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3.5. Conceptos Asociados a los Mecanismos. Teoría Clásica. Los mecanismos son ensamblajes de cuerpos sólidos conectados mediante uniones o articulaciones. Los mecanismos transfieren el movimiento y el trabajo mecánico desde uno o más actuadores (“inputs” o impulsores) hasta uno o más cuerpos seguidores (“outputs” o seguidores). Desde el punto de vista del diseño cinemático, consideraremos un mecanismo como un conjunto de cuerpos interconectados en el que todos sus componentes se suponen perfectamente rígidos y que están conectados mediante uniones o articulaciones cinemáticas, y por lo tanto ideales. Una unión o conexión cinemática está formada por el contacto directo entre ciertas superficies de los dos cuerpos que conecta. Una de las primeras codificaciones o estudio sistemático de la cinemática de los mecanismos fue realizada por el ingeniero alemán REULEAUX (1876), que fue quien ideo y dio nombre a la terminología básica que aún hoy en día se utiliza. Él fue quien asigno el nombre de “par cinemático” a una unión o conexión cinemática. Además dividió las uniones en “pares inferiores” y “pares superiores”.

Imagen 1.40. REULEAUX (1829-1905). Un par inferior es aquel en el que el contacto entre los dos cuerpos rígidos que conecta tiene lugar en todos los puntos de uno o más segmentos de superficie. Un par superior es aquel en el que el contacto tiene lugar únicamente en puntos aislados o a lo largo de segmentos lineales. Las uniones o conexiones son el aspecto más importante de un mecanismo a examinar durante un análisis. Ellas permiten el movimiento relativo en determinadas direcciones mientras que restringe o impide el movimiento en otras. Los tipos de movimiento permitidos están relacionados con el número de grados de libertad (gdl) de la conexión. El número de grados de libertad de una conexión es igual al número de coordenadas independientes que son


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necesarias para poder especificar de forma única la posición de uno de los cuerpos que conecta con relación al otro cuerpo restringido por la misma. Los pares inferiores están necesariamente restringidos a un relativamente pequeño número de tipos geométricos, ya que el requerimiento que el contacto tenga lugar en una superficie limita la geometría que deben tener las superficies que contactan. Sin embargo, existen una infinidad de posibles tipos geométricos para definir los pares superiores. Los tipos posibles de pares inferiores aparecen en la Imagen 41, mientras que algunos ejemplos de uniones o pares superiores se pueden observar en la Imagen 42.

Conectividad

(Nº de gdl)

Denominaciones Símbolo

literal

Forma típica Representación

esquemática

(Diagrama

cinemático)

1 Par Giratorio

Articulación

de pasador

R

1 Par prismático

Deslizadera

Par de

deslizamiento

P

1 Par helicoidal

Par de

tornillo

H

2 Par cilíndrico C

3 Par esférico S

3 Par plano P

Imagen 1.41. Uniones o pares inferiores.

Los pares inferiores son los más utilizados en la práctica del diseño mecánico. Proporcionan un buen servicio ya que el desgaste se distribuye de forma uniforme sobre las superficies en contacto, y por el hecho que al estar una de las superficies totalmente rodeada por la otra el pequeño huelgo existente entre ambas proporciona buenas condiciones para la lubricación y un movimiento relativo perfectamente ajustado. El cambio de las propiedades geométricas de la unión debido al desgaste es pequeño para un par inferior. Los pares superiores relacionados con el contacto por rodadura simple, o que se aproximan a esa condición, también se utilizan con frecuencia en el diseño mecánico. En el contacto por rodadura simple, los puntos de una de las dos superficies que forman el par, están en cualquier instante en un reposo relativo respecto a la otra superficie. Por lo tanto no hay deslizamiento relativo entre ambas superficies, con lo que el rozamiento y el desgaste


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reales en el par son mínimos. Desde un punto de vista físico, la limitación de este tipo de unión o par la impone la intensidad de las tensiones que el material del que están hechos los cuerpos en contacto puede soportar. Las tensiones que aparecen son altas debido a que el área de contacto real es muy pequeña. Si los cuerpos fueran perfectamente rígidos, el contacto ocurriría solo en puntos concretos o a lo largo de una línea, el área de contacto debería ser nula, y las tensiones deberían tener un valor local infinito. Conectividad

(Nº de gdl)

Denominación Forma típica Comentarios

1 Rodadura sin

deslizamiento

Rodadura simple

El rodillo gira alrededor de la

línea señalada con la flecha en el

instante considerado. El rodillo no

desliza sobre la superficie sobre la

que gira.

2 Par leva

Rodadura con

deslizamiento

La leva gira y desliza sobre el

seguidor.

3 Bola con

rodadura sin

deslizamiento

La bola gira pero no desliza.

4 Bola dentro de

cilindro

La bola puede girar alrededor de

cualquier eje que pase por su centro

geométrico, y desliza a lo largo del

eje del hueco cilíndrico.

5 Contacto puntual

espacial

El cuerpo puede girar alrededor de

cualquier eje que para por el punto

de contacto, y deslizar en cualquier

dirección en el plano tangente.

Imagen 1.42. Algunas uniones o pares superiores.

Los pares inferiores como pueden ser el giratorio y el cilíndrico se obtienen a menudo en mecanismos mediante cojinetes de bolas (rodamientos) o de agujas, en los que en realidad hay muchos elementos (cuerpos, bolas) actuando en paralelo. El contacto real en los cojinetes de bolas (rodamientos) es del tipo de rodadura sin deslizamiento, y por lo tanto se trata de pares superiores. De esta forma, se aprovecha la ventaja en cuanto a bajo rozamiento inherente al contacto de rodadura sin deslizamiento, con el fin de obtener una par que tiene un menor rozamiento, una mayor posibilidad de transmisión de cargas y de velocidades relativas que las que serían posibles obtener con un par giratorio en el que el contacto tuviera lugar entre las habituales dos superficies en contacto. Consiguiéndose al mismo tiempo el comportamiento en cuanto a movimiento relativo típico de un par giratorio, es decir un giro relativo entre los dos cuerpos que comparten el par. Este es un ejemplo de un par compuesto en el que el par es en realidad un mecanismo complejo (hay muchas bolas en contacto con la superficie de rodadura), pero que se considera cinemáticamente equivalente a un simple par giratorio. En la Fig. 35 se pueden observar algunos ejemplos de este tipo de pares compuestos. De forma análoga, a veces los pares superiores son reemplazados por un conjunto equivalente de pares inferiores. Por ejemplo, un par del tipo “pasador en ranura”, PR, como el que aparece en la Imagen 44, se puede considerar como una combinación de un par giratorio (R) y un par prismático (P). Sin embargo, téngase en cuenta que esto lleva consigo la adición de cuerpos extra al mecanismo. Tanto en el caso en que un par inferior era reemplazado por un cojinete en el que existe un contacto por rodadura sin deslizamiento, o par compuesto, como en este caso, se dice que los dos mecanismos son equivalentes cinemáticamente. Lo cual significa que los movimientos relativos permitidos


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entre los cuerpos en ambos casos son los mismos, a pesar que el par es físicamente bastante diferente. Conectividad

(Nº de gdl)

Denominación Forma típica

1 Cojinete de bolas

Cojinete antifricción

Cojinete de contacto por

rodadura

2 Junta Universal

Junta Hooke

Junta Cardan

1 Deslizadera de rodillos

Imagen 1.43. Algunos ejemplos de pares compuestos.

Imagen 1.44. Par superior con combinación cinemáticamente equivalente de pares inferiores.

El número de grados de libertad de un par es el mínimo número de parámetros independientes que son necesarios para definir las posiciones de todos los puntos de uno de los cuerpos de los que conecta el par, con respecto a un sistema de referencia fijo con el otro cuerpo. Se utiliza el término conectividad para referirse a esta libertad del cuerpo, a pesar que el par puede ser en realidad a veces muy elaborado tal y como sucede en el cojinete que aparece dibujado en la Imagen 43 y los que aparecen tal y como son en la realidad en la Imagen 45.

Imagen 1.45. Aspecto que tienen los rodamientos que se utilizan en las máquinas reales.


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Si el movimiento está restringido a llevarse a cabo en un plano, el máximo número de grados de libertad es de tres. En el movimiento general que tiene lugar en el espacio, el máximo número es seis. En las figuras 1, 2 y 3, aparecen en su primera columna el número de grados de libertad que posee cada uno de los pares en ellas relacionados.

3.6. Mecanismos Planos con Pares Inferiores. Un mecanismo plano con pares inferiores es aquel en que las velocidades de todos los puntos de todos los cuerpos que lo forman son paralelas a un plano, denominado plano del movimiento. Los únicos pares inferiores que son compatibles adecuadamente con el movimiento plano son los pares giratorios y los prismáticos. Los ejes de giro de todos los pares giratorios deben ser normales al plano de movimiento ya que de otra forma sería imposible que los puntos de los cuerpos se movieran en planos paralelos. Las direcciones de deslizamiento de todos los pares prismáticos deben ser paralelas al plano del movimiento, ya que todos los puntos de un cuerpo conectado a otro mediante un par prismático han de moverse sobre líneas paralelas a la dirección de deslizamiento relativamente respecto al segundo cuerpo. Ocasionalmente puede suceder que otros tipos de pares inferiores aparezcan en un mecanismo que no hay duda es un mecanismo plano. Sin embargo, en estas ocasiones estos pares actuaran a todos los efectos como si fuesen pares giratorios o prismáticos. Por ejemplo, puede aparecer un par esférico en lugar de un par giratorio, pero en este caso si el mecanismo funciona como mecanismo plano, el par esférico actuará como giratorio teniendo lugar el giro alrededor únicamente del eje normal al plano del movimiento. Esta situación se planteará con más detalle cuando se trate sobre los grados de libertad y la denominada movilidad.

Imagen 1.46. Representación cuerpos de un mecanismo. Es habitual utilizar un método esquemático para representar en el papel los mecanismos planos. En él los pares giratorios se representan mediante pequeños círculos, tal y como aparece en la Imagen 41 de la sección anterior. Los cuerpos binarios, que son los que tienen dos uniones o pares activas con otros cuerpos, se representan mediante líneas que unen los dos pares existentes. Los cuerpos ternarios, que son aquellos que poseen activas tres uniones o pares con otros cuerpos, se representan mediante triángulos estando situados los pares en sus vértices, y así sucesivamente. En las Imágenes 46, 47 y 48 de esta sección se pueden observar las representaciones esquemáticas resultantes, que se suelen denominar diagramas cinemáticos de los mecanismos. De esta forma es posible reproducir fácilmente la geometría de un cuerpo, obteniéndose una visualización exacta del mecanismo en una determinada posición. De forma alternativa, es posible utilizar esta representación esquemática de forma conceptual, sin proporcionar dato alguno sobre la geometría exacta del mecanismo, con el fin de indicar la topología del mismo. La topología de un mecanismo es una representación geométrica del mismo en la que se indican exclusivamente las conexiones existentes entre los cuerpos que lo forman sin importar la


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forma que cada uno tiene. Habitualmente los cuerpos con tres o más pares activos se suelen representar o bien sombreados o bien rayados en su interior. Si no se hiciese de esta forma no sería posible distinguir el diagrama cinemático correspondiente a un mecanismo formado por cuatro cuerpos conectados mediante pares giratorios formando un lazo (el denominado cuadrilátero articulado) de la representación esquemática simplificada correspondiente a un cuerpo cuaternario, es decir aquel que posee cuatro pares activos con otros cuerpos.

Imagen 1.47. Pares giratorios representados mediante círculos. Cuerpos binarios mediante segmentos lineales. Los cuerpos ternarios mediante triángulos (rayados).

Se denomina cadena cinemática a cualquier ensamblaje de cuerpos rígidos conectados mediante pares cinemáticos. Una cadena cinemática cerrada es aquella en la que los cuerpos y los pares forman uno o más circuitos cerrados. Cada uno de esos circuitos cerrados forma un lazo en el que cada cuerpo está conectado mediante uniones o pares cinemáticos a al menos otros dos cuerpos.

Imagen 1.48. Diagramas cinemáticos típicos de Cadenas Cinemáticas. En la Imagen 48 aparecen diagramas cinemáticos correspondientes a mecanismos que poseen pares prismáticos: (a) Mecanismo denominado triángulo de lado variable o manivela – biela - deslizadera. Obsérvese que el cuerpo que está representado mediante un rectángulo, la deslizadera, es un cuerpo binario, ya que posee un par giratorio y uno prismático. Además, en (b) obsérvense que las pequeñas “soldaduras” que aparecen entre el bloque y el segmento lineal que definen el cuerpo número 6, representan una conexión rígida. Por tanto, en este caso, esta combinación hace que el cuerpo 6 sea binario, no tomándose la conexión rígida como un par adicional por el hecho de no permitir ningún movimiento relativo entre los cuerpos que conecta.


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Los pares prismáticos se representan mediante una línea en la dirección de deslizamiento, utilizando un rectángulo situado sobre ella, para representar la denominada deslizadera, que es aquel cuerpo que se mueve sobre la línea de deslizamiento definida por el otro cuerpo. Aunque en la realidad la elección de qué papel hace cada uno de los dos cuerpos es arbitraria. Esto da lugar a representaciones de mecanismos planos tal y como las que se muestran en la imagen previa. Se denomina cuerpo base a aquel cuerpo que esta fijo. Es decir, que tiene cero grados de libertad con relación al sistema de coordenadas fijo. Un mecanismo plano se puede definir como una cadena cinemática con uno de sus cuerpos elegido como cuerpo base o fijo. Para distinguir el cuerpo base de un mecanismo, es costumbre y resulta convencional no mostrarlo en la forma habitual, indicando exclusivamente la localización de los pares, utilizando para ello un pequeño rayado oblicuo, tal y como aparece en las imágenes 49 y 50.

Imagen 1.49. Representación del mecanismo triangulo de lado variable. La selección de uno de los cuerpos como cuerpo base convierte la cadena cinemática que aparece en la Imagen 48 en un mecanismo plano. A este mecanismo se le denomina habitualmente como “triángulo de lado variable” o “manivela – biela – deslizadera”. Obsérvense las dos posibles formas de representar el cuerpo base o fijo que aparecen en la Imagen 49. Como se ha indicado los mecanismos se representan de forma habitual dibujando esquemáticamente los cuerpos y pares que los forman, es decir, mediante los que hemos denominado “diagramas cinemáticos”. Aunque en la literatura relacionada con estos asuntos no hay uniformidad en cuanto a la numeración de los cuerpos, nosotros siempre los numeraremos comenzando por el cuerpo fijo, al que le asignaremos el número 1. Además, estos números de cuerpo los situaremos dentro de un pequeño círculo, mientras que toda la información relacionada con los pares, incluyendo su número de orden, la situaremos dentro de un pequeño cuadro dotado de varias estancias, en las que indicaremos los números de cuerpos que conecta, los grados de libertad que tiene el par, y una letra que simboliza el tipo de par, que coincide con las que se utilizaron en la sección anterior cuando se presentaron los distintos tipos de pares, tanto inferiores como superiores.

Imagen 1.50. La representación del cuerpo base se minimiza.


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En la Imagen 50 se muestra la representación de mecanismos planos en los que el cuerpo base o fijo no se representa tal y como se hace con el resto de cuerpos que forman el mecanismo. Se puede pensar en que es la hoja de papel en la que esta dibujado el mecanismo la que representa el cuerpo fijo. Los pares existentes en el cuerpo fijo se indican mediante un pequeño rayado oblicuo. A los mecanismos simples, formados por un solo lazo, se le suele asignar una designación simbólica formada por una secuencia de letras representando los tipos de pares que los forman, escritos en sentido de las agujas del reloj, comenzando y finalizando con los pares existentes en el cuerpo fijo, tal y como se puede observar en la Imagen 51.

Imagen 1.51. Secuencia de letras para representar mecanismos de un solo lazo. Los perfiles de las superficies de contacto de los pares superiores, tal y como las levas y los seguidores correspondientes, se dibujan en mecanismos planos tal y como aparece en la Imagen 52. Esas superficies deben ser en general cilíndricas (no necesariamente circulares) obtenidas a partir del movimiento de una línea recta que es siempre normal al plano del movimiento. El perfil dibujado es, por lo tanto, la curva generada del cilindro mostrado en la Imagen 53. El cilindro se obtiene trasladando esa curva a lo largo de la línea recta en la dirección normal al plano en el que esta dibujada la curva.

Imagen 1.52. Representación de una leva y su seguidor. En la Imagen 52 aparece la representación de una leva de placa con un seguidor oscilante de cara plana Al ser la cara del seguidor plana, en el plano se representa por medio de una línea recta. La leva se representa dibujando su perfil.


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Imagen 1.53. Volumen cilíndrico general. La Imagen 53 muestra el volumen cilíndrico general de una leva. La curva generatriz es una curva plana. Su plano es normal a la línea de generación. Se supone que la superficie cilíndrica se genera mediante el movimiento de la curva generatriz de tal forma que un punto de ella se mueva a lo largo de la línea de generación. De forma alternativa, podría generarse moviendo la línea de generación de tal forma que un punto de ella siguiese la curva generatriz.

3.7. Construcción de Modelos. Reales y Virtuales. Ya que el movimiento de los mecanismos está íntimamente relacionado con su geometría, siempre es importante para el diseñador visualizar el movimiento. Con respecto a este asunto, en mecanismos planos es relativamente fácil trabajar con ellos ya que tanto su geometría como alguna forma de representar su movimiento es posible dibujarla sobre una superficie bidimensional. Sin embargo, puede ser muy difícil visualizar posiciones sucesivas de los cuerpos de un mecanismo plano únicamente a partir de un solo dibujo del mismo en una posición representativa. Además, esta sucesión de posiciones y las localizaciones relativas de todos los cuerpos en cada una de estas posiciones es muy importante cuando se trata de predecir efectos tales como interferencias entre cada uno de ellos y otras partes de máquinas.

Imagen 1.54. Prototipo construido con elementos del Sistema “Meccano”.


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5. MOVILIDAD en Mecanismos Planos.

El número de grados de libertad (gdl) de un cuerpo es el número de coordenadas independientes necesarias para especificar de forma única la posición de ese cuerpo respecto a un sistema de referencia dado. De forma similar, diremos que el mínimo número de coordenadas necesarias para especificar de forma única las posiciones de todos los componentes de un sistema de cuerpos rígidos, será el número de grados de libertad de ese sistema. Utilizaremos el concepto de número de grados de libertad de tres formas distintas pero muy relacionadas entre ellas. La primera será el número de grados de libertad de un cuerpo con respecto a un sistema de referencia dado, que hemos definido anteriormente. La segunda será el número de grados de libertad de un par cinemático. Y la tercera será el número de grados de libertad de un mecanismo. Tanto por el hecho que “número de grados de libertad” es bastante largo de decir, como por el hecho que estamos utilizando este concepto de tres formas distintas, y con ánimo de clarificar, cuando tengamos que referirnos al número de grados de libertad de un par cinemático utilizaremos la palabra conectividad. Adicionalmente, este mismo término lo aplicaremos al número de grados de libertad relativos entre dos cuerpos. De forma análoga, nos referiremos al número de grados de libertad de un mecanismo utilizando el término movilidad de ese mecanismo. Estos términos se pueden definir formalmente de la siguiente forma: (1) Si un par cinemático se define entre dos cuerpos que no están conectados a ningún otro, la conectividad de ese par es el número de grados de libertad de movimiento de uno cualquiera de los dos cuerpos conectados con respecto al otro; (2) La movilidad de un mecanismo es el mínimo número de coordenadas necesarias para especificar las posiciones de todos los componentes del mecanismo con respecto a un determinado componente del mismo que se ha elegido como el cuerpo base o fijo.

Imagen 1.68. Un cuerpo dotado de movimiento libre en el plano tiene tres grados de libertad, representados por las coordenadas X, Y, y φ.

La movilidad, o número de grados de libertad de un mecanismo, se utiliza para determinar cuántas variables de par deben especificarse antes de poder localizar o situar todos los puntos de todos los componentes del mecanismo como funciones del tiempo. Un mecanismo tiene que tener una movilidad de valor uno o superior. Tradicionalmente, casi todos los mecanismos tenían un grado de libertad. Sin embargo, en la práctica moderna del diseño,


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han empezado a utilizarse de forma habitual mecanismos con dos o más grados de libertad. Si la movilidad es cero, o es negativa, tal y como se determinara por las ecuaciones de movilidad más adelante, el ensamblaje es una estructura. Si la movilidad es cero, la estructura se denomina estáticamente determinada. Si la movilidad es negativa, la estructura es estáticamente indeterminada.

5.1. Calculo de la Movilidad en Mecanismos Planos. Para poder calcular la movilidad, consideraremos en primer lugar el caso plano y a continuación extenderemos el resultado al caso espacial o tridimensional. Tal y como se indica en la Imagen 68, en el plano, un cuerpo que pueda moverse libremente tiene tres grados de libertad. Puede moverse en X, en Y, y puede girar un ángulo φ alrededor del eje Z. Supongamos que en un mecanismo dado, existen 2 componentes o cuerpos rígidos. Si todos ellos tienen libertad de movimiento de forma independiente, el sistema tiene una movilidad de valor 6. Si elegimos uno de los componentes como cuerpo base o fijo (respecto del cual se han de mover todos los demás), entonces este estará fijo con respecto al sistema de referencia base y por lo tanto habrá perdido todos sus grados de libertad. Por lo tanto, la movilidad total del sistema será 3*(N-1), siempre que no existan pares entre los componentes. Si consideramos la existencia de un par con conectividad 1 (2 grados de libertad) entre dos cuerpos, la movilidad del sistema disminuye ya que esos dos cuerpos originalmente tenían tres grados de libertad de movimiento relativo de uno respecto del otro. Después de haber montado la citada unión o par, los dos cuerpos pasarán a tener únicamente 1 grados de libertad de movimiento relativo. Con lo que la reducción en la movilidad del sistema es 3-fi. Si continuamos formando uniones o pares hasta que existan P pares, la perdida de movilidad del sistema será

P P

1 2 i i ii 1 i 1

3 f 3 f 3 f 3 f 3 * P f

Por lo que la movilidad total del mecanismo será

P

ii 1

M 3 * N P 1 f

Esta ecuación recibe el nombre de criterio de movilidad de Grouebler. En la literatura relacionada con estos temas es posible encontrar versiones que aparentemente son diferentes de la obtenida. Todas ellas, de hecho, son equivalentes entre ellas, salvo aquellas que se refieren a un subconjunto de los casos que cubre la esa ecuación.

5.2. Existencia de Pares Múltiples. En ciertos casos en los que más de dos componentes están aparentemente conectados mediante el mismo par aparece un problema en la aplicación de la ecuación anterior. Es típico que en algunos mecanismos tres o más componentes estén articulados juntos mediante el mismo pasador y puedan girar libremente entre ellos alrededor del eje del mismo. Esta dificultad se resuelve rápidamente cuando recordamos que un par cinemático está formado por el contacto entre ciertas superficies de dos cuerpos rígidos. Esta es la razón por la que muy acertadamente Reuleaux introdujo el nombre de “par” para lo que hemos llamado “conexión”. Considerando el caso comentado, nos damos cuenta que entre varios componentes conectados juntos no hay un solo par. De hecho, si p componentes están conectados mediante una unión común, la conexión es equivalente a p-1 pares del mismo tipo. Si incluimos este número en el número P, y (p-1)*f en la suma de conectividades de la ecuación, aseguraremos un resultado de movilidad correcto del mecanismo utilizando la citada ecuación.


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Ejemplo 1.- Grados de libertad del mecanismo básico denominado cuatro barras (4B). Determine la movilidad del mecanismo cuadrilátero articulado que aparece en la Imagen 69.

Imagen 1.69. Mecanismo Cuadrilátero Articulado. El número de cuerpos es N = 4, el número de pares cinemáticos es P = 4, la suma de las conectividades de cada par es 4, con lo que la movilidad es M = 3*(4 – 4 - 1) + 4 = 1 gdl. Ejemplo 2.- Grados de libertad de un mecanismo complejo. Determine la movilidad del mecanismo que aparece en la Imagen 70. Se trata de un mecanismo plano y todos sus pares tienen conectividad 1.

Imagen 1.70. Mecanismo con más de cuatro cuerpos, alguno de ellos ternario. El número de cuerpos es N = 7, el número de pares cinemáticos es P = 8, la suma de las conectividades de cada par es 8, con lo que la movilidad es M = 3*(7 – 8 - 1) + 8 = 2 gdl.


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Ejemplo 3.- Grados de libertad cuando hay uniones con varios pares. Determine la movilidad del mecanismo que aparece en la Imagen 71. Se trata de un mecanismo plano y todos sus pares tienen conectividad uno. Hay tres cuerpos que están conectados a un mismo eje.

Imagen 1.71. Mecanismo con pares múltiples. El número de cuerpos es N = 6, el número de pares cinemáticos es P = 7, la suma de las conectividades de cada par es 7, con lo que la movilidad es M = 3*(6 – 7 - 1) + 7 = 1 gdl. Como se observa en la imagen, en la conexión entre las barras 3, 4, y 5, que tiene lugar en un mismo punto o eje, se han considerado 2 pares, uno menos que el número de cuerpos conectados. Ejemplo 4.- Grados de libertad de un mecanismo que contiene un par superior. Determine la movilidad del mecanismo que aparece en la Imagen 72. Se trata de un mecanismo plano y no todos sus pares tienen conectividad uno.

Imagen 1.72. Mecanismo con algun par superior. El número de cuerpos es N = 11, el número de pares cinemáticos es P = 14, la suma de las conectividades de cada par es 13 * 1 + 1 * 2 = 15, con lo que la movilidad es M = 3*(11 – 14 - 1) + 15 = 3 gdl.


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Esta ha sido la forma tradicional de comprobar la movilidad de los mecanismos planos que podíamos encontrar en los libros de texto sobre esta materia. Sin embargo, mediante la aplicación Mathematica es posible una comprobación mucho más elegante, utilizando la habilidad que tiene esta aplicación de generar documento CDF. Veamos cómo quedaría en la actualidad.

Imagen 1.73. Documento CDF que permite calcular la movilidad de los mecanismos ejemplo mediante la Formula de Gruebler 2D de forma interactiva.

http://www.upv.es/vltmodels/movilidad-planos-v2014.cdf

http://www.upv.es/vltmodels/movilidad-planos-v2014.cdf


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5.3. Mecanismos con Movilidad Uno y Pares con Conectividad Uno. Un caso especial al que es necesario prestarle atención ocurre cuando en la Formula de Gruebler se establece la movilidad a uno y se considera que todos los pares tienen conectividad uno fi = 1. En este caso, 1 = 3*(N – P - 1) + P, con lo que

4 3 * N 2 * P Y al tener que ser N y P números enteros, N debe ser par ya que tanto 2*P como 4 lo son. Esto constituye un ejemplo de una ecuación de Diofanto. Es decir una ecuación que admite únicamente como soluciones números enteros. Escribiéndola como una expresión para P en términos de N, la ecuación queda como

P 3 * N 2 2

Algunas de las posibles soluciones aparecen en la siguiente Tabla. Las examinaremos seguidamente con detalle. En cada caso, los pares pueden ser o bien giratorios o bien prismáticos, ya que son los únicos tipos de pares inferiores que se pueden considerar adecuadamente formando parte de mecanismos planos.

Nº. de Solución

N P Nº de Configuraciones

1 2 1 1 2 4 4 1 3 6 7 2 4 8 10 16 5 10 13 230 6 12 16 6856

Imagen 1.74. Diferentes soluciones enteras de la ecuación anterior.

La SOLUCIÓN 1 es el caso trivial de dos cuerpos conectados mediante un solo par giratorio o par prismático, que podemos observar en la Imagen 75(a). En realidad, este mecanismo es muy común. Por ejemplo, una puerta, sus bisagras, y el marco de la puerta forman una cadena cinemática abierta y un mecanismo de este tipo.

Imagen 1.75. Soluciones de la ecuación de movilidad en el plano para M = 1 cuándo N = 2 y N = 4.

La SOLUCIÓN 2 es simplemente un mecanismo de un solo lazo formando por cuatro componentes conectados mediante cuatro pares. Las dos posibles soluciones se muestran en las Imagen 75(b) y 75(c). El mecanismo que aparece en la Imagen 75(b) es el cuadrilátero articulado plano que es uno de los mecanismos básicos. El que aparece en la Imagen 75(c) es el triángulo de lado variable o manivela – biela – deslizadera que es junto con el anterior otro mecanismo básico, y por lo tanto ampliamente estudiados y aplicados en la práctica. La SOLUCIÓN 3 presenta dos nuevas características. Por una parte, aparecen componentes con más de dos pares activos. Por otra parte, a pesar que únicamente se consideran pares giratorios, existen dos posibles, topológicamente distintas, configuraciones de seis


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componentes con siete pares. Se denominan, respectivamente, mecanismos de Watt y Stephenson, pudiéndose observar en la Imagen 76.

Imagen 1.76. Las dos soluciones de la ecuación de movilidad en el plano conteniendo siete pares giratorios, M = 1 y cada cadena cinemática tiene seis componentes.

La SOLUCIÓN 4 da lugar a 16 posibles configuraciones topológicamente posibles, todas ellas mostradas en la Imagen 77. La SOLUCIÓN 5 da lugar a 230 posibles configuraciones. Este número se incrementa muy rápidamente dando lugar a números de componentes elevados. Por ejemplo, la SOLUCIÓN 6 da lugar a 6856 configuraciones (Hunt, 1978).

Imagen 1.77. Las 16 soluciones de la ecuación de movilidad cuando existen diez pares giratorios, M = 1 y cada cadena cinemática tiene ocho componentes.


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Viendo lo anterior, no debe extrañar por qué se invierte tanto esfuerzo en el diseño de mecanismos formados por cuatro elementos. La configuración formada por cuatro elementos forma el mecanismo no trivial más simple posible. Además, podremos observar como la mayor parte de los requerimientos de diseño pueden conseguirse mediante mecanismos formados por cuatro o seis componentes. Téngase en cuenta, que en el desarrollo anterior, nunca se especificó el tipo de pares a utilizar. Todo lo que se indico es que los pares debían tener conectividad uno, los mecanismos debían ser planos, y debían tener movilidad uno. Aunque los pares considerados en las Imágenes 75, 76 y 77 son todos giratorios, podríamos haber sustituido cualquiera de ellos por un contacto por rodadura sin deslizamiento, o por pares prismáticos. Por tanto, a pesar que solo consideremos pares inferiores, en la Imagen 78 aparecen cuatro cadenas cinemáticas que representan mecanismos SOLUCIÓN 2 formados por cuatro componentes y cuatro pares en los que aparecen combinados pares giratorios y prismáticos.

Imagen 1.78. Cuatro formas diferentes de cadenas de cuatro componentes, combinando pares giratorios y prismáticos.

El mecanismo Yugo Escocés, basado en la cadena 2R – 2P aparece representado en la siguiente imagen.

Imagen 1.79. La cadena 2R – 2P como mecanismo Yugo Escocés.

5.4. Mecanismo Obtenidos por Inversión.

Además, tal y como se explicará posteriormente, utilizando el importante concepto de inversión cinemática, podremos obtener varios mecanismos planos diferentes a partir de cualquier mecanismo basado en las cadenas 3R – P y 2R – 2P mostradas en la Imagen 78. Se denomina inversión a cualquier mecanismo diferente obtenido a partir de un mecanismo plano dado. En este caso “diferente” significa que el movimiento relativo al cuerpo base o fijo que se puede obtener por la inversión es diferente del que proporciona el mecanismo original. Dada una determinada cadena cinemática los diferentes mecanismos INVERSIONES CINEMÁTICAS se obtienen eligiendo como cuerpo fijo o base cada uno de los cuerpos que la componen. Como resultado, la CADENA 3R - P dará lugar a cuatro mecanismos diferentes. En el mecanismo básico manivela – biela – deslizadera, el cuerpo fijo posee un par giratorio y


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un par prismático, Imagen 80. También podemos considerar a la deslizadera como cuerpo fijo, Imagen 81. Las otras dos inversiones serán mecanismos en los que el cuerpo base tendrá dos pares giratorios, Imágenes 82 y 83.

Imagen 1.80. Cadena 3R – P: Primera Inversión, manivela-biela-deslizadera.

Imagen 1.81. Cadena 3R – P: Segunda Inversión, deslizadera fija.


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Imagen 1.82. Cadena 3R – P: Tercera Inversión, cuerpo fijo con dos pares giratorios.

Imagen 1.83. Cadena 3R – P: Cuarta Inversión, cuerpo fijo con dos pares giratorios. De la misma manera, la CADENA 2R – 2P podrá dar lugar a tres diferentes mecanismos: el Yugo Escoces que tiene un par giratorio y un par prismático en el cuerpo fijo, Imagen 84; el mecanismo que tiene dos deslizaderas en el que el cuerpo fijo tiene dos pares prismáticos, Imagen 85; el tercer mecanismo, el denominado Acoplamiento Oldham, tiene dos pares giratorios en el cuerpo fijo, Imagen 86.


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Imagen 1.84. Cadena 2R – 2P: Primera Inversión, Yugo Escoces, cuerpo fijo un par giratorio y otro prismático.

Imagen 1.85. Cadena 2R – 2P: Segunda Inversión, cuerpo fijo dos pares prismáticos.


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Imagen 1.86. Cadena 2R – 2P: Tercera Inversión, Acoplamiento Oldham, cuerpo fijo dos pares giratorios.

Imagen 1.87. Cadena 2R – 2P: Cuarta Inversión, cuerpo fijo un par giratorio y otro prismático.

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