados son idnticos por todos los mtodos

3.1.6. Problema 6: Una viga simplemente apoyada tiene una carga cuya funcin p(x) = H(x/l)n. Hallar el momento flector y la fuerza cortante mximos.

Cuando x = l

Mximo cuando Q = 0

3.1.7. Problema 7: Hallar el momento flector y la fuerza cortante de una viga simplemente apoyada con una carga cuya funcin p(x) = H(1-x/l)n

Solucin: Este problema es el conjugado del problema anterior y basta reemplazar en los resultados obtenidos x por su complemento (l x)Carga p = H[(l - x)/l]n = H (1 - x/l)n(i

Fuerza Cortante

Momento Flector

3.1.8. Problema 8: Hallar las funciones de Momento Flector y Fuerza Cortante del sistema de la figura

Solucin:

Mximos en el empotramiento (x = l)

3.1.9. Problema 9: Hallar las funciones de Momento Flector y Fuerza Cortante del sistema de la figura

Solucin:Se reemplaza en 5.11 x por su complemento (l x)Carga p = H(x/l)np= H[(l-x)/l]n = H (1-x/l)n (i

Fuerza Corte

Momento

3.1.10. Problema 10: La Viga principal AB, soporta un elemento secundario CDE, con una carga puntual en el extremo. Determine el valor del corte y del Momento Flector en a-a para la viga principal.

Por equilibrio determinamos los valores de Md y Dy, sobre la viga principal (ver diagrama de cuerpo libre). Elemento DE:

Consideramos ahora la viga principal bajo el efecto de las dos fuerzas calculadas, donde Dy representa la fuerza cortante para los miembros DE y AB, por tratarse de una carga perpendicular al eje de la viga, mientras que para el miembro CD, representa una fuerza axial de traccin.

Corte en a-a:

Momento Flector en a-a:

3.1.11. Problema 11: Hallar la fuerza cortante y momento flector del sistema de la figura

Solucin:

Comprobacin Ra + Rb = Pa) mtodo de Luiz cortes1er intervalo Ra x = M1M1 = P(l-a)x/l

2do intervaloRa x - P(x - a) M2 = 0M2 = P(l - a)x/l - P(x - a) = Pa (1-x/l)

b) mtodo de integracin con funciones de singularidadDe derecha a izquierdap(x) = Ra -1 - P-1 + Rb-1p(x) = P(l-a)/l-1 - P-1 + Pa/l-1Integrando y aplicando las propiedades de este tipo de funcionesQ = P(l-a)/l0 - P0 + Pa/l0M = P(l-a)/l1 - P1 + Pa/l1Cuando 0< x