Mapa Matematicas 7-9

Materiales Curriculares Matemáticas

Grados K-12

OCTUBRE 2012

Derechos Reservados

Conforme a la Ley

Departamento de Educación de Puerto Rico

NOTIFICACIÓN DE POLÍTICA PÚBLICA

El Departamento de Educación no discrimina por razón de raza, color, género, nacimiento, origen nacional, condición social, ideas políticas o religiosas, edad o impedimento en sus actividades, servicios educativos y oportunidades de empleo.

NOTA ACLARATORIA

Para propósitos de carácter legal en relación con la Ley de los Derechos Civiles de 1964, el uso de los términos maestro, director, supervisor, estudiante y cualquier otro que pueda hacer referencia a ambos géneros, incluye tanto al masculino como al femenino.

Tabla de contenido

Páginas

Créditos …………………………………………………………………………………………………………………….. 5-10

Introducción …………………………………………………………………………………………………………………….. 11-12

Mapas de Kindergarten …………………………………………………………………………………………………… 12-48

Anejos de Kindergarten ……………………………………………………………………………………………………. 49-84

Mapas de 1ro Grado ………………………………………………………………………………………………………… 85-120

Anejos de 1ro Grado ………………………………………………………………………………………………………… 121-153

Mapas de 2do Grado ………………………………………………………………………………………………………. 154-193

Anejos de 2do Grado ………………………………………………………………………………………………………. 194-231

Mapas de 3er Grado ………………………………………………………………………………………………………… 232-281

Anejos de 3er Grado ………………………………………………………………………………………………………… 282-320

Organizadores de Grados K-3 ………………………………………………………………………………………….. 321-328

Mapas de 4to Grado ………………………………………………………………………………………………………… 329—363

Anejos de 4to Grado ………………………………………………………………………………………………………… 364-480

Mapas de 5to Grado ………………………………………………………………………………………………………… 481-507


Mapas de 6to Grado ………………………………………………………………………………………………………… 592-619


Mapas de 7mo Grado ………………………………………………………………………………………………………. 709-737

Anejos de 7mo Grado ………………………………………………………………………………………………………. 738-817

Mapas de 8vo Grado ………………………………………………………………………………………………………. 818-838

Anejos de 8vo Grado ………………………………………………………………………………………………………. 839-895

Mapas de 9no Grado ………………………………………………………………………………………………………. 896-944

Anejos de 9no Grado ………………………………………………………………………………………………………. 945-1005

Mapas de 10mo Grado ……………………………………………………………………………………….………… 1,006-1,072

Anejos de 10mo Grado …………………………………………………………………………………………….…… 1,073-1,139

Mapas de 11mo Grado …………………………………………………………………………………………….…… 1,140-1,204

Anejos de 11mo Grado ……………………………………………………………………………………………….. 1,205-1,275

Mapas de Pre Calculo …………………………………………………………………………………………………… 1,276-1,319

Anejos de Pre Calculo …………………………………………………………………………………………………… 1,320-1,365

Mapas de Probabilidad y Estadistica ……………………………………………………………………………. 1,366-1,395

Anejos de Probabilidad y Estadistica …………………………………………………………………………… 1,396-1,424

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Junta Editora

Edward Moreno Alonso, Ed. D Secretario

Grisel Muñoz Marrero, Ph.D Subsecretaria para Asuntos Académicos

Pura Cotto López, M.A. Ayudante Especial

Estándares y Avalúo

Edwin Benvenutti Jusino, M.A. Director

Programa de Matemáticas

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Mapas Curriculares

Matemáticas—Kíndergarten a Tercer Grado

Autores

Lois Williams, Ed.D edCount, LLC, consultora curricular

Juan Serrano, M.A. Distrito Escolar de Caguas

Arlene Martell, M.A. Distrito Escolar de Utuado

Especialistas Colaboradores

María Cristina Alvarado, Ed.D

Maestros Colaboradores

Julissa Rivera Sandoval Distrito Escolar de Manatí

Lisbeth González Distrito Escolar de San Sebastián

Waddy Sosa Distrito Escolar de Santa Isabel

El Departamento de Educación en colaboración de la Compañía edCount reconoce la aportación de todos los especialistas del programa de matemáticas (Profesores Universitarios, Facilitadores Docentes y Maestros), al Prof. Leonardo Torres Pagán y a la Especialista de Currículo, Prof. Brunilda Rivera Colón que facilitaron el proceso del desarrollo de los Mapas Curriculares y Guías Operacionales del 2007, del Programa de Matemáticas del Departamento de Educación de Puerto Rico. Este material fue de gran aportación en el desarrollo de los Materiales Curriculares desarrollados desde 2010-11 hasta 2011-12.

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Mapas Curriculares

Matemáticas – Cuarto a Octavo Grado

Autores

Lois Williams, Ed.D edCount, LLC, consultora curricular


Evelyn Arzuaga Distrito Escolar de Juncos

Arlene Martell Distrito Escolar de Utuado

Javier I. Dávila Distrito Escolar de Yabucoa

Joyce M. Burgos Santiago Distrito Escolar de Salinas

Juan Serrano Distrito Escolar de Caguas

Manuel E. Vigo Distrito Escolar de Bayamón

Sallie A. Pérez Fernando Distrito Escolar de Vega Alta

Daisy Rodríguez Curret Distrito Escolar de Ponce

Carlos A. Rios Rivera Distrito Escolar de San Juan II

Maricely Sullivan Cortés Distrito Escolar de Ponce

Rosa M. Mora Solano Distrito Escolar de Tao Bajo

Miguel A. Morales Rivera


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Mapas Curriculares

Matemáticas—Noveno, Décimo, Undécimo, Pre Cálculo y Estadística

Autores

Anna Persson, M.A. edCount, LLC, consultora curricular

Juan Serrano, M.A. Distrito Escolar de Caguas


Javier Dávila Rodríguez Distrito Escolar de Yabucoa

María del Pilar Díaz Distrito Escolar de Cidra

Eddie Rivera Santana Distrito Escolar de Vega Alta

Keila Santiago Rodríguez Distrito Escolar de San Juan

Nereida Rosario Distrito Escolar de San Juan II

María Atabeira Hernández Distrito Escolar de San Juan I

Iris Bermúdez Distrito Escolar de San Juan I

Gerardo Cruz Distrito Escolar de Ponce

Noemí Borges Santiago Distrito Escolar de Barranquitas

María Ortíz Distrito Escolar de Cidra

Carlos Torrech Prieto Distrito Escolar de San Juan I

José Caez Distrito Escolar de Caguas

Manuel Vigo Distrito Escolar de Bayamón

Luz Nereida Rosario Distrito Escolar de San Juan II

María Fuentes Distrito Escolar de Gurabo


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Mapas Curriculares

Matemáticas

Otros Colaboradores

Jorge L. Alicea Santos Director de Programa de Matemáticas

Pedro Villafañe Ex Director del Programa de Matemáticas

Brunilda Rivera Colón Especialista de Currículo

Nydia Pagán Otero, MA.Ed. Especialista de Currículo

Pablo Rodríguez De Jesús Coordinador Región Educativa de Ponce (PPAA)

Claribel Rivera Casanova Coordinador Regional Educativa de San Juan (PPAA

Laura Kuti, Ph.D edCount, LLC

Anne Calvert, B.A. edCount, LLC


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Matemáticas

Mapas Curriculares

7mo Grado

Área de contenido: Matemáticas Duración: 5 semanas

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7.1 Usemos los números racionales

Etapa 1 – Resultados esperados

Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes calculan y resuelven problemas con números racionales (enteros, fracciones, decimales), aplican el orden de las operaciones y usan el estimado para cotejar la razonabilidad de los resultados. También aprenden a reconocer, relacionar y aplicar las propiedades de los números racionales.

Estándares de contenido y expectativas N.SN.7.1.1 Reconoce que todo número racional es un decimal periódico infinito y convierte decimales finitos a fracciones. N.SN.7.1.5 Reconoce, relaciona y aplica las propiedades de los números racionales (asociativa, conmutativa, identidad, inverso, distributiva, clausura) para resolver problemas. N.SO.7.2.1 Modela la suma, resta, multiplicación y división con números enteros, describe las relaciones entre estas operaciones y aplica el orden de operaciones. N.OE.7.2.3 Representa y soluciona problemas matemáticos y de la vida real que involucre los números enteros. N.OE.7.2.4 Estima y juzga la razonabilidad de los resultados que involucran las operaciones con enteros. N.OE.7.3.1* Realiza cómputos con fluidez con los números racionales (enteros, fracciones y decimales positivos y negativos) y aplica el orden de operaciones.

Descubre y aplica las relaciones caracterizadas por a – b = a +(-b); a x 1 = a; a ÷ b = a x b

1

N.OE.7.3.2 Representa y soluciona problemas matemáticos y de la vida real que involucre los números racionales. N.OE.7.3.3 Estima y juzga la razonabilidad de los resultados que involucran las operaciones con números racionales. A.RE.7.8.1 Representa las soluciones de inecuaciones de la forma x>a, (x<a) y a<x<b (a>x>b) en la recta numérica. A.RE.7.8.2 Escribe una inecuación para representar un intervalo o rayo, con o sin extremos, en una recta numérica. *Edición técnica en la numeración hecha por edCount, LLC

Ideas grandes/Comprensión duradera:

Las operaciones con enteros pueden modelar situaciones del mundo real.

Los enteros son números racionales.

El estimado permite pasar juicio sobre la razonabilidad de una respuesta a una pregunta.

Preguntas esenciales:

¿Cómo se relacionan los enteros y los números racionales?

¿Qué rol juegan los enteros en el mundo real?

¿Cuál es el rol del estimado en la solución de problemas?

Contenido (Los estudiantes comprenderán...)

Los enteros son un subconjunto de los números racionales

El orden de operaciones se usa en todo el mundo para garantizar que haya sólo una contestación correcta para cada ecuación

Vocabulario de contenido

Destrezas (Los estudiantes podrán…)

Convertir decimales finitos a fracciones

Dado un ejemplo, identificar la propiedad demostrada

Hacer una demostración de suma, resta, multiplicación y división de enteros

Aplicar algoritmos para suma, restar,


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Número racional

Entero

Asociativa

Conmutativa

Inverso

Identidad

Distributiva

Cierre

Orden de operaciones

multiplicar y dividir enteros

Explicar por escrito la relación entre la suma y la resta de enteros

Explicar por escrito la relación entre la multiplicación y la división de enteros

Resolver ecuaciones de suma, resta, multiplicación y división de enteros

Resolver problemas del mundo real usando la operación de enteros

Usar el estimado para decidir si una contestación es razonable

Resolver ecuaciones con números racionales (enteros, fracciones, decimales positivos y negativos) aplicando el orden de operaciones

Resolver problemas del mundo que envuelven números racionales

Dada una inecuación en la forma a>x (x<a) o a<x<b (a>x>b), delinear la recta

Dada la recta numérica de una inecuación, escribir la inecuación numérica

Etapa 2 – Evidencia de avalúo

Tareas de desempeño:

Campaña del orden de operaciones (equipos)

Conduzca una discusión en clase acerca de la importancia de que toda la gente alrededor del mundo use el mismo orden de operaciones, para que cada ecuación tenga una y sólo una respuesta posible. Después de la discusión diga a los estudiantes que cada equipo va a diseñar una campaña de medios anunciando el orden de operaciones para que todo el mundo sepa de qué se trata. Algunos ejemplos de campañas de medios son: una serie de carteles, un comercial de radio o televisión actuado o grabado, un video en YouTube, una canción publicitaria, etc. Los estudiantes necesitarán al menos una semana para montar los materiales de la campaña. Ellos presentarán las campañas a la clase. Los maestros evaluarán los proyectos otorgando un 80% de la puntuación por la corrección al comunicar el orden de operaciones, usando ejemplos de números racionales; y 20% de la puntuación por la creatividad, la nitidez, la ortografía, la gramática, etc.

Otra evidencia:

Diario de matemáticas (algunos ejemplos)

Explique utilizando una recta numérica cómo 3 + (-4) se relaciona con 3 -4.

Haga un dibujo que represente 6 + (-2) = 4.

Escriba un problema verbal que pueda ser resuelto usando la suma o la resta de números racionales.

Papelito de entrada (ejemplos rápidos) Use la información para orientar la clase del día en curso.

Explica una idea que recuerdes de la clase anterior.

Nombra una idea que no comprendiste de la tarea para hoy.

Explica que fue difícil (o fácil) de la tarea asignada para hoy.

Papelito de salida (ejemplos rápidos)

En la clase de hoy aprendí ______________.

Hoy estuve confundido con _________.

Prueba (Ver Anejo: 7.1 Otra evidencia – Prueba corta)


711 Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins & Jay McTighe


Las rocas al otro lado del río (grupos de 2 o 3)

En esta tarea los estudiantes practican la suma de enteros a través de un juego donde deben utilizar un mínimo de 6 enteros para alcanzar una suma específica. Después que un estudiante “cruza el río” escribe su ecuación de 6 enteros en la hoja de tarea y el próximo estudiante del equipo intenta “cruzar el río.” Hay una rúbrica de evaluación disponible para los maestros. (Ver Anejo: 7.1 Tarea de desempeño – Las rocas al otro lado del río)

Etapa 3 – Plan de aprendizaje

Actividades de aprendizaje

Los enteros pueden ser presentados con materiales gratuitos o baratos: Fichas de dos colores, un color para negativo y otro para positivo (note que los casinos muchas veces descartan las fichas usadas); habichuelas coloreadas de dos colores diferentes; palillos de dientes de dos colores; dulces con envolturas en dos colores distintos, etc.

Jugar BINGO para que los estudiantes practiquen la suma de enteros y entonces completar la hoja de práctica. (Ver Anejo: 7.1 Actividad de aprendizaje – BINGO de adición de enteros)

Permita que los estudiantes usen algo de creatividad para aprender las reglas de operaciones de enteros pidiéndoles que escriban un poema o una canción que relate las reglas.

Lecciones de práctica

En esta lección los estudiantes exploran las propiedades de los números racionales usando materiales manipulables. (Ver Anejo: 7.1 Lección de práctica – Propiedades de los números reales)

En esta lección los estudiantes usan un modelo de área para aprender la importancia de usar un orden específico de operaciones. (Ver Anejo: 7.1 Lección de práctica – Orden de operaciones)

Recursos adicionales

http://figurethis.org/espanol.htm

http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html

http://www.eduteka.org/MI/master/interactivate/

Conexiones a la literatura

Números, decimales y enteros de Félix Nieto

La importancia de lo negativo: Enteros de Manuel del Alumno

Álgebra sin dolor de Lynette Long

Cuatro operaciones con naturales y decimales, potencias y raíz de Ismael Sousa Martin

Operaciones combinadas con números decimales/Combined Operations with Decimal Numbers de Ismael Sousa Martin

Fracciones, ejercicios y problemas con las cuatro operaciones/Fractions, Exercises and Problems with the Four Operations de Ismael Sousa Martin

Fracciones, ejercicios y problemas de multiplicación y divición/Fractions, Exercises and Problems to Multiply and Divide de Ismael Sousa Martin





Junio 2011 712

7.2 Sentido numérico


Resumen de la unidad En esta unidad los estudiantes aprenden a usar exponentes que son ambos, enteros positivos y negativos. Simplificarán las potencias de bases racionales y exponentes enteros. Expresarán potencias de enteros negativos como fracciones y las usarán en la notación científica. Leerán, escribirán y compararán números en notación científica. Extraerán la raíz cuadrada de cuadrados perfectos y estimarán las raíces de enteros que no son cuadrados perfectos. Extraerán la raíz cúbica de los cubos perfectos.

Estándares de contenido y expectativas N.SN.7.1.2 Interpreta potencias positivas enteras como multiplicación repetida y potencias enteras negativas como división repetida o multiplicación como inverso multiplicativo. N.SN.7.1.3 Expresa exponentes enteros negativos como fracción. N.SN.7.1.4 Determina (sin calculadora) entre qué dos enteros se encuentra la raíz de un entero que no es un cuadrado perfecto y explica porqué. N.SN.7.1.6 Lee, escribe y compara números racionales en notación científica utilizando potencias de 10 con exponentes enteros (positivos y negativos) e interpreta las aplicaciones de la notación científica en contextos variados incluyendo formatos en instrumentos tecnológicos. N.OE.7.2.2 Realiza cómputos con fluidez con los números enteros, incluyendo las raíces de cuadrados perfectos y cubos perfectos. N.OE.7.3.4 Simplifica potencias con bases racionales y exponentes enteros. N.OE.7.3.5 Relaciona una potencia y la extracción de la raíz de un cuadrado perfecto.

Identifica, calcula y utiliza la raíz de cuadrados perfectos, cubos perfectos.


La notación científica se utiliza en muchos campos para expresar números muy grandes o muy pequeños.

Elevar los números a una potencia y extraer raíces son funciones relacionadas.

Los instrumentos tecnológicos usan notación científica.


¿Dónde podemos encontrar ejemplos de la notación científica utilizados en la vida real?

¿Cuál es la relación entre las potencias y los radicales?

¿Qué instrumentos tecnológicos utilizan notación científica?


Cuadrar un número es la operación inversa a extraer la raíz cuadrada.

El símbolo de las raíces cuadradas es √

Cómo interpretar la notación científica desplegada en la pantalla de la calculadora


Raíces cuadradas

Raíces cúbicas

Notación científica

Exponentes

Bases

Entero negativo


Dado un número escrito como una base de potencia, escribir la expresión de la multiplicación repetida que sea igual al número dado

Dado un número escrito como una base de una potencia de un entero negativo, escribir la expresión de la división repetida que sea igual al número dado

Simplificar las potencias de bases racionales y enteros

Dado un número racional escrito como un entero elevado a la novena potencia, escribir la expresión como una fracción


Junio 2011 713


Entero positivo

Forma estándar

Dado un entero que no es un cuadrado perfecto, encontrar los dos enteros entre los cuales se encuentra la raíz cuadrada del número dado

Escribir tres usos de notación científica en el mundo real

Dados no más de 4 números escritos en notación científica, ordenarlos del menor al mayor

Dado un número en forma estándar, escribirlo en notación científica

Dado un número en notación científica, escribirlo en forma estándar

Calcular la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto dado

Calcular la raíz cúbica de un cubo perfecto dado

Calcular de manera fluida la suma, la resta la multiplicación y la división de enteros

Explicar por escrito la relación entre una raíz cuadrada y la potencia



¿Cuál escogería? (individual) Plantee la siguiente situación a la clase: Si tu jefe te diera las siguientes opciones de salario, ¿cuál escogerías?

Opción A: Un billón de dólares al año más cubierta médica, una cuenta anual de gastos de $1 millón y una computadora de $100,000 (una sola vez).

Opción B: La cantidad de dinero que se obtiene al poner $1 en un cuadrado de un tablero de ajedrez, $2 en el siguiente cuadrado, $4 en el siguiente, $8 en el siguiente, y así hasta que todos los 64 cuadrados se llenen.

Escriba una carta a su jefe explicando cuál prefirió y cómo llegó a esa conclusión. Los maestros deben cotejar cómo los estudiantes calcularon las tasas, específicamente para el uso de exponentes.

Potencias de tres (parejas) En esta tarea, los estudiantes buscan un patrón para predecir el último dígito de números que

Otra evidencia:

Diario de matemática (preguntas de ejemplo)

Haga un dibujo para demostrar por qué 16 es un cuadrado perfecto.

Explique por escrito la relación entre 7 como la raíz cuadrada de 49 y 7^2 como la representación de 49.

Convénzame de que la raíz cuadrada de 13 debe estar entre 3 y 4.









Junio 2011 714 Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe


son potencias de tres. (Ver Anejo: 7.2 Tarea de desempeño – Potencias de tres)

En la carta final, los estudiantes necesitan explicar cómo llegaron a esa contestación y los maestros pueden utilizar la rúbrica.



Ponga a los estudiantes por parejas. Reparta tarjetas con un número escrito en notación científica, una tarjeta por pareja. Cuelgue un tendedero (o una cuerda) de un lado al otro del salón. Pida a cada pareja que cuelgue su tarjeta con una pinza (presilla o cinta adhesiva) a la cuerda en orden de menor a mayor. Permita a los estudiantes discutir cuál número va primero, etc., y por qué.

Es un juego que involucra exponentes negativos. Puede proporcionarles cartas a los estudiantes por parejas, dándoles las cartas del As al 5 de una baraja normal. Las cartas negras son positivas y las rojas negativas. Un estudiante recibe la carta roja y uno recibe la negra. Un estudiante le da la vuelta a la base y el otro le da la vuelta al exponente (a la misma vez). Entonces, es una carrera para ver cuál estudiante dice la contestación correcta primero. El que lo haga se lleva ambas cartas. Ambos estudiantes debe estar de acuerdo en que la respuesta es correcta. Si hay un empate, las cartas se hacen a un lado y el ganador de la próxima ronda se las lleva también. El ganador será el estudiante que acumule la mayor cantidad de cartas.


En esta lección los estudiantes usan papel cuadriculado para descubrir la relación entre un cuadrado perfecto y la raíz cuadrada. La actividad adicional provee un método para estimar la raíz cuadrada de un entero que no es un cuadrado perfecto. (Ver Anejo: 7.2 Lección de práctica – Perfectamente cuadrado)

Esta lección enseña los conceptos de exponentes negativos (y 0) al proveer a los estudiantes conjuntos de números y al permitirles descubrir patrones. (Ver Anejo: 7.2 Lección de práctica – Exponente negativo o cero)






Problemas con raíz cuadrada y fracciones/ Square root problems and fractions de Gerardo M. Nogueira

Números reales. Potencias y radicales/ Real numbers. Powers and Radicals de Ismael Sousa Martin

Potencias de diez (Britannica) Las Matemáticas en contexto de Britannica

Los primeros pasos en matemáticas 2: conjuntos, números y potencias de Z. P. Dienes, E. Golding y María Rubies





Junio 2011 715

7.3 Razón y proporción


Resumen de la unidad En esta unidad los estudiantes estudian el significado de las razones y proporciones, y para aplicarles en contextos del mundo real para resolver problemas, incluyendo problemas con escalas, figuras semejantes, mapas, modelos y gráficas. Los porcentajes también se usan como ejemplos en contextos del mundo real para calcular las razones y las proporciones.

Estándares de contenido y expectativas N.SN.7.4.1 Identifica una o más razones que representen una comparación dada y expresa las razones usando distintas notaciones (ba; a a b; a : b). N.SN.7.4.2 Interpreta y utiliza razones en diferentes contextos para mostrar las relaciones de dos cantidades usando la notación apropiada (a/b, a:b). N.SN.7.4.3 Describe una proporción como dos razones equivalentes, escribe y resuelve una proporción al solucionar problemas que se relacionen con factores de conversión de escalas y medidas, por cientos y probabilidades. N.SN.7.4.4 Representa, estima y resuelve problemas que involucran razones, proporciones o por cientos (incluyendo por cientos menores que 1 y mayores que 100). G.FG.7.12.1 Define e identifica semejanzas para figuras bidimensionales, incluyendo las partes correspondientes, la razón de semejanza y las medidas de las partes correspondientes. G.TS.7.12.2 Determina la relación proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes. G.TS.7.12.3 Resuelve problemas de medidas indirectas y problemas de escalas que involucran contextos del mundo real usando figuras semejantes. G.TS.7.12.4 Interpreta y resuelve situaciones usando escalas, incluyendo aquellas basadas en rectas numéricas, dibujos, modelos, mapas y gráficas.


Las razones y las proporciones describen las relaciones en el mundo real.

Las figuras semejantes son herramientas útiles para resolver problemas en el mundo real.

Las escalas en los mapas, los dibujos y las conversiones de las medidas son ejemplos de razones.


¿Qué ejemplos hay de relaciones proporcionales en el mundo real?

¿Cómo se pueden reconocer las figuras semejantes?

¿Cómo se sabe si un problema requiere de razonar acerca de las proporciones?


Los porcentajes pueden ser menores que y mayores que 1

Un por ciento de 100 equivale a un entero


Razón

Proporción

Por ciento

Semejanza

Partes correspondientes

Escala


Dada una situación que envuelve la comparación de dos cantidades, expresa la comparación en notación de razón

Dada una razón en un tipo de notación, reescribirla en la otra (Ejemplo: 2/3 o 2:3)

Definir la proporción como la comparación de dos razones iguales

Resolver problemas del mundo real que envuelven porcentajes, conversiones de medidas y probabilidades usando proporciones

Estimar para resolver problemas verbales del


Junio 2011 716


mundo real que envuelven porcentajes (incluir porcentajes menores de 1 y mayores de 100)

Dadas cuatro pares de figuras con las medidas de los lados identificados, identifica los pares de figuras semejantes

Dadas dos figuras semejantes, identifique el largo del lado restante usando los largos provistos de los lados y proporciones correspondientes

Resolver problemas del mundo real de medidas y escalas indirectas usando figuras semejantes

Resolver problemas del mundo real usando escalas en dibujos, mapas, modelos y gráficas


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Vamos a cenar (individual) Recoger menús de varios restaurantes locales. Ponga a los estudiantes a ordenar comida de un menú y calcular la cuenta, incluyendo el impuesto y la propina. Una vez que completen la tarea, pida a cada estudiante que escriba una carta a un estudiante de sexto grado explicándole cómo se calcula la cuenta, incluyendo el impuesto y la propina. Evalúe a los estudiantes sobre cuán bien explicaron el proceso incluyendo el cómputo.

Olimpiada de animales (parejas)

En esta tarea, los estudiantes usan proporciones para averiguar cuál es la familia ganadora de castores en un concurso de tala de árboles. Utilice la rúbrica adjunta para evaluar el trabajo de los estudiantes. (Ver Anejo: 7.3 Tarea de desempeño – Olimpiadas de animales)

Conteo de animales (parejas)

Ponga a los estudiantes por parejas para hacer una simulación de captura, colocación de etiquetas y recaptura de animales para usar las proporciones para determinar el número de animales en el grupo (Ver Anejo: 7.3 Tarea de desempeño – Conteo de animales)

Otra evidencia:

Preguntas de ejemplo para tarea o prueba corta

(Ver Anejo: 7.3 Problemas de práctica)

Cris usó una fotocopiadora para agrandar un dibujo a 150% de su tamaño original. Si el ancho del dibujo original fue 37 centímetros, ¿cuál es el ancho de la copia del dibujo? A. 37.0 cm B. 55.5 cm C. 92.5 cm D. 150.0 cm

Un diseñador de interiores hizo un modelo a escala de un cuarto. Cada pulgada del modelo representa 12 pies de la habitación. Si el largo de una pared fue 2 ¼ pulgadas en el modelo, ¿cuál es el tamaño real de la pared? A. 8 ¼ pies B. 13 ½ pies C. 16 ½ pies D. 27 pies


Explique cómo es posible sacar 110% en un examen.

Escriba una razón que describa el número de niñas comparado con el número de niños en la clase.










Ponga a los estudiantes a cortar anuncios de periódico de artículos para la venta. Monte los anuncios en un papel.

Enfatice los términos precio de venta, descuento y precio original. Para aquellos anuncios que


Junio 2011 718 Adaptado de Understanding By Design de Grant Wiggins & Jay McTighe


demuestren un porcentaje de descuento, haga que los estudiantes calculen el descuento

(porcentaje de descuento precio original = descuento) y el precio de venta (precio original – descuento = precio de venta) para cada artículo.

Haga que los estudiantes le añadan el impuesto de venta al precio de venta para sacar el precio total de venta.

Pida a los estudiantes que piensen en una manera diferente de calcular el precio de venta. Llévelos a reconocer que ellos pueden multiplicar el porcentaje del precio original a ser pagado después que el descuento se haya deducido, ej., para un par de zapatos de $60 a 20 por ciento de descuento, el precio de venta = 80% de $60 más el impuesto de venta.

Entonces, dé a los estudiantes un presupuesto para gastos. Haga que calculen el descuento y el precio de venta de los artículos en los anuncios del periódico, incluyendo el precio de venta. Pídales que hagan una lista de los artículos que pudieron comprar con descuento dentro de su presupuesto y que determinen el total de su gasto.


En esta lección hay 5 actividades que proveen a los estudiantes experiencias con razones, la solución de problemas de proporción y semejanza. (Ver Anejo: 7.3 Lección de práctica – Razón y proporciones)

En esta lección los estudiantes practican usando proporciones para resolver problemas con porcentajes, específicamente problemas de ventas y descuentos. (Ver Anejo: 7.3 Lección de práctica – Proporciones y porcentajes)

En esta lección los estudiantes relacionan lo que saben con figuras semejantes y con el concepto de proporción para resolver problemas. (Ver Anejo: 7.3 Lección de práctica – Figuras semejantes y proporciones)






Uso de comparaciones y escalas: Razón, proporción y porcentaje de Manuel del Alumno

Porcentajes (Británica Las matemáticas en contexto) de Británica

Proporciones y regla de tres/Proportions and Rule of Three de Ismael Sousa Martin





Junio 2011 719

7.4 Álgebra


Resumen de la unidad En esta unidad los estudiantes refuerzan destrezas que comenzaron en años anteriores como traducir expresiones, resolver ecuaciones y evaluar expresiones con el orden de operaciones. Se les presenta por ver primera la pendiente como razón de cambio y se utiliza para representar situaciones del mundo real. Los estudiantes harán conexiones de las relaciones equivalentes entre las gráficas, las ecuaciones, las tablas y las expresiones verbales. También resolverán ecuaciones lineales con coeficientes de números racionales.

Estándares de contenido y expectativas A.RE.7.5.1 Identifica y utiliza correctamente la terminología algebraica (variable, ecuación, inecuación, término, coeficiente, constante). A.RE.7.5.2 Traduce frases lingüísticas a frases algebraicas para resolver problemas. A.RE.7.5.3 Aplica correctamente el orden de las operaciones para evaluar expresiones algebraicas. A.RE.7.5.4 Simplifica, interpreta y evalúa expresiones algebraicas que incluyen exponentes. A.CA.7.6.1 Demuestra que la razón de cambio en casos lineales es constante y describe gráficamente la relación proporcional implícita en esta razón de cambios y representada en la inclinación de la línea. A.CA.7.6.2 Interpreta, describe y utiliza la razón de cambio para modelar situaciones matemáticas y del mundo real. Interpreta el significado de la razón de cambio asociada con incrementos y decrecimientos en contextos variados y del mundo real que involucran tasas, razones y porcentajes. A.PR.7.6.3 Construye gráficas de relaciones lineales observando que el cambio vertical por unidad dividido por el cambio horizontal por unidad es igual a la pendiente de la gráfica. A.PR.7.6.4 Establece conexiones y traduce entre representaciones equivalentes de relaciones lineales, incluyendo gráficas, tablas, ecuaciones y expresiones verbales para resolver problemas. A.MO.7.7.1 Representa situaciones matemáticas y del mundo real que utilicen ecuaciones lineales de la forma ax + b = c, donde a, b, c son expresadas como fracciones, decimales o enteros. A.MO.7.7.2 Resuelve ecuaciones lineales con coeficientes numéricos racionales utilizando métodos gráficos simbólicos con y sin tecnología. A.MO.7.7.3 Establece conexiones entre las representaciones gráficas, tablas y símbolos a la solución única de una ecuación lineal dada.


El álgebra nos ayuda a representar el mundo que nos rodea.

Las relaciones lineales en el mundo real pueden ser representadas de varias maneras diferentes.

La razón de cambio nos ayuda a resolver problemas del mundo real.


¿Cómo podemos representar situaciones usando el álgebra?

¿En qué maneras podemos representar las relaciones lineales?

¿Qué tipo de problemas se pueden resolver usando la razón de cambio?


La pendiente es la razón de cambio

La pendiente es la constante entre cualesquiera dos puntos en una línea recta

En la ecuación general ax+b=c, a es la pendiente

Una línea puede tener una pendiente


Dada una ecuación, identificar la variable, los términos, el coeficiente y la constante

Dado un conjunto que contiene una ecuación, una expresión y una inecuación, identificar la ecuación y la inecuación

Dado un problema verbal, resolverlo usando


Junio 2011 720

7.4 Álgebra

positiva, una pendiente negativa o ninguna pendiente


Variable

Ecuación

Inecuación

Término

Coeficiente

Constante

Pendiente

Razón de cambio

Fórmula

una ecuación linear en la forma ax+b=c

Dada una expresión algebraica, evaluarlo usando el orden de operaciones

Dada una línea en un plano cartesiano, calcular la pendiente

Usar la fórmula (también escrita como Δy/Δx ) para calcular la pendiente de una línea

Usar la razón de cambio para representar una situación del mundo real

Dada una situación del mundo real, representar la situación gráficamente e identificar la razón de cambio

Dado un problema verbal representar el mismo como una ecuación, una tabla y una gráfica

Resolver ecuaciones lineales con coeficientes racionales a través de una gráfica

Demostrar la solución de un problema verbal con una ecuación equivalente, una gráfica y una tabla



Lo que cuenta la escala (parejas) En esta tarea los estudiantes crean ecuaciones usando el peso de las personas que van ir de paseo en balsa. Al final del ejercicio, haga que cada estudiante le escriba una carta de cómo su grupo sacó las ecuaciones. Use las rúbricas de evaluación como guías para calificar las cartas de los estudiantes. (Ver Anejo: 7.4 Tarea de desempeño – Lo que cuenta la escala)

Camisetas hechas a la medida (individual) Presente lo siguiente a sus estudiantes: El verano pasado Camisetas Hechas a la Medida, la compañía que imprime las camisetas para todos los equipos del vecindario, te empleó para trabajar. Cuando un cliente ordena camisetas con su propio diseño impreso, Camisetas Hechas a la Medida les cobra una tarifa única de $15 para hacer el diseño más $8 por cada camiseta impresa. 1. Su primera responsabilidad en Camisetas

Hechas a la Medida es hacer una tabla y una gráfica que demuestre cuánto se le va a cobrar a un cliente por una cantidad variable

Otra evidencia:

Diario de matemáticas (preguntas de ejemplo)

Haga una ecuación e identifique los términos, la constante y el coeficiente.

Explique las diferencias entre las ecuaciones, las inecuaciones y las expresiones.

Explique por escrito el orden de operaciones a alguien que nunca haya escuchado de él.










7.4 Álgebra

de camisetas. Incluya el costo de hasta 100 camisetas.

2. ¿Cuánto debería cobrar Camisetas Hechas a la Medida a un cliente por 150 camisetas? ¿Cuánto deberían cobrar por 750 camisetas? Explique cómo llegó a estas respuestas.

3. Si no lo ha hecho aún, utilice una ecuación que pueda utilizarse para determinar cuánto cobrarle a un cliente por una cantidad cualquiera de camisetas.

4. ¿Cuál es la cantidad mayor de camisetas hechas a la medida que el cliente puede comprar por $100? Explique cómo llegó a esa conclusión.

Los maestros deber evaluar a los estudiantes por sus respuestas a las preguntas y por la fluidez con que pueden moverse entre las distintas representaciones.



Cree una lección de descubrimiento al darle a los estudiantes un conjunto diferente de ecuaciones para líneas paralelas, tales como y=3x+2; y=3x+4. Ponga a los estudiantes a trabajar en grupos y a hacer las gráficas de las líneas. Pida a los estudiantes que discutan sus líneas y que hagan una lista de todos lo que notan acerca de las líneas y las pendientes. Conduzca una gran discusión en clase donde los estudiantes desplieguen su trabajo y compartan sus descubrimientos.

Esta es una actividad de repaso para ayudar a los estudiantes a percatarse de la intuición que utilizan al resolver ecuaciones. (Ver Anejo: 7.4 Actividad de aprendizaje – Problemas encubiertos)


Esta lección presenta a los estudiantes la pendiente como una razón de cambio al instarles a construir torres y encontrar patrones en su construcción. (Ver Anejo: 7.4 Lección de práctica – Pendientes resbalosas)

En esta lección, los estudiantes desarrollan el concepto de pendiente como una razón constante de cambio. (Ver Anejo: 7.4 Lección de práctica – La caracola Saly)






Álgebra sin dolor de Lynette Long

Líneas y ángulos/Lines and Angles de Ismael Sousa Martin

Álgebra lineal con aplicaciones de David Joyner y George Nakos

Álgebra lineal elemental con aplicaciones de Richard Hill





Junio 2011 722

7.5 Geometría


Resumen de la unidad En esta unidad los estudiantes trabajan con figuras bidimensionales y tridimensionales. Los estudiantes hacen generalizaciones acerca de las formas y usan redes para expresar figuras tridimensionales en términos de figuras de dos dimensiones. Los estudiantes usan papel de puntos isométricos para dibujar figuras tridimensionales. Los estudiantes aplican las propiedades básicas de los ángulos formados por transversales y usan el Teorema de Pitágoras para resolver problemas.

Estándares de contenido y expectativas G.FG.7.9.1 Formula enunciados generales que describen las propiedades de los círculos, polígonos, prismas, pirámides, conos, esferas y cilindros. G.FG.7.9.2 Relaciona y aplica redes, planos para analizar y representar figuras de tres dimensiones en términos de figuras de dos dimensiones. G.FG.7.9.3 Representa figuras de tres dimensiones por medio de dibujos en papel de puntos isométricos. G.FG.7.10.1 Desarrolla y sostiene argumentos convincentes relacionados con relaciones entre ángulos usando modelos y dibujos con y sin ayuda de la tecnología. G.FG.7.10.2 Identifica, establece y aplica las propiedades básicas asociadas con ángulos complementarios y ángulos formados por transversales que intersecan líneas paralelas. G.FG.7.10.3 Identifica, establece y aplica las propiedades de la suma de ángulos para los triángulos y otros polígonos. G.FG.7.11.1 Explora el Teorema de Pitágoras al investigar los triángulos rectángulos, sus medidas y sus áreas. G.FG.7.11.2 Aplica el Teorema de Pitágoras para resolver problemas. G.TS.7.13.1 Describe el efecto de transformaciones rígidas (traslación, reflexión respecto a líneas verticales u horizontales, rotación respecto al origen y composiciones simples) en figuras en el plano de coordenadas. G.TS.7.13.2 Utiliza transformaciones rígidas para identificar las partes correspondientes de figuras congruentes.


Las herramientas de la geometría ayudan a resolver problemas del mundo real.

Existe relación entre las figuras bidimensionales y las tridimensionales.

La geometría nos permite describir nuestro mundo.


¿Cómo la geometría nos ayuda a resolver problemas del mundo real?

¿Cómo se pueden representar las figuras tridimensionales?


Las características de los círculos, los polígonos, los prismas, las pirámides, los conos, las esferas y los cilindros

La suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados

La suma de los ángulos de un cuadrilátero es 360 grados

El Teorema de Pitágoras (a2 + b2 = c2)


Dada una red o modelo en dos dimensiones, identificar la figura tridimensional que representa.

Dado el nombre de una figura tridimensional de la siguiente lista: prisma, cilindro, cubo, cono o pirámide, dibujar la figura en papel de puntos isométricos.

Dadas dos líneas paralelas cortadas por una


Junio 2011 723

7.5 Geometría


Papel de puntos isométricos

Figura bidimensional

Figura tridimensional

Transformación

Teorema de Pitágoras

Transversal

Líneas paralelas

Ángulos complementarios

Ángulos suplementario

Vertical ángulos

Ángulos correspondientes

Hipotenusa

Catetos

transversal, identificar los pares de ángulos verticales, los ángulos complementarios, los ángulos suplementarios y los ángulos correspondientes

Resolver problemas usando la suma de los ángulos de un polígono en la solución

Resolver problemas aplicando el Teorema de Pitágoras (a2 + b2 = c2)

Dada una figura en el plano de coordenadas, dibuja la translación y la reflexión y la rotación de la figura

Usar transformaciones rígidas para identificar las partes correspondientes de las figuras congruentes



Teorema de Pitágoras (individual)

Pida a los estudiantes que escriban la historia de un problema del mundo real que pudiera resolverse usando el Teorema de Pitágoras. Evalúe a los estudiantes de acuerdo a su comprensión del Teorema de Pitágoras según éste se relacione con el problema.

Construyamos un mapa del pueblo (grupos) Distribuya papel cuadriculado, cinta adhesiva y marcadores de colores o lápices a los grupos. Entones provea a los estudiantes las siguientes instrucciones: creen un mapa de carreteras de un pueblo imaginario que incluya los siguientes elementos (sin limitarse a):

Un nombre para el pueblo

4 edificios

2 conjuntos de líneas paralelas

2 conjuntos de líneas perpendiculares

2 transversales

2 ángulos rectos

2 ángulos agudos

2 ángulos obtusos

1 ángulo llano

2 conjuntos de ángulos verticales

2 conjuntos de ángulos adyacentes

Todas las carreteras deben tener nombres y cada uno de los elementos del mapa debe

Otra evidencia:

Preguntas de ejemplo para examen o prueba corta


Este es el diseño de una tablilla visto de perfil.

¿Cuál de los siguientes se acerca más al largo, en pulgadas del brazo indicado por BC en el diagrama? A. 25” B. 30” C. 32.5” D. 35”


Junio 2011 724

7.5 Geometría

identificar. Su mapa debe presentar los conceptos correctamente, demostrar su conocimiento del vocabulario de geometría. Si es necesario, que etiqueten los elementos en los mapas con letras y creen una leyenda en el reverso del mapa. Para pueblos más grandes, pegue varias páginas de papel cuadriculado. Los maestros pueden usar la siguiente rúbrica para evaluar a los estudiantes:

Nivel 1: Excelente

Nivel 2: Bueno

Nivel 3: Competente

Nivel 4: Necesita mejorar 1. Incluye toda la información.

Demuestra dominio del uso de los términos de la geometría. Usa herramientas apropiadas (la regla, el transportador, etc.) para crear un mapa nítido de medidas exactas. Un nombre creativo para el pueblo. Todas las carreteras y las intersecciones están identificadas correctamente.

2. Incluye toda la información. Demuestra conocimiento de los términos con muy pocos errores. Usa las herramientas apropiadas con pocos errores de medición. Las carreteras y las intersecciones están identificadas con unos pocos errores.

3. Falta alguna información necesaria. Las carreteras y las intersecciones no están identificadas correctamente. Se cometieron errores en la medición.

4. La mayor parte de la información necesaria no está presente. No se identificaron las carreteras y las intersecciones. No se utilizaron las herramientas para tomar medidas o dibujar con nitidez.

¿Cuál es el largo de BC?


Convénceme con palabras o imágenes de que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a la mitad de la suma de los ángulos de un cuadrilátero.










Ponga a los estudiantes a explorar la suma de las medidas de los ángulos de un cuadrilátero. Haga que cada estudiante dibuje un cuadrilátero de cualquier tipo que desee y que lo recorte. Entonces, solicíteles que les rasguen las esquinas. Haga que los estudiantes coloquen las esquinas de manera que el vórtice de cada ángulo sea un punto común. Mediante una discusión en clase, haga que los



7.5 Geometría

estudiantes se percaten de que cada uno tiene 4 ángulos que conforman un círculo de 360 grados, de forma que se puede crear una regla que diga que la suma de los ángulos en un cuadrilátero es 360 grados.

Cuerda egipcia: Los estudiantes usarán una cuerda con 13 nudos atados a intervalos equidistantes simulando el artefacto egipcio que se aplica en el Teorema de Pitágoras. o Demuestre a los estudiantes la cuerda con 13 nudos atados a intervalos equidistantes. En las

inscripciones de muchas de las tumbas de faraones egipcias aparecen imágenes de cuerdas como ésta. Pregunte a los estudiantes cuál piensan que pudiera haber sido el propósito de una cuerda como ésta.

o Si a los estudiantes se les ocurre la idea de que los egipcios usaran cuerdas para hacer una plantilla para hacer ángulos rectos, pídales que lo demuestren. Si no, pida a dos estudiantes que le ayuden a demostrar. Deje que un estudiante sostenga a los nudos #1 y #13. Déle a otro estudiante el nudo #8. Los tres estudiantes deben estirar la cuerda y permitir a la clase observar la figura que se forma. Permita a los estudiantes que están sosteniendo los nudos hacer una figura diferente.

o Motive a los estudiantes a conjeturar acerca de cómo los egipcios pudieron hacer usado una cuerda como esa (para construir ángulos en las pirámides, para marcar los de los sembradíos después de que el Nilo se desbordara).

o Pregunte a los estudiantes qué otra cantidad de nudos en una cuerda pudieran usarse con el mismo propósito de formar un triángulo rectángulo. Por ejemplo, ¿se puede obtener un triángulo rectángulo con una cuerda de 20 nudos (19 espacios) equidistantes? ¿Se puede hacer con una cuerda de 31 nudos (30 espacios)?


En esta lección los estudiantes verifican el Teorema de Pitágoras, lo usan para encontrar las partes faltantes de los triángulos y entonces resolver problemas del mundo real. (Ver Anejo: 7.5 Lección de práctica – El Teorema de Pitágoras)

Esta es otra lección en la que los estudiantes pueden tener experiencias de práctica verificando el Teorema de Pitágoras y resolviendo problemas del mundo real. (Ver Anejo: 7.5 Lección de práctica – Pitágoras de Samos)

En esta lección los estudiantes aprenden acerca de los tipos de ángulos que se forman cuando una transversal corta dos líneas paralelas. (Ver Anejo: 7.5 Lección de práctica – ¿Cuál es tu ángulo?)






Geometría plana y del espacio y trigonometría/ Geometry and Trigonometry de J. Aurelio Baldor

Geometría de Ana H. Quintero

Teorema de Pitágoras de José Jiménez Lozano

Polígonos/Polígonos: Estudio de la circunferencia de Ismael Sousa Martin

Situaciones, formas y medidas de Ismael Sousa Martin

Figuras geométricas/Geometric Figures: Calculo de Áreas de Ismael Sousa Martin





Junio 2011 726

7.6 Medición


Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes practicarán aplicando fórmulas para computar las medidas de varias figuras incluyendo ángulos, triángulos y cuadriláteros. Lo que los estudiantes aprendan acerca de medir figuras regulares se usará para medir figuras irregulares. Los estudiantes utilizarán entonces referencias para ayudarles a comparar medidas, particularmente pesos, capacidad, tiempo y temperatura, además de comparar las medidas de figuras bidimensionales y tridimensionales.

Estándares de contenido y expectativas M.UM.7.14.1 Selecciona y utiliza el tamaño y la unidad de medida apropiada para determinar las medidas de ángulos, perímetros, área, área de superficie y el volumen. M.UM.7.14.2 Compara pesos, capacidades, medidas geométricas, tiempos y temperaturas dentro y entre sistemas de medidas. M.UM.7.14.3 Resuelve problemas que involucran razón, velocidad promedio, distancia, tiempo o variación directa. M.TM.7.15.1 Investiga, establece conjeturas y aplica las fórmulas para determinar perímetro, área de figuras bidimensionales básicas (rectángulos, paralelogramos, trapecios, trapezoides, triángulos) y el área de superficie y el volumen de figuras tridimensionales (prismas, pirámides y cilindros).

Investiga y describe la relación entre las medidas de las figuras tridimensionales y las medidas de las figuras bidimensionales relacionadas.

M.TM.7.15.2 Estima y determina el área de figuras irregulares planas; y el área de superficie de figuras tridimensionales descomponiendo estas figuras en figuras más sencillas. M.TM.7.15.3 Formula y aplica los enunciados generales relacionados con cambios de escala en las dimensiones de una figura a cambios en el perímetro, área, circunferencia, área de superficie y el volumen de la figura resultante.

Construye e interpreta dibujos y modelos a escala.

Reconoce que el perímetro, área y volumen son afectados por cambios en la escala.


Los cambios en las dimensiones de las figuras pueden cambiar los resultados de las medidas.

Lo que conocemos acerca de cómo medir figuras regulares nos permite medir figuras irregulares.

El uso de medidas de referencia nos permite comparar medidas.


¿Cómo la medición de figuras bidimensionales se relaciona con la medición de figuras tridimensionales?

¿Qué herramientas se pueden usar para comparar las medidas?

¿Cómo las fórmulas de área de varios cuadriláteros y triángulos se relacionan unas con otras?


El agua se congela a 32⁰F en el sistema Inglés y a 0 grados C en el sistema métrico.

El agua hierve a 212⁰F en el sistema Inglés y a 100⁰C en el sistema métrico.

Uso de medidas de referencia tales como el punto de ebullición del agua; 15 minutos equivale a un cuarto de hora; 2.5 centímetros hace 1 pulgada


Dada una situación específica, seleccionar una unidad de medida apropiada y estimar un tamaño apropiado

Comparar peso, capacidad, tiempo y temperaturas entre sistemas de medida diferentes

Resolver problemas verbales que envuelven razón, velocidad promedio, distancia, tiempo o variación directa


Junio 2011 727

7.6 Medición


Escala

Perímetro

Área de superficie

Volumen

Circunferencia

Capacidad

Razón

Variación directa

Dado un diagrama de una figura bidimensional con las dimensiones identificadas, computar el perímetro y el área

Dado un diagrama de una figura tridimensional con las dimensiones identificadas, computar el área de superficie y el volumen

Explicar por escrito la relación entre las figuras bidimensionales y las tridimensionales y sus medidas

Dado un diagrama de una figura irregular plana con las medidas de los lados identificadas, estimar y entonces calcular el área y el perímetro descomponiendo la figura en figuras regulares

Dado el diagrama de una figura tridimensional irregular con las medidas de los lados identificadas estimar, y entonces calcular el área de la superficie y el volumen descomponiendo la figura en figuras regulares

Dada la escala, hacer un dibujo del original

Dada una figura con sus dimensiones y el perímetro señalados, calcular el perímetro de la misma figura con dimensiones del doble del tamaño

Dada una figura tridimensional con sus dimensiones, el área y el volumen señalados, calcular el área y el volumen con dimensiones del doble de tamaño

Dado un círculo con la circunferencia, el área y el diámetro señalados, calcular la circunferencia y el área del círculo con un diámetro del doble de largo



Hagamos caricaturas (grupos pequeños o parejas)

Cortar caricaturas familiares de periódicos o revistas de caricaturas. Distribuir 1 panel una tira de caricaturas (o una página de una revista) a cada miembro del grupo. Distribuir papel cuadriculado de dos tamaños (1/4 pulgada y ½ pulgada). Hacer que los estudiantes dupliquen el tamaño de la caricatura usando una escala de 2:1. Cuando cada estudiante complete el panel, despliéguelos en el salón. Haga que los estudiantes escriban párrafos breves de cómo

Otra evidencia:

Ejemplos de preguntas para examen prueba corta


¿Cuál es el volumen de la pirámide cuadrada de abajo?

Como parte de un proyecto de arte, Benjamín


Junio 2011 728

7.6 Medición

agrandaron las caricaturas. Evalúe los estudiantes por la fidelidad de sus explicaciones con el concepto en cuestión.

Cilindros y arroz (grupos pequeños)

En esta tarea los estudiantes harán un experimento que resultará en la fórmula para el volumen de un cilindro. Cuando los estudiantes hayan completado la actividad, haga que escriban una carta al maestro explicando lo que aprendieron en esta lección. Los estudiantes se evaluarán de acuerdo a su habilidad para conseguir la formula del volumen del cilindro. (Ver Anejo: 7.6 Tarea de desempeño – Los cilindros y el arroz)

tiene que pintar el área de superficie de una pirámide cuadrada. La pirámide tiene las dimensiones que aparecen abajo. ¿Cuál es el área total de superficie de la pirámide?

¿Cuál es el área de esta figura?


¿Cuál es el sistema de medida que prefieres usar: el sistema métrico o el sistema inglés? Explica por qué.

¿Qué unidades usarías para medir un elefante? ¿Y un coquí?

¿Cuál es más largo: 2 pies o 2 metros? Explica cómo lo sabes.










7.6 Medición



Solicite a los estudiantes que midan diferentes partes de su cuerpo, como de la cabeza a los pies, del extremo de un brazo al otro (con brazos abiertos), del codo a la muñeca, el tamaño del pie, el largo de la mano, el largo del brazo. Mire a ver si ellos pueden encontrar relaciones entre las medidas de algunas partes (i.e. el largo de los brazos abiertos=alto, largo del codo a la muñeca=largo del pie)

Haga que los estudiantes corten figuras bidimensionales de un papel y construyan figuras tridimensionales usando las figuras bidimensionales. Discuta la relación entre ellas.

Practique midiendo el área y el volumen de varios artículos que se encuentren en el salón y en la casa como tarea del día.


En esta lección los estudiantes practican el cálculo del volumen y el área de superficie de prismas, pirámides y conos. También exploran cómo el volumen y el área de superficie cambian cuando las dimensiones de las figuras originales cambian. (Ver Anejo: 7.6 Lección de práctica – Pirámides, prismas y conos – ¡Cielos!)

Esta lección ayuda a los estudiantes a explorar qué sucede cuando se cambian las dimensiones de una figura y las implicaciones para el área de superficie y el volumen. (Ver Anejo: 7.6 Lección de práctica – Área de superficie y volumen)






Problemas con medidas/Problems with dimensión de Gerardo M. Nogueira

Sistema Métrico Decimal/Metric System: Medidas de Longitud de Ismael Sousa Martin

Sistema Métrico Decimal/Metric System: Medidas de Capacidad y Masa de Ismael Sousa Martin

Sistema Métrico Decimal/Metric System: Medidas de Superficie de Ismael Sousa Martin

Examinemos el Angulo Geometría y Medidas de Rheinhart y Winston Holt





Junio 2011 730

7.7 Estadísticas


Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes aprenden cómo conducir un experimento estadístico, empezando por la creación de una pregunta que involucra dos variables y continuando con la definición de la población de donde se recogerán los datos. También determinan el proceso de recogido de los datos, representan los datos en una gráfica apropiada y analizan los datos usando terminología apropiada.

Estándares de contenido y expectativas E.RD.7.16.1 Formula una pregunta simple que involucre dos atributos. E.RD.7.16.2 Define una pequeña población donde los datos pueden ser recolectados para contestar una pregunta. E.RD.7.16.3 Identifica, selecciona, crea y utiliza varias formas de representar conjuntos de datos. E.RD.7.16.4 Identifica dos atributos donde recolectar los datos, decide cómo medir estos atributos para responder la pregunta formulada y determina el proceso de recolección de datos. E.RD 7.17.1 Clasifica cada atributo como variable cuantitativa o cualitativa. E.AD.17.2 Describe la distribución de cada atributo separadamente utilizando las gráficas apropiadas, (incluyendo diagramas de tallo y hoja, histogramas, diagramas de caja y resumen estadístico, incluyendo rango intercuartil). E.RD.7.17.3 Identifica, describe y construye gráficas para representar datos de dos variables (tablas para dos variables, diagramas de caja paralela, diagramas de tallo y hojas dobles para una variable categórica y una variable numérica; y diagramas de dispersión, con la línea de tendencia apropiada. E.AD.7.17.4 Explica las ventajas de las diferentes formas de representar datos. E.AD.7.17.5 Describe la relación entre dos variables y los efectos de los extremos en las relaciones observadas. E.AD.7.18.1 Interpreta y comunica las conclusiones de un análisis estadístico en dos variables en el contexto de la pregunta formulada utilizando la terminología apropiada. A.MO.7.5.5 Representa relaciones cuantitativas gráficamente e interpreta el significado de una parte específica de la gráfica.


Las estadísticas nos permiten hacer preguntas y encontrar respuestas acerca del mundo que nos rodea.

Cara representación gráfica tiene ventajas y desventajas al compararse con otras representaciones.


¿Qué tipos de gráficas existen para ayudarnos a desplegar los datos?

¿Cómo pueden las estadísticas ayudarnos a resolver problemas del mundo real?

¿Cuáles son las ventajas y desventajas de los diferentes tipos de representaciones gráficas?


Varias maneras de representar los datos

Las ventajas de las varias maneras de representar los datos

Las diferencias entre las variables cuantitativas y las cualitativas

La relación entre dos variables

Los efectos de un valor atípico en las relaciones observadas entre dos variables



Escribir una pregunta con dos atributos que se puedan investigar con estadísticas

Dada una pregunta dirigida a una población, identificar una muestra de donde se pudieran recoger los datos para contestar la pregunta

Dado un conjunto de datos identificar una manera apropiada de representarlos

Dada una pregunta con dos atributos, describir por escrito cómo recoger los datos


Junio 2011 731

7.7 Estadísticas

Variable cualitativa

Variable cuantitativa

Población

Atributo

Rango intercuartil

Diagrama de caja

Histograma

Diagrama de tallo y hoja doble

Valor atípico

Dado un atributo, explicar si es una variable cualitativa o cuantitativa

Dado un conjunto de datos, crear un diagrama de tallo y hoja, uno de caja e un histograma

Dado un diagrama particular como el de tallo y hoja, uno de caja o un histograma, explicar por escrito las ventajas de cada uno

Dados unos datos de dos variables presentados en diagramas, presentar la conclusión usando la terminología correcta

Dado un diagrama de caja, interpretar el rango intercuartil

Dados dos conjuntos de datos, construir el diagrama para demostrar la relación (por ejemplo, diagrama de tallo y hoja doble)

Dada un diagrama y dos variables, describir los efectos de los valores atípicos observados en la relación



Gráficas de periódico (grupos pequeños)

Distribuya copias de El Nuevo Día, Primera Hora, El Vocero o cualquier periódico con representaciones gráficas a cada grupo de estudiantes y un papel de gráficas. Explique a sus estudiantes que cada grupo seleccionará una representación gráfica de información del periódico. Los estudiantes pegarán el diagrama seleccionado en el papel de gráficas. Como grupo, crearán un resumen de la información desplegada en el diagrama y lo anotarán bajo el mismo. Entonces, elaborarán tres preguntas que puedan ser contestadas de la información desplegada. Las preguntas deben ir dirigidas a la comparación de los datos y las predicciones e inferencias hechas a partir de los datos.

Solicite a los estudiantes que presenten el producto final a la clase y le hagan las preguntas que elaboraron.

Los maestros deben evaluar las presentaciones grupales de los estudiantes fundamentándose en las preguntas que crearon. ¿Logran llegar las preguntas al

Otra evidencia:

Pregunta de ejemplo para un examen o una prueba


Esta es una lista de la cantidad de millas que conduce cada miembro del comité a la reunión de la Sociedad para el Aire Limpio.

53 57 78 56 72 60 73 94 92 87

¿Cuál diagrama de caja despliega la información correctamente?


Junio 2011 732

7.7 Estadísticas

corazón del análisis de los datos o son superficiales?

Proyectos estadísticos (individual o en parejas)

Varias de las expectativas de esta unidad se pueden evaluar permitiendo a los estudiantes llevar a cabo su propio proyecto de estadísticas. Decida con sus estudiantes las fechas de entrega para cada paso descrito abajo. Evalúe a los estudiantes por su presentación final.

Los estudiantes harán lo siguiente: 1. Haz una pregunta de interés para ti que

involucre dos variables. 2. Define la población de la cual recogerás los

datos. 3. Decide cuál proceso de recogido de datos

escogerás. Contesta la pregunta “¿Cómo recogerás los datos?”

4. Despliega los datos usando los diagramas apropiados.

5. Analiza los datos, elabora conclusiones y haz predicciones. Incluye comentarios acerca de cualquier valor atípico, si existe.

6. Presenta tus hallazgos a la clase.


En tu diario piensa y escribe tantas preguntas como puedas acerca de objetos o eventos de tu vida cotidiana.

Selecciona una de las preguntas que escribiste. Define la población que usarías para contestar la pregunta.

Explica la diferencia entre los datos cualitativos y los cuantitativos.










Para presentar cualquier tipo de gráfica, recoja datos en el salón de clase. Por ejemplo, para demostrar un uso adecuado del diagrama de tallo y hoja doble, dé a los estudiantes cajas o bolsas pequeñas de raciones o caramelos. Pida a los estudiantes que adivinen cuántas unidades hay en la caja o la bolsa y anote este dato en el diagrama. Entonces haga a los estudiantes contra el número exacto, y hacer el diagrama de tallo y hoja doble con la cantidad exacta. Compare los dos diagramas y discútalos.

Es importante presentar a los estudiantes muchos ejemplos de diagramas para que puedan practicar analizándolos. El ejemplo de abajo es una plantilla de preguntas que debe crear para sus estudiantes. Si no, una vez que los estudiantes practiquen el resolver esta clase de preguntas, ¡rételos a escribir las suyas propias e impresionar a sus compañeros!


En esta lección los estudiantes comienzan a revisar los distintos tipos de gráficas y a hacer sus conclusiones y predicciones de los datos presentados en gráficas tomadas de contextos reales. (Ver Anejo: 7.7 Lección de práctica – La tarea, la televisión y el sueño)

En esta lección los estudiantes exploran los datos en representaciones gráficas diferentes y llegan a sus propias conclusiones. Hay una evaluación dentro de la lección. (Ver Anejo: 7.7 Lección de práctica – Obsesión con los datos)

En esta lección los estudiantes aprenden cómo hacer un diagrama de caja usándose a sí mismos como objetos manipulables. (Ver Anejo: 7.7 Lección de práctica – Hagamos mercadeo con diagramas de dispersión)



7.7 Estadísticas






Estadística I. Tablas y gráficas de Ismael Sousa Martin

Introducción a la estadística básica de Victor M. Caparrós

Tablas, esquemas y gráficas de Grijalbo

Datos acerca de nosotros: Estadística de Manuel del Alumno





Junio 2011 734

7.8 Probabilidad


Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes identifican eventos para un espacio muestral, determinan el espacio muestral para un experimento usando tablas, listas y diagrama de tallos y hojas, y determina la probabilidad de un evento. También encuentran el complemento y aplican la Regla de la Suma de Probabilidades en eventos que sean (o no) mutuamente excluyentes.

Estándares de contenido y expectativas E.PR.7.19.1 Determina el espacio muestral para un experimento y utiliza listas, tablas y diagramas de árbol para representar los resultados posibles. E.PR.7.19.2 Identifica los eventos para un espacio muestral dado, representa relaciones entre los eventos usando diagramas de Venn y determina las probabilidades para eventos y sus complementos. E.PR.7.19.3 Describe y aplica la Regla de la Suma de Probabilidades para eventos que son mutuamente excluyentes y eventos que no.


Determinar que la probabilidad nos ayuda a predecir la posibilidad de eventos futuros.

En algunos casos, el complemento de la probabilidad de un evento es más útil que la probabilidad.


¿En qué manera la probabilidad es útil en el mundo real?

¿Cuándo es útil conocer el complemento de una probabilidad?

¿Cómo se puede determinara si dos eventos son mutuamente excluyentes?


Todas las probabilidades se expresan como números entre 0 y 1

La probabilidad se expresa como P(evento) = # de veces que el evento ocurre

# total de intentos

Las probabilidades se pueden expresar como fracciones, decimales o porcentajes

Los complementos se expresan como ῀᷉P


Espacio muestral

Evento

Tabla

Lista

Regla de la Suma de Probabilidades

Mutualmente excluyente

Complemento

Diagrama de Venn


Dada una situación, determinar el espacio muestral usando una tabla, una lista o un diagrama de tallo y hoja

Determinar la probabilidad de un evento

Determinar el complemento de la probabilidad de un evento

Usar un diagrama de Venn para expresar la relación entre dos eventos

Dados dos eventos, determinar si son mutuamente excluyentes

Aplicar la Regla de la Suma de Probabilidades a eventos que son mutuamente excluyentes

Aplicar la Regla de la Suma de Probabilidades a eventos que no son mutuamente excluyentes


Junio 2011 735

7.8 Probabilidad



El dilema de la porción doble (parejas)

En esta tarea los estudiantes determinan la cantidad total de conos de helado dobles que se pueden hacer con 40 sabores. Una vez que los estudiantes han completado la tarea, haga las siguiente preguntas:

¿Cuáles son tus combinaciones favoritas? Puedes escoger más de una.

¿Cuál es la probabilidad de que te toque una de tus combinaciones favoritas si escoges al azar?

¿Cuál es la probabilidad de que no te toque una de tus favoritas si escoges al azar?

Cada estudiante escribirá entonces una carta al gerente de la heladería diciéndole lo que tu compañero(a) y tú descubrieron acerca de la cantidad de conos de helado dobles que se pueden hacer, incluye tu trabajo. Entonces cuéntale acerca de tus combinaciones favoritas. Asegúrate de usar lenguaje de probabilidades.

Los maestros deben evaluar el uso correcto de la terminología, el uso correcto del espacio muestral y la determinación correcta de la probabilidad. (Ver Anejo: 7.8 Tarea de desempeño – El dilema de la porción doble)

Creemos una situación (grupos pequeños)

Inste a los estudiantes a crear su propia prueba de probabilidades. Deben escribir 10 preguntas acerca del contenido cubierto en esta unidad de probabilidades y hacer una clave con las contestaciones. Debe haber al menos:

1 pregunta de eventos mutuamente excluyentes

1 pregunta de complementos

1 pregunta donde un estudiante tenga que encontrar la probabilidad usando un espacio muestral

1 pregunta acerca de la Regla de la Suma de Probabilidades

Otra evidencia:

Preguntas de ejemplo para examen o prueba corta


Una bolsa contiene 8 manzanas, 10 chinas y 4 mangos. Encuentre la probabilidad de sacar una manzana o una china.

Una bolsa contiene 5 medias negras, 10 blancas y 15 marrones. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una negra o una blanca?

Diario de matemáticas (algunas preguntas)

Explica en tus propias palabras la relación entre una probabilidad y su complemento.

José determinó que la probabilidad de un evento que iba suceder era 7. Explícale a José por qué esta respuesta es incorrecta.

Provee un ejemplo de dos eventos mutuamente excluyentes.










7.8 Probabilidad

6 de su predilección

Se evaluará a los estudiantes de acuerdo a la corrección de las respuestas de la clave de contestaciones y de la corrección de las respuestas a las preguntas. El maestro puede seleccionar preguntas que hayan generado los estudiantes para incluirlas en el examen de unidad.



Antes de usar diagramas de Venn para determinar la relación entre los eventos, es importante estar seguro de que los estudiantes entienden como los diagramas de Venn funcionan. Practique juegos de “atributos” con sus estudiantes para enseñarles diagramas de Venn. (Ver Anejo: 7.8 Actividad de aprendizaje – Juegos de atributos y diagramas de Venn)

Inste a los estudiantes a anotar las probabilidades de distintas combinaciones de dados para un dado con los números 1, 2 y 3. Entonces haga que tiren el dado para ver si pueden evidenciar la probabilidad de esos resultados.

Haga que los estudiantes utilicen la técnica de “lluvia de ideas” para listar ocasiones de la vida real en las que conocer probabilidades sería útil. Pueden compartir sus ejemplos en clase según se les crucen en su camino en el diario vivir.


En esta lección los estudiantes simulan un juego y predicen los resultados. El seguimiento implica complementos. (Ver Anejo: 7.8 Lección de práctica – Complemento de un evento)

Esta lección les enseña a los estudiantes acerca de eventos mutuamente exclusivos y contiene una hoja de ejercicios de alternativas múltiples como evaluación. Necesitará un dado para tirarlo durante la demostración y puede tener unas cartas. (Ver Anejo: 7.8 Lección de práctica – Eventos mutuamente excluyentes)

Esta lección se trata de complementos y tiene una hoja de 5 preguntas de evaluación. El maestro necesitará una ruleta de 4 colores y un dado. (Ver Anejo: 7.8 Lección de práctica – El problema del concurso)






Representar números: Análisis de datos y probabilidad de Rheinhart y Winston Holt

Arriésgate: Análisis de datos y probabilidad de Rheinhart y Winston Holt

Comprender los datos, análisis de datos y probabilidad de Rheinhart y Winston Holt

Elementos de probabilidad y estadística de B. Elmer Mode

Introducción a la probabilidad y estadística de William Mendenhall




737

Matemáticas

Anejos

7mo Grado

Área de contenido: Matemáticas

738

7.1 Actividad de aprendizaje BINGO de adición de enteros

Instrucciones para el Bingo de adición de enteros

Materiales:

Tablero de Bingo e instrucciones

Hoja de práctica de la tarea de desempeño

2 fichas 1. Cada jugador escogerá un número entre -10 y 10. Escribe tu número en un pedazo de papel y

dóblalo. No dejes que tu compañero vea tu número. 2. Cada jugador pondrá una ficha en cualquier número del banco de números. 3. El jugador que haya escogido el número más cercano al de su oponente en el banco de números va

primero. 4. El primer jugador debe sumar los dos números enteros con las fichas en el banco de números. 5. Una vez que el primer jugador haya hecho la suma, deben encontrarla en el tablero de bingo y

ponerle una X. 6. El segundo jugador sólo puede mover una ficha en el banco de números. El jugador luego suma los

dos números con las fichas encima. 7. El segundo jugador encuentra la suma en el tablero de bingo y pone un cero en el número. 8. Los jugadores continúan tomando turnos, pero solamente moviendo una ficha en el banco de

números a la vez. ¡El primer jugador con cinco sumas en una fila gana!


739


Suma de enteros

Banco de números Hoja de práctica de la tarea de desempeño


740



1. Trabaja con un compañero. Juega el Bingo de adición de números. (Ver tablero e instrucciones.)

COMPLETA LA SIGUIENTE TAREA INDIVIDUALMENTE.

2. ¿Ganaste en el bingo?

3. ¿Cuál fue tu estrategia? Explica. 4. Encuentra la suma de cada uno:

a. -4 + -8= b. -12 + 6= c. 17 + -9= d. -13 = 13=

5. Mira el siguiente problema:

26 + 17 + -11 + 17 + -26 – Sin computar la suma, da una respuesta. _______

6. Encuentra dos temperaturas que tengan 24 grados de diferencia y que uno de los números sea

menor de cero. _____ y ______.

7. Usando “O” para cada número negativo y “X” para cada número positivo, dibuja una imagen que represente la suma de negativo tres.

8. Lina le debe a su hermana $12. Un sábado, ella recibió su mesada de $15. Ella gastó $8 en comida

durante un juego. Luego, le dio a su hermana el resto de su mesada. El domingo, ella ganó $5 podando el césped del vecino. Ella le dio $5 a su hermana. ¿Lina le debe a su hermana algo de dinero? Si es así, ¿cuánto?


Fuente: http://www.nsa.gov/academia/_files/collected_learning/middle_school/pre-algebra/sum_of_integer.pdf 4



Rúbrica

1. Trabaja con un compañero. Juega el Bingo de adición de números. (Ver tablero e instrucciones) NO

DÉ PUNTUACIÓN

COMPLETA LA SIGUIENTE TAREA INDIVIDUALMENTE. 2. ¿Ganaste en el bingo? NO DÉ PUNTUACIÓN

3. ¿Cuál fue tu estrategia? Explica.

2 Puntos- Trató de sumar números en una fila y trato de evitar que el oponente alcanzara determinada suma. 1 Punto- Trató de sumar números en una fila O trato de evitar que el oponente alcanzara determinada suma. 0 Puntos- No pudo explicar la estrategia.

4. Encuentra la suma de los siguientes:

a. -4 + -8= (1 punto) b. -12 + 6= (1 punto) c. 17 + -9= (1 punto) d. -13 = 13= (1 punto)

5. Mira el siguiente problema:

26 + 17 + -11 + 17 + -26 – Sin computar la suma, da una respuesta.- 11 (1 punto)

6. Encuentra dos temperaturas que tengan 24 grados de diferencia y que uno de los números sea

menor de cero. _____ y __PUNTUACIÓN VARÍA (1 punto). Ejemplos -1 y 23, -2 y 22, -3 y 21. 7. Usando “O” para cada número negativo y “X” para cada número positivo, dibuja una imagen que

represente la suma de negativo tres. PUNTUACIÓN VARÍA (1 punto) Ejemplos: XXX + OOOOOO – OOO, XXXXX + OOOOOOOO – OOO

9. Lina le debe a su hermana $12. Un sábado, ella recibió su mesada de $15. Ella gastó $8 en comida

durante un juego. Luego, le dio a su hermana el resto de su mesada. El domingo, ella ganó $5 podando el césped del vecino. Ella le dio $5 a su hermana. ¿Lina le debe a su hermana algo de dinero? Si es así, ¿cuánto? NO, NO LE DEBE NADA A SU HERMANA (1 PUNTO)


742

7.1 Lección de práctica


(4 + 5)4 – 32 + 9(2)

9(4) – 32

+ 9(2)

9(4) – 9 + 9(2)

36 – 9 + 18

27 + 18

45

Orden de operaciones Materiales que se necesitan Papel cuadriculado Dado Papel de datos Triángulos precortados Actividad instructiva Actividad A 1. Repase con los estudiantes el proceso de encontrar el área de los rectángulos. 2. Use un proyector de transparencias que muestre tres rectángulos: 9 x 5, 9 x 8 y 9 x4, sombreados e

identificados. 3. Escriba las dimensiones de cada rectángulo.

4. Combine dos rectángulos. Ejemplos: 9 x 4 y 9 x 5. Encuentra el área total 9 4 + 9 5. 5. Pida a los estudiantes que lo resuelvan de diversas maneras. El maestro le pedirá a los estudiantes

que compartan sus respuestas. Luego pondrá dos rectángulos juntos, y contará los cuadrados para el área total.

6. Lleve la actividad a las condiciones originales: 9 4 + 9 5, y resuelva. Pregunte a los estudiantes ¿cómo resolver el problema para que dé 81?

7. Esto hará que los estudiantes completen los pasos de la multiplicación y que luego sumen. 8. Extienda la actividad combinando los tres rectángulos para saber el área total. 9. Pida a los estudiantes que escriban los pasos para saber el área usando el orden de las operaciones. Actividad B 1. Repasa con los estudiantes el significado de los exponentes. 2. Método triangular: Dé a los estudiantes expresiones y hágalos resolverlas en orden y

bajando el siguiente paso abajo y continuando con el problema hasta resolverlo. El método triangular consiste en resolver cada paso, con la respuesta como la punta del triángulo, como se muestra a la derecha.

3. Ponga números racionales al azar en la pizarra, y haga que los estudiantes escriban sus propias expresiones, tratando de hacer el triángulo más largo, el número del triángulo más grande o el número del triangular más pequeño.

Ejemplo de avalúo Pida a los estudiantes que usen las hojas de datos para hacer el triángulo más largo, el más grande o

el más pequeño. La revisión entre pares puede usarse como evaluación inmediata. Usando sólo cuatros, símbolos de operaciones y conocimiento de orden de operación, pida a los

estudiantes que hagan cada uno de los números señalados del 1 al 12. Por ejemplo (4 + 44 ) 4 = 20.

Recursos de ejemplo NCTM, Principles and Standards for School Mathematics, páginas 214–221. Matemáticas SOL Marco del currículo.


743 Fuente: http://www.doe.virginia.gov/testing/sol/standards_docs/mathematics/index.shtml



Muestra de ejercicios para examen 72 – (7 + 8) • es equivalente a—

¿Cuál es un ejemplo de la propiedad asociativa para la multiplicación? El Sr. Rodríguez le pidió a Eli que aplicara la propiedad distributiva a la expresión 2 (7 +3). ¿Cuál de los siguientes debió escribir Eli? Si a +b= a, entonces b es igual a – El número de diagonales que pueden dibujarse en un polígono con n lados puede determinarse por .

¿Cuántas diagonales se pueden hacer en un polígono de 10 lados?

¿Cuál es el valor de


744

7.1 Lección de práctica Propiedades de los números reales

Propiedades de los números reales Materiales que se necesitan Balanza y pesas Fichas de colores (Contadores de dos lados) Vasos de papel Hoja de plantilla de ecuación (una hoja de papel doblada a la mitad con un símbolo = en el centro) Papel cuadriculado Actividad instructiva Primera Parte: Propiedades conmutativas y asociativas 1. Explique a los estudiantes que estarán explorando las propiedades de las operaciones con números

reales. Distribuya los abastos de las fichas de colores y los vasos de papel a cada grupo. Pida a los estudiantes que construyan una ecuación sobre la plantilla de ecuación proveída.

2. Pida a los estudiantes que expliquen los principios de una balanza o de un columpio. Ellos pueden citar otro ejemplo en el cual la fuerza a la izquierda sea igual a la fuerza a la derecha. Demuéstreles este principio a los estudiantes con la balanza y las pesas. Modele un proceso similar a los estudiantes en un proyector con una transparencia de una ecuación, usando vasos y fichas de colores para representar varias cantidades. Demuestre que lo que cambia (lo sumado o restado) de un lado debe cambiar del otro para que se mantenga el balance y que esto aplica también a la ecuación.

3. Demuestre la propiedad conmutativa para la suma al poner cinco fichas rojas y tres amarillas en un lado de la plantilla de ecuación. Acomode las fichas en el otro lado poniendo tres amarillas y luego cinco rojas. Pregunte a los estudiantes si el valor de las fichas ha cambiado. (Una descripción real sería relacionar la distancia que los estudiantes viajan para llegar a la escuela en términos de viajar de la casa a al escuela en la mañana, y de la escuela a la casa en la tarde. La distancia seguirá siendo la misma. Otro ejemplo usa el visual a la derecha que relaciona estacionar dos carros de diferente longitud en una calle. No importa que orden es usado, la longitud del área de estacionamiento sigue siendo la misma).

4. Usando las fichas de colores, pida a los estudiantes que creen un ejemplo de una propiedad conmutativa y que sus compañeros escriban la ecuación representada.

5. Demuestra un ejemplo de propiedad asociativa poniendo 3 fichas rojas, dos amarillas y una roja en un lado de la plantilla. “Asocia” dos de los grupos juntos, el rojo y el amarillo. Pregunte a los estudiantes cuántas fichas hay, luego pídales que añaden la ficha adicional. A la derecha de la plantilla, ponga los mismos grupos de fichas, pero esta vez “asocie” las dos amarillas con una roja. Explique que este es un ejemplo de propiedad asociativa. Pida a los estudiantes que creen un ejemplo y que sus compañeros escriban la ecuación representada.

6. Haga una lluvia de ideas con los estudiantes sobre cómo podrían modelar la propiedad conmutativa para la multiplicación. Un ejemplo es usar matrices en papel cuadriculado para demostrar la propiedad usando las áreas de varios rectángulos.

7. Discuta con los estudiantes las semejanzas de las dos propiedades—conmutativa para la adición y conmutativa para la multiplicación— Pida a los estudiantes que creen un ejemplo de la

=


745


propiedad conmutativa para la multiplicación y que sus compañeros escriban la ecuación representada.

Segunda Parte: Propiedad distributiva 1. Usando un proyector con una transparencia de papel cuadriculado, cree un diseño de dos

rectángulos. Uno debe tener una longitud de 8 unidades y un ancho de 3, y el otro debe tener una longitud de 8 unidades y un ancho de 5 unidades.

2. Pida a los estudiantes que determinen el área de la primera cuadrícula y de la segunda. Luego pida a

los estudiantes que pongan las dos cuadrículas juntas (ilustrada en la tercera cuadrícula y determinen el área de la cuadrícula completa). Pida a los estudiantes que representen sus soluciones con diagramas. Pida a los estudiantes que anoten los modos diferentes en que pueden llegar a una solución. Algunos estudiantes pueden mirar el problema como 8 (3 + 5) al añadir los dos anchos antes de multiplicarlo por la longitud. Otros pueden decidir multiplicar las dimensiones de cada cuadrícula por separado y luego sumar las dos áreas juntas.

3. Pida a varios estudiantes que hayan resuelto el problema de diferentes maneras que compartan sus soluciones, incluyendo los diagramas. Explique que aquellos que escogieron multiplicar las dimensiones de cada cuadrícula individualmente y luego sumar estaban de hecho usando la propiedad distributiva. Explique que la propiedad distributiva te permite desplegar los números de manera que sea más fácil trabajar con ellos. Esta propiedad ayuda cuando se hace matemática mental. Pida a los estudiantes que provean algunos ejemplos de otras ecuaciones dónde la propiedad distributiva pueda ser usada.

Tercera parte: Elementos de identidad e inversos 1. Explique que las propiedades que son nombradas como de identidad son en realidad de sentido

común. Estos elementos de identidad son números que cuando son combinados con otros números no los cambian. Pregunte a los estudiantes que número sería éste cuando suman (0). Dígales a los estudiantes que cuando el cero es añadido a cualquier número, el número permanece igual. Pregunte a los estudiantes qué número sería usado en multiplicación (1). Cuando 1 es multiplicado por cualquier número, el número permanece siendo el mismo.

2. Dígales a los estudiantes que los números inversos son los números que combinados con otros números resultan en elementos de identidad. Para los inversos de la suma, los dos números sumarían cero. Repase con los estudiantes los conceptos de enteros positivos y negativos recodándoles actividades usando los contadores de dos lados (rojos y amarillos) para representar los valores positivos y negativos. Usando dos fichas de colores—una para enteros íntegros y otra para

8

3 5 8


Fuente: http://www.doe.virginia.gov/testing/sol/standards_docs/mathematics/index.shtml 746


positivos íntegros—añada la plantilla de ecuación y demuestre a los estudiantes el proceso de encontrar la suma inversa. Ponga 5 fichas rojas en el lado derecho de la plantilla de ecuación. Pregunte a los estudiantes que debe ser añadido a la izquierda de la plantilla para tener un valor de cero. Explique que las fichas amarillas representan los valores negativos. Ponga las 5 fichas amarillas en el lado izquierdo. Demuestre cómo hacer los pares que den cero, dejando las fichas de cero sobrantes sobre la plantilla. Anote el proceso con la siguiente ecuación: 5 + (–5) = 0. Pida a los estudiantes que creen un ejemplo para encontrar la suma inversa, usando los contadores bicolores y anotando los resultados.

3. Para demostrar la suma inversa, pida a los estudiantes que hagan una lluvia de ideas sobre qué números serían usados como factores con otros números para tener un producto de 1. Pida a los

estudiantes que determinen con algunos ejemplos (4 ? = 1, 1/3 ? = 1). Haga que los estudiantes generen ideas sobre cómo encontrar la multiplicación inversa de un número. Explique que a este número se le conoce como el recíproco de un número.

4. Pida a los estudiantes que describan las semejanzas y diferencias entre las propiedades inversas para la suma y la multiplicación.

5. Para la propiedad multiplicativa del cero, explique a los estudiantes que esta propiedad es muy simple; cualquier número multiplicado por cero dará a cero. Recuerde a los estudiantes que dividir por cero no es una operación aritmética posible.

Ejemplo de avalúo Provea ecuaciones reales que sean ejemplos de todas las propiedades y pida a los estudiantes que

pareen las ecuaciones con sus propiedades. Haga que los estudiantes exhiban propiedades al escribir un “Poema de propiedades” o creando una

presentación de diapositivas para presentar a la clase. Pida a los estudiantes que creen una tabla plegable de las propiedades usando tres hojas de papel.

Cada página debe contener una definición, imágenes de objetos que ilustren la propiedad y un ejemplo así como un no-ejemplo.

Pida a los estudiantes que jueguen las “Cuatro esquinas” con una propiedad puesta en cada esquina de la habitación. Según sea revelada una ecuación sobre el proyector, los estudiantes caminan a la esquina que tenga la propiedad correcta.


Fuente: http://www.mathgoodies.com/lessons/vol5/challenge_vol5.html 747


Prueba corta 1. El Monte Everest, la elevación más alta en Asia alcanza los 29,028 pies sobre el nivel del mar.

El Mar Muerto, el lugar más bajo de la tierra, está 1,312 pies bajo el nivel del mar. ¿Cuál es la diferencia entre estas dos elevaciones?

2. En Búfalo, Nueva York, la temperatura fue de -14°F en la mañana. Si la temperatura bajó 7°F, ¿cuál es la temperatura ahora?

3. Un submarino está situado 800 bajo el nivel del mar. Si asciende 250 pies, ¿cuál es su nueva posición?

4. Magdalena le debe $35 a la tienda de dulces. Cinco amigos van a ayudarla a pagar su deuda. ¿Cuánto va a pagar cada amigo?

5. La civilización romana comenzó en 509 a.C. y terminó en 476 d.C. ¿Cuánto duró la civilización

romana? 6. Lila compró cuatro pares de pantalones azules a $32 cada uno. ¿Cuánto dinero Lila le pagó al

empleado?

7. Un submarino estaba situado 450 pies debajo del nivel del mar. Si asciende 300 pies, ¿cuál es la nueva posición?

8. En el desierto de Sahara un día estaba a 136°F. En el desierto de Gobi, se reportó una

temperatura de -50°F. ¿Cuál es la diferencia entre estas dos temperaturas? 9. Las Guerras Púnicas comenzaron en el 264 a.C. y terminaron en el 146 d.C. ¿Cuánto duraron

las Guerras Púnicas?

10. El metal mercurio es líquido a la temperatura ambiente. Su punto de fusión es -39°C. El punto de congelación del alcohol es -114°C. ¿Cuánto más caliente es el punto de fusión del mercurio que el punto de congelación del alcohol?


748

7.1 Tarea de desempeño Las rocas al otro lado del río

Las rocas al otro lado del río Necesitarás los siguientes materiales

18 “rocas” numeradas del -9 al +9 (excluyendo el cero)

Tarjetas de archivero numeradas -18, -16,-14,-12,-10,-7,-6,-5,-4,-3,-1,1,4,5,7,8,10,12,14,-8,3,-2,6,16

Papel

Lápices

Un pedazo de tela que simule un río o una línea de comienzo y final

Una hoja de la tarea de desempeño para cada estudiante 1. Trabaja con un compañero o grupo pequeño para jugar “Las rocas al otro lado del río”. (¡Lo que no

ganen serán alimento para los cocodrilos!)

2. Objetivo del juego: Seleccione al menos seis rocas que sumen la cantidad escogida.

a. Escoge una carta que determine el valor de la suma de las rocas. b. Escoge una roca numerada entre -9 y 9 (excluyendo el 0) que esté en el “río”. c. Continúe escogiendo rocas, poniendo una a la vez hasta que sume la cantidad deseada usando

al menos seis rocas y entonces cruza el río. Recuerda ser creativo (Seis es el mínimo) d. Escoge una tarea de desempeño al otro lado del río y anota tus resultados. e. Regresa las rocas a su orilla original. f. Todos en el grupo deben repetir el ejercicio usando la suma original, pero diferentes soluciones. g. Si el tiempo lo permite, escoge otra carta y repite el juego.


3


TAREA DE DESEMPEÑO Nombre Rocas escogidas Suma

Rúbrica

1 punto por cada respuesta correcta 0 puntos por cada respuesta incorrecta


Fuente: http://www.nsa.gov/academia/_files/collected_learning/middle_school/pre-algebra/sum_of_integer.pdf 3


HOJA DE TRABAJO 1-PATRÓN DE ROCAS Nota para el maestro: Necesitarás los siguientes materiales:

18 “rocas” numeradas del -9 al +9 (excluyendo el cero)

Tarjetas de archivero numeradas -18, -16,-14,-12,-10,-7,-6,-5,-4,-3,-1,1,4,5,7,8,10,12,14,-8,3,-2,6,16

Papel

Lápices

Un pedazo de tela que simule un río o una línea de comienzo y final

Una hoja de la tarea de desempeño para cada estudiante


751

7.2 Lección de práctica Exponente negativo o cero

Exponente negativo o cero

¿Por qué 20 = 1? ¿Y qué significa un exponente negativo? Presente varias listas de este tipo a los estudiantes y pídales que encuentren el patrón en éstas:

25 = 32

24 = 16

23 =

22 =

21 =

20 =

35 = 243

34 = 81

33 =

32 =

31 =

30 =

105 = 100,000

104 = 10,000

103 =

102 =

101 =

100 =

El patrón es que en cada paso se divide entre los mismos números, ya sea 2, 3 o 10. Esto automáticamente lleva a que 20 = 1, 30 = 1, y 100 = 1. Podemos hacer el mismo proceso para otros números también y trabajaría de la misma manera. Para al menos todos los números enteros positivos a es cierto que a0 = 1 Puede intentar averiguar si lo mismo funciona para los números negativos (de base negativa) ¡y sí funciona! Divida por cada número negativo en cada uno de los siguientes pasos (aquí por negativo 2):

(-2)5 = -32 (-2)4 = 16

(-2)3 = -8 (-2)2 = 4

(-2)1 = -2

(-2)0 = 1

Luego, si continúa con el mismo patrón entrará en los exponentes negativos. Copie la siguiente tabla sin las respuestas y pida al estudiante que la complete. Cuando haya terminado, pregúntele si nota algún patrón.

En cada paso divida entre 2 23 = 8

22 = 4

21 = 2

20 = 1 2-1 = 1/2

2-2 = 1/4 2-3 = 1/8


32 = 9

31 = 3

30 = 1 3-1 = 1/3

3-2 = 1/9 3-3 = 1/27


102 = 100

101 = 10

100 = 1 10-1 = 1/10

10-2 = 1/100 10-3 = 1/1000


752 Fuente: http://www.homeschoolmath.net/teaching/negative_zero_exponents.php

7.2 Lección de práctica Exponente negativo o cero

Después de haber observado los patrones juntos, pida al estudiante que continúe las tablas en ambas direcciones. También pídale que haga una tabla con el número 4 y con -2. Luego, mire las columnas con un poco más de detenimiento: .

En cada paso divida entre 2 23 = 8 22 = 4 21 = 2 20 = 1 2-1 = 1/2 2-2 = 1/4 = 1/22 2-3 = 1/8 = 1/23

En cada paso divida entre 3 33 = 27 32 = 9 31 = 3 30 = 1 3-1 = 1/3 3-2 = 1/9 = 1/32 3-3 = 1/27 = 1/33

Basándose en este observación, pregúntele al estudiante, ¿qué sobre 2-5 ? La respuesta que queremos es que 2-5 = 1/25. De manera similar, 4-7 = 1/47. Esta observación se usa usualmente como la definición de los exponentes negativos, ¡y ahora sabe de dónde viene! En otras palabras, la definición típica dice que se tome el recíproco del número base y que se agrande a la potencia positiva correspondiente. ¿Qué sucede si la base es negativa? ¿Cómo harías (-3)-2? Siga el mismo principio de abajo. Divida entre -3 en cada etapa. Se alterna el signo de las respuestas.

(-3)3 = -27 (-3)2 = 9 (-3)1 = -3 (-3)0 = 1 (-3)-1= -1/3 (-3)-2 = 1/9 (-3)-3 = -1/27 (-3)-4 = 1/81

O puede usar esta definición: (-3)-2 = 1/(-3)2 = 1/9 (-3)-3 = 1/(-3)3 = 1/(-27) = -1/27 etc.


753

7.2 Lección de práctica Perfectamente cuadrado

Perfectamente cuadrado Materiales que se necesitan Papel cuadriculado (10 cm.-por-10 cm.) Tijeras Actividad instructiva 1. Pida a los estudiantes que corten el papel cuadriculado en cien cuadrados. (Esto puede hacerse

antes de la actividad para ahorrar tiempo). 2. Pida a los estudiantes que usen la menor cantidad de piezas de papel para hacer un cuadrado.

3. Haga a los estudiantes modelar los siguientes tres cuadrados.

4. Discuta las dimensiones de cada cuadrado y el número de piezas usadas en cada modelo. La

definición de un cuadrado perfecto puede discutirse también a la misma vez. Por ejemplo, 9 es un

cuadrado perfecto porque 9 piezas hacen un cuadrado perfecto de 3 por 3, o 3 3 = 9. 5. Pida a los estudiantes que continúen modelando cuadrados perfectos hasta que descubran todos los

que hay hasta el 100. Anote las respuestas de los estudiantes en la pizarra usando la siguiente tabla:

Dimensiones de un cuadrado Número de pedazos cuadrados usados

1 – por – 1 1 2 – por – 2 4 3 – por –3 9 4 – por –4 16 5 – por –5 25

6. Discuta la definición de una raíz cuadrada usando un modelo de un cuadrado perfecto. Por ejemplo,

la raíz cuadrada de 25 puede encontrarse al hacer un cuadrado con 25 pedazos. La longitud de un lado del cuadrado, 5, es la raíz cuadrada de 25.


754


7. Haga que los estudiantes encuentren los números usando piezas cuadradas. (Ejemplo: Encuentra la raíz cuadrada de 1, 4 y 36).

1 1 2

1 = 1 2 6

4 =2 6

36 = 6

8. Pida a los estudiantes que traten de encontrar la raíz cuadrada de 6 usando piezas cuadradas. Una

vez que ellos hayan descubierto que no pueden, hágalos encontrar los dos cuadrados perfectos más cercanos a 6.

Ya que 4 = 2 y 9 = 3, la 6 debe estar entre 2 y 3.

9. Pida a los estudiantes que encuentren los dos números enteros consecutivos entre los que reside la

raíz cuadrada de los siguientes números: 7, 10 y 18.

7 se encuentra entre 2 y 3.



Evidencia de avalúo Circule por el salón de clases mientras los estudiantes modelan los cuadrados perfectos. Pida

voluntarios que dibujen imágenes para modelar en la pizarra los hallazgos de cuadrados perfectos hasta el 100.




Seguimiento/extensión Para estimar la raíz cuadrada de números que no son cuadrados perfectos, modele lo siguiente:

Encuentre dos enteros entre los cuales se encuentra 6 . Use piezas de cuadrados para

modelar los cuadrados perfectos de estos enteros.

2 3 2 3

Sólo cuatro pedazos se necesitan para modelar el cuadrado de 2 por 2, y 9 piezas para

modelar el cuadrado de 3 por 3. Cuando usen seis piezas para encontrar 6 , se puede

hacer el cuadrado de 2 por 2, pero sobrarán dos piezas.

Ya que se necesitan cinco piezas más para hacer el cuadrado de 3 por 3, 6 es

aproximadamente 5

22. El número entero, 2, viene del tamaño del cuadrado perfecto menor

de 6, y 5

2 es la razón de lo que sobra de las piezas del cuadrado para el número de piezas

cuadradas que se necesitan para hacer el siguiente cuadrado perfecto mayor de 6. Usa una

calculadora para encontrar 6 ≈ 2.449… y muéstrales a los estudiantes cuán cerca está el

estimado a la medida real.


756

7.2 Tarea de desempeño

Potencias de tres


757


Potencias de tres

Rúbrica

Nivel Comprensión Estrategias, razonamiento y

procedimientos Comunicación

Principiante

No se ofrece una solución o la solución no guarda relación con la tarea.

Se aplican los conceptos o los procedimientos inadecuados.

La solución no atiende ninguno de los componentes presentados en la tarea.

No hay evidencia de una estrategia o un proceso, o se utiliza una estrategia que no ayuda a resolver el problema.

No hay evidencia de razonamiento matemático.

Hay tantos errores en los procedimientos matemáticos que el problema no se puede resolver.

No se explica la solución, la explicación no se puede entender o no se relaciona con el problema.

No se hace uso o se hace uso inapropiado de las representaciones matemáticas (ej. figuras, diagramas, gráficas, tablas, etc.)

Aprendiz

La solución está incompleta, lo cual indica que no se entendieron algunas partes del problema.

La solución atiende algunos, pero no todos los componentes matemáticos presentados en la tarea.

Utiliza una estrategia que es meridianamente útil para comenzar a solucionar el problema, pero no para resolverlo totalmente.

Hay alguna evidencia de razonamiento matemático.

No logra llevar a cabo los procedimientos matemáticos completamente.

Algunas partes pudieran estar correctas, pero no logra obtener la contestación correcta.

No se utilizan o se utilizan inapropiadamente, la terminología matemática y la notación.

La explicación es incompleta o no es clara.

Se usa alguna representación matemática apropiada.

Practicante

La solución demuestra que el estudiante entiende a cabalidad el problema y los conceptos principales necesarios en su solución.

La solución atiende todos los componentes matemáticos presentados en la tarea.

Usa una estrategia dirigida a solucionar el problema.

Utiliza un razonamiento matemático efectivo.

Usa procedimientos matemáticos.

Todas las partes son correctas y se obtiene una solución correcta.

Se usan algunos términos y notación apropiados para el problema.

Hay una explicación clara.

Se utiliza apropiadamente una representación matemática precisa.

Se hace un uso efectivo de la terminología y la representación matemáticas.


758 Fuente: http://www.rda.aps.edu/mathtaskbank/fi_html/nsotasks.htm


Potencias de tres

Experto

La solución demuestra una profunda comprensión del problema incluyendo la habilidad para identificar el concepto matemático apropiado y la información necesaria para solucionarlo.

La solución atiende completamente todos los componentes matemáticos presentados en la tarea.

La solución emplea los conceptos matemáticos subyacentes en el diseño de la tarea.

Utiliza una estrategia eficiente y sofisticada que deriva directamente en una solución.

Emplea un razonamiento refinado y complejo.

Aplica los procedimientos puntualmente para solucionar el problema y verifica los resultados.

Verifica la solución y/o evalúa la viabilidad de la misma.

Hace observaciones y/o conexiones matemáticas relevantes.

La explicación detalla de forma clara y efectiva cómo el problema se resuelve. Se incluyen todos los pasos para que el lector no necesite inferir cómo y porqué se tomaron esas decisiones.

Se usa la representación matemática activamente como un medio para comunicar las ideas relacionadas con la solución del problema,

Se utilizan la terminología y la notación de manera precisa y adecuada.


759

7.3 Lección de práctica Figuras semejantes y proporciones

Figuras semejantes y proporciones Materiales que se necesitan Papel para anotar la altura y la longitud de la sombras Papel cuadriculado Cinta de medir

Actividad instructiva 1. Como preparación a esta actividad, encuentre de 8 a 10 objetos afuera de la escuela que los

estudiantes puedan medir fácilmente. 2. Haga que los estudiantes trabajen en grupos para determinar la altura de cada objeto y la longitud

para cada sombra correspondiente. Asegúrese de que determine unidades de medida antes de comenzar. Puede pedirle a cada grupo un objeto y luego haga que cada grupo comparta los datos en el salón de clases. Antes de que los estudiantes comiencen a medir, fije un estándar sobre cómo debe medirse cada objeto para asegurar la uniformidad.

3. Tenga un objeto, como un asta, un aro de baloncesto o un árbol, que sólo puedan ser medidos a través de su sombra.

4. Haga que los estudiantes llenen la tabla en clase. 5. Discuta las siguientes preguntas

¿Qué patrones ves en las razones formados por cada altura y su sombra? ¿Qué pasaría si hacemos esta actividad en algún momento diferente del día? ¿Aparecerá el

mismo patrón? ¿Qué pasaría si hiciéramos esta actividad en un momento diferente del año? ¿Aparecería el

mismo patrón? 6. Pida a los estudiantes que hagan una gráfica con la longitud en el eje de x y la altura

correspondiente del objeto en el eje de y. 7. Pregunte a los estudiantes, ¿qué notan sobre estos puntos? 8. Discuta las siguientes preguntas

¿Cuál es la relación entre la razón promedio y la gráfica? ¿Cómo puedes usar la gráfica para encontrar la altura de un objeto desconocido si sabes la

longitud de su sombra? ¿Funcionará este método no importa cuándo mides la longitud de la sombra?

9. Complete esta actividad usando la razón promedio y la gráfica para determinar la longitud de un objeto alto.



7.3 Lección de práctica Figuras semejantes y proporciones

Hoja de anotaciones de las proporciones prácticas

Objeto Altura Altura de la sombra Razón Altura/Sombra ________________ ________ _________ ______________ ________________ ________ _________ ______________ ________________ ________ _________ ______________ ________________ ________ _________ ______________ ________________ ________ _________ ______________ ________________ ________ _________ ______________ ________________ ________ _________ ______________ ________________ ________ _________ ______________ ________________ ________ _________ ______________ ________________ ________ _________ ______________ ________________ ________ _________ ______________ Calcula la razón promedio: ______________ Objetos muy altos: Longitud de la sombra: ______________________


761

7.3 Lección de práctica Proporciones y porcentajes

Proporciones y porcentajes Materiales que se necesitan Ofertas en periódicos Calculadoras (opcional) Escaleras Pega Papel

Actividad instructiva 1. Pida a los estudiantes que encuentren el descuento de un artículo multiplicando el costo original por

la tasa (por ciento de descuento). 2. Pida a los estudiantes que encuentren el precio de venta al restar el descuento del precio original. 3. Pida a los estudiantes que encuentren el por ciento descontado, dado el original y el precio de

venta.

ChangeOriginal =

r100

4. Pida a los estudiantes que trabajen en parejas y que miren las ofertas a través de los anuncios de 10 cosas diferentes que ellos comprarían. Asegúrese de que el precio de venta o el precio original esté en el anuncio. Pida a los estudiantes que corten el anuncio y que lo peguen a la hoja de anotaciones.

5. Pida a los estudiantes que llenen la hoja de anotaciones con la información recolectada hasta el momento.

6. Dé a los estudiantes 10 cupones de descuento diferentes, déjelos determinar con qué objetos usarán cada descuento y pídales que pongan ese descuento en la hoja de anotaciones. Pida a los estudiantes que encuentren los precios que falten (ya sea el original o la oferta). Una tarea podría ser calcular cómo ahorrar más dinero, dando 10 objetos y 10 cupones de descuento diferentes.

7. Pida a los estudiantes que determinen el precio original o el de oferta con la información ofrecida. 8. Pida a los estudiantes que encuentren un objeto que contenga un precio original y el precio de

venta, pero que no describa el descuento obtenido. Pida a los estudiantes que usen la misma proporción para determinar el cambio del por ciento. Pida a los estudiantes que escriban una oración describiendo lo que hicieron para encontrar el cambio de por ciento.

9. Pida a los estudiantes que tomen turnos dentro de los pasos a seguir para que pueda determinar su nivel de comprensión.

Ejemplo de avalúo Use la actividad como avalúo. Como tarea, pida a los estudiantes que repitan la actividad por su cuenta con diferentes objetos y

diferentes por cientos de descuento. Por ejemplo, hágalos comprar cinco regalos para su familia, dándoles un presupuesto, 5 cupones de descuento distintos y la estipulación de que añadan 5% de impuesto. Hágalos que muestren estos datos en una tabla o una hoja de anotaciones.

Haga las siguientes preguntas a manera de resumen: ¿Cuánto dinero economizaste con los descuentos? Describe la estrategia con la que ahorraste más dinero. Pídales a los estudiantes que expliquen cómo calcularon los impuestos de venta de los cinco regalos.

Cambio

Original



7.3 Lección de práctica Proporciones y porcentajes

Hoja de anotaciones de “Proporciones y por cientos”

Imagen del artículo

Precio original

Precio nuevo

Cambio de precio

Por ciento de descuento

Trabajo


763

7.3 Lección de práctica Razón y proporciones

Razón y proporciones Materiales que se necesitan Libros/revistas Reglas/metros Papel de construcción Tijeras Mapas de Puerto Rico Cordón Papel cuadriculado

Actividad instructiva

Actividad A 1. Pida a los estudiantes que lean en voz alta a un compañero durante dos minutos. 2. Después de los dos minutos, pídales que cuenten la cantidad de palabras que leyeron. 3. Pida a los estudiantes que lo escriben como razón del número de palabras por el tiempo. 4. Deje a los compañeros que pasen por los pasos 1-3. 5. A razón de palabras en dos minutos, encuentre cuántas palabras pueden ser leídas en 60 minutos y

cuántos minutos tomaría leer 200 palabras. Actividad B 1. Pida a las parejas que hagan figuras semejantes entre sí. 2. Pida a cada estudiante que mida la longitud de los lados. 3. Fije una proporción para dilucidar si las figuras son realmente similares.

4. Pida a los estudiantes que repitan el proceso, sin medir esta vez. Pida a los estudiantes que fijen las

proporciones para resolver la longitud desconocida. Actividad C 1. Pida a los estudiantes que en parejas midan la estatura de su compañera o compañero. 2. Pida a los estudiantes que salgan y midan la longitud de sus sombras. Pídales que escriban la razón

de altura para la longitud de la sombra. 3. Pida a los estudiantes que encuentren un objeto como un árbol, arbusto o canasto de baloncesto

para medir la longitud de la sombra. Pídales que fijen una proporción para encontrar la altura del objeto.

Actividad D 1. Usando mapas, pídales a los estudiantes que encuentren la escala para el mapa. 2. Pídales a los estudiantes que planeen un viaje en Puerto Rico de una ciudad a otra. 3. Hágalos medir la distancia del punto de origen al de destino. El usar un cordón para ponerlo sobre

las autopistas/caminos les ayudará a medir correctamente. Luego, pida a los estudiantes que midan la longitud del cordón para establecer la proporción.

4. Para ampliar esta actividad: Pídales a los estudiantes que calculen la duración del viaje. Por ejemplo, a 60 mph, ¿cuánto le tomará al estudiante viajar a una ciudad determinada? Hágalos usar conversiones para calcular las horas, días y semanas. Pida a los estudiantes que estimen el costo de la comida, gasolina y hospedaje para llegar al destino. Los estudiantes pueden desplegar estos datos usando una hoja de cálculos. Use la hoja de cálculos para predecir los tiempos de viaje a una velocidad distinta y registrar el costo para destinos distintos.



7.3 Lección de práctica Razón y proporciones

Actividad E 1. Dibujos a escala: Esta actividad depende de la distribución de su salón de clases. Pida a los

estudiantes que midan la longitud y el ancho del pasillo donde se encuentra el salón y que anoten los datos.

2. Dé a los estudiantes la escala de 1 a 5 pies. 3. Pídales a los estudiantes que dibujen un modelo a escala del pasillo en el papel cuadriculado. Pídales

que muestren las medidas y proporción usadas para dibujar el modelo. También pueden dibujar un modelo a escala de la cancha de baloncesto.

Evidencia de avalúo Use la exactitud de los dibujos a escalas basándose en la escala dada para evaluar la comprensión de

los estudiantes. Pida a los estudiantes que encuentren ejemplos de proporciones en sus otras clases. Los estudiantes

pueden predecir cuantos vasos de agua necesitan para hervir cantidades de arroz, a razón de una taza de arroz por 1.5 tazas de agua. Hágalos hacer una tabla usando el papel cuadriculado para mostrar los resultados.



7.3 Problemas de práctica

Preguntas de ejemplo para una tarea o prueba corta Cris usó una fotocopiadora para agrandar un dibujo a 150% de su tamaño original. Si el ancho del

dibujo original fue 37 centímetros, ¿cuál es el ancho de la copia del dibujo? E. 37.0 cm F. 55.5 cm G. 92.5 cm H. 150.0 cm

Un diseñador de interiores hizo un modelo a escala de un cuarto. Cada pulgada del modelo representa 12 pies de la habitación. Si el largo de una pared fue 2 ¼ pulgadas en el modelo, ¿cuál es el tamaño real de la pared? E. 8 ¼ pies F. 13 ½ pies G. 16 ½ pies H. 27 pies


766

7.3 Tarea de desempeño Conteo de animales

Conteo de animales Materiales que se necesitan Un frasco pequeño Un frasco grande u otro pote con tapa para cada grupo de estudiantes Suficientes habichuelas blancas para rellenar el frasco de cada grupo 100 habichuelas rojas para cada grupo Vaso de papel o pala pequeña para recoger las habichuelas Una copia de la “Hoja de anotaciones de conteo de animales,” para cada grupo Nota: Dos tipos de (colores) galletas GoldfishTM u otros objetos de tamaño similar que pueda substituirse por habichuelas.

Actividad instructiva 1. Inicio de la actividad: Discuta con la clase: “¿Cómo determinan los oficiales de protección de vida

silvestre? ¿Cuántos manatíes hay en las costas de Puerto Rico? ¿Cómo deciden los ambientalistas si una especie está o no en peligro de extinción?” Las respuestas pueden variar. Discuta qué métodos científicos son certeros a la hora de contar la vida salvaje.

2. Demuestre el experimento usando un frasco pequeño que contienen tres cuartos de habichuelas blancas. Remueva 10 habichuelas y sustitúyalas con habichuelas rojas. Cubra el frasco, muévalo y remueva un puñado de habichuelas como muestra.

3. Pida a los estudiantes que cuenten el número de habichuelas rojas y blancas en cada muestra. ¿Cómo pueden establecer una razón legítima usando estos números?

Razón = number of red beans in sample

total number of beans in sample___

Asegúrese de que a estas alturas los estudiantes sepan a) el número total de habichuelas rojas en todo el frasco y b) el número de habichuelas rojas en la muestra. Pida a los estudiantes que usen lo que saben sobre comparaciones con razones para estimar el número total de habichuelas en el frasco. Anote sus proporciones y estimados. Los estudiantes deben ser capaces de anotar una proporción que muestre el número total en cuatro intentos de muestras relacionados al número total de todas las habichuelas sorteadas en las cuatro muestras. Esta razón es igual a la razón del número total de habichuelas rojas (100) para toda la población en el frasco, que es el número pensado como x.

Proporción: = total number of red beans (100)

total population (x)

número de habichuelas rojas en la muestra

número total de habichuelas en la muestra

número total de habichuelas rojas (100)

población total (x)



7.3 Tarea de desempeño Conteo de animales

4. Pídale a un grupo que cuente el número de habichuelas en el frasco para ver cuán cerca

estuvieron los estimados del número real de habichuelas. 5. Discuta con los estudiantes que la metodología mostrada por el experimento modela lo que

realmente pasa cuando el método de captura-marca-recaptura es usado para estimar el número de venados en grandes áreas. Algunos factores que deben considerarse es marcar venados de diferentes lugares en la zona bajo estudio, tomar una vasta muestra para marcar, permitiéndoles a los animales que se mezclen lo suficiente con la población y tomar las muestras finales de distintos lugares del área.

6. Actividad de simulación: Provea un frasco con tapa a cada grupo de tres o cuatro estudiantes, una cantidad grande de habichuelas blancas y una “Hoja de anotaciones de conteo de animales” Modele la primera prueba del experimento de la población de venados, verificando que sepan como anotar los resultados.

7. Pregunte al primer grupo, “¿Cómo están mezclando las habichuelas? ¿Cómo están anotando lo que saben? ¿Cómo puede afectar el estimado el número de muestras que toman?”

8. Pida a cada grupo que remueva 100 habichuelas blancas del frasco y que las dejen a un lado. 9. Hágalos poner 100 habichuelas rojas representando los venados marcados en el frasco para

remplazar las blancas que fueron removidas. 10. Hágalos mover el frasco para mezclar las habichuelas y luego extraigan un puñado de habichuelas

sin mirarlas. 11. Hágalos anotar en la hoja de anotaciones el número de habichuelas rojas y el número total de

habichuelas en la muestra. 12. Hágalos repetir el procedimiento tres veces más. En cada caso, hágalos anotar en la hoja el

número de habichuelas rojas y el número total de habichuelas de la muestra. 13. Actividad de cierre: Pídales a los grupos que estudien los datos para estimar el número de

habichuelas en cada frasco. Pídale a cada grupo que reporte, explique y diga cómo hicieron su estimado, y los cálculos que hicieron. Las proporciones deben usar el razonamiento sobre los venados marcados y la población total según la muestra (ver el inicio de la actividad, pasos #3 y 4).

Ejemplo de avalúo Según trabajen los grupos, circule en el salón de clases para verificar que los estudiantes anoten

correctamente toda la información que necesitan y para evaluar su comprensión de las razones. Según reporten los grupos, verifique que sus proporciones hacen sentido matemáticamente. Los estudiantes deben ser capaces de articular sus respuestas y cómo ellos relacionan la proporcionalidad del método de la captura-marca-recaptura.


768 Fuente: http://www.rda.aps.edu/mathtaskbank/pdfs/tareas/t7AnimalOlympics.pdf

7.3 Tarea de desempeño Olimpiadas de animales


769

7.4 Actividad de aprendizaje Problemas encubiertos

Problemas encubiertos Materiales que se necesitan Hojas de trabajo “Problemas encubiertos” para cada estudiante

Actividad instructiva 1. Trabaje las ecuaciones mientras dirige a los estudiantes en resolver la ecuación para x. 2. Son muy importantes las conversaciones sobre cómo los estudiantes saben sus respuestas y qué

operaciones ellos llevan a cabo para llegar a ellas. Pídales a los estudiantes que usen números reales e igualdad para justificar los pasos en la solución de las ecuaciones.

3. Identifique y discuta las operaciones inversas.




Problemas encubiertos Ecuación 1: ¿Cuál es el valor “debajo de la mano”?

= 12 Ahora, ¿cuál es el valor “debajo de la mano”?

4 * = 12 Ecuación 2: ¿Cuál es el valor “debajo de la mano”?


+ 7 = 43 Ecuación 3: ¿Cuál es el valor “debajo de la mano”?


– 11 = 15 Ecuación 4: ¿Cuál es el valor “debajo de la mano”?


5 = 10

Ecuación 5: ¿Cuál es el valor “debajo de la mano”?


+ 8 = 12 Ahora, ¿cuál es el valor “debajo de la mano”?

4 * + 8 = 12 Ecuación 6: ¿Cuál es el valor “debajo de la mano”?


– 1 = 4 Ahora, ¿cuál es el valor “debajo de la mano”?

5 – 1 = 4

Ecuación 7: ¿Cuál es el valor “debajo de la mano”?

+ 7 = 13 Ahora, ¿cuál es el valor “debajo de la mano”?

3 + 7 = 13

Ahora, ¿cuál es el valor “debajo de la mano”?

2 * 3 + 7 = 13

x + 7 = 43

x – 11 = 15

x5 = 10

4 * x + 8 = 12

4 * x = 12

x5 – 1 = 4

2 * x3 + 7 = 13




La caracola Saly Actividad instructiva

Problema de viaje en un promedio constante La caracola Saly se desplaza a un promedio de 5 pulgadas por minuto. Ella deja su casa a las 3:00 p.m. yendo a lo largo de una línea recta. 1. (a) ¿Cuán lejos está de su casa a las 3:01? (b) ¿Cuán lejos está de su casa a las 3:04? 2. (a) ¿A qué hora estará a 30 pulgadas de su casa? (b) ¿A qué hora estará a 32 pulgadas de su casa? 3. (a) A las 3:00 Sabemos que está en su casa. ¿Cuánto le tomará moverse 15 pulgadas de su casa?

(b) A las 3:15 Saly pasa la casa de su amiga Tily. ¿Cuánto le tomará moverse 15 pulgadas desde casa de Tily?

(c) Dibuja una gráfica que muestre la distancia que Saly transitó de su casa por cada minuto entre las 3:00 y las 3:15.

4. Contesta el siguiente cierto o falso y justifica tus respuestas. (a) Cuando Saly deja su casa, le toma tres minutos moverse 15 pulgadas. Cuando pasa la casa

de Tily, le toma 3 minutos moverse 15 pulgadas. (b) Saly se tarda dos veces más en moverse 20 pulgadas que en moverse 10 pulgadas. (c) Saly se tarda dos veces más en moverse 300 pulgadas que en moverse 150 pulgadas.

(d) Saly se tarda tres veces más en moverse 20 pulgadas que en moverse 623 pulgadas.

(e) Saly llegará tres veces más lejos en 24 minutos que en 8 minutos. 5. De acuerdo con la breve historia.

(a) ¿Se cansa Tily de arrastrarse? (b) ¿Baja la velocidad en algún momento? (c) ¿Se detiene?

Tarea 1. ¿Cuál de los problemas, 1a–6c, no puede ser contestado si Saly cambia de velocidad durante su

excursión?


772

7.4 Lección de práctica Pendientes resbalosas

Pendientes resbalosas

Materiales que se necesitan Bloques de construcción de juguete


Continuando un patrón 1. Presente a los estudiantes con una secuencia de torres como la mostrada abajo, y pídales que hagan

las siguientes tres torres. 2. Para saber si pueden generalizar esta actividad, pídales que calculen cuántos bloques habría en la

décima torre sin dibujar todas las torres que van entremedio. (Nota: Algunos estudiantes razonarán que porque el número de bloques aumenta a razón de dos y porque 6 torres más son requeridas para llegar a la décima, sólo necesitan añadir 12 al número de bloques en la 4ta torre. Otros estudiantes notarán que el número de bloques en cada torre es uno más que dos veces el número de patrón de la torre)

3. Pregunte a los estudiantes cómo pueden describir el patrón simbólicamente. (Nota: Esta manera de ver las torres no estimula pensar el cambio de una torre a la siguiente. Necesita hacer preguntas que ayuden a los estudiantes a enfocarse en construir la fórmula en base al cambio).

4. Pregunta, “¿Cuántos bloques habrán en la torre 0?” 5. Pregunta, “Si empiezas en la torre 0, ¿cuántos bloques más necesitas para construir la 3ra torre?

(Nota: Esto se enfoca en los grupos adicionales de dos bloques que se necesitan para construir la 3ra torre).

6. Pregunta, “¿Cuántos bloques habrá en la 8va torre?” (Nota: Los estudiantes probablemente sumarán 8 grupos de 2 bloques para el número de la torre 0. Esta pregunta ayuda a que los estudiantes vean el 2 en 2p + 1 como una tasa de cambio.)

7. Presente a los estudiantes con la siguiente secuencia de torres.

3

5

7

9

#1 #2 #3 #4

Patrón numérico


773


8. Haga el mismo set de preguntas que en el primer ejemplo.

Hagan las siguientes tres torres ¿Cuántos bloques hay en la 15ava torre? Dibuja la torre 0. Describe la torre 0. (Nota: Aquí la torre 0 está bajo tierra — ej., dos pisos

están en el sótano) ¿Cuál es la tasa de cambio de torre a torre?

9. Revierte el orden de las torres (ponga la torre de 10 bloques primero, luego la de 7 bloques, y así sucesivamente) ¿Cuál es la tasa de cambio ahora?

10

4

7

1

#1 #2 #3 #4

Patrón numérico

–2 + 3p


774


Actividad instructiva 2

Moviéndonos hacia el plano cartesiano y la ecuación de una línea 1. Porque los estudiantes tienen dificultad dando significado a pares ordenados, capitalícelos en los

modelos de las torres. La torre 1 tiene 12 bloques, la torre 2 tiene 16 bloques, la torre 3 tiene 20 bloques, la torre 4 tiene 24 bloques. Dibujar o construir todas estas torres carece de sentido. Por lo tanto, introduzca la idea de dibujar cada torre como un “palo” con el número de bloques que representa escrito encima.

24 20 16 12 #1 #2 #3 #4 2. Pregunta, “¿cuál es la altura de la décima edificación? 3. Pregunta, “¿cuál es la altura de la 25ava edificación? 4. Pregunta, “¿cuál es la altura de la 0 edificación? 5. Pregunta, “Si sabes el patrón numérico, puedes escribir una fórmula que te dé la altura de cualquier

de las torres o edificaciones? (Nota: Método para resolver problemas: Determina la razón de cambio en las alturas de la torre. Encuentre la altura de la torre 0. Pon estos elementos juntos en una fórmula: altura de la torre 0 + (patrón #) * cambio = número total de bloques en la torre. Esta fórmula, ¿qué es una representación simbólica de la fórmula, incrementa el pensamiento de los estudiantes sobre diferentes representaciones gráficas como torres de bloques, etc.

6. Pida a los estudiantes que contesten las mismas preguntas de secuencia sobre las siguientes torres: 11 8 5

Actividad instructiva 3 Moviéndose hacia una tasa de cambio

1. Ahora vayan a tareas en que los estudiantes no pueden encontrar la tasa de cambio comparando las alturas de torres consecutivas. Por ejemplo: 45

35 #4 #8 2. Pregunta, “¿Cuál es la altura de la 5ta torre?” (El cambio en la atura de las torres es 10, y la torre 8

es 4 torres más que la torre 4).




10 ÷ 4 = 2.5 bloques por torre, que es la tasa de cambio.35 + 2.5 = 37.5, que es la altura de la 5ta torre.

3. Pregunta, “¿Cuál es la altura de la duodécima torre?”

Actividad instructiva 4 Interpretando puntos en el plano cartesiano 1. El siguiente paso es interpretar los puntos de la torre. 50 40 30 20 10 0 1 2 3 4 5

En vez de dibujar palitos para representar la altura de la torre, enséñeles a los estudiantes a usar papel cuadriculado para indicar la altura de la torre en el patrón numérico.

2. Pregunte, “¿Cómo puedes descubrir la fórmula que relaciona la altura de la torre al patrón numérico?” (Nota: Los estudiantes pueden usar nuevamente la estrategia de determinar el cambio en la altura de la edificación y después trabajar de nuevo con la altura de la torre 0 repitiendo la suma: Queremos que se muevan más allá de la suma repetida para que aprendan la altura de la torre 0. Dé patrones en los que el método sea muy fácil para que se motiven a ir a una estrategia diferente.

160 (48, 152) 120 (40, 128) 80 40 0 8 16 24 32 40 48

Se dan las alturas de las torres 40ava y 48ava. La tasa de cambio es 3. (152 – 128) ÷ 8 = 24 ÷ 8 = 3.

3. Diles a los estudiantes que para volver a la edificación 0, ¡tendrán que restar tres 40 veces! Es meas fácil restar 3 * 40 o 120. Por lo tanto, 128 – 120 = 8, que es la altura de la edificación 0.

Número de bloques en la torre

Número de torre

Altura de las torres


776

7.4 Tarea de desempeño Lo que cuenta la escala


777 Fuente: http://www.rda.aps.edu/mathtaskbank/fi_html/pfactask.htm


Nivel Comprensión Estrategias, razonamientos

y procedimientos Comunicación

Principiante

1. 2. 3.

1. 2. 3.

1. 2. 3.

Aprendiz

1. 2. 3.

1. 2. 3.

1. 2. 3.

Practicante

Competencia El estudiante entiende que:

Debe determinar el número de balsas que se necesitan para la excursión en balsas.

Necesitan hacer conversiones, usando conceptos algebraicos o fracciones, para determinar cuántos adultos, adolescentes y bebés pueden viajar en las balsas a salvo.

Competencia: El estudiante usa una estrategia útil que lleva a la solución del problema. Resuelve el problema usando conceptos algebraicos o fracciones para determinar las equivalencias de bebés en balsas. (ver “Soluciones” en Instrucciones para maestros) Estrategias de ejemplo: El estudiante convierte toda la información en términos de balsas y pesos de bebés usando razones: 1 balsa=24 bebés; 1 balsa=8 adolescentes; y 1 balsa=4 adultos, de modo que 21/24 (bebés); 5/8=15/24 (adolescentes) + 66/24=1-2/24=4 ¼. 5 balsas son necesitadas para viajar a salvo.

Competencia: El estudiante puede representar su trabajo de una manera clara y organizada y usa términos de decimales/fracciones apropiados y símbolos en sus explicaciones escritas sobre cómo determinar el número de balsas que se necesitan para llevar a 11 adultos, 5 adolescentes y 21 bebés. El estudiante crea un sistema eficiente (tablas, gráficas, imágenes) para explicar su conocimiento de cómo determinar el número de balsas que se necesitan para la excursión.

Experto

1. 2. 3.

1. 2. 3.

1. 2. 3.


778


¿Cuál es tu ángulo?

Materiales necesarios Transportador

Actividad instructiva 1. Repase la medición de ángulos con el transportador. Según los estudiantes vayan midiendo los

ángulos, haga que los denominen usando algunas convenciones. Pídales que identifiquen el tipo de ángulo (agudo, recto, obtuso, reflejo, llano).

2. Permita que los estudiantes trabajen con la hoja de la actividad en parejas. Evalúe la comprensión de los estudiantes mientras camina por el salón y les pregunta acerca de los ángulos. La definición de los ángulos adyacentes pudiera no ser tan elegante como la suya, pero mientras la definición de los estudiantes sea matemáticamente correcta y ellos la puedan justificar, reconózcasela como correcta y aceptable.


779


¿Cuál es tu ángulo? 1 y 4 son ángulos verticales. Mídelos. m1 = _______ m4 = ________

2 y 3 son ángulos verticales. Mídelos. m2 = _______ m<3 = ________ 2 1 4 3 Ángulos 6 y 36 son ángulos verticales. Mídelos

m6 = _______ m36 = ________ Ángulos 21 y 8 son ángulos verticales. Mídelos

m21 = _______ m8 = ________ 8 36 ¿Cuál parece ser la relación entre las medidas de ángulos verticales? ___________________ ¿Puedes identificar los ángulos verticales? Escribe una definición descriptiva de un ángulo vertical. Deja que el maestro lea tu descripción y la comente. Dibuja dos líneas que se intersecan. Identifica un par de ángulos verticales y mídelos. ¿Tu definición “se sostiene”? ____________________ ¿“Se sostiene la relación que encuentras entre las medidas de los ángulos verticales?________________________ Dibuja otro par de líneas que se intersecan e identifica los ángulos verticales y mídelos. Prepárate para justificar tu definición de un ángulo vertical.

1 y 3 son ángulos suplementarios. Mídelos. m1 = _______ m3 = ________

6 21


780


4 y 3 son ángulos suplementarios. Mídelos. m4 = _______ m3 = ________ 2 1 4 3 Ángulos 6 y 21 son ángulos suplementarios. Mídelos

m6 = _______ m21 = ________ Ángulos 36 y 8 son ángulos suplementarios. Mídelos

m36 = _______ m8 = ________ 8 36 ¿Cuál parece ser la relación entre las medidas de ángulos suplementarios? ___________________ ¿Puedes identificar ángulos suplementarios? Escribe una definición descriptiva de ángulo suplementario. Deja que el maestro lea tu descripción y la comente. Dibuja dos líneas que se intersecan. Identifica un par de ángulos suplementarios y mídelos. ¿Tu definición “se sostiene”? ____________________ ¿“Se sostiene” la relación que encuentras entre las medidas de los ángulos suplementarios?________________________ ¿Comparten un vértice los ángulos suplementarios? ___________________ ¿Por qué sí o por qué no?_____________________________________________________________________Dibuja otro par de líneas que se intersecan e identifica los ángulos suplementarios y mídelos. Prepárate para justificar tu definición de un ángulo suplementario.

2 y 3 son ángulos complementarios. Mídelos. m2 = _______ m3 = ________

7 y 8 son ángulos complementarios. Mídelos. m7 = _______ m8 = ________

21 6


781 Source: http://www.doe.virginia.gov/testing/sol/standards_docs/mathematics/index.shtml


3 1 2 5 8 7 ¿Cuál parece ser la relación entre las medidas de ángulos complementarios? ___________________ ¿Puedes identificar ángulos complementarios? Escribe una definición descriptiva de ángulo complementario. Deja que el maestrolea tu descripción y la comente. Dibuja dos líneas que se intersecan. Identifica un par de ángulos complementarios y mídelos. ¿Tu definición “se sostiene”? ____________________ ¿“Se sostiene la relación que encuentras entre las medidas de los ángulos complementarios?________________________ Dibuja otro par de líneas que se intersecan e identifica los ángulos complementarios y mídelos. Prepárate para justificar tu definición de un ángulo complementario. ¿Comparten un vértice los ángulos complementarios? ___________________ ¿Por qué sí o por qué no?_____________________________________________________________________ Dibuja otro par de líneas que se intersecan e identifica los ángulos complementarios y mídelos. Prepárate para justificar tu definición de ángulo complementario.


782

7.5 Lección de práctica El Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras Materiales necesarios “El modelo del Teorema de Pitágoras,” una copia para cada estudiante Tijeras “Los ejercicios del Teorema de Pitágoras,” una copia para cada estudiante

Actividad instructiva 1. Provea una copia de la hoja “El modelo del Teorema de Pitágoras” a cada estudiante. Discuta las

partes del triángulo, incluyendo la hipotenusa y los catetos. 2. Repase el concepto de un triángulo rectángulo y enfatice que los cuadrados de cada lado del

triángulo son los cuadrados perfectos de esos lados. 3. Haga que cada estudiante corte sólo los cuadrados de los catetos del triángulo. Una vez lo hayan

hecho, pida que los coloquen en el cuadrado de la hipotenusa. Todos los cuadrados se llenarán. Discuta las variables del Teorema de Pitágoras en este momento. (a y b son las medidas de los catetos, y c es la medida de la hipotenusa.)

4. Reparta una copia de la hoja “Los ejercicios del Teorema de Pitágoras” para cada estudiante. Haga un par de problemas con los estudiantes. Haga que los estudiantes completen la hoja.

Ejemplo de avalúo Camine entre los estudiantes según vayan recortando los cuadrados y colocándolos en el cuadrado

de la hipotenusa. Coteje las respuestas a los ejercicios en las hojas.

Seguimiento/extensión Haga que los estudiantes creen y resuelvan su propio problema de la vida real que involucre el

Teorema de Pitágoras.


783


El Modelo de Teorema de Pitágoras


784


Ejercicios del Teorema de Pitágoras Encuentre el largo del lado que falta en los siguientes ejemplos. Redondea las respuestas a la decena más cerca, si es necesario: 1. 2. 3. x 5 in. x 5 cm 2 ft x 3 in 12 cm 4 ft 4. 2.4 m x 5.2 m 5. Una escalera de 10 pies está reclinada de un lado de una casa. Si la base de la escalera está a 3

pies de la casa, ¿cuán alto es el lado de la casa a donde llega la escalera? 6. Rebeca dejó su casa y caminó dos bloques hacia el este. Ella regresó caminando 5 bloques por el

norte para pasar por la biblioteca. Si cada bloques está a 4

1 de milla, ¿cuán lejos está la ruta

directa de la casa de Rebeca a la biblioteca?


785

7.5 Lección de práctica Pitágoras de Samos

Pitágoras de Samos Materiales necesarios 11 geoplanos o papeles de puntos “Exploración de triángulos rectos en geoplanos” una copia por cada estudiante

Actividad instructiva 1. Repase con sus estudiantes la definición de un triángulo recto. Repase el vocabulario matemático

asociado con los triángulos rectos (hipotenusa, catetos). 2. Coloque a los estudiantes en grupos de 2 o 3. 3. En un geoplano transparente en el proyector, construya un triángulo recto en el cual un cateto sea

horizontal y el otro vertical. Pida a un participante que construya un cuadrado en cada cateto y entonces en la hipotenusa del triángulo. Solicite a los participantes que encuentren el área de cada cuadrado. Pudiera ser difícil para algunos estudiantes reconocer una manera de encontrar el área de la hipotenusa del cuadrado.

4. Provea a los estudiantes la hoja “Exploración de triángulos rectos en geoplanos,” y pídales que lo complementen con los datos según el maestro resume los ejemplos con toda la clase. ¿Qué patrones puedes ver? ¿Podrías poner la relación en tus propias palabras? ¿En símbolos? ¿Crees que esto ocurre siempre? ¿Si señalaras los lados de un triángulo, podrías escribir un enunciado capaz de demostrar la

veracidad acerca de lo que entiendes? ¿Crees que este procedimiento te da una prueba de que esta relación es veraz, que siempre

resulta igual?



7.5 Lección de práctica Pitágoras de Samos

Exploración de triángulos rectos en geoplano

Longitud lado a

Longitud lado b

Longitud de hipotenusa,

c

Área del cuadrado

en extremo a

Área del cuadrado en extremo b

Área del cuadrado en hipotenusa c

a2 + b2

Area de contenido: Matemáticas



Preguntas de ejemplo para un examen o una prueba corta

Este es el diseño de una tablilla visto de perfil.

1. ¿Cuál de los siguientes se acerca más al largo, en pulgadas del brazo indicado por BC en el

diagrama?

E. 25 pulg. F. 30 pulg. G. 32.5 pulg. H. 35 pulg.

2. ¿Cuál es el largo de BC?

15 pulg.

15 pulg.


788


Área de superficie y volumen


Un cubo mide 5 cm. ¿Cuál es el área superficie y el volumen de esta figura?

¿Cuál sería el área de superficie y el volumen si la altura de la figura cambiara a 15 cm?

Ahora que has terminado tus cálculos, ¿qué notas acerca de lo que pasó?

¿Qué crees que pasaría si la altura cambiara a 25 cm?


789



Un cilindro tiene un diámetro de 8 pies y una altura de 12 pies. ¿Cuál es el área de superficie y el volumen de este cilindro?

Si tú cambiaras el diámetro a 24 pies, ¿qué pasaría con el área de superficie y el volumen?

Ahora que has terminado tus cálculos, ¿qué notas acerca de lo que pasó?

¿Qué piensas que pasaría si el diámetro cambiara a 64 pies?


790



Una pecera rectangular mide 24 pulgadas de largo, 12 pulgadas de altura y 8 pulgadas de ancho.

¿Cuánta agua hará falta para llenar esta pecera?

Según pasa el tiempo, el agua se comienza a evaporar. Después de dos semanas el nivel del agua ha bajado 2 pulgadas. ¿Cuánta agua queda ahora en la pecera?

Soy Samuel. Soy José.

11 pulgadas por 3 pulgadas por 36 pulgadas

11 pulgadas por 8 pulgadas por 24 pulgadas

José y Samuel intercambian regalos (ver arriba). Las dimensiones de las cajas están provistas. ¿Cuánto papel de regalo necesitó cada uno para envolver su regalo?


Fuente: http://tidewaterteam.wm.edu/SOL2010handouts/ret.php?r=15926501 791



Susana fue a una fiesta de chocolate fundido donde todos estaban sumergiendo malvaviscos en chocolate. Los malvaviscos gigantes medían 1.5 pulgadas de diámetro y 2 pulgadas de alto. ¿Cuánto chocolate se necesita para cubrir el malvavisco?

Mary, su mejor amiga, dejó caer su último malvavisco. Susana cortó su malvavisco por la mitad. ¿Cuánto chocolate se necesita para cubrir el malvavisco, ahora más pequeño?

La Sra. Pérez fue de compras. Vio que la sopa tenía descuento. La lata pequeña mide 5 pulgadas de diámetro. El alto es 3 pulgadas. La lata grande mide 5 pulgadas de diámetro y 10 pulgadas de alto. ¿Cuál es la diferencia de la cantidad de sopa que se necesita para llenar cada lata?


792

7.6 Lección de práctica Pirámides, prismas y conos – ¡Cielos!

Pirámides, prismas y conos – ¡Cielos!

Materiales necesarios Tarjetas del “Plan de construcción de la pirámide”, un conjunto por grupo Regla Tijeras Cinta adhesiva Transportados Tarjetas de 5 x 8

Actividad instructiva 1. Prepare un conjunto de tarjetas del “Plan de construcción de la pirámide”, para cada grupo pequeño

de estudiantes. Cada grupo debe tener acceso a las tarjetas de 5 x 8, una regla, tijeras, cinta adhesiva y un transportador.

2. Para jugar, cada jugador recibe una tarjeta del “Plan de construcción de la pirámide”. Cada tarjeta contiene parte de las instrucciones para construir una pirámide. El jugador que tenga la Tarjeta #1 lee las instrucciones y los miembros del grupo trabajan juntos para completar esa parte de la construcción. Entonces el jugador que tiene la Tarjeta #2 la lee y el grupo continúa construyendo su pirámide.

3. Según cada grupo vaya completando su pirámide, haga que los participantes escriban un plan para calcular el área de superficie y el volumen de la pirámide. El maestro debe cotejar el plan. Entonces los estudiantes calcularán el área de superficie y el volumen de la pirámide.

4. ¿Qué sucede si haces cada lado el doble de alto? Explica tu respuesta. Demuestra tus cálculos. 5. ¿Cómo mediste la altura de la pirámide? 6. ¿Cuánto más alto debe ser cada lado para duplicar el volumen? Justifica tu respuesta. Demuestra

tus cálculos.



7.6 Lección de práctica Pirámides, prismas y conos – ¡Cielos!

Plan de construcción de la pirámide

Tarjeta 1: Haz dos triángulos rectángulos isósceles idénticos. Los lados parecidos deben ser de 10 cm de longitud y encontrarse en un ángulo recto. La hipotenusa – el lado largo – de los triángulos debe terminar en 14.1 cm de longitud. A continuación, trabaja con tu grupo para ensamblar las piezas en una pirámide. Entonces, trabaja con tu grupo para determinar su volumen y el área de superficie. Pista: Los dos triángulos deben estar conectados por uno de los lados de 10 cm.

Tarjeta 2: Haz un cuadrado con un lado de 10 cm. Utiliza cartón o una tarjeta grande. Después, con tu grupo, ensambla las piezas en un sólo poliedro. Tendrá cinco caras. Ensambla tu poliedro con cinta adhesiva. O si deseas, puedes hacer tu triángulo con pestañas en los bordes para pegarlas. Entonces trabaja con tu grupo para determinar el volumen y el área de superficie. Cuando termines, trabaja con otros grupos para ver si pueden hacer encajar sus tres pirámides en un cubo.

Tarjeta 3: Haz un triángulo rectángulo. Uno de los lados del ángulo recto será de 10 cm de longitud. El otro será de 14.1 cm de longitud (Mide cuidadosamente, ¡y asegúrate de que el ángulo recto es realmente recto!) La hipotenusa – el lado largo que queda al lado contrario del ángulo recto – será más o menos de 17.3 cm de longitud. A continuación, trabaja con tu grupo para ensamblar las piezas de manera que se forme una pirámide con una base cuadrada. Entonces, trabaja con tu grupo para determinar el volumen y el área de superficie. Tu grupo necesitará reglas, lápices, cinta adhesiva, cartón y tijeras.

Tarjeta 4: Haz un triángulo rectángulo. Uno de los lados del ángulo recto será de 10 cm de longitud. El otro será de 14.1 cm de longitud. (Mide cuidadosamente, ¡y asegúrate de que el ángulo recto es realmente recto!) La hipotenusa – el lado largo que queda al lado contrario del ángulo recto – será más o menos de 17.3 cm de longitud. A continuación, trabaja con tu grupo para ensamblar las piezas en un solo poliedro. La fórmula para el volumen de la pirámide: V = Bh/3, donde B es el área de la base y h es la altura de la pirámide.


794


Preguntas de ejemplo para examen o prueba corta 1. ¿Cuál es el volumen de la pirámide cuadrangular de abajo?

2. Cómo parte de un proyecto de arte, Billy tiene que pintar el área de superficie de una pirámide

cuadrangular. La pirámide tiene las dimensiones que aparecen abajo.

¿Cuál es el área total de superficie de la pirámide?

7 pulg.

9 pulg.




3. ¿Cuál es el área de esta figura?


796

7.6 Tarea de desempeño Los cilindros y el arroz

Los cilindros y el arroz: un problema de volumen Formato: Grupo pequeño o grande Materiales:

4 transparencias

Arroz

Tijeras

Cinta adhesiva

Hoja de instrucciones

Tapa transparente para recoger el arroz Instrucciones: 1. Siga las instrucciones para construir los 3 tubos. 2. Pregunte a los participantes cuál tubo podrá contener la mayor cantidad, o si todos tendrán las

misma capacidad. Los participantes deben pensar su respuesta primero y entonces escribirla. Pueden discutirla con un compañero. El maestro entonces hace una “encuesta” en el salón para recoger las respuestas. Pídale a los estudiantes que justifiquen su razonamiento. Discuta.

3. Permita que los participantes vuelvan a votar (acerca de la opción que escogieron sobre el tubo) después de la discusión grupal.

4. Coloque los tubos un dentro del otro, al alto delgado dentro del mediano y por el estilo. 5. Eche el arroz en el tubo más alto hasta que se llene. 6. Discuta con los participantes qué va a pasar cuando el cilindro alto y delgado se levante y el arroz se

vierta en el próximo tubo (si el próximo tubo tiene menor capacidad que el primero, entonces el arroz se derramará. Si el próximo tubo tiene mayor capacidad que el primero, entonces no se llenará. Si el siguiente tubo tiene la misma capacidad que el primero, entonces el arroz llegará exactamente al borde del tubo.)

7. Levante el tubo alto y delgado para que el arroz se vacíe en el siguiente cilindro. Discuta los resultados.

8. Repita los pasos 6 y 7 para el próximo cilindro pero usando el arroz que se ha caído del cilindro antes.

9. Discusión:

¿Por qué el más pequeño puede contener la mayor cantidad de arroz? ¿Cómo se puede probar esto matemáticamente?

¿Cuáles son las aplicaciones de esto en la vida real?

¿Por qué los graneros son altos y delgados y los tanques de combustible cortos y gruesos?

¿Podríamos esperar un resultado similar si hiciéramos esta actividad con prismas rectangulares?

Tome la 4ta transparencia y sosténgala verticalmente y enróllela hasta formar un tubo según se demostró en el paso 1 de la hoja (pero no la pegue con cinta adhesiva). Entonces desenrolle la transparencia y sosténgala horizontalmente y enróllela hasta formar un tubo. ¿Cuál podrá retener una mayor cantidad de arroz? ¿Cómo lo sabe?


Fuente: http://tidewaterteam.wm.edu/MPDCDocs/ret.php?r=2fd58291 797

7.6 Tarea de desempeño Los cilindros y el arroz

¿Cuál tubo piensas que tiene mayor capacidad (o todos tienen la misma)?

Instrucciones: Construye tres tubos con un papel de tamaño carta (o una transparencia) 1. Mientras sostienes el papel verticalmente, enróllalo a lo largo para formar un tubo largo y delgado. 2. Mientras sostienes el papel verticalmente, córtalo por la mitad horizontalmente (dóblalo a la mitad

y luego córtalo). Ahora tienes dos piezas congruentes. Pega estas piezas para formar el tubo. 3. Mientras sostienes el papel verticalmente, córtalo en dos tercios horizontalmente. Ahora tienes tres

piezas congruentes. Pega las piezas para formar el tubo. Nota: Todos comienzan con la misma área de superficie lateral. El tubo 2 es la mitad de la altura y el doble de la circunferencia del tubo 1. El tubo 3 es un tercio de la altura y tres veces la circunferencia del tubo 1.



7.7 Lección de práctica Hagamos mercadeo con diagramas de

dispersión

Hagamos mercadeo con diagramas de dispersión Materiales necesarios Fotocopias de las encuestas creadas por los estudiantes Papel cuadriculado Transparencias o papel tamaño portafolio

Actividad instructiva 1. Diga a los estudiantes que van a simular que trabajan para una compañía de mercadeo. Sus clientes

son una tienda de animales, una tienda de ropa de moda para hombres y mujeres, un negocio de pérdida de peso y ejercicios, y una juguetería. Los estudiantes deben determinar en cuál estación de radio los clientes deben anunciarse.

2. Haga que los estudiantes diseñen una encuesta para recoger datos de varias estaciones de radio para determinar en cuál estación deben anunciarse sus clientes.

3. Recuerde a los estudiantes que deben recoger alguna clase de información cuantitativa para poder crear el diagrama de dispersión. Discuta con la clase qué dos conjuntos de datos serían más relevantes para determinar la estación en la que se deben anunciar. Lo más probable es que sean la edad y la cantidad de horas de programación por hora al día/semana.

4. Quede con la clase en las preguntas que todos usarán en la encuesta. Especifique la cantidad de estaciones que los estudiantes encuestarán. Proponga una muestra de estaciones y tráigalas a discusión junto con las maneras en las que la encuesta se pudiera sesgar si la muestra no representara la población entera.

5. Haga que los estudiantes encuesten a las estaciones de la muestra escogida. Cuando los estudiantes traigan las encuestas a la clase, fotocópielas y distribúyalas. Agrupe a los estudiantes y provea un grupo de encuestas a cada grupo.

6. Pida a los estudiantes que trabajen juntos para crear una gráfica de dispersión de los datos y para desarrollar una presentación que convenza a su cliente de la estación en la que debe anunciarse. Cuál es la relación entre los dos conjuntos de datos — positiva, negativa, o ninguna. Solicite a los grupos que presenten sus resultados a la clase.

Ejemplo de avalúo La presentación debe incluir el método de organización de los datos, una exposición apropiada, un

resumen que incluya el análisis de los datos que envuelven medidas (tendencia central, rango) e inferencias/ conjeturas/predicciones basadas en los datos.

Seguimiento/extensión Haga que los estudiantes escriban una carta a sus clientes explicando su decisión y el razonamiento

matemático que resultó en esa decisión.



7.7 Lección de práctica La tarea, la televisión y el sueño

La tarea, la televisión y el sueño Actividad de enseñanza Ana preguntó a un grupo de adolescentes cuánto tiempo invierten viendo televisión. Aquí hay una gráfica de dispersión con los resultados.

1. ¿Cuál de los cuatro puntos, A, B, C, o D, representa alguna de las afirmaciones siguientes? Escriba una letra para cada afirmación.

“Vi mucha televisión anoche y también trabajé mucho en las tareas.”

“Pasé la mayor parte de la tarde haciendo las tareas. Sólo vi un programa de televisión.”

“Salí de paseo anoche. No trabajé mucho en las tareas ni vi mucha televisión.” 2. Escriba una afirmación que concuerde con el cuarto punto. 3. ¿Qué te dice la gráfica acerca de la relación entre el tiempo invertido en ver televisión y el tiempo

invertido en hacer la tarea?

Ejemplo de avalúo Ana también dibujó gráficas de dispersión que demostraban lo siguiente:

o Los estudiantes mayores tienden a gastar más tiempo hacienda tarea que los estudiantes más jóvenes.

o No hay relación entre el tiempo que los estudiantes se toman viendo televisión y el tiempo que toman durmiendo.

Demuestre en los ejes de abajo cómo deben haber lucido las gráficas de dispersión de Ana.

Cantidad de horas haciendo la tarea

Cantidad de horas viendo televisión

Cantidad de horas haciendo la tarea

Cantidad de horas de sueño

Edad de los estudiantes (años) Horas viendo televisión


800

7.7 Lección de práctica Obsesión con los datos

Obsesión con los datos Materiales necesarios “Dime cuál es esa gráfica,” una copia para cada estudiante “Relación de la estatura con la edad” diagrama de dispersión Gráfica de la relación de la estatura con la edad El Nuevo Día, Primera Hora, Vocero o cualquier periódico local con gráficas, un periódico por

cada grupo de estudiantes Papel cuadriculado para cada grupo Tijeras y pega

Actividad de enseñanza 1. Utilice la hoja “Dime cuál es esa gráfica,” para repasar rápidamente los tipos de gráficas que

los estudiantes necesitarán usar en esa actividad. Pida a los estudiantes que mencionen brevemente el tipo de gráfica y provean un ejemplo de información que puede ser representada en la gráfica. También se podría usar un ejercicio de pareo como un repaso de los varios tipos de representaciones gráficas.

2. Explique a los estudiantes que estarán repasando una variedad de maneras de desplegar los datos y creando preguntas a partir de los datos para que las contesten sus compañeros. Demuestre el proceso con la gráfica de ejemplo que se incluye en esta lección. Despliegue el diagrama de dispersión “Relación de la altura con la edad.” Pida a los estudiantes que propongan preguntas que pueden ser contestadas con los datos representados en la gráfica. Indique que las respuestas a las preguntas deben: a. Comparar las características de los datos b. Predecir los resultados de circunstancias adicionales a la fecha (ej., gente mayor de 21

será más alta que cuál estatura) c. Inferir información de los datos.

3. Anote las preguntas en un folio para que los estudiantes los utilicen como modelos. Algunas sugerencias de preguntas incluyen: a. ¿Cuáles son las diferencias en estatura entre los estudiantes de 7 años? b. ¿Cuál es la estatura típica de un chico de 12 años? c. ¿Cuál predecirías que habrían de ser las diferencias en estatura (en pulgadas) entre el

chico más alto y el más bajo de cualquier salón de la escuela? d. Si partimos de la estatura de los estudiantes de segundo grado (7 años), ¿qué podrías

inferir acerca de la altura de una fuente de agua en la escuela primaria versus una en la escuela superior?


801

7.7 Lección de práctica Obsesión con los datos

Denomina esa gráfica

1. 2. X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 3. 4. 0 3 3 5 7 8 9 1 0 2 3 5 6 6 8 9 2 0 1 3 3 3 5 5 8 3 0 5

4 5 5. 6. 7.




Obsesionado con los datos

Relación de la estatura con la edad (Gráfica de ejemplo)

75

70

65

60

55

50

45 40

35 30 25 20 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Alt

ura

en

pu

lga

das

Edad en años




Preguntas de ejemplo para examen o una prueba corta

Esta es una lista de la cantidad de millas que conduce cada miembro del comité a la reunión de la Sociedad para el Aire Limpio.

53 57 78 56 72 60 73 94 92 87

1. ¿Cuál diagrama de caja despliega la información correctamente?


804

7.8 Actividad de aprendizaje

Juegos de atributos y diagramas de Venn

Juegos de atributos y Diagramas de Venn Este juego utiliza 6 etiquetas para identificar el tamaño, los colores y las formas. Se juega en un tablero con dos círculos que se intersecan. Estos círculos dividen los artículos en cuatro regiones, cada una con dos elementos dependiendo de los valores escogidos para las etiquetas. Como un preludio al juego, coloque las etiquetas como en el diagrama de ejemplo de la izquierda. Pregunte cómo las piezas de estos artículos deben colocarse. Es probable que haya dudas, pero es posible que haya algunos que las coloquen en las regiones indicadas abajo. Asegúrese de que todo el mundo entiende por qué cada artículo sólo se puede colocar de esta manera.

Pudiera escoger otras dos etiquetas (o tipos diferentes de atributos) y una vez más pregunte cómo se deben colocar las piezas.

Pudiera colocar una pieza y preguntar qué posibilidades podrían considerarse para la etiqueta.

DIAGRAMA DE MUESTRA

Reto: ¿Si cga (el círculo grande azul) va en la región izquierda del círculo izquierdo, qué otro artículo se puede colocar allí sin importar cuál etiqueta tiene? (Ver anejo 1 para un análisis de ejemplo).

Rojo Pequeño


Fuente:http://www.conceptualstudy.org/Elementary%20Math/Attribute%20Games%20and%20Venn%20Diagrams.htm

805


Juegos de atributos y diagramas de Venn

Reglas de juego de atributo: El juego envuelve 2 equipos, con 2 o 4 personas en cada uno. Para comenzar, el equipo 1 señala los diferentes tipos de atributos y los pone bocabajo al lado de los círculos. El equipo 2 escoge cualquier ficha. El equipo 1 pone la ficha en el lugar correcto. El equipo 2 debe poner las fichas sobrantes en las 4 regiones. En cada intento, el equipo 1 debe o verificar la selección o remover la ficha si está en la región incorrecta, y dársela de nuevo al equipo 2. El equipo 1 gana un punto cada vez que devuelva una ficha, de todos modos si devuelven incorrectamente una ficha o la colocan incorrectamente, pierden el juego. El equipo 2 puede tratar de rechazar una ficha en otro lugar o tratar otra. Una vez el equipo 2 ha puesto todas las fichas debe identificar correctamente las señales dándole el menor número posible de puntos al equipo 1. Si señalan correctamente el equipo 1 y el equipo 2 cambian los roles y juegan de nuevo. Si nadie se descalifica gana el equipo con más puntos. Las mismas reglas aplican al juego usando 3 círculos. También puede jugarse con más atributos. Si hay interés, entonces jueguen uno que rete más, usando 3 círculos. Sino, al menos pida a los estudiantes que escojan las etiquetas y coloquen las piezas. Si solo usan atributos de diferentes tipos entonces cada región tendrá solamente una ficha. De todos modos se puede usar un grupo mayor de atributos y más etiquetas. También se pueden usar etiquetas del mismo tipo. Introduzca el término “Diagrama de Venn” y discuta los conceptos de unión e intersección. Ilustre el uso de Diagrama de Venn con la otra situación dada anteriormente.

Rojo

Grande Grande Círculo


806

7.8 Lección de práctica Complemento de un evento

Complemento de un evento

Experimento 1: Una ruleta tiene 4 secciones iguales coloreadas de amarillo, azul, verde y rojo. ¿Cuál es la probabilidad de que la ruleta se detenga en un sector que no sea rojo al girarla?

Espacio muestral: {amarillo, azul, verde, rojo}

Probabilidad: La probabilidad de cada resultado en este experimento es de un cuarto. La probabilidad de que se detenga en una sección que no sea roja es la misma que la probabilidad de que se detenga en todos los demás colores excepto rojo.

P(no rojo) =

1 +

1 +

1 =

3 4 4 4 4

En el Experimento 1, el detenerse en una sección que no sea roja es el complemento de detenerse en una sección que sea roja.

Definición: El complemento de un evento A es el conjunto de resultados en el espacio muestral que no están incluidos en los resultados del evento A. El complemento del evento A se

representa por (se lee A barra).

Regla: Dada la probabilidad de un evento, la probabilidad de su complemento se puede encontrar al restarle la probabilidad dada a 1.

P( ) = 1 - P(A)

Te puedes estar preguntando cómo fue que surgió esta regla. En la lección pasada aprendimos que la suma de las probabilidades de los distintos resultados de un espacio maestral es 1. Por ejemplo, la probabilidad de cada uno de los 4 resultados en el espacio muestral de arriba es un cuarto, lo cual al sumarse totaliza 1. De ahí que la probabilidad de que un resultado no ocurra es exactamente 1 menos la probabilidad de que sí ocurra. Veamos el Experimento 1 de nuevo usando este principio de resta.

Experimento 1: Una ruleta tiene 4 secciones iguales coloreadas de amarillo, azul, verde y rojo. ¿Cuál es la probabilidad de que la ruleta se detenga en un sector que no sea rojo al girarla?

Espacio muestral: {amarillo, azul, verde, rojo}

Probabilidad: P(no rojo) = 1 - P(rojo)

= 1 -

1 4

=

3

4


807


Experimento 2: Una persona escoge al azar una carta de una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que escoja una carta que no sea un rey?

Probabilidad: P(no rey) = 1 - P(rey)

= 1 -

4 52

=

48

52

=

12

13

Experimento 3: Alguien echa a rodar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número que no sea 4?

Probabilidad: P(no 4) = 1 - P(4)

= 1 -

1 6

=

5

6

Experimento 4: Una persona escoge al azar una carta de una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que escoja una carta que no sea un trébol?

Probabilidad: P(no trébol) = 1 - P(trébol)

= 1 -

13 52

=

39

52

=

3

4


808


Experimento 5: Una jarra de cristal contiene 20 canicas rojas. Si se escogiera una canica al azar de la jarra, ¿cuál sería la probabilidad de que no fuera roja?

Probabilidad: P(no roja) = 1 - P(roja)

= 1 - 1

= 0

Nota: Este es un evento imposible.

Resumen: La probabilidad de un evento es la medida de oportunidad de que el evento ocurra como resultado del experimento. La probabilidad del evento A, simbolizado por P(A), es un número entre 0 y 1, inclusivo, que mide la posibilidad de que el evento ocurra de la siguiente manera:

Si P(A) > P(B) entonces es más probable que ocurra el evento A que el evento B. Si P(A) = P(B) entonces los eventos A and B tienen la misma oportunidad de ocurrir. Si el evento A es imposible, entonces P(A) = 0. Si el evento A es cierto, entonces P(A) = 1.

El complemento de A es . P( ) = 1 - P(A)


Fuente: http://www.mathgoodies.com/lessons/vol6/complement.html *Este ítem de prueba no representa la misma estructura de los ítems de las PPAA.

809

7.8 Lección de práctica El complemento de un evento

Ejercicios 1. Una jarra de cristal contiene 5 gomitas rojas, 3 azules y 2 verdes. Si se escoge una gomita al azar de

la jarra, ¿cuál es la probabilidad de que no sea azul?*

A.

B.

C. D. Ninguna de las anteriores.

2. Se escogió un estudiante al azar de una clase de 16 niñas y 14 niños. ¿Cuál es la probabilidad de que

el estudiante no sea una niña?*

A.

B. C. 1 D. Ninguna de las anteriores.

3. Se escogió al azar un número del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que el número escogido no sea

impar?*

A. B. 0 C. Ninguna de las anteriores.

4. Si se encoge un número al azar de la siguiente lista, ¿cuál es la probabilidad de que no sea primo?* 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 A. 1

B. C. 0 D. Ninguna de las anteriores.

5. Si se echa a rodar un dado de 6 lados, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número que no sea 8?*

A. B. 1 C. 0 D. Ninguna de las anteriores.


810


El problema del concurso

Presuma que la presentadora siempre da la opción – !ella no la da solamente cuando el concursante está escogiendo la caja correcta!

Puedes escribir “llaves” o “carro” en el papel pequeño, si quieres — ¡pero hazlo con delicadeza, para que no se claree a través del papel que lo cubre! Otra alternativa es usar tres cartas, dos de una clase (como Ases o comodines) y otro de un tipo diferente para representar la caja ganadora.

El problema del concurso Actividad instructiva 1. La presentadora de un programa de juegos presenta tres cajas a un concursante. “¡En una de estas

cajas está la llave de un nuevo carro! ella le dice. ¿Cuál deseas abrir?” 2. Después de que el concursante toma su decisión, la presentadora abre

una de las otras cajas, la cual sabe que está vacía. “Quedan sólo dos cajas y ya usted dijo cual quiere abrir. ¿Desea cambiar de parecer y abrir la otra?“

3. Suponga que después de haber tomado su decisión – y antes de que la presentadora hubiese abierto una de las cajas - la presentadora le pregunta al concursante si desea cambiar las cajas. ¿Afectaría esto sus probabilidades de ganar? Explique.

4. Ahora considere qué pasa después de que la presentadora enseña la caja vacía. ¿Cuál es tu impulso inmediato – crees que el concursante debe abrir la primera caja que escogió o abrir la otra?

5. Pon a prueba tu impulso haciendo una simulación con tu compañero. Consigue tres pedazos de papel del mismo tamaño más o menos y un cuarto que es mucho menor. El papel pequeño representará las llaves y los otros serán las cajas. Mientras uno de ustedes mira hacia el otro lado (sin trampas) el otro debe esconder el papel pequeño dentro de uno de los grandes. Coloque los otros pedazos fuera para que el que adivina no sepa dónde está el pedazo pequeño. (¡Pero el “presentador” debe asegurarse de recordar dónde lo guardó!) Jueguen el juego varias veces, algunas veces cambiando el sitio y a veces no. Cada vez, anoten si el que adivina cambia o no y también si el que adivina gana. Después de una cantidad de juegos, cambien los roles para que cada compañero pueda adivinar. a. ¿Qué porcentaje de los juegos en los cuales el que adivinaba cambiaba ganó el carro? b. ¿Qué porcentaje de los juegos en los que el que adivinaba no cambiaba el carro ganó el carro?

Combina tus resultados con los del resto de la clase. ¿Qué porcentaje de todos los juegos en los que el que adivinaba cambió ganó el carro? ¿Qué porcentaje de aquellos en los que los que el que adivinaba no cambió ganó el carro?

6. ¿Le recomendarías al concursante abrir la primera caja que escogió o cambiar y abrir la caja restante después que la presentadora abre una?

7. Contestaste esta pregunta hacienda varios intentos en una simulación. a. Explique por qué ésta fue una simulación. b. ¿Es correcto tu resultado sin lugar a dudas? ¿O es posible que si hubieses hecho muchos

intentos más le hubieses dado al concursante una mala recomendación? Explica. Notas para maestros Pista para el problema 5: Separe los juegos en los que el que adivina hizo cambios de aquellos en los

que el que adivina no hizo ningún cambio. El porcentaje que ganó al cambiar fue

cantidad de juegos ganados al cambiar

total de juegos en los que el que adivina cambió




El problema del concurso

Pista para el problema 8a. ¿Qué es lo que significa simular? Pista para el problema 8b. ¿Qué le pasaría con la probabilidad experimental (lo que calculaste en los

problemas 2 y 3) según fueras haciendo más y más intentos? Este problema clásico (llamado a menudo el “Problema

de Monty Hall” a partir del programa Let’s Make a Deal) ha generado mucha discusión inclusive entre matemáticos, porque mucha gente piensa que el resultado es algo paradójico. (Si hay en definitiva dos cajas de donde escoger, parecería que el concursante tiene 50% de probabilidades con cada una.) Algunas personas están en desacuerdo con los resultados ofrecidos abajo, pero la mayoría está de acuerdo en que este razonamiento es sensato. Con suerte, las simulaciones de los estudiantes apoyarán los resultados.

La selección original tiene esencialmente dos resultados: escoger las llaves (13 de oportunidad) o una

caja vacía (23 de oportunidad). Si se escogiera la caja con las llaves, la presentadora puede enseñar

cualquier caja. Abrir la caja original resulta en un acierto, mientras que abrir las demás resulta en pérdida. En este

caso, el concursante tiene 13 de oportunidad de ganar manteniendo la misma caja. (Igualmente, el

concursante tiene 13 de oportunidad de perder si cambia las cajas.) Si escogiera una caja vacía, la

caja vacía restante será abierta. Abrir la caja original resulta en una pérdida, mientras que abrir la

otra resulta en un acierto. Así que de este caso, el participante tiene 23 de oportunidad de perder si

mantiene la misma caja. (Igualmente, el concursante tiene 23 de oportunidad de ganar al cambiar las

cajas.) Puedes organizar todo esto de varias maneras. Por ejemplo, si el concursante juega varias veces y

siempre cambia, debe ganar en cerca de 23 de las ocasiones y perder en

13 de las ocasiones. De otra

manera, la oportunidad de ganar es 13 si escoge correctamente y mantiene la caja o

23 si escoge

incorrectamente pero cambia. No importa cómo se consolide la información, parece claro que el concursante debe cambiar la caja.

Puedes encontrar más acerca de este problema en las siguientes referencias:

L. Gillman. “The car and the Goats.” American Mathematical Monthly, January 1992, pp. 3–7.

E. Barbeau. “Fallacies, Flaws, and Flimflams.” The College Mathematics Journal, March 1993. (Identifies 63 articles about this problem and its variations.)

The “Monty Hall Problem” Web site, math.rice.edu/˜ddonovan/montyurl.html


812

7.8 Lección de práctica Eventos mutuamente excluyentes

Eventos mutuamente excluyentes

Experimento 1: Alguien escoge una carta al azar de una baraja corriente de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que escoja un 5 o un rey?

Posibilidades: 1. La carta escogida puede ser un 5. 2. La carta escogida puede ser un Rey.

Experimento 2: Alguien escoge una carta al azar de una baraja corriente de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que escoja un trébol o un rey?

Posibilidades: 1. La carta escogida puede ser un trébol. 2. La carta escogida puede ser un rey. 3. La carta escogida puede ser un rey y un trébol (i.e., el

rey de tréboles).

En el Experimento 1, la carta escogida puede ser un cinco o un rey, pero no ambos a la vez. Estos eventos son mutuamente excluyentes. En el Experimento 2, la carta escogida puede ser un trébol, un rey o ambos al mismo tiempo. Estos eventos no son mutuamente excluyentes.

Definición: Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo (i.e., no tienen resultados en común).

Experimento 3: Se echa a rodar un dado de 6 lados. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par o uno impar?

Posibilidades: 1. El número que salga puede ser un

número impar. 2. El número que salga puede ser un

número par.

Eventos: Estos eventos son mutuamente excluyentes no pueden ocurrir a la misma vez.

Experimento 4: Se echa a rodar un dado de 6 lados. ¿Cuál es la probabilidad de que salga 5 o un número impar?

Posibilidades: 1. El número que salga puede ser 5.

2. El número que salga puede ser un número impar (1, 3 ó 5). 3. El número que salga puede ser 5 e impar.

Eventos: Estos eventos no son mutuamente excluyentes porque pueden ocurrir a la vez.


813


Experimento 5: Se escoge una letra al azar de la palabra ESCUELA. ¿Cuál es la probabilidad de escoger una A o una E?

Posibilidades: 1. La letra escogida puede ser A. 2. La letra escogida puede ser E.

Eventos: Estos eventos son mutuamente excluyentes porque no pueden ocurrir a la misma vez.

Experimento 6: Se escoge una misma letra al azar de la palabra ESCUELA. ¿Cuál es la probabilidad de escoger una E o una vocal?

Posibilidades: 1. La letra escogida puede ser E. 2. La letra escogida puede ser una vocal. 3. La letra escogida puede ser E y una vocal.

Eventos: Estos eventos no son mutuamente excluyentes porque pueden ocurrir al mismo tiempo.

Resumen:

En esta lección, hemos aprendido la diferencia entre los eventos que son mutuamente excluyentes y los eventos que no son mutuamente excluyentes. Podemos usar la teoría y las Gráficas de Venn para ilustrar esta diferencia.

Eventos mutuamente excluyentes

Eventos que no son mutuamente excluyentes

Dos eventos son mutuamente excluyentes si pueden ocurrir a la vez (i.e., no tienen resultados en común).

Dos eventos no son mutuamente excluyentes cuando tienen uno o más resultados en común.

En el Diagrama de Venn de arriba, las probabilidades de los eventos A y B están representadas por dos conjuntos separados (i.e., no tienen elementos en común).

En el Diagrama de Venn de arriba, las probabilidades de los eventos A y B están representadas por dos conjuntos que se intersecan (i.e., tienen algunos elementos en común).

Nota: En cada Diagrama de Venn de arriba, el espacio muestral del Experimento se representa por S, con P(S) = 1.


Fuente: http://www.mathgoodies.com/lessons/vol6/mutually_exclusive.html *Este ítem de prueba no representa la misma estructura de los ítems de las PPAA.

814


Ejercicios 1. ¿Cuál de los siguientes es un evento mutuamente excluyente cuando se escoge una carta al azar de un mazo regular de 52 cartas?* A. Escoger un 7 o escoger un trébol. B. Escoger un 7 o escoger un comodín. C. Escoger un 7 o escoger un corazón. D. Ninguno de los anteriores. 2. Todos los siguientes son eventos mutuamente excluyentes cuando se echa a rodar un dado de 6 lados EXCEPTO:* A. Que salga un número menor a 4 o un número mayor que 4. B. Que salga un 2 o un número impar. C. Que salga un 2 o un número par. D. Ninguno de los anteriores. 3. ¿Cuál de los siguientes es un evento mutuamente excluyente cuando se escoge un día de la semana al azar?* A. Escoger un lunes o un miércoles. B. Escoger un sábado o un domingo. C. Escoger un día de la semana o un día del fin de semana. D. Todos los anteriores. 4. Se escoge una letra al azar de la palabra MAESTRA. Todos los siguientes son eventos mutuamente excluyentes excepto:* A. Escoger una T o una consonante. B. Escoger una T o una vocal. C. Escoger una E o una R. D. Ninguno de los anteriores. 5. ¿Cuál de los siguientes es un evento mutuamente excluyente si se escoge un mes del año al azar?* A. Escoger agosto o el mes del verano. B. Escoger septiembre o el mes del otoño. C. Escoger un mes del verano o un mes del invierno. D. Ninguno de los anteriores.




Preguntas de ejemplo para examen o una prueba corta

1. Una bolsa contiene 8 manzanas, 10 chinas y 4 mangos. Encuentre la probabilidad de sacar una manzana o una china.

2. Una bolsa contiene 5 medias negras, 10 blancas y 15 marrones. ¿Cuál es la probabilidad de sacar

una negra o una blanca?


Fuente: http://www.rda.aps.edu/mathtaskbank/fi_html/dasptask.htm 816

7.8 Tarea de desempeño El dilema de la porción doble

817

Matemáticas

Mapas Curriculares

8vo Grado


Junio 2011 818

8.1 Números y operaciones


Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes aprenderán a describir los números reales como el grupo de todos los números decimales. Ellos usarán notación científica, estimación y propiedades para representar y resolver problemas que envuelven números reales.

Estándares de contenido y expectativas N.SN.8.1.1 Describe los números reales como el conjunto de todos los posibles números decimales. N.SN.8.1.2 Reconoce que representaciones como π, √2 y otros números irracionales son decimales infinitos, no-periódicos. N.SN.8.1.4 Reconoce, relaciona y aplica las propiedades de los números reales (asociativa, conmutativa, identidad, inverso, distributiva, clausura) para resolver problemas. N.SN.8.1.5 Distingue entre números racionales e irracionales. N.SN.8.1.6 Utiliza las leyes de exponentes para simplificar expresiones. N.SN.8.1.7 Utiliza técnicas de estimación para decidir si la respuesta es razonable. A.RE.8.7.1 Halla las potencias enteras de números racionales; evalúa el significado de potencias enteras de variables en las expresiones y aplica las leyes básicas de los exponentes. am ∙ an = am+n; (am)n = amn; (ab)n = anbn; ∀a≠ 0, a0 = 1; am/an = am-n


Las propiedades de los números reales pueden ser utilizadas para resolver problemas del mundo real.

Los números reales pueden ser racionales o irracionales.

Las estrategias de estimación son herramientas útiles para resolver problemas.


¿Cómo nos ayudan las propiedades de los números reales a resolver problemas del mundo real?

¿Qué son los números reales?

¿En qué radica la utilidad de la estimación como herramienta para resolver problemas?


Los números reales son el grupo de números racionales e irracionales.

La notación científica usa las leyes de los exponentes.

Las representaciones tales como π, √2 y otros números racionales son infinitos y no periódicos.


Números reales

Números racionales

Números irracionales

Leyes exponenciales

Asociativa

Conmutativa

Identidad

Inversa

Distributiva

Clausura


Dado un número, determinar si es racional o irracional.

Dada una expresión, simplificarla usando las leyes de los exponentes.

Encontrar las potencias enteras de los números racionales.

Dada una respuesta para un problema, usar la estimación para determinar si es razonable.

Dado un problema, estimar la solución.

Resolver problemas usando las propiedades de los números reales.


Junio 2011 819


Números cardinales {0, 1, 2, 3…}

Números enteros {…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

Números naturales {1, 2, 3…}



Organizadores gráficos (parejas) Pida a los estudiantes que creen su propio organizador gráfico para ilustrar lar relaciones entre los subconjuntos del sistema de números reales. Esta tarea se realiza mejor después de la lección de los diagramas de Venn, ya que los estudiantes entienden el propósito de un organizador gráfico. Los estudiantes deben incluir:

Al menos 10 números en su organizador gráfico.

Los subconjuntos deben estar identificados.

El título debe leer “El sistema numérico real”.

Los organizadores gráficos deben estar en pósters.

Cuando los organizadores estén completados, deben exhibirlos en el salón de clases para que los estudiantes puedan caminar alrededor del salón para ver los proyectos y hacerles preguntas a los creadores. Los maestros pueden evaluar el proyecto según como los estudiantes sigan las directrices y la exactitud de la información matemática en el póster.

Propiedades (parejas o individual) Dé a los estudiantes el conjunto cerrado {–1, 0, 1}. Haga la siguiente pregunta: ¿Cuál de las propiedades de los números reales son verdaderas para el conjunto? Hágalos que provean su trabajo y explicaciones escritas para sustentar sus ideas. Los maestros pueden evaluar a los estudiantes en relación a cuán bien justifican las propiedades que sostienen.

Otra evidencia:

Preguntas de ejemplo para tarea o prueba corta

¿Cuál es un ejemplo de la propiedad conmutativa de la suma? A. 3 + 5m = 3 + (1 + 4)m B. 3 + 5m = 5m + 3 C. 3 + 5m = (3 + 5)m D. 3 + 5m = 3m + 5

¿Cuál propiedad de los números reales justifica el siguiente enunciado?

4x(y + 2) – 3y es equivalente a 4x(y) + 4x(2) – 3y A. La propiedad asociativa de la multiplicación B. La propiedad conmutativa de la

multiplicación C. La propiedad distributiva de la

multiplicación sobre la suma D. La propiedad de clausura de multiplicación


Explica en palabras la diferencia entre un número racional e irracional.

Da un ejemplo de una situación donde usas estimación.

¿Por qué π es considerado un número irracional?

Demuestra por qué (52)(52) es lo mismo que 52+2.






En la clase de hoy aprendí ______________. Hoy estuve confundido con _________.






Acertijo de vocabulario de matemática: Prepare un set de cartas con una palabra de vocabulario por carta. Divide la clase en dos grupos. Una persona del primer grupo selecciona al azar una carta y “actúa” de manera tal que su equipo adivine la palabra. Por ejemplo, para “fracción” el estudiante puede tomar una pieza de papel y romperla en dos y retener sólo un pedazo. Los estudiantes pueden ser muy creativos. Cuenten el número de segundos que le toma al grupo adivinar la palabra. Luego el segundo grupo trata con otra carta. Continúe hasta que todas las cartas se hayan usado. El equipo con el número menor de segundos en total gana.

Permita a los estudiantes que trabajen en parejas para descubrir algunas de las leyes de exponentes dándoles diferentes ejemplos para encontrar respuestas y luego déjeles generalizar cualquier patrón que noten. Discuta con los estudiantes respuestas en grupo. (Ver Anejo: 8.1 Actividad de aprendizaje – Exponentes).


En esta lección, los estudiantes manipulan números en el diagrama de Venn para mostrar la relación entre subconjuntos del sistema de números reales. (Ver Anejo: 8.1 Lección de práctica – Organizando números)

En esta lección descubren algunas de las leyes básicas de los exponentes (Ver Anejo: 8.1 Lección de práctica – Hablando científicamente)

En esta lección los estudiantes practican el identificar las propiedades de los números reales mientras juegan un juego de misterio (Ver Anejo: 8.1 Lección de práctica – Un misterio que resolver)






Números reales, potencia y radicales de Ismael Sousa Martin

Números decimales y enteros de Félix Nieto

Trocitos y pedacitos 1: Para comprender los números racionales de Manuel del Alumno

Trocitos y pedacitos 2: Para usar los números racionales de Manuel del Alumno





Junio 2011 821

8.2 Ecuaciones lineales


Resumen de la unidad En esta unidad los estudiantes aplicarán terminología apropiada al discutir situaciones algebraicas. Los estudiantes representarán situaciones algebraicas como ecuaciones, tablas, representaciones verbales y gráficas. Los estudiantes aprenderán a resolver una variedad de ecuaciones lineales en diferentes formas. Ellos resolverán inecuaciones y ecuaciones con valores absolutos y explicarán el razonamiento detrás de cada etapa de solución.

Estándares de contenido y expectativas A.RE.8.2.3 Describe las características de funciones lineales por pedazos, incluyendo valor absoluto y situaciones donde surjan. A.RE.8.2.4 Aplica la terminología y los símbolos asociados con expresiones, funciones y ecuaciones lineales, incluyendo notación de funciones, entradas, salidas, dominio, alcance, pendiente, interceptos, variable dependiente e independiente. A.RE.8.3.1* Representa patrones lineales por medio de tablas, gráficas, sucesiones, expresiones verbales, expresiones simbólicas, ecuaciones y funciones de la forma ƒ(x) = ax + b. A.RE.8.3.2 Describe el significado de las expresiones simbólicas de la forma ax + b en palabras, e interpreta los cambios en los parámetros a y b. A.RE.8.3.3 Desarrolla expresiones algebraicas, ecuaciones e inecuaciones equivalentes usando las propiedades conmutativa, asociativa, inverso, identidad y distributiva. A.RE.8.3.4 Identifica y traduce entre representaciones equivalentes de expresiones lineales, ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones, por medio de representaciones verbales, tablas, gráficas y símbolos. A.RE.8.3.5 Escribe, interpreta y traduce entre formas equivalentes de ecuaciones y funciones lineales, incluyendo: punto-pendiente, pendiente-intercepto, y la forma general, reconociendo que las formas equivalentes de las relaciones lineales revelan información de una situación dada. A.RE.8.4.1 Describe y distingue entre los diferentes usos de las variables: como símbolos para cantidades que varían (como 7x); como símbolos para un valor fijo y posiblemente desconocido en una ecuación (como 2x + 7 = 4); como símbolos para todos los números en propiedades (x + x = 2x); como símbolos en fórmulas (como A = bh) y como símbolos para parámetros (como m es la pendiente en y = mx + b). A.RE.8.4.2 Identifica los términos variables y constante en una expresión lineal, en ecuaciones e inecuaciones y en sistemas de ecuaciones e inecuaciones. A.RE.8.4.3 Identifica y distingue entre parámetros en la variable dependiente e independiente en una relación lineal (para y = mx + b, x y y son variables respectivamente, m, b son los parámetros. A.RE.8.4.4 Describe y distingue entre los tipos de ecuaciones que pueden construirse al igualarse expresiones lineales, incluyendo identidades (x + x = 2x), ecuaciones sin soluciones (x + 1 = x + 2) fórmulas (c = πd) ecuaciones con solución única (2x + 3 = 5) y ecuaciones que relacionan dos variables (y = 3x + 7). A.MO.8.5.1 Construye una ecuación o inecuación lineal para modelar una situación del mundo real, usando una variedad de métodos y representaciones. A.RE.8.5.2 Analiza y explica el razonamiento utilizado para resolver ecuaciones e inecuaciones lineales. A.RE.8.5.3 Resuelve ecuaciones e inecuaciones lineales usando símbolos, gráficas, tablas y tecnología. A.RE.8.5.4 Resuelve ecuaciones e inecuaciones lineales con valor absoluto. A.CA.8.8.2 Analiza situaciones matemáticas y del mundo real, determina si puede describirse por un modelo lineal, y determina la razón de cambio constante y desarrolla e interpreta la función lineal que modela la situación.


Junio 2011 822


A.CA.8.8.1 Generaliza patrones lineales o sucesiones aritméticas utilizando reglas verbales y expresiones simbólicas tales como ak y ax + b. *Edición técnica hecha por edCount, LLC


Las ecuaciones algebraicas pueden modelar eventos del mundo.

Las ecuaciones algebraicas pueden representarse de diferentes maneras.

Las funciones describen las relaciones y permiten predecir resultados futuros.


¿Cómo ayuda el álgebra a resolver los problemas del mundo?

¿Cuáles son las diferentes representaciones de las ecuaciones algebraicas?

¿Qué es un valor desconocido?

¿Por qué usamos variables?


Formas equivalentes de relaciones lineales revelan información de una situación determinada

Las variables tienen roles diferentes: como símbolos de cantidades que varían (como 7x); cómo símbolos de un valor fijo y posiblemente desconocido en una ecuación (como en 2x+7=4); como símbolos en fórmulas (como A=bh) y como símbolos para parámetros (como en m en la pendiente en y=mx+b)

El uso apropiado de términos algebraicos y notación simbólica


Función

Valor absoluto

Entrada

Salida

Dominio

Alcance

Pendiente

Intercepto

Variable dependiente

Variable independiente

Variable

Constante


Resolver una ecuación lineal de valor absoluto

Resolver una inecuación de valor absoluto

Resolver una ecuación lineal usando tablas, gráficas y símbolos

Dada una ecuación lineal con los pasos de solución, justificar cada paso por escrito nombrando la propiedad usada

Modelar una situación usando una ecuación lineal escrita en función de la forma

Dada una ecuación en la forma y=mx+b, identificar las variables dependientes e independientes

Dada una ecuación, identificar las(s) variable(s) y constante(s)

Dada una inecuación, identificar la(s) variable(s) y constante(s)

Dada una ecuación lineal en su forma general, expresar la ecuación en las formas de punto-pendiente y pendiente-intercepto

Dada una ecuación lineal en su forma simbólica, expresar la relación en su representación verbal, tabla, gráfica y función de la forma

Dada una ecuación lineal, crear una ecuación equivalente usando la propiedad conmutativa

Dada una ecuación lineal, crear una equivalente usando la propiedad asociativa

Dada una ecuación lineal, crear una ecuación equivalente usando la propiedad de identidad

Dada una ecuación lineal, crear una ecuación equivalente usando la propiedad inversa

Dada una ecuación lineal, crear una ecuación equivalente usando la propiedad distributiva

Dada una ecuación en la forma y=mx+b,


Junio 2011 823


identificar por escrito el significado de m y b

Usar la función de notación cuando se representa una ecuación lineal en forma simbólica

Generalizar un patrón lineal o secuencia aritmética usando reglas verbales y expresiones simbólicas tales como ax + b



Representaciones (individual)

Dé a los estudiantes la ecuación f(x) = 10x + 15. Pídales que hagan lo siguiente: 1. Escribe una representación verbal (historia)

para representar esta ecuación. 2. Representa la ecuación gráficamente. 3. Representa la ecuación en forma de tabla.

Evalúe a los estudiantes según la precisión de sus representaciones.

Pósters dependiente/independiente (parejas) Una manera fácil de introducir esta idea es hablar sobre las relaciones de causa y efecto. A su nivel más básico, las variables independientes son la causa y las variables dependientes el efecto. Se pueden hacer muchas conexiones y comparaciones que los estudiantes encontrarán fáciles:

Independiente Dependiente

Causa Efecto

Antes Después

Entrada Salida

Lo que haces Lo que pasa

La idea de este proyecto en particular es que los estudiantes usen dos imágenes (dibujadas o prestadas) para ilustrar la relación de las variables dependientes e independientes. Las instrucciones del proyecto contienen numerosos ejemplos, pero la premisa es tener una imagen de una cosa que afecte otra directamente, identificarlas apropiadamente y escribir un enunciado simple que explique la relación. Los estudiantes tendrán la libertad de usar cualquiera de los ejemplos incluidos o crear los suyos propios.

Usa el siguiente criterio para evaluar:

Otra evidencia:


Explica la diferencia entre variables dependientes e independientes

Para la ecuación y = 3x + 4, identifica el dominio y el alcance

Para la ecuación y = 5x + 10, escribe una representación verbal











1. Siguiendo direcciones: ¿Incluyeron todos los elementos requeridos (imágenes/dibujos, explicaciones, etiquetas)?

2. Claridad: ¿Hacen sentido los ejemplos y son fáciles de entender para los otros estudiantes?

3. Esfuerzo: ¿Hizo el estudiante el proyecto a tiempo y se esforzó en hacer un póster colorido, que capturara la atención y que fuese fácil de ver desde lejos?

Enfatice que el proyecto del mini-póster tiene que considerar a los otros estudiantes que mirarán el póster en la pared y que tienen que esforzarse por ser claros para que se entiendan los conceptos, por lo que tiene que ser fácil de comprender por cualquier persona. (Ver Anejo: 8.2 Tarea de desempeño – Hoja de trabajo: Pósters dependiente/independiente)



En este juego de pendientes y cuadrados, los estudiantes trabajarán con ecuaciones equivalentes (Ver Anejo: 8.2 Actividad de aprendizaje – Juego de los cuadrados)

En estos juegos los estudiantes resuelven ecuaciones e inecuaciones y combinan soluciones de ecuaciones y inecuaciones (Ver Anejo: 8.2 Actividad de aprendizaje – Ecuaciones lineales)

En este juego, el estudiante combina diferentes formas de ecuaciones (Ver Anejo: 8.2 Actividad de aprendizaje – Ecuaciones lineales)


En esta lección los estudiantes aprenden sobre funciones, dominio y alcance (Ver Anejo: 8.2 Lección de práctica – Variación directa)

Esta lección sobre dominio y alcance debe seguir la lección anterior (Ver Anejo: 8.2 Lección de práctica – Patio cuadrado)






Ecuaciones y funciones de segundo grado de Ismael Sousa Martin

Algebra sin dolor: Painless Algebra de Lynette Long

Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales de Antonio Montes Lozano

Diez lecciones de cálculo numérico de Jesús Sanz Serna

2000 Problemas de algebra lineal de Proskuriakov I. V.




Area de contenido: Matemáticas Duración: 8 semanas

Junio 2011 825

8.3 Ecuaciones no lineales


Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes aprenderán a distinguir representaciones lineales y no lineales, y estudiarán tipos de funciones no lineales y sus representaciones. Ellos resolverán ecuaciones cuadráticas y usarán cuadráticas para resolver problemas del mundo real. También estudiarán funciones exponenciales y las formas generales de las ecuaciones y aprenderán cómo multiplicar ecuaciones lineales y factores cuadráticos.

Estándares de contenido y expectativas A.PR.8.2.1 Determina si una relación es una función a partir de su gráfica y su descripción verbal. A.PR.8.2.2 Determina si una relación es lineal o no lineal basándose en si tiene o no razón de cambio constante, su descripción verbal, su tabla de valores, su representación gráfica o su forma simbólica. A.RE.8.6.1* Identifica relaciones no lineales (exponencial, cuadráticas, y de la forma y=k/x) en representaciones gráficas o tablas a través del examen de las diferencias sucesivas, las razones, las formas simbólicas o las propiedades de la gráfica. A.RE.8.6.2 Identifica los términos de una sucesión geométrica (exponencial) usando expresiones verbales y simbólicas. A.RE.8.6.3 Multiplica un par de expresiones lineales e interpreta el resultado de la operación numéricamente por evaluación, por medio de una tabla de valores y gráficamente.

Reconoce que al multiplicar factores lineales produce relaciones no lineales. A.RE.8.7.2 Reconoce las funciones exponenciales a partir de sus descripciones verbales, sus tablas, sus gráficas o sus representaciones simbólicas, y traduce entre estas representaciones. A.RE.8.7.3 Describe los efectos de los cambios en el coeficiente, la base y el exponente en el comportamiento de una función exponencial. A.RE.8.7.4 Distingue entre las representaciones generales para ecuaciones exponenciales (y = bx, y=a(bx) y ecuaciones cuadráticas (y = -x2; y=x2; y=ax2; y=x2 +c; y = ax2+ c) y describe cómo los valores a,b,c afectan su gráfica. A.RE.8.7.5 Desarrolla y describe las múltiples representaciones de las soluciones de las ecuaciones cuadráticas y exponenciales utilizando manipulativos, tablas, gráficas, expresiones simbólicas y la tecnología.

Representa funciones cuadráticas simples utilizando descripciones verbales, tabla de valores, gráficas y fórmulas.

A.RE.8.7.6 Factoriza expresiones cuadráticas simples (factor común, trinomio cuadrático perfecto, diferencia de cuadrados y cuadráticas de la forma x2 + bc + c que factorizan sobre los enteros) y aplica la propiedad del producto igual a 0 para determinar las soluciones de una ecuación. A.RE.8.7.7 Soluciona ecuaciones cuadráticas, con y sin la tecnología, e interpreta estas soluciones en términos del contexto del problema original. *Edición técnica hecha por edCount, LLC


Las relaciones del mundo real pueden ser modeladas por ecuaciones no lineales.

Las relaciones no lineales pueden expresarse de varias maneras.

Las funciones describen las relaciones y te permiten predecir resultados futuros.


¿Cómo sabes si una relación es lineal o no-lineal?

¿Cómo pueden ser expresadas las relaciones no lineales?

¿Cómo puedes reconocer la gráfica de una función no lineal?


Junio 2011 826



La multiplicación de factores lineales produce relaciones no lineales.

El comportamiento de una función exponencial cambia de manera predecible cuando cambian la base, el exponente o el coeficiente.

La gráfica de una función cuadrática tiene una forma geométrica distintiva llamada parábola, que exhibe simetría geométrica y tiene un punto mínimo o máximo.

Es necesario aprender las diferentes formas de una misma función porque cada forma se usa para analizar diferentes características de una función.


Ecuación no-lineal

Función exponencial

Ecuación cuadrática

Coeficiente

Base

Exponente

Factor

Secuencia geométrica

Secuencia aritmética

Ceros o raíces de una ecuación

Vértice

Parábola


Determinar si la relación es una función por su gráfica o descripción verbal

Dada una ecuación, gráfica o tabla, determinar si la relación es lineal o no-lineal

Dadas dos expresiones lineales, multiplicar y expresar el producto con una tabla o gráfica

Dada una secuencia geométrica de al menos 5 términos, escribir una expresión verbal para representar la secuencia

Dada una secuencia geométrica de al menos 5 términos, escribir una expresión simbólica para represente la secuencia

Dado un set de gráficas, identificar la relación exponencial

Dada una función exponencial en una representa la función utilizando otras formas (verbal, gráfica, simbólica, tabla de valores)

Dada una ecuación en su forma general, determinar si es lineal, exponencial o cuadrática

Dada una ecuación cuadrática simple, factorizarla

Determinar la solución de una ecuación cuadrática aplicando la propiedad del producto igual a 0

Dado un problema del mundo real, resolverlo usando una ecuación cuadrática



El problema de los conejos y qüimos (parejas)

Una banda de 45 conejos se estrelló de noche en el Parque Nacional. Esto suena como un problema pequeño, pero la población va a crecer a un promedio rápido de 22% por año. Escribe una ecuación para describir la población en cualquier año. También crea una tabla que muestre la población cada 5 años hasta el 2050. 1. Coincidentemente, una banda de güimos se

estrelló cerca de los conejos. Los güimos tienen un modelo de crecimiento poblacional de A = 105(0.91)t, donde A es la población en cualquier momento, t, dada en

Otra evidencia:


¿Cómo sabes si la ecuación es lineal o no lineal?

Compara una ecuación algebraica sea semejante al proceso de factorizar 36

Da un ejemplo del mundo real de una relación que sea exponencial.





Junio 2011 827


años. ¿Crecerá la población? ¿Decrecerá? ¿Se estancará? Explica tu razonamiento.

Los maestros deben evaluar la corrección de los estudiantes en las matemáticas y en la explicación del razonamiento usado.

El cohete (parejas) El camino de un cohete modelo puede ser descrito por su función cuadrática y = -x2 - 12x, donde el punto (x, y) representa la altura (y) del cohete (en metros) a tiempo x segundos después del despegue. Identifica la altura máxima del cohete, y determina el momento en el que el cohete alcanza su altura máxima. (Ver Anejo: 8.3 Tarea de desempeño – El cohete)







Jueguen “El juego del cuadrado: Factorizando” para practicar la factorización de ecuaciones cuadráticas. (Ver Anejo: 8.3 Actividad de aprendizaje – Juego del cuadrado: Factorizando)

El siguiente experimento está diseñado para estimular la frecuencia natural y darles a los estudiantes experiencia con una situación del mundo real que es exponencial. Puedes necesitar una bolsa de dulces M&M’s™ para cada grupo y un vaso pequeño. 1. Cuenta los M&M’s™ en el vaso que le dieron a tu grupo y anota el número en la tabla debajo a

la derecha de lanzamiento #0 (Ver Anejo: 8.3 Actividad de aprendizaje – Tablas de M&M’s), y corta papel en cuartos para darle a cada estudiante una tabla para ir marcando sus datos)

2. Agita el vaso y con cuidado vira los M&M’s™ sobre el pupitre. Remueve y deja a un lado aquellos que cayeron mostrando la m. Cuenta los que sobren y anota este número en la tabla a la derecha de lanzamiento #1. Pon estos dulces de vuelta al vasito.

3. Mueve el vaso, vira los dulces. Remueve y deja a un lado aquellos que cayeron mostrando la m. Cuenta los que sobren y anota este número en la tabla. Repite este procedimiento hasta que no aparezcan m.

4. Haz una gráfica en papel de gráfica con los datos colectados. 5. ¿Qué notas? ¿Es esto una función lineal o no lineal? ¿De qué tipo? ¿Cómo lo sabes?


En esta lección, los estudiantes combinarán una gráfica y una tala con ecuaciones cuadráticas apropiadas. El maestro necesitará cortar las gráficas, tablas, ecuaciones y pegarlas a cada tarjeta. Necesitará un set por grupo de estudiantes. Después los estudiantes completarán la tarea y explicarán en una gran discusión de grupo cómo sabían cuál era correcta. (Ver Anejo: 8.3 Lección de práctica – Recolectando datos y ecuaciones de regresión)

En esta lección, los estudiantes practicarán resolver ecuaciones cuadráticas (Ver Anejo 8.3 Lección de práctica – Resolviendo cuadráticas)

En esta lección, los estudiantes usarán ecuaciones cuadráticas para resolver problemas del mundo (Ver Anejo 8.3 Lección de práctica – Aplicaciones cuadráticas)











Ecuaciones diferenciales/Differential Equations – II: Ecuaciones no lineales de Carlos Fernández Pérez y José M. Montaner

Sistemas de ecuaciones de Félix Nieto

La función cuadrática/The Quadratic Function: Enfoque de resolución de problemas/Problem-Solving Approach de Luz Manuel Santos Trigo

Estructuras algebraicas VI: Formas cuadráticas de Francisco M. Piscoya H.



Junio 2011 829

8.4 Geometría y medición


Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes usan lo que han aprendido en años anteriores y comienzan a formular argumentos. Ellos aprenden la diferencia entre argumentos inductivos y deductivos; y lo aplican a congruencia, semejanza y el Teorema de Pitágoras. Los estudiantes exploran sistemas axiomáticos y los componentes incluyendo axiomas, postulados y teoremas. También podrán comparar esto entre sistemas euclidianos y sistemas no euclidianos, especialmente el postulado de la línea paralela. En medición, los estudiantes se concentrarán en el nivel de precisión de una situación dada y explorarán lo que les pasa a las medidas como la de volumen cuando cambian la escala y las dimensiones.

Estándares de contenido y expectativas G.MG.8.9.1 Identifica y construye elementos básicos de figuras geométricas (alturas, bisectriz de ángulos, bisectriz perpendicular, radios u otros) usando compás, transportador u otras herramientas tecnológicas. G.MG.8.9.2 Construye patrones bidimensionales (redes) para modelos tridimensionales como (prisma, rectas, pirámides, cilindros y conos) G.MG.8.9.3 Utiliza representaciones algebraicas y coordenadas (distancia, punto medio, pendiente) para describir y definir figuras. G.MG.8.9.4 Utiliza redes, dibujos, modelos e imágenes creadas con la tecnología para representar figuras geométricas y analizar las relaciones entre ellas. G.FG.8.10.1 Describe la estructura y relaciones dentro de un sistema axiomático (términos sin definir, términos definidos, axiomas, postulados, razonamiento y teoremas). G.FG.8.10.2 Examina argumentos deductivos e inductivos concernientes a conceptos y relaciones geométricas como la congruencia, semejanza y la relación pitagórica. G.FG.8.10.3 Reconoce defectos o discrepancias en el razonamiento que sostienen un argumento. G.FG.8.10.4 Desarrolla y prueba conjeturas sobre ángulos, líneas, bisectrices, polígonos (especialmente triángulos y cuadriláteros) círculos, y figuras tridimensionales. G.FG.8.10.5* Justifica enunciados sobre ángulos formados por líneas perpendiculares y transversales de líneas paralelas. G.FG.8.11.1 Investiga las representaciones geométricas y las propiedades que no se encuentran en la geometría plana (por ejemplo, relaciones en la geometría de una esfera). G.FG.8.11.2 Interpreta el rol del postulado de las rectas paralelas como un postulado clave en la formulación de la geometría euclidiana, e ilustra su contraparte en otras geometrías (geometría de la esfera). M.UM.8.12.1 Selecciona y aplica técnicas e instrumentos para determinar medidas con un grado apropiado de precisión. M.UM.8.12.2 Determina cómo las medidas son afectadas por cambios en la escala y sus dimensiones. *Edición técnica de la numeración hecha por edCount, LLC


La geometría nos ayuda a describir el mundo a nuestro alrededor.

Las figuras tridimensionales pueden ser representadas con figuras bidimensionales.

El álgebra y la geometría están interrelacionadas.

Hay diferentes tipos de geometría.


¿Cómo se relacionan las figuras bidimensionales y tridimensionales?

¿Cómo se relacionan el álgebra y la geometría?

¿Qué elementos geométricos nos ayudan a describir el mundo a nuestro alrededor?

¿Qué diferencia hay entre los tipos de geometría?


Junio 2011 830



Dos líneas paralelas cortadas por una transversal crean varios pares de ángulos con las mismas medidas

La notación correcta de las medidas de un ángulo es por ejemplo, m<A= 98

Hay propiedades que existen en otras geometrías que no existen en la geometría euclidiana

En la geometría euclidiana los axiomas, postulados, teoremas y razonamientos están relacionados


Prisma

Cono

Red

Bisectriz

Bisector Perpendicular

Radio

Compás

Transportador

Fórmula del punto medio

Fórmula de distancia

Axioma

Postulado

Teorema

Geometría euclidiana

Geometría no-euclidiana

Escala

Transversal

Líneas paralelas

Argumento inductivo

Argumento deductivo

Congruencia

Semejanza

Relación pitagórica


Dado un ángulo, construir una línea que biseca el ángulo usando un compás u otra herramienta tecnológica

Dada una figura tridimensional (prisma, pirámide, cilindro, cono) construir una red para la figura

Usar representaciones algebraicas y coordenadas (distancia, punto medio y pendiente) para describir y definir figuras

Dadas dos figuras geométricas, usar redes, dibujos, modelos e imágenes creadas por tecnología para escribir un análisis breve de la relación entre dos figuras

Dado un argumento defectuoso, identificar el defecto en el razonamiento

Dado un diagrama de dos líneas paralelas cortadas por una transversal, justificar la relación entre los ángulos verticales

Dado un ángulo, usar un transportador para encontrar su medida para el grado más cercano

Calcular y después comparar el volumen de un prisma rectangular, con el volumen de un prisma rectangular con un atributo distinto (longitud, ancho, alto)

Dada una medida y una situación, decidir si el nivel de precisión de la medida es apropiado para la situación

Desarrollar y probar supuestos sobre ángulos, líneas, bisectrices, polígonos (especialmente triángulos y cuadriláteros), círculos y figuras tridimensionales

Ilustrar la contraparte del postulado de la línea paralela de la geometría de Euclides en otras geometrías (ej. geometría de la esfera)



Redes para cubos (parejas)

Dé a los estudiantes varias hojas de papel cuadriculado y tijeras. Dígales que hay 11 redes para un cubo y tienen que encontrar todas las posibilidades. Ellos pueden experimentar cortando las redes y doblándolas para crear los

Otra evidencia:


Compara y contrasta un rectángulo a un prisma rectangular.

Por escrito, explica la diferencia entre un razonamiento inductivo y uno deductivo usando un ejemplo.


Junio 2011 831


cubos. Cuando crean que han encontrado todas las redes, pídales que entreguen las redes hechas en el papel. Los maestros pueden evaluar fijándose en la precisión de las 11 redes. (Ver Anejo: 8.4 Tarea de desempeño – 11 Redes)

Usando el teorema de Pitágoras (individuales)

Dibuja un triángulo recto en la pizarra con cuadrados en la hipotenusa y extremidades, y observa el hecho de que el cuadrado en la hipotenusa tiene un área más grande que cualquiera de los otros dos.

Luego pregúntale a la clase, “Supongan que hay tres

cuadrados hechos de oro, y les ofrecieron el grande o los dos pequeños. ¿Cuál escogerían? Escriban una carta explicando su respuesta y justificando tu respuesta como la que contiene más oro”. Evalúa los estudiantes en el uso del teorema de Pitágoras y sus argumentos inductivos o deductivos.

Explica qué le pasa al volumen de un prisma rectangular cuando las dimensiones de un prisma se duplican.








Ejemplo de prueba corta

Esta prueba corta verifica la comprensión del estudiante aplicada a problemas. Cubre la relación de ángulos formados por dos líneas paralelas cortadas por una transversal en una situación del mundo real. También incluye las preguntas de repaso usando el teorema de Pitágoras y los tipos de ángulos. Además hay una pregunta en referencia a los puntos medios. (Ver Anejo: 8.4 Otra evidencia – Prueba corta)



Pide a los estudiantes que se paren y hagan el siguiente experimento para demostrar que la geometría en la superficie de un esfera en un plano es diferente a la geometría euclidiana que suelen usar: o Forma un puño con los dedos de la mano derecha, pero deja el dedo pulgar estirado afuera. o Cuelga tu brazo derecho con el dedo pulgar apuntando hacia adelante. o Deja tu brazo estirado, y nunca vires la muñeca innecesariamente. o Mece tu brazo hacia arriba y hacia fuera de lado (el dedo pulgar seguirá señalando hacia

adelante) o Luego mece el brazo hacia adelante, hasta que apunte hacia adelante (como recordaste no

girar el puño, ahora el pulgar apunta hacia la izquierda)




o Finalmente, mece tu brazo hacia abajo, hasta que se quede a tu lado nuevamente. o Note que el pulgar ahora apunta hacia la izquierda. El brazo está de vuelta al lugar original y

nunca giraste tu muñeca, pero tu pulgar terminado virado por 90o. o En este experimento, tu mano es un punto moviéndose alrededor de una esfera. Como el

brazo permanece derecho, tu mano esta siempre a una distancia fija de tu hombro. Tu pulgar siempre apunto perpendicular a tu brazo. Como tu pulgar apunta en una dirección posible para que tu mano se mueva, con la esfera, se le llama un vector tangente a la esfera.

o Este experimento demuestra que cuando transportamos un vector tangente alrededor de una trayectoria cerrada o esfera, regresará volteado. Esto pasa incluso cuando localmente nunca giramos la muñeca—en particular, si nos movemos sobre una trayectoria recta (un geodésico o gran círculo en la esfera) mantenemos el vector tangente en un ángulo constante en relación con nuestro movimiento de dirección). Al giro que terminamos haciendo se le llama holonomía e ilustra que la superficie de una esfera es curva y, sin embargo, mide exactamente la curvatura de la región que siga nuestra trayectoria.


Esta es una lección de introducción a la comprensión y definición de argumentos deductivos e inductivos (Ver Anejo: 8.4 Lección de práctica – Razonamiento inductivo y deductivo)

Esta lección permite a las parejas de estudiante seguir instrucciones escritas para practicar construcciones. Camine alrededor del salón durante la lección para ofrecer asistencia a los estudiantes si la necesitan (Ver Anejo: 8.4 Lección de práctica – Construcciones)

En esta lección los estudiantes explorarán/probarán argumentos sobre los conceptos relacionados con el Teorema de Pitágoras. (Ver Anejo: 8.4 lección de práctica – Plano de puntos)






Líneas y ángulos/ Lines and Angles de Ismael Sousa Martin

Figuras geométricas/Geometric Figures: Cálculo de Áreas de Ismael Sousa Martin

Geometría plana y del espacio y trigonometría/ Geometry and Trigonometry de J. Aurelio Baldor

Teorema de Pitágoras de José Jiménez Lozano

Figuras geométricas/Geometric Figures: Cálculo de Áreas de Ismael Sousa Martin

Semejanza & Teorema de Tales & trigonometría/Similarity & Theorem Tales & Trigonometry de Ismael Sousa Martin





Junio 2011 833

8.5 Estadísticas


Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes aprenderán sobre los métodos para hacer muestras poblacionales y estudiar las muestras aleatorias con profundidad. Ellos harán encuestas, cuestionarios y conducirán análisis estadísticos de una pregunta que envuelva la selección de una muestra aleatoria, incluyendo la colección de datos, la organización y el análisis de datos. Los estudiantes también examinarán los resultados de la encuesta presentados en los medios de comunicación para explorar los sesgos de las muestras, y comparar las medidas de tendencia central y dispersión con respecto al método de datos recolectados (muestra o censo).

Estándares de contenido y expectativas E.RD.8.13.1 Formula una pregunta de interés y define los componentes claves que pueden atenderse a través de una encuesta. E.RD.8.13.2 Define la población, las variables que se medirán, y cómo se medirán e identifica los factores que pueden influir en los resultados de la encuesta. E.RD.8.13.3 Diseña cuestionarios. E.AD.8.13.4 Describe las técnicas para obtener muestras aleatorias simples de los miembros de una población. E.PR.8.13.5 Identifica situaciones donde un muestreo aleatorio estratificado de una población sería preferible a un muestreo aleatorio simple. E.PR.8.13.6 Identifica y describe las diferencias entre una muestra y un censo, y explica las ventajas y desventajas de cada uno. E.PR.8.13.7 Diseña e implementa la selección de una muestra aleatoria simple de una población, recolecta y organiza los datos; representa los datos en tablas y gráficas y resume los datos por medio de medidas de tendencia central y dispersión (incluyendo desviación absoluta media). E.RD.8.13.8 Describe cómo el método de seleccionar los sujetos para una muestra y los métodos de medición de los resultados afectan los resultados de la encuesta. Explica cómo pueden surgir sesgos de los errores de muestreo y errores de medición. E.AD.8.13.9 Examina los resultados de las encuestas presentadas en los medios de comunicación, discutiendo y evaluando cómo la muestra fue seleccionada de la población y los métodos utilizados para medirla, recolectarla y representarla. Identifica las fuentes de sesgos que pueden afectar los resultados de la encuesta. E.AD.8.14.1 Compara las medidas de tendencia central y dispersión obtenidos de los datos de la muestra de una población (estadística) con las medidas de centro y dispersión obtenidos de los datos de un censo de la población (parámetros). Observa que los medios de la muestra tienden a acercarse a la media de la población a medida que le tamaño de la muestra aumente. E.AD.8.14.2 Reconoce que las medidas de tendencia central y dispersión obtenidas de muestras aleatorias pueden diferir de muestra a muestra aún si se obtienen de la misma población y tienen el mismo número de observaciones. E.AD.8.14.3 Distingue entre métodos de muestreo aleatorio y no aleatorio. Compara los resultados de muestras aleatorias y no aleatorias simples de la misma población; discute cómo y por qué los resultados pueden diferir debido a fuentes potenciales de sesgos en las muestras.


Las estadísticas nos permiten contestar preguntas sobre el mundo.

El sesgo es un problema en la recolección de


¿Cómo nos pueden ayudar las estadísticas a resolver problemas del mundo real?

¿Cómo se expresa un sesgo en un reporte de


Junio 2011 834

8.5 Estadísticas

datos estadísticos.

Hay ventajas y desventajas para diferentes métodos de muestreo usados en estadísticas.

datos en los medios de comunicación?

¿Cuáles son las ventajas y las desventajas de diferentes métodos de muestreo usados en las estadísticas?


La media de una muestra es similar a la media de una población según aumenta el tamaño de la muestra

La tendencia central y la medida de dispersión obtenidas de una prueba aleatoria puede diferir entre muestras, incluso cuando estas se obtienen de la misma población y tienen el mismo número de observaciones

Los resultados de las encuestas son influenciados por los métodos de selección de los participantes para una muestra (error de muestreo) y por los métodos de medición (error de medición)

Los factores que pueden afectar los resultados de una encuesta

Resultados de muestras aleatorias y no aleatorias de la misma población pueden diferir debido al poder de las fuentes se sesgo en el proceso de muestreo

Ventajas y desventajas para usar muestras de población para recolectar datos


Encuesta

Cuestionarios

Muestra aleatoria

Muestra no aleatoria

Población

Muestreo aleatorio estratificado

Censo

Medidas de tendencia central

Medidas de dispersión

Desviación media absoluta

Error de muestra

Sesgo

Parámetros


Formular una pregunta que pueda ser abordada con una encuesta

Dada una pregunta, identificar los componentes claves que puedan ser abordados en una encuesta

Dada una pregunta, identificar la población apropiada para la muestra

Identificar por escrito los factores que pueden afectar el resultado de una encuesta

Dada una pregunta, diseñar un cuestionario que pueda usarse para recolectar los datos para contestar la pregunta

Dada una situación, identificar si sería preferible un muestreo aleatorio estratificado de una población o una simple muestra aleatoria y explicar por qué

Dada una situación con la población definida, describir una técnica que pueda usarse para encuestar una muestra simple de una población

Comparar y contrastar una muestra y un censo

Comparar y contrastar métodos de muestra aleatorios y no aleatorios

Diseñar e implementar un estudio estadístico (identificar el método de muestreo, colectar datos, presentar hallazgos en una tabla o gráfica y resumir los datos usando tendencia central y medidas de dispersión, incluyendo la desviación absoluta media)

Dado un set de datos, calcular la desviación media absoluta

Dada una situación, identificar las fuentes del error de muestreo

Dados los resultados de una encuesta presentada en los medios de comunicación, evaluar cómo la muestra fue seleccionada de la población

Dado un ejemplo de un método usado para tomar una muestra poblacional, identificarla como aleatoria o no


Junio 2011 835

8.5 Estadísticas



Diseñando una encuesta (parejas) Dígales a los estudiantes que estarán entrando en un concurso para hacer experimentos estadísticos totalmente subvencionados. Para entrar, tienen que describir la propuesta de investigación por escrito. La carta a la compañía debe incluir la siguiente información:

Identificar una pregunta de interés;

Definir la población;

Definir las variables y cómo se medirán;

Diseñar el cuestionario para la recolección de datos;

Describir la técnica que usarán para obtener una muestra aleatoria de una población definida.

Las cartas pueden ser evaluados en relación a si la propuesta del experimento está conectada lógicamente paso a paso: ¿Parece apropiada la población? ¿Está libre de sesgo la técnica de muestreo? ¿Llega el cuestionario al corazón de la pregunta?

Sesgo mediático (grupos pequeños) Tenga periódicos disponibles para que los grupos los examinen y encuentren una encuesta completa. Pida a los estudiantes que escriban una carta a la compañía (u organización, etc.) que conduce la investigación proveyendo un análisis de su estudio. Las cartas deben incluir:

Una descripción y una evaluación de cómo la muestra de la población fue seleccionada

Una descripción de los métodos de medición, recolección y representación de datos

Una Identificación de cualquier fuente potencial de sesgos que pueden haber influido en los resultados de la encuesta

Evalúe a los estudiantes en relación a cuán bien identificaron los conceptos claves en el estudio y justificaron sus hallazgos.

Otra evidencia:


Describir por escrito la diferencia entre una muestra aleatoria y una muestra aleatoria estratificada.

Da un ejemplo de un error muestral.

Compara y contrasta muestras aleatorias y no aleatorias.









Junio 2011 836

8.5 Estadísticas



Revise las medidas de tendencia central con los estudiantes usando un actividad del mundo real (Ver Anejo: 8.5 Actividad de aprendizaje – Medidas de tendencia central)

Actividad de encuesta en la cafetería: Benita y Gerardo encuestaron a algunos estudiantes en sus salones de octavo grado para determinar si prefieren el pollo o las hamburguesas en un picnic. Las hojas de la encuesta se muestran abajo (los maestros deben escoger si quieren duplicar los datos de la encuesta con tiza en la pizarra o en papel de tabla, o crear una hoja con los datos de la encuesta).

Encuesta de Benita Encuesta de Gerardo

Salón hogar: 8 A Salón hogar: 8 B

Número de estudiantes en el salón: 23 Número de estudiantes en el salón: 20

Estudiante Estudiante

Encuestado Pollo Hamburguesa Encuestado Pollo Hamburguesa

Adán x Vicky x

Carolina x Tanya x

Nancy x José x

Hugo x Benito x

Abigail x

Linda x

Marian x

Jan x

Chris x

Tina x

Natanael x

Dariel x

Benita reportó que 100 por ciento de los encuestados querían pollo. Gerardo reportó que 75 por ciento de los encuestados querían hamburguesas. ¿Cuál de las encuestas, la de Benita o la de Gerardo, sería probablemente mejor a la hora de tomar la decisión de qué servir? Pida a los estudiantes que expliquen por qué esa encuesta sería mejor.


Los estudiantes practican haciendo encuestas y discutiendo cómo hacer una muestra de estaciones de radio para recolectar datos para una firma de mercadeo (Ver Anejo: 8.5 Lección de práctica – Mercadeando con diagramas de dispersión)

Lección de práctica de sesgo muestral (Ver Anejo: 8.5 Lección de práctica – Sesgo muestral).






Estadística I. Tablas y gráficos de Ismael Sousa Martin

Estadística II. Medidas de dispersión de Ismael Sousa Martin

Muestras y poblaciones: Datos y estadísticas de Manuel del Alumno






8.5 Estadísticas

Datos acerca de nosotros: Estadística de Manuel del Alumno

Un cuestionario demográfico básico: Recolección de datos y análisis en encuestas por muestreo de International Program of Laboratories for Population Statistics

838

Matemáticas

Anejos

8vo Grado

Área de Contenido: Matemáticas

Fuente: edCount, LLC 839

8.1 Actividad de aprendizaje Exponentes

Nombre: _______________________________________________ Escribe la forma expandida para cada par. Ejemplo: a) 54= (5)(5)(5)(5)

b) (52)(52)= (5)(5)(5)(5)= 54 a. 35 = ___________________ b. (32)(33) = _____________ = ______________ a. 47 = _____________________ b. (44)(43) = ____________________ = _____________

a. 69 = __________________________ b. (62)(67) = ____________________ = _______________ a. 76 = _____________________________ b. (73)(73) =________________________ = ______________ ¿Qué notaste de la forma expandida de (a) y (b) en cada par? ______________________________________________________ Escribe los exponentes que faltan encontrando el valor de x: a. 8x = (8)(8)(8)(8) b. (82)(8x) = (8)(8)(8)(8)

a. 4x = (4)(4)(4)(4)(4)(4)(4)(4) b. (43)(4x) = (4)(4)(4)(4)(4)(4)(4)

a. 5x = (5)(5)(5)(5)(5) b. (53)(5x) = (5)(5)(5)(5)(5)(5) ¿Cómo determinas el valor de x en cada par? _____________________________________________________________________________ Escribe una regla que provea la relación entre los exponentes en los ejemplos de (a) en comparación a los ejemplos de (b). _____________________________________________________________________________


840

8.1 Lección de práctica Hablando científicamente

Hablando científicamente

Materiales requeridos Una computadora para cada grupo de estudiantes o una computadora con proyector.

Actividad instructiva 1 1. Haga que los estudiantes vayan a la página de Internet Foro de Matemáticas (patrocinada por la

Universidad Drexel) en la dirección electrónica http://mathforum.org. 2. Haga que los estudiantes encuentren la sección “Pregúntale al Dr. Matemáticas” en la página. El Dr.

Matemáticas responde a las preguntas de cualquier persona. 3. Pida a los estudiantes que lean y tomen notas del artículo titulado “Notación científica”,

http://mathforum.org/library/drmath/view/58207.html. 4. Pídales también que lean y tomen notas de los siguientes artículos:

a. “Explicando la notación científica” http://mathforum.org/library/drmath/view/61563.html b. “La notación científica en la vida cotidiana”

http://www.math.toronto.edu/mathnet/questionCorner/scinot.html

5. La notación científica es un ejemplo del uso de exponentes; es una aplicación de estos. Todas las leyes de los exponentes aplican a la notación científica.

Actividad instructiva 2 Multiplicación extrema Multiplicar a mano números extremadamente largos y cortos juntos, no requiere de demasiados pasos necesariamente. Busca atajos mientras trabajas en los siguientes problemas. No uses calculadora para resolver estos problemas. Los primeros números no son ni demasiado largos ni demasiado cortos, pero deben ayudarte a resolver los siguientes problemas. 1. a. 223 × 100 =

b. 223 × 10,000 = c. 223 × 0.01 = d. 223 × 0.00001 =

2. a. 223 × 400 = b. 223 × 40,000 = c. 223 × 0.04 = d. 223 × 0.00004 =

3. a. 2.23 × 100 × 400 =

b. 2.23 × 100 × 40,000 = c. 2.23 × 100 × 0.04 = d. 2.23 × 100 × 0.00004 =



8.1 Lección de práctica Hablando científicamente

Compara cada una de tus respuestas con las que diste a los problemas anteriores ¿Son las respuestas similares? ¿Por qué?

4. Rescribe los problemas 3a, 3b, 3c, y 3d en la forma 2.23 × 10 × 4 × 10 =. 5. Rescribe las respuestas a los problemas 3a, 3b, 3c, y 3d en la forma en notación científica. 6. Compara los problemas 3 al 5. Encuentra los atajos para multiplicar dos números escritos en

notación científica y explica porqué es que los atajos funcionan. 7. Considera 3.23 × 1,012 × 4 × 10–3 =.

a. Usa tus atajos para encontrar el producto. b. Escribe el producto en notación científica, si acaso es necesario. c. Si el producto no estaba en notación científica después de que usaste tu atajo, ¿por qué no lo estuvo?

8. Encuentra los siguientes productos y escribe tu respuesta en notación científica: a. 39,200,000 × 720,000 = b. 3.92 × 105 × 0.0072 = c. 3.92 × 10–33 × 7.2 × 10–23 = (Ten un poco de cuidado en ésta) d. 7.2 × 1014 × 3.92 × 1032 =


842

8.1 Lección de práctica Organizando números

Números racionales

Enteros

Enteros positivos Números naturales

Organizando números

Materiales requeridos Una copia de “Números reales” para cada par de estudiantes Una copia de “Subconjuntos del sistema de números reales” para cada par de estudiantes Una copia de “Diagrama de Venn del sistema de números reales” para cada par de estudiantes Tijeras Pega o cinta adhesiva

Actividad instructiva 1. Haga que los estudiantes trabajen en pares. Reparta una copia de la hoja “Números reales” a cada

par, y pídales que corten los números. 2. Haga que los estudiantes ordenen los números en conjuntos no especificados. Camine alrededor de

los grupos y pídales que expliquen el proceso que usaron para ordenar los números 3. Dirija una discusión de clase acerca de los atributos de cada conjunto de números. 4. Reparta una copia de la hoja “Subconjuntos del sistema de números reales” a cada grupo. Pida a los

estudiantes que corten los subconjuntos y los coloquen en cualquier orden. 5. Pida a los estudiantes que ordenen los números en los diferentes subconjuntos. Debe darse una

discusión en torno a los números que pueden pertenecer a más de un subconjunto. 6. Haga una discusión con la clase acerca de las propiedades de cada subconjunto. Después pida a los

estudiantes que organicen los números como racionales e irracionales. 7. Pida a los estudiantes que organicen los números en números

racionales, enteros, enteros positivos y/o números naturales. Esto puede hacerse arreglando los nombres de los subconjuntos como se muestra a la derecha. Los números pueden colocarse en más de uno de los subconjuntos.

8. Reparta una copia de la hoja “Diagrama de Venn del sistema de números reales” a cada grupo

9. Haga que los estudiantes acomoden los nombres de los subconjuntos en la cajas apropiadas del diagrama de Venn. Después pídales que acomoden los números en el subconjunto apropiado.

10. Camine entre los estudiantes. Cuando el grupo haya completado el diagrama correctamente, pídales que peguen (ya sea con pega o cinta adhesiva) los nombres y números al papel.

11. Haga que los estudiantes añadan más de un número por escrito a cada subconjunto del sistema de números reales en el diagrama.

Ejemplo de avalúo Camine entre los estudiantes mientas organizan los números en los subconjuntos. Evalúe los

diagramas completos de cada grupo. Pida a los estudiantes que escriban un resumen de la relación entre los subconjuntos del sistema de números reales.


843


Números reales

0 12 0.7 1

–3 2 –0.9 π

–4.267 –5

17 14.8 –8




Subconjuntos del sistema de números reales

Números racionales

Números irracionales

Números enteros

Números enteros positivos

Números naturales




Diagrama de Venn del sistema de números reales




Un misterio que resolver

Un misterio que resolver

Actividad instructiva 1. Esta tabla muestra cómo una operación, *, funciona con el conjunto de números {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

* 1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6 2 2 3 4 5 6 1 3 3 4 1 6 2 5 4 4 5 6 1 3 2 5 5 6 2 3 1 4 6 6 1 5 2 4 3

2. ¿Hay una identidad en el conjunto para esta operación? Si es así, ¿cuál es y cómo determinaste que

era un elemento de identidad? 3. ¿Hay algún número en el conjunto que tenga un inverso para esta operación? Si es así, identifica el

inverso para cada número que lo tenga. ¿Cómo determinaste si un número tiene o no un inverso? 4. Usa la tabla para resolver la ecuación 3 * x = 5. Revisa tu solución encontrando 3 * x para tu x. 5. Esteban intentó lo siguiente:

3 * x = 5 3 * 3 * x = 3 * 5 x = 2 Explica lo que hizo Esteban en cada paso. Revisa su solución ¿Es correcta? ¿Qué sucedió?

Ejemplo de avalúo Discusión de grupo

Tarea ¿El set {–1, 0, 1} es cercano con relación a la suma? ¿Multiplicación? Demuestra tu trabajo y

explicaciones escritas para apoyar tu respuesta.


847


Ecuaciones lineales

Ecuaciones lineales Materiales requeridos Una copia de cada una de las hojas de los tres “Juegos cuadrados” para cada estudiante. Actividad instructiva Haga que los estudiantes jueguen los “Juegos cuadrados”, como se muestra en las hojas.


848


Ecuaciones lineales

Juego cuadrados 1: ¿Cuál es la ecuación lineal si…?

1. Recorta los cuadrados. 2. Relaciona cada ecuación a su solución correspondiente. 3. Debes terminar con un nuevo cuadrado cuatro-por-cuatro.

x = 5 y = –2/3x + 9 y = 4x + 7 y = –2/3x – 9

y =

x +

5

m = 2

b

= –6

y =

–x +

4

m = 3

b

= –10

y

= 2

x –

4

(3, 2

) (6, 0)

y = –3/4

x + 7

m = –6

b = 2

m = 4 b = 7 m = 3 (–3,1) y = 7 m = –1 (5,–2)

y = 2x – 4 y = ¾x – 7 y = –x + 3 y = 4x + 7

x =

3

(5,–4

) (–1,–4

)

y =

½x

+ 9

b = –3

m: in

defin

ido

y

= 3

x –

10

x–intercep

to: –

3

m: in

defin

ido

y =

–2x

– 8

x– intercep

to: 6

m = –2

/3

(–4,0) (3,3) m = –2 (1,4) m = 4 (0,7) (–2,1) (2,3)

y = –3/2x + 9 y = 3x + 10 y = ½x + 2 y = –2x + 6

y =

–2x

– 3

m = –3

/4 b

= 7

y =

5

x– intercep

to: –

4

m = –2

y =

–4

(4,3

) (4,–1

)

y =

4

m = 4

b

= 0

m = –2/3 (6,5) (0,–4) (2,0) (5,0) (10, –2)

m es indefinido

(5,8)

y = ½x + 4 y = 8 y = 1/3x + 10 y = 2/3x + 5

x =

–3

m = 0

b

= 4 y

= –2

/3 x

+ 4

(5,0

) (0,5) y

= –6

x +

2

m = ½

b

= 9

x =

4

(0,–8

) (4,0

)

m = 0 (5,8) (3,7) (0,5) m = ½ (4,6) (7,1) (7,6)


849


Ecuaciones lineales

Juego Cuadrados 2: Encontrar la pendiente y el intercepto en y

1. Recorta los cuadrados. 2. Relaciona cada ecuación con sus pendientes y su intercepto en y. 3. Debes terminar con un nuevo cuadrado cuatro-por-cuatro.

y = –3/4x + 5 m = 1 b = 0 3x + 4y + 20 y – 8 + 2x

m =

1

b =

1

20

x = 4y – 4

m =

5

b =

1

6y – 3

x = 12

m =

½

b =

2

–7x + y = 8

m = 7

b

= 8

m = ½

b

= –3

x – y = 6 –2x – y = –7 y = 4 – 2x 2y = 7x + 10

m = –1 b = –6 m = –2 b = 7 m = –2 b = 4 m = 7/2 b = 5

y =

4/3

x –

9

x + y – 5 = 0

m =

–1

b

= 5

x + 4y – 4

= 0 m

= ¼

b

= 1

5x + y = 4

m =

–5

b

= 4

–x + y = 13

–2x + y = –4 y = –x + 6 7x – y = 14 y = 2x + 7

m = 2 b = –4 m = –1 b = 6 m = 7 b = –14 m = 2 b = 7

m =

10

b

= 5

4x + 8

y = 24

m =

–½

b

= 3

y = 3x

m =

3

b =

0

y = 2x – 3

m =

2/5

b

= –

3/5

x – y = 11

3x – 2y = 6 x – 5y = 15 3x + 4y = 24 2x + y = –2

m = 3/2 b = –3 m = 1/5 b = –3 m = –3/4 b = 6 m = –2 b = –2

7x

= 4

y +

25

3x + 2

y = 6

m =

–3

/2 b

= 3

–2x – y = –7

m =

–2

b

= 7

y = 3x – 2

= –2 m

= 3

b

= –

2

m = 5

b

= ½

2x – y = 8 y = 4x – 1 m = 6/5 b = 2 –4x – y = 1




Ecuaciones lineales

Juego de cuadrados 3: Econtrando el intercepto en x ó y

1. Recorta los cuadrados. 2. Relaciona expresiones o enunciados equivalentes. 3. Debes terminar con un nuevo cuadrado cuatro-por-cuatro.

2y = 7x + 10 y = –3 x = –1/6 x + 2y = 8

x =

–11

3y – 5

x = 4 x

+ y

= –5

x = 6/5

y =

5

y = –x + 6

–2x + y = –4

x = 0

y = 1/3 x + 5y = 15 x + 5y = 11 x = –4/5

y = 3 y = 1 5x – y = 6 –2x – y = –4

x –

2y

= 8

x = 5/6

x =

2

3x + 4

y = 24

y

= 3

x –

4

y = 4 x

= –5

x = 6

y = ½ y = –1 y = 12/5 x = 8

–3x + 5y = 12 x = 4/3 y = 4 – 2x x = –8

y =

–3x

+ 3

x = 6

–3x

+ y

= 5

y = –4

2x

– y

= 8

x = 5

y =

–4/5

y = 4

y = –5 x = 2/3 x = 8 x = 21

x = 1 x = 2 x = 15 x + 4y = 4

y =

0

x = 2

y –

x =

6

x = 11

y

= –1

/3x

+ 7

y = 5

x –

5y

= 1

5

y = –8

4x – 2y = 8 y = 4 – 2x y = 7 x = –6



8.2 Actividad de aprendizaje Juego de los cuadrados

Juego de los cuadrados: Resolviendo inecuaciones

1. Recorta los cuadrados. 2. Relaciona las expresiones o enunciados equivalentes. 3. Debes terminar con un nuevo cuadrado cuatro-por-cuatro.

x 2 x < 10 x > 15 5 – 2x 3x – 15

x

6

x < 17

–4 <

12

x –1

x <

–8

8 > 5

– x

–8x

64

x > 5

–5x < –35 x > 5 x –2 x > 5

2x < 10 x < 21 x > –5 x + 1 < –8

x

5

–4x + 2

–2

2

1

x

x < –3 x

< 1

8

x 5

x

1

x –6 x – 3 < 12 4x < –24 1 – x < 1

2/3 x < 12 x – 4 < 6 x 4 4 – 2x 8

2x

+ 3

1

3

x > 10

–3x

> 1

2

x 5

x

2

x 0

2x

– 7

6

–x/2 + 3

0

5x – 8 < –2 x < 23 x + 4 < –9 x < –4

x < 15 x 1 11 – 2x 3x + 16 x –1

x

–1

2

x > 0

x/4

– 1

> 5

x < 0

x <

0

13

+ 4x

9 x

–

8

x < 2

2/5x – 6 –6 x > –3 x 6 –3/4x 9


852

8.2 Lección de práctica Patio cuadrado

Patio cuadrado Materiales requeridos Calculadoras gráficas Materiales para construir modelos de patios cuadrados:

Esquinas: malvaviscos

Estabilizadores de los bordes: palillos de colores

Marcos: palillos de madera

Losetas: cuadrados cortados a la medida de los palillos de madera Una hoja “Patio cuadrado” para cada estudiante Actividad instructiva 1. Pida a los estudiantes que construyan patios cuadrados y registren sus datos en la tabla de la hoja

“Patio cuadrado”. 2. Pregunte a los estudiantes si pueden identificar algún patrón y si pueden predecir los patrones para

los tamaños que todavía no construyen en sus modelos. 3. Trabaje los problemas y asegúrese que los estudiantes sean capaces de escribir una expresión del

número de losetas necesarias para cualquier dimensión dada (n). 4. Haga que los estudiantes investiguen la relación entre el número de estabilizadores de los bordes y

el número de esquinas o el tamaño del patio. Asegúrese de que sean capaces de representar la relación algebraicamente.

5. Hable de la relación entre el número de esquinas y el número de marcos; después, de la relación entre el tamaño del patio y el número de marcos. Finalmente, hable de la relación entre el tamaño del patio y el número de esquinas.

6. Ayude a los estudiantes a poner precios para las losetas, las esquinas, los estabilizadores de los bordes y los marcos. Pídales que establezcan matrices para determinar el costo de construir un “patio cuadrado” de cualquier tamaño.



8.2 Lección de práctica Patio cuadrado

Patio cuadrado

Dimensión del Patio

Losetas requeridas

Marcos requeridos

Esquinas requeridas

Estabilizadores del los bordes requeridos

1-por-1

2-por-2

3-por-3

4-por-4

5-por-5

6-por-6

7-por-7

8-por-8

1. Construye patios cuadrados y registra tus datos en la tabla de arriba. 2. ¿Puedes identificar algún patrón y predecir los patrones para tamaños que no has construido en tus

modelos? 3. ¿Cuántas losetas necesitarías para un patio de 10-por-10? 4. ¿Cuántas losetas necesitarías para un patio de 20-por-20? 5. ¿Cuántas losetas necesitarías para un patio de n-por-n? 6. Escribe una expresión para los números de las losetas requeridas para cualquier dimensión dada (n). 7. ¿El número de estabilizadores de los bordes depende del número de esquinas o del tamaño del

patio? 8. ¿Cuál es el patrón que describe la relación entre el tamaño del patio y el número de estabilizadores

de los bordes requeridos? 9. ¿Cuál sería la regla (o fórmula) para esa relación? 10. ¿Consideras razonable que el número de esquinas y el número de marcos también dependan del

tamaño del patio? ¿Por qué? 11. ¿Puedes encontrar la relación entre el tamaño del patio y el número de marcos? (Pista: te serviría

considerar el número de losetas). 12. ¿Puedes encontrar la relación entre el tamaño del patio y el número de esquinas?

Loseta

Marco

Esquinas

Estabilizadores de los bordes



8.2 Lección de práctica Variación directa

Variación directa


1. Una regadera de ducha usa 2.5 galones de agua por minuto. Crea una tabla de valores (en minutos) para el tiempo gastado en la ducha y la cantidad de agua usada.

Tiempo

(en minutos)

Agua usada

(en galones)

1

2

3

4

5

6

7

8

2. ¿Cuál es la cantidad de agua usada en el tiempo cero? ¿Cómo se relaciona esto con el concepto intercepto en y de la gráfica de esta función?

3. Escribe una ecuación que describa esta relación.

4. ¿Cuál es la variable dependiente? ¿Cuál es la variable independiente?

5. Traduce tu ecuación a x y y. ¿Cuál es la pendiente? ¿Cuál es el intercepto en y?

6. ¿Cuál es el coeficiente de x?

7. Este es un ejemplo de variación directa. La ecuación de cualquier variación directa puede escribirse como:

8. y = kx. ¿Cuál es la pendiente, y cuál es el intercepto en y de esta ecuación?


855 Fuente: https://docs.google.com/Doc?id=dfwg6ffr_27fs49rv

8.2 Tarea de desempeño. Hoja de trabajo: Posters

Dependiente/Independiente

Proyecto de póster: Variables independientes vs. dependientes

¿QUIÉN?: Tú (y todos los demás). ¿Qué?: Haz un póster (8.5" por 11" o más grande) en el que uses imágenes para mostrar la diferencia entre las variables dependientes e independientes. ¿CÓMO?: Encuentra o piensa en un ejemplo de una variable dependiente e independiente (usa la lista dada abajo para empezar). Tus pósters deben tener: dos imágenes, una para ilustrar cada variable (dibuja, corta de un periódico o revista, o imprime la imagen de Internet), un título, etiquetas para “variable dependiente” y “variable dependiente”, y un pie de foto que diga:

______________________ depende de_______________________. tu variable dependiente tu variable independiente ¿DÓNDE?: ¿POR QUÉ?: ¿DÓNDE?: EJEMPLOS:

DEPENDIENTE INDEPENDIENTE

Cuenta de teléfono celular Minutos usados

¿Qué tan lejos puedes manejar? La cantidad de gasolina que tienes

Tú evaluación de seis semanas El número de tareas que entregaste

¿Cuánto dinero ganas? Las horas que trabajas

El costo de una multa por alta velocidad ¿Por cuántas millas excediste el límite de velocidad

El tiempo que toma manejar a algún lugar ¿Qué tan rápido manejas?

El resultado de un juego de baloncesto ¿Quién anota más puntos?

Cuando llueve Gente usa paraguas

Total de calorías y grasa Número de hamburguesas que consumes

Oportunidades de trabajos bien pagados ¿Cuánta educación tienes?



8.3 Actividad de aprendizaje El juego del cuadrado: Factorizando

El juego del cuadrado: Factorizando

1. Corta los cuadrados. 2. Parea cada ecuación con la solución correspondiente. 3. Debes conseguir un cuadrado cuatro-por-cuatro.

(x – 2)(x + 2) (4x – 1)2 (6x + 1)(x – 2) (x + 1)(x – 1)

(5x

– 4

)2

x2 – 4

x – 12

(x +

2)(

x –

6)

x2 – 1

6

(x +

4)(

x –

4)

6x

2 + 13

x + 6 (3

x +

2)(

2x

+ 3

)

x2 – 1

4x + 2

4

x2 + 6x + 9 x

2 – 10x + 24 25x

2 – 16 6x

2 + 41x + 30

(x + 3)2 (x – 4)(x – 6) (5x – 4)(5x + 4) (x + 6)(6x + 5)

(x –

2)(

x –

9)

x2 + 3

x – 18

(x –

3)(

x +

6)

x2 + 6

x – 16

(x –

2)(

x +

8)

9x

2 – 12

x + 4

(3x

+ 2

)2

x2 + 7

x – 18

4x2 – 25 x

2 – 9 16x

2 – 1 x

2 – 7x + 12

(2x + 5)(2x – 5) (x + 3)(x – 3) (4x – 1)(4x + 1) (x – 4)(x – 3)

(x +

2)(

x +

5)

(x2 – 6

x – 16

) (x +

2)(

x –

8)

x2 – 2

x – 15

(x +

3)(

x –

5)

4x

2 + x – 5

(4x + 5

)(x – 1)

6x

2 – x – 2

x2 + 4x + 3 7x

2 – 19x + 10 9x

2 – 4 x

2 – 8x + 16

(x + 3)(x + 1) (7x – 5)(x – 2) (3x – 2)(3x + 2) (x – 4)2

(2x

– 5

)(2

x +

1)

4x

2 + 20

x + 25

(2x

+ 5

)2

3x

2 + 2x – 1

(3x

– 1

)(x

+ 1

)

x2 – x – 1

2 (x

+ 3

)(x

– 4

)

x2 + 1

6

25x2 + 20x + 4 x

2 + 9 x

2 + 3x – 10 x

2 – 15


857 Fuente: edCount, LLC

8.3 Actividad de aprendizaje Tablas de M&M’s

No. de jugada

No. restante

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

No. de jugada

No. restante

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

No. de jugada

No. restante

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

No. de jugada

No. restante

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14


858

8.3 Lección de práctica Aplicaciones cuadráticas

Aplicaciones cuadráticas Trabaja con los miembros de tu grupo para completar los siguientes problemas, pero anota tu trabajo en tu propia hoja. Asegúrate de entender cada parte de tu solución. Cuando la clase discuta los problemas, cualquiera puede ser seleccionado para explicar el problema. Problema 1 Supón que estás parado en un precipicio de 110m sobre el nivel del mar. Tiras una piedra verticalmente hacia arriba 17 m/s. Después de alcanzar su altura máxima, la piedra cae a la playa, pasando el precipicio durante la caída. La altura de la piedra está dada por la ecuación: H = –4.9T2 + 17T + 110, donde H es la altura en metros de la piedra sobre la playa y T es el tiempo transcurrido en segundos. En la tierra la fuerza de gravedad es 9.8 m/s2 (nota que la mitad de la cantidad se traslada en el coeficiente principal de esta cuadrática) 1. Haz la gráfica 2. ¿Qué coeficiente en la ecuación es la velocidad inicial de la piedra? 3. ¿Cómo cambiarían la gráfica y la ecuación si la velocidad inicial fuera 22 m/s? 32 m/s? 12 m/s? 4. ¿Qué coeficiente es la altura del precipicio? 5. ¿Cómo cambiarían la gráfica y la ecuación si la altura del precipicio fuera 120 m? 140 m? 100 m? 80 m? 6. ¿Cuánto le toma a la piedra llegar a la playa? 7. ¿Cuándo alcanza la piedra su altura máxima? 8. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la piedra? Supón que puedes lanzar una roca hacia arriba 17 m/s de un precipicio de 110 m en los cuerpos celestes listados en la tabla a la derecha.

1. Da la ecuación para encontrar H para cada lugar.

2. ¿Cómo cambiaría la gráfica de este problema si usaras estos valores?

3. Determina la altura máxima de la piedra en la luna, el tiempo para alcanzar la altura, y el tiempo que necesita para pegar en el suelo.

Problema 2 Una compañía de tránsito transporta a 80,000 personas por día a una tarifa de $1.25. Una encuesta indica que si aumenta la tarifa, el número de usuarios disminuiría a 360 por cada centavo de aumento.

1. Define la variable y escribe la ecuación para el ingreso R en dólares para los boletos vendidos.

2. Expande la ecuación de #1 en forma cuadrática.

3. Calcula la tarifa de aumento que resultaría en el mayor ingreso para la compañía.

4. Calcula la tarifa de aumento que resultaría en un 5% de aumento en los ingresos.

5. Explica por qué hay dos respuestas para la #4.

Cuerpo celeste Gravedad

m/s2

Sol 273.0

Luna 1.6

Mercurio 3.5

Venus 8.9

Tierra 9.8

Marte 3.7

Júpiter 24.9

Saturno 10.6

Urano 8.9

Neptuno 11.7

Plutón 0.59


859


Problema 3

Una mujer salvavidas tiene 250 m de cuerda para hacer un área de nadar rectangular para los niños en la costa de una playa. Ella puede hacer esto de muchas maneras, dejando el largo de 250 m, pero el área cercada puede variar.

1. Verifica que el área cercada sí varía, bosquejando tres posibilidades que muestren las dimensiones y el área de la región rectangular.

2. Deja que X metros representen la longitud de la cuerda perpendicular a la costa. Escribe una ecuación para el área A(X) cercada.

3. Calcula las dimensiones de un rectángulo que cerca 6,000 m2 de agua.

4. Calcula el área máxima de agua posible que puede ser cercada.

5. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo que cerca el área máxima? Trabaja los siguientes problemas como tarea por tu cuenta. Puedes usar una calculadora gráfica para verificar los resultados y defender tus respuestas. Problema 1 Un pelotero llamado Pepe le pega a una bola que pasa sobre la base a 3.5 pies sobre el suelo. La bola viaja hacia el jardín en una ruta descrita por la ecuación H(T) = –.005X2 + 2X + 3.5, donde X es la distancia en pies de la bola desde la base y H es la altura en pies de la bola a cualquier instante. 1. Bosqueja el vuelo de este golpe. 2. ¿Cuándo esta la bola a 8 pies de altura? 3. Un lanzador está parado en un montículo a 60 pies del plato. ¿Cuán alta está la bola cuando está

directamente sobre su cabeza? (No prestes atención a la altura del montículo para este cálculo) 4. ¿Cuándo el pelotazo de Pepe alcanzará una altura de 100 pies? 5. ¿Cuán lejos del plato estará la bola cuando pegue en el piso? 6. Crea y responde a una pregunta adicional sobre el bolazo de Pepe. (¡Se creativo!)




Problema 2

Una malabarista lanza las pelotas de su mano a una altura de 1 m con una velocidad de ascenso inicial de 10 m/s.

1. Escribe una ecuación que describa la altura de la bola sobre el tiempo.

2. ¿Cuán alta estará la bola a 1 segundo? ¿Después de 2 segundos?

3. Bosqueja la ruta de esta bola.

4. ¿Cuán alto llegará la bola?

5. ¿Cuándo retornará la bola al “nivel de las manos”?

6. ¿Cuándo llegará la bola al suelo, si la malabarista falla su tirada?

7. Crea y responde a una pregunta adicional sobre la tirada de la malabarista.


861

8.3 Lección de práctica Recolectando datos y

ecuaciones de regresión

Recolectando datos y ecuaciones de regresión

Materiales requeridos

Regiones circulares con radios variados (1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm, etc.) cortados de papel cartulina

Papel cuadriculado a un centímetro

Calculadoras gráficas

Una copa grande por equipo

Una bolsa grande de M&M’s® por equipo

Servilletas o toallas de papel para cubrir los escritorios

Una copia de cada uno de los cinco folletos para cada estudiante

Actividad instructiva 1 Nota: Mientras más regiones circulares tengan que medir los estudiantes, mejor se verá la gráfica de puntos. Esta actividad también puede realizarse con estudiantes más jóvenes. En lugar de encontrar la ecuación de regresión para los datos, los estudiantes pueden encontrar el área promedio como se determine por los estudiantes en clase. 1. De a cada estudiante un folleto de Actividad 1: “Recolectando datos y ecuaciones de regresiones”. 2. Permita que los estudiantes trabajen solos o en pares.

Actividad instructiva 2 Nota: Esta es una situación muy interesante. Durante ciertos años, la regresión “parece” ser lineal, mientras que en otros momentos toma diferentes formas. Esto puede usarse como una introducción al cálculo lineal. 1. De a cada estudiante un folleto Actividad 2: “Recolectando datos y ecuaciones de regresiones”. 2. Permita que los estudiantes trabajen solos o en pares.

Actividad instructiva 3 1. Divida la clase en grupos de no más de tres estudiantes. 2. Distribuya M&M’s, copas, y el folleto Actividad 3, “Experimento M&M’s® ”. 3. En el proceso de recolección de datos, el número de M&M’s que quedan no suele ser cero debido al

proceso manufacturero. Si el número fuese cero, este punto de datos necesita ser anotado como 0.01

Tarea Pida a los estudiantes que completen “el problema de los conejos y güimos” detallado en el

folleto.


862



Actividad 1: Recolectando datos y ecuaciones de regresión 1. Coloca las regiones circulares provistas por el maestro en el papel cuadriculado en centímetros y

trázalas. 2. Cuente el número de centímetros cuadrados en el área de una región circular y anote la medida en

la tabla:

Radio del círculo

No. de centímetros cuadrados

1

2

3

4

5

6

3. Anota el radio de cada círculo en L1 en la calculadora y el área de la región circular en L2. 4. Usa la calculadora para generar una gráfica de dispersión. 5. Examina la gráfica de dispersión con detenimiento y decide en qué familia de funciones puede ir la

gráfica. 6. Usando las capacidades de las ecuaciones de regresión en la calculadora y tu conocimiento de la

funciones de las familias, encuentra la ecuación de regresión que crees que va mejor con los datos y haz una gráfica de la curva a través de los puntos de los datos.

7. Usando la ecuación de curva, predice el área de la región circular con el radio de 12 cm. 8. ¿Cuál sería el radio de la región circular que cubre 450cm cuadrados? (Pista: Trabaja al revés para

encontrar la respuesta).


863



Actividad 2: Recolectando datos y ecuaciones de regresión

Año Matrimonios Divorcios

1960 1,523,000 393,000

1962 1,557,000 413,000

1964 1,725,000 450,000

1966 1,857,000 499,000

1968 2,069,258 584,000

1970 2,158,802 708,000

1972 2,282,154 845,000

1974 2,229,667 977,000

1976 2,154,807 1,083,000

1978 2,282,272 1,130,000

1980 2,406,708 1,182,000

1982 2,495,000 1,180,000

1984 2,487,000 1,155,000

1986 2,400,000 1,159,000

1988 2,389,000 1,183,000

1990 2,448,000 1,175,000

1992 2,362,000 1,215,000

1. Usando los datos que representan el número de matrimonios y divorcios en los Estados Unidos del

1960 al 1992, entra el año en la Lista 1, el número total de matrimonios en la Lista 2, y el número de divorcios en la Lista 3.

2. Calcule el índice de divorcios y ponga los datos en la Lista 4. 3. ¿Qué tipo de regresión va mejor con los datos de 1960 a 1976? 4. Si el patrón continúa de esta manera, ¿cuál sería el índice de divorcio predicho para 1994? 5. ¿Qué tipo de regresión va mejor con los datos de 1978 a 1992? 6. Basándote en los datos, ¿cuál sería el índice de divorcio predicho para 1995? Extensión 1. ¿Cuál es la explicación posible para las diferentes regresiones en los índices de matrimonios y

divorcios? 2. ¿Encuentras algo “extraña” en estos datos?





Actividad 3 El siguiente experimento está diseñado para estimular la frecuencia natural y darles a los estudiantes experiencia con una situación del mundo real que es exponencial. Usted tendrá una bolsa de dulces M & M ™ para cada grupo y un vaso pequeño. 1. Cuenta los M&M’s™ en el vaso que le dieron a tu grupo y anota el número en la tabla debajo a la

derecha de lanzamiento #0. 2. Agita el vaso y con cuidado vira los M&M’s™ sobre el pupitre. Remueve y deja a un lado aquellos

que cayeron mostrando la m. Cuenta los que sobren y anota este número en la tabla a la derecha de lanzamiento #1. Pon estos dulces de vuelta al vasito.

3. Mueve el vaso, vira los dulces. Remueve y deja a un lado aquellos que cayeron mostrando la m. Cuenta los que sobren y anota este número en la tabla.

4. Repite este procedimiento hasta que no aparezcan m. 5. Haz una gráfica en papel de gráfica con los datos colectados. 6. ¿Qué notas? ¿Es esto una función lineal o no lineal? ¿De qué tipo? ¿Cómo lo sabes?

Número del sortero

Número restante

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14



8.3 Lección de práctica Resolviendo cuadráticas

Resolviendo cuadráticas Resuelve las siguientes cuadráticas. Muestra todos los pasos. 1. 2x2 + 4x + 15 = 0

2. 5x2 = 2x – 8

3. 6x2 – x + 24 = 0

4. 15x2 + 2x + 1 = 0

5. 9x2 + 3x + 4 = 0

6. 3x2 – 2x + 4 = 0

7. 3x2 – 2x + 1 = 0

8. 2x2 + 3x = –8

9. 3x2 + 4x = –2

10. 2x2 – 3x + 5 = 0

11. 3x(x + 1) = x – 5

12. 2x2 + 8 = x

13. 7x – 13 = x2

14. x2 + 3x + 5 = 0

15. x2 + 4 = 2x


Fuente: http://www.learner.org/workshops/algebra/workshop4/teaching2.html 866

8.3 Tarea de desempeño El cohete

Tarea de desempeño El camino al modelo de un cohete puede describirse por su función cuadrática y = -x2 - 12x, donde el punto (x, y) representa la altura (y) del cohete (en metros) a tiempo x segundos después del despegue. Identifica la altura máxima del cohete, y determina el momento en el que el cohete alcanza su altura máxima.

Nivel Descripción Características

4

Hay evidencia clara y convincente que sugiere que el estudiante tiene un conocimiento amplio de las ideas matemáticas claves en el problema.

El estudiante hace una gráfica de la parábola, convierte la ecuación en la forma de vértice, genera una tabla de puntos o identifica correctamente el vértice como (6, 36). Además, el estudiante indica que la altura máxima del cohete, 36 metros, ocurre 6 segundos después del despegue.

3

Hay evidencia que sugiere que el estudiante comprende casi completamente las ideas matemáticas claves del problema.

El estudiante intenta resolver el problema usando un método correcto, pero alguna omisión menor no permite una solución correcta.

2

Hay evidencia que sugiere que el estudiante tiene un conocimiento parcial de las ideas matemáticas claves del problema.

El estudiante intenta resolver el problema usando un método correcto, pero con varios errores menores u omisiones que no permiten una solución correcta o el vértice no está identificado, o los resultados son interpretados incorrectamente.

1

Hay evidencia que sugiere que el estudiante tiene un conocimiento limitado de las ideas matemáticas claves del problema.

El estudiante intenta resolver el problema usando un método correcto, pero la solución es incompleta o errores mayores u omisiones no permiten una solución correcta.

0 Insuficiente. No hay evidencia suficiente presentada para juzgar el conocimiento de la matemática envuelta en la tarea.


867

8.4 Lección de práctica Construcciones

Construcciones

Materiales requeridos Hojas de actividades 1 y 2 “Construcciones” para cada estudiante Regla Compás

Actividad instructiva Haga que los estudiantes completen las hojas de actividades. Trabajar en parejas puede ayudarles.

Ejemplo de avalúo Haga que los estudiantes trabajen en pares para evaluar las estrategias. Use las hojas de actividades para valorar la comprensión de los estudiantes. Haga que los estudiantes completen una entrada del diario resumiendo los pasos para cada

construcción.

Seguimiento/Extensión Haga que los estudiantes investiguen problemas prácticos que involucren construcciones. Haga que los estudiantes completen diagramas creativos usando construcciones combinadas.


868


Hoja de Actividades 1: Construcciones

Construyendo una perpendicular a una línea dada desde un punto que no está en la línea Línea dada l y punto A no en l,

Desde punto A, dibuja un arco que interseque línea l en dos puntos. Llama a estos puntos

X y Y.

Desde X, dibuja un arco que sea de más de la mitad de la longitud al punto Y. Usando la misma longitud de arco, dibuja otro arco desde Y que interseque con el primer arco.

Dibuja una línea recta a través de los puntos A y Z.

A

Z

YX

A

Z

YX

A

YX

A


869


Línea AZ es a línea l.


870


Construyendo los bisectores de un ángulo dado Dado ABC,

Desde X, dibuja un arco que sea lo suficientemente largo para alcanzar y pasar B. Usando la misma apertura de compás y Y como el centro del círculo, dibuja otro arco que interseque con el primer arco.

Desde B, dibuja un arco que interseque con BA en X y con BC en Y.

Dibuja la raya desde B hacia Z. La raya BZ es el ángulo bisector de ABC.

BZ biseca ABC.

A

B C

Y

X

A

B C

Z

Y

X

A

B C

Z

Y

X

A

B C


871


Hoja de actividades 2: Construcciones Construye un segmento de línea congruente con cada segmento de línea dado. 1. 2. 3. Construye un ángulo congruente con cada ángulo dado. 4. 5. 6. Construye una línea perpendicular a cada línea dada a través de un punto dado en la línea. 7. 8. 9. Construye una línea perpendicular a cada línea dada a través de un punto dado que no está en la línea. 10. 11. 12. Construye el ángulo bisector de cada ángulo dado. 13. 14. 15.

A B C D W Z

D

C

E L

KM

O

N

P

Q RV T PO

A

BM

T U

H

M L

C

V

WE

X

W

Y

A

B

C

E F

D


872


Ejemplo de avalúo

Como se muestra, un diseño hecho con líneas paralelas se cose al bolsillo de una camisa. ¿Cuál es el valor de x?

A 50

B 80

C 100

D 130

Como se muestra en la figura, un avión sale de la pista de

despegue con dirección al este y luego gira 35 a la derecha. ¿Cuánto más tiene que girar para ir en dirección al sur?

A 10

B 45

C 55 _

D 65

Un jardinero recarga su pala sobre una pared. La pala hace un ángulo de 50 con el suelo, como se muestra en el diagrama. ¿Qué representa el suplemento al ángulo

de 50? F w G x H y J z _ El pentágono regular ABCDE está formado por las uniones de los puntos medios de los lados del pentágono regular PQRST ¿Cuál es la

medida de PAB?

F 30

G 36 _

H 60

J 72 El polígono en el dibujo de la derecha es un octágono

Pared




rectangular con O como su centro ¿Cuál es el valor de x?

A 30

B 45 _

C 60

D 72

La línea l es paralela a la línea m cuando el valor de x es F 3 G 12 H 30 _ J 38

El dibujo en la derecha muestra un aparato diseñado para desviar rayos de luz alrededor de un obstáculo. Las líneas a

y b son paralelas, y los ángulos 2 y 4 cada uno miden 32. Si las líneas l y m fueran paralelas, ¿cuál sería el valor de x?

F 32

G 64

H 116

J 148 El diagrama de la derecha muestra una mesa en

construcción. Si cada pata forma un ángulo de 70 con respecto a la parte alta de la mesa, ¿cuál debe ser el valor de x para que la parte alta de la mesa sea paralela al suelo?

A 40

B 70

C 90

D 110


874

8.4 Lección de práctica Plano de puntos

Exploración de la relación pitagórica en un plano de puntos

Materiales que se necesitan Planos de puntos de 11 puntas o papel de puntos Transparencia de plano de puntos Una copia de las hojas de actividad 1, 2 y 3 para cada estudiante

Actividad instructiva 1. Haga que los estudiantes completen la hoja de actividad en un grupo pequeño y anoten sus

hallazgos. 2. Haga que los estudiantes discutan sus hallazgos. 3. Discuta los hallazgos con la clase completa. 4. En una transparencia de plano de puntos sobre el proyector, construye un triángulo recto en el que

uno de los extremos es horizontal y otro vertical. 5. Pida a un estudiante que construya un cuadrado en cada extremo y luego en la hipotenusa del

triángulo. 6. Pida a los estudiantes que encuentren en el área de cada cuadrado. Puede ser difícil para algunos

estudiantes reconocer una manera de encontrar el área de la hipotenusa, por lo cual usted puede ayudarlos.

7. Dé a los estudiantes la hoja de actividades 2, “Exploración de la relación pitagórica en el plano de puntos”. Hágalos rellenar los datos con el ejemplo hecho por toda la clase”.

8. Haga a los estudiantes trabajar para encontrar varios ejemplos y anótelos en la tabla. 9. Haga a los estudiantes que presenten sus hallazgos a toda la clase. 10. Haga a los estudiantes completar el resto de la hoja de actividad en grupos pequeños y discutan los

hallazgos en conjunto.

Ejemplo de avalúo Haga a cada grupo presentar sus hallazgos a la clase. Haga a los estudiantes completar la entrada del diario resumiendo la actividad.

Seguimiento/extensión Haga a los estudiantes investigar los triples pitagóricos y hacer generalizaciones sobre la longitud. Haga a los estudiantes encontrar prueba del teorema pitagórico además de las investigadas aquí.

Hágalos presentar la prueba a la clase y/o escribir una entrada en el diario.


875


Papel de puntos


876


Hoja de actividad 1: Exploración de triángulos rectos en plano de puntos Haz un triángulo recto en un gran plano de puntos o papel. Construye un cuadrado en cada lado del triángulo. Identifica el lado más pequeño como lado a; el mediano, lado b, y el más largo, lado c. Completa la tabla.

Largo de lado a

Largo de lado b

Largo de lado c

Área del cuadrado en lado a

Área del cuadrado en lado b

Área del cuadrado en lado c

a2 + b2

1. ¿Al otro lado de qué ángulo siempre encuentras c, el lado más largo? 2. ¿Qué otros patrones ves? 3. ¿Puedes plantear la relación en palabras? ¿Usando las letras a, b y c? 4. ¿Cuando crees que esto sería cierto? ¿Por qué? Un acercamiento algebraico al Teorema de Pitágoras Completa las expresiones para cada área indicada. 1. Área del cuadrado grande WXYZ = (a + b)2 =

(a + b)(a + b) = ________________ 2. Área del cuadrado grande WXYZ =

área del cuadrado STUV + 4(área del triángulo XST) = __________________ + __________________

3. Establece las expresiones de #1 y #2 una igual a la otra y

simplifique. ¿Dónde has visto esto antes? Sombrea un triángulo recto en el dibujo para el cual la relación sea verdadera.

W

Z

X

Y

T

S

U

V

a

a

a

a

b

b

b

b

c

c

c

c


877


Hoja de actividad 2: Exploración de la relación pitagórica en plano de puntos Usando un plano de puntos, dibuja diferentes tipos de triángulos. Usa una regla para medir, de ser necesario. Completa la tabla.

Largo h del

lado a

Largo h del

lado b

Largo h del

lado c Bosquejo de triángulo

c2

a2 b2 < c2 = a2 + b2 >

Tipo de triángulo: Agudo, recto u

obtuso

5. ¿Qué patrones ves emerger? 6. ¿Puedes plantear la relación en palabras? ¿Usando las letras a, b y c? 7. ¿Qué generalizaciones puedes hacer? 8. Decide si los siguientes números pueden representar el largo de los lados del triángulo. Si puedes,

clasifica el triángulo como agudo, recto y obtuso. a. 20, 99, 101 b. 21, 28, 35 c. 2, 10, 12 d. 2.2, 5, 5.5 e. 10, 11, 14


878 Fuentes: http://www.doe.virginia.gov/testing/sol/standards_docs/mathematics/index.shtml

http://mathbits.com/mathbits/studentresources/graphpaper/graphpaper.htm


Hoja de actividad 3: Derivando la fórmula de distancia, usando el teorema de Pitágoras

1. Encuentre el largo del segmento AB, como sigue:

a. Señala el punto B as (x1, y1) y señale el punto A as (x2, y2). b. Construye un cuadrado en cada extremos y luego en la hipotenusa del triángulo. c. Encuentra el área de cada cuadrado. d. Usa el teorema pitagórico para establecer la expresión algebraica. e. Calcula el largo de la hipotenusa.

2. ¿Cuál es la expresión con la que terminaste? 3. ¿Cuál es el nombre de esta fórmula? 4. ¿Cuando usamos esta fórmula? 5. Encuentra la longitud del segmento pedido, usando la fórmula que encontraste.

a. AB, si A(3, 2) y B(2, –1) b. CD, si C(–1, –3) y D(9, 5)

A

B C


879

8.4 Lección de práctica Razonamiento inductivo y

deductivo

Razonamiento inductivo y deductivo

Actividad instructiva 1. Revise el vocabulario básico que se incluye en las hojas de actividades. 2. Haga que los estudiantes trabajen en pares o en grupos pequeños para completar las hojas de

actividades. 3. Use las propiedades algebraicas de igualdad (incluidas en la Hoja de Actividad 3) para relacionar,

concentrar o mencionar los pasos de una prueba —además de escribirla.

Seguimiento/Extensión Haga que los estudiantes investiguen problemas prácticos que involucren razonamiento inductivo o

deductivo. Haga que los estudiantes creen sus propias conjeturas para probar o refutar.

Ejemplo de avalúo Haga que los estudiantes trabajen en pares para evaluar estrategias. Use las hojas de actividades para evaluar la comprensión de los estudiantes. Haga que los estudiantes completen una entrada de diario comparando y contrastando estrategias

de razonamiento inductivo y deductivo.


880


deductivo

Hoja de Actividad 1: Razonamiento inductivo y deductivo

Ejemplo de razonamiento deductivo Ejemplo de razonamiento inductivo Tomás sabe que si se pierde el entrenamiento

el día anterior a un juego, entonces no será titular en ese juego.

Tomás se perdió el entrenamiento del martes Conclusión: Tomás no será titular en el juego

del miércoles.

Observación: Mia llegó tarde a clase esta mañana.

Observación: El cabello de Mia estaba despeinado.

Experiencia anterior: Mia es muy cuidadosa con su cabello.

Conclusión: Mia durmió de más esta mañana. Completa las siguientes conjeturas basándote en el patrón que observas en casos específicos: Conjetura: La suma dos números impares, cualesquiera que estos sean, es ________. Conjetura: El producto de dos números impares, cualesquiera que estos sean, es________. Conjetura: El producto de un número (n – 1) y de un número (n + 1) siempre es igual a________. Comprueba o refuta la siguiente conjetura: Conjetura: Para todos los números reales x, la expresión x2 es mayor o igual a x.

Razonamiento inductivo Patrón

Verificar/Modificar

Conjetura

El razonamiento inductivo va de las observaciones más particulares a las más grandes generalizaciones.

El razonamiento deductivo va de lo más general a lo más particular.

Razonamiento deductivo

Hechos

Propiedades aceptadas

Definiciones

Argumento lógico

1 + 1 = 2 7 + 11 = 18

1 + 3 = 4 13 + 19 = 32

3 + 5 = 8 201 + 305 = 506


881


deductivo

Hoja de Actividades 2: Razonamiento inductivo y deductivo 1. Juan siempre escucha su estación favorita de radio, una estación de música clásica, cuando conduce

su auto. Cada mañana escucha el radio de camino al trabajo. El lunes prende el radio de su auto y se escucha música salsa. Haz una lista de conjeturas válidas para explicar porqué se escucha una música distinta en su radio ese día.

2. M es obtuso. Has una lista de conjeturas con base en esta información. 3. Con base en la tabla de la derecha, Marina concluye que cuando uno de los

dos sumandos es negativo, la suma siempre será negativa. Escribe un contraejemplo a la conjetura de Marina.

Las propiedades algebraicas de igualdad, incluidas en la Hoja de actividades 3, pueden usarse para resolver 5x – 18 = 3x + 2 y escribir una razón para cada paso, como se muestra en la tabla de la izquierda.

Usando una tabla como la anterior, resuelve cada una de las siguientes ecuaciones y escribe la razón para cada paso. 4. –2(–w + 3) = 15 5. p – 1 = 6 6. 2r – 7 = 9 7. 3(2t + 9) = 30 8. Dado 3(4v – 1) –8v = 17, comprueba v = 5. Relaciona cada uno de los siguientes enunciados condicionales con una propiedad:

A. Propiedad de multiplicación F. Propiedad identidad B. Propiedad de sustitución G. Propiedad distributiva C. Propiedad transitiva H. Propiedad de sustracción D. Propiedad conmutativa I. Propiedad de división E. Propiedad inverso

9. Si JK = PQ entonces PQ = ST, entonces JK = ST. _____

10. Si m S = 30, entonces 5 + mS = 35. _____ 11. Si ST = 2 y SU = ST + 3, entonces SU = 5. _____

12. Si m K = 45, entonces 3(mK) = 135. _____

13. Si m P = m Q, entonces m Q = m P. _____

Sumandos Suma

–8 –10 –18

–17 –5 –22

15 –23 –8

–26 22 –4

Expresión Razón

5x – 18 = 3x + 2 Expresión dada

2x – 18 = 2 Propiedad de sustracción

2x = 20 Propiedad conmutativa

x = 10 Propiedad de división




deductivo

Hoja de actividad 3: Propiedades algebraicas de la Igualdad a, b, y c son números reales

Propiedad conmutativa Si a = b, entonces a + c = b + c

Propiedad de sustracción Si a = b, entonces a – c = b – c

Propiedad de multiplicación Si a = b, entonces ac = bc

Propiedad de división Si a = b y c 0, entonces

a c = b c

Propiedad identidad a = a

Propiedad inverso Si a = b, y b = a

Propiedad transitiva Si a = b y b = c, entonces a = c

Propiedad de sustitución Si a = b, entonces a puede ser sustituida por b en cualquier ecuación o expresión.

Propiedad distributiva a(b + c) = ab + ac


883

8.4 Otra evidencia Prueba corta

1. Usa tu compás y tu escalímetro para construir una línea que sea perpendicular a ST y que pase por el

punto O. ¿Qué otro punto está en esta perpendicular? A. W _ B. X C. Y D. Z

2. Usa tu compás y escalímetro para construir el bisector de

QRS, que se muestra a la izquierda ¿Qué punto está sobre este bisector?

A. W B. X C. Y D. Z

SESSION: 3 PAGE: 10 10/16/100 11:22 LOGIN IS PATH: @sun1/xydisk2/C



8.4 Otra evidencia Prueba corta

3. El dibujo de la derecha muestra la construcción con un compás y un escalímetro de

A. el segmento de una línea congruente con un segmento de línea B. el bisector de un segmento de línea C. el bisector de un ángulo dado D. un ángulo congruente con un ángulo dado

4. ¿Cuál es la pendiente de una línea entre (–2, 3) y (1, 1)?

A. –32

B. –23

C. 12

D. 2 5. El hexágono en el dibujo tiene una línea de

simetría a través de A. (–1, –3) y (2, 1) B. (1, 1) y (1, –3) C. (2, 3) y (2, –3) D. (–2, –1) y (3, –1)

6. ¿Qué triángulo es una rotación de 180 sobre el origen del triángulo ABC?

A. DEF

B. GHI

C. JKL

D. MNO


885

8.4 Tarea de desempeño 11 Redes

Las 11 redes de un cubo


886


Hoja de rompecabezas: Redes de un cubo

Colorea las redes de un cubo en esta página.


Fuente: http://www.numeracycd.com/contents/activities/nets/nets.htm 887


Hoja de rompecabezas: Redes de un cubo – Solución

Las formas sombreadas son las 11 redes de un cubo.


888




Materiales que se necesitan Una copia de la hoja “Medidas de tendencia central” para cada estudiante

Actividad instructiva 1. Distribuya la hoja a los estudiantes. 2. Asigne un número de objetos para vender en una venta de garaje. (Nota: Como usted puede asignar

cualquier número de objetos para la venta, esta actividad puede repetirse varias veces distintos con números de objetos).

3. Haga que los estudiantes trabajen solos o en parejas. Cerciórese de que reconozcan la necesidad de trabajar hacia atrás en el proceso de resolver el problema para medidas de tendencia central.

4. Dé a cada par de estudiantes un escenario diferente, y reúna al grupo al final de la clase para discutir cada escenario; o distribuya el salón de clases en estaciones y deje que roten los estudiantes a través de los escenarios.

Ejemplo de avalúo Pida a los estudiantes que escriban una entrada del diario sobre la actividad. Compare y contraste los tres escenarios describiendo el rol de la media, mediana y moda y/o la

amplitud de los datos en un determinado conjunto de precios que cuadre con el escenario.

Seguimiento/extensión Haga que los estudiantes consideren uno de los escenarios. Si el número de objetos disponibles en

la venta de garaje se duplican, ¿cómo se afectarían el conjunto de precios que dispone el escenario?

Tarea Pida a los estudiantes que consideren otros dos escenarios. Si el número de objetos disponibles en

la venta de garaje se duplican ¿cómo se afectarían el conjunto de precios que dispone el escenario? Luego hágalos considerar la situación en la cual alguien dona un objeto sofisticado (o de baja calidad). ¿Cómo se afectaría el conjunto de precios?





Medidas de tendencia central Escenario 1: Has recibido el dudoso honor de compartir la venta de garaje anual del CMS. Una de tus obligaciones es promocionar la actividad en el periódico La estrella independiente. El anuncio lee:

Venta de Garaje CMS El precio de los objetos va de 20 centavos a

$4.80. La mediana de los precios es de $2.10.

La media de los precios es de $2.10.

1. Explique que quiere decir esto para un consumidor potencial. 2. Dé un ejemplo de un conjunto de precios que cuadre con el escenario. Escenario 2: Has recibido el dudoso honor de compartir la venta de garaje anual del CMS. Una de tus obligaciones es promocionar la actividad en el periódico La estrella independiente. El anuncio lee:




1. Explique que quiere decir esto para un consumidor potencial. 2. Dé un ejemplo de un conjunto de precios que cuadre con el escenario.

Escenario 3: Has recibido el dudoso honor de compartir la venta de garaje anual del CMS. Una de tus obligaciones es promocionar la actividad en el periódico La estrella independiente. El anuncio lee:




1. Explique que quiere decir esto para un consumidor potencial. 2. Dé un ejemplo de un conjunto de precios que cuadre con el escenario.



8.5 Lección de práctica Mercadeando con diagramas de

dispersión

Mercadeando con diagramas de dispersión

Materiales que se necesitan Copias de encuestas creadas por los estudiantes Papel de gráfica Transparencias o papel para tablas

Actividad instructiva 1. Dígales a los estudiantes que tienen que pretender que trabajan para una firma de mercadeo. Sus

clientes son una tienda de mascotas, una tienda de ropa a la moda para hombres y mujeres, una instalación de pérdida de peso y ejercicio, y una juguetería. Los estudiantes deben determinar en qué estación de radio sus clientes deben promocionarse.

2. Pida a los estudiantes que diseñen una encuesta para recolectar los datos de varias estaciones de radio para determinar en que estación de radio deben promocionarse.

3. Recuérdeles a los estudiantes que necesitarán algún tipo de datos cuantitativos para crear un diagrama de dispersión. Discuta con la clase cuáles dos conjuntos de datos que serán los más relevantes para determinar en qué estación promocionarse. Los más comunes serán probablemente edad y número de radioyentes por día/semana.

4. Como clase, pónganse de acuerdo en las preguntas para la encuesta que todos usarán. Especifique a los estudiantes el número de estaciones de radio de la encuesta. Discuta una muestra de estaciones de radio y las maneras en las que una encuesta pueda estar sesgada si la muestra no representa la población completa.

5. Haga que los estudiantes encuesten la muestra de estaciones de radio. Cuando los estudiantes traigan sus encuestas a clase, clasifique las encuestas según las estaciones de radio. Agrupe los estudiantes y dé a cada grupo las encuestas de una estación.

6. Pida a los estudiantes en cada grupo que trabajen juntos para crear un diagrama de dispersión de los datos y desarrollen una presentación que convenza a los clientes sobre en cual estación de radio deberían mercadearse. ¿Cuál es la relación entre los dos conjuntos de datos –positivos, negativos o ninguno? Haga que los alumnos presenten sus hallazgos en clase.

Ejemplo de avalúo La presentación debe incluir el método de organización de los datos, una exposición apropiada, un

enunciado que resuma el análisis de los datos y que envuelva medidas críticas (tendencia central, amplitud), e inferencias/conjeturas/predicciones basadas en los datos.

Seguimiento/Extensión Pida a los estudiantes que escriban una carta a sus clientes explicando su decisión y el pensamiento

matemático envuelto en tomar la decisión.


891

8.5 Lección de práctica Sesgo muestral

Introducción En esta lección, los estudiantes conducirán una encuesta para juntar información sobre las horas de tarea y estudiar los sesgos muestrales.

Para ayudar a los estudiantes a que se involucren en el concepto de sesgo muestral, puede darle un giro a la clase hacia algo divertido. Por ejemplo, dígales a los estudiantes que tienen que pretender que usted es un periodista de un periódico. Usted ha venido a la clase para averiguar qué comida prefieren los estudiantes. Escoja los tipos de comida (algunos ejemplos son tacos, pizzas y arroz con habichuelas, por ejemplo) y pregunte a los estudiantes qué comida les gusta más.

Cuente los votos todos juntos para identificar la comida que recibió más votos. (Imaginemos que fue pizza). Ahora hable con ellos sobre cómo piensa escribir un artículo titulado “¡Los estudiantes del Sr. Vargas prefieren pizza!” Exhorte a los estudiantes sobre cómo este artículo resume los votos de la clase que usted acaba de tomar. Puede preguntar: ¿Por qué salió “la pizza” en el titular de la noticia? ¿Todo el mundo votó por pizza? ¿Qué pasó con los votos de tacos y arroz con habichuelas? ¿Cómo estas selecciones en la encuesta afectaron el resultado?

Instrucciones Ahora les toca el turno a los estudiantes de ser periodistas. Estos conducirán una encuesta sobre cuánta tarea es apropiada para ellos. Los estudiantes trabajarán en tres grupos para conducir la encuesta: un grupo entrevistará a los estudiantes, otro los padres y otro los maestros. Antes de que los estudiantes comiencen su encuesta, dirija una discusión de clase sobre cómo se colecta la información. Considere estas preguntas con la clase:

¿Por qué puede ser importante entrevistar a estudiantes, padres y maestros sobre el horario de tarea?

¿Crees que cada grupo contestará las preguntas de la misma manera? ¿Por qué no entrevistar sólo a uno de los grupos? ¿Qué efecto tiene entrevistar a tres grupos de personas? Si tú fueras el principal de la escuela y estuvieras haciendo la decisión final sobre cuánto tarea debe

ser asignada a tu clase, ¿deberías entrevistar solo a los maestros? ¿Por qué sí o por qué no? La meta de esta lección es hacer que los estudiantes piensen sobre cómo el sesgo está relacionado a las encuestas y estudios. También es importante llevar una discusión sobre el rol que juega la encuesta en la recolección de la información. Seleccionar un conjunto de preguntas sobre otras, afecta el tipo de información que uno puede solicitar en una encuesta o estudio. También, rete a los estudiantes a que consideren por qué es significativo hacer las mismas preguntas a los encuestados mientras se realiza la encuesta o el estudio. Puede darles a los estudiantes un ejemplo rápido para ayudarlos a pensar sobre cómo las preguntas están ligadas a las respuestas. (Por ejemplo, ¿por qué se hacen las mismas preguntas en los exámenes?) Otras preguntas podrían ser:


892


Si estuvieras trabajando con un equipo y todos fueran a preguntarles a la gente sobre el tiempo de tarea, ¿te gustaría que todos hicieran las mismas preguntas o diferentes? ¿por qué?

¿Qué pasaría con tu información si todos hicieran diferentes preguntas? ¿Qué podrías aprender si todos hicieran las mismas preguntas?

Cuando los estudiantes hayan entendido la importancia de qué tipo de preguntas deben hacer para obtener información específica, introduzca la hoja de “Encuesta sobre la tarea”. Los estudiantes deberán votar para determinar cuáles preguntas se harán. Usted puede motivarlos a que discutan las fortalezas y debilidades de cada pregunta propuesta. Cuando ellos determinen las preguntas finales, pueden escribirlas en sus hojas de anotaciones, dejando espacio para que los entrevistados las contesten. Ahora hágalos trabajar en tres grupos para entrevistar a los estudiantes, padres y maestros. Cada estudiante debe completar su tarea por su cuenta para que todos tengan la oportunidad de entrevistar y ser entrevistado. Cuando los estudiantes hayan terminado con sus encuestas, hágalos regresar a los grupos pequeños (divididos por estudiantes, padres o maestros). Hágalos trabajar juntos en el desarrollo del reporte para el principal de la escuela. Avalúo

Haga que cada grupo lea la carta al principal en clase. Cuando todos hayan tenido su turno, puede facilitar una discusión sobre estos reportes que ayude a los estudiantes a reflexionar sobre cómo los hallazgos fueron diferentes entre los grupos. Puede preguntar:

¿Qué notan sobre los reportes? ¿Qué es similar? ¿Qué es diferente? Cada uno hizo las mismas preguntas pero obtuvieron distintas respuestas. ¿Por qué? Cada reporte hizo una recomendación al principal. ¿Qué pasaría si el principal recibe solo uno de los

reportes? ¿Deberá saber el principal cuántos estudiantes y maestros tomaron la encuesta y validar solo la

información del grupo más grande? ¿Qué harían para que su reporte al principal refleje más opiniones? ¿Cómo cambiaría su carta a una más representativa de la información recolectada?

Recuerde que la idea principal es que consideren que la información puede estar sesgada cuando solo un tipo de personas participan en la encuesta.


893


Encuesta de la tarea Ustedes son reporteros, y el principal de la escuela los ha contratado para investigar el tiempo dedicado a la tarea. El principal quiere saber cuánto tiempo los estudiantes deben dedicarle a hacer la tarea. Su trabajo es conducir una encuesta para encontrar los resultados sobre qué piensan los estudiantes, padres y maestros al respecto. 1. Quieres saber cuál es su opinión acerca del tiempo dedicado a la tarea. Pregunta de la clase: 2. Quieres saber por qué piensan esto. Pregunta de la clase:

3. Quieres saber qué piensan los estudiantes sobre cuál debería ser la decisión del principal. Pregunta

de la clase: 4. (Para cuando comiencen el trabajo en grupos pequeños) ¿A quién estás entrevistando: estudiantes,

padres o maestros?


Fuente: www.sciencenetlinks.com 894


Reporte para el principal Ahora que has terminado tu encuesta y recolectado los datos, el principal te ha pedido tu reporte. Escribe una carta al principal que describa con exactitud la información que recopilaste. Estimado Principal, Como usted nos solicitó, nosotros conducimos una encuesta sobre el tiempo dedicado a la tarea. Hicimos un trabajo minucioso e hicimos preguntas investigativas. Las respuestas que recopilamos definitivamente lo ayudarán a tomar una buena decisión. Nosotros entrevistamos a los_____________________________, y esto fue lo que hallamos: Nuestra recomendación oficial es que usted:

895

Matemáticas

Mapas Curriculares

9no Grado

Unidad 9.1: Ecuaciones lineales Matemáticas

3 semanas

Junio 2012 896

Etapa 1 - Resultados esperados

Resumen de la unidad

En esta unidad, los estudiantes graficarán ecuaciones lineales en dos variables, lo que incluye determinar la pendiente de una línea al proveérsele una ecuación de la línea, la gráfica de la línea o dos puntos en la línea. La pendiente será evaluada y relacionada con la línea de mejor ajuste.

Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán del curso con la capacidad de utilizar su conocimiento sobre gráficas y ecuaciones lineales para interpretar, predecir y resolver problemas en situaciones reales.

Estándares de contenido y expectativas

Ecuaciones lineales

E.AD.9.11.1 Juzga si el diagrama de dispersión aparenta demostrar tendencias lineales, y si es así, traza la línea de mejor ajuste y escribe la ecuación de esta línea; usa la ecuación para establecer predicciones e interpreta la pendiente de la línea en el contexto del problema. E.AD.9.11.2 Calcula la línea de mejor ajuste a mano para modelar una relación representada en un diagrama de dispersión, e interpreta la pendiente e intercepto en términos del contexto del problema.

Introducción a los sistemas de ecuaciones

A.RE.9.3.1 Construye un sistema de ecuaciones a partir de situaciones del mundo real utilizando distintos métodos y representaciones.


Las gráficas, como los diagramas de dispersión, proveen una representación visual de la información, demuestran las tendencias lineales y nos ayudan a hacer predicciones y tomar decisiones informadas.

Las tasas de cambio y los puntos de intercepción dotan de contexto a los problemas matemáticos lineales y nos permiten tomar decisiones informadas.

Un sistema de ecuaciones puede resolverse de diversas formas para proveer una solución a problemas del mundo real.


¿Cómo las ecuaciones lineales y sus gráficas correspondientes nos ayudan a tomar decisiones informadas?

¿Por qué es importante el contexto de los problemas matemáticos lineales?

¿Cómo puede un sistema de ecuaciones ayudar con la toma de decisiones?

Contenido (Los estudiantes comprenderán…)

Las tendencias lineales

La línea de mejor ajuste

La pendiente de la línea

Línea de regresión

Punto de intercepción

Sistema de ecuaciones


Juzgar si el diagrama de dispersión aparenta demostrar tendencias lineales, y si es así, trazar la línea de mejor ajuste y escribir la ecuación de esta línea; usar la ecuación para establecer predicciones e interpretar la pendiente de la línea en el contexto del


3 semanas

Junio 2012 897


General (diagrama de dispersión, ecuación lineal (y=mx+b), sistema de ecuaciones, lineal, modelo, forma punto-pendiente, relación, forma intercepción-pendiente)

Gráficas (línea de mejor ajuste, correlación negativa, correlación positiva, tasa de cambio, pendiente, intercepto x, intercepto y)

problema.

Calcular la línea de mejor ajuste a mano para modelar una relación representada en un diagrama de dispersión, e interpretar la pendiente e intercepto en términos del contexto del problema.

Construir un sistema de ecuaciones a partir de situaciones del mundo real utilizando distintos métodos y representaciones.

Etapa 2 - Evidencia de avalúo

Tareas de desempeño

Departamento de Planificación Urbana24

Los estudiantes demostrarán su comprensión de la pendiente analizando el siguiente escenario: Hace unos veinte años, el Departamento de Planificación urbana de San Juan inició un programa de sembrado de árboles para embellecer la ciudad. A continuación se encuentran los datos que muestran el número total de árboles (incluidos los últimos árboles sembrados) en la ciudad desde que se inició el programa.

Año 1988 1989 1990 1992 1995 1997

No. de Árboles

582 620 658 734 848 924

Eres miembro del departamento de planificación urbana y tu trabajo consiste en determinar si el plan departamental de continuar sembrando el mismo número de árboles cada año hasta alcanzar la meta total de 5,000 árboles para el 2088 puede cumplirse.

Asumiendo que no muera ningún árbol, ¿cuál debe ser el número total de árboles en la ciudad en el año 2000? Demuestra cómo calculaste tu respuesta.

En un artículo de periódico del 1989, el municipio de San Juan sostenía que habría un total de 5,000 árboles en la ciudad para la

Otra evidencia

Ejemplos de preguntas para quiz/examen

(Ver anejo: 9.1 Otra evidencia – Preguntas de prueba.) 1. Utiliza la tabla de expectativas de vida de

los puertorriqueños.25

Año Todos (años)

Mujeres (años)

Hombres (años)

1960 69 72 66 1965 70 73 67 1970 72 75 68 1975 73 77 70 1980 74 77 71 1985 74 78 71 1990 74 79 70 1995 74 79 70 2000 77 81 73 2005 78 82 74

a. Crea un diagrama de dispersión de los pares ordenados (año, expectativa de vida de las mujeres).

b. Traza la línea que mejor se ajuste a los datos y encuentra su ecuación (línea de mejor ajuste).

c. ¿Qué expectativa de vida para las mujeres predice tu ecuación para los años 1960 a 2005?

d. Utiliza tu ecuación para predecir la expectativa de vida de las mujeres en

24

Fuente:http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/algebraresch00/cityplanning.htm 25

Fuente: World Bank Databank, http://databank.worldbank.org

http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/algebraresch00/cityplanning.htm

http://databank.worldbank.org/


3 semanas

Junio 2012 898

celebración de su centenario en el año 2088. Si se siguen sembrando más árboles al mismo ritmo año tras año, ¿puede alcanzarse esta meta? Justifica tu respuesta.

Escribe una breve carta al editor del periódico explicando tus hallazgos después de examinar los datos. Asegúrate de respaldar tu conclusión con álgebra. Incluye una ecuación y una gráfica para justificar tu respuesta a la parte II.

El maestro puede hacer la evaluación en base a la precisión de las ecuaciones y las gráficas utilizadas para responder a las preguntas relacionadas y cuán bien los estudiantes siguieron las instrucciones de la tarea.

Rúbrica

2 1 0

Parte I

Respuesta Correcta

Un pequeño error de cálculo

llevó a una respuesta incorrecta.

Incorrecta

Presentación del trabajo

Presentó todo el trabajo

No presentó todo el trabajo

Parte II

Conclusión Correcta



Incorrecta

Justificación

Justificada utilizando

razonamiento y

terminología matemática.

Justificada con uso limitado de razonamiento matemático

No justificada

Parte III

Carta

Expone los hallazgos, los respalda con

álgebra.

Expone los hallazgos, los respalda con

álgebra.

No expone los

hallazgos, no utilizó álgebra.

Gráfica Correcta



Incorrecta

Puerto Rico en el año 2020. e. ¿Qué significa la pendiente de la línea

en el contexto de este problema? 2. ¿Cómo se relacionan el promedio

académico y las puntuaciones del College Board? a. Haz un modelo de la relación entre los

datos aquí abajo creando un diagrama de dispersión.

b. Calcula la línea de mejor ajuste. c. Utiliza la línea de mejor ajuste para

identificar la pendiente de la línea y el intercepto y.

Promedio académico

del estudiante

Puntuación en el

College Board

2.8 1050

1.5 890

3.3 1090

3.5 1330

1.8 890

2.0 900

2.5 1000

3.8 1390

3.0 1130

1.2 780

3.5 1220

2.4 990

2.9 1010

4.0 1380

2.2 970

Diario

Describe cómo se encuentra la línea de mejor ajuste (con una representación gráfica y la ecuación).

Boleto de entrada/salida

Describe cómo calcular la línea de mejor ajuste.

Dado el contexto del problema, ¿qué representa la línea de la pendiente en la gráfica (provee una gráfica lineal)?


3 semanas

Junio 2012 899

Papel toalla: precio vs. permeabilidad

Los estudiantes demostrarán su comprensión de las gráficas y las ecuaciones lineales para ayudarles a tomar las mejores decisiones durante la actividad. Los estudiantes están preparándose para mudarse solos y tendrán que considerar el costo de las cosas que necesitan, pero también si están obteniendo lo mejor por su dinero. Pídeles a los estudiantes que recopilen y utilicen datos para responder a esta pregunta: ¿el papel toalla más caro es más absorbente que uno más económico? Para esta tarea se requieren materiales, la fórmula del área de un círculo y tiempo en clase para realizar el experimento.

Materiales: los estudiantes necesitarán una muestra de seis tipos diferentes de papel toalla, el precio de cada rollo, cuántas hojas contiene cada uno, cuentagotas, taza y agua.

Instrucciones: realizar el siguiente experimento para medir la capacidad de absorción. Luego, crea una hoja suelta en que expliques tu experimento y comuniques los resultados. 1. Doblar una hoja de papel toalla por la mitad de

forma vertical y luego volver a doblarla por la mitad de forma horizontal.

2. Llenar el cuentagotas con una cantidad fija de agua y aplicar una gota en la esquina que tiene los dobleces.

3. Abrir la toalla para medir y registrar el diámetro del área circular que está mojada.

4. Repetir el mismo procedimiento para cada tipo de papel toalla, asegurándose de siempre utilizar la misma cantidad de agua.

5. Trazar los datos colocando la unidad de precio en el eje horizontal y el diámetro en el eje vertical. ¿Hay una relación lineal? Si es así, busca la línea de mejor ajuste para describir tus datos.

6. Traza los datos de la unidad de precio en el eje horizontal y el área de la región humedecida en el eje vertical. Si la relación es lineal, descríbela con la línea de mejor ajuste.

7. Según la información recopilada, ¿cuál papel

Usando la gráfica lineal construye un sistema de ecuaciones (presenta la gráfica).


3 semanas

Junio 2012 900

toalla comprarías? ¿Qué consejo le darías a alguien que estuviese comprando papel toalla?

8. Crea una hoja suelta en la cual hagas una presentación final de tus datos, gráficas y consejo para los compradores. Las hojas deben incluir lo siguiente:

título;

precio pagado por el papel toalla;

tabla de datos recopilados y usados;

gráfica de precio vs. diámetro y precio vs. área;

línea de mejor ajuste con ecuación, y

un párrafo aconsejando al comprador en base al experimento

El maestro puede evaluar este proyecto en función de cuán bien los estudiantes siguen las pautas y de la precisión de la gráfica, la línea de mejor ajuste con la ecuación y la correlación entre el consejo y los datos matemáticos (ver anejo: Organizador– Rúbrica de tareas de desempeño).

Etapa 3 - Plan de aprendizaje

Actividades de aprendizaje KWL: Utiliza esta estrategia de aprendizaje para ayudar a los estudiantes a razonar la creación de

líneas de mejor ajuste (y después construir sistemas de ecuaciones). Haz un modelo mientras razonas en voz alta cómo utilizar esta estrategia. Los estudiantes escribirán lo que ya saben (ya sea por conocimiento que ya poseían o información de la gráfica o problema) en la columna “K”. Después de releer el problema o gráfica, los estudiantes escribirán lo que quieren encontrar (qué les pide el problema) en la columna “W”. En la columna “L”, los estudiantes escribirán lo que aprendieron; no se trata solo de la respuesta al problema, sino también de cualquier otra cosa que hayan aprendido sobre el proceso o contenido (ver anejo: Organizador – KWL).

Modelo Frayer: Utiliza el Modelo Frayer para desarrollar la comprensión de los estudiantes del vocabulario del contenido a medida que vayan surgiendo las palabras de vocabulario durante las lecciones. Pídeles a los estudiantes que completen el modelo con la "correlación" entre los conceptos de las ecuaciones lineales y las representaciones gráficas, al identificar su definición, características, ejemplos y no ejemplos. El maestro puede escoger conceptos o vocabulario clave y pedirles a los estudiantes que completen el modelo por cada palabra o encuentren la palabra a partir de su definición, características, ejemplos y no ejemplos. Para ejemplos y plantillas, ver anejo: Organizador - Modelo Frayer.

Pareo de gráficas y predicciones: Los estudiantes se dividirán en grupos de 2 a 3 personas para hacer un conjunto de tarjetas. Cada conjunto se compone de pares de tarjetas; una tarjeta tiene una gráfica claramente delineada y rotulada, y la otra tiene la ecuación de la línea. Los estudiantes harán 3 pares “fáciles”, 3 pares de dificultad media, 3 pares “difíciles” y 2 pares que no se parean pero que pueden utilizarse para hacer que los pares que se corresponden sean más difíciles.


3 semanas


Cada grupo intercambia su conjunto de tarjetas con otro grupo para jugar el juego. Los estudiantes deberán parear la gráfica con las ecuaciones e identificar las gráficas o ecuaciones que no tengan pareja. Para ganar, los estudiantes tienen que parear correctamente las tarjetas y respaldar su respuesta con prueba matemática.

Ejemplos para planes de la lección

Ser o no ser... lineal: los estudiantes determinan la correlación entre dos variables. Harán una gráfica de pares ordenados en un plano coordenado, determinarán la línea de mejor ajuste, hallarán la pendiente y los puntos de intercepción y escribirán la ecuación de la línea (ver anejo: 9.1 Ejemplo para plan de lección – Ser o no ser…lineal).

A casa en bici: En esta lección, los estudiantes crearán un diagrama de dispersión, compararán la línea de mejor ajuste y la línea de regresión y harán predicciones en base a los datos (ver anejo: 9.1 Ejemplo para plan de lección – A casa en bici).

Barbie en Bungee: En esta lección, los estudiantes considerarán la extensión de un cordón amortiguador en términos de seguridad mientras recopilan sus propios datos para hacer una gráfica y trazar las líneas de mejor ajuste de los datos lineales. Para hojas de cálculo para los estudiantes, ver anejo: 9.1 Ejemplo para plan de lección – Barbie en Bungee.

Recursos adicionales Pausa de tres minutos: http://www.readingquest.org/strat/3mp.html

Modelo Frayer: http://oame.on.ca/main/files/thinklit/FrayerModel.pdf

www.kuftasoftware.com

http://www.learner.org/workshops/algebra/index.html

http://www.algebra-class.com/teaching-algebra.html

http://profjserrano.wordpress.com/

http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf

http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf

Conexiones a la literatura Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.

The Mystery of Numbers de Annemarie Schimmel

The Curious Incident of the Dog in the Night-Time de Mark Haddon

Abundance of Katherines de John Green

Developing Mathematical and Scientific Literacy: Effective Content Reading Practices de David K. Pugalee

Buenas noches luna de Margaret Wise Brown

Counting on Frank de Rod Clement

http://www.readingquest.org/strat/3mp.html

http://oame.on.ca/main/files/thinklit/FrayerModel.pdf

http://www.kuftasoftware.com/

http://www.learner.org/workshops/algebra/index.html

http://www.algebra-class.com/teaching-algebra.html




Unidad 9.2: Sistemas de ecuaciones Matemáticas

6 semanas

Junio 2012 902



En esta unidad, los estudiantes resolverán ecuaciones lineales de varios pasos en dos variables, lo que incluye resolver sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables por medio de álgebra y gráficas. Construirán, analizarán y resolverán ecuaciones y las representarán por medio de gráficas.

Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán del curso con la capacidad de utilizar su conocimiento sobre gráficas y ecuaciones lineales para interpretar, predecir y resolver problemas en situaciones reales.


Sistemas de ecuaciones

A.RE.9.3.2 Analiza y explica el razonamiento que se utilizó para resolver un sistema de ecuaciones lineales. A.RE.9.3.3 Resuelve un sistema que consiste en dos ecuaciones lineales en dos variables por medio de gráficas, tablas, métodos simbólicos y tecnología, y describe la naturaleza de las soluciones (no tiene solución; una solución; infinitas soluciones). A.RE.9.3.4 Resuelve la ecuación r = ax + b usando el hecho de que el valor de x determinado por esta ecuación es la coordenada en x de la solución del sistema de ecuaciones. Relaciona este método con los métodos gráficos.

A.RE.9.3.5 Resuelve un sistema de inecuaciones lineales en dos variables y traza la gráfica de su solución. A.RE.9.3.6 Reconoce y resuelve problemas que se pueden representar por medio de un sistema de ecuaciones e inecuaciones lineales. Interpreta la solución en términos del contexto del problema.


Los sistemas nos ayudan a entender la interacción y relaciones en su contexto.

Las representaciones matemáticas múltiples proveen diferentes formas de resolver problemas.

El contexto nos ayuda a asimilar las ideas matemáticas.

Los sistemas de ecuaciones nos permiten resolver problemas del mundo real.


¿Cómo los sistemas de ecuaciones nos ayudan a entender las relaciones dado su contexto?

¿Qué valor tienen las múltiples representaciones matemáticas?

¿Cómo ayuda el contexto a los matemáticos?

¿Cómo pueden aplicarse los sistemas de ecuaciones a los problemas del mundo real?


El razonamiento utilizado para resolver un sistema de ecuaciones lineales.


Analizar y explicar el razonamiento utilizado para resolver un sistema de ecuaciones


6 semanas

Junio 2012 903

La naturaleza de las soluciones (no tiene solución, una solución, infinitas soluciones).

El (Los) tipo(s) de problema que puede(n) representarse con un sistema de ecuaciones e inecuaciones lineales.


constante, contexto, determinado, forma intercepción-pendiente, indeterminado, inecuación, lineal, pendiente, relación, representación, sistema de ecuaciones, soluciones

lineales.

Resolver un sistema que consiste en dos ecuaciones lineales en dos variables usando gráficas, tablas, métodos simbólicos y tecnología.

Describir la naturaleza de las soluciones (no tiene solución; una solución; infinitas soluciones).

Resolver la ecuación r = ax + b dado y = r, usando el hecho de que el valor de x determinado por la ecuación es la coordenada en x de la solución del sistema de ecuaciones.

Relacionar este método con métodos gráficos.

Resolver un sistema de inecuaciones lineales en dos variables y trazar la gráfica de la solución.

Reconocer y resolver problemas que pueden representarse por medio de un sistema de ecuaciones e inecuaciones lineales. Interpretar la solución en términos del contexto del problema.



RFT

Los estudiantes demostrarán su comprensión de cómo representar con gráficas los sistemas de ecuaciones para que se apliquen a problemas del mundo real utilizando la Respuesta Física Total (RFT), un movimiento corporal con el que se demuestra entendimiento. Con un compañero, actuarán la siguiente situación y luego la explicarán (lo que sigue es solo un ejemplo; cada pareja de estudiantes debe usar diferentes situaciones que se sirvan de este ejemplo como modelo). Dependiendo del tamaño del salón de clases, la clase puede realizar esta tarea afuera o en una cancha.

Pablo y Samuel han decidido hacer una carrera hasta casa de Manuel. Pablo vive a tres calles al sur de la casa de Samuel. Salen de sus casas al mismo tiempo y se desplazan

Otra evidencia


(Ver anejo: 9.2 Otra evidencia – Preguntas de prueba.)

1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por medio de gráficas: a. Y = 2x + 3

Y = 0.5x + 1 b. Y = 4 – x

Y = 1.5x + 2 c. Y = -2.25 + 2x

Y = -x 2. Con la gráfica aquí abajo:

a. Escribe el sistema de ecuaciones. b. Identifica si son ecuaciones lineales, no

lineales o inecuaciones. c. Si es posible, resuelve el sistema de

ecuaciones algebraicamente.


6 semanas

Junio 2012 904

hacia el norte. Después de desplazarse dos calles al norte Samuel vira al oeste dos calles y continúa el mismo patrón de camino hacia casa de Manuel. Pablo es más rápido que Samuel y se desplaza tres calles al norte antes de dirigirse dos calles al oeste. ¿Qué pasa si continúan a su ritmo actual de deslizamiento?

Pídeles a los estudiantes que expliquen:

Cómo supieron hacia dónde moverse y qué representaba esto.

Por qué eligieron empezar donde lo hicieron y la importancia de esto.

Qué representa la intersección en sus caminos.

Pídeles a los estudiantes que se dividan en parejas y representen de forma gráfica su experiencia, creen un sistema de ecuaciones y resuelvan su sistema con álgebra, para entregar. Para una rúbrica de evaluación, ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño.

Perdido en alta mar: ¿Puedes salvar al buzo?26

Los estudiantes demostrarán su comprensión de los sistemas de ecuaciones para salvar a un buzo en la siguiente actividad. Pueden usarse múltiples estrategias para llegar a la respuesta. Al final, los estudiantes presentarán su estrategia y hallazgos ante la clase. 1. Preséntales a los estudiantes el siguiente

problema. Eres parte de un equipo de rescate en un barco que está a la mar. Uno de tus buzos está a una profundidad de 250 pies y se ha lesionado. Le quedan 7 minutos de oxígeno en su tanque de aire y solo puede subir a la superficie a un ritmo de 10 pies por minuto. Vas a enviar un submarino de rescate. El submarino puede sumergirse a un ritmo de 30 pies por minuto. (Nota: Normalmente, los buzos hacen paradas preventivas al ascender para evitar la narcosis de nitrógeno, pero en esta emergencia, el buzo será colocado en una cámara de descompresión cuando lo

3. ¿Cuál par ordenado se encuentra en la

solución al siguiente sistema de desigualdades?

a) (-5,3) b) (0,4) c) (3,-5) d) (4,0)

Diario de reflexión

¿Qué significa que un sistema de ecuaciones no tenga solución? Da un ejemplo.

Describe dos formas de solucionar el siguiente sistema de ecuaciones:

Y = 3x + 6 Y = -4x + 1

Luz le dijo a Stephanie que (1, 1) es la solución al sistema de desigualdades: Y > 2x -1 y 3y < -x + 4. ¿Por qué está incorrecta su respuesta?

Organizador gráfico

Pídeles a los estudiantes que completen una tabla de tres columnas para demostrar el razonamiento que utilizaron para resolver los sistemas de ecuaciones. Cada columna incluye un acercamiento en común para resolver los sistemas de ecuaciones. Deben llevar las siguientes instrucciones: “Crear una tabla de pares coordenados”, “Usar una substitución para

26

Fuente: http://ims.ode.state.oh.us/ODE/IMS/Lessons/Content/CMA_LP_S04_BH_L08_I10_01.pdf

http://ims.ode.state.oh.us/ODE/IMS/Lessons/Content/CMA_LP_S04_BH_L08_I10_01.pdf


6 semanas

Junio 2012 905

suban a la superficie, si es que lo rescatan a tiempo.)

2. Pídeles a los estudiantes que respondan a las siguientes preguntas: a. ¿A qué profundidad se encontrarán el

buzo y el submarino? b. ¿Al buzo le quedará algo de oxígeno en su

tanque cuando el submarino lo alcance? c. En una hoja de papel cuadriculado o

utilizando una calculadora gráfica, dibuja una gráfica que represente este problema.

d. Explica cómo llegaste a la respuesta de las preguntas 1 y 2.

e. Si es posible, escribe una ecuación como modelo para este problema.

f. Prepara una presentación breve para compartir tu gráfica y hallazgos.

Clave para Perdido en alta mar a. h = profundidad en pies t = minutos

h = 10t - 250 buzo lesionado h = -30t submarino de rescate 10t – 250 = -30t -250 = -40t 6.25 minutos = t h = (-30) (6.25) h = -187.5 pies

b. El submarino llegará a donde él antes de que se le acabe el oxígeno.

resolver con álgebra” y “Resolver con una gráfica.”

Por cada columna los estudiantes deben:

Proveer un ejemplo de un sistema de ecuaciones.

Resolver su ejemplo dado la estrategia escogida.

Explicar cuándo es mejor usar la estrategia escogida.

Boleto de salida

Si se representa gráficamente un sistema de ecuaciones, ¿cómo podemos identificar la solución?

¿Cuál es la diferencia entre una ecuación y una inecuación?

Dado un sistema de inecuaciones, ¿qué sabes sobre la solución?


6 semanas

Junio 2012 906

El intervalo del eje de x es de un minuto. El intervalo del eje de y es de 30 pies.

Las respuestas varían. Aceptar los razonamientos y estrategias adecuados. Véase la ecuación en a.

Presentación de puntuaciones en función de la solución, gráficas, comunicación y razonamiento usando la rúbrica de evaluación de desempeño (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).



Provéeles a los estudiantes un par de ecuaciones lineales que se intersecan (p. ej., y = 2x + 8, y = 3x + 5) y pídeles que enumeren los pares coordenados de cada ecuación comenzando por x = 0 y que continúen hasta encontrar el par coordenado que satisfaga ambas ecuaciones.

Divide a los estudiantes en parejas para que identifiquen el número de soluciones usando y = -x + 2, así como cada una de las siguientes ecuaciones: y = (½)x – 5, y = 2x + 2, x + 2y = 17, y = 2x.

Modelo Frayer: Utiliza el Modelo Frayer para identificar y comparar la no solución, una solución y muchas soluciones a sistemas de ecuaciones. Pídeles a los estudiantes que completen el modelo por cada palabra o encuentren la palabra a partir de su definición, características, ejemplos y no ejemplos. Para ejemplos y plantillas, ver anejo: Organizador– Modelo Frayer.

Repártele una tarjeta a cada estudiante. La tarjeta debe contener un sistema de ecuaciones (p. ej., y = 4.5x – 6, y, y=-2x + 3) al igual que la gráfica de palabras, tabla o substitución. Repártele una tarjeta a cada estudiante. Pídeles que resuelvan el sistema de ecuaciones usando el acercamiento que aparece escrito en la tarjeta. Haz que los estudiantes formen grupos con los que tengan el mismo sistema de ecuaciones, pero acercamientos diferentes, y discutan los puntos fuertes y débiles de cada acercamiento.


6 semanas


Búsqueda del tesoro con desigualdades27: Un arqueólogo descubrió una serie de coordenadas que podría representar la ubicación de un tesoro escondido. Después de descifrar mensajes cifrados, parece ser que las únicas verdaderas coordenadas de los tesoros son las que se encuentran en la solución de sistemas de desigualdades. En equipos de tres, los estudiantes competirán resolviendo sistemas de desigualdades para ubicar el tesoro escondido. Los estudiantes apuntarán las ubicaciones posibles a partir de la gráfica dada por el maestro. Luego los estudiantes trazan una gráfica de las desigualdades. El tesoro estará ubicado en el punto que se encuentra dentro de la solución al sistema de desigualdades. Ejemplos de desigualdades: 2x + 3y < 18, -4x – 4y < 8, -3x + 4y < 12, 4x – 5y < 20.].


Zurdo o diestro – Cómo resolver problemas con gráficas: Los estudiantes explorarán los sistemas de ecuaciones por medio de gráficas con la naturaleza de las soluciones (como una solución y muchas soluciones). En esta lección los estudiantes usarán los datos que recopilaron al comparar su capacidad de escribir con la mano derecho versus la mano izquierda. Se dibujará la gráfica de ambas ecuaciones lineales y si hay soluciones se las analizará (ver anejo: 9.2 Ejemplo para plan de lección – Zurdo o diestro).

Cómo resolver sistemas de ecuaciones por medio de gráficas: Los estudiantes resolverán sistemas de ecuaciones al aplicar sus destrezas con gráficas y la naturaleza de las soluciones (ver anejo: 9.2 Ejemplo para plan de lección – Cómo resolver sistemas de ecuaciones con gráficas).

Planes de celulares: En esta lección los estudiantes utilizarán su conocimiento de ecuaciones lineales para escoger el mejor plan de celulares. Comienza por dibujar una tabla de pares coordenados y luego continua con una gráfica, dando instrucciones explícitas de cómo usar una calculadora gráfica. Los estudiantes entonces proponen un plan en base a sus hallazgos (ver anejo: 9.2 Ejemplo para plan de lección – Planes de celulares).

Recursos adicionales http://www.purplemath.com/modules/syseqgen.htm

http://www.keymath.com/documents/da1/CondensedLessonPlans/DA_CLP_06.pdf

http://www.algebra.com/algebra/homework/coordinate/





Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.

Algebra Unplugged de Kenn Amdahl y Jim Loats

Murderous Maths – The Phantom X de Kjartan Postkitt

Elementary Algebra with Early System of Equations de Tom Carson y Ellyn Gillespie

Exploring Linear Relations: Algebra de Gail Burrill y Patrick Hopfensperger

http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=systems%20of%20inequalities%20activities&source=web&cd=8&ved=0CFwQFjAH&url=http%3A%2F%2Fwww.math.uakron.edu%2Famc%2FPreAlgebraAlgebra%2FSolvingSystemsLinearInequalities.doc&ei=GhLFTqHjBcWpiALfsZnsBQ&usg=AFQjCNE9Fpz1KpnCblbX0l-BH8WeUy4kLw

http://www.purplemath.com/modules/syseqgen.htm

http://www.keymath.com/documents/da1/CondensedLessonPlans/DA_CLP_06.pdf

http://www.algebra.com/algebra/homework/coordinate/







Unidad 9.3: Midiendo nuestro mundo Matemáticas

6 semanas

Junio 2012 908



En esta unidad, los estudiantes explorarán las conexiones entre los conceptos espaciales y numéricos de figuras geométricas bidimensionales y tridimensionales. Justificarán y aplicarán el perímetro/circunferencia, área y volumen relacionándolos con las medidas de ángulo y arco.

Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán del curso con la capacidad de utilizar su conocimiento para medir objetos de diferentes formas para describir y comparar los objetos del mundo que los rodea.


Medidas

M.TM.9.8.1 Justifica las fórmulas de área para cuadriláteros y polígonos regulares. M.TM.9.8.2 Aplica el principio volumen = área de la base x altura para relacionar las fórmulas de área y volumen de prismas y cilindros. M.TM.9.8.3 Relaciona el área de superficie de prismas y cilindros a la suma de las áreas de sus bases y superficies laterales usando redes para ilustrar y sumar las medidas relevantes. M.TM.9.8.4 Identifica y halla las medidas de ángulos formados por segmentos en figuras de tres dimensiones, extendiendo a las relaciones del triángulo recto y el triángulo isósceles/equilátero para estudiar las caras de objetos tridimensionales. M.TM.9.8.5 Aplica fórmulas y resuelve problemas que involucran área, perímetro, volumen y área de superficie de pirámides, conos, esferas y figuras compuestas. M.TM.9.8.7 Desarrolla y aplica el teorema de la suma de ángulos internos de un polígono, y los teoremas de desigualdad de los triángulos y ángulos.

Círculos

M.TM.9.8.6 Determina la longitud de arco de círculos y áreas de sectores de círculos usando proporciones. M.TM.9.8.8 Justifica y aplica enunciados sobre ángulos formados por cuerdas, tangentes y secantes en los círculos y las medidas de los arcos que se intersecan.


Los objetos, el arte y la arquitectura poseen diferentes atributos, cada uno de los cuales puede medirse de muchas formas.

Las medidas pueden ser usadas para describir, comparar y dar sentido al mundo que nos rodea.

El estudio de las formas geométricas nos revela el mundo físico, la regularidad de las cosas, el arte y la arquitectura.


¿Por qué importa lo que estoy midiendo para determinar cómo medirlo?

¿Cómo se utilizan las medidas para describir y comparar los objetos en el mundo que nos rodea?

¿Cómo utilizan los artistas y arquitectos las medidas en su trabajo?


6 semanas

Junio 2012 909


Fórmulas de área (polígonos cuadriláteros y regulares, prismas, círculos, cilindros, pirámides, conos, esferas y figuras compuestas)

Fórmulas de volumen (prismas, cilindros, pirámides, conos, esferas y figuras compuestas)

La relación entre el área de superficie y la suma total del área de la base y de las superficies laterales

Las medidas de ángulos (p. ej., los ángulos formados por segmentos en figuras bidimensionales y tridimensionales)

Tipos de triángulos y otros polígonos.

Fórmulas de perímetro (pirámides, conos, esferas, figuras compuestas)

El Teorema de la Suma de los Ángulos Internos de un polígono

Teoremas de Desigualdad triangular y angular

Que las cuerdas tangentes y secantes forman ángulos en los círculos

El concepto de la intersección de los arcos


Medidas (área, área de superficie, base, cara, red, perímetro, Teoremas de Desigualdad, Teorema de la Suma de los Ángulos Internos, volumen)

Polígonos (ángulo, ángulos complementarios, ángulos suplementarios, área de superficie, cilindro, cuadrilátero, figura compuesta, lateral, polígono, prisma, triángulo equilátero, triángulo isósceles, segmento, triángulo rectángulo)

Círculos (arco, circunferencia, cuerda, diámetro, proporción, radio, secante, sector, tangente)


Justificar las fórmulas de área de cuadriláteros y polígonos regulares.

Aplicar el principio volumen = área de la base x altura para relacionar las fórmulas de área y volumen de prismas y cilindros.

Usar redes para ilustrar medidas relevantes del área de superficie.

Hallar medidas de ángulos formados por segmentos en figuras de tres dimensiones, extendiendo a las relaciones del triángulo recto y el triangulo isósceles/equilátero para estudiar las caras de objetos tridimensionales.

Aplicar fórmulas y resolver problemas que involucran área, perímetro, volumen y área de superficie de las pirámides, conos, esferas y figuras compuestas.

Desarrollar y aplicar el teorema de la suma de ángulos internos de un polígono y los teoremas de desigualdad de los triángulos y ángulos.

Determinar la longitud de arco de círculos y áreas de sectores de círculos usando proporciones.

Justificar y aplicar enunciados sobre ángulos formados por cuerdas, tangentes y secantes en los círculos y las medidas de los arcos que se intersecan.


6 semanas

Junio 2012 910



A medir nuestro salón de clase

Los estudiantes demostrarán su comprensión de cómo medir el perímetro, área de superficie y volumen usando objetos compuestos en el salón de clase. 1. Escoge una figura bidimensional en el salón

de clase. a. Dibuja el objeto e incluye sus medidas. b. Describe cómo hallar el perímetro y el

área de superficie de tu figura. c. Calcula el perímetro y el área de

superficie de tu figura. d. Muestra los cálculos e identifica las

unidades de medida. 2. Elige una figura tridimensional compuesta en

el salón de clases. a. Dibuja el objeto e incluye sus medidas. b. Describe cómo hallar el área de superficie

y volumen de tu figura. c. Calcula el área de superficie y volumen de

tu figura. d. Muestra los cálculos e identifica las

unidades de medida. Para evaluar a los estudiantes, ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño.

Cómic de los triángulos28

Los estudiantes hacen un cómic que describa el teorema de la desigualdad del triángulo e incluyen un ejemplo del mundo real en la historia. Tarea: 1. Cuenta una historia sobre triángulos y sus

propiedades en una tirilla cómica. 2. Crea personajes que de alguna forma tengan

que ver con triángulos y escribe una historia con ellos.

3. Incluye por lo menos seis viñetas en el cómic; en cada una, cuentas otra parte de la historia.

4. Cada viñeta debe tener por lo menos una

Otra evidencia


(Ver anejo: 9.3 Otra evidencia – Preguntas de examen.)

Diario

Describe cómo hallar el área de superficie de una figura. Provee dos ejemplos usando diferentes tipos de figuras (p. ej., prisma rectangular, cilindro, pirámide, esfera).

Explica por qué un triángulo no puede tener dos ángulos rectos.


Justifica la fórmula de área de un cuadrilátero.

Usando una red, ilustra cómo hallar el área de superficie de un prisma rectangular de 6x4x3.

Describe el teorema de la desigualdad de los triángulos. Incluye diagramas como prueba.

28

Fuente: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/kleckauskas08/triangle%20tale%20comic.pdf

http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/kleckauskas08/triangle%20tale%20comic.pdf


6 semanas

Junio 2012 911

oración que explique el contexto. 5. Recuerda, el propósito de la tirilla cómica es

encontrar una forma eficaz y creativa de explicar los triángulos y sus propiedades.

6. Asegúrate de que tu tirilla cómica sea clara y presentable porque será compartida con un grupo de cuatro de tus compañeros. También tu trilla cómica se expondrá en la pared del salón.

Los estudiantes presentarán sus cómics en grupos de cuatro que tendrán teoremas diferentes. Los estudiantes evaluarán los cómics usando la rúbrica que se encuentra aquí abajo y ofrecerán dos comentarios positivos y una crítica constructiva a cada cómic. El maestro también evaluará el trabajo de los estudiantes usando la rúbrica que se encuentra abajo.

Rúbrica

Criterios Pobre-1 Bueno-2 Excelente-4

Tirilla cómica creada

La tirilla no se ve presentable.

La tirilla se ve más o menos presentable.

La tirilla se ve muy presentable.

Viñetas 1 a 3 viñetas con dibujos

4 a 5 viñetas con dibujos

Al menos 6 viñetas con dibujos

Frases escritas

No había una frase escrita en cada viñeta.

Por lo menos una frase escrita por viñeta.

Cómic de triángulos (X2)

Solo da una explicación clara de los tipos de triángulos.

Explica claramente los tipos de triángulos y sus propiedades, pero no es muy creativo.

Explica claramente los tipos de triángulos y sus propiedades en una historia creativa.

Comunicación

No compartió la tirilla con

los compañeros.

Compartió la tirilla con los compañeros.

Total/24 puntos

Collage de la geometría en el mundo real29

Los estudiantes se hacen pasar por artistas a los cuales se les ha pedido que creen un collage de la

29

Fuente: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/kleckauskas08/real%20world%20collage.pdf

http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/kleckauskas08/real%20world%20collage.pdf


6 semanas

Junio 2012 912

"Geometría en el mundo real". Deberán crear un collage con ejemplos del mundo real de los conceptos geométricos de la medición, los polígonos y los círculos. Debe estar representada cada una de las palabras de vocabulario: área, área de superficie, ángulos suplementarios, arco, ángulo, ángulos complementarios, base, cara, cilindro, circunferencia, cuadrilátero, cuerda, diámetro, figura compuesta, lateral, perímetro, polígono, prisma, proporción, radio, red, secante, sector, segmento, tangente, triángulo equilátero, triángulo isósceles, triángulo rectángulo, volumen.

Tarea: 1. Eres un artista al que le han pedido que cree

un collage de la "Geometría en el mundo real". Tienes que construir un collage con ejemplos del mundo real de los conceptos geométricos de medición, polígonos y círculos.

2. Usa únicamente imágenes de revistas o del Internet.

3. Incluye un ejemplo del mundo real por cada palabra de vocabulario de la lista.

4. Identifica cada ejemplo para que los que admiren tu trabajo entiendan qué es lo que les estás mostrando.

5. En un trabajo escrito haz una descripción de todos tus ejemplos explicando a qué palabra de vocabulario corresponden y por qué razón.

6. Completa una rúbrica para ver cuán bien demostraste tu comprensión de nuestros conceptos geométricos.

7. Durante el paseo por la galería, haz críticas positivas y constructivas a tus compañeros.

Recuerda, se trata de una obra de arte para exponer. Asegúrate de que se vea presentable y clara y sea agradable a la vista. El maestro evaluará el trabajo de los estudiantes usando la rúbrica de tarea de desempeño (ver anejo:


6 semanas

Junio 2012 913

Organizador– Rúbrica de tarea de desempeño).

Rompecabezas de círculo30

Los estudiantes hallan la medida del ángulo que falta de un ángulo inscrito usando la tangente, secante, cuerdas y ángulos marcados. Los estudiantes deberán incluir:

cálculos rotulados

trabajo organizado

respuesta correcta

Tarea: Halla la medida del OQS en la siguiente figura.

O es el centro del círculo

RSN mide 110˚.

SNM mide 75˚.

MP es la tangente del círculo en M.

QOM mide 80˚.

S, Q, M y N están dentro del círculo.

Evaluar el trabajo de los estudiantes usando la rúbrica de tarea de desempeño (ver anejo: Organizador– Rúbrica de tarea de desempeño).

Para materiales y respuestas, dirigirse a: http://www.isbe.net/ils/math/stage_J/9BJ.pdf



Crea organizadores gráficos que se puedan doblar para practicar fórmulas y usarse como referencia/hoja de anotaciones. Dobla y pliega un papel a lo largo (como un perro caliente). Dobla la otra mitad del papel sin plegarlo en seis rectángulos iguales. Desde la mitad hasta la parte superior del papel, corta las líneas que están sin plegar. Pon una fórmula en cada rectángulo. Al voltear el nombre de la fórmula, haz una representación gráfica de la fórmula en un lado y en el otro da un ejemplo de cómo se usa la fórmula. Los estudiantes pueden crear uno para las fórmulas de área de superficie y uno para las fórmulas de volumen.

Laboratorio de área de superficie y razón del volumen: En parejas, los estudiantes explorarán la relación entre el área de superficie y el volumen. Con plastiscina, crearán prismas rectangulares, hallarán las áreas de superficie y volúmenes e identificarán patrones para descubrir las relaciones. Cada pareja necesita una bolsa de plastiscina, una regla y una hoja de actividades (ver anejo: 9.3

30

Fuente: http://www.isbe.net/ils/math/stage_J/9BJ.pdf

http://www.isbe.net/ils/math/stage_J/9BJ.pdf

http://www.isbe.net/ils/math/stage_J/9BJ.pdf


6 semanas

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Actividad de aprendizaje – Laboratorio de área de superficie y razón del volumen).

Desafío de los ángulos y triángulos: Reta a los estudiantes a que hallen un triángulo que, al recortársele las tres esquinas, estas no formen una línea recta. Los estudiantes aprenderán así sobre el teorema de la suma de ángulos del triángulo.

Investigación sobre los Teoremas de la desigualdad de los triángulos: Investiguen los teoremas de la desigualdad de los triángulos y los ángulos al presentarles varios triángulos a los estudiantes. Divide a los estudiantes en parejas y pídeles que pareen con colores el lado más largo con el ángulo más grande y el lado más corto con el ángulo más pequeño. A continuación, los estudiantes anotan las teorías sobre lo que siempre es cierto acerca de la longitud de los lados de un triángulo y los ángulos a partir de esta actividad.

Cómo hallar la longitud del arco de un círculo: Los estudiantes exploran la fórmula de la longitud del arco al comparar la longitud hallada usando un cordón con la longitud hallada usando la fórmula. Los estudiantes pueden crear sus propios arcos y comparar varios círculos o arcos. Materiales: pedazo de cordón, regla, hoja en blanco y un transportador (ver anejo: 9.3 Actividad de aprendizaje – Hallar la longitud del arco de un círculo).


Símil de ángulos: Los estudiantes escribirán un símil creativo sobre las relaciones angulares que les ayude a recordar el término y sus propiedades. Dales las siguientes instrucciones a los estudiantes: 1. Elige una palabra de vocabulario que tenga que ver con las relaciones angulares o pares de

ángulos; entonces, escribe un símil creativo que te ayude a recordar el término y sus propiedades.

2. El maestro debe aprobar la palabra primero. 3. Luego, escribe tu símil en un pequeño afiche e incluye un diagrama que lo ilustre. Pondremos

todos los afiches en las paredes del salón y haremos referencia a estos durante la unidad, así que asegúrate de que se vea presentable, sea claro y colorido.

4. Cada estudiante presentará su afiche a la clase y explicará su símil y cómo le ayuda a recordar lo que aprendió sobre ese término.

5. Pídeles a los estudiantes que se autoevalúen en base a una rúbrica. (Para obtener una rúbrica, dirigirse a http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/kleckauskas08/angle%20simile.pdf.) Las observaciones y sugerencias del maestro y compañeros pueden también hacerse en notitas adheribles.

Área de superficie de las pirámides y los conos: En esta lección de indagación y experimentación, los estudiantes descubrirán las fórmulas del área de superficie de las pirámides y conos. Los estudiantes usarán redes de pirámides y sus dimensiones correspondientes para derivar la fórmula del área de superficie de las pirámides. Descubrirán la fórmula del área de superficie de los conos al relacionarlos con las pirámides (ver anejo: 9.3 Ejemplo para plan de lección– Área de superficie de pirámides y conos).

http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/kleckauskas08/angle%20simile.pdf


6 semanas


Longitud y área del sector de un arco: Los estudiantes se dividen en grupos para descubrir las relaciones entre la longitud del arco, la medida del ángulo central y la circunferencia. Descubrirán también la relación entre el área del círculo, las medidas del ángulo central y el área del sector. Los estudiantes compartirán sus hallazgos y crearán fórmulas para calcular la longitud del arco y el área del sector. Para materiales, dirigirse a http://alex.state.al.us/lesson_view.php?id=26412.

Circular el cuadrado, pelea en el cuadrilátero de boxeo: Exploren las especificaciones modernas para la construcción de cuadriláteros de boxeo. Apliquen varios métodos para hallar el área de círculos, rectángulos, trapezoides y coberturas de área complejas, y comparen y contrasten las áreas y superposiciones de ataque y defensa en el ring (ver anejo: 9.3 Ejemplo para plan de lección– Circular el cuadrado).


NSW Department of Education & Training: Stage 4 Area Unit: http://www.curriculumsupport.education.nsw.gov.au/secondary/mathematics/years7_10/teaching/area.htm

NSW Department of Education & Training: Constructing a Harlequin Cube: http://www.curriculumsupport.education.nsw.gov.au/secondary/mathematics/assets/pdf/currsuppart/cubehqn.pdf

Juego de repaso que puede jugarse para repasar cualquier contenido: http://www.ilovemath.org/index.php?option=com_docman&task=cat_view&gid=34&Itemid=31

Recursos en línea de evaluación para el maestro: http://www.uwstout.edu/soe/profdev/assess.cfm

Geometry for Every Kid, de Janice VanCleave. Incluye actividades rápidas y prácticas que ayudan a los estudiantes a consolidar los conceptos geométricos. Requieren materiales escasos y fáciles de encontrar: http://www.amazon.com/Janice-VanCleaves-Geometry-Every-Kid/dp/0471311413






Planilandia de Edwin Abbott

Counting on Frank de Rod Clement

Figuras Tridimensionales: Cilindros de Launa K. Mitten

Sir Cumference and the First Round Table de Cindy Neuschwander

Sir Cumference and the Sword in the Cone de Cindy Neuschwander

Sir Cumference and the Isle of Immeter de Cindy Neuschwander

Murderous Maths – Desperate Measures: Length, Area, and Volume de Kjartan Postkitt

http://alex.state.al.us/lesson_view.php?id=26412

http://www.curriculumsupport.education.nsw.gov.au/secondary/mathematics/years7_10/teaching/area.htm

http://www.curriculumsupport.education.nsw.gov.au/secondary/mathematics/years7_10/teaching/area.htm

http://www.curriculumsupport.education.nsw.gov.au/secondary/mathematics/assets/pdf/currsuppart/cubehqn.pdf

http://www.curriculumsupport.education.nsw.gov.au/secondary/mathematics/assets/pdf/currsuppart/cubehqn.pdf

http://www.ilovemath.org/index.php?option=com_docman&task=cat_view&gid=34&Itemid=31

http://www.uwstout.edu/soe/profdev/assess.cfm

http://www.amazon.com/Janice-VanCleaves-Geometry-Every-Kid/dp/0471311413




Unidad 9.4: Construcciones geométricas Matemáticas

4 semanas

Junio 2012 916



En esta unidad, los estudiantes probarán métodos matemáticos para justificar los teoremas básicos de la geometría euclidiana. Explorarán situaciones geométricas, probarán que un enunciado matemático es cierto, desarrollarán contraejemplos para refutar enunciados inválidos e investigarán la inversa de un condicional.

Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán del curso con la capacidad de usar su conocimiento sobre cómo respaldar de forma clara sus argumentos con evidencia para convencer a otros de que algo es cierto o falso.


Construcciones Geométricas

G.FG.9.4.1 Establece conjeturas basadas en la exploración de situaciones geométricas, con y sin tecnología. G.FG.9.4.2 Prueba, directa o indirectamente, que un enunciado matemático válido es cierto. Desarrolla un contraejemplo para refutar un enunciado inválido. G.FG.9.4.3 Formula e investiga la validez del inverso de un condicional. G.FG.9.4.4 Organiza y presenta pruebas directas y pruebas indirectas utilizando dos columnas, párrafos y diagramas de flujo.


Para respaldar un argumento hace falta prueba.

Investiga todas las posibilidades.

La presentación de la prueba debe ser clara.


¿Cómo sé que algo es cierto?

¿Cómo se usa el razonamiento inductivo en la vida cotidiana?

¿Cómo convenzo a otros de algo con prueba válida?


Declaraciones matemáticas válidas

Declaraciones matemáticas inválidas

La inversa de un condicional

El concepto del contraejemplo


Asumir, condición, conjetura, contraejemplo, contra positivo, converso, inválido, inverso, prueba directa, prueba indirecta, pruebas, prueba, refutar/refutación, supuesto, teorema, válido, verificar/verificación


Establecer conjeturas basadas en la exploración de situaciones geométricas.

Probar, directa o indirectamente, que un enunciado matemático válido es cierto.

Desarrollar un contraejemplo para refutar un enunciado inválido.

Formular e investigar la validez del inverso de un condicional.

Organizar y presentar pruebas directas e indirectas utilizando dos columnas, párrafos y diagramas de flujo.


4 semanas

Junio 2012 917



El sol saldrá mañana31 Los estudiantes demostrarán su comprensión de

cómo probar una conjetura tanto en formato de

párrafo como en formato de diagrama para probar

que el sol saldrá mañana.

Redacta un párrafo en el cual demuestres cómo

sabes que el sol saldrá cada mañana.

Utiliza la misma idea para hacer un diagrama de flujo.

Considera los enunciados condicionales, la prueba directa e indirecta.

Evalúa el trabajo de los estudiantes usando la rúbrica de tarea de desempeño (ver anejo: Organizador– Rúbrica de tarea de desempeño).

Afiche de las pruebas32 Los estudiantes demostrarán su comprensión de lo que son las pruebas al crear las suyas propias. 1. Divide a los estudiantes en parejas. Dale a

cada pareja una lista con todos los postulados, teoremas y definiciones cubiertos en la unidad y una cartulina.

2. Pídele a cada grupo que cree una imagen visual de sus ideas sobre la creación de sus propias pruebas. No hay cantidad mínima de pruebas, siempre y cuando cubran todos los postulados, teoremas y definiciones en alguna parte. Las parejas no solo establecerán la prueba, sino que también probarán sus conclusiones. Estas pruebas deben presentarse en la cartulina que se les dio. Una vez hechos, se pondrán los afiches en la pared del salón.

3. Los grupos serán evaluados en base a lo siguiente: a. Número de definiciones, postulados y

teoremas usados.

Otra evidencia

Ejemplos de preguntas para quiz/examen33

(Ver anejo: 9.4 Otra evidencia – Preguntas de examen.)

1. “Si algo es difícil, entonces me hace más fuerte". Selecciona todos los enunciados aquí abajo que signifiquen lo mismo que el de arriba: a. Si no es difícil, entonces no me hace más

fuerte. b. Si me hace más fuerte, entonces es difícil. c. Si me hace más fuerte, entonces no es

difícil. d. Si no me hace más fuerte, entonces es

difícil. e. Si no me hace más fuerte, entonces no es

difícil.

2. Dado: EA CB , DE DC , DA DB Prueba: 21

3. Dado: ABCD, BF AE , CE AE

Prueba: AF DE

4. Dado:

Prueba:

31

Fuente: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/schlorff08/chapter%202.pdf 32

Fuente: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/seaver/proofpostertask.htm 33

Fuente: http://www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htm

http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/schlorff08/chapter%202.pdf

http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/seaver/proofpostertask.htm

http://www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htm


4 semanas

Junio 2012 918

b. Número de definiciones, postulados y teoremas usados correctamente y en el orden correcto.

c. Los diagramas están identificados y marcados correctamente.

d. Organización de los afiches. e. Número de ideas en el mapa mental.

4. Haz que los estudiantes usen la rúbrica con la cual se les evaluará para realizar críticas a sus compañeros (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño). Las críticas entre pares serán compartidas con cada grupo inmediatamente después de que hayan terminado.

5. Usa la rúbrica para evaluar los afiches de los estudiantes (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).

6. El maestro utilizará la misma rúbrica para la evaluación final.

Diario

Explica cómo el razonar en retroceso a partir de la conclusión de lo que estás tratando de probar puede resultar útil para desarrollar una prueba.

¿Cuáles son los beneficios de usar una prueba de dos columnas?


¿Qué significa el que un enunciado matemático sea inválido?

Hoy aprendí…

Hoy me confundió…

¿Qué es una prueba?



Prueba por contradicción: Esta actividad introductoria explora qué significa probar algo. Llama a dos estudiantes para que se paren al frente y pídeles que intenten distinguir entre un dólar suyo y el de un compañero a partir de contradicciones. Muéstrale a la clase dos billetes de $1 y uno de $10. Haz que los dos estudiantes cierren los ojos y extiendan una mano para que su compañero(a) pueda ver, pero él o ella no. Dale un billete de $1 a cada uno y esconde el de $10. Diles a los estudiantes que le digan a la clase cuando sepan que tienen el billete de $1 o el de $10. Escribe su razonamiento contiguo a una lista de pasos de una prueba por contradicción. Para más información, dirigirse a http://www2.edc.org/makingmath/mathtools/contradiction/contradictionLesson.asp

Pruebas indirectas: En esta actividad, los estudiantes aprenderán cómo pueden usarse las pruebas indirectas cuando no son posibles las pruebas directas. Para probar de forma indirecta que un enunciado es cierto, se comienza suponiendo que no es cierto. Luego utilizas el razonamiento lógico para demostrar que este supuesto conduce a una contradicción. Si un supuesto conduce a una contradicción, este debe ser falso. Por lo tanto, puedes eliminar la posibilidad de que el enunciado no sea cierto. Esto deja solo una posibilidad abierta, en concreto, ¡que el enunciado es cierto! (ver anejo: 9.4 Actividad de aprendizaje – Pruebas indirectas)

Rompecabezas: Elige secciones de una lectura sobre las pruebas del texto para asignárselas al grupo de expertos. Los estudiantes de estos grupos deben volverse expertos en el

http://www2.edc.org/makingmath/mathtools/contradiction/contradictionLesson.asp


4 semanas

Junio 2012 919

contenido/destreza de su sección. Los grupos de expertos trabajan juntos para determinar la información importante de su texto. Entonces pídeles a los estudiantes que se cambien a nuevos “grupos base” que incluyan a un estudiante de cada “grupo de expertos”. Cada estudiante entonces le enseña su destreza a su grupo base y aprende de sus pares. Haz que los estudiantes tomen nota de la información importante provista por los miembros de su grupo base.

Proyecto sobre enunciados condicionales34: Los estudiantes escriben e ilustran un libro infantil usando una cadena lógica con por lo menos diez enunciados condicionales, parecidos a los del libro Si le das un panqueque a una cerdita. Los estudiantes pueden trabajar en grupos de dos o tres personas para escribir sus libros.

Prueba por contradicción: prueba por contra positiva (ver anejo: 9.4 Actividad de aprendizaje – Prueba por contradicción: prueba por contra positiva)


Partes de la prueba: Se trata de un paso intermedio en que los estudiantes reúnen los enunciados y razones para establecer una prueba formal. Esta lección promueve el que los estudiantes den el salto desde entender postulados y teoremas geométricos a escribir pruebas sirviéndose de estos. (ver anejo: 9.4 Ejemplo para plan de lección – Pruebas.)

Pruebas en diagramas de flujo: Los estudiantes podrán identificar y aplicar las propiedades de la igualdad y las propiedades de la congruencia, escribir pruebas en diagramas de flujo para organizar argumentos deductivos y validar las propiedades de las figuras geométricas, y explicar los procesos usados. Los estudiantes justificarán los pasos al resolver una ecuación algebraica y las propiedades geométricas en formato de diagrama de flujo. Pídeles a los estudiantes que se dividan en grupos para trabajar los problemas 5, 6 y 7. Cada grupo de estudiantes necesitará un sobre con los enunciados y razones de cada problema recortados en tiras de papel, así como copia de una plantilla de un diagrama de flujo por cada problema. Discutan 1) las ventajas y desventajas de escribir instrucciones para una tarea en un diagrama de flujo, y 2) cómo se utiliza el razonamiento deductivo en los diagramas de flujo. Para materiales, dirigirse a http://mdk12.org/instruction/clg/lesson_plans/geometry/FlowChart_223.html

Pruebas geométricas en dos columnas35: Esta lección le da una introducción a los estudiantes a la idea de que las pruebas geométricas en dos columnas son esencialmente tablas sencillas con una columna para “Enunciados” a la izquierda y una columna de "Razones" a la derecha. Los enunciados que haremos serán los pasos que daremos para resolver nuestro problema. Con cada enunciado debemos proveer una razón de por qué el enunciado es cierto. Las razones pueden consistir en información dada dentro del problema mismo, definiciones, postulados o teoremas. 1. Escribe el siguiente enunciado en la pizarra: Todos los cuadrados son rectángulos, pero no

todos los rectángulos son cuadrados. 2. Elige estudiantes para que lean cada uno de los siguientes cinco pasos aquí abajo. Después de

leer cada paso, haz un modelo de cómo podría usarse cada uno para entender el enunciado que está en la pizarra. Asegúrate de completar cada paso, así como la prueba en dos columnas junto con la clase. a. Lee el problema con detenimiento. Escribe la información provista, ya que te ayudará a

empezar a solucionar el problema. Anota también la conclusión que debe probarse, pues

34

Fuente: http://www.ilovemath.org/index.php?option=com_docman&task=cat_view&gid=41&Itemid=31 35

Fuente: www.wyzant.com

http://mdk12.org/instruction/clg/lesson_plans/geometry/FlowChart_223.html



4 semanas


se trata del paso final de tu prueba. Este paso ayuda a reforzar lo que el problema te está pidiendo que hagas. Te da el paso inicial y final de tu prueba.

b. Dibuja una ilustración del problema que te ayude a visualizar qué está dado y qué quieres probar. A veces ya habrá un diagrama dibujado por ti; si no, asegúrate de dibujar una ilustración precisa del problema. Haz marcas que te ayuden a ver los ángulos congruentes, los segmentos congruentes, las líneas paralelas u otros detalles importantes.

c. Utiliza la información dada para ayudarte a deducir los pasos preliminares de tu prueba. Debe incluirse cada paso, independientemente de cuán trivial parezca. Es esencial iniciar tu prueba con un buen primer paso para llegar a la conclusión correcta.

d. Utiliza la conclusión o argumento que debe probarse para guiarte en la elaboración de los enunciados. Recuerda respaldar tus enunciados con razones, que pueden incluir definiciones, postulados o teoremas.

e. Una vez hayas llegado a tu solución, si quieres puedes releer la prueba en dos columnas que escribiste para asegurarte de que cada paso tenga una razón. Esto ayuda a poner énfasis en la claridad y eficacia de tu argumento.

3. Una vez el ejemplo esté completo, haz que los estudiantes trabajen en parejas para probar los enunciados A y B. Enunciado A: Dos triángulos congruentes tienen el mismo ángulo interior y exterior. Enunciado B: El Triángulo ABC es un triángulo isósceles. El lado AB es igual al lado AC. Por lo tanto, el ángulo ABC es igual al ángulo ACB.


Página de Discovery Education con una lección de conceptos de geometría que requieren tecnología. http://www.discoveryeducation.com/teachers/free-lesson-plans/concepts-in-geometry.cfm

La página Cut The Knot tiene información de base y pruebas de ejemplo. http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml

La página Cut The Knot contiene además numerosos ejemplos de pruebas categorizadas, como las "pruebas simples" y las "falacias". http://www.cut-the-knot.org/proofs/index.shtml

Instrucciones para escribir pruebas. http://zimmer.csufresno.edu/~larryc/proofs/proofs.html







The Origins of Proof de Kona Macphee http://plus.maths.org/content/os/issue7/features/proof1/index

What are Mathematical Proofs and Why They are Important? http://www.math.uconn.edu/~hurley/math315/proofgoldberger.pdf

Murderous Maths - Savage Shapes de Kjartan Postkitt

http://www.discoveryeducation.com/teachers/free-lesson-plans/concepts-in-geometry.cfm

http://www.discoveryeducation.com/teachers/free-lesson-plans/concepts-in-geometry.cfm

http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml

http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml

http://www.cut-the-knot.org/proofs/index.shtml

http://zimmer.csufresno.edu/~larryc/proofs/proofs.html




http://plus.maths.org/content/os/issue7/features/proof1/index

http://www.math.uconn.edu/~hurley/math315/proofgoldberger.pdf

Unidad 9.5: Semejanza y prueba Matemáticas

6 semanas

Junio 2012 921



En esta unidad, los estudiantes explorarán la congruencia y la semejanza de figuras, así como la transformación de las figuras en un plano de coordenadas. Aplicarán la geometría de coordenadas y transformaciones (reflexiones, traslaciones y rotaciones), y justificarán las figuras semejantes.

Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán del curso con la capacidad de utilizar su conocimiento acerca de cómo identificar y transformar las figuras semejantes para interpretar nuestro mundo físico por medio de la resolución de problemas geométricos.


Prueba y semejanza

G.TS.9.5.1 Analiza figuras en términos de sus simetrías por medio de los conceptos reflexión, rotación y traslación, y una combinación de éstas. G.FG.9.5.2 Compara y contrasta la igualdad, la congruencia y la semejanza. G.FG.9.5.3 Identifica, contrasta, diferencia y aplica las condiciones suficientes para la congruencia de triángulos (LLL, LAL, ALA, AAL, HL). G.TR.9.5.4 Utiliza la geometría de coordenadas y las transformaciones rígidas (reflexiones, traslaciones y rotaciones) para establecer la congruencia de figuras. G.TS.9.6.1 Representa traslaciones, reflexiones respecto a una línea, rotaciones y dilataciones (centradas en el origen) de objetos en el plano de coordenadas por medio de trazos, coordenadas, notación de funciones y matrices, y explica los efectos de estas transformaciones. G.TS.9.6.2 Reconoce e identifica las partes correspondientes de figuras congruentes y semejantes luego de una transformación. G.FG.9.7.1 Identifica las condiciones de semejanza LAL, LLL, AA como condiciones suficientes para establecer la semejanza de triángulos, las aplica y observa que la congruencia es un caso especial de semejanza. G.FG.9.7.2 Utiliza la semejanza para calcular las medidas de las partes correspondientes de figuras semejantes, y aplica la semejanza en una variedad de contextos en matemáticas y otras disciplinas. G.MG.9.7.3 Construye una representación de una figura semejante a otra figura dada su razón de semejanza. G.FG.9.7.4 Utiliza triángulos semejantes para demostrar que la razón de cambio asociada a cualquier par de puntos en una línea es la misma. G.TS.9.7.5 Utiliza dilataciones centradas en el origen para describir e investigar semejanzas.


La transformación provoca cambios en un plano euclidiano, pero preserva las propiedades geométricas.

La semejanza nos permite resolver problemas.

La geometría nos ayuda a interpretar nuestro mundo físico.


¿Por qué las transformaciones provocan cambios?

¿Por qué es importante la semejanza?

¿Cómo nos permite la geometría entender mejor el mundo?


6 semanas

Junio 2012 922


El concepto de la simetría a través de la reflexión, la rotación y la traslación

La relación entre la igualdad, la congruencia y la semejanza

Las condiciones de congruencia de los triángulos (LLL, LAL, ALA, AAL, HL)

Dilatación

El concepto de la congruencia y la semejanza luego de una transformación

Las condiciones suficientes para establecer semejanza (LAL, LLL, AA)

El método de la utilización de la semejanza para hallar medidas de partes correspondientes de figuras semejantes

Razón de semejanza

Razón de cambio asociada con cualquier par de puntos en una línea es la misma en figuras semejantes


Semejanza (congruente/congruencia, corresponder, factor de escala, igualdad, razón de semejanza, semejanza, simetría)

Transformaciones (dilatación, reflexión, rotación, transformación, traslación)


Analizar figuras en términos de sus simetrías por medio de los conceptos reflexión, la rotación y la traslación, y una combinación de éstas.

Comparar y contrastar el significado y aplicación de los términos de igualdad, congruencia y semejanza según su relación a conjuntos de figuras geométricas.

Identificar, contrastar, diferir y aplicar condiciones suficientes para la congruencia de los triángulos (LLL, LAL, ALA, AAL, HL).

Utilizar la geometría de coordenadas y las transformaciones rígidas (reflexiones, traslaciones y rotaciones) para establecer la congruencia de las figuras.

Representar traslaciones, reflexiones respeto a una línea, rotaciones y dilataciones (centradas en el origen) de objetos en el plano de coordenadas por medio de trazos, coordenadas, notación de funciones y matrices, y explicar los efectos de estas transformaciones.

Reconocer e identificar las partes correspondientes de figuras congruentes y semejantes luego de una transformación.

Identificar las condiciones de semejanza LAL, LLL, AA como condiciones suficientes para establecer la semejanza de triángulos, aplicarlas y observar que la congruencia es un caso especial de semejanza.

Utilizar la semejanza para calcular las medidas de las partes correspondientes de figuras semejantes, y aplicar la semejanza en una variedad de contextos en matemáticas y otras disciplinas.

Construir una representación de una figura semejante a otra figura dada su razón de semejanza.

Utilizar triángulos semejantes para demostrar que la razón de cambio asociada a cualquier par de puntos en una línea es la misma.

Utilizar dilataciones centradas en el origen para describir e investigar semejanzas.


6 semanas

Junio 2012 923



Análisis de las transformaciones en la cerámica antigua36

Los estudiantes demostrarán su comprensión de las transformaciones por medio de un análisis de la cerámica antigua.

1. Muéstrales a los estudiantes varias imágenes de cerámica antigua de diferentes culturas, como la griega, la egipcia y la inca.

2. Haz que los estudiantes analicen y describan las transformaciones geométricas utilizadas por cada cultura para decorar una pieza de cerámica con diseños. Los estudiantes deben incluir lo siguiente en sus descripciones:

descripción del diseño en una pieza de cerámica;

detalles matemáticos de cómo la imagen original (escogida por el estudiante o maestro) fue transformada;

vocabulario matemático específico;

oraciones completas, y

un diagrama que ilustre la(s) transformación(es) matemática(s)

3. Pídeles a los estudiantes que describan las diferencias principales entre las piezas de cerámica de diferentes culturas.

4. Dales a los estudiantes una copia de la rúbrica de proyectos para que se autoevalúen. El maestro utilizará la misma rúbrica para evaluar la comprensión de los estudiantes.

Pobre Bien Excelente

Las transformaciones en la cerámica griega están descritas de

La mayor parte de las transformaciones están incorrectas y la

Faltan algunas transformaciones o no están completam

Todas las transformaciones están descritas completa y correctame

Otra evidencia


(Ver anejo: 9.5 Otra evidencia – Preguntas de prueba.)39

1. ¿Es semejante el polígono? De serlo, escribe una razón de semejanza y una declaración de semejanza. De no serlo, explica por qué.

2. En un papel, escribe la letra R (llámala R1) y dos líneas paralelas a aproximadamente una pulgada de distancia entre sí. Llámalas las líneas L1 y L2. Haz la reflexión de la R a lo largo de la primera línea, L1, y llámala R2. Refleja R2 a lo largo de la línea L2 y llámala R3. a. ¿De qué forma se relaciona R3 con R1?

(¿Por cuál tipo de simetría?) b. Continúa tu patrón reflejando las nuevas R

a lo largo de L1 y L2. Repite reflejando las nuevas R a lo largo de L1 y L2 hasta que se te acabe el papel o hasta que no obtengas nada nuevo. ¿Sería un patrón infinito si tuvieras un papel infinitamente grande?

c. ¿Qué simetrías hay en tu patrón aparte de las reflexiones a lo largo de L1 y L2?

Tarea para casa

Consigue una foto de tu familia y úsala para crear una pieza de arte usando por lo menos dos transformaciones. ¡Ponte creativo(a)!

36 Fuente: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/rakes08/pottery%20task.pdf

39 Fuente: Laurie E. Bass, R. I. (2004). Prentice Hall Mathematics Geometry. Upper Saddle River: Pearson Education

Inc.

http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/rakes08/pottery%20task.pdf


6 semanas

Junio 2012 924

Proyecto con copo de nieve37 Presentar previo a la presentación de esta actividad ejemplos de copo de nieve. Los estudiantes analizarán las transformaciones rígidas de copos de nieve de papel. Dales a los estudiantes las siguientes instrucciones: 1. Tu tarea es crear dos copos de nieve: uno

utilizando la plantilla de círculo y el otro utilizando la plantilla de cuadrado.

2. A continuación, recorta formas geométricas

forma completa y correcta.

explicación no es adecuada ni descriptiva (1pt).

ente descritas (3 pts).

nte (5 pts).

Las transformaciones en la cerámica egipcia están completa y correctamente descritas.

La mayor parte de las transformaciones están incorrectas y la explicación no es adecuada ni descriptiva (1pt).

Faltan algunas transformaciones o no están completamente descritas (3 pts).

Todas las transformaciones están descritas completa y correctamente (5 pts).

Las transformaciones en la cerámica inca están completa y correctamente descritas.

La mayor parte de las transformaciones están incorrectas y la explicación no es adecuada ni descriptiva (1pt).

Faltan algunas transformaciones o no están completamente descritas (3 pts).

Todas las transformaciones están descritas completa y correctamente (5 pts).

Las diferencias y características principales están bien explicadas.

Se identificaron muy pocas de las diferencias y no se explican las características (1 pt).

Se identifican algunas diferencias, pero la explicación no está completa (2 pts).

Las diferencias y características de la cerámica de cada civilización están identificadas y bien explicadas (3 pts).

Diario

Escribe un tema de reflexión en la pizarra para que los estudiantes lo lean a medida que entren al salón. Dales unos cinco a diez minutos para que escriban sobre el tema del día. Algunas ideas para el tema diario son:

Escribe una explicación de un concepto aprendido recientemente, como si se lo estuvieses explicando a un hermano menor o a un amigo.

Escribe sobre una ocasión en que estuviste bien confundido(a) en la clase de matemáticas. ¿Qué hiciste? ¿A quién le pediste ayuda? ¿Cómo explicaste lo que te confundía?

Escribe todo lo que sepas de las figuras semejantes.

Describe e ilustra una rotación y dilatación de un rectángulo en el plano de coordenadas.

Describe lo que es la figura semejante, y cómo puedes usarla para establecer un problema que se puede solucionar para hallar la pieza que falta.

Construye dos triángulos y da prueba de cómo los dos son lo mismo.

Boletos de entrada/salida

Dales a los estudiantes figuras semejantes después de una traslación. Los estudiantes deben identificar las partes correspondientes.

Dados dos triángulos escríbele las instrucciones a un amigo para que pueda sacar el factor escalar y solucionar el problema para hallar las longitudes del triángulo que faltan. Asegúrate de escribir instrucciones claras para que tu amigo(a) pueda repetir el proceso.

Dibuja un diagrama de Venn triple en que compares la igualdad, la congruencia y la semejanza.

37

Fuente: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/rakes08/snowflake%20task.pdf

http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/rakes08/snowflake%20task.pdf


6 semanas

Junio 2012 925

por el borde del papel para crear un copo de nieve al desdoblar el papel.

3. Por cada copo de nieve: a. Escribe por lo menos un párrafo

analizando las simetrías y las transformaciones.

b. Identifica los grados de simetría rotacional y las líneas de simetría reflexiva.

4. Luego, describe de qué forma se diferencian las transformaciones y simetrías entre tus dos copos de nieve. En otras palabras, ¿cómo la forma inicial (de círculo o cuadrado) afecta las transformaciones y simetrías presentes en el copo de nieve?

Evalúa el trabajo de los estudiantes usando la rúbrica de copo de nieve aquí abajo.

Rúbrica de copo de nieve

Criterios Pobre Bien Excelente

Creación del copo de nieve

Ninguno de los dos copos de nieve está doblado según las instrucciones, o ambos copos de nieve están mal recortados (1 pt).

Un copo de nieve no está doblado según las instrucciones o está rasgado por algunas partes (2 pts).

Ambos copos de nieve están doblados según las instrucciones y bien recortados (3 pts).

Simetría rotacional

Pocas simetrías están identificadas correctamente y hay muchos errores (0 – 2 pts).

La mayor parte de las simetrías están correctamente identificadas y tienen muy pocos errores (4 pts).

Todas las simetrías están correctamente identificadas (6 pts).

Simetría reflexiva

Pocas simetrías están identificadas correctamente y hay muchos

La mayor parte de las simetrías están correctamente identificadas y tienen

Todas las simetrías están correctamente identificadas (6 pts).


6 semanas

Junio 2012 926

errores (0 – 2 pts).

muy pocos errores (4 pts).

Descripción de diferencias

Falta la descripción de diferencias o está incorrecta (1 pt).

Se describen las diferencias, pero de forma incompleta (3 pts).

Las diferencias están descritas de forma cabal y correcta (5 pts).

Problema de la sombra38 En parejas, los estudiantes estimarán la altura de un poste de luz afuera usando las sombras. Aplicarán lo que saben sobre los triángulos semejantes y el factor escalar que estudiaron en clase. Para esta tarea, los estudiantes harán lo siguiente:

tomar medidas usando las unidades adecuadas;

estimar las medidas y determinar los niveles de precisión necesarios;

identificar triángulos semejantes;

establecer y simplificar las razones;

identificar el factor escalar;

colaborar con compañeros, y

presentar su trabajo de forma organizada y clara.

Instrucciones: 1. Los estudiantes salen para estimar la altura de

un poste de luz usando las medidas de dos sombras, el poste mismo y una regla graduada.

2. Con una cinta de medir, los estudiantes (en grupos de tres) medirán la longitud de la sombra de la regla graduada sostenida de forma perpendicular al suelo.

3. Cada grupo entonces repetirá el proceso con el poste de luz.

4. Usando los tópicos de las razones y las proporciones discutidos en clase, los estudiantes deberán estimar la altura del poste utilizando los cálculos que hicieron.

5. Deberán apuntar los cálculos en una hoja de

38

Fuente: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/seaver/shadowproblemtask.htm

http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/seaver/shadowproblemtask.htm


6 semanas

Junio 2012 927

papel para entregar.

Utiliza la Rúbrica de tarea de desempeño para evaluar el trabajo de los estudiantes (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).



Simetrías en logotipos: Después de aprender sobre las simetrías, crea un organizador gráfico de simetrías con los estudiantes. Dales un papel con logotipos y pídeles que trabajen en parejas usando el organizador gráfico para las simetrías que encuentran en cada logotipo.

Actividad de descubrimiento de los triángulos congruentes: Esta actividad en que los estudiantes participan directamente lleva a estudiantes en grupos de dos a cuatro personas a entender los postulados y teoremas sobre los triángulos congruentes usando el razonamiento inductivo, por medio de sorbetos, transportadores, reglas y cartón o papel de construcción. Los estudiantes utilizarán seis sorbetos de dos longitudes distintas para construir diferentes triángulos y ángulos, y luego responderán a varias preguntas. Para más información, dirigirse a http://ethemes.missouri.edu/themes/381?locale=en y bajar hasta la parte de Discovering Congruent Triangles.

Reglas de transformación: Este organizador gráfico resume aspectos importantes de las diferentes transformaciones. Los estudiantes anotarán la regla, escribirán una explicación de la regla en sus propias palabras, así como un ejemplo de la regla y una gráfica de su ejemplo. (ver anejo: 9.5 Actividad de aprendizaje – Reglas de Transformación)

Tarjetas con pistas: Esta estrategia de comprensión puede ser utilizada para jugar, para repasar o para una evaluación rápida. Los estudiantes tienen que pensar en conceptos para identificar la rotulación, palabra o ilustración correcta que mejor representa el concepto. Los estudiantes comparan y contrastan las ideas básicas para tomar sus decisiones. Las tarjetas pueden ser creadas por el maestro o los estudiantes. En esta versión, la mitad de las tarjetas tiene instrucciones para las transformaciones y la otra mitad tiene las imágenes de las transformaciones. En parejas o grupos pequeños, los estudiantes deben parear las instrucciones correctas con las ilustraciones.

Proyecto de transformaciones: Los estudiantes crean su propia imagen para transformarla utilizando las pautas dadas por el maestro. Los estudiantes transformarán su imagen usando la reflexión, la rotación, la dilatación y la traslación y proveerán una explicación detallada de su transformación (ver anejo: 9.5 Actividad de aprendizaje - Proyecto de transformaciones).


Semejanza y congruencia: En esta lección, los estudiantes determinarán si dos figuras son semejantes o congruentes al investigar figuras que son semejantes y figuras que son congruentes. Sabrán cómo probar que dos figuras son semejantes o congruentes usando definiciones, postulados y teoremas. Para obtener hojas de cálculo, dirigirse a http://mdk12.org/instruction/curriculum/pdfs/clg2activity006.pdf.

Cómo probar que triángulos son semejantes y congruentes: Los estudiantes hacen conjeturas sobre cuáles propiedades de congruencia pueden y no pueden ser utilizadas para probar que dos triángulos son semejantes. Esta lección resulta más eficaz si se da inmediatamente después de la lección sobre semejanza y congruencia. Pídeles a los estudiantes que trabajen en grupos de 3 a 4,

http://ethemes.missouri.edu/themes/381?locale=en

http://mdk12.org/instruction/curriculum/pdfs/clg2activity006.pdf


6 semanas


puesto que suelen tener problema con las pruebas, y en grupo pueden resolver los problemas juntos (ver anejo: 9.5 Ejemplo para plan de lección – Cómo probar que la semejanza y congruencia de los triángulos).

Reflexiones40: Los estudiantes aprenderán que algunas transformaciones, como las reflexiones y las rotaciones, no cambian la figura misma, solo su posición u orientación. Cada estudiante necesita: 3 hojas de papel cuadriculado, 1 regla, lápices de colores, transportador y plantillas de estampar (“stencil”). Antes de la lección, diles a los estudiantes que: Se miren al espejo. Levanten la mano derecha. ¿Tu reflejo también levanta su mano derecha? Procedimiento: 1. Traza la plantilla con el estampado a un lado del eje de x. Oprime tu lápiz para que la figura se

vea a través del papel al doblarlo. Ahora marca tres puntos en la figura. Nómbralos A, B y C. 2. Dobla la primera hoja de papel por el eje de x para una línea horizontal de reflejo. 3. En el dorso del papel cuadriculado traza la figura, e incluye A, B y C. Presiona la punta del lápiz.

Abre el papel y traza ese reflejo en la cara de este. 4. Ubica las imágenes de A, B y C en la figura reflejada. Rotula los puntos A', B' y C'. 5. Usa una regla y un lápiz rojo para conectar A con A', B con B' y C con C'. 6. Mide los ángulos donde la línea de reflejo cruza cada segmento. ¿Qué observas? 7. Marca el punto medio de cada uno de los segmentos rojos. ¿Qué observas? 8. Halla las coordenadas de A, B, y C y A', B', y C'. ¿Qué observas? 9. Haz los números del 1 al 8 usando el eje de y como línea vertical de reflejo. 10. Haz los números del 1 al 8 usando la gráfica y=x como línea diagonal de reflejo.


Hoja de cálculo y página con clave de respuestas gratis de Kuta Solftware:

http://www.kutasoftware.com/freeige.html Un acervo de recursos para aprender más sobre la redacción matemática:

http://web.cs.du.edu/~mkinyon/mathwrite.html

Un diccionario matemático en línea para hacerles algunos de los términos más accesibles a los estudiantes: http://www.mathsisfun.com/definitions/index.html




Conexiones a la literatura Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.

Illustrated Math dictionary: An Essential Student Resource de Judith de Klerk

What Shape is a Snow Flake?: Magical Numbers in Nature de Ian Stewart

Mathematics Through Paper Folding de Alton T. Olson.


40

Fuente: http://fcit.usf.edu/math/lessons/activities/reflectT.htm

http://www.kutasoftware.com/freeige.html

http://web.cs.du.edu/~mkinyon/mathwrite.html

http://www.mathsisfun.com/definitions/index.html




http://fcit.usf.edu/math/lessons/activities/reflectT.htm

Unidad 9.6: Matrices Matemáticas

4 semanas

Junio 2012 929



En esta unidad, los estudiantes explorarán el uso de matrices. Representarán e interpretarán datos en matrices, desarrollarán propiedades para computar matrices y las utilizarán para resolver ecuaciones lineales.

Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán del curso con la capacidad de utilizar su conocimiento sobre matrices para interpretar, hacer modelos y resolver problemas lineales complejos.


Números y operaciones

N.NS.9.1.1 Representa datos categorizados en dos variables en una matriz y rotula las filas y columnas. Interpreta el significado de una entrada particular de una matriz en términos de los contextos.

Utiliza las matrices para analizar datos.

Reconoce las matrices como sistemas que tienen algunas propiedades de los números reales. N.OE.9.1.2 Desarrolla las propiedades de suma de matrices; suma y resta matrices para resolver problemas. N.OE.9.1.3 Juzga la razonabilidad de los cómputos con matrices.

Álgebra

A.PR.9.2.1 Verifica las propiedades de la multiplicación de una matriz por un escalar y utiliza estas propiedades para resolver problemas. A.PR.9.2.2 Construye un sistema de ecuaciones lineales al modelando situaciones del mundo real, y representa el sistema como una ecuación matricial (Ax = b).

A.PR.9.2.3 Resuelve un sistema que consiste en dos o tres ecuaciones lineales en dos o tres variables respectivamente, solucionando la ecuación matricial Ax = b, y halla x = A-1b utilizando tecnología.


Las matrices nos permiten resolver situaciones complejas.

Las matrices nos permiten transformar figuras.

Las matrices son una forma útil de abordar y resolver muchos tipos de problemas.

En las matrices se utilizan las operaciones y propiedades matemáticas regulares.


¿Cómo pueden usarse las matrices para expresar y discutir problemas que surgen en la vida real?

¿Cómo nos permiten las matrices cambiar las figuras para que sean más agradables a la vista?

¿Por qué se utilizan las matrices para representar datos?

¿De qué forma son universales las propiedades y las operaciones?


4 semanas

Junio 2012 930


La representación de datos en una matriz

Cómo los sistemas de ecuaciones lineales pueden representarse como una ecuación matricial

Las propiedades de las matrices (p. ej., las propiedades de los números reales, multiplicación de un escalar y suma de matrices)


coeficiente, columna, constante, dimensiones, elemento, entrada, inverso, matriz/matrices, propiedades, números reales, fila, escalar, variable


Representar datos de dos variables en una matriz y rotular las filas y columnas.

Interpretar el significado de una entrada particular de una matriz en términos del contexto.

Utilizar las matrices para analizar datos.

Reconocer las matrices como sistemas que tienen algunas de las propiedades de los números reales.

Desarrollar las propiedades de suma de matrices.

Sumar y restar matrices para resolver problemas.

Juzgar la razonabilidad de los cómputos con matrices.

Verificar las propiedades de la multiplicación de una matriz por un escalar y utilizar estas propiedades para resolver problemas.

Construir un sistema de ecuaciones lineales modelando situaciones del mundo real, y representar el sistema como una ecuación matricial (Ax = b).

Resolver un sistema que consiste en dos o tres ecuaciones lineales en dos o tres variables respectivamente, solucionando la ecuación matricial Ax = b, y hallar x = A-1b utilizando tecnología.



Afiche de matrices

Los estudiantes demostrarán su comprensión de cómo crear y restar matrices creando afiches matemáticos. 1. Divide a los estudiantes en grupos de dos o

tres personas. 2. Escribe la siguiente lista de precios en la

pizarra:

Otra evidencia


(Ver anejo: 9.3 Otra evidencia – Ejemplos para preguntas de examen.)

1. Utiliza los datos que aparecen en las tablas para crear dos matrices, una para alquileres de DVD en la Tienda Centro, C, y otra para la Tienda Norte, N. Entonces halla C + N.

42

Fuente: http://www.husliaschool.com/Algebra2/Book2/Teacher%20BK%20Alg2-Sect01.pdf


4 semanas

Junio 2012 931

TIENDA UNO

Camisetas $15

Pantalones $35

Zapatos $30

Abrigos $50

Sombreros $12

TIENDA DOS

Camisetas $18

Pantalones $40

Zapatos $36

Abrigos $60

Sombreros $15

3. Pídeles a los grupos de estudiantes que escojan tres artículos que quieran comprar. Deben escoger los mismos artículos de cada tienda. Los precios de la tienda uno son los precios de cada artículo si se compran por lo menos tres del mismo artículo. En la tienda dos hay un especial de 25 % de descuento en cada artículo que compres.

4. Pídeles a los estudiantes que diseñen un afiche con la siguiente información:

Crear matrices A y B de ambas tiendas.

Hallar 3(A) – 3(0.75) B que es la diferencia en el costo de cada artículo.

De tus tres artículos, ¿cuál tienda tiene una mejor oferta y por cuáles artículos?

5. Evalúa a los estudiantes usando la rúbrica de tarea de desempeño. (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).

Las matemáticas como arte41

Se trata de un proyecto individual en que los estudiantes crean una imagen de su predilección en una red de coordenadas y luego usan matrices para transformar su imagen original. Los estudiantes pueden deslizar, rotar, reflejar, agrandar o reducir el tamaño de su imagen (ver anejo: 9.6 Tarea de desempeño – Las matemáticas

Tienda Centro

Enero Febrero

Comedia 1,250 1,340

Drama 1,893 2,455

Otros 2,388 3,674

Tienda Norte

Enero Febrero

Comedia 985 1,020

Drama 1,987 1,765

Otros 1,582 2,001

Diario

Describe cómo funciona la propiedad aditiva y conmutativa con la suma de matrices.

¿En qué se diferencian las matrices de las tablas? ¿En qué se parecen?


Crear una ecuación matricial con las dos ecuaciones siguientes: 3x + 2y =18 and 4x – y =6. Identificar las dimensiones de cada matriz.

Evaluar el determinante de cada matriz:

1. 0 -4 -6 -2

2. 5 3

6 6

41

Fuente: http://sites.google.com/site/vestsmathclassroom/home/mathIII/august-15th---19th

http://sites.google.com/site/vestsmathclassroom/home/mathIII/august-15th---19th


4 semanas

Junio 2012 932

como arte). Después de que hayan completado el proyecto, las piezas de arte matemático pueden exhibirse en el salón. Si el tiempo lo permite, pídele a la mitad de la clase que se dé la vuelta para ver las piezas y le dé una sugerencia a cada estudiante sobre cómo transformar su arte. Después de que hayan tenido la oportunidad de darle una sugerencia a la mitad de la clase contigua a su proyecto, intercámbialos (que los estudiantes que dieron sugerencias se paren junto a su pieza y la presenten).

Evalúa la comprensión que tienen los estudiantes de las transformaciones y el vocabulario correspondiente dándote la vuelta por el salón y escuchando sus presentaciones y sugerencias. Evalúa el trabajo de los estudiantes usando la rúbrica de tarea de desempeño (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).



Matrices – Concreto, simbólico y abstracto: Esta actividad les muestra a los estudiantes las conexiones entre las formas concretas, simbólicas y abstractas de las matrices (ver anejo: 9.6 Actividad de aprendizaje – Matrices Concretas Simbólicas Abstractas).

Relevo básico de filas de matrices: En equipos de tres, los estudiantes compiten para completar correctamente cuatro tareas de matrices primero que los demás. Deberán entregar una tarea hecha correctamente para poder recibir la próxima. El primer equipo en completar correctamente las cuatro tareas gana. Para ejemplos, dirigirse a: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246

Juego de la matriz que falta43: Los estudiantes usan lo que saben sobre las operaciones matriciales para completar los números que faltan para hacer que cada declaración matemática sea cierta (ver anejo: 9.6 Actividad de aprendizaje – Juego de la matriz que falta).

Crear una hoja de cálculo de muestra que incluya muchos ejemplos de multiplicación de matrices. Mientras practican la multiplicación de matrices, diles a los estudiantes que cubran las filas irrelevantes con tiras de papel y que dejen expuestos solo los elementos relevantes. Asegúrate de ejemplificar el ejercicio antes de que los estudiantes comiencen a hacerlo en sus hojas de cálculo.

Regla de Cramer: Esta actividad es un resumen en que los estudiantes definen la regla de Cramer en sus propias palabras y prueban que funciona para resolver sistemas de ecuaciones y matrices. Los estudiantes entonces describen por qué funciona la regla de Cramer (ver anejo: 9.6 Actividad de aprendizaje – Regla de Cramer).

43

Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246

http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246



4 semanas



Notas sobre Matrices 2x244: Los estudiantes usan un organizador gráfico para tomar notas sobre cómo hallar el determinante y la inversa de una matriz 2x2 y cómo usar las matrices para resolver sistemas de ecuaciones (ver anejo: 9.6 Ejemplo para plan de lección – Notas sobre matrices 2x2).

Práctica guiada de multiplicación de matrices: Los estudiantes definen la multiplicación de matrices en sus propias palabras. Se mostrará el proceso de multiplicación de una matriz paso a paso usando la hoja para clase e incluiremos varios ejemplos de esta hoja mientras señalamos los diferentes tipos de problemas que ocurren. Pídeles a los estudiantes que comiencen a dar partes de las respuestas a los problemas de ejemplo (ver anejo: 9.6 Ejemplo para plan de lección – Práctica guiada de multiplicación de matrices).

La TI de nuevo: Esta actividad introduce a los estudiantes a la función de matrices en sus calculadoras. Reparte la hoja de cálculo “¡La TI de nuevo!” (ver anejo: 9.6 Ejemplo para plan de lección – La TI de nuevo). Haz que los estudiantes se dividan en grupos para completar los problemas.


Provee una buena introducción general a las matrices con un índice fácil de usar. http://www.ping.be/~ping1339/matr.htm

Provee una lista de sitios web que explican y aplican el concepto a otras disciplinas, como la ciencia y la ingeniería. http://archives.math.utk.edu/topics/linearAlgebra.html

Extenso número de hojas de cálculo de matrices para imprimir. http://edhelper.com/Matrices.htm






Teaching and Learning Mathematics de Dr. Terry Bergeson

Contemporary Mathematics in Context editado por Arthur Coxford

Lewis Carroll in Numberland de Robin Wilson

Dots, Spots, Speckles, and Stripes de Tana Hoban

44

Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246

http://www.ping.be/~ping1339/matr.htm

http://archives.math.utk.edu/topics/linearAlgebra.html

http://edhelper.com/Matrices.htm





Unidad 9.7: Probabilidad Matemáticas

7 semanas

Junio 2012 934



En esta unidad, los estudiantes explorarán diferentes métodos de recopilar, interpretar y presentar datos para hacer inferencias y sacar conclusiones. Utilizarán la regla de la multiplicación para determinar el espacio muestral de un experimento, usarán simulaciones para estimar probabilidades de resultados de eventos cuyo valor teórico es difícil de calcular y analizarán datos en dos variables, y los representarán gráficamente.

Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de utilizar su conocimiento sobre los conceptos de probabilidad, eventos independientes y dependientes y la frecuencia para entender mejor la probabilidad y el análisis de datos.


Análisis de datos y probabilidad

E.PR.9.9.1 Utiliza listas, tablas y diagramas de árbol para representar los resultados posibles en un espacio muestral para un experimento. E.PR.9.9.2 Emplea estrategias sistemáticas de conteo, como la Propiedad Fundamental de Conteo, para determinar el número de resultados posibles. E.PR.9.9.3 Distingue entre sucesos compuestos dependientes e independientes y explica la idea de probabilidad condicional. E.PR.9.9.4 Diseña y utiliza árboles, tablas, modelos de área y otras representaciones para calcular la probabilidad de sucesos compuestos cuando los sucesos son independientes y cuando no lo son. E.PR.9.9.5 Describe y aplica la regla de la multiplicación para calcular probabilidades para sucesos compuestos dependientes e independientes. E.PR.9.10.1 Describe una simulación identificando los componentes y supuestos de un problema, seleccionando un instrumento para generar los resultados, define intento, y especifica el número de intentos, y conduce la simulación. E.PR.9.10.2 Resume datos de una simulación usando los resúmenes numéricos y las gráficas apropiadas, desarrolla un estimado para la probabilidad de un evento asociado a una situación probabilística del mundo real y discute el efecto de un número de intentos en la probabilidad estimada de un evento. E.PR.9.10.3 Reconoce que los resultados de una simulación difieren de una simulación a otra; observa que los resultados de una simulación tienden a converger a medida que aumenta el número de intentos.


Para la comprensión hacen falta estrategias sistemáticas.

La “dependencia” influye en los resultados.

El número de intentos afecta la probabilidad estimada de un evento.


¿Cómo entiendo la probabilidad de un evento?

¿Cómo influye la dependencia en las estrategias necesarias?

¿Por qué es importante el número de intentos?


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Junio 2012 935


El concepto de la probabilidad teórica

El concepto de la probabilidad empírica

El concepto de la probabilidad condicional

El concepto de los sucesos compuestos

La regla de la multiplicación para calcular la probabilidad de sucesos compuestos

El efecto que el número de intentos tiene en la estimación de la probabilidad de que suceda un evento (p. ej., los resultados de una simulación tienden a converger a medida que aumenta el número de intentos)

Diferentes formas de representar los resultados (listas, tablas, diagramas de árbol)

Estrategias sistemáticas de conteo (p. ej., el principio fundamental del conteo)


posibilidad, compuesto, probabilidad condicional, dependiente, evento, probabilidad empírica, independiente, simulación, probabilidad teórica, intento, espacio muestral


Utilizar listas, tablas y diagramas de árbol para representar los resultados posibles en un espacio muestral para un experimento.

Emplear estrategias sistemáticas de conteo como la propiedad fundamental de conteo para determinar el número de resultados posibles.

Distinguir entre sucesos compuestos dependientes e independientes y explicar la idea de probabilidad condicional.

Diseñar y utilizar diagramas de árbol, tablas, modelos de área y otras representaciones para calcular la probabilidad de sucesos compuestos cuando los sucesos son independientes y cuando no lo son.

Describir y aplicar la regla de la multiplicación para calcular la probabilidad para sucesos compuestos dependientes e independientes

Describir una simulación identificando los componentes y supuestos en un problema, seleccionando un instrumento para generar los resultados.

Definir intento, especificar el número de intentos, y conducir la simulación.

Resumir datos de una simulación usando los resúmenes numéricos y las gráficas apropiadas, desarrollar un estimado para la probabilidad de un evento asociado a una situación probabilística del mundo real y discutir el efecto de un número de intentos en la probabilidad estimada de un evento.

Reconocer que los resultados de una simulación difieren de una simulación a otra; observar que los resultados de una simulación tienden a converger a medida que aumenta el número de intentos.


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Junio 2012 936



Probabilidad de sobrevivencia45

Los estudiantes demostrarán su comprensión de la probabilidad condicional calculando la probabilidad de que una persona viva dos años basándose en las probabilidades de sobrevivencia provistas por un médico para el primer y segundo año.

Antes de empezar la tarea, diles a los estudiantes que deben:

usar oraciones completas en las explicaciones;

mostrar e identificar las ecuaciones, e

ilustrar e identificar las probabilidades

Tarea: Después de una cirugía, el médico le dice a una persona mayor que tiene un 60% de probabilidad de no sobrevivir al primer año y un 40% de probabilidad de no sobrevivir al segundo año. 1. ¿Qué significa el que le digan que "Usted tiene

un 60% de probabilidad de no sobrevivir al primer año”?

2. Explica por qué las declaraciones del médico no significan que la persona seguramente morirá en los primeros dos años después de la operación.

Extensión 1. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona

mayor sobreviva los primeros dos años?

Respuestas 1. La predicción de "60% de no sobrevivir al

primer año" significa que de 100 personas con enfermedades similares, se espera que alrededor de 60 fallezcan en el primer año.

2. La "probabilidad del 40% de no sobrevivir al segundo año" se refiere solo a las personas

Otra evidencia


1. Una clase de 40 estudiantes tiene 11 estudiantes de honor y 12 atletas. Tres estudiantes de honor también son atletas. Se elige un estudiante al azar. Halla la probabilidad de que este estudiante sea un atleta si se sabe que el estudiante no es un estudiante de honor.

A. 31.029

9

B. 3.010

3

C. 414.029

12

D. 034.029

1

2. En un edificio de la escuela, hay 10 puertas que se pueden utilizar para entrar al edificio y ocho escaleras para el segundo piso. ¿Cuántas rutas diferentes hay desde el exterior del edificio a una clase en el segundo piso? a. 1 b. 10 c. 18 d. 80

Diario

Desmiente tres ejemplos de datos o estadísticas presentados de forma equívoca que encuentres en la prensa.

Boleto de entrada/salida49

Hay unos libros puestos en un escritorio. Dos están en inglés, tres son de matemáticas, uno está en francés y cuatro son de estudios sociales. Teresa selecciona un libro en inglés y

45

Fuente: http://balancedassessment.concord.org/hs081.html 48

Fuente: Integrated Algebra practice, available from www.jmap.org 49

Ibid.

http://balancedassessment.concord.org/hs081.html


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que ya han sobrevivido al primer año. De esos 40 sobrevivientes, se espera que el 40%, o 16 personas fallezcan durante el segundo año. Una forma de ver el problema es caracterizar las probabilidades de sobrevivir al primer año de la siguiente forma:

Primer año

Morir Vivir

Y las probabilidades de sobrevivir al segundo año de esta forma:

Segundo año

Morir

Vivir

Entonces podemos caracterizar las probabilidades combinadas de sobrevivir al primer año como:

Primeros dos años

Morir

Morir según-do año

Vivir

La probabilidad de fallecer durante los primeros dos años es de 60% +.4 x 40%, ó 76%. La probabilidad de sobrevivir a los primeros dos años es de 24%.

Rúbrica:

Modelo/Formulación o Experto: Da una explicación completa y

luego Isabela selecciona un libro de estudios sociales. Ambas se llevan sus libros a la biblioteca para leer. Si Pedro entonces elige un libro al azar, ¿cuál es la probabilidad de que seleccione un libro en inglés?

Cuando María compró su carro nuevo, se encontró con que había 72 formas diferentes de equiparlo. Entre sus opciones se encontraban cuatro opciones de motores y tres opciones de transmisiones. Si su única otra opción era el color, ¿cuántas opciones de color tenía?


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extensa del sentido de las probabilidades en este contexto, e incluye una explicación de cómo entender la naturaleza condicional de la probabilidad de sobrevivencia en el segundo año.

o Desarrollo: Da una explicación parcial del sentido de las probabilidades en este contexto.

Transformación/Manipulación: o Experto: Calcula correctamente la

probabilidad de sobrevivir a los dos años. o En desarrollo: Calculó incorrectamente la

probabilidad de sobrevivir a los dos años por un error de cálculo. Los métodos estaban correctos.

Inferencia/Saca una conclusión: o Experto: Identifica claramente los tres

resultados diferenciados en la probabilidad conjunta de sobrevivir a los dos años.

o En desarrollo: Identifica menos de tres resultados posibles de sobrevivir a los dos años.

Comunicación: o Experto: Provee una explicación a todas

las preguntas en prosa clara que incluye una discusión de por qué las probabilidades de no sobrevivir no se suman y ya.

o En desarrollo: Provee respuestas mayormente numéricas a las preguntas.

Cómo estudiar para un examen46

Los estudiantes describen y calculan la probabilidad de sucesos compuestos usando un diagrama de árbol, lista o fórmula. Tendrán que aplicar técnicas de conteo avanzadas para determinar la probabilidad. Problema: A una clase le dan una lista de 10 problemas para estudiar para el examen, de los cuales se escogerán 5. Si un estudiante sabe cómo resolver 8 de los

46

Fuente: http://www.isbe.net/ils/math/stage_J/10CJ.pdf

http://www.isbe.net/ils/math/stage_J/10CJ.pdf


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problemas correctamente, halla la probabilidad de que este pueda responder a por lo menos cuatro de las cinco preguntas correctamente en el examen. Se evaluará a los estudiantes según lo siguiente:

Conocimiento matemático para obtener la respuesta correcta.

Implementación exitosa de una estrategia que lleve a la respuesta correcta (diagrama de árbol, lista, fórmula).

Explicación matemática del proceso usado y por qué se escogió cada paso.

Usa una rúbrica que los estudiantes puedan usar para autoevaluarse antes de que el maestro los evalúe (ver anejo: Organizador– Rúbrica de tarea de desempeño).

Juego de feria47

En grupos de 2 a 3 personas, los estudiantes diseñan un juego de feria para una actividad de recaudación de fondos para la escuela. Los estudiantes determinarán las probabilidades teóricas y experimentales de ganar el juego y explicarán por qué estas probabilidades podrían no parear según sus datos. Trabajarán en grupos para crear un juego de feria, pero escribirán un informe sobre su juego individualmente.

PASO 1: Diseña un juego de feria.

El juego debe generar dinero para la escuela. Piensa en los artículos que hacen falta para montar el juego, el precio de participación y cuánto hay que pagar en premios.

El juego debe ser fácil de montar y debe poder jugarse en el salón de clases. No se permiten dardos, globos, etc. Sé creativo(a), pero razonable.

El juego no debe durar mucho tiempo.

Incluye reglas o instrucciones para tu juego que sean fáciles de entender.

PASO 2: Determina la probabilidad teórica de tu

47

Fuente: teacherweb.com/KY/NOMS/Fannin/Carnival-Game-Instructions.doc


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Junio 2012 940

juego.

Calcula la probabilidad teórica de ganar tu juego. Muestra tus cálculos y resultados posibles.

Recuerda que no puedes determinar la probabilidad teórica con juegos que requieran habilidades, o con juegos en los que haya que tirar o lanzar cuando el jugador tenga la posibilidad de no dar en el blanco.

PASO 3: Determina la probabilidad empírica de tu juego.

Prueba a ver si tu juego es razonable poniéndolo a prueba. Tu grupo debe jugarlo varias veces hasta que se sientan suficientemente confiados como para poder predecir qué pasará a la larga.

Anota los datos de tu experimento; estos irán en tu informe.

Si tu probabilidad empírica y teórica no parean, explica en términos matemáticos por qué y cómo esto afectará el dinero que genere tu juego.

PASO 4: Diseña un afiche.

Tu afiche debe incluir: título y reglas del juego, probabilidad teórica de ganarlo, probabilidad empírica de ganarlo y ganancias anticipadas del juego.

Los afiches deben verse presentables y ser organizados y coloridos puesto que van a colocarse en el salón de clases.

PASO 5: Redacta un informe.

Tu informe debe ser individual e incluir lo siguiente: o Descripción del juego, incluidas las

reglas/instrucciones. o Probabilidad teórica de ganar el juego;

muestra los cálculos. o Probabilidad empírica de ganar el juego;

muestra los datos recopilados de los ensayos y cálculos.

o Comparación de las probabilidades teórica y experimental; cómo esto afectará cuánto dinero generará el juego.


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o Ganancias anticipadas, incluido el precio por jugar y los premios. Muestra los cálculos.

PASO 6: Prepárate para la feria.

Tus compañeros de clase realmente jugarán tu juego, por lo que tienes que tener todos los materiales listos para usarse.

Tendrás que montar tu juego junto a tu afiche para que la gente pueda ver cómo se juega.

Los tres grupos que generen más “dinero” durante la feria se ganarán un premio.

El maestro puede crear una rúbrica o usar la rúbrica de tarea de desempeño para evaluar los juegos de feria (ver anejo: Organizador– Rúbrica de tarea de desempeño).



¡Cambia tu nota!50: ¿Apostarías tu nota? En esta actividad de introducción a la probabilidad, los estudiantes piensan en la probabilidad de que su nota suba o baje con un giro de la aguja. Construye un rotatorio que sea ¼ de color amarillo, ¼ de color verde y ½ azul. Estas son las reglas: o El estudiante No. 1 selecciona el amarillo, el estudiante No. 2 selecciona el verde y el maestro

selecciona el azul. o En cada turno una persona hacer girar la aguja del rotatorio, y gana si la aguja se detiene sobre

su color. ¡Tienes que ser el que hace girar la aguja para poder ganar! o Si gana el estudiante No. 1, su nota subirá 10 puntos. o Si gana el estudiante No. 2, su nota aumentará 10 puntos, pero la nota del estudiante No. 1

bajará por 10 puntos. o Si yo (maestro) gano, no cambia la nota de nadie. o ¿Es justo este juego? Si no lo es, inventa reglas para un juego justo sin cambiar la disposición

del rotatorio. Explica tu respuesta.

Broma de Pauling51: Este es un buen problema para grupos. Ayuda a introducir a los estudiantes a la idea de los sucesos dependientes e independientes. Podría ser una buena pregunta para hacerla al comienzo de una sección sobre la dependencia para que los estudiantes empiecen a pensar en el concepto. Puede discutirse la solución con la clase entera, y después dar la definición de dependencia asociándola a la broma. o Al recibir su segundo premio Nobel, el Dr. Linus Pauling, químico, comentaba que, aunque las

50

Fuente: http://www.curriki.org/xwiki/bin/view/Coll_Group_MfAsAlgebraCurrikiTeam/EvaluatingTheoreticalProbability 51

Fuente: D. Wells, The Penguin Book of Curious and Interesting Puzzles, Penguin Books, 1992, accessible online: http://www.cut-the-knot.org/pauling.shtml.

http://www.curriki.org/xwiki/bin/view/Coll_Group_MfAsAlgebraCurrikiTeam/EvaluatingTheoreticalProbability

http://www.cut-the-knot.org/pauling.shtml


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probabilidades de que cualquier persona en el mundo recibiese su primer premio Nobel eran de una en varios miles millones (la población mundial), las probabilidades de recibir un segundo premio Nobel eran de una en varias centenas (el número total de personas vivientes que ya habían recibido el premio Nobel) y por lo tanto era menos notable recibir un segundo premio Nobel que un primero. ¿Cuál es el error en la broma del Profesor Pauling?

Juego del cubo: En grupos pequeños, los estudiantes exploran un concepto según lo que les pida un cubo al lanzarlo (descríbelo, aplícalo, asócialo, compáralo, analízalo, argumenta a su favor o en su contra). En grupos, haz que los estudiantes discutan un concepto clave desde su punto de vista asignado; entonces, como clase discutan y combinen las ideas clave de los seis puntos de vista. Esta actividad puede modificarse y usarse para muchos conceptos, incluida la probabilidad condicional y los métodos de conteo (ver anejo: 9.7 Actividad de aprendizaje – Juego del cubo).

Los diagramas de árbol y el principio fundamental de conteo: El propósito de esta tarea es ayudarles a los estudiantes a descubrir el principio fundamental de conteo por medio del uso de diagramas de árbol. Los diagramas de árbol se usan además para solucionar problemas relativos al costo y la probabilidad. Para más información y hojas de cálculo, dirigirse a http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Fa09/Wall/Probability%20Instructional%20Unit/Supplement%20Folder/Day%201/MM1D1a%20Practice.pdf


Análisis y comprensión de las estadísticas en los periódicos: En grupos, los estudiantes van anotando el uso de las estadísticas en un periódico. Deberán centrarse en cómo se representan las estadísticas y qué se intenta comunicar con ellas. Los estudiantes, tanto en grupo como individualmente, sacarán conclusiones sobre cómo se usan las estadísticas. (ver anejo: 9.7 Ejemplo para plan de lección – Periódico)

Juguemos al Plinko, Lección sobre simulaciones y probabilidad empírica: Los estudiantes comparan la probabilidad empírica con la teórica. Crea un tablón de juego de Plinko y realiza simulaciones con calculadoras para demostrar que al aumentar el número de simulaciones, los resultados de la probabilidad empírica se acercan más a los de la probabilidad teórica. Para más información y materiales, dirigirse a http://msresowers.wikispaces.com/file/view/MT2003-12-626a.pdf.

Culpable o no culpable: En esta actividad, el maestro desempeña el papel de un abogado fiscal a la vez que los estudiantes usan diagramas de árbol, probabilidades de eventos dependientes, recopilación de datos y muestreo para resolver un caso en el tribunal (ver anejo: 9.7 Ejemplo para plan de lección – Culpable o no culpable).

Tiro libre: Los estudiantes simulan un laboratorio de probabilidad condicional en el contexto del tiro libro en baloncesto, al preguntarse: ¿Cuál es la probabilidad de que Armando gane la competencia de tiro libre? Necesitarán: calculadora equipada con generador de números al azar (ver anejo: 9.7 Ejemplo para plan de lección – Tiro libre) y lápiz. 1. Divide la clase en parejas y haz que desempeñen el papel de Armando y Carlos. Cada grupo

hará dos conjuntos de 10 simulaciones. 2. Como grupo, pídeles que calculen el porcentaje de canastas de Armando y Carlos. Pídeles a los

estudiantes que anoten sus resultados en las hojas para estudiantes (ver anejo: 9.7 Ejemplo para plan de lección - Tiro libre).

3. Simulación y conjunto de datos de ejemplo:

http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Fa09/Wall/Probability%20Instructional%20Unit/Supplement%20Folder/Day%201/MM1D1a%20Practice.pdf

http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Fa09/Wall/Probability%20Instructional%20Unit/Supplement%20Folder/Day%201/MM1D1a%20Practice.pdf

http://msresowers.wikispaces.com/file/view/MT2003-12-626a.pdf


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Para el primer intento pídeles a dos voluntarios que hagan de los jugadores. Un estudiante hace de Armando y el otro de Carlos.

Para simular el tiro libre, cada uno generará un número entero entre el 1 y el 10 al azar. Si a Armando le sale un 1, 2 o un 3 entonces le toca el tiro libre. Si a Carlos le sale un número del 1 al 6, entonces a él le toca hacer el tiro libre. Recuerda: Armando tira primero. Anota los tiros bajo "F" para cuando falle y "E" para cuando enceste. Jueguen y anoten hasta que haya un ganador. Realicen por lo menos 5 rondas de tiros durante la clase.

4. Haz que los estudiantes calculen el porcentaje de tiros que hizo Armando y el porcentaje que hizo Carlos.

5. Pregúntales a los estudiantes: ¿La persona que tú esperabas que ganara se desempeñó como pensabas que lo haría? (Mejor o peor) ¿Se acercan estos porcentajes (probabilidades) a lo que esperábamos? (¿Por qué sí o por qué no?) Si repitiéramos el experimento, ¿piensas que obtendríamos los mismos resultados? (¿Por qué sí o por qué no?)


Página de probabilidad de Cut-the-knot.org con definiciones y problemas: http://www.cut-the-knot.org/probability.shtml

Deluxe Probability Kit (USBN 6502380226) incluye actividades de refuerzo del análisis de datos y estándares de probabilidad de NCTM, así como ideas y artículos para actividades educativas. http://www.eaieducation.com/Product/530620/Deluxe_Probability_Kit.aspx

Sitio web interactivo que incluye ideas de lecciones y actividades en línea. http://www.shodor.org/interactivate/




Math, Culture, and Popular Media: Activities to Engage Middle School Students Through Film, Literature, and the Internet de Michaele F. Chappell and Denisse R. Thompson



A Mathematician Reads the Newspaper de John Paulos

How to Think About Statistics, 6th edition de John L. Phillips

The Man Who Counted: A Collection of Mathematical Adventures de Malba Tahan

A Very Improbable Story de Edward Einhorn, ilustrado por Adam Gustavson

Murderous Maths - Do You Feel Lucky? de Kjartan Postkitt

http://www.cut-the-knot.org/probability.shtml

http://www.cut-the-knot.org/probability.shtml

http://www.eaieducation.com/Product/530620/Deluxe_Probability_Kit.aspx

http://www.shodor.org/interactivate/




944

Matemáticas

Anejos

9no Grado


Ejemplo para plan de lección – A casa en bici

Fuente: http://mdk12.org/share/clgtoolkit/lessonplans/BikingHome.pdf 945

A casa en bici

Miguel se dirige a su casa en bicicleta desde la casa de su abuela. En la tabla a continuación, la x representa el número de horas que Miguel lleva corriendo bicicleta y la y representa el número de millas que le faltan por recorrer para llegar a casa. Haz un diagrama de dispersión de estos datos en la tabla a continuación.

Horas (x) 1 2 3 4 5 6 7 8

Millas (y) 35 29 26 20 16 9 6 0

1. Describe la relación entre los puntos de datos en el diagrama de dispersión.

2. Utiliza un escalímetro para trazar una línea de mejor ajuste aproximada.

3. Utilizando esa línea, haz una aproximación de la distancia que le falta a Miguel por recorrer tras dos horas y media.

4. Selecciona dos puntos en la línea. Lee la escala detenidamente. Utiliza los dos puntos para determinar la ecuación de la línea en la forma pendiente-intercepción.

5. ¿Qué representa la pendiente en el contexto del problema? ¿Qué representa el intercepción de y en el contexto del problema?

6. Utiliza la ecuación de tu línea de mejor ajuste para hallar la distancia que le falta a Miguel para llegar a casa después de dos horas y media. ¿Es la misma respuesta que en la pregunta 3? ¿Por qué o por qué no?

7. Compara tu trabajo con el de otra persona. ¿Tienen las mismas ecuaciones? ¿Por qué son iguales o diferentes las ecuaciones?

8. ¿Puedes usar tu ecuación para predecir cuán lejos estaría Miguel al cabo de 10 horas? Justifica tu respuesta con matemáticas.

Clave de A casa en bici

1. El diagrama de dispersión tiene una asociación negativa. 2. Las respuestas pueden variar. 3. Las respuestas pueden variar. 4. Las respuestas pueden variar. 5. Las respuestas pueden variar. 6. La pendiente representa la rapidez con la que se desplaza Miguel, y el intercepción de y representa

la distancia que le falta a Miguel por recorrer. 7. Unas 28 millas, aunque las respuestas pueden variar. 8. Las respuestas pueden variar. 9. Unas 28 millas, aunque las respuestas pueden variar. 10. Las respuestas pueden variar. 11. Los estudiantes deben obtener una respuesta negativa. Esta puede interpretarse como “imposible”

o como que el ciclista se está alejando de casa.

Nota: la línea calculada es y = -4.9x + 40

http://mdk12.org/share/clgtoolkit/lessonplans/BikingHome.pdf


Ejemplo para plan de lección – Barbie en Bungee

946

Barbie en Bungee

Materiales

Bandas elásticas (todas del mismo tipo y tamaño)

Metro o cinta métrica

Cinta adhesiva protectora

Muñecas Barbie® (o semejantes)

Hoja de actividades de Barbie en Bungee (véase a continuación)

Plan de la lección

1. Captura el interés de los estudiantes con la siguiente pregunta: “¿Piensas que la longitud de la cuerda y el tamaño de la persona importan al lanzarse en cordón amortiguador (bungee)? ¿Sería buena idea mentir sobre tu estatura y peso?” Permíteles a los estudiantes que ofrezcan sugerencias sobre por qué sería importante hacer una estimación correcta de la estatura y peso para dar un salto seguro con cordón amortiguador.

2. Tras una breve introducción, sienta las bases para la lección diciéndoles a los estudiantes que prepararán un salto con cordón amortiguador de una muñeca Barbie®. Su objetivo será hacer que Barbie se acerque lo más posible al suelo sin que lo toque.

3. Explícales a los estudiantes que realizarán un experimento, recopilarán datos, y que a continuación utilizarán los datos para predecir el número máximo de bandas elásticas que deben usarse para que Barbie haga un salto seguro desde una altura de 400 cm. (Al final de la lección, los estudiantes deberán poner a prueba sus conjeturas lanzando a Barbie desde esa altura. Si en tu escuela no hay un lugar donde se pueda hacer ese salto, tal vez quieras ajustar la altura para esta predicción.)

4. Repárteles la hoja de actividades Barbie en Bungee a los estudiantes. Dale además a cada grupo de 3 a 4 estudiantes una muñeca Barbie, 15 a 20 bandas elásticas, una hoja de papel grande, algo de cinta adhesiva y una herramienta para medir. Asegúrate de que todas las bandas elásticas sean del mismo tamaño y grosor. Las diferencias entre bandas elásticas afectarían los resultados.

5. Antes de que los estudiantes comiencen, haz una demostración de cómo hacer el doble nudo para amarrar los pies de Barbie. Demuéstrales también como utilizar un nudo corredizo para añadir bandas elásticas adicionales. A continuación, dales suficiente tiempo a los estudiantes para completar el experimento y anotar los resultados en la tabla de datos de la Pregunta 2.

6. Una vez todos los grupos hayan completado la tabla, pídeles que verifiquen sus datos. Deberán buscar irregularidades numéricas. Si algún número en la tabla no parece ser correcto, puede ser que tengan que rehacer el experimento ajustando el número de bandas elásticas donde los datos parezcan anormales. (Los estudiantes comúnmente cometen el error de medir incorrectamente y poner bandas elásticas de más o de menos. Mientras los estudiantes estén llevando a cabo el experimento por primera vez, date la vuelta por el salón e intenta detectar estos errores a medida que vayan ocurriendo. Se ahorrará tiempo si los estudiantes arreglan los errores durante la etapa inicial del experimento en vez de tener que rehacerlo después.)

7. Ten en cuenta que el número de bandas elásticas en la primera columna aumenta por dos. Esto es para que los estudiantes tengan en mente la idea de la pendiente durante el experimento. Si el número de bandas elásticas aumentara por uno, entonces no haría falta que los estudiantes piensen

http://illuminations.nctm.org/Lessons/Barbie/Barbie-AS-Project.pdf



947

en lo que representa la pendiente. Sin embargo, al aumentarla por dos, los estudiantes tendrán que darse cuenta de que la pendiente de la línea en realidad representa los “centímetros por banda elástica”, y no los “centímetros por dos bandas elásticas”.

8. Para crear una gráfica de los datos, puedes pedirles a los estudiantes que utilicen la herramienta en línea de Illuminations Línea de Mejor Ajuste, o permitirles que registren lo datos en la Hoja de cálculo de Barbie en Bungee (Excel).

9. Al final de la lección, lleva a los estudiantes a un lugar desde donde se pueda lanzar a Barbie desde una altura considerable. Por ejemplo, puede hacerse desde un balcón, la última fila de las gradas o incluso de pie en una escalera en un área que tenga un techo alto. Permíteles a los estudiantes que pongan a prueba sus conjeturas sobre el número máximo de centímetros que pueden usarse para un salto de 400 cm.

Opciones de avalúo

1. Pídeles a los estudiantes que respondan a las siguientes preguntas clave en sus diarios de reflexión. Entonces, pídeles que presenten sus soluciones frente a la clase y demuestran que sus respuestas son correctas. a. ¿Cuántas bandas elásticas hacen falta para que Barbie dé un salto seguro desde una altura de

400 cm? b. ¿Cuál es la altura mínima desde la que debe saltar Barbie si se utilizan 25 bandas elásticas? c. ¿De qué forma piensas que el tipo y grosor de banda elástica podrían afectar los resultados?

¿Piensas que la vida útil de las bandas elásticas afectaría los resultados; o sea, qué ocurriría si usaras bandas elásticas más viejas?

d. Si se le añadiese algo de peso a Barbie, ¿tendrías que usar más o menos bandas elásticas para obtener los mismos resultados? Haz una conjetura sobre la relación entre la cantidad de peso añadido y el cambio en el número de bandas necesario.

2. La rúbrica a continuación puede usarse para evaluar el trabajo de los estudiantes. Si quieres, puedes compartir esta rúbrica con ellos antes de terminar la lección para que se familiaricen con los criterios utilizados para medir su desempeño.

Proyecto Barbie en Bungee – Criterios de calificación Rúbrica de puntuación

ANÁLISIS El proyecto está completo y fue entregado a tiempo.

El proyecto demuestra comprensión de los conceptos matemáticos.

APLICACIÓN La lista de cotejo de procedimientos está completa.

Todos los miembros del grupo trabajaron de forma eficiente durante el periodo de clase.

REPRESENTACIÓN

La tabla de datos está correcta.

El diagrama de dispersión incluye título, está rotulado y cuenta con escalas y puntos de datos.

La línea de mejor ajuste fue trazada de forma razonable.

La ecuación de la línea de mejor ajuste está correcta, conforme a los datos.

EXPLICACIÓN La relación entre las variables está claramente expresada.

La pendiente y la intercepción de y están explicados en contexto.

JUSTIFICACIÓN Se hacen predicciones y se discute su nivel de fiabilidad.

Se comparan las predicciones a la conjetura original.

http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=146

http://illuminations.nctm.org/Lessons/Barbie/Barbie-JumpRecord.xls

http://illuminations.nctm.org/Lessons/Barbie/Barbie-JumpRecord.xls



948

Hoja de actividades

En esta actividad, simularás un salto con cordón amortiguador usando una muñeca Barbie® y bandas elásticas.

Antes de que realices este experimento, formula una conjetura:

Me parece que ______ es el número máximo de bandas elásticas que le permitirán a Barbie saltar desde una altura de 400 cm de forma segura.

Ahora, realiza el experimento para poner a prueba tu conjetura.

Procedimiento

Completa cada uno de los pasos a continuación. A medida que los vayas completando, haz una marca de cotejo en la casilla a la izquierda.

Pega con cinta adhesiva una hoja grande de papel a la pared desde el suelo hasta una altura de aproximadamente seis pies.

Traza una línea cerca de la parte de arriba para indicar la altura desde la cual Barbie hará cada salto.

Amárrale los pies a Barbie con un lazo doble. Este se hace amarrando una cinta elástica a otra con un nudo corredizo, como se muestra a la derecha.

Enrolla el extremo abierto del lazo doble firmemente en los pies de Barbie, como se muestra a la derecha.

Amarra una segunda banda elástica a la primera, usando nuevamente un nudo corredizo, como se muestra a la derecha.

Con las bandas elásticas ya amarradas, sostén con una mano el extremo de las bandas elásticas sobre la línea de salto, y deja caer a Barbie desde la línea con la otra mano. Pídele a un compañero que marque el punto más bajo que alcanza Barbie en este salto.

Mide la distancia de salto en centímetros y anota el valor en la tabla de datos de la Pregunta 1. Sería bueno que repitieras este salto varias veces y saques el promedio para asegurar la precisión de los datos.

Continúa amarrando dos bandas elásticas adicionales por cada salto, midiendo la distancia del salto y registrando los resultados en la tabla de datos.

Una vez que hayas completado la tabla de datos, responde a las Preguntas 2 a la 12.



Fuente: http://illuminations.nctm.org/LessonDetail.aspx?ID=L646 949

1. Completa la tabla de datos que se encuentra a la derecha.

2. Haz un diagrama de dispersión de tus datos. Indica la escala en cada eje.

3. En la gráfica aquí arriba traza una línea de mejor ajuste.

4. ¿Cuál es la relación entre el número de bandas elásticas y la distancia de salto?

5. ¿Cuál es la ecuación de tu línea de mejor ajuste? (Si quieres puedes usar una calculadora gráfica para esta parte de la lección. Escribe los datos de las bandas elásticas en L1 y la distancia de salto en L2.)

6. ¿Cuál es la pendiente de tu ecuación y qué representa en este contexto?

7. ¿Cuál es la intercepción de y de tu ecuación y qué representa en este contexto?

8. Según tus datos, ¿qué predicción harías para el número máximo de bandas elásticas para que Barbie pueda saltar desde 400 cm de forma segura?

Con tu línea de mejor ajuste: ________________________________ Con tu ecuación de regresión: ____________________________

9. ¿Son fiables tus predicciones? Justifica tu respuesta. Asegúrate de considerar tus métodos de recopilación, registro y de graficar los datos.

10. Compara tus predicciones de la Pregunta 8 con la conjetura que hiciste antes del experimento. ¿Con qué conocimiento previo contabas (o no) que te ayudó (o limitó) a la hora de hacer tu conjetura?

11. ¿De qué formas contribuiste al grupo mientras trabajaban en este proyecto?

12. Usa el espacio que se provee a continuación para hacer cualquier comentario adicional.

Número de bandas elásticas

(x)

Distancia de salto en centímetros

(y)

2

4

6

8

10

12


Ejemplo para plan de lección – Ser o no ser…lineal

950

Ser o no ser…lineal

Materiales

Papel cuadriculado Reglas – puede ser que hagan falta pequeñas y grandes Lápices Hojas de recopilación de datos: en formato de lista y en formato de tabla

Actividades de preparación

Se supone que a los estudiantes se les haya introducido a los conceptos de plano coordenado, cómo trazar ecuaciones lineales, pendiente, intercepciones y forma pendiente-intercepción.

Los estudiantes deben ser capaces de ubicar puntos en la gráfica y recopilar datos.

Actividades

1. Los estudiantes seleccionarán dos variables entre las que piensen que existe una relación. Por ejemplo: altura vs. peso, tiempo en la tienda vs. dinero gastado, tamaño del pie vs. cuán alto puedes saltar, largo de la uña vs. largo del dedo, etc.

2. Los estudiantes entonces tienen que recopilar datos. Los estudiantes/maestro pueden elegir el método que utilizarán para recopilar los datos. El maestro puede asignar el proceso de recopilación como tarea para la casa o se puede hacer en clase. Haz que los estudiantes recopilen los datos en formato de tabla o de lista.

3. Los estudiantes entonces deberán crear un plano coordenado y rotular el eje de x y el eje de y con las dos variables elegidas, hacer una escala de numeración adecuada y ponerle un título.

4. A continuación, deberán trazar los puntos de recopilación de datos dados.

5. Una vez los estudiantes hayan trazado los puntos, deberán trazar una línea de mejor ajuste para los datos proporcionados. Si los datos no exhiben correlación alguna, los estudiantes pueden trazar una línea para continuar al llenar la hoja de preguntas (véase abajo).

6. Una vez se haya trazado la línea de mejor ajuste, los estudiantes recopilarán los datos de la pendiente y los intercepciones a partir de su línea. A continuación deberán hallar la ecuación de la línea.

7. Para finalizar, pueden dialogar sobre la correlación positiva, negativa y la no correlación, o puedes pedirles que respondan a las preguntas proporcionadas.

Evaluación

Gráfica y hoja de preguntas para los estudiantes Discusión en grupos entre los estudiantes utilizando alguno o todos los tópicos en las Preguntas de

discusión


Ejemplo para plan de lección – Ser o no ser…lineal

Fuente: http://www.learnnc.org/lp/pages/3843 951

Hoja de preguntas

1. ¿Qué es una correlación?__________________________________________

2. ¿Mostraron tus datos alguna correlación?_____________________________

3. ¿Qué tipo de correlación mostraron tus datos?______________________

4. ¿Cuál fue la pendiente de tu línea?________________________________

5. ¿Cuál es la intercepción de x de tu línea?_____________________________

6. ¿Cuál es la intercepción de y de tu línea?_____________________________

7. ¿Cuál es la ecuación de tu línea en la forma punto-pendiente?________________

Muestra tu trabajo:

8. ¿Cuál es la ecuación de tu línea en forma pendiente-intercepción?____________

Muestra tu trabajo:

9. ¿Cuál es la ecuación de tu línea en forma estándar?_________________

Muestra tu trabajo:

Preguntas de discusión

1. ¿Qué otras variables tendrían una correlación positiva? Explica y justifica tus opciones.

2. ¿Qué otras variables tendrían una correlación negativa? Explica y justifica tus opciones.

3. Dada una gráfica de una ecuación, enumera los pasos necesarios para determinar la ecuación de la línea en la forma pendiente-intercepción.

4. ¿Cuáles son las diferencias entre la pendiente y la correlación?

5. ¿Cuáles son las semejanzas entre la pendiente y la correlación?

http://www.learnnc.org/lp/pages/3843


Otra Evidencia – Preguntas de prueba

Fuente: Oficina del Censo de los Estados Unidos 952


3. Utiliza la tabla de expectativas de vida en los Estados Unidos.

Año Todos Mujeres Hombres

1930 59.7 61.6 58.1

1940 62.9 65.2 60.8

1950 68.2 71.1 65.6

1960 69.7 73.1 66.6

1970 70.8 74.7 67.1

1980 73.7 77.4 70.0

1990 75.4 78.8 71.8

2000 77.0 79.7 74.3

f. Construye un diagrama de dispersión de los pares ordenados (año, expectativa de vida entre las mujeres).

g. Traza a ojo la línea que mejor se ajuste a los datos y halla su ecuación (línea de mejor ajuste). h. ¿Qué expectativas de vida predice tu ecuación para los años 1930 al 2000? i. Utiliza tu ecuación para predecir la expectativa de vida entre las mujeres en los EE. UU. para el

año 2020. j. ¿Qué significa la pendiente de la línea en el contexto de este problema?

4. ¿De qué forma se corresponde el promedio académico con las puntuaciones del College Board?

d. Haz un modelo de la relación entre los datos en la tabla creando un diagrama de dispersión.

e. Calcula la línea de mejor ajuste. f. Utiliza la línea de mejor ajuste para identificar la pendiente y la

intercepción de y.

Promedio académico

Puntuación College Board

2.8 1050

1.5 890

3.3 1090

3.5 1330

1.8 890

2.0 900

2.5 1000

3.8 1390

3.0 1130

1.2 780

3.5 1220

2.4 990

2.9 1010

4.0 1380

2.2 970


Ejemplo para plan de lección – Cómo resolver sistemas de ecuaciones con gráficas

953

Cómo resolver sistemas de ecuaciones por medio de gráficas

1. Dales a los estudiantes un ejemplo de cómo se utilizaría un sistema de ecuaciones en situaciones de la vida cotidiana (véase 1). Responde a las preguntas y comentarios de los estudiantes.

1. El costo de alquilar un carro de Shady Grady Rent-a-Car es de $118 por día, más 30₵ por milla recorrida. El costo de alquilar un carro similar de EZ-Rider Rental es $20 por día, más 25₵ por milla recorrida. Cathy necesita alquilar un carro por un día. ¿Debería alquilarlo en Shady Grady o en EZ-Rider?

2. Ayúdales a los estudiantes a establecer un sistema de ecuaciones para la pregunta 1 aquí arriba (véase 2). Responde a las preguntas y comentarios de los estudiantes.

2.

3. Ayuda a los estudiantes a trazar al gráfica del sistema de ecuaciones en 2. Discutan qué representa la intersección entre las líneas (véase 3). Responde a las preguntas y comentarios de los estudiantes.

3. Graficar estas dos ecuaciones muestra cómo se comparan los costos. Las gráficas muestran que el carro de EZ-Rider cuesta más si se recorren menos de 40 millas. EZ-Rider y Shady Grady cuestan lo mismo si se recorren 40 millas. Shady Grady cuesta más si se recorren más de 40 millas.

Sea c = costo de alquilar un carro por un día.

Sea m = número de millas recorridas en un día.

Usando la Distancia = Tiempo puedes escribir las siguientes ecuaciones:

c = 18 + 0.30 m

c = 20 + 0.25 m

Costo de alquilar un auto en Shady Grady.

Costo de alquilar un auto en EZ-Rider.

Cada punto de una línea satisface la ecuación de la línea. Puesto que (40, 30) está en las dos líneas de la gráfica, satisface ambas ecuaciones.



954

4. Discute con los estudiantes qué representa el “sistema de ecuaciones” y el que la solución puede escribirse como un par ordenado (véase 4). Responde a las preguntas y comentarios de los estudiantes.

4. En conjunto, a las ecuaciones d = 18 + 0.30 m y d = 20 + 0.25 m se les llamas sistema de ecuaciones. La solución del sistema es (40, 30)

5. Trabajen en el ejemplo número 5. Responde a las preguntas y comentarios de los estudiantes.

5. Ejemplo – Resuelve este sistema con una gráfica:

3x – y = 1 2x + y = 4

6. Discute los términos “compatible”, “determinado”, “indeterminado” con los estudiantes (véase 8). Responde a las preguntas y comentarios de los estudiantes.

8. Un sistema de ecuaciones compatible tiene por lo menos una solución. Por ejemplo, los sistemas de ecuaciones en los ejemplos 5, 6 y 7 son compatibles. Si tiene exactamente una solución, el

Recuérdales a los estudiantes que la solución, si existe, de un sistema de dos variables será un par ordenado o pares ordenados.

La forma pendiente-intercepción de 3x – y = 1 es 3x – 1. La forma pendiente-intercepción de 2x + y = 4 es y = -2x + 4. Las dos líneas tienen pendientes distintas. Las gráficas de las ecuaciones son líneas que se intersecan. La solución al sistema es (1, 2).



955

sistema es determinado. Si hay un número infinito de soluciones, el sistema es indeterminado. Así, el sistema de los ejemplos 5 y 6 son compatibles y determinados. El sistema del ejemplo 7 es compatible e indeterminado.


9. Ejemplo – Resuelve este sistema con una gráfica:

y = -3x – 2

y = -3x + 3

8. Repasa con los estudiantes las posibilidades de gráficas al usar dos ecuaciones lineales en dos variables (véase 10). Responde a las preguntas y comentarios de los estudiantes.

10. La tabla a continuación provee un resumen de las posibilidades de gráficas de dos ecuaciones lineales en dos variables.

Gráficas de las ecuaciones

Pendientes de las líneas

Nombre de los sistemas de ecuaciones

Número de soluciones

Las líneas se intersecan.

Pendientes distintas Compatible y determinado

Una

Las líneas coinciden. Misma pendiente, mismos intercepciones

Compatible e indeterminado

Infinitas

Las líneas son paralelas.

Misma pendiente, intercepciones distintos

Incompatible Ninguna


11. Ejemplo – Resuelve este sistema de ecuaciones con una gráfica: y = -3x – 12 2x + 3y = -15

Ambas líneas tienen la misma pendiente, pero diferentes intercepciones en y. Las gráficas de las ecuaciones son líneas paralelas. Como no se intersecan, no hay soluciones para este sistema de ecuaciones. Se dice que este sistema es incompatible.

El conjunto de la solución es el conjunto nulo, Ø.



956

La forma pendiente-intercepción de 2x + 3y = -15 es

Las dos líneas tienen pendientes distintas. Las gráficas de las ecuaciones son líneas secantes.

La solución al sistema es (-3, -3). El sistema es compatible y determinado.



Fuente: http://www.beaconlearningcenter.com/Lessons/1753.htm 957

10. Reparte papel cuadriculado.

11. Reparte la Hoja de ejercicios de cómo resolver sistemas de ecuaciones por medio de gráficas.

Hoja de ejercicios de cómo resolver sistemas de ecuaciones por medio de gráficas

Señala el par ordenado que sea la intersección de cada par de líneas. 1. a, b 2. a, e 3. a, d 4. b, c 5. c, d 6. e, d 7. b, f 8. f, d Grafica cada sistema de ecuaciones y determina su solución. Luego, menciona si el sistema es compatible y determinado, compatible e indeterminado o incompatible (repárteles papel cuadriculado a los estudiantes). 9. x+y=4

2x+3y=9 10. x+y=6

x-y=2 11. x+y=6

3x+3y=3 12. x+1=y

2x-2y=8

13. 23

1

2

1 yx

x-y=-1

14. x+y=1 3x=5y=7

15. Jorge compró 7 cuartos de detergente: x cuartos a $3.00 por cuarto, y y cuartos a $2.00 por cuarto. Halla x y y si el costo total fue de $16.00

http://www.beaconlearningcenter.com/Lessons/1753.htm

Unidad 9.2: Sistemas de Ecuaciones Matemáticas

Ejemplo para plan de lección – Planes de celulares

958

Qué hacer:

Habla con tu vecino(a): ¿cuánto pagan los estudiantes (o sus padres) por sus celulares? También podrías preguntar cómo los estudiantes podrían decidir cuál plan de celular comprar, y si hay alguna herramienta que podría resultarles útil a la hora de tomar la decisión.

Dados los dos planes de celulares a continuación, ¿cuál escogerías y por qué?

Comienza a trabajar en el análisis de los planes de celulares. Podría servirte trabajar con otros, e intercambiar ideas con el maestro.

Las hermanas Bell, Ding y Ling se encuentran comparando planes de celulares. Quieren compartir un plan y tienen que decidir cuál opción es la mejor para ellas. A continuación se encuentran dos planes mensuales disponibles en su área:

Plan A: $30 fijos mensuales y $0.10 por minuto por cada llamada (un plan de pago por uso);

Plan B: $60 fijos mensuales (por hasta 900 minutos).

Ayuda a las hermanas Bell a decidir cuál plan es el mejor para ellas.

Comienza completando la siguiente tabla:

Costo

Minutos Plan A Plan B

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

Cualquier cantidad de minutos, N

1. Usando papel cuadriculado, grafica los puntos de cada plan en el mismo conjunto de ejes. Utiliza un símbolo diferente para identificar cada plan, y crea una leyenda que muestre cuál símbolo corresponde a cada uno. Usarás esta gráfica hecha a mano como referencia para responder a las siguientes preguntas. Es importante que realices tantas conexiones como puedas entre lo que dibujas en la gráfica y lo que introduzcas y veas en la calculadora gráfica.


Ejemplo para plan de lección – Planes de celulares

Fuente: http://www.sedl.org/afterschool/lessonplans/index.cgi?show_record=121 959

1. Introduce en la calculadora gráfica las ecuaciones que hallaste por cada plan presionando el botón Y= . A continuación, grafica las ecuaciones presionado GRAPH.

a. Pista No. 1: Sustituye la N por la X en tu expresión en la última fila de la tabla. Oprime

X, T, ,n para visualizar la X en tu ecuación.

b. Pista No. 2: Asegúrate de crear una ventana adecuada para tu gráfica. Oprime WINDOW para fijar los parámetros. Utiliza la misma escala de la gráfica que hiciste en la Pregunta 1 para Xmin, Xmax, Ymin y Ymax (pon Xscl=100, Yscl=10, y Xres=1).

2. Hay dos intercepciones de y en la gráfica. Nombra los valores de los dos intercepciones de y. ¿Qué representan los intercepciones de y en términos del problema?

3. Las dos gráficas se tocan en un punto de intersección. ¿Cuál es el punto de intersección? Puedes usar el botón de CALC en la calculadora gráfica para hallar los valores exactos. Este botón se encuentra encima del botón TRACE. Elige 5: intersecar.

4. Describe lo que representa el punto de intersección en términos del problema.

5. ¿Hay alguna forma de usar la tabla para determinar el punto de intersección de la gráfica? Si es así, ¿cómo? Puedes utilizar el botón de TABLE en la calculadora gráfica para visualizar la tabla. Se encuentra encima del botón GRAPH. Puedes ajustar la tabla oprimiendo TBLSET, encima del botón WINDOW.

6. Ayuda a las hermanas Bell escribiendo una recomendación para elegir un plan de celulares. Utiliza los datos de tu gráfica y tabla para respaldar tu recomendación.

http://www.sedl.org/afterschool/lessonplans/index.cgi?show_record=121


Ejemplo para plan de lección – Zurdo o diestro

960

Zurdo o diestro

Actividades:

1. Utilizando papel cuadriculado, los estudiantes recopilarán datos de tiempo (en segundos), número de letras con la mano derecha y número de letras con la mano izquierda. Sostén el papel de forma horizontal y coge el lápiz con la mano derecha. Mientras el maestro marca el tiempo, comienza a escribir P, R, P, R —una letra por cuadro— a lo largo de la página durante tres segundos. Cuando se acabe el tiempo, suelta el lápiz.

2. Anota los resultados de la primera ronda en la tabla que se provee en la hoja de actividades. Repite el proceso con la mano derecha cuatro veces más mientras el maestro toma el tiempo a diferentes intervalos (desde tres hasta diez segundos). Anota los resultados en la tabla al cabo de cada ronda. (Nota: los datos deben aproximarse a una función lineal, pero podría haber algo de variabilidad causada por errores humanos).

3. Repite el experimento con la mano izquierda y anota los datos de cada ronda.

4. Usando el papel cuadriculado, traza el diagrama de dispersión de los dos conjuntos de datos en la misma gráfica.

5. Discutan sobre si el punto (0, 0) debería formar parte de la gráfica. Los estudiantes deben decirte que piensan que el punto de origen sí debe ser parte de los datos porque en cero segundos se pueden escribir cero letras.

6. Halla una ecuación de la línea de mejor ajuste para ambos conjuntos de datos. La mayoría de los estudiantes tendrán dos líneas que se intersecan en el origen, pero que tienen distintas pendientes.

7. Pídeles a los estudiantes que se separen en grupos para que discutan las semejanzas y diferencias entre sus gráficas.

8. Después de las discusiones en grupo, pregúntales cómo se vería la gráfica de una persona ambidiestra. Pídele a un estudiante que pase al frente y demuestre cómo piensa que se verían las dos líneas. Lo ideal sería que ambas líneas queden una encima de la otra, ya que una persona ambidiestra llenaría el mismo número de cuadros con cada mano en el mismo intervalo de tiempo.

9. Ya para este punto la clase ha visto las gráficas individuales de los estudiantes y la gráfica de una persona ambidiestra. Deben haber entendido que la mayoría de las gráficas tenían un punto de intersección —el origen— y que esta intersección (0, 0) es el único punto en que ambos conjuntos de datos son iguales. Deben también entender que las dos líneas de una persona ambidiestra quedarían una encima de la otra y por lo tanto compartirían un número infinito de intersecciones (o soluciones).


Ejemplo para plan de lección – Zurdo o diestro

Fuente: http://www.learner.org/workshops/algebra/workshop3/lessonplan1.html 961

10. Discutan las gráficas de varios escenarios diferentes. 1) Usar una gráfica que muestre dos líneas de intersección, con dos pendientes diferentes y dos intercepciones de y diferentes. Pídeles a los estudiantes que piensen en la gráfica según se relaciona con la resolución de sistemas de ecuaciones. 2) Muestra una gráfica que tenga dos líneas paralelas y pídeles a los estudiantes que saquen conclusiones. Por ejemplo, pueden mencionar que este escenario no funcionaría para el experimento que acaba de realizarse. Deben fijarse en que, como estas dos líneas nunca se intersecan, no existe punto en común o solución. 3) Muestra una gráfica con dos líneas una encima de la otra. Pídeles a los estudiantes que saquen conclusiones sobre la gráfica. Pídeles que piensen en todas las posibilidades cuando se trazan dos ecuaciones lineales en el mismo plano coordenado. Al cabo de la discusión, deben concluir que hay tres escenarios posibles: 1) dos líneas que se intersecan, 2) dos líneas paralelas y 3) dos líneas, una encima de la otra (líneas coincidentes).

11. Discutan lo que significa una “solución” en cada uno de los tres escenarios. Al final, deben poder entender que ambas líneas que se intersecan tienen una solución, las dos líneas paralelas no tienen solución y las dos líneas coincidentes tienen un número infinito de soluciones.

12. Muestra una gráfica en que se compare “Alquiler de autos Ace vs. Better Car Rentals”. Haz que los estudiantes trabajen en grupos para desarrollar una historia, discutir lo que está sucediendo en este escenario y sacar conclusiones. Los estudiantes deben darse cuenta de que ambas compañías de alquiler de autos cobran cuotas iniciales distintas, con lo que sus intercepciones en y serán diferentes. También cobran precios distintos por milla, con lo que las líneas obtendrán pendientes distintas. Si una persona conduce 300 millas, entonces el Ace Car Rental resulta más barato; si es más de 300 millas, Better Car Rental resulta más barato.

Actividad para finalizar/Evaluación:

Pídeles a los estudiantes que discutan todos los conceptos diferentes que surgieron durante la lección, y que escriban un resumen de lo que aprendieron.

http://www.learner.org/workshops/algebra/workshop3/lessonplan1.html


Otra Evidencia– Preguntas de prueba

Fuente: Anna Persson, 2011 962

4. Soluciona los siguientes sistemas de ecuaciones con una gráfica: d. Y = 2x + 3

Y = 0.5x + 1 e. Y = 4 – x

Y = 1.5x + 2 f. Y = -2.25 + 2x

Y = -x 5. Usando la gráfica aquí abajo:

d. Escribe el sistema de ecuaciones.

e. Determina si son ecuaciones lineales, no lineales o inecuaciones.

f. De ser posible, resuelve el sistema de ecuaciones usando álgebra.

6. ¿Cuál par ordenado se encuentra en el conjunto de solución

7. ¿Cuál par ordenado se encuentra en el conjunto de solución del sistema de desigualdades siguiente?

a. b.

c. d.


Actividad de aprendizaje – Cómo hallar la longitud de arco de un círculo

Fuente:http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/kassliosatos08/finding%20arc%20length%20of%20a%20circle.pdf 963

Cómo hallar la longitud de arco de un círculo

Exploren la fórmula para calcular la longitud de arco al comparar la longitud hallada usando un cordón con la longitud hallada usando la fórmula. Necesitarán un pedazo de cordón, una regla, una hoja de papel en blanco y un transportador.

1. Dibújale un punto central a tu círculo en el centro del papel.

2. Utiliza el pedazo de cordón para dibujar un círculo del tamaño que quieras (si necesitas dibujar varios círculos de práctica hasta que te quede bien mejor hazlo en una hoja aparte).

3. Traza un radio y mídelo en centímetros. r =_____

4. Traza un segundo radio. Mide el ángulo central formado por los dos radios usando el transportador (debe medir menos de 180 grados).

a. Medida del ángulo central = ________________

5. Alinea el cordón con el arco menor y, a continuación, mide la longitud del cordón colocándolo junto a la regla. Medida del arco menor = ________________

6. Ahora, usa la fórmula de la longitud de arco para calcular la longitud del arco menor. Demuestra tus cálculos aquí abajo. ¿Cuánto se acercó la medida que tomaste en la pregunta 5?

a. Cálculo del arco menor = ________________

7. Asegúrate de incluir el círculo cuando entregues esta tarea.

http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/kassliosatos08/finding%20arc%20length%20of%20a%20circle.pdf

http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/kassliosatos08/finding%20arc%20length%20of%20a%20circle.pdf


Actividad de aprendizaje – Laboratorio de superficie de área y razón de volumen

Fuente: http://www.ilovemath.org/index.php?option=com_docman&task=cat_view&gid=33&Itemid=31 964

Laboratorio de superficie de área y razón de volumen

En parejas, usen plasticina para explorar el área de superficie y el volumen. Necesitarán un paquete de plasticina y una regla.

1. Con toda la plasticina, creen un prisma rectangular que sea semejante a los prismas que se muestran a continuación y midan la longitud, la anchura y la altura. Hallen el área de superficie y volumen de cada prisma y anoten los datos. Repitan el procedimiento con por lo menos 5 prismas diferentes, siempre usando toda la plasticina.

Prisma Imagen del

prisma Longitud (en cm)

Anchura (en cm)

Altura (en cm)

Área de superficie

Volumen

No. 1

No. 2

No. 3

No. 4

A tu discreción

No. 5

A tu discreción

2. ¿Qué notas sobre el volumen de los prismas aquí arriba?

3. ¿Qué notas sobre el prisma aquí arriba que tiene el área de superficie menor?

4. Calcula el área de superficie y razón de volumen de cada uno de los prismas anteriores. ¿Qué relación notas entre las dimensiones del sólido y su razón de área de superficie/volumen?

Prisma Razón AS/V

No. 1

No. 2

No. 3

No. 4

No. 5



Ejemplo para plan de lección – Circular el cuadrado

965

Circular el cuadrado: pelea en el cuadrilátero de boxeo

Vean segmentos de una pelea de boxeo, o fotos de una pelea de boxeo mientras leen una corta descripción de esta para visualizarla. Fíjense en las restricciones de movimiento que tienen los boxeadores por el tamaño del cuadrilátero y el área cercada por cuerdas en la que pelean. ¿Notas algún patrón de cómo los boxeadores se mueven a un lado y otro de las cuerdas, o de cómo se enfrentan en el centro? ¿Tienen formas particulares de acercarse el uno al otro o de alejarse?

Jack Johnson era reconocido por su pegada (ofensiva), así como su habilidad para evitar que le pegaran (defensiva). Se le ha comparado con el gran John L. Sullivan por su potente pegada, y al gran “Gentleman” Jim Corbett por su elegante estilo de defensa. Las complejas técnicas de acercarse para pegar y mantenerse alejado para evitar los golpes se realizan en una pequeña área, que por requisitos oficiales debe medir entre 18 y 22 pies (o 5.4 a 6.7 metros).

Para propósitos de esta actividad, asume que el área del cuadrilátero de boxeo es de 20 pies = 400 pies cuadrados, y que todos los boxeadores miden seis pies de alto y el alcance de su brazo es de un círculo que tiene un radio de tres pies.

Marca la parte (área) del cuadrilátero que puede alcanzar un boxeador al desplazarse en torno al centro del cuadrilátero con los pies en el centro, moviéndose dentro de un círculo con un radio = alcance = 3 pies, según se muestra en la imagen a continuación. Calcula esta área como un porcentaje del todo.

A continuación, marca la parte (área) del cuadrilátero que puede alcanzar un boxeador que se desplace por el perímetro del cuadrilátero de espaldas a las cuerdas. Halla esta área de tres formas distintas: a) con rectángulos, b) con trapezoides, c) con la diferencia de dos cuadrados. Calcula esta área como un porcentaje del todo.

En este punto, hay un boxeador de espaldas a las cuerdas y otro en el centro del cuadrilátero. Así las cosas, ¿qué área quedaría al descubierto en “tierra de nadie”? Calcula esta área como un porcentaje del todo.


Ejemplo para plan de lección – Circular el cuadrado

Fuente: http://www.pbs.org/teachers/connect/resources/1685/preview/ 966

Si el boxeador que está en el centro da un paso hacia delante, podrá extender su alcance por tres pies hacia adelante y tres pies hacia atrás, ¿para cubrir qué área? Calcula esta área como un porcentaje del todo.

Si el boxeador que se encuentra de espaldas a las cuerdas da un paso hacia delante, podrá extender su alcance por tres pies hacia adelante y tres pies hacia atrás, ¿para cubrir qué área? Calcula esta área como un porcentaje del todo.

Para este punto, un boxeador ha dado un paso hacia adelante de las cuerdas, y el otro ha dado un paso hacia adelante del centro del cuadrilátero. Así las cosas, ¿cuál será la extensión del área de convergencia que quedará entre ellos? Calcula esta área como un porcentaje del todo.

Respuestas a las preguntas de Circular el cuadrado:

Área = 3.14 x 3 x 3 = 28.26 pies cuadrados. Área como porcentaje del todo = 28.26 pies cuadrados / 400 pies cuadrados = 7.1/100 = 7 % Área por (a) = (3x20 pies cuadrados arriba + 3x20 pies cuadrados abajo +3x14 pies cuadrados izquierda +3x14 pies cuadrados derecha = Área por (b) = cuatro trapezoides iguales a 4x1/2 x (20+14) x3 pies cuadrados = Área por (c) = diferencia de los dos cuadrados a 20x20 -14x14 pies cuadrados = 204 pies cuadrados Área como porcentaje del todo = 204 pies cuadrados / 400 pies cuadrados = 51/100 =51 % Área = 14 x 14 pies cuadrados - Pi x 3 x 3 pies cuadrados = 196 - 28.26 pies cuadrados = 139.48 pies cuadrados Área como porcentaje del todo = 139.48 / 400 = 35 % Área extendida = Pi x 6 ft x 6 ft = 113.04 pies cuadrados Área como porcentaje del todo 113 pies cuadrados / 400 pies cuadrados = 28 % Área equivalente a la diferencia de dos cuadrados 20 ft x 20 ft - 8 ft x 8 ft = 336 pies cuadrados, y ahora se restan las cuatro esquinas del cuadrilátero = 6 pies x 6 pies - Pi x 3 pies x 3 pies = aproximadamente 7.74 pies cuadrados. Esto daría 336 pies cuadrados – 7,74 pies cuadrados = 328,26 pies cuadrados. Área como porcentaje del todo = 328.26 pies cuadrados / 400 pies cuadrados = 82 % Área de convergencia = Pi x 6 pies x 6 pies - 8 pies x 8 pies = 113,04 pies cuadrados - 64 pies cuadrados = 49 pies cuadrados Área de convergencia como porcentaje del todo 49 pies cuadrados / 400 pies cuadrados = 12 %

http://www.pbs.org/teachers/connect/resources/1685/preview/


Ejemplo para plan de lección– Área de superficie de las pirámides y los conos

967

Área de superficie de las pirámides y los conos

Procedimientos/Actividades:

Divide la clase en grupos heterogéneos de 3 o 4 personas. Se deben organizar los grupos por adelantado; en cada grupo debe haber un estudiante con mucha destreza, uno con poca destreza y uno o dos con destreza media.

Ejemplos de cosas que se le pueden asignar a cada estudiante en los grupos son: anotar, medir, sostener papel, reportar.

Captura su atención:

Muéstrales a los estudiantes un video sobre la Gran Pirámide de Giza, en http://www.5min.com/Video/Learn-about-the-Great-Pyramid-of-Giza-38365690, u otro video corto sobre las pirámides. También pueden usarse libros sobre las pirámides para capturar la atención de los estudiantes.

Explora:

1. Repárteles a los estudiantes una copia de la hoja “Área de superficie de las pirámides” y papel cuadriculado. Explícales lo que harán durante la lección y pídeles ideas de cómo comenzar. Es posible que el concepto de altura inclinada sea nuevo para ellos, así que asegúrate de que todos entiendan lo que es.

2. Los estudiantes comenzarán a descubrir el tema al dibujar redes de pirámides dadas. Una vez dibujadas las redes, contarán los cuadrados para hallar el área de superficie total de las pirámides. Los estudiantes tendrán que usar la fórmula de un triángulo para obtener el área precisa de los cuatros triángulos. Deben poder ver que los cuatro triángulos tienen el mismo área, así que solo tienen que hallar el área de uno.

3. Date la vuelta por cada uno de los grupos; fíjate en si están teniendo un diálogo matemático y hazles preguntas a los grupos sobre su trabajo.

4. Una vez los estudiantes hayan recopilado los datos pertinentes, deben comenzar a buscar la relación entre p, I y B.

5. Una vez hayan descubierto la regla, entabla una discusión con los estudiantes sobre cómo hallar el área de superficie de un cono puede parecerse a hallar el área de superficie de una pirámide. La discusión deberá ayudarlos a darse cuenta de que la única diferencia es que el perímetro de la base de la pirámide podría compararse con la circunferencia de la base del cono.

Explica:

Los estudiantes deben anotar sus resultados para presentarlos ante la clase. Pídeles que compartan la forma en que derivaron sus fórmulas para sacar el área de superficie de una pirámide.

Extiende:

Pídeles que dibujen en papel cuadriculado la red de un cono que tiene un radio de 3 y una altura de 5. Pídeles que respondan a la siguiente pregunta en sus diarios matemáticos: ¿Piensas que usar una red para hallar el área de superficie de un cono sería una buena idea? Justifica tu respuesta.

http://www.5min.com/Video/Learn-about-the-Great-Pyramid-of-Giza-38365690


Ejemplo para plan de lección– Área de superficie de las pirámides y los conos

Fuente: http://alex.state.al.us/lesson_view.php?id=26417 968

Evalúa:

Cierra la lección pidiéndoles a los estudiantes que usen el método Reflexiona-Agrúpate-Comparte para resumir lo que aprendieron ese día. Para esto, deberán reflexionar sobre lo que aprendieron durante un minuto. A continuación, forman pareja con un vecino para discutir lo que aprendieron. Finalmente, comparten sus reflexiones con la clase.

Área de superficie de las pirámides cuadradas

Completa los siguientes tres pasos por cada pirámide. (Los diagramas no están a escala.)

A. Dibuja la red de la pirámide en papel cuadriculado y escribe sus dimensiones. B. Halla el área de cada forma en la red y súmalas para hallar el área de superficie total. Anótalo en la

tabla que se encuentra a continuación. C. Calcula, de ser necesario, y anota las medidas de p, l y B en la tabla a continuación. D. Busca una relación y escribe una regla para el área de superficie en términos de p, l y B.

1. 2. 3.

Perímetro de la base(p)

Altura inclinada (l) Área de la base (B) Área de superficie

Pirámide No. 1

Pirámide No. 2

Pirámide No. 3

4. Explica en tus propias palabras cómo piensas que hallar el área de superficie de un cono es semejante a hallar el área de superficie de una pirámide.

5. Aplica tu estrategia para hallar el área de superficie de los dos conos siguientes:

l = 25cm

r = 15 cm

11 cm

12 cm 6 cm

6 cm

4 cm

5 cm

9 cm

a = 12 pulg.

r = 5 pulg.

http://alex.state.al.us/lesson_view.php?id=26417


Otra evidencia – Preguntas de examen

969

Ejemplos para preguntas de examen

1. Halla la longitud de arco y área del sector:

a. En el espacio provisto, utiliza un compás para trazar un círculo con un radio de 2.5 centímetros. Divide el círculo en 6 partes iguales. Oscurece una de las seis partes. Las preguntas a continuación se tratarán del área oscurecida.

b. Escribe las medidas asociadas al círculo.

i. Circunferencia_____________________________

ii. Área_____________________________________

c. Escribe las medidas asociadas al sector oscurecido del círculo.

i. Ángulo central______________________________

ii. Ángulo del sector_______________________________

iii. Longitud del arco formado por el sector______________

d. Describe una fórmula que pueda usarse para hallar la longitud del arco. Utiliza el vocabulario adecuado (circunferencia, ángulo central, etc.) para explicar qué variables se usan en los cálculos.

e. Describe una fórmula que pueda utilizarse para hallar el área del sector. Nuevamente, deberás utilizar la terminología apropiada para las variables que se utilizarán en el cálculo.

2. La longitud (l) = 12 unidades y el filo de la base (s) = 16 unidades. ¿Cuál es el área de la base? ¿Cuál es el volumen?


Otra evidencia – Preguntas de examen

Fuentes: http://solpass.org/released_sol_tests/Geometry2006.pdf; http://www.mathworksheetsgo.com/downloads/geometry/triangles/triangle-interior-angles-worksheet.pdf 970

3. En este dibujo se muestran cajas apiladas en la esquina de un almacén. Si en cada caja caben 8 pies cúbicos, ¿cuál es la capacidad total de la pila de cajas?

a. 488 pies cúbicos

b. 486 pies cúbicos

c. 504 pies cúbicos

d. 512 pies cúbicos

4. Una máquina de embalar heno produce fardos cilíndricos de 6 pies de diámetro y 5 1/3 pies de alto. ¿Cuál de las siguientes opciones se acerca más al número de pies cúbicos en cada fardo de heno que produce la máquina?

a. 100

b. 151

c. 301

d. 603

5. Análisis de errores: Tanto Eric como David obtuvieron la misma respuesta al trabajar el siguiente problema. Sin embargo, la maestra calculó las notas de sus soluciones de forma muy distinta. ¿Cuál de los dos estudiantes estuvo en lo correcto, si es que alguno lo estuvo? ¿Por qué?

Solución de Eric Solución de David

x+72+144=180

x+216=180

216-180=36

x=36˚

180-144=36; 180-72= 108

x+36+108=180

x+144=180

-144=-144

x=36˚

http://solpass.org/released_sol_tests/Geometry2006.pdf

http://www.mathworksheetsgo.com/downloads/geometry/triangles/triangle-interior-angles-worksheet.pdf

http://www.mathworksheetsgo.com/downloads/geometry/triangles/triangle-interior-angles-worksheet.pdf


Actividad de aprendizaje – Prueba por contradicción: prueba por contrapositiva

Fuente: http://www2.edc.org/makingmath/mathtools/contradiction/contradiction.asp 971

Prueba por contradicción: prueba por contrapositiva

A veces resulta difícil (o imposible) probar que una conjetura es cierta usando métodos directos. Por ejemplo, para demostrar que la raíz cuadrada de dos es irracional, no podemos probar y rechazar directamente el número infinito de números racionales cuya raíz podría ser dos. Demostramos, por el contrario, que el supuesto de que la raíz dos es racional lleva a una contradicción.

1. Los pasos de una prueba por contradicción (también llamada prueba indirecta) son:

2. Asumir lo opuesto de tu conclusión.

a. En el caso de “los primos son de número infinito”, asume que los números primos pertenecen a

un conjunto finito llamado n.

b. Para probar el enunciado “si un triángulo es escaleno, entonces no tiene dos ángulos

congruentes”, asume que por lo menos dos de sus ángulos son congruentes.

3. Usar el supuesto para derivar nuevas consecuencias hasta que una sea la opuesta de tu premisa. En

el caso de los dos ejemplos anteriores, lo que buscarías establecer es lo siguiente:

a. que existe un número primo que no ha sido contado en el conjunto inicial de n primos;

b. que el triángulo no puede ser escaleno.

4. Concluye que el supuesto debe ser falso y que su opuesto (tu conclusión original) debe ser cierto.

¿Por qué tiene sentido este método? Una forma de entenderlo es fijarte en que estás creando una prueba directa de la contrapositiva de tu enunciado original (lo que estás probando es que si no B, entonces A). Puesto que los enunciados contrapositivos siempre son lógicamente equivalentes, entonces se sigue el enunciado original. Ten en cuenta que la contradicción nos obliga a rechazar nuestro supuesto porque nuestros demás pasos que están basados en ese supuesto son lógicos y están justificados. El único “error” que podríamos haber cometido tiene que haber sido en el supuesto mismo. Una prueba indirecta establece que la conclusión opuesta no se corresponde con la premisa y que, por lo tanto, la conclusión original debe ser cierta.

Opuestos

Con los republicanos en el poder, es todos contra todos. Con los demócratas, es justo lo opuesto. –Calcomanía en un automóvil

A veces, puede resultar difícil determinar cuál es el opuesto de una conclusión. Lo opuesto de “todos los X son Y” no es “todos los X no son Y”, sino “al menos un X no es Y”. De forma similar, cuando tenemos una conclusión compuesta, tenemos que tener cuidado. Considera los dos ejemplos siguientes:

Conjetura original Opuesto de la conclusión

Si m y n son enteros y mn es impar, entonces m es impar y n es impar.

m es par o n es par

Si m + n es irracional, en m es irracional o n es irracional. m es racional y n es racional

http://www2.edc.org/makingmath/mathtools/contradiction/contradiction.asp


Actividad de aprendizaje – Prueba indirecta

972

Prueba indirecta

En esta lección:

Aprenderás a cómo probar enunciados matemáticos indirectamente. Considera la siguiente pregunta de selección múltiple:

¿Qué persona se ganó el premio Nobel dos veces?

A. Sherlock Holmes B. Leonardo da Vinci C. Marie Curie D. Tiger Woods

A lo mejor no conozcas la respuesta de memoria, pero puedes intentar eliminar las opciones hasta que solo quede una posibilidad. No puede ser Sherlock Holmes porque es un personaje ficticio. Leonardo da Vinci murió mucho antes de que se otorgaran premios Nobel. Y como no hay un premio Nobel por golf, también puedes eliminar a Tiger Woods. Queda solo una posibilidad, Marie Curie. La opción C debe ser la respuesta.

El tipo de razonamiento que usaste para responder a la pregunta de selección múltiple se conoce como razonamiento indirecto. Puedes usar el mismo tipo de razonamiento para escribir una prueba indirecta de un enunciado matemático.

Para un enunciado matemático dado, hay dos posibilidades: o el enunciado es cierto o es falso. Para probar indirectamente que un enunciado es cierto, comienzas por asumir que no lo es. Luego usas razonamiento lógico para demostrar que esta suposición lleva a una contradicción. Si un supuesto lleva a una contradicción, debe ser falso. Por lo tanto, puedes eliminar la posibilidad de que el enunciado no sea cierto. Esto deja solo una posibilidad, en concreto, ¡que el enunciado es cierto!

Los ejemplos A y B de tu libro ilustran cómo funciona una prueba indirecta. Lee estos ejemplos detenidamente. El ejemplo a continuación corresponde al ejercicio 7 de tu libro.

EJEMPLO Prueba que en un triángulo escaleno, la mediana no puede ser la altura.

Solución Dado que: El triángulo escaleno ABC con la mediana CD

Demuestra que: CD no es la altura de AB.


Actividad de aprendizaje – Prueba indirecta

Fuente: http://math.kendallhunt.com/documents/dg4/CondensedLessons/DG4CL_895_13.pdf 973

Enunciado Razón 1. Asume que CD es la altura de AB. 1. Asume que el enunciado no es cierto. 2. CDA y CDB son ángulos rectos. 2. Definición de altura 3. CDA CDB 3. Teorema congruente con ángulos rectos 4. CD es una mediana 4. Dado que 5. AD BD 5. Definición de mediana 6. CD CD 6. Propiedad reflectiva de la congruencia 7. ∆CDA ∆CDB 7. Postulado de la congruencia LAL 8. CA CB 8. CPCTC

Pero el enunciado CA CB contradice el hecho de que el ∆ABC es escaleno. Por lo tanto, el supuesto de que CD es la altura de AB es falso. Así, CD no es la altura de AB.

En el capítulo 6, descubriste la conjetura de la tangente, que establece que la tangente de un círculo es perpendicular al radio trazado hasta el punto de tangencia. En la actividad de desarrollo de pruebas probarás esta conjetura y su conversa indirectamente.

Desarrollo de la prueba: cómo probar la conjetura de la tangente

En la actividad que aparece en tu libro se muestra paso a paso una prueba indirecta de la conjetura de la tangente. Completa la investigación por tu cuenta y luego compara tus respuestas con las que aparecen a continuación. Los pasos 9 y 10 los debes completar por tu cuenta.

Paso 1 Postulado de las perpendiculares

Paso 2 Postulado de duplicación de segmentos

Paso 3 Postulado de la línea

Paso 4 Dos razones: ABO y CBO son ángulos rectos por la definición de perpendicular. ABO CBO lo son por el teorema de congruencia de los ángulos rectos.

Paso 5 Propiedad reflexiva de la congruencia.

Paso 6 Postulado de la congruencia LAL

Paso 7 CPCTC

Paso 8 Está dado que AT es una tangente.

http://math.kendallhunt.com/documents/dg4/CondensedLessons/DG4CL_895_13.pdf


Ejemplo para plan de lección — Pruebas

974

Pruebas

Preparación: Imprime copias de cada prueba a continuación en una hoja de color diferente para ayudar a controlar qué va con qué. Recorta la página de prueba en dos y mantén juntos el diagrama, lo Dado, y la Prueba. Luego recorta los enunciados y razones para separarlos en pedazos de papel individuales, y separa los enunciados de las razones. Coloca los pedazos de papel con los enunciados y las razones y el diagrama en un sobre por cada prueba. Crea suficientes de estos kits para que todos los grupos de estudiantes tengan copia de la prueba.

Divide a los estudiantes en grupos y provéele a cada uno un sobre con el kit de la Prueba 1.

Los grupos tendrán que:

Determinar cuáles pedazos de papel son enunciados y cuáles son razones.

Determinar cuáles enunciados son dados para comenzar a elaborar la prueba.

Deja que los grupos trabajen juntos con la prueba al parear los enunciados con las razones, hasta que hayan construido una prueba con la que el grupo esté de acuerdo. En un papel individual, cada estudiante deberá dibujar el diagrama y enumerar lo que está dado y lo que hay que probar. Entonces, pídele a cada estudiante que desarrolle por escrito la prueba que acordó su grupo antes de volver a poner los pedazos de papel en el sobre. A continuación, el grupo elaborará un afiche de su prueba completa. Deberán recrear el diagrama y enumerar los enunciados dados, para luego recrear la prueba en su afiche. Si todos los grupos han realizado la misma prueba, entonces coloquen solo algunos de los afiches en frente para compararlos.

Mientras observan los afiches en conjunto, hazles las siguientes preguntas:

¿Cuán acertado es el diagrama? Los segmentos y ángulos del diagrama que se ven congruentes, ¿son en realidad congruentes?

¿Las partes correspondientes están rotuladas en el orden correcto?

¿Alguno de los grupos incluyó marcas en el diagrama?

Si hay más de una forma correcta de ordenar los enunciados de la prueba, ¿cuáles son?

¿Cuáles enunciados deben venir antes que otros? ¿Por qué?

¿De cuáles enunciados o razones puede predecirse el orden?

¿Cómo el orden predecible te ayuda a elaborar la prueba?

Después de discutir la primera prueba, los grupos estarán listos para continuar y trabajar con las otras pruebas. Las pruebas son:

Prueba 1: triángulos congruentes por ALA y el postulado de suma

Prueba 2: triángulos congruentes por LAL y el postulado de suma

Prueba 3: triángulos congruentes por LAL y la propiedad transitiva

Prueba 4: triángulos congruentes por LAL y el bisector de ángulo



975

Prueba 5: triángulos congruentes por LLL y las propiedades de un cuadrado

Prueba 6: triángulos congruentes por ALA y la cogruencia de los ángulos verticales

Asegúrate de recordarles a los estudiantes que desarrollen por escrito la prueba que generen con los pedazos de papel antes de ponerlos de vuelta en el sobre. En esta lección se ofrecen kits para pruebas de triángulos congruentes sencillas. Este formato puede resultar útil con otras pruebas, incluidos los teoremas.

Preguntas para los estudiantes:

Explica cómo razonar en retroceso a partir de la conclusión de lo que estás tratando de probar puede resultar útil para desarrollar una prueba.

Explica por qué es necesario rotular las partes correspondientes de las figuras congruentes en el mismo orden.

¿De qué forma te ayuda a elaborar la prueba el tener cada enunciado y cada razón escritos en diferentes pedazos de papel?

Si tuvieras que escoger entre recibir únicamente los enunciados o únicamente las razones, ¿cuál preferirías? ¿Por qué?

Evaluación

Pídeles a los estudiantes que creen sus propios kits de prueba y los intercambien con sus compañeros. También puedes hacer que en parejas los estudiantes utilicen un kit dado para elaborar una prueba. Las parejas deberán escribir un ensayo en que justifiquen el orden en que hayan colocado los enunciados y las razones.

Extensiones

Entrega kits que solo contengan enunciados. Los estudiantes tendrán que determinar las razones, así como escribir la prueba. Provéeles kits que contengan enunciados o razones superfluos. Los estudiantes tendrán que identificar cuáles enunciados o razones no son necesarios para la prueba, así como escribir la prueba. Provéeles kits a los que les falten algunos enunciados o razones. Los estudiantes tendrán que proveer las partes que faltan, así como escribir la prueba.



976

Dado: Prueba 1 Prueba 2 Dado:

YWXSVT Dado

TSVXYW Dado

WS VY La propiedad reflexiva

SY SY El postulado de suma

VTSWXY ALA

LP MN Dado

PR NS Dado

RS RS La propiedad reflexiva

PR RS NS + SR El postulado de suma

PR NR El postulado de sustitución

Prueba:

Prueba:



977

Prueba 3

Dado:

LP PN Dado

MN PN Dado

LPS y MNP son ángulos rectos

Definición de perpendicular

LPS MNP Ángulos rectos son congruentes

NMRPLS LAL

21 Dado

32 Dado

31 La propiedad transitiva

EB EC Dado

AE DE Dado

DECAEB LAL

Prueba:



978

Prueba 4 Prueba 5 Dado:

Dado:

XY biseca WXZ Dado

ZXYWXY Definición del bisector de ángulo

XY XY La propiedad reflexiva

WX ZX Dado

ZXYWXY LAL

NKLM es un cuadrado Dado

NM NK Todos los lados de un son

JN JN La propiedad reflexiva

JK JM Dado

JMNJKN LLL

Prueba:

Prueba:

NKLM es un cuadrado

JK JM



Fuente http://illuminations.nctm.org/LessonDetail.aspx?id=L727 979

Prueba 6 Dado:

Prueba:

Q es el punto medio de

PR

Dado

PQ RQ Definición del punto medio

TQRSQP Los ángulos verticales son

RP Dado

TRQSPQ ALA

Q es el punto medio de PR

RP

http://illuminations.nctm.org/LessonDetail.aspx?id=L727


Otra evidencia – Preguntas de prueba

Fuente: http://www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htm 980

5. "Si es difícil, entonces me hace mejor". Selecciona todos los enunciados a continuación que signifiquen lo mismo que el enunciado anterior:

a. Si no es difícil, entonces no me hace mejor.

b. Si me hace mejor, entonces es difícil.

c. Si me hace mejor, no es difícil.

d. Si no me hace mejor, es difícil.

e. Si no me hace mejor, no es difícil.

6. Dado: EA CB , DE DC , DA DB Prueba: 21

7. Dado: ABCD, BF AE , CE AE

Prueba: AF DE

8. Dado:

Prueba:

http://www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htm


Actividad de aprendizaje — Proyecto de transformaciones

3

Fuente: http://www.curriki.org/xwiki/bin/view/Coll_IsaacNewton/Transformationsroject 981

Proyecto de transformaciones

Fecha de entrega: ___________________

Resumen: Diseña una imagen, dibuja su gráfica en el plano coordenado y aplica las cuatros transformaciones a la figura: una rotación, traslación, dilación y reflexión.

Requisitos.

1. Complejidad de la figura: No puedes usar una figura geométrica simple para tu imagen inicial. La figura debe contener varios componentes (como ojos, boca, etc.) y un mínimo de 10 vértices. Obtendrás más puntos por una imagen inicial más compleja y creativa. (Versión alterna: Puedes escoger una imagen de una revista, periódico, etc., y copiarla en el papel cuadriculado...)

2. Transformaciones: a. Reflexión – Elige una de las siguientes:

reflexión en el eje de y

reflexión en el eje de x

reflexión en el origen

reflexión en la línea y = x b. Rotación – Rota la figura ya sea 90 o 180 grados. c. Dilación – Escoge ya sea agrandar o reducir la preimagen. d. Traslación

3. Debes usar los cuatro cuadrantes. La imagen inicial puede estar en el cuadrante I, pero obtendrás más puntos si la imagen inicial ocupa más de un cuadrante.

Cómo hacer el proyecto: Paso 1: Dibuja la imagen inicial en papel cuadriculado. Completar paso 1 para la fecha de ________________. Los revisaré en clase y me aseguraré de que sean aceptables. Paso 2: Haz una tabla con las coordenadas de la imagen inicial y las cuatro imágenes. Asegúrate de incluir la regla de transformación. Paso 3: Crea la gráfica de las cuatro imágenes en hojas de papel cuadriculado separadas. Pon el nombre de la transformación en cada imagen . (Versión alterna: puedes hacer esto en la computadora si sabes cómo.) Paso 4: Colorea tus imágenes. Este es un proyecto grande. ¡No lo descuides! La limpieza y la creatividad cuentan. Paso 5: Responde a las preguntas (en computadora). Misceláneos: 1. Está bien si decides hacer una figura con curvas , solo asegúrate de que utilices suficientes puntos

para dibujar una imagen correcta. 2. Grapa todos los componentes. Incluye una página de portada con tu nombre, el nombre o título de

tu figura y la fecha. Puedes incluir imágenes u otra información si así lo deseas.


Actividad de aprendizaje – Reglas de transformación

982

Nombre _____________________ Fecha __________________

3. Reglas de transformación

Instrucciones: Completa la siguiente tabla sobre reglas de transformación.

Transformación Regla Explica la regla en tus propias palabras Ejemplo Gráfica

Reflexión en el eje de x

reje y(x,y) = (x, -y) Cuando se refleja un punto en el eje, la coordenada en y se vuelve negativa.

reje x(1,2) = (1, -2)

Reflexión en el eje de y



983

Reflexión en el origen

rorigen (x,y) = (-x, -y) rorigen (2,-3) = ( )

Reflexión en la línea y=x

Cuando reflejas un punto en la línea y = x, la coordenada en x y en y

cambian de lugar.



984

Translación

Dilación

D3(1, -2) = ( , )



Fuente: http://www.curriki.org/xwiki/bin/view/Coll_IsaacNewton/Transformationrules 985

Rotación de 90 grados

R90(-1,2) = ( )

Rotación de grados

http://www.curriki.org/xwiki/bin/view/Coll_IsaacNewton/Transformationrules

Unidad 9.5: Semejanza y Prueba Matemáticas

Otra evidencia—Preguntas de prueba

986

Cómo probar que los triángulos son semejantes y congruentes

En grupos de tres a cuatro personas, los estudiantes construyen pares de triángulos según una serie de criterios. Los estudiantes sacan conjeturas sobre cuáles propiedades de congruencia pueden y no pueden usarse para probar que dos triángulos son semejantes. Procedimientos: 1. Se puede probar que los triángulos son semejantes o congruentes con algunos de los siguientes:

a) LLL, LA, ALA, LLA, AAL, AAA, LLA i. Explica lo que significa cada tipo con un dibujo.

a. Nota: En el caso de los triángulo con ángulos y lados (LAL, ALA, LLA, AAL, LLA), las tres letras deben proveerse en orden a favor o en contra de las manecillas del reloj.

SSS: LLL SAS: LAL

2. En grupos de tres o cuatro personas, haz que los estudiantes construyan tres pares de triángulos en una hoja de papel cuadriculado usando una regla y un transportador. a) Cada pareja debe representar las propiedades de LLL, LAL, ALA, LLA, AAL, LLA, AAA. b) Una vez hayan terminado todas las construcciones, los grupos formarán una conjetura sobre

cuáles propiedades de congruencia pueden usarse para probar que dos triángulos son congruentes o semejantes.

c) Los grupos entonces harán conjeturas sobre cuáles pares no pueden usarse para probar que dos triángulos son congruentes.

d) A continuación, los estudiantes repetirán este proceso para sacar una conjetura sobre cuáles propiedades pueden usarse para probar que dos triángulos son semejantes.

e) Una vez hayan terminado todos los grupos, la clase se reunirá y formará conjeturas uniformes a usarse.

3. Problema escrito:

a) Ramón coloca un espejo en el suelo a cuarenta y cinco pies de la base de un géiser. Camina hacia atrás hasta poder ver la parte de arriba del géiser en el centro del espejo. En ese punto, los ojos de Ramón están a seis pies por encima del suelo y él está a siete pies y medio del espejo. Utiliza triángulos semejantes para hallar la altura del géiser.



987

Enunciado Razón AA ~ Postulado HT TV = JS SV

Los lados congruentes de triángulos semejantes son proporcionales.

6 7.5 = x 4.5

Substitución

270 = 75x Producto vectorial x = 36 pies Dividir

4. Explica por qué los siguientes triángulos son semejantes, y halla el segmento DE.

Explicación de por qué los triángulos son similares: 1. EBDABC porque los ángulos verticales son congruentes.

2. 3

2

18

12

EB

ABy

3

2

24

16

DB

CB

3. Por lo tanto, por LAL ABC ~ EBD

Cómo solucionar para DE :

1. 3

2

DE

ACporque los lados correspondientes

de triángulos similares son proporcionales.

2. 3

210

DEpor substitución.

3. 30 = 2 DE por producto vectorial

4. DE =15 por división 5. Este ejemplo debe hacerse en grupos mientras el maestro va revisando su trabajo:

x (géiser)

espejo



988

Dado que AB CD , Demuestra que ABD CBD

Enunciado Razón

AB CB ?

AB CD ?

BD BD ?

ABD CBD ?

6. Este ejemplo debe hacerse en grupos mientras el maestro va revisando su trabajo:

Dado que AB CD , Demuestra que ABD CBD

Enunciado Razón

XA Dado

YB Dado ZC Si dos ángulos de un triángulo son congruentes

con dos ángulos de otro triángulo, entonces los ángulos terceros son congruentes.

BC YZ Dado

ABD CBD Postulado ALA



Fuente: Laurie E. Bass, R.I. (2004). Prentice Hall Mathematics Geometry. Upper Saddle River: Pearson Education Inc. 989

Ejemplos para preguntas de examen

3. ¿Es semejante el polígono? Si lo es, escribe una razón y un enunciado de semejanza. Si no, explica por qué.

4. En una hoja de papel, escribe la letra R (llámala R1) y dos líneas paralelas separadas por

aproximadamente una pulgada. Llámalas L1 y L2. Refleja la R sobre la primera línea, L1, y llámala R2. Refleja R2 sobre la línea L2 y llámala R3.

a. ¿Cómo se relaciona R3 con R1 (por cuál tipo de simetría)?

b. Continúa tu patrón, reflejando las nuevas R por encima de L1 y L2. Sigue hasta que se te acabe el papel o hasta que no obtengas nada nuevo. ¿Sería un patrón infinito si tuvieras una hoja de papel infinita?

c. ¿Qué simetrías tiene tu patrón, aparte de las reflexiones sobre L1 y L2?


Actividad de aprendizaje – Juego de las matrices que faltan

Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246 990

Llena los blancos con los dígitos del 0 al 9. Usa cada uno una sola vez.

1.

01

32___

+

36

41___

=

09

2718

2.

36

35

+

31

20___

=

32

11___

3.

2__

15 -

5__

63 +

__6

74___

=

911

96

4.

52

47___

=

15__

1221

Llena los blancos con los dígitos del 0 al 9. Usa cada uno una sola vez.

1.

01

32___

+

36

41___

=

09

2718

2.

36

35

+

31

20___

=

32

11___

3.

2__

15 -

5__

63 +

__6

74___

=

911

96

4.

52

47___

=

15__

1221


Actividad de aprendizaje — Matrices concretas, gráficas, abstractas

Fuente: www.mcesa.k12.mi.us/Curriculums/Math/TENTH.DOC 991

Matrices: Concretas, gráficas, abstractas

CONCRETAS (conceptualización) Considera el sistema { 3x - y = -10; 2x - 5y = -1 } Escribe las matrices de 1. coeficientes, 2. variables y 3. constantes.

(resp. 1.

2

3

5

1 2.

y

x 3.

1

10)

REPRESENTACIÓN GRÁFICA (símbolo)

Crea una ecuación matricial para representar el sistema

x

x

2

3

y

y

5

1

10

(resp.

2

3

5

1

y

x =

1

10)

ABSTRACTO (computacional) Usando las matrices a continuación, halla cuánto ganó cada panadero vendiendo pan el martes.

Integral Blanco Centeno Muffin inglés

Shotty's 5 10 3 5

Slims 0 15 8 10

Costo/bolsa

0.70 W.W.

0.70 Blanco

0.65 Centeno

0.80 E.M.

(resp. Multiplicar matrices; Shorty ganó $16.45; Slim ganó $23.70)

http://www.mcesa.k12.mi.us/Curriculums/Math/TENTH.DOC


Actividad de aprendizaje — Matrices concretas, gráficas, abstractas

Fuente: www.mcesa.k12.mi.us/Curriculums/Math/TENTH.DOC 992

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Tanto Joe como Bob son tutores de matemáticas. Cada uno cobra $10 por hora por una persona y $25 por hora por un grupo pequeño. Cada semana, Joe les da tutorías individuales a tres personas y trabaja con dos grupos pequeños. Bob les da tutorías individuales a 5 personas y trabaja con un grupo pequeño. A. Escribe una matriz C que represente lo que cobran. B. Escribe una matriz T que represente el número de tutorías cada semana. C. Halla TC. D. ¿Qué significa TC? (resp.)

a.

25

10

b.

5

3

1

2

c. TC =

5

3

1

2

x

25

10

=

75

80

d. TC representa la cantidad total que gana cada tutor. (Joe se gana $80. Bob se gana $75.)

C = Individual

Grupo pequeño T = Joe

Bob

Joe

Bob

http://www.mcesa.k12.mi.us/Curriculums/Math/TENTH.DOC


Actividad de aprendizaje – Regla de Cramer

Fuente: Docstock.com 993

Regla de Cramer

1. Describe la regla de Cramer en tus propias palabras:

2. Demuestra que la regla de Cramer funciona con una matriz de 2x2 al resolver el siguiente sistema de

ecuaciones con un método que no sea la regla de Cramer, y luego usando la regla de Cramer.

2x + 3z = 15

4x + y = 5

3. Utiliza la regla de Cramer para hallar la solución del siguiente sistema.

1 2 1 2

-1 6 1 6

3 -2 2 -4

4. En el dorso de este papel, describe en tus propias palabras por qué funciona la regla de Cramer.


Ejemplo para plan de lección – 2x2 Notas de las matrices

Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246 994

2x2 Notas de las matrices

¿Cómo hallo el determinante e inversa de una matriz 2x2? ¿Cómo utilizo las matrices para resolver sistemas de ecuaciones?

Determinante = ____________ *Notación:

1. Dado A =

16

42, halla el determinante (A).

2. Dado |A| = 25, halla x si A =

5

27

x.

3. Si A =

110

21 y B =

51

30, ¿el (A)•det(B) = det(AB)?

Cómo resolver ecuaciones matriciales usando la inversa

1. Dado que P =

35

12 y Q =

11

04, halla P-1.

Por lo tanto halla la matriz A para que PA = Q.

Inversa ¿Cómo hallo la inversa?

¡Observa y lo verás! Pones el 1 sobre “det”,

luego intercambias la a con la d. Entonces haces lo opuesto de la b y la c.

¡Acabas de hallar la inversa de una matriz de 2x2!

A-1 = ¿En qué caso no existe la inversa de una matriz? Esto se llama una matriz _________.

1. Dado que P =

57

13, halla P-1.

Entonces, multiplica P por P-1. ¿Cuál es tu solución? ¿Es esto siempre cierto?

dc

ba



Ejemplo para plan de lección — ¡La TI de nuevo!

Fuente: http://www.pbs.org/teachers/mathline/lessonplans/pdf/hsmp/meadowsmalls.pdf 995

¡La TI de nuevo!

Los grupos pequeños utilizan la calculadora gráfica para resolver sistemas lineales: En esta actividad, los estudiantes utilizan la función de matrices TI-83. Primero, deberán definir la matriz de coeficiente, y luego multiplicar su inversa por la matriz de constante para hallar la soluciones a los sistemas lineales. Reparte la hoja de actividades TI de nuevo. Pídeles a los estudiantes que trabajen en grupos para primero leer la hoja de actividades, y luego completar los problemas, mientras discuten sus soluciones.

Discusión en clase sobre la actividad “¡La TI de nuevo!”: Durante la discusión en clase de los problemas, refréscales a los estudiantes el tema de lo que significa que un sistema no tenga solución. Relaciona esto con el mensaje de error que puedan haber encontrado en la calculadora.

Otro punto que debes traer a colación durante la discusión es lo que significa que un sistema en particular no tenga solución según se relaciona con la resolución de un problema de programación lineal. Los puntos de interés de un problema de programación lineal son las esquinas de la región factible. Un sistema que no tenga una solución única no producirá un punto de esquina y por lo tanto no es importante para la solución del problema de programación lineal.

La TI de nuevo

Ya viste que la calculadora TI puede usarse para multiplicar matrices. La TI tiene otro maravilloso talento: puede calcular inversas multiplicativas de matrices (cuando existen). Y es fácil hacer que la TI haga esto, una vez tengas la matriz guardada en la memoria de la TI. Por ejemplo, supón que has introducido en la TI los datos de una matriz [A]. [A]

Para obtener la inversa, marca 2nd 1, el botón x-1 y ENTER. La inversa de [A] aparecerá en la pantalla.

Claro, esto solo funcionará si la matriz tiene una inversa. Si no, la pantalla dirá “ERROR 05 MATH”. Si entonces marcas 1 (de “Go to Error”, o ir al error), la TI marcará el “-1” en la pantalla principal para señalarte dónde está el problema. En este caso, no puedes usar la inversa de la matriz para solucionar el sistema de ecuaciones lineales. Eso está bien, porque cuando la matriz de coeficiente no tenga inversa, el sistema de ecuaciones no tiene una solución única.

Sin embargo, esto no ocurrirá por lo general y la inversa simplemente aparecerá ante ti. Así que si tienes un sistema de ecuaciones lineales que está representado por una ecuación matricial como [A] [X] = [B], sabes que la matriz de solución es simplemente [X] = [A]-1 [B]. Así que lo único que tienes que hacer para solucionar el sistema es introducir las matrices y oprimir unos cuantos botones.

Así que intenta resolver estos sistemas lineales sin hacer nada de aritmética, y simplemente deja que la TI haga todo el trabajo por ti. Debes comprobar tus soluciones de por lo menos el primer sistema, para asegurarte de qe estés realizando el proceso correctamente.

1. 5d = 11 d + e = 4

2. 2r + 3s – t = 3 r – 2s + 4t = 2 4r – s + 7t = 8

3. 4w + x + 2y – 3z = -16 -3w + x – y + 4z = 20 -w + 2x + 5y + z = -4 5w + 4x + 3y – z = -10

http://www.pbs.org/teachers/mathline/lessonplans/pdf/hsmp/meadowsmalls.pdf


Ejemplo para plan de lección – Práctica guiada de multiplicación de matrices

Fuente: http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=web&cd=8&ved=0CFIQFjAH&url=http%3A%2F%2Fwww.uwplatt.edu%2F~williamsca%2FUnit%2520Lesson%2520Plan-

Matrices%2520Attempt%25202.rtf&ei=5CnFTsvgGvDbiAKI3LnxBQ&usg=AFQjCNFQi8a-tUHNN0QAXIJnWTn9PHGrfw 996

Multiplicación de matrices

Define la multiplicación de matrices en tus propias palabras:

Dimensiones y multiplicación de matrices: aXb * bXc = aXc

Si la matriz C tiene dimensiones de 2X3, la matriz D tiene dimensiones de 2X3 y la matriz F tiene dimensiones de 3X2, ¿podrías hallar los siguientes productos? Si es el caso, ¿cuáles son las dimensiones del producto?

CD

DF

FC

Sea A= 8 1 , B= 1 6 , y sea C= 1 . Halla: 2 3 8 2 5

AB

BC

Práctica guiada, halla:

CA

BA

¿Qué puedes decir de AB y BA? Halla AB cuando A= 1 2 3 y B= 3 2 4 5 6 1 4 2 6

Verifica primero que se pueda realizar la operación… comprueba las dimensiones.

¿Cuáles serán las dimensiones de la matriz de la respuesta?

Realiza la multiplicación de fila y columna. Muestra todos los pasos.

http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=web&cd=8&ved=0CFIQFjAH&url=http%3A%2F%2Fwww.uwplatt.edu%2F~williamsca%2FUnit%2520Lesson%2520Plan-Matrices%2520Attempt%25202.rtf&ei=5CnFTsvgGvDbiAKI3LnxBQ&usg=AFQjCNFQi8a-tUHNN0QAXIJnWTn9PHGrfw




Tarea de desempeño — Las matemáticas como arte

997

Nombre __________________

Fecha ___________________

Proyecto de transformación de matrices

Las matrices se utilizan de muchas formas distintas en el mundo real. Una aplicación de las matrices conlleva multiplicar una matriz de pares ordenados por una matriz especial, lo cual transforma la gráfica. Las gráficas pueden rotarse, reflejarse a lo largo de un eje, agrandarse o reducirse. Se enumeran algunas matrices de transformación al dorso de esta página.

La siguiente lista contiene los componentes de tu proyecto:

1. Utiliza papel cuadriculado para hacer un dibujo en el primer cuadrante con POR LO MENOS 7 PUNTOS.

2. Escoge cuatro o más de las matrices de transformación para usarlas con estos puntos. Puedes crear tus propias matrices de transformación.

3. Crea tu matriz de puntos según se explica a continuación:

a. La matriz debe tener dos filas y el número de columnas será determinado por el número de puntos en tu matriz.

b. Enumera los puntos con x o y, como a continuación:

c. Ej. (2, 1), (5, 6), (8, 2), (9, 3) serían

4. Determina los puntos y escribe la matriz de puntos.

5. Determina la matriz de transformación de cada uno.

6. Multiplica o suma: [matriz de transformación] * [matriz original] = [matriz de puntos transformada]

7. Incluye un enunciado en el que describas cada transformación.

*¡LOS PASOS 5 AL 7 DEBEN ESCRIBIRSE A MANO O A COMPUTADORA EN UNA HOJA APARTE POR CADA TRANSFORMACIÓN QUE UTILICES!

8. Dibuja la gráfica del dibujo original en ROJO. Dibuja la gráfica del dibujo original y cada transformación en la misma página. ¡Elige una escala lo suficientemente grande para enseñar tu dibujo! El agregado de todas tus transformaciones debe formar una imagen atractiva. ¡Utiliza una regla para coordinar los ejes!

9. Realza el dibujo con colores y detalles. ¡PONTE CREATIVO!

y

x

3261

9852


Tarea de desempeño — Las matemáticas como arte

Fuente: http://sites.google.com/site/vestsmathclassroom/home/mathIII/august-15th---19th 998

Matrices de transformación con MULTIPLICACIÓN:

01

10 Rotación 90° a la izquierda

10

01 Rotación 180°

10

01 Reflexión, eje de y

10

01 Reflexión, eje de x

20

02 Agrandar por 2

3.00

03.0 Reducción al 30 %

01

10 Reflexión a lo largo de la línea y = x

03

30 Agrandar por 3, Rotación CCW

Matrices de transformación con SUMA:

Si tu matriz de puntos es una matriz de 2x7 (o sea, que estás usando 7 puntos) y deseas desplazar tu imagen 3 unidades a la derecha y 7 unidades hacia abajo, podrías añadir la siguiente matriz a la matriz de puntos:

7777777

3333333

http://sites.google.com/site/vestsmathclassroom/home/mathIII/august-15th---19th


Actividad de aprendizaje — Juego del cubo

999

Juego del cubo

Descripción Los cubos ayudan a los estudiantes a comprender temas o conceptos clave desde múltiples perspectivas. El cubo les sirve de guía para que consideren conceptos e ideas matemáticos y científicos desde puntos estratégicos y refuerza su capacidad de análisis crítico de textos. En cada lado del cubo hay escrito un punto de vista distinto. Los estudiantes exploran el tema desde cada uno de los seis puntos de vista. El maestro puede escribir preguntas o ideas centrales en el cubo por cada punto de vista, o presentar ideas en una tabla o como título. Los estudiantes necesitarán descripciones de cada punto de vista para poder estudiar eficazmente cada uno de ellos.

Descríbelo. Los estudiantes comparan conceptos o ideas clave que forman parte de la lección con conceptos o temas que han estudiado anteriormente. El objetivo es se centren en las semejanzas entre conceptos e ideas.

Asócialo. Los estudiantes relacionan el tema con otros asuntos, conceptos, ideas o eventos. El objetivo es ayudarlos a conectar el tema con otras ideas o conceptos.

Analízalo. Los estudiantes se centran en componentes o detalles clave que sean fundamentales del concepto o tema.

Aplícalo. Los estudiantes se centran en aplicar o usar el concepto o idea.

Argumenta a su favor o en su contra. Los estudiantes razonan en torno a un hecho clave. El razonamiento puede centrarse en cómo funciona el concepto o idea.

Implementación de la estrategia 1. Los estudiantes trabajan en grupos pequeños y lanzan un cubo. (El

diagrama a continuación es de la red de un cubo. Se puede doblar y adherir con cinta para formar un cubo.) Los estudiantes deben leer la información textual antes de formar los grupos.

2. Los estudiantes exploran el concepto usando el punto de vista que les salga en la parte de arriba del cubo al lanzarlo. Es importante que el grupo anote sus ideas. El maestro a menudo pone un límite de tiempo para que el grupo responda a cada uno de los puntos de vista. El maestro puede decirles a los grupos cuándo cerrar su discusión y cuándo volver a lanzar el cubo.

3. Se lanza el cubo nuevamente. Se discute el punto de vista que salga. Si vuelve a surgir un punto de vista ya discutido, se vuelve a lanzar el cubo.

4. Se repite el proceso hasta que se hayan discutido los seis puntos de vista en todos los grupos.

5. Se realiza una discusión con toda la clase desde los seis puntos de vista. Este proceso de informar es importante para extender las ideas de los estudiantes y asegurarse de que se discuta y desarrolle toda la información clave de la lección.

Figura 4.8. Puntos de vista para juego del cubo.


Actividad de aprendizaje — Juego del cubo

Fuente: Developing Mathematical and Scientific Literacy: Effective Content reading Practices by David K. Pugalee 1000

En una lección de porcentajes, los estudiantes generaron las siguientes ideas a partir del trabajo que realizaron con el texto en grupos pequeños: Descríbelo: Un porcentaje es la cantidad de partes por cada ciento. Aplícalo: Si tengo ¼ de algo, es lo mismo que 25/100, que es 25 %. Asócialo: Una forma de entender los porcentajes es pensar en una red de 100 cuadrados. ¿Qué parte se oscurece para mostrar el número de partes? En ¼, se oscurecería 1 de cada 4 cuadros. En el caso de los 100 cuadrados, habré oscurecido 25 de los 100, o 25 %. Compáralo: Los porcentajes, las fracciones y los decimales pueden representar el mismo número. ¼ es .25 es 25 %. Analízalo: La mejor forma de pensar en los porcentajes es verlos como una fracción con 100 como el denominador. Porcentaje significa “partes de cien”. Argumenta a su favor o en su contra: Los porcientos son importantes porque nos proporcionan una base estándar (100) para comparar cosas. Los usamos todo el tiempo: en los deportes, las compras, los negocios e incluso en la escuela cuando hablamos de notas.

Modificaciones y otras consideraciones

El maestro puede lanzar el cubo al frente para promover la discusión con toda la clase. También puede lanzar el cubo (o pedirle a un estudiante que lo haga) y anunciar el punto de vista que salga para guiar la discusión de este en pequeños grupos. A veces el maestro lanza el cubo y completa uno o dos puntos de vista con toda la clase antes de que los estudiantes se dividan en grupos para explorar los puntos de vista restantes. Puede usarse como una estrategia tras la lectura para que los estudiantes comiencen a pensar en la información que acaban de leer. El juego del cubo puede usarse también de forma independiente por los estudiantes

para la exploración de un texto y su comprensión desde diferentes puntos de vista. El maestro también puede modificar los seis puntos de vista para adecuarlos a una lección en particular.

De igual modo, el juego del cubo puede usarse como estrategia de redacción para estimular el razonamiento y síntesis de un tema en los estudiantes. Resulta además eficaz para integrar la redacción a las matemáticas y ciencias (Pugalee, DiBiase, & Wood, 1999). Por ejemplo, en la resolución de problemas, los seis puntos de vista pueden ser organizar, describir, analizar, predecir, resumir y explorar. El cubo se convierte en una guía que ayuda a garantizar que los estudiantes puedan comunicar su razonamiento. Los estudiantes pueden escribir resúmenes o párrafos relacionados con un punto de vista en particular, y luego trabajar en grupos para consolidar sus ideas e integrarlas a una redacción más larga.

`


Ejemplo para plan de lección— Culpable o no culpable

1001

Culpable o no culpable Propósito: Esta actividad puede usarse a modo de introducción de una lección sobre probabilidad, o como lección al final del tema de probabilidad para repasarlo. Equipo requerido: Boceto grande del acusado y una hoja grande donde se muestre la frecuencia de los atributos para ponerla en la pared. Usar la toga y peluca es opcional, ¡pero les ayudará a los estudiantes a recordar la lección! Descripción de la actividad En esta actividad, el maestro adopta el papel de fiscal en un caso en el tribunal. La lección será más memorable si el maestro puede ponerse una toga de universitario y una peluca de juez. Etapa 1 El maestro, en el papel de fiscal, proporciona la siguiente información. En el Caso de la Corona vs. Snag, les probaré que este hombre que tienen ante ustedes (señala el boceto de Snag) es culpable de robar un banco a mano armada, y debe ser enviado a prisión. Miembros del jurado, han escuchado la evidencia ofrecida por el testigo ocular del robo de que el culpable mide más de 1.8 metros, tiene el cabello largo y lleva barba y bigote. Conduce además una guagua VW y es zurdo. Esto lo sabemos porque el testigo lo vio sostener el arma con la mano izquierda. Le he solicitado a un estadístico que tome una muestra al azar de residentes de Weedy Creek y sus alrededores para que

determine la frecuencia de los atributos del culpable, según lo reportado por el testigo del crimen. Los resultados se muestran en esta tabla. (Muestra la tabla de información). Miembros del jurado, las probabilidades de que un hombre en Weedy Creek mida más de 1.8 metros son de 1/10, y la probabilidad de que sea zurdo es de 1/20. Esto significa que la probabilidad de que mida más de 1.8 metros Y sea zurdo es de 1/10 x 1/20, ó 1/200. Snag mide más de 1.8 metros y es zurdo. Las probabilidades de que un hombre tenga una guagua VW son de 1/40. La probabilidad de que un hombre mida más de 1.8 metros, sea zurdo y tenga una guagua VW es de 1/10 x 1/20 x 1/40, ó 1/8000. Snag tiene todos estos atributos y solo hay unos 40,000 hombres en Weedy Creek. Miembros del jurado, les propongo que solo hay 1 probabilidad en 3.200.000 de que Snag sea inocente, y esto está más allá de toda duda razonable. Deben hallar a Snag culpable del crimen de robo a mano armada. Etapa 2 Preséntales la siguiente pregunta: “Si fueras el abogado de Snag, ¿qué argumentos podrías usar para rebatir los del fiscal?” Es posible que tengas que hacer preguntas para dirigir la discusión, como:

el método usado para determinar la muestra al azar, ¿fue válido?

la validez de multiplicar las probabilidades de eventos no independientes;



1002

si es recomendable basar un caso solo en la probabilidad, especialmente cuando parece haber un solo testigo ocular.

Preguntas adicionales

1. ¿Cómo podrías cambiar el argumento de probabilidad del fiscal para que sea matemáticamente correcto?

2. Investiga otros casos jurídicos en los que se usaron argumentos de probabilidad y considera si los argumentos eran correctos. Por ejemplo, investiga el famoso caso francés en contra de Alfred Dreyfus

en 1899, en que el acusado fue condenado por traición en base a un argumento de probabilidad. El hecho de que se descartaran los consejos acertados de expertos sobre las limitaciones de los argumentos de probabilidad resulta particularmente interesante. Resultados del muestreo aleatorio de la población de Weedy Creek y áreas circundantes

Número de hombres adultos

(mayores de edad) 40,000

Probabilidad de la característica

Hombres que miden más de 1,8 metros

4,000 1/10

Hombres zurdos 2,000 1/20

Hombres con guagua VW

1,000 1/40

Hombres con barba 10,000 1/4

Hombres con bigote 8,000 1/5

Hombres con pelo largo

2,000 1/20

Notas para el facilitador de “Culpable o no culpable” ¡Nota técnica! En los casos jurídicos de Australia el nombre de los casos se escribe “la Corona V Snag”, pero cuando se habla de este, se le llama “la Corona y Snag”. Los argumentos de probabilidad surgen durante los casos jurídicos, en particular a la hora de evaluar pruebas circunstanciales, y cuando se usan de forma correcta, pueden ser una ayuda eficaz para tomar decisiones jurídicas. Uno de los casos más antiguos del uso de un argumento de probabilidad se dio en Francia en 1899, cuando Alfred Dreyfus fue condenado por traición.



1003 Fuentehttp://www.curriculumsupport.education.nsw.gov.au/secondary/mathematics/assets/pdf/s6teachideas/genmaths/generalligs6.pdf

Las pruebas forenses pueden evaluarse usando un argumento de probabilidad. Un ejemplo de este tipo de uso podría ser la probabilidad del tipo de tierra poco común hallado en los zapatos de un acusado (que es idéntico al tipo de tierra hallado en la escena del crimen) que se encuentra en una ubicación distinta. En el caso estadounidense del Estado vs. Collins de 1968, la fiscalía utilizó argumentos parecidos a los de “la Corona V Snag”, cuando una pareja multirracial fue enjuiciada por robo. La pareja fue condenada, pero más tarde la Corte Suprema de California revocó la sentencia en base a cuatro puntos:

Se cuestionaron las probabilidades declaradas, puesto que no se habían presentado pruebas que las apoyaran.

Se cuestionó la validez de multiplicar las probabilidades de eventos no independientes unas por otras para obtener una probabilidad conjunta.

Se falló que el caso debía basarse en más que el testimonio de unos cuantos testigos oculares.

Según el consejo de expertos presentado en la apelación se estableció que aun si las probabilidades de que la pareja acusada tuviese todas las características presentadas eran de 1 en 12 millones, existía un 40 % de probabilidad de que hubiese por lo menos otra pareja en el estado que tuviese las mismas características. (El argumento usado fue similar al de las probabilidades de tener el mismo cumpleaños.)

http://www.curriculumsupport.education.nsw.gov.au/secondary/mathematics/assets/pdf/s6teachideas/genmaths/generalligs6.pdf


Ejemplo para plan de lección– Tiro libre

1004

Tiro libre: Simulación de probabilidad Escenario: Armando y Carlos van a hacer una competencia de tiro libre en baloncesto. Tomarán turnos haciendo tiros libres hasta que uno de los dos enceste. Por experiencia, sabemos que Armando encestará tiros libres con una probabilidad de 30 % y que Carlos encestará tiros libres con una probabilidad de 60 %. Puesto que Armando es el lanzador con menos destreza, lanzará primero. ¿Cuál es la probabilidad de que Armando gane la competencia de tiro libre? Simula 10 tiros 2 veces, y crea un registro de los datos. Datos individuales:

Número del tiro Tiros Ganador

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Individual Tiros en total Canastas Porcentaje de canastas

Armando

Carlos

Totales grupales Tiros en total Canastas Porcentaje de canastas

Armando

Carlos


Ejemplo para plan de lección– Tiro libre

Fuente: Adaptado de Probability Simulations, de Winder and Carlson, disponible en línea: http://www.curriki.org/xwiki/bin/view/Coll_Group_GAMath/TheShootoutAprobabilitysimulationlab 1005

Escríbeles las siguientes probabilidades a la clase:

P(canastas de Armando ) = __________________

P(tiros fallados de Armando) = __________________

P(canastas de Carlos) = ___________________

P(tiros fallados de Carlos) = ________________

1. ¿Cambiaron mucho las probabilidades de los individuos al grupo y a la clase? ¿Por qué piensas que

podría pasar esto?

2. De los individuos, el grupo o la clase, ¿cuál acercarse más a la probabilidad teórica?

3. Haz una lista de las primeras siete formas en que puede ganar Armando:

Tiros Tiros totales

Probabilidad de que ocurra esta sucesión Probabilidad

H 1 .3 .3

MMH 3 (.7)(.4)(.3) .084

MMMMH 5 (.7)(.4)(.7)(.4)(.3) .02352

MMMMMMH 7

9

11

13

4. ¿Cuál es la probabilidad de que Armando gane su primer o segundo tiro?

5. ¿Cuál es la probabilidad de que Armando gane después de su segundo tiro?

6. ¿Cuál es la probabilidad de que Armando gane en 5 tiros o menos?

7. ¿Cuál es la probabilidad de que Armando gane entre 3 y 11 tiros?

http://www.curriki.org/xwiki/bin/view/Coll_Group_GAMath/TheShootoutAprobabilitysimulationlab


Ejemplo para plan de lección— Periódico

Fuentes: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/muzzyschramm99/newspapertask.pdf 1 http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/muzzyschramm99/newspaperrubric.pdf

Análisis y comprensión de las estadísticas en los periódicos

¿Qué haremos?

Haremos un control del uso de las estadísticas en artículos de periódico.

A partir del lunes, cada día de la próxima semana, una persona de tu grupo será responsable de traer el periódico de ese día (el que sea). Junto con tu grupo, examinarán el periódico y responderán a las preguntas siguientes en una hoja nueva por día. Deberán entregar los artículos al final del proyecto, así que recórtenlos o márquenlos en el periódico. ¡No boten los periódicos!

1. ¿Con cuánta frecuencia se usaron gráficas para representar los datos estadísticos? ¿En cuántos artículos?

2. ¿Con cuánta frecuencia se usaron tablas para representar los datos? ¿En cuántos artículos?

3. ¿Qué tipos de gráficas se usaron para visualizar los datos, y con cuánta frecuencia se usó cada tipo de gráfica en los artículos? (histogramas, gráfica de pie, gráfica lineal, etc.)

4. Discute los temas de los artículos en que se hayan usado estadísticas. ¿Cómo se hizo uso o mal uso de las estadísticas?

5. Lee con detenimiento algunos de los artículos en los que no se usaron gráficas ni tablas. Discutan cómo se pudieron haber incorporado a las estadísticas para mejorar el artículo.

El lunes, tú y tu grupo resumirán sus observaciones en un documento final escrito. Respondan a las siguientes preguntas.

Respuesta grupal 1. Busca patrones generales durante el periodo de tiempo en que

aparecieron los artículos. ¿Hay artículos conectados de alguna forma? ¿En qué tipos de artículos aparecen estadísticas con mayor frecuencia?

2. ¿Cuáles estadísticas se usaron con mayor frecuencia en los artículos? ¿De qué forma usar estadísticas mejora los artículos?

Respuesta individual 1. Piensa en las estadísticas en tu experiencia diaria. ¿De qué forma

se presentan las estadísticas en los artículos y los programas de televisión y radio que te interesan? ¿Cuáles son tus impresiones generales sobre las formas en que se usan las estadísticas en la prensa y la industria del entretenimiento? ¿Te has sentido engañado(a)? Explica.

Rúbrica del proyecto de los periódicos

Artículos (2 pts./día = 10 puntos)

______ Lunes 0 – ningún artículo 1 – pocos artículos 2 – varios artículos

______ Martes

______ Miércoles

______ Jueves

______ Viernes

Respuestas al análisis diario (3 pts/día = 15 puntos)

____ Lunes 0 - ninguna respuesta 1- respuesta mínima 2-adecuada 3- ejemplar

____ Martes

____Miércoles

____ Jueves

____Viernes

Resumen grupal (10 puntos)

0 – 3 4 - 7 8 – 10 No responde a todas las preguntas y las respuestas son mínimas.

No responde a todas las preguntas o las respuestas son mínimas.

Responde a todas las preguntas con respuestas elaboradas.

Resumen individual (10 puntos)

0 – 3 4 - 7 8 – 10 No responde a todas las preguntas y las respuestas son mínimas.

No responde a todas las preguntas o las respuestas son mínimas.

Responde a todas las preguntas con respuestas elaboradas.

TOTAL MÁXIMO DE PUNTOS = 45 PUNTOS

http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/muzzyschramm99/newspapertask.pdf

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Mapa Matematicas 7-9