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1
TEMA 1POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
1I.- Potenciación: Es la operación que consiste en repetir un número llamadobase tantas veces como indica otro número llamado exponente, al resultado deesta operación se le llama potencia.
a = basen = exponente an= pp= potencia
2.- Leyes de Exponentes
an.am=an+m nmn
m
aaa −=
(a.b)n=an.bnn
nn
ba
ba
=
nn
aa 1
=−nn
ab
ba
=
−
(an)m=anm ( )( ) αββα
=
mnnm aa
3.- Radicación: La raíz n-ésima de un número a (no negativo cunado n es par),llamada radicando; es otra expresión talque esta raíz elevada a n, nos da elradicando a, es decir:
nn baba =↔= También se tiene que:
nm
n m aa =βαβ α = nn aa
EJERCICIOS
NIVEL I
1.- Efectuar:1
92
4124
112
816−−
−
⋅
=
−−−−
−−
E
A) 1 B) 2 C) 3 D)4 E) 5
2.- La simplificación de:
234
56
6483240375200405
...E =
A) 5 B) 3 C) 1 D)1/2 E)1/4
3.- Al Simplificar:
( )503
23
31
92202
21
,
,E−−
−−
++
=
Se obtiene:
A) B) C) D) E)
4.- Determinar el valor de:
3
11122
833
25
51
−−−−
−+
+
=E
A) 1 B) 2 C)5 D)4 E) 3
5.- Simplificar
5555
5 25 25 25 2
a...a.a.aa...a.a.a
50 veces
20 veces
A) 1 B) a -30 C) a30 D) a E) 3 a
NIVEL II
1.- Simplificar:( )
12
812
2
21
2256
−
−
A) 2 B) 1 C)8 D) 2 E) 4
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2
2.- Simplificar: cc
cb
b
ba
a
a
−−− ++
+++
+++
5151
3131
2121
A) 3 B) 7 C)10 D)20 E) -2
3.- Al simplificar: nnnn
nnnnnn
cbabccabaE −−− ++
++=
A) a+b+c B) abc C)a-b-c D)abc1 E) 1
4.- Si x,y∈Ζ+ tal que y-x≥2 , hallar el valor mas simple de:
xyyxxy
xyxyyx
xyyxxyyxE −
++
++= 22
A)yx B)
2yx C)x y D)
xy E) yx
5.- Reducir:4321
4321
22222222
−−−−
++++
++++++
= aaaa
aaaa
P
A) 1 B) 2 C)16 D)32 E) 64
6.- Si: x x =2 , hallar el valor de:xxx.xA
++
=112
A) 16 B) 32 C)64 D)128 E) 256
7.-Si el exponente final de x es 15 en:
a
a a a
a aaa
x.x.x
x.x.x
+++
32
321 32
Hallar a A) 8 B) 5 C)3 D)3 E) 1
8.- Reducir:nx nxx nxx xx
+ + ++ 2
Para: axnx =
A) ax B) xa C)ax D)x3 E) a-x
9.- Al Simplificar:
( ) ( ) ( )( )
1
21
321
428421025232
−
−−
+++
+
+++= xx
xxxx
E
Se obtiene: A) 2x+6 B) 2x - 5 C)2 D)4 E) 8
10.- La Simplificación de:
01
1
1
12
1
11
2
>
−
+
+
−
−
−+
a;
a.a
aa
a
aa
aaa
aa
aa
es: A) a B) a2 C)1 D)2 E) 3
NIVEL III:
1.-Simplificar:
ab bc aca b b c c aP x x x− − −=
) )2 ) ) )1a b a b c c aA x B x C x D x E+ − −
2.- Racionalizar el denominador:
3 3
14 2 1
E =+ +
3 3 33 3) 3 ) 4 ) 2 ) 2 1 ) 3 1A B C D E− +
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3
3.-Al simplificar:b
x 3x - y b2x x + 4y
b3x x + 3y
6 6 312 19 12 9 12 3 6 6) 19 ) ) ) )x x xx y x y x yA b b B b C b D b b E b b+ +
4.-Si xy = 2, hallar el valor de
( ) ( ) ( ) 223 4 −−= yyxxE yyx y
A) 1 B) -1 C)-2 D)2 E) 0
5.-Hallar el valor de a2+b2 en:
4/33b a
a ba b
a ba b
− =
A) 1 B) 5 C)10 D)13 E) 9
NIVEL I1 - A 2 - A 3 - C 4 - B 5 - C
NIVEL II1 - E 2 - C 3 - B 4 - D 5 - D6 - E 7 - B 8 - A 9 - B 10 - B
NIVEL III
1 - E 2 - D 3 - D 4 - C 5 - C
TEMA 2
ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Una ecuación es una relación de igualdad que se establece entre dos expresionesmatemáticas de por lo menos una variable.
Las ecuaciones pueden ser:x3 + 3x2 – 7 = 0 ecuación polinomial
Ecuaciones 02
1=
−+
xxy ecuación fraccionaria
Algebraicas03 =−− zx ecuación irracional
22x – 4x + 1 = 0 ecuación exponencial
Ecuaciones log x – x3 = 0 ecuación logarítmicaTrascendentes
sen x – 8 = 0 ecuación trigonométrica
Clasificación de las ecuaciones según su soluciónA) Ecuación compatible.- Es aquella que tiene al menos un elemento en suconjunto solución.
B) Ecuación compatible determinada.- Es aquella que tiene un número limitado deelementos en su conjunto solución.Ejemplo: x - 3 = 0
c.s. = { 3 }
C) Ecuación compatible indeterminada.- Es aquella que tiene un número ilimitadode elementos en su conjunto solución, es decir su solución son todos los númerosreales.Ejemplo: ( x – 3 ) = x – 3
x = x 0x = 0 c.s. = R
D) Ecuación incompatible.- Es aquella que no tiene ningún elemento en suconjunto solución, es decir su solución es el vacío.Ejemplo: x – 4 = x + 5
0x = 9 c.s. = φ donde φ denota el conjunto vacio.
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4
PROBLEMAS
1. Una fracción irreducible tiene la siguiente propiedad, al sumar cincounidades a su numerador y 9 unidades al denominador, la fracción no cambiade valor. La suma de sus términos es:a) 10 b) 14 c) 18 d) 28 e) 36
2. A una pollada asisten 399 personas entre hombres, mujeres y niños. Si elnúmero de hombres es el quíntuplo del número de mujeres y éste el triple delos niños. Hallar el número de hombres.a) 367 b) 234 c) 315 d) 400 e) 600
3. A cierto número par se le suma los dos números pares que le preceden y losdos números impares que le siguen obteniéndose en total 968 unidades. Lasuma de los dígitos que forman el número par mencionado es:a) 14 b) 16 c) 20 d) 12 e) 18
4. La suma de 4 números diferentes es 24, la suma de los 2 mayores es eldoble de la suma de los 2 menores, la suma del menor con el mayor es igual ala suma de los otros 2 números. Halle la suma de las diferencias del mayorcon el menor y de los intermedios mayor con menor. (suponer que m es elnúmero mayor)a) 32 b) 8 c) 4 d) 4m – 32 e) 32 – 4m
5. Dos números suman 2320. Si uno de ellos le transfiere 240 unidades al otro,ambos quedan con igual cantidad. El menor número es igual a:a) 202 b) 840 c) 1320 d) 920 e) 1400
6. Se tiene tres menores números naturales consecutivos de tres cifras, cuyasuma es un cuadrado perfecto. La menor cifra del mayor de estos tresnúmeros es:a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
7. Cuál es el número impar tal que agregado a los cuatro impares que lesiguen, dé un total de 905?a) 175 b) 183 c) 191 d) 177 e) 181
8. Hallar un número cuyo quíntuplo aumentado en su triple del quíntuplo da500.a) 30 b) 36 c) 25 d) 45 e) 50
9. La señora Maritza, tuvo a los 24 años dos hijos mellizos. Hoy las edades delos tres suman 57 años. ¿Qué edad tienen los mellizos?a) 9 b) 11 c) 33 d) 13 e) n.a.
10. La suma de dos números es 74, su cociente es 9, dando de residuo 4. ¿Cuáles la diferencia de estos números?a) 40 b) 60 c) 50 d) 20 e) 30
11. ¿Qué cantidad de arroz de 6 soles el kilo debe mezclarse con arroz de 10soles el kilo para obtener 120 kilos de mezcla, de manera que, vendidos a 7soles el kilo, no se produzca pérdida ni ganancia?a) 100 y 20 b) 80 y 40 c) 70 y 50 d) 90 y 30 e) 60 y 60
12. Preguntando a Esteban por su edad, responde: si el doble de mi edad sequitan 17 años, se tendría lo que me falta para tener 100 años. ¿Qué edadtiene Esteban?a) 51 años b) 37 años c) 39 años d) 43 años e) 63 años
13. Percy nació cuando Maritza tenía 18 años. Si actualmente la suma de susedades 64 años. ¿Cuántos años tiene maritza?a) 31 b) 41 c) 27 d) 39 e) 26
14. El doble de un número sumado con el triple de otro da como resultado 8, y elquíntuplo del segundo es igual al triple del primero aumentado en 7. Dar lasuma de ambos números.a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5
15. Dos obreros trabajan juntos ganando semanalmente uno de ellos s/. 20 másque el otro. Después de igual número de semanas reciben s/. 2400 y s/. 2100respectivamente ¿Cuánto gana semanalmente cada uno de los obreros?a) 110 y 130 b) 220 y 240 c) 160 y 180 d) 100 y 120 e)140 y 160
16. Si tú piensas en un número, cuya mitad es igual a cuatro unidades más queuna tercera parte del número que tienes en mente. ¿Qué número es?a) 6 b) 12 c) 24 d) 36 e) 48
17. Vendí la octava parte de mis naranjas, después la sexta parte y finalmente laquinta parte de lo que tenía. Al contarlas me quedan la mitad, menos una delas que traje. ¿Cuántas eran?a) 140 b) 102 c) 130 d) 120 e) 150
18. La suma de las edades de Alan y Jorge es 65 años, y dentro de 10 años, laedad de Jorge será los 5/12 de la de Alan. ¿cuál es la edad de Alan?a) 60 años b) 50 años c) 35 años d) 25 años e) 15 años
19. El total recaudado por concepto de 900 boletos de rifa fue de 950 soles, silos estudiantes pagaron s/. 0.75 por cada boleto y las demás persona pagarons/. 1.25 por cada boleto. ¿Cuántos boletos de estos últimos se vendieron?a) 350 b) 380 c) 550 d) 500 e) 450
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5
20. Un café que se vende a s/. 6 el kilo, se mezcla con café que se vende a s/. 5el kilo, para producir 20 kilos de una mezcla que se venderá a s/. 5.40 el kilo¿Cuántos kilos se utilizará de cada clase?a) 6 y 14 b)8 y12 c) 7 y 13 d) 9 y 11 e) 4 y 16
21. Calcule la solución de la ecuación
a) 30 b) 5 c) 20 d) 13 e) 10
2. INECUACIONES DE PRIMER GRADO
2.1.IntervalosSean dos números reales a y b tales que a<b, se denomina intervalo de extremos ay b a los siguientes subconjuntos en R
A) Intervalo cerrado: [a,b] = {x ∈ R / a x b}
B) Intervalo abierto: ]a,b[ = {x ∈ R / a < x < b}
C) Intervalo semiabierto: ]a,b] = {x ∈ R / a < x b}
[a,b[ = {x ∈ R / a x < b}
D) Intervalos infinitos: [a,+ [ = {x ∈ R / x a}
]a,+ [ = {x ∈ R / x > a}
] ,b] = {x ∈ R / x a}
] ,b[ = {x ∈ R / x < b}
2.2.Conjuntos acotadosA) Cota superior
Un número real k es una cota superior de un subconjunto no vacío S de R sí ysólo sí: x k ; ∀ x∈S
B) Cota inferiorUn número real k es una cota inferior de s si y sólo si x k ; ∀ x∈S
C) SupremoUn número real c se llama supremo de un subconjunto no vacío S de R, y se
escribe c = sup S si:• c es cota superior de S (x c, ∀ x∈S)• c es la menor cota superior de S, es decir:
Si ∀k∈R / x k, ∀ x∈ S, entonces k cPor lo tanto, c no necesariamente pertenece a S
D) ÍnfimoUn número real d se llama ínfimo de un subconjunto no vacío S de R, y se
escribe c = inf S si:• d es cota inferior de S (x d, ∀ x∈ S)• d es la mayor de las cotas inferiores de S, es decir:
Si ∀ k∈R / x k, ∀ x∈ S, entonces k dPor lo tanto, d no necesariamente pertenece a S
E) MáximoSi c es supremo de S y c∈S, entonces c es máximo de S (c = máx S)
F) MínimoSi d es ínfimo de S y d ∈ S, entonces d es mínimo de S (d = min S)
Ejemplo: dado el conjunto S = ]2, 5] el sup S =5, además 5∈ S, entonces el máx S = 5. el ínf S = 2, pero 2∉ S, entonces S no tiene mínimo.
Problemas1. Se sabe que el número de conejos que cría Juan es tal que el triple
disminuido en 5, es mayor que 33, y el cuádruple aumentado en 9 es menorque 65. Calcule el número de conejos
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
a x b
a x b
a x b
a x b
a x
a x
bx
ax
Cotas inferiores Cotas superioresS
3484
10273
2111
++
−=
− x
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6
2. La diferencia entre las edades de Jorge y Raúl es mayor que 4, pero menorque 7. Si Raúl tiene 36 años. Determinar el producto de los dígitos de la edadde Jorge.
a) 0 b) 12 c) 18 d) 41 e) 42
3. Para la confección de un determinado número de problemas, se duplicó estenúmero y se eliminaron 40 que eran muy fáciles, quedando menos de 60. Sise hubiera triplicado el número original y aumentado 20, habrían más de 164.¿Cuál es la suma de los dígitos de la cantidad de problemas que habíainicialmente?
a) 5 b) 13 c) 12 d) 11 e) 6
4. Un kilo de naranjas contiene entre 50 y 100 unidades de vitamina. Si cadakilogramo cuesta entre 1.5 y 2.4 soles. ¿Cuánto será lo máximo a gastar porconsumir 400 unidades de vitamina?
a) 9.6 soles b) 12 soles c) 19.2 soles d) 20.2 soles e) 24 soles
5. El número de libros que tiene Miguel en su biblioteca es tal que si ledisminuimos 20 y luego lo dividimos por 4, resulta mayor que 8, en cambio, sile agregamos 5 y luego lo dividimos por 6, resulta menor que 10. Si luegoadquiere 2 colecciones de 6 libros cada una ¿Cuántos libros tendría Miguelluego de la compra?
a) 24 b) 25 c) 52 d) 55 e) 66
6. Un bisabuelo aficionado a la matemática, nota que el número de nietos quetiene es igual al triple del número de hijos menos cinco, y el número debisnietos es igual al doble del número de nietos, aumentado en 3. Se dacuenta también que el exceso del número de nietos sobre el número de hijoses mayor que 6 y el exceso del número de bisnietos sobre el número de nietoses menor que 17. Calcular el número de bisnietos que tiene
a) 6 b) 13 c) 23 d) 30 e) 36
7. Max tiene cierta cantidad de caramelos, se come 5 y le restan más de latercera parte, luego se compra 10 más con lo que tendría menos de 14caramelos. Indicar cuántos tenía inicialmente
a) 0 b) 12 c) 18 d) 41 e) 42
3. VALOR ABSOLUTOEl valor absoluto de un número real a denotado por a se define como:
<−≥
=00
asi,aasi,a
a
Geométricamente a es la distancia entre el punto donde se encuentra a y elcero.
Propiedades1. 0, ∀ a∈R ∧ = 0 ⇔ a = 02. = -a3. a.b = 4. a+b (desigualdad triangular)5.6. 2 = a2
7. a
Propiedades adicionales8. = b ↔ b 0 ∧ (a = b v a = -b)9. ↔ a = b ∨ a = -b10. Si b >0 entonces:
• < b ↔ -b < a < b• b ↔ -b a b
11. > b ↔ a > b ∨ a < -b b ↔ a b ∨ a -b
Ejercicios
1. Resolver 7x = 4 – x a) x=4 b) x=1/2 c) x=-1/2 x=2/3 d) x=-2/3 x=1/2 e) x=-2/3 x=4
2. Resolver 2x +2 = 6x – 18 a) x=2 x=5 b) x=3 c) x=-2 x=3 d) x=5 e) x=2
3. Resolver x2 + 2 = 2x + 1 a) x=-1/2 o x=2 b) x=-1/3 o x=1 c) x=-1/2 o x=1 d) x=1 e) x=-1/2
4. Resolver x2 -2 x – 3 = 0 a) x=-1, x=3 b) x=3 c) x=1, x=-3 d) x=-3, x=3 e) x=-1, x=1
5. Resolver x - 2 = 3 - 2x a) x=1 x=5/3 b) x=-5/3 x=-1 c) x=-5/3 x=1 d) x=5/3 e) x=1
6. Hallar el conjunto solución de: x - 3 = x – 3 a) x=0 x=3 b) x∈R c) 3 d) x=3 e) x∈φ
7. Se cumple que: x - 2 < 5, y se tiene x + 1 <a y x - 9 < b, ¿cuál esel menor elemento de {a,b} ?
a) 1 b) 2 c) 5 d) 8 e) 12
2aa =
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7
8. ¿Cuál es la suma de los elementos que satisfacen la ecuación:( 1- x - 3 ) ( 2 x - 3 – x ) = 0
a) -14 b) -12 c) 10 d) 12 e)14
9. Hallar el mínimo del conjunto solución de: 2x + 7 = x + 5 a) x=2/3 b) x=2 c) x=-5 d) x=-2 e) x=-2/3
10. Hallar el valor de la expresión ] [10114
,xsix
xx∈
−−+
a) -1/4 ,1 b) -1/4 c) 1 d) 5 e) 1, 5
11. Resolver 2x - 5 < 3 a) ]-4,4[ b) ]-4,1/2[ c) ]-1/2,1[ d) ]1,4[ e) ]-4,-1[
12. Resolver 9 - x2 3 a)[ 66 ,− ] b) ] 12,∞− ] c) [ ∞− ,6 [ d) [ 66 ,− ] ∪ ] ∞,12 [ e) ] 12−∞− , ] ∪ [ 66 ,− ] ∪ [ ∞,12 [
13. Resolver 1/x – 2 < 11 a) ]-1/3,1/9[ b) ]-1/9,1/3[ c) [-1/9,1/3] d) ]- ,-1/9[ v ]1/3, [ e) ]- ,-1/9] v [1/3, [
14. Resolver 3652
<−−
xx
a) ]23/5,13[ b) ]- ,23/5[ u ]13, [ c) ]23/5,6[ u ]6,13[ d) ]23/5,6[ e) ]6,13[
15. Resolver x - 3 2 - 3 x - 3 - 18 > 0 a) φ b) R c) ]-3,9[ d) ]- ,-3[ u ]9, [ e) ]-3, [
16. Resolver 2x2 – 3x – 9 < 2 x2 – 2x -3 a) ]-5,20[ b) ]- ,-5/4[ c) ]-1/4, [ d) ]- ,1/4[ e) ]1/4, [
TEMA 3
SISTEMAS DE ECUACIONES
Dado el sistema222
111
cybxacybxa
=+=+
El sistema es:
Compatible DeterminadoSi:
01221 ≠− baba
Compatible indeterminadoSi:
2
1
2
1
2
1
cc
bb
aa
==
IncompatibleSi:
2
1
2
1
2
1
cc
bb
aa
≠=
Ejercicios y problemas01. Calcular 2x+y del sistema:
14236
142
=−
−=++
yx
yxyx a)23 b) 7 c) -4 d) 1 e) 0
02. Calcular “x.y” del sistema:
72
112
3
=+
=+
yx
yx a) 6 b) 8 c) 16 d) 12 e) 21
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8
03. Calcular “x” en el sistema:
2561434
11
11
=+
=−−−
−−
yxyx a) 0,25 b) -0,25 c)0,5 d)-0,5 e) 0,125
04. Calcular “x+2y+z” del sistema:
131426
132
=−+−=−−
=++
zyxzyxzyx
a) 1 b) 0 c) -1 d) 2 e) 5
05. Calcular el valor de “k” si el sistema adjunto presenta infinitas soluciones:( )
345,7612
=+=+−
yxkyxk a) 8 b) 6 c) -8 d) -2 e) 2
06. Calcular el valor de “x-y+z-w” del sistema:
41
15
=++=++
−=++=++
wzywzxwyxzyx
a) -1 b) -2 c) -3 d) 5 e) 3
07. Del siguiente sistema, calcularyx
abaybxbabyax
2
22
=++=+ a) a b) b c) ab d) a+b e) a/b
08. Calcular “ab” sabiendo que los sistemas son equivalentes
2473
=+=+
byxayx ∧
7483
=+=+
ybxyax a) 2 b) 6 c)-2 d) -6 e) 12
09. Evaluar “n” si el sistema es inconsistente( )
( ) nyxnynx
=++=−+
661213 a) 1 b) 3 c) -1 d) -3 e) 5
10. ¿Para qué valor del parámetro “k” el sistema: Será compatible determinado( )
( ) 11262
=++=++
ykxkyxk a) R b) R - {1} c) R - {1;-2} d) R - {2;-5} e) 1
11. Calcular “m” si el sistema es incompatible
3231
+=−=+
mmymxmyx a) 1 b) -1 c) -3 d) 0 e) 2
12. Resolver el sistema:( ) ( )( ) ( ) 22 22
4baybaxba
abybaxba−=++−
=−−+
Y calcular el valor de “x+y”a) a b) b c) ab d) a-b e) 2ª
13. Calcular “x” del sistema:
bb
yxyx
aa
yxyx
−+
=−−++
−+
=+−++
11
11
11
11
a)11
−+
abb b)
11
−+
aba c)
11
+−
aba d)
11
+−
abb e) 2
14. Dado el sistema de ecuaciones
0,11010
3,1
=−
=−
yx
yx
Encontrar el valor de “x+y”
a) 8,5 b) 7,6 c) 8,4 d) 5,6 e) 6,5
15. Dado el siguiente sistema
81925335
=−
=−
yxyx
Encontrar “x+y”a) 20 b) 24 c) 26 d) 25 e) 23
16. Resolver
810941 222
=++
=+++++
zyxzyx ∧ {x,y,z}⊂ R +
Encontrar “x.y.z”
a) 120/13 b) 128/9 c) 64/3 d) 32/9 e) 100/13
17. Resolver el sistema y encontrar la suma de todos los valores de x; y; z
5117
=++=++=++
zyyzzxxzyxxy
a) 6 b)-6 c) 8 d) 4 e) -8
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9
18. Resolver el sistema y dar el valor de “y”
6105
23
76
532
=+
=+
yx
yx a) 2 b) 5 c) 6 d) 2 3 e) 30
19. Determinar el valor de “a” para los cuales el sistema tiene solución única
azyxazyx
zyx
−=+−+=++
=++
322
1432 a) 1 y 17 b) -17 c) R d) R – {-17} e) R – {17}
20. Si el sistema admite sólo dos soluciones diferentes. Calcular “abc”
cxyybxa
==+ 12222
a) ± 1 b) ±2 c) ± ½ d) ± e) ±3
21. Para qué valores de “m” el sistema de ecuaciones tiene soluciones positivas
135372
=+=+
yxmyx
a) m≤3
26 <591 b)
326 <
591
≤m
c)591
326
≤≤ m d)3
26 < m <591
22. Al resolver el sistema( ) ( )( ) ( )
iiziyxizyixi
izyixi
−=++=−+−−=+−−+
123211
3211 a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 0
El valor de z
23. Resolver el siguiente sistema: El valor de “z” es:( )
( )( )zxxz
yzzyyxxy
53677815
271511
−=−=−−−=
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
24. Si x; y; z ∈ Z+, determina el número de soluciones del sistema
46
=−+=++
zyxzyx a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
25. Para qué valores del parámetro “k” el sistema: Tiene infinitas soluciones.( ) ( )( ) 723017
1231+=++
+=+++kyxk
kykxk a) 3 b) 3 y 7 c) 1 d) 2 y -1 e) 4 y 1
26. Determina “x” en el sistema:
ayxzazxyazyx
624222
=+−=−−=−−
a)3
11a b)3
16a c)3
25a d)3
31a e)3
41a
27. Determine el valor de “k” para que el sistema tenga infinitas soluciones:
030
0352
=++=+−
=+−
zkyxzyx
zyx a) -8 b) 7 c) 2 d) 3 e) 1
CLAVE: Sistemas de Ecuaciones
01. E 02. D 03. C 04. B 05. A 06. E 07. E 08. D 09. B 10. D
11. D 12. E 13. B 14. A 15. D 16. B 17. B 18. E 19. D 20. C
21. D 22. A 23. C 24. C 25. A 26. B 27. D
TEMA 4
ECUACIONES E INECUACIONES CUADRÁTICAS
En numerosos problemas, como la resolución de triángulos rectángulos oel estudio de movimientos físicos con aceleración, aparecen términosdesconocidos elevados al cuadrado. Tales problemas se resuelven pormedio de ecuaciones de segundo grado, también llamadas cuadráticas.
4.1. Ecuaciones cuadráticasSe llama ecuación cuadrática, o de segundo grado, con una incógnita a todaaquella que tiene la forma general reducida ax2 + bx + c = 0, siendo a 0. Engeneral: a, b, c ∈ R.
Si todos los coeficientes de la ecuación son distintos de cero, se dice que escompleta.
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
10
Si el coeficiente lineal o el término constante son nulos, la ecuación es incompleta.
4.2 Resolución y discusión de ecuaciones cuadráticas:
Pueden darse varios casos:
• Si la ecuación es incompleta sin coeficiente lineal ni término
independiente (ax2 = 0), la solución es x = 0 (doble).
• Cuando es incompleta sin coeficiente lineal (ax2 + c = 0), las raíces son:
ac−
±
• Cuando es incompleta sin término independiente (ax2 + bx = 0), tiene dosraíces:
abxx −
=∨= 21 0
• Una ecuación completa tiene dos raíces, dadas por la fórmula:
aacbbx
242 −±−
=
El valor ∆=b2 - 4ac se llama discriminante, y de su estudio se deduce que• Si ∆>0 , la ecuación tiene dos raíces reales distintas;• Si ∆=0 , existe una única solución doble dada por x = -b/2a,• Si ∆<0 es menor que cero, las son complejas.
4.3 Relación entre las raíces y los coeficientes:• La suma de las raíces de la ecuación es igual al coeficiente lineal
cambiado de signo dividido por el coeficiente principal: x1 + x2 = -b/a.• El producto de las raíces es igual al término independiente dividido por el
coeficiente principal: x1 . x2 = c/a.• Si se conocen la suma: s = x1 + x2 y el producto: p = x1 . x2 de las raíces de
la ecuación, se tiene que: x2 - sx + p = 0.• Conociendo la diferencia d = x1 - x2 y el producto p = x1 . x2 de las raíces,
se deduce que: 04 22 =++± pxdpx• Sabiendo el valor de las raíces x1 y x2, la ecuación se puede expresar
como un producto de binomios: (x - x1) (x - x2) = 0 (ecuación factorial).
4.4 Ecuaciones bicuadradasEstas ecuaciones tienen como forma general: ax4 + bx2 + c = 0
Al ser de orden 4, las ecuaciones bicuadradas tienen cuatro raíces o soluciones.
Se resuelve sustituyendo y = x2, y se obtiene ay2 + by + c = 0.• Se obtienen las raíces y1 e y2 de esta ecuación de segundo grado.• Se calculan las cuatro raíces de x como
12,1 yx ±= ;24,3 yx ±=
Según los valores obtenidos para y1 e y2 en la resolución de la ecuación desegundo grado intermedia, pueden darse varios casos:
• Si y1 > 0 e y2 > 0, la ecuación bicuadrada tiene cuatro soluciones reales.
• Cuando y1 > 0 e y2 < 0, o bien y1 < 0 e y2 > 0, la ecuación bicuadrada tiene
dos soluciones reales y dos complejas.• Si y1 < 0 e y2 < 0, la ecuación bicuadrada no tiene soluciones reales (sus
cuatro soluciones pertenecen al conjunto de los números complejos).
4.5. Ecuaciones irracionales
Forma general: dcbxnax =++Para resolver estas ecuaciones, se elevan los dos miembros de la ecuación a lapotencia que resulte conveniente según el índice del radical.El procedimiento general de resolución de las mismas consiste en:- Aislar en uno de los miembros el término que tiene la raíz cuadrada.- Elevar al cuadrado ambos miembros para eliminar la raíz. Después de
simplificar la ecuación resultante, se obtiene una ecuación de segundo gradocon una incógnita.
- Se procede a resolver esta ecuación de segundo grado, con arreglo a losmétodos habituales.
- Al haberse elevado la ecuación al cuadrado, se ha introducido una solución«falsa». Las dos raíces obtenidas de la ecuación de segundo grado se han decomprobar en la ecuación irracional original; se descubrirá entonces que sólouna de ellas cumple la igualdad de la ecuación. Ésta será su única solución.
Algunas ecuaciones que no son necesariamente cuadráticas, pueden resolversepor los métodos de factorización o por la fórmula cuadrática, si primero se realizauna sustitución apropiada. Como por ejemplo:
x4 + 5x2 – 84 = 0Haciendo: x2 = z, de donde: x4 = z2
Reemplazando: z2 + 5z – 84 = 0
(z + 12)(z – 7) = 0 z + 12 = 0 ∨ z – 7 = 0 z = - 12 ∨ z = 7 x2 = - 12 ∨ x2 = 7
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
11
4.6 Ecuaciones Incompletas:
Son de la forma ax2 + bx = 0 ∨ ax2 + c = 0Para resolver este tipo de ecuación se procede de la siguiente forma:
En: ax2 + bx = 0 En: ax2 + c = 0
−=
=
abx
x
2
1 0
−±ac
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE COOPERATIVO Y AUTÓNOMO
NIVEL I
01. Hallar la ecuación de segundo grado de coeficiente principal 1 y de raíces “m”y “n” si se sabe que:I. x2 + (m – 1)x + m – 2 = 0 tiene una sola solución real.II. x2 – (n + 1)x + 2n = 0 tiene una raíz igual a 3.
A. x2 + 9x + 18 = 0 B. x2 – 6x + 18 = 0 C. x2 – 9x – 18 = 0 D. x2 – 9x + 18 = 0 E. x2 – 6x – 18 = 0
02. Hallar los valores de “k” para que las raíces de la ecuación: kx2 + x + kx + 2 = 0sean reales e iguales. Señalar la suma de sus valores.
A. 4 B. 5 C. 6 D. – 2 E. 8
03. Las raíces de la ecuación: x2 – 4x + 2 = 0, son “a” y “b”. El valor de: a2 + b2 es:
A. Un número irracionalB. Es un número racional menor que 1.C. Es un número imaginarioD. Es un entero positivoE. Es un número complejo
04. La suma de dos números es dos y su producto – 4. Hallar la suma de susrecíprocos.
A. ½ B. – ¼ C. ¼ D. –½ E. 1/5
05. Un postulante y sus amigos compran cierto número de lapiceros por 144soles. Si cada lapicero hubiera costado 2 soles menos, comprarían uno más.El número de amigos de postulante es:
A. 12 B. 16 C. 18 D. 7 E. 8
06. Al resolver un problema que se reduce a una ecuación de segundo grado, unestudiante comete un error en el término constante de la ecuación y obtienecomo raíces 8 y 2. Otro estudiante comete un error en el coeficiente deltérmino de primer grado y obtiene como raíces – 9 y – 1. La diferencia entre lasuma y el producto de las raíces de la ecuación correcta es:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
NIVEL II
01. Sabiendo que “m” y “n” son las raíces de la ecuación: x2 – 8x + C = 0. Calcularel valor de:
16222 Cnm ++
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
02. De las siguientes ecuaciones:x2 + x + k = 0 …………. ( 1 )
x2 – 5x + k = 0 ………… ( 2 ) Se sabe que una de las raíces de (2) es el triple de una raíz de la ecuación
(1). El valor de k es: A. 4 B. – 4 C. 6 D. – 6 E. ± 5
03. La menor raíz de la ecuación: 111 =++ xx es: A. 6 B. 8 C. 11 D. 15 E. 2
04. Determinar el valor de “m” para que las raíces de la ecuación sean opuestas:8mx2 + 7(m – 1)x + 1 = 0.
A. 1 B. 2 C. – 2 D. – 1 E. 3
05. Las raíces de la ecuación: 3x2 + 2x + 2 = kx + k son recíprocas. Cuál es elvalor de la constante “k”?
A. 1 B. – 2 C. 2 D. 0 E. – 1
06. Determinar los valores que debe tener “k” en la ecuación: 9x2 + k = 0, para quelas soluciones sean números reales.
A. [0;+∞[ B. [9; +∞ [ C. [3; +∞ [ D. ]- ∞;0] E. ]- ∞;3]
07. Calcular el valor de “k” en la ecuación: x2 + (2k + 5)x + k = 0. Si una raízexcede a la otra en tres unidades.
A. 2 B. 1 C. -1 D. – 2 E. 3
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
12
08. Sea la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0 y sus raíces r1; r2. Se puede afirmar:
I. Si r1 + r2 r1.r2 b + c = 0II. Si r1 es opuesta de r2 b = 0III. Si r1 = 2r2 2b2 = 9ac
A. Las tres afirmaciones son verdaderas B. I y II son verdaderas C. I y III son verdaderas D. II y III son verdaderas E. Sólo II es verdadera
09. Se sabe que 2 + 3 es una raíz de una ecuación cuadrática. Determinardicha ecuación.
A. x2 – 4x + 1 = 0B. x2 + 4x + 1 = 0C. x2 – 4x – 1 = 0D. x2 – 4x + 2 = 0E. x2 + 4x – 3 = 0
10. Un granjero amarra su vaca en la esquina de su casa. El observa que si lacuerda fuera alargada en 10m, ella podría abarcar cuatro veces el áreaoriginal. Entonces la longitud original de la cuerda es:
A. 10/2 m B. 5m C. 15m D. 20m E. 10m
INECUACIÓN
A partir de un rectángulo de cartón de 40cm de ancho y 60 de largo deseamosformar una caja recortando cuatrocuadrados, uno en cada vértice, para sudoblado posterior. ¿Qué valores podemosdar al lado de los cuatro cuadrados paraque el volumen de la caja sea al menos de5 litros?
Efectuando un análisis algebraico del tema:
Llamamos “x” al lado del cuadrado, con lo que los lados de la base de la cajamedirán respectivamente 60 – 2x y 40 – 2x. La altura de la caja equivale al lado x.
Así ya tenemos el volumen: (60-2x)(40-2x)x.
Convertimos los litros a cm3: 5000 cm3.Llegamos así a la inecuación que resuelve el problema: (60-2x)(40-2x)x>5000
Por tanto, el problema se resuelve estudiando esta inecuación.
Problema: Un grupo de alumnos y alumnas del Ceprunsa piensa que igual que elfútbol, nació el fútbol sala, podrían inventar un rugby sala e instalarlo en elgimnasio. Han logrado que les cedan 32 metros de perfiles metálicos paraconstruir dos porterías en forma de hache. Desean un área total entre los perfilesde al menos 20 metros cuadrados. ¿Entre qué límites pueden elegir su altura yanchura?La alumna más lista del grupo ha realizado el esquema y el planteo, y ha ofrecidoesto a los demás:
Llamó “ a la altura y “ a la base. Como disponemos de 16metros de perfil por portería, se cumplirá que: a+2b = 16 de donde:a = 16-2b y el área del hueco de la hache:A = ab = b(16-2b)Si llamamos “x” a la variable “b”, podremos escribir la inecuación:x(16 - 2x) ≥ 20; o bien: x(16 – 2x) – 20 ≥ 0
Importante:
I. Si a > b > 0 0>> nn ba ; Nnba nn ∈>> ;0II. Si a < b < 0
1) 022 >> nn ba2) 01212 << ++ bn ba ; n ∈N
III. Si a < 0 ∧ b > 0, además: };{0 222 baMáxxbxa <≤→<<IV. Propiedad del trinomio positivo:
Sea P(x) = ax2 + bx + c ; P(x) > 0 a > 0 ∧ ∆ < 0
Ejemplos:
1. Cuál es el conjunto solución de: 3x2 + 7x – 6 > 0 Primero hallamos su discriminante: ∆ = 72 – 4(3)(-6) = 121 Como ∆ > 0, la inecuación tiene dos raíces (puntos críticos) y además es factorizable:
(3x – 2)(x + 3) = 0
a
b
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
13
De donde los puntos críticos son: 2/3 y – 3 Ubicándolos en la recta real de los números:
+ - +
-3 2/3 Rpta.: ]- , 3[ ∪ ]2/3; + [
2. Resolver: 2x2 – 4x + 13 ≥ 0∆ = 42 – 4(2)(13) = - 88
Como: ∆ < 0, entonces 2x2 – 4x + 13 es siempre mayor que cero para todo x,luego la solución es todos los reales.
Rpta.: R3. Resolver: 11
>x
Restando a ambos miembros 1: 011>−
x
01<
−x
x
Puntos críticos: x = 1 x = 0
+ - +
0 1 Rpta.: ]0; 1[
4. Resolver: 13 +<+ xx - Determinamos el dominio: x + 3 0, entonces: x - 3
31 +>+ xx( )22 3)1( +>+ xx
x2 + x – 2 > 0 - Calculamos los puntos críticos: x1 = - 2 ; x2 = 1 - Verificamos si las raíces verifican la inecuación irracional: Para x = - 2 : - 2 + 1 - 32 +− = - 2 no es raíz de la inecuación. Para x = 1 : 1 + 1 - 31+ = 0 si es raíz de la inecuación
- Determinamos el signo de la inecuación irracional: Para: x ∈ [-3; 1[ es ( - ) Para x ∈ ]1 ; + [ es ( + )
Solución: x ∈ (1; + )
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
Nivel I.
01. Si: 2x – 1 ∈ [4; 11]. Hallar el menor valor que satisface a:
Mxx
≤++
13
A. 9/7 B. 5/7 C. 11/7 D. 10/7 E. 12/7
02. Hallar la suma de los valores enteros que NO satisfacen a la inecuación:x2 – x – 20 > 0
A. 6 B. 5 C. 4 D. 7 E. 8
03. Determinar el complemento del conjunto solución de la inecuación:4x2 - 28x + 49 > 0
A. R B. R-{7/2} C. {7/2} D. Ø E. R+
04. Hallar el conjunto solución de la inecuación: x2 – 4/3 x + 4/9 < 0 A. R B. Ø C. {2/3} D. 0 E. Ø’
05. Hallar la unión de los conjuntos solución de las inecuaciones:4x2 – 13x + 3 > 0
2x2 – x + 5 < 0 A. R B. Ø C. R + D. R - E. R +
0
06. Un agricultor quiere levantar una cerca rectangular junto a un río. Va ha usar120m de material. Cuál es el área más grande que puede cercar? Tener encuenta que no habrá cerca en el lado del río.
A. 2400m2 B. 3600m2 C. 1400 m2 D. 1800m2 E. 1600m2
07. Determinar la suma de los enteros que simultáneamente cumplen lasinecuaciones:
74756 +>+ xx y xxx
−>+ 2
2
22
753
A. 30 B. 39 C. 42 D. 49 . 60
08. Qué valores de x mayores que 1/3 satisfacen la inecuación:
?13
21
1−
<+ xx
A. ]- ; -1[∪]1/3; 3[ B. ]1/3; 3[ C. ]-1; 3] D. [-1; 1/3] E. ]- ; + [
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14
09. A un estudiante le dan a vender cierta cantidad de pollitos. Después de vender35, le quedan todavía un poco más de la mitad. Luego le devuelven 3 y vendeenseguida 18, con lo que restan aún algo menos de 22. Cuántos pollitos ledieron a vender?
A. 60 B. 70 C. 71 D. 73 E. 72
10. Resolver: x > - ; x > 5 ; x < ; 9,0)
>x ; 9,9)
<x A. Incompatible B. - < x < + C. 5 < x < 10
D. 5 < x < + E. 10 < x < +
Nivel II
01. Si a y b son dos números positivos donde a > b, identificar dónde está el erroren la siguiente secuencia:
a.b > b2 …………………. (1)ab – a2 > b2 – a2 ………………. (2)
a(b – a) > (a + b) (b – a) …………… (3)a > a + b ………………….. (4)
0 > b …………………….. (5) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
02. Resolver: 15x2 – 29x – 14 > 0 A. x> 7/3 B. x <7/3 C. x >-2/5 D. x <-2/5 E. R -[-2/5;7/3]
03. Resolver: 012
>+−xx
A. 1<x<2 B. - <x<1 ∧ 2<x<+ C. x >1 D. x <2 E. x >0
04. Cuántas soluciones enteras y positivas tiene la inecuación:
274
326 −
>−
xx
A. 26 B. 27 C. 28 D. 29 E. 30
05. El cuadrado de la edad de Mary Isabel es 3 mayor que 165. En cambio eldoble de su edad más 3 da un número menor que 30. Cuántos años tieneMary Isabel?
A. 20 B. 18 C. 15 D. 13 E. 11
06. Un carpintero hizo un cierto número de carpetas. Vende 49 y le quedan porvender más de la mitad. Hace después 9 carpetas y vende 20, quedándolemenos de 41 carpetas que vender. Cuántas carpetas ha hecho sabiendo queinicialmente fabricó un número par de carpetas.
A. 107 B. 102 C. 100 D. 109 E. 103
07. Si: - 1 < b < a < 0, donde “a” y “b” son números reales.De las siguientes proposiciones:I. a2 > b2 II. a2 > b3 III. a3 < b3
Son ciertas:A. I y II B. II y III C. I y III D. I, II y III E. sólo II
08. Resolver la desigualdad: x4 + 96x – 144 < 6x3 + 7x2
A. -4 < x < 3 B. – 4 < x < 4 ; x ≠ 3C. 3 < x < 4 D. – 3 < x < 3 E. – 3 < x < 4
09. Hallar el menor valor natural de x que satisface a:
12532−
−≤+x
xx
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
10. Hallar el conjunto donde debe estar “m” para que el conjunto solución de: (2m + 1)x2 – 3mx + (2m + 1) < 0 Sea ]- ; + [ A. R B. ]-2; + [ C. ]- ; -1/2[ D. ]- ; -2[ E. R -
CLAVE
Nivel I:
01 – C 02 – B 03 – C 04 – B 05 – A06 – B 07 – B 08 – B 09 – C 10 – C
Nivel II:
01 – D 02 – E 03 – B 04 – A 05 – D06 – D 07 – E 08 – B 09 – B 10 – D
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15
TEMA 5
FUNCIONES
Intuitivamente la palabra función se refiere a una asignación o correspondenciade un conjunto a otro. Por ejemplo: Considera un conjunto de estudiantes y unconjunto de edades, en que a cada estudiante le corresponde un número que essu edad en años.
Estudiante EdadEsteban 19
Kevin 18Isabel 21María 18Pablo 20
En la tabla se observa que a cada estudiante le corresponde una edad. A ese tipode asociación se le llama función.
Definición: Para dos conjuntos X e Y una función o aplicación es unacorrespondencia matemática denotada YXf →: que asigna a cada x de X, unúnico f(x) de Y .
En el ejemplo anterior el dominio es {Esteban, Kevin, Isabel, María, Pablo} y elrecorrido es {18,19, 20, 21}. La función se puede ilustrar mediante un diagramausando flechas para indicar la forma en que se asocian los elementos de los dosconjuntos. Dibuja ese diagrama en el espacio provisto.
Nota: Si x es un elemento en el dominio de la función, entonces el elemento en elrecorrido que f asocia con x se denota simbólicamente f(x), y se llama la imagende x bajo la función f. En el ejemplo anterior f(Kevin) = 18, f(Isabel) = 21. Tambiénse conoce la imagen como el valor de la función f en x.
También “x” es la variable independiente, “y” es llamado variable dependiente.
NotaEl dominio de una función puede estar limitado por:1.- Por el propio significado y naturaleza del problema que representa.
Ejemplos
A. En la función f (x)=x 2 , el dominio lo forman los números reales.
B. La función definida por f (x )=x+1 , tiene como dominio e imagen todos losnúmeros reales R
C. Con la sucesión de números reales (an)= (-n2+18) (es una función: f(n)=-n2+18)pasa algo parecido pues en principio no tenemos inconveniente en calcular laimagen de cualquier número real. No obstante, la propia definición de sucesiónnos hace considerar que solo son posibles las imágenes de números naturales.
2.- Por la expresión algebraica que define el criterio.A la hora de estudiar la expresión que representa una función tendrás quetener en cuenta tres aspectos fundamentales:
1 El radicando de una raíz de índice par debe ser positivo.2 Si se trata de una división, el divisor debe ser distinto de cero.3 La función logaritmo solo admite valores mayores estrictos que cero.
Ejemplos
Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones:1) 2
21)( xxf = . En este caso, al no aparecer cocientes ni raíces ni logaritmos
en los que intervenga la variable x, podemos calcular la imagen a cualquiernúmero real. Por tanto Dom ( f )= R
2) 1)( −= xxf Como el radicando de una raíz de índice par debe serpositivo, debemos exigir: x – 1 0 x 1 Dom ( f ) = [1;+ )
3)145)(
+−
=xxxf Ahora tendremos que los puntos que no pertenecen al
dominio son los que anulan al denominador. Veamos cuales son: x + 1=0luego x = - 1. Por tanto el dominio de f serán todos los números reales menosel -1: Dom(f )= R - {-1}
4) 21)( xxf −= Tengo que exigir de nuevo: 1 – x2 0 1 x2 -1 x 1, luegoDom ( f )= [ -1 ; 1]
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16
Ejercicios
Calcula la imagen de los números 0, 1, 2, y 10 en las siguientes funciones:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) xxf.nnfsucesiónLa.x
xxm.xxg.xxf.
−=+=
−−
=−==
45344
133121
2
222
5.1 Definición
La gráfica de la función f es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyascoordenadas satisfacen la ecuación y=f(x)
Operaciones con funciones: Sean la funciones f1 y f2, se define:Suma de funciones: (f1+f2)(x)= f1(x)+f2(x) Dom(f1+f2)= Dom(f1) ∩ Dom(f2)Diferencia de funciones: (f1-f2)(x)= f1(x)-f2(x) Dom(f1-f2)= Dom(f1) ∩ Dom(f2)Producto de Funciones: (f1.f2)(x)= f1(x).f2(x) Dom(f1.f2)= Dom(f1) ∩ Dom(f2)
Cociente de Funciones: ( ) ( )( )xfxfx
ff
2
1
2
1 =
Dom(f1/f2)= Dom(f1)∩Dom(f2)-{x / f2(x)= 0}
Ejemplos
Calcula la función suma de las siguientes funciones con sus dominios respectivos:
1.- f1 (x)=x2 +1 y f 2(x )=-2x 2 +4 y s =(f1+f2)(x)=x 2 +1-2x 2 +4=-x 2 +5 . Además, Dom(f1+f2)= Dom(f1) ∩ Dom(f2)= R
2.- ( )x
xxf 11
+= y ( )11
2 −+−
=xxxf
Entonces ( )( )xx
xx
xxff 1111
21 =−+−
++
=+
Además, Dom(f1+f2)= Dom(f1) ∩ Dom(f2)= R - {0;1}
3.- Dadas las funciones f1(x)=x+1 y f2(x)=x+2 calcula (f1.f2)(x) así como (f1/f2) (x)con sus dominios respectivos.
( )( ) ( )( ) ( )212321
2
1221 +
+=
++=++=⋅
xxx
ffxxxxxff
Su dominio Dom(f1 / f2)= Dom(f1) ∩ Dom(f2)= R - {-2}
puesto que el -2 anulará el denominador de la función cociente.
4.- Sean f(x) = 2x – 1 ; g(x) = x + 3; hallar (f + g)(x) y (f /g)(x) (f + g)(x) = 3x + 2 ; Dom (f + g) = R
( )312
+−
=
xxx
gf ; Dom (f /g) = R – {-3}
Observa que en la función cociente también hemos quitado del dominio elpunto -3 puesto que la función se anula para dicho punto.
5.2 Función compuesta.
DefiniciónDadas dos funciones y=f(x), z=g(y), se llama función compuesta (g o f ) a la función(gof ) (x)=g( f (x) )
Observando este esquema observamos que para que exista la función compuestaes necesario que el recorrido de la función f quede totalmente incluido en eldominio de la función g.
NotaSi no se verificara esta condición podríamos construir una función compuestarealizando una restricción en los puntos donde no existen problemas. En estecaso, el dominio de definición de la nueva función sería:
Dom (g o f) = {x ∈Dom(f) / f(x) ∈Dom(g)}
Ejemplos
1.- Estudiar la existencia de la función compuesta de las siguientes funciones y encaso afirmativo calcularla: f(x)=x+1 g(x)=x2+1
En este caso el dominio de la función g es todo R. Cuando esto ocurra, la funcióncompuesta existe y el dominio de la misma coincidirá con el dominio de f.Por tanto, en este caso la función compuesta existe y Dom(gof) = Dom(f) = RAdemás (gof )(x ) =g ( f(x ) ) =( f (x) ) 2 +1=(x+ 1)2 +1= x 2+2x+1+1= x 2 +2x+2
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
17
2.- Estudiar la existencia de gof en el caso:11)(
−+
=xxxf y 2)( xxg =
En este caso, Dom(g) = R luego el la función gof existe siendo ademásDom(g o f ) = Dom(f ) = (- , -1] ∪(1;+ )
11
11))(())(()(
2
−+
=
−+
===xx
xxxfxfgfg o
3.- Dadas las funciones:21)(
+−
=xxxf y 31)( +=
xxg estudiar la existencia de gof y
de f o ga) Para g o fDom(g) = R - {0}. Por tanto, si existe algún punto del dominio de f tal que f(x)=0entonces no existirá g o f. Veámoslo:
1010210)( =↔=−↔=
+−
↔= xxxxxf
Por tanto, como existe un punto verificando eso, la función gof no existe en estecaso. No obstante construyamos una restricción. Para ello bastará con quitar aldominio de f los puntos que verifican que f(x)=0. Dom(f ) = R - {-2} y Dom(gof ) = R - {-2,1}
b) Para f o gDom(f ) = R - {-2}.Por tanto habrá que comprobar si existe algún punto tal que g(x)=-2:
51512312)( −=↔−=↔−=+↔−= x
xxxg
Como existe un punto en esas condiciones, no existe fog. No obstanteconstruyamos una restricción. Para ello bastará con quitar al dominio de g lospuntos que verifican que g(x) = -2.
Dom(g) = R - {0} y Dom(gof ) = R - {-1/5,0}
4.- Sean: f:R R / f(x) = x2 y g: R R / g(x)=x+2,Para gof
Img (f )⊂Dom(g) (gof)(x)=g[f (x)](gof)(x)=g[f(x)]=g(x2)=x2+2
Para fogImg (g)⊂Dom(f ) (fog)(x)=f [g(x)]
(fog)(x)=f[g(x)]=f(x+2)=(x+2)2
5.3 DefiniciónSe llama función identidad a la función que le hace corresponder a cada númeroreal el propio número. Se representa por I(x).
5.4 DefiniciónUna función f se dice inyectiva o función uno a uno, si verifica que dos puntosdistintos no pueden tener la misma imagen. De otra forma:
f es inyectiva ( ∀x1, x2 talque f(x1)=f(x2) x1=x2 )
5.5 DefiniciónUna función f: A B se llama sobreyectiva si todo elemento “y” de B es imagende algún elemento “x” del dominio, es decir:
RBAyxfAxBy ⊂=∈∃∈∀ ,;)(/,
Por ejemplo, f: R R / f (x)=x2 no es inyectiva ni sobreyectiva.h : R R , h(x)= x3 es inyectiva y sobreyectiva.
f : [0;+∞) R talque : f(x) = x2 es inyectiva.
DefiniciónSea f:A B una función inyectiva, entonces existe la función inversa de f denotadapor f - 1 , donde f - 1 : B A definida por :
f - 1(y)= x si y sólo si f (x)= y
Ejemplos
1.- Calcular, si es posible la función inversa de
En primer lugar debemos estudiar si la función en cuestión es inyectiva o no:
212112212121
12212
2
1
121
332222
)1)(2()1)(2(12
12)()(
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
xxxfxf
=→=→−−+=−−+→
→+−=+−→+−
=+−
→=
Con esto queda probado que la función f es inyectiva y por tanto existe f -1.Calculémosla:
( )
( )12
12
2112
1
−−−
=⇒−−−
=
⇒−=+⇒+−
=
−
xxxf
yyx
xxyxxy
12)(
+−=
xxxf
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
18
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-11
-10
- 9
- 8
- 7
- 6
- 5
- 4
- 3
- 2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-3 -2 - 1 0 1 2 3
5.6 FUNCIONES ELEMENTALES
5.6.1.LA FUNCIÓN LINEALTiene por ecuación: y=ax, con “a” se llama pendiente y, cuanto mayor sea mayores la inclinación de la recta que la representa.5.6.1.1 Características:-Su dominio es Dom(y)= R-Es una función impar (simétrica con relación alorigen de coordenadas).Corta al eje X y al eje Y sólo en el punto (0, 0).-Crece si a>0 y decrece si a<0.-Su gráfica es una recta que pasa por el origende coordenadasEJEMPLOLa gráfica de y=-2x es:
5.6.2 LA FUNCIÓN AFÍNSu ecuación es: y=mx+b“m” es la pendiente. “b” es la ordenada al origen y representa la distancia desdeel punto donde la gráfica corta el eje Y hasta elorigen de coordenadas.Características:-Su dominio es Dom(y)= R-Es continua.-Corta el eje Y en (0, b) y al eje X en (-b/m, 0).
EJEMPLOLa gráfica de: y=4x-2 es:
5.6.3. LA FUNCIÓN CUADRÁTICATiene por ecuación general: f (x)= ax2+bx+c con a 0 y su gráfica es una parábola.Características:
Vértice situado en
−−
abf,
ab
22.
-El domino es Dom(y)= R-Es continua. Corta al eje Y en (0, c).-Si a>0, la parábola se abre hacia arriba y si a<0, la parábola se abre hacia abajo
EJEMPLOEn la función: y=x2-4x+3Como a=1>0, entonces la parábola se abre haciaarriba y la abscisa del vértice es (-(-4)/2(1))=2 y f(2)=-1así el vértice es el punto (2,-1), y su gráfica es:
5.6.3 LA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA
Su ecuación es: k 0;
Su gráfica es una hipérbola que tiene como asíntotas a los ejes coordenados.Características-El dominio es: Dom(y)= R -{0}-La función presenta una discontinuidad de salto infinito en x = 0.-No corta a los ejes de coordenados.-Es una función impar y simétrica con relación al origen de coordenadas.
EJEMPLOLa tabla de valores de la función
xy 8−= es:
Y su gráfica es:x y8 -14 -22 -41 -8-1 8-2 4-4 2-8 1
xky =-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-3 -2 -1 0 1 2 3
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
19
5.6.7.APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES A LA RESOLUCIÓN DEPROBLEMAS
Ejemplo 1:Encontrar la ecuación de la función afín que pasa por los puntos cuyascoordenadas son (-1, 3) y (4, 7).Sabemos que una función afín es de la forma:y=mx+nSustituyendo x e y por los valores de las coordenadas de los dos puntos dados seobtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
=+=+−
743
nmnm
Restando miembro a miembro nos da:5445 =→−=− mm
Y, sustituyendo en la 1ª:5
19354 =→=+− nn
Y la función pedida es:5
1954 += xy
Ejemplo 2:La compañía telefónica nos cobra mensualmente, 4 por alquiler de la línea y 40céntimos de euro por cada minuto hablado. Escribe la ecuación de la función quenos da el gasto en relación de los minutos hablados.¿Cuánto habrá que pagar sihemos hablado 2 horas? ¿Cuántos minutos hemos hablado si hemos pagado 35?
La ecuación de la función es: y=0,4x+4
Si hacemos x=120 minutos. y=0,4*120+4=52
Si hemos pagado 35, habremos hablado: 35=0,4x+4 x=77,5
Es decir, 1 hora, 17 minutos y 30 segundos.
Ejemplo 3:¿Cuál es la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (0, 4), (2, 0) y (-2, 0)?
La ecuación general será: y=ax2+bx+c
Para cada uno de los puntos dados obtenemosc=44a+2b+c=04a-2b+c=0
Estas dos últimas forman un sistema de ecuaciones (una vez sustituido el valor dec dado por la 1ª) que resuelto da:
0188424424
=∧−=→−=→
−=−−=+
baababa
Y la ecuación es: y = -x2+4
Ejercicios y problemas
01. Hallar el complemento del dominio de la función:
11)( 2 −
=x
xf
A. {1; -1} B. ]1; - 1[ C. [-1; 1] D. R – {1; -1}
02. Hallar la suma de los elementos del complemento del dominio de la función:
)4(2)( 2
3
−=
xxxf
A. 2 B. 1 C. -2 D. 0 E. – 1
03. Determinar la suma de los números enteros que pertenecen al complementodel dominio de la función:
4)( 2 −= xxf A. -2 B. 4 C. – 1 D. 0 E. -4
04. Sea F una función constante, tal que:
53)2(
)1()1(=
−++−
nFnFnF
Calcular: F(n2 – 1) + F(n3 – 1) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 E. 12
05. Sean “g” y “h” dos funciones definidas en Q por:g(x) = ax – 1 ; h(x) = 3x + b tales que:
g(1) = h(-1) ; g(-1) = h(1)Entonces: g(2) + h(3) es igual a: A. – 2 B. – 1 C. 0 D. 1 E. 2
06. Encontrar la suma de los elementos del rango de F/G, sabiendo que:F = {(3; 4), (2; 9), (-3; 0), (1; 6)}G = {(0; 7), (-3; 1), (2; -3), (3; -2)}
A. -5 B. 0 C. – 105 D. 15 E. – 15
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
20
07. Para: xxh −= 1)( y 4)( 2 +−= xxgHallar gοh. Señale su dominio.
A. ]-3; 1[ B. [-2; 1] C. ]-3; 1] D. [-3; 1] E. ]- ; 1]
08. Marcar verdadero (V) o falso (F) sustentando sus afirmaciones:( ) {(x;y)∈R2 / y = x2 – 3x + 5 } es inyectiva
( ) {(x;y) ∈R2 / } no es inyectiva
( ) {(x;y) ∈R2 / y = 1998 – x3 – 5x} es inyectiva
A. VFV B. VVV C. FFV D. FFF E. FVV
09. Cuáles de las siguientes funciones son suryectivas?I. f(x) = 3x + 6II.III. h(x) = 3x2 + 4
A. I y III B. II y III C. I y II D. I E. Todas
10. La siguiente función: h(x) = x3 + 2 es:A. sólo inyectiva B. sólo suryectiva C. biyectivaD. inyectiva y antisimétrica E. Ninguna
11. Señala el vértice de la función:
A. (0;4) B. (0;1/4) C. (4;0) D. (0,0) E. (-1/4, 0)
12. Se cerca una finca rectangular de área A con 42 m de alambrada, sin quesobre ni falte nada.
Expresa el área de la finca en función de uno de sus lados Representa gráficamente la expresión anterior. ¿Cuál es el dominio de definición? ¿Para qué valor de los lados obtenemos la finca de área máxima?
Un lado del área máxima es:
A. 12,5m B. 10,5m C. 8,5m D. 14,5 E. 6,5m
13. Un cañón situado en el punto (0;3) dispara una bala con una trayectoria:y2 = x – 3. Si un avión viaja por la recta y = 4 y la bala lo destruye. Hallar elpunto sobre el que fue el impacto.
A. (20; 6) B. (12; 8) C. (16; 5) D. (19; 4) E. (18; 6)
14. Una liebre coja describe la trayectoria y = x2, un perro que recorre la recta:y = x la distingue y la logra capturar. Hallar el punto donde la captura, si suscoordenadas son positivas.
A. (2; 3) B. (2; 6) C. (1; 1) D. (3; 3) E. (2; 2)
15. Hallar el área del triángulo que forma la gráfica de f(x) = 6 yA. 25u2 B. 16u2 C. 64u2 D. 49u2 E. 36u2
CLAVE01 – A 02 – D 03 – D 04 – D 05 – D 06 – A 07 – B 08 – D09 – C 10 – C 11 – C 12 – B 13 – D 14 – C 15 – E
Ejercicios complementarios:
01. Calcular el dominio de las funciones:a) f(x) = x2 – 7x + 12
b)
02. Calcular el dominio de las funciones racionales:
a) b)
c) d)
03. Calcular el dominio de las funciones radicales:
a) b)
c ) d )
e )
04. Calcular las funciones inversas de:
a) b )
c )
05. Dadas las funciones:
Calcular: g o f , f o g y h o f o g
1256
−−
=xxy
54)( −= xxg
4241 2 +−= xxy
1)( −= xxg
532)(
2 −=
xxf
232)(
2
+−=
xxxf
132)( 2
2
−−=
xxxf
132)( 2
2
+−
=xxxf
1232)( 2
2
++−=xx
xxf
2)( −= xxf 86)( 2 +−= xxxf
44)( 2 ++= xxxf
52)(
−−
=xxxf
25)(
−−=
xxxf
12)( += xxf 2)( xxf =
432)( −= xxf
121)(−
=x
xf1212)(
+−=
xxxg
xxh 1)( =
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
21
TEMA 6
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
6.1. Función Exponencial.- Una función exponencial de base a es aquella cuyaregla de correspondencia es xaxf =)( ; con a real positivo y .1≠a Dondeel RfDom =)( , [.,0])( +∞=fRang
y=ax
0<a<1
X
(0,1)
y=ax
1<a
X
(0,1)
YY
6.1.1 Ecuaciones e Inecuaciones Exponencialesa. Si )()( xgxf bb = ⇔ ).()( xgxf =b. Si aa xgxf )()( = ⇔ ).()( xgxf =c. Si )()()()( xgxfbb xgxf <↔< cuando .1>bd. Si )()()()( xgxfbb xgxf >↔> cuando .1>be. Si )()()()( xgxfbb xgxf >↔< cuando .10 << bf. Si )()()()( xgxfbb xgxf <↔> cuando .10 << b
6.2. Función Logarítmica.- Si 0>b y 1≠b entonces la función xlog)x(f b= sellama función logaritmo de base b cuyo [,0])( +∞=fDom , .)( RfRang =
6.2.1 Ecuaciones de Logaritmos: Nxlogb = ⇔ Nbx = para .10 ≠< ba. xb xb =log
b. 01log =b
c. 1log =bb
d. yxxy bbb logloglog +=
e. yxyx
bbb logloglog −=
f. xnx bn
b loglog =
g. xn
x bn
b log1log =
h. xnmx b
mbn loglog =
i.xb
bx 1
1loglog =
j. ba
xaxb loglog
log =
k. yx = sí y solamente sí
yx bb loglog =
l. yx bb xy loglog =m. 1log.log =bx xb
de aquí
bx
xb log
1log =
n. wwzy xzyx loglog.log.log =
o. xx bb logcolog −=p. x
b bxanti =log
6.2.2 Inecuaciones de Logaritmos
Siendo 10 << byxyx bb <→> loglogyxyx bb >→< loglog
Siendo 1>byxyx bb >→> loglogyxyx bb <→< loglog
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22
6.3. Consecuencias
Función Exponencial base (e)
y=ex
X
(0,1)
Y
( )( ) ] [+∞=
=;fRang
RfDom0
Función logaritmo de base 10
y=log x
X(1,0)
Y
( ) ] [( ) RfRang
;fDom=
+∞= 0
Observación. Se cumple que: xxe lnlog =
NIVEL I
1.- La suma de las soluciones de la ecuación:
)13(log1)129(log 62
6 −+=++ xxx ; es:
a) 9 b) 18 c) -3 d) -9 e) 3
2.- Se define la operación ∆ del modo siguiente:
<>
=∆basiabasib
bab
a
;colog;log
Hallar2332
∆∆
=x
a) -1 b) 1 c) -2 d) 2 e) 0
3.- Calcular )]625(logantilog[colog1 542−=R
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12
4.- Hallar el valor de x en: nxxnn =−+−
log10)1log()12log(
a) -3/2, 3 b) 3 c) n, -3 d) n, 1 e) -3/2
5.- En la figura se muestra la función exponencial xaxf =)( . Calcular)1()3( ff +
a) 128
b) 260
c) 512
d) 520
e) 4096
6.- Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F) en:
I. Si 1=x ⇒ 0|21|ln =− x II. Si 2=x ⇒ 0)23ln( =− x III. Si xaxf =)( ⇒ )()()( yfxfyxf =+ IV. El rango de la función xy 5log= es [,0] ∞ V. Si 13log2log2log ++=x ⇒ 3=x a) FFFVF b) FFFVV c) VFVVF d) VVVFF e) VFVFF
7.- Relacione las funciones A, B, C y D dadas en el gráfico con las funciones I, II,III y IV
I ,)( xaxf = 2>a II ,)( xaxf = 21 << a III ,)( xaxf = 15.0 << a IV ,)( xaxf = 5.00 << a
a) I-C, II-D, III-A y IV-B b) I-D, II-C, III-B y IV-A c) I-D, II-C, III-A y IV-B d) I-C, II-D, III-B y IV-A e) I-A, II-B, III-C y IV-D
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
23
8.- Indique la secuencia de verdad (V) o falsedad (F) de los siguientes problemas.
I. Si 6log 3 =a entonces 3log =aa
II. La solución de la inecuación 1)24(log)13(log 22 <−−− aa es:
+∞,21
III. La solución de la inecuación
aaa 3/13/13/1 log)12(log)1(log <−++ es: +∞,2
1
IV. La relación entre a y b de la ecuación31log 3nb =na es: 0=+ ba
a) VVVF b) VVFF c) FFFF d) FVFV e) VFVF
9.- Hallar el valor de ‘x’ en: 18093 1 =++ xx
a) 4log1 3+ b) 4log c) 4log1 + d) 4log 3 e) 5log1 3+
10. Siendo 3020 32 ×=N ¿Cuántas cifras enteras tiene N ? Si
3010.02log = y 4771.03log =
a) 20 b) 19 c) 21 d) 30 e) 15
NIVEL II
1.- Si x; y y z son números positivos tales que ,log 23 Rx = Ly =2
3log y
Dz =23log entonces el valor de: 109 .
log40zy
x es:
a) DLR −− b) DLR ++
c) DLR ++−
d) )(2 DLR −−
e) )(2 DLR ++
2.- Sik
kxk1+
= calcular 99321 log...logloglog xxxx bbbb ++++
donde7/410=b
a) 3 b) 2 c) 3.5 d) 4 e) 2.5
3.- Determinar x de tal manera que los números ;log x);12log( −x )12log( +x están en progresión aritmética.
a) 1/45 b) 45 c) 1/30 d) 1/15 e) 2/45
4.- Resolver 5642 |1||1| ≤+− ++ xx
a) ]4;2[ b) ]2;4[− c) ]4;2[− d) ]3;2[− e) ]3;0[
5.- A propósito de las funciones logarítmicas, cuáles de las siguientes propo-siciones son verdaderas y cuales son falsas.
I. La función xxf 2log)( = es decreciente en el intervalo >< 5,1 II. El dominio de la función )2log()( xxf −= es ]1,−∞< III. Si )5ln()( += xxf entonces 5)( =− xe xf
IV. El rango de 4log 2/1=y es {-2}
V. xxf clog)( = es una función logarítmica, si +∈ Rx y si c es unnúmero real positivo diferente de 1.
La secuencia correcta es: a) VVFFF b) VFFFV c) VFVFV d) FVFVV e) FFVVV
6.- Hallar el conjunto solución de: )12(log1)54(log 13
13 ++<+ −− xx .
a) φ
b) {1,2}
c) R
d) <1,2>
e) {1}
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
24
7.- La inversa de la función: ),1(log)( 22 ++= xxxf es:
a) [ ]1221)(1 −=− xxf b) [ ]xxxf −− −= 22
21)(1
c) [ ]xxxf −− += 2221
)(1 d) [ ]xxxf −− += 2221)( 21
e) [ ]1221)( 21 −=− xxf
8.- Determine el dominio de la función inversa34
4+
= x
x
y .
a) ]1,0[−R b) ><− 1,0R c) ]1,0[ d) >< 1,0 e) R
9.- Hallar la suma de los valores enteros del dominio de la función
−−
=xxy
123log 2/1
.
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
10.- Hallar el dominio de la función compuesta )( gf o donde:
xexf =)( Definido para 0≤x
)32ln()( 2 −+= xxxg
a) +Rb) >+∞<∪>−−∞< ,13,
c) >+∞<∪−+−∪>−−∞< ,1]1,15[3,
d) ]15,1[ −
e) >−−−< 15,15
Clave de respuestasN-I 1-a 2-a 3-c 4-b 5-d 6-e 7-a 8-a 9-c 10-eN-II 1-a 2-c 3-a 4-b 5-e 6-d 7-b 8-d 9-c 10-d
TEMA 7
FUNCIÓN POLINÓMICA
Una función polinómica tiene la forma:
0;)( 012
21
1 ≠++++++= −− n
nn
nn
nn aaxaxaxaxaxaxf L
y diremos que tiene grado “n”, o sea el mayor exponente al cual se halle elevada x.
El dominio de todas estas funciones polinómicas es el conjunto de los númerosreales. Son funciones continuas, tienen tantas raíces como indica su grado. Enocasiones una misma raíz se repite (orden de multiplicidad).
La función será llamada incompleta si alguno de los ai es igual a cero.7.1 Componentes de un polinomio:Se llama término a cada uno de los distintos grupos que componen un polinomio yque vienen precedidos por un signo + ó -.Se llama grado de un término al exponente con el que figura la indeterminada enese término (Factor numérico del mismo).Se llama término constante al coeficiente numérico que no contiene variable,solamente posee coeficiente.En toda expresión algebraica encontraremos grados relativos (están en relación acada una de las letras de la expresión algebraica) y un grado absoluto (referido atoda la expresión).Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones queaparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponente natural.
7.2 Grado Relativo de un monomio:El grado relativo de un monomio no es otra cosa que el exponente que afecta acada letra. (La parte numérica no tiene ninguna importancia).
8x3 y5
GR(x) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra “x” es 3)GR(y) = 5 (el Grado Relativo con respecto a la letra “y” es 5)
7.3 Grado Absoluto de un monomio:El grado absoluto de monomio es la suma de los exponentes de todas y cada unade las letras.
8x3 y5
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25
GA = 3 +5 = 8 (el Grado Absoluto es 8)Un polinomio es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquiersuma de monomios no semejantes.
7.4 Grado de un polinomio: Es el grado del término de mayor grado.• El término de primer grado se llama término lineal.• El término de grado cero se denomina término independiente.
7.5 Grado Relativo de un polinomio:El grado relativo de un polinomio es el exponente que afecta a cada letra teniendoen cuenta que tendremos tantos grados relativos como letras tenga la expresiónalgebraica.El grado relativo de un polinomio esta representado por el mayor exponente dedicha letra o variable.Ejemplo: - 9 x4 y3 + 14 x6 y5
• GR(x) = 6 (Grado relativo con respecto a la letra “x” es 6)• GR(y) = 5 (Grado relativo con respecto a la letra “y” es 5)• Los grados relativos no son necesariamente del mismo término.
7.6 Grado Absoluto de un polinomio:El grado absoluto de un polinomio es la suma de los exponentes de todas y cadauna de las letras pero teniendo en cuenta que sólo se tomara el valor mayor de losresultados que obtengas. (Se trabaja independientemente cada uno de lostérminos y se suma los exponentes).
9 x4 y3 + 14 x6 y5
Primer término= 4+3 sumados dan 7.Segundo término= 6+5 sumados dan 11.
GA = 6 (el Grado Absoluto es 6)
7.7 Grado de las operaciones algebraicas:El grado de una operación algebraica se determina después de realizaroperaciones indicadas:
• Grado de un producto: Se suman los grados de los factores.• Grado de un cociente: Se resta el grado del dividendo menos el grado
del divisor.• Grado de una potencia: Está dada por el grado de la base multiplicado
por la potencia.• Grado de una raíz: Está dado por la división del grado del radicando
entre el índice de la raíz.
7.8 Polinomios especiales:7.8.1.- Polinomios homogéneos: Son aquellos cuyos términos monomios tienen
igual grado. (Al restarlos obtenemos un polinomio nulo).
Grado absoluto = Grado de homogeneidad
7.8.2.- Polinomio Heterogéneo: Son aquellos cuyos términos monomios tienediferente grado.(Al sumarlos obtenemos un polinomio nulo).
7.8.3.- Polinomios Completos: Un polinomio completo con respecto a una letraes cuando contiene todos los exponentes consecutivos desde el más alto, almás bajo.Un polinomio es completo si aparecen en todas potencias menores de lavariable, a partir de la mayor de ellas. (En caso de ser necesario se completaagregándole con coeficiente nulo los términos faltantes.
7.8.4.- Polinomios Ordenados: Cuando los monomios que lo componen estánescritos en forma creciente o decreciente según sus grados.
Es aquel que con respecto a la letra llamada ordenatriz, los exponentes vande menor a mayor o viceversa.
7.8.5.- Polinomio Mónico: Si su coeficiente principal es 1. (El coeficiente de sumayor término es 1)
7.8.6.- Polinomios Idénticos: Dos polinomios son idénticos si tienen el mismogrado y los términos de igual exponente en x tienen los mismos coeficientes.
7.8.7.- Polinomio idénticamente nulo: Cuando todos sus coeficientes son nulos. P(x) es equivalente a "0"
7.9 FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO MAYOR QUE 2.La gráfica de una función polinómica de primer grado es una línea recta y la deuna función polinómica de segundo grado es una parábola vertical.Indudablemente, un elemento clave en el dibujo de la gráfica de una funciónpolinómica lo constituye la obtención de los interceptos con los ejes; en particular,los interceptos con el eje X. Para obtener éstos últimos debemos resolver laecuación polinómica correspondiente, recurriendo a los métodos: teorema delfactor y la división sintética. Por ejemplo:
• La función f(x) = x3 + 6x2 + 10x + 8 = (x + 4)(x2 + 2x + 2) tiene un interceptocon el eje X en x = - 4 y un intercepto con el eje Y en (0, 8)
• La función f(x) = 2x4 – x3 – 19x2 + 9x + 9 = (x + 3)(2x + 1)(x – 1)(x – 3) f(x) = 2x4 – x3 – 19x2 + 9x + 9 = (x + 3)(2x + 1)(x – 1)(x – 3)
tiene cuatro interceptos con el eje X: en x = -3, x = - ½, x = 1 y x = 3, y unintercepto con el eje Y: (0; 9)
• La función f(x) = 4x6 – 24x5 + 45x4 – 13x3 – 42x2 + 36x – 8f(x) = (x + 1)(2x – 1)2 (x – 2)3 tiene tres interceptos con el eje X en x = -1,
x = ½ y x = 2, y un intercepto con el eje Y en (0; -8)• La función f(x) = 3x5 – 19x4 + 16x3 + 70x2 – 100x + 48
f(x) = (x + 2)(x – 3)(x – 4)(3x2 – 4x + 2) tiene tres interceptos con el eje X enx = -2, x = 3 y x = 4, y tiene un intercepto con el eje Y en (0; 48)
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26
OPERACIONES CON POLINOMIOS
1) Efectuar la siguiente multiplicación: (3x3 – 5x2 + 6x – 8) (4x2 – 5) Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos
segundo polinomio.= 12x5 – 15x3 – 20x4 + 25x2 + 24x3 – 30x – 32x2 + 40
Se suman los monomios del mismo grado: 12x5 - 20x4 + 9x3 – 7x2 – 30x + 40 Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los
polinomios que se multiplican.
2) Resolver la división de polinomios:P(x) = x5 + 2x3 x - 8 Q(x) = x2 2 x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completocolocamos ceros en los lugares que correspondan.
128020 22345 +−−−+++ xxxxxxx
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.x5 : x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lorestamos del polinomio dividendo:
8022
128020
234
3345
22345
−−++−+−
+−−−+++
xxxxxxxx
xxxxxxx
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio deldivisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.2x4 : x2 = 2 x2
825242
80222
128020
23
234
234
23345
22345
−−−−+−
−−+++−+−
+−−−+++
xxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
Procedemos igual que antes.5x3 : x2 = 5 x
8685105
825242
802522128020
2
23
23
234
234
23345
22345
−−−+−
−−−−+−
−−++++−+−+−−−+++
xxxxx
xxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxx
Volvemos a hacer las mismas operaciones.8x2 : x2 = 8
16108168868
5105825
242802
8522128020
2
2
23
23
234
234
23345
22345
−−+−
−−−+−
−−−−+−
−−+++++−+−
+−−−+++
xxxxxxxx
xxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxx
Así, 10 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tantono se puede continuar dividiendo. El cociente de la división es x3+2x2 +5x+8.
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27
Ejercicios resueltos:
1. Sea el binomio: E(x,y) = axa+2 y3 + 2x5y3 – 3xb-5 y2 + bx3y2
Calcular: a . b
Resolución: Por ser un binomio:axa+2 y3 ; 2x5 y3 son semejantes
- 3xb-5 y2 ; bx3 y2 son semejantes
Luego: a + 2 = 5 b – 5 = 3 a = 3 b = 8
Entonces: a.b = (3)(8) = 24
2. Si: = x2001 – 4x1999 + 3x – 1
Calcular: P(3)
Resolución: 311
=−+
xx de donde: x = 2
Luego: P(3) = 22001 – 22.21999 + 3(2) – 1= 5
3. Si: f(x) = 3x + 2 ∧ P(x) = 2 f(x) + x + 1Calcular: H = f(4) + P(1)Resolución: f(4) = 3(4) + 2 = 14 P(1) = 2 f(1) + 1 + 1 = 2[3(1) + 2] + 2
= 12Entonces: H = 14 + 12 = 26
4. Dado el polinomio:P(x) = 4x5 – 6x4 + 12x2 – 18. Determinar el coeficiente de x5 de otro polinomioque al restar de P(x) resulte – 2x5.
Resolución: El polinomio sustraendo será de la forma:S(x) = ax5 – 6x4 + 12x2 – 18
De donde: P(x) – S(x) = (4 – a)x5
4 – a = - 2 - a = - 6 a = 6
PRODUCTOS NOTABLES:
Producto algebraico que responden a una regla cuya aplicación simplifica laobtención del resultado.
Los productos notables más importantes son:
Binomio de Suma al Cuadrado( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
Binomio Diferencia al Cuadrado( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
Diferencia de Cuadrados( a + b )( a - b ) = a2 - b2
Binomio Suma al Cubo( a+b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
= a3 + b3 + 3 ab (a +b)
Binomio Diferencia al Cubo( a - b )3 = a3-b3-3ab(a-b)
Suma de dos Cubosa3 + b3 = (a + b )( a2 – ab + b2)
Diferencia de Cubosa3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)
Trinomio Suma al Cuadrado óCuadrado de un Trinomio(a+b +c)2= a2 + b2 + c2+2ab+2bc+ 2ac
= a2+ b2+c2 +2 ( ab+bc+ ac)
Trinomio Suma al Cubo (a+b+c)3=a3+b3 +c3+3(a+b)(b+c)(a+c)
Identidades de Legendre( a+b)2+(a – b)2= 2a2+2b2 = 2(a2 + b2)( a + b)2 - ( a – b)2 = 4 ab
Producto de dos binomios quetienen un término común
( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
COCIENTES NOTABLES
Caso I :12321 ........ −−−− ++++=
−− nnnn
nn
bbabaababa para todo “n” par o impar.
Caso II:12321 ........ −−−− +−+−=
++ nnnn
nn
bbabaababa únicamente si “n “ es impar
Caso III:12321 ........ −−−− −−+−=
+− nnnn
nn
bbabaababa únicamente si “n” es par
−+
11
xxP
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
28
Ejemplos:
1. 6514233245677
yyxyxyxyxyxxyxyx
+−+−+−=++
2.
43223455
403122130455
815436241624332
)3()2()3()2()3()2()3()2()3()2(24332
yxyyxyxxyx
yx
yxyxyxyxyxyx
yx
+−+−=+
+
+−+−=+
+
3. 43223455
yxyyxyxxyxyx
++++=−−
4.
654233245657
6051
423324150657
2481632642
128)()2()()2(
)()2()()2()()2()()2()()2(2
128
mxmmxmxmxmxxmxmx
mxmx
mxmxmxmxmxmxmx
++++++=−−
++
++++=−−
PROPIEDADES DE LOS COCIENTES NOTABLESPara hallar los términos de un cociente notable:
yxyx nn
±±
1° El exponente del 1° término irá disminuyendo de uno en uno a partir de (n-1)hasta cero inclusive, mientras que el exponente del 2° término irá aumentandode uno en uno a partir de cero hasta (n-1) inclusive.
2° El desarrollo tiene “n” términos.
3° En los cocientes notables que tengan por denominador expresiones de la forma“x-y” los signos de los términos del desarrollo serán positivos.
4° En los cocientes notables que tengan por denominador expresiones de la forma“x+y” los signos del desarrollo serán alternadamente positivos y negativos.
5° Cualquier término del desarrollo de un cociente notable se puede encontrarusando la fórmula:
Tk = ± xn-k yk-1
-En donde: “k” es el lugar del término que se pide, “x”, representa el 1°término del denominador del cociente notable, “y” representa el 2° término del
denominador del cociente notable y “n” es el exponente común al cual estánelevados cada uno de los términos del denominador del cociente y queaparece en el numerador.
6° Para que una expresión de la forma:qn
pm
yxyx
±±
Sea desarrollado como cociente notable debe cumplirse que : m/n = p/q
FACTORIZACIÓN
CASOS:
I. Factor común monomio:
Factorizar: 8x2 y3 - 10ax3 , y4 + 6bx4 y5
FCM : 2x2 y3
Entonces: 2x2y3 (4 – 5axy + 3bx2 y2 )II. Factor común polinomio:
Descomponer: 3x(x – y + 2z) – x + y – 2zAgrupando convenientemente: 3x(x – y + 2z) – (x – y + 2z)FCP: (x – y + 2z)
(x – y + 2z) (3x – 1)
III. Por identidades:Descomponer en factores:
1)16x4 y6 – 81a6 z4
(4x2 y3)2 – (9a3 z2)2
(4x2 y3 + 9a3 z2 )( 4x2 y3 - 9a3 z2 )
2) 4x2 – 12xy + 9y2
(2x)2 – 2(2x)(3y) + (3y)2
(2x – 3y)2
3) x2 – 5x + 6 = (x – 3)(x – 2)
4) x2 – 8x – 345 = (x – 23)(x + 15)
5) 2x3 - x2y2 + 2 xy - y3 = ( x2 + y )( 2x - y2 )
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
29
6) 15x4 – 2x2 y – 77 y2
3x2 - 7y
5x2 11y
(3x2 – 7y)(5x2 + 11y)
7) 27x3 – 108x3 y + 144 xy2 – 64y3
(3x)3 – 3(3x)2 (4y) + 3(3x)(4y)2 – (4y)3
(3x – 4y)3
IV. Por agrupación de términos: Descomponer:
1) x3 – 2x2 – x + 2(x3 – 2x2) – (x – 2)x2 (x – 2) – ( x – 2)
(x – 2) (x2 – 1)(x – 2) (x + 1)( x – 1)
2) x2 + 2xy + y2 – 3x – 3y – 4(x2 + 2xy + y2) – (3x + 3y) – 4(x + y)2 – 3 (x + y) – 4
(x + y – 4) ( x + 1)
V. Por evaluación( Rufini):x3 – x2 – 41x + 105
0713555
035211056331054111
−−
−−
Rp.: (x – 3)(x – 5)(x + 7)
VI. Doble aspa:4x2 + 4 xy - 15 y2 - 8 x + 76 y - 96
2x - 3y 8
2x 5y - 12
Rpta.: (2x – 3y + 8)(2x + 5y – 12)
VII. Doble aspa especial:3x4 - 8x3 + 3x2 + 22x - 24
x2 4 = 12 x2
3x2 - 6 = - 6x2
6x2
Falta: 3x2 – 6x2 = - 3x2 = - 3x ( x) Entonces:
x2 - 3x 4
3x2 x - 6
- 8x3 22x Rp.: (x2 – 3x + 4)(3x2 + x – 6)
RAÍCES DE UNA ECUACIÓN POLINÓMICA
Dado P(x) un polinomio real de grado “n”, se denomina ecuación polinómica degrado “n” con coeficientes reales de la forma: P(x) = 0
anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0; an 0
Ejemplo: 3x5 – 8x4 + 6x2 – x + 1 = 0
Si para x = a, P(a) = 0 “a” es una raíz de la ecuación.
Ejemplo:2x3 – 5x2 – 28x + 15 = 0
Para : x = - 32(-3)3 – 5(-3)2 – 28(-3) + 15 = 0
Entonces – 3 es una raíz de la ecuación.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA
Toda ecuación polinómica de grado n ≥ 1, con coeficientes reales, tiene “n” raícesreales o complejas.
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
30
Ejemplo: Resolver: x3 – 2x2 + 4x – 8 = 0
(x – 2)(x2 + 4) = 0 x – 2 = 0 ∨ x2 + 4 = 0 x = 2 ∨ x = 4−± x = ± 2i Conjunto Solución = {2; 2i; – 2i}
TEOREMA DEL RESIDUO Sea la división:
axxP
+)( ; el resto es: R(x) = P(– a)
Ejemplo: Hallar el resto de: (3x4 – 2x3 – 9x2 + 8x – 12) : (x – 2)
Resto: P(2) = 3(2)4 – 2(2)3 – 9(2)2 + 8(2) – 12 R(x) = 0
Cuando el resto es cero, entonces (x + a) es un factor de P(x). En este caso (x – 2)es factor del polinomio P(x)
RAÍCES REALESAplicando la regla de Ruffini se determina un número real “a”.
Ejemplo: Resolver: x4 + x3 – 8x2 – 2x + 12 = 0 Divisores de 12 : { ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 12} posibles raíces racionales De los cuales 2, –3 son raíces racionales y 2± son raíces irracionales
RAÍCES RACIONALESSi la ecuación P(x) = 0, posee coeficientes racionales, eliminando denominadoresse puede obtener coeficientes enteros.
Resolver: 12x5 – 26x4 + 6x3 + 13x2 – 3x – 2 = 0P(1) = 0 entonces una raíz de la ecuación es : 1
De igual manera: P(-1/2) = 0; P(2/3) = 0 Por lo tanto: (x – 1)(x + ½) (x – 2/3)(12x2 – 12x – 6) = 0 Resolviendo: 12x2 – 12x – 6 = 0
2x2 – 2x – 1 = 0
4132 ±
=x
−+−=
4132;
4132;
32;
21;1SolucionCojunto
NÚMEROS COMPLEJOS
z = {(a;b)/ a ∈R ∧ b∈R} Donde: a = parte real de z
b = parte imaginaria de z Re(z) = a Im(z) = b
FORMAS DE REPRESENTAR UN NÚMERO COMPLEJO
- Forma binómico: z = a + bi- Forma polar o trigonométrica: z = r(cos θ+ i senθ) = r cis θ
- Forma exponencial: z = reiθ,abbar =+= θtan22
En estas formas: i = 1−
Potencias de i : i1 = i i2 = - 1 i3 = - i i4 = 1
En general: im4 = 1 im4+k = ik
Ejemplos: i279 = im4+3 = i3 = - ii1862 = im4+2 = i2 = - 1
También: i + i2 + i3 + . . . . + im4 = 0
OPERACIONES EN C
Dados los complejos: z1 = a + bi y z2 = c + di
Suma: (a + c) + (b + d)iResta: (a – c) + (b – d)iMultiplicación: (ac – bd) + (ad + bc)i
División: idcadbc
dcbdac
+−
+
++
2222
Potenciación: (a + bi)n se multiplica a + bi “n” vecesRaíz cuadrada: [ ]2/2/cos θθ isenrbia +±=+
TEOREMA DE MOIVRESi: z = r (cosθ + i sen θ)Entonces: zn = rn (cos nθ + i sen nθ), donde n ∈N
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
31
INVERSO DE UN NÚMERO COMPLEJO z -1
Si z = a + bi, (z ≠ 0), entonces:
+−
+=−
22221
babi
baaz
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
NIVEL I:
01. Hallar la suma de las raíces de la ecuación:x2 + 1 = 0
A. 1 B. 0 C. 2 D. -1 E. –2
02. Sean: z1 = cis 60º y z2 = cis 30º Hallar: z1.z2 A. 1 B. 0 C. -1 D. i E. –i
03. Hallar el resultado de:180
)41)(32(i
ii −+
A. (10;-5) B. (14; -2) C. (10;-2) D. (14; -5) E. (12; -5)
04. Hallar el valor de x, para que la suma de los números complejos:z1 = x + 5i; z2 = - 5 + 7i sea imaginario puro.A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6
05. Hallar el valor de “m”, para que al dividir z1 = 3 + im entre z2 = - 2 + i de cómoresultado un número imaginario puro.A. 5 B. -4 C. 6 D. 3 E. -5
06. Después de efectuar la operación:i
ii35
)2)(47(+
−−
La parte real del resultado es: A. 5/34 B. 105/34 C. 14/5 D. -12/5 E. 0
07. Respecto al resultado de la operación:i
ii37
)2()54( 2
+−
Señalar cuáles afirmaciones son verdaderas(V) o falsas(F).I. La parte real es mayor que la parte imaginariaII. Re(z) + Im(z) = 138/58III. El Re(z) es negativo y el Im(z) es positivo.
A. VVV B. VFV C. VVF D. FFV E. FFF
08. Determinar el valor de x para que el producto: (x + 3i) ( 2 - i) Sea un número real.
A. 22 B. 2 C. 3 2 D. - 2 E. 2
09. La diferencia de dos números complejos es – 4 – 6i. La parte imaginaria deuno de ellos es – 2 y el producto de ellos es imaginario puro. Uno de dichosnúmeros complejos es:A. (2+ 5 )- 8i B. (-2 - 2 5 )- 8iC. (2+2 5 ) + 6i D. (3 + 5 ) – 8i E. (4 + 5 ) – 4i
10. Hallar la raíz cuadrada de: z = 5 – 12 i A. ± (3 – 2i) B. ± (3 + 2i) C. ± (4 – 3i) D. ± (4 + 3i) E. ± (13 – 8i)
11. Si la siguiente división:
12325166
2
234
++++++
xxBAxxxx es exacta, hallar el valor de: A + B
A. 14 B. 20 C. 19 D. 9 E. 512. Si la siguiente división:
3248
23
235
++++++
xxpnxmxxx
Tiene como residuo: 5x2 – 3x + 7. Cuáles de las siguientes proposiciones es Vy cuáles F?I. m + n > pII. m = 20 y n + p = 7III. m + 4n + p = 0A. VVV B. FFV C. FVF D. FVV E. VVF
13. Señalar uno de los factores primos de: P(x,y,z) = x3 y3 + x6 y3 + x5 y3 – x3 z3 – x6 z3 – x5 z3
A. y+z B. x2 C. yz+y2+z2 D. x2+x+1 E. x-y
14. Señalar cuáles proposiciones son verdaderas (V) y cuáles son falsas (F)respecto al siguientes polinomio:
P(x,y) = x5 y – 3x4 y – 10x3 y + 24x2 yI. El número de sus factores primos es 4II. El número de sus divisores es 47III. Uno de sus factores es (x – 4)
A. VVF B. VVV C. FFV D. FVV E. FVF
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
32
15. Descomponer: P(x) = 6x4 – x3 – 19x2 + 19x – 5 La suma de los coeficientes de uno de sus factores es: A. 2 B. 1 C. – 3 D. – 1 E. 3
16. Luego de factorizar: P(x,y) = x(x – 2y)3 + y(2x – y) Indica el número de factoresprimos: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
17. Hallar el valor de: x – y si se sabe que:x + y = 55
xy = 25 Además: x < y A. 5 B. 5 C. -5 D. - 5 E. 25
18. Considerando:x + y = 8
x2 + y2 = 60
Calcular:xy
yxE
22
+=
A. 232 B. 234 C. 236 D. 238 E. 240
19. Hallar el valor de:
xy
yxE
22
−=
Si: x – y = 8 ; xy = 4 A. 148 B. 152 C. 148 D. 182 E. 158
20. Dado el cociente:
22
5050
yxyx
−−
Hallar: T10. T13 A. x23 y32 B. x41 y51 C. x54 y42 D. x40 y26 E. x50 y48
CLAVE:
01 – B 02 – D 03 – D 04 – D 05 – C06 – A 07 - C 08 – C 09 – B 10 – A11 – C 12 – B 13 – C 14 – D 15 – A16 – C 17 – A 18 – A 19 – B 20 – C
NIVEL II01. Respecto a la división:
11972
2
5121619
+−+−++
xxxxxx
Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas (V) y cuáles sonfalsas (F).I. La división es exactaII. El residuo es x – 2III. La suma de coeficientes del residuo es 3A. VVV B. FFF C. FFV D. FVF E. FVV
02. Cuál es el residuo de la división:
22)3)(2)(1()1(
2
2500
+−−−−++−
xxxxxxxx
A. 2x – 13 B. – 2x + 13 C. 3x + 15 D. – 4x – 12 E. 0
03. Un factor primo de:P(x) = x5 – x4 + 2x2 – 2x + 1
A. x2 + x – 1 B. x2 + x + 1 C. x2 – x + 1 D. x3 – x – 1 E. x3 + x + 1
04. El siguiente desarrollo: x135 – x130 + x125 - . . . . – x10 + x5 – 1 corresponde alcociente notable:A.
11
5
140
−−
xx B.
11
5
135
++
xx C.
11
5
140
−+
xx D.
11
5
140
++
xx E.
11
5
140
+−
xx
05. Respecto al siguiente cociente notable:
732
119
yyxyyx nm
++
Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:I. El cociente posee 17 términosII. m + n = 85III. El término central es: - x16 y80
A. FFF B. VVV C. VVF D. FFV E. VFF
06. Si: 2=+ab
ba
Calcular: Q = (a + 2b)5 + (2a + b)5 – 2(4b – a)5
A. a2b B. ab2 C. ab D. 0 E. – 1
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33
07. Reducir: x xxxx 1)116)(14)(12)(12( +++−+ A. 256 B. 128 C. 64 D. 512 E. 254
08. Reducir:
417
18
13
15
)1()21()2(
)1()1( i
ii
iiE +−
−+
−−+
=
A. 3+2i B. 3-2i C. 4+5i D. 5+2i E. 0
09. El siguiente polinomio: P(x) = x5 – 3x4 – 6x3 + 10x2 + 21x + 9 Presenta:
A. 5 raíces diferentesB. 2 raíces de multiplicidad 2C. 1 raíz de multiplicidad 2 y otra de multiplicidad 3D. 1 raíz de multiplicidad 4E. 1 raíz de multiplicidad 5
10. Sabiendo que: mx + my + nx – ny – 15x – 7y = 0 Determinar el valor de (m – 2n)2
A. 3 B. 4 C. 5 D. 9 E. 11
11. Los ceros de una expresión polinómica son 1 de multiplicidad 2 y – 2 demultiplicidad 1. Hallar el coeficiente del término de grado 2.A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
12. Resolver:xxx
3691413
21
−−=−
A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 E. No existe
13. Resolver: 9x4 – 1 = 0Una de sus raíces es:
A.23 B.
33
− C. 3 i D. 3− i E. 3
14. Una de las raíces de la ecuación: 8x6 + 7x3 – 1 = 0 es :
A. -1/2 B.43 C.
43
− i D.23 E.
23 i
15. Resolver:6x5 – 29x4 + 27x3 + 27x2 – 29x + 6 = 0
Cuál no es una raíz de dicha ecuación? A. 2 B. -1 C. ¼ D. 3 E. ½
16. Las edades de dos personas están en la relación m:1. Dentro de cuántos añosla relación será p:1, siendo “b” la edad actual del menor?A.
1+−
ppbm B.
1−+
ppbm C.
1++
ppbm D.
1)(
−−
ppmb E.
1)(
−+
ppmb
17. Se tienen dos recipientes de 20 y 30 litros de capacidad conteniendo vino dedistintas calidades. Al intercambiar un cierto volumen igual para ambos, lascalidades se igualan. Hallar dicho volumen.A. 10 lit B. 11 lit C. 12 lit D. 13 lit E. 14 lit
18. Cuando dos bombas actúan a la vez tardan en agotar un pozo 15 horas. Siactuara sólo la menor tardaría en agotarlo 16 horas más que la otra. Cuántotardará ésta?A. 20H B. 21H C. 22H D. 23H E. 24H
19. Un agricultor compró 30 cabras a $70 cada uno. Le robaron unas cuantas yvendió las restantes con un aumento de tantas veces 28 dólares como cabrasle robaron. Si no perdió ni ganó. Cuántas cabras le robaron?A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8
20. El cociente de dos números complejos es imaginario puro. Su suma es 5 y elmódulo del dividendo es el doble que el del divisor. Uno de dichos complejoses:A. 4 + i B. 2 + i C. 4 – i D. 2 – i E. 4 + 2i
CLAVE:01 – E 02 – B 03 – C 04 – E 05 – C06 – D 07 – A 08 – B 09 – C 10 – D11 – A 12 - E 13 – B 14 – A 15 – C16 – D 17 – C 18 – E 19 – B 20 – E
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34
TEMA 8
MATRICES
81. Conceptos generales sobre matrices
Una matriz es un conjunto de números o expresiones numéricas que seordenan como una tabla de filas y columnas. Cada una de las interseccionesde filas o columnas se denomina elemento de la matriz.
Por convenio, las matrices se representan así:
A = (aij)mn
El primer número(m) nos indica el número de filas que tiene la matriz.El segundo(n) indica la cantidad de columnas que tiene la matriz.Ejemplo:
Esta matriz es de orden 3×4
Una matriz formada por “m” filas y “n” columnas se dice que tiene orden odimensión m x n.
8.2. Clases de matrices
Si la matriz tiene m filas y n columnas, (m ≠ n) la matriz se llama rectangular.Cuando el número de filas y el de columnas coinciden, la matriz es cuadrada,con dimensión n x n y se le considera matriz de orden n; en este caso, loselementos de la matriz de subíndices a11, a22, a33, ..., ann ocupan la llamadadiagonal principal de la matriz. Esta diagonal adquiere importancia en laresolución de determinantes. La traza de una matriz es la suma de todos loselementos de la diagonal principal de la matriz.
Una matriz cuadrada se denomina triangular cuando todos los elementossituados por encima o por debajo de la diagonal principal son nulos.
Matriz columna: Matriz mx1 (matriz que solo tiene una columna).
=
41
31
21
11
aaaa
A
Matriz fila: Matriz 1xn (matriz que solo tiene una fila).[ ]14131211 aaaaA =
8.2.1Matriz nula: Matriz mxn con todos sus elementos iguales a cero . Se denotapor Omxn; en ocasiones se abrevia a O cuando se sobreentiende el tamaño o no esnecesario especificarlo.
8.2.2 Matriz diagonal: Una matriz cuadrada se llama diagonal si son cero loselementos que no pertenecen a su diagonal principal.
=
33
22
11
000000
aa
aA
8.2.3 Matriz identidad: Una matriz cuadrada se llama matriz identidad si esdiagonal y los elementos de su diagonal principal valen la unidad. Se usará lanotación In, donde n es el orden de la matriz. A veces se utiliza la notaciónabreviada I cuando el orden se sobrentiende o no es necesario especificarlo.
=
100010001
I
8.2.4 Matriz transpuesta: Sea A una matriz de orden mxn. Llamaremos matriztranspuesta o traspuesta de A, At, a la matriz de orden nxm cuyos elementos sonlos de A intercambiando filas por columnas:
jitij aa = . Una matriz A es simetrica si
At=A y es antisimetrica si At=-A.
=
mnmmm
n
n
aaaa
aaaaaaaa
A
L
MOMMM
L
L
321
2232221
1131211
823697451221
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35
Pongamos un ejemplo:
−−
=→
−−=
596824
589264
tAA
8.2.5.Matrices iguales: Dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q son iguales, sí ysolo sí, tienen el mismo orden y en las mismas posiciones, elementos iguales, esdecir :
m=p, n=q; y aij = bij ∀i, ∀j
8.3. Suma de matrices:
Si A = (ai j) mxn y B = (bi j) mxn entonces su suma es A + B = (ai j + bi j) mxn.
La suma de dos matrices de igual orden o dimensión se obtiene una nuevamatriz cuyos elementos se calculan como la suma de los elementos de lamisma fila y columna de las dos matrices, que actúan como sumandos.
Propiedades de la suma de matrices:
1). Propiedad Expresión simbólica y significado2) Conmutativa A + B = B + A3) Asociativa A + (B + C) = (A + B) + C4) Elemento neutro A + O = O + A = A5) Elemento simétrico A + (- A) = ( - A) + A = O
Siendo: O matriz nula, es la matriz que tiene todos sus elementos iguales acero.
(- A) es la matriz opuesta de la matriz A.
8.4. Producto y potencias de matrices
En el álgebra de matrices, se definen:
• Si kA = k(aij)mn, debes multiplicar cada elemento de la matriz por el escalar
que es un número constante.
Ejemplo:
=
=
86102
4351
22A
Propiedades: R∈∀ 1,,ϖϕ , nmMA ×∈∀ se tiene que
1) AA )()( ϕϖϖϕ =2) Distributiva I: BABA ϕϕϕ +=+ )(3) Distributiva II: ( BAA ϖϕϖϕ +=+ )4) Elemento neutro de escalares: 1×A = A
8. 5. El producto de dos matrices sólo es posible cuando tienen los órdenes«encadenados »; es decir, una matriz A = (aij) de orden m x n sólo puedemultiplicarse por otra B = (bij) si la dimensión de ésta es n x p, de maneraque la matriz producto resultante tiene un orden igual a m x p. Esto quieredecir, que sólo pueden multiplicarse dos matrices que tienen el númerode columnas de la primera matriz igual al número de filas de la segundamatriz. La matriz resultante C = (cij) se calcula de forma que cada uno desus términos cij es igual a la suma ordenada de los productos de loselementos de la fila i de A por los de la columna j de B: primer elementode la fija i de A por primer elemento de la columna j de B; más el segundode la fila i por el segundo de la columna j, etc.
Ejemplo:
=
++++++
++++++=
×
138126114393633
70442465402160361828110261002490
14131211109876
543210
Como ampliación del concepto de producto, puede definirse la potencia enésimade una matriz como el producto de ésta por sí misma n veces. Para que unamatriz pueda multiplicarse por sí misma tiene que ser cuadrada. Es decir:
44 344 21vecesn
n AAAAA .............=
8.6. Determinantes y matrices
El determinante de una matriz cuadrada A, es el valor de la suma dedeterminados productos que se realizan con los elementos que componen lamatriz.Se denota por el símbolo |A| o det (A).
Determinantes de orden 2
Sea:
=
2221
1211
aaaa
A det(A) = A = a11.a22 – a12 . a21
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36
Regla de Sarrus
Para calcular el determinante de una matriz de orden 3, se recurre al uso de lallamada regla de Sarrus. Este determinante se obtiene de la suma de seistérminos:Tres positivos, formados por los siguientes productos de tres factores: los treselementos de la diagonal principal y los elementos de las dos líneas paralelas aesta diagonal, multiplicados por el vértice opuesto.Otros tres negativos, también constituidos por productos de tres factores: los treselementos de la diagonal secundaria y los de las líneas paralelas a ella,multiplicados por el vértice opuesto.Es decir, dada una matriz A:
Si
333231
232221
131211
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
Aaaaaaaaaa
A =→
=
Entonces el desarrollo de su determinante, según la regla de Sarrus, vendría dadopor:
det(A)= a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 - a13a22a31 - a21a12a33 - a32a23a11
8.7. Menores complementarios
Dada una matriz cuadrada de orden n, se denomina menor complementario acada una de las matrices de orden (n - 1) que se obtienen al suprimir la fila y lacolumna donde se encuentra un elemento (aij) de la matriz original.Por ejemplo, para la matriz cuadrada de orden 3
pueden definirse, entre otros, los dos siguientes menores complementarios:
8.8. Adjunto y matriz adjunta
Para una matriz cuadrada A de orden n se llama adjunto Aij del elemento aij aldeterminante del menor complementario de dicho elemento multiplicado por (-1)elevado a i más j, es decir:
Aij = (- 1)i+j . ij
Dada una matriz cuadrada A, se define su matriz adjunta, que se denota Adj(A),como aquella en la que los elementos de A están reemplazados por sus adjuntosrespectivos:
=→
=
nnnnn
n
n
nnnnn
n
n
AAAA
AAAAAAAA
AAdj
aaaa
aaaaaaaa
A
L
MOMMM
L
L
L
MOMMM
L
L
321
2232221
1131211
321
2232221
1131211
)(
8.9. Desarrollo de un determinante
El valor de un determinante puede obtenerse a partir de los adjuntos de loselementos de su matriz correspondiente. Así:
=
mnmmm
n
n
aaaa
aaaaaaaa
A
L
MOMMM
L
L
321
2232221
1131211
nn AaAaAaAaA 11131312121111 ...++++=
En este caso, el determinante se ha desarrollado por la primera fila. En general, undeterminante puede desarrollarse por filas o por columnas.
En el manejo de determinantes se pueden establecer algunas propiedades quefacilitan las operaciones de cálculo. Tales propiedades son:
• 1. Una matriz cuadrada con una fila o una columna en la que todos loselementos son nulos tiene un determinante igual a cero.
• 2. El determinante de una matriz con dos filas o dos columnas iguales escero.
• 3. Cuando dos filas o dos columnas de una matriz son proporcionalesentre sí (una se puede obtener multiplicando la otra por un factor), sudeterminante es cero.
• 4. Al intercambiar dos filas o dos columnas de una matriz, su deter-minante cambia de signo.
• 5. Al multiplicar todos los elementos de una fila o una columna de unamatriz por un número, el determinante de la matriz resultante es igual alde la original multiplicado por ese mismo número.
• 6. El determinante de una matriz triangular o una matriz diagonal esigual al producto de los elementos de su diagonal principal.
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37
• 7. Cuando a una fila (o columna) de una matriz se le suma o resta unacombinación lineal de otras filas (o columnas), el valor de sudeterminante no se altera.
Matriz Inversa (A-1)
Para la matriz cuadrada A de orden n, se dice que existe una matriz inversa A-1
también cuadrada de orden n, cuando el producto de ambas es igual a la matrizidentidad: A × A-1 = A-1 × A = I.
Toda matriz que tiene inversa se dice inversible o no singular, mientras quecuando carece de inversa se denomina matriz singular.
Teorema. Sea la matriz:
=
2221
1211
aaaa
A
Si el determinante de A no es cero, entonces la matriz inversa de A es:
−
−=−
1121
12221 1aaaa
AA
Ejemplo: Encontrar 1−A
=
4153
A
Primero: encuentro el determinante de A: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 75121543 =−=−=A
Segundo: calculo la adj A :
Cofactores de A
=
4153
A
411 =A 112 −=A521 −=A 322 =A
Tercero: con las respuestas formo la matriz B y luego obtengo TB que es la adjA .
−
−=
3514
B adjABT =
−
−=
3154
Cuarto: aplico el teorema
−
−=−
2212
21111 1AAAA
AA
−
−
=
−
−=−
73
71
75
74
3154
711A
Comprobamos la respuesta:AAIAA 1
21 −− ==
Regla de Cramer
Un sistema de ecuaciones lineales se dice de Cramer cuando cumple lassiguientes condiciones:
• Es un sistema cuadrado, con igual número de ecuaciones que de
incógnitas.
• El determinante de la matriz de los coeficientes asociada es distinto de
cero.
En consecuencia, un sistema de Cramer es siempre compatible determinado(tiene una solución única).
Para calcular la incógnita xi del sistema de ecuaciones lineales, se sustituye lacolumna i de la matriz de coeficientes por los términos independientes, seobtiene el determinante de la matriz resultante y se divide este valor por el deldeterminante de la matriz de los coeficientes. Por tanto, la solución de un sistemade Cramer se obtiene hallando cada incógnita xi según la fórmula:
CC
x ii =
Siendo Ci la matriz resultante de sustituir la columna de la matriz de loscoeficientes correspondiente a la incógnita por la de los términos independientes.
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38
Sea el sistema de ecuaciones:
=−+=++
−=−+
12022
1
zyxzyx
zyx
−=
−
−
101
112221121
zyx
Hallamos los determinantes de:
4112
221121
=−
−=∆
4112021121
;8112
201111
;8111
220121
=−
=∆−=−
−−=∆=
−
−−=∆ zyx
;zz;yy;xx 122 =∆∆
=−=∆∆
==∆∆
=
Luego la solución del sistema es x = 2; y = -2 y z = 1
Resolución de un sistema por eliminación gaussiana
El procedimiento más utilizado para resolver sistemas de ecuaciones linealesmediante matrices es el llamado método de eliminación gaussiana, que constade los siguientes pasos:
- Se forma la matriz ampliada del sistema incorporando a la de los coeficientes,por la derecha, una nueva columna con los elementos de la matriz de lostérminos independientes.
- Se aplican operaciones elementales sobre las filas de esta matriz ampliada,hasta lograr que por debajo de la diagonal principal de la matriz todos lostérminos sean nulos.
- Se obtiene entonces un sistema equivalente de ecuaciones de resolucióninmediata.
Este método permite también realizar una rápida discusión del sistema.Si la última fila de la matriz resultante de la transformación de la ampliada produceuna ecuación del tipo 0x + 0y + cz = k, con c ≠ 0, el sistema es compatibledeterminado (tiene una solución única).Cuando esta última fila corresponde a una ecuación del tipo 0x + 0y + 0z = k, k ≠ 0el sistema es incompatible (carece de solución).Si esta última fila se traduce en una ecuación del tipo 0x + 0y + 0z = 0, el sistemaserá compatible indeterminado (con infinitas soluciones).Ejemplo: Sea el sistema:
=++−=++
=+−
342
422
zyxzyx
zyx
Matriz amplificada:
−
−
314121114212
M
M
M
A la fila f3 se le suma la fila f2 y a esta segunda multiplicada por 2, se le resta laprimera:
−
525000304212
M
M
M
Luego, a f3 × 3 se le resta f2 × 5:
−
1560000304212
M
M
M
Finalmente: 6z = 15 z = 5/2 ; y = 0 ; x = - ½
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39
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
Nivel I:
01. Sean A y B dos matrices definidas por:
Entonces el valor de:1
2−
+
−−=
BA
BBAE
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 E. 60
02. Si A es una matriz antisimétrica definida así:
−−+
−=
2441
ceba
cdbaA
Determinar el valor de: T = a + b + c+ d + e A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
03. Sabiendo que el siguiente sistema no tiene solución:
=++=++84)2(75)12(
yxkyxk
¿ Cuál es el valor de k? A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 E. 2
04. Hallar la traza de la siguiente matriz simétrica:
++
+=
zzyxzy
yxxA
3732325
102
A. 10 B. 8 C. 11 D. 6 E. 0
05. Calcular la matriz inversa de:
Señala el elemento a33 de la matriz inversa:A. 2/7 B. 5/7 C. 1/7 D. 0 E. ½
06. Dadas las matrices
Hallar la traza de A.B A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 E. -2
07. Resolver la ecuación:
xxxx
71211421
301−=
−−
+−
Señala uno de los valores de x.
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E. 9
08. Sea la ecuación matricial: 2A = AX + B
Donde:
−−
=
−
=1321
1101
ByA
Hallar la traza de la matriz X.
A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 E. 4
09. Sean
−−
−=
−−=
−−=
521210102
900650213
105321142
CyB,A
Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas (V) y cuáles son falsas(F)
I. Las tres matrices rectangulares son de orden 3. II. El elemento a22 de – A – B + C es: - 4
III. El elemento a32 de 3A + C/2 es: - 1
A. VVF B. FFV C. FVV D. VVV E. FFF
10. Si:
=
1001
A se cumple:
I. A2 = A70
II. A4 ≠ A8
III. A3 = A2 + A A. VFF B. VVF C. VFV D. FFV E. FVV
−=
2413
A
−
=1120
B
−−−
−−=
131122311
P
−
=
−
−=
312184
102112
ByA
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40
NIVEL II
01. Sabiendo que:
−
=
+
+=
=
da
Cydc
baB,
dcba
A216
34
Con los que se cumple: 3A – B = C. Calcular el valor de:
dcbaQ
...!4
=
A. – 1 B. 1 C. 2 D. – 2 E. 3
02. Se tienen las matrices:
=
−
=yzx
Byy
xA
41
1
Donde x, y, z no son todos cero. Si AB es la matriz cero, entonces los valoresde x, y, z son respectivamente:
A. 0; 1; 0 B. 1; 1; 4 C. -1; 1; 4 D. 1; -1; 0 E. 1; -1; -4
03. Sea la matriz: A=(aij)3×2 definida por:
>+
=
<−
=
jisijijisiji
jisijiaij
;,.
:,
Determinar la traza de: (A.AT) A. 56 B. 48 C. 60 D. 68 E. 52
04. Si A y B son dos matrices definidas por:
≠−=+
== × jijijiji
aaA ijij ;;
/)( 33
=+
<∀=
=∀
== ×
0
,1
,0
/)( 33
jiij
ij
ij
ijij
bbjib
jibbbB
Hallar: det (A + B) A. 48 B. 52 C. 42 D. 58 E. 60
05. Sea:
−
=1101
A
Calcular: An ; n∈ N
A.
1001 B.
n
n0
0 C.
−n
n0
0 D.
− 1
01n
06. Dadas las matrices:
=
3025
A y B = An
Determinar: G = traz(B) – b12 A. 2.5n B. 2n+1 C. 2n D. 5n + 3n E. 2.3n
07. La siguiente matriz es simétrica:
+++=ccb
acbbaa
A32032
32275
Determinar su traza. A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 E. 18
08. Expresar la matriz A como la suma de una matriz simétrica y otraantisimétrica. Hallar la traza del producto de las dos matrices.
=
4231
A
A. 0 B. – 1 C. -1/2 D. – ¼ E. – 2
09. Dadas las matrices:
−
=
−−
=14
111211
ByA
Indicar si son verdaderas (V) o falsas(F) las siguientes igualdades:VIII. A.B = B.AIX. (A + B)2 = A2 + B2
X. 2A – 3B = 0
A. VVV B. VVF C. FVF D. FFF E. VFV
09. Sabiendo que:
=
011101110
A
Hallar: A2 – A – 2I (I es la matriz identidad) A. I B. A C. 0 D. 1 E. imposible
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
41
CLAVE: Nivel I :
01 – E 02 – A 03 – E 04 – C 05 – 006 – C 07 - D 08 – C 09 - C 10 - A
Nivel II:
01 – B 02 – C 03 – D 04 – B 05 - D06 – D 07 – C 08 – A 09 – D 10 – C
TEMA 9
SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
9.1. SUCESIONES
Son sucesiones reales:a) ,...
n,...,,, 1
41
31
211, la ley característica se enunciaría así: es una sucesión
formada por los números inversos de los números naturales.
b) ,...n,...,,,, 4321 aquí la ley sería: raíces cuadradas de los númerosnaturales
c) ,...1
,...54,
43,
32,
21
+nn
la ley sería: una sucesión formada por fracciones cuyonumerador es la serie de los números naturales y el denominador es igualal numerador más una unidad.
Conocida la ley de formación, se puede determinar cualquier término de lasucesión en función del lugar que ocupe.
Una sucesión, cuando tiene un número determinado de términos, como porejemplo la sucesión:
32
5186
321 ,,,,, formada por estos seis números, no
necesariamente tiene que tener una ley de formación ya que todos sus términosestán perfectamente definidos al conocerlos todos.
9.2. TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN
En las sucesiones, los términos1
,,1+nnn
nrepresentan de forma simbólica a la
ley de formación de cada sucesión, se representan por an y se llaman términogeneral de la sucesión. A partir del término general puede calcularse cualquier término dando valores a“n”. El valor de n corresponde con el lugar que ocupa el término en la sucesión.
Por ejemplo: Determinar los tres primeros términos y el que ocupa el lugar 10,
en una sucesión cuyo término general es:1
2
+=
nnan
Para n = 1,21
1112
1 =+
=a
Para n = 2,34
1222
2 =+
=a
Para n = 349
1332
3 =+
=a
Para n = 1011
100110
102
10 =+
=a
Suele presentar más dificultades el determinar el término general, conocidosalgunos de los términos de una sucesión, ya que no hay una regla para hacerlo.
Ejercicios:
1. Escribir los seis primeros términos de las sucesiones cuyos términosgenerales son:
21
++
=nnan 2
12132nna
na
nna nnn
−=+=
−=
2. Escribir el término general de las siguientes sucesiones, indicando las que soncrecientes o decrecientes.
a) ,...1517...
57,
35,
13
b) ,...1716,
109,
54,
21
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
42
c) ,...54,
43,
32,
21
d) ,...86,
65,1,
23
e) 0, ,...1715,
108,
53
9.3. CLASES DE SUCESIONES
La sucesión 1, 4, 7, 10, 13, 16 que tiene solamente estos seis términos es unasucesión limitada.
La sucesión 1, 4, 7, 10, 13, 16, ...3n − 2 ... es ilimitada ya que puede tener todoslos términos que se quieran sacar.
Las dos sucesiones anteriores son estrictamente crecientes ya que se cumpleque cada término es mayor que el anterior.
La sucesión que define al número real 3 o sea 1; 1,7; 1,73; 1,732; 17320;1,73205... es creciente pero no estrictamente creciente ya que los términos1,732 y 1,7320 son iguales, por lo que no cumple que cada término sea mayorque el anterior.
La sucesión ;...1...;161;
91;
41;1 2n
es estrictamente decreciente ya que cada
término es menor que el anterior.
9.4. SERIE
Es la suma de los términos de una sucesión. Existen series aritméticas,geométricas y otras series especiales.
SUMATORIA: Una sumatoria nos permite representar sumas muy grandes, de nsumandos o incluso sumas infinitas y se expresa con la letra griega sigma ( Σ ) .
Una sumatoria se define como:
nnmm
n
mimi xxxxxx +++++= −++
=∑ 121 L
La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamadolímite inferior, m. La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar ellímite superior, n. Necesariamente ha de cumplirse: m ≤ n
Algunas sumatorias
( )∑=
+=++++=
n
i
nnni1 2
1321 L
( )( )∑=
++=++++=
n
i
nnnni1
22222
6121321 L
( ) 2
1
33333
21321
+
=++++=∑=
nnnin
iL
naaaaaan
i vecesn∑
=
=++++=1
44 344 21 L
∑=
−
−−
=++++=n
j
nnj
aaaaaa
0
12
111 L
∑=
+
−−=+++++=
n
k
nnk
aaaaaaaaa
1
1432
1L
∑ ∑= =
=++++=n
k
n
kkanaaaaak
1 1
32 L
∑∑∑===
=+=n
i
n
i
n
iiii
110
0
9.5. PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Es una sucesión de números, tales que cada término se forma sumandoalgebraicamente una cantidad constante al término anterior. Esta cantidadconstante se llama razón (d) y puede tener cualquier valor menos cero.Cuando la razón es positiva la PA es creciente y cuando la razón es negativa laprogresión es decreciente.
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
43
El término enésimo de una PA se determina con la fórmula: an = a1 + (n – 1)d En general cualquier término a partir de un término ak se determina así:
an = ak + (n – k)d
9.5.1. SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
La suma de los términos de una progresión aritmética se calcula por la fórmula:
2)( 1 naa
S n+=
Donde a1 representa al primer término, a n al último y n al número de términos.Ejemplo:
a) Hallar la suma de los 10 primeros términos de la progresión. 1, 3, 5, 7, ...a1 = 1, el término a n será el término 10 que se calculará por la fórmula del
término general,
an = a1 + (n − 1).d, o sea a 10 = 1 + 9.2 = 19.
La suma quedará: 100102191 =×+=S
b) Calcular la suma de los 8 primeros múltiplos de 5
a1 = 5, a 8 = 40; 18082405 =×+=S
9.5.2. SUMA DE LOS TÉRMINOS EQUIDISTANTES DE LOS EXTREMOS DEUNA PA
En la progresión 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, se puede comprobar que las sumasde los términos equidistantes de los extremos son iguales a la suma de losextremos:
2 + 16 = 18 es la suma de los términos extremos4 + 14 = 186 + 12 = 188 + 10 = 18Esta propiedad, como es fácil de comprobar la cumplen todas lasprogresiones aritméticas.
9.5.3. INTERPOLAR TÉRMINOS ARITMÉTICOS
Interpolar “m” términos aritméticos entre dos números dados, a1 y an, consisteen formar una progresión aritmética de m + 2 términos, en la que los númerosa1 y an sean el primer y último término.
Se determina la razón:1
1
+−=
maad n ó ( )dnaan 11 −+=
Por ejemplo:- Intercalar 5 términos aritméticos entre el 2 y el 14.
Se calcula la razón utilizando la fórmula del término general. ( )dnaan 11 −+= ,teniendo en cuenta que 14 será el término enésimo, 2 el primer término y quela progresión tiene 7 términos, ya que a los dos dados hay que añadirle loscinco que se quieren interpolar.Sustituyendo en la fórmula: 14 = 2 + (7 – 1).d ; 12 = 6d ; d = 2.Si la diferencia es 2, los términos serán: 2, 4, 6, 8, 10, 12 y 14.
9.6. PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Son sucesiones de números tales que cada término se forma multiplicando poruna cantidad constante al término anterior. Esta cantidad constante se llamarazón (r).
9.6.1. TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Con la fórmula del término general de una progresión geométrica:
11
−×= nn raa
se pueden resolver distintos tipos de ejercicios; por ejemplo:
1. Calcular cualquier término, conocido el primer término y la razón. En lasiguiente progresión geométrica, calcular la razón y los términos 10 y 20.
2, 4, 8, 16, ....
La razón se calcula dividiendo dos términos consecutivos r = 2Los términos 10 y 20 aplicando la fórmula del término general:
104857622
102422
2019
20
109
10
==
==
a;.aa;.a
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
44
2. Calcular la razón y el término general, conocidos dos términos noconsecutivos.
Calcular la razón y el término general de una progresión geométrica cuyotérmino tercero es 12 y el término 5 es 48.
Se aplica la fórmula del término general para los dos términos dados: 12 = a1.r2
48 = a1.r4 se resuelve el sistema, dividiendo la segunda ecuación entre laprimera o despejando a1 en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda.
Dividiendo queda: 4 = r2; r = 2Para determinar el término general, se calcula previamente a1 en cualquiera delas dos ecuaciones anteriores: 12 = a1.2
2; a1 = 3
El término general será: an = 3.2n-1
9. 6.2. SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
1. PROGRESIÓN LIMITADA Si la progresión tiene un número limitado de términos la suma se calcula
por la fórmula1
1
−−×
=r
araS n .
Si en esta fórmula primera sustituimos a n por su equivalente a1 . r n - 1.Quedará: ( )
111
−−=
rraS
n
Por ejemplo:- Calcular la suma de los 10 primeros términos de la progresión
geométrica 3, 6, 12,...
Para aplicar la primera fórmula haría falta calcular previamente el término10, en cambio con la segunda no haría falta este cálculo.
Teniendo en cuenta que de la progresión se saca que la razón es 2,aplicando la segunda fórmula quedará:
( ) 306912
123 10
=−
−=S
Calcular la suma de los seis primeros términos de una progresiónsabiendo que el sexto término es
81 y la razón
21 .
Para aplica la primera fórmula hace falta calcular primero el primertérmino.
5
11
1 21
81
== − .a;.raa n
n;
321
81
1.a= ; 41 =a
Aplicando la primera fórmula:863
121
421
81
=−
−
×
=S
2. PROGRESIÓN ILIMITADA
La suma de los términos tiende hacia un valor al que se acerca máscuanto más términos se tomen.Por ejemplo la progresión 1, ...,
81,
41,
21
Si sumamos cuatro términos su suma sería 87518
15 .=
Si sumamos 10 términos
121
1211
10
−
−
=S al aplicar la primera fórmula
S =1,998Si se suman 20 términos, aplicando la misma fórmula, la suma sería
9999911
21
1211
20
.S =−
−
=
Si seguimos aumentando el número de términos la suma será1,99999999... acercándose cada vez más a dos.Si se halla la suma de los infinitos términos de la progresión aplicandola fórmula:
raS−
=1
1
quedará2
211
1=
−=S
que es número al que tiende la suma al hacer
que sus términos crezcan indefinidamente
9.6.3. PRODUCTO DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
1. Calcular el producto de n términos de una progresión geométrica,conocido el primer término y la razón.
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
45
( )nnaaP ×= 1
Ejemplo: Calcular el producto de los 10 primeros términos de la progresióngeométrica 2, 6, 18...
Para aplicar la fórmula ( )nnaaP ×= 1
hay que calcular an por la
fórmula del término general: 11
−= nn r.aa , an = 2.39; an = 39366
( ) 510 78732393662 =×=P
2. Calcular el primer término de una progresión geométrica, conocido elproducto de n términos y el término enésimo.
Ejemplo: Sabiendo que el producto de los 4 primeros términos es5184 y que el cuarto término es 24, calcular el primer término
Se aplica la fórmula del producto:( )
39
57651842451842451842
21
221
41
==
×=×=×=
a;a
;a;a;a
9.6.4. PRODUCTO DE TÉRMINOS EQUIDISTANTES DE LOS EXTREMOS
En al progresión geométrica 3, 9, 27, 81, 243, 729 se comprueba que elproducto de los extremos es igual al producto de los términos equidistantede los mismos:
Producto de los extremos 3 x 729 = 2187 Productos de términos equidistantes: 9 x 243 = 2187
27 x 27 x 81 = 2187.
9.6. 5. INTERPOLACIÓN DE TÉRMINOS GEOMÉTRICOS
Interpolar 4 términos geométricos entre 18 y 4374.Se aplica la fórmula del término general teniendo en cuenta que a1 = 18,an = 4374 y que el número de términos es 6, ya que a los cuatro que hayque intercalar se añaden el primero y el último.
4374 = 18.r5; 243 = r5, 35 = r5; r = 3,Luego la progresión quedará: 18, 54, 162, 486, 1458, 4374Directamente podemos hallar la razón con la ecuación:
1
1
+= m n
aar
9.7Factorial de un número natural
Es el producto de los “n” factores consecutivos desde “n” hasta 1. Elf ac t or ia l d e un nú m er o se denota por n ! .
n! = n×(n-1)×(n-1)×...×3×2×10! = 1
TEOREMA DEL BINOMIO
Sean a y b números reales y además n y k números enteros, tal que0 ≤ k ≤ n , entonces:
( ) kknn
k
n bakn
ba −
=∑
=+
0
O también:
( ) nnnnn
k
kknn bnn
....ban
ban
an
bakn
ba
++
+
+
=
=+ −−
=
−∑ 221
0 210Donde:
( )!kn!k!n
kn
−=
Ejemplo:
( )
432234
44433422411404
4
0
44
464
44
34
24
14
04
4
babbabaa
bababababa
bak
bak
kk
++++=
+
+
+
+
=
=+
−−−−
=
−∑
9. 8.1. TÉRMINO EMÉSIMO
Se determina el término n- ésimo haciendo k = m – 1
Ejemplo: Determine el quinto término en el desarrollo de ( x + 2 ) 6 . Respuesta:
( ) kk
k
ak
x 26
2 66
0
6 −
=∑
=+
Quinto término → m = 5 → k = 4 →
22446 24024
616246
xx!!
!x =×
×=
−
Rp.: El quinto término es 240 x2 .
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
46
9.8.2. TÉRMINO CENTRALPara n parCuando n es par, se determina el término central haciendo:
2nk =
Ejemplo: Determine el término central en el desarrollo de ( p + q ) 8 .Respuesta: ( ) kk
k
qpk
qp −
=∑
=+ 8
8
0
8 8
4444448 7044
848
428 qpqp
!!!qpk =
×=
→== −
Rp.: El término central es 70 p 4 q 4 .Para n imparCuando n es impar, se determinan los términos centrales haciendo:
21y
21 +
=−
=nknk
Ejemplo: Determine los términos centrales en el desarrollo de ( a – b ) 7 .
Respuesta: ( ) ( ) ( )∑∑=
−
=
−
−=−
=−
7
0
77
0
77 71
7
k
kkk
k
kk bak
bak
ba
( ) 34343373 3543
737
132
17 baba!!
!bak −=×
−=
−→=
−= −
( ) 43434474 3534
747
142
17 baba!!
!bak =×
−=
−→=
+= −
Rp.: Los términos centrales son – 35 a 4 b 3 y 35 a 3 b 4 .
9.8.3. COEFICIENTE DE UNA POTENCIA
Ejemplo: Calcule el coeficiente de x 5 en el desarrollo de ( 3 x 2 + 2 x ) 4 .
Respuesta:
( ) ( ) ( ) ∑∑=
−−
=
−
××=
=+
4
0
844
0
4242 42323
423
k
kkk
k
kk xk
xxk
xx
538334 9634
23358 xxkk =
××→=→=− −−
Rp.: El coeficiente de x 5 es 96 .
9.8.4. TÉRMINO INDEPENDIENTE
Ejemplo:
Determine el término independiente de x en el desarrollo de:
62 3
+
xx
Respuesta:
( ) ∑∑=
−
=
−
=
=
+
6
0
3126
0
626
2 63363
k
kk
k
kk x
kxx
kxx
121546
340312 43124 =
→=→=− ×−xkk
Rp.: El término independiente de x es 1215 .
Desarrollar: (a + b) 6
(a + b) 6 = a 6 + 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4
Ejercicios y Problemas.
01. Hallar el término central de:60
322
− xx
A. 40
3060
x
B. 30
2960
x
C. 29
3160
x
D. 30
3160
x
E. 29
2960
x
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
47
02. Calcular sin desarrollar, el término que ocupara el lugar 220 en el desarrollo: (a3 + b)400
A. 215453
235200
ba
B. 215543
219400
ba
C. 236458
321400
ba
D. 235524
247368
ba
E. No es posible
03. Cuál es el término independiente en el desarrollo:9
2
35
21
+ x
x A. 785/184 B. 875/144 C. 785/144 D. 875/184 E. 1
04. Determinar el lugar del término que contiene x5 en el desarrollo de:11
+
xyx
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
05. Halla el cociente que resulta de dividir el término noveno por el sexto del
desarrollo de14
21
− a
06. Hallar el término medio en el desarrollo de ( )633 yx −
07. Una persona comunica un secreto a otras 3. Diez minutos después cada unade ellas lo ha comunicado a otras 3 y cada una de estas a otras 3 nuevas enlos diez minutos siguientes, y así sucesivamente. ¿Cuántas personas conocenel secreto después de dos horas? Rp.: 1794323
08. Según una leyenda india, el inventor del ajedrez solicitó como recompensa porel invento que se pusiera 1 grano de trigo en la primera casilla del tablero, 2en la segunda, 4 en la tercera, y así sucesivamente; en cada una el doble queen la anterior. El rey aceptó pero su sorpresa fue grande cuando vio no sóloque no cabían los granos en las casillas sino que no había suficiente trigo entodo el reino para cumplir el compromiso. Suponiendo que 10 granos de trigopesan aproximadamente 1 g.¿podrías averiguar cuántos Kg. de trigo solicitó elinventor? Señala la suma de las cifras que forman la parte entera.
A. 85 B. 72 C. 81 D. 74 E. 92
09. Consideremos la siguiente situación: 2 ciclistas se preparan para unacompetencia: Pablo comienza con 1000 metros, y todos los días agrega 1000metros más, en tanto que Emilio empieza con 200 metros y cada día duplica
lo hecho el día anterior. Cuántos metros recorre cada uno el décimo día?Emilio recorrió en metros:A. 10000 B. 108000 C. 102400 D. 110000 E. 100600
10. Calcular el tercero y quinto términos de una PA creciente, sabiendo que secumple: a3.a5 = 96 y a3 + a5 = 20. Señala la suma de ambos términos.A. 18 B. 23 C. 36 D. 16 E. 20
11. Se tienen cuatro números en PG, que cumplen las siguientes condiciones: a1+ a2 = 6 y a3 + a4 = 24. Hallar la suma del segundo y cuarto números.A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 E. 30
12. En una PA se conocen a5 = 28 y a11 = 52. Calcular a8 .A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 E. 60
13. La suma de los quince primeros términos de una PA es 75 y el último es 40/3.Calcular la razón.A. 20/21 B. 25/21 C. 23/20 D. 23/21 E. 23/18
14. La suma de tres números en PA es 27 y su producto es 504. El mayor es:A. 15 B. 13 C. 11 D. 14 E. 16
15. La suma de tres números en PA es 48, la de sus cuadrados es 800. Ladiferencia del mayor y el menor es:A. 8 B. 4 C. 12 D. 6 E. 10
16. Calcular el último término de una PG de 4 términos, cuyo primer término esigual a 100 y el producto es 10000.A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
17. Calcular el producto de los términos de una PG, cuya suma y primer términovalen respectivamente 35 y 5 y la razón es 2.A. 100 B. 200 C. 1000 D. 5000 E. 400
18. Tres números están en PG conociendo que su suma es igual a 35 y la sumade sus cuadrados es igual a 525. Hallar el mayor.A. 30 B. 35 C. 15 D. 12 E. 20
19. Se da un cuadrado de lado 10, uniendo los puntos medios de sus ladosobtenemos un segundo cuadrado, uniendo los puntos medios de los lados deeste cuadrado obtenemos un tercer cuadrado y así sucesivamente. Hállese lasuma de las áreas de todos los cuadrados, si se supone que el procesoanterior se repite 5 veces.
A. 190.52 B. 196,875 C. 201,186 D. 189,256 E. Imposible
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
48
20. Un cuerpo cae libremente en el vacío y recorre en el primer segundo 4,9 m yen cada segundo siguiente 9,8m más. Qué distancia recorre el cuerpo al cabode 10s?A. 360m B. 590m C. 460m D. 490 m E. 440 m
CLAVE:01- A 02 – B 03 – B 04 – D 08 – D09 – C 10 – E 11 – C 12 – C 13 – B14 – D 15 – A 16 – A 17 – C 18 – E19 – B 20 – D
Gauss, de niño, hace un descubrimiento.
Gauss provenía de una familia muy modesta. Su padre fue jardinero y pintor debrocha gorda. Las dotes matemáticas del joven Gauss se manifestaron muypronto.
Se cuenta de él que un día, a la edad de nueve años, cuando llegó a la clase dearitmética de la escuela primaria, el profesor les pidió a él y a sus compañeros quesumasen todos los números del 1 al 100. Gauss se paró a pensar, y en lugar desumar todos, uno por uno, resolvió el problema en pocos segundos de la manerasiguiente:
1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + ... + (50 + 51) = 50 · 101 = 5050
es decir, descubrió el principio de la fórmula de la suma de los términos de unaprogresión aritmética. A consecuencia de estos éxitos sus maestros se interesaronpor él. Gauss estudió matemáticas y llegó a ser catedrático de matemáticas deKazán, catedrático de astronomía y director del Observatorio Astronómico deGotinga.
TEMA 10
TRIÁNGULO
Es un polígono de tres lados, es decir, una porción de plano limitada por tressegmentos unidos, dos a dos, por sus extremos. Los tres segmentos que limitan eltriángulo se denominan lados, y los extremos de los lados, vértices.
En un triángulo se consideran dos tipos de ángulos: interior (formado por doslados) y exterior (formado por un lado y la prolongación de otro).
10.1 Propiedades (Teoremas)
• En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos.• En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos
interiores no adyacentes.• En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo.• Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos son también
iguales.• En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que
su diferencia.
10.2 Clasificación de los triángulos
Por sus lados: Equiláteros: Sus tres lados iguales. Isósceles: dos lados iguales yuno desigual. Escaleno: tres lados desiguales.
Por sus ángulos: Rectángulos: un ángulo recto. Acutángulo: tres ángulosagudos. Obtusángulo: Un ángulo obtuso.
10.3 ELEMENTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
Toda recta que une un vértice del triángulo con cualquier punto de su lado opuestoo su prolongación, se denomina CEVIANA.
Bisectriz es la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales. Incentroes el punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo. Es el centro dela circunferencia inscrita.Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al mismo en su punto medio.Circuncentro es el punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo.Es el centro de la circunferencia circunscrita.
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49
Altura es el segmento perpendicular comprendido entre un vértice y el ladoopuesto. Ortocentro es el punto de intersección de las tres alturas de un triángulo.Mediana es el segmento comprendido entre un vértice y el punto medio del ladoopuesto. Baricentro es el punto de intersección de las tres medianas de untriángulo.
Recta de EulerEn cualquier triángulo, el circuncentro, ortocentro y baricentro están contenidos enuna misma recta, llamada recta de Euler.
Un lado es menor que la suma de los otros dos.a < b + c, b < a + c, c < a + b
Propiedades adicionales:
yx
z
x+y=180º+z
a
b yx
x+y=a+b
x+y=a+b
by
a
x
x
290 yºx +=
y
y x
2yx =
xy
290 yºx −=
x
y
x+y=180º
Si BD es bisectriz
x
zyD
B
2zyx −
=
10.4 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Si dos figuras geométricas tienen la misma forma pero no el mismo tamaño, enotros, puede ser que sean de igual forma y tamaño. Al comparar dos figuras, siobservamos que tienen la misma forma y la misma medida, decimos que lasfiguras son congruentes.
El símbolo que se emplea para denotar la congruencia es: ≅
Para comparar dos triángulos y determinar si existe congruencia entre ellos,existen tres criterios, que se describen y ejemplifican a continuación.
Primer criterio: lado, lado, lado (LLL)Dos triángulos son congruentes si los tres lados de uno de ellos son congruentes alos lados del otro triángulo.Segundo criterio: lado, ángulo, lado (LAL)Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo comprendidorespectivamente congruente.Tercer criterio: Ángulo, lado, ángulo (ALA)Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y el lado comprendido entre ellos,de uno de los triángulos, son congruentes con dos de los ángulos y el ladocomprendido entre ellos del otro triángulo.Con base en el conocimiento de los criterios de congruencia se puede demostrarcon facilidad si de dos triángulos son congruentes.
PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ.- todopunto de la bisectriz de un ánguloequidista de los lados del ángulo.
.
αα
A
B
P
PROPIEDAD DE LA MEDIATRIZ. Todopunto de la mediatriz de un segmento,equidista de los extremos del segmento.
P
A B
MEDIATRIZ
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
50
TEOREMA DE LA BASE MEDIA elsegmento de recta que une los puntosmedios de dos lados de un triángulo esparalelo al tercer lado y mide la mitad desu longitud.
A C
B
M Na
2a
PROPIEDAD DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULOLa mediana relativa a la hipotenusa midela mitad de la hipotenusa.
B
A CM
2ACBM =
PROPIEDAD DEL TRIÁNGULOISÓSCELES En un triángulo isóscelesla altura relativa a la base también esbisectriz y mediana
A
B
M C
Triángulos Notables
53º
5k4k
3k
2k
k
k
37º 30º
60º
3k
k
2k
45º
45º
10.6 POLÍGONOS
Las formas que ves en un tablero de ajedrez, un diamante de béisbol y una señalde alto son figuras planas. Los polígonos son figuras planas y cerradas limitadaspor segmentos. Si el polígono es regular, todos sus lados tienen la misma longitudy todos sus ángulos la misma medida.10.5 DIAGONALES: Para cualquier polígono convexo de n lados, la fórmula parahallar la cantidad de diagonales que posee es:
( )2
3−nn
Ejemplo: Determinar la cantidad de diagonales que posee un polígono de 28lados.
En este caso n = 28, luego: 3502
25282
32828 =×
=− )(
Un polígono de 28 lados posee 350 diagonales.
ÁNGULOS INTERNOS: Sólo para polígonos regulares, la fórmula para hallar lamedida de cada ángulo interno es:
n)n(ºi 2180 −
=
Suma de ángulos internos: Para cualquier polígono la suma de sus ángulosinternos es: Si = 180(n – 2)
NOTA: La fórmula anteriormente entregada no necesita la hipótesis de polígonoregular.En los polígonos regulares:1) Ángulo interior:
nni )2(º180 −
=
2) Ángulo exterior:n
e º360=
3) Ángulo central:n
ºac360=
PROBLEMASNivel I
1. En un triángulo isósceles BCAB:ABC ≅ y en BC se ubica el punto D tal
que: DCAC ≅ . Calcular el menor valor entero que puede tomar la medida delángulo A .
A. 46º B. 31º C. 59º D. 61º E. 76º
2. En la figura: y+z=130º calcular el valor de ""x .
A. 15ºB. 20ºC. 25ºD. 30ºE. 35º n
yz
x
mn
m
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
51
3. Si: 041=+ βα y______
BCAB ≅ . Calcular θ .
A. 15º B. 22,5º C. 23º D. 24,5º E. 49º
4. Jaimito tiene un jardín de forma triangular. En un punto O situado en elinterior del jardín, tiene un rosal. La suma de las dos distancias desde el rosala cada vértice es 54m. ¿Cuál es el perímetro de dicho jardín?
A. 107m B. 110m C. 122m D. 125m E. 200m
5. En la figura:______
BCAB ≅ y________________________
BIHIGHFGEFDEADAC ≅≅≅≅≅≅≅ .Calcular el ángulo ""x .
A. 10º B. 12º C. 14º D. 16º E. 18º
6. En un triángulo ABC , donde dos de sus lados miden 6,2 y 12,2m. Hallar ladiferencia entre el máximo y mínimo valor entero que puede tener el tercerlado.
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 E. 14
7. En la figura:_____
2 PCAB = y OB 26=∧
Determinar el valor de “x”
A. 10ºB. 12ºC. 14ºD. 8ºE. 16º
8. En la figura, calcular___
BD si 8______
== BCAB
A. 4B. 6C. 8D. 5E. 10
9. En la figura:____________
; ECBDDCAB == ; m mABD = 024=ACBCalcular el valor de “x”
A. 16ºB. 18ºC. 20ºD. 24ºE. 32º
10. En la figura:____________
, DCAEECAB == =ABE ºECD 20= . Calcular ""x
A. 15ºB. 10ºC. 20ºD. 25ºE. 35º
θ
∝ β
A ECD
B
A
BDC
E
F
G
H
I
x
A
B
P
C α
70º
40º
60º
D
C
B
A
E
A
B
CD
xº
α
α
A CD
E
B
α
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
52
11. En un paralelogramo ABCD se trazó la bisectriz interior de B que corta a___
AD
en E. Calcular el segmento que une los puntos medios de___
BD y___
CE sabiendo
que: .4___
=AB
A. 2 B.3 C.6 D.4 E.1
12. En un trapezoide ABCD las bisectrices interiores de los ángulos A y B se
cortan en P. Si m 030=APB y m :200=D calcular la .Cm∧
A. 20º B. 30º C. 40º D. 50º E. 25º
13. En un trapecio )//(___
ADBCABCD se tiene: 10,8,6_________
=== CDBCAB y 18___
=AD .
Las bisectrices interiores de∧A y
∧B se intersecan en M y las bisectrices
interiores de∧C y
∧D se cortan en N Calcular
___
MN .
A. 3 B.4 C. 5 D. 6 E. 7
Nivel II
1. En la figura, BE es bisectriz de∧B .
___
BH es altura, 0______
14, =α= BEAE . Hallar B .
A. 76ºB. 74ºC. 72ºD. 66ºE. 58º
2. En el interior de un triángulo rectángulo isósceles ABC , recto en B , se tomaun punto D , de modo que: ADAB = y º30=∠BADm . ¿Cuánto mide elángulo DCA ? A. 15º B. 30º C. 5º D. 20º E. 40º
3. En un triángulo ,ABC m 030=A , 015=∠∧
Cm ; si se traza la mediana___
BD .Hallar la medida del ángulo DBC
A. 15º B. 20º C. 25º D. 30º E. 22º 30
4. En la figura :______
MCAM = . Hallar φ
A. 20ºB. 10ºC. 30ºD. 45ºE. 15º
5. Si un trapecio )CD//AB(ABCD la suma de las bases es cm48 , M es punto
medio de NAC,___
punto medio de .___
BD Hallar el segmento que une los puntos
medios de .______BMyAN
A. 10 B. 11 C. 12 D. 9 E. 13
6. Por un vértice de un cuadrado ABCD pasa la recta L que hace un ángulo
agudo con el lado___
AB sin cortar el cuadrado. Si la proyección de la diagonal___
BD sobre la recta mide m8 . Calcular la distancia del punto de intersección delas diagonales del cuadrado a la recta.A. 2 B. 3 C.4 D. 5 E. 6
7. En un trapecio rectángulo ABCD recto en A y D , la base menor___
AB es m4 ,la mediana ME del trapecio mide m6 . Se toma sobre AD un punto P talque PCPB = y su 090=BPC . Hallar MP .
A. 2 B. 4 C. 5 D. 3 E. 6
8. A la figura BCAB = CDAE = , si =BED BDE . Hallar ""x
A. 20ºB. 22.5ºC. 30ºD. 36.5ºE. 40º
EA
B
CH
α
θ
MA
B
H
φφ
C
φ φφ
E
DA
B
Cα3α2
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
53
Ejercicios de Polígonos
1. En un polígono regular se cumple que la suma de medidas de los ángulosinteriores es 6 veces la medida de un ángulo interior. ¿Cuántos lados tienedicho polígono?
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E. 9
2. Cuál es la longitud del apotema de un hexágono regular de perímetro 60 m.
A. 6 3 B. 7 3 C. 5 3 D. 4 3 E. 3 3
3. Calcular el número de lados de un polígono regular donde la medida de unángulo interior es (p+15) veces la medida del ángulo exterior, y el número dediagonales es 135p.A. 56 B. 62 C. 64 D. 36 E. 48
4. Un polígono regular tiene 4 lados menos que otro y la diferencia de lasmedidas de los ángulos centrales de 45º. Cuántos lados tiene dicho polígono?A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 8
5. En un polígono regular, al disminuir en 10º la medida de un ángulo interior,resulta otro polígono regular cuyo número de lados es 2/3 del número delados del polígono original. Calcular el número de lados de dicho polígono.A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 E. 24
6. Si los ángulos externos e internos de un polígono regular se encuentran en larelación de 2 a 7. Cómo se llama el polígono?A. pentágono B. hexágono C. nonágonoD. heptágono E. dodecágono
7. Se tiene un polígono regular cuyo semiperímetro es “p” y en el cual el númeroque expresa su perímetro es el mismo que el que se expresa su número dediagonales. Además su ángulo interior es “p” veces su ángulo exterior. Cuántomide el lado del polígono regular?A. ½ B. ¼ C. 1 D. 1/3 E. 1/5
8. Calcular la medida del ángulo exterior de un polígono regular, sabiendo que apartir de sus cuatro primeros vértices se puede trazar 25 diagonales.A. 10 B. 20 C. 45 D. 36 E. 30
9. En un polígono regular, la medida de un ángulo interior es igual a cinco vecesla medida de un ángulo central. Calcular el número de diagonales trazadasdesde los tres primeros vértices.A. 32 B. 44 C. 26 D. 29 E. 28
10. Las medidas de los ángulos interiores de dos polígonos regulares difieren en10º y uno de ellos tiene 6 lados menos que el otro. Hallar el mayor número delados.A. 16 B. 19 C. 17 D. 18 E. 20
11. Cuántas diagonales en total tiene aquel polígono regular convexo en el cual elcuadrado de su ángulo central es igual a 15 veces la medida de su ángulointerior.A. 14 B. 20 C. 27 D. 35 E. 17
12. Desde )4( −n vértices consecutivos de un polígono convexo, se trazan)34( +n diagonales. Hallar el número de ángulos rectos a que equivalen la
suma de las medidas de los ángulos interiores de dicho polígono.A. 4 B. 10 C. 16 D. 20 E. 18
13. ¿Cuántos lados tiene un polígono cuya suma de las medidas de sus ángulosinternos y externos es 3960?A. 21 B. 20 C. 22 D. 18 E. 16
14. ¿Cuál es el polígono regular en el cual, al aumentar en 1 el número de suslados, su ángulo central disminuye en 12?
A. Cuadrado B. Pentágono C. HexágonoD. Heptágono E. Octágono
CLAVE:01 – B 02 – C 03 – E 04 – B 05 – B 06 – C07 – A 08 – D 09 – C 10 – B
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
54
TEMA 11
SEMEJANZA Y PROPORCIONALIDAD
11.1.Teorema de Thales: Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectasparalelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales alos segmentos correspondientes en la otra.
Si: 321 L//L//L , se cumplen las siguientes proporciones
nm
ba = ,
nb
ma =
yn
nmb
ba +=
+
Corolario: Si una recta es paralela a un lado del triángulo e interseca a los otrosdos, determinan en ellos, segmentos proporcionales.
Si MN //AC entonces
nb
ma =
11.2 Teorema de la bisectriz interior y exterior:
Teorema: La bisectriz de un ángulo de unTriángulo divide al lado opuesto en dossegmentos proporcionales a los lados queforman ese ángulo.Es decir, en el triángulo ABC :
ac
nm
=
Teorema: La bisectriz de un ángulo exteriordel triángulo divide exteriormente el ladoopuesto en dos segmentos, cuyas medidasson proporcionales a las de los lados delcorrespondiente ángulo interior del triángulo.
ac
qp
=
Semejanza de Triángulos: En geometría, existen casos en los que se presentanciertas similitudes entre figuras; aquí los conceptos de congruencia o semejanzase establecen cuando las figuras son de la misma forma y tienen igual o diferentetamaño.
En la congruencia, los lados y los ángulos tienen la misma medida y, en lasemejanza, las dos figuras tienen la misma forma, aunque no tengannecesariamente la misma medida o tamaño; sus ángulos correspondientes uhomólogos deben ser congruentes y los segmentos correspondientes o ladoshomólogos deben guardar entre sí una relación proporcional.
¿Cuándo se puede afirmar que dos triángulos son semejantes? Para contestaresta pregunta es necesario que se cumplan las condiciones que se analizarán acontinuación:
Obsérvense los siguientes triángulos: ¿serán semejantes? Si se toma con un transportador la medida del ángulo M, se puede ver que escongruente con el ángulo P; de la misma forma, el ángulo N es igual a Q, y R a O,por lo que se puede establecer que:
<M = <P = 60°;<N = <Q = 40°;<O = R = 80°
a
b n
mL1
L2
L3
b
NM
CA
B
n
ma
A
B
Cnm
c aθ θ
A
B
Dqp
c a
θ
C
θ
Np
no40mm
QP
R
O
Mp
qr60º
54mm
30mm
27mm20mm
60mm40º
80º
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
55
Por otra parte, las medidas en milímetros de los lados opuestos a estos ángulostienen una razón o constante de semejanza, esto es, el cociente de los ladosopuestos a ángulos iguales es constante.
5,06030 ==
mp 5,0
5427 ==
nq 5,0
4020 ==
or
Para comprobar que los ángulos M, N y O del MNO son, respectivamente,congruentes a los ángulos P, Q y R del PQR, se puede calcar el PQR, recortar ysobreponer, uno a uno, los ángulos de los dos triángulos.
Gracias a los datos obtenidos puede afirmarse que los triángulos MNO y PQR sonsemejantes. El símbolo ~ indica semejanza entre dos figuras, por lo que sepueden representar como: ∆PQR ~ ∆MNO
Para determinar la semejanza entre dos triángulos existen tres criterios que sonlos siguientes:
Primer Criterio: Ángulo – Ángulo (AA): Dos triángulos son semejantes si tienendos de sus ángulos respectivamente iguales.
Segundo Criterio: Lado - Ángulo- Lado ( LAL): Dos triángulos son semejantes sidos de sus lados son proporcionales respectivamente y congruente el ángulo queforman.
Tercer Criterio: Lado - Lado - Lado (LLL): Dos triángulos son semejantes si sustres lados son respectivamente proporcionales.
PROBLEMAS:
1. En la figura AE // CB. Determinar la medida de DB si AD = 20 cm, AC = 6 cm. yED = 18 cm.
A) 9 cmB) 11 cmC) 12,6 cmD) 54 cmE) 15
2. En la figura, DE // AB, entonces
I)CDAC
ABDE
=
II)ECBC
DEAB
=
III)CDDE
ACAB
=
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo IIID) Sólo II y III E) I, II y III
3. En la figura, ST//QR, si SQ = x + 1, QP = x + 2, TR = x + 5, RP = x + 6. Laexpresión que permite determinar x es:
A)65
21
++
=++
xx
xx
B)15
62
++
=++
xx
xx
C)6112
322
++=
++
xx
xx
D)1125
132
++
=++
xx
xx
E) 11232 +=+ xx
4. ABMN trapecio. NC = 8 cm, MC = 12 cm, BC = 15 cm. El segmento AC mide:
A) 22,5 cmB) 11 cmC) 10 cmD) 6,4 cmE) 20 cm
5. ABCD es paralelogramo, DE = 15, EF = 4, FB = 55. Determinar CF.
A. 44/3B. 12/11C. 825/4D. 20E. 18
S
T R
Q
P
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
56
6. En la figura, MN//PQ, entonces:
I)OPMO
PQMN
=
II)OQON
OPOM
=
III) MN•NO = QO2
IV) PQ2 = QP•MN
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo II y IIID) Sólo II y IV E) Sólo I y II
7. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones se verifica(n) en la figura, siendo DE//CFy CE//BF?
I)CEAC
BFAB =
II)EFBC
AEAB =
III)AFAE
ACAB =
A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) I, II y III
8. El ∆ABC de la figura es equilátero de lado a. Si DE // AB y CD: DA = 2:3,entonces la medida de DE en función del lado a es:
A) a5
2
B) a5
3
C) a5
4
D)2
a
E) a332
9. En la figura, ¿cuál debe ser el valor de xpara que L1 // L2?
A) 3B) 4C) 4,5D) –4E) -4,5
10. En el triángulo ABC de la figura, AB//DE . SiCD = 20, DA = 5, CB = 30 y AB = 45,entonces el perímetro del trapecio ABED es
A) 65B) 80C) 86D) 90E) 92
11. De acuerdo a los datos proporcionados en la figura adjunta, la recta CD es:
a) Alturab) Bisectrizc) Simetrald) Transversal de gravedade) Mediana
12. En el triángulo ABC de la figura, AB//DE y31=
DACD . Se afirma que:
41
31
===ABDE)III
EBCE)IICECD)I
De estas afirmaciones es(son) verdaderas:
A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) I y IIE) II y III
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
57
13. Se tiene un trapecio escaleno en donde la base mayor es tres veces la basemenor, la altura mide 6m. Hallar la distancia del punto de corte de lasdiagonales a la base menor.A. 1 B. 1,5 C. 2 D. 2,5 E. 3
14. Se tiene un triángulo escaleno ABC en donde se conoce que AC=10cm y laaltura BH=8cm. Encontrar el lado del cuadrado inscrito en el triánguloconociendo que uno de sus lados se encuentra sobre AC.A. 2,8 B. 3,6 C. 4,4, D. 5 E. 3
15. Las bases de un trapecio miden 4m y 12m y los lados no paralelos 4m y 5m.Hallar el perímetro del triángulo menor que se forma al prolongar los lados noparalelos.A. 8,5m B. 13m C. 7m D. 10m E. 12m
16. El área de un trapecio es 24m2 y sus bases miden 5m y 7m respectivamente.Hallar la distancia del punto de intersección de las diagonales a la basemayor.A. 5/3 B. 7/3 C. 8/3 D. 11/3 E. 10/3
17. En la figura: AC=8m, BC=12m, DE//AB. Área del triángulo DCE = área trapecioADEB. Hallar CE.
A. 64B. 26C. 12D. 10E. 8
18. En la figura: ángulos B y D son 90º, EC=5, ED=4, AD=10. Hallar BE.
A. 2,5B. 2,8C. 4,5D. 3,2
CLAVE:
1 - C 2 – C 3 – A 4 – A 5 – D 6 - B7 – A 8 – A 9 - B 10 - D 11 - B 12 - E
13 – B 14 – C 15 – A 16 – B 17 – B 18 – B
TEMA 12
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
222
2
2
2
222
111hca
b.ncb.mah.bc.an.mh
cab
=+
=
=
==
+=
12.1 RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULO ACUTÁNGULO YOBTUSÁNGULO
Teorema de Euclides Si 90º<β<180º
bmcba 2222 −+=
Teorema de Heron
( )( )( )cpbpappb
h
cbap
b −−−=
++=
22
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
58
Teorema de Stewart Teorema de Mediana
mcnabmnbx 222 +=+22
22
22 cabx +=+
Ejercicios y problemas
01. Los lados de un triángulo miden 2 ; 6 y 8 . Calcular la proyección delmenor lado sobre el mayor lado.
a) 2 b)32 c)
22 d) 2 3 e)
23
02. En un triángulo ABC encontrar la m<A si entre las longitudes de sus lados secumple: bccba −+= 222
a) 30 b) 60 c) 74 d) 16 e) 37
03. En un romboide ABCD dos lados consecutivos miden 3 y 5. Determinar elángulo mayor que se opone a una de las diagonales que mide 7
a) 120° b) 135° c) 105° d) 165° e) 150°
04. Si los lados de un triángulo miden 2, 3 y 4. ¿Qué clase de triángulo es?
a) Acutángulo b) Rectángulo c) Obtusángulo d) Falta información
05. En un triángulo ABC, 10;8 == BCAB y 12=AC . Se traza la ceviana BR , tal que
3=RC . Calcular la longitud de BR a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 5
06. Los lados de un triángulo son: 17=AB ; 13=AC y 24=BC . Si los punto M y N
dividen al lado BC en tres longitudes iguales. Calcular 22ANAM −
a) 36 b) 38 c) 40 d) 42 e) 44
07. En el triángulo ABC ( )BCAB = , Sobre AC se ubica el punto D. EncontrarDCAD. si 7=AB y 5=BD
a) 2 b) 12 c) 8 d) 16 e) 24
08. Los lados de un triángulo miden 2k; 3k y 4k. determinar “k” si la altura relativaal lado intermedio mide 15
a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2
09. En un triángulo ABC, obtuso en A, encontrar la medida del ángulo “A”, si entrelas longitudes de sus lados se cumple:
( )222444 2 cbacba +=++ a) 120 b)135 c) 105 d) 165 e) 150
10. En un cuadrilátero ABCD de diagonales perpendiculares tenemos que:
2=AB ; 3=BC y 52=CD . Calcular AD a) 23 b) 15 c) 6 d) 2 3 e) 30
11. En un triángulo ABC, la circunferencia inscrita tiene centro O. F es un punto de
AC , tal que2
BmFOCm ∠=∠ . Si 20=AF y 16=AO . Hallar la longitud del
radio de dicha circunferencia.
a) 9,2 b) 9,4 c) 9,6 d) 10,2 e) 11,4
12. En una circunferencia de centro Q, se trazan los radios QA y QBperpendiculares entre sí. Hallar la distancia de P a QA si QB = 10 cm y
cmPB 8= a) 6 b) 6,8 c) 6,4 d) 6,2 e) 6,6
13. En un triángulo ABC; 7=AB ; 31=BC y 54=AC . Hallar la longitud de laaltura BH .
a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 7
14. Calcular la altura de un trapecio isósceles, sabiendo que la longitud de suslados no paralelos es 34 m y cuyas bases miden 8 m y 40 m respectivamente.
a) 28m b) 32m c) 40m d) 30m e) faltan datos
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59
15. En un triángulo rectángulo ABC, trazamos BR ( )ACR ∈ , de modo que
BRAB = . Hallar AB , si 236. cmARAC =
a) cm25 b) 9cm c) cm23 d) cm27 e) 11cm.
16. En un triángulo rectángulo ABC, se trazan ACBH ⊥ , ABHE ⊥ y
BCHF ⊥ . Si mAE 1= y mFC 8= . Calcular BH a) m5 b) m55 c) m52 d) m53 e) m2
17. Calcular el perímetro de un triángulo rectángulo, sabiendo que sus lados sonnúmeros enteros, en cm. y que uno de sus catetos mide 11cm.
a) 120cm. b) 122cm. c) 142cm. d) 152cm e) 132cm.
18. Hallar “x” en: “o” es centro
a)8
115 b)8
125
c)4
115 d)8
95
e)4
95
19. Hallar xBD = , si 18=AC y ABCD es un romboide
a) 2 5 b) 55c) 232 d) 133e) 2
20. Hallar “x” en:a) 6 b) 5c) 4 d) 3e) 7
01. C 02. B 03. A 04. C 05. C 06. C 07. E 08. E 09. B 10. B
11. C 12. B 13. B 14. D 15. C 16. C 17. E 18. B 19. C 20. E
TEMA 13
13.1 REGIONES POLIGONALES. ÁREASTriángulo
h
b2h.bA =
Trapeciob
B
hA
hbBA2+
=
Cuadradoa
aa S
S=a2
Paralelogramo
h
b
S
S=b.h
Rectángulo
b
a S
S=a.b
Polígono Regular
a
p: semiperímetrop.aA =
Rombo
D
d
A
2d.DA =
Relación entre áreas de triángulossemejantes
ββα α
'h
c
ab
S
2
2
2
2
2
2
2
2
'hh
'cc
'bb
'aa
'SS
====
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60
Área del Círculo y Longitud de suCircunferencia
rS
S=πr2 LC = 2πr
Área de un Sector Circular yLongitud de Arco
rS L
ºrL
ºrS
3602
360
2 πα=
πα=
Area de la corona Circular
R
r
A=π(R2-r2)
Área del Segmento Circular
rS
2360
22 α−
πα=
senrº
rS
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
01. Cada lado de un rectángulo se divide en tres segmentos de la misma longitud;los puntos obtenidos se unen definiendo un punto en el centro, como se indicaen la figura. ¿Cuánto es el cociente del área de la parte blanca entre el áreade la parte gris?
A. 1 B. ½ C.. 1/3 D. ¼ E. 2/3
02. Al aumentar en la misma proporción la longitud de los lados de un cuadrado,su área aumenta en un 69 %. ¿Qué porcentaje aumentaron sus lados?
A. 20% B. 30% C. 34,5% D. 8,3 % E. 69%
03. ¿Qué proporción guardan las áreas de las dos regiones grises marcadas en elrectángulo PQRS, si M es un punto cualquiera de la diagonal?
P
M
S R
Q
A. La de arriba es más grande B. La de abajo es más grandeC. Son iguales D. Sólo son iguales si M es punto medioE. No hay suficientes datos
04. Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa 6 y perímetro 14, ¿cuál es su área? A. 3 B. 7 C. 10 D. 14 E. 28
05. En la figura, cada lado del cuadrado mide 1. ¿Cuál es el área de la regiónsombreada?
D C
BA
A. π /2 B. π /4 C. ½ D. 1 - π /4 E. 1 - π /206. ¿Cuánto mide el área de la parte sombreada?
6
3
3
A. 9 B. 2/3 C. 18 D. 12 E. 6/ 3
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61
07. En el triángulo ABC, AB = 1, BC = 2 y el ángulo ABC es de 72o. Se rota eltriángulo ABC en el sentido de las manecillas del reloj fijando el vértice B,obteniéndose el triángulo A'BC'. Si A,B,C' son colineales y el arco AA' es eldescrito por A durante la rotación, ¿cuánto vale el área sombreada?
B
D
C
A
A. π/6 B. π-3/2 C. π/10 D. 1 - π/2 E. 3π/8
08. Hallar el área sombreada si el radio de los círculos iguales es: R
A. 3R2(4 - π) B. 3πR2 – 5R2 C. 8πR2 – 3R2
D. 10R2 - 7πR2 E. 6πR2
09. Cuál es el área sombreada si los círculos iguales tienen radio: 4 cm
10. Hallar el área sombreado si el cuadrado tiene lado igual 4 m. 2(π- 3)
A. 4(π - 2)B. 4(3π -1)C. 8(π -2)D. 4π
11. Cuál es la relación entre la parte sombreada y la no sombreada? A. 2/15 B. 1/16 C. 3/16 D. 1/12 E. 1/18
12. El área de un rectángulo es 1230 m2. Si el largo aumenta en 9m y el ancho en20m resulta un cuadrado. Calcular el perímetro del rectángulo original.
A. 140 m B. 142 m C. 150 m D. 152 m E. 160 m
13. Un triángulo equilátero y un hexágono regular tienen el mismo perímetro. Si lasuma de sus áreas es 100 m2. Cuál es su diferencia?
A. 20 m2 B. 40 m2 C. 30 m2 D. 10 m2 E. 50 m2
En el cuadrado ABCD, determinar la relación p/q.
A. 2 B. 1/3 C. ½ D. 2/3 E. 3/2
14. Sobre una recta se toman los puntos A, B y C de modo que AB=4m yBC=3m . A un mismo lado de la recta se construyen los triángulos equiláterosAEB y BDC. Hallar el área del cuadrilátero AEDC en m2.
A. 14 3 B. 14 6 C. 21 3 D. 27 6 E. 9,25 3
15. En un trapecio ABCD, AB//CD, AB>CD. Las áreas de los triángulos AOB yCOD son de 25m2 y 12m2. Hallar el área del trapecio. (O es punto de corte de lasdiagonales).
A., 60m2 B. 71,6m2 C. 78m2 D. 72,5m2 E. 66,2 m2
16. Dado un segmento de recta AB=a, determinar sobre ella un punto M demodo que la suma de las áreas de los triángulos equiláteros de lados MA y MBsea mínima.
A. MA=a/2 B. MA=a/3 C. MA=a/4 D. MB=a/3 E. MB=a/4
A. 3π R2
B. 4π R2
C. 2π R2
D. πR2
E. 5π R2
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62
17. Hallar el área máxima que puede tener un rectángulo inscrito en untriángulo ABC, AC=b y su altura BH=h. Uno de los lados del rectángulo estásobre AC.
A. bh/3 B. bh/4 C. bh/5 D. Bh/8 E. Bh/6
18. Un triángulo y un trapecio tienen áreas y alturas iguales. Si la base deltriángulo mide 18 cm, hallar la mediana del trapecio.
A. 36cm B. 18cm C. 9cm D. 30cm E. 26cm
CLAVE01- B 02 – B 03 – C 04 – B 05 – C 06 – A07 – C 08 – A 09 – D 10 – B 11 – B 12 – A13 – E 14 – E 15 – B 16 – A 17 – B 18 – C
TEMA 14
GEOMETRIA ANALITICA EN EL PLANO
14.1 Distancia entre dos Puntos, Punto Medio de un Segmento
( ) ( ) ( )201
20110 yyxxP,Pd −+−=
++
=22
0101 yy;xxM
14.2 la rectaEs el lugar geométrico de todos los puntos delplano dispuestos en una misma dirección.Al ángulo “α” se le llama ángulo de inclinación dela recta.Se define la pendiente de la recta no verticalcomo la tangente de su ángulo de inclinación
Pendiente de la recta L: m(L)=tanα
Ecuaciones de la Recta:
Si tiene pendiente m y pasa por P0(x0;y0) ( ) ( )00 xxmyy:L −=−
Si se conocen dos puntos P1(x1;y1) y P2(x2;y2) ( ) ( )112
121 xx
xxyyyy:L −
−−=−
Ec. General de la recta 0;;0: ≠−==++ AABmCByAxL ,
Ec. de una Recta Vertical que pasa por P(h,k) L: x-h=0.
Recuerda que:
• Si L1//L2 m(L1) = m(L2)
• Si L1⊥L2 m(L1).m(L2)= -1
• Distancia del punto P(x0,y0) a la recta L: Ax+By+C=0
( )22
00
BACByAx
L;PD+
++=
14.3 Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo llamado centro. Al segmento que une el centro de la
circunferencia con un punto de ella, se le llama radio (r).
Ecuaciones de la circunferencia:
Ec. Canónica : x2+y2=r2
Ec. Ordinaria : (x-h)2+(y-k)2=r2
Ec. General : x2+y2+Dx+Ey+F = 0
Dada la ecuación x2+y2+Dx+Ey+F = 0; se considera que :
01
01
xxyym
−−=
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63
• Si 042 >−+ FED 2 representa una circunferencia de radio
FDr 4E21 22 −+= y centro en
−−
22E;D .
• Si 042 =−+ FED 2 . Representa solo al punto
−−
22E;D .
• Si 042 <−+ FED 2 , no representa ningún conjunto en el plano.
14.4 ParábolaUna parábola es el conjunto de todos los puntos en un plano equidistantes de unpunto fijo y una recta fija; el punto fijo se llama foco y la recta fija directriz
14.4.1 Ecuaciones de la parábolaPara Parábolas que tienen eje paralelo al eje Y
Ec. Canónica : x2=4py Ec. Ordinaria : (x-h)2=4p(y-k)Ec. General : Ax2+Bx+Cy+D=0
Para Parábolas que tienen eje paralelo al eje X
Ec. Canónica : y2=4px Ec. Ordinaria : (y-h)2=4p(x-k)Ec. General : Ax+By2+Cy+D=0
14.5 Elipse: La elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve de modoque la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es constante igual a “2a”
14.5.1.Elementos de la Elipse:
F; F’ : focosFF’ : 2cV; V’ : vérticesVV’ : eje mayor = 2axx’ : eje focalC : centro.yy’ : eje normalAA’ : eje menor= 2bDD’ : cuerdaL : directriz
Si una cuerda pasa por cualquiera de los dos focos, se le llama cuerda focal. Si lacuerda focal es perpendicular al eje focal la cuerda se llama lado recto. Longitud
del lado recto se calcula comoab22
Se cumple la relación pitagórica a2 = b2 + c2.
La excentricidad está dada por: 1<=ace
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64
14.5.2 Ecuaciones de la Elipse
Para Elipses que tienen su eje focal paralelo al eje X
Ec. Canónica: 12
2
2
2
=+by
ax Ec. Ordinaria: ( ) ( ) 12
2
2
2
=−
+−
bky
ahx
E. General: Ax2+By2+Cy+Dx+F=0(A.B>0)
Para Elipses que tienen su eje focal paralelo al eje Y
Ec. Canónica: 12
2
2
2
=+bx
ay Ec. Ordinaria:
( ) ( ) 12
2
2
2
=−
+−
bhx
aky
E. General: Ax2+By2+Cy+Dx+F=0
14.6 Hipérbola: Es el lugar geométrico de un punto (P) que se mueve en un planode tal manera que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (F1 y F2)llamados focos, es siempre igual a una constante positiva (2a).
14.6.1 Elementos de la Hipérbola
F2F1
B2
B1
C V1V2
LF
R
LA1LDLNLDLA2
E
E’
12 L
V1V2 (2a) :Eje transversoF1F2 (2c) :Segmento focalLD1 y LD2 :DirectrizLF :Eje focalLN :Eje normalLA1 y LA2 :AsíntotasC :CentroV1 y V2 :VérticesF1 y F2 :FocosLR :Lado rectoEE’ :Cuerda focalB1B2 (2b) :Eje conjugado
14.6.2 Ecuaciones de la Hipérbola
Para Hipérbolas que tienen su eje focal paralelo al eje X
Ec. Canónica: 12
2
2
2
=−by
ax
Ec. Ordinaria: ( ) ( ) 12
2
2
2
=−
−−
bky
ahx
E. General: Ax2+By2+Cy+Dx+F=0 (A.B<0)
Se cumple que:• c2=a2+b2
• Excentricidad: 1>=ace
• Longitud del lado RectoabLR
22=
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65
PROBLEMAS
1. Uno de los extremos de un segmento de longitud de 5 cm es el punto A(-3;-2)si la abscisa del otro extremo es -6. Halla su ordenada
a) 2 b) -6 c) a y b d) -2 e) 6
2. Los vértices de un triángulo rectángulo son los puntos A (1;-2), B(4;-2) y C(4;2)Determina las longitudes de los catetos, la longitud de la hipotenusa y el áreadel triángulo. Da como respuesta la suma de estas cantidades
a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24
3. Los puntos M( 1/3;4) y P(8/3;5) son los puntos de trisección del segmento AB,halla la longitud del segmento AB
a) 6 b) 7 c) 8 d) 57 e) 58
4. Dadas las rectas : L1 que pasa por los puntos (-2;3), (1;5) L2 : 2ax –(a+3)y = 5si L1 es perpendicular a L2, halle (a+1)
a) -9/7 b) -2/7 c) 4/ 7 d) -3/7 e) 2/7
5. Una recta pasa por los puntos A(1;2) y B(-3;8). halla la ordenada del puntosobre la recta que tiene como abscisa 5
a) 2 b) 3 c) -4 d) -3 e) 5
6. Dada la ecuación de la recta L: 2x-y-2=0, halla la ecuación de la recta L1 quepasa por el punto (8;4) y es perpendicular a L
a) x+2y-16=0 b) 2x-5y-16=0 c) x-2y+8=0 d) 2x+4y+16=0 e) x+2y+16=0
7. Halla la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y formaun ángulo en posición normal de /4 rad
a) y=x b) y=-x c) y=2x d) y=-2x e) y=2
8. La ecuación de la parábola cuyo vértice está en (5;-2) y su foco está en (5;-4)es:
a) x2 -10x+8y+41=0 b) x2 +10x-8y+41=0 c) x2 -10x+8y-41=0 d) x2+10x+8y+41=0 e) x2 -10x-8y-41=0
9. La ecuación de la parábola con eje paralelo al eje X, que pasa por los puntos(3/4;9), (-5/4;1), (0;11) es:
a) y2+16x-14y+33=0 b) y2+16x+14y+33=0 c) y2+16x-14y-33=0
d) y2-16x-14y-33=0 e) y2+10x-14y+33=0
10. Un espejo parabólico tiene una profundidad de 12 cm en el centro y undiámetro en la parte superior de 32 cm. La distancia del vértice al foco es:
a) 16 b) 12 c) 15 d) 16/3 e) 24
11. Halla la ecuación de la parábola con vértice de abscisa positiva y que pasapor los puntos A(7;8) y B(7;-12). Además tiene como directriz la recta x+3=0
a) (y+2)2 =20 (x-2) b) (y-1)2 =20 (x+2) c) (y-2)2 =8 (x+2) d) (y+2)2 =20 (x+2) e) (y-1)2 =20 (x-2)
12. Halla la ecuación de la parábola cuyo foco está sobre la recta L1: 2x+y-1=0, suvértice pertenece a la recta L2: x-y+3=0 y su directriz es la recta L3: x+4=0
a) (y+1)2=4(x-2) b) (y+1)2=8(x+2) c) (y-1)2=8(x+2) d) (y+1)2=4(x+2) e) (y-1)2=8(x-2)
13. El foco de una parábola es el punto A(4,0) y un punto sobre la parábola es elpunto P(2;2) entonces, la distancia del punto P a la recta directriz de laparábola es:
a) 2 b) 3 c) 2 2 d) 2 3 e) 2
14. El término independiente de la ecuación general de la circunferencia de centro(2;5) y radio 6 es:
a) 25 b) 36 c) 7 d) -7 e) -10
15. Se tiene una circunferencia que pasa por los puntos a(-5;1) b(-2;4) y c(1;1),Halla las coordenadas del centro
a) (2;1) b) (-2;1) c) (1;2) d) (-1;2) e) (-2;-1)
16. La ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos a(4;6), b( -2;-2) yc(-4;2) es:
a) x2+y2-2x-4y-10=0 b) 3x2+3y2-2x-4y-20=0 c) x2+y2-4x-4y-2=0 d) x2+y2-2x-4y-20=0 e) x2+y2-2x-4y+20=0
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
66
17. Hallar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación está dada por:x2+y2-2x+y-1=0
a) c(1;1/2) r=3/2 b) c(1;-1/2) r=3/2 c) c(1;-1) r=3/2 d) c(1;-1) r=3 e) c(1;-3/2) r=2
18. Para qué valores de m y k la ecuación: mx2+y2+4x-6y+k=0 representa unacircunferencia?
a) m=1 k<13 b) m=1 k=13 c) m=2 k>11 d) m=2 k>13 e) m=2 k<13
19. Encuentre una ecuación para la elipse con centro en (2; -3) un foco en (3;-3) yun vértice en (5;-3).a) 1
83
92 22
=++− )y()x(
b) 18
39
2 22
=−
+− )y()x(
c) 19
382 22
=+
+− )y()x(
d) 15
39
2 22
=−
++ )y()x(
e) 12
332 22
=++− )y()x(
20. El área del rectángulo cuyos vértices son los extremos de los lados rectos dela elipse 1
254
93 22
=+
+− )y()x( es:
a) 25 b) 18/5 c) 24/5 d) 144/5 e) 8/5
21. La ecuación de la hipérbola de focos (0;-5) y (0;+5) y asíntotas 3x +2y = 0 es: a) 5x2+117y2=900 b) 20y2+45x2=900 c) 52y2-117x2=900 d) 20y2-45x2=600 e) 5y2-117x2=900
22. Encontrar la ecuación de la hipérbola cuyos focos son f2(5;0) y f1(-5;0) tal quela diferencia de las distancias de los puntos de ella a los focos sea 8.a) 9x2-16y2=144b) 9x2-16y2=72c) 16x2-9y2=144d) 9x2-25y2=100e) 9x2-81y2=144
23. Dados V(-3;4) y la directriz y = 2, calcular la ecuación de la parábola.
A) x2 + 6x – 8y + 31 = 0 B) x2 + 6x – 8y + 41 = 0C) x2 + 6x – 8y + 51 = 0 D) x2 + 6x – 8y + 61 = 0E) x2 + 6x – 8y + 71 = 0
24. Hallar la ecuación de la parábola Siendo el foco F (5;0) el LR = 12 sabiendoque el eje coincide con el eje X’X.
A) y2 =12x + 24 ; y2 = –12x – 24B) y2 =12x – 24 ; y2 = –12x + 24C) y2 =12x – 24 ; y2 = –12x – 24D) y2 =12x + 24 ; y2 = –12x + 24E) y2 =12x – 14 ; y2 = –12x – 14
25. Hallar la ecuación de la parábola sabiendo que el lado recto es 4 y que pasapor Q(–1; –2); siendo su eje paralelo a XX’. Además su vértice esta sobre la rectax = 3.
A) y2 + 4y + 4x – 8 = 0 D) y2 – 4y + 4x + 8 = 0B) y2 + 4y + 4x + 8 = 0 E) y2 – 4y – 4x – 8 = 0C) y2 – 4y + 4x – 8 = 0
26. El LR de una parábola es 1; el eje es paralelo a XX’. La parábola pasa por P(-6;4) y Q(9;1). Deducir su ecuación.
A) (y – 6)2 = (x + 7) D) (y + 5)2 = (x - 7)B) (y – 5)2 = (x - 7) E) (y – 5)2 = (x + 7)C) (y + 5)2 = (x + 7)
27. Hallar las ecuaciones de la asíntotas de la siguiente hipérbola.180454 22 =− yx
28. Hallar los focos de la hipérbola:7841649 22 =− xy
29. Hallar la excentricidad de hipérbola.2522 =− yx
30. Hallar la ecuación de la hipérbola que satisfaga la condición siguiente:Eje normal 24, focos )13;0( ±
31. Hallar la ecuación de la hipérbola que satisface la condición siguiente:Centro (0; 0) un foco (8; 0), un vertiente (6; 0)
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
67
TEMA 15
SUPERFICIE PRISMÁTICA
15.1 POLIEDRO REGULAR:
Un Poliedro Regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares iguales y encada uno de sus vértices concurre el mismo número de caras. Existen 5 tipos depoliedros regulares:
Polígonoutilizado
Vértices deOrden
CNº decaras
ANº de
aristas
VNº de
vértices
Nombre delpoliedro
TRIÁNGULO 3 4 6 4 TETRAEDRO
CUADRADO 3 6 12 8 HEXAEDRO oCUBO
PENTÁGONO 3 12 30 20 DODECAEDRO
TRIÁNGULO 4 8 12 6 OCTAEDRO
TRIÁNGULO 5 20 30 12 ICOSAEDRO
Fórmula de EULEREn todo poliedro convexo, la suma de los vértices más las caras es igual a lasaristas más 2
V + C = A + 2
15.2 PRISMA REGULAR: Un prisma es una figura geométrica formada por variosparalelogramos iguales llamados caras laterales, y dos polígonos iguales yparalelos llamados bases.
Los prismas se denominan según sean sus bases:- Prisma triangular (sus bases son triángulos)- Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)- Prisma pentagonal (sus bases son pentágonos)
15.3 PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR (Ortoedro o rectoedro):
Área lateral = 2ac + 2bc Área total = 2ac + 2bc + 2ab Volumen = a · b · c Diagonal: D 2 = a2 + b2 + c2
15.4 HEXAEDRO (cubo)
x : lado de l cuboD : d iagonal de l cubo
3xD =S t o t a l =6x2
V =x3
15.5 El PRISMA RECTO REGULAR:
Área lateral = Producto del perímetro de la base por la altura.AL = P . h
Área Total = Área lateral más el área de las dos bases.AT = AL + 2. ABase
Volumen = Área de la base por su alturaV = ABase · h
D
ab
c
x
D
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
68
Ejercicios y problemas
01. Calcular el volumen de un prisma recto que tiene por bases cuadrados. Si laaltura mide 6 y el desarrollo de la superficie lateral es un rectángulo cuyadiagonal mide 10.A. 12 B. 24 C. 40 D. 48 E. 36
02. Cuál es el área total de un hexaedro regular, si la distancia de un vértice alcentro de una cara opuesta es “d”.A. d2 B. 2d2 C. 3d2 D. 4d2 E. 5d2
03. Una de las aristas de un paralelepípedo mide 5 y las otras dos se encuentranen la relación de 1 a 2. Si el volumen es 10. Hallar el área total delparalelepípedo.A. 28 B. 30 C. 32 D. 34 E. 36
04. Hallar el área lateral de un prisma regular recto hexagonal, de altura 6 3 m yel radio de la base 4m.
A. 120 3 m2 B. 100 2 m2 C. 144 3 m2 D. 180 3 m2
05. Hallar el volumen de un prisma recto de base triangular rectangular cuyoscatetos miden 15 y 20 m respectivamente. Su altura es 50m.A. 7500m3 B. 750m3 C. 1500m3 D. 15000m3 E. 150m3
06. Las caras de un paralelepípedo rectángulo tienen áreas de 6, 8 y 12. Calcularsu volumen.A. 16 B. 18 C. 24 D. 28 E. 32
07. La suma de las diagonales de todas las caras de un cubo es 12. Calcular elárea total del cubo.A. 3 B. 6 C. 12 D. 18 E. 24
08. La distancia de una de las diagonales de un hexaedro regular a una de sus
aristas no contiguas es 2 2 m. Hallar el volumen del cubo.A. 8m3 B. 27m3 C. 64m3 D. 125m3 E. 32m3
09. Una chimenea de 3m de altura tiene la forma de un prisma hexagonal regular.Determinar su espesor si el volumen de fábrica es igual al volumen interior. El
lado del hexágono interior es 2 m.A. 0,62m B. 0,48m C. 0,38m D. 0,70m E. 0,51m
10. Se forma un cubo soldando 12 pedazos de alambre de 3cm de longitud cadauno. Si una mosca parte de uno de sus vértices y sigue caminando a lo largo
de los lados, entonces la distancia máxima que puede recorrer antes de quevuelva a un vértice por segunda vez, sin recorrer un lado dos veces será:A. 24cm B. 12cm C. 30cm D. 21cm E. 18cm
11. De una lámina rectangular de 10 cm de lado y 14cm de largo, se construyeuna caja abierta, cortando un cuadrado de “x” cm de lado en cada esquina. Elvolumen resultante de la caja es:A. 140x – 48x2 + 4x3 B. 140x + 48x2 + 4x2 C. 140x + 24x2 + x3
C. 140x – 24x2 + x3 D. 140x + 12x2 + 4x3
12. Se tiene un rectoedro regular (cubo) de arista 5m. Hallar la menor distanciapara ir de un vértice al vértice opuesto, recorriendo la superficie cúbica.A. 11,18m B. 8,66m C. 12,07m D. 15m E. 14,14m
13. En un prisma regular la diagonal mayor, que mide 4, forma un ángulo de 60ºcon la arista lateral del prisma. Calcular el volumen del prisma.
A. 6 3 B. 9 3 C. 12 3 D. 18 E. 16 3
14. En una batea de 10 pies de largo y de sección trapecial isósceles, de altura 2pies y base superior 3 pies, se vierte agua a razón constante. Cuando elvolumen de agua es 45/2 pies3, a qué altura de la base se encuentra el agua?A. 1 B. ½ C. ¼ D. 2/3 E. 3/2
15. Hallar el volumen de un prisma recto de 10cm de altura, de base cuadriláteroinscriptible. Una de las diagonales del cuadrilátero lo divide en triánguloequilátero de 8cm de lado y en un triángulo isósceles.
A. 480 3 cm3 B. 420 3 cm3 C. 460 3 cm3
D. 440 3 cm3 E. 33
640 cm3
CLAVE:01 – B 02 – D 03 – D 04 – C 05 – A06 – C 07 – B 08 – C 09 – E 10 – D11 – A 12 – A 13 – B 14 – A 15 – E
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69
TEMA 16
SUPERFICIE PIRÁMIDAL
PIRÁMIDE RECTOEs un poliedro que tiene por base una región poligonal, las caras laterales sontriángulos con un vértice común llamado vértice de la pirámide.
hAp
ap
h : altura de la pirámideAp: Apotema de la pirámideap: Apotema de la base
16.1. CLASIFICACIÓN
a. Por el número de lados de la base pueden ser: pirámide triangular,pirámide cuadrangular, pirámide pentagonal, etc.
b. Por su forma pueden ser:Ø Regular: cuando la base es un polígono regular y la altura cae en el
centroØ IrregularØ Convexa: cuando la base es un polígono convexoØ Cóncava.
16.2. Áreas y Volumena. Área Lateral§ lateralescarasdeáreasdeSuma=LA
§PL ApA ×=
21 ; Si la pirámide es regular, donde: p es el
perímetro de la baseb. Área Total§ BLT AAA += donde: BaseladeáreaAB :
c. Volumen§ hAV B .
31
=
Ejercicios y Problemas
NIVEL I
1.- En la figura. Si ;ABCDEB ⊥ 3=EB y 4=AB donde :ABCD
cuadrado. Hallar el volumen de la pirámide.
a) 10 3u
b) 16 3u
c) 20 3u
d) 40 3u
e) 48 3u
2.- Calcular el valor de x en la siguiente pirámide regular, si el volumen es348 cm
a) cm2 b) cm3 2 c) cm3 22 d) cm3 24 e) cm8
3.- Calcular la apotema de una pirámide pentagonal regular cuya área lateral es2315 cm y la arista básica mide .6cm
a) cm15 b) cm18 c) cm20 d) cm21 e) cm30
4.- La base de una pirámide regular es un hexágono de área 36 2cm . Lasaristas laterales forman ángulos de 45° con la base. Hallar el volumen delsólido.
a) 34 3cm d) 36 3cm b) 3 3cm e) 33cm c) 33 3cm
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
70
5.- Calcular el volumen de una pirámide cuadrangular regular cuya arista básicamide 6cm, siendo su área lateral el quíntuplo del área de la base.
a) 3624 cm b) 3636 cm c) 3654 cm d) 3672 cm e) 3696 cm
6.- la base de una pirámide es un cuadrado y una arista lateral le esperpendicular. Si dos de las otras aristas laterales tienen longitudes de 10 y
136 cm. Hallar el volumen del sólido.
a) 348 cm b) 364 cm c) 396 cm d) 3112 cm e) 3128 cm
7.- El área total de una pirámide regular pentagonal es de 245u y su área lateral.25 2u Calcular la relación entre las longitudes de apotemas, de la base de la
pirámide y de la pirámide misma.
a) 5/4 b) 4/5 c) 1/2 d) 1/5 e) 2
8.- Calcular el volumen de un octaedro regular, cuya diagonal mide “ 4 ” unidades
a) 33.5 b) 66.10 c) 33.21d) 00.32 e) 00.64
9.- Un cubo y un tetraedro regular tienen igual volumen. Las aristas de estossólidos tienen longitudes que son entre si como:a) 1 b) 2 c) 6 72d) 6 36 e) 6 18
10.- Si se unen los baricentros de las caras de un octaedro regular de arista 6cm,se forma un sólido de volumen
a) 16 3cm b) 216 3cm c) 316 3cm d) 28 3cm e) 38cm
NIVEL II
1.- Calcular el volumen de la pirámide ABCQ − sabiendo que°=∠=∠=∠ 90ACBmQCBmQCAm , además mAQ 15= ,
mAB 106= y mQB 13= .
a) 60 3m b) 70 3m c) 80 3m d) 90 3m e) 100 3m
2.- ¿Cuál es el peso del sólido representado por la figura adjunta, el mismo estáconstruido de un metal cuyo peso específico es de 3/7 cmgr .
a) 4.9392N b) 0.1008N c) 3.9502N d) 5.1428N e) 0.9528N
cm. 254
3.- Un plano pasa por las diagonales de 3 caras consecutivas de un cubo de aristaL formándose un tetraedro. Hallar el volumen de dicho tetraedro.
a)3
3L b) 26
3L c) 23
3L d) 36
3L e)6
3L
4.- Calcular el área lateral de una pirámide regular cuya base es un cuadradoinscrito en una circunferencia de radio “ R ” y la altura de la pirámide es
22R .
a) 22 R b) 232 R c) 23R d) 262 R e) 222 R
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
71
5.- En una pirámide regular cuadrangular, calcular la relación entre el volumen delsólido que se forma al unir los baricentros de las caras laterales con el vérticede la pirámide y el volumen de la pirámide original.
a) 2/9 b) 3/8 c) 4/9 d) 4/27 e) 2/13
6.- Hallar el área lateral de una pirámide regular hexagonal en donde su base seencuentra circunscrita a una circunferencia de radio 3 y además la aristalateral hace con la base un ángulo de o60 .
a) 1512 b) 155.13 c) 1515 d) 1516 e) 1518
7.- El área lateral de una pirámide regular de apotema a es 40, si el ánguloformado entre la base y una cara lateral es o60 . Hallar el volumen de lapirámide, si .3=a
a) 8 b) 10 c) 12 d) 15 e) 20
8.- Cuatro esferas del mismo radio de longitud r están en un plano, de manera queestán en contacto una con otra. Una quinta esfera del mismo radio se colocasobre ellas en el centro, al unir sus centros de las esferas se forma un sólido.Hallar el volumen del sólido.
a) 3
324 r b) 3
322 r c) 3
38 r d) 34r e) 38r
9.- Hallar el radio de la esfera circunscrita a un tetraedro regular de arista x .
a)6
3x b)12
6x c)4
6x d)12
3x e)6
6x
10.- Hallar el radio de la esfera inscrita en una pirámide SABC donde el triedroS es trirrectángulo y ,4=AS 2=SB y .3=SC
a)1361
12+
b)1361
9+
c)1221
3+
d)661
12+
e)1351
12+
N-I 1-b 2-d 3-d 4-a 5-d 6-c 7-b 8-b 9-c 10-bN-II 1-d 2-a 3-e 4-e 5-d 6-e 7-b 8-a 9-c 10-
TEMA 17
SUPERFICIES DE REVOLUCION
17.1Superficie cilíndrica – cilindro: Es aquella superficie generada porla rotación de un rectángulo sobre uno de sus ladosFórmulas:
r: radio de la baseπh: alturaS l a t e r a l =2πrhS t o t a l=2πr(r+h)V=πr 2 h
17.2 Cono: Sólido generado por la rotación de un triangulo rectángulosobre uno de sus catetos.Fórmulas:
r: radio de la baseh: altura; g:generatrizr 2 +h2 =g 2
S l a t e r a l =πrgS t o t a l=πr(r+ g)
hr31V 2π=
ProblemasNIVEL BÁSICO
1. Un cilindro tiene un radio de 10 2m . Determinar su área total y volumen,si su área lateral mide 1600m2
3 3
3 2 3 2 3
)400(4 ) 8000 2 )200(4 ) 2 8000 2
)400(4 ) 4000 2 )800 8000 )4000 8000
A y m B m y m
C y m D m y m E m y m
π π
π
+ +
+
h
r
r
h g
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
72
2. Hallar el volumen de un cilindro cuya circunferencia mide 94,2m y unaltura igual al doble del diámetro. 3,14π =
3 3 3 3 3)375000 )475000 )42390 )35347 )40373A m B m C m D m E m
3. Si el área lateral de un cono es ¾ de su área total. ¿Cuál será la relaciónque existe entre la generatriz y el radio del cono?
)1/ 3 )2 / 3 )4 / 3 )3 / 2 )3A B C D E
4. El volumen de un cono circular recto es 324π cm3. Si el radio de la basemide 9 cm, la generatriz del cono mide:
)12 )15 )9 )16 )36A cm B cm C cm D cm E cm
5. ¿cuál es el volumen de una esfera en la que su circulo máximo tiene36,86m2 (π =22/7)?
3 3 3 3 3) 83,81 ) 80,88 ) 38,81 ) 30,89 ) 37,81A m B m C m D m E m
NIVEL INTERMEDIO
1. Encontrar el volumen de una esfera, si el área de la superficie de laesfera es igual al área de la superficie total de un cono de revolución deradio 4cm y altura 3cm.
3 3 3 3 3)16 )24 )12 )36 )45A cm B cm C cm D cm E cmπ π π π π
2. Una esfera de volumen V es calentada hasta que su radio se encuentraen un décimo. El nuevo volumen de la esfera será.
3)10 )1,21 )1,331 )1,1 )1,030A V B V C V D V E V−
3. El radio de la base de un cilindro recto circunscrito a una esfera es 3.hallar la diferencia de los volúmenes de los sólidos.
)16 )18 )20 )22 )24A B C D Eπ π π π π
4. La altura y el diámetro de la base de un cono recto mide 9 y 8respectivamente. En el cono se inscriben un cilindro recto cuya árealateral es 10 π y del radio básico x. Hallar x, si x >1
)11/ 3 )7 / 3 )5 / 3 )10 / 3 )8 / 3A B C D E
5. Un cilindro de 30cm de radio y 50cm de altura esta completamente llenode agua, si dentro de él se introduce un trozo de madera labrado enforma de prisma de base cuadrada de 10cm de lado y cuya altura es20cm. El agua se derrama. La camtidad de agua que queda en elrecipiente es de:
)100 )105 )75 )120 )139,37A l B l C l D l E l
6. Calcular el volumen de un cilindro circular recto, suyo desarrollo de susuperficie lateral es un cuadrado de lado “a”
3 2 3 3 3 3) / )2 / ) / ) / 4 )A a B a C a D a E aπ π π π7. En un cono circular recto la suma de la generatriz con el radio de la base
es 8. Si su altura es 4, calcular su volumen.)4 )6 )12 )36 )A B C D Eπ π π π π
8. Un cono de revolución de vértice E, y volumen 54cm3, se traza undiámetro AC en el circulo de la base. Hallar el volumen del tronco decono que se determina al trazar un plano paralelo a la base por elbaricentro de la región triangular.
3 3 3 3 3)19 )19 )36 )38 )36A cm B cm C cm D cm E cmπ
9. Un cono de revolución se llama equilátero si la generatriz mide igual queel diámetro de la base. Hallar el volumen de un cono equilátero,conociendo el radio r de la esfera inscrita en él.
3 3 3 3 3)2 ) ) 3 )3 )9A r B r C r D r E rπ π π π π
10. Se funde una bala de plomo de radio 8cm para obtener luego bolitas delmismo material con un radio de 1cm cada una. ¿Cuántas bolitas, comomáximo, se obtendrán?
)8 )16 )64 )125 )27A B C D E
NIVEL AVANZADO
1. Un cono recto tiene por base un circulo de 8m2 de área y una altura de8m. Si a 2m del vértice se traza un plano paralelo a la base. ¿Cuál será elárea de la sección?
2 2 2 2 2)1 )0,25 )0,5 )1,5 )1,25A m B m C m D m E m
2. Se inscribe una esfera en un cono cuya base mide 25 r m2 y altura 12m.por los puntos de tangencia de la esfera y la superficie cónica se traza unplano paralelo a la base del cono. Hallar el área de la sección.
2 2 2 2 2)1600 )169 )16/169 )169 )1600 /169A m B m C m D m E mπ π π
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
73
TEMA 18
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES
18.1 IDENTIDADES FUNDAMENTALES O BÁSICAS
A) Identidades Recíprocas:
ü Senx.Cscx = 1ü Cosx.Secx = 1ü Tgx.Ctgx = 1
B) Identidades por Cociente:
ü Tgx =x
senxcos
ü Ctg =senx
xcos
C) Identidades Pitagóricas:
ü Sen2 x + Cos2x = 1ü 1+Tg2 x = Sec2
ü 1+Ctg2 = Csc2x
D) Identidades Auxiliares:
ü Sen4x + Cos4x = 1-2Sen2x.Cos2xü Sen4x - Cos4x = Sen2x - Cos2xü Tg2x – Sen2x = Tg2x.Sen2xü Sen6x + Cos6x = 1-3Sen2x.Cos2x
NIVEL I
1) Simplificar: ( 1+Tgx)2 + (1-Tgx)2
A) SecxB) CscxC) Sec2xD) Csc2
E) 2Sec2x
2) Simplificar:xCoscxSen 22 1
11
1+
++
A) SenxB) Csc2xC) 2D) CosxE) 1
3) Si: Senx + Cosx = 2 , evaluar: Sen4x+ Cos4x
A)½B)1C)2D)2/3E)1/3
4) Eliminar β de las ecuaciones:
Tg β + Sec β = 2b ∧ Sec β - Tg β = a
A)1B)2C)3D)5E)6
5) Si: Tgx + Ctgx = a . Calcular: E = Tgx-Ctgx
A) a2-4
B) 42 −aC) a2+4
D) 42 +aE) a
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
74
NIVEL II
1) Si: x está en el 2do cuadrante. Simplificar
E = )cos1)(1()cos1)(1( xsenxxsenx ++++−
A) senx
B) senxC) 2 senxD) senx2E) xcos3
2) Reducir: 4(Sen6x + Cos6x) – 3(Cos4x – Sen4x)2
A) SenxB) 1C) Cos2xD) Senx.CosxE) 0
3) Simplificar: E =xxxxsen 2222 sec1
1cos11
csc11
11
++
++
++
+
A) 1B) 2C) 3D) 4E) 5
4) Si: Senx.Cosx = 0,48 Calcular: E =xsenxsenx
coscos
−+
A) SenxB) CosxC) 1D) CscxE) 7
5) Si: xqTanpxsenx
r+≡−
++ 1csc
11
1 Calcular: p-q+r
A) 1B) 2C) 3D) 4E) ½
6) Si: Ctgθ + Cscθ = 3, hallar Senθ en función de Cosθ
A) CosθB) ½ CosθC) Cosθ +1/2D) 3CosθE) Cosθ +1/3
7) Reducir:)1)(1(sec
)cos1( 2
senxxxsenx
+−−−
A) 2SenxB) 2CosxC) 2TgxD) 2CtgxE) 2Secx
8) Si: Sen2x + Cos4x =n , hallar K=Sen4x + Cos4x
A) 2n+1B) 2n-1C) n+1D) n-1E) 2n
9) Hallar “m” en la identidad:mm
SenxCscxxSenxCsc
−+
=−−
11
)( 2
22
A) Sen2xB) Cos2xC) Tg2xD) Ctg2xE) Sec2x
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
75
18.2 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS COMPUESTOS
a) De ángulos compuestos:Sen (a+b)= sena . cosb + cosa . senbSen (a-b) = sena . cosb – cosa . senb
bababa
tan.tan1tantan)tan(
−+
=+
bababa
tan.tan1tantan)tan(
+−
=−
ctgbctgactgbctgabactg.1
)(−
+=+
b) Identidades con la mitad de un arco:
1 cos2 2x xsen −
= ±
1 coscos2 2x x+
= ±
1 cos2 1 cosx xtg
x−
=+1 cos
2 1 cosx xctg
x+
=−
NOTA: El signo (+) ó (-) depende en que cuadrante se ubica el ángulo(x/2) y ademas depende de la R.T. que se le aplica.
c) Identidades del ángulo doble:Sen2x = 2senx.cosxCos 2x = cos2x – sen2x
Tan2x = 2
21
tgxtg x−
ctg2x =2 1
2ctg x
ctgx−
Ejercicios
1. Si senx + cosx =2
8, calcular:
A= 16sen (x+45º)
)2 / 3 )3 )2 )1 )1/ 2A B C D E2. Determinar S = 3 Sen15º + cos 15º
)2 ) 2 )3 ) 3 )1A B C D E3. Si Senα = 0.8 ^ IQα ∉ , calcular_
Sen( ; 0,6senα β β+ = ) ^ IQβ ∈)3/ 5 ) 2 / 2 ) 3 / 2 )7 / 25 )1/ 2A B C D E
4. Si x + y =π/6, Calcular_T = (senx + cosy)2 + (cosx+seny)2
)1 )2 )3 )4 )5A B C D E
5. Si tan(15+x)=3/5, determinar tan(60+x))3 / 5 )5 )3 )4 )1/ 3A B C D E
6. La suma de las tangentes de los ángulos es “S”y la diferencia es “D”,Calcular la tangente de la suma de dichos ángulos.
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 4 4) ) ) ) )4 4 4 4 4
D S S SA B C D ES D S D S D S D S D− + − + − + − + + −
7. Si tan(37º + x ) = 4. Calcular ctgx) )4 /3 )3 / 4 )13/16 )16 /13A tgx B C D E
8. Si tan α=1/2, tanβ=3/4 y tanθ=1/39. Calcular: tan(α+β+θ)
)0.5 )7 )1.5 )2 )3A B C D E10. Calcular cos6x de las condiciones:
senx - sen3x = 2senθ
cosx + cos3x = 2 cosθ)25 / 23 ) 23 / 27 ) 23/ 27 )27 / 25 ) 25 / 27A B C D E− −
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
76
d) Identidades arco mitad
1. Si:1 coscos , cos
2 2 2calcularθ θ θ−
= ± , si cosθ = -0.68
) 0,1 ) 0, 2 ) 0,3 ) 0, 4 ) 0,5A B C D E± ± ± ± ±
2. Calcular el valor de: 2 Sen7º 30’:
) 2 2 3 ) 2 2 3 ) 2 3 ) 2 3 ) 3 2 2A B C D E− − − + − + − +
3. Si cos θ = cscx + ctgx, determinar:
E =2 2csc / 2
2 sec / 2sen x
tgxθ
θ+
− +
) ) )2 ) csc )1A Senx B Sec C D x Eθ
e) Identidades ángulo doble
1. Si sen 7 / 7, csc 2Calcularα α=7 6 6 7 7 3 7 6) ) ) ) )
2 7 13 7 12A B C D E
2. Si sen2x = 1/5. calcular 0.28sex4x-1
)5 ) 2 )3 ) 3 ) 5A B C D E− − −
3. Si tgx = 5 . Calcular tg4x
)2 5 ) 5 )3 5 )4 5 ) 3 5A B C D E −
4. Si tgx = 6 . Calcular
E = 2 cos 2 2 3 2x sen x+) 3 ) 2 ) 5 )2 3 )3 2A B C D E
TEMA 19
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICA
Valor Principal (VP)VP para aSenkx = ; 11 ≤≤− a Resolución aSenkx =Si a es + ⇒ VP es el ángulo agudo
( ) ( ) VPnkx n .1180 −+°=Si a es - ⇒ VP es el ángulo agudo negativo Ζ∈nSi a = 1⇒ VP = 90°Si a = -1 ⇒ VP = -90°Si a = 0 ⇒ VP = 0°
VP para aCoskx = ; 11 ≤≤− a Resolución aCoskx =Si a es + ⇒ VP es el ángulo agudo
( ) VPnkx .360 ±°=Si a es - ⇒ VP es el suplemento del ángulo agudo Ζ∈nSi a = 1⇒ VP = 0°Si a = -1 ⇒ VP = 180°Si a = 0 ⇒ VP = 90°
VP para aTgkx = Resolución aTgkx =Si a es + ⇒ VP es el ángulo agudo
( ) VPnkx .180 +°=Si a es - ⇒ VP es el ángulo agudo negativo Ζ∈nSi a = 0 ⇒ VP = 0°
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
01. Resuelve: 12 =senx ; si 0<x<π
a)3
2;3
ππ b)
43;
4ππ
c)5
4;5
ππ d)
65;
6ππ
e)8
7:8
ππ
02. Resuelve: 3cos2 =x ; ] [π2;0∈x
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
77
a)3
2;3
ππ b)
47;
4ππ
c)5
9;5
ππ d)
65;
6ππ
e)6
11;6
ππ
03. Resuelve: 03 =−tgx ; ] [π;0∈x
a)3π
b)4π
c)5π
d)6π
e)8π
04. Resuelve: xsenxsen 32 =
a)2π
b)3π
c)4π
d)5π
e)6π
05. Resuelve: xCosxCos 53 =
a)2π
b)3π
c)4π
d)5π
e)6π
06. Resuelve: 034 2 =−xCos ; si 0<x<2πa) 30; 150; 210; 330 b) 60; 120; 210; 330 c) 30; 45; 150; 135d) 30; 150; 210; 240 e) 30; 60; 150; 120
07. Resuelve la ecuación en el intervalo:
π20 ≤≤ x ; 03.2 =− TgxTgxSenx
a) ππππ 2;;3
2;3
;0 b) ππππ ;4
5;4
;3
;0 c)2
3;;6
;3
;0 ππ
ππ
d) ππππ ;6
5;6
;3
;0 e) ππ
ππ 2;
65;;
6;0
08. Resuelve: ( ) xCosxSenxCosxSen 44662 +=+ . Calcula la suma de
soluciones ] [π;0∈∀xa) b) 4 c) 6 d) 3 e) 2
09. Resuelve: ( ) SenxSenxCosx +=+− 11 2. Indica el número de soluciones
comprendidas en el intervalo ] [π2;0a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3
10. Resuelve: 3634 22 =− xCosxCos
a)3πn
b)3
2 πn c)
34 πn
d)3
5 πn e) πn
11. Resuelve el sistema:
2123
=−
=+
SenySenx
SenySenx
a)3
2; ππ b)
43;
2ππ c)
5;
5ππ d)
6;
2ππ e)
8:
8ππ
12. Resuelve el sistema: Hallar el valor de “y”
241.
641.
=
=
SenySenx
CosyCosx
a) 45 b) 16 c) 37 d) 30 e)15
13. Resuelve el sistema:
TgyTgx
yx
32
=
=+π
a)3
;ππ b)
4;
2ππ
c)6
;3
ππ d)
6;
2ππ
e)3
:6
ππ
14. Resolver el sistema:
−
=
=−
4
3yxTg
CosyCosx
yx π
Hallar “x+y”
a)2π b)
3π c)
4π d)
5π e)
6π
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
78
15. Calcular el valor de “x” en el II C que verifica la ecuación:( ) ( ) 024545 =−−++ CotgxxTgxTg
a) 120 b)135 c) 105 d) 165 e) 150
16. Resolviendo la ecuación:( )( ) 12 =+−+ xTgSenxCosxSenxCosx , para qué valores de “x” menores
que 360° se encuentra:
a) Una soluciónb) Dos solucionesc) Tres solucionesd) Que uno de los ángulos pertenece al I Ce) Que hay dos arcos que pertenecen al IV C
17. Cuál es el menor ángulo positivo que satisface a la ecuación:2=− αα CotgTg
a)4π b)
83π c)
43π d)
8π e)
6π
18. Sea la ecuación: 43=+
TgxTgx Un valor de “x” en el I C es:
a) 23 b) 22 c) 22°33’ d) 45 e) 75
19. Calcular el valor del seno de un ángulo para el cual se verifica que su secantees igual a la suma de su seno y coseno
a) 0;23
b) 1;21 c) 0;
22
d)21;
21
− e) 0;21
20. Hallar el menor ángulo agudo en el intervalo
311;
37 ππ que verifique a la
ecuación032 2 =+ SecxxTg
a)3
10π b)3
2π c)3
4π d)0 e)3
8π
CLAVE01. D 02. E 03. A 04. D 05. C 06. A 07. A 08. A 09. E. 10. A11. D 12. D 13. C 14. A 15. E 16. C 17. B 18. D 19. C 20. E
TEMA 20
RESOLUCIÓN DE TRÍANGULOS
20.1. Ángulos Verticales.- Los ángulos verticales son ángulos agudoscontenidos en un plano vertical y formado por dos líneas imaginarias llamadashorizontal y visual.
20. 1.1 Línea Visual. Se llama línea de visión, a la recta imaginaria que une elojo de un observador con el lugar observado.
20.1.2 Angulo de Elevación.- Es el ángulo formado por la línea visual yhorizontal del observador; cuando el objeto está situado por encima de lalínea horizontal.
20.1.3 Angulo de Depresión.- Es el ángulo formado por la línea horizontal yvisual del observador; cuando el objeto está situado debajo de la líneahorizontal.
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
79
20.2. Ángulos Horizontales.- Los ángulos horizontales son ángulos agudoscontenidos en un plano horizontal, se determinan tomando como punto dereferencia los puntos cardinales norte (N), sur (S), este (E) y oeste (O).
20.3. Triángulos Oblicuángulos
a, b y c son los lados deltriangulo.
A, B y C son los vérticesdel triángulo.
20.3.1 Ley de Senos: “ En todo triángulo las longitudes de los lados sonproporcionales a los senos de los ángulos opuestos ”
senCc
senBb
senAa
==
20.3.2 Ley de Cosenos.- Se cumple para todo triángulo agudo y obtuso.“Donde, el cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la sumade los cuadrados de los otros dos, menos el doble de su producto por elcoseno del ángulo comprendido entre ellos”
Abccba cos.2222 −+=Baccab cos.2222 −+=Cabbac cos.2222 −+=
3.3 Ley de las Tangentes. “Se cumple que la suma de dos lados es a sudiferencia, como la tangente de la semisuma de los ángulos que seoponen a dichos lados es a la tangente de la semidiferencia de losmismos”
−
+
=−+
2
2BAtg
BAtg
baba
−
+
=−+
2
2CBtg
CBtg
cbcb
−
+
=−+
2
2ACtg
ACtg
acac
Problemas
NIVEL I
1.- Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis volando a unamisma altura con ángulos de elevación de o53 y o37 si la distancia entre losovnis es de 70m ¿A qué altura están los ovnis?
a) 30mb) 60mc) 90md) 120me) 150m
2.- Un trabajador parte de un punto F y recorre km40 en la dirección O53N o
luego recorre km240 en la dirección OS , finalmente recorre km60hacia el este.
¿A qué distancia se encuentra el trabajador con respecto a F?
a) 5m b) 10m c) 15m d) 20m e) 30m
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
80
3.- El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en unángulo de depresión de °15 . Un buzo es bajado 40 metros hasta el fondo delmar. ¿Cuánto necesita avanzar el buzo por el fondo para encontrar los restosdel naufragio?
a) )22(40 +b) )32(40 +c) )23(40 +d) )24(40 +
e) )24(40 −
4.- Desde el último piso de un edificio se observa un avión con un ángulo deelevación de 37°. Si la altura a la que vuela el avión es de 1000 metros y laaltura del edificio es de 100 metros. Calcula la distancia del avión al últimopiso del edificio.
a) 1500 m b) 1000 m c) 900 m d) 800 m e) 1200 m
5.- En un triangulo ABC se cumple que el segmento ,32=AB 23=BCy el ángulo A mide 60°. Calcular la medida del ángulo B.
a) 15° b) 45° c) 60° d) 75° e) 135°
6.- Si el coseno del mayor ángulo agudo de un triángulo de lados enterosconsecutivos es 1/5. Hallar el perímetro de dicho triángulo.
a) 6 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21
7.- En la siguiente figura adjunta calcular el valor aproximado de x : si
732,13 ≅ .
a) 1.30 m b) 1.50 m c) 1.55 m d) 1.73 m e) 1.80 m
8.- Desde un punto de la tierra se divisa lo alto de un faro con un ángulo deelevación α . Si nos ubicamos a la mitad de la distancia que nos separa delfaro, el ángulo de elevación es el complemento de α , calcular αcot
a) 1 b) 3 c) 2 d) 3 e) 39.- Una torre de 15m de altura esta al borde de un acantilado; y desde un punto
que esta en el suelo las elevaciones angulares para la parte superior e inferiorde la torre son α y β respectivamente. Si 26.1tan =α y
185.1tan =β Calcular la altura del acantilado.
a) 125m b) 248m c) 273m d) 284m e) 237m
10.- Uno de los lados de un triángulo es el doble del otro y el ángulo comprendidovale o60 , Calcular el menor ángulo.
a) 15° b) 30° c) 37° d) 45° e) 53°
NIVEL II
1.- Una persona ubicada en la misma horizontal del pie de una torre, observa laparte superior de ésta con un ángulo de elevación de o30 ¿Cuántos metrosdebe caminar hacia la torre para estar 120 metros de ella y divisar su cúspidecon un ángulo de elevación igual al complemento del anterior?
a) 360 mb) 240 mc) 60 md) 180 me) 210 m
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
81
2.- Annie y Sashi están acampando en la Sierra Nevada. Caminan 8 km desde sucampamento base, con un rumbo de 45°. Después del almuerzo, cambian dedirección con un rumbo de 143° y caminan otros 25 km. ¿Con qué rumbodeben caminar Sashi y Annie para regresar a su campamento base?
a) 180° b) 217° c) 233° d) 270° e) 307°
3.- Se tiene dos postes de 7m y 1m de altura distanciadas 8m. Calcular el mínimovalor del ángulo de elevación con que una hormiguita observaría lo alto delposte menor, desde un punto ubicado entre los postes; sabiendo que elángulo de elevación para el poste mayor, desde ese punto, es el complementodel que se pide calcular.
a) °45 b) °37 c) °53 d) °8 e) °16
4.- Un avión vuela en línea recta y horizontal, en un cierto instante el pilotoobserva una base militar con un ángulo de depresión de o37 . Luego de 3minutos el piloto observa nuevamente la base militar esta vez con un ángulode depresión de o53 , si la velocidad del avión es de 14km/min. ¿A que alturaesta volando el avión?
a) 18km b) 36km c) 54km d) 63km e) 72km
5.- La estación de Zulú de los guardacostas se encuentra a 120 millas al oeste dela estación Rayos X. Un barco en el mar envía una llamada de auxilio la cuales recibida por ambas estaciones. La llamada a la estación Zulú indica que laposición del barco es o37 al este del norte; la llamada a la estación Rayos Xindica que la posición del barco es de o30 al oeste del norte. Si un helicópteroque puede volar a 200 millas por hora sale desde la estación más cercana albarco, ¿Cuánto tiempo tardará en llegar a éste?
a) 34.30 min. b) 57.17 min. c) 29.71 min. d) 49.71 min. e) 36.00 min.
6.- Un bote de motor sale de Naples, Florida Hacia Key West, a 150 millas dedistancia. Lleva una velocidad constante de 15 millas por hora pero navegacon fuertes corrientes y vientos cruzados. La tripulación descubre, después de4 horas que el bote esta fuera del curso por 37° ¿Cuánto tiempo se agrego alviaje debido a la desviación del curso? (suponga que la velocidad se mantieneen 15 millas por hora y 60.313 ≅ )
a) 7.20 horas b) 1.20 horas c) 2.80 horas d) 5.20 horas e) 4.20 horas
7.- Un alumno de 2m de estatura observa la parte más alta de una torre con unángulo de elevación θ , luego se acerca 14m y se observa nuevamente almismo punto con un ángulo de elevación que es el complemento de θ .Calcular la distancia que le falta recorrer para llegar a la torre si se cumpleque: 0)4(3)10(7 =−°−°− θθ CscSec .
a) 6m b) 18m c) 24m d) 26m e) 30m
8.- En un triangulo ABC de segmentos BCa = , ACb = y .ABc = Se tiene
la siguiente relación 110 2
22
=−+
cba . Calcular el valor de:
CabBacAbcR cos.cos.cos. ++=
a) 5 b) 7 c) 10 d) 15 e) 209.- En un triangulo de lados: ,2 26 + y .33 + Calcular el
complemento del suplemento de su ángulo mayor.
a) 30° b) 60° c) 90° d) 120° e) 150°
10.- Los lados de un triángulo están representadas por tres números consecutivos.Si el ángulo mayor es el doble del menor. Hallar el perímetro de dichotriángulo
a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21
Clave de respuestasN-I 1-d 2-d 3-b 4-a 5-d 6-d 7-a 8-c 9-e 10-bN-II 1-d 2-b 3-d 4-e 5-a 6-b 7-b 8-a 9-a 10-c
