Manual Del Estudiante_Unidad III rectas y circunferencia

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libro manual del estudiante rectas

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  • Curso en Lnea Herramientas Cientficas y Metodolgicas para la Enseanza de Matemtica en la Educacin Secundaria Mdulo de Geometra Analtica I y su Tratamiento Metodolgico

    Unidad III: Transformacin de Coordenadas 1 Pgina

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    Unidad III: Transformacin de Coordenadas 2 Pgina

    Crditos

    DISEO, EDICIN Y ADAPTACIN DE CONTENIDOS

    MSc. Toms Guido Especialista en Matemtica - UNAN Len.

    APOYO AL DISEO, EDICIN Y REVISIN DE CONTENIDOS

    Lic. Alberto Leonardo Garca Acevedo Especialista en Matemtica - Instituto Miguel de

    Cervantes. Prof. Lissethe Carolina Balmaceda Tllez Especialista en Tecnologa Educativa MINED.

    EDICIN DE GRFICAS Y DIAGRAMACIN DE CONTENIDOS

    Prof. Lissethe Carolina Balmaceda Tllez Especialista en Tecnologa Educativa MINED. Cra. Yaosca Javiera Urroz Pramo Estudiante pasante Informtica Educativa UNAN.

    Managua.

    COORDINACIN

    Prof. Martha Torres Salazar Responsable de Formacin en Tecnologa Educativa

    MINED.

    MSc. Maritza Carrillo Talavera Especialista en Matemtica - UNAN Len.

    PORTADA Y CONTRAPORTADA

    Cro. Josu Adn Snchez Diseador de Pgina Web - MINED

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    Unidad III: Transformacin de Coordenadas 3 Pgina

    ndice

    Plan de la Unidad III .........................................................................................................4

    I. Presentacin ..................................................................................................................4

    II. Indicadores de logro ......................................................................................................4

    III. Contenidos ....................................................................................................................4

    IV. Metodologa ..................................................................................................................5

    V. Orientaciones didcticas y criterios de evaluacin ..........................................................6

    VI. Calendario .....................................................................................................................8

    VII. Porcentajes de calificacin .............................................................................................8

    VIII. Requisitos tcnicos ........................................................................................................8

    Unidad III: Transformacin de Coordenadas ............................................................9

    Simbologa de la unidad ........................................................................................................9

    1. Transformacin de coordenadas ............................................................................... 10

    2. Traslacin de los ejes coordenados ............................................................................ 10

    2.1. Ecuaciones de Traslacin. ...................................................................................... 11

    3. Rotacin de los ejes coordenados ............................................................................... 15

    4. Simplificacin de ecuaciones mediante transformacin de coordenadas .................. 19

    Fuentes de informacin consultadas.................................................................................. 22

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    Plan de la Unidad III

    I. Presentacin La presente unidad busca que los participantes reconozcan sus debilidades y potencialidades

    relacionadas con la enseanza de la Geometra Analtica, as como fortalecer sus prcticas pedaggicas en el aula de clase, mediante las competencias siguientes:

    Utiliza las transformaciones de coordenadas en la simplificacin de ecuaciones.

    Desarrolla el razonamiento matemtico y la orientacin espacial, mediante la resolucin de problemas que implican modelos matemticos representados en el plano cartesiano en un ambiente propicio para el aprendizaje colaborativo.

    Argumenta las soluciones de problemas obtenidas con mtodos numricos, grficos o analticos, mediante lenguaje verbal, matemticos y el uso de las TICs.

    Durante el estudio del contenido los estudiantes desarrollarn una serie de ejercicios prcticos y de aplicacin para reforzar la comprensin de los mismos.

    La unidad tendr una duracin de 3 semanas y se desarrollar completamente bajo la modalidad

    en lnea.

    II. Indicadores de logro

    Identifica las transformaciones de coordenadas en la simplificacin de ecuaciones de lugares geomtricos.

    Aplica las transformaciones de coordenadas a la simplificacin de ecuaciones de lugares geomtricos.

    Resuelve ejercicios de simplificacin de ecuaciones de lugares geomtricos aplicando las transformaciones de coordenadas.

    III. Contenidos Simbologa

    1. Transformacin de coordenadas 2. Traslacin de los ejes coordenados

    2.1.Ecuaciones de Traslacin

    3. Rotacin de los ejes coordenados 4. Simplificacin de ecuaciones mediante transformacin de coordenadas

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    IV. Metodologa La unidad se desarrollar bajo la modalidad a distancia en lnea, a travs del aula virtual del

    Portal Educativo Nicaragua Educa (http://www.nicaraguaeduca.edu.ni/av). Durante el desarrollo el participante recibir tutora por parte de dos expertos profesionales, un tutor especialista en la

    disciplina de Matemtica y de un dinamizador informtico especialista en el uso y manejo del aula virtual.

    Debe dedicar como mnimo 2 hora diaria de estudio independiente, acumulando un total de 21

    horas de estudio para superar exitosamente esta unidad. Este tiempo no requiere que el participante se encuentre conectado al internet y al aula virtual, sin embargo se recomienda como

    mnimo ingresar al campus virtual 2 veces a la semana.

    Como apoyo el participante debe recurrir al manual del estudiante donde encontrar el plan de la unidad y el contenido cientfico con sus respectivas ecuaciones, grficas e imgenes.

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    V. Orientaciones didcticas y criterios de evaluacin

    Actividad de aprendizaje 1: Selecciono mi bloque de ejercicios

    Actividad 1.1: Resuelvo mi bloque de ejercicios

    Descripcin Indicadores de logro Tipo

    El estudiante debe atender las

    siguientes indicaciones:

    o Seleccionar un bloque de ejercicios a resolver.

    o Resolver los ejercicios seleccionados, utilizando

    programas de la computadora, tales como MS Word, Paint y

    Geogebra.

    o Enviar al tutor para revisin y calificacin.

    o Transforma una ecuacin de segundo

    grado mediante una traslacin adecuada de

    los ejes coordenados.

    o Representa en el plano cartesiano una

    ecuacin de segundo grado utilizando

    Geogebra. o Resuelve ejercicios de

    simplificacin de

    ecuaciones aplicando

    las transformaciones de

    coordenadas.

    Individual

    Material de consulta Horas de estudio/ Fecha de entrega

    Producto

    Unidad III: Transformacin de

    Coordenadas

    o 9 horas

    o Lunes 05/10/2015

    o Consulta.

    o Envo de archivo.

    Criterios de evaluacin:

    Aplicacin de lo aprendido en el envo de la tarea.

    Puntualidad.

    Pertinencia y calidad en la resolucin de los ejercicios.

    Uso del software Matemtico.

    Presentacin del trabajo.

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    Actividad de cierre: Resolvamos ejercicios

    Actividad de cierre: Envo de la solucin grupal

    Descripcin Indicadores de Logro Tipo

    El estudiante debe atender las siguientes indicaciones:

    o Atender las indicaciones del Tutor para la conformacin de los grupos

    de trabajo. o Ingresar al foro de discusin del

    grupo de trabajo y seleccionar un moderador de grupo.

    o Distribuir los ejercicios de forma equitativa en el grupo de trabajo y

    resolverlos, utilizando programas de la computadora, tales como MS

    Word. o Publicar en el foro del grupo de

    trabajo las soluciones de los ejercicios en un solo archivo

    adjunto de Word y entregar al tutor como trabajo de grupo.

    o Transforma una ecuacin de segundo

    grado mediante una rotacin adecuada de

    los ejes coordenados.

    o Representa en el plano cartesiano una

    ecuacin de segundo grado utilizando

    Geogebra.

    o Resuelve ejercicios de simplificacin de

    ecuaciones aplicando las transformaciones

    de coordenadas.

    Grupal

    Material de consulta Horas de estudio/ Fecha

    de entrega

    Producto

    Unidad III: Transformacin de

    coordenadas.

    o 9 horas

    o Lunes 12/10/2015

    o Foro con

    envo de archivo.

    Criterios de evaluacin:

    Trabajo Colaborativo para la resolucin de los ejercicios.

    Pertinencia y calidad en la resolucin de los ejercicios.

    Uso de software Matemtico.

    Presentacin del trabajo

    Puntualidad

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    Unidad III: Transformacin de Coordenadas 8 Pgina

    VI. Calendario

    Actividad Inicia Termina

    Comprobacin de lectura 1: Contenido 1, 2, 3 y 4

    29/09/2015 01/10/2015

    Actividad de aprendizaje 1: Selecciono mi

    bloque de ejercicios Actividad 1.1: Resuelvo mi bloque de

    ejercicios

    01/10/2015 05/10/2015

    Actividad de cierre: Resolvamos ejercicios

    Actividad de cierre: Envo de la solucin grupal

    06/10/2015 12/10/2015

    VII. Porcentajes de calificacin

    Durante el desarrollo de esta unidad se valorar el progreso de los participantes mediante la superacin de las actividades de aprendizaje. Ser obligatoria la participacin en todas las

    actividades propuestas de forma individual y colaborativa en cada uno de los contenidos.

    Las actividades de aprendizaje tendrn una ponderacin sobre la calificacin final de la unidad.

    Actividad de aprendizaje Puntaje

    Comprobacin de lectura 1: Contenido 1, 2, 3 y 4 3

    Actividad de aprendizaje 1: Selecciono mi bloque de ejercicios

    Actividad 1.1: Resuelvo mi bloque de ejercicios

    8

    Actividad de cierre: Resolvamos ejercicios Actividad de cierre: Envo de la solucin grupal

    7

    Puntaje de la unidad 18

    VIII. Requisitos tcnicos Equipo informtico recomendado:

    o Ordenador Pentium IV o superior. o RAM 512 MB o ms.

    Programas informticos mnimos:

    o Sistema operativo Windows.

    o Navegador de internet con flash instalado. o Microsoft office, versin 2003 en adelante.

    o Adobe reader / acrobat.

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    Unidad III: Transformacin de Coordenadas 9 Pgina

    Unidad III: Transformacin de Coordenadas

    Simbologa de la unidad

    Contenidos:

    Simbologa 1. Transformacin de coordenadas

    2. Traslacin de los ejes coordenados 2.1.Ecuaciones de Traslacin.

    3. Rotacin de los ejes coordenados 4. Simplificacin de ecuaciones mediante

    transformacin de coordenadas.

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    Unidad III: Transformacin de Coordenadas 10 Pgina

    1. Transformacin de coordenadas

    En ocasiones debemos tomar distancia y hacer giros en nuestro rumbo para obtener una mejor visin de la realidad.

    Jhaz.

    En geometra analtica, al igual que en Fsica, es muy importante elegir un sistema de

    coordenadas o referencia adecuado con el objeto de simplificar al mximo las ecuaciones y que el proceso de resolucin sea lo ms rpido posible. Ello se realiza mediante una transformacin de

    los ejes coordenados cuyo proceso general se puede considerar reducido a dos movimientos, uno de traslacin y otro por rotacin.

    La traslacin es un desplazamiento horizontal y / o vertical que se hace a partir de los ejes del

    plano cartesiano, generando un nuevo sistema de coordenadas. La rotacin es un giro que se hace para cambiar la orientacin teniendo como base un punto fijo (llamado eje de rotacin) y un

    ngulo que indica el cambio de orientacin.

    La necesidad del estudio de lugares geomtricos de puntos ms complejos en un sistema de referencia que en otro y las inter relaciones entre ellos, hace necesario definir la traslacin

    paralela de los ejes coordenados y tambin la rotacin en torno a un punto dado, que muy bien puede ser el origen o el nuevo origen una vez efectuada la traslacin. Las ecuaciones resultantes

    en uno u otro caso, con respecto a las variables de los ejes iniciales versus las nuevas variables, es lo que presentaremos a continuacin y ocuparemos posteriormente cuando sea el caso.

    2. Traslacin de los ejes coordenados

    Algunas veces la ecuacin de un lugar geomtrico se puede escribir de una manera ms simple

    mediante una traslacin y/o una rotacin de ejes, que por ciertas razones sea ms conveniente para el problema que se est resolviendo, donde un punto P arbitrario tenga diferentes

    coordenadas en diferentes sistemas coordenados.

    Con una traslacin de los ejes originales, se consigue que el centro de una curva se ubique en el origen de nuevos ejes:

    Una rotacin se aplica cuando la curva es oblicua respecto a los ejes originales, logrando que sea paralela respecto a los nuevos ejes, (generalmente una ecuacin de segundo grado

    en dos variables con trminos en (xy) es oblicua).

    Algunas veces es necesario con las curvas, efectuar una traslacin de ejes y tambin una rotacin para presentar ms simplificada su ecuacin dependiendo del problema que se

    resuelve.

    Al seleccionar un nuevo sistema de coordenadas, podemos a menudo simplificar la identificacin de las ecuaciones y el trazado de grficas de las curvas que no estn en posiciones

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    Unidad III: Transformacin de Coordenadas 11 Pgina

    ordinarias. Consideremos por ejemplo, la circunferencia (La cual estudiaremos ms adelante) con centro en (- 2, 5), radio 3 que tiene la ecuacin

    (x + 2)2 + (y 5)2 = 32

    Si suponemos que X = x + 2 y Y = y 5, entonces la ecuacin de la circunferencia ser

    X2 + Y

    2 = 3

    2

    Esta es la ecuacin de una circunferencia de radio 3, con centro en

    el origen del sistema de coordenadas XY. Como se muestra en la figura

    siguiente, tenemos en efecto, superpuesto un nuevo sistema de

    coordenadas XY sobre el sistema original de coordenadas xy.

    Esta tcnica se denomina traslacin de ejes, la que definimos a continuacin:

    2.1. Ecuaciones de Traslacin.

    Sea (h, k) un punto en el plano cartesiano xy. Introducimos un nuevo sistema de coordenadas

    XY con origen O en (h, k) tal que los ejes X e Y son paralelos a los ejes x e y, tienen las mismas escalas y direcciones positivas que estos ejes. La figura siguiente muestra que para un

    punto P con coordenadas (x, y) en el sistema de coordenadas (x, y) y coordenadas (X, Y) en el sistema de coordenadas (X, Y); tenemos las ecuaciones

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    Unidad III: Transformacin de Coordenadas 12 Pgina

    Estas ecuaciones se conocen como ecuaciones de traslacin. Resolviendo las ecuaciones en (1) para X e Y, obtenemos otra

    versin de las ecuaciones de traslacin.

    Las ecuaciones (1) y (2) se utilizan para convertir las coordenadas de un punto o conjunto de puntos relativos a un sistema de coordenadas del mismo punto o conjunto de puntos relativos a

    un sistema trasladado.

    Ejemplos: 1) Transformar la ecuacin 4x2 y2 8x 10y 25 = 0 trasladando los ejes coordenados al

    nuevo origen (1, - 5). Solucin: Tenemos que h = 1 y k = - 5, luego

    x = X + h = X + 1 y= Y + k= Y- 5

    Sustituyendo en la ecuacin dada obtenemos 4x

    2 y2 8x 10y 25 = 0

    4(X + 1)2 (Y- 5)2 8(X + 1) 10(Y- 5) 25 = 0

    4X2 + 8X + 4 Y2+ 10Y 25 8X 8 10Y + 50 25 = 0

    4X2 Y2 4 = 0

    As, la ecuacin transformada es 4X2 Y2 4 = 0

    2) Sea el origen del sistema XY el punto (1, - 3) en el sistema xy. Si las coordenadas xy de un punto P son (- 2, 5), encontrar las coordenadas XY de ese punto.

    Solucin: Puesto que se nos dan las coordenadas xy, usamos las ecuaciones (2) para encontrar las coordenadas XY.

    As, las coordenadas XY de P son (- 3, 8)

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    Unidad III: Transformacin de Coordenadas 13 Pgina

    Tambin las ecuaciones (1) y (2) se pueden emplear en el estudio de circunferencias cuyos

    centros no estn en el origen, as como de parbolas, elipses e hiprbolas cuyos ejes sean

    paralelos a los ejes coordenados pero que estn colocados en posiciones diferentes a las

    ordinarias, lo cual ser objeto de estudio en la prxima unidad y en un curso posterior.

    3) Mediante una traslacin de los ejes coordenados transforma la ecuacin

    12x2 18y2 12x 12y 5 = 0 en otra que carezca de trminos de primer grado.

    Solucin: Agrupamos primero los trminos en x y los trminos en y, luego completamos

    trinomios cuadrados perfectos

    La transformacin de coordenadas

    conveniente en este caso es

    As, la ecuacin dada se transforma en 2X2 3Y2 = 1

    Solucin alternativa. Sustituyendo las ecuaciones de traslacin (2), X = x + h e Y = y + k en la

    ecuacin dada tenemos

    Efectuando, simplificando y agrupando trminos semejantes, resulta

    12X2 +24hX +12h

    2 18Y2 -36Yk 18k2 12X 12h 12Y 12k = 5

    12X2 18Y2 +24hX12X 36Yk12Y +12h2-18k2 12h 12k = 5

    12X2 18Y2 +12X(2h 1) 12Y(3k +1) +12h2- 18k2 12h 12k = 5 (*)

    Ya que la ecuacin transformada no debe contener trminos de primer grado, igualamos a cero los coeficientes de X e Y, as obtenemos

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    Unidad III: Transformacin de Coordenadas 14 Pgina

    Por tanto, el nuevo origen est en el punto (, 1/3). Sustituyendo estos valores en (*) y simplificando obtenemos la ecuacin requerida

    4) Analizar y bosquejar la grfica de 4x2 + 8x y2 8y 12 = 0 Solucin: Completando cuadrados tenemos

    La cual es de la forma

    Donde X = x + 1 e Y = y + 4.

    Factorizando (*), tenemos

    Las grficas de ambas ecuaciones

    corresponden a dos lneas rectas con pendientes 2 y -2, respectivamente,

    que se intersecan en el origen O del plano XY, el cual es el punto

    (- 1, - 4) en el plano xy. La grfica se muestra a continuacin. Esta seccin

    cnica degenerada se obtiene cuando el plano que intersecta al cono

    contiene el eje del cono.

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    Unidad III: Transformacin de Coordenadas 15 Pgina

    3. Rotacin de los ejes coordenados

    Suponga que, en lugar de trasladar los ejes coordenados, los rotamos alrededor del origen. El

    cambio correspondiente en el sistema coordenado se llama rotacin de ejes, el cual tambin es de utilidad para simplificar ecuaciones.

    Empezamos con un sistema de coordenadas xy con origen O y rotamos los ejes alrededor de O un

    ngulo , como se muestra en la figura siguiente. Los ejes rotados se denotan con x e y, respectivamente. Las coordenadas xy de cualquier punto P se relacionan con sus coordenadas

    xy mediante las ecuaciones de rotacin

    x = x cos - y sen (6 a)

    y = x sen + y cos (6 b)

    Nota. Para las aplicaciones, ser necesario girar los ejes coordenados solamente un ngulo suficientemente grande para hacer coincidir uno de los ejes coordenados con una recta dada fija

    cualquiera, o para hacer que sea paralelo a ella en el plano coordenado. De acuerdo con esto,

    restringiremos, en general, los valores del ngulo de rotacin al intervalo dado por

    0 90. Ejemplos:

    1) Suponga que el eje x forma un ngulo de 60 con el eje x. Encontrar las coordenadas xy del

    punto P(3, - 5) en el sistema de coordenadas x y.

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    Unidad III: Transformacin de Coordenadas 16 Pgina

    Solucin: Sustituyendo = 60, x = 3, y = - 5 en las ecuaciones (6), tenemos

    2) Si los ejes coordenados x e y se rotan en un ngulo de 45, encuentre una ecuacin de la

    grfica de xy = 1 relativa al sistema x y. Solucin: En la figura siguiente se muestra la grfica de la ecuacin dada y la rotacin de ejes.

    A partir de las ecuaciones de

    rotacin (6) con = 45, tenemos,

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    Unidad III: Transformacin de Coordenadas 17 Pgina

    Sustituyendo estas

    dos expresiones por x e y en xy = 1,

    obtenemos

    Demostracin. Siempre es posible seleccionar el ngulo de rotacin, as que cualquier ecuacin de la forma:

    Donde B 0, puede transformarse en una ecuacin en x e y sin trminos xy

    Si rotamos los ejes a travs de un ngulo y usamos las ecuaciones de rotacin (6) para sustituir por x e y en (8), obtenemos:

    Despus de simplificar, podemos escribir esta ecuacin en la forma

    Donde

    Por consiguiente, para eliminar el trmino xy, debemos seleccionar para que B = 0, es decir:

    O bien

    Equivalentemente, el ngulo que se deben girar los ejes para eliminar el trmino xy est dado por

    Es importante tener cuidado al encontrar las soluciones de la ecuacin (7) puesto que tiene

    infinitas soluciones. Adoptaremos la convencin de seleccionar el ngulo agudo que satisfaga (7) mediante las posibilidades siguientes:

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    Unidad III: Transformacin de Coordenadas 18 Pgina

    i) Si cot 2 = 0, entonces 2 = 90, y = 45;

    ii) Si cot 2 0, entonces 0 < 2 90, de manera que 0 < 45;

    iii) Si cot 2 < 0, entonces 90 < 2 180, de manera que 45 < 90;

    Cada uno de esos resultados, en una rotacin de los ejes formando un ngulo agudo en sentido anti horario.

    Ejemplo: Eliminar el trmino xy en la ecuacin 5x

    2 + 3xy + y

    2 = 44 mediante una rotacin apropiada.

    Solucin. Tenemos que A = 5, B = 3 y C = 1, entonces el ngulo de rotacin satisface

    Puesto que cot 2 es positiva, podemos escoger 2 tal que 0 < 2 < 90. Para encontrar valor de 2 hacemos uso de las identidades trigonomtricas pitagricas, para ngulo doble y para ngulo

    medio estudiadas en el curso de trigonometra, as

    Las ecuaciones de rotacin se convierten

    en:

    Sustituyendo estos valores en la ecuacin dada, tenemos 5x2 + 3xy + y

    2 = 44

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    Unidad III: Transformacin de Coordenadas 19 Pgina

    As, la ecuacin correspondiente en la que no aparece el trmino xy es:

    4. Simplificacin de ecuaciones mediante transformacin de coordenadas

    Acabamos de ver que, por una traslacin o una rotacin de los ejes coordenados, es posible transformar muchas ecuaciones en formas ms simples. Es entonces lgico inferir que se puede

    efectuar una simplificacin mayor aun aplicando ambas operaciones a la vez. Si una ecuacin es transformada en una forma ms simple por una traslacin o una rotacin de los ejes coordenados,

    o por ambas, el proceso se llama simplificacin por transformacin de coordenadas.

    Consideremos primero el caso en que una traslacin de los ejes coordenados a un nuevo origen

    O'(h, k) es seguida por una rotacin de los ejes trasladados en torno de O de un ngulo , tal como se muestra en la figura siguiente:

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    Unidad III: Transformacin de Coordenadas 20 Pgina

    Si P es un punto cualquiera del plano coordenado, sean (x, y), (x, y) y (x, y) sus coordenadas

    referido, respectivamente, a los ejes originales X, Y, a los ejes trasladados X y Y, y a los ejes

    girados X y Y.

    Del teorema 1,

    y del teorema 2,

    Si sustituimos en (*) los valores de x y y dados por (**), obtenemos las ecuaciones buscadas de transformacin:

    Puede demostrarse que las ecuaciones de transformacin (***) son verdaderas aun cuando el

    orden de transformacin se invierta, es decir, cuando una rotacin vaya seguida de una traslacin. Tenemos pues, el siguiente teorema:

    Teorema 4. Si efectuamos un cambio de ejes coordenados mediante una traslacin y una

    rotacin, tomadas en cualquier orden, y las coordenadas de cualquier punto P referido a los

    sistemas original y final son (x, y) y (x, y), respectivamente, las ecuaciones de transformacin del sistema original al nuevo sistema de coordenadas son:

    En donde es el ngulo de rotacin y (h, k) son las coordenadas del nuevo origen referido a los ejes coordenados originales.

    Notas:

    1) Las ecuaciones de transformacin dadas por los teoremas 1, 2 y 4 son todas relaciones lineales. De aqu que el grado de la ecuacin transformadas no pueda ser mayor que el de

    la ecuacin original. Ni tampoco puede ser menor; si lo fuera, podramos, por transformacin de coordenadas, regresar la ecuacin transformadas a su forma original y

    elevar as el grado de la ecuacin. Pero acabamos de ver que esto es imposible. Por tanto, el grado de una ecuacin no se altera por transformacin de coordenadas.

    2) Aunque las ecuaciones de transformacin del teorema 4 pueden emplearse cuando se van

    a efectuar simultneamente una traslacin y una rotacin, es, generalmente, ms sencillo, efectuar estas operaciones separadamente en dos pasos diferentes.

    El teorema 4 explica que el orden de estas operaciones no tiene importancia. Sin embargo, en el caso de una ecuacin de segundo grado en la cual los trminos en x

    2,

    y2 y xy forman un cuadrado perfecto, los ejes deben girarse primero y trasladarse despus.

    Este caso particular ser estudiado ms adelante.

    Ejemplo:

    Por transformacin de coordenadas simplificar la ecuacin 5x + 6x y + 5y + 4x - 4y = 4

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    Unidad III: Transformacin de Coordenadas 21 Pgina

    Solucin. Ya que los trminos de segundo grado no forman un trinomio cuadrado perfecto, podemos primero trasladar los ejes a un nuevo origen (h, k). Por tanto, usando las ecuaciones de

    traslacin dadas en el teorema 1, tenemos

    5(x + h) + 6(x + h)(y + k) + 5(y + k) + 4(x + h) - 4(y + k) = 4

    5(x+2xh+h2) +6(xy + kx + hy + hk) +5(y+2yk+k2) + 4x + 4h - 4y -4k = 4

    5x +10xh + 5h2 +6xy+6kx+6hy +6hk +5y +10yk +5k2+4x+4h - 4y -4k = 4

    Agrupando los trminos en x y y, tenemos

    5x+6xy+5y +2x(5h +3k+2)+ 2y(3h+5k - 2) +5h2 +5k2+4h +6hk -4k = 4 (*)

    Para eliminar los trminos de primer grado de la ecuacin anterior, igualamos sus coeficientes a

    cero. Esto nos da el sistema 5h +3k+2= 0

    3h+5k - 2= 0

    Cuya solucin es h = - 1 y k = 1. Sustituyendo estos valores de h y k en (*) obtenemos

    5x+6xy+5y+2x-5+3+2+2y-3+5-2+ 5+ 5 4 6 4 = 4

    5x + 6xy + 5y = 8 (**)

    A continuacin, por rotacin de los ejes, usando las ecuaciones de transformacin del teorema 2,

    obtenemos de la ecuacin

    5x + 6xy + 5y = 8 (**)

    Para eliminar el trmino en xy, igualamos a cero su

    coeficiente y obtenemos

    Sustituyendo este valor en la ecuacin (***) y

    simplificando, obtenemos la ecuacin buscada

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    Unidad III: Transformacin de Coordenadas 22 Pgina

    Alternativamente podemos hallar de una manera mucho ms simple aplicando el Teorema 3 en (**)

    Fuentes de informacin consultadas

    http://www.academia.edu/6723586/TRANSFORMACI%C3%93N_DE_COORDENADAS

    https://aula.tareasplus.com/Juan-Jose-Ortiz/Geometria-Analitica

    http://www.taringa.net/posts/apuntes-y-monografias/14665466/Conicas-Geometria.html

    http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtual/libros/matematicas/geometria/indice.htm

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