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Apuntes de Máquinas Eléctricas
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MAGNETISMO Y
ELECTROMAGNETISMO
Apuntes de Máquinas Eléctricas
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MAGNETISMO Y ELECTROMAGNETISMO
1.- Introducción
En los circuitos eléctricos, la conexión existente entre los elementos pasivos, se
realiza por medio de materiales conductores que obligan a que la corriente eléctrica siga
determinados recorridos, obedeciendo a las leyes de Kirchhoff
Cuando se trata de estudiar máquinas eléctricas, electroimanes y otros
dispositivos electromagnéticos, se plantea un problema similar: canalizar y concentrar –
incluso reforzar- las densidades de flujo magnético, en las regiones donde se necesita, lo
cual se logrará usando materiales ferromagnéticos –que estudiaremos más en detalle
posteriormente-.
Un circuito magnético, está formado generalmente por una estructura de hierro,
sobre la que se arrolla una o más bobinas por las que circulan corrientes que dan lugar a
los flujos que aparecen en el sistema.
Con respecto al cálculo riguroso de los flujos magnéticos producidos en los
circuitos magnéticos es complicado. Habría que emplear las ecuaciones de Maxwell o
técnicas numéricas (métodos de elementos finitos – M.E.F.) y ayudarnos incluso de un
ordenador.
Pero sin embargo, como veremos en el apartado séptimo, vamos a definir las
leyes de los circuitos magnéticos que permiten resolver el problema de una forma
aproximada, la cual en la mayor parte de las ocasiones es suficiente para las
aplicaciones que se dan en Electrotecnia.
Posteriormente, en el octavo punto, se estudiará el comportamiento de un
circuito magnético, particularizando ese comportamiento en los materiales
ferromagnéticos.
Y por último, se estudiarán las pérdidas de energía en el núcleo ferromagnético,
calculándose las expresiones de las pérdidas en el hierro por histéresis y por corriente de
Foucault, dando algunas ideas constructivas sobre las chapas magnéticas.
Apuntes de Máquinas Eléctricas
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En primer lugar haremos un amplio repaso de las principales magnitudes y
principios de magnetismo y electromagnetismo.
2.- Magnetismo
La palabra magnetismo deriva del nombre “Magnesia”, una región de Asia
Menor con ricos yacimientos de magnetita (Fe3O4). Fue descubierto hace más de 2000
años por los griegos, al observar que los trozos de este mineral, las piedras imán, atraían
al hierro.
La magnetita es un imán natural y su propiedad de atraer los objetos de hierro se
denomina magnetismo. Aunque podemos encontrar en la naturaleza, otros materiales
como el cobalto y el níquel, que tienen un comportamiento similar al hierro. A estos
materiales se les denomina ferromagnéticos.
Cuando estos trozos de mineral eran suspendidos de un hilo se orientaban según
la línea norte-sur, dando lugar a la brújula magnética. Se conoce que en China, durante
el siglo X, era empleada como ayuda a la navegación, aunque existen indicios de que
los mismos chinos y los vikingos empezaron a usarla en el siglo VI.
En el siglo XVII William Gilbert (1540-1603), llevó a cabo estudios sobre las
características de los imanes y observó que la máxima atracción ejercida por los imanes
sobre trozos de hierro se producía en los llamados "polos de imán" y que si se partían se
volvían a obtener dos polos. Tras realizar estudios con esferas de magnetita, llegó a la
conclusión de que la tierra se comportaba como un imán gigantesco con sus polos
situados cerca de los polos norte y sur geográficos. Al polo de la aguja magnética que
queda orientado hacia el norte geográfico se denomina polo norte magnético del imán, y
al otro, polo sur magnético.
Posteriormente, se descubrió que no sólo los imanes tienen efectos magnéticos.
En el siglo XIX Oersted (1820), desmostó la existencia de un campo magnético
alrededor de todo conductor por el que circulaba una corriente eléctrica, al observar la
desviación de una aguja imantada al ser colocada en dirección perpendicular a un
conductor eléctrico, por el que circula una corriente eléctrica. Posteriormente se
desarrolló la teoría magnética, con las leyes de Faraday, Ampére y Lenz.
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En el 1865, Maxwell, estableció la teoría del electromagnetismo, relacionando la
electricidad y el magnetismo.
2.1.- Características elementales de los imanes
Las características elementales de los imanes son:
• Cada imán posee dos polos magnéticos próximos a los extremos (Norte y
Sur) independientemente de la forma que tenga, y una zona neutra que los
une.
• No es posible obtener polos aislados (monopolos). Es decir, si se rompe un
imán, los trozos siguen teniendo dos polos.
• Atraen a los materiales ferromagnéticos (hierro, cobalto y níquel).
• Los imanes ejercer fuerzas de atracción entre sí cuando los polos son
opuestos, y de repulsión cuando son iguales.
Los imanes pueden ser naturales (magnetita) o artificiales, los cuales son creados
por el hombre. Los artificiales se clasifican en: a) imanes temporales que mantienen sus
propiedades magnéticas sólo cuando está sometido a la acción de un campo magnético
(hierro dulce) y b) imanes permanentes que mantienen sus propiedades durante largo
tiempo (acero y aleaciones).
2.2.- Relación entre los fenómenos eléctricos y magnéticos
Oersted observa que un imán que puede girar alrededor de un eje (una aguja
magnética) se desvía al encontrarse en la proximidad de un hilo conductor que
transporta una corriente.
Por otro lado Faraday observa que en un circuito se produce una corriente
instantánea cuando en otro circuito próximo se establece o se interrumpe una corriente.
Más tarde se vio que el movimiento de un imán acercándose o alejándose del circuito
produce corrientes instantáneas.
Como consecuencia de ambas observaciones, definieron respectivamente que “el
movimiento de cargas eléctricas puede producir efectos magnéticos” (Oersted) y “que
pueden obtenerse corrientes eléctricas por el movimiento de imanes” (Faraday)
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3.- Campos magnéticos
Como hemos comentados anteriormente, una carga móvil crea en el espacio que
le rodea un campo magnético (Oersted). Para la determinación del campo magnético,
consideramos la consideración opuesta, es decir, que un campo magnético ejerce una
fuerza sobre una carga que se mueve a través de él.
Por lo tanto decimos que en un punto del espacio existe un campo magnético si,
además de la fuerza electrostática, se ejerce una fuerza sobre una carga móvil que pasa
por dicho punto.
3.1.- Definición
El campo magnético, inducción magnética o densidad de flujo, es una magnitud
vectorial, que se designa por la letra 𝐵�⃗ . Al ser una magnitud vectorial, para que quede
definida, además de su módulo, hay que indicar su dirección y sentido.
La determinación de 𝐵�⃗ experimentalmente se realiza a partir de un tubo de rayos
catódicos que consta de: cañón electrónico, que lanza electrones con una velocidad
controlable, y, una pantalla fluorescente, que señala la incidencia del haz de electrones.
De dicho experimento se observa que:
-La existencia de un campo magnético 𝐵�⃗ motiva que el haz de electrones se
desvíe.
-Se define como dirección de 𝐵�⃗ , la dirección en que ha de moverse una carga
para que el campo magnético no ejerza fuerza sobre ella. Supongamos que esto ocurre
cuando, en la figura 1, la �⃗� tiene la dirección del eje Oy, coincidente con la dirección de
𝐵�⃗ .
Figura 1. Relación entre la fuerza, velocidad y campo magnético.
�⃗�
𝐵�⃗ �⃗�
y
z
x
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-Cuando la velocidad de la carga móvil es perpendicular al campo magnético, la
fuerza que actúa sobre la carga es perpendicular a �⃗� y 𝐵�⃗ , tal como en la figura 1.
-Consideremos que emitimos iones positivos a una velocidad �⃗� no perpendicular
a 𝐵�⃗ -figura 2-. Se observa que la fuerza �⃗� que actúa sobre la carga positiva, +q móvil,
es perpendicular a �⃗� y 𝐵�⃗ , siendo su módulo proporcional a valor de la carga y a 𝑣 ·
𝑠𝑒𝑛𝛼.
Figura 2. Relación entre la fuerza, velocidad y campo magnético, con velocidad y campo no perpendiculares.
Se define el módulo de 𝐵�⃗ , como la constante de proporcionalidad entre F y
𝑣 · 𝑠𝑒𝑛𝛼, es decir
𝐵 = 𝐹𝑞·𝑣·𝑠𝑒𝑛𝛼
→ 𝐹 = 𝑞 · 𝑣 · 𝐵 · 𝑠𝑒𝑛𝛼
-La fuerza ejercida sobre una carga positiva es opuesta a la ejercida sobre una
negativa para valores fijos de �⃗� y 𝐵�⃗ .
Dado que el sentido de𝐵�⃗ , no es medible, definiremos el sentido del 𝐵�⃗ , como
aquél sentido que cumpla la relación
�⃗� = 𝑞 · �⃗� ∧ 𝐵�⃗
Su dirección es tangente en cada punto de dichas líneas y, su módulo, es igual al
número de líneas del campo por unidad de superficie normal a su dirección.
3.2.- Líneas de campo magnético
Del mismo modo que el campo eléctrico E puede representarse mediante líneas
de campo eléctrico, también el campo magnético B puede ser representado mediante
líneas de campo magnético. En ambos casos, la dirección del campo viene indicada por
�⃗�
𝐵�⃗
�⃗�
y
z
x 𝛼
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la dirección de las líneas de campo, y la magnitud del campo por su densidad. Existen,
sin embargo, dos importantes diferencias entre líneas del campo eléctrico y líneas de
campo magnético:
a) Las líneas de campo eléctrico poseen la dirección de la fuerza eléctrica sobre
la carga positiva, mientras que las líneas de campo magnético son perpendiculares a la
fuerza magnética sobre una carga móvil.
b) Las líneas de campo eléctrico comienzan en las cargas positivas y terminan
en las cargas negativas, las líneas de campo magnético forman circuitos cerrados. Como
los polos magnéticos aislados aparentemente no existen, no hay puntos en el espacio
donde las líneas de campo magnético comiencen o terminen. En la figura 3 se muestra
las líneas de campo, tanto dentro como fuera de una barra imanada, en nuestro caso se
visualiza dichas líneas gracias al uso de limaduras de hierro.
Figura 3. Línea de campo magnético en una barra imanada.
3.3.- Unidades
Su unidad en el sistema internacional es el Tesla (T), en honor a Nikola Tesla.
mA
NmCsNT
··· 111 ==
En el sistema cegesimal o c.g.s., la unidad de inducción magnética es el gauss
(G), 1 𝐺 ≡ 10−4 𝑇.
El campo más intenso que probablemente encontremos en nuestra vida cotidiana
será aproximadamente de 1 T. El valor del campo magnético terrestre, es de unas
décimas de gauss, y el valor del campo magnético en los dientes de una máquina
eléctrica es de 1,5 a 2 T.
Apuntes de Máquinas Eléctricas
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- Flujo magnético
Por tanto, las líneas de campo magnético son curvas que en cada punto son
tangentes al campo magnético que tengamos en cada punto. Igualmente podemos
indicar que en los campos magnéticos no se pueden definir un punto origen o destino,
siendo las líneas de campo curvas cerradas.
Partiendo de este concepto el flujo magnético está representado por líneas de
fuerza magnética. El número total de líneas de fuerza creadas por un campo magnético
se llama flujo magnético (φ).
La unidad de flujo magnético es una sola línea de fuerza, designada es el
maxwell. En el sistema internacional se usa una unidad mayor, el weber, la equivalencia
entre ambas es, 1 Wb = 108 maxwell (Mx), es decir,
AskgmsV
AmNmTWb
····· 2
22 11111 ====
también se define el weber diciendo que éste es equivalente al flujo magnético que al
atravesar un circuito de una sola espira produce en la misma una fuerza electromotriz de
1 voltio si se anula dicho flujo en 1 segundo por decrecimiento uniforme.
El número de líneas de fuerza que pasan perpendicularmente por un área de 1
cm2 se denomina densidad de flujo (B) y se mide en gauss (1 gauss= 1
maxwells/cm2).La unidad de densidad de flujo en el S.I. es el weber/m2, el cual es
equivalente a 104 gauss.
La expresión elemental del flujo viene determinado por la siguiente expresión:
𝑑𝜙 = 𝐵�⃗ · 𝑑𝑠����⃗
La expresión a través de una superficie S:
𝜙 = ∫𝐵�⃗ · 𝑑𝑠����⃗
Esta integral, denominada de superficie, tiene una resolución compleja. En este
capítulo y normalmente en aquellos referentes a máquinas se limitan al caso más
simple: la superficie de referencia será plana, y el campo magnético será uniforme en
toda la superficie. En este caso la expresión del flujo será:
𝜙 = ∫𝐵�⃗ · 𝑑𝑠����⃗ = 𝐵�⃗ · 𝑆 · 𝑐𝑜𝑠𝛼
Apuntes de Máquinas Eléctricas
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La ley de Gauss del magnetismo nos dice que como en el campo magnético las
líneas de campo son cerradas, el flujo del campo magnético a través de una superficie
cerrada es nulo, por lo tanto
𝜙 = ∮ 𝐵�⃗ · 𝑑𝑠����⃗𝑆 = 0 → ∇ · 𝐵�⃗ = 0
�𝜕𝐵𝑥𝜕𝑥
+ 𝜕𝐵𝑦𝜕𝑦
+ 𝜕𝐵𝑧𝜕𝑧� = 0
En definitiva el flujo entrante a través de cualquier superficie cerrada es igual al
flujo saliente.
Ejercicio de aplicación 1
Solución:
Con unidades del c.g.s.
𝐵 =𝜙𝑆
=15000
6,45= 2330 𝑔𝑎𝑢𝑠𝑠
En unidades del S.I.
𝐵 =𝜙𝑆
=2300
10000= 0,23 𝑤𝑒𝑏𝑒𝑟/𝑚2
5.- Fuerza sobre una carga en movimiento. Ley de Lorentz.
Del mismo modo que 𝐵�⃗ es originado por cargas en movimiento, también el
campo magnético produce efectos sólo sobre aquellas cargas que estén movimiento.
Podemos decir, por tanto, que la interacción magnética se produce únicamente entre
cargas en movimiento.
Supongamos una partícula de carga q que se mueve con velocidad �⃗� en una zona
en la que existe un campo magnético 𝐵�⃗ . La fuerza magnética que sufre dicha partícula
viene dada por la ley de Lorentz, que nos dice que “la fuerza magnética sobre una
carga puntual en movimiento es igual a su carga multiplicada por el producto vectorial
Calcula la densidad de flujo en la bobina de un altavoz, cuya área es 6,45 cm2, si el flujo total en la región es de 15.000 maxwells (líneas)
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de su velocidad por el campo magnético”. En alguna bibliografía aparece referenciada
la fuerza magnética como �⃗�𝑚𝑎𝑔, nosotros utilizaremos �⃗�.
�⃗� = 𝑞 · �⃗� ∧ 𝐵�⃗
el valor en módulo de la fuerza (F), puede obtenerse a partir de la siguiente ecuación.
𝐹 = |𝑞| · 𝑣 · 𝐵 · 𝑠𝑒𝑛𝛼
Figura Fuerza que sufre una carga en movimiento dentro de un campo magnético.
A partir de esta ecuación podemos definir la magnitud del campo magnético de
la siguiente forma, N=C·m·s-1·[B], y despejando el campo magnético tendremos que:
[𝐵] = 𝑁·𝑠𝐶·𝑚
= 𝑘𝑔𝐶·𝑠
= 𝑇 (𝑇𝑒𝑠𝑙𝑎)
como ya definimos antes.
En general sobre una partícula cargada actuarán campos eléctricos (𝐸�⃗ ) y
magnéticos (𝐵�⃗ ). La acción conjunta de ambos originará una fuerza que vendrá dada por
la ley general de Lorentz, según la expresión
�⃗� = �⃗�𝑒 + �⃗�𝑚 = 𝑞 · 𝐸�⃗ + 𝑞 · �⃗� ∧ 𝐵�⃗ = 𝑞 · �𝐸�⃗ + �⃗� ∧ 𝐵�⃗ �
Hablamos entonces de fuerza electromagnética. La separación entre los términos
eléctrico y magnético es algo relativo, ya que esta interacción depende del sistema de
referencia usado para medir. Normalmente usaremos sistemas de referencia en reposo.
�⃗�
𝐵�⃗ �⃗�
y
z
x
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5.1.- Fuerza sobre un elemento de corriente, segunda ley de Laplace
Cuando un conductor que transporta corriente se encuentra en un campo
magnético, se están ejerciendo fuerzas sobre las cargas móviles situadas dentro del
conductor. Estas fuerzas se transmiten a la materia que constituye el conductor y éste
experimenta una fuerza distribuida a lo largo de él.
5.1.1.- Fuerza sobre un elemento de corriente
La fuerza (�⃗�𝑞) que actúa sobre un portador de carga sería
�⃗�𝑞 = 𝑞 · �⃗� ∧ 𝐵�⃗
Figura 7. Fuerza sobre un elemento de corriente positivo.
La fuerza por unidad de volumen (𝑓), donde n es el número de portadores de
carga por unidad de volumen, y 𝚥, es la densidad de corriente.
𝑓 = 𝑛 · �⃗�𝑞 = 𝑛 · 𝑞 · �⃗� ∧ 𝐵�⃗ = 𝚥 ∧ 𝐵�⃗
La fuerza que actúa sobre el elemento de corriente.
𝑑𝐹�����⃗ = 𝑓 · 𝑣𝑜𝑙 = 𝚥 ∧ 𝐵�⃗ · 𝑆 · 𝑑𝑙 = 𝑆 · 𝚥 ∧ 𝐵�⃗ · 𝑑𝑙
sabiendo que 𝐼 = 𝑆 · 𝑗, y haciendo 𝚥 = 𝑗 · 𝑢�⃗ ⊺, donde 𝑢�⃗ ⊺ es el vector tangente al hilo
conductor (caso de considerar un conductor filiforme)
Supongamos una partícula cargada q que entra en una zona en la que hay un
5.1.2.- Fuerza sobre un conductor filiforme
Supongamos un hilo conductor rectilíneo por el que circula una intensidad de
corriente I, colocado en el interior de un campo magnético uniforme 𝐵�⃗ . La fuerza que
�⃗�
𝐵�⃗
+𝑞
𝑑𝑙
�⃗�
𝑢�⃗ ⊺ +
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sufrirá el cable dependerá de la intensidad del campo, del movimiento de las cargas (de
la corriente) por el conductor, y del tamaño del cable –figura 8-. Por tanto:
�⃗� = 𝐼 · 𝐿�⃗ ∧ 𝐵�⃗
el valor en módulo de la fuerza (F), puede obtenerse a partir de la siguiente ecuación.
𝐹 = 𝐼 · 𝐿 · 𝐵 · 𝑠𝑒𝑛𝛼
Figura 8. Fuerza sobre hilos conductores de corriente.
El vector 𝐿�⃗ se caracteriza por: un módulo, que se corresponde por la longitud de
nuestro conductor; una dirección, la definida por el conductor y un sentido, que lo da el
paso de la corriente.
6.- Campos magnéticos creados por cargas
Hasta ahora hemos determinado las fuerzas que actúan sobre las cargas en
movimiento conocido el campo magnético. Ahora vamos a estudiar el problema
inverso: determinar el campo magnético creado por una o varias cargas móviles.
Las expresiones de la ley de Biot-Savart (Baptiste Biot y Felix Savart), se
utilizan para calcular el campo magnético producido por cualquier corriente eléctrica, y
desmostaron que la intensidad de campo magnético disminuye en proporción inversa a
la distancia del conductor.
a) 𝐵�⃗ creado por una carga en movimiento:
𝐵 = 𝑘𝑚 · 𝑞·𝑣�⃗ ∧𝑢��⃗ 𝑟𝑟2
= 𝜇4𝜋
· 𝑞·𝑣�⃗ ∧𝑢��⃗ 𝑟𝑟2
donde km es una constante magnética que vale, exactamente
mA
WbAmTkmo ·
··
770 10104
−− ===πµ
𝑑�⃗�
𝐵�⃗
𝐼
𝑑𝑙
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en la ecuación (36) la µ, es la permitividad magnética del material. En el vacío se
utilizará µo, que es de 4π·10-7 T·m·A-1 y el valor de la constante magnética en el vacío
(Km0), será 10-7 T·m·A-1.
Respecto al sentido del campo (𝐵�⃗ ), indicar que es dependiente de la carga, de
forma que el sentido del campo con una carga positiva es inverso al que tendría con una
carga negativa.
El campo es nulo en todos los puntos de la dirección de la velocidad (�⃗�), y por
último,
Las líneas de campo son circunferencias situadas en planos perpendiculares �⃗�
con centro en la dirección de �⃗�.
b) 𝐵�⃗ creado por una corriente I, en un medio distinto del vacío:
𝐵 = 𝜇·𝐼4𝜋
· ∫ 𝑑𝑙����⃗ ∧𝑢��⃗ 𝑟𝑟2
c) Campo magnético 𝐵�⃗ producido por una corriente rectilínea a una distancia r
Las líneas de campo magnético producidas por un conductor recto y largo
forman círculos concéntricos sobre el conductor. La intensidad de campo magnético a
una distancia r de un hilo conductor rectilíneo por el que circula una corriente I, viene
dada por la siguiente expresión:
𝐵 = 𝜇·𝐼2·𝜋·𝑟
Figura 10. Campo generado por una corriente rectilínea.
Nótese que las líneas de campo son circunferencias situadas en un plano
perpendicular al hilo conductor y con centro en él. El sentido de 𝐵�⃗ es el de avance de un
sacacorchos que va con la corriente I.
d) Campo magnético 𝐵�⃗ producido en una espira
Apuntes de Máquinas Eléctricas
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Una espira es un conductor arrollado en forma circular. Si tenemos una espira de
radio R por la que circula una corriente I, el campo en el centro de la espira viene dado
por:
𝐵 = 𝜇·𝐼2·𝑅
Figura 11. Campo generado al circular una corriente por una espira
e) Campo magnético 𝐵�⃗ creado en el interior de un solenoide
Un solenoide es una bobina de N espiras. La intensidad de campo en cualquier
punto interior de un solenoide, cuya longitud sea mucho mayor que el radio de la espira,
viene, dada por:
𝐵 = 𝜇 · 𝑁𝐿
· 𝐼
Figura 12. Campo magnético en el interior de un solenoide
El campo magnético en el exterior de la bobina se considera nulo, ya que el
campo generado por cada espira repele al de la espira siguiente.
b) Para calcular el campo 𝐵�⃗ producido por varias corrientes sobre un punto, se
aplicará el principio de superposición.
𝐵𝑇𝑜𝑡��������⃗ = 𝐵1����⃗ + 𝐵2����⃗ + ⋯
7.- Ley de Ampère
El enunciado de la ley de Ampère nos dice que “la circulación de un campo
magnético a lo largo de una línea de cerrada es igual al producto de µo por la intensidad
neta que atraviesa el área limitada por la trayectoria”.
𝐼
𝛣�⃗
Apuntes de Máquinas Eléctricas
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Figura 1 Líneas de campo que atraviesan una línea cerrada.
La ley de Ampère es general, y para su aplicación hay que considerar el sentido
de la circulación; así, en el caso de la figura 14, resultaría
1𝜇𝑜∮ 𝐵�⃗ · 𝑑𝑙���⃗𝐶 = 𝐼1 − 𝐼2 − 𝐼3 + 𝐼4 − 𝐼5
8.- Principios básicos de aplicación.
Existen cuatro principios básicos que describen como se utilizan los campos
magnéticos en los motores, generadores y transformadores.
1º.- Un conductor que porta corriente produce un campo magnético a su
alrededor.
2º.- Un campo magnético variable con el tiempo induce un voltaje en una
bobina, si este campo atraviesa ésta (base del funcionamiento de un transformador), y
viene definido dicho valor por las leyes de Faraday y Lenz.
dtdNe φ·11 −=
3º.- Un conductor que porta corriente en presencia de un campo magnético
experimenta una fuerza inducida sobre él (este es el principio de funcionamiento de un
motor eléctrico). Esta fuerza viene definida por la siguiente expresión.
BlIF ∧= ·
La dirección de la fuerza es perpendicular a la dirección del conductor o espira y
al campo magnético, en el caso de la figura 15, el sentido de la inducción magnética, va
hacia dentro.
Apuntes de Máquinas Eléctricas
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Figura 15. Fuerza magnética sobre un conductor rectilíneo.
4º.- Un conductor que se mueve en presencia de un campo magnético tendrá un
voltaje inducido en él (principio de funcionamiento de un generador).
Otras leyes que son interesantes recordar son:
a) Ley de Biot y Savart. Dado un hilo conductor por el que circula una
intensidad I, nos permite calcular el campo magnético creado por un elemento
diferencial de ese conductor en un punto cualquiera del espacio.
34 rrdlIBd o ∧
=··
πµ
Para determinar el sentido del campo magnético en un punto, se utiliza la regla
de la mano derecha. Si el medio es distinto del vacío, se puede obtener el valor
de permeabilidad a utilizar a partir de la permeabilidad relativa de dicho medio
(µr) a partir de la siguiente expresión.
ro µµµ ·=
b) El flujo magnético a través de una superficie viene dado por la siguiente
expresión.
∫= AAdB·φ
c) La ley de Ampère, dice que la circulación de un campo magnético a lo largo
de una curva cerrada C, es igual a µo veces la intensidad de la corriente que
corta al área de dicha curva
∫ =C o IldH ·· µ
𝑑�⃗�
𝐵�⃗
𝐼
𝑑𝑙
Apuntes de Máquinas Eléctricas
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9.- Propiedades magnéticas de la materia
Las propiedades magnéticas de un material lineal, homogéneo e isótropo se
definen en función del valor de la susceptibilidad magnética Xm, que es un coeficiente
adimensional que expresa la proporcionalidad entre la magnetización o imanación (𝑀��⃗ ) y
la intensidad del campo magnético (𝐻��⃗ ), de acuerdo con la siguiente ecuación:
HM m·χ=
Esta expresión permite indicar que la imanación, magnetización o también
llamada imantación (𝑀��⃗ ) en un material determinado es directamente proporcional a la
intensidad de campo magnético aplicado exteriormente (𝐻��⃗ ), siendo esa constante de
proporcionalidad Xm (susceptibilidad magnética, que es adimensional, y depende del
material).
Como además la inducción magnética 𝐵�⃗ , está relacionada con los campos 𝐻��⃗ y 𝑀��⃗
por, ya que la inducción magnética o campo magnético que adquiere un material es
igual a la suma de las inducciones debido al campo exterior (𝐻��⃗ ), y del que se produce en
su interior (𝑀��⃗ ).
)·( MHB o += µ
Tendremos que:
HHHHHB romomo ···)1·(·)·( µµµχµχµ ==+=+=
Donde µ representa la permeabilidad magnética del medio (µ=µo·µr), y µr la
permeabilidad relativa que es igual a (1+Xm
), µo es la permeabilidad del vacío y que en
unidades del S.I. vale 4π·10-7 H/m. De acuerdo con el valor de µr podemos hablar de
tres tipos de materiales: diamagnéticos, paramagnéticos y ferromagnéticos –tabla 2-
Apuntes de Máquinas Eléctricas
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Tipos de materiales µr (Xm) Materiales representativos
Diamagnéticos µr≤1 (Xm
≈-10-5) Bismuto, agua cobre, oro, …
Paramagnéticos µr≥1 (Xm
≈10-3 Aluminio, magnesio, titanio,…
Ferromagnéticos µr≫1 (Xm
≈↑↑5) Hierro, cobalto y niquel
Tabla 2. Resumen de los diferentes tipos de materiales por sus Propiedades magnéticas.
Por tanto, a partir de los valores de la µr podemos definir el ferromagnetismo
como una propiedad que tiene ciertos materiales – llamados al final, materiales
ferromagnéticos- por el que estos materiales ante la presencia incluso de campos
magnéticos débiles, tienes grandes imanaciones. Hay que partir del hecho de que todos
los materiales en condiciones normales de presión y temperatura son magnéticamente
neutros. Y es en definitiva, cuando se manifiestan sus características magnéticas cuando
se le aplica un campo exterior. En la figura 16 se visualiza el comportamiento de las
líneas de fuerza al atravesar un material diamagnético, que genera un fenómeno de
repulsión, por tanto es un material no apto para la conducción de campos magnéticos, y,
que ocurre al atravesar un material ferromagnético, se puede observar que el fenómeno
es el contario, de ahí su uso en los circuitos magnéticos. Un material paramagnético,
tiene un comportamiento intermedio, más cercano al ferromagnético.
Figura 16. Comportamiento de las líneas de fuerza de un campo magnético al atravesar un material diamagnético y ferromagnético.
Diamagnético Ferromagnético
Apuntes de Máquinas Eléctricas
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10.- Leyes de los circuitos magnéticos. Analogía con circuitos
eléctricos
Recordar que podemos llamar circuito magnético, a una estructura de material
ferromagnético en la que circulan flujos ferromagnéticos debido a la presencia de
bobinas o imanes permanentes.
Partiendo del circuito de la figura 17, donde tenemos una bobina de N espiras,
con la sección del núcleo S y una longitud media l.
Figura 17. Circuito magnético.
𝐻��⃗ y 𝐵�⃗ , son funciones del tiempo y con carácter tridimensional, y además los
materiales magnéticos son materiales no lineales, todas estos condicionantes motivan
que los problemas así planteados sean difíciles de resolver. Ahora bien, en un gran
número de casos la solución del problema puede obtenerse con una buena aproximación
utilizando las dos siguientes hipótesis simplificadoras.
1º.- La distribución de la inducción (𝐵�⃗ ), y por tanto, del flujo (φ�⃗ ), es uniforme en
cada sección del circuito magnético –es decir, el módulo, dirección y sentido de la
inducción magnética son los mismos en todos los puntos de cada sección del circuito-.
De esta forma transformamos un problema tridimensional a uno unidimensional.
2º.- Las corrientes eléctricas y los flujos magnéticos serán considerados como
constantes o lentamente variables. En este estado llamado cuasiestacionario, el tiempo
no tiene una importancia primordial –se incluyen los flujos e intensidades de
frecuencias hasta 50 Hz-. Esto implica que H se considerará constante, y por lo tanto,
también la inducción magnética (B) y el flujo magnético (φ).
En base a estas simplificaciones podemos decir:
I
S
l
N
Apuntes de Máquinas Eléctricas
Página 20
a) Aplicando la ley de Ampere, que nos indica que la circulación del campo
magnético 𝐻��⃗ a lo largo de un camino cerrado C, es igual a la suma de corrientes que
atraviesan cualquier superficie S apoyada en el camino. Si existe N espiras conduciendo
una intensidad i, la suma de corrientes será N·i y este producto recibe el nombre de
fuerza magnetomotriz (ℱ) (amperivuelta, A·v). La fuerza magnetomotriz es la causa de
que establezca un campo magnético igual que la f.e.m. en el circuito eléctrico es a la
corriente eléctrica.
=⇒==∫ ∑∫ lHiSdJldHC S
··· ℱ= N·i
b) Y recordando que el flujo magnético es
SB·=φ
el φ es prácticamente constante en los materiales ferromagnéticos y con la misma
dirección que la superficie S.
c) Y la expresión de la inducción magnética será
HB ·µ=
A partir de la ecuación (10) y (12)
ℱ = 𝐻 · 𝑙 = lB·µ
Si sustituimos en la anterior expresión, la ecuación (11)
ℱ = S
l·
·µ
φ
De donde definimos
ℱ = 𝜙 · ℛ
Esta expresión es la expresión fundamental para el estudio de los circuitos
magnéticos, que se denomina ley de Hopkinson o ley de Ohm de los circuitos
magnéticos. En la ecuación anterior ℛ, es la “reluctancia magnética”, y su unidad es el
(Av/Wb, o también 1/H)
Apuntes de Máquinas Eléctricas
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ℛ =S
l·µ
(39)
Por cierto, dicha expresión recuerda a la expresión de la resistencia en los circuitos
eléctricos SlR ·ρ=
La inversa de la reluctancia, se le denomina “permeancia magnética” (P).
P=1/ ℛ.
10.1.- Fuentes de excitación magnética
La procedencia de la energía de la fuente de excitación, se clasifican en:
a) Electroimanes, compuesto por un solenoide arrollado sobre un material
ferromagnético blando. El campo magnético en ellos es producido por la corriente que
lo atraviesa. La fuente de excitación que tenemos puede ser constante o variable,
dependiendo de la corriente.
Para representar una fuente de excitación, seguiremos los criterios que
marcamos a continuación en la siguiente figura (18). Dense cuenta que el “+” de la
a)
b)
Figura 18 . Fuentes de excitación magnética
ℱ = 𝑁 · 𝐼
𝐼 +
−
φ
ℱ + ℱ
ℱ = 𝑁 · 𝐼
𝐼 +
−
φ
ℱ ℱ
+
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fuente viene marcado por donde sale el flujo magnético de nuestro solenoide –regla de
la mano derecha-. La diferencia entre las dos figuras radica en la entrada de la
intensidad al solenoide, que implica un cambio del sentido del flujo de salida.
b) Imanes permanentes, son materiales ferromagnéticos duros.
10.2.- Analogía con el circuito eléctrico
Partimos de dos circuitos –figura 19-, el a) se corresponde con el circuito
magnético y b) representa el circuito eléctrico equivalente.
Figura 19. Circuito magnético y eléctrico equivalente
La analogía eléctrica proporciona un método para estudiar los circuitos
magnéticos (con ciertas restricciones, como vemos en el apartado siguiente), ya que una
vez planteadas las ecuaciones del circuito eléctrico se extrapolan fácilmente las
conclusiones al circuito magnético a estudiar, lo cual constituye una aproximación
bastante buena y generalmente se está más acostumbrados al estudio de circuitos
eléctricos que magnéticos.
A continuación se definen las correspondencias que tenemos en cuenta para
llevar a cabo la analogía eléctrica de un circuito magnético, en primer lugar recordaría
como hemos mencionado con anterioridad que la ley de Hopkinson, es considerada la
ley de Ohm magnética.
Circuito magnético Circuito eléctrico
Ley de Hopkinson: ℱ = ℛ · 𝜙 Ley de Ohm: 𝐸 = 𝑅 · 𝐼
𝜙 = ℱℛ
𝑖 = 𝑒𝑅
ℱ E
ℱ = 𝑁 · 𝐼
𝐼 +
−
φ
𝑒 +
𝑖
𝑅
a) 𝑏)
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φ i
µ 1 𝜌�
ℛ = 𝑙𝜇·𝑆
𝑅 = 𝜌 · 𝑙𝑆
ℱ = ∮𝐻��⃗ · 𝑑𝑙 𝑒 = ∮𝐸�⃗ · 𝑑𝑙
1ª ley de Kirchhoff: ∑𝜙 = 0 ∑ 𝑖 = 0
2ª ley de Kirchhoff: ∑ℱ = ∑ℛ · 𝜙 ∑𝑒 = ∑𝑅 · 𝑖
10.3.- Diferencias entre los circuitos eléctricos y magnéticos
Realmente podemos definir la existencia de tres diferencias entre los circuitos
eléctricos y magnéticos:
a) La resistencia R de un circuito eléctrico es independiente de la intensidad que
lo atraviesa. Sin embargo, la reluctancia de un circuito magnético depende del flujo que
lo recorre. Realmente depende de la permeabilidad magnética del material del núcleo µ,
que no es lineal –véase figura 20- y de la forma del núcleo, de forma que la ℛ varía
especialmente en los ángulos, considerando las S y l constantes.
Figura 20. Curva de la permeabilidad de un material ferromagnético.
Intensidad de campo magnético, H, 𝐴·𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑚
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b) En un circuito eléctrico, la intensidad se canaliza prácticamente toda a través
de los conductores. El aire circundante y los aislantes tienen una resistencia muy
elevada, de manera que las corrientes de dispersión son casi despreciables. Por el
contrario, no se conoce ningún aislante del flujo magnético, derivándose una parte
considerable del flujo al medio exterior (flujo de dispersión).
c) Si existen entrehierros, la superficie transversal efectiva en el aire es mayor
que la del núcleo, debido al efecto de borde también denominado efecto marginal
(fringing effect).
En aquellos casos que se tengan en cuenta el efecto borde, debemos considerar
que la sección que se consideraría en el entrehierro no será la misma que la del material
en donde esté incrustado nuestro entrehierro, sino que será un porcentaje mayor en el
entrehierro que en el material.
Todos estos factores pueden inducir un valor máximo de error de un 5%, que son
asumibles. Por que por lo visto estamos trabajando con aproximaciones.
10.4.- Análisis de circuitos magnéticos.
Con respecto al análisis de circuitos magnéticos, se suelen estudiar dos
situaciones:
a) Conocida la excitación (I y el circuito), determinar el flujo que se establece en
el núcleo –B y H, en cualquier parte del circuito-. Formalmente se define un problema
de análisis.
b) Calcular la excitación necesaria (I e incluso la geometría del circuito), para
conseguir un flujo determinado en el núcleo. Tenemos un problema de síntesis.
En los circuitos magnéticos, las reluctancias obedecen las mismas reglas que las
resistencias en un circuito eléctrico.
- En un circuito serie, la reluctancia equivalente a varias reluctancias en serie es
igual a la suma de las reluctancias.
ℛ𝑒𝑞 = ℛ1+ℛ2+ℛ3 + ⋯+ ℛ𝑛
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Ejercicio de aplicación 2
Sea el acoplamiento de la figura.
A partir del conocimiento de la geometría de nuestro circuito magnético y el
material de nuestro núcleo. Podemos definir el valor de la reluctancia de cada uno de los
lado de nuestro circuito, a partir de la siguientes expresiones
ℛ1 =𝑙1
𝜇1 · 𝑆1 ℛ2 =
𝑙2𝜇2 · 𝑆2
ℛ3 =𝑙3
𝜇3 · 𝑆3 ℛ4 =
𝑙4𝜇4 · 𝑆4
La reluctancia equivalente será
ℛ𝑒𝑞 = ℛ1+ℛ2+ℛ3 + ⋯+ ℛ𝑛
Conociendo la reluctancia equivalente y la fuente de excitación
𝜙 =ℱℛ𝑒𝑞
=𝑁 · 𝐼ℛ𝑒𝑞
A partir del conocimiento del flujo que recorre todos los lados de nuestro
circuito magnético, podemos deducir la inducción magnética que aparece en cada uno
de los laterales.
𝐵1 =𝜙𝑆1
; 𝐵2 =𝜙𝑆2
; … . ; 𝐵4 =𝜙𝑆4
- En un circuito en paralelo, la reluctancia equivalente a varias reluctancias en
paralelo se calcula según la expresión:
Este ejercicio pretende servir de ejemplo para estudiar los circuitos con reluctancias en serie
ℱ = 𝑁 · 𝐼
𝐼 +
−
2
3
4
1
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1ℛ𝑒𝑞
= 1ℛ1
+ 1ℛ2
+ 1ℛ3
+ ⋯+ 1ℛ𝑛
Ejercicio de aplicación 3
Sea el acoplamiento de la figura.
Lo primero que habría que hacer es calcular la reluctancia equivalente, donde
como se puede observar en la figura adjunta, podemos definir tres reluctancias, donde la
reluctancia 1, será la suma de los laterales 11, 12 y 13, ya que están en serie; la
reluctancia 2, será la central, y por último la reluctancia 3, será la suma de 31, 32 y 33,
por estar en serie también.
La reluctancia equivalente
ℛ𝑒𝑞 = ℛ1 +ℛ2 · ℛ3
ℛ2 + ℛ3
El flujo que genera la fuente será, aplicando las leyes de Kirchhoff
Este ejercicio pretende servir de ejemplo para estudiar los circuitos con una combinación de reluctancias en serie y paralelo
ℱ = 𝑁 · 𝐼
𝐼 +
−
ℱ = 𝑁 · 𝐼
𝐼 +
−
2 11
12
13 33
31
32
φ1
φ2
φ3
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𝜙1 =ℱ
ℛ1 + ℛ2 · ℛ3ℛ2 + ℛ3
Ejercicio de aplicación 4
El entrehierro de la columna central es 5 mm. N1=N2=360 espiras.
Calcula a) los valores de las intensidades I1 e I2 que den lugar un flujo en el
entrehierro de la columna central de valor 5·10-3 Wb ; b) inducción magnética en la
columna de la derecha y c) calcular la inducción magnética en el entrehierro,
considerando que el efecto borde, genera un aumento de la sección efectiva un 5%
Solución:
Partiendo del conocimiento del flujo del entrehierro (φe) es de 5·10-3 Wb, y
sabiendo que el flujo es constante en toda la columna central –no sólo en el entrehierro-
estamos en disposición de calcular la inducción magnética (B) de la columna central,
que tiene una sección de 50 cm2
𝐵 =𝜙𝑆
=5 · 10−3
50 · 10−4= 1 𝑇 (
𝑊𝑏𝑚2 )
Conociendo la B del material central, y conociendo la curva de imanación a
través de la expresión 𝐵 = 1,5·𝐻50+𝐻
, se puede calcular la intensidad de campo (H).
Partiendo del circuito magnético de la figura, con un material cuya curva de magnetización viene dado de forma analítica por la expresión 𝐵 = 1,5·𝐻
50+𝐻, donde B (T) y H (Av/m)
+
−
I2 +
I1
−
N1 N2 30cm
160cm 25cm2
50cm2
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1 =1,5 · 𝐻50 + 𝐻
→ 50 + 𝐻 = 1,5𝐻 → 𝐻 = 100 𝐴𝑉/𝑚
Partiendo de B y H, obtendremos la permeabilidad del material
𝐵 = 𝜇 · 𝐻 → 𝜇 =𝐵𝐻
=1
100 𝐻/𝑚
Una vez que se ha calculado la permeabilidad del material ferromagnético,
estamos en disposición de poder modelizar nuestro circuito, de forma que nuestro
circuito equivalente sería
Los valores de las reluctancias serían
ℛ1 =𝑙1
𝜇 · 𝑆1=
160 · 10−2
1100� · 25 · 10−4
= 64000 𝐴𝑣/𝑊𝑏
ℛ2 =𝑙2
𝜇 · 𝑆2=
29,5 · 10−2
1100� · 50 · 10−4
= 5900 𝐴𝑣/𝑊𝑏
ℛ𝑒 =𝑙𝑒
𝜇𝑜 · 𝑆2=
5 · 10−3
4 · 𝜋 · 10−7 · 50 · 10−4= 795774,71 𝐴𝑣/𝑊𝑏
Siguiendo la analogía definida anteriormente, podemos aplicar cualquier método
de los vistos con circuitos magnéticos, en nuestro caso vamos a utilizar el método de las
mallas –método directo-, donde el flujo es equivalente a la intensidad, la reluctancia a la
resistencia y la fuerza magnetomotriz a las fuentes de tensión.
Partiremos antes del conocimiento del flujo de la malla central, que implica que:
𝜙𝑎 − 𝜙𝑏 = 5 · 10−3 → 𝜙𝑏 = 𝜙𝑎 − 5 · 10−3
La ecuación de la malla “a”, sería la siguiente:
(ℛ1 + ℛ2 + ℛ𝑒) · 𝜙𝑎 − (ℛ2 + ℛ𝑒) · 𝜙𝑏 = 𝑁1 · 𝐼1
N1·I1
+
N1·I1=N2·I2
+
ℛ1
φa φb
ℛ1
ℛ2
ℛ𝑒
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Si sustituimos en esta expresión el valor de la ecuación (1)
(ℛ1 + ℛ2 + ℛ𝑒) · 𝜙𝑎 − (ℛ2 + ℛ𝑒) · (𝜙𝑎 − 5 · 10−3) = 𝑁1 · 𝐼1
ℛ1 · 𝜙𝑎 − 5 · 10−3 · ℛ2 + 5 · 10−3 · ℛ𝑒 = 𝑁1 · 𝐼1
La ecuación de la malla “b”, sería la siguiente:
−(ℛ2 + ℛ𝑒) · 𝜙𝑎 − (ℛ1 + ℛ2 + ℛ𝑒) · 𝜙𝑏 = −𝑁1 · 𝐼1
Sustituyendo se obtiene:
−(ℛ2 + ℛ𝑒) · 𝜙𝑎 +· (𝜙𝑎 − 5 · 10−3) = −𝑁1 · 𝐼1
ℛ1 · 𝜙𝑎 − 5 · 10−3 · (ℛ1 + ℛ2 + ℛ𝑒) = −𝑁1 · 𝐼1
Tendremos que resolver el siguiente sistema de ecuaciones
� 64000 · 𝜙𝑎 + 4008,37 = 360 · 𝐼164000 · 𝜙𝑎 − 4328,37357 = −360 · 𝐼1
�
Como lo que se nos pide es la I, aplicando Cramer, o el sistema que el lector
prefiera, obtendría que I1=11,5788 A
b) Para la calcular la inducción magnética en la columna derecha, debemos
además de calcular la intensidad, calcular el 𝜙𝑎, en el sistema de ecuaciones anterior.
64000 · 𝜙𝑎 + 4008,37 → 𝜙𝑎 =360 · 11,5788 − 4008,37
64000= 0,02495 𝑊𝑏
Para calcular el flujo de la derecha 𝜙𝑏, utilizamos la expresión:
𝜙𝑏 = 𝜙𝑎 − 5 · 10−3 (1)
𝜙𝑏 = 0,02495 − 5 · 10−3 = 0,019995 𝑊𝑏
Sabiendo el flujo y la superficie, estamos en disposición de calcular la inducción
magnética
𝐵 =𝜙𝑏𝑆
=0,01999525 · 10−4
= 7,998 𝑇 (𝑊𝑏𝑚2 )
c) Para calcular la inducción magnética en el entrehierro, considerando que el
efecto borde, debemos aumentar en nuestro caso la superficie un 5%, como se aprecia
en la ecuación posterior.
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𝐵𝑒 =𝜙𝑆𝑒
=5 · 10−3
50 · 10−4 · 1,05= 0,9523 𝑇 (
𝑊𝑏𝑚2 )
11.- Comportamiento magnético de los materiales
ferromagnéticos
Ya dijimos con anterioridad que la permeabilidad magnética se definía mediante
la siguiente ecuación.
HB ·µ=
Pues bien en los materiales ferromagnéticos se cumple que:
a) La permeabilidad relativa es muy alta (hasta 6000 veces µo)
b) La permeabilidad no es constante –al igual que en el hierro, sólo es constante
la permeabilidad en el aire.
Hablamos que el magnetismo de un material vería definido por el momento
resultante de los momentos magnéticos, molecular, orbital y spin. Inicialmente este
sumatorio es nulo, no hay magnetismo. Esto se explica con la teoría de los dominios de
Weiss –dominios colocados al azar-.
De tal forma que, los materiales ferromagnéticos en presencia de un campo
magnético externos, los dominios tienden a alinearse, de tal forma que sus campos
magnéticos se suman al campo externo resultando un campo total más fuerte –figura 21-
.
Este efecto puede observarse por medio de la curva siguiente que relaciona la
inducción 𝐵�⃗ resultante en función de la intensidad de campo magnético 𝐻��⃗ , esta curva
recibe el nombre de curva de imanación e imantación.
-Al principio la muestra está en un estado magnéticamente neutro, debido a que
los dominios tienen alineaciones al azar, resultando un momento magnético nulo.
-Al aplicar una intensidad de campo magnético definida por un H empiezan a
desplazarse las paredes de los dominios. Cuando nuestro valor está entre A y C, si
desaparece el campo magnético exterior, también desaparece la densidad de flujo, tiene
por tanto, un comportamiento lineal, proporcional y reversible. Cuando el H>HA, el par
(T) que actúa sobre los dominios orientados desfavorablemente, que viene dado por la
Apuntes de Máquinas Eléctricas
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expresión 𝑇 = 𝐻 · 𝑀 · 𝑠𝑒𝑛𝛼, empieza a tener un valor que nos permite vencer a las
fuerzas que se oponen a su movimiento.
Figura 21. Curva de imanación, los dominios en función de H
-A partir de C, ya es irreversible el proceso, hasta llegar a un punto donde los
dominios están totalmente alineados, diciéndose que el material se ha saturado
resultando una permeabilidad relativa unidad. Realmente a partir de C, para girar los
dominios se hace necesario altos valores de H, que generen el suficiente par (T) para
poder rotar los dominios. Porque el α, del par (𝑇 = 𝐻 · 𝑀 · 𝑠𝑒𝑛𝛼), tiene un valor cada
vez más bajo, tendiendo a 0, y por tanto, el par correspondiente será cada vez menor.
Con respecto a la curva de imanación –figura 22-, curva que nos relaciona B-H
podemos definir 3 zonas diferenciadas denominadas por su comportamiento como:
Figura 22. Curva de imanación, sus regiones
C
H
Bsat
B
A
Saturación
Crecimiento irreversible
Crecimiento reversible
HA
H
Campo exterior aplicado
C
H
Bsat
B
Región no saturada
Región saturada
Codo de saturación
Apuntes de Máquinas Eléctricas
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a) Región no saturada, donde un pequeño incremento de H produce un gran
incremento de B. Se puede apreciar también cierta linealidad –hasta el punto
C-.
b) Región saturada, un gran incremento de H, produce un pequeño incremento
de B –a partir de C-.
c) Codo de saturación, es la zona de transición entre la región saturada y la no
saturada –a veces se habla de rodilla de la curva-.
Para resolver situaciones prácticas o estudiar con ayuda de un ordenador un
circuito magnético es más conveniente utilizar una expresión analítica que relaciona el
𝐵�⃗ y 𝐻��⃗ . Normalmente de la forma.
𝐵 = 𝑘1·𝐻1+𝑘2·𝐻
En la práctica se trabaja en los generadores y motores eléctricos con valores de
𝐻��⃗ cercanos al codo de saturación, para aprovechar al máximo la capacidad magnética
del material, es decir se trata de obtener el máximo flujo, para poder obtener el máximo
voltaje y par posible. En la medida que nos acercamos a este codo, o nos encontramos
en dicho c codo, podrán surgir problemas de no linealidad.
11.1.- Curva de histéresis
Para la realización de la curva de imanación o imantación se parte de un
material magnéticamente descargado. La curva que se obtiene, no es una función
uniforme, sino que depende además de la historia del material. Definiéndose la llamada
curva de histéresis. Partiremos para ello de un material ferromagnético, en el cual
tendremos arrollado un solenoide –figura 23-. Dicho solenoide se alimentará con una
señal senoidal, de forma que el semiciclo positivo de la alimentación generará una
intensidad de campo H en este caso positivo –hacia la derecha-, y la parte negativa del
semiciclo de la alimentación generará una intensidad de campo H negativo –hacia la
izquierda-
Apuntes de Máquinas Eléctricas
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Figura 23. Material ferromagnético determinado con un solenoide
El proceso anteriormente definido, es un proceso repetitivo, que da lugar a una
curva con la definida en la figura 2 El área de dicha curva define lo que se denomina
como las pérdidas por histéresis de un determinado material. Esta curva es de gran
importancia en el caso de una alimentación en alterna –como ya hemos podido ver
teniendo en cuenta el proceso de realización de dicha curva-.
En la curva de histéresis se definen dos magnitudes importantes como:
-Br, que recibe el nombre de magnetismo o inducción remanente, que es el
magnetismo que tiene nuestro material ferromagnético, cuando externamente no se
genera ningún campo magnético.
Figura 2 Curva de histéresis resultante
𝐼
Material Ferromagnético
Bobina
Hm
H
B
-Hm
-Bm
Bm
Br
Hc
Apuntes de Máquinas Eléctricas
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-Hc, es el campo o fuerza coercitiva, que es el campo opuesto que es necesario
aplicar para desmagnetizar la muestra, es decir, el campo a aplicar para eliminar el
magnetismo remanente.
La histéresis es la que permite la existencia de imanes permanentes muy
potentes.
Ejercicio de aplicación 5
Solución:
a) A partir de los valores del flujo y de la superificie, podemos obtener la
inducción magnética (densidad de flujo)
𝐵 =𝜙𝑆
=0,012 𝑊𝑏0,015 𝑚2 = 1 𝑇
A partir de la curva de imanación, obtenemos que la 𝐻 ≅ 165 𝐴𝑉/𝑚
A partir de la ley de Ampere
ℱ = 𝑁 · 𝑖 = 𝐻 · 𝑙 = 165 · 0,60 = 99 𝐴𝑣
Partiendo de un núcleo magnético cuadrado que tiene una longitud media de 60 cm. Y una sección de 120 cm2. Una bobina de 200 vueltas está enrollada en una de las columnas del núcleo. Sabiendo que la curva de imanación del material del núcleo es el mostrado en la figura Calcula
a) La corriente que se requiere para que tengamos un flujo de 0,012 Wb; b) La permeabilidad relativa del material y, c) la reluctancia del núcleo te
Intensidad de campo magnético, H, 𝐴·𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑚
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𝑖 =ℱ𝑁
=99
200= 0,495 𝐴
b) Para calcular la permeabilidad relativa del material, tendré que llegar tras
calcular la permeabilidad del material
𝜇 =𝐵𝐻
=1
165= 6,06 · 10−3𝐻/𝑚
𝜇𝑟 =𝜇𝜇0
=6,06 · 10−3
4 · 𝜋 · 10−7= 4822,4
c) Para calcular la reluctancia, podemos utilizar la ley de Hopkinson.
ℛ =ℱ𝜙
=99
0,012= 8250 𝐴𝑣/𝑊𝑏
también podemos utilizar otras expresiones como
ℛ =𝑙
𝜇 · 𝑆=
0,66,06 · 10−3 · 0,012
= 8250 𝐴𝑣/𝑊𝑏
11.1.1.- Clasificación de los materiales
En función del ciclo de histéresis, es decir, forma y dimensiones del ciclo, que
está íntimamente relacionado con la movilidad de los dominios podemos hablar de
materiales ferromagnéticos blandos o duros
a) Material ferromagnético blando. Se caracterizan por una gran movilidad de
los dominios y una fuerza coercitiva (Hc) pequeña, es decir la curva de histéresis se
caracteriza por ser muy estrecha. Un ejemplo es el hierro dulce.
b) Material ferromagnético duro. Poca movilidad de los dominios, es decir, la
movilidad está muy restringida y el valor de Hc es muy elevado, esto da lugar a una
curva muy ancha. Característica de materiales como aceros, ferritas,…
12.- Pérdidas de energía en un núcleo ferromagnético.
Partiendo de un circuito magnético, si aplicamos la segunda ley de Kirchhoff,
tendríamos que la tensión u, valdría
dtdNiRu φ·· +=
si multiplicamos todo por i·dt, tendríamos
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dtidtdNdtiRdtiu ······· φ
+= 2
φdiNdtiRdtiu ······ += 2
se expresar de otra forma.
mgRe dWdWdW +=
donde dWe es el diferencial de energía eléctrica que entra al circuito; dWR, es el
diferencial de energía disipada en la resistencia R de la bobina por efecto Joule y dWmg,
es el diferencial de energía suministrada al campo magnético.
La ecuación anterior representa el balance energético del circuito o simplemente
la ley de conservación de la energía. El término dWmg se puede escribir
𝑊𝑚𝑔 = N·i·d𝜙 = ℱ · 𝑑𝜙
Si para t=0 se considera que el flujo en el núcleo y la corriente es cero, hasta unas
magnitudes finales de φ e i, se tendrá una energía magnética total suministrada al núcleo
magnético por la fuente.
𝑊𝑚𝑔 = ∫ ℱ · 𝑑𝜙𝜙0
Figura 25. Curva de imanación.
Donde la fuerza magnetomotriz (ℱ) es proporcional a la intensidad de campo
magnético (H) y el flujo magnético (φ) es proporcional a la inducción magnética (B),
figura 25.
φ
ℱ
Wmg
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Cuando un núcleo ferromagnético se excita mediante corrientes alternas se
producen pérdidas de energía en forma de calor, y por supuesto limitan la potencia útil
que se pueden obtener en los aparatos o máquinas eléctricas.
Las pérdidas de energía son de tres tipos:
a) Pérdidas por histéresis. Partiendo de la curva de histéresis, las pérdidas por
histéresis (WH) son proporcionales al área del ciclo de histéresis –figura 26-
Figura 26. Pérdidas por histéresis.
Según la expresión
𝑊𝐻 = ∮𝐻 · 𝑑𝐵
y como es conveniente hablar de pérdida de energía por segundo en núcleo, nuestra
expresión de las pérdidas de histéresis será
𝑃𝐻 = 𝑓 · 𝑊𝐻 = 𝑓 · ∮𝐻 · 𝑑𝐵
Esta ecuación es independiente de la forma de onda de la fuente de alimentación,
depende únicamente de la amplitud de la inducción, la frecuencia de la fuente y el tipo
de material magnético (el cual determina el área de nuestra curva de histéresis).
Steinmetz propuso la siguiente expresión para calcular las pérdidas de histéresis.
Hm
H
B
-Hm
-Bm
Bm
Br
-Br Ciclo de histéresis
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𝑃𝐻 = 𝑘𝐻 · 𝑓 · 𝐵𝑚𝛼
donde kH es el coeficiente de Steinmetz y α, es el exponente de Steinmetz dependiente
del tipo de material. Donde α varía entre 1,5 y 2,5 y kH varía entre 100 y 200 para acero
al silicio.
Para minimizar las pérdidas de histéresis (PH), se utilizan materiales
ferromagnéticos blandos, que le caracteriza un ciclo estrecho. Estos materiales
conforman nuestros motores, transformadores,…
b) Pérdidas por corrientes parásitas (corrientes de Foucault o en torbellino).
Debido a la variación el flujo se producen f.e.m., que dan lugar a corrientes inducidas
circulares en el núcleo que, por efecto Joule calienta el material
𝑒 = 𝑑𝜙𝑑𝑡
𝑖 = 𝑒𝑆
= 𝑒
𝜌· 𝑙𝑆
Si aumentamos la longitud del material y reducimos su sección, conseguimos
que la intensidad inducida sea menor, y por tanto, también menores las pérdidas por
efecto Joule asociadas.
La expresión analítica de las pérdidas por corrientes de Foucault (PF), sería:
𝑃𝐹 = 𝑘𝐹 · 𝑓2 · 𝐵𝑚𝛼 · 𝑎2 · 𝜎
donde a es la anchura de la chapa de material y 𝜎, es la conductividad del material.
Para reducir estas pérdidas se lamina el material en la dirección del flujo, por
ejemplo, el núcleo de un transformador está formado por chapas laminadas apiladas.
Las pérdidas por corrientes de Foucault y por histéresis se dan en W/kg para un
valor determinado de frecuencia e inducción magnética (figura 27)
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Chapa magnética laminada en caliente
Chapa magnética laminada en frío
B
W/kg
Figura 27. Pérdidas en dos materiales ferromagnéticos.