LA TOPOGRAFÍA

Topografía es una rama de la ingeniería que se especializa en la descripción detallada de la superficie de un terreno. En tanto, para ello se ocupa de estudiar pormenorizadamente el conjunto de principios y procedimientos que facilitan la representación gráfica de las formas y detalles que presenta una superficie en cuestión, ya sean los mismos naturales o artificiales.

Este tipo de representación se lleva a cabo en superficies de características planas, limitándose a pequeñas extensiones de terreno, de las áreas mayores se ocupa la Geodesia.

IMPORTANCIA DE LA TOPOGRAFÍA

La topografía resulta ser muy importante para ciencias tales como la arquitectura, la agronomía, la geografía y la ingeniería. Por ejemplo, la aplicación de conceptos propios de la TOPOGRAFÍA es indispensable para planear, construir y mantener carreteras, canales, ferrocarriles, edificios puentes, etc.|

En tanto, la topografía demandará un trabajo en doble dimensión, porque en primera instancia será necesaria la visita al terreno en cuestión para de esta manera analizarlo con los instrumentos apropiados; y luego, en una siguiente etapa del trabajo será imprescindible el traslado de los datos obtenidos en primera persona en el lugar, a un gabinete o laboratorio para ser interpretados y poder más tarde volcarlos en los mapas.

CLASES DE LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS Levantamientos de Control Levantamientos Topográficos. Levantamientos Catastrales. Levantamientos Hidrográficos. Levantamientos de Rutas. Levantamientos de Construcción Levantamientos de Minas. Levantamientos Aéreos y por Satélite. ETAPAS DE UN LEVANTAMIENTO TOPOGRÁFICO 1.- Reconocimiento de Terreno

En esta etapa se realiza una visita a la zona de trabajo con la finalidad de observar la magnitud y el grado de complejidad del levantamiento. Se debe recolectar toda la información técnica necesaria, así como obtener datos preliminares que permitirán realizar un trabajo adecuado.

Mucho más que hacer el levantamiento, es planear la estrategia de cómo hacer el levantamiento en el menor tiempo posible, tratando de que el plano demuestre la realidad. 2.-Recopilación de Información y Planeamiento del Trabajo

Se realiza la recopilación de información necesaria sobre la zona; como planos, mapas, cartas, etc. Así mismo, se realiza el planeamiento del trabajo que consiste en la elección del método más adecuado a utilizar, personal necesario, los instrumentos topográficos adecuados, materiales necesarios, y otros que permitan lograr un adecuado levantamiento topográfico.

3.- Trabajo de Campo

Ejecutar todos los métodos y procedimientos topográficos necesarios. Cuya finalidad es de obtener o recolectar datos de campo, mediante el empleo de instrumentos topográficos. Esta recopilación fundamentalmente consiste en medir ángulos horizontales y/o verticales, distancias horizontales o verticales, desniveles, obtención de coordenadas, etc.

Para realizar la anotación de los datos obtenidos en campo, en esta etapa se debe hacer uso de la libreta de campo.

En la etapa de trabajo de campo es necesario Monumentar Hitos

Esta operación consiste en monumentar hitos permanentes y/o temporales en posiciones estratégicas que nos servirán como referencia para levantamientos topográficos y replanteos de obras de ingeniería civil.

HITOS PERMANENTES

1. Se excava un hoyo de 25 cm aproximadamente, en el lugar donde se monumentará el hito.

Empleando comba y cincel remueva todo el material excedente.

2. Clave una varilla de fierro corrugado de ½” de 40 cm de longitud.

Sujetando con una mano la varilla en el centro del hoyo, golpéela con una comba hasta que se sostenga por sí sola. Continúe golpeando la varilla hasta que esta sobresalga aproximadamente 2 cm. del terreno.

3. Prepare Concreto (Mezclando arena, piedra, cemento y agua.)

4. Llene de concreto el hoyo hasta alcanzar el nivel del terreno. Para ello deberá realizar el llenado en dos capas, chuzando cada capa con una varilla de fierro, a fin de obtener una mejor compactación del concreto y por ende mayor resistencia.

5. Enrase la superficie. Verificando previamente la correcta verticalidad de la varilla de acero. En caso de encontrar algún defecto, deberá corregirlo inmediatamente. Empareje con un badilejo o plancha el concreto hasta obtener una superficie plana y lisa. 6. Espere 24 horas para que el concreto endurezca. Nota: No se debe pintar el hito antes de transcurrido este tiempo ya que el concreto se encuentra aún en proceso de fraguado. 7. Pinte el hito (limpiando la superficie, pincelar la varilla y parte del hito) HITOS TEMPORALES Los hitos temporales pueden estar conformados por varillas de acero de 1/2”, estacas de madera, o marcas de pintura en losas, veredas o pistas. a) Varillas de acero de 1/2” Clave una varilla de fierro corrugado de 1/2” de 40 cm. de longitud. Sujetando con una mano la varilla, golpéela con una comba hasta que se sostenga por sí sola. Continúe golpeando la varilla hasta que esta sobresalga aproximadamente 2 cm. del terreno.

b) Estacas de madera Estacas de madera de 1” x 1” y de 30 cm. de longitud. Sujetando con una mano la estaca, golpéela con una comba hasta que se sostenga por sí sola.

Continúe golpeando la estaca hasta que esta sobresalga aproximadamente 2 cm. del terreno. c) Marcas de Pintura Limpie la superficie elegida. Desempolvando con una brocha seca la superficie, hasta que quede libre de partículas que impidan la adherencia de la pintura con la superficie elegida. Pinte una señal que indique el hito temporal. Trazando una circunferencia de 10 cm. de diámetro, dividida en 4 partes iguales. Coloreando dos semicírculos opuestos. Marque en la intersección de la división, una cruz. Destacando la intersección. Codifique la señal marcada. Utilizando números, letras o la combinación de ambos

4.- Libreta de Campo Es un registro de las observaciones y datos que se refieren a un trabajo topográfico. Las anotaciones deben ser claras, precisas y completas. Todos los detalles topográficos naturales y artificiales se dibujan en proporción estimada o exagerada, generando el croquis correspondiente. 5. Trabajo de gabinete En esta etapa se realizan todos los cálculos matemáticos necesarios en fin de obtener datos de gabinete que permitan realizar la representación gráfica del levantamiento topográfico. El trabajo de gabinete permite la obtención de mapas o planos requeridos en un trabajo topográfico; para ello, en la mayoría de los casos se utilizan programas de computadoras. Así mismo, en esta etapa se elaboran los informes técnicos necesarios. También incluye la representación gráfica de los datos para obtener un plano o un gráfico, o para transcribir los datos a un formato digital y procesar la información en un CAD

LOS CAMPOS DE LA TOPOGRAFÍA

La topografía es el primer paso para realizar cualquier obra de Ingeniería Civil, mediante la topografía se logra conocer el terreno sobre el cual se va a proyectar y ejecutar la obra. En los campos de la topografía tenemos: Movimientos de tierra.

Replanteos de obras de Construcción

Levantamientos Topográficos.

En proyectos de: Carreteras, Ferrocarriles, Puentes, Túneles, Acueductos y Alcantarillados, Obras Portuarias, Presas, Riego y Drenaje, Urbanizaciones, Aeropuertos, etc. La topografía es un curso propio de los Ingenieros Civiles, pero es también de uso frecuente en Arquitectura, Astronomía, Geografía, Geología e Ingeniería de Minas, etc. Se puede asegurar que el éxito de un proyecto de Ingeniería está ligado y relacionado inicialmente con la precisión obtenida en los trabajos topográficos.

LOS CAMPOS DE LA GEODESIA La geodesia se aplica en Levantamiento de grandes extensiones donde se hace necesario considerar la Curvatura Terrestre; generalmente empleado por instituciones de carácter oficial dedicado a confeccionar los mapas de los países. En el Perú la institución encargada de esto es el I.G.N. (Instituto Geográfico Nacional). Sus límites.- Si se supone que la tierra tiene forma esférica, entonces tenemos que decir que las normales o plomadas, convergerían en un punto que sería el centro de la tierra. Si la consideramos como un esferoide las normales estarían contenidas sobre el eje

menor del esferoide.

CAPITULO I TRABAJOS ELEMENTALES CON CINTA Y JALONES.

Es necesario dominar el tema por muy elemental que sea del manejo de la cinta y

jalones, la cinta métrica de ahora en adelante se utilizara en la mayoría de nuestros

trabajos. Aquí se le presenta una serie de consejos para que puedan trabajar de forma

correcta con la cinta y jalones.

1. Alineamiento

Desde el punto de

vista planimétrico

se considera

como

alineamiento de

AB, a la recta que

resulta de

proyectar dichos

puntos A y B,

sobre un plano

horizontal. Cuando se midan terrenos de accidentada topografía es necesario aplicar

entre dos puntos el alineamiento respectivo.

Trazado de Perpendiculares y Paralelas

a) Levantar una perpendicular a una línea en un alineamiento dado.

Formamos un triángulo rectángulo con una sola cinta, para ello empleamos lados de 3, 4, y 5 m. o múltiplos de ellos. Tres personas sostienen las marcas en la cinta: Una en la marca de 3 m., otra en la de 7 m. y otra juntando el 0 y 12 m.

Midiendo distancias iguales cualesquiera sobre el mismo alineamiento a ambos. b) Trazar desde un punto “C”, una perpendicular a una línea AB.

Se marcarán sobre la línea AB dos puntos a igual distancia del punto “C”, y a la mitad de su separación queda la normal que viene de “C”.

Cuando el punto “C”, es inaccesible pero visible. Se forma un triángulo con los puntos auxiliares 1 y 2 sobre la línea AB y se bajan de ellas normales a los lados opuestos, es decir alturas del triángulo. Por la intersección de ambos alturas pasará la normal. (Altura que baja de “C”).

c) Trazar una paralela a la línea AB, por un punto “C”.

- Midiendo la distancia normal desde el punto “C” a la línea AB y repitiendo la operación más adelante en otro punto cualquiera (1).

1. Mediciones entre un punto accesible (a) y un punto inaccesible (b)

Se toma un triángulo rectángulo en A, un punto auxiliar P y de A, se traza una normal

al lado BP, que cae en Q. Luego los triángulos ABP y QAP, son semejantes.

Todas las longitudes se pueden medir en la zona accesible, para determinar la

longitud AB.

2. Medidas de ángulos con cinta El ángulo formado por la intersección de dos alineamientos se puede determinar usando cintas de la siguiente manera: 1) Se mide una longitud X en ambos alineamientos AB y AC, determinando los puntos B y C.

2) Se une los puntos B y C y se mide la distancia.

3) Se determina el punto medio d entre B y C.

CAPITULO II AZIMUT Y RUMBOS

1. AZIMUT

El azimut es el ángulo horizontal medido en sentido

horario a partir de un meridiano de referencia. Lo más

usual es medir el azimut desde el Norte (sea

verdadero, magnético o arbitrario). Los azimuts

varían desde 0° hasta 360° y no se requiere indicar el

cuadrante que ocupa la línea observada.

Sobre el terreno es fácil calcular el azimut de una

línea si se cuenta con una brújula. Este se coloca a la

altura de los ojos, para poder ubicar con mayor

facilidad sobre el cuadrante la línea o visual cuyo

azimut o rumbo se desea conocer.

EJEMPLO: SEGÚN LA FIGURA:

Azimut OA Az OA = 35° 20 ’00’’

Azimut OB Az OA = 148° 50’ 00’’

Azimut OC Az OA = 242° 40’ 00’’

Azimut OD Az OA = 319° 50’ 00’’

2. RUMBOS

Es el ángulo horizontal medido a partir del extremo

Norte o del extremo Sur del meridiano hacia el Este

u Oeste y sus valores varían de 0 a 90°.

El ángulo se mide (según el cuadrante) ya sea

desde el Norte o desde el Sur, y hacia el Este o

hacia el Oeste, y su valor no es mayor de 90°. El

cuadrante en el que se encuentra se indica

comúnmente por medio de la letra N o la S

precediendo al valor numérico del ángulo, y la letra

E o la W, en seguida de dicho valor: Ejm: N

30°00’00’’ E. Los Rumbos pueden obtenerse en el

campo observando la aguja de una brújula.

EJEMPLO: SEGÚN LA FIGURA:

Rumbo OA Rb OA = N35° 20’00’’E

Rumbo OB Rb OA = S31° 10’00’’E

Rumbo OC Rb OA = S62° 40’00’’W

Rumbo OD Rb OA = N40° 10’00’’W

3. CONVERSIÓN DE AZIMUT A RUMBOS

Un rumbo se calcula fácilmente a partir de su acimut, observando el cuadrante en el

que cae este último y haciendo las conversiones como se indica en la tabla.

I Cuadrante Rb = Az

II Cuadrante Rb = 180° - Az

III Cuadrante Rb = Az – 180°

IV Cuadrante Rb = 360° - Az

CONVERSIÓN DE AZIMUTS A RUMBOS E INVERSA

En la conversión de rumbos a azimuts e inversa, se requiere tener presente las

siguientes igualdades, las cuales en todo momento se pueden obtener a partir de las

figuras, según el cuadrante donde este alojada la línea.

LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS

I. LEVANTAMIENTO CON CINTA Y BRUJULA

LA ATRACCIÓN LOCAL es originada por la presencia de objetos de hierro o acero, de algunos otros metales y por corrientes eléctricas que producen atracción magnética sobre la aguja magnética de la brújula, hasta el punto de que en algunos lugares se hace imposible el uso de la brújula por una atracción local demasiado grande.

Para leer el azimut de una recta se coloca la brújula sobre la línea, se nivela, se suelta la aguja para que pueda girar libremente, se da vista a otro punto de la recta, y cuando la aguja se estabilice, se lee el ángulo que esta indica.

LA BRUJULA

La prioridad del tema es que el lector se vuelva un experto en el manejo de la brújula, instrumento que se utiliza en:

Levantamientos rápidos de terrenos planos.

Conocimientos necesarios.

l. Concepto de meridiano, rumbo, azimut, poligonal, ángulo horizontal (interior, exterior, deflexión

2. Conocimiento de la brújula, declinación, inclinación, atracción local, etc. Trabajo de campo. l. Equipo: Brújula, los demás implementos dependen de la. Forma cómo se vaya a ejecutar la medida de las distancias: a) Si se mide con cinta: cinta, agujas, plomadas, jalones. 2. Personal: 1 observador (maneja. el instrumento y hace las anotaciones.) 2 Cadeneros (medidas con cinta) (2). 3 Portamiras (estadía) (2). 3. Ejecución del trabajo:

a) Se establecen los puntos materializándolos con una estaca o marca. Estos puntos definen los vértices (estaciones) de la poligonal a levantar.

b) Se estaciona la brújula en cada vértice de la poligonal.Se lee y anota el Azimut directo e inverso (Azimuts observados).

Si la medida de las distancias se hace por el método estadimétrico, se anotan los valores correspondientes al hilo superior y al hilo inferior leídos en la mira y el ángulo vertical correspondiente. (Es muy recomendable hacer 2 medidas para cada lado y

confrontarlas en el momento de obtener la segunda, con el fin de mejorar la precisión lineal y evitar equivocaciones).

Si se mide con cinta, se hace la correspondiente medida y se anota en la libreta.

EJEMPLO PRACTICO: LEVANTAMIENTO PLANIMÉTRICO CON CINTA Y BRÚJULA. l. Trabajo de campo: a) Terreno. 1, Linderos: Limitado por líneas rectas (polígono de 5 lados). Vértices de los linderos definidos por estacas, pudiéndose estacionar la brújula en cada vértice. b) Ejecución del trabajo: l. Se observó el azimut directo y el azimut inverso para cada lado (eje) 2. Se midió con la cinta cada lado c) Libreta de campo:

Columnas: I. Estación: Vértice de la poligonal donde se estaciono el aparato para medir los

azimuts II. Punto visado u observado: punto

donde se miró desde la estación. III. Distancia.: los valores

correspondientes medidos en el terreno.

IV. Azimut leído en la brújula. V. Angulo interior calculado: ángulo

obtenido a partir de la diferencia de azimut directo.

VI. Factor de corrección VII. Angulo interior corregido: valor del

ángulo interior después del ajuste angular de la. poligonal.

VIII. Azimut corregido: valor del azimut obtenido a partir de un rumbo y los ángulos interiores corregidos. OBSERVACION: El cálculo de los ángulos interiores y el error angular de cierre de ser posible, debe efectuarse en el terreno, con el fin de poder detectar posibles equivocaciones o errores y corregirlos de inmediato. La lectura de las coordenadas Este y Norte para el ejemplo asumiremos 5000, 10000 Levantamiento con cinta y brújula Fecha :12/ABRIL/2014 Lugar : Concepción Hora : 8:00 am Método: Perimetral Clima: Templado

EST PV DIST. H AZIMUT <Hz f´c <Hz corre Z corre

A

E B

60.00

63° 125°

62°

-0°

62°00´

Z AB = 125°

B

A C

51.60

304° 60°30´

116°30´

-0°30’

116°00´

Zant+ <int´+/-180°= 125°+116°00´-180°= 61°

C

B D

33.00

239°30´ 348°

108°30´

-0°30’

108°00´

Zant+ <int´+/-180°= 61°+108°00´+180°= 349°

D

C E

38.10

170° 274°30´

104°30´

-0°30’

104°00´

Zant+ <int´+/-180°= 349°+104°00´-180°= 273°

E

D A

55.60

93° 243°30´

150°30´

-0°30’

150°00´

Zant+ <int´+/-180°= 273°+150°00´-180°= 243°

Σ 542°

Otra forma de compensar los ángulos es que al primer ángulo no le restamos nada y

a los demás le restamos 30´

Una vez que hayamos comprobado que los azimuts coinciden empezamos a

desarrollar las coordenadas de los planos. Cuando el alumno dibuja el plano se podrá

dar cuenta que el terreno no se cierra, entonces la única forma de cerrar es realizar las

correcciones en el eje X (Este) y (Norte). Para la solución de este terreno asumiremos

unas coordenadas arbitrarias para el vértice “A” (5000; 10000) y se calculan de la

siguiente forma:

Error de cierre = 180(n-2)-Σ<int. Leídos

Ec = 540°- 542°

Ec = -2°

Factor de compensación: f´c= Ec/n f´c=

2°/5

f´c= 0°24´

ERROR RELATIVO

ECL=√∑PX2+∑PY2

ECL =

ERROR DE CIERRE LINEAL

∑PX = SUMATORIA PROYECCIONES EN X

∑PY =SUMATORIA PROYECCIONES EN Y

𝑬𝑹 = 𝟏

𝑷𝑬𝑹𝑰𝑴𝑬𝑻𝑹𝑶𝑬𝑪𝑳

EL TEODOLITO

Los instrumentos utilizados para planimetría son el teodolito mecánico o electrónico, la

estadía o mira, cintas, estacas, clavos, pintura, etc. el teodolito es el aparato universal

para la topografía, debido a los diferentes trabajos que se pueden realizar como: medir

ángulos horizontales y verticales, diferencias de altura, etc.

Tipos de teodolitos

POR LA MEDIDA DE ANGULOS VERTICALES

- CENITALES (giramos el anteojo hacia el cielo y el ángulo vertical nos da 00°00’00’’)

- NADIRALES (giramos el anteojo hacia el suelo y el ángulo vertical nos da 00°00’00’’)

POR LA MEDIDA DE ÁNGULOS HORIZONTALES

TEODOLITOS REPETIDORES

(mide los ángulos

horizontales por repetición,

con un mínimo de 2 series y

un máximo de cuatro series),

La puesta en el primer punto

siempre se realiza en la

última lectura realizada

como muestra la figura, y se

mide otra vez el ángulo (ver figura)

EST. PV < Hz 1° LECT. < Hz 2° LECT. < Hz 3° LECT < Hz 4° LECT < PROMED.

A B 00°00’00’’ 62°12’10’’ 124°40’15’’ 186°36’40’’

El ángulo prom. Será la lectura final entre el N° de series =248°48’50’’/4 =62°12’12.50’’

E 62°12’10’’ 124°24’15’’ 186°36’40’’ 248°48’50’’

TEODOLITOS REITERADORES

(mide los ángulos horizontales

por reiteración con un mínimo

de 2 series y un máximo de

cuatro series). La puesta en el

primer punto siempre se

realiza en los cuadrantes, es

decir; en los ángulos de 0°; 90°, 180° y 270°

Si quisiéramos medir el ángulo interno, de un polígono podríamos hacerlo por

el método de reiteración de la siguiente forma:

EST.

PV < Hz 1° LECT. < Hz 2° LECT. < Hz 3° LECT

< Hz 4° LECT < PROMED.

A B 00°00’00’’ 90°00’00’’ 180°00’00’’ 270°00’00’’

E 62°20’10’’ 152°20’15’’ 242°20’20’’ 332°20’0’’

<BAE

62°20’10’’ 62°20’15’’ 62°20’20’’ 62°20’05’’ 249°20’50’’/4 =62°20’12.50’’

Para la medida de ángulos horizontales por el Método de Repetición y Reiteración y la

distancia entre los puntos es menor o igual a 100 m, considero seria innecesario

aplicar este método, porque no aumentaría la precisión de la medida angular. También

debo recordar que cuando mida ángulos horizontales por este método, se recomienda

medir a la base de los vértices del polígono.

PUESTA EN ESTACIÓN DEL TEODOLITO.

1) Se coloca el trípode sobre el punto de estación,

2) Se desajustan los tornillos del trípode y se sube la base del trípode hasta la altura

del pecho o cuello. Luego ajustar los tornillos del tripie.

3) Se abre las patas del tripie tratando de formar un triángulo equilátero (aprox.

0.60m) y se clava una de las patas del trípode en el suelo, tratando de que la base

del trípode este aprox. horizontal.

4) Se monta el teodolito sobre la base del trípode y se une a este mediante el tornillo

de sujeción del trípode. Y el equipo no podrá caer al piso.

5) Con la plomada laser o ayuda del pie se ubica a través de la plomada óptica el

punto de estacionamiento que debe coincidir exactamente en el punto.se debe

ubicar el punto del piso con las patas que no están fijadas.

6) Luego se centra el nivel esférico con las patas, siempre trabajando con las patas

opuestas a la burbuja del nivel esférico.

7) Después se empieza a calar el nivel tubular (siempre ubicando el nivel tubular o

asa del equipo paralelo a dos tornillos nivelantes) y realizar un movimiento de los

dos tornillos a la vez, bien hacia adentro o bien hacia afuera hasta centrar el nivel

tubular, una vez centrado giro la alidada 90° y con el tornillo nivelante que no

utilice, finalizo el procedimiento de calar el nivel tubular.

I. LEVANTAMIENTO CON TEODOLITO Y CINTA

El procedimiento es similar al Levantamiento con Cinta y Brújula. Solo que ahora leeremos con la brújula el azimut del primer punto donde estacionemos el teodolito (A), al último punto (E), y leeremos el azimut al punto (B) obteniendo el ángulo interno “A” EJEMPLO PRACTICO: LEVANTAMIENTO PLANIMÉTRICO CON TEODOLITO Y CINTA. l. Trabajo de campo: Reconocimiento de terreno. 1, Linderos: Limitado por líneas rectas (polígono de 5 lados). Vértices de los linderos definidos por estacas, pudiéndose estacionar la brújula en cada vértice. b) Ejecución del trabajo: l. Se observó el azimut directo hacia el segundo y último punto y se midió con la cinta cada lado. 2. Se estaciono el teodolito en cada vértice y se midió el ángulo interno.

ERROR RELATIVO

ECL=√∑PX2+∑PY2

ECL =

ERROR DE CIERRE LINEAL

∑PX = SUMATORIA PROYECCIONES EN X

∑PY =SUMATORIA PROYECCIONES EN Y

𝑬𝑹 = 𝟏

𝑷𝑬𝑹𝑰𝑴𝑬𝑻𝑹𝑶𝑬𝑪𝑳

ER

RO

R

RE

LA

TIV

O

EC

L=

√∑P

X2+∑P

Y2

EC

L =

ER

RO

R D

E C

IER

RE

LIN

EA

L

∑P

X =

SU

MA

TO

RIA

PR

OY

EC

CIO

NE

S E

N X

∑P

Y =

SU

MA

TO

RIA

PR

OY

EC

CIO

NE

S E

N Y

𝑬𝑹

=

𝟏

𝑷𝑬𝑹𝑰𝑴

𝑬𝑻𝑹𝑶

𝑬𝑪𝑳

IV.TAQUIMETRIA

LEVANTAMIENTO CON TEODOLITO Y MIRA

El procedimiento es similar al Levantamiento con Teodolito y Cinta. Solo que ahora leeremos con la brújula el azimut del primer punto donde estacionemos el teodolito (A), al último punto (E). Y nos basaremos en los principios de la TAQUIMETRIA (donde podemos medir la DH = distancia horizontal entre dos puntos). Antes de realizar un levantamiento topográfico por los diferentes métodos, es necesario conocer el concepto de ESTADIA O MIRA. Y las condiciones que debe cumplir al lecturar los HILOS ESTADIMETRICOS

LA MIRA En topografía, una estadía o mira estadimétrica es una regla graduada que permite mediante un nivel topográfico, medir desniveles, es decir, diferencias de altura. Con una mira, también se pueden medir distancias con métodos trigonométricos y un teodolito o bien un taquímetro. Las miras están graduadas en metros, decímetros y centímetros, la lectura se realiza precisando hasta el milímetro.

PRINCIPIO DE LOS HILOS ESTADIMETRICOS

Cuando yo trabajo con teodolito y mira, debo de tener presente, siempre que la suma

del HILO SUPERIOR E HILO INFERIOR DIVIDIDO ENTRE DOS, EL RESULTADO

DEBE SER IGUAL A LA ALTURA DEL INSTRUMENTO O HILO CENTRAL, cuando

nos iniciamos en topografía es recomendable ir comprobando en cada medida

realizada hasta llegar a la perfección.

Cuando se trabaja con el teodolito hay que tener en cuenta, el presente grafico:

En topografía se pueden aplicar diferentes métodos de levantamiento topográfico. La elección de un método topográfico depende de factores que demandaran su elección. Para hacer un levantamiento topográfico aplicamos varios tipos, pero por cuestiones académicas solo aplicaremos 04 métodos:

1. PERIMETRAL O POLIGONAL 2. RADIACION 3. INTERSECCION DE VISTAS, LINEAS O VISUALES 4. RELLENO TOPOGRAFICO O TOMA DE DETALLES

1. LEVANTAMIENTO TOPOGRÁFICO POR EL METODO PERIMETRAL O

POLIGONAL

Método usado cuando desee medir un polígono cerrado o abierto (canales, carreteras, ferrocarriles, etc.) pero me es imposible por cuestiones naturales o artificiales aplicar otros métodos de levantamientos topográficos (radiación o toma de detalles). En este caso debe medirse distancias horizontales y ángulos internos, para luego si se está dentro del rango pasar a compensar los ángulos internos y aplicar la compensación de las coordenadas, y por último hallar las coordenadas finales. Para poder hallar las COORDENADAS ESTE Y NORTE, necesito los datos tomados en campo, y con la aplicación de las siguientes formulas, podre compensar los ángulos y hallar las proyecciones No debo olvidar que 2P = PERIMETRO

Donde: E= error de cierre angular F’c = factor de corrección ∆Y = proyección en Y ∆X = proyección en X CY = corrección en Y CX = corrección en X Np = Norte parcial Ep = este parcial Caso practico Trabajo de campo. l. Equipo: Teodolito y mira, agujas, plomadas, jalones. 2. Personal: 1 Observador (maneja el instrumento y hace las anotaciones.) 2 Portamiras (estadía) (2). Ejecución del trabajo: a) Reconocimiento de terreno b) Se establecen los puntos materializándolos con una estaca o marca. Estos puntos definen los vértices (estaciones) de la poligonal a levantar. c) Se estaciona el teodolito en cada vértice de la poligonal. d) Se da lectura el azimut directo hacia el último punto (E) en un polígono cerrado y al segundo punto en un polígono abierto

e) Luego con el teodolito pondré 00°00’00’’ en el punto E y mediré el ángulo interno “A” visando el punto “B” y leeremos el azimut al punto (B) obteniendo el ángulo interno “A” Ahora la medida de las distancias se hace por el método estadimétrico, se anotan los valores correspondientes al hilo superior y al hilo inferior leídos en la mira y el ángulo vertical correspondiente. También debo de anotar la altura del instrumento en cada vértice EJEMPLO PRACTICO: LEVANTAMIENTO PLANIMÉTRICO CON TEODOLITO Y MIRA. l. Trabajo de campo: a) Reconocimiento de terreno. 1, Linderos: Limitado por líneas rectas (polígono de 5 lados). Vértices de los linderos definidos por estacas, pudiéndose estacionar la brújula en cada vértice. b) Ejecución del trabajo: l. Se observó el azimut directo hacia el segundo y último punto y se midió con mira cada lado. Se estaciono el teodolito en el punto A. se viso en 00°00’00’ en el NM y se midió el Azimut AB y AE. Luego se estaciono el equipo en cada vértice, midiendo los ángulos internos de cada vértice.

ER

RO

R R

EL

AT

IVO

EC

L=

√∑P

X2+∑P

Y2

EC

L =

ER

RO

R D

E C

IER

RE

LIN

EA

L

∑P

X =

SU

MA

TO

RIA

PR

OY

EC

CIO

NE

S E

N X

∑P

Y =

SU

MA

TO

RIA

PR

OY

EC

CIO

NE

S E

N Y

𝑬𝑹

=

𝟏

𝑷𝑬𝑹𝑰𝑴

𝑬𝑻𝑹𝑶

𝑬𝑪𝑳

2.- LEVANTAMIENTO TOPOGRÁFICO POR EL MÉTODO DE RADIACIÓN

Es el método más usado en el campo de la topografía, debido a su alta precisión.

Debo recordar que un levantamiento topográfico es más preciso con el menor número

de estaciones. Un topógrafo, mucho más que topógrafo es un buen ESTRATEGA.

Este método es válido para cualquier POLÍGONO ABIERTO O CERRADO

Antes de estacionar el Teodolito o Estación Total, lo primero que debe de hacer es un

reconocimiento de terreno, para poder ubicar adecuadamente el punto donde

estacionara el teodolito. El método de RADIACION consiste en ubicar el TEODOLITO

O ESTACIÓN TOTAL en un punto equidistante a todos los vértices del polígono

abierto o cerrado. Pero en la vida practica no suele ocurrir este caso por eso muchas

veces no podremos ubicar el teodolito en el centro del polígono, y optamos por un

punto no necesariamente al centro.

CONDICIONES QUE DEBE CUMPLIR EL METODO DE RADIACION

Ubicar los linderos o vértices del polígono a medir o levantar.

Determinar la ubicación del teodolito o estación total. El punto de

estación puede ser :

1.-VERTICE DEL Polígono.- desde este vértice

se deben visar todos los puntos del polígono, y

en altimetría los puntos donde se interpolaran las

curvas)

2.-PUNTO INTERNO EN EL POLIGONO.-desde

este punto interior se debe visar todos los

vértices del polígono, y en altimetría los puntos

donde se interpolaran las curvas)

3.-PUNTO EXTERNO AL POLÍGONO.-desde

este punto exterior se debe visar todos los

vértices del polígono, y en altimetría los

puntos donde se interpolaran las curvas)

Una vez determinado el estacionamiento del equipo topográfico, desde este punto

haciendo uso de la brújula se fijara el norte magnético, señalándolo con un jalón y si

es posible este norte debe ser un punto fijo.

Se hará cero grados el ángulo horizontal del teodolito en el norte magnético, es

indiferente la medida del hilo superior o inferior en el ángulo vertical

Por último se visaran los vértices del polígono, anotando en la libreta de campo los

azimuts a cada vértice, el hilo superior e inferior y el ángulo vertical

El máximo error que se podrá cometer es:

El error se determina dando una última lectura al primer punto, es decir leer

nuevamente el punto A.

Ejemplo: determinar si el levantamiento realizado es válido o invalido, la precisión del

teodolito es igual a 10” (P=10”)

Si el Azimut al punto A fue de 15°20’28¨, seguimos visando el punto B, luego C, D, E y

F, nuevamente se leerá el azimut al punto A, si es 15°20’36¨, hay una variación que es

de 0°00’08¨

E campo< Emax

Emax= 10√5 Emax= 22.3606 8¨< 22.3606¨ (Entonces el trabajo es valido

Emax= P√N

Emax = Error Máximo.

P= Precisión del teodolito (1¨,5¨,10¨) N= N° de lados del polígono.

Emax= P√N

Ejemplo práctico: se realizó el levantamiento topográfico por el método de radiación de un polígono cerrado de seis lados, y se procedió hallar sus coordenadas, para poder plotearlas a lápiz y papel

Calculo de distancias, con los hilos estadimetricos

DIST. HORIZONTAL

DH = (Hs-Hi) x100 x (SEN <V) ²

DH = (Hs-Hi) x100 x (COS α) ²

DISTANCIA INCLINADA Di = (Hs-Hi) x 100

α = 90°- <V leído

LEVANTAMIENTO TOPOGRÁFICO POR EL MÉTODO DE INTERSECCIÓN

DE VISUALES

Es el método más usado, cuando nuestros puntos a medir resultan inaccesibles o

están muy lejanos.

Entonces es necesario aplicar el METODO DE INTERSECCION DE VISUALES por

su rapidez ya que solo se miden ángulos horizontales y se calculan distancias

horizontales en base a un solo lado para todos los triángulos.

Las intersecciones son métodos en los que para determinar la posición de un punto

sólo se requiere la medida de ángulos. Si las observaciones se hacen desde puntos de

coordenadas conocidas.

Pasos a seguir en este método:

Antes de estacionar el Teodolito, lo primero que debe de hacer es un reconocimiento

de terreno, para poder ubicar adecuadamente los puntos que me servirán como base

(X e Y). Las dos estaciones pueden ubicarse dentro del polígono, fuera del polígono o

una estación dentro y otra estación fuera, recomendándose las dos dentro

Las estaciones X e Y jamás deben estar alineadas a uno de los vértices del polígono

(mínimo 15°)

La idea principal de este método es hallar las coordenadas de los puntos a medir

(polígono abierto o cerrado), mediante una misma

base para todos los puntos (esta base serán mis

dos estaciones X e Y).

La base X e Y debe ser medido con total precisión (en

lo posible con cinta métrica), De esta base dependerá

la precisión del levantamiento.

Es de vital importancia medir las coordenadas UTM

(con GPS) de una de las dos estaciones que sirven

como base.

Desde nuestra primera estación (X), el ángulo horizontal se pone 0°00’00’’ en el Norte

Magnético. Se miden los ángulos horizontales o azimuts a nuestros vértices. (para

determinar si la medida realizada es correcta aplico la fórmula del error máximo

aprendida en el método de radiación)

Desde la segunda estación (Y) el ángulo horizontal se

pone 0°00’00’’ en la estación X. Se miden los ángulos

horizontales a los vértices. (es importante recordar que

la medida de los ángulos horizontales sean siempre a

la base de los jalones)

Desde las dos estaciones (X y Y) se deben visar todos

los vértices del polígono

Al final el polígono debe quedar de la siguiente

forma. Para calcular distancias debo formar

triángulos (todos deben tener la misma base X e Y),

Aplicando la ley de senos hallo las distancias XA -

XB - XC – XD - XE - XF

El objetivo es quedarme con una sola estación X y

aplicar el proceso seguido en radiación, pues ya

conozco las distancias y el azimut, entonces puedo

hallar las coordenadas de los vértices y poder

representarlos en un plano

Ejemplo: con los datos presentados hallar las

coordenadas del punto A

Distancia XY = 30.00 m (se estaciono el teodolito

en A y se puso 0° en el Norte Magnético)

Coordenadas del punto A:

Para hallar la coordenada de A, debo conocer la distancia horizontal XA (aplico ley de

senos)

EST PV Az DH PX PN Norte Este

X NM 0°00’00’’ ------ -------- -------- 5000.00 10000.00

A 38°20’40’’ 49.35524068 30.61937920 38.70908679 5030.61937920 10038.70908679

SENY

XA

SENA

XY

''501084''20'1537

30

SEN

XA

SEN

XASEN

XSEN

''20'1537

''10'508430

XA35524068.49

Este=5000 Norte=10000

AzXA= 38°20’40’’ Az XY=96°15’10’’

<XYA= 47° 50’10’’

EJEMPLO PRÁCTICO

Se realizó el levantamiento topográfico por el método de intersección de visuales de un polígono cerrado de seis lados, y se procedió hallar sus coordenadas, para poder plotearlas.

Lugar: Incho – Huancayo Topógrafo : Brigada SURVEYING Fecha: 28/Nov/2012 Instrumento: Teodolito Electrónico Clima: templado Método: Intersección de visuales

Estación P.V. < Hz

X NM 00°00’00”

A 41°36’50”

B 140°31’10”

C 173°19’35”

D 200°06’30”

Y 268°31’56”

E 338°07’31”

Y X 00°00’00”

B 43°00’28”

C 74°06’08”

D 103°04’20”

E 265°03’41”

A 322°11’29”

Este X=5000 Norte X= 10000

Volvemos a recordar que mi objetivo es quedarme con una sola estación, es decir; convertirlo a RADIACION. Por criterio del autor se recomienda quedarme con la primera estación, porque en esta estación tome las coordenadas UTM (con el GPS). Debo hallar los lados XA – XB – XC – XD – XE y desaparecer la estación Y aplicando ley de senos a todos los triángulos con la misma base XY.

Primer triangulo: ∆YXA Segundo triangulo: ∆YXB

140°31’10

”

Y X 35.00

A Y X 35.00

B

YSEN

XA

ASEN

YX

''31'4837''35'0609

35

SEN

XA

SEN

XASEN

XSEN

''35'0609

''31'483735

XA51757343.135

YSEN

XB

BSEN

YX

''28'0043''46'5808

35

SEN

XB

SEN

XBSEN

XSEN

''46'5808

''28'004335

XB95617872.152

Tercer triangulo: ∆YXC Cuarto triangulo: ∆YXD

Quinto triangulo: ∆YXE

Como podemos apreciar nos ha quedado un terreno como si hubiéramos hecho el levantamiento por el método de RADIACION. Me queda armar la hoja de cálculo con las distancias horizontales y los azimuts para hallar las coordenadas finales.

El plano debemos presentarlo con Rumbos entre los lados, para ello debemos hallar los azimuts entre lado y lado y convertirlo a azimut. Y no debemos olvidar que contamos con un azimut de partida Az XA= 41°36’50” y de ahí en adelante hallare los azimuts AB, BC, CD, DE y EA

Y X 35.00

C

YSEN

XC

CSEN

YX

''08'0674''31'4110

35

SEN

XC

SEN

XCSEN

XSEN

''31'4110

''18'067435

XC43479072.181

Y X 35.00

D

YSEN

XD

DSEN

YX

''20'04103''14'3008

35

SEN

XD

SEN

XDSEN

XSEN

''14'3008

''20'0410330

XD55043733.230

Y X 35.00

E YSEN

XE

ESEN

YX

''19'5694"06'2815

35

SEN

XE

SEN

XESEN

XSEN

''06'2815

''19'569435

XE74357400.130

Az XA = 41°36’50” Az AB = AZ ant + < ext ± 180° (si el azimut AB >180 se le resta 180°) Az AB = 41°36’50”+ 316°29’32.20”-180° (si el azimut AB <180 se le suma 180°) Az AB = 178°06’22.20” Rb AB=180°-Az AB Rb AB=180°-178°06’22.20” Rb AB=S01°53’37.80”E Az BC = AZ ant + < ext ± 180° (si el azimut BC >180 se le resta 180°) Az BC = 01°53’37.80”+ 232°47’15.33”-180° (si el azimut BC <180 se le suma 180°) Az BC = 230°47’15.33” Rb BC = Az BC-180 Rb BC=230°47’15.33”-180° Rb BC=S50°47’15.33”W Az CD = AZ ant + < ext ± 180° (si el azimut CD >180 se le resta 180°) Az CD = 230°47’15.33”+ 199°19’45.87”-180° (si el azimut CD <180 se le suma 180°) Az CD = 250°07’01.20” Rb CD = Az CD -180 Rb CD =250°07’01.20”-180° Rb CD =S70°07’01.20”W Az DE = AZ ant + < ext ± 180° (si el azimut DE >180 se le resta 180°) Az DE = 250°07’01.19”+ 295°03’01.00”-180° (si el azimut DE <180 se le suma 180°) Az DE = 365°10’02.20” (HA PASADO DE UNA VUELTA POR ENDE SE LE RESTA 360°), POR LO TANTO Az DE = 365°10’02.20”-360° Az DE = 5°10’02.20” Rb DE = Az DE Rb DE = 5°10’02.20”° RbDE=N 5°10’02.20” E Az EA = AZ ant + < ext ± 180° (si el azimut EA >180 se le resta 180°) Az EA = 5°10’02.20”+ 273°02’32.30”-180° (si el azimut EA <180 se le suma 180°) Az EA = 98°12’34.50” Rb EA = Az EA-180° Rb EA =180°-98°12’34.50” Rb EA =S81°47’25.5 SOLO PARA COMPROBAR HALLAMOS NUEVAMENTE POR FORMULA EL RUMBO AB Az AB = AZ ant + < ext ± 180° (si el azimut AB >180 se le resta 180°) Az AB = 98°12’34.50”+ 259°53’47.71”-180° (si el azimut AB <180 se le suma 180°) Az AB = 178°06’22.20” RbAB=180°-Az AB RbAB=180°-178°06’22.20” RbAB=S01°53’37.80 También podemos hallar los RUMBOS POR COORDENADAS, como mostraremos a continuación:

Como el numerador es positivo (+) y el denominador es negativo (-), se encuentra en el II cuadrante por lo tanto el rumbo AB= S 01°53’37.80” E

29219.375728-

7.25380224TanArc

)694310101.3179-1149881.94224(

)2095089.99823-4335097.25203(TanArc=

)(

)(

NANB

EAEBArcTanRbAB

"80.37'531895026065.1 RbAB

Como el numerador es positivo (-) y el denominador es negativo (-), se encuentra en el III cuadrante por lo tanto el rumbo BC= S 01°53’37.80” W

Como el numerador es positivo (-) y el denominador es negativo (-), se encuentra en

el III cuadrante por lo tanto el rumbo CD= S 70°07’01.20” W

Como el numerador es positivo (-) y el denominador es negativo (-), se encuentra en el III cuadrante por lo tanto el rumbo CD= S 70°07’01.20” W

EJEMPLO PRÁCTICO Se realizó el levantamiento topográfico por el método de

intersección de visuales de un polígono cerrado de seis lados, y se procedió hallar sus

coordenadas, para poder plotearlas. Libreta de campo:

Lugar: Hincho – Huancayo Topógrafo : Brigada Rotulados Fecha: 28/Nov/2012 Instrumento: Teodolito Electrónico Clima: templado Método: Intersección de visuales

Estación P.V. < Hz

X NM 00°00’00”

A 47°43’47”

B 128°48’45”

Y 156°56’48”

C 163°54’50”

D 196°41’04”

E 357°22’34”

Y X 00°00’00”

E 22°01’39”

A 67°43’50”

B 153°01’06”

C 195°47’49”

D 232°11’01”

EX = 1000 NX = 10000

462.1476804-

876.1668990TanArc

)1149881.94224-0699819.79456(

)4335097.25203-5255021.08513(TanArc=

)(

)(

NBNC

EBECArcTanRbBC

"33.15'475078759084.05 RbAB

536.2916252-

719-100.34751TanArc

)0699819.794565449783.50293(

)5255021.085138064920.73761(TanArc=

)(

)(

NCND

ECEDArcTanRbCD

"19.01'077011699858.70 RbAB

536.2916252-

719-100.34751TanArc

)5449783.50293-306110121.3301(

)8064920.737617994951.28776(TanArc=

)(

)(

NDNE

EDEEArcTanRbDE

"19.01'077011699858.70 RbAB

LEVANTAMIENTO TOPOGRÁFICO POR EL METODO DE LAS

RADIACIONE En la vida práctica no siempre se suele visualizar todos los puntos a medir desde una sola estación, entonces pasaremos a utilizar dos o más estaciones. Antes de estacionar el Teodolito o Estación Total, lo primero que debe de hacerse es un reconocimiento de terreno, para poder ubicar adecuadamente las estaciones (dos o más estaciones). El método de CAMBIO DE ESTACION consiste en ubicar el TEODOLITO O ESTACIÓN TOTAL en un punto para poder visualizar la mayor cantidad de puntos posibles y anotar los datos (< Horizontal, < Vertical. Hilo superior e Hilo inferior). Luego cuando ya no pueda observar otros puntos tengo que necesariamente realizar un cambio de estación para poder medir los puntos o vértices que me faltan medir. El procedimiento es similar al METODO DE RADIACION, el inconveniente es amarrar las coordenadas correctamente. Algunos autores conocen este método como el método de RELLENO TOPOGRAFICO O TOMA DE DETALLES, que también es válido ya que muchas veces levantaremos áreas urbanas, donde los detalles vienen a ser buzones, postes de luz, parques, vereda, pista, vértices de viviendas, etc. El método del cambio de estación lo aplico para carreteras y medir rápidamente un polígono abierto o cerrado de gran extensión y accidentado CONDICIONES QUE DEBE CUMPLIR EL METODO DE CAMBIO DE ESTACION.

Ubicar los linderos o vértices del polígono a medir

Determinar la ubicación de las estaciones del teodolito o estación

total.

1. PRIMERA ESTACION .- desde esta estación se deben visar la

MAYOR CANTIDAD DE PUNTOS POLÍGONO, y en altimetría los

puntos donde se interpolaran las curvas)

2. SEGUNDA ESTACION.-desde esta estación se deben visar los

puntos que faltan medir y en altimetría los puntos donde se

interpolaran las curvas) y así el mismo procedimiento para otras

estaciones.

Una vez determinado nuestra PRIMERA ESTACION, desde este punto

haciendo uso de la brújula se fijara el norte magnético, señalándolo con un

jalón y si es posible este norte debe ser un punto fijo.

Se pondrá cero grados el ángulo horizontal del teodolito en el norte magnético,

es indiferente la medida del hilo superior o inferior en el ángulo vertical

En adelante se visaran los puntos que serán medidos (postes, buzones,

veredas, casas, etc.), anotando en la libreta de campo los azimuts a cada

vértice, el hilo superior e inferior y el ángulo vertical.

¡Recuerdo¡ jamás debo olvidar de visar desde la ESTACIÓN 1 a la ESTACIÓN

2 y anotar (hilo superior, inferior, ángulo horizontal o azimut, ángulo vertical) en

la libreta de campo. Es recomendable medir el azimut directo e inverso desde

E1 a E2

Luego de haber visado los puntos posibles desde esta estación, para visar los

puntos que me faltan debo hacer un cambio de estación. De aquí en adelante

existen dos métodos:

1. HACIENDO CERO GRADOS DESDE LA ESTACIÓN 2 A LA

ESTACIÓN 1

Una vez que se han medido los puntos desde nuestra primera estación, pasaremos a medir los puntos que nos faltan medir. Haciendo 0°00’00’’ en la primera estación. Y medir los ángulos horizontales, ángulos verticales hilos estadimetricos, pero no debemos olvidar que estos ángulos horizontales ya no son azimuts y hay que amarrar las coordenadas.

El máximo error que se podrá cometer es:

El error se determina dando una última lectura al primer punto, es decir leer nuevamente el punto A.

Ejemplo: determinar si el levantamiento realizado es válido o invalido, la precisión del teodolito es igual a 10” (P=10”)

Si el Azimut al punto A fue de 15°20’28¨, seguimos visando el punto B, luego C, D, E y F, nuevamente se leerá el azimut al punto A, si es 15°20’36¨, hay una variación que es de 0°00’08¨

E campo< Emax

Emax= 10√5

Emax= 22.3606

8¨< 22.3606¨

Entonces el trabajo es valido

Ejemplo práctico: Se realizó el levantamiento topográfico por el método del cambio de estación de un área urbana, y nos pidieron los detalles de este terreno que cuenta con un polígono de apoyo de seis lados, y se procedió hallar sus coordenadas, para poder plotearlas a lápiz y papel. Se hizo un recorrido del terreno y por criterio del topógrafo se optó por realizar el levantamiento con solo dos estaciones.

Emax= P√N

Emax = Error Máximo.

P= Precisión del teodolito (1¨,5¨,10¨) N= N° de lados del polígono.

Emax= P√N

Ejemplo: Se realizo el levantamiento topográfico de un terreno y que cuenta con detalles, se pide hallar las coordenadas rectangulares de cada punto. A continuación se les proporciona los datos del levantamiento topográfico (libreta de campo).

Levantamiento Topográfico Lugar: La Oroya – Huánuco Clima: Templado Fecha: 10-oct-2014 Topógrafo: SABATO

EST PV Hs Hi <HZ <HV Croquis

G M S G

M S

E1 N

Ai=1.5 1 1.621 1.379 78 4 5 90 7 0

2 1.579 1.421 112 22 6 89 0 50

3 1.786 1.214 157 45 12 90 15 45

4 1.741 1.259 162 18 6 89 37 54

5 1.742 1.258 198 25 26 89 41 48

6 1.827 1.173 215 52 16 89 32 39

7 1.798 1.202 226 34 48 89 37 36

8 1.664 1.336 230 20 7 89 46 9

9 1.582 1.418 248 37 26 89 43 24

10 1.627 1.373 287 44 47 89 44 54

E2 2.042 0.958 224 0 3 89 59 55

E3 1.9144 1.086 272 9 28 89 59 58

E2 E1 0 0 0

Ai=1.52 11 1.707 1.333 38 18 12 90 11 18

12 2.006 1.034 43 2 55 90 10 10

13 2.015 1.025 45 59 57 90 8 30

14 1.655 1.385 221 45 46 90 10 45

15 1.648 1.392 237 18 33 90 7 50

16 1.555 1.485 270 59 57 90 30 20

17 1.746 1.294 309 39 33 90 35 45

18 1.805 1.235 313 53 46 90 40 45

E3 1.9273 1.113 310 43 6 90 1 1

E3 E2 ----- ------ 0 0 0

Ai=1.48 19 1.681 1.279 31 8 8 90 14 10

20 1.623 1.337 76 24 13 90 17 20

21 1.523 1.437 304 3 3 90 40 10

E1 1.8945 1.066 277 26 19 90 1 2