PRIMER DOCUMENTO

Seminario Direccin de Educacin Superior Matemtica

Primer Documento 2005

Direccin de Educacin Superior

Situacin y perspectivas de la Enseanza de la Matemtica

Coordinadores/as del Seminario:

Marcela Falsetti, Mabel Rodrguez, Gustavo Carnelli y Alberto Formica.S

Co autores: Marta Balestrini, Emilce Echavarri, Elsa Garbalena, Graciela Garca Amadeo, Graciela Arribas, Alicia Gonzlez Lemmi, Marcos Sayavedra, Mara Cecilia Wall, Gabriel Berlanda, Graciela Borda, Daniel Arias, Ana Mara Lagarde, Mercedes Pereyra, Alejandra Deriard, Graciela Bojanich, Graciela Gruccio, Noem Giachino, Liliana Marina, Ana Espil, Miguel Martnez, Juan Marcos Picard, Rosa Ana La Menza.

PRIMER DOCUMENTO PARCIAL

Ncleo Trayectoria del Campo Disciplinar

En el presente documento se pretende realizar una caracterizacin de ciertas cuestiones propias de la disciplina Matemtica, tratando de describir cul es su objeto de estudio, su mtodo, su evolucin. Aludimos a ciertas posiciones filosficas sobre el pensamiento matemtico por cuanto stas han influido, e influyen an, en la perspectiva de la formacin matemtica de los profesores. Se busca tambin analizar los puntos de contacto y de divergencia entre el conocimiento matemtico en el mbito escolar y en el cientfico para entender mejor cules son los elementos indispensables en la formacin de un profesor y en la formacin matemtica general.

La organizacin del documento es la siguiente: en la seccin 1 damos algunas concepciones de matemticos influyentes en la creacin del conocimiento cientfico, estas concepciones contribuyen a dar una idea del objeto de la Matemtica y su mtodo; en la seccin 2 realizamos una breve resea de la evolucin de la ciencia; en la seccin 3 nos dedicamos a explicar brevemente el problema de los fundamentos de la Matemtica, fuente de paradigmas que operan tanto en la creacin de conocimiento cientfico como en la enseanza de la Matemtica; en la seccin 4 intentamos dar caractersticas de la disciplina; en la seccin 5 abordamos la cuestin de las conexiones y diferencias entre la Matemtica cientfica y la Matemtica que se ensea y por ltimo, en la seccin 6, damos algunas consideraciones a tener en cuenta para la formacin de profesores que contemple el trayecto recorrido a travs del documento.

1.- QU ES LA MATEMTICA?

Para comenzar a abordar esta pregunta, proponemos recurrir a la etimologa de la palabra Matemtica. sta proviene de la palabra griega Mathema que quiere decir ciencia. El significado del trmino que da el diccionario de la Real Academia Espaola es : Matemtica es la ciencia que trata de la cantidad.

Explorando el largo camino recorrido por la Matemtica, encontramos que hubo muchos intentos para encasillar su esencia. Aunque esto no se ha logrado, s tenemos claras afirmaciones de importantes matemticos y hombres de ciencia que nos permiten tener una idea sobre los temas tratados por la Matemtica, su mtodo, sus alcances y su utilidad. stas son algunas frases de matemticos de diferentes momentos de la historia (Perero, 99):

Es la ciencia de la cantidad (Aristteles, 384 a.C. 322 a.C.). Podemos observar esta acepcin es la que adopta la Real Academia Espaola.

Es la ciencia del orden y de la medida (Ren Descartes, 1596-1650).

Es la reina de las ciencias, y la aritmtica es la reina de las matemticas (Carl F. Gauss, 1777-1855).

La matemtica no estudia objetos sino relaciones entre objetos; podemos reemplazar un objeto por otro siempre y cuando la relacin entre ellos no cambie (Henri Poincar, 1854-1912). Es un juego con reglas muy sencillas que deja marcas sin significado en un papel (David Hilbert, 1862-1943) Se puede definir como la materia en la que nunca se sabe de qu se habla ni si lo que se dice es cierto (Bertrand Russell, 1872-1970).

Es la ciencia de los conjuntos: De los conjuntos finitos nace, por abstraccin, el concepto de nmero, fundamento de toda la matemtica . (Julio Rey Pastor, 1888-1962) Las matemticas en su forma final aparecen como puramente deductivas y solo contienen demostraciones, sin embargo es un proceso de elaboracin, se parecen a cualquier otro conocimiento humano. (Polya, 1887-1985) Las matemticas son el producto cultural, resultante de las actividades de las personas enfrentadas a cierto tipo de situaciones problemticas en el seno de diversos contextos socioculturales, usando recursos semiticos ( representacionales e instrumentales) disponibles en cada momento histrico (Juan Godino, 1998).

Como puede observarse, la idea sobre qu es lo esencial en Matemtica y la imagen de esta ciencia ha ido variando a lo largo de la historia, abriendo as el panorama de estudio. Esto nos hace suponer que lo que para nosotros hoy sea la Matemtica, lo cual es una cuestin bien difcil de expresar, tal vez no lo sea as para las generaciones venideras.

2.- EVOLUCIN DE LA MATEMTICA

Desde el siglo VI a.C. hasta nuestros das la actividad cientfica llevada a cabo en el seno de las distintas reas que conforman la Matemtica se ha caracterizado por su evolucin, por supuesto, progresando cada rama cuando las circunstancias espacio-temporales e ideolgicas permitiesen franquear ciertos obstculos que impedan hasta ese entonces su desarrollo tal como lo conocemos hoy.

Los pitagricos consideraban constitutivos de la Matemtica a los conocimientos producidos por ellos sobre aritmtica, geometra, msica y astronoma. Han tenido enormes progresos en geometra. Su aritmtica era geomtrica, cosa que se observaba en la identificacin del nmero con lo mensurable, lo que signific un obstculo para el desarrollo de la aritmtica en beneficio de la geometra. Posteriormente el sistema filosfico platnico-aristotlico desarroll una ciencia contemplativa en la que la Matemtica jugaba un papel importantsimo para el florecimiento de los conocimientos en otras reas.

Hasta la modernidad, los resultados obtenidos de los estudios matemticos estuvieron al servicio de la explicacin de los fenmenos naturales en el convencimiento que Dios haba creado el mundo en lenguaje matemtico. El peso de las aplicaciones de los resultados conseguidos de las especulaciones cientficas era lo que le daba a la Matemtica autoridad por encima de cualquier otra ciencia, aunque los mismos fuesen obtenidos basndose en cuestiones vagas y oscuras, datos empricos y en razonamientos, a veces, incorrectos.

En el siglo XVII nacieron las primeras Academias o Sociedades Cientficas, que estimularon la asociacin de aquellos que compartan intereses intelectuales por los problemas matemticos. Su surgimiento se vio favorecido por la lentitud de la incorporacin de nuevos conocimientos matemticos desde las Universidades ms importantes de Europa, gobernadas por miembros de las religiones oficiales de sus pases.

Hasta comienzos del siglo XIX la Matemtica estaba subordinada a la ciencia Fsica y a las aplicaciones de tipo ingenieril, y durante ese siglo la Matemtica inici el proceso de su autonoma, que comprendi buscar los principios en los que fundar los estudios (del anlisis, de la lgica), y un trabajo de revisin en aquellas reas que ya los tuvieran (geometra).Todo esto contribuira a darle a la Matemtica, no solo autonoma sino tambin unidad.

Los ltimos aos del siglo XIX y las primeras dcadas del XX fueron el escenario temporal de la lucha por los fundamentos de la Matemtica. Esta pugna entre las escuelas que participaban de la misma logicista, formalista e intuicionista despleg nuevos horizontes y perspectivas.

3.- FUNDAMENTOS DE LA MATEMTICA: PRINCIPALES CORRIENTES FILOSFICAS.

No obstante su apariencia, acabada, estricta y coherente, la Matemtica no es una ciencia estable ni esttica. Ha sufrido varios cismos o movimientos que obligaron a los hombres de esta ciencia a rever la arquitectura del conocimiento matemtico hasta la poca. Estas crisis han venido sucedindose desde la poca de los pitagricos. Ellos no conceban otros nmeros que no fueran los racionales y sin embargo al establecer relaciones de medicin entre segmentos se encontraron con un nmero no racional, como la raz cuadrada de dos. Otra crisis fue causada por el clculo diferencial y el uso de elementos, no completamente definidos, como eran los infinitesimales, que por otra parte resultaron sumamente tiles en las aplicaciones a la fsica y la ingeniera. Tambin hubo una crisis con el postulado de las paralelas que trajo aparejada las geometras no euclidianas. La crisis ms reciente que tuvo influencia importante en la enseanza de las matemticas fue provocada por la introduccin hecha por Cantor quien, estudiando el infinito matemtico, introdujo la nocin de conjunto, de cardinalidad y de conjunto infinito asociado a la nocin de jerarquas de infinito (infinito numerable y no numerable). Por un lado, trabajar con conjuntos daba una visin unificada, coherente y aparentemente lgica de las matemticas y por otro lado se vio que la definicin de conjunto de Cantor como agrupamiento en un todo de objetos bien definidos, de nuestra intuicin o pensamiento era ambigua. Esta ambigedad trajo aparejadas famosas paradojas, como la paradoja de B. Russell provocndose la crisis de los fundamentos de la Matemtica. Los intentos de los matemticos y filsofos por superarla dieron lugar a varias corrientes de pensamiento. Sintticamente ellas son:

El logicismo: Sostiene que la Matemtica es Lgica y que toda la Matemtica puede ser deducida de la lgica pura sin uso especfico de conceptos. Su principal sostenedor es B. Russell.

El formalismo: Sostiene que la Matemtica puede tratar con smbolos sin referencia a significados mediante reglas (axiomas) que establecen relaciones entre los smbolos o signos y obtener nuevos resultados deducibles lgicamente, a partir de axiomas o teoremas anteriores, por un nmero finito de inferencias. Su principal exponente es D. Hilbert. Como principal crtica a esta corriente podemos decir que tanto rigor en sus enunciados provoca un vaco en los significados de muchos de los objetos que pone en juego. Considera la existencia de los objetos como una cuestin metafsica. La principal preocupacin de los formalistas era demostrar la no contradiccin de sus axiomas es por eso que Hilbert en sus Fundamentos de la Geometra construy un modelo numrico basado en la aritmtica y traslad el problema de la compatibilidad del sistema axiomtico enunciado por l para la geometra al sistema axiomtico de la aritmtica. Ms tarde, en 1931, por teorema de Gdel se estableci que Ningn sistema consistente se puede usar para demostrar que l mismo es consistente lo que dej por tierra el deseo omnipotente del programa de formalizacin de Hilbert ya que era imposible mostrar la consistencia del sistema axiomtico de la aritmtica usando este mismo sistema y por lo tanto no era posible mostrar la consistencia de los dems sistemas que se basaran en l.

El preintuicionismo o inductismo: Sostiene que el razonamiento matemtico por excelencia, no reductible a leyes lgicas, es el razonamiento por recurrencia de la aritmtica elemental (principio de induccin completa). Los axiomas de la geometra no son verdades sino convenciones, mientras que concebir la repeticin indefinida de un acto que pudo hacerse es una evidencia irresistible y una intuicin directa. Su principal representante es H. Poincar.

El intuicionismo: Se presenta como reaccin contra las exageraciones del logicismo y el formalismo. Los signos matemticos no son vacos sino que designan objetos mentales que reflejan fenmenos o han sido construidos intelectualmente, por reglas comunicables y reproducibles. Sostiene adems que las leyes lgicas son hiptesis que el hombre formula para estudiar el lenguaje, es por eso que los teoremas desarrollados bajo este paradigma son de demostraciones constructivas y no acepta el principio lgico de no contradiccin como una tautologa que pueda usarse en demostraciones matemticas. Su principal representante es L.E.J. Brouwer (1913). Como crtica se le atribuye un empobrecimiento en algunas formas de demostracin al reducir el sistema lgico que sirve para crear nuevas proposiciones matemticas.

Estas corrientes, especialmente las dos primeras que finalmente tuvieron mayor difusin gracias a la estructuracin de las matemticas en un corpus terico desarrollado alrededor de la nocin de estructura algebraica, estuvieron en estrecha relacin con la enseanza de la Matemtica y los planes curriculares de formacin superior hasta la reforma de los noventa. Cabe destacar que an siguen vigentes en programas de algunas casas de altos estudios y universidades.

4.-CARACTERISTICAS DE LA MATEMTICA

La Matemtica puede ser considerada como ciencia que crea un mundo de smbolos en donde bsicamente su trabajo se encuentra en resolver problemas, modelizando situaciones que pueden tener origen intramatemtico (provienen del propio cuerpo terico) o extramatemtico (como requerimiento externo a l). Modelizar matemticamente situaciones y fenmenos de la realidad permite comprender estas situaciones y fenmenos, y as, poder actuar sobre ellos y avanzar en el conocimiento, aunque no sea sta la nica fuente de evolucin de la ciencia. Las situaciones problemticas generan procesos de formulacin, planteo y resolucin de un modelo en trminos matemticos; algunos de los cuales son retomados por la escuela, quien selecciona de manera culturalmente arbitraria algunos de ellos y los convierte en currculo prescripto, lo que resulta un insumo relevante para la vida escolar. Trataremos de explicar por qu decimos culturalmente arbitraria. Algo es arbitrario en tanto ejercemos la facultad que tenemos de adoptar una resolucin con preferencia a otra no gobernada por la razn. El trmino culturalmente se debe a que la eleccin de algunos de los procesos mencionados antes estara gobernada por una cultura situada por un momento histrico-social. Se trata entonces de una seleccin arbitraria en tanto que los valores culturales, no son, fueron , ni sern los mismos a travs del tiempo. La produccin matemtica esta inscripta como hecho cultural. No hay objetos mas relevantes que otros, y esto implica arbitrariedad en su seleccin (al menos no subyace como posible una teora del currculum centrada en la lgica de la disciplina). Se plantea entonces la no naturalizacin del conocimiento en su forma de divulgacin/transmisin.

La Matemtica se empez a estudiar a s y en s misma recorriendo los caminos de la abstraccin, generalizacin, especializacin y axiomatizacin, y no ha dejado de auxiliar a otras ciencias, intentando resolver problemas de ndole prctica que stas le planteen.

A partir de lo descrito anteriormente, elaboramos una sntesis de las caractersticas que, entendemos, tiene la Matemtica como disciplina y de la actividad propia del quehacer matemtico:

es una ciencia autnoma con unidad, que auxilia a las otras ciencias cuando lo requieren

es una actividad humana, llevada a cabo por determinadas personas (los matemticos) en determinados mbitos (universidades, institutos de investigacin, etc.).

tiene carcter social, expresado en la comunicacin, el anlisis y el intercambio de informacin en trminos matemticos

es una ciencia que ha evolucionado y evoluciona con el tiempo por el trabajo que realizan los matemticos al cuestionar para sortear ciertos obstculos (ideas filosficas imperantes o ideas matemticas poco slidas);

es potente para modelar situaciones extramatemticas, cuestin sta que est en sus races;

tiene un modo propio de hacer y un modo propio de pensar, que no slo pauta la forma de trabajo de los matemticos, sino que tambin le asegura coherencia y cohesin;

tiene un lenguaje propio para comunicar sus resultados y en caso que ste no sea suficiente, crea nuevos signos con sus correspondientes significados.

la actividad que realiza el matemtico o una comunidad de matemticos al enfrentarse con una situacin a resolver no empieza por las cuestiones de rigor y formalismo, sino que stas, debe planterselas cuando deba comunicar su obra al resto de la comunidad matemtica.

5.- Relaciones entre la matemtica cientfica y la matemtica escolarRespecto a la relacin entre una Matemtica cientfica y una Matemtica escolar, se presentan las siguientes cuestiones: a) abordar la relacin en el plano de la formacin matemtica a nivel educativo general, b) abordar la relacin en el plano de la formacin matemtica a nivel de la escuela y el aula especialmente en lo que tiene que ver con el quehacer matemtico. Al respecto podemos decir lo siguiente.

a)En la institucin educativa interactan adems de los saberes matemticos (conceptos, propiedades y relaciones) todo un mundo de valores, creencias, historias y formas de relacionarse que se atraviesan constantemente. Esta Matemtica que se construye alrededor de la ciencia Matemtica y en el "interior" de la institucin que llamaremos Matemtica Escolar.

De la mano de Rico (1994) coincidimos que "La Matemtica escolar es aquella que debe incluir como elementos propios, dentro de las estructuras conceptuales, datos culturales que estn en el origen o son aplicaciones de los conceptos matemticos, consiguiendo presentar a la Matemtica, no como un fenmeno intelectual aislado sino como una forma especfica de trabajo dentro de un medio cultural ms amplio.

Esta posicin escolar del conocimiento matemtico tiene aceptado un criterio de la dimensionalidad del trabajo matemtico que refiere a su aspecto conceptual y su aspecto procedimental, caracterizacin que deja entrever que los procedimientos (lo cual no hace referencia al mtodo) son objetos de estudio propios de la actividad matemtica escolar.

Existen particularidades propias del conocimiento matemtico cientfico y otras del escolar que establecen diferencias entre ellos. Por ejemplo, la forma en que stos evolucionan y avanzan. De este modo, la evolucin de la Matemtica se encuentra en el seno del propio mtodo de trabajo sobre nuevas modelizaciones, en tanto que en la Matemtica escolar, la evolucin esta ligada, no slo a la evolucin cientfica, sino tambin a aspectos culturales no provenientes de la ciencia misma. S encontramos un punto de conexin entre ambos conocimientos y es el de la validacin. En este aspecto diramos que hay una dependencia unidireccional: es la Matemtica cientfica quien establece qu concepto, mtodo, modelo o tcnica es vlido. Existe un dilogo complicado entre estos saberes que desprende un campo diferente de estudio y unidades de anlisis propias a favor de unas prcticas cuyos referentes se encuentran en el interior de la ciencia Matemtica, que guardan relacin con ella pero a la vez que poseen caractersticas particulares. Se acepta que estas prcticas presentan un doble carcter:

Formativo: para ayudar a estructurar el pensamiento lgicodeductivo e

Informativo: corno herramienta que sirve para el accionar en la vida cotidiana de los nios, jvenes y adultos que integran diferentes grupos sociales.

Las necesidades creadas por la escuela distinguen estas caractersticas- provenientes de las funciones y fines escolares- que marcan de manera indeleble la concepcin de una Matemtica "posible" para un lugar y un tiempo determinado, tambin apegada a ellos, cuestin clave para su evolucin.

b) Pensamos que la Matemtica "vive" en distintas instituciones: la que "vive" en la institucin productora, la denominamos cientfica y la que "vive" en la institucin didctica, la que llamamos escolar.

En el marco del mbito educativo, se selecciona qu de la Matemtica producida hasta ahora es necesario que las instituciones transmitan a los nios y jvenes de esa sociedad en funcin de su proyecto de ser, y tambin, cmo transmitirla.

En las instituciones educativas, se relacionan tres componentes: docente alumnos saber matemtico. En funcin del carcter que adopten las relaciones que se den entre estos tres componentes, se va a configurar la imagen de qu de la Matemtica va a transmitir la institucin y cmo.

Bajo este punto de vista, ms bien referido a la escuela, intentamos a travs del siguiente cuadro relacionar la matemtica cientfica y la matemtica escolar a travs de la actividad dada en uno y otro mbito. Aclaramos que este cuadro es provisorio pues consideramos que puede an seguir siendo enriquecido con otros aspectos o descripciones especficas de las actividades.

MATEMTICA

ACTIVIDAD CIENTFICAASPECTOACTIVIDAD ESCOLAR

Cientfico Campo Pedaggico

CientficaPrctica Social

IntencionalActividad Intencional

Matemtico-cientfico / investigador o equipo de matemticos-cientficos / investigadoresSujeto Docente (maestro / profesor) y grupo de alumnos

Producir matemtica respondiendo a interrogantes intra o extra matemticosObjetivoEnsear y aprender matemtica presente en los Diseos Curriculares jurisdiccionales

Investigacin Tarea Didctica

Teoras, mtodos, modelos. Saber Contenidos

Acadmico: Universidad, sociedades matemticas, institutos de investigacin matemtica, etc.Espacio fsicoAula / saln de clase

Matemtica, epistemologa.Recibe aportes de laMatemtica, psicologa, sociologa, epistemologa, pedagoga, didctica, antropologa,

Produccin original del investigador / equipo, es decir contextualizado, personalizado y temporalizado, que al ser presentado a la comunidad cientfica debe despersonalizarse, descontextualizarse y destemporalizarse, para posteriormente adquirir validez universal. ProduccinRe-produccin. El docente re-contextualiza, re-personaliza y re-temporaliza los saberes matemticos (contenidos escolares) para sus alumnos. Los alumnos se apropian de dicho saber matemtico cuando logran re-des-contextualizar, re-des-personalizar y re-des-temporalizar.

De la veracidad de procedimientos y resultados matemticos producidos, a travs de su validacin.Evaluacin Del nivel de aprendizajes, por parte de los alumnos, de contenidos matemticos enseados por los docentes.

Grupos restringidos de matemticos (investigadores) y en revistas de divulgacin cientfica / matemtica.Difusin Pblica (segn la L.F.E. y la L. P. E. la educacin es para todos los nios/adolescentes del pas en edad escolar)

Formal, instrumental (aplicacin a otras ciencias)Valor Instrumental, formativo, social

Como vemos, existen semejanzas y diferencias entre ellas que debiramos tener en cuenta para entender cules son los canales de conexin entre las mismas.

6.- CUESTIONES PARA LA FORMACIN DOCENTE

Es importante considerar en la formacin docente la historia y evolucin de la ciencia matemtica, los problemas que la gestaron, como as tambin las condiciones y situaciones que hicieron posible su evolucin. Estas cuestiones no debern trasladarse directamente a la escuela, dado que, las condiciones de produccin, son distintas a las que se dan en el mbito escolar, pero tiles para detectar y pensar problemas y contrastar diferencias entre las condiciones histricas y su uso actual.

Por otra parte, si en la formacin docente tenemos la idea de que el maestro o el profesor son la clave para modificar las prcticas de enseanza, debemos formarlos con capacidad para reflexionar y cuestionarse el qu, cmo, para qu y por qu ensear, por cuanto la respuesta que cada uno de a estas cuestiones pondrn en marcha un proceso de toma de decisiones sobre los principios y procedimientos que originan la accin en el proceso de enseanza y aprendizaje.

Segn Luis Santal: Hay que educar para que los alumnos aprendan con gusto. Ellos necesitan activar y desarrollar la mente, pero no se los incentiva bien. Por ello no debe ensearse la misma matemtica a todos los alumnos, aunque todos deben recibir un mnimo de conocimiento

...Se debe educar para las dificultades y no para el facilismo. Es posible ensear de manera que le sirva para razonar, para desarrollar su creatividad y conectarse de manera realista con el mundo de hoy

Consideramos entonces necesario que la formacin que reciban los futuros docentes de la escuela contemple en ella la consideracin de los rasgos mencionados ms arriba que caracterizan a la Matemtica y la actividad que en ella se despliega, as como aquellas que caracterizan a la Matemtica escolar. La importancia de esta asercin radica en que creemos que es necesario plantear una enseanza de la Matemtica para la escuela que abrace la luz que irradia la Matemtica ciencia y no que sea una sombra deformada de ella.

7- BIBLIOGRAFA

1- Babini, J. (1967) Historia de las ideas modernas en Matemtica. Monografa 4. Serie de Matemtica. Programa Regional de Desarrollo Cientfico y Tecnolgico. Departamento de Asuntos Cientficos. Secretara General de la Organizacin de Estados Americanos.

2- Bottazzini, U. (2000) Poincar, Philosophe et mathmaticien. Les Genies de la Science. Revista Pour la Science

3- Gascn, J. (2001) Incidencia del modelo epistemolgico de las matemticas sobre las prcticas docentes. Revista Latinoamericana de Investigacin en Matemtica Educativa (RELIME). Vol 4. Num2

4- Kline,M. (1972). El pensamiento matemtico de la Antigedad a nuestros das. Tomo 1. Alianza Universidad. Madrid. 1994.

Perero, M: (1994) Historia e historias de Matemticas Grupo Editorial Iberoamericana. Mxico.

Entiende recurso semiticos a los protocolos de resolucin de problemas o las transcripciones de los episodios didcticos.

Russell enunci su famosa paradoja en estos trminos: Sea E el conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de s mismos, qu puede decirse sobre E? Pertenece a l mismo o no? Si E perteneciera a E entonces, por definicin de E, E no sera un conjunto de s mismo, o sea no pertenecera a E, cayendo as en una contradiccin. Si E no perteneciera a s mismo entonces sera un elemento de E, cayendo nuevamente en una contradiccin. Aceptando el principio del tercero excluido (p o p) E debera pertenecer a E o no pertenecer a E, pero como vimos asumir cualquiera de estas proposiciones conduce a una contradiccin.

Brouwer, L.E.J. (1913): Intuitionism and Formalism; Bulletin American Mathematical Society, 20, 81-96.

Con la sigla L.F.E. nos referimos a la Ley Federal de Educacin nro. 24.195/93 y con L.P.E. nos referimos a la Ley de Educacin Provincial 11.612/94 y sus modificatorias.

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