MA211 - Cálculo IIrmiranda/cursos/2020-2-ma211/... · 2020. 9. 17. · ;5 ˙: Testinho: realiza˘c~ao no hor ario da aula (2h) Provas: realiza˘c~ao e entrega entre 07h30 at e 10h30

MA211 - Cálculo II

Segundo semestre de 2020

Turmas D/E

Ricardo M. Martins

[email protected]

http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda

Aula 1: Introdução

http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda

Ementa, provas, etc

Funções de várias variáveis reais. Fórmula de Taylor. Máximos e

ḿınimos. Integrais múltiplas. Integrais de linha. Teorema da

divergência. Teorema de Stokes.

Alerta de curso coordenado!

Testinho 1: 09/outubro

Prova 1: 06/novembro

Prova 2: 04/dezembro

Prova 3: 15/janeiro

Exame: 25/janeiro

Site do curso: http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda/

cursos/2020-2-ma211/2020-2-ma211.html

http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda/cursos/2020-2-ma211/2020-2-ma211.htmlhttp://www.ime.unicamp.br/~rmiranda/cursos/2020-2-ma211/2020-2-ma211.html

Ementa, provas, etc

MP =T + 3P1 + 3P2 + 3P3

10

NF = min

{max

{4MP + 6EF

10,MP

}, 5

}.

Testinho: realização no horário da aula (2h)

Provas: realização e entrega entre 07h30 até 10h30 (3h)

As provas não serão mais dif́ıceis pelo fato do curso ser “online”.

A entrega deverá ser feita no horário. Exceções serão tratadas

como tais.

As provas deverão ser feitas individualmente.

Referências

Referências online

# Repositório de MA211 do IMECC: https://cursos.ime.unicamp.br/disciplinas/ma211-calculo-ii/

# Aulas do Renan Lima no YouTube: https://www.youtube.com/channel/UC6TTtp9Hdx7GUz0OjrVg1_Q

# Canal do Youtube do Mahendra: https://www.youtube.com/channel/UCWhwZNMMzAXfBrd2EPUi5dg/videos

# Centenas de outros canais do YouTube sobre cálculo de váriasvariáveis.

# E-book do Stewart:https://www.ime.unicamp.br/informe/institucional/

biblioteca/2020-05-19-110127

https://cursos.ime.unicamp.br/disciplinas/ma211-calculo-ii/https://cursos.ime.unicamp.br/disciplinas/ma211-calculo-ii/https://www.youtube.com/channel/UC6TTtp9Hdx7GUz0OjrVg1_Qhttps://www.youtube.com/channel/UC6TTtp9Hdx7GUz0OjrVg1_Qhttps://www.youtube.com/channel/UCWhwZNMMzAXfBrd2EPUi5dg/videoshttps://www.youtube.com/channel/UCWhwZNMMzAXfBrd2EPUi5dg/videoshttps://www.ime.unicamp.br/informe/institucional/biblioteca/2020-05-19-110127https://www.ime.unicamp.br/informe/institucional/biblioteca/2020-05-19-110127

Nosso curso

# Aulas teóricas online toda 2a e 4a às 08h (serão gravadas).

# Aulas de exerćıcios toda 6a às 08h (PEDs) (serão gravadas).

# Comunicação pelo grupo do WhatsApp (ou e-mail).

# Materiais estarão no Moodle, não no Classroom. Estouaprendendo a usar o Moodle, sejam pacientes, eu farei várias

besteiras ao longo do semestre.

Teremos algumas atividades extras, sempre no Moodle.

Elas valerão nota? Não.

Elas valerão chocolate? Sim, um vale chocolate para ser resgatado

no pós-pandemia.

PEDs

Carlos Fabian Alvarez Escorcia (Turma D)

Danilo Andres Garcia Hernandez (Turma E)

Horários de atendimento: todo dia na hora do almoço e do jantar

(divulgaremos os links em breve).

Informações importantes

# Participem das aulas e das atividades.

# Participem das aulas de 6a feira. Deem trabalho para osPEDs.

# Façam as listas e os exerćıcios que ficam na aula.

# Não se preocupe com a prova.

O que vamos estudar neste curso

# Funções de várias variáveis f : Rn → Rm

# Limites e derivadas

# Multiplicadores de Lagrange

# Integrais duplas e triplas em retângulos

# Integrais em superf́ıcies

# Teoremas de Green, Gauss e Stokes

O que muda do Cálculo I?

Nas definições básicas

# Funções estarão definidas em conjuntos de Rn, comoretângulos, ćırculos ou coisas mais gerais.

# Precisamos entender um pouco mais da topologia de Rn.

# Se f : Rn → Rm então existem funções f1, . . . , fm tais que

f (x1, . . . , xn) = (f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn)).

# Como é o gráfico de uma função f : Rn → Rm?


Gráficos

Quando h : A ⊂ R→ R, o gráfico é representado no planocartesiano. De fato, o gráfico de h é um subconjunto de R2:

Gr(h) = {(x , h(x)); x ∈ A} ⊂ A× R.


Gráficos

No caso f : U ⊂ Rm → Rn, o gráfico será um subconjunto deRm × Rn:

Gr(f ) = {(x , f (x)); x ∈ U} ⊂ Rm × Rn ∼= Rm+n.

Isto é um problema sério se você gosta de desenhar gráficos.


Gráficos

Em condições normais, não conseguimos “enxergar” Rk parak ≥ 4, então nossos gráficos ficarão restritos a R3, ou seja, aoscasos em que as funções são R2 → R (e o caso R→ R2?).

Neste caso, se z = f (x , y), com f : U ⊂ R2 → R, representaremoso doḿınio de f no plano z = 0, logo os pontos do gráfico serão da

forma (x , y , f (x , y)), com (x , y) ∈ U.


Gráficos


Gráficos

Exemplo

Como é o gráfico de z = f (x , y) = 1?


Gráficos

Exemplo

Como é o gráfico de z = f (x , y) = x2 + y2?


Gráficos

Exemplo

Como é o gráfico de z = f (x , y) =√

1− x2 − y2?


Gráficos - curvas de ńıvel

Existe uma forma mais simples de fazer uma representação

geométrica do esboço do gráfico de f : são as curvas de ńıvel. Seja

f : U ⊂ R2 → R uma função.

As curvas de ńıvel de f são as curvas dadas por equações da forma

f (x , y) = k , com k constante. Ela mostra os pontos (x , y) ∈ U dodoḿınio de f tais que f vale k .

As curvas de ńıvel representam as projeções no plano z = 0 das

interseções entre o gráfico de z = f (x , y) e os planos z = k .



Exemplo

Esboce as curvas de ńıvel das funções abaixo.

1. f (x , y) = 2x − 3y + 12. g(x , y) = x2 + 2y2

3. h(x , y) =√x2 + y2

4. k(x , y) =√

1− x2 − y2

# Você já estudou curvas de ńıvel em geografia, se lembra?

# Se f : R3 → R, as curvas f (x , y , z) = k serão as superf́ıciesde ńıvel. Consegue fazer alguns exemplos?

◦ Esboce as superf́ıcies de ńıvel de f (x , y , z) = x2 + y2 + z2 + 2.


Limites: uma variável

Na noção de limite em dimensão 1, pode-se tender a x = p pela

esquerda ou pela direita.


Limites: várias variáveis

Agora teremos infinitas direções posśıveis. Testar limites laterais

não será suficiente, teremos que conseguir outra forma de provar a

existência dos limites. Isto vai complicar complicar as coisas? Vai!


Derivadas

Em funções R→ R, a derivada num ponto x = p representa ocoeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função neste

ponto.


Derivadas

Para funções Rm → R, teremos “várias” noções de derivadas:derivadas parciais, gradiente e diferencial (no Cálculo I estas

noções coincidiam).

Num sentido que formalizaremos mais tarde, as derivadas estão

relacionadas ao plano tangente, que é o análogo em dimensões

maiores da reta tangente. As derivadas parciais serão usadas para

obter a equação deste plano.


Derivadas


Derivadas

Grosso modo, para calcular uma derivada parcial vamos considerar

a outra variável “como se fosse uma constante”.

Exemplo

Seja f (x , y) = x2 + 3y5. Calcule as derivadas parciais.


Derivadas

Formalmente, se f : R2 → R e p = (a, b), então definiremos asderivadas parciais de f no ponto p como respeito a x e a y como

∂f

∂x(p) = lim

h→0

f (a + h, b)− f (a, b)h

e∂f

∂y(p) = lim

h→0

f (a, b + h)− f (a, b)h

,

respectivamente.


Derivadas


Integrais

Aqui aparecerão as maiores diferenças com o Cálculo I - são muitas

noções de integração. A mais simples delas, e mais parecida com a

integral de Riemann de uma função R→ R, é a integral dupla (outripla) em regiões retangulares.

Neste caso, se f : [a, b]× [c , d ]→ R, a integral dupla representaráo volume da região abaixo do gráfico.


Integrais


Integrais

Volume =

∫ ba

∫ dc

f (x , y) dx dy


Integrais

Mas no caso das integrais, ainda poderemos integrar em regiões

mais gerais, integrar sobre superf́ıcies (esferas, paraboloides, etc).

O último resultado que veremos será o equivalente ao TFC para

dimensões maiores: o Teorema de Stokes.∫Mdω =

∫∂M

ω.

Este é um dos mais belos e importantes resultados da matemática.

Ele tem muitas aplicações (de verdade!), e uma das bem legais (no

caso de integrais de linha) é o plańımetro.

Dever de casa: descubra o que é o plańımetro!

Próxima aula: Funções de várias variáveis: limites e

continuidade.

Se cuidem: usem máscaras, limpem as mãos com álcool em gel.

Fique em casa.

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