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UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA D EL CONO SUR DE LIMA 2011
1 MATEMÁTICA APLICADA 1
EJERCICCIOS DESARROLLADOS:
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
1. Determine la solución general de la ecuación diferencial dada.
(
Rpta:
(
(
∫
∫
(
(
(
)
(
Rpta:
(
∫
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2 MATEMÁTICA APLICADA 1
(
Rpta:
(
)
(
)
∫( )
(
)
∫( ) ∫
(
Rpta:
(
(
( (
Rpta:
( (
( (
∫ ( ∫ (
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3 MATEMÁTICA APLICADA 1
∫ ∫
∫
( (
(
Evaluando a : (
(
(
( ( -1
Rpta:
(
∫
(
(
∫
Evaluando cuando: ( -1
C = -1
(
(
Rpta:
(
(
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4 MATEMÁTICA APLICADA 1
∫
(
( (
(
( (
( (
( ∫
(
(
(
(
Evaluando cuando : (
(
( (
C = 21
(
(
(
2. Resuelva la ecuación diferencial homogénea
(
Rpta:
((
)
)
Derivamos:
Remplazando:
((
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5 MATEMÁTICA APLICADA 1
Integrando:
( √ )
Rpta:
Derivamos:
Reemplazando:
( √ )(
( √ ) ( √ )
√ ( √ )
( √ )
√
∫( √ )
√
(
√
Remplazando el valor de u:
√
(
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6 MATEMÁTICA APLICADA 1
√
Rpta:
√
Derivamos:
Reemplazando:
√
∫
√ ∫
( √ )
√
√
( )
(
Rpta:
Se divide entre x:
(
)
Derivamos:
Reemplazando:
Derivamos:
( (
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7 MATEMÁTICA APLICADA 1
∫
∫ ∫
(
(
Dándole valor:
(
(
C = 1
(
3. Resuelva la ecuación diferencial respectiva de Bernoulli
Rpta:
(
(
Se divida entre x
Reemplazando:
Multiplicado por 3:
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8 MATEMÁTICA APLICADA 1
∫
Reemplazando:
∫
(
Rpta:
Reemplazando:
∫
Multiplicando el fi:
∫
∫
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9 MATEMÁTICA APLICADA 1
(
(
Rpta:
(
(
(
(
(
Reemplazando:
(
(
(
(
∫
(
(
(
( (
( (
(
(
(
( ∫
(
(
(
Finalmente:
(
Rpta:
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10 MATEMÁTICA APLICADA 1
Multiplicando por
Reemplazando:
∫
∫
Reemplazando el valor de u:
(
Rpta:
Reemplazando:
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11 MATEMÁTICA APLICADA 1
∫
∫
Reemplazando:
Reemplazando el valor de u:
4. Determine la solución general de cada ecuación diferencial
Rpta:
( = 0
Por lo tanto la solución es:
Rpta:
( = -1
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12 MATEMÁTICA APLICADA 1
Por lo tanto la solución es:
Rpta:
1 -5 3 9
-1 -1 6 -9 (a+1)( = (a+1)(
1 -6 9 0
Luego:
Por lo tanto la solución es:
Rpta:
(
(
)
√
√
Por lo tanto la solución es:
(
√
)
(
√
)
(
Rpta:
(
( (
( ( (
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13 MATEMÁTICA APLICADA 1
Por lo tanto la solución es:
( (
Rpta:
= 0
( ( ( ( (
Por lo tanto la solución es:
Rpta:
( (
√ √
Por lo tanto la solución es:
(√ (√
Si: y(0)= 0
Si: y’(0) =-1 -1 = ( (√ ) (√ )
-1= ( (√ ) (√ )) ( (√ (√ ) √ (√ ))
-1= ( (√
1 5 -2 -10 1 5
-1 -1 -4 6 4 -5
1 4 -6 -4 5 0
1 1 5 -1 -5
1 5 -1 -5
0
1 1 6 5
1 6
5 0
-1 -1 -5
1 5 0
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14 MATEMÁTICA APLICADA 1
√
Si: y”(0) =0
( (√ ) (√ )) ( (√ (√ ) √ (√ ))
( √ (√ ) √ (√ )) ( (√ ) (√ ))
( √ √
(√ ) √
Luego:
√
(√ ) √
Por Cramer
√ ( √ ) ( √ √ )
= √
Luego:
√
√
√
1 2 0
2 -1 √3
4 (√3-2) (-√3)
0 2 0
-1 -1 √3
0 (√3-2) (-√3)
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15 MATEMÁTICA APLICADA 1
= √
√
√
√
√
( √
√ ) (
√
√ ) (√ ) (
√
√ (√
5. Resuelva la ecuación diferencial respectiva, por el método de los coeficientes
indeterminados
Rpta:
(
(
Entonces reemplazamos en:
( (
1 0 0
2 -1 √3
4 0 (-√3)
1 0 0
2 -1 -1
4 (√3-
2) 0
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16 MATEMÁTICA APLICADA 1
Por lo tanto la ecuación queda:
Rpta:
Usando la fórmula General √
Entonces las raíces son:
Reemplazando en:
( (
(
Por lo tanto
3B=1 B=
3A= 0 A=0
Reemplazando:
Por lo tanto la ecuación queda:
Rpta:
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17 MATEMÁTICA APLICADA 1
Usando la formula General √
Entonces las raíces son:
√
√
√
√
( (
Reemplazando en:
( (
( ( ( (
Por lo tanto:
-A=1 A=-1
C=0
Reemplazando:
(
Por lo tanto la ecuación queda:
√
√
(
Rpta:
(
Entonces las raíces son:
(
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Reemplazándolo en:
( (
Por lo tanto
12A= 8 A =
24A+6B=0 B=
2C+6B=0 C=8
Reemplazando: (
Por lo tanto la ecuación queda:
(
)
(
Rpta:
( ( ( (
Entonces las raíces son:
(
(
Reemplazando en: (
(
( (
Por lo tanto
-48A =5 A= -
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19 MATEMÁTICA APLICADA 1
16D=-1 D=-
24B=0 B=0
24A-8C=0 C=
Reemplazando: (
)
Por lo tanto la ecuación queda:
(
)
(
Rpta:
( (
Entonces las raíces son:
(
Reemplazamos en: (
(
Por lo tanto:
-24A =1 A=-
24A-6B=0 B=-
C=1
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20 MATEMÁTICA APLICADA 1
Reemplazando queda: (
)
Por lo tanto la ecuación queda:
(
)
Rpta:
Entonces las raíces son:
Reemplazamos en:
( (
( ( ( (
Por lo tanto:
8A = 1 A=
= 0 B=
C =
D =
Reemplazando queda:
Por lo tanto la ecuación queda:
Si: y(0)= 2
Si: y’(0) = 4 4 =
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21 MATEMÁTICA APLICADA 1
Finalmente obtenemos la única curva:
Rpta:
(
)
Si: y(0)= 0
Si: y’(0) = 0 0 =
Si: y’’(0) = 0 0 =
Si: y’’’(0) = 0
Luego: c1=2, c2=2, c3=0, c4=-2
Finalmente obtenemos la curva:
(
)
6. Resuelva la ecuación diferencial respectiva, por variación de parámetros
Rpta:
{ }
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22 MATEMÁTICA APLICADA 1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
Rpta:
{ }
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(
)
(
)
( )
(
)
(
Rpta:
{ }
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24 MATEMÁTICA APLICADA 1
(
( )
(
( )
(
)
(
( )
(
(
( (
(
( ( )
Rpta:
{ }
(
(
(
(
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25 MATEMÁTICA APLICADA 1
( (
( ( )
( ( (
( ( ( ( )
(
( (
)
(
( (
)
( (
( (
)
( ( (
( ( ( ( )
( | ( ( | (
(
(
(
(
(
( (
| ( ( |
Rpta:
{ }
( (
( ( (
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26 MATEMÁTICA APLICADA 1
(
( (
( (
( ( ( )
(
( (
( (
( ( )
( ( (
( (
(
(
(
(
( ( )
(
( (
( (
( ( )
( (
(
(
(
( ( )
(
( (
( (
( ( )
(
( (
(
| ( ( |
| ( |
(
| ( ( |) (
( ) (
| ( | ( )
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27 MATEMÁTICA APLICADA 1
( ( (
| ( ( |) (
( ) (
| ( | ( )
Rpta:
{ }
( (
( ( (
(
( (
( (
( ( ( )
(
( (
( (
( ( )
( ( ( ( (
( )
( (
(
(
(
(
( ( )
(
( (
( (
( ( )
(
( (
(
(
(
(
( ( )
(
( (
( (
( ( )
( (
( (
( (
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28 MATEMÁTICA APLICADA 1
| ( |
(
( ( | ( ( |
| ( | ( ( ( ( | ( ( |
( ( | ( | ( | ( ( |
7. Resuelva la ecuación diferencial respectiva [Ecuación Cauchy-Euler]
Rpta:
{
(
( (
{ }
Rpta:
{
(
( (
{ }
(
(
( (
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29 MATEMÁTICA APLICADA 1
Rpta:
{
(
( (
( ( ( (
( ( { }
(
Rpta:
{
(
( (
( ( ( (
( ( ( ( ( ( (
{ }
(
( (
(
( ( ( (
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30 MATEMÁTICA APLICADA 1
8. Determine la solución general del sistema respectivo
{
Rpta:
(
) (
) (
)
(
)
{ }
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
) (
)
(
) (
)
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31 MATEMÁTICA APLICADA 1
{
Rpta:
(
) (
)( )
(
)
( ( (
{ }
(
)(
) {
(
) ( )
(
)(
) {
(
) ( )
(
)(
) {
(
) ( )
( ) (
) (
) (
)
( ) (
)
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32 MATEMÁTICA APLICADA 1
{
Rpta:
(
) (
)( )
(
)
( ( (
{ }
(
)(
) {
(
) (
)
(
) (
) {
(
) (
)
(
) (
) {
(
) (
)
( ) (
) (
) (
)
( ) (
)
![Examen de Admisión UNTECS 2011-II[1]](https://img.pdfslide.es/doc/110x75/577ce4321a28abf1038ddda3/examen-de-admision-untecs-2011-ii1.jpg)
