Manual Prácticas IP 01-04-2014

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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO

DEPTO. DE INGENIERÍA AGROINDUSTRIA

CURSO INGENIERÍA DE PLANTA

MANUAL DE PRÁCTICAS

IGNACIO COVARRUBIAS GUTIÉRREZ

ENERO 2013

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Contenido

CONTENIDO ...................................................................................................................................................... II

INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................................ 1

UNIDAD 1. PROCESOS AGROINDUSTRIALES ...................................................................................................... 4

1.1 OBJETIVO .......................................................................................................................................................... 4

1.2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS .................................................................................................................................... 4

Planos de Distribución de Áreas y de Equipo ................................................................................................... 4

Diagrama de Flujo de Proceso (DFP) ................................................................................................................ 7

Diagrama de Tubería e Instrumentación (DTI) .............................................................................................. 12

PRÁCTICA 1.- LOS PLANOS EN PLANTAS AGROINDUSTRIALES ........................................................................................... 17 1.1. Propósitos ............................................................................................................................................................. 17 1.2. Ubicación y materiales requeridos ....................................................................................................................... 17 1.3. Información a obtener .......................................................................................................................................... 17 1.4. Características del informe ................................................................................................................................... 18 1.5. Bibliografía de apoyo ............................................................................................................................................ 18

PRÁCTICA 2.- EL DIAGRAMA DE FLUJO DE PROCESOS (DFP) ............................................................................................ 20 1.1. Propósitos ............................................................................................................................................................. 20 1.2. Ubicación y materiales requeridos ....................................................................................................................... 20 1.3. Información a obtener .......................................................................................................................................... 20 1.4. Características del informe ................................................................................................................................... 21 1.5. Bibliografía de apoyo ............................................................................................................................................ 21

PRÁCTICA 3.- EL DIAGRAMA DE TUBERÍA E INSTRUMENTACIÓN (DTI) ............................................................................... 23 1.1. Propósitos ............................................................................................................................................................. 23 1.2. Ubicación y materiales requeridos ....................................................................................................................... 23 1.3. Información a obtener .......................................................................................................................................... 23 1.4. Características del informe ................................................................................................................................... 24 1.5. Bibliografía de apoyo ............................................................................................................................................ 24

UNIDAD 2.- SIMULACIÓN Y OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS .............................................................................. 25

2.1 OBJETIVO ........................................................................................................................................................ 25

2.2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS ................................................................................................................................... 25

2.2.1. Ejercicios para simulación de procesos ................................................................................................ 26

2.2.2 Cálculo diferencial ................................................................................................................................. 39

2.2.3. Método de Lagrange............................................................................................................................ 40

2.2.4 Programación Lineal ............................................................................................................................. 41

2.2.5 Programación dinámica ........................................................................................................................ 43

PRÁCTICA 4.- SIMULACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS ................................................................................................. 50 4.1 Ubicación y materiales requeridos ........................................................................................................................ 50 4.2 Información a obtener ........................................................................................................................................... 50 4.3 Características del informe .................................................................................................................................... 50 4.4 Bibliografía de apoyo ............................................................................................................................................. 51

PRÁCTICA 5.- SOLUCIÓN DE MODELOS POR EL MÉTODO DE LAGRANGE Y USO DE PAQUETES DE CÓMPUTO. .............................. 52

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5.1 Ubicación y materiales requeridos ........................................................................................................................ 52 5.2 Información a obtener ........................................................................................................................................... 52 5.3 Características del informe .................................................................................................................................... 55 5.4 Bibliografía de apoyo ............................................................................................................................................. 55

PRÁCTICA 6.- SOLUCIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Y USO DE EXCEL ............................................................. 56 6.1 Ubicación y materiales requeridos ........................................................................................................................ 56 6.2 Información a obtener ........................................................................................................................................... 56 6.3 Características del informe .................................................................................................................................... 59 6.4 Bibliografía de apoyo ............................................................................................................................................. 60

UNIDAD 3.- SISTEMAS DE TRABAJO ................................................................................................................ 61

3.1. OBJETIVOS ...................................................................................................................................................... 61

3.2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS .................................................................................................................................. 61

PRÁCTICA 7.- EL DIAGRAMA DE RECORRIDO DE LOS MATERIALES. .................................................................................... 64 7.1. Ubicación y materiales requeridos ....................................................................................................................... 64 7.2. Información a obtener .......................................................................................................................................... 64 7.3. Características del informe ................................................................................................................................... 64 7.4. Bibliografía de apoyo ............................................................................................................................................ 65

PRÁCTICA 8.- CURSOGRAMAS ANALÍTICOS DE OPERADOR, MATERIALES, EQUIPO ................................................................ 66 8.1. Ubicación y materiales requeridos ....................................................................................................................... 66 8.2. Información a obtener .......................................................................................................................................... 66 8.3. Características del informe ................................................................................................................................... 66 8.4. Bibliografía de apoyo ............................................................................................................................................ 67

PRÁCTICA 9.- MEDICIÓN DEL TRABAJO Y TIEMPO ESTÁNDAR ............................................................................................ 68 9.1. Ubicación y materiales requeridos ....................................................................................................................... 68 9.2. Información a obtener .......................................................................................................................................... 68 9.3.Características del informe .................................................................................................................................... 69 9.4. Bibliografía de apoyo ............................................................................................................................................ 69

UNIDAD 4.- DISEÑO DE ESTACIÓN DE TRABAJO .............................................................................................. 70

3.1. OBJETIVOS ...................................................................................................................................................... 70

3.2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS .................................................................................................................................. 70

PRÁCTICA 10.- EQUIPOS PARA MANEJO DE MATERIALES ................................................................................................ 73 10.1.Ubicación y materiales requeridos ...................................................................................................................... 73 10.2. Información a obtener ........................................................................................................................................ 73 10.3. Características del informe ................................................................................................................................. 73 10.4. Bibliografía de apoyo .......................................................................................................................................... 74

PRÁCTICA 11.- LA ESTACIÓN DE TRABAJO .................................................................................................................... 75 11.1. Ubicación y materiales requeridos ..................................................................................................................... 75 11.2. Información a obtener ........................................................................................................................................ 75 11.3. Características del informe ................................................................................................................................. 75 11.4. Bibliografía de apoyo .......................................................................................................................................... 76

PRÁCTICA 12.- TÉCNICAS PARA BALANCEO DE LÍNEAS .................................................................................................... 77 12.1. Ubicación y materiales requeridos ..................................................................................................................... 77 12.2. Información a obtener ........................................................................................................................................ 77 12.3. Características del informe ................................................................................................................................. 77 12.4. Bibliografía de apoyo .......................................................................................................................................... 78

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Introducción

El empleo de las herramientas para el diseño y análisis de plantas agroindustriales es

fundamental para el desarrollo profesional de los egresados de la carrera de Ingeniería

Agroindustrial de la Universidad Autónoma Chapingo. La habilidad en el manejo de estas

herramientas se logra mediante la práctica, por lo que el curso de Ingeniería de Planta tiene

la característica de darle una importancia relativamente más alta a la práctica, puesto que el

60 % de la evaluación corresponde a los aspectos prácticos como la elaboración de un

proyecto de diseño de una planta agroindustrial, la asistencia y participación en las prácticas,

y los informes de las prácticas realizadas.

El programa del curso está conformado por cuatro unidades: I) Procesos agroindustriales,

II) Optimización de procesos, III) Sistemas de trabajo, y IV) Diseño de la estación de trabajo.

Para cada una de estas unidades se proponen prácticas para que el alumnos sea capaz de

conocer y emplear las técnicas y los métodos en el diseño y el análisis de los procesos

agroindustriales, el estudio del trabajo, el análisis de la producción y la productividad

conforme al espacio y las técnicas de optimización.

El desarrollo de las prácticas implica su explicación en el salón de clases y el desarrollo en las

plantas piloto de frutas y hortalizas, productos cárnicos, planta lechera, frigorífico

experimental, laboratorio de procesos unitarios, laboratorio de cómputo, para finalmente

realizar el informe respectivo.

Este manual proporciona la información necesaria para el desarrollo de las prácticas y en

cada una de ellas se propone el contenido siguiente: objetivo, fundamentos teóricos,

ubicación y materiales requeridos, información a obtener, características del informe,

bibliografía de apoyo.

Cada práctica tiene una clave relacionada con la unidad, el número de práctica, las horas con

la asesoría de del profesor y las horas estimadas de trabajo extra clase destinadas a la

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preparación del informe. Como ejemplo (U1P1:04-04) implica que es la práctica uno,

corresponde a la unidad uno y se destinan 4 horas de asesoría del profesor y 4 horas para la

elaboración del informe.

En este manual se plasma la experiencia acumulada por más de veinte años en la impartición

del curso, además de la actualización en el empleo de las herramientas de cómputo como el

uso de programas para el análisis de datos como son las hojas de cálculo, paquetes de

cómputo para el desarrollo de planos y diagramas, solución de modelos matemáticos y

simulación de procesos, entre otros.

Las prácticas que se desarrollan en cada una de las unidades del programa del curso son las

siguientes:

Unidad 1.- Procesos Agroindustriales.

Práctica 1.- Los Planos en Plantas Agroindustriales.

Práctica 2.- El Diagrama de Flujo de Procesos (DFP).

Práctica 3.- El Diagrama de Tubería e Instrumentación (DTI).

Unidad 2.- Simulación y Optimización de Procesos

Práctica 4.- Simulación de Modelos Matemáticos.

Práctica 5.- Solución de Modelos por el Método de Lagrange y uso de Excel.

Práctica 6.- Solución de Modelos de Programación Lineal y uso de Excel.

Unidad 3.- Sistemas de Trabajo

Práctica 7.- El Diagrama de Recorrido de los Materiales.

Práctica 8.- Cursogramas Analíticos de operador, de materiales, de equipo.

Práctica 9.- Medición del trabajo y tiempo estándar.

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Unidad 4.- Diseño de Estación de Trabajo

Práctica 10.- Equipos para Manejo de Materiales.

Práctica 11.- La Estación de Trabajo.

Práctica 12.- Técnicas para Balanceo de Líneas.

Para mantener una estructura homogénea del documento, en cada unidad se incluye el

objetivo y los fundamentos teóricos. Además cada práctica está conformada por: Ubicación y

materiales requeridos; Información a obtener; Características del informe; Bibliografía de

apoyo.

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Unidad 1. Procesos agroindustriales

1.1 Objetivo

Elaborar planos y diagramas de instalaciones de la Universidad relacionadas con el

procesamiento de alimentos, mediante el uso de herramientas de diseño auxiliado por

computadora (CAD).

1.2 Fundamentos Teóricos

En la vida cotidiana existen diferentes formas de comunicación, mediante la palabra,

mediante señas, mediante imágenes, mediante textos, entre otros. Los ingenieros para

expresar sus obras y comunicarse emplean planos y diagramas. En este apartado se

describirán brevemente las características de los planos y diagramas que deben conocer los

ingenieros agroindustriales.

Planos de Distribución de Áreas y de Equipo

Los planos son representaciones en dos dimensiones desarrollados a escala e impresos en

hojas de papel de diferentes tamaños, antiguamente era común contar con equipo y

herramientas especiales para la elaboración de planos como el re estirador, los juegos de

reglas, escuadras, escalímetros, estilógrafos, etc., actualmente con el desarrollo de las

computadoras personales se han desarrollado paquetes que facilitan el diseño auxiliado por

computadora (computer-aided design – CAD), siendo el “AUTOCAD” uno de los programas de

cómputo más se empleado en la elaboración de planos.

Para el diseño y análisis de plantas agroindustriales los planos comúnmente empleados son

el plano general de áreas y el plano de distribución de equipo. En el primer plano se incluyen

todas las áreas donde se encuentran el área de proceso, área de oficinas, áreas de

estacionamiento y circulación de vehículos, áreas de esparcimiento, áreas de servicios (agua,

energía eléctrica, combustibles, tratamiento de aguas, etc.); en el plano de distribución de

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equipo se presenta un acercamiento del área de procesos donde se presenta todo el equipo

que se encuentra en cada una de las líneas de proceso. Cuando el área de proceso tiene más

de una planta, como en las fábricas de harina de trigo, se elabora un plano por cada planta.

Un aspecto importante en los planos es el tamaño del papel empleado para la impresión, los

tamaños más comunes se muestran en el cuadro 1, donde se presenta la norma ANSI, ISO y

los planos de arquitectura (ARCH). El tamaño de papel 900 mm X 600 mm es el que más se

empleado y corresponde a los planos tipo “D” (ANSI D ó ISO A1), el cual para dejar un margen

de 20 mm, se indica en el área de dibujo de Auto-Cad 860,560 (Format/Drawing Limits).

Cuadro 1.- Tamaños comunes de papel empleados para imprimir planos.

NORMA PULGADAS MILÍMETROS

X Y X Y

ANSI C 22 17 559 432

ANSI D 34 22 864 559

ANSI E 44 34 1118 864

ARCH C 24 18 610 457

ARCH D 36 24 914 610

ARCH E 48 36 1219 914

ARCH E1 42 30 1067 762

ISO A2 23.39 16.54 594 420

ISO A1 33.11 23.39 841 594

ISO A0 46.81 33.11 1189 841

Fuente: Autocad, versión 2009.

Un ejemplo de hoja de trabajo para Autocad se muestra en la figura 1, donde se observa las

áreas destinadas a dibujo de las áreas del proceso, la simbología y el cuadro de identificación.

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Figura 1.- Ejemplo de una hoja de trabajo con medidas de 860 X 560 mm.

El cuadro de identificación siempre debe estar en el margen inferior derecho con un tamaño

adecuado, para que sea visible en media carta una vez impreso, puede ser de 200 a 160 mm

en el eje “X” y de 150 a 120 mm en el eje “Y”. Las partes que debe tener son: Logotipo y

nombre de la empresa, nombre del plano, nombre de quien lo elaboró y fecha, nombre de

quien lo revisó y fecha, número de identificación y escala utilizada.

En el área de simbología se indican los símbolos empleados en el área de dibujo, cuando se

emplean símbolos relacionados con una norma nacional o internacional no es necesario que

se indiquen en la simbología, solo es necesario hacer referencia a la norma empleado, como

ejemplo norma ISA-S5.1, que define la simbología de los instrumentos de medición y control.

En el área de dibujo se indican a escala y en planta las características de los espacios

agroindustriales puede ser el plano general de las áreas, el plano del área de procesos y

servicios, entre otros. En el plano es importante señalar los muros, puertas, divisiones de los

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espacios abiertos como estacionamientos, accesos y áreas recreativas, espacios cerrados

donde están las áreas de servicios y las de procesos.

Diagrama de Flujo de Proceso (DFP)

El diagrama de flujo de proceso es la representación mediante figuras de los equipos de

todas las operaciones que se realizan en el área de proceso de la empresa agroindustrial, a

diferencia de los planos, los diagramas no son a escala, pero se busca que el tamaño de los

equipos sea representado en forma proporcional. Se recomienda representar el tamaño

como la raíz cuadrada de la dimensiones, como ejemplo, si un deposito de leche tiene una

altura de 100 cm y la bomba de alimentación 25 cm, se representan en el diagrama con 10

cm y 5 cm respectivamente. Cuando se tienen equipos muy grandes como torres de

destilación de 4 m o más, al sacar la raíz cuadrada de 4, el resultado serían 2 m que se

pueden transformar a 20 cm que es una medida que puede representarse en el tamaño de

papel de 90 X 60 cm. Las partes que conforman el DFP, como se ilustra en la figura 2, son:

1. Cuadro de identificación

2. Cuadro de simbología

3. Área de dibujo del proceso y equipo

4. Cuadro de balance de materia y energía

5. Cuadro de especificación de equipo

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Figura 2.- Partes del Diagrama de Flujo de Proceso y su forma de distribuirlas.

Cuadro de Identificación

En el cuadro de identificación se deben indicar el nombre de la empresa que realiza el

diagrama con su logo respectivo, el título del DFP (ejemplo Diagrama de Flujo del Proceso de

elaboración de jugo de manzana), el nombre del responsable de su elaboración, fecha de

elaboración e in dicar un cuadro para revisiones con No. de Rev., fecha y nombre del revisor.

La ubicación debe ser en el margen inferior derecho y el tamaño aproximado de 20 cm a 16

cm de base por 15 a 12 cm de altura.

Cuadro de Simbología

En el cuadro de simbología solo se deben de colocar las banderas empleadas para indicar

punto de balance, línea de flujo principal, línea de flujo secundario, símbolos para indicar

presión, temperatura, concentración cuando se considere importante. El símbolo de los

equipos y su nomenclatura no se indica porque se debe utilizar una norma establecida o

hacer referencia a un autor.

Área de Dibujo del Proceso y Equipo

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En el área de dibujo se deben indicar todas las entradas en el margen izquierdo y todas las

salidas en el margen derecho de esta área, indicando el nombre del material dentro de la

flecha como se ilustra a continuación.

Manzanas Jugo clarificado

Para representar los equipos se emplea nomenclatura internacional dada por algunos

autores como Ulrich, Walas et al, Sandler y Luckiewicz, algunos ejemplos tomados de Ulrich

(1986) son los siguientes:

Ventilador Separador Ciclónico Intercambiador de Calor

Una vez que se distribuyen los equipos principales y auxiliares en el área de dibujo, se unen

con líneas y se indica con flechas el sentido del flujo, además en cada línea se coloca un

número de identificación en forma secuencial, también denominado punto de balance, de la

siguiente forma: 1 2 3 …………………………………..n La línea del flujo principal se

identifica con mayor espesor o un color diferente a los flujos secundarios y terciarios, los

servicios se pueden indicar con los colores normados para dichos servicios (verde para agua,

rojo para vapor, etc).

Cada equipo se identifica con una letra, un guión y números, las letras empleadas son:

Los números indican el área de proceso (100, 200, 300, ..), la sección del proceso (10, 20,

30,..) y la secuencia (1, 2, 3,..). Los equipos principales se numeran con el número de área y

de sección, como ejemplo, un pasteurizador HTST ubicado en la sección 20 y el área 200, su

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nomenclatura será: D-220. Los equipos auxiliares se les da el número secuencial, así una

bomba de alimentación al pasteurizador anterior implica una nomenclatura: L-221 o L-222.

Como ejemplo de la representación del equipo, flujo principal, puntos de balance y

nomenclatura para el pasteurizador HTST ver figura 3.

Figura 3.- Representación de un pasteurizador HTST en el Diagrama de Flujo de Proceso

Cuadro de Especificación de Equipo

Cada equipo que se representa en el Diagrama de Flujo de Proceso debe indicarse sus

características en el cuadro de especificación de equipo, dentro de estas destacan por su

importancia: Tipo, material de construcción, marca, modelo, capacidad, dimensiones,

potencia de motores, velocidad en transportadores, etc., como ejemplo se presentan algunas

especificaciones de equipo empleado comúnmente empleado en plantas agroindustriales.

E-220: Pasteurizador HTST de placas en acero inoxidable, marca Alfa Laval, Modelo AL-550,

con capacidad de 10,000 l/h.

J-121: Banda transportadora de plástico sanitario, marca MAPISA, capacidad de 5 t/h, 2 m

ancho X 5 m de largo, velocidad de 1 m/min, y motorreductor de 3 hp.

Cuadro de Balance de Materia y Energía

En este apartado se indica en cada punto de balance las propiedades de los flujos principales,

secundarios de y de servicios, destacando el flujo másico expresado en kg/h cuando los flujos

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son continuos, y en t/día, t/ciclo de 4 días, t/semana/ toneladas/mes, cuando los proceso son

discontinuos o en lotes. La siguiente propiedad es la composición, donde en primer lugar está

el agua, ya que se encuentra presente en todos los alimentos y algunos servicios como el

vapor; los sólidos totales, sólidos solubles, sólidos insolubles y propiedad de interés al

proceso como aceite, pigmento, proteína, almidón, azúcares, etc., son características que

están presentes en la columna destinada a propiedades. Además para disponer de

información relacionada con la energía debe también indicarse la presión, la temperatura, la

capacidad calorífica (Cp) y la entalpía. Es importante recordar que todos los puntos de

balance tienen que estar indicados, desde el punto de balance uno hasta el punto de balance

“n”. Un ejemplo de cuadro de balance de materia y energía se muestra en la figura 4.

Figura 4.- Ejemplo de Cuadro de Balance de Materia y Energía del DFP.

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Diagrama de Tubería e Instrumentación (DTI)

El diagrama de tubería e instrumentación (DTI) es un acercamiento de mayor detalle de los

equipos de proceso, donde se especifican las características de la tubería y los instrumentos

de medición y control. Las partes que debe incluir el DTI son: el cuadro de identificación; el

área de dibujo del equipo, la tubería y la instrumentación; la simbología y las características

de la tubería. En la figura 5 se muestra un ejemplo de la distribución de las partes.

Figura 5.- Distribución de las partes del Diagrama de Tubería e Instrumentación.

El cuadro de identificación tiene las mismas que características de los planos y diagramas. En

la simbología se indican los principales símbolos empleados para la designación de tubería

como letras empleadas para designar el material que transporta, números empleados para

designar material, tipos de señales empleadas en los circuitos de control, entre otras.

Aunque aparece la identificación del equipo en el área de dibujo, en simbología no se indica

su especificación u otra característica.

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Área de Dibujo

Como en el DTI se incluyen detalles de la tubería y la instrumentación, se recomienda incluir

como máximo tres equipos principales, como ejemplo incluir: i) las dos calderas del área de

servicios; ii) el triple efecto con su sistema de alimentación y generación de vacío.

En la tubería empleada para unir los equipos se debe indicar de forma simple las

reducciones, ampliaciones, codos, tes, niples, válvulas, uniones bridadas, tuercas unión y

demás accesorios. No es necesario hacer dibujos estilizados ni representaciones isométricas,

como ejemplo se ilustra a continuación una tubería con algunos accesorios.

Niple y brida de unión Válvula de tres vías

Válvula de paso Válvula de seguridad

Válvula de control Reducción, ampliación

Válvula Check

Válvula de expansión

Te y codo de 90° Válvula reguladora de P

La nomenclatura de la tubería debe de incluir el diámetro expresado en pulgadas, el número

de identificación, el fluido que maneja con dos o tres letras, el material empleado y cuando

existe aislamiento también debe ser indicado entre paréntesis. El número de identificación

está relacionado con el área y la sección; en el tipo de fluido se colocan las iniciales de del

mismo, como ejemplo vapor de agua (VA), Leche Pasteurizada (LP), Leche Bronca Fría (LBF);

en el material empleado se coloca un número siendo típico usar el 50 para acero inoxidable y

el 12 para acero al carbón; En el paréntesis usado para indicar que existe aislamiento se

colocan letras en dependiendo de la función del aislamiento, como ejemplo:

( I ): Implica aislamiento para ahorro de energía.

( P ): Implica aislamiento para protección de las personas.

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( T ): Implica aislamiento con sistema de calentamiento.

( I&T ): Implica aislamiento para ahorro de energía y sistema de calentamiento.

Un ejemplo de nomenclatura de la tubería es el siguiente:

En el área de dibujo también se deben indicar los instrumentos de medición y control,

empleando para su representación la norma ANSI/ISA–S5.1–1984 (R1992), publicada por las

Sociedad Americana de Sistemas de Instrumentación y Automatización (ISA). Las letras

principales que se emplean para indicar las variables de control son: P para presión, T para

temperatura, L para nivel, S para velocidad, TD para diferencia de temperatura, PD para

deferencia de presión, etc. Las letras posteriores pueden E para sensor o elemento primario,

I para indicador, C para control W para termoposo, L para bajo, LL para muy Bajo, H para alto,

HH para muy alto, etc. También está normado el diámetro del círculo para representar los

instrumentos de medición y control, el cual debe ser de 13 mm, donde en la mitad superior

se colocan las letras y en la mitad inferior el número de identificación, es necesario indicar la

ubicación del instrumento, si el círculo no tiene división en la parte central implica que el

instrumento de medición y control está montado localmente, si tiene una línea continua

muestra que el instrumento se encuentra enfrente del tablero, mientras que cuando la línea

es punteada el instrumento de medición y control se encuentra en la parte posterior del

tablero de control, algunos ejemplos se ilustran a continuación:

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Cuando se presentan circuitos de control se debe tener en cuenta que tiene tres elementos

principales, a saber, 1) el sensor de la variable (E); 2) el control (C) ; y 3) el actuador. Los

principales actuadores son las válvulas de control, los motores de velocidad variable, las

bombas, entre otros. Entre el sensor y el control se indica en transmisor de señal con la letra

T, ejemplo TT indica que es un transmisor de la señal de la variable temperatura. Es muy

común indicar en el control también el indicador de la variable en cuestión, así tenemos que

LIC es un controlador indicador de nivel un ejemplo de circuitos de control para una torre de

enfriamiento se muestra en la figura 6. La señales que se emplean para interconectar los

elementos de los circuitos de control pueden ser neumáticas, eléctricas, tubo capilar,

electromagnética o sónica, hidráulica. A continuación se ilustran las formas en que deben

representarse los diferentes tipos de anales empleadas para la conexión de los instrumentos

de medición y control.

Señal Neumática

Señal Eléctrica

Señal hidráulica

Tubo capilar

Electromagnética o sónica no guiada

Electromagnética o sónica guiada

Fuente: NORMA ANSI-ISA S5.1

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Figura 6.- Ejemplo de circuitos de control empleados en torres de enfriamiento

FUENTE: Couper, et al, 2005.

SC 231

SC 231 TDC

231 TT

230

TE 230

TE 231

TT 231

LE 231

LT 231

LC 231

SC 231

SC 231 TDC

231

P-231

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Práctica 1.- Los Planos en Plantas Agroindustriales

1.1. Propósitos

Desarrollar la habilidad de los alumnos para la obtención de información para el diseño y

análisis de instalaciones agroindustriales y plasmarla en un plano.

Practicar y actualizar sus habilidades para el manejo del programa de cómputo en diseño

auxiliado por computadora (CAD), mediante el desarrollo de los planos de distribución de

áreas y de distribución de equipos.

1.2. Ubicación y materiales requeridos

Esta práctica será desarrollada en las instalaciones de la Universidad, particularmente en las

plantas piloto y la Unidad de Tecnología Lechera del Departamento de Ingeniería

Agroindustrial.

Los materiales requeridos para el desarrollo de esta práctica son: cinta métrica de 15 a 25 m

o un lazo con marcaciones de 1 m y un flexómetro de 2 m, hojas blancas y tabla para portar

hojas tamaño carta u oficio, computadora personal o laptop con el programa de Autocad ©

instalado.

1.3. Información a obtener

Con la cintra métrica o el lazo y el flexómetro realizar las mediciones de las áreas asignadas a

cada uno de los equipos, las áreas que serán asignadas son: áreas del frigorífico

experimental, laboratorios poscosecha, cubículos de profesores y laboratorio de producción

de frío; áreas de procesamiento de frutas y hortalizas, laboratorio de lácteos y laboratorio de

frutas y hortalizas; áreas de calderas, procesamiento de productos cárnicos, laboratorio de

operaciones unitarias y purificadora de agua; áreas de la unidad de tecnología lechera.

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Para el plano de distribución de áreas realizar las mediciones en planta de las áreas

asignadas, incluyendo las separaciones y espacios destinados a realizar actividades

específicas como almacenes, laboratorios, cubículos, entre otros.

Para el plano de distribución de equipos hacer las mediciones de la proyección en planta de

los equipos y su ubicación el área de procesamiento, recuerde que en este plano se proyecta

la sombra vertical de los equipos.

1.4. Características del informe

El informe se realizará por equipos y consiste en lo siguiente:

1. Archivo de Autocad © del plano de distribución en planta del área que le fue asignada

a cada uno de los equipos.

2. Archivo de Autocad © del plano de distribución de equipos del área que le fue

asignada a cada uno de los equipos.

3. Archivo en procesador de texto donde sean indicados los aspectos principales del

desarrollo de la práctica, las conclusiones y las fuentes de información consultadas.

La versión en que debe ser guardados los archivos será indicada por el profesor responsable

del curso y/o por el técnico académico auxiliar del curso, así como el correo electrónico al

cual deberán ser enviados los archivos correspondientes.

1.5. Bibliografía de apoyo

1. Couper, J. R., Penney, W. R., fair, J. R., y Walas, S. M. 2005. Chemical Process Equipment.

Selection and Design. Second edition. Elsevier. U.S.A.

2. Norma ANSI/ISA – S5.1. 1984 (R 1992). Instrumentation Symbols and Identification.

Instrument Society of American. North Carolina. U.S.A.

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3. Peters, M. S. & Timmerhaus, K. D. 1991. Plant Design and Economics for Chemical

Engineers. McGraw-Hill. U.S.A.

4. Sandler, H. J. y Luckiewicz, E. T. 1987. Practical Process Engineering. A Working Approach

tp Plant Design. McGraw-Hill. U.S.A.

5. Ulrich G. D. 1986. Diseño y Economía de los Procesos de Ingeniería Química. Ed. Inter-

americana. México.

6. Vanaclocha, A. C. 2005. Diseño de Industrias Agroalimentarias. Mundi-Prensa. Madrid,

España.

7. Walas, S. T. 1988. Chemical Process Equipment. Selection and Design. First Edition. Ed.

Elsevier. U.S.A.

20

Práctica 2.- El Diagrama de Flujo de Procesos (DFP)

1.1. Propósitos

Desarrollar la habilidad de los alumnos en la obtención de información para el diseño y

análisis de instalaciones agroindustriales y plasmarla en un diagrama o esquema.

Practicar y actualizar sus habilidades para el manejo del programa de cómputo Auto-Cad,

mediante el desarrollo del diagrama de flujo de procesos.


Esta práctica será desarrollada en las instalaciones de la Universidad, particularmente en la

Unidad de Tecnología Lechera del Departamento de Ingeniería Agroindustrial, que desarrolla

actividades todos los días del año.

Los materiales requeridos para el desarrollo de esta práctica son: hojas blancas y tabla para

portar hojas tamaño carta u oficio o también puede emplearse cuaderno de notas,

computadora personal o laptop con el programa de Autocad © instalado.

Es importante disponer de un flexómetro de 2 a 3 m para medir las dimensiones de los

equipos, un termómetro para medir la temperatura de los fluidos y cubetas de plástico para

medir volúmenes de fluido.


Para un día de actividades de la planta lechera obtener la información siguiente:

Equipo de proceso empleado, incluyendo calderas, depósito de agua, banco de hielo y sus

características principales como son medidas, capacidades, flujos, potencias de motores,

marcas y modelos.

21

Cantidad de producto procesado durante un día y propiedades de las materias primas, los

productos y los subproductos para el balance de materia y energía. Litros totales de materia

prima procesada y su densidad, materias primas auxiliares como cuajo, sales, cultivo, fruta y

saborizantes, temperaturas de procesamiento, productos elaborados y subproductos como

el suero y requesón, consumo de agua y vapor, temperatura y presión del agua fría y del

vapor, composición de la leche y productos terminados en cuanto a contenidos de agua,

grasa, proteína y otros sólidos.



1. Archivo de Autocad © del diagrama de flujo del proceso desarrolla en la Unidad de

Tecnología Lechera durante un día de actividades.


desarrollo de la práctica, las características de las materias primas, productos,

subproductos y fluidos de servicio (vapor, agua, agua fría) las conclusiones y las

fuentes de información consultadas.









22






americana. México.


España.


Elsevier. U.S.A.

23

Práctica 3.- El Diagrama de Tubería e Instrumentación (DTI)

1.1. Propósitos

Desarrollar la habilidad de los alumnos para la obtención de información de instalaciones

agroindustriales y plasmarla en un plano.

Practicar y actualizar sus habilidades para el manejo del programa de cómputo Auto-Cad,

mediante el desarrollo del plano de áreas y el plano de distribución de equipos.


Esta práctica será desarrollada en las instalaciones de la Universidad, particularmente en las

plantas piloto y la Unidad de Tecnología Lechera (UTL) del Departamento de Ingeniería

Agroindustrial, que desarrolla actividades todos los días del año. Los equipos principales que

se distribuirán entre los equipos son: Pasteurizador de leche en la UTL, calderas de la UTL,

Calderas de plantas piloto, triple efecto de plantas piloto, esterilizadores de plantas piloto.

Los materiales requeridos para el desarrollo de esta práctica son:

Hojas blancas y tabla para portar hojas tamaño carta u oficio o también puede emplearse

cuaderno de notas.

Cinta métrica, Regla de 30 cm o un vernier para medir diámetro de tubería.

Computadora personal o laptop con el programa de Autocad © instalado.


Una vez distribuidos los espacios para cada uno de los equipos de trabajo se procederá a

obtener la información siguiente:

Equipo principal (calderas, triple efecto, esterilizadores) y secundario (bombas, depósitos,

separadores).

Características de las tuberías y los accesorios. Identificación de instrumentos de medición y circuitos de control. Medición y/o estimación de los flujos de las tuberías.

24



1. Archivo de Autocad © del diagrama de tubería e instrumentación (DTI) que se le

asignó de acuerdo al sorteo.


desarrollo de la práctica, las conclusiones y las fuentes de información consultadas.














americana. México.


España.


Elsevier. U.S.A.

25

Unidad 2.- Simulación y Optimización de procesos

2.1 Objetivo

Resolver problemas de simulación y optimización de operaciones y procesos característicos

de las plantas agroindustriales, mediante el uso de paquetes de cómputo especializado y uso

de una hoja de cálculo comercial.

2.2 Fundamentos teóricos

La instrumentación de procesos es una herramienta muy útil para mejorar las condiciones de

operación de los equipos, las líneas de proceso y la planta en general. Los elementos

principales de la instrumentación en un ciclo de control son un sensor de la variable que se

controla, el transmisor de la señal, el controlador que dará la señal para que el actuador

ejecute la acción correspondiente para mantener el proceso en equilibrio, es decir, dentro de

los parámetros establecidos para la variable de control. Mediante ecuaciones de las leyes y

principios se pueden obtener modelos teóricos que explican el comportamiento de las

operaciones y procesos que se desarrollan en las líneas de producción de las agroindustrias,

los modelos que se desarrollan son ecuaciones diferenciales que pueden resolverse

mediante programas de cómputo como Tutsim, Mathematica, Mat Lab, entre otros, en el

apartado 2.1.1. se desarrollan algunos ejercicios de Simulación aplicados en algunas de las

operaciones comunes desarrollados en las plantas agroindustriales, destacando el vaciado de

tanque por medio de la gravedad, y los diferentes modos de control de variables de proceso.

Existen varios métodos y técnicas que se emplean para resolver los modelos de optimización,

como parte de este curso se recordará el empleo del cálculo diferencial, se revisarán los

métodos de Lagrange para restricciones de igualdad, la Programación Lineal y la

Programación dinámica mediante la solución gráfica.

26

2.2.1. Ejercicios para simulación de procesos

Ejercicio 2.1.- Considere un depósito de agua de

forma cilíndrica como se ilustra en la figura 2.1,

Donde h es la altura de agua, D es el diámetro

del depósito, d es el diámetro del tubo de

descarga.

Las ecuaciones que se emplean son:

Volumen del fluido (V) = Área x Altura = (D2/4) h

Flujo másico ( ) = A Vel = ((d2/4) Vel.

Flujo Volumétrico ( ) = (d2/4) Vel

Para ver el comportamiento de la altura y la velocidad a través del tiempo es necesario desarrollar las

ecuaciones diferenciales que relacionen dh/dt y d(Vel)/dt.

De acuerdo con Domínguez (2004), (dh/dt) = k donde k = - ac /A = - d c /D donde:

(dh/dt) = - (d2 c /D2 )= - d2 c (2g)1/2 h1/2/D2

a, d: son el área transversal y diámetro respectivamente del tubo de salida del fluido.

C : Es el coeficiente de descarga del fluido, que es 1.0 para el agua y 0.60 para el aceite.

A, D : son el área transversal y diámetro respectivamente del depósito de agua.

dh/dt : es la variación de la altura con respecto al tiempo partiendo de una altura inicial ho.

g : es la constante de aceleración de la gravedad, que se considera es de 9.81 m/s2.

Para la solución en el programa matemática, considerando un depósito de agua donde: c = 1; d =

0.05 m (2 pulg), D = 1 m y la altura del depósito h (t=0) = 4 m, se emplean las siguientes instrucciones

en dicho programa.

D h d Fig. 2.1. Esquema del vaciado de un tanque.

27

Para graficar se emplea la expresión siguiente:

Para obtener los valores numéricos en forma de listado se emplea la instrucción siguiente:

0.00118563 0.00083499 0.000545661 0.000317644 0.00015094 0.0000455484 1.4693*10^-6

Este resultado final en forma de lista puede copiarse como (“Copy as”) y luego seleccionar “Plain

Text” y enviarse a una hoja de cálculo para usar los resultados.

Nota: cuando son muchos datos, se recomienda usar solo los resultados gráficos.

28

La solución en el paquete Tutsim se ilustra en la figura 2.2

Figura 2.2.- Desarrollo del modelo para simulación en Tutsim

Los resultados numéricos de la solución algebraica, la solución con el paquete Mathematica y Tutsim

se muestran en el archivo de Excel denominado “vaciado tanque.xls”.

La gráfica realizada en Excel es la siguiente:

Como puede observarse la gráfica es muy similar a la obtenida con el programa Mathematica.

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Alt

ura

h e

n m

Tiempo en s

Gráfica de vaciado de tanque

29

Solución con el programa Matlab

Modelo: dh/dt = - (d2 c /D2 )= - d2 c (2g)1/2 h1/2/D2 = -d1^2*c*(2*g)^0.5*h^0.5/d2^2

En primer lugar introducimos el valor de los parámetros o constantes de la forma siguiente:

Considerando: d1 = 0.05; d2 = 1; c = 1.0; h0 = 4; g = 9.81; y luego se define la función “dhdt”

>> dhdt=inline(‘[-0.05^2*1*(2*9.81)^0.5*h^0.5/1^2]’,’t’,’h’);

Para resolver se emplea el operador ode45

>> [t,h]=ode45(dhdt,[0,360],[4])

Para obtener la gráfica se emplear la instrucción:

>> plot (t,h)

La gráfica que se obtiene es la siguiente:

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

30

Para obtener la solución

numérica emplear:

>> sol=[t,h]

El resultado numérico es:

sol = 0 4.0000 9.0000 3.8032 18.0000 3.6113 27.0000 3.4244 36.0000 3.2424 45.0000 3.0655 54.0000 2.8934 63.0000 2.7264 72.0000 2.5643 81.0000 2.4072 90.0000 2.2551 99.0000 2.1079 108.0000 1.9657 117.0000 1.8284 126.0000 1.6961 135.0000 1.5688 144.0000 1.4465

153.0000 1.3291 162.0000 1.2167 171.0000 1.1092 180.0000 1.0068 189.0000 0.9092 198.0000 0.8167 207.0000 0.7291 216.0000 0.6465 225.0000 0.5688 234.0000 0.4962 243.0000 0.4284 252.0000 0.3657 261.0000 0.3079 270.0000 0.2551 279.0000 0.2072 288.0000 0.1643 297.0000 0.1264 306.0000 0.0934 315.0000 0.0654 324.0000 0.0425 327.5442 0.0348 331.0883 0.0278 334.6325 0.0217 338.1766 0.0163 339.8378 0.0140

341.4990 0.0119 343.1602 0.0100 344.8214 0.0083 346.4826 0.0067 348.1438 0.0052 349.8050 0.0040 351.4662 0.0029 352.4056 0.0024 353.3449 0.0019 354.2843 0.0015 355.2236 0.0011 355.6509 0.0010 356.0783 0.0008 356.5056 0.0007 356.9329 0.0006 357.3603 0.0005 357.7876 0.0004 358.2149 0.0003 358.6422 0.0002 358.9817 0.0002 359.3211 0.0001 359.6606 0.0001 360.0000 0.0000

Resumen de instrucciones y resultados en Matlab

31

Ejercicio 2.2.- Considere el sistema de calentamiento que se muestra en figura 2. 3. A continuación se mostrarán las ecuaciones empleadas para evaluar las ecuaciones que determinan la respuesta del control de temperatura en los diferentes modos de control (P, PD, PI, PID)

Ts, Agua caliente Agua fría Ti, TE 121

Cp, V,

T T 121

TIC 121

s.p.=TR..

, , vapor

Figura 2.3. Sistema de calentamiento con vapor de un depósito aislado térmicamente de agua Donde:

Ti, Ts : Son las temperaturas de entrada y de salida del agua en oC

s.p., TR : Son el “set point” y Temperatura de referencia en oC respectivamente

: Es el flujo másico de agua en kg/s

: Es el flujo másico de vapor en kg/s

Cp : Es el calor específico del agua en kJ/kg oC (4.18 kJ/kg oC)

V : Es el volumen en m3

: Es la densidad del agua en kg/m3 (1000 kg/m3 )

: Es el flujo de calor en kW.

: Es el calor latente del vapor en kJ/kg (a un bar = 2,256.28 kJ/kg)

32

Las ecuaciones que se emplean para evaluar la respuesta del control de temperatura son:

Para estado estable: s = Cp(Ts – Ti), como TR = Ts entonces s = Cp(TR – Ti) --------------------(1)

En estado transitorio la acumulación de calor = VCp(dT/dt) --------------------------------------------------(2)

La ecuación anterior se aplica cuando el flujo másico ( ) es constante

El balance de energía está dado por la ecuación: Acumulación de calor = que entra - que sale, es

decir,

VCp(dT/dt) = – Cp(T – Ti) --------------------------------------------------------------------------------------(3)

Donde T es el valor de la temperatura a la salida del calentador en oC ante cualquier perturbación.

Si consideramos que el error = (TR – T) y c es la constante del control proporcional, i es la contante

del control integrativo, D es la contante del control derivativo.

Las ecuaciones para los diferentes modos de control son:

Control Proporcional (P): = Cp(TR – Ti) + c(TR – T) + Mo = s + c ----------------------------------(4)

Control Integrativo (I): = Cp(TR – Ti) + (1/i)(TR – T)dt + Mo = s + (1/i)(dt) --------------------(5)

Control Derivativo (D): = Cp(TR – Ti) + D d(TR – T)/dt + Mo = s + D(d/dt) -----------------------(6)

Haciendo las sustituciones y el desarrollo algebraico de las ecuaciones, considerando = V y que

el valor de = 1/VCp que se obtienen las siguientes expresiones para los diferentes modos de

control.

MODO DE CONTROL ECUACIÓN

P dT/dt = ( + c ) + Mo

I dT/dt = + (/i)(dt) + Mo

D dT/dt = + (D)(d/dt) + Mo

PI dT/dt = ( + c ) + ( c/i)(dt) + Mo

PD dT/dt = ( + c ) + (( c D)(d/dt) + Mo

PID dT/dt = ( + c ) + ( c/i)(dt) + (( c D)(d/dt) + Mo

Donde:

= V = (0.5/(1000 0.5)) = 1 10^-3 =

= 1/VCp = (1/(1000 0.5 4.18)) = 4.78469 10^-4

Mo es la respuesta media del control (9 psi, 12 mA, 3 Volts), cuando el error = 0.

Resolver considerando la siguiente información:

= 0.5 kg/s; = 1000 kg/m3; V = 500 L = 0.5 m3;

Cp = 4.18 kJ/kg K; c = 1; D = 2; i = 1; TR = 80 °C; T[t=0] = 25 °C;

Control eléctrico con respuesta media Mo = 12 mA.

33

Solución del Control Proporcional (P) con Matlab:

NOTA: Para los controles integrativo, derivativo y los demás estoy buscando la forma de resolver. Si

alguien lo resuelve, favor de informarme el procedimiento, gracias.

34

Ejercicio 2.3.- Determinar el comportamiento de la concentración de salmuera en los tanques que se ilustran en la figura, si el modelo matemático que describe el proceso es el siguiente:

1

1

.

1

V

xm

dt

dx

2

2

.

1

1

.

2

V

xm

V

xm

dt

dx V1

3

3

.

2

2

.

3

V

xm

V

xm

dt

dx

Flujo = 60 L/min V2 V1 = 150 L V2 = 100 L V3 = 300 L Al inicio, es decir, t = 0, X1 = 0.50, X2 = 0 y X3 = 0 V3 La solución en el programa “Mathematica” es:

35

La solución en Matlab es la siguiente:

36

Ejercicio 2.4. Considere un sistema de mezclado de una solución azucarada como se ilustra en la figura.

Flujo = 40 L/min X1(t=0) = 0.40 X2(t=0) = 0 X3(t=0) = 0 V1 = 800 L V2 = 400 L V3 = 1600 L El modelo matemático del proceso está dado por las ecuaciones:

1

1

.

3

3

.

1

V

xm

V

xm

dt

dx

2

2

.

1

1

.

2

V

xm

V

xm

dt

dx

3

3

.

2

2

.

3

V

xm

V

xm

dt

dx

Los resultados empleando el programa Mathematica versión 9.0 son:

37

La solución en Matlab es la siguiente

38

Ejercicio 2.5. Comparar el comportamiento de la concentración si el volumen de los tres tanques es igual a 800 L. Resultado usando el programa “Mathematica”: Resultado en Matlab:

39

2.2.2 Cálculo diferencial

Se emplea cuando las funciones son continuas y no existen restricciones, como ejemplo de

estas funciones tenemos la determinación del diámetro óptimo económico en tuberías, la

estimación del espesor óptimo económico del aislamiento térmico, la determinación del

diferencial óptimo económico (T = Tbh – Tw) en torres de enfriamiento, entre otros. La

determinación de los puntos máximos, mínimos o puntos de inflexión se encuentran en la

función [f(x)] cuando se aplica la primera derivada y se iguala a cero, es decir, sea y = f(x)

entonces

, es la condición necesaria para encontrar los puntos máximos, mínimos o

puntos de inflexión. Por otro lado para saber a que corresponde el resultado se aplica la

segunda derivada a la función, lo que conoce como condición suficiente, aplicando la

siguiente regla:

Si

corresponde a un punto de inflexión

Si

corresponde a un punto máximo

Si

corresponde a un punto de mínimo

= 0

=

= 1

=

=

=

= n

=

=

Cuadro 1.- Fórmulas básicas de diferenciación

Para n = -1

NOTAS: u, v, x, son f(x); C, n, e son constantes.

Cuadro 2.- Fórmulas básicas de integración

40

2.2.3. Método de Lagrange

Este método es útil cuando se tienen funciones objetivo continuas sujetas a restricciones de

igualdad. Como ejemplo de funciones con estas características tenemos maximizar áreas de

figuras geométricas, sujetas a un perímetro dado, minimizar los costos de transporte en el

abastecimiento de materias primas considerando varias fuentes a abastecimiento y varios

lugares de procesamiento.

El modelo matemático plantea lo siguiente:

Sea la función objetivo (F.O.) maximizar o minimizar f(x1, x2, x3, ….xn)

Sujeto a las restricciones de igualdad gj(x1, x2, x3, ….xn) = bj donde j toma valores de 1 a m, es

decir, pueden existir una o más restricciones de igualdad.

Para resolver estos modelos con el método de Lagrange se desarrollan las actividades

siguientes:

Se transforma el modelo en el Lagrangiano (L) como una función objetivo modificada

definida por la expresión:

L(x1, x2, x3, ….xn, 1, 2, 3,….m) = f(x1, x2, x3, ….xn) + j [gj(x1, x2, x3, ….xn) - bj]

Donde j se le denomina multiplicadores de Lagrange y se emplea uno por cada ecuación de

restricción de igualdad, es decir, si solo existe una restricción solo se emplea , si hay dos se

usa 1 y 2, y así sucesivamente.

Se evalúan las derivadas parciales del Lagrangiano (L) con respecto las variables x, , de la

forma siguiente:

;

;

;

;

;

;

La condición necesaria para encontrar el mínimo o máximo es cuando:

=

=

= =

=

=

= =

= 0

41

Como puede observarse se aplica el mismo criterio que se aplicó con el método que emplea

el cálculo diferencial, la diferencia es que mediante este método se llega a un sistema de

ecuaciones con xn + m variables y el mismo número de ecuaciones, por lo tanto puede

resolverse. Así por ejemplo, cuando el sistema de ecuaciones es lineal puede resolverse con

matrices y determinantes empleando un paquete de computadora como la hoja de cálculo

de Excel®.

2.2.4 Programación Lineal

Es la planeación de actividades para obtener un resultado óptimo con respecto a una función

objetivo. Se emplea para resolver problemas cuya función objetivo, así como las

restricciones, son modelos matemáticos lineales.

El modelo matemático básico está definido por:

Maximizar o Minimizar la función objetivo (F.O) = C1X1 + C2X2 + ……..+ CnXn = CiXi

Sujeto a las Restricciones:

a11X1 + a12X2 + a13X3 + ………..+ a1nXn b1

a21X1 + a22X2 + a23X3 + ………..+ a2nXn b2

a31X1 + a32X2 + a33X3 + ………..+ a3nXn b3

. . . ……… . .

. . . ………. . .

am1X1 + am2X2 + am3X3 + ………+ amnXn bm

X1 , X2 , X3 , ………., Xn

Donde:

Ci : Son constantes que representa el beneficio por unidad de Xi.

aji : Es la cantidad de recurso j consumido por Xi.

bj : Es la cantidad de j disponible para todas las Xi.

42

Ejercicio.- Supongamos que en un rancho agrícola con una superficie de 150 ha, se puede

sembrar caña de azúcar (X1) y maíz (X2), la información que se tiene se muestra en el cuadro:

CONCEPTOS CULTIVOS

CAÑA DE AZÚCAR (X1) MAÍZ (X2)

Agua requerida (m3/t) 0.4 1.6

Precio de venta ($/t) 500 4000

Costo de producción ($/t) 350 2800

Productividad (t/ha) 120 10

Agua disponible (m3/ha) 26.6 26.6

Ganancias ($/t) 150 800

Superficie mínima (ha) 30 50

Determinar la superficie que debe destinarse al cultivo de caña de azúcar (X1) y de maíz (X2)

para maximizar las ganancias

Función Objetivo F.O. = Max Ganancias = (150 $/t) (120 t/ha) X1 + (800 $/t) (10 t/ha) X2

Restricciones de superficie: X1 + X2 150; X1 30; y X2 50

Restricciones de agua: (0.4 m3/t) (120 t/ha) X1 + (1.6 m3/t) (10 t/ha) X2 150 * 26.6

Simplificando las expresiones anteriores:

F.O. = Max Ganancias = 18,000 X1 + 12,000 X2

S.T.

48 X1 + 16 X2 3990 RESTRICCIONES DE AGUA

X1 + X2 150

X1 30 y X2 50

Usando solver de Excel®, la respuesta es: X1 = 49.69 ; X2 = 100.31; F.O. = $ 2,098,125.

NOTA.- Como ejercicio, resolver el problema anterior en forma gráfica

43

2.2.5 Programación dinámica

La programación dinámica es una técnica matemática que a menudo resulta útil a tomar una

sucesión de decisiones interrelacionadas. Proporciona un procedimiento sistemático para

determinar la combinación de decisiones que maximice la efectividad global.

Contrastando con la programación lineal, no existe un planteamiento matemático estándar

"del" problema de programación dinámica. Más bien, la programación dinámica es un tipo

general de enfoque para resolver problemas y las ecuaciones particulares usadas deben

desarrollarse para que se ajusten a cada situación individual. Por lo tanto, se requiere un

cierto grado de ingenio y de visión de la estructura general de los problemas de

programación dinámica, a fin de reconocer cuando un problema se puede resolver mediante

los procedimientos de esta programación y cómo se haría. Probablemente se puedan

desarrollar mejor estas aptitudes por medio de una exposición de una amplia variedad de

aplicaciones de la programación dinámica y de un estudio de las características que son

comunes a todas estas.

Por fortuna, la programación dinámica suministra una solución con mucho menos esfuerzo

que la enumeración exhaustiva. (Los ahorros de cálculo serían enormes para versiones más

grandes de un problema.) La programación dinámica parte de una pequeña porción del

problema y encuentra la solución óptima para este problema más pequeño.

Entonces gradualmente agranda el problema, hallando la solución óptima en curso a partir

de la anterior, hasta que se resuelve por completo el problema original. En seguida se dan

los detalles involucrados en la implementación de esta filosofía general.

Considérese que las variables de decisión Xn (n = 1,2,3,4) son el destino inmediato en la

etapa n. Así, la ruta seleccionada sería 1 - XI - X2 - X3 - X4 en donde X4 = 10. Sea fn(s, Xn) el

costo total de la mejor política global para las etapas restantes, dado que el vendedor se

encuentra en el estado s listo para iniciar la etapa n y se selecciona a XII como el destino

inmediato. Dados s y n, denotemos por x el valor de X*n que minimiza al fn(s, Xn) y sea f*(s)

el valor mínimo correspondiente de fn(s, Xn) por tanto, f*n(s) = fn(s, Xn). El objetivo es hallar

f1*(1) y la pol1tica correspondiente. La programación dinámica hace esto, hallando

sucesivamente f4*(s),f3*(s), f2*(s) , a continuación, f1*(1).

44

2.2.5.1. Programación dinámica determinista

Esta sección considera con mayor amplitud el enfoque de programación dinámica para los

problemas deterministas, en los que el estado en la etapa siguiente queda completamente

determinado por el estado y la política en la etapa actual.

La programación dinámica determinista se puede describir en forma de diagrama de la

siguiente forma:

Una manera de catalogar los problemas de programación dinámica determinista es por la

forma de la función objetivo. Por ejemplo, el objetivo podría ser minimizar la suma de

contribuciones de las etapas individuales, o bien minimizar un producto de tales términos y

así sucesivamente.

En un problema de programación dinámica, las temporadas deben ser las etapas.

2.2.5.2. Programación dinámica probabilista

La programación dinámica probabilista difiere de la programación dinámica determinista en

que el estado de la etapa siguiente no queda completamente determinado por el estado y la

decisión de la política en el estado actual. En lugar de ello existe una distribución de

probabilidad para lo que será el estado siguiente. Sin embargo, esta distribución de

probabilidad todavía está completamente determinada por el estado y la decisión de la

política del estado actual. En la siguiente figura se describe diagramáticamente la estructura

básica que resulta para la programación dinámica probabilista, en donde N denota el número

de estados posibles en la etapa n+1.

Sn Sn+1

Etapa

n

Etapa

n + 1

fn(Sn,Xn) Fn*+1(Sn+1)

Contribución

de XnEstado:

45

Cuando se desarrolla de esta forma para incluir todos los estados y decisiones posibles en

todas las etapas, a veces recibe el nombre de árbol de decisión. Si el árbol de decisión no

es demasiado grande, proporciona una manera útil de resumir las diversas posibilidades que

pueden ocurrir.

2.2.5.3. Solución mediante estructura de árbol

La solución mediante estructura de árbol tiene la característica de formar una serie de

ramificaciones a partir de una condición inicial definida por la persona que realiza el análisis

del problema. El empleo de este método es útil en la solución de problemas con estructura

matricial, donde las decisiones previas afectan las decisiones futuras, a tal grado que al

concluir la estructura se suman los resultados de cada una de las ramificaciones y se realiza

la selección de la opción más favorables, que puede ser el valor máximo o el valor mínimo. A

continuación se ilustra con un ejemplo la aplicación de esta técnica de optimización.

Ejercicio 2.2.5.1. Considere que un estudiante de ingeniería dispone de 6 días para estudiar

y presentar sus exámenes finales, por experiencias anteriores el número máximo de días

que puede dedicar a cada materia es de tres el mínimo es de cero. El número de materias

que está cursando en el semestre es de 4 y las posibles calificaciones que obtendrá en

función del tiempo de estudio se muestra en el cuadro siguiente:

P1

P2

PN

C1

C2

CN

Etapa n+1

1

2

3

XnSn

fn(Sn,Xn)

Decisión

Probabilidad

Contribución

de la Etapa nSn+1

f*n+1(1)

f*n+1(2)

f*n+1(3)

Estado

Etapa n

46

CURSOS

CALIFICACIONES EN FUNCIÓN DE LOS DÍAS DE ESTUDIO

0 DÍAS 1 DÍA 2 DÍAS 3 DÍAS

A 4 6 9 9

B 5 6 7 8

C 3 7 8 8

D 6 8 9 10

Determinar el número de días que debe dedicar el estudiante a cada materia para que su

promedio sea máximo.

Para resolver mediante estructura de árbol, primero ubicamos en la parte superior los días

que se dedicarán a estudiar cada materia y en la parte inferior colocamos en los nodos de

las ramificaciones del árbol los cursos, partiendo del tronco se ubican las ramificaciones con

los cursos A, B, C, D.

Una vez teniendo las ramificaciones, en la línea que une cada curso, se coloca el valor de la

calificación que corresponde al curso y a los días de estudio ubicados en la parte superior.

Finalmente siguiendo las líneas se realizan las sumas y se obtiene el promedio, cuyas

columnas se encuentran ubicadas en el lado derecho de la figura de árbol que se forma.

Además se identifican los valores máximos y/o mínimos, dependiendo del planteamiento del

problema.

En la figura 2.2.5.1 se muestra el desarrollo completo del problema con la solución.

47

Resultado Curso D 3 días; A 2 días; C 1 día; B 0 días. Para obtener

calificaciones de 10 (D), 9 (A), 7 (C) y 5 (B) y promedio de 7.75

Figura 2.2.5.1. Desarrollo de la programación dinámica en estructura de árbol.

48

2.2.5.4. Solución mediante estructura de redes y nodos

Otra forma de resolver los problemas con programación dinámica es con el empleo de redes

y nodos. Existen ejemplos típicos donde se aplica este método como las redes de tubería de

agua en un campo de cultivo o una ciudad, el transporte de materias primas o productos de

una localidad hacia otra, el desarrollo de las diversas actividades en un proyecto que

incluyen tiempo y secuencia. En este último caso se puede determinar tiempos máximos y

tiempos mínimos así como la holgura en cada una de las actividades, algo similar a la que se

obtiene con el método de la ruta crítica.

Para la solución de este tipo de problemas, en primer lugar se debe establecer la red y los

nodos como se muestra en la figura 2.2.5.2. A continuación se inicia la evaluación de la

distancia, tiempo, etc., con el último nodo ubicado del lado derecho, colocando en cero en la

parte inferior el último nodo cuando se quiere minimizar o en la parte superior cuando se

quiere maximizar. De la misma forma para los siguientes nodos se coloca los valores ya sea

máximo en la parte superior o mínimo en la parte inferior de acuerdo a lo que corresponda.

Como ejemplo, empleando la figura 2.2.5.2., en la parte inferior del nodo 21 se coloca el

cero, luego en la parte inferior del nodo 20 se coloca el número 30, en la parte inferior del

nodo 19 el número 43, en el nodo 18 el número 53, en el nodo 17 el número 83, en el nodo

16 el número 75, que es la distancia mínima, y así sucesivamente hasta llegar al nodo 1.

El resultado del problema, es decir, la distancia mínima del nodo uno al nodo 21 es de 342

unidades, una vez que se obtiene esta distancia mínima se indica la ruta por la que se llegó

marcándola en la red de nodo a nodo como se observa en la figura 2.2.5.3. El resultado de la

ruta es:

1 3 10 12 14 19 21

49

Ejercicio.- Una compañía quiere saber la distancia mínima entre el nodo 1 y 21, y dispone de la

información sobre distancias mostrada en el cuadro. a) Hacer la estructura de redes (unión entre

nodos) de acuerdo a la información; b) encontrar la distancia mínima del nodo 1 al 21 por

programación dinámica.

Figura 2.2.5.2. Estructura de redes y nodos para la solución del problema.

Figura 2.2.5.3. Resultados del problema

50

Práctica 4.- Simulación de modelos matemáticos

Propósito: Analizar operaciones y procesos agroindustriales mediante modelos matemáticos,

empleando la simulación y optimización a través de paquetes computacionales para resolver

ecuaciones diferenciales.

4.1 Ubicación y materiales requeridos

El desarrollo de esta práctica se realizará en la Sala de Computo “A” del Departamento de Ingeniería

Agroindustrial, donde cada alumno tendrá una computadora personal con el paquete Excel 2007 o

superior.

Además en la Sala se cuenta con laptop, proyector multimedia y pintarrón donde el profesor dará las

instrucciones para el desarrollo de la práctica.

Los alumnos seguirán las instrucciones de los ejercicios resueltos y posteriormente realizarán los

ejercicios propuestos para enviar las respuestas al correo electrónico del profesor.

4.2 Información a obtener

Mediante el uso de los paquetes de cómputo se desarrollarán las instrucciones para la

captura de la información en el paquete Matlab y la exportación de los resultados al editor

de texto para realizar la edición del informe para posteriormente enviarlo al correo

electrónico del profeso.

4.3 Características del informe

Con la información del inciso 2.2.1, para los ejercicios 2.1. a 2.5., desarrollar lo siguiente:

1).- En el procesador de texto Word ©, hacer una breve introducción de la práctica indicando importancia objetivos y metodología.

2.- Para cada uno de los problemas indicar el modelo empleado y el valor de los parámetros.

3).-Para cada modelo, realizar la simulación en el paquete Matlab, indicando las instrucciones empleadas en el editor de texto, mostrar los resultados en forma gráfica y en forma numérica, transformando los datos de salida en la tabla correspondiente con sus encabezados y unidades.

4) Hacer sus comentarios y conclusiones sobre las actividades realizadas.

5) Incluir la bibliografía y otras fuentes de información consultadas

6).- Enviar el archivos en fromato PDF al correo electrónico: [email protected] antes de:

Día: __31___ Hora: ___24:00_________ Año: ___2014______.

mailto:[email protected]

51

4.4 Bibliografía de apoyo

Covarrubias, G. I. 2001. Simulación en Tutsim. Material traducido del manual de usuario.

Covarrubias, G. I. 2014. Manual de prácticas del curso de Ingeniería de planta. Universidad Autónoma

Chapingo. Depto. de Ingeniería Agroindustrial. Chapingo. México.

Domínguez, G. G. 2004. Tópicos de matemáticas avanzadas con aplicación en la Agroindustria.

Memoria de Experiencia Profesional. Universidad Autónoma Chapingo. México. 337 pág.

Luyben, W. L. 1996. Process modeling, simulation, and control for chemical engineers. Second Edition.

McGraw-Hill. U.S.A.

Wolfram Research. 2013. Programa de cómputo “Wolfram Mathematica”©, Consultado en la página

electrónica: http://www.wolfram.com/company/background.html. fecha: 14-04-2013. Con sedes en:

Champaign, IL (sede central); Oxfordshire, Reino Unido (sede en Europa); Tokyo, Japón (sede en Asia);

con sucursales en Cambridge, MA; París, Francia; etc.

Universidad de Sevilla. Departamento de Matemática Aplicada. 2008-2009. Práctica II:

Problemas de valor inicial en EDO’s. Consultado en la página electrónica:

http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=0CCgQFjAA&url=http%3A%2F%2Fperso

nal.us.es%2Fcontreras%2Fpractica2.pdf&ei=zZs1U6LGEKPnsATSlIHABg&usg=AFQjCNHEQRLeZTSMyrtWZ64Ah3y-

3AbPYQ&bvm=bv.63808443,d.cWc.

Percero, S. D., y Salgueiro, F. R. ___. Ecuaciones diferenciales en Matlab. Consultado en:

http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=10&ved=0CGAQFjAJ&url=http%3A%2F%2Fwww.matematicaaplic

ada2.es%2Fdata%2Fpdf%2F1354642696_1285504660.pdf&ei=UZ01U7DNGO3ksATPkoK4Dg&usg=AFQjCNEQRQsko65AlXkMgB0FCmkorsOF

gQ&bvm=bv.63808443,d.cWc&cad=rja

Oviedo, J. M.___ Sistemas de ecuaciones diferenciales-Resolución por medio de Maple,

Matemática, Gaus, Matlab y Macros en Excel. Consultado de la página electrónica:

http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&cad=rja&uact=8&ved=0CC4QFjAB&url=http%3A%2F%2Fmate

ma.ujaen.es%2Fjnavas%2Fweb_modelos%2Fpdf_mmb08_09%2Fjmauriciooviedo.pdf&ei=hp81U-

ncN5DMsQST4YJY&usg=AFQjCNEQYU1YaOKfDKyudjbRp9YF_OCSew&bvm=bv.63808443,d.cWc

Hunt, B. R., Lipsman, R. L., Rosenberg, J. M., Coombes, K. R., Osborn, J. E., Stuck, G. J. 2001. A

Guide to MATLAB for Beginners and Experienced Users. Cambridge University Press. New

York. USA. Consultado en: http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&cad=rja&uact=8&ved=

0CDQQFjAB&url=http%3A%2F%2Fw3.gazi.edu.tr%2F~balbasi%2FA%2520Guide%2520to%2520MATLAB.pdf&ei=cqE1U4TNDfK_sQSm84HAC

g&usg=AFQjCNFFXQhjGDCf19ZHi-egCBdkgHd-AQ&bvm=bv.63808443,d.cWc

http://www.wolfram.com/company/background.html

http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=0CCgQFjAA&url=http%3A%2F%2Fpersonal.us.es%2Fcontreras%2Fpractica2.pdf&ei=zZs1U6LGEKPnsATSlIHABg&usg=AFQjCNHEQRLeZTSMyrtWZ64Ah3y-3AbPYQ&bvm=bv.63808443,d.cWc



http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=10&ved=0CGAQFjAJ&url=http%3A%2F%2Fwww.matematicaaplicada2.es%2Fdata%2Fpdf%2F1354642696_1285504660.pdf&ei=UZ01U7DNGO3ksATPkoK4Dg&usg=AFQjCNEQRQsko65AlXkMgB0FCmkorsOFgQ&bvm=bv.63808443,d.cWc&cad=rja



http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&cad=rja&uact=8&ved=0CC4QFjAB&url=http%3A%2F%2Fmatema.ujaen.es%2Fjnavas%2Fweb_modelos%2Fpdf_mmb08_09%2Fjmauriciooviedo.pdf&ei=hp81U-ncN5DMsQST4YJY&usg=AFQjCNEQYU1YaOKfDKyudjbRp9YF_OCSew&bvm=bv.63808443,d.cWc



http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&cad=rja&uact=8&ved=%200CDQQFjAB&url=http%3A%2F%2Fw3.gazi.edu.tr%2F~balbasi%2FA%2520Guide%2520to%2520MATLAB.pdf&ei=cqE1U4TNDfK_sQSm84HACg&usg=AFQjCNFFXQhjGDCf19ZHi-egCBdkgHd-AQ&bvm=bv.63808443,d.cWc



52

Práctica 5.- Solución de Modelos por el Método de Lagrange y uso de

paquetes de cómputo.

Propósito: Analizar operaciones y procesos agroindustriales para su optimización por el

método de Lagrange mediante paquetes de cómputo para resolver sistemas de ecuaciones

lineales.



Agroindustrial, donde cada alumno tendrá una computadora personal con el paquete Excel y Matlab.






Para el desarrollo de práctica, considere que se requiere maximizar el área del rectángulo que se muestra en la figura, cuyo perímetro es de 32 m. Función Objetivo: Max A = XY Restricción de igualdad: P = 2X + 2Y = 32

Lagrangiano: L(X,Y,) = XY – (2X + 2Y -32) Condición necesaria:

= 0

Y X

53

El sistema de ecuaciones anterior puede resolverse con Excel de la forma siguiente:

1) Se determina la matriz “A”, el determinante “B” y se evalúa la matriz inversa, como se

ilustra a continuación.

Es importante observar que para obtener la matriz inversa se emplea el operador INDICE

para que al copiar a las siguientes celdas de la matriz inversa se evalúen correctamente.

2) Se rellenan las celdas y se evalúa la multiplicación de la matriz inversa por el

determinante como se ilustra en la siguiente figura.

54

Al copiar la celda F8 a las celdas F9 y F10 se obtiene el resultado final.

La forma de resolver en Matlab es la siguiente:

55


Para la realización del informe es necesario desarrollar la solución de:

Ejercicio1.- Considere la función objetivo: minimizar f(X,Y,Z) = 2 X2 + 2 Y2 + Z2 - 2 X Y - 4 X - 6 Y,

sujeta a las restricciones:

X + Y + Z = 2

X + 5 Y = 5

a) Resolver mediante el método de Lagrange y el uso de matrices y determinantes de

Exel y mediante el paquete Matlab.

Ejercicio 2.- Considere la función objetivo z = 4x2 + 5y

2 sujeta a la restricción 2x + 3y = 6

a) Resolver mediante el método de Lagrange y el uso de matrices y determinantes de

Exel y mediante el paquete Matlab.

b) Resolver mediante el método de Lagrange y el método de sustitución.

Desarrollar cada ejercicio en la hoja de cálculo de Excel incluyendo las instrucciones y los

resultados de Matlab y enviar el archivo al correo del profesor con el siguiente título:

Práctica6 IP Nombre Alumno dd-mm-aaaa en formato de paquete Excel.




Cárdenas, M.A. 1983. La Ingeniería de Sistemas: filosofía y técnicas. LIMUSA. México.

Edgar, T. F. y Himmelblau, D. M. 1988. Optimization of Chemical process. Ed. Mc Graw Hill.

U.S.A.

Hunt, B. R., Lipsman, R. L., Rosenberg, J. M., Coombes, K. R., Osborn, J. E., Stuck, G. J. 2001. A

Guide to MATLAB for Beginners and Experienced Users. Cambridge University Press. New

York. USA. Consultado en: http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&cad=rja&uact=8&ved=

0CDQQFjAB&url=http%3A%2F%2Fw3.gazi.edu.tr%2F~balbasi%2FA%2520Guide%2520to%2520MATLAB.pdf&ei=cqE1U4TNDfK_sQSm84HAC

g&usg=AFQjCNFFXQhjGDCf19ZHi-egCBdkgHd-AQ&bvm=bv.63808443,d.cWc




56

Práctica 6.- Solución de Modelos de Programación Lineal y uso de Excel

Propósito: Analizar operaciones y procesos agroindustriales para su optimización mediante

programación lineal y el uso de paquetes de cómputo especializados para la solución de los

modelos formulados.



Agroindustrial, donde cada alumno tendrá una computadora personal con el paquete Excel 2007 o

superior.






Con los datos del inciso 2.2.4, donde se obtiene el modelo:

F.O. = Max Ganancias = 18,000 X1 + 12,000 X2

S.T.

48 X1 + 16 X2 3990 RESTRICCIONES DE AGUA

X1 + X2 150 RESTRICCIONES DE TIERRA

X1 30 CONDICIÓN DADA POR LA P.L.

X2 50 CONDICIÓN DADA POR LA P.L.

Desarrollar mediante la función solver de Excel el resultado.

57

El planteamiento inicial donde se ubican las variables, los parámetros y las restricciones en

las celdas de la hoja de cálculo, para finalmente activar solver que se ubica en los comandos

de datos, quedando la estructura de la forma siguiente:

El resultado al activar el botón resolver es:

58

Finalmente, una vez que se obtienen los resultados indicarle al programa “Aceptar”

Para resolver el modelo de dos variables por el método gráfico es necesario hacer:

Cómo se observa “C” es el resultado, tiene el valor más alto de la función objetivo (F.O.).

59


Para el informe en Excel, considerar los ejercicios siguientes.

Resolver cada problema en una hoja de Excel y enviarlo al correo electrónico del profesor.

60




Bueno de Arjona, G. 1987. Introducción a la programación lineal y análisis de sensibilidad.

Editorial Trillas. Mexico. [519.72 b8]

Cárdenas, M.A. 1983. La Ingeniería de Sistemas: filosofía y técnicas. LIMUSA. México. [620.7 C37]

Edgar, T. F. y Himmelblau, D. M. 1988. Optimization of Chemical process. Ed. Mc Graw Hill.

U.S.A. [660.28 E3]

Robinet III, R. D.; Wilson, D. G.; Eisler G. R.; Hurtado, J. E. 2005. Applied dynamic

programming for optimization of dynamical systems. Society for Industrial Applied

Mathematics (SIAM). Philadelphia. U. S. A.

61

Unidad 3.- Sistemas de Trabajo

3.1. Objetivos

3.2. Fundamentos teóricos

62

63

64

Práctica 7.- El Diagrama de Recorrido de los Materiales.




65


66

Práctica 8.- Cursogramas Analíticos de Operador, Materiales, Equipo




67


68

Práctica 9.- Medición del trabajo y tiempo estándar



69

9.3.Características del informe


70

Unidad 4.- Diseño de estación de trabajo

3.1. Objetivos

3.2. Fundamentos teóricos

71

72

73

Práctica 10.- Equipos para Manejo de Materiales

10.1.Ubicación y materiales requeridos



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75

Práctica 11.- La Estación de Trabajo




76


77

Práctica 12.- Técnicas para Balanceo de Líneas




78


Documents

Manual Prácticas IP 01-04-2014