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Matem aticas Discretas Favio Ezequiel Miranda Perea Evelyn Gabriela Sanchez Olgu n 29 de abril de 2010

manual de ejercicios de matematicas discretas

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Matematicas Discretas

Favio Ezequiel Miranda PereaEvelyn Gabriela Sanchez Olguın

29 de abril de 2010

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2

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Indice general

1. Introduccion 5

1.1. Expresiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Mecanismos formales para descripcion de expresiones . . . . . . . 5

1.3. Gramaticas y arboles de derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Logica Proposicional 15

2.1. Lenguaje de la logica proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. Evaluacion de Expresiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3. Analisis sintactico de expresiones logicas . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4. Equivalencia Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5. Conceptos Semanticos Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6. Analisis de Argumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.7. Tableaux en calculo proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.8. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3. Logica de Predicados 83

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.2. Sintaxis de la logica de predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.3. Especificacion formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.4. Semantica Informal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.5. Predicados y tipos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.6. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4. Induccion y Recursion 121

4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.2. Los numeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.3. Induccion en los numeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.4. Definiciones recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.5. Induccion estructural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.6. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3

Page 4: manual de ejercicios de matematicas discretas

4 INDICE GENERAL

5. Conceptos de teorıas de graficas 1455.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.2. Conceptos y formalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.3. Representacion de graficas para su manipulacion . . . . . . . . . 1585.4. Isomorfismo entre graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.5. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

6. Exploracion en graficas 1776.1. Circuitos eulerianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776.2. Trayectorias hamiltonianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1846.3. Distancias en una grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1886.4. Trayectorias mas cortas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1896.5. Numero de caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.6. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

7. Modelado con graficas 1977.1. Coloracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1977.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

8. Arboles 1998.1. Caracterizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1998.2. Arboles generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1998.3. Busqueda en profundidad(DFS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008.4. Arboles generadores de peso mınimo . . . . . . . . . . . . . . . . 201

9. Multigraficas y graficas dirigidas 2079.1. Multigraficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2079.2. Graficas dirigidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2089.3. Circuitos eulerianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2129.4. Distancias en una grafica dirigida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Page 5: manual de ejercicios de matematicas discretas

Capıtulo 1

Introduccion

1.1. Expresiones

No hay ejercicios para esta seccion.

1.2. Mecanismos formales para descripcion deexpresiones

No hay ejercicios para esta seccion.

1.3. Gramaticas y arboles de derivacion

1. Decida si las siguientes expresiones aritmeticas son correctas o no. Justi-fique su respuesta utilizando las reglas de expresion aritmetica.

a) c÷ (−2⋅ a)

b) +(−d)

c) −(a+ (3÷ d)5)

d) (c⋅ 5)(a⋅ 5)

e) (c⋅ 5)− (4⋅ a⋅ c⋅ d)

f ) 3÷−+ (6⋅ a)

g) 5 ∗ ∗ max (a+ b, c⋅ d)

h) a+−(b

i) −75+ mın(3, b⋅ c, 4÷ c)j ) max (5÷ c, (−3),÷1)

5

Page 6: manual de ejercicios de matematicas discretas

6 CAPITULO 1. INTRODUCCION

2. De acuerdo con la gramatica para generar expresiones aritmeticas decidasi las siguientes expresiones estan bien formadas o no. Justifique su res-puesta (construya el arbol de derivacion para las expresiones que estenbien formadas)

a) 3x+ 2y

b) x− a ∗ (c+ 2)

c) a− x∗d) 3(a+ b)

e) (−b+ (b ∗ b− 4 ∗ a ∗ c))÷ (2 ∗ a)

3. Dadas las siguientes producciones de una gramatica escriba tres expresio-nes que se puedan derivar de ella, junto con sus derivaciones.

S ::= SS S ::= C

S ::= P P ::= ( )

P ::= (P ) P ::= (C)

C ::= [ ] C ::= [C]

C ::= [P ]

4. Dadas las siguientes producciones de una gramatica escriba tres expresio-nes que se puedan derivar de ella, junto con sus derivaciones.

S ::= N ∣ ⊳ N

N ::= E ∣ E.E

E ::= D ∣ EE

D ::= 0 ∣ 1 ∣ 2 ∣ 3 ∣ 4 ∣ 5 ∣ 6 ∣ 7 ∣ 8 ∣ 9

⊳ ::= + ∣ −

5. Considerese la siguiente gramatica:

E ::=↓ E ↑

E ::=⃝E

E ::= □�

E ::=↑↑ E

E ::= �

Page 7: manual de ejercicios de matematicas discretas

1.3. GRAMATICAS Y ARBOLES DE DERIVACION 7

a) Construir una derivacion correspondiente a la cadena ↑↑↓ ⃝ ↑↑ □� ↑.b) Dar el arbol que corresponde a la cadena ⃝ ↓ □� ↑.c) ¿La cadena ↑↑↑ ⃝� esta bien formada ?

6. Considere la siguiente gramatica:

S ::= ★ B ::= ★BS ::= △S B ::= △SS ::= ★B B ::= ★

Determine si las siguientes cadenas pertenecen al lenguaje generado porla gramatica. Si es ası escriba una derivacion y un arbol de derivacioncorrespondiente a la cadena; en caso contrario explique por que no. Elsımbolo inicial es S

a) ★ ★△△b) ★△ ★△ ★ ★

c) △△△★

7. Exhiba el proceso de generacion de las siguientes expresiones aritmeticasası como la regla de la gramatica que se ocupo en cada paso.

a) 3÷ (6⋅ a)

b) −+ a

c) (c⋅ 5)− (3 ∗ d)

d) 36 +−d÷ 3

e) (4,7⋅ a⋅ b) + 7

f ) −(2,4÷ a)− (3,5÷ b)− c

8. Construya los arboles de derivacion de las siguientes expresiones aritmeti-cas.

a) 3÷ (6⋅ a)

b) −+ a

c) (c⋅ 5)− (3÷ d)

9. Decida si las siguientes expresiones aritmeticas estan bien construidas uti-lizando reglas o derivaciones.

a) (3,0÷ 6)a

b) −a+−ac) 56⋅ ((3) ∗ (a))

d) b+ (2,5÷ (a+ b)

e) b+ (2,5÷ (a+ b)

Page 8: manual de ejercicios de matematicas discretas

8 CAPITULO 1. INTRODUCCION

f ) 96a− 54÷ b

g) 14,3÷ (c− d− f − 3)

10. Utilizando la gramatica de parentesis balanceados decida cuales de lassiguientes estan bien construidas.

a) (()()))

b) (())()()(())

c) (()())(())

d) (((()))())

e) (()()())(())

f ) (((()))))()

1.4. Soluciones

Seccion 1.3

1. a) La expresion es correctaE

E ⋄ Evar ⋄ Ec ⋄ Ec ÷ Ec ÷ (E)c ÷ (⊳ E)c ÷ (-E)c ÷ (-E ⋄ E)c ÷ (- const ⋄ E)c ÷ (-2 ⋄ E)c ÷ (-2 ⋅ E)c ÷ (-2 ⋅ var)c ÷ (-2 ⋅ a)

f) La expresion es correcta

Page 9: manual de ejercicios de matematicas discretas

1.4. SOLUCIONES 9

EE ⋄ Econst ⋄ E3 ⋄ E3 ÷ E3 ÷ ⊳E3 ÷ -E3 ÷ −⊳E3 ÷ -+E3 ÷ -+(E)3 ÷ -+(E⋄E)3 ÷ -+(const⋄E)3 ÷ -+(6⋄E)3 ÷ -+(6⋅var)3 ÷ -+(6⋅a)

g) La expresion no es correctaE

E ⋄ Econst ⋄ E5 ⋄ E5 ★ E

porque el simbolo ★ no es unario

4. a)+12.7S⊳N+N+E⋅E+EE⋅E+DE⋅E+IE⋅E+ID⋅E+12⋅E+12⋅D+12⋅7

b)

Page 10: manual de ejercicios de matematicas discretas

10 CAPITULO 1. INTRODUCCION

0.53SNE⋅ED⋅E0⋅E0⋅EE0⋅DE0⋅5E0⋅5D0⋅53

c)-783S⋄N-N-E-EE-DE-7E-7EE-7DE-78E-78D-783

6. a) No pertenece al lenguaje ya que en las reglas solo se puede terminarcon el sımbolo ★

b)S

★ B★ △ S

★ △ ★ B★ △ ★ △ S★ △ ★ △ ★ B★ △ ★ △ ★ ★

Page 11: manual de ejercicios de matematicas discretas

1.4. SOLUCIONES 11

S

★ B

△ S

★ B

△ S

★ B

c)S△ S

△ △ S△ △ △ S△ △ △ ★

S

△ S

△ S

△ S

8. a)

Page 12: manual de ejercicios de matematicas discretas

12 CAPITULO 1. INTRODUCCION

S

E

E

const

3

÷

E

( E

E

const

6

E

var

a

)

b)

S

E

-

E

+

E

var

a

c)

Page 13: manual de ejercicios de matematicas discretas

1.4. SOLUCIONES 13

S

E

E

( E

E

var

c

E

const

5

)

-

E

( E

E

const

3

÷

E

var

d

)

10. a) No esta bien construida, no se puede obtener un parentesis izquierdosolo

E

( E

E

( )

E

( )

)

d)

Page 14: manual de ejercicios de matematicas discretas

14 CAPITULO 1. INTRODUCCION

E

( E

E

( E

( E

( )

)

)

E

( )

)

Page 15: manual de ejercicios de matematicas discretas

Capıtulo 2

Logica Proposicional

2.1. Lenguaje de la logica proposicional

1. Formalice los siguientes argumentos.

a) Si Pablo de Tarso es monoteısta, entonces Socrates y Yantipa nocontrajeron matrimonio canonico. Socrates y Yantipa no contrajeronmatrimonio canonico. Por lo tanto Pablo de Tarso era monoteısta.

b) Si Mexico limita al sur con Belice, entonces Canada limita al sur deEUA. Mexico no limita al sur con Belice. Por lo tanto Canada limitaal sur con EUA.

c) Si Jose Luis Gomez es el autor del “Beso de la Virreina” entoncesSabines fue un famoso escritor de Mexico. Jose Luis Gomez es elautor del “Beso de la Virreina”. Por lo tanto Saramago fue un famosoescritor de Mexico.

2. Formalice los siguientes argumentos.

a) Si el programa es eficiente, se ejecuta rapidamente: El programa eseficiente, o tiene un error. Sin embargo, el programa no se ejecutarapidamente. Por lo tanto tiene un error.

b) Si Juana es mas popular, entonces sera elegida. Si Juana es mas po-pular, entonces Casilda se resignara. Por lo tanto si Juana es maspopular, sera electa y Casilda se resignara.

c) La cosecha es buena, pero no hay suficiente agua. Si no llueve muchoo no hay mucho sol, entonces hay suficiente agua. Por lo tanto lacosecha es buena y hay mucho sol.

15

Page 16: manual de ejercicios de matematicas discretas

16 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

d) Si la publicidad es exitosa, entonces las ventas aumentaran. Ni lasventas son exitosas ni la tienda cerrara. Las ventas no creceran. Porlo tanto la tienda cerrara.

e) Rusia tuvo un poder superior, y Francia es fuerte o Napoleon come-tio un error. Napoleon no cometio un error, pero si el armamento nofallo, entonces Francia fue fuerte. Por lo tanto el armamento fallo yRusia tuvo un poder superior.

f ) No es el caso que si la tarifa de electricidad aumenta, entonces eluso disminuira, tampoco es cierto que las nuevas plantas de poder seconstruiran o las ganancias llegaran despues. Por lo tanto el uso nodisminuira y las ganancias llegaran despues.

g) Si Jose tomo la joya o la senora Medrano mintio, entonces se come-tio un crimen. El senor Medrano no estaba en la ciudad. Si el crimenno se cometio, entonces el senor Medrano no estaba en la ciudad. Porlo tanto Jose no tomo la joya.

3. Formalice los siguientes argumentos.

a) Si Rosa Marıa obtiene el puesto de supervisor y trabaja mucho, en-tonces obtendra un aumento. Si obtiene el aumento, entonces com-prara un auto nuevo. Ella no ha adquirido un auto nuevo. Por lotanto, Rosa Marıa no ha obtenido el puesto de supervisor o no hatrabajado mucho.

b) Si Domingo va a la carrera de autos, entonces Elena se enojara. Si Ra-fael juega cartas toda la noche, entonces Carmen se enojara. Si Elenao Carmen se enojan, le avisara a Veronica (su abogado). Veronica noha tenido noticias de estas dos clientes. En consecuencia, ni Domingofue a las carreras ni Rafael jugo cartas toda la noche.

c) Si Norma va a su reunion del martes por la manana, entonces de-bera levantarse muy temprano ese dıa. Si va al concierto de rock ellunes por la noche, entonces llegara a su casa despues de las 11:00P.M. Si Norma llega a su casa a esa hora y se levanta temprano al dıasiguiente, entonces tendra que ir a trabajar con menos de siete horas.Por desgracia, Norma no puede trabajar con menos de siete horas dedescanso. Norma no debera de ir al concierto de rock o debera faltara su reunion del martes por la manana.

d) Si hay cierta probabilidad de lluvia o pierde su cinta roja para elcabello, entonces Loreta no cortara el cesped. Siempre que la tem-peratura esta por arriba de los 30oC, no hay probabilidad de lluvia.

Page 17: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.1. LENGUAJE DE LA LOGICA PROPOSICIONAL 17

Hoy la temperatura es de 35oC y Loreta esta usando su cinta roja.Por lo tanto(en algun momento del dıa), Loreta cortara el cesped.

4. ¿Cuales de las siguientes oraciones son proposiciones atomicas, cuales pro-posiciones no atomicas y cuales no son proposiciones? Justifique su res-puesta.

a) Cinco al pastor, con todo.

b) V = Dt .

c) Rafael y America fueron a Peru.

d) Si nos encuentran, estamos perdidos.

e) Rafael y America son novios.

f ) Los borrachos o los ninos dicen la verdad.

g) Hay pinguinos en Paracas.

h) 3x+ 8y.

i) Menelao no dice la verdad.

j ) −b±√b2−4ac

2a .

5. ¿Cuales de las siguientes oraciones son proposiciones?

a) La luna esta hecha de queso verde.

b) Es un hombre indudablemente alto.

c) Dos es un numero primo.

d) ¿El juego terminara pronto?

e) El proximo ano las tasas de interes aumentaran.

f ) El proximo ano las tasas de interes disminuiran.

g) x2 − 4 = 0.

6. Indique cuales de los enunciados siguientes son proposiciones.

a) ¿Cuantos anos tienes?

b) ¡Pasame la taza!

c) La puerta es grande.

d) La puerta es pequena.

e) No te creo.

f ) Soy guapo.

g) ¡No me enganes!

h) Es falso que la puerta sea grande.

i) ¡Voto por Dios!

7. ¿Cuales de estos enunciados son proposiciones?

Page 18: manual de ejercicios de matematicas discretas

18 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

a) No pasar.

b) ¿Que hora es?

c) No hay moscas negras en Nuevo Leon.

d) 4 + x = 5.

e) 2n ≥ 100.

8. ¿Cuales de estos enunciados son proposiciones?

a) Merida es las capital de Yucatan.

b) Chihuahua es la capital de Tamaulipas.

c) 2 + 3 = 5.

d) 5 + 7 = 10.

e) x+ 2 = 11.

f ) Responde esta pregunta.

9. ¿Es la afirmacion “Este enunciado es falso” una proposicion?

10. Determine si las siguientes proposiciones estan bien formadas. Justifiquesu respuesta (en caso de ser afirmativo construya el arbol de derivacion)

a) p ∧ q → ¬rb) ¬(((q) ∧ ¬(p))→ (s ∨ t)c) ((¬p→ q)→ (¬q → p))

11. Utilizando las variables proposicionales indicadas en cada oracion traduzcalos siguientes enunciados a expresiones logicas.

a) Si Pedro juega futbol (p), Paco tambien (q).

b) Pienso (p), luego existo (q).

c) No pienso, entonces no existo.

d) El fuego (p) es la causa del humo (q).

e) Pedro ira al dentista (p) tanto si quiere (q) como si no quiere.

f ) La magia del cuento se revela (p) solo cuando Pinocchio miente (q)o Blanca Nieves muerde la manzana (r).

g) La inflacion aumentara (p), a menos que baje la emision de moneda(q) u ocurra un milagro (r).

h) Si el mal existe en el mundo (p) y no se origina en las acciones de losseres humanos (q), entonces los Dioses del Olimpo no quieren (r) ono puede (s) impedirlo.

i) Este ejercicio no esta difıcil.

Page 19: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.1. LENGUAJE DE LA LOGICA PROPOSICIONAL 19

12. En los siguientes enunciados, identifique las proposiciones atomicas asignando-les variables proposicionales y formalice los enunciados por medio de unaformula logica.

El pasado mes en la tienda de la esquina ocurrio un robo.

a) Solamente Plutarco y Quelonico estuvieron en la tienda el dıa delrobo y solo uno de ellos es culpable.

b) Plutarco, Quelonico y Rufino estuvieron en la tienda juntos, si hayal menos dos culpables, entonces Plutarco es uno de ellos.

c) Plutarco, Quelonico y Rufino estuvieron en la tienda y hay exacta-mente dos culpables.

13. Sean p, q y r los siguientes enunciados:

p: Las rosas son rojas.q: Las violetas son azules.r: El azucar es dulce.

Traduzca los siguentes enunciados compuestos en conectivos logicos.

a) Las rosas son rojas y las violetas son azules.

b) Las rosas son rojas, y las violetas son azules o el azucar es dulce.

c) Cuando las violetas son azules, las rosas son rojas y el azucar es dulce.

d) Las rosas son rojas solo si las violetas no son azules o el azucar esagria.

e) Las rosas son rojas y si el azucar es agria, entonces ni las violetas sonazules o el azucar es dulce.

14. De acuerdo a la definicion anterior de p, q y r traduzca los siguientesenunciados en espanol.

a) q ∨ ¬rb) ¬q ∨ (p→ r)

c) (r ∧ ¬p)↔ q

d) r ∧ (¬p↔ q)

e) ¬(q ∧ ¬r)→ p

f ) p ∨ (q ∧ ¬r)g) (p ∨ q) ∧ ¬r

15. Usando conectivos logicos traduzca los siguientes enunciados compuestos.

a) Si el caballo esta saludable, entonces el caballero ganara.

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20 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

b) El caballero ganara solo si el caballo esta saludable y la armadura esfuerte.

c) Un caballo saludable es una condicion necesaria para que un caballerogane.

d) El caballero ganara si y solo si la armadura es fuerte.

e) Una condicion suficiente para que el caballero gane es que la arma-dura sea fuerte o el caballo este saludable.

16. Sea p y q las proposiciones:

p: Esta helando.q: Esta nevando.

Escriba estas proposiciones usando p y q utilizando conectivos logicos.

a) Esta helando y nevando.

b) Esta helando pero no nevando.

c) No esta helando y no esta nevando.

d) Esta nevando o esta helando. (o ambas)

e) Si esta helando, tambien esta nevando.

f ) Esta helando o nevando, pero no esta nevando si esta helando.

g) Que este helando es necesario y suficiente para estar nevando.

17. Sean p y q las proposiciones:

p: Manejas a mas de 65 kms. por hora.q: Consigues una multa por exceso de velocidad.

Escriba estas proposiciones usando p y q utilizando conectivos logicos.

a) No manejas a mas de 65 kms. por hora.

b) Manejas a mas de 65 kms. por hora, pero no consigues una multapor exceso de velocidad.

c) Conseguiras una multa por exceso de velocidad si manejas a mas de65 kms. por hora.

d) Si no manejas a mas de 65 kms. por hora, entonces no conseguirasuna multa por exceso de velocidad.

e) Manejando a mas de 65 kms. por hora es suficiente para conseguiruna multa por exceso de velocidad.

f ) Consigues una multa por exceso de velocidad, pero no manejas a masde 65 kms. por hora.

Page 21: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.1. LENGUAJE DE LA LOGICA PROPOSICIONAL 21

g) Siempre que consigas una multa por exceso de velocidad, estas ma-nejando a mas de 65 kms. por hora.

18. Sean p, q y r las proposiciones:

p: Obtienes 10 en el examen final.q: Haces cada ejercicio de este libro.r: Obtienes 10 en esta clase.

Escriba estas proposiciones usando p,q y r utilizando conectivos logicos

a) Obtienes 10 en esta clase, pero no haces cada ejercicio de este libro.

b) Obtienes 10 en el examen final, haces cada ejercicio de este libro, yobtienes 10 en esta clase.

c) Obtienes 10 en esta clase, para ti es necesario obtener 10 en el examenfinal.

d) Obtienes 10 en el examen final, pero no haces cada ejercicio de estelibro; sin embargo, obtienes 10 en esta clase.

e) Obteniendo 10 en el examen final y haciendo cada ejercicio de estelibro es suficiente para obtener 10 en esta clase.

f ) Conseguiras 10 en esta clase si y solo si haces los ejercicios de estelibro u obtienes 10 en el examen final.

19. Sean p, q y r las proposiciones:

p: Los osos grizzly han sido vistos en el area.q: La caminata es segura en el sendero.r: Las moras estan a lo largo del sendero.Escriba estas proposiciones usando p,q y r utilizando conectivos logicos.

a) Las moras estan a lo largo del sendero, pero los osos grizzly no hansido vistos en el area.

b) Los osos grizzly no han sido vistos en el area y la caminata en elsendero es segura, pero las moras estan a lo largo del sendero.

c) Si las moras estan a lo largo del sendero, la caminata es segura si ysolo si los osos grizzly no han sido vistos en el area.

d) No es segura la caminata en el sendero, pero los osos grizzly no hansido vistos en el area y las moras estan a lo largo del sendero.

e) Para que la caminata sea segura en el sendero, es necesario pero nosuficiente que las moras no esten a lo largo del sendero y que los ososgrizzly no sean vistos en el area.

Page 22: manual de ejercicios de matematicas discretas

22 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

f ) La caminata no es segura en el sendero siempre que los osos grizzlysean vistos en el area y las moras esten a lo largo del sendero.

20. Exprese las siguientes especificaciones de un sistema usando las proposi-ciones p y q junto con conectivos logicos.

p: El mensaje se busca por el nombre del virus.q: El mensaje se envio por un sistema desconocido.

a) El mensaje se busca por el nombre del virus siempre que el mensajesea enviado por un sistema desconocido.

b) El mensaje se envio por un sistema desconocido pero no se busco porel nombre del virus.

c) Es necesario buscar el mensaje por el nombre del virus siempre quecada uno sea enviado por un sistema desconocido.

d) Cuando un mensaje es enviado por un sistema desconocido no esbuscado por el nombre del virus.

21. Utilice letras para los enunciados compuestos, traduzcalos a conectivoslogicos.

a) Si los precios suben, entonces la vivienda sera abundante y cara; perosi la vivienda no es cara, entonces aun ası sera abundante.

b) Ni ir a la cama o nadar es condicion suficiente para cambiar de ropa;sin embargo, el cambio de ropa no significa ir a nadar.

c) Llovera o nevara pero no ambos.

d) Si Juana gana o si pierde, estara cansada.

e) Juana ganara o, si pierde, estara cansada.

22. Formalice las siguientes proposiciones.

a) Los animales, como las plantas, son seres vivos.Los animales son seres vivos (p) y las plantas son seres vivos (q)

b) El fenomeno de la nutricion separa de una manera tajante los seresvivientes de los no vivientes.El fenomeno de la nutricion separa los seres vivientes (p) y los seresno vivientes (¬p)

c) Dos rectas son paralelas si tienen la misma direccion.tienen la misma direccion (q), dos rectas paralelas (p)

Page 23: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.1. LENGUAJE DE LA LOGICA PROPOSICIONAL 23

d) Decir que la suma de sucesiones positivas es una sucesion positiva yel producto de sucesiones positivas es una sucesion positiva equivalea decir que la suma y el producto de dos numeros reales positivos esun numero real positivo.(La suma de las sucesiones positivas es una sucesion positiva (p) yel producto de sucesiones positivas es una sucesion positiva (q)) siy solo si (la suma de dos numero reales positivos es un numero realpositivo (r) y el producto de dos numero reales es un numero realpositivo (s))

e) Si perseveras en tus decisiones y no cedes al desaliento frente a losobtaculos, comprobaras como el exito te sonrıe.perseveras en tus decisiones (p), cedes al desaliento frente a los obstacu-los (q), entonces comprobaras como el exito te sonrıe (r)

f ) Si Frankestein cruza nuestras calles, ha de indicar que y cuantos finespersigue, y si miente, le daremos con la puerta en las narices, pero sidice la verdad, le invitaremos a cenar.(Frankestein cruza nuestras calles (p), ha de indicar que fines persigue(q), cuantos fines persigue (r), le daremos con las puertas en lasnarices (t)),(dice la verdad (s), le invitaremos a cenar (w)))

g) El hidroxido de aluminio es maleable y, a igualdad de peso, mejorconductor de electricidad que el cobre.(El hidroxido de aluminio es maleable (p)), tiene igual peso que elcobre (q), entonces es mejor conductor de electricidad que este (r)

h) Por el puente se va a casa, que no por el agua.Por el puente se va a casa (p), por el agua se va a casa (q)

i) El nitrogeno se usa en los laboratorios y reemplaza el aire de ciertosaparatos cuando el oxıgeno es perjudicial en las operaciones.(el oxıgeno es perjudicial (q), el nitrogeno se usa (p) y reemplaza (r))

j ) Si el hombre es moral, no esta determinado unıvocamente por el am-biente y cabe exigirle cuentas de sus elecciones.El hombre es moral (p), determinado unıvocamente...(q), cabe exi-girle cuenta...(r)

k) La persona humana tiene creencias sobre multitud de cosas, pero talmultitud no forma un caos, sino que esta organizada psicologicamen-te.La persona humana tiene...(p), Tal multitud forma un caos (q), esta or-ganizada psicologicamente (r)

23. Exprese las siguientes especificaciones de un sistema usando las proposi-ciones p,q y r junto con conectivos logicos.

p: Los usuarios introducen una clave correcta.q: El acceso se concede.r: El usuario ha pagado la cuota de suscripcion.

Page 24: manual de ejercicios de matematicas discretas

24 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

a) El usuario ha pagado la cuota de suscripcion, pero no introduce laclave correcta.

b) El acceso se concede siempre que el usuario haya pagado la cuota desuscripcion e introducido la clave correcta.

c) El acceso es denegado si el usuario no ha pagado la cuota suscripcion.

d) Si el usuario no ha introducido la clave correcta pero ha pagado lacuota de suscripcion, entonces el acceso es concedido.

24. Exprese cada una de las siguientes proposiciones compuestas en enuncia-dos en espanol

p: Nadar a Quintana Roo por la orilla esta permitido.q: Los tiburones se han hecho notar cerca de la orilla.

a) ¬qb) p ∧ qc) ¬p ∨ qd) p→ ¬qe) ¬q → p

f ) ¬p→ ¬qg) p↔ ¬qh) ¬p ∧ (p ∨ ¬q)

25. Hallar el antecedente y el consecuente de cada enunciado.

a) Las plantas saludables crecen con suficiente agua.

b) Incrementar la disponibilidad de informacion es una condicion nece-saria para los avances tecnologicos.

c) Los errores se introduciran solo si hay una modificacion en el progra-ma.

d) Un ahorro de combustible implica un buen aislamiento o tormentaspor todas partes.

26. Determine si lo siguiente es verdadero o falso. Aquı p, q y r son proposi-ciones arbitrarias.

a) Una forma equivalente para expresar la recıproca de “p es suficientepara q” es “p es necesaria para q.”

b) Una forma equivalente para expresar la inversa de “p es suficientepara q” es “¬q es suficiente para ¬p.”

c) Una forma equivalente para expresar la contrapositiva de “p es ne-cesaria para q” es “¬q es necesaria para ¬p.”

Page 25: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.1. LENGUAJE DE LA LOGICA PROPOSICIONAL 25

d) Una forma equivalente para expresar la recıproca de p→ (q → r) es(¬q ∨ r)→ p.

27. Hugo, Paco y Luis son sospechosos de robar los dulces de la cafeterıa dela escuela de junto. Supon que p, q y r simbolizan los enunciados “Hugoes inocente”, “Paco es inocente” y “Luis es inocente”, respectivamente.Construya formulas proposicionales que indiquen en que caso se hacenverdaderas.

a) Hay a lo sumo un inocente.

b) Hay a lo sumo un culpable.

c) Si hay algun culpable, entonces hay mas de uno.

d) Hay mas culpables que inocentes.

e) Hay mas inocentes que culpables.

28. Escriba las siguientes proposiciones en la forma “p si y solo si q” en es-panol.

a) Para que consigas 10 en este curso, es suficiente y necesario que apren-das a resolver problemas de Matematicas Discretas

b) Si lees el periodico todos los dıas, estaras informado, y viceversa

c) Llueve si es un dıa de fin de semana, y es un dıa en fin de semana sillueve

d) Puedes ver al hechicero solo si el hechicero no esta dentro, y el he-chicero no esta dentro solo si puedes verlo

29. En cada enunciado condicional establezca la inversa y la contrapositiva.

a) Si nieva hoy, esquiare manana.

b) Vengo a clase cuando hay examen.

c) Un entero positivo es primo solo si no tiene otros divisores que sean1 y el mismo.

30. En cada enunciado condicional establezca la inversa y la contrapositiva.

a) Si nieva esta noche, entonces permanecere en casa.

b) Voy a la playa siempre que sea un dıa soleado de verano.

c) Cuando me levanto tarde, es necesario que duerma hasta la medianoche.

31. Escriba la recıproca, la inversa y la contrapositiva de cada una de las si-guientes implicaciones. Para cada implicacion, determine su valor de ver-dad, ası como el valor de verdad de la recıproca, la inversa y la contrapo-sitiva correspondiente.

Page 26: manual de ejercicios de matematicas discretas

26 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

a) Si hoy es el dıa del trabajo, entonces manana es martes.

b) Si −1 < 3 y 3 + 7 = 10, entonces 3Π2 = −1.

c) Si Paco vive en Nepal, entonces Paco vive en Vietnam.

32. Escriba el recıproco, la inversa, la contrapositiva y la negacion de la si-guiente proposicion “Si Sandra termina su trabajo, entonces ira al juegode basketball, a menos que nieve.”

33. Construya la tabla de verdad para las siguientes proposiciones compuestas.

a) p→ (¬q ∨ r)b) ¬p→ (q → r)

c) (p→ q) ∨ (¬p→ r)

d) (p→ q) ∧ (¬p→ r)

e) (p↔ q) ∨ (¬q ↔ r)

f ) (¬p↔ ¬q)↔ (q ↔ r)

34. Sean p, q, r proposiciones simples.

a) Use las tablas de verdad para verificar las siguientes equivalenciaslogicas.

1) p→ (q ∧ r)↔ (p→ q) ∧ (p→ r)

2) ((p ∨ q)→ r)↔ ((p→ r) ∧ (q → r))

3) (p→ (q ∨ r))↔ (¬r ↔ (p→ q))

b) Use las reglas de sustitucion para ver que (p→ (q∨r))↔ ((p∧¬q)→r)

35. Para la tabla de verdad p ∨ q, el resultado es verdadero si p es verdadero,si q es verdadero, o si ambos son verdaderos. Cuando el resultado deambos componentes es verdadero se le llama o inclusivo. Lo anterior seejemplifica con el enunciado: “Tendremos lluvia o relampagos manana”.Otro uso de la palabra “o” es la o exclusiva que algunas veces se escribeXOR, cuyo resultado es falso cuando ambos componentes son verdaderos.El o exclusivo se ejemplifica en el enunciado: “En la interseccion, deberasdar vuelta al norte o sur” El o exclusivo se simboliza como p⊕ q.

a) Escriba la tabla de verdad de la o exclusiva

b) Muestre que p⊕ q ↔ ¬(p↔ q) es una tautologıa

36. Construya la tabla de verdad para las siguientes proposiciones compuestas.

a) (p ∨ q)→ (p⊕ q)b) (p ∨ q)⊕ (p ∧ q)

Page 27: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.1. LENGUAJE DE LA LOGICA PROPOSICIONAL 27

c) (p↔ q)⊕ (¬p↔ ¬r)d) (p⊕ q)→ (p⊕ ¬q)e) (p⊕ q)→ (p ∧ q)f ) (p↔ q)⊕ (¬p↔ q)

37. Dados los valores de verdad p como verdadero, q falso y r verdadero, ¿Cuales el valor de verdad de los siguientes formulas bien formadas?

a) p ∧ (q ∨ r)b) (p ∧ q) ∨ rc) ¬(p ∧ q) ∨ rd) ¬p ∨ ¬(¬q ∧ r)

38. Resuelva las siguientes tablas de verdad.

a) (p→ q) ∧ qb) (p ∨ ¬p) ∧ (q ∧ ¬q)c) (p→ q) ∧ q → p

d) ¬(p ∧ ¬p)→ r

e) p ∧ ¬q)→ (q ∨ ¬r)f ) (p→ q)→ (¬q → ¬p)g) (p ∨ q) ∧ (p→ q)

h) ¬(p ∧ q) ∨ ¬(¬p ∧ r)→ (p ∧ q ↔ r) ∧ (¬p ∧ q ∧ r)i) ((p ∧ q)→ ¬r ↔ ¬(p ∨ q → r)) ∨ (q → r)

j ) (q ∧ r → ¬p)↔ (r ∨ s→ p ∨ q)k) (p→ (q ∧ r))→ (t→ t) ∧ ((¬s ∨ ¬s))l) ((p ∧ q)→ p)→ ((q ∨ r) ∧ (¬q ∧ ¬r))

m) (p↔ q)↔ (¬(p ∧ ¬q) ∧ ¬(¬p ∧ q))n) ((p ∧ q) ∨ r)→ (¬r → (p ∧ q))n) ((p ∧ q ∧ r)→ (r ∧ s)) ∧ (r ∧ s)→ (p ∧ q ∧ r)o) ((¬p→ q) ∧ (q → r))→ (¬p→ r)

p) (p→ r) ∧ (q → s)→ (p ∧ q → r ∧ s)

39. Demuestre que todas las formulas de las formas indicadas a continuacionson tautologıas:

a) p ∧ q → p

b) p→ (q → p ∧ q)c) q → p ∨ qd) (p→ r)→ ((q → r)→ (p ∨ q → r))

Page 28: manual de ejercicios de matematicas discretas

28 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

e) ¬p→ (p→ q)

f ) p→ (q → p)

40. Determine si las siguientes formulas son tautologıas, contradiccion o con-tingencia.

a) p ∧ (p→ ¬p)b) (p↔ ¬q) ∨ qc) (p→ q)→ ¬(q → p)

d) (¬p→ ¬q)→ (q → p)

e) ((p→ q)→ p)

f ) (p↔ q) ∧ (p→ ¬q)

41. Construya las tablas de verdad para las siguientes formulas bien formadas.

a) (p→ q)↔ ¬p ∨ qb) (p ∧ q) ∨ r → p ∧ (q ∨ r)c) p ∧ ¬(¬p ∨ ¬q)d) p ∧ q → ¬pe) (p→ q)→ ((p ∨ r)→ (q ∨ r))f ) p→ (q → p)

g) p ∧ q ↔ ¬q ∨ ¬ph) (p ∨ ¬q) ∧ ¬(p ∧ q)i) ((p ∨ q) ∧ ¬r)→ ¬p ∨ r

42. Muestre que cada unos de los enunciados condicionales es una tautologıapor medio de tablas de verdad.

a) (p ∧ q)→ p

b) ¬p→ (p→ q)

c) ¬(p→ q)→ p

d) p→ (p ∨ q)e) (p ∧ q)→ (p→ q)

f ) ¬(p→ q)→ ¬q

43. Utilice tablas de verdad para verificar que p→ (q → r)↔ (p ∧ q)→ r esuna tautologıa.

44. Construyendo tablas de verdad, verifique que las siguientes formulas bienformadas son tautologıas.

a) p ∨ ¬pb) ¬(¬p)↔ p

Page 29: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.2. EVALUACION DE EXPRESIONES 29

c) p ∧ q → q

d) p→ p ∨ qe) ¬(p ∨ q)↔ ¬p ∧ ¬q (Ley de De Morgan)

f ) ¬(p ∧ q)↔ ¬p ∨ ¬q (Ley de De Morgan)

45. Demostrar que la expresion

((p ∧ q)→ r)↔ ((p ∧ ¬r)→ ¬q)

es una tautologıa.

46. Responda utilizando tablas de verdad si los argumentos del ejercicio 1 dela seccion 2.1 son correctos.

47. ¿Puede construir una argumentacion valida cuyas premisas sean verdade-ras y cuya conclusion sea falsa? ¿Por que?

48. Traduzca los siguientes argumentos logicos indicando el significado de lasvariables proposicionales usadas. Ademas decida si son correctos utilizandotablas de verdad.

a) Raul esta comiendo pastel. Si Raul esta comiendo pastel, no esta ju-gando con su PS3. Si no esta jugando con su PS3 entonces su padreno pagara el seguro de la casa. Por tanto el padre de Raul no pagara elseguro de la casa.

b) Que el auditorio este lleno es condicion necesaria y suficiente paraque la banda de rock toque. Si la banda de rock toca entonces todosestan cantando. Nadie canta. Por tanto el auditorio no esta lleno.

2.2. Evaluacion de Expresiones

1. Evalue las expresiones en los estados dados.

Expresiones Estado Evaluacioni = 1 j = 0(a ∗ c)/b a=30, b=4, c=6(p→ q) ∧ r p = 1, q = 1, r = 0p ∨ q ∨ r p = 0, q = 0, r = 1¬(p↔ r) p = 1, r = 1

2. Evalue las expresiones en los estados dados.

Expresiones Estado Evaluacioni = 10 j = 10(a ∗ b)/c a=1, b=-1, c=1, d=7(p ∨ q)→ r p = 1, q = 0, r = 0¬((p→ q) ∧ (q → r)) p = 0, q = 0, r = 0(p ∧ q) ∨ (p ∧ q) p = 1, q = 0

Page 30: manual de ejercicios de matematicas discretas

30 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

3. Restaure los parentesis en la siguiente formula.

¬p ∨ q ∧ ¬r → ¬q∧ → r ↔ ¬s

4. Realice las siguientes sustituciones textuales:

a) (p↔ q ∧ ¬p ∧ r)[p := p ∨ q][q := s ∧ p]

b) (p↔ q → ¬(p ∧ r))[p, q := p ∨ q, s][p, q := ¬p,¬s]

c) ((p ∧ ¬(q ∨ p ∨ s)[p, q := q ∧ s, p↔ q])[s := ¬p]

d) ((p→ q) ∧ p[p, q := s ∨ q,¬p]→ ¬q)[s := ¬p]

e)((r ∧ q)[r := p ∨ q → s]↔ (s ∨ q)[q := p ∨ s]

)[p, q, s := ¬q, s ∧ t, r]

5. Realiza las siguientes sustituciones y elimina los parentesis innecesarios enel resultado:

a) (p ∨ q)↔((p ∧ (r ∨ t)

))[r, q := p ∧ q, r ∨ s]

b)((q ∧ r

)[q, p := ¬p, s]→ (r ∧ ¬(r ↔ p))

)[r, p := ¬r, s ∧ p]

c)((p→ q → s

)[q := ¬r ∧ q]→

((p→ q)↔ (p ∧ r)

))[q, r, p := s, q ∧ p, (r ∨ q)]

2.3. Analisis sintactico de expresiones logicas

1. Para cada una de las siguientes formulas proposicionales identifique suesquema al restaurar todos los parentesis.

a) p→ q ∧ r ↔ s

b) ¬p ∧ ¬qc) s ∨ (t ∧ ¬p→ s)

d) (u→ ¬p) ∧ r → p

e) u ∧ w ∧ r ∧ sf ) r ↔ p ∨ q ∨ rg) (¬p→ ¬q)→ (¬p→ q)→ p

h) q ∨ r ↔ q → r

i) w ∧ t ∧ ¬(p ∨ q)j ) ¬s→ ¬t ∧ ¬(p ∨ q)

Page 31: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.3. ANALISIS SINTACTICO DE EXPRESIONES LOGICAS 31

2. Considere las siguientes formulas proposicionales:

a) p→ q → r ∨ s ∨ pb) p→ q ∧ r → s

c) ¬p ∧ (q ∨ p) ∨ ¬qd) r ∧ ¬q ↔ ¬r ∧ q

Realice lo siguiente para cada una de ellas:

a) Restaure todos los parentesis.

b) Muestre su esquema ası como el o los rangos respectivos.

c) De dos estados tales que uno evalue la formula a verdadero y el otroa falso.

3. Para cada una de las siguientes formulas, identifique el conectivo principalası como su rango o rangos y restaure los parentesis.

a) p→ q ∧ r ↔ s

b) ¬p ∧ ¬qc) s ∨ (t ∧ ¬p→ s)

d) (u→ ¬p) ∧ r → p

e) u ∧ w ∧ r ∧ sf ) u ∧ (w ∧ (r ∧ s))g) r ↔ p ∨ q ∨ rh) (¬p→ ¬q)→ (¬p→ q)→ p

i) q ∨ r ↔ q → r

j ) w ∧ t ∧ ¬(p ∨ q)k) ¬s→ ¬t ∧ ¬(p ∨ q)

4. Sean p, q, r y s proposiciones atomicas. Construye el arbol de analisissintactico.

a) (p ∨ ¬q) ∧ (¬r ∨ s)b) p→ (q ∧ ¬r ∧ s)c) ((p ∨ true) ∧ (q ∨ false)) ∨ (r ∧ s ∧ true)

5. Encuentre el dual de cada una de las proposiciones compuestas (la formu-la dual de A, denotada AD intercambiando ∧ con ∨ y cambiando cadavariable p por su negacion ¬p)

a) p ∧ ¬q ∧ ¬rb) (p ∧ q ∧ r) ∨ sc) (p ∨ false) ∧ (q ∨ true)

Page 32: manual de ejercicios de matematicas discretas

32 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

6. ¿Cuando pasa que s∗ ≡ s? Donde s es una proposicion compuesta.

7. Considere la siguiente proposicion P :

¬((¬q ∧ (p→ r)) ∧ (r → q))

a) Construya el arbol de analisis sintactico para P .

b) ¿Corresponde P al esquema A∧B∧C → D) ? Justifique su respuesta.

c) ¿Corresponde P al esquema A ∧ (B → C) ∧ D)? Justifique su res-puesta.

8. Construya los arboles sintacticos de las siguientes formulas y determinasu esquema.

a) ¬p ∨ ¬q ∨ ¬t→ ¬pb) p→ q → r

c) (p→ q) ∧ (q → r)→ p→ r

d) (p→ q ∧ r) ∨ r ↔ s ∨ q ∨ se) (p→ q) ∧ (p ∧ q ↔ q)→ s

9. Use las reglas de sustitucion para verificar que cada una de las siguientesproposiciones es una tautologıa.(En este caso p, q y r son proposicionesatomicas.)

a) (p ∨ (q ∧ r)) ∨ ¬(p ∨ (q ∧ r))b) ((p ∨ q)→ r)↔ (¬r → ¬(p ∨ q))

c)((

(p∨q)→ r)∨(s∧t)

)↔(((

(p∨q)→ r)∨s)∧((

(p∨q)→ r)∨t))

10. Para las proposiciones atomicas p, q.

a) Verifique que p→ [q → (p ∧ q)] es una tautologıa.

b) Verifique que (p∨q)→ [q → q] es una tautologıa, usando el resultadode la parte (a), las reglas de sustitucion y las leyes de la logica.

c) ¿Es (p ∨ q)→ [q → (p ∧ q)] una tautologıa?

2.4. Equivalencia Logica

1. Muestre que las siguientes proposiciones son logicamente equivalentes.

a) p→ q y ¬q → ¬pb) ¬p↔ q y p↔ ¬qc) ¬(p⊕ q) y p↔ q

Page 33: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.4. EQUIVALENCIA LOGICA 33

d) ¬(p↔ q) y ¬p↔ q

e) (p→ q) ∧ (p→ r) y p→ (q ∧ r)f ) (p→ r) ∧ (q → r) y (p ∨ q)→ r

g) (p→ q) ∨ (p→ r) y p→ (q ∨ r)h) (p→ r) ∨ (q → r) y (p ∧ q)→ r

i) ¬p→ (q → r) y q → (p ∨ r)j ) p↔ q y (p→ q) ∧ (q → p)

k) p↔ q y ¬p↔ ¬q

2. Transforme la formula (p∨q)∧ (p∨r) en otra logicamente equivalente quesolo use los conectivos “¬” y “→”

3. Transforme la formula resultante del ejercicio anterior en otra logicamenteequivalente que solo use los conectivos “⊥” y “→”

4. Muestre que las siguientes proposiciones no son equivalentes.

a) (p→ q)→ r y p→ (q → r)

b) (p ∧ q)→ r y (p→ r) ∧ (q → r)

c) (p→ q)→ (r → s) y (p→ r)→ (q → s)

5. Demuestre usando leyes de equivalencia logica.

a) ∣= (p→ q)↔ (¬q → ¬p)b) ∣= (p→ q) ∧ (q → r)→ (p→ r)

c) ∣= (p→ (q ∧ ¬q))→ ¬pd) ∣= (p→ ¬p)→ ¬pe) ∣= ¬(p ∧ ¬p)f ) ∣= p→ q → (p ∧ q)

6. Utilice las leyes de equivalencia logica para simplificar las formulas siguien-tes:

a) (p→ q) ∧ pb) (p→ q) ∨ ¬pc) (p→ q)→ q

d) p→ (p ∧ q)e) (p ∧ q) ∨ pf ) (p→ q)→ p

7. Muestre que para p, q proposiciones atomicas,

p⊕ q ≡ [(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)] ≡ ¬(p↔ q)

Page 34: manual de ejercicios de matematicas discretas

34 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

8. Verifique que

(p↔ q) ∧ (q ↔ r) ∧ (r ↔ p) ≡ (p→ q) ∧ (q → r) ∧ (r → p)

para las proposiciones atomicas p, q y r.

9. Defina el conectivo “NAND” o “No...y...” como (p ↑ q) =def ¬(p ∧ q),para las proposiciones p, q. Represente lo siguiente utilizando solamenteeste conectivo.

a) ¬pb) p ∨ qc) p ∧ qd) p→ q

e) p↔ q

10. El conectivo “NOR” o “NO...o...” se define para las proposiciones p, qcomo (p ↓ q) =def ¬(p∨ q) Represente las proposiciones de las partes a) ae) del ejercicio anterior utilizando solamente este conectivo.

11. Para las proposiciones p, q, demuestre que:

a) ¬(p ↓ q) =def (¬p ↑ ¬q)b) ¬(p ↑ q) =def (¬p ↓ ¬q)

12. Muestre que (↓) es una coleccion funcionalmente completa de operacioneslogicas, con ayuda de lo siguiente.

a) Muestre que p ↓ p es logicamente equivalente a ¬p.b) Muestre que (p ↓ q) ↓ (p ↓ q) es logicamente equivalente. a p ∨ q

13. Encuentre una proposicion logicamente equivalente a p → q usando soloel operador logico ↓

14. Sean p, q y r proposiciones atomicas. Demuestre la verdad o falsedad (conun contraejemplo) de lo siguiente:

a) p↔ q ↔ r ≡ (p↔ q)↔ r

b) p→ (q → r) ≡ (p↔ q)→ r

15. Pruebe que:p→ (q → r) ≡ (p ∧ q)→ r

utilizando una serie de equivalencias.

16. Para las proposiciones atomicas p, q, r, verifique que las proposiciones com-puestas

p ∧ (q → ¬r)¬(¬p ∨ q) ∨ ¬(¬p ∨ r)

son logicamente equivalentes.

Page 35: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.5. CONCEPTOS SEMANTICOS IMPORTANTES 35

a) Utilizando tablas de verdad.

b) Recurriendo a las leyes de la logica, las reglas de sustitucion y cual-quier otra equivalencia logica que convenga.

17. Pruebe que hay enunciados compuestos que no son equivalentes a ningunenunciado usando solo los conectivos “→” y “∨”

18. Utilizando las propiedades de los conectivos logicos y las leyes de equiva-lencia demuestre que los siguientes pares de formulas proposicionales sonequivalentes:

a) p→ q → (p ∧ q) y true

b) ¬(p↔ q) y ¬p↔ q

c) (p→ (q ∧ ¬q))→ ¬p y ¬pd) (p ∨ q) ∧ ¬(¬p ∧ q) y p

19. Sean p, q y r proposciones atomicas. Encuentre una forma de la contrapo-sitiva de p→ (q → r) con:

Solo una presencia del conectivo →Sin que aparezca el conectivo →

20. Construya la tabla de verdad del operador NAND.

21. Construya la tabla de verdad del operador NOR.

22. Pruebe que cada componente de la formula bien definida es equivalente auna formula bien definida usando solo los conectivos:

a) ∨ y ¬b) → y ¬

2.5. Conceptos Semanticos Importantes

1. Verifique que cada una de las siguientes proposiciones es una implicacionlogica, mostrando que es imposible que el consecuente tenga el valor deverdad 0 mientras que el antecedente tenga el valor de verdad 1

a) (p ∧ q)→ p

b) p→ (p ∨ q)c) [(p ∨ q) ∧ ¬p]→ q

d) [(p→ q) ∧ (r → s) ∧ (p ∨ r)]→ (q ∨ s)e) [(p→ q) ∧ (r → s) ∧ (¬q ∨ ¬s)]→ (¬p ∨ ¬r)

2. En cada uno de los siguientes casos, decida si el conjunto de formulasindicado es satisfacible o insatisfacible

Page 36: manual de ejercicios de matematicas discretas

36 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

a) p→ q,¬qb) p→ q,¬q ∨ r, p ∧ ¬rc) p ∨ q → r,¬((¬p ∧ ¬q) ∨ r)

3. Calcule el valor de verdad de las siguientes formulas, en una interpretacionℐ tal que ℐ(p) = 1, ℐ(q) = 0,ℐ(r) = 1

a) p ∨ ¬pb) p ∧ ¬pc) p↔ ¬¬pd) (p→ q)→ (p ∨ q)e) p→ (q ↔ r)

f ) (p ∨ q) ∧ r → (q ↔ p)

4. Analice la consecuencia logica en cada caso:

a) ¬a ∧ (b→ a) ∣= ¬bb) (a→ b) ∧ (a→ (b→ c)) ∣= (a→ c)

c) ((c→ d)→ c) ∣= ((c→ d)→ d)

d) ¬a ∧ (a ∨ b) ∣= b

e) (a→ (b→ c)) ∧ (a ∨ ¬d) ∧ b ∣= (d→ c)

f ) (¬a→ ¬b) ∧ b ∧ (a→ c) ∣= c

g) (a→ b) ∧ (b→ (c→ d)) ∧ (a→ (b→ c)) ∣= (a→ d)

h) (a→ (b→ c)) ∣= (b→ (a→ c))

i) (a ∧ b) ∣= ¬(a→ ¬b)

5. Analice la consecuencia logica en cada caso:

a) (p ∨ q) ∧ ¬p ∣= q

b) (p→ q) ∣= (¬q → ¬p)c) (¬q → p) ∣= (p→ q)

d) p ∣= p ∧ pe) p ∨ p ∣= q

f ) ((p ∧ q)→ r) ∣= (p→ (q → r))

g) p ∧ ¬p ∣= q

h) p ∧ (q ∨ r) ∣= (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)i) p ∨ (q ∧ r) ∣= (p ∨ q) ∧ (p ∧ r)

6. Establezca la validez del argumento:

((p→ q) ∧ ((q ∧ r)→ s) ∧ r) ∣= (p→ s)

Page 37: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.6. ANALISIS DE ARGUMENTOS 37

7. Determine cuales de las siguientes son consecuencias logicas validas y cua-les no lo son:

a) p→ q ∣= ¬q → ¬pb) p→ q ∣= q

c) p ∨ q → r,¬r ∣= ¬pd) (p→ q)→ p ∣= p

2.6. Analisis de Argumentos

1. Utilice logica proposicional para probar la validez de los argumentos.

a) ¬p→ (p→ q)

b) (p→ q) ∧ (¬p→ q)→ q

c) (¬p→ ¬q) ∧ (p→ r)→ (q → r)

d) (¬p→ q) ∧ (q → r) ∧ (r → s)→ (¬p→ s)

e) (p ∨ q) ∧ (p→ r) ∧ (q → r)→ r

f ) ¬(p ∧ q) ∧ ¬(¬r ∧ p) ∧ ¬(r ∧ ¬q)→ ¬pg) (p ∨ (q ∧ s)) ∧ (¬r ∨ s) ∧ (s→ t)→ (t→ p)

2. Formalice la siguiente argumentacion en logica de proposiciones y decidasi es valida o no utilizando tablas de verdad.

Si Carlos no esta en la barberıa,entonces si Alejandro no esta tampoco, Bernardo tiene que estar

Si Allen no esta, entonces Bernardo tampoco esta∴ Si Carlos no esta, entonces Alejandro esta

3. Considere en la tabla de verdad asociada al siguiente argumento todos losrenglones que hacen falsa a la conclusion y compruebe que en cada unode ellos se hace falsa al menos una premisa“Los matrimonios podrıan ser buenos, al menos durante un cierto tiem-po, si hubiera en ellos armonıa y satisfaccion sexual. Pero para que estoocurriera harıa falta una educacion que favoreciera la sexualidad, una ex-periencia sexual prenupcial y una emancipacion con respecto a la moralconvencional. Ahora bien: estos mismos factores, que son los que permi-tirıan realizar buenos matrimonios, significan al mismo tiempo la condenade esta institucion. Luego en los matrimonios no hay armonıa y satisfac-cion sexual.”

4. Los siguientes tres argumentos son validos. Establezca la validez de cadauno por medio de una tabla de verdad. En cada caso, determine las filasde la tabla que son cruciales para evaluar la validez del argumento y lasque pueden dejarse de lado.

Page 38: manual de ejercicios de matematicas discretas

38 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

a) (p ∧ (p→ q) ∧ r)→ ((p ∨ q)→ r)

b)(((p ∧ q)→ r) ∧ ¬q ∧ (p→ ¬r)

)→ (¬p ∨ ¬q)

c)((p ∨ (q ∨ r)) ∧ ¬q

)→ (p ∨ r)

5. Demostrar la validez del siguiente argumento mediante interpretaciones.Si lo Uno esta en movimiento, este habra de ser, o de movimiento sin cam-bio en el estado, o de alteracion.No puede tratarse de un movimiento de alteracion, porque entonces loUno dejarıa de ser Uno.Si se trata de lo primero, tendrıa que ser, o bien de rotacion de lo Unosobre sı mismo en el propio lugar en el que se encuentra, o bien cambio deun lugar a otro. Ninguna de las dos cosas ocurre.Luego lo Uno no esta sujeto a ningun tipo de movimiento.p: Lo Uno esta en movimiento.q: Lo Uno sufre un movimiento sin cambio en el estado.r: Lo Uno sufre un movimiento de alteracion.s: Lo Uno rota sobre sı mismo.t: Lo Uno cambia de un lugar a otro.

6. Use interpretaciones para probar que los argumentos del ejercicio 2 seccion2.1 son validos.

7. Use interpretaciones para probar que el siguiente argumento es valido.Si mi cliente es culpable, entonces el cuchillo estaba en el cajon. Ni elcuchillo estaba en el cajon o Juan Pulido vio el cuchillo. Si el cuchillo noestaba ahı el 10 de octubre, significa que Juan Pulido no vio el cuchillo.Ademas, si el cuchillo no estaba ahı el 10 de ocutubre, entonces el cuchilloestaba en el cajon y tambien el martillo estaba en el establo. Pero todossabemos que el martillo no estaba en el establo. Por lo tanto, senoras ysenores del jurado, mi cliente es inocente.

8. Considere cada uno de lo siguientes argumentos. Si el argumento es valido,identifique la regla de inferencia que establece su validez. Si no, indique siel error se debe a un intento de argumentacion por la recıproca o por lainversa.

a) Andrea puede programar en Pascal y puede programar en FOR-TRAN. Por lo tanto, Andrea puede programar en Pascal.

b) Una condicion suficiente para que Berta gane el torneo de golf es quesu oponente Mirna no haga un birdie en el ultimo hoyo.Mirna no hizo un birdie en el ultimo hoyo.Berta gano el torneo de golf.Por lo tanto Mirna, la oponente de Berta, no hizo un birdie en elultimo hoyo.

Page 39: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.6. ANALISIS DE ARGUMENTOS 39

c) Si el programa de Ronaldo es correcto, entonces podra terminar sutarea de Ciencias de la Computacion.Ronaldo tarda mas de dos horas en terminar su tarea de Ciencias dela Computacion.Por lo tanto, el programa de Ronaldo es incorrecto.

d) Las llaves del auto de Elisa estan en su bolso o sobre la mesa de lacocinaLas llaves del auto de Elisa no estan sobre la mesa de la cocina.Por lo tanto, las llaves del auto de Elisa estan en su bolso.

e) Si bajan los tipos de interes, entonces subiran las acciones de la bolsa.Los tipos de interes no estan bajando.Por lo tanto, no subiran las acciones de la bolsa.

f ) Si Alejandro recibe un aguinaldo, entonces viajara al suroeste deEstados Unidos.Si Alejandro viaja al suroeste de Estados Unidos, entonces visitara elGran Canon.Por lo tanto, si Alejandro recibe un aguinaldo, entonces visitara elGran Canon.

9. Establezca la validez de los siguientes argumentos:

a) ((p ∧ ¬q) ∧ r)→ ((p ∧ r) ∨ q)

b) (p ∧ (p→ q) ∧ (¬q ∨ r))→ r

c) p→ q,¬q¬r ∴ ¬(p ∨ r)

d) p→ q, r → ¬q, r,∴ ¬p

e) p→ (q → r),¬q → ¬p, p,∴ r

f ) p ∧ q, p→ (r ∧ q), r → (s ∨ t),¬s,∴ t

g) p→ (q → r), p ∨ s, t→ q,¬s,∴ ¬r → ¬t

h) p ∨ q,¬p ∨ r,¬r,∴ q

10. Escriba cada uno de los argumentos del ejercicio 3 seccion 2.1 en formasimbolica. Establezca despues la validez del argumento o de un contra-ejemplo para mostrar que no es valido.

11. Escriba cada uno de los siguientes argumentos en forma simbolica. Esta-blezca despues la validez del argumento o proporcione un contraejemplopara mostrar que no es valido.

a) Si hace frıo el viernes, entonces Cristobal utilizara su abrigo si losbolsillos estan remendados. El pronostico para el viernes es de climafrıo, pero los bolsillos no estan remendados. Por lo tanto, Cristobalno usara su abrigo este viernes.

Page 40: manual de ejercicios de matematicas discretas

40 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

b) El contrato se cumplira si y solo si las nuevas ventanas se instalan enla casa en junio. Si las nuevas ventanas se instalan en junio, entoncesCristina podra mudarse a su nueva casa el primero de julio. Si no sepuede cambiar el primero de julio, debera pagar la renta de julio desu departamento. Las ventanas se instalaron en junio o Cristina debepagar la renta de julio de su departamento. Por lo tanto, Cristina notendra que pagar la renta de su departamento para el mes de julio.

12. Utilice interpretaciones para analizar la validez del siguiente razonamiento:

¬s, p→ (q ∨ r), q → r, r → s ⊢ ¬p

13. Demostrar la validez de los siguientes esquemas de inferencia.

a) p→ q, r ∨ s, s→ ¬q,¬r∴ ¬p

b) p→ q, r → p,¬r → ¬t,¬(s ∧ ¬r), t ∨ s∴ q ∨ u

c) r → s, p ∨ q,¬(¬p→ s),∴ q ∧ ¬r

d) p→ (q → r), q∴ p→ r

e) p↔ (q ∨ r), p→ s, q∴ s

f ) (p ∧ q)→ r,¬(p ∨ q)→ s, p→ q∴ ¬s→ r

g) s↔ t, t ∨ p, s→ ¬w,w∴ p

h) (p ∧ q)→ r, (r ∧ s)→ t∴ (p ∧ q ∧ s)→ t

14. Justifique cada uno de los pasos en la siguiente derivacion para mostrarque el siguiente argumento es valido.

[p ∧ (q ∧ r)] ∨ ¬[p ∨ (q ∧ r)]

Pasos Razones1) p2) p→ q3) q4) r → ¬q5) q → ¬r6) ¬r7 )s ∨ r8) s9) s ∨ t

Page 41: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.6. ANALISIS DE ARGUMENTOS 41

15. Pruebe la correccion de las siguientes inferencias usando derivaciones; encaso de usar reglas derivadas, estas tambien deben probarse

a) p→ (q → r), (r ∧ s)→ t, (s→ t)→ w ⊢ p→ (q → w)

b) (p→ q) ∧ (r → s), (q ∧ s)→ t,¬t ⊢ ¬p ∨ ¬r

16. Pruebe la validez de las siguientes inferencias usando derivaciones; en casode utilizar reglas derivadas, estas tambien deben probarse:

a) t→ (p ∨ q), p→ (s ∧ u), q → ¬u ∴ t→ (s ∨ ¬u)

b) ¬p→ q ∴ p ∨ q

17. Utilice derivaciones para demostrar la validez del siguiente razonamiento

(p ∧ q)→ r,¬p→ s ⊢ q → (r ∨ s)

18. Pruebe la correccion de las siguientes inferencias usando derivaciones; encaso de utilizar reglas derivadas, estas tambien deben probarse:

a) p→ q, p ∨ t,¬t ∨ r ⊢ q ∨ r

b) ⊢ ¬(p ∧ ¬p)

19. Utilice derivaciones para estudiar la correccion del siguiente razonamiento:

(s→ q)→ (s ∧ r), (p→ ¬((r → ¬q) ∧ (p→ r)))→ ¬q ⊢ p ∧ ¬s

20. Prueba la validez de las siguientes inferencias usando derivaciones; en casode utilizar reglas derivadas, estas tambien deben probarse

a) p→ (q ∨ r),¬p→ t, (¬t ∨ s) ∧ ¬q ⊢ r ∨ s

b) ⊢ (p→ q)→ ¬(p ∧ ¬q)

21. Demostrar la siguiente inferencia por medio de derivaciones:

¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)

22. Decida si los siguientes razonamientos son correctos por medio de deriva-ciones

Page 42: manual de ejercicios de matematicas discretas

42 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

a) Si la tormenta continua o anochece, nos quedaremos a cenar o adormir; si nos quedamos a cenar o a dormir no iremos manana alconcierto; pero si iremos manana al concierto. Ası pues, la tormentano continuaFormalizacionp: la tormenta continuaq: anochecer: nos quedamos a cenars: nos quedamos a dormirt: ir manana al concierto

(p ∨ q)→ (r ∨ s), (r ∨ s)→ ¬t, t,∴ ¬p

b) Si x = 1 e y = 2, entonces z = 3. Si, y = 2 implica que z = 3 entoncesw = 0. Ademas x = 1. Por consiguiente w = 0.

Formalizacion:p: x = 1q: y = 2r: z = 3s: w = 0

(p ∧ q)→ r, (q → r)→ s, p ∴ s

c) Si un triangulo tiene tres angulos, un cuadrado tiene cuatro angulosrectos. Un triangulo tiene tres angulos y su suma vale dos angulosrectos. Si los rombos tienen cuatro angulos rectos, los cuadrados notienen cuatro angulos rectos. Por lo tanto, los rombos no tienen cua-tro angulos rectosFormalizacion:p: un trıangulo tiene 3 angulosq: un cuadrado tiene 4 angulos rectosr: la suma vale dos angulos rectoss: los rombos tiene cuatro angulos rectos

p→ q, p ∧ r, s→ ¬q ∴ ¬s

d) Si la gorila es atractiva, el gorila sonreira abiertamente o sera infe-liz. Si no es feliz, no procreara en cautiverio. Por consiguiente, si lagorila es atractiva, entonces, si el gorila no sonrıe abiertamente noprocreara en cautiverioFormalizacion:p: la gorila es atractivaq: el gorila sonreirar: el gorila es feliz

Page 43: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.6. ANALISIS DE ARGUMENTOS 43

s: procreara en cautiverio

p→ (q ∨ ¬r),¬r → ¬s ∴ p→ (¬q → ¬s)

e) Si el ejercito marcha contra el enemigo, tiene posibilidades de exito;y arrasara la capital enemiga, si tiene posibilidades de exito. O elejercito marcha contra el enemigo, o se repliega rapidamente. Si serepliega rapidamente, el enemigo atacara su retaguardia; y perdera laguerra, si el enemigo ataca su retaguardia. Por tanto, si no arrasa lacapital enemiga, perdera la guerraFormalizacion:p: el ejercito marcha contra el enemigoq: tiene posibilidades de exitor: arrasara la capital enemigas: se repliega rapidamentet: el enemigo atacara la retaguardiau: perdera la guerra

(p→ q) ∧ (q → r), p ∨ s, (s→ t) ∧ (t→ u) ∴ ¬r → u

f ) Si no es cierto que se puede ser rico y dichoso a la vez, entonces lavida esta llena de frustraciones y no es un camino de rosas. Si se esdichoso, no se puede ser rico. Por consiguiente, la vida esta llena defrustracionesFormalizacion:p: se puede ser ricoq: se puede ser dichosor: la vida esta llena de frustracioness: es un camino de rosas

¬(p ∧ q)→ (r ∧ ¬s), q → ¬p ∴ r

g) Si la descripcion bıblica de la cosmologıa es estrictamente correcta,el Sol no fue creado hasta el cuarto dıa. Si el Sol no fue creado hastael cuarto dıa, no puede haber producido la sucesion del dıa y la no-che durante los tres primeros dıas. Pero, o bien las Escrituras usanla palabra “dıa” en un sentido diferente al aceptado usualmente, obien el Sol debe haber sido la causa de la sucesion del dıa y la nochedurante los tres primeros dıas. De todo ello se desprende que, o bienla descripcion bıblica de la cosmologıa no es estrictamente correcta,o bien “dıa” es utilizado en las Escrituras en diferente sentido al queusualmente se acepta

Formalizacion:p: La descripcion bıblica de la cosmologıa...

Page 44: manual de ejercicios de matematicas discretas

44 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

q: El Sol fue creado el cuarto dıar: puede haber producido la sucesion...s: Las Escrituras usan la palabra dıa...

p→ ¬q,¬q → ¬r, s ∨ r ∴ ¬p ∨ s

h) Si los astronomos observan un nuevo planeta con atmosfera fuera denuestro sistema solar, la Tierra no sera el unico planeta habitable enel Universo. O la Tierra no es el unico planeta habitable o hay siste-mas inexplorados. Por tanto, o los astronomos no observan un nuevoplaneta con atmosfera, fuera de nuestro sistema solar, o la Tierra esel unico planeta habitable del UniversoFormalizacion:p: Los astronomos observan...q: La Tierra sera el unico...r: Hay sistemas inexplorados

p→ ¬q,¬q ∨ r ∴ ¬p ∨ q

i) No existe una estrella gemela al Sol fuera de la Vıa Lactea o existeun planeta en esa estrella llamda Nemesis. Los dinosaurios desapare-cieron de la faz de la Tierra debido a un cataclismo producido por laaproximacion a nuestro planeta de un cuerpo celeste de considerabletamano. Si existe una estrella gemela al Sol fuera de la Vıa Lactea,su planeta Nemesis destruira la Tierra, entonces no es cierto que losdinosaurios desaparecieron de la faz de la Tierra debido a un cata-clismo producido por la aproximacion a nuestro planeta de un cuerpoceleste de considerable tamano. Por tanto, no es cierto que sea ciertoque existe un planeta llamado Nemesis en la estrella gemela al Solque se halla fuera de la Vıa Lactea, destruya la TierraFormalizacion:p: existe una estrella gemela...q: existe un planeta llamado Nemesisr: los dinosaurios desaparecieron...s: Nemesis destruira la Tierra

¬p ∨ q, r, (p→ s)→ ¬r ∴ ¬(q → s)

23. Formalizar y resolver el siguiente argumento con derivacionesSi no hay control de nacimientos entonces la poblacion crece ilimitada-mente. Pero si la poblacion crece ilimitadamente aumentara el ındice depobreza. Por consiguiente, si no hay control de nacimientos aumentara elındice de pobreza

24. Formalizar y resolver el siguiente argumento

Page 45: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.6. ANALISIS DE ARGUMENTOS 45

Si los estudiantes de la UNAM apoyan a Gonzo, entonces renuncian alseguro popular. Y si combaten a Gonzo, entonces favorecen a Bob Esponja.Pero uno de los dos: o apoyan a Gonzo o lo combaten. Por consiguiente,habrıan de renunciar al seguro popular o favorecer a Bob Esponja

25. Resuelva el siguiente argumentoq → r ⊢ p ∨ q → p ∨ r

26. Resuelva por derivaciones el siguiente argumentop→ q, p→ ¬q ⊢ ¬p

27. Demostrar que las siguientes deducciones, correspondientes a Axiomas deKleene, son correctas

a) ⊢ (p→ q)→ ((p→ (q → r)→ (p→ r))

b) ⊢ (p→ r)→ ((q → r)→ (p ∨ q)→ r)

28. Comprobar si las siguientes deducciones son correctas mediante derivacio-nes

a) p→ q, p ⊢ r → q ∧ r

b) (p ∧ q) ∨ ¬q, p→ ¬q ⊢ ¬q

29. Comprobar si las siguientes deducciones son correctas mediante derivacio-nes

a) p→ q ∨ r,¬r ⊢ q ∨ (p ∨ s→ s)

b) p ∧ q → r ∨ s, q → ¬s ⊢ p→ ¬q ∨ r

30. Comprobar si la siguiente deduccion es o no correcta, utilizando deriva-ciones“Solo si llego pronto no se me enfriara el cafe. No llego pronto a menos queel trafico vaya bien, suene el despertador y no me quede dormido. Peroo no suena el despertador o estoy sordo. Oigo bien, luego se me enfrıa elcafe”

31. Comprobar si la siguiente deduccion es o no correcta, utilizando deriva-ciones“Si alguien ve o alguien oye, hay alguien que esta alerta. Si es cierto quealguien ve solo si no es posible la total sorpresa, entonces hay algo pre-visible. Luego, o bien nada hay previsible, o es posible la total sorpresaaunque haya alguien alerta”

Page 46: manual de ejercicios de matematicas discretas

46 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

32. Determinar si las siguientes deducciones son correctas o no mediante de-rivaciones

a) p→ (q ∨ r), q → r, r → s ⊢ p→ r ∨ s

b) p ∨ q ∨ r → ¬s ∨ t, t→ ¬q, r → ¬u ⊢ ¬p ∧ u→ ¬s ∨ ¬q

33. Formalizar y comprobar si las siguientes deducciones son correctas me-diante derivaciones

a) Hace sol y no llueve. Si hace sol entonces, si es miercoles, vamos alcine. Llueve, luego como palomitas

b) Es primavera y es suficiente comerse un helado para calmar la sed.Si no calmas tu sed entonces no te sientes bien. Te sientes bien si esprimavera. Luego si es primavera calmas tu sed

34. Formalizar y comprobar si la siguiente es una deduccion correcta mediantederivacionesCuando el perro no ladra, y el gallo canta, siempre bala la oveja. Solo sicanta la calandria, se da que o ladra el perro o maulla el gato. He vistoque o canta el gallo, o canta la calandria, asi que, o bala la oveja, o cantala calandria

35. Realice las siguiente demostraciones usando derivaciones

a) r → g ∧ p, p ∧ t→ c ∨ e, e→ j ∧ c ∴ r ∧ t→ c ∧ gb) c ∧ d, c→ t ∧ q, q → j ∴ j ∧ dc) d→ ℎ ∧ n, j → d ∨ e ∨ ℎ, e→ ℎ ∴ j ∧ z → ℎ

36. Resuelva usando derivaciones

a) p ∧ q, r → s,⊢ p ∧ r → s

b) p ∨ q, p→ c, q → c ⊢ p ∧ q → c

c) p ∧ q, r, p ∧ r → s ⊢ sd) p→ (q → r) ⊢ q → (p→ r)

37. Resuelva los siguientes argumentos usando derivaciones

a) p→ q, q ∨ r → s, s→ (t→ m), p ∧ ¬¬t ⊢ mb) (p ∧ q)→ (r ∧ s), s→ (q ∧ t), s ∧ t ⊢ p→ (q ∧ r)c) ⊢ (p→ q)→ ¬[(q → r)→ (p→ r)]

d) ⊢ (p ∧ q) ∨ (r ∧ s)→ [(p ∨ r) ∧ (p ∨ s)] ∧ [(q ∨ r) ∧ (q ∨ s)]e) (p→ s) ∧ (q → t), (s ∨ t→ m) ∧ (r ∨ n→ ¬m) ⊢ p ∨ q → ¬r

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2.7. TABLEAUX EN CALCULO PROPOSICIONAL 47

38. Demostrar la validez de los siguientes esquemas de inferencia por mediode derivaciones

a) (p ∨ q)→ r ∴ (p→ r) ∨ (q → r)

b) r → s, p ∨ q,¬(¬p→ s),¬p→ q ∴ q ∧ ¬rc) (p→ q) ∧ r, s→ t, r → s ∴ q ∨ td) ¬p↔ q,¬(¬q ∨ r), p ∨ s ∴ s ∨ te) p→ q, r ∨ ¬p ∴ p→ (q ∧ r)f ) (p ∧ q)→ r, r → s, q ∧ ¬s ∴ ¬pg) (p ∧ q)→ (r ∨ s),¬(t ∧ ¬p), t ∴ t↔ p

h) p ∨ q, r → ¬p, s→ r,¬t→ s, r ↔ ¬q ∴ ti) (p ∧ ¬q ∧ r)→ s, t, (s ∧ t)→ u, p→ (u→ ¬w), w ∴ (p ∧ r)→ q

39. Comprobar si la siguiente deduccion es correcta, mediante derivacionesSi voy a la montana entonces disfruto. Voy a la montana, por tanto, si novoy a la montana o no disfruto entonces sale el sol

40. Comprobar que las siguientes deducciones son correctas, mediante deriva-ciones

a) Si corro o si tomo un taxi o si tengo coche, llego a tiempo. Luego, sino llego a tiempo, es que no tomo un taxi

b) Compro una dona o un helado. Si odio el chocolate, no compro unadona. Si compro un helado o compro un pastel, tengo que invitar.Luego, o no odio el chocolate, o tengo que invitar

c) Si estudio Logica, me aburro y acabo abandonando. Pero si me abu-rro, o me falta inspiracion, o es que no he abandonado. Pero no mefalta inspiracion Por tanto, es que no estudio Logica

41. Formalice el siguiente argumento y demuestre por medio de derivacionesque es correctoO es un avion, o es un pajaro, o es superman y tiene plumas. Si es unavion o es superman, entonces no tiene plumas. Luego, si tiene plumas, esun pajaro

42. Construya una derivacion dep, ¬ur, tq, r¬s, q ∧ u¬p ⊢ t¬s

2.7. Tableaux en calculo proposicional

1. Analice los siguientes argumentos usando tableaux

Page 48: manual de ejercicios de matematicas discretas

48 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

a) Si se admite la teorıa del eterno retorno, se debe admitir la existenciade entidades corpusculares identificables a traves de tiempo y que sepueda hablar de un estado del universo definido en cada instanteindividual. Ahora bien, no es cierto que haya entidades corpuscularespermanentes y estados del universo definidos en cada instante. Portanto, la teorıa del eterno retorno es inadmisibleSi se admite la teorıa del eterno retorno...:pSi se admite la existencia de entidades...:qSe habla de un estado del universo...:r

b) Si la noche es clara, Dracula agitara sus alas y afilara sus dientes. Siagita sus alas y encuentra mi ventana abierta, pasara, me despertara,pero le dare un fuerte tiron de orejas. Si afila sus dientes y la encuen-tra cerrada, se enojara, rompera los cristales y le dare un fuerte tironde orejas. Ası pues, si la noche es clara y Dracula encuentra la ventaabierta o cerrada, le dare un fuerte tiron de orejasLa noche es clara...:pDracula agitara sus alas...:qAfilara sus dientes...:rEncuentra mi ventana abierta...:sLa encuentra cerrada (no abierta)...:¬sPasara...:tMe despertara...:wLe dare un tiron de orejas...:mSe enojara...:nRompera los cristales...:k

c) Si la pena de muerte antepone la defensa de la sociedad a la conser-vacion de la persona, entonces, si supone la destruccion total de lapersona, imposibilita la correccion del penado. Imposibilita la correc-cion del penado solo si es condenable eticamente. La pena de muerteantepone la defensa de la sociedad a la conservacion de la persona.Por tanto, si la pena de muerte supone la destruccion total de lapersona e imposibilita la correccion del penado, es condenable etica-menteLa pena de muerte antepone la defensa...:pSupone la destruccion total de la...:qPosibilita la correccion del...:rEs condenable eticamente...:s

d) Si los habitantes de Venus invaden la tierra, entonces los hombresse pondran nerviosos o las mujeres se entusiasmaran. Si los hombresse ponen nerviosos, las mujeres se entusiasmaran. Por tanto, si loshabitantes de Venus invaden la Tierra, las mujeres se entusiasmaranLos habitantes de Venus invaden...:pLos hombres se pondran nerviosos...:q

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2.7. TABLEAUX EN CALCULO PROPOSICIONAL 49

Las mujeres se entusiasmaran...:r

e) Si las autoridades prohiben fumar en pipa a los feos, entonces losguapos se alzaran indignados porque no venden pipas. Si los guaposno venden pipas o las autoridades no crean nuevos puestos de trabajo,entonces la nacion no saldra de la crisis econonica. La nacion sale dela crisis economica y los guapos no venden pipas. Por lo tanto, lasautoridades no prohibiran fumar en pipa a los feosLas aurotidades prohiben fumar...pLos guapos se alzaran...qLos guapos venden pipas...rLas autoridades crean nuevos...sLa nacion saldra de la crisis...t

f ) Si los filosofos callasen, la nieve quemarıa y los cırculos seran cua-drados. Si los cırculos fuesen cuadrados, entonces los matematicos sededicarıan a cazar brujas y las abejas a fabricar acero. Ni los ma-tematicos se dedican a cazar brujas, ni las abejas a fabricar acero.Por tanto, los filosofos no callaranLos filosofos callasen...pLa nieve quemarıa...qLos cırculos serıan cuadrados...rLos matematicos se dedicarıan...sLas abejas se dedicarıan...t

2. Usando el procedimiento de los tableaux decida cuales de entre las formu-las siguientes son tautologıas. Para aquellas que no lo sean, encuentre unmodelo de la negacion

a) (p→ r)→ ((q → r)→ (p ∨ q → r))

b) (p→ q)→ (p ∨ q)c) (¬p→ ¬q)→ (q → p)

d) (p ∨ q) ∧ r → (q ↔ p)

e) (p→ q) ∧ (p↔ r)→ (p→ q ∧ r)f ) (¬p ∨ q)→ (q → p)

3. Utilice tableaux para resolver el siguiente argumento(p→ q)→ ((p↔ r)→ q)

(r → (q ∧ r)) ∨ ((r → q)→ (p→ r))∴ p→ ((r → p) ∧ ((p ∧ r)→ q))

4. Utilice tableaux para resolver lo siguiente

(p↔ q)→ (p ∨ r) ∣= r ∧ (p→ q)

5. Utilice tableaux para estudiar la validez de la siguiente consecuencia logica

(p ∧ ¬q) ∨ (r ∧ q), (s ∧ ¬p) ∨ (¬s ∧ ¬r) ∣= s ∧ ¬p

Page 50: manual de ejercicios de matematicas discretas

50 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

6. Demuestre mediante el metodo de tableaux que todas las formulas de laforma que se indica a continuacion son tautologıas

a) ¬¬p↔ p

b) p→ (p ∨ q)c) p→ (q → p)

d) ¬(p ∧ p)→ (¬p ∨ ¬q)e) p ∧ (q ∨ p)↔ p

f ) ((p→ q)→ p)→ p

g) (p→ r) ∧ (q → r)→ (p ∨ q → r)

h) (p→ (q → r))→ (p→ q)→ (p→ r)

7. Demuestre usando el metodo de los tableaux que las siguientes consecuen-cias logicas son validas

a) p→ q, p→ ¬q ∣= ¬pb) p→ q ∨ r, q → ¬p ∣= q → r

c) p ∧ q → r,¬p→ s ∣= q → r ∨ s

8. Formalice cada una de las argumentaciones siguientes en logica de propo-siciones y use el metodo del tableaux para probar su validez

a) Si la gente no estuviera embrutecida, rechazarıa el mundo en que vi-vimos o desesperarıa. Por otra parte, la gente no rechaza este mundo.Luego la gente anda embrutecida o desesperada

b) Si la causa Palestina fuese justa y el gobierno de Israel no fueseobstinado, la paz en Oriente Medio serıa posible. Es ası que la causaPalestina es justa. Por consiguiente, si la paz de Oriente Medio noresulta posible, sera por la obstinacion del Gobierno de Israel

c) Tres famosos polıticos pronuncian un discurso en television. Pode-mos estar seguros que si cualquier de los tres no miente, tambien lohara alguno de los dos restantes. Por otra parte, es indudable quealguno de los tres sera un mentiroso. Por consiguiente, podemos con-cluir que en el mejor de los casos, uno solo de entre los tres es dignode credito

9. Decida por el procedimiento de los tableaux cuales de entre las siguientesconsecuencias logicas son validas

a) p→ q, q ∨ r ∣= r ∨ ¬p→ q

b) p ∨ q → r,¬r ∣= ¬pc) p↔ q, p ∨ q ∣= ¬p ∧ ¬qd) p↔ q, p ∨ q ∣= p ∧ q

Page 51: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.7. TABLEAUX EN CALCULO PROPOSICIONAL 51

10. En un texto de Lewis Carrol, el tıo Joe o el tıo Kim discuten acerca de labarberıa del pueblo, atendida por tres barberos: Allen, Brown y Carr. Losdos tıos aceptan las siguientes premisas:

a) Si Carr no esta en la barberıa, entonces ocurrira que si tampocoesta Allen, Brown tendra que estar para atender al establecimiento

b) Si Allen no esta, tampoco estara Brown que siempre lo acompana

El tıo Joe concluye de todo esto que Carr no puede estar ausente, mientrasque el tıo Jim afirma que solo puede concluirse que Carr y Allen no puedenestar ausentes a la vez. Decida con el metodo de los tableaux cual de losdos tiene razon

11. Decida con ayuda de tableaux cuales de entre los siguientes conjuntos deformulas son satisfacibles

a) p→ q,¬qb) p→ q,¬q ∨ r, p ∧ ¬rc) p ∨ q → r, r,¬pd) (p ∨ q)→ r,¬((¬p ∧ ¬q) ∨ r)

12. Demostrar la validez de los siguientes esquemas de inferencia

a) p→ (p→ q) ∴ p→ q

b) ¬p→ p ∴ p

c) p→ (q → r) ∴ q → (p→ r)

13. Resolver la siguiente argumentacion:- Empecemos pues. Si lo uno ¿no es cierto que no podrıa ser muchos?p→ ¬q-¿Como podrıa serlo? -Y entonces no podra tener partes ni ser un todo¬q → (¬r ∧ ¬s)-¿Por que?-Porque la parte, parte es de un todo-Ciertamente-¿Y no es un todo aquello a lo que no falta parte alguna?-Desde luego-Y en ambos casos -ya se lo considere como un todo, ya se le considerecomo dotado de partes- lo uno habrıa de ser compuesto (r ∨ s)→ t-Necesariamente- De modo que en ambos casos lo uno resultarıa ser muchos y no uno t→ q-Cierto-Pero necesariamente lo uno no es muchos sino uno-Ası es-Luego si lo uno es uno, ni es un todo ni tiene partes p→ (¬r → ¬s)

Page 52: manual de ejercicios de matematicas discretas

52 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

A efectos de formalizacion hemos dado por identicos el enunciado “lo unoexiste (como tal uno)” y el enunciado “lo uno es uno”, esquematizadoambos por “p”

14. Demostrar los siguientes argumentos usando tableaux

a) q ∨ ¬s→ t,¬q → r, p→ ¬s, t→ s ∴ p→ r

b) (p ∨ q)→ (r ∧ s),¬(¬p ∨ ¬r),¬t→ ¬(p ∧ s) ∴ sc) p→ ((q → s)→ s), (q → s) ∴ (p→ s)

d) p↔ (q ∧ t ∧ u),¬p, r ↔ ¬q,¬r → t,¬u→ r ∴ r ∨ se) p→ q, q → r, s→ t, s ∨ p ∴ r ∨ t

15. Estudiar la correctud de los siguientes argumentos

a) ¬(¬p→ q) ∨ ((p→ r) ∧ (r → q)) ⊢ (r → ¬p) ∧ (p→ ¬q)

b) p ∨ q, q → r, r → p, p→ q ⊢ p ∧ qc) (p→ q) ∧ (q → s),¬s ∨ ¬r ⊢ t↔ (¬p ∨ ¬r)d) (p→ q) ∧ (r → s), (q ∧ s)→ t,¬t ⊢ ¬p ∨ ¬r

16. Utilice derivaciones para estudiar la validez del siguiente razonamiento:

(((p→ q)→ (¬r → ¬s))→ r)→ t ⊢ (t→ p)→ (s→ p)

17. Decida si los siguientes razonamientos son correcto o no por medio detableux

a) Si el cometa Halley pasa cerca de la Tierra, podremos observarlo conun telescopio; pero no pasara cerca de la Tierra, si las condicionesno son propicias. Si se envıa una sonda espacial a su encuentro, lascondiciones seran propicias. Si pasa cerca de la Tierra y las condi-ciones son propicias, podremos apreciar la belleza del Halley. O lascondiciones no son propicias o podremos observar el Halley con untelescopio. Ası pues si el cometa Halley pasa cerca de la Tierra o seenvıa una sonda espacial a su encuentro, podremos apreciar la bellezadel cometa Halley

Formalizacion:p: El cometa Halley pasa cerca de la Tierraq: podremos observarlo con telescopior: las condiciones son propiciass: se envıa una sondat: apreciaremos la belleza del Halley

Page 53: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.8. SOLUCIONES 53

p→ q,¬r → ¬p, s→ r, (p ∧ r)→ t,¬r ∨ q ∴ (p ∨ s)→ t

b) Si Elvira opina que hay que hacer lo que sea para ser feliz, aban-donara a su amante o se dedicara a su profesion. Si se dedica a suprofesion, no dejara a su marido. En conclusion, si Elvira opina quehay que hacer lo posible para ser feliz , entonces, dejara a su maridoaunque no abandone a su amanteFormalizacion:p: Elvira opina que ...q: abandonara a su amanter: se dedicara a su profesions: dejara a su marido

p→ (q ∨ r), r → ¬s, p→ (¬q → s)

2.8. Soluciones

Seccion 2.1

3. b) p : Domingo va a la carrera de autos.q : Elena no se enojara.r : Rafael juega cartas toda la noche.s : Carmen se enojara.t : Veronica tiene noticias.

p→ qr → s

q ∨ s→ t¬t

¬p ∧ ¬r

4. a) No es proposicion.

b) No es proposicion.

c) Si es proposicion, no es atomica.

d) Si es proposicion, no es atomica.

e) Si es proposicion, no es atomica.

f ) Si es proposicion, no es atomica.

g) Si es proposicion, si es atomica.

h) No es proposicion.

i) Si es proposicion, si es atomica.

j ) No es proposicion.

Page 54: manual de ejercicios de matematicas discretas

54 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

5. a) Si.

b) Si.

c) Si.

d) No.

e) Si.

f ) Si.

g) No.

7. a) No.

b) No.

c) Si.

d) No.

e) No.

13. a) p ∧ qb) p ∧ (q ∨ r)c) q → (p ∧ r)d) p→ (¬q ∨ ¬r)e) p ∧ (¬r → (¬q ∨ r))

20. a) p→ q

b) q ∧ ¬pc) q → p

d) q → ¬p

28. a) p : Conseguir 10 en el cursoq : aprender a resolver problemas de Matematicas DiscretasConseguir 10 en el curso si y solo si aprendo a resolver problemas deMatematicas Discretasp↔ q

b) p : Leer el periodico todos los dıasq : estar informadoEstare informado si y solo si leo el periodico todos los dıasp↔ q

c) p : Llueveq : es un dıa de fin de semanaLlueve si y solo si es un dıa del fin de semanap↔ q

d) p : Ver al hechiceroq : el hechicero no esta adentroPuedes ver al hechicero si y solo si el hechicero esta dentrop↔ q

Page 55: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.8. SOLUCIONES 55

35. a)

p q p ⊕ q ¬ (p ↔ q)0 0 0 0 10 1 1 1 01 0 1 1 01 1 0 0 1

b)

p ⊕ q ↔ ( ¬ p ↔ q)0 1 01 1 11 1 10 1 0

36.

a)p q (p ∨ q) → (p ⊕ q)0 0 0 1 00 1 1 1 11 0 1 1 11 1 1 0 0

c)p q r (p ↔ q) ⊕ (¬ p ↔ ¬ r)0 0 0 1 0 10 0 1 1 1 00 1 0 0 1 10 1 1 0 0 01 0 0 0 0 01 0 1 0 1 11 1 0 1 1 01 1 1 1 0 1

d)p q (p ⊕ q) → (p ⊕ ¬ q)0 0 0 1 10 1 1 0 01 0 1 0 01 1 0 1 1

37. a) Verdadero.

b) Verdadero.

c) Verdadero.

d) Falso.

Page 56: manual de ejercicios de matematicas discretas

56 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

38. a)p q (p → q) ∧ q0 0 1 00 1 1 11 0 1 01 1 1 1

d)p r ¬ (p ∧ ¬p) → r0 0 1 0 00 1 1 0 11 0 1 0 01 1 1 0 1

k)

Page 57: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.8. SOLUCIONES 57

p q r s t (p → (q ∧ r)) → (t → t) ∧ ((¬ s ∨ ¬ s))0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 10 0 0 0 1 1 0 1 1 1 10 0 0 1 0 1 0 0 1 0 00 0 0 1 1 1 0 0 1 0 00 0 1 0 0 1 0 1 1 1 10 0 1 0 1 1 0 1 1 1 10 0 1 1 0 1 0 0 1 0 00 0 1 1 1 1 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 0 1 1 1 10 1 0 0 1 1 0 1 1 1 10 1 0 1 0 1 0 0 1 0 00 1 0 1 1 1 0 0 1 0 00 1 1 0 0 1 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 1 1 1 1 10 1 1 1 0 1 1 0 1 0 00 1 1 1 1 1 1 0 1 0 01 0 0 0 0 0 0 1 1 1 11 0 0 0 1 0 0 1 1 1 11 0 0 1 0 0 0 1 1 0 01 0 0 1 1 0 0 1 1 0 01 0 1 0 0 0 0 1 1 1 11 0 1 0 1 0 0 1 1 1 11 0 1 1 0 0 0 1 1 0 01 0 1 1 1 0 0 1 1 0 01 1 0 0 0 0 0 1 1 1 11 1 0 0 1 0 0 1 1 1 11 1 0 1 0 0 0 1 1 0 01 1 0 1 1 0 0 1 1 0 01 1 1 0 0 1 1 1 1 1 11 1 1 0 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 0 1 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0

39. d)p q r (p → r) → ((q → r) → (p ∨ q → r))0 0 0 1 1 1 1 0 10 0 1 1 1 1 1 0 10 1 0 1 1 0 1 1 00 1 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 0 1 01 0 1 1 1 1 1 1 11 1 0 0 1 0 1 1 01 1 1 1 1 1 1 1 1

e)

Page 58: manual de ejercicios de matematicas discretas

58 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

p q ¬p → (p → q)0 0 1 10 1 1 11 0 1 01 1 1 1

40. b)p q (p ↔ ¬q) ∨ q0 0 0 00 1 1 11 0 1 01 1 0 1

e)p q ((p → q) → p)0 0 1 00 1 1 01 0 0 11 1 1 1

f)p q (p ↔ q) ∧ (p → ¬q)0 0 1 1 10 1 0 0 11 0 0 0 11 1 1 1 0

43.p q r p → (q → r) ↔ (p ∧ q) → r0 0 0 1 1 1 0 10 0 1 1 1 1 0 10 1 0 1 0 1 0 10 1 1 1 1 1 0 11 0 0 1 1 1 0 11 0 1 1 1 1 0 11 1 0 0 0 1 1 01 1 1 1 1 1 1 1

45.p q r ((p ∧ q) → r) ↔ ((p ∧ ¬ r) → ¬ q)0 0 0 0 1 1 0 10 0 1 0 1 1 0 10 1 0 0 1 1 0 10 1 1 0 1 1 0 11 0 0 0 1 1 1 11 0 1 0 1 1 0 11 1 0 1 0 1 1 01 1 1 1 1 1 0 1

Page 59: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.8. SOLUCIONES 59

Seccion 2.2

1.Evaluacioni = 145010

2.Evaluacioni = 10-1000

4. a) ((p ∨ q)↔ q ∧ ¬(p ∨ q) ∧ r)[q := s ∧ p]((p ∨ (s ∧ p))↔ (s ∧ p) ∧ ¬(p ∨ (s ∧ p)) ∧ r)

b) ((p ∨ q)↔ s→ ¬((p ∨ q) ∧ r))[p, q := ¬p,¬s](¬p ∨ ¬s)↔ s→ ¬((¬p ∨ ¬s) ∧ r)

c) (p ∧ ¬((p↔ q) ∨ (q ∧ s) ∨ s))[s := ¬p])p ∧ ¬((p↔ q) ∨ (q ∧ ¬p) ∨ ¬p

Seccion 2.3

4. a)(p→ (q ∧ r))↔ sConectivo principal: ↔Rango izquierdo: p→ (q ∧ r)Rango derecho: s

e)Hay varias opciones:

1) (u ∧ w) ∧ (r ∧ s)Conectivo principal: ∧Rango izquierdo: u ∧ wRango derecho r ∧ s

2) u ∧ (w ∧ (r ∧ s))Conectivo principal: ∧Rango izquierdo: uRango derecho: w ∧ (r ∧ s)

Page 60: manual de ejercicios de matematicas discretas

60 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

j)¬(s)→ (¬(t) ∧ ¬(p ∨ q))Conectivo principal: ↔Rango izquierdo: ¬sRango derecho: (¬(t) ∧ ¬(p ∨ q))

Seccion 2.4

1. d)¬(p ↔ q) ≡ ¬((p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)) ≡ ¬(p ∧ q) ∧ ¬(¬p ∧ ¬q) ≡(¬p ∨ ¬q) ∧ (p ∨ q) ≡ (q → ¬p) ∧ (¬p→ q) ≡ (¬p↔ q)

Seccion 2.6

16. Basta mostrar p ∧ q → r,¬p→ s, q ⊢ ¬r → s1. p ∧ q → r Hip.2. ¬p→ s Hip.3. q Hip.4. negr Hip.5. ¬(p ∧ q) M.T. 1,46. ¬p ∨ ¬q Equiv. Logica 57. ¬p S.D. 6,38. s M.P. 7,2

20.1. ¬p ∧ ¬q Hip.2. p ∨ q Sup.3. ¬p E∧ ,14. q S.D. 2.35. ¬q E∧,16. ¬(p ∨ q) Inc. 4,5

21. a)Demostracion1.(p ∨ q)→ (r ∨ s) Hipotesis2.(r ∨ s)→ ¬t Hipotesis3.t Hipotesis4.(p ∨ q)→ ¬t S.H. 1,25.¬(p ∨ q) M.T. 5,36.¬p ∧ ¬q De Morgan 67.¬p E. ∧ 7

b)

Page 61: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.8. SOLUCIONES 61

Demostracion1.(p ∧ q)→ r Hipotesis2.(q → r)→ s Hipotesis3.p Hipotesis4.¬s Supuesto5.¬(q → r) M.T. 2,46.q ∧ ¬r Equiv. Logica 57.q E. ∧ 68.¬r E. ∧ 69.p ∧ q I. ∧ 610.r M.P. 1,9

c)Demostracion1.p→ q Hipotesis2.p ∧ r Hipotesis3.s→ ¬q Hipotesis4.p E.∧ 25.q M.P. 1,46.¬¬p Equiv. Logica 57.¬s M.T. 6,3

d)Demostracion1.p→ (q ∨ ¬r) Hipotesis2.¬r → ¬s Hipotesis3.p Supuesto4.¬q Supuesto5.q ∨ ¬r M.P. 1.36.¬r Sil. Disy. 5,47.¬s M.P. 2,68.¬q → ¬s I.I. 4-79.p→ (¬q → ¬s) I.I. 3-8

e)Demostracion1.(p→ q) ∧ (q → r) Hipotesis2.p ∨ s Hipotesis3.(s→ t) ∧ (t→ u) Hipotesis4.¬r Supuesto5.p→ r S.H. 16.s→ u S.H.37.¬p M.T. 5,48.s Sil. Disy. 2,79.u M.P. 6,810.¬r → u I.I. 4-9

f)

Page 62: manual de ejercicios de matematicas discretas

62 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

Demostracion1.¬(p ∧ q)→ (r ∧ ¬s) Hipotesis2.q → ¬p Hipotesis3.¬r Supuesto4.¬q ∨ ¬p Equiv. Logica 25.¬(p ∧ q) De Morgan 46.r ∧ ¬s M.P. 1,57.r E.∧ 6

g)Demostracion1.p→ ¬q Hipotesis2.¬q → ¬r Hipotesis3.s ∨ r Hipotesis4.¬(¬p ∨ s) Supuesto5.p→ ¬r S.H. 1,26.p ∧ ¬s De Morgan 47.p E. ∧ 68.¬r M.P. 5,79.¬s E.∧ 610.r Sil. Disy. 3,9

ℎ) El razonamiento no es valido

i)Demostracion1.¬p ∨ q Hipotesis2.r Hipotesis3.(p→ s)→ ¬r Hipotesis4.¬(p→ s) M.T. 3,25.p ∧ ¬s Equiv. Logica 46.p E. ∧ 57.q S.O. 68.¬s E.∧ 69.q ∧ ¬s I.∧ 7,810.¬(q → s) Equiv. Logica 9

26. a)1. p→ q Hip.2. p→ (q → r) Hip.3. p Hip.4. q M.P. 1.35. q → r M.P. 2,36. r M.P. 4,5

b)

Page 63: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.8. SOLUCIONES 63

1. p→ r Hip.2. q → r Hip.3. p ∨ q Hip.4. ¬q → p Equiv. Log. 35. ¬q → r S.H. 4,16. r C.S. 2,5

a)1. p→ q ∨ r Hip.2. ¬r Hip.3. ¬q Hip.4. p ∨ s Hip.5. ¬s Sup.6. p S.D. 4,57. q ∨ r M.P. 1,68. q S.D. 7,29. s Inc. 3,8

31. a)1. p→ q ∨ r Hip.2. q → r Hip.3. r → s Hip.4. p Hip5. q ∨ r M.P. 1,46. ¬q → r Equiv. Log 57. r C.S. 2,68. r ∨ s I. ∧7

b) Basta con mostrar:

p ∨ q ∨ r → ¬s ∨ t, t→ ¬q, r → ¬u,¬p ∧ u, q ⊢ ¬s

1. p ∨ q ∨ r → ¬s ∨ t Hip.2. t→ ¬q Hip.3. r → ¬u Hip.4. ¬p ∧ u Hip5. q Hip.6. p ∨ q I.∨57. p ∨ q ∨ r I.∨68. ¬s ∨ t M.P.2,59. ¬t Mt. 2,510. ¬s S.D. 8,9

34. b)

Page 64: manual de ejercicios de matematicas discretas

64 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

1. c ∧ d Hip.2. c→ t ∧ q Hip.3. q → j Hip.4. c E∧, 15. t ∧ q M.P. 2,46. q E∧, 57. j M.P. 6,38. d E∧, 19. j ∧ d I∧, 7, 8

c) Basta probar:

d→ ℎ ∧ n, j → d ∨ e ∨ ℎ, e→ ℎ,¬ℎ,¬ℎ ⊢ ¬(j ∧ z)

1. d→ ℎ ∧ n Hip.2. j → d ∨ e ∨ ℎ Hip.3. e→ ℎ Hip.4. ¬ℎ Hip.5. ¬e M.T. 3,46. ¬ℎ ∨ ¬ℎ I∧, 47. ¬(ℎ ∧ n) Equiv. Log 68. ¬d M.T. 1,79. ¬d ∧ ¬e I∧, 8, 510. ¬d ∧ ¬e ∧ ¬ℎ I∧, 9, 411. ¬(d ∨ e ∨ ℎ) Equiv. Log. 1012. ¬j M.T. 11,213. ¬j ∨ ¬z I∧, 1214. ¬(j ∧ z) Equiv. Log 13

37. a) Basta con:

p∨ → r,¬(p→ r), q ⊢ r

1. p ∨ q → r Hip.2. ¬(p→ r) Hip.3. q Hip.4. p ∨ q I.∧, 35. r M.P. 1,4

c)1. (p→ q) ∧ r Hip.2. s→ t Hip.3. r → s Hip.4. r E∧, 15. s M.P. 3,46. t M.P. 2,57. q ∨ t I∨, 6

Page 65: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.8. SOLUCIONES 65

e)1. p→ q Hip.2. r ∨ ¬p Hip.3. p Hip.4. q M.P. 1,35. r S.D. 2,36. q ∧ r I. ∧4, 5

g)

1. p ∧ q → r ∨ s Hip.2. ¬(t ∧ ¬p) Hip.3. t Hip.4. t→ p Equiv. Log 25. ¬p ∨ t I∨36. p→ t Equiv. Log. 57. (t→ p) ∧ (p→ p) I∧4, 68. t↔ p Equiv. Log 7

Seccion 2.7

1. a) Formalizacion:

p→ q ∧ r¬(q ∧ r)∴ ¬p

Page 66: manual de ejercicios de matematicas discretas

66 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

hhhhhp→ q ∧ r

XXXX¬(q ∧ r)

p

¬q

¬pX

q ∧ r

q

r

X

¬r

¬pX

XXXq ∧ r

q

r

X

c) Formalizacion:

p→ (q → ¬r)¬r → s

p∴ q ∧ ¬r → s

Page 67: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.8. SOLUCIONES 67

p→ (q → ¬r)

hhhh¬r → s

p

hhhhhhh¬(q ∧ ¬r → s)

XXXq ∧ ¬r

¬s

¬¬r

q

¬rX

s

X

e) Formalizacion:

p→ (¬r → q)¬r ∨ ¬s→ ¬t

t ∧ ¬r∴ ¬p

Page 68: manual de ejercicios de matematicas discretas

68 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

hhhhhhhp→ (¬r → q)

hhhhhhh¬r ∨ ¬s→ ¬t

XXXt ∧ ¬r

p

t

¬r

¬pX

hhhh¬r → q

¬¬rX

q

¬(¬r ∨ ¬s)

¬¬r

¬¬sX

¬tX

2. a) Si es tautologıa

Page 69: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.8. SOLUCIONES 69

hhhhhhhhhhhhhhhhhh¬((p→ r)→ ((q → r)→ (p ∨ q → r)))

XXXp→ r

hhhhhhhhhhhh¬((q → r)→ (p ∨ q → r))

XXXq → r

hhhhhh¬(p ∨ q → r)

XXXp ∨ q

¬r

¬p

p

X

q

¬qX

r

X

r

X

c) Si es tautologıa

Page 70: manual de ejercicios de matematicas discretas

70 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

hhhhhhhhhhhh¬((¬p→ ¬q)→ (q → p))

¬p→ ¬q

XXXXX¬(q → p)

q

¬p

¬¬pX

¬qX

e) Si es tautologıa

Page 71: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.8. SOLUCIONES 71

hhhhhhhhhhhhhhhh¬((p→ q) ∧ (p↔ r)→ (p→ q ∧ r))

hhhhhhhh(p→ q) ∧ (p↔ r)

hhhhhh¬(p→ q ∧ r)

XXXp→ q

XXXp↔ r ≡ (p→ r) ∧ (r → p)

p

XXXX¬(q ∧ r)

¬pX

q

¬qX

¬r

XXXp→ r

r → p

¬pX

r

X

4. Incorrectaℐ(r) = 1ℐ(p) = 1

Page 72: manual de ejercicios de matematicas discretas

72 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

ℐ(q) = 0

hhhhhhhh(p↔ q)→ p ∨ r

¬(r ∧ (p→ q))

¬(p↔ q) p ∨ r

p

¬r ¬(p→ q)

r

¬rX

¬(p→ q)

p

¬q

6. b)

hhhhhh¬(p→ p ∨ q)

p

XXXX¬(p ∨ q)

¬p

¬qX

d)

Page 73: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.8. SOLUCIONES 73

¬(¬(p ∧ p)→ (¬p ∨ ¬q))

XXXX¬(p ∧ p)

XXXXXX¬(¬p ∨ ¬q)

¬¬p

¬¬q

¬pX

¬pX

f)hhhhhhhhhh¬(((p→ q)→ p)→ p)

(p→ q)→ p

¬p

XXXXX¬(p→ q)

p

¬qX

p

X

ℎ)

Page 74: manual de ejercicios de matematicas discretas

74 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

hhhhhhhhhhhhhhhhhh¬((p→ (q → r))→ (p→ q)→ (p→ r))

hhhhhhp→ (q → r)

hhhhhhhhhh¬((p→ q)→ (p→ r))

XXXp→ q

XXXXX¬(p→ r)

p

¬r

¬pX

XXXq → r

¬q

¬pX

q

X

r

X

8. b) Formalizacion:p : Causa Palestinaq : Gobierno de Israelr : Paz posible

p ∧ ¬q → rp

∴ ¬r → q

Page 75: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.8. SOLUCIONES 75

p ∧ ¬q → r

p

XXXXX¬(¬r → q)

¬r

¬q

¬(p ∧ ¬q)

¬pX

¬¬qX

r

X

9. a) IncorrectoContraejemplo:ℐ(q) = 0ℐ(p) = 0ℐ(r) = 1

Page 76: manual de ejercicios de matematicas discretas

76 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

XXXp→ q

XXXq ∨ r

hhhhhhh¬(r ∨ ¬p→ q)

XXXr ∨ ¬p

¬q

r

q

X

r

¬p q

X

¬p

q

X

r

¬p q

X

c) Incorrectoℐ(p) = 1ℐ(q) = 1

Page 77: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.8. SOLUCIONES 77

XXXp↔ q

XXXp ∨ q

XXXXXX¬(¬p ∧ ¬q)

XXXp→ q

XXXq → p

p

¬pX

q

¬qX

p

p q

q

¬p

¬qX

p

X

q

¬qX

p

p q

11. b) Insatisfacible

Page 78: manual de ejercicios de matematicas discretas

78 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

p→ q

XXX¬q ∨ r

XXXp ∧ ¬r

p

¬r

¬q

¬pX

q

X

r

X

d) Insatisfacible

hhhhhp ∨ q → r

hhhhhhhh¬((¬p ∧ ¬q) ∨ r)

¬(¬p ∧ ¬q)

¬r

¬(p ∨ q)X

r

X

pues ¬(¬p ∧ ¬q) ≡ p ∨ q

14. a) Correcto

Page 79: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.8. SOLUCIONES 79

hhhhhq ∨ ¬s→ t

¬q → r

hhhhp→ ¬s

XXXt→ s

p

¬r

XXXXX¬(q ∨ ¬s)

¬q

s

¬pX

¬sX

t

¬pX

¬s

¬tX

s

X

c) Correcto

Page 80: manual de ejercicios de matematicas discretas

80 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

hhhhhhhhp→ (q → s)→ s

q → s

p

¬s

¬pX

(q → s)→ s

¬(q → s)

X

s

X

e) Correcto

Page 81: manual de ejercicios de matematicas discretas

2.8. SOLUCIONES 81

XXXp→ q

XXXq → r

XXXs→ t

XXXs ∨ p

XXXX¬(r ∨ t)

¬r

¬t

¬q

¬p

s

¬sX

s

X

p

X

q

X

r

X

Page 82: manual de ejercicios de matematicas discretas

82 CAPITULO 2. LOGICA PROPOSICIONAL

Page 83: manual de ejercicios de matematicas discretas

Capıtulo 3

Logica de Predicados

3.1. Introduccion

No hay ejercicios para esta seccion.

3.2. Sintaxis de la logica de predicados

1. Sea C = {a, d, c} un conjuntos de sımbolos de constante y F = {f, g}un conjunto de sımbolos de funcion de ındices dos y tres respectivamente¿Cuales de las siguientes cadenas son terminos bien formados?(Dibuje elarbol de analisis para cada una)

a) g(b, c, d)

b) g(f(a, x), y, g(u, v, w))

c) g(x, f(y, z), d)

d) f(a, g(f(a, z), f(f(y, y), c), g(z, a, z)))

2. Sea F= {d,f,g}, donde d es una constante , f un sımbolo funcion con dosargumentos y g un sımbolo de funcion con tres argumentos

a) ¿Cuales de las siguientes cadenas son terminos sobre F? Dibuje elarbol de analisis de estas cadenas las cuales son, de hecho terminos

1) g(d, d)

2) f(x, g(y, z), d)

3) g(x, f(y, z), d)

4) f(f(d(d, x), f(g(d, x), y, g(y, d)), g(d, d)), g(f(d, d, x), d), z)

b) La longitud de los terminos sobre F es la longitud de la representacionde la cadena, donde se cuentan todas las comas y parentesis. Porejemplo, la longitud de f(x, g(y, z), z) es 13. Liste todos los terminoscon variables libres sobre F de longitud menor que 10

83

Page 84: manual de ejercicios de matematicas discretas

84 CAPITULO 3. LOGICA DE PREDICADOS

c) La altura de los terminos sobre F se define como 1 mas la longituddel camino mas largo en su arbol de analisis. Liste todos los terminoscon variables libres sobre F de altura menor a 4

3. ¿Cuales de las siguientes cadenas son formulas en logica de predicados?Especifique una razon de error para las cadenas que no lo son, dibuje losarboles de todas las cadenas que lo son

a) Sea m una constante, f un sımbolo de funcion con un argumento yS y B dos sımbolos de predicado, cada uno con dos argumentos:

1) S(m,x)

2) B(m, f(m))

3) f(m)

4) B(B(m,x), y)

5) S(B(m), z)

6) (B(x, y)→ (∃zS(z, y)))

7) (S(x, y)→ S(y, f(f(x))))

8) (B(x)→ B(B(x)))

b) Sea L = C ∪ F ∪ P con C = {b}, F = {f, g}, P = {S,B}, f con unargumento, g con tres argumentos,, S y B con dos argumentos

1) (B(x, b)→ S(y, z))

2) S(B(b, x), w)

3) (g(x, b, b)↔ B(x, y))

4) S(w, z)→ B(f(b), b)

4. Sea c y d constantes, f un sımbolo de funcion con un argumento, g unsımbolo de funcion con dos argumentos y ℎ un sımbolo de funcion con tresargumentos. Ademas, P y Q son sımbolos de predicado con tres argumen-tos:

a) ∀xP (f(d), ℎ(g(c, x), d, y))

b) ∀yP (f(d), ℎ(P (x, y), d, y))

c) ∀xQ(g(ℎ(x, f(d), x), g(x, x)), ℎ(x, x, x), c)

d) ∃z(Q(z, z, z)→ P (z))

e) ∀x∀y(g(x, y)→ P (x, y, z))

f ) Q(c, d, c)

5. Exprese en palabras cada una de las siguientes representaciones simbolicas

a) ∀x(R(x)→ P (x))

b) ∀x(S(x)→ Q(x))

c) ∀x(S(x)→ ¬T (x))

d) ∃x(S(x)→ Q(x))

Page 85: manual de ejercicios de matematicas discretas

3.2. SINTAXIS DE LA LOGICA DE PREDICADOS 85

e) ∀x(¬R(x) ∨ ¬Q(x) ∨ S(x))

6. Exprese en palabras cada una de las siguientes representaciones simbolicas.

a) ∀x((A(x) ∨B(x)) ∧ ¬(A(x) ∧B(x)))

b) ∀x∀y(P (x, y)→ P (y, x))

c) ∀x(P (x)→ (∃y)Q(x, y))

d) ∃x(A(x) ∧ (∀y)B(x, y))

e) (∀xA(x)→ (∀x)B(x))→ ∀x(A(x)→ B(x))

7. Identifique el alcance de cada uno de los cuantificadores en las siguientesformulas bien formadas e indique las variables que aparecen libres

a) ∀x(P (x)→ Q(y)

b) ∃x(A(x) ∧ (∀y)B(y))

c) ∃x((∀y)P (x, y) ∧Q(x, y))

d) ∃x∃yA(x, y) ∧B(y, z)→ A(a, z))

8. Identifique las variables ligadas y las variables libres de cada una de las si-guientes expresiones. En los inicisos a) y b) el universo comprende todos losnumeros reales, excepto...{−5�/2,−3�/2,−�/2, �/2, 3�/2, 5�/2, ...} En losdemas casos, el universo esta formado por todos los numeros reales

a) ∀x∀y[sec2y − sec2y = tan2x− tan2y]

b) ∀y∃z[cos(x+ y) = sen(z − x)]

c) ∃x∃y[x2 − y2 = z]

d) ∃x[xy = y]

9. Resuelva

a) ¿La variable x es libre en la formula∀x(Fx→ Gx)?

b) ¿La variable x es libre en la formulaFx→ Gx?

c) ¿Cuales son las subformulas de la formula¬¬Fx→ Gx?

d) Sustituya todas as presencias libres de x en la formula por aFx→ Gx

e) Sustituya todas as presencias libres de x en la formula por aFx→ Rxy

f ) Sustituya todas as presencias libres de x en la formula por a∀y(Fx→ Rxy)

g) ¿Rxy es una subformula de la formula∀y(Fx→ Rxy)

Page 86: manual de ejercicios de matematicas discretas

86 CAPITULO 3. LOGICA DE PREDICADOS

h) ¿La variable x esta ligada en la formula∀y(Fx→ Rxy)?

i) ¿Cual es el alcance de ∀y en la formula∀y(Fx→ Rxy)?

j ) ¿La variable y esta ligada en la formula∀y(Fx→ Rxy)?

10. Halle las variables libres de cada una de las siguientes formulas

a) ∀xP (x, y)→ P (x, a)

b) ∀x(P (x, y)→ P (x, a))

c) ∀x(∃yP (x, g(a, y))→ ∃zP (y, z))

d) ∃x(P (x) ∧Q(x,w))→ P (x)

e) ∀w∃yQ(y, u, w) ∧ P (x,w)

f ) ∀z∀y(T (w, z)→ Q(y, a)) ∨ P (z, w)

11. Para cada una de las siguientes formulas, determine el conjunto de varia-bles libres y el conjunto de las variables ligadas de la formula. Si estosdos conjuntos no son disjuntos, construya una variante de la formula enla cual ninguna variable aparezca a la vez libre y ligada

a) ∃x(g(x, f(z)) = y)

b) ∀x∃y(R(x, y) ∧ ∃x(y = g(x, x)))

c) ∃y(g(ℎ(x, x), ℎ(y, y)) = ℎ(z, z))

d) ∃x(R(x, y) ∧ ∀y¬(g(y, y) = x))

12. Para cada uno de los siguientes enunciados, construya una formula quetenga como variables libres las que aparecen en el enunciado, y que al serinterpretada en ℕ signifique lo que afirma el enunciado

a) x es un numero par

b) x es un numero impar

c) z es el maximo de x,y

d) x es primo

e) x e y son primos entre sı

3.3. Especificacion formal

1. Utilice los sımbolos de predicado mostrados y cuantificadores apropiados,escriba cada enunciado en espanol como una formula bien formada.D(x) es “x es un dıa”S(x) es “x esta soleado”R(x) es “x esta lluvioso”

Page 87: manual de ejercicios de matematicas discretas

3.3. ESPECIFICACION FORMAL 87

M es “Lunes”T es “Martes”

a) Todos los dıas esta soleado.

b) Algunos dıas no llueve.

c) Cada dıa esta soleado y no llueve.

d) Algunos dıas esta soleado y llueve.

e) Siempre es un dıa soleado solo si es un dıa lluvioso.

f ) Ningun dıa es soleado.

g) El lunes estuvo soleado; por lo tanto todos los dıas estara soleado.

h) Llovio el Lunes y el Martes.

i) Si algun dıa llueve, entonces cada dıa estara soleado.

2. Utilice los sımbolos de predicado mostrados y cuantificadores apropiados,escriba cada enunciado en espanol como una formula bien formada

P (x) es “x es una persona”T (x) es “x es un tiempo”F (x, y) es “x pone es ridıculo a y”

a) Puedes poner en ridıculo a algunas personas todo el tiempo

b) Puedes poner en ridıculo a todas las personas algun tiempo

c) No puedes poner en ridıculo a todas las personas todo el tiempo

3. Utilice los sımbolos de predicado mostrados y cuantificadores apropiados,escriba cada enunciado en espanol como una formula bien formada

J(x) es “x es un juez”L(x) es “x es un abogado”W (x) es “x es una mujer”C(x) es “x es un quımico”A(x, y) es “x admira a y”

a) Hay algunas abogadas que son quımicas

b) No hay mujer abogada y quımica

c) Algunos abogados admiran solo a jueces

d) Todos los jueces admiran solo a jueces

e) Solo los jueces admiran a jueces

f ) Todas las abogadas admiran a algun juez

Page 88: manual de ejercicios de matematicas discretas

88 CAPITULO 3. LOGICA DE PREDICADOS

g) Algunas mujeres admiran a los que no son abogados

4. Utilice los sımbolos de predicado mostrados y cuantificadores apropiados,escriba cada enunciado en espanol como una formula bien formada

B(x) es “x es una abeja”F (x) es “x es una flor”L(x, y)es “x ama a y”

a) Todas las abejas aman las flores

b) Algunas abejas aman las flores

c) Solo las abejas aman las flores

d) No hay abejas que amen las flores

e) Algunas abejas aman algunas flores

f ) Cada abeja odia a las flores

g) Cada abeja odia solo las flores

h) Cada abeja ama solo las flores

i) Cada abeja odia algunas flores

j ) Ninguna abeja odia todas las flores

5. Utilice los sımbolos de predicado mostrados y cuantificadores apropiados,escriba cada enunciado en espanol como una formula bien formada.

S(x) es “x es una novela de espıas”M(x) es “x es un misterio”L(x) es “x es largo”B(x, y) es “x es mejor que y”

a) Todas las novelas de espıas son largas

b) No todos los misterios son novelas de espıas

c) Solo los misterios son largos

d) Algunas novelas de espıas son misteriosas

e) Las novelas de espıas son mejores que las de misterio

f ) Algunos misterios son mejores que todas las novelas de espıas

g) Solo las novelas de espıas son mejores que los misterios

6. Exprese cada enunciado en terminos de P (x), Q(x), cuantificadores y co-nectivos logicos. El dominio para los cuantificadores consiste en todos losestudiantes de tu escuela

Page 89: manual de ejercicios de matematicas discretas

3.3. ESPECIFICACION FORMAL 89

P (x): “x puede hablar en Ruso”Q(x): “x conoce el lenguaje de programacion C++”

a) Hay un estudiante en tu escuela que puede hablar Ruso y sabe ellenguaje de programacion C + +

b) Hay un estudiante en tu escuela que puede hablar Ruso pero noconoce el lenguaje de programacion C + +

c) Cada estudiante en tu escuela siempre que pueda hablar Ruso conoceel lenguaje de programacion C + +

d) Ningun estudiante en tu escuela puede hablar Ruso o conocer el len-guaje de programacion C + +

7. Sean P (x), Q(x) y R(x) los enunciados “x es un profesor”, “x es un igno-rante” y “x es un inutil” respectivamente. Exprese cada enunciado usandocuantificadores, conectivos logicos. El dominio consiste en todas las per-sonas

a) Ningun profesor es ignorante

b) Toda la gente ignorante es inutil

c) Ningun profesor es inutil

d) ¿El inciso (c) se deduce de (a) y (b)?

8. Sean P (x), Q(x) y R(x) los enunciados “x es una explicacion clara”, “x essatisfactoria” y “x es una disculpa” respectivamente. Suponga que el do-minio de x consiste en todos los textos en espanol. Exprese cada enunciadousando cuantificadores y conectivos logicos

a) Todas las explicaciones claras son satisfactorias

b) Algunas disculpas son insatisfactorias

c) Algunas disculpas no son explicaciones claras

d) ¿El iniciso (c) se deduce de (a) y (b)?

9. Sean P (x), Q(x), R(x) y S(x) los enunciados “x es un bebe”, “x es logico”,“x puede controlar un cocodrilo” y “x es despreciado” respectivamente.Suponga que el dominio consiste en toda la gente. Exprese cada enunciadousando cuantificadores y conectivos logicos

a) Los bebes son ilogicos

b) Nadie que pueda controlar un cocodrilo es despreciado

c) Las personas ilogicas son despreciadas

d) Los bebes no pueden controlar cocodrilos

e) ¿El inciso (d) se deduce de (a), (b) y (c)? Si no es ası ¿Hay algunaconclusion correcta?

Page 90: manual de ejercicios de matematicas discretas

90 CAPITULO 3. LOGICA DE PREDICADOS

10. Sean P (x), Q(x), R(x) y S(x) los enunciados “x es un pato”, “x es unade mis aves de corral”, “x es un oficial” y “x esta dispuesto a bailar vals”respectivamente. Exprese cada enunciado usando cuantificadores y conec-tivos logicos

a) Ningun pato esta dispuesto a bailar vals

b) Ningun oficial nunca se niega a bailar vals

c) Todas mis aves de corral son patos

d) Mis aves de corral no son oficiales

e) ¿El inciso (d) se deduce de (a), (b) y (c)? Si no es ası ¿Hay algunaconclusion correcta?

11. Para el universo de los enteros, sean P (x), Q(x), R(x), S(x) y T (x) lassiguientes proposiciones abiertasP (x) : x > 0Q(x) : x es parR(x) : x es un cuadrado perfectoS(x) : x es(exactamente) divisible entre 4T (x) : x es(exactamente) divisible entre 5

a) Escriba las siguientes proposiciones en forma simbolica

1) Al menos un entero es par

2) Existe al menos un entero positivo que es par

3) Para cualquier x que es par, entonces x no es divisible entre 5

4) Ningun entero par es divisible entre 5 y entre 4

5) Existe al menos un entero par divisible entre 5

6) Para cualquier x que es par, x es un cuadrado perfecto, entoncesx es divisible entre 4

b) Determine si cada una de las seis proposiciones de la parte anterior esverdadera o falsa. Para cada proposicion falsa, de un contraejemplo

12. Exprese cada enunciado en terminos de C(x), D(x), F (x) cuantificadoresy conectivos logicos. El dominio para los cuantificadores consiste en todoslos estudiantes de tu clase

C(x): “x tiene un gato”D(x): “x tiene un perro”F (x): “x tiene un huron”

a) Un estudiante en tu clase tiene un gato, un perro y un huron

b) Todos los estudiantes en tu clase tienen un gato, un perro, o un huron

c) Algunos estudiantes en tu clase tienen un gato y un huron, pero noun perro

Page 91: manual de ejercicios de matematicas discretas

3.3. ESPECIFICACION FORMAL 91

d) Ningun estudiante en tu clase tiene un gato, un perro, o un huron

e) Por cada tres animales, gatos, perros y hurones, hay un estudianteen tu clase quien tiene uno de estos animales como mascota

13. Formalice los siguientes enunciados en el lenguaje de la logica de predi-cados de primer orden. Explique en cada caso que universo de discurso yque significados tiene en mente para los diferentes sımbolos

a) Madonna es una cantante

b) Ramon Mercader asesino a Leon Trotski

c) La esposa del rey Arturo fue la asesina de Ginebra

d) Al sobrino de Groucho Marx le gustaba mas Elvis Presley que GretaGarbo

e) Todas las mujeres son inefables

f ) Algunos logicos son incorregibles

g) Todo numero primo mayor que 2 es impar

h) La reina Ginebra solo fue amada por caballeros

i) Entre los vampiros se dan casos de hemofilia

j ) Cierto reformador religiosos que intento reconciliar el cristianismocon el judaısmo, murio a manos de un fanatico

k) Siempre hay un espanol que invento las cosas antes que sus inventoresreconocidos

l) Es posible enganar a todo el mundo durante algun tiempo, y enganara alguien durante todo el tiempo, pero no es posible enganar a todoel mundo durante todo el tiempo

14. Formalice los siguientes razonamientos indicando el universo de discursoy el significado de cada predicado usado

a) “Todo estudiante es inquieto. Luis es un estudiante. Por tanto, Luises inquieto”

b) “El sucesor de todo numero natural par es impar. 6 es un naturalpar. Por tanto, 6 es impar”

c) “Hay quien, aun siendo coherente, solo se preocupa de sus problemas.Todo el mundo se preocupa por cuestiones del medio ambiente, amenos que sea un irresponsable. Por tanto, hay quien es coherente ytoma como propio el problema del medio ambiente”

d) “No es cierto que cualquier filosofo sea mas sabio que cualquier quımi-co. Los filosofos son mas sabios que los aficionados a los crucigramas.Por tanto, si ningun quımico es filosofo hay quien no es filosofo niaficionado a los crucigramas”

Page 92: manual de ejercicios de matematicas discretas

92 CAPITULO 3. LOGICA DE PREDICADOS

e) “Todas las enfermedades infecciosas son controlables. Quien padeceuna enfermedad controlable, no se preocupa por la enfermedad o seautomedica. Luis es un deportista que nunca se automedica, pero quepadece de una enfermedad infecciosa. Por tanto, hay deportistas queno se preocupan por la enfermedad que padecen”

f ) “El padre de Juan es poeta y autor de poesıa. Hay poetas que nopublican libro alguno. Quien tiene un padre poeta, solo compra librosde poesıa si su padre ha publicado algun libro. Por lo tanto, Juancompra libros de poesıa”

15. Formalice en la logica de predicados de primer orden los siguientes ra-zonamientos indicando el universo de discurso y el significado de cadapredicado usado

a) “Todos los alumnos de esta clase tienen mas de 18 anos”

b) “Todo el que plagia el trabajo ajeno es un inepto. Es sabido que losexpertos en programacion no son ineptos y que algunos expertos enprogramacion dominan las tecnicas de la programacion paralela. Portanto, algunos de los que dominan las tecnicas de la ProgramacionParalela, no plagian el trabajo ajeno”

c) “Todo estudiante que deja la adquisicion de conocimientos sobre lamateria para la semana antes del examen, tiene una disculpa intere-sante. Hay estudiantes aburridos interesantes. Ası pues, de lo dicho seconcluye que no hay quien, preocupandose de adquirir conocimientossobre una materia durante todo el curso, sea aburrido”

16. Formalice cada una de las argumentaciones siguientes mediante formulasde primer orden

a) Cualquier pitufo es azul o gandul. No todos los pitufos son gandules.Todos los pitufos azules son cascarrabias∴ Algunos cascarrabias no son gandules.

b) Todos los alienıgeneas son canijos. Ningun marciano se emborracha.Cualquier individuo canijo y desgraciado se emborracha. Algunosalienıgenas son desgraciados∴ No todos los alienıgenas son marcianos

c) Todos los peregrinos se banan. Quienes se banan y no se cambiande ropa, huelen mal. Algunos peregrinos no se banan. Ningun devotodel Santo Patrono huele mal∴ No todos lo peregrinos son devotos del Santo Patrono

d) Cualquier dragon es verde o amarillo. El padre de un dragon amarillosiempre es amarillo. La madre de un dragon verde siempre es verde.Hay un dragon cuya madre no es verde∴ Hay un dragon cuyo padre es amarillo

Page 93: manual de ejercicios de matematicas discretas

3.3. ESPECIFICACION FORMAL 93

e) Isolda ama a la reina de Ginebra. El rey Arturo ama a Isolda. Uncaballero leal solo ama si es amado. La reina de Ginebra solo esamada por caballeros. El rey Arturo solo ama a los leales. Ninguncaballero amado por la reina de Ginebra ama al rey Arturo. Quiensiendo amado no ama es un homosexual∴ Isolda es homosexual

f ) Todas las portenas alegres son amigas de los marineros. Ningun por-teno feliz esta casado con una portena triste. Los portenos casadoscon amigas de marineros son cornudos o marineros. Hay portenosfelices, casados con portenas, y que no son marineros∴ Algunos cornudos son felices

g) Un vampiro solo es feliz si se emborracha o pernocta en un cementerio.Quien pernocta en un cementerio viola la ley o es sepulturero. Unabruja solo es feliz si convive con un vampiro feliz, sobrio y respetuosocon la ley. No faltan brujas felices∴ Algunos vampiros son sepultureros

h) Los protozoos se dividen en pequenos, peludos y suaves. Los na-turalistas que no tienen microscopio solamente observan protozoosgrandotes. Algunos naturalistas pobres observan protozoos asperos.Ningun pobre le falta un microscopio∴ No faltan naturalistas que observen protozoos peludos.

17. Para cada una de las siguientes parejas de proposiciones, determine sila negacion propuesta es la correcta. Si es correcta, determine cual esverdadera: la proposicion original o la negacion propuesta. Si la negacionpropuesta es incorrecta, escriba una version corregida de la negacion ydetermine a continuacion si la proposicion original o la version corregidade la negacion es verdadera

a) Proposicion: Para todos los numeros reales x, y si x2 > y2, entoncesx > y.Negacion propuesta: Existen numeros reales x, y tales que x2 > y2

pero x ≤ yb) Proposicion: Existen numeros reales x, y tales que ambos son racio-

nales pero x+ y es irracionalNegacion propuesta: Para todos los numeros reales x, y si x + y esracional, entonces x y y son racionales

c) Proposicion: Para todo numero real x, si no es 0, entonces x tiene uninverso multiplicativoNegacion propuesta: Existe un numero real distinto de cero que notiene un inverso multiplicativo

d) Proposicion: Existen enteros impares cuyo producto es imparNegacion propuesta: El producto de cualesquiera dos numeros enterosimpares es impar

Page 94: manual de ejercicios de matematicas discretas

94 CAPITULO 3. LOGICA DE PREDICADOS

e) Proposicion: El cuadrado de todo numero racional es racionalNegacion propuesta: Existe un numero real x tal que si x es irracional,entonces x2 es irracional

18. Escriba la negacion de cada una de las siguientes proposiciones como unafrase en espanol sin notacion simbolica (En este caso, el universo consta detodos los estudiantes de una universidad donde imparte clases el profesorLinares)

a) Todo estudiante del grupo de Pascal del profesor Linares esta en laespecialidad de ciencias de la computacion o matematicas

b) Al menos un estudiante del grupo de Pascal del profesor Linaresesta en la especialidad de historia

c) Un estudiante del grupo de Pascal del profesor Linares ha leıdo todossus artıculos de investigacion sobre estructuras de datos

19. Escriba la negacion de cada una de las siguientes proposiciones verdaderas.Para las partes (a), (b) y (c), el universo consta de todos los enteros; paralas partes (d) y (e), el universo abarca todos los numeros reales

a) Para todo entero n, si n no es (exactamente) divisible entre 2, enton-ces n es impar

b) Si el cuadrado de un entero es impar, entonces el entero es impar

c) Si k,m, n son enteros tales que k−m y m− n son impares, entoncesk − n es par

d) Si x es un numero real tal que x2 > 16, entonces x < −4 o x > 4

e) Para todo numero real x, si ∣x− 3∣ < 7, entonces −4 < x < 10

20. Considere las signatura Lpm =def P,Q,R, formada por tres sımbolos depredicado monadicos. Teniendo en cuenta que en cualquier Lpm-estructuraP,Q,R se van a interpretar como subconjuntos del universo de discurso,construye Lpm- formulas cerradas que formalicen las siguientes afirmacio-nes:

a) P esta inlcuido en Q

b) P es el complementario de Q

c) P es la union de Q y R

d) P es la interseccion de Q y R

21. Las dos formulas cerradas siguientes se pueden construir con la signaturavacıa, y por lo tanto pertencen a todos los lenguajes de primer orden

'≥2 =def ∃x0∃x1¬(x0 = x1)

Page 95: manual de ejercicios de matematicas discretas

3.3. ESPECIFICACION FORMAL 95

'≤2 =def ∃x0∃x1∀y(y = x0 ∨ y = x1)

a) '≥2 formalice la afirmacion “hay al menos dos individuos en el uni-verso discurso”, mientras que '2 formalice la afirmacion “hay a losumo dos individuos en el universo de discurso”. Razone por que

b) Demuestre que para cualquier numero natural n ≥ 1 se pueden cons-truir dos formulas cerradas '≥n y '≤n que formalizan las afirma-ciones “hay al menos n individuos” y “hay a lo sumo n individuos”,respectivamente

c) Suponiendo construidas '≥n y '≤n, explique el significado de las tresformulas siguientes:

¬'≥n

¬'≤n

'≥n ∧ '≤n

22. Sea R un sımbolo de relacion binaria. Construya tres formulas cerradasPrf , Psm, Ptr que formalicen, respectivamente, las tres afirmaciones: “R esreflexiva”, “R es simetrica” y “R es transitiva”. De este modo, las tresformulas formalizaran los axiomas de una relacion de equivalencia

23. Considere las dos formulas siguientes:

P1 =def ∃x∀y(¬R(y, y)→ R(x, y))

P2 =def ∃x∀y(¬R(y, y)↔ R(x, y))

a) Construya un modelo de P1 y demuestra que P2 es insatisfacible

b) La llamada paradoja del barbero surge de suponer un pueblo dondehay un barbero que afeita a todos aquellos habitantes del pueblo queno se afeitan a sı mismos, y solo a ellos. Estudie como correspondeesta paradoja con la insatisfacibilidad de la formula P2

24. Considere ahora que ≤ es un sımbolo de relacion binaria que se podra uti-lizar en notacion infija. Usando formulas cerradas, formalice:

a) Los axiomas de una relacion de orden

b) Los axiomas de una relacion de orden total

c) Los axiomas de una relacion de orden total denso

25. Sean I(x), C(x, y) los enunciados “x tiene conexion a Internet” y “x y ytienen una platica acerca de Internet” respectivamente. El dominio de lasvariables x y y consiste en todos los estudiantes de tu clase. Use cuantifi-cadores para expresar cada enunciado

Page 96: manual de ejercicios de matematicas discretas

96 CAPITULO 3. LOGICA DE PREDICADOS

a) Gerardo no tiene conexion a Internet

b) Raquel no tiene una platica acerca de Internet con Cleotilde

c) Juana y Sandra nunca han tenido una platica acerca de Internet

d) Nadie en la clase tiene una platica acerca de Internet con Bernardo

e) Sonia ha tenido una platica acerca de Internet con todos excepto conJuan

f ) Alguien en tu clase no tiene conexion a Internet

g) Exactamente un estudiante en tu clase tiene conexion a Internet

h) Todos excepto un estudiante en tu clase tiene conexion a Internet

i) Todos en tu clase con una conexion a Internet han platicado acercade Internet con al menos otro estudiante en tu clase

j ) Alguien en tu clase tiene conexion a Internet pero no ha tenido unaplatica acerca de Internet con nadie mas en su clase

k) Hay dos estudiantes en tu clase quienes no han platicado con otrosacerca de Internet

l) Hay un estudiante en tu clase quien ha platicado con todos en tuclase acerca de Internet

m) Hay al menos dos estudiantes en tu clase quienes no han platicadoacerca de Internet con la misma persona en tu clase

n) Hay dos estudiantes en la clase quienes entre ellos han platicadoacerca de Internet con alguien mas en la clase

26. Sean M(x, y) y T (x, y) los enunciados “x ha enviado un correo electronicoa y” y “x ha llamado por telefono a y” donde el dominio consiste entodos los estudiantes de tu clase. Utilice cuantificadores para expresar cadaenunciado (Asuma que todos los correos electronicos que fueron enviadosse recibieron, que no es como funcionan las cosas en el mundo real)

a) Carlos nunca ha enviado un correo electronico a Karina

b) Ana nunca ha enviado un correo electronico o ha llamado por telefonoa Sara

c) Jose nunca ha recibido un correo electronico de Diana

d) Todo estudiante en tu clase ha enviado un correo electronico a Ale-jandro

e) Nadie en tu clase ha llamado por telefono a Nadia

f ) Todos en tu clase no han llamado por telefono a Andres o enviadoun correo electronico

g) Hay un estudiante en tu clase quien ha enviado a todos en tu claseun correo electronico

h) Hay alguien en tu clase quien ha enviado un correo electronico ollamado por telefono a todos en tu clase

Page 97: manual de ejercicios de matematicas discretas

3.3. ESPECIFICACION FORMAL 97

i) Hay dos estudiantes diferentes en tu clase quienes se han enviado uncorreo electronico

j ) Hay un estudiante en tu clase quien no ha recibido un correo electroni-co de alguien mas en la clase y quien no ha llamado por telefono aotro estudiante en la clase

k) Todo estudiante en la clase ha recibido un correo electronico o reci-bido una llamada por telefono de otro estudiante en la clase

l) Hay al menos dos estudiantes en tu clase de los cuales el primer estu-diante ha enviado a otro un correo electronico y el segundo estudianteha llamado por telefono al primer estudiante

m) Hay dos estudiantes diferentes en tu clase quienes entre ellos hanenviado correo electronico o llamado por telefono a alguien mas enla clase

27. El grupo de mecanica cuantica del Profesor Olmedo esta formado por 29estudiantes, de los cuales exactamente

a) Tres estudiantes de fısica estan en su penultimo ano

b) Dos estudiantes de ingenierıa electrica estan en su penultimo ano

c) Cuatro estudiantes de matematicas estan en su penultimo ano

d) Doce estudiantes de fısica estan en su ultimo ano

e) Cuatro estudiantes de ingenierıa electrica estan en su ultimo ano

f ) Dos estudiantes de ingenierıa electrica son de posgrado

g) Dos estudiantes de matematicas son de posgrado

Considere los siguientes predicados

J(x) : El estudiante x esta en su penultimo anoS(x) : El estudiante x esta en su ultimo anoG(x) : El estudiante x es de posgradoP (x) : El estudiante x esta en la especialidad de fısicaE(x) : El estudiante x esta en la especialidad de ingenierıa electricaM(x) : El estudiante x esta en la especialidad de matematicas

Escriba cada una de las siguientes oraciones en terminos de cuantificadoresy las proposiciones abiertas C(x), J(x), S(x), G(x), P (x), E(x) y M(x), ydetermine cuales de las siguientes oraciones son verdaderas o falsas. Eneste caso, el universo esta formado por los 12,500 estudiantes inscritos enla universidad donde imparte clases el profesor Olmedo. Ademas, en estauniversidad cada estudiante tiene solamente una especialidad

a) En la clase existe un estudiante de matematicas que esta en supenultimo ano

Page 98: manual de ejercicios de matematicas discretas

98 CAPITULO 3. LOGICA DE PREDICADOS

b) En la clase existe un estudiante del ultimo ano que no esta en laespecialidad de matematicas

c) Todo estudiante de la clase esta en la especialidad de matematicas ofısica

d) Ningun estudiante de posgrado en la clase esta en la especialidad defısica

e) En la clase, todo estudiante del ultimo ano esta en la especialidad defısica o de ingenierıa electrica

f ) Algun estudiante de posgrado de la clase no esta en la especialidadde matematicas ni en la de fısica

28. Para el siguiente segmento de programa en Pascal m y n son variables ente-ras.A es una tabla de dos dimensionesA[1, 1], A[1, 2], . . . , A[1, 20], . . . A[10, 1],. . . , A[10, 20] con 10 filas (indexadas de 1 a 10) y 20 columnas (indexadasde 1 a 20)

For m:= 1 to 10 do

For n : = 1 to 20 do

A[m,n] : = m + 3*n;

Escriba las siguientes proposiciones en forma simbolica.(El universo de lavariable m contiene unicamente los enteros del 1 al 10 inclusive; para n,el universo consta de los enteros del 1 al 20 inclusive)

a) Todas las entradas de A son positivas

b) Todas las entradas de A son positivas y menores o iguales que 70

c) Algunas de las entradas son mayores que 60

d) Las entradas de cualquier fila de A tienen un orden (estrictamente)ascendente

e) Las entradas de las primeras tres filas de A tienen un orden (estric-tamente) ascendente

f ) Las entradas de las primeras tres filas de A son distintas

g) Las entradas de cualesquiera tres filas consecutivas de A son distintas

h) Para cualquier par de filas consecutivas de A, la suma de las entradasde la segunda fila (aquella que tiene el ındice de la fila mas grande)es 20 unidades mayor que la suma de las entradas de la fila anterior

29. Traduzca cada enunciado a expresiones logicas usando predicados, cuan-tificadores y conectivos logicos. Ademas defina el universo o dominio

a) Algo no esta en su lugar

b) Todas las herramientas estan en su lugar y en excelentes condiciones

c) Todo esta en su lugar y en excelentes condiciones

Page 99: manual de ejercicios de matematicas discretas

3.3. ESPECIFICACION FORMAL 99

d) Nada esta en su lugar y sı en excelentes condiciones

e) Una de tus herramientas no esta en su lugar, pero si en excelentescondiciones

30. Traduzca cada enunciado en expresiones logicas de tres formas diferentes,variando el dominio y utilizando predicados con una y dos variables

a) Alguien en tu escuela ha visitado Almoloya de Alquisiras

b) Todos en tu clase han estudiado Calculo y C + +

c) Nadie en tu escuela es dueno de una bicicleta o una motocicleta

d) Hay una persona en tu escuela que no esta feliz

e) Todos en tu escuela nacieron en el siglo XXI

31. Traduzca cada enunciado en expresiones logicas de tres formas diferentes,variando el dominio y utilizando predicados con una y dos variables

a) Un estudiante en tu escuela ha vivido en Vietnam

b) Hay un estudiante en tu escuela que no puede hablar Otomı

c) Un estudiante en tu escuela sabe Java, Prolog y C++

d) Todos en tu clase disfrutan la comida china

e) Alguien en tu clase no juega hockey

32. Exprese cada especificacion del sistema usando predicados, cuantificadoresy conectivos logicos

a) Cuando hay al menos 30 megabytes libres en el disco duro, se envıaun mensaje de alerta a los usuarios

b) Ningun directorio se puede abrir en el sistema de archivos y ningunarchivo se puede cerrar cuando se han detectado errores del sistema

c) El sistema de archivos no puede hacer una copia de seguridad si hayun usuario conectado en ese momento

d) El video de baja demanda esta disponible cuando hay al menos 8megabytes de memoria disponible y la conexion es de al menos 56kilobits por segundo

33. Exprese cada especificacion del sistema usando predicados, cuantificadoresy conectivos logicos

a) Todo usuario tiene acceso a una cuenta de correo electronico

b) Se puede acceder al sistema de correo electronico por todos en elgrupo si el sistema de archivos esta bloqueado

c) El firewall se encuentra en estado de diagnostico si el servidor seencuentra en estado de diagnostico

Page 100: manual de ejercicios de matematicas discretas

100 CAPITULO 3. LOGICA DE PREDICADOS

d) Al menos un router esta funcionando de manera normal si el servidortiene un rendimiento de entre 100 kbps y 500 kbps y no esta en mododiagnostico.

34. Traduzca de dos formas los enunciados en expresiones logicas usando pre-dicados, cuantificadores, y conectivos logicos. Primero, que el dominio con-sista en los estudiantes de tu clase y segundo, que consista en toda la gente

a) Alguien en tu clase puede hablar Hindi

b) Todos en tu clase son amigables

c) Hay una persona en tu clase que no nacio en Puebla

d) Un estudiante en tu clase ha estado en una pelıcula

e) Ningun estudiante en tu clase ha tomado un curso de programacionlogica

35. Traduzca de dos formas los enunciados en expresiones logicas usando pre-dicados, cuantificadores, y conectivos logicos. Primero, que el dominio con-sista en los estudiantes de tu clase y segundo, que consista en toda la gente

a) Todos en tu clase tienen un telefono celular

b) Alguien en tu clase ha visto una pelıcula extranjera

c) Hay una persona en tu clase que no puede nadar

d) Todos los estudiantes en tu clase pueden resolver ecuaciones cuadrati-cas

36. Traduzca cada enunciado a expresiones logicas usando predicados, cuan-tificadores y conectivos logicos

a) Nadie es perfecto

b) No todo el mundo es perfecto

c) Todos tus amigos son perfectos

d) Al menos uno de tus amigos es perfecto

e) Todos son tus amigos y son perfectos

f ) No todos son tus amigos o alguien no es perfecto

37. Exprese cada especificacion del sistema usando predicados, cuantificadoresy conectivos logicos si es necesario

a) Cada usuario tiene acceso a exactamente una cuenta de correo

b) Hay un proceso que continua corriendo durante todas las condicionesde error solo si el kernel esta trabajando correctamente

c) Todos los usuarios en la red de la facultad pueden acceder a todoslos sitios web de los cuales su URL tenga la extension .edu

d) Hay exactamente dos sistemas que monitorean cada servidor remoto

Page 101: manual de ejercicios de matematicas discretas

3.3. ESPECIFICACION FORMAL 101

38. Exprese cada especificacion del sistema usando predicados, cuantificadoresy conectivos logicos si es necesario

a) Al menos una consola debe ser accesible durante cada condicion defallo

b) La direccion de correo electronico de cada usuario puede ser obtenidasiempre que la recuperacion contenga al menos un mensaje enviadopor cada usuario en el sistema

c) Para cada falta de seguridad hay al menos un mecanismo que puededetectar la falta si y solo si hay un proceso que no ha sido compro-metido

d) Hay al menos dos caminos de conexion cada dos criterios de valora-cion distintos en la red

e) Nadie sabe la clave de cada usuario en el sistema excepto el adminis-trador del sistema, quien sabe todas las claves

39. Traduzca las especificaciones del sistema al espanol donde S(x, y): “xesta en estado y” y donde el dominio de x e y consiste en todos los sistemasy todos los estados posibles respectivamente

a) ∃xS(x, abierto)

b) ∀x(S(x,malfuncionamiento) ∨ S(x, diagnostico))

c) ∃xS(x, abierto) ∨ ∃xS(x, diagnostico)

d) ∃x¬S(x, disponible)

e) ∀x¬S(x, trabajando)

40. Traduzca las especificaciones al espanol donde F (p) es “Impresora p esta fue-ra de servicio”, B(p) es “ Impresora p esta ocupada”, L(j) es “Trabajo deimpresion j esta perdido” y Q(j) es “Trabajo de impresion esta en cola”

a) ∃p(F (p) ∧B(p))→ ∃jL(j)

b) ∀pB(p)→ ∃jQ(j)

c) ∃j(Q(j) ∧ L(j))→ ∃pF (p)

d) (∀pB(p) ∧ ∀jQ(j))→ ∃jL(j)

41. Utilice cuantificadores y predicados con mas de una variable para expresarlos enunciados

a) Hay un estudiante en tu clase que puede hablar Otomı

b) Todo estudiante en tu clase juega algun deporte

c) Algun estudiante en tu clase ha visitado Alaska pero no ha visitadoHawaii

d) Todos los estudiantes en esta clase han aprendido al menos un len-guaje de programacion

Page 102: manual de ejercicios de matematicas discretas

102 CAPITULO 3. LOGICA DE PREDICADOS

e) Hay un estudiante en esta clase que ha tomado cada curso ofrecidopor todos los departamentos en esta escuela

f ) Algun estudiante en esta clase crecio en el mismo pueblo exactamentecomo otro estudiante en esta clase

g) Cada estudiante en esta clase ha platicado con al menos otro estu-diante en al menos un grupo de platica

42. Utilice cuantificadores y predicados con mas de una variable para expresarlos enunciados

a) Cada estudiante de Ciencias de la Computacion necesita un curso deMatematicas Discretas

b) Hay un estudiante en esta clase a quien pertenece una laptop

c) Cada estudiante en esta clase ha tomado al menos un curso de Cien-cias de la Computacion

d) Hay un estudiante en esta clase que ha estado en cada edificio de lafacultad

e) Hay un estudiante en esta clase que ha estado en cada salon de almenos un edificio de la facultad

f ) Cada estudiante en esta clase ha estado en al menos un salon de cadaedificio de la facultad

43. Considere el universo de todos los polıgonos con tres o cuatro lados y de-fina las siguientes proposiciones abiertas para este universoA(x) : todos los angulos internos de x son igualesE(x) : x es un triangulo equilateroH(x) : todos los lados de x son igualesI(x) : x es un triangulo isocelesP (x) : x tiene un angulo interno mayor que 180o

Q(x) : x es un cuadrilateroR(x) : x es un rectanguloS(x) : x es un cuadradoT (x) : x es un triangulo

Traduzca cada una de las siguientes formulas en una frase en espanol,y determine si es verdadera o falsa

a) ∀x(Q(x)⊕ T (x))

b) ∀x(I(x)→ E(x))

c) ∃x(T (x) ∧ P (x))

d) ∀x(A(x)→ E(x))

e) ∀x((A(x) ∧ T (x))↔ E(x))

f ) ∃x(Q(x) ∧ ¬R(x))

Page 103: manual de ejercicios de matematicas discretas

3.3. ESPECIFICACION FORMAL 103

g) ∃x(R(x) ∧ ¬S(x))

h) ∀x((H(x) ∧Q(x))→ S(x))

i) ∀x(T (x)→ ¬P (s))

j ) ∀x(S(x)↔ (A(x) ∧H(x)))

k) ∀x(H(x)→ E(x))

l) ∃x(Q(x) ∧ P (x))

m) ∀x(A(x)→ (E(x)⊕R(x)))

n) ∀x(T (x)→ (A(x)↔ H(x)))

44. Escribe las siguientes formulas bien formadas en espanol tomando en cuen-ta:

L(x, y) es “x ama a y”H(x) es “x es guapo”M(x) es “x es un hombre”P (x) es “x es bonita”j es “Francisco”k es “Karla”W (x) es “x es una mujer”

a) H(j) ∧ L(k, j)

b) (∀x)[M(x)→ H(x)]

c) (∀x)(W (x)→ (∀y)[L(x, y)→M(y) ∧H(y)])

d) (∃x)[M(x) ∧H(x) ∧ L(x, k)]

e) (∃x)(W (x) ∧ P (x) ∧ (∀y)[L(x, y)→ H(y) ∧M(y)])

f ) (∀x)[W (x) ∧ P (x)→ L(j, x)]

45. Especificar los siguientes argumentos (El universo consta de todas las per-sonas que residen actualmente en Mexico.)

a) Todos los carteros llevan una lata de aereosol irritante.El senor Beltran es cartero.Por lo tanto, el senor Beltran lleva una lata de aereosol irritante.

b) Todos los ciudadanos respetuosos de la ley pagan sus impuestos.El senor Perez paga sus impuestos.Por lo tanto, el senor Perez es una persona que obedece la ley.

c) Todas las personas que se preocupan por el ambiente reciclan susrecipientes de plastico.Margarita no se preocupa por el ambiente.Por lo tanto, Margarita no recicla sus recipientes de plastico.

Page 104: manual de ejercicios de matematicas discretas

104 CAPITULO 3. LOGICA DE PREDICADOS

d) Ningun estudiante consciente deja las tareas inconclusas.Antonieta no deja inconclusas sus tareas.Por lo tanto, Antonieta es una estudiante consciente.

46. Formalizar y resolver el siguiente argumento con derivacionesSi dos gases tienen la misma temperatura entonces sus moleculas tienenel mismo promedio de energıa cinetica. Volumenes iguales de dos gasestienen el mismo numero de moleculas. Las presiones de dos gases soniguales si es el mismo numero de moleculas y sus energıas cineticas soniguales. Por consiguiente, si dos gases tienen la misma temperatura y elmismo volumen, tienen la misma presion

3.4. Semantica Informal

1. Considere el universo de discurso formado por todos los seres humanos, ylos predicados siguientes:

a) La propiedad de ser hombre

b) La propiedad de ser mujer

c) La relacion ternaria se da entre una persona y sus dos progenitores

Elija una signatura∑

ℎum adecuada y defina una∑

ℎum-estructura A querepresente el universo de los seres humanos, junto con los tres predicadoscitados

2. Considere la∑

ℎum-estructura A del ejercicio anterior. Construya∑

ℎum-formulas que al ser interpretadas en A exprese lo que dicen los siguien-tes enunciados. Cada formula debera tener como variables libres las queaparezcan en el enunciado correspondiente, y solamente podran utilizarsımbolos de la signatura

∑ℎum(aparte de los sımbolos logicos y auxilia-

res)

a) x e y tienen el mismo sexo

b) x es padre de y

c) x es madre de y

d) x e y son hermanos (no importa el sexo)

e) x es progenitor de y (los sexos de x e y no importan)

f ) x es abuelo de y

g) x es abuela de y

h) x es tıo o tıa de y

i) x e y son primos(sus sexos no importan)

3. Considera la∑

ar estructura N cuyo dominio es los numeros naturalesy donde los sımbolos c, f,g,h, R se interpretan, respectivamente, como elnumero 0, las operaciones suc,+, ∗, y la relacion <

Page 105: manual de ejercicios de matematicas discretas

3.4. SEMANTICA INFORMAL 105

a) Calcula los valores en N de los siguientes terminos cerrados: c,f(c),f(f(c)),g(f(c),f(c)), h(f(c),f(c))

4. ¿Cual es el valor de verdad de cada una de las siguientes formulas bienformadas en las interpretaciones donde el dominio consiste en los numerosenteros, O(x) es “x es impar”, L(x) es “x < 10” y G(x) es “x > 9”?

a) ∃xO(x)

b) ∀x(L(x)→ O(x))

c) ∃x(L(x) ∧G(x))

d) ∀x(L(x) ∨G(x))

e) ∀x(∃y)(x+ y = x)

f ) ∃y(∀x)(x+ y = x)

g) ∀x(∃y)(x+ y = 0)

h) ∃y(∀x)(x+ y = 0)

i) ∀x(∀y)(x < y ∨ y < x)

j ) ∀x(x < 0→ (∃y)(y > 0 ∧ x+ y = 0))

k) ∃x(∃y)(x2 = y)

l) ∀x(x2 > 0)

5. Para cada enunciado encuentre un dominio donde el enunciado sea verda-dero y uno para el cual sea falso

a) Todos son estudiantes de Matematicas Discretas.

b) Todos son mayores de 21 anos.

c) Cada dos personas tienen la misma madre.

d) Dos personas diferentes tienen la misma abuela.

6. Considere el dominio {a, b} y la siguiente formula verdadera:(¬Ba ∧Bb ∧ Laa ∧ ¬Lab ∧ Lba ∧ ¬Lbb)Decida si las siguientes formulas son verdaderas o falsas, justifique surespuesta.

a) ∃xBxb) ∃x¬Lxac) ∀xLxad) ∃xLbxe) ∀x(Bx ∨ Lax)

f ) ∃x(Lxa ∧ Lbx)

g) ∀x(Bx)

h) ∃x((Lbx ∧Bb) ∨Bx)

Page 106: manual de ejercicios de matematicas discretas

106 CAPITULO 3. LOGICA DE PREDICADOS

i) ∃x(Lax ∧ Lbx)

7. Considere el dominio {a, b} y la siguiente formula verdadera:¬Ba ∧Bb ∧ Laa ∧ ¬Lab ∧ Lba ∧ ¬LbbDecida si las siguientes formulas son verdaderas o falsas, justifique surespuesta.

a) ∃xLxx→ ∀x(Bx ∨ Lbx)

b) ¬∃x(Lxx→ Bx) ∧ ∀x(Bx→ lxx)

c) ∃x(Bx↔ (Lax ∨ Lxb))d) ∃x(Lxb ∨Bx)→ (Lab ∨ ¬Ba)

e) ¬∀x(¬Lxx ∨ Lxb)→ (Lab ∨ ¬Lba)

f ) ∃x((Lbx ∨Bx)→ (Lxb ∧ ¬Bx))

g) ∀x¬((¬Lxx↔ Bx)→ (Lax↔ Lxa))

h) ∀x(Lax ∨ Lxb) ∨ ∃x(Lax ∨ Lxb)i) ∃x(Lxx ∧ (Bx→ Laa)) ∧ ∃x¬(Lab↔ Lxx)

j ) ∀x((Bx ∨ (Lax ∧ ¬Lxb))→ (Bx→ Lxx))

8. Determine el valor de verdad de los siguientes enunciados en esta inter-pretacion. En cada caso justifique su respuesta. Para cada enunciado di-ga cuales son verdaderos o falsos segun la interpretacion. Ademas de unenunciado general informal para explicar su respuesta, usando el hechoque conoce el significado de ser millonario, ser feliz y la relacion entreellos. Ademas use la siguiente definicion:Mx : x es un millonarioHx : x esta felizOx : x es imparKxy : x es mayor o igual a yTodos los enteros se denotan por a junto con un numero. Es decir el 17 sedenota por a17

a) ∃xMx

b) ∀xHxc) ∀xHx→Mx

d) ∃xMx ∧ ¬Hxe) ∀x((Mx→ Hx) ∧ (¬Mx→ ¬Hx))

f ) ∀x((Mx→ Hx) ∧ (¬Mx→ ¬Hx))

g) ∃x((Hx ∧Mx) ∨ (¬Mx→ ¬Hx))

h) ∃x(Mx ∧Hx) ∧ (∃x)(Mx ∧ ¬Hx)

i) ∀x(Hx→Mx)→ ¬∃xMx

Page 107: manual de ejercicios de matematicas discretas

3.4. SEMANTICA INFORMAL 107

j ) ∃xOxk) ∀x¬Oxl) ∃x(Ox ∧Kxx)

m) ∀xKxa17

n) ∀xOx ∨ ¬Oxn) ∃xOx ∧Kxa17

o) ∀x(Ox↔ (¬Kxa18 ∧Kxa17))

p) ∃x(Kxa17→ Kxa18) ∧ ∀x(¬Kxa17 ∨Kxa18)

q) ∀x(Ox→ Kxa17) ∧ ∀x(¬Ox→ ¬Kxa17)

9. Sean P (x), Q(x) los siguientes predicados

P (x): x ≤ 3Q(x) : x+ 1 es impar

Si el universo consta de todos los enteros ¿Cuales son los valores de verdadde las siguientes formulas?

a) P (1)

b) Q(1)

c) ¬P (3)

d) Q(6)

e) P (7) ∨Q(7)

f ) P (3) ∧Q(4)

g) P (4)

h) ¬(P (−4) ∨Q(−3))

i) ¬P (−4) ∧ ¬Q(−3)

10. Sean P (x), Q(x) los predicados definidos en el ejercicio anterior. Sea R(x)la proposicion abierta “x > 0”. El universo esta formado por todos losenteros.

a) Determine los valores de verdad de las siguientes formulas

1) P (3) ∨(Q(3) ∨ ¬R(3)

)2) ¬P (3) ∧

(Q(3) ∨R(3)

)3) P (2)→

(Q(2)→ R(2)

)4)(P (2) ∧Q(2)

)→ R(2)

5) P (0)→(¬Q(−1)↔

)R(1)

6)(P (−1)↔ Q(−2)

)↔ R(−3)

b) Determine los valores de x para los cuales la formula (P (x)∧Q(x)∧R(x)) es verdadera.

Page 108: manual de ejercicios de matematicas discretas

108 CAPITULO 3. LOGICA DE PREDICADOS

c) Encuentre los cinco enteros positivos x mas pequenos para que laformula abierta P (x)→ [¬Q(x) ∧ R(x)] de como resultado una pro-posicion verdadera.

11. Sea P (x) el predicado “x2 = 2x”, donde el universo comprende todos losenteros. Determine si cada una de las siguientes formulas es verdadera ofalsa

a) P (0)

b) P (1)

c) P (2)

d) P (−2)

e) ∃xP (x)

f ) ∀xP (x)

12. Una clase de Matematicas Discretas tiene un matematico que es estudiantede primer ano, 12 matematicos que son estudiantes de segundo ano, 15de Ciencias de la Computacion que son estudiantes de segundo ano, 2matematicos que son de primer semestre y 1 de Computacion que es deultimo semestre. Exprese cada enunciado en terminos de cuantificadoresy despues determine su valor de verdad

a) Hay un estudiante en la clase que es de primer semestre

b) Todo estudiante en la clase es de ultimo semestre en Ciencias de laComputacion

c) Hay un estudiante en la clase quien no es matematico ni de primersemestre

d) Todo estudiante en la clase es estudiante de segundo ano o de ultimosemestre en Ciencias de la Computacion

e) Hay un estudiante de ultimo semestre tal que hay un estudiante enla clase de cada ano que estudia con el estudiante de ultimo semestre

13. Sean P (n), Q(n) las proposiciones abiertas

P (n) : n es impar;Q(n) : n2 es impar

en el universo de los enteros ¿Cuales de las siguientes proposiciones sonlogicamente equivalentes entre si?

a) Si el cuadrado de cualquier entero es impar, entonces el entero esimpar

b) ∀n(P (n) es necesaria para Q(n))

c) El cuadrado de cualquier entero impar es impar

Page 109: manual de ejercicios de matematicas discretas

3.4. SEMANTICA INFORMAL 109

d) Existen algunos enteros cuyos cuadrados son impartes

e) Dado cualquier entero cuyo cuadradro sea impar, ese entero tambienes impar

f ) ∀n[¬P (n)→ ¬Q(n)]

g) Todo entero con un cuadradro impar es impar

h) Todo entero con un cuadrado par es par

i) ∀n[P (n) es suficiente para Q(n)]

14. Reescriba cada enunciado de tal forma que la negacion aparezca solo conpredicados (esto es, que ninguna negacion este fuera del cuantificador oalguna expresion que involucre conectivos logicos)

a) ¬∃y∃xP (x, y)

b) ¬∀x∃yP (x, y)

c) ¬∃y(Q(y) ∧ ∀x¬R(x, y))

d) ¬∃y(∃xR(x, y) ∨ ∀xS(x, y))

e) ¬∃(∀x∃zT (x, y, z) ∨ ∃x∀zU(x, y, z))

15. Reescriba cada enunciado de tal forma que la negacion aparezca solo conpredicados (esto es, que ninguna negacion este fuera del cuantificador oalguna expresion que involucre conectivos logicos)

a) ¬∀x∀yP (x, y)

b) ¬∀y∀x(P (x, y) ∨Q(x, y))

c) ¬(∃x∃y¬P (x, y) ∧ ∀x∀yQ(x, y))

d) ¬∀x(∃y∀zP (x, y, z) ∧ ∃z∀yP (x, y, z))

e) ¬∀y∃xP (x, y)

16. Exprese las negaciones de cada enunciado de tal forma que todo sımbolode negacion inmediatamente preceda a un predicado

a) ∀x∃y∀zT (x, y, z)

b) ∀x∃yP (x, y) ∨ ∀x∃yQ(x, y)

c) ∀x∃y(P (x, y) ∧ ∃zR(x, y, z))

d) ∀x∃y(P (x, y)→ Q(x, y))

17. Exprese las negaciones de cada enunciado de tal forma que todo sımbolode negacion inmediatamente preceda a un predicado

a) ∃y∀y∀xT (x, y, z)

b) ∃x∃yP (x, y) ∧ ∀x∀yQ(x, y)

c) ∃x∃y(Q(x, y)↔ Q(x, y))

d) ∀y∃x∃z(T (x, y, z) ∨Q(x, y))

Page 110: manual de ejercicios de matematicas discretas

110 CAPITULO 3. LOGICA DE PREDICADOS

18. Exprese cada enunciado usando cuantificadores. Luego forme la negacionde cada uno de los enunciados tal que no haya negaciones del lado izquierdode un cuantificador. Despues exprese la negacion en lenguaje comun (noutilice las palabras “no es el caso que”).

a) Todos los perros tienen pulgas.

b) Hay un caballo que puede sumar.

c) Todo koala puede escalar.

d) Ningun chango puede hablar frances.

e) Existe un cerdo que puede nadar y atrapar peces.

19. Exprese cada enunciado usando cuantificadores. Luego forme la negacionde cada uno de los enunciados tal que no haya negaciones del lado izquierdode un cuantificador. Despues exprese la negacion en lenguaje comun (noutilice las palabras “no es el caso que”).

a) Nadie ha perdido mas de un millon de dolares jugando loterıa

b) Hay un estudiante en esta clase quien ha platicado con exactamenteotro ayudante

c) Ningun estudiante en esta clase ha enviado un correo electronico aexactamente dos estudiantes en esta clase

d) Algun estudiante ha resuelto cada ejercicio de este libro

e) Ningun estudiante ha resuelto al menos un ejercicio en cada seccionde este libro

20. Exprese cada enunciado usando cuantificadores. Luego forme la negacionde cada una de las sentencias tal que no haya negaciones del lado izquierdode un cuantificador. Despues exprese la negacion en lenguaje comun (noutilice las palabras “no es el caso que”)

a) Algunos perros viejos pueden aprender trucos nuevos.

b) Ningun conejo sabe Calculo.

c) Todo pajaro puede volar.

d) No hay un perro que pueda platicar.

e) No hay nadie en esta clase que sepa frances y ruso.

21. Usando las leyes de la equivalencia logica, transforme cada una de lasformula siguientes a una formulas en forma prenex logicamente equivalente

a) A1 =def ∀x(∃yR(x, y)→ P (x))

b) A2 =def ∀x(P (x)→ ¬∀yR(x, y))

c) A3 =def ¬A1 ∧A2

d) A4 =def ¬A1 ∨ ¬A2

Page 111: manual de ejercicios de matematicas discretas

3.4. SEMANTICA INFORMAL 111

22. Para cada argumento, determine cual es valido o no valido. Si no es valido,muestrelo dando un contraejemplo. Si es valido, explique su razonamientomostrando lo razon de porque es valido. Utilice un tipo de razonamientoinformal

a)∀xLxe∃xLxe

b)Lae∀xLxe

c)∃xLxeLae

d)∀xBx ∧ Lxe∀xBx

e)∀xBx→ Lxe∃xBx

f )∃xBx ∧ ∃xLxa∃xBx ∧ Lxa

g)∀x(Bx→ Lxe) ∧ ∀x(¬Bx→ Lxa)∀x((Bx→ Lxe) ∧ (¬Bx→ Lxa))

23. Para la cena de Nochebuena prepare un menu en el que habıa bacalao,pavo y ensalada. A la hora de servir, un comensal llamado Pablo me in-dico lo siguiente:“Comere alguno de los 3 platos, pero si como bacalao y no como pavoentonces como ensalada. O como pavo o como ensalada o bien no comoninguno de los tres platos. Comere pavo solo si como bacalao. Luego ocomo bacalao o no como pavo”Se trata de averiguar si el argumento es correcto respondiendo lo siguiente

a) ¿Cuando se decide que un argumento es correcto?

b) Formalizarlo con la sintaxis del lenguaje proposicional.

c) Demuestre la correctud del argumento proposicional usando interpre-taciones.

d) Formalizarlo con la sintaxis del lenguaje de predicados

24. Considere las siguientes argumentaciones. Responda para cada una: ¿Sonverdaderas todas las premisas? ¿Es verdad la conclusion? ¿Es valida laargumentacion?

a)Algunos poetas escribieron libros de ensayoEl autor del Poema del Mıo Cid era poeta

∴ El autor del Poema del Mıo Cid escribio libros de ensayo

Page 112: manual de ejercicios de matematicas discretas

112 CAPITULO 3. LOGICA DE PREDICADOS

b)Todos los psicologos conductistas son partidarios del psicoanalisis

Watson era partidario del psicoanalisis∴ Watson era un psicologo conductista

c)Todos los revolucionarios usan uniforme

Mussolini no usaba uniforme∴ Mussolini no era revolucionario

d)Ningun numero par mayor que 2 es primo

36 es un numero par mayor que 2∴ 36 es primo

3.5. Predicados y tipos

1. Formalice las siguientes especificaciones acerca de un tipo A(x) y el tipode flujo de informacion que consta de elementos de A, denotado S(x).Debe agregar cualquier predicado, funcion o constante necesaria:

El primer elemento de un flujo de informacion es un elemento de A.

La operacion de eliminar el primer elemento de un flujo es nueva-mente un flujo.

La mezcla uno a uno de los flujos es nuevamente un flujo.

Empaquetar dos flujos resulta en un flujo que tiene como elementosparejas de elementos.

2. Formalice las siguientes especificaciones acerca de un tipo A(x) y el tipo dearboles binarios con informacion en los nodos de tipo A, denotado T (x).Debe agregar cualquier predicado, funcion o constante necesaria:

El arbol vacıo es un arbol binario con informacion en los nodos.

Unir dos arboles con un elemento de A es un arbol.

Un arbol tiene (siempre) dos subarboles.

Cualquier nodo interno de un arbol es un elemento de A.

Cualquier arbol con n nodos contiene exactamente n+ 1 subarbolesvacıos.

El arbol vacıo tiene altura 1.

La altura de un arbol es 1 mas el maximo de la altura de sus subarbo-les.

Si un arbol tiene altura n entonces tiene a lo mas 2n − 1.

Page 113: manual de ejercicios de matematicas discretas

3.6. SOLUCIONES 113

3.6. Soluciones

Seccion 3.2

3. a) 2)

E

pred

B

(listadeterm)

term,

cte

m

listadeterm

term

func

f

(listadeterm)

term

cte

m

3) Una funcion no es una formula solo es un termino.

6)

Page 114: manual de ejercicios de matematicas discretas

114 CAPITULO 3. LOGICA DE PREDICADOS

E

(E)

E →

pred

B

(listadeterm)

term,

var

x

listadeterm

term

var

y

E

(E)

∃var

z

E

pred

S

(listadeterm)

term,

var

z

listadeterm

term

var

y

b) 1) El predicado debe tener 3 argumentos y en la formula solo tienedos: f(d) y ℎ(g(c, x), d, y).

5) Una funcion no es una formula, por lo tanto g(x, y)→ P (x, y, z)no es una formula.

6)

Page 115: manual de ejercicios de matematicas discretas

3.6. SOLUCIONES 115

E

pred

Q

(listadeterm)

term,

cte

C

listadeterm

term,

cte

d

listadeterm

term

cte

C

5. c) Ningun objeto que cumple con S cumple con T.

d) Existe un objeto tal que si cumple S entonces cumple Q.

6. a) El alcance de ∀x es la subformula (P (x)→ Q(y)).La variable x esta ligada.La variable y esta libre.

c) El alcance de ∃x es la subformula (∀yP (x, y) ∧Q(x, y)).El alcancede ∀y es la subformua P (x, y).Las presencias de la variable x estan ligadas en P (x, y) y esta ligaday en Q(x, y) y esta libre.

9. a) En P (x, y) y esta libre.En P (x, a) x esta libre.

c) En P (x, g(a, y)) no hay variables libres.En P (y, z) y esta libre

e) En Q(y, u, w) u esta libre.En P (x,w) ambas variables estan libres.

Seccion 3.3

1. a) ∀x(D(x)→ S(x))

b) ∃x(D(x) ∧ ¬R(x))

Page 116: manual de ejercicios de matematicas discretas

116 CAPITULO 3. LOGICA DE PREDICADOS

c) ∀x(D(x) ∧ S(x) ∧ ¬R(x))

d) ∃x(D(x) ∧ S(x) ∧R(x))

e) ∀x(D(x) ∧ S(x)→ R(x))

f ) ¬∃x(D(x) ∧ S(x))

g) S(M)→ ∀x(D(x)→ S(x))

h) R(M) ∧R(T )

i) ∃x(D(x) ∧R(x))→ ∀x(D(x)→ S(x))

4. a) ∀x∀y(B(x) ∧ F (y)→ L(x, y))

b) ∃x∀y(B(x) ∧ F (y)→ L(x, y))

c) ∀x∀y(F (y) ∧ L(x, y)→ B(y))

d) ¬∃x(B(x) ∧ ∀y(F (y)→ L(x, y)))

e) ∃x∃y(B(x) ∧ F (y) ∧ L(x, y))

f ) ∀x∀y(B(x) ∧ F (y)→ ¬L(x, y))

g) ∀x∀y(B(x) ∧ ¬L(x, y)→ F (y))

h) ∀x∀y(B(x) ∧ L(x, y)→ F (y))

i) ∀x∃y(B(x) ∧ F (y)→ ¬L(x, y))

j ) ∀x(B(x)→ ∃y(F (y) ∧ L(x, y)))

7. a) ∀x(P (x)→ ¬Q(x))

b) ∀x(Q(x)→ R(x))

c) ∀x(P (x)→ ¬R(x))

d) No

11. a) 1) ∃xQ(x)

2) ∃x(P (x) ∧Q(x))

3) ∀x(Q(x)→ ¬T (x))

4) ∀x(Q(x)→ ¬(T (x) ∧ S(x)))

5) ∃x(Q(x) ∧ T (x))

6) ∀x(Q(x) ∧R(x)→ S(x))

b) 1) Verdadera.

2) Verdadera.

3) Falsa, x = 10 es par y es divisible entre 5.

4) Falsa, x = 20 es par y es divisible entre 5 y entre 4.

5) Verdadera.

6) Verdadera.

Page 117: manual de ejercicios de matematicas discretas

3.6. SOLUCIONES 117

16. a)P(x): x es pitufo.A(x): x es azul.G(x): x es gandul.C(x): x es cascarrabias.

∀x(P (x)→ A(x) ∨G(x))¬∀x(P (x)→ G(x))

∀x(P (x) ∧A(x)→ C(x))∴ ∃x(C(x) ∧ ¬G(x))

f)P(x): x es portenaQ(x): x es portenoA(x): x esta alegreF(x): x es amigo de marinerosC(x): x es cornudoC(x,y): x esta casado con yM(x): x es marineroH(x): x esta feliz

∀x(P (x) ∧A(x)→ F (x))¬∃x(Q(x) ∧H(x) ∧ ∃y(P (y) ∧ ¬A(y) ∧ C(x, y)))∀x∀y(Q(x) ∧ P (y) ∧ F (y) ∧ C(x, y)→ C(x) ∨M(x))∃x∃y(Q(x) ∧H(x) ∧ P (y) ∧ C(x, y) ∧ ¬M(x))

∴ ∃x(C(x) ∧H(x))

g)V(x): x es vampiroH(x): x esta felizB(x): x se emborrachaP(x): x pernocta en un cementerioL(x): x viola la leyS(x): x es seputureroW(x): x es brujaC(x,y): x convive con y

∀x(V (x) ∧H(x)→ B(x) ∨ P (x))∀x(P (x)→ L(x) ∨ S(x))

∀x(W (x) ∧H(x)→ ∃y(V (y) ∧H(y) ∧ ¬B(y) ∧ ¬L(y) ∧ C(x, y)))¬∃x(W (x) ∧ ¬H(x))∴ ∃x(V (x) ∧ S(x))

19. a) Existe un entero que es divisible entre 2 y es par.

b) Existe el cuadrado de un entero que es impar y ese entero es par.

c) Existen tres enteros k,m, n tales que k−m, m−n y k−n son impares.

d) Existe un numero real x tal que x2 > 16 pero x > −4 y x < 4.

Page 118: manual de ejercicios de matematicas discretas

118 CAPITULO 3. LOGICA DE PREDICADOS

e) Existe un numero real x tal que ∣x− 3∣ < 7 y −4 > x > 10.

20. a) ∀x(Px→ Qx)

b) ∀x(Qx→ ¬Px)

c) ∀x(Px→ Qx ∨Rx)

d) ∀x(Px→ Qx ∧Rx)

24. Relacion de orden.

a) ∀x(x ≤ x)

b) ∀x∀y((x ≤ y) ∧ (y ≤ x)→ x = y)

c) ∀x∀y∀z((x ≤ y) ∧ (y ≤ z)→ (x ≤ z))

Relacion de orden total1)- 3) y ∀x∀y((x ≤ y) ∨ (y ≤ x))

Relacion de orden total denso1)- 3) y ∀x∀y((x < y)→ ∃z((x < z) ∧ (z < y)))

25. a) ¬I(Gerardo)

c) ¬C(Juana, Sandra)

f) ∃x¬I(x)

ℎ) ∀x∀y(¬I(x) ∧ ¬I(y)→ x = y)

k) ∃x∃y∃z(¬C(x, z) ∧ ¬C(y, z) ∧ x ∕= y)

m) ∃x∃y∃z(¬C(x, z) ∧ ¬C(y, z))

27. b) ∃x(S(x) ∧ ¬M(x))

d) ∀x(G(x)→ ¬P (x))

f) ∃x(G(x) ∧ ¬M(x) ∧ ¬P (x))

29.U: objetos del taller.L(x): x esta en su lugar.E(x): x esta en excelentes condiciones.H(x): x es una herramienta.

a) ∃x¬L(x)

b) ∀x(H(x) ∧ L(x) ∧ E(x))

c) ∀x(L(x) ∧ E(x))

d) ∀x(¬L(x) ∧ E(x))

Page 119: manual de ejercicios de matematicas discretas

3.6. SOLUCIONES 119

e) ∃x(H(x) ∧ ¬L(x) ∧ E(x))

33.U(x): x es usuario.C(x): x accede al sistema de correo electronico.A(x): x tiene acceso a una cuenta de correo.B(x): x esta bloqueado.S1: es sistema de archivos.f: es el firewall.D(x): x esta en estado diagnostico.S2: es el servidor.r: es el router.N(x): x funciona de manera normal.K(x): x tiene un rendimiento entre 100 kbps y 500 kbps.R(x): x es un router.

a) ∀x(U(x)→ A(x))

b) B(S1)→ ∀y(U(y)→ C(y))

c) D(S2)→ D(f)

d) (¬D(S2) ∧K(S2))→ ∃x(R(x) ∧N(x))

40. a) Si hay una impresora fuera de servicio y ocupada entonces hay unatrabajo de impresion perdido.

b) Si toda impresora esta ocupada entonces hay un trabajo de impresionen la cola.

c) Si existe un trabajo de impresion en la cola que esta perdido entonceshay una impresora furea de servicio.

d) Si toda impresora esta ocupada y todo trabajo de impresion esta enla cola entonces existe un trabajo de impresion perdido.

42.E(x,y): x ha estado en y.E(x): x es un estudiante de Ciencias de la Computacion.M(x): x curso Matematicas Discretas.N(x,y): x necesita y.L(x): x es una laptop.P(x,y): x pertence a y.C(x): x es un curso de Ciencias de la Computacion.T(x,y): x toma y.B(x): x es un edificio de la facultad.S(x): x es un salon.

a) ∀x(∃(x)→ ∃y(M(y) ∧N(x, y)))

Page 120: manual de ejercicios de matematicas discretas

120 CAPITULO 3. LOGICA DE PREDICADOS

b) ∃x(E(x) ∧ ∃y(L(y) ∧ P (y, x)))

c) ∀x(E(x)→ ∃y(C(y) ∧ T (x, y)))

d) ∃x(E(x) ∧ ∀y(B(y)→ E(x, y)))

e) ∃y(E(x) ∧ ∃y(B(y) ∧ ∀z(S(z) ∧ P (z, y)→ E(x, z))))

Seccion 3.4

11. a) Verdadera.

b) Falsa.

c) Verdadera.

d) Falsa.

e) Verdadera.

f ) Falsa.

Page 121: manual de ejercicios de matematicas discretas

Capıtulo 4

Induccion y Recursion

4.1. Introduccion

No hay ejercicios para esta seccion

4.2. Los numeros naturales

No hay ejercicios para esta seccion

4.3. Induccion en los numeros naturales

1. Hay un numero infinito de estaciones en la ruta de un tren. Suponga queel tren para en la primera estacion y suponga que si el tren para en unaestacion, entonces para en la siguiente estacion. Muestre que el tren paraen todas las estaciones

2. Suponga que sabe que un golfista juega en el primer hoyo de un curso degolf con un numero infinito de hoyos y que si el golfista juega un hoyo,entonces el golfista jugara el siguiente hoyo. Pruebe que este golfista juegacada hoyo en el curso

3. Pruebe que un tablero de ajedrez de tres dimensiones de 2n ⋅ 2n ⋅ 2n al quele falta un cubo de 1 ⋅ 1 ⋅ 1 se puede completar cubriendolo con cubos de2 ⋅ 2 ⋅ 2 a los que se les remueve un cubo de 1 ⋅ 1 ⋅ 1

4. Sea P (n) el enunciado

12 + 22 + ...+ n2 = n(n+ 1)(2n+ 1)/6

para el entero positivo n

121

Page 122: manual de ejercicios de matematicas discretas

122 CAPITULO 4. INDUCCION Y RECURSION

a) ¿Cual es el enunciado P(1)?

b) Muestre que P(1) es verdadero, completando el paso base de estaprueba

c) ¿Cual es la hipotesis inductiva?

d) ¿Que necesita probar para el paso inductivo?

e) Complete el paso inductivo

f ) Explique porque estos pasos muestran que esta formula es verdaderasiempre que n sea un entero positivo

5. Sea P (n) el enunciado

13 + 23 + ...+ n3 = (n(n+ 1)/2)2

para el entero positivo n

a) ¿Cual es el enunciado P(1)?

b) Muestre que P(1) es verdadero, completando el paso base de estaprueba

c) ¿Cual es la hipotesis inductiva?

d) ¿Que necesita probar para el paso inductivo?

e) Complete el paso inductivo

f ) Explique porque estos pasos muestran que esta formula es verdaderasiempre que n sea un entero positivo

6. Pruebe que

12 + 32 + 52 + ...+ (2n+ 1)2 = (n+ 1)(2n+ 1)(2n+ 3)/3

siempre que n sea un natural

7. Pruebe que

1 ∗ 1! + 2 ∗ 2! + ...+ n+ n! = (n+ 1)!− 1

siempre que n sea un natural no cero

8. Pruebe que

3 + 3 ∗ 5 + 3 ∗ 52 + ...+ 3 ∗ 5n = 3(5n+1 − 1)/4

siempre que n es un natural

9. Pruebe que

2− 2 ∗ 7 + 2 + 72 − ...+ 2(−7)n = (1− (−7)n+1)/4

siempre que n sea un natural

Page 123: manual de ejercicios de matematicas discretas

4.3. INDUCCION EN LOS NUMEROS NATURALES 123

10. Encuentre la formula para la suma de los primeros n enteros positivospares. Pruebela usando induccion.

11. Encuentre una formula para

1

(1 ∗ 2)+

1

(2 ∗ 3)+ . . .+

1

n(n+ 1)

probando la expresion con valores pequenos de n. Pruebela usando induc-cion

12. Encuentre una formula para

1

2+

1

4+

1

8+ . . .+

1

2n

probando la expresion con valores pequenos de n

13. Pruebe que

n∑j=0

−1

2=

2n+1 + (−1)n

3 ∗ 2n

siempre que n sea un entero natural.

14. Pruebe que

12 − 22 + 32 − ...+ (−1)n−1n2 = (−1)n−1n(n+ 1)/2

siempre que n sea un natural no cero.

15. Pruebe que para cada natural n, se cumple

n∑k=1

k2k = (n− 1)2n+1 + 2

16. Pruebe que para cada natural n, se cumple

1 ∗ 2 + 2 ∗ 3 + ...+ n(n+ 1) = n(n+ 1)(n+ 2)/3

17. Pruebe que para cada natural n, se cumple

1 ∗ 2 ∗ 3 + 2 ∗ 3 ∗ 4 + ...+ n(n+ 1)(n+ 2) = n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3/4)

18. Pruebe que

n∑j=1

j4 = n(n+ 1)(2n+ 1)(3n2 + 3n− 1)/30

siempre que n sea un natural

Page 124: manual de ejercicios de matematicas discretas

124 CAPITULO 4. INDUCCION Y RECURSION

19. Pruebe que 2 divide a n2 + n siempre que n sea un natural no cero.

20. Pruebe que 3 divide a n3 + 2n siempre que n sea un natural no cero.

21. Pruebe que 5 divide a n5 − n siempre que n sea un natural no cero.

22. Pruebe que 6 divide a n3 − n siempre que n sea un un natural no cero.

23. Pruebe que n2− 1 es divisible entre 8 siempre que n sea un un natural nocero.

24. Pruebe que 21 divide a 4n+1 + 52n−1 siempre que n sea un entero positivo

25. Pruebe que si n es un entero positivo, entonces 133 divide a 11n+1 +122n−1

26. Pruebe que que si A1, A2, ..., An y B1, B2, ..., Bn son conjuntos tales queAj ⊆ Bj para j = 1, 2, ..., n entonces

n∪j=1

Aj ⊆n∪

j=1

Bj

27. Pruebe que que si A1, A2, ..., An y B1, B2, ..., Bn son conjuntos tales queAj ⊆ Bj para j = 1, 2, ..., n entonces

n∩j=1

Aj ⊆n∩

j=1

Bj

28. Pruebe que si A1, A2, ..., An y B son conjuntos, entonces(A1 ∩A2 ∩ ... ∩An) ∪B = (A1 ∪B) ∩ (A2 ∪B) ∩ ... ∩ (An ∪B)

29. Pruebe que si A1, A2, ..., An y B son conjuntos, entonces(A1 ∪A2 ∪ ... ∪An) ∩B = (A1 ∩B) ∪ (A2 ∩B) ∪ ... ∪ (An ∩B)

30. Pruebe que si A1, A2, ..., An y B son conjuntos, entonces(A1 −B) ∩ (A2 −B) ∩ ... ∩ (An −B) = (A1 ∩A2 ∩ ... ∩An)−B

31. Pruebe que si A1, A2, ..., An y B son conjuntos, entonces(A1 −B) ∪ (A2 −B) ∪ ... ∪ (An −B) = (A1 ∪A2 ∪ ... ∪An)−B

32. Pruebe que si A1, A2, ..., An son subconjuntos de un conjunto universo U ,entonces

n∪k=1

Ak =

n∩k=1

Ak

33. Pruebe que un conjunto con n elementos tiene n(n − 1)/2 subconjuntosque contienen exactamente dos elementos siempre que n ≥ 2.

34. Pruebe que un conjunto con n elementos tiene n(n− 1)(n− 2)/6 subcon-juntos que contienen exactamente tres elementos siempre que n ≥ 3.

Page 125: manual de ejercicios de matematicas discretas

4.3. INDUCCION EN LOS NUMEROS NATURALES 125

35. Pruebe que en un conjunto de n + 1 enteros positivos, tal que ningunoexcede a 2n, hay al menos un natural que divide a otro en el conjunto.

36. Suponga que P (m,n) es una afirmacion concerniente a los numeros natura-les m y n, ademas que pueden demostrarse las dos afirmaciones siguientes:

a) P (0, 0) es verdadera

b) Para cualesquiera numeros naturales i y j, si P (i, j) es verdadera,entonces P (i, j + 1) y P (i+ 1, j) tambien lo son

¿Puede concluirse que P (m,n) es verdadera para todos los numeros na-turales m y n? Exponga las razones de su respuesta

37. Pruebe que n lıneas rectas dividen el plano en n2+n+22 regiones, ademas

ninguna de las lıneas son paralelas y no hay tres lıneas que se intersectenen un punto

38. Pruebe que para cada n ∈ ℕ+ el entero 10n+2−2 ⋅10n+7 es divisible por 3

39. Los numeros de Fibonacci tienen ciertas propiedades particulares. Pruebelas siguientes:

a) F4n es divisible por 3 para cada n ≥ 1

b) 1 < (Fn+1/Fn) < 2 para toda n > 2

c) (Fn)2 = Fn−1Fn+1 + (−1)n+1

40. Suponga que n es un entero con 7 ≤ n. Use induccion para probar que3n < n!

41. Una barra de chocolate se compone de un numero n cuadros (n > 0) or-ganizados en un patron rectangular. Parta la barra en sus n cuadradospequenos haciendolo siempre a lo largo de las lıneas entre los cuadrados¿Cual es el menor numero de rupturas?

42. Utilice induccion matematica para mostrar que ¬(p1 ∨ p2 ∨ ... ∨ pn) esequivalente a ¬p1∧¬p2∧...∧¬pn siempre que p1, p2, ..., pn son proposiciones

43. Muestre que ((p1 → p2)∧ (p2 → p3)∧ ...∧ (pn−1 → pn))→ ((p1 ∧ p2 ∧ ...∧pn−1)→ pn)es una tautologıa siempre que p1, p2, ..., pn son proposiciones, cuando n ≥ 2

44. Para cada n ≥ 0, se definen las cadenas, an y bn en {0, 1}∗ como sigue:a0 = 0;b0 = 1;

Page 126: manual de ejercicios de matematicas discretas

126 CAPITULO 4. INDUCCION Y RECURSION

para n > 0, an = an−1bn−1; bn = bn−1an−1

Demuestre, para cada n ≥ 0, que las afirmaciones siguientes son verdade-ras:

a) Las cadenas an y bn tienen la misma longitud.

b) Las cadenas an y bn difieren en cada posicion.

c) Las cadenas a2ny b2n

son palındromos.

d) La cadena an no contiene las subcadenas 000 o 111.

45. Use induccion fuerte para mostrar que cada entero positivo n se puedeescribir como la suma de distintas potencias de dos, esto es, como una su-ma de elementos del conjunto {1, 2, 4, . . . , 2n, 2n+1}.(Ayuda: Para el pasoinductivo, considere por separado los casos cuando k + 1 es par o impar.Cuando es par note que (k + 1)/2 es un entero)

46. Se definen los numeros de Fibonacci F1, F2, F3, ... mediante las relacionesde recursion F1 = 1, F2 = 1, y Fn = Fn−1 + Fn−2 para n > 2. Estosnumeros de Fibonacci son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... Pruebe que los numerosde Fibonacci satisfacen F1 + F2 + ...+ Fn = Fn+2 − 1

47. Usando induccion fuerte pruebe que para cualquier formula proposicional', donde ∧ es el unico conectivo ' es verdadera si y solo si todas susformulas atomicas son verdaderas.

48. Pruebe que para cualquier formula proposicional ', donde ∨ es el unicoconectivo ' es verdadera si y solo si todas sus formulas atomicas sonverdaderas.

49. Se define la sucesion a1, a2, ... por a1 = 1, a2 = 3, y an = an−1 +an−2 paran > 2. Pruebe que an < (7/4)n para toda n ∈ ℕ+

50. Se define b1, b2, ... por b1 = 11, b2 = 21, y bn = 3bn−1 − 2bn−2 para n > 2.Pruebe que bn = 5 ⋅ 2n + 1 para toda n ∈ ℕ+

51. Sea Dn el numero de formas para cubrir el tablero de 2 ⋅ n usando fichasde domino planas. Entonces es facil ver que D1 = 1, D2 = 2, D3 = 3.Calcule otros valores para Dn y deduzca una expresion para Dn ademasuse induccion para probar que la formula es correcta

52. Pruebe que cualquier numero mayor o igual que 12 se puede formar su-mando multiplos de 4 y/o 5, es decir 4 ⋅ x + 5 ⋅ y. Pruebe por medio deinduccion fuerte

53. Pruebe que el n-esimo numero de Fibonacci Fn satisface Fn ≤ 2n

Page 127: manual de ejercicios de matematicas discretas

4.4. DEFINICIONES RECURSIVAS 127

54. Todos los numeros de Fibonacci son pares

55. Pruebe que F 21 + F 2

2 + ...+ F 2n = FnFn+1 cuando n es un entero positivo

56. Pruebe que F1 + F3 + ...+ F2n−1 = F2n cuando n es un entero positivo

57. Pruebe que Fn+1Fn−1 − F 2n = (−1)n cuando n es un entero positivo

58. Pruebe que F0F1 + F1F2 + ... + F2n−1F2n = F 22n cuando n es un entero

positivo

59. Muestre que F0−F1 +F2− ...−F2n−1 +F2n = F2n−1− 1 cuando n es unentero positivo

60. Sea T un arbol binario. Sea (T ) el numero de hojas de T e I(T ) el nume-ro de nodos internos ed T. Pruebe por medio de induccion fuerte queE(T ) = I(T ) + 1

61. Sea A y B1, B2, ..., Bn letras de enunciados. Pruebe la extension finita delas equivalencias distributivas de logica proposicional:A ∨ (B1 ∧B2 ∧ ... ∧Bn) ≡ (A1 ∨B1) ∧ (A ∨B2) ∧ ... ∧ (A ∨Bn) yA ∧ (B1 ∨B2 ∨ ... ∨Bn) ≡ (A ∧B1) ∨ (A ∧B2) ∨ ... ∨ (A ∧Bn)para n ≥ 2

62. Sea B1, B2, ..., Bn letra de enunciados. Pruebe la extension finita de lasleyes de De Morgan:¬(B1 ∨B2 ∨ ... ∨Bn)′ ≡ B′1 ∧B′2 ∧ ... ∧B′n y(B1 ∧ b2 ∧ ... ∧Bn)′ ≡ B′1 ∨B′2 ∨ ... ∨B′npara n ≥ 2

4.4. Definiciones recursivas

1. Un caballo en una mesa de ajedrez puede mover un espacio horizontal-mente (en cualquier direccion) y dos espacios verticalmente (en cualquierdireccion) o dos espacios horizontalmente (en cualquier direccion) y un es-pacio verticalmente (en cualquier direccion) Suponga que se tiene tablerode ajedrez infinito, hecho por los cuadros (m,n) donde m y n son enterosno negativos. Use induccion matematica para mostrar que el caballo em-pieza en (0,0) puede pasar por cada cuadro usando una secuencia infinitade movimientos.(Sugerencia: Use induccion en la variabe s = m+ n)

2. A continuacion se dan algunas dimensiones para tableros de ajedrez. Ave-rigue en que casos se puede cubrir el tablero usando triminos. Justifiquesu respuesta

a) 3 ⋅ 2n

Page 128: manual de ejercicios de matematicas discretas

128 CAPITULO 4. INDUCCION Y RECURSION

b) 6 ⋅ 2n

c) 3n ⋅ 3n

d) 6n ⋅ 6n

3. Use induccion fuerte para mostrar que si puedes correr uno o dos kilome-tros, y si siempre puedes correr dos kilometros mas una vez que hayascorrido un numero especıfico de kilometros, entonces puedes correr cual-quier numero de kilometros

4. ¿Que cantidades de dinero se pueden formar usando billetes de de 20 pesosy billetes de cincuenta pesos? Compruebe su respuesta usando induccionfuerte

5. Encuentre f(1), f(2), f(3) y f(4) si f(n) se define recursivamente porf(0) = 1 y para n = 0, 1, 2, . . .

a) f(n+ 1) = f(n) + 2

b) f(n+ 1) = 3f(n)

c) f(n+ 1) = 2f(n)

d) f(n+ 1) = f(n)2 + f(n) + 1

6. Encuentre f(1), f(2), f(3), f(4) y f(5) si f(n) se define recursivamente porf(0) = 3 y para n = 1, 2, . . .

a) f(n+ 1) = −2f(n)

b) f(n+ 1) = 3f(n) + 7

c) f(n+ 1) = f(n)2 − 2f(n)− 2

d) f(n+ 1) = 3f(n)/3

7. Encuentre f(2), f(3), f(4) y f(5) si f se define recursivamente por f(0) =−1, f(1) = 2 y para n = 1, 2 . . .

a) f(n+ 1) = f(n) + 3f(n− 1)

b) f(n+ 1) = f(n)2f(n− 1)

c) f(n+ 1) = 3f(n)2 − 4f(n− 1)2

d) f(n+ 1) = f(n− 1)/f(n)

8. Encuentre f(2), f(3), f(4) y f(5) si f se define recursivamente por f(0) =f(1) = 1 y para n = 1, 2, . . .

a) f(n+ 1) = f(n)− f(n− 1)

b) f(n+ 1) = f(n)f(n− 1)

c) f(n+ 1) = f(n)2 + f(n− 1)3

d) f(n+ 1) = f(n)/f(n− 1)

Page 129: manual de ejercicios de matematicas discretas

4.4. DEFINICIONES RECURSIVAS 129

9. Determine si cada una de las definiciones propuestas es una definicionrecursiva valida para una funcion f del conjunto de naturales al conjuntode enteros. Si f esta bien definida, encuentre una formula para f(n) cuandon es un natural y pruebe que la formula es valida

a) f(0) = 0, f(n) = 2f(n− 2) para n ≥ 1

b) f(0) = 1, f(n) = f(n− 1)− 1 para n ≥ 1

c) f(0) = 2, f(1) = 3, f(n) = f(n− 1)− 1 para n ≥ 2

d) f(0) = 1, f(1) = 2, f(n) = 2f(n− 2) para n ≥ 2

e) f(0) = 1, f(n) = 3f(n− 1) si n es impar y n ≥ 1 y f(n) = 9f(n− 2)si n es par y n ≥ 2

10. Determine si cada una de las definiciones propuestas es una definicionrecursiva valida para una funcion f del conjunto de naturales al conjuntosde enteros. Si f esta bien definida, encuentre una formula para f(n) cuandon es un entero no negativo y pruebe que la formula es valida

a) f(0) = 1, f(n) = −f(n− 1) para n ≥ 1

b) f(0) = 1, f(1) = 0, f(2) = 2, f(n) = 2, f(n) = 2f(n− 3) para n ≥ 3

c) f(0) = 0, f(1) = 1, f(n) = 2f(n+ 1) para n ≥ 2

d) f(0) = 0, f(1) = 1, f(n) = 2f(n− 1) para n ≥ 1

e) f(0) = 2, f(n) = f(n− 1) si n es par y n ≥ 1 y f(n) = 2f(n− 2) sin ≥ 2

11. ¿La siguiente definicion recursiva define correctamente una funcion queverifica potencias de 2? Primero asegurese que la definicion recursiva tieneun fin

Test. prim

f(n) =

{falso si n es imparP (n

2 ) si n es par(n es una potencia de dos si y solo si n es par y n

2 es una potencia de dos,para cualquier entero positivo n)

12. Los numeros especiales se definen:

a) 1 es especial.

b) Si n es par, n es especial, si n2 lo es.

c) Si n es impar, n es especial, si 3n+ 1 lo es.

¿Puede decir que naturaes son especiales? S(1)= verdadero (1 es especial)Para n par, se tiene S(n) = S(n

2 )Para n impar, n > 1, se tiene S(n) = S(3n+ 1)

Page 130: manual de ejercicios de matematicas discretas

130 CAPITULO 4. INDUCCION Y RECURSION

13. De una definicion recursiva de la sucesion an, n = 1, 2, 3, ..., si

a) an = 6n

b) an = 2n+ 1

c) an = 10n

d) an = 5

14. De una definicion recursiva de la sucesion an, n = 1, 2, 3, ... si

a) an = 4n− 2

b) an = 1 + (−1)n

c) an = n(n+ 1)

d) an = n2

15. Sea F una funcion tal que F (n) es la suma de los primeros n enterospositivos. De una definicion recursiva para F (n)

16. De una definicion recursiva de una funcion de max y mın tal que max (a1, a2, ..., an)y mın (a1, a2, ..., an) son el maximo y mınimo de los n numeros a1, a2, ..., an,respectivamente

17. Sean a1, a2, ..., an y b1, b2, ..., bn numeros reales. Use la definicion recursivadada en el ejercicio anterior para probar lo siguiente

a) max (−a1,−a2, ...,−an) =-mın(a1, a2, ..., an)

b) max (a1 + b1, a2, ..., an + bn) ≤ max (a1, a2, ..., an)+max (b1, b2, ..., bn)

c) mın(a1+b1, a2+b2, ..., an+bn) ≥mın(a1, a2, ..., an)+mın(b1, b2, ..., bn)

18. De una definicion recursiva para el conjunto de enteros que son multiplosde 5

19. Sea S el conjunto de pares ordenados de naturales definido recursivamenteporPaso Base: (0, 0) ∈ SPaso Recursivo: Si (a, b) ∈ S, entonces (a+2, b+3) ∈ S y (a+3, b+2) ∈ S

a) Liste los elementos de S que se obtienen al aplicar 5 veces la definicionrecursiva

b) Use induccion fuerte sobre el numero aplicaciones del paso recursivode la definicion para mostrar que 5∣a+ b cuando(a, b) ∈ S

c) Use induccion estructural para mostrar que 5∣a+ b cuando (a, b) ∈ S

20. Sea S el conjunto de los pares ordenados de naturales definido recursiva-mente porPaso Base:(0, 0) ∈ SPaso Recursivo: Si (a, b) ∈ S, entonces (a, b+ 1) ∈ S, (a+ 1, b+ 1) ∈ S, y(a+ 2, b+ 1) ∈ S

Page 131: manual de ejercicios de matematicas discretas

4.4. DEFINICIONES RECURSIVAS 131

a) Liste los elementos de S que se obtienen al aplicar 4 veces la definicionrecursiva

b) Use induccion fuerte sobre el numero aplicaciones del paso recursivode la definicion para mostrar que a ≤ 2b cuando(a, b) ∈ S

c) Use induccion estructural para mostrar que a ≤ 2b cuando (a, b) ∈ S

21. De una definicion recursiva de wi, donde w s una cadena e i es un enterono negativo.(Aquı wi representa la concatenacion de i copias de la cadenaw)

22. Use induccion matematica para mostrar que l(wi) = i∗l(w), l es la funcionde longitd w donde w es una cadena e i es un natural.

23. Muestre que (wR)i = (wi)R siempre que w es una cadena e i es un enterono negativo; esto es, muestre que la iesima potencia de la reversa de unacadena es la reversa de la iesima potencia de la cadena.

24. Considere el conjunto T ⊆ ℕ X ℕ definido recursivamente de la siguienteforma:

a) (0, 0) ∈ Tb) Si (m,n) ∈ T entonces (m+ 1, n), (m+ 1, n+ 1), (m+ 1, n+ 2) ∈ T

a) Liste 6 elementos de T

b) Demuestre que si (m,n) ∈ T , entonces 2m ≥ n, ∀n ∈ N

25. Dado un alfabeto cualquiera defina recursivamente la funcion P (n) quedevuelve el numero de palındromos de longitud n

26. Para los ejercicios siguientes, escriba los primeros 5 valores en las secuen-cias

a) S(1)=10S(n)=S(n-1)+10 para n ≥ 2

b) A(1)=2A(n) = 1

A(n−1) para n ≥ 2

c) B(1)=1B(n) = B(n− 1) + n2 para n ≥ 2

d) S(1)=1S(n) = S(n− 1) + 1

n para n ≥ 2

e) T(1)=1T(n)=nT(n-1) para n ≥ 2

f ) P(1)=1P (n) = n2P (n− 1) + (n− 1) para n ≥ 2

Page 132: manual de ejercicios de matematicas discretas

132 CAPITULO 4. INDUCCION Y RECURSION

g) M(1)=2M(2)=2M(n)=2M(n-1)+M(n-2) para n ≥ 2

h) D(1)=3D(2)=5D(n)=(n-1)D(n-1)+(n-2)D(n-2) para n > 2

i) W(1)=2W(2)=3W(n)=W(n-1)W(n-2) para n > 2

j ) T(1)=1T(2)=2T(3)=3T(n)=T(n-1)+2T(n-2)+3T(n-3) para n > 3

27. Una coleccion T de numeros se define recursivamente por

a) 2 pertenece a T

b) Si X pertenece a T, entonces tambien X+3 y 2*X

¿Cuales de los siguientes pertenecen a T?

a) 6

b) 7

c) 19

d) 12

28. Una coleccion M de numeros se define recursivamente por

a) 2 y 3 pertencen a M

b) Si X e Y pertencen a M, entonces tambien X*Y

¿Cuales de los siguientes pertenecen a M?

a) 6

b) 9

c) 16

d) 21

e) 26

f ) 54

g) 72

h) 218

29. Una coleccion de S de cadenas de caracteres se define recursivamente por

Page 133: manual de ejercicios de matematicas discretas

4.5. INDUCCION ESTRUCTURAL 133

a) a y b pertenece a S

b) Si X pertenece a S, tambien hacer Xb

¿Cuales de los siguientes pertenecen a S?

a) a

b) ab

c) aba

d) aab

e) bbbbb

30. Una coleccion W de cadenas de sımbolos se define recursivamente por

a) a,b y c pertenecen a W

b) Si X pertenece a W, entonces hacer a(X)c

¿Cuales de las siguientes pertencen a W?

a) a(b)c

b) a(a(b)c)c

c) a(ab)c

d) a(a(a(a)c)d)c

e) a(aacc)c

31. De una definicion recursiva para el conjunto de todas las formulas bienformadas de enteros, que incluyen enteros junto con operadores aritmeticoscomo +,-,*, y /

32. De una definicion recursiva para el conjunto de cadenas de los parentesisbien balanceados

33. De una definicion recursiva para el conjunto de todas las cadenas de bitsque contienen un numero impar de ceros

4.5. Induccion estructural

1. Use induccion estructural para mostrar que n(T ) ≥ 2ℎ(T ) + 1, donde Tes una arbol binario completo, n(T ) igual al numero de vertices de T, yℎ(T ) es la altura de T

2. Use induccion estructural para mostrar que l(T ), el numero de hojas deuna arbol binario completo T, es 1 mas que i(T ), el numero de verticesinternos de T

3. Suponga que el lenguaje L ⊆ {a, b}∗ se define como sigue:

Page 134: manual de ejercicios de matematicas discretas

134 CAPITULO 4. INDUCCION Y RECURSION

a) a ∈ Lb) Para cada x ∈ L, ax ∈ Lc) Para cada x y y en L, las cadenas bxy, xby y xyb son parte de L

d) Ninguna otra cadena forma parte de L

Utilizando induccion estructural demuestre que si w ∈ L entonces w tienemas aes que bes

4. Sea L = {i, (, ),+,−} La siguiente es una definicion del lenguaje AE deexpresiones algebraicas encerradas totalmente entre parantesis que abar-can los operadores binarios + y −, ası como el identificador i. La fraseexpresion encerrada totalmente entre parentesis significa exactamente unpar de parentesis por cada operador

a) i ∈ AEb) Para cada x, y ∈ AE, tanto (x + y) como (x − y) son elementos de

AE

c) Una cadena no esta en AE a menos que pueda obtenerse con lasreglas 1 y 2

Algunas cadenas de AE son i, (i+ i), (i− i), ((i+ i)− i)y((i− i)) + iDe acuerdo a lo anterior, demuestre que si x es cualquier cadena en AE,entonces todo prefijo de x contiene por lo menos tantos parentesis izquier-dos como derechos.

5. Pruebe que en una cadena de bits, la cadena 01 ocurre a lo mas una vezmas que la cadena 10

6. De una definicion recursiva para la funcion uno(t), la cual cuenta el numerode unos en una cadena de bit t. Use induccion estructural para probar queunos(st) = unos(s) + uno(t)

7. De una definicion recursiva para la funcion m(s), la cual es igual al dıgitomas pequeno en una cadena no vacıa de dıgitos decimales. Use induccionestructural para probar que m(st) = min(m(s),m(t))

8. De una definicion recursiva del conjunto de cadenas de bit que son palındro-mos

9. Defina recursivamente al conjunto de cadenas de bit que tienen mas cerosque unos

10. Demuestre que {¬,∧,∨} es un conjunto completo de conectivos

11. Demuestre que {¬,∧} es un conjunto completo de conectivos

12. Demuestre que {¬,∨} es un conjunto completo de conectivos

Page 135: manual de ejercicios de matematicas discretas

4.6. SOLUCIONES 135

13. Demuestre que {¬,→} es un conjunto completo de conectivos

14. Dada una formula proposicional A, se define la formula complementariaAc como el resultado de sustituir en A cada presencia de un sımbolo deproposicion p por ¬p.

a) Defina Ac

b) Demuestre que A es una tautologıa si y solo si lo es Ac

15. Demuestre que el siguiente principio de dualidad se verifica para formulasproposicionales construidas usando solamente los conectivos true, false,¬,∧,∨

a) A→ B es una tautologıa si y solo si lo es Bd → Ad

b) A y B son logicamente equivalentes si y solo si lo son Ad y Bd

16. Pruebe, por induccion estructural, que el numero de parentesis izquierdosen cualquier formula es igual al numero de sımboles de disyuncion ∨ (Solose usan conectivos ¬ y ∨)

17. Pruebe que cualquier formula � es o una variable proposicional o comienzacon un parentesis ( o comienza con una cadena de uno o mas sımbolos denegacion ¬)

18. Muestre que (s∗)∗ ≡ s. Donde s es una proposicion compuesta

19. Use la induccion estructural para demostrar que n(T ) ≥ 2ℎ(T ) + 1, dondeT es el arbol binario completo, n(T ) es el numero de nodos y ℎ(T ) es laaltura del arbol T . Demuestre que para todo arbol binario completo Tn(T ) ≤ 2ℎ(T )+1 − 1

20. Demuestre que algun arbol no vacıo de n nodos contiene exactamente n+1subarboles vacıos

4.6. Soluciones

Seccion 4.3

15.1 ⋅ 21 = 2 = (2− 1)21+1 + 2

Para n=11 ⋅ 21 = 2 = (1− 1)21+1 + 2

Page 136: manual de ejercicios de matematicas discretas

136 CAPITULO 4. INDUCCION Y RECURSION

Paso inductivo:

P.D.

N∑k=1

k2k = n2n+2 + 2

N∑k=1

k2k =

N∑k=1

k2k + (n+ 1)2n+1

=H.I. (n− 1)2n+1 + 2 + (n+ 1)2n+1

= n ⋅ 2n+1 − 2n+1 + n ⋅ 2n+1 + 2n+1 + 22 ⋅ n ⋅ 2n+1 + 2 = n ⋅ 2n+2 + 2

21. Base: n = 0 se cumple pues 5 divide a 0.H.I. 5 divide a n5 − n, digamos n5 − n = 5kP.I. P.D. 5 divide a (n+ 1)5 − (n− 1)

(n+ 1)5 − n = n5 + 5n4 + 20n3 + 60n2 + 120n+ 1− n− 1= n5 − n+ 5(n4 + 4n3 + 12n2 + 24n)= 5(k + n4 + 4n3 + 12n2 + 24n)

24. Base: n = 1 21 divide a 42 + 52n−1 pues 42 + 52−1 = 21H.I. 21 divide a 4n+1 + 52n−1, digamos 4n+1 + 52n−1 = 21 ⋅ kP.I. P.D. 21 divide a 4n+2 + 52n+1

4n+2 + 52n+1 = 4 ⋅ 4n+1 + 52n−1 ⋅ 52

= 4 ⋅ 4n+1 + 25 ⋅ 52n−1

= 4 ⋅ 4n+1 + 4 ⋅ 52n−1 + 21 ⋅ 52n−1

4(4n+1 + 52n−1) + 21 ⋅ 52n−1

= 21k + 21 ⋅ 52n−1

21(k + 52n−1)

∴ 21 divide a 4n+2 + 52n+1

32. Induccion sobre nBase: n = 2

2∪k=1

Ak = A1 ∪A2

= A1 ∩A2 de De Morgan

=

2∩k=1

Ak

H.I.

n∪k=1

Ak =

n∩k=1

Ak

P.I.

n+1∪k=1

Ak =

n∪k=1

Ak ∪Ak+1 =

n∪k=1

Ak ∩Ak+1

Page 137: manual de ejercicios de matematicas discretas

4.6. SOLUCIONES 137

=H.I.

n∩k=1

Ak ∩Ak+1 =

n+1∩k=1

Ak

33. Base: n = 2 A = {a1, a2} 2(2−1)2 = 1 y claramente A tiene un unico sub-

conjunto de 2 elementos que es A mismo.

H.I. Si A = {a1, . . . an} entonces A tiene exactamente n(n−1)2 subconjunto

de 2 elentos.P.I. Sea B = {a1, . . . , an, an+1} P.D. B tiene exactamente (n+1)n

2 subcon-junto de 2 elementos.Los subconjuntos de B con 2 elementos son o subconjuntos de A con 2elementos o bien tienen a an+1 como elemento, de esto ultimo, el otro ele-mento se toma de A, por lo que hay n sunconjuntos de B con 2 elementosque tienen an+1

Ası el numero total de subconjuntos de B con 2 elementos es: n(n−1)2 +2 =

n(n−1)+2n2

= n2−n+2n2 = n2+n

2 = n(n+1)2

37. Induccion sobre nCaso Base: n=0. Con cero lıneas el plano tiene una region 02+0+2

2 = 1 portanto se cumpleH.I. Sea i ≥ 0 Con i lıneas (ninguna paralela y no hay 3 que se intersecten

en un punto) se tiene i2+i+22 regiones

Tomando i + 1 lıneas, ninguna paralela y no hay 3 que se intersecten

en un punto. Por H.I., las primeras i lıneas dividen la region en i2+i+12

regiones. La ultima lınea es la dibujada. La ultima lınea atraviesa cadauna de las primera i lıneas (dado que no son paralelas) una a la vez(dado que no hay 3 que se intersecten en un punto) Ademas esta pasapor a traves de i + 1 regiones y divide cada una de estas regiones en2. Esto agrega i + 1 regiones al total. Ademas con i + 1 lıneas se tienei2+i+2

2 +(i+1) = i2+i+2+2i+22 = (i+1)2+(i+1)+2

2 regiones, como se requiere.

38. Sea P (n) el enunciado 10n+2 − 2 ⋅ 10n + 7 es divisible por 3El enunciado P (1) asegura que 103−2 ⋅10 + 7 es divisible por 3, lo cual esfacil de comprobar por medio del siguiente calculo 103−2 ⋅10 + 7 = 3 ⋅329Ahora se asume que P (k) es verdadero para alguna k ∈ ℤ+, entonces10k+2− 2 ⋅ 10k + 7 es divisible por 3 significa que existe una A ∈ ℤ tal que10k+2 − 2 ⋅ 10k + 7 = 3 ⋅ASi se multiplica ambos lados por 10 y se resta 63 de ambos lados se obtiene:

10k+2 − 2 ⋅ 10k + 7 = 3 ⋅A ⇒ 10k+3 − 2 ⋅ 10k+1 + 70 = 30 ⋅A⇒ 10k+3 − 2 ⋅ 10k+1 − 63 = 30 ⋅A− 63⇒ 10k+3 − 2 ⋅ 10k+1 + 7 = 3(10 ⋅A− 21)

La ultima igualdad muestra que 10k+3 − 2 ⋅ 10k+1 + 7 es divisible por 3,por lo tanto P (k + 1) es verdadero, por lo tanto el enunciado se cumple

Page 138: manual de ejercicios de matematicas discretas

138 CAPITULO 4. INDUCCION Y RECURSION

41. Se requieren n− 1 rupturasDemostracion:Sea P (n) el numero de rupturas para partir la barra en n cuadrosPaso Base: P (1) = 0 es verdaderoPaso Inductivo: Se asume que se cumple para P (k) para 2 ≤ k ≤ nSe prueba que P (n+ 1) = nRompa la barra en 2 piezas de tamano n1 y n2, tal que n1 + n2 = n + 1Por hipotesis de induccionP (n1) = n1 − 1P (n2) = n2 − 1∴ el numero total de rupturas es 1 + (n1 − 1) + (n2 − 1) = n se cumplep(n+ 1)

45. Supongamos que ∀k ≤ n k es suma de potencias de dos

a) Si n+ 1 es par, entonces n+ 1 = 2 ⋅ k para algun k ≤ nPor H.I. k = 2a1 + . . .+ 2al

entonces n+ 1 = 2 ⋅ k = 2 ⋅ 2a1 + . . .+ 2 ⋅ ⋅ ⋅ 2a= 2a1+1 + . . .+ 2al+l

∴ n+ 1 es suma de potencias de dos

b) Si n+ 1 es imparentonces n+1

2 es un natural y n+12 < n+ 1

∴ por H.I. n+12 = 2a1 + . . .+ 2al

entonces n+ 1 = 2n+12 = 2(2a1 + . . .+ 2al)

= 2a1+1 + . . .+ 2al+1

∴ n+ 1 es suma de dos potencias de dos.

53. La prueba se hace por induccion fuerte. Sea P (n) el enunciado Fn ≤ 2n.Como F1 = 1, claramente P (1) es verdadero. Se asume para alguna k ∈ ℤ+

tal que P (1), ..., P (k) son verdaderas. Se debe probar que P (k+1) es tam-bien verdadero. Entonces se tienen las siguientes desigualdades:

F1 ≤ 21, F2 ≤ 22 . . . Fk−1 ≤ 2k−1, Fk ≤ 2k

usaremos P (k + 1) :Fk+1 ≤ 2k+1 . . .(2)Entonces comoFk+1 = Fk + Fk−1

Con las dos ultimas desigualdades se llega a

Fk+1 = Fk + Fk−1,≤ 2k + 2k−1,≤ 2k + 2k,≤ 2 ⋅ 2k, 2k+1

Esto prueba (2), excepto por un detalle: la igualdad Fk+1 = Fk + Fk−1

solo se cumple si k > 1 entonces por (2) la prueba se rompe si k = 1 Peropara k < 1, (2) se puede verificar directamente F2 = 1 ≤ 2. A pesar del

Page 139: manual de ejercicios de matematicas discretas

4.6. SOLUCIONES 139

valor de k se cumple P (1), P (2), ..., P (k)⇒ P (k + 1) entonces por induc-cion fuerte se cumple P para toda n.

54. Se demuestra por induccion fuerte:Paso Base: F0 = F1 = 1 que es parHipotesis de Induccion: Supongamos que se para Fk par para todo 0 ≤k ≤ nSe necesita que Fn+1 sea par. Por definicion Fn+1 = Fn + Fn−1 peroFn y Fn−1 son pares por H.I. Entonces Fn+1 es par

52. Caso Base: Se divide en los siguientes casos:

12 = 4 + 4 + 4 = 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 013 = 4 + 4 + 5 = 4 ⋅ 2 + 5 ⋅ 114 = 4 + 5 + 5 = 4 ⋅ 1 + 5 ⋅ 215 = 5 + 5 + 5 = 4 ⋅ 0 + 5 ⋅ 3

H.I.: Suponga que los numeros entre 12 y n es el resultado de sumarmultiplos de 4 y/o 5 donde n ≥ 15P.I.: Se debe mostrar que cualquier n+ 1Para n+ 1 se usa el resultado de n− 3 (el cual satisface la hipotesis) y sesuma un 4 a esoNote que los subcasos para el caso base se necesitan de otra manera lainduccion no funcionara con 13,14 y 15

60. Induccion sobre la profundidad d del arbolH.I.: Sea d ≥ 0 y suponga que para cualquier arbol binario T si la profun-didad T es estrictamente menor que d entonces E(T ) = I(T ) + 1P.I. Ahora sea T un arbol de profundidad d. Hay dos casos. Si la raız delarbol es una hoja, en cuyo caso E(T ) = 1, I(T ) = 0 entonces E(T ) =I(T ) + 1, o la raız tiene dos hijos, x, yEl arbol U con x como raız tiene profundidad estrictamente menor qued el arbol S que tiene a y como raız. Por H.I. E(U) = I(U) + 1 yE(S) = I(S)+1. Tambien E(T ) = E(U)+E(S) e I(T ) = 1+I(U)+I(S)Por lo tanto E(T ) = E(U) + E(S) = (I(U) + 1) + (I(S) + 1) = I(T ) + 1como se requerıa.Por la induccion fuerte, el resultado es cierto para los arboles binarios decualquier profundidad

Seccion 4.4

10. a) Si es valida.f(0) = 1f(1) = −f(0) = −1

Page 140: manual de ejercicios de matematicas discretas

140 CAPITULO 4. INDUCCION Y RECURSION

f(2) = −f(1) = 1f(3) = −f(2) = −1

Induccion sobre nBase n = 0f(0) = 1 correcto pues 0 es par.H.I. f(n) se define correctamente con la formula dada. P.I. n + 1 espar, entonces n es impar y por H.I. f(n) = −1∴ f(n+ 1) = f(n) = −(−1) = 1correcto pues n+ 1 es par.

c) La defincion es incorrecta, el valor de f(n) depende de un valor pos-terior f(n+ 1) que aun no se ha definido.

d) f(0) = 0, f(1) = 1, f(n) = 2f(n− 1) con n > 1f(2) = 2f(1) = 2f(3) = 2f(2) = 4f(4) = 2f(3) = 8f(n) = 2n−1

f(n) =

{0 si n =0

P (2n−1) si n¿0

Induccion:n = 0 f(0) = 0 es correcto por definicion.H.I. f(n) se define correctamente con al formula dada.P.I. f(n + 1) = 2f(n) =H.I. 2(2n−1 = 2n) ∴ f(n + 1) esta definidocorrectamente.

e) Definicion invalida. Por ejemplo:f(2) = f(1) = f(0) = 2 y tambien f(2) = 2f(0) = 4 Ası f no esfuncion.

11. Esta definicion no cumple. 1 es potencia de 2 pero el procedimiento regre-sara falso.

12. Se conjetura que todos lo numeros naturales son especiales, es decir,∀x(ℕ→ S(x)). Por ejemplo si se considera S(5) se cumple ya que S(3⋅5+1)es decir S(16). La afirmacion se cumple si y solo si S(8), si y solo si S(2) siy solo si S(1) entonces es verdadero. Sin embargo se trata de un problemaabierto conocido como la conjetura de Collatz.

16. max(a1) = a1

max(a1, . . . an, an+1) =max(max(a1, . . . an), an+1)mın(a1) = a1 mın(a1, . . . an, an+1) =mın(mın(a1, . . . an), an+1)

18. Sea S = {k ∈ ℕ∣ k es multiplo de 5 }

Page 141: manual de ejercicios de matematicas discretas

4.6. SOLUCIONES 141

a) 0 ∈ S

b) Sik ∈ S entonces k + 5 ∈ S

20. b) H.I. Si es paso recursivo se usa k o menos veces para obtener (a, b) ∈S, entonces a ≤ 2b.P.I. Supongase que (c, d) se obtuvo aplicando k + 1 veces el pasorecursivo, siendo (a, b) el par obtenido en k aplicaciones.

1) c = a, d = b+ 1.Por H.I. a ≤ 2bAsı c = a ≤ a ≤ 2b < 2(b+ 1) = 2d∴ c ≤ 2d

2) c = a+ 1, d = b+ 1Por H.I. a ≤ b, ası c = a+ 1 ≤ b+ 1 < 2(b+ 1) = 2d∴ x ≤ 2d

3) c = a+ 1, d = b+ 1Por H.I. a ≤ 2b,ası c = a+ 2 ≤ b+ 2 ≤ 2b+ 2 = 2(b+ 1) = 2d∴ x ≤ 2d

c) Base (0, 0) ∈ S y 0 ≤ 2 ⋅ 0 = 0H.I. (a, b) ∈ S cumple a ≤ 2bP.I.

1) (a, b+ 1) ∈ S, por H.I. a ≤ 2bentonces a ≤ 2b < 2(b+ 1)∴ a ≤ 2(b+ 1)

2) (a+ 1, b+ 1) ∈ S, por H.I a ≤ 2bentonces a+ 1 ≤ 2b+ 1 < 2b+ 2 = 2(b+ 1)∴ a+ 1 ≤ 2(b+ 1)

3) (a+ 2, b+ 1) ∈ S, por H.I. a ≤ 2bentonces a+ 2 ≤ 2b+ 2 = 2(b+ 1)∴ a+ 2 ≤ 2(b+ 1)

50. Base: n = 1 b1 = 11 = 5 ⋅ 21 + 1H.I. bk = 5 ⋅ 2k + 1 para toda k ≤ nP.I. P.D. bn = 5 ⋅ 2n + 1bn = 3bn−1 − 2bn−2

= 3(5 ⋅ 2n−1 + 1)− 2(5 ⋅ 2n−2 + 1)= 15 ⋅ 2n−1 + 3− 10 ⋅ 2n−2 − 2= 2n−1 + 14 ⋅ 2n−1 − 5 ⋅ 2 ⋅ 2n−2 + 1= 2n−1 + 7 ⋅ 2n − 5 ⋅ 2n−1 + 1= 7 ⋅ 2n − 4 ⋅ 2n−1 + 1= 7 ⋅ 2n − 2 ⋅ 2 ⋅ 2n−1 + 1= 7 ⋅ 2n − 2 ⋅ 2n + 1= 5 ⋅ 2n − 1

Page 142: manual de ejercicios de matematicas discretas

142 CAPITULO 4. INDUCCION Y RECURSION

Seccion 4.5

3. Induccion estructural sobre w ∈ L.Base: w = a, se tiene #a(a)=1 > 0=#b(a)H.I. #a(w)>#b(w), #a(v)>#b(v)P.I.

a) Sea x = aw, por H.I. #a(w)>#b(w)entonces #a(x)=1+#a(w) y #b(x)=#b(w), ası #a(x)=1+#a(w)>#a(w)>#b(w)=#b(x)

b) Sea x = bwv#a(x)= #a(w)+#a(v)#b(x)=1+#b(w)+#b(v)

Por H.I. #a(w)>#b(w)entonces #a(w)≥ 1+ #b(w) y #a(v)>#b(v) entonces #a(w)+ #a(v)>1+ #b(w)+ #b(v)es decir #a(x)> #b(x).

Los otros casos para x = wbv y x = wvb son analogos.

7. m(d) = dm(dw) =mın{d,m(w)}P.D. m(st) =mın(m(s),m(ts))Induccion sobre s:Base s = (d) entonces m(dt) =mın{d,m(t)}= mın{m(d),m(t)}= mın{m(s),m(t)}H.I. m(st) =mın(m(s),m(t))P.I. P.D. m((ds)t) =mın(m(ds),m(ts))m((ds)t) =mın(d(st)) =mın(d,min(st)) =H.I.mın(d,mınm(s),m(t))=mın(mınd, (m(s)),m(t))=mın(m(ds),m(t)).

8. 0 y 1 son palındromos.Si w es palındromo entonces w0w y w1w son palındromos.Si w es palındromo entonces ww es palındromo.

13. Basta mostrar que cualquier ' es logicamente equivalente a una formulat(') que solo usa ¬ y →.Definimos t(') recursivamente como:t(') = p, t(true) = true, t(false) = falset(¬') = ¬t(') t('→ Ψ) = t(')→ t(Ψ)t(' ∨Ψ) = ¬t(')→ t(Ψ)t(' ∧Ψ) = ¬(t(')→ ¬t(Ψ))Claramente en t(') solo figuran los conectivos ¬ e →Veamos por induccion sobre ' que ' ≡ t(').

Page 143: manual de ejercicios de matematicas discretas

4.6. SOLUCIONES 143

Base:' = Ψ Como p ≡ p y t(p) = p entonces p ≡ t(p)H.I. ' ≡ t(') y Ψ ≡ t(Ψ)P.I.

a) Caso ¬' t(¬') = ¬t(') ≡ ¬'

b) Caso ' ∧Ψ t(' ∧Ψ) = ¬(t(')→ t(Ψ))≡H.I. ¬('→ Ψ) ≡ ' ∧Ψ Los casos faltantes son analogos.

16. Caso Base: Sea = p, una variable proposicional.P no tiene ningunparentesis ni ningun conectivo ∨.H.I.: Suponga que , � son formulas y tiene tantos parentesis izquier-dos como conectivos ∨ (dıgase n) y � tiene m parentesis izquierdos y mconectivos ∨Ası ¬ tiene n parentesis izquierdos y n conectivos ∨.Por otra parte (' ∨Ψ) tiene 1 + n+m parentesis izquierdos y n+ 1 +mconectivos ∨, entonces son igualesEsto completa el paso inductivo entonces la propiedad es verdadera paratodas las formulas.

17. Caso Base: � es una proposicion lo cual es verdaderoH.I.: � es o una letra o comienza con a (o empieza con al menos una ¬.Lo mismo para )¬� comienza con al menos una ¬, hecho(� ∨ ) comienza con a(, queda resuelto.

Page 144: manual de ejercicios de matematicas discretas

144 CAPITULO 4. INDUCCION Y RECURSION

Page 145: manual de ejercicios de matematicas discretas

Capıtulo 5

Conceptos de teorıas degraficas

5.1. Motivacion

1. El proyecto OMEGA, cuyo objetivo es el lanzamiento de un nuevo pro-ducto al mercado, consta de las actividades indicadas en la tabla siguiente:

Actividad Precedentes Duracion(en semanas)Mas probable

A Compra de las materias primas - 2B Produccion del inventario inicial A 4C Envasado del inventario inicial B,H 1D Estudio del mercado - 6E Estudio de la campana de publicidad G 3F Realizacion de la campana de publicidad E 5G Estudio y diseno de los envases D 2H Preparacion de los envases G 2I Seleccion del equipo de vendedores D 3J Entrenamiento del equipo de vendedores I 4K Seleccion de los posibles distribuidores D 3L Venta de distribuidores J,K 5M Envıo de los primeros pedidos C,L 2

a) Aplicar la tecnica PERT para calcular los tiempos mas tempranos ylos tiempos mas tardıos posibles

b) Calcular el camino crıtico

2. El proyecto PILSEN consta de la siguiente lista de actividades:

145

Page 146: manual de ejercicios de matematicas discretas

146 CAPITULO 5. CONCEPTOS DE TEORIAS DE GRAFICAS

Actividad Precedentes Duracion (en semanas)Mas probable

A - 1B - 2C - 3D A 4E A 3F C 2G C 1H D 7I D 8J B,E,F 7K B,E,F 7L G 5M H 1N I,J 2O K,L 3P M,N 4Q O,P 2

a) Aplicar la tecnica PERT para calcular los tiempos mas tempranos ylos tiempos mas tardıos posibles

b) Calcular el camino crıtico

3. El proyecto de construccion de una casa consta de las siguientes tareas:

Actividad Descripcion Precedentes Tiempo(en semanas)A Preparacion - 2B Cimientos A 4C Albanilerıa B 4D Desagues B 1E Tejado C 5F Piso D 1G Instalacion Electrica E 3H Instalacion Hidraulica E 4I Carpinterıa E,F 6J Pintura Interior G,H,I 8K Pintura Exterior I 2L Limpieza J,K 1

a) Aplicar la tecnica PERT para calcular los tiempos mas tempranos ylos tiempos mas tardıos posibles

b) Calcular el camino crıtico

4. La empresa EF esta preparando la planificacion, de un proyecto informati-co aplicando la tecnica PERT, cuyas actividades se indican en la tabla

Page 147: manual de ejercicios de matematicas discretas

5.1. MOTIVACION 147

inferior:

Actividad Precedentes Estimacion mas probableA - 2B A 4C B,H 1D - 6E G 3F E 5G D 2H G 2I D 3J I 4K D 3L J,K 5M C,L 2

a) Aplicar la tecnica PERT para calcular los tiempos mas tempranos ylos tiempos mas tardıos posibles

b) Calcular el camino crıtico

5. CMP (empresa de mobiliario) esta desarrollando el diseno de una nue-va silla. El desarrollo de este proyecto requiere diez actividades. Estas semuestran en la tabla siguiente:

No. actividad Nombre actividad Precendete inmediato Tiempo estimado1 A - 12 B A 43 C A 54 D B 35 E B 1.56 F C 1.57 G C 3.58 H D,F 2.59 I E 110 J G,J 4

a) Aplicar la tecnica PERT para calcular los tiempos mas tempranos ylos tiempos mas tardıos posibles

b) Calcular el camino crıtico

6. Una companıa que monta espectaculos musicales acaba de firmar un con-trato para un nuevo show. El productor ha identificado las siguientes tareasque necesitan hacerse antes de presentar el espectaculo:

Page 148: manual de ejercicios de matematicas discretas

148 CAPITULO 5. CONCEPTOS DE TEORIAS DE GRAFICAS

Tarea Descripcion Tiempo normalA Preparar cada parte 5B Instrumentar la musica 3C Contratar a los artistas 4D Disenar la coreografıa 3E Ensayo de danza 4F Preparar el escenario 6G Preparar el vestuario 5H Ensayo de vestuario 6I Ensayo general 4J Ensayo final 2

a) Aplicar la tecnica PERT para calcular los tiempos mas tempranos ylos tiempos mas tardıos posibles

b) Calcular el camino crıtico

7. Considera la siguiente lista de actividades y realice lo siguiente:

Actividad Predecesor TiempoA - 3B A 3C A 2D B,C 4E B 7F C 2G E 1H G,D,F 5I F 8J I 3K H 6

a) Aplicar la tecnica PERT para calcular los tiempos mas tempranos ylos tiempos mas tardıos posibles

b) Calcular el camino crıtico

8. Dibuje una grafica que represente las rutas aereas diarias de una com-panıa que ofrece los siguiente vuelos: Todos los dıas hay cuatro vuelos queunen Boston y Nueva York, dos Nueva York y Miami, uno entre Miami yMadrid, cuatro Madrid y Barcelona, uno Barcelona-Boston, uno Madrid-Nueva York y uno Barcelona-Nueva York

9. Estudie cuales de las siguiente graficas son simples. Para las graficas nosimples ¿Cual es el mınino numero de aristas que se pueden quitar parahacerlas simples?

Page 149: manual de ejercicios de matematicas discretas

5.1. MOTIVACION 149

a)

a b

c d

b)

a b

c d

c)

a b

c d

d)

a b

c d

e

10. Determine cuales de las siguientes graficas son bipartitas:

a)

a b

c

d e

b)

Page 150: manual de ejercicios de matematicas discretas

150 CAPITULO 5. CONCEPTOS DE TEORIAS DE GRAFICAS

a b

c d

e

c)

a b

c d

e f

d)

a b

cd

e f

e)

a

b

c

d e

f

5.2. Conceptos y formalizacion

1. Determine el grado de cada vertice para las siguientes graficas

Page 151: manual de ejercicios de matematicas discretas

5.2. CONCEPTOS Y FORMALIZACION 151

a)v1 v2

v3

v4 v5

b)

v1

v3 v6

v7

v9

v10v8

v4

v5v2

2. ¿Cual es el maximo orden posible para una grafica con 17 aristas si todossus vertices tienen grado mayor o igual a 3? ¿Existe una grafica con dichacantidad de vertices? En caso afirmativo construyala

3. Dibuje una grafica que tenga por lo menos 2 vertices cuyos grados soniguales

4. a) Hallar el grado de cada vertice de la siguiente grafica

b) ¿Cuantas aristas tiene dicha grafica?

c) ¿Cuantos vertices de grado impar tiene?

a

b

c

d

e

f

g

i

5. ¿Cuales de los siguientes pares de conjuntos de V y E definen una graficacon vertices V y aristas E? Dibuje dichas graficas y explique cuales no son

a) V = {a, b, c, d},E = {e, f, g, ℎ}, con e = {a, a}, f = {b, b}, g = {c, c},ℎ = {c, d}

b) V = {a, b, c, d}, E = {e, f, g, ℎ} con e = {a, a}, f = {e, e}, g = {c, c},ℎ = {c, d}

Page 152: manual de ejercicios de matematicas discretas

152 CAPITULO 5. CONCEPTOS DE TEORIAS DE GRAFICAS

c) V = {a, b, c, d}, E = {e, f, g, ℎ} con e = {a, a}, f = {a, a}, g = {a, a},ℎ = {a, a}

d) V = {e, f, g, ℎ}, E = {a, b, c, d} con e = {a, a}, f = {a, a}, g = {a, a},ℎ = {a, a}

6. Al aproximarse la fecha prevista para el campeonato en el cual inter-vendran los equipos A, B, C y D, los organizadores necesitan determinarel numero mınimo de dıas que este puede durar, sabiendo que:

a) Cada equipo debe jugar una vez contra cada uno de los participantes

b) Un mismo equipo puede jugar dos veces el mismo dıa

c) Solo debe descansar un equipo por dıa

Formule el termino planteado en terminos de graficas. Construya la graficaque corresponda al problema

7. Sea G la grafica de la figura siguiente:v1 v2

v3

v4 v5

v6

v7 v8

e11

e2, e1

e13

e14

e6

e12

e7

e9

e8

e10

e3

e4

e5

e15 e16

Responda las siguiente preguntas, explicando el porque de sus respuestas

a) ¿G es una multigrafica?¿Es una grafica simple?¿Es conexa?¿Es com-pleta?

b) ¿Cuales son los vertices adyacentes a v3?

c) ¿Cual es el grado de v3?

8. Con motivo de su regreso al paıs, Horacio desea invitar a su casa a susantiguos amigos de estudios:Pablo, Diego, Alejandro, Julian y Nicolas. Sin embargo, a pesar de queHoracio mantiene buenas relaciones con cada uno de sus companeros, entreellos han surgido diferencias al pasar de los anos:

Nicolas y Alejandro discutieron por cuestiones de trabajo

Pablo es ahora derechista mientras que Nicolas sigue siendo izquier-dista

Julian le debe dinero a Nicolas

Page 153: manual de ejercicios de matematicas discretas

5.2. CONCEPTOS Y FORMALIZACION 153

Pablo, Julian y Diego son fanaticos de distintos equipos de beisbol,por lo que siempre terminan peleando

Ante esta situacion, Horacio se da cuenta que sera necesario hacer masde una reunion para poder verlos a todos sin que se presenten situacionesincomodas, pero por otro lado la situacion economica lo obliga a realizarel mınimo numero de reuniones posibles

a) Modele utilizando graficas el problema que se le plantea a Horacio.Indique que representan los vertices y aristas de su grafica y especi-ficque si debera ser orientada o no

b) Resuelva el problema, indicando a Horacio tantas soluciones como lesea posible

c) ¿Es la grafica bipartita? Justifique su respuesta

9. Construir una grafica de orden 5 cuyos vertices tengan grado 1,2,2,3,4¿Cuales son las aristas de la grafica?

10. A una fiesta asisten 20 invitados. Cada uno de ellos conoce a un numerodiferente de invitados ¿Es esto posible? Probar que toda grafica sin ciclosde orden n ≥ 2 tiene al menos dos vertices con el mismo grado

11. En un mapa de carreteras de una region aparecen 25 tramos de carretera.Sabiendo que los cruces de carretera se producen siempre en una poblaciony que de cada lugar parten al menos cuatro caminos, ¿Cuantos lugaresaparecen en el mapa?

12. Si G es una grafica simple con 52 aristas,¿cual es el menor numero devertices que puede tener G?

13. ¿Cuantas aristas tiene una grafica simple si sus vertices tiene los siguientesgrados 4,3,3,2,2? Dibuje dichas aristas

14. En los siguientes ejercicios, trace una grafica simple con las propiedadesdadas o explique por que no existe tal grafica

a) 6 vertices, cada uno de grado 3

b) 5 vertices, cada uno de grado 3

c) 4 vertices, cada uno de grado 1

d) 4 aristas; 4 vertices con grados 1,2,3,4

e) 4 vertices con grados 1,2,3,4

f ) 6 vertices con grados 1,2,3,4,5,5

g) 5 vertices con grados 2,3,3,4,4

h) 5 vertices con grados 2,2,4,4,4

Page 154: manual de ejercicios de matematicas discretas

154 CAPITULO 5. CONCEPTOS DE TEORIAS DE GRAFICAS

15. Estudie si existe una grafica simple con 5 vertices y con los siguientes gra-dos:

a) 3,3,3,3,2

b) 1,2,3,4,5

c) 1,2,3,4,4

d) 3,4,3,4,3

e) 0,1,2,2,3

f ) 1,1,1,1,1

16. Explique si puede existir o no graficas simples que tengan algunas de lassiguientes sucesiones de grados:

a) (1,1,1,1,2,7,7) (grafica de 7 vertices)

b) (1,1,1,1,6,6,6) (grafica de 7 vertices)

c) (1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,5,5,5) (20 vertices)

En caso de que exista alguna de las graficas dibujela y diga cuantas aristastiene. En caso negativo razone su respuesta

17. Una sucesion a1, a2, ..., an es grafica si y solo si existe una grafica G =<V,E > tal que el deg(Vi) = ai Estudie si las siguientes sucesiones songraficas

3,3,3,3,2

3,3,2,2,2,2,1,1

1,2,3,4,4

6,4,4,4,3,3,3,3

3,4,3,4,3

5,3,3,3,2,2,1,1

5,5,4,4,3,3,3,1,0,0

18. ¿Pueden los 15 vertices de una grafica simple tener grado 5?

19. ¿Cuantas aristas tiene una grafica simple si sus vertices tienen los siguien-tes grados 4,3,3,2,2? Dibujelo

20. Si G es una grafica con 25 aristas y el grado de cada vertice es al menos4 ¿Cual es el maximo numero de vertices que puede tener G?

21. ¿Cuales de las siguientes graficas se pueden dibujar? Las que no se puedanexplica la razon

a) Una grafica simple con 1 arista y 2 vertices.

Page 155: manual de ejercicios de matematicas discretas

5.2. CONCEPTOS Y FORMALIZACION 155

b) Una grafica simple con 2 aristas y 2 vertices.

c) Una grafica no simple sin ciclos.

d) Una grafica no simple con aristas multiples.

e) Una grafica con 6 vertices y la secuencia de grados {1, 2, 3, 4, 5, 5}f ) Una grafica simple con 6 vertices y la secuencia de grados {1, 2, 3, 4, 5, 5}g) Una grafica simple con 6 vertices y la secuencia de grados {2, 3, 3, 4, 5, 5}

22. Una grafica es regular si todos sus vertices tienen el mismo grado.Estudie la regularidad de las graficas Kn, Cn y Wn para los diferentesvalores de n

23. Se define el complemento de una grafica simple G como la grafica simpleG con un conjunto de vertices V (G) = V (G) en los cuales sus dos verticesson adyacentes si y solo si ellos no son adyacentes en GDibuje las siguientes graficas

a) El complemento de una grafica nula N5

b) El complemento de una grafica completa K7

c) El complemento de una grafica bipartita K3,5 y su complemento

d) La rueda W5 y su complemento

e) ¿Cuales son los complementos de Nd y Kd? ¿Es el complemento deuna grafica conexa necesariamente conexa?

24. Sea G una grafica simple con n vertices y q aristas, cuyos vertices tienengrado k o k+ 1. Demuestre que si G tiene nk vertices de grado k entoncesnk = (k + 1)n− 2q

25. Trace el complemento de la siguiente graficaa

b

c

d e

26. Trace el complemento de la siguiente grafica

a b

c

de

f

Page 156: manual de ejercicios de matematicas discretas

156 CAPITULO 5. CONCEPTOS DE TEORIAS DE GRAFICAS

27. Sea G una grafica con n vertices ¿Cuantos vertices de G tienen grado parsi G solo tiene vertices de grado par?

28. Sea G una grafica simple con m aristas e1, ..., em Definimos la grafica delıneas L(G) de G como sigue: L(G) tiene m vertices V1, ..., Vm y Vi, Vj esuna arista de L(G) si y solo si las aristas e1 y ej son incidentes para algunvertice v de G

a) Dibuje la grafica de lıneas de K3,K1,3, C6 y W5

b) Encuentre una expresion para el numero de aristas de L(G) en termi-nos de los grados de los vertices de G

c) Muestre que si G es una grafica simple regular de grado k entoncesL(G) es regular de grado 2k − 2

d) Muestre que L(K5) es el complemento de la grafica de Petersen

29. Dada la grafica G dibujar y definir:

a) La Grafica Complemento

b) La Grafica Lıneas

a

b

c

de

30. Muestre que si G es una grafica simple, entonces G o G es conexa

31. Una grafica simple G es autocomplementaria si G y G son isomorfas

a) Determine una grafica autocomplementaria con cinco vertices

b) Determine otra grafica autocomplementaria

32. Sea G1 y G2 graficas simples. Muestre que G1 y G2 son isomorfas si y solosi G1 y G2 son isomorfas

33. Dadas dos graficas G1 y G2, suponga que existe una funcion biyectiva f ysobre, f, de los vertices de G1 a los vertices de G2 y una funcion biyectivaf y sobre, g, de las aristas de G1 a las aristas de G2 de modo que si unaarista e es incidente en v y w en G1, la arista g(e) es incidente en f(v) yf(w) en G2 ¿Son G1 y G2 isomorfas?

34. Si G =< V,E > es una grafica con ∣E∣ = 17 y deg(v) ≥ 3 para todovertice v ∈ V ¿Cual es el maximo valor de ∣V ∣?

Page 157: manual de ejercicios de matematicas discretas

5.2. CONCEPTOS Y FORMALIZACION 157

35. Sea G una grafica simple con n ≥ 2 vertices ¿Puede G tener un vertice degrado 0? ¿Puede G tener un vertice de grado n − 1? ¿Puede G tener unvertice de grado n o mayor a n?

a) Muestre que G no puede tener secuencia de grados (0, 1, ..., n − 1)Considere que el vertice de grado 0 y para n− 1

b) Muestre que G debe tener 2 vertices del mismo grado

36. ¿Cuales de las siguientes podrıan ser subgraficas de grafica de Petersen,grafica completa bipartita K3,3 o el cubo?

a)

b)

c)

d)

37. a) Determine el orden de una grafica 3-regular con 9 aristas

b) Dibuje una grafica con 10 aristas, dos vertices de grado 4 y los demasde grado 3

c) ¿Existen tales graficas? En caso afirmativo construyalas

Page 158: manual de ejercicios de matematicas discretas

158 CAPITULO 5. CONCEPTOS DE TEORIAS DE GRAFICAS

38. En una clase con 9 alumnos, cada alumno le manda 3 tarjetas de navidada otros 3 ¿Es posible que cada alumno reciba tarjetas de los mismos 3companeros a los cuales el le mando una tarjeta?

39. Una paıs asiatico va a comenzar la construccion de una red de autopistaspor todo su territorio, pretendiendo unir sus 51 ciudades (la Capital y 50ciudades). Se va a construir una autopista directa entre la capital y cadauna de las 50 ciudades y ademas, cada ciudad se va a unir con otras tresciudades mediante una autopista directa a cada una ¿Cuantas autopistasse van a construir? ¿y si en lugar de 50 ciudades importantes hubiera 51?(Ayuda: Identifique el mapa de carreteras con una grafica cuyos verticessean las ciudades y la capital y las aristas sean las autopistas)

40. Una empresa va a cambiar su red interna de computadoras, para implan-tar una red con gran servidor central y 100 computadoras de usuarios. Lacomputadora central esta conectada con todas los computadoras de usua-rio y cada computadora de usuario va a conectarse con dos computadoras:con el servidor central y con otra computadora de usuario ¿Cuantos ca-bles de red son necesarios para completar esta red? ¿y si en lugar de 100computadoras de usuario hay 101? (Ayuda: Identifique la red informaticacon una grafica cuyos vertices sean las computadoras y las aristas sean loscables de red)

41. Si n ∈ N y G es una grafica simple de n vertices:

a) ¿Cual es el valor maximo que puede alcanzar el grado de cualquiervertice de G? ¿y el mınimo? Razone su respuesta

b) ¿Cual es el numero maximo de aristas que puede tener G? ¿y elmınimo? Justifique su respuesta

42. Trace una grafica con 6 vertices, cada uno de grado 3. En caso de no poderrealizarlo explique por que no es posible dibujar tal grafica

5.3. Representacion de graficas para su manipu-lacion

1. Obtener la lista de adyacencias y las matrices de adyacencias e incidenciaspara las siguientes graficas

a)

a b

c d

Page 159: manual de ejercicios de matematicas discretas

5.3. REPRESENTACION DE GRAFICAS PARA SU MANIPULACION 159

b)

a b

c d

e

f

c)

a b

c d

e

f

2. Para cada una de las siguientes graficas obtenga la matriz de adyacencias,matriz de incidencias, listas de adyacencias y lista de incidencias ademasdel numero de vertices, el numero de arcos y el grado de cada vertice

a)

a b c

d e f

b)

a b

cd e

c)

a b c d

e f g ℎ

i

3. Representa la matriz de adyacencia de cada una de las siguientes graficas:

a) K4

Page 160: manual de ejercicios de matematicas discretas

160 CAPITULO 5. CONCEPTOS DE TEORIAS DE GRAFICAS

b) K1,4

c) K2,3

d) C4

e) W4

f ) Kn

g) Km,n

h) Cn

i) Wn

4. Dada la siguiente matriz de adyacencias de una grafica G con 5 verticesv1, v2, v3, v4, v5, hallar la sucesion de los grados de los vertices y numerode aristas de la grafica G⎛⎜⎜⎜⎜⎝

v1 v2 v3 v4 v5

v1 0 1 0 1 1v2 1 2 1 0 1v3 0 1 0 1 0v4 1 0 1 0 0v5 1 1 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

5. Sea G = (V,E) donde V={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} y E={01, 12, 23, 34, 04, 05,16, 27, 38, 49, 56, 67, 78, 89, 59} Dibujar G. Hallar la lista de incidencias yla matriz de adyacencias de G.

6. En los siguientes ejercicios, escriba la matriz de adyacencias de cada grafica

a)

x1 x2

x4

x8

x3

x5

x6 x7

a

e

b

c

d

b)

Page 161: manual de ejercicios de matematicas discretas

5.3. REPRESENTACION DE GRAFICAS PARA SU MANIPULACION 161

x1

x2

x 8

x4

x 10x9

x 6x7

a b

k

eg

d

f

x5x3

c)

x1 x2

x3

x4

a

b

c

e

d

d) La grafica completa de cinco vertices K5

e) La grafica bipartita completa K2,3

7. En lo siguientes ejercicios, trace la grafica representada por cada matrizde adyacencias

a) ⎛⎜⎜⎜⎜⎝

a b c d e

a 1 0 0 1 0b 0 0 1 0 1c 0 1 1 1 1d 1 0 1 0 0e 0 1 1 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

b) ⎛⎜⎜⎜⎜⎝

a b c d e

a 0 1 0 0 0b 1 0 0 0 0c 0 0 0 1 1d 0 0 1 0 1e 0 0 1 1 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

Page 162: manual de ejercicios de matematicas discretas

162 CAPITULO 5. CONCEPTOS DE TEORIAS DE GRAFICAS

c) ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

a b c d e f

a 0 0 1 0 0 1b 0 1 0 1 1 0c 1 0 0 0 0 1d 0 1 0 0 1 0e 0 1 0 1 0 0f 1 0 1 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

d) ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

a b c d e f

a 1 1 1 1 0 1b 1 0 1 1 1 0c 1 1 0 1 1 1d 1 1 1 0 1 1e 0 1 1 1 0 1f 1 0 1 1 1 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

8. Muestre que las graficas simples G1 y G2 son isomorfas si y solo si susvertices se pueden ordenar de modo que sus matrices de adyacencia seanidenticas

9. La zona Z-72 de gestion de carreteras se ocupa de la red viaria entre las6 ciudades de area. Hay carretera entre A y C, A y E, B y C, B y D, B yF, C y D, C y E y entre E y D.

a) Dibuje la grafica para modelar la situacion

b) En una redistribucion zonal, la ciudad B pasa a depender de la nuevazona Z-80 y las carreteras que la unıan con las ciudades de la Z-72pasan a depender de la Interzonal 3¿Que grafica describirıa la nueva situacion de la nueva Z-72? ¿Hayalguna peculiaridad relevante?

c) Si es C, en lugar de B, quien pasa a depender de la zona Z-80¿Que grafica describirıa entonces la nueva zona Z-72? ¿Hay algunapecularidad relevante?

d) Obtener la matriz M de adyacencia de la grafica inicial y las matricesM1 y M2 de las subgraficas construidas en los incisos anteriores ¿Co-mo se reflejan en las matrices las peculiaridades observadas antes?

10. Escriba la matriz de incidencias de cada grafica del ejercicio 6 de las sec-cion 5.3

Page 163: manual de ejercicios de matematicas discretas

5.3. REPRESENTACION DE GRAFICAS PARA SU MANIPULACION 163

11. En los siguientes ejercicios, trace las graficas representadas por las matri-ces de incidencias

a) ⎛⎜⎜⎜⎜⎝

1 2 3 4 5 6

a 1 0 0 0 0 1b 0 1 1 1 1 0c 1 0 0 0 0 0d 0 1 0 0 0 0e 0 0 0 1 1 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

b)

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

1 2 3 4 5 6

a 0 1 0 0 0 1b 0 1 1 0 1 0c 0 0 0 0 0 1d 1 0 0 1 0 0e 1 0 0 1 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

12. ¿Como debe verse una grafica si algun renglon de su matriz de incidenciasconsta solo de ceros?

13. Escriba la lista de adyacencias de cada grafica del ejercicio 6 de la seccion5.3

14. En lo siguientes ejercicios, trace la grafica representada por cada lista deadyacencia

a) ⎛⎜⎜⎜⎜⎝

a b c d e

a 1 0 0 1 0b 0 0 1 0 1c 0 1 1 1 1d 1 0 1 0 0e 0 1 1 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

b) ⎛⎜⎜⎜⎜⎝

a b c d e

a 0 1 0 0 0b 1 0 0 0 0c 0 0 0 1 1d 0 0 1 0 1e 0 0 1 1 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

Page 164: manual de ejercicios de matematicas discretas

164 CAPITULO 5. CONCEPTOS DE TEORIAS DE GRAFICAS

c) ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

a b c d e f

a 0 0 1 0 0 1b 0 1 0 1 1 0c 1 0 0 0 0 1d 0 1 0 0 1 0e 0 1 0 1 0 0f 1 0 1 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠d) ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

a b c d e f

a 1 1 1 1 0 1b 1 0 1 1 1 0c 1 1 0 1 1 1d 1 1 1 0 1 1e 0 1 1 1 0 1f 1 0 1 1 1 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

15. Muestre que las graficas simples G1 y G2 son isomorfas si y solo si susvertices se pueden ordenar de modo que sus listas de adyacencia seanidenticas

16. Escriba la lista de incidencias de cada grafica del ejercicio 6 de la seccion5.3

17. ¿Como debe verse una grafica si algun renglon de su lista de incidenciaconsta solo de ceros?

5.4. Isomorfismo entre graficas

1. Dibujar las graficas simples no isomorfas de orden 4

2. Se dispone de 6 computadoras y 9 cables de conexion.Queremos que cadacomputadora se conecte con otras 3 computadoras ¿Existe alguna formade conectarlos? ¿Es unica?

3. Describe todas las graficas no isomorfas cuya sucesion de grados sea 3,3,2,2,2

4. Determinar cuales de los siguentes pares de graficas son isomorfos

Page 165: manual de ejercicios de matematicas discretas

5.4. ISOMORFISMO ENTRE GRAFICAS 165

a)

a b

c d

e f

b)a

b

c

d

e

f

g

c)a

bc

d

e

f

g

i

j

5. ¿Las siguientes graficas son isomorfas?(Justifique su respuesta)

Page 166: manual de ejercicios de matematicas discretas

166 CAPITULO 5. CONCEPTOS DE TEORIAS DE GRAFICAS

a)

ab

c

d

ef

b)a

bc

de

fg ℎ

i j

c)

a b c d

efgℎ

6. En los ejercicios siguientes, determine si las grafica G1 y G2 son isomor-fas. Si las graficas son isomorfas, determine las funciones f y g; en casocontrario, proporcione un invariante no compartido por las graficas

a)

g

a

b

f c

e d

g′

a′

b′

f ′ c′

e′ d′

b)

Page 167: manual de ejercicios de matematicas discretas

5.4. ISOMORFISMO ENTRE GRAFICAS 167

a b

c

de f

a′ b′

e′ f ′

c′

d′

7. Trace todas las graficas simples no isomorfas que tengan tres vertices

8. Trace todas las graficas conexas, sin ciclos, no isomorfas que tengan cincovertices

9. Trace todas las graficas conexas, sin ciclos, no isomorfas que tengan seisvertices

10. Determine cuales de las siguientes pares de graficas son isomorfas:

a)

a b c d e

b)

a

b

c

d

e

f

c)

ab

c

d

e

f

g ℎ

ij

11. Dibujar las graficas K7,K1,6 y K3,4 Calcula sus matrices de adyacenciasy el grado de cada vertice ¿Son isomorfas entre sı? Justifique su respuesta

Page 168: manual de ejercicios de matematicas discretas

168 CAPITULO 5. CONCEPTOS DE TEORIAS DE GRAFICAS

5.5. Soluciones

Seccion 5.1

10. a) Si, los conjuntos de la particion son {c} y {a, b, d, e}.

b) Si, los conjuntos de la particion son {a, b} y {b, e, c}.

c) No.

d) No.

e) No.

Seccion 5.2

3.a b

4. a) deg(a) = 5, deg(b) = 1, deg(c) = 1, deg(d) = 2, deg(e) = 2, deg(f) =6, deg(g) = 1, deg(ℎ) = 1.

b) 10

c) 5

7. a) Si, No, Si, No

b) v3, v1, v7

c) 2

9.

a b

c

d e

13. 7 aristas.

a b

c

d e

Page 169: manual de ejercicios de matematicas discretas

5.5. SOLUCIONES 169

14. a)

a b

c d

e f

b) No, ya que 15 es impar. Por lo tanto no puede ser el doble del numerode aristas.

c)

a b

c d

d) No, porque en tal caso se tendrıa que cumplir 10 = 2 ⋅ 4.

e) No es posible que exista un vertice con deg(4) si solo hay 4 vertices

Seccion 5.3

1. a)Lista de adyacenciasa→ b→ d→ cb→ a→ dc→ a→ dd→ b→ a→ c

Matriz de adyacencias⎛⎜⎜⎝a b c d

a 0 1 1 1b 1 0 0 1c 1 0 0 1d 1 1 1 0

⎞⎟⎟⎠Matriz de incidencias⎛⎜⎜⎝

1 2 3 4 5

a 1 0 0 1 1b 1 1 0 0 0c 0 0 1 1 0d 0 1 1 0 1

⎞⎟⎟⎠b)

Lista de adyacenciasa→ b→ c

Page 170: manual de ejercicios de matematicas discretas

170 CAPITULO 5. CONCEPTOS DE TEORIAS DE GRAFICAS

b→ a→ c→ dc→ a→ b→ ed→ b→ ef

Matriz de adyacencias⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

a b c d e f

a 0 1 1 0 0 0b 1 0 1 1 0 0c 1 1 0 0 1 0d 0 1 0 0 1 0e 0 0 1 1 0 0f 0 0 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠Matriz de incidencias⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 2 3 4 5 6

a 1 1 0 0 0 0b 1 0 1 1 0 0c 0 1 1 0 1 0d 0 0 0 1 0 1e 0 0 0 0 1 1f 0 0 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

6. a) ⎛⎜⎜⎜⎜⎝

a b c d e

a 0 1 1 1 1b 1 0 1 0 0c 1 1 0 1 1d 1 0 1 0 1e 1 0 1 1 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠b) ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

a b k d e f g

a 0 1 0 0 0 0 0b 1 0 1 0 1 0 0k 0 1 1 0 1 0 0d 0 0 0 1 1 0 1e 0 1 1 1 0 1 0f 0 0 0 0 1 0 1g 0 0 0 1 0 1 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠c)

Page 171: manual de ejercicios de matematicas discretas

5.5. SOLUCIONES 171

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

a b c d e

a 0 1 0 0 0b 1 0 0 0 0c 0 0 0 1 1d 0 0 1 0 1e 0 0 1 1 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠7. a)

a

b c

d e

d)

a

b c

d e

f

Seccion 5.4

1. a)

b)

Page 172: manual de ejercicios de matematicas discretas

172 CAPITULO 5. CONCEPTOS DE TEORIAS DE GRAFICAS

c)

d)

e)

f )

g)

h)

2. Grafica simple de orden 6 con 9 aristas y 3-regular.

4. a) No, en la segunda grafica hay un vertice de grado 4 y en la primerano.

b) No, el vertice d es adyacente a los dos vertices de grado 3 situacionimposible de cumplir en la segunda grafica.

c) No, en la primera gra´fica los vertices de grado 4 son adyacentes yen la segunda grafica no.

6. a) Si.a→ a′

b→ c′

c→ e′

d→ g′

Page 173: manual de ejercicios de matematicas discretas

5.5. SOLUCIONES 173

e→ b′

f → d′

g → f ′

b) No. Ambas graficas son 3 regulares sin embargo en una hay ciclos delongitud 3 y en la otra no.

7. a)

b)

c)

d)

8. a)

b)

c)

Page 174: manual de ejercicios de matematicas discretas

174 CAPITULO 5. CONCEPTOS DE TEORIAS DE GRAFICAS

d)

e)

f )

g)

h)

i)

j )

Page 175: manual de ejercicios de matematicas discretas

5.5. SOLUCIONES 175

9. a) No, pues una grafica tiene 4 aristas y la otra 5.

b) Sı.a→ 1b→ 3c→ 2d→ 4e→ 6f → 5

a

b

c

d

e

f

1 2

4 5

3

6

c) No son isomorfos los vertices de grado 4, son adyacentes en una y noen la otra.

Page 176: manual de ejercicios de matematicas discretas

176 CAPITULO 5. CONCEPTOS DE TEORIAS DE GRAFICAS

Page 177: manual de ejercicios de matematicas discretas

Capıtulo 6

Exploracion en graficas

6.1. Circuitos eulerianos

1. Para todo natural par n ≥ 4 construya una grafica conexa 3 regular conn vertices

2. Demuestre que toda grafica conexa con dos o mas vertices tiene dos verti-ces con el mismo grado

3. En los ejercicios siguientes, indique si el camino dado en la grafica es:

Un camino simple

Un ciclo

Un ciclo simple

a b

c

d e

a) (b,b)

b) (e,d,c,b)

c) (a,d,c,d,e)

d) (d,c,b,e,d)

e) (b,c,d,a,b,e,d,c,b)

f ) (b,c,d,e,b,b)

g) (a,d,c,b,e)

h) (d)

177

Page 178: manual de ejercicios de matematicas discretas

178 CAPITULO 6. EXPLORACION EN GRAFICAS

i) (d,c,b)

4. Determine todos los ciclos simples de la siguiente grafica

ab

c d

e

fg

5. Determine todos los caminos simples de a a e en la grafica del ejercicioanterior

6. Determine si en la siguiente figuras existen los ciclos de Hamilton y Euler

e3

e1

e2

e4 e5v3 v4

v1

v2

7. Para la grafica siguiente, determine un camino sin aristas repetidas de da e que contenga a todas las aristas

a b c

e

i

j

g

fd

8. Determine todas las subgraficas de la grafica anexa que contengan a to-dos los vertices de la grafica original y tengan el menor numero posiblede aristas ¿Cuales son caminos simples? ¿Cuales son ciclos?¿Cuales sonciclos simples?

ab

c d

e

fg

Page 179: manual de ejercicios de matematicas discretas

6.1. CIRCUITOS EULERIANOS 179

9. En los siguientes ejercicios, decida si la grafica tiene ciclos de Euler. Si esası exhıbalo

a)

ab

c d

e

fg

b)

a

b

d

e f

i

j

kℎgc

10. ¿Contiene un circuito euleriano la grafica completa K4?

11. ¿Contiene un circuito euleriano la grafica completa K5?

12. ¿En que casos la grafica completa Kn contiene un ciclo de Euler?

13. ¿Para cuales n tiene Kn un recorrido euleriano?

14. Explique por que ninguna de las siguientes graficas de los siguientes ejer-cicios tienen un ciclo de a a a que pase por cada arista exactamente una vez

a)

e

a

b

d g

b)a b

cd

Page 180: manual de ejercicios de matematicas discretas

180 CAPITULO 6. EXPLORACION EN GRAFICAS

15. Muestre que cada grafica de los siguientes ejercicios tiene un ciclo de a aa que pasa por cada arista exactamente una vez. Proporcionar los ciclos

a)

b c

a

d e

f

b)

b c

a

d ef

16. Decida si las graficas tienen un ciclo de Euler. Si lo tienen, exhiba alguno

a)

a b

c d

e

fg

b)v1v2

v3 v4

v5

v6 v7

v8

17. ¿Cual es el mınimo numero de veces que hay que levantar el lapiz del papelpara trazar los siguientes dibujos?

Page 181: manual de ejercicios de matematicas discretas

6.1. CIRCUITOS EULERIANOS 181

a)

b)

c)

18. En la casa de la figura ¿Es posible entrar y salir de tal manera que cadapuerta se use exactamente una vez?

19. ¿Cuales de las siguientes graficas tienen circuitos o caminos Eulerianos?Nota: VG = VH = VF = {a, b, c, d, e}

a) EF ={ab, bd ,cd, ac, ad, de, be}b) EG={ab, be, ae, ec, cd, de}c) EH={ab, be, ae, ec, cd, de, bc, ad}d) VI={a,b,c,d,e,f,g}

EI={ag, gc, cb, bg, ge, ed, df, f,a}e) VJ = {a, b, c, d}

EJ={ab, bc, ca, db, cd}

Page 182: manual de ejercicios de matematicas discretas

182 CAPITULO 6. EXPLORACION EN GRAFICAS

20. Encuentre un recorrido euleriano paraG = (V,E) con V={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j}y E={ab,ac,ai,bc,cd,ci,de,df,dg,dh,ef,fg,fh,gh,hi,ij}

21. ¿Cuales de las siguientes graficas se pueden dibujar pasando una sola vezpor cada lınea y sin levantar el lapiz del papel? Justifique su respuesta

a)

b)

c)

22. La figura que se presenta representa el plano de una planta de un edificioque consta de 6 habitaciones (1,2,3,4,5 y 6) y un pasillo (7) comunicadosentre si por 9 puertas

1 2 3

4 5 6

7

Se pide:

Page 183: manual de ejercicios de matematicas discretas

6.1. CIRCUITOS EULERIANOS 183

a) Representar el plano mediante una grafica en la que cada habitaciony el pasillo corresponda con un vertice a cada arista con una puertaentre dos salas o entre una sala y un pasillo

b) Calcule la matriz de adyacencia de la grafica y el grado de cadavertice

c) ¿Es posible realizar un trayecto de manera que pasemos una unicavez por todas las puertas de la planta? Justifique su respuesta

23. Estudia si son conexas las siguientes graficas, dando el numero de compo-nentes conexas de cada una:

a)

b)

c)

24. Se quiere duplicar los tramos de una red de comunicacion que, en caso dedeteriorarse, imposibilitaran la comunicacion entre ciertos puntos ¿Cualesson los tramos que deben duplicarse?

a b

c

d e

f

g

25. Encuentre las aristas que son puente en las siguientes graficas:

Page 184: manual de ejercicios de matematicas discretas

184 CAPITULO 6. EXPLORACION EN GRAFICAS

a)

a

b c

d e

f

b)a

b

c d

e

f

c)

a b

c

d

e

fg

i

6.2. Trayectorias hamiltonianas

1. Para cada grafica determine un ciclo hamiltoniano

a)

d

a

i

ef

b

g

c

j

b)

Page 185: manual de ejercicios de matematicas discretas

6.2. TRAYECTORIAS HAMILTONIANAS 185

a b

c

d

e

f

g

i

j

k

l

mn

o

p

2. Muestre que ninguna de las siguientes graficas contiene un ciclo hamilto-niano

a)

bc

d

f

i jk

ge

a

l

b)

a b c d e

f g ℎ

i j

3. Proporcione un ejemplo de una grafica que tenga un ciclo de Euler perono un ciclo hamiltoniano

4. Proporcione un ejemplo de una grafica que tenga un ciclo de Euler quetambien sea un ciclo hamiltoniano

5. Proporcione un ejemplo de una grafica que tenga un ciclo de Euler y unciclo hamiltoniano pero que no sean identicos

6. Muestre que si n ≥ 3, la grafica completa de n vertices Kn contiene unciclo hamiltoniano

Page 186: manual de ejercicios de matematicas discretas

186 CAPITULO 6. EXPLORACION EN GRAFICAS

7. ¿Cuando contiene un ciclo hamiltoniano la grafica bipartita completaKm,n?

8. Elena y Dora invitan a 10 amigos a cenar. En el grupo de 12, todos conocenal menos a 6 personas. Demuestre que se pueden sentar a los 12, alrededorde una mesa circular, de modo que todos conozcan a las 2 personas queestan sentadas a su lado

9. Encuentre un ciclo hamiltoniano, si existe, para cada grafica de la siguien-te figura

a)

b)

c)

10. ¿Cuales de las siguientes graficas admiten un ciclo hamiltoniano?

a)v1 v2

v3v4

v5

Page 187: manual de ejercicios de matematicas discretas

6.2. TRAYECTORIAS HAMILTONIANAS 187

b)

v1

v2 v3

v4

11. Dar un ejemplo de una grafica que contenga, tanto circuitos eulerianoscomo hamiltonianos

12. Dar un ejemplo de una grafica que contenga un circuito hamiltoniano perono un euleriano

13. Considera las graficas G1 y G2 que aparecen en la figura siguiente

a)

v1

v2 v3

v4

v5v6

b)

v1

v2 v3

v4

v5v6

Se pide:

a) Calcular el grado de cada vertice y la matriz de adyacencia de cadagrafica

b) ¿Son las graficas G1 y G2 conexas?

c) ¿Se pueden dibujar sin levantar el lapiz del papel y sin pasar dos vecespor la misma arista? ¿Admiten caminos hamiltonianos? Justifique susrespuestas

14. (Problema chino del cartero, Kwan 1962) Un cartero sale del correo conlas cartas, recorre las calles de su zona y vuelve a la central (representada

Page 188: manual de ejercicios de matematicas discretas

188 CAPITULO 6. EXPLORACION EN GRAFICAS

por el vertice c). Debe minimizar la distancia recorrida. Resuelva este pro-blema si las calles que debe recorrer son las representadas en las siguientesgraficas:

a)a

b

cd

e

2 2

7

1

2

3

4

b)

a

b c

d

ef

5

5

3

4

6

9

10 14 8

6.3. Distancias en una grafica

1. Ejecute el algoritmo BFS en la siguiente grafica, iniciando en el vertice xr s t u

v w x y

2. Construir el arbol de la siguiente grafica usando BFS. Usar el vertice ucomo la raiz

u

v

w

x

z

r

t

s

Page 189: manual de ejercicios de matematicas discretas

6.4. TRAYECTORIAS MAS CORTAS 189

6.4. Trayectorias mas cortas

1. Un contratista asigna a uno de sus sitios de construccion un numero va-riable de trabajadores calificados entre marzo y agosto

Mes Marzo Abril Mayo Junio Julio AgostoTrabajadores 4 6 7 4 6 2

Los trabajadores pueden ser dados de baja en los sitios de construccionsolo a principio de mes. Suponga que en febrero y en septiembre hay exac-tamente 3 trabajadores en cada sitio de construccion.

El objetivo del contratista es planear la asignacion de los trabajadores queminimice la suma de los siguientes costos:

Costos de transferencia: Contratar trabajadores para el sitio en cons-truccion cuesta 826 pesos y darlos de baja cuesta 1322 pesos.

Normas de transferencia: El contratista puede contratar a lo mas 3trabajadores a la vez y dar de baja a lo mas un tercio de ellos a lavez.

Costos de escasez y exceso de trabajadores: Un trabajador superfluocuesta 1653 pesos, mientras que un trabajador faltante cuesta 3306pesos. Cuando alguien en el equipo falta, los trabajadores cumplenhoras extras, pero no aceptan trabajar mas de 1/4 de la jornadanormal.

Formule este problema como el problema del camino mas corto y resuelvalousando el algoritmo de Dijsktra

2. Suponga que posee un billete de banco de p pesos y quiere cambiarlospor monedas de a1, a2, ..., an pesos ¿Es esto posible? Si es ası, ¿cual es elmınimo numero de monedas? Formule este problema como el problema dela trayectoria mas corta y resuelvalo usando el algoritmo de Dijkstra

3. Sea dk(j) la longitud del camino mas corto entre los vertices s a k con a lomas k aristas. Encuentre una definicion recursiva para dk(j). Pruebe quedn−1(j) = D(j) =a la distancia mas corta de s a j. Aquı n es el numerode vertices de la grafica

4. Para las graficas dadas por las siguientes listas de adyacencias, hallar elarbol DFS. Utilizar el metodo BFS para responder si son conexos

a)a→ b→ d→ ℎb→ a→ c→ d→ ec→ b→ d→ g

Page 190: manual de ejercicios de matematicas discretas

190 CAPITULO 6. EXPLORACION EN GRAFICAS

d→ a→ b→ ce→ bf → gg → c→ f → ℎℎ→ a→ g

b)a→ e→ ib→ d→ g → ℎc→ e→ f → id→ b→ g → ℎe→ a→ c→ ff → c→ e→ ig → b→ dℎ→ b→ di→ a→ c→ f

5. Obtenga el camino mas corto entre a y z para las siguientes graficas ¿Cuales la longitud en cada caso?

a)

a

b d

z

ec

2

5

2

4

5

3

21

b)

a

b d

z

ec

f

g

4

5 5

7

4

56

3

23

1 2

6. En la grafica de la figura se muestra una red ferroviaria donde la distanciaentre cada par de ciudades se expresa en km:

Page 191: manual de ejercicios de matematicas discretas

6.4. TRAYECTORIAS MAS CORTAS 191

a

i f

zb e

f

g

d

4

10

14

3

6

13

6

15

12

8

9

4

2

3

5

15

3

8

16

Averigue cual es el camino mas corto para viajar de a a z

7. a) Halla la ruta mas corta desde A a cada uno de los vertices restantesde la matriz de adyacencia que especifica la tabla siguiente

B C D E F HA 4 5B 4 5 6C 4D 4 8E 6F 9

b) El conjunto de caminos construidos en la tabla anterior ¿Constituyeun arbol generador de G? ¿Es siempre un arbol generador mınimo?Justifique sus respuestas

8. Se requiere construir un tranvıa metropolitano que conecte 8 barrios dela capital: A,B,C,D,E, F,G,H La duracion estimada del viaje directoentre cada dos barrios se da por la tabla mostrada ¿Que estaciones han deconectarse para que la red tenga el menor numero de conexiones posibles,de forma que la duracion del viaje entre el barrio A y cualquier otro barriosea lo mas corto posible?

B C D E F G HA 3 5 2 6 3 4 2B 5 4 6 8 3 2C 1 4 3 8 2D 4 2 1 4E 3 5 1F 2 4G 3

9. La red de distribucion de una empresa esta formada por 8 centros de al-macenamiento y distribucion d1, d2, ..., d8. Estos centros estan conectados

Page 192: manual de ejercicios de matematicas discretas

192 CAPITULO 6. EXPLORACION EN GRAFICAS

con la fabrica f a traves de una red de carreteras segun lo indica la grafi-ca mostrada (Las longitudes de los diferentes tramos de la red aparecenexpresadas en decenas de kms.) Halla el itinerario de la longitud mınimaque conecta la fabrica con cada centro de distribucion.

f

d1

d2

d3

d4

d5

d6

d7

d8

3

55

3

6

5

4

2 4

3

1

7

3

6

9

4

10. La siguiente tabla ilustra el horario de los conductores de una companıade autobuses. Se quiere asegurar al menor costo posible, que al menos unconductor este en servicio para cada hora de periodo planeado (9 AM a5 PM) Formule y resuelva este problema de calendarizacion como un pro-blema del camino mas corto.

Horas de actividad 9-13 9-11 12-15 12-17 14-17 13-16 16-17Costo 30 18 21 38 20 22 9

11. Construya la trayectoria del algoritmo del camino mas corto de Dijkstra,asumiendo que se comienza en el vertice D

A

B

C

D

E

F

G

H

8

4

8

2

4

9

1

4

2

3

12. En los siguientes ejercicios, determine la longitud de una ruta mas cortaentre los vertices dados, de acuerdo a la siguiente grafica con pesos.

Page 193: manual de ejercicios de matematicas discretas

6.5. NUMERO DE CAMINOS 193

3

2 3

2

5

62

4

5 4 4 6

5

7

2

4

7

4

7

5

6

3a

b

e

c

f

i

d

g

j

z

a) a,f

b) a,g

c) a,z

d) b,j

e) h,d

6.5. Numero de caminos

1. Encuentre el numero de caminos de longitud n entre dos vertices diferen-tes en K4 si n es:

a) 2

b) 3

c) 5

2. Encuentre el numero de caminos de longitud n entre cualesquiera dosvertices adyacentes en K3,3 para los valores de n del ejercicio anterior

3. Encuentre el numero de caminos de longitud n entre cualesquiera dosvertices que no sean adyacentes en K3,3 para los valores de n del ejercicioanterior

4. Para cada longitud encuentre el numero de caminos entre c y d con dichalongitud

a b c

d e f

a) 2

b) 3

c) 5

d) 6

Page 194: manual de ejercicios de matematicas discretas

194 CAPITULO 6. EXPLORACION EN GRAFICAS

e) 7

5. Para cada longitud encuentre el numero de caminos entre c y d con dichalongitud

a b

c

d

e

f

g

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

f ) 7

6.6. Soluciones

Seccion 6.1

3. a) Ciclo.

b) Camino simple.

c) Ninguno.

d) Ciclo simple.

e) Ciclo.

f ) Ciclo.

g) Camino simple.

h) Ninguno.

i) Camino simple.

4. a) (b, c, g, b)

b) (c, d, f, g, c)

c) (d, e, f, d)

d) (b, c, d, f, g, b)

e) (c, d, e, f, g, c)

Page 195: manual de ejercicios de matematicas discretas

6.6. SOLUCIONES 195

f ) (b, c, d, e, f, g, b)

6. No hay ciclo de Euler pues dos vertices tienen grado par.Ciclo de Hamilton: v1, e4, v3, e2, v2, e1, v1, e5, v4

7. d, ab, c, e, i, ℎ, j, g, f, d, b, e, ℎ, g, d, e

9. a) No, el vertice b es de grado impar.

b) Sı. a, b, d, e, f, i, j, k, i, ℎ, f, g, e, ℎ, g, d, c, b, c, a

12. Para n impar, pues en tal caso Kn es n− 1 regular con n− 1 par.

17. a) Uno, pues se trata de dos copias ajenas de K3 que es una graficaeuleriana.

b) Tres, pues son tres copias ajenas d C4 y una de C2, las cuales soneulerianas.

21. a) Sı, pues es euleriana.

b) Sı, pues es K5 que es euleriana.

c) No, hay un vertice de orden 3. Si es posible si no requiere terminaren el vertice de inicio.

23. a) No, 3 componentes.

b) Sı, por lo tanto solo una componente.

c) Sı, por lo tanto solo una componente.

24. bd y de

Seccion 6.2

1. a) a, d, i, j, ℎ, c, b, g, f, e, a

Page 196: manual de ejercicios de matematicas discretas

196 CAPITULO 6. EXPLORACION EN GRAFICAS

Page 197: manual de ejercicios de matematicas discretas

Capıtulo 7

Modelado con graficas

7.1. Coloracion

1. Encuentre el numero cromatico de las siguientes graficas

a)

b)

c)

d)

e)

197

Page 198: manual de ejercicios de matematicas discretas

198 CAPITULO 7. MODELADO CON GRAFICAS

f )

g)

7.2. Soluciones

Soluciones 7.1

1. a) Numero cromatico = 2 por ser bipartita.

b) Numero cromatico = 2 por ser bipartita.

c) Numero cromatico = 2.

d) Numero cromatico = 2.

e) Numero cromatico = 3.

f ) Numero cromatico = 5 porque Numero cromatico(Kn) = n.

g) Numero cromatico =2.

Page 199: manual de ejercicios de matematicas discretas

Capıtulo 8

Arboles

8.1. Caracterizacion

1. ¿Cuantas aristas tiene un arbol de 11 vertices?

2. ¿Cuantos vertices tiene un arbol de 17 aristas?

3. Un arbol tiene dos vertices de grado 2, un vertice de grado 3 y tres verticesde grado 4 ¿Cuantos vertices de grado 1 tiene el arbol?

4. Un arbol tiene 2n vertices de grado 1, 3n vertices de grado 2 y n verticesde grado 3. Determine el numero de los vertices y aristas del arbol

5. Encuentre todos los arboles no isomorfos con 6 vertices

6. ¿Cuantas hojas tiene un arbol con 4 vertices de grado 2, uno de grado 3,dos de grado 4 y uno de grado 5?

7. Un alcano es un arbol con dos tipos de vertices: Los que estan etiquetadoscon C tienen grado 4 y los que estan etiquetados con H tienen grado 1.Estos son solo los unicos tipos de vertices. Dibuje un alcano con 3 verticesde tipo C. Si hay n vertices etiquetados con C pruebe que hay 2n + 2vertices con etiqueta H

8.2. Arboles generadores

1. Hallar un arbol generador para cada una de las siguientes graficas:

a)

199

Page 200: manual de ejercicios de matematicas discretas

200 CAPITULO 8. ARBOLES

b)

c)

d) K5

e) K4,4

f ) K1,6

g) C5

h) W5

8.3. Busqueda en profundidad(DFS)

1. Ejecutar el algoritmo DFS en las graficas siguientes, tomando como raız alvertice indicado. Se asume que las listas de adyacencias esten ordenadasalfabeticamente por nombre de vertices

a) Vertice d

a b

c d

b) Vertice f

a b c

d e f

Page 201: manual de ejercicios de matematicas discretas

8.4. ARBOLES GENERADORES DE PESO MINIMO 201

c) Vertice e

a b

c d

e

d) Vertice a

a b

c d

e

2. Construir un arbol usando DFS. Usar el vertice u como la raiz

u

v

w

x

z

r

t

s

8.4. Arboles generadores de peso mınimo

1. Se va a construir un sistema de carreteras que comunique estas 5 ciudades.Determine las carreteras que deberan construirse para que el costo deconstruccion sea mınimo

Tuxpan Reynosa Jalapa C. VictoriaReynosa 14 - - -Jalapa 28 12 - -C. Victoria 10 35 13 -Pachuca 26 9 18 28

2. Determine un arbol generador mınimo de cada uno de las graficas siguien-tes:

a)

Page 202: manual de ejercicios de matematicas discretas

202 CAPITULO 8. ARBOLES

2

1 2

9

4

19

1

8 1 6 26 3 7

147

6 9

32

b)

1

3

1

4

2 3

23

3. En la grafica de la figura se muestra una red de computadoras que se quiereconstruir, los vertices representan las computadoras y las aristas las lıneasde transmision a considerar para conectar algunos pares de ellas. Cadaarista tiene un peso que indica el coste de construir esa lınea especıfica.Conecte todas las computadoras con el menor costo posible

5

5

3

27

6

2

34

15

23

4. Aplique el algoritmo de Prim a la siguiente grafica con pesos mostrandotodos los pasos en la aplicacion del algoritmo. Tambien debe escribir lospesos totales del arbol de expansion mınima

ab

c d e

f g

3

8

6

14

21

18

12

15 17

10

18

5. En la siguiente tabla se muestra las distancias (en kilometros) entre 6 lu-gares en Mexico:

Page 203: manual de ejercicios de matematicas discretas

8.4. ARBOLES GENERADORES DE PESO MINIMO 203

Baja California Chihuahua Tamaulipas Nayarit Veracruz JaliscoBaja California - 120 147 142 104 81Chihuahua 120 - 132 42 157 45Tamaulipas 147 132 - 102 66 105Nayarit 142 42 102 - 168 61Veracruz 104 157 66 66 - 112Jalisco 81 45 105 105 112 -

Represente la informacion por medio de una grafica con pesos. Utilice elalgoritmo de Prim para encontrar el arbol de peso mınimo ¿Cual es eltotal de los pesos de este arbol?

6. Aplique el algoritmo de Prim de la siguiente grafica de pesos y escriba eltotal de pesos del arbol obtenido

a b c d

ef

gℎ

i j k l

2 1 2

1 1 1

1 1 1

1

2

2

12

1

2

1

1

3 3 3

3 4

3

7. Aplicar el algoritmo de Kruskal sobre la siguiente grafica, mostrando elorden en que se anaden las aristas a la solucion

a b

c

d e

f

3

3

2

15

7

4

82

6

8. Aplique el algoritmo de Kruskal para calcular el arbol de expansion decostO mınimo. Muestre los pasos de ejecucion (de forma breve) y el re-sultado obtenido para la siguiente grafica. En general, en donde todas lasaristas tienen el mismo costo que K ¿Que conclusiones se pueden extraersobre el arbol de expansion de costo mınimo?

Page 204: manual de ejercicios de matematicas discretas

204 CAPITULO 8. ARBOLES

ab

c

d

e f2 2

2

22

2 22

2

9. Para la siguiente grafica proporcione el arbol generador de peso mınimo

a b c d

e f g

ℎ i

4 2 4

2 2

2

1

2

1

3

3

3 21

10. Para la siguiente grafica proporcione el arbol generador de peso mınimo

a

b c

d

ef

g

1

2

1

2

4

3

3

2

1

3

11. Aplique el algoritmo de Kruskal sobre la siguiente grafica, mostrando elorden en que son anadidas las aristas a la solucion.Si se aplicara el algoritmo de Prim ¿Se puede asegurar que se obtendrıasiempre la misma solucion? ¿Se puede asegurar que el costo de la solucionserıa el mismo? ¿Por que?

Page 205: manual de ejercicios de matematicas discretas

8.4. ARBOLES GENERADORES DE PESO MINIMO 205

a b

c

d e

f

3

5

46

3 2 1

78

2

Page 206: manual de ejercicios de matematicas discretas

206 CAPITULO 8. ARBOLES

Page 207: manual de ejercicios de matematicas discretas

Capıtulo 9

Multigraficas y graficasdirigidas

9.1. Multigraficas

1. En las siguientes multigraficas no dirigidas encuentre el numero de verti-ces, el numero de aristas y el grado de cada vertice. Identifique todos losvertices aislados

a)

a b

cd e

b)

a b c d

e f g ℎ

i

2. En las siguientes graficas determine el numero de vertices y aristas, ademasencuentre el grado de cada vertice

a)

207

Page 208: manual de ejercicios de matematicas discretas

208 CAPITULO 9. MULTIGRAFICAS Y GRAFICAS DIRIGIDAS

a b

cd

b)

a b

cd

c)

a b

cd

9.2. Graficas dirigidas

1. Calcule la matriz de adyacencia de las siguientes digraficas

a)

a b

cd

b)

Page 209: manual de ejercicios de matematicas discretas

9.2. GRAFICAS DIRIGIDAS 209

a

b c

d

e

c)

a b

c d

d)

a b

c d

e

2. Determine las componentes fuertemente conexas de la siguiente grafica

a b c d

e f g ℎ

3. Determine las componentes fuertemente conexas de las graficas siguientesy dibuje cada componente por separado.

a)

Page 210: manual de ejercicios de matematicas discretas

210 CAPITULO 9. MULTIGRAFICAS Y GRAFICAS DIRIGIDAS

a b c

d e f

b)

a b c d

e f g ℎ

c)

a b c

d e f

d)

a b c

d e f

e)

a b c

d e f

f )

a b

c d

Page 211: manual de ejercicios de matematicas discretas

9.2. GRAFICAS DIRIGIDAS 211

g)a

b

c

d e

h)

a

b c

i)

a b

4. Encuentre las componentes fuertemente conexas de la siguiente grafica di-rigida

AB

C

D

E F

5. Encuentre las componentes fuertemente conexas de la siguiente graficadirigida

1

2

3

4

5

6

7

8

6. La matriz M representa las direcciones de circulacion de las calles entre 6plazas A, B,C, D, E y F

Page 212: manual de ejercicios de matematicas discretas

212 CAPITULO 9. MULTIGRAFICAS Y GRAFICAS DIRIGIDAS

M =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝0 0 1 0 0 01 0 0 0 0 01 0 0 1 1 00 1 1 0 0 10 0 1 0 0 10 0 0 1 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠a) El problema se modela usando una digrafica ¿Porque?

b) ¿Hay calles de doble direccion? ¿Cuales?

c) Si se cierra la plaza B por obras ¿Habrıa que cambiar (o anadir)algunadireccion para poder seguir circulando por las demas calles?

d) En caso de ser la pregunta anterior afirmativa, indique los cambiosnecesarios para resolver el problema. Estudiar todas las posibilidadesde solucion y resaltar las que requieran un menor numero de cambios

7. En la siguiente grafica muestre(si es posible):

u v

wx

1

2

3

4

1

6

5

7

a) Un camino de longitud 7 de u a w

b) Ciclos de longitud 1,2,3 y 4

c) Un camino de longitud maxima

9.3. Circuitos eulerianos

1. En las siguientes graficas determine si existe un circuito euleriano. En casopositivo, construyalo.

a)

a b

c d

Page 213: manual de ejercicios de matematicas discretas

9.3. CIRCUITOS EULERIANOS 213

b)

a b

c d

c)

a bc

d e

d)

a bc

d e

e)

a b c

def

2. ¿Las siguientes graficas son Hamiltonianas o Eulerianas? De ser posibeproporcione los ciclos Hamiltonianos y Eulerianos

Page 214: manual de ejercicios de matematicas discretas

214 CAPITULO 9. MULTIGRAFICAS Y GRAFICAS DIRIGIDAS

a)

1 2

34

5

b)

1 2

3

45

6

3. En cada una de las siguientes graficas, estudie si existe: un camino eule-riano cerrado, un ciclo hamiltoniano, un camino euleriano no cerrado y uncamino hamiltoniano no cerrado

a)

b)

c)

d)

Page 215: manual de ejercicios de matematicas discretas

9.3. CIRCUITOS EULERIANOS 215

e)

f )

g)

h)

i)

j )

k)

Page 216: manual de ejercicios de matematicas discretas

216 CAPITULO 9. MULTIGRAFICAS Y GRAFICAS DIRIGIDAS

9.4. Distancias en una grafica dirigida

1. Aplique el algoritmo de Dijkstra para el camino mas corto de la graficadada (comenzando por el nodo A)

A

B

C

D

E

F

G

H

1

1

2

3

3

4

5

5

1

2

2

2. Aplique el algoritmo de Dijkstra para el camino mas corto de la graficadada (comenzando por el nodo A)

A

B C

D E

F

8

5

9

41

7

4

3

5

3. Explique porque el algoritmo del Dijkstra para el camino mas corto noda el resultado correcto en la siguiente grafica. Mencione que caminos secalcularon mal. Empiece por el nodo A

A

B

C

D

E

F

3

4

-2

2

4

6

2

3

4. Ejecute el algoritmo de Dijkstra para la siguiente grafica comenzando conel vertice s

s

u v

x y

3

5

2 1

3

3

6

6

2 7

5. A partir de la siguiente grafica ejecute el algoritmo BFS para cada vertice

Page 217: manual de ejercicios de matematicas discretas

9.4. DISTANCIAS EN UNA GRAFICA DIRIGIDA 217

12

34

5

6

7

6. Para a las siguientes graficas realice lo siguiente:

a)

1

2

3

4

5

6

79

b)

ab c

d e f g

c)

a b c d

e

f

g ℎ

ij

k

a) Ejecute el algoritmo DFS, la adyacencia de salida ordenada de menora mayor y obtenga el arbol de expansion a profundidad

b) Etiquete los arcos

Page 218: manual de ejercicios de matematicas discretas

218 CAPITULO 9. MULTIGRAFICAS Y GRAFICAS DIRIGIDAS

c) ¿Esta grafica tiene ciclos?¿Por que?

d) ¿Es una grafica fuertemente conexa? Justifique su respuesta

7. Ejecutar el algoritmo BFS en las graficas siguientes, tomando como raız elvertice indicado. Se asume que las listas de adyacencias esten ordenadasalfabeticamente por nombre de vertices

a) Vertice d

a b

c d

b) Vertice f

a b c

d e f

c) Vertice e

a b

c d

e

d) Vertice b

a b

c d

e

e) Vertice a

Page 219: manual de ejercicios de matematicas discretas

9.4. DISTANCIAS EN UNA GRAFICA DIRIGIDA 219

a b

c d

e

f ) Vertice e

a b c

d e f

g

g) Vertice b

a b c

d e f

g

h) Vertice g

a b c

d e f

g

i) Vertice e

Page 220: manual de ejercicios de matematicas discretas

220 CAPITULO 9. MULTIGRAFICAS Y GRAFICAS DIRIGIDAS

a b c

d e f

8. Demostrar que el algoritmo de Dijkstra no funciona cuando las aristaspueden tener coste negativo, aun cuando no existen ciclos en la grafica.Sugerencia: dar un contraejemplo de una grafica dirigida sin ciclos en laque el algoritmo de Dijkstra no de el resultado en correcto

9. Utilizar el algoritmo de Dijkstra para encontrar los caminos mas cortosque van desde el nodo a hasta los nodos restantes, en la siguiente graficadirigida. Mostrar todos los pasos de la ejecucion del algoritmo. A partirdel resultado, encontrar cual es el camino mas corto desde a hasta d

a b

c

de

f

3

5

6

1

3

2

3

2

11

10. Sea G la siguiente grafica

A

B C

D

EF

3

2

1

3

3

1

3

2

2

Use el algoritmo de Dijkstra para encontrar el arbol de peso mınimo conraiz A en el arbol G.

11. En las siguientes graficas encuentre el numero de caminos existentes entrecualesquiera dos vertices

Page 221: manual de ejercicios de matematicas discretas

9.4. DISTANCIAS EN UNA GRAFICA DIRIGIDA 221

a)u v

wx

b)u v

wx

c)u

v w

x

d)u

v w

x

e)

u v

wx

1

2

3

4

1

6

5

7