MAT 10_Q1

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Prohibida su reproducción

2

Presentación

Este es tu libro Desafíos, para Décimo año de Matemática, que Santillana ha preparado para ti. Se llama así porque cada página está diseñada para que disfrutes de la aventura de conocer la Matemática de una manera divertida.

En esta sección se proponen situaciones y problemas de todos los días para que los resuelvas utilizando lo que aprendiste en el bloque.

Vida cotidiana

100

En la vida cotidiana

1 Los datos sobre los incendios que han tenido lugar en el país durante el verano no han sido muy desfavora-bles. Sin embargo, el último fin semana se produjo un incendio en uno de los parques naturales.

2 El municipio ha decidido construir viviendas de protec-ción oficial en un terreno. Para realizar el proyecto, ha contratado a un equipo de arquitectos.

Desde uno de los helicópteros de protección civil, situado en el radar en el origen de coordenadas, el piloto observó un fuego en dirección norte. El lago más cercano está a 25° y la piscina municipal, a 120°.

Los encargados municipales no les han proporcionado las di-mensiones del recinto, y uno de los aparejadores ha visitado el terreno para hacer las mediciones.

Luego, han presentado el estudio incluyendo redes geodésicas del terreno, formadas por puntos desde los cuales se mide con gran precisión y que, además, son los vértices de los trián-gulos adosados unos a otros.

Con estos datos, determina la superficie de terreno que va a ser edificable.

Desde la torre de control, le dieron el aviso de que el viento empezó a ser más fuerte, y que era necesario que el incendio fuera controlado antes se que se propague.

¿A dónde irán a recoger agua? Justifica tu respuesta.

30 m

50 m

33 m

70º

50º

b

h

h'

43 m

La distancia al fuego es de 10 km. Y la distancia

al lago es de 20 km.

Esta sección presenta una estrategia que te permitirá analizar y resolver los problemas con facilidad.

Estrategias para resolver problemas

46


ESTRATEGIA: Relacionar tabla, fórmula y gráfica. La comprensión de un problema es un proceso que se inicia elaborando una tabla de valores que nos permite obtener una fórmula para relacionar las variables que intervienen y, luego, hacer una gráfica aproximada.

1 Un tercer proveedor, Milenium Café, ofrece la siguiente promoción: $ 15la inscripción y $ 0,60 por cada hora de navegación. Si una persona navega 80 horas al mes, ¿cuál de los tres proveedores le convendrá? Considera los datos de los proveedores Mundonet y Buscanet del problema resuelto.

2 Un albañil y su ayudante son contratados para realizar una obra. El ayudante comienza a trabajar a las 8h00 y cobra $ 9 por hora de trabajo. El albañil comienza a trabajar a las 10h00 y cobra $ 12 por hora. ¿Cuánto ha ganado cada uno si los dos han trabajado hasta las 12 horas?

Problemas propuestos

Problema resuelto

• Se elabora una tabla de valores que permita obtener la ecuación de lo que se paga a cada uno de los proveedores para determinadas horas de navegación.

Ambas ecuaciones tienen la formade una ecuación lineal.

• Se elaboran las gráficas de la ecuación en un mismo sistema de coordenadas cartesianas.

• Para saber la opción que le convendrá a Silvana, se traza por x = 10 una línea paralela al eje y que corte ambas gráficas lineales.

• A partir de los dos puntos de intersección (A y B), se trazan líneas paralelas al eje x que corten al eje y. Los valores por donde se corta al eje y serán las cantidades a pagar en cada caso. Al comparar dichas cantidades (17 < 20), se ve que a Silvana le conviene incribirse en Buscanet.

Comprobación

Mundonet: 12 + 0,8 · 10 = 12 + 8 = $ 20Buscanet: 5 + 1,20 · 10 = 5 + 12 = $ 17

1 2 x

Mundonet 12 + 1 · 0,80 12 + 2 · 0,80 12 + x · 0,80

Buscanet 5 + 1 · 1,20 5 + 2 · 1,20 5 + x · 1,20

Tiempo (h)Costo ($)

Enunciado

Para captar clientes, dos proveedores de Internet ofrecen dife-rentes promociones. Mundonet cobra $ 12 por inscripción y $ 0,80 por cada hora de servicio, mientras que Buscanet cobra $ 5 la inscripción y $ 1,20 por cada hora de servicio. ¿Cuál de las opciones le convendrá a Silvana si ella navega en la web 10 horas al mes?

Comprensión

Se sabe cuánto cobran las dos cabinas por la inscripción y por cada hora de servicio. Hay que evaluar las dos opciones para las 10 horas que Silvana navega en un mes.

yE = 0,80x + 12yD = 1,20x + 5{

5

10

5 10 15 20 25

15

20

25

30

35

40

Cantidad de horas

Cos

to ($

) yE = 0,80x + 12

yD = 1,20x + 5B

A

En estas páginas te propondremos una situación que deberás solucionar y en la que demostrarás todos tus saberes. Completar estas actividades es un desafío.

Evaluación de destrezas con criterios de desempeño

103

Evaluación de destrezasCON CRITERIOS DE DESEMPEÑO

PARA LA CARTELERA

Mide las dimensiones de tu habitación y de los muebles que en ella se encuentran. Realiza un plano y expresa sus relaciones de área como fracciones algebraicas. Demuestra la validez de las mismas y expón tu trabajo en la cartelera.

AUTOEVALUACIÓN

• Explica cómo se forman ángulos positivos y negativos.

• Propón ejemplos de ángulos cuadrantales y en posición normal.

• Elabora un cartel con lo aprendido sobre reducción de ángulos al primer cuadrante.

COEVALUACIÓN

6 Calculen el área que ocupan los jardines del coliseo. Si x = 2 dam, encuentren el área del coliseo en metros cuadrados. Luego, intercambien sus respuestas con un compañero y verifiquen sus respuestas.

1 Encuentra la expresión que representa el área destinada a las personas que asisten al espectáculo y simplifícala.

2 Determina el área que ocupa la pasarela.

3 Analiza la situación y responde.

A solo dos días del evento, se dan cuenta de que el número de entradas programadas para la venta sobrepasa la capacidad física que ofrecen las áreas destinadas para el público.

a ¿Qué deben hacer los asesores?

b ¿Qué debe hacer el empresario?

c Si, a pesar de conocer los riesgos que se corren, se efectúa el evento y el público se siente satisfecho, ¿qué deben hacer estos consumidores?

4 Calcula el área total de las tribunas 1 y 2.

5 Determina: ¿Cuál es la diferencia entre el área de la platea y el área de las tribunas?

La presentación de un espectáculo en público es una tarea que implica una serie de situaciones que deben organizarse de manera que las personas que asisten se sientan satisfe-chas no solo por su calidad, sino también por el ambiente acogedor en el cual se desarrolla.

Los desfiles de moda son un tipo de estos eventos.

Un empresario de espectáculos anuncia la presentación de un desfile de modas, que se llevará a cabo en un coliseo adaptado para dicha actividad.

Los expertos en distribución de espacios que asesoran al empresario distribuyen las áreas como se muestra en la figura. Las personas serán ubicadas en las tribunas y en la platea.

Las zonas sombreadas corresponden a jardineras externas.

Área de tribuna 1 = x + 1 ____ 3 – x


Área de platea = 2 · ( x 2 + 2x __________ x 2 – 7x + 12

)

Pasa

rela

1

__

__

x +

1

7 x 2 – 33x + 36 ___________ 2 x 2 – 14x + 24

Área del coliseo:

102 103

Para finalizar el quimestre

Encuentra ángulos positivos y negativos coterminales de un ángulo dado.

1 Encuentra la medida de cada ángulo en grados,en radianes; dibújalo.

Reconoce y aplica las razones trigonométricas en la resolución de problemas.

6 Una paloma que se encuentra a 25 m de altura, se observa con un ángulo de elevación de 20° 37´. Si en ese momento la paloma se encuentra en la parte superior de un monumento, ¿a qué distancia se encuentra el observador de la base del monumento?

Resuelve problemas con sistemas lineales de dos incógnitas

7 José Miguel y Camila trabajaron en vacaciones y reunie-ron $ 500 entre los dos, si con la quinta parte del sueldo de José Miguel más la tercera parte del sueldo de Camila pudieron comprar un juego de video que vale $ 140. Calcula cual fue el sueldo de cada uno.

Resuelve problemas con sistemas lineales de dos incógnitas

9 Nicolás puso 24 canicas en un frasco sin que Camilo lo viera. Son todas del mismo tamaño y peso, 18 son rojas y 6 azules. Nicolás plantea a Camilo que introduzca la mano en el frasco y que si saca una bola roja gana todas las canicas, pero si saca azul, las pierde. Indica si los dos niños tienen la misma probabilidad de ganar. ¿Por qué?

Resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por medio de gráficos o de procesos algebraicos.

8 Resuelve los siguientes sistemas lineales.

Resuelve inecuaciones y representa su solución en la recta real..

3 Encuentra el intervalo solución de la inecuación (x + 2)2 – (2x-1)2 ≥ 1 – 3x2 y

Aplica el teorema de Pitágoras a la resolución de problemas.

5 ¿Cuál es la expresión que represente el área del siguiente triángulo si se conoce a, b, c y q.

Demuestra identidades trigonométricas escogiendo el término mas complejo.

5 Demuestra la siguiente identidad:

1 sentan cos 1 1ii i+

+=

a Cuarto de rotación en sentido de las manecillas del reloj.

b Tres quintos rotaciones en sentido contrario a las manecillas del reloj.

A

C B

b

a

c

h

θ

10x – 5y = 8 2x + 4y = 4

Resuelve ecuaciones racionales.

2 Resuelve.

x 43

x 22

x 27 02 + + =

Al final de cada quimestre se presenta una evaluación. Aborda los temas tratados en los bloques curriculares correspondientes.


Presentan una serie de actividades de opción múltiple que te servirán como preparación para las pruebas PISA.

Pruebas SER

104 105

Prueba SER

INSTRUCCIONES:

1. Usa solamente lápiz.

2. Rellena solo un círculo. Ejemplo:

3. No marques así:

4. En caso de error, borra correctamente.

x

1 a b c d

2 a b c d

3 a b c d

4 a b c d

5 a b c d

6 a b c d

7 a b c d

8 a b c d

9 a b c d

10 a b c d

11 a b c d

12 a b c d

13 a b c d

14 a b c d

15 a b c d

16 a b c d

17 a b c d

18 a b c d

1 d2 c3 d4 b

5 c6 a7 d8 d

9 d10 a11 b12 b

13 c14 c15 c16 c

17 a18 b

RESPUESTAS

1 La suma de dos números consecutivos es 35. La ecuación que se debe plantear para encontrar esos números es:

9 El valor exacto de la expresión sen 45° · cos 45° _____________ sen 30° + csc π _____ 2 es:

a 3x – 1 = 34

b 2x = 36

c 2x + 1 = 35

d x + (x + 1) = 35

a 1

b √__

2 ___ 2

c 1 __ 2

d 2

10 El valor de la función tan 225° es equitativa a:

a tan 45°

b tan 135°

c tan –45°

d tan –225°

14 La medida del ángulo α del triángulo es:

15 La fórmula apropiada para calcular el área del triángulo, cuyos datos conocidos son a, b, c y θ, es:

16 Al expresar sen θ en función de cos θ se obtiene:

a 16,43°

b 16,57°

c 28,57°

d 28,43°

a A = a ∙ c ∙ sen θ __________ 2 a 2 + b 2 + c 2

b A = c ∙ h ____ 2

c b ∙ c ∙ sen θ _________ 2

d a 2 + b 2 + c 2

a ± √________

1 + co s 2 θ

b 1 + co s 2

c ± √________

1 – co s 2 θ

d ± √_______

co s 2 – 1

17 Al simplificar tan θ cos θ + 1 ____________ 1 + sen θ se obtiene:

18 En la tabla de frecuencia de datos agrupados con intervalo de 6, la mayor parte de automóviles viajan a velocidades, en km/h, de:

a 1

b tan θ

c csc θ

d sec θ

a 112 y 127 b 96 y 111 c 64 y 79 d 128 y 143

11 En el siguiente triángulo, la función sec θ se define así:

a x _ y

b r _ y

c r _ x

d √__

2

2 Las longitudes de los lados de un rectángulo, si un lado mide 7 cm más que el otro y el perímetro es 66 cm, son:

a 6,5 y 10

b 22 y 15

c 20 y 13

d 20 y 6,5

3 El doble del resultado que se obtiene al resolver x __ 2 + x __ 4 = x __ 6 + 7 __ 12 es:

a 1 __ 2

b 1

c 14

d 2

4 Al resolver la ecuación 2x – 3 _______ 1 – x – 1 = 4x + 4 _____ 1 – x , se obtiene:

a 4

b –4

c –8

d 8

5 El perímetro del trapecio es 34 cm. La expresiónque representa la medida de CD es:

13 Un pirata encontró un mapa de un tesoro. La distancia de la palmera al tesoro, en pasos, es:

a 5 – 2x

b 24 + x

c 34 – 7x

d 4 – 7x

6 Cierto material radiactivo se reduce en su quinta parte cada hora. La cantidad de material que se tenía al inicio, si después de una hora quedan 700 g de material, era:

a 875 g

b 785 g

c 585 g

d 587 g

7 El intervalo solución de la inecuación (x + 2)2 – (2x – 1) 2 ≥ 1 – 3x2 es:

a ]–∞, –1/4[

b ]–1/4, ∞+[

c ]–∞, 1/4 ]

d [–1/4, ∞+[

8 La suma del seno y la tangente del ángulo θ en posición normal, si su lado final pasa por el punto (2; 8), es:

a √__

17 ____ 17

b 2 √__

17 _____ 17

c 4 √__

17 _____ 17

d 5 √__

17 _____ 17

CB

A D

2x – 2

3x – 2

2x + 4

12 El triángulo rectángulo que no puede ser resuelto es:

a ABC, si A = 90°; c = 3 cm; B = 30°

b HTM, si T = 90°; t = 5 cm; m = 9 cm; h = 7 cm

c PQR, si Q = 90°; r = 7 cm; q = 7 √__

2 cm

d a

t

e

T

E

A

60º

30º

a 15

b 24

c 25

d 30

θ

α

615

135°

A

C B

b

a

c

h

θ

Lee el siguiente texto.

El nuevo secretario de Tránsito quiere determinar si los con-ductores, que habitualmente circulan por una vía de acceso a la capital, están cumpliendo con la norma del límite de velo-cidad en carretera, estipulada por la ley. Para ello, decide im-plementar un radar de velocidad cerca del peaje y hacer mediciones en un día festivo. Las velocidades obtenidas para 54 vehículos particulares en horas de la tarde fueron:

105, 89, 123, 100, 81, 106, 110, 48, 104, 121, 118, 98, 109, 89, 124, 74, 113, 143, 111, 118, 89, 73, 103, 56, 86, 94, 143, 115, 69, 89, 140, 113, 117, 120, 74, 124, 76, 105, 76, 110, 111, 70, 69, 93, 90, 113, 111, 88, 73, 106, 84, 77, 80, 95.

θ

rx

y

También encontrarás secciones especiales como Conexión, Razonamiento, ¡Diviértete!, Atención, Más sobre, etc.

¡DIVIÉRTETE!

RAZONAMIENTOCONEXIÓN

CÁLCULO MENTAL

¡ATENCIÓN!MÁS SOBRE...

Página de arranque

En la primera doble página descubrirás el nuevo tema de estudio. Además, aquí encontrarás los conceptos, los procedimientos y las actitudes que se desarrollarán en la unidad.

En estas páginas descubrirás el nuevo tema de estudio. Encontrarás diversidad de información sobre temas históricos, los avances de la humanidad y los aportes de los grandes matemáticos. Además, contienen actividades que pondrán a prueba tu ingenio y creatividad.

52 53

Una clase improvisada

Estar invitado a la Fiesta de la Primavera, que cada año se celebraba en el palacio del maharajá, era un honor reservado tan solo a los personajes más influyentes.

Al subirse al elefante, el sabio Brahama-gupta y su joven ayudante, Serhane, coin-cidieron en reconocer que el maharajá era muy generoso al enviar a su séquito para llevarlos al palacio.

El joven ayudante pasó la mitad del ca-mino quejándose de las disciplinas que tenía que estudiar:

—Maestro, ¿por qué tengo que estudiar Álgebra? No tiene ninguna utilidad, pues si tengo cinco monedas son cinco monedas y no cinco incógnitas…Y que la incógnita pueda ser cualquier cosa es antinatural.

Brahamagupta tomó la palabra y, durante la mitad del camino que les quedaba, le ex-plicó a su discípulo la utilidad del Álgebra.

—Todo en este mundo tiene su significa-do: la estrella en la frente del elefante no solo es una estrella, significa que perte-nece al maharajá; y la cruz coronada de cuatro círculos no es solo un dibujo, es el símbolo de la ciudad. En Matemática, lo más sencillo es quitarle el significado de las cosas, operar con números y, después, interpretar el resultado.

Tras estas palabras, maestro y discípulo permanecieron en silencio durante el ki-lómetro que faltaba para llegar al palacio.

• Con ayuda de una ecuación, calcula la distancia que ambos recorrieron sobre el elefante.

Sistemas de ecuaciones lineales.Probabilidad

Un problema planteado a Pascal por el caballero De Méré

El caballero De Méré, un adepto empedernido de los juegos de azar del siglo XVIII, y dos matemáticos, Pascal y Fermat, son considerados como los iniciadores del cálculo de proba-bilidades. El caballero De Méré estudió la frecuencia con la que aparecían ciertos sucesos relacionados con los juegos de azar. Estas experiencias y observaciones le llevaron a plantear a Pascal algunos problemas que, a su vez, dieron origen a una correspondencia entre Pascal y un matemático de la época, Pierre de Fermat, para tratar de dar solución a dichos proble-mas. Uno de estos fue el siguiente: «Deseo averiguar si es o no ventajoso jugar apostando cantidades iguales a que por lo menos aparece un 6 en cuatro tiradas de un dado».

La solución que dio Pascal fue la siguiente: «La probabilidad de que en una tirada no salga un 6 es igual a 5 _ 6 . Todas las tiradas son independientes entre sí, el resultado de una no influye en la otra; luego, la probabilidad de que en las cuatro tiradas no salga ningún 6 será:

P(no sacar ningún 6) = 5 __ 6 · 5 __ 6 · 5 __ 6 · 5 __ 6 = ( 5 __ 6 ) 4 Entonces, la probabilidad de sacar al menos un 6 en cuatro jugadas (suceso contrario) es igual a:

P(sacar al menos un 6) = 1 – ( 5 __ 6 ) 4 = 671 _____ 1 296 = 0,518».

Como esa probabilidad es mayor que 1 _ 2 , resultaba ventajoso hacer la apuesta que proponía De Méré.

• Averigua la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número impar.

Funciones

Ecólogos, biólogos, sociólogos, físicos, químicos, ingenieros y economistas utilizan las funciones en sus respectivas discipli-nas para resolver las cuestiones más variadas, pues las funciones constituyen una poderosa herramienta para analizar, estudiar y predecir tanto el comportamiento de fenómenos de la naturaleza, como los fenómenos sociales.

Podemos analizar el comportamiento de fenómenos como el crecimiento poblacional, la trayectoria de proyectiles, la reflexión de rayos luminosos, las ondas sonoras, etc.

También es posible determinar la abundancia o la escasez de una especie o qué envase resulta más económico fabricar entre varios que tengan la misma capacidad.

• Nombra otras situaciones cotidianas en las que se utilicen funciones.

Mód

ulo

7Bloques

1 y 2

OBJETIVO EDUCATIVO: • Representar y resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas a través de gráficos y algebraicamente para aplicarlos en la solución de situaciones concretas.

• Recolectar, representar y analizar situaciones probabilísticas relacionadas con lugares históricos y bienes naturales, para fomentar y fortalecer la apropiación y cuidado de los bienes culturales y patrimoniales del Ecuador.

Punto de partida

En estas páginas te proponemos activar tus conocimientos previos, reflexionar sobre una situación, conceptualizar un tema, aplicar lo aprendido y, finalmente, transferir lo que aprendiste a otro contexto.

Desarrollo del tema

36

DESTREZA CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO:

37

CONEXIÓN CON HABITOS DE RECREACIÓN DE LOS ESTUDIANTES

Identificar formas de expresar funciones mediante el lenguaje matemático y representaciones gráficas. (C, P) Conocimiento de procesos

Comprensión de conceptos

INDICADORES:

Expresa una funcióncon un enunciado.

Utiliza una expresión algebraica para expresaruna función.

Analiza una función. Propone una función

que no se ajustaa una expresión matemática.

Elabora tablas de valoresy gráficos de funciones.

Comprueba si los puntos dados pertenecena la gráfica de una función.

Determina gráficamentesi una relación es función.

Analiza posibilidadesy resuelve un problema.

1 Expresa, mediante un enunciado, las siguientes funciones.¿Qué sabes del tema?

Lee la información; luego, realiza lo solicitado.

Formas de expresar una función

En medicina, para determinar la frecuencia cardíaca de una persona, se utiliza un registro llamado electrocardiograma, que relaciona las variaciones de potencial eléctrico, generado por el conjunto de células cardíacas recogidas en la superficie cor-poral con el tiempo.

• Escribe el tipo de registro que representa el electrocardiograma.

Ubica en cada eje las magnitudes relacionadas.

¿Cuál es la variable independiente y cuál la dependiente que registraste en el electrocardiograma?

Una función puede ser expresada de las siguientes formas:Expresión de una función

Podemos expresar la relación entre las variables de una función de forma verbal.

«A cada número le asociamos su cuadrado».

«Dado un número,le asignamos su mitad más 1».

En ocasiones, las funciones vienen dadas por una expresión matemática. Esta expresión se

denota y = f(x) y se llama ecuación de la función.

Mediante una ecuación,es sencillo conocer el valor

de la variable y, llamado imagen, correspondiente

a cada valor de la variable x, que es el elemento del dominio.

Basta con sustituir el valor de x en la expresión y operar.

Construir una tabla de valores para la función y = 2x + 1.

Utilizando la tabla del ejemplo anterior, dibujar la gráficade la función y = 2x + 1.

La variable independiente, x,se representa en el eje

de abscisas y la dependiente,y, en el de ordenadas.

Según la tabla, las coordenadas de los puntos serían (–2; –3), (–1; –1), (0; 1), (1; 3) y (2; 5).

En principio, la gráfica estaría formada solo por esos cinco puntos. Sin embargo, comola variable x toma cualquier

valor, siendo su imagen y = 2x + 1, podemos unir

esos puntos.

Por un enunciado Por una expresión matemática Por una tabla de valores Por un gráfica

x y = 2x + 1

–2 2 · (–2) + 1 = –3

–1 2 · (–1) + 1 = –1

0 2 · (0) + 1 = 1

1 2 · (1) + 1 = 3

2 2 · (2) + 1 = 5

x y = f(x)

–2 –3

–1 –1

0 1

1 3

2 5

y = 2x + 12

2

4

4 x

y

–2–2

–4

–4

2 Obtén la expresión algebraica de la función que asociaa cada número.

a Su triple.

b Su cuadrado.

c Su doble más 5.

d Su mitad.

3 Dada la función que asocia a cada número su cuarta parte más 3:

a Escribe su expresión algebraica.

b Calcula f(8), f(–4) y f(10).

4 Escribe un ejemplo de una función de la que no puedas hallar su expresión algebraica.

5 Halla una tabla de valores para las siguientes funciones, exprésalas mediante un enunciado y realizasu representación gráfica.

a y = x + 2

b y = 2x + 3

c y = x 2

d y = x 2 + x

e y = –3x – 1

f y = x 2 + 1

g y = 4x – 4

h y = –x

6 Verifica: Un punto pertenece a la gráfica de una funciónsi sus coordenadas verifican su ecuación. ¿Pertenecen(–1; 2) y (0; –1) a y = –2x?

Aplicación en la práctica. Estrategia: Analizar posibilidades.

8 Lean y analicen el texto. Luego, realicen las actividades.

Carlos se va de vacaciones y quiere alquilar una casa rodante. Por ello acude a dos em-presas de alquiler de casas rodantes que le ofrecen diferentes posibilidades.

A: P = 50 + 10t B: P = 30 + 12t

a Si Carlos va a viajar 8 días con la casa rodante, ¿en qué empresa le resulta más barato hacerlo?

b ¿Y si va a viajar 15 días?

c Escriban la función precio-tiempoy represéntenla en los mismos ejes. ¿Dónde se cortan? ¿Qué representael punto de corte?

¡HazLO así!

¿Cómo identificar una función mediante su representación gráfica?Indica si estas gráficas son funciones o no.

Se determina si a algún valor de x le corresponde más de un valor de y.

Si ocurre así, la gráfica no corresponde a una función. En caso contrario, sí corresponde a una función.

Por lo tanto, b) es función y a) no lo es.

y

x x

ya b

x

y

x

ya b

a by y

x x

f(x) = 4x + 3

x = 2

f(2) = 4(2) + 3

f(2) = 11 = y

Si x = 2 → y = 11

ejemplo

a y = 2x – 1

b y = –x + 3

c y = 5x – 4

d y = 1 __ 2 x + 3

7 Indica cuáles son funciones y cuáles no.

Números y FuncionesDominio A

Para reforzar lo que aprendiste, podrás resolver los ejercicios de la sección Más actividades.

Más actividades

68 69

Más actividades

a 3xy2 + 9x2y – 6x2y2

b (–9a2b3c2) + 3abc3 – 6a3bc

c 15mn4 + 3m4n4 – 12m3n2x

d 8s2t + 4st2 – 12st

e 14a2x2m2 + 11a3x2 – 49a2x3m

f (–13am3) + 11a2m2 + 10am

g (–0,3r3) + 0,6r4 – 0,9r2 + 1,2r5

h 2,5x4 – 0,5x2 + 2,5x

i (–0,2a4) + 0,4a3 – 0,6a2 + 0,8a

j 3 __ 35 p3q4 + 15 __ 49 q5p7 – 9 __ 21 q3p3

k 8 __ 5 m4 – 3 __ 20 mn5 + 9 __ 16 m3p2

l 5 __ 6 a3b + 25a2b2 + 15 __ 7 a4b

1 Halla el factor común de cada expresión algebraica. Luego, factoriza.

2 Factoriza.

a 7w(w3 + 1) – 9(w3 + 1)

b (– 4,5x)(z + w2) – 3y(z + w2) + 7,5z(w2 + z)

c [0,4m(p2 – q)] – 1,2n(p2 – q) – 1,6s(p2 – q)

d 5 __ 3 m(y + 5) + 10(5 + y)

e 16 __ 27 p3(m + 4) – 24 __ 63 p2(m + 4)

f 14 __ 9 (x2 – x + 1) + 21 __ 6 y2(x2 – x + 1)

3 Factoriza agrupando términos.

a x3 – 5x + 2x2 – 10

b 2x3 – 3x2y2 + 4xy – 6y3 + 2ax – 3ay2

c 2m2n + 3mn – 10m2n2 – 15mn

d 3abx + 12aby – 9abz + 6a3b + 3ab4

– 10xc – 20cy + 15cz – 10a2c – 5b3c

e 5x + 7y – 10x2 – 14xy

4 Encuentra la raíz cuadrada de cada monomio.

a 16x2y4

b 225z8m10

c 289b4x2y12n

d 36(w – y)4

e 9 __ 25 x2y20z8

f 49a2b4

g 0,25x4y2

h 0,0625x16y4m

5 Relaciona las columnas.

6 Expresa algebraicamente los dos lados del rectángulo.

7 Escribe los signos + o – en cada de manera que la igualdad sea verdadera.

8 Escribe dos factores cuyo producto sea el indicado.

a x2 – 16 • (m + 5)(m – 5)

b x2 – 9 • (3m + 8)(3m – 8)

c 4x2 – 49 • (x + 3)(x – 3)

d m2 – 25 • (2x + 7)(2x – 7)

e 9m2 – 64 • (x + 4)(x – 4)

a w2 – x2 + w – x2w = (w x2)(w 1)

b 12m2 – 28n2p – 12mp + 28mn2

= 4(3m 7n2)(m p)

c 10 __ 7 b2y – 25 __ 7 b2x + 75 __ 7 ax – 30 __ 7 ay

= 5 __ 7 (b2 3a) (2y 5x)

d 30 __ 21 mn + 6 __ 7 m2n2 – mny2 – 5 __ 3 y2

= ( 6 __ 7 mn y2) ( 5 __ 3 mn)

a 1 __ 64 – w8

b w2 __ 36 – d

6 __ 25

c w3 __ 27 – 1

d 1 __ 49 – 81 ___ 529 a2b2

e 196 ___ 169 a12b8 – 4 __ 49 x2

f 1 __ 32 a5 – 1 ___ 243 b10

a Área = y2 – 121 b Área = 4x2 – 169

A = 4x2 – 16 A = 16m2 – 9

9 Descompón en factores.

10 Responde: Si al cuadrado de la figura se le quitan nueve cuadrados de lado B, ¿es cierto que el área restante está dada por (A − 3B) (A + 3B)?

B

A

a t 14 − 16

b 36 − 49 z 8

c 1 − 16 x 2

d 9 − x2

e m 10 − 81 n 12

f x 2 z 4 − 100

g x 4 − 1

h w 4n − z 8n

i 4 w 2 − 9

j x 2 − 25

k 9 − w6

l s4 − 4

11 Encierra las expresiones que sean diferencia de cuadrados y encuentra sus factores.

12 Corrige cada expresión para que sea una suma o diferencia de cubos. Luego, factoriza.

a 68 + 27 x 6

b 1 + 4 n 12

c (a + b) 4 − 9 x 3

d 1 ___ 343 + 24 h 18 y 12

e ( − 4 __ 3 ) + 625 x 9

f ( − b 3 __ a 9

) − 729 c 28

g y 2 − 8 w 3

h (−214 z 6 ) + 1

i (x − y) 4 − (x + y) 5

j 15 __ 8 t 9 + p 3 q 3

k 18 m 3 − 1 __ 3 b 9

l 8 ___ 125 x 7 − 8 __ 27

13 Factoriza cada binomio.

a 1 + w 3

b x 6 + 8

c (−21 6z 9 )+ 1

d w 3 − 0,008 t 3 n 6

e 1 − x 3

f 64 − a 12

g x 3 y 6 z 12 − 512

h 0,001 x 6 − 1 000 q 3

a 1 − (x − 2y) 2

b 9x 4 __ 7 − 4 x 8m + 2y

c 100 ___ 169 m 2 n 6a − 225 t 4b

_______________ a 4 k 12

d 16 a 10 − (2 a 2 + 3 ) 12

e (3s − 9 s 2 ) 8 − t 4n + 2y

f (3a + 2b)(3a + 3b)

17 Factoriza aplicando suma y diferencia de cubos.

a 8x3 y 6 + 27 z 6

b 1 __ 8 x 3 + 0,001 m 6

c 8 ___ 125 a 3 y 6 + 125 m 6

d 0,027 a 9 − 0,064 b 3

e 8 ___ 125 x 6 − 1 __ 8

f 64 n 9 y 3 − 125 x 12

g 1 331 x 3 ______ 1 728 − 343 _____ 729 y 6

h 27 n 6 + (m − n ) 3

i (2a +3b)3 – 8b3

j 1 __ 27 + a3 __ 64

k 64 − 125 y 12

l 8 __ 27 a6 – 343 ___ 512 b9

m 512 a 3 + 729 x 6

n z 3 ___ 216 − a 6 ___ 343

18 Encuentra el perímetro de cada figura, luego, factoriza cada expresión.

19 Escribe las expresiones algebraicas que representan las medidas del largo y ancho de cada rectángulo.

16 Resuelve.

a Halla todos los factores primos de x 8 − 16.

b Determina cuántos factores primos tiene 81 m 4 − n 8 .

c Halla los factores de a 16 − b 16 .

d ¿Cuántos factores primos se obtienen al factorizar a 8 − 256?

e Halla los factores primos de 2 a 8m − 162 b 4n .

a x5 – y5

b a4 – b4

c 81x4 – 16b4

d 32c5 – 1

e m10 + n15

f y12 + z6

g 729x6 + y6z12

h 512a9 – 1

i 243m5 + n10

j a7b14 – c21

k x9a + y9b

l a5x – b10y

m x7 + y14

n a9 + b18c27

o x10y5 + 1

p 1 – a6b16

15 Factoriza aplicando sumas o diferencias de potencias iguales.

14 Resuelve.

a Factoriza (4x − 3y) 3 + (4x + 3y) 3 .

b Factoriza y simplifica 16 x 8 − 16 x 5 y 3

__________ 8 x 9 − 8 y 9

.

a d

a b

b e

c f

x3

x2

x + 1

x2

3xxy

3y

5x3 + y3

z3

3x3 – y3

4y4xy

1 + x

(x + 1)2

x + 1

(x + 1)(x + 2)

x5

1517

© Santillana


3

Buen Vivir

Principios y valores básicos

Ciudadanía democrática y participación social

Construcción de una cultura para la paz

Inclusión

Derechos humanos constitucionales

Interculturalidad

Gestión de riesgo

Salud

Sexualidad

Prevención del consumo de alcohol y drogas

Educación ambiental

Vialidad y tránsito

Ciudadanía y Buen Vivir

En la serie Desafíos se trabajan de forma permanente los principios del Buen Vivir como eje esencial de la educación, los que se evidencian en las páginas del texto con estos íconos:

Evaluación formativa

Son tareas establecidas para realizarlas en casa.

DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO:

92 93

CONEXIÓN CON Salud

Operar con números reales aplicados a polinomios (adición y sustracción de fracciones algebraicas). (P, A)

Adición y sustracción de fracciones algebraicas


1 Efectúa las siguientes operaciones. Luego, simplifica. 2 Halla una expresión algebraica que represente el perímetro de cada triángulo.

¿Qué sabes del tema?

Responde: ¿Cuántos estudiantes como máximo deberán ser en total para que el reparto sea exacto?

Lee el problema.

Carlos compra 100 caramelos y 60 chocolates para repartirlos entre sus estudiantes. En el salón de clase, hay x niñas y y niños.

• Escribe la expresión que representa el número de caramelos y chocolates que recibe cada estudiante.

• Indica qué debió observar Carlos el momento que compró las golosinas.

Para sumar o restar fracciones con diferente denominador, se sigue este proceso.

Ejemplo: sumar 2x ____ x – 3 – 6x – 18 _________ x 2 – 6x + 9

• Se halla el m. c. m. de todos los denominadores de las fracciones algebraicas.

2x ____ x – 3 – 6x – 18 ______ (x – 3 ) 2

m. c. m. = (x – 3 ) 2

• Se busca una fracción equivalente a cada fracción dada, cuyo denominador sea el m. c. m. encontrado.

2x(x – 3)

_______ (x – 3) 2

– 6x – 18 ______ (x – 3 ) 2

• Se suman o restan las fracciones siguiendo el proceso para fracciones de igual denominador.

2 x 2 – 6x – (6x – 18)

________________ (x – 3 ) 2

= 2 x 2 – 12x + 18 ___________ (x – 3 ) 2

• Se factoriza y se simplifica, si es posible.

2( x 2 – 6x + 9)

___________ (x – 3) 2

= 2(x – 3)2

_______ (x – 3)2 = 2

Se suman o restan los respectivos numeradores y se deja el denominador común; si es posible, se simplifica la fracción resultante.

Ejemplo:

a 3 _________ a 2 + 6a + 9

+ 27 _________ a 2 + 6a + 9

= a 3 + 27 _________ a 2 + 6a + 9

= (a + 3)( a 2 – 3a + 9)

________________ (a + 3)2

= a 2 – 3a + 9 _________ a + 3

Adición y sustracción de fracciones

de igual denominador

Conocimiento de procesos

Observa con atención.

1 __ m – m – 7 _____ m = 1 – m – 7 ________ m → incorrecto

1 __ m – m – 7 _____ m = 1 – m + 7 ________ m → correcto

x – 1 _____ 2x – 4

2 _____ m – 1 5m ______ 2m – 4

4 2 __________ m2 – 3m + 2

a 2 ____ 7 x 2 y

+ 5 ____ 7 x 2 y

b 7w ___ wz – 2w ___ wz

c x + 3 _____ 5 x 3 y z 2

+ 4x – 2 _____ 5 x 3 y z 2

d b 2 ___ b c 2

– c 2 – b 2 ______ b c 2

e 7 t 2 ____ 4 t 3 u

– 14t ____ 4 t 3 u

f 5m _____ 8 m 2 n 3

+ 2m _____ 8 m 2 n 3

g 4 h 2 − hk ________ 6 h 2 k 2 m

+ 2 h 2 – 5hk ________ 6 h 2 k 2 m

h 3a −7 _____ 12 a 3

– 6a – 12 ______ 12 a 3

i m – 2n ______ m 2 n 2

+ 2n – m ______ m 2 n 2

j 3z – y

_____ 10z y 4

– z – 5y

_____ 10z y 4

a b

.


6 Lee la información.

INDICADORES:

Encuentra expresionespara calcular perímetros.

Resuelve operacionesde suma y restade fracciones algebraicas.

Analiza resultados. Analiza posibilidades

y resuelve problemas.

a 1 __ x + 3x __ 5

b 4a _____ a + b

+ 3b _____ a − b

c a _____ a – b

+ 2 b 2 ______ a 2 – b 2

– b _____ a + b

d 2x ______ x 2 + xy

+ 5xy _______

x 2 y + x y 2 –

3y ______

xy + y 2

e 2 _______ 4x – 12y – x 2 _______ x 3 – 27 y 3

+ 2x ___________ x 2 + 3xy + 9 y 2

f x ______ y 2 – 4 x 2

+ 2 _____ y + 2x + 3 _____ y − 2x – y _______

y 2 + 2xy

g 2 __ x – x _ y

h x + 1 ____ x – 1 + x – 1 ____ x + 1

3 Efectúa las operaciones y simplifica.

a 7m – 2 ______ 5m – 1 − 8 + 4m ______ 5m – 1 + 3m – 5 ______ 5m – 1

b 9y – 23

______ 4y – 7 + 14y + 3

______ 4y – 7 – 3y – 8

_____ 4y − 7

c 6 _____ 2y – 3 – 3y ______

4 y 2 – 9 + 6 _____ 2y + 3

d x + 1 _________ x 2 + 5x + 4

– x + 4 _________ x 2 + 5x + 4

+ x + 7 _________ x 2 + 5x + 4

e 3 x 2 __________ 5 x 2 – 9x – 2

– x ____ x – 2 + 7 ______ 10x + 2

f 2w + 3 ___________ 2 w 2 + 3w – 2

+ 1 – w ______ 4 w 2 – 1

– 2w + 4 ___________ 2 w 2 – 5w + 2

g 12t ____ t – v + 6v _____ t – 2v – 3t ___________ t 2 – 3tv + 2 v 2

h 7x – 5 __________ x 2 + 3x – 10

– 6x – 9 ___________ 5 x 2 + 15x – 50

4 Efectúa las operaciones; luego, simplifica.

Boris es un deportista que trota diariamente en los parques mostrados en la figura. Por recomendación médica, tiene que disminuir su rutina, por lo que decide trotar en el par-que en el que el recorrido sea menor.

a Encuentra la expresión que representa el recorrido en cada parque y, luego, determina en qué parque debe trotar. Los paruqes tienen polígonos regulares.

b Comprueba tu respuesta. Considera z = 100 m.

z + 5 ______ 5z – 80 z2 – 1 _______ 6z2 – 6z

BUEN VIVIR

Cuidado de la salud

Para mantenerte en buen estado físico y mental es recomendable dar un paseo prolongado y comer con ritmo moderado.

3 __ 2 x + 4

x – 1 _____ 2x – 4

45º

5 Lean la información y resuelvan.

Sandra, la profesora de Matemática, reparte los ejercicios indicados a cuatro estudiantes; descubran quién resolvió cada ejercicio, siendo A = 1 _____

x 2 −1 , B = 3 _____ 2x – 2 y C = 3 _____ 3x + 3 .

a A + B – C

b A – B + C

c A – B – C

d C – B − A

(−x) – 3

_______ 2 x 2 – 2

x + 7 ______ 2 x 2 – 2

(−x) – 7

_______ 2 x 2 – 2

1 – 5x ______ 2 x 2 – 2

Ana Beto

Rosario

Sandra

Damián


42 43


a Cuando 0 < a < 1

• Graficar f(x) = ( 1 _ 3 ) x.

b Cuando a > 1

• Graficar f(x) = 3x.

• Elaborar una tabla de valores y ubicar los paresordenados en el plano cartesiano.

• Completar las conclusiones.

Cuando 0 < a < 1, la función es ;

cuando a > 1, la función es .

Cada gráfica corta el eje y en el punto .

Aplicación en la práctica. Estrategia: Comprender el enunciado.

7 Lee el texto.

Existen sustancias radioactivas llamadas isóto-pos, cuya desintegración se explica a través de una función exponencial.

La vida media de un isótopo es el tiempo que se requiere para que la mitad de la can-tidad original de una muestra se desintegre.

El isótopo radioactivo de bismuto se desinte-gra de acuerdo con la función f(t) = q0(2)– t __

5 ,

donde q0 es la cantidad inicial de bismuto en miligramos y t, los días transcurridos. Para q0 = 100 mg:

a Calcula la cantidad de bismuto que quedará después de 5, 10 y 15 días.

b Traza y analiza la función hasta 30 días.

c Determina el período radioactivo del bismuto.

Reconocer una función exponencial con la base en su tabla de valores. (C, P)

Evaluar si una función exponencial es creciente o decreciente. (C, P)

Función exponencial



INDICADORES:

Elabora tablas de valores y grafica funciones exponenciales.

Establece comparaciones entre funciones.

Analiza particularidades de la función exponencial.

Identifica funciones crecientes y decrecientes.

Resuelve un problema relacionado con función exponencial.

1 Completa la tabla de valores y representa gráficamente cada par de funciones en un mismo plano cartesiano.

2 Grafica cada trío de funciones en un mismo plano cartesiano; luego, emite conclusiones.

3 Contesta.

4 Completa la tabla de valores y representa estas funciones en un mismo plano.

5 Realiza una tabla de valores y representa estas funciones exponenciales.


Si han transcurrido 10 horas, ¿cuántas bacterias forman el cultivo?

Lee la información, realiza lo indicado y responde.

En un laboratorio, se ha observado un cultivo de bacterias que se duplica cada hora. Si al comienzo había 10, transcurridas 5 horas, ¿cuántas hay? Completa la tabla.

• Escribe la ecuación de la función.

• Grafica la función.t (tiempo en horas) f(t) (conteo de bacterias)

0

1

2

3

4

5


Representación gráfica de funciones exponenciales para x

Es una función definida por y = f(x) = ax, donde a es un número positivo; a es llamada base de la función; a .

x y–2 9–1 30 11 1/3

x y–1 1/30 11 32 9

1–1–2 2

f(x) = ( 1 __ 3 ) x

1 1

1–1–2 2

f(x) = 3x

f(t) =

1 2 3 4 5

100

200

300

a f(x) = 2x; f(x) = (1/2)x

b f(x) = 5x; f(x) = (0,2)x = ( 1 __ 5 ) x

a b

f(x) –3 –2 –1 0 1 2 3

y = 2x 1

y = ( 1 __ 2 ) x 1

y = 5x

y = (0,2)x

a f(x) = 2x; f(x) = 3x; f(x) = 4x

b f(x) = ( 1 __ 2 ) x; f(x) = ( 1 __ 3 ) x; f(x) = ( 1 __ 4 ) x

a ¿Podría ser a = 1 en una función exponencial?

b ¿Qué ocurre si a < 0 en una función exponencial?

a f(x) = –3x; f(x) = 3–x

f(x) –3 –2 –1 0 1 2 3

y = –3x

y = 3–x

b f(x) = 3–2x; f(x) = 3 – x __ 2

f(x) –3 –2 –1 0 1 2 3

y = 3–2x

y = 3–x ___ 2

a y = 32x b y = 3 √__

3x c y = 2 3x __ 2

6 Representa las siguientes funciones exponenciales.

a y = 1 ___ 22x b y = 3

x ___

22x

Observa qué tipo de número debe ser la base de una función exponencial

para que sea creciente o decreciente.

El período radioactivo es una característica que diferencia a una sustancia

de otra.

f(t)

t

decrecientecreciente

(0; 1)

CONEXIÓN CON QuímICa


Son actividades que permiten evaluar el trabajo individual.


94 95

CONEXIÓN CON FÍSICA

INDICADORES:

Multiplica monomios. Realiza multiplicaciones

entre polinomios. Resuelve cocientes

entre polinomios. Realiza ejercicios

con operaciones combinadasde multiplicación y división de fracciones.

Analiza una fórmula y resuelve problemas.

Aplicación en la práctica. Estrategia: Analizar fórmulas.

8 Lean y resuelvan.

A partir de fórmulas obtenidas experi-mentalmente, los científicos pueden pre-decir los efectos que podría producir el choque de un meteorito con el planeta Tierra. Esta y otras cuestiones las resuel-ven planteando ecuaciones que expliquen el entorno.

Lo hacen, por ejemplo, usando la ecuación de velocidad (v) como el cociente entre la distan-cia total recorrida (d) y el tiempo invertido en dicho desplazamiento (t).

v = d __ t

• Calculen el cociente de las velocidades de un satélite que recorre, en un primer trayecto, 1 200 km en 28 s y, en un segundo desplazamiento, 3 400 km en 30 s.


1 Simplifica y, luego, multiplica. 2 Una lavadora con tanque cilíndrico tiene las dimensionesque aparecen en la figura. Halla el volumen del prisma, del tanque cilíndrico y la diferencia entre los dos volúmenes.



Lee la situación.

Operar con números reales aplicados a polinomios (multiplicación y división de fracciones algebraicas). (P, A)

Multiplicación y división de fracciones algebraicas

La capacidad es una propiedad de los cuerpos que pueden albergar en su interior un líquido. El volumen de un cuerpo es igual a su capacidad.

Encuentra las expresiones que representan la capacidad del tanque y la piscina. ¿Cuál crees que tiene mayor volumen?

¿Cuál crees que tiene mayor volumen? Verifica tu respuesta si x = 4 m y r = 1 m.

El recíproco o inverso multiplicativo de un número

racional a __ b

es b __ a , de manera

que ( a __ b

) ( b __ a ) = 1.

Multiplicación de fracciones algebraicas División de fracciones algebraicas

En la multiplicación de fracciones algebraicasse procede de igual manera que en las fracciones

aritméticas: se multiplican los numeradoresy los denominadores entre sí.

La división de fracciones algebraicas se resuelve igual que las fracciones aritméticas: se multiplica

la fracción dividendo por el inverso de la fracción divisor, simplificando cuando es posible.

Se factorizan los polinomios y se los simplifica.

3x2 + 2xy

________ 9x2 – 4y2 ·

15x – 10y ________ 2x · 2x __ y =

x(3x + 2y)

______________ (3x + 2y)(3x – 2y)

· 5(3x – 2y)

________ 2x ∙ 2x __ y = 5x __ y

Se factoriza y se simplifica.

2x – 4y

_______ 5x + 15y ÷ x2 – 4y2

________ 15x + 45y =

2(x – 2y)

_______ 5(x + 3y)

· 15(x + 3y)

____________ (x – 2y)(x + 2y)

= 6 _____ x + 2y

( 3x2 + 2xy ________

9x2 – 4y2 ) ( 15x – 10y ________ 2x ) ( 2x __ y )

2x – 4y _______ 5x + 15y ÷

x2 – 4y2

________ 15x + 45y

Dividir 3x5 ___

4y8 para 9x2 ___

8y3 .

3x5 ___

4y8 ÷ 8y3

___ 9x2 = 2x3

___ 3y5

ejemplo

ejemplo ejemplo

a ( 5ab ___ 3b

) ( 9 b 2 ___ 15a ) ( a 2 b ___ 4a ) b ( − 2x ___ 3y ) ( −

xy ___

4 y 2 ) ( − 6 __

x 2 )

c ( − 2n ___ mn ) ( 3 n 2 ___ 4m ) ( − 4 m 2 ____ 2n ) d ( 11 m 2 nt ______ 6mn ) ( 3 _____

121 m 4 ) ( 2 m 2 t ____ mnt )

e ( 9x y 2 ____

4ab ) ( 7 a 2 ____ 18xy ) ( 3b ___ 42y ) ( 2y

__ ab

) f ( 3zw ____

z 2 y ) ( 7 y 2 w 2

_____ 3zw ) ( 2zy ____

14 y 3 ) ( 1 ___ zw )

g ( 4xy ___

x2y ) ( 3x2y

____ 8y2 ) ( xy

___ 3x3 ) ( 3x2

___ y3 )

h ( 1a2b ____ 4c ) ( 3c3b ____ 7a5 ) ( a2b2c ____

ab ) ( 14a3b _____

c3 )

3 Realiza las multiplicaciones indicadas.

a ( x + 6 ____ 3x ) ( 6 x 2 ____ x + 6 ) b ( 10r – 14 _______ 15r + 20 ) ( 3r + 4 _____ 5r − 7 ) c ( 5b + 35 ______

b 2 − 25 ) ( 7b + 35 ______

b 2 − 49 )

d ( 3y + 3 _____ 2y ) ( 4 y 2

_____ y 2 − 1

) e ( 15 a 2 b __________

a 2 + 9a + 20 ) ( a 2 – 16 ______

75ab )

f ( 4 x 2 – 4 _________ x 2 + 5x + 6

) ( x + 3 ____ x − 1 ) g ( c 2 – 81 ________

2 c 2 + 10c ) ( c 3 + 5 c 2 ______ 2c + 22 ) ( c + 11 ______

c 2 − 36 ) ( 2c – 12 ______ 2c + 18 )

h ( a 2 – 49 ___________ 2 a 2 + 11a − 6

) ∙ ( a 2 + a – 30 _________ a 2 + 7a

) ∙ ( 2 a 2 – 7a + 3 ___________ a 2 – 10a + 25

) 4 Calcula el cociente.

7 Observa las figuras y halla la altura de cada paralelogramo si su área es la indicada.

5 Completa el procedimiento para calcular cada cociente. Luego, simplifica.

a 16 h 3 k 2 _____ 10km

÷ 24 h 2 k _____ 30k m 2

b 20 w 2 x _____ 25 n 2 y

÷ 15 w 3 x 2 ______ 50 n 3 y

c 6h + 21 ______ 4h – 12

÷ 10h + 30 _______ 14h + 49

d t 2 – 25 ______

t 2 – 49 ÷ 2t + 10 ______ 3t – 21

e m 3 – m ________ 2 m 2 + 6m

÷ 5 m 2 – 5m ________ 2m + 6

f t 3 – 1 _________ 2 t 2 – 2t + 2

÷ 7 t 2 + 7t + 7 _________ 7 t 3 + 7

x 2 – 2x – 8 _________ π x 2 + 2π

x + 4 _________ x 2 + 4x + 4

π x 2 + 2π x 2 _________ x 2 – 16

2 ______ x 2 – 16

x 2 – x – 2 ________ 6

4 x 2 + 8x _________ x 2 + 6x + 8

3x + 12 ________ 5 x 2 – 10x

x + 5 ________ πrx – 2πr

a 2 x 2 y

____ 6ab

÷ 5x ___ 9 a 2

= 2 x 2 y

____ 6ab

· ______ = _____ 5b

b 3x – 7 _____ 3 y 2

÷ 6x – 14 ______ 2y = 3x – 7 _____ 3 y 2

· ______ = ______

c 5 w 3 z ____ 8zr ÷ ______ = 5 w 3 z _____ · 16z r 2 ______ 10 w 2 z 2

= wr _____

d 20 m 2 n _______ ÷ 30 m 2 _______ = ______ 34x z 4

· 17x z 3 ______ = _____

6 Resuelve.

a ( a + 1 – 6 _______ 2a + 1 ) ÷ ( a – 3 + 6 _______ 2a + 1 ) b ( a – 6 – 10 ____ a + 3 ) ÷ ( a + 2 – 2 ____ a +3 ) c ( m2 – 4n2

______________ 2m2 – 7mn + 3n2 ÷ 2m + 4n _______ 6m – 3n ) ÷ m

2 – mn – 2n2 _____________

m2 – 4mn + 3n2

d c3 + d3 ___________

c2 + 3cd + 2d2 · c2 – cd – 6d2

___________ c2 – 2cd – 3d2 ÷ c

2 – cd + d2 _________

2c2 + 2cd

h

A = 15x2 + 7x − 2 ____________ 25x2 + 10x + 1

6x2 + 13x + 6 ____________ 25x2 + 10x + 1

A = 45m2n4t _______ 14a3b2

h

60 m 2 n 2 ______ 7 a 2

r

a b


Constituyen actividades para resolverlas en parejas o en pequeños grupos.

Te llevará a conocer el origen y la evolución de la tecnología, campo en el que la Matemática ha sido parte importante. Conocerás creadores de famosos inventos, así como nuevos descubrimientos científicos.

Matemática y tecnología

106 107

Matemática y tecnología

Actividades propuestas1 Contesta.

a ¿Por qué se ha organizado a la telefonía móvil con el modelo de celdas?

b ¿Qué forma geométrica teórica se ha asignado a cada celda celular?

2 Considera una estación base cuya cobertura está limitada por un radio de 50 m y formada por 3 antenas que irradian su señal con el valor de potencia máxima permitida. Luego, realiza las actividades propuestas.

a Identifica el tipo de celda.

b Si la distribución de las antenas es simétrica, expresa el ángulo de cobertura de cada una de ellas en radianes.

c Calcula el área de cobertura. Toma en cuenta la figura geométrica teórica que representa una celda celular.

d Determina si la potencia por m2 que irradia cada una de las antenas sobrepasa el límite permitido.

3 Escribe ecuaciones o inecuaciones que te permitan calcular lo siguiente.

a El número máximo de mensajes que puedes enviar si cuentas con $ 1,80 de saldo disponible.

b El valor a pagar por un número determinado de mensajes que envíes. Toma en cuenta el pago del IVA.

c El número máximo de caracteres que debes digitar para que se registren tres mensajes enviados.

4 Enlista algunas palabras que se abrevian al escribir mensajes de textos en el celular. Escribe, junto a ellas, su respectivo equivalente.

5 Organicen grupos de trabajo y apliquen una encuesta en su centro educativo. Tomen una muestra de 50 estudiantes sobre el número de mensajes promedio que envían en un día. Elaboren una tabla de frecuencias y determinen las medidas de tendencia central.

6 Organicen entre todos un debate sobre las ventajas y desventajas de la telefonía celular.

¿Qué necesitamos?

• Elabora un esquema de un teléfono celular. Utiliza una escala de ampliación y señala sus partes.

• Construye, con fotografías, un esquema que muestre la forma en que se realiza una comunicación con el teléfono celular.

¿Qué debemos hacer?

• ¿Qué es la telefonía móvil? Reseña su historia.

• ¿En qué se basa la telefonía celular?

• ¿Cómo se realiza una comunicación mediante un teléfono móvil?

• ¿Qué son las estaciones base? ¿Cómo están estructuradas?

• ¿Cómo deciden los operadores de las redes de telefonía móvil dónde colocar estaciones base?

• ¿Cuántas estaciones se requieren para un área determinada?

• ¿Qué tipos de celdas hay en la telefonía celular?

• ¿Qué son las redes 2G y 3G?

• ¿Qué es un teléfono móvil?

• ¿Qué ha generado el uso de los mensajes de texto en el celular?

• ¿Cuántos caracteres máximos se pueden enviar en un mensaje de texto?

• ¿Qué es la contaminación electromagnética?

• ¿Cuál es la potencia máxima a la que se permite a las estaciones base emitir sus señales?

• ¿Qué operadoras de telefonía celular funcionan en nuestro país?

• Para reforzar tu investigación, sería valioso que, junto con tu profesor o profesora, organizaras una visita a una estación de telefonía celular y fotografiaras las instalaciones.

La telefonía celular

Lee la información.

En las últimas décadas, la tecnología se ha desarrollado vertiginosamente. Esta se encuentra cada vez más presente en la vida cotidiana de los seres humanos. De allí que se hable de la llegada de una nueva etapa en el devenir histórico, llamada era tecnológica.

Los beneficios que está trayendo la tecnología son muchos y muy importantes. ¿Quién se ima-ginaría las grandes ciudades sin el recurso de la electricidad y de los productos electrónicos? ¿Quién dejaría de lado los notables avances en materia de salud? ¿Quién menospreciaría lo útil que resulta la computadora, y las posibilidades que ofrece Internet?

Pero, junto a los beneficios, no se puede negar que están surgiendo nuevos problemas ligados al desarrollo tecnológico, y algunos de ellos con peligros y consecuencias gravemente dañinas para el ser humano.

Responde.

• ¿Crees que la Matemática ha jugado un papel relevante en el desarrollo de la tecnología? ¿Por qué?

• ¿Consideras importante comprender cómo funciona alguno de estos avances tecnológicos? Justifica tu respuesta.

• Para comprender el funcionamiento de uno de estos avances tecnológicos, tienes que asumir el papel de investigador. A continuación, tienes un cuestionario que guiará tu investigación. Para contestarlo, utiliza Internet, libros, revistas y periódicos.

GLOSARIO

tecnología. Es el conjunto de conocimientos técnicos ordenados científicamente, que permiten señalar y crear bienes o servicios que facilitan la adaptación del medio y satisfacen las necesidades de las personas.

Estas páginas son propuestas de lecciones escritas.

101

1 Señala la fracción algebraica que debe ser sustraída a 1 __ x para obtener como resultado x – 1 ____ 2x .

12 El ángulo interno en un polígono de 8 lados es:

a 1 – x b x – 1 c 2 – x d x – 2

a 60º b 80º c 120º d 135º

a 1 b –3 c –2 d –1

a 2 – x ____ 2x

b 1 __ x

c 1 __ 2x

d 2 __ x

a 3 b –3 c 1 __ 3 d – 1 __ 3

10 x3 − x2

_____ x − 1 ÷ 1 __ x es igual a:

a x b x3 c 1 __ x d 1 __ x3

11 La expresión x(x + 1)

_______ x2 − 1

es igual a:

a x b x − 1 c x + 1 d x _____ x2 − 1

6 1 __ x1 − 1 __

x2 es igual a:

a x − 1

____

x2

b 0

c 1

__ x

d x − 1 __ x2

7 1 − 1 __ x es igual a:

a 0

b − 1 __ x

c 1 __ x

d x − 1 ____ x

8 m ____ x + 1 · x + 1 ____ m + 1 es igual a:

a 2

b m _____ m + 1

c m

d x _____ x + m

9 La expresión 2 __ m _____ m + 1 es igual a:

a 2m _____ m + 1

b m _______ 2 m + 2

c 2m + 2 ______ m

d 2 ________ m(m + 1)

2 Responde: ¿Cuál es la expresión que representa el área del terreno?

12 ___ a b 7

a 3 b 4 ____ 42

2 a 3 ___ b 3

a

2 a 3 ___ 7 b 3

b

a 3 ___ 7 b 3

c

2 a 2 ___ 7 b 3

d

3 Indica qué le falta a la expresión

M = x 2 + 8x + 15 __________ x 2 + 5x + 6

+ x 2 – x – 2 ________ x 2 – 4

– x 2 + 6x + 8 _________ x 2 + 4x + 4

después de ser simplificada para que sea nula.

4 Escoge el inverso del resultado que se obtiene al reducir la expresión

T = ( x – 1 ____ x + 1 – x + 1 ____ x – 1 ) ( x + 1 ____ 4x )

5 ¿Qué se obtiene al resolver la fracción compleja

x 3 + y 3

_____ x + y ÷ x 2 – xy + y 2

_________ 5 ________________

x 3 – y 3

_____ x – y ÷ x 2 + xy + y 2

_________ 15 ?

Marca la respuesta correcta.

Corresponden a las evaluaciones sumativas. Se propone una para cada bloque curricular.

Ponte a prueba

56

Evaluación del móduloPonte a prueba

a Un número positivo y su raíz cuadrada.

b Un número positivo y su raíz cúbica.

c El valor absoluto de un número entero.

d El número de lados de la base de una pirámide y su número total de aristas.

3 Dada la función que asocia a cada número el inverso de la suma de ese número más 5:

a Determina su expresión algebraica.

b ¿Existe valor de la función para x = –2?

4 Expresa en palabras las siguientes funciones.

a y = x + 5

b y = –3x + 1

c y = x + 1

d y = x __ 5

1 De estas relaciones, señala las que representan una función. Razona tu respuesta.

5 En un instituto se ha medido la longitud de la sombra del edificio principal cada hora, a lo largo de un día de invierno (a partir de las 18h00 era de noche), y se ha obtenido esta tabla.

Tiempo (h) 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Longitud 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

a Haz la representación gráfica.

6 Elabora la tabla de la función f(x) = 2x y elabora la gráfica.

7 Calcula el área total lateral y el volumen del cilindro

b ¿Es una función lineal o no?

2 Justifica si los gráficos corresponden a una función.

a b y

x

y

x

4 cm

15 c

m

© Santillana


4

¿Qué son los Estándares de aprendizaje?

Son descripciones de los logros de aprendizaje que los estudiantes deben alcanzar a lo largo de la trayectoria escolar: desde la Educación Inicial hasta el Bachillerato. Constituyen referentes comunes que los estudiantes deben alcanzar a lo largo de la trayectoria escolar: desde el primer grado de Educación General Básica hasta el tercer año de Bachillerato.

¿Cuál es la relación entre los Estándares de aprendizaje y el currículo nacional?

Los Estándares de Aprendizaje describen los logros que deben alcanzar los estudiantes al final de cada uno de los cinco niveles establecidos. Por su parte, el currículo nacional contiene las herramientas necesarias para que el estudiante en cada año lectivo pueda ir aproximándose a estos estándares. En consecuencia, si se aplica el currículo nacional de manera adecuada, los estudiantes alcanzarán los Estándares de Aprendizaje.

¿Cómo se organizan los Estándares de aprendizaje?

Los estándares corresponden a cuatro áreas básicas: Lengua y Literatura, Matemática, Ciencias Sociales y Ciencias Naturales. Se establecen en cinco niveles que permiten visualizar la progresión del aprendizaje que se espera del estudiantado en los dominios centrales de cada área curricular. Los niveles de programación están organizados de la siguiente manera:

Estándares de aprendizaje

Primer nivelAl término de PRIMER GRADO de Educación General Básica.

Segundo nivelAl término de CUARTO GRADO de Educación General Básica.

Tercer nivelAl término de SÉPTIMO GRADO Educación General Básica.

Cuarto nivelAl término de DÉCIMO GRADO de Educación General Básica

Quinto nivelAl término de TERCER CURSO de Bachillerato.

Conocimientos previos ¿Qué sabes del tema?

Empezarás la clase contando lo que ya conoces sobre el tema.

Reflexión Si lo piensas bien

Luego, explicarás o comentarás con otro compañero lo que sabes del tema. A veces habrá diferencias y no coincidirán en lo que los dos conocen.

Conceptualización Comprensión de conceptos

Cuando llegue este momento de la clase, presta mucha atención, porque te informarás de muchos datos interesantes sobre el tema.

Aplicación Conocimiento de procesos

Continuarás con las actividades de aplicación.

Transferencia Aplicación en la práctica

Para terminar, resolverás una nueva situación comunicativa, donde podrás aplicar lo que hayas aprendido.

Ciclo de aprendizajeLos textos de la serie Desafíos permiten aprender de una manera fácil y entretenida. Las lecciones proponen cinco etapas: ¿Qué sabes del tema?, Si lo piensas bien, Comprensión de conceptos, Conocimiento de procesos y Aplicación en la práctica.

1

1

2

2

3

3

44

5

5

1

2

3

4

5

Ciclo de aprendizaje - Estándares de aprendizaje

© Santillana


5

Nivel 2

Nivel 3

Nivel 4

Nivel 5

Nivel 1

Dom

inio

s de

con

ocim

ient

o

Cuarto nivel Octavo, Noveno y Décimo años de EGB.

Tomado de la propuesta de Estándares de Calidad Educativa del Ministerio de Educación del Ecuador.

Estándares del área de Matemática Los estándares de Matemática se organizan en los siguientes dominios de conocimiento, que progresan en cinco niveles:

Dominios de conocimiento

A. Números y Funciones

En este dominio, el estudiante describe, construye y argumenta el patrón de formación de objetos y figuras, y de sucesiones numéricas crecientes y decrecientes, con el uso de operaciones matemáticas en el conjunto de los números reales. Reconoce, interpreta, evalúa y analiza funciones elementales. Justifica procesos y cálculos en la formulación y solución de situaciones referentes a sucesiones, proporcionalidad, estimación, medición, ecuaciones, inecuaciones, programación lineal y optimización de recursos. Desarrolla el pensamiento analítico para realizar conjeturas y entender el significado de los resultados obtenidos y los procesos empleados en la resolución de problemas.

B. Álgebra y Geometría

En este dominio, el estudiante comprende al Álgebra como instrumento de generalización y medio para representar y modelar contextos mediante estructuras algebraicas. Desarrolla argumentos matemáticos y establece relaciones geométricas de medida. Analiza características y propiedades de figuras y cuerpos geométricos de dos y tres dimensiones. Comprende los atributos medibles de objetos utilizando unidades, sistemas y procesos de medición. Demuestra la relación del Álgebra y la Geometría a partir de la vinculación entre el lugar geométrico con la expresión y forma algebráica que la representa, se potencia con el desarrollo de los espacios vectoriales, números reales y complejos como fundamento de la Geometría Analítica. Desarrolla procesos lógicos para resolver problemas que implican razonamiento espacial y modelado geométrico.

C. Estadística y Probabilidad

En este dominio, el estudiante lee, comprende e interpreta información estadística a través de tablas,


86 87

CONEXIÓN CON TECNOLOGÍA

Simplificar y amplificar fracciones algebraicas aplicando la factorización en ejercicios y problemas propuestos. (C, P)

Simplificación y amplificación de fracciones algebraicas



INDICADORES:

Amplifica fracciones algebraicas.

Escribe fraciones equivalentes, cambiando dos signos.

Encuentra fracciones equivalentes.

Simplifica fracciones algebraicas.

Aplica la simplificación de fracciones para calcular áreas.

Interpreta un texto y resuelve problemas.

1 Amplifica cada fracción algebraica por la expresión dada.

2 Cambia dos signos de cada fracción algebraica. 6 Simplifica la expresión que representa el área de la figura.

7 Amplifica cada fracción.

3 Escribe tres fracciones equivalentes a cada expresión.

4 Simplifica las fracciones algebraicas.


Calcula la densidad de un pastel de 500 g de masa que tiene un volumen de 100 cm 3 luego de 4 s.

Lee la situación.

Ángela debe controlar la densidad del pastel mientras se está hor-neando. Inicialmente, el pastel de masa m y volumen V tiene una densidad igual a m __ V .

Durante el horneado, por cada minuto, la masa disminuye 2 g y el volumen aumenta 50 cm3. Escribe la expresión algebraica que per-mite determinar la densidad para cualquier tiempo t.

Simplificación de fracciones algebraicas

Se simplifican las fracciones algebraicas factorizadas.

a 24a3b4 ______ 21ab7 3ab4 · 8a2 ________

3ab4 · 7b3 = 8a2 ____ 7b3

b x2 – 7x + 12 __________

x2 – 16

(x – 4)(x– 3) ___________

(x – 4)(x + 4) = x – 3 _____ x + 4

Amplificación de fracciones algebraicas

Se amplifican las fracciones algebraicas multiplicando o dividiendo por un mismo factor el nu-merador y el denominador.

a 3x2 – x + 4 _________ x2 – 1

· 10x ____ 10x = 30x3 – 10x2 + 40 _____________ 10x3 – 10x

b x2 – 2x – 6 _________ 3xy ·

– 2xy 2 _____

–2xy2 = –2x3y2 + 4x2y2 + 12xy2

__________________ –6x2y3

c (a + b)

______ (a – b)

· (a + b)

______ (a + b)

= (a + b)2

______ a2 – b2

Una fracción algebraica es reducible (se puede simplificar) si su numerador y su denominador se pueden dividir para un mismo factor.

Toda fracción algebraica se puede amplificar multiplicando o dividiendo el numerador y el denominador por un mismo factor. La fracción obtenida es equivalente.

Se saca factor común o m. c. d. y se simplifica.


Las fracciones que tienen en su numerador o en su denominador un polinomio se denominan fracciones algebraicas.

Simbólicamente:

P(x)

_____ Q(x)

, Q(x) ≠ 0

Una fracción algebraica es un cociente indicado de dos expresiones algebraicas.

Ejemplo:

5 __ a √__

6 __ p –2 _____ n2 + 1

x + 2xy + 4y2

___________ (–x) – y

Se pueden cambiar dos de los tres signos de una fracción.

+a ___ +b

= – –a ___ +b

= – +a ___ –b

=+ –a ___ –b

Signos de una fracción

a 6x ____ x + 3 por 2x __ 2x

b y – 7

____ y + 4 por 5 y 4

___ 5 y 4

c x – y

____ x + y por x – y

____ x – y

d 1 _____ 2b – 3

por 3b + 2 ______ 3b + 2

e z −3 ____ 5z por z 2 __ z 2

f 3b – x _____ x + 2a por b 2 x ___ b 2 x

g w − 7 _____ w + 3 por w 2 – 2 _____ w 2 – 2

h 8x – 1 _____ 4x + 1 por 2x – 1 _____ 2x – 1

a 5 – 2x _____ x2

b 5x – 2y

______ 4x

c 7x3 _____

x2 – y2

d x2 + x3 + x4

__________ x2 + 2x

e 3x6 – y2

_________ x + 2y + xy

f 2x7 – 2y5 + 4

__________ x2 – 2x4 – 2

g 5x3 – 3x2 – x __________ x2 – 2x + 1

h 4x2 – 8x – 1 __________ x2 – 4

i 4x – 5y + 1

_________ –x – y

j 3x2 – y2 + 3

_________ x2 – 2y

a 2x + 9y

______ −5 x 2 y

b 6a + 12b _______ 4a + 3b

c 8w + wy

________ −8w – wy

d −3v – 7 _______ −4v + 5

a 9x – 12 ______ 3x

b 4m2 – 2m _________ 10m2 – 5m

c x – 7 ______ x2 – 49

d a2 – 36 ______ a + 6

e y2 – 2y – 3

_________ y – 3

f 3x2 – 4x – 15 ___________ x2 – 5x + 6

g 15x2 – 7x – 2 ___________ 6x2 + 5x – 6

h x3 + 1 ___________ x4 + x + x3 + 1

i w2 + 3w __________ w2 + 2w – 3

5 Simplifica las siguientes fracciones.

a 12x2y3

_____ 36xy

b −7m7n3r _______ −35m4n3

c 56a4b3c7 ________

−28a2b5c6

d 3n2 – 10n + 3 ___________ 3n2 – 7n + 2

e 100r3t5u20 ________

75r11t13u2

f 2xy + 4zy

________ 3xy + 6zy

g 42p10q8s7r12

_________ 72p8q12s7r13

h r3 + 8 _____ r + 2

i m2 – 49 _______ m + 7

1 ___________ x 3 – 2 x 2 y + x y 2

x 4 – x y 3

a 5z – 2y

_______ z 2 – 16 y 2

b z – 2 ____ z + 3

c z – 5y

_______ 3 z 2 + 21z

d 3z – y

______ z 3 – z 2 y

Aplicación en la práctica. Estrategia: Interpretar un texto.

9 Lean e interpreten el texto.

Espejo convexo

Los espejos forman imágenes reales o virtuales depen-diendo del lugar en el que se interseca la luz. En los espejos convexos, la superficie reflectora es externa.

En un espejo convexo, el negativo del inverso de la dis-tancia focal (f) es igual a la suma de los inversos de la dis-tancia del objeto al foco (do) y la distancia de la imagen al espejo (di)

• Escriban la relación utilizando lenguaje algebraico.

b ≠ 0a ≠ 0

x ≠ –4

8 Simplifica la expresión que representa el área de cada terreno.

3 x 4 yz

_____ 25 x 3 y 2

a

1 _____ a – b

a2 – 2ab + b2

__________ a + b

b

¡ATENCIÓN!

La imagen en un espejo convexo es siempre virtual, derecha y más grande que el objeto.


En cada lección del texto del estudiante se encontrará con una pestaña con la siguiente información:


gráficos y medios de comunicación. Recopila, organiza y despliega información con medidas estadísticas. Utiliza modelos matemáticos para resolver problemas, analiza información y argumenta procesos. Juzga resultados obtenidos y hace inferencias de situaciones o problemas planteados.

Números y Funciones

Álgebra y Geometría

Estadística y Probabilidad© Santillana


6

Índice

Operaciones combinadas con números reales .............................. 10

Potenciación y radicación de números reales ................................... 12

Notación científica. Operaciones ................................................................ 14

Más actividades .......................................................................................................... 16

Estrategias para resolver problemas .......................................................... 18

Operaciones con radicales ................................................................................ 20

Racionalización ........................................................................................................... 22

Reducciones y conversionesde unidades del SI y de otros sistemas .................................................... 24

Más actividades .......................................................................................................... 26

En la vida cotidiana ................................................................................................. 28

Ponte a prueba ............................................................................................................ 30

Evaluación de destrezas ....................................................................................... 31

MóDulo 1 (Bloques 2 y 4)

Números reales. Sistema de unidades 8

Funciones ........................................................................................................................ 34

Formas de expresar una función ................................................................. 36

Ecuación de una función lineal ..................................................................... 38

Funciones crecientes y decrecientes ......................................................... 40

Función exponencial .............................................................................................. 42

Más actividades .......................................................................................................... 44


Áreas laterales de conos y pirámides........................................................ 48

Volúmenes de pirámides y conos ............................................................... 50

Más actividades .......................................................................................................... 52


Ponte a prueba ............................................................................................................ 56



Funciones. Área y volumen de una pirámide y un cono 32

Productos notables ................................................................................................. 60

Factorización: Factor común........................................................................... 62

Factorización de binomios................................................................................ 64

Factorización de trinomios ............................................................................... 66

Más actividades .......................................................................................................... 68


Datos agrupados y marca de clase ............................................................. 72

Medidas de tendencia central ....................................................................... 74

Más actividades .......................................................................................................... 76


Ponte a prueba ............................................................................................................ 80



Productos notables. Factorización. Estadística 58

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo ................... 84

Simplificación y amplificación de fracciones algebraicas ........ 86

Más actividades .......................................................................................................... 88


Adición y sustracción de fracciones algebraicas ............................. 92

Multiplicación y división de fracciones algebraicas ...................... 94

Ángulos internos de un polígono ............................................................... 96

Más actividades .......................................................................................................... 98

En la vida cotidiana .............................................................................................. 100

Ponte a prueba ......................................................................................................... 102

Evaluación de destrezas .................................................................................... 103

Para finalizar el quimestre ............................................................................... 104

Prueba SER ................................................................................................................... 106


Fracciones algebraicas. Polígonos 82

© Santillana


7

Bibliografía ................................................................................................................ 112

Operaciones combinadas ..................................................................................... 6

Fracciones complejas .............................................................................................. 8

Más actividades .......................................................................................................... 10


Medición de ángulos ............................................................................................. 14

Ángulos complementarios, suplementarios y coterminales ............................................................................................................. 16

Ángulos positivos, negativos, cuadrantales y en posición normal ............................................................................................. 18

Más actividades .......................................................................................................... 20


Ponte a prueba ............................................................................................................ 24


MóDulo 5 (Bloques 1, 3 y 4)

Fracciones algebraicas. Fracciones complejas. Ángulos. Clasificación de ángulos 4

Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo .................. 76

Funciones trigonométricas ............................................................................... 78

Funciones trigonométricas de ángulos notables ............................ 80

Más actividades .......................................................................................................... 82


Resolución de triángulos rectángulos ...................................................... 86

Resolución de triángulos oblicuángulos ................................................ 88

Identidades trigonométricas ........................................................................... 90

Demostración de identidades trigonométricas ............................... 92

Probabilidad .................................................................................................................. 94

Más actividades .......................................................................................................... 96


Ponte a prueba ......................................................................................................... 100

Evaluación de destrezas .................................................................................... 101

Para finalizar el quimestre ............................................................................... 102

Prueba SER ................................................................................................................... 104

Matemática y tecnología ................................................................................ 106


Funciones trigonométricas. Triángulos rectángulos. Identidades. Probabilidad. 74

Ecuaciones de las formas x ± a = b, ax = b ......................................... 28

Ecuaciones de las formas ax ± b = c, ax ± b = cx ± d ................ 30

Ecuaciones con paréntesis y denominadores .................................... 32

Ecuaciones racionales y ecuaciones con coeficientes literales ..................................................................................... 34

Más actividades .......................................................................................................... 36


Planteamiento y solución de problemas con ecuaciones ........................................................................................................... 40

Desigualdades e inecuaciones ........................................................................ 42

Ángulos de referencia ............................................................................................ 44

Más actividades .......................................................................................................... 46


Ponte a prueba ............................................................................................................ 50



Ecuaciones e inecuaciones de primer grado. Ángulos en el primer cuadrante 26

Resolución de sistemas lineales con dos incógnitas. Método gráfico ........................................................................................................... 54

Método de igualación. Resolución de sistemas lineales con dos incógnitas .................... 56

Más actividades .......................................................................................................... 58


Método de sustitución. Resolución de sistemas lineales con dos incógnitas .................... 62

Métodos de reducción y determinantes ............................................... 64

Resolución de sistemas lineales con tres incógnitas .................... 66

Más actividades .......................................................................................................... 68


Ponte a prueba ............................................................................................................ 72



Sistemas de ecuaciones lineales.Probabilidad 52

© Santillana


8

Números reales. Sistema de unidades

Los terremotos

Los terremotos son movimientos de la cor-teza terrestre causados por la brusca libera-ción de energía acumulada durante un largo tiempo. La corteza terrestre está conformada por una docena de placas de aproximada-mente 70 km de grosor cada una.

Estas placas se están acomodando en un proceso que lleva millones de años. Habi-tualmente, estos movimientos son lentos e imperceptibles.

En algunos casos, estas placas chocan entre sí e impiden su movimiento. Entonces, una placa comienza a desplazarse sobre o bajo la otra. Si la traslación es dificultosa, se acumu-la energía de tensión que en algún momen-to se liberará; entonces, una de las placas se mueve bruscamente sobre la otra, la rompe y origina un terremoto. Avanzados sistemas de medición permiten obtener la cuantía de la energía liberada en cada caso.

La escala de Richter y los terremotos

Los movimientos sísmicos, cuya aparición es por ahora imposible de predecir, son de di-versa magnitud. Esta escala tiene una gradua-ción de 1 a 9 e indica la energía liberada, que se mide en ergios.

Los terremotos son de efectos devastadores cuando su intensidad es superior a 6.

Equivalencia entre la energía liberada y la magnitud del terremoto

Energía liberada (ergios) Magnitud Energía equivalente

20 000 000 000 000 000 000 9 8,8 Terremoto de Concepción (Chile, 2010)

8,3 Terremoto de Tokio (Japón, 1923)

7,8 Terremoto de Ancash (Perú, 1970)

7,5 Terremoto de Lima (Perú, 1974)

7,3 Terremoto de Puerto Príncipe (Haití, 2010)

6,1 Terremoto de Lima (Perú, 1993)

Movimiento de terreno tras una explosión de 450 kg de dinamita

El terremoto menos intenso, normalmente apreciable

El impacto de un camión de 2 toneladas a una velocidad de 120 km/h

600 000 000 000 000 000 8

20 000 000 000 000 000 7

600 000 000 000 000 6

20 000 000 000 000 5

600 000 000 000 4

20 000 000 000 3

600 000 000 2

20 000 000 1

Mód

ulo

1Bloques

2 y 4

oBJETIVoS EDuCATIVoS: • Reconocer y aplicar las cuatro operaciones básicas, la potenciación y radicación para la simplificación de polinomios a través de la resolución de problemas.

• Realizar conversiones con unidades de medida del SI y con otros sistemas a través de la comparación y del cálculo, para comprender las equivalencias con unidades usadas comúnmente en nuestro medio.

Punto de partida

© SANTILLANA, EN PROCESO DE EDICIÓN

© Santillana


• Investiga en qué años y en qué lugares se han dado los terremotos en esta última década y en nuestro país. Indica, además, qué intensidad han tenido.

• Expresa, en notación científica (como potencia de 10), la cantidad de energía de sismos de magnitudes 3, 6, 8 y 9.

• Magnitud 3: ergios




Sistemas de medida

El sistema de medida más extendido en nuestro planeta es el sis-tema métrico decimal, que sirve muy bien para medir las mag-nitudes que nos rodean. Su unidad de longitud, el metro, es apropiada a la altura de nuestro cuerpo.

Un sistema de medida debe ser adecuado a las magnitudes que queremos medir y al entorno que nos rodea. Hagamos un ejer-cicio de imaginación y supongamos que existen unos seres mi-croscópicos inteligentes de un tamaño medio de 2 · 10 –12 m. ¿Qué unidad de medida de longitud básica utilizarían y cuáles serían, en su unidad, nuestras distancias habituales?

Parece lógico decir que utilizarían una unidad, que llamare-mos mini en lo sucesivo, cuya equivalencia con el metro sería 1 mini = 10 –12 m. Con esa unidad, una persona de 1,70 m de al-tura mediría nada menos que 1,7 billones de minis (1,7 · 10 12 ).

Los 4 km que los humanos recorremos en un paseo relajado medi-rían 4 · 10 3 · 10 12 = 4 · 10 15 minis. Dos ciudades separadas por 300 km estarían a la respetable distancia de 300 · 10 3 · 10 12 = 3 · 10 17 minis para nuestros seres.

Para medir distancias para las que nosotros estamos perfecta-mente equipados con los múltiplos usuales de nuestro metro, ellos tendrían que utilizar alguna unidad mucho más grande que su mini (como a nosotros nos ocurre con las distancias estelares).

El calculador de arena

Arquímedes, en su libro Psamites (‘arenario’), demostró que en el uni-verso caben aproximadamente 1 0 63 granos de arena. Para ello, creó un sistema de numeración basado en intervalos de 1 0 8 , llamados octavas.

Llamó miríada a 10 4 , y miríada de miríadas a 1 0 8 .

• Si 10 3 = mil, 10 4 = miríada y 10 56 = número octavo, ¿cómo expresarías mil miríadas de números octavos?

• La escala de Mercalli se basa en el daño producido en la estructura y en la sensación percibida por la gente. Su graduación va de I a XII.

• La escala de Richter mide la energía libertada en el foco del sismo. Tiene una graduación de 1 a 9.

Ergios

La energía liberada en un sismo se mide en una unidad llamada ergio, que equivale a la energía que necesita una fuerza para mover una masa de un gramo por una distancia de un centímetro.

9

2 × 1010

6 × 1014

6 × 1017

2 × 1019


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DESTREZA CoN CRITERIoS DE DESEMPEÑo:

10

Resolver operaciones combinadas de adición, sustracción, multiplicación y división con números reales. (P, A)

Operaciones combinadas con números reales



1 Halla el valor exacto de x.

La tabla muestra las propiedades de la adición.

Propiedad Ejemplo Generalización

Clausurativa √__

3 + 1,5 ∈ a, b ∈ → (a + b) ∈

Conmutativa 3, )

57 + 7 = 7 + 3, )

57 a + b = b + a

Asociativa (π + 0,7) + 0, ) 2 = π + (0,7 + 0,

) 2 ) (a + b) + c = a + (b + c)

Elemento neutro √__

3 + 0 = 0 + √__

3 = √__

3 a + 0 = 0 + a = a

Elemento simétrico (opuesto) 4,56 + (–4,56) = 0 a + (–a) = (–a) + a = 0

La tabla muestra las propiedades de la multiplicación.


Clausurativa ( 0, ) 6 · √

__ 6 ) ∈ a, b ∈ → a ∙ b ∈

Conmutativa 3, )

27 · √__

5 = √__

5 · 3, )

27 a · b = b · a

Asociativa (3,46 · 4) · 25 = 3,46 · (4 · 25) (a · b) · c = a · (b · c)

Elemento neutro √__

8 · 1 = 1 · √__

8 = √__

8 a · 1 = 1 · a = a

Elemento inverso 3 · 1 __ 3 = 1 a · 1 __ a = 1 __ a · a =1; a≠ 0

Elemento absorbente √__

7 · 0 = 0 a · 0 = 0 ∙ a = 0

Distributiva 1,5 · ( π __ 3 + 2,5 ) = 1,5 · π __ 3 + 1,5 · 2,5 a · (b + c) = a · b + a · c

Plantea la operación y resuélvela.

Se conoce que 7/10 de la población de China tienen un alto coeficiente intelectual, y esto co-rresponde a la población de América. ¿Cuántas personas hay, aproximadamente, en América?

Según Internet, la más reciente investigación acerca de la población mundial informa que China tiene mil trescientos millones de personas e India, mil cien millones de habitantes. Juntos representan casi las cuatro onceavas partes del total de personas en el mundo. Calcula cuánto suman las poblaciones de Chi-na e India y, luego, de forma aproximada, cuántas personas hay en el mundo.



a 9,7 + x = 4,21

b x + 3 __ 9 = 0, ) 6

c x ∙ 1,14 = 2,28

d 2,5 ∙ x ∙ 6 = 6 ÷ 0,2

e 8,42 − x = 5,6

f (−x) − 1,5 = −3,5

g 4,2 ÷ x = 2,8 ÷ 0,2

h x ÷ 0, ) 3 = −2,7

i x ÷ 0,5 = 6 ÷ 0,4

En la calculadora científica, la función

FIX permite mostrar en la pantalla aproximaciones de números con algunas

cifras decimales.

a ∙ 0 = 0

a ÷ 0 no está definido

0 ÷ a = 0; a ≠ 0

MODE FIX1 2

0.00

√__

5 =

2.24

MÁS SOBRE...

Hallar √__

5 con aproximación a los centésimos.

Los números presentarán aproximaciones hasta los centésimos.

• Se ingresa

1 300 000 000 · 7/10 = 910 000 000 de habitantes, aproximadamente.

1 300 000 000+ 1 100 000 000

2 400 000 000

2 400 000 000 4/11 x 11/11

x = 6 600 000 000


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11

CONEXIÓN CON CIENCIA Y TECNOLOGÍA

INDICADoRES:

Determina el valor de una variable.

Determina el valor de un polinomio.

Encuentra valores con aproximación.

Aplica la operación correcta y resuelve problemas.

¡HAZLO ASÍ! ¡HAZLO ASÍ!

¿Cómo calcular el valor aproximado de √___

13 – π + √__

7 – π __ 2 ?

• Se aplica la propiedad asociativa.

( √__

13 + √__

7 ) + [ (–π) – π __ 2 ] = √__

13 + √__

7 – 3π ___ 2

• Se aproxima el valor exacto a los centésimos y se resuelve.

√__

13 = 3,605551… ≈3,61

√__

7 = 2,645751… ≈ 2,65 (3,61 + 2,65) − 4,71 = 1,55

3π ___ 2 = 4,712388… ≈ 4,71

Halla el valor exacto de 3,16 – 3π – 2π + 17/6 – 5π.

• Se agrupa convenientemente.

( 3,1 ) 6 + 17 __ 6 ) – (3π + 2π + 5π) = 3,1

) 6 + 17 __ 6 – 10π

• Se halla la fracción generatriz de 3,16 y se resuelve.

( 19 __ 6 + 17 __ 6 ) – 10π = 6 – 10π

¿Cómo calcular el valor exacto de π ( 2, ) 6 – 5 __ 3 ) ÷ 8 – 0,375π?

• Se halla la fracción generatriz.

• Se aplica la propiedad distributiva.

• Se resuelve.

Calcula el valor, aproximado a los centésimos, de 4(

3 √___

– 4 )(0,25) – π.

• Se redondea cada valor a los centésimos.

• Se agrupa convenientemente y se resuelve.

π ( 8 __ 3 − 5 __ 3 ) ÷ 8 − 3 __ 8 π

( 8 __ 3 π − 5 __ 3 π ) ÷ 8 − 3 __ 8 π

3 __ 3 π ÷ 8 − 3 __ 8 π

1 __ 8 π − 3 __ 8 π = − 2 __ 8 π = − 1 __ 4 π

4(−1,59)(0,25) − 3,14

4(0,25)(−1,59) − 3,14

(−1,59) − 3,14 = −4,73

Aplicación en la práctica. Estrategia: Aplicar la operación correcta.


El transportador Atlantis, en una de sus misiones, dio 10 vueltas a la Tierra a una distancia de 345 km de la superficie. Teniendo en cuenta que la órbita que describió el Atlantis tenía un radio R igual al radio de la Tierra más 345 km, calcula lo siguiente.

a La longitud de la órbita que describió el Atlantis.

b La distancia en kilómetros recorrido en las 3 primeras vueltas.

c La distancia total recorrido en las 10 vueltas.

• Sugerencia: Considera las órbitas circulares y aplica la siguiente fórmula: longitud de la órbita = 2 · π · R, donde R = radio de la Tierra + 345 km.

• Radio de la Tierra: 6 376 km.

2 Determina el valor de x con aproximación a milésimos.

3 Determina el valor exacto de x si el perímetro de la figura mide 7 √

__ 3 unidades.

5 Resuelve.

4 Determina el valor exacto.

a Compara: ¿Cuál es el mayor?

A = ( 7 __ 2 + √__

3 – 1 __ 5 ) C = (3 – √__

2 – π)

B = ( √__

3 – 1,8)

b Calcula P aproximando cada valor y el resultado a los décimos.

P = ( 1,

) 3 ) ( 3 √

__ 3 ) ( 3 √

__ 9 ) + √

__ 2 – 3,5 + π – 0,05 ____________________________

√__

3 + 0,4 · 0,9 · 5 + 0,3 · 0,9

c Calcula E aproximando cada valor y el resultado a los centésimos.

E = √__

5 + 7,81 – 9 · 1, ) 2 ÷ 11 + 9 ÷ 4 – π ___________________________

(3,8 + 2 ÷ 10)( √__

3 + √__

2 + 186 ÷ 25)

a k = 6 √__

7 – [2 √__

10 + 2(5 + 3 √__

7 )] + 4 √__

10 ÷ 2

b m = 3 4 √

__ 4 – 2 (π –

4 √

__ 4 ) + (4π – 6

4 √

__ 4 ) ÷ 2 – 2

4 √

__ 4

6 Efectúa la operación y aproxima a los décimos.

–{–[–(1,5 + √__

2 – 3) + (8,3 – 5/6)] + π}

√__

3 u

2 __ 3 √__

3 u

3 __ 2 √__

3 u

3 √__

3 u

x

a b √

__ 2 cm 3 √

__ 5 cmx √

__ 12 cm

π cm x



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12

DESTREZAS CoN CRITERIoS DE DESEMPEÑo: Evaluar y simplificar potencias de números eneros con exponentes fraccionarios. (C, P)

Simplificar expresiones de números reales con exponentes fraccionarios con la aplicación de las reglas de potenciación y radicación. (P, A)

Potenciación y radicación de números reales




Lee la situación.

La página web MySpace tiene alrededor de 1 0 2 millones de personas registradas, y cada usuario visita la página un promedio de √

___ 900 veces al día.

Compara.

Google atiende más de √______

90 000 millones de búsquedas todos los días. ¿Cuál es la razón entre los usuarios de MySpace y los que visitan Google? Interprétalo.

• Completa: La página web MySpace tiene

de usuarios y es visitada veces al día por

usuario, en promedio.

Propiedades de la potenciación

Para todo a, b ∈ ; m, n ∈ Q:• a m · a n = a m + n • a m ÷ a n = a m – n • ( a m ) n = a m · n • (a · b) n = a n · b n

• a –n = 1 __ a n ; a ≠ 0

• ( a __ b

) −n = ( b __ a ) n ; a, b ≠ 0

Radicación


Raíz de una multiplicación 3 √______

4 · 7 · 5 = 3 √

__ 4 ·

3 √

__ 7 ·

3 √

__ 5

n √____

a · b = n √__

a · n √__

b ; a, b ∈ +

Raíz de una división 5 √___

8 __ 15 = 5 √

__ 8 ____

5 √__

15 n √

__ a __

b =

n √

__ a ___

n √__

b , b ≠ 0

Raíz de una potencia 4 √__

5 3 = 5 3/4 n √__

a m = a m/n

Raíz de una raíz 3

√___

5 √

__ 7 =

3 · 5 √

__ 7 =

15 √

__ 7

n √___

m √__

a = n · m √

__ a

Exponente fraccionario

√__

2 6 = 2 6 __ 2 = 2 3

√__

2 8 = 2 8 __ 2 = 2 4

Signos de la radicación

Radicando Índice Raíz

+Par

+Impar

–Par No existe

Impar –

Términos de la radicación

n √__

b = a

índice raíz

símbolo radical radicando

1 Completa los datos de la tabla.

a b a + b (a + b) 2 a 2 b 2 a 2 + b 2

1 2

5 –4

–3 –1

11 9

2 Halla el valor de b para que se cumplan las igualdades.

a 2 3 · b 2 = 2 7

b ( b 4 ) 2 = 1 1 –8

c 8 3 ÷ b 6 = 8 2

d (–3 ) 4 · b 5 = (–3 ) –11

3 Halla el valor de a para que se cumplan las igualdades.

a ( 3 a · 3 5 ) 2 = 3 14

b [(− 5) a ∙ (−5 ) 5 ] 2 = (−5) 20

c ( 2 5 ÷ 2 a ) 2 = 2 6

d [( 6 5 ) a ] –2 = 6 10

¡HAZLO ASÍ!

¿Cómo resolver 5 2 · 5 5 2 · 125 · 5 –3 ______________ 5 6 2 · 5 –5 · 5 7

+ ( 16 4 ) 0,5 · 5 8 aplicando propiedades?

• Se expresa 125 y 16 como potencias. 5 2 · 5 5 2 · 125 · 5 –3 ____________ 5 6 2 · 5 –5 · 5 7

+ (( 2 4 ) 4 ) 0,5 · 5 8

• Se opera con los exponentes.

5 2 · 5 25 · 5 3 · 5 –3 ___________ 5 36 · 5 –5 · 5 7

+ 2 4 · 4 · 0,5 · 5 8

• Se simplifican las operaciones y se completan los cálculos.

5 2 + 25 + 3 + –3 ________ 5 36 – 5 + 7

+ (2 · 5 ) 8 = 5 27 ___ 5 38

+ 10 8

5 27 –38 + 10 8 = 5 –11 + 10 8

Términos de la potenciación

a n = bexponente

base potencia

100 000 000

30

1/3. Por cada 3 usuarios de Google, uno visita

My Space cada día.


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13

CONEXIÓN CON CUIDADO DE LA SALUD

Aplicación en la práctica. Estrategia: Extraer datos de un texto.

13 Utilicen potenciación.

Una unidad utilizada para medir cantidades muy pequeñas es el picogramo, que equivale a una billonésima parte de un gra-mo. Los valores normales de la vitamina B12 en la sangre osci-lan entre 100 y 650 picogramos por cada mililitro en la mujer, y entre 200 y 800 en el varón.

• Si la cantidad de sangre de una persona es de 5 ℓ, y su concentración de vitamina B12 es la normal, respondan, ¿entre qué valores oscila la cantidad de vitamina B12 en su sangre?

4 Expresa el resultado de la operación como una sola potencia.

a ( a –3 · a 2 ) 3

b ( 5 3 ÷ 5 –2 ) –2

c ( 7 –4 ) –2

d [(4,2 ) 4 · (4, 2 –3 ) ] –1

e ( 7 –3 ÷ 7 –5 ) –2

f ( 9 3 ) –3

7 Expresa como una sola potencia.

a ( 5 3 · 5 5 ) 3

b ( 7 3 ÷ 7 –4 ) –2

c (3, 2 4 · 3, 2 –3 ) –1

d ( 9 3 ÷ 9 –7 ) –2

8 Simplifica las siguientes expresiones.

a (27 ) – 2 __ 3 ÷ 27 0,6

b ( ( 4 2 ) – 1 __ 4 _____

16 – 5 __ 8 ) ÷ 2 0,6

c ( 729 2 __ 3 ____

2 –2 ) 0,5

÷ 1 0 24 –1 ______ 2 –9

d ( 25 –1 ____ 5 –2

) ÷ 0, 05 –2 _____ 0,1 –3

11 Reduce.

a [ 99 √______

10 √____

10 10 ____ 10

√__

10 ] 100

b (5 √

__ 2 )(2

5 √

__ 3 ) __________

10 10

√__

9

c (3

4 √

__ 5 )(

4 √

__ 5 ) _____________

( 4 √__

80 )( 4 √

__ 5 )(2

4 √

__ 4 )

d (

3 √

__ 2 )(

4 √

__ 3 )(

6 √

__ 2 ) ___________

( 12

√__

64 )( 12

√__

27 )

6 Expresa como una sola potencia de la base que consideres conveniente en cada caso.

a ( 8 2 ÷ 4 3 ) 2

b ( 9 2 ÷ 3 5 ) 2

c ( 16 3 ÷ 8 3 ) 4

d ( 27 2 ÷ 9 –2 ) 3

9 Indica si la proposición es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta.

a √____

√___

√__

2 = 6 √

__ 2

b √__

2 · √__

3 ______ √

__ 6 =

6 √

__ 6

c ( √__

5 ) 0,2 = 5 1 __ 10

d 4

√____

( 2 1 __ 2 )

1 __ 2 = 2

e √___

√__

2 ___ √

__ 2 = 1

f √____

( 1 __ 2 ) 1 __ 2 = √__

2

g ( √__

2 ) 0,5 = 4 √

__ 2

h 2 1 __ 2 = ( √

__ 2 )

1 __ 2

10 Simplifica las siguientes expresiones.

a 0,25 · (–0,6) · 1 0 –9

______________ 0,003 · 1 0 –7

b √________

4 √_______

√_____

3 √____

( 1 __ 4 ) 48 – ( 3 6 0,5 – 0,3 6

1 __ 2 )

c 3

√______

√_____

( √__

2 6 ) 2 + [ ( 1 ___ 625 ) 1 __ 2 ] 0,5 + √

______

5 3 √___

125

d √____

3 √___

√__

3 ÷ 3 1 __ 12 + √

____

√__

16 ____ 3 √__

64 – √

__ 2 · √

__ 18

e ( √__

1 __ 4 · 0, ) 6 ) 1 __ 6

· 3 √____

√___

√__

8

5 Expresa como una potencia.

a ( 9 2 ÷ 9 3 ) –2

b (3−1 ) –3

c ( 9 2 ) 3

d ( 27 2 · 9 4 ) 2

e ( 9 –2 ) –4

f ( 27 –2 ) –3

¡HAZLO ASÍ!

¿Cómo calcular el valor de

P = ( 3 √_____

–125 ) + 3 2 5 0 + 4 6 __ 5 ÷ 2 0,4 +

4 √____

√__

3 8 + √_____

2 5 √__

2 6 ?

P = (–5) + 3 2 ( 5 0 ) + 5 √__

4 6 ÷ 2 2/5 + 8 √__

3 8 + √_____

2 5 · 2 6 __ 2

P = (–5) + 3 2 1 + 5 √__

4 6 ÷ 5 √__

2 2 + 3 8 __ 8 + √

_____ 2 5 · 2 3

P = (–5) + 3 2 1 + 5 √__

4 6 ÷ 2 2 + 3 1 + √__

2 8

P = (–5) + 3 2 + 5 √__

4 5 + 3 + 2 4

P = (–5) + 3 + 9 + 4 + 3 + 16 → P = 27

INDICADoRES:

Aplica las propiedades de la potenciación.

Determina el valor de una variable.

Resuelve operaciones con números reales.

Extrae datos de un texto y resuelve problemas.

Un pescado de 250 g contiene la cantidad necesaria de vitamina B12 para tu dieta.

12 Resuelve.

a Calcula B – A.

A = [ √____

√___

√__

2 ] 7+ 2 0 + 2 2 · 2 2 · 2 5 _______

[(2 ) 2 ] 3 –

3 √____

512 ___ 64

B = 25 1 __ 2 + ( 1 __ 6 ) –2

– √________

√______

20 + 61 − ( 7 √_____

36,25 ) 5 – ( 0,2) –1



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14

Transformar cantidades expresadas en notación decimal a notación científica con exponentes positivos y negativos. (P, A)

Notación científica. Operaciones

En el mundo suenan 150 millones de teléfonos celulares cada segundo. Solo en el 2006 se fabricaron 47 millones de compu-tadoras de mano. Más de 6 000 millones de mensajes de tex-to se envían y se reciben todos los días; eso equivale a más que todas las personas que viven en el planeta.


Entérate y sorpréndete.


1 Escribe en notación científica. 2 Escribe estos números en notación científica.

a Tres y medio billones

b Doscientos milésimos

c Diez millonésimos

d 5 billones

e 2 400 millonésimos

f 90 cienmilésimos

a 0,00018

b 123 000 000

c 0,0000000023

d 0,000102

e 987 100 000 000

f 0,000002300


8,72 · 1 0 14 · 5,27 · 10 7

(8,72 · 5,27) · 1 0 14 + 7

45,9544 · 1 0 21

4,59544 · 1 0 22

3,9 · 1 0 15 ÷ 1,2 · 1 0 9

(3,9 ÷ 1,2) · 1 0 15 – 9

3,25 · 1 0 6

Suma y resta en notación científica

• Consideremos la suma 2,35 · 10 7 + 1,264 · 10 7 . Como el exponente de ambos números es el mismo, basta con extraer el factor común 10 7 .

2,35 · 1 0 7 + 1,264 · 1 0 7 = (2,35 + 1,264) · 1 0 7 = 3,614 · 1 0 7

• Cuando el exponente de ambos es diferente, se reducen a exponente común (el mayor de ellos) multiplicando el menor por la potencia adecuada.

• Vamos a calcular la suma de 9,56 · 10 13 + 1,67 · 10 16 . Para ello, debemos expresar el primer número como potencia de 1 0 16 .

9,56 · 1 0 13 = 0,00956 · 1 0 16

• Después, la suma se realiza como en el caso anterior.

9,56 · 1 0 13 + 1,67 · 1 0 16 = (0,00956 + 1,67) · 1 0 16 = 1,67956 · 1 0 16

La expresión de un número en notación científica consiste en representarlo como un número entero o un decimal con una sola cifra entera (en ambos casos de 1 a 9) y multiplicarlo por una potencia de 10 (positiva o negativa).

Números en notación científica en la calculadora científica

• Se utilizan las teclas y .

• Para introducir el número 7,352 ∙ 109, se teclea:

7 352 9

• Para introducir 8,64 ∙ 10−3, se teclea:

8 64 3

EXP±

.

.

EXP

EXP ±

• Para multiplicar se sigue un proceso similar al de la suma y la resta, con una salvedad: no es necesario reducir ambos términos al mayor de los exponentes. Basta con multiplicar las partes enteras o decimales de ambos números y hacer lo mismo con las potencias de 10. Observa el ejemplo.

• Para realizar divisiones, el proceso a seguir consiste en dividir las partes enteras o decimales y las potencias de 10. Observa el ejemplo.

Calcula y escribe la respuesta en un número desarrollado y en notación científica: ¿Cuán-tos mensajes de texto se enviarán y se recibirán en un año? Luego, analiza: ¿Cuál es la ven-taja de escribir en notación científica?

• Escribe en notación científica las cifras que registra esta información.

150 000 000 = 1,5 · 10 8

47 000 000 = 4,7 · 1 0 7

6 000 000 000 = 6 · 10 9

150 000 000 · 365 = 54 750 000 000 de mensajes = 5,475 · 10 10 .

Su escritura es más rápida, ocupa menos espacio y facilita las operaciones.


© Santillana


15


Aplicación en la práctica. Estrategia: Interpretar información.

14 Lee la información y resuelve.

Un disco compacto puede almacenar hasta 700 MB. La memoria de nuestra computadora es de 6,2 GB. (Las unidades MB y GB se refieren a bytes, una unidad de información. 1 GB son aproximadamente 1 000 MB).

a Entre la computadora y una caja de 10 discos compactos, ¿cuántos MB almacenarás como máximo?

b Si quisiéramos almacenar toda esa información en disquetes de 1,44 MB cada uno, ¿cuántos necesitaríamos?

3 Escribe en notación científica.

a 25 300

b 0,000000089

c 4 376,5

d 9 800 000 000 000

e 1 254,96

f 96 300 000

4 Escribe con todas sus cifras los siguientes números escritos en notación científica.

a 2,51 · 10 6

b 9,32 · 10 –8

c 1,01 · 10 –3

d 1,15 · 1 0 4

e 3,76 · 10 12

f 9,3 · 10 5

6 Realiza las siguientes operaciones en notación científica.

a 37,3 · 1 0 –2 + 0,01 · 1 0 2

b 11 000 000 000 – 6,5 · 1 0 15

c 0,00000009 + 1,5 · 1 0 –6

d 13 200 · 1 0 3 – 5,4 · 1 0 5

11 Resuelve aplicando notación científica.

a (3,73 · 1 0 2 )(0,01 · 1 0 2 )

b 13 650 000 ÷ (6,5 · 1 0 15 )

c 1 500 000 ÷ (0,000 8) –1

d 32 · 1 0 3 · 0,00125 · 1 0 –6 __________________ 2 (1 0 3 ) –7 · 0,00025 · 1 0 18

e (29,6 · 1 0 9 )(0,78 · 1 0 7 )

__________________ (0,37 · 1 0 3 )(1 625 · 1 0 11 )

12 Calcula y expresa en notación científica.

a 0,00025 + 134,6 · 1 0 15 ________________ 67 300

b (49,8 · 10 9 )(0,78 · 10 15 )

__________________ (0,37 · 10 3 )(1 625 · 10 11 )

c 4 ∙ 1015 − 0,048 + 26,6 · 10 12 _____________ 66 500 000

d (2,3 ∙ 10−3)(1,4 ∙ 103)

_______________ 78 000 000

9 Realiza las operaciones en notación científica.

a (37,3 · 1 0 –2 ) · (0,01 · 10 2 )

b 13 650 000 000 ÷ (6,5 · 1 0 15 )

c 0,00000009 · (1,5 · 1 0 –6 )

d (14 310 · 1 0 3 ) ÷ (5,4 · 10 5 )

10 Simplifica y escribe la respuesta en notación científica.

M = 0,8 · 1 0 – 2 2 – 2 · 1 0 –4 + 34 · 1 0 (–3) · 2

8 Realiza la suma 7,8 · 1 0 99 + 5 · 1 0 99 .

a Intenta realizarla con la calculadora. ¿Qué ocurre?

b ¿Por qué crees que pasa esto?

5 Expresa mil millones en notación científica.

7 Calcula el término que falta en cada caso.

a 2,5 · 1 0 6 – = 8,4 · 1 0 5

b 9,32 · 1 0 –3 + = 5,6 · 1 0 –2

c 1,15 · 1 0 4 + = 3 · 1 0 5

d 3,6 · 1 0 12 – = 2 · 1 0 12

INDICADoRES:

Expresa números en notación científica.

Resuelve ejercicios con notación científica.

Encuentra el término que permite que se cumpla la igualdad.

Aplica notación científica y resuelve problemas.

Interpreta información y resuelve problemas.

13 Plantea, resuelve y expresa en notación científica.

a Un glóbulo rojo tiene forma de cilindro con un diámetro de 7 milésimas de metro y 2 millonésimas de metro de altura. ¿Cuál es su volumen?

b Un embalse que abastece a una población tiene 12 h m 3 de agua. Si por término medio una persona gasta 400 litros de agua diarios, ¿a qué población podrá abastecer durante un año?

c Un año luz son 9,46 · 10 12 km, aproximadamente. Expresa en kilómetros el radio del universo si se estima que es de 15 mil millones de años luz.

d La masa de la Tierra es de 5,927 · 10 24 kg. Si la masa de Júpiter es 318 veces la de la Tierra, ¿cuál es la masa de ese planeta?

e La superfice de tierra firme de nuestro planeta soporta una carga de 38 millones de km3 de hielo, de los cuales el 85% está en la Antártida. ¿Cuántos metros cúbicos de hielo hay en la Antártida?



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16

Más actividades

1 Resuelve las siguientes operaciones.

2 Calcula el resultado.

a

a

b

c

d

e

b

c

f

g

h

i

j

k

l

m

n

ñ

3 Resuelve las siguientes operaciones combinadas.

a

b

c

e

d

f

g

h

i

j

2 3

2

2 0,2 0,1 0,973 1 0,1 0,08

1,3225 0,2 0,2 3'

- - + - + - -

+ - -

^ ^ ^ ^^

h h h hh

6 @

1

3

22

1

0,8 1

0,008 0,2 0,9 0,3

3,6 0,1 2,5 3 0,3 1 0,1

-

-$ '

-

- + - + -

- - + - - -

^^

^ ^

hh

h h8 B

2

2

1825

21 2 3

4

1 43 0,5 2 2

31 100

169

$

'$ $

- -

- + -

`

`

j

j

3 3 3 2 38 1 1 2 1 9 2 64'- - + - - - + + - -^ ^ ^ ^h h h h

2 22 3 0 10

2

24 12 11 11 3 9

2 3

' '- - - - - - + -

- -

^ ^ ^ ^ ^

^h h h h h

h6 6

6@ @

@

5 3640 20 16 9 27 64 1 28' '- - - - - - - +^ ^ ^ ^ ^h h h h h

5 33 2 8 432 5 2 320 7 2' '- + + - - + + -^ ^ ^ ^h h h h6 @

2 3 2 22 3 5 270 2 3 23 3 6 7$ '- + - + - + + - +^ ^ ^h h h

2 3 25 53 1 2 5 9 3 8 2 3 5$- + - + + - - - - +^ ^ ^ ^ ^h h h h h6 @

3 6 214 2 6 4 2 81 4 2 3'- - + + + - - - +^ ^ ^ ^ ^h h h h h6 6@ @

53 2 2 5 2 2 3 2 5 8'- - + - - - - -^ ^ ^ ^ ^h h h h h6 @

3 327 81 3 1 81$- - + -^ h

3 53 35125 121 3 4 64 27 81 54 2$ $ '+ - - + - ^ h

15 5 3 2 2

3 121 2 8 256- + - - - - +^ ^ `h h j

32

2 813

32

54

5 21

427

149

23

237

73 9 5

12106

' ' '

--

+- +

- - +

f `p j

3 3 5 5 2

3 0 33

216 8 729 3 4 9 2 2

1 6 8 1 10 8

' ' $- - + - - + - -

- - - - - - - +

^ ^

^ ^ ^ ^ ^

h h

h h h h h

66

@@

11 4

3 3 43 2 8

372

21 3 27

2449

123

2-

' $

' $

- - +

+ - - -+

`

^ `

j

h j

9 0,01 1,2 0,5 2 0,16$ '- +

24 1,69 0,3 4,1 0,2$+ -

23 0,25 0,1 4,2 0,2' $- +

20,10,09 10 1,44#

2

2

1 21

0,333... 0,81 31

-

- -

`

`

j

j

2

41 64 3

2916 1 16

25'+ - -` j

2

259 16 0,2 1 25

24 1,25-

' - - +8 B

23 2 2

1

36 3 1

2

31 3 2 4 5

4 2 1 31

32 1 5

2 13 1 31

-- -

-

- --

'- - - + - - - - +

+ + - - - +

` ^ ^ ^ ^ `

` ` ^

j h h h h j

j j h8 B

2

52

1 52

32

97

63 2 4

152

12 43

3 81 4

62

35

21

1 21

'

'

$

- +

- - - + -

- -

- -+-

+

`

` `

^ `^ ^ `

j

j j

h jh h j

1

3

425

0,16 10 1001

21

-

-'-

^ ``

h jj

1

331 285

43

1 23

827 4 3

447

281 -

$$ $

'

+

-

-

` j


© Santillana


17

k

l

m

n

ñ

o

p

q

r

s

t

u

v

4 Determina x en cada una de las siguientes expresiones.

a

b

c

d

2 2 21

63 2

43

125 12 5 2 2 4

3

2 311

31

211

73

21 3 2

1 1-

' '

' ' '

- + + + -

- + + - - - - + +

` ^

` ` ` `

j h

j j j j

8 B 2 2 2

32

41

246 12 5 2 1 3

11 2

5 2 281

72

21 3 2 2

1

' '

' ' '

- + + + -

- + + - - - - + +

` ^` ` `

j hj j j

2

2 1 1

121 11

1 916

35

1 21

31 2 2

1- - -

$$ '

'+

-

-

`

` `

j

j j> H

3 2

1

32 1 36

162716 3 1

2 58

425

53

152

-

-

' $ $

-

-+

-` `

`

j j

j

3

32

35

156

32 5

2

21

2720 1

41

83 1

$-

-

-

+-

- +

2

12

2 24

1 32

25

51

2521

3 31

21

21

8116

10 101

83

41 50 10

1

56

21

254

52

-

--

-

-

$

'

- + -

- - + +

``

` `

`

jj

j j

j

2 1

3

213

51

201

21

23

21

35

61

23 1 4

1

32

32 10

- -

-

-

'$

$

- -

- - -

-

- -+

`

``

`

j

jj

j

8

8

B

B

31

3 1215

64

41 3 5

4 132

2 21

1 21

58

85

' $ '

-

- +

- - + --

-

+- - -

` `` ` `f

j jj j j p

2 1 1

23

2

251

51

53 1 6

543

32 1 8

7

31 1

109

1001

3- -

-

$'

+ - +

+ - +

- - -

-

` ` ` `

`

`

`

j j j j

j

j

j

8

8

8B

B

B

32 2 1

1

6 3 21

31 3 3 4 3

4 2 2 23

1 43

32 13 2 2

1

-- -

-

- --

'- - - + - - - - -

- + - - - +

` ^ ^ ^ ^ `

` ` ^

j h h h h j

j j h8 B

32

32

2 2

22

21

254

1257

3 31

23

23

2516

10 101

96

31

103

512

41

251

25

-

--

-

- $$

$

+ -

- + +

``

` `

`

jj

j j

j

1

1

23

52

2033

23

41

83

32

364 2

2

31

811 23

31

39-

-

''

$

- + -

- +-

+-

- + + -

` ``

j jj

2

2

1 23

31

95

21 2 5

431

8 41

41 8 4

23

35

23

1 21

'

'

$

- +

- - - + -

- -

- -+-

+

`

` `

^ `

` ^^ `

j

j j

h j

j hh j

3 5 2x 10 10 10- -$ ' =

x

87

6 103 10 0,5 10$

$$=

5 x3

83,5 10 4 10 1,75 10

-$ $ $$=

2,5 10 4 105 10 2,1 10 3 10 3,15 102 2

x 2 43

$ $ $$ $ $ $ $

$=


© Santillana


18


ESTRATEGIA: Pasos a seguir en la resolución de un problema. La resolución de un problema es un proceso complejo. Por ello, es conveniente desarrollar ordenadamente los siguientes pasos.

Problema resuelto

El número 49 aparece en los dos casos: Carmen tiene 49 monedas de 1 dólar.

4 Comprobación de la solución. Dividiendo 49 para 11 debemos tener de residuo 5,y dividiéndolo para 23 debemos tener de residuo 3. En efecto:

1 Comprensión del problema.

2 Planteamiento del problema: Concebir un plan diseñando estrategias.

3 Resolución del problema: Ejecutar el plan concebido comprobando cada unade las operaciones que se realizan.

4 Comprobación de la solución: Examinar la solución obtenida verificando el resultadoy comprobando el razonamiento seguido, y confirmar que no haya más de una solución.

Enunciado

Carmen cuenta con frecuencia el número de monedas de dólar que tiene en su alcancía. Cuando su hermano le pregunta cuánto dinero tiene, ella contesta: «Si las junto en grupos de 11, me sobran 5 monedas, y si las junto en grupos de 23, me sobran 3». ¿Sabes cuántas mone-das tiene Carmen en su alcancía?

Los cuatro pasos

1 Comprensión del problema. Carmen tiene monedas de 1 dólar y hace grupos de 11, primero, y grupos de 23, después.

2 Planteamiento del problema. Se utilizará la estrategia Ensayo-error, y se probará con 1, 2, 3… grupos de 11 y con 1, 2, 3… grupos de 23.

Cuando coincida un número en los dos casos, se habrá hallado la solución del problema.

3 Resolución del problema.

1 En un salón, el profesor quería formar grupos de trabajo, pero con tan poca fortuna que, si formaba equipos de 2 estudiantes, sobraba siempre 1; si los formaba de 3 en 3, sobraban 2; y si los agrupaba de 4 en 4, sobraban 3. Si en el salón hay más de 15 estudiantes y menos de 30, ¿cuántos estudiantes hay?

2 Había un pastor que solo sabía contar hasta 10. Para saber si le faltaba alguna oveja, las agrupaba de 4 en 4 y de 5 en 5 y siempre le sobraba 1, pero si las agrupaba de 7 en 7 no le sobraba ninguna. ¿Cuántas ovejas tenía su rebaño si eran menos de 100?

3 Un comerciante tiene 6 pesas del mismo tamaño: 5 de ellas pesan lo mismo y una de ellas pesa más. Utilizando una balanza de 2 platillos, ¿cuántas pesadas se deben realizar como mínimo para identificar la pesa que es diferente a las demás?


En grupos de 11, sobran 5

1 grupo y sobran 5: 1 ∙ 11 + 5 = 16

2 grupos y sobran 5: 2 ∙ 11 + 5 = 27

3 grupos y sobran 5: 3 ∙ 11 + 5 = 38

4 grupos y sobran 5: 4 ∙ 11 + 5 = 49

5 grupos y sobran 5: 5 ∙ 11 + 5 = 60

En grupos de 23, sobran 3

1 grupo y sobran 3: 1 ∙ 23 + 3 = 26

2 grupos y sobran 3: 2 ∙ 23 + 3 = 49

495

114

493

232


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19

1 Re suel ve res pe tan do la je rar quía de las ope ra cio nes.

6 Expresar en notación científica.

a 18 700 000 000 =

b 425 000 000 000 =

c 4 003 000 000 000 =

7 Escribe la expresión decimal de los siguientes números dados en notación científica.

a 2,3 × 107 =

b 1,45 × 108 =

c 6,504 × 10–5 =

a

b

c

2 Sim pli fi ca has ta ob te ner una frac ción irre du ci ble.

a

b

c

3 De ci de si ca da afir ma ción es ver da de ra (V) o fal sa (F). Jus ti fi ca tus respuestas.

a El pro duc to de dos en te ros po si ti vos es siem pre un en te ro po si ti vo.

b El co cien te de dos en te ros ne ga ti vos es siem pre un en te ro ne ga ti vo.

4 Resuelve el problema: Ju lia ha pes ca do 0,25 de los pe ces que ha pes ca do Ru bén. Si Ru bén le die ra 45 pe ces a Ju lia, los dos se que da rían con el mis mo nú me ro de pe ces. ¿Cuán tos pe ces pes có ca da uno?

5 Escribe ver da de ro (V) o fal so (F) según corresponda.

a

b

c

d

e

f

64 16 21 3 1'^ ^h h6 @

53 0, 6 0, 5 0,3 1, 1' $

! ! !

37 0,4645 0, 6 0, 4

'

'+

` j!! !

420 · 924 · 1155 · 1089 _________________ 1617 · 1200 · 264 · 693

21

73 0, 38 0,0416 8

1$ '+#

1, 03 3433 1, 26 15$ $+ ^ h

# #

(a + b)n = an + bn ( 2 __ 3 ) 9 ÷ ( 2 __ 3 ) 6 = 8 __ 27

3 33 3=^ ^h h

(ax)3 = a3x X Xqpqp

=

√_____

√___

Xab = X

–32

Rubén 120 peces

Julia 30 peces

V

V

V

1,87 · 1010

23 000 000

4,25 · 1011

145 000 000

4,003 · 1012

0,00006504

VF

F

F

F

– 1 ___ 20

11 ___ 8

– 592 ____ 33

– 14 ___ 15


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20

1 Simplifica los siguientes radicales.

Simplificar expresiones de números reales con exponentes fraccionarios con la aplicación de las reglas de potenciación y radicación. (P, A)

Operaciones con radicales




Lee el problema y resuelve.

• Un terreno cuadrado tiene una superficie de 665,64 m2 y el otro, también cuadrangular, es de345,96 m2. Calcula la diferencia entre sus lados y aproxima tus respuestas a décimos y a enteros.

Propón un ejemplo en el que no afecte utilizar una aproximación.

Si el índice y el exponente tienen un divisor común,

se simplifican.

4 √__

5 6 = 5 6 __ 4 = 5

3 __ 2 = √__

5 3

Simplificación Radicales semejantes

Son radicales con igual índicey cantidad subradical; así

√___

125 y √__

45 son semejantes

√___

125 = √__

25 · √__

5 = 5 √__

5

√__

45 = √__

9 · √__

5 = 3 √__

5

Introducción de un factoren un radical

Se eleva el factor a un exponente igual al índice.

2 3 √

__ 5 =

3 √____

2 3 · 5 = 3 √__

40

Adición y sustracción

Se reducen a radicales semejantes.

4 √__

3 + 6 √__

3 = (4 + 6) √__

3 = 10 √__

3

3 √__

50 + 2 √__

32 = 3 · 5 √__

2 + 2 · 4 √__

2

15 √__

2 + 8 √__

2 = 23 √__

2

Radicales equivalentes

Si la raíz es igual, se dice que los radicales son equivalentes.

√__

4 = 2 3 √

__ 8 = 2

4 √__

16 = 2

Multiplicación

2 √__

8 · (–3 √__

3 ) =

2 · (–3) · √____

8 · 3 =

–6 √__

24 = –6 √____

4 · 6

(–6) · 2 √__

6 = –12 √__

6

Conversión de radicales

Se halla el m. c. m.de los índices y se homologa.

√__

3 , 3 √

__ 2 y

4 √__

25 =

12

√________

3 6 · 2 4 · 25 3

División de radicales

La división se trabaja en forma similar a la multiplicación.

Si los radicales son de igual índice:

( – 3 __ 4 3 √

__ 2 ) ÷ 1 __ 8

3 √

__ 2 = – ( 3 __ 4 ÷ 1 __ 8 ) 3 √_____

2 ÷ 2 = –6 3 √

__ 1 = –6

Si los radicales son de diferente índice:

√__

8 ÷ 4 3 √

__ 2 = (1 ÷ 4) ( 6 √

__ 8 3 ÷

6 √__

2 2 ) 1 __ 4

6 √______

512 ÷ 4 = 1 __ 4 6 √___

128

1 __ 4 6 √__

2 7 = 1 __ 4 6 √____

2 6 · 2

1 __ 4 ∙ 2 ∙ 6 √

__ 2 = 1 __ 2

6 √

__ 2

a √__

50

b √__

8

c 3 √__

16

d √___

180

e 2 √___

108

f 2 __ 3 3 √__

54

g 3 √___

243

h 4 √__

a 8

i √___

720

j 5 √___

672

k 3 √___

875

l 8 √_____

3 840

m √_____

3 600

n √_____

1 200

o 5 √_____

2 048

p √_____

4 900

¡HAZLO ASÍ!

¿Cómo introducir el factor dentro del signo radical?

a 3 √__

2 = √____

3 2 · 2

= √__

18

b 4 3 √

__ 2 =

3 √____

4 3 · 2

= 3 √_____

64 · 2 = 3 √___

128

√_______

665,64 = 25,8: lado del 1er terreno.

√_______

345,96 = 18,6: lado del 2do terreno.

25,88 – 18,6 = 7,2

7,2 m o 7 m: diferencia entre los lado.

R. M. Cuando se trabaja en situaciones en las que intervienen edades.


© Santillana


21

CONEXIÓN CON VIDA COTIDIANA

Aplicación en la práctica. Estrategia: Extraer datos de un gráfico.

10 Observen el gráfico, encuentren la información necesaria y resuelvan.

INDICADoRES:

Reduce radicales. Introduce números

en un radical. Realiza operaciones

con radicales. Iguala índices en

los radicales. Extrae datos de un gráfico


2 Introduce el factor dentro del signo radical. 6 Efectúa las adiciones y sustracciones con radicales.

a 6 · 3 √

__ 4

b 5 3 √

__ 2

c 1 __ 3 √__

5

d 3 4 √

__ 2

e 0,5 √__

3

f 5 3 √

__ 8

g 3 __ 2 · √__

5

h 0,4 √__

3

a 4 3 √

__ 2 + 6

3 √

__ 2 + 3

3 √

__ 2

b 1 __ 3 3 √__

16 + 1 __ 9 3 √__

54

c 6 √__

2 + 3 3 √

__ 2 – 3 √

__ 2 –

3 √

__ 2

d 5 √__

12 + 3 √__

75 – 2 √_____

1 029

e n √__

a + n √__

a + 2 n √__

a – 3 n √__

a

f √__

b + 3 √__

b – 5 √__

b + 7 √__

b

7 Calcula.

a ( √__

3 )( √__

6 )

b √__

20 ____ √

__ 5

c √__

18 ____ √

__ 2

d (4 3 √

__ 3 )(–3

3 √

__ 5 )(2

3 √

__ 9 )

e 5 √___

560 ______ –6 √

__ 10

f 2 __ 3 √__

6 ÷ (–3 √__

24 )

g 6 √__

6 _____ 2

3 √

__ 3

h 6 √__

2 5 · 3 √__

7 2 · √__

7 ___________ √

__ 2 ·

3 √

__ 2

8 Convierte a índice común los siguientes pares de radicales.

a 3 √

__ 5 y

4 √

__ 2

b √__

5 y 3 √

__ 7

c –2 √__

6 y 5 √__

8

d 4 4 √

__ 3 y 2

12 √

__ 7

9 Simplifica los radicales y resuelve.

a 6 3 √__

54 – 2 3 √___

128 – 3 3 √___

432

b 8 √_____

1 125 – 3 √___

125 – 2 √___

320

c 2 √___

675 + 0,3 √___

972 – 1,5 √_____

2 352

d (2 √__

3 – √__

27 ) · (2 √__

3 – √__

27 )

e [(– 3 √___

375 ) + 2 3 √__

81 ] ÷ 3 √

__ 3

f 4 √__

32 – 5 √__

64 + 2( 5 √

__ 2 –

4 √

__ 2 )

3 Convierte a radicales de índice común.

a √__

4 3 ; 3 √

__ 6

b 3 √__

2 4 ; 4 √__

2 6

c 2 4 √

__ 7 ; 3 √

__ 7 ;

3 √

__ 7

d 1 __ 2 3 √

__ 6 ; 3 __ 2 √

__ 6 ; –3 √

__ 6

e –6 √__

5 ; – 3 √

__ 2

f 2 3 √

__ 2 ;

10 √

__ 4 ; 7

5 √

__ 7

g 16

√__

2 5 ; 2 √__

8 3 ; 4 8 √__

3 3

h –3 3 √

__ 3 ; 1 __ 4 √

__ 5 2 ;

3 √__

2 4

4 Responde verdadero (V) o falso (F).

a 6 √__

2 4 = 8 √__

2 2

b 4 √__

2 6 = 2 4 √__

2 2

c √__

3 · 3 √

__ 3 =

6 √__

3 3 · 6 √

__ 9

d 1 __ 2 4 √

__ 5 · 1 __ 3

3 √

__ 5 = 1 __ 2

12 √___

125 · 1 __ 3 12

√__

5 4

e 5 3 √___

250 = 25 3 √

__ 2

5 Comprueba si son radicales semejantes.

a √__

28 ; √__

63 ; √___

112

b √__

18 ; √__

32 ; √__

8

c 1 __ 3 3 √__

16 ; 1 __ 3 3 √__

54 ; 1 __ 2 3 √___

128

d 0,3 4 √__

48 ; 10 4 √___

243 ; –0,2 4 √_____

1 875

e √__

8 ; 4 √__

16 ; –5,3 √__

32

En la superficie que está a continuación, se desea construir un parque infantil. Determinen el perímetro de dicho terreno y elaboren un esquema en el cual se observe la ubicación de al menos cinco juegos infantiles.

√__

18 km √

__ 8 km

2 √__

8 km

√__

50 km

√__

72 km

√__

32 km

3

BUEN VIVIR

Hábitos de recreación de los estudiantes

Conversa con tus compañeros acerca de qué espacios disponen en los sectores donde viven para realizar deporte y recreación.



© Santillana



22


1 Escribe verdadero (V) o falso (F) y justifica. 2 Escribe la conjugada de los siguientes números.


• Si se desea cercar todo el perímetro del terreno, incluida la división,¿cuánto alambre se necesita? Realízala.

• La cantidad de alambre que se requiere para cercar las parcelas por separado,¿es igual al valor anterior? Justifica tu respuesta.



• Ubica en la recta los puntos en los cuales se deben ubicar los postes.

Analiza y calcula.

Racionalizar expresiones algebraicas y numéricas. (P)

Racionalización

Un terreno está dividido en dos parcelas cuadradas: una de 576 m2 y otra de 729 m2. Se colocarán cuatro postes de luz; para ello, se medirá la parte frontal del terreno y, luego, se ubicarán los postes a distancias iguales.

• ¿Qué operación nos permite conocer la medida de los lados de las parcelas?

3 ___ √

__ 2 · √

__ 2 ___

√__

2 = 3 √

__ 2 ____ 2

Cuando el denominador es una raíz, se multiplica al numerador

y al denominador por la misma raíz que lleva el denominador.

Denominador de raíz cuadrada

4 ______ √

__ 3 + 1

· √__

3 – 1 ______ √

__ 3 – 1

= 4 √__

3 – 4 _______ 2

= 2 √__

3 – 2

Denominador de binomio con raícesDenominador que no es raíz cuadrada

3 ___ 3 √

__ 2 ·

3 √__

2 2 ___ 3 √__

2 2 = 3

3 √

__ 4 ____ 2

Conjugadas de binomios

√__

a – b → su conjugada es √__

a + b

√__

a + b → su conjugada es √__

a – b

Una forma de asegurar que se ha racionalizado bien es comprobar

si la expresión inicial es equivalentea la expresión final.

Ejemplo:

5 ___ 3 √

__ 2 = 5

3 √__

2 2 _____ 2

5 · 2 = 5 3 √__

2 2 · 3 √

__ 2

10 = 5 3 √__

2 3

10 = 10

La racionalización es el proceso de transformar una fracción cuyo denominador es un radical irracional en otra fracción equivalente cuyo denominador es un número racional.

( √__

a + b)( √__

a – b) = ( √__

a )2 – b2 = a− b2

Producto de un binomio por su conjugada

729 m2

576 m2

a 1 ___ √

__ 7 = √

__ 7 ___ 7

b 2 ___ 3 √

__ 5 = 2

3 √

__ 5 ____ 5

c 1 ____ 2 √

__ 2 = 2 √

__ 2

d 1 ___ √

__ 5 = √

__ 5 ___ 5

e 3 ___ 3 √

__ 4 = 3

3 √

__ 2

f 5 ___ √

__ 5 = √

__ 5

a 1 + √__

2

b √__

5 – √

__ 2

c 1 – √__

3

d √__

5 + 1 __ 2

e 3 – √__

6

f √__

3 + 2

g 1 – √__

2

h √__

3 – 1

i 5 – √__

1 __ 2

j √__

8 + 2 √__

2

k √__

3 – 2

l 4 – √__

5

¿Qué distancia de separación tendrán

los postes?

La radicación. √____

576 = 24; √____

729 = 27.

0 17 34

24 + 27 = 51

R. M. No son iguales. La diferencia es 48 cm.

156 m.

51

51 ÷ 3 = 17


© Santillana


23

CONEXIÓN CON ASTRONOMÍA

INDICADoRES:

Justifica procesosde racionalización.

Calcula la conjugada. Resuelve aplicando

la racionalización. Interpreta información


3 Racionaliza.

a 6 ___ √

__ 6

b a ___ √__

a

c a b 2 ____ √

___ ab

d 5 ____ 3 √

__ 2

e a 3 b ______ 3 __ 4 a √

__ b

f √__

m + √__

n ________ √___

mn

g √__

10 – 3 √__

50 __________ √

__ 5

h 2 ___ √

__ 3

i 5 ____ 2 √

__ 5

j 3 ____ √

__ 90

k 2 ____ 3 √

__ 3

l 4 _____ √

___ 128

m 10 ___ √

__ 8

n 3 __ 5 √

___ xyz ______

6 __ 5 √__

xy

o 4b √__

a _____ √

___ ab

4 Encuentra el factor para racionalizar y resuelve.

6 Racionaliza el denominador.

7 Racionaliza el denominador.

a 7 ___ 3 √

__ 7

b 5 ____ 3

3 √

__ 2

c 3 ___ √

__ 6

d 2m ____ 4 3 √

__ n

e m p 2

____ m √

__ p n

f 1 + √__

2 ______ 2

5 √

__ 2

g b ____ 3 √

__ b

h 2 ____ 3 √__

16

i 5 ____ 2

3 √

__ 3

j 6 ____ 9

3 √__

1 __ 9

k 6 ____ 3

3 √

__ 3

l 7 ___ 5 √

__ 4

m x 2 y 3

____ √__

xy

n 2 √__

x ____ 3 √

__ xy

o 3 √__

x ____ √__

xy

a 1 _______ √

__ 5 – √

__ 2

b 1 _______ 2 √

__ 5 – 2

c 1 ________ √

__ 5 – 2 √

__ 2

d 2 √__

3 _______ √

__ 3 + √

__ 2

e √

__ 3x + √

__ 6y __________

2 √__

6x – √__

3y

f 1 ________ 2 √

__ 3 – √

__ 5

g 3 √__

2 ________ √

__ 11 – √

__ 2

h 4 ________ 2 √

__ 3 – √

__ 5

i 7 √__

10 ________ √

__ 10 + √

__ 3

j √__

14 _______ √

__ 7 – √

__ 2

k 1 + √__

2 ______ 1 – √

__ 2

l √__

2 + √__

3 _______ √

__ 3 – √

__ 2

m 2 √__

3 + 3 √__

2 __________ 4 √

__ 3 + √

__ 2

n √__

3 ______ 3 – √

__ b

o 2m _______ √

__ 6 – √

__ 2

p a √__

b _______ √

__ a – √

__ b

q 2 √__

3 – 1 ________ 1 + 2 √

__ 3

r 3 √__

2 ________ √

__ 5 – 2 √

__ 3

5 Calcula el valor de E.

a E = √__

5 ___ √

__ 3 + 2 ___

√__

5

b E = √__

5 ___ 3 + 2 ___ √

__ 3

c E = √__

7 ___ 8 + 4 ______ √

__ 6 – 1 __ 2

d E = √__

2 + √__

3 ___ 7 + 8 ___ √

__ 2

e E = 2 + 7 ___ √

__ 3 – 2 ___

√__

2

f E = 4 + 5 ___ √

__ 3 + 1 ___

√__

2

8 Lee el texto.

Aplicación en la práctica. Estrategia: Interpretar información.

Una galaxia tiene por término medio

1012 ____

√__

10 veces la masa del Sol. A partir de estos

datos, calcula lo siguiente.

a Si en el universo hay aproximadamente 1011 galaxias, ¿a cuántos soles equivale la masa total del universo?

b Si la masa del Sol es de aproximadamente 1030 kg, ¿cuál es la masa del universoen kilogramos?

¡HAZLO ASÍ!

¿Cómo racionalizar 3 ____________ √

__ 2 + √

__ 3 – √

__ 5 ?

= 3 ______________ [ ( √

__ 2 + √

__ 3 ) – √

__ 5 ] ·

[ ( √__

2 + √__

3 ) + √__

5 ] ______________ [ ( √

__ 2 + √

__ 3 ) + √

__ 5 ]

= 3 ( √__

2 + √__

3 + √__

5 ) _______________ ( √

__ 2 + √

__ 3 ) 2 – ( √

__ 5 ) 2

= 3 ( √__

2 + √__

3 + √__

5 ) ______________ 2 + 2 √

__ 6 + 3 – 5

= 3 ( √__

2 + √__

3 + √__

5 ) ______________ 2 √

__ 6 · √

__ 6 ___

√__

6

= 3 √__

6 ( √__

2 + √__

3 + √__

5 ) _________________ 2 · 6 = √__

12 + √__

18 + √__

30 ______________ 4 = 2 √__

3 + 3 √__

2 + √__

30 _______________ 4

a 2 ___________ √

__ 3 + √

__ 2 + √

__ 5

b 1 __________ √

__ 2 + √

__ 3 – 3

c 18 ___________ √

__ 3 + √

__ 5 – √

__ 6

d 3 __________ √

__ 6 + √

__ 2 + 2

e 1 __________ 1 – √

__ 7 + √

__ 2

f 6 ___________ √

__ 6 + √

__ 2 – √

__ 3



© Santillana



24




Encuentra un camino más largo que el de 6,5 m.

Realiza las reducciones necesarias, completa la tabla y responde.

Realizar reducciones y conversiones de unidades del SI y de otros sistemas en la resolución de problemas. (P, A)

Reducciones y conversionesde unidades del SI y de otros sistemas

Uno de los caminos que van de O a B tiene una longitud de 6,5 m. ¿Qué camino es?

El camino de longitud de 6,5 m es

A

B

P

M

O

155 cm

23 dm

150 cm

1 30

0 m

m

1 350 mm

6 400 mm

1,4 m

Medidas del SI

Longitud

Superficie

Volumen

Otras unidades

Mm km hm dam m dm cm mm

m 10 4 10 3 10 2 10 1 1 10 –1 10 –2 10 –3

Mm 2 km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2

m 2 10 8 10 6 10 4 10 2 1 10 –2 10 –4 10 –6

Mm 3 km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3

m 3 1012 10 9 10 6 10 3 1 10 –3 10 –6 10 –9

Unidad Símbolo Equivalencia en SI

pulgada pul 2,54 cm

pie p 30,48 cm

vara v 80 cm

yarda yd 91,44 cm

milla mi 1 600 m

milla naútica mn 1 862 m

centiárea ca 1 m 2 área a 1 dam 2 hectárea ha 1 hm 2 litro ℓ 1 dm 3

¡HAZLO ASÍ!

• ¿Cómo reducir 15 hm a dm?

15 hm · 10 dam ______ 1 hm

· 10 m _____ 1 dam

· 10 dm ______ 1 m = 15 000 dm

• ¿Cómo reducir 24 cm 2 a m 2 ?

24 cm 2 · 0,01 dm 2 _______ 1 cm 2

· 0,01 m 2 ______ 1 dm 2

= 0,0024 m 2

1 Completa las siguientes igualdades.

a 4 yd = cm

b 9 yd = m

c 12 p = cm

d 465 p = dm

e 9,19 yd = mm

f 12 v = cm

g 65 v = m

h 1,4 pul = dm

i 5,72 p = dm

j 51,2 pul = mm

k 9 pul = cm

l 14 pul = m

m 45 p = m

n 7,24 v = mm

o 19,3 mi = m

p 65 mi = dam

q 704 mn = m

r 9,5 v = mm

s 6,5 p = m

t 14,65 yd = mm

u 45,3 p = mm

Camino Suma Total

OMB 1,55 + 1,35 2,90 m

OAMB 2,3 + 1,5 + 1,35 5,15 m

OMPB 1,55 + 1,3 + 1,4 4,25 m

OAMPB 2,3 + 1,5 + 1,3 + 1,4 6,5 m

OAMPB.

R. A.


© Santillana


25

0,03 dm2

CONEXIÓN CON CIENCIAS NATURALES

INDICADoRES:

Reduce unidadesde longitud.

Resuelve problemas. Reduce unidades

de superficie. Reduce unidades

de volumen. Extrae datos de un texto


2 Se quiere cercar una finca cuya forma es la que se muestra en la figura. Para ello, se va a colocar dos vueltas de alambre. Observa las medidas de la finca. Luego, determina la cantidad necesaria para cercarla.

3 Convierte a la unidad indicada.

5 Observa la medida de superficie de las piezasdel rompecabezas. Luego, responde.

a ¿Cuál es el área en milímetros cuadrados de la pieza del rompecabezas en la que está el puente?

b ¿Cuál es el área en centímetros cuadrados de la pieza del rompecabezas en la que está el árbol?

c ¿Qué área es mayor: aquella en la que está el ave o aquella en que está el Sol? ¿Cuántos centímetros cuadrados hay de diferencia entre las dos áreas?

a 5 km 2 a hm 2

b 49 m 2 a mm 2

c 16 m 2 a d m 2

d 138 dm 2 a hm 2

e 125 dm 2 a cm 2

f 4,25 m 2 a dm 2

g 0,01 dm 2 a hm 2

h 0,0197 m 2 a dm 2

i 5,21 m 2 a mm 2

4 Convierte a metros cúbicos cada cantidad.

a 16 km3

b 350 mam3

c 654 cm3

d 4 hm3

e 37 486 cm3

f 27 dam3

g 2 000 cm3

h 0,0007 km3

i 0,0123 km3

6 Resuelve el problema.

Un estanque tiene forma de prisma. Su base cuadrada mide 1,5 m de lado y su altura mide 1,95 m. Si se abre una llave que vierte 1,3 dm3 de agua en un minuto, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse?


7 Observen, lean la información y respondan.Los marsupiales son animales mamíferos que se caracterizan por tener una bolsa en la que las hembras guardan a sus hijos. Cuando las crías nacen, no están desarrolladas del todo, por lo que las madres los guardan en esa bolsa.

a ¿Cuántos centímetros como mínimo puede medir un koala?

b ¿Cuántos centímetros como máximo puede medir un canguro rojo?

c ¿Cuántos centímetros más alcanza a medir un zorro de agua que una zarigüeya?

Koala

Longitud: 26-32 pul

Canguro rojo

Longitud: 3,25-5,25 pul

Zarigüeya de hombro negro

Longitud: 8,5-10 pul

Zorro de agua

Longitud: 10-16 pul

0,53 km

0,05

dm

2

0,07 dm2 + 4 mm2

0,06 dm2 + 120 mm2

35 dm4,2 hm

0,063 hm

380 m

BUEN VIVIR

Protección del medio ambiente

Cuando alternamos el medio ambiente afectamos a las especies que viven allí.

Propón una forma de cuidar tu entorno.



© Santillana


26

Más actividades

1 Expresa en notación científica.

2 Calcula M aproximando cada valor y el resultado a décimos.

a 5 billones c 2 400 millonésimos

b 700 millones d 90 cienmilésimos

a P = 3 √

__ 2 – 2 ( π –

3 √__

16 ) + 3 ( 3 √__

2 – π ) + 5π – 8 3 √

__ 2

b Q = 2 ( √___

√__

5 – 3π ) – [ 1– ( 4 √__

5 + 3π ) ] +3 ( π – 4 √

__ 5 )

c S = [ ( 1 __ 2 ) –3 + ( 2 __ 5 ) –2

+ ( 4 __ 7 ) –1 ] 0,5

4 Utiliza la calculadora y escribe la respuesta con un decimal.

a ( 1 __ 2 ) –2

– 5 (–2) –2 + ( 2 __ 3 ) –2 _________________

2 –2 + 3 0

b π 4 · π 6 · π 4 · π 3 _____________ π – 3 · π 7 · π 3 · π 5

6 Calcula.

a 3 √____

–64 + √__

64 ____ √

__ 16 – ( √

____

√___

√__

2 ) 16

b ( √________________

( 1 __ 4 ) –1 + ( 1 __ 13 ) –1

+ ( 1 __ 8 ) –1 ) –0,5

c √__

7 · √__

7 –1 + [ √____

√___

√__

2 ] 8 ÷ √______

√_____

( 1 __ 16 ) –1

d 3 √______________

( 2 __ 5 ) –2 · ( 8 __ 5 ) –2

÷ ( 5 __ 4 ) + √____

3 √__

9

7 Simplifica

a 5 √__

2 + [ 3 √__

8 – ( 3 √__

27 + √___

243 ) ]

b ( √__

75 – 3 √__

27 – √__

48 ) –1

c 2 3 √__

54 – ( –3 3 √__

16 + 2 3 √___

128 )

d 3 √__

40 + ( –7 √__

10 ) + 8 √__

90

8 Resuelve.

a ( 3 ____ √

__ 27 – 8 ___

√__

8 ) – ( 4 ____

√__

48 + √

__ 32 ) d 4 ____

3 √__

16 + 6 ____

3 √__

54

b [ 99 √______

10 √____

10 10 ____ 10

√__

10 ] 100

c ( 5 √

__ 2 ) ( 2

5 √

__ 3 ) __________

10 10

√__

9

e ( 3 4 √

__ 5 ) ( 4 √

__ 5 ) ______________

( 4 √__

80 ) ( 4 √__

5 ) ( 2 4 √

__ 4 )

f ( 3 √

__ 2 ) ( 4 √

__ 3 ) ( 6 √

__ 2 ) ____________

( ( 12 √__

64 ) 12 √__

27 )

10 Racionaliza

c ( 1 __ 3 ) 2 + ( π ) 2 – 3 __ 5

_____________ ( 4 __ 6 ) –1

+ ( 0,3 ) 2 – π

5 Calcula las raíces aplicando las propiedades.

a 3 √

__ 8 · 8

b √__

25 · √___

100

c 3 √__

27 ____ 3 √__

64

d 3 √_____

4 √____

( 2 2 ) 6

f √_______

√_____

√____

√___

10 8

g 7 √____

1 ___ 128

h 3 √______

– 0,008 _____ 0,027

i √__

5 __ 7 √__

7 __ 5

e ( √____

√___

√__

7 ) 6 j √______

√__

7 + 1 · √______

√__

7 + 1

M = ( 2 √

__ 5 – 3 √

__ 3 + 4π + 39 ÷ 250 ) 2 _______________________

π – (1, ) 6 ) ( √

__ 3 ) 2 – 0,071 · 2

9 Encuentra los resultados.

A = [ √____

√___

√__

2 ] 7 + 2 0 + 2 2 · 2 2 · 2 5 _______

[ (2) 2 ] 3 –

3 √____

512 ___ 64 a

B = 25 1/2 + ( 1 __ 6 ) –2 – √

_________ √

_______ 200 + 56 – ( 7 √

_____ 36,25 ) 5– (0,2) –1 b

√__________

[ 3 √__

2 ___ 6 √

__ 2 ÷

12 √

__ 2 ___

4 √

__ 2 ] 3 – √

_________

√__

16 + √__

25 _________ 16 c

6 ______ 2 – √

__ 2 a √

__ 8 _______

√__

10 – 2 c

16 ______ √

__ 6 + 2

b √__

7 ______ √

__ 7 + 1

d

3 Halla el valor exacto.


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27

15 Realiza las siguientes operaciones.

11 Simplifica los radicales.

a [ √____

16x5 ] 1 _ 2

b 3 √_________

(12)2 · 50n3

c 3

√_______

6 √______

(−14)18

d √______

(a − b)2

e 4 √_______

(a + b)8

f 6

√_________

2 √______

(a – y2) 24

a 5 √__

2

b 4 √__

5

c 7a 3 √__

b

d (a + b) √_____

1 _____ a + b

12 Introduce los coeficientes numéricoso literales bajo el signo radical.

13 Reduce a índice común.

a √__

6 ; 3 √__

2

b √__

3 ; 4 √__

2

c √__

2 ; 3 √__

4 ; 4 √__

6

d √__

3a ; 3 √____

4a2b ; 5 √_____

7a3b2

14 Reduce los radicales semejantes.

a 3 √__

3 − 12 √__

3 + 8 √__

3

b 6 3 √__

6 − 18 3 √__

6 + 21 3 √__

6

c 5 √__

8 − 23 5 √__

8 + 4 5 √__

8

d √__

2 − 7 √__

2 + 19 √__

2 − 40 √__

2

e 5 __ 4 3 √__

4 − 2 __ 3 3 √__

4 + 1 __ 2 3 √__

4

f 3 __ 2 √__

5 − √__

5 + 1 __ 3 √__

5

a 1 __ 2 √__

3 __ 4 − 2 __ 3 √__

2 __ 9 + √___

3 __ 16

b 3 __ 4 √___

2 __ 27 − 1 __ 2 √__

8 __ 3 + 2 √___

6 __ 81

c 2a3 5 √__

a8 + 3 4 √___

a17 − 5 √___

a23 − 2 4 √__

a5

d 2a 3 √___

2a2 − b 3 √_____

128a5 + (4b − 3a) 3 √___

2a2

e x 3 √____

250y − 3 √____

3xy3 − 5 3 √____

2x3y + 3y 3 √___

3x

f 2 √_____

25x2y4 + 3 √_______

− 27x3y6 − 5 √____

32x10

16 Resuelve las multiplicaciones.

a 3 √____

2m2 · √___

3m · 3 √____

4m5 · √___

m3

b 7 √___

5w · 3 √____

4w3 · √___

w5

c 3 √___

a2x · √__

x3 __

a3 · √__

a __ x5 · √

__

a3 __ x

d 2 __ 3 3 √___

4x2 · 3 __ 4 5 √_____

16x4y

17 Resuelve las divisiones.

a 3 √____

8x3y _____

4 √___

4x2

b 2 √

__

2 __ 4 _____

3

√____

16a4

c √

____ 9xy3 _____

3 √____

3x2y

d 6 √_______

18a3b4c5 ________ 4 √______

3a2b2c3

18 Racionaliza los denominadores.

a 2 ___ √

__ 5

b 4 ___ √

__ 3

c 3 ____ 5 √

__ 2

d 5 ____ 3 √___

4x2

e 1 ____ 3 √___

2a

f 5x ____ 4 √___

9x3

19 Encuentra la expresión conjugada.

a 5 + 2 √__

3

b 7 √__

2 − 6 √__

3

c 5 √__

7 + 4 √__

11

d 9 √__

3 − 3 √__

2

e √_____

x + 2 − √__

2

f √__

x − √_____

x − 1

20 Racionaliza las siguientes operaciones.

a 5 − √__

3 ______ 1 + √

__ 3

b √__

3 − √__

5 _______ √

__ 3 + √

__ 5

c √__

6 + 2 √__

3 ________ √

__ 6 − √

__ 3

d √__

3 − 2 √__

5 ________ 2 √

__ 3 + √

__ 5

e √__

x − √_____

x + 1 __________ √

__ x + √

_____ x + 1

f √__

a + 3 + √__

3 __________ √

__ a + 3 − √

__ 3


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28


Formación de los planetas

Los planetas se formaron hace unos 4 500 millones de años, al mismo tiempo que el Sol.

En general, los materiales ligeros que no se quedaron en el Sol se alejaron más que los pesados. En la nube de gas y polvo original, que giraba en espirales, había zonas más densas: proyectos de planetas.

La gravedad y las colisiones llevaron más materia a estas zonas y el movimiento rotatorio las redondeó.

Planetas Radio ecuatorial

Distancia al Sol (km) Lunas Período

de rotación Órbita

Mercurio 2 440 km 5,791 · 107 0 58,6 días 87,97 días

Venus 6 052 km 1,082 · 108 0 243 días 224,7 días

Tierra 6 378 km 1,496 · 108 1 23,93 horas 365,256 días

Marte 3 397 km 2,2794 · 108 2 24,62 horas 686,98 días

Júpiter 71 492 km 7,7833 · 109 16 9,84 horas 11,86 años

Saturno 60 268 km 1,429 · 109 18* 10,23 horas 29,46 años

Urano 25 559 km 2,87 · 109 15 17,9 horas 84,01 años

Neptuno 24 746 km 4,5 · 109 8 16,11 horas 164,8 años

*Algunos astrónomos atribuyen 23 satélites al planeta Saturno.

Navegación espacial

Hasta ahora, casi todas las misiones espaciales han utilizado motores cohete alimentados con combustibles y comburentes químicos. Por desgracia, esos motores no son muy eficientes; por ejemplo, más de la mitad del peso de la sonda espacial Rosetta de la ESA en el mo-mento de su lanzamiento era del combustible.La ESA está estudiando actualmente las formas de reducir la cantidad de combustible que transportan las naves. Una de las ideas consiste en un motor de iones que utilice una pistola eléctrica para disparar gas hacia el espacio.

Aunque la fuerza de empuje del motor cohete eléctrico de iones es muy peque-ña, aumenta gradualmente su velocidad hasta que, llegado el momento, permite que la nave espacial se desplace con mucha rapidez.

La sonda SMART 1 ha probado con éxito un motor de iones en su viaje de la Tierra a la Luna. Por cada kilogramo de combustible consumido, ese motor produce un aumento de la velocidad de la nave diez veces mayor que si fuera ordinario.

La ESA también está estudiando el uso de «velas solares» en lugar de motores co-hete para las naves espaciales. La luz solar sopla sobre una vela de gran tamaño y puede propulsar una nave espacial hacia otros planetas. Después de muchos viajes con el viento del Sol, una nave de ese tipo podría alcanzar una velocidad de 360 000 km/h.

1 Al navegar en Internet, hemos llegado a la siguiente página.

a ¿Qué distancia hay entre Mercurio y Saturno?

b ¿Qué distancia es mayor, la de la Tierra a Urano o la de Marte a Neptuno?

c Con una nave como la que se describe en la segunda página web, ¿cuánto se tardaría en llegar a Neptuno? ¿Podríamos visitar Neptuno y volver a la Tierra?

2 Cristo Javacheff y su esposa Jeanne son dos de los artistas actuales más populares.

Sus obras más representativas consisten en envolver con tela objetos y monumentos.

Sus primeras obras se reducían a empaquetar botellas, latas y cajas con tela o plástico, pero, poco a poco, fueron aumentando su producción. En 1982, rodearon 11 islas de la bahía de Florida, para lo que utilizaron 603 000 m2 de tela rosa. En 1985, empaquetaron el Pont Neuf sobre el río Sena, en la ciudad de París. En 1995, envolvieron también en tela el edificio del Reichstag en Berlín.

• ¿Cuántos metros cuadrados de tela necesitarán, aproximadamente, para envolver completamente este monumento sin tapar los arcos?

Entre sus futuros proyectos están envolver la Puerta de Alcalá, en Madrid, y la estatua de Colón, en Barcelona.

Este es un croquis de la Puerta de Alcalá de Madrid con sus medidas.


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29

1 Realiza las operaciones indicadas.

a √__

2 + 3 √__

2 − 5 √__

2 + 2 √__

2

2 Realiza las operaciones indicadas. Escribe las expresiones como radicales semejantes, luego simplifica si es posible.

a 3 3 √____

−24 − 4 3 √____

−81 − 3 √___

375

3 Halla el área de la región sombreada.

Área del círculo mayor:

√______

64π2 y4

Área del círculo menor:

√_____

4π2 y4

4 Realiza los siguientes productos. Simplifica las respuestas.

a √___

4m √____

3m7

5 Efectúa las siguientes divisiones. Luego, si es posible, simplifica las respuestas.

a 8 √__

12 _____ 2 √

__ 3

b 4 √__

3x − 6 √__

3x + 8 √__

3x

b 6 3 √

__ 5 −

3 √__

40 – 3 √

__ 5 y

b 7 √___

2w √_____

4w3n2

b 3 √__

9a ____ 5 √__

a

6 Escribe V si la afirmación es verdadera o Fsi es falsa. Justifica tu respuesta.

a La racionalización de la expresión 1 ______ 3 − √

__ 2

es 3 + √__

2 .

b La expresión 3 ____ 3 √___

2x equivale a la expresión 3

3 √___

4x2 _____ 4 .

c Para racionalizar el denominador de 4x _______ √

_____ 5 − 2x ,

se debe multiplicar el numerador

y el denominador por √_____

5 + 2x .

√__

2 2 √

__ 3 m4

14 √__

2 w2n

8

F

F

V

9 __ 5

6 √__

3

3 √__

3

Am = 6π y2

3 3 √__

5


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30


6 Resuelve.

a 3 √____

– 64 + √__

64 ____ √

__ 16 – ( √

____

√___

√__

2 ) 16

b ( √________________

( 1 __ 4 ) –1 + ( 1 __ 13 ) –1

+ ( 1 __ 8 ) –1 ) –0,5

c √__

7 · ( √__

7 ) –1+ [ √____

√___

√__

2 ] 10 – 2 ÷ √

______

√_____

( 1 __ 16 ) –1

d 3 √______________

( 2 __ 5 ) –2 · ( 8 __ 5 ) –2

÷ ( 5 __ 4 ) + √____

3 √__

9

7 Simplifica.

a 5 √__

2 + [ 3 √__

8 – (3 √__

27 + √___

243 ) ]

b ( √__

75 – 3 √__

27 – √__

48 ) –1

c 2 3 √__

54 – [(–3 3 √__

16 ) + 2 3 √___

128 ]

d 3 √__

40 + (–7 √__

10 ) + 8 √__

90

8 Racionaliza.


a Un terreno de 8 490 dam2 fue dividido en cinco partes, como se muestra en la figura.

Determina la medida en cm2 de las figuras A, B, C, D y E.

2 Escribe en notación científica.

a 493 000 000

b 315 000 000 000

c 0,0004464

d 12,00056

e 253

f 256,256

3 Escribe con todas sus cifras los siguientes números dados en notación científica.

a 2,51 · 108

b 9,32 · 10–8

c 3,76 · 1012

4 Estos números no están correctamente escritos en notación científica. Corrígelos.

a 0,247 · 108

b 24, 7 · 108

c 0,247 · 10–8

1 Calcula M aproximando cada valor y el resultado a los milésimos.

M = (2 √

__ 5 – 3 √

__ 3 + 4π + 39 ÷ 250)2

_______________________ π – (1,

) 6 )( √

__ 3 )2 – 0,071 · 2

5 Calcula.

a ( 1 __ 2 ) –2 – 5(–2)–2 + ( 2 __ 3 ) –2

_________________ 2–2 + 30

A

18,3 hm2

D 0,165 km2

B 13,20 hm2

C 174 000 m2

E

1 950 dam2

a 4/1 – √__

2

b √__

27 ______ √

__ 8 – 3

b π 4 2 · π 6 2 · π –4 2 · π 3 2 _____________ π –3 3 · π 7 · π 3 3 · π 5 2

–71,940

4,93 · 108

–6

√__

1 __ 5

2

( 11 √__

2 − 18 √__

3 ) – √

__ 3 ___ 24

4 3 √__

2

23 √___

10

–4 – 4 √__

2

–6 √__

6 – 9 √__

3

17 ___ 4

3,15 · 1011

4,464 · 10–4

1,200056 · 101

2,47 · 107

251 000 000

2,53 · 102

2,4 · 109

0,0000000932

2,56256 · 102

2,4 · 10–9

4

π

3 760 000 000 000

A = 1 830 000 000 cm2

B = 1 320 000 000 cm2

C = 1 740 000 000 cm2

D = 1 650 000 000 cm2

E = 1 950 000 000 cm2


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31

CoN CRITERIoS DE DESEMPEÑoEvaluación de destrezas

Medio ambiente

Según estudios, las personas que permanecen durante mucho tiempo en ambientes con poca ventilación disminuyen su productividad.

Para mejorar la ventilación de un lugar, se debe tener en cuenta la siguiente norma.

El área no debe ser menor a 1,38 m2 por persona. El volumen no puede ser inferior a 3 m3 por persona. El volumen se debe considerar para una altura máxima de 3 m.

1 Si se quiere hacer una conferencia en un salón que tiene 3 700 m3, ¿cuántas personas pueden asistir para que haya una ventilación óptima?

2 Calcula la cantidad de personas que pueden estar en tu salón de clases para tener un ambiente con buena ventilación.

3 ¿Qué volumen mínimo debe tener un salón con capacidad para 870 personas?

4 ¿Cuántos cm3 debe tener una habitación para 20 personas reunidas?

PARA LA CARTELERA

Investiga la población de tu ciudad y su superficie. Luego, calcula su densidad e interprétala. Expón en la cartelera.

CoEVAluACIóN

2 Investiguen el número de habitantes que tiene cada uno de los continentes y calculen su densidad. Luego, ordenen estos valores y realicen un comentario acerca de sus resultados. Intercambien su trabajo con un compañero o compañera para verificar respuestas.

AUTOEVALUACIÓN

• Ejemplifica las operaciones con números reales.

• Aplica la notación científica.

De igual manera, es importante la densidad, que es el número de personas que habitan por cada m2 de superficie. Lo ideal es que vivan tres o cuatro habitantes en este espacio de terreno.

d = No de habitantes _____________

extensión

Continentes Área

América 42 262 142 km2

África 30 365 000 km2

Asia 44 614 000 km2

Europa 10 530 740 km2

Oceanía 8 505 700 km2

Antártida 12 393 000 km2

Metacognición© SANTILLANA, EN PROCESO DE EDICIÓN

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32

Funciones. Área y volumen de una pirámide y un cono

Alimento de parásitos

Otra vez se producía la misma situación. Cada vez que cambiaban el destacamento encargado de vigi-lar el Centro de Investigación ocurría lo mismo: los nuevos soldados, con su brillante uniforme del ejér-cito nazi, los insultaban, los humillaban y, si se atre-vían a protestar, llegaban incluso al castigo físico.

Stefan Banach y su compañero Piotr agacharon la cabeza y, como si los comentarios no fueran con ellos, atravesaron la entrada disponiéndose a co-menzar su trabajo.

Abrieron las cajas y, con meticulosa precisión, empe-zaron a alimentar a los diminutos parásitos.

Al verlo, los guardias se reían, a la vez que hacían comentarios claramente ofensivos hacia los dos operarios.

—¿Qué es eso, Hans? —preguntó un soldado.

El otro contestó entre risotadas:

—¡Dos cucarachas alimentando a los piojos!

Piotr miró a Banach, intentando transmitirle su enfa-do.

—Esta es la forma de sentirse superiores que tienen los que no lo son en absoluto —susurró Banach—. Por más oscura que sea la noche, siempre llega la mañana.

La respuesta arrancó una sonrisa a Piotr, que asintió con la cabeza.

Stefan Banach fue un matemático polaco que con-tribuyó notablemente al análisis funcional.

No de parásitos Alimento (gramos)

20 10

60

80 40

120

• ¿Qué se requiere cuando aumentan los parásitos?

Completa la tabla y contesta.

• ¿Qué relación se cumple entre el número de parásitos y el alimento?

Mód

ulo

2Bloques

1 y 3

oBJETIVoS EDuCATIVoS: • Contrastar la función lineal con la función exponencial para comprender las diferencias entre variaciones constantes y variables.

• Reconocer una función lineal por medio del análisis de su tabla de valores, gráfico o ecuación y conociendo uno de los tres modelos anteriores, determinar los otros dos para comprender y predecir variaciones constantes.

• Aplicar el patrón de la función lineal y sus valores relevantes en la resolución de problemas de la vida cotidiana.

Punto de partida

30

60

Más alimento.

Relación de proporcionalidad directa.


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33

Leonhard Euler

Euler ha sido uno de los matemáticos más productivos y se calcula que sus obras completas reunidas podrían ocupar entre 60 y 80 volúmenes. Entre sus aportes están el concepto y la notación de función mate-mática, la notación de las funciones trigo-nométricas, etc.

Pasó los últimos años de su vida ciego, pero siguió trabajando. Muchos trabajos se los dictó a su hijo mayor.

Historia de la Matemática

Pierre de Fermat (1601-1645) fue uno de los grandes matemáticos del siglo XVII. Su perfil humano fue el del clásico sabio, distraí-do, que vive en su mundo en el interior de su cabeza.

Aunque estudió para abogado, cultivó la literatura clásica, escri-bió poemas y trabajó en el desarrollo de ideas fundamentales de Geometría Analítica y Cálculo Integral.

En uno de los trabajos en el área de Matemática, formuló la expresión f = 22x + 1.

Fermat afirmaba que esta podía generar todos los números pri-mos; pero, aproximadamente un siglo después, el matemático Leonhard Euler demostró que esta expresión no genera un número primo para x = 5 y x = 3.

• Determina los números primos que genera f para x = 1, 2 y 4.

• Comprueba que esta expresión no genera un número primo para x = 5.

5,17; 257.

1 025 es divisible para 1, 5, 25, 41 y 1 025.


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34




Analiza la situación y responde.

Lee la información y observa el gráfico. Luego, responde.

Caracterizar a la función y a sus variables a través de tablas y gráficos. (C)

Funciones

Cinco personas residentes en Loja han realizado llamadas tele-fónicas a diferentes ciudades del país. El precio y la duración de la llamada realizada por cada persona aparecen representa-dos en el gráfico cartesino que se muestra a continuación.

a ¿El costo de la llamada de Mariana fue mayor que el costo de la llamada de Pablo?

e ¿Qué personas pudieron haber realizado una llamada local?

d ¿Qué persona habló poco tiempo y pagó mucho por la llamada?

Longitud (m) Precio ($)

1 × 0,60 0,60

2 × 0,60 1,20

3 × 0,60 1,80

x × 0,60 0,60 ∙ x = y

Podemos expresar esta relacióncomo y = 0,60 ∙ x.

c ¿Qué personas hablaron menos tiempo?

b ¿Qué personas hablaron durante más tiempo?

Duración de la llamada (min)

Costo de la llamada ($)

MarianaPablo

Juliana

FelipeAndrea

Una función es una relación entre dos magnitudeso variables numéricas, x y y, de forma que a cada

valor de x le corresponde un único valor de y.

La variable x se denomina variable independientey la variable y, variable dependiente.

• El precio del metro de alambre es $ 0,60. La relación entre las variables longituddel alambre y precio, ¿es una función?

• El precio es proporcional a la longitud de alambre.

Si se agrupan algunos pares de valores en formade tabla, tenemos que:

Para cada longitud x, se tiene un único precioy, porque una cantidad de alambre no puede tener dos precios distintos.

Entonces, esta relación sí es una función.La variable independiente, x, es la longituddel alambre y la variable dependiente, y,es su precio.

Longitud (m) 0,5 1 1,5 2 2,5

Precio ($) 0,30 0,60 0,90 1,20 1,50

Si Mariana y Pablo realizaron llamadas de larga distancia, ¿por qué su costo fue el mismo a pesar de la gran diferencia de tiempo en la duración de la llamada?

¡HAZLO ASÍ!

¿Cómo resolver un problema con funciones?

Una función f: A → B se puede representar sagitalmente así:

f(a) = c

f(b) = e

a

b

cde

RAZONAMIENTO¡ATENCIÓN!

Una magnitud es cualquier característica que puede ser medida y su valor expresado mediante un número.

f

A B

No, fue igual.

Pablo y Andrea.

Felipe y Mariana.

Mariana.

R. M. Porque el costo de la llamada es diferente dependiendo del país.

Felipe, Andrea y Juliana.


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35

CONEXIÓN CON DEPORTE

INDICADoRES:

Identifica variables independientesy dependientes.

Determina si una relaciónes una función.

Relaciona una tablacon la expresión algebraica de una función.

Identifica las características para escribir una función.

Extrae datos de una tabla y resuelve un problema.


1 En cada una de las siguientes correspondencias,se relacionan dos variables. Identifica la variable dependiente y la variable independiente.

a Horas de trabajo y salario.

b Edad de una persona y su estatura.

c Cantidad de agua que consume el número de habitantes de una ciudad.

d Número de hojas de un libro y su peso.

e Temperatura de una ciudad en un día, medida cada hora.

2 Di, razonando tu respuesta, si la relación entre los siguientes pares de magnitudes es una función o no.

a El peso de una persona y su altura.

b El peso de un barril y la cantidad de líquido que contiene.

c La longitud del lado de un polígono regular y su perímetro.

d La calificación en un examen y el número de horas empleadas en su desarrollo.

e El número de obreros y el tiempo que tarda en acabarun trabajo.

f La longitud de la altura de un triángulo y su área.

3 Dados los números 3, 5, 7 y 9, calcula para cada uno el número o los números que les corresponden con estas relaciones. Luego, indica cuáles representan una función.

a Su doble más 2.

b Sumarle una unidad y dividir el resultado para 2.

c Su cuarta potencia.

d Su raíz cuadrada.

5 Escribe dos relaciones que sean funciones.

6 Escribe dos relaciones que no sean funciones.

4 Relaciona cada tabla con su función.

x y

–1 –2

3 –28

5 –126

x y

0 –7

1 –4

3 2

x y

10 10

20 15

30 20

x y

– 1 __ 10 0

0 –0,01

1 __ 2 0,24

y = x 2 – 1 ___ 100 y = 3x – 7 y = x __ 2 + 5 y = x 3 – 1

8 Lee la información y analiza la tabla.

Aplicación en la práctica. Estrategia: Extraer datos de una tabla.

En un entrenamiento para una carrera de 5 000 m,un atleta ha registrado estos tiempos.

Tiempo (s) 0 10 20 30 40 50

Distancia (m) 0 65 130 195 260 325

a Representa los datos en una gráfica.

b Calcula: Si continúa con la misma velocidad,¿qué tiempo tardará en recorrer 5 000 m?

c Escribe la expresión algebraica que relacionala distancia recorrida con el tiempo empleado.

7 Completa la tabla de valores teniendo en cuentalas representaciones de la función.

x 2 4 6

y 1 2,1 2,6 2,9

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2

3

y

x

BUEN VIVIR

Cuidado de la salud

Practicar un deporte te ayuda a crecer y cuidar tu salud.



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36

DESTREZA CoN CRITERIoS DE DESEMPEÑo: Identificar formas de expresar funciones mediante el lenguaje matemático y representaciones gráficas. (C, P)



Lee la información; luego, realiza lo solicitado.

Formas de expresar una función

En medicina, para determinar la frecuencia cardíaca de una persona, se utiliza un registro llamado electrocardiograma, que relaciona las variaciones de potencial eléctrico, generado por el conjunto de células cardíacas recogidas en la superficie cor-poral con el tiempo.

• Escribe el tipo de registro que representa el electrocardiograma.

Ubica en cada eje las magnitudes relacionadas.

¿Cuál es la variable independiente y cuál la dependiente que registraste en el electrocardiograma?

Una función puede ser expresada de las siguientes formas:Expresión de una función

Podemos expresar la relación entre las variables de una función de forma verbal.

«A cada número le asociamos su cuadrado».

«Dado un número,le asignamos su mitad más 1».

En ocasiones, las funciones vienen dadas por una expresión matemática. Esta expresión se

denota y = f(x) y se llama ecuación de la función.

Mediante una ecuación,es sencillo conocer el valor

de la variable y, llamado imagen, correspondiente

a cada valor de la variable x, que es el elemento del dominio.

Basta con sustituir el valor de x en la expresión y operar.

Construir una tabla de valores para la función y = 2x + 1.

Utilizando la tabla del ejemplo anterior, dibujar la gráficade la función y = 2x + 1.

La variable independiente, x,se representa en el eje

de abscisas y la dependiente,y, en el de ordenadas.

Según la tabla, las coordenadas de los puntos serían (–2; –3), (–1; –1), (0; 1), (1; 3) y (2; 5).

En principio, la gráfica estaría formada solo por esos cinco puntos. Sin embargo, comola variable x toma cualquier

valor, siendo su imagen y = 2x + 1, podemos unir

esos puntos.

Por un enunciado Por una expresión matemática Por una tabla de valores Por un gráfica

x y = 2x + 1

–2 2 · (–2) + 1 = –3

–1 2 · (–1) + 1 = –1

0 2 · (0) + 1 = 1

1 2 · (1) + 1 = 3

2 2 · (2) + 1 = 5

x y = f(x)

–2 –3

–1 –1

0 1

1 3

2 5

y = 2x + 12

2

4

4 x

y

–2–2

–4

–4

f(x) = 4x + 3

x = 2

f(2) = 4(2) + 3

f(2) = 11 = y

Si x = 2 → y = 11

ejemplo

Registro gráfico.

Independiente: tiempo; dependiente: variaciones

de potencial eléctrico.


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37

CONEXIÓN CON HABITOS DE RECREACIÓN DE LOS ESTUDIANTES


INDICADoRES:

Expresa una funcióncon un enunciado.

Utiliza una expresión algebraica para expresaruna función.

Analiza una función. Propone una función

que no se ajustaa una expresión matemática.

Elabora tablas de valoresy gráficos de funciones.

Comprueba si los puntos dados pertenecena la gráfica de una función.

Determina gráficamentesi una relación es función.

Analiza posibilidadesy resuelve un problema.

1 Expresa, mediante un enunciado, las siguientes funciones.

2 Obtén la expresión algebraica de la función que asociaa cada número.

a Su triple.

b Su cuadrado.

c Su doble más 5.

d Su mitad.

3 Dada la función que asocia a cada número su cuarta parte más 3:

a Escribe su expresión algebraica.

b Calcula f(8), f(–4) y f(10).

4 Escribe un ejemplo de una función de la que no puedas hallar su expresión algebraica.

5 Halla una tabla de valores para las siguientes funciones, exprésalas mediante un enunciado y realizasu representación gráfica.

a y = x + 2

b y = 2x + 3

c y = x 2

d y = x 2 + x

e y = –3x – 1

f y = x 2 + 1

g y = 4x – 4

h y = –x

6 Verifica: Un punto pertenece a la gráfica de una funciónsi sus coordenadas verifican su ecuación. ¿Pertenecen(–1; 2) y (0; –1) a y = –2x?


8 Lean y analicen el texto. Luego, realicen las actividades.

Carlos se va de vacaciones y quiere alquilar una casa rodante. Por ello acude a dos em-presas de alquiler de casas rodantes que le ofrecen diferentes posibilidades.

A: P = 50 + 10t B: P = 30 + 12t

a Si Carlos va a viajar 8 días con la casa rodante, ¿en qué empresa le resulta más barato hacerlo?

b ¿Y si va a viajar 15 días?

c Escriban la función precio-tiempoy represéntenla en los mismos ejes. ¿Dónde se cortan? ¿Qué representael punto de corte?

¡HAZLO ASÍ!

¿Cómo identificar una función mediante su representación gráfica?Indica si estas gráficas son funciones o no.

Se determina si a algún valor de x le corresponde más de un valor de y.

Si ocurre así, la gráfica no corresponde a una función. En caso contrario, sí corresponde a una función.

Por lo tanto, b) es función y a) no lo es.

y

x x

ya b

x

y

x

ya b

a by y

x x

a y = 2x – 1

b y = –x + 3

c y = 5x – 4

d y = 1 __ 2 x + 3

7 Indica cuáles son funciones y cuáles no.



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38

Ecuación general de la recta

La expresión Ax + By + C = 0, donde A, B, C y A y B no son ceros simultáneamente, es llamada ecuación general de la recta.

Pendiente de una recta (m)

• El valor de m recibe el nombre de pendiente de la recta, e indica la inclinación de esta respecto al eje positivo de las x.

• En símbolos, si A (x1; y1) y B (x2; y2) son dos puntos de la recta l, el valor

de la pendiente m será m = y2 – y1 _____ x2 – x1

; x1 ≠ x2.

• Si, en dos rectas, m1 = m2, estas son paralelas.

• Gráficamente, la pendiente muestra el desplazamiento vertical y el desplazamiento horizontal. Así:

Representación gráfica de y = 4 __ 5 x – 6 __ 5



Lee y observa.

Resuelve: Si se unen los puntos representados en el plano, ¿qué se obtiene? ¿Cómo se interpreta?

DESTREZA CoN CRITERIo DE DESEMPEÑo: Determinar la ecuación de una función lineal si su tabla de valores, su gráfico o dos puntos de esta función son conocidos. (C, P)

Ecuación de una función lineal

En el gráfico se representan rectángulos con la misma altura y diferente base.

• Determina el área de cada rectángulo.

• Representa las dos magnitudes en el plano cartesiano.

• Registra en una tabla de valores la relación entre las bases y las respectivas áreas.

A = A = A =

A =A =

Los puntos de corte de la recta con el eje y y con el eje x son llamados y-intersecto

y x-intersecto, respectivamente.

Si P es el y-intersecto de una recta, entonces, P (0; b). Si Q es el x-intersecto, entonces, Q (x; 0).

• Una recta es creciente si la pendiente es positiva.

• Una recta es decreciente si la pendiente es negativa.

• Una recta es horizontal si su pendiente es cero; en este caso, la expresión algebraica será y = b, donde b es una constante.

• La pendiente de una recta vertical no está definida; en este caso, la expresión algebraica será x = c, donde c es una constante.

y

x4

–2

–1

1

Ecuación de la recta: pendiente, ordenada al origen

En la ecuación de la forma y = mx + b, m es el valor de la pendiente y b es el punto donde la recta corta al eje y.

Ecuación de la recta: punto, pendiente

Para hallar la ecuación de una recta dados P (x1; y1) y el valor de m, se realiza lo siguiente. y – y1 = m(x – x1)

xx1 x2

desplazamiento horizontal

y1 = ƒ(x1)

y2 = ƒ(x2)

y

x2 – x1

y 2 – y

1

desplazamiento vertical

ℓ

P

Q

Base (u) 2 3 4 5 6

Área (u2) 8 12 16 20 24

8 u2

20 u2

recta, lo que significa que la base está relacionada en proporción directa con el área.

R. M. Se obtiene una línea

24 u2

12 u2 16 u2

1

4

0

8

12

16

20

24

2Base (u)

Áre

a (u

2 )3 4 5 6


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39

CONEXIÓN CON CIENCIAS NATURALES

INDICADoRES:

Determina la pendiente de rectas en el plano.

Encuentra la pendiente de una recta conociendo dos puntos.

Encuentra la ecuación de una recta.

Determina la posición relativa de una recta.

Resuelve problemas de función lineal.

Interpreta un gráfico y resuelve problemas.

Aplicación en la práctica. Estrategia: Interpretar una gráfica.

6 Observa el movimiento de un móvil y resuelve.

Movimiento rectilíneo uniforme

La siguiente gráfica representa el movimiento de un objeto entre 0 y 10 segundos.


1 Ordena de mayor a menor la pendiente de las rectas dadas en las siguientes gráficas.

2 Determina la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos.

3 Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados.

4 Grafica e indica que pares de rectas son, paralelas o perpendiculares.

y

x

l

r

su

w

t

m

a Escribe las ecuaciones de cada una de las rectas que describen el movimiento del objeto.

b ¿Qué se puede decir del movimiento entre 5 s y 8 s?

c ¿Qué se puede decir del movimiento entre 8 s y 10 s?

d ¿En qué sector recorrió el objeto más kilómetros en menos tiempo?

e ¿Cuántos kilómetros recorrió en total el objeto?1

123456

km

s0 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a (1; 2) y (3; 4)

b (–3; –2) y (–4; –6)

c ( 1 __ 2 ; 3 __ 4 ) y ( – 1 __ 3 ; 4 __ 3 ) d (2,3; –4,2) y (7,1; –8)

e (–1; 3) y (2; 2)

f (–3; 2) y (4; –1)

g ( 4,3; 1 __ 2 ) y (4; 2)

h (0,3; 0,6) y (1; 1)

a y = 2x + 3

b y = 3x – 5

c y = – 2 __ 3 x – 1

d y = 1 __ 4 x – 2

e y = –6x + 3

f y = –x + 1

g –x – 3y + 3 = 0

h –4x – y + 1 = 0

i –6x – y + 2 = 0

j x – y + 1 = 0

k 2x – y – 4 = 0

l 3x – 2y + 12 = 0

a (2; 3) y (5; 7)

b (4; –7) y (1; 1)

c (0; 4,7) y (–2,3; 0)

d (0; –2) y (–1; 0)


Dos carros A y B salen en la misma dirección y al mismo tiem-po respecto al punto de partida o, como muestra la figura. La distancia (y) del carro A, respecto al punto de partida, está dada por la ecuación y – 40x – 15 = 0; y la distancia (y) del carro B, por y – 45x + 20 = 0. Si x es el tiempo en horas:a ¿A qué distancia del punto de partida se encuentran los

carros luego de cuatro horas?b ¿Es posible que los carros se encuentren en el mismo

punto? Justifica la respuesta.c ¿En qué momento se encuentran los dos carros?

¿En qué punto?



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40

DESTREZA CoN CRITERIo DE DESEMPEÑo:

Determinar el crecimiento y el decrecimiento en esta gráfica, que representa las personas (en miles) que acuden a un centro comercial a lo largo de un día.

Para estudiar el crecimiento y el decrecimiento de una función, se debe mirar su gráfica de izquierda a derecha. Analizando la gráfica de esa manera, se ve que:

• Es creciente en los intervalos [8, 12] y [16, 18].

• Es decreciente en los intervalos [12, 14] y [18, 24].

• Es constante en el intervalo [14, 16].

Crecimiento y decrecimiento

Dada una función f y los valores x = a y x = b, tales que a < b:

• Si f(a) > f(b), la función es creciente entre a y b.

• Si f(a) < f(b), la función es decreciente entre a y b.

• Si f(a) = f(b), la función es constante entre a y b.

El crecimiento y el decrecimiento de una función son propiedades locales, es decir, no se estudian globalmente, sino por intervalos. Para estudiar estas propiedades, los valores a y b no pueden ser números cualesquiera, sino que deben estar lo suficientemente próximos.

Evaluar si una función lineal es creciente o decreciente en la base de su tabla de valores, gráfico o ecuación. (C)

Funciones crecientes y decrecientes


En un parque de atracciones hay una rueda moscovita de 12 m de diámetro. Representa la altura que alcanza a cada momento un joven que monta en ella durante 4 vueltas.


Responde.

• ¿Qué sucede con la altura hasta llegar a la media vuelta?

• ¿Y qué pasa hasta que llega al suelo?

12 cm

Altura

Vueltas

6 cm

1 __ 2 1 3 __ 2 2 5 __ 2 3 17 __ 2 40

a b x

y

f(b)

f(a)

Crecientea b x

yf(a)

f(b)

y = f(x) y = f(x) y = f(x)

Decrecientea b x

y

f(b) = f(a)

Constante

ejemplo

8 10

1

2

3

4

5

6

12 14 16 18 20 22 24 x

y

Tiempo (horas)

Pers

onas

(mile

s)

Esto significa que, en el eje x, a la izquierda del 8, hay un trozo de eje del que se

ha prescindido, porque no tiene gráfica.

8 x

Crece.

Decrece.


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41

CONEXIÓN CON FORMACIÓN DE UNA CIUDADANÍA DEMOCRÁTICA

Aplicación en la práctica. Estrategia: Analizar gráficos.

7 Lean la información; luego, realicen las actividades señaladas.

En el municipio de una ciudad, se analiza la superficie de edificación de viviendas (en millones de m2) concedida en cada mes del año.

a Analicen su continuidad.

b Estudien su crecimiento.

c Señalen sus máximos y mínimos.

d Respondan: ¿En qué meses se superaron los 12 millones de m2? ¿Entre qué dos meses se registró el mayor crecimiento?

¡HAZLO ASÍ!Conocimiento de procesos

INDICADoRES:

Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.

Estructura una gráfica de acuerdo a sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Grafica funciones. Encuentra máximos y

mínimos de una función. Analiza la gráfica de una

función y resuelve un problema.

1 Observa los precios en dólares del kilogramo de papas en el período entre 2005 y 2009. Representa los datos en una gráfica y analiza su crecimiento y decrecimiento.

3 La siguiente tabla muestra las ventas de carros durante los cinco primeros meses del año. Sin representar los datos, analiza su crecimiento y decrecimiento.

6 Determina los máximos y mínimos de la función.

Tiempo (horas)1 2

1

2

3

4

3 4 5 6 7 8 9 10 x

y

Tem

pera

tura

(ºC

)

¿Cómo determinar máximos y mínimos en la gráfica de una función?Escoge un punto cualquiera x = a y observa si la función pasa de:

La siguiente gráfica muestra la evolución de la temperatura a lo largo de 10 horas. Halla sus máximos y mínimos.

La función tiene dos valores máximos que se alcanzan al cabo de x = 3 y x = 5 horas y un mínimo transcurridas x = 9 horas.4 Representa gráficamente las siguientes funciones

y analiza su crecimiento y decrecimiento. ¿Es constante en algún tramo?

5 Indica qué función es creciente y cuál es decreciente.

Año 2005 2006 2007 2008 2009

Precio ($) 0,51 0,65 0,57 0,49 0,64

Mes E F M A M

Ventas 2 000 1 875 1 690 1 600 1 540

a f(x) = x + 3

b f(x) = –2x + 1

c f(x) = –x + 4

d f(x) = –5

e f(x) = x +5

f f(x) = x – 3

g f(x) = 2x +1

h f(x) = 2

a x

y Máximo DecrecienteCr

ecien

te

y

a x

Mínimo

Decreciente Cr

ecien

te

1–1–2–3–4 2 3 4–1

1

2

3

4

–2

–3

–4

F M

9

10

11

12

13

A M J J A S O N D x

y

E

2 Dibuja la gráfica de una función que sea creciente y continua en los intervalos [0, 3] y [6, 8] y decreciente en [3, 6] y [8, 10].

x

y

x

ya b

y = f(x)y = f(x)



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42


a Cuando 0 < a < 1

• Graficar f(x) = ( 1 _ 3 ) x.

b Cuando a > 1

• Graficar f(x) = 3x.

• Elaborar una tabla de valores y ubicar los paresordenados en el plano cartesiano.

• Completar las conclusiones.

Cuando 0 < a < 1, la función es ;

cuando a > 1, la función es .

Cada gráfica corta el eje y en el punto .

Reconocer una función exponencial con la base en su tabla de valores. (C, P)

Evaluar si una función exponencial es creciente o decreciente. (C, P)




Si han transcurrido 10 horas, ¿cuántas bacterias forman el cultivo?

Lee la información, realiza lo indicado y responde.

En un laboratorio, se ha observado un cultivo de bacterias que se duplica cada hora. Si al comienzo había 10, transcurridas 5 horas, ¿cuántas hay? Completa la tabla.

• Escribe la ecuación de la función.

• Grafica la función.t (tiempo en horas) f(t) (conteo de bacterias)

0

1

2

3

4

5


Representación gráfica de funciones exponenciales para x

Es una función definida por y = f(x) = ax, donde a es un número positivo; a es llamada base de la función; a .

x y–2 9–1 30 11 1/3

x y–1 1/30 11 32 9

1–1–2 2

f(x) = ( 1 __ 3 ) x

1 1

1–1–2 2

f(x) = 3x

f(t) =

1 2 3 4 5

100

200

300

a b

Observa qué tipo de número debe ser la base de una función exponencial

para que sea creciente o decreciente.

f(t)

t

decrecientecreciente

(0; 1)

10 240.

10

20

40

80

160

320

10 ∙ 2t

y = 10 ∙ 2t


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43

Aplicación en la práctica. Estrategia: Comprender el enunciado.

7 Lee el texto.

Existen sustancias radioactivas llamadas isóto-pos, cuya desintegración se explica a través de una función exponencial.

La vida media de un isótopo es el tiempo que se requiere para que la mitad de la can-tidad original de una muestra se desintegre.

El isótopo radioactivo de bismuto se desinte-gra de acuerdo con la función f(t) = q0(2)– t __

5 ,

donde q0 es la cantidad inicial de bismuto en miligramos y t, los días transcurridos. Para q0 = 100 mg:

a Calcula la cantidad de bismuto que quedará después de 5, 10 y 15 días.

b Traza y analiza la función hasta 30 días.

c Determina el período radioactivo del bismuto.


INDICADoRES:

Elabora tablas de valores y grafica funciones exponenciales.

Establece comparaciones entre funciones.

Analiza particularidades de la función exponencial.

Identifica funciones crecientes y decrecientes.

Resuelve un problema relacionado con función exponencial.

1 Completa la tabla de valores y representa gráficamente cada par de funciones en un mismo plano cartesiano.

2 Grafica cada trío de funciones en un mismo plano cartesiano; luego, emite conclusiones.

3 Contesta.

4 Completa la tabla de valores y representa estas funciones en un mismo plano.

5 Realiza una tabla de valores y representa estas funciones exponenciales.

a f(x) = 2x; f(x) = (1/2)x

b f(x) = 5x; f(x) = (0,2)x = ( 1 __ 5 ) x f(x) –3 –2 –1 0 1 2 3

y = 2x 1

y = ( 1 __ 2 ) x 1

y = 5x

y = (0,2)x

a f(x) = 2x; f(x) = 3x; f(x) = 4x

b f(x) = ( 1 __ 2 ) x; f(x) = ( 1 __ 3 ) x; f(x) = ( 1 __ 4 ) x

a ¿Podría ser a = 1 en una función exponencial?

b ¿Qué ocurre si a < 0 en una función exponencial?

a f(x) = –3x; f(x) = 3–x

f(x) –3 –2 –1 0 1 2 3

y = –3x

y = 3–x

b f(x) = 3–2x; f(x) = 3 – x __ 2

f(x) –3 –2 –1 0 1 2 3

y = 3–2x

y = 3–x ___ 2

a y = 32x b y = 3 √__

3x c y = 2 3x __ 2

6 Representa las siguientes funciones exponenciales.

a y = 1 ___ 22x b y = 3

x ___

22x

El período radioactivo es una característica que diferencia a una sustancia

de otra.CONEXIÓN CON QUÍMICA



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44

Más actividades

1 Analiza las opciones y responde la pregunta.

¿Cuál de estas relaciones no es una función?

4 Observa el gráfico y responde las preguntas.

La gráfica representa un viaje en automóvil.

5 Observa el gráfico y responde las preguntas.

En la gráfica aparece el número de oyentes (en miles) de dos emisoras de radio:

6 Lee la información y realiza las actividades.

3 Resuelve el ejercicio.

En una función decreciente con x1 < x2 se cumple que:

a El área de un círculo y su radio.

b Un número y su cuadrado.

c Un número y sus factores primos.

d El volumen de un cubo y la arista.

2 De las siguientes relaciones, señala las que no son funciones. Razona tu respuesta.

a Un número positivo y su raíz cúbica.

b Un número negativo y su raíz cúbica.

c Un número entero y sus factores primos.

d En una pirámide, el número de lados del polígono de la base y el número total de aristas.

a ¿Cuántos kilómetros se recorrieron en la primera

media hora?

¿Y en la segunda?

b ¿Cuánto tiempo se detuvo?

c ¿Cuánto se recorrió en los primeros diez minutos?

d ¿A qué velocidad en km/h?

a ¿Qué emisora tenía más oyentes a las 5 de la tarde?

¿Y a las 7 de la noche?

b ¿A qué hora era mayor la diferencia de oyentes

entre ambas?

¿Y menor?

c ¿Cuándo creció y decreció la audiencia de cada emisora?

a Escribe la función que expresa el valor a pagar en

función de los kilómetros recorridos.

b ¿Cuál es el valor a pagar por 10 km recorridos?

¿Y por 12 km?

c Representa la función en un gráfico.

a f(x1) – f(x2) < 0

b f(x2) > f(x1)

Tarifas de taxi en una ciudad

Arrancada 0,35 ctvs.

km recorrido 0,40 ctvs. más

10 4020 30 50 60

20

15

40

30

50

Reco

rrid

o (k

m)

Tiempo (minutos)

1 42 3 5 6 7 8 9 10

5

15

25

35

Oye

ntes

(mile

s)

Hora

B

A


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45

8 Lee la información y realiza las actividades.

Esta tabla muestra la conversión de velocidad en kilómetros por hora a millas por hora.

7 Considera una circunferencia de radio x (en cm).

9 Una función de proporcionalidad directa pasa por el punto de coordenadas P(4, 2). Calcula su pendiente. ¿Cómo es la función?

11 Expresa el perímetro de un hexágono en función del valor de su lado. Haz una tabla de valores y su representación gráfica. ¿Cuál es el valor de la pendiente de la función?

12 Una función de proporcionalidad directa pasa por el punto de coordenadas P(–5,10). Halla su pendiente.

¿Cómo es la función?

13 El correcaminos, al ser perseguido por el coyote en una carretera, huye a una velocidad constante de 50 km/h durante 5 h sin descansar.

14 Indica el signo de la pendiente de la función lineal que pasa por cada par de puntos y calcúlala.

10 Representa gráficamente la recta de la ecuación y = 2x –3.a Escribe la expresión algebraica de la longitud

de la circunferencia y en función del radio x.

b Haz una tabla de valores y representa gráficamentela función.

a El punto 2 de la recta de abscisa 5, ¿qué ordenada tiene?

b El punto 5 de la recta de ordenada 5, ¿qué abscisa tiene?

a P1(3, 4) P2(2, 5) b P1(3, 9) P2(5, 8)

a Dibuja una gráfica para ver el tipo de función.

b Escribe la expresión algebraica que relaciona la velocidad en millas/h y en km/h.

c Indica el dominio y el recorrido de la función.

Responde las preguntas.

a ¿Qué muestra el dibujo acerca de la huida del correcaminos?

b ¿Qué significan los puntos del gráfico cartesiano?

c ¿Por qué las posiciones del correcaminos en la carretera han sido unidas con los puntos del gráfico?

d ¿La carretera es una recta?

e ¿La recta del gráfico cartesiano es la carretera por donde huyó el correcaminos?

f ¿Qué representa la recta del gráfico cartesiano?

km/h 16,1 32,2 48,3 64,4 80,5

millas/h 10 20 30 40 50

0 km

Km 100100 km

100 km

300 km

400 km

1 2 3 4 5

50

100

200km

h© SANTILLANA, EN PROCESO DE EDICIÓN

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ESTRATEGIA: Relacionar tabla, fórmula y gráfica. La comprensión de un problema es un proceso que se inicia elaborando una tabla de valores que nos permite obtener una fórmula para relacionar las variables que intervienen y, luego, hacer una gráfica aproximada.

1 Un tercer proveedor, Milenium Café, ofrece la siguiente promoción: $ 15la inscripción y $ 0,60 por cada hora de navegación. Si una persona navega 80 horas al mes, ¿cuál de los tres proveedores le convendrá? Considera los datos de los proveedores Mundonet y Buscanet del problema resuelto.

2 Un albañil y su ayudante son contratados para realizar una obra. El ayudante comienza a trabajar a las 8h00 y cobra $ 9 por hora de trabajo. El albañil comienza a trabajar a las 10h00 y cobra $ 12 por hora. ¿Cuánto ha ganado cada uno si los dos han trabajado hasta las 12 horas?


Problema resuelto

• Se elabora una tabla de valores que permita obtener la ecuación de lo que se paga a cada uno de los proveedores para determinadas horas de navegación.

Ambas ecuaciones tienen la formade una ecuación lineal.

• Se elaboran las gráficas de la ecuación en un mismo sistema de coordenadas cartesianas.

• Para saber la opción que le convendrá a Silvana, se traza por x = 10 una línea paralela al eje y que corte ambas gráficas lineales.

• A partir de los dos puntos de intersección (A y B), se trazan líneas paralelas al eje x que corten al eje y. Los valores por donde se corta al eje y serán las cantidades a pagar en cada caso. Al comparar dichas cantidades (17 < 20), se ve que a Silvana le conviene incribirse en Buscanet.

Comprobación

Mundonet: 12 + 0,8 · 10 = 12 + 8 = $ 20Buscanet: 5 + 1,20 · 10 = 5 + 12 = $ 17

1 2 x

Mundonet 12 + 1 · 0,80 12 + 2 · 0,80 12 + x · 0,80

Buscanet 5 + 1 · 1,20 5 + 2 · 1,20 5 + x · 1,20

Tiempo (h)Costo ($)

Enunciado

Para captar clientes, dos proveedores de Internet ofrecen dife-rentes promociones. Mundonet cobra $ 12 por inscripción y $ 0,80 por cada hora de servicio, mientras que Buscanet cobra $ 5 la inscripción y $ 1,20 por cada hora de servicio. ¿Cuál de las opciones le convendrá a Silvana si ella navega en la web 10 horas al mes?

Comprensión

Se sabe cuánto cobran las dos cabinas por la inscripción y por cada hora de servicio. Hay que evaluar las dos opciones para las 10 horas que Silvana navega en un mes.

yE = 0,80x + 12yD = 1,20x + 5{

5

10

5 10 15 20 25

15

20

25

30

35

40

Cantidad de horas

Cos

to ($

) yE = 0,80x + 12

yD = 1,20x + 5B

A© SANTILLANA, EN PROCESO DE EDICIÓN

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1 Indica, en cada gráfico, si corresponde a una función creciente, a una función decreciente o a una función constante.

3 Observa este gráfico que mide la variación de la presión atmosférica cuando varía la altura respecto de la superficie terrestre.

4 Considera las siguientes funciones lineales de dominio R.

5 Escribe un ejemplo de función lineal y grafica.

a ¿Qué variables se han representado en los ejes?

b ¿Cuál era la temperatura inicial del agua?

c ¿Qué representa cada unidad en el eje horizontal?

¿Y en el eje vertical?

d ¿Cuánto tiempo permanece el agua a 90 ºC?

e ¿Cuánto tiempo tarda en enfriarse hasta llegar a

los 20 ºC?

a ¿Qué ocurre con la presión cuando aumenta la altura?

b ¿Cómo es esta función, creciente o decreciente?

c ¿Cuánto vale la presión a nivel del mar (altura 0 km)?

a ¿Qué tienen en común las tres funciones?

b ¿Es alguna de ellas una función de proporcionalidad directa?

¿Cuál? ¿Por qué?

a

2 Lee la información, observa el gráfico y responde.

Se ha calentado una olla con agua. Cuando empieza a hervir (a 100 ºC ), se deja enfriar.

b

c

y = 1 __ 2 x + 1 y = 1 __ 2 x y = 1 __ 2 x – 3

Creciente

En x: tiempo. En y: temperatura.

La presión disminuye.

Las tres funciones son lineales

(de primer grado).

R. A.

Es una función decreciente.

760 mm Hg

En x: 2,5 minutos, en y: 20 ºC.

10 minutos.

17,5 minutos.

20 ºC.

Decreciente

Constante

Sí, y = 1/2 x; porque la constante

de proporcionalidad es 1/2, por tanto

pasa por el origen.


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DESTREZAS CoN CRITERIoS DE DESEMPEÑo: Aplicar el teorema de Pitágoras en el cálculo de áreas y volúmenes. (P, A)

Calcular áreas laterales de conos y pirámides en la resolución de problemas. (C, A)

Áreas laterales de conos y pirámides



Analiza y ejemplifica.

Lee la información; luego, calcula el valor de la diagonal del cubo.

• Observa el ortaedro de la figura de dimensiones m, n y p. ¿Cuál es longitud de la diagonal CD?

La diagonal AC de la base es la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC; entonces, su longitud es AC = √

______ m2 + n2 . Además, la diagonal CD del ortaedro es la hipotenusa del triángulo rectán-

gulo ACD; por lo tanto, se deduce lo siguiente.

CD = √_____________

( √______

m2 + n2 )2 + p2 = √__________

m2 + n2 + p2

• Si se duplican las medidas de las aristas de un cubo, ¿la diagonal se duplica? Demuéstralo.

B A

D

C

p

n

m

Da

a

a =

Área de prismas rectos

Área de una esfera

El desarrollo de un prisma recto está constituido siempre por un rectángulo y por los dos polígonos que forman las bases. Uno de los lados del rectángulo coincide con uno de los lados de la base y el otro, con la altura del prisma.

El área lateral (área del rectángulo) es igual al perímetro de la base por la altura. El área total es la suma del área lateral y del de las bases.

AL = PB · h AT = PB · h + 2 · AB

Estas fórmulas son válidas también para prismas oblicuos, porque la altura del prisma coincide con la altura de las caras laterales; la diferencia es que esa altura no es la misma que la longitud de las aristas laterales.

Área de pirámides rectas

Para calcular el área total, hay que sumar el área lateral, formada por la suma de las áreas de los triángulos, y el área de la base. El proceso se simplifica si la base es un polígono regular y la pirámide es recta, porque, entonces, todas las caras laterales son iguales.

AT = AL + AB

OV es la mitad de la diagonal de la base. OV = ( √

_____ l2 + l2 ) ________ 2 ,

siendo OV2 = (l2 + l2)

______ 4 = l2 __ 2 ; por lo tanto, se tiene que:

h2 = a2 – OV2 = a2 – ( l2 __ 2 ) ; h = √_______

a2 – ( l2 __ 2 ) Esta fórmula es válida para una pirámide cuadrangular. En las demás, el razonamiento es similar: a es la generatriz.

Área de una esfera

A = 4πr2

Área del casquete esférico

A = π(a2 + h2)

Pirámide cuadrada y su desarrollo

V

h

O

I

a

Perímetro de la base: PB

r

ha

Si L = 6 cm:D = √

___________ 62 + 62 + 62

D = √______

3 · 62 D = 6 √

__ 3

D = 10,4 cm

Sí. D = 12 √__

3 = 20,80 cm.

6 cm


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CONEXIÓN CON VIDA COTIDIANA


INDICADoRES:

Aplica el teorema de Pitágoras para resolver ejercicios.

Interpreta textos para resolver problemas.

Realiza el desarrollo de las figuras y resuelve.

Elabora un gráfico y resuelve problemas.

¡HAZLO ASÍ!

¿Cómo calcular la altura de una pirámide hexagonal regular de 10 cm de lado de la base y 26 cm de arista?Siguiendo el razonamiento:

h2 = 262 – 102 = 576;

h = √___

576 = 24 cm

El lado de la base coincide con el cateto o radio OP.

h

O10P

26

1 Calcula.

2 Resuelve los problemas.

a La diagonal de un octaedro es de 10 cm. Calcula su altura sabiendo que dos de sus dimensiones son 4 y 5 cm.

b Calcula la altura de un tetraedro de 8 cm de arista.

Ten en cuenta que las alturas (medianas) de un triángulo equilátero están divididas en dos partes, una equivalente al doble de la otra, por el baricentro.

c Halla la arista de un cubo sabiendo que su diagonal mide 12 cm.

a Halla el área total de un prisma hexagonal regular de 8 cm de arista básica y 10 cm de altura.

b Calcula el área total de una pirámide cuadrangular recta de 6 cm de arista básica y 4 cm de altura.

c Halla el área total de una pirámide cuadrangular de 5 cm de arista básica y con una apotema de sus caras laterales que mide 12 cm.

d Calcula la arista de un cubo que tiene igual área total que un octoedro cuyas dimensiones son 6, 8 y 10 cm.

e Coge este libro y ábrelo de forma que las dos hojas formen un ángulo diedro de 60º. ¿Dónde tienes que medir ese ángulo? ¿Se puede conseguir que el ángulo sea mayor que 180º?

f Pon un tablero de madera apoyado en la pared. Di cómo medirías el ángulo que forma.

Aplicación en la práctica. Estrategia: Elaborar gráficos.

4 Lean, realicen un gráfico y resuelvan.

Se quiere pintar una habitación rectangular (incluido el techo) de 4 m × 6 m y 3 m de alto. Cada tarro contiene pintura para 30 m2.

a ¿Cuántos tarros tendremos que comprar si nos atenemos a lo que dice el fabricante?

b Si al final hemos necesitado 4 tarros justos, ¿para cuántos metros cuadrados nos alcanza cada uno?

g Busca en el aula ejemplos de diedros y triedros. Anota cuál es su medida.

h Dibuja una pirámide pentagonal. Comprueba que se cumpla en ella la fórmula de Euler.

i Grafica el desarrollo de una pirámide triangular recta con aristas laterales de 6 cm y con un triángulo equilátero de 4 cm de lado como base. Calcula su área total y su volumen.

j Representa el desarrollo de un cilindro de 3 cm de radio de la base y 5 cm de altura. Encuentra sus áreas lateral y total y su volumen.

k Dibuja el desarrollo de un cono de 4 cm de radio y 6 cm de generatriz. Halla sus áreas lateral y total y su volumen.

l Un octaedro tiene aristas de 5, 7 y 9 cm. Calcula la longitud de las diagonales de las caras y de la diagonal del octaedro.

m Dos de las aristas de un octaedro miden 4 y 6 cm, y su diagonal es de 12,3 cm. Halla la longitud de la otra arista.

¡HAZLO ASÍ!

¿Cómo dibujar el desarrollo de un prisma cuadrangular recto de 5 cm de altura y cuya base tiene 3 ∙ 4 cm? Calcular también el área lateral y total del prisma, así como su volumen.El desarrollo estará formado por dos rectángulos de dimensiones 3 ∙ 4 como base y cuatro caras laterales: dos rectángulos de dimensiones 3 ∙ 5 y dos de 4 ∙ 5.

AL = 2 · 3 · 5 + 2 · 4 · 5 = 70 cm2

AT = 70 + 2 · 3 · 4 = 94 cm2

V = 3 · 4 · 5 = 60 cm3R

3

5

4 3

3

4

3 Investiga y responde.

a ¿Cuántas diagonales de cara y de prisma tiene un prisma hexagonal?

b ¿Cuántas diagonales de cara tiene una pirámide pentagonal? ¿Y diagonales de prisma?

c Además de los octaedros, existen dos paralelepípedos importantes: el romboedro, con rombos como caras, y el romboidedro, con romboides como caras. Dibújalos.

Álgebra y GeometríaDominio B


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DESTREZA CoN CRITERIo DE DESEMPEÑo: Calcular volúmenes de pirámides y conos con la aplicación del teorema de Pitágoras. (P, A)

Volúmenes de pirámides y conos


Explica a un compañero: ¿Cómo calcularías la altura de la pirámide?

Lee el problema.

El área lateral de una pirámide recta de base cuadrada y, por tanto, regular, es de 80 cm2, y el perímetro de la base mide 32 cm.

• Calcula la apotema de la pirámide.


Volumen de esferaVolumen del prisma y del cilindro Volumen de la pirámide y del cono

V = 4π r3

____ 3

Volumen del casquete esférico

V = πh3 ___ 3 (3r – h)

El volumen de un ortaedro es:

V = m · n · p = (m · n) · p

El volumen de un cilindro es:

De manera experimental se puede comprobar que el volumen de una pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma con la misma área de base e idéntica altura.

Vpirámide = 1 __ 3 Vprisma → Vpirámide = 1 __ 3 (Abase · h)

De forma análoga, se puede calcular el volumen de un cono relacionándolo con el volumen de un cilindro de igual base y altura.

Vcono = 1 __ 3 Vcilindro → Vcono = 1 __ 3 (π r2 · h)

p

nm

h

h

h

h


1 Calcula.

a Obtén el volumen de una pirámide cuadrangular recta de 10 cm de arista y 5 cm de altura.

b Calcula el volumen de un prisma triangular recto de 8 cm de altura, cuya base es un triángulo equilátero de 4 cm de lado.

c Halla el volumen de una pirámide triangular recta con aristas laterales de 8 cm y con un triángulo equilátero de 7 cm de lado como base.

d Calcula el volumen de un cilindro de 12 cm de diámetro y de una altura equivalente al triple del diámetro.

e Obtén el volumen de estos cuerpos geométricos.

5 cm

8 cm

apotema

h V = πr2h

r

h

a

P de la base = 32 cm L = 8 cm

AL= b · ap

______ 2 ; 80 cm2 = 8 cm · ap

_________ 2

ap = 80 cm · 2ap = 20 cm

R. A.


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CONEXIÓN CON CULTURA GENERAL

¡HAZLO ASÍ!

INDICADoRES:

Aplica fórmulas para calcular volúmenes.

Resuelve problemas referidos al volumen de conos y pirámides.

Encuentra el volumen de cuerpos truncados.


a Un ascensor tiene las siguientes medidas: 100 ∙ 100 ∙ 250 cm. ¿Es posible introducir en él una vara metálica que mida 288 cm?

b La pirámide de Kefrén tiene las medidas que se reflejan en la figura. Halla la altura de la pirámide.

a b

a b


4 Aplica la fórmula correcta y resuelve.

La Géode es un gigantesco cine con forma de esfera. Calcula su área sabiendo que su volumen es de 24 416 640 dm3.

¿Cómo calcular el volumen de un tronco de pirámide y de un tronco de cono?

El volumen de un tronco de pirámide o de un tronco de cono se calcula mediante la siguiente fórmula.

V = h __ 3 (S1+ S2 + √_____

S1 · S2 )

a S1 = 62 = 36 cm2

S2 = 42 = 16 cm2

V = 9 __ 3 (36 + 16 + √______

36 · 16 ) = 228 cm2

b S1 = π r2 = π · 52 = 78,5 cm2

S2 = π r2 = π · 32 = 28,26 cm2

V = 9 __ 3 (78,5 + 28,26 + √_________

78,5 · 28,26 )= 461,58 cm2

f Halla el volumen de los conos con las siguientes dimensiones.

• 5 cm de radio y 8 cm de altura.

• 5 cm de radio y 8 cm de generatriz.

c Calcula el área total de una torre cúbica de 10 m de arista que tiene un tejado en forma piramidal cuya altura es 12 m.

d Un cubo y una esfera tienen el mismo volumen, 125 cm3. Indica cuál tiene menor área.

Si tuvieras que construir un depósito con un volumen determinado, ¿qué forma te permitiría usar menos material: la cúbica o la esférica?

e En el interior de un cubo de 12 cm de arista, se construye una pirámide cuya base es una cara del cubo y cuyo vértice es el centro de la cara opuesta. Calcula el área y el volumen de esta pirámide.

3 cm

9 cm

5 cm

S2

S1

h

3 cm

S2

S1

h

r

4 cm

6 cm

9 cm

5 cm

2 Resuelve los problemas.

215,25 m

179,37 m

a b

3 Calcula el volumen de estas figuras.

7 cm

6 cm

9 cm

3 cm

4 cm

5 cm



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Más actividades

b f

1 Dibuja el desarrollo de estos poliedros.

2 Los siguientes poliedros, ¿son regulares? Razona tu respuesta.

3 Comprueba si estos poliedros cumplen la fórmula de Euler (caras + vértices = aristas + 2). Clasifícalos en cóncavos y convexos.

5 Calcula el área de los siguientes cuerpos y figuras geométricas.

4 Resuelve.

a Las tres aristas de un ortaedro miden 5, 6 y 4 cm, respectivamente. Halla su diagonal.

b Obtén la diagonal de un cubo cuya arista mide 3 cm.

c La diagonal de un cubo mide √__

27 m. ¿Cuánto mide su arista? ¿Y la diagonal de una cara?

6 Halla el área de las siguientes figuras.

7 Un cilindro tiene una altura igual al diámetro de la base y su área es 470 cm2. Halla el radio de la base.

8 Calcula la altura de un cilindro si el área de una de las bases es igual a la superficie lateral, y cada una de ellas mide 154 cm2. Halla el área total.

9 Determina la superficie lateral de un cono cuya altura coincide con el diámetro de la base, si la longitud de la circunferencia de la base mide 18,85 cm.

a Un cubo cuya diagonal de una cara mide 10 cm.

b Un cilindro de 20 cm de diámetro de la base y 12 cm de altura.

c Un cono de 4 cm de radio y 6 cm de altura.

d Una esfera de 12 cm de diámetro.

e Un huso esférico de 80º y de radio de 20 cm.

f Un casquete esférico de 10 cm de radio y 9 cm de altura.

g Una zona esférica de 8 cm de altura y 12 cm de radio.

h Una pirámide hexagonal regular de 3 cm de altura y 3 cm de lado de la base.

a ca e

a c

a b c

b d

c g

d h

b d

5 cm

5 cm

6 cm

6 cm

3 cm

3 cm

3 cm

3 cm

5 cm

4 cm

4 cm

3 cm

6 cm

9 cm

4 cm

40º


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¡HAZLO ASÍ!

b d

10 Calcula el área total de estas figuras.

12 Obtén el área total de los siguientes cuerpos geométricos.

13 Obtén el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.

a c

a b

¿Cómo calcular el área lateral de una pirámide truncada y de un cono truncado?

Calcula el área lateral de estas figuras.

a El área lateral de un tronco de pirámide es 912 cm2.

b El área lateral de un tronco de cono es 1 036,73 cm2.

10 cm

12 cm

15 cm

24 cm

12 cm

14 cm

Alateral = n(l + l’) · a

________ 2 =

= 4(24 + 14) · 12

____________ 2 =

= 912 cm2

Alateral = π(r + r’)g =

= π(12 +10) · 15 =

= 1 036,73 cm2

al’

l

g

2πr’

2πr

15 Una hormiga se encuentra en un vértice de un octaedro y decide recorrer todas sus aristas sin pasar dos veces por la misma. Indica un camino posible.

14 Resuelve.

Una empresa vende jugos en envases con forma de octaedro cuyas medidas son 11 ∙ 6 ∙ 15 cm. Un día decide cambiar di-chos recipientes por otros con estas características.

• Disminuye un 10% el área de la base.

• Aumenta un 10% la altura.

a El volumen del nuevo envase, ¿es mayor o menor que el antiguo?

b Si se mantiene el mismo precio, ¿es más rentable para el cliente el nuevo envase?

c El precio final del jugo es de $ 1,40. ¿Cuánto gana la empresa si envasa 99 000 ℓ de jugo al mes? ¿Cuánto ganaba antes?

Curiosamente, la hormiga no podría hacer lo mismo en un cubo. Compruébalo.

10 cm

12 cm

14 cm

3 cm

6 cm

8 cm

6 cm

8 cm

9 cm

10 cm

22 cm

11 Resuelve.

a El radio de una esfera mide 3 cm. Calcula su área total.

b El círculo máximo de una esfera tiene un área de 78,54 cm2. Determina el radio y el área total.

3 cm2 cm

b e

a d

c f

2 cm

2 cm

2 cm4 cm

3 cm

5 cm

4 cm

4 cm

8 cm

4 cm

6 cm

3 cm

4 cm

4 cm

4 cm

18 cm

8 cm


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¡El balón de fútbol no es perfectamente redondo!

Según la FIFA (Federación Internacional de Fútbol Asociado), el balón debe ser esférico. La cobertura exterior debe ser de cuero o de otros materiales aprobados. En su fabricación no debe emplearse ningún material que pudiere resultar peligroso para los jugadores. La circunfe-rencia del balón, al comienzo del partido, debe medir entre 68 y 71 centímetros y su peso debe estar entre 396 y 450 gramos.

Al parecer, la gran mayoría de balones de fútbol no cumple con una de las condiciones, quizás la más importante: la de ser esférico. Veamos.

¡Está compuesto de 32 polígonos!

Observa un balón de fútbol. Cuando está bien inflado parece una esfera perfecta, pero al mirarlo con atención veremos que está compuesto de pentágonos y hexágonos unidos entre sí, que hacen un total de 32 caras.

Si está un poco desinflado, se puede mantener apoyado perfectamente en equilibrio sobre una de sus caras y deja de ser una esfera. Ahora es un poliedro, es decir, un cuerpo geométrico compuesto de varias caras y que se llama, según Kepler, icosaedro truncado. Observa cómo se obtiene este poliedro.

¿Conoces el rombicosidodecaedro?

Hay otros poliedros que se aproximan más a una esfera pero tienen muchas más caras, lo que comercialmente es inadecuado para confeccionar balo-nes. Uno de estos poliedros está formado por 12 pentágonos, 30 cuadrados y 20 triángulos: ¡62 caras en total!

• Aquí tienes su desarrollo. Anímate a construirlo.

No es 100% una esfera

Desinflado, su volumen es el 86,74% de la esfera correspondiente, que no es una mala aproximación, pero, cuando se infla, se curvan sus caras y, así, este porcentaje aumenta ligeramente y sobrepasa el 95%.

Tiene las caras abombadas hacia fuera, debido a la presión del aire que encierra y a la elasticidad del material con que está fabricado.


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1 Analiza y responde.

Isabel es la jefa de Ventas de una empresa dedicada a la comercialización de computadoras portátiles. Tiene que elaborar un gráfico tipo pastel para presentar su informe al dueño de la empresa. Los datos recogidos se muestran en la siguiente tabla.

4 Encuentra el área de los siguientes cuerpos.

5 Encuentra el volumen de los siguientes cuerpos.

3 Indica el tipo de poliedro que representa cada figura.

ABEFGa MOPQVb

M

T S

Q

O P

RU

V

3 cm

18 c

m

4 cm

15 c

m

A

F I

D

B C

HG

E

2 Encierra las composiciones que se pueden hacer con las figuras del área señalada.

4 cm

10 c

m

5 cm

3 cm

4 cm

2 cm

6 cm

3 cm

5 cm

6 cm

a

a

a

4 cm

6 cm 5

cm

6 cm

4 cm

10 c

m

5 cm

6 cm

b

b

bc d

Ventas Número de portátiles Porcentaje

Ciudad A 45 50%

Ciudad B 18 20%

Ciudad C 27 30%

a Si el gráfico debe tener un radio de 10 cm, ¿cuál es la longitud de la circunferencia trazada?

b ¿Es suficiente el área de una hoja de papel bond para este gráfico?

c ¿Cuántos sectores circulares se tienen que visualizar?

d ¿Cuáles son los ángulos comprendidos en cada sector circular?

6 cm

4 cm4 cm

7 cm

5 cm5 cm

50% → 180º

20% → 72º

30% → 108º

62,83 cm

Sí

A = 395,84 cm2

A = 64 cm2

V = 753,98 cm3

V = 175 cm3

3

Pirámide cuadrangular Pirámide de base

rectangular


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a Un número positivo y su raíz cuadrada.

b Un número positivo y su raíz cúbica.

c El valor absoluto de un número entero.

d El número de lados de la base de una pirámide y su número total de aristas.

3 Dada la función que asocia a cada número el inverso de la suma de ese número más 5:

a Determina su expresión algebraica.

b ¿Existe valor de la función para x = –2?

4 Expresa en palabras las siguientes funciones.

a y = x + 5

b y = –3x + 1

c y = x + 1

d y = x __ 5

1 De estas relaciones, señala las que representan una función. Razona tu respuesta.

5 En un instituto se ha medido la longitud de la sombra del edificio principal cada hora, a lo largo de un día de invierno (a partir de las 18h00 era de noche), y se ha obtenido esta tabla.

Tiempo (h) 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Longitud 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

a Haz la representación gráfica.

6 Elabora la tabla de la función f(x) = 2x y elabora la gráfica.

7 Calcula el área total lateral y el volumen del cilindro

b ¿Es una función lineal o no?

2 Justifica si los gráficos corresponden a una función.

a b y

x

y

x

4 cm

15 c

m

R. M. Porque a cada elemento del dominio

le corresponde una sola imagen.

a No es una función, porque a x = 2

le corresponde más de un valor de y.

b Es una función, pues a cada valor

de x le corresponde un único valor de y.

y = 1 ______ ( x + 5 ) .

A = 477,52 cm2

V = 753,98 cm3

A un número dado se le suma 5.

Dado un número le asignamos la

Dado un número se lo multiplica

A cada número le asociamos su quinta

suma de su cuadrado más el mismo número,

por – 3 y se le suma uno.

parte.

más uno.

Sí, es 1 __ 3 .

Tiempo (h)

10

9 11 13 15 170 8 10 12 14 16

20

Long

itud

(m)

2x


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CoN CRITERIoS DE DESEMPEÑo

Metacognición

Evaluación de destrezas

Lee el texto, analiza las gráficas y contesta.

La velocidad de un auto es la magnitud que relaciona el espacio que se recorre con el tiempo que se emplea.

Hay dos tipos de gráficas importantes para analizar los movimientos: la gráfica espacio-tiempo y la gráfica velo-cidad-tiempo.

En ambas se representa, en el eje horizontal, el tiempo como variable independiente, y en el eje vertical, el espa-cio recorrido o la velocidad, respectivamente.

PARA LA CARTELERA

Investiga sobre las fórmulas para calcular el volumen de un prisma cuadrangular, un cilindro, un cono y una pirámide. Exprésalas como funciones y represéntalas gráficamen-te. Exhíbelas en la cartelera.

1 Un auto parte de un punto con un movimiento uniforme (a velocidad constante) que viene representado por la siguiente gráfica.

Para responder las preguntas planteadas a continuación, toma en cuenta las siguientes sugerencias.

• La distancia inicial corresponderá a un valor del tiempo t = 0, que según la gráfica es igual a 15 m.

• Esta es una gráfica espacio-tiempo, y la velocidad relaciona estas dos magnitudes de la siguiente forma: v = e _ t .

• Como se ve en ella, en un segundo ha pasado de 15 m a 20 m, por lo que ha recorrido 5 m. En 2 segundos pasa de 15 a 25 m, o sea, ha recorrido 10 m en 2 segundos, etc. Por lo tanto, su velocidad es…

• La expresión del movimiento nos indica el espacio que recorre el auto en función del tiempo. En este caso, hay un espacio inicial y, después, el espacio es directamente proporcional al tiempo empleado. La expresión es…

a ¿A qué distancia inicial se encontraba el auto?

b ¿Cuál es la velocidad del auto? ¿Cómo será la gráfica v-t (velocidad-tiempo)?

c Escribe la expresión algebraica del movimiento.

10

d (m

etro

s)

t (segundos)1 2 3 4 5

20

30

40

CoEVAluACIóN

2 Determina la veracidad o falsedad de cada afirmación realizada por Luisa y Javier.

Luisa afirma:

«(x + a) 2 se conoce con el nombre de cuadrado de la suma de dos términos y basta con colocar a esta expresión el signo menos entre x y y para llamarlo diferencia de dos cuadrados».

Javier afirma:

«(x – a) 3 se denomina diferencia de cubos y basta con colocarle el signo más entre x y y para llamarlo cubo de una suma de dos términos».

AUTOEVALUACIÓN

• Recorta de revistas o periódicos una gráfica que relacione dos magnitudes de manera que sea una función continua que muestre crecimiento y decrecimiento. Indica a un compañero la ubicación de máximos y mínimos.

• Explica las propiedades de las rectas tangentes y secantes a la circunferencia.

Metacognición


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58

Malabarismo

Intentando definir un modelo matemático de malabarismo, los matemáticos propusieron algunas hipótesis.

1. Fijar como variables el número de manos y de objetos.

2. Suponer que, al describir la figura, todos los objetos siguen la misma trayectoria y pasan todos igual tiempo en la mano.

3. Considerar que no hay nunca dos objetos simultánea-mente en la misma mano y que el ejercicio es periódico. Además, admitir que el ejercicio es simétrico y uniforme.

Con ello establecieron los siguientes cinco parámetros.

• b: número de objetos

• v: tiempo de vuelo de cada objeto

• m: número de manos

• t: tiempo que cada mano permanece vacía

• r: tiempo que cada objeto permanece en una mano

Así, se obtuvo finalmente la fórmula:

b(r + t) = m(r + v)

Claude E. Shannon, Ron Graham y John Butler, profesores de Matemática y malabaristas, son los autores de esta fórmula. Ellos no son los únicos en combinar las dos profesiones, ya que el malabarismo atrae a muchos físicos y matemáti-cos por su serena armonía y porque se puede explicar su «secreto» en forma algebraica.

Productos notables. Factorización. Estadística

Mód

ulo

3Bloques

1 y 5

oBJETIVoS EDuCATIVoS: • Factorizar polinomios y desarrollar productos notables para determinar sus raíces a través de material concreto, procesos algebraicos o gráficos.

• Recolectar, representar y analizar datos estadísticos y situaciones probabilísticas relacionadas con lugares históricos, turísticos y bienes naturales, para fomentar y fortalecer la apropiación y cuidado de los bienes culturales y patrimoniales del Ecuador.

Punto de partida


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59

Laura y Enrique fueron al circo y tuvieron la suerte de llegar a los camerinos. Cuando entraron al del malabarista, notaron que en la pared había un extraño afiche con ¡una fórmula matemática! El malabarista, al ver el asombro de los chicos, les explicó la ex-traña inscripción: «La fórmula describe la relación básica entre las variables que se dan en el arte del malabarismo».

Al final de la explicación, el malabarista pidió a los chicos que le ayudaran a despejar algunas variables.

1 Despeja lo que se pide en cada caso.

La Matemática está presente en las actividades más diversas

2 Desarrolla los productos de la fórmula del malabarismo. ¿Qué propiedad has aplicado?

3 Aplica la fórmula y resuelve.

Dos malabaristas hacen un espectáculo con palitroques. Se sabe que el tiempo de vuelo de cada objeto es 5 segundos, el tiempo que cada mano permanece vacía es 2 segundos y el tiempo que cada objeto permanece en una mano es un segundo. Calcula el número de palitroques que se utilizan para el espectáculo.

a La variable b. c La variable m.

b La variable r. d La variable v.

Con naranjas o pelotas iguales, intentahacer malabares.

b(r + t) = m(r + v)

b = m(r + v)

_______ r + t m = b(r + t)

_______ r + v

r = mv – bt _______ b − m

La propiedad distributiva.

8 palitroques.

v = b(r + t) – mr

___________ m


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60


Cuadrado de la suma de dos términos

Es igual al cuadrado del primer término más el doble producto del primero por el segundo y más el cuadradodel segundo.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Ejemplo: (x + 2)2 = x2 + 2(2)(x) + 22

(x + 2)2 = x2 + 4x + 4

Cuadrado de la diferencia de dos términos

Es igual al cuadrado del primer término menos el doble producto del primero por el segundo y más el cuadrado del segundo.

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Ejemplo: (x – 3)2 = x2 – 2(3)(x) + 32

(x – 3)2 = x2 – 6x + 9

Producto de la suma por la diferencia de dos términos

Es igual a la diferencia de sus cuadrados.

(a + b)(a – b) = a2 – b2

Ejemplo: (x + 5)(x – 5) = x2 – 52

= x2 – 25

Lee el texto y observa la ilustración.

Demuestra que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Considera que a = 4 y b = 2.


DESTREZA CoN CRITERIo DE DESEMPEÑo: Desarrollar productos notables. (P, A)

Productos notables

En la clase de Ciencias Naturales, Luisa y Mateo estudian acerca de la temperatura corporal.

Se les ha pedido calcular el cuadrado de 37 y ella dice que es más fácil hacerlo cuando se descompone el número en 30 + 7.

• Indica cómo calcularías el resultado de esta forma.

En los termómetros de mercurio, el valor

de 37 °C se ha resaltado, pues una medición que

sobrepasa ese valor alerta de una posible infección

del organismo.

37 × 37

259 111 1369

Cubo de la suma de dos términos

Es igual al cubo del primer término más el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo y más el cubo del segundo.

Ejemplo: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(x + 2)3 = x3 + 3x2(2) + 3x(2)2 + 23

x3 + 6x2 + 12x + 8

Cubo de la diferencia de dos términos

Es igual al cubo del primer término menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del pri-mero por el cuadrado del segundo y menos el cubo del segundo.

Ejemplo: (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

(x – 2)3 = x3 – 3x2(2) + 3x(2)2 – 23

x3 – 6x2 + 12x – 8

Producto de expresiones (x + a)(x + b)

El producto (x + a)(x + b) es un polinomio de la forma x2 + Sx + P, donde S es la suma algebraica de a y b, y P es el producto algebraico de a por b.

(x + a)(x + b) = x2 + Sx + P, donde S = a + b y P = ab

(x + 5)(x – 2) = x2 + 3x – 10

(30 + 7)(30 + 7)

= 900 + 30(7) + 7(30) + 49

= 900 + 210 + 210 + 49

= 1 369


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61

CONEXIÓN CON ARQUITECTURA

1 Escribe el polinomio que representa el área de cada figura.


a b

4 Resuelve por simple inspección.

a (x – 4)(x + 4)

b (xy – b)(xy + b)

c (2x + 3y)(2x – 3y)

d (3a5 – 6b4)(3a5 + 6b4)

j (7c3 + 8d5)(7c3 – 8d5)

3 Resuelve los binomios al cubo.

a (x + 2)3

b (x – 5)3

c (a + 3)3

d (2a + b)3

e (3a – b)3

f (7x – 3x)3

g (5xy – 2b2)3

h [ ( – 1 __ 3 ab2 c 3 ) – mnx ] 3

i [ ( – 1 __ 2 ) – 6x3y ] 3 j (0,3x3y2 – ab)3

k (0,2m – 0,3n2)3

l (0,2x3y + a2b3)3

m [ ( – 3 __ 4 a 3 ) + 9 __ 5 xb ] 3 n [ ( – 1 __ 2 a2b3c ) – 3m x 2 ] 3 o (0,5 – 2,3x2y)3

p (0,25a2 + 1,5b3)3

5 Encuentra el volumen de la figura sombreada.

10

10 2

2

2

6 Halla el producto en cada caso.

a (x – 3)(x + 5)

b (b + 8)( b + 3)

c (a + 2)(a – 4)

d (xy – 5)(xy + 6)

e (ab + 3)(ab – 4)

f (2b + 5)(2b – 2)

i (3c + 5)(3c – 6)

j (2x – 3)(2x – 7)

k (m3 + 2n)(m3 – n)

l (4y–1 + 0,5)(4y–1 + 2)

m (am + 1 + 3b)(am + 1 – 2b)

n (na + 1 – 4ay)( na + 1 + 2ay)

Aplicación en la práctica. Estrategia: Interpretar datos.

8 Lee la información; luego, contesta.

Luis fabrica una mesa de forma cuadrangular. En el momento de la entrega, se percata de que hubo un error en la medida: la mesa tiene un área mayor a la que debería ocupar.

a ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área original de la mesa?

b ¿Cuál es el polinomio que representará el área de la mesa una vez que Luis la haya reducido?

c Si el lado de la mesa era 2 m, ¿cuál era el área original?

d ¿Cuál es el área modificada?

e ¿Cuál es la diferencia entre el área que la mesa ocupaba y el área que debe ocupar?

Tendré que reducir la mesa 5 cm

de ancho y 5 cm de largo.

INDICADoRES:

Interpreta gráficamente el cuadrado de un binomio.

Desarrolla binomios al cuadrado por simple inspección.

Resuelve binomios al cubo. Desarrolla la suma por la

diferencia de dos términos. Interpreta gráficamente

el binomio al cubo. Determina el producto de

dos binomios con un término común.

Desarrolla ejercicios de productos notables combinados.

Interpreta los datos de un problema y lo resuelve.


7 Determina el producto en cada caso.

a (a – 5)(a + 5)(a2 + 1)

b (m – 3)(m + 3)(m2 + 9)

c (z + 2)(z – 2)(z2 + 2)

d (x–1 + a)(x–1 – a)(x–2 + a2)

e (x – 5)(x + 5)(x2 + 25)

f (2x – 1)(2x + 1)(4x2 + 1)

k ( √__

7 + √__

2 )( √__

7 – √__

2 )

l (2 √__

3 + √__

5 )(2 √__

3 – √__

5 )

m (0,2x3 – 0,02y)(0,2x3 + 0,02y)

e (7h7 – 5k5)(7h7 + 5k5)

f (ax + 1 – 2bx – 1)(ax + 1 + 2bx – 1)2 Desarrolla las expresiones por simple inspección.

a (a + 1)2

b (a – 3)2

c (4a – 2b)2

d (2mn – n2)2

e (3x2 – y2)2

f (a2 – 1)2

g (2am – 3an2)2

h ( 1 __ 3 s – 3 ) 2

i ( 4 __ 3 m + 5n ) 2j ( 6 + 1 __ 10 m ) 2k ( 1 __ 2 y + 1 __ 3 x 4 ) 2 l ( 4 __ 7 a2b – 5 b 3 ) 2 m ( 7 __ 5 p + 4q ) 2 n ( 5 __ 7 ab2 – 3 b 4 ) 2

o ( 4 __ 3 m3n – 3m2n ) 2p ( 0,1m3 – 1 ___

2n5 ) 2 q ( 2n3x2 + 1 ____

5m3y ) 2

r (0,2x2 – 0,3y3)2

s (3a2b – 5ab5)2

t (2x2y + 6xy2)2

u ( √__

3 a + b √____

0,12 c)2

5 x

x5

3b 2a

2a3b


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DESTREZA CoN CRITERIo DE DESEMPEÑo: Factorizar polinomios y desarrollar productos notables. (P, A)

Factorización: Factor común


Lee la información y analiza el gráfico.

2r

rr

El automovilismo es un deporte en el que partici-pan diversos vehículos de alta tecnología mecáni-ca que ponen a prueba la rapidez mental, la resistencia y la habilidad del piloto. El escenario de este deporte son las pistas o los circuitos. Algunos presentan forma ovalada, y sus longitudes oscilan entre los 800 y los 4 000 m.

• Demuestra que el área de la pista está dada por la expresión r 2 (4 + 3π).

Responde: ¿Cuáles deben ser los valores aproximados de r para que el rango de la longitud de la pista esté entre 800 y 4 000 m?


Factor común monomio

Es un monomio cuyo coeficiente es el m. c. d. de los coeficientes del polinomio y cuya parte literal está formada por las variables comunes con su menor exponente.

Ejemplo:

Factorizar: 25 x 4 – 30 x 3 + 10 x 2

• El factor común es 5 x 2 ; se divide cada término para él.

25x4 ____

5x2 – 30x3 ____ 5x2 + 10x2

____ 5x2 = 5x2 – 6x + 2

• La expresión factorizada es:

5x2(5x2 – 6x + 2)

Factor común polinomio

Es un factor polinomio que se repite en cada uno de los términos del polinomio.

Ejemplo:

5x2(m + n) – 3y(m + n) – z(m + n) = (m + n)(5x2 – 3y – z)

Factor común por agrupación

Cuando todos los términos de un polinomio no tienen la misma parte literal, se agrupanlos términos que sí la tienen y se hallan los respectivos factores comunes.

Ejemplo:

ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y)

Polinomio

Primo o irreducible

Reducible

Se puede factorizar.

No se puede factorizar.

MÁS SOBRE...

• Para factorizar

6m2x3 – 8m2y2 – 9nx3 + 12ny2.

Se agrupan los términos y se factoriza.

6m2x3 – 9nx3 – 8m2y2 + 12ny2

= 3x3(2m2 – 3n) – 4y2(2m2 – 3n)

= (2m2 – 3n) (3x3 – 4y2)

≈ 7,72 m y ≈ 17,26 m.


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CONEXIÓN CON TIEMPO LIBRE


Aplicación en la práctica. Estrategia: Analizar textos.

6 Lee el enunciado; luego, estructura las expresiones solicitadas.

Los estudiantes de un curso realizan una visita a un parque de diversiones. Desde la salida han sido divididos en dos grupos: A y B. Si t representa los dólares que gastarán en los juegos y e, el valor de la entrada, calcula:

a El valor del transporte de los grupos A y B.

b El valor del transporte de todos los estudiantes.

c El valor de la entrada de los grupos A y B.

d El valor de la entrada de todos los estudiantes.

e El valor de la entrada y del transporte de todos.

f Si el grupo A está formado por 23 estudiantes y el B, por 27; y si el transporte cuesta $ 3 y la entrada, $ 5, ¿cuál es el costo del paseo?

INDICADoRES:

Relaciona un binomio con su factor común.

Factoriza aplicando factor común binomio.

Factoriza usando factor común polinomio.

Factoriza polinomios. Escribe binomios que tengan

un factor común dado. Analiza el texto y resuelve

problemas que involucran factoreo.

1 Une cada binomio con el factor común correspondiente.

2 Factoriza cada expresión.4 Agrupa y factoriza.

5 Escribe dos binomios cuyo factor común sea la expresión dada.

3 Factoriza los polinomios.

a 3a + 6ab

b 2m2 – 2m2n

c 5ax + 10ax2

d x3 + xy

e m4 – 5m3

f 6m5 + 9

g 20n4 + 80

h (–5xyz) + 2x2yz3

i (–5x4y) – 30x3y

j (–9w3zy) + 12w6z

k z4 + 2z

l 6y9 – 3y3

m 10a2 – 15a3b

n xyz2 – 2xyz3

a x(a + 8) – y(a + 8)

b m(x – 4) – 2n(x – 4)

c a(x + 7) – x – 7

d 9(a – 1) + z(a – 1)

e n(x + 5) + x + 5

f 8 – a + 5m(8 – a)

g (ax – 2ay) – (2bx – 4by) – (x – 2y)

h (4x3 – x2) – (1 – 4x) – 12x2 + 3x

i y2(x – 1) + 1 – x – 2(x – 1)

j (z + 2)(z + 1) + (z + 1) + (z + 1)2

k (x – 2)(x + 3)(x – 4) + (x + 3)(x – 4) – 5(x – 4)

l (x – 2)(x + 6) + (x + 6)(x – 4) – 5(x + 6)

m xz4 – 2xyz + xy2 + yz4 – 2y2z + y3

xy

2xy

x2y

x

a x + xy

b x2y + xy

c x2y2 – x2yz

d 3x2 – x

e 4x2y – 2xy2

a x3z

b 5m3

c – 1 __ 2 ab4

d 2 __ 5 m2n3

a 2r2 – 4qr + 5pr – 10pq

b 6x2 – 9x – 8xy + 12y

c 12m2 + 20b + 16m + 15bm

d 30an – 35ab + 18n2 – 21bn

e 5a3 – 5a2c + 10ac2 + ac – a2 – 2c2

f 8a2 – am + 8ab – 9m – bm + 72a

g b4 – m + b4x3 + 2b4x – 2mx – mx3

h 4x3 – 4x2y – 3bx2 – 4xy + 3byx + 3by



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Factorización de binomios



Observa y analiza la ilustración; luego, responde.

100x

25 y 2

100x

25 y 2

• Escribe la expresión que representa el área pintada.

• ¿Cuál es la característica común de los términos de la expresión que obtuviste?

Responde: Si se reduce el lado del cuadrado exterior en 3 unidades, ¿cuál es la expresión que representa el área pintada?

Diferencia de cuadrados

Factorizar 121 x 2 – 49 y 2 .

• Se reconoce que es una diferencia de cuadrados, porque ambos términos tienen raíz cuadrada exacta:

121 x 2 = (11x ) 2

49 y 2 = (7 y) 2

• Hay que recordar que (a + b)(a – b) = a 2 – b 2 , y realizar el proceso inverso.

(11x)2 – (7 y) 2 = (11x + 7y)(11x – 7y)

Factorizar 7 x 2 – 1.

Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros y se expresan como factores.

7 x 2 – 1 = ( √__

7 x + 1 ) ( √__

7 x – 1 )

Simbólicamente → a 2 – b 2 = (a + b)(a – b)

La diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus raíces.

MÁS SOBRE...

Realizar una factorización completa significa descomponer el polinomio hasta obtener su factores primos, es decir, hasta que ya no sea posible factorizar más.

RAZONAMIENTO¡ATENCIÓN!

El producto notable «la suma por la diferencia de un binomio» da origen a la diferencia de cuadrados.

(a + b)(a − b) = a2 − b2

25y2

25y2

Suma o diferencia de cubos de la forma a 3 ± b 3

La suma o diferencia de cubos es igual al producto de dos factores.

a 3 + b 3 = (a + b)( a 2 – ab + b 2 )

a 3 – b 3 = (a − b)( a 2 + ab + b 2 )

Ejemplo:

Factorizar 27 x 3 + 8 y 3 .

27 x 3 + 8 y 3 = (3x + 2y)[(3x ) 2 – (3x)(2y) + (2y ) 2 ]

= (3x + 2y)(9 x 2 – 6xy + 4 y 2 )

10 000 x 2 – 625 y 4 .

Son cuadrados perfectos.

(100x – 3) 2 – 625 y 4 .


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CONEXIÓN CON SALUD



7 Lean la información y los diálogos; luego, contesten.

Diego y Lorena se plantean retos matemáticos en su tiempo libre.


(m3 + 2)(m3 – 2)

(m + 2)(m – 2)

(m2 + 3)(m2 – 3)

4(m + 2)(m – 2)

a m2 – 4

b m4 – 9

c 4m2 – 16

d m6 – 4

2 Calcula factorizando.

3 Factoriza aplicando diferencia de cuadrados.

a 272 – 262

b 372 – 352

c 2052 – 1952

d 3032 – 2962

e 832 – 822

f 322 – 352

g 5672 – 5602

h 482 – 452

a c 2 – 49

b c 2 – 25

c 81 x 6 – 121 y 4

d r 2 ___ 100 – t 2 __ 49

e a2 − (b + c ) 2

f (x – z) 2 − b 2 z 2

g (x + y ) 2 – (x – y ) 2

h (a – b ) 2 – (a + b) 2

i (2xy + z) 2 – (2xy – z) 2

j (a + b + c ) 2 – (a – b – c) 2

k 16a 2 – 25 b 4

l 64 x 2 y 6 z 10 – a 12

m x 2n – 9 y 4m

n 1 __ 4 m 4a – 1 __ 25 n 2b

La diferencia entre los cuadrados de dos números naturales y consecutivos, ¿es un número par o impar?

¿Es verdad que la diferen-cia entre los cuadrados de dos números natura-les pares consecutivos es el cuádruplo del número impar que se encuentra entre ellos?

• ¿Qué expresiones debe escribir cada uno y qué deben contestar?

INDICADoRES:

Identifica expresiones que se relacionan entre sí.

Factoriza polinomios. Factoriza sumas o diferencias

de cubos. Factoriza sumas y diferencias

de potencias de exponente impar.

Analiza posibilidades y da solución a un problema.

4 Factoriza los binomios.

a 1 __ 64 p12 – z6x

b x3m – y3m

c 8x6m + 1

d 125m12m – 8

e z3x – 3 + y9x

f w15m + 8x3m

g w12mz3m – z12m

h 216 + w15m

i 27n15 – x3m

j 8t9n – 343p3m


5 Factoriza.

a w5 + 1

b w7 + x7

c c5 + a15

d n7 + 128

e a21b7 + 2 187c7

f z5 – 1

g 243b5 + 1

3 Expresa cada binomio como el producto de dos factores.

a m3 + n3

b 8x3 + y3

c a3 + 27b3

d a3b3 + y3

e 64m3 – 27

f m3 – n3

g 64a3 – b3

h m3 – 125n3

i a3 + x3y3

j n3 + 343m6

h b15y10 – 243p5

i w5k10 – 1 __ 32 v5a

j 243p10 – 1 __ 32 q5a

k m5x + m10y

l w7n – x7n

m 1 024a5n + 1

n 1 – 3 125x10n

o n7a – m14a

p x10k + y5k

q 32x10 + z5

r 1 – 1 024j10

s x5a – 32y10b

t 1 ___ 128 c14 + 1


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Factorización de trinomios


Encuentra el área que no está ocupada por las casas.

Lee la situación.

En la construcción de proyectos urbanos, los contratistas presentan sus propuestas utilizando el álgebra. Observa el plano de este proyecto.

Si el garaje de cada casa tiene un área de 16 m 2 , halla la expresión que representa el área in-terna de cada casa y factorízala.

4y4 x2y2

3y4

x2y2Casa

Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio ordenado respecto a una de sus variables es cuadrado perfecto cuando:

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Existen algunos trinomios en los que sus primeros y terceros términos son cuadrados perfectos, pero su segundo término no es el doble producto de las raíces cuadradas de estos.

Tal es el caso del trinomio x4 + 2x2 + 9.

= x4 + 2x2 + 4x2 + 9 – 4x2 = (x4 + 6x2 + 9) – 4x2

= (x2 + 3)2 – 4x2 = (x2 + 3 + 2x)(x2 + 3 – 2x)

Trinomio de la forma x 2 + bx + c Trinomio de la forma a x 2 + bx + c

Expresiones como x 2 + 5x + 6, a 4 + 3 a 2 − 10 y m 6 − 5 m 3 − 36son trinomios de la forma x 2 + bx + c.

El trinomio de la forma x 2 + bx + c es igual al productode dos binomios: (x + m)(x + n). El primer término de ambos binomios

es la raíz cuadrada del primer término del trinomio (x); la sumade los segundos términos de los binomios es el coeficiente del segundo

término del trinomio (m + n = b); y su producto es el término independiente (m · n = c).

Expresiones como 2 x 2 + 3x − 2, 6 a 4 + 7 a 2 + 2 y 7 m 6 − 33 m 3 −10son trinomios de la forma a x 2 + bx + c.

Se utiliza el método del aspa para factorizar un trinomio de la forma a x 2 + bx + c.

Ejemplo: x 2 + 2x − 35

√__

x 2 = x 35 = 7 (–5)x2 + 2x – 35 = (x + 7)(x – 5)

dos números que, multiplicados, den −35 y, sumados, +2

Ejemplo: 2 a 4 − 17a3 + 8a2

• Se saca el factor común: a 2 (2 a 2 − 17a + 8).

• Se factoriza el trinomio.

El trinomio y su forma factorizada: 2 a 4 − 17 a 3 + 8 a 2 = a 2 (a − 8)(2a − 1)

2 a 2 − 17a + 8 a −8 −16a2a −1 −a

(a − 8)(2a − 1)

−17a

x4y4 – 16 = (x2y2 – 4)(x2y2 + 4)

12x4y4 – x4y4 = 11x4y4


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67

CONEXIÓN CON USO DEL TIEMPO LIBRE

Aplicación en la práctica. Estrategia: Analizar textos.

8 Resuelve el problema. Utiliza la factorización.

En el partido de fútbol, Andrés metió la mayor cantidad de goles. Iván metió x goles. El producto del número de goles que metió Andrés por el de los que hizo Roberto es x2 + 3x + 2.

a ¿Cuántos goles más que Iván hizo Andrés?

b ¿Cuántos goles más que Iván hizo Roberto?

c Si la suma de los goles que metieron Andrés y Roberto es igual a 5, ¿cuántos goles metió Andrés?

d ¿Cuántos goles metió Roberto?

e ¿Cuántos goles metió Iván?

INDICADoRES:

Reconoce trinomios cuadrados perfectos.

Factoriza trinomios. Identifica términos

que completan un trinomio cuadrado perfecto.

Analiza un texto, factoriza trinomios y resuelve problemas.

1 Factoriza.

2 Marca con √ el término que se debe sumar o restar al trinomio dado para que sea un trinomio cuadrado perfecto.

3 Une los trinomios a los que se les debe sumar o restarel mismo término.

4 Resuelve.

El producto de dos números es n2 + 3n + 2. ¿Qué relación hay entre los dos números?

5 Factoriza cada trinomio.

a x 2 + 4x + 4

b y 4 − 8 y 2 + 16

c a 2 − 6a + 9

d 4a 2 − 12ab + 9 b 2

e 16 x 2 + 8x y 2 + y 4

f 25 a 2 − 20a + 4

g 81 x 2 + 72xy + 16

h m 6 − 2 m 3 n + n 2

i 49 x 4 + 14 x 2 + 1

j 100 y 6 − 60 y 3 z + 9 z 2

a x 4 + 2 x 2 y 2 + 9 y 4

b x 8 + 6 x 4 b 4 + 25 b 8

c 49 z 4 + 54 y 2 z 2 + 25 y 4

d 4 m 4 + 8 m 2 n 2 + 9 n 4

e 64 a 4 + 12 a 2 b 2 + b 4

f 4 9z 8 + 104 z 4 y 4 + 100 y 8

g 25 n 8 − 71 n 4 + 49

h 49 m 8 + 75 m 4 n2 + 196 n 4

i m 4 – 45 m 2 + 100

j r 8 + 3 r 4 + 4

k a 4 + 36 b 4 − 16 a 2 b 2

l c 8 − 14 c 4 + 25

m 4y 8 − 64 y 4 + 144

n 16 p 4 − 25 p 2 q 6 + 9 q 12

a 25 x 4 − 11 x 2 + 1

b 16 x 4 − 44 x 2 + 25

c x 4 + 4 5x 2 + 100

9x 4 − 34 x 2 + 25

x 4 − 43 x 2 + 81

9 x 4 − 1 3x 2 + 4

a z 4 + 4 z 2 + 16 z 2 2z 2 4z 2

b x 4 + 2 x 2 + 9 2x 4 4x 2 4x 4

c x 4 − 3 x 2 z 2 + z 4 x 2 z x 2 z 2 x 4 z 2

d z 4 + z 2 + 1 2 z 2 z 2 z

e x 8 + x 4 + 1 x 4 x 2 2 x 4

f z 8 + 15 z 4 + 64 z 2 z 4 3 z 4

g x 8 + 13 x 4 + 49 7x 4 2x 4 x 4

h z 8 + 9 z 4 + 25 z 4 5z 2 3z 4

6 Factoriza los siguientes trinomios.

a 2 x 2 + 5x + 3

b 8 p 2 + 2p − 1

c 15 w 2 + 41w + 14

d 3 m 2 − 8m + 4

e 3 y 2 + 7y + 2

f 4 x 2 − 8x + 3

g 12 q 2 + 25q + 7

h 6 x 2 − 29x + 35


7 Factoriza los trinomios.

a x 2 + 16x + 15

b y 2 + 5y − 14

c t 4 − 8t 2 + 12

d b 4 + 7 b 2 − 260

e m 6 − 31 m 3 + 210

f x 2n + 15 x n + 54

g m 2 − 9m + 18

h a 2 − 11a + 28

i z 2 − 13z + 30

j p 10 + 10 p 5 − 600

k y 8 + 39 y 4 + 108

l a 4t + 4 + 23 a 2t + 2 + 22


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68

Más actividades

a 3xy2 + 9x2y – 6x2y2

b (–9a2b3c2) + 3abc3 – 6a3bc

c 15mn4 + 3m4n4 – 12m3n2x

d 8s2t + 4st2 – 12st

e 14a2x2m2 + 11a3x2 – 49a2x3m

f (–13am3) + 11a2m2 + 10am

g (–0,3r3) + 0,6r4 – 0,9r2 + 1,2r5

h 2,5x4 – 0,5x2 + 2,5x

i (–0,2a4) + 0,4a3 – 0,6a2 + 0,8a

j 3 __ 35 p3q4 + 15 __ 49 q5p7 – 9 __ 21 q3p3

k 8 __ 5 m4 – 3 __ 20 mn5 + 9 __ 16 m3p2

l 5 __ 6 a3b + 25a2b2 + 15 __ 7 a4b

1 Halla el factor común de cada expresión algebraica. Luego, factoriza.

2 Factoriza.

a 7w(w3 + 1) – 9(w3 + 1)

b (– 4,5x)(z + w2) – 3y(z + w2) + 7,5z(w2 + z)

c [0,4m(p2 – q)] – 1,2n(p2 – q) – 1,6s(p2 – q)

d 5 __ 3 m(y + 5) + 10(5 + y)

e 16 __ 27 p3(m + 4) – 24 __ 63 p2(m + 4)

f 14 __ 9 (x2 – x + 1) + 21 __ 6 y2(x2 – x + 1)

3 Factoriza agrupando términos.

a x3 – 5x + 2x2 – 10

b 2x3 – 3x2y2 + 4xy – 6y3 + 2ax – 3ay2

c 2m2n + 3mn – 10m2n2 – 15mn

d 3abx + 12aby – 9abz + 6a3b + 3ab4

– 10xc – 20cy + 15cz – 10a2c – 5b3c

e 5x + 7y – 10x2 – 14xy

4 Encuentra la raíz cuadrada de cada monomio.

a 16x2y4

b 225z8m10

c 289b4x2y12n

d 36(w – y)4

e 9 __ 25 x2y20z8

f 49a2b4

g 0,25x4y2

h 0,0625x16y4m


6 Expresa algebraicamente los dos lados del rectángulo.

7 Escribe los signos + o – en cada de manera que la igualdad sea verdadera.

8 Escribe dos factores cuyo producto sea el indicado.

a x2–16 •(m+5)(m–5)

b x2–9 •(3m+8)(3m–8)

c 4x2–49 •(x+3)(x–3)

d m2 – 25 •(2x+7)(2x–7)

e 9m2–64 •(x+4)(x–4)

a w2 – x2 + w – x2w = (w x2)(w 1)

b 12m2 – 28n2p – 12mp + 28mn2

= 4(3m 7n2)(m p)

c 10 __ 7 b2y – 25 __ 7 b2x + 75 __ 7 ax – 30 __ 7 ay

= 5 __ 7 (b2 3a) (2y 5x)

d 30 __ 21 mn + 6 __ 7 m2n2 – mny2 – 5 __ 3 y2

= ( 6 __ 7 mn y2) ( 5 __ 3 mn)

a 1 __ 64 – w8

b w2 __ 36 – d

6 __ 25

c w3 __ 27 – 1

d 1 __ 49 – 81 ___ 529 a2b2

e 196 ___ 169 a12b8 – 4 __ 49 x2

f 1 __ 32 a5 – 1 ___ 243 b10

a Área = y2 – 121 b Área = 4x2 – 169

9 Descompón en factores.

10 Responde: Si al cuadrado de la figura se le quitan nueve cuadrados de lado B, ¿es cierto que el área restante está dada por (A − 3B) (A + 3B)?

B

A

a t 14 − 16

b 36 − 49 z 8

c 1 − 16 x 2

d 9 − x2

e m 10 − 81 n 12

f x 2 z 4 − 100

g x 4 − 1

h w 4n − z 8n

i 4 w 2 − 9

j x 2 − 25

k 9 − w6

l s4 − 4


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69

A = 4x2 – 16 A = 16m2 – 9

11 Encierra las expresiones que sean diferencia de cuadrados y encuentra sus factores.

12 Corrige cada expresión para que sea una suma o diferencia de cubos. Luego, factoriza.

a 68 + 27 x 6

b 1 + 4 n 12

c (a + b) 4 − 9 x 3

d 1 ___ 343 + 24 h 18 y 12

e ( − 4 __ 3 ) + 625 x 9

f ( − b 3 __ a 9

) − 729 c 28

g y 2 − 8 w 3

h (−214 z 6 ) + 1

i (x − y) 4 − (x + y) 5

j 15 __ 8 t 9 + p 3 q 3

k 18 m 3 − 1 __ 3 b 9

l 8 ___ 125 x 7 − 8 __ 27

13 Factoriza cada binomio.

a 1 + w 3

b x 6 + 8

c (−21 6z 9 )+ 1

d w 3 − 0,008 t 3 n 6

e 1 − x 3

f 64 − a 12

g x 3 y 6 z 12 − 512

h 0,001 x 6 − 1 000 q 3

a 1 − (x − 2y) 2

b 9x 4 __ 7 − 4 x 8m + 2y

c 100 ___ 169 m 2 n 6a − 225 t 4b

_______________ a 4 k 12

d 16 a 10 − (2 a 2 + 3 ) 12

e (3s − 9 s 2 ) 8 − t 4n + 2y

f (3a + 2b)(3a + 3b)

17 Factoriza aplicando suma y diferencia de cubos.

a 8x3 y 6 + 27 z 6

b 1 __ 8 x 3 + 0,001 m 6

c 8 ___ 125 a 3 y 6 + 125 m 6

d 0,027 a 9 − 0,064 b 3

e 8 ___ 125 x 6 − 1 __ 8

f 64 n 9 y 3 − 125 x 12

g 1 331 x 3 ______ 1 728 − 343 _____ 729 y 6

h 27 n 6 + (m − n ) 3

i (2a +3b)3 – 8b3

j 1 __ 27 + a3 __ 64

k 64 − 125 y 12

l 8 __ 27 a6 – 343 ___ 512 b9

m 512 a 3 + 729 x 6

n z 3 ___ 216 − a 6 ___ 343

18 Encuentra el perímetro de cada figura, luego, factoriza cada expresión.

19 Escribe las expresiones algebraicas que representan las medidas del largo y ancho de cada rectángulo.

16 Resuelve.

a Halla todos los factores primos de x 8 − 16.

b Determina cuántos factores primos tiene 81 m 4 − n 8 .

c Halla los factores de a 16 − b 16 .

d ¿Cuántos factores primos se obtienen al factorizar a 8 − 256?

e Halla los factores primos de 2 a 8m − 162 b 4n .

a x5 – y5

b a4 – b4

c 81x4 – 16b4

d 32c5 – 1

e m10 + n15

f y12 + z6

g 729x6 + y6z12

h 512a9 – 1

i 243m5 + n10

j a7b14 – c21

k x9a + y9b

l a5x – b10y

m x7 + y14

n a9 + b18c27

o x10y5 + 1

p 1 – a6b16

15 Factoriza aplicando sumas o diferencias de potencias iguales.

14 Resuelve.

a Factoriza (4x − 3y) 3 + (4x + 3y) 3 .

b Factoriza y simplifica 16 x 8 − 16 x 5 y 3

__________ 8 x 9 − 8 y 9

.

a d

a b

b e

c f

x3

x2

x + 1

x2

3xxy

3y

5x3 + y3

z3

3x3 – y3

4y4xy

1 + x

(x + 1)2

x + 1

(x + 1)(x + 2)

x5

1517


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70


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Texto Encriptación Descriptación

Texto

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Texto codificado

Cvcv bnnnm smaksk ksaksa ksjskjxk ksjxkj jksjak usyide yanxujah asghjsj jhshaj jhasjhaj ajhsjahj jhsjah. Uahhsuahushmnmanmn amskajjak ka ajjsa kjkda, kjkajmknklaklcx iok ksjw laksud aksjkaj kajskaj kauskj kaj kajs ekejkjak kajs kajksj. Majk kysb dekljl lpz`k sjkaj kajswkm kalaksa; duxn kseun, hb lour asjauty saio gtatya kiyr gsahb mnjjnj. Uahhsuahushmnmanmn amskajjak ka ajjsa kjkda, kjkajmknklaklcx iok ksjw laksud aksjkaj kajskaj kauskj kaj kajs ekejkjak kajs kajksj. Majk kysb dekljl lpz`k sjkaj kajswkm kalaksa; duxn kseun, hb lour asjauty saio gtatya gghjhj jhjhuhuy teadahb jhjhj.

El mundo se comunica en clave

La criptografía responde a la necesidad de codificar mensajes confidenciales y se ha aplicado en los servicios de inteligencia militar, en la industria y, en los últimos años, en el comercio electrónico, debido al crecimiento acelerado de Internet.

La criptografía es el arte de escribir en clave y de modo secreto, con la finalidad de que la información sea interpretada solo por quienes conocen el código. El término deriva de la palabra griega kriptos, que significa ‘escondido’.

Criptografía y tecnología

Los sistemas automáticos de ci-frado utilizan los métodos de factorización de grandes expre-siones y basan su seguridad en claves constituidas por números compuestos. Para ser descifra-das, deben encontrarse sus fac-tores primos, lo que se logra solo a partir de algún código o núme-ro secreto.

1 Cambia los números por las letras correspondientes al orden del alfabeto y descubre el nombre de quienes inventaron la clave asimétrica.

2 El arte de escribir las letras en posición inversa se llama cifrado Albash y fue inventado en 1465. ¿Podrías descubrir el nombre de su inventor?

3 Los correos electrónicos tienen otra manera de cifrado que permite a cada persona ser poseedora de una clave única e irrepetible. Uno de los códigos que se utilizan es, por ejemplo, el código ACCI. Investiga otros.

• Escribe tu nombre en esta clave y utilízalo como contraseña con tus amigos.

4i66ie y 85llm1n en 1990

BATTISTANOEL


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71

1 6 x 2 + 3x – 9 x 3

Encuentra el factor común de los polinomios.

11 a 3 + 27

a (x – 2) ( x 4 – x 3 + x 2 – x + 2)

13 Realiza la factorización completa de x 8 – y 8 .

a ( x 4 + y 4 ) ( x 2 + y 2 ) (x + y) (x – y)

b (x – y) ( x 7 + x 6 y + x 5 y 2 + x 4 y 3 + x 3 y 4 + x 2 y 5 + x y 6 + y 7 )

c ( x 4 + y 4 ) ( x 4 – y 4 )

d ( x 2 + y 2 ) ( x 2 – y 2 ) (x + y) (x – y)

14 Factoriza por el método de Ruffini la expresión x 3 + 2 x 2 – 10x – 24.

a (x + 2) (x + 3) (x + 4)

b (x + 2) (x – 3) (x – 4)

c (x – 2) (x – 3) (x – 4)

d (x + 2) (x – 3) (x + 4)

a x b x 2 c x 3 d 3x

2 a x + 3 + 2a x + 1 – 5a x + 4

a a x + 3 b a x + 1 c a x d a x + 4

3 m(a + 1) – n(a + 1) + 4(a + 1)

a (a + 1) b a c 1 d m(a + 1)

4 Determina el factor común y factoriza.

3(x + y) + b(x + y) + b 2 (x + y)

(x + y) (3 + b + b 2 )a (3x + y) (b + b 2 )c

(x + y) (3 · b · b 2 )b (b + b 2 – 3) (x + b)d

9 x 2 + 5x – 6

(x + 6) (x + 1)a (x + 3) (x + 2)c

(x + 6) (x – 1) b (x + 3) (x – 2)d

10 2 x 2 – 7x – 15

(2x + 3) (x – 5)a (2x + 3) (2x – 10)c

(2x + 6) (2x – 10)b (2x – 3) (x + 5)d

7 25 x 2 – 40x y 2 + 16 y 4

(5x + 4y ) 2 a (5x – 4y ) 2 c

(x + y ) 2 b (5x – 4 y 2 ) 2 d

8 x 4 + x 2 + 1

( x 2 + x + 1) ( x 2 – x + 1)a ( x 2 – 1)c

( x 2 – x – 1) ( x 2 + x – 1)b ( x 2 + 1 ) 2 d

Factoriza los trinomios.

5 am + 3b + bm + 3a

a (a + m) b (b + 3) c (m + 3) d (a + 3)

6 4ax – 15 – 12x + 5a

a (a + m) b (x + 5) c (5 + a) d (4x + 5)

Encuentra el factor común por agrupación de los polinomios.

Factoriza los binomios.

(a – 3) ( a 2 – 3a – 9)a (a + 3) ( a 2 – 3a + 9)c

(a + 3) ( a 2 – 3a – 9)b (a – 3) ( a 2 + 3a + 9)d

12 x 5 – 32

b (x + 2) ( x 4 – 2 x 3 + 4 x 2 – 8x + 16)

c (x – 2) ( x 4 + 2 x 3 + 4 x 2 + 8x + 16)

d (x – 2) ( x 4 – 2 x 3 + 4 x 2 – 8x + 16)


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72

Analizar información en la solución de problemas utilizando datos agrupados y marca de clase. (C, P)

Datos agrupados y marca de clase


1 Observa las edades de los jóvenes que asistieron a una fiesta y resuelve lo indicado.

2 Completa la tabla de frecuencias que registra el número de hermanos de los estudiantes del colegio La Esperanza y responde.


Investiga los porcentajes de los idiomas que se hablan en Ecuador y realiza el gráfico respectivo.

Lee la información y elabora un gráfico de pastel que represente estos datos.

En Ecuador encontramos diversas razas en los siguientes porcentajes: 55% mestiza, 25% indígena, 10% descendiente de españoles y 10% descendiente de africanos.


Datos agrupados

Ejemplo:

Las estaturas, en centímetros, de 23 estudiantes son: 158, 160, 168, 156, 166, 158, 160, 168, 160, 168, 156, 164, 162, 166, 164, 164, 168, 160, 162, 158, 156, 166, 168. Se agrupan los datos en cuatro intervalos y se determina el porcentaje que representa el intervalo de mayor frecuencia.

Cuando los valores de la variable cuantitativa son continuos, conviene agruparlos en intervalos. Para esto se debe considerar:

• El recorrido (R) o campo de variación de la variable, que es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable.

• La cantidad de intervalos (I), que está representada por un número entero que se elige por conveniencia.

• La amplitud (A) de cada intervalo, que es el cociente entre el recorrido y la cantidad

de intervalos: A = R __ I .

• Cada intervalo tiene un límite inferior (Li) y uno superior (Ls); se calcula Ls = Li + A.

• Las marcas de clase (X), que son los puntos medios de cada intervalo:

Xi = Li + Ls

_____ 2 .

R: 168 – 156 = 12 cm

I = 4

A = R __ I ; A = 12 __ 4 ; A = 3 cm

Li = 156; Ls = 156 + 3 = 159

Xi = Li + Ls _____ 2 ; Xi = 156 + 159 ________ 2 =

Xi = 157,2

Estatura (cm)

Marca de clase

(Xi)

f h % F

156-159 157,5 6 0,26 26 6

159-162 160,5 6 0,26 26 12

162-165 163,5 3 0,13 13 15

165-168 166,5 8 0,35 35 23

n = 23 1,00

a Elabora una tabla de frecuencias. ¿A qué edad le corresponde la mayor frecuencia?

b ¿Qué porcentaje de los asistentes son menores que 13 años?

c Construye el respectivo diagrama de sectores circulares, y presenta el porcentaje que corresponde a cada edad.

13, 12, 11, 14, 13, 12, 12, 13, 14, 14, 12, 12, 13, 14, 13, 14, 14, 12, 11, 12, 11, 13, 14, 12, 13 No de hermanos f fr % F

1 56

2 29

3 66

4 87

5 26

Total 580

a ¿Qué porcentaje del total de encuestados tiene 2 ó 3 hermanos?

b ¿Cuántos tienen hasta 4 hermanos?

c ¿Cuál es la diferencia de frecuencias absolutas entre los que tienen 2 y 5?

10%10%

25%55%


R. A.


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73

INDICADoRES:

Analiza datos y los distribuye en una tabla de frecuencias con intervalos.

Completa tablas de frecuencias con intervalos.

Resuelve problemas elaborando tablas estadísticas.

Crea un problema a partir de un gráfico.

Extrae datos de una tabla y resuelve problemas.

3 El año de nacimiento de algunos actores y actrices está dado en el siguiente listado.

Tom Hanks (1956)

Sean Penn (1960)

Tom Cruise (1962)

Nicole Kidman (1967)

Brad Pitt (1963)

Jodie Foster (1962)

Mel Gibson (1956)

Jackie Chan (1954)

Angelina Jolie (1975)

Anthony Hopkins (1937)

Robert De Niro (1943)

Julia Roberts (1967)

Dwayne Johnson (1973)

Leonardo Di Caprio (1974)

Catherine Zeta Jones (1969)

Michael Douglas (1944)

Helen Hunt (1963)

Penélope Cruz (1974)

a Determina la edad de cada uno.

b ¿Cuál es la mayor edad? ¿Y la menor de la variable?

c ¿Cuál es el campo de variación de la variable?

d Distribuye los datos de la variable edad en cuatro intervalos y completa la tabla de frecuencias.

a Elabora una tabla de distribución de frecuencias.

b Indica las marcas de clase de cada intervalo y realiza el polígono de frecuencias.

c Calcula la media aritmética y la moda de esta distribución.

Edad (años) X f F

Total

Aplicación en la práctica. Estrategia: Extraer datos de una tabla.

6 Lee la información y realiza las actividades sugeridas.

Las provincias del Ecuador se dividen en 226 cantones. Los cantones se subdividen en parroquias. El número de cantones por provincia es:

1 Provincia de Azuay 15

2 Provincia de Bolívar 7

3 Provincia de Cañar 7

4 Provincia de Carchi 5

5 Provincia de Chimborazo 10

6 Provincia de Cotopaxi 7

7 Provincia de El Oro 16

8 Provincia de Esmeraldas 7

9 Provincia de Galápagos 3

10 Provincia de Guayas 31

11 Provincia de Imbabura 7

12 Provincia de Loja 15

13 Provincia de Los Ríos 11

14 Provincia de Manabí 23

15 Provincia de Morona Santiago 12

16 Provincia de Napo 5

17 Provincia de Orellana 4

18 Provincia de Pastaza 4

19 Provincia de Pichincha 9

20 Provincia de Santa Elena 3

21 Provincia de Santo Domingo de los Tsáchilas 1

22 Provincia de Sucumbíos 7

23 Provincia de Tungurahua 9

24 Provincia de Zamora Chinchipe 8

5 2 7 2 6 0 2 2 9 2 4 9 2 4 8

2 9 3 1 9 0 2 8 1 2 2 0 1 9 0

3 1 0 3 1 5 3 1 8 2 5 3 2 5 3

3 1 7 2 4 0 2 2 4 2 7 3 2 5 1

3 6 0 3 3 5 2 2 7 2 9 9 3 2 8

2 1 6 3 4 8 3 2 5 3 1 7 2 2 5

3 5 3 2 5 5 2 8 5 3 2 4 3 0 0

2 9 1 3 4 1 3 2 6 2 6 0 357

• Elabora una tabla de frecuencias elaborada con seis intervalos, indica las marcas de clase de cada intervalo y realiza la gráfica poligonal respectiva.

4 En una prueba de salto largo, las distancias logradas por 40 estudiantes fueron las siguientes.

CONEXIÓN CON ESTUDIOS SOCIALES

Estadística y ProbabilidadDominio C

5 Inventa un problema a partir del gráfico.

1

153 155 157 159 161 163 165 167

2

3

4

5

f


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74




• Completa el gráfico circular y encuentra el número de habitantes de cada grupo étnico. Obtén el promedio de los grupos.

Construye en tu cuaderno un diagrama de barras que represente la población de Ecuador, e indica en cuál gráfico se visualiza mejor la información.

Lee el texto.

Calcular la media aritmética, la mediana y la moda de datos reales. (C, P)

Medidas de tendencia central

La población actual del Ecuador es de 13 710 234 habitantes, de los cuales 65% son mestizos; 25%, amerindios; 3%, afroamericanos; y 7%, indoeuropeos.

• Si la población del Ecuador se duplicara pero los porcentajes racialesse mantuvieran, ¿qué variación se presentaría en el gráfico circular?

¡HAZLO ASÍ!

¿Cómo determinar las medidas de tendencia central en datos agrupados?

• Se calcula la marca de clase, Mc, sumando los límites del intervaloy dividiendo para 2.

• Se agrega una columna con el producto de la marca de clasepor la frecuencia absoluta (f

i).

• Se suman estos productos y se divide para el número de totalde datos; así se obtiene la media aritmética.

__

X = 6 414 _____ 40 = 160,35 cm

• Para obtener la frecuencia absoluta acumulada, se escribe la primera fi y, luego, se suma la siguiente fi.

• Se toma el número de datos y se lo divide para 2. 40 ÷ 2 = 20.

• Se busca el resultado obtenido en la columna de fi; de no haberlo,se toma el inmediato superior. Hay que considerar al intervaloque contiene dicho valor como el intervalo mediano. Si se quiereun solo valor, se toma la marca de clase. intervalo mediano 154 – 159 Me = 156

• Se observa la mayor fi. intervalo modal 154 – 159 Mo = 156

Medidas de tendencia central

Media aritmética __

X Promedio de un conjunto

de datos numéricos.

Mediana (Me)Valor numérico que ocupa

la ubicación centralde la muestra.

Moda (Mo) Valor de la variable que másse repite, es decir, que tiene

la mayor frecuencia absoluta.

Estatura de 40 personas (cm)

Variable Mc fi Mc – fi Fi

147-153 150 9 1 350 9

154-159 156 11 1 716 9 + 11 = 20

160-165 162 8 1 296 20 + 8 = 28

166-171 168 7 1 176 28 + 7 = 35

172-177 174 4 696 35 + 4 = 39

178-183 180 1 180 39 + 1 = 40

Total 40 6 414

∑ se lee: sumatoria.

Ninguno, solo cambiaría el número de habitantes

que representa cada porcentaje.

R. A.


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75

CONEXIÓN CON ESTADÍSTICA

INDICADoRES:

Calcula las medidas de tendencia central.

Elabora tablas de frecuencia y calcula las medidas de tendencia central.

Representa información en gráficos estadísticos.


1 Lee la situación.

Ricardo ha registrado el tiempo de los goles que ha anotadoy recibido su equipo de fútbol durante el último campeonato.

Tiempo (min) Goles anotados Goles recibidos

0-14 5 4

15-29 7 4

30-44 2 2

45-59 3 12

60-74 12 4

75-89 10 8

Total 39 34

a Halla los porcentajes que corresponden a cada situación.

b ¿Qué medida de tendencia central es la más representativa para resumir esta información?

c Si fueras un comentarista deportivo, ¿qué diríascon respecto a estos resultados?

a Construye la respectiva tabla de frecuencias utilizando cinco intervalos.

b ¿Cuál es el promedio de las edades de las personas que ingresaron al parque? Calcula.

c Responde: ¿En qué intervalo se encuentra la mediana? ¿Y en cuál la moda?

d Grafica el histograma con su respectivo polígono de frecuencias.

e Si los menores de 15 años pagan $ 5 y los mayores o iguales a 15 años pagan $ 10, ¿qué cantidad se obtuvo con estas entradas?

2 El siguiente cuadro muestra las edades de las 50 primeras personas que ingresaron a un parque de diversiones.

10 14 16 13 22 12 15 11 14 15

16 6 16 5 10 17 13 16 11 25

12 13 7 18 19 13 17 16 14 15

29 16 18 10 7 8 15 11 15 24

5 12 8 13 20 20 17 15 17 12

Aplicación en la práctica. Estrategia: Construir tablas y diagramas estadísticos.

4 Lean la información; luego, realicen las actividades.Las tablas de vida son una herramienta ampliamente usada por los ecólogos para observar cómo varían la mortalidad y la reproducción de los individuos con respecto a la edad. Una manera sen-cilla de realizar una tabla de vida, especialmente para especies cuyo ciclo de vida tiene una larga duración, es tomar las fechas de nacimiento y de muerte de una muestra aleatoria de individuos.Los siguientes datos fueron tomados de la base de datos de un centro de investigación.

a Elaboren una tabla de frecuencias. Consideren un intervalo de cuatro datos agrupados.

b Elaboren el histograma correspondiente.

c Construyan el polígono de frecuencias.d Determinen en qué intervalos se

encuentran la mediana y la moda.

Edad de muerte (años) 0 4 5 10 11 12 15 20 25 37 40 43 45

No de personas 3 1 6 7 10 4 3 13 6 7 23 1 7

Estadística y ProbabilidadDominio C

3 Lee y resuelve la información.

Los sueldos de 66 empleados de una cadena de tiendas se resumen en la siguiente tabla.

a Completa la tabla con las marcas de clase, porcentajesy frecuencias acumuladas.

b ¿Cuál es el valor de la media aritmética y en qué intervalo se encuentra?

c ¿En qué intervalo se encuentra la mediana? ¿Y la moda?d Elabora un histograma.e Construye un gráfico circular que represente la información.

Sueldo ($) Cantidad de empleados Porcentaje

400-449 8

450-499 24

500-549 10

550-599 9

600-649 15

Total 66


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76

Más actividades

1 La siguiente tabla muestra la distribución de tamaños, en centímetros, de una población de tortugas. Encuentra la media aritmética, la mediana y la moda.

Tamaño en centímetros de una población de tortugas

x fi

10 cm 12

15 cm 41

20 cm 37

25 cm 30

2 Para ingresar a la universidad, un estudiante presentó varias pruebas. Los resultados que obtuvo fueron los siguientes.

• Razonamiento matemático: 680 puntos

• Razonamiento verbal: 752 puntos

• Ciencias Sociales: 640 puntos

• Ciencias Naturales: 720 puntos

• Inglés: 590 puntos

Calcula el promedio obtenido en las pruebas.

3 La tabla muestra las velocidades con que 30 automóviles pasaron por un punto de control de velocidad.

Velocidad de 30 automóviles

x fi

[10 - 26[ 4

[26 - 42[ 12

[42 - 58[ 7

[58 - 74[ 4

[74 - 90[ 2

[90 - 106[ 1

n 30

Encuentra la media aritmética, la mediana y la moda.

4 Un estudiante obtuvo las siguientes calificaciones en los trabajos de Física: 14, 16, 18, 16, 15, 20 y 15 puntos, y no recuerda los puntos del último trabajo. Si su promedio fue de 15,75 puntos, calcula el puntaje que obtuvo en ese último trabajo.

5 Cinco números naturales consecutivos tienen 8 como media aritmética. Indica cuáles son dichos números.

6 La media aritmética de tres números es 4 y la de otros siete es 8. Calcula la media aritmética de los diez números.

7 Encuentra la media, la mediana y la moda para los datos representados en cada una de las siguientes tablas.

fiCalif. mat.

33

24

45

26

47

38

29

20

fiCalzado

236

337

338

339

440

141

342

143

20

Peso fi

40 - 50 2

50 - 60 8

60 - 70 5

70 - 80 5

20

fiPeso

1150 - 160

7160 - 170

9170 - 180

3180 - 190

20

__

X =

Me =

Mo =

__

X =

Me =

Mo =

__

X =

Me =

Mo =

__

X =

Me =

Mo =

a c

b d


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77

9 Construye el gráfico circular que corresponde a la tabla que elaboraste en el ejercicio anterior.

10 Elabora un gráfico de barras para presentar esta información.

Edades de 50 estudiantes de décimo año.

15 15 17 15 15 13 15 15 14 14 15 13 15 16 14 15 14 15 13 16 15 15 14 15 15 14 15 15 16 15 15 14 15 16 14 17 16 16 16 13 14 16 15 15 16 15 17 15 14 15

8 Observa el siguiente histograma y resuelve.

a Elabora la tabla estadística del histograma.

b ¿Cuál es el porcentaje de estatura más alta?

c ¿Cuál el de la más baja?

a ¿Cuál es la frecuencia más alta?

b ¿Qué porcentaje representan los de menor edad?

c ¿Qué porcentaje representan los de 15 años?

11 Construye un histograma usando la información de la tabla sobre las puntuaciones obtenidas en una prueba de aptitud académica de un grupo de educandos.

a Elabora la tabla de frecuencias relativas y porcentuales.

b ¿Cuántos estudiantes participaron de la prueba?

13 Este gráfico representa los cambios bruscos de temperatura en una ciudad durante 3 días (en horas).

a Elabora la tabla de frecuencias.

b ¿Cuántas horas hizo 5 °C? ¿Cuántas horas hizo 10 °C? ¿Cuántas horas hizo 20 °C?

14 Los datos de la tabla registran las estaturas de 40 educandos del 10º año.

Encuentra la media, la mediana y la moda.

15 La siguiente tabla indica los puntajes obtenidos por los estudiantes de un curso en una prueba de atletismo.

a Copia la tabla en tu cuaderno y complétala indicando la marca de clase, la frecuencia acumulada y la frecuencia relativa acumulada en porcentaje para cada intervalo.

b ¿Cuántos compañeros rindieron la prueba?

c ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvo menos de 25 puntos? Representa estos resultados en un gráfico de barras.

12 En los últimos Juegos Olímpicos del siglo XXI realizados en Atenas 2004, estos países obtuvieron el mayor número de medallas:

Nº. de medallas obtenidas por países - Atenas 04País Oro Plata Bronce Total

EE. UU. 35 39 29 103

China 32 17 14 63

Rusia 27 27 38 92

Australia 17 16 16 49

Variable: Puntaje ƒi

300-350 5

250-300 2

200-250 7

150-200 4

100-150 8

50-100 2

0-50 2

Variable: estatura (Intervalos)

Frecuencia absolutaƒi

145-150 4

150-155 8

155-160 10

160-165 6

165-170 4

170-175 6

175-180 2

n = 40

Variable puntajes (Intervalos)

ƒi Fi ƒr %

1-5 2

5-9 8

9-13 15

13-17 20

17-21 10

21-25 5

25-29 4

29-33 2


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Proyectados

Propuestos

1 Se encuestó a egresados universitarios que presentaron sus currículum a distintas empresas, y se obtuvieron los siguientes resultados.

Solución

• A partir de la frecuencia relativa (hi), se calcula la frecuencia absoluta de las personas que tienen 37 años.

hi = ƒi __ n → ƒi = hi · n → ƒi = 0,20 · 40 = 8 personas

8 personas tienen 37 años. Se observa en la tabla que también 8 personas tienen 40 años.

• Se calcula la frecuencia absoluta (ƒi) de las personas que tienen 39 años.

ƒi = 0,05 · 40 = 2 personas

• Se calcula la ƒi de las personas que tienen 38 años.

x =

• Se elabora la tabla y se la completa.

Edad (x) ƒi hi xi · ƒi

35 6

36 4

37 0,20

38

39 0,05

40 0,20

Total n = ∑ =

• Se calcula la edad promedio del grupo.

X = ∑ xi · ƒi ______ n → X _____ = años

• Observando la tabla de frecuencia relativa (hi), se puede

calcular el porcentaje de personas menores de años.

% = hi · 100

% = La edad promedio del grupo es años y tiene menos

de años el de los que asistieron a la ceremonia.

1 La tabla muestra las edades de 40 personas que asistieron a una ceremonia. ¿Cuál es la edad promedio de los asistentes? ¿Qué porcentaje de ellos tiene menos de 37 años?

Datos agrupados

El siguiente gráfico muestra la estatura de 52 estudiantes que participarán en una maratón.

Estadística

130

8

1618

64

No d

e es

tudi

ante

s

Estatura (cm)140 150 160 170 180

5

10

15

20

0

¿Cuál es la estatura promedio del grupo y qué porcentaje representa a los estudiantes que miden 160 cm o más?

Solución • Se elabora la tabla y se ubican la marca de clase (xi)

y la frecuencia absoluta (ƒi).

Estatura (cm) xi ƒi xi · ƒi

130-140 135 8 1 080

140-150 145 16 20 320

150-160 155 18 20 790

160-170 165 6 990

170-180 175 4 700

Total n = 52 ∑ = 7 880

• Se calcula la media aritmética.

X = ∑ fi · xi _____ n = 7 880 _____ 52 = 151,538

La estatura promedio del grupo es 151,5 cm.

• Se calcula el porcentaje de estudiantes que miden 160 cm o más.

% = hi · 100 =

ƒi __ n · 100 = 6 + 4 _____ 52 · 100 = 19,23%

El 19,23% de los estudiantes mide 1,60 m o más.

Al analizar el gráfico, se pueden hacer afirmaciones co-mo: que casi el 20% de los estudiantes que participan en la maratón mide 1,60 cm o más.

a 36,7 y 30% b 37,6 y 25% c 35,7 y 40% d 37,6 y 35%

Edad (x) ƒi hi

35 6

36 4

37 8 0,20

38

39 0,05

40 8 0,20

¿Qué porcentaje de los egresados consiguió trabajo?

CarrerasArquit. Ing. Contab. Admin. Derecho

No d

e eg

resa

dos

1208040

160200

280240

0

Presentaron currículumConsiguieron empleo

812 0,30

0,10 144

456

3201 504

0,15 210

296

7828

40

1 504

4037,6

37

37,6

25%

52%

37

1,00

12 personas


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79

1 Usa los datos y construye una tabla con intervalos de 5 décimas de amplitud.

3 A continuación figura la masa en gramos de los bebés nacidos en una clínica durante un fin de semana: 3 050; 3 300; 3 150; 4 100; 4 650; 3 450; 3 100; 3 785; 3 920; 4 000; 3 750; 3 000; 3 600; 3900; 3 550; 4 500 y 3 250.

4 Con una calculadora científica, calcula la raíz cuadrada de los primeros 100 números naturales y considera solo la parte entera. Organiza los datos en una tabla de frecuencias y calcula el promedio, la moda y la mediana.

2 Los sueldos de 5 personas en una empresa son: $ 380; $ 410; $ 550; $ 690 y $ 3 100.

a Completa la tabla.

a Encuentra el valor de la mediana y la moda.

a Calcula la mediana y el promedio.

__

X = Me =

__

X = Me =

Mo =

_ x = Me = Mo =

• Mediana =

• Moda =

IntervaloMarca

de claseFrecuencia

Frecuencia acumulada

Marca de clase

frecuencia

Tabla de frecuencia

Parte entera dada Frecuencia absoluta Frecuencia acumulada

b Calcula la media aritmética, la mediana y la moda.

b Indica cuál de los dos representa mejor la tendencia de los datos.

b Calcula la media aritmética.

c ¿Qué peso esperarías que tuviera el próximo bebé nacido en la clínica?

5 Responde: En una tienda de ropa tienen camisetas rojas, negras y blancas. Si esta semana han vendido 20 rojas, 15 negras y 5 blancas, ¿cuál es la moda?

5,0 5,6 5,2 4,6 5,0 6,4 5,1 4,3 4,7 4,3

4,0 3,6 3,8 3,7 4,5 3,5 4,4 5,4 4,0 5,5

4,8 4,9 4,1 4,7 3,8 5,2 4,6 4,8 6,3 4,6

4,7 4,2 5,8 4,1 4,9 4,8 3,9 5,6 5,9 5,0

3,5 - 4,0 3,75 6 6 22,5

4,0 - 4,5 4,25 8 14 34,0

4,5 - 5,0 4,75 12 26 57,0

5,0 - 5,5 5,25 7 33 36,75

5,5 - 6,0 5,75 5 38 28,75

6,0 - 6,5 6,25 2 40 12,5

4,7875

550

La mediana representa mejor la tendencia

en este caso, porque 1 026 es una cantidad

que supera ampliamente a la mayoría

de los sueldos.

1 026

4,75 4,75

3 600 g

No hay moda en estos datos.

3 650 g aproximadamente.

6,25 7 9

Algo aproximado a la media.

Las camisetas rojas.

1 3 3

2 5 8

3 7 15

4 9 24

5 11 35

6 13 48

7 15 63

8 17 80

9 19 99

10 1 100


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80


1 Desarrolla por simple inspección.

2 Resuelve (a3bm + 1)5.

3 Determina los términos cuarto y sexto de (a + 2)6.

4 Relaciona cada expresión con su factor común.

5 Determina el factor común y factoriza.

6 Agrupa y factoriza.

a (a – 1)2 – 1

b (2u + 5)(2u – 3)

c (y + 3)3

d ( 1 __ 5 a + 1 __ 2 b ) 2

e (z2 – 2)3

f ( 0,4z – 1 __ 10 ) 2

a x2 + 3x – x5 x2

b 2x2 + 6x5 – 12x 2x2

c 4x5 + 2x2 – 8x3 2x

d 11x3 + 13x4 – 2x2 x

a 6x2 + 3x – 9x3

b ax + 3 + 2ax + 1 – 5ax + 4

c m(a + 1) – n(a + 1) + 4(a + 1)

d k(x + y) – 2k(x – y) + 3k

a am + 3b + bm + 3a

b 4ax – 15 – 12x + 5a

7 Factoriza los binomios.

8 Realiza factorización múltiple.

9 Relaciona una expresión con el área de cada figura.

10 La siguiente tabla muestra la información de las estaturas de 40 estudiantes de educación física.

a Completa la tabla. b Calcula la media aritmética.

c Calcula la mediana.

d Calcula la moda.

a 4a4 – 1

b 1 __ 32 z5 – y10

c (a + 1)2 – (a – 1)2

a 8a4b6 – 64ab12

b 3x5 – 48x

d 0,125z6 – y3

e 8z3 + 125

f 32x5 + 243

• (x – 1)3

• (x + 1)(x – 1)

• (x – 1)2

• (x + 1)

Intervalos fi xi

145-150 4

150-155 8

155-160 10

160-165 6

165-170 4

170-175 6

175-180 2

Total 40

x – 1

x + 1

x – 1

x – 1

a(a – 2) 1 ___ 25 a2 + 1 __ 5 ab + 1 __ 4 b2

4u2 + 2u – 15 z6 – 6z4 + 12z2 – 8

(2a2 – 1)(2a2 + 1)

( 1 __ 2 z – y2 ) ( 1 __ 4 z2 – zy2

___ 2 + y4 )

(0,5z2 – y)(0,25z4

+ 0,5z2y + y2)

(a + 1 – a + 1)(a + 1 + a – 1)(2)(2a) = 4a

(2z + 5)(4z2 + 10z + 25)

(2x + 3)(16x4 − 24x3 + 36x2 − 54x + 81)

4 ___ 25 z2 – 2 ___ 25 z + 1 ____ 100 y3 + 9y2 + 27y + 27

a15b5m + 5a12b4m + 10a9b3m + 10a6b2m + 5a3bm + 18ab6(a – 2b2)(a2 + 2ab2 + 4b4)

3x(x2 + 4)(x + 2)(x – 2)cuarto → 160a3

sexto → 64

__

X = 152,5

R. M. Está en el intervalo de 155-160

R. M. Está en el intervalo de 155-160

3x(2x + 1 – 3x2

ax + 1(a2 + 2 – 5a3)

(a + 1)(m – n + 4)

k(x + y – 2(x – y) + 3)

(a + b)(m + 3)

(4x + 5)(a – 3)

14,75

152,5

157,5

162,5

167,5

172,5

177,5


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81


El dinero y el tiempo se relacionan entre sí en la vida cotidiana y los negocios.

Muchas personas confían su dinero a entidades bancarias. Ese dinero, de acuerdo con el tiempo que permanece en dicha entidad, gana intereses.

El dinero que se entrega se conoce con el nombre de capi-tal, y aumenta al final de un período preestablecido entre los personeros del banco y el usuario. Este aumento se debe a los intereses generados, que se suman al capital.

PARA LA CARTELERA

Construye la representación geométrica de:

a El cuadrado de la suma de dos términos.

b El cubo de la suma de dos términos.

Exhíbelos en la cartelera.

1 Resuelve.

a Javier abrió una cuenta de ahorros hace tres años. El día que retiró su dinero, le entregaron $ 1 450. Él no recuerda el valor con el que abrió la cuenta, pero sabe que la entidad donde la abrió paga 10,14% de interés anual. ¿Con qué cantidad de dinero abrió la cuenta?

b Lucía prestó $ 1 000 y al cabo de tres años recibió $ 1 576. Alicia prestó $ 1 100 y al cabo de tres años recibió $ 1 694. ¿A qué interés anual prestó cada una el dinero?

c ¿En cuál de las dos entidades que se observan en el cuadro resulta más económico pedir un préstamo? ¿Por qué?

4 Escribe la expresión ( 1 + r ___ 100 ) n en forma desarrollada para n = 4.

5 Investiguen en parejas cuál es el interés que se paga en un banco en una cuenta de ahorros y cuando se realizan depósitos a plazo fijo. Calculen cuanto habría tenido Javier en el tiempo indicado si hubiera realizadola transacción en el banco que ustedes investigaron. Verifiquen sus respuestas intercambiando sus trabajos.

CoEVAluACIóN

2 Halla el capital compuesto final para un depósitode $ 100 000, en 4 años, al 15% anual.

3 Encuentra el capital final para el mismo depósito anterior, en 5 años, al 20% anual.

Entidad Cantidad ($) Plazo (años) Cantidad pagada ($)

A 6 000 4 10 320

B 5 000 3 7 775

Tipos de capitalización

Simple

Corto plazo

Cf = Co + C · T · n ______ 100

donde:

Cf = capital final

Co = capital inicial

T = tanto por ciento

n = tiempo (años)

Compuesto

Largo plazo

Cf = Co ( 1 + r ___ 100 ) n Donde:

Cf = capital final

Co = capital inicial

r = interés

n = número de años

¿Qué es una cuenta de ahorros?

Es el dinero depositado en un banco o asociación de ahorro y préstamo. La cantidad depositada en las cuentas de aho-rros genera intereses.

• Estructura diferencias de cuadrados, y sumasy diferencias de cubos y de potencias impares.

• Resuelve y explica a un compañero el proceso seguido.

AUTOEVALUACIÓN Metacognición


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82

Fracciones algebraicas. Polígonos

Un hombre de principios

Tras negras y largas noches, esas últimas semanas habían sido especialmente difíciles para Paolo Ruffini. Mientras caminaba en dirección a su casa, pensabaen lo duro que había sido para él tomar la decisiónde no jurar fidelidad a los invasores franceses.

Un golpecito en el hombro y la voz amiga de Luigi lo devolvieron a la realidad:

—Paolo, ¿qué has hecho? En la universidad no se comen-ta otra cosa. El responsable político ha asegurado que nunca volverás a sentarte en tu cátedra y que has marcado tu destino. Se lo veía terriblemente enfadado.

—Lo pensé durante mucho tiempo y cuando comuniqué mi decisión me sentí aliviado —argumentó Ruffini, plena-mente convencido.

—Pero ¿no has pensado en tu familia o en tu posición?—Luigi mostró la preocupación que parecía haber aban-donado a Ruffini.

—Luigi, ¿cuánto darías por un puesto de funcionario?—Estaban llegando al mercado y Ruffini se paró en se-co—. Yo no estoy dispuesto a pagar tanto por la cátedra. Si hubiera hecho el juramento, habría traicionado mis principios y mutilado mi alma; mantendría mi cátedra pe-ro el Paolo Ruffini que conoces habría muerto.

Ruffini se dedicó por entero a su oficio de médico en los años que estuvo alejado de la docencia.

En la división de polinomios P(x) ÷ (x – a), indica el grado del cociente y del resto.

Mód

ulo

4Bloques

1 y 3

oBJETIVoS EDuCATIVoS: • Aplicar y demostrar procesos algebraicos por medio de la resolución y simplificación de fracciones algebraicas para desarrollar un razonamiento lógico matemático.

• Resolver problemas de diagonales y ángulos internos de un polígono para profundizar y relacionar conocimientos matemáticos.

Punto de partida

Cociente: grado es 1 menor que P(x).Resta: grado 0.


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83

Calendario perpetuo

Todas las civilizaciones antiguas han utilizado un calendario para contar el tiempo. El calendario gregoriano actual, estable-cido por Gregorio XII en 1582, tiene un error de un día, 4 ho-ras, y 48 minutos en 4 000 años.

Un año es bisiesto si las dos últimas cifras son divisibles para 4, pero no cuando ambas son cero, a no ser que el número for-mado por las cuatro cifras del año sea divisible para 400.

El calendario perpetuo, válido para los años 1901 a 2100, per-mite conocer el día de la semana de cualquier fecha pertene-ciente a los años indicados. Por ejemplo, puedes conocer el día de la semana en que naciste.

Tabla A (años)

1901 - 2000 2001 - 2100 25 53 81 01 29 57 85 26 54 82 02 30 58 86 27 55 83 03 31 59 87 28 56 84 04 32 60 8801 29 57 85 05 33 61 8902 30 58 86 06 34 62 9003 31 59 87 07 35 63 9104 32 60 88 08 36 64 9205 33 61 89 09 37 65 9306 34 62 90 10 38 66 9407 35 63 91 11 39 67 9508 36 64 92 12 40 68 9609 37 65 93 13 41 69 9710 38 66 94 14 42 70 9811 39 67 95 15 43 71 9912 40 68 96 16 44 72 13 41 69 97 17 45 73 – 14 42 70 98 18 46 74 15 43 71 99 19 47 7516 44 72 00 20 48 76 0017 45 73 21 49 77 18 46 74 22 50 7819 47 75 23 51 7920 48 76 24 52 8021 49 77 25 53 8122 50 78 26 54 8223 51 79 27 55 8324 52 80 28 56 84

Tabla B (meses)

E F M A M J J A S O N D4 0 0 3 5 1 3 6 2 4 0 25 1 1 4 6 2 4 0 3 5 1 36 2 2 5 0 3 5 1 4 6 2 40 3 4 0 2 5 0 3 6 1 4 62 5 5 1 3 6 1 4 0 2 5 03 6 6 2 4 0 2 5 1 3 6 14 0 2 3 5 1 3 6 2 4 0 25 1 4 5 0 3 5 1 4 6 2 40 3 3 6 1 4 6 2 5 0 3 51 4 4 0 2 5 0 3 6 1 4 62 5 5 1 3 6 1 4 0 2 5 03 6 0 3 5 1 3 6 2 4 0 25 1 1 4 6 2 4 0 3 5 1 36 2 2 5 0 3 5 1 4 6 2 40 3 3 6 1 4 6 2 5 0 3 51 4 5 1 3 6 1 4 0 2 5 03 6 6 2 4 0 2 5 1 3 6 14 0 0 3 5 1 3 6 2 4 0 25 1 1 4 6 2 4 0 3 5 1 36 2 3 6 1 4 6 2 2 0 3 51 4 4 0 2 5 0 3 6 1 4 62 5 5 1 3 6 1 4 0 2 5 03 6 6 2 4 0 2 5 1 3 6 14 0 1 4 6 2 4 0 3 5 1 36 2 2 5 0 3 5 1 4 6 2 40 3 3 6 1 4 6 2 5 0 3 51 4 4 0 2 5 0 3 6 1 4 62 5 6 2 4 0 2 5 1 3 6 1

Tabla C (días)

D L M M J V S

1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 1415 16 17 18 19 20 2122 23 24 25 26 27 2829 30 31 32 33 34 3536 37

Calendario perpetuo (1801-2000)

Ejemplo:

¿Qué día de la semana fue 3 de abril de 1982?

Solución:

• Se localiza el año 1982 en la tabla A. Luego, se busca en la Bel número que, encontrándose en la misma línea horizontalque el año citado, correspondea la columna del mes de abril(en este caso, 4).

• Se suma a este número la cifra correspondiente al día buscado (3) y se lleva el total (7) a la tabla C, donde se encuentra que la solución buscada es sábado.

1 Encuentra una regla válida para averiguar los años bisiestos del siglo XXI sin necesidadde hacer cálculos.

2 Determina: ¿En qué día de la semana naciste? Sigue las instrucciones del ejemplo.

R. A.

R. A.


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84

Determinar el m. c. m. y el m. c. d. de expresiones algebraicas. (C, P)

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo



1 Determina el m. c. d. de cada grupo de monomios.


Calcula la cantidad de recipientes de volumen máximo que se llenarían, sin que sobre jugo, si se tienen unos con medidas de 150, 90 y 60 ℓ. ¿Cuál sería la capacidad de los recipientes?

Lee y resuelve.

En una fábrica de jugos se organizó la producción como se muestra en la figura.

El jefe de Producción recibió la orden de repartir el jugo en recipientes más pe-queños de un mismo volumen, de manera que no haya desperdicio. Indica cuál es el volumen máximo que deben tener los recipientes pequeños.

Ejemplo:

x2 + 6x + 9

x2 – 9

• Se factoriza.x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

x2 – 9 = (x + 3)(x – 3)

• Se encuentran factores comunes de menor exponente.(x + 3) Por lo tanto, m. c. d. = x + 3

• Se hallan factores comunes y no comunes de mayor exponente.(x + 3)2 (x – 3)Entonces, m. c. m. = (x + 3)2 (x – 3)

m. c. d. y m. c. m. de polinomios Máximo común divisor (m. c. d.)

Máximo común divisor de monomios

Para obtener el m. c. d. de monomios, se busca el m. c. d. de sus coeficientes y se lo multiplica por las variables comunes de cada uno de los respectivos monomios con su menor exponente.

Ejemplo: Hallar el m. c. d. de: 28a3b5c8; 35ab4c6; 7ab4c6 y 42a2c2.

El m. c. d. de los coeficientes es 7; las variables comunes con menor exponente son ac2; por lo tanto, el m. c. d. es 7ac2.

Máximo común divisor de polinomios

Para obtener el m. c. d. de polinomios, se descompone cada uno de los polinomios en sus factores primos. Luego, se toma el producto de los factores comunes con su menor exponente.

Mínimo común múltiplo (m. c. m.) de expresiones algebraicas

Así se halla el m. c. m. de los siguientes polinomios.

Polinomios Factores m. c. m.

9x2y; 6xy4; 12x5y

9x2 = 32 · x2 · y

6xy4 = 2 · 3 · x · y4

12x5 y = 22 · 3 · x5 · y

22 · 32 · x5 · y4

4 · 9 · x5 · y4

= 36x5y4

x2 + 5x + 6;

x2 + 3x + 2; x + 2

x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

x2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1)

x + 2 = (x + 2)

(x + 3)2(x +1)(x +2)

Un polinomio P(x) es el mínimo común múltiplo de un conjunto de polinomios, si P(x) es el polinomio de menor grado divisible por cada uno de los polinomios del conjunto.

a 60x8y7w5; 45x5y6w6; 75x3y6

b 14x4w9y4; 7x2w5y; 56x6w7

c 20a2bc; 30ab2c; 40abc2

d 40x3w3y4; 16x6wy3; 32x5w7y6

e 2x5wy4; x3y3w; 5x5w4y4

f 10xw4y6; 2x3y2w3; 4x3w2y4

10 recipientes de 30 ℓ.

10 ℓ.


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85


INDICADoRES:

Calcula el m. c. d. de monomios.

Determina polinomios que comparten igual m. c. m.

Calcula el m. c. d. de polinomios.

Calcula el m. c. m. de monomios.

Calcula el m. c. m. de polinomios.

Utiliza la fórmula correcta para resolver problemas.

2 Encierra con el mismo color los grupos de polinomios que tengan el m. c. m. indicado.

m. c. m. z(z + 1)(3z + 1)(2z + 1)

m. c. m.m(6m – 5)(2m + 1)(7m – 1)

a 3z3 + 4z2 + z

6z3 – 4z2 – z

6z3 – 5z – 1

3z2 + z

6z2 – z – 1

2z2 + z – 1

b 12m2 – 4m – 5

21m3 + m2 – 2m

2m2 + m

14m2 + 3m – 2

7m2 – 2m

42m2 – 47m + 10

3 Halla el m. c. d. de cada grupo de polinomios.

4 Encuentra el m. c. m. de cada grupo de monomios.

5 Determina el m. c. m. de los polinomios

6 Escoge las tarjetas que contienen el coeficiente del término y del primer polinomio y el término independiente del segundo, de forma que el m. c. d. entre los dos sea x – 2.

a 7m2 – 21m; m3 – 3m2

b z2 – 3z + 2; z2 – z

c 6y2z2 – 2yz2 – 20z2; 2y3z – y2z – 6yz

d 2v2 + 4vw + w2; 2v2 – 2vw + vw – w2

e 2pq4 – 16pq2 + 32p; 2pq3 – 8pq

f w2 + vw – 6v2; w2 + 2vw – 3v2; w2 + 6vw + 9v2

g (2x – 3)(3x + 2); (2x + 3)(x – 4); (3x + 2)(x – 4)

h (x – 1)(x + 3); (3 + x)(2 – x); (x – 2)(x + 3)

i (x + 1)(x + 4); (x + 1)(x + 4); (1 – 2x)(1 + x)

j (a – 2)(a – 6); (a – 6)(a – 2)(a + 2); (2 + a)(a – 2)

a 35x4y3z2; 14x2y6z; 70x5y2z7

b 51w6 z 8 v3; 34w2z4v6; 68wz5v

c 42b3cd4; 21b5c4; 14b2c7d8

d 40m2n5q; 32m6n; 8mn4q3

e 18t4v2; 54tv5r3; 36t5vr4

f 24r3t5s2; 6r5t8s; 36rt7s6

g 12x2y5z; 36x3y2z3; 48x2 y 4 z5

h 15a2b2c2; 30a2b4c4; 45a3b3c4

i 20b3c5d; 20b4c4d2; 40a2b3c

j 4x2y2z2d; 12x3y3zd2; 16x2yz2d3

a (x – 1)2; x(x – 1); x2(x – 1)

b (2x – 1)(2x – 3); (2x – 1)2; (2x – 1); (2x – 3)

c x2 – 2x; x3 – 8; x2 + x – 6

d x4 – 10x2 + 9; (x2 + 2x – 3)2

e x2y4 – 2xy2 – 3; x2y4 + 3xy2 + 2

f y2z2 – 16; y2z2 + yz – 20; 4yz + 20

g 2w + 4wy + 3z + 6zy; 1 + 4y + 4y2

h 16t2r2 – 40tr2 + 25r2; 4t2r + 7rt – 15r

Aplicación en la práctica. Estrategia: Aplicar la fórmula.


Espejo cóncavo

En estos espejos, la superficie esférica reflectora es interna: forma imágenes reales o virtuales depen-diendo del lugar en el que se interseque la luz.

En este espejo, i determina el tamaño de la imagen y o es el tamaño del objeto que se va a reflejar. Se presenta la siguiente relación.

1 __ f = 1 __

do

+ 1 __ di

donde do: distancia del objeto al espejo

di: distancia de la imagen al espejo

f: distancia de un punto, llamado foco, al espejo

• Encuentra una expresión para f.

a 3xy – y b 3x2 – 12x +

2 99 366 12

La imagen reflejada en un espejo cóncavo, depende de a qué distancia se encuentra el objeto del espejo.

¡ATENCIÓN!



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Simplificar y amplificar fracciones algebraicas aplicando la factorización en ejercicios y problemas propuestos. (C, P)

Simplificación y amplificación de fracciones algebraicas



1 Amplifica cada fracción algebraica por la expresión dada.


Calcula la densidad de un pastel de 500 g de masa que tiene un volumen de 100 cm 3 luego de 4 s.

Lee la situación.

Ángela debe controlar la densidad del pastel mientras se está hor-neando. Inicialmente, el pastel de masa m y volumen V tiene una densidad igual a m __ V .

Durante el horneado, por cada minuto, la masa disminuye 2 g y el volumen aumenta 50 cm3. Escribe la expresión algebraica que per-mite determinar la densidad para cualquier tiempo t.

Simplificación de fracciones algebraicas

Se simplifican las fracciones algebraicas factorizadas.

a 24a3b4 ______ 21ab7 3ab4 · 8a2 ________

3ab4 · 7b3 = 8a2 ____ 7b3

b x2 – 7x + 12 __________

x2 – 16

(x – 4)(x– 3) ___________

(x – 4)(x + 4) = x – 3 _____ x + 4

Amplificación de fracciones algebraicas

Se amplifican las fracciones algebraicas multiplicando o dividiendo por un mismo factor el nu-merador y el denominador.

a 3x2 – x + 4 _________ x2 – 1

· 10x ____ 10x = 30x3 – 10x2 + 40 _____________ 10x3 – 10x

b x2 – 2x – 6 _________ 3xy ·

– 2xy 2 _____

–2xy2 = –2x3y2 + 4x2y2 + 12xy2

__________________ –6x2y3

c (a + b)

______ (a – b)

· (a + b)

______ (a + b)

= (a + b)2

______ a2 – b2

Una fracción algebraica es reducible (se puede simplificar) si su numerador y su denominador se pueden dividir para un mismo factor.

Toda fracción algebraica se puede amplificar multiplicando o dividiendo el numerador y el denominador por un mismo factor. La fracción obtenida es equivalente.

Se saca factor común o m. c. d. y se simplifica.


Las fracciones que tienen en su numerador o en su denominador un polinomio se denominan fracciones algebraicas.

Simbólicamente:

P(x)

_____ Q(x)

, Q(x) ≠ 0

Una fracción algebraica es un cociente indicado de dos expresiones algebraicas.

Ejemplo:

5 __ a √__

6 __ p –2 _____ n2 + 1

x + 2xy + 4y2

___________ (–x) – y

Se pueden cambiar dos de los tres signos de una fracción.

+a ___ +b

= – –a ___ +b

= – +a ___ –b

=+ –a ___ –b

Signos de una fracción

a 6x ____ x + 3 por 2x __ 2x

b y – 7

____ y + 4 por 5 y 4

___ 5 y 4

c x – y

____ x + y por x – y

____ x – y

d 1 _____ 2b – 3

por 3b + 2 ______ 3b + 2

e z −3 ____ 5z por z 2 __ z 2

f 3b – x _____ x + 2a por b 2 x ___ b 2 x

g w − 7 _____ w + 3 por w 2 – 2 _____ w 2 – 2

h 8x – 1 _____ 4x + 1 por 2x – 1 _____ 2x – 1

b ≠ 0a ≠ 0

x ≠ –4

m – 2t ________ V + 50t

d = 0,41 g ____ cm3


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INDICADoRES:

Amplifica fracciones algebraicas.

Escribe fraciones equivalentes, cambiando dos signos.

Encuentra fracciones equivalentes.

Simplifica fracciones algebraicas.

Aplica la simplificación de fracciones para calcular áreas.


2 Cambia dos signos de cada fracción algebraica. 6 Simplifica la expresión que representa el área de la figura.

7 Amplifica cada fracción.

3 Escribe tres fracciones equivalentes a cada expresión.


a 5 – 2x _____ x2

b 5x – 2y

______ 4x

c 7x3 _____

x2 – y2

d x2 + x3 + x4

__________ x2 + 2x

e 3x6 – y2

_________ x + 2y + xy

f 2x7 – 2y5 + 4

__________ x2 – 2x4 – 2

g 5x3 – 3x2 – x __________ x2 – 2x + 1

h 4x2 – 8x – 1 __________ x2 – 4

i 4x – 5y + 1

_________ –x – y

j 3x2 – y2 + 3

_________ x2 – 2y

a 2x + 9y

______ −5 x 2 y

b 6a + 12b _______ 4a + 3b

c 8w + wy

________ −8w – wy

d −3v – 7 _______ −4v + 5

a 9x – 12 ______ 3x

b 4m2 – 2m _________ 10m2 – 5m

c x – 7 ______ x2 – 49

d a2 – 36 ______ a + 6

e y2 – 2y – 3

_________ y – 3

f 3x2 – 4x – 15 ___________ x2 – 5x + 6

g 15x2 – 7x – 2 ___________ 6x2 + 5x – 6

h x3 + 1 ___________ x4 + x + x3 + 1

i w2 + 3w __________ w2 + 2w – 3

5 Simplifica las siguientes fracciones.

a 12x2y3

_____ 36xy

b −7m7n3r _______ −35m4n3

c 56a4b3c7 ________

−28a2b5c6

d 3n2 – 10n + 3 ___________ 3n2 – 7n + 2

e 100r3t5u20 ________

75r11t13u2

f 2xy + 4zy

________ 3xy + 6zy

g 42p10q8s7r12

_________ 72p8q12s7r13

h r3 + 8 _____ r + 2

i m2 – 49 _______ m + 7

1 ___________ x 3 – 2 x 2 y + x y 2

x 4 – x y 3

a 5z – 2y

_______ z 2 – 16 y 2

b z – 2 ____ z + 3

c z – 5y

_______ 3 z 2 + 21z

d 3z – y

______ z 3 – z 2 y


9 Lean e interpreten el texto.

Espejo convexo

Los espejos forman imágenes reales o virtuales depen-diendo del lugar en el que se interseca la luz. En los espejos convexos, la superficie reflectora es externa.

En un espejo convexo, el negativo del inverso de la dis-tancia focal (f) es igual a la suma de los inversos de la dis-tancia del objeto al foco (do) y la distancia de la imagen al espejo (di)

• Escriban la relación utilizando lenguaje algebraico.

8 Simplifica la expresión que representa el área de cada terreno.

3 x 4 yz

_____ 25 x 3 y 2

a

1 _____ a – b

a2 – 2ab + b2

__________ a + b

b

¡ATENCIÓN!

La imagen en un espejo convexo es siempre virtual, derecha y más grande que el objeto.



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Más actividades

1 Escribe verdadero (V) o falso (F). Justifica tu respuesta. 5 Simplifica.

2 Encierra los grupos de polinomios que tienen el m. c. d. indicado.

3 Determina el m. c. d. y el m. c. m. de las siguientes expresiones algebraicas.

4 Escribe una fracción algebraica que cumpla con cada condición.

a Equivalente a x + 1 _______ x 2 + x +1

con denominador x 3 – 1.

b Equivalente a x + 6 ____ x – 5 con denominador x 2 – 25.

a El m. c. d. de 126 x 3 y 2 z; 90 x 4 y 3 z 5 y 108 x 6 y z 2 es 18 x 3 yz.

b El monomio 5 a 3 bc es el m. c. d. de 75 a 8 b 2 c; 125 a 3 b 4 c 6 y 100 a 4 b c 8 .

c Los monomios 63 x 2n + 1 y 2m ; 24 x 2n y 2m + 4 y 70 x 3 n y m tienen como m. c. d. a 6 x 2n y m .

d El m. c. d. de los coeficientes de 3 __ 4 w 3 y p 5 ; 1 __ 2 w y 4 y 5 __ 2 w 2 y 3 es 1 __ 2 .

a 12 a 3 b – 24 a 2 b; 9 a 3 b 2 – 18 a 2 b 2

b x 2 y 4 – 4; x 3 y 6 – 8

c 5ab + 5at; b 3 + t 3

d m 3 n + 2 m 2 n 2 + m n 3 ; m 4 n – m 2 n 3

e x 4 – 16; x 4 – 5 x 2 – 36; x 4 + 8 x 2 + 16

f a x 3 – 9ax b 2 ; 2 x 3 – 12b x 2 + 18 b 2 x; 2 x 2 – 6bx

g a 3 – 2 a 2 b + a b 2 ; 6 a 5 – 18 a 4 b + 18 a 3 b 2 – 6 a 2 b 3 ; 9 a 8 – 9 a 3 b 5

h (x − 5)2; x(x − 5); x2(x − 5)

i (3x − 2)(2x − 1); (3x − 2)2; (3x − 2)(2x − 1)

j x2 − 4x; x3 − 64; x2 + 2x − 8

k x4 − 10x + 9; (x2 + 2x − 3)2

l x2 − 6x + 9; (x − 3)3

m (x − 5)2; (x − 5)4; (x − 5)4(x + 3)

n (x + 3)2(x − 2); (x + 2)(x + 3)2; (x − 2)(x + 3)3

a 42rs t 3 _____ 63 r 2 st

b 90 a 3 b 2 _____ 18a c 2

c 18 x 2 y 3

_____ 6 x 5 y

d ab ______ ab + b 2

e 6a x 2 + 3ax ________ 2x + 1

f 6axy – 18ay

__________ x 2 – 9

g a 3 + a 2 ______ ab + b

h 4 x 3 y – 4xy

________ 16x y 2

i x 2 – x _____ xy – y

j x + 1 _________ x 2 + 2x + 1

k ax – ay + bx – by

______________ x 2 – y 2

l 10a – 2 a 2 ___________ 2 a 2 – 7a – 15

m x 2 + 8x +15 __________ x 2 – 5x + 24

n 24 x 3 – 24 x 2 + 6x __________________ 32 x 4 – 48 x 3 + 24 x 2 – 4x

a m. c. d. = x + 2 b m. c. d. = z − 1

• x 2 + 2x + 1

• x 2 + 7x + 10

• 3 x 2 + 4x – 4

• x 2 – x – 12

• 4 x 2 + 5x + 6

• x 2 – 4

• z 2 + 6z + 5

• z 2 + 2z – 3

• z 2 + z – 6

• z 2 + 4z – 5

• z 2 – 1

• (− z 2 ) + z – 2

7 Un auto recorre 450 km con y galones de combustible. Escribe la expresión que representa la cantidad en kilómetros por galón que recorre el auto.

6 Viviana trabaja en una fábrica de ropa deportiva.

Después de una reunión de directorio, se le informa que se tiene que incrementar la producción en la sección Camisetas: deberá producir 5 000 en x días.

a Escribe una expresión algebraica que represente la cantidad de camisetas que deberá producir en un día.

b En una segunda reunión, de acuerdo con el reporte de ventas, deciden duplicar la producción de camisetas en el mismo tiempo. Representa la cantidad de camisetas producidas en un día.


© Santillana


89

8 Para recorrer 3 000 m, una persona en bicicleta se toma x minutos y otra en automóvil, 5 minutos menos.

Responde: ¿Cuál es la fracción algebraica que representa la distancia en metros recorrida por la persona que va en bicicle-ta en un minuto? ¿Cuál es la que representa lo recorrido por la persona que va en automóvil en el mismo tiempo?

9 Indica la alternativa correcta.

• El profesor Fabián propone a Beatriz y a Patricia

la simplificación de la fracción x 3 + x 2 _____ x 2

.

Observa las simplificaciones que realizaron:

• ¿Quién simplificó bien la fracción?

Beatriz: x 3 + x 2 _____ x 2

= x 3 x + 1

Patricia: x 3 + x 2 _____ x 2

= x + 1

a Las dos.

b Beatriz.

c Patricia.

d Ninguna.

10 Multiplica cada fracción algebraica por la expresión indicada.

a 5 − y

____ y + 4 · y3

__ y3 =

b x + 2 ____ x + 3 · x2 __

x2 =

c 5a + 1 _____ 3a − 1 · 4a2 ___

4a2 =

d m3 + 5 ______

m3 − 2 · m

3 − 1 ______ m3 − 1

=

e xyz

_____ x + yz · x3 + y

_____ x3 + y

=

f x + 1 ____ x − 1 · x − 1 ____ x − 1 =

g w + 6 _____ w + 4 · w − 7 _____ w − 7 =

h 3m + 2n _______ m + n · m − n _____ m − n =

i 5n + 2w _______ 3n + 3w · n + w _____ n + w =

11 Cambia el signo de cada fracción algebraica.

a 3 − 2x _____ x2

b 5x − 2y

______ 4x

c 6x4 ________

3x2 − 2y2

d −4x2 + x3 + x4 ___________

x2 + 5x

e 7x6 − 5y2

___________ 8x + 4y + 3xy

f 9x7 − 2y5 + 4

__________ 3x2 − 6y4 − 6

g 7x3 − 5x2 − 3x ___________ y2 − 2x + 1

h 4x2 − 8x − 3 __________ x3 − 5

12 Simplifica las fracciones.

a 6a2b3 ____

3ab

b 2m4n5 _____

m2n3

c 5x4y6z

_______ 10x5y3z3

d −16m4y5

_______ 2m3y4

e −21m4n3p4

_________ 28m4n2p3

f 35w4y6z

________ 28nw3y5z2

g −6a4b3c5 _______

15a5b2c6

h 34x4y6z5w7

_________ 17x5y4z3w4


a 3x − 12 ______ 3x

b 4m2 − 2m _________ 10m2 − 5m

c x + 7 ______ x2 − 49

d a2 − 16 ______ a − 4

e x2 − 2x − 3 _________ x − 3

f 3n2 − 4n − 15 ___________ n2 − 5n + 6

g 15m2 − 7m − 2 ____________ 6m2 + 5m − 6

h m3 + 1 ______________ m4 + m + m3 + 1

14 Indica cuáles de las siguientes fracciones han sido simplificadas incorrectamente. Luego, explica por qué y corrige la simplificación.

a 5m3n4y

______ 10m2ny

= 1 _____ 2mn3

b 4x + 2y

______ 2y = 4x

c x2 + 10x + 25 ___________

x2 − 25 = x − 5 ____ x + 5

d 2x2 + x − 3 _________ 1 − x3 = −2x + 3 ________

1 + x + x2

e x − 2 ____ x + 2 = 1


© Santillana


90


ESTRATEGIA: Expresar resultados en forma algebraica. Para resolver problemas de Álgebra hay que relacionar los datos y las condiciones del enunciado por medio de expresiones algebraicas. Después de nombrar con una letra cada uno de los números desconocidos, se expresan las condiciones del enunciado mediante operaciones que conducen a la expresión algebraica buscada.

Problema resuelto

Enunciado

Isabel tiene cierto número de lápices y lapiceros. El lunes compra 6 lápices y vende la mitad de sus lapiceros. El mar-tes vende 4 lápices y compra 8 lapiceros. El miércoles dupli-ca el número de lápices y vende 3 lapiceros. El jueves vende 6 lápices y duplica el número de lapiceros. Halla la expre-sión algebraica que indica el número total de útiles que tiene Isabel el día jueves.

Comprensión

Isabel inicia la semana con una cantidad x de lápices y una cantidad y de lapiceros; así, el total de lápices y lapiceros es x + y. Se pide encontrar la cantidad total de útiles que tie-ne al final del jueves.

Planteamiento y resolución

• En la tabla se expresa algebraicamente la cantidad de lápices y lapiceros.

• La expresión que indica el total de útiles que tiene Isabel el jueves es: 2x – 2 + y + 10 = 2x + y + 8.

Comprobación

Dando valores a x y y, y realizando la secuencia de compras y ventas que se da en el problema, se verifica que el resul-tado es igual al reemplazar dichos valores en la expresión 2x + y + 8.

1 Gonzalo tiene cierta cantidad de libros y revistas.

• En enero compra 3 libros y regala 3 revistas. En febrero compra un libro y duplica el número de revistas. Finalmente, en marzo duplica el número de libros y regala dos revistas. Halla la expresión que indica la cantidad de libros y revistas que tiene al finalizar el mes de marzo.


Lápices Lapiceros

Inicio x y

Lunes x + 6 y – 1 __ 2 y = 1 __ 2 y

Martes (x + 6) – 4 = x + 2 1 __ 2 y + 8

Miércoles 2(x + 2) = 2x + 4 1 __ 2 y + 8 – 3

Jueves (2x + 4) – 6 = 2x – 2 2 ( 1 __ 2 y + 5 ) = y + 10

2 A la hora en punto, acudió a una fiesta cierto número de hombres y mujeres. A los 10 minutos ya habían llegado 14 hombres y 11 mujeres; 10 minutos después se duplicó el número de hombres y llegaron 16 mujeres más. Transcurridos otros 10 minutos, llegaron 4 hombres y 8 mujeres más, pero se retiraron 17 hombres y 12 mujeres. Y finalmente, luego de otros 10 minutos, se retiraron 16 hombres y 21 mujeres. El resto se quedó hasta el final de la fiesta. Encuentra la expresión algebraica que indica la cantidad de hombres y de mujeres que se quedaron hasta el final de la fiesta.

3 En un ómnibus viaja cierto número de niños y adultos. El número de personas que subieron y bajaron del ómnibus en 4 paradas fue:

• Primera parada: Suben 3 niños y bajan 4 adultos.

• Segunda parada: Baja la mitad de niños y suben 5 adultos.

• Tercera parada: Suben 4 niños y baja un adulto.

• Cuarta parada: Se duplica el número de niños y suben 3 adultos.

• Halla la expresión algebraica que indica el número de niños y adultos que había en el ómnibus después de la cuarta parada.

a x + y

b x – y

c 2x + 2y

d 2x – 2y

a 2x + y + 1

b 2x + 2y – 7

c x + 2y – 1

d x + y + 4

a x + y – 14

b 3x + y + 9

c x + y + 6

d x + y + 14


© Santillana


91

Las siguientes son preguntas de selección múltiple con única respuesta. Encierra la respuesta correcta.

1 x2 __

x5 es equivalente a la expresión:

a x4 ___

x10 b 2 __ 5 c x4 __

x7 d x3 __ 1

2 a + b _____ a − b

es equivalente a la expresión:

a − a + b _____ b − a

b − a − b _____ b − a

c −a − b ______ a + b

d − −a − b ______ −a + b

3 El mínimo común múltiplo de 3m2n2 y4m2n3 es:

a 6m2n2

b 24m2n3

c 12m2n3

d 12m2n2

4 El máximo común divisor de 9m2n2 y12m2n3 es:

a 3m2n2

b 3m2n3

c 3mn

d 12mn

5 El mínimo común múltiplo de x2 − 1y 3x − 3 es:

a x2 − 3

b 3x2 − 3

c x − 1

d 3x2 − 112 x _____ m + 1 − 1 _____ m + 1 es igual a :

a x − 1 _____ m + 1

b x __ m

c x − 1 _____ m − 1

d x − 1 ______ 2m + 2

14 La expresión a − b _____ b − a

es igual a:

a 1

b −1

c −b _____ b − 1

d a − 1 ____ 1 − a

6 El máximo común divisor de x2 − y2 y x − y es:

a x + y

b x2 − y2

c x − y

d (x − y)2 13 No es factor común de xz2 y x3z:

a 1

b x

c y

d x37 Encuentra el m. c. d. de los monomios

4 x 4 w 3 y 2 ; 2x w 3 y 3 ; 6 x 3 w 2 y 6 .

12 x 4 w 3 y 6 a 4x w 2 y 2 c

2x w 2 y 2 b 2xwyd

8 Halla el m. c. d. de los polinomios 4 a 2 + 16a – 20; 6 a 2 + 60a + 150.

12(a – 1)a a – 1 c

2(a + 5)b 24(a + 5)d

9 Resuelve: Si el m. c. m. de un grupo de monomios es 42 x 4 w 8 y 3 , ¿cuáles son los monomios?

3 w 9 y; 3 x 4 w 6 ; 24 x 2 w 8 y 3 a

36 w 5 y; 3 x 4 w 6 ; 42 x 2 w 8 y 3 b

3 w 9 y; 3 x 4 w 6 ; 42 x 2 w 8 y 4 c

3 w 5 y; 3 x 4 w 6 ; 42 x 2 w 8 y 3 d

10 Contesta: Si el m. c. m. de un grupo de polinomios es xy(x + y) (x – y), ¿cuáles son los polinomios?

x 2 + y 2 ; x 2 – xy; xy + y 2 a

x 2 – y 2 ; x 2 – xy; xy + y 2 b

x 4 – y 4 ; x 3 – xy; xy + y 3 c

11 Resuelve: ¿Cuántas tarjetas representan expresiones fraccionarias?

2 __ x x 2 – 1 2x – w __ z √__

2 x –1

4 a

3 b

2 c

1 d© SANTILLANA, EN PROCESO DE EDICIÓN

© Santillana



92

Operar con números reales aplicados a polinomios (adición y sustracción de fracciones algebraicas). (P, A)

Adición y sustracción de fracciones algebraicas


1 Efectúa las siguientes operaciones. Luego, simplifica. 2 Halla una expresión algebraica que represente el perímetro de cada triángulo.


Responde: ¿Cuántos estudiantes como máximo deberán ser en total para que el reparto sea exacto?

Lee el problema.

Carlos compra 100 caramelos y 60 chocolates para repartirlos entre sus estudiantes. En el salón de clase, hay x niñas y y niños.

• Escribe la expresión que representa el número de caramelos y chocolates que recibe cada estudiante.

• Indica qué debió observar Carlos el momento que compró las golosinas.

Para sumar o restar fracciones con diferente denominador, se sigue este proceso.

Ejemplo: sumar 2x ____ x – 3 – 6x – 18 _________ x 2 – 6x + 9

• Se halla el m. c. m. de todos los denominadores de las fracciones algebraicas.

2x ____ x – 3 – 6x – 18 ______ (x – 3 ) 2

m. c. m. = (x – 3 ) 2

• Se busca una fracción equivalente a cada fracción dada, cuyo denominador sea el m. c. m. encontrado.

2x(x – 3)

_______ (x – 3) 2

– 6x – 18 ______ (x – 3 ) 2

• Se suman o restan las fracciones siguiendo el proceso para fracciones de igual denominador.

2 x 2 – 6x – (6x – 18)

________________ (x – 3 ) 2

= 2 x 2 – 12x + 18 ___________ (x – 3 ) 2

• Se factoriza y se simplifica, si es posible.

2( x 2 – 6x + 9)

___________ (x – 3) 2

= 2(x – 3)2

_______ (x – 3)2 = 2

Se suman o restan los respectivos numeradores y se deja el denominador común; si es posible, se simplifica la fracción resultante.

Ejemplo:

a 3 _________ a 2 + 6a + 9

+ 27 _________ a 2 + 6a + 9

= a 3 + 27 _________ a 2 + 6a + 9

= (a + 3)( a 2 – 3a + 9)

________________ (a + 3)2

= a 2 – 3a + 9 _________ a + 3

Adición y sustracción de fracciones

de igual denominador


Observa con atención.

1 __ m – m – 7 _____ m = 1 – m – 7 ________ m → incorrecto

1 __ m – m – 7 _____ m = 1 – m + 7 ________ m → correcto

x – 1 _____ 2x – 4

2 _____ m – 1 5m ______ 2m – 4

4 2 __________ m2 – 3m + 2

a 2 ____ 7 x 2 y

+ 5 ____ 7 x 2 y

b 7w ___ wz – 2w ___ wz

c x + 3 _____ 5 x 3 y z 2

+ 4x – 2 _____ 5 x 3 y z 2

d b 2 ___ b c 2

– c 2 – b 2 ______ b c 2

e 7 t 2 ____ 4 t 3 u

– 14t ____ 4 t 3 u

f 5m _____ 8 m 2 n 3

+ 2m _____ 8 m 2 n 3

g 4 h 2 − hk ________ 6 h 2 k 2 m

+ 2 h 2 – 5hk ________ 6 h 2 k 2 m

h 3a −7 _____ 12 a 3

– 6a – 12 ______ 12 a 3

i m – 2n ______ m 2 n 2

+ 2n – m ______ m 2 n 2

j 3z – y

_____ 10z y 4

– z – 5y

_____ 10z y 4

a b

.

3 __ 2 x + 4

x – 1 _____ 2x – 4

45º

100 _____ x + y + 60 ______ x + y

R. M. Que el reparto fuera exacto.

20 estudiantes.


© Santillana


93

CONEXIÓN CON SALUD



INDICADoRES:

Encuentra expresionespara calcular perímetros.

Resuelve operacionesde suma y restade fracciones algebraicas.

Analiza resultados. Analiza posibilidades


a 1 __ x + 3x __ 5

b 4a _____ a + b

+ 3b _____ a − b

c a _____ a – b

+ 2 b 2 ______ a 2 – b 2

– b _____ a + b

d 2x ______ x 2 + xy

+ 5xy _______

x 2 y + x y 2 –

3y ______

xy + y 2

e 2 _______ 4x – 12y – x 2 _______ x 3 – 27 y 3

+ 2x ___________ x 2 + 3xy + 9 y 2

f x ______ y 2 – 4 x 2

+ 2 _____ y + 2x + 3 _____ y − 2x – y _______

y 2 + 2xy

g 2 __ x – x _ y

h x + 1 ____ x – 1 + x – 1 ____ x + 1

3 Efectúa las operaciones y simplifica.

a 7m – 2 ______ 5m – 1 − 8 + 4m ______ 5m – 1 + 3m – 5 ______ 5m – 1

b 9y – 23

______ 4y – 7 + 14y + 3

______ 4y – 7 – 3y – 8

_____ 4y − 7

c 6 _____ 2y – 3 – 3y ______

4 y 2 – 9 + 6 _____ 2y + 3

d x + 1 _________ x 2 + 5x + 4

– x + 4 _________ x 2 + 5x + 4

+ x + 7 _________ x 2 + 5x + 4

e 3 x 2 __________ 5 x 2 – 9x – 2

– x ____ x – 2 + 7 ______ 10x + 2

f 2w + 3 ___________ 2 w 2 + 3w – 2

+ 1 – w ______ 4 w 2 – 1

– 2w + 4 ___________ 2 w 2 – 5w + 2

g 12t ____ t – v + 6v _____ t – 2v – 3t ___________ t 2 – 3tv + 2 v 2

h 7x – 5 __________ x 2 + 3x – 10

– 6x – 9 ___________ 5 x 2 + 15x – 50

4 Efectúa las operaciones; luego, simplifica.

Boris es un deportista que trota diariamente en los parques mostrados en la figura. Por recomendación médica, tiene que disminuir su rutina, por lo que decide trotar en el par-que en el que el recorrido sea menor.

a Encuentra la expresión que representa el recorrido en cada parque y, luego, determina en qué parque debe trotar. Los paruqes tienen polígonos regulares.

b Comprueba tu respuesta. Considera z = 100 m.

z + 5 ______ 5z – 80 z2 – 1 _______ 6z2 – 6z

BUEN VIVIR

Cuidado de la salud

Para mantenerte en buen estado físico y mental es recomendable dar un paseo prolongado y comer con ritmo moderado.

5 Lean la información y resuelvan.

Sandra, la profesora de Matemática, reparte los ejercicios indicados a cuatro estudiantes; descubran quién resolvió cada ejercicio, siendo A = 1 _____

x 2 −1 , B = 3 _____ 2x – 2 y C = 3 _____ 3x + 3 .

a A + B – C

b A – B + C

c A – B – C

d C – B − A

(−x) – 3

_______ 2 x 2 – 2

x + 7 ______ 2 x 2 – 2

(−x) – 7

_______ 2 x 2 – 2

1 – 5x ______ 2 x 2 – 2

Ana Beto

Rosario

Sandra

Damián



© Santillana



94


1 Simplifica y, luego, multiplica. 2 Una lavadora con tanque cilíndrico tiene las dimensionesque aparecen en la figura. Halla el volumen del prisma, del tanque cilíndrico y la diferencia entre los dos volúmenes.



Lee la situación.

Operar con números reales aplicados a polinomios (multiplicación y división de fracciones algebraicas). (P, A)

Multiplicación y división de fracciones algebraicas

La capacidad es una propiedad de los cuerpos que pueden albergar en su interior un líquido. El volumen de un cuerpo es igual a su capacidad.

Encuentra las expresiones que representan la capacidad del tanque y la piscina. ¿Cuál crees que tiene mayor volumen?

¿Cuál crees que tiene mayor volumen? Verifica tu respuesta si x = 4 m y r = 1 m.

El recíproco o inverso multiplicativo de un número

racional a __ b

es b __ a , de manera

que ( a __ b

) ( b __ a ) = 1.

Multiplicación de fracciones algebraicas División de fracciones algebraicas

En la multiplicación de fracciones algebraicasse procede de igual manera que en las fracciones

aritméticas: se multiplican los numeradoresy los denominadores entre sí.

La división de fracciones algebraicas se resuelve igual que las fracciones aritméticas: se multiplica

la fracción dividendo por el inverso de la fracción divisor, simplificando cuando es posible.

Se factorizan los polinomios y se los simplifica.

3x2 + 2xy

________ 9x2 – 4y2 ·

15x – 10y ________ 2x · 2x __ y =

x(3x + 2y)

______________ (3x + 2y)(3x – 2y)

· 5(3x – 2y)

________ 2x ∙ 2x __ y = 5x __ y


2x – 4y

_______ 5x + 15y ÷ x2 – 4y2

________ 15x + 45y =

2(x – 2y)

_______ 5(x + 3y)

· 15(x + 3y)

____________ (x – 2y)(x + 2y)

= 6 _____ x + 2y

( 3x2 + 2xy ________

9x2 – 4y2 ) ( 15x – 10y ________ 2x ) ( 2x __ y )

2x – 4y _______ 5x + 15y ÷

x2 – 4y2

________ 15x + 45y

Dividir 3x5 ___

4y8 para 9x2 ___

8y3 .

3x5 ___

4y8 ÷ 8y3

___ 9x2 = 2x3

___ 3y5

ejemplo

ejemplo ejemplo

a ( 5ab ___ 3b

) ( 9 b 2 ___ 15a ) ( a 2 b ___ 4a ) b ( − 2x ___ 3y ) ( −

xy ___

4 y 2 ) ( − 6 __

x 2 )

c ( − 2n ___ mn ) ( 3 n 2 ___ 4m ) ( − 4 m 2 ____ 2n ) d ( 11 m 2 nt ______ 6mn ) ( 3 _____

121 m 4 ) ( 2 m 2 t ____ mnt )

e ( 9x y 2 ____

4ab ) ( 7 a 2 ____ 18xy ) ( 3b ___ 42y ) ( 2y

__ ab

) f ( 3zw ____

z 2 y ) ( 7 y 2 w 2

_____ 3zw ) ( 2zy ____

14 y 3 ) ( 1 ___ zw )

g ( 4xy ___

x2y ) ( 3x2y

____ 8y2 ) ( xy

___ 3x3 ) ( 3x2

___ y3 )

h ( 1a2b ____ 4c ) ( 3c3b ____ 7a5 ) ( a2b2c ____

ab ) ( 14a3b _____

c3 ) x 2 – 2x – 8 _________ π x 2 + 2π

x + 4 _________ x 2 + 4x + 4

π x 2 + 2π x 2 _________ x 2 – 16

2 ______ x 2 – 16

x 2 – x – 2 ________ 6

4 x 2 + 8x _________ x 2 + 6x + 8

3x + 12 ________ 5 x 2 – 10x

x + 5 ________ πrx – 2πr

r

Vtanque = π · r2 · x + 5 _____________ π · r · x – 2π · r

Vpiscina = 3x + 12 _________ 5x2 – 10 x · x2 – x – 2 _________ 6 · 4x2 + 8x __________ x2 + 6x + 8

El tanque tiene mayor volumen: 4,5 m3.


© Santillana


95

CONEXIÓN CON FÍSICA

INDICADoRES:

Multiplica monomios. Realiza multiplicaciones

entre polinomios. Resuelve cocientes

entre polinomios. Realiza ejercicios

con operaciones combinadasde multiplicación y división de fracciones.

Analiza una fórmula y resuelve problemas.

Aplicación en la práctica. Estrategia: Analizar fórmulas.

8 Lean y resuelvan.

A partir de fórmulas obtenidas experi-mentalmente, los científicos pueden pre-decir los efectos que podría producir el choque de un meteorito con el planeta Tierra. Esta y otras cuestiones las resuel-ven planteando ecuaciones que expliquen el entorno.

Lo hacen, por ejemplo, usando la ecuación de velocidad (v) como el cociente entre la distan-cia total recorrida (d) y el tiempo invertido en dicho desplazamiento (t).

v = d __ t

• Calculen el cociente de las velocidades de un satélite que recorre, en un primer trayecto, 1 200 km en 28 s y, en un segundo desplazamiento, 3 400 km en 30 s.

3 Realiza las multiplicaciones indicadas.

a ( x + 6 ____ 3x ) ( 6 x 2 ____ x + 6 ) b ( 10r – 14 _______ 15r + 20 ) ( 3r + 4 _____ 5r − 7 ) c ( 5b + 35 ______

b 2 − 25 ) ( 7b + 35 ______

b 2 − 49 )

d ( 3y + 3 _____ 2y ) ( 4 y 2

_____ y 2 − 1

) e ( 15 a 2 b __________

a 2 + 9a + 20 ) ( a 2 – 16 ______

75ab )

f ( 4 x 2 – 4 _________ x 2 + 5x + 6

) ( x + 3 ____ x − 1 ) g ( c 2 – 81 ________

2 c 2 + 10c ) ( c 3 + 5 c 2 ______ 2c + 22 ) ( c + 11 ______

c 2 − 36 ) ( 2c – 12 ______ 2c + 18 )

h ( a 2 – 49 ___________ 2 a 2 + 11a − 6

) ∙ ( a 2 + a – 30 _________ a 2 + 7a

) ∙ ( 2 a 2 – 7a + 3 ___________ a 2 – 10a + 25

) 4 Calcula el cociente.

7 Observa las figuras y halla la altura de cada paralelogramo si su área es la indicada.

5 Completa el procedimiento para calcular cada cociente. Luego, simplifica.

a 16 h 3 k 2 _____ 10km

÷ 24 h 2 k _____ 30k m 2

b 20 w 2 x _____ 25 n 2 y

÷ 15 w 3 x 2 ______ 50 n 3 y

c 6h + 21 ______ 4h – 12

÷ 10h + 30 _______ 14h + 49

d t 2 – 25 ______

t 2 – 49 ÷ 2t + 10 ______ 3t – 21

e m 3 – m ________ 2 m 2 + 6m

÷ 5 m 2 – 5m ________ 2m + 6

f t 3 – 1 _________ 2 t 2 – 2t + 2

÷ 7 t 2 + 7t + 7 _________ 7 t 3 + 7

a 2 x 2 y

____ 6ab

÷ 5x ___ 9 a 2

= 2 x 2 y

____ 6ab

· ______ = _____ 5b

b 3x – 7 _____ 3 y 2

÷ 6x – 14 ______ 2y = 3x – 7 _____ 3 y 2

· ______ = ______

c 5 w 3 z ____ 8zr ÷ ______ = 5 w 3 z _____ · 16z r 2 ______ 10 w 2 z 2

= wr _____

d 20 m 2 n _______ ÷ 30 m 2 _______ = ______ 34x z 4

· 17x z 3 ______ = _____

6 Resuelve.

a ( a + 1 – 6 _______ 2a + 1 ) ÷ ( a – 3 + 6 _______ 2a + 1 ) b ( a – 6 – 10 ____ a + 3 ) ÷ ( a + 2 – 2 ____ a +3 ) c ( m2 – 4n2

______________ 2m2 – 7mn + 3n2 ÷ 2m + 4n _______ 6m – 3n ) ÷ m

2 – mn – 2n2 _____________

m2 – 4mn + 3n2

d c3 + d3 ___________

c2 + 3cd + 2d2 · c2 – cd – 6d2

___________ c2 – 2cd – 3d2 ÷ c

2 – cd + d2 _________

2c2 + 2cd

h

A = 15x2 + 7x − 2 ____________ 25x2 + 10x + 1

6x2 + 13x + 6 ____________ 25x2 + 10x + 1

A = 45m2n4t _______ 14a3b2

h

60 m 2 n 2 ______ 7 a 2

a b



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96

a Un triángulo tiene una diagonal.

b El número de diagonales es igual al número de lados.

c El ángulo externo es igual al ángulo central.

d La suma de los ángulos internos de un polígonoes siempre 180°.

Calcular medidas de ángulos internos en polígonos regulares de hasta seis lados para establecer patrones. (P, A)


Observa el trazo de algunas diagonales de los siguientes polígonos y analiza la información. Luego, responde.

Analiza y contesta: ¿Cuál será la suma de las medidas de los ángulos internos de un decágono convexo?

El cuadrado fue descompuesto en dos triángulos. Como en cada uno la suma de las medidas de los ángulos internos es igual a 180°, la suma de las medidas de los ángulos internos del cuadrado es 2 ∙ 180° = 360°.

• ¿Cuál es la suma de las medidas de los ángulos internos del pentágono?

• ¿Y del hexágono convexo?

• ¿Cuál es la suma de las medidas de los ángulos internos de un cuadrilátero convexo cualquiera?



1 Completa la tabla, escribe el cálculo e indicauna característica del triángulo.

2 Indica si son verdaderas o no las siguientes expresiones. Justifica tu respuesta.

Polígonos Número de diagonales

Todos los polígonos regulares están inscritos en una circunferencia, cuyo centro es el centro del polígono.

Se dice que esa circunferencia está circunscrita al polígono.

θ = 3600

___ n

α = 1800 (n – 2)

________ n

γ = θ o también

γ = 1800 – αángulo externo

ángulo interno

ángulo central

θ

αγ

Suma de los ángulos internos de un polígono

Diagonales en un polígono

S = 180° (n –2)

En un dodecágono,

S = 180° ( – 2)

S = °

D = n (n – 3)

______ 2

D = número de diagonales n = número de lados

Ejemplo:

Diagonales de un octágono

D = __ ( – 3)

__________ 2

D = diagonales


Ángulos internos de un polígono

540°.

720°.

360°.

1 440°.

8 8

12

1 800

20


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97

CONEXIÓN CON ARQUITECTURA


8 Lee el enunciado, analiza el plano y realiza las actividades.

Un arquitecto de parques y jardines de la ciudad ha entregado al jefe de obra un plano para la construcción de un parque. Ha indicado que alrededor del cuadrilátero se construyan bordillos y que a lo largo de las diagonales se coloquen flores. INDICADoRES:

Calcula el númerode diagonales de polígonos.

Determina valoresde ángulos en polígonos.

Justifica la imposibilidadde aplicar la fórmula de ángulo central en un polígono irregular.

Inscribe polígonosen circunferencias.

Extrae datos de un gráficoy resuelve problemas.

3 Completa la tabla.

4 Explica por qué en un polígono irregular no se puede aplicar la fórmula para calcular el ángulo central.

5 Resuelve.

El ángulo externo de un polígono regular mide 30°. ¿Cuántos lados y cuántas diagonales tiene ese polígono?

Responde.

a ¿Cuál es la longitud total de los bordillos?

b ¿Cuál es la inclinación que deben tenerlos extremos izquierdo y derecho?

c Ubica en el plano las flores ornamentales.

d Si el arquitecto pide inscribir el cuadrilátero en una circunferencia formada con árboles, ¿qué le dirías? ¿Por qué?

¡HAZLO ASÍ!

¿Cómo construir un polígono regular inscrito en una circunferencia?

• Divide 360° para el número de lados.

Para un pentágono, 360 ÷ 5 = 72°.

• Traza una circunferenciay, con un graduador, hazlos ángulos centrales.

• Une los puntos.

6 Ayúdate con un graduador y construye.

a Un polígono regular de 12 lados inscritoen una circunferencia.

b Un polígono de 8 lados inscrito en una circunferencia.

7 Inscribe un hexágono regular en una circunferenciay responde.

¿Es cierto que el lado de un hexágono regular es igual

al radio de la circunferencia circunscrita?

Explica cómo lo puedes comprobar.

Cálculo Endecágono Polígono de 20 lados

Número de diagonales

Suma de ángulos internos

Ángulo central

Ángulo interno

Ángulo externo

72°

72°

72°

72°

72°

72°

A C

120°20 m

20 m 25 m

25 m

120°

2θ θ

B

D

BUEN VIVIR

Educación Ambiental

Mantener bien cuidados nuestros parques y jardines de la ciudad es un deber de todos.

Comenta. ¿Por qué crees importante cuidarlos?



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98

Más actividades

1 Realiza las siguientes operaciones.

a 1 ____ x − 3 + 1 + x ____ x − 3 − 3 − 8x _____ x − 3

b 12 + 3a ______ a + 6 − 3 + 8a _____ a + 6 + 3 + 7a _____ a + 6

c 5y + 12

______ 7 + 2y + 3y _____ 7 + 2y −

6y + 5 _____ 7 + 2y

d n2 + 2 _____ n − 3 − n

2 − 4 _____ n − 3 + n2 + 6 _____ n − 3 + 4n2 + 1 ______ n − 3

e 7p + 4

______ 4 + p − 3p + 5

______ 4 + p − 2p + 3

______ 4 + p + 7p + 5

______ 4 + p

2 Resuelve las siguientes operaciones entre fracciones de distinto denominador.

a m + 12 ________ 12m + 24 + m ______ 3m + 6 − 1 _______ 6m + 12

b n _____ n2 + 1

+ 1 ___ 3n − 1 __ n2

c 1 ____ 1mx1 − 1 _______ m2 + mx

+ 1 ______ 1m + x1

d 2 _________ n2 − 2n − 8

+ 1 __________ n2 + 2n − 24

− 3 __________ n2 + 8n + 12

e m + n ___________ m2 − mn + n2 − 1 _______

1m + n1 + 3m2 _______

m3 + n3

f 3a − 5 _________ a2 − 4a + 3

+ 3 ________ 2 − a − a2 − 2 ____ a − 3

3 Reduce a una sola fracción y simplifica.

a 3y − 2

__________ 2y2 − 5y − 3

− y − 2

_________ 6y2 + y − 1

− 2y + 2

___________ 3y2 − 10y + 3

b 13 __________ 6p2 + 5p − 6

− 7 _________ 2p2 − p − 6

+ 4p − 4

__________ 3p2 − 8p + 4

c 1 ____ y − 4 − 1 ____ 3 − y + 1 __________ y2 − 7y + 12

d 1 ____________ 2x2 + 11x + 15

+ 6x + 7 __________ 3x2 + 7x − 6

− 7x _____ 3x − 2

e b − 7 ________ b2 + b − 6

+ 4b − 5 ___________ 2b2 − 5b + 2

− 3b − 5 __________ 2b2 + 5b − 3

4 Determina si cada afirmación es verdadera o si es falsa. Justifica tu respuesta.

a Si el perímetro del siguiente triángulo equivale a

5m2 + m _______ m2 − 9

, entonces el lado que falta se expresa con

la fracción 2m ______ 9 − m2

.

f 10 __________ 8y2 − 2y − 3

+ 4y − 7

__________ 2y2 − 7y − 4

− 10 _____ 2y + 1

g 1 _____ w + 5 − w − 5 ____________ w2 + 10w + 25

+ w + 5 ______ w2 − 25

h 2r + 5 _______ 20r + 10 + r − 3 ______ 10r + 5 − 4r − 7 _______ 60r + 30

i x + 1 ___________ (x + 3)(x + 2)

+ x + 17 ___________ (x − 4)(x + 3)

b En un triángulo cuyo perímetro es

x − 6 ________________ (x − 1)(x + 2)(x + 3)

las medidas

de sus lados son x ________ x2 + x − 2

, −3 _________ x2 + 2x − 3

,

y − x _________ x2 + 5x + 6

, respectivamente.

3m _____ m − 3 2m ______ m + 3

c Un cuadrado cuyo lado mide 2x2 + x ______ 3x2 + x

tiene perímetro igual a (2x2 + x)4.

d El triángulo de lados (x − 2)2

______ (x + 3)2

, x2 − 4x + 4 _________

x2 + 6x + 9

y −4 + 4x − x2 __________

−9 − 6x − x2 es equilátero.


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99

5 Simplifica las expresiones y luego multiplica.

a 4m2 ____ 3n · 2n3

___ 5m · 10mn _____ 6

b 7w4x ____ 3 · 1 ____ 14w3 ·

3x2 ___

w2

c 5x2 ___ 3y · 4x3

___ xy · 12xy3

d 9ab ___ 5 · 3a2 ___

b · b __ 2a

e 16rs ____ 15w3 ·

25w4r _____ 5 · 2r2s3 ____ 3

f 9n5y

____ 13 · 26y4

____ n3 · 5n4

___ y2

g 25p

___ 2q2 ·

3pq ____ 7 ·

q3

__ p

h 7z45xy

9x y21z x

5x zy2x y

2 2 3

4

3

2

$ $

i 7b4abc

15b c14a c

2ab c5a bc

2c 3

2 2

2 3

3

$ $

6 Multiplica las fracciones algebraicas dadas.

a y + 7

____ 6y2 · 8 __ 3y

b 8 ______ 4n + 2 · 2n2 + n ______ 6

c w2 − 1 _____ 5w · 15w3

_____ w + 1

d m2 + 2m + 1 __________ m + 1 · m

2 − 1 ______ m − 1

e a ____ a − 1 · a2 − 1 _____ 2a

f 10x + 50 _______ 5 x + 25 · 10 _____ 7x + 7

g 2n − 2 _______ 2n2 − 25

· n2 − 4n − 5 _________ 3n + 3

h n3 − 27 ______

m3 − 1 · m

2 + m + 1 _________ n2 + 3n + 9

i a ________ a2 + a + 1

· a2 − 1 _____ 2a · a

3 − 1 _____ 2a · a ____ a − 1

j m2 + 5m + 6 __________ m2 − 9

· m2 − 1 __________ m2 + 3m + 2

k n2 − 9 _________ n2 − 6n + 9

· n2 − 7n + 12 __________

n2 + 8n + 16 · n

2 + 7n + 12 __________ n2 + 2n

l 2m2 + 7m + 6 ___________ 2m2 + 9m + 9

· 2m2 + 17m + 8 ____________ 4m2 + 9m + 2

m x2 + 4mx + 4m2

_____________ 3mx − 6m2 · 6m + 6x _____________

x2 + 3mx + 2m2

n w4 − 27w __________ w3 − w2 + w

· w4 + w ____________ w4 − 3w3 + 9w2 ·

w2 _____ w − 3

7 Calcula los cocientes indicados y simplifica.

a 35m3 _____

18n3 ÷ 14mn2 ______

9n3

b p5q8r7

_____ p4q6r10 ÷

p6q8r9

_____ p3q2r5

c 15a2 _____

19by3 ÷ 20x2 _____

38b3y2

d x − 1 ____ 3 ÷ 2x − 2 _____ 6

e 6x2 + 9xy

________ x3 ÷ 9 __________

14x3 + 21x2y

f x2 − 13x + 12 ___________ x + 2 ÷ x − 1

g 2y2 − 7y + 3

__________ 2y2 + 3y − 2

÷ 6y2 − 5y + 1

__________ 3y2 + 5y − 2

h x2 − x − 20 __________

x2 + 7x + 12 ÷

6y2 − 5y + 1 __________

3y2 + 5y − 2

i x2 − x − 20 __________

x2 + 7x + 12 ÷ x

2 − 10x + 25 ___________ x2 + 6x + 9

j x2 − x − 20 __________

x2 + 7x + 12 ÷ x

2 + 2x − 35 __________ x2 + 6x + 9

k w2 + 9w ___________ w2 + 3w − 54

÷ w2 − 6w _______

w3 − 3w2


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100


1 Los datos sobre los incendios que han tenido lugar en el país durante el verano no han sido muy desfavora-bles. Sin embargo, el último fin semana se produjo un incendio en uno de los parques naturales.

2 El municipio ha decidido construir viviendas de protec-ción oficial en un terreno. Para realizar el proyecto, ha contratado a un equipo de arquitectos.

Desde uno de los helicópteros de protección civil, situado en el radar en el origen de coordenadas, el piloto observó un fuego en dirección norte. El lago más cercano está a 25° y la piscina municipal, a 120°.

Los encargados municipales no les han proporcionado las di-mensiones del recinto, y uno de los aparejadores ha visitado el terreno para hacer las mediciones.

Luego, han presentado el estudio incluyendo redes geodésicas del terreno, formadas por puntos desde los cuales se mide con gran precisión y que, además, son los vértices de los trián-gulos adosados unos a otros.

Con estos datos, determina la superficie de terreno que va a ser edificable.

Desde la torre de control, le dieron el aviso de que el viento empezó a ser más fuerte, y que era necesario que el incendio fuera controlado antes se que se propague.

¿A dónde irán a recoger agua? Justifica tu respuesta.

30 m

50 m

33 m

70º

50º

b

h

h'

43 m

La distancia al fuego es de 10 km. Y la distancia

al lago es de 20 km.

Irán al lago.

1 227,09 m2


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101

1 Señala la fracción algebraica que debe ser sustraída a 1 __ x para obtener como resultado x – 1 ____ 2x .

12 El ángulo interno en un polígono de 8 lados es:

a 1 – x b x – 1 c 2 – x d x – 2

a 60º b 80º c 120º d 135º

a 1 b –3 c –2 d –1

a 2 – x ____ 2x

b 1 __ x

c 1 __ 2x

d 2 __ x

a 3 b –3 c 1 __ 3 d – 1 __ 3

10 x3 − x2

_____ x − 1 ÷ 1 __ x es igual a:

a x b x3 c 1 __ x d 1 __ x3

11 La expresión x(x + 1)

_______ x2 − 1

es igual a:

a x b x − 1 c x + 1 d x _____ x2 − 1

6 1 __ x1 − 1 __

x2 es igual a:

a x − 1

____

x2

b 0

c 1

__ x

d x − 1 __ x2

7 1 − 1 __ x es igual a:

a 0

b − 1 __ x

c 1 __ x

d x − 1 ____ x

8 m ____ x + 1 · x + 1 ____ m + 1 es igual a:

a 2

b m _____ m + 1

c m

d x _____ x + m

9 La expresión 2 __ m _____ m + 1 es igual a:

a 2m _____ m + 1

b m _______ 2 m + 2

c 2m + 2 ______ m

d 2 ________ m(m + 1)

2 Responde: ¿Cuál es la expresión que representa el área del terreno?

12 ___ a b 7

a 3 b 4 ____ 42

2 a 3 ___ b 3

a

2 a 3 ___ 7 b 3

b

a 3 ___ 7 b 3

c

2 a 2 ___ 7 b 3

d

3 Indica qué le falta a la expresión

M = x 2 + 8x + 15 __________ x 2 + 5x + 6

+ x 2 – x – 2 ________ x 2 – 4

– x 2 + 6x + 8 _________ x 2 + 4x + 4

después de ser simplificada para que sea nula.

4 Escoge el inverso del resultado que se obtiene al reducir la expresión

T = ( x – 1 ____ x + 1 – x + 1 ____ x – 1 ) ( x + 1 ____ 4x )

5 ¿Qué se obtiene al resolver la fracción compleja

x 3 + y 3

_____ x + y ÷ x 2 – xy + y 2

_________ 5 ________________

x 3 – y 3

_____ x – y ÷ x 2 + xy + y 2

_________ 15 ?

Marca la respuesta correcta.


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102


1 Encuentra el m. c. m. de los monomios.

a 4x4w3y2; 2xw3y3; 6x3w2y6

b 20p2 + 7p – 6; 20p2 – 7p – 6; 20p2 + 23p + 6

c m2 + 2m – 3; m2 – 2m – 3; m2 – 4m + 3

2 Halla el m. c. d. de los polinomios.

a 4a2 + 16a – 20; 6a2 + 60a + 150

b 4b4 – 13b2 + 3; 4b4 + 11b2 – 3; 4b4 – 1

c 3a2 – 12a4; 3a2 + 6a3; 6a2 + 12a3

3 Resuelve las operaciones.

a 12t ____ t – v + 6v _____ t – 2v – 3tv ___________ t2 – 3tv + 2v2

b 7x – 5 __________ x2 + 3x – 10

– 6x – 9 ___________ 5x2 + 15x – 50

4 Realiza las divisiones.

a x2 + 2x – 8 _________

x2 – 3x – 4 ÷ x

2 – 4x + 4 _________ x2 – 6x + 8

b x2 – 4x – 12 __________ x2 – 7x + 6

÷ x2 + 10x + 16 ___________ x2 + 7x – 8

6 Marca con X: ¿Qué tarjetas representan expresiones fraccionarias?

5 Multiplica.

a 5 __ xy · x2 __ 15

b 3 __ ab

· b2 ____ 27a · a

3 __

b3

c t – 4 ____ 3t2 · 7t ____ t – 4

d x + y

____ x – y · 2 ______ (x + y)2

7 Divide.

a 16b ___ a ÷ 4b2 ___

a3

b x2 ____ x + 1 ÷ x ______

(x + 1)2

c 18 _____ m + 4 ÷ 3m + 12 _______ m + 4

d x + y

____ y ÷ x2 – y

_____ y

2 __ x

– √__

7 m3 _____

2n2

x2 – 1 2x – w __ z

140 _____ u + v

√__

2 x–1

x–1 · (a + 1)2

8 Resuelve: ¿Qué se obtiene al resolver las siguientes fracciones complejas?

a x3 + y3

_____ x + y ÷ x2 – xy + y2

_________ 5 ________________

x3 – y3

_____ x – y ÷ x2 + xy + y2

_________ 15

b 1 ________ a + b + c

– 1 _______ a – b + c

_________________

1 ________ a – b + c

– 1 _______ a + b + c

9 Halla la suma de los ángulos interiores de cada polígono

a Un pentágono

b Un decágono

c Un octágono

√__

5 ____ 3 √__

27

12x4w3y6

x

x

x

x

x

x

(4p + 3)(5p – 2)(5p + 2)(4p – 3)

(m – 3)(m + 3)(m –1)(m + 1)

2(4a + 5)

4b2 – 1

3a2(1 + 2a)

3 ( 4t 2 – 7tv – 2v 2

_______________ (t – v)(t – 2v)

29x – 16 _____________ 5(x + 5)(x – 2)

4 __ b

x(x + 1)

6 ______ m + 4

1 _____ x – y

1 __ 3

–1

540º

1 440º

1 080º

x + 4 _____ x + 1

1

x ___ 3y

a ____ 9b2

7 __ 3t

2 ______ x2 – y2


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103


PARA LA CARTELERA

Mide las dimensiones de tu habitación y de los muebles que en ella se encuentran. Realiza un plano y expresa sus relaciones de área como fracciones algebraicas. Demuestra la validez de las mismas y expón tu trabajo en la cartelera.

AUTOEVALUACIÓN

• Explica cómo se forman ángulos positivos y negativos.

• Propón ejemplos de ángulos cuadrantales y en posición normal.

• Elabora un cartel con lo aprendido sobre reducción de ángulos al primer cuadrante.

CoEVAluACIóN

6 Calculen el área que ocupan los jardines del coliseo. Si x = 2 dam, encuentren el área del coliseo en metros cuadrados. Luego, intercambien sus respuestas con un compañero y verifiquen sus respuestas.

1 Encuentra la expresión que representa el área destinada a las personas que asisten al espectáculo y simplifícala.

2 Determina el área que ocupa la pasarela.

3 Analiza la situación y responde.

A solo dos días del evento, se dan cuenta de que el número de entradas programadas para la venta sobrepasa la capacidad física que ofrecen las áreas destinadas para el público.

a ¿Qué deben hacer los asesores?

b ¿Qué debe hacer el empresario?

c Si, a pesar de conocer los riesgos que se corren, se efectúa el evento y el público se siente satisfecho, ¿qué deben hacer estos consumidores?

4 Calcula el área total de las tribunas 1 y 2.

5 Determina: ¿Cuál es la diferencia entre el área de la platea y el área de las tribunas?

La presentación de un espectáculo en público es una tarea que implica una serie de situaciones que deben organizarse de manera que las personas que asisten se sientan satisfe-chas no solo por su calidad, sino también por el ambiente acogedor en el cual se desarrolla.

Los desfiles de moda son un tipo de estos eventos.

Un empresario de espectáculos anuncia la presentación de un desfile de modas, que se llevará a cabo en un coliseo adaptado para dicha actividad.

Los expertos en distribución de espacios que asesoran al empresario distribuyen las áreas como se muestra en la figura. Las personas serán ubicadas en las tribunas y en la platea.

Las zonas sombreadas corresponden a jardineras externas.



Área de platea = 2 · ( x 2 + 2x __________ x 2 – 7x + 12

) Pa

sare

la

1

__

__

x +

1

7 x 2 – 33x + 36 ___________ 2 x 2 – 14x + 24

Área del coliseo:


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104


5 Dada la ecuación de la recta: 3x – 5y + 12 = 0, escribe una ecuación de una recta que sea paralela a la dada y una que sea perpendicular a la misma. Grafícalas.

Determina, a partir de la ecuación de una recta, la ecuación de una recta paralela o de una recta perpendicular a ella.

1 Calcula el valor de ( – 5 __ 7 ) + 0,55 … − (π) con milésimos de aproximación.Opera con números reales.

3 Calcula el valor al sumar las siguientes distancias 48 pul, 46 p, 208 cm, 3,9 m.Realiza conversiones dentro del Sistema Internacional de medidas y con otros sistemas de uso común en nuestro medio.

4 A partir de la siguiente ecuación que representa una línea recta, elabora una tabla de valores y realiza el gráfico de la recta. f(x) = 2x – 6

Reconoce una función lineal a partir de su ecuación, tabla de valores y gráfico; además, a partir de una de ellas, determinar las otras dos.

2 Simplifica la siguiente expresión 3 1 __ 2 · 9 ___________

3 √__

27 · 3 –1 ___ 2 · 81 .

Relaciona la potenciación con la radicación.

2,983

21,22 m

1 __ 9

x

0

2

y

–6

–2

R. M.

Paralela 3x – 5y +10 = 0

Perpendicular 5x + 3y + 4 = 0


© Santillana


105

8 Calcula el área total y el volumen de un cono que tiene 4 cm de radio y 10 cm de altura.

Calcula áreas y volúmenes de cuerpos geométricos.

9 Calcula el valor de m en la siguiente división exacta.(5x3 + 3x2 – mx – 7) ÷ (x2 + 2x -1)

Opera con polinomios.

7 El área de un rectángulo está expresada por 4(x+y)2 – 9. Calcula el perímetro del rectángulo.

Relaciona la potenciación con la radicación.

10 Calcula la media aritmética de la siguiente tabla de datos que representa los pesos de 40 estudiantes.

Calcula medias aritméticas.

Peso (kg) f

40-45 10

4-50 8

50-55 12

55-60 10

6 Realiza una tabla de valores, el gráfico de las siguientes funciones.

f(x) = x + 5; f(x) = 2x

Diferencia una función lineal de una función exponencial por medio de su gráfico, de la tabla de valores y de la ecuación.

21,22 m

19

__

X = 50,25

8(x+y)


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106

Prueba SER

a 1 b √__

13 ____ 2 c √__

5 ___ 2 d √__

7 ___ 2

a 0 b 4 c 256 d 260

a 5 __ 2 b 13 __ 6 c – 7 __ 6 d – 5 __ 6

a 1 b 2 c 3 d 4

a –1 b b c –4b d a

a 2x + 6

b 2x – 2y + 1

c x + y + 3

d 2y – 6

a a5

b 1 + a2

c 1 + a – a2

d 1 – a

1 Al simplificar la siguiente expresión, se obtiene:

√______________________

[ 3 √__

2 ___ 6 √

__ 2 ÷

12 √

__ 2 ___

4 √

__ 2 ] 3 – √

_________

√__

16 + √__

25 _________ 16

2 El residuo de la división x4 + 4 _____ x + 4 es:

a 15 b 50 c 25 d 45

13 Al dividir (8x5 – 3x4 – 12x3 – 30x2 + 58) ÷ (x – 2), el residuo de la división es:

a 4 b 6 c 8 d 19

14 El valor de m en la siguiente división exacta es:

(5x3 + 3x2 – mx – 7) ÷ (x2 + 2x – 1)

a 20 b 22 c –22 d 26

15 En el resultado de la operación (x2 + 3x)2 – (4x – 2x2)2, el coeficiente de x3 es:

a 162 b 63 c 18 d 90

17 Si x2 + y2 = 12 y x = 3, x4 + y4 es igual a:

a 2 565 b 3 375 c 1 875 d 2 500

18 Si x + y = 15 y xy = 18, x3 + y3 es igual a:

a x3 – x2

b 3x2 + 1

c 3x3 + 1

d x3 + 3x – 1

19 Al factorizar (x + 1)3 – (x – 1)3

______________ (x + 1) – (x – 1)

, se obtiene:

a x2 + y2

b x2 – y2

c x + y

d x – y

16 El valor de √____________________

(x + y – z)(x + y + z) + z2 es:

10 Si A(x) = x3 __ 3 + x

2 __ 2 + x + 1 __ 4 y B(x) = 3x __ 4 – 2x2

___ 3 , la suma

de los coeficientes del polinomio C(x), donde

C(x) = A(x) + B(x), es:

11 Las expresiones que representan los lados de un rectán-gulo son L(x) = x2 + 4x – 1 y A(x) = (–x3) + 6x2 + 1. La expresión que representa el perímetro es:

12 El área de un rectángulo está expresada por x4 + 2x3 – 2x2 – 6x – 3. Si uno de los lados es x2 + 2x + 1, el otro se expresa:

a x3 – 7x2 + 4x

b (–x3) – 2x2 + 4

c x3 + 7x2 + 2x +1

d (–2x3) + 14x2 + 8x

a x2 + 2x – 3

b 2x2 – x – 3

c x2 – 3

d x2 + x – 3

3 Tras factorizar x2 + 6x + 9 – y2 – 4y – 4 y hallar la suma de sus factores, se obtiene:

a x + 2

b x – 2

c x2 + 2

d x2 – 4

5 El factor común a los polinomios x4 – 2x2 – 8 y x2 + 7x + 10 es:

a 5 ____ x – 2

b 5(x – 2)

c 5 ____ x + 2

d 5(x + 2)

6 Al simplificar 3x– 2 _____ x2 – 4

+ 2x – 8 _____ x2 – 4

, se obtiene:

7 Al factorizar a4 – 16, ¿cuántos factores de primer grado se obtienen?

8 Al operar y simplificar la siguiente expresión, se obtiene:

( a – b _____ a + b

– a + b _____ a – b

) · a2 – b2 ______ a

9 La división (xn + an) ÷ (x + a) es exacta:

a cuando el exponente es par.

b cuando el exponente es impar.

c siempre.

d nunca.

4 Uno de los factores de (a2)3 – (a3)4 es:


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107

INSTRuCCIoNES:

1. Usa solamente lápiz.

2. Rellena solo un círculo. Ejemplo:

3. No marques así:

4. En caso de error, borra correctamente.

x

1 a b c d

2 a b c d

3 a b c d

4 a b c d

5 a b c d

6 a b c d

7 a b c d

8 a b c d

9 a b c d

10 a b c d

11 a b c d

12 a b c d

13 a b c d

14 a b c d

15 a b c d

21 a b c d

16 a b c d

22 a b c d

17 a b c d

23 a b c d

18 a b c d

24 a b c d

19 a b c d

25 a b c d

20 a b c d

26 a b c d

1 c2 d3 a4 d

5 a6 c7 b8 c

9 b10 b11 d12 c

13 b14 d15 b16 c

17 d18 c19 b20 a

21 c22 b23 b24 c

25 b26 d

RESPuESTAS

El caminante

La foto muestra las huellas de un hombre caminando. La lon-gitud del paso P la definiremos como la distancia entre los extremos posteriores de las huellas consecutivas.

La fórmula n __ P = 140 da una relación aproximada entre n y P, donde:

n = número de pasos

P = longitud del paso

23 Si los pasos de David son de 0,75 m, ¿cuál es la velocidad a la que camina?

a 140,75 m/min

b 78,75 m/min

c 70,75 m/min

d 140 m/min

24 Si Antonio da 68 pasos por minuto, ¿cuál es la longitud de su paso?

a 0,45 m b 0,47 m c 0,48 m d 0,51 m

26 Jaime sabe que sus pasos son de 0,82 m. La velocidad a la que camina es:

a 92,7 m/min

b 93,2 m/min

c 93 m/min

d 94,1 m/min

25 ¿Cuál es longitud del paso de Ricardo?

a 0,5 m b 0,51 m c 0,52 m d 0,53 m

a 5ab ___ 3 – 2a

b 2ab ___ 3 – b __ 3

c 5ab ___ 3 – 2a2 – b2 __ 3

d ab – 2a – b

21 Al factorizar ( a __ 2 – b __ 3 ) 2 – ( 3a __ 2 – 2b ___ 3 ) 2 , se obtiene:

20 Al simplificar x4 – y4

______ x2 + y2 ÷

x2 – y2

_____ x + y , se obtiene:

a x + y b –xy c x2 – y2 d xy

P

a 25 __ 36

b 5 __ 36

c 125 ___ 36

d 1 __ 36

22 La quinta parte del resultado que se obtiene al resolverla siguiente expresión es:

[ ( 1 __ 16 ) –0,25 – (–27)

1 __ 3 ______________

36 –0,5 + 16 0,5 ] –2


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108

Solucionario

Módulo 1

Pág. 22

2 a 1 – √__

2

b √__

5 + √__

2

c 1 + √__

3

d √__

5 – 1 __ 2

e 3 + √__

6

f √__

3 – 2

g 1 + √__

2

h √__

3 + 1

i 5 + √__

1 __ 2

j √__

8 – 2 √__

2

k √__

3 + 2

l 4 + √__

5

Pág. 16

2 a 7

b –761

c –10

d 208

e 48

f 119

g –5

h 24

i –7

j 7

k 0

l 6

m 6 __ 73

n 178 ___ 63

o 1 __ 4

Pág. 17

2 a 1

b 1

c 8

d 3

Pág. 26

2 a M = –70,8

4 a 4 b 306 c –5,9

6 a –6 b 55 c 2 d 174

8 a 2

b 10

c 2

d 34

e 328

f 1

10 a 2 + 2

b 6 – 2

c 210 + 23

d 7 – 76

Pág. 21

2 a 3 √___

864

b 3 √___

250

c √__

5 __ 9

d 4 √___

162

e √__

3 __ 4

f 3 √_____

1 000

g √___

45 __ 4

h 12 __ 25

4 a F b V c V d V e V

6 a 13 3 √

__ 2

b 3 √

__ 2

c 3 √__

2 + 2 3 √

__ 2

d 11 √__

3

e n √__

a

8 a 12

√__

5 4 y 12

√__

2 3

b 6 √__

5 2 y 6 √__

7 2

c –2 √__

6 y 10 √__

2

d 4 12

√__

3 3 y 2 12

√__

7

12 a 2,0 ∙ 10 12

b 6,46 ∙ 10 8

c 4 ∙ 10 15

d 4,13 ∙ 10 –7

10 – 8,6 ∙ 10 –5

Pág. 15

6 a 1,373

b –6,499989 ∙ 10 15

c 1,059 ∙ 10 –4

d 1,266 ∙ 1 0 7

8 a Da error 12,8 ∙ 1099

b R. M. La calculadora no presenta tantos dígitos.

4 a 2 510 000

b 0,0000000932

c 0,00101

d 11500

e 3 760 000 000 000

f 930 000

Pág. 14

2 a 1,8 ∙ 10 –4

b 1,23 ∙ 10 8

c 2,3 ∙ 10 –9

d 1,02 ∙ 10 –4

e 9,871 ∙ 10 –11

f 2,3 ∙ 10 –6

Pág. 11

2 a 1,727 cm b 10,172 cm

6 4,5

4 a –10 b 2π

Pág. 12

2 a a = 2

b a = 5

c a = 2

d a = –1

Pág. 13

4 a a –3

b 5 –10

c 7 8

d (4,2) –1

e 7 –4

f 9 –9

6 a 1 b 3 –2 c 2 12 d 3 30

8 a – 1 __ 81

b 2 9 __ 10

c 36

d 2,5

10 a –0,5

b –5,15

c 7,2

d –4

e 6 √

__ 2 ___ 3

12 a 10

b √__

2

c 3 ____ 4 √

__ 2

d 1

6 a √__

5 + √__

2 _______ 3

b √__

5 + 1 ______ 8

c √__

5 + 2 √

__ 2 ___ –3

d 6 – 2 √__

6

e 2x √

__ 2 + y √

__ 2 + 5 √

__ xy _______________ 4x – y

f 2 √__

3 + √__

5 ________ 7

4 a 3 √__

49

b 5 3 √

__ 4 ____ 6

c √__

6 ___ 2

d m 3 √__

n2 _____ 2n

e mp m √____

pm – n

f 5 √_____

16 + 2 _______ 4

g √__

b ___ 3

h 3 √

__ 4 ___ 2

i 5 3 √

__ 9 ____ 6

j 2 3 √

__ 9 ____ 3

k 2 3 √

__ 9 ____ 3

l 7 5 √

__ 8 ____ 2

m xy 2 √__

xy

n 2

10 √___

x 9 y 4 ______ xy

o 4

4 √____

x2y3z ______ z

Pág. 23

Pág. 25

2 1 339,80 m

4 a 1,6 ∙ 1010m 3

b 350 000

c 6,5 ∙ 10–4m 3

d 4 000 000 m 3

e 0,037486 m 3

f 27 000 m 3

g 0,002 m 3

h 700 000 m 3

i 12 300 000 m 3

6 3 375 minutos

g √

__ 2 ( √

__ 11 + √

__ 2 ) ___________ 3

h 4(2 √

__ 3 + √

__ 5 ) __________ 7

i 10 – √__

30

j 7 √__

2 + 2 √__

7 _________ 5

k –3 –2 √__

2

l 13 + 2 √__

6

m 9 + 5 √__

6 _______ 23

n 3 √__

3 + √___

3b _________ 9 – b

o m √__

6 + m √__

2 __________ 2

p √___

ab + b _______ a – b

q 13 – 4 √__

3 ________ 11

r –6 √__

6 – 3 √__

10 ___________ 7

Pág. 27

12

14

16

18

20

a √__

50

b √__

80

c 3 √______

343a3b

d √_____

a + b

a − √__

3

b 9 3

√__

6

c −18 5 √__

8

d −27 √__

2

e 13 __ 12 3

√__

4

f 5 __ 6 √__

5

a 18m5 √___

6m

b 7w4 6 √______

2000w4

c a _ x 6 √__

a _ x

d x 15

√______

128x7y3

a 2 √__

5 ____ 5

b 4 √__

3 ____ 3

c 3 √__

2 ____ 10

d 5 3

√___

2x _____ 2x

e 3 √___

4a2 ____ 2a

f 5 4 √__

9x ____ 3

a 7 + √__

3 ______ 2 , b −4+ √__

15 , c 4 + 3 √__

2

d 16 − 5 √__

11 ________ +7 , e −2x + 2 √_______

x(x + 1) − 1

f a(a−18)−36 √

__ a +(2a−24)

√__

3a +(36−6a) √

__ 3 +72 __________________________________

a2 − 24a +36

© Santillana


109

Pág. 44

Pág. 45

2 c

4 a 20 km-, 30 km

b 20 minutos

c 10 km; 60 km por hora

6 a y = 0,40x + 0,35

b $ 4,35; $ 5,15

c R. A.

8 a R. A.

14 a m= 4 __ 3 ; positivo

b m = – 5 __ 2 ; negativo

c m = 3; positivo

d m = – 8 __ 5 ; negativo

10 a Ordenada 7

b Abscisa 4

12 m = –2; la función es decreciente

Módulo 2

2 a No

b Sí

c Sí

d No

e Sí

f Sí

6 R. A.

Pág. 35

4 x y–1 –23 –283 –126

x y0 –71 –43 2

x y10 1020 1530 20

x y

– 1 __ 10 0

0 –0,01

1 __ 2 0,24

y = x 2 – 1 ___ 100

y = 3x – 7

y = x __ 2 + 5

y = x 3 – 1

8 b 12 minutos y 49 segundos.

c d = v ∙ t

2 a y = 3x

b y = x2

c y = 2x + 5

d y = x __ 2

Pág. 37

4 R. M. La variación de temperatura de una ciudad en algunos días.

6 (–1; 2) pertenece y (0; –1) no pertenece.

a • Precio en la compañía A: 50 + 10 ∙ 8 = 130

• Precio en la compañía B: 30 + 12 ∙ 8 = 126

• Le resulta más barato hacerlo en la compañía B.

8

b• Precio en la compañía A: 50 + 10 ∙ 15 = 200

• Precio en la compañía B: 30 + 12 ∙ 15 = 210

• Le resulta más barato hacerlo en la compañía A.

c• Función de la compañia A: y = 50 + 10x

• Función de la compañía B: y = 30 + 12x

Pág. 41

2 R. M.

4 a creciente

b decreciente

c creciente

d decreciente

e • decreciente ]–, 0] • creciente ]0, +[

f creciente

g • decreciente ]–, 0[ • creciente ]0, +[

6 • Máximos en x = –4, x = –2, x = 1, x = 4

• Mínimos x = –3, x = –1, x = 2

Pág. 43

2 a Mientras mayor es la base, más se acerca al eje y.

b Mientras mayor es la base, más se aleja del eje y.

4 a

f(x) –3 –2 –1 0 1 2 3

y = –3x –0,037 –0,111 –0,333 –1 –3 –9 –27

y = 3–x 27 9 3 1 0,333 0,111 0,037

b

f(x) –2 –1 0 1 2

y = 3–2x 81 9 1 0,111 0,012

y = 3–x ___ 2 3 1,732 1 0,577 0,333

Las dos funciones son decrecientes, porque son exponenciales con bases menores que 1.

6

f(x) –2 –1 0 1 2

y = 1 ___ 22x = ( 1 __ 4 ) x 16 4 1 0,25 0,0625

y = 3x ___

22x = ( 3 __ 4 ) x 1,778 1,333 1 0,75 0,5625

2 a m = 1

b m = 4

c m = − 7 __ 10

d m = − 19 __ 24

e m = − 1 __ 3

f m = − 3 __ 7

g m = −5

h m = 4 __ 7

4 a y = 2x + 3 2x − y − 4 = 0

b y = 3x − 5 ⊥ (−x) − 3y + 3 = 0

Pág. 39

5 2010 15 25 30

20

10

40

30

50

60

km p

or h

ora

Millas por hora

1 2 3

–2

–3

–4

–1

1

5 2010 15 25 30

2

1

4

3

5

6

Can

tidad

a p

agar

Kilómetros

b y = 1,61x

c R+ U{0}; Recorrido R+ U{0};

c y = ( − 2 __ 3 x ) − 1 ⊥ 3x − 2y + 12 = 0

d y = 1 __ 4 x − 2 ⊥ (−4x) − y + 1 = 0

e y = (−6x) + 3 (−6x) − y + 1 = 0

f y = (−x) + 1 x − y + 1 = 0

Pág. 49

2 a 273,6 cm 2

b 144 cm 2

c 145 cm 2

d 7,65 cm 2

e En la unión de las dos caras es posible hallar un ángulo mayor a 180º.

© Santillana


110

6 a x 2 + 2x − 15

b b 2 + 11b + 24

c a 2 – 2a – 8

d x 2 y 2 + xy – 30

e a 2 b 2 – ab – 12

f 4 b 2 + 6b – 10

g 4 x 2m – 2 – 2xm − 1 y n + 1 − y 2n − 2

h a 2 m 2x+4 – 6amx + 2 z 2 − 16z4

i 9c 2 – 3c – 30

j 4 x 2 – 20x + 21

k m 6 – m 3 n – 2 n 2

l 16 y –2 + 10 y –1 + 1

m a 2m + 2 + am + 1 − 6b2

n n 2a + 2 – 2ana + 1y − 8a2y2

4 a ( 1 __ 4 p 4 – z 2x ) ( 1 __ 16 p 8 + 1 __ 4 p 4 z 2x + z 4x ) b ( x m – y m )( x 2m + x m y m + y 2m )

c ( 2x 2m + 1)(4 x 4m – 2 x 2m + 1)

d (5 m 4m – 2)(25 m 8m + 10 m 4m + 4)

e ( z x – 1 + y 3x )( z 2x – 2 – z x – 1 y 3x + y 6x )

f ( w 5m + 2x m )( w 10m – 2 w 5m x m + 4 x 2m )

g ( w 4m z m – z 4m )( w 8m z 2m + w 4m z 5m + z 8m )

h (6 + w 5m )(36 – 6 w 5m + w 10m )

i (3 n 5 – x m )( 9n 10 + 3 n 5 x m + x 2m )

j (2 t 3n – 7 p m )(4 t 6n + 14 t 3n p m + 49 p 2m )

Pág. 65

2 a 53

b 144

c 4 000

d 4193

e 165

f –201

g 7 889

h 279

6 a

b (y + 7)(y – 2)

c (t + 2)(t2 – 2)(t2 – 3)

d (b2 + 20)(b2 – 13)

e (m3 – 21) (m3 – 10)

f (xm + 8)(xm + 7)

g (m – 6)(m – 3)

h (a – 7)(a – 4)

i (z – 10)(z – 3)

j (p5 + 20)(p5 – 30)

k (y4 + 36)(y4 + 3)

l (a2t + 2 + 22)(a2t + 2 – 1)

Pág. 63

2 a 3a(1 + 2b)

b 2 m 2 (1 – n)

c 5ax(1 + 2x)

d x( x 2 + y)

e m 3 (m – 5)

f 3(2 m 5 + 3)

4 a (r – 2q )(2r + 5p )

b (2x – 3)(3x – 4y)

c (3m + 4)(4m + 5b)

d (6n – 7b)(5a + 3n)

e ( a 2 – ac+ 2 c 2 )(5a – 1)

f (a+ b + 9)(8a – m)

g (1 + x 3 + 2x)( b 4 – m)

h ( x 2 – xy – y)(4x – 3b)

2 a +4 z 2

b +4 x 2

c + x 2 z 3

d + z 2

e + x 4

f + z 4

g + x 4

h + z 4

4 (n + 2)(n + 1)

Pág. 67

14 a 9 80,1 cm 2

b No porque se mantiene el precio.

c 0,98 L

10 a 367,38 cm 2

b 950 cm 2

c 1 742,95 cm 2

d 357 cm 2

12 a 486 cm 2 b 389 c m 2

Pág. 53

Pág. 51

2 a No es posible. La máxima medida es 287, 22 cm.

b 143, 5 m

c A = 760 cm 2

d El área del cubo es 150 cm 2 , la esfera es de menor área 120,88 cm 2 . La cúbica.

e A = 393,36 cm 2 , V = 576 cm 3

f V = 209,94 cm 3 , V = 163,36 cm 3

g V = 713,6 cm 3 , V = 189,76 cm3

6 a 300 cm2

b 1 381 cm2

c 140,81 cm2

d 452,2 cm2

e 1 116,4 cm2

f 565,2 cm2

g 602,9 cm2

h 59,16 cm2

8 h = 3,5 cm; AT = 462 cm2; r = 7 cm

4 a d = 8,8 cm

b d = 5,2 cm

c a = 4,2 cm

2 a No es regular.

b No es regular.

c No es regular.

Pág. 52

Módulo 3

Pág. 61

2 a a 2 + 2a + 1

b a 2 – 6a + 9

c 16 a 2 – 16ab + 4 b 2

d 4 m 2 n 2 – 4m n 3 + n 4

4 a x 2 – 16

b 4 x 2 – 9 y 2

c x 2 y 2 – b 2

d 9 a 10 – 36 b 8

e 9 ___ 196 a 4 b 6 – 4 __ 9 b 8

f 49 c 6 – 64 d 10

g 0,04 x 6 – 0,0004 y 2

h 49 h 14 – 25 k 10

i 9 __ 25 y −6 – 0,0049 y −4

j 9 __ 16 a 8 b −10 – c 2 d 2

k a 2x + 2 – 4 b 2x − 2

l 7 – 2 =5

m 12 – 5 =7

f R. A.

g R. A.

h (V + c + z); z = 10, V = 6, c = 6

Sí se cumple.

i AT = 40,89 cm2, V = 12,91 cm3

j A = 150,81 cm 2 , V = 141,4 cm 3

k A = 75,4 cm 2 , V = 74,93 cm 3

l diagonal de cara 10,29 cm diagonal del octaedro 13,67 cm

m a 0 10 cm

e 9 x 4 – 6x y 2 + y 4

f a 4 – 2 a 2 + 1

g 4 a 2 m 2 – 12 a 2 m n 2 + 9 a 2 n 4

h 1 __ 9 s 2 – 2s + 9

i 16 __ 9 m 2 + 40 __ 3 mn + 25 n 2

j 36 + 6 __ 5 m + 1 ___ 100 m 2

k 1 __ 4 y 2 + 1 __ 3 x 4 y + 1 __ 9 x 8

l 16 __ 49 a 4 b 2 – 40 __ 7 a 2 b 4 + 25 b 6

m 49 __ 25 p 2 + 56 __ 5 pq + 16 q 2

n 25 __ 49 a 2 b 4 – 30 __ 7 a b 6 + 9 b 8

o 16 __ 9 m 6 n 2 – 8 m 5 n 2 + 9 m 4 n 2

p 0,01 m 6 – 0,1 m 3 _____ n 5

+ 1 ____ 4 n 10

q 4 n 6 x 4 + 4 n 3 x 2 ____ 5 m 3 y

+ 1 ______ 25 m 6 y 2

r 0,04 x 4 – 0,12 x 2 y 3 + 0,09 y 6

s 9 a 4 b2 – 30 a 3 b 6 + 25 a 2 b 10

t 4 x 4 y 2 + 24 x 3 y 3 + 36 x 2 y 4

u 3 a 2 + 1,2abc + 0,12 b 2 c 2

g 20( n 4 + 4)

h xyz(–5 + 2x z 2 )

i –5 x 3 y(x +6)

j –3 w 3 z(3y – 4 w 3 )

k z( z 3 + 2)

l 3 y 3 (2 y 6 – 1)

m 5 a 2 (2 – 3ab)

n xy z 2 (1 – 2z)

© Santillana


111

Pág. 68

2 a (w + 1)( w 2 − w + 1)(7w – 9)

b (z + w 2 )(– 4,5x – 3y + 7,5z)

c 4( p 2 – q)(0,1m –0,3n – 0,4s)

d 5 ( 1 __ 3 m + 2 ) (y + 5)

e 8 __ 9 p 2 ( 2 __ 3 p − 3 __ 7 ) (m + 4)

f 7 __ 3 ( 2 __ 3 + 3 __ 2 y 2 ) ( x 2 – x + 1)

4 a 4x y 2

b 15 z 4 m 5

c 17 b 2 x y 6n

d 6(w – y) 2

e 3 __ 5 x y 10 z 4

f 7a b 2

g 0,5 x 2 y

h 0,25 x 8 y 2m

6 a (y + 11) y (y – 11)

b (2x + 13) y (2x – 13)

Pág. 69

8 a ( 1 __ 8 + w 4 ) ( 1 __ 8 – w 4 )

b ( w __ 6 + d 3 __ 5 ) ( w __ 6 − d3 __ 5 )

c ( w __ 3 – 1 ) ( w 2 __ 9 + w __ 3 + 1 ) d ( 1 __ 7 + 9 __ 23 ab ) ( 1 __ 7 – 9 __ 23 ab )

e ( 14 __ 13 a 6 b 4 + 2 __ 7 x ) ( 14 __ 13 a 6 b 4 – 2 __ 7 x )

f ( 1 __ 2 a – 1 __ 3 b 2 ) ( 1 __ 16 a 4 + 1 __ 24 a 3 b 2 + 1 __ 36 a 2 b 4 +

1 __ 54 a b 6 + 1 __ 81 b 8 ) 10 A 2 – 9 B 2 = (A + 3B)(A – 3B). Si es cierto.

12 a R. M. 64 + 27 x 6 = (4 + 3 x 2 )(16 – 12 x 2 + 9 x 4 )

b R. M. 1 + 64 n 12 = (1 + 4 n 4 )(1 – 4 n 4 + 16 n 8 )

c R. M. (a + b) 3 – 27 x 3 = (a + b + 3x)[( a 2 + 2ab+ b 2 ) – 3x(a + b) + 9 x 2 ]

d R. M. 1 ___ 343 + 27 h 18 y 12 = ( 1 __ 7 + 3 h 6 y 4 ) ( 1 __ 49 – 3 __ 7 h 6 y 4 + 9 h 12 y 8 )

e R. M. ( – 8 __ 27 ) + 125 x 9 = ( – 2 __ 3 + 5 x 3 ) ( 4 __ 9 + 10 __ 3 x 3 + 25 x 6 )

f R. M. ( – b 3 __ a 9

) – 729 c 27 = ( – b __ a 3

– 9 c 9 ) ( b 2 __ a 6

+ 9b c 9 ____ a 3

+ 81 c 18 ) g R. M. y 3 – 8 w 3 = (y – 2w)( y 2 + 2yw + 4 w 2 )

h R. M. –216 z 6 + 1 = (–6 z 2 + 1)(36 z 4 + 6 z 2 + 10)

i R. M. (x – y) 3 – (x + y ) 3 = –2y[(x – y ) 2 + (x – y)(x + y) + (x – y ) 2 ]

j R. M. 15 __ 8 t 9 + p 3 q 3 = ( 5 __ 2 t 3 + pq ) ( 25 __ 4 t 6 – 5 __ 2 t 3 pq + p 2 q 2 )

14 a (8x)(16 x 2 + 27 y 2 ) b 2 x 5 __________ x 6 + x 3 y 3 + y 6

16 a x 8 – 16 = ( x 4 + 4)( x 2 + 2)( x 2 – 2)

b (9 m 2 + n 4 )(3m + n 2 )(3m – n 2 ) Tres factores.

c ( a 8 + b 8 )( a 4 + b 4 )( a 2 + b 2 )(a + b)(a – b)

d ( a 4 + 16)( a 2 + 4)(a + 2)(a – 2) Cuatro factores.

e 2( a 4m + 9 b 2n )( a 2m + 3 b n )( a 2m – 3 b n )

18 a (x + 1)( x 2 + 1)

b (x + 3)(x + y)

c (2x + z)(4 x 2 – 2xz + z 2 )

d (1 + x)(4y +1)

e (x + 1)(2x + 4)

f (x + 2)( x 4 – 2 x 3 + 4 x 2 – 8x + 16)

Módulo 4

Pág. 72

2

a 2 hermanos, el 5%.

3 hermanos, el 66%.

2 o 3 hermanos, el 71%.

b 554 tienen hasta 4 hermanos.

c La diferencia es de 3.

No de hermanos f fr % F

1 56 0,10 10 562 29 0,05 5 853 382 0,66 66 4674 87 0,15 15 5545 26 0,04 4 580

Total 580 1 100

4 b A = 2

c 161,5; Mo= 163, 5=5

Pág. 75

2 b __

X = 14,0Me ⇒ 10-14Mo ⇒ 15-19

Pág. 76

Pág. 77

2 676,4 ≈ 676

8 b El porcentaje de la estatura más alta es 5%.

c De la más baja es de 10%.

10 a Es 24 y corres-ponde a 15 años.

b 8%.

c 48%.

14 __

X = 160,5

Me1 se encuentra en el intervalo [115-160[.

Mo1 se encuentra en el intervalo [115-160[.

4 12 6 6,8

12 R. A.

2 a 3 z 3 + 4 z 2 + z 3 z 2 + z

b 12 m 2 – 4m – 52 m 2 + m

Pág. 85

4 a 70 x 5 y 6 t 7

b 204 w 6 t 8 v 6

c 42 b 5 c 7 d 8

d 160 m 6 n 5 q 3

e 108 t 5 v 5 r 4

f 72 t 8 r 5 s 6

g 48 x 3 y 5 z 5

h 45 a 3 b 4 c 4

i 40 a 2 b 4 c 5 d 2

j 48 x 3 y 3 z 2 d 3

6 a 6 b 12

Pág. 87

2a – 5 – 2x _____

– x 2

b – 5x – 2y

______ –4x

c – –7 x 3 ______ x 2 – y 2

d –( x 2 + x 3 + x 4 )

___________ –( x 2 + 2x)

e –(3 x 6 – y 2 )

___________ –(x + 2y + xy)

f – ( 2x 7 – 2y 5 + 4)

___________ ( x 2 – 2x 4 – 2)

g – –( 5x 3 – 3x 2 – x)

_____________ –( x 2 – 2x + 1)

h –( 4x 2 – 8x – 1)

____________ ( x 2 + 4)

i – (4x – 5y + 1)

__________ –[(– x) – y)]

j – ( 3x 2 – y 2 + 3)

____________ –( x 2 – 2y)

R. M.

4 a 3x – 4 _____ x

b 2 __ 5

c 1 ____ x + 7

d a – 6 ____ 1

e y + 1

f (3x + 5)

_______ x – 2

g 5x + 1 _____ 2x + 3

h 1 ____ x + 1

i w _____ w – 1

k R. M. 27 m 3 – 1 __ 27 b 9 = ( 3m – 1 __ 3 b 3 ) ( 9 m 2 + m b 3 + 1 __ 9 b 6 ) l R. M. 8 ___ 125 x 7 – 0,008 _____ 0,027 = ( 2 __ 5 x 2 – 0,2 ___ 0,3 )

( 4 __ 25 x 4 + 0,4 ___ 1,5 x 2 + 0,04 ____ 0,09 )

Pág. 88

2 a x 2 + 7x + 10

3x 2 + 4x – 4

x 2 – 4

b z 2 + 2z – 3

z 2 + 4z – 5

z 2 – 1

a x 2 – 1 _____ x 3 – 1

b x 2 + 11x + 30 ___________ x 2 – 25

4 R. A.

6 a 5 000 _____ x b 10 000 ______ x

6 A = x 2 + xy + y 2

_________ x – y

8 a A = 3xz ____ 525y b A = a – b _______ 2(a + b)

© Santillana


112

2 a 3 x 2 + 4x – 18 ___________ 2(x – 2)

b m(5m – 1)

____________ 2( m 2 – 3m + 2)

Pág. 92

Pág. 95

4 a 2hkm

b 8n ____ 3wx

c 21 (2h + 7) 2

_________ 40( h 2 – 9)

d 3 (t – 5)

_______ (t + 7)

e m + 1 _____ 5m

f t 2 – 1 _____ 2

6 a a – 5 ____ a + 3

b a – 7 ____ a + 1

c 3(m – n)

________ 2(m + n)

d 2c

Pág. 93

4 a 6m – 15 _______ 5m – 1

b 4(5y – 3)

_______ 4y – 7

c 21y

______ 4 y 2 – 9

d 1 ____ x + 1

Pág. 94

2 V. paralelepípedo

V = 3x 2 ___________ ( x 2 + 2)(x + 2)

V. cilindro

V = 4(x + 2)

_______ ( x 2 + 2)

Diferencia

3x3 – 10x2 – 8x – 8 _________________ (x2 + 2)(x + 2)(x + 4)

14 a 3

2mn

b y2x y+

c x 5x 5-+

d 21 x x

2x 3

+ +

- +^ h

Pág. 96

2 a F b F c F d F

Pág. 98

2 a 125

b 2 2

3 2

3 n 1 n4n 3n n 3

+

- + -^ ^h h

Pág. 99

2a

39y

4 y 7$ +^ h

b 32n

c 23w w 1-^ h

d 2m 1+^ h

e 2a 1+^ h

f 7 x 120+^ h

g 3 n 52 n 1+-

^^

hh

h m 1n 3--

i 2

4a 1-

j m 3m 1+-

4 R. A. 6 R. A.

10a

4 3

3 4

y 4y

5y y

+

-

b 3 2

3 2

x 3xx 2x+

+

c 3 2

3 2

12a 4a20a 4a-

+

d 6 3

6 3

m 3m 2m 4m 5- +

+ -

e 4 3 2

4 2

x xy x yz y z

x yz xy z

+ + +

+

12 a 2ab2

b 2m2n2

c 2

3

2xz

y

d –8my

e 43np-

f 4z5wy

g 5ac2b-

h 2 2 2

x2y z w

8 bicicletas: 3 000 _____ x automóvil: 3 000 _____ x – 5

Pág. 89

f 2

2

x 1x 1-

-

^ h

g 2

2

w 3w 28w w 42- -

- -

h 2 2

2 2

m n3m mn 2n

-

- -

i 2 2

2 2

3n 6nw 3w5n 7nw 2w+ +

+ +

e (– 4x 2 )+ 5x – 14

_____________ 2(x – 2)(5x + 1)

f – w 3 – 17w 2 – 33w – 18 __________________ ( w 2 – 4)( 4w 2 – 1)

g 6t 2 – 18tv – 3t ____________ (t – 2v)(t – v)

h 29x – 16 ____________ 5(x + 5)( x – 2)

c x m x1 x++^ h

d n 4 n 2 n 626

- + +^ ^ ^h h h

e 2 2m mn n

3m- +

f a 21+

k 2

n n 4 n 2n 3 n 4+ ++ -^ ^^ ^

h hh h

l m 3 4m 1m 8 2m 1+ ++ +

^ ^^ ^

h hh h

m m x 2m2 x 2m-+^^

hh

n 2

2

w 3w 9

w 3w 9 w 1 w

- +

+ + +

^^ ^

hh h

Bibliografía

Notas• Ministerio de Educación del Ecuador. Actualización y Fortalecimiento curricular de la Educación General Básica. Quito, 2010.

• AA.VV. Trabajemos solución de problemas con Santillana. Bogotá, Santillana, 1997.

• Ayres Jr., Frank. Trigonometría, serie de compendios, México, McGraw-Hill, S. A. 1992.

• Barnett, Raymond. Álgebra y Trigonometría. México, McGraw Hill, 1990.

• Dolciani, Mary; Berman, Siomon; Wootton, William. Álgebra moderna y trigonometría. México. Publicaciones Cultural S. A., 1997.

• Leithold, Louis. El cálculo con geometría analítica. México, Harla S.A. de C. V., 1973.

• Smith, S. y otros. Álgebra y trigonometría, Estados Unidos, Addison-Wesley, Iberoamericana, 1997.

• Swokowski, Earl; Cole, Jeffrey. Álgebra y trigonometría con geometría analítica, México, Grupo Editorial Iberoamericana, 1997.

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