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economia
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Richard Roca: Evolución y Estado actual de la Macroeconomía
Macroeconomía Avanzada (Notas de Clase)
Prof. Richard Roca Garay
http://richardroca.blogspot.com
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Pontificia Universidad Católica del Perú
Lima - Perú
2014
3
ÍNDICE
Capítulos
1. Evolución y Estado Actual de la Macroeconomía 3
2. La Teoría Clásica en la Versión de Sargent. 7
3. La Teoría Keynesiana en la Versión de Sargent. 33
4. Dinámica Económica y la Versión Dinámica de la IS-LM. 41
5. El Modelo Dinámico de una Economía Cerrada a largo
Plazo.
57
6. Macroeconomía Dinámica de una Economía. Abierta y la
Sobre Reacción del Tipo de Cambio.
68
7. Expectativas Adaptativas y Expectativas Racionales y la
Dinámica Macroeconómica
80
8. Teoría del Consumo Intertemporal 100
9. La Inversión 110
10. Problemas de la Política Económica 117
11. La Teoría de los Ciclos Reales 119
12. Bibliografía 131
4
Capítulo 1
EVOLUCIÓN Y ESTADO ACTUAL DE LA
MACROECONOMÍA
La macroeconomía, como ciencia que estudia el funcionamiento y problemas de la
economía como un todo, ha tenido una evolución muy acelerada. Se han producido
cambios muy fuertes de la mano con la aparición de limitaciones de las teorías vigentes
ante los nuevos problemas que se fueron presentando. Desde la visión de los neoclásicos
a inicios del siglo XX pasando por la Revolución Keynesiana con la aparición de la gran
depresión en la tercera década del siglo anterior hasta su cuestionamiento en los 70 y la
aparición de nuevas versiones más elaboradas tanto de las teorías neoclásicas como los
nuevos clásicos y los ciclos reales como de los nuevos keynesianas y una especie de
nueva síntesis neoclásico keynesiana incorporando elementos de optimización dinámica
en contexto de incertidumbre y equilibrio general denominados como modelos DSGE.
Este capítulo presenta un apretado resumen de la evolución de la macroeconomía.
LA ESCUELA CLÁSICA O NEOCLÁSICA
Entre los principales economistas que hicieron grandes aporte a la llamada Escuela
Clásica o Neoclásica se deben mencionar a Adam Smith, Jean-Baptiste Say, León
Walras, Irving Fisher, Arthur Pigou, Alfred Marshall, Knut Wicksell.
Este enfoque tiene como supuestos principales: competencia perfecta en los diversos
mercados, alto grado de flexibilidad de precios, agentes optimizadotes lo cual lleva a
concluir que: la economía rápidamente tiende al pleno empleo automático, que la
Política Económica es inefectiva y no es necesario la intervención del Estado.
La gran crisis de los años 30 del siglo XX conocida como la Gran Depresión puso en
aprietos a la teoría clásica pues por varios años el nivel de producción de las principales
potencias como EEUU, Inglaterra, Francia, entre otros, estuvo muy bajo, el desempleo
se incrementó a niveles de 25% y nada aseguraba que dichos problemas se arreglaran
solos como postulaba esta teoría.
EL KEYNESIANISMO
El economista inglés J.M. Keynes en su famosa obra de 1936 “The General Theory of
employment, Interest and Money” revolucionó la macroeconomía al plantear un nuevo
enfoque en la cual es la demanda agregada la que induce a las empresas a ajustar sus
niveles de producción.
Keynes fue formado por los más importantes profesores de la Escuela Neoclásica entre
ellos el profesor Alfred Marshall pero la aparición de la gran depresión, fenómeno
incompatible con la teoría neoclásica, lo obligó a replantear la teoría macroeconómica y
decidió plantear un nuevo enfoque con nuevos supuestos, entre ellos:
5
Precios son rígidos sobre todo a la baja
Competencia imperfecta
Principio de Demanda efectiva
Ley psicológica fundamental
Demanda especulativa del Dinero
Espíritu animal de los empresarios
Con dichas modificaciones Keynes concluyó que la Economía podría tener altos niveles
de desempleo prolongados sin que haya nada que asegure que la economía rápidamente
vuelva de manera automática al pleno empleo. O sea, contradecía el postulado
neoclásico de que la mano invisible restauraba el pleno empleo por lo que planteó que
se use los instrumentos que hoy conocemos como Política Económica especialmente la
Política Fiscal. Keynes planteó que en situaciones de recesión prolongada el gobierno
implemente medidas que reactiven la demanda agregada incluso si esta ahonda el déficit
fiscal.
Entre las contribuciones más notables a la macroeconomía keynesiana se debe
mencionar al famoso artículo de Hicks (1937): “Mr. Keynes and the Classics. A
suggested Interpretation”. en el cual aparece la versión primigenia del modelo IS-LM
que Hicks denominó como IS-LL el cual suponía un contexto de corto plazo con precios
fijos. Algunos años después el economista italiano Franco Modigliani en su tesis
doctoral (1944) desarrolló la Síntesis Neoclásico-Keynesiano al construir un modelo
donde a corto plazo los salarios son rígidos y a largo plazo son flexibles.
Phillips, A. (1958) The relationship between unemployment and the rate of change of
money wage rates in the U.K. 1861-1957. Económica.
Curva de Phillips: relación inversa entre la tasa de crecimiento de los salarios nominales
y la tasa de desempleo.
Lipsey (1959) desarrolla la teoría de la curva de Phillips.
Samuelson y Solow (1960): Intercambio estable entre inflación y desempleo.
A fines de los 60, inicios de los 70 ESTANFLACION recesión con inflación.
La estanflación parecía ser incompatible con la Teoría Keynesiana: Crisis de la teoría
Keynesiana
EL MONETARISMO MODERNO
M. Friedman (1956) Estudios en la Teoría Cuantitativa. La Contrarrevolución
Monetarista.
P. Cagan (1956) Expectativas Adaptativas, estudió la Hiperinflación
M. Friedman:
1956: Demanda de dinero estable
6
1958: Plantea la teoría del Consumo del Ingreso Permanente
1968: Sostiene que el intercambio entre inflación y desempleo no es estable.
Debido a las expectativas inflacionarias a largo plazo no ha intercambio estable
entre la inflación y desempleo. Curva de Phillips vertical a largo plazo.
NUEVA MACROECONOMÍA CLÁSICA.
J. Muth (1961) Las expectativas racionales
R. Lucas (1972) Las expectativas y la neutralidad del dinero.
Suponen:
Competencia perfecta, precios flexibles.
Agentes racionales
Expectativas racionales
Fundamentos Micro de la Macro
Concluyen:
Pleno empleo automático
Política económica sistemática inefectiva
Ciclos económicos por cambios sorpresivos de la oferta monetaria
NUEVA MACROECONOMÍA KEYNESIANA.
J. Taylor (1977) y S. Fischer (1978): aún con expectativas racionales las políticas
esperadas tendrían efectos sobre el nivel de producción y de empleo. Contratos
laborales yuxtapuestos.
Supuestos:
Agentes racionales
Expectativas racionales
Competencia imperfecta, precios rígidos a la baja
Información imperfecta y asimétrica
Fundamentos microeconómicos a la rigidez de precios
Fallas de coordinación
Mankiw: Teoría de Costos de Menú: Rigidez de Precios
TEORIA DEL CRECIMIENTO
Solow-Swan (1956) Teoría del crecimiento Neoclásico: El progreso Tecnológico
Cass-Koopman-Ramsey: Crecimiento Óptimo
P. Romer (1984) Crecimiento Endógeno
7
MACROECONOMIA ABIERTA
Mundell y Fleming (1961): Modelo con altos Flujos de Capitales
Dornbusch (1976) Overshooting del tipo de cambio
Oftfeld-Rogoff (1996) Nueva Macroeconomía Abierta
TEORIA DE CICLOS REALES
Kydland y Prescott 1982 Time to build and aggregate fluctuations
Supuestos:
Mercados competitivos, precios flexibles
Agentes racionales
Expectativas racionales
Sustitución intertemporal del trabajo
Cambios tecnológicos
Conclusiones:
Ni la política sorpresiva puede generar fluctuaciones.
Solo los factores reales provocarían ciclos.
Cambios tecnológicos
Cambios naturales, climáticos.
El dinero es endógeno
Peno empleo continuo, las recesiones son por una flojera óptima
NUEVA SINTESIS NUEVO CLASICA - NUEVO KEYNESIANA
Se combinan:
El Análisis maximizador intertemporal,
Expectativas racionales,
Shocks tecnológicos,
Crecimiento económico
Rigideces de precios y salarios
Competencia imperfecta.
Teoría de juegos
Incertidumbre
Agentes heterogéneos
Modelos Dinámicos y Estocásticos de Equilibrio General.
8
9
Capítulo 2
LA TEORÍA CLÁSICA EN LA VERSIÓN DE SARGENT
Thomas Sargent en el primer capítulo de su ya clásico libro de macroeconomía
avanzada: “Macroeconomic Theory” de 1987 presenta una versión más sofisticada de
la Teoría Clásica considerando explícitamente la influencia de los mercados de valores
además del mercado de bonos, las expectativas y otros aspectos que aquí resumimos.
Las conocidas conclusiones más importantes de la teoría clásica o neoclásica son:
Tendencia automática y rápida al pleno empleo automático.
Las variables de política económica no afectan el nivel de empleo y producto,
sólo su composición.
Políticas expansivas pueden incrementar el consumo público, pero reducen la
inversión (crowding-out) pues se incrementa la tasa de interés real.
El dinero es neutral (en un sentido débil) y el desempleo se encuentra en su tasa
natural.
El modelo describe el funcionamiento de una economía cerrada en el que se produce un
solo bien final (Y) por periodo.
La producción de bienes tiene tres usos finales:
Consumo: C
Inversión Bruta: I + K
Inversión Neta: I
Depreciación: K
Gasto de Gobierno: G
Lo que se resume en la ecuación del lado del gasto:
(1) KGICY
Se consideran tres sectores: Empresas, Familias y Gobierno
Empresas: emplean trabajo N, y capital K para producir Y.
Gobierno: recauda impuestos T, compra bienes G, emite dinero M y bonos B.
Familias: poseen el dinero y los bonos emitidos por el gobierno y las acciones emitidas
por las empresas. Asigna sus ingresos entre consumo y ahorro. Ahorra en dinero bonos
o acciones
Las empresas
Gran número de empresas competitivas: n
Cada empresa produce un mismo bien: Yj
Todas las empresas tienen la misma función de producción
Función de producción instantánea:
10
(2) ),( jjj NKFY , nj ,..,1
jY : producción de la j-ésima empresa
jK : capital empleado por la j-ésima empresa
jN : trabajo empleado por la j-esima empresa
Supongamos que la función de producción es del tipo neoclásica bien comportada1:
NNN FF 0 , KKK FF 0 , KNNK FF 0 ,
NN
F0
lim , 0lim
NN
F ,
KK
F0
lim , 0lim
KK
F .
Homogénea de grado uno en Kj y Nj:
),(),( jjjj NKFNKF , 0
Por el teorema de Euler en una función homogénea:
j
j
jj
i
j
jj
j NN
NKFK
K
NKFY
),(),(
Además, como F es una función homogénea lineal:
j
jj
j
jj
K
NKF
K
NKF
),(),(
Haciendo jN/1 :
)/(
)1,/(),(
jj
jj
j
jj
NK
NKF
K
NKF
Por lo que el PMK depende solo de la tasa capital-trabajo.
Análogamente el PMN depende solo de la tasa capital-trabajo:
)/(
)1,/()1,/(
),(
jj
jj
j
j
jj
j
jj
NK
NKF
N
KNKF
N
NKF
Los productos marginales permanecen constantes mientras las relaciones K/N sean
constantes: Las PMN y PMK son homogéneas de grado cero respecto a K y N.
1 Las condiciones de Inada garantizan una solución interior en equilibrio con valores positivos y finitos
de N y K
11
Asumamos que en cualquier momento dado del tiempo K permanece fijo.
Eso descarta:
regalos de K del extranjero
caído del cielo
desastres naturales
existencia de un mercado perfecto de capitales
Una vez en uso K se convierte en especializado.
Si se supone mercados de bienes finales y de trabajo competitivos las empresas deben
ser precio aceptantes de salarios (W) y precio del bien final (P)
Los beneficios nominales de la empresa típica:
jjjjj PKiWNNKPF )(),(
i : tasa de interés nominal instantánea
: tasa de depreciación.
: tasa de inflación esperada de los nuevos bienes de capital.
i : tasa de interés real esperada.
i : costo de uso real de un bien de capital físico.
Pi )( : precio de alquiler nominal de mercado del capital
Cada firma trata de maximizar beneficios:
0),(
WNKPF
NjjN
j
j
De donde:
(4) P
WNKF jjN
),(
Lo que determina la tasa K/N que es idéntica a todas las empresas pues el salario real es
igual para todas las empresas.
De (4) se tiene una función de demanda de trabajo:
j
d
j KP
WN ,
El nivel de empleo ( jN ) de cada empresa puede ser diferente pues las ( jK ) no son
necesariamente iguales.
El tener una misma función de producción y el objetivo de maximizar beneficios en
mercados de bienes y trabajos competitivos implica que existe una función de
producción agregada.
12
n
j
jj
n
j
j NKFYY11
),(
Por el teorema de Euler:
n
j
jjjKjjjjNj
n
j
j KNKFNNKFY11
),(),(
Como los productos marginales dependen solo de los ratios K/N y además dicho ratio
es el mismo para todas las empresas los productos marginales del capital y trabajo son
los mismos para todas las empresas. Así:
n
j
j
j
j
K
n
j
j
j
j
N KN
KFN
N
KFY
11
1,1,
Dado que los ratios Kj/Nj son iguales para las n empresas ellas deben ser iguales la tasa
K/N de la economía.
Además la sumatoria del capital es el capital de la economía. Similarmente la sumatoria
de la fuerza de trabajo es la fuerza de trabajo de la economía:
KN
KFN
N
KFY KN
1,1,
Aplicando el Teorema de Euler se puede escribir como la función de producción
agregada:
(5) NKFY ,
Notemos que la PMN se iguala al PMNj de cada empresa, mientras que PMK se iguala
al PMKj de cada empresa. Eso legitima usar la función de producción agregada (5) y la
igualdad:
(6) P
WFN
La Función de Inversión agregada.
Recordemos que se esta asumiendo que el stock de capital esa dado tanto para la
economía como para cada empresa por lo que no hay mercado de bienes de capital.
Si hubiera un mercado perfecto de bienes de capital las empresas comprarían
maquinarias cuando el PMK exceda al costo real del capital )( i por lo que la
inversión neta agregada se supone que esta afectada directamente por el exceso del
producto marginal del capital sobre el costo real de uso del capital:
13
(7)
i
iFII
dt
dK K )(, 0´ I
Que se interpreta como una derivada por el lado derecho.
En forma más compacta:
(7´) 1 qII , 0´ I
Donde q es definido como:
(8)
i
Fq K , o también: 1
)(
i
iFq K
El ratio q es un precio relativo del exceso del producto marginal del capital respecto a la
depreciación sobre la rentabilidad de los bonos. Si es mayor a uno quiere decir que es
mejor invertir en el proyecto de inversión que prestar comprando bonos. El ratio q es
importante pues influye sobre la demanda de inversión.
Si el producto marginal del capital es mayor al costo de usar una maquina más
)( iFK el ingreso total aumenta más que el costo total (q>1) por lo que
convendrá aumentar el número de maquinas. Al hacerlo q se reduce pues disminuye el
producto marginal del capital por la ley de los rendimientos marginales decrecientes.
Sin embargo dicho intercambio ha sido descartado pues estamos suponiendo que no hay
mercado de capitales. Supóngase que hay costos de ajuste de capital.
ACTIVOS POSEÍDOS POR LAS FAMILIAS
En este modelo se supone que las familias poseen tres activos: dinero (M), bonos (B) y
acciones (V).
El Dinero (M)
Es medido en unidades monetarias, es un medio de cambio emitido por el gobierno, su
rendimiento nominal es cero mientras que su rendimiento real generalmente no es cero
Derivando temporalmente la cantidad real de dinero:
P
P
P
M
P
M
P
PMMP
dt
PMd
2
)/(
Para que M/P no cambie se requiere que:
14
P
P
P
M
P
M , o sea
P
P
M
M
O sea, para que M/P no cambie es necesario añadir saldos nominales a una tasa igual a
la tasa de inflación efectiva ( PPp / ).
Al mantenerse una misma cantidad de dinero nominal el poder de compra que se pierde
es: PP / . Por lo tanto el rendimiento real del dinero es: PP / . Para tasas grandes tasas
la pérdida de poder de poder adquisitivo seria: p
p
1
Si la cantidad nominal de dinero no cambia los saldos reales mantenidos pierden poder
de compra en PP / por unidad de tiempo.
Pero la gente normalmente no conoce PP / . Supongamos que la gente espera que los
precios suban a la tasa que puede ser diferente de PP / .
Los Bonos (B)
El segundo activo que poseen las familias son los bonos de cupón variable emitidos por
el gobierno los que pueden considerarse como un depósito de ahorro.
Cambios en la tasa de interés alteran el cupón pero deja el valor nominal de los bonos
pendientes (B) inalterado.
El rendimiento nominal de los bonos por unidad temporal es i por lo que el bono rinde
iB por periodo.
El rendimiento real del Bono es: r = i .
Las Acciones (V)
Además, las familias también poseen las acciones que las empresas emiten para
financiar sus inversiones.
Para simplificar asumamos que las firmas no retienen ganancias ni emiten bonos de tal
forma que toda la inversión es financiada emitiendo acciones.
Si se asume que no hay un mercado de bienes de capital físico ello implica a descartar
que las empresas emitan nuevas acciones pues son la contraparte financiera del capital
físico.
Un supuesto simplificador adicional es las familias consideren a los bonos y las
acciones como activos sustitutos perfectos lo que implica que sus rendimientos
esperados se igualen mediante los mecanismos de arbitraje.
15
Cuando difieran dichos rendimientos las familias dejarían los activos de menor
rendimiento reduciendo su precio hasta que otra vez se iguales sus rendimientos. De ahí
se deduce que la tasa de interés nominal del bono es la tasa de descuento apropiada para
el flujo de caja neto esperado de las empresas los cuales son, a su vez, iguales a los
dividendos esperados agregados.
Los dividendos nominales que pagan las empresas en el momento s por unidad de
tiempo:
)()()()()(),()( sKsPsNsWsNsKFsP
El valor nominal de las acciones (V) de las empresas en el instante t:
t
tsi dsesKsPsNsWsNsKFsPtV )()()()()()(),()()(
Asumamos que las familias y las empresas esperan que los precios y los salarios
nominales crezcan a una tasa igual a la inflación esperada:
)()()( tsetPsP , )()()( tsetWsW
Si se supone que el público espera que la tasa real de los dividendos no cambie en el
tiempo el valor presente se puede expresar como:
t
tsi dseKtPNtWtNtKFtPtV ))(()()()(),()()(
ts
tsiei
KtPNtWtNtKFtPtV ))((
)(
1)()()(),()()(
))(())((lim)(
1)()()(),()()( ttiti ee
iKtPNtWtNtKFtPtV
10lim)(
1)()()(),()()(
iKtPNtWtNtKFtPtV
Lo que equivale a:
i
KtPNtWtYtPtV
)()()()()(
Sumando y restando términos de tal forma que no se altere la igualdad:
i
KtPiKtPitKtPtFtKtPtFKtPNtWtYtPtV KK )()()()()()()()()()()()()()()(
De donde:
16
KtP
i
KtPitF
i
tKtFNtFtYtPtV KKN )(
)()()()()()()()()(
Aplicando la condición de que el producto marginal del trabajo se iguala al salario real
y el teorema de Euler al primer término del lado derecho el numerador se hace cero:
KtP
i
itFtV K )(1
)()()(
Que nos dice que el valor nominal de las empresas varía directamente con el exceso del
PMK sobre el costo de uso real del capital.
Trasladando términos se obtiene el ratio del valor nominal del capital al del valor del
stock de capital evaluado al precio de los nuevos bienes de capital (P).
qi
itF
KtP
tV K
1
)()(
)(
)(
El ratio obtenido es la famosa q de Tobin que aparece en la ecuación (8) de la función
de inversión agregada.
Se puede deducir que el ratio dividendo-precio que iguala el ratio ganancia-precio es:
iV
KPWNPY
Que es la tasa de interés real de los bonos y acciones.
Si se añade la tasa de apreciación esperada en el valor nominal de las acciones
existentes ( ) al ratio ganancia- precio se obtiene el rendimiento nominal de las
acciones ( i ).
La tasa de crecimiento de V se puede expresar como:
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
tq
tq
tK
tK
tP
tP
tV
tV
Si q es constante en el tiempo ( 0q ) el crecimiento del valor nominal de las acciones
se explicaría por la tasa de crecimiento del nivel de precios de los bienes de capital y
por la inversión neta que incrementa el stock de capital a la tasa ( KK / ).
Las familias asignan su riqueza financiera real (Ω) entre bonos, acciones y dinero.
Recordemos que hemos supuesto que los bonos y las acciones son considerados como
sustitutos perfectos.
(10) P
MBV
17
Supongamos que las familias desean dividir su riqueza entre M por un lado y, B+V por
otra parte, como se describe en las siguientes funciones de demanda:
(11) ),,( YiLP
M d
(12) ),,(
YibP
VB dd
Las funciones de demanda de los activos deben cumplir con la condición de que para
cualquier valor de i e Y, la riqueza real total (Ω) se asigna entre dichos activos.
(13)
P
VBM ddd
Ello implica que las derivadas parciales de (11) y (12) están relacionadas entre sí.
Diferenciando la ecuación (11) y sumando el diferencial de la ecuación (12):
dbLdYbLdibL
P
VBMd YYii
ddd
)()()(
Restándole la ecuación (13) a la anterior:
dbLdYbLdibL YYii )1()()(0
Lo que se cumple solo sí:
YYii bLbL 0 , y, 1 bL
Asumamos que se cumplen estas restricciones
El equilibrio del portafolio requiere que las familias estén satisfechas con asignación de
su riqueza entre dinero por un lado, y, bonos y acciones por otro lado.
P
M
P
M d
, P
VB
P
VB dd
Considerando las ecuaciones (10) y (13) juntas implican que una de las anteriores
ecuaciones, cualquiera de ellas, es suficiente para describir el portafolio de equilibrio.
Si se escoge P
M
P
M d
Restándole a (13):
18
P
M
P
VB dd
P
VB
P
VB dd
La demanda de bonos y acciones igual su oferta. Este es un ejemplo de la Ley de
Walras: si las funciones de demanda están construidas bajo una restricción de hoja de
balance y si los individuos están contentos con sus tenencias de todos los activos menos
uno entonces debe estar satisfecho con sus tenencias del último activo también.
Siguiendo la tradición escojamos caracterizar el equilibrio de portafolio mediante el
equilibrio del mercado monetario.
P
M
P
M d
),,( YiLP
M
Si se asume que 0iL , 0YL y 0L ello implica que 0ib , 0Yb y 1b .
Dados i e Y, incrementos de la riqueza llevaran a incrementos de la demanda de
acciones o bonos.
La condición de equilibrio de portafolio se puede escribir como:
(14) ),(
YiLP
M
La demanda real de dinero depende directamente del nivel de producción real por el
motivo transaccional. La rentabilidad real de los bonos y acciones menos la rentabilidad
real del dinero es igual a la tasa de interés nominal. Cuanto mayor es dicha tasa mayor
es la demanda por bonos y acciones, y, menor la demanda real de dinero.
Los portafolios de los tres sectores descritos por el modelo se muestran en la siguiente
tabla en la cual las empresas no mantienen dinero ni bonos, en tanto que el gobierno no
posee capital ni acciones y las familias solo poseen activos:
Consolidando el sector privado (familias más empresas) se tendría:
Familias
V
B
M
R.N.Fam.
Gobierno
Rec.Nat. B
M
R.N.Gob.
Empresas
qPK V
19
Consolidando a nivel nacional:
Donde se observa que en una economía cerrada, los activos financieros no son parte de
la riqueza neta de un país.
El Gobierno
El sector público recolecta impuestos netos de transferencias reales y pagos de intereses
(T) por periodo y compra bienes y servicios finales (G) por periodo los cuales,
asumimos que no permiten acumular bienes de capital.
Para simplificar asumamos que los impuestos netos de transferencias reales e intereses
(T) se aplican de manera independiente del nivel de ingreso real y del nivel de precios y
que el gobierno fija exógenamente T y G. El pago de intereses, en términos reales, por
la deuda publica se representa como PBi /)( . Por lo que la restricción presupuestaria
se expresa como:
(15) P
M
P
BTG
Lo cual nos dice que el gobierno puede financiar su déficit fiscal (lado izquierdo)
emitiendo bonos o emitiendo dinero (lado derecho).
Adicionalmente supóngase que el gobierno conduce directamente las operaciones de
mercado abierto que en este modelo son ventas o compras de bonos del gobierno a
cambio de dinero del sector privado. Dichas operaciones se representan mediante la
siguiente restricción:
(16) dBdM
Lo que quiere decir que cuando el gobierno emite dinero mediante operaciones de
mercado abierto el sector privado reduce su saldo acreedor de bonos en el mismo valor
nominal. Esto no quiere decir necesariamente que toda emisión de bonos modifique la
cantidad de dinero: ( BM ), pues el gobierno puede tener déficit.
Gobierno
Rec.Nat. B
M
R.N.Gob.
País
qPK
Rec.Nat.
R.N.Gob.
R.N.Priv.
Sector Privado
qPK
B
M
R.N.Priv.
20
Recuérdese que en el modelo Clásico de Sargent los impuestos son netos de pagos de
intereses por lo que serian igual a la recaudación tributaria netos de transferencias
menos los pagos de intereses:
(17) P
BiTT )(0
Por lo que la ecuación (15) del déficit fiscal es:
(18) P
M
P
BT
P
BiG
0)(
Si se asume que G y T son fijados exógenamente ello quiere decir que T0 es ajustada en
una cantidad igual a los cambios en los pagos de intereses asociados con los cambios
del valor real de los bonos (B/P) en poder del público. Por ejemplo, si el gobierno
reduce la emisión primaria sujeto a la restricción (16), aumentando el stock de bonos en
manos del público e incrementando el flujo de pagos de intereses reales, se asume que el
gobierno simultáneamente sube T0 en una cantidad igual a los pagos adicionales de
intereses.
Las Familias
Las familias toman dos tipos de decisiones:
Dada su riqueza en un momento del tiempo eligen como asignarla entre
diferentes activos como lo muestra la ecuación (14).
Eligen cuanto aumentar la riqueza, o sea, eligen el nivel de ahorro.
El ingreso disponible percibido (YD) es el ingreso que las familias esperan poder
consumir o ahorrar.
El consumo no permite acumular activos en tanto que el ahorro hace crecer la riqueza
en forma de activos financieros.
En la versión clásica de Sargent el consumo depende directamente del ingreso real
disponible percibido (YD) e inversamente de la tasa de interés real:
(19) 0 ,10 ), ,( )(
iYD CCiYDCC
Donde YDC es la propensión marginal a consumir. Lo que se parece a la teoría de
consumo de Keynes.
El consumo más el ahorro de las familias es el ingreso real disponible percibido:
YDCS
El ingreso real disponible percibido esta compuesto por los salarios reales mas los
dividendos (se supone que las empresas no retienen beneficios) menos la recaudación
21
tributaria neta de pagos de transferencias e intereses menos la pérdida de capital del
valor real esperado de los activos emitidos por el gobierno mas el aumento del valor real
de las acciones menos la emisión real de acciones por parte de las empresas para
financiar la inversión.
YD =
+ salarios reales wN
+ dividendos reales KwNY
– Impuestos totales netos de pagos de intereses
P
BiT )(0
– pérdida de capital real esperada de los títulos sobre el gobierno
P
BM
+ incremento real de las acciones qKKq
– valor real de emisión de acciones para financiar la inversión K
Por lo tanto:
KqKKqP
BM
P
BiTKwNYwNYD
)(0
Asumiendo 0q se convierte en:
(20) KqP
BMTKYYD )1(
Aquí el ingreso disponible es el ingreso que la sociedad espera poder consumir sin
cambiar riqueza.
Derivando temporalmente (10) obtenemos el cambio efectivo de la riqueza:
qKKqP
P
P
BM
P
BM
El cambio de la riqueza esperada se obtiene reemplazando la inflación efectiva por la
esperada, adicionalmente mantengamos q constante:
KqP
BM
P
BMe
Reemplazando la restricción presupuestaria del gobierno (15) en la anterior:
KqP
BMT
P
BiGe
0)(
Mientras que por las cuentas nacionales: CKKYG
22
KqP
BMT
P
BiCKKYe
0)(
CKqP
BMTKYe
)1(
CYDe
Por lo que reemplazándolos en la ecuación anterior la riqueza esperada YDC e lo
que verifica que el concepto de ingreso disponible corresponde a la tasa a la cual las
familias puedan consumir esperando que su riqueza se mantenga intacta ( 0e ).
La Oferta de Trabajo
La oferta de trabajo se supone que esta influido por las decisiones de ocio y consumo de
los trabajadores por lo que depende directamente del salario real:
(21) )/(
PWN S
Asumiendo que el mercado se limpia continuamente el nivel de empleo efectivo (N) es
igual a la oferta de trabajo:
(22) )/(
PWN
EL MODELO COMPLETO
(6) ),( NKFP
WN
(22) )/(
PWN
(15) ),( NKFY
(19)
iIiNKq
P
BMTKYCC ,.)1),,,((
(7´) 1),,,( iNKqII
(1) KIGCY
(14) ),( YiLP
M
23
De donde se tiene 7 variables endógenas: PiICYPWN ,,,,,/, . Las cuales pueden
cambiar discontinuamente en el tiempo para satisfacer las ecuaciones del modelo en
todo momento. Las variables exógenas son: MKGT ,,,, . Se asume que la inflación
esperada, unánimemente, no depende de la inflación efectiva. Además, se asume que el
cambio esperado de q es cero.
Supongamos que existe un equilibrio inicial. Para linealizar el sistema diferenciemos
totalmente las ecuaciones anteriores las cuales se deben interpretar como desviaciones
de los valores de equilibrio inicial.
(i) dKFdNFdw NKNN
(ii) dwdN w
(iii) dNFdKFdY NK
(iv)
dCdiCdIqdiIqdNIqdKIqdIqC
P
dP
P
BM
P
dBdMd
P
BMdTdKdYCdC
iiiiNKYD
YD
)1(
(v) dqIdiqIdNqIdKqIdI iqiqNqKq
(vi) dKdIdGdCdY
(vii) dYLdiLP
dP
P
M
P
dMYi
Se supondrá que la tasa de depreciación es constante ( 0d ).
La derivada del ratio q que aparecen en (iv) y (v) sale de (8):
(8) 1)(
i
iFq K ,
2)(
)()()()(
i
ddiiFiddidNFdKFdq KKNKK
2)(
)())(1()()(
i
ddiiqiddidNFdKFdq KNKK
Cancelando )( i :
)(
)(
i
ddiqdNFdKFdq KNKK
24
Por lo que: 0)(
i
Fq KN
N , 0)(
i
Fq KK
K , 0)(
i
qqi
De la ecuación (iv):
dCdiCdIqdiIqdNIqdKIqdIqC
P
dP
P
BM
P
dBdMd
P
BMdTdKdYCdC
rrrrNKYD
YD
)1(
Usando la restricción de operaciones de mercado abierto: dM+dB=0:
dCdiCdIqdiIqdNIqdKIqdIqC
P
dP
P
BM
Pd
P
BMdTdKdYCdC
rrrrNKYD
YD
)1(
0
dCdiCdCIqdiCIqdNCIqdKCIqdICq
P
dPC
P
BMdC
P
BMdTCdKCdYCdC
rrYDrYDrYDNYDKYD
YDYDYDYDYD
)1(
Pasando al lado izquierdo los diferenciales de las endógenas y reagrupando:
dCCP
BMCIqdKCIqdTC
dPCP
BMdiCCIqdICqdCdYCdNCIq
rYDYDrYDKYD
YDrYDrYDYDYDN
)(
)()1(02
Reagrupando matricialmente el conjunto de ecuaciones:
dP
di
dI
dC
dY
dN
dw
P
MLL
qIqIP
BMCCIqCqCCIqC
F
F
iY
rqNq
YDrrYDYDYDNYD
N
w
NN
2
2
0000
0011100
01000
)()1(10
000010
000001
000001
PdM
dKdG
dqIdKqI
dCCP
BMCIqdKCIqdTC
dKF
dKF
rqKq
rYDYDrYDKYD
K
NK
/
)(
0
25
En las primeras dos filas de la matriz de 7x7 del lado izquierdo se observa que solo
aparecen dos variables en las primeras dos ecuaciones señala: dw y dN. Los
coeficientes de las demás variables son nulos en dichas ecuaciones. Ello indica que las
dos ecuaciones mencionadas forman un subconjunto independiente de ecuaciones que
determinan dw y dN. De manera similar las tres primeras ecuaciones forman un
subconjunto independiente de ecuaciones que determinan dw, dN y dY
independientemente de las demás ecuaciones del modelo. El sistema matricial anterior
es “recursiva por bloques”.
El modelo Clásico tiene como característica que las variables reales se determinan
independientemente de las variables nominales. Las variables reales afectan a las
variables nominales pero estas últimas no afectan a las reales. Esto se conoce como la
famosa “dicotomía clásica”.
Sustituyendo (ii) en (i)
dKFdwFdw NKwNN
(23) dKF
Fdw
wNN
NK
1
O también:
01
wNN
NK
F
F
dK
dw
Lo que quiere decir que cambios en el stock de capital provocan cambios nivel de
salarios reales en el mismo sentido.
Sustituyendo en (ii):
(24) dKF
FdN
wNN
NKw
1
01
wNN
NKw
F
F
dK
dN
Lo que implica que un aumento del stock de capital lleva a un mayor nivel de empleo de
equilibrio mediante un aumento de la demanda de trabajo.
Sustituyendo en la (24) en (iii):
(25) dKFF
FFdY K
wNN
NKwN
1
01
K
wNN
NKwN FF
FF
dK
dY
26
Lo que quiere decir que un aumento del stock de capital lleva a un mayor nivel de
producción de equilibrio pues el PMK es positivo.
Las ecuaciones del (23) al (25) muestran que solo cambios en K modifican Y. Hasta
aquí el capital es la única exógena que afecta Y, N y w. Además se ha supuesto que el
nivel tecnológico es constante lo que puede modificarse sin mayor problema
Por lo que dado la función de producción y la oferta de trabajo la política económica ni
las expectativas del publico pueden modificar Y, N, w.
Las ecuaciones (i)-(iii) determinan la oferta agregada (OA). El equilibrio del mercado de
trabajo da el salario real y nivel de empleo de equilibrio el cual, mediante la función de
producción, determina el nivel de la oferta agregada como muestra la figura 2.1.
Las ecuaciones restantes determinan la demanda agregada (DA) que se ajusta para
igualarse a la oferta agregada OA.
Figura 2.1. Nivel de empleo y producción
Yi
N1 N
PMN, w
F(K, N)
Y1
Nd
NS
N1 N
w1
27
La ecuación (vii) no juega ningún rol
CAMBIOS EN LOS IMPUESTOS, EL GASTO DE GOBIERNO Y LAS
EXPECTATIVAS INFLACIONARIAS.
Supongamos que inicialmente solo se crea dinero mediante la emisión de bonos:
0 BM .
Sustituyendo (iv) y (v) en (vi) y manteniendo constante el capital, la producción y el
empleo ( 0 dYdNdK ):
(iv)
dCdiCdIqdiIqdNIqdKIqdIqC
P
dP
P
BM
P
dBdMd
P
BMdTdKdYCdC
rrrrNKYD
YD
)1(
(v) dqIdiqIdNqIdKqIdI rqrqNqKq
(vi) dKdIdGdCdY
(iv)
dCdiCdIqdiIqIqIqdIqC
P
dP
PddTCdC
rrrrNKYD
YD
)0()0()1(
)0(0
)0()0()0(
(v) dqIdiqIqIqIdI rqrqNqKq )0()0(
(vi) 00 dGdIdC
O sea:
(iv) dCdiCdIqdiIqdIqCdTCdC rriiYDYD )1(
(v) dqIdiqIdI rqrq
(vi) dIdGdC 0
Sustituyendo (iv) y (v) en (vi) nos da:
dqIdiqIdGdCdiC
dIqdiIqdqIdiqIqCdTC
rqrqrr
rrrqrqYDYD
)1(0
Desarrollando y factorizando di y d :
28
dGdCqICqCIq
diCCIqqICqdTC
rrqYDYDr
rYDrrqYDYD
1)1(
1)1(0
Despejando di:
dCCIqqICq
dGdTCdi
rYDrrqYD
YD
1)1(
Denotando como rYDrrqYD CCIqqICqH 1)1( :
(26) ddGH
dTH
Cdi YD
1
Donde H es la derivada total de la DA con respecto a la tasa de interés. Además, H debe
ser negativa para que el equilibrio del modelo sea dinámicamente estable:
01)1( rYDrrqYD CCIqqICqH
rYDrrqYD CCIqqICq 1)1(
rqrYDrrqYD qICCIqqICq )1(
YD
rq
YD
rrrq
C
qI
C
CIqqIq
)1(
El lado izquierdo es la derivada parcial del ingreso disponible respecto a la tasa de
interés nominal:
YD
rq
YD
r
dPddYdT C
qI
C
C
i
YD
0
El cual se supone que no es muy grande:
YD
r
dPddYdT C
C
i
YD
0
Para que H sea negativa basta que YDi, si es positivo, no sea muy grande en valor
absoluto ya que el lado derecho es positivo.
De (26) se obtiene las siguientes “derivadas parciales de la forma reducida” de la tasa de
interés nominal:
0H
C
dT
di YD , 01
HdG
di, 1
d
di
29
Lo que quiere decir que la tasa de interés nominal de equilibrio depende inversamente
de los impuestos, directamente del gasto de gobierno y cambia en lo mismo que se
modifica las expectativas inflacionarias.
Reemplazando (26) y (24) en (v):
dqIddGH
dTH
CqIdI rq
YDrq
1
dqIqIdGH
qIdTH
CqIdI rqrqrq
YDrq
1
ddGH
qIdTH
CqIdI rq
YDrq 0
1
De donde se obtiene las derivadas parciales de la forma reducida para la inversión neta
con respecto a las variables exógenas:
0dT
diqI
dT
dIrq , 0
dG
diqI
dG
dIrq , 0
d
dI
Lo que nos dicen que la inversión neta depende directamente los impuestos,
inversamente de las compras del gobierno y es independiente de la inflación esperada.
Sustituyendo (26) en (iv) se obtiene las derivadas parciales de la forma reducida para el
consumo con respecto a las variables exógenas las que nos dicen que el consumo:
dT
diqICqIqCCC
dT
dCrqYDrYDrYD )1(
dG
diqIqCIqCC
dG
dCrqYDrYDr )1(
0d
dC
Si q no es mucho menor que 1 entonces: 0)1( rqrYDr qIqIqCC
Con lo que: 0
G
C, 0
T
C
Recuérdese que: i
YDqIqIq rqr
)1( y se esta asumiendo que dicha derivada
satisface:
30
i
YD
C
C
YD
r
Lo que garantiza que: 0,0 dT
dC
dG
dC
En esta versión, en la que M +B = 0, la tasa de interés se ajusta completamente para
igualar la demanda agregada con la oferta agregada.
Ante aumentos de las compras del gobierno elevan la tasa de interés la cual a su vez
afecta a la inversión neta y al consumo:
I
CiG tal que: ICG
Dado que el Ingreso disponible se consume o ahorra:
YDCS
IqKTYCS )1(
Sustituyendo la identidad del producto (1) en la anterior:
IqKTKGICCS )1()(
qITGS
(27) qIGTS
Lo que nos dice que en el equilibrio el ahorro de la familias más la recaudación
tributaria neta de pagos de intereses se iguala al gasto de gobierno más la el aumento del
stock de capital evaluada a su valor de mercado.
La ecuación (27) también se interpreta como que en el equilibrio las “filtraciones” se
igualan a las “inyecciones”
En la figura 2.1 en el plano S-I,i se muestra las curva de las inyecciones (G+qI) con
pendiente negativa pues la inversión esta inversamente afectada por la tasa de interés, y,
la curva de las filtraciones (S+T) con pendiente positiva pues el ahorro está
directamente influido por la tasa de interés.
31
Como sabemos qI está inversamente influida por la tasa de interés pues:
0)(
rqr qqIIq
i
qI
0)()),,((),,(
qr qIIq
i
iNKqIiNKq
En la figura 2 la curva de filtraciones S+T tiene pendiente positiva lo que no
necesariamente es cierto:
Veamos, el Ahorro:
) ,( iYDCYDS
rYD Ci
YDC
i
YD
i
S
rYD CCi
YD
i
S
)1(
Como se ha asumido que i
YD
C
C
YD
r
ello implica:
rYD
YD
r CCC
C
i
S
)1(
Figura 2.1 Ahorro, Inversión y tasa de interés
qI+G, S+T
r
qI+G
S+T
r
32
rr
YD
r CCC
C
i
S
YD
r
C
C
i
S
o lo que es lo mismo )(
i
S
Por lo que dicho supuesto no descarta que S dependa inversamente de la tasa de interés.
Tanto las filtraciones como las inyecciones dependen del nivel de producción pues la
inversión varía con el empleo y S con el producto:
TSSY
qIGIqN
Pero, Y es predeterminado antes que i por lo que no cambiará cuando se modifique G o
T.
La figura 2.2 muestra que incrementos del gasto de gobierno al desplazar a la derecha la
curva de demanda de fondos prestables eleva la tasa de interés:
Mientras que aumentos de los impuestos reducen la tasa de interés como se muestra en
la figura 2.3:
Figura 2.2 Aumento del Gasto de Gobierno y la tasa de interés
qI+G, S+T
i
qI+G1
S+T
i1
qI+G2
i2 2
1
33
Los anteriores casos se interpretan también como el enfoque de “fondos prestables” de
la tasa de interés pues basta con sustituir el flujo de la restricción presupuestaria (15) en
(27):
SqITG
SqIP
M
P
B
Demanda de fondos prestables = oferta de fondos prestables
El lado izquierdo es la tasa efectiva de crecimiento de los activos financieros de la
economía en términos reales: de los bonos, dinero y las acciones mientras que el lado
derecho es la tasa a la cual el público desea aumentar sus activos o ahorro deseado.
Recordando que: qKP
V , dado P: Kq
P
V , o sea: qI
P
V
. En la anterior:
SP
V
P
M
P
B
Aumentos del gasto de gobierno elevan el déficit fiscal lo que aumenta el lado izquierdo
generándose un exceso de demanda de fondos prestables lo que eleva la tasa de interés
en una cantidad exacta que reduce el consumo y la inversión en lo mismo que aumenta
el gasto de gobierno: Full Crowding Out.
ESTABILIDAD DINÁMICA
Figura 2.3 Aumento de los Impuestos y la tasa de interés
qI+G, S+T
i
qI+G1
S+T1
i1
S+T2
i2
1
2
34
De acuerdo a Samuelson (1953) los ejercicios de estática comparativa de un modelo
estático no tienen sentido si el equilibrio dinámico implícito de dicho modelo no es
dinámicamente estable.
Según Sargent (1987) el modelo neoclásico supone que los precios cambian
rápidamente cuando el mercado de bienes se desequilibra:
(28) ),(1 , NKFKGqIiYDCP , 0)0( ,0´
Adicionalmente, asume que la tasa de interés nominal se ajusta ante desequilibrios del
mercado de dinero:
(29)
P
MYiLi ),( 0)0( ,0´
Ls ecuaciones (28) y (29) forman un sistema dinámico en el que se reemplazan el
sistema de ecuaciones 1, 6, 7´, 14, 15, 19 y 22.
Para que el equilibrio dinámico sea estable se requiere que las raíces características
( 21 , ) del sistema dinámico tengan parte real negativa lo que se asegura si H es
negativa.
35
Capítulo 3
LA TEORÍA KEYNESIANA EN LA VERSIÓN DE
SARGENT
Las conocidas conclusiones más importantes de la teoría Keynesiana son:
Pleno empleo no es automático.
Las variables de política económica afectan el nivel de empleo y producto por lo
menos en el corto plazo.
Políticas expansivas pueden incrementar el consumo, pero no reducen la
inversión demasiado (partial crowding-out)
El dinero no es neutral y el desempleo no se encuentra en su tasa natural.
Thomas Sargent en el segundo capítulo de su ya clásico libro de macroeconomía
avanzada: “Macroeconomic Theory” de 1987 presenta una versión más sofisticada de
la Teoría Keynesiana considerando explícitamente la influencia de los mercados de
valores además del mercado de bonos, las expectativas y otros aspectos.
El modelo completo se describe mediante el siguiente sistema2:
Función de producción instantánea que se asume cumple las condiciones de Inada:
(1)
KNFY , ,
Las empresas maximizan beneficios de donde se obtiene la función de demanda de
trabajo:
(2) P
WNKFN
),(
El ingreso disponible: P
BMTKYYD
El consumo depende directamente del ingreso disponible e inversamente de la tasa de
interés real:
(3)
iP
BMTKYCC ,
La inversión neta agregada, como en la versión neoclásica, depende directamente del
exceso del ratio q respecto a 1:
2 El presente documento es un resumen del capitulo 2 de Sargent (1987)
36
(4) 1),,,( iNKqII
Equilibrio del mercado de bienes:
(5) YGKIC
Equilibrio de los mercados financieros:
(6) ),(
YiLP
M
La función de ingreso disponible no considera los efectos de la diferencia del ratio q
respecto a 1, y es compatible con el siguiente concepto de riqueza:
KP
BM
A diferencia del modelo clásico se omite la función de oferta de trabajo. Se supone que
los salarios nominales son determinados exógenamente.
Por tanto el modelo completo está formado por las ecuaciones:
(1)
KNFY , ,
(2) P
WNKFN
),(
(3)
iP
BMTKYCC ,
(4) 1),,,( iNKqII
(5) YGKIC
(6) ),(
YiLP
M
Donde se tiene seis variables endógenas: PiICNY ,,,,, .
Las variables exógenas son: .,,,,,, KTGMW
En diferenciales totales (manteniendo K, constantes):
(i) dNFdY N
(ii) dNF
F
P
dP
W
dW
N
NN
37
(iv) dCdiCP
dP
P
BM
P
dBdMd
P
BMdTdYCdC rrYD
(iv) dqIdiqIdNqIdI rqrqNq
(v) dYdKdIdGdC
(vi) dYLdiLP
dP
P
M
P
dMYi
Reagrupando matricialmente:
PdM
dG
dqI
dP
BMCCdTC
WdW
dP
di
dI
dC
dN
dY
P
MLL
qIqIP
BMCCC
PF
F
F
rq
YDrYD
iY
rqNq
YDrYD
N
NN
N
/
/
0
000
001101
0100
010
/10000
00001
2
2
Este sistema matricial no es recursivo por que no hay dicotomía. Las variables
endógenas son interdependientes.
El sistema se puede resolver siguiendo el esquema Hicksiano de la IS-LM las que
implican resolver las ecuaciones (i)-(vi) en un sistema de dos ecuaciones y dos
incógnitas: dY y di.
Sustituyendo (iii) y (iv) en (v):
(iii) dCdiCP
dP
P
BM
P
dBdMd
P
BMdTdYCdC rrYD
(iv) dqIdiqIdNqIdI rqrqNq
(7)
dYdGdqIdiqIdYF
qI
dCdiCP
dP
P
BMd
P
BMdTdYC
rqrq
N
Nq
rrYD
1
Despejando dN de (i):
dYF
dNN
1
38
Despejando dP/P de (ii) y (i):
(ii.a) dYF
F
W
dW
P
dP
N
NN
2
Las que al sustituirse en (7) da la ecuación en diferenciales de la curva IS.:
dGdqIdiqIdYF
qIdCdiC
dYF
F
W
dW
P
BMd
P
BMdTdYCdY
rqrq
N
Nq
ir
N
NN
YD
2
Reagrupando:
(8)
W
dWC
P
BMdqICC
P
BMdiqIC
dGdTCdYF
qI
F
F
P
BMC
YDrqrYDrqr
YD
N
Nq
N
NNYD
112
Asumiendo que dBdMBM 0 :
(9) dqICdiqICdGdTCdYF
qIC rqrrqrYD
N
Nq
YD
1
De donde se deduce que la pendiente de la curva IS:
(10) rqr
NNqYD
IS qIC
FqIC
dY
di
/1
El denominador del lado derecho de la ecuación (10) es negativo.
NNq FqI / no es otra cosa que la propensión marginal a invertir respecto al producto:
N
Nq
F
qI
Y
N
N
q
q
I
Y
I
El cual es positivo por lo que el numerador tiene signo indeterminado.
Para que sea positivo el numerador se requiere que dicha propensión sea menor a la
propensión marginal a ahorrar:
NNqYD FqIC /1
Aunque no es necesario, se supondrá que se cumpla dicha condición de tal forma que la
curva IS tenga pendiente negativa.
39
La estabilidad dinámica del modelo puede darse aun cuando la curva IS tenga pendiente
positiva pero menos empinada que la curva LM.
De la ecuación (9) se deduce que:
dqICdiqICdGdTCdYF
qIC rqrrqrYD
N
Nq
YD
1
0
rqr
YD
qIC
C
T
i, 0
1
rqr qICG
i, 1
i
Lo que implica que la curva IS se desplaza hacia arriba si se reduce los impuestos,
aumenta el gasto de gobierno o si se incrementa las expectativas inflacionarias:
La curva LM se obtiene reemplazando (ii.a) en (vi) para eliminar (dP/P):
dYLdiLP
dP
P
M
P
dMYi
dYLdiLdYF
F
W
dW
P
M
P
dMYi
N
NN
2
Despejando di:
(11) dYL
L
F
F
LP
M
W
dW
LP
M
LP
dMdi
i
Y
N
NN
iii
2
De donde se obtiene la pendiente de la curva LM la que es positiva:
02
i
Y
N
NN
iLM L
L
F
F
LP
M
dY
di
A medida que la demanda de dinero se hace insensible a la tasa de interés ( 0iL )la
pendiente se hace vertical lo que se conoce como el caso clásico de la demanda de
dinero.
Cuando la demanda se dinero se hace demasiado sensible a la tasa de interés ( iL )
la pendiente se hace horizontal lo que se conoce como el caso de la trampa de liquidez.
De (11), si la demanda de dinero no es demasiado sensible a la tasa de interés
( iL ) se deduce que la curva LM se desplaza hacia abajo si aumenta la oferta
monetaria o si cae los salarios nominales.
40
Si la pendiente de la IS es negativa y de la LM positiva en caso de existir el equilibrio
este es único.
Si aumenta del gasto de gobierno desplaza la curva IS hacia arriba y la derecha
aumentando el nivel de producción y la tasa de interés de equilibrio.
Si aumenta la oferta monetaria se desplaza la curva LM hacia abajo y la derecha
aumentando el nivel de producción y disminuye la tasa de interés de equilibrio.
Sustituyendo (11) en (9):
dqICdYL
L
F
F
LP
MqIC
W
dW
LP
MqIC
LP
dMqICdGdTCdY
F
qIC
rqr
i
Y
N
NN
i
rqr
i
rqr
i
rqrYD
N
Nq
YD
2
1
Factorizando dY:
(12)
dqICW
dW
LP
M
LP
dMqICdGdTC
dYLF
F
P
M
L
qIC
F
qIC
rqr
ii
rqrYD
Y
N
NN
i
rqr
N
Nq
YD
12
Definamos al coeficiente de dY como :
(13) 012
Y
N
NN
i
rqr
N
Nq
YD LP
M
F
F
L
qIC
F
qIC
Por lo que despejando la forma reducida del nivel de producción de equilibrio se puede
expresar como:
(14) dqIC
W
dW
L
qIC
P
MdM
LP
qICdGdT
CdY
rqr
i
rqr
i
rqrYD
1
Por tanto las derivadas parciales de la forma reducida para la producción son:
01
,0
dG
dYC
dT
dY YD
0 ,0
i
rqr
i
rqr
LWP
qICM
dW
dY
LP
qIC
dM
dY
,0
rqr qIC
d
dY
41
Si ,0iL : ,0 d
dY
dG
dY
dT
dYtienden a cero
Si iL : ,0 dW
dY
dM
dYtienden a cero
Si 0 qr IC : ,0 dW
dY
dM
dYtienden a cero
Combinando (14) y (11) se obtiene la forma reducida para la tasa de interés. Una vez
determinado los cambios de equilibrio de la producción y la tasa de interés se
determinan N, P, C y I:
N se determina de (1)
P se determina de (2)
I de (4), y
C de (3)
De (3):
iP
BMTKYCC , ,
diCdYCdC rYD
De IS: dYqIC
FqICdi
rqr
NNqYD
/1
dW
LWP
qICM
qIC
FqICCCdC
dYqIC
FqICCCdC
dYqIC
FqICCdYCdC
i
rqr
rqr
NNqYD
rYD
rqr
NNqYD
rYD
rqr
NNqYD
rYD
/1
/1
/1
42
Capítulo 4
DINÁMICA ECONÓMICA Y LA VERSIÓN DINÁMICA
DE LA IS-LM
La economía dinámica analiza la evolución de las variables endógenas en el tiempo y
las trayectorias temporales de las variables endógenas
En los modelos dinámicos el valor de una variable endógena en un momento del tiempo
depende del valor de una variable endógena de otro momento del tiempo.
En la forma reducida:
Ecuaciones diferenciales: tiempo continuo
Ecuaciones en diferencia: tiempo discreto
Estabilidad dinámica de los equilibrios
Ecuaciones diferenciales: la parte real de las raíces características sean negativas
Ecuaciones en diferencia: la parte real de las raíces características sean menores
a uno en valor absoluto
Seguidamente presentamos el caso del modelo IS-LM de corto plazo para una economía
cerrada.
4.1 IS-LM EN TIEMPO CONTINUO
La demanda agregada de una economía cerrada esta compuesta por el consumo, la
inversión y el gasto de gobierno. Se supone además que el consumo depende
directamente del ingreso disponible (YD ), la inversión depende inversamente de la tasa
de interés real esperada ( i ), como se analiza el caso de precios fijos (corto plazo,
precios exógenos) se supondrá que la inflación esperada ( ) es cero. El gasto de
gobierno se asume que es fijado exógenamente:
(1) GiIYDCY d
)()( ,
El consumo depende directamente del ingreso disponible el cual se asume que es igual
al ingreso menos la recaudación tributaria la que a su vez se supone que es una
proporción ( ) del ingreso y tiene un componente autónomo ( aC ). La inversión se
asume que tiene un componente autónomo ( aI ) y otro influido inversamente por la tasa
de interés real. El gasto de gobierno se asume que es fijado exógenamente ( G ):
GbiIYYcCY aad )(
43
(1.1) YcbiAY d )1(
Donde GICA aa es la demanda agregada autónoma.
Asumamos que los desequilibrios del mercado de bienes inducen a las empresas a
modificar el nivel de producción el cual estaría directamente influido por el exceso de
demanda de bienes:
(2) )(
YYfY d
Suponiendo que ante un exceso de demanda de bienes (Yd >Y) las empresas reaccionan
aumentando la producción conforme pasa el tiempo: 0)(
fY , frente a un exceso de
oferta de bienes (Yd < Y) las empresas reducen la producción conforme pasa el tiempo:
0)(
fY y que en el equilibrio del mercado de bienes (Yd =Y) el nivel de
producción no tendería a cambiar: 0)0(
fY
Reemplazando (1) en (2):
(3) ))()(( YGiIYDCfY
Considerando una forma especifica:
(3.1) )( YYY d
con 0
En forma algebraica (1.1) en (3.1):
(3.1) )))1(1(( biYcAY
, )1,0(, .0, cb
Donde:
: velocidad de ajuste del nivel de producción.
b: la sensibilidad de la inversión a la tasa de interés real.
c: Propensión marginal a consumir.
El mercado de dinero:
Suponiendo que la oferta monetaria es controlada exógenamente por el Banco Central:
(4) MM S
La demanda real dinero se supone que depende directamente del ingreso e inversamente
de la tasa de interés nominal:
(5) ),(
iYLP
M d
44
Una forma algebraica:
(5.1) hikYP
M d
Donde:
h: sensibilidad de la demanda real de dinero respecto a la tasa de interés nominal
k: sensibilidad de la demanda real de dinero respecto al ingreso real.
Recordemos que el nivel de precios P se supone dado, exógeno: PP
Suponiendo que los desequilibrios del mercado monetario generan cambios en la tasa de
interés. El cambio de la tasa de interés en tiempo depende del exceso de demanda de
dinero:
(6)
P
MiYLgi
S
),( , g > 0.
Donde g (·) es una transformación lineal: 00 g .
Una forma especifica:
(6.1)
P
MLi , 0 .
Donde es la velocidad de ajuste de la tasa de interés.
Reemplazando (4) y (5.1) en (6.1):
(6.2)
P
MhikYi , 0
El sistema dinámico de la IS-LM algebraico:
De las ecuaciones (3.2) y (6.2):
YbiYYcAY
)(
P
MhikYi
De donde desarrollando y trasladando términos:
AbiYcY
))1(1(
P
MhikYi
Expresándolo en forma matricial:
45
(7)
PM
A
i
Y
hk
bc
i
Y
/
))1(1(
Como se sabe, para un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden:
BAXX
La solución general se puede expresar como la suma de las soluciones de la parte
homogénea y la solución particular o de estado estable (Steady State):
XXX H
La parte homogénea:
0
0))1(1(H
H
H
H
i
Y
hk
bc
i
Y
Abreviando:
0
0H
H
H
H
i
Y
i
YAI
Donde I es una matriz identidad y A es la matriz de coeficientes, conocida también
como matriz de transición de estado, que pre-multiplica al vector de las variables
endógenas.
Probando las soluciones para la parte homogénea:
tH meY tH emY
tH nei tH eni
Reemplazando en la anterior:
0
0tt e
n
me
n
m AI
0
0
n
mAI
Para que se cumpla la ecuación se pueden dar dos posibles soluciones:
Que el vector
0
0
n
m, ó, que la matriz característica AI sea singular.
La primera alternativa es trivial y se debe descartar pues implicaría en que todo
momento el nivel de producción y la tasa de interés estén en equilibrio.
46
Por tanto la matriz característica debe ser singular lo que implica que su determinante
sea nulo:
02221
1211
aa
aa
De donde:
0))(( 21122211 aaaa
0)()( 211222112211
2 aaaaaa
0det)tr(2 AA
Lo que nos da dos valores para las raíces características:
2
det4)tr(tr,
2
21
AAA
Para que el equilibrio sea dinámicamente estable se requiere que la parte real de las
raíces características sean negativas.
En el caso del modelo IS-LM se cumplen dichas condiciones pues:
(8) 0))1((1det
0))1(1(tr
kbhc
hc
A
A
Por lo que el equilibrio es dinámicamente estable.
Si la 2)tr( A es mayor que Adet4 el discriminante es positivo pero su raíz cuadrada es
de menor valor absoluto que Atr por lo que la parte real de ambas raíces serán
negativas siendo las trayectorias monótonamente convergentes.
Si la 2)tr( A es igual que Adet4 el discriminante es nulo por lo que habrá raíces reales
repetidas negativas siendo las trayectorias monótonamente convergentes.
Si la 2)tr( A es menor que Adet4 el discriminante es negativo y se tendrá raíces
características complejas pero la parte real de ambas raíces características son negativas
lo que da lugar a trayectorias cíclicas convergentes.
El Equilibrio dinámico
El equilibrio se obtiene hallando las soluciones particulares del sistema completo de las
ecuaciones diferenciales. Para ello probemos igualando las derivadas temporales de las
variables endógenas a cero ( iY 0 ):
47
PM
A
i
Y
hk
bc
i
Y
/
))1(1(
PM
A
i
Y
hk
bc
/
))1(1(
0
0
PM
A
hk
bc
i
Y
/
))1(1(1
PM
A
ck
bh
bkchi
Y
/))1(1())1(1(
1
PMckA
PbMhA
bkchi
Y
/))1(1(
/
))1(1(
1
bkch
PMc
bkch
kA
bkch
PbM
bkch
hA
i
Y
))1(1(
/))1(1(
))1(1(
))1(1(
/
))1(1(
De donde se obtienen las soluciones de equilibrio para el nivel de producción y la tasa
de interés:
(8.1)
P
M
bkch
cA
bkch
ki
P
M
bkch
bA
bkch
hY
))1(1(
))1(1(
))1(1(
))1(1())1(1(
Lo que muestra que el nivel de producción de equilibrio depende directamente tanto del
gasto de gobierno (que esta dentro de A) como de la oferta monetaria.
La tasa de interés nominal de equilibrio depende directamente del gasto de gobierno
(que esta dentro de A) e inversamente y de la oferta monetaria.
Diagramas de fases:
De la ecuación (3.1) cuando: 0
Y :
)))1(1((0 biYcAY
,
Se obtiene:
48
Yb
c
b
Ai
)1(1
Lo que implica que, dado el gasto autónomo y la tasa de impuesto, el nivel de
producción y la tasa de interés se relacionan inversamente por lo que la curva de fase
0Y tiene pendiente negativa. Ver figura 4.1
Además de (3.1):
0))1(1(
c
Y
Y
Lo que quiere decir que conforme aumenta el nivel de producción la derivada temporal
Y va reduciéndose en valor por lo que a la izquierda de la curva de fase de dicha
derivada temporal es positivo y a la derecha es negativa. Un punto a la izquierda de
dicha curva implica un exceso de demanda de bienes por lo que el nivel de producción
tiende a aumentar lo que se indica con una flecha horizontal a la derecha. Puntos a la
derecha de dicha curva implican un exceso de producción de bienes por lo que el nivel
de producción tiende a caer lo que se indica con una flecha horizontal a la izquierda.
Ahora veamos la curva de fase para la ecuación diferencial (6.1). Cuando: 0i y
despejando la tasa de interés nominal en función del nivel de producción se obtiene:
P
M
hY
h
ki
1
Lo que implica que, dado los saldos reales ( PM / ), hay una relación directa entre la
tasa de interés nominal y el nivel de producción por lo que la curva 0i en el plano
iY , tiene pendiente positiva como se muestra en la figura 2.
Además, derivando parcialmente (6.1) respecto a i:
Figura 4.1 Curva de fase 0Y
Y
i
+ 0Y
49
0
h
i
i
:
Lo que quiere decir que conforme aumenta i la derivada temporal i se reduce en valor
por lo que arriba de dicha curva de fase la derivada temporal es negativa y debajo de
dicha curva dicha derivada temporal es positiva como se muestra en la figura 4.2.
Juntando las dos curvas de fase se obtiene el diagrama de fases del modelo.
El punto de intersección 1 de las dos curvas de fase nos da los valores de equilibrio del
nivel de producción (Y ) y tasa de interés ( i ) como se muestra en la figura 4.3.
Figura 4.2 Curva de fase de 0i
Y
i
+
0i
Figura 4.3 Diagrama de fase de IS-LM dinámica.
Y Y
i
0Y
0i
1
i
50
Dado que el equilibrio es dinámicamente estable empezando en cualquier punto del
plano, conforme pase el tiempo y sin que se modifiquen las variables exógenas, se
tiende hacia el punto de equilibrio dinámico 1.
Dependiendo de los valores de las velocidades de ajuste del nivel de producción ( ) y
de la tasa de interés ( ) y de los parámetros de comportamiento (b, c, k, h) la evolución
en el tiempo puede tomar diferentes formas.
Recordemos que en este modelo:
Sí la AA det4)tr( 2 las trayectorias monótonamente convergentes.
Sí la AA det4)tr( 2 las trayectorias monótonamente convergentes.
Sí la AA det4)tr( 2 las trayectorias son oscilantemente convergentes.
51
Aumento de la Oferta nominal de dinero
Caso Normal: 10,,,, chkb
Al incrementarse la oferta nominal de dinero se desplaza la curva 0i hacia la derecha
y hacia abajo. En el punto de equilibrio inicial 1 se tendría exceso de oferta de dinero lo
provoca que se reduzca la tasa de interés nominal lo que a su vez aumenta la inversión
planeada y el nivel de producción por lo que muestra un movimiento hacia abajo y hacia
la derecha a partir del equilibrio inicial 1. Al pasar el tiempo se cruzaría
horizontalmente la nueva curva de fase 0i tras lo cual al presentarse un exceso de
demanda tanto de bienes como de dinero aumenta tanto el nivel de producción y la tasa
de interés siguiendo un movimiento hacia arriba y a la derecha. Posteriormente al
cruzarse verticalmente la curva de fase 0Y el nivel de producción comenzaría a bajar
pues habría un exceso de oferta de bienes mientras que continúa el alza de tasa de
interés pues sigue habiendo exceso de demanda de dinero por lo que el movimiento
seria hacia arriba y a la izquierda. Luego se cruzaría horizontalmente la nueva curva de
fase 0i después de lo cual la tasa de interés comienza a bajar pues hay exceso de
oferta de dinero mientras que el nivel de producción sigue bajando pues sigue el exceso
de oferta de bienes por lo que ahora el movimiento es hacia abajo y a la izquierda y así
sucesivamente acercándose cada vez mas al equilibrio de largo plazo 2. Nótese que
conforme pasa el tiempo el nivel de producción y la tasa de interés van convergiendo
oscilantemente a sus valores de equilibrio por lo que se producen ciclos.
P
M
bkch
cA
bkch
ki
P
M
bkch
bA
bkch
hY
22
22
))1(1(
))1(1(
))1(1(
))1(1())1(1(
Figura 4.4 Diagrama de fase de IS-LM dinámica.
i=0(M2)
Y=0
1
2
i=0(M1)
2
−
−
i
i1
i2
Y1 Y2 Y − −
•
•
•
52
Caso ajuste rápido de la tasa de interés y ajuste lento del nivel de producción:
En este caso la tasa de interés se ajusta muy rápidamente mientras que el nivel de
producción cambia lentamente ( ) por lo que la evolución temporal es algo
diferente con ajustes más fuertes en la tasa de interés ante cambios de la oferta
monetaria.
Al incrementarse la oferta nominal de dinero se desplaza la curva 0i hacia la derecha
y hacia abajo. En el punto de equilibrio inicial 1 se tendría exceso de oferta de dinero lo
provoca que se reduzca la tasa de interés nominal lo que a su vez aumenta la inversión
planeada y el nivel de producción por lo que muestra un movimiento hacia abajo y hacia
la derecha a partir del equilibrio inicial 1. Pero el cambio del nivel de producción es
pequeño por lo que la senda a partir del punto 1 es bastante empinada. Al pasar el
tiempo se cruzaría horizontalmente la nueva curva de fase 02 i tras lo cual al
presentarse un exceso de demanda tanto de bienes como de dinero aumenta tanto el
nivel de producción y la tasa de interés siguiendo un movimiento hacia arriba y a la
derecha muy pegado a la nueva curva 02 i . Dirigiéndose, al pasar el tiempo, al nuevo
punto de equilibrio 2. Puede notarse que en este caso se presentaría un sobre salto de la
tasa de interés mientras que el nivel de producción cambia muy suavemente.
Matemáticamente se estaría frente a un nodo estable.
Figura 4.5 Aumento de la oferta monetaria con alta velocidad de ajuste de la tasa
de interés.
Y1 Y2 Y
i
i1
i2
i=0(M2)
Y =0
i=0(M1)
1
2
1
2
•
•
− −
−
−
•
53
Caso insensibilidad de la demanda de dinero a la tasa de interés con ajustes iguales
de la tasa de interés y del nivel de producción: 0 ,0 h
En este caso la tasa de interés se ajusta igual de rápido que el nivel de producción
( ) y adicionalmente la curva de fase de la tasa de interés es vertical.
Al incrementarse la oferta nominal de dinero se desplaza la curva 0i hacia la derecha
En el punto de equilibrio inicial 1 se tendría exceso de oferta de dinero lo provoca que
se reduzca la tasa de interés nominal lo que a su vez aumenta la inversión planeada y el
nivel de producción por lo que muestra un movimiento hacia abajo y hacia la derecha a
partir del equilibrio inicial 1. Al pasar el tiempo se cruzaría horizontalmente la nueva
curva de fase 02 i tras lo cual al presentarse un exceso de demanda tanto de bienes
como de dinero aumenta tanto el nivel de producción y la tasa de interés siguiendo un
movimiento hacia arriba y a la derecha. Con el tiempo se cruza la curva 0Y 0Y tras
lo cual el movimiento seria hacia arriba y a la izquierda dirigiéndose en forma oscilante,
al pasar el tiempo, al nuevo punto de equilibrio 2. Puede notarse que en este caso se
presentan ciclos tanto de la tasa de interés como del nivel de producción.
Matemáticamente se estaría frente a un foco estable.
Figura 4.6. Aumento de la oferta monetaria con demanda de dinero insensible a la
tasa de interés.
Y1 Y2 Y
i
i1
i2
Y = 0
i1=0 i2=0
1
2
• •
•
−
−
− −
1
2
54
4.2. IS-LM EN TIEMPO DISCRETO
Ahora se supondremos que el tiempo transcurre por periodos. En el mercado de bienes
la producción se ajustaría de un periodo a otro si previamente se tuvo un exceso de
demanda de bienes (Yd>Y):
(9.1) tttttt YbiYcAYY ))1((1
Donde 0 es la velocidad de ajuste de la producción
Mientras que el mercado de dinero la tasa de interés se ajustaría de un periodo a otro si
previamente se tuvo un exceso de demanda real de dinero (L >M/P):
(9.2)
t
ttttt
P
MhikYii )(1
Donde 0 es la velocidad de ajuste de la tasa de interés.
En forma matricial:
(9.3)
tt
t
t
t
t
t
PM
A
i
Y
hk
bc
i
Y
/1
1))1(1(
1
1
tt
t
t
t
t
t
PM
A
i
Y
hk
bc
i
Y
/1
))1(1(1
1
1
Condiciones de estabilidad dinámica: que la parte real de las raíces características sean
menor a uno en valor absoluto lo que equivale a que:
AAAAA
AA
det1det1det1
1det11det
trtr
bkchchhc
bkchch
1)1()1(12)1(
11)1()1(
bkchchhc
bkchch
)1()1(22)1(
11)1()1(
Diagramas de fases:
De la ecuación (9.1) cuando: 0Y :
(9.1) tttttt YbicYAYY )(01
Se obtiene:
55
Yb
c
b
Ai
)1(1
Lo que implica que, dado el gasto autónomo y la tasa de impuesto, para que el producto
y la demanda agregada se mantengan en equilibrio el nivel de producción y la tasa de
interés se relacionan inversamente por lo que la curva de fase 0Y tiene pendiente
negativa. Ver figura 4.7
Además de (9.1):
0))1(1(
c
Y
Y
Lo que quiere decir que conforme aumenta el nivel de producción Y va reduciéndose
en valor por lo que a la izquierda de la curva de fase de la producción Y positivo y a la
derecha es negativa. Un punto a la izquierda de dicha curva implica un exceso de
demanda de bienes por lo que el nivel de producción tiende a aumentar lo que se indica
con una flecha horizontal a la derecha. Puntos a la derecha de dicha curva implican un
exceso de producción de bienes por lo que el nivel de producción tiende a caer lo que se
indica con una flecha horizontal a la izquierda.
Ahora veamos la curva de fase para la ecuación en diferencia (9.2). Cuando: 0i y
despejando la tasa de interés nominal en función del nivel de producción se obtiene:
P
M
hY
h
ki
1
Lo que implica que, dado los saldos reales ( PM / ), hay una relación directa entre la
tasa de interés nominal y el nivel de producción por lo que la curva 0i en el plano
iY , tiene pendiente positiva como se muestra en la figura 2.
Figura 4.7 Curva de fase 0Y
Y
i
+ 0Y
56
Además, derivando parcialmente (9.2) respecto a i:
0
h
i
i :
Lo que quiere decir que conforme aumenta i la derivada temporal i se reduce en valor
por lo que arriba de dicha curva de fase la derivada temporal es negativa y debajo de
dicha curva dicha derivada temporal es positiva como se muestra en la figura 4.8.
Juntando las dos curvas de fase se obtiene el diagrama de fases del modelo.
El punto de intersección 1 de las dos curvas de fase nos da los valores de equilibrio del
nivel de producción (Y ) y tasa de interés ( i ) como se muestra en la figura 4.9.
Figura 4.8 Curva de fase de 0i
Y
i
+
0i
Figura 4.9 Diagrama de fase de IS-LM dinámica.
Y Y
i
0Y
0i
1
i
57
Dado que el equilibrio es dinámicamente estable empezando en cualquier punto del
plano, conforme pase el tiempo y sin que se modifiquen las variables exógenas, se
tiende hacia el punto de equilibrio dinámico 1.
Dependiendo de los valores de las velocidades de ajuste del nivel de producción ( ) y
de la tasa de interés ( ) y de los parámetros de comportamiento (b, c, k, h) la evolución
en el tiempo puede tomar diferentes formas.
58
Capítulo 5
MODELO MACROECONÓMICO DINÁMICO DE
ARGANDOÑA PARA UNA ECONOMÍA CERRADA
El siguiente modelo muestra la dinámico de la producción los saldos reales y de los
precios a corto y largo plazo en tiempo continuo dos contextos: cuando la cantidad de
dinero cambia de una sola vez y cuando cambia la tasa de crecimiento del dinero.
La dinámica económica tiene como objetivo explicar la evolución de las variables
endógenas en el tiempo ante cambios de las variables exógenas. O sea, explicar el por
que de su evolución en el tiempo de un equilibrio a otro equilibrio además de analizar la
estabilidad dinámica de los equilibrio.
Para ello suele usar dos métodos de análisis:
Tiempo continuo: supone que el tiempo transcurre continuamente para lo que se
recurre a las ecuaciones en diferenciales
Tiempo discreto: supone que el tiempo transcurre por periodos para lo que se
recurre a las ecuaciones en diferencia.
Dependiendo del objetivo del análisis se puede elegir uno de dichos métodos.
Modelo macroeconómico dinámico de Argandoña
Seguidamente mostramos un modelo macroeconómico dinámico para una economía
cerrada desarrollada por el profesor Antonio Argandoña3 .
La oferta monetaria ( SM ) se supone que es controlada exógenamente por las
autoridades monetarias. La demanda real de dinero (L) depende directamente del nivel
de producción e inversamente de la tasa de interés nominal.
Equilibrio de los mercados monetario:
),(
YiLP
M S
Donde:
M: es la oferta nominal de dinero
P: el nivel de precios
Y: nivel de producción
i: tasa de interés nominal
3 Basado en el libro de Argandoña et al Macroeconomía Avanzada 1 capítulo 1
59
Suponiendo que la demanda real de dinero:
ieYYiL
),( , 0
Donde 0 es a elasticidad de la demanda de dinero respecto al nivel del ingreso real
y 0 es la elasticidad de los saldos reales respecto a la tasa de interés.
Reemplazándola en la ecuación anterior:
ieYP
M
Tomando logaritmos neperianos:
iYPM lnlnln
(4) iypm , (ecuación LM)
La demanda agregada de bienes y servicios se supone que depende inversamente de la
tasa de interés real
)(10
epid eY
, 10 0
Donde ( epi ) es la tasa de interés real esperada
Tomando logaritmos:
)(ln 10
ed piY ,
(5) )(10
ed piy , 10 0
:0 Demanda agregada autónoma
:1 Sensibilidad de la DA respecto a la tasa de interés real esperada.
Reemplazando (4) en (5):
ed ppmyy )(
110
ed pyy
110 ,
Donde pm : logaritmo de la cantidad real de dinero.
(6) ed pyy 111
0
,
60
Ajuste dinámico de los precios:
(7) Pyypdt
Pd
ln 0
Donde
: velocidad de ajuste de los precios Py : logaritmo del nivel de producción de pleno empleo
Pyy : brecha o gap de la producción.
Ajuste dinámico de la oferta:
(8) yyvydt
Yd d ln
0v
Donde v : velocidad de ajuste de la producción
Expectativas de previsión perfecta:
(9) ppe
Casos:
Clásico con perfecta flexibilidad de precios: 0v ,
Keynesiano extremo con precios fijos: v , 0
Dinámica de la producción:
(6) en (8):
(10)
ypyvy e
111
0
Usando previsión perfecta (9) en (10):
Pe yyp
En (10):
yyyyvy P )(1
110
(11)
Pyyvy
1
11
10 1
61
Es decir la tasa de cambio del producto depende del nivel de los saldos reales y del
mismo nivel de producción:
yy ,
Se asume que: 01 11
. Esto implica que el efecto exceso de demanda (1)
más el efecto renta ( /1 ) es mayor que el efecto Mundell-Tobin ( 1 )
De:
pm
Derivando temporalmente:
(12) pm
Si la cantidad de dinero no crece continuamente, solo de una sola vez ( 0m ):
(12.1) p
Usando (9) en (12.1): Pyyp
(13) Pyy
El modelo se ha resumido al sistema dinámico de las ecuaciones diferenciales
simultáneas (11) y (13) que explican el comportamiento dinámico del nivel de
producción y de la cantidad real de dinero:
(11)
Pyyvy
1
11
10 1
(13) yy
Para analizar la estabilidad dinámica del equilibrio del sistema dinámico pongámoslo en
forma matricial y veamos las raíces características de dicho sistema:
P
P
y
yvyv
vy
10
11
1
0
1
El equilibrio de dicho sistema es dinámicamente estable pues la traza (tr) y determinante
(det) de la matriz que premultiplica al vector de las variables endógenas son positivos.
0det
01tr
1
11
v
v
62
Los valores de equilibrio dinámico lo hallamos mediante el uso de las soluciones
particulares de dicho sistema:
De (13) haciendo 0 :
(14) Pyy
La ecuación (14) nos dice que el nivel de producción de equilibrio dinámico y es igual
al de pleno empleo:
(15) Pyy
De (11) haciendo 0y :
(16) Pyy
1
1
11
0 1
Usando las ecuaciones (15) en la (16) obtenemos la solución de equilibrio dinámico de
los saldos reales:
(17) Py
1
11
0 1
Diagramas de fases:
Una técnica de análisis dinámico que complementa muy ilustrativamente es el análisis
diagrama de fases el cual se construye a partir de las ecuaciones diferenciales (11) y
(13) a las que se redujo el modelo dinámico.
De la ecuación (11) cuando 0y :
(18) Pyy
1
1
11
0 1
Lo que implica que la curva de fase 0y tiene pendiente positiva.
Además de (11):
01 11
v
y
y
Lo que quiere decir que conforme aumenta y la derivada temporal y va reduciéndose
en valor por lo que a la izquierda de la línea de demarcación dicha derivada temporal es
positiva y a la izquierda es negativa. Recuérdese que de acuerdo a la ecuación (8)
63
cuando el nivel de producción demandado es mayor al nivel de producción, las
empresas tienden a aumentar el nivel de producción.
De (13) cuando 0 :
(19) Pyy
Ello quiere decir que la curva 0 en el plano ,y tiene pendiente vertical.
Además, derivando parcialmente (13) respecto a y:
0
y
y
:
Lo que implica que conforme aumenta y la derivada temporal se reduce en valor por
lo que a la izquierda de su curva de demarcación la derivada temporal es positiva y a la
derecha de dicha curva dicha derivada temporal es negativa.
Figura 1. Curva de fase de 0y
y
+ 0y
64
Juntando ambas curvas de fase tendremos el diagrama de fases del modelo como se
muestra en la figura 3.
La intersección de ambas curvas nos da los valores de saldos reales y nivel de
producción de equilibrio dinámico del sistema pues allí tanto el nivel de producción
como los saldos reales dejan de cambiar ( y 0 )
Figura 2. Diagrama de fase de 0
y
+
0
Figura 3. Diagrama de fase del modelo
1y y
0
1
65
Aumento de la oferta nominal de dinero
Supongamos que la economía inicialmente se encuentra en equilibrio dinámico en el
punto 1. Al incrementarse la cantidad nominal del dinero inicialmente aumenta la
cantidad real de dinero pasándose al punto 1’ sin que se desplacen las curvas de fase
como se puede verificar con las ecuaciones (14) y (15).
Dado que el punto 1’ implica un exceso de demanda de bienes el nivel de producción
comienza a aumentar lo que lleva a la economía a incrementos en el nivel de actividad
pasándose a la derecha de la curva 0 en la que los saldos reales disminuyen debido
al aumento de precios posteriormente se cruzaría curva 0y por lo que la producción
comenzaría a disminuir mientras que los saldos reales continuarían bajando como lo
indica la senda de la figura 4 tendiendo a generar una evolución cíclica convergente
hacia el equilibrio de largo plazo que es el mismo equilibrio inicial puesto que la curvas
de fase no se han desplazado.
A largo plazo el dinero es neutral puesto que el cambio de la oferta monetaria nominal
no modifica los valores de equilibrio de las variables reales como el nivel de producción
ni los saldos reales.
Figura 4. Aumento de la oferta nominal de dinero
yP y
0
0y
1
1’
1
66
Producción, Dinero y la Inflación
El fenómeno de la inflación persistente no se puede dar sin que la cantidad de dinero no
se incremente persistentemente también. Para casos en el que la cantidad de dinero se
modifica ya no de una sola vez sino en tasa de crecimiento se debe modificar las
ecuaciones de ajuste de precios (7) y la de modificación de los saldos reales
En el caso de la ecuación (7) se debe tener en cuenta que ahora la tasa a la que se
modifique los precios no depende solo del exceso de producción sobre el nivel de pleno
empleo sino que además habrá una influencia tendencial de largo plazo representada por
z:
zyyp P
La cual puede ser ocasionada por factores de oferta o de demanda. Consideremos que
uno de esos factores tendenciales es la tasa de crecimiento del dinero m :
myyp P
La que combinada con la ecuación de expectativas (9):
myypp Pe
Reemplazándola en la ecuación de ajuste de la producción (6):
(20)
Pymyvy
11
11
10 1
Adicionalmente en la ecuación de saldos reales también se debe considerar que si:
pm
myympm P
(21) Pyy
Las ecuaciones (20) y (21) forman el nuevo sistema dinámico del modelo modificado
para analizar el problema de la inflación.
Dado que el equilibrio de largo plazo implica que no cambie ni la producción ni los
saldos reales:
(20.1)
Pymyy
111
0
111
10
67
(21.1) Pyy 0
A su vez ello señala que en el equilibrio de largo plazo la producción debe igualarse a
su nivel potencial
(22) Pyy
Combinando las tres ecuaciones anteriores:
(23) myP
11
0
Lo que implica que el nivel de equilibrio de los saldos reales depende directamente del
nivel de producción de pleno empleo e inversamente de la tasa de crecimiento del
dinero.
Adicionalmente, en el equilibrio de largo plazo la tasa de inflación debe ser igual a la
tasa de crecimiento del dinero:
(24) mp
Aumento de la tasa de crecimiento del dinero
Un incremento de la tasa de crecimiento del dinero de 1m a 2m desplaza las curva de
fase hacia de la curva 0y hacia abajo simultáneamente aumenta los saldos reales al
mismo nivel de producción llevando a la economía a un punto como 1’ en el muy corto
plazo en la que hay un exceso de demanda de bienes. Ello hará que el nivel de
producción comience a aumentar lo que lleva a la economía a la derecha de la curva
0 en la que los saldos reales disminuyen debido al aumento de los precios más
rápido que la tasa de crecimiento nominal de dinero nueva 2m . Posteriormente se
cruzaría curva 0y por lo que la producción comenzaría a disminuir mientras que los
saldos reales continuarían bajando como lo indica la senda de la figura 5 tendiendo a
generar una evolución probablemente cíclica y convergente hacia el nuevo equilibrio de
largo plazo indicado por el punto 2 que implica el mismo nivel de producción de
equilibrio pero un menor nivel de saldos reales.
En este caso a largo plazo el dinero es súper neutral puesto que el cambio tasa de
crecimiento del dinero no modifica los valores de equilibrio de las variables reales
excepto la de los saldos reales.
68
Figura 5. Aumento de la tasa de crecimiento de la oferta nominal de dinero
yP y
0
)( 1my
1
1’
1
2 2
)( 2my ´
69
Capítulo 6
MACROECONOMIA DINAMICA DE UNA ECONOMIA
ABIERTA Y LA SOBRE REACCIÓN DEL TIPO DE
CAMBIO
En este capítulo se muestra las versiones en tiempo discreto y en tiempo continuo del
celebre trabajo del Profesor Rudiger Dornbusch4 para explicar el comportamiento
altamente volátil del tipo de cambio nominal. La primera parte muestra una versión en
tiempo discreto y la segunda en tiempo continuo.
1. MODELO DE OVERSHOOTING DEL TIPO DE CAMBIO EN TIEMPO
DISCRETO
La demanda Agregada esta afectada por el tipo de cambio real y por la tasa de interés
real esperada:
(1) )()( 1
*
tttttt
d
t ppippey
Los precios son algo flexibles y se ajustan en función al exceso de demanda de bienes:
es una especie de Curva de Phillips:
(2) )(1 t
d
ttt yypp
El equilibrio del mercado monetario:
(3) tttt iypm
Suponiendo un país con libre movilidad de capitales, sin riesgo país, y con previsión
perfecta, se puede postular que se cumple la condición de paridad descubierta de
intereses:
(4) tttt eeii 1
*
En este modelo los parámetros ,,,, son constantes todos positivos. Las variables *,, ttt iym son exógenas. Las variables tt
d
tt ieyp ,,, son endógenas.
Las variables están en logaritmos así:
(5) 1log 11
1
t
t
t
t
ttP
P
P
Ppp
4 Rudiger Dornbusch (1976) Expectations and Exchange Rate Dynamics. Journal of Polítical Economics
70
Resolvamos el sistema. Despejando it de (3):
(3a) )(1
tttt pmyi
en (4):
(6a) *
1 )(1
tttttt ipmyee
De (1) )()( 1
*
tttttt
d
t ppippey
en (2):
ttttttttt yppippepp )()( 1
*
1
ttttttt yippepp )())(1( *
1 , donde 1
(3a) reemplazándolo en la anterior:
ttttttttt ypmyppepp )()())(1( *
1
(6b)
ttttttttt ypmyppepp )()(
1
*
1
Las ecuaciones en diferencias (6a) y (6b) resumen el sistema dinámico:
De (6a): *
1 )(1
tttttt ipmyee
cuando 01 tt ee
(7a) tttt myip *
Dado que en la ecuación (7a) el nivel de precios solo depende de variables exógenas, es
la solución de equilibrio de estado estable del nivel de precios:
(8a) ttt myip *
Que depende directamente de la oferta monetaria y la tasa de interés internacional e
inversamente del nivel de producción nacional.
De (6b):
ttttttttt ypmyppepp )()(
1
*
1
cuando
01 tt pp :
71
ttttttt ypmyppe )()(0 *
De donde:
tttttt ymypep
)()( *
(7b) tttttt ymypep
)()( *
(7a) en la anterior:
ttttttttttt ymyimymyipe )()(0 ***
De donde:
ttttttttttt ymyimymyipe
1)() ***
Que nos daría el valor de equilibrio del tipo de cambio:
(8a) tttt yimpe
1**
Que es la solución del tipo de cambio de estado estable ( e ).
De la ecuación (6a) cuando 0e se obtiene la ecuación (7a) que es la curva de
fase 0e . La figura 1 muestra que en el plano (p,e) la ecuación (7a) esta representado
por una línea vertical, pues en esa ecuación modificaciones del tipo de cambio no
modifican el nivel de precios.
En la ecuación (6a) e esta directamente relacionado con el nivel de precios, por lo que
partiendo de unos valores iniciales de e y p tal que 0e cuando el nivel de precios
aumenta e pasa a ser positivo por lo tanto a la derecha de dicha curva el tipo de
cambio aumentaría ( 0e ) lo que en la figura 1 se muestra con las flechas verticales
hacia arriba. Por la misma razón a la izquierda de dicha curva el tipo de cambio cae
( 0e ) lo que en la figura 1 se muestra con las flechas verticales hacia abajo.
De la ecuación (6b) cuando 0p se obtiene la ecuación (7b) que es la curva de
fase 0p . La figura 1 muestra que en el plano (p,e) dicha ecuación esta representado
por una línea de pendiente positiva y mayor a 1:
pend 0p :
1
0pdp
de>1
72
Ello se debe a que incrementos del nivel de precios requiere de aumentos del tipo de
cambio en mayor magnitud para que la demanda siga siendo igual (ver ecuación 1).
En la ecuación (6b) p esta inversamente relacionado con el nivel de precios
(suponiendo 1 ) por lo que partiendo de unos valores iniciales de e y p tal que
0p cuando el tipo de cambio se reduce p pasa a ser negativo por lo que debajo de
dicha curva el nivel de precios cae ( 0p ) lo que en la figura 1 se muestra con las
flechas horizontales hacia la izquierda. Por la misma razón por encima de dicha curva el
nivel de precios aumenta ( 0p ) lo que en la figura 1 se muestra con las flechas
horizontales hacia la derecha.
La intersección de ambas curvas de fase muestra el equilibrio dinámico del modelo
( ep, ) cuyos valores están dados por las ecuaciones (8a) y (8b).
Analicemos la estabilidad dinámica del equilibrio del modelo. Para ello el sistema de
ecuaciones (6a y 6b):
(6a): *
1 )(1
tttttt ipmyee
(6b)
ttttttttt ypmyppepp )()(
1
*
1
Pongámoslo en forma matricial:
tttt
tttt
t
t
t
t
ymyp
ipmy
p
e
p
e
)(1
)(1
11
1
11
*
*
1
1
Figura 1. Diagrama de fases
p p
e 0e 0p
e
73
Analizando la traza y determinante de la matriz de coeficientes de las variables
endógenas:
1
1
11det
12tr
La figura 1 sugiere que el equilibrio dinámico es una ensilladura lo que efectivamente se
cumple pues
Figura 2. Diagrama de fases y dinámica del modelo
e p
e 0e 0p
e
74
2. MODELO DE OVERSHOOTING DEL TIPO DE CAMBIO EN TIEMPO
CONTINUO (ARGANDOÑA)
Esta sección se muestra el modelo de una economía abierta y pequeña con perfecta
movilidad de capitales en tiempo continuo basado en la explosión del profesor
Argandoña y asociados (1996). El equilibrio del mercado monetario, muestra que el
logaritmo la oferta real de dinero ( pm ) se iguala al logaritmo de la demanda real de
dinero la que depende directamente del logaritmo ingreso real de pleno empleo ( Py ) e
inversamente de la tasa de interés nominal:
(1) iypm P
La demanda agregada ( dy ), expresada en logaritmos, se supone que es afectada
directamente por el tipo de cambio real ( pps * ), el nivel de ingresos de pleno
empleo, en logaritmos, e inversamente por la tasa de interés. 0 representa los efectos
de la demanda agregada autónoma:
(2) iyppsy Pd
32
*
10 )(
Los precios son rígidos a corto plazo y más flexibles a largo plazo y se ajustan en
función al exceso de demanda de bienes. Es una especie de Curva de Phillips:
(3) )( Pd yyp
Donde es la velocidad de ajuste o grado de flexibilidad de precios.
Suponiendo un país con libre movilidad de capitales, sin riesgo país, y con previsión
perfecta, se puede postular que se cumple la condición de paridad descubierta de
intereses. O sea que las rentabilidades esperadas de los activos financieros nacionales y
externos se igualan. La tasa de interés doméstica, en moneda nacional, tendría que
igualarse a la internacional, en moneda extranjera, más la tasa de depreciación esperada
de la moneda nacional.
(4) esii *
Adicionalmente se supone que el público modifica sus expectativas sobre el tipo de
cambio en forma proporcional a la diferencia entre el tipo de cambio de equilibrio de
largo plazo ( s ), que se supone conocido, y a su vez se supone es igual a la tasa de
variación efectiva del tipo de cambio efectivo lo que implica suponer expectativas de
previsión perfecta una forma de expectativas racionales:
(5) ssss e )(
En este modelo los parámetros ,,,,,,,, 3210 son positivos.
Las variables ** ,,, ipym P son exógenas mientras que las variables isyp d ,,, son
endógenas.
75
Para resolver el modelo primero despejemos la tasa de interés de (1):
(1a) )(1
pmyi P
En (2):
)()( 32
*
10 pmyyppsy PPd
(2a) mpyspy Pd
33
13
21
*
10
La que a su vez reemplazamos en (3):
(6)
Pympspp 13
233
11
*
10
Reemplazando (1a) y (5) en (4):
(7) *)(1
ipmys P
Las ecuaciones diferenciales (6) y (7) resumen el sistema dinámico del modelo.
Expresando (6) y (7) en forma matricial:
(8)
*
*
103
23
13
1
1
1
01
t
P
P
iym
pym
s
p
s
p
A
Analizando la traza y determinante de la matriz de coeficientes de las variables
endógenas A:
(9)
0det
0tr
1
31
A
A
Dado que el determinante es negativo el discriminante es positivo por lo que se deduce
que el equilibrio es una ensilladura ya que al calcular las raíces características ( 21, ) y
se obtiene raíces con signos diferentes:
76
(10) 2
)(det4)(trtr,
2
21
AAA
Por lo que la primera raíz es positiva y la segunda negativa: 21 0
El Equilibrio de Largo Plazo
De (6): cuando 0p :
(11) pymps P
1
332
11
3*
1
0 111
De (7) cuando 0s :
(12) myip P *
De (11) y (12) se obtienen las soluciones de equilibrio de estado estable para el nivel de
precios y del tipo de cambio. En el caso del nivel de precios sale directamente de la
ecuación (12):
(13) myip P *
Lo cual remplazando en la (11) nos da la solución del tipo de cambio de equilibrio:
(14) *
1
3
1
2
1
*
1
0 11
iymps P
De (4) sii *
Si 0s se deduce que en el equilibrio los rendimientos de los activos financieros
nacionales se igualan a los de los activos financieros externos:
(15) ii
Reemplazando (13) y (14) en la definición del tipo de cambio real se tiene el tipo de
cambio real de largo plazo (en logaritmo):
myipiymppps PP
***
1
3
1
2
1
*
1
0* 11
(16) *
1
3
1
2
1
0* 1iypps P
Por lo que el tipo de cambio real es independiente de la oferta monetaria.
77
El Diagrama de fases
De la ecuación (7) cuando 0s se obtiene la ecuación (12) que es la ecuación de curva
de fase del tipo de cambio 0s . La figura 1 muestra que en el plano (p,s) la ecuación
(12) esta representado por una línea vertical, pues en esa ecuación modificaciones del
tipo de cambio no modifican el nivel de precios.
En la ecuación (7) 0s esta directamente relacionado con el nivel de precios, por lo
que partiendo de unos valores iniciales de s y p tal que s cuando el nivel de precios
aumenta s pasa a ser positivo por lo tanto a la derecha de dicha curva el tipo de cambio
aumentaría ( 0s ) lo que en la figura 1 se muestra con las flechas verticales hacia
arriba. Por la misma razón a la izquierda de dicha curva el tipo de cambio cae ( 0s ) lo
que en la figura 1 se muestra con las flechas verticales hacia abajo.
De la ecuación (6) cuando 0p se obtiene la ecuación (11) que es la curva de
fase 0p . La figura 1 muestra que en el plano (p,s) dicha ecuación esta representada
por una línea de pendiente positiva y mayor a 1 pues:
pend 0p :
1
3
0
1
pdp
ds
>1
Ello se debe a que incrementos del nivel de precios requiere de aumentos del tipo de
cambio en mayor magnitud para que la demanda siga siendo igual (ver ecuación 1).
En la ecuación (6) p esta inversamente relacionado con el nivel de precios por lo que
partiendo de unos valores iniciales de s y p tal que 0p cuando el tipo de cambio se
reduce p pasa a ser negativo por lo que debajo de dicha curva el nivel de precios cae
( 0p ) lo que en la figura 1 se muestra con las flechas horizontales hacia la izquierda.
Por la misma razón por encima de dicha curva el nivel de precios aumenta ( 0p ) lo
que en la figura 1 se muestra con las flechas horizontales hacia la derecha.
Figura 1. Diagrama de fases
p p
s 0s 0p
s A
78
La intersección de las curvas de fase, punto A, muestra los niveles de precio y tipo de
cambio de equilibrio de largo plazo ( sp, ). Lo singular de este modelo es que dicho
equilibrio de largo plazo resulta no ser dinámicamente estable pues es un equilibrio de
ensilladura como se muestra en la figura 2.
Estando en desequilibrio las ecuaciones del modelo nos diría que la economía no se
dirigiría espontáneamente al equilibrio sino el tipo de cambio y el nivel de precios que
tendería a explotar o desaparecer. Solo si la situación inicial estuviera en un punto de
ubicado exactamente en la línea de senda estable de ensilladura (SE) el tipo de cambio y
el nivel de producción con el tiempo convergerían en sus valores de equilibrio de largo
plazo: sp, .
En estos modelos se suele suponer que el tipo de cambio al ser flexible se ajusta
inmediatamente para ubicarse en la senda estable SE de tal forma que posteriormente
tiendan a sus valores de equilibrio de largo plazo.
La senda de s y p a lo largo de la senda estable SE viene dada por:
t
epppp 1)()( 0
;
tessss 1)()( 0
Siendo p0 y s0 los valores iniciales de dichas variables.
Considerando que la ecuación diferencial de la senda estable SE:
)(
)(
1
1
sss
ppp
;
Por otro lado de (8):
Figura 2. Diagrama de fases y dinámica del modelo
p p
s 0s
0p
s
SE
A
79
*
*
103
23
13
1
1
1
01
t
P
P
iym
pym
s
p
s
p
Cuando sp 0 el nivel de precios y el tipo de cambio estarán en sus valores de
equilibrio: sspp , por lo que en la ecuación (8):
(15)
*
*
103
23
13
1
1
1
01
t
P
P
iym
pym
s
p
Reemplazando (15) en (8):
s
p
s
p
s
p
01
01
13
113
1
(15.1)
ss
pp
s
p
01
13
1
Donde:
ss
pp
a
aa
s
p
00
00
21
1211
Por lo que:
(15.2) )(
)()(
21
1211
ppas
ssappap
;
Reemplazando en:
)()()( 12111 ssappapp ;
)()( 211 ppass
De las cuales:
80
0)(
)( , 0
)(
)(
1
21
12
111
a
pp
ss
a
a
pp
ss ;
Lo que implica que la pendiente de la senda estable (SE) es negativa.
El valor de la velocidad de ajuste del tipo de cambio ( ) se determina endógenamente
Aumento sorpresivo de la oferta monetaria
Para el análisis de largo plazo tomamos las ecuaciones (13) y (14) de donde se
desprende que:
1dm
sd
dm
pd
En palabras, el nivel de precios y el tipo de cambio nominal de equilibrio de largo plazo
cambian en la misma proporción que la cantidad de dinero, ello implica que se cumple
la teoría de la Paridad de Poder de Compra pues el tipo de cambio real no se modifica.
A largo plazo el dinero es neutral pues no modifica los valores de equilibrio de las
variables endógenas reales de largo plazo, mientras que las variables nominales se
incrementan en la misma proporción.
Incrementos sorpresivos de la oferta monetaria desplazan las curvas de fase del tipo de
cambio y del nivel de precios a la derecha.
De la curva de fase 0p ecuación (11):
(11) 031
3
dmdp
De la curva de fase 0s ecuación (12):
(12) 0 dmdp
Comparando los dos resultados se deduce que la curva de fase 0s se desplaza
horizontalmente hacia la derecha más que la curva de fase 0p
Ello implica que en el nuevo equilibrio, punto C de la figura 3, el tipo de cambio y del
nivel de precios son más altos.
81
Considerando que a muy corto plazo los precios no cambian el aumento de la oferta
monetaria genera un exceso de oferta de dinero lo que reduce la tasa de interés nacional.
Para que se mantenga la paridad de rendimientos no cubierta se requeriría de una
expectativa de apreciación de la moneda nacional lo que solo se puede generar si el tipo
de cambio sube inmediatamente a un nivel superior a su nivel de equilibrio de largo
plazo. En el grafico, al mismo nivel de precios, el tipo de cambio debe saltar hasta s´
pasando del equilibrio inicial A al punto B en la nueva trayectoria de senda estable SE2.
Esto implica una sobre reacción del tipo de cambio nominal pues a corto plazo el tipo de
cambio nominal sobrepasa su nivel de equilibrio de largo plazo nuevo 2s mientras que el
nivel de precios se mantiene en el mismo nivel. Posteriormente el tipo de cambio
nominal empieza a reducirse
Dado que el modelo supone que en todo momento se mantiene equilibrado el mercado
monetario y la paridad de rendimientos se usa las ecuaciones (1) y (4):
(13) eP sipm
y
*
La que reemplazada en la ecuación (5):
(14)
*
ipmyss P
Teniendo en cuenta que el tipo de cambio de largo plazo cambia en la misma
proporción que la cantidad de dinero al mantenerse el nivel de precios, el nivel de
producción potencial y las tasa de interés internacional:
(15) dmds
11
Figura 3. Diagrama de fases y dinámica del modelo
1p
2p p
s )( 1mp
1s
SE2 A
2s
s=p )( 1ms )( 2ms
)( 2mp B
C
´s
82
Lo que implica una sobre reacción u overshooting del tipo de cambio respecto a su valor
de equilibrio de largo plazo.
Con el paso del tiempo la economía pasa del punto B hacia el punto C elevándose el
nivel de precios al mismo tiempo que se reduce el tipo de cambio pues en el punto B la
economía entra a un exceso de demanda de bienes por lo que con el paso del tiempo el
nivel de precios comienza a elevarse. Conforme se eleva el nivel de precios la tasa de
interés nominal nacional se incrementa produciéndose entradas de capital lo que reduce
el tipo de cambio a lo largo de la senda estable SE2.
83
Capítulo 7
LAS EXPECTATIVAS ADAPTATIVAS Y RACIONALES Y
LA MACROECONOMÍA DINÁMICA
1. INTRODUCCIÓN
Uno de los temas más importantes de la economía dinámica es el estudio de la
evolución en el tiempo de las variables endógenas la que a su vez depende de como se
formen las expectativas.
Una de las principales diferencias entre la economía y las ciencias naturales son las
expectativas que sobre el futuro forman los personas. Los empresarios invierten en
función a las expectativas que tiene sobre la rentabilidad que podrían obtener, las
familias consumen en función a los ingresos que obtiene y esperan recibir en el futuro y
también en función a la utilidad esperada el resto de la vida. En el sistema financiero la
tasa de interés nominal depende de las expectativas inflacionarias, de la morosidad
esperada, las acciones se cotizan de acuerdo a las expectativas de los inversionistas
sobre los dividendos futuros esperados.
El tema de las expectativas es relativamente antiguo. La teoría austriaca planteó un
enfoque intertemporal a fines del siglo XIX. Keynes (1930) nos habló de una tasa de
interés normal esperada y posteriormente en su obra más conocida de 1936 analizaría el
famoso “Animal Spirits” que influiría en la inversión. Fisher (1930) postuló que la tasa
de interés nominal dependía de las expectativas inflacionarias, Mas adelante Friedman
(1957) al desarrollar la teoría del ingreso permanente consumo sostuvo que el consumo
en cada periodo depende del ingreso que en promedio se espera recibir en adelante lo
que denominó como el ingreso permanente.
Cagan (1956) en su famoso “Monetary Dynamic of Hyperinflations” planteó la
hipótesis de expectativas adaptativas según la cual los agentes modifican sus
expectativas en función a los errores cometidos anteriormente.
Muth (1961) planteó la hipótesis de expectativas racionales según la cual los agentes
usan eficientemente la información disponible y en forma consistente a la teoría
económica relevante.
La hipótesis de expectativas Racionales cambió sustancialmente el análisis dinámico en
la macroeconomía haciendo permitiendo el análisis formal de la especulación en la
economía y la distinción entre los cambios anticipados y no anticipados de las variables
exógenas.
En esta capítulo mostramos como una misma política monetaria tiene efectos dinámicos
diferentes en la evolución de los precios dependiendo de si los agentes forman sus
expectativas en forma adaptativa o en forma racional.
84
2. LAS EXPECTATIVAS ADAPTATIVAS
Cagan (1956) en su famosa “Dinámica Monetaria de las hiperinflaciones.” planteó la
hipótesis de expectativas adaptativas según la cual los agentes modifican sus
expectativas en función a los errores cometidos anteriormente.
En tiempo discreto:
(1) 10 ,)(11 e
tt
e
t
e
t
e
t xxxxx
Donde es la velocidad de ajuste de las expectativas. También se puede entender como
la velocidad de aprendizaje. Cuanto mayor es más rápido es el ajuste de las
expectativas.
De (1) se deduce que la expectativa que puede tomar la variable x en el siguiente
periodo es un promedio ponderado del valor efectivo y el valor esperado de dicha
variable en el periodo previo:
(2) e
tt
e
t xxx )1(1
Rezagando un periodo se obtiene:
(3) e
tt
e
t xxx 11 )1(
Reemplazando en (2):
(4) e
ttt
e
t xxxx 1
2
11 )1()1(
Rezagando (2) dos periodos:
(5) e
tt
e
t xxx 221 )1(
Reemplazando en (4)
(4) e
tttt
e
t xxxxx 2
3
2
2
11 )1()1()1(
De donde se puede deducir que el valor que se espera que tome x en el periodo siguiente
depende de los valores previos que tomó dicha variable previamente. Para n periodos
hacia atrás:
(6) e
nt
nn
j
jt
je
t xxx
1
0
1 )1()1(
Si =0 se deduce que el valor esperado para el siguiente periodo será lo mismo que se
esperaba hace mucho tiempo:
85
e
nt
e
t
e
t
e
t
e
t xxxxx ...211
Si =1 el valor esperado para el siguiente periodo será igual a lo que se observa en el
periodo actual:
t
e
t xx 1
Este caso se conoce como el de expectativas estáticas o inerciales.
Expectativas adaptativas en tiempo continúo:
Cuando de considera el caso de tiempo continuo la formula de expectativas adaptativas
tomo la siguiente forma:
0 ,))()(()(
txtxxdt
tdx ee
t
e
Si 0 los agentes no aprenden de sus errores, si se tendría el caso de previsión
perfecta.
2.1. Nivel de Precios y Expectativas Adaptativas
Usemos una variante del modelo de demanda de dinero de Cagan (1956) en tiempo
discreto para analizar los efectos del cambio en el nivel de precios con expectativas
adaptativas.
Demanda real de dinero depende directamente del ingreso real e inversamente de la tasa
de interés nominal:
0, ),( 1 hkrhkYP
M e
ttt
t
d
t
Si la producción se mantiene constante en un nivel de pleno empleo la tasa de interés
real cambian muy poco respecto a la inflación se pueden juntar en una constante c:
0 , 1 chcP
M e
t
t
d
t
Reemplazando por la definición de inflación esperada:
1
t
t
e
t
t
d
t
P
PPhc
P
M
Equilibrio del mercado monetario:
86
,t
d
t
t
S
t
P
M
P
M
Por lo que:
(1) 0, ,1
ch
P
PPhc
P
M
t
t
e
t
t
t
Despejando el nivel de precios:
(2) 10 , , 1 a
hhcaP
a
h
a
MP e
t
t
tt
Con expectativas adaptativas:
(3) 10 ),(1 e
tt
e
t
e
t PPPP
Sí:
0 : expectativas tontas, nunca aprenden del los errores pasados
1 : expectativas inerciales o estáticas, se espera que el presente se repita en el
futuro
En (3) si los niveles de precios efectivo y esperado son iguales no cambia el nivel de
precios esperado para el siguiente periodo:
O, lo que es lo mismo:
(4) )1(1
e
tt
e
t PPP
En (2):
(5) )1( e
ttt
t PPa
h
a
MP
Despejando:
(6) e
tt
t Pha
h
ha
MP
)1(
Rezagando (4) un periodo:
)1( 11
e
tt
e
t PPP
En (6):
87
(7) 11
2
)1(
)1(
t
e
tt
t Pha
hP
ha
h
ha
MP
Para que el equilibrio sea dinámicamente estable se requiere que el coeficiente de Pt-1
sea menor a la unidad en valor absoluto:
1 )1(
1
ha
h
Recordando que cha la condición equivale a:
1 )1(
)1(1
hc
h
Lo que se cumple necesariamente ya que 10 , y, c>0
Rezagando (7) un periodo y reemplazando en la misma (7) y eliminando el nivel de
precios esperado y efectivo del periodo t-1 usando las ecuaciones que definen las
expectativas adaptativas, se obtiene:
e
t
tttt
Pha
h
ha
hh
ha
h
ha
M
ha
h
ha
h
ha
M
ha
h
ha
MP
2
3
2
2
2
2
232
1
)1()1(
)1()1(
)1(
)1()1(
)1(
Lo que implica que el nivel de precios del periodo actual depende no solo de la cantidad
de dinero actual sino también de la cantidad de dinero de los periodos anterior 1tM ,
2tM .
Al eliminar los niveles de precios esperados y afectivos anteriores que todavía quedan
aparecerán las cantidades de dinero de los periodos anteriores. 3tM , 4tM . Por lo que
el nivel de precios de un periodo cualquiera depende de la cantidad de dinero del mismo
periodo y de los anteriores a él si las expectativas son de tipo adaptativa.
La siguiente figura muestra los efectos en el tiempo de sobre el nivel de precios efectivo
(P) y esperado (Pe) de un incremento en la cantidad de dinero con expectativas
adaptativas una velocidad de ajuste de las expectativas de 0.8. Inicialmente la cantidad
de dinero es 1000 y se incrementa en el segundo periodo a 2000 situación inicial de
equilibrio cuando el nivel de precios efectivo y esperado eran iguales hasta el periodo 1.
88
Figura 7.1. Dinero, Precios y Expectativas Adaptativas
(=0.8)
0
500
1000
1500
2000
2500
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
M
P
Pe
Si la velocidad de ajuste fuera menor =0.5 la convergencia al nuevo equilibrio es más
lenta como se muestra en la siguiente figura 7.2.
Figura 7.2. Dinero, Precios y Expectativas Adaptativas
(=0.5)
0
500
1000
1500
2000
2500
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
M
P
Pe
3. LAS EXPECTATIVAS RACIONALES
Muth (1961) afirmó que la expectativa subjetiva, sobre el valor que tomará la variable P
en el periodo t+1 formulada en el periodo t con la información disponible en t es la
media de la distribución de probabilidad objetiva de la variable a ser pronosticada
condicionada a la información disponible en t:
tt
e
tt InfPEP 11
tInf : Conjunto de información disponible en t: incluye el valor de las variables
endógenas pasadas, el valor de las variables exógenas pasadas, pero además la teoría
económica relevante.
Lo que se suele expresar de manera más simple como:
89
(1) 11 tt
e
tt PEP
Las características principales de las expectativas racionales implica que los agentes en
promedio aciertan por lo que los errores de predicción (111
tPEP
ttt ) debería ser
cero:
0ttE
Los errores de expectativas no deben ser sistemáticos, o sea no deben ser predecibles
por lo que no debe haber correlación entre los errores de diferentes periodos:
0,0 jCov jtt
Además, los errores de predicción deben ser los menores posibles:
min)( tVar
3.1 Modelo de Precios con Expectativas Racionales
Otra vez consideremos la ecuación de precios anteriormente obtenida de la condición de
equilibrio del mercado de dinero:
(2) 10 , , 1 a
hhcaP
a
h
a
MP e
tt
t
Con expectativas racionales:
(3) 11 tt
e
tt PEP
(4) 1 tt
tt PE
a
h
a
MP
En t+1:
(5) 21
11
t
t
tt PE
a
h
a
MP
Tomando expectativas:
(6) 12
111
t
ttt
tt
tPEE
a
hME
aPE
Aplicando la ley de expectativas iteradas:
(7) 1
211 tt
tt
tt
PEa
hME
aPE
90
(7) en (4):
21
1t
tt
t
tt PE
a
hME
aa
h
a
MP
(8) 2
2
12
t
tt
t
tt PE
a
hME
a
h
a
MP
Adelantando (4) en dos periodos:
32
2
2
tt
tt PE
a
h
a
MP
Aplicando esperanza en t y otra vez la ley de expectativas iteradas:
32
22
t
tt
t
tt
tPEE
a
h
a
MEPE
3
2
2
tt
tt
tt
PEa
h
a
MEPE
En (8):
3
22
12 tt
tt
tt
t
t PEa
h
a
ME
a
hME
a
h
a
MP
(9) 3
32
21
10
t
t
tt
tt
tt
t PEa
h
a
ME
a
h
a
ME
a
h
a
ME
a
hP
Por tanto:
1
3
3
2
2
1
10
t
tt
tt
tt
tt PE
a
hME
a
hME
a
hME
a
h
aP
1
3
32
0
t
tj
jtt
j
t PEa
hME
a
h
aP
(10) 1
1
1
0
Tt
t
TT
j
jtt
j
t PEa
hME
a
h
aP
Si se proyecta muchos periodos hacia adelante T :
91
1
1
1
0
t
tj
jtt
j
t PEa
hME
a
h
aP
Supongamos que las expectativas que ahora se tiene sobre el nivel de precios futuro no
implica una tasa de crecimiento de precios muy grande. El último término se supone
que tiende a cero. Esto equivale a suponer que no habrá burbujas especulativas:
(11) 0 1
1
Tt
t
T
TPE
a
hLim
En (10):
(12) 1
0
T
j
jtt
j
tT
MEa
h
aPLim
Esta ecuación señala que el nivel de precios actual depende de la cantidad de dinero que
circula en la actualidad pero también de la cantidad de dinero que en la actualidad se
espera que circule en los siguientes periodos. Esto significa que cuando el público
espere que en el futuro cambie la cantidad de dinero ello tendrá repercusiones en el
presente aun cuando todavía no cambie la cantidad de dinero.
Por lo que el nivel de precios actual aumentará cuando se crea que en el futuro se va
modificar la oferta monetaria aun cuando en el presente siga igual.
En el caso que se asegura que la cantidad de dinero no va a cambiar:
...21 tttt MMMM
y que además el público lo cree:
(13) 121 tt
tt
tt
t MEMEMEM
Reemplazando en (12):
0
1
j
t
j
t Ma
h
aP
(14)
0j
j
tt
a
h
a
MP
Llamando S a la sumatoria:
a
h
a
h
a
hS ...
10
92
Multiplicando por –h/a:
121
...
a
h
a
h
a
hS
a
h
Sumando las dos ecuaciones anteriores: 10
1
a
h
a
hS
a
h
De donde:
(15) ha
aS
a
h
j
j
0
Remplazando la ecuación (15) en (14):
ha
MP t
t
Lo que equivale a:
(16) c
MP t
t
Lo que implica que este caso particular se cumpliría la antigua teoría cuantitativa del
dinero que afirma que el nivel de precios de un periodo es proporcional a la cantidad de
dinero que circula en el mismo periodo.
Burbujas y Solución Fundamental
La solución completa:
1
1
1
0
t
tj
jtt
j
t PEa
hME
a
h
aP
Se puede expresar como la suma de dos componentes:
(17) ttt BPP *
Donde *
tP el primer termino es la solución fundamental y tB es la burbuja especulativa.
De lo anterior se deduce que una burbuja es una desviación del valor de una variable
respecto a su valor de equilibrio o solución fundamental del mismo periodo:
93
(18) *
ttt PPB
Anteriormente cuando se supuso que no habría burbuja se supuso que:
(19) 0lim 1
1
Tt
t
T
TPE
a
h
Ello equivale a:
tt
Ttt
T
T PP
PE
a
h 0lim
11
Llamando tE la tasa de crecimiento de precios esperada por periodo:
0)1(lim 1
1
T
t
T
TE
a
h
0)1(lim
1
T
tTE
a
h
Lo que se cumple si y solo si:
1)1(
tE
a
h
O sea sí:
(20) h
c
h
aEt
1
En palabras, se descarta la burbuja de precios si se espera que estos crezcan a una tasa
menor a: hc / .
Considerando que los agentes forman sus expectativas usando toda la información en el
caso de un incremento de una sola vez de la cantidad de dinero dentro de n periodos los
agentes esperarían que los precios no aumenten indefinidamente sino en la misma
proporción que se incrementa la cantidad de dinero por lo que:
k
M
k
MEPE nt
Ttt
Ttt
1
1
Lo cual es claramente acotado. Al reemplazarse en (19):
0lim
1
k
M
a
h nt
T
T
94
Lo cual se cumple por lo que se puede afirmar que se descarta la presencia de una
burbuja especulativa.
4. LA CRÍTICA DE LUCAS
La macroeconometría de los 70 del siglo XX se había abocado a la estimación de los
parámetros de modelos de gran escala de muchas ecuaciones para la evaluación de los
efectos de cambios de políticas.
Lucas (1976) observó que las decisiones de los agentes económicos dependen de las
reglas de juego.
Si cambian las reglas de juego cambiarían las decisiones de los agentes
Los cambios de la política económica provocarían cambios en las decisiones de los
agentes.
Los parámetros estimados por los modelos econométricos reflejaban las reglas de juego.
Cambios en la política económica modificarían los parámetros estimados por los
modelos econométricos de los 70.
Seguidamente se muestra un modelo macro econométrico típico donde se muestra que
cambios de la política económica generan cambios en las respuestas de los agentes
económicos.
Oferta agregada de Lucas:
(21) tttt
tt uyamEmaay
121
10 )(
)(1
tt
t mEm
: sorpresa monetaria
tu : perturbación aleatoria
Supongamos que el Banco Central aplica la regla de política monetaria:
(22) 0 , 1110 bybbm ttt , ),0(~ 2
ut
1b : política monetaria anti-cíclica
t : perturbación monetaria aleatoria la cual se supone que se distribuye con media cero
y varianza constante: ),0(~ 2
ut
Con expectativas racionales se esperaría:
tt
ttt
tt
EybEbEmE 1
111
011
95
011
101
tt
tt
yEbbmE
(23) 11
101
tt
tt
yEbbmE
Reemplazando en (21):
tttt
tt uyayEbbmaay
1211
1010 )(
tttt uyabamabaay 12111010
(24) tttt uymy 1210
Esto muestra que cambiaran al modificarse la política económica ( 10 ,bb ). Por lo que
21, no son verdaderos parámetros estructurales
5. EXPECTATIVAS RACIONALES Y POLITICA ECONOMICA
Seguidamente se presente un modelo simple en el cual la política monetaria solo puede
afectar al nivel de producción cuando se modifica sorpresivamente y mientras dura la
sorpresa. Cambios anunciados y sistemáticos de la oferta monetaria no afectan al nivel
de actividad.
En logaritmos:
La demanda de dinero depende del nivel de precios, del ingreso real y del componente
aleatorio u:
(1) ttt
d
t uypm , ),0(~ 2
utu
La oferta monetaria tiene un componente sistemático y otro aleatorio:
(2) t
S
t mm , ),0(~ 2
t
La oferta agregada es igual a un componente de pleno empleo y depende directamente
del nivel de precios no esperado y sujeto a shocks aleatorios:
(3) ttt
t
S
t pEpyy
)(1
, ),0(~ 2
vtv
Lo que puede reescribirse como:
(3’) tt
ttt pE
yyp
1
96
Donde tttu ,, son perturbaciones aleatorias con media cero y varianza constate
Del equilibrio del mercado monetario ( d
t
S
t mm ), de (1) y (3) se obtiene la demanda
agregada:
tttt uypm
(4)
tttd
t
upmy
Si el mercado de bienes está en equilibrio ( d
t
S
t yy ) combinado (4) con (3):
ttt
ttt
t
upmpEpy
)(
1
De donde:
tttt
ttt upEpypm
)(1
(5) tt
tttt pE
yump
1
11
Si las expectativas se forman racionalmente:
tt
ttt
tt
tpE
yumEpE
111
11
ttt
tt
ttt
tt
EyEuEEmEpE 11111
1
1
0001
1
ympE t
tt
(6) ympE tt
1
Reemplazando en (5):
ymyum
p tttt
1
ymyump ttt
t
1
ymyump tttt )1(
tttt yump )1()1()1(
97
(7)
1
tttt
uymp
Reemplazando en (4):
tt
ttt
t
uu
ymm
y
1
De donde:
(8)
11
tttt uyy
Lo que quiere decir que el nivel de producción corriente no esta influenciado por la
oferta monetaria prevista y sistemática pero si directamente por los componentes
aleatorios de la oferta monetaria ( t ) y la oferta agregada ( tv ) pero inversamente por la
las perturbaciones aleatorios de la demanda de dinero ( tu ).
6. METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS
Se basa en la intuición. Supóngase una ecuación en diferencia estocástica:
ttt
tt ycEbxay 1 ),0(~ 2
ut
Donde t es un término aleatorio. Supongamos además que la variable independiente
depende de su valor anterior y de un término aleatorio ( tu ):
ttt uxx 1
Remplazando en la anterior:
ttt
ttt ycEuxbay 11 )(
ttt
ttt ycEbuxbbay 11
ttttt
t buxbycEbay 11
Se plantea una posible solución, una conjetura:
tttt uxy 43121
Si la conjetura es válida:
1413211 tttt uxy
Aplicando esperanza matemática condicionada:tE
1413211 tt
tt
ttt
tt
EuExEEyE
98
)0()0( 43211 ttt
xyE
ttt
xyE 211
La cual remplazamos en la original: ttt
tt ycEbxay 1
tttt xcbxay )( 21
ttt xcbcay )( 21
Dado que ttt uxx 1 :
tttt uxcbcay ))(( 121
tttt ucbxcbcbcay )()()( 21221
tttt ucbxcbcbcay )()()( 21221
Comparando con la solución de conjetura:
tttt uxy 43121
De donde:
14
Dado que:
)( 22 cb
de donde:
c
b
12
Además:
c
b
c
cbbcb
1)
1()( 23
Adicionalmente:
)( 211 cbca
)1)(1(
)1(1
cc
bca
Reemplazando en la solución de conjetura:
tttt uxy 43121
99
tttt uc
bx
c
b
cc
bcay
11)1)(1(
)1(1
Aplicando al modelo de Cagan:
(20) ttt
tt uPE
a
h
a
MP 1
Si la oferta monetaria sigue la regla:
ttt MMM 1
En la anterior:
ttt
tt
t uPEa
h
a
MMP
1
1
tttt
tta
uPEa
hM
aa
MP
111
Solución de conjetura:
tttt uMP 32110
De donde:
1312101 tttt uMP
101 ttt
MPE
En la ecuación original:
ttttta
uMa
h
a
hM
aa
MP
1 101
tttttta
ueMMa
h
a
hM
aa
MP
1 )( 1101
De donde:
ttttaa
huM
a
h
aM
a
h
aa
hP
1
111110
Que es la solución del nivel de precios lo que implicaría que en cada periodo el nivel de
precio este influido no solo por la cantidad de dinero sistemática sino también por la
cantidad de dinero del periodo anterior como las perturbaciones: ttu , .
6. BIBLIOGRAFÍA:
Argandoña, Antonio et al (1996) Macroeconomía Avanzada. McGrawHill
100
Cagan, Phillips (1956) The Monetary Dynamics of Hyperinflation. En Studies in the
Quantity Theory of money, editado por Milton Friedman, Chicago
McCallum, Bennett (1989) Monetary Economics. Theory and Policy. Macmillan
Muth, J.(1961) Rational Expectations and the Theory of Price Movements..
Econometrica.
Sargent, Thomas J. y Wallace, Neil, (1973). Rational Expectations and the Dynamics of
Hyperinflation. International Economic Review.
Sargent, Thomas J. (1987). Rational expectations, en The New Palgrave: A Dictionary
of Economics, v. 4, pp. 76-79.
101
Capítulo 8
TEORÍA DEL CONSUMO INTERTEMPORAL
Este capítulo presenta las teorías del consumo intertemporal en tiempo continuo y
discreto usando las técnicas de optimización intertemporal.
1. TIEMPO CONTINUO
Supongamos que una persona busca maximizar el valor presente de la utilidad desde el
inicio (0) hasta el resto de su vida (T):
(1)
Tδt dttcue
0))((max
Sujeto a las restricciones:
tctrAt y (t) A )()()( : Los activos cambian en lo mismo que se ahorra.
00 A) A ( : Se inicia con un determinado nivel de riqueza acumulado
A(T) = 0 : Se muere sin desperdiciar recursos y pagando todas las deudas
Donde:
:)(ty Ingreso real en el momento t.
:)(tc Consumo real de bienes y servicios en el momento t.
r : Tasa de interés real compuesta continuamente que se supone constante.
: Tasa de preferencia intertemporal compuesta continuamente.
)(tA : Activos reales acumulados al momento t
tctrAt y (t) A )()()(
El Hamiltoniano:
(3) )()()()())((),(,, tctrAtyttcuetttctAH δt
Las condiciones de primer orden:
(4) 0)())(´( 0)(
ttcuetc
H t
(5) (t) λλ(t)rttA
H
)(
)(
102
(6) )()( )()(
tctrA(t)AtAt
H
De la condición (4):
))(´()( tcuet t
En la condición (5):
(7) ))´()´´(())(´( ttt ecueccuetcru
de donde:
(8) )())(´´(
))(´( r
tcu
tcuc
O también: rctcu
tcu
))(´(
))(´´(
Lo que nos dice que la tasa a la que decrece la utilidad marginal del consumo, a lo largo
de la senda óptima es igual al exceso de la tasa de interés real (r) sobre la tasa de
preferencia intertemporal (δ) subjetiva.
Dividiendo (8) entre el consumo para expresarlo en tasas de crecimiento:
)())(´´()(
))(´( r
tcutc
tcu
c
c
(9)
r
c
c
Donde 0))(´(
)())(´´(
tcu
tctcu es la elasticidad de la utilidad marginal con respecto al
consumo.
Integrando (9) con respecto al tiempo:
dtr
dtc
c
dtr
dtdt
dc
c
1
dtr
dcc
1
21ln ktr
kc
103
3ln ktr
c
3lnkt
r
c ee
(10) Ketct
r
)(
De las restricciones presupuestarias se obtiene la restricción presupuestaria de toda la
vida:
(11) WdtetyAdtetcT
rtT
rt
00
0)()(
Donde W es el valor presente de los recursos del resto de la vida llamada también la
riqueza.
(10) en (11):
T
rtt
r
dtKeeW0
T tr
r
dteKW0
Definiendo rr
T
tdteKW0
Integrando:
T
t
teK
W 0
0
ee
KW T
(12) 1 TeK
W
De donde:
(13) We
KT 1
Remplazando en (10): Ketct
r
)(
104
We
etc
T
tr
1)(
Lo que describe la evolución del consumo desde el momento inicial (0) hasta el
momento final (T) dada su riqueza.
Se observa que el consumo en cualquier momento no depende de la renta del mismo
momento sino de los recursos de todo el resto de la vida.
Representemos por T
tW a la riqueza en t para un individuo que vivirá hasta T.
Integrando nuevamente:
T
t
tT
tT
t eK
W
tTT
tT
t eeK
W
por lo que:
T
ttT
T
t Wee
K
T
ttTt
T
t Wee
K1)(
En (10):
(14) T
ttTt
tr
T
t Wee
ec
)1( )(
Lo que nos dice que en el momento t de la vida el consumo depende de la riqueza en ese
mismo momento.
T
t
rt
t
T
t dtetyAW1
11)(
La que con la ecuación de cambio de los activos más las condiciones de contorno nos
permitirán hallar la senda de consumo óptima:
Ejemplo:
Supongamos que la función de utilidad instantánea es )(ln))(( tctcu , se nace y se
muere sin dejar herencias, la tasa de interés real y la tasa de descuento subjetiva son
iguales a 10%, el individuo vive 100 años de los cuales los primeros 80 trabaja ganando
1000 en cada periodo. Tendríamos que la ecuación (8):
105
)(1
1
2
r
c
cc
)( rc
c
crc )(
dtrdtdt
dc
c )(1
dtrdcc )(1
21 )(ln KtrKc
3)(ln Ktrc
3)(ln Ktrc ee
3)( Ktrec
trKec )(
Como r el consumo será constante a lo largo de la vida:
Kc
De la ecuación (11):
80
0
100
0
dtyedtce trtr
Dado que el consumo y el ingreso son constates:
80
0
100
0
dteydtec trtr
80
0
100
0
11000
1
t
rt
t
tr er
er
c
80
0
100
0
11000
1
t
tr
t
tr er
er
c
106
110001 )80(1.0)100(1.0 eec
1
110001
1810 ee
c
1
110001
1810 ee
c
Multiplicando por (-1) a ambos lados:
810
111000
11
eec
10
8
11
11
1000
e
ec
99995.0
99965.01000c
99970.01000c
7.999c
2. CONSUMO INTERTEMPORAL EN TIEMPO DISCRETO
Queremos elegir la trayectoria óptima del consumo de una persona que espera vivir T
años y que esta preocupado por maximizar el bienestar del resto de su vida:
(1)
T
tt
tcu
11
1
)(
Sujeto a las restricciones de que el incremento de los activos acumulados es igual a los
ingresos no consumidos
(2) 1 1 T, . . . , tCrAyAA ttttt
Adicionalmente supongamos que no recibió herencias al nacer ni deja herencia al morir:
(3) 0 , 00 TAA
El hamiltoniano:
107
(4)
ttttt
tt CrAy
cuH
1
1
)(
Condiciones de Primer Orden:
(5) 0
t
t
C
H :
11
)´(
t
tt
cu
(6) )( 1
tt
t
t
A
H : )( 1 tttr
(5) en (6):
2
1
111
)´(
1
)´(
1
)´(t
t
t
t
t
t cucucur
2
1
11
)´(
1
)´()1(
t
t
t
t cucur
)´(
)´(1)1( 1
t
t
cu
cur
rcu
cu
t
t
1
1
)´(
)´(
1
Adelantando un periodo también se puede escribir como:
rcu
cu
t
t
1
1
)´(
)´( 1 Ecuación de Euler
APLICACIONES EMPÍRICAS
Keynes postuló que el “volumen de consumo agregado depende principalmente de la
renta agregada” de una manera “estable”. O sea:
(7.7) ttt ebYaC 0, ba
y que “es también obvio que un nivel de rentas mas alto en términos absolutos ...
conducirá, por lo general a una proporción mayor de ahorro” pues en la ecuación
anterior si aumenta la renta baja la propensión media a consumir, lo que es lo mismo a
un aumento de la propensión media a ahorrar.
Problemas:
108
Para las economías domesticas y en periodos cortos la relación es como la keynesiana
como se muestra en la figura 1.
C
Ch
Yh
Figura1. Curva de Consumo de h-ésima familia
450
109
Pero a nivel agregado de país y para periodos largos el consumo es básicamente
proporcional a la renta agregada como se muestra en la figura 2.
Otros estudios de corte transversa encontraron que entre los diferentes grupos de la
población como los negros y blancos de EE.UU. la pendiente de la función estimada
pero la intersección es más alta en el caso de los blancos como se muestra en la figura
1.3.
En muchos países numerosos investigadores estudiaron con mucho detalle el
comportamiento del consumo llegándose a la conclusión de que, en contra a lo
postulado por Keynes, la relación entre cambios del consumo y la renta no es estable.
Friedman (1957) respondió a dichos enigmas con su teoría del ingreso permanente.
C
C
Y
Figura 2. Curva de Consumo Agregada
450
CB
C
Y
Figura 3. Curva de blancos y negros
450
CN
110
Señalo que el consumo esta determinado por la renta permanente que seria una especie
de promedio ponderado de ingresos que se esperar recibir por periodo. p
t YC
La renta corriente es igual a la renta permanente mas la renta transitoria:
TP
t YYY
La renta transitoria refleja las desviaciones de la renta corriente respecto a la
permanente y su media debería ser cero sin estar correlacionada con la renta
permanente.
)(
),(ˆYVar
CYCovb
Dado que la renta corriente es igual a la permanente más la transitoria y que el consumo
es igual la renta permanente:
)(
),(ˆTP
PTP
YYVar
YYYCovb
Adicionalmente, si la renta permanente y la transitoria no están correlacionados:
(7.8) )()(
)(ˆTP
P
YVarYVar
YVarb
Por lo que la Teoría de la Renta Permanente afirma que la clave para estimar la
pendiente ( b̂ ) es variación relativa de la renta permanente y de la transitoria.
Un aumento de la renta corriente solo afectara al consumo si es parte de un aumento de
la renta permanente
Si el cambio de la renta permanente es mucho mayor que el de la renta transitoria
( 1ˆ b ) el consumo aumenta en casi lo mismo que la renta corriente
Además, la constante estimada (a) es igual a la media de la variable dependiente menos
el coeficiente estimado ( b̂ ) por la media de la variable independiente
YbCa ˆˆ
)(ˆˆ TPP YYbYa
(7.9) PYba )ˆ1(ˆ
111
3. BIBLIOGRAFÍA:
Argandoña (1996) Macroeconomía Avanzada. McGrawHill
Blanchard, Olivier y Stanley Fischer (1989) Lectures on Macroeconomics. MIT Press
Boileau: Control Theory
Boileau: Dynamic Optimization
Cooper: DP Dynamic programming Introduction
Friedman, M. (1958): A Theory of Consumption Function
King: Simple Introduction to Dynamic Programming
Modigliani, F. y A. Ando (1963): The "Life Cycle" Hypothesis of Saving: Aggregate
Implications and Tests. AER.
Mateos: 08 Dynamic programming Introduction
Riascos 02, 03, 04 Economía Dinámica y Programación Dinámica
Rodríguez: Optimización Dinámica (Teoría de Control continua y discreta)
Romer, D. (2005): Macroeconomía Avanzada. McGrawHill
Sargent, Thomas (1987) Macroeconomic Theory. Academia Press
Woodward (2003) Introduction to Optimal Control
112
Capítulo 9
LA INVERSIÓN
9.1. INTRODUCCIÓN
La inversión es el gasto en bienes de capital como maquinarias, construcción y
existencias. Investigar su comportamiento es muy importante por varias razones:
- La inversión, junto con el consumo, determina una gran parte de la demanda
agregada de cualquier país.
- La inversión influye notablemente en el nivel de vida de largo plazo.
- Adicionalmente la inversión es, a diferencia del consumo, muy volátil y clave
para comprender los ciclos económicos.
Este capitulo muestra el enfoque intertemporal de la inversión neoclásica en tiempo
continuo y discreto y posteriormente el modelo de costos de ajuste
9.2. MODELO BÁSICO DE INVERSIÓN EN TIEMPO CONTINUO
)()()()3(
)(),()()2(
:
)()()(max)1(0
)(),(),(
tKtKtI
tNtKFtY
sa
dttIPtNWtYPeVP K
rt
tItNtK
Sustituyendo (2) y (3) en (1) problema de cálculo de variaciones:
0
)(),(),()()()()(),(max)4( dttKtKPtNWtNtKFPeVP K
rt
tItNtK
Que determina las sendas de K, N e I.
Las condiciones de Euler:
0)6(
0)5(
NN
KK
Vdt
dV
Vdt
dV
De (5):
(8) 0 rt
KKK
rt erPPPFe
De donde:
113
0 KKK rPPPF
rPPF KK)1.8(
o sea que el valor del PMK = Costo de uso del capital
De (6):
P
WFN )9(
En el equilibrio de largo plazo alcanza los niveles óptimos de trabajo y capital ( **, KN ):
P
rPKNF
P
WKNF
KK
N
)(,)11(
,)10(
**
**
Si hay rendimientos a escala decrecientes se halla la función de capital optimo K*:
P
W
P
cufK ,)12( *
Con lo cual:
P
W
P
cufKIN ,)13( **
114
9.3. MODELO DE INVERSION EN TIEMPO DISCRETO
9.3.1. Introducción
La inversión es el gasto en bienes de capital como maquinarias, construcción y
existencias. Investigar su comportamiento es muy importante por varias razones:
- La inversión, junto con el consumo, determina una gran parte de la demanda
agregada de cualquier país.
- La inversión influye notablemente en el nivel de vida de largo plazo.
- Adicionalmente la inversión es, a diferencia del consumo, muy volátil y clave
para comprender los ciclos económicos.
9.3.2. Modelo Básico de Inversión
La Inversión y el costo de capital
Considerando una función de producción neoclásica tradicional:
(1) ),( XKFY
Donde K es la cantidad de maquinas y X cualquier otro factor de producción. Con
rendimientos marginales positivos: XK FF 0 , pero decrecientes: XXKK FF 0 .
En el caso muy simple de una empresa produce bienes con máquinas alquiladas a un
precio unitario de R. Los beneficios de la ( ) empresa están dados por el exceso de los
ingresos sobre los costos de producción:
(1) WXRKXKPF ),(
La condición de maximización de beneficios de primer orden para elegir el nivel óptimo
de stock de capital implica que el ingreso margina nominal de la última maquina
alquilada se iguale a su costo de alquiler:
(2) RXKFP K *)*,(
La condición de segundo orden: Para asegurar de que la condición anterior nos da un
máximo derivamos otra vez la condición de primer orden para hallar el efecto de R
sobre K:
(3) 01*
KKPFR
K
El problema con el enfoque anterior es que normalmente las empresas no alquilan las
maquinas sino que las compran. Cual es el costo relevante del capital en dicho caso?
115
9.4 Enfoque Intertemporal tradicional de la Inversión sin costos de ajuste:
Si suponemos que una empresa maximiza el valor presente de sus beneficios (V),
considerando que el precio del bien de inversión (Z) puede diferir del precio del bien
final (P) y que la tasa de interés nominal (i) puede cambiar en el tiempo:
(4)
1
0
)1(
)()(max
0
ss
v
vt
ststststtttt
i
IZKFPIZKFPV
stKs
Donde la inversión en cada periodo:
1)1( ttt KKI
1
0
11
)1(
)1()()1()(max
0
ss
v
vt
stststststttttt
i
KKZKFPKKZKFPV
stKs
Donde:
tZ : es el precio del bien de inversión en el periodo t
tP : es el precio del bien del bien final en el periodo t
La Condición de Primer Orden
0
tK
V:
01
1)´( 1
t
t
ttt Zi
ZKFP
O:
t
t
t
t
tt ZZ
Z
iKFP
1
1
11)´(
t
tt
t
tP
Zz
iKF
11
1
11)´(
Donde: 1tz es la tasa de inflación futura de las máquinas.
(5) t
t
t
tttt
P
Z
i
zziKF
1)´( 11
Aproximando:
116
(6) t
tttt
P
ZziKF 1)´(
Donde ( 1 tt zi ) es el costo real de uso del capital
El resultado implica que a la empresa típica le conviene invertir en cada periodo de tal
forma que el producto marginal del capital se iguale al costo de uso del capital en
términos de bienes finales.
Diferenciando la anterior condición se obtiene:
(7) t
t
KK
ttt
P
Z
F
ddzdidK
1
Lo que quiere decir que el stock de capital óptimo en cada periodo depende
inversamente de la tasa de interés nominal y la tasa de depreciación pero depende
directamente de la tasa de inflación esperada de los bienes de capital:
(8)
,, 1
*
ttt ziK
El aumento de la tasa de inflación futura de los bienes de capital tiene un efecto positivo
sobre la inversión.
Problemas de este enfoque:
1. De acuerdo al modelo si se modifica cualquier variable exógena (como la tasa de
interés) el stock de capital se ajusta rápidamente para satisfacer la condición de primer
orden. En la práctica K no cambia rápidamente. Además, dado que la tasa de cambio del
stock de capital es igual a la inversión menos la depreciación un cambio discreto del
stock de capital debería provocar un cambio que puede ser muy grande de la inversión
lo que es imposible pues la inversión esta limitado por el PIB.
2. En este modelo no hay lugar para las expectativas. La empresa actúa como si
resolviera un problema estático. Lo hace pues no hay costos de reducir ni de aumentar el
stock de capital al nivel deseado. Simplemente compra o vende la cantidad necesaria de
maquinas en el mercado de bienes de capital.
Para obtener un panorama más realista tenemos que modificar el modelo introduciendo
explícitamente los costos de ajuste del capital hacia su nivel deseado.
9.5. Teoría Q de la inversión
117
Suponiendo un industria con muchas empresa pequeñas cada una produciendo el mismo
bien final. Con retornos a escala constante:
(1)
t
ttttt
K
NFKNKFY ,1),(
La condición de primer orden del trabajo:
(2)
t
tttN
K
NwNKF ),(
En la expresión anterior:
(3) ttt KwFKY ))(,1( 1
De donde: ))(,1( 1 wF es una constante si el salario real es constante por lo que la
producción es una proporción del capital con Retornos a Escala Constante.
Los Costos de ajuste:
Lucas – Prescott (1971) propusieron el siguiente ajuste para el capital:
1)( ,0´´ ,0´con 1
hhh
K
IhKK
t
ttt
Para comprender recordemos que sin costos de ajuste:
t
tt
t
ttttt
K
IhK
K
IKIKK 1)1(1
Donde:
0´´y 0´
t
t
t
t
K
Ih
K
Ih
Comparando los dos casos:
t
ttt
K
IhKK 1 con h´>0, h´´<0, h( )=1
t
tt
t
ttttt
K
IhK
K
IKIKK 1)1(1
118
Alternativamente se puede pensar que si el stock corriente de capital Kt y el del
siguiente periodo Kt+1 el costo monetario de la inversión es:
t
ttt
K
KCKI 1
Asumiendo que 0aC para 10 a
Eso implica que si el siguiente periodo tt KK )1(1 entonces ello puede ser
alcanzado sin costo alguno (solo permitiendo depreciar el capital)
01)1(
C
K
KC
t
t
Notemos que si:
t
t
t
t
t
t
t
t
t
ttt
K
KC
K
K
K
KC
K
I
K
KCKI 11111
t
ttt
K
KCKK 11
1
Por tanto se tiene una relación entre las funciones C y h :
1hC
Si h´>0 y h´´<0 C´>0 y C´´>0
Tradicional
119
Capítulo 10
MODELO DE INCONSISTENCIA DINÁMICA
Kydland y Prescott 1977: Rules rather than discretion. The inconsistency of optimal
plans. JPE. Vol 85 (3).
Valor presente de la pérdida social
)(£)1( it
i
tL
: es la tasa de descuento social
Función de pérdida social de un periodo:
22 )()(£ ykya
Donde:
:y : producto de pleno empleo
:yk producto potencial
yyk : por distorsiones de los impuestos
La política monetaria esta sujeta a una restricción económica: Curva de Phillips con
expectativas aumentadas:
)( ebyy
Caso de un periodo
(1) min 22 )()(£ ykya
(2) s.a: )( ebyy
120
CASO DISCRECIONAL
BCR maneja la política monetaria a su buen criterio
Agentes forman sus expectativas πe
BCR elige π
(2) en (1)
22 )(£min ykbya e
22 )()1(£min ebyka
(3) bbyka e )()1(220£
bbyka e )()1(220£
ebykbba )1()( 2
(4) ebykba
b
)1(
2 punto T de trampa
CP(πe2)
•
•
π
y k y y
Figura 1. Mapa de curva de indiferencia y curva de Phillips
CP(πe1)
121
Si el público tiene expectativas racionales )( e :
(5) yka
bD )1( punto D
),(baD
(5) en (2):
(6) yy
La pérdida social de bienestar (5), (6) en (1):
22
)1(£ ykyyka
baD
2222
2
)1()1(£ ykyka
baD
22222
)1()1(£ ykyka
bD
(7) 22
2
)1(£ yka
abD
R
πe =πD π
π = πe =πD
y k y y
Figura 2. Equilibrio bajo Reglas y Discrecionalidad
πe =0
D
T
• •
122
REGLAS FIJAS
BCR anuncia que se compromete a: R
Si el público confía en el BCR: R
e
En la (2):
yy
Cual es la inflación óptima:
(8) 0R
La función de pérdida:
22)0(£ ykyaR
2)1(0£ ykR
(9) 22)1(£ ykR
Se nota que RD ££
Dada e al gobierno no le conviene el punto R
Si 0e , 0 no es equilibrio de Nash.
De (4): ebykba
b
)1(
2
(10) e
T ykba
b
)1(
2
La pérdida social: (10) en (1):
(11) 22
2)1(£ yk
ba
aT
(12) TRD £££
Definiendo: a
b2
123
(13) RT £1
1£
(14) RD £)1(£
Lección: el gobierno debe ceñirse a una regla fija.
MODELO DE INCONSISTENCIA EN TÉRMINOS DE INFLACIÓN
DESEMPLEO
Función de pérdida social de un periodo:
22 )()(£ Puuba
Donde Pu es la tasa de desempleo de pleno empleo
La política monetaria esta sujeta a una restricción económica: Curva de Phillips con
expectativas aumentadas:
)( Pe uu
Caso de un periodo
(1) min 22 )()(£ Puuba
(2) s.a: )( Pe uu
124
CASO DISCRECIONAL
BCR maneja la política monetaria a su buen criterio
Agentes forman sus expectativas πe
BCR elige π
(2) en (1)
22 )(£min ykbya e
22 )()1(£min ebyka
(3) bbyka e )()1(220£
bbyka e )()1(220£
ebykbba )1()( 2
(4) ebykba
b
)1(
2 punto T de trampa
CP(πe2)
•
•
π
Pu u
Figura 1. Mapa de curva de indiferencia y curva de Phillips
CP(πe1)
125
Si el público tiene expectativas racionales )( e :
(5) yka
bD )1( punto D
),(baD
(5) en (2):
(6) yy
La pérdida social de bienestar (5), (6) en (1):
22
)1(£ ykyyka
baD
2222
2
)1()1(£ ykyka
baD
22222
)1()1(£ ykyka
bD
R
πe =πD π
π = πe =πD
y k y y
Figura 2. Equilibrio bajo reglas y discrecionalidad
πe =0
D
T
• •
R
126
(7) 222
)1(£ yka
abD
REGLAS FIJAS
BCR anuncia que se compromete a: R
Si el público confía en el BCR: R
e
En la (2):
yy
Cual es la inflación óptima:
(8) 0R
La función de pérdida:
22)0(£ ykyaR
2)1(0£ ykR
(9) 22)1(£ ykR
Se nota que RD ££
Dada e al gobierno no le conviene el punto R
Si 0e , 0 no es equilibrio de Nash.
De (4): ebykba
b
)1(
2
(10) e
T ykba
b
)1(
2
La pérdida social: (10) en (1):
(11) 22
2)1(£ yk
ba
aT
127
(12) TRD £££
Definiendo: a
b2
(13) RT £1
1£
(14) RD £)1(£
Lección: el gobierno debe ceñirse a una regla fija.
128
Capítulo 11
TEORÍA DE LOS CICLOS REALES
11.1. INTRODUCCIÓN
El enfoque de Lucas y Sargent de que los cambios sorpresivos de la política monetaria
eran las principales fuentes de las fluctuaciones económicas fue duramente criticado
desde distintos sectores tanto desde los keynesianos como dentro de los neoclásicos.
Esta ultima posición fue liderada por los Premios Nobel de economía del 2005 Edward
Prescott y Finn Kydland quienes en articulo seminal “Time to build and aggregate
fluctuations”(1982) desarrollaron una nueva explicación en la cual las principales
causas de los ciclos económicos son los factores reales especialmente los cambios
tecnológicos aleatorios. Esta teoría recibió el nombre de la Teoría de Ciclos Reales en el
que el dinero es neutral aun cuando cambie de manera sorpresiva.
En esta teoría se explican la correlación observada entre variables reales y monetarias
como causadas por shocks aleatorios al producto. Supone que la tecnología productiva
cambia en el tiempo de forma no sistemática.
11.2 UN MODELO SIMPLE
Esta teoría, como las versiones neoclásicas anteriores, supone:
Economía competitiva en la que se tiene un gran numero de empresas y familias
precio-aceptantes (competencia perfecta).
Los precios son altamente flexibles por lo que los mercados se equilibran en todo
momento.
Adicionalmente este enfoque considera que los agentes económicos están preocupados
por maximizar el valor presente del bienestar del resto de la vida el cual está afectado
tanto por los niveles de consumo y ocio sujetos a una restricción presupuestaria
intertemporal.
Las empresas se supone que son competitivas y tratan de maximizar beneficios. El
hecho de suponer que los diferentes mercados son competitivos implica que los precios
de los bienes finales, los insumos, el salario real y la tasa de interés sean flexibles.
Así mismo, los agentes forman sus expectativas en forma racional. A diferencia de los
nuevos clásicos suponen que si los las sorpresas de política económica son importantes
la formación de expectativas racionales exigiría que los agentes se informen mejor por
lo que la política monetaria sorpresiva tampoco podría ser una causa plausible de los
ciclos económicos.
129
Supongamos una tecnología de tipo Coob-Douglas que nos da la función de producción
con rendimientos a escala constantes y productividad marginal decreciente del trabajo y
el capital:
(1) 10 ,1
tttt NAKY
La inversión por definición es igual al incremento del stock de capital más la
depreciación:
tttt KKKI 1
De donde:
(2) tttttt KGCYKK )(1
El trabajo y el capital se remuneran por sus productos marginales.
El salario real w se iguala al producto marginal del trabajo:
tt PMNw
ttttt ANAKw
)1(
(3) t
tt
tt A
NA
Kw
1
El costo de uso real de capital se iguala al producto marginal del capital:
tt PMKr
1
t
ttt
K
NAr
(4)
1
t
ttt
K
NAr
Las mejoras del nivel tecnológico ( tA ) desplazan a la derecha las curvas de demanda
por trabajo y por capital.
Se supone que los shocks tecnológicos tienen también mucha persistencia, esto es,
mueren lentamente. La tecnología tA tiene un componente tendencial determinístico
donde g es la tasa de progreso tecnológico, y, un componente aleatorio tA~
que genera
las perturbaciones tecnológicas en el modelo:
130
(5) tt AtgAA~
ln
Sin perturbaciones aleatorias la tecnología progresa a la tasa g: tgAAt ln . Donde
tA~
refleja el componente aleatorio que se supone es una fracción del valor que tuvo la
perturbación en el periodo anterior más un término aleatorio ( t ):
(6) 11 ,~~
1 ttt AA
Donde t es un ruido blanco (sin autocorrelación, media cero y varianza constante). En
otras palabras tA~
sigue un proceso autorregresivo de orden uno: AR(1). Si es positivo
implicará que los efectos de una perturbación tecnológica desaparezcan gradualmente
con el tiempo.
Esta consideración dinámica hace que también tengan efectos en la inversión.
La función de utilidad intertemporal esperada de cada individuo depende tanto del
consumo como del ocio ( tn1 ) donde n es el tiempo dedicado al trabajo y el tiempo
disponible esta normalizado a 1:
(7) 10 ,1,0
t
tt
t
tt ncuEV
es el factor de descuento subjetivo intertemporal y u es la función de utilidad de
periodo que depende directamente de los niveles de consumo ( tc ) y ocio ( tn1 ) con
utilidades marginales positivas pero decrecientes:
0 ,1lnln bnbcu ttt
Donde b es un parámetro de preferencias.
La restricción presupuestaria intertemporal de los trabajadores:
0
0
0
0)1()1( t
tt
tt
tt
t
t
r
nw
r
c
Que indica que el valor presente del consumo real no puede exceder el valor presente de
sus ingresos reales.
CASO DE DOS PERIODOS
Supongamos que los individuos viven dos períodos: 1 y 2, sin problemas de
incertidumbre la función de utilidad intertemporal se reduce a:
131
1lnln1lnln 2211 nbcnbcV
La restricción presupuestaria intertemporal sería:
)1()1(
21
2211
r
cc
r
nwnw
Por lo que el lagrangiano del problema de las familias sería:
(8)
r
cc
r
nwnwnbcnbcL
11 1lnln1lnln 2
122
112211
Para obtener el mayor bienestar las familias deben decidir sobre 2121 ,,, nncc
Derivando con respecto al trabajo del primer periodo:
(9) 1
11 w
n
b
Derivando con respecto al trabajo del segundo periodo:
(10) r
w
n
b
11 2
2
Despejando de (9) y reemplazándolo en (10):
(11) 1
2
2
1
1
1
1
1
w
w
rn
n
1
2
2
1
1
1
w
w
r
La ecuación (11) muestra el principio básico de la sustitución intertemporal de trabajo.
Indica que la oferta de trabajo intertemporal depende del salario intertemporal relativo.
Un aumento del salario presente (w1) en relación al salario futuro (w2) induce a las
familias a trabajar más en el presente. Con ello los shocks pueden generar también
efectos sobre la oferta de trabajo a través de su efecto en los salarios w.
La ecuación (11) también muestra el efecto de la tasa de interés en la oferta de trabajo.
Un aumento del tipo de interés reduce el valor presente de los ingresos futuros
aumentando el atractivo de trabajar más hoy y ahorrar para el segundo periodo. Este
efecto tipo de interés sobre la oferta de trabajo es fundamental para obtener las
fluctuaciones en el empleo en los modelos del ciclo real. Es este efecto tipo de interés lo
que en la literatura se conoce como “sustitución intertemporal de la oferta de trabajo”
(Lucas y Rapping, 1969).
Si por otro lado tomamos la condición de equilibrio para el consumo en ambos períodos
tenemos (derivando (8) respecto a c1 y c2):
132
r
cc
r
nwnwnbcnbcMax
11 1lnln1lnlnL 2
122
112211
11
10
cc
L
rcc
L
10
22
Combinando las dos ultimas ecuaciones:
(12) rcc
1
11
21
Aquí tenemos el efecto de sustitución intertemporal del consumo que se transmite a
través del efecto en la tasa de interés.
11.3. COMENTARIOS FINALES
En esta teoría los ciclos económicos se deben fundamentalmente a los cambios
tecnológicos
La política monetaria sorpresiva tampoco podría generar fluctuaciones económicas lo
que los diferencia de los nuevos clásicos
Principal limitación es que no hay ninguna historia convincente que los shocks
tecnológicos tengan la forma supuesta en el modelo.
Es difícil pensar que estos shocks afecten a toda la economía por igual, es más lógico
suponer que cada sector está sujeto a shocks aleatorios distintos.
Es por estas razones que la mayor parte de la profesión no suscriba a la interpretación de
los ciclos en el PIB.
En estos modelos, fluctuaciones del PIB son respuestas naturales y deseadas de
individuos racionales frente a cambios.
Por lo tanto no hay ningún rol para las políticas de estabilización.
.
11.4. BIBLIOGRAFÍA:
Argandoña (1996) Macroeconomía Avanzada. McGrawHill
Blanchard, Olivier y Stanley Fischer (1989) Lectures on Macroeconomics. MIT Press
133
Boileau: Control Theory
Boileau: Dynamic Optimization
Cooper: DP Dynamic programming Introduction
Doménech,
Friedman, M. (1958): A Theory of Consumption Function
King: Simple Introduction to Dynamic Programming
Kydland y Presscott (1982)
Krauth , Doménech, Williamson.
Long y Plosser (1983),
Modigliani, F. y A. Ando (1963): The "Life Cycle" Hypothesis of Saving: Aggregate
Implications and Tests. AER.
Mateos: 08 Dynamic programming Introduction
Riascos 02, 03, 04 Economía Dinámica y Programación Dinámica
Rodríguez: Optimización Dinámica (Teoría de Control continua y discreta)
Romer, D. (2005): Macroeconomía Avanzada. McGrawHill
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