Matematicaspara administracion y economıa

Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul

Unidad I(Capıtulos 3 y 5 del texto)

Funciones y Graficas

1.1 Definicion y notacion de funcion.

1.2 Dominio y rango de una funcion.

1.3 Tipos de funciones.

1.4 Operaciones con funciones.

1.5 Composicion de funciones.

1.6 Grafica de una funcion.

1.7 Funcion lineal y funcion cuadratica.

1.8 Funcion exponencial y logarıtmica.

1.9 Aplicaciones a las ciencias economicoadministrativas.

¿Que son las funciones?

Una funcion, en matematicas, es el termino usado para indicar la relaciono correspondencia entre dos o mas cantidades.

Dos variables x y y estan asociadas de tal forma que al asignar un valor a xentonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automaticamenteun valor a y, se dice que y es una funcion (unıvoca) de x. La variable x,a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente,mientras que la variable Y , cuyos valores dependen de la x, se llamavariables dependientes.

Dominio y Rango

Los valores permitidos de x constituyen el dominio de definicion de lafuncion y los valores que toma y constituye el rango.

¿Donde se ocupan?

Las funciones matematicas pueden referirse a situacionescotidianas y generalmente se hace uso de las funciones reales,aun cuando el ser humano no se da cuenta.

Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolverproblemas de la vida diaria en cualquier area donde haya querelacionar variables.

Tales como:

El valor del consumo mensual de agua potable que dependedel numero de metros cubicos consumidos en el mes.

El costo de una llamada telefonica que depende de suduracion.

La estatura de un nino que depende de su edad, etc.

Dominio de una funcion

Definicion

Se llama dominio de definicion de una funcion f , y se designa porDom f , al conjunto de valores de x para los cuales existe lafuncion, es decir, para los cuales podemos calcular y = f(x).

En la funcion que tiene por expresion algebraica y = 2x + 1podemos dar a la variable x el valor que queramos y con elloobtener un correspondiente valor de y.

Decimos que en este caso dicha funcion esta definida en todoR (conjunto de los numeros reales).

Dominio de una funcion

Sin embargo la funcion y = 1/x no permite calcular elcorrespondiente valor de y para todos los valores de x.

En este caso el valor x = 0 no puede ser del dominio de la funcion.

Cuando una funcion se nos presenta a traves de su grafica,simplemente con proyectar sobre el eje de abscisas dicha graficaconseguimos el dominio de la funcion.

Esto es porque cualquier valor de x del dominio tiene sucorrespondiente imagen y por ello le corresponde un punto de lagrafica. Este punto es el que al proyectar la misma sobre el eje 0xnos incluye ese valor dentro del dominio.

Ejemplo de Dominio

En el ejemplo vemos coloreadode azul el dominio.

En este caso tenemos que

Domf = (−8, 2) + (2, 7]

Tipos de Funciones

Funciones

Algebraicas

PolinomicasRacionalesRadicales

Trascendentales

ExponencialesLogarıtmicas

Trigonometricas

Funciones Algebraicas

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuarcon la variable independiente son: la adicion, sustraccion,multiplicacion, division, potenciacion y radicacion.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explıcitas

Si se pueden obtener el valor de la funcion, f(x), por simplesustitucion.

f(x) = 5x− 8

Funciones implıcitas

Si no se puede obtener el valor de la funcion f(x) por simplesustitucion, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x− y − 2 = 0

Funciones Algebraicas

Funcion lineal:

1 La funcion lineal (funcion polinomial de primer grado) es de laforma y = f(x) = ax + b; a y b son numeros dados; eldominio y el rango es el conjunto de todos los numeros reales.

La grafica de cualquier funcion lineal es una lınea recta.

La constante a representa la pendiente de la recta y b, elintercepto con el eje y (u ordenada en el origen).Como ya mencionamos antes, el intercepto con el eje y, es b;para hallar el intercepto con el eje x (o abscisa en el origen),se iguala la ecuacion de la funcion a 0 y se despeja el valorrespectivo para x.

Funciones lineales (Ejemplos)

Funciones Algebraicas

Funciones polinomicas

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anxn

Su dominio son todos los numeros reales R

Funciones Algebraicas

Funciones constantes

El criterio viene dado por un numero real

f(x) = k

La grafica es una recta horizontal paralela a al eje de las abscisasSu dominio son todos los numeros reales R

Funciones Algebraicas

Funciones racionales

Una funcion racional es aquella que puede expresarse como elcociente de dos funciones polinomiales.

Esto es, una funcion racional es de la forma P (x)/Q(x), donde eldominio son todos los numeros reales excepto los valores de x queanulan el denominador, Q(x) = 0.

f(x) =x2 − 34x

x− 8

Dom f = R 6= 8

Funciones Algebraicas

Funciones radicales

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

El dominio de una funcion irracional de ındice impar es R.

El dominio de una funcion irracional de ındice par esta formado portodos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual quecero.

Ejemplos

g(x) = 3√

x f(x) =√

x

Dom g = R Dom f = R ≥ 0

Funciones trascendentes

La variable independiente figura como exponente, o como ındice de la raız, o sehalla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea latrigonometrıa.

Funcion Exponencial

Sea a un numero real positivo. La funcion que a cada numero real x le hacecorresponder la potencia ax se llama funcion exponencial de base a y exponentex.

El dominio de una funcion exponencial es todo R

Si x > 0 f(x) = ax > 0; si x = 0 f(x) = a0 = 1

Si x < 0 f(x) = ax = 1a−x > 0

La funcion exponencial es positiva, es decir, la grafica de la funcion se dibuja

siempre por encima del eje 0x

Grafica de una funcion exponencial

Funciones trascendentes

Funcion Exponencial

Numero e

Se define el numero e como:

e = lımn→∞

(1 +

1n

)n

y se verifica que (si consideramos una aproximacion de diezcifras decimales, por ejemplo)

2, 7182818284 < e < 2, 7182818285

El numero e es un numero irracional (Charles Hermite)

Funciones trascendentes

Funcion logarıtmica

Dados dos numeros positivos a y b, definimos el logaritmo en base b de a, y lodenotamos como logb a al numero al que hay que elevar la base b para obtenera, es decir

logb a = x si y solo si bx = a

En el caso que la base sea el numero e se dice que es un logaritmo natural ologaritmo neperiano, en honor del escoces John Napier (1550-1617)

loge x = ln x

En el caso en que la base sea 10, se dice que son logaritmos decimales o vulgares.Dado logb a = x, se dice que a es el antilogaritmo de x en base b, es decir,

anti logb x = a

Funciones trascendentes

Funcion logarıtmica

Se llama funcion logarıtmica a una funcion dela forma:

y = f(x) = logb a

a > 0 a es diferente de 1

Es aquella funcion que a cada numeromayor que cero le hace corresponder sulogaritmo en la base a

El dominio de la funcion logarıtmica es

R = (0, +∞)

y su grafica se dibuja siempre, por tanto,a la derecha del eje Y

Propiedades de los logaritmos

1 logb 1 = 0

2 logb b = 1

3 logb bx = x

4 logbn√

a = 1n logb a

5 logb an = n logb a

6 loge x = ln x

donde e es el numeroexponencial

7logb(a/c) = logb a− logb c

para b, c > 0 y c 6= 0

8logb(ac) = logb(a) + logb(c)

donde bc > 0

9 Cambio de base:

logb m =loga m

loga b; logb a =

1loga b

Funcion cuadratica

La forma funcional de una funcion cuadratica (funcion polinomio de segundogrado) es:

y = f(x) = ax2 + bx + c

El dominio es el conjunto de numeros reales. El rango se halla, calculandoprimero la ordenada del vertice.

La grafica de la funcion cuadratica es una parabola. La parabola abre haciaarriba si a es positiva, y abre hacia abajo si a es negativa. La c representa elintercepto con el eje y. Para hallar el intercepto en el eje x, si los hay, igualamosla ecuacion a 0, y calculamos las raıces por factorizacion aplicando la formula

x =−b±

√b2 − 4ac

2a

que permite hallar los valores de x, en terminos de los coeficientes, deax2 + bx + c = 0.

La abscisa del vertice la encontramos mediate la formula x = − b2a

.

La ordenada se obtiene sustituyendo el valor numerico de x obtenidopreviamente en y = ax2 + bx + c.

Funcion cuadratica (Ejemplo)

y = f(x) = x2 − 2x− 1

Como la funcion cuadratica es polinomio, y eldominio de todo funcion polinomio es R, setiene

Dom f = [−∞, +∞]

La parabola abre hacia arriba (1 > 0). Hallemoslas coordenadas del vertice:

x = −b

2a

a = 1, b = −2

x = −−2

2(1)= 1

y = f(1) = 12 − 2(1)− 1 = 1− 2− 1 = −1

Ası, el vertice esta localizado en

(1,−2). Como la grafica abre hacia

arriba, y la ordenada del vertice es −2

Funcion cuadratica (Ejemplo)

La grafica de f corta el eje y en -1. Hallemos el intercepto con eleje x

x2 − 2x− 1 = 0

a = 1, b = −1, c = −1

x =−b±

√b2 − 4ac

2a=−(−2)±

√(−2)2 − 4(1)(−1)

2(1)

x =2±√

4 + 4

2=

2± 2√

2

2= 1±

√2

La grafica de f , intercepta al eje x en

1 +√

2 ≈ 2,41 1−√

2 ≈ −0,41

¿Cuando una grafica no correspondea una funcion?

De las dos graficas que se muestran a continuacion, la de la izquierdacorresponde a una funcion y la derecha no.

En esta a cada valor de la variableindependiente x, le corresponde ununico valor imagen de la variabledependiente y

En esta hay algunos valores de la variable x a

los que corresponden mas de un valor de la

variable y. Lo que contradice la definicion de

funcion.

Ejemplos

Funcion Polinomica:

Son aquellas cuya expresion algebraica es un polinomio; es decir, lasfunciones polinomicas, tienen como dominio todo el conjunto de losnumeros reales: R

f(x) = 3x5 − 8x + 1; Dom f = R

g(x) = 2x + 3; Dom g = R

h(x) =12

; Dom h = R

Ejemplos

Funcion Racional:

Si la funcion es racional, esto es que su expresion es un cociente dedos polinomios, nos va a plantear el problema de tener que excluirdel dominio las raıces del polinomio denominador. Por ejemplo:

f(x) =x + 2x2 − 9

Resolvemos la ecuacion x2 − 9 = 0; y obtenemos:

x1 = +3 y x2 = −3.

Por lo tanto Domf = R 6= +3,−3

Ejemplos

Funcion Racional:

g(x) =2

x2 + 1

Resolvemos la ecuacion x2 + 1 = 0; y nos encontramos que no tienesolucion.

No se han encontrado valores que anulen el denominador, y por lotanto no tenemos que excluirlos del dominio.

Por lo tanto Domf = R

Ejemplos

Funcion Radical:

f(x) =√

x + 1

Resolvemos la inecuacion

x + 1 > 0; ==> x > −1

x + 1 es una expresion positiva si xpertenece al intervalo [−1, +8). Por lo

tanto

Domf = [−1,∞]

g(x) =4√

x2 − 25

Resolvemos la inecuacion x2 − 25 ≥ 0;y obtenemos (x + 5)(x− 5) > 0

R nos queda dividido en tres zonas yprobamos en cual de ellas se da que el

signo del radicando sea positivo.

Por lo tanto

Domg = (−∞,−5)⋃

[5,∞]

Ejemplos

Funcion Radical:

h(x) =1

4√

x2 − 2x− 8

Resolvemos la inecuacion

x2 − 2x− 8 ≥ 0

y obtenemos (x + 2)(x− 4) > 0

Observar que la inecuacion se plante

con desigualdad estricta, esto es

porque el radicando esta en un

denominador y por lo tanto no

puede valer 0.

¿En que se traduce esto?

En tener que excluir de las zonasdonde el radicando sea positivo los

extremos −2 y +4.

Por lo que:

R nos queda dividido en tres zonas.

Y estudiando el signo del radicando

obtenemos el dominio:

Domh = (−∞,−2)⋃

(4,∞)

Operaciones con funciones

Suma

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismointervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, ala funcion definida por

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

Resta

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define laresta de dos funciones reales de variable real f y g, como la funcion

(f − g)(x) = f(x)− g(x)

Para que esto sea posible es necesario que f y g esten definidas en unmismo intervalo.

Operaciones con funciones

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismointervalo. Se llama funcion producto de f y g a la funcion definida por

(fg)(x) = f(x)g(x)

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismointervalo, se llama funcion cociente de f y g a la funcion definida por(

f

g

)(x) =

f(x)

g(x)

(La funcion f/g esta definida en todos los puntos en los que la funcion gno se anula.)

Operaciones con funciones

Composicion de funciones

Dadas dos funciones reales, f y g, se llama composicion de las funcionesf y g, y se escribe f ◦ g, a la funcion dada por

(f ◦ g)(x) = f(g(x))

La funcion (f ◦ g)(x) se lee f compuesto con g aplicado a x.