Maquinas Simple

1

MAQUINAS SIMPLES

ROZAMIENTO DE SEGUNDA ESPECIE

AL RODAR UNA SUPERFICIE SOBRE OTRA PLANA HORIZONTAL, SURGE UNA RESISTENCIA DEBIDO A LA COMPRESIBILIDAD DE LAS SUPERFICIES EN CONTACTO, SE PRODUCE UNA DEFORMACION ENTRE EL CUERPO Y EL APOYO. (A LOS EFECTOS DEL ESTUDIO SE CONSDERA QUE TODA LA DEFORMACION SE PRODUCE SOBRE LA SUPERFICIE DEL APOYO).

LAS EXPERIENCIAS EFECTUADAS POR COULOMB ESTABLECEN: PARA INICIAR EL MOVIMIENTO DEL CILINDRO ES NECESARIO APLICAR UNA FUERZA F DE CIERTA INTENSIDAD, Y CUANDO DEJA DE ACTUAR, EL CUERPO SE DETIENE PAULATINAMENTE SU MOVIMIENTO. PARA ESTUDIAR EL EQUILIBRIO TOMAMOS MOMENTOS (EN LOS TRES CASOS) RESPECTO AL PUNTO A, PUEDEN PRESENTARSE LOS SIGUIENTES CASOS:

CASOS EQUILIBRIO

F . r = (P + F) f

f = F . r / P + F

F = R .f / r

F . r = P f

F = P .f / r F

w

A R= P f

P

r O

F w

A R= P + F f

P

r O

w

A R f

P

r O

f: SEMICUERDA DE PENETRACION Y SE DENOMINA COEFICIENTE DE

ROZAMIENTO DE SEGUNDA ESPECIE O POR RODADURA (cm), (VER TABLA)

R: REACCION DEL SUELO. P: PESO DEL CILINDRO. F: FUERZA EXTERNA PARA INICIAR EL MOVIMIENTO.

2

F . 2r = P f

F = P .f / 2r

LEYES QUE RIGEN EL ROZAMIENTO DE SEGUNDA ESPECIE:

1. LA FUERZA F CON QUE SE VENCE LA RESISTENCIA DE ROZAMIENTO ES

PROPORCIONAL A LA REACCION R, O SEA, A LA CARGA SOPORTADA POR LA SUPERFICIE.

2. LA FUERZA F VARIA CON f, EL COEFICIENTE f DEPENDE DE LA

DEFORMACION PRODUCIDA Y LA NATURALEZA DE LAS SUPERFICIES EN CONTACTO.

PARA QUE SE PRODUZCA RODADURA Y NO DESLIZAMIENTO DEBE ADEMAS CUMPLIRSE:

F P (DESLIZAMIENTO)

F P (RODADURA ROZAMIENTO SEGUNDA ESPECIE)

APLICANDO ESTO, AL SIGUIENTE CASO, TENDREMOS:

TRABAJO ABSORBIDO POR EL ROZAMIENTO DE SEGUNDA ESPECIE:

Nr = Mr . w = Mr . ( . n) / 30 = P f ( . n) / 30 (Kgm/seg)

(ES MENOR QUE EN EL CASO DE ROZAMINETO DE PRIMERA ESPECIE).

aF

w

A R= P f

P

r O

F = P . f / a P

f / a

ESTA CONDICION SE SATISFACE POR SER f / PEQUEO, YA QUE f .

A MEDIDA QUE DISMINUYE a AUMENTA LA PROBABILIDAD DE UN RESBALAMIENTO.

F w

A R= P f

P

r O

3

TRANSPORTE SOBRE RODILLOS:

P/2

G P/2 + G P/2 + G

P

a

F

G

A

P/2

f

r O

A

f

r O

P/2 P/2

f

f

f: COEF. ROZ. ENTRE VIGA Y RODILLOS. f : COEF. ROZ. ENTRE RODILLOS Y PISO. P : PESO DE LA VIGA. G : PESO DE LOS RODILLOS.

M MOTOR = M RESISTENTE P/RODADURA

M A = 0P/2 f + P/2 f + (P/2+G) f + (P/2+G) f = F . a

P/2 (2f) + P/2 f + G f + P/2 f + G f = F . a

P f + P f + 2G f = F . a

P f + f (P + 2G) / a = F

INTENSIDAD DEL ESFUERZO P/DESPLAZAR EL CUERPO

SI LA CANTIDAD DE RODILLOS AUMENTA HASTA n, POR ANALOGIA SE TIENE:

F = P f + f (P + n G) / a

EN UN TRANSPORTE POR RODILLOS AL SUSTITUIR UN ROZAMIENTO DE PRIMERA ESPECIE POR OTRO DE RODADURA, EL ESFUERZO PARA DESPLAZAR EL CUERPO ES MUCHO MENOR

4

Rigidez de los rganos Flexibles Al enrollar un cable, cuerda o cinta en una polea o tambor se produce una deformacin, lo cual motiva a pensar en una resistencia que se conoce con el nombre de rigidez y cuya materializacin se puede observar en la siguiente figura:

P=Esfuerzo motor. P1=Esfuerzo en el tramo de la carga. r=Radio del tambor. =Incremento de longitud debido al rozamiento.

M P r P rP r P P r P

P r P r P PP P PP r P r

o

0

22

1

1 1

1 1

1 1

1

. .. . . .

. . .

. .

entonces

P P r

1 1

2.

Para cuerdas d=dimetro; cadenas d=dimetro del eslabn; cables de acero d=dimhilo, D=dimetro del cable. nos da en cm si colocamos a d y D en cm.

Para cuerdas de camo: =0,03 d a 0,09d Para cadenas: =0,1d a 0,15d Para cables de acero: C/torsin de los cordones en sentido contrario al de los hilos

P P dD P 12

10 09 500,

Para cables de 19,5 a 21mm y de 24 a 26mm

P P dD P 12

10 07 300,

C/ torsin de los cordones en igual sentido al de los hilos

P P dD P 12

10 063 300,

5

Equilibrio de las mquinas simples teniendo en cuenta el rozamiento Polea Fija 1) Sin rozamiento: P=Q [1] 2) Con rozamiento: a)Rigidez cuerda,cable,cadena:

P Qr

.

.1

2 [4]

b)Rozamiento entre la polea y el eje

[3] 2..21

2...2

..0....0

[2] 2

.2

22 cos1 como

cos12

[1] de PQ comofriccin prod. Q,y P Res.de :R

cos.2

2

2

22

rsenQP

rsenQQP

rRQP

rPRrQM

senQR

sen

QR

QPQPR

oF

Si consideramos la rigidez [4]

P Q r r

r r x

P Q x

.. .sen

. .sen

.

12 2 2

12 2 2

siendo

x factor de roz. de la polea fijaentonces

Rendimiento de la mquina

L til en la cargaL motor o entregado

Q lP l

QP x

.

.1

Polea s / rozPolea c / rozQ

Q x x.1

Valores del factor de Rozamiento Valores de

rg.Flex. (mm) Valor de x rg.Flex (mm) Valor de Cuerdas 16/26/36 1,09/1,13/1,17 Cuerdas 16/26/36 0,92/0,88/0,85Cables 15 a 18 1,04 Cables 15 a 18 0,96 Cadenas 10 a 15 1,06 Cadena

s 10 a 15 0,94

6

Polea Mvil

1)Sin Rozamiento:

2)Con Rozamiento

Polea fija

Rendimiento

Q P P P P Q P P Q

P Px P P

P P Q P Px

P Q x P Qx

x

Q xQ x

xx

1 1

1 1

1

2 2

1 1 1

12

12

; .

;

.. . .

tambin P Q 2. Con desplazamiento angular

P Px Q

P Q xx

xx

cos

cos

.

1

12

Polea Mvil Inversa

P Q x P QP Q P Q Q xP Q xP Q

x

P Q

1 1

1

12

212

con rozsin roz.

..

.

7

Conjunto de polea fija y mvil

Sin Rozamiento:

P mvil

Q F FF FQ F

P fija F F

Q F FQ.

.

1 2

1 2

1

1

2 2 2

Con Rozamiento:

P M

Q F F

F F x F Fx

Q Fx F F x

Q F xx

F Q xxP F F F x

F Q xx x F Qx

x. .

. .

2 1

1 2 21

11 1

1

1

1

21 1

1

1

1 1

Rendimiento de la mquina:

12 2

xx

Fuerza necesaria para retener la carga, F:

P M

Q F FF F xQ F x F

F Qx

P F F F x F Fx

F Qx x

. .

. . ` `

`

2 1

2 1

1 1

1

11

1

1

para equilibrio

entonces

F2

8

Aparejo Potencial

Sin rozamiento Polea mvil I F F QF F

Q F FQ

6 5

6 5

5 52 2

Polea mvil II F F FF FF F

FF Q F Q

3 4 5

3 4

5 3

35

3 2

2

2 2 2 2

.

.

Polea mvil III F F F3 1 2 , F1 = F2 F3=2F1 , F1= F3 / 2 Polea fija

3323

1

22.221 QFQFFF

FF

en general

F Qn 2 ;n =# de poleas mviles

Con rozamiento Polea mvil I F F QF F x

F x Q FQ

x

6 5

5 6

5 511

11

.

. (2)

Polea mvil II F F FF F x

F x F FF

x

FQ

x

3 4 5

3 4

3 5 35

3 2

11

11

11

.

. (3)

Polea mvil III F F FF F x

F x F FF

x

FQ

x

1 2 3

1 2

1 3 13

1 3

11

11

11

.

. (4)

Polea fija F F x 1 . (1) reemplazando en 1 ,2 ,3 y 4

F F xF x

x

F x

x

Q x

x

Q xx

x n

13 5

2 3

4

3

11

11

11 1

1

.. . . .

en general

F = Q.xn+1

9

Sin Rozamiento Con Rozamiento Rendimiento

FQ

n 2 FQ xx

n

n . 1

1

Q xQ xx

x

n

n n

n

n x.. . .

12

121 1

10

Fuerza necesaria para mantener la carga Polea mvil I

F F QF F x

F x Q FQ

x

6 5

6 5

5 51 1

.

.

Polea mvil II

F F FF F x

F x F FF

x

3 4 5

4 3

3 5 35

21 1

.

. = Q1+ x

Polea mvil III

F F FF F x

F x F FF

x

1 2 3

2 1

1 3 13

31 1

.

. = Q1+ x

Polea fija

F x F FFx

Qx x1

131

. ' ' .

En general

FQ

x x n'

. 1

Aparejo Potencial Inverso

Sin rozamiento

QP

P Qn n 2 2. Con rozamiento

P Q xP P xP P xP Q x

2

4 2

43

11

11

..

..

en general

P Q x n . 1 Rendimiento:

21 x

n

PQn 2 .

Mayor esfuerzo

P P x Q x xP Q x x n

5 42

51

11

. . .. .

en general

P Q x xn n2 1 11 . .

11

Aparejos Factoriales Aparejo Factorial de igual nmero de poleas fijas que mviles

Para A Sin Rozamiento Q P P P P P PP P P P P P PQ n P n n

PQn

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

2

2

' . ' ; n: # de poleas mviles

Con Rozamiento

P x P PPx

P x P PPx

Px

P x P PPx

Px

P x P PPx

Px

P x P PPx

Px

P x P PPx

Px

.

.

.

.

.

.

1 1

1 2 21

2 3 32

3 4 43

4

4 5 54

5

5 6 65

6

12

Entonces

Q

Q

Q

Q

Q

Px

Px

Px

Px

Px

Px

Px

x x x x x

Px x

x x x x x x x x x x

Px x

x x x x x x x x x x x

P xx x

PQ x x

xP

Q x xx

n

n

2 3 4 5 6

65 4 3 2

65 4 3 2

66 5 5 4 4 3 3 2 2

6

6

6

6

2

2

1

11 1 1 1 1 1

11

11

11

11

( ).

( )( )( )

. . en general


PQn

2

PQ x x

x

n

n . .2

21

1

xn x x

n

n

2

21

2 1. .

Fuerza necesaria para retener la carga:

Q P P P P P PP x PP x P x PP x P x PP x P x PP x P x PP x P x PQ P x P x P x P x P x P xQ P x x x x x x

Q Px x x x x x x x x

1 2 3 4 5 6

1

2 12

3 23

4 34

5 45

6 56

2 3 4 5 6

2 3 4 5 6

2 3 41 1 1 1 1

. '. . '. . '. . '. . '. . '' . ' . ' . ' . ' . ' .'

' ' . . . .

x x x x

QP x x

xP x x

x PQ xx x

5 6

7 6

6

1 1

11

111

. .

' ' . .' .

.

En general P

Q xx xn

' ..

11

Para B: Sin Rozamiento Con Rozamiento Rendimiento

PQn

2 1

PQ x x

x

n

n . .2

2 1

11

12 1

11

2 1

2nx

x x

n

n. .

13

Aparejo Factorial Inverso

Aparejo factorial de nmero impar de poleas

Sin Rozamiento Q P P P P P P PP P P P P P P P

Q F FQ

PQn

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

7 2 3 1

2 1

. .

en general

Con Rozamiento

P x P P Px

P x P P PxPx

P x P P PxPx

.

.

.

1 1

1 2 21

2 3 32

P x P PPx

Px

P x P PPx

Px

P x P PPx

Px

P x P PPx

Px

3 4 43

4

4 5 54

5

5 6 65

6

6 7 76

7

.

.

.

.

Para A Para B S/R

P Q n 2. . P Q n . .2 1

C/RP Q x

xx

n

. .2 1

1

P Qx

x

n

.2 1 1

1

Rendi-miento

2 112

. .

.n x

x x n 2 1 1

12 1n xx n

.

14

Entonces

Q

Q

Px

Px

Px

Px

Px

Px

Px

P xx x

PQ x x

xP

Q x xx

n

n

2 3 4 5 6 7

7

7

7

7

2 1

2 1

11

11

11

( )( )

. . en general

Sin

Rozamiento Con Rozamiento Rendimiento

PQn

2 1

PQ x x

x

n

n

. .2 12 1

11

12 1

11

2 1

2 1nx

x x

n

n. .

Fuerza necesaria para retener la carga:

Q P P P P P P PP x PP x PP x PP x PP x PP x PP x P

Q P x x x x x x x

QP x x

xP x x

xP

Q xx x

PQ x

x x n

1 2 3 4 5 6 7

1

22

33

44

55

66

77

2 3 4 5 6 7

8 7

7

2 1

11

111

11

. '. '. '. '. '. '. '

'

' ' . .'

..

'.

.

en general:

15

Aparejo Diferencial Weston

Sin rozamiento:

RrQP

RQrQPRM

QFF

o

1.2

.22

0

221

rR Usa cadenas calibradas

78

1415

2

y

RR r

'

Con rozamiento:

Polea Fija: (3)

Polea Mvil:

1

2

Reemplazo 1 y 2 en 3

P R F r F R x

Q F FF F xQ F x F F x

F Qx

F Q xx

P R Qx rQ x R

x P RQ R x

xQ r

x P RQ

x R x r

P Qx xrR

. . . .

.

. .

.

. . . . . . . . . . .

.

2 1

1 2

1 2

2 2 2

2

1

2 22

2

1

1

1

1 1 1 1 1

1


P Q rR

2 1. P

Qx x

rR

1

2.

1 1

2 2

rR x

x rR

.

.

16

rR

1110 a

1112 x 1,05 a 1,06

0,415 a 0,482

Rrxx

QrPx

RQxrxQrPxr

xxQR

xQrP

xxQF

xQF

xFFxFQxFFFFQ

xrFRFrP

..1

.1

.1

....1

..1

.

3en 2y 1 Reemplazo

2 1

.

1 1

1...

:Mvil Polea3 ....

:Fija Polea

22

1

2

222

21

21

12

P Qx xRr

1

2.

17

Consideraciones: Si x fuese igual a R/r entonces P=0 y el mecanismo seria reversible. Pero en general este sistema se utiliza para el caso de irreversibilidad, por ende x siempre tiene que ser mayor a R/r. Esto se cumple para valores de x de 1,05 en adelante y relaciones de radios de 10/11 a 14/15. En el caso que x fuese igual a R/r se dice que el mecanismo esta en un equilibrio indiferente, o sea que ante la menor perturbacin en la carga esta caer. Y si x fuese menor a R/r el mecanismo no es autoretentivo, o sea que al dejar de aplicar la fuerza la carga caer.

18

Torno Simple:

Sin rozamiento

F l Q R F Q Rl. ..

Con rozamiento

F l Q l Q FF QF l Q R

R

R

. . . ..

. . .

F Ql R . Rendimiento

R

R .

Fuerza necesaria para retener la carga

Q R F l Q QF l Q R Q QF l Q R

. . . . .. . . . .. . .

F Ql R .

19

Torno Diferencial:

Sin rozamiento

F l F r F RQ F F

F F Q

F l Q r Q R

F l Q R Q r

F Ql R r

. . .

. . .

. . .

.

2 1

1 2

1 2 2

2 2

2 2

2

en tonces

Con Rozamiento

F l F r F R F F QF l F R F F r

F F Q F x F x F F Q

Q F x FQ

xF

Q xx

F lQ xx

R QQ

xr

FQl

xx

Rxx

R R

R

. . . . ; .

. . . .

. .

..

..

. . . .

. . .

2 1

1 2

1 2 1 2 2 2

2 2 1

3

11

11

2

1 1

1 1

P o lea m v il

;

;

R em p lazo (1 ) y (2 ) en (3 ):

Sin Rozamiento

Con Rozamiento Rendimiento

F Ql

R r 2.

F Qlx

xR

xx

. . .1 1

R rx

xR

rx

21 1

. .

20

Fuerza necesaria para retener la carga

F R F l F r Fr Fr QF l F R F r Q

F lQ

x RQ xx r Q

1 2

1 2

1 1

. . . . .

. . . . .

. ..

. .

;

F

Ql

Rx

r xx

..

. 1 1

Polea mvil

F F QF x FF x F QF x Q

FQ

xQ xx

1 2

2 1

1 1

1

1

1

1 1

..

..

; F2

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