MATE 3031 - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/~pvasquez/mate3031/clases1718I/repaso.pdf · 2017-08-23 · MATE 3171 Ejemplos R1 Otros ejemplos: 1 El área de un

MATE 3031

Dr. Pedro Vásquez

UPRM

P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 77

MATE 3171

¿Qué es una función?

En esta parte se recordará la idea de función y su definición formal.En casi todos los fenómenos físicos se observa la dependencia de unacantidad sobre otra. Por ejemplo:

1 La altura es una función de la edad.2 La temperatura es una función de la época del año.3 Costo de una paquete es función de su peso.


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EjemplosR1 Otros ejemplos:

1 El área de un círculo en función de su radio.

2 La potencia de un circuito es función de la corriente que fluye en elcircuito.

Definción Una función f es una regla que asigna a cada elemento xen un conjunto A exactamente un elemento, f (x) en el conjunto B.Los conjuntos A y B son subconjuntos de los números reales.El símbolo f (x) se lee "f de x” o ”f en x” y es llamado el valor de f en x,o la imagen de x bajo f.El conjunto A es el dominio de la función y se define:Dom (f ) = {x 2 R|para cada x 2 A existe un único f (x) 2 B}El rango de f es el conjunto de todos los posibles valores de f (x) dondex 2 Dom (f ) , esto es:rango(f ) = {f (x) | x 2 Dom (f )}La variable x es la variable independiente.


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Se puede pensar una función como una máquina:

O como:


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Representación de funcionesUna función se puede representar en:

1 Forma verbal2 Algebraicamente3 Visualmente en forma de una gráfica4 Numéricamente en forma de tabla.

EjemplosR2

1. Dado f (x) =p9− x2, evalúe:

f (−3) =q9− (−3)2 =

p9− 9 = 0

f (−2) =q9− (−2)2 =

p9− 4 =

p5

f (−1) =q9− (−1)2 =

p9− 1 =

p8

f (0) =q9− (0)2 =

p9 = 3

f (2) =p9− 22 =

p9− 4 =

p5


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7. Dado f (x) =

( 3x

si x < 0

3 si x ≥ 0, evalúe:

f (−4) =f (−1) =f (0) =f (1) =f (−2)− f (1) =


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2. Si f (x) = 3x + 5, hallef (a+ h)− f (a)

hSoluciónSe halla: f (a) = 3(a) + 5 = 3a+ 5f (a+ h) = 3(a+ h) + 5 = 3a+ 3h+ 5f (a+ h)− f (a)

h=


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3. Halle el dominio de f (x) = x3 − 3, −4 < x ≤ 6SoluciónEl dominio es: Dom (f ) = (−4, 5]

4.Halle el dominio de f (x) = x3 − 3SoluciónDom (f ) = R = (−•,•)El dominio de toda función polinómica es el conjunto de los númerosreales.

5. Halle el dominio de f (x) =3

4x + 12SoluciónEl dominio de toda función racional es el conjunto de los números reales,excepto los valores que anulan al denominador.Dom (f ) = R− {−3}


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6. Halle el dominio de f (x) =x3

x2 + x − 12Solución

f (x) =x3

x2 + x − 12= f (x) =

x3

(x + 4) (x − 3)Dom (f ) =7. Halle el dominio de f (x) =

px + 4

SoluciónEl dominio de toda función radical cuyo índice es par, es un subconjunto delos números reales, para los cuales el argumento es mayor o igual que cero.Dom (f ) = {x 2 R|x + 4 ≥ 0} =8. Halle el dominio de f (x) =

px2 − 16

SoluciónDom (f ) =

{x 2 R|x2 − 16 ≥ 0

}=


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9. Halle el dominio de f (t) = 5pt − 3

SoluciónEl dominio de toda función radical cuyo índice es impar, es un subconjuntode los números reales, para los cuales el argumento está definido.Dom (f ) = R =

10. Halle el dominio de f (x) =

px + 4x2

SoluciónDom (f ) = {x 2 R|x + 4 ≥ 0 y x 6= 2} =


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9. Halle el dominio de f (t) = 5pt + 2

SoluciónEl dominio de toda función radical cuyo índice es impar, es un subconjuntode los números reales, para los cuales el argumento está definido.Dom (f ) = R =

10. Halle el dominio de f (x) =

px − 4x2

SoluciónDom (f ) = {x 2 R|x − 4 ≥ 0 y x 6= 2} =


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Gráficas de funciones

Para graficar una función f , se marcan los puntos (x , f (x)) en el planocoordenado.Si f es una función con dominio A, entonces la gráfica de f es el conjuntode pares ordenados

{(x , f (x)) |x 2 A}

graficados en el plano cartesiano. En otras palabras, la gráfica de f es elconjunto de todos los puntos (x , y) tal que y = f (x) ; esto es, la gráficade f es la gráfica de la ecuación y = f (x) .


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Tipos de funciones

1 Funciones lineales: y = f (x) = mx + b, su gráfica es una recta conpendiente m.

2 Función constante: y = c , su gráfica es una recta con pendientem = 0.


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3. Funciones potencia: f (x) = xn, n 2 N


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4. Función valor absoluto: f (x) = |x | ={

x si x ≤ 0−x si x > 0


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5. Funciones radicales:f (x) =

px , f (x) = 3

px , f (x) = 4

px , f (x) = 5

px


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6. Funciones recíprocas: f (x) = 1x , f (x) =

1x 2


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7. Función mayor entero f (x) = [|x |]


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Prueba de la verticalUna curva en el plano coordenado es la gráfica de una función si y solo sininguna recta vertical intersecta a la curva más de una vez.


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EjemplosR21 Haga un pareo entre entre las funciones y sus gráficas:a. f (x) = x2 b. f (x) = x3 c . f (x) =

px d . f (x) = |x |


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2. Trace la gráfica, construyendo una tabla de valores: f (x) = 5− 2x

x −1 0 1y = f (x) = 5− 2x

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

rango(f ) = R


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3. Trace la gráfica, construyendo una tabla de valores: f (x) = x2 − 4

x −1 0 1y = f (x) = x2 − 4 Eje X: y = 0) x = ±2;

Eje Y: x = 0) y = −4

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

rango(f ) = [−4,•)


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4. Trace la gráfica, construyendo una tabla de valores: f (x) = x3 − 1

x −1 0 1y = f (x) = x3 − 1 Eje X: y = 0) x = 1;

Eje Y: x = 0) y = −1

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

rango(f ) = R


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5. Trace la gráfica, construyendo una tabla de valores: f (x) =px + 3

Domf (f ) = {x 2 R|x + 3 ≥ 0} = [−3,•)x −3 −2 1 6

y = f (x) =px + 3

Eje X: y = 0) x = −3;

Eje Y: x = 0) y =p3

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

rango(f ) = [0,•)P. Vásquez (UPRM) Conferencia 24 / 77

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6. Trace la gráfica, construyendo una tabla de valores: f (x) = |x |− x

f (x) ={

x − x si x ≥ 0−x − x si x < 0

=

{0 si x ≥ 0−2x si x < 0

, Domf (f ) = R

x < 0 −2 −1 0y = f (x) = −2x

x ≥ 0 1 2y = f (x) = 0

Eje X: y = 0) x = 0;Eje Y: x = 0) y = 0

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

rango(f ) = [0,•)P. Vásquez (UPRM) Conferencia 25 / 77

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7. Trace la gráfica, construyendo una tabla de valores:

f (x) = f (x) ={1− x si x < −22 si x ≥ −2 , Domf (f ) = R

x < −2 −4 −3 −2y = f (x) = 1− x

x ≥ −2 −2 −1y = f (x) = 0

Eje X: y = 0) x = 1 /2 (−•,−2) ;Eje Y: x = 0) y = 3

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

rango(f ) =P. Vásquez (UPRM) Conferencia 26 / 77

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8. Trace la gráfica, construyendo una tabla de valores:

y = f (x) =

8<

:

−x si x ≤ 09− x2 si 0 < x < 2p

x − 2 si x ≥ 2, Domf (f ) = R

x < 0 −1 0y = −x

0 < x < 2 0 1 2y = 9− x2

x ≥ 2 2 3 6y =

px − 2

Eje X: y = 0) x = 0, x = 2;Eje Y: x = 0) y = 0

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

rango(f ) =P. Vásquez (UPRM) Conferencia 27 / 77

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9. Indique cual de las siguientes curvas no representa a una función:


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10. Determine si la ecuación x2 + y2 = 5 representa a una función: no,no se puede despejar y

11. Determine si la ecuaciónpx + y = −2 representa a una función: si,

si se puede despejar y

12. Determine si la ecuación 2x + |y | = 2 representa a una función: no,no se puede despejar y


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13. Dada la gráfica de un función,

a. Halle los máximos locales de f : x = −2; valor máximof (−2) = 3; x = 1; valor máximo f (1) = 2

b. Halle los mínimos locales de f : x = −1; valor mínimof (−1) = 0; x = 2; valor mínimo f (2) = −1

c. f crece en: (−•,−2) , (−1, 1) , (2,•)d. f decrece en: (−2,−1) , (1, 2)


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Razón de cambio promedioLa razón de cambio promedio de una función y = f (x) entre x = a yx = b, es:

razón de cambio promedio (fav ) =cambio en ycambio en x

=f (b)− f (a)

b− a

En otras palabras: la razón de cambio promedio de una función es lapendiente de la recta secante que pasa por los puntos (a, f (a)) y(b, f (b)) .


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Ejemplos1 Dada la gráfica de una función:

Determine la razón de cambio promedio entre los puntos indicados en lagráfica.

fav =f (5)− f (−1)5− (−1)

=4− 06

= 23


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3. Dada la función f (x) = 5− 4x , halle la razón de cambio promedioentre x = −2 y x = 5

fav =f (5)− f (−2)5− (−2)

=

4. Dada la función f (z) = 2+ z2, halle la razón de cambio promedioentre z = −1 y z = 3

fav =f (3)− f (−1)3− (−1)

=


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Transformaciones de funciones

Traslación verticalSi se suma una constante c a una función, su gráfica se desplazaverticalmente hacia arriba si c > 0 y se desplaza verticalmente hacia abajosi c < 0.Suponga c > 0 :La gráfica de y = f (x) + c , se obtiene al mover c unidades hacia arriba lagráfica de y = f (x) .La gráfica de y = f (x)− c , se obtiene al mover c unidades hacia abajo lagráfica de y = f (x) .


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Ejemplos1 Trace la gráfica de una función, sin tabular, graficando la funciónconocida y luego aplique la transformación.

f (x) = x2 + 3

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

x^2

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

x^2+3


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Traslación horizontalSi se suma una constante c a x , su gráfica se desplaza horizontalmentehacia la derecha si c > 0 y se desplaza horizontalmente hacia la izquierdasi c < 0.Si se conoce la gráfica de y = f (x), lo anterior se obtiene de la gráfica dey = f (x − c) .Suponga c > 0 :La gráfica de y = f (x − c), se obtiene al mover c unidades hacia laderecha la gráfica de y = f (x) .La gráfica de y = f (x + c), se obtiene al mover c unidades hacia laizquierda la gráfica de y = f (x) .


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f (x) = (x + 3)2

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

x^2

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y


MATE 3171


f (x) = (x + 3)2

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

x^2

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y


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4. Trace la gráfica de una función, sin tabular, graficando la funciónconocida y luego aplique la transformación.

f (x) =px − 2

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

x^.5

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y


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ReflexionesDada la gráfica de y = f (x), se desea conocer que sucede al graficary = −f (x) o y = f (−x) .La gráfica de y = −f (x), es el reflejo de la gráfica de y = f (x) sobre eleje X .La gráfica de y = f (−x), es el reflejo de la gráfica de y = f (x) sobre eleje Y .


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5 Trace la gráfica de una función, sin tabular, graficando la funciónconocida y luego aplique la transformación.

f (x) = −px g(x) =

p−x

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

x^.5

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

-x^.5

(-x)^.5


MATE 3171

Composición de funciones

En general, dadas dos funciones f y g para determinar la composición defunciones, se inicia con un número x en el dominio de gy se halla laimagen g (x) . Si este número está en el dominio de f , podemos calcularel valor de f (g (x)) . El resultado es una nueva función h (x) = f (g (x))que es obtenida sustituyendo g en f . Se le llama la composición defunciones y se denota por: f ◦ g y se lee ”f compuesta con g”.Dadas dos funciones f y g , la función composición f ◦ g (tambiénllamada composición de f y g) se define:

(f ◦ g) (x) = f (g (x))

El dominio de f ◦ g es el conjunto de todos los x en el dominio de gtalque g (x) está en el dominio de f .


MATE 3171


En general, dadas dos funciones f y g para determinar la composición defunciones, se inicia con un número x en el dominio de g

y se halla laimagen g (x) . Si este número está en el dominio de f , podemos calcularel valor de f (g (x)) . El resultado es una nueva función h (x) = f (g (x))que es obtenida sustituyendo g en f . Se le llama la composición defunciones y se denota por: f ◦ g y se lee ”f compuesta con g”.Dadas dos funciones f y g , la función composición f ◦ g (tambiénllamada composición de f y g) se define:

(f ◦ g) (x) = f (g (x))



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En general, dadas dos funciones f y g para determinar la composición defunciones, se inicia con un número x en el dominio de gy se halla laimagen g (x) . Si este número está en el dominio de f , podemos calcularel valor de f (g (x))

. El resultado es una nueva función h (x) = f (g (x))que es obtenida sustituyendo g en f . Se le llama la composición defunciones y se denota por: f ◦ g y se lee ”f compuesta con g”.Dadas dos funciones f y g , la función composición f ◦ g (tambiénllamada composición de f y g) se define:

(f ◦ g) (x) = f (g (x))



MATE 3171


En general, dadas dos funciones f y g para determinar la composición defunciones, se inicia con un número x en el dominio de gy se halla laimagen g (x) . Si este número está en el dominio de f , podemos calcularel valor de f (g (x)) . El resultado es una nueva función h (x) = f (g (x))que es obtenida sustituyendo g en f . Se le llama la composición defunciones y se denota por: f ◦ g y se lee ”f compuesta con g”.Dadas dos funciones f y g , la función composición f ◦ g (tambiénllamada composición de f y g) se define:

(f ◦ g) (x) = f (g (x))



MATE 3171

1 Si f (x) = 4x + 6 y g (x) = x2 − 4, halle:a. Halle (f ◦ g) (0)

= f (g (0)) =b. Halle (g ◦ g) (−1) = g (g (−1)) =c. Halle (f ◦ g) (2) = f (g (2)) =d. Halle (f ◦ f ) (3) = f (f (3)) =e. Halle (f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f

(x2 − 4

)=

f. Halle (g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g (4x + 6) =g. Halle (g ◦ g) (x) = g (g (x)) = g

(x2 − 4

)=


MATE 3171

1 Si f (x) = 4x + 6 y g (x) = x2 − 4, halle:a. Halle (f ◦ g) (0) = f (g (0)) =b. Halle (g ◦ g) (−1)

= g (g (−1)) =c. Halle (f ◦ g) (2) = f (g (2)) =d. Halle (f ◦ f ) (3) = f (f (3)) =e. Halle (f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f

(x2 − 4

)=


(x2 − 4

)=


MATE 3171

1 Si f (x) = 4x + 6 y g (x) = x2 − 4, halle:a. Halle (f ◦ g) (0) = f (g (0)) =b. Halle (g ◦ g) (−1) = g (g (−1)) =c. Halle (f ◦ g) (2)

= f (g (2)) =d. Halle (f ◦ f ) (3) = f (f (3)) =e. Halle (f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f

(x2 − 4

)=


(x2 − 4

)=


MATE 3171

1 Si f (x) = 4x + 6 y g (x) = x2 − 4, halle:a. Halle (f ◦ g) (0) = f (g (0)) =b. Halle (g ◦ g) (−1) = g (g (−1)) =c. Halle (f ◦ g) (2) = f (g (2)) =d. Halle (f ◦ f ) (3)

= f (f (3)) =e. Halle (f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f

(x2 − 4

)=


(x2 − 4

)=


MATE 3171

1 Si f (x) = 4x + 6 y g (x) = x2 − 4, halle:a. Halle (f ◦ g) (0) = f (g (0)) =b. Halle (g ◦ g) (−1) = g (g (−1)) =c. Halle (f ◦ g) (2) = f (g (2)) =d. Halle (f ◦ f ) (3) = f (f (3)) =e. Halle (f ◦ g) (x)

= f (g (x)) = f(x2 − 4

)=


(x2 − 4

)=


MATE 3171

1 Si f (x) = 4x + 6 y g (x) = x2 − 4, halle:a. Halle (f ◦ g) (0) = f (g (0)) =b. Halle (g ◦ g) (−1) = g (g (−1)) =c. Halle (f ◦ g) (2) = f (g (2)) =d. Halle (f ◦ f ) (3) = f (f (3)) =e. Halle (f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f

(x2 − 4

)=

f. Halle (g ◦ f ) (x)

= g (f (x)) = g (4x + 6) =g. Halle (g ◦ g) (x) = g (g (x)) = g

(x2 − 4

)=


MATE 3171


(x2 − 4

)=

f. Halle (g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g (4x + 6) =g. Halle (g ◦ g) (x)

= g (g (x)) = g(x2 − 4

)=


MATE 3171


(x2 − 4

)=


(x2 − 4

)=


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2 Si f (x) = 4x y g (x) = x + 4, halle: f ◦ g , g ◦ f , f ◦ f , g ◦ g y sus

dominios

dom (f ) = (−•, 0) [ (0,•) ; dom (g) = (−•,•)(f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f (x + 4) = 4

x+4dom (f ◦ g) = {x 2 R|x + 4 6= 0} = (−•,−4) [ (−4,•)(g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g

( 4x

)= 4

x + 4dom (g ◦ f ) = {x 2 R|x 6= 0} = (−•, 0) [ (0,•)(f ◦ f ) (x) = f (f (x)) = f

( 4x

)= 4

4x= x

dom (f ◦ f ) = {x 2 R|x 6= 0} = (−•, 0) [ (0,•)(g ◦ g) (x) = g (g (x)) = g (x + 4) = x + 8dom (g ◦ g) = R = (−•,•)


MATE 3171


dominios

dom (f ) = (−•, 0) [ (0,•) ; dom (g) = (−•,•)

(f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f (x + 4) = 4x+4

dom (f ◦ g) = {x 2 R|x + 4 6= 0} = (−•,−4) [ (−4,•)(g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g

( 4x

)= 4


( 4x

)= 4

4x= x



MATE 3171


dominios

dom (f ) = (−•, 0) [ (0,•) ; dom (g) = (−•,•)(f ◦ g) (x) = f (g (x))

= f (x + 4) = 4x+4


( 4x

)= 4


( 4x

)= 4

4x= x



MATE 3171


dominios


x+4


( 4x

)= 4


( 4x

)= 4

4x= x



MATE 3171


dominios


x+4dom (f ◦ g) = {x 2 R|x + 4 6= 0} = (−•,−4) [ (−4,•)

(g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g( 4x

)= 4


( 4x

)= 4

4x= x



MATE 3171


dominios


x+4dom (f ◦ g) = {x 2 R|x + 4 6= 0} = (−•,−4) [ (−4,•)(g ◦ f ) (x)

= g (f (x)) = g( 4x

)= 4


( 4x

)= 4

4x= x



MATE 3171


dominios



( 4x

)= 4

x + 4dom (g ◦ f )

= {x 2 R|x 6= 0} = (−•, 0) [ (0,•)(f ◦ f ) (x) = f (f (x)) = f

( 4x

)= 4

4x= x



MATE 3171


dominios



( 4x

)= 4

x + 4dom (g ◦ f ) = {x 2 R|x 6= 0} = (−•, 0) [ (0,•)(f ◦ f ) (x)

= f (f (x)) = f( 4x

)= 4

4x= x



MATE 3171


dominios



( 4x

)= 4


( 4x

)= 4

4x= x

dom (f ◦ f )

= {x 2 R|x 6= 0} = (−•, 0) [ (0,•)(g ◦ g) (x) = g (g (x)) = g (x + 4) = x + 8dom (g ◦ g) = R = (−•,•)


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dominios



( 4x

)= 4


( 4x

)= 4

4x= x

dom (f ◦ f ) = {x 2 R|x 6= 0} = (−•, 0) [ (0,•)(g ◦ g) (x)

= g (g (x)) = g (x + 4) = x + 8dom (g ◦ g) = R = (−•,•)


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dominios



( 4x

)= 4


( 4x

)= 4

4x= x

dom (f ◦ f ) = {x 2 R|x 6= 0} = (−•, 0) [ (0,•)(g ◦ g) (x) = g (g (x)) = g (x + 4) = x + 8dom (g ◦ g)

= R = (−•,•)


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dominios



( 4x

)= 4


( 4x

)= 4

4x= x



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Funciones 1-1

Las funciones que son 1-1 son importantes para el estudio de funcionesinversas, observe el siguiente par de gráficas:

DefiniciónUn función con dominio A se dice que es una función1-1 sicualquier par de elementos de A siempre tienen diferentes imágenes, esdecir:

f (x1) 6= f (x2) cuando x1 6= x2


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Función inversa

Toda función que es 1-1 posee inversa.DefiniciónSea f una función 1-1 con dominio A y rango B. Entonces sufunción inversa f −1 tiene dominio B y rango A y se define por:

f −1 (y) = x () f (x) = y

para cualquier y 2 B.Se satisface:dom

(f −1

)= rango (f ) y dom (f ) = rango

(f −1

)

Propiedad de función inversaSea f una función 1-1 con dominio A y rango B. Su función inversa f −1

satisface las siguientes propiedades:

f −1 (f (x)) = x para todo x 2 Af(f −1 (x)

)= x para todo x 2 B

Una función f −1 que satisface las ecuaciones anteriores es la inversa de f .P. Vásquez (UPRM) Conferencia 46 / 77

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Pasos para hallar la inversa de una función1 Escriba y = f (x) .2 Resuelva la ecuación para x en términos de y (si es posible)3 Intercambie x con y . La ecuación resultante es y = f −1 (x) .

Nota: La gráfica de f −1 se obtiene reflejando la gráfica de f en la rectay = x .


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Ejemplos1 La gráfica de una función f es dada,:

Indique cual de ellas es 1-1:


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2 Determine si la función dada es 1-1:

a. y = f (x) = 6x + 2, si es 1-1, recuerde su gráfica es una recta,además: para cualquier par:

f (x1) = 6x1 + 2, 6x2 + 2 = f (x2)) 6x1 + 2 6= 6x2 + 2 si x1 6= x21 b. y = f (x) = |x + 2| no es 1-1, un contraejemplo: −4 6= 0 sin embargo

f (−4) = 2 = f (0) , se tiene que para un par de valores diferentes enel dominio, sus imágenes son iguales

c. y = f (x) = x4 + 5, 0 ≤ x ≤ 2 verifique que es 1-1.


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3 Asuma que f es una función 1-1:

a. Si f (2) = 5, halle f −1 (5) =?b. Si f −1 (4) = 6, halle f (6) =?c. Si f (3) = 10, halle f −1 (10) =?d. Si f −1 (−2) = −5, halle f (−5) =?

4 Si g (x) = x2 + 4x , con x ≥ −2, halle g−1 (5)

Se halla el valor de x tal que g (x) = x2 + 4x = 5 y se resuelve laecuación cuadrática:x2 + 4x − 5 = 0, cuya solución es: x = 1, x = −5, de donde se obtieneque g−1 (5) = 1 ¿porqué?


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5 Demuestre que las funciones f (x) = 2x − 5 y g (x) =x + 52

son

inversas una de otra.

Se debe verificar que:(f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f

( x+52

)= 2

( x+52

)− 5 = x

(g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g (2x − 5) = 2x−5+52 = x

6 Halle la función inversa de f (x) = 1x+1

Se debe verificar que:Dom (f ) = {x 2 R|x 6= 1} = rango

(f −1

)

Sea y = 1x+1 , despejando x : x + 1 = 1

y ) x =Por lo tanto la función inversa es: f −1 (x) =Dom

(f −1

)= {x 2 R|x 6= 0} = rango (f )


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Funciones Polinómicas y sus gráficas

DefiniciónUna función polinómica de grado n se define por:

P (x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0

donde n 2 N, an 6= 0 y an, an−1, · · · , a1, a0 2 R.Los números an, an−1, · · · , a1, a0 son llamados los coeficientes delpolinomio.El número a0 es llamado el coeficiente constante o término constante.El número an es el coeficiente de la potencia mayor, y es llamado elcoeficiente principal, y anxn es llamado el término principal.

Características de las gráficas de FPSe han discutido algunos casos anteriormente, por ejemplo:

1 La función lineal: f (x) = b+mx , su gráfica es una línea.2 La función cuadrática: f (x) = ax2 + bx + c , cuya gráfica es unaparábola.


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A continuación se presentan las gráficas de algunas funciones polinómicasbásicas:


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1 Paree cada una de las funciones polinómicas con sus gráficas:

a.P(x) = x(x2 − 4

)b.P(x) = −x2

(x2 − 4

)c .P(x) = −x5 + 5x3 − 4x

d .P(x) = 12x6 − 2x4 e.P(x) = x4 + 2x3 f .P(x) = −x3 + 2x2


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Funciones exponenciales

DefiniciónUna función exponencial con base a está bien definida paratodos los números reales x y se denota por:

f (x) = ax , donde a > 0, a 6= 1.

Gráficas de funciones exponencialesLa función exponencial f (x) = ax , (a > 0, a 6= 1) tiene dominio R yrango (0,•) . La recta y = 0 es una asíntota horizontal. La gráfica de ftiene una de las siguientes formas:


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Ejemplos1 Paree las siguientes funciones con sus gráficas:a.f (x) = 2x b.f (x) = 2−x c .f (x) = −2x a.f (x) = −2−x


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Funciones logarítmicas

Toda función exponencial f (x) = ax , donde a > 0, a 6= 1, es 1-1, y por lotanto posee inversa. La función inversa es llamada función logarítmica yse obtiene:y = ax para despejar x se aplica loga a ambos lados y se obtiene:loga y = loga a

x = x loga a = x , porque loga a = 1 para todo a > 0, a 6= 1La función inversa de la exponencial es: f −1 (x) = loga xDefiniciónUna función logarítmica con base a > 0, a 6= 1 se define por:

f (x) = loga x , donde a > 0, a 6= 1.

y se satisface: y = loga x , x = ay


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Gráficas de funciones logarítmicasLa función logarítmica f (x) = loga x , (a > 0, a 6= 1) tiene dominio(0,•) y rango R. La recta x = 0 es una asíntota vertical. La gráfica def tiene una de las siguientes formas:

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

a^x, 0<a<1

loga(x) 0<a<1y=x


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Logaritmo comúnEl logaritmo con base 10 es llamado el logaritmo común y se escribe sin labase:

log x = log10 x

Logaritmo naturalEl logaritmo con base e es llamado el logaritmo natural y se denota por ln:

ln x = loge x

Nota: ln x = y () x = ey


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1 Trace la gráfica de la función f (x) = log4 x ,Construyendo una tabla de valores:x 1

1614 1 4 16

log4 x

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y


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Funciones trigonométricasSabemos que para encontrar el punto terminal P (x, y) para un númerodado t real, mover una distancia t a lo largo del círculo unitario,comenzando en el punto (1, 0). Se mueven en una dirección hacia laizquierda si t es positivo y en una dirección hacia la derecha si t esnegativo (ver Figura


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Funciones trigonométricasSabemos que para encontrar el punto terminal P (x, y) para un númerodado t real, mover una distancia t a lo largo del círculo unitario,comenzando en el punto (1, 0). Se mueven en una dirección hacia laizquierda si t es positivo y en una dirección hacia la derecha si t esnegativo (ver Figura


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Función seno


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Función coseno


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Transformaciones


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EjemploGraficar y = 3 sin 2

(x − p

4

)

Amplitud: 2; Periodo: P = 2p2 = p; ángulo de fase: p

4


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Otras funciones trigonométricas


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Función tangente


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Función cotangente


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Función secante


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Función cosecante


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EjemploGraficar y = 2 cot

(3x − p

2

)= 2 cot 3

(x − p

6

)

Amplitud: 2; Periodo: P = p3 ; la gráfica de 2 cot 3x se mueve a la

derecha p6


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EjemploGraficar y = 1

2 csc(2x + p

2

)= 2 csc 2

(x + p

4

)

Amplitud: 2; Periodo: P = 2p2 ; la gráfica de 2 csc 2x se mueve a la

izquierda p4


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MATE 3031 - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/~pvasquez/mate3031/clases1718I/repaso.pdf · 2017-08-23 · MATE 3171 Ejemplos R1 Otros ejemplos: 1 El área de un