Upload
trinidad-rodriguez
View
11
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Manual
Citation preview
Ciclo escolar: Febrero Julio 2015
Recopilado y Presentado por:
Mtro. Carlos Hernndez Garca [email protected]
Ing. Kenninseb Luca Ruiz Gamboa
M. Azucena Amrica lvarez Montejo [email protected]
Escuela Preparatoria Diurna.
Academia que presenta:
ACADEMIA DE MATEMTICAS.
Cd. del Carmen, Campeche, 30 de Abril de 2015
UNIVERSIDAD AUTNOMA DEL CARMEN
CURSO AL QUE PERTENECE:
MATEMTICAS IV
MANUAL DE PRCTICAS
TTULO DE LA PRESENTACIN:
MANUAL DE PRCTICAS DE MATEMTICAS IV
3. SECUENCIA DIDACTICA
MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA
51
TERCERA SECUENCIA DIDACTICA BLOQUE III. GRFICAS DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTES.
Propsito de la secuencia didctica: Analiza las grficas de las funciones trascendentes para argumentar las soluciones a problemas de variacin, tales como oscilacin, crecimiento y decrecimiento de los cuerpos; en los diferentes campos disciplinares.
CONTENIDOS DE LA SECUENCIA DE APRENDIZAJE DECLARATIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES
Identifica grficamente las funciones seno y coseno. Define la amplitud, el periodo, la frecuencia y la fase de las funciones seno y coseno. Identifica las funciones exponenciales: crecientes y decrecientes. Identifica algebraica y grficamente a la funcin logartmica como la inversa de la funcin exponencial.
Obtiene los elementos de la funcin seno y coseno como: la amplitud, la fase, el periodo y la frecuencia. Obtiene los elementos de las funciones logartmicas. Determina los elementos de las funciones exponenciales. Construye la grfica de la funcin seno, coseno, logartmica y exponencial a partir de sus elementos. Usa un software, para obtener la grfica de la funcin logartmica y exponencial que represente la solucin de problemas de oscilacin, crecimiento y decrecimiento de los cuerpos; en los diferentes campos disciplinares.
Valora el trabajo colaborativo en la solucin de los ejercicios de clase y extra clase (tarea para resolver en casa).
Presta atencin a las explicaciones del profesor en el saln de clases. Acta de manera positiva para realizar las actividades planteadas en el programa de curso. Participa de manera activa en clase, realizando sus ejercicios, preguntando, exponiendo. Aporta puntos de vista personales con apertura y considera los de otras personas. Propone maneras creativas de solucionar problemas matemticos. Reconoce sus errores en los procedimientos y muestra disposicin para solucionarlos. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta, dentro de distintos equipos de trabajo.
MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA
52
Valora el uso de la TICs en el modelado grfico y algebraico, en la resolucin de problemas presentes en su contexto. Reflexiona y valora la utilidad de las tcnicas algebraicas para simplificar procesos y obtener soluciones precisas en procesos algebraicos y/o geomtricos.
ACTIVIDADES TRANSVERSALES:
Descripcin de la actividad: Unidades de aprendizaje con las que se vincula:
Propsito: Creacin de una pgina web de las funciones trigonomtricas, logartmicas y exponenciales. En esta actividad en la UAC de Matemticas IV evaluar la aplicacin de las funciones trigonomtricas, logartmicas y exponenciales en su entorno, actividad interdisciplinar de la UAC de Informtica IV donde evaluar los elementos del diseo de la pgina web con el uso del software.
INFORMATICA IV Y MATEMTICAS IV (Introduccin al Calculo)
MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA
53
NDICE
TERCERA SECUENCIA DIDCTICA BLOQUE III. FUNCIONES
51
FUNCIONES TRIGONOMTRICAS. 54
Unidades de medicin para ngulos 54 PRACTICA 8 56
FUNCIN SENO. 58
Caractersticas: Amplitud, periodo, frecuencia y fase.
59
FUNCIN COSENO. 63
Caractersticas: Amplitud, periodo, frecuencia y
fase. 64
PRACTICA 9 67
FUNCIN LOGARTMICAS 69
FUNCIN EXPONENCIALES 73
CASO PARTICULAR a = e 76 PRACTICA 10 78
Bibliografa 80
MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA
54
FUNCIONES TRIGONOMTRICAS
En la vida diaria se pueden observar acontecimientos que se repiten siguiendo un patrn predecible, por ejemplo: el hecho de que en regiones de climas templados, el consumo de energa elctrica se eleva en verano y desciende en invierno; el nmero de turistas que visitan las playas de Mxico aumentan en periodos vacacionales y disminuyen el resto del ao; el precio de venta de las frutas en temporada de verano disminuye y aumenta en invierno.
As como estos ejemplos, hay otros que pueden ser modelados con funciones peridicas, las cuales son
aquellas que repiten el mismo valor en intervalos regulares de la variable. Debido a que las funciones seno y coseno repiten sus valores con un patrn regular (o sea no cambian
de valor cuando el ngulo cambia), estas son consideradas funciones peridicas, las cuales se construyen mediante las razones trigonomtricas de seno y coseno, respectivamente.
Una funcin f(x) es peridica si existe un nmero p tal que, pueda hacer f ( x + p) = f (x), para todas las
x; al nmero p se le llama periodo. Existen 2 tipos de funciones trascendentes trigonomtricas: trascendentes trigonomtricas directas
(seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) y trascendentes trigonomtricas inversas (arcsen, arccos, angtan, angsec, etc.).
Las funciones trigonomtricas directas asocian a cada nmero real x, el valor de la razn trigonomtrica
del ngulo cuya medida en radianes es x. Para poder estudiar las funciones trigonomtricas, es necesario mencionar, las unidades de Medicin
para los ngulos: el grado y el radian.
UNIDADES DE MEDICIN PARA NGULOS.
El grado es la unidad ms comn que se utiliza para medir el tamao de un ngulo, pero existe otra llamada radian, esta es la unidad de medicin que utiliza el sistema internacional. El radian es una razn de la longitud del arco de circunferencia con respecto al radio.
La circunferencia mide r2 , y si tomamos en cuenta una circunferencia de radio 1r , tenemos que
esta medida es 2 . Asimismo, una circunferencia tiene 360, por lo que puede afirmarse que:
3602 y 1 180 ....(1)
De esta relacin podemos deducir que:
)( grados 57.3 (1rad) radian 1
(rad) radianes0175.0)(1 grado 1
..(2)
MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA
55
Objetivo:
Reforzar los conocimientos del tema conversiones de grados a radianes y viceversa de 2 semestre
Descripcin:
En esta prctica el estudiante recordar el manejo correcto de las conversiones.
Tcnica:
Aplicara la regla, frmula o relacin para convertir de grados a radianes y viceversa y obtener as el resultado.
Procedimientos:
Paso 1: Identificar la regla, formula o relacin correcta Paso 2: Acomoda los datos correctos en la frmula, regla o relacin Paso 3: Realiza una regla de tres simple, para contener el resultado Paso 4: En caso de convertir de radianes a grados, recordar multiplicar los decimales por 60 para conocer los minutos y el decimal nuevo por 60 para conocer los segundos.
Materiales:
Hojas blancas Lpiz Borrador
Ejemplo:
Utilizando las frmulas explicadas anteriormente, convertir 3
2radianes a grados.
Paso 1: Identificar la regla, formula o relacin correcta.
180rad Paso 2: Acomoda los datos correctos en la frmula, regla o relacin.
x rad3
2
180rad
Paso 3: Realiza una regla de tres simple, para contener el resultado.
120)180(3
2
rad
)180(rad3
2
x
La medida que nos piden es 120x
Paso 4: En caso de convertir de radianes a grados, recordar multiplicar los decimales por 60 para conocer los
minutos y el decimal nuevo por 60 para conocer los segundos.
En el caso de nuestro ejemplo, los grados que dan como respuesta son grados exactos.
MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA
56
1.- Realizar las conversiones segn sea el caso.
1) 275 a rad 2) rad
7
3 a grados
3) rad5
1 a grados
4) 175 a rad
2.- Realiza las conversiones de la siguiente Tabla (GRADOS-RADIANES), expresando la respuesta en forma fraccionaria.
Nombre de los integrantes del equipo:
1.-
2.-
3.-
4.-
PRACTICA 8 Fecha: Grupo:
MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA
57
Rad Rad Grado Rad Rad Grado Rad Rad Grado
.0000 00 .5585 32 1.1170 64
.0175 01 .5760 33 1.1345 65
.0349 02 .5934 34 1.1519 66
.0524 03 .6109 35 1.1694 67
.0698 04 .6283 36 1.1868 68
.0873 05 .6458 37 1.2043 69
.1047 06 .6632 38 1.2217 70
.1222 07 .6807 39 1.2392 71
.1396 08 .6981 40 1.2566 72
.1571 09 .7156 41 1.2741 73
.1745 10 .7330 42 1.2915 74
.1920 11 .7505 43 1.3090 75
.2094 12 .7679 44 1.3265 76
.2269 13 .7854 45 1.3439 77
.2443 14 .8029 46 1.3614 78
.2618 15 .8203 47 1.3788 79
.2793 16 .8378 48 1.3953 80
.2967 17 .8552 49 1.4137 81
.3142 18 .8727 50 1.4312 82
.3316 19 .8901 51 1.4486 83
.3491 20 .9076 52 1.4661 84
.3665 21 .9250 53 1.4835 85
.3840 22 .9425 54 1.5010 86
.4014 23 .9599 55 1.5184 87
.4189 24 .9774 56 1.5359 88
.4363 25 .9948 57 1.5533 89
.4538 26 1.0123 58 1.5707 90
.4712 27 1.0297 59 120
.4887 28 1.0472 60 135
.5061 29 1.0647 61 160
.5236 30 1.0821 62 180
.5411 31 1.0996 63 270
MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA
58
FUNCION SENO
La razn trigonomtrica seno, es la comparacin por divisin entre el cateto opuesto y la hipotenusa de
uno de los ngulos agudos del tringulo rectngulo.
En esta grfica, se observa cmo los segmentos verticales (cateto opuesto), corresponden al valor del
seno del ngulo A, debido a que la hipotenusa en cada tringulo es de longitud 1.
La funcin seno f(x) = sen x, es una funcin continua, por tener el dominio en el intervalo de
, y su imagen en el intervalo de 1,1 .
x ( y
rad )
-270
2
3 -240 -210 -180
-150 -120
-90
2
1 -60 -30
f (x) 1 0.866 0.5 0 -0.5 -0.866 -1 -0.866 -0.5
x ( y
rad )
0 30 60 90
2
1
120 150 180 210 240
f (x) 0 0.5 0.866 1 0.866 0.5 0 -0.5 -0.866
MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA
59
Al observar la grfica anterior notamos que los valores de f(x) se repiten despus de cada intervalo de
360 o de 2, por lo que se llama senoide y es una funcin peridica.
CARACTERSTICAS: AMPLITUD, PERIODO, FRECUENCIA Y FASE.
Una funcin es peridica cuando cumple la siguiente condicin:
f (x) = f (x + p)
Siendo p una constante diferente de cero. Al menor valor positivo de p que satisface la condicin anterior se le
llama periodo de la curva o longitud de onda. Al mximo valor absoluto de f (x) se le llama amplitud de onda.
Y la posibilidad de que la curva se desplace con respecto al eje de las ordenadas, la cual se mide en unidades
angulares (generalmente radianes), se llama ngulo de desplazamiento.
La forma general de la funcin seno o senoide es:
f(x) = A sen kx . (1) f(x) = A sen ( kx + ) .. (2)
En la cual:
y = f (x), y A, k & son constantes
( kx + ) es un ngulo cualquiera y se expresa en radianes.
La amplitud de onda de cualquier senoide del tipo de ecuacin y =A sen kx y =A sen (kx+ ) es:
A = | A |.
Respecto al periodo, de acuerdo con la condicin dada para que una funcin sea peridica y con el
valor ya establecido del periodo de la funcin y =A sen kx que es 2 radianes, tenemos:
MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA
60
f (x) = f (x + p); donde p = 2 radianes
de acuerdo con lo anterior y como la ecuacin (2) es:
f(x) = A sen ( kx + )
f(x+p) = A sen [ k (x+p) + ]
la diferencia entre dos ngulos es el periodo, el cual se encuentra resolviendo la siguiente ecuacin:
[ k (x+p) + ] - ( kx + ) = 2
kx + kp + - kx - = 2
y resolviendo trminos semejantes:
kp = 2
y el periodo de onda es: p = k
2
Sobre el ngulo de desplazamiento, podemos observar que el ngulo de la ecuacin (2) no intervino
en el clculo de la amplitud ni del periodo de una senoide, entonces debe ser determinante para el
ngulo de desplazamiento de su grfica. Si la ecuacin (2) la escribimos de la forma (factorizada):
f(x) = A sen k( x + k
).(3)
y considerando la ecuacin y =A sen kx en la cual segn sean los valores de A y k se puede modificar
la amplitud y el periodo, podemos decir que el ngulo de desplazamiento es:
ngulo de desplazamiento = k
Frecuencia: Es la medida que se utiliza generalmente para indicar el nmero de repeticiones de cualquier
fenmeno o suceso peridico en la unidad de tiempo, es decir, las veces que se repite el periodo en un
intervalo definido. En las ecuaciones (1, 2 o 3) el valor de frecuencia la proporciona es valor de k.
Objetivo:
Graficar las funcin trigonomtrica seno
Descripcin:
MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA
61
En esta prctica el estudiante identificara los elementos que necesita para graficar una funcin trigonomtrica seno (amplitud, periodo y Angulo de desplazamiento)
Tcnica:
Utilizar los resultados obtenidos de los elementos para poder disear una grfica.
Procedimientos:
Paso 1: Determinar los coeficientes A, k y , para determinar amplitud, periodo y ngulo de desplazamiento. Paso 2: Aplicar las formulas correspondientes para la determinacin de amplitud, periodo y ngulo de desplazamiento. Determinar el dominio y rango con los datos encontrados. Paso 3: Si el ngulo de desplazamiento es diferente de cero, considerar un nuevo eje de y desplazado. Paso 4: Realizar la tabulacin correspondiente. Paso 5: Graficar la funcin y Trazar el eje y original.
Materiales:
Hojas blancas Hojas milimtricas Lpiz Borrador Regla
Ejemplo:
Trazar la grfica y encontrar la amplitud y el periodo de onda y el ngulo de desplazamiento de la curva 4)(x sen 2)x(f . Encontrar dominio e imagen.
Paso 1: Determinar los coeficientes A, k y , para determinar amplitud, periodo y ngulo de desplazamiento.
f(x) = A sen (kx + )
4)(x sen 2)x(f
Donde A = 2, k = 1 y = 4,
Paso 2: Aplicar las formulas correspondientes para la determinacin de amplitud, periodo y ngulo de desplazamiento. Determinar el dominio y rango con los datos encontrados.
: = { } = (, +)
Amplitud de onda A = | A | = | 2 | = 2 : = { / } = [, ]
Periodo de onda p = rad 21
2
k
2
Con este resultado se podr saber a qu distancia (en radianes) se presentara un crculo completo.
MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA
62
ngulo de desplazamiento = rad 41
4
k
Paso 3: Si el ngulo de desplazamiento es diferente de cero, considerar un nuevo eje de y desplazado. Como esta curva se desplaza un ngulo de 4 radianes, para trazarla consideramos un sistema de coordenadas con el eje y desplazado. El nuevo eje es y, de tal manera que el nuevo origen de coordenadas corresponde al punto (-4, 0). Para hacer la tabla de valores consideramos la ecuacin:
x' sen 2)x(f
En lugar de la ecuacin original, puesto que ( x + 4 ) = x. Los valores del ngulo los damos en radianes, pues el eje y se desplaza 4 radianes. Paso 4: Realizar la tabulacin correspondiente. El dominio de esta funcin es el intervalo , , pero para hacer la grfica construimos nuestra tabla de valores con los valores de 2,0 :
x (rad) 0
2
2
3 2
f (x) 0 2 0 -2 2
Paso 5: Graficar la funcin y Trazar el eje y original.
y y
MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA
63
FUNCIN COSENO.
La razn trigonomtrica coseno, es la comparacin por divisin entre el cateto adyacente y la hipotenusa de
uno de los ngulos agudos del tringulo rectngulo.
En la funcin coseno, la longitud de los segmentos horizontales (cateto adyacente) corresponde al valor del
coseno del ngulo A, por ello, en la figura el crculo unitario se voltea 90 en sentido contrario a las manecillas
del reloj, para que el segmento correspondiente al cateto adyacente de los tringulos rectngulos coincida con
la altura del valor de la funcin, como se muestra en la siguiente figura:
La funcin coseno f(x) = cos x, es una funcin continua, por tener el dominio en el intervalo de ,
y su imagen en el intervalo de 1,1 , y al mismo tiempo peridica, es decirse repiten los valores de f(x)
despus de cada intervalo de 360 o de 2 , es decir llamada cosenoide.
x ( y
rad)
-270
2
3 -240 -210 -180
-150 -120
-90
2
1 -60 -30
f (x) 0 -0.5 -0.866 -1 -0.866 -0.5 0 0.5 0.866
x ( y
rad)
0 30 60 90
2
1
120 150 180 210 240
f (x) 1 0.866 0.5 0 -0.5 -0.866 -1 -0.86 -0.5
MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA
64
CARACTERSTICAS: AMPLITUD, PERIODO, FRECUENCIA Y FASE.
Una funcin es peridica cuando cumple la siguiente condicin:
f (x) = f (x + p)
Siendo p una constante diferente de cero. Al menor valor positivo de p que satisface la condicin anterior se le
llama periodo de la curva o longitud de onda. Al mximo valor absoluto de f (x) se le llama amplitud de onda.
Y la posibilidad de que la curva se desplace con respecto al eje de las ordenadas, la cual se mide en unidades
angulares (generalmente radianes), se llama ngulo de desplazamiento.
La forma general de la funcin coseno o cosenoide es:
f(x) = A cos kx . (1) f(x) = A cos ( kx + ) .. (2)
En la cual:
y = f (x), y A, k & son constantes
( kx + ) es un ngulo cualquiera y se expresa en radianes.
Para esta funcin se puede realizar un estudio anlogo al que hicimos en la funcin seno, para calcular tanto la
amplitud, el periodo, ngulo de desplazamiento y frecuencia. A continuacin se presentan las frmulas para
determinarlas:
La amplitud de onda: A = | A |.
El periodo: p = k
2
ngulo de desplazamiento: k
Frecuencia: k.
MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA
65
Objetivo:
Graficar las funcin trigonomtrica coseno
Descripcin:
En esta prctica el estudiante identificara los elementos que necesita para graficar una funcin trigonomtrica coseno (amplitud, periodo y Angulo de desplazamiento)
Tcnica:
Utilizar los resultados obtenidos de los elementos para poder disear una grfica.
Procedimientos:
Paso 1: Determinar los coeficientes A, k y , para determinar amplitud, periodo y ngulo de desplazamiento. Paso 2: Aplicar las formulas correspondientes para la determinacin de amplitud, periodo y ngulo de desplazamiento. Determinar el dominio y rango con los datos encontrados. Paso 3: Si el ngulo de desplazamiento es diferente de cero, considerar un nuevo eje de y desplazado. Paso 4: Realizar la tabulacin correspondiente. Paso 5: Graficar la funcin y Trazar el eje y original.
Materiales:
Hojas blancas Hojas milimtricas Lpiz Borrador Regla
Ejemplo:
Trazar la grfica y encontrar la amplitud y el periodo de onda y el ngulo de desplazamiento de la curva
)3
2(3x cos)x(f . Encontrar dominio y rango.
Paso 1: Determinar los coeficientes A, k y , para determinar amplitud, periodo y ngulo de desplazamiento.
y = A cos (kx + ), tenemos que:
)3
2(3x cos)x(f
Donde A = 1, k = 3 y = 3
2
Paso 2: Aplicar las formulas correspondientes para la determinacin de amplitud, periodo y ngulo de desplazamiento. Determinar el dominio y rango con los datos encontrados.
: = { } = (, +)
MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA
66
Amplitud de onda A = | A | = | 1 | = 1 : = { / } = [, ]
Periodo de onda: p = rad 3
2
3
2
k
2
Con este resultado se podr saber a qu distancia (en radianes) se presentara un crculo completo.
ngulo de desplazamiento = rad 0.22 9
2
3
3
2
k
Paso 3: Si el ngulo de desplazamiento es diferente de cero, considerar un nuevo eje de y desplazado.
Como esta curva se desplaza un ngulo de 0.22 radianes, para trazarla consideramos un sistema de coordenadas con el eje y desplazado. El nuevo eje es y, de tal manera que el nuevo origen de coordenadas
corresponde al punto (-0.22, 0). Para hacer la tabla de valores tendremos que factorizar el parntesis )3
2(3x
, quedando:
)9
2 3(xcos)x(f
)22.0 3(xcos)x(f
En lugar de la ecuacin original, puesto que )9
2(x =
,x 'x 3cos)x(f
'x 3cos)x(f Paso 4: Realizar la tabulacin correspondiente. Los valores del ngulo los damos en radianes, pues el eje y se desplaza 0.22 radianes. El dominio de esta funcin
es el intervalo , . Para hacer la grfica construimos nuestra tabla de valores con los valores de 2,0
x (rad) 0 2
2
3 2
f (x) 1 0 -1 0 1
Paso 5: Graficar la funcin y Trazar el eje y original.
() = cos 3
() = ( +
)
MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA
67
I.- Encuentra el periodo, la amplitud y ngulo de desplazamiento, y traza las grficas de las funciones siguientes en hojas milimtricas, despus comprubalas por medio de un software si lo que trazaste esta correcto e imprmelo y anexar.
1.- x2sen2)x(f 2.- x
2
1sen3)x(f
3.- x6cos)x(f 4.- x3
2cos)x(f
Nombre de los integrantes del equipo:
1.-
2.-
3.-
4.-
PRACTICA 9 Fecha: Grupo:
MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA
68
5.- 3x2cos2
1)x(f 6.- 1x4sen
2
1)x(f
7.-
4
1x
2
1sen2)x(f
MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA
69
FUNCIN LOGARTMICA
Al igual que las funciones exponenciales, las funciones logartmicas es de gran importancia en el rea de
economa donde se aplica en el clculo del inters compuesto; en biologa en el estudio del crecimiento
numrico de algunas colonias de bacterias; en fsica, en los problemas de radiactividad, calor y electricidad.
El logaritmo de un nmero es el exponente al que se tiene que elevar la base para obtener dicho nmero.
Una funcin logartmica tiene la forma:
xlog)x(fy a
Donde a se llama base y es un nmero real cualquiera positivo y distinto de 1 1a . La funcin logartmica de base se define como la inversa de la funcin exponencial. Es decir, el logaritmo de
base a de un nmero x es el exponente al cual debe elevarse la base a para obtener el mismo nmero x y se
define de la siguiente forma:
xaxlog)x(fyy
a
A continuacin se presentan dos diferentes casos para el valor a:
1a0 : En este caso la funcin
tiene las siguientes propiedades:
1a : En este caso la funcin tiene
las siguientes propiedades:
Su dominio son los nmeros reales
positivos.
Su dominio son los nmeros reales
positivos.
Su recorrido es toda la recta real Su recorrido es toda la recta real.
Son continuas y decrecientes en todo
su dominio
Son continuas y crecientes en todo su
dominio
Sus grficas pasan por los puntos
1,ay0,1
Sus grficas pasan por los puntos
1,ay0,1
La recta 0x es una asntota
vertical
La recta 0x es una asntota
vertical
MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA
70
La funcin es negativa para los valores
de 1x
La funcin es negativa para los valores
de 1x
La funcin es positiva para los valores
de 1x
La funcin es positiva para los valores
de 1x
La grafica de un funcin logartmica en
este caso es de la forma:
La grafica de un funcin logartmica en
este caso es de la forma:
Puedes deducir que el logaritmo se calcula solo para nmeros positivos y que, para cualquier base, el
logaritmo de 1 siempre es cero.
Como la funcin logartmica es la inversa de la exponencial, se presentan las siguientes propiedades de
gran utilidad para resolver ecuaciones logartmicas:
1. y
bbx si sloy si xlogy 2. xb
xlogb
3. yblogy
b 4. 01log
b
5. 1blogb
6. BlogAlogABlogbbb
7. BlogAlogB
Alog
bbb
8. AlognAlog
b
n
b
9. blog
xlogxlog
b
As teniendo en cuenta las propiedades que tiene una funcin logartmica segn sea su base y la forma que tiene
su grfica podemos representar cualquier funcin logartmica.
MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA
71
Objetivo:
Graficar las funcin logartmica
Descripcin:
En esta prctica el estudiante identificara los elementos que necesita para graficar una funcin logartmica (dominio y rango)
Tcnica:
Disear una grfica con las propiedades mencionadas anteriormente.
Procedimientos:
Paso 1: Determinar los valores del x, es decir el dominio para realizar la tabulacin. Paso 2: Realizar la tabulacin correspondiente. Paso 3: Graficar la funcin
Materiales:
Hojas blancas Hojas milimtricas Lpiz Borrador Regla
Ejemplo:
Traza la grfica de la funcin logartmica xlog)x(f10
Paso 1: Determinar los valores del x, es decir el dominio para realizar la tabulacin. Como la funcin exponencial tiene su dominio en el intervalo de todos los reales positivos ,0 , se
trazar la grfica con un intervalo de valores para x a partir de 0.1 hasta el 10. Paso 2: Realizar la tabulacin correspondiente.
X 0.1 0.6 1 5 10
f (x) -1 -0.221 0 0.699 1
Paso 3: Graficar la funcin
MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA
72
Vemos que el dominio de la funcin es el conjunto de los reales positivos ,0 , el rango es el conjunto
todos nmeros reales y que el eje y es una asntota vertical de la curva. La interseccin con el eje x es en el punto ( 0, 1).
Objetivo:
Graficar las funcin logartmica
Descripcin:
En esta prctica el estudiante identificara los elementos que necesita para graficar una funcin logartmica (dominio y rango)
Tcnica:
Disear una grfica con las propiedades mencionadas anteriormente.
Procedimientos:
Paso 1: Determinar los valores del x, es decir el dominio para realizar la tabulacin. Paso 2: Realizar la tabulacin correspondiente. Paso 3: Graficar la funcin
Materiales:
Hojas blancas Hojas milimtricas Lpiz Borrador Regla
Ejemplo:
Traza la grfica de la funcin logartmica xlog)x(f 2
Paso 1: Determinar los valores del x, es decir el dominio para realizar la tabulacin. Como la funcin exponencial tiene su dominio en el intervalo de todos los reales positivos ,0 , se
trazar la grfica con un intervalo de valores para x a partir de 0.5 hasta el 16 Paso 2: Realizar la tabulacin correspondiente.
X 0.5 1 2 4 8 16
f (x) -1 0 1 2 3 4
Paso 3: Graficar la funcin
MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA
73
Vemos que el dominio de la funcin es el conjunto de los reales positivos ,0 , la imagen es el conjunto
todos nmeros reales y que el eje y es una asntota vertical de la curva. La interseccin con el eje x es en el
punto ( 0, 1).
FUNCIN EXPONENCIAL El estudio de las funciones exponenciales es de gran importancia en el rea de economa se aplica en el
clculo del inters compuesto; en biologa en el estudio del crecimiento numrico de algunas colonias de
bacterias; en fsica, en los problemas de radiactividad, calor y electricidad.
Una funcin es exponencial si la variable est como exponente, es decir la expresin de una funcin exponencial
es:
x
a)x(fy .
Donde la: a es una constante positiva y diferente de 1 1a La definicin de funcin exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de uno
( > 0 1). l condicin que a sea diferente de uno se debe a que al reemplazar a a por 1, la funcin
se transforma en la funcin constante () = 1. La base no puede ser negativa porque funciones de la forma
() = (9)1
2 no tendran sentido en los nmeros reales.
El dominio de la funcin exponencial est formado por el conjunto de los nmeros reales y su recorrido
est representado por el conjunto de los nmeros positivos. Con base en esto observaremos las siguientes
propiedades:
1. La funcin existe para cualquier valor de x, es decir, la funcin existe siempre o el DOMINIO de la funcin
es todo R.
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0 5 10 15 20
x
f(x)
MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA
74
2. En todos los casos la funcin pasa por un punto fijo: el (0 , 1) (basta que hagas x = 0) o sea que siempre:
CORTA AL EJE Y en el punto (0 , 1).
3. Los valores de y son siempre positivos para cualquier valor de x, por tanto: LA FUNCION SIEMPRE TOMA
VALORES POSITIVOS para cualquier valor de x.
4. Siempre es creciente o siempre es decreciente (para cualquier valor de x) dependiendo de los valores de
la base a. La funcin es creciente si a > 1 y di 0 < a < 1 es decreciente.
5. Se acerca al eje X tanto como se desee, sin llegar a cortarlo, hacia la derecha en el caso en que a < 1 y
hacia la izquierda en caso de a > 1.
6. Se dice entonces que EL EJE X ES UNA ASNTOTA HORIZONTAL (hacia la izquierda si a > 1 y hacia la
derecha si a < 1).
a > 0 a = 0 a < 0
Las propiedades ms importantes de las funciones exponenciales son:
Exponente positivo: crece y cuanto ms transcurre el tiempo, crece ms rpido.
Exponente negativo: decrece y cuanto ms transcurre el tiempo, decrece ms rpido.
En ambos casos, la funcin exponencial nunca es nula. Sin embargo, para exponente negativo, la funcin est
cada vez ms cerca del cero, pero nunca corta el eje horizontal. Este comportamiento tienen un nombre en
matemticas: se dice que la curva es asinttica al eje horizontal, y que el eje es, en este caso, una asntota. Una
asntota siempre es una recta.
Las funciones con exponente negativo aparecen, por ejemplo, en los estudios del decaimiento radiactivo; en
este caso la constante k depende de la sustancia radiactiva.
La funcin exponencial presenta las siguientes propiedades de gran utilidad para resolver ecuaciones
exponenciales.
MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA
75
Propiedades de los exponentes:
1. x0 = 1
2. xm xn = xm+n
3. (xm)n = xm n
4. (x y)n = xn yn
5. (x/y)n = xn/yn
6. x n = 1 / xn
7. xm /xn = xm - n
8. (x/y) n = (y/x) n
Nota: La funcin exponencial es la inversa de la funcin logartmica.
Objetivo:
Graficar las funcin exponenciales
Descripcin:
En esta prctica el estudiante identificara los elementos que necesita para graficar una funcin exponencial (dominio y rango)
Tcnica:
Disear una grfica con las propiedades mencionadas anteriormente.
Procedimientos:
Paso 1: Determinar los valores del x, es decir el dominio para realizar la tabulacin. Paso 2: Realizar la tabulacin correspondiente. Paso 3: Graficar la funcin
Materiales:
Hojas blancas Hojas milimtricas Lpiz Borrador Regla
Ejemplo:
Traza la grfica de la siguiente funcin exponencial:
x
2
1)x(f
MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA
76
Paso 1: Determinar los valores del x, es decir el dominio para realizar la tabulacin. Como la funcin exponencial tiene su dominio en el intervalo de todos los reales R , , se trazar la
grfica con un intervalo de valores para x de 2 hasta 2: Paso 2: Realizar la tabulacin correspondiente.
x -2 -1 0 1 2
f (x) 4 2 1 0.5 0.25
Paso 3: Graficar la funcin
a grfica de la funcin x
2
1)x(f
es la siguiente y vemos que el dominio de la funcin es el conjunto de los
nmeros reales R , , el rango es el conjunto de los nmeros reales positivos y que el eje x es una
asntota horizontal de la curva. La interseccin con el eje y es en el punto (0, 1).
CASO PARTICULAR ea
Existe un caso particular para el valor de ea donde 718281.2e es una constante.
La funcin es: kx
e)x(fy
MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA
77
Objetivo:
Graficar las funcin exponenciales
Descripcin:
En esta prctica el estudiante identificara los elementos que necesita para graficar una funcin exponencial (dominio y rango)
Tcnica:
Disear una grfica con las propiedades mencionadas anteriormente.
Procedimientos:
Paso 1: Determinar los valores del x, es decir el dominio para realizar la tabulacin. Paso 2: Realizar la tabulacin correspondiente. Paso 3: Graficar la funcin
Materiales:
Hojas blancas Hojas milimtricas Lpiz Borrador Regla
Ejemplo:
Traza la grfica de la siguiente funcin exponencial: xe)x(f
Paso 1: Determinar los valores del x, es decir el dominio para realizar la tabulacin. Como la funcin exponencial tiene su dominio en el intervalo de todos los reales R , , se trazar
la grfica con un intervalo de valores para x de 3 hasta 3. Paso 2: Realizar la tabulacin correspondiente.
X -3 -2 -1 0 1 2 3
f (x) 0.049 0.135 0.367 1 2.71 7.389 20.08
MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA
78
Paso 3: Graficar la funcin.
Vemos que el dominio de la funcin es el conjunto de los nmeros reales R , , la imagen es el
conjunto de los nmeros reales positivos y que el eje x es una asntota horizontal de la curva. La interseccin con el eje y es en el punto ( 0, 1).
I.- Traza las grficas de las siguientes funciones en hojas milimtricas, despus comprubalas por medio de un software si lo que trazaste est correcto, e imprmelo y anexar.
1.- xlog)x(f e
2.- xlog2
1)x(f 10
Nombre de los integrantes del equipo:
1.-
2.-
3.-
4.-
PRACTICA 10 Fecha: Grupo:
MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA
79
3.- x
3)x(f
4.-
x
3
1)x(f
5.- 1x
4)x(f
6.- x
e)x(f
7- 5x3
e)x(f
MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA
80
BIBLIOGRAFIA
FUENTES DE INFORMACIN
Bsicas:
Hernndez, C., Ruiz, K.L. y lvarez, A.A. (2013) Cuaderno de trabajo Matemticas IV. Mxico
Hernndez, C., Ruiz, K.L. y lvarez, A.A. (2013) Manual de Matemticas IV. Mxico
Hernndez, C., Ruiz, K.L. y lvarez, A.A. (2013) Antologa comentada de Matemticas IV, Mxico
Navarro, M. E. (2011). Matemticas 4 (Enfoque por competencias genricas y disciplinares). D.F. Mxico: Editorial Fernndez editores
Ruiz, J. (2010). Matemticas 4, Pre clculo: funciones y aplicaciones. (Serie integral por Competencias).D.F. Mxico: Grupo Editorial Patria.
Velzquez, M.(2012). Matemticas IV (Bajo el enfoque por competencias en estricto apego a (RIEMS). D.F. Mxico: Editorial GAFRA EDITORES.
Valiente. B. Matemticas IV (enfoque por competencias genricas y disciplinares). D.F. Mxico: Editorial Limusa.
Ortiz, F.J. Matemticas IV. Bachillerato general (serie integral por competencias). D.F. Mxico: Editorial Patria.
Complementarias:
Guerra, M.(1999). Geometra Analtica. D.F. Mxico: Editorial McGraw Hill.
Salazar, P. (1997). Matemticas IV. D.F. Mxico: Editorial Nueva Imagen, S.A. de C.V.
Trejo, J. (2003). Matemticas 4 (Preclculo). D.F. Mxico: Editorial UADY.
Silva. (1997). Fundamentos de Matemticas. D.F. Mxico: Editorial Limusa (Noriega editores)
Barnett, R. (1990). lgebra y Trigonometra. 3 Edicin. Colombia: Editorial Mc Graw Hill.
Web:
http://www.cobachsonora.edu.mx:8086/portalcobach/pdf/modulosaprendizaje/semestre4-2011/FB4S_Matematicas4.pdf
http://www.cobat.edu.mx/wp-content/uploads/2011/11/Matem%C3%A1ticas-IV.pdf
http://www.matematicas.net
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/
http://www.sectormatematica.cl/
https://www.khanacademy.org/
Pgina web del profesor. http://mateivdelfin.es.tl