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GABARITO
1Matemática B
01) B
sen 150° = sen 30° = 12
cos 300° = sen 60° = 12
E = sen 300° + sen 150° = 12
+ 12
= 1
60°
30°150°
300°
02) A
cotg a = cateto adjacentecateto oposto
Teorema de Pitágoras: 132 = 52 + x2
169 = 25 + x2
169 – 25 = x2
144 = x2
x = 144 x = 12
cotg a = 125
Matemática B – Extensivo – V. 2
Exercícios
03) B
cos 3015° = cos 135° = –cos 45° = –2
23615°2880°
360°
8
númerode voltas
135
menordeterminação
Segue,m + 1
m – 2=
– 2
2
2 (m + 1) = – 2 (m – 2)
2m + 2 = – 2 m + 2 2
2m + 2 m = –2 + 2 2
(2 + 2)2 m = –2 + 2 2
m=− ++
−−
2 2 2
2 2
2 2
2 2. racionalizando
m=− +( ) −( )
−2 2 2 2 2
4 2.
m=−( ) −( )2 2 1 2 2
2
.
m = ( 2 – 1) . (2 – 2)
m = 2 2 – 2 – 2 + 2
m = 3 2 – 4
04) C
cos 150° = cos 30° = – 3
2 (x ∈ 2º Q)
sen 300° = sen 60° = – 3
2 (x ∈ 4º Q)
tgsen sen
225225225
4545
222
2
1° =°°=
°°= =
cos cos
cos 90° = 0Segue:
GABARITO
2 Matemática B
y = – 3
2 –
32
– 1 + 0
y = −( 3) − 1
05) C
cos 180° = –1
sen 210° = sen 30° = – 12
tgsen sen
135135135
4545
22
22
1° =°°=
°− °
=−
=−cos cos
(x ∈ 2º Q)
sen 45° = 2
2
Segue,
Nsen tg
sen=
°− °+ °
°( )3 180 4 210 2 135
6 452
. cos . .
.
N=−( )−
−+ −( )
3 1 41
22 1
62
2
2
. .
.
N=− + −
=−3 2 2
62
4
3
612
1
2
3
. . ⇒ N = – 3
3
N = –1Portanto, N ∈ [−2, −1]
06) C
I. Falsa. Em módulo cos 215° é maior que cos 225°, mas como ambos são negativos, então:
cos 225° > cos 215°.
cos 215°
cos 225°
215°
225°
sen
cos
II. Verdadeira. Como 512
π > π4
, temos que tg 512
π > 1.
Temos então sen 512
π < 1, sendo assim:
sen 512
π < 1 < tg 512
π
III. Verdadeira. Segundo o círculo trigonométrico a seguir, temos: sen 160° > sen 172°.
sen 172°
sen 160°
160°
172°
sen
cos
07) B
x = tg 495° = tg 135° = –tg 45° = –1
y = sen 315° = –sen 45° = –2
2
z = cos 480° = cos 120° b = –cos 60° = – 12
– 12
> –2
2 > –1 ⇒ Z > Y > X
08) D
I. Falsa. sen x = –sen(x + π)
sen
cos
x
x + �
sen x
sen (x + )�
GABARITO
3Matemática B
II. Verdadeira.
sen
cos
cos x = cos (x + 2 )�
x = x + 2�
III. Falsa.
sen
cos
cos x = cos (–x)
x
–x
09) E
a) Falsa.
sen
cos
x� – x
cos ( – x)� cos x
cos ( – x) = – cos x�
b) Falsa.
sen
cos
x
sen x = sen ( – x)�� – x
c) Falsa.
d) Falsa. Soma de arcos: sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a Daí,
sen(π2
+ x) = sen + cos x + sen x . cos�2
�2
1 0
sen(π2
+ x) = 1 . cos x + 0
sen(π2
+ x) = cos x
Portanto, alternativa falsa.
e) Verdadeira. Soma de arcos: cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b Sendo assim,
cos(π2
+ x) = cos . cos x – sen . sen x�2
�2
10
cos(π2
+ x) = 0 – 1 . sen x
cos(π2
+ x) = −sen x
Portanto, alternativa verdadeira.
GABARITO
4 Matemática B
10) D
sec 13202
° =
113202
12 1320
cos. cos
=
Redução ao 1º quadrante:cos 1320° = cos 240° = – cos 60°
Logo,sec 1320
2° =
12 60
1
212
1( cos ) .− °
=− =−
Agora,
cos 53
3π
= cos 3180° = cos 180° = –1
Segue:tg (2220°)2 = tg 4 928 400° = tg 0 = 0
Portanto,sec 1320
2° − 2 . cos
533
π
+ tg(2220°)²
= –1 – 2(–1) + 0= –1 + 2= 1
11) V − F − F − F − V
Verdadeira. sen 495° = sen 135° (2º Quadrante)sen 495° = sen 45°
sen 495° = sen π4
495°360°
360°
1
númerode voltas
135
menordeterminação
Falsa. tg 87π
< 0
87
8 1807
205 7π= = ° ∈
., 3º Q
Logo, a tangente pertence ao 3º Q e é positiva, portanto alternativa falsa.
Falsa. senπ5
+ senπ5
= sen 25π
Analisando separadamente temos:
senπ5
+ senπ5
= 2senπ5
Agora,
sen 25π = sen
π π5 5+
Soma de arcos: sen 2a = 2sen a . cos a
Daí,
senπ π5 5+
= 2 sen
π5
. cos π5
≠ 2 sen π5
Falsa. A equação tg x = 1000 não tem solução.
12) E
tg (a ± b) = tg a tg btg a tg b±
±1 .
tg 160° = tg (180° – 20°) = tg tgtg tg180 20
1 180 20°− °
+ ° °.
tg 160° = 01 0−+
aa.
= –a
tg 340° = tg (360° – 340°) = tg tg
tg tg360 20
1 360 20°− °
+ ° °.
tg 340° = 01 0−+
aa.
= –a
tg 200° = tg (180° + 20°) = tg tg
tg tg180 20
1 180 20°+ °
− ° °.
tg 200° = 01 0++
aa.
= a
Logo,tg tg
tg160 340
200°+ °
° = − −a a
a = −2 a
a = –2
13) A
tg xx
m
m
sen xxxcos
coscos
= ⇒ =6
6
⇒ sen xxcos2
= 6 ⇒ sen x = cos2 x . 6
⇒ sen x = (1 – sen2 x) . 6
⇒ 6 sen2 x + sen x – 6 = 0
Seja y = sen x
6 . y2 + y – 6 = 0
a = 6b = 1
c = – 6
y=− ± − −( )1 1 4 6 6
2 6
2 . .
.
y y=− ±
⇒ =− ±1 25
2 6
1 5
2 6
y’=− +
= =1 5
2 6
4
2 6
2
6 (racionalizando)
y’ .= = =2
6
6
6
2 6
6
63
ou
GABARITO
5Matemática B
17) D
1 1cos
.cosx
tg xx
tg x−
+
Note que: (a + b) . (a – b) = a2 – b2
1 12
22
2
cos cosxtg x
xtg x
− = −
1 11
2
2
2
2
2
2
2cos cos coscoscosx
sen xx
sen xx
xx
− =−
= =
18) E
4sen a – 10sen b = 0 (÷2)sen a – 5sen b = 02sen a = 5sen b52
= sen asen b
Temos a + b = 90° ⇒ a = 90° – bEntão,a = 90° – b (soma de arcos)sen a = sen 90° . cos b – sen b . cos 90°sen a = cos bLogo:sen asen b
= 52
⇒ sen bsen a
= 25
⇒ sen b
bcos =
25
⇒ tg b = 25
Temos ainda,sen b = sen (90° – a)sen b = sen 90° . cos a – sen a . cos 90°sen b = cos aLogo,sen asen b
= 52
⇒ sen a
acos =
52
⇒
tg a = 52
19) D
I. Verdadeira. tg 180° = tg (92° + 88°) = tg tg
tg tg92 88
1 92 88°+ °
− ° °. ⇒ tg 92° + tg 88° = 0 ⇒ 0 . (1 − tg 92° . tg 88°) = 0 ⇒ tg 92° . tg 88° = 0 ⇒ tg 92° = – tg 88°
II. Falsa. Suponha que tg 178° = tg 88° tg 178° = tg 88° ⇒ tg 178° – tg 88° = 0 (dividir em ambos os lados
por: 1 + tg 178° . tg 88°)
⇒ tg tg
tg tg178 88
1 178 880
°− °+ ° °
=.
⇒ tg (178° – 88°) = 0 ⇒ tg 90° = 0 Absurdo, pois tg 90° não existe.
y"=− −
=−
=−1 5
2 6
6
2 6
3
6 (racionalizando)
y" .=−
=−
=−3
6
6
6
3 6
6
63
(Não serve, pois − 63
< 1.)
Para sen x = y = 63
(elevando ao quadrado)
sen2 x = 63
2
⇒ sen2 x = 6
9 = 2
3
Relação fundamental: sen2 x + cos2 x = 123
+ cos2 x = 1
cos2 x = 1 – 23
cos2 x = 13
= m
Portanto, m = 13
.
14) A
( ). ( ) . ( )
a ba a b+ −
− +
2
2 2 2
12 1
= a ab ba a b
2 2
2 2 2
2 12 1+ + −− +. ( ) . ( )
= sen x sen x x xsen x sen x x
2 2
2 2 2
2 12 1
+ + −− +
. cos cos. ( ) . ( cos )
= sen x x sen x xx
2 2
2
2 12 1
+ + −cos . cos. cos .
= 1 2 12 2
+ −sen x xx
. coscos
= 2
2 2
sen x x
x
sen xx
tg x. cos
cos cos= =
15) A
sene
θθcoss c
+ cose
θθs c
= sen
sen
θ
θ
θ
θ1 1+
cos
cos= sen2 θ + cos2 θ = 1 (relação fundamental)
16) D
(cos . )cos
x sen x tg xx
+ =
cos .cos
cos
xsen x
xx
= cos
coscos
coscoscos
xsen x
xx
x sen xxx
+=
+2 2 2
=
11
22cos
cos cossec
xx x
x= =
32
GABARITO
6 Matemática B
III. Verdadeira.
tg 80° = tg (268° – 88°) = tg tg
tg tg268 88
1 268 88°− °
+ ° °.
tg 180° = tg tg
tg tg268 88
1 268 88°− °
+ ° °. = 0 (note que tg 180° = 0
⇒ tg tg
tg tg268 88
1 268 88°− °
+ ° °. = 0
⇒ tg 268° – tg 88° = 0 . (1 + tg 268° . tg 88°) ⇒ tg 268° – tg 88° = 0 ⇒ tg 268° = tg 88°
IV. Verdadeira.
tg 360° = tg (272° + 88°) = tg tgtg tg272 88
1 272 88°+ °
− ° °. = 0
⇒ tg tgtg tg272 88
1 272 88°+ °
− ° °. = 0
⇒ tg 272° + tg 88° = 0 . (1 – tg 272° . tg 88°) ⇒ tg 272° + tg 88° = 0 ⇒ tg 272° = − tg 88°
20) A
a) Verdadeira. Seja a = sen 7 Temos que: 2π = 6,28 < 7 < 7,85
y
x
1
–1
b
�2
�3�
5
2
�2�
7
Portanto, b = sen 7 > 0.
b) Falsa. Seja a = sen 8. Temos que: 2π = 6,28 < 8 < 7,85
y
x
1
–1
a
�2
� 5
2
�2�
8
3
2
�
Portanto, a = sen 8 > 0.
c) Falsa. Seja d = sen 5 Temos que:
π2
= 1,57 < 5 = 2,23 < 3,14 = π
y
x
1
–1
d
�2
� 3
2
� 2�5
Portanto, d = cos 5 < 0
d) Falsa. Dos itens b e c, temos: sen 5 < 0 < sen 8.
Portanto, sen 5 < sen 8.
21) B
2sen2 x + 2cos2 x – 5= 2(sen2 x + cos2 x) – 5 (sen2 x + cos2 x = 1)= 2 . 1 – 5= 2 – 5 = –3
22) A
I. Verdadeira. Menor determinação.
4330°360°
360°
12
0730°720°
menordeterminação
010°
Daí, –4330° = –10 ∈ 4º Q
Sinais seno
C: crescente D: decrescente Como –4330° ∈ 4º Q, então sen (–4330°) é crescente.
GABARITO
7Matemática B
II. Verdadeira. Menor determinação: 345
= π5
∈ 1º Q.
Sinais cosseno
y
x
1
–1
�2
� 2�3
2
�
D
C C
D
C: crescente D: decrescente
Como 34
5π
∈ 1º Q, então cos 34
5π
é decrescente.
III.Falsa. Menor determinação.
1000°720°
360°
2
280
menordeterminação
Daí, Sinais tangente
y
x�2
� 2�3
2
�
Como 1000° ∈ 2º Q, então tg 1000° é negativo.
23) 06
271
sec cosseccot
x xg x
++
=+
+
=
+
27
1 1
127
coscos
cx sen x
xsen x
sen x oos. cos
cos
xsen x xsen x x
sen x+
=+( )
+( )=
sen x x
sen x x
sen x
sen x x x
cos
. cos.
cos.
cos27
27
Temos ainda:sen2 x + cos2 x = 1
12
2 + cos2 x = 1
cos2 x = 1 – 14
cos2 x = 4 14−
cos2 x = 34
(cos x > 0, pois 0 < x < π2
)
cos x = 34
⇒ cos x = 3
2Segue,
271
sec cosseccot
x xg x
++
= 27 27
32
27
32
273
2 2 9 2 3 6cos
. . .x= = = = = =
24) 54
Relação fundamental: sen2 x + cos2 x = 1
32
2
+ cos2 x = 1
34
+ cos2 x = 1
cos2 x = 1 – 34
cos2 x = 14
cos x = 12
(cos x > 0, pois 0 < x < π2
)
Segue,
tg xn x
x= = =
secos
3212
3
Logo,8 . (tg x + sen x)2
= +
=
=8 3
32
83 3
28
9 3
4
2 2
..
= 2 . 9 . 3 = 54
25) 01
Vamos aos valores:
sen 30° = 12
GABARITO
8 Matemática B
cos 120° = – cos 60° = – 12
cossec 150° =°=
°= =
1150
130
112
2sen sen
cotg 330° =°°=+ °− °
= =−cos cos330
3303030
3212
3sen sen
sec 300° = °=
°= =
1300
160
112
2cos cos
tg 60° = 3
cotg 225° =°°=− °− °
= =cos cos225
2254545
222
2
1sen sen
Segue,
( cos ) . (cossec cot )(sec . cot
sen gtg g
30 120 150 330300 60 2
°− ° °− °°+ ° 225°)
=− −
− −( )
+ +
12
12
2 3
2 3 1
.
( )
=+
+( )
+=
+( )+
=++
=
12
12
2 3
2 3
1 2 3
2 3
2 3
2 31
.
26) 12
Seja:
l = sec . cot cossec .
. . cossec
2
2
1
6x g x x tg x
sen x x−
−
�=−
1 1
61
2
2
cos.
cos.
cos
. .
xx
sen x sen xsenx
x
sen xsen x
−1
�=−
−1 1
61
1
sen x x x
sen x
. cos cos
.
�=
−
=−
−1
61
1sen x
sen x x
sen x
sen xse
. cosnn x x
sen x. cos
.6
1
−
�=−
= −
−16
61
1sen x
xx
sen xi
coscos
( )
Relação fundamental: sen2 x + cos2 x = 1
35
2 + cos2 x = 1
cos2 x = 1 – 925
cos2 x = 1625
02
x ∈
,
π
cos x = 45
Substituindo cos x = 45
e sen x = 35
em i, temos:
� � �=−⇒ = ⇒ = =
645
135
24525
242
12.
27) E
B (0 , –y)Note que ΔACO ≡ ΔEBO(caso ALA0). Então, AC BO≡ .Assim, no ΔEBO temos:
sen
cos
C
E
O
A
B
Teorema de Pitágoras: 123
22
2= + y
1 = 49
+ y2
GABARITO
9Matemática B
1 – 49
= y2
y2 = 59
⇒ y = 59
53
=
Portanto, a coordenada do ponto B é dada por:
B 05
3;−
28) B
Observe o círculo trigonométrico.
sen
cos
sen 89°
cos 89°
89°
45°
Note que, para 45° < θ < 90° temos sen θ > cos θ. Já a tangente é crescente no 1º Q e sabemos que tg 45° = 1, então tg 89° > 1.
Como seno e cosseno são limitados em –1 < θ < 1, portanto cos θ < sen θ < tg θ.
29) Errata. Resposta: A.
No ΔOBP, temos:
tgPBPO
tgPB
PB PB tgα α α= ⇒ = = ⇒ =1
Relação Métrica no ΔOBC:
OP PB PC( ) = ( ) ( )2.
12 = tg α . PC
PC = 1
tg α = cotg α
Portanto:BC PB PC= +
BC = tg α + cotg α
30) 31
01. Verdadeira. sen 337° = sen (247°+ 90°) Soma de arcos
sen 247° . cos 90° + sen 90° . cos 247°
0 1
= sen 247° . 0 + 1 . cos 247° = 0 + cos 247° = cos 247°
02. Verdadeira. sen a tg a a
a g a a. . cossec
cos . cot . sec
= =
sen asen a
a sen a
aa
sen a a
sen aaa
sen a
.cos
.
cos .cos
.cos
coscos
1
1
= = =sen a
asen a
asen a
atg a
cos.
cos cos
2
22
04. Verdadeira. cos x > 12
cos x
1>
1
2
2cos x > 1
2 > 1
cos x 2 > sec x
08. Verdadeira. cos x − sen x > 0 cos x > sen x
Como x ∈ 32
2π π,
, ou seja, x ∈ 4º Q, então:
cos x > 0 e sen x < 0. Portanto, sen x < cos x.
16. Verdadeira.
sen 22
x+
π = sen 2 . con + sen . cos 2x� �
2
�2
0 1
= sen 2x . 0 + 1 . cos 2x = 0 + cos 2x = cos 2x
31) E
1º cos 2° = sen 88°cos 4° = sen 86°
cos 46° = sen 44°
ângulos complementares
2º cos2 2° = cos2 178° = cos2 182° = cos 378° cos2 4° = cos2 176° = cos2 184° = cos2 376°
cos2 88° = cos2 92° = cos2 268° = cos2 272°
GABARITO
10 Matemática B
Conclui-se que:
cos² 0° + cos² 2° + cos² 4° + ... + cos² 358° + cos² 360°= cos² 0° + cos² 90° + cos² 180° + cos² 270° + cos² 360° + 4(cos² 2° + cos² 4° + cos² 6° + ... + cos² 88°)
= 3 + 4[sen² 2° + cos² 2° + sen² 4° + cos² 4° + ... + sen² 44° + cos² 44°)= 3 + 4 . 22= 91
32) B
f(x) = sen 32
x−
π
Temos: m = 3.
Logo, P = 2 23
π πm=
P = 23π
rad
33) D
g(x) = 3 − 5 . cos(2x)
Temos: a = 3 b = 5Então,Im(g) = [a – b, a + b] = [3 - 5, 3 + 5]Im = [−2; 8]
34) Errata: gabarito 18.
01. Incorreta. Note que cos x é limitado em –1 < cos x < 1, para todo x ∈ R. Então, –1 < 2k – 4 < 1 –1 + 4 < 2k < 1 + 4 3 < 2k < 5
32
< k < 52
Portanto, {K∈R; 32
< k < 52
}
02. Correta. Pois 10
não existe.
04. Incorreta. O valor mínimo é o menor valor da ima-gem, como a = 2 e b = 5, então o valor mínimo é dado por:
a – b = 2 – 5 = – 3.
08. Incorreta. Temos, m = 45
.
Então:
P = 2πm
P = 245
245
2 5
4
52
π π π π= = =. rad
16. Correta. Temos a = 0 b = 1 Então: Im = [a – b, a + b] = [0 – 1, 0 + 1] = [−1, 1].
35) E
Temos:a = 900 b = 800número mínimo: a – b = 900 − 800 = 100 clientesnúmero máximo: a + b = 900 + 800 = 1700 clientes
Portanto, a diferença entre o número máximo de clientes com o número mínimo é:1700 – 100 = 1600 clientes
36) D
Temos: a = 200 b = 120Custo máximo: a + b = 200 + 120 = 320Custo mínimo: a – b = 200 – 120 = 80
37) Errata: Gabarito 56
01. Incorreta. f(x) = 3cos (2x) f(0) = 3cos (2 . 0)
f (0) = 3 . cos 01
f(0) = 3 . 1 = 3
02. Incorreta. Temos: m = 2
Então, P = 2πm
= 22π = 2
2
π = π rad.
04. Incorreta. Temos: a = 0 b = 3 Então, o valor máximo é a + b = 0 + 3 = 0.
08. Correta. |f(x)| = |3cos (2x)| = 3|cos 2x| Como –1 < cos 2x < 1 (prop de módulo: |x| ≤ 1 ⇒ –1 < x < 1) |cos 2x| < 1
GABARITO
11Matemática B
Portanto, o maior valor que |cos 2x| pode assumir é 1. Assim,
|f(x)| ≤ 3|cos 2x| ≤ 3 . 1 ≤ 3
16. Correta. Soma de arcos: cos 2x = cos2 x – sen2 x (cos2 x = 1 – sen2 x) cos 2x = 1 – sen2 x – sen2 x cos 2x = 1 – 2sen2 x Segue,
f(x) = 3cos 2x = f(x) = 3 − 6sen² x
32. Correta. f(–x) = 3cos (–2x) Como cos x é par, temos cos x = cos (–x). Então: f(–x) = 3cos (2x)
38) A
Im = [–1, 5]Como Im = [a – b, a + b], então
A B i
A B ii
− =−+ =
1
5
( )
( )
Fazendo (i) + (ii), temos:2A = 4A = 2
Substituindo a = 2 em (ii), temos:B = 5 – AB = 5 – 2 = 3
Portanto, A . B = 2 – 3 = 6
39) A
Im = [–2, 2] P = 2π Como
Im = [a – b, a + b] e P = 2πm
,
temos: [a – b, a + b] = [–2, 2]
a b i
a b ii
− =−+ =
2
2
( )
( )
Somando (i) e (ii), teremos: 2a = 0 a = 0
Substituindo a = 0 em (ii), vem:b = 2 – ab = 2 – 0b = 2
De P = 2πm
, vem:
22
π πm=
11
m= ⇒ m = 1
Portanto, y = 2sen x
40) 3 ≤ k ≤ 9
2 – 3cos x = k – 4–3cos x = k – 4 – 2–3cos x = k – 6 . (–1)3cos x = 6 – k
cos = 6
3−k
Como –1 ≤ cos x ≤ 1, temos:
–1 ≤ 6
3−k
≤ 1
–1 . 3 ≤ 6 – k ≤ 3 . 1–3 ≤ 6 – k ≤ 3–3 – 6 ≤ – k ≤ 3 – 6–9 ≤ – k ≤ – 6 . (–1)9 ≥ k ≥ 3
41) D
Vamos calcular k.Im = [–2, 2] = [a – b, a + b]
Então:a b
a b
b a i
a b ii
− =− −+ =
⇒− =+ =
2 1
2
2
2
.( ) ( )
( )
Fazendo (i) + (ii), temos:2b = 4b = 2
Agora, calcularemos t:
P = 2πt
= 4π
1t = 2
t = 12
Portanto, k – t = 2 – 12
= 32
42) E
Como a Im = [–2, 8] = [2k – p, 2k + p], então2 2 1
2 8
2 2
2 8
k p
k p
p k i
p k ii
− =− −+ =
⇒− =+ =
.( ) ( )
( )
Somando (i) e (ii), temos:2p = 10
GABARITO
12 Matemática B
p = 102
⇒ p = 5
Logo, o período é dado por:
p = 2πp
= 25π
rad
43) C
Temos que,Im = [–7, 7] = [a – k, a + k]
Daí, vem:a k
a k
k a i
k a ii
− =− −+ =
⇒− =+ =
7 1
7
7
7
.( ) ( )
( )
Fazendo (i) + (ii), teremos:2k = 14k = 7
Temos ainda:
P = 2πp
= 7π
= 2 7π π
p=
= PP rad
217
27
= ⇒ =
Portanto, kp = 7 2
72. =
44) B
O valor máximo para y = a sen(bx) será quando sen(bx) atribuir valor máximo, ou seja, sen (bx) = 1. Então o valor máximo é dado por:a sen(bx) = a . 1 = 3a = 3Temos ainda,
P = 2πb
= π
⇒ 2πb
= π (b > 0)
⇒ 2b
= 1
⇒ b = 2
45) A
Im = [0, 2] = [a – b, a + b]Daí vem:
a b i
a b ii
− =+ =
0
2
( )
( )
Somando (i) e (ii), temos:2a = 2a = 1
Substituindo a = 1 em a + b = 2, temos:b = 2 – ab = 2 – 1b = 1
Temos ainda:
P =2πm
= π
⇒ 21
21
mm
= ⇒ =
⇒ m = 2
Portanto, y = 1 + 1 . sen 2xy = 1 + sen 2x
46) A
Temos que:
P =2πm
e m = 4, então:
P = 24
2
4
π π⇒ =P
P = π2
Sabemos que a amplitude é dada pela constante b.Como b = 10, então a amplitude é 10 cm.
47) E
Im = [–2, 2] = [B – A, B + A]. Então:B A
B A
A B i
A B ii
− =− −+ =
⇒− =+ =
2 1
2
2
2
.( ) ( )
( )
Fazendo (i) + (ii), temos:2A = 4A = 2
Logo, f(x) = 2sen (2x)
Portanto, a curva intersecta o eixo x em 5 pontos.
GABARITO
13Matemática B
48) B
Apogeu:O satélite está no apogeu quando cos (0,06 t) = 1, então:
VA(t) = 58651 0 15 1
5865115+
=, . ,
= 5100 km
Perigeu: O satélite está no perigeu quando cos (0,06t) = –1
Então:
Vp(t) = 58651 0 15 1
58650 85+ −( )
=, . ,
= 6900
Portanto,S = rA(t) + rP(t) = 5100 + 6900 = 1200 km
49) B
Os valores de 20 decibéis e 40 decibéis e a amplitude da oscilação sonora, ou seja, o valor mínimo e máximo:Daí, vem:Im = [a – b, a + b] = [20, 40]
a b i
a b ii
− =+ =
20
40
( )
( )
Fazendo (i) + (ii), temos:2a = 60a = 30
Substituindo a = 30 em a + b = 40, temos:b = 40 – ab = 40 – 30b = 10
Portanto, a equação que melhor representa é dada por:
30 + 10cos π6
t
50) B
θ 32
=
π10
cos 4
3
3
2
2
π.
θ 32
=
π10
cos 2π
θ 32
=
π10
. 1 = π
10
51) B
52) C
Período
m = π6
P
P = 2πm
= 2
6
2
6
2 6ππ
ππ
ππ
= =. . = 12 h
Valor máximoMáximo: a + b = 24 + 3 = 27 °CHorário em que ocorreu essa temperatura:
Acelera quando cos π πt6 3+
= 1.
Ou seja,π π πt6 3
2+ =
t t6
13
22
62+ = ⇒
+=
t + 2 = 2 . 6t + 2 = 12t = 10 h
Logo, levou 10 h para alcançar o valor máximo. Como a medição começou às 5 h da manhã, o horário que ocorreu a temperatura máxima é:10 + 5 = 15 h.
53) B
C(t) = 4
4 = 3 + 2senπt6
1 = 2sen πt6
sen πt6
= 12
Logo, πt6
= π6 6
16
66
⇒ = ⇒ =t
t ⇒ t = 1 h
54) C
O instante em que a profundidade é máxima ocorre
quando cosπt6
= –1, ou seja,
π πt6=
t6
= 1 ⇒ t = 6
GABARITO
14 Matemática B
55) A
Para meio segundo logo após ter iniciado o movimento,
temos t = 12
s
Daí, vem:
S 12
= 10 +
14
sen 1012
π .
s12
= 10 + sen (5 )�14
0
S 12
= 10 +
14
. 0 ⇒ s 12
= 10 + 0
S 12
= 10
A posição em relação à posição de repouso (t = 0).
S(0) = 10 + 14
sen (10π . 0)
S(0) = 10 + 14
sen 0
S(0) = 10 + 0 ⇒ S(0) = 10
Portanto, o afastamento da partícula em relação à posição de repouso, em cm, é:
S 12
– S(0) = 10 – 10 = 0
56) A
P/ t = 0
A(0) = 1,6 – 1,4sen π6
0.
A(0) = 1,6 − 1,4 . 0A(0) = 1,6
P/ t = 3
A(3) = 1,6 – 1,4sen π6
3.
A(3) = 1,6 – 1,4sen π2
A(3) = 1,6 – 1,4A(3) = 0,2
Portanto, o gráfico que representa a função A(t) é da alternativa a.
57) D
Período
P = 2πm
m = 2 25
π πP
m⇒ =
Imagem:Im = [a – b, a + b] = [–0,6, 0,6]
Então,a b i
a b ii
− =−+ =
0 6
0 6
, ( )
, ( )
Somando (i) + (ii), temos:2a = 0a = 0
Substituindo a = 0 em (ii), teremos:b = 0,6 – ab = 0,6 – 0b = 0,6
Portanto, a função que melhor descreve o gráfico é:
V(t) = 0,6 sen 25π
t
58) V − V − F − V − V
Vamos resolver as alternativas na ordem de cima para baixo.
• Verdadeira. Às 6 horas da manhã temos t = 0.
T(0) = 26 + 5cos π π12
043
. +
T(0) = 26 + 5cos 43π
T(0) = 26 + 5 . −
12
T(0) = 26 – 2,5 T(0) = 23,5 °C.
• Verdadeira. Período
m = π
12 P =
2πm
P h= = = =2
12
2
12
212
24π
ππ
π ππ
• Falsa. O valor máximo é dado por: a + b = 26 + 5 = 31 °C.
• Verdadeira. π π πt12
43
2+ =
t12
243
= −
t
1223
=
t = 122
3. = 4 . 2 = 8 h
Portanto, o horário que a temperatura atingiu o valor máximo é dado por: 8 + 6 = 14 h.
• Verdadeira. Para t = 0
π π π
120
43
43
240. + = = °
GABARITO
15Matemática B
Para t = 8 π π π
128
43
23
43
63
2 360. + = + = = = °
Daí, temos que o intervalo [0, 8] equivale [240°, 360°], que pertence ao 3º e 4º quadrante.
Como no 3º e 4º quadrante a função cosseno é crescente, logo T(t) é crescente em [0, 8].
59) 14
01. Incorreta. Lembre que π ≅ 3,14. Então,
9,42 = 3π < 10 < 72π = 10,99
Logo, 10 ∈ 372
π π,
.
Como 372
π π,
∈ 3º Q,
então 10 ∈3º Q. Portanto, f(10) < 0.
02. Correta. Sejam f e g funções reais definidas por f(x) = 2x e g(x) = cos x para todo x ∈ R.
x
1
–1
–2�
3
2
�–�
�2
�2
�3
2
�2�
y
Portanto, há uma infinidade de pontos em que os gráficos dessas funções se interceptam.
04. Correta. No triângulo OMP, temos:
x
�
1
P
M O
cos π6
= 1x
1
x=
3
2
3 . x = 2
x = 2
3 Portanto, a coordenada do ponto P é:
2
30,
.
08. Correta. cos 36° + cos 72° + cos 108° + cos 144° = = cos 36° + cos 72° – cos 36° – cos 72° = 0
16. Incorreta. 20 – 3 (2x + 15) < 0 20 − 6x – 45 < 0 − 6x – 25 < 0 (–1) 6x + 25 < 0 6x < –25
x < −25
6