http://www.matelandia.org/ CURSO DE MATEMTICA BSICA: ARITMTICA DESARROLLA EN FORMA RESUMIDA CADA UNIDAD CON: I. GUIONES DE CONFERENCIAS II.FICHAS DE ESTUDIO III. LABORATORIOS DE EJERCICIOS Trata las unidades siguientes: UNIDAD 1:LOS NUMEROS NATURALES UNIDAD 2:LOS NUMEROS ENTEROS UNIDAD 3:LOS NUMEROS RACIONALES UNIDAD 4:LOS NUMEROS IRRACIONALES UNIDAD 5:LOS NUMEROS REALES www.matelandia.org 2INTRODUCCIN Hace unos 10 aos el Profesor Francisco Figeac y yo desarrollamos la metodologa que ahora transfiero a Usted. El curso de Matemtica Bsica para los estudiantes que tienen pocos recuerdos de algunas herramientas matemticas, porque la matemtica no les resulta agradable y no la estudiaron como debieron en su momento, entonces decidimos dar conferencias resumidas sobre los conceptos ms necesarios. Conferencias de una hora que presentbamos en lminas (diapositivas) sobre las que armbamos las discusiones. Como segundo paso, elaboramos unas fichas relacionadas con las lminas de las conferencias que contienen sus objetivos, actividades de preparacin (estudio en libros o textos) y al final una evaluacin para medir los conocimientos adquiridos. El ltimo paso era un Laboratorio realizado en clase y calificado por el profesor. Dems est decirle que fue un fracaso ms, creemos que los estudiantes no se esforzaron lo suficiente, bueno, esa fue nuestra opinin, la realidad debe ser otra. He tenido este material engavetado y como sigo creyendo que nuestra idea era buena, se las paso ahora a Ustedes por si acaso le pueda ser de alguna utilidad. Gracias. Raquel Angulo www.matelandia.org www.matelandia.org 3CURSO DE MATEMTICA BSICA: ARITMTICA UNIDAD 1:LOS NUMEROS NATURALES Los nmeros naturales los da Dios; el resto lo construye el hombre. Leopold Kronecker GUION DE CONFERENCIA No. 1 (Parte I)

CONJUNTO YOPERACIONES Contenidos y Lminas No. 1.1 al 1.8 GUION DE CONFERENCIA No. 2 (Parte II) DIVISIBILIDAD EN N. Contenidos y Lminas No. 1.9 al 1.15 FICHAS DE ESTUDIO DE LOS NUMEROS NATURALES I OBJETIVOS II ACTIVIDADES DE PREPARACIN III ACTIVIDADES DE EVALUACIN LABORATORIOS CUESTIONARIO No. 1 CUESTIONARIO No. 2 RESPUESTAS www.matelandia.org 4 UNIDAD 1: GUION DE CONFERENCIA No. 1 (Parte I) LOS NUMEROS NATURALES TEMA: CONJUNTO OPERACIONES CONTENIDO: * Definicin del conjunto de los nmeros naturales. * Sucesor de un nmero natural. Propiedades. * Representacin grfica de los naturales. * Sistema decimal posicional. * Relacin de orden. * Suma y Resta. Propiedades. * Multiplicacin. Propiedades. * Divisin. Algoritmo de Euclides. DESARROLLO.RECURSO 1. Introduccin. * Orgenes de la matemtica con la actividad de contar. * Motivar la constitucin de como respuesta a la pregunta: ) Cuntos objetos tiene una coleccin que inicia con uno y se le agrega uno ms ...?. Lmina 1.0 2. Definicin del conjunto de los nmeros naturales * Explicar sus propiedades: a) 0 pertenece a N.b) Todo nmero ntiene sucesor n + 1. c) No existe ltimo elemento en N. * Representacin grfica de N: Sistema de coordenadas. Lmina 1.1 3. Lecto-escritura de nmeros naturales. * Sistema decimal posicional. * Lectura de un nmero en U, D, C, UM, DM, ... Lmina 1.1 4. Relacin de orden. * Orden natural creciente. * Propiedad de tricotoma. * Interpretacin grfica. Lmina 1.2 5. La suma en : * Interpretacin grfica. * Propiedades. La resta. Lmina 1.3 www.matelandia.org 56. La multiplicacin y sus trminos. * Interpretacin grfica. * Tabla pitagrica. Calculadoras. * Propiedades. Propiedad Distributiva Lmina 1.4 7. Sntesis aditivo-multiplicativo * Operaciones combinadas. Jerarqua. * Cuadro sinttico con las propiedades de la suma yde la multiplicacin. Lminas 1.5 y 1.6 8. La potenciacin en. * Definicin de potencia y sus trminos. * Leyes de los exponentes. Lmina 1.7 9. La divisin en. * Trminos de la divisin. * Algoritmos de Euclides * Divisin exacta e inexacta. Lmina 1.8 LMINA DE PRESENTACIN CONFERENCIA No. 1 UNIDAD 1: Los Nmeros Naturales CONTENIDO * Definicin del conjunto de los nmeros naturales * Sucesor de un nmero natural. Propiedades. * Representacin grfica de los naturales. * Sistema decimal posicional. * Relacin de orden. * Suma y Resta. Propiedades. * Multiplicacin. Propiedades. * Divisin. Algoritmo de Euclides. www.matelandia.org 6LMINA No. 1.1 REPRESENTACION GRFICA DE N N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}

0 123 45... 1er elemento suc(3) ltimo elemento Propiedades de N: 1. Tiene primer elemento. 2. Todo nmero tiene sucesor 3. No existe ltimo elemento LECTURA Y ESCRITURA DE UN NMERO 430104:cuatrocientos treinta mil ciento cuatro unidades decenasunidades

centenas unidades u. de millar

d. de millar millares c. de millar QU CIFRA REPRESENTA LAS CENTENAS? Respuesta: 1 ) CUANTAS CENTENAS HAY EN 430 104 unidades?Respuesta: 4301 centenas. www.matelandia.org 7LMINA No. 1.2 * PROPIEDAD DE TRICOTOMIA

0 123 45... 4 = 44 > 24 < 5 Dados dos nmeros a y b slo se cumple una y slo una de las relaciones siguientes: a = b a < b a > b No es cierto quea = bya < b , al mismo tiempo, o sea,3 = 5y3 < 5no es posible, simultneamente. * La relacin amplia: En cambio, si es posible quea sea menor igual que b a bequivale aa < b a = b a 3 a = 0a = 1a = 2a = 3 {0, 1, 2, 3} 0 123 45... www.matelandia.org 8LMINA No. 1.3 OPERACIONES GRFICAS EN N SUMA: 5 + 4 = 9

05

0 4 0 9 RESTA: 5 - 3 = 2

05

0 3 0 2 MULTIPLICACION: 5 H 2 = 10 05 2 veces

0 5 0 10 www.matelandia.org 9LAMINA No. 1.4 La multiplicacin y sus propiedades. * Interpretacin de la multiplicacin como una suma abreviada. 15 H 4 = 15 + 15 + 15 + 15 = 60 * Los trminos empleados en la multiplicacin son: 15 H 4 = 60producto

multiplicador factores multiplicando * Para multiplicar un nmero por la unidad seguida de ceros, se escribe el mismo nmero y se agregan a su derecha tantos ceros como tenga la unidad. 1)437 H 100 =43700 2)437 H 10000 =4370000 * Aplicaciones de las propiedades en la multiplicacin: 1)437 H 200= 437 H (2 H 100) = (437 H 2) H 100 = 87400propiedad asociativa 2)437 H 256=437(200 + 50 + 6)= 437@ 200 + 437@ 50 + 437@6 = 87400 + 21850 + 2622 = 111872 propiedad distributiva. 3) Procedimiento empleado para multiplicar 437 H 256 2622 21850 87400 111872 437 H 256 2622 2185 874__111872 www.matelandia.org 10LMINA No. 1.5 PROPIEDADES DE LA SUMA Y LA MULTIPLICACION EN N SumaMultiplicacin 1. Cierre: a, b N a + b N a H b N 2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) (a H b) H c = a H (b H c) 3. Conmutativa: a + b = b + a

a H b = b H a 4. Existe neutro: el cero a + 0 = 0 + a = a

Existe neutro: el uno 1 a H 1 = 1 H a = a 5. Distributiva:

a H (b + c)=a H b + a H c 6. Uniforme: a = b a + c = b + c a = b a c = b c 7. Montona: a < b a + c < b + c a < b a c < b c www.matelandia.org 11LMINA No. 1.6 * OPERACIONES COMBINADAS 1. Agrupacin de nmeros por parntesis. 2. Jerarqua de las operaciones. Ejemplo: Calcular 3 + 5 (8 + 7) - 6@ 4 + 2= 3 + 5@ 15 - 6@ 4 + 2 =3 + 75 - 24 + 2 =78 - 24 + 2 =56 Observe que: 1. No se suma 3 con 5 porque no estn encerrados entre parntesis pero si tuviera parntesis el resultado sera diferente como en: (3 + 5)(8 + 7) - 6@ 4 + 2 =8@ 15 - 6@ 4 + 2 = 120 - 24 + 2 =98 2. No se suman el 4 y el 2, del final, porque no estn encerrados en parntesis, si estuvieran indicados se obtiene otro resultado: 3 + 5 (8 + 7) - 6 (4 + 2)=3 + 5@ 15 - 6@ 6 =3 + 75 - 36 =42 3. Tampoco suponga que hay que restar el 2 del final, as: 3 + 5 (8 + 7) - (6@ 4 + 2) =3 + 5@ 15 - (24 + 2) =3 + 75 - 26 = 52 www.matelandia.org 12LMINA No. 1.7 POTENCIACION EN N. * Definicin. Sean a 0y n, nmeros naturales, entonces an = a@ a@ a@ a@ ... @ an veces el factor a a0 = 1 a1 = a a5= a@ a a3= a@ a@ a . . . an = a@ a@ a@ a@...@a n-veces 40 = 1 41 = 4 45= 4@ 4 = 16 43= 4@ 4@ 4 = 64 . . . 4n = 4@ 4@ 4@ 4@...@4 n veces * PROPIEDADES O LEYES DE LOS EXPONENTES an am = an + m (a@ b)n = an@ bn (an)m = anm 32@ 34= 32 + 4 = 36 (3@ 2) 4 = 34@ 24 (32)4 = 38 www.matelandia.org 13LMINA No. 1.8 * OPERACIONES GRAFICAS EN N: La Divisin DIVISIN: 11 5 Por defecto, el cociente es 2 y sobra 1 05 2 veces

0 5sobra 1 011 Por exceso, el cociente es 3 y faltan 4.

0 5 0 5 0 5faltan 4 011 15 EL COCIENTE DE UNA DIVISION SERA SIEMPRE POR DEFECTO: DIVIDENDO = COCIENTE H DIVISOR+ RESIDUO RESIDUO = CERO RESIDUO < DIVISOR D = q H d + rtal quer = 0r < d www.matelandia.org 14 UNIDAD 1: GUION DE CONFERENCIA No. 2 (Parte II) LOS NUMEROS NATURALES TEMA: DIVISIBILIDAD CONTENIDO: * Nocin de divisibilidad. * Relacin de divisibilidad. * Nmeros primos y compuestos. * Divisores de un nmero. Mximo comn divisor de varios nmeros. * Mltiplos de un nmero. Mnimo comn mltiplo devarios nmeros. DESARROLLO.RECURSO 1. Nocin de divisibilidad * Discutir acerca del residuo en el Algoritmo de Euclides. * Remarcar el residuo igual a cero. * Establecer comparacin entre dos nmeros. * Introducir los trminos "divide a", "mltiplo de", "no divide a","no es mltiplo de". Lmina 1.9 2. Relacin de divisibilidad. * Definicin y notacin. * Propiedades (sin prueba). * Criterios de divisibilidad (2, 3 y 5). Lmina 1.10 3. Nmeros primos y nmeros compuestos. * Definiciones de primo y de compuesto. * Px: notacin de nmeros primos menores que x. * Criba de Eratstenes. * Teorema Fundamental de la Aritmtica. Lmina 1.11 Vista opaca de Criba, despues de Px 4. Divisores de un nmero. * Divisores de x denotado por: Dx * Propiedad de tricotoma. * Elementos comunes de Dx y Dy. * m.c.d. (x, y). Lmina 1.12 5. Mltiplos de un nmero. * Mltiplos de x denotado por Mx * Elementos comunes de Mx y My. * m.c.m. (x, y) Lmina 1.13 www.matelandia.org 15LMINA DE PRESENTACIN CONFERENCIA No.2 UNIDAD 1: DIVISIBILIDAD EN N CONTENIDO * NOCION DE DIVISIBILIDAD * DEFINICION DE DIVISIBILIDAD * PROPIEDADES * CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD * NUMEROS PRIMOS Y NUMEROS COMPUESTOS * DIVISORES DE UN NMERO * MAXIMO COMUN DIVISOR * MULTIPLOS DE UN NMERO * MINIMO COMUN MULTIPLO www.matelandia.org 16LAMINA 1.9 1. ALGORITMO DE EUCLIDES Dados dos nmeros naturales D y d, d0, llamados dividendo y divisor respectivamente, siempre existen qyr, llamados cociente y residuo eucldeo, tales que cumplen D = d q + r, r < d Si r = 0entonces D = dq 21 = 7 H 3 + 0 divide a 21 Divisin Exacta es mltiplo de 7 22 = 7 H 3 + 1 no divide a 22Divisin Inexacta no es mltiplo de 7 www.matelandia.org 17LMINA 1.10 * DEFINICION: DIVISIBILIDAD. Seanx,y,x 0,dosnmerosnaturales,sedicequexdivideay,siyslosiel cociente eucldeo de y entre x es exacto. * Notacin.x | y se lee"x divide a y" * Terminologa: x es divisor de y x | y significa que y es mltiplo de x * Propiedades: Para un nmero natural x, se tiene: 1)1 | x 2)x | 0,si x0 3)x | x,si x0 4) Para x, y, z, naturales se tiene: x | y, y | z, entonces x | z, si x 0, y 0 * Criterios importantes de Divisibilidad: Divisibilidad por CriterioEjemplo 2 Termina en cifra par1084 3 Suma de cifras divisible por 31086 5 Termina en 0 en 51085 www.matelandia.org 18LMINA 1.11 * Nmeros Primos y Nmeros compuestos: Las propiedades de la divisibilidad permiten afirmar que: Para todo x natural, x0, x1, se tiene un nmero finito de divisores, porque Si y | x entonces y x ! x es primo si sus nicos factores oTodo x, tal que divisores son 1 y x. x0, x1,seclasifica en ! x es compuesto si admite otros divisores, adems de 1 y de x. * Notacin. PX es el conjunto o coleccin de nmeros primos menores que x. P100 = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89,97} *Para saber si x 0, x1 es PRIMO se divide x por todos los nmeros primos cuyo cuadrado sea menor o igual que el mismo. El nmero x es primo si las divisiones son inexactas. Ejemplo: 211 es primo porque al dividirlo por 2, 3, 5, 7, 11 y 13 la divisin es inexacta. No tiene caso dividirlo por 17 porque su cuadrado 289 es mayor que 211. * TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMETICA Todo nmero natural mayor que 1 se puede descomponer como producto de factores primos. Esta descomposicin es nica, salvo por el orden de los factores. 5733 = 22 72 13, se sabe que2, 7 y 13 son primos. 211 = 211 1 www.matelandia.org 19LMINA 1.12 * Divisores de un nmero natural. Con relacin a la divisibilidad, todo nmero x natural, x0, x1, puede ser: ! primo: slo admite como divisores o factores el mismo y 1 ! compuesto:admite otros divisores o factores diferentes. Esto permite establecer el CRITERIO GENERAL DE DIVISIBILIDAD: El nmero natural x, no cero, es divisor del nmero natural y,si y slo si todos los factores primos de la descomposicin de x aparecen en la descomposicin de y con mayor o igual exponente. 14 | 280 porque: 280 = 23 7 5 14 = 2 7 * Notacin: DX es el conjunto de divisores de x. D60 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} D24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} D60 y D24tienen como divisores comunes a {1, 2, 3, 4, 6, 12} es el mximo Definicin: Se llama mximo comn divisor de x, y, y se escribe m.c.d. (x, y) al mayor de todos los divisores comunes de x e y. Si m.c.d. (x, y) = 1, entonces x e y son primos entre s o primos relativos. Ejemplo: Six=23352, y = 2232, z = 537, entonces: m.c.d. (x, y) = 223m.c.d. (y, z) = 1 www.matelandia.org 20LMINA 1.13 * Mltiplos de un nmero + En las relaciones: Six | yentonces y es mltiplo de x Entonces, z es mltiplo de x Siy | zentonces z es mltiplo de y + Los mltiplos de x tienen la forma kx, parak = 0, 1, 2, 3, 4,... * Notacin: Mx es el conjunto de mltiplos de x. Mx= {0, x, 2x, 3x, 4x,...} Mx no tiene ltimo elemento. M12 = {0, 12, 24, 36, 48,...}

36 es el mnimo comn mltiplo (no cero). M18 = {0, 18, 36, 54, 72,...} * Definicin: Dadosx,y,naturalesdistintosdecero,sellamamnimocomnmltiplo, representadoporm.c.m.(x,y),almenordetodoslosmltiploscomunes, diferente de cero. Procedimiento para calcular el m.c.m. (x, y). Sedescomponenx,yensusfactoresprimosyseformaelproductodefactores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. Ejemplo: Six=23352, y = 2232, z = 537, entonces: m.c.m. (x, y) =233252 m.c.m. (y, z) = 2232537 www.matelandia.org 21FICHAS DE ESTUDIO No.1.UNIDAD 1: NUMEROS NATURALES Lmina 1.1 Definicin del conjunto N NOMBRE________________________________________FECHA____________ I OBJETIVOS: Al concluir esta Gua podrs: 1. Identificar los elementos del conjunto de los nmeros naturales. 2. Determinar el sucesor de un nmero natural. 3. Representar grficamente un nmero natural. 4. Resolver problemas aplicando nmeros naturales. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * Sucesor de un nmero natural. * Propiedades del conjunto de los nmeros naturales. * Sistema coordenado en la recta para graficar un nmero natural. * Criterio de igualdad de dos nmeros naturales. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION. 1. Completa la siguiente tabla: n0 156999 suc(n)1925810 000 www.matelandia.org 222. Grafica en cada recta el sucesor de cada nmero natural dado, usando la escala de la derecha. 909091u m + 51 2n + 11 3. Completa el espacio en blanco: a) Si suc(n) = n + 1, entonces suc(n + 1) = ______________________ b) Si suc(n) = suc(m + 1), entonces n = __________________________ c) Si suc(n + 5) = 18, entonces n = ______________________________ d) Si suc(k) = k + 1, entonces suc(2k) = __________________________ 4. Escribe las frmulas para: a) suc(suc(n))=________________ b) suc(suc(n + 3))=________________ c) suc(suc(2n + 3))=________________ 5. Resuelve los siguientes problemas: a) El nmero de bacterias que hay en cierto cultivo se duplica cada da. Si el nmero inicial es de 500 000 bacterias, calcula el nmero de bacterias que habr al cabo de un da, dos das, tres das, n das, (n+1) das. b) Una persona deposita L 1200 en una cuenta, si cada da ahorra un Lempira, )de cunto dispone al cabo de d das, 2d das y (3d + 1) das? www.matelandia.org 23Lminas 1.1, 1.2 El orden en el conjunto N NOMBRE________________________________________FECHA____________ I OBJETIVOS: Al concluir esta Gua podrs: 1. Leer y escribir nmeros naturales. 2. Interpretar la ordenacin en N segn la grfica de los nmeros naturales. 3. Ordenar cualquier subconjunto de nmeros naturales. 4. Resolver problemas aplicando el orden en los nmeros naturales. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * Nmeros dgitos y sistema de numeracin decimal. * Ordenes, clases y perodos en la escritura y lectura de nmeros naturales. * El sucesor de un nmero es mayor que el nmero y se grafica a su derecha. * Criterios de mayor que, mayor o igual que, menor que y menor o igual que entre dos nmeros naturales. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION. 1. Escribe con palabras los nmeros siguientes: a) 3 001 001b) 1 101 091 2. Dado el conjunto {3 245, 2 725, 1 002,3 342, 2 824} ordena en forma: a) creciente b) decreciente 3. Grafica en una recta y con un segmento unidad conveniente, los nmeros: a) n,suc(suc (n + 2)) b) n 5,tal que n es par. 4. Escribe todos los nmeros pares de tres cifras, cuya suma de las cifras sea 11. www.matelandia.org 245. )Cul es el mayor nmero de cinco cifras significativas diferentes? )Cul el menor? 6. Encuentra todos los nmeros de cuatro cifras que se pueden formar con los dgitos 3, 0, 5 y 9. Ordnalos en forma creciente. 7. Si n m, entonces suc(m)________ suc(n) 8. Si m < n entonces prueba que m < n + 1. 9. Ordena en forma decreciente los nmeros 2(n+1), 2n+1, n + 2, si n > 2. 10. Resuelve los siguientes problemas: a. La suma de las cifras de un nmero de cuatro cifras es 18. Si la cifra de las unidades es el doble de la cifra del millar, la cifra de las centenas es igual a la suma de la cifra de las unidades mas la del millar y la cifra de las decenas es cero. Encontrar el nmero que verifica estas condiciones. b. La produccin anual de fertilizantes de una fbrica viene dada por la siguiente tabla: Tipo fertilizante produccin anual (qq) Orgnico 890 564 Nitrato 24 891 987 Nitrato 48 893 000 NKP - 1901060 145 NKP - 303 945 005 NKP - 330 937 125 NKP - 700 851 969 NKP - 930 1035 928 NKP - 990 1009 789 Ordena la tabla de produccin en forma creciente. www.matelandia.org 25Lminas 1.3 La Suma y la Resta en el conjunto N NOMBRE________________________________________FECHA____________ I OBJETIVOS: Al concluir esta Gua podrs: 1. Interpretar cualquier suma o resta mediante la representacin grfica en N. 2. Identificar las propiedades de la suma y resta de nmeros naturales. 3. Efectuar cualquier operacin de suma o resta de nmeros naturales. 4. Aplicar las operaciones de suma y resta para resolver problemas. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * La interpretacin grfica de la suma de nmeros naturales. * Las propiedades de la suma de nmeros naturales. * La definicin de la resta de nmeros naturales. * Problemas de aplicacin de suma y resta de nmeros naturales. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION. 1. Representa grficamente, en la recta numrica, los trminos y el resultado de: a)3 + 5b) 6 - 4c) 2 + 4 + 6 2. Indica la propiedad empleada en cada ejercicio: a) (15 + 8) + 12 = 15 + 20 b) Si a + b = 7, entonces a + b + 5 = 12. c) Si a + b + 4 < 9, entonces a + b < 5. 3. Efecta las operaciones indicadas: a) 104535 + 379138 - (1286 + 4971) = b) 5479021 - 46713 + (31209 - 21903) - 108 www.matelandia.org 264. Si a + b = 12ya - b = 6, entonces a = _________ y b = __________ 5. Si a - b = c, entonces comprueba quea + b + c = 2a Si b - a = c, entonces comprueba quea + b + c = 2b 6. Resuelve los siguientes problemas: a) Una empresa distribuidora de productos qumicos reporta el siguiente inventario en sus sucursalesdel interior del pas: sucursal ------------- producto La Ceiba Choluteca La Entrada Jabn Maravilloso 23 120 15 705 13 498 Jabn Mgico13 80510 340 8 450 Detergente Rendidor 7 900 12 040 10 890 Detergente Fragante 14 157 9 532 11 905 i))Cunto es el inventario total de Jabn Maravilloso? ii) )Cunto es el inventario total de La Entrada? b) La suma de dos nmeros es 435670, si uno de los sumandos es igual a 40046, entonces encuentre el otro. c) Despus de vender una propiedad en la que gan L 8 316, prest L 7 542 y me qued con L 23 876) cunto me habra costado la propiedad? www.matelandia.org 27Lminas 1.4, 1.5, 1.6 La multiplicacin en N. NOMBRE________________________________________FECHA____________ I OBJETIVOS: Al concluir esta Gua podrs: 1. Interpretar grficamente la multiplicacin de nmeros naturales. 2. Identificar las propiedades de la multiplicacin de nmeros naturales. 3. Efectuar cualquier operacin de suma, resta y multiplicacin de nmeros naturales. 4. Aplicar las operaciones a la resolucin de problemas. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * La interpretacin grfica de la multiplicacin de nmeros naturales. * Las propiedades de la multiplicacin de nmeros naturales. * La definicin de mltiplo y factorial de un nmero natural. * Problemas de aplicacin de operaciones de suma, resta y multiplicacin de nmeros Naturales. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION. 1. Represente grficamente en la recta numrica, los factores y el producto de: a) 3 H 4 b) 4 H 3 c) 6 H 2 d) 2 H 6 2. Identifica la propiedad empleada en cada ejercicio: a)5(4 @ 7) = 20 @ 7 b)3 @ 6 + 3 @ 4 = 3(10) c)98 @15 = (100 - 2)15 = 100@15 - 2@15 d)Si a + b = 7, entonces 3(a + b) = 21 3. Calcule el resultado de operar jerrquicamente: a) (207 + 902) 639 - 628 b) 702 + 124 (3461 - 1257) + 32 - 8 H 2 c) 234 + 157 (328 - 309) - 16 H 42 - 36 www.matelandia.org 284. El triple de un nmero aumentado en 16 es igual a 100. )Cul es el nmero? 5. Encuentra suc (5(n + 2)) y suc ((n + 1)3). 6. Encuentra el resultado de operar 2n@(3m + 5) + 4mn - 9n 7. Encuentra tres mltiplos de 6, tres mltiplos de 4 y tres mltiplos de 12. )Es todo mltiplo de 12 tambin mltiplo de 6 y 4?)Por qu? 8. Si 4! = 24, entonces complete los siguientes ejercicios: a) 4!@5 = b) 7@4! - 3@4! = c) 13@4! + 7@4! = 9. Si n > 1, entonces n! es siempre un nmero par. )Por qu? 10. Resuelve los siguientes problemas: a)Sehanvendido16barrilesdemielaL920cadaunoconunagananciadeL30porcadabarril;21 sacos de arroz a L 450 cada uno con una prdida de L 5 por saco: y 12 sacos de frijoles a L 380 con una prdida de L 3 por saco. )Cul fue el costo total de toda la mercanca vendida? b) Las ciudades A y B estn a una distancia de 1100 km una de la otra. Un automvil sale de A hacia B a las 7 a.m. a una velocidad de 80 km/h. Otro automvil sale de B hacia A a las 9 a.m. con una velocidad de 70 km/h. )A qu distancia estarn dichos automviles uno del otro a las 12 m.? www.matelandia.org 29Lmina 1.8La divisin en N. NOMBRE________________________________________FECHA____________ I OBJETIVOS: Al concluir esta Gua podrs: 1. Interpretar grficamente la divisin de nmeros naturales. 2. Distinguir entre cociente por defecto y cociente por exceso. 3. Determinar el cociente y el residuo de cualquier divisin de nmeros naturales. 4. Efectuar operaciones combinadas de nmeros naturales. 5. Aplicar las operaciones a la resolucin de problemas. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * La interpretacin grfica de la divisin de nmeros naturales. * La divisin Eucldea en los nmeros naturales. * El algoritmo o procedimiento de la divisin. * Problemas de aplicacin de operaciones de nmeros naturales. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION. 1. Grafica la divisin de los siguientes nmeros naturales, de manera semejante al ejemplo del texto, primero por defecto y despus por exceso, para: a)11 4 b) 12 4 2. Calcule324 - 12 4 + 74@3 - 112 3. Calcule el cociente q y el residuo r de la divisin de D entre d y escriba D = d@q + r, donde r = 0 r < d. a) D = 3516, d = 478 b) D = 10324, d = 2004 www.matelandia.org 304. a) Si D = 1516, d = 316 y q = 4, entonces halla r. b) Si D = 29628, d = 208 y r = 92, entonces halla q. 5. Si 24 a = b, entonces calcula: a)8 a = b)24 a/2 = c)12 a/2 =d)4 6a = 6. Si D = dq + r, entonces D + d = dq + r + d)qu le sucede al cociente q? 7. )Cunto aumenta el cociente si se aade el divisor al dividendo y el divisor permanece igual? )Cunto aumenta el cociente si se reduce el divisor a su mitad? 8. Resuelve los siguientes problemas: a) Un comerciante adquiere artculos por L 105 000. Vende una parte por L 36 000 a L 180 cada uno ganando L 30 en cada artculo. )A que precio debe vender el resto para tener una ganancia total deL 25 000. b) Una sala tiene de dimensiones 3m de ancho por 5m de largo. ) Cual es el costo de los ladrillos de 25 cm H 25 cm a un precio de L 4 por unidad? c) Un automvil sale de una ciudad a las 8 a.m. a una velocidad de 70 km/h y otro auto sale de la misma ciudad a las 10 a.m. Si el segundo auto alcanza al primero a la 2 p.m. )a qu velocidad se desplazaba el segundo auto? www.matelandia.org 31Lmina 1.7La potenciacin en N. NOMBRE________________________________________FECHA____________ I OBJETIVOS: Al concluir esta Gua podrs: 1. Interpretar la potenciacin de nmeros naturales. 2. Aplicar las leyes de los exponentes. 3. Efectuar operaciones combinadas de nmeros naturales. 4. Aplicar las potencias a la resolucin de problemas. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * La definicin de potencia n-sima de un nmero natural. * La multiplicacin y divisin de potencias con la misma base. * La multiplicacin y divisin de potencias con el mismo exponente. * El resultado de una potencia elevada a un exponente. * Problemas de aplicacin de potencias de nmeros naturales. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION. 1. Interpreta grficamente por medio de reas de cuadrados las expresiones: a) 35b) (a + 3)5c) T. de Pitgoras: x5 = y5 + z5 2. En un cuadrado de lado R y de diagonal d, a) establece la relacin de los nmeros dy R elevados al cuadrado. b) adems calcula el rea del cuadrado en trminos del lado y tambin de la diagonal. 3. Escribe como potencias de 10 los siguientes nmeros: 10 = 1000 =100 000 = 1 000 000 000 000 = www.matelandia.org 324. Encuentre el valor de x N, si x3 = 82x2 = 139 2x = 32 (x + 3)2 = 25 5. Si el volumen de un cubo de arista a es a3, entonces halla el volumen de un cubo de arista: 5, 2a, 3a, a - 1. 6. Identifica la propiedad empleada para dar el resultado de: a) 25@ 24@ 26b) 36 ) 34c) 45@ 35 d) (24 + 32) 22e) 5@ 54 + 122) 42f) (34)2 7. Aplicando las propiedades, compruebe que: (a + b)5= a5 + 2ab + b5 (a - b)5= a5 - 2ab + b5 (a + b)(a - b) = a5 - b5

8. Resuelve los siguientes problemas: a) De un cuadrado de 12 cm. de lado, se recorta otro cuadrado que tiene sus vrtices en los puntos medios de los lados del primero. Calcule el rea que queda. b) )Cuntas baldosas se necesitan para cubrir un patio cuadrado que tiene 18 m de lado con baldosas cuadradas de 30 cm de lado. c) Compara las reas de las figuras sombreadas. Haz tus conclusiones. www.matelandia.org 33Lminas 1.9, 1.10, 1.11La Divisibilidad en N NOMBRE________________________________________FECHA____________ I OBJETIVOS: Al concluir esta Gua podrs: 1. Determinar los casos en que un nmero es divisor de otro. 2. Identificar las propiedades de la relacin "divide a". 3. Usar los criterios de divisibilidad. 4. Determinar si un nmero natural es primo o compuesto. 5. Efectuar la descomposicin en factores primos de un nmero compuesto. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * La relacin "divide a" "mltiplo de" y sus propiedades. * Los criterios de divisibilidad por 2, 3 y 5. * Divisores de un nmero y su clasificacin en nmeros primos y compuestos. * La criba de Eratstenes y el criterio general para identificar un nmero primo. * Teorema Fundamental de la Aritmtica para los nmeros naturales. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION 1. Determine si x | y cuando a) x = 238, y = 1190b) x = 124, y = 2232 2. Indica si es verdadera o falsa cada proposicin para los nmeros naturales x, y no ceros. Justifica enunciando la propiedad correspondiente: a) 1| x,x |0,x | x,0| x. b) Si x | y entonces y | x c) Si x | y entonces x2 | y2d) Si x |y entonces x | suc (y)

www.matelandia.org 343. Demuestra que si x | ayx | b entoncesx | (a + b) )Es cierto que si x | (a + b) entoncesx | ayx | b ? 4. Determina si es primo o compuesto cada uno de los siguientes nmeros: 311733156720035321 5. Escribe la definicin de nmero primo y de nmero compuesto. 6. Descompone en factores primos cada uno de los siguientes nmeros: 31274010082548023562 7. Indica si es verdadera o falsa cada una de las siguientes proposiciones. a) Si p es un nmero primo, entonces suc (p) es primo. b) Si a es un nmero primo, entonces a3, 5a, a + 3 son primos. 8. Verifica si los siguientes nmeros son primos: a) 301b) 1001

9. Verifica las proposiciones siguientes: a) Si p es primo y p | ab entonces p | ap | b. b) Si p > 2 es primo entonces es de la forma p = 4n + 1 p = 4n + 3, para algn n N www.matelandia.org 35Lminas 1.12, 1.13 Aplicaciones de la Descomposicin en Factores Primos. NOMBRE________________________________________FECHA____________ I OBJETIVOS: Al concluir esta Gua podrs: 1. Determinar cuando un nmero divide a otro mediante su descomposicin en factores primos 2. Calcular todos los divisores de un nmero compuesto. 3. Calcular el mximo comn divisor y el mnimo comn mltiplo de varios nmeros naturales. 4. Calcular la radicacin de nmeros naturales en casos en que sea posible. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * El cociente de dos nmeros naturales que han sido descompuestos en susrespectivos factores primos. * Procedimiento para determinar todos los divisores o factores de un nmero natural. * Definicin del mximo comn divisor de varios nmeros y procedimiento para su clculo. * Definicin del mnimo comn mltiplo de varios nmeros y procedimiento para su clculo. * Radicacin de nmeros naturales mediante la descomposicin en factores primos. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION 1. Halla el cociente de las parejas de nmeros mediante su descomposicin en factores: a) 288, 48b) 5400, 180c) 40 500, 270 2. Halla todos los factores o divisores de: a) 502b) 3564 c)4a3b2 3. Si p es un nmero primo, entonces la suma de todos sus divisores es 1 + p. www.matelandia.org 364. Encuentra el mximo comn divisor y mnimo comn mltiplo de: a) 968, 8755b) 1800, 1080, 2520c) 114, 3648 5. Determina si cada conjunto de nmeros son primos relativos: {24, 35, 154}{56, 143}{66, 385} 6. Explica: a) )Cundo el m.c.m. de dos o ms nmeros es el producto de los mismos? b) )Cundo el m.c.d. de dos o ms nmeros es igual a uno de los nmeros dados ? 7. Un agricultor desea poner 364 quintales de maz, 455 quintales de arroz y 546 quintales de frijoles en el menor nmero de silos o envases del mismo tamao, sin mezclar los granos y de manera que cada silo quede lleno. )Qu nmero de quintales debe contener cada silo?

8. Calcula las siguientes races descomponiendo cada radicando en factores primos: a)3600 b)327000c)5248832

9.)Cul es la menor capacidad de una pila que se pueda llenar en un nmero exacto de segundos por cualquiera de tres llaves que vierten, la primera 24 litros por segundo, la segunda 40 litros en dos segundos y la tercera 54 litros en tres segundos? www.matelandia.org 37 LABORATORIO: CUESTIONARIO No. 1 UNIDAD 1 Examen de Fichas sobre Lminas 1.1 a 1.8 Concepto de Nmero Natural Y Operaciones. Conferencia No.1 CALIFICACION

DESARROLLO CORRECCION IEn cada proposicin responde con V o F, si es verdadera o falsa.(5% c/u) 1. Para a, b naturales se cumple a - b = b - a () 2. Para n natural, n5 es nmero par () 3. Si a < b y c nmero natural entonces ac < bc () 4. ! el punto representa suc(2n) () nn+2 5. Si n > 1 entonces n! es un nmero par () II. Selecciona la respuesta correcta (5% c/u) 1. Suc(suc n) es igual a: a)n + 1 b)n + 2 c)2n d)2n + 1 2. El conjunto numrico ordenado en forma creciente es: a)2(n+1), 2n+1, n+2, n b)n+2, n, 2n+1, 2(n+1) c)n, n+2, 2n+1, 2(n+1) d)n, n+2, 2(n+1), 2n+1 3. Si b - a = c, entonces a)a + b + c = b b)a + b + c = 2a c)a + b + c = 2b d)a + b + c = a

www.matelandia.org 38 4. En el nmero 34016 hay: a) 0 centenas b) 34 unidades de millar. c) 16 decenas d) 6 unidades 5. El resultado de operar4(9 - 3@2)5 + 12@5 - 3es: a)84 b)63 c)117 d)97 III. Resuelve cada problema (25% c/u) 1) Despus de vender un automvil gan L 5308, regal L 2500 y me qued con L 35875.)Cunto me habra costado el carro? 2. Dos ciudades A y B estn a una distancia de2500 km. Un auto sale de A a las 6 a.m. con una velocidad de 80 km/h, y otro sale de Ba las 8 a.m. con velocidad de 70 km/h.)A qu distancia se encuentran uno del otro a las 11 a.m.?

www.matelandia.org 39 LABORATORIO: CUESTIONARIO No. 2 UNIDAD 1 Examen de Fichas sobre Lminas 1.9 a 1.13 DIVISIBILIDAD EN N Conferencia No. 2 CALIFICACION DESARROLLO CORRECCION IEn cada proposicin responde con V o F, si es verdadera o Falsa. (5% c/u) 1. Si suma el divisor al dividendo, el cociente aumenta en 1 () 2. (a4 + b3)a2 = a4 + a2b3 () 3. El nmero 1 es primo () 4. Si m.c.d.(x, y) = 1, entonces y | x() 5. El producto 300 H 1000 = 3 H 106 () II. Selecciona la respuesta correcta (5% c/u) 1. Si 48 a = b, entonces 12 (a/2) es igual a

a)2b b)4b c)b/4 d)b/2 2. El resultado de nCn5 + (4m)3 45es: a)n6 + 4m2 b)n6 + 42m2 c)n5 + 4m3 d)n6 + 4m3 3. Si x | y, entonces a)suc(x) | suc(y) b)y | x c)x5 | y5 d)x5 | y www.matelandia.org 40 4. Halle el nmero primo en los siguientes: a) 5677 b) 3414 c) 4291 d) 1039 5. Si un cuadrado ABCD tiene 12 cm. de lado, entonces el cuadrado interior con vrtices en los puntos medios de los lados de ABCD,tiene rea igual a:

a)144 b) 72 c) 48 d) 36 III. Resuelve cada problema (25% c/u) 1) Compro cierto nmero de sacos de azcar porL 675 y luego los vendo por L 1080, ganando as L 3 por saco. )Cuntos sacos compr?

2. Se quieren envasar 161 libras, 253 libras y 207 libras de plomo, en tres cajas de modo que los bloques de plomo de cada caja tengan el mismo peso y el mayor posible.)Cunto pesa cada bloque de plomo, y cuntos caben en cada caja? www.matelandia.org 41RESPUESTAS FICHAS No. 1 UNIDAD 1: NMEROS NATURALES. Lmina 1.1 1. n = 0, 18, 156, 257, 999, 9999.2.90 910, m + 6, 2n + 2.3. a) n + 2 b) m + 1,c) 12 d) 2k + 1. 4. a) n + 2b) n + 5 c) 2n + 5.5. a) 1 000000,2 000000,4 000000, 500n2 , 50012 +nb)1200 + d,1200 + 2d,1200 + 3d + 1. Lminas 1.1, 1.2 1. a) tres millones un mil unob) un milln ciento un mil noventa y uno. 2 a) {1002, 2725, 2824, 3245, 3342} 3. a) n + 4b) {0, 2, 4} 5.98765, 123456. Son 18 nmeros: 6 que comienzan con 3, otros seis con 5 y los otros con 9. (18 se obtiene de multiplicar 3 cifras para el lugar de unidades de millar, por 3 para las centenas, por 2 para las decenas y una para las unidades). 7. 8.m < suc(n) 9. igual que la propuesta.10. a)3906. Lmina 1.3 2. a) asociativa b) uniforme c) montona.3. a) 477416 4. a = 9, b = 3.6. a) 52323, 44743b) 395624 c) 23102. Lminas 1.4, 1.5 y 1.6 2. a) asociativab) distributiva c) asociativa y distributiva d) uniforme. 3. a) 708023b) 274014 c) 2509 4. 28 5.5n + 11, 3n + 4. 6. 10mn + n 7. Si, porque 12 = m.c.m. (6, 4). 8. a) 120 b) 96c) 480 9. n! = n(n 1)...3@2@1 10.a) 28391 b) 490. Lmina 1.8 2. 4313. a) 3516 = 4787 + 170b) 10324 = 20045 + 304 4. a) 252 b) 142. 5. a) b/3b) 2b c) b d) b/36. 6.D + d = d(q + 1) + r 7. a) 1b) se duplica. 8.a) 188b) 960 c) 105. Lmina 1.7 2. a) d2= 2l2 b) A = l2 = d2/23.10, 103, 105, 10124. x = 4, 13, 5, 2 5. 125, 8a3, 27a3, (a 1)3. 6.a) 215b) 32c) 125d) 26 + 62e) 55 + 32 f) 38 8. a) 72 b) 3600. Lminas 1.9, 1.10 y 1.11 1. a) 238| 1190b) 124 | 2232.2. a) V, V, V, F b) F c) Vd) F3. b) no, 5 | 15 pero 5 no divide a 8 ni a 7 sumandos de 15.4. 5321 = 17313 no es primo. 6. 312 = 23313, 740 = 22537,1008 = 24327,25480 = 2357213. 7.a) F b) F 8. son mltiplos de 7.9. a) Vb)V. Lminas 1.12, 1.13 1. a) 23b) 235 c) 23523. V6.a) si no hay factores comunesb) si uno de los nmeros es divisor o factor del otro.7.918. a) 60 b) 30c) 12 9.1080

www.matelandia.org 42Respuestas Cuestionario No. 1 I. F, F, V, F, V. II. 1 b) 2 c) 3 c) 4 b) 5 c).III. 1) 330672) 1890. Respuestas Cuestionario No. 2 I. V,F,F,F, F.II. 1 d) 2 d) 3 c)4 d) 5 b).III. 1) 1352) 23 libras, 9 en cada caja. www.matelandia.org 43CURSO DE MATEMTICA BSICA: ARITMTICA UNIDAD 2:LOS NUMEROS ENTEROS No es posible sin los nmeros concebir o conocer algo. Filolao GUION DE CONFERENCIA No. 3

CONJUNTO Z, ORDEN YOPERACIONES DIVISIBILIDAD EN Z.

Contenidos y Lminas No. 2.1 a 2.6 FICHAS DE ESTUDIO DE LOS NUMEROS ENTEROS I OBJETIVOS II ACTIVIDADES DE PREPARACIN III ACTIVIDADES DE EVALUACIN LABORATORIOS CUESTIONARIO No. 3 RESPUESTAS www.matelandia.org 44 UNIDAD 2:GUION DE CONFERENCIA No. 3 LOS NUMEROS ENTEROS TEMA: CONJUNTO Z ORDEN OPERACIONES DIVISIBILIDAD CONTENIDO: * Definicin del conjunto Z de los nmeros enteros* Relacin de orden en Z. * Suma y Resta. Propiedades. * Multiplicacin. Propiedades. * Divisin. Propiedades. * Divisibilidad y Aplicaciones. DESARROLLO.RECURSO 1. Definicin del conjunto Z de los nmeros enteros. * Motivar la creacin de los nmeros negativos: a) en la vida cotidiana, para la representacin de las deudas. b) en la matemtica, para poder restar siempre. * Definicin del conjunto de los nmeros enteros: Notacin y propiedades. Lmina 2.1 2. Relacin de orden y valor absoluto de los enteros. * Definicin y notacin. Propiedad de tricotoma. * El orden en Z, representacin grfica: a) peculiaridades derivadas del signo y del valor absoluto del nmero entero b) Enteros negativos, positivos y estrictamente positivos. * Valor absoluto de un entero. Lmina 2.2 3. La suma en Z. Propiedades. * Suma de enteros cuando tienen el mismo signo y cuando tienen diferente signo. * Propiedades de la Suma: a) Propiedad de existencia de opuesto. b) Definicin de resta de enteros. Representacin grfica. c) Interpretaciones del signo menos. d) Supresin de signos de agrupacin. Lmina 2.3 www.matelandia.org 45 4. La multiplicacin en Z. Propiedades. * Leyes de los signos. * Propiedades. Lmina 2.4 5. Sntesis aditivo-multiplicativo. * Operaciones combinadas. Jerarqua. * Propiedad uniforme y propiedad montona. Lmina 2.5 6. La divisin en Z. * Algoritmos de Euclides. * Divisin exacta e inexacta. * Representacin grfica.

Lmina 2.6 7. La divisibilidad en Z. * Trminos y propiedades definidas en N extendidas para Z. * Criterios de divisibilidad. * Teorema fundamental de la Aritmtica extendido a los nmeros enteros. * Definicin del m.c.d. y el m.c.m. Lmina 2.6 www.matelandia.org 46 LMINA DE PRESENTACIN CONFERENCIA No. 3 UNIDAD 2: LOS NUMEROS ENTEROS CONTENIDO: * Definicin de Z. * Relacin de orden en Z. * Suma y Resta. Propiedades. * Multiplicacin. Propiedades. * Divisin. Propiedades. * Divisibilidad y Aplicaciones. www.matelandia.org 47LMINA 2.1 1.DEFINICION DEL CONJUNTO DE LOS NMEROS ENTEROS Z. Nmeros negativos: * Temperatura "bajo cero" * Dficit comercial * Tiempo antes de Cristo. Z+ =N = {0, 1, 2, 3, 4,...} Z- = {... -4, -3, -2, -1} Z = Z+ Z-={..., -4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4,...}

...-5-4-3 -1 012 3 45... Observamos: Z = Z+ 1 Z- = {} = N d Z Propiedades de Z 1. Z no tiene primer elemento 2. Todo entero tiene sucesor 3. Z no tiene ltimos elemento. * Todo entero menor que 0 es negativo - 5 es un entero negativo El signo - antepuesto a 5 denota que es negativo. Resultado: Si a Zentonces a puede ser un nmero positivo o negativo. www.matelandia.org 48LMINA 2.2 2.RELACION DE ORDEN. VALOR ABSOLUTO Dados x y y nmeros enteros se tiene una y solo una de las siguientes posibilidades: y x = y ! x x < y ! ! xy x > y!! yx * Al comparar enteros positivos: !!x < y 0x yx "est ms cerca" de 0 * Al comparar enteros negativos: ! !x > y y x 0x "est ms cerca" de 0 RESULTADO: Todo entero negativo es menor que todo entero positivo. o Z- = { x Z| x < 0 } x0 !Z+ = {x Z |x 0} 0x VALOR ABSOLUTO DE UN ENTERO |x| Se interpreta como la distancia-x 0 xentre el nmero y cero * Notacin: |x| se lee "valor absoluto de x". x si x 0|5| = 5 |x| =- x si x < 0|- 5 | = - (- 5) = 5 Si|a| = 10, entoncesa = 10a = - 10. Importante: |x| Z+ o sea, |x| es siempre un nmero positivo. www.matelandia.org 49LMINA 2.3 3. SUMA de ENTEROS: 1. Cuando los sumandos tienen el mismo signo: nmerossignos a b + + - - a + b + - 5 + 3 = 8 - 5 + (- 3) = - 5 - 3 = - 8 La suma tiene el signo de los sumandos 2. Cuando los sumandos tienen signo diferente: nmerossignos a b + - - + a + b 5 + (-3) = 5 - 3 = 2 - 5 +3= - 2 La suma tendr el signo del trmino de mayor valor absoluto. Propiedad de la Suma de Enteros: Para a, b, c Z, se tiene: 1. Cierre: a + b Z. 2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)3. Conmutativa: a + b = b + a 4. Existencia de neutro: 0 + a = a + 0 = a 5. Existencia de opuesto: Para todo entero existe su opuesto con signo contrario. Para todo nmero entero a, existe su opuesto -a tal que a + ( -a) = (- a) + a = 0 5 + (- 5) = (- 5) + 5 = 0 Consecuencia: a - b = a + (- b) La regla para calcular la diferencia entre dos enteros consiste en sumar alminuendo el opuesto del sustraendo, as: a - b = a + (- b) 3 - 5 = 3 + (- 5) = - 2 3 - (- 5) = 3 + 5 = 8 www.matelandia.org 50LMINA 2.4 4. MULTIPLICACION DE ENTEROS. Nmerossignos a b + + + - - + - - ab + - -+

Producto de enteros del mismo signo es positivo. Producto de enteros de distinto signo esnegativo

Propiedad de la Multiplicacin de Enteros: Para a, b, c Z, se tiene: 1. Cierre: ab Z. 2. Asociativa: (ab)c = a(bc)3. Conmutativa: ab = ba 4. Existencia de neutro: 1@a = a@1 = a 5. Existencia de unidades: 1 y -1: 1 H 1 = (-1) H (-1) = 1 * Otras Propiedades: Observa otras propiedades importantes como: 1. Valor absoluto de ab,|ab| =|a| |b| 2. Propiedad absorbente del cero: a @ 0 = 0 ab = 0, equivalea = 0b = 0. * JERARQUIA DE LAS OPERACIONES. * Primero se opera dentro de los parntesis * Se opera de izquierda a derecha. * y son las de ms alto nivel * +y-son las de bajo nivel La multiplicacin y la suma cumplen las propiedades distributivas: a (b + c) = ab + ac (a + b) c = ac + bc www.matelandia.org 51LMINA 2.5 Para operar la siguiente expresin se procede as: 2 + [3 - 5(4 - 7@3 + 4)] 5 - 8 = 2 +[3 - 5 (4 - 21 +4)] 5 - 8 = 2 + [3 - 5 (- 17 +4)] 5 - 8 = 2 + [3 - 5 (- 13)] 5 - 8 = 2 + [3+ 65 ] 5 - 8 = 2 +[68] 5 - 8 = 2 +340 - 8 = 342- 8 = 334 Observa que deben efectuarse las operaciones de: * los signos de agrupacin, primero * de izquierda a derecha * , alto nivel * +,- bajo nivel. LAS RELACIONES DE =, PUEDEN FUSIONARSE CON SUMA Y MULTIPLICACIN: SumaMultiplicacin Propiedad uniforme: a = b a + c = b + c a + 3 = 5 a + 3 + (-3) = 5 + (-3)a = 2 a = b ac = bc 3a = 12 3a = 3 H 4 a = 4 Propiedad montona: a < b a + c < b + c - 5 < - 2,entonces- 5 + 2 < - 2 + 2 -3 < 0 a < b, c > 0 ac < bc -5 < -2, 3 > 0 (-5)3 < (-2)3 -15 < - 6 a < b, c < 0 ac > bc -5 < -2, -1 < 0(-5)(-1) ? (-2)(-1) 5 > 2 www.matelandia.org 52LMINA 2.6 6. La divisin en Z: Cociente Eucldeo. |d| dq Dd(q + 1) =dq + |d| |r| El Dividendo D est entre dos mltiplos consecutivos del divisor: dq < D < dq + |d| El residuo r 0 ser la diferencia D al menor de los mltiplos del divisor d. Si r 0 y si D dq = r 0, entonces D estar siempre a la derecha de dq y q ser siempre el cociente por defecto. El cociente eucldeo cumple: 1. D = dq + r 2.0 r < |d| Ejemplos: 1.(- 13) (- 5)el cociente es 3 y el residuo es 2 porque- 13 = (-5)(3) + 2,donde 2 < |-5| - 15- 13- 10 2.(- 12) 4 = - 3el cociente es 3y el residuo r = 0,porque- 12 = 4(- 3) - 12 3.13 (- 5)el cociente es 2 y el residuo es 3porque 13 = (-5)(-2) + 3 10 1315 LA DIVISIBILIDAD EN Z: Todo lo estudiado en divisibilidad de naturales se extiende a los enteros, salvo el signo:

c)315 = (-1) 35 @ 5@ 7 Adems m.c.d. (a, b) = m.c.d.(| a |, | b |) m.c.m. (a, b) = m.c.m.(| a |, | b |) www.matelandia.org 53FICHAS DE ESTUDIO No.2 UNIDAD 2: NUMEROS ENTEROS Lminas 2.1, 2.2El conjunto Z de los Enteros y su orden NOMBRE________________________________________FECHA_________ I OBJETIVOS: Al concluir esta Gua podrs: 1. Determinar los elementos del conjunto Z de los nmeros enteros. 2. Determinar el valor absoluto y el signo de un nmero entero. 3. Representar grficamente nmeros enteros. 4. Interpretar grficamente el valor absoluto y signo de un nmero entero. 5. Interpretar la ordenacin de Z mediante su representacin grfica. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: 2. La construccin del conjunto de los nmeros enteros aadiendo los nmerosnegativos a los nmeros naturales: Z = Z+ c Z- 3. La eleccin de un sistema de coordenadas en la recta para representar los enteros. 4. El signo de un nmero entero y su valor absoluto. 5. La relacin de igual, mayor que o menor que entre dos nmeros enteros y su representacin grfica en la recta. 6. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION

1. Indica si el nmero entero dado pertenece a Z+ o a Z- : -58suc(-3) suc(-1) - (- 12) 2. Representa grficamente los siguientes enteros y ordnalos en forma creciente: -6-94 + 1suc(-2) suc(suc(-1)) 3. Encuentra los nmeros enteros x, si existen, que satisfacen: a) | x | = 4b) | x | = 16c)| x | = 0d) | x | = - 8. www.matelandia.org 544. Ordena crecientemente (de menor a mayor) los siguientes subconjuntos de Z: A = {-165, 322, -408, -20}B = {-3704, -3705, 0, -1} Adems, escribe los conjuntos A y B formados con los negativos (u opuestos) de A y B respectivamente. Tambin A y B formados con los valores absolutos de los elementos de A y B respectivamente. 5. Si a e Z+y b e Z- , entonces escribe el signo de relacin en el espacio dado: a ____bb_____| b |b_____0a_____| a | 6. Explica si la proposicin es verdadera o falsa: a)La distancia de a al origen es igual a la distancia del origen a a. b) Todo subconjunto propio del conjunto de los nmeros enteros tiene primer elemento. c) Si un nmero entero a es negativo entonces a es positivo. d) Si a y b son dos enteros cualesquiera tales que a < b, entonces el valor absoluto de a es menor que el valor absoluto de b. e) Si Z+ = N entonces los opuestos de N coinciden con Z-. 7. Resuelve los siguientes problemas: a) A las 3 a.m. la temperatura es de 5oC. )Cul es la temperatura a las 12 m. Si hatenido una subida de 18o ?

b) )Cuntos aos vivi un hombre que naci en el ao 372 (es decir 372 a.c.) y muri en el ao 291? c) )Cuntos aos se tardaron para construir un edificio que se comenz en el ao 42 y se termin en el ao 33 d.c.? www.matelandia.org 55Lmina 2.3 La Suma y la Resta en el conjunto Z NOMBRE________________________________________FECHA_________ I OBJETIVOS: Al concluir esta Gua podrs: 1. Determinar cualquier suma o resta mediante grfica de Z. 2. Identificar las propiedades de la suma y resta de nmeros enteros. 3. Efectuar cualquier operacin de suma o resta de nmeros enteros. 4. Aplicar las operaciones de suma o resta de nmeros enteros. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: a) Las reglas para sumar enteros con el mismo signo o de signos contrarios. b) La representacin grfica en la recta de la suma de nmeros enteros. c) Las propiedades de la suma de nmeros enteros. d) La definicin de la resta y sus propiedades. e) Los distintos significados del signo menos. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION 1. Representa grficamente en la recta numrica: a) 3 + 5b) 3 + (- 5)c) 3 + 5d) 3 + (- 5) 2. Calcula el resultado de: a) 15 27 12 = b) 15 (27 12) =c) 15 (12 27) = 3. Indica la propiedad empleada en cada caso: a) 8 + (- 21) = -21 + 8b) (a 54) = 54 a c) Si a + 7 = 3, entonces a = 3 7 d) Si b 5 > - 6, entonces b > - 6 + 5 www.matelandia.org 564. Indica si es verdadera o falsa cada una de las siguientes proposiciones. Justifica tu respuesta en cada caso. a) Si x < y, entonces |x y | = y x b) Para todo entero a se tiene que | a | > a. c) Si a < 0 entonces | a | = - a, donde el signo menos significa negatividad. d) Si a b < 0 entonces b a > 0

5. Dadas las siguientes expresiones, explica que significa el signo menos cada vez: a) [7 (-3)]b) (40 32)c) (-(-4)) 6. Si a < 0, entonces d el resultado de cada expresin: a (-a) a - | a | a + | a | 7. Resuelve los siguientes problemas. a) Si una mercadera se compr por L 23 513 y se pag L 5 718 de impuestos, fue vendida porL 26 759 )Cunto se perdi en la venta .

b) Se recibi L 324 517 por la construccin de una obra, pero los gastos ascendieron a L 298 340, se pag una multa por L 15 624 y se gast L 5 615 en la reparacin de una mquina.)Cunto fue el total libre? www.matelandia.org 57Lminas 2.4 y 2.5 La Multiplicacin y la Divisin en el conjunto Z NOMBRE________________________________________FECHA_________ I OBJETIVOS: Al concluir esta Gua podrs: 1. Interpretar la multiplicacin y la divisin mediante grfica de Z. 2. Identificar las propiedades de la multiplicacin de nmeros enteros. 3. Determinar el cociente y el residuo de cualquier divisin de nmeros enteros. 4. Efectuar cualquier operacin combinada de nmeros enteros. 5. Aplicar las operaciones a problemas de nmeros enteros. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * Las reglas para multiplicar enteros con el mismo signo o de signos contrarios. * La representacin grfica en la recta de la multiplicacin de nmeros enteros. * Las propiedades de la multiplicacin de nmeros enteros. * Las unidades de los nmeros enteros. * La definicin de mltiplo de un entero y divisin exacta e inexacta. * La divisin Eucldea, el cociente por defecto y el residuo siempre positivo. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION 1. Representa grficamente en la recta numrica: a) 3 H (- 4)b) (- 3) H 4 c) (- 3) H (- 4) 2. Efecte las siguientes operaciones: a) 5 3[4 + 2(5 8) - |-6|]b)4 2[[(-3)2 6]2 -|3|] c) (-4)2 [(-3)(-5)3 54] + 3d) (3 8)3 9(4 - |12|) www.matelandia.org 583. Si a, b son enteros tales que a < 0 y b > 0, entonces ordene en forma creciente las expresiones siguientes: ab,a2b,ab2,b a 4. Indique la propiedad empleada en cada caso: Si4a < - 12,entonces a < - 3. Si 5b 30, entonces b - 6. 5. Aplicando la propiedad distributiva desarrolla los productos: (a + 5)5(a 4)(a + 3)(a 1)3 6. Si a5 = 1 entonces a es una unidad. Indica las unidades de Z. 7. Dados los nmeros enteros D y d, hallaq y r tal que 0 r < | d |. EscribeD = d@q + r, y adems comprueba que r = D dq 0 a) D = 348,d = - 72 b) D = -742,d = - 36 c) D = - 1176,d = 168 8. Si a y b son enteros distintos de cero, entonces escribe en forma simblica las siguientes expresiones: a) El triple de la diferencia de a y b. b) La suma del doble de a con el valor absoluto de b. c) El producto del cuadrado de a por b. 9. Escribe con palabras las siguientes expresiones (son diferentes de las anteriores): a) 3a b b) 2(a + | b |) c) (ab)5 10. El contrato establece honorarios por L 13 500 por un trabajo a realizarse en 20 das: pero adems una multa de L 1000 por el primer da de atraso, que se duplicar por cada da subsiguiente. Si el contratista se atras 4 das. )Cunto cobr o ms bien qued debiendo? www.matelandia.org 59Lmina 2.6La Divisibilidad en el conjunto Z y sus Aplicaciones. NOMBRE________________________________________FECHA_________ I OBJETIVOS: Al concluir esta Gua podrs: 1.Determinar los casos en que un nmero es divisor de otro. 2. Identificar las propiedades de la relacin divide a. 3. Determinar si un nmero entero es irreducible, primo o compuesto. 4. Efectuar la descomposicin en factores primos de un nmero compuesto. 5. Calcular todos los divisores de un nmero entero compuesto. 6. Calcular el mximo comn divisor y el mnimo comn mltiplo de varios nmeros enteros. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * La relacin "divide a" "mltiplo de" y sus propiedades, extendida a los enteros * Las consecuencias en los factores de considerar el signo y el valor absoluto de los enteros. * La distincin entre nmero irreducible y nmero primo. * Teorema Fundamental de la Aritmtica para los nmeros enteros. * Procedimiento para determinar todos los divisores o factores de un nmero entero. * Definicin del mximo comn divisor y del mnimo comn mltiplo de varios nmeros enteros, as como el procedimiento para su clculo. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION 1. Indica si el nmero es primo, irreducible o compuesto. a)317b) -241c) -1313 d) 2011 2. Explica por qu 1 y -1 no son nmeros primos ni irreducibles. 3. Descompone en sus factores primos: a)9845 b) - 3402c)- 3960 d) 4536 www.matelandia.org 604. Determina el conjunto de todos los factores o divisores de: 128320- 180216- 168 5. Calcula el m.c.d. y el m.c.m de los siguientes nmeros: a) 128, - 180,72b) 216, - 168,140 6. Halla la capacidad de la pila ms pequea que se puede llenar en un nmero exacto de minutos por cualquiera de dos grifos, uno que arroja 36 decalitros (dl) y otro 42 dl por minuto. )Y en cunto tiempo aproximadamente se llenara con los dos grifos a la vez? 7. Indica si es verdadera o falsa cada una de las proposiciones siguientes. Explica su respuesta. a) El m.c.d. (a, b) es un divisor de cualquier mltiplo de b. b) El m.c.m. (a, b) es un mltiplo del m.c.d. (a, b). c) Si m.c.d. (a, b) = 1 entonces el m.c.m. (a, b) = ab. d) Si m.c.m. (a, b) = b entonces el m.c.d.(a, b) = a. 8. a) Si a = b,entoncesm.c.d. (a, b) = ______ ym.c.m. (a, b) =_______.

b) Si a = b2, entoncesm.c.d. (a, b) = ______ ym.c.m. (a, b) =_______ .

c) Si a = 33@ 5@ 7x,b = 32@ 52@ 7 ym.c.m.(a, b) = 33@ 52@ 74,entonces x =_______. 9. Comprueba que la interseccin de los mltiplos de 12con los mltiplos de 15 resultan ser los mltiplos de 60 y que el m.c.m. (12, 15) = 60. 10. Explica la diferencia del teorema fundamental de la aritmtica aplicado a los nmeros naturales con el mismo teorema aplicado a los nmeros enteros. 11. Se tienen 3 sacos de azcar que contienen 210, 280 y 294 libras respectivamente. Se quieren envasar en un nmero exacto de bolsas por saco, que contengan el mismo peso y el mayor posible. )Cunto pesa cada bolsa y cuntas se obtienen de cada saco? Si la libra se vende a L 6 )cul es el precio de cada paquete o bolsa de azcar? www.matelandia.org 61 LABORATORIO: CUESTIONARIO No. 3 UNIDAD 2 Examen de Fichas sobre Lminas 2.1 a 2.6 CONJUNTO Z Conferencia No. 3 CALIFICACIN DESARROLLO CORRECCION IEn cada proposicin responde con V o F, si es verdadera o falsa. (5% c/u) 1. Suc( - 2n + 1) = 2 (1 - n) ()

2. Si a < b < 0, entonces | a | < | b |() 3. El nmero - 17 es primo()

4. Si m.c.d. (x, y) > 0, entonces x, y > 0 () 5. Si a < 0 entonces a + (- a) = 0 () II. Selecciona la respuesta correcta (5% c/u) 1. Si| x + 5 |= 14 entonces x puede valer:

a)- 19- 9 b)- 199 c)199 d)19- 9 2. Si m < 0, el conjunto ordenado en forma creciente es: a){ m5, m3, m,| m |} b){ m3, m, | m |, m5} c){ m, m5, m3,| m |} d){ m, | m |, m3, m5} 3. El filsofo griego Scrates naci en 470a.c. y muri en 399 a.c, entonces vivi a)30 aosb)71 aos c)69 aosd)72 aos www.matelandia.org 62 4. El resultado de operar12 - 3(4 - 4 H 2)5 6 - 5es a)- 1 b)19 c)- 36d)7 5. Si D = - 175y d = -36, entonces:

a)q = 4yr = 31 b)q = 4yr = - 31 c)q = 5yr = 5 d)q = - 5 yr = - 5 III. Resuelve cada problema (25% c/u) 1) Compro cierto nmero de sacos de azcar por L 25900. Vendo 20 sacos por L 6300, perdiendo L 55 en cada saco. )A qu precio debo vender los restantes para ganar en total L 2900?

2. Se tienen tres sacos de arroz que contienen 210, 280 y 294 libras respectivamente. Se quiere hacer un nmero exacto de paquetes de cada saco con igual peso y el mayor posible. Si la libra se vende a L 6)Cul es el precio de cada paquete? www.matelandia.org 63RESPUESTAS FICHAS No 2 DE LA UNIDAD 2: NMEROS ENTEROS. Lminas 2.1 y 2.2 1.8, suc (-1) = 0, -(-12) = 12 Z+,- 5, suc (-3) = -2 Z 3. a) 4, 4 b) 16, 16c)0 d) no existen. 4. A 0, b > 0, entonces se tiene: b -a -=ba bien ba- =b -a=ba - Notacin: Conviene siempre el denominador b > 0. * Representante cannico: Fraccin irreducibleba con b > 0. Q+ = {x Q | x 0} Q- = {x Q | x < 0}entonces Q = Q+ c Q- * Orden en Q: Para comparar dos fracciones, si tienen: 1. igual denominador, entonces se ordenan por el numerador. 8 < 3 porque ,58 4 - porque ,79 ->74 - 2. distinto denominador, antes deben reducirse a un comn denominador

* producto de denominadores: 35203521,7453> > porque* m.c.m. de denominadores: 60276025,209125< < porque Regla General: dcbaporque 21 > 20 * Valor Absoluto:baba= * Propiedad de densidad de Q: Para todo x, y, existe un z tal que x < z < y Dados 1/2 y 2/3 entonces se puede escribir 1/2 < 5/8 < 2/3 www.matelandia.org 69LMINA 3.3 3. SUMA Y RESTA DE RACIONALES. 1. Cuando los sumandos tienen el mismo denominador: * se suman los numeradores * se pone el mismo denominador * se simplifica, si es posible. 2 =510=57 + 3=57+53 2. Cuando los sumandos tienen distinto denominador: * antes, se reducen a un comn de-nominador * despus, se procede como en 1. =6035+6016=127+154 2017=6051=6035 + 16= * Propiedades de la suma: Para x, y, z Q, se tiene: 1. Cierre: x + y Q. 2. Asociativa: (x + y) + z = x + (y + z)3. Conmutativa: x + y = y + x 4. Existencia de neutro: 0 + x = x + 0 = x 5. Existencia de opuesto: Para todo racionalba existe su opuestobaba =

La resta:54545) 7 ( 357535753 == +=+ = 6. Propiedad Uniforme: Si x = yentonces x + z = y + z Six + 3/4 = 5/6entonces x + 3/4 - 3/4 = 5/6 - 3/4 x = 1/12 7. Propiedad Montona: Six < y entonces x + z < y + z Si x - 3/4 > 3/5 entonces x - 3/4 + 3/4 > 3/5 + 3/4 x > 27/20. www.matelandia.org 70LMINA 3.4 4. MULTIPLICACION DE RACIONALES. DIVISION. * Definicin de la multiplicacin: Los trminos de la fraccin producto se forma as: numerador es el producto de los numeradores de los factores denominador es el producto de los denominadores de los factores. 525212 58 ( 312853 = = )= * Propiedades: Para x, y, z Q se tiene: 1. Cierre: xy Q. 2. Asociativa: (xy)z = x(yz)3. Conmutativa: xy = yx 4. Existencia de neutro: 1@x = x@1 = x 5. Existencia de inverso: Todo racional x0, tiene inversoxx11=tal que11 1= = x x x x CONSECUENCIA: La divisin siempre es posible si d0 Definicin de divisin:bcadcdbadcbadcba= = |.|

\| = 1 * Otras propiedades: 6. Propiedad absorbente: x @ 0 = 0 7. Propiedad Uniforme: Si x = yentonces x z = y z Si 3x = 5entonces (1/3)3 x = (1/3) 5 x = 5/3 8. Propiedad Montona: Six < y , yz > 0entoncesx z < y z Si x > 3/5entonces5x > 5(3/5) 5x > 3 Si x < y, yz < 0entoncesx z > y z Si- 3/4 > - 7/3 se multiplica por -2 -2(-3/4) < (-2)(- 7/3) 3/2 0 iii) ab 7. Escribe tres formas equivalentes para la fraccin a/b, b0, cambiando el signo o signos del numerador, del denominador o de la fraccin. 8.)Para que condiciones de a y b, la fraccin a/b, b0, representa un nmero positivo?)un nmero negativo? )un nmero entero?. 9. Escribe el valor absoluto de la fraccin a/b, b0, Si a > 0, b > 0, entonces ba = Si a > 0, b < 0, entonces ba = Si a < 0, b > 0, entonces ba = Si a < 0, b < 0, entonces ba = www.matelandia.org 75Lmina 3.2 El orden en el conjunto Q NOMBRE________________________________________FECHA____________ I OBJETIVOS: Al concluir esta Gua podrs: 1. Interpretar la ordenacin de Q mediante su representacin grfica. 2. Reducir a comn denominador cualquier subconjunto de nmeros racionales. 3. Ordenar cualquier subconjunto de nmeros racionales. 4. Resolver problemas aplicando el orden en los nmeros racionales. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * Criterios de mayor que, mayor o igual que, menor que y menor o igual que entre dos nmeros racionales. * Procedimiento para reducir fracciones a un mismo denominador. * La relacin de orden en los racionales. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION. 1. Convierte las fracciones dadas en otras fracciones equivalentes que tengan un mnimo denominador comn. a)7/6, -1, -8/15b) 3/7, 16/21, -12. 2. Escribe el signo > b > 0, entonces indica si es verdadera o falsa cada una de las proposiciones siguientes: a) ba 0, entoncesnm es negativa () 2. Si 32 = xentonces x-1 < x () 3. En 31.416 hay 3141.6 centsimas ()

4. Si a 100 se le aumenta 1/5 de su valor y el resultado se disminuye en 1/5, se obtienede nuevo 100 () 5. La mitad de 3/4 es 3/2 ()

II Selecciona la respuesta correcta (5% c/u) 1. Entre los nmeros 75y 53 se encuentra el racional:a)43- b)107 - c)74- d)2518- 2. El resultado de operar

32- 6 235- 343- 2 |.|

\|es: a)2 b)920 - c)617d)310 www.matelandia.org 86 3. El resultado de =+2145211a: a) 81 b) 41c)81d)25

4. La forma decimal 4.373333... tiene como fraccin generatriz: a)75328b)165656 c)10004373d)9903936 5. El inverso de

32- -23 -3|.|

\| es: a)158- b)9724 - c)6524-d)9754- Problemas (25% c/u) 1. Un padre hereda a sus tres hijos: al mayor le deja 1/3 de la herencia, al segundo 1/3 del resto y L 200000 sobrantes le quedan al menor. Entonces calcule la herencia. 2. Un grifo (llave) puede llenar una pila en 3 horas, otro lo hace en 4 horas y un tercero en 6. En cuanto tiempo la llenan los 3 juntos. www.matelandia.org 87RESPUESTAS FICHAS No. 3 DE LA UNIDAD 3: NMEROS RACIONALES Lmina 3.1 1. 4/7 Q. 8/(- 2) = - 4Z, Q. 3/5 Q. 0/12 = 0 N, Z, Q. 8 N, Z, Q. 4/0 no es ningn nmero. 2. a) Fb) Fc) V d) V. 3. a) 6/7b) 7/10.4. a) 97/7 b) 7/30c) 6/ 13. 6. i) V ii) Fiii) V.7. a/ - b, - (- a/b), - (a / -b). 8.a y b tienen el mismo signo,a y b tienen signos contrarios,a es mltiplo de b. 9. a/b,a/(- b), (- a)/b, (- a)/(- b). Lmina 3.2 1. a) 35/30, - 30/30, - 16/30 b) 9/21, 16/21, - 252/21.2. a) < b) > c) < d) < e) >f) >.3. a) 6/7, - 10/13, - 5/8, 2/3, 1b) 3/6, 3/5, 4/54. a) 18/25 b) 1/2 c) 31/40.5. a) a, 1/a, a/5, | a |, a2 b) a, - a/2, - 1/a, 0, a.6. a) Vb) Fc) V. 7. la mayor parte el hijo del medio y la menor parte el hijo mayor 6/21. 8. 800/2400 = 1/3 de la obra y 500/2400 = 5/24 de la obra.9. 1/4 del recorrido lo hizo en 2/3 de hora o sea en 40 minutos, el camino completo lo hace en (2/3)4 o sean 8/3 horas que equivale a 2 horas 40 minutos. 10. Compr el libro por 4/5 de su costo equivalente a L 60, entonces 1/5 son L 15 o sea que el precio anterior era de L 75. Lmina 3.3 1. a) 3/10b) 12. a) resta b) suma. 3.a) 3/7 b) 5/9 c) 12/54. a) 37/60b) 19/15 5. a) asociativab) opuesto6. a) uniformeb) montona7.13/105 8. 1/32 9. 5/910. Carlos hace 1/30 de la obra en un minuto y Juan 1/45, entonces la suma de ambos es 1/18, por consiguiente los dos hacen el trabajo en 18 minutos.11.a) 43=+bb a b) 212 = a ba. Lmina 3.4 1. 1/4, 4/8, 5/7, 5/8, 4/5. 2. 40, 36, 35 3. a) L 6000 b) 96 kmc) 72 horas. 4. a) 56/45b) 139/90c) 2/7 d) 12/25 5. a) 2 b) 21/32 c) 1/6. 6. a) distributivab) montona c) uniforme.7. i) a, 0, - a, (-a)2 ii) a, a1 , (- a)1 , a2.8. Se conservan 5/18 de mineral puro, entonces 15/2 toneladas se obtienen de 27 toneladas. 9. a) 22 |.|

\|+ |.|

\| baba b) abba |.|

\|22. Lmina 3.5 1. a) 1/100b) 1/125c) 625/81d) 30000.2. a) a3 b) 1/(ab)3c) 1/a13 d) 4|.|

\|ba. 3. 11.1 - 109 4. a) Menos ocho milsimas b) veintids unidades, diez mil tres cien milsimasc) mil cuatrocientas diecisis unidades, trescientos mil cuarenta y cinco cien millonsimas. 5. a) 0.000001b) 0.05 c) 342000.0000018 6. a) 0.001 b) 0.1c) 0.0001 = d). 7.a) 2.1 3b) 4. 1c) 0.68956743 8. a) 500511b) 9993113 c) 24755033. www.matelandia.org 88Lmina 3.6 2. a) 3200b) 10170c) 0.26d) 2030 3. a) 22.5948b) 105.01294. 47.5 5. a) | a |, a2, a, a1 b) (- a) 1 , - a, (- a)2, a 6. 12016073 + +, , 113355, 120377, 713 +, 2916|.|

\| .7. 261.3338. a) 0.05b) 0.21c) 0.05 Cuestionario No. 4 I. 1) F.2) V.3) V.4) F.5) F.II. 1) b2) c 3) a) 4) a5) b.Problemas: 1. L 4500002. Las tres llaves juntas en una hora hacen 3/4 de la pila, entonces llenan la pila en 4/3 de hora. www.matelandia.org 89CURSO DE MATEMTICA BSICA: ARITMTICA UNIDAD 4:LOS NUMEROS IRRACIONALES Cuando se puede medir aquello de quese habla se conoce algo acerca de ello. Lord Kelvin GUION DE CONFERENCIA No. 5

CONJUNTO Qc. IRRACIONALES CUADRTICOSContenidos y Lminas No. 4.1 a 4.4 GUION DE CONFERENCIA No. 6 FORMA DECIMAL. MEDIDA. PROPORCIONALIDAD Contenidos y Lminas No. 4.5 a 4.8 FICHAS DE ESTUDIO DE LOS NUMEROS RACIONALES I OBJETIVOS II ACTIVIDADES DE PREPARACIN III ACTIVIDADES DE EVALUACIN LABORATORIO CUESTIONARIO No. 5 CUESTIONARIO No. 6 RESPUESTAS www.matelandia.org 90 UNIDAD 4: GUION DE CONFERENCIA No. 5 LOS NUMEROS IRRACIONALES (I) TEMA: CONJUNTO Q c

IRRACIONALESCUADRATICOS CONTENIDO: * Definicin del conjunto Q c de nmeros irracionales. * Raz de un racional. * Potencia de base y exponente racional. * Irracionales cuadrticos. DESARROLLO.RECURSO 1. Definicin de Qc * Motivar la creacin de los nmeros irracionales. + Forma decimal no exacta ni peridica. + Nmeros que no se pueden expresar como fracciones. * Conjunto de los nmeros Irracionales Qc * Representacin grfica. Lmina 4.1 2. Raz de un nmero racional. * Definicin raz de un nmero racional. * Notacin y trminos de una raz. * Condiciones para la existencia de una raz. Lmina 4.2 3. Potencia de base y Exponente racionales. * Interpretacin del exponente racional. * Leyes de los exponentes. * Raz n-sima de un nmero. Lmina 4.3 4. Irracionales de raz cuadrada o cuadrtica. * Definicin de irracional cuadrtico. * Notacin y trminos. Simplificacin. * Trminos cuadrticos semejantes. Reduccin * Expresiones cuadrticas. Suma y multiplicacin. * Divisin: Racionalizacin. Lmina 4.4 www.matelandia.org 91LMINA DE PRESENTACIN CONFERENCIA No. 5 UNIDAD 4: LOS NUMEROS IRRACIONALES CONTENIDO: * Definicin del conjunto Q cde nmeros irracionales. * Raz de un racional. * Potencia de base y exponente racionales. * Irracionales cuadrticos. www.matelandia.org 92LMINA 4.1 1. DEFINICIN DE NMERO IRRACIONAL. Un nmero irracional es un nmero que: * tiene forma decimal no exacta ni peridica: 8.327425... * no se puede expresar como fraccin:2 . 2. Demostrar que2no es una fraccin a/b. Se supone lo contrario, o sea queba= 2 , fraccin irreducible. Pero 2 2222 , 2 b aba= = , entonces a es par, sea a = 2k.Entonces, a5 = 4k5 = b5, y tambin b es par. Luego, a y b tienen factor comn 2, contradiciendo que a/b es unafraccin irreducible. Se concluye que2no es racional. 3. Irracionales algebraicos: nmeros generados por races inexactas. como:532312, 7 , 2 4. Irracionales trascendentes: nmeros generados mediante ciertos procesos de mediciones. 2 algebraico 2 2

T. de Pitgoras: ( 2)5 = 15 + 15 trascendente 0 : de medir la circunferencia consu dimetro. 5. El conjunto de nmeros irracionales se representa por Q c que significa el conjunto complementario del conjunto de los nmeros racionales (no racional). 2 , , -4.845603... Q c. 0 1 www.matelandia.org 93LMINA 4.2 1. RAZ DE UN NMERO RACIONAL. Dados un nmero natural n > 1, y un racional x, se llama raz n-sima de x, si existe, a otro nmero y, representada por y xn=si y slo si x = y6. 2. Notacin: En la expresiny xn= , n es el ndice de la raz,es elsigno de raz llamado radical, x es el nmero bajo el radical, llamado radicando. Y y es la raz n-sima exacta si y6 = x. Ejemplos: 81 =3porque 3 = 814 4 32 - = ) 2 (- porque 2 - = 32 -55 25 - 25 =5= ) 5 (- porque existe no 25 -22 3. Condiciones: Slo es posible calcular races de ndice par cuando el radicando es positivo. existe no 16 -6, - = 36 - 5, = 254 Si x5 = 49, entonces la x puede ser 7 -7 y tener49= " 7. Pero se conviene en que el resultado sea la raz positiva y se dice que es la raz principal. 4. Importante:| x | =x2

5. Conclusin: Cuando la raz n-sima de un nmero racional existe, entonces: * si es exacta, el nmero es racional: = = 2 ) 2 ( 83Q * si es inexacta, el nmero es irracional: 318 Qc www.matelandia.org 94LMINA 4.3 3. INTERPRETACION DEL EXPONENTE FRACCIONARIO Si 3 3 32121= y tambin3 3 3 = 3 321= Todo nmero x > 0, elevado a la fraccin 1/n representa la raz n-sima de x. As,nx xn=1 Adems: 1)nxn n nx x x11) 1 (1 1 1) ( = = =

2) n m mmx x x xn n nm= = =1 1) () ( 3) ( ) ( )mnmmx x x xn n nm= = =1 1) ( * Nota: Si x < 0, entonces n debe ser impar. Ejemplos: *4 - = 64 - =8- =8-3 3 232 bien( )4 - =2- =8- =8-23232 * 4 = 64 = ) 8 - ( = ) 8 (-3 3232 bien( )4 = ) 2 (- =8 -= ) 8 (-23232 * Leyes de los exponentes.Las leyes de los exponentes se cumplen tambincuando los exponentes son fraccionarios.

x= )x(, yx= ) (xy,x=x x+ * Conclusin: Cuando exista, la raz n-sima de un nmero racional es 1. Exacta, si los exponentes de los factores primos del radicando son mltiplos de n. 2. Inexacta, en caso contrario, y adems irracional. La raz exacta o inexacta es un nmero real: Q c Qc = www.matelandia.org 95LMINA 4.4 4. IRRACIONALES DE RAIZ CUADRADA O IRRACIONALES CUADRTICOS. 1. Definicin: Se llama trmino cuadrtico a toda expresin de la forma a b , donde a Q, b Z+. 2. Notacin y trminos: En el trmino cuadrtico a b , a es el coeficiente ybes la parte radical cuadrtica. En 3 5 /2, 3/2 es el coeficiente, y5es la parte radical. 3. Simplificacin: Consiste en extraer la raz cuadrada de los factores del radicando que sean cuadrados perfectos. As18=2 9 = 3 2 . 4. Trminos cuadrticos semejantes, son los trminos que tienen la misma parte radical cuadrtica. As, 20y45son semejantes porque al simplificarse se convierten en 2 5y 3 5respectivamente, y tienen la misma parte radical5 . 5. Reduccin de trminos semejantes: Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicacin respecto a la suma, varios trminos semejantes se reducen a uno solo.As2 5+ 7 5- 3 5= (2 + 7 - 3)5= 6 5 . 6. Expresin cuadrtica: es una suma de trminos cuadrticos. 5 7+ 2 5- 2 3 es una expresin cuadrtica y adems ordenada en forma decreciente de acuerdo a los valores de los radicandos. 7. Operaciones con Expresiones cuadrticas: * Sumas y resta: reduciendo trminos cuadrticos semejantes. * Multiplicacin: aplicando la leya b=ab( 18+ 2 12 ) (3 2-3 ) = 3 36- 54+ 6 24- 2 36= 6 + 9 6*Divisin: lo que se puede hacer es convertir en un racional el divisor o denominador: o sea racionalizar. 8. Racionalizacin. Tratamos dos casos: 1. Cuando el divisor es un solo trmino cuadrtico: se multiplican, ambos trminos de la fraccin o divisin, por la raz de un nmero que haga cuadrado perfecto al radicando Ejemplo: 123 536 23 53312 2512 25= = = 2. Cuando el divisor es un binomio (dos) de trminos cuadrticos se multiplican, ambos trminos de la fraccin o divisin, por el conjugado del divisor o denominador para "eliminar las races". 75 5 3 10) 5 ( ) 3 2 () 5 3 2 ( 55 3 25 3 25 3 255 3 252 2==+=+ www.matelandia.org 96 UNIDAD 4: GUION DE CONFERENCIA No. 6 LOS NUMEROS IRRACIONALES(II) TEMA:

FORMA DECIMAL MEDIDA PROPORCIONA - LIDAD CONTENIDO: * Forma decimal de un Irracional. * Notacin Cientfica. * Magnitud, Unidad y Medida. * Proporcionalidad. Regla de tres. DESARROLLO.RECURSO 1. Forma decimal de un irracional: * Mtodo de acotacin. * Cifras significativas. Notacin cientfica. * Operaciones con decimales. Lmina 4.5 2. Magnitud, unidad y medida. * Conceptos de medida, magnitud y unidad de medida. * Notacin y trminos de una raz. * Magnitudes conmensurables y magnitudes inconmensurables. * Sistema Internacional de Unidades. * Unidades bsicas. Mltiplos y submltiplos. * Otros sistemas de unidades y conversiones. Lmina 4.6 3. Proporcionalidad. Regla de tres. * Razn y proporcin. Trminos de una proporcin y sus propiedades. * Cuarta proporcional y media proporcional. Regla de tres. * Magnitudes directamente Proporcionales y magnitudes inversamenteProporcionales. * Aplicaciones. Lmina 4.7 Lmina 4.8 www.matelandia.org 97 LMINA DE PRESENTACIN CONFERENCIA No. 6 UNIDAD 4: 2A. PARTELOS NUMEROS IRRACIONALES CONTENIDO: * Forma decimal de un Irracional. * Notacin Cientfica. * Magnitud, Unidad y Medida. * Proporcionalidad. Regla de tres. www.matelandia.org 98LMINA 4.5 1. Forma decimal de un nmero irracional. Todo nmero irracional tiene una forma decimal que no es exacta ni peridica. Su expresin ser siempre aproximada por una forma decimal exacta. Ejemplo: 8.325805...8.325805 8.32581 * Mtodo de acotacin: El valor aproximado se obtiene acotndolo pordefecto y por exceso. Aplicado a2 , se tiene 1 a si 1, + a = 1 + a i) a todo para, | a | =aii)2 impar numero un es nsi a, =aiii)n n 8. Comprueba, aplicando propiedades de las operaciones, que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2= a2 - 2ab + b2 (a + b)(a - b)= a2 - b2 www.matelandia.org 1109. Aplicando las frmulas anteriores, calcula: a) (2 2-5 )2b) ( 2+ 3) ( 2- 3) c) ( 3-2 ) ( 3+2 )d) (2 5+ 3 2 ) (2 5- 3 2 ) 10. Comprueba que la pareja de expresiones dadas son inversas: a)5- 2,5+ 2b)13- 23 ,3+ 2 3 11. Busca el factor necesario para obtener el nmero dado a)6 = 2 33 b) 2a = a23 2 c) a = a5 3 d) ( 3- 2 5 )= - 17 12. Racionaliza los denominadores de: a)=5 23-

b)=27 415-

c)=48 34-

13. Racionaliza: a)=5 2 - 34

b)=3 2 - 514-

c)=3 5 - 16

www.matelandia.org 11114. Otras propiedades de los exponentes son las siguientes:

( ) a=aya=a:a ,a=a am n nmm - n m n m + n m n Ilustra con ejemplos estas leyes de los exponentes. 15. Aplica las leyes de los exponentes y simplifica si es posible: (Sean a, b > 0) |.|

\||.|

\|ba bai) 2321

|.|

\|baa3 ii) 23233

38aa 4 iii)

|.|

\|3 32 iv)32- 16. Expresa con un solo radical y halla su valor: a) 33 3 b) 35 : 5 c) 7

d) 38 e)4 f)324 |.|

\| www.matelandia.org 112Lmina4.5Forma Decimal y Notacin Cientfica NOMBRE________________________________________FECHA____________ I OBJETIVOS: Al concluir esta Gua podrs: 1. Expresar nmeros en notacin cientfica. 2. Operar con datos expresados en notacin cientfica. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * La expresin aproximada de un nmero irracional. * La interpretacin de cifras significativas de una expresin. * La notacin cientfica de un nmero. * Aplicaciones de la notacin cientfica en la simplificacin de operaciones. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION 1. Redondea con 4, 3, 2 y 1 cifras significativas los resultados de: 4 cifras 3 cifras 2 cifras1 cifra -4/7 -20 2. Escribe los resultados redondeados hasta las centsimas, para: a)=0.3273b) =160.36c) =0.051253 www.matelandia.org 1133. Escribe el resultado con todas sus cifras: a) 32.072 H 10-4b) 3.008 ) 10-5 4. Escribe en notacin cientfica con 4 cifras significativas los siguientes nmeros: a) 325.6004583b) 0.000518462

c) - 0.000508 d) 4316270.15 5. Escribe en notacin cientfica con 3 cifras significativas antes de efectuar las operaciones:

a) 789 . 124 00546 . 00346 . 0 76 . 42b) 230378 . 0593 . 1000 723 . 458 6. )Cundo se dice que un nmero est en notacin cientfica? 7. Indica cuales nmeros estn escritos en notacin cientfica: a) 3.27H108b) 0.0589H108c) 32.12H10-8 8. Escribe en notacin cientfica los nmeros del ejercicio anterior. 9. La estrella, distinta del sol, ms cercana a nuestro planeta est a 4300 aos luz. )En cunto tiempo llegara un cohete lanzado desde la tierra si viaja a una velocidad de 8200km/h? 10. Sobre los quarks? (Infrmate). www.matelandia.org 114Lmina 4.6Magnitud, Unidad y Medida NOMBRE________________________________________FECHA____________ I OBJETIVOS: Al concluir esta Gua podrs: 1. Explicar el proceso de medida. 2. Determinar cuando las medidas de una magnitud son conmensurables o inconmensurables. 3. Conocer las unidades fundamentales del Sistema Internacional de Unidades. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * El concepto de medicin, magnitud y unidad de medida. * Magnitudes conmensurables y magnitudes inconmensurables y sus consecuencias: nmeros racionales y nmeros irracionales, respectivamente. * El Sistema Internacional de Unidades: unidades bsicas, mltiplos y submltiplos. * Conversiones a otros sistemas de medidas mediante sus equivalencias. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION 1. )Qu se entiende por "medicin" y qu por "magnitud"? 2. )Qu es "unidad de medida" y qu es"medir una magnitud"? 3. )Cundo dos medidas de una magnitud son conmensurables y cundo son inconmensurables?Da ejemplos. www.matelandia.org 1154. Explica como se obtienen los nmeros racionales e irracionales del proceso de medir magnitudes? Da ejemplos. 5. Indica las magnitudes y unidades de medidas bsicas establecidas por el Sistema Internacional de Unidades. 6. Escribe los mltiplos y submltiplos con sus respectivas abreviaturas internacionales y sus equivalencias escritas en potencias de 10. 7. Exprese 152.34 m en Gm, Tm, hm, Mm., m, pm, usando notacin cientfica. 8. Si una vara hondurea equivale a 0.835 m, entonces a) )a cuntos metros equivalen 32.5 varas? b))a cuntas varas equivalen 23.4 m? 9. a) )Cuntos centmetros hay en 5.732 m? b))Cuntos kilmetros hay en 32.52 m? c))Cuntos metros cuadrados hay en 1342 cm2? d))Cuntos Giga metros hay en 32 km? e))Cuntos micrmetros hay en 4.32 km? f))Cuntos dlares te dan por L 5000. ? www.matelandia.org 116Lminas 4.7, 4.8Proporcionalidad: Regla de tres. NOMBRE________________________________________FECHA____________ I OBJETIVOS: Al concluir esta Gua podrs: 1. Definir razn y proporcin. 2. Determinar la cuarta proporcional y la media proporcional. 3. Determinar cuando dos magnitudes son directa o inversamente proporcionales. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * La definicin de razn y proporcin. * El concepto de constante de proporcionalidady sus propiedades. * La cuarta y la media proporcional: Regla de tres. * Condiciones de las magnitudes directamente proporcionales y de las magnitudes inversamente proporcionales. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION 1. Indica la operacin por la que han sido comparados los siguientes nmeros en los incisos: a) 4 - 7 b) 3 4.8c) - 15 4d) 0.3/1.42 2. Indica cules de los ejercicios anteriores son razones. Define una "razn" de a a b. 3. Forma todas las proporciones posibles con las siguientes razones: a)53b)58c)32d)23.2e)2.51.5f)4520

www.matelandia.org 1174.a) Indica la constante k de proporcionalidad de cada una de las proporciones anteriores. b) Invierta las proporciones y calcula k-1. Verifica que en toda proporcin, el producto de los medios es igual al producto de los extremos. 5. Halla la cuarta proporcional y construye la proporcin para los nmeros: a) 6, 5, 8b) 2, 4, 9c) 5, 20, 3 6. Halla la media proporcional y construye la proporcin para los nmeros: a) 3, 12 b) 8, 2c) 24, 5 7. Halla el valor de x y la constante k de proporcionalidad en las proporciones: a) 85=x3 b) 114=1.5x c) 2.1x=184 8. Si dos tringulos son semejantes, entonces sus lados homlogos son proporcionales. Dados los tringulos ABC y A'B'C' semejantes y rectngulos en C y C' respectivamente. Con lados: CA = 4, CB = 3, AB = 5, C'A'= x, C'B'= 1, A'B'= y a) Halla x, y. b) Halla la constante k de proporcionalidad entre ambos permetros. c) Halla la constante de proporcionalidadentre ambas reas y comprueba que es k2. d) Dado otro tringulo semejante a ABC, con permetro 6, halla su rea. A A C C B www.matelandia.org 1189. Indica si las magnitudes siguientes son directa o inversamente proporcionales. Plantea la proporcin a que da lugar. a) Si un auto recorre 80 km en 2 horas, entonces recorre 120 km en 3 horas. b) Si un auto hace un recorrido en 3 h. a una velocidad de 60 km/h, entonces a 90 km/h hace el mismo recorrido en 2 h. c) Si una pared la hacen 5 hombres en 4 das, entonces 8 hombres la hacen en 2 das y medio. d) Si L 4000 se reparten proporcionalmente a los nmeros 7 y 13 (a su suma) entonces a 7 le corresponde L 1400. 10. Resuelva los siguientes problemas por "regla de tres": ProblemaRegla de Tres a) Si un auto recorre 120 km en una hora y media, )cuntos kilmetros recorrer en 5 horas? b) Si un auto sale de A a una velocidad de 80 km/h y llega a B en 2 horas y cuarto. )A qu velocidad har el mismo recorrido si tarda solo 1 hora y media? c) Si una pared la hacen 3 hombres en 10das. )Cuntos hombres se necesitarn para hacerla en 6 das? d) Si L 4000 se reparten proporcionalmente a los nmeros 7 y 13 (o sea a 20) entonces, )cunto le corresponder a 13? 11. Reparte proporcionalmente una utilidad de L 82000 entre 3 socios, si el primero posee un tercio de la empresa, el segundo la cuarta de lo que queda y el tercero el resto. www.matelandia.org 119 LABORATORIO: CUESTIONARIO No. 5 UNIDAD 4 (I) Examen de Fichas sobre Lminas 4.1 a 4.4 CONJUNTO Q c Conferencia No. 5 CALIFICACIN DESARROLLO CORRECCION IEn cada proposicin responde con V o F, si es verdadera o falsa. (5% c/u) 1. La raz cuadrada de todo nmero racional es irracional algebraico.() 2. Los trminos20y-3 45 son semejantes.()

3. 1 + 2a = 1 +a42() 4. 3 3a a = para todo a0 racional () 5. Para todo a Q , se cumple que| a | =a2() II Selecciona la respuesta correcta (5% c/u) 1. Entre los nmeros 3 y 2se encuentra el racional:a) 34b) 45 c) 23d) 47 2. El resultado de431681=|.|

\|es: a) 278b) 827 c) 278 - d) 827 - www.matelandia.org 120 3. La expresin 2a 3a - bajo un solo radical es: a) a18 -3 b) a18 -3 c) a12 -3 d) a12 -3

4. El resultado de reducir 12 - 27 4 - 75 543 es: a) 26 -41b) 3 10 c) 3223d) 6921 5. Al racionalizar 3 3 21 3+es igual a: a) 310 b) 33 5 - 9 c) 51 -d) 3 5 - 3 Problemas (25% c/u) 1. Halle el rea que queda al recortar un exgono regular inscrito en un crculo de radio 10 cm. 2. Halle la diagonal de un rectngulo que tiene de largo el doble del ancho yun rea de 1800 m5. www.matelandia.org 121 LABORATORIO: CUESTIONARIO No. 6 UNIDAD 4(II) Examen de Fichas sobre Lminas 4.5 a 4.8 CONJUNTO Q c Conferencia No. 6 CALIFICACIN DESARROLLO CORRECCION IEn cada proposicin responde con V o F,si es verdadera o falsa. (5% c/u) 1. El nmero 0.000316 en notacin cientfica es 3.16 H 10-3() 2. 32.4 m equivalen a 3.24 H 104mm ()

3. Si 4 es inversamente proporcional a 5, la constante de proporcionalidad es 0.8() 4. Si dos magnitudes son inconmensurables, su medida es un irracional trascendente()

5. Dos magnitudes directamente proporcionales tienen el mismo sentido de crecimiento() II Selecciona la respuesta correcta (5% c/u) 1. El resultado de 00513 . 010 2 . 85 es igual a: a) 810 6 . 1 b)810 6 . 1 c)810 21 . 4 d) 810 21 . 4 2. El resultado de 0.3m + 2.64cm + 0.0814kmes: a) 8 172.64 cmb) 84.34 m c) 3.0214 km d) 3.0214 cm

3. L 1216.30 al cambio de L 9.60 el dlar equivalen a

a) $ 11 676.48b) $ 126.70 c) $121.63d) $ 12 163.00 www.matelandia.org 1224. La proporcin vuyx=equivale a: a) vu=xyb) yu=vx c) vy=uxd) uv=yx 5. Si m y n son inversamente proporcionales, con constante de proporcionalidad k, entonces es cierto que: a) kn= m b) k m = n c) k =nm d) nk= m Problemas (25% c/u) 1. Reparte 18 000 en partes directamenteproporcionales a los nmeros: 6, 5 y 4. 2. Diez hombres hacen una obra en 30 das. )En cunto tiempo la hacen 25 hombres? www.matelandia.org 123RESPUESTAS FICHAS No. 4 DE LA UNIDAD 4: NMEROS IRRACIONALES Lmina 4.1 2. Racionales: a), d), g), h), l), n). Irracionales: b), c), e), f) i), j), k). 3. El nmeroes el cociente de la longitud de la circunferencia dividida por la longitud de su dimetro. 4. Algebraicos (races inexactas) y trascendentes (medidas inconmensurables).5. Irracionales por Qc y los reales por. 6. a) un punto de la recta b) un nmero realc) densod) completo (continuo). 7. a) >b) a}D = {x R | x a} Notacin: Intervalos abiertos: A =]- , a [ B =] a,[ Intervalos semiabiertos: C =]- ,a]D = [a,[ * Intervalo acotado: subconjunto de la recta para el que existe algn segmentoque lo contiene. * Grficas: Intervalo abiertoIntervalo cerrado a bab {x R| a < x < b} = ]a, b[{x R | a x b} = [a, b] Intervalo semiabierto Intervalo semiabierto abab {x R | a < x b} = ]a, b]{x R | a x < b} = [a, b[ * Operaciones con Intervalos: A c B =]a,d[ A ab A 1 B =]c,b]

BcdA - B =]a,c] www.matelandia.org 132FICHAS DE ESTUDIO No.5 UNIDAD 5: NUMEROS REALES Lmina 5.1 El conjunto y su orden NOMBRE________________________________________FECHA____________ I OBJETIVOS: Al concluir esta Gua podrs: 1. Definir el conjuntode los Nmeros Reales y representarlos grficamente. 2. Determinar si dos nmeros reales son iguales o no.3. Definir el valor absoluto de un nmero real y la distancia entre dos nmeros reales. 4. Determinar el orden en los nmeros reales. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * La formacin de los conjuntos numricos. * La eleccin de un sistema de coordenadas en la recta. * La igualdad de dos nmeros reales y las propiedades de la igualdad. * El valor absoluto de un nmero real y las propiedades del valor absoluto. * La distancia en y sus propiedades. * La relacin de orden en y sus propiedades. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION 1. )Es posible graficar todos los nmeros racionales entre 0 y 1? Explica en que consiste la propiedad de densidad de los racionales y la propiedad de completitud de los reales. 2. Indica si es verdadera o falsa cada una de las siguientes proposiciones. Justifica su respuesta: a) Q c Q c = b) Q 1 Q c = {0}c) Z 1 Q = {0} (Fin de pgina) 3. Representa en la recta numrica los valores de x tales que a) d(x, 3) = 4b) d(-2, x) = 5c) d(x, 1/2) = 2 www.matelandia.org 1334. Entre cada pareja de nmeros dados, escribe dos nmeros: uno racional y otro irracional: a)2 ,3 b) -1/2, 0c) 3, 5. Simplifica las expresiones siguientes: a)3| -5 | + | 7 2| | 3 |b) (| 4a | + 3a) a,si a > 0 c) a422 -| 5a |d) a+a2 +a2 3 4 6. Indica si es verdadera o falsa cada una de las proposiciones siguientes: a) d(x, 5) = | x 5| b) d(y, -3)= | y 3 |

7. La medida del tercer lado de un tringulo es menor o igual que la suma de las medidas de los otros dos lados del tringulo y mayor que la diferencia. Si las medidas de los lados de un tringulo son a, b y c, entonces esta propiedad triangular se simboliza por c a + b c a - b. Esta propiedad triangular es vlida para el valor absoluto donde | x |,| y |,| x + y | representa la medida de los lados de un tringulo. Escribe el signo de relacin para lapropiedad del valor absoluto en: a)| x + y | | x | + | y |b) | x y || x | - | y | 8. Sia = - 0.04 entonces ordena en forma creciente los siguientes nmeros reales: a,a2,a-1,| a |,| 1/a |, a 9. Si a | b, entonces comprueba que propiedades tiene esta relacin de "a divide a b". (Trata de probar la reflexiva, la simtrica, la asimtrica, la antisimtrica, la transitiva, etc.) )Es esta relacin un orden estricto o un orden amplio? www.matelandia.org 134Lmina 5.2Operaciones en R NOMBRE________________________________________FECHA____________ I OBJETIVOS: Al concluir esta Gua podrs: 1. Operar con nmeros reales y aplicar las propiedades de las operaciones. 2. Determinar las limitaciones de en cuanto a operaciones se refiere. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * La suma y multiplicacin de nmeros reales y sus propiedades. * La definicin de la resta y de la divisin a partir de las propiedades de las operaciones de suma y multiplicacin de nmeros reales. * La no existencia en de races de ndice par para nmeros negativos. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION 1. Enuncia la o las propiedades aplicadas para facilitar el clculo de: a)|.|

\| + +52153 b)|.|

\| 744374 2 - 2 3 c)25

24 + 3 6 9 d)3 3 2. Haz el coeficiente de la x igual a 1 aplicando