PRESENTACIN DEL TRABAJO DE APLICACIN: MAQUETA DE SLIDOS EN REVOLUCIN; CONCERNIENTES A LA ASIGNATURA DE ANLISIS MATEMTICO II

TERCER CICLO A

CHRISTIAN MIGUEL PACHECO

UNIVERSIDAD CATLICA DE CUENCA

UNIDAD ACADMICA DE ARQUITECTURA INGENIERA CIVIL Y DISEO

FACULTAD DE INGENIERA CIVIL

CUENCA

2015OBJETIVO GENERALCalcular los volmenes contenidos al rotar la grfica, representada fsicamente (Prototipo de pequea escala) de una funcin definida en un intervalo cerrado [a,b].

OBJETIVOS ESPECFICOSI) Ahondar en el conocimiento terico[footnoteRef:1] de los slidos en revolucin ya aprendidos en clase. [1: Dando respuestas deducidas del anlisis a: Por qu giran?, qu se forma en funcin de la curva de grado n?, De dnde proviene su frmula?, etc.]

II) Representar fsicamente el giro de una curva de grado n, alrededor de un eje dado.III) Verificar la concordancia ptima de resultados entre la representacin fsica y la analtica expuesta en el vdeo adjunto.

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INDICE DE CONTENIDOSINTRODUCCIN11.- EXPOSICIN DEL TRABAJO DE APLICACIN21.1Qu se realizar?21.2 Por qu?21.3 Para qu?22.- Explicacin del diseo.33. Demostracin de los slidos en revolucin.54. Conclusiones8

I

INTRODUCCINEl presente trabajo prctico-escrito est orientado a la vinculacin de los temas aprendidos en clase y del slabo concerniente del anlisis matemtico II, con la prctica, esbozado con una representacin fsica de dichos temas (Uno cualquiera de ellos), a libre eleccin del estudiante; en ste caso se ha elegido representar los slidos en revolucin debido a que pertenece a uno de los problemas de aplicacin de la integral definida, Y que con ello al ser de lo mencionado anteriormente esta entre los temas ms fciles y ptimos de una matizacin, debido a que se crear una maqueta diseada para hacer girar una grfica dada de una funcin de grado n, con la clara idea de que la revolucin de sta grfica de funcin dada engendre su forma, que lgicamente ser cumplida en base de los parmetros de la funcin, es decir; con la revolucin de una semiesfera alrededor de un eje arbitrario engendre una esfera, o la de un tringulo rectngulo un cono.

Ilustracin 1Giro de un semicrculo alrededor de un eje dado.

Obviamente como se ven, todos estos seran funciones[footnoteRef:2] que de su grfica en un plano xy, llevaran un parmetro para su giro representado ya en un plano en R3. Cabe recalcar que ste trabajo prctico- escrito[footnoteRef:3] Se desprende del teorema fundamental del Clculo, que no es otra cosa sino la explicacin de la integral definida. Que como vemos, es indispensable que sea as. Ya que lo que se pretende calcular a la final es un volumen. [2: Tambin pueden ser ecuaciones, claro est.] [3: Prctico por la maqueta de los slidos en revolucin; escrito por la realizacin del ejercicio en el vdeo adjunto y de la explicacin que es ste documento.]

1.- EXPOSICIN DEL TRABAJO DE APLICACIN

Basndonos en las ideas descritas en la introduccin, se pretende calcular el volumen de la revolucin de una funcin o ecuacin dada alrededor de un eje tambin dado. Pero con la idea de llevarlos a un plano fsico; representndolo de tal manera que sea correcto dicho esbozamiento y congruente con la resolucin de la misma funcin que se explicar en un vdeo de diez minutos de duracin, para obtener el volumen analticamente de la funcin o ecuacin que est representada en la maqueta.1.1 Qu se realizar?Se realizar una maqueta o prototipo de un plano cartesiano, de 3 dimensiones, para explicar la profundidad de los slidos al girar ya que se intuye de una manera muy obvia que al girar o revolucionar alrededor de un eje dado ya no ser una simple representacin en R2 sino en R3.1.2 Por qu?Porque as, con la representacin fsica podremos entender ms claramente cmo gira?; Qu se forman en funcin de la curva de grado n?, ya que al hecho de solo realizar un ejercicio de slidos en revolucin, la forma que se engendrara, solamente se intuira por nosotros los estudiantes, ahora vamos a comprobar que cierta intuicin ha sido correcta, o que la informacin adquirida de los libros de clculo al hecho de bosquejar lo que se engendrara ha sido totalmente correcto.

1.3 Para qu?Para la optimizacin de los conocimientos adquiridos en clase acerca de ste tema.

2.- Explicacin del diseo.Dicho armazn o estructura de la maqueta ha sido representada en un software de diseo grfico llamado Blender, para primeramente saber cmo se crear o har la estructura, y; acto seguido al desplazamiento de la misma a un plano fsica.

Como la imagen de la maqueta representada en el software indica, se ha esbozado un plano cartesiano en R3 un slido girando alrededor del eje z, que en ste caso es la recta que tiene por ecuacin z= y. Y podemos notar claramente como, con la recta dicha el eje z y Y, que son perpendiculares entre s, frmase un tringulo rectngulo. De catetos igual a los lmites[footnoteRef:4] arbitrarios que dicta una integral definida. Su base, estar asentada establemente, en ste caso sobre ruedas; y un soporte, se ha diseado solo en el software para determinar la prolongacin del eje z, esto; con objetivos puramente estticos. [4: Que no se confunda con el trmino Lmite del clculo diferencial. ]

Siguiendo con ello; las bases o armazn de la maqueta se han obtenido soldando 3 tubos y una base rectangular de platina de 50x 40 cm, mientras que el tubo que representa el eje z mide 50cm, los dos restantes 40 cm.

Ilustracin 2Armazn de la maqueta

Ilustracin 3Armazn de la maquetaActo seguido, se ha adicionado el motor de una batidora (Electrodomstico), en su parte inferior en un punto especfico por donde pasara el eje que girar, de tal manera que queden interconectados para as, que se pueda llegar al objetivo de dicho eje, que gire. Se utiliz un transformador de energa elctrica de 110 voltios a 10 voltios de donde estarn conectados leds para darle una mejor esttica al proyecto y un socker, de prendido y apagado, ya que como se ha mencionado, se ha colocado un motor de batidora que necesita obviamente estar conectada a un tomacorriente.

3. Demostracin de los slidos en revolucin.[footnoteRef:5] [5: Dando respuesta a la pregunta: de dnde proviene la frmula.]

El slido de revolucin se obtiene al rotar una regin del plano alrededor de una recta de ese mismo plano, pero situada de tal manera que la regin cae enteramente en uno de los dos semiplanos en que dicha recta divide al plano en donde est situada (figura 1).

Por ejemplo, si rotamos el semicrculo C de la figura 1 alrededor del eje de las x, el slido resultante es una esfera de radio r, y si giramos tambin alrededor del eje x el tringulo T, el slido resultante ser un cono de altura h y base circular de radio a. Para definir el volumen V de un slido de revolucin empecemos por aceptar como medida del volumen de un disco o cilindro circular recto al producto r2h, en donder es la medida del radio y h la de la altura.

Si el cilindro es hueco (se tiene una arandela), R y r son los radios externo e interno, respectivamente, y h es la medida de la altura (figura 2), aceptaremos como medida del volumen de la arandela el siguiente producto:

Supongamos ahora que se va a rotar alrededor del eje x la regin B del plano encerrada por las curvas f (x) y g(x), que supondremos continuas en el intervalo [a,b], y las rectas x = a y x = b (figura 20.1).

Supongamos adems que f (x) g(x) para todo x de [a, b]. Realicemos una particin P de [a, b] tal que

Escojamos un punto cualquiera 1 de [ , ]. i i i t x x Al girar la regin B alrededor del eje x, el i-simo rectngulo forma una arandela o cilindro hueco como el de la figura 2 de la Introduccin con radio exterior R = f (ti ), con radio interior ( ), i r = g t y h = x . El volumen i v de este disco, segn la frmula (1) de la est dado por v La suma de los volmenes de los n discos huecos que resultan ser entonces.

El volumen V del slido resultante lo podemos definir como el lmite de la suma (2), cuando P se aproxima a cero. Este lmite existe ya que f 2 y g2 son continuas en [a,b], al ser producto de funciones continuas en el mismo intervalo. La frmula (2) puede utilizarse para encontrar un valor aproximado del volumen,Aproximacin que mejora a medida que P se hace ms pequea.

Sean f (x) y g(x) dos funciones continuas en [a,b] tales que f (x) g(x) 0o f (x) g(x) 0 para todo x de [a,b]. Entonces el volumen V del slido derevolucin generado al rotar sobre el eje x la regin limitada por las curvas y = f (x),y = g(x) y las rectas x = a y x = b estar dado por la expresin:

Los discos que resultan al girar el i-simo rectngulo ya no son huecos y el volumen V total se puede obtener de nuevo a partir de (3) cambiando g(x) por cero.

Que es lo que queramos demostrar[footnoteRef:6] [6: Investigado de: http://ciencias.udea.edu.co/~jadeva/documentos/ca2_PDF/ca2_cap04.pdf]

4. Conclusiones Se concluye finalmente que:Al haber demostrado y explicado en lo que se basa ste trabajo prctico-escrito, damos por sentado la comprensin absoluta del vdeo adjuntado en el trabajo y la maqueta que se expondr en clases bajo los parmetros descritos aqu.

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