m Multi Ecuacion Al Es

Modelos Multiecuacionales

MODELOS DE ECUACIONES SIMULTNEASAutores: ngel A. Juan ([email protected]), Renatas Kizys ([email protected]), Luis Mara Manzanedo Del Hoyo ([email protected]).

ESQUEMA DE CONTENIDOSInconsistencia de estimadores MCO

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Imposibilidad de identificar parmetros estructurales

Problemtica: Endogeneidad de variables explicativas

Problemtica: No identificacin

Modelos MultiecuacionalesMtodo MC2E Estimadores MC2E

Mtodo de MCI

Mtodo VI Estimadores VICaso prctico con Excel Caso prctico con Minitab

Caso prctico con Excel

INTRODUCCIN

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Como es bien sabido, el modelo de regresin lineal generalizado puede estimarse mediante el es mtodo MCG (o de mnimos cuadrados ponderados), siendo los estimadores resultantes insesgados, consistentes y eficientes. Las caractersticas que tienen los estimadores MCG se deben al supuesto fundamental de que ut, el trmino de perturbacin asociado a la t-sima observacin-, est incorrelacionado con Xt, el vector de las variables explicativas asociado a la misma observacin. Sin embargo, hoy en da nos encontramos con numerosas aplicaciones de gran importancia donde este supuesto no se cumple. Este math-block trata sobre sistemas de ecuaciones en los cuales cada una de las ecuaciones representa un modelo de regresin lineal. En tales casos, es habitual encontrarnos con sistemas en los que la variable dependiente de una ecuacin acte tambin como variable explicativa en otra. As pues, estaremos ante un problema de endogeneidad de los regresores suponiendo

Proyecto e-Math Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD)

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Modelos Multiecuacionales que otros problemas, como el de la identificacin, ya estn solucionados. Veremos que el uso del mtodo MCO para estimar los parmetros de las ecuaciones en forma estructural (cuando el mencionado problema persiste) da lugar a estimaciones sesgadas e inconsistentes. Consecuentemente, no ser posible utilizar los mtodos de estimacin convencionales, teniendo que recurrir a mtodos alternativos. Para obtener estimadores del modelo que verifiquen las caractersticas deseables en cualquier estimador, estudiaremos cmo pasar las ecuaciones en forma estructural a la forma reducida, y cmo determinar las condiciones de orden y de rango.

OBJETIVOS

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Saber representar un modelo multiecuacional en forma estructural y en forma reducida; conocer la relacin entre los parmetros estructurales y los parmetros de las ecuaciones en forma reducida. Familiarizarse con el problema de la identificacin y saber determinar cuando una ecuacin est no identificada, cuando est sobreidentificada y cuando est exactamente identificada. Conocer el mtodo de mnimos cuadrados indirectos (MCI) de las ecuaciones exactamente identificadas. Aprender el mtodo de mnimos cuadrados en dos etapas (MC2E) en el caso de las ecuaciones sobreidentificadas y exactamente identificadas. Familiarizarse con el mtodo de estimacin de variables instrumetales (VI) como un caso particular de MC2E.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

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Aparte de estar iniciado en el uso de la hoja de clculo Excel y del paquete estadstico Minitab, resulta muy conveniente haber ledo con profundidad los siguientes math-blocks: Operaciones con matrices en Excel Regresin Lineal Mltiple

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

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Sistema de ecuaciones simultneas en forma estructural y forma reducidaConsideremos un sistema de ecuaciones, cada una de las cuales representa un modelo de regresin lineal. Cuando la variable dependiente en una ecuacin acta tambin como variable explicativa en otra ecuacin, estamos ante un modelo de ecuaciones simultaneas o modelo multiecuacional. Las variables dependientes son tambin llamadas variables endgenas. Por su parte, las variables que vienen determinadas por factores externos al modelo son llamadas variables exgenas.


2

Modelos Multiecuacionales Para ilustrar los problemas de estimacin de los multiecuacionales consideremos un sencillo ejercicio de la demanda de naranjas en la provincia de Alicante. Sea Pt el precio (en logaritmos) de naranjas en un determinado ao y Dt, la cantidad (en logaritmos) demandada de naranjas. Adems, supongamos que las variables son medidas en desviaciones de la media. As pues, la curva de demanda tiene la siguiente forma: Dt = Pt + t, (1) con < 0; t representa el resto de las variables que pueden influir en la demanda de naranjas. Por otro lado, el precio de naranjas influye, de forma positiva, en la oferta: St = Pt + t, (2) con > 0; t representa el resto de las variables que pueden influir en la oferta de naranjas. d s Supongamos que t y t se distribuyen idnticamente e independientemente con varianzas 2 2 D y S , respectivamente, con DS = 0. Sea Qt la cantidad de equilibrio en el mercado de naranjas de Alicante. En el equilibrio se cumple: Qt = St = Dt, o biend s Pt + t = Pt + t, (3) s S D D

El sistema de ecuaciones (1) y (2) puede rescribirse en la siguiente forma estructural: Qt - Pt = t, Qt - Pt = Matricialmente, tendramos BYt + Zt = Ut: 1 1 - - Qt Pts t d

dt

=

s t

(4)

B

Yt

Ut

0 siendo Zt = 0

Como ya hemos comentado, el uso del mtodo MCO para estimar los parmetros de las ecuaciones en forma estructural da lugar a estimaciones sesgadas e inconsistentes. Para solventar este problema, es necesario calcular antes la forma reducida del sistema, en la cual cada una de las variables endgenas del sistema es expresada nicamente como funcin lineal de las variables exgenas del modelo. En el caso de un sistema como (1) y (2), a partir de la condicin de equilibrio, podemos obtener la forma reducida a partir de la condicin de equilibrio. Para ello, a partir de la ecuacin (3) despejamos Pt: Pt = ( t - t)/( - ) (5) v1t Proyecto e-Math Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD)S D

3


Ahora bien, la expresin del precio de equilibrio sustituimos en ecuacin (2), obteniendo: Qt = ( - t)/( - ) + S S D S t

= St/( - ) - Dt/( - );D

Qt = ( t - t)/( - ) (6)

v2tSiendo v1t y v2t las perturbaciones del modelo en forma reducida. Puesto que no hay variables exgenas en el modelo, el sistema de ecuaciones simultneas viene expresado en trminos aleatorios. Al mismo resultado se puede llegar usando matrices. De forma general, la forma reducida del sistema vendr dada por: Yt = Zt + Vt donde = -B y Vt = -B Ut. Una vez obtenida la forma reducida, es posible hallar por MCO estimadores insesgados y consistentes de los parmetros . No obstante, la ausencia de las variable exgenas en el modelo de demanda-oferta no nos permite estimar la matriz . Supongamos que nuestro objetivo consiste en estimar la elasticidad de demanda . A tales efectos, la ecuacin (1) la estimamos por MCO, obtenindose la siguiente estimacin de a partir de una muestra de T observaciones: aT = (1/T)PtQt/((1/T)Pt ) (8) Sustituyendo las ecuaciones (5) y (6) en la ecuacin (8), puede demostrarse que el estimador de la elasticidad de demanda converge en probabilidad a una combinacin lineal de las elasticidades poblacionales de demanda y de oferta [5]: aT + (1-), (9) con2 2 2 = D/( D + S), (10) P 2 -1 -1

(7)

de modo que depende de las varianzas S y D, siendo [0, 1]. Puede verse que si S 2 2 0, o bien D , entonces aT ser un estimador consistente de . Por otro lado, si D 2 0, o bien S , tenemos que aT es un estimador consistente de . Para el resto de los valores, aT es una estimador consistente de la combinacin lineal de y de . En general, aT no es un estimador consistente de la elasticidad de demanda. ste es un frecuente problema de los modelos multiecuacionales. La simultaneidad de las ecuaciones da lugar a las interpretaciones errneas de los resultados de estimacin. As pues, en el ltimo caso, un economista equivocadamente cree que aT es un estimador MCO de la elasticidad de demanda, mientras que otro economista considera aT es un estimador de la elasticidad de oferta, cuando en realidad ste es un estimador de la combinacin lineal de las dos elasticidades. Las Figuras 1, 2 y 3 analizan grficamente el problema de simultaneidad.

2

2

2


4


En el grfico, un equilibrio viene dado por la interseccin de la curva de demanda y la curva de oferta. Sea (P0,Q0) un equilibrio inicial. Supongamos que en t = 1 se produce un shock pequeo y negativo de demanda, dando lugar a D1, combinando con un shock elevado de signo positivo de oferta que, a su vez, genera S1. El efecto conjunto sita al punto de interseccin en (P1,Q1). Por otro lado, un shock grande negativo de demanda y un shock grande negativo de oferta se traducen en (P2,Q2). Finalmente, el punto (P3,Q3) representa un efecto conjunto de una innovacin moderada positiva de demanda y una innovacin grande negativa a oferta. As pues, las combinaciones de los shocks forman una nube sobre la cual puede cruzarse la recta de regresin. En este caso, aT es un estimador consistente de la mixtura de elasticidades de oferta y demanda, + (1-).

Figura 1. Comportamiento del mercado de naranjas en respuesta a las perturbaciones de demanda y de oferta en conjunto Qt

S1 Oferta media S2 (P1,Q1) S3 (P0,Q0) (P3,Q3) (P2,Q2) D1 D2 D3 Demanda media Pt


5


En la Figura 2, el equilibrio viene dado por la interseccin de la curva de demanda y la curva de oferta. Sea (P0,Q0) un equilibrio de partida. Supongamos que en t =1 se produce una innovacin positiva de oferta, desplazando a la curva de oferta a S1, y, en consecuencia, produciendo un nuevo punto de equilibrio en (P1,Q1). Por otro lado, un shock negativo de oferta en t = 2 se traduce en el punto (P2,Q2). Finalmente, el punto (P3,Q3) representa un efecto de una innovacin elevada negativa a oferta. As pues, las innovaciones a oferta permiten trazar la curva de demanda. En este caso, aT es un estimador consistente de la elasticidad de demanda, .

Figura 2. Comportamiento del mercado de naranjas en respuesta a las innovaciones a oferta. Qt

S1 Oferta media S2 (P1,Q1) (P0,Q0) (P2,Q2) (P3,Q3) Demanda media Pt S3

En la Figura 3, el equilibrio viene dado por la interseccin de la curva de demanda y la curva de oferta. Sea (P0,Q0) un punto de equilibrio en t = 0. Ante una perturbacin moderada negativa a demanda en t = 1, la curva de demanda se desplaza a D1, generando el punto de equilibrio en (P1,Q1). Por otro lado, un shock elevado negativo de demanda sita al equilibrio en el punto (P2,Q2). Finalmente, el punto (P3,Q3) representa un efecto conjunto de una innovacin moderada positiva a demanda. As, a travs de todos los puntos de equilibrio, obtenemos la curva de oferta Concluimos, por tanto, que aT es un estimador consistente de la elasticidad de oferta .

Figura 3. Comportamiento del mercado de naranjas en respuesta a las innovaciones a demanda. Qt

Oferta media

(P0,Q0) (P1,Q1) (P2,Q2)

(P3,Q3)

D3 D0 D1 D2 Pt


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IdentificacinEl problema de la identificacin hace referencia a la posibilidad o no de calcular los parmetros estructurales de un modelo de ecuaciones simultaneas (elementos de las matrices B y ) a partir de los parmetros de la forma reducida asociada (elementos de la matriz ), los cuales s se podan estimar mediante MCO.

Diremos que una ecuacin est no identificada cuando no tengamos suficiente informacin para estimar los parmetros de la forma estructural de la ecuacin. Diremos que una ecuacin est sobreidentificada cuando haya ms de una combinacin posible de valores estimados para los parmetros de la forma estructural. Finalmente, una ecuacin estar exactamente identificada cuando slo sea posible obtener una nica estimacin de los parmetros estructurales. Dado un modelo multiecuacional en forma estructural, diremos que es un sistema exactamente identificado cuando todas sus ecuaciones lo sean. En tal caso, ser posible obtener, de forma unvoca, estimaciones para los elementos de las matrices B y a partir de los elementos de la matriz .

Condicin de orden: Sean: N1 = n de variables exgenas del sistema no incluidas en una determinada ecuacin N2 = n de variables endgenas de dicha ecuacin Dada una ecuacin identificada, Si N1 = N2 1, entonces la ecuacin est exactamente identificada. Si N1 > N2 1, entonces la ecuacin est sobreidentificada.

Observacin: Aunque la condicin de orden es slo una condicin necesaria y no suficiente (i.e.: el hecho de que se cumpla N1 N2 1 no implica de por s que la ecuacin est identificada), en la gran mayora de los casos proporciona la respuesta correcta al problema de la identificacin sin necesidad de recurrir a la condicin de rango [1]. Ejemplo 1: Consideremos el sistema de ecuaciones simultneas consistiendo de (1) y (2). Podramos decir que ambas ecuaciones estn no identificadas (pues no excluyen ninguna variable exgena, e incluyen dos endgenas, Q y P). Siguiendo el anlisis anterior, para poder recuperar la elasticidad de demanda a partir de la estimacin MCO, necesitamos informacin adicional acerca la oferta. En concreto, hemos de encontrar una variable que pueda desplazar a la curva de oferta y no a la de demanda. Sea Wt el nmero de das cuando las temperaturas caen por debajo de 0C. Tcnicamente, la nueva variable Wt forma S parte de t, pues sta ltima incorpora los factores que influyen en la cantidad ofertada de S naranjas diferentes de precio. Por consiguiente, t puede descomponerse en dos trminos, el trmino sistemtico y el trmino idiosincrtico:S S t = wt + u t, (11)

siendo , el coeficiente de proyeccin lineal de t sobre wt. Por tanto, u t est incorrelado con Wt. Aunque el indicador de temperatura pueda influir directamente en la cosecha de naranjas y, consecuentemente, en la cantidad ofertada de los ctricos, pero es natural

S

S


7

Modelos Multiecuacionales suponer que el tiempo afectar la demanda de naranjas a travs del precio de la mismas. Cambios en el precio que pueden ser asociados a los cambios en tiempo, representan desplazamientos de la curva de demanda y no de la curva de oferta. De esta manera, adems de lograr identificar la demanda, el comportamiento de la misma puede sistematizarse con una mayor precisin. La elasticidad de demanda ahora puede estimarse por MCO consistentemente. Para ello, sustituimos (11) en (5) obtenindose Pt = (u t + Wt - t)/( - ) (12) Sea P*t la proyeccin lineal de Pt sobre Wt: P*t = Wt/( - ) (13) La expresin de Pt queda: Pt = P*t + (u t - t)/( - ) (14) Ahora bien, sustituyendo la ecuacin (14) en (1) y agrupando los trminos, tenemos: Qt = [P*t + (u t - t)/( - )] + t = P*t + t,(15) SiendoS D t = u t/( - ) - t/( - ) (16) S D D S D S D

Puesto que u t y t estn incorrelacionadas con Wt, tenemos que t est incorrelado con P*t. En consecuencia, la estimacin de MCO de la ecuacin de regresin (15) nos proporcionar un estimador consistente de : a*T = (1/T)P*tQt/((1/T)P*t ) (17) Es fcil ver que a*T [5].P 2

S

D


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CASOS PRCTICOS CON SOFTWARE___________________________________Ecuaciones exactamente identificadas: estimacin por MCI:El mtodo de mnimos cuadrados indirectos (MCI) permite estimar los parmetros estructurales (elementos de las matrices B y ) en el caso de ecuaciones exactamente identificadas. El mtodo MCI consiste en: Aplicar MCO para estimar los parmetros del sistema en forma reducida (elementos de la matriz ), y Usar dichas estimaciones para calcular los parmetros estructurales.

Ejemplo 2: La tabla siguiente, referida a los datos obtenidos a partir de una simulacin., muestra los valores para Q, P y W en trminos logartmicos (W viene definida por el logaritmo de una funcin lineal de las condiciones climatolgicas) durante el perodo 1981 2000. Observacin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Ao 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

Q6-0,085181 -0,159996 -0,087284 0,005580 -0,097901 -0,004575 -0,035900 -0,068519 0,164610 0,078521 0,053681 0,241651 0,115055 0,143971 0,211917 0,153309 0,171513 0,294913 0,238418 0,241904

P -1,04982 -0,65393 -0,79851 -0,69315 -0,43078 -0,59784 -0,43078 -0,10536 -0,28768 0,13976 0,30010 0,22314 0,37156 0,40547 0,43825 0,53063 0,55962 0,50078 0,66783 0,85442

W -1,20397 -0,10536 -0,69315 -1,20397 -0,10536 -0,91629 -0,35667 0,33647 -1,60944 -0,35667 0,09531 -1,20397 -0,10536 -0,35667 -0,69315 -0,10536 -0,35667 -1,20397 -0,51083 -0,22314

Primeramente, especificamos el sistema de ecuaciones simultneas en forma estructural: Qt - Pt = uD t S t

(18)

Qt - Pt - Wt = u

Reescribiendo el sistema en forma matricial, tenemos BYt + Zt = Ut:

1 1

Qt Pt

0

u Wt =

D

t

+

u

S t

(19)


9

Modelos Multiecuacionales Sabemos que la forma reducida del sistema viene dada dada por: Yt = Zt + Vt siendo = B y Vt = B Ut. Finalmente, el sistema en forma reducida viene dado por las siguientes ecuaciones: Qt = 1Wt + v1t Pt = 2Wt + v2t Adems, sabemos que la primera ecuacin esta exactamente identificada. Por tanto, aplicaremos MCO sobre las ecuaciones de (21). Para ello, en el entorno del programa Minitab, seleccionamos: Stat > Regression > Regression: (20)-1 -1

El programa nos proporciona los siguientes resultados la estimacin MCO de la primera ecuacin :


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A partir de los resultados de estimacin, el parmetro 1 = -0,109 resulta de nuestro inters.. A continuacin, volvemos a emplear el mismo procedimiento a fin de estimar la segunda ecuacin. Los resultados de estimacin aparecen en el cuadro siguiente:

Regression Analysis

The regression equation is P = 0,155 W Predictor Noconstant W Coef 0,1546 StDev 0,1664 T 0,93 P 0,365

S = 0,5562 Analysis of Variance Source Regression Residual Error Total DF 1 19 20 SS 0,2671 5,8786 6,1457 MS 0,2671 0,3094 F 0,86 P 0,365

De la salida de estimacin, se deduce que 2 = 0,155. Ahora bien, una vez conocidos los estimadores de 1 y 2, procedemos a calcular la elasticidad de demanda estimada aT: Puesto que = B , tenemos que B = , o bien, en forma ms detallada,-1 .

1 aT 1 bT

1 2

0

=

(21)


11


O bien, 1 aT 2 = 0 1 bT 2 = T Consecuentemente, aT = 1/ 2 = -0,109/0,155 = -0,703. Concluimos, por tanto, que entre la cantidad demandada de naranjas y el precio de equilibrio existe relacin inversa. El mtodo de mnimos cuadrados indirectos nos permite estimar slo la elasticidad de demanda. Puesto que la segunda ecuacin de (19) est no identificada, no podemos recuperar, a partir de la forma reducida, el resto los parmetros estructurales bT y T. No obstante, veremos ms adelante que, bajo unas condiciones especficas, dichos parmetros pueden estimarse por el mtodo de variables instrumentales. (22)

Ecuaciones identificadas: estimacin por MC2E:El mtodo de mnimos cuadrados en dos etapas (MC2E) permite obtener estimadores consistentes para los parmetros estructurales (elementos de las matrices B y ) en el caso de ecuaciones sobreidentificadas o exactamente identificadas. El mtodo MC2E consiste en: Para cada variable endgena explicativa de la ecuacin, hallar la ecuacin de regresin de sta sobre todas las variables exgenas del sistema. Con las ecuaciones de regresin obtenidas, hallar los valores estimados para cada variable endgena, y realizar la regresin de la variable endgena dependiente sobre las variables explicativas usando dichos valores estimados (en lugar de los valores observados).

Ejemplo 3: Volvemos a considerar el sistema de ecuaciones simultneas, definida en (18). Qt - Pt = uD t S

Qt - Pt - Wt = u t. Recordemos que la primera ecuacin est identificada, mientras que la segunda est no identificada. Por tanto, podemos utilizar el mtodo de MC2E para estimar consistentemente la elasticidad de demanda . En el sistema, hay slo una variable endgena explicativa (Pt) y una variable exgena (Wt). De modo que en una primera etapa regresamos el precio de naranjas sobre el indicador de condiciones climatolgicas, en la siguiente ecuacin de regresin: Primera etapa: Pt = Wt + t Desplegamos Stat > Regression > Regression > Storage; una vez dentro marcamos la casilla Fits que permite generar, en la hoja de clculo, los valores ajustados de Pt:


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Obtenindose los siguientes resultados:


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En segunda etapa, partimos de la estimacin consistente especificada en (17): a*T = (1/T)P*tQt/((1/T)P*t ) Esta expresin slo sirve los propsitos de teora, ya que en prctica desconocemos los valores de los parmetros y necesarios para construir P*t. Sin embargo, este trmino lo podemos sustituir por el estimador consistente de Pt determinado en la primera etapa. As pues, con el programa Minitab, regresamos cantidad sobre el valor estimado de Pt (llamndolo PHAT): Segunda etapa:2

Regression Analysis

The regression equation is Q = - 0,706 PHAT Predictor Noconstant PHAT Coef -0,7061 StDev 0,2632 T -2,68 P 0,015

S = 0,1360 Analysis of Variance Source Regression Residual Error Total DF 1 19 20 SS 0,13315 0,35161 0,48476 MS 0,13315 0,01851 F 7,20 P 0,015

As pues, el estimador de MC2E queda aMC2E = -0,706.

Ecuaciones identificadas: estimacin por VIEl mtodo de variables instrumentales (VI) permite obtener estimadores consistentes para los parmetros estructurales (elementos de las matrices B y ) en el caso de ecuaciones sobreidentificadas o exactamente identificadas. Es un caso particular del mtodo de MC2E y se utiliza cuando el nmero de instrumentos es igual al nmero de variables endgenas explicativas. Un instrumento resulta vlido cuando est correlacionado con una de las variables endgenas y no con el trmino perturbacin. El mtodo VI consiste en: Seleccionar tantas variables instrumentales cuantas hay variables endgenas explicativas (correlacionadas con trmino de perturbacin) y variables predeterminadas (incorrelacionadas con trmino de perturbacin) . Estimar el modelo en el cual regresamos la variable dependiente sobre las variables explicativas (endgenas y predeterminadas), utilizando las variables instrumentales para corregir la endogeindad de los regresores.

En general, el estimador de variables instrumentales puede determinarse de la siguiente manera: BVI = [XtZt] [XtYt] (23)-1


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Modelos Multiecuacionales Donde: Yt es la variable dependiente, Zt es el vector de las variables explicativas (endgenas y predeterminadas) y Xt es el vector de las variables instrumentales. La condicin imprescindible es que el nmero de instrumentos, r, sea igual al nmero de variables explicativas, k. Ejemplo 4: Volvemos a considerar el sistema de ecuaciones simultneas, definida en (18). Qt - Pt = uD t S

Qt - Pt - Wt = u t. Puesto que la primera ecuacin est identificada, podemos utilizar el mtodo de VI para estimar consistentemente la elasticidad de demanda . A fin de realizar dicha estimacin, como instrumento utilizaremos Wt que puede estar correlacionado con Pt pero no con el D trmino de perturbacin u t.. As pues, hay una variable explicativa y un instrumento. El estimador de la elasticidad viene dado por la siguiente expresin: aVI = [WtPt] [WtQt] (24) La estimacin no puede realizarse por va del Minitab, por lo que emplearemos la hoja de clculo Excel.-1

En definitiva, el estimador de VI de la elasticidad de demanda es aVI = -0,706. Consideramos ahora estimacin de la elasticidad de oferta, y del efecto de las condiciones climatolgicas, : Qt = Pt + Wt + uS t

Ahora bien, suponiendo conocida la elasticidad de demanda, , podemos generar el trmino de perturbacin de demanda: u t = Q - Pt Proyecto e-Math Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD)D

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Dado que el error est correlacionado con Pt, la variable explicativa endgena, pero no S correlacionado con u t, entonces cumple los requisitos de una variable instrumental. Por otra S parte, Wt est obviamente correlacionada con Wt, pero no correlacionada con con u t. As D pues, habremos agregado un vector de variables instrumentales, Xt = (u t; Wt) para poder estimar consistentemente los parmetros de la ecuacin de oferta: bTD D

-1

U P U W

U Q WQ

D

T

=

WP

WW

Aunque en prctica desconocemos el valor de la elasticidad de demanda, ya sabemos que este parmetro puede estimarse por el mtodo de variables instrumentales, produciendo el resultado inmediatamente anterior. Precisamente este valor puede utilizarse para generar el residuo de demanda y utilizarlo posteriormente a fin de realizar la estimacin de VI de y : bVI P WD D

-1

Q WQ

D

VI

=

WP

WW

Puede demostrarse que la estimacin de dichos parmetros es consistente [5]. Operando en el entorno de Excel, calculamos los componentes de las matrices XZ y de XY:

A continuacin, calcularemos la matriz inversa de XZ (InvX_Z) y posteriormente la multiplicamos por XY (X_Y), obteniendo el vector de los parmetros estimados bVI y VI. Es importante recordar que para validar frmulas matriciales con Excel es necesario usar la combinacin de teclas [Control]+[Shift]+[Enter] (ver math-block sobre operaciones con matrices en Excel):


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La estimacin VI nos proporciona los siguientes resultados: aVI = -0,706; bVI = 0,244 y VI = -0,147. Concluimos por tanto, que el mercado de naranjas funciona bajo las de leyes de oferta y demanda, la elasticidad de demanda siendo negativa y la elasticidad de oferta, positiva. Por otro lado, el las adversas condiciones meteorolgicas producen efecto negativo sobre la oferta de naranjas. En este math-block hemos analizado los modelos multicecuacionales, problemas de identificacin y endogeneidad, y hemos conocido los principales mtodos de estimacin de estos modelos que dan lugar a los estimadores consistentes, insesgados e eficientes.


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BIBLIOGRAFA[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11]

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