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FUNDAMENTOS DE MAGNETISMO
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Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 1
Magnetoestática.
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 2
Temario.
TEMA 4: CAMPO MAGNETICO DE CORRIENTES ESTACIONARIAS.1.- Fenómenos magnéticos.2.- Interacciones entre corrientes estacionarias.3.- Campo de inducción magnética. Ley de Biot-Savart.4.- Fuerza de Lorentz.5.- Ley de Ampère.6.- Fuerza entre conductores paralelos. Definición internacional de Amperio.7.- Ejemplos.(Efecto Hall; campo magnético de un conductor cilíndrico, de un segmento, de un plano, de una recta, de un disco electrificado girando, por Ampère y Laplace, con hueco aximétrico, etc-)8.- Espira y solenoide en un campo magnético. Momento dipolar magnético. Trabajo.9.- Ejemplos y Cuestiones.( Toroide rectangular, flujo magnético, etc...)
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 3
4.1.- Fenómenos magnéticos.Magnetismo: Piedras magnetitas, imanes, óxidos de hierroAgujas magnéticas o magnetómetros (naturales o artificiales por frotación)
Magnetismo terrestre (Brújula)Polos MagnéticosEstudios Magnéticos: Relación entre fenómenos eléctricos y magnéticos (W.
Gilbert 1600)
Interacción magnética entre aguja magnética e hilo con corriente.(Oersted, Hans 1819)
Interacción magnética entre corrientes (Ampère, André posterior Oersted)
Producción de corriente eléctrica por el movimiento de un imán acercándose o alejándose a un circuito. ( Henry, Joseph, 1830)
Producción de corriente en un circuito al variar la corriente enotro circuito próximo (Faraday, Michel, 1830 )
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 4
4.1.- Fenómenos Magnéticos.
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 5
4.2.- Interacciones entre corrientes estacionarias.Dos imanes A, B, interaccionan magnéticamenteSe puede sustituir el imán A por una corriente (experimento de Oersted)
Se pueden sustituir los dos imanes por corrientes (experimento de Ampére)
Magnetismo se produce por corrientes eléctricas.
( )( )2 1
2 12 11 2 1 2 3
2 1
'dl dl r r
F K i ir r
→
× × −
=
−
∫ ∫
( )( )1 2
1 21 22 1 2 1 3
1 2
'dl dl r r
F K i ir r
→
× × −
=
−
∫ ∫
2 1 1 2 2 1 1 2;F F dF dF→ → → →= − ≠ −
Tercera ley de Newton global y local
K’ Constante magnética
r
r r r
2
12 1-
C C21
o
dl1
dl2
df1
df1
Ecuación de Ampère
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 6
4.3.1.- Campo de inducción magnética. Ley de Biot-Savart.
( )( )2 12 1
1 2 1 2 32 1
'dl dl r r
dF K i ir r
→
× × −
=
−
( )( )1 21 2
2 1 2 1 31 2
'dl dl r r
dF K i ir r
→
× × −
=
−
( )( )2 11
1 1 32 1
'dl r r
dB K ir r
× −
=
−
11 2 22dF i dl B→ = ×
Primera Ley de Laplace o Ley de Biot y Sabart no integrada.
Segunda Ley de Laplace
Campo de Inducción Magnética (o Campo Magnético).
( )( )( )
1
2 111 2 1 3
2 1
'dl r r
B r K ir r
× −
=
−
∫
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 7
4.3.2.- Campo de inducción magnética.
r
rr r
2
1
2 1-
C1
o
dl1
β
dB1
1 1dB dl⊥
( )2 11dB r r⊥ −
Primera ley de Laplace.
Campo Magnético
( )( )2 11
1 1 32 1
'dl r r
dB K ir r
× −
=
−
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 8
4.3.3.- Campo de inducción magnética.
r
df
2
12
o
dl2
β
B1
Segunda ley de Laplace. Campo Magnético
1 2 2 12dF i dl dB→ = ×
1 2 22dF i dl→ ⊥
11 2dF B→ ⊥
max121
2 2
dFBi dl
=
(sentido y dirección)
módulo o intensidad
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 9
4.3.4.- Campo de inducción magnética.
Líneas del campo magnéticas cerradas
idlB
.MS
B dSφ = ∫
Flujo Magnético
. 0MS
B dS Sφ = = ∀∫
1 1 2 1B M T Q M T A− − − −
= =
Ecuación de dimensiones
[ ] ( )4( ) 1 10 ;B Tesla T T G Gs= =
Unidades S.I.[ ] ( )M Weber Wbφ =
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 10
4.3.5.- Campo magnético de un hilo rectilíneo infinito.(Ley de Biot y Savart integrada).
Ο
Y
Xr'
rr'r -
idl
dx
− +
Z
z
y
dB
P
HILO
t
i
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 11
4.3.6.- Campo magnético de un hilo rectilíneo infinito.(Ley de Biot y Savart integrada).
( )( )
3
''
'
idl r rdB r K
r r
× −
=
−
ˆˆ
ˆ'ˆˆ ˆ'
ˆ
r y j z k
r x i
r r x i y j z k
idl i dx i
= +
=
− = − + +
=
( )( )
322 2 2
ˆˆ ˆ ˆ'i dl i x i y j z k
dB r Kx y z
× − + +
=
+ +
( )( )
3 32 22 2 2 2 2
ˆˆ' 'i dx z j y k i dx tdB r K K
x y z x t
− +
= =
+ + +
ˆˆt z j y k= − +
2 2 2t y z= +
( ) 3 32 2
2 22 2 2
2' ' '1
x u
x u
i dx i du iB r K t K t K tt tx t u
=∞ =∞
=−∞ =−∞
= = =
+ +
∫ ∫
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 12
4.3.7.- Campo magnético de un hilo rectilíneo infinito.(Ley de Biot y Savart integrada).
Ο
Y
X
r− +
Z
z
y
B
P
HILO
t
i
Significado
( )2' iB d Kd
=
0'4
K µ
π=
d = distancia al hilo
( ) 0
2iB dd
µ
π=
0µPermeabilidad magnética del vacío
Ley de Biot y Savartintegrada
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 13
4.4.- Ley de Lorentz.
r
r r r' -
o
'
dlidΩJ
( )( )
3
''
'
j r rdB r K d
r r
× −
= Ω
−
Vdq V d j dρ= Ω = Ω
Densidad de corriente
dF i dl B= ×
dF dqV B= ×
EF q E=
( )( )M EF F F q V B E= + = × +
( )( )
3
''
'
V r rB r K q
r r
× −
=
−
i dl iVdt Vdq= =
j
MF qV B= ×
r
o
V
q F
B
( ). . 0MMW F dr q V B Vdtδ = = × =
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 14
4.5.1- Ley de Ampère.Cálculo de la circulación del campo magnético sobre un circuito cualquiera, atravesado por un hilo rectilíneo infinito que transporta una corriente i.
dr
B
C
i
.C C
c dc Bdr= =∫ ∫
i
P
MN
Q
θd
BOR
DescomposicióndPQ dPM dMN dNQ= + +
dPM
angular dMN
radial dNQ
axial
. . . .B dr B dPM B dMN B dNQ B d PM= + + =
dc B dPM B ds B R dθ= = =
0
2iBR
µ
π=
0
2idc R dR
µθ
π=
0
2idc dµ
θπ
=
00.
2C C C
ic dc B dr d iµθ µ
π= = = =∫ ∫ ∫
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 15
4.5.2.- Ley de Ampére.Si la espira no es atravesada por ninguna intensidad
0. 02C C C
ic dc B dr dµθ
π= = = =∫ ∫ ∫
i
P
MN
Q
θd
BOR
θ-d
En general
Jd S
Bd r
C
S0
( )
. .C S C
B dr J dSµ=∫ ∫
( )
.S C
i J dS= ∫
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 16
4.5.3.- Campo magnético de un conductor cilíndrico que porta una densidad de corriente uniforme.
r
R
S C
J
0( )
. .C S C
B dr J dSµ=∫ ∫
Teorema de Ampére
. 2C
B dr rBπ=∫
2
0 0( )
.S C
J dS J rµ µ π=∫
Interior
102B Jrµ=
2'i J rπ=
Exterior
. 2C
B dr rBπ=∫
20 0 0
( )
.S C
J dS J R iµ µ π µ= =∫
20 0
2 2JR iBr r
µ µ
π= =
rR
B
r1_
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 17
4.5.4.- Campo magnético de un plano que porta una densidad de corriente uniforme.
Jd
CAB
C D
L
s
0( )
. .C S C
B dr J dSµ=∫ ∫
. 2C
B dr BL=∫
0 0( )
.S C
J dS J Ldµ µ=∫
102B J d cteµ= =
0J J d=
Densidad superficial
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 18
4.6.- Fuerza entre conductores paralelos. Definición internacional de Amperio.
i i21
dl1 dl2
B1
B2
df21
df12
d
0 11 2
iBd
µ
π= 0 2
2 2iBd
µ
π=
dF i dl B= ×
2 0 112 2 2 1 2
i dl idF i dl Bdµ
π= =
1 0 221 1 1 2 2
i dl idF i dl Bdµ
π= =
21 12dF dF= −
Corrientes mismo sentido atracción, sentido opuesto repulsión.
7 12.10 1 1dF Nm d m i Adl
− −
= = ⇒ =Amperio Internacional
7 20 4 .10 NAµ π
− −
= 1i QT A−
= =[ ] ( )i Amperio A=
0 1 2
2dF i idl d
µ
π=
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 19
4.7.1.- Ejemplo. Efecto Hall.
Portadores de carga positivos o negativos
Efecto Hall clásico, existe otro efecto Hall cuántico
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 20
4.7.2.- Ejemplo. Conductor cilíndrico con hueco asimétrico portando densidad de corriente uniforme.
a
R
S
C J1
02B Jrµ=
Campo magnético en el interior de un conductor cilíndrico macizo que porta una densidad de corriente uniforme
102B J rµ= ×
JB
r
J
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 21
4.7.2.- Ejemplo. Conductor cilíndrico con hueco asimétrico portando densidad de corriente uniforme (cont.).
R
ab
rJ
R
a
rJ
R
ab
r'
-Jx
'r r a= +
= +
11 0 12B J rµ= ×
1 12 0 2 0 12 2' 'B J r J rµ µ= × =− ×
1 2J J J= =−
( )1 1 1 11 2 0 1 0 1 0 02 2 2 2' 'B B B J r J r J r r J aµ µ µ µ= + = × − × = × − = ×
102B J a cteµ= × =
Secciones transversales
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 22
4.8.1.- Espiras y Solenoides.Campo magnético de una espira circular (en su eje).
Ο
Y
X
r'
r
r'r -
idl
− +
Z
z
y
dl
P
HILO
t
i
dB
dBX
θ
θ
xdB sen dBθ=
2 2' i dldB KR x
=
+
'r R=
2 2
'
'
r Rsenr r R x
θ = =
− +
( )3
''
'
i dl r rdB K
r r
× −
=
−
2''
i dldB Kr r
=
−
( )322 2
'xi RdldB K
R x=
+
( ) ( )3 32 2
2
2 2 2 2
2' 'xEspira
i Rdl i RB K KR x R x
π
= =
+ +
∫
( )32
2
2 2
2'xi RB K
R x
π
=
+
2'xiB K
Rπ
= centro
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 23
4.8.2.- Momento magnético de una espira.
SP
B
i
p i S=
Momento magnético de una espira plana
i'
d p
Cd S
i
Momento magnético de una espira cualquiera
'Espira Espira
P dp i dS= =∫ ∫
Espira total: suma de las contribuciones de las espiras elementales.
Dipolo Magnético
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 24
4.8.3.- Momento sobre una espira inmersa en un campo magnético.
S
PB
i
dl
dF i dl B= ×
0C
F i dl B= × ≠∫
Campo no-uniforme
Campo uniforme
0C C
F i dl B i dl B
= × = × =
∫ ∫
Aparecen momentos (pares) sobre la espira o dipolo magnético, incluso si el campo es homogéneo.
( ) 0o
C C
M r dF r i dl B= × = × × ≠∫ ∫
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 25
4.8.4.- Momento sobre una espira rectangular inmersa en un campo magnético uniforme.
θ
θ
F
F
F
F
B
B
dS
dS
iMF'
F'
Pi
L'
L
d
u
' 'F i L B= ×
Las fuerzas sobre los lados L’ están sobre la misma recta soporte, su momento es nulo
F i L B= ×
Las fuerzas sobre los lados L, NO están sobre la misma recta soporte, su momento NO es nulo
ˆ' ' 'M L F L i L B iLL B sen uθ= × = × × =
'M F d iLBL senθ= =
'iLL iS= M iS B p B= × = ×
M p B= ×
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 26
4.8.5.- Trabajo en el campo magnético.Espira deformable i
dl
dr
dS
( ) ( )2 . . . .W dF dr idl B dr i dr dl B idS Bδ = = × = × =
W i dδ φ=
Espira No-deformable, puede girar
i
d
B
Sθ
M
P
Trabajo del campo
' 0M M+ =
' '. .W M d M d M d iBS sen dδ θ θ θ θ θ= = − = =
' ( cos )W d iBS idδ θ φ= − = −
'W W idδ δ φ= − = Trabajo del campo
'W dU idδ φ= = − Energía potencial magnética2
2
11
2
2 11
( cos ) .U U dU d iBS p Bθ
θ
θθ
θ − = = − = − ∫ ∫
.U p B= −
2( ) 0U πθ = =
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 27
4.8.6.- Solenoides.
L
S
Pi
P Ni S=
P ni LS niS L= =
NnL
=
d L
S
d P
i
d i d P
dP in S dL di S= =
di i n dL=
Todo idéntico a lo de una única espira
dN n dL=Número de espiras en dL
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 28
4.8.7.- Campo magnético en el eje de un solenoide infinitamente largo y rectilíneo.
( )( )32
2
22
2''
xi RB K
R x x
π
=
+ −
Campo de una espira finita di i n dL=
( )( ) ( )( )3 32 2
2 2
2 22 2
2 2 '' '' '
xdi R R i n dxdB K K
R x x R x x
π π
= =
+ − + −
Campo de una espira infinitesimal
dBx-x'x'
di
dx'
Ox Eje
( )32
2
2 2
2'x oR i n dxB K ni
R x
πµ
+∞
−∞
= =
+
∫
x oB n iµ= Es constante
( )322
21
du
u
+∞
−∞
=
+
∫
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 29
4.8.8.- Campo en el interior de un solenoide infinitamente largo y rectilíneo.
X X X X
C 1 2
34
1' 2'
L'
EJE
B
h
3 1
1,2 2,3 3,4 4,11,2,3,4 2 4
. ' 'c B dr B L B dl B L B dl= = + + +∫ ∫ ∫
3 1
2,3 4,12 4
0B dl B dl+ =∫ ∫
Por simetría
0 0 'c I nL iµ µ= = 1,2 ' 0 ;B L h→ →∞ 3,4 0' 'B L nL iµ=
3,4 0 0ejeB B niµ= = ≠
3 1'
1',2' 2',3 3,4 4,1'1',2',3,4 2' 4
. ' ' 0c Bdr B L B dl B L B dl= = + + + =∫ ∫ ∫
3,4 1',2 ' 0 ejeB B ni Bµ= = =
3,4 1',2 ' 0 ejeB B ni Bµ= = =
0exteriorB =
0InteriorB niµ=
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 30
4.8.9.- Campo en el interior de un solenoide toroidal de sección muy pequeña.
x
a
ix
x
xx
0. 2C
B dr aB Niπ µ= =∫
0
2NiBa
µ
π=
B es uniforme dentro del toroide, y nulo fuera
0B niµ=
2Nn
aπ=
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 31
4.9.1.- Ejemplo: Campo magnético en el interior de un solenoide toroidal de sección rectangular.
x
a ix
x
xx
b
r
rB
L
C0. 2C
B dr rB Niπ µ= =∫
0
2NiBr
µ
π=
0 0. ln2 2S S
NiL NiL bBdS drr a
µ µφ
π π= = =∫ ∫
dS Ldr=
drL
dS
r
Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 32
4.9.2.- Ejemplo.
I
Ie
h
b
a
h 1 2
34
x
x y
z
h+y
B
F23F41
F34
F12
( ) ( )0 023 23 23 2 ( ) 2 ( )
ˆ ˆ ˆh e hi ai ie h b h bF iL B i a k i jµ µ
π π+ += × = − × − =
( )0 041 41 41 2 2
ˆ ˆ ˆh e hi ai ie h hF iL B i ak i jµ µ
π π= × = × − =−
( )0 01212 12 2 ( ) 2 ( )
ˆˆ ˆh e hi i i dye y h y hdF idl B i dy j i kµ µ
π π+ += × = × − =−
034 2 ( )
ˆe hi i dyx hdF kµ
π +=
34 12 0dF dF+ =
041 34 2 ( )ˆe habi i
h h bF F jµ
π ++ =−
02 ( )
ˆe habi ih h bF jµ
π +=−
Fuerza que ejerce el hilo sobre la espira