Upload
others
View
29
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Apresentação do Projeto
Novo Espaço Matemática A • 12.° ano
Oo
• Manual
• CadernoPrático
• CadernodoProfessor
RecursosDigitaisdoProfessor• e-ManualPremium• GeradorInterativodePlanificações• GeradorInterativodeTestes• AplicaçõesDinâmicas CD-ROM
Contamos consigo. Conte connosco.
EDUCAÇÃO 2012
Rec
urso
s do
Pro
fess
or
Caderno Prático2
10INTRODUÇÃO
NEM
A12-P1 ©
Porto Editora
A incerteza foi, ao longo dos tempos, e continua a ser, a principal razão do estudo das probabilidades.Podem ser conhecidos todos os possíveis resultados de um fenómeno aleatório, mas, antes que este seja con-cretizado, mantém-se a incerteza quanto ao resultado que ocorrerá.
Essa incerteza é o desafio e a motivação de muitos jogos, como por exemplo,a lotaria, o Euromilhões, jogos relacionados com lançamento de dados ou o girarde roletas. De certa forma, a origem das probabilidades está relacionada comos chamados “jogos de azar”.
Girolamo Cardano foi um italiano que manteve ao longo da vida a perceçãode passar o seu legado para a posteridade, tal era a sua preocupação em des-crever e registar os mais diversos episódios da sua vivência. Por isso, Cardanoescreveu mais de 200 livros dedicados a diversas áreas do saber.
Entre as suas obras destaca-se o Liber de Ludo Aleæ (Livro dos Jogos deAzar), que é considerado o primeiro livro completo dedicado às probabilidades.Na época em que foi escrito, o conceito de probabilidade estava associado àequidade dos jogos.
A partir da correspondência entre Pascal e Fermat, a teoria das probabilidades associada à Matemática,teve um impulso no seu desenvolvimento. Para isso houve vários contributos, como por exemplo, os de JacobBernoulli (1654-1705) e Laplace (1749-1827).
O problema do cavaleiro De Méré
Dois jogadores, o cavaleiro e um seu adversário, estão a jogar aos dados. Cada umaposta num determinado número e ganha o primeiro a obter pela terceira vez o númeroem que apostou. A aposta foi de 64 moedas (32 de cada um) e o jogo foi interrompidoquando o cavaleiro tem 2 sucessos contra 1 do adversário.
Como deve ser repartido o valor apostado?
Blaise Pascal(1623-1662)
Pierre Fermat(1601-1665)
Girolamo Cardano(1501-1576)
Problemas relacionados com o jogo continuaram a alimentar a reflexão e a discussão em torno das probabi-lidades. Deste tipo de reflexão destaca-se, no século XVII, a troca de correspondência entre Fermat e Pascalacerca de um problema colocado a este último por um nobre francês, Antoine de Gambard (1610-1685) de seunome, mais conhecido por cavaleiro De Méré.
A seguir apresenta-se uma versão do problema colocado por De Méré.
NEMA12EP_P1_F01_20111990_2P_CImg_AO4_20111990_TXTP1_P001_016 01/03/12 17:26 Page 10
112
NEM
A12-P1 ©
Porto Editora
Quantos são os resultados possíveis no caso de:
1. uma moeda ser lançada duas vezes e um dado cúbico uma vez, sendo registadosapós cada lançamento as faces da moeda e o número da face do dado que ficavoltada para cima?
2. ser lançado um dado tetraédrico com os vértices numerados de 1 a 4 três vezes con-secutivas, registando-se após cada lançamento o número do vértice voltado para cima?
3. serem retirados consecutivamente três cartões, de um enve-lope com quatro cartões numerados de 1 a 4 , sendo coloca-dos ordenadamente sobre a mesa?
4. serem retirados cinco cartões, um de cada vez, de uma caixacom 26 cartões contendo as letras do alfabeto, colocando-osem fila por ordem de saída e formando uma sequência de letras?
Um dado cúbico, com as faces numeradas de 1 a 6 , é lançado cinco vezes consecutivas,sendo registado, após cada lançamento, o número da face que fica voltada para cima.
1. Quantos são os resultados possíveis?
2. Admite que os resultados são registados de modo a formar um número de cincoalga rismos.
Determina quantos números podem ser formados de modo a serem:
2.1. maiores que 30 000 ; 2.2. menores que 20 000 ; 2.3. pares.
O código de um tipo de cofre é constituído por duas letras e três alga-rismos que terão de ser marcados rodando cinco botões.
Sabe-se que o alfabeto é composto por 26 letras.
Quantos códigos é possível formar?
Com os algarismos 0 , 2 , 3 , 5 e 7 , quantos números de quatro algarismos se podemescrever, de modo que sejam:
1. ímpares?
2. menores que 3000 ?
3. menores que 2700 ?
Proposta 1
Proposta 2
Proposta 3
Proposta 4
1 2 3
45
67890
1 2 3
45
67890
1 2 3
45
67890
1 2 3
45
67890
ABCDEFGHIJK
LMNOPQRS
TUVW
XYZA
BCDEFGHIJK
LMNOPQRS
TUVW
XYZABCDEFGH
IJKLMNOPQRS
TUVW
XYZA
BCDEFGHIJK
LMNOPQRS
TUVW
XYZ
1 2 3
45
67890
1 2 3
45
67890
PARA PRATICAR (2)
NEMA12EP_P1_F07_20111990_2P_CImg_AO4_20111990_TXTP1_P097_112 05/03/12 18:16 Page 112
Manual (2 partes)1
11TEMA 1PROBABILIDADES E COMBINATÓRIA
1. Introdução ao cálculo de probabilidades
1.1. Experiência aleatória. Conjunto de resultados.Acontecimentos
No dia a dia, lidamos com dois tipos de fenómenos: fenómenosdeterministas e fenómenos aleatórios.
Um sorteio como o da lotaria é um fenómeno cujo resultado é incerto.O seu resultado apenas é conhecido após a realização do sorteio: é umexemplo de um fenómeno aleatório.
Os eclipses são fenómenos cuja ocorrência é possível determinarantes da sua realização. Para tal basta recorrer às leis da Física: é umexemplo de fenómeno determinista.
À realização de um fenómeno, ou seja, ao processo que permiteobservar o resultado dá-se o nome de experiência, que pode ser deter-minista ou aleatória.
Exemplo
Num saco foram introduzidas quatro bolas, todas com o número 5 ede cores distintas: uma azul, uma vermelha, uma amarela e umaverde.
As bolas são indistinguíveis ao tato e retiram-se do saco, ao acaso,duas delas.
Antecipadamente, é possível conhecer:1. as cores das bolas que vão ser retiradas?2. a soma dos números das bolas que vão ser retiradas?
No caso da questão 1. , a resposta é negativa.
Retirar ao acaso duas bolas do saco e observar as cores das bolasretiradas é uma experiência aleatória – são conhecidos os possíveisresultados da mesma, mas não aqueles que vão efetivamente ocorrer.
O mesmo não acontece em relação à questão 2 .
5
55
5
NEM
A12
-P1
© P
orto
Edi
tora
1. O interesse pelos jogos égrande ao longo dos tem-pos pela incerteza dos re -sultados.
“Niños jugando a los dados”Murillo
(1618-1682)
Das seguintes experiênciasindica as que são aleatórias eas que são deterministas:
A : Lançar ao ar uma moedae observar a face que ficavoltada para cima.
B : Observar a quantidade deágua que é derramadaquando se introduz umcubo com 3 cm de arestadentro de um recipientecheio de água.
C : Observar, numa localida -de, a pluviosidade duranteuma semana.
D : Num jogo de cartas, ob -servar o número de asesdis tribuídos a um dos jo -gadores.
Curiosidade
NEMA12EP_P1_F01_20111990_2P_CImg_AO4_20111990_TXTP1_P001_016 01/03/12 17:26 Page 11
132
1. O bilhete representado na figura faz parte de uma coleção cujos bi -lhe tes são numerados por uma sequência de cinco algarismos.
Neste exemplo tem-se 06876 .
Quantas destas sequências têm três e só três algarismos iguais a 5 ?
(A) 810 (B) 243 (C) 720 (D) 738
2. Numa linha do triângulo de Pascal, a soma de todos os elementos é32 768 .
Então, a soma dos três últimos elementos é:
(A) 121 (B) 106 (C) 137 (D) 127
3. A Rita tem nove livros, numerados de 1 a 9 , e pretende arrumá-los, lado a lado,numa prateleira de modo que os livros que têm número ímpar fiquem juntos e orde-nados por ordem crescente ou decrescente.
O número de maneiras diferentes possíveis para o fazer é dado por:
(A) 2 * 5! (B) 2 * 9A4 (C) 4 * 9C5 (D) 4! * 5!
4. A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é:
Seja m o valor médio da distribuição. Indica a afirmação verdadeira:
(A) (B) (C) (D)
5. Numa loja, a receita apurada diariamente segue uma distribuição normal, cujo valormédio é representado por v e o desvio-padrão é 200 .
Sabe-se que P (X > 1200) = 0,6 .
Então, pode concluir-se que P (v < X < 2v - 1200) é igual a:
(A) 0,4 (B) 0,1 (C) 0,2 (D) 0,3
6. No desenvolvimento de , x > 0 , pelo binómio de Newton, o número
determos em que o expoente de x é um número inteiro positivo é:
(A) 5 (B) 0 (C) 6 (D) 10
m = 278
m = 174
m = 298
m = 256
1
√x+ x
15
NEM
A12-P1 ©
Porto Editora
PARA AVALIAR 1.a PARTE Questões de escolha múltipla
Para cada questão há quatro opções de resposta em que apenas uma está correta. Identifica-a.
xi 2 3 5 6
P (X = xi) 2a 3a 2a a
NEMA12EP_P1_F09_20111990_2P_CImg_AO4_20111990_TXTP1_P129_144 05/03/12 18:13 Page 132
1 ManualEste Manual, dividido em duas partes, privilegia metodologias que favorecem a participação ativa dos alunos e proporciona a mobilização de recursos variados. Desta forma, contribui para um verdadeiro processo de ensino-aprendizagem e para o reforço da autonomia dos alunos.
Os três temas trabalhados no 12.° ano são apresentados no Manual com a seguinte estrutura:
• Páginadeapresentaçãodotema – tópicos a trabalhar no tema.
• Introdução – diversidade de situações relacionadas com o tema.
• Tarefas – diversidade de propostas que permitem:
– identificar, mobilizar e aplicar conhecimento matemático;
– estabelecer conexões entre diversos conceitos e relações matemáticos;
– desenvolver capacidades de comunicação matemática;
– integrar o uso da tecnologia, nomeadamente a calculadora gráfica.
• Exercíciosdemargem – conjunto de exercícios/problemas que permitem desbloquear dificuldades e fazer a consolidação necessária para uma aplicação mais autónoma dos conhecimentos e ferramentas matemáticos.
• Recorda – sempre que um ou mais do que um pré-requisito sejam essenciais à compreensão e desenvolvimento do tópico em estudo são retomados e referidos com destaque.
• Curiosidade – para despertar o interesse e estimular a reflexão são apresentadas curiosidades relacionadas com o tema em estudo.
• Desafio – propostas/curiosidades relacionadas com o tema, de componente lúdica.
• ReferênciaHistórica – para facilitar o enquadramento no tempo e a evolução de conceitos.
• ParaSaberMais(informaçãocomplementar) – pequenos apontamentos que complementam a informação trabalhada.
• Parapraticar – conjunto variado de propostas que permitem retomar e consolidar aspetos relevantes do tema.
• Paraavaliar – avaliação reguladora, feita ao longo do desenvolvimento do tema, assumindo na parte final um carácter mais globalizante.
Rec
urso
s do
Pro
fess
or
Caderno do Professor (2 partes)3
Rec
urso
s do
Pro
fess
or
2 CadernoPráticoO CadernoPrático está dividido, tal como o Manual, em três temas, sendo proposto um conjunto variado de exercícios/tarefas para cada um.
Este reforço de propostas permite responder:– a diferentes ritmos de trabalho;– a diferentes graus de dificuldade;– à diversidade de contextos;– à mobilização de diferentes
recursos;– ao propósito de articular
contexto não matemático com contexto matemático;
– ao propósito de consolidar conhecimentos.
3 CadernodoProfessorNo CadernodoProfessor apresentam-se:
• Propostasdeplanificaçãoportema(com a possibilidade de as personalizar e adaptar a qualquer momento) com recurso ao GeradorInterativodePlanificações*.
Recursos Digitais do Professor4
• Propostasdeplanificaçãoporconjuntodeaulas (com a possibilidade de as personalizar e adaptar a qualquer momento) com recurso ao GeradorInterativodePlanificações.
• Diversificaçãodosrecursos – Sugestões de exploração e
integração, em ambiente de sala de aula, de diferentes recursos construídos especificamente para acompanhar o Manual.
– Sugestões de exploração e de integração, numa perspetiva pedagógica, da construção de instrumentos de avaliação, com recurso ao GeradorInterativodeTestes*.
• SugestõesderesoluçãodetodososexercíciosdomanualNa parte 1 encontram-se as resoluções dos exercícios/problemas do tema 1 – Probabilidades e combinatória. Em caso de adoção, o Professor receberá a parte 2 que contempla as restantes resoluções correspondentes aos temas 2 e 3 do Manual.
4 RecursosDigitaisdoProfessore-ManualPremium(também disponível para o aluno)
Versão digital do Manual com ligação em contexto para outros recursos e aplicações.
AplicaçõesDinâmicasUm conjunto diversificado de aplicações, construídas em articulação com o desenvolvimento dado no Manual, de modo a facilitar:
– a exploração/compreensão de conceitos;
– a gestão do tempo e a generalização;
– a diferenciação pedagógica, permitindo selecionar o tipo de abordagem/grau de dificuldade;
– a construçãopersonalizadaderecursos de modo a permitir uma exploração dos mesmos, adequada ao perfil individual de cada professor.
* Disponíveis como Recursos Digitaisdo Professor.
ACESSOGRATUITO
AO PLANOPROFESSOR
Ao adotar este manual escolar poderá aceder gratuitamente ao Plano Professor da Escola Virtual e às enormes vantagens que este serviço lhe oferece:
BANCO DE QUESTÕESPermite-lhe criar �chas e testes de forma instantânea, para imprimir ou realizar de forma interativa, sempre enquadrados com a matéria pretendida, sempre diferentes e com a correção imediatamente disponível;
BRIPOs milhares de recursos existentes na Escola Virtual podem ser utilizados de acordo com as suas necessidades: animações, sequências de aprendizagem para projeção, vídeos, exercícios interativos, entre muitos outros;
FERRAMENTAS DE ORGANIZAÇÃO PROFISSIONAL
Avaliações, registos, relatórios, planos semanais e outros recursos;
DICIONÁRIOSAcesso a 21 dicionários e ao Conversor do Acordo Ortográ�co, uma ferramenta que lhe permite converter textos ou documentos Word® completos.
Rec
urso
s do
Pro
fess
or