8/2/2019 Mat021-Guia Coordinacion Derivadas 2parte-1

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Universidad Tecnica Federico Santa Marıa

Departamento de Matem´ atica 

Coordinacion de Matematica I (MAT021)

1er Semestre 2009

Hoja de Trabajo “Derivadas 2”

1. Suponga que la ecuacion x ln y = cos(x + y) define implıcitamente una funcion derivable f  tal que y = f (x).Determine y

.

2. Suponga que la ecuacion√

x+1 = x√

y +sin y define implıcitamente una funcion derivable f  tal que y = f (x).

Determine y

.

3. Calcular y

six2

a2+

y2

b2= 1, usando derivacion implıcita.

4. Usando derivacion implıcita, determine y

de:

a ) y = xlnx

b) y = exx

5. Demuestre que la recta normal a la grafica de x3 + y3 − 6xy = 0 en el punto (3, 3) pasa por el origen.

6. Hallar la derivada de las siguientes funciones:

a ) y = sen(sen(sen x))

b) y = (x2 + 1) 3√

x2 + 2

c) y = sen(tan√

sen x)

d ) y =

x +

1

x2

√ 7

e) y =1

sen(x− sen x)

 f ) y =√x + 1 (2− x)

5

(x + 3)7

g ) y =

 x +

 x +

√x

h ) y =4

 t3 + 1

t3 − 1

7. ¿Para que valores de a, b, c las curvas:

f (x) =1

πsen

π

2x2

+ ax + b, g(x) =

1

πtan

π

8x3

+ cx

tienen una tangente comun en en el punto (2,2)?

8. ¿Es f  derivable en x = 2?. La funcion f  esta definida por,

y =

x + 2 si x 2x2 si x > 2

9. Determinedy

dxsi:

a ) x = y − y3

1

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Departamento de Matem´ atica 

b) x = y2 +1

y

c) x = ey + e2y

d ) x = ln(y − e−y

)

e) cos2x = tan y

 f ) x + y2 = y − x2

g ) y − sen y = cos x

h ) ex − x = e2y + 2y

i ) x + ey = ln x + ln y

 j ) y = (x−

y)3

10. Encuentredy

dxy

d2y

dx2e n terminos de t, si x e y estan definidas por las siguientes ecuaciones parametricas:

a )x = sen t

y = cos t

b)x = t−

1

t

y = t− t2

c)x = e2t + t

y = et + t2

d )x = ln+t

y = t− ln t

e)x = 3t + t3

y = 2t2 + t4

 f )x = cos 2t

y = tan2t

2