matematica 6º estudiante

Matemtica

Bsico6Texto para el Estudiante

Copyright 2009 by Harcourt, Inc. 2014 de esta edicin Galileo Libros Ltda.

Todos los derechos reservados. Ninguna parte de esta publicacin puede ser reproducida o transmitida en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea electrnico o mecnico, incluyendo fotocopia, grabacin o cualquier sistema de almacenamiento y recuperacin de informacin sin el permiso por escrito del editor. Las solicitudes de permiso para hacer copias de cualquier parte de la obra debern dirigirse al centro de Permisos y derechos de autor, Harcourt, Inc., 6277 Sea Harbor Drive, Orlando, Florida 32887-6777.

HARCOURT y el logotipo son marcas comerciales de Harcourt Harcourt, Inc., registradas en los Estados Unidos de Amrica y / o en otras jurisdicciones.

Versin originalMathematics Content Standards for California Public Schools reproduced by permission, California Department of Education, CDE Press, 1430 N Street, Suite 3207, Sacramento, CA 95814

ISBN: 978-956-8155-20-9Primera EdicinImpreso en Chile. Se termin de imprimir esta primera edicin de 253.600 ejemplares en el mes de enero del ao 2014.

Este mtodo de enseanza de la matemtica ha sido diseado y realizado por autores profesores de varias universidades de los Estados Unidos de Amrica y adaptado al currculum nacional chileno por Editorial Galileo.

Director del programa: Richard Askey, profesor emrito de matemticas de la Universidad de Wiscosin. Coordinadores: Evan M. Maletsky, Joyce McLeod. Autores colaboradores: Angela G. Andrews, Juli K. Dixon, Karen S. Norwood, Tom Roby, Janet K Scheer, Jennie M. Bennett, Linda Luckie, Vicki Newman, Robin C. Scarcella, David G. Wright. Supervisores: Russell Gersten, Michael DiSpezio, Tyrone Howard, Lidya Song, Rebecca Valbuena.

El presente ttulo forma parte del PROYECTO GALILEO para la enseanza de la matemtica.

EditorasSilvia Alfaro SalasYuvica Espinoza LagunasSara Cano Fernndez

Redactores / ColaboradoresSilvia Alfaro SalasProfesora de Matemtica y Computacin. Licenciada en Matemtica y Computacin. Universidad de Santiago de Chile.

Yuvica Espinoza LagunasProfesora de Educacin General Bsica. Pontificia Universidad Catlica de Chile.

Paola Rocamora SilvaProfesora de Matemticas del Programa de Educacin Continua para el Magisterio. Universidad de Chile.

Marco Riquelme Alcaide Profesor de Matemticas del Programa de Educacin Continua para el Magisterio. Universidad de Chile.

Victoria Ainardi TamarnProfesora de Matemticas por la Universidad de Concepcin.

Vilma Aldunate DazProfesora de Educacin General Bsica. Universidad de Chile.

Pamela Falconi SalvatierraProfesora de Educacin General Bsica. Pontificia Universidad Catlica de Chile.

Jorge Chala Reyes Profesor de Educacin General Bsica. Universidad de Las Amricas.

Equipo TcnicoCoordinacin: Job Lpez

Diseadores:Melissa Chvez RomeroRodrigo Pvez San MartnNikols Santis EscalanteDavid Silva CarreoCamila Rojas RodrguezCristhin Prez GarridoClaudio Silva Castro

Ayudante editorial Ricardo Santana Friedli

6Matemtica

Bsico

Texto para el Estudiante

III

1CAPTULO

2CAPTULO

Teora de los nmeros 2 Muestra lo que sabes ................................................................................. 3

Leccin 1 Factores y mltiplos (matrices y rectas numricas) ....................................................................... 4Leccin 2 Mltiplos y factores ..................................................................... 8Leccin 3 Mximo comn divisor .............................................................. 10Leccin 4 Mnimo comn mltiplo ............................................................ 12Leccin 5 Taller de resolucin de problemas Destreza:identificarrelaciones ........................................... 16

Prctica adicional 18Prctica con un juego 19

Repaso / Prueba del Captulo 1 20Enriquecimiento 21Comprensin de los aprendizajes 22

Unidad

1Nmeros, conceptos de fracciones y operaciones

ndice

Fracciones y nmeros mixtos 24 Muestra lo que sabes ................................................................................. 25

Leccin 1 Fracciones equivalentes y fracciones en su mnima expresin ....................................................... 26Leccin 2 Fracciones y nmeros mixtos ............................................... 30Leccin 3 Comparar y ordenar fracciones y nmeros mixtos ............................................................................. 32Prctica adicional 34 Prctica con un juego 35


IV

Fotografas comentadas sobre un hecho de la vida o de la sociedad al cual se le aplica la matemtica

Matemtica en Contexto

Almanaque para estudiantes

Contar votos . . . . 112

Escribe Taller

Escribir para explicar . . . . . . . . . 15

Atraccin a traccin . . . . . . . . . 49

ENRIQUECE TU VOCABULARIO 1

Porcentajes y decimaleshttp://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/convirtiendo-decimales-porcentajes.html

Nmeros racionaleshttp://www.ditutor.com/numeros_racionales/operaciones_racionales.html

Enlace

WEB

Sumar y restar fracciones 40 Muestra lo que sabes ................................................................................. 41

Leccin 1 Sumar y restar fracciones ....................................................... 42Leccin 2 Sumar y restar nmeros mixtos ........................................... 46Leccin 3 Manos a la obra Representar la resta de nmeros mixtos ............................................................................. 50Leccin 4 Algoritmo de la la resta de nmeros mixtos ................. 52Leccin 5 Taller de resolucin de problemas. Estrategia: hacer un diagrama ............................................. 54Leccin 6 Practicar la suma y la resta de fracciones ..................... 58



3CAPTULO

4CAPTULO

Multiplicar decimales 68 Muestra lo que sabes ................................................................................. 69

Leccin 1 Manos a la obra Representar la multiplicacin por nmeros naturales .............................................................. 70Leccin 2 lgebra Patrones en factores y productos decimales .......................................................................................... 72



V

6CAPTULO

Razones y porcentajes 94 Muestra lo que sabes ................................................................................. 95

Leccin 1 Razones .............................................................................................. 96Leccin 2 Porcentajes ....................................................................................... 98Leccin 3 Resolver problemas usando calculadoras .................... 100Leccin 4 Taller de resolucin de problemas Estrategia: informacin relevante e irrelevante ......... 102

Prctica adicional 38 Repaso / Prueba del Captulo 6 59

Enriquecimiento 41Repaso / Prueba de la Unidad 42

Dividir decimales 80 Muestra lo que sabes ................................................................................. 81

Leccin 1 Manos a la obra Dividir decimales entre nmeros naturales con material concreto .................... 82Leccin 2 Dividir decimales por nmeros naturales de 1 dgito y mltiplos de 10 ......................................................... 84



5CAPTULO

VI

Unidad

27

CAPTULO

lgebra: Expresiones y ecuaciones





La velocidad del sonido . . . . . . 166

Escribe/Taller

Escribir un problema . . . . . . . 125

Multiplicar y dividir decimaleshttp://www.salonhogar.net/Salones/Matematicas/4-6/Mult_div_decim/Indice.htmhttp://www.sectormatematica.cl/basica/santillana/operaciones_condecimales.pdf

www.lautaroeduca.cl/paginas/documentos/Documentos_para_descargar/rincon_pedagogico2011/matematicas/unidades%20octavo%20a%F1o%20b%E1sico/mat_8_u3/mat_8.

www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_Ayuda.html

www.problemasdematematica.com/contenidos/Ecuaciones.html

Expresiones 116 Muestra lo que sabes ................................................................................. 117

Leccin 1 Propiedades y expresiones .................................................... 118Leccin 2 Escribir expresiones algebraicas ........................................ 122Leccin 3 Taller de resolucin de problemas. Destreza: ordenar en secuencia y priorizar informacin .................................................................. 126Leccin 4 Tablas y patrones .......................................................................... 128



Enlace

WEB

8CAPTULO

Ecuaciones de suma 136 Muestra lo que sabes ................................................................................... 137

Leccin 1 Ecuaciones ....................................................................................... 138Leccin 2 Manos a la obra Representar ecuaciones de suma ..................................................................................................... 140Leccin 3 Resolver ecuaciones de suma .............................................. 142Leccin 4 Taller de resolucin de problemas. Estrategia: escribir una ecuacin ....................................... 144



9CAPTULO

Ecuaciones de resta 154 Muestra lo que sabes ................................................................................. 155

Leccin 1 Manos a la obra Representar ecuaciones de resta ............................................................................................... 156Leccin 2 Resolver ecuaciones de resta ............................................... 158


Repaso / Prueba del Captulo 9 162Enriquecimiento 163Repaso / Prueba de la unidad 164

VII

12CAPTULO

Geometra en movimiento 210 Muestra lo que sabes ................................................................................... 211

Leccin 1 Teselaciones .................................................................................... 212Leccin 2 Patrones geomtricos ................................................................ 216



11CAPTULO

Figuras planas 192 Muestra lo que sabes ................................................................................... 193

Leccin 1 Tringulos .......................................................................................... 194Leccin 2 Trazar tringulos ........................................................................... 198Leccin 3 Taller de resolucin de problemas. Estrategia: buscar un patrn ................................................. 200



Relaciones entre ngulos 170 Muestra lo que sabes ................................................................................. 171

Leccin 1 Medir y trazar ngulos ............................................................... 172Leccin 2 Tipos de ngulos ........................................................................... 176Leccin 3 ngulos complementarios ...................................................... 182Leccin 4 Taller de resolucin de problemas. Estrategia: hacer un diagrama ............................................. 184



Geometra - Medicin

10CAPTULO

Unidad

3

VIII


Matemtica en contexto


Castillos de arena...244

ENRIQUECE TU VOCABULARIO

Medir y trazar nguloswww.vitutor.com/di/m/b_3.html

www.google.cl/search?q=.+Puntoactivo.blogspot.com/2010/02/una-forma-divertida-de-aprender-medir.html

Diagrama de tallo y hojawww.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/09Diagrames%20de%20arbol.htm

Teselacioneshttp://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teselaciones.html

Lee/Taller

En la esquina . . . . 181

Enlace

WEB

Probabilidadeswww.profesoresenlinea.cl/matematica/probabilidades.htm

15CAPTULO

Probabilidad de sucesos 268 Muestra lo que sabes ................................................................................... 269

Leccin 1 Probabilidad experimental ...................................................... 270Leccin 2 Estimar la probabilidad ............................................................. 272


Repaso / Prueba del Captulo 15 278Enriquecimiento 279

Repaso/Prueba de la unidad 280


Matemtica en contexto


Juegos de mesa . . 282


Escribe/Taller

Escribir para demostrar o contradecir . . . . 275

Escribe/Taller

Escribir preguntas . . . . . . 257

14CAPTULO

Datos y probabilidades

Hacergrficosdedatos 248 Muestra lo que sabes ................................................................................... 249

Leccin 1 Grficosdebarras ........................................................................ 250Leccin 2 Los diagramas de puntos ....................................................... 252Leccin 3 Grficoscirculares ....................................................................... 254Leccin 4 Taller de resolucin de problemas. Destreza:usarungrfico ........................................................ 258Leccin 5 Diagramas de tallo y hojas ...................................................... 260



Comprensin de los aprendizajes 266

Unidad

4

Enlace

WEB

Glosario ................................................................................................................. 284 ndice temtico ...................................................................................................... 289 Solucionario ........................................................................................................... 292 Bibliografa ............................................................................................................. 302

13CAPTULO

Figuras bidimensionales y tridimensionales 224

Muestra lo que sabes ................................................................................... 225Leccin 1 rea Total ........................................................................................... 226Leccin 2 Volumen de los cubos y de los pareleleppedos ....... 230Leccin 3 Taller de resolucin de problemas. Estrategia: hacer una representacin .............................. 234



Repaso/prueba de la unidad 242

IX

Tem

pera

tura

(C)

Mes tcO peS ogA luJ nuJ yaM rbA raM beF enE Nov Dic

40

35

30

25

20

15

10

5

0

Temperaturas mximas y mnimas promedio de Antofagasta

24

17 1716

14 13 12 1112 13

14 15 16

24 2322

19 18 16 17 1819 20

22

Temperatura mnima

Temperatura mxima

Las Matemticas son un lenguaje en el que se usan nmeros, palabras y smbolos.

Este ao, aprenders maneras de comunicarte en trminos matemticos a medida que comentas, lees y escribes acerca de lo que ests aprendiendo.

En la grfica lineal doble, se muestran las temperaturas mximas y mnimas mensuales de Antofagasta, ciudad que se encuentra en el norte de nuestro pas.

Comenta acerca del grfico lineal doble.

1. Qu te dicen las palabras del ttulo promedio, mximas y mnimas acerca de los datos?

2. Cul es la escala y el intervalo que se usaron en el grfico?

3. Por qu el grfico tiene una leyenda en la parte superior?

4. Qu puedes inferir si observas las lneas del grfico?

X

Lee los datos del grfico lineal doble.

5. En qu mes se registra la temperatura mxima ms baja?

6. En qu meses se registran las temperaturas mximas ms altas?

7. Entre qu dos meses se registra la mayor diferencia en las temperaturas mnimas?

8. Entre qu dos meses se registra una diferencia de 10 C en las temperaturas mximas?

Inventa y escribe un problema acerca del grfico lineal doble.

Este ao, escribirs muchos enunciados de problemas. Cuando veas la frase Plantea un problema, debes volver a leer el problema planteado en esa pgina y usarlo para escribir tu propio problema.

En el problema que escribes, puedes cambiar los nmeros o parte de la informacin. cambiar la informacin conocida o desconocida. escribir un problema abierto que tenga ms de una respuesta correcta.

Plantea un problema Elige una de las tres maneras de escribir un problema nuevo. Usa la informacin del grfico lineal doble.

XI

Nmeros, conceptos de fracciones y operaciones

Captulo 1 1

42

63

84

105

126

21

31

Fracciones equivalentesQu sabes acerca de fracciones equivalentes?Qu experiencia te ayud a aprender acerca

de las fracciones equivalentes?

Qu conceptos matemticos se muestran en las fotografas de Matemtica en Contexto? Cmo puedes usar fracciones cuando cocinas y horneas?

REPASO DEL VOCABULARIO Cuando trabajaste con fracciones, aprendiste las siguientes palabras. Cmo se relacionan estas palabras con Matemtica en Contexto?

fracciones equivalentes Fracciones que representan la misma parte o cantidad.

nmero mixto Un nmero representado por un nmero entero y una fraccin.

mltiplo El producto de un nmero dado y otro nmero.

Copia y completa los mapas de crculos como se muestra abajo. Usa lo que sabes acerca de fracciones para responder las preguntas.

p Si medimos cuidadosamente los ingredientes con la ayuda de fracciones y nmeros mixtos obtenemos las cantidades exactas para la elaboracin de recetas de cocina.

p Los nmeros son necesarios para obtener las cantidades exactas. Sin esta medicin los platos tendran sabores diferentes.

p Despus los platos cocinados se pre-sentan de diversas formas, asemejn-dose a figuras geomtricas.


1

21 Teora de los nmerosLa idea importante El estudio de la teora de los nmeros ayuda a comprender los conceptos de factores y mltiplos.

Investiga Imagina que eres un investigador que estudia la produccin de energa en Chile. Qu combinaciones de dos a cuatro tipos de fuentes energticas permitiran que en Chile se cumpla con al menos 3 __ 5 de las necesidades de produccin de energa?

En Chile se han realizado estudios para identificar zonas en nuestro pas que por sus caractersticas naturales podran tener ventajas para la construccin de proyectos de energa elica (generada por el viento). Entre ellas se encuentran algunas zonas costeras de las regiones de Atacama, Coquimbo y Maule.

2

Generacin elctrica por sistema: 2008

Utilizando energas convencionales y no convencionales en 2008

Pequea, 1% Elica , 1%

Biomasa, 2%

Gas natural, 36%

Petrleo, 9%

Carbn, 15%

Hidropasada (sin embalse), 10%

Hidro embalse, 25%

Pequea hidro, 1%

DATOBREVE

Captulo 1 3

Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con xito el captulo 1.

u Comparar y ordenar nmeros naturales hasta 100 000Compara. Escribe < , > o =.

1. 11 000 11 050 2. 21 034 22 345 3. 45 687 45 238

4. 14 329 14 329 5. 60 806 68 600 6. 12 000 1 200

Ordena los nmeros de mayor a menor.

7. 47 899; 48 799; 48 797 8. 40 133; 43 100; 14 330

9. 78 311; 78 300; 78 310 10. 94 586; 92 801; 99 934

u Representar multiplicacionesDibuja bloques multibase para representar cada factor de la multiplicacin y su producto.

11. 4 por 3

12. 2 por 6

13. 5 por 5

14. 9 por 1

VOCABULARIO DEL CAPTULO

nmero compuestofactormximo comn divisor (m.c.d.)fraccin simplificada a su mnima expresinmnimo comn mltiplo (m.c.m.)mltiplonmero primodescomposicin en factores primos

PREPARACIN

mltiplo El producto de un nmero dado y otro nmero.

factor Un nmero que se multiplica por otro para hallar un producto.

nmero primo Un nmero mayor que 1 que tiene como nicos factores el 1 y s mismo.

matriz Un conjunto de objetos colocados en hileras y columnas.

Captulo 1 3

4ADVERTENCIA

Muchos nmeros se pueden separar en factores de diferentes maneras. Una matriz es un conjunto o grupo de objetos colocados en hileras o columnas, como se puede ver en la siguiente actividad.

16 5 1 16 16 5 4 4 16 5 2 8

factor factor

Actividad Materiales fichas cuadradas papel cuadriculado

Haz matrices para mostrar todos los factores de 24.

Usa las 24 fichas para hacer una matriz. Registra la matriz en papel cuadriculado. Escribe los factores que muestra la matriz.

12

2

2 12 5 24 Factores: 2, 12

Haz tantas matrices diferentes como puedas con 24 fichas. Registra las matrices en papel cuadriculado y escribe los factores que muestran.

8

3

3 8 5 24 Factores: 3, 8

6

4

4 6 5 24 Factores: 4, 6

241

No olvides anotar el 1 y el nmero mismo como factores.

Por lo tanto, los factores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.

Puedes ordenar las fichas de cada matriz de otra manera y mostrar los mismos factores? Explica.

1 24 5 24 Factores: 1, 24

1LECCI

N

Factores y mltiplos (matrices y rectas numricas)OBJETIVO: hallar factores y mltiplos usando matrices y rectas numricas.

Aprende

1. 8 42. 6 73. 2 94. 5 55. 3 10

Un factor es un nmero que se multiplica por otro nmero para hallar un producto. Cada nmero natural mayor que 1 tiene por lo menos dos factores, ese nmero y 1.

18 5 1 18 7 5 7 1 342 5 1 342

Captulo 1 5

Hallar mltiplosPara hallar mltiplos de cualquier nmero, cuenta saltado o multiplica por los nmeros 1, 2, 3 y as sucesivamente.

ProbLEMA Raquel tiene una pulsera de recuerdos nueva con 20 eslabones. Pon un recuerdo en cada eslabn que es un mltiplo de 3. Qu eslabones tienen recuerdos?

Utiliza material concreto.

Por lo tanto, los eslabones 3o, 6o, 9o 12o, 15o y 18o tienen recuerdos.

Qu pasara si la pulsera tuviera 27 eslabones? Qu otros eslabones tendran recuerdos?

Multiplica y haz una lista.

Halla los primeros seis mltiplos de 4.

1 4 5 4 2 4 5 8 3 4 5 12 4 4 5 16 5 4 5 20 6 4 5 24

Por lo tanto, los primeros seis mltiplos de 4 son 4, 8, 12, 16, 20 y 24.

Explica cmo sabes que 30 es un mltiplo de 5.

Puede un nmero que es un mltiplo de 3 tener 5 como un factor? Explica.

1. Usa las matrices para nombrar los factores de 12.

j j 5 12 j j 5 12 j j 5 12

Los factores de 12 son 1, j, 3, j, 6 y j

Idea matemticaUn mltiplo de un

nmero es cualquier producto que tenga ese nmero como un factor. El nmero de mltiplos que tiene un nmero

es infinito.

3 6 9 12 15 18

Los nmeros de las fichas rojas son todos mltiplos de 3.

Prctica con supervisin

6Usa matrices para hallar todos los factores de cada producto.

2. 20 3. 5 4. 49 5. 28 6. 25

Haz una lista de los primeros diez mltiplos de cada nmero.

7. 6 8. 2 9. 11 10. 4 11. 8

12. Explica cmo estn relacionados los nmeros 3 y 12. Usa las palabras factor y mltiplo en tu explicacin.

Resuelve los siguientes problemas.

47. Qu mltiplos de 4 no son factores de 48?

48. Qu factores de 48 son tambin mltiplos de 4?

49. Clara pag $40 por dos recuerdos. El precio de cada recuerdo era un mltiplo de $4. Cules son los precios posibles de los recuerdos?

50. Cul es la pregunta? La respuesta es 1, 2, 3, 6, 9 y 18.

Usa matrices para hallar todos los factores de cada producto.

13. 30 14. 42 15. 9 16. 50 17. 33

18. 64 19. 21 20. 75 21. 18 22. 17

Haz una lista de los primeros diez mltiplos de cada nmero.

23. 9 24. 1 25. 7 26. 10 27. 12

28. 3 29. 8 30. 5 31. 2 32. 6

Es 6 un factor de cada nmero? Escribe s o no.

33. 6 34. 16 35. 48 36. 24 37. 18

Es 36 un mltiplo de cada nmero? Escribe s o no.

38. 8 39. 9 40. 18 41. 36 42. 5

Halla el mltiplo que falta.

43. 4, 8, j, 16 44. 7, 14, 21, j 45. 5, j, 15, 20 46. 9, 18, 27, j

Prctica independiente y resolucin de problemas

Captulo 1 7

Comprensin de los aprendizajes

2 3 4 51 7

8 9 10 11 12 13 14

16 17 18 19 2015 21

22 23 24 25 27 2826

29 30 31

6

51. Pedro tena 321 bolitas. Perdi 17. Cuntas le quedaron?

52. Eva tiene 93 figuras de accin. Cuntos estantes necesitar si pone 3 figuras de accin en cada estante?

53. Una matriz tiene 4 hileras de 3 fichas en cada hilera. Cuntas fichas hay en total?

54. Qu mltiplo de 9 es tambin un factor de 9?

55. Ana est ordenando 9 fotografas en hileras iguales. De qu maneras puede ordenar las fotografas?

A hileras de 1, 3 o 6

B hileras de 1, 2 o 9

C hileras de 1, 3 o 9

D hileras de 3, 6 o 9

rAZoNAMIENTo LGICo A partir del 1o de diciembre, un camin de helados visita la calle de Sara cada 3 das y la calle de Ema cada 5 das. Cules son los primeros 2 das que el camin visita ambas calles el mismo da?

Los das que el camin de helados visita ambas calles son mltiplos comunes de 3 y 5.

Un mltiplo comn es un mltiplo de dos o ms nmeros. Puedes usar una recta numrica para hallar los mltiplos comunes.

Ejemplo Usa una recta numrica.

Primero haz una lista de seis mltiplos de cada uno. Halla los mltiplos comunes.

1. 2 y 4 2. 9 y 12 3. 4 y 8 4. 3 y 5

5. 3 y 6 6. 2 y 5 7. 3 y 9 8. 5 y 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Por lo tanto, los primeros 2 das que el camin visita ambas calles son el 15 y 30 de diciembre.

8Aprende

Los nmeros 0 y 1 no son primos ni compuestos.

Mltiplos y factoresOBJETIVO: usar patrones de mltiplos y factores para resolver problemas e identificar nmeros, factores primos y compuestos.

ProbLEMA En una carrera de bicicletas de 40 kilmetros hay una estacin de bebidas en cada seal que indica cuatro kilmetros de recorrido y una estacin de refrigerios en cada seal que indica seis kilmetros de recorrido. En qu seales habr una estacin de bebidas y una de refrigerios?

Puedes hallar los mltiplos comunes de 4 y 6 para resolver el problema. El mltiplo de un nmero natural es el producto del nmero natural dado y otro nmero natural. Los mltiplos comunes son mltiplos de dos o ms nmeros.

Ejemplo 1 Halla los mltiplos comunes de 4 y 6 que son menores que o iguales a 40.

Mltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40.

Mltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36.

Los mltiplos comunes de 4 y 6 son 12, 24 y 36.

Entonces, habr una estacin de bebidas y una de refrigerios en las seales de 12, 24 y 36 kilmetros.

Explicalospatronesqueobservasenlosmltiplosde4y6.

1. 7 4 2. 8 33. 9 6 4. 5 45. 12 5

Un factor es un nmero que se multiplica por otro para hallar un producto. Los factores comunes son factores de dos o ms nmeros.

Factores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Factores de 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

1

El nmero 1 tiene un solo factor,quees1,entoncesnoesun nmero primo ni un nmero compuesto.

Entonces, los factores comunes de 24 y 32 son 1, 2, 4 y 8.

Un nmero primo es un nmero natural mayor que 1 que tiene como nicos factores el 1 y s mismo. Un nmero compuesto es un nmero natural mayor que 1 que tiene ms de dos factores.

Ejemplo 2 Halla los factores comunes de 24 y 32.

Ejemplo 3 Halla los factores de cada nmero. Indica si el nmero es primo, compuesto o ninguno de los dos.

12

Factores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 El nmero 12 es compuesto.

29

Factores de 29: 1, 29 El nmero 29 es primo.

Vocabulariomltiplo nmero primo

factor nmero compuesto

2LECCI

N

Idea matemtica

Captulo 1 9


1. Haz una lista con los mltiplos de 6 y 9 menores que 60. Luego, enumera los mltiplos comunes de 6 y 9.

Escribe los tres primeros mltiplos comunes.

2. 8 y 12 3. 4 y 5 4. 5 y 12 5. 2, 4 y 12 6. 3, 4 y 8

Escribe los factores comunes.

7. 12 y 2 8. 6 y 7 9. 36 y 40 10. 6, 12 y 24 11. 3, 5 y 15

12. Explica 2 es el nico nmero primo par.

Escribe los tres primeros mltiplos comunes.

13. 4 y 9 14. 10 y 14 15. 8 y 18 16. 3, 8 y 16 17. 2, 4 y 7


18. 25 y 70 19. 15 y 30 20. 50 y 70 21. 32 y 45 22. 24 y 42

23. 4, 6 y 16 24. 18, 45 y 72 25. 8, 30 y 46 26. 7, 18 y 21 27. 4, 28 y 36

Indica si el nmero es primo, compuesto o ninguno de los dos.

28. 98 29. 61 30. 0 31. 37 32. 82 33. 1

Halla el factor desconocido.

34. 75 5 j 15 35. 110 5 5 j 11 36. 42 5 2 j 7 37. 48 5 j 3 4

38. En la clase del profesor Gmez hay 12 nios y 18 nias. El profesor dividir al curso en grupos de manera tal que todos los grupos tengan la misma cantidad de nios y la misma cantidad de nias. Cules son los grupos posibles?

39. Qu nmero es menor que 30 y tiene exactamente ocho factores?

41. Razonamiento Ser primo o compuesto el producto de dos nmeros primos? Explica.

40. Escribe 65 como el producto de dos nmeros primos.

42. El producto de 9 y 6 es 54. Explica cmo hallar el mltiplo de 3 que da como resultado un producto de 54 cuando se multiplica por 3.

43. Expresa el nmero 0,03 en fraccin.

44. Si a = 1,05; b = 2 y c = 2,57, cul es el valor a + b + c ?

45. Escribe el nmero que falta para que se cumpla la relacin 3,57 > _____ > 3,55

46. Cul de los siguientes nmeros es mltiplo comn de 6 y 8?

A 18

B 24

C 40

D 42

Prctica adicional en la pgina 18, Grupo A



10

Aprende

ADVERTENCIA

Cuando se enumeran los factores de un nmero, ninguno de los factores puedesermayorqueelnmero mismo.

Mximo comn divisor OBJETIVO:hallarelmximocomndivisordedosomsnmerosyusarlopararesolver problemas.

Escribe todos los factores.

1. 17 2. 273. 20 4. 745. 33

Vocabulariomximo comn divisor (m.c.d.)

descomposicin en factores primos

diagrama de escalera

ProbLEMA En un jardn rectangular, Patricia y su mam quieren plantar 36 petunias rojas y 42 petunias blancas en hileras iguales. Si plantan petunias del mismo color en una hilera, cul es la mayor cantidad de petunias que pueden plantar en cada hilera?

Para resolver el problema puedes hacer una lista y as hallar el mximo factor comn de 36 y 42.

El mximo comn divisor (m.c.d.), es el mayor nmero o factor que divide exactamente a todos y cada uno de los nmeros.

Factores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 Factores de 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

Piensa: Los factores comunes son 1, 2, 3 y 6. Elm.c.d. de 36 y 42 es 6.

La descomposicin en factores primos de un nmero se obtiene cuando un nmero est expresado como el producto de sus factores primos. Por ejemplo, sabemos que 12 5 4 3. Si usamos solo nmeros primos, sera 12 5 2 2 3. Entonces, la descomposicin en factores primos de 12 es 2 2 3.

Puedes usar la descomposicin en factores primos o un diagrama escalera para hallar el m.c.d. de dos o ms nmeros.

Usa la descomposicin en factores Usa un diagrama de escalera para hallar el m.c.d. de 12, 18 y 48.

Entonces,lamayorcantidaddepetuniasquepuedenplantarencadahilera es 6.

primos para hallar el m.c.d. de 8, 12 y 20.

3LECCI

N

8 5 2 2 2 12 5 2 2 3 20 5 2 2 5 2 2 5 4

Usa solamente nmeros primos. Escribe la descomposicin en factores primos de cada nmero.

Enumera los factores primos comunes y halla el producto.

2 12 18 48 3 6 9 24 2 3 8

2 3 5 6

Divide cada nmero entre un factor comn de los nmeros.Continadividiendohastaquelos nmeros no tengan factores comunes.

Halla el producto de los divisores.

Entonces, el m.c.d. de 8, 12 y 20 es 4. Entonces, el m.c.d. de 12, 18 y 48 es 6.

Sebastinusundiagramadeescaleraparahallarelm.c.d.de36y48.Dividientre3yluegoentre4.Cambiaraelm.c.d.sieligieradosfactorescomunesdiferentes?Explicaturespuestaydaunejemplo.

Captulo 1 11

1. Completa la descomposicin en factores primos para hallar el m.c.d. de 12 y 28.

Factores de 12: 2 j 3 Factores de 28: 2 2 j m.c.d.: 2 j = j

Halla el m.c.d.

2. 18, 24 3. 50, 75 4. 45, 81 5. 6, 9, 18 6. 6, 10, 12

7. Explica cmo usar la descomposicin en factores primos para hallar el m.c.d. entre 8 y 52.

Halla el m.c.d.

8. 26, 28 9. 12, 40 10. 96, 120 11. 14, 21 12. 9, 16

13. 42, 96 14. 21, 56 15. 9, 48 16. 15, 28 17. 16, 35

18. 16, 32, 48 19. 3, 9, 18 20. 20, 50, 70 21. 32, 36, 45 22. 4, 12, 20

Halla dos pares de nmeros que se correspondan con cada enunciado.

23. El m.c.d. es 8. 24. El m.c.d. es 6. 25. El m.c.d. es 12. 26. El m.c.d. es 15.

27. La clase de Ana vender cajas con plantas. Cada caja tendr un tipo de planta y todas las cajas tendrn la misma cantidad. Si hay 60 begonias, 48 geranios y 96 calndulas, cul es el mayor nmero de plantas que los nios pueden colocar en cada caja?

Del 28 al 29, usa la siguiente informacin.

Un curso de la Escuela Bsica Pablo Neruda recibir 24 lapiceras, 16 reglas, 32 lpices y 12 cuadernos para un proyecto escolar. Cada estudiante que reciba los elementos obtendr la misma cantidad de cada objeto que los dems estudiantes.

28. Cul es el mayor nmero de estudiantes que recibir los elementos si se usa cada objeto?

29. Si hubiera 20 reglas y 16 lpices ms, cul podra ser el mayor nmero de estudiantes que recibiera los elementos si se usara cada objeto?

30. Da un ejemplo para ilustrar el siguiente enunciado: El m.c.d. de un nmero y uno de sus mltiplos es el nmero mismo.

Prctica adicional en la pgina 18, Grupo B


31. Si a = 43,72 y b = 4,9 Cul es el valor de: a (a b)

32. Qu factores de 16 son tambin factores de 64?

33. 68,2 48,9

34. Cul de los siguientes nmeros es el mximo comn divisor de 56 y 49?

A 2 C 7

B 4 D 9



12

Aprende

Unexponentemuestra cuntas veces se usa como factor un nmero llamado base.

En 23 5 2 2 2, elexponente3muestraquela base 2 se usa como factor tres veces.

Vocabulario

mnimo comn mltiplo (m.c.m.)

ProbLEMA Para una comida escolar al aire libre, cada uno de los 20 padres voluntarios necesita una bandeja grande y una cuchara de servir. Las bandejas vienen en juegos de 8 y las cucharas, en juegos de 12. Cul es la menor cantidad de bandejas y cucharas que debe comprar la escuela para tener el mismo nmero de bandejas y cucharas, y que alcancen para todos los padres?

Puedes resolver el problema al hallar el mnimo comn mltiplo, o m.c.m., de 8 y 12. El m.c.m. es el nmero ms pequeo, mayor que 0, que es mltiplo comn de dos o ms nmeros.

Usa una lista.

Mltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80,

Mltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72,

Los primeros tres mltiplos comunes son 24, 48 y 72. El mnimo comn mltiplo, o m.c.m., es 24.

Usa la descomposicin en factores primos.

8 5 2 2 2 5 23

12 5 2 2 3 5 22 3

23 3 5 24

Anota la descomposicin en factores primos de cada nmero.

Escribelamayorcantidaddevecesqueaparececadafactorencualquierdescomposicinenfactores primos. Multiplica.

Entonces,lamenorcantidaddebandejasycucharasquedebecomprarla escuela es 24.

Qu sucedera silasbandejasvinieranenjuegosde6ylascucharasen juegosde12?Culseralamenorcantidaddebandejasycucharasque debera comprar la escuela?

Usaladescomposicinenfactoresprimosparahallarelm.c.m.de16y24.

Ejemplo 1 Halla pares de nmeros con un m.c.m. de 20.

Puedes resolver este problema al usar el m.c.m. y uno de sus factores. Factores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20

Pares de nmeros posibles: 1, 20 2, 20 4, 20 5, 20 10, 20

Quotrosparesdenmerostienenunm.c.m.de20?

Mnimo comn mltiplo OBJETIVO: hallar el mnimo comn mltiplo de dos o ms nmeros y usarlo para resolver problemas.

Escribe los primeros 4 mltiplos de cada nmero.

1. 4 2. 6 3. 12 4. 8 5. 15

4LECCI

N

Recuerda

Captulo 1 13

1. Haz una lista con los primeros seis mltiplos de 12 y 18. Encierra en un crculo los mltiplos comunes. Luego, halla el mnimo comn mltiplo.

Escribe el m.c.m. de los nmeros.

2. 9, 12 3. 4, 30 4. 5, 25 5. 3, 5, 15 6. 2, 3, 4

Escribe dos nmeros a partir del m.c.m. dado.

7. 15 8. 16 9. 44 10. 100 11. 56

12. Explica cmo cada uno de los siguientes nmeros 12 y 24; 3 y 8; 6 y 8 se relaciona con su m.c.m. 24.

El m.c.m. de tres nmeros Puedes usar mtodos similares para hallar el m.c.m. de tres nmeros.

Usa una lista para hallar el m.c.m. de 10, 14 y 70.

Mltiplos de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140,

Mltiplos de 14: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140,

Mltiplos de 70: 70, 140,

Entonces, el m.c.m. de 10, 14 y 70 es 70.

Usa la descomposicin en factores primos para hallar el m.c.m. de 6, 9 y 15.

6 5 2 3

9 5 3 3

15 5 3 5

2 3 3 5 5 90

Escribe la descomposicin en factores primos de cada nmero.

Escribelamayorcantidaddevecesqueaparececadafactorencualquierdescomposicinenfactoresprimos.Multiplica.

Entonces, el m.c.m. de 6, 9 y 15 es 90.

Ejemplo 2 Halla tres nmeros a partir de un m.c.m. de 36.

36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 Haz una lista con los factores de 36.

1, 2, 36 2, 9, 36 3, 4, 36 Primero, usa el m.c.m., 36, y otros dos factores alazar.Sedangruposposibles.

2, 4, 9 4, 6, 9 9, 12, 18 4, 9, 12 6, 12, 18 12, 18, 36

Luego, halla otro grupo de tres factores de36quetenganunm.c.m.de36.Sedangrupos posibles.


14


Naranja Manzana Guinda

MANZANANARANJA ARANDANOS

Escribe el m.c.m. de los nmeros.

13. 15, 25 14. 8, 14 15. 8, 16 16. 11, 22 17. 4, 18 18. 3, 12, 15 19. 10, 16, 20 20. 4, 36, 54 21. 2, 7, 10 22. 27, 3, 6

Escribe dos nmeros a partir del m.c.m. dado.

23. 40 24. 39 25. 24 26. 30 27. 22

Escribe tres nmeros a partir del m.c.m. dado.

28. 10 29. 20 30. 18 31. 28 32. 45

USA LoS DAToS Del 33 a 34, usa el grfico.

33. Marco compr igual cantidad de botellas de jugo de naranja, manzana y guinda para el paseo al aire libre. Cul es la menor cantidad de cada uno que puede haber comprado para tener el mismo nmero de botellas de cada jugo y que no haya sobras?

34. Qu sucede si Marco compra igual cantidad de botellas de dos tipos de jugo? Comprar ms botellas si elige jugo de naranja y manzana, de guinda y naranja, o de manzana y guinda? Cuntas botellas de cada jugo comprar? Explica tu razonamiento.

35. El m.c.m. de dos nmeros es 18. El m.c.d. de los nmeros es 3. Cules son los nmeros posibles?

37. Plantea un problema Lee otra vez el problema 35. Escribe un problema similar en el que cambies el m.c.m. y el m.c.d.

36. El m.c.m. de dos nmeros es 40. El m.c.d. de los nmeros es 4. Cules son los nmeros posibles?

38. Laura dice que el m.c.m. de dos nmeros primos diferentes es su producto. Explica si tiene razn o no.

39. Redondea 12 082 a la decena ms prxima.

40. Cules son dos fracciones equivalentes a 12 ___ 15

? 41. Cul es el mnimo comn mltiplo de 12 y 18? A 6

B 30

C 36

D 120

42. Qu nmeros son dos mltiplos comunes de 4, 10 y 12?

43. El m.c.m. de tres nmeros es 90. Uno de los nmeros es 15. Cules pueden ser los otros dos?

A 6, 8 C 2, 10

B 18, 30 D 30, 50

Prctica adicional en la pgina 18, Grupo C


Captulo 1 15

Escribir para explicar

Primero, halla los factores comunes de 4 y 6. 4: 1, 2, 46: 1, 2, 3, 6Luego multiplica el nmero de aos que dura el perodo del presidente por el nmero de aos que el alcalde cumple con su cargo. 4 6 5 24Por ltimo, divide el producto entre el mximo factor comn para hallar el mnimo comn mltiplo. 24 : 2 5 12 Entonces, en 12 aos, el alcalde y el presidente podrn postularse para la reeleccin en el mismo ao.

Consejos para escribir una explicacin

Mencionaculeselproblemaenlaprimera oracin.

Usaconectorescomoprimero, luego y por ltimo para mostrar el orden de los pasos.

Usatrminosmatemticoscorrectos.

Muestratodoslosclculos.

Mencionalasolucindelproblemaenlaltimaoracindetuexplicacin.

resolucin de problemas Escribe una expli-cacin para mostrar cmo resolver cada problema.

1. Daniela colgar luces rojas, blancas y azules para una fiesta. Las luces rojas vienen en paquetes de 6, las

blancas, en paquetes de 8 y las azules, en paquetes

de 3. Planea colgar la misma cantidad de cada color.

Cul es el menor nmero de luces de cada color

que debe comprar? Cuntos paquetes de cada

color debe comprar?

2. Rafael tiene 12 carteles y 36 boletas de muestra

para la eleccin escolar. Est armando paquetes,

todos con la misma cantidad de carteles y de

boletas. Cul es la mayor cantidad de paquetes

que puede armar sin que sobren objetos? Cuntos

de cada uno de los objetos habr en cada paquete?

Los factores comunes son 1 y 2.

Escribir una explicacin ayuda a analizar cuidadosamente los pasos que hicieron falta para resolver un problema. Tambin sirve para comprender un concepto matemtico o una destreza.

El gobierno que asumi la presidencia en el ao 1994 dur seis aos. Los alcaldes duran 4 aos. Si el presidente y alcalde asumen el mismo ao, en cuntos aos ms podrn presentarse a la eleccin juntos?

El mnimo comn mltiplo de 4 y 6 es el nmero menor de aos que pasarn antes de que el presidente y el alcalde puedan postularse para la reeleccin en el mismo ao. Lee la explicacin de Laura acerca de su solucin.

Elmximofactorcomnes2.

Captulo 1 15

16

a b a b m.c.d. m.c.m. m.c.d. m.c.m. 3 4 12 1 12 12

4 6 24 2 12 24

3 6 18 3 6 18

8 24 192 8 24 192

7 3 21 1 21 21

15 9 135 3 45 135

54 9 486 9 54 486

Observa los pares de nmeros y describe las relaciones.

Par de nmeros

Halla la fila con 3 y 6. El nmero 6 es un mltiplo de 3. Cul es la relacin entre el m.c.m. y los nmeros?

Halla la fila con 3 y 4. El m.c.d. de los nmeros es 1. Cul es la relacin entre el m.c.m. y el producto de los nmeros?

Halla la fila con 8 y 24. El nmero mayor es el m.c.m. Cul es la relacin entre el m.c.d. y los nmeros?

Relacin

Cuando un nmero es mltiplo del otro, el m.c.m. es el nmero mayor.

Cuando el m.c.d. es 1, el m.c.m. es el producto de los nmeros.

Cuando el m.c.m. es el nmero mayor, el m.c.d. es el nmero ms pequeo.

Piensa y comentaUsa las relaciones que se muestran arriba para ayudarte a resolver los problemas.

a. Observa la tabla. Qu otros pares de nmeros tienen la misma relacin que 3 y 6? Cmo puedes hallar el m.c.m. de cada par de nmeros?

b. El m.c.d. de 14 y 17 es 1. Cmo puedes hallar el m.c.m.?

c. El m.c.m. de 5 y 10 es 10. Cmo puedes hallar el m.c.d.?

Lee para entenderProbLEMA Patricio y Sandra hicieron la tabla que se muestra abajo para identificar las relaciones entre un par de nmeros, su mximo comn divisor y su mnimo comn mltiplo. Qu relaciones se muestran?

Destreza: identificar relaciones OBJETIVO: resolver problemas con la destreza identificar relaciones.

5LECCI

N

Captulo 1 17

Aplicaciones mixtas

Centenario de los 0,60 1983 Valparasoascensores de ValparasoNativas pascuenses 0,33 1986 Isla de Pascua en las canteras XXV Tratado Antrtico 0,80 1985 Base OHigginschileno Antrtida Chilena 100 aos Divisin 0,48 2005 RancaguaEl TenienteIglesias de Chilo 0,37 2002 Chilo

Nombre Peso en g Fecha de emisin Lugar

Estampillas chilenas

1. Pedro y Martn quieren ver si hay alguna relacin entre dos nmeros primos y su m.c.m. Hicieron una tabla como ayuda. Qu relaciones ves?

a b m.c.m.

2 3 6

2 5 10

3 5 15

3 7 21

5 7 35

13 11 143

Primero, observa cada par de nmeros y su m.c.m.

Luego, decide si hay alguna relacin.

2. Qu pasara si hubiera tres nmeros primos? Qu relacin hay entre los nmeros y su m.c.m.? Explica tu respuesta.

3. Qu relacin hay entre la suma de dos nmeros pares y la suma de dos nmeros impares? Explica y da un ejemplo.

4. Existe una relacin entre los nmeros compuestos 4, 16, 36, 81, 100 y 144. Identifica la relacin y escribe otros dos nmeros que tengan la misma relacin.

5. En qu se relacionan el producto de dos nmeros pares y el producto de un nmero par y uno impar? Se relacionan de igual manera el producto de dos nmeros pares y el de dos nmeros impares? Explica y da un ejemplo.

USA LoS DAToS Del 6 al 9, usa la tabla.

6. Cuntos gramos pesan en total las estampillas de 100 aos Divisin El Teniente y la estampilla Nativas pascuenses en las canteras?

7. Qu cantidad de tipos de estampillas puedes pesar para obtener exactamente 7 gramos como resultado total?

8. Cul es la menor cantidad de estampillas de Centenario de los Ascensores de Valparaso y XXV Tratado Antrtico chileno, puedes pesar si quieres obtener el mismo gramaje como resultado?

9. Qu estampillas, al pesarlas, dan exactamente 20 gramos como total?

resolucin de problemas con supervisin

18

Grupo A Escribe los primeros tres mltiplos comunes.

1. 4, 6 2. 3, 8 3. 7, 14 4. 3, 4, 12 5. 4, 5, 8


6. 20, 40 7. 7, 17 8. 32, 40 9. 16, 32, 64 10. 5, 10, 35

Indica si el nmero es primo, compuesto o ninguno de los dos.

11. 51 12. 42 13. 19 14. 0 15. 29

Grupo B Halla el m.c.d.

1. 16, 24 2. 8, 16 3. 18, 54 4. 4, 14 5. 84, 108

6. 15, 36 7. 18, 42 8. 24, 84 9. 21, 56 10. 15, 70

11. Mara tiene 16 rosas y 12 azucenas para colocar en floreros. Si coloca la misma cantidad de rosas y azucenas en cada florero, cul es el mayor nmero de floreros que necesitar para colocar todas las flores?

12. Cul es la mayor cantidad de bolsas de cumpleaos que puede hacer Ivn con 20 sorpresas y 16 globos si cada bolsa tiene el mismo nmero de regalitos y globos, e Ivn usa todos los objetos?

Prctica adicional

Grupo C Escribe el m.c.m. de los nmeros.

1. 4, 6 2. 7, 14 3. 10, 15 4. 3, 4 5. 6, 24

6. 12, 18, 36 7. 6, 12, 18 8. 10, 16, 20 9. 3, 7, 21 10. 10, 18, 72

11. 7, 5 12. 9, 6, 4 13. 8, 18 14. 15, 12 15. 6, 8, 48

16. El m.c.m. de dos nmeros es 16. El m.c.d. de los nmeros es 4. Cules son los nmeros?

17. El m.c.m. de dos nmeros es 40. El m.c.d. de los nmeros es 20. Cules son los nmeros?

Preparados!2jugadores

Listos? 29papelitos bolsadepapel 30fichas 2monedasdiferentes

Ya!

Losjugadoresescribenenpapelitoslosnmerosdel 2 al 30 y los ponen en una bolsa.

CadajugadoreligeunamonedaylacolocaenlaSALIDA.

Porturnos,cadajugadorsacaunnmerode la bolsa.

Identificasielnmeroesprimoocompuesto. Sielnmeroescompuesto,eljugadorusalasfichas para hacer todas las matrices posibles quemuestrenelnmero.

Sielnmeroesprimo,continaelsiguiente jugador.

Elotrojugadorcompruebalasmatrices.

Eljugador1avanzadoslugaresporcadamatrizquehagadeunnmerocompuesto. Sieljugador2puedehacerotramatrizdelnmerodeljugador1,puedeavanzar un espacio.

GanaelprimeroquealcanzalaLLEGADA.

SalidaLleg

ada

Primo o compuesto?

Captulo 1 19

20

Repasar el vocabulario y los conceptos

Repasar el vocabulario y los conceptos.

1. El nmero 3 es el ____ de los nmeros 6 y 15.

2. Un nmero que es factor y mltiplo de 24.

3. Factor de todos los nmeros_____. 4. 6 es factor de_____.

5. 6 es mltiplo de _____. 6. Primer mltiplo comn de 6 y 9 ____.

Completa con las palabras mltiplos o factores.

7. 25, 100 y 150 son _________ de 25. 8. 1, 2, 5, 10, 25, y 50 son __________ de 50.

9. Cada nmero tiene una cantidad infinita de __________.

10. Si un nmero x divide a otro nmero y en forma exacta, se dice que x es un _______de y.

11. Cul de los siguientes nmeros es un nmero primo?

A 4

B 9

C 13

D 15

VoCAbULArIo

mximo comn divisor (m.c.d.)

mnimo comn mltiplo (m.c.m.)

nmero compuesto

nmero primo

Repasar las destrezas Halla el m.c.d. y el m.c.m. de cada grupo de nmeros.

12. 3, 4 13. 8, 64 14. 15, 18 15. 9, 12, 18 16. 10, 20, 50

Repasar la resolucin de problemas Resuelve.

17. Marco descubri que existe una relacin entre los nmeros compuestos 6 y 24. Identifica la relacin y escribe otros dos nmeros que tengan la misma relacin.

18. Ral escribi los nmeros 12 y 18 en el pizarrn. Descubri que el m.c.m. de 12 y 18 es 36. Cul es el m.c.d. del par de nmeros?

19. Amalia escribi los nmeros primos 3 y 11. Dice que cuando el m.c.d. de dos nmeros es 1, el m.c.m. es el cociente de los nmeros. Tiene razn? Explica.

Repaso/Prueba del captulo 1

Paso 3 Compara la suma y el nmero.

Paso 4 Clasifica el nmero.

Paso 2 Halla la suma de los divisores propios.

Paso 1 Escribe los divisores propios del nmero.

18 21 6

1, 2, 3, 6, 9 1, 3, 7 1, 2, 3

21 11 6

21 18 11 21 6 5 6

abundante deficiente perfecto

13. Emilio escribi los nmeros primos 31 y 13 sobre una hoja. Qu notas acerca de los nmeros primos 31 y 13? Explica.

14. Razonamiento El primer nmero abundante impar se encuentra entre 800 y 1 000. Si sus factores primos son 3, 5 y 7, cul es el nmero?

Entonces, 18 es un nmero abundante, 21 es un nmero deficiente y 6 es un nmero perfecto.

PrubaloClasifica cada nmero en abundante, deficiente o perfecto.

1. 29 2. 30 3. 28 4. 17 5. 64 6. 24

7. 51 8. 48 9. 12 10. 40 11. 53 12. 496

Explica la razn por la que el producto de 2 y cualquier nmero perfecto siempre ser un nmero abundante.

Ser perfecto o no ser perfecto?Enriquecimiento Nmeros perfectos,

abundantes y deficientes

Los nmeros pueden clasificarse en abundantes, deficientes o perfectos. La clasificacin de un nmero depende de la suma de sus divisores propios. Los divisores propios son los factores del nmero, excluyendo al nmero mismo.

La suma de los divisores propios de un nmero abundante es mayor que el

nmero en s. La suma de los divisores propios de un nmero deficiente es

menor que el nmero en s. La suma de los divisores propios de un nmero perfecto es igual al nmero en s.

EjemploClasifica los nmeros 18, 21 y 6 en abundantes, deficientes o perfectos.

Clasifica 18 despus de analizar

la suma de sus divisores propios.

Paso 1: 1, 2, 3, 6, 9

Paso 2: 1 + 2 + 3 + 6 + 9 = 21

Captulo 1 21

22

Patrones y lgebra

6. Si x 5 3 cul es el valor de 12 : x?

A 2

B 4

C 6

D 8

7. Si n es par menor que 8 y mayor que 4, qu

valor tiene n?:

A 2

B 4

C 6

D 8

8. Qu valor debe ir en el recuadro para que se cumpla la igualdad 125 2 _____5 50?

A 50

B 45

C 75

D 100

9. Cul es el valor de x en la siguiente

ecuacin 2x + 4x = 18?

A x = 6

B x = 18

C x = 3

D x = 12

10. Explica cmo se halla el valor de la expresin x 2 10 para x 5 12.


Nmeros y operaciones

1. Qu valor resulta al amplificar 7 __ 8 por 5?

A 358

B 1213

C 3540

D 4035

2. Cul de las siguientes fracciones es mayor que 5

7?

A 6

10

B 3642

D 4868

C 23

3. De las fracciones que aparecen, cul es la fraccin equivalente a 1

4?

A 7

12

B 915

C 832

D 24

4. El nmero mixto 8 enteros 14

escrito como fraccin es:

A 364

B 833

C 334

D 433

5. Explica cmo se escribe 38

como nmero decimal.

Captulo 1 23


11. La figura UVWX es un cuadrado. Cada lado mide 3,5 centmetros. Cul es su permetro?

U

X W

V

12. Si el rea del tringulo UWX es de 12 centmetros cuadrados, cul es el rea total de UVWX?

A 7 cm

B 7 cm2

C 14 cm2

D 24 cm2

13. La red que observas a continuacin representa la red de un:

A paraleleppedo

B cubo

C pirmide cuadrada

D prisma triangular

14. Cuntos vrtices tiene la red del cuerpo geomtrico anterior?

A 12

B 8

C 16

D 14

15. La seora Gonzlez registr la asistencia a cinco funciones de un concierto en la siguiente tabla.

Qu da asistieron ms personas?

A Viernes C Martes

B Jueves D Mircoles

16. Cuntas personas ms asistieron el da

viernes que el jueves?

A 28

B 18

C 16

D 26

17. Cul de las siguientes preguntas no puedes contestar con los datos de la tabla?

A Cul es la cantidad de asistentes en la semana hbil?

B Cul es la cantidad de hombres y mujeres que asistieron a cada concierto?

C Cuntos asistentes ms hubo el da mircoles que el lunes?

D Cuntos asistentes menos hubo el da martes que el viernes?

Geometra Medicin

Asistencia al concierto

Funciones Cantidad de personas

Lunes 125

Martes 234

Mircoles 190

Jueves 305

Viernes 331

InvestigaEn la receta de la derecha se muestran los ingredientes para preparar un brazo de reina. Si quiero cocinar para 12 personas, qu cantidad de cada ingrediente necesito?

Fracciones y nmeros mixtosLa idea importante Determinar equivalencias entre fracciones impropias nmeros mixtos y

representarlos en la recta numrica.

Brazo de gitano en Espaa, pionono en Per, arrollado en Argentina, rocambole en Brasil, en Mxico nio envuelto brazo de reina en Chile y en Colombia, y otros tantos nombres ms..., es un delicioso pastel que tiene su origen en la receta que un monje espaol llev de Egipto a Espaa en la Edad Media. Comenz llamndose brazo egiptiano y la palabra degener en brazo de gitano.

2

Receta Brazo de reina Preparacin:1hora.Para:6personas

4huevosatemperaturaambiental

3/4cucharaditadepolvosdehornear

1/2cucharaditadesal

3/4tazadeazcargranulada

1cucharaditadeextractodevainilla

3/4tazadeharina

azcarflor

DATOBREVE

2424

1000Bml20C


C Que fraccin de 1 litro representa: 1. 500 ml 2. 250 ml

3. 100 ml 4. 750 ml

C Comparar y ordenar fracciones y nmeros mixtosCompara. Escribe ,, . o 5.

5. 5 __ 6 1 __ 6 6. 1 __ 4

3 __ 4 7. 2 2 __

5 2 3 __

5 8. 1 __ 2

1 __ 3

9. 4 1 __ 6 4 1 __

3 10. 4 2 __

5 4 2 __

3 11. 1 __ 4

1 __ 5 12. 1 __ 2

4 __ 5

Ordena de menor a mayor.

13. 1 __ 3 , 2 __ 3 , 1 __

6 14. 2 __ 5 ,

1 __ 2 , 3 ___

10 15. 5 2 __

3 , 5 2 __

6 , 5 2 ___

12 16. 2 3 __

4 , 2 1 __

8 , 4 1 ___

12

C Practicar operaciones de divisinHalla el cociente.

17. 54 : 9 18. 42 : 6 19. 24 : 6 20. 120 : 4 21. 21 : 7

22. 84 : 7 23. 0 : 7 24. 36 : 4 25. 32 : 8 26. 72 : 2

27. 108 : 2 28. 56 : 8 29. 88 : 8 30. 60 : 2 31. 49 : 7


fracciones impropiasfraccionesmnima expresin nmero mixto

PREPARACIN

fracciones impropias Son aquellas fracciones mayores que 1

fracciones equivalentes Son fracciones que representan la misma parte o cantidad.

nmero mixto Son fracciones mayores que un entero y estn representadas por un entero mayor que cero y una fraccin entre 0 y 1.nmeros naturales Conjunto de nmeros desde el 1 hasta infinito.

250 ml

500 ml

750 ml

1000 ml

Captulo 2 25

1 __ 6 5 ___

12

Para obtener el denominador 12, multiplica el denominador por 2.

4 ___ 12

5 __ 3

Para obtener el denominador 3, divide el denominador entre 4.

ObservalosejemplosAyB.Quoperacindacomoresultadouna fraccinconmspartesquelafraccinoriginal?Explicacmolosabes.

Otra manera de hallar una fraccin equivalente es multiplicar o dividir. Es posible multiplicar el numerador y el denominador por el mismo nmero, que no sea 0 o 1. Tambin se puede dividir un numerador o un denominador entre un factor comn mayor que 1.

Ejemplo 1 Completa.

Halla el m.c.d.

1. 8, 12 2. 21, 283. 9, 30 4. 32, 605. 20, 45

Vocabulariofracciones equivalentes

mnima expresin o fraccin simplificada

mximo comn divisor (m.c.d)

Paraqueelvalordelafraccinseaelmismo,tambindebesmultiplicarelnumerador por 2.

Paraqueelvalordelafraccinseaelmismo,tambindivideelnumerador entre 4.

Fracciones equivalentes y fracciones en su mnima expresin OBjETIVO: identificaryescribirfraccionesequivalentes,yescribirfraccionessimplificadasasumnimaexpresin.

PROBLEMA Para una receta de galletas de avena, se necesitan taza de azcar. Daniel usar una taza de para medir las tazas de azcar. Cuntas veces debe llenar la taza de de azcar para preparar las galletas de avena?

Las fracciones equivalentes son fracciones que representan la misma parte o cantidad. Puedes representar fracciones equivalentes para hallar cuntos octavos equivalen a 3

4.

34

18 1

8

1LECCI

N

Aprende

16

212

22

=

Puedesleer3 _ 4 5 6 _ 8 comotres

cuartosesequivalenteaseisoctavos.

Actividad

Materiales barrasdefraccin

Comienzacontresbarrasdefraccinde 14

.

Colocabarrasdefraccin de 18

a lo

largodelastresbarrasde 14

hastaquelalongitudsealamisma.

Cuntasbarrasde 18

hay?

Enlarepresentacinsemuestraque 345 6

8.Entonces,Danieldebe

llenar seisveceslatazaparamedirde 18

.

Usalasbarrasdefraccin.Cuntasdoceavaspartes equivalena 3

4?Completa 3

45 12

13

44

=::412

26

Fraccin simplificada a su mnima expresinUna fraccin est en su mnima expresin cuando el nico factor comn del numerador y el denominador es 1.

1724

es una fraccin en su mnima expresin porque el nico factor comn de 17 y 24 es 1.

1824

no es una fraccin en su mnima expresin porque 18 y 24 tienen el factor comn 6.

1. Observa la representacin. Cuenta para hallar cuntas doceavas partes equivalen a 3

4. Completa: 3

4 =

12.

Completa.

2. 35

= 10

3. 56

= 24

4. 68

= 4

5. 210

= 80

6. 2540

= 8

7. 812

= 36

Usa los factores comunes.

24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

5

Usa un diagrama escalera.

2

2

3

24 ___ 36 5

2 __ 3

Entonces,2 _ 3 eslafraccinensumnimaexpresin24 __ 36 .

Puedes hallar una fraccin en sumnimaexpresinen un solo paso si divides por el mximo comn divisor (m.c.d).

Ejemplo 3 Escribe la fraccin en su mnima expresin.

18 ___ 24 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18 Halla el m.c.d. 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 m.c.d. 5 6

20 ___ 64 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20 Halla el m.c.d. 64: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 m.c.d. 5 4

Ejemplo 2 Escribe 24 __ 36 como fraccin en su mnima expresin.

Entonces,3 _ 4 eslafraccinsimplificadaasumnimaexpresinde18 __ 24 .

Entonces,5 __ 16 eslafraccinsimplificadaasumnimaexpresinde20 __ 64 .

Hallalosfactorescomunesde24y36.

Divideelnumeradoryeldenominador entre un factor comnquenosea1.

Repiteelprocedimientohastaquelafraccinseaunafraccinensumnimaexpresin.

Divideelnumeradoryeldenominadorentre un factor primo comn. Repite elprocesohastaquesolotengancomofactor comn a 1.

Elnuevonumeradores2yelnuevodenominadores3.

Divideelnumeradoryeldenominador entre 4.

Divideelnumeradoryeldenominador entre 6.


Prctica adicional en la pgina 54, Grupo A

2436

46

66

=::2436

46

23

22

=::46

=

2064

516

44

=::2064

=1824

34

66

=::1824

=

2436

1218

69

23

Captulo 2 27

Mquina de lavar la ropa

22 ___ 100

Ducha 17 ___ 100

Llave de agua

16 ___ 100

14

Prdidas de agua

___100

Bao 27 ___ 100

Otros usos domsticos

1 ___ 100

Lavamanos 1 ___100

Uso promedio del agua en el hogar

Tina 2 ___100

Completa.

15. 1218

= 3

16. 1551

= 5 17. 320

= 24 18. 78

= 72

19. 49

= 47

20. 1555

= 11

21. 1218

= 3

22. 1551

= 5 23. 320

= 24 24. 78

= 72

25. 49

= 47

26. 1555

= 11

Escribe la fraccin simplificada a su mnima expresin.

27. 2442

28. 1830

29. 410

30. 4832

31. 4520

32. 5060

33. 1065

34. 862

35. 412

36. 3236

37. 24

38. 510

Escribe la fraccin simplificada a su mnima expresin.

8. 7075

9. 912

10. 628

11. 44121

12. 1527

13. 1854

14. Explica cmo hallar una fraccin equivalente a 1215



USA LOS DATOS Del 43 al 45, usa el grfico.

43. Qu uso domstico del agua puede escribirse como 4

25 en su mnima expresin?

44. La fraccin que corresponde al uso del agua de

la ducha es 17100

. Es esta fraccin una fraccin en

su mnima expresin? Si no es as, redcela a la mnima expresin. Explica tu respuesta.

45. Las fracciones de qu usos domsticos del agua pueden escribirse como fracciones equivalentes que tengan el nmero 50 como denominador?

46. Mara tiene 25 bolitas verdes, 36 amarillas, 10 azules y 29 rojas. Escribe una fraccin reducida a su mnima expresin. para mostrar qu parte de las bolitas de su coleccin son azules o verdes.

47. Cul es la pregunta? Luis tiene 8 manzanas rojas, 6 manzanas verdes y 4 manzanas amarillas. La respuesta es 4

9 de las manzanas.

Razonamiento Del 39 al 42, escribe siempre, a veces o nunca en cada enunciado.

39. El denominador de una fraccin equivalente es menor que el denominador de la fraccin original.

41. El numerador de una fraccin en su mnima expresin es mayor que el numerador de una fraccin equivalente.

40. El denominador de una fraccin equivalente es un mltiplo del denominador de la fraccin original.

42. Puede escribirse una fraccin equivalente para cualquier fraccin.

28

Comprensin de los Aprendizajes

RAZONAMIENTO Puedes usar lo que sabes acerca de las relaciones numricas y las fracciones equivalentes para encontrar las incgnitas.

Ejemplo Cules son los valores de a y b en 4 _ 5 5 a _ b ?

Usa las pistas para hallar los valores de a y b.

1. 3 ___ 10

5 a __ b 2. 4 __ a 5

b __ 6

Pista 1: La suma de los dgitos de a es igual a 9. Pista 1: a es un mltiplo de 3 menor que 30.

Pista 2: a y b son nmeros de dos dgitos Pista 2: b es un nmero primo. menores que 65.

3. 5 __ 7 5 a __

b 4. a __

9 5 16 ___

b

Pista 1: a y b son nmeros pares mayores que Pista 1: Los factores de b son 1, 2, 3, 4, 6, 9, 10 y menores que 30. 18 y 36.

Pista 2: La suma de a y b es igual a 48. Pista 2: a y b son mltiplos de 4.

Pista 1: Tanto a como bsonmayoresque10ymenoresque20.

Segnlapista1,aybpuedenser11,12,13,14, 15, 16, 17, 18 o 19.

Comoa _ b debeserequivalentea4 _ 5 , aes12ybes15.

Pista 2: Tanto a como bson mltiplosde3.

Segnlaspistas1y2,ayb puedenser12,15o18.

48. Ral gan $ 13 250 cortando el pasto del jardn. Una soga cuesta $ 6 950. Cunto dinero tendr Ral despus de comprar la soga?

49. Calcula el valor de la expresin algebraica m212 para m 5 51.

50. Escribe una fraccin para la parte sombreada.

51. Juan ahorra 915

de lo que gana cada semana.

Cul de las siguientes fracciones es equivalente a 915

?

A 15

B 1845

C 35

D 83

52. Un pastel se corta en 16 porciones. Se comen cuatro porciones. Qu fraccin representa, como fraccin reducida a su mnima expresin, la cantidad de pastel que sobra?

A 1216

B 34

C 13

D 416

Unavariableesunaletraounsigno

querepresentaunoomsnmeros.Lasletrasylos

signosx, y, a, bysonejemplosde

variables.

Recuerda

Captulo 2 29

Aprende

Fracciones y nmeros mixtos OBjETIVO:escribirfraccionescomonmerosmixtosynmerosmixtoscomofracciones.

Escribe la fraccin como fraccin equivalente.

1. 21 ___ 27

2. 24 ___ 40

3. 33 ___ 77

4. 27 ___ 36

5. 72 ___ 84

Vocabularionmero mixto

Usa un diagrama.

Usa la multiplicacin y la suma.

Entonces,21 _ 4 5 9 _ 4 .

Puedes usar la divisin para escribir una fraccin mayor que 1 como un nmero mixto o un nmero natural.

Ejemplo 2 Escribe 26 __ 10 como nmero mixto en su mnima expresin.

Dadoque26 __ 10 puedeleersecomo26divididoentre10,divideel numerador entre el denominador.

Usaelrestocomoelnumeradoryeldivisorcomoeldenominador.Escribelafraccincomofraccinensumnimaexpresin.

Entonces,26 __ 10 5 2 6 __ 10 5 2

3 _ 5 .

Multiplica el denominador de la parte fraccional por la parte delnmeronatural.Luegosumaelnumerador.Elresultadoeselnuevonumerador.Usaelmismodenominador.

Cuentaloscuartossombreados.Haynueve cuartoso9 _ 4 .

1. Observa la representacin. Escribe el nmero representado como un nmero mixto y como una fraccin. Luego escribe cada uno en palabras.

Escribe el nmero mixto como fraccin.

2. 6 1 _ 3 3. 1 3 _ 4 4. 3

2 _ 5 5. 1 6. 5 1 _ 2 7. 2

1 _ 8

Un nmero mixto, como 2 1 _ 4 , es un nmero representado por un nmero natural mayor que 0 y una fraccin entre 0 y 1. Los nmeros mixtos tambin pueden representarse con una fraccin mayor que uno. Las fracciones mayores que uno, como 6

5, suelen llamarse fracciones

impropias.

Ejemplo 1 Escribe 2 1 _ 4 como fraccin.


2LECCI

N

26 : 1052

220 __ 6

2 1 _ 4 5 (4 2) ______

4 1 1 _

4 5 8 1 1 _____

4 5 9 _

4

_____ _ _________ _

716

30


44. Cul es el mximo comn divisor de 12 y 24?

45. Escribe un nmero mixto para la parte sombreada.

46. Cul es el permetro de un cuadrado cuyos lados miden 5 centmetros de longitud?

47. Juan compr 3 3 _ 4 kg de frutos secos surtidos y los dividi en porciones de 1 _ 8 de kg. Cuntas porciones de frutos secos surtidos obtuvo?

A 8 B 15 C 24 D 30

Escribe la fraccin como nmero mixto en su mnima expresin o como nmero natural.

8. 145

9. 4510

10. 568

11. 196

12. 6416

13. 5520

14. Explica cmo usar el resto y el divisor cuando se utiliza la divisin para escribir una fraccin como nmero mixto.

Escribe el nmero mixto como fraccin.

15. 4 5 _ 8 16. 7 2 _ 3 17. 5

5 _ 6 18. 11 1 _ 4 19. 12

4 _ 5 20. 3 7 __ 10

21. 2 1 _ 2 22. 8 3 _ 5 23. 5

3 __ 10 24. 6 3 _ 8 25. 3

3 _ 4 26. 2 1 _ 2

Escribe la fraccin como nmero mixto en su mnima expresin o como nmero natural.

27. 17 ___ 3 28. 44 ___

8 29. 45 ___

12 30. 41 ___

18 31. 65 ___

5 32. 85 ___

25

33. 32 ___ 7 34. 60 ___

4 35. 34 ___

4 36. 66 ___

8 37. 23 ___

3 38. 39 ___

6

39. DATO BREVE En un eclipse total de luna, la Tierra impide que la luz solar directa llegue a la Luna. El eclipse total de luna ms largo de los prximos 90 aos tendr lugar en el ao 2018 y durar 1 h. Escribe 1 como fraccin y usa la fraccin para hallar cuntos minutos durar el eclipse.

40. El eclipse total de luna ms largo desde 1900 tuvo lugar en el ao 2000 y dur 107 minutos. Escribe 107 minutos en horas como fraccin y como nmero mixto.

USA LOS DATOS Del 42 a 43, usa la receta.

42. Para preparar un batido de durazno, Leo tiene solo una taza para medir de 1 _ 4 . Escribe la cantidad de cada ingrediente, salvo de pltanos, como una fraccin en cuartos.

43. Imagina que Leo tiene solo una taza de 1 _ 8 para medir. Anota la cantidad de rodajas de durazno como una fraccin en octavos.

41. Cul es el error? Pilar volvi a expresar 2 5 _ 7 como

17 __ 7 . Describe cul es su error y escribe la respuesta correcta.



1115

1115

Captulo 2 31

Aprende

0 1 9 10 15

510

3 10

7 10

110 4

10610

810

Idea matemticaLos valores aumentan a medida que

se va hacia la derecha en la recta numrica. Los valores disminuyen a medida que se va hacia la izquierda.

Comparar y ordenar fracciones y nmeros mixtosOBjETIVO:compararyordenarfraccionesynmerosmixtos.

Para comparar fracciones con el mismo denominador, compara los numeradores, porque cada parte es del mismo tamao. Para comparar fracciones con el mismo numerador, compara los denominadores.Mismo denominador Mismo numerador

2 _ 3 Dosdetrespartesiguales

esmayorqueunadetres partesiguales.Entonces, 2

3 > 1

3.

Para comparar nmeros mixtos, compara los nmeros naturales y luego las fracciones. Puedes usar mltiplos comunes para comparar y ordenar las fracciones y los nmeros mixtos con distintos denominadores.

1 _ 3

2 _ 3 Dosdetrespartesigualesesmayor

quedosdecincopartesiguales. Entonces,2 __

3 . 2 __

5 .

2 _

5

Ejemplo 1EnChiloanualmenteserealizalafiestadelajo.Lastrenzasdeajosganadoraselaopasadopesaban51 _ 2kg,5

2 _ 3kg,55 _ 8 kg.

Ordenalastrenzasdeajodemayoramenorpeso.

Losnmerosnaturalessoniguales.Entonces,comparalasfracciones.Escribefraccionesequivalentesconelmismodenominadoryluegocomparalosnumeradores.

5 1 _ 2 5 5 12 __ 24 5

2 _ 3 5 5 16 __ 24 5

5 _ 8 5 5 15 __ 24

Piensa:24esunmltiplocomn

de2,3y8.

Como512 __ 24 , 5 15 __ 24 , 5

16 __ 24 ,elordendelastrenzasdemenora

mayores51 _ 2 kg,55 _ 8 kg,5

2 _ 3 kg.

Tambinpuedesusarunarectanumricaparacompararyordenar lasfracciones.

Ejemplo 2 Ordena , y demayoramenor.710

210

110

Ubicalosnmerosenlarectanumrica.7 __ 10 estaladerechade

1 _ 2 y1 _ 2 estaladerechade

2 _ 5 .

Escribe dos mltiplos comunes para cada par de nmeros.

1. 6, 8 2. 10, 153. 7, 8 4. 6, 25. 9, 5

Entonces,elordendemayoramenores7 __ 10 , 2 __ 10 ,

1 __ 10 .

3LECCI

N

32


0 151213

12

1112

712

112

16

14

23

34

56

Prctica adicional en la pgina 34, Grupo C

1. Usa las barras de fraccin para ver qu parte es mayor. Luego compara 2 _ 5 y

2 _ 8 y usa los smbolos ,, . o 5 en la comparacin.

Compara. Escribe ,, . o 5.

2. 4 __ 5 4 __

9 3. 5 __

8 7 __

8 4. 1 4 ___

12 1 3 __

8 5. 1 5 __

6 7 __

6 6. 28 ___

42 4 __

6

7. Explica cmo usar la recta numrica para ordenar 2 _ 3 ; 1 _ 2 y

11 __ 12 de mayor a menor.


8. 1 __ 2 11 ___

12 9. 7 ___

15 7 ___

10 10. 7 __

9 4 __

9 11. 7 1 __

3 6 2 __

3 12. 1 2 __

5 1 1 __

3

Ordena de mayor a menor.

13. 5 __ 7 ; 5 __

6 ; 5 ___

12 14. 4 __

7 ; 4 ___

10 ; 4 __

5 15. 1 3 __

4 ; 5 __

7 ; 1 3 __

5 16. 3 7 ___

10 ; 3 1 __

6 ; 3 2 __

5

17. 3 __ 7 ; 5 __

6 ; 2 __

3 18. 1 __

2 ; 2 __

9 ; 11 ___

18 19. 1 7 __

8 ; 6 __

7 ; 1 9 ___

10 20. 5 5 __

8 ; 5 7 ___

10 ; 5 3 __

4

21. La semana pasada, Amalia y Jos compraron cada uno 2 kg de semillas de girasol. A Amalia le quedan 1 1 _ 3 kg y a Jos, 1

2 _ 5 . quin ha consumido ms semillas de girasol?

22. Razonamiento Halla una fraccin que est entre 3 _ 4 y 5 _ 6 .

23. Explica cmo hallar qu nmero es menor, 4 _ 5 o 5 _ 6 . Luego muestra la comparacin

con smbolos.

24. Qu es menor: 24 3 o 23 4?

25. Si n 5 3, cul es el valor de 5 (n 2 3)?

26. Cul es el mximo comn divisor de 66, 36 y 18?

27. Qu nmero hace que la expresin 2 _ 3 , , 1

1 _ 8 sea verdadera?

A 11 ___ 20

C 1 1 __ 3

B 7 __ 9 D 1 1 __

5



Captulo 2 33

Grupo A Completa.

1. 1 __ 4 5 ___ 12 2.

12 ___ 14 5 6 __ 3. 5 __ 7 5

___ 21 4. 3 __ 4 5

___ 16 5. 5 ___ 25 5

1 __

6. ___ 13 5 18 ___ 26 7.

4 __ 5 8 ___ 20 8.

7 ___ 14 5 1 __ 9. 24 ___ 30 5

___ 15 10. 4 __ 5 1 __ 4

Grupo B Escribe el nmero mixto como fraccin.

1. 4 3 __ 4 2. 7 1 __ 5 3. 12

2 __ 3 4. 5 7 ___ 10 5. 3

1 __ 2 6. 2 5 __ 8

7. 6 3 __ 7 8. 2 1 __ 3 9. 5

4 __ 5 10. 7 3 ___ 10 11. 8

1 __ 4 12. 7 2 __ 3

Escribe la fraccin como nmero mixto o como nmero decimal.

13. 19 ___ 3 14. 47 ___ 8 15.

54 ___ 9 16. 23 ___ 4 17.

45 ___ 7 18.

19. 58 ___ 4 20. 32 ___ 8 21.

121 ____ 11 22. 112 ____ 6 23.

57 ___ 5 24.

Prctica adicional

Grupo C Compara. Usa ,, . o 5.

Es racional?Es racional?

698

3118

1. 5 __ 8 5 __

9 2. 3 __

5 4 __

5 3. 3 __

4 3 __

5

4. 21 ___ 56

7 __ 8 5. 15 ___

16 12 ___

13 6. 2 5 __

6 2 1 ___

12

7. 3 7 ___ 10

3 3 __ 4 8. 1 4 __

9 1 4 __

7 9. 2 2 __

9 2 4 ___

15

10. 1 13 ___ 16

1 3 __ 4 11. 2 __ 3

2 __ 5 12. 2 __ 3

4 __ 5

13. 8 __ 9 7 __ 8 14.

1 __ 4 2 __ 6 15.

1 __ 4 25 ____ 100

16. 5 __ 6 8 ___ 10 17.

13 ___ 22 6 ___ 21 18.

7 ___ 10 12 ___ 16

19. 4 __ 6 8 ___ 12 20.

7 __ 8 20 ___ 24 21.

4 __ 5 8 __ 9

22. 1 __ 4 1 __ 5 23.

10 ___ 12 5 __ 6 24.

5 __ 8 4 __ 6

34

218

710

Es racional?Es racional?Jugadores2jugadores

Materiales 36tarjetasconfraccionespropias,impropiasynmerosmixtos 2monedasdiferentes Dadonumeradodel1al6

Colocalastarjetasdenmerosbocaabajoenunmazo.

CadajugadoreligeunamonedaylacolocaenelcasillerodeSALIDA.Decidanquincomenzar.

Eljugador1sacaunatarjetadelmazoycomparalasfraccionesy/onmerosmixtosentreseindicaculesmayor.

Eljugador2compruebalarespuesta.Siescorrecta,eljugador1lanzaelcubonumeradoymuevesumonedalacantidaddelugaresqueindica el cubo.

Luego,independientementedesilarespuestaseacorrectaoincorrecta,eselturnodeljugador2.

GanaeljugadorqueprimeroalcanzalaLLEGADA.

Cmo se juega

Retrocede 3 lugares

Retrocede 3 lugares

Retrocede 2 lugares

Pierdes un turno

Pierdes un turno

Pierdes un turno

Lanza de nuevo!

Lanza de nuevo!

Avanza 4 lugares

SALIDA

Avanza 4 lugares

LLEGADA

Captulo 2 35

Repasar la resolucin de problemas Resuelve.

23. Marco descubri que existe una relacin entre los nmeros compuestos 6 y 24. Identifica la relacin y escribe otros dos nmeros que tengan la misma relacin.

24. Ral escribi los nmeros 12 y 18 en el pizarrn. Descubri que el m.c.m de 12, 18 es 36. Cul es el MCD del par de nmeros?

25. Ana escribi los nmeros primos 3 y 11. Dice que cuando el MCD de dos nmeros es 1, el m.c.m. es el cociente de los nmeros. Tiene razn? Explica.

Repasar el vocabulario y los conceptos Elige el mejor trmino del recuadro.

1. Un nmero natural mayor que 1 que tiene como nicos factores al 1 y a s mismo se llama __________.

2. El nmero 3 es el __________de los nmeros 6 y 15.

3. Los factores de 6 son 1, 2, 3 y 6. El nmero 6 es un __________ porque es un nmero natural mayor que 1 que tiene ms de dos factores.

Repasar las destrezas Halla el m.c.d. y el m.c.m. de cada grupo de nmeros.

4. 3, 4 5. 8, 64 6. 15, 18 7. 9, 12, 18 8. 10, 20, 50

Escribe cada nmero mixto como fraccin y cada fraccin como nmero mixto, como fraccin en su mnima expresin o como nmero decimal.

9. 6 1 __ 3 10. 14 ___ 5 11.

35 ___ 9 12. 10 3 __ 4 13. 4 2 __

7


14. 3 __ 8 2 __

3 15. 4 __

7 6 __

7 16. 1 __

4 1 __

5 17. 5 5 __

6 6 1 __

6 18. 4 1 __

2 3 3 __

4

Copia y completa.

19. 20.

Repaso/Prueba del captulo 2

VOCABULARIO

mximo comn divisor (MCD)

nmero compuesto

nmero primo

Fraccin Decimal

0,44

3 __ 10

Fraccin Decimal

0,62

23 ___ 100

21. 22.

36

Parte de una horaParte de una horaA la 1 p.m. un guardia de la estacin de trenes, le dijo a Raquel que el tren a la ciudad de Temuco saldra aproximadamente en 2 . Para encontrar la hora de salida, Raquel pens:

En una hora hay 60 minutos.

1 __ 2 de 60 es 30. Por lo tanto, mi tren sale en 2 horas y 30 minutos.

Si sumo 2 horas y 30 minutos a la 1 p.m., la hora ser 3:30 p.m.

Por lo tanto, mi tren sale aproximadamente a las 3:30 p.m

Ejemplos

Enriquecimiento Nmeros mixtos y la hora

IntntaloEscribe en forma de nmero mixto

1. 2 h 25 min 2. 1 h 24 min 3. 6 h 30 min 4. 3 h 50 min

Resuelve Escribe la respuesta en forma de nmero mixto.

5. 6 h 10 min 3 h 55 min

6. 3 h 42 min + 3h 38 min

Explica cmo escribir 5 h 48 min en forma de nmero mixto.

A. Escribe 3 horas y 12 minutos en forma de nmero mixto.

12 min = 12 ____ 60 h = 1 __ 5 h.

Por lo tanto, 3 hr y 12 min en forma de nmero mixto es 3 1 __ 5 h.

Piensa:

60 min = 1 hr

1 minuto = 1 ____ 60 h

B. 5 h 15 min +2 h 50 min

7 h 65 min

7 h (60 + 5) min

7 h + 1 h + 5 ____ 60 hr 8 1 ____ 12 h

C. Convierte una hora en minutos para restar.

4 h 22 min 3 h (60 + 22) min

1 h 40 min 1 h 40 min

3 h 82 min

1 h 40 min = 2 42 ____ 60 = 2 7 ____ 10 h

2 h 42 min

Tambin puedes sumar o restar horas y escribir la respuesta en forma de nmero mixto

12

Captulo 2 37

Nmeros y operaciones

1. Cul de las alternativas muestra correctamente ordenados los nmeros de menor a mayor?

A 2,36; 2,63; 2,62; 2,26

B 2,26; 2,62; 2,36; 2,63

C 2,63; 2,62; 2,36; 2,26

D 2,26; 2,36; 2,62; 2,63

Utilizando la recta numrica responde las preguntas 2 y 3.

2. Qu nmeros estn representados por los puntos rojos de la recta numrica.

A 0,2 y 0,5

B 0,1 y 0,6

C 0,3 y 0,7

D 0,1 y 0,5

3. Cul de los siguientes nmeros no se pueden ubicar entre los puntos rojos?

A 0,52

B 0,46

C 0,22

D 0,61

Patrones y lgebra4. Qu alternativa muestra una fraccin reducida

a su mnima expresin?

A 4 __ 6

C 4 __ 8

B 1 __ 8

D 4 __ 16

5. Qu nmero mixto corresponde a la fraccin impropia ?

A 9 C 9

B 9 D 9

6. Si x = 8, el valor de x + 15 3= es igual a:

A 20 C 18

B 23 D 19

7. Cul de las siguientes fracciones es mayor?

A C

B D

0 1


8. Cul es el nmero que falta? 24 598 = 14 009

A 10 599 C 10 579

B 10 589 D 10 570

9. Si el divisor es 24, el cociente es 321 y el resto es 6, cul es el dividendo?

A 7 704 C 13 375

B 7 710 D 13 381

18

24

38

910

18

24

12

14

374

38

Geometra Medicin

10. Calcula el permetro de la figura

A 10 cm

B 20 cm

C 21 cm

D 42 cm

11. Cunto mide el permetro del siguiente tringulo?

A 17 cm

B 30 cm

C 34 cm

D 60 cm

12. Si el rea de un cuadrado es 16 cm, cul es la medida del lado?

A 6 cm

B 4 cm

C 8 cm

D 16 cm


3 cm

7 cm

5 cm

12 cm 13 cm

NOTAS DE QUMICA

Cantidad de alumnos 1 2 3 4 5 6 7

7

6

5

4

3

2

1

NO

TAS

13. Si se hace girar la flecha, en qu color es menos posible que se detenga?

A rojo

B amarillo

C verde

D no se puede determinar

14. En una bolsa negra se introdujeron 10 bolitas: 2 negras, 2 amarillas,1 verde y 5 rojas. Qu bolita es ms probable sacar?

A verde

B roja

C amarilla

D negra

15. Responde la pregunta a partir del grfico.

Cul es la diferencia entre la nota mayor y la menor?

A 7

B 6

C 2

D 4

Captulo 2 39

InvestigaImagina que trabajas en la guardia forestal del parque nacional Torres del Paine. Si un visitante quiere hacer una caminata de 1520 km en un da, qu combinaciones de dos o ms senderos podras sugerir que recorriera?

Sumar y restar fracciones La idea importante La suma y resta de fracciones y nmeros mixtos se basa en la comprensin de las fracciones equivalentes.

3

El parque nacional Torres del Paine pertenece al Sistema Nacional de reas silvestres protegidas del Estado de Chile. Es uno de los parques ms grandes del pas y el tercero en visitas. Su superficie es de 242 242 hectreas.(1 ha = 10 000 m cuadrados)

Sendero Distancia en km

Sendero lago Pingo 9

35

Glaciar Grey12

Glaciar Thindell 812

Laguna Azul 7110

Lago Sarmiento 112

Senderos del Parque Nacional Torres del Paine

DATOBREVE

40


u Fracciones equivalentesCompleta.

1. 2 __ 7 5 ___

14 2. 1 __

8 5 ___

24 3. 1 __

5 3 ___

24 4. 1 __

6 5 5 __

5. __

6 5 2 ___

12

6. 2 __ 5 20 ____

100 7. 9 ___

36 5 1 __

8. ___

36 5 1 __

2 9. ___

15 5 1 __

3 10. __

4 5 11 ___

44

u Mnima expresinEscribe la fraccin en su mnima expresin.

11. 3 __ 6 12. 4 ___

32 13. 5 ___

15 14. 2 ___

10 15. 9 ___

27

16. 4 __ 6 17. 6 ___

10 18. 2 ___

40 19. 5 ___

75 20. 4 ___

16

u Sumar y restar fracciones con igual denominador.Halla la suma o la diferencia. Escribe la respuesta como fraccin en su mnima expresin.

21. 11 ___ 20

2 9 ___ 20

22. 3 __ 8 1 1 __

8 23. 14 ___

15 1 1 ___

15 24. 3 __

4 2 2 __

4 25. 5 __

8 2 3 __

8

26. 9 ___ 12

1 1 ___ 12

27. 9 ___ 10

2 2 ___ 10

28. 9 ___ 20

1 5 ___ 20

29. 3 __ 5 2 1 __

5 30. 1 __

7 1 1 __

7


punto de referencia mnimo comn denominador (m.c.d.)fracciones con distinto denominador

PREPARACIN

punto de referencia Un nmero familiar usado como parmetro de referencia.

mnimo comn denominador (m.c.d.) El mnimo comn mltiplo de dos o ms denominadores.

Captulo 3 41

Aprende

Paso Paso

PROBLEMA El cuerpo humano est compuesto por aproximadamente 3 _ 5 de oxgeno, 1 _ 5 de carbono y

1 __ 10 de hidrgeno. Halla la fraccin del cuerpo humano compuesta por estos elementos.Puedes sumar y restar fracciones con distinto denominador con l

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matematica 6º estudiante