MÁSTER DE ENSAYOS EN VUELO Y CERTIFICACIÓN DE …webserver.dmt.upm.es/media/files/Mtodo_operacional_de_Laplace.pdf · El método operacional de Laplace(F5.3) Máster de Ensayos

Máster deEnsayos en Vuelo

(ETSIA-UPM)

ETSIA-UPM29.04.08

MMÁÁSTER DE ENSAYOS EN VUELOSTER DE ENSAYOS EN VUELO

Y CERTIFICACIY CERTIFICACIÓÓN DE AERONAVESN DE AERONAVES

(Curso 2008/09)(Curso 2008/09)

El mEl méétodo operacional de todo operacional de LaplaceLaplace (F5.3)(F5.3)


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ETSIA-UPM29.04.08 2

La transformada de Laplace

{ }0

( ) ( ) ( )stY s L y t e y t dt∞

−= = ∫


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ETSIA-UPM29.04.08 3

Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su transformada de Laplace se define como:

donde s es una variable compleja

Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe si la integral converge.

0{ ( )} ( ) ( ) stL f t F s f t e dt

∞ −= = ∫

.iws +=σ



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ETSIA-UPM29.04.08 4

Pierre-Simon Laplace(1749 - 1827)

"Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro.Se podría condensar un intelecto que en cualquier momento dado sabría todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la componen, si este intelecto fuera lo suficientemente vasto para someter los datos al análisis, podría condensar en una simple fórmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para tal intelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente sus ojos."



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ETSIA-UPM29.04.08

Obsérvese que la transformada de Laplace es una integral impropia, uno de sus límites es infinito:

5

0 0

( ) lim ( )h

s t s t

he f t dt e f t dt

∞− ⋅ − ⋅

→∞=∫ ∫

{ }( ) ( ),f t F s=L{ }{ }

( ) ( ),

( ) ( ), etc.

y t Y s

x t X s

=

=

LL

Notación:



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ETSIA-UPM29.04.086

Condiciones suficientes de existencia de la TL

Si f(t) es continua a trozos en [0, ∞) y

),0[,|)(| ∞∈∀≤ tMetf at

Es decir, f(t) es de orden exponencial en el infinito:

0|)(|lim =ℜ∈∃ −

∞→

bt

tetftqb

Entonces:

L{f(t)} = F(s) existe ∀s > a.

dtetfsFtfL st−∞

∫==0

)()()}({



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Unicidad de la TL

Si f1(t) y f2(t) poseen la misma TL:

)()()(:por definida nulafunción lay0

0)(

21

0

tftftNN(t)a

dttNa

−=>∀

=∫

L{f1(t) } = L{f2(t) }= F(s),

entonces el teorema de Lerch garantiza que



(ETSIA-UPM)

ETSIA-UPM29.04.088

{ } ( )

se

sdtesFL tsst 111)(1

0

1

0 =

−===

∞+−∞ −∫

Calcula la transformada de f(t) = 1:

ssFtf 1)(1)( =→=

Nota: Obviamente L{a} = a/s y L{0} = 0.



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ETSIA-UPM29.04.08 9

{ }

{ }1

0

1

0

1

0

0 )(

−∞ −−

∞ −−

∞−∞ −

==

=−

−−

===

∫

∫∫nstn

stn

stnstnn

tLsndtet

sn

dts

ents

etdtetsFtL

Calcular la transformada de f(t) = tn:

1

!)()( +=→= nn

snsFttf

{ } { }

{ }{ } 1

0

1

!1 +

−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=

nn

nn

sntL

stL

tLsntL



(ETSIA-UPM)

ETSIA-UPM29.04.08 10

{ } ( )

( )

11

11

)(

0

1

0

1

0

+=

+−

====∞

+−

∞ +−∞ −−− ∫∫

se

s

dtedteesFeL

ts

tssttt

Calcular la transformada de f(t) = e-t:

11)()(+

=→= −

ssFetf t


(ETSIA-UPM)


{ } ( )

( ) asas

AeasA

dtAedteAesFAeL

tas

tasstatat

>−

=−−

====∞

−−

∞ −−∞ − ∫∫

,)(

)(

0

0

0

Calcular la transformada de f(t) = Aeat:

asas

AsFAetf at >−

=→= ,)()(



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ETSIA-UPM29.04.0812

{ }

( ) dteatsensa

sadt

seatsena

seat

sa

dts

eatas

eatsendteatsensFatsenL

ststst

ststst

∫∫

∫∫

∞ −∞ −∞−

∞ −∞−∞ −

−=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−−

−

=−

−−

===

0 22

0

0

0

0

0

)()()cos(

)cos()()()()(

Calcular la transformada de f(t) = sen(at):

22)()()(as

asFatsentf+

=→=

222

2

2

2

;1as

aIsaI

sa

+==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Ejercicio: calcular F(s) para f(t) = cos(at)



(ETSIA-UPM)


{ } ( )

( )

{ } { })()cos(

11

)(

)()cos(

2222

22

0

0

0

atseniLatLas

aias

sasias

iasias

iase

ias

dtedteesFeL

atseniate

tias

tiasstiatiat

iat

+=+

++

=++

=++

−=

+−

====

+=

∞+−

∞ +−∞ − ∫∫

Calcular la transformada de f(t) = eiat:



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ETSIA-UPM29.04.08

{ }0

1 1

( ) ( ) lim

lim lim ( )

hs t s t

hc

h s cs t s h s cs sch h

u t c e u t c dt e dt

ee e e s

∞− ⋅ − ⋅

→∞

− ⋅− ⋅ − ⋅ − ⋅− −

→∞ →∞

− = − = =

= − =

∫ ∫L

14

c

1

t

0 if ( )

1 if t c

u t ct c<⎧

− = ⎨ ≥⎩

La función Heaviside o escalón unidad:

c0

1



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ETSIA-UPM29.04.0815

Tabla de transformadas de Laplace

( )

( )

( )

2 2

2 2

2 2

2 2

1

sen

cos

sen

cos

!

at

at

n atn

ts

sts

e ts a

s ae ts a

nt es a

ωωω

ωω

ωωω

ωω

−

−

−+

+

+

+ +

+

+ +

+

( )

ase

snt

t

s

t

at

nn

+−

+

1

!s1

11

1

1

2

δ



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ETSIA-UPM29.04.0816



(ETSIA-UPM)

ETSIA-UPM29.04.0817


Laplace Transforms: Continuation


(ETSIA-UPM)




(ETSIA-UPM)




(ETSIA-UPM)

ETSIA-UPM29.04.08


20


(ETSIA-UPM)

ETSIA-UPM29.04.0821

Al proceso inverso de encontrar f(t) a partir de F(s) se le conoce como transformada inversa de Laplace y se obtiene mediante:

conocida también como integral de Bromwich o integral de Fourier-Mellin.

∫∞+

∞−

− ≥==i

i

st tdsesFi

tfsFLγ

γπ0,)(

21)()}({1

Transformada inversa de Laplace



(ETSIA-UPM)

ETSIA-UPM29.04.0822

Re(s)

Im(s)

∫∞+

∞−

− ≥==i

i

st tdsesFi

tfsFLγ

γπ0,)(

21)()}({1

γγ determina un contorno vertical en el plano complejo, tomado de tal manera que todas lassingularidades de F(s) queden a su izquierda.

Con condiciones de existencia:

∞<

=

∞→

∞→

)(lim)2(

0)(lim)1(

ssF

sF

s

s



(ETSIA-UPM)

ETSIA-UPM29.04.0823

1. Linealidad: Si c1 y c2 son constantes, f1(x) y f2(x) son funciones cuyas transformadas de Laplace son F1(x) y F2(x), respectivamente;entonces:

).()()}()({ 22112211 sFcsFctfctfcL +=+

La transformada de Laplace es un operador lineal.

Propiedades



(ETSIA-UPM)

ETSIA-UPM29.04.0824


)(0)}0()({)}({

),()}({ si Entonces,0,00),0(

)0()()( Definimos

sFst

ettutfLtgL

sFtfL

ttttttf

ttutftg

−=−=

=

<>−

=−=⎪⎩

⎪⎨⎧

2. Desplazamiento temporal

t


(ETSIA-UPM)

ETSIA-UPM29.04.0825


3. Desplazamiento en frecuencias

)()}({ )()}({ Si asFtfeLsFtfL at +=⇒= −

{ } { } 22 )(11as

teLs

tL at

−=→=Ejemplo:

4. Cambio de escala en tiempo

.1)}({)()}({ Si ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒=

asF

aatfLsFtfL


(ETSIA-UPM)

ETSIA-UPM29.04.0826


5. Derivada de la transformada de Laplace

{ })()(dd)}({)( Si ttfLs

sFtfLsF −=⇒=

6. Transformada de las derivada de una función

La transformada de Laplace de la derivada de una función está dada por:

donde f(0) es el valor de f(t) en t = 0.

)0()()}('{ fssFtfL −=


(ETSIA-UPM)

ETSIA-UPM29.04.0827


7. Transformadas de las derivadas de mayor orden

La transformada de Laplace de la segunda derivada de una función está dada por:

)0(')0()()}(''{ 2 fsfsFstfL −−=

)0()0(')0()()}({ )1(21)( −−− −−−−= nnnnn ffsfssFstfL L

y en general:


(ETSIA-UPM)

ETSIA-UPM29.04.0828

8. Teorema del valor final

Si existe, entonces:

9. Teorema del valor inicialEl valor inicial f(0) de la función f(t) cuya transformada de Laplace es F(s), es:

)(lim tft→∞

)(lim)(lim 0 ssFtf st →∞→ =

)(lim)(lim)0(0

ssFtff st ∞→→== +



(ETSIA-UPM)


La operación es conocida

como producto de convolución de y y se denota como

La transformada de Laplace de esta operación está dada por:

∫∞

∞−− τττ dtff )()( 21

)(1 tf ),(2 tf

1 2 1 2{ ( ) * ( )} { ( )} { ( )}L f t f t L f t L f t= ⋅

).(*)( 21 tftf

10. Producto de convolución


Si trabajamos con funciones que son cero para para t < 0, entonces la convolución queda:

⎪⎩

⎪⎨⎧

<≥−= ∫

0,00,)()()(*)( 0

ttdtgftgtf

tτττ


(ETSIA-UPM)


Resumen de las propiedades


(ETSIA-UPM)

ETSIA-UPM29.04.0831

Resumen de las propiedades


(ETSIA-UPM)

ETSIA-UPM29.04.0832

Utilidad de la T. de Laplace

Gracias a la propiedad de derivación y a la linealidad de laTL podemos convertir un problema diferencial en unoAlgebráico:

" 3 ' 4 ( 1) (0) 1, '(0) 2y y y t u ty y+ − = ⋅ −⎧

⎨ = − =⎩ Resolver paray(t)Se convierte en:

22 1( )*( 3 4) ( 1) s

sY s s s ss e++ − + + =⋅

Resolver paraY(s)


(ETSIA-UPM)

ETSIA-UPM29.04.0833


Ec. Diferencial

Transformada de Laplace

Ec. Algebraica


(ETSIA-UPM)

ETSIA-UPM29.04.0834


Si resolvemos la ec. algebraica:

2

2 2

( 1) ( 1)( )( 3 4)

s ss s e eY ss s s

−− + ⋅ ⋅ − ⋅=

⋅ + −

y encontramos la transformada inversa de Laplace de la solución, Y(s), obtendremos la solución de la ec. diferencial.


(ETSIA-UPM)

ETSIA-UPM29.04.0835


Ec. Algebraica

Inversa de la Transformada

de Laplace

Solución de la Ec. Diferencial


(ETSIA-UPM)

ETSIA-UPM29.04.0836


La transformada inversa de Laplace de:

2

2 2

( 1) ( 1)( ) es( 3 4)

s ss s e eY ss s s

−− + ⋅ ⋅ − ⋅=

⋅ + −4 43 32 1

5 80 4 16432

5 5

( ) ( 1)( + ( ) )

( )( ( ) )

t tee

t t

y t u t e e t

u t e e

−

−

= − ⋅ ⋅ − −

− ⋅ − ⋅


(ETSIA-UPM)

ETSIA-UPM29.04.0837


De modo que:4 43 32 1

5 80 4 16432

5 5

( ) ( 1)( + ( ) )

( )( ( ) )

t tee

t t

y t u t e e t

u t e e

−

−

= − ⋅ ⋅ − −

− ⋅ − ⋅es la solución de la ec. diferencial:

" 3 ' 4 ( 1) (0) 1, '(0) 2y y y t u ty y+ − = ⋅ −

= − =


(ETSIA-UPM)

ETSIA-UPM29.04.0838


Ejemplo más sencillo: Resolver el problema de cond. inicial3'( ) 2 ( ) ; (0) 4 para 0tf t f t e f t−+ = = ≥

3 3

3

2 3

'( ) 2 ( ) 0 { '( ) 2 ( ) } 0{ '( )} 2 { ( )} { } 0

1( ( ) (0)) 2 ( ) 03

1( ) 4 2 ( ) 03

5 1( ) ( ) 52 3

t t

t

t t

f t f t e L f t f t eL f t L f t L e

sF s f F ss

sF s F ss

F s f t e es s

− −

−

− −

+ − = ⇒ + − =

+ − =

− + − =+

− + − =+

= − ⇒ = −+ +


(ETSIA-UPM)


Raíces del denominador D(s) o polos de F(s):

Caso I – Polos reales simples

Caso II – Polos reales múltiples

Caso III – Polos complejos conjugados

Caso IV – Polos complejos conjugadosmúltiples

)( as −2)( as −

))(( *asas −−

01

1

01

1

)()()(

bsbsasasa

sDsNsF m

mm

nn

nn

++++++

== −−

−−

L

L

Descomposición en fracciones simples: Se utiliza para facilitar el cálculo de la transformada inversa, descomponiendo la función en componentes más sencillos.

[ ]2*))(( asas −−

T. de Laplace (complementos)


(ETSIA-UPM)


Caso I – Polos reales simples )( as −

32

)3)(2(1

61

)()()( 23

++

−+=

+−+

=−+

+==

sC

sB

sA

ssss

ssss

sDsNsF

Ejemploas

A−


Aparecen términos de la forma


(ETSIA-UPM)


152

)2(1

3

103

)3(1

2

61

)3)(2(1

3

2

0

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

⇒+

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

⇒−

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

+⇒

−=

=

=

s

s

s

sss

sC

sss

sB

sss

sA

32)3)(2(1

)()()(

++

−+=

+−+

==sC

sB

sA

ssss

sMsNsF

assDsNaseCoeficient

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

)()()(


Cálculo de coeficientes:

Ejemplo:


(ETSIA-UPM)


)3)(2()2()3()3)(2(

3261

23 +−−++++−

=+

+−

+=−+

+sss

sCssBsssAsC

sB

sA

ssss

)2()3()3)(2(1 −++++−=+∴ sCssBsssAs

61

)3)(2(1

0

−==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

+∴

=

Ass

s

s

)6()23()(

)2()3()6(12

222

ACBAsCBAs

ssCssBssAs

−+−++++=

−+++−+=+

16;123;0 =−=−+=++ ACBACBA

Procedimiento alternativo (identificación de coeficientes)

y resolver...



(ETSIA-UPM)


⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=

++

−+=

−++

=

31

152

21

1031

61

32

61)( 23

sss

sC

sB

sA

sssssF

La transformada inversa de Laplace es (ver tablas):

tt eetf 32

152

103

61)( −−+−=


Finalmente:


(ETSIA-UPM)


Caso II – Polos reales múltiples 2)( as −

12)1)(2(44

)()()( 22

23

−+

−++=

−−+−

==sD

sC

sB

sA

sssss

sDsNsF

Ejemplo)()( 2 as

Bas

A−

+−

Polos realessimples

Polos realesmúltiples


Aparecen términos de la forma


(ETSIA-UPM)


3)1)(2(44

2)1)(2(44

0

230

23

2

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−+−

⇒

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−+−

⇒

=

=

s

s

ssss

dsd

sB

ssss

sA

assDsNasordenpoloCoef

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

)()()(2 . 2

as

er

sDsNas

dsdordenpoloCoef

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=)()()( 1 . 2

)1)(2(44)(

:ejemplo el Para

2

23

−−+−

=sss

sssF

Cálculo de coeficientes de polos múltiples:



(ETSIA-UPM)


tt eettf −−+= 232)(

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

−−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

−+

−++=

−−+−

=

11

211312

12)1)(2(44)(

2

22

23

ssss

sD

sC

sB

sA

ssssssF

También se puede hacer por identificación de coeficientes:

Finalmente, la transformada inversa es:



(ETSIA-UPM)


En general, para polos reales múltiples:

( ) ( )( ) con sNsDsF = ( ) ( ) ( ) ( )n

r pspspssD −−−= L21

( )( ) ( ) n

nr

rr

r

psa

psa

psa

psb

psb

psbsF

−++

−+

−+

−++

−+

−=

−− LL

3

3

2

2

1

11

1

1

1

( )( )( )1

1!1

ps

rj

j

jr pssFdsd

jb

=−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

( )( )[ ]ipsii pssFa =−=

1

1

1

1

]))(([)!1(

1

]))(([!

1

]))(([

]))(([

11

1

1

1

11

1

ps

rr

r

ps

rj

j

jr

ps

rr

psr

r

pssFdsd

rb

pssFdsd

jb

pssFdsdb

pssFb

−=−

−

−=−

−=−

−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−

=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +=

+=

M

M



(ETSIA-UPM)


Caso III – Polos complejos conjugados

Ejemplo 1:

))(( *asas −−

iaas

Bas

BsA

ss2,

)4(4

*

*

2 =−

+−

+=+

21

)2(4

21

)2(4

14

4

2

*

2

02

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=

+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+=

−=

=

=

is

is

s

issB

issB

sA

conjugados complejos

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−+

−−= *

11211

asass

Transformada inversa de Laplace:

)2cos(12

1)(22

teetxii

−=+

−=−



(ETSIA-UPM)


Ejemplo 2:

iaas

Bas

Bss

ssF 43,256

4)( *

*

2 +−=−

+−

=++

+=

)4(81

434

)4(81

434

43

*

43

iis

sB

iis

sB

is

is

+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−++

=

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+++

=

−−=

+−=

Transformada inversa de Laplace:

)cos(2)( φωσ += − teBtf t

245.0,4,3

,817),4(

81

−===

=−=

φωσ

BiB

)245.04cos(417)( 3 −=∴ − tetf t

donde



(ETSIA-UPM)


Se trata de repetir los métodos usados en los casos II y III,teniendo en cuenta que trabajamos con complejos.

En todos los casos se puede hacer uso de la identificación decoeficientes para determinar estos.

[ ]2 *))(( asas −−


Caso IV – Polos complejos conjugados múltiples

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