Manual de LIMITE

8/17/2019 Manual de LIMITE

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Prof. REIMY PALENCIA……………reimypalencia.webnode.com.ve

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR DE LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LA FUERZA ARMADA NACIONALNUCLEO- GUANARE

GUIA I (Limites Por Definición E Indeterminaciones)

UN POCO DE H ISTORIA

Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite

de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.2 Sin

embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours

d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática.3 La

primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 18604

y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.

La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida a Hardy en su libro A

Course of Pure Mathematics en 1908.

I. Límite: de un enfoque inf ormal.

Las dos grandes áreas de cálculo se dividen en calculo diferencial y calculo integral que son los que se

basan en un concepto fundamental del límite en esta sección el enfoque que haremos a este concepto será

intuitivo centrado en la comprensión de que es un límite mediante el uso de ejemplos numéricos yejemplos.

II. Definición I nformal De Limites

Una función f tiene límite un número real L en C si f(x) se acerca cada vez más al número L cuando x se

aproxima más y más al número C, sin llegar a veler C, en cualquier sentido.

EJERCICIOS


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III. Existencia O No De Un Límite:

si tanto el limite por la izquierda lim x – a- f(x) como el limite por la derecha lim f(x)x — a+ existen y tiene

un valor común L,.

IV. Teoremas sobre continu idad

1.

Teorema de los valores intermedios:

Sea f es una función continua en el intervalo cerrado [a,b], tal que f(a)≠f(b). Entonces f(x) toma todos los

valorescomprendidos entre f(a) y f(b) cuando x varía entre a y b.

2.

Teorema de Bolzano:

Sea f una función continua en [a,b] tal que f(a) y f(b) tienensignos distintos. Entonces existe al menos un c ∈

(a,b) tal quef(c) = 0

3.

Teorema de los valores óptimos (Weierstrass):

Si una función f es contínua en un intervalo [a,b] cerrado y acotado, entonces f alcanza un máximo y un mínimo

dentro del intervalo.

IV. Defini ción formal De L imi tes

El límite de una función f( x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo existe un tal que paratodo número real x en el dominio de la función .

EJERCICIOS

Si entonces calcule el valor δ, para un valor de ε = 0,001




http://es.wikipedia.org/wiki/Si_y_s%C3%B3lo_sihttp://es.wikipedia.org/wiki/Si_y_s%C3%B3lo_sihttp://es.wikipedia.org/wiki/Si_y_s%C3%B3lo_sihttp://es.wikipedia.org/wiki/Si_y_s%C3%B3lo_si


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V. Propiedades de los Límites.

Ejercicios Evalué los siguientes límites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en cada paso:

(LIMITES INDETERMINADOS)

Operaciones con infinito

Sumas con infinito

Infinito más un número Infinito más infinito Infinito menos infinito

Productos con infinito

Infinito por un número Infinito por infinito Infinito por cero

Cocientes con infinito y cero

Cero partido por unnúmero

Un número partido por cero

Un número partido por infinito

Infinito partido por unnúmero

Cero partido por

infinito

Infinito partido por

cero

Cero partido por

cero

Infinito partido por

infinito

http://usuarios.lycos.es/JuanBeltran/id375_m.htm#12__#12__http://usuarios.lycos.es/JuanBeltran/id375_m.htm#11_#11_http://usuarios.lycos.es/JuanBeltran/id375_m.htm#10__#10__http://usuarios.lycos.es/JuanBeltran/id375_m.htm#9__#9__http://usuarios.lycos.es/JuanBeltran/id375_m.htm#8__#8__http://usuarios.lycos.es/JuanBeltran/id375_m.htm#7__#7__http://usuarios.lycos.es/JuanBeltran/id375_m.htm#6__#6__http://usuarios.lycos.es/JuanBeltran/id375_m.htm#5__#5__http://usuarios.lycos.es/JuanBeltran/id375_m.htm#4__#4__http://usuarios.lycos.es/JuanBeltran/id375_m.htm#3__#3__http://usuarios.lycos.es/JuanBeltran/id375_m.htm#2__#2__http://usuarios.lycos.es/JuanBeltran/id375_m.htm#1__#1__


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VI . L imi tes Indeterminados

Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación

de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciadas no son válidas.

En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones

(Factor común, trinomio, diferencia de cuadrados, Ruffini, conjugada entre otras).

VII. Tipos de indeterminación

Estudiaremos los casos 0/0, ∞/∞, ∞-∞, 1∞ .

Cero sobre

cero

EJERCICIOS RESUELTOS


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Calcula los siguientes límites, eliminando las indeterminaciones que se presenten

1.1

12

3

1 x

x Lim x

2.1

33 2

1 m

m Limm

3.4

)2(2

2

2 x

x Lim x

4.

8

163

4

2 x

x Lim x

5.

65

92

2

3 t t

t Limt

6.

8

64

64

x

x Lim x

7.8

23

8 r

r Limr

8.1

13

x

x 9.

1

122

1 x

x x Lim x

10.3

21

3 v

v Limv

11.n

n Limn 2

55

0 11.

6

222 x x

x Lim x

Infinito

partido por

infinito

Si se trata de funciones potenciales dividimos todos los sumandos por la x elevada al

mayor exponente.

EJERCICIOS RESUELTOS


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Infinito

menos

infinito

Cuando se trata de funciones ir racionales podemos mul tipl icar y dividir por el conjugado.

Calcula los siguientes límites, eliminando las indeterminaciones que se presenten

Uno al

infinito

Se r esuelve tr ansfor mando la expr esi ón en u na potenci a del número e.


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VIII. Límites Trigonométricos

En términos generales los límites trigonométricos se pueden resolver aplicando un límite notable o una

identidad trigonométrica y en algunos casos se debe aplicar ambas operaciones. Sin embargo a veces es

necesario realizar algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un número,

factorizar, multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de los límites.

0

1

0

0coscoslim

)cos1(

coscos1lim

cos

coscos1lim

cos

cos1lim

tan

cos1lim

00000 sen senx

x

x senx

x x

x senx senx

x x

senx x

senx

x

senx x

x

x x x x x

0

0

)11(

0

0cos1

0tan

cos1

tanlim

22

0 x

x

x

x x

x x

x x

x

x x

x sen

x

x

senx

x

x

x x x x x 202

2

02

2

0

2

0

2

0 coscos1

cos1cos1limcoscos1

cos1limcoscos1limcos1

coslimcos1

tanlim

21

11

0cos

0cos1

cos

cos1lim

2220 x

x

x

Ejercicios Propuestos:

“No es grande aquel que nunca falla si no el que nunca se da por vencido”

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