1Ecuacin de viga apoyada en ambos extremosEl trabajo a realizar consiste en el estudio de la deflexin de una viga apoyada en ambos extremos, de seccin trasversal S, sometida al momento de unas fuerzas (Fi) aplicadas sobre esta. Entendemos como momento flector al producto de la fuerza por la distancia que hay entre la fuerza y el punto a estudiar.

Flexin de una viga al ser sometida a una fuerza F.1.1Flexin de una viga con seccin constante sometida a momentos flectoresSuponemos que el eje de la viga va en la direccin del eje X, ocupando un intervalo [0,L] de forma que estudiaremos la deflexin de sta en su eje perpendicular, eje Y.Para estudiar dicha situacin, la representamos por un problema de contorno que solucionamos mediante el mtodo de diferencias finitas expuesto a continuacin.y=M(x)EI(x),y(0)=0,y(L)=0Cabe destacar que las condiciones de frontera son nulas debido a que la viga, como nos requiere el enunciado, est apoyada en sus extremos.Como datos tenemos: El mdulo de elasticidad (mdulo de Young) que depende de las propiedades elsticas del material, y que en nuestro caso permanece constante Conocemos como I(x) el momento de inercia de la seccin transversal S respecto al centro (cuadrado de lado a=0.5 metros). Finalmente disponemos del momento flector definido antes, M(x). Longitud de la viga (L=10 metros) L=10;E=5104;M(x)=L/2|xL/2|;I(x)=ab312

El cdigo Matlab empleado para su estudio es:1. %%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=02. 3. clear all4. close all5. 6. % datos generales7. L=10; % longitud viga8. E=5E4; % mdulo de Young9. a=0.5; % altura seccin rectangular10. b=1-a; % anchura seccin rectangular11. I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia12. 13. % particin espacial14. x0=0;xN=L;15. N=50;dx=(xN-x0)/N;16. x=x0:dx:xN;17. xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);18. 19. % f(x)20. y0=0;yL=0;21. M=L/2-abs(xi-L/2);22. f=(M/(E*I))'; % vector columna23. f(1)=f(1)-y0/(dx^2);24. f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);25. 26. % matriz K27. KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);28. K=(1/dx^2)*KK; 29. 30. %solucin31. y=K\f;32. 33. y=[y0;y;yL]; % aadimos los valores del contorno34. fle_max=-max(abs(y))35. 36. 37. % dibujamos38. figure(314)39. plot(x,y)Como se puede ver en la siguiente grfica, el punto de mayor deflexin es en el centro de vano (x=5 m) y de valor absoluto 0.16013 en sentido negativo del eje

.2Flexin de viga dependiendo del valor del cantoA continuacin hemos ido variando los datos iniciales de la seccin trasversal de la viga de forma que el canto (a) toma valores del intervalo [0.1,0.9]. A su vez, el ancho de la viga tambin cambia de forma que b=1-a.Con estos cambios, realizamos un estudio de diferentes secciones de la viga, tomando como condicin que el volumen se mantenga constante, con la finalidad de determinar en cul de ellos se sufre la menor deflexin y, a su vez, la flecha mxima de la mayor deflexinNumricamente, el cdigo que exponemos a continuacin nos resuelve este apartado: %%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0 clear all close all % particin espacial L=10; % longitud viga x0=0;xN=L; N=50;dx=(xN-x0)/N; x=x0:dx:xN; xi=(x0+dx):dx:(xN-dx); % matriz K KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1); K=(1/dx^2)*KK; % datos generales E=5E4; % mdulo de Young y0=0;yL=0; M=L/2-abs(xi-L/2); n=0;fle_max=zeros(1,9); for a=0.1:0.1:0.9 % altura seccin rectangular n=n+1; b=1-a; % anchura seccin rectangular I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia % f(x) f=(M/(E*I))'; % vector columna f(1)=f(1)-y0/(dx^2); f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2); %solucin y=K\f; y=[y0;y;yL]; % aadimos los valores del contorno fle_max(n)=-max(abs(y)); % el valor de x en el que se da la flecha mxima hay que calcularlo % es en L/2, claro % dibujamos figure(314) hold on plot(x,y) end fle_max(n)=-max(abs(y)) hold off figure(628) plot(0.1:0.1:0.9,fle_max,'-or')

Finalmente tenemos como resultado grfico la deflexin con cada medida de canto del intervalo.Tambin obtenemos las flechas mximas para cada valor de a

Deflexiones sufridas para las diferentes secciones.

Flechas mximas para las diferentes secciones.Hemos deducido que la menor deflexin se produce con a=0.7 y b=0.3 con una flecha de 0.00973.Por el contrario, la flecha mxima se obtiene con a=0.1 y b=0.9 con un valor de flecha de 1.112. Fsicamente este fenmeno se explica debido a que a mayor canto de la viga menor deformacin. As, obligamos a que el canto de la seccin trasversal de la viga sea lo ms grande posible dentro del intervalo.1.3Flexin de una viga con seccin cuadrada de lado variable sometida a momentos flectoresEl problema que a continuacin se expone es equivalente al anterior, con la modificacin de que el lado de la seccin pasa a ser variable y dependiente de x de forma que:a(x)=c(xL/2)2+dsiendo c y d parmetros que eligiendo adecuadamente nos permitirn obtener el diseo con menor deflexin.Para obtener la relacin entre estos valores tenemos en cuenta que la condicin que se nos impone es que el volumen total de la viga tiene que ser constante y de valor igual al de la viga de seccin cuadrada de lado a=0.5 metros.La2=L0[c(xL/2)2+d]2dxNecesitamos encontrar la relacin entre los parmetros c y d siendo esta:

d=cL212a2c2L4180d=cL212a2c2L4180El cdigo que resuelve el problema es el que seguidamente aparece:1. %%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=02. 3. clear all4. close all5. 6. % particin espacial7. L=10; % longitud viga8. x0=0;xN=L;9. N=50;dx=(xN-x0)/N;10. x=x0:dx:xN;11. xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);12. 13. % matriz K14. KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);15. K=(1/dx^2)*KK;16. 17. % datos generales18. E=5E4; % mdulo de Young19. y0=0;yL=0;20. M=L/2-abs(xi-L/2);21. 22. n=0;23. c0=-.025;cf=-0.005;24. dc=0.0005;25. for c=c0:dc:cf 26. n=n+1;27. d=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180) 28. a=c*(xi-L/2).^2+d; 29. I=(1/12).*a.^4; % momento de inercia30. 31. % f(x)32. f=(M./(E*I))'; % vector columna33. f(1)=f(1)-y0/(dx^2);34. f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);35. 36. %solucin37. y=K\f;38. 39. y=[y0;y;yL]; % aadimos los valores del contorno40. fle_max(n)=-max(abs(y));41. 42. % dibujamos43. figure(100)44. hold on45. plot(x,y)46. hold on47. end48. hold off49. figure(200)50. plot(c0:dc:cf ,fle_max,'-or')51. 52. figure(300) % perfil de la viga ptima53. C=-0.016154. D=-(C*L^2/12)+sqrt((.5)^2-C^2*L^4/180)55. A=C*(x-L/2).^2+D;56. plot(x,A)Como resultado obtenemos que c=-0.0161 y d=0.54028 son los valores correspondientes a la viga con menor deflexin.

Deflexiones de la viga para diferentes c y d.2Flexin de una viga encastrada con seccin constante sometida a una cargaA continuacin se presenta la situacin de una viga encastrada en ambos extremos de sta con la misma seccin trasversal que en el problema inicial (seccin cuadrada de lado a=b=0.5 metros). En este caso abordamos el problema con cuatro condiciones de frontera ya que la ecuacin de la viga que se nos proporciona es de orden 4.Respecto al problema inicial encontramos varias diferencias:- La viga en cuestin deja de estar apoyada en ambos extremos y pasa a estar encastrada en ellos.- La funcin deja de depender del momento flector y depender de la carga aplicada sobre sta (W(x))Conservando los valores numricos dados en el apartado 1 y siendoW(x)=L/2|xL/2|(dato) definimos el problema de contorno:y=W(x)EI(x),y(0)=0,y(L)=0,y(0)=0,y(L)=0

uscamos plantear el mtodo de diferencias finitas para aproximar las soluciones del problema anterior. Para obtenerlo usamos las siguientes aproximaciones:y(xj)=y(xj2)4y(xj1)+6y(xj)4y(xj+1)+y(xj+2)h4+f(h2)y(x0)=y(x1)y(x1)2h+f(h2)y(xN)=y(xN+1)y(xN1)2h+f(h2)El cdigo que hemos desarrollado para la evaluacin de este ejercicio es el que aqu mostramos:

1. %%% y''''(x)=-w(x)/(EI)=g(x)=-f(x)2. %%% y(0)=y'(0)=y(L)=y'(L)=03. 4. clear all5. close all6. 7. % datos generales8. L=10; % longitud viga9. E=5E4; % mdulo de Young10. a=0.5; % altura seccin rectangular11. b=1-a; % anchura seccin rectangular12. I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia13. 14. % particin espacial15. x0=0;xN=L;16. N=10;dx=(xN-x0)/N;17. x=x0:dx:xN;18. xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);19. 20. % g(x)21. w=L/2-abs(xi-L/2);22. g=-(w/(E*I))'; % vector columna23. 24. 25. % matriz K26. KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);27. KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;28. K=(1/dx^4)*KK; 29. 30. %solucin31. y=K\g;32. 33. y=[0;y;0]; % aadimos los valores del contorno34. fle_max=-max(abs(y))35. 36. 37. % dibujamos38. figure(314)39. W=L/2-abs(x-L/2);40. plot(x,W,'r',x,y,'b')Al desarrollar el cdigo numrico, calculamos el valor de mayor deflexin siendo este en valor absoluto 0.38064 y el punto en el que se alcanza es L/2=5.

Grfica con la carga y la deflexin.3Flexin de una viga apoyada en sus extremos dependiendo del tiempo. Problema dinmico.Consideramos ahora el problema dinmico. En este caso la deflexin de la viga depende tambin del tiempo y(x,t) quedando la ecuacin:ytt+EIyxxxx=w(x,t)Siendo "p" la densidad de la viga que mantendremos constante y de valor la unidad. De esta forma nuestra ecuacin final ser:ytt+EIyxxxx=w(x,t)

Adems nos permitir obtener el comportamiento de y(x,t) en el punto x=0.5 en un intervalo de t [0,5]:1. %%% (ro)ytt+EIyxxxx=-w(x)2. %%% ytt+(EI/ro)yxxxx=-w(x)/ro=f(x)3. %%% y(0,t)=y'(0,t)=y(L,t)=y'(L,t)=04. %%% y(x,0)=(1/3)*sin(8*pi*x/L); yt(x,0)=05. 6. clear all7. close all8. 9. % datos generales10. L=10; % longitud viga11. E=5E4; % mdulo de Young12. ro=1; % densidad13. a=0.5; % altura seccin rectangular14. b=1-a; % anchura seccin rectangular15. I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia16. 17. % particin espacial18. x0=0;xN=L;19. N=100;dx=(xN-x0)/N;20. x=x0:dx:xN;21. xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);22. 23. % condiciones iniciales24. y0=((1/3)*sin(8*pi*xi/L))'; % y(x,0) // column vector25. z0=zeros(1,length(xi))'; % yt(x,0) // column vector26. W0=[y0;z0];27. 28. % f(x)=-w(x)/ro29. w=1*(L/2-abs(xi-L/2));30. f=-(w/ro)'; % vector columna31. 32. % matriz K33. KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);34. KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;35. K=-(E*I/ro)*(1/dx^4)*KK; 36. 37. % matriz Q=[O,I;K,O]38. I=eye(N-1);O=zeros(N-1);39. Q=[O,I;K,O];40. 41. % particin temporal42. tM=5;M=100;dt=tM/M;t=0:dt:tM;43. 44. % theta=0(Euler),0.5(Crank-Nicholson),1(Euler implcito)45. theta=1/2; % Crank-Nicholson46. 47. % matriz P=inv(L)*R48. I2=eye(2*(N-1)); 49. L=I2-dt*theta*Q;50. R=I2+dt*(1-theta)*Q;51. % P=L\R;52. 53. % trmino B54. B=[zeros(length(f),1);f];55. % B=[zeros(length(f),1);zeros(length(f),1)];56. 57. % programa58. W=zeros(2*(N-1),M+1); 59. W(:,1)=W0;60. 61. for n=1:M62. W(:,n+1)=L\(R*W(:,n)+dt*B); 63. end64. 65. Y=W(1:N-1,1:M+1);66. Y0=zeros(1,M+1);67. YN=zeros(1,M+1);68. Y=[Y0;Y;YN]; 69. 70. figure(100) % grfico y(x,t)71. [X,T]=meshgrid(x,t);72. figure(100)73. surf(X,T,Y') 74. 75. figure(200) % curva y(0.5,t)76. xc=0.5;77. plot(t,Y(round(xc/dx+1),:))