El promedio como variable aleatoria: error estándar e

intervalo de confianza para la media de la muestra

Mario Briones L.MV, MSc

2005

Estimador puntual El descriptor de tendencia central

que es la media aritmética o promedio, ocupa una posición puntual sobre la recta numérica

x

El promedio como variable aleatoria Si una muestra bien tomada sobre

una población dada ha generado un promedio

Una segunda muestra generará “probablemente” un promedio nuevo, diferente del anterior

PREGUNTA: alguno de los promedios es incorrecto?

x

El promedio como variable aleatoria Esto significa que cada vez que se

toma una muestra de tamaño n, el promedio obtenido puede considerarse como una observación perteneciente a una población con una distribución

Esta distribución tiene media y varianza 2/n

El error estándar de la media La dispersión de la media muestreal para

un tamaño n, fluctua alrededor de con una desviación estándar igual a /n

Si la muestra es grande, la distribución de la media muestreal será aproximadamente normal, sin importar si la población de origen de los datos no tiene distribución normal.

Las probabilidades de la curva normal aplicadas a la distribución del promedio

Si la distribución de los promedios sigue una curva normal, entonces hay una probabilidad total de ocurrencia de estos promedios, bajo la curva normal

Las probabilidades de la curva normal aplicadas a la distribución del promedio

x +1 +2 +3-3 -2 -1Unidades de desviación

Unidades de error estándar

100% de probabi-lidades de todos los promediosobtenidos con muestrasde tamaño n

x +1 +2 +3-3 -2 -1Unidades de desviación

Unidades de error estándar

100% de probabi-lidades de todos los promediosobtenidos con muestrasde tamaño n

Si la distribución de los promedios sigue una curvanormal, entonces hay una probabilidad total deocurrencia de estos promedios, bajo la curva normal

En resumen: El promedio de todos los posibles

promedios de infinidad de muestras de tamaño n, cae exactamente sobre la media poblacional .

Esto se debe a que la probabilidad de cada promedio de caer por encima o por debajo de es exactamente la misma, aunque la distribución de la variable original no sea normal y siempre que el tamaño de la muestra sea grande.

Por lo tanto: Utilizando las propiedades de la

distribución normal, se puede dar una magnitud a la probabilidad de ocurrencia de a partir del promedio calculado.

Primero que nada, esto significa que entre menos una y más una unidad de error estándar (cualquiera sea su magnitud) se encuentra APROXIMADAMENTE, el 68% de esas probabilidades (etc, etc,...).

Promedios y error estándar de peso de terneros al nacimiento en 43 muestras de tamaño 10 tomadas sobre un total de 530 pesos (con promedio 38.9)

33.0

35.0

37.0

39.0

41.0

43.0

45.0

47.0

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43

Muestra

Peso

al n

acim

ient

o (K

g)

Histograma de frecuencia de los 43 promedios obtenidos con muestras de tamaño 10

02468

1012141618

34.8 36.2 37.6 39 40.4 41.8 ymayor...

Clase

Fre

cue

nci

a

Promedios y error estándar de peso de terneros al nacimiento en 43 muestras de tamaño 40 tomadas sobre un total de 530 pesos (con promedio 38.9)

36.0

37.0

38.0

39.0

40.0

41.0

42.0

43.0

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43

Muestras

Peso

al n

acim

ient

o (k

gs)

Histograma de frecuencia de los 43 promedios obtenidos con muestras de tamaño 40

0

2

4

6

8

10

12

14

37.6 38.1 38.7 39.3 39.8 40.4 ymayor...

Clase

Fre

cue

nci

a

x +1 +2 +3-3 -2 -1

68%

Probabilidades de 95 y 99% Si queremos cubrir, a partir de

nuestro estimador de la media, un 95% de las probabilidades de incluir, con el mismo tamaño de muestra, la media real de la población, tenemos que dividir en dos un área igual a 0.95. Esto da 0.475.

x

?

?

?

?

?

?

La probabilidad de la media poblacional es simétrica alrededor de la media de la muestra

Límites de la curva normal para dejar sólo un 5% de probabilidad de error de no cubrir con el intervalo de confianza a la media poblacional

95%

z: -1.96 z: + 0.1.96

5%

2.5% 2.5%

Probabilidades de 95 y 99% El valor de z que deja hacia entre

cero y z un 0.475 de las probabilidades es 1.96. Esto significa que ± 1.96 unidades de error estándar a partir del promedio, se ubica ese 95% de probabilidades.

El valor respectivo para 99% de confianza es de 2.58.

Promedios e intervalos de confiaza de 95% para la media de la población, con muestras de tamaño 40

35.036.0

37.038.039.0

40.041.042.0

43.044.0

1 5 9 13

17

21

25

29

33

37

41

muestras

Peso d

e n

acim

iento

(kg

s)

Estimación de intervalo: el error estándar de la media Para conocer cuanta es la distancia hacia

arriba o hacia debajo de la media, expresada en las unidades de medición de la variable, sólo es necesario multiplicar el error estándar (que está expresado en unidades de la variable) por el valor de z que define la probabilidad (ZP). La siguiente expresión se aplica CUANDO DE CONOCE LA VARIANZA DE LA POBLACION:

x zP x /n

EJEMPLO: Los datos siguientes corresponden a los nivelesde Hormona Luteinizante (LH) en nanogramos por ml desuero de 5 ovejas administradas con Naloxona a las 20

semanas de edad, durante la noche y el día

diurno0.720.511.010.490.37

promedio 0.62desv. est. 0.25error est. 0.11

nocturno0.680.480.720.400.41

promedio 0.538desv. est. 0.15error est. 0.07

0.62 conc. LH (ng/ml)

1.96(/n)1.96(/n)

Intervalo de confianza para la concentración diurna de LH.

1.96 x 0.11 1.96 x 0.11

0.62 conc. LH (ng/ml)

Intervalo de confianza para la concentración diurna de LH.

0.22 0.22

Intervalo de confianza de 95% para la media de la concentración de LH en la población de referencia,

asumiendo que se conoce la varianza de la población:

0.62 0.22

0.40 0.62 0.84 conc. LH (ng/ml)