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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER

11

Matemática Básica APUNTES DOCENTES Departamento de Ciencias Básicas


2

Contenido UNIDAD 1 ....................................................................................................................................... 4

CONJUNTOS NUMÈRICOS ...................................................................................................... 4

UNIDAD 2 ..................................................................................................................................... 14

EXPRESIONES ALGEBRAÌCAS ............................................................................................. 14

UNIDAD 3 ..................................................................................................................................... 19

PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES ............................................................................ 19

UNIDAD 4 ..................................................................................................................................... 21

FACTORIZACIÒN Y FRACCIONES ALGEBRAICAS .......................................................... 21

II. FRACCIONES ALGEBRAICAS .......................................................................................... 25

UNIDAD 5 ..................................................................................................................................... 29

ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES .................................................................. 29

UNIDAD 6 ..................................................................................................................................... 40

DESIGUALDADES ................................................................................................................... 40

BIBLIOGRAFIA………………………………………………………………………………52


3

INTRODUCCION

Las matemáticas, es una ciencias exactas, pero con el tiempo se han convertido en el "coco"o dolor de cabeza de muchos estudiantes, sin importar el grado de escolaridad en que este se encuentre. . Nada de esto, está más lejos de la realidad, ya que el problema radica en las estrategias utilizadas para enseñar la matemática, inclusive en los métodos de estudio utilizados para entender lo que se estudia. Infortunadamente a pesar de que muchos estudiantes, se encuentran en grados superiores, no tuvieron las bases sólidas, que se deben adquirir para entender, comprender y analizar las matemáticas. Uno de los propósitos fundamentales es abordar contenidos temáticos básicos que de alguna manera permitan una comprensión solida de la asignatura. Un factor importante es la motivación para lograr asimilar contenidos que permanezcan en el tiempo de manera lógica, más no memorística. De tal forma que quien estudia las matemática preserve estos conceptos para toda la vida. Finalmente los apuntes docentes, serán una guía de las unidades temáticas de la asignatura de matemática básica, donde encontrará un introductorio teórico, ejemplos y ejercicios propuestos, que le servirán al lector de orientación en la asignatura.


4

UNIDAD 1

CONJUNTOS NUMÈRICOS

LOS NÚMEROS REALES

Recordemos las clases de números que forman el conjunto de Los Números Reales(R): Los Números Naturales N= {1, 2,3,…}

Los Números Enteros Z= {…,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,…}, formados por los Naturales junto con los números negativos y el cero. Los Números racionales Q, definidos como el cociente entre dos enteros:

{ Q /

Ejemplos:

,

( todo entero es racional)

Todo número racional se puede expresar como un decimal, dividiendo el numerador entre el denominador.

El decimal obtenido que puede ser: decimal de cifras finitas como por ejemplo 3

4 0.75 , o un decimal de

cifras infinitas periódicas por ejemplo 2

3 0.6666… 0.6̅̅ ̅̅

Los Números irracionales Q’, su expresión decimal es infinita pero no periódica, por tanto no es posible es posible representarlos como cociente de enteros.

Ejemplos: √ . … . … . ….

La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales, recibe el nombre de conjunto de los números reales y se denota con el símbolo R,

R = Q U Q’

El siguiente gráfico, presenta un esquema de la conformación de los números reales.


5

LA RECTA NUMÉRICA

Se puede establecer una relación entre los números reales y la recta numérica. A cada número real le corresponde un único punto de la recta, y cada punto de la recta representa un único número real. A esta recta la llamamos Recta Real. Escogemos un punto de referencia O arbitrario, al que llamamos origen, el cual corresponde al número real cero. Dada una unidad de medición, cada número positivo x se representa por un punto en la recta a una distancia x unidades a la derecha del origen, el opuesto de x, es decir – x se representa por un punto a x unidades a la izquierda del origen.

Los restantes números reales se representan en esta recta, usando su representación decimal,

Ejemplo representemos los números

.

2 .5

El conjunto de los números reales está ordenado, decir que a<b, significa que b-a >0 (es positivo), geométricamente significa que a está a la izquierda de b.

Por ejemplo:

2

REALES

(R)


6

VALOR ABSOLUTO DE NÚMEROS REALES

El valor absoluto de un número real a, denotado como | |, es la distancia sobre la recta real desde a hasta

0, por tanto siempre | | 0. Ejemplos:

OPERACIONES CON REALES

En los Números Reales se pueden definir dos operaciones binarias + y ×, las cuales l satisfacen las siguientes propiedades: - Clausurativa Si a y b están en R entonces a+b y a ×b son números determinados en forma única que están también en R. - Conmutativa (Suma y Multiplicación) Si a y b están en R entonces a+b = b+a y a×b = b×a. - Asociativa. (Suma y Multiplicación) Si a, b y c están en R entonces a+(b+c) = (a+b)+c y a× (b×c) = (a×b) ×c - Distributiva. Si a, b y c están en R entonces a× (b+c) = a×b + a×c - Modulativa R contiene dos números distintos 0 y 1 tales que a+0 = a, a×1 = a para a que pertenece a los reales. - Invertiva Si a está en R entonces existe un (-a) en R tal que a + (-a) = 0 Si a está en R y a ≠ 0 entonces existe un elemento 1/a en R tal que a× (1/a) = 1

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

ADICIÓN

- Si se tienen dos números de signos iguales, entonces se suman sus valores absolutos y se deja el mismo signo. - Si se tienen dos números de signos diferentes, entonces se restan sus valores absolutos y se deja el signo del número de mayor valor absoluto. Ejemplo: -15+30-25+5+2 aplicando las propiedades conmutativa y asociativa, tenemos


7

(30+5+2) + (-15-25) = 37 + (- 40)= -3

MULTIPLICACIÓN Y DIVISÓN

Multiplico o dividió el valor absoluto de los números el signo del resultado lo asigno de acuerdo a la ley de los signos para el producto:

Ejemplos: (-5)(-3)(2)(-4)= -120 (-16) ÷(- 4)= 4 (8÷ - 2)(3)= (- 4)(3)=-12

OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES

ADICIÓN

Para sumar fracciones:

- Si las fracciones tienen el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se pone el mismo denominador.

Ejemplos:

3 7 5 11 3 7 5 11 10 16

2 2 2 2 2 2

63

2

- Si tienen distintos denominadores, se procede de la siguiente manera:

- Se encuentra el mínimo común múltiplo de los denominadores, este será el común denominador. - Se divide el común denominador entre el primer denominador y el resultado se multiplica por el numerador - Se repite la operación para cada uno de las fracciones - Se suman los resultados obtenidos y la fracción obtenida se simplifica (si es posible).

5 3 7 1 5 2 3 4 7 5 6 28 27

8 4 2 8 8 8

LTIPLICACIÓN, DIVISIÓN E IGUALDAD


8

OPERACIÓN EJEMPLO DESCRIPCIÓN

1. 𝑎

𝑏 𝑥

𝑐

𝑑

𝑎𝑐

𝑏𝑑

(

) (

4) (

)

𝑥 𝑥

𝑥4𝑥

6

4

4

Se multiplican los numeradores entre si y los denominadores entre sí, se aplica la ley de los signos para el producto.

2. a c a d

b d b c

a

a dbc b c

d

(

6) ÷ (

4)

𝑋4

𝑋6

4

8

9

4

𝑋4

𝑋

4

6

Se invierte el divisor y se multiplican las fracciones. Se multiplican extremos y se multiplican medios. En ambos casos se aplica la ley de los signos y se simplifica el resultado.

3. Si 𝑎

𝑏

𝑐

𝑑 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑑 𝑏𝑐

4

5 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥5 𝑥4

Si dos fracciones son iguales se multiplica en forma cruzada.

OPERACIONES CON NÚMEROS IRRACIONALES

- La suma de radicales semejantes (igual índice, igual subradical) es otro radical semejante a los dados, cuyo coeficiente es igual a la suma de los coeficientes de los radicales dados.

( )n n nb a c a b c a

Ejemplos: 3 5 6 5 (3 6) 5 9 5

Si los radicales no son semejantes, la suma se deja indicada. 3752

- El producto de radicales, con el mismo índice, es igual a otro radical cuyo coeficiente y radicando son iguales, respectivamente, a los productos de los coeficientes y radicandos de los factores, así tenemos:

n n nb a d c b d a c

Ejemplo: ( √ ) ( √3

2) ( )( )√

2𝑥3

1𝑥2 6√

2 6√

Si los radicales son de distinto índice, primero hay que reducirlos a índice común

Ejemplo: 3 263 62 5 2 5 200


9

- El cociente de dos radicales con el mismo índice, es igual a otro radical, cuyo coeficiente y radicando son

iguales, respectivamente, al cociente de los coeficientes y radicandos de los radicales dividendo y divisor,

quedando: nn

n

c

a

d

b

cd

ab

Ejemplo: 8 3

8 3 7 57 5

POTENCIACION DE REALES

Definición: Sea a un número real, entonces el producto de a por sí mismo n veces se escribe: a.a.a.a……..a = a

n donde a es la base y n es el exponente.

Ejemplos:

( )3 ( )( )( ) 7 (

2

3)2

2

3𝑥

2

3

4

PROPIEDADES

1. 0)(a10 a

2. aa 1

3. mnmn aaa

4. mnmn aa

5. nnnn cbaabc )(

6. n

nnn

n

nn

a

b

a

b

b

a

b

a

b

a

7. mn

m

n

aa

a

8. n

n

aa

1

9. 00 naentoncesparesnyaiS

10. 00 naentoncesimparesnyaiS

Ejemplos: Aplicar las propiedades de la potenciación y resolver

( 3)2( 𝑋 )

3( ) 1

( )1 ( )

2 ( )

( )3( )

3( ) 1

( )1 ( )

2 ( )

( )2

( )1 ( )

2 ( )

( )1


10

(𝑥

𝑦) 2

(𝑦

𝑥)3

(𝑦

𝑥) 2

(𝑦

𝑥)2

(𝑦

𝑥)1

(𝑦

𝑥)1

𝑥

RADICACION DE REALES

Definición: Se llama raíz n-ésima de un número a, y se escribe n a , a un número b que elevado a n dé a.

nn a b si b a

Donde:

→ se llama radical a → subradical n → índice de la raíz b → raíz

Ejemplos:

273)( porque 3,27

82 porque 2,8

19614 porque 14,196

33

33

2

PROPIEDADES DE LOS RADICALES

1. Existencia de Radicales

- Si a es positivo, entonces n a existe, cualquiera que sea n.

Ejemplo: 4 55, 7, 0,85 existen

- Si a es negativo, sólo existen sus raíces de índice impar.

Ejemplo:

3

6

8 existe

0,85 no existe

2. 1/

mnn mn na a a a

Ejemplos:

1 2 14 25 5 4 22 2 a a a

3. n n na b a b Ejemplos:

2 2

5 5 5 5

3 3

32 32 2

x y x y

x x x


11

4. n

n

n

b

a

b

a Ejemplos:

288

33

3 5

3

3 5

3

5

33

xxx

xx

5.

p n pn a a Ejemplo: 25)5()5( 44

6.

mnnm a a Ejemplos: 8

63

55

33

7. n

mnm mb a b a

Ejemplo: 3 3 3 3

31 1 13 3 3 3 32 2 2 2(2 5) (2 5 ) 2 (5 ) 2 5 2 (5 ) 2 5 8 125

8. Racionalización: Permite eliminar radicales del denominador de una fracción. Consiste en multiplicar el numerador y el denominador por una potencia de la raíz del denominador tal que quede igual el índice y el exponente de la raíz y de eta manera por propiedad eliminar el radical. Ejemplo:

2 2

3 3

3 33 3

1 1 1 5 5

525 55 5

En caso que en el denominador hay un binomio, multiplicamos numerador y denominador por su expresión conjugada y aplicamos la propiedad (a+b)(a-b) = (a)

2-(b)

2

Ejemplo:

2

2

1 1 5 3 5 3 5 3 5 3

25 3 225 3 5 3 5 3 5 3

ORDEN PARA REALIZAR L AS OPERACIONES CON REALES

Veamos el orden jerárquico de las operaciones Reglas Importantes para Resolver Operaciones Aritméticas: 1. Resolver todo lo que esté dentro de símbolos de agrupación. 2. Evaluar las expresiones exponenciales. 3. Hacer todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha.


12

4. Hacer todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha. Ejemplos: 1) 4 + 5 · 7 = 4 + 35 = 39 2) 57 – 5(8 - 6)

3 = 57 − 5 ∙ 2

3 = 57 − 5 ∙ 8 = 57 − 40 = 17

3) 1

2

3

4(1

3) + 4 ÷ 4

1

2

3

12+

1

12

4

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS USANDO LA TEORÍA DE GEORGE POLYA

No hay reglas difíciles ni rápidas que aseguren el éxito al resolver problemas. Pero es posible esbozar unos

pasos generales en el proceso de la resolución de problemas y dar principios que son útiles para resolver

ciertos problemas. Esta teoría fue planteada por el matemático George Polya, quien basó su teoría en l

profundo conocimiento de la psicología cognitivo del ser humano. En su libro How to Solve It , planteo los

siguientes pasos a la hora de solucionar un problema. Vamos a conocerlos a partir de un ejemplo práctico:

Se tiene un terreno rectangular de dimensiones. Largo 0√5 y de ancho 5√ 0 . El terreno se va a cubrir

con pasto japonés, el cual viene porcionado en rectángulos de dimensiones de largo √ y ancho √ m.

¿Cuántas porciones de pasto serán necesarias para cubrir el terreno?

I.ENTIENDO EL PROBLEMA

Respondamos las siguientes preguntas:

- ¿Conozco el significado de todas las palabras?

- ¿Cuáles son las cantidades dadas (constantes)? dimensiones del terreno rectangular: Largo 0√5 y

de ancho 5√ 0

Dimensiones de las porciones rectangulares de pasto: largo √ y ancho √ m.

- ¿Cuáles son las condiciones del problema? El terreno se cubre con las porciones rectangulares de

pasto

- ¿Cuál es la pregunta? Cuántas porciones (superficies) necesitamos para cubrir la superficie del terreno

II. HAGAMOS UN ESQUEMA

0√5 √

√

5√ 0


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III.TRAZO Y EJECUTO UN PLAN ¿Cómo puedo relacionar la información dad con la pregunta? Debo repartir la superficie del terreno entre la superficie de cada porción, y para eso necesito hallar el área de cada una. El área de un rectángulo es igual al producto de su largo por su ancho.

Por tanto área del terreno: 0√5 x5√ 0 = 50√50 50√ m2

Área de cada porción: √ x √ m.=4√6m2

Como repartir significa dividir 50√ m2 / 4√6m

2=

12

2√

1

3 m.

Respuesta. Se necesitan aproximadamente 37 porciones rectangulares de pasto para cubrir el terreno.


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UNIDAD 2

EXPRESIONES ALGEBRAÌCAS En álgebra se emplean letras para representar números reales . Mediante letras y símbolos matemáticos las proposiciones verbales se reducen a proposiciones algebraicas muy cortas. Este proceso es la base para una de las competencias básicas que todo estudiante debe desarrollar como es la modelación matemática.

Expresiones algebraicas: Es una combinación de números y letras relacionados con operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación

22 2 32 4 ; 7 ; 2 ;x xy a b b x y c b

Dos o más expresiones algebraicas unidas con un signo + ó – reciben el nombre de términos. Dos o más expresiones algebraicas unidas por una multiplicación reciben el nombre de factores. Ejemplo:

ab3 −

)3)(( ababa

Primer término segundo término Tres factores dos factores Todo término presenta las siguientes partes: Coeficiente: El que precede a la parte literal. Parte Literal: Está representada por una o varias letras. Exponente: Indica cuantas veces se toma como factor la parte literal. Exponente

53x

Parte literal Coeficiente De acuerdo al número de términos las expresiones algebraicas pueden ser:

MONOMIO: tiene un término. Ejemplo 2 45x y z ;

BINOMIO: tiene dos términos. Ejemplo 7 5xy y ; p q


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TRINOMIO: tiene tres términos. Ejemplo 2 3 5x x

POLINOMIO: tiene más de tres términos. Ejemplo 3 23 2 12x x x

Grado de un término: Es la suma de los exponentes del factor literal Ejemplo:

En el término 3x3 tiene grado 3 (por el exponente de x)

En el término 4x2y

3 tiene grado 5 (2 + 3, la suma de los exponentes)

Grado de una expresión: Es el grado mayor de sus distintos términos. Ejemplo:

En la expresión 3x3 + 5y

5 tiene grado 5 (por el grado del segundo termino)

En el término 4x

2y

3 – 4b

3y

2z

7 tiene grado 12 (por el grado del segundo término)

Términos semejantes: Dos términos son semejantes si tiene el mismo factor literal.

Ejemplos: 32x y

35x son semejantes,

½ x2 y

3 ; 6x

2 y

3 ; 3 x

2 y

3 ; x

2 y

3 son términos semejantes

Reducción de términos semejantes. Para reducir términos semejantes se suman los coeficientes de los términos semejantes y a continuación se escribe la parte literal común.

Ejemplo:

2 2 2 2

2 2

3 2 4 6 21

3 1 2 6 1 4 21

x xy xy x xy xy

x xy xy

Reduciendo: 2 22 4 5 21x xy xy

Se llama término independiente a aquel que no contiene variable. En el ejemplo anterior −21 es el término independiente Polinomio ordenado: Un polinomio está ordenado con respecto a las potencias crecientes de una de sus letras cuando ésta figura en cada término con un exponente mayor o igual que en el anterior.

Ejemplo: el polinomio 𝑥3 𝑥2 + 𝑥 , está ordenado con respecto a la variable 𝑥

OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAÍCAS

- Suma y Resta

Agrupamos los términos semejantes y operamos con ellos:

xxx 3

8

7

3

1

4

3 22

xxx 3

3

1

8

7

4

3 22

3

13

8

7

4

3 2 xx3

13

8

13 2 xx

Sea 23 7

65 4

A x x y 6

5

2

1

5

1 23 xxxB determinar: A – B


16

6

5

2

1

5

1

4

76

5

3 232 xxxxxBA

Eliminamos el paréntesis, teniendo en cuenta que cambian los signos que están dentro del paréntesis que

está precedido por el signo negativo.

2 3 23 7 1 1 56

5 4 5 2 6A B x x x x x

Agrupamos los términos semejantes y realizamos las operaciones correspondientes:

2 2 33 1 1 7 5

65 5 2 4 6

A B x x x x x

3 24 11 31

5 2 12A B x x x

- Multiplicación - Para multiplicar monomios, multiplicamos los coeficientes de los términos, con las variables comunes aplicamos el producto de potencias de igual base, las no comunes se dejan igual. - Para multiplica monomios por polinomios o polinomios entre sí, aplicamos la propiedad distributiva: (𝑏𝑐) 𝑏 + 𝑐 ( + 𝑏)(𝑐 + 𝑑) 𝑐 + 𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑 Ejemplos:

monomios por monomios monomios por polinomios polinomios por polinomios

( -4a

5b

4)•( 12ab

2)=

–48 a

6b

6

7 a4b • ( 2 a

3 – a b + 5 b

3 )=

14 a7b – 7 a

5b

2 + 35 a

4b

4

baba 7332

6a2 –14ab –9ab + 21b

2 =

6a2 –23ab +21b

2

( 6 m

5n

-3p

-4) • ( 5 mn

-1p

2)=

30 m

6n

–4p

–2

aaa mmm 5132

2

5

4

5

5

2

3743

2

1 aa mm

422 2 xxx

x3+2x

2 +4x–2x

2 –4x –8=

x3 –8

3 2 14 3 5 4

4 3 2a b ab a b

( a x + b y – c z ) • (− x y )=

– ax2y – bxy

2 + cxyz

2382 2322 mmnmnm


17

3. División

- Para dividir dos términos algebraicos , dividimos o simplificamos los coeficientes, con las variables

comunes aplicamos el cociente de potencias de igual base y las no comunes se dejan igual.

Ejemplo: 8 𝑛3 ÷ 4𝑛2 18

4 𝑛3 2

2 𝑛

- Para dividir polinomios seguimos los siguiente pasos.

2 3 5 23 10 4 6 1 2x x x x x x

Se ordenan los dos polinomios tomando en cuenta los exponentes de la variable (x) en orden decreciente y completando con coeficiente cero (0) la potencia faltante.

12631004 22345 xxxxxxx

Se divide el primer término del polinomio dividendo entre el primer término del divisor

12631004 22345 xxxxxxx

Para efectuar esto se divide el coeficiente del dividendo entre el del divisor y con la variable se aplica la regla de potencia de un cociente de igual base.

325

2

5

2

5

441

44xx

x

x

x

x

12631004 22345 xxxxxxx

34x

Este es el primer término del cociente

Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, a estos productos se les cambia el signo y se ordenan debajo del dividendo según el exponente de la variable.

12631004 22345 xxxxxxx

345 484 xxx 34x

Estos productos se resta del dividendo 12631004 22345 xxxxxxx

345 484 xxx 34x

63148 234 xxxx

Se repite todo el procedimiento considerando que ahora el primer término del nuevo dividendo es 8x

4

224

2

4

2

4

881

88xx

x

x

x

x

12631004 22345 xxxxxxx

345 484 xxx 23 84 xx

63148 234 xxxx

234 8168 xxx

652 23 xxx

Continuamos ahora dividiendo los demás términos


18

12631004 22345 xxxxxxx

345 484 xxx 1284 23 xxx

63148 234 xxxx

234 8168 xxx

652 23 xxx

xxx 242 23

632 xx

122 xx

75 x

El cociente de la división es : 1284 23 xxx

Y el residuo: 75 x (como el grado de este residuo es inferior al del divisor, no se puede continuar

dividiendo por lo que la división es inexacta)

La respuesta se expresa como 4𝑥3 + 8𝑥2 + 𝑥 + 𝑥

𝑥 2𝑥 1

VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Hallar el valor numérico de una expresión algebraica significa asignar un valor numérico a cada variable de los términos y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final. Veamos un ejemplo:

Hallar el valor numérico de la expresión: 2 2 35 8 9x y xy y considerando x = 2; y = –1

322322 19128125985 yxyyx

= )1(9128)1(45

= 2791620


19

UNIDAD 3

PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

PRODUCTOS NOTABLES

Ciertos tipos de productos se presentan con frecuencia en el cálculo algebraico por tal motivo es conveniente memorizar ciertas reglas para simplificar y agilizar la obtención del resultado. Estos productos reciben el nombre de productos notables.

1. Cuadrado de un Binomio “El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más el doble del producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término”

2 2 2( ) 2a b a ab b

Ejemplo: 2 22 2 22 2( )(2 ) 2 4 4p b p p b b p pb b

2. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades “El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo”

2 2( )( )a b a b a b

Ejemplos

5 4 5 4 5 2 4 2 10 8(2 6 )( 2 6 ) (2 ) (6 ) 4 36p q p q p q p q

3. Cubo de un binomio “El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término más (o menos) el triple del producto del cuadrado del primer término por el segundo más el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo más(o menos) el cubo del segundo término”

3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b

Ejemplos: 3 2

2 3 2 3 2 2 3 2 3 3 35 3 (5 ) 3(5 ) (3 ) 3(5 ) 3 (3 )a b a a b a b a a b a a

= 6 3 7 2 8 9125 225 135 27a b a b a b a

4. Multiplicación de Binomios con un Término Común


20

“Cuadrado del primer término, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos”

bcacbacaba 2

Ejemplos: 2 23 2 3 2 3(2) 5 6x x x x x x ,

COCIENTES NOTABLES

Son aquellos cocientes exactos que sin efectuar la operación de división, pueden ser escritos por simple inspección.

Primer caso: ( + ) ÷ ( + ) 1 2 + 3 2 …+ 1 se cumple para n impar

Ejemplo: (x

5 + y

5) ÷ (x + y) = x

4 -x

3y + x

2y

2 -xy

3 +y

4

Segundo caso: ( ) ÷ ( ) 1 + 2 + 3 2 …+ 1 se cumple para n par o impar

Ejemplo: (x

6 - y

6) ÷ (x - y) = x

5 +x

4y + x

3y

2 +x

2y

3 +xy

4+y

5

c. Tercer caso: ( ) ÷ ( + ) 1 2 + 3 2 …+ 1 se cumple para n par

Ejemplo: (x

4 - y

4) ÷ (x + y) = x

3 -x

2y + xy

2 -y

3


21

UNIDAD 4

FACTORIZACIÒN Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

I. FACTORIZACION

Aplicamos la propiedad distributiva para expandir las expresiones algebraicas. Factorizar es el proceso contrario que permite escribir la expresión como producto de expresiones más simples.

CASOS DE FACTORIZACIÓN

1. FACTOR COMUN

1.1 Factor común monomio:

- Determinamos un factor común de los términos ( m.c.m. de los coeficientes y variables comunes con su menor exponente) - Dividimos cada término entre el factor común y con los resultados formamos el segundo factor. Ejemplos: 12x + 18y − 24z = 6(2x + 3y − 4z) 5a

2 − 15ab − 10ac = 5a(a − 3b − 2c)

6x

2y − 30xy

2 + 12x

2y

2 = 6xy(x − 5y + 2xy)

1.2 Factor común polinomio: Es el polinomio común que aparece en cada término de la expresión.

Ejemplos: 5x2(x − y) + 3x(x − y) + 7(x − y) , tienen en común el binomio (x-y)

Por tanto 5x2(x − y) + 3x(x − y) + 7(x − y) = (x − y) (5x

2 + 3x +7)

1.3 Factor común por agrupación de términos: En este caso de factorización hacemos uso de los dos métodos anteriores. Ejemplo: 5x

4y + 3x

3y −9xy −15xy

2:

Primero debemos agruparlo y factorizar los términos que agrupamos: seria así:

5x4y − 15xy

2 = 5xy (x

3 − 3y)

3x3y − 9xy = 3y (x

3 −3y)

Y por último si unimos los dos factores comunes monomios quedaría así:

5xy (x3 −3y) +3y (x

3 −3y): Después se aplica el factor común polinomio.

Entonces el resultado será el siguiente: (x3 −3y) (5xy +3y)


22

2. FACTORIZACION DE TRINOMIOS

2.1 Trinomio cuadrado perfecto

Para que un trinomio sea cuadrado perfecto: el primer y tercer término deben tener raíz cuadrada y el

segundo término debe ser el doble producto de las bases de los dichos términos. Para Factorizar tomamos

las raíces cuadradas del primer y tercer términos separadas por el signo del segundo término, elevamos al

cuadrado.

Ejemplo:

Factorizar 29 30 25x x

Halla la raíz principal del primer término29x = 3x

Halla la raíz principal del tercer término 25 =5

Factorización: ( 𝑥 5)2

2.2 Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción:

En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio), en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo: 4224 910 nnmm

Resolviéndolo queda:

22224224 44910 nmnmnnmm 224224 496 nmnnmm

2222 23 mnnm

Aplicamos diferencia de cuadrados:

2 2 2 23 2 3 2m n mn m n mn

2.3 Trinomio de la forma:2n nx bx c

El trinomio de la forma 2n nx bx c se puede descomponer en dos factores binomiales mediante el

siguiente proceso: Ejemplo 1:

Descomponer 2 6 5x x

Hallar dos factores que den el primer término x · x


23

Hallar los divisores del tercer término, pueden ser 1 y 5 ó -1 y - 5 seleccionamos aquellos cuya suma es 6.

5 1x x 2 6 5 5 1x x x x

Ejemplo 2.

Factorizar 4 2 24 12x x y y

Hallar dos factores del primer término, o sea x4: x

2 · x

2

Hallar los divisores de 12y

2, estos pueden ser: 6y · −2y ó −6y · 2y

4y · −3y ó −4y · 3y 12y · −y ó −12y · y Pero la suma debe ser +4, luego servirán 6y y −2y, es decir:

4 2 2 2 24 12 6 2x x y y x y x y

2.4 Trinomio de la forma 2n nax bx c

Ejemplo:

Factorizar 22 11 5x x

El primer término se descompone en dos factores 2x · x Se buscan los divisores del tercer término 5 · 1 ó -5 · -1

Por lo tanto, 22 11 5 5 2 1x x x x

3. FACTORIZACION DE BINOMIOS 3.1 Diferencia de dos cuadrados:

2 𝑏2 ( + 𝑏)( 𝑏) Ejemplo:

Factorizar 2 29 16x y

Raíz cuadrada del primer término 29 3x x

Y raíz cuadrada del segundo término 216 4y y

Luego la factorización de 2 29 16 3 4 3 4x y x x

3.2 Cubo perfecto de un binomio: Ejemplo: Factorizar Todos los signos de los términos son positivos

3 23 3 1a a a


24

3 3a a : Raíz cubica del primer término del cuatrinomio.

3 1 1 : Raíz cubica del cuarto término del cuatrinomio.

22 313 aa Triplo del cuadrado de la raíz cubica del primer término por la raíz cubica del cuarto:

Igual al segundo término del cuatrinomio.

aa 313 Triplo de la raíz cubica del primer término del cuatrinomio por el cuadrado de la raíz cubica

del cuarto término: igual al tercer término del cuatrinomio. Por lo tanto:

133 23 aaa Desarrollo de un cubo perfecto de binomios.

323 1133 aaaa

3.3 Suma o diferencia de cubos perfectos

3.3.1 Diferencia de cubos: 3 3 2 2a b a b a ab b

Ejemplo: 3 28 2 4 2x x x x

3.3. 2 Suma de cubos: 3 3 2 2a b a b a ab b

Ejemplo: 3 227 1 3 1 9 3 1a a a a

3.4 División sintética o regla de Ruffini

En algunos casos es conveniente factorizar los polinomios mediante divisiones sintéticas (regla de Ruffini). Esta regla se aplica en polinomios cuyos factores son de la forma (x ± a) Esta regla nos dice que “un polinomio tiene por factor (x ± a) si al reemplazar el valor x por “a” en el polinomio, el resultado es cero. El valor de “a” de los posibles factores de la expresión, es un divisor del término independiente del polinomio”. Ejemplo: x

4+6x

3+x

2-24x+16

El posible valor de “a” deber ser divisor del término independiente es este caso 16, es decir 1,2,3,4,8,16. Cualquiera de ellos puede ser el que haga cero la expresión. Para dividir en forma sintética, tomamos los coeficientes del polinomio y dividimos por los divisores de 16. Probamos con 2: Si x

4+6x

3+x

2-24x+16, Sus coeficientes en orden son:

1 6 1 -24 16 2

2 16 34 20 1. Bajas el primer cociente y multiplicas por el divisor. Ubicas bajo el 2do.cociente para sumar o restar según sea el caso


25

1 8 17 10 36 NO

1 6 1 -24 16 -4

-4 -8 28 -16

1 2 -7 4 0 SI

Coeficientes resultantes

( x3+2x

2-7x+4) (x+4)

Volvemos a dividir:

1 2 -7 4 1

1 3 -4

1 3 -4 0 SI

(x

2+3x-4) (x-1) (x+4) por tanto la factorización total es

(x+4) (x-1) (x-1) (x+4)

II. FRACCIONES ALGEBRAICAS

Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas, es decir de la forma ( )

( )

p x

q x

con q(x) ≠0.

Ejemplos:

2

5 8 3( ) ( 3) ( )

3 2 3 2

2 3 3 4( ) ( ) ( 4, 2)

7 2 8

xa x b x

x x

x y xc d x x

x x

Simplificación de fracciones algebraicas

Simplificar una fracción algebraica es convertirla en una fracción equivalente reducida a su mínima expresión, Una fracción después de simplificada se dice que es irreducible.

2. Multiplicas por el divisor y ubicas bajo el 3er.coeficiente y asi sucesivamente hasta terminar todos los coeficientes

3. Compruebas que la operación con el ultimo coeficiente te de cero caso contrario busca otro divisor y

vuelve a intentar

4. Si obtienes cero entonces ese divisor es el valor de la variable y para que sea cero el factor será con el signo contrario En nuestro caso nos salió para -4 entonces el factor es (x+4)

5. El polinomio se factoriza entonces disminuyendo un grado al polinomio inicial tomando los

coeficientes resultantes.


26

- Para simplificar una fracción cuyos términos sean monomios se dividen el numerador y el denominador por sus factores comunes hasta lograr que la fracción sea irreducible. - Para simplificar una fracción cuyos términos sean polinomios se descomponen en factores(se Factoriza) los polinomios y se suprimen los factores comunes en el numerador y el denominador hasta lograr que la fracción sea irreducible.

Ejemplos Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:

(a)

3 3 2 3 2

5 2 3 2

24 8 3 8

21 7 3 7

a b a ab a

ab b ab b

(b) 16x

12x7x2

2

Observa que podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción dada, ya que:

)4x)(4x(16x

)3x)(4x(12x7x

2

2

Luego:

2

2

7 12 ( 4)( 3) 3

16 ( 4)( 4) 4

x x x x x

x x x x

Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas

La operación de reducir las fracciones algebraicas al mínimo común denominador consiste en convertirlas en fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador y que éste sea el menor posible. Para encontrar el m.c.m. debemos, en primer lugar, factorizar cada uno de los polinomios en sus factores primos y luego obtener el producto de los distintos factores primos, eligiendo en cada caso el de mayor exponente

Ejemplo:

Reducir al mínimo común denominador

2 2 2

3 2 3, , ,

5 6 6 9 3 2 2

x x x

x x x x x x x

Al factorizar los denominadores obtenemos:

2( 2)( 3), ( 3) , ( 2)( 1), ( 2)x x x x x x ; m.c.m. =

2( 2)( 3) ( 1)x x x

OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

En las operaciones con fracciones algebraicas se aplican las mismas reglas que se utilizan en aritmética para el cálculo de fracciones numéricas.


27

1. Suma y Resta

- Se simplifican las fracciones, si es posible.

- Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador

-Se divide el denominador común (m.c.m) entre cada uno de los denominadores y cada cociente lo multiplicamos por su respectivo numerador.

-Se suman o restan los numeradores que resulten y se divide este resultado por el denominador común.

- Se reducen términos semejantes en el numerador, si los hubiere.

- Se simplifica la fracción que resulte, si es posible.

Ejemplo:

5 9 7 2 8 5 (5 9 ) (7 2 ) (8 5 ) 4 6

2 3 2 3 2 3 2 3 2 3

a b a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a b

Luego, factorizando el numerador y simplificando, se obtiene:

2)b3a2(

)b3a2(2

Entonces: 5 9 7 2 8 5

22 3 2 3 2 3

a b a b a b

a b a b a b

2. Multiplicación

- Se descomponen en factores y se simplifican las fracciones, si es posible. - Se halla el producto de las expresiones que queden en los numeradores y el producto resultante se divide por el producto de las expresiones que queden en los denominadores.

Ejemplo:

2 3

2 3 2 2

5 6 7 21

9 2 8 7 7

m m m m m

m m m m m

Factorizamos y simplifiquemos

2

2 2

( 3)( 2) ( 1) 7( 3)

( 3)( 3) ( 2 8) 7( 1)

( 3)( 2) ( 1)( 1) 7( 3) 1

( 3)( 3) ( 4)( 2) 7( 1)( 1) 4

m m m m m

m m m m m m

m m m m m m

m m m m m m m m

Entonces:

2 3

2 3 2 2

5 6 7 21 1

9 2 8 7 7 4

m m m m m

m m m m m m

2. División

- Se multiplica el dividendo por el divisor invertido


28

- Se descomponen en factores y se simplifican las fracciones, si es posible.

Ejemplo:

2

2

2 4 6 12 2 4 15 45

5 15 15 45 5 15 6 12

x y xy y x y x y

x y x y x y xy y

Factorizamos y simplifiquemos

2( 2 ) 15( 3 ) 1

5( 3 ) 6 ( 2 )

x y x y

x y y x y y

Entonces:

22 4 6 12 1

5 15 15 45

x y xy y

x y x y y

4. Operaciones combinadas Para resolver una expresión algebraica con distintas operaciones se realizan en primer lugar aquellas indicadas dentro de los paréntesis. Si no los hay, las multiplicaciones y divisiones tienen prioridad. Ejemplo:

2 2

2 2 2 2

3 3 6 6

2 2 2

x y x y x y

x xy y x y x xy y

Calculemos el cociente del paréntesis y luego multipliquemos.

22

22

2 yxyx

yx

)yx(6

)yx(2

)yx(

)yx(3

Factoricemos y simplifiquemos

Entonces:

2 2

2 2 2 2 2 2

3 3 6 6

2 2 2

x y x y x y x y

x xy y x y x xy y x xy y

2 2 2 2 2

3( ) 2( ) ( )( )

( ) 6( )

x y x y x y x y x y

x y x y x xy y x xy y


29

UNIDAD 5

ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

I. ECUACIONES

Ecuación: Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas. Las incógnitas se representan con las últimas letras del alfabeto: x, y, z, u, v. La ecuación no es una identidad. Miembros: Se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión que está a la izquierda del signo de igualdad, y segundo miembro, a la expresión que está a la derecha. Términos: Son cada una de las cantidades que están conectadas con otra por el signo + ó -, o la cantidad que está sola en un miembro. Raíces o Soluciones: Son los valores de las incógnitas que verifican o satisfacen la ecuación, es decir, que sustituidos en el lugar de las incógnitas, convierten la ecuación en una identidad. Las ecuaciones de primer grado tienen una sola raíz. Resolver una ecuación es encontrar su conjunto solución. Verificación: Es la prueba de que el valor obtenido para la incógnita es correcto. La verificación se realiza sustituyendo la incógnita de la ecuación por el valor obtenido, y si este es correcto, la expresión se convertirá en una identidad. TIPOS DE ECUACIONES

Las ecuaciones con una incógnita suelen tener un número finito de soluciones, mientras que en las ecuaciones con varias incógnitas encontramos infinitas soluciones, las que suelen ser estudiadas cuando forman sistemas de ecuaciones.

Podemos encontrar distintos tipos de ecuaciones con una incógnita: polinómicas, racionales, exponenciales, trigonométricas, logarítmicas, entre otras.

Las ecuaciones polinómicas son de la forma ( ) 0P x , donde ( )P x es un polinomio en x, que al

trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.

A continuación estudiaremos las ecuaciones polinómicas de primer y segundo grado.

1. ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO

Cualquier ecuación que se puede escribir en la forma:

0,ax b donde a y b son constantes reales,

con a≠0, y x es una variable, se denomina de primer grado con una variable.


30

La gráfica de una ecuación de primer grado es una Línea Recta Pasos para resolver ecuaciones de primer grado

1. Quitar paréntesis, si los hay. 2. Quitar denominadores, si los hay. (Hallar m.c.m) 3. Pasar los términos que contienen la incógnita a un miembro y los números al otro miembro. 4. Simplificar cada miembro. 5. Despejar la incógnita. Se obtiene, así, la solución. 6. Comprobación: Sustituir la solución en cada miembro de la ecuación inicial para comprobar que coinciden

los resultados.

Ejemplo:

Resolver 3 ( 2)

1 74 6

x x

Se reduce a común denominador, calculando el mínimo común múltiplo de los denominadores

Se suprimen los paréntesis aplicando la propiedad distributiva:

9 12 14 28x x

Se trasponen términos (los términos en x a un miembro y los términos independientes al otro)

9 14 28 12x x

Se reducen términos semejantes:

5 40x

Se despeja la incógnita:

La solución es: 8x

Comprobación: 3(8) (8 2) 42

1 7 6 1 7 74 6 6

2. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de segundo con una variable x es cualquier ecuación que pueda escribirse en la forma:

2 0,ax bx c donde a y b son constantes reales y a≠0

Ecuaciones completas: Cuando b≠0 y c≠0, se resuelve por factorización o aplicando la fórmula cuadrática:

La expresión 2 4b ac , se llama discriminante de la ecuación. El número de soluciones depende del signo

de éste.

Si 2 4 0b ac la raíz es un número real y se obtienen, por tanto, dos raíces reales distintas, x1 x2

2 4

2

b b acx

a


31

Si 2 4 0b ac la raíz es cero, luego, obtenemos dos raíces iguales, es decir, diremos que la raíz es

doble, x1=x2

Si 2 4 0b ac la raíz es un número imaginario o complejo (no real), por lo tanto, se obtienen dos raíces

imaginarias Ecuaciones incompletas: Si b = 0 ó c = 0. Se pueden resolver de forma sencilla sin utilizar la fórmula anterior.

Si b = 0, se despeja la variable y tomando raíces cuadradas si es posible2 0

cax c x

a

Si c = 0, se saca factor común la incógnita 2

0

0 00

x

ax bx x ax b bax b x

a

La gráfica de la ecuación cuadrática es una curva llamada parábola Reglas para resolver ecuaciones de 2º grado 1. Si la ecuación de segundo grado es completa, aplicar la fórmula o por factorización si es posible. 2. Si la ecuación de segundo grado es incompleta, resolverla sin la fórmula, sacando factor común o

despejando. 3. Si tiene una forma complicada, arréglala: quita denominadores, suprime paréntesis, agrupa términos y

pásalos todos al primer miembro,...Sólo cuando esté simplificada, aplica uno de los métodos anteriores. 4. Comprueba las soluciones. Y si la ecuación proviene de un problema con enunciado, haz la

comprobación sobre el enunciado, pues es posible que alguna de las soluciones carezca de sentido real Ejemplo:

Resolver:

22 1 1 1

2 3 6

x x x

Multiplicamos los dos miembros de la ecuación por el m.c.m = 6

2 23 2 1 2 1 1 6 3 2 2 1x x x x x x

26 2 0x x

Primer método:

Aplicando la formula cuadrática

21 ( 1) 4(6)( 2)

2(6)x

8 2

12 3

6 1

12 2

1 1 48 1 7

12 12x

Las soluciones son: 1 2

2 1

3 2x y x

Segundo método:


32

Factorizando

2 2 1

6 2 0 6 4 6 3 03 2

x x x x x x

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES

Plantear una ecuación a partir de un problema es traducir al lenguaje algebraico las condiciones que ligan lo que se sabe con lo que se desea conocer. Conviene proceder de forma organizada, por lo que es útil dar estos pasos: 1. Identificar los datos conocidos, lo que deseamos conocer y dar nombre a la incógnita. 2. Relacionar mediante una igualdad (ecuación) lo conocido con lo desconocido. 3. Resolver la ecuación 4. Comprobar e interpretar la solución ajustándola al enunciado. En problemas verbales, aparecen un número de declaraciones que incluyen frases tales como alguna cantidad mayor que o menor que cierto valor multiplicado, digamos, dos veces o por la mitad de otra cantidad. A continuación damos unos ejemplos de cómo cambiar tales expresiones a términos algebraicos.

Expresión verbal Expresión algebraica

Dos números cualesquiera… yx,

El doble de un número… x2

La suma del doble de un número con uno… 12 x

Un número más su consecutivo… )1( xx

El triple de la suma de un número con 7… )7(3 x

Un número disminuido en 9… 9x

El cuadrado de la diferencia de un número con 5… 2)5( x

Un número par… x2

Un número impar… 12 x

La suma de tres números impares consecutivos… )52()32()12( xxx

La mitad de un número menos 3… 32

x

La semisuma de dos números… 2

yx

Un número más su tercera parte más su quinta parte… 53

xxx

Cuádruple de la diferencia de un número y 2, aumentado en 6…

6)2(4 x

El triple de un número menos su doble… xx 23

Cinco veces la diferencia de un número con 7 es igual a cuatro veces la suma del mismo número con 3…

)3(4)7(5 xx

Ejemplo: La base de un rectángulo mide el doble que su altura, si su perímetro es 30 cm. ¿cuánto miden la

base y la altura? Solución


33

I.ENTIENDO EL PROBLEMA -¿Cuáles son los datos conocidos (constantes)? perímetro del rectángulo= 30 cm; base= 2 veces su altura -¿cuáles es la pregunta? Cuanto miden la altura= x y cuánto su base= 2 x II. HAGAMOS UN ESQUEMA

2x x x 2x 2x III. TRAZAMOS Y EJECUTAMOS UN PLAN Planteamos una ecuación, relacionando los datos con la incógnita. Como el per

2 2 30x x x x

306 30 5

6x x x

Luego la altura mide 5 cm. y la base 10 cm.

IV.COMPROBAMOS

10 + 10 + 5 + 5 = 30

II. SISTEMAS DE ECUACIONES

Un sistema de ecuaciones consiste en varias ecuaciones dadas conjuntamente con el fin de determinar la solución o soluciones comunes a todas ellas. Muchos problemas de la vida real nos obligan a resolver simultáneamente varias ecuaciones lineales para hallar las soluciones comunes a todas ellas. También resultan muy útiles en geometría (las ecuaciones lineales se interpretan como rectas y planos, y resolver un sistema equivale a estudiar la posición relativa de estas figuras geométricas en el plano o en el espacio). Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de igualdades algebraicas en las que aparece una o varias incógnitas elevadas a la potencia uno. Cada una de estas ecuaciones lineales, o de primer grado, tiene la forma ax + by + cz +… = k, donde a, b, c,..., son los coeficientes de la ecuación; x, y, z,..., las incógnitas o variables, y k el término independiente (también un valor constante).

Un sistema se caracteriza por su dimensión. La dimensión de un sistema se determina según el número

de ecuaciones y de variables involucradas en el sistema.

Un sistema de dos ecuaciones en dos variables se dice que es de dimensión 2x2. Un sistema de dos

ecuaciones en tres variables se dice que es de dimensión 2x3. Un sistema de tres ecuaciones en tres

variables se dice que es de dimensión 3x3. Los sistemas en los que el número de ecuaciones coincide con el de las incógnitas se denominan cuadrados. Un caso particularmente interesante de sistemas cuadrados es el de dos ecuaciones con dos incógnitas (2x2)

Ejemplo 1

Dimensión 2x2; hay dos ecuaciones y dos variables

8y2x

4yx2


34

Ejemplo 2

Dimensión 2x3; hay dos ecuaciones y tres variables

Ejemplo 3

Dimensión 3x3; hay tres ecuaciones y tres variables

TIPOS DE SISTEMAS LINEALES

Atendiendo al número de soluciones de un sistema, estos pueden clasificarse en: 1. Si el sistema tiene solución, y ésta es única, se denomina compatible determinado.

Ejemplo: 2 3 15

1

x y

x y

2. Cuando presenta infinitas soluciones posibles, es compatible indeterminado.

Ejemplo: 2 3 15

4 6 30

x y

x y

3. Si no tiene solución, es decir, al intentar resolverlo llegamos a una contradicción, se denomina imposible

o incompatible.

Ejemplo: 2 3 15

2 3 1

x y

x y

Dos sistemas de ecuaciones lineales que tienen las mismas soluciones son equivalentes. En la noción de equivalencia se basan las principales técnicas algebraicas de resolución de estos sistemas, que persiguen convertirlos en otros cuya resolución sea más sencilla y que se estudiarán a continuación.

2zy2x

1zyx

1cb2a

10cba

0cba2


35

MÉTODOS DE SOLUCION

El estudio de sistemas de ecuaciones lineales es un problema clásico de las matemáticas. Cuando se trata de sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, se aplican diversos métodos de resolución sencillos de tipo gráfico y algebraico; si el número de ecuaciones es superior, es preferible recurrir al empleo de matrices y determinantes.

1. Método gráfico

Llamamos solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas a todo par de valores ,x y que

satisfacen las dos ecuaciones. Las ecuaciones lineales se representan mediante rectas. Para obtener las soluciones de las incógnitas se despeja una de ellas y se le dan valores a la otra. Si representamos las dos ecuaciones que forman un sistema como dos rectas, se puede observar que el punto donde se cortan dichas rectas (si se cortan) es la solución al sistema (el sistema seria compatible determinado).

Ejemplo:

72

5

yx

yx

Despejando y de las dos ecuaciones: 72

5

xy

xy

Tabla de la 1ª Ecuación Tabla de la 2ª Ecuación Representación gráfica de ambas ecuaciones. Aquí podemos observar cómo la solución del sistema es x=4 e y=1 Interpretación geométrica de las soluciones

a. Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas: Cada una de las ecuaciones del sistema determina una recta.


36

Si el sistema es compatible determinado, todas las rectas pertenecientes al sistema se cortan en un

único punto.

Si el sistema es compatible indeterminado, las rectas definidas en el sistema coinciden.

Si el sistema es incompatible, las rectas no se cortan en un único punto. O bien son paralelas o bien, si

en el sistema hay más de dos ecuaciones, las rectas se cortan dos a dos en distintos puntos.

b. Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas: Cada una de las ecuaciones del sistema determina un plano. Si el sistema es compatible determinado, todos los planos pertenecientes al sistema se cortan en un

único punto.

Si el sistema es compatible indeterminado, los planos definidos en el sistema se cortan en una recta

(infinitos puntos).

Si el sistema es incompatible, los planos no se cortan en un único punto. O bien son paralelos o bien se

cortan en rectas distintas formando un prisma o bien, si en el sistema hay más de tres ecuaciones, los

planos se cortan tres a tres en distintos puntos.

2. Método algebraico

¿Cómo podemos resolver de forma sencilla un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas?

a. Método de igualación

Una primera técnica algebraica común para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es el método de igualación. Pasos

Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. Se igualan las expresiones obtenidas. Se resuelve la ecuación lineal que resulta. Se sustituye la solución obtenida en cualquiera de las expresiones en las que aparecía despejada la

otra incógnita. Ejemplo:

2 3

3 5

x y

x y

Despejando la misma variable de las dos ecuaciones

3

5

23

xy

xy

Igualándolas 3

523

xx

Resolviendo y despejando la variable x 9 - 6x = -5 + x -7x = -14 x = 2 Reemplazando el valor de x en cualquiera de las otras dos ecuaciones, se tiene


37

y = 3 - 2(2) = -1. La solución es: x = 2, y = -1

b. Método de sustitución

La técnica algebraica denominada método de sustitución, para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, consta de los siguientes pasos: Pasos

Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones. Se sustituye el valor obtenido en la otra ecuación. Se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita que resulta. Se sustituye la solución obtenida en la expresión en la que estaba despejada la otra incógnita.

Ejemplo

Sea el mismo sistema anterior de ecuaciones 2 3

3 5

x y

x y

.

Si se despeja y de la primera ecuación 3 2y x , y se sustituye en la segunda ecuación, se tiene que:

3 3 2 5 9 6 5

7 14

2

x x x x

x

x

Reemplazando este valor en la ecuación despejada, y = 3 - 2(2) = -1

1y

La solución es: x = 2, y = -1

c. Método de eliminación o reducción

La tercera técnica algebraica de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, el método de eliminación, consta de los siguientes pasos:

Se multiplican o dividen los miembros de las dos ecuaciones por los números que convengan para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas.

Se restan las dos ecuaciones resultantes, con lo que se elimina una incógnita.

Se resuelve la ecuación con una incógnita obtenida, y se sustituye su valor en cualquiera de las

ecuaciones iniciales para calcular la segunda.

Por ejemplo, para el mismo sistema de ecuaciones: 2 3

3 5

x y

x y

Conviene multiplicar la segunda ecuación por 2 y la segunda se deja igual y restar ambas ecuaciones:

2 3

2 6 10

x y

x y

7 7

1

y

y

Reemplazando el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones, tenemos


38

2 1 3 2 4 2x x x

La solución es: x = 2, y = -1 Nota 1: los tres métodos, sustitución, reducción e igualación, pueden ser usados para resolver cualquier sistema de ecuaciones. Sin embargo, dependiendo de las ecuaciones, nos interesará elegir un método u otro, según cuál nos resulte más sencillo de utilizar. Nota 2: cuando nos encontremos con que algunos de los coeficientes de las ecuaciones sean fraccionarios, es conveniente reducir las fracciones a común denominador y eliminar denominadores antes de empezar a aplicar cualquiera de los tres métodos. Nota 3: Para resolver sistemas de ecuaciones, lo primero que hay que hacer es transformar las dos

ecuaciones hasta llegar a escribir ambas de la forma ax + by = c

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Para resolver problemas mediante el planteamiento de un sistema de ecuaciones lineales, se deben seguir varios pasos: 1. Plantear el problema, entendiendo su enunciado y convirtiéndolo en ecuaciones con coeficientes,

constantes y variables o incógnitas. 2. Analizar el tipo de sistema que se obtiene. 3. Elegir un método de resolución (algebraico o gráfico) y aplicarlo. 4. Estudiar si las soluciones obtenidas son pertinentes en el contexto del problema. 5. Comprobar las soluciones en las ecuaciones planteadas.

PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN MEDIANTE SISTEMAS DE ECUACIONES

1º Ejemplo: En un bar se venden bocadillos de jamón a 3,5

y de tortilla a 2 . En una mañana se vendieron 52 bocadillos y se recaudaron 149 ¿Cuántos se vendieron de cada clase? Llamamos: x= bocadillos vendidos de jamón. y= bocadillos vendidos de tortilla. Tenemos el sistema:

52

3.5 2 149

x y

x y

Multiplicando por -2 la primera ecuación:

2 2 104

3.5 2 149

x y

x y

Sumando:

2º Ejemplo: María ha comprado un abrigo que estaba rebajado un 15 %. Marta ha comprado otro abrigo 25 más caro, pero ha conseguido una rebaja del 20%, con lo que sólo ha pagado 8 más que María ¿Cuál era el precio de cada abrigo? Llamamos: x= precio inicial del abrigo de María y= precio inicial del abrigo de Marta.

15 208

100 100

25

x yx y

y x

Simplificando y ordenando:

100 15 100 20 800

25

x x y y

x y

85 80 800

25

x y

x y

Multiplicando por 85 la segunda ecuación:

85 80 800

85 85 2125

x y

x y

3º Ejemplo: En una granja hay conejos y gallinas. Contamos en total 50 cabezas y 160 patas ¿Cuántos animales hay de cada clase? Llamamos: x= nº de gallinas. y= nº de conejos

50

2 4 160

x y

x y

Multiplicando por -2 la primera ecuación:

2 2 100

2 4 160

x y

x y

Sumando:

2 60

6030

2

y

y

Reemplazando y:

50

50 30 20

x y

x x


39

1.5 45

4530

1.5

x

x

Reemplazando x:

52

52 30 22

y x

y y

Es decir, se han vendido 30 bocadillos de jamón y 22 de tortilla. Veamos si la recaudación coincide:

30 3.5 22 2 149

Sumando:

13255 1325 265

5y y

Reemplazando y:

25 265 25 240x y x

Es decir, el abrigo de maría valía 240 y el de Marta 265 . Comprobemos: Si al de María le descontamos el 15 % nos queda:

240 15240 204

100

Y al de Marta le descontamos el 20%

265 20265 212

100

Y, efectivamente Marta ha pagado 8 más.

Es decir, hay 20 gallinas y 30 conejos. Veamos si coinciden las patas:

20 2 30 4 40 120 160


40

UNIDAD 6

DESIGUALDADES

En unidades anteriores nos hemos ocupado de las igualdades; tema relacionado con la solución de ecuaciones de primer grado y de segundo grado. La palabra desigualdad sirve para decir que una cantidad es mayor o menor que otra, para ello utilizamos los símbolos:

>: Mayor que. : Mayor o igual que.

<: Menor que. : Menor o igual que. Una desigualdad numérica es una comparación entre dos números a y b, utilizando los símbolos de

desigualdad: “>”, “mayor que”; “<” menor que”; “ ”, “mayor o igual que”; “ ”, “menor o igual que”.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES Si a, b y c son tres números reales, se cumple que:

1. Si a > b y b > c, entonces a > c (Transitiva)

Si a < b y b < c, entonces a < c

2. Si a > b, entonces (a c) > (b c)

Si a < b, entonces (a c) < (b c).

3. Si a > b y c > 0, entonces ac > bc

Si a > b y c < 0, entonces ac < bc.

4. Si a > b y c > 0, entonces c

b

c

a

Si a > b y c < 0, entonces c

b

c

a

5. Si a > b y c > d, entonces a+c > b+d (Aditiva) 6. Si a > b y c > d, entonces ac > bd 7. Si a > b y a > 0 y b>0, entonces a

n > b

n

8. Si a > b, entonces 1 1

a b

9.

a 0 b 0

0, si

a 0 b 0

a b

a 0 b 0

0, si

a 0 b 0

a b

10. Al intercambiar los miembros de una desigualdad, se modifica el sentido de la misma.

Ejemplo 3 6 6 3

Las desigualdades se dividen en dos clases: absolutas y condicionales

a. Desigualdades absolutas: o incondicionales, son semejantes a las identidades.


41

Son satisfechas por todos los números Reales

Ejemplo: 2ab

aba b

Su validez se establece por medio de una demostración analítica (utilizando propiedades de las

desigualdades).

b. Desigualdades condicionales: son llamadas Inecuaciones, sólo son satisfechas por algunos números

Reales. Son desigualdades que poseen términos desconocidos

Ejemplo: 2 6 0x

INTERVALOS

Los intervalos son subconjuntos de los números reales, determinados por las desigualdades, que se representan geométricamente mediante segmentos de recta o semirrectas. Por lo tanto, las operaciones entre conjuntos también se aplican a los intervalos. Veremos a continuación las diferentes clases de intervalos que existen y luego algunos ejemplos.

CLASES DE INTERVALOS

Ejemplo Sean los intervalos A = [–5, 5], B = (– , 8] y C = (2, ); hallar en las diferentes notaciones:

1. A C 2. B C 3. A C B

Solución:

1. A C = [–5, ] Notación intervalo A C = / 5x x Notación de conjunto

2. B C = 2, 8 Notación intervalo B C = / 2 8x x Notación de conjunto

3. A C B = 2, 5 , 8 = , 8 Notación intervalo

A C B = / 8x x Notación de conjunto


42

INECUACIONES

Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones también se conocen como desigualdades condiciónales, como se mencionó anteriormente. Para resolver una inecuación deben encontrarse los valores de las incógnitas que satisfagan la desigualdad. La resolución de inecuaciones se fundamenta en las propiedades de las desigualdades anteriormente enunciadas y en las consecuencias que de las mismas se derivan. (La solución a una inecuación se da mediante un intervalo). Solución de inecuaciones Resolver una inecuación consiste en aplicar las propiedades de las desigualdades antes expuestas para hallar un conjunto de valores que hace posible la desigualdad. La solución de una inecuación recibe el nombre de conjunto solución y puede expresarse de tres formas diferentes: en notación de intervalo, en notación de conjunto y en forma gráfica. (Ver tabla de “clases de intervalos”)

CLASIFICACIÓN DE LAS INECUACIONES

Las inecuaciones se clasifican atendiendo al número de incógnitas y al grado de la expresión algebraica que aparece en ellas. Ejemplo:

INECUACIÓN TIPO

2x-3 > x-5 1º grado; 1 incógnita

x-3 ≥ y 1º grado; 2 incógnita

x2-5x ≤ 4 2º grado; 1 incógnita

xy-3 > 0 2º grado; 2 incógnita

INECUACIONES DE UNA VARIABLE

1. Inecuaciones de Primer Grado Las inecuaciones de 1er grado con una incógnita son las que responden a las siguientes formas básicas: ax + b < 0 ax + b > 0 ax + b ≤ 0 ax + b ≥ 0 En la mayoría de los casos conviene seguir el siguiente procedimiento:

1. Quitar los paréntesis, si los hay. 2. Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplica los dos miembros de la ecuación por el m.c.m.

de los denominadores.

La desigualdad 2x - 3 > x + 5 es una inecuación porque tiene la incógnita x y

sólo se verifica para cualquier valor de x mayor que 8. Para x = 8 se convertiría

en una igualdad y para x < 8 en una desigualdad de signo contrario.


43

3. Pasar los términos en x a un miembro (normalmente al primero) y los números al otro. 4. Reducir términos semejantes, con lo que se llega a una ecuación de forma básica. 5. Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de

la desigualdad. 6. Despejar la x (la incógnita). 7. Obtener la solución en forma de desigualdad, en forma de intervalo o grafica.

Ejemplo 1: Resolver 2

7

4

)7(5

3

2 xxx

12

)7(6

12

)355(3)2(4 xxx

4 8 15 105 42 6 5 55x x x x

5 55 11x x S= x (-, 11)

Ejemplo 2: Resolver 2x 3 x 5

Pasando x al primer miembro y 3 al segundo se tiene:

2x x 3 5

Reduciendo términos: x 8

S 8, x R / x 8

Ejemplo 3: Dada la siguiente inecuación

5 7 6

2 3

x x . Halle el conjunto solución y grafíquelo.

Suprimiendo denominadores (m.c.m. = 6) se tiene: 42 3x 10x 36

Trasponiendo términos: 3x 10x 36 36

13x 78

Cambiando el signo a los dos miembros, lo cual hace cambiar el signo de la desigualdad original:

13x 78

78Dividiendo por 13: < o sea, < 6

13x x

S ,6 x R / x<6

Ejemplo 4: Resolver 2

x 3 x 1 x 1 3x

6

)

8 (


44

Efectuando las operaciones indicadas:

2 22 3 2 1 3x x x x x

Suprimiendo x 2 en ambos miembros y transponiendo:

2 2 3 1 3x x x

x 4 S ,4 x R / x<4

Ejemplo 5: Dada la siguiente inecuación

22x 2 2x 1 1

x3 2 4

. Halle el conjunto solución y grafíquelo.

Se encuentra el m.c.m. (2, 3, 4) = 12 y se multiplica por 12 ambos miembros de la inecuación para obtener:

2 24 2 6 2 1 3 12x x x

2 24 8 12 6 3 12x x x

Pasando todas las variables al lado izquierdo de la inecuación, se obtiene:

4 6 3 8x

Despejando la variable x de la inecuación, se obtiene:

5

4x

5 5, /4 4

S x R x

Solución de inecuaciones simultáneas de primer grado Una inecuación simultánea es una inecuación con desigualdad doble; Si a < x < b entonces x >a x < b,

es decir, el conjunto solución es la intersección de los dos conjuntos solución: bxxaxxS //

Ejemplo: Hallar el conjunto solución de 7246 x Separando en dos desigualdades:

4 2 6 4 2 7x x

4 6 2 4 7 2

8 9

4 4

x x

x x

2x 9

4x Sol:

92,

4x

5/4

4

)


45

2. INECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO

Las inecuaciones de 2º grado con una incógnita son las que se presentan según alguna de las siguientes formas básicas:

2 2 2 20, 0, 0, 0ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c

Procedimiento Primer Paso: Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de

segundo grado factorizando el polinomio o usando la formula cuadrática.

Segundo Paso: Considerar los casos necesarios para que se cumpla la inecuación.

Tercer Paso: Realice la intersección o unión de los conjuntos solución de acuerdo al caso seleccionado.

Cuarto Paso: dar la solución en forma de intervalos y graficarla.

Ejemplo

Dada la siguiente inecuación 2 5 6 0x x . Halle el conjunto solución y grafíquelo.

Primer paso: Factorizar el polinomio dado 2 5 6 3 2x x x x , quedando una inecuación de la

forma:

3 2 0x x

Segundo paso: Los casos que se deben considerar son los siguientes:

Caso I: Cuando ambos binomios son positivos es decir:

3 0x y 2 0x

Caso II: Cuando ambos binomios son negativos, es decir:

3 0x y 2 0x

Solución Caso I:

Sea AS el conjunto solución de la inecuación 3 0x y BS al conjunto solución de la inecuación

2 0x , la solución del Caso I viene dada por: I A BS S S

Solución para AS

3 0

3

x

x

3, / 3AS x R x

Solución para BS

2 0

2

x

x

2, / 2BS x R x

La solución para IS es entonces:


46

I A BS S S 3, 2, 2,

IS 2, x R / x 2

Solución Caso II:

Si llamamos CS al conjunto solución de la inecuación x 3 0 y DS al conjunto solución de la

inecuación x 2 0 , la solución del Caso II viene dada por:II C DS S S

Solución para CS :

x 3 0

x 3

cS , 3 x R / x 3

Solución para DS :

x 2 0

x 2

dS , 2 x R / x 2

La solución para IIS es entonces:

II c dS S S , 3 , 2 , 3

IIS , 3 x R / x 3

Solución General:

La solución general será la unión de IS y IIS , es decir:

G I IIS S S 2, , 3

El método que acaba de estudiarse, para resolver inecuaciones cuadráticas se llama método analítico. Existe un método alternativo, el método gráfico, que también se conoce como el . El procedimiento para resolver inecuaciones de segundo grado utilizando este método consiste igualmente en Factorizar el polinomio cuadrático, encontrar las raíces reales y ubicarlas sobre la recta real, dando origen de esta manera a intervalos en la recta. Luego, para cada intervalo, se va evaluando cada binomio para determinar el signo de éste, es decir, se le asignará a la variable, un valor arbitrario que pertenezca a cada intervalo para conseguir el signo de cada binomio. Por último, se seleccionan los intervalos para los cuales se cumple la desigualdad. Ejemplo 1

Dada la siguiente inecuación 2 5 6 0x x , halle el conjunto solución y grafique.

Se factoriza el polinomio 2 5 6 3 2x x x x , quedando la inecuación de la forma:

-3 )

-2

)

–2

( –3

(


47

3 2 0x x

Las raíces que anulan 3 2x x son 3x y x 2 . (Valores críticos) Se ubican sobre la recta

real (ver cuadro 1). Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos.

Cuadro 1. Raíces ubicadas en la recta real. Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el producto de los dos binomios es positivo por ser la inecuación > 0, por lo tanto la solución viene dada por:

, 3 2,GS

Ejemplo 2

Dada la siguiente inecuación

2 21 1 8

2 3 3

x x , halle el conjunto solución y grafique.

Se desarrollan los productos notables, se multiplican por 6 ambos miembros de la inecuación y se reducen términos semejantes, obteniendo:

2 2 15 0x x

Factorizando el polinomio resultante, se tiene 2 2 15 5 3x x x x , resultando una inecuación de

la forma:

5 3 0x x

Las raíces de 5 3x x son 5x y 3x (valores críticos), las cuales se ubican sobre la recta real.

Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos de la desigualdad.

Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el producto de los dos binomios es negativo por lo tanto la solución viene dada por:


48

3,5 / 3 5GS x R x

Gráficamente:

Casos especiales

1. Si al resolver la inecuación se obtiene una expresión de la forma:

Solución

(ax + b)2 ≥ 0

(ax + b)2 > 0 valor critico

(ax + b)2 ≤ 0 x = − b/a

(ax + b)2 < 0

Ejemplo:

2 2 1 0x x

2 2 1 0x x

Usando la fórmula cuadrática:

22 2 4 2 01

2 2x

2

1 0x

Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es 2. Cuando no tiene raíces reales (discriminante menor que cero), le damos al polinomio cualquier valor si:

El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución (vacio).

2

2

2

2

1 0

1 0

1 0

1 0

Solución

x x

x x

x x

x x

INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

Pasos: 1. Se descomponen en factores de primer o segundo grado. 2. Se obtienen los ceros de cada factor representándolos en rectas distintas. 3. Se estudia el signo de cada uno de los intervalos formados. 4. En una nueva recta se llevan todos los ceros, aplicando la regla de los signos. 5. Se ve cuales de los intervalos son solución de la inecuación.

-3 )

5

)


49

Ejemplo:

Resolver la inecuación 3x 4x 0

Resolverla es buscar los valores de la x que hacen que el miembro de la izquierda sea negativo (<0). El procedimiento más sencillo consiste en factorizar el polinomio (en este caso podemos sacar factor común x)

2x x 4 0 , o lo que es lo mismo x x 2 x 2 0

Tenemos tres valores de x (el 0, 2, -2) que hacen que ese producto valga cero, los restantes valores de la x harán que ese producto sea distinto de 0, bien positivo o negativo. El estudio es el mismo que antes, dibujamos y señalamos sobre la recta real los valores que hacen cero el producto y vamos tomando valores de x y se sustituye en la ecuación inicial para ver el signo de la operación. Observa la gráfica: Los valores de la x que hacen negativo

el producto son 2,02, .

3. INECUACIONES RACIONALES

Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador son inecuaciones polinómicas.

Expresión general: son del tipoax b

0cx d

, o todas sus equivalentes

ax b0

cx d

, o

ax b0

cx d

, etc.… y

de grados mayores que uno. Se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero . Estos tipos de problemas pueden ser resueltos usando el método analítico o el método gráfico. Pasos: 1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador. 2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del

denominador, independientemente del signo de la desigualdad, t ienen que ser abiertas. 3º Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo 4º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo

signo que la fracción polinómica . Ejemplo:

1. Dada la siguiente inecuación

2

2

3 100

2

x x

x x

halle el conjunto solución y grafique.

Factorizando los polinomios dados:

2 3 10 5 2x x x x , 2 2 2 1x x x x

-2 2

_ +

0

_ +


50

Resultando una inecuación de la forma:

5 20

2 1

x x

x x

Las raíces que anulan el numerador son 5x y 2x , y las que anulan el denominador son 2x y

1x , las cuales se ubican sobre la recta real. Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se

determinan los signos de la desigualdad.

Se observa en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el cociente es negativo, debido a que la inecuación original es < 0 (es negativa) por lo tanto la solución viene dada por:

GS 5, 2 1,2

Gráficamente:

2. Resolver x 1

1x 1

x 1

1 0x 1

, ojo, si pasamos multiplicando el denominador al otro miembro estaríamos cometiendo un

error. Resuelve por tu cuenta la inecuación x 1 x 1 y compara los resultados. Para nuestro caso,

operando x 1 x 1 x 1 2

1 0 0x 1 x 1 x 1

, y todo se reduce a averiguar cuál es el signo del

denominador, cuándo éste es negativo, y lo es en ,1 .

4. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

RECORDEMOS: El valor absoluto nos permite considerar una magnitud numérica sin tener en cuenta el signo. Su definición formal es:

-5

( )

-2 1

( ) 2


51

para 0

para 0

a aa

a a

, a R

y significa que el valor absoluto de un número nunca es negativo.

Ejemplo: 555

Propiedades del valor absoluto

La solución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto requieren del conocimiento y dominio de algunas propiedades fundamentales que guíen los procesos. A continuación se dan las propiedades que serán usadas en el tema en cuestión.

Sean , .a b R

1. 0a

2. 2a a

3. a a

4. 2 2a a

5. a b a b

6. , si b 0aa

b b

7. a b a b Desigualdad triangular

8. 0a b b a b a b

Desigualdades con valor absoluto

Sea , ,x y a R . Se tiene entonces:

1. sii a 0 ó x a x a x a a x a

2. sii x a x a x a

3. 2 2 sii x y x y

Inecuaciones de primer grado con valor absoluto

Son aquellas en las que parte de la inecuación, o toda ella, viene afectada por el valor absoluto de la misma.

-a a

] [

[ ]

-a a


52

5,1 / 5 1S x R x

9, 3 / 9 < < 3S x R x

Para resolver estas inecuaciones es suficiente con desarrollar el valor absoluto de acuerdo a los teoremas antes mencionados, para luego aplicar los conocidos métodos de resolución de inecuaciones. Las inecuaciones de primer grado con valor absoluto pueden presentar las siguientes formas:

Sean , , ,x a b c R .

1) cbax y ó

ax b c

c ax b c

ax b c

Ejemplos:

a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 5 10 15x y grafique.

Aplicando la propiedad de las desigualdades con valor absoluto, obtenemos:

15 5 10 15

15 10 5 10 10 15 10

25 5 5

25 5 5

5 5 5

5 1

x

x

x

x

x

b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 2 < 13

x y grafique.

1 < 2< 13

3 < < 13

3 3 < 3< 1 33

9 < < 3

x

x

x

x

2) cbax ó ó

ax b c

ax b c ax b c

ax b c

Ejemplos:

a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 3 8 2x y grafique.

[ ]

-5 1

( )

-9 -3


53

2

45

) (2

45

)) ((

3 8 2

3 2 8

3 10

10

3

x

x

x

x

3 8 2

3 2 8

3 6

6

3

2

x

x

x

x

x

b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 5 3 < 7x y grafique.

Otro ejemplo

Resolvamos la desigualdad 2 1

33

x

x

Utilizando la propiedad (6) del valor absoluto, tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes:

2 1

33

x

x

2 1 3 3x x

2 22 1 3 9x x

2 2

2 1 3 9 0x x

2 1 3 9 2 1 3 9 0x x x x

10 5 8 0x x

Elaborando un diagrama de signos tenemos

Signo de 10x + ─ ─

Signo de 5 8x ─ ─ +

Signo de 10 5 8x x ─ + ─

Vemos que la solución de la desigualdad es 8

10,5

Problemas que se resuelven por medio de inecuaciones Las inecuaciones permiten resolver problemas. Veamos el siguiente ejemplo.

5 3>7

5 >7+3

5 >10

>10 5

>2

x

x

x

x

x

5 3< 7

5 < 7+3

5 < 4

< 4 5

x

x

x

x

10 , 2,3

4

, 2,5

-

2

10 3 -2


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Ejemplo: Una camioneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la camioneta vacía y el peso de la carga que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en ella? En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso de cada cajón y planteamos la siguiente inecuación: Peso de la furgoneta − peso de 4 cajones no es menor que 415 kg

875 − 4. X 415

Una forma de resolver la inecuación es seguir los siguientes pasos:

Restamos 875 a ambos miembros de la desigualdad - 4. x 415 - 875

Hacemos el cálculo en el segundo miembro - 4. x - 460

Para despejar x , multiplicamos a ambos miembros por 1

4

(Cuidado: como multiplicamos por un número negativo,

debemos cambiar el sentido de la desigualdad) x 4604

1

Hacemos el cálculo x 115 Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se trata de un peso, x > 0. Entonces, la solución está formada por todos los números reales pertenecientes al intervalo (0, 115]. Graficamos la solución en la recta real:

BIBLIOGRAFIA APUNTES DEL DOCENTE

STEWART James , CALCULO CONCEPTOS Y APLICACIONES, EDITORIAL Thomson

STEWART James , PRECALCULO, EDITORIAL Thomson

LARSON Ron, CALCULO, EDITORIAL MC Graw Hill

ZILL el doble, Dennis G, Algebra y trigonometría, 2da edición, Mc. Graw Hill, 1996

ZILL Dennis G, M. DEWAR Jacqueline, Précalculo,4ta edición, Mc Graw Hill,2011

RUEDA Fernando, CASTRO Danery, SALGADO Diana, ROMERO Juan, Matemáticas, Santillana 2007

RAMIREZ Marisol, SALAZAR Francia, JOYA ANNERIS, CELY Valeria, matemáticas, Santillana, 2006


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