Límites y continuidad______________________________________________________________________

1

Teoría sobre límitesObjetivos

a. Enunciar y reconocer los límites trigonométricos fundamentales.b. Emplear en el cálculo de límites que involucran expresiones

trigonométricas, los límites trigonométricos fundamentales.

Contenidosa. Límites trigonométricos fundamentales.b. Cálculo de límites que involucran expresiones trigonométricas.

Límites trigonométricos fundamentalesAceptaremos sin demostración que

0cos1lim1lim00

=−

=→→ x

xyx

senxxx

y los denominaremos límites trigonométricos fundamentales1. Estos dosresultados se emplean en el cálculo de otros límites que involucranexpresiones trigonométricas. Es importante resaltar que en ambos límites

0→x .

EjemplosSi existe, determine el valor de los siguientes límites

1. ( ) ( )xxxsen

xxx

xx

xx

xx

xxxx cos1lim

cos1cos1lim

cos1cos1cos1limcos1lim

2

0

2

000 +=

+−

=++

⋅−

=−

→→→→

( ) 02101

cos11lim

0=⋅⋅=

+⋅⋅=

→ xxsen

xxsen

x

Demostrando, de esta manera, el segundo límite fundamental.

La gráfica nos permite visualizar la situación

y

xxxf cos1)( −

=

x

1 La demostración de estos límites puede ser encontrada en cualquier libro de Cálculo.Se demuestra solamente el segundo y al final aparece la gráfica del primero.

Límites y continuidad______________________________________________________________________

2

2. 010

lim

cos1limcos1

limcos1lim

0

0

00==

−

=

−

=−

→

→

→→

xsenx

xx

xsenx

xx

senxx

x

x

xx

3.x

xsenx 3

3lim0→

, si hacemos un cambio de variable “ xu 3= ” y analizamos que

cuando 0→x entonces 03 →= xu tendremos

1lim0

=→ u

usenu

4.kx

kxsenx 0lim

→ haciendo un análisis similar al anterior sea kxu = , entonces

cuando 0→x , así 0→= kxu y tendremos

1lim0

=→ u

usenu

Lo anterior se puede generalizar de la siguiente manera

IRk ∈∀ , 1lim0

=→ kx

kxsenx

5.321

32

22

32lim

32

22lim

32lim

000=⋅=⋅=⋅=

→→→ xxsen

xx

xxsen

xx

xxsen

xxx

Al multiplicar por 122

=xx

se conserva la expresión original.

6.31

33lim

33coslim

33cos

33lim

33coslim3cotlim

0

0

000=

⋅

=⋅⋅=⋅=⋅

→

→

→→→

xxsen

xxx

xsenx

xxx

xsenxxxx

x

x

xxx

xxxf 3cot)( ⋅=

31

Límites y continuidad______________________________________________________________________

3

7. 010limlimlimlim000

2

0=⋅=⋅=⋅=

→→→→ xxsenxsen

xxsenxsen

xxsen

xxxx

8. 010limlimlim000

=⋅=⋅=⋅=+++ →→→ x

xsenxx

xsenxx

xxsen

xxx

9.( )

( )( )

( ) ( ) aaaxaxaxsen

axaxsen

axax 21

2111limlim 22 =⋅=

+⋅

−−

=−

−→→

10. 1cos

1lim1cos

limtanlim000

==⋅=→→→ xxsenx

xsenxsenx

xxx

11. existenox

xx

coslim0→

La gráfica nos permite analizar la situación

+∞=+→ x

xx

coslim0

−∞=−→ x

xx

coslim0

Los ejemplos anteriores tienen como objetivo mostrar el empleo de loslímites trigonométricos fundamentales. Es importante hacer notar quetambién pueden calcularse límites como

12. ( ) πππ

−=−⋅=⋅→

1coslim xxx

13. )1(lim1

arcsenxarcsenx

=−→

Límites y continuidad______________________________________________________________________

4

14. ( )2

arctanlim π=

+∞→

x

xe

15. ( )4

1arctanlim π=

+∞→x

16. 1cos

1limtanlim00

==→→ xsenx

xxx

17. ±∞==→→ senx

xxxx

coslimcotlim00

si evaluamos directamente, se tiene que

01limcotlim

00 →→=

xxx es una expresión indeterminada, al calcular los límites

unilaterales

−∞==−− →→ senx

xxxx

coslimcotlim00

y +∞==++ →→ senx

xxxx

coslimcotlim00´

18. +∞=+

→

xx

tanlim2π

19. −∞=−

→

xx

tanlim2π

20.

−+→ 21arctanlim

2 xx

Al evaluar, se tiene una expresión indeterminada

=

− ++ →→ 01arctanlim

221arctanlim

22 xx,

pero constante sobre cero infinito, sería hacia infinito positivo, ya quenos acercamos a 2 por la derecha, así

( )2

arctanlim01arctanlim

221arctanlim

222

π=∞+=

=

− +++ →→→ xxx

21. 1lim0

=→ x

senxx

La gráfica de la funciónx

senxxf =)( corresponde a

1lim0

=−→ x

senxx

1lim0

=+→ x

senxx