@) Bienvenido,Paola Ivette Perez Lopez Albizures

Resultados Materia: Matemática

1. Estudia los sistemas de numeración, así como las conversiones

entre cada uno de ellos. 2. Equivocaste el orden en que se deben

operar números naturales; estudia y practica la jerarquía de

operaciones, leyes de signos para suma, resta, multiplicación y

división de este sistema de numeración. 3. Estudia y practica el tema

de números imaginarios, así como reducirlos a la mínima expresión.

4. Ok 5. Practica operaciones con expresiones algebraicas. 6.

Estudia y resuelve ecuaciones de primero, segundo y tercer grado,

así como hallar la ecuación general de la recta que pasa por uno o

varios puntos y calcular la pendiente de una función lineal. 7.

Investiga el procedimiento para calcular la pendiente de una función

lineal. 8. Estudia y resuelve problemas con casos de factorización:

factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto,

trinomio de la forma x2+bx+c, trinomio de la forma ax2+bx+c, cubo

perfecto, suma y diferencia de cubos. 9. Estudia el tema de

proposiciones simples, compuestas, operaciones con proposiciones,

tautología y contradicción. 10. Estudia y practica los temas de

igualdades, desigualdades, razones y proporciones. 11. Estudia y

practica los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. 12.

Estudia los tipos de funciones: polinomiales, trigonométricas,

logarítmicas y exponenciales además clasificarlas como inyectiva,

sobreyectiva, biyectiva o inversa y gráficas. 13. Investiga y resuelve

sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas y sistemas de tres

ecuaciones con tres incógnitas, así como los métodos para

resolverlos: método de adición y sustracción, método de igualación,

método de sustitución, método Gauss, Gauss Jordan y Regla de

Cramer. 14. Ok 15. Estudia y practica lo referente al tema de

matrices: clases de matrices, determinantes y operaciones entre

matrices.

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Mínimo común múltiplo (m.c.m.).- Es el número menor de los múltiplos en común de un

grupo de números. Para calcularlo se descomponen en factores primos cada uno de los

números hasta que todos sean uno y se multiplican los primos obtenidos.

Máximo común divisor (M.C.D.).- Es el número mayor de los múltiplos en común de un

grupo de números. Para calcularlo se descomponen en factores primos cada uno de los

números hasta que no tengan un divisor primo común y se multiplican los primos obtenidos.

1.3. Operaciones con números racionales:

Suma y resta de fracciones.- Se resuelven, obteniendo el m.c.m. de cada uno de los

diferentes denominadores, y se divide entre cada denominador y multiplicando por cada

numerador. Al final los números obtenidos se suman o restan, dependiendo del caso.

Nota: Cuando los denominadores son iguales, entonces solo se suman o restan los

numeradores.

Multiplicación de fracciones.- Se resuelven, multiplicando el numerador por numerador y

denominador por denominador.

División de fracciones.- Se resuelven, multiplicando el primer numerador por el segundo

denominador, colocando el resultado en el numerador y multiplicando el primer

denominador por el segundo numerador, colocando el resultado en el denominador.

Potencia y Raíz

Potencia: Es el número de veces en que debe multiplicarse la base por si misma, según su

exponente.

Raíz: Es el valor que al multiplicarse por si mismo tantas veces como lo indique el índice,

se obtiene el valor que esta dentro del radical.

Ejem:

Ejem:

1.4 Razones y Proporciones

Razón: Es el cociente de dos números, es decir una fracción, donde el numerador se llama

antecedente y al denominador consecuente. La razón se representa como sigue:

Ejem:

Proporción: Es la igualdad de dos razones. La razón se representa como sigue:

Ejem:

donde los números 7 y 6 son extremos y los números 3 y 14 son medios.

1.5 Regla de Tres

Regla de tres directa ó Proporción directa.- Cuando comparamos dos razones del mismo

tipo establecemos una equivalencia, obtenemos una proporción, es decir, si una aumenta o

disminuye, la otra también aumenta o disminuye en la misma proporción.

Ejem: Si en una empresa un empleado gana $4400 por 20 días trabajados. ¿Cuanto ganará

por 30 días?

Regla de tres inversa ó Proporción inversa.- Cuando comparamos dos razones uno de los

parámetros aumenta y el otro disminuye. Esto es muy claro en casos de producción con

respecto al tiempo.

Ejem: Si en una empresa 20 obreros producen 50,000 fusibles en 5 días. ¿Cuantos obreros

se requieren para producir la misma cantidad de fusibles en 4 días?

1.6 Tanto por Ciento

Definición: Es una fracción cuyo denominador es 100, es decir la centésima parte de algo.

Se expresa con el símbolo %. Cuando se va a operar la cantidad, se tiene que cambiar por

una fracción o por un decimal equivalente.

Ejem: 18% 0.18

33.5% 0.335

Cálculo del porcentaje:

Para obtener el porcentaje, se multiplica la cantidad por el tanto por ciento expresado en

forma decimal.

Ejem: Calcular el 32% de 1450 Calcular el 3% de 1655

1450(0.32) = 464 1655(0.03) = 49.65

También se puede obtener un número en específico con regla de tres directa.

Ejem: Hallar el número del cual 400 es el 8%

Ejem: Hallar el número del cual 4590 es el 60%

También se puede aplicar para resolver problemas como los siguientes:.

Ejem: Un vendedor recibe de comisión el 12% por venta realizada. Si vende mercancía por

un total de $44000. ¿Cuanto recibirá de comisión?

$44000(0.12) = $5280

Ejem: Un producto que cuesta $120, se requiere que al venderse, se obtenga una ganancia

del 8.5%. ¿En cuanto debe venderse?

Reactivos Unidad 1:

UNIDAD 2.

Álgebra

2.1 Propiedades y Definiciones

Término Algebraico.- Es la expresión algebraica, que se compone de: signo, coeficiente,

base ó literal y exponente.

Término Semejante.- Es la expresión algebraica, que se compone de misma base y mismo

exponente, aunque su signo y coeficiente sean diferentes.

Ejem: es semejante a

Ejem: es semejante a

Clasificación de Términos Algebraicos.- Se clasifican según su número de términos, de la

siguiente manera:

Monomio = un solo término Ejem:

Binomio = dos términos Ejem:

Trinomio = tres términos Ejem:

Polinomio = 2 ó más términos Ejem:

2.2 Leyes de los signos

Suma y Resta:

Ejem: Ejem:

Ejem: Ejem:

Ejem: Ejem:

Ejem: Ejem:

Multiplicación y División:

Ejem: Ejem:

Ejem: Ejem:

2.3 Signos de Agrupación

Definición.- Son los signos que nos sirven para agrupar términos u operaciones entre ellos,

los principales son:

Paréntesis Corchete Llave

Cuando se aplican en operaciones, el objetivo es suprimirlos multiplicando por el término ó

signo que le antecede. Si en una expresión matemática existen varios signos de agrupación,

se procede a eliminarlos de adentro hacia fuera.

Ejem: Ejem:

Ejem:

2.4 Evaluación de expresiones algebraicas

El valor numérico de una expresión algebraica, es el que se obtiene al sustituir las bases o

literales por un valor específico.

Ejem: Si x =2 & y = -1 de la expresión:

sustituyendo:

Ejem: Si & de la expresión:

sustituyendo:

2.5 Lenguaje algebraico

Definición.- Es la forma de expresión común o coloquial que se expresa de forma

algebraica.

Ejem:

Un número cualquiera x

Un número cualquiera aumentado en dos

La diferencia de dos números cualquiera

El triple de un número disminuido en cuatro

La cuarta parte de un número

Las tres cuartas partes de la suma de dos

números

La suma de tres números naturales consecutivo

Las dos quintas partes de un número

disminuido en cuatro es igual a 24

La suma de tres números pares consecutivos,

es igual al cuádruple del menor más la mitad

del mayor

2.6 Leyes de los Exponentes

Multiplicación: Sumar los exponentes

Ejem: Ejem:

División: Restar los exponentes

Ejem: Ejem:

Potencia : Multiplicar los exponentes

Ejem: Ejem:

Inverso: Cambiar signo de exponente

Ejem: Ejem:

Unitario: Siempre es igual a uno

Ejem: Ejem:

2.7 Operaciones algebraicas

Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma ó resta, se obtienen de sumar ó restar

términos semejantes.

Ejem: Sumar &

Ejem: Restar de

Multiplicación.- La operación algebraica de multiplicar, básicamente puede efectuarse,

como sigue:

Monomio por monomio

Ejem:

Monomio por polinomio

Ejem:

Ejem:

Polinomio por polinomio

Ejem:

División.- La operación algebraica de dividir, básicamente puede efectuarse, como sigue:

Monomio entre monomio

Ejem: Ejem:

Polinomio entre monomio

Ejem:

Polinomio entre polinomio

Ejem:

T

T

2.8 Radicales

Propiedades de los radicales:

Índice = potencia:

Ejem: Ejem:

Índice ? potencia:

Ejem: Ejem:

Multiplicación con mismo índice:

Ejem: Ejem:

Ejem:

Multiplicación con diferente índice:

Ejem:

Ejem:

Raíz de una raíz:

Ejem: Ejem:

División con índices iguales:

Ejem: Ejem:

División con índices diferentes:

Ejem:

Ejem:

Operaciones con radicales:

Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma ó resta, se obtienen de sumar ó restar

radicales semejantes, es decir, con el mismo índice y la misma base, según la siguiente

regla:

Ejem: Resolver:

Ejem: Resolver:

Ejem: Resolver:

Ejem: Resolver:

Racionalización.- Es el convertir una fracción con denominador en forma de radical, en

otra fracción equivalente, donde su denominador sea un número entero.

De un denominador monomio:

Forma: se multiplica por y se simplifica.

Ejem: se multiplica por: el numerador y el denominador, obteniéndose:

Ejem: se multiplica por: el numerador y el denominador,

obteniéndose:

De un denominador binomio:

Forma: se multiplica por el conjugado del denominador y

se simplifica.

Ejem: se multiplica por: el numerador y el denominador, obteniéndose:

Ejem: se multiplica por: el numerador y el

denominador, obteniéndose:

Números Imaginarios.- Es el expresado como " i ", significa la raíz cuadrada de "-1", es

decir:

Entonces también:

Ejem:

Ejem:

Ejem:

Operaciones con números imaginarios

Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma ó resta, se obtienen aplicando:

Ejem: Resolver:

Ejem: Resolver:

Ejem: Resolver:

2.9 Productos Notables

Definición.- Son multiplicaciones abreviadas, que sin necesidad de efectuarlas, podemos

llegar a su resultado, respetando ciertas reglas para cada caso. Los principales casos son:

Binomio al cuadrado

Binomios conjugados

Binomios con término común

Binomio al cubo

Binomio al cuadrado

Regla:

Ejem: Ejem:

Binomios conjugados

Regla:

Ejem: Ejem:

Binomios con término común

Regla:

Ejem:

Ejem:

Binomio al cubo

Regla:

Ejem:

Ejem:

2.10 Factorización

Definición.- Es la forma más simple de presentar una suma o resta de términos como un

producto indicado, respetando ciertas reglas para cada caso. Los principales casos son:

Factor común

Diferencia de cuadrados

Trinomio cuadrado perfecto

Trinomio de la forma

Trinomio de la forma

Factor común

Regla: Paso 1: Obtener el máximo común divisor ( MCD )

Paso 2: Menor exponente de las literales comunes

Paso 3: Dividir cada término entre el factor común obtenido

Trinomio cuadrado perfecto

Trinomio de la forma x2+bx+c

Regla:

Ejem: Ejem:

Trinomio de la forma ax2+bx+c

Simplificación de fracciones algebraicas.- Es la aplicación de los conocimientos de

productos notables y factorización, tanto en el numerador como en el denominador, se

simplifica a su mínima expresión.

Suma y resta con denominadores diferentes

Ejem: Ejem:

División

Ejem: Ejem:

Ejem: Ejem:

Multiplicación

Ejem: Ejem:

Reactivos Unidad 2:

UNIDAD 3.

Ecuaciones

3.1 Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Definición.- Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas llamados miembros, donde

la incógnita debe tener exponente uno y el objetivo es encontrar su valor, por lo que se

deben tener las siguientes consideraciones:

3.2 Desigualdades de primer grado con una incógnita

Definición.- Es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas llamados miembros,

donde la variable debe tener exponente uno y el objetivo es encontrar su conjunto solución,

se aplican básicamente las mismas reglas que para una ecuación, además de las siguientes

consideraciones:

Regla: Cada vez que un término se multiplique ó divida entre un número negativo, cambia

el sentido de la desigualdad

Signos de Desigualdad y Gráfica

3.3 Sistema de Ecuaciones (2 ecuaciones con 2 incógnitas)

Definición.- Es el llamado "Sistema de 2 ecuaciones de 1er grado con 2 incógnitas", en que

el objetivo es encontrar los valores de éstas 2 variables. Existen varios métodos para su

solución, entre los cuales están los llamados "Reducción" (Suma y Resta) y

"Determinantes" (Regla de Kramer), que se explican a continuación:

Método de Reducción (Suma y Resta)

Regla: Eliminar una de las 2 variables multiplicando una ó las 2 ecuaciones por un factor ó

factores que hagan que la suma de una de las variables sea "cero" y despejar la variable

restante para obtener su valor, posteriormente sustituir el valor encontrado en una de las

ecuaciones originales y obtener el valor de la segunda variable.

Método por Determinantes (Regla de Kramer)

Problemas de Aplicación

Dentro del proceso de resolución de problemas, se pueden diferenciar seis etapas:

1. Leer el problema

2. Definir las incógnitas principales de forma precisa

3. Traducción matemática del problema

4. Resolución del problema matemático

5. Interpretar las soluciones

6. Contrastar la adecuación de esas soluciones

Ejem: En un zoológico hay aves (de dos patas) y tigres (de 4 patas). Si el zoológico

contiene 60 cabezas y 200 patas, ¿cuántas aves y cuántos tigres viven en él?

3.4 Sistema de Ecuaciones (3 ecuaciones con 3 incógnitas)

Definición.- Es el llamado "Sistema de 3 ecuaciones de 1er grado con 3 incógnitas", en que

el objetivo es encontrar los valores de éstas 3 variables. Los métodos para su solución, son:

"Reducción" (Suma y Resta) y "Determinantes" (Regla de Kramer):

Método por Determinantes (Regla de Kramer)

Realizar los pasos siguientes:

1. Se escribe el determinante de tres por tres.

2. Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizontales.

3. Se trazan 3 diagonales de derecha a izquierda y 3 de izquierda a derecha.

4. Se multiplican entre si los tres números por los que pasa cada diagonal.

5. Los productos de los números que están en las diagonales trazadas de izquierda a

derecha se escriben con su propio signo y los de derecha a izquierda con el signo

cambiado.

3.5 Ecuaciones de 2do grado con una incógnita

Clasificación

Métodos de solución

Completas: forma ax2 + bx + c = 0

Es cuando, la ecuación está compuesta por un trinomio, donde existen los valores de "a, b y

c" , y para encontrar sus dos raíces ó soluciones, se utilizan los métodos siguientes:

Incompletas mixtas: forma ax2 + bx = 0

Es cuando, la ecuación está compuesta por un binomio, donde existen los valores de "a y b,

pero no de c", y para encontrar sus dos raíces ó soluciones, se utiliza el método de

factorización por término común y se despeja, como sigue:

Incompletas puras: forma ax2 + c = 0

Es cuando, la ecuación está compuesta por un binomio, donde existen los valores de "a y c,

pero no de b", y para encontrar sus dos raíces ó soluciones, se utiliza el método de despeje,

como sigue:

Reactivos Unidad 3:

¿Cuál es el valor de "x" que satisface la ecuación ?

a) b) c) d) e)

¿Cuál es el valor de "x" que satisface la ecuación ?

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuación , se obtiene:

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuación , se obtiene:

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuación , se obtiene:

a) b) c) d) e)

El valor de "x" que cumple con la igualdad es:

a) b) c) d) e)

El valor de "x" que cumple con la igualdad es:

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuación se obtiene:

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuación se obtiene:

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuación se obtiene:

a) b) c) d) e)

De la ecuación el valor de "x" que satisface es:

a) b) c) d) e)

De la ecuación el valor de "x" que satisface es:

a) b) c) d) e)

Al resolver la siguiente ecuación se obtiene:

a) b) c) d) e)

:La suma de dos números naturales enteros consecutivos es 183, hallar los números:

a) b) c) d) e)

El menor de dos números impares consecutivos es el doble del mayor disminuido en

15. Hallar los números

a) b) c) d) e)

El triple de la suma de un número con su mitad igual a las 2/3 partes del mismo

número aumentado en 46.

a) b) c)

d) e)

¿Cuál es el número que sumado con su duplo da 261?

a) 78 b) 45 c) 87 d) 97 e) 89

La suma de dos números es 450 y su cociente 8. Hallar los números.

a) 425 y 25 b) 400 y 50 c) 350 y 100 d) 410 y 40 e) 420 y 30

Si a un número añado 23, resto 41 de esta suma y la diferencia la multiplico por 2,

obtengo 122. ¿Cuál es el número?

a) 84 b) 48 c) 45 d) 79 e) 58

La edad de Roberto es 2/3 de los 3/5 de la de Guillermo, Si éste tiene 30 años ¿Cuál

es la edad de Roberto?

a) 14 años b) 18 años c) 13 años d) 10 años e) 12 años

La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. ¿Cuáles son los

números?

a) 57 y 49 b) 81 y 25 c) 58 y 48 d) 50 y 56 e) 52 y 54

Encontrar los tres números consecutivos cuya suma sea 186.

a) 61,62 y 63 b) 61,61 y 61 c) 64,67 y ,69 d) 32,33 y 34 e) 62,62 y 62

La suma de las edades de Sonia y Toño es 84 años y Toño tiene 8 años menos que

Sonia. Hallar ambas edades.

a) 38 y 46 b) 40 y 44 c) 41 y 43 d) 37 y 40 e) 38 y 41

Un cateto de un triángulo mide 20 cm y la hipotenusa es 10 cm mayor que el otro

cateto .Hallar las longitudes de los lados desconocidos

a) b) c) d) e)

¿Cuáles son las raíces de ?

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuación se obtiene:

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuación se obtiene:

a) b) c) d) e)

El conjunto solución de es:

a) b) c) d) e)

El conjunto solución de es:

a) b) c) d) e)

El conjunto solución de es:

a) b) c) d) e)

El conjunto solución de es:

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuación se obtiene:

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuación se obtiene:

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuación se obtiene:

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuación se obtiene:

a) b) c) d) e)

¿Cuál de los siguientes valores cumple con:

a) b) c) d) e)

¿Cuál de los siguientes afirmaciones es verdadera, si

a) b) c) d) e)

El conjunto solución de es:

a) b) c) d) e)

El conjunto solución de la desigualdad es:

a) b) c) d) e)

El conjunto solución de la desigualdad es:

a) b) c) d) e)

El conjunto solución de la desigualdad es:

a) b) c) d) e)

El intervalo que satisface a es:

a) b) c) d) e)

La expresión que representa "a lo más tengo 250" es:

a) b) c) d) e)

La expresión que representa "por lo menos tengo 500" es:

a) b) c) d) e)

El conjunto solución de es:

a) b) c) d) e)

Los valores de las incógnitas del sistema son:

a) b) c)

d) e)

o Los valores de las incógnitas del sistema son:

a) b) c)

d) e)

o El valor de "x" del sistema de ecuaciones es:

a) b) c) d) e)

o El valor de "y" del sistema de ecuaciones es:

a) b) c) d) e)

o Si x = 2 y y = 3 . La solución del sistema de ecuaciones simultáneas es:

a) b) c)

d) e)

o Un perro y su collar han costado $54, y el perro costó 8 veces lo que el

collar. ¿Cuánto costó el perro y cuánto el collar?

a) Perro $48 y collar $6 b) Perro $32 y collar $22 c) Perro $50 y collar $4

d) Perro $46 y collar $8 e) Perro $47 y collar $7

o La edad de Juan es el doble que la de Pedro, y ambas edades suman 36 años.

Hallar ambas edades.

a) Juan 12, Pedro 24 b) Juan 24, Pedro 12 c) Juan 12, Pedro 12

d) Juan 21, Pedro 15 e) Juan 15, pedro 21

o El valor de "x" , por medio de determinantes es:

a) b) c)

d) e)

o El valor de "y" , por medio de determinantes es:

a) b) c)

UNIDAD 4.

Álgebra de funciones

Valor de una función

Se obtiene, al sustituir el valor de "x" en la función f(x):

Ejem: Si f(x) = obtener el valor de f(-4) y f(3)

Ejem: Si f(x) = obtener el valor de f(-2) y f(4)

4.1 Dominio y Rango

Dominio, es el conjunto de todos los valores de "x" admisibles para una función.

Rango, es el conjunto de todos los valores resultantes de "y" al sustituir cada una de

los elementos del dominio en la función.

Ejem: El dominio de la función racional

entonces, sus raíces son:

Ejem: El dominio de la función racional

entonces, sus raíces son:

Ejem: Para que valor de "x" la función se

indetermina:

entonces, para: la función se indetermina

Función cuadrática

Es de la forma y representa una parábola, donde su concavidad es hacia arriba

cuando "a" es positiva y es hacia abajo cuando "a" es negativa.

El vértice de la parábola, se obtiene en el punto:

Los puntos donde la gráfica interseca al eje "x", son la solución de la ecuación.

Dependiendo de su concavidad y la coordenada de su vértice, se puede obtener el

dominio y el rango de la función.

Ejem: Sea la función obtener su dominio y rango.

El vértice es: entonces, y la curva es cóncava

hacia arriba

ahora, las raíces de: sus raíces son:

entonces:

Ejem: Graficar las siguientes funciones indicando dominio y rango.

4.2 Funciones y relaciones

Definición

Se le llama relación, a todos los pares ordenados ( x, y ), existentes entre 2

conjuntos.

Se le llama función, a la relación entre dos conjuntos, de tal manera que para cada

"x", corresponda un solo elemento de "y".

Regla: Para determinar si una gráfica es una función ó relación, basta con trazar una

vertical imaginaria sobre ella, y verificar los puntos de intersección. Es decir, si sólo

toca un punto, se refiere a una función; si toca más de un punto se refiere a una

relación.

Clasificación de Funciones

4.3 Función Logarítmica y exponencial:

Es de la forma

, donde:

Forma logarítmica: corresponde a:

Forma exponencial:

Ejem: Al convertir en forma exponencial, obtenemos:

Ejem: Al convertir en forma exponencial, obtenemos:

Ejem: Al convertir en forma exponencial, obtenemos:

entonces:

Ejem: Al convertir en forma

exponencial, obtenemos:

Reactivos Unidad 4:

UNIDAD 5.

Geometría euclidiana

5.1 Ángulos

Clasificación Básica

Se le llama ángulo complementario, son los ángulo cuya suma es igual a 90o .

Ejem: El complemento de 70o es 20o , porque

Ejem: El complemento de 35o es 55o , porque

Se le llama ángulo suplementario, los ángulo cuya suma es igual a 180o .

Ejem: El suplemento de 40o es 140o , porque

Ejem: El suplemento de 135o es 45o , porque

5.2 Conversión de grados a radianes y viceversa

Reactivos Unidad 5:

UNIDAD 6.

Trigonometría

6.1 Teorema de Pitágoras

Definición.- Aplicado para todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa

( c ) es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos (a y b ).

6.2 Funciones Trigonométricas

Definición.- Son las razones existentes establecidas entre los lados de un triángulo

rectángulo y son:

o Una oficina de forma rectangular, un lado mide 4m y su diagonal mide 5 m,

¿Cuánto mide el otro lado?

a) 9 b) 3 c) 5 d) 4 e) 2

o Según la figura, la razóncorresponde a la función:

o Según la figura, la razón : corresponde a la función:

Respuestas a Reactivos de Matemáticas

UNIDAD 7.

Recta

7.1 Distancia entre dos puntos.

Dado los puntos A(x1, y1) y B (x2, y2)

La distancia se determina por la siguiente fórmula

Ejemplo.

1. ¿Cuál es la distancia entre los puntos M (3,-1) y N (7, 2)?

a) 5 b) - 5 c) d)

Ejercicio 1:

1. ¿Cuál es la distancia entre los puntos M (2, 3) y N (5, 7)?

a) 5 b) - 5 c) 7 d) - 7

2. ¿En cuál de las opciones se muestra la distancia entre los puntos A (-5, 1) y B (5,11)?

a) b) c) d)

3. La distancia entre los puntos P (- 3, 0) Y Q (4, - 3) es:

a) 40 b) c) 10 d)

4. La distancia entre P (- 5,1) y Q (3,7) es:

a) 100 b) 10 c) d)

5. ¿Cuál es la distancia entre el punto (5,7) y el punto (3,1)?

a) b) c) d)

7.2 Punto medio.

El punto medio de dos puntos A (x1, y1) y B (x2, y2) esta determinado por la fórmula.

Ejemplo.

Cuáles son las coordenadas del punto medio, entre los puntos P (3, -1) y Q (7, 2)

Ejercicio 2:

1. Las coordenadas del punto medio del segmento A (- 3,2) y B (5, 2) son:

a) (- ½, 0) b) (1,2) c) (0, - ½) d) (2, -

½) e) (- ½, - ½)

2. Encuentre el punto medio del segmento AB, si A y B tienen por coordenadas (- 6, 0) y (8,

6) respectivamente:

a) (- 10,0) b) (1,3) c) (- 6, 0) d) (-

10,3) e) (0, 10)

3. Uno de los extremos de un segmento de recta es (-2, -3) y su punto medio es (2,0), las

coordenadas del otro extremo son:

a) (2, 3) b) (3, - 2) c) (4, 4) d) (5,

4) e) (6, 3)

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos67/guia-matematicas-dos-ingreso/guia-

matematicas-dos-ingreso.shtml#ixzz39XbF34f9

4. Si Pm (-1,3) es el punto medio del segmento AB y B tiene por coordenadas B(8,6)

entonces las coordenadas de A son:

a) (- 10, 0) b) (- 10, 3) c) (- 3, - 10) d) (0,

10) e) (10, 3)

5. ¿Cuál es el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos P1 (- b, - a) y P2(a,

b)?

a) b) c) (0, 0) d)

7.3

Pendiente de una recta.

La pendiente es la inclinación que tiene una recta, es el cociente de la altura y la base.

Podemos calcularla a partir de dos puntos A(x1, y1) y B (x2, y2), la pendiente queda

determinada como:

Ejemplo.

1. Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (3, -1) y B (7, 2)

Nota: Te sugerimos realizar los siguientes ejercicios como medida de refuerzo para

aprenderte las fórmulas. Te recomendamos verificar leyes de los signos, ya que es el error

común en éste tipo de ejercicios.

Encuentre la distancia, la pendiente y el punto medio entre los puntos dados:

1) P (-5, 1) y Q (3, 7) 2) R (5, 7) y S (3, 1) 3) A (2, -

4) y B (- 4, 4)

4) C (-1, - 4) y D (3, 6) 5) G (0, 0) y H (- 6, -7) 6) T (- 2,

5) y S (6, 4)

7.4 Ecuación de la recta.

La recta esta determinada por una ecuación de primer grado; es decir, el exponente de las

variables es 1. Su forma general es:

Ax + By + C = 0

Cuenta con 2 elementos principales, la pendiente (m) y su ordenada al origen (b).

Pendiente Ordenada al origen

Y con éstos datos obtenemos la forma Simplificada:

De la ecuación simplificada, consideramos y = 0, obtenemos un valor que llamaremos a

(abscisa). Obteniendo la ecuación Simétrica:

Ejercicio 3:

1. La pendiente de la recta 2x + 4y - 5 = 0 es:

a) - 1/2 b) ½ c) - 4/5 d) 2 e)

- 2

2. La pendiente de la recta 6x -2y +1 = 0 es:

a) - 1/2 b) ½ c) - 4/5 d) - 3 e)

3

3. La pendiente de la recta 6x - 3y + 1 = 0

a) - 1/2 b) ½ c) - 2 d) 2 e)

3

4. La pendiente y ordenada al origen de la recta 4(x - 1) + 2y = 0 son:

a) m = - 2, b = - 2 b) m = - 2, b = 2 c) m = 2, b = 2 d) m = 3, b =

2 e) m = 4, b = - 1

Ahora analizaremos algunos casos especiales para encontrar la ecuación de una recta:

Caso I. Si nos dan dos puntos A(x1, y1) y B (x2, y2); primero calculamos la pendiente y

posteriormente utilizamos la ecuación:

... Ecuación Punto pendiente

Ejemplo.

Encuentre la ecuación de la recta formada por los puntos A (3, - 1) y B (7, 2)

Primero calcularemos la pendiente.

Posteriormente utilizaremos la ecuación punto pendiente, sustituyendo cualquiera de los

dos puntos dados y la pendiente encontrada. Tomaremos A (3, - 1) y pendiente

y - (-1) = 3/4 (x - 3)

4 (y + 1) = 3 (x - 3)

4y + 4 = 3x - 9

- 3x + 4y + 4 + 9 = 0

- 3x + 4y + 13 = 0 ó

3x - 4y - 13 = 0 solución.

Ejercicio 4:

1. La ecuación de la recta que pasa por los puntos P(5, 0) Y Q (0, - 3) es:

a) 3x - 5y + 15 = 0 b) 3x - 5y - 15 = 0 c) 3x - 5y + 1 =

0

d) 5x - 3y -1 = 0 e) 5x + 3y - 1 = 0

2. La ecuación de la recta que pasa por los puntos C (-5, 0) y B (0, 6) es:

a) 6x + 5y + 30 = 0 b) 6x - 5y - 30 = 0 c) 5x + 6y + 30

= 0

d) 5x - 6y + 30 = 0 e) 6x - 5y + 30 = 0

3. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-2, - ½ ) y (-1/5 , 3)?

a) -35x - 18y + 61 = 0 b) 35x - 18y + 61= 0 c) - 35x + 18y + 61 = 0 d) 35x + 18y +

61 = 0

4. La ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(- 2, - 1) y P2 ( ½ , 6) es:

a) 14y - 5x + 4 = 0 b) 14y - 5x - 4 = 0 c) 5y - 14x - 23 = 0 d) 5y + 14x + 23

= 0

Caso 2. Si nos dan un punto y la pendiente, se sustituyen los datos en la ecuación punto

pendiente.

Encuentre la ecuación de la recta formada por el punto A ( 2, - 3) y la pendiente m = - 2.

y - (-3) = -2 (x - 2)

y + 3 = -2x + 4

2x + y + 3 - 4 = 0

2x + y -1 = 0 solución.

Ejercicio 5:

1. ¿Cuál es la ecuación de la recta cuya pendiente es - 3/5 y pasa por el punto (- 6, - 8 )?

a) 5y + 3x + 58 = 0 b) 5y - 3x + 22 = 0 c) 5y - 3x + 58 = 0 d)5y + 3x - 22 =

0

2. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto P( 1/3, - 4) y cuya pendiente es - 2?

a) 3x + 6y - 25 = 0 b) 3x + 6y + 23 = 0 c) 6x + 3y - 14 = 0 d) 6x + 3y + 10 =

0

3. ¿Cuál es la ecuación de la recta cuya pendiente es - 3/2 y que interseca al eje y en (0, -

5)?

a) 3x + 2y - 10 = 0 b) 3x + 2y + 10 = 0 c) 6x + 2y - 5 = 0 d) 6x + 2y + 5 =

0

4. Ecuación de la recta cuya pendiente es - 3/8 y que interseca al eje y en (0, - 1)?

a) 3x + 8y - 1 = 0 b) 3x + 8y + 8 = 0 c) 8x + 3y + 8= 0 d) 8x + 8y + 3 =

0

7.5 Paralelismo y perpendicularidad.

Condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre dos rectas.

- Paralelas si m1 = m2 (Si las pendientes son iguales)

- Perpendiculares si: m1m2 = - 1 (Si son de signo contrario y recíprocas)

Caso 3. Encontrar la ecuación de una recta dado un punto y la ecuación de una recta

paralela a ella.

Como las rectas son paralelas, entonces las pendientes son iguales, por lo que si tomamos el

punto dado y la pendiente de la recta dada, tendremos nuestro problema resuelto.

Ejemplo:

La ecuación de la recta que pasa por el punto (5, - 2) y es paralela a la recta 5x + 12y - 30 =

0 es:

Como son paralelas, las pendientes son iguales, entonces m = - 5 / 12

Tomando el punto (5, - 2) y la pendiente m = - 5 / 12; la sustituimos en la ecuación punto

pendiente y - y1 = m (x - x1)

y - (-2) = -5 / 12 (x - 5)

12 (y + 2) = -5 (x - 5)

12y + 24 = - 5x + 25

5x + 12y + 24 -25 = 0

5x + 12y -1 = 0 solución.

Ejercicio 6:

1. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1, 6) y es paralela a la recta x - 5y

+ 6 = 0?

a) x - 5y + 31 = 0 b) x - y + 11 = 0 c) 5x + y + 11 = 0 d)

5x - y + 11 = 0

2. La ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 7) y es paralela a la recta y = -1/2x+

15/2, es:

a) 2x + y - 5 = 0 b) 2x - y + 5 = 0 c) x + 2y - 15 =0 d) x - 2y + 15 =

0 e) 2x - 4= 0

3. La ecuación de la recta que pasa por el punto (- 8, 4) y es paralela a la recta y = 2x +5 es:

a) 2x + y - 5 = 0 b) 2x - y +20 = 0 c) x + 2y - 15 =0 d) x +

2y=0 e) x - y =0

4. La ecuación de la recta que pasa por el punto (- 5, - 5) y es paralela a la recta y = - x +5

es:

a) x +y = 0 b) x - y = 0 c) x + y - 10 =0 d) x - y +10 =

0 e) x + y + 10 = 0

Caso 4. Encontrar la ecuación de una recta dado un punto y la ecuación de una recta

perpendicular a ella.

Como las rectas son perpendiculares, entonces las pendientes son inversas y de signo

contrario, por lo que si tomamos el punto dado y la pendiente perpendicular de la recta

dada, tendremos nuestro problema resuelto.

Ejemplo:

La ecuación de la recta que pasa por el punto (5, - 2) y es perpendicular a la recta 5x + 12y

- 30 = 0 es:

Como son perpendiculares, las pendientes son recíprocas y de signo contrario, entonces m1

= -5 / 12 y su perpendicular m2 =12 / 5

Tomando el punto (5, -2) y la pendiente m = 12 / 5; la sustituimos en la ecuación punto

pendiente y - y1 = m (x - x1 )

y - (-2) = 12 / 5 (x - 5)

5 (y + 2) = 12 (x - 5)

5y + 10 = 12x - 60

12x - 5y - 60 - 10 = 0

12x - 5y - 70 = 0 solución.

Ejercicio 7:

1. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (- 1, 6) y es perpendicular a la recta

x - 5y + 6 = 0?

a) x + 5y + 11 = 0 b) x + y + 11 = 0 c) 5x + y - 1 = 0 d) 5x - y + 11

= 0

2. La ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 7) y es perpendicular a la recta y= - 1/2x

+ 15/2, es:

a) 2x + y - 5=0 b) 2x - y + 5=0 c) x + 2y - 15 =0 d) x - 2y +

15=0 e) 2x - 4 = 0

3. La ecuación de la recta que pasa por el punto (- 8, 4) y es perpendicular a la recta y = 2x

+ 5 es:

a) 2x + y - 5 = 0 b) 2x - y + 5 = 0 c) x + 2y - 15 = 0 d) x + 2y =

0 e) x - y = 0

4. La ecuación de la recta que pasa por el punto (- 5, - 5) y es perpendicular a la recta y = -

x + 5 es:

a) x +y = 0 b) x - y = 0 c) x +y -10 = 0 d) x -y +10 =

0 e) 5x+ 5y = 0

UNIDAD 8.

Circunferencia

8.1 Forma canónica.

(x - h)2 + (y - k)2 = r2 Ecuación Ordinaria o canónica

A partir de la ecuación ordinaria, podemos determinar su centro C

(h, k) y el radio r, pero si desarrollamos los binomios al cuadrado e

igualamos a cero obtenemos la forma general.

Ejemplo.

Encontrar el centro y el radio de la circunferencia determinada por

la ecuación (x - 3)2 + (y + 7)2 = 36

El centro es (3, - 7) y su radio 6. (nota: los valores de la ecuación

cambian de signo al incorporarlos al centro) Para encontrar la

ecuación general desarrollamos el binomio al cuadrado.

Ejemplo.

Dada la ecuación ordinaria, determine la ecuación general de la circunferencia (x - 3)2 + (y

+ 1)2 = 25

Desarrollando los cuadrados

x2 - 6x + 9 + y2 + 2y + 1 - 25 = 0

x2 + y2 - 6x + 2y - 15 = 0 solución.

8.2 Forma general.

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0… Ecuación general

Elementos:

Centro Radio

Caso I. Dada la ecuación general, encontrar los elementos, el centro y el radio.

Ejemplo.

El centro y el radio de la circunferencia x2 + y2 - 2x - 14y + 5 = 0 son:

Centro C y su

radio

Ejercicio 8:

1. Coordenadas del centro de la circunferencia: x2 + y2 + 4x - 6y + 12 = 0

a) (- 2, - 3 ) b) ( 2, - 3 ) c) (- 2, 3 ) d) ( 2,

3 )

2. El centro y el radio de la circunferencia x2 + y2 - 8x+ 14y + 31 = 0 son:

a) C(7, - 4) r = 5 b) C(- 7,4) r = 3 c) C(4, - 2) r = 3 d) C(- 4, 2) r

= e) C(4, -7), r =

3. El centro y el radio de la circunferencia x2 + y2 +2x +2y - 11 = 0 son:

a) C(1, 1) r = 13 b) C(1, -1) r = 11 c) C (1, 1) r = d) C(-1, -1) r =

e) C(-1, 1) r =

4. Dada la ecuación de la circunferencia x2 + y2 +4x + 6y + 9 = 0, su centro y radio son:

a) C(- 2, - 3), r = 2 b) C(- 2, 3), r = 4 c) C(2, -3), r = 2 d) C(4, 6) r =

3 e) C(4, 6), r = 9

Caso II. Dados los elementos, centro y radio, encontrar la ecuación ordinaria o general.

Solo sustituimos el centro y el radio en la ecuación ordinaria y en el caso de que soliciten la

general, desarrollamos los cuadrados igualamos a cero y simplificamos.

Ejemplo.

¿Cuál es la ecuación ordinaria de la ecuación cuyo centro esta en (-3, 4) y radio 8?

(x + 3)2 + (y - 4)2 = 64 Nota: los valores del centro al ingresar, cambian de signo.

Desarrollando los cuadrados e igualando a cero,

x2 - 6x + 9 + y2 - 8y + 16 - 64 = 0

x2 + y2 - 6x - 8y - 39 = 0 solución.

Ejercicio 9:

1. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con centro en (- 4, 6) y radio 6?

a) (x - 4)2 + (y + 6)2 = 36 b) (x - 4)2 + (y + 6)2 = 6

c) (x + 4)2 + (y - 6)2 = 36 d) (x + 4)2 + (y - 6)2 = 6

2. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con centro en (- 1, 1/5) y radio 9?

a) (x - 1)2 + (y + 1/5)2 = 3 b) (x + 1)2 + (y - 1/5)2 = 3

c) (x - 1)2 + (y + 1/5 )2 = 81 d) (x + 1)2 + (y - 1/5)2 = 81

3. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con centro en (- 3, - 4) y radio 3?

a) x2 - 8x + y2 + 6y = - 16 b) x2 + 8x + y 2 - 6y = -16

c) x 2+ 6x + y2 + 8y = -16 d) x 2 - 6x + y2 + 8y = -16

4. x2 + y2 - 8x +6y + 9 =0 es la ecuación de una circunferencia en la forma general, su

ecuación en forma canónica es:

a) (x - 4)2 + (y - 3)2 =9 b) (x + 4)2 + (y - 3)2 = 9 c) (x -

4)2 + (y + 3)2 = 9

d) (x +4)2 + (y - 3)2 =16 e) (x - 4)2 + (y + 3)2 = 16

Caso III. Dado el centro y un punto de la circunferencia.

Primero debemos calcular el radio, éste se calcula utilizando la distancia entre dos puntos,

posteriormente sustituimos el centro y el radio en la ecuación ordinaria, si solicitan la

ecuación general, desarrollamos los binomios.

Encuentre la ecuación ordinaria de la circunferencia, si tiene como centro el punto (3, - 1) y

pasa por el punto (7, 2)

Primero calculamos la distancia entre los puntos

Posteriormente tomamos el centro de la circunferencia (3, - 1) y el radio 5 y lo sustituimos

en la ecuación ordinaria.

(x - 3)2 + (y + 1)2 = 25

Desarrollando los cuadrados

x2 - 6x + 9 + y2 + 2y + 1 - 25 = 0

x2 + y2 - 6x + 2y -15 = 0 solución.

Ejercicio 10:

1. La ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P(6, 0), con centro en C(2, - 3) es:

a) x2 + y2 + 4x - 6y + 2 = 0 b) x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0 c) x2 +

y2 - 6x + 4y - 12 = 0

d) x2 + y2 - 6x + 4y = 0 e) x2 + y2 - 6x -12 = 0

Caso IV. Dado dos puntos que conforman el diámetro.

Al calcular el punto medio de los dos puntos del diámetro, obtenemos el centro; luego

calculamos la distancia del centro a cualquiera de los dos puntos para obtener el radio.

Ejemplo:

Encuentre la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro esta determinada por el

segmento que une los puntos A (- 4, -10) y B (6, 14)

Primero calcularemos el punto medio para encontrar el centro

Ahora calcularemos la distancia del centro a cualquiera de los dos puntos dados.

Con el centro C (1,2) y el radio 13, los sustituimos en la ecuación ordinaria.

(x - 1)2 + (y - 2)2 = 169 Nota: los valores del centro al ingresar, cambian de signo.

Desarrollando los cuadrados e igualando a cero,

x2 - 2x + 1 + y2 - 4y + 4 - 169 = 0

x2 + y2 - 2x - 4y -159 = 0 solución.

2. La ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento que une los puntos A(3, -

2) y B(5, 4) es:

a) x2 + y2 - 2x - 8y = 0 b) x2 + y2 -2x - 8y + 1= 0 c) x2 +

y2 - 8x - 2y + 9 = 0

d) x2 + y2 - 8x - 2y + 7 = 0 e) x2 + y2 + 8x - 2y = 0

Parábola

9.1 Horizontal y vertical con vértice en el origen.

Vertical Horizontal

x2 + Ey = 0 Ecuación General de la Parábola y2 + Dx = 0

x2 = 4py Ecuación Ordinaria y2 = 4px

Vértice: V(0, 0) Vértice: V(0, 0)

Foco: F(0, p) Foco: F(p, 0)

Directriz: y = - p Directriz: x = - p

Lado recto: LR = ç4pç Lado recto: LR = ç4pç

Ejemplo:

Encuentre las coordenadas del foco de la parábola cuya ecuación es x2 -12y = 0

Primero despejamos x2 de la ecuación, obteniéndose: x2 = 12 y

Comparando con la ecuación de la parábola de la forma: x2 =

4py concluimos que es vertical cóncava a la derecha

Y si la coordenada del foco se define como: F ( 0, p ) e igualando 4p = 12 , al despejar

se obtiene p = 3

Concluimos que la coordenada del foco es F( 0, 3 )

Ejercicio 11:

1. Las coordenadas del foco de la parábola cuya ecuación es x2 = - 16y son:

a) ( 0 , 4 ) b) ( 4 , 0 ) c) (- 4 ,0 ) d) ( 0 ,

- 4 )

2. ¿Cuál es el foco para la parábola 12x = - 3y2?

a) F( 0, 1) b) F(1 , 0) c) F(0, -1) d) F(-

1, 0)

3. ¿Cuáles son las coordenadas del foco de la parábola -y2 = - 7/2 x?

a) F (- 7/8 , 0) b) F(0, - 7/8) c) F ( 7/8 , 0 ) d)

F( 0, 7/8)

4. ¿Cuál es la ecuación de la directriz de la parábola y2 = - 8 / 3 x?

a) x = - 2/3 b) x = 2/3 c) x = - 32/3 d) x =

32/3

5. La ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco F (7, 0) es:

a) - y2 = 7x b) y2 = 14x c) y2 = -21x d) y2 =

28x e) y2 = - 28x

6. ¿Cuál es la ecuación de la parábola con vértice en el origen, foco en (¾ , 0) y directriz x

= - ¾?

a) x2 = - 3y b) y2 = - 3x c) x2 = 3y d) y2

= 3x

7. ¿Cuál es la ecuación de la parábola con vértice en el origen y cuyo foco es el punto F(0,

1/8 )?

a) x2 = -1/8 y b) y2 = -1/2 x c) x2 = 1/2 y d)

y2 = 1/8 x

8. ¿Cuál es la ecuación de la parábola con vértice en (0, 0), foco en x, y pasa por (4, 6)?

a) x2 = 9y b) y2 = 9x c) x2 = - 9y d) y2

= - 9x

9.2 Horizontal y vertical con vértice fuera del origen.

Vertical Horizontal

Ax2 +Dx + Ey + F = 0 Ecuación General Cy2 +Dx +Ey + F = 0

(x - h)2 = 4p (y - k) Ecuación Ordinaria (y - k)2 = 4p (x - h)

Vértice: V(h, k) Directriz: y = k - p Vértice: V(h,

k) Directriz: x = h - p

Foco: F(h, k+ p) Lado recto: LR = ç4p ç Foco: F(h + p,

k) Lado recto: LR = ç4p ç

Para transformar la ecuación general a ecuación ordinaria, se debe completar a un trinomio

cuadrado perfecto y factorizar. En el caso inverso, sólo se desarrolla el cuadrado, el

producto, se factoriza y se iguala a cero.

Ejemplos:

1. Encontrar el vértice de la ecuación de la parábola x2 - 6x - 12y - 51 = 0

El primer paso consiste en dejar únicamente a la incógnita que este elevada al cuadrado

x2 - 6x = 12y + 51

Posteriormente completar cuadrados: x2 - 6x + 9 = 12y + 51 +9

Factorizar: (x - 3)2 = 12y + 60

Factorizar: (x - 3)2 = 12(y + 5)

Obtener el vértice V (3, - 5)

Ejercicio 12:

1. La parábola cuya ecuación es y2 + 4y - 4 x + 16 = 0, tiene por vértice el punto:

a) (3, 2) b) (2, 3) c) (3, - 2) d) (- 2,

3)

2. ¿Cuáles son las coordenadas del foco de la parábola cuya ecuación es y2 - 6y + 8x = 7?

a) (0, 3) b) (5, 2) c) (3, 0) d) (3,

4)

3. ¿Cuál es el foco de la parábola cuya ecuación es: 5y2 + 30y + x + 50 = 0?

a) F (- 29/5, - 3) b) F (- 101/20, -3 ) c) F (- 9/5, - 5) d) F

(- 61/20, - 5)

4. Encuentre la longitud del lado recto de la parábola: x2 - 4y + 8 = 0

a) 8 b) 16 c) 2 d) 4

5. ¿Cuál es la longitud del lado recto de la parábola cuya ecuación es y2 + 6y + 6x + 39 = 0

a) 2 b) 3 c) 5 d) 6

6. ¿Cuál es la ecuación de la directriz de la parábola: x2 - 3x + 3y - 15/4 = 0?

a) y = - 5 b) y = - 11/4 c) y = 5/4 d) y =

1

7. La ecuación de la parábola cuyo foco es el punto F( - 6, 4) y la directriz la recta x = 2 es:

a) y2 + 16x - 8y + 48 =0 b) x2 + 2x - 8y - 7 = 0 c) y2 - 8x -

2y + 7 = 0

d) y2 + 8x - 2y - 41 =0 e) x2 + 6x - 16y - 41 = 0

8. La ecuación de la parábola con foco F (0, 3) y directriz y + 3 = 0, es:

a) y2 + 12x - 2y - 3 = 0 b) x2 - 12x - 4y = 0 c) x2 + 12x -

6y +1 = 0

d) x2 - 12y = 0 e) y2 - 12x = 0

9. La ecuación de la parábola cuyo foco es el punto F(5, - 2) y la directriz la recta x = - 3 es:

a) x2 + 4x - 8y + 7 =0 b) x2 - 4x - 8y - 7 = 0 c) y2 + 16x -

4y - 20 = 0

d) y2 -16x + 4y + 20 =0 e) x2 + 6x - 16y - 41 = 0

10. La ecuación de la parábola cuyo foco es el punto F(- 2, - 2) y la directriz la recta y = 2

es:

a) y2 + 8x + 4y + 4 =0 b) y2 - 8x - 4y - 4 = 0 c) x2 - 4x -

8y - 4 = 0

d) x2 + 4x + 8y + 4 =0 e) y2 + 8x = 0

11. ¿Cuál es la ecuación de la parábola cuyo foco está en (1, 8) y la ecuación de su directriz

es y = - 4?

a) (x - 1)2 = 24 (y - 2) b) (y - 1)2 = 24 (x - 2) c) (x - 2)2 = -24 (y - 1) d)

(y - 2)2 = - 24 (x - 1)

12. ¿Cuál es la ecuación de la parábola con V(4, 2); L.R = 6. Eje horizontal.

a) (y + 2)2 = +6(x + 4) b) (y - 2)2 = +6(x - 4) c) (x - 2)2 = +6(y -

4) d) (x + 2)2 = +6(y + 4)

13. ¿Cuál es la ecuación de la parábola con vértice en (3, - 1) y ecuación de la directriz x =

- ½?

a) y2 - 6y + 2x + 11 = 0 b) 2x2 - 12x + y + 19 = 0 c) y2 + 2y - 14x + 43 =

0 d) 2x2 + 12x - 7y + 25 = 0

14. La ecuación de la parábola con vértice en (3, 2) y directriz x - 5 = 0 es:

a) y2 + 8x - 4y - 20 = 0 b) y2 + 4y +20 = 0 c)y2 + x - 2y

- 10 = 0

d) y2 - 4x + 8y - 10 = 0 e y2 - 8x + 4y + 20 = 0

UNIDAD 10.

Elipse

10.1 Horizontal y vertical con centro en el origen.

C: Centro

V y V" : Vértices

F y F" : Focos

Ecuación ordinaria (a > b)

(Horizontal) (Vert

ical)

Vértices V(+ a, 0) Centro C(0, 0) Vértices V( 0, + a)

Focos F(+ c, 0) Focos F(0, + c)

Eje menor B(0, + b) Eje menor B(+ b, 0)

Desarrollas e igualas a cero y obtienes:

Ax2 + Cy2 + F = 0 Ecuación General

también: Lado

Recto: Excentricidad:

Ejemplo:

Encontrar todos los elementos de la elipse cuya ecuación es 9x2 + 5y2 - 45 = 0

El primer paso consiste en dejar únicamente a las incógnitas que están elevadas al

cuadrado:

9x2 + 5y2 = 45

Posteriormente convertirla a su forma ordinaria:

Simplificando, tenemos: , por lo tanto es vertical,

donde: a2 = 9 y b2 = 5

Como: , sustituyendo: entonces: c = 2, a =

3 y

También, lado recto es: , y la excentricidad es:

Concluyendo, entonces tenemos: ,

eje mayor VV" = 2a = 2(3) = 6, eje menor BB" = 2b = y eje focal FF" = 2c = 2(2)

= 4

Ejercicio 13:

1. ¿Cuáles son los vértices de la elipse 100x2 + 4y2 = 1?

a) V1(-1/10, 0) V2 (1/10, 0) b) V1(- ½, 0) V2 (½, 0) c) V1(0, - 1/10) V2 (0,

1/10) d) V1( 0, - 1/2) V2 (0, 1/2 )

2. Uno de los vértices de la elipse cuya ecuación es 16x2 + 9y2 = 144 es el punto:

a) (- 3, 0) b) (- 4, 0) c) (0, 4) d) (0,

3)

3. ¿Cuáles son los focos de la elipse cuya ecuación es 9x2 + 16y2 = 96?

a) b) c)

d)

4. ¿Cuál es la longitud del eje mayor de la elipse cuya ecuación es:

a) b) c) 18 d) 81

5. ¿Cuál es la longitud del eje menor de la elipse cuya ecuación es ?

a) b) 6 c) d) 12

6. Ecuación de la elipse cuyos vértices que definen al eje mayor son V (0, 6) V´(0, - 6) y

excentricidad ½ es:

a) 3x2 + 4y2 - 10 = 0 b) 4x2 - 3y2 - 108 = 0 c) 3x2 - 4y2 -

108 = 0

d) 4x2 + 3y2 - 108 = 0 e) 3x2 + 4y2 - 108 = 0

7. Ecuación de la elipse cuyos vértices son V(0 , 4) y V(0, - 4) y focos F(0, 2) y F´(0, - 2)

es:

a) 3x2 + 4y2 + 48 = 0 b) 3x2 - 4y2 + 48 = 0 c) 3x2 + 4y2

- 48 = 0

d) 4x2 - 3y2 - 48 = 0 e) 4x2 + 3y2 - 48 = 0

8. ¿Cuál es la ecuación de la elipse con 2a = 10 y Foco en F(4, 0)

a) 9x2 + 25y2 = 225 b) 25x2 + 9y2 = 225 c) x2 + y2 =

34 d) 4x2 + 10y2 = 225

9. ¿Cuál es la ecuación de la elipse si LR =20/3 V1=(- 6, 0), V2=(6, 0)

a) - 5x2 + 9y2 = 180 b) 5x2 - 9y2 = 180 c) 5x2 + 9y2 =

180 d) 9x2 + 5y2 = 180

10. ¿Cuál es la ecuación de la elipse con excentricidad igual a 3/5 y vértices en (0, 5) y (0, -

5)?

a) b) c)

d)

11. ¿Cuál es la ecuación de la elipse con focos F1(0, 3/5) y F2 (0, - 3/5) y cuyo eje mayor

mide dos unidades de longitud?

a) 25x2 + 91y2 = 91 b) 16x2 + 25y2 = 16 c) 91x2 + 25y2 =

91 d) 25x2 + 16y2 = 16

12. ¿Cuál es la ecuación de la elipse con vértice en (0, 4) y pasa por el punto ?

a) b) c)

d)

13. ¿Cuál es la longitud del eje mayor de la elipse cuya ecuación es 25x2 + 36y2 = 900?

a) 5 b) 6 c) 10 d) 12

10.2 Horizontal y vertical con centro fuera del origen.

C: Centro

V y V" : Vértices

F y F" : Focos

Ecuación ordinaria (a > b)

(Horizontal) (Vertical)

Vértices V(h + a, k) Centro C(h, k) Vértices V(h, k + a)

Focos F(h + c, k) Focos F(h, k + c)

Eje menor B(h, k + b) Eje

menor B(h + b, k)

Desarrollas e igualas a cero y obtienes:

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0…Ecuación General

también: Lado

Recto: Excentricidad:

Ejemplo:

Encontrar todos los elementos de la elipse cuya ecuación es 9x2 + 4y2 - 72x - 24y +

144 = 0

El primer paso consiste en agrupar las mismas variables: (9x2 - 72x )+ (4y2 -

24y) = - 144

Factorizar por factor común: 9(x2 - 8x )+ 4(y2 - 6y) = -

144

Completando los trinomios cuadrados perfectos: 9(x2 - 8x + 16)+ 4(y2 - 6y

+9) = - 144 + 144 + 36

Reduciendo a binomios al cuadrado: 9(x - 4)2+ 4(y - 3)2 =

36

Dividiendo entre

36:

Simplificando, tenemos:

por lo tanto es vertical, donde su centro C (h, k) es C(4 , 3) y los valores de: a2 = 9 y b2

= 4

Como: , sustituyendo: entonces: , a =

3 y b = 2

También, lado recto es: , y la excentricidad es:

Concluyendo, entonces tenemos: Vértices:

Focos:

Eje menor:

eje mayor VV" = 2a = 2(3) = 6, eje menor BB" = 2b = y eje focal FF" = 2c

=

Ejercicio 14:

1. ¿Cuál es el nuevo origen de la ecuación: x2 + 9y2 + 4x - 18y - 23 = 0 ?

a) (2, - 1) b) (- 2, 1) c) (1, - 2) d) (- 1,

2)

2. Las coordenadas del centro de la elipse cuya ecuación es 4x2 + y2 - 24x - 4y + 24 = 0

son:

a) C (- 2, - 3) b) C (- 2, 3) c) C (2, - 3) d) C (2.

3) e) C (3, 2)

3. ¿Cuales son los vértices de la elipse cuya ecuación es ?

a) b) c)

d)

4. ¿Cuáles son los vértices de la elipse cuya ecuación es: ?

a) V1= ( 13/3 , 5) V2 ( 11/3 , 5) b) V1= ( 4 , -15/3) V2 ( 4 ,

14/3)

c) V1= ( 17/4 , 5) V2 ( 16/4 , 5) d) V1= ( 4 , 21/4) V2 ( 4 , 19/4)

5. Los focos de la elipse 4x2 + 9y2 - 36 = 0 son:

a) (0, ), (0, - ) b) (5, 5), (- 5, - 5) c) (0, 7), (0, - 7) d) ( , 0), (- ,

0) e) (0, 4), (0, - 4)

6. ¿Cuáles son los focos de la elipse cuya ecuación es: 9x2 + 54x + 25y2 - 250y = 1319?

a) (5 , - 15) ; ( 5 , 9 ) b) (-15, 5) ; ( 9 , 5 ) c) ( 15, - 5) ; (- 9 , - 5) d) (-

5 , 15) ; (- 5 , - 9)

7. ¿Cuál es el valor del lado recto de la elipse cuya ecuación es 9x2 + 16y2 + 96y - 36x +

36 = 0?

a) 3/2 b) 8/3 c) 32/9 d) 9/2

8. La excentricidad de la elipse con ecuación 9x2 + 25y2 - 54x + 100y - 44 = 0

a) ¾ b) 4/5 c) 3/5 d)

2/3 e) 2/5

9. Calcule la excentricidad de la elipse, cuya ecuación es

a) b) c) d)

10. ¿Cuál es la distancia entre los focos de una elipse si sus semiejes miden 5/3 y 8/5

unidades de longitud?

a) 7/30 u b) 14/15 u c) 28/30 u d)

28/15 u

11. Si los semiejes de una elipse miden 8 cm y 17 cm, ¿cuál es la distancia entre los focos?

a) 15 cm. b) 16 cm. c) 30 cm. d) 34 cm.

12. Si los semiejes de una elipse miden 14 y 12 unidades de longitud, ¿Cuál es el valor de

la excentricidad de la elipse?

a) b) c) d)

13. El lado recto de la elipse 4x2 + y2 - 24x -4y + 24 = 0 es:

a) ½ b) 2 c) 3 d) 4 e)

8

14. ¿Cuál es la ecuación de la elipse con V1 (- 8, 5 ); V2 ( 12, 5 ), LR = 5?

a) b) c)

d)

15. La ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos F(2, 1), F(- 2, 1) y excentricidad e =

½ es:

a) b) c)

d) e)

16. La ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos F(3, 0), F´(3, - 4) y excentricidad e

= 1/2 es:

a) b) c)

d) e)

17. La ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos F(4, 4) F´(4, - 2) y excentricidad e

= 3/5 es:

a) b) c)

d) e)

UNIDAD 11.

Hipérbola

11.1 Horizontal y vertical con centro en el origen.

Ecuación ordinaria (no importa el tamaño de a, sólo debe estar con el positivo)

(Horizontal)

Vértice V(+ a , 0)

Focos F(+ c, 0)

Eje conjugado B(0,+ b

>

Eje focal y = 0

Eje normal x = 0

(Vertical)

Vértice V( 0, + a)

Focos F(0, + c)

Eje conjugado B(+ b, 0)

Ecuación de las asíntotas

Eje focal x = 0

Eje normal y = 0

Ecuación de las asíntotas

Distancia focal 2c

Eje transverso 2a

Eje conjugado 2b

Desarrollas e igualas a cero y obtienes:

Ax2 - Cy2 + F = 0 Ecuación General

11.2 Horizontal y vertical con centro fuera del origen.

Ecuación ordinaria (no importa el tamaño de a, sólo debe estar con el positivo)

(Horizontal)

Vértice V(h + a , k)

Focos F(h+ c, k)

Eje conjugado B(h, k + b)

(Vertical)

Centro ( h, k )

Vértice V( h, k + a)

Focos F(h, k + c)

Eje conjugado B(h + b, k)

Eje focal y = k

Eje normal x = h

Ecuación de las asíntotas

Eje focal x = h

Eje normal y = k

Ecuación de las asíntotas

Eje transverso 2a

Eje conjugado 2b

Distancia focal 2c

Desarrollas e igualas a cero y obtienes:

Ax2 - Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Ecuación General

Ejercicio 15:

1.De acuerdo con sus datos de la gráfica, ¿Cuál es su ecuación?

a)

b)

c)

d)

2. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de la hipérbola cuya ecuación es

?

a) (2, 5), (10, 5) b) (5, 2), (5, 10) c) (-2, 5), (-10,

5) d) (5, - 2), (5, - 10)

3. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de la hipérbola cuya ecuación es

?

a) (- 4, 0), (- 4, 4) b) (2, - 7), (2, - 1) c) (2, - 6), (2, -

2) d) (- 4, - 1), (4, 5)

4. ¿Cuáles son las coordenadas de los focos de la hipérbola cuya ecuación es

?

a) (- 5, - 2), (- 5, 2) b) (- 7, 0), (- 3, 0) c) (- 5, - 2), (- 5, 2) d) (- 5-

2 , 0), (- 5 + 2, 0)

5. ¿Cuáles son las coordenadas de los focos de la hipérbola cuya ecuación es

?

a) (7, - 5), (- 23, - 5) b) (- 7, - 5), (23, - 5) c) (- 5, - 7), (- 5, 23) d) (- 5,

7),( - 5, - 23)

6. ¿Cuál es la distancia entre los focos de la hipérbola cuya ecuación es ?

a) 17 b) c) 145 d)

7. ¿Cuál es la distancia entre los focos de la hipérbola cuya ecuación es 16x2 - 9y2 = 144?

a) 2 b) 7 c) 27 d) 10

8. El lado recto de la hipérbola es igual a:

a) 4 u. l. b) 10 u. l. c) 16 u. l. d) 20 u. l. e)

36 u. l.

9. El lado recto de la hipérbola es igual a:

a) 4 u. l. b) 16 u. l. c) 12 u. l. d) 6 u. l. e)

20 u. l.

10. El lado recto de la hipérbola es igual a:

a) 2 u. l. b) 3 u. l. c) 1 u. l. d) 4 u. l. e)

9 u. l.

11. La ecuación representa una hipérbola cuyo lado recto es igual a:

a) 1 b) c) 2 d) e)

12. La excentricidad de la hipérbola 9x2 - 7y2 + 256 = 0 es:

a) -3/4 b) ¾ c) 7/9 d) 9/7 e)

4/3

13. ¿Cuáles son las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es 4x2 - y2 =

16?

a) y = + ¼ x b) y = + ½ x c) y = + 2x d) y = +

4x

14. ¿Cuáles son las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es 36x2 -

16y2 = 64?

a) y = + 3/2 x b) y = + 8/3 x c) y = + 2/3 x d) y = +

3/8 x

15. La ecuación de la hipérbola con centro en el origen, vértice en el punto V(6, 0) y uno de

sus focos es el punto F(12, 0) es:

a) 3x2 - y2 + 108 = 0 b) x2 + 3y2 + 108 = 0 c) 3x2 - y2 -

108 = 0

d) 3x2 - 12y2 - 108 = 0 e) 3x2 + 12y2 - 108 = 0

16. La ecuación de la hipérbola cuyos focos son F( 6, 0) y F´(-6, 0) y excentricidad igual a

3/2 es:

a) 5x2 + 4y2 - 80 = 0 b) 5x2 - 4y2 - 80 = 0 c) x2 - y2 -

16 = 0

d) 4x2 - 4y2 - 80 = 0 e) 3x2 - 2y2 - 20 = 0

UNIDAD 12.

Ecuación general de segundo grado

12.1 Identificación de cónicas

A partir de la ecuación general, calcularemos el discriminante (B2 - 4AC), de ésta manera

podemos determinar la sección cónica.

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

B2 - 4AC < 0, La curva es una elipse.

B2 - 4AC = 0, La curva es una parábola.

B2 - 4AC > 0, la curva es una hipérbola.

En el caso particular de que B = 0,

Obtenemos: Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Si A = C representa una circunferencia

Si A ¹ C y tienen el mismo signo, es una elipse

Si A y C tienen signos diferentes es una hipérbola

Si A = 0 y C ¹ 0, o A ¹ 0 y C = 0 es una parábola

Si A = 0 y C = 0 es una recta.

Análisis de una curva a partir de su ecuación.

Ejercicio 16:

1. La representación gráfica de la ecuación: 9x2 + 16y2 + 36x - 524 = 0 es:

a) Un Punto b) Una elipse c) Una hipérbola d)

Una parábola

2. La ecuación 24x2 - 16y2 + 24x - 32y - 10 = 0 corresponde a la gráfica de un a

a) Un punto b) Hipérbola c) Rectas que se cortan d)

Rectas paralelas

3. La ecuación 9x2 - 4y2 -12x + 8y + 104 = 0 corresponde a la gráfica de una

a) Elipse b) Parábola c) Hipérbola d)

Circunferencia

4. La ecuación general Ax2 + B xy + Cy2 + Dx + E y + F =0, representa una elipse,

cuando:

a) B2 - 4AC =0 b) B2 - 4AC > 1 c) B2 - 4AC > 0 d) B2 - 4AC ¹

1 e) B2 - 4AC < 0

5. La curva cuya ecuación es 4x2 - 24 xy + 11 y2 + 56x - 58y + 95 = 0 presenta una:

a) Circunferencia b) Recta c) Parábola d)

Hipérbola e) Elipse

6. La curva cuya ecuación es x2 + y2 + 2x - 4y - 8 = 0, representa una:

a) Circunferencia b) Recta c) Parábola d)

Hipérbola e) Elipse

7. La ecuación 6x2 + 4xy + y2 + 4x - 2y + 2 = 0 corresponde a:

a) Recta b) Circunferencia c) Parábola d)

Elipse e) Hipérbola

8. La ecuación 4x2 + 2xy+ 6y2 + 6x - 10y + 9 = 0 corresponde a:

a) Recta b) Circunferencia c) Parábola d)

Elipse e) Hipérbola

9. La ecuación 4x2 - 4xy + y2 + 4x + 2y - 5 = 0 corresponde a una:

a) Recta b) Circunferencia c) Parábola d)

Elipse e) Hipérbola

Respuestas a los ejercicios de Geometría Analítica

Ejercicio I Ejercicio 2 Ejercicio 3 Ejercicio 4 Ejercicio 5 Ejercicio 6

1 a 1 b 1 a 1 b 1 a 1 a

2 a 2 b 2 e 2 e 2 d 2 c

3 b 3 b 3 d 3 b 3 b 3 b

4 b 4 b 4 b 4 c 4 b 4 e

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos67/guia-matematicas-dos-ingreso/guia-

matematicas-dos-ingreso2.shtml#ixzz39XbUpj1Y

Partes: 1, 2, 3

5 c 5 d

Ejercicio 7 Ejercicio 8 Ejercicio 9 Ejercicio 10 Ejercicio 11 Ejercicio 12

1 c 1 c 1 c 1 b 1 d 1 c

2 b 2 e 2 d 2 d 2 d 2 a

3 d 3 d 3 c 3 c 3 b

4 b 4 a 4 e 4 b 4 d

5 d 5 d

6 d 6 b

7 c 7 a

8 b 8 d

9 d

10 d

11 a

12 b

13 c

14 a

Ejercicio 13 Ejercicio 14 Ejercicio 15 Ejercicio 16

1 d 1 b 1 b 1 b

2 c 2 e 2 a 2 b

3 b 3 b 3 a 3 c

4 c 4 c 4 c 4 e

5 c 5 d 5 b 5 d

6 e 6 b 6 d 6 a

7 e 7 d 7 d 7 d

8 a 8 b 8 b 8 d

9 c 9 a 9 d 9 c

10 a 10 b 10 e

11 d 11 c 11 c

12 a 12 d 12 e

13 d 13 b 13 c

14 b 14 a

15 b 15 c

16 d 16 b

17 b

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos67/guia-matematicas-dos-ingreso/guia-

matematicas-dos-ingreso3.shtml#ixzz39XbguRK5