Mat021 Guia Coordinacion Logica 1

5/16/2018 Mat021 Guia Coordinacion Logica 1 - slidepdf.com

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Universidad Tecnica Federico Santa Marıa

Departamento de Matem´ atica

Coordinacion de Matematica I (MAT021)

1er Semestre 2009

Hoja de Trabajo “Logica”

1. Demuestre las siguientes tautologıas o teoremas logicos usando los siguientes dos metodos: a) tablas deverdad b) equivalencias logicas:

a ) {[ p ⇒ (q ⇒ p)] ∧ [( p ⇒ q) ⇒ q]} ⇐⇒ ( p ∨ q)

b) {[( p ∨ q) ∧ (q ∨ r)] ∧ ( p ∧ r)} ⇐⇒ C

c) {[( p ∧ q) ⇒ r] ∧ [(r ∨ s) ∧ s]} ⇒ ( p ∨ q)

d ) p ∧ q ⇒ p

e) [( p ⇐⇒ q) ∧ (q ⇐⇒ r)] ⇒ ( p ⇐⇒ r)

f ) [ p ∧ ( p ⇒ q)] ⇒ q

g ) ( p ⇒ p) ⇒ p

h ) ( p ∧ q ⇒ q) ⇒ ( p ⇒ q)

i ) ( p ∧ q) ⇒ [( p ∨ q) ⇐⇒ ( p ⇐⇒ q)]

2. Demuestre sin usar tablas de verdad.

a ) ( p ⇐⇒ q) ⇐⇒ ( p ⇐⇒ q)

b) [( p ∧ q) ∨ ( p ∧ q)] ⇐⇒ ( p ⇐⇒ q)

c) [(( p ∨ q) ⇒ r) ∧ (r ⇒ (s ∨ t)) ∧ (s ∧ u) ∧ (u ⇒ t)] ⇒ p

d ) ( p ⇒ q ∧ r) ⇒ ( p ⇒ q)

e) ( p ⇒ q) ⇒ ( p ∧ r ⇒ q ∧ r)

f ) [( p ∨ r) ⇒ q] ⇒ ( p ⇒ q)

g ) ( p ∧ q) ⇒ ( p ∧ q)

h ) ( p ∨ ( p ∧ q)) ⇐⇒ p

3. Encuentre una expresion logica equivalente que solo utilice los conectivos ·, ∨, ∧ de las siguientes expresiones:

a ) [( p ∧ q) ⇒ ( p ∨ q)] ⇐⇒ ( p ⇐⇒ q)

b) ( p ⇐⇒ q) ⇒ ( p ∧ q)

c) ( p ⇐⇒ q ⇐⇒ r)

d ) [( p ⇒ q) ∧ (q ⇒ s)] ⇒ ( p ⇒ s)

4. Simplificar las proposiciones:

a ) p ∧ (q ∧ p)b) ( p ∧ q) ∨ q

c) ( p ⇒ q) ∨ p

d ) p ∧ (q ⇒ p)

e) [ p ∨ (q ⇒ p)] ⇒ q

f ) ( p ⇐⇒ q) ∨ p

g ) ( p ⇐⇒ q) ∨ q

h ) p ⇒ [q ⇒ ( p ⇒ q)]

i ) ( p ⇐⇒ q) ∧ p

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j ) ( p ⇒ q) ∨ q

k ) [( p ⇒ q) ∧ ( p ∨ q)]

l ) p ⇒ (q ∨ p)

5. a ) Si p ∧ q es V y q ∧ r es F, determinar el valor de verdad de (r ∨ q) ⇒ (r ∧ q).b) Determinar el valor de verdad de las proposiciones p, q y r, si se sabe que la proposicion compuesta:

{[( p ⇐⇒ q) ⇐⇒ ( p ∨ r)] ∧ [ p ⇒ (q ∧ r)]} es V.

c) Si p ∧ q ⇒ r es F, determinar el valor de verdad de: ( p ∨ q) ⇐⇒ (r ∨ p).

d ) Si p es V, q es V y r es F, hallar el valor de verdad de

[( p ⇒ q) ⇒ ( p ∧ q)] ∧ (r ⇒ q)

e) Si la proposicion p ⇒ q es falsa, ¿ cual es el valor de verdad de la proposicion p ∨ (q ∧ r) ⇐⇒ ( p ∨ r) ∧ q?

6. Demuestre que el siguiente razonamiento es incorrecto:

* Si el Sr. Ramirez es capaz, entonces tendra un puesto importante en su empresa.

* El Sr. Ramirez es el sub-gerente de su empresa.

** Por lo tanto, el Sr. Ramirez es capaz.

7. En los siguientes problemas, determine la validez de los razonamientos:

a ) Si Juan bebe cerveza, tiene al menos 18 anos.

Juan no bebe cerveza.

Por lo tanto, Juan no tiene aun 18 anos.

b) Si las ninas son rubias, entonces son populares entre los ninos.

Las ninas feas no son populares entre los ninos.

Las ninas intelectuales son feas.Por lo tanto, las ninas rubias no son intelectuales.

c) Si estudio entonces no reprobare este curso.

Si no juego a los naipes muy seguido, entonces estudiare.

Reprobe este curso.

Por lo tanto, jugue muy seguido a los naipes.

8. Convierta los siguientes argumentos en notacion logica y luego determine su valor de verdad, entregando encada caso una demostracion formal:

a ) “Si estudio leyes entonces ganare mucho dinero. Si estudio arqueologıa viajare mucho. Si gano muchodinero o viajo mucho no me decepciono. Por lo tanto, si estoy decepcionado no estudie leyes ni arque-

ologıa”.b) “Si mis calculos son correctos y pago la cuenta de electricidad, me quedare sin dinero. Si no pago la

cuenta de electricidad, me cortaran la corriente.Por lo tanto, si no me he quedado sin dinero y no mehan cortado la corriente, entonces mis calculos son incorrectos”.

9. Si Stoke City evita las lesiones ellos ganaran el campeonato. Ellos evitan las lesiones o el arbitro esta comprado.Si el arbitro esta comprado entonces la hinchada no estara feliz. Pero la hinchada esta feliz. Suponga que todasestas proposiciones son verdaderas, ¿ sera Stoke City el campeon?

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10. Pruebe que el siguiente razonamiento es valido.

* Todas las cartas fechadas en esta habitacion estan escritas sobre papel azul.

* Ninguna esta escrita con tinta negra, excepto aquellas escritas en tercera persona.

* No he archivado ninguna de las que puedo leer.

* Ninguna de las que estan escritas en una hoja estan sin fecha.

* Todas las que no estan eliminadas estan en tinta negra.

* Todas las escritas por Perez empiezan con “Estimado senor”.

* Todas las que estan escritas en papel azul est an archivadas.

* Ninguna de las que estan escritas en mas de una hoja estan eliminadas.

* Ninguna de las que empiezan con “Estimado senor.estan escritas en tercera persona.

** Por lo tanto: No puedo leer ninguna de las cartas de Perez.

11. Se define p ↑ q por la siguiente tabla:

p q p ↑ q

V V F

V F V

F V V

F F V

Demuestre que:

a ) p ≡ p ↑ p

b) p ∨ q ≡ ( p ↑ q) ↑ ( p ↑ q)

c) p ∧ q ≡ ( p ↑ q) ↑ (q ↑ q)

12. Construya la tabla de la verdad de las siguientes proposiciones:

a ) ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ q)

b) p ∧ [(q ∨ r) ∧ (q ∧ r)]

c) [ p ∨ (q ∧ r)] ∨ [(q ∧ p) ∨ (r ∧ q)]

d ) [( p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ p)] ⇒ ( p ∨ q)

13. Defina las variables y funciones proposicionales necesarias para transcribir las siguientes afirmaciones al lengua- je matematico:

a ) Todos los chilenos saben leer, pero no todos entienden lo que leen.

b) Todo numero entero tiene un multiplo que es tambien multiplo de 3.

c) Hay un unico numero natural que divide a todos los demas.

d ) Un numero natural es primo si y solo si no existe ningun numero distinto de el y de la unidad, que lodivida.

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