Máster de Cooperación Internacional 1 2.- Métodos Discretos de Toma de Decisiones Francisco Ruiz de la Rúa. Departamento de Economía Aplicada (Matemáticas)

Máster de Cooperación Internacional

1

2.- Métodos Discretos de Toma de Decisiones

Francisco Ruiz de la Rúa.

Departamento de Economía Aplicada (Matemáticas)Universidad de Málaga


2

Ejemplo: selección de personal

CRITERIOS

EST EXP EDA ENT TES

max max min max max

CANDIDATOS

Alberto 6 5 28 5 5

Blanca 4 2 25 10 9

Carlos 7 7 38 5 10

Daniel 5 7 35 9 6

Emilia 6 1 27 6 7

Félix 5 7 31 7 8

Germán 6 8 30 7 9

Hilario 5 6 26 4 8

Irene 3 8 34 8 7


3

Índice

• Tratamiento previo

• Determinación de pesos

• Utilidad Multiatributo

• El método Electre

• El método Promethee

• AHP

Final


4

Pre-análisis de eficiencia

EST EXP EDA ENT TES

max max min max max

Alberto 6 5 28 5 5

Blanca 4 2 25 10 9

Carlos 7 7 38 5 10

Daniel 5 7 35 9 6

Emilia 6 1 27 6 7

Félix 5 7 31 7 8

Germán 6 8 30 7 9

Hilario 5 6 26 4 8

Irene 3 8 34 8 7

Félix está dominado por Germán


5

Pre-análisis de Satisfacción

EST EXP EDA ENT TES

max max min max max

Alberto 6 5 28 5 5

Blanca 4 2 25 10 9

Carlos 7 7 38 5 10

Daniel 5 7 35 9 6

Emilia 6 1 27 6 7

Germán 6 8 30 7 9

Hilario 5 6 26 4 8

Irene 3 8 34 8 7

Satisf. ≥ 4 ≥ 1 ≤ 35 ≥ 4 ≥ 5


6

Criterios a maximizar

• En algunos métodos es necesario considerar todos los criterios como criterios a maximizar.

• Dos posibilidades:– Cambiar de signo (y sumar una constante si

necesitamos valores positivos),– Tomar inversos (si todos los valores son

estrictamente positivos). Conserva la cardinalidad ratio.


7

Criterios a maximizar

EST EXP EDA ENT TES

max max max max max

Alberto 6 5 0,036 5 5

Blanca 4 2 0,040 10 9

Daniel 5 7 0,029 9 6

Emilia 6 1 0,037 6 7

Germán 6 8 0,033 7 9

Hilario 5 6 0,038 4 8


8

Normalización

• Es necesario medir todos los criterios en la misma escala.

Proced. 1 Proced. 2 Proced. 3 Proced. 4

Expresión

Vector normalizado

0 < vi ≤ 1 0 ≤ vi ≤ 1 0 < vi < 1 0 < vi < 1

Módulo variable variable variable 1

Proporcio-nalidad

sí no sí sí

Interpre-tación

% del máximo

% del rango % del totalcomponente vector unit.

j

ii a

av

max

jj

jii aa

aav

minmax

min

22

jj

ii

a

av

jj

ii a

av


9

Normalización

EST EXP EDA ENT TES

max max max max max

Alberto 0,188 0,172 0,168 0,122 0,114

Blanca 0,125 0,069 0,188 0,244 0,205

Daniel 0,156 0,241 0,134 0,220 0,136

Emilia 0,188 0,034 0,174 0,146 0,159

Germán 0,188 0,276 0,156 0,171 0,205

Hilario 0,156 0,207 0,180 0,098 0,182

Normalizados con el procedimiento 3


10

• Métodos de asignación directa- Más sencillos

- Pueden llevar a inconsistencias

- Pueden suponer demasiada información a manejar a la vez

• Métodos de asignación indirecta- Uso más complicado

- Requieren más interacción

- Son más consistentes

Determinación de pesos


11

• Ordenación simple– Ordenación

1º Experiencia Profesional (EXP)

2º Estudios Superiores (EST)

3º/4º Entrevista (ENT)

3º/4º Test psicotécnico (TES)

5º Edad (EDA)

– Asignación de valores EST EXP EDA ENT TES

4 5 1 2,5 2,5

– Normalización EST EXP EDA ENT TES

.26 .33 .07 .17 .17

Asignación directa


12

• Tasación simple:– Asignación de valores en una escala dada EST EXP EDA ENT TES 5 5 2 4 4

– Normalización EST EXP EDA ENT TES .25 .25 .10 .20 .20

– Variante: Ratios (Importancia con relación al menos

importante)

Asignación directa


13

• Comparaciones sucesivas– Ordenación EST EXP EDA ENT TES

4 5 1 2,5 2,5

– Tabla con “coaliciones”: EXP: EST+ENT+TES+EDA EST: ENT+TES+EDA ENT: TES+EDA

EXP: EST+ENT+TES EST: ENT+TES

EXP: EST+ENT

– Respuestas: EXP > EST+ENT pero EXP < EST+ENT+TES

EST < ENT+TES

ENT = TES

Asignación directa


14

– Comprobaciones ENT = TES 2.5 = 2.5 Correcto.

EST < ENT+TES 4 < 2.5 + 2.5 Correcto.

EXP > EST+ENT 5 > 4 + 2.5 No correcto. Modificar

– Nuevos pesos. EST EXP EDA ENT TES

2.58 5 0.65 1.61 1.61

– Normalización EST EXP EDA ENT TES

.23 .44 .06 .14 .14

Asignación directa

• Comparaciones sucesivas (cont.)


15

• A.H.P. (Proceso Analítico Jerárquico)– Comparación binaria de criterios aij = 1 igualmente importantes

3 ligeramente más importante

5 notablemente más importante

7 demostrablemente más importante

9 absolutamente más importante

aji = 1/ aij

– Matriz de comparaciones

1145/15/1

1145/15/1

4/14/118/17/1

55813

5573/11

A

AHP


16

AHP

Consistencia:j

iija

jkijaa

k

i

j

i

k

j

ika

ω

ω

n

n

n

A

n

nnnnn

n

1

1

21

12111

///

///

n es un autovalor de A, y un autovector


17

– Autovalor dominante y autovector asociadomax = 5.296

EST EXP EDA ENT TES

w = 0.30 0.48 0.04 0.09 0.09

– Coeficiente de inconsistencia.

– Coeficiente de inconsistencia aleatorio.

074.01

C.I.

n

nmax

n C.I.A. 2 .00 3 .58 4 .90 5 1.12 6 1.24 7 1.32 8 1.41 9 1.45

AHP


18

– Ratio de inconsistencia.

– Si R.I. < 10%, aceptar.

– Si no, reestimar algunos o todos los aij

066.012.1

074.0

C.I.A.

.C.IR.I.

AHP


19

MAUT

• n alternativas (ai).

• m criterios normalizados (aij).

• Pesos normalizados j.

• Evaluación global de cada alternativa:

n

jijji aaR

1

)(


20

MAUT

EST EXP EDA ENT TES

max max max max max

Alberto 0,188 0,172 0,168 0,122 0,114

Blanca 0,125 0,069 0,188 0,244 0,205

Daniel 0,156 0,241 0,134 0,220 0,136

Emilia 0,188 0,034 0,174 0,146 0,159

Germán 0,188 0,276 0,156 0,171 0,205

Hilario 0,156 0,207 0,180 0,098 0,182

Pesos 5 5 2 4 4

Norm. 0,25 0,25 0,10 0,20 0,20

Pesos por el método de tasación simple


21

MAUT

• R(Alberto) = 0.154

• R(Blanca) = 0.157

• R(Daniel) = 0.184

• R(Emilia) = 0.134

• R(Germán) = 0.207

• R(Hilario) = 0.165

5º

4º

2º

6º

1º

3º


22

El Método Electre

• Relación de superación: Cuando una alternativa a es “al menos tan buena” como otra b en “una mayoría” de los criterios, y no hay ningún criterio para el que a sea “notoriamente inferior” a b, podemos afirmar sin riesgo que a supera a b.

• Comparaciones binarias (alternativas dos a dos)


23

El Método Electre

• Consideremos la matriz de decisión normalizada. Definimos: )()(maxmax

,ijkj

kijaUaUd

EST EXP EDA ENT TES

max max max max max

0,25 0,25 0,1 0,2 0,2

Alberto 0,188 0,172 0,168 0,122 0,114

Blanca 0,125 0,069 0,188 0,244 0,205

Daniel 0,156 0,241 0,134 0,220 0,136

Emilia 0,188 0,034 0,174 0,146 0,159

Germán 0,188 0,276 0,156 0,171 0,205

Hilario 0,156 0,207 0,180 0,098 0,182

Dif. Max 0,063 0,242 0,054 0,146 0,091


24

El Método Electre

• Dadas dos alternativas ai y ak, definimos:

)()(/),(

)()(/),(

kjijki

kjijki

aUaUjaaD

aUaUjaaC

• Índice de concordancia

),(

),(ki aaCjjkiik aacc

– Importancia conjunta de los criterios para los que ai es al menos tan buena como ak.

– cik = 1 si y sólo si ai domina a ak.


25

El Método Electre

• Índice de discordancia

)()(max1

),(),(

ijkjaaDj

kiik aUaUd

aaddki

– Mayor diferencia de utilidad a favor de ak (relativizada por la máxima diferencia).

– dik = 0 si y sólo si ai domina a ak.


26

El Método ElectreEST EXP EDA ENT TES

max max max max max

0,25 0,25 0,1 0,2 0,2

Alberto 0,188 0,172 0,168 0,122 0,114

Blanca 0,125 0,069 0,188 0,244 0,205

Daniel 0,156 0,241 0,134 0,220 0,136

Emilia 0,188 0,034 0,174 0,146 0,159

Germán 0,188 0,276 0,156 0,171 0,205

Hilario 0,156 0,207 0,180 0,098 0,182

C(B,D) = {3,4,5}; D(B,D) = {1,2}

c(B,D) = 0,10 + 0,20 + 0,20 = 0,50

71,0069,0241,0,125,0156,0max242,0

1),( DBd

C(E,G) = {1,3}; D(E,G) = {2,4,5}

c(E,G) = 0,25 + 0,10 = 0,35

1159,0205,0,146,0171,0,034,0276,0max242,0

1),( GEd


27

El Método Electre

• Matriz de concordancia

A B D E G H

A - 0,50 0,35 0,50 0,35 0,45

B 0,50 - 0,50 0,75 0,50 0,50

D 0,65 0,50 - 0,45 0,20 0,70

E 0,75 0,25 0,55 - 0,35 0,45

G 0,90 0,70 0,80 0,90 - 0,90

H 0,55 0,50 0,55 0,55 0,10 -


28

El Método Electre

• Matriz de discordancia

A B D E G H

A - 0,50 0,40 0,19 0,43 0,28

B 0,43 - 0,71 0,26 0,86 0,57

D 0,14 0,29 - 0,17 0,29 0,19

E 0,57 0,40 0,86 - 1,00 0,71

G 0,05 0,30 0,20 0,07 - 0,10

H 0,13 0,60 0,50 0,20 0,30 -


29

El Método Electre

• Umbral de concordancia, sc

• Umbral de discordancia, sd

• Relación de superación:

dikcikki sdscaSa y


30

El Método ElectreA B D E G H

A - 0,50 0,35 0,50 0,35 0,45

B 0,50 - 0,50 0,75 0,50 0,50

D 0,65 0,50 - 0,45 0,20 0,70

E 0,75 0,25 0,55 - 0,35 0,45

G 0,90 0,70 0,80 0,90 - 0,90

H 0,55 0,50 0,55 0,55 0,10 -

A B D E G H

A - 0,50 0,40 0,19 0,43 0,28

B 0,43 - 0,71 0,26 0,86 0,57

D 0,14 0,29 - 0,17 0,29 0,19

E 0,57 0,40 0,86 - 1,00 0,71

G 0,05 0,30 0,20 0,07 - 0,10

H 0,13 0,60 0,50 0,20 0,30 -

sc = 0,8 sd = 0,2

ADd

c

DA

DA a supera no 2,014,0

8,065,0

AGd

c

GA

GA a supera 2,005,0

8,090,0


31

El Método Electre

A B D E G H

A - 0 0 0 0 0

B 0 - 0 0 0 0

D 0 0 - 0 0 0

E 0 0 0 - 0 0

G 1 0 0 1 - 1

H 0 0 0 0 0 -

• Matriz de superación • Grafo

G

B D

AE

H

Núcleo

Núcleo:-Toda alternativa fuera del núcleo está superada por alguna del núcleo-No hay relaciones de superación entre alternativas del núcleo


32

El Método Electre

A B D E G H

A - 0 0 0 0 0

B 0 - 0 1 0 0

D 1 0 - 0 0 1

E 0 0 0 - 0 0

G 1 1 1 1 - 1

H 0 0 0 0 0 -

sc = 0,6 sd = 0,4

G

B D

EA

H

Con suma ponderada,

G D H B A E


33

El Método Promethee

• Matriz de decisión original (pesos normal.)

EST EXP EDA ENT TES

max max min max max

0,25 0,25 0,1 0,2 0,2

Alberto 6 5 28 5 5

Blanca 4 2 25 10 9

Daniel 5 7 35 9 6

Emilia 6 1 27 6 7

Germán 6 8 30 7 9

Hilario 5 6 26 4 8


34


• Pseudocriterios– Sea un criterio j,

– Llamamos dik = Uj(ai) - Uj(ak)

– Sj(ai, ak) = Sj(dik)

– 0 Indiferencia,– 1 Preferencia estricta,– q Umbral de indiferencia,– p Umbral de preferencia estricta.


35


• Pseudocriterios

1

0 si ,1

0 si ,0),(

ik

ikkij d

daaS

q

1

qd

qdaaS

ik

ikkij si ,1

si ,0),(

1.- Normal 2.- En U


36

1

q p

0,5


• Pseudocriterios

pd

pdpdaaS

ik

ikikkij si ,1

si ,/),(

3.- En V

4.- En escalera

1

p

pd

pd

qd

aaS

ik

ik

ik

kij

si ,1

q si 0,5

si ,0

),(


37

1

q p

El Método Promethee• Pseudocriterios

5.- Lineal 6.- Gaussiano

1

p

pd

pdqpqd

qd

aaS

ik

ikik

ik

kij

si ,1

q si ))/((

si ,0

),(


38


• Elaboramos una tabla con los valores de Sj para cada criterio.

• Ejemplo: Todos los criterios normales, excepto el criterio edad, con pseudo-criterio en V, p = 5.

• S3(B,A) = (28 – 25)/5 = 3/5 = 0,60.

• S3(A,B) = 0 (25 < 28).

• S3(A,D) = 1 (35 – 28 ≥ 5).


39


A B D E G H

A - 0,00 1,00 0,00 0,40 0,00

B 0,60 - 1,00 0,40 1,00 0,20

D 0,00 0,00 - 0,00 0,00 0,00

E 0,20 0,00 1,00 - 0,60 0,00

G 0,00 0,00 1,00 0,00 - 0,00

H 0,40 0,00 1,00 0,20 0,80 -

• Matriz de S3 .


40


• Índices de preferencia.

Para cada par de alternativas, ai, ak:

j j

ikjjkijjik dSaaSc )(),(

• cAB = 0,25•1 + 0,25•1 + 0,10•0 + 0,20•0 + 0,20•0 = 0,50• cEG = 0,25•0 + 0,25•0 + 0,10•0,60 + 0,20•0 + 0,20•0 = 0,06


41


• Matriz de preferencia.

A B D E G H

A - 0,50 0,35 0,25 0,04 0,45

B 0,46 - 0,50 0,69 0,30 0,42

D 0,65 0,50 - 0,45 0,20 0,45

E 0,42 0,25 0,55 - 0,06 0,45

G 0,65 0,50 0,80 0,65 - 0,90

H 0,49 0,50 0,30 0,47 0,08 -


42


• Flujos.

Para cada alternativa ai:

k

iki cFlujo saliente (positivo)

k

kii cFlujo entrante (negativo)

iiiFlujo neto


43


A B D E G H +

A - 0,50 0,35 0,25 0,04 0,45 1,59

B 0,46 - 0,50 0,69 0,30 0,42 2,37

D 0,65 0,50 - 0,45 0,20 0,45 2,25

E 0,42 0,25 0,55 - 0,06 0,45 1,73

G 0,65 0,50 0,80 0,65 - 0,90 3,5

H 0,49 0,50 0,30 0,47 0,08 - 1,84

- 2,67 2,25 2,5 2,51 0,68 2,67

-1,08 0,12 -0,25 -0,78 2,82 -0,83


44


• PROMETHEE I

Relación de superación:

kiki

kiki

kiki

kiSaa

y

ó

y

ó

y


45


A B D E G H

+ 1,59 2,37 2,25 1,73 3,5 1,84

- 2,67 2,25 2,5 2,51 0,68 2,67

A B D E G H

A - 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

B 1,00 - 1,00 1,00 0,00 1,00

D 1,00 0,00 - 1,00 0,00 1,00

E 1,00 0,00 0,00 - 0,00 0,00

G 1,00 1,00 1,00 1,00 - 1,00

H 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

Matriz de superación

G supera A,B,D,E,HB supera A,D,E,HD supera A,E,HE supera AH supera A(transitividad)


46


• Grafo de superación:

G B D

H

E

A

Con suma ponderada,

G D H B A E


47


• PROMETHEE II

Relación de superación:

kikiSaa

A B D E G H

-1,08 0,12 -0,25 -0,78 2,82 -0,83

Pos 6 2 3 4 1 5


48


• Grafo de superación:

G B D

Con suma ponderada,

G D H B A E

E H A


49

¡Gracias!

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