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MATEMÁTICA BÁSICA
-2da PARTE-
2018
EQUIPO DOCENTE
Susana Marcipar Claudia Zanabria Marta Nardoni
Gabriela Roldán Cecilia Municoy Cristina Rogiano
Gustavo Cabaña Verónica Valetti Mariel Lovatto
Agustina Huespe Juan Ignacio Suppo (Ayudante alumno)
Algebra Lineal y
Aplicaciones 2da Edición
Teoría de los juegos,
Cadenas de Markov,
Criptografía
Material Elaborado por: Claudia Zanabria,
Cristina Rogiano y Gabriela Roldán
UNL FCE
Extraído de la película: Una mente brillante.
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
1
“Yo siempre he creído en los números. En
las ecuaciones y lógicas que llevan a la
razón. Pero tras una vida de tales
actividades, pregunto: ¿Qué es
realmente la lógica? ¿Quién decide qué
es la razón? Mi búsqueda me ha llevado
a través de lo físico... metafísico...
alucinatorio... y de regreso. Y he hecho el
descubrimiento más grande de mi
carrera. El descubrimiento más
importante de mi vida: Solo en las
misteriosas ecuaciones de amor puede
uno encontrar lógica y razón”.
John Nash
Zanabria, Claudia
Algebra lineal y Aplicaciones, 2da edición : Teoría de los juegos, Cadenas de Markov,
Criptografía / Claudia Zanabria ; Gabriela Roldán ; Cristina Rogiano. - 2a ed mejorada. – Santa
Fe : Universidad Nacional del Litoral, 2016.
Libro digital, PDF
Archivo Digital: descarga y online
ISBN 978-987-692-099-5
1. Álgebra. 2. Economía. 3. Matemática Aplicada. I. Roldán, Gabriela II. Rogiano, Cristina III. Título
CDD 512.5
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
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El presente es el fascículo del tema “Algebra Lineal” de la colección bibliográfica de Matemática Básica. En él se
abordan tres situaciones contextuales centrales, dos de ellas son problemas de decisión en el marco de: Teoría
de los Juegos y Cadenas de Markov y una tercera situación relaciona la codificación y decodificación de datos,
criptografía. El análisis y resolución de estas tres situaciones requiere la producción de modelos matemáticos
que involucran conceptos fundamentales del Algebra Lineal como los son: Matrices y Sistemas de Ecuaciones
La red conceptual del capítulo es:
El material se organiza en tres bloques:
Bloque 1: TEORIA DE LOS JUEGOS Y MATRICES (CONCEPTO Y OPERACIONES)
Bloque 2: CADENAS DE MARKOV Y SISTEMAS DE ECUACIONES
Bloque 3: CRIPTOGRAFIA, MATRIZ INVERSA Y ECUACIONES MATRICIALES
MATRICES
Concepto, lenguaje matricial, clasificación, operaciones y
propiedades, matriz inversa.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Resolución por metodo de Gauss y determinantes. Clasificación.
Teorema del Rango
TEORIA DE LOS JUEGOS
CADENAS DE MARKOV
CRIPTOGRAFIA
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
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BLOQUE 1
TEORIA DE LOS JUEGOS
MATRICES
Concepto, lenguaje matricial, clasificación,
operaciones y propiedades.
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
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TEORIA DE LOS JUEGOS
Un juego es cualquier situación en la cual, los que participan de él, deben tomar decisiones estratégicas y en
la que el resultado final depende de lo que cada uno decida hacer. (Nicholson, 1997).
En este sentido, la teoría de los juegos trata del estudio de los problemas de decisión y propone modelos
matemáticos para su resolución.
Dicha teoría fue elaborada en 1939 por el matemático John von Neumann y el economista Oskar Morgenstern,
con el fin de realizar análisis económico de ciertos procesos de negociación.
En el mundo real, tanto en las relaciones económicas como en las políticas o sociales, son muy frecuentes las
situaciones en las que, al igual que en los juegos, su resultado depende de la conjunción de decisiones de los
diferentes agentes o jugadores que intervienen con el fin de lograr un “premio”, por ejemplo la máxima utilidad,
el mayor bienestar o el menor riesgo, entre otras.
Los jugadores pueden ser personas, equipos, empresas, países, etc. y, como en todo juego, es necesario definir:
Reglas, Estrategias y Recompensas o Resultados. Las reglas compartidas por todos los juegos establecen que los
jugadores obran racionalmente y ambos conocen la información cierta de la situación. Asimismo, en la situación
de juego es fundamental el comportamiento estratégico de cada uno de los participantes o tomadores de
decisiones.
En el marco de La economía es importante conocer y aplicar esta teoría a fines de entender qué estrategias
podrían ofrecer beneficios monetarios más grandes o menores riesgos. Algunas aplicaciones de la Teoría de
Juegos son: Contratos, Negociaciones en general, guerras militares o comerciales, marketing para la
competencia en los mercados, alianzas, entre otras.
La siguiente red conceptual muestra las categorías conceptuales a partir de las cuales se aborda la teoría de los
juegos y su intención es ofrecer un resumen de las palabras o frases claves de esta temática.
Cada una de estas categorías será tratada a través de distintas situaciones de juegos que se irán presentando a
medida que se avance en la lectura del mismo.
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
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Si bien existen gran variedad de juegos, en el presente material se abordarán solamente juegos estáticos con
información completa, es decir, los jugadores toman sus decisiones simultáneamente y una sola vez sin conocer
las decisiones de los otros y, a continuación, reciben sus ganancias, que dependen de la combinación de
decisiones tomadas. Desde el inicio del juego todos los jugadores conocen las estrategias disponibles y las
ganancias resultantes de cada combinación.
La siguiente situación presenta el caso más sencillo, el juego de dos jugadores con dos estrategias, como se
muestra en la siguiente situación:
Situación 1: Dos empresas de telefonía móvil deben decidir si instalan nuevas sucursales en el mismo centro
comercial.
Se acercan los períodos de mayores ventas de telefonía móvil y dos empresas competidoras identificadas por P
y C deben decidir si abren cada una nueva sucursal, en el mismo centro comercial. De no abrir la nueva sucursal
invertirían más en publicidad para promover las ventas en los locales que ya poseen.
Por lo tanto, ambas empresas deben tomar la decisión de instalar o no la nueva sucursal en el mismo centro
comercial. Las estrategias que se presentan son:
Teoria de los Juegos
Tipos de Juegos:
ESTÁTICOS de:
SUMA CERO
SUMA NO CERO
ESTRATEGIAS PURAS
Técnicas de Resolución:
Estrategias DOMINANTES
MEJOR RESPUESTA
MAXINIM -MINIMAX
Equilibrio de NASH
Elementos del Juego:
Reglas
Jugadores
Estrategias
Beneficio
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1- Las empresas P y C deciden instalar las sucursales: las ventajas competitivas de la empresa P le darán todo
el mercado del centro comercial e incluso se beneficiará de las inversiones publicitarias y de los clientes de la
empresa C. En este caso P gana 60 millones de pesos, mientras que C pierde esa misma cantidad.
2- La empresa P decide abrir la nueva sucursal y la empresa C no: P se queda con el mercado del centro
comercial, pero no pudiendo aprovechar todas las inversiones de C, su inversión no compensa sus ventas. En
este caso P pierde 10 millones de pesos y C gana la misma cantidad al promover más sus ventas en sus
tradicionales locales.
3- La empresa P decide no abrir la nueva sucursal, pero la empresa C si la abre: C se queda con todo el mercado
del nuevo centro comercial, pero su inversión no supera sus ventas y pierde 20 millones mientras que P gana la
misma cantidad por promover sus ventas en sus tradicionales locales.
4- Ambas empresas P y C deciden no abrir la sucursal en el mismo centro comercial: en este caso, ninguna de
las dos compañías gana o pierde.
La información dada respecto a las ganancias o pérdidas para las dos empresas P y C, pueden organizarse por
medio de las siguientes tablas:
Respecto a P:
C decide abrir sucursal C decide no abrir sucursal
P decide abrir sucursal 60 -10
P decide no abrir sucursal 20 0
Respecto a C:
C decide abrir sucursal C decide no abrir sucursal
P decide abrir sucursal -60 10
P decide no abrir sucursal -20 0
O bien empleando un arreglo o estructura rectangular ordenada en filas y columnas encerradas entre paréntesis
o corchetes llamada MATRIZ de la siguiente manera:
Para P: (60 −1020 0
) y para C: (−60 10−20 0
)
A continuación se presenta la definición de “matriz” que se utilizará para resolver problemas de la teoría de
juego.
Definición de MATRIZ
Dados dos números enteros positivos m y n, una matriz de orden mxn, es una disposición rectangular de m.n
números reales encerrados entre corchetes o paréntesis.
Se llama orden o tamaño de una matriz al número de filas y de columnas que la conforman.
Las filas se enumeran de arriba hacia abajo y las columnas de izquierda a derecha.
Los números o símbolos que se encuentran dentro de la matriz se llaman elementos de dicha matriz.
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En símbolos: Si A es una matriz de orden mxn, entonces A puede representarse así:
A =
mnmjm2m1
iniji2i1
2n2j2221
1n1j1211
a...a...aa
..................
a...a...aa
..................
a...a...aa
a...a...aa
El elemento que se encuentra en la fila i y en la columna j se denota por aij y se lee “a sub i j”.
Simplificando esta notación se puede escribir:
A = (aij) con 1 i m y 1 j n donde aij R
o también
A = (aij) i =1,…, m y j = 1,…, n donde aij R
Se lee: A es una matriz de orden mxn cuyo elemento genérico es aij. El subíndice i, que representa el número de
fila varía entre 1 y m, siendo m la cantidad de filas de la matriz. El subíndice j, que representa el número de
columna varía entre 1 y n, siendo n el número de columnas de la matriz.
Por lo mencionado:
El símbolo aij representa un elemento genérico de la matriz A y el símbolo (aij) representa a la matriz A.
El conjunto de las matrices de orden o tamaño mxn con elementos reales se indica: Rmxn, Rmxn o Mmxn
En la Situación 1 se expresa mediante: P =(pij) y C =(cij) a las matrices (60 −1020 0
) y (−60 10−20 0
),
respectivamente.
Cada una de estas matrices se denomina Matriz de Beneficio o Pago de cada jugador.
Tanto las matrices P como C pertenecen al conjunto de las matrices de m filas y n columnas denominado Rmxn y
cada uno de sus elementos pij y cij representan los beneficios que obtiene cada una de las empresas P y C,
cuando seleccionan la estrategia i y j, respectivamente.
Los beneficios de cada empresa, en cada una de sus estrategias, se pueden escribir en una sola matriz especial
denominada bimatriz, de la siguiente manera:
(60; −60 −10; 1020; −20 0; 0
)
Los elementos que se encuentran a la izquierda del punto y coma, en cada fila, corresponden a los beneficios
del jugador P y los que se encuentran a la derecha corresponden a los beneficios del jugador C.
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CLASIFICACIÓN DE LOS JUEGOS:
Existen diversas formas de clasificar los juegos, los más usuales son:
Por el número de jugadores: existen juegos de 2 jugadores, de tres jugadores o de más jugadores.
Por la simultaneidad de las decisiones a tomar: Si los jugadores toman las decisiones al mismo tiempo
sin conocer la decisión del otro, el juego se denomina estático, en caso contrario el juego se clasifica
como dinámico.
Por la suma de los pagos:
- Suma Cero: El premio es único y lo que un jugador gana coincide con lo que pierde otro.
- Suma no Cero: Lo que gana un jugador no necesariamente está vinculado con lo que pierde otro, o
los premios pueden ser obtenidos simultáneamente.
Por el número de estrategias: los juegos pueden incluir 2 o más estrategias, que representan las
decisiones que pueden tomar cada uno de los jugadores.
Por el tipo de estrategias:
- Juegos de Estrategia Pura: La estrategia pura es una decisión que se toma con certeza. Si un juego
no se puede resolver por estrategia pura puede pensarse como de estrategia mixta.
- Juego de Estrategia Mixta: Las estrategias de un juego son mixtas cuando es necesario asignar a cada
estrategia pura una probabilidad de ocurrencia y se interpreta como la incertidumbre de un jugador
respecto a lo que hará el otro.
El juego presentado en la situación 1, como todos lo que se abordarán en el presente material, es estático. Si se
clasifica de acuerdo a la cantidad de jugadores es un juego de dos jugadores, empresas P y C; de acuerdo a la
suma de pagos es de suma cero pues lo que gana uno de los jugadores es igual a lo que pierdo el otro jugador.
Es un juego de dos estrategias, abrir o no abrir la sucursal y dichas estrategias son puras.
TÉCNICAS DE RESOLUCIÓN DE JUEGOS:
Las técnicas de resolución nos permiten encontrar la solución de un juego, si existe, es decir determinar las
estrategias por las que decide cada jugador y los beneficios o pagos que percibe por dicha decisión, dichos
pagos se denominan valor del juego.
Para resolver cada juego (problemas de decisión) se aplican distintas técnicas como: Equilibrio de Nash,
Dominancia, Mejor Respuesta, Maximin y Minimax. La aplicación de una u otra técnica depende en general
de las expectativas de los jugadores. Si son optimistas, es decir que su objetivo es tomar decisiones que generen
las mayores ganancias se aplican técnicas de Dominancia o Mejor Respuesta. No obstante, si son pesimistas y
su objetivo es tomar decisiones que generen las mínimas pérdidas se aplican técnicas de Maximin y Minimax.
En ambos caso se optará por encontrar como solución aquellas que representen un equilibrio de Nash.
Equilibro de Nash: Es un perfil o combinación de estrategias del que ningún jugador desearía desviarse
unilateralmente, ninguno se arrepiente de la decisión tomada, dadas las estrategias decididas por el resto de
los jugadores, pues si las cambiaran obtendrían menores beneficios empeorando su situación. Por lo tanto a
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ninguno de los jugadores les conviene cambiar de decisión optando por otra estrategia, situación que provoca
que el equilibrio de Nash sea estable en el tiempo.
Esto no significa que en un equilibrio de Nash cada jugador esté alcanzando el mejor resultado posible, sino el
mejor resultado condicionado por el hecho de que los demás jugadores jueguen las estrategias indicadas por
ellos en dicho perfil.
El Equilibrio de Nash, como estrategia de juego consiste en comparar todos los perfiles de estrategias hasta
encontrar la o las que cumplen la condición establecida. Sin embargo, en algunos casos conviene determinar
dicho equilibrio aplicando las otras técnicas nombradas.
John Forbes Nash, creador de esta teoría, es un matemático que recibió un premio nobel de economía y su
vida fue interpretada por Crowe Russell en la película “Una mente brillante”.
Dominancia de estrategias: Consiste en identificar qué estrategias (filas o columnas) dominan a otras o qué
estrategias son dominadas por otras. Ésta estrategia resulta óptima para un jugador independientemente de
los que hagan su(s) adversario(s). Matemáticamente, una estrategia domina estrictamente a otra cuando cada
uno de los elementos de la fila o columna que representa a la estrategia es mayor que cada elemento de la
misma posición de otra fila o columna, respectivamente. Una vez identificada las estrategias dominantes, se
eliminan las estrategias dominadas hasta obtener el resultado del juego.
Maximin y Minimax: Esta técnica sólo se aplica en juegos de suma cero y su objetivo es minimizar la máxima
pérdida de cada jugador.
Aclaración sobre la solución de los problemas de decisión: La solución de los problemas de decisión, depende
de las decisiones que tomen los jugadores. En algunos casos los participantes pueden decidir maximizar sus
beneficios, y aplicarán técnicas de dominancia, o en otros conformarse sólo con minimizar sus pérdidas y
elegirán técnicas de maximin y minimax, que no siempre conducen al mismo resultado. Sin embargo lo más
recomendable en todas es encontrar, si es posible, el equilibrio de Nash, porque aporta estabilidad en la
solución, dado que la solución se obtiene pensando en lo que sea óptimo para los dos.
Resolución de la Situación 1 aplicando le técnica de Dominancia
Aplicando la técnica de Dominancia de estrategias, para determinar la estrategia que más le conviene a la
empresa P (si es que existe), se comparan los elementos de cada una de las dos filas de la matriz
correspondiente.
Los beneficios para le empresa P son:
P = (pij) = (60 −1020 0
)
Se observa que no existe estrategia dominante y que por lo tanto el beneficio de la empresa P depende de la
decisión que tome C.
Los beneficios para le empresa C son:
C = (cij) = (−60 10−20 0
)
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Aplicando la técnica de Dominancia de estrategias, para determinar, si existe, la estrategia que más le conviene
a la empresa C, se comparan los elementos de cada una de las dos columnas de la matriz correspondiente. Se
observa que la estrategia: “No abrir la sucursal”, columna 2, domina a la estrategia “Abrir la sucursal”, pues
ganar 10 millones es mejor que perder 60 millones y no ganar ni perder es mejor a perder 20 millones.
Pues se cumple que:
c12 > c11 y c22 > c21
Por lo tanto se elimina la estrategia representada en la columna 1 de la matriz de pagos de C y dicha matriz se
reduce al vector columna:
(100
)
Luego, la decisión óptima de C es “No abrir la sucursal” en el nuevo centro comercial, y en este contexto, la
decisión óptima para P es también “No abrir dicha sucursal” pues, para P, es preferible no ganar y no perder
(beneficio 0), que perder 10 millones de pesos.
Por lo tanto la decisión óptima para ambas es no abrir la sucursal, y para esta decisión el beneficio para cada
jugador es 0, este valor se denomina, valor del juego, pues representa la ganancia obtenida como consecuencia
de la resolución. Para este juego, el valor del juego es cero y en estas condiciones el juego se denomina
socialmente justo.
Si se trabaja con la bimatriz:
(60; −60 −10; 1020; −20 0; 0
)
Para decidir una estrategia dominante para la empresa P, se comparan los elementos de la fila 1 con los
elementos de la fila 2.
Para la empresa C, se comparan los elementos de la columna 1 con los de la columna 2.
De esta manera se arriba al mismo resultado.
Además se observa que:
La combinación de estrategias (0, 0) es un equilibrio de Nash, pues si cada jugador decide cambiar su estrategia
empeora su situación. Por lo tanto, la solución (0, 0) se denomina Solución estable.
Resolución de la Situación 1 aplicando le técnica de Mejor Respuesta
Es otra alternativa para resolver problemas de decisión y consiste en determinar perfiles o parejas de estrategias
que constituyan equilibrios de Nash. Cada jugador busca la estrategia que representa la mejor respuesta (el
máximo beneficio) ante las posibles estrategias de su contrincante.
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Esta técnica consiste en comparar los pagos que un jugador obtendrá si jugara con una de sus estrategias, y se
destaca (subraya) el pago (o los pagos) máximo alcanzable, que corresponde a la estrategia (o estrategias) de
respuestas óptimas a dicha combinación.
Una combinación de estrategias es un Equilibrio de Nash, si los valores que la componen están subrayados.
En la siguiente tabla se ejemplifica este procedimiento:
JUGADOR 2
E1 E2
JUGADOR 1 E1 0, 0 1, 1
E2 2, 2 0, 0
La posición del Jugador 1 es: Suponiendo que el jugador 2 elige la estrategia E1, se comparan los pagos 0 y 2 del
jugador 1, y se subraya el máximo que es 2. Si el jugador 2 elige la estrategia E2, se comparan los pagos 1 y 0 del
jugador 1 y se subraya el máximo que es 1.
Procediendo del mismo modo, la postura del jugador 2 respecto a las estrategias del jugador 1, se llega a la
conclusión que existen dos equilibrio de Nash, que son las combinaciones de estrategias (E2, E1) y (E1, E2),
siendo sus pagos (2,2) y (1,1), respectivamente. Observar que si los jugadores cambian de estrategia empeoran
su situación, por lo que las soluciones son equilibrios de Nash y son estables.
Para la bimatriz de la situación 1 resulta:
(60 ; −60 −10; 10
20; −20 0 ; 0 )
Por lo tanto la decisión óptima para ambas es no abrir la sucursal, y para esta decisión el beneficio para cada
jugador es 0, El perfil de estrategias (0:0) es un equilibrio de Nash.
Resolución de la Situación 1 aplicando le técnica de Técnica de Maximin y Minimax
Es una técnica de decisión para minimizar la pérdida máxima esperada y por lo tanto aplicarla implica que los
jugadores tomarán una decisión pensando en minimizar el riesgo. Se aplica en juegos de suma cero.
El algoritmo, para un juego de estrategias puras es el siguiente:
Identificar los valores mínimos de cada fila y seleccionar el mayor de ellos (Maximin).
Identificar los valores máximos de cada columna y seleccionar el menor de ellos (Minimax).
Si el valor maximín del primer jugador (fila) y el minimax del segundo jugador (columna), coinciden en la misma
celda, este se denomina punto de equilibrio.
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Si ningún jugador encuentra beneficio al cambiar su estrategia, la solución encontrada es la óptima y representa
un equilibrio de Nasch. En estas condiciones el juego es estable pues a los jugadores no les conviene cambiar
de estrategia por lo que la mantendrán. Si el maximin y el minimax no coinciden en la misma celda, no existe
equilibrio y por tanto no es posible asegurar estabilidad en las decisiones.
C decide
abrir sucursal
C decide
no abrir sucursal
Mínimos de cada fila
P decide abrir sucursal 60 -10 -10
P decide no abrir
sucursal
20 0 0
Maximos de cada
Columna 60 0
Luego, Maximin = 0 y Minimax = 0.
En la tabla se observa que:
El valor Minimax representa el menor de los máximos beneficios que obtendría C, que a su vez, es el mínimo
de las máximas pérdidas de P (minimiza pérdida de P).
El valor Maximin representa el mayor de los mínimos beneficios de P, que a su vez es la menor de las máximas
pérdidas de C (minimiza pérdida de C).
Dado que el valor maximín de P y el mInimax de C coinciden. Esta combinación de estrategias es un punto de
equilibrio. Además como ambos son iguales a cero, dicho punto se denomina: Silla de Montar.
Por lo tanto, en la Situación 1, ambos jugadores deciden “No abrir la sucursal” y el valor del juego es cero.
Observar que aplicando las técnicas de dominancia, de mejor respuesta y de maximin-minimax se llegó, en esta
situación, al mismo resultado.
A continuación se resolverá un juego en el que la suma de los pagos no es cero. Para tal fin se ha seleccionado
uno de los juegos más significativos de la teoría de los juegos: El dilema del prisionero.
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Situación 2: El dilema del prisionero
Pedro y Juan son detenidos por la policía, en la cercanía de un robo por portar armas. Se sospecha que por lo
menos uno de los dos malhechores participó además de dicho robo. Una vez en el destacamento policial se
separan a estas dos personas para que sean interrogadas en forma individual y, por separado, se les propone lo
siguiente:
Si uno confiesa y su cómplice no, el cómplice será condenado a la pena total de diez años por robo y por portar
armas y el que confiesa será liberado por cooperar con la investigación policial.
Si ambos confiesan, a los dos se les reducirá la pena a la mitad, 5 años a cada uno.
Si ambos lo niegan, estarán encarcelados dos años por portación de armas”.
Para la representación de los años de cárcel se considerará que si está 5 años en la cárcel figurará en la tabla
el valor -5. Luego:
Juan Confiesa Juan no Confiesa
Pedro Confiesa -5
-5
-10
0
Pedro no Confiesa 0
-10
- 2
-2
El dilema del prisionero es un juego de dos jugadores, con dos estrategias puras y de suma no nula.
Análisis para la toma de decisiones:
Estrategias Dominantes: Se observa que para ambos jugadores la decisión de confesar, independientemente
de los que opine el otro, domina a la de no confesar, pues así corresponde menos años de prisión.
Si eliminamos las estrategias dominadas, para Pedro la segunda fila y para Juan la segunda columna la matriz se
reduce a:
Juan Confiesa
Pedro Confiesa -5
-5
Por lo tanto, si los dos deciden confesar tendrían una pena de 5 años, que no es una elección óptima. Si ambos
prisioneros piensan en cooperar el uno con el otro, ninguno confesaría, pero tendrían una pena de 2 años, sin
embargo esta elección tampoco es óptima.
El beneficio óptimo es quedar en libertad. Es decir, para ambos prisioneros el mayor beneficio sería que sólo
uno confiese y de esta manera sería liberado. Pero si los dos son egoístas y piensan de la misma manera, ambos
elegirán confesar.
Por lo tanto, como ambos deciden lo mismo, la condena es de 5 años para cada uno.
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Este resultado es la clave del dilema, porque representa un resultado que no es el óptimo si se piensa en el
propio beneficio, que sucede también si ambos decidieran no confesar.
La combinación de estrategias (-5, -5) del juego es un equilibrio de Nash pues todos los jugadores toman una
decisión y, si la cambian, empeoran su condena de 5 a 10 años, por esta razón se dice que este punto de
equilibrio es de Nash. Si bien la combinación de estrategias (-2,-2) es también un punto de equilibrio, este no
es de Nash y se denomina inestable, porque si cambia de decisión, de no confesar a confesar, se reduce su
condena.
Situación 3: El dilema del prisionero en economía: Un caso de la competencia de dos empresas por un
mercado.
Dos empresas, N y A, productoras de zapatillas deportivas forman un duopolio local en el sector de los centros
comerciales. Cuando llega la época de las tradicionales rebajas, ambas empresas acostumbran a realizar
inversiones en publicidad tan altas que pueden implicar la pérdida de todo el beneficio.
Ambas han acordado no hacer publicidad por el presente año, por lo que cada una, si cumple el acuerdo, puede
obtener ganancias de $ 50 millones.
Si una de ellas traiciona el acuerdo, puede preparar su campaña publicitaria y lanzarla en el último momento
atrayendo a los consumidores y generando un beneficio de $60 millones mientras que la empresa competidora
perdería $40 millones.
Si ambas no cumplen el acuerdo obtendrán beneficio es $0.
Los pagos se representan en la siguiente tabla:
A cumple el acuerdo A no cumple el acuerdo
N cumple el acuerdo 50
50
60
-40
N no cumple el acuerdo -40
60
0
0
Aplicando la técnica de estrategias dominantes se observa que la decisión de no cumplir el acuerdo domina a la
de cumplir. Este caso, al igual que el dilema del prisionero, muestra las dificultades para establecer la
colaboración en cualquier situación en la que no accionar con honestidad beneficia a las partes que intervienen
en el juego. Por lo tanto (0, 0) es un equilibrio de Nash.
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ACTIVIDADES. TEORIA DE LOS JUEGOS para realizar en TALLER
Actividad 1: El lenguaje de la Teoría de los juegos.
Para realizar esta actividad, revisa la red conceptual que muestra las categorías conceptuales (elementos del
juego, tipos de juegos y técnicas de resolución) a partir de las cuales se aborda la teoría de los juegos y cuya
intención es ofrecer un resumen de las palabras o frases claves de esta temática.
1) Para cada uno de los siguientes juegos:
a) Indica cuantos jugadores intervienen y cuáles son las estrategias que tienen que decidir tomar.
b) Expresa la matriz de pagos.
c) Indica si son de suma cero o de suma no cero.
Juego 1: Lucrecia y Benjamín deben decidir quién se queda con una tablet que ganaron en un premio. Sólo uno
de los dos puede quedarse con ella, y deciden por azar quién se quedará con el premio. Cada uno tiene en su
billetera una moneda de un peso y una de dos pesos. Con la mano derecha cada jugador debe elegir y mantener
oculta una moneda. Si las dos monedas son iguales, Lucrecia se queda con el premio. Si las dos monedas son
diferentes, Benjamín se quedará con la tablet. Es decir que si uno gana, el otro pierde.
Juego 2: A y B deben decidir simultáneamente sobre un caso. Si A se decide por su primera opción y B también
lo hace, tanto A como B pierden dos mil dólares. Si A se decide por su primera opción y B se decide por su
segunda opción, A gana tres mil dólares y B pierde esa cantidad. Si A se decide por su segunda opción y B se
decide por su primera opción, A pierde tres mil dólares y B los gana. Finalmente, si A y B se deciden por sus
segundas opciones, tanto A como B ganan, cada uno, dos mil dólares.
2) Considerando el juego: “Piedra, Papel o Tijera” y los pagos: 1 para el que gana, -1 para el que pierde y 0 para
el empate.
a) Elabora la matriz de Beneficio o Pago de dicho juego.
b) Este juego ¿posee estrategias dominantes? ¿Tiene equilibrio de Nash?
3) La siguiente matriz es la matriz de pagos del jugador fila de un juego de suma cero
A= (aij) =(−1 0 −23 2 10 −1 0
4 3 5
)
a) ¿Cuántos jugadores hay y cuantas estrategias tiene cada uno?
b) Indica el significado de: a2j y a14.
c) Si los jugadores son optimistas, ¿qué técnicas pueden aplicar? ¿Y si son pesimistas?
d) Resuelve el juego en ambas situaciones, optimistas y pesimistas.
4) Determinar un valor de k para que el siguiente juego tenga un equilibrio de Nash y otro para que no tenga
equilibrio. (−3; 3 7; 5−5; k 8; 8
)
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5) La bimatriz de pagos de un juego es:
(4; 4 1; 88; 1 2; 2
)
a) ¿Cuántos jugadores participan es este juego y cuantas estrategias tiene cada uno para optar?
b) Indica el significado de los elementos de esta bimatriz
c) Explica por qué el par de estrategias (2;2) es un equilibrio estable
Actividad 2: Resolución de juegos mediante aplicación de distintas técnicas.
6) Para cada uno los siguientes juegos expresados en las tablas I y II:
a) Expresa la bimatriz de pagos de cada uno e indica el significado de sus elementos.
b) ¿Existen estrategias dominantes en cada uno de los siguientes juegos?
c) Aplica técnicas de “máximos pagos” para determinar los equilibrios de Nash en cada uno de los siguientes
juegos expresados matricialmente.
I) II)
7) Considera el siguiente problema: “Dos negocios de fotocopiadoras, F1 y F2, se encuentran una al lado de
otra y enfrente de una universidad. Los estudiantes están pendientes del precio de cada fotocopia y las
fotocopiadoras deben decidir si les conviene establecer un precio bajo o alto”.
La bimatriz de pagos es la siguiente:
F2 precio alto F2 precio bajo Mínimos de F2
F1 precio alto 0
0
20
-20
F1 precio bajo -20
20
0
0
Máximos de F1
a) Resuelve aplicando técnicas de estrategias dominantes y luego aplicando el criterio Maximin y Minimax.
b) Determina si el resultado del mismo es un equilibrio de Nash.
8) Aplica la técnica de estrategias dominadas al siguiente juego, ¿qué estrategias podemos estar seguros de
que nunca se jugarán?
8, 2 1, 1 4,0
0,2 5, 1 1,0
1,3 0, 100 9,0
L R
U 0, 0 2,2
D 10,11 -1,0
A B
D 0, 1 5,4
E 3,6 -1,0
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
17
9) Dos empresas automovilísticas deciden lanzar al mercado al mismo tiempo un modelo de coche de gama
intermedia. Cada una de ellas se está planteando si ofrecer o no financiación a los clientes, lo cual le supondría
captar mayor cuota de mercado, pero llevaría consigo ciertos costos. Ambas empresas prefieren no ofertar dicha
financiación, pero cada una teme que la otra la ofrezca y, por tanto, acapare mayor número de compradores.
Supongamos que los beneficios esperados por las empresas son los siguientes. Si ambas ofrecen financiación,
400 millones para cada una; si ninguna lo hace, 600 para cada una, y si una la ofrece y la otra no, la primera gana
800 y la segunda 300. Represente el juego en forma normal. Calcule los equilibrios de Nash.
10) La siguiente matriz es la bimatriz de pagos de un juego:
(100; 100 −40; 30 60, −5080; 120 30; −80 −100; 15070; 80 −50; 70 70; 70
120; 8070: −50
100: 100 )
Determina las relaciones de dominancia entre las distintas estrategias y, si es posible, resuelve el juego.
11) Indicar los equilibrios de Nash de los juegos determinados por las siguientes matrices, utilizando la técnica
de mejor respuesta.
a) (𝟎 −𝟓𝟓 𝟏𝟎
) b) (−𝟏𝟎 𝟑
𝟑 𝟏𝟎) c) (
𝟎 𝟑 𝟕−𝟑 𝟎 −𝟑−𝟕 𝟑 𝟎
)
12) Dos ciudades turísticas vecinas deben decidir entre realizar publicidad vía internet, hacerlo, vía canales de
televisión, o no hacer publicidad. Si ambas ciudades toman la misma decisión, cada una obtiene un beneficio
de 200 millones; si una elige publicitar vía internet y la otra vía televisión, la primera gana 500 millones
mientras que la segunda gana 300 millones; si una elige publicitar vía internet y la otra no realiza publicidad, la
primera gana 800 millones y la segunda pierde 100 millones; y por ultimo si una publicita vía televisión y la
otra no realiza publicidad, la primera gana 400 millones y la segunda gana 100 millones.
Representa el juego en forma matricial y calcula los equilibrios de Nash.
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
18
RESPUESTAS. TEORIA DE LOS JUEGOS
Actividad 1
1) Juego 1:
El valor 1 indica que gana la Tablet y el valor -1 que pierde la Tablet.
El juego es de suma cero pues lo que gana un jugador es exactamente igual a lo que pierde el otro.
Juego 2:
El pago se mide en miles de dólares. El juego no es de suma cero.
2)
Jugador 2
PIEDRA PAPEL TIJERA
Jugador 1
PIEDRA 0; 0 -1; 1 1; -1
PAPEL 1; -1 0,0 -1,1
TIJERA -1; 1 1,-1 0,0
Si enumeramos las estrategias piedra, papel y tijera como 1, 2 y 3, respectivamente, la matriz de pagos será
Este juego es de suma cero. No posee estrategias dominantes ni equilibrio de Nash.
3) a) Hay 2 jugadores. El jugador fila posee 3 estrategias y el jugador columna posee 4.
b) a2j representa la fila de pagos que obtiene el jugador fila si opta por su segunda estrategia, y a14 es el pago
que obtiene si él elige su estrategia 1 y el jugador columna elige su estrategia 4.
c,d) Si los jugadores son optimistas utilizan técnicas de dominancia o mejor respuesta. El jugador fila elige su
estrategia 2 y el jugador columna elige la 3 siendo el valor del juego es (1,-1).
Si son pesimistas utilizan técnicas de maximin-minimax. El maximin y el minimax coinciden en la misma celda y
por lo tanto el valor del juego es (1,-1).
BENJAMÍN
Elige $1 Elige $2
LUCRECIA Elige $1 1, -1 -1, 1
Elige $2 -1, 1 1, -1
Jugador B
Elige 1ra opción Elige 2da opción
Elige 1ra opción -2, -2 3, -3
Elige 2da opción -3, 3 2, 2
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
19
4) Si k<8, por ejemplo k=0, hay equilibrio de Nash. Si k>8, por ejemplo k=10, no hay equilibrio de Nash.
5) a) En el juego participan dos jugadores y cada uno debe decidir entre dos estrategias.
b) Los elementos de la bimatriz indican los pagos que recibe cada jugador al optar por una de las estrategias. La
primer componente en cada celda es el pago del jugador fila y la segunda componente el del jugador columna.
c) (2, 2) es un equilibrio estable porque al cambiar de estrategia cada uno de los dos jugadores empeoran su
situación y esta situación provoca que no la cambie su decisión.
Actividad 2: Técnicas de Resolución
6) Ninguno de los dos juegos tienen estrategias dominantes. Aplicando máximos pagos, se obtienen los
siguientes equilibrios de Nash:
I) (D,L) (U,R) II) (E,A) (D, B)
7) Al tratarse de un problema de suma cero la matriz de pagos se puede escribir: (0 −2020 0
)
Evidentemente la fila 2, domina a la fila 1 y la matriz se reduce a: (20 0). Análogamente el jugador columna
elimina la columna 1 que es dominada por la 2. Por tanto se obtiene como solución 0. Es decir que a ambas
fotocopiadoras les conviene decidir por “precios bajos” y el beneficio para ambas es 0 y (0;0) es equilibrio de
Nash, porque si cambian de estrategia empeoran su situación.
Se obtiene el mismo resultado aplicando Maximin y Minimax :
F2 precio alto F1 precio bajo
F1 precio alto 0 -20 -20
F1 precio bajo 20 0 0
20 0 Max=Min = 0
8) El jugador “Columna” elegirá C1 y “Fila” finalmente elegirá F1, que es mejor que F2 como respuesta a C1,
siendo el valor del juego es (8; 2)
9) Ambas empresas deben decidir si ofrecen o no la financiación.
L R
U 0, 0 2,2
D 10,11 -1,0
A B
D 0, 1 5,4
E 3,6 -1,0
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
20
Por dominancia (eliminando fila 2 y columna 2)
la solución es (400, 400) y es equilibrio de Nash. La misma conclusión se obtiene aplicando máximos pagos
(subrayado)
10) El valor del juego es (100;100)
11) a) Estrategias 2 y 1. (5,-5). b) Estrategias 2 y 1. (3,-3). c) Estrategias 1 y 1. (0,0).
12) Estrategias 2 y 1 o estrategias 1 y 2 generan equilibrios de Nash.
Empresa 2
Ofrece
Empresa 2
No ofrece
Empresa 1
Ofrece
400, 400 800, 300
Empresa 1
No Ofrece
300, 800 600, 600
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
21
AUTOEVALUACIÓN: TEORIA DE LOS JUEGOS
Problema 1: Japón y EEUU están analizando normas de actuación para abrir o cerrar sus mercados de
importación. La matriz de beneficios en millones de dólares es:
JAPÓN
ABRIR CERRAR
EEUU ABRIR 500, 500 1100, 0
CERRAR 0, 1100 1000,1000
a) Considera que cada país conoce la matriz de beneficio y cree que el otro país actuará en su propio
interés, es decir, por la decisión que maximiza su beneficio. ¿Cuál estrategia elegiría? ¿Existe un valor del
juego?
b)¿Existe alguna combinación de estrategia que represente un equilibrio de Nash? ¿Es único?
Problema 2: La siguiente es la matriz de beneficios de un juego de suma cero:
511
342
413
a) Expresa el juego empleando una bimatriz.
b) Si cada jugador es optimista y su decisión es optar por la estrategia que corresponde a generar su
óptimo beneficio. ¿Existe alguna estrategia que cada jugador nunca elegirá?
c) Si en el inciso b) se obtiene una solución, responde: Dicha solución, ¿es equilibrio de Nash?
d) Si en el inciso b no se obtiene una solución, los jugadores se tornan pesimistas y para resolver el juego
optan por minimizar sus pérdidas
¿Cuál es la solución para cada jugador? ¿Es un equilibrio de Nash?
La resolución de estas actividades de Autoevaluación se encuentran en el aula virtual.
BIBLIOGRAFIA
-ANZIL, Federico (2005). “Teoría de Juegos”. Universidad Nacional de Córdoba- Argentina. Econlink,
disponible en: http://www.econlink.com.ar/definicion/teoriadejuegos.shtml
-ARNTZ,W & CHASSE,B & VINCENT,M (2006);”¿¡ Y tú qué sabes!?”Ed KIER SA, Buenos Aires, argentina.
-D’ANDREA, CARLOS. “Juegos Matemáticos y análisis de estrategias ganadoras” Departamento de Álgebra y
Geometría, Facultad de Matemáticas, Universidad de Barcelona. Gran Via 505, 08007, Barcelona. España
-PEREZ, JOAQUIN ET AL. (2004), Teoria de los juegos. Ed. Pearson. Madrid.
- Epositorio.uis.edu.co/jspui/bitstream/123456789/7243/2/118745.pdf
-http://www.eco.uc3m.es/docencia/new_juegos/doc/Problemas%20Esta%CC%81ticos.pdf
- RUFASTO, AUGUSTO. Teoria de los Juegos. Disponible en:
http://www.geocities.com/arufast/juegos.html
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
22
MATRICES. ALGEBRA MATRICIAL
La teoría de los juegos mostró la utilidad de representar en forma organizada información, suministrada a través
de datos numéricos, empleando matrices.
En otros contextos como sociales, económico, administrativos, etc, también es conveniente exhibir, organizar
y realizar una rápida lectura de la información a través de las matrices.
En esta sección se presentan distintos tipos de matrices, que por su forma se identifican con distintos nombres.
MATRICES ESPECIALES
Tipo de matriz Ejemplos
Matriz columna o vector columna: Es una matriz de
orden mx1.
A5x1 =
2
1
3
0
2
y B4x1 =
0
1
2
1
Matriz fila o vector fila: Es una matriz de orden 1xn. A1x3 = (3 2 1) y B1x4 = (4 10 -5 172)
Matriz nula o matriz cero: Es una matriz de orden
mxn donde todos sus elementos son ceros.
Usualmente la designamos con las letras O o N
N2x4 =
0000
0000 N2x2=
00
00
N2x1=
0
0
Matriz cuadrada: Una matriz es cuadrada cuando el
número de filas coincide con el número de columnas.
Los elementos de estas matrices que cumplen la
condición que número de fila es igual al número de
columna forman la diagonal principal de la matriz.
Decimos que A es de orden nxn o que A es de orden
n.
M =
31
2/12 B =
032
301
210
Matriz opuesta: Llamamos matriz opuesta de A de
orden mxn a una matriz del mismo orden que A, que
se obtiene multiplicando todos los elementos de A
por 1. La indicamos –A (leemos opuesta de A).
Sea A =
50
52 , la opuesta es –A =
50
52
Matriz Diagonal: Sea D una matriz cuadrada. La
matriz D es una matriz diagonal si y solo si todos los
elementos que están fuera de la diagonal principal
son iguales a cero. La cantidad de elementos de la
diagonal principal nos da el orden de la matriz.
Son matrices diagonales:
T=
300
010
002
; G =
50
00 ; H =
20
02; N =
00
00
Notación: T= Diag(2, 1, 3), G = Diag(0, 5),
H = Diag(2, 2) y N = Diag(0, 0)
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
23
Matriz escalar: Una matriz es escalar si y solo si es una
matriz diagonal que tiene todos los elementos de la
diagonal principal iguales a una constante.
A =
300
030
003
y B =2 0
0 2
N =
00
00
Matriz identidad (o matriz unidad): Una matriz es
una matriz identidad si es una matriz diagonal cuyos
elementos de la diagonal principal son iguales a 1
I2 =
10
01 y I3 =
100
010
001
Matriz triangular superior: Una matriz U = (uij) de
orden mxn es triangular superior si y solo si
uij = 0 si i > j para 1 i m; 1 j n F =
000
100
200
432
V =
10
11
Matriz triangular inferior: Una matriz L = (lij) de orden
mxn es triangular inferior si y solo si lij = 0 si i < j para
1 i m; 1 j n.
L =
0110
0012
0001
y F =
301
026
000
Matriz triangular inferior unidad: Una matriz es una
matriz triangular inferior unidad si y solo si es
triangular inferior y sus elementos diagonales son
iguales a 1.
V =
143
012
001
D =
304
125
013
001
Matriz triangular superior unidad: Una matriz es una
matriz triangular superior unidad si y solo si es
triangular superior y sus elementos diagonales son
iguales a 1.
T =
2100
1010
0121
S =
1 2 3
0 1 4
0 0 1
MATRICES IGUALES
Dos matrices son iguales si y solo si tienen el mismo orden
y los elementos ubicados en la misma posición o correspondientes son iguales
Ejemplos
1- Las matrices A = (1 2 −4
0 41
2
) y B = (1 2 −4
0 41
2
) son iguales porque tienen el mismo orden, ambas son de
orden 2x3 y los elementos correspondientes son iguales:
a11 = b11 , a12 = b12 , a13 = b13 , a21 = b21 , a22 = b22, a23 = b23
2- Dadas las matrices: C= (2 a0 5
) y E= (2 4b 5
) Para que C = E se debe cumplir que: a = 4 y b = 0
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
24
ACTIVIDADES: MATRICES
1- Considerando las siguientes matrices, donde x, y, z, m R:
A =
2/17812
1531 B =
103793
1412
z34x
23
1 C = 7576xy12 D =
12
yx
58
E =
xz
6745
m139
x36
G =
0000
2m00
x78150
x4535123
H =
0010
0001 M =
000
000
35100
H =
000
000
000
a) Establecer el orden de las matrices.
b) Clasificarlas en: cuadradas, diagonales, triangulares, nulas, etc
2- Dada la siguiente matriz A =
1129835
1103487
2315 356
3
a) Identificar los elementos: a23, a33, a12, a21.
b) ¿Cuáles son los elementos que forman la diagonal principal?
3- Completa los siguientes enunciados para que resulten verdaderos:
a) A = (aij) es una matriz 3x3. A es escalar si y sólo si i = j : aij = 2 y i j: ……………
b) B es una matriz 4x5. B es triangular inferior si y sólo si i < j : bij =…………..
c) C es una matriz 2x4. C es triangular superior si y sólo si i >j : cij =…………..
4- Explicitar las matrices A, B y C dadas a continuación
A2x3 = (aij) / aij =
ji si ji
ji si 1 B3x3 = (bij) / bij =
ji si 2i
ji si j-i
C3x3 = (cij) / cij =
ji si i-j
ji si j+2i D3x4 = (dij) /dij =
ji si j . i
ji si j : i
5- Indicar si las siguientes matrices son triangulares superiores, inferiores o ninguna de las anteriores:
N =
000
000
000
; A =
1129835
1103487
2315 356
3
; B =
00
00
00
20
012
; C =
005
004 M =
064
601
410
; R =
000
100; S =
100
010
000
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
25
RESPUESTAS ACTIVIDAD: MATRICES
1.a) A es de orden 2x3 ; B es de orden 3x3; C es de orden 1x4; D es de orden 3x1; E es de orden 4x2; G es
de orden 4x4; H es de orden 2x4; M es de orden 3x3; H es de orden 3x3
b) A es rectangular, B es cuadrada, C es matriz fila, D es matriz columna
E es matriz rectangular, G es cuadrada y triangular superior.
H es rectangular, triangular superior unidad y triangular inferior unidad.
M es cuadrada y triangular superior.
H es cuadrada y nula
2. a23 = 110, a33 = 11, a12 = 3/56, a21 = -87 b) {15, 34, 11}
3. a) aij = 0 si i j b) bij = 0 si i < j c) cij = 0 si i > j
4. A =
111
211; B =
066
404
220
; C =
912
161
213
; D =
12163
8612
4321
5. N es triangular superior e inferior, A ninguna de las anteriores, B es triangular superior e inferior, C es
triangular inferior, M ninguna de las anteriores, R triangular superior, S triangular superior e inferior
OPERACIONES MATRICIALES
En diversas situaciones como la que se muestra a continuación es de utilidad emplear operaciones matriciales
para su resolución en forma organizada. Dicha resolución dará cuenta del sentido y significado de cada una de
las operaciones matriciales para luego formalizar cada concepto.
Situación: Una empresa nacional tiene cuatro distribuidoras, una en cada región (norte, centro, sur y cuyo).
Las ventas de tres de sus productos por región, expresadas en millones de dólares, fueron:
Año 2014 Año 2015
Región 1, producto 1: 2.6 Región 1, producto 1: 3.6
Región 1, producto 2: 3.2 Región 1, producto 2: 4.5
Región 1, producto 3: 2.4 Región 1, producto 3: 2.9
Región 2, producto 1: 4.8 Región 2, producto 1: 2.5
Región 2, producto 2: 4.4 Región 2, producto 2: 5.0
Región 2, producto 3: 3.6 Región 2, producto 3: 3.0
Región 3, producto 1: 1.8 Región 3, producto 1: 3.0
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
26
Región 3, producto 2: 2.5 Región 3, producto 2: 3.5
Región 3, producto 3: 3.8 Región 3, producto 3: 4.6
Región 4, producto 1: 0.9 Región 4, producto 1: 2.5
Región 4, producto 2: 2.8 Región 4, producto 2: 3.8
Región 4, producto 3: 2.5 Región 4, producto 3: 4.0
I- Organizar los datos anteriores de modo que la información se presente en forma más clara.
Denotando con A a la matriz del año 2014 y con B a la correspondiente al año 2015, y representando en cada
fila las ventas por regiones 1, 2, 3 y 4 respectivamente y en cada columna las ventas por producto 1, 2 y 3
respectivamente, los datos se organizan:
A =
5.28.29.0
8.35.28.1
6.34.48.4
4.22.36.2
B =
48.35.2
6.45.30.3
0.30.55.2
9.25.46.3
II- Siendo A la matriz de ventas del año 2014 y B la del año 2015.
a) Expresar el significado de los elementos a23 y b21
a23 = 3.6 representa las ventas correspondientes al producto 3 en la región 2.
b21 = 2.5 representa las ventas correspondientes al producto 1 en la región 2.
b) Calcular las ventas totales de los dos años de cada producto y cada región.
Calcular las ventas totales discriminadas por producto y región, significa que por ejemplo de la región 1
(fila1) de cada año, sumo las ventas generadas por los productos 1: a11 + b11 , de los productos 2: a12 +
b12 y de los productos 3: a13 + b13 . Análogamente se procede con las otras tres regiones. Luego, los
cálculos se organizan expresando:
A+ B =
2.6 3.6 3.2 4.5 2.4 2.9
4.8 2.5 4.4 5.0 3.6 3.0
1.8 3 2.5 3.5 3.8 4.6
0.9 2.5 2.8 3.8 2.5 4
=
5.66.64.3
4.80.68.4
6.64.93.7
3.57.72.6
c) Calcular e interpretar A- B
A-B = A+ (-B) =
2.6 3.6 3.2 4.5 2.4 2.9
4.8 2.5 4.4 5.0 3.6 3.0
1.8 3 2.5 3.5 3.8 4.6
0.9 2.5 2.8 3.8 2.5 4
=
5.116.1
8.012.1
6.06.03.2
5.03.11
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
27
A-B representa la variación (incremento o disminución) en las ventas del año 2014 al 2015
d) La gerencia de la empresa había proyectado para el año 2015 un 30 % de incremento en las ventas de
los productos en todas las regiones respecto al año 2014. ¿Se cumplió este objetivo?
Para resolver esta situación se debe calcular el incremento del 30% en cada venta del 2014 y luego
compararlos con los elementos del año 2015. Es decir que se debe multiplicar la matriz A, cada eleento
de ella, por el número 1.3. Los cálculos se organizan como se muestra
(A + 0.30 A) = 1.30 A =
(1.3)2.6 (1.3)3.2 (1.3)2.4
(1.3)4.8 (1.3)4.4 (1.3)3.6
(1.3)1.8 (1.3)2.5 (1.3)3.8
(1.3)0.9 (1.3)2.8 (1.3)2.5
=
3.38 4.6 3.12
6.24 5.72 4.68
2.38 3.25 4.94
1.17 3.68 3.25
Comparando con los elementos de B, se concluye que no se cumple el objetivo.
e) Si para el año 2016, se espera triplicar las ventas del producto 1 y duplicar las de los productos 2 y 3
respecto al año 2015. Determinar las ventas totales para cada una de las cuatro regiones para el
año 2016.
La venta total esperada para la región 1, si se triplica la venta del producto 1, y se duplican las
ventas de los productos 2 y 3 es: (3.6)3 (4.5)2 (2.9)2 .
Análogamente para la región 2, se obtiene: (2.5)3 (5.0)2 (3.0)2 .
De la misma manera se procede con las otras regiones.
Todos estos cálculos se organizan como se muestra:
3.6 4.5 2.9 (3.6)3 (4.5)2 (2.9)2 25.63
2.5 5.0 3.0 (2.5)3 (5.0)2 (3.0)2 23.52
3.0 3.5 4.6 (3.0)3 (3.5)2 (4.6)2 25.22
2.5 3.8 4 (2.5)3 (3.8)2 (4)2 23.1
La resolución de esta situación da cuenta del sentido y el significado de las operaciones matriciales: , adición, sustracción,
producto de una matriz por un escalar y producto entre dos matrices. A continuación se formalizarán los correspondientes
conceptos.
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
28
Definiciones:
Operación Ejemplo Propiedades
Adición de matrices
Dadas dos matrices A = (aij) y
B = (bij) de orden mxn , se
define A más B y se indica
como A + B a una nueva matriz
S = (sij) de orden mxn tal que
cada elemento de S se obtiene
sumando a cada elemento de
A el correspondiente elemento
de B.
A =
23
117, B =
28-
56
A + B =
22-8)(3
(-5)1-617
A+ B =
45-
6-23
a) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
b) Conmutativa: A + B = B + A
c) Existencia de elemento neutro:
Existe la matriz nula N de orden mxn
tal que para toda matriz A de orden
mxn se cumple que A más la matriz
N es igual a la matriz N más A, y esta
suma es igual a la matriz A.
En símbolos:
N / A: A + N = N + A = A
d) Existencia de matriz opuesta: Para
toda matriz A de orden mxn existe la
opuesta A tal que A más su opuesta
es igual a la matriz nula.
En símbolos:
A: A / A +( A) = (A) + A = N
Sustracción de matrices
Restar a la matriz A la matriz
B, es lo mismo que sumar a la
matriz A la opuesta de la
matriz B, es decir,
A B = A + (B)
A =
23
117 y B =
28-
56
A B = A + (B) = =
23
117+
-6 5
8 -2
= 11 4
11 0
Multiplicación entre un
número real y una matriz
Sea A una matriz de orden
mxn y r un número real. La
multiplicación entre un
número real r y una matriz A
da como resultado una matriz
de orden mxn cuyos
elementos se obtienen
multiplicando cada elemento
de la matriz A por el número
real r.
En símbolos: Sean A = (aij) de
tamaño mxn y r R
r . A = r. ( aij )=(r aij)
Sea la matriz A =
1400
2100
750
que
representa las ventas de 3
productos para el año actual. Si se
prevee un aumento de las ventas de
un 20%
B =
1400
2100
750
+ 0,20
1400
2100
750
=
= 1,20
1400
2100
750
=
1680
2520
900
representa
la proyección para el año siguiente
Sean A, B, N matrices de orden mxn;
N una matriz nula y r, s números
reales entonces:
a) (𝑟 + 𝑠)𝐴 = 𝑟𝐴 + 𝑠𝐴
b) 𝑟(𝑠𝐴) = (𝑟𝑠)𝐴
c) 𝑟(𝐴 + 𝐵) = 𝑟𝐴 + 𝑟𝐵
d) (−1)𝐴 = −𝐴
e) 0𝐴 = 𝑁, 0 ∈ 𝑅
f) 𝑟𝑁 = 𝑁
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
29
Multiplicación de matrices
Dadas dos matrices
A = (aij) y B = (bij) de órdenes
mxq y qxn, respectivamente,
llamamos matriz producto de
A con B a la matriz C de
orden mxn tal que cada
elemento cij de esta matriz
producto se obtiene como el
producto anteriormente
definido entre la matriz fila i
de A con la matriz columna j
de B.
En símbolos Amxq . Bqxn=Cmxn
El producto A.B se indica A B
Para que el producto AB esté
bien definido el número de
columnas de la matriz A debe
coincidir con el número de filas
de la matriz B. De esta manera
que A y B son conformables
para el producto.
A =
35 28 25
35 30 24
32 28 24
y B =
5
5
8
8
A.B 5
5
35 28 25 35.8+28.5+25.5
35 30 24 35.8+30.5+24.5
32 28 24 32.8+28.5+24.5
El resultado de A.B es la matriz
C =
516
550
545
de orden 3x1.
Sean A, B y C matrices conformables
para el producto. Se cumple:
a) Propiedad Asociativa
A (B C) = (A B) C
b) Propiedad Distributiva
A (B + C) = A B + A C
(A + B) C = A C + B C
c) Existencia de elemento neutro
Si A es una matriz de orden nxn
entonces A In = In A = A.
La matriz In se llama elemento
neutro para la multiplicación de
matrices cuadradas de orden nxn.
d) c(A B) = (c A) B = A (c B) c R
e) Existencia de elemento absorbente
Si A es una matriz de orden nxn
entonces A N = N A = N.
La matriz N se llama elemento
absorbente para la multiplicación de
matrices.
Potencia de matrices
En función de la operación
multiplicación de matrices se
define la potencia enésima de
una matriz.
Sean A una matriz cuadrada y
n Z+ definimos
A0 = I
A1 = A
An+1 = An . A1
Ejemplo:
A =
2/14
13. A0 =
10
01
A1=
2/14
13 A2= A A=
=
2/14
13
2/14
13=
4/1710
2/513
A3 = A2A =
8/6347
4/4749
Am An = Am + n = An Am n, m Z+
Transposición de matrices
Transponer una matriz
consiste en crear una nueva
matriz a partir de una dada,
donde las filas de la nueva
matriz son las columnas de la
original, y donde las columnas
de la nueva matriz son las filas
Si A =
120
121 entonces
At =
11
22
01
a) (At )t = A
b) (A + B)t = At + Bt
c) (c A)t = c At siendo c R
d) (A B)t = Bt At
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
30
de la original, cambio que
debe efectuarse de acuerdo al
orden en que aparecen las filas
y columnas en la matriz
original.
Multiplicación entre una
matriz fila y una matriz
columna
Sean A = (a1, a2,…, an) y
B =(b1, b2,…bn)t .
Definimos el producto AB de la
siguiente manera
AB =a1.b1+ a2b2+…+anbn,
obteniendo una matriz de
orden 1x1
Sean A =(1 3 5) y B = (1 3 7)t
Luego, AB= (1 . 1 + 3.3 + 5 .7)= (45)
Reflexiones sobre las propiedades de la multiplicación de matrices
En la lista de propiedades que verifica la multiplicación de matrices, no se han mencionado las propiedades
conmutativa y cancelativa.
¿Se cumple que A B = B A? Los siguientes ejemplos permitirán dar respuesta a esta pregunta:
1) Si A = (1 2) y B =
84
63 el producto AB está bien definido, es decir es posible pues el número de
columnas de A coincide con el número de filas de B, pero BA no puede efectuarse ya que el número de columnas
de B no coincide con el número de filas de A.
2) Si A =
11
21 y B =
11
10 los productos AB y BA están bien definidos, pero A B =
01
32es distinto de B
A =
30
11
En este ejemplo A B y B A están bien definidos y las matrices que resultan de estas multiplicaciones tienen el
mismo orden, pero A B B A
3) Si A = (1 2) y B =
4
3, AB y BA están definidos, AB = ( 5 ) y BA =
84
63 . En este ejemplo A B y B A están
bien definidos y las matrices que resultan de estas multiplicaciones tienen distinto orden, por lo tanto también
en este ejemplo A B B A
Luego se afirma que:
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
31
La multiplicación de matrices NO verifica la propiedad conmutativa
Respecto a la propiedad cancelativa, el siguiente ejemplo muestra que:
Si A =
00
02 , B =
00
02 y C =
40
00 de orden 2x2.
Resulta que: A B =
00
00= A C pero B C
La multiplicación de matrices NO se cumple la propiedad cancelativa
Si A B = A C (o B A = C A) no implica que B = C
ACTIVIDADES: OPERACIONES MATRICIALES
6- Realizar, si es posible, las siguientes operaciones: A + B, A – C, A + D – B, –A + B, E + C
siendo A =
129
23045
2/1213
, B =
13/11
007
42115
, C = (13 –4 1 5), D =
2/123
000
7215
y E =
2
5/4
2
3
7- Hallar la opuesta de a) A =
2/13/23
90100
7521
b) B = (15 –25 11/5)
8- Calcular x, n, z, w y m R para que sea cierta la siguiente igualdad:
n542
362x
1123
+
63w1
241-3
02z1
=
2m01
51012
1114
9- Dadas las siguientes matrices:
A2x2 =
10
12 B2x1 =
0
1 C1x2 = 12 D2x3=
210
121
Calcular todos los posibles productos tomando las matrices de a dos.
10- Dadas las matrices:
a) A =
121
101 y B =
10
12
21
. Calcular y comparar A B con B A.
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
32
b) ¿Puede ocurrir que dos matrices se puedan sumar pero no se puedan multiplicar? Justificar.
11- Sea A =
31
12
a) Hallar: A2 – 2A b) Comprobar que: A2 – 2A = A (A – 2I )
12- Dada la matriz A =
34
21
a) Calcular f(A) si f(X) = 2 X3 - 4X + 5
(Nota: En esta expresión polinómica matricial el término independiente 5 significa el producto del número real
5 por la matriz identidad, es decir, 5 I y f(A) es la función f(X) evaluada en X = A, es decir, f(A) = 2 A3 - 4A + 5 I)
b) Muestra que A es un cero o raíz del polinomio P(X) = X2 + 2 X - 11I, es decir, que la función P evaluada en X
= A da como resultado la matriz nula.
13- Sea A =
2/11
36 , B =
605
211 C =
221
403 . Verifica que: AB = AC pero B C.
RESPUESTAS ACTIVIDADES OPERACIONES MATRICIALES
6. A + B =
23/710
23038
2/74212
, A C y E + C no son posibles,
A + D – B =
2/13/1111
23052
2/523
; A + B =
03/58
23052
2/9018
7. a) –A =
2/13/23
90100
7521
b) –B = (15 25 11/5)
8. z = 3, x = 1, w = 4, m = 8, n = 8
9. AB =
0
2 , AD =
210
432 , BC =
00
12 , CD = (2 3 -4)
CB = (2), CA = (4 -3)
10. a) AB =
15
11 BA =
121
321
143
b) Si. Por ejemplo, dos matrices de orden 4x3 se pueden sumar, pero no multiplicar.
11. a)
43
31 12. f(A) =
117104
5213
14- MATRICES EN CONTEXTO.
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
33
Resolver los siguientes problemas:
(Para ello: organiza todos los datos que aportan empleando matrices, en los casos en los que no estén dados
con esta disposición, y luego resuelve aplicando operaciones matriciales)
Problema nº1: Los consumos anuales de cuatro familias (f1, f2, f3, f4) en tres alimentos básicos (a1,a2,a3),
vienen dados en la siguiente matriz A . Los precios de esos mismos productos en los últimos cinco años están
dados en la siguiente matriz B. Calcular el gasto por alimento de cada familia en cada año, empleando
matrices.
01186
38012
12154
81543
A B =
1512796
1161154
10151231
Problema nº2: Un empresario del espectáculo planea construir un cine, sala de fiestas y pabellón de deportes
en tres localidades L1, L2, L3. Según un muestreo previo, las preferencias de dichos ciudadanos (en tanto por
ciento) se plasman en la siguiente matriz:
Cine fiestas deportes
404218
503515
404020
A
Si el total de habitantes, mayores de 16 años, de las ciudades citadas vienen dado por la matriz fila:
L1 L2 L3
H = ( 72 000 14 500 39 200)
Investigar qué tipo de espectáculo tendrá mayor número clientes.
Problema nº3: Un colegio universitario está comparando sus datos de admisión para los últimos dos años. Tiene
interés en la distribución de estudiantes locales en relación con los extranjeros y en la matrícula por sexo. Las
matrices A y B resumen el número de estudiantes admitidos en los últimos dos años.
M F M F
a) Halla la admisión total para cada categoría durante los pasados dos años.
b) Suponga que el colegio universitario del problema anterior está esperando un aumento de un 20% con
respecto al último año en las admisiones para cada categoría de estudiantes para el tercer año. ¿Cuál será la
nueva matrícula en el colegio?
c) Un maestro preparó tres exámenes a cinco estudiantes. Ha decidido considerar los primeros dos exámenes
a un 30% cada uno, y el tercero a un 40%. El maestro desea calcular los promedio finales para los cinco
estudiantes empleando la multiplicación de matrices. La matriz de calificaciones es:
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
34
Los porcentajes están indicados en la matriz fila: B = (30 30 40).
Calcular las puntuaciones promedios para los cinco estudiantes.
Problema nº4: Una compañía manufacturera de televisores LCD HDTV fabricó tres modelos de diferente calidad
en tres tamaños distintos. La capacidad de producción (en miles) en la fábrica de Nueva York está dada por la
siguiente tabla
Modelo I Modelo II Modelo III
Tamaño 32” 5 3 2
Tamaño 37” 7 4 5
Tamaño 40” 10 8 4
(En otras palabras, la capacidad de la fábrica es de 5,000 televisores del Modelo I de 32 pulgadas, 8,000
televisores del Modelo II de 40 pulgadas y así sucesivamente).
La capacidad de producción en la fábrica de California está dada por la siguiente tabla.
Modelo I Modelo II Modelo III
Tamaño 32” 4 5 3
Tamaño 37” 9 6 4
Tamaño 40” 8 12 2
a) Representa los datos matricialmente.
b) ¿Cuál es el total de capacidad de producción en las dos fábricas?
c) ¿Cuál será la nueva producción en la fábrica de Nueva York si se decide aumentar por lo menos la
producción en un 20%?
Problema nº5: Un negocio tiene para la venta televisores LCD Sony de varios tamaños. Tiene 5 de 40
pulgadas; 8 de 37 pulgadas; 4 de 32 pulgadas y 10 de 26 pulgadas. Los de 40 pulgadas se venden a $6500 los
de 37 pulgadas a $4400, los de 32 pulgadas a $3100 y los de 26 pulgadas a $2200. Expresa el total de venta de
los televisores como un producto de dos matrices e indica el ingreso total.
Problema nº6: Un hipermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene 40 g
de queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B contiene 120 g de cada uno de los
tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C, contiene 150 g de queso manchego, 80 g de roquefort y 80 g de
camembert. Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y 100 de C, obtén matricialmente la
cantidad que necesitarán, en kilogramos de cada una de las tres clases de quesos.
Problema nº7: Una fábrica produce tres tipos de artículos, A1, A2 y A3, distribuyendo su producción entre cuatro
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
35
clientes. En el mes de marzo el primer cliente ha adquirido 9 unidades de A1, 5 de A2 y 2 de A3; el segundo cliente
3, 8 y 0, respectivamente; no compró nada el tercer cliente y el cuarto 6, 7 y 1 unidades, respectivamente.
En abril, el cuarto cliente no hizo pedido alguno, el tercer cliente compró 4 unidades de cada artículo,
mientras que los otros dos duplicaron el número de unidades adquiridas en marzo.
a) Construye las matrices 4 x 3 correspondientes a las ventas de los meses de marzo y abril.
b) Si los precios de los artículos son (en cientos de pesos por unidad) 10, 8 y 9, respectivamente, calcular lo
que factura la fábrica a cada cliente por sus pedidos en los meses de marzo y abril.
Problema nº 8: Una empresa fabrica tres tipos de artículos: A, B y C. Los costos de cada unidad son $600, $920
y $1430, respectivamente. Los correspondientes precios de venta de una unidad de cada artículo son $1800,
$2800 y $4000. El número de unidades vendidas anualmente es de 2240, 1625 y 842, respectivamente.
Sabiendo que las matrices de costo C y precio de venta P, son diagonales y que la matriz de cantidad vendida,
Q, es una matriz fila, se pide:
a) Determinar las matrices C, P y Q.
b) Obtener, a partir de las matrices anteriores, la matriz de ingresos anuales correspondientes a los tres
artículos, la matriz de gastos anuales y la matriz de beneficios anuales.
Respuestas de los problemas de la actividad 14. Matrices en contexto
1 . AB =
151 276 737 831 715
144 276 886 948 786
350 463 1045 696 1045
130 313 1153 1356 981
2. 517305033923631HA100
1 la que tiene mayor número de clientes es deportes.
3. a) A +B =
150165
600760 b) 1.2 B =
10896
372480 c)
9.74
3.81
7.67
8.95
5.81
AB100
1 t
4. a)
Modelo I Modelo II Modelo III
Tamaño 32” 9 8 5
Tamaño 37” 16 10 9
Tamaño 40” 18 20 6
Modelo I Modelo II Modelo III
Tamaño 32” 6 4 3
Tamaño 37” 9 5 6
Tamaño 40” 12 10 5
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
36
Aclaración: producción mínima para cubrir el aumento de 20 % por lo menos
5. )102100(
2200
3100
4400
6500
10485
6. Se necesita 26.6 kg de manchego, 25.6 kg de roquefort y 21.6 kg de camembert.
7. a)
000
444
0166
41018
176
000
083
259
; b)
0
108
188
296
125
0
94
148
8.a)
842625.1240.2Q
,
000.400
0800.20
00800.1
P,
143000
09200
00600
C
) 4032000 4550000 3368000 ,
1344.000 1495000 1204060 ,
2688000 3055000 2163940
b
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
37
BLOQUE 2
CADENAS DE MARKOV
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Resolución por metodo de Gauss y determinantes. Clasificación.
Teorema del Rango
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
38
CADENAS O PROCESOS DE MARKOV
Introducción: Uso de las cadenas de Markov para tomar mejores decisiones.
Las cadenas de Markov proporcionan un sistema muy útil para crear e implementar un proceso de toma de
decisiones que aprecie posibles escenarios permitiendo predecir comportamientos futuros. Precisamente, el
trabajo teórico del matemático Andrey Markov, consiste en un proceso de decisión de control estocástico, es
decir con componente aleatoria, en las que el valor de la variable en el futuro depende del valor de la variable
en el presente. En este sentido, una cadena de Markov consiste en una serie de estados, en los cuales la
probabilidad de que un evento ocurra depende del estado inmediatamente anterior, y no de la secuencia de
estados que le preceden. Estos cambios de estados se llaman transiciones. Cada proceso tiene un estado inicial
y una matriz de transiciones que muestra todas las posibles transformaciones futuras a partir de él.
Las cadenas de Markov tienen muchas aplicaciones en el mundo real, destacando su uso en negocios, política,
finanzas, deportes, salud, genética, física, economía, como:
análisis de los movimientos de los precios de artículos de consumo
preferencias de los clientes
procesos físicos
procesos meteorológicos
A modo de presentación del tema se analiza la siguiente situación:
Situación 1: “Competencia en el mercado entre tres proveedores de marcas identificadas por: A, B, C”
Un estudio de mercado obtiene la siguiente información relativa a las preferencias de los compradores respecto
a tres marcas identificadas como A, B y C: los compradores que hoy compran un producto de la marca A, en un
determinado periodo de tiempo un 30% volverá a comprar esta marca, un 40% cambiará a la marca B y un 30%
a la marca C. Estos datos juntos a los de B y C se muestran en la siguiente matriz:
A B C
ABC
(0.30 0.40 0.100.40 0.10 0.300.30 0.50 0.60
)
Esta matriz se denomina MATRIZ DE TRANSICIÓN la llamaremos matriz P = (pij) y cada uno de sus elementos pij
representa la probabilidad de que el proceso pase del estado j al estado i.
Por ejemplo: p32 = 0.50 indica que en un determinado período de tiempo los compradores de la marca B pasarán
de consumir la marca C.
A modo de predecir la participación en el mercado de las marcas A, B y C en un período siguiente, dicho estudio
de mercado informa sobre las participaciones actuales en el mercado de A, B y C, resultando: 40%, 50% y 10%,
respectivamente. Esto significa que, actualmente, el 40% del total de compradores eligen la marca A;
análogamente para la marca B y C.
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
39
Organizando estos datos en la siguiente matriz: 𝑋0 = (0.400.500.10
)
En un periodo de tiempo siguiente, las participaciones en el mercado de A, B y C será:
Para A: 0,3 ⋅ 0,4 + 0,4 ⋅ 0,5 + 0,1 ⋅ 0,1 = 33%
Para B: 0,4 ⋅ 0,4 + 0,1 ⋅ 0,5 + 0,3 ⋅ 0,1 = 24%
Para C = 0,3 ⋅ 0,4 + 0,5 ⋅ 0,5 + 0,6 ⋅ 0,1 = 43%
Empleando notación matricial y operaciones entre matrices se expresa la situación en este nuevo período de
la siguiente manera:
X1 = P X0 = (0.30 0.40 0.100.40 0.10 0.300.30 0.50 0.60
)(0.400.500.10
) = (0.330.240.43
)
Si se necesita predecir la situación en un segundo período, se debe considerar como situación inicial a la
matriz:
X1 = (0.330.240.43
)
Luego:
X2 = P X1 = (0.30 0.40 0.100.40 0.10 0.300.30 0.50 0.60
)(0.330.240.43
) = (0.2380.2850.477
)
o bien
X2 = P X1 = P(P X0) = P2 X0 = (0.30 0.40 0.100.40 0.10 0.300.30 0.50 0.60
) (0.30 0.40 0.100.40 0.10 0.300.30 0.50 0.60
)(0.400.500.10
) = (0.2380.2850.477
)
En general:
Xt+1 = P Xt o Xt = Pt X0
Se formalizarán los conceptos surgidos en la situación 1 mediante las siguientes definiciones:
-CADENA DE MARKOV es un proceso con las siguientes características
Existe un número finito “n” de estados posibles 1, 2,....., n dentro de un mismo sistema.
En un tiempo dado el proceso está en uno y solamente en uno de los estados dados.
Que el proceso se encuentre en un determinado estado, depende únicamente del estado
inmediatamente anterior en el que estuvo.
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
40
-MATRIZ DE TRANSICIÓN: Se denomina matriz de transición de estados a la matriz:
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
p p ... p
p p ... p
. . . .
. . . .
. . . .
p p ... p
P
Donde cada elemento pij de la matriz representa la probabilidad de que el proceso pase del estado j al estado i.
En particular, si i = j, pij representa la probabilidad de que estando el proceso en el estado i, siga permaneciendo
en dicho estado.
Los elementos de una matriz de transición de estados cumplen dos condiciones:
a) 0 pij 1 i = 1,..., n y j = 1,..., n .
b) La suma de los elementos pij de cada columna de la matriz es igual a 1.
-VECTOR DE CONDICIONES INICIALES: es una matriz columna de orden n x 1 cuyos elementos indican la
situación inicial en que se encuentra el sistema.
Se representa por: X0 =
n0
20
10
x
...
x
x
. Por ejemplo en la situación 1 analizada anteriormente el elemento 𝑥02
representa fracción de compradores que eligen la marca B actualmente (0.50).
-VECTOR DE ESTADO es una matriz de orden n x 1 cuyos elementos indican la situación del sistema transcurrido
un determinado tiempo t. Se representa por Xt =
nt
2t
1t
x
...
x
x
En la siguiente situación 2, se identificarán los “n” estados del proceso, la matriz de transición de estados, el
vector de condiciones iniciales para luego generaran nuevos conceptos.
Situación 2: Las autoridades de tránsito han realizado estudios que predicen el porcentaje de quienes utilizarán
el sistema de transporte urbano de pasajeros y el de quienes seguirán manejando su propio automóvil de un
año al siguiente año.
Se obtiene la siguiente información: el 70% de las personas que utilizaban el transporte urbano de pasajeros
en un determinado año lo seguirán usando al año siguiente, mientras que el 20% de las personas que utilizaban
automóvil al año siguiente utilizarán transporte urbano de pasajeros.
Los datos de la siguiente tabla nos informan las probabilidades de los cambios de estado:
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
41
TRANSPORTE
AUTOMOVIL
TRANSPORTE 0,7 0,2
AUTOMÓVIL 0,3 0,8
Se obtiene la siguiente matriz de transición de un año al siguiente donde los distintos estados son:
T = utiliza transporte urbano de pasajeros A = utiliza automóvil propio
Presente año
T A
El próximo año 0.7 0.2
0.3 0.8
T
A
La matriz de transición de estados, muestra las probabilidades de pasar de un estado a otro estado, del presente
año al siguiente año.
Además el estudio realizado cuenta con el dato del comportamiento de la situación actual:
Vector de condiciones iniciales es X0 =
45.0
55.0
Con esta información interesa responder:
a) ¿Qué porcentaje de la población utilizará transporte urbano de pasajeros al cabo de un año?
b) ¿Qué porcentaje de la población utilizará transporte urbano de pasajeros después de 2 años?
a) X1 = P X0 =
8,03,0
2,07,0
45,0
55,0=
525,0
475,0
Esto significa que el 47,5% de los personas utilizan transporte urbano de pasajeros al cabo de un año y el 52,5% utilizan
automóvil.
b) El vector que representa el comportamiento al cabo de dos años, identificado como X2 es:
X2 = P X1 = P (P X0 ) = (P P) X0 = P2 X0
X2 =
8,03,0
2,07,0
525,0
475,0=
5625,0
4375,0
Lo cual significa que el 43,75 % de las personas utilizarán transporte y el 56.25% de las personas automóvil, al cabo
de dos años.
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42
Análogamente, si se multiplica por P al vector X2 se obtiene X3:
X3 = P X2 = P (P X1) = P P P X0 = P3 X0 =
58125,0
41875,0
Para obtener el vector de estado dentro de 10 años, X10:
X10 = P10 X0 =
10
8,03,0
2,07,0
45,0
55,0 =
5998535156,0
4001464843,0
La siguiente tabla que muestra la distribución esperada de la población según el tipo de transporte.
Año (t) T (transporte urbano) A(auto)
1 0,475 0,525
2 0,4375 0,5625
3 0,41875 0,58125
4 0,409375 0,590625
5 0,4046875 0,5953125
6 0,40234375 0,59765625
7 0,401171875 0,598828125
8 0,4005859375 0,5994140625
9 0,4002929687 0,5997070312
10 0,4001464843 0,5998535156
Se observa que los números que se encuentran en cada columna se aproximan a 40% y 60% respectivamente
a medida que transcurre el tiempo:
X5 =
60,0
40,0 X6 X7 X8 X9 X10
Es decir que es posible predecir “valores estables o de equilibrio” después del quinto período.
En general la condición de equilibrio se cumple si el vector de estado en el tiempo t es igual al vector de estado
en el tiempo t + 1. En forma simbólica:
Xt+1 = P Xt = Xt
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43
En la situación 2, se obtiene:
2
1t
1
1t
x
x=
0,80,3
0,20,7
2
t
1
t
x
x =
2
t
1
t
x
x.
Este sistema de ecuaciones se puede expresar como:
2
t
2
t
1
t
1
t
2
t
1
t
x x0,8 x0,3
x= x0,2 + x0,7
Considerando además que: xt1 + xt
2 = 1, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
1xx
0x0,8x0,3x
00,2xx0,7x
2
t
1
t
2
t
2
t
1
t
2
t
1
t
1
t
1xx
00,2x0,3x
00,2x0,3x-
2
t
1
t
2
t
1
t
2
t
1
t
Como la ecuación 2 del sistema es equivalente a la ecuación 1 E1=(-1).E2
El sistema se reduce a
1
02.03.0
21
21
tt
tt
xx
xx
Resolviendo el sistema se obtiene como solución: xt1 = 0,4 y xt
2 = 0,6.
En este caso el sistema es compatible determinado y su solución expresa la existencia de una condición de
equilibrio del problema dado, pero no nos informa en qué momento (cantidad de períodos) se da esa
condición de equilibrio.
En general:
La CONDICIÓN DE EQUILIBRIO PARA UN MODELO DE MARKOV se puede plantear en términos de la existencia
de un vector columna, de probabilidad fijo, no nulo identificado por “X” que satisfaga
P X = X
siendo P la matriz de transición, y con la condición adicional de que la suma de las componentes del vector X
sea igual a uno. Para el caso de dos estados resulta que:
Si el sistema:
1xx
XPX
21
es compatible determinado, su solución expresa la existencia de la condición de
equilibrio del problema dado.
Observación: Se puede generalizar para n estados.
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44
ACTIVIDADES: CADENAS DE MARKOV para realizar en Taller
Actividad 1: El lenguaje de las cadenas de Markov
Recordemos que las cadenas de Markov proporcionan un sistema muy útil para crear e implementar un proceso
de toma de decisiones que aprecie posibles escenarios permitiendo predecir comportamientos futuros. Para
producir modelos cadenas de Markov es fundamental incorporar los conceptos propios de esta teoría, ellos
son: Matriz de Transición, Vector de Condiciones Iniciales, Vector de Estado y Condición de Equilibrio.
Esta actividad tiene por objeto que comprendas, identifiques y apliques estos conceptos:
1) Considerando la siguiente matriz de transición entre dos estados A y B, explica el significado de cada uno de
los elementos a11, a12, a21, a22
(aij) =(0,7 0,10,3 0,9
)
2) En un día determinado de la semana, una maquina hidráulica puede funcionar correctamente o romperse. Si
hoy la maquina funciona correctamente, la probabilidad de que mañana siga funcionando correctamente se
estima en un 98%; si la máquina está rota hoy, la probabilidad de que mañana funcione correctamente es del
25%.
a) Construir la matriz de transición de estados.
b) Sabiendo que la máquina hoy está rota, determina:
b1) la probabilidad de que dentro de un día siga rota. Identificando el vector de condiciones iniciales y el vector
de estados.
b2) la probabilidad de que dentro de tres días siga rota. ¿Y en 30 días? ¿Y en 90 días? (Puedes resolver
empleando herramientas tecnológicas como PC o aplicaciones para Smartphone).
b3) el modelo de condición de equilibrio de esta cadena de Markov.
Actividad 2: Resuelve cada uno de las siguientes situaciones:
3) En el último censo de población se clasificó a los habitantes del país en dos categorías: residentes en zonas
urbanas y residentes en zonas rurales.
El censo tomó en consideración las comparaciones entre el domicilio actual y el domicilio que tenía en el
momento de efectuarse el censo anterior, y este censo reveló que, de los que habitan en zonas urbanas un 85%
permanece en ellas y de los que habitan en zonas rurales el 75% permanece en ellas. Con estos datos:
a) Construye la matriz de transición de estados que refleje los movimientos de la población.
b) Si el 70% de la población actualmente habita zonas urbanas, estima los porcentajes que habrá cuando se
realice el próximo censo.
c) Determina, si existe, cuál es el estado de equilibrio del sistema.
4) Un día, en una ciudad, puede presentarse soleado, nublado o lluvioso. Si hoy el día está soleado, existe una
probabilidad del 70% de que continúe mañana de la misma manera y una probabilidad del 10% de que sea
lluvioso. Si hoy el día está nublado, mañana podrá estar soleado, nublado o lluvioso con probabilidades de 20%,
60%, 20%, respectivamente. Por último si hoy el día es lluvioso, para mañana hay probabilidades de 40% y 20%
de que sea soleado o nublado, respectivamente.
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45
a) Construye la matriz de transición de estados.
b) Si hoy el día es lluvioso, ¿qué probabilidad existe de que dentro de tres días esté soleado?
5) La siguiente tabla expresa las preferencias de los clientes por la compra bianual de dos marcas de televisores:
M1 y M2
Marca M1 Marca M2
Marca M1 0,9 0,3
Marca M2 0,1 0,7
a) Si hoy el cliente compró la marca M1, ¿Cuál es la probabilidad que dentro de dos años lo cambie por la marca
M2?
b) ¿Cuáles serán las preferencias de los clientes dentro de cuatro años si sólo se mantienen estas dos marcas en
el mercado?
6) Un agente comercial realiza su trabajo en tres ciudades A, B y C. Para evitar desplazamientos innecesarios
está todo el día en la misma ciudad y allí pernocta, desplazándose a otra ciudad al día siguiente, si no tiene
suficiente trabajo. Después de estar trabajando un día en C, la probabilidad de tener que seguir trabajando en
ella al día siguiente es 0.4, la de tener que viajar a B es 0.4 y la de tener que ir a A es 0.2. Si el viajante duerme
un día en B, con probabilidad de un 20% tendrá que seguir trabajando en la misma ciudad al día siguiente, en el
60% de los casos viajará a C, mientras que irá a A con probabilidad 0.2. Por último si el agente comercial trabaja
todo un día en A, permanecerá en esa misma ciudad, al día siguiente, con una probabilidad 0.1, irá a B con una
probabilidad de 0.3 y a C con una probabilidad de 0.6.
a) Si hoy el viajante está en C, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga que trabajar en C al cabo de cuatro
días?
b) ¿Cuáles son los porcentajes de días en los que el agente comercial está en cada una de las tres ciudades?
7) En un barrio de una ciudad se entrevistó a 200 familias para determinar su preferencia en cuanto a la compra
en tres grandes panaderías de la zona: A, B y C. Los entrevistados dieron el nombre de la panadería donde la
familia había realizado sus compras la semana anterior y donde prefirió hacerlo durante esta semana. La
siguiente tabla resume las respuestas:
A B C
A 40 15 12 B 20 30 18 C 20 15 30
Total 80 60 60 Considerando que los resultados son representativos de las tendencias generales de los clientes y que no
existen en el barrio más que esas panaderías:
a) Construye la matriz de transición de estados.
b) ¿Cuáles fueron las fracciones de clientes que la semana pasada compraron en las panaderías A, B y C?
c) Si una familia compra en la panadería A, ¿qué probabilidad hay de que vuelva a comprar dentro de dos
semanas en la misma panadería?
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46
8) En una pequeña ciudad existen dos casas de ventas de repuestos de automóviles que controlan el mercado
que designaremos con E1 y E2 si la matriz de cambio de estados es P= (0.9 0.20.1 0.8
) . Estudiar si existe estado de
equilibrio.
9) Interesa analizar la participación de mercado y la lealtad de los clientes para los dos únicos supermercados A
y B de una pequeña ciudad. Se supone que un cliente realiza una compra semanal en un supermercado, pero
no en ambos.
Como parte de un estudio de investigación de mercado, se recopilan datos respecto de 100 compradores. De
esos datos se desprenden que, de todos los clientes que compraron en el supermercado A, en una determinada
semana, el 90% compró en ese mismo supermercado la semana siguiente y que, de todos los clientes que
compraron en el supermercado B en una determinada semana, el 80% compró en el mismo supermercado B la
semana siguiente.
a) Determina la matriz de transición.
b) Suponiendo que la última visita del cliente fue al supermercado A: ¿Cuál es la probabilidad de que
cambie de supermercado la próxima semana?¿Cuál es la probabilidad que dentro de 3 semanas siga
comprando en el mismo?
c) Determina cuál es el estado de equilibrio del sistema.
10) El departamento de estudios de mercado de una fábrica estima que el 20% de la gente que compra un
producto un mes, no lo comprará el mes siguiente. Además, el 30% de quienes no lo compren un mes lo
adquirirá al mes siguiente. En una población de 1000 individuos, 100 compraron el producto el primer mes.
a) ¿Cuántos lo comprarán al mes próximo? ¿Y dentro de dos meses?
b) Determina la condición de equilibrio de este problema
11) Una empresa está considerando utilizar Cadenas de Markov para analizar los cambios en las preferencias de los usuarios por tres marcas distintas de un determinado producto. El estudio ha arrojado la siguiente estimación de la matriz de probabilidades de cambiarse de una marca a otra cada mes:
P = (0.80 0.03 0.200.10 0.95 0.050.10 0.02 0.75
)
a) Indica el significado de p23 b) Si en la actualidad la participación de mercado es de 45%, 25% y 30%, respectivamente. ¿Cuáles serán
las participaciones de mercado de cada marca en dos meses más? c) Determina, si existe, cuál es el estado de equilibrio del sistema.
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47
RESPUESTAS. ACTIVIDADES CADENAS DE MARKOV
2) Orden: funciona - rota
a) (0.98 0.250.02 0.75
)
b) x0 = (01) b1) 0.75 b2) 0.434275 (3 días) 0.741476 (30 días) 0.740741 (90 días).
b3) {𝑥1 + 𝑥2 = 1
0.02𝑥1 − 0.25𝑥2 = 0
3) Orden: Residentes en zonas urbanas – Residentes en zonas rurales
a) (0.85 0.250.15 0.75
)
b) 67% en zona urbana y el 33% en zona rural
c) Existe estado de equilibrio 62.5% en zona urbana y el 37.5% en zona rural
4) Orden soleado -nublado -lluvioso
a)(0.7 0.2 0.40.2 0.6 0.20.1 0.2 0.4
)
b) soleado 48.8%
5) Orden: marca M1-marca M2 (0.9 0.20.1 0.8
)
a) en 2 años la probabilidad de que cambie por la marca M1 es 0.1
b) en 4 años la marca M1 0.84 la marca M2 0.16
6) Orden: ciudad A - ciudad B - ciudad C (0.1 0.2 0.20.3 0.2 0.40.6 0.6 0.4
)
a) al cabo de 4 días la probabilidad de que siga trabajando en C es 50,08%
b) (0.1818180.318182
0.5)
7) Orden: Panaderia A – panadería B – Panaderia C
a)(0.5 0.25 0.20.25 0.5 0.30.25 0.25 0.5
)
b) Panadería A 80/200 = 0.4
Panadería B 60/200 = 0.3
Panadería C 60/200 = 0.3
c) 36.25%
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8) (2/31/3
)
9) Orden: A - B
a) (0.9 0.20.1 0.8
)
b) 10% es la probabilidad de que cambia al supermercado B
Siga en comprando en el supermercado A es 78.10%
c) Equilibrio supermercado A: 2/3 del mercado , supermercado B: 1/3 del mercado
10) Orden: C compra- NC no compran
(0.8 0.30.2 0.7
)
a) El próximo mes compraran 350 personas y no compraran 650 y en 2 meses compraran 475 personas y no
compraran 525.
b) El equilibrio resulta en 600 personas comprando y 400 no.
11) a) x2 = (0,4059250,3391250,25495
) b) (0,2371130,6185570,14433
)
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49
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Ecuaciones Lineales
Las ecuaciones son expresiones del lenguaje matemático que se emplean para modelar distintas situaciones ya
sea de la vida cotidiana o del campo científico. Por tal motivo, representan una estrategia para resolver
problemas. En este sentido es importante tener en cuenta:
Leer y comprender el enunciado.
Definir la incógnita.
Plantear la ecuación.
Resolver la ecuación.
Discutir e interpretar los resultados.
Ecuación lineal con n incógnitas
Una ecuación lineal con n incógnitas y coeficientes reales es una expresión de la forma:
a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b
donde a1, a2 , a3, ... , an y b son números reales, x1, x2, x3, ... , xn son las incógnitas.
Los ai son los coeficientes de las incógnitas xi i: i = 1, 2, 3, ..., n, mientras que b es el término independiente de
la ecuación.
Ejemplo
Las siguientes son ecuaciones lineales con 3, 2 y 4 incógnitas, respectivamente:
8x1+x2 10x3=0 ; 2x1+5x2=1 ; x1 – 4x2+2
1x3= x4+2
Solución de una ecuación
Dada la ecuación lineal con n incógnitas a1 x1 + a2 x2 + … + an xn = b entonces la n-upla (t1, t2 ,..., tn) de números
reales que verifica la igualdad:
a1 t1 + a2 t2 + ... + an tn = b
es una solución de la ecuación.
Ecuaciones como modelo en la resolución de problemas:
Situación 1:
La compañía ESTILO fabrica dos productos diferentes A y B. Para el próximo mes dispone de 500 horas de
trabajo destinadas a la elaboración de ambos productos. Como la fabricación de ambos productos aporta
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50
Importantes ganancias a la compañía, interesa utilizar todas las horas disponibles del mes. Cada unidad de
producto A, requiere 5 horas de trabajo para su elaboración y cada unidad de producto B, requiere 4 horas para
su elaboración.
a) Plantear una ecuación que describa la situación.
b) ¿Cuántas unidades de A se pueden fabricar si se elaboran 80 unidades de B?
c) Si se decide producir un solo artículo, ¿cuál será la cantidad máxima que puede fabricarse del producto A? ¿Y
cuál es la cantidad máxima del producto B?
a) Definiendo las variables:
x1 : cantidad de unidades fabricadas de producto A.
x2 : cantidad de unidades fabricadas de producto B.
El modelo que representa la situación es:
5x1 + 4x2 = 500
b) Si se fabrican 80 unidades de B entonces x2 = 80,
luego 5x1 + 4 . 80 = 500.
5x1 = 500 320 entonces x1 = 36.
Un par de valores que satisfacen la ecuación es (36, 80), o bien, una combinación de los dos productos que usará
totalmente las 500 horas es 36 unidades del producto A y 80 unidades del producto B.
c) Si la dirección de la empresa decide fabricar sólo el producto A entonces x2 = 0.
Luego , 5 x1 + 4 . 0 = 500 de donde x1 = 100.
Por lo tanto, 100 es el número máximo de unidades de A que se pueden fabricar.
Si decide fabricar sólo el producto B entonces x1 = 0.
Por lo tanto, 5. 0 + 4 x2 = 500, de donde x2 = 125.
Luego, 125 es el número máximo de unidades de B que se pueden fabricar.
Situación 2:
Una camioneta tiene que transportar cuatro tipos de insumos de computadoras: A, B, C, D; que se llevarán en
cajas. Una caja del insumo A pesa 10 kg, una caja del insumo B pesa 15 kg, una del insumo C pesa 12 kg. Y una
caja del insumo D pesa 20 kg. La capacidad de la camioneta es 600 kg.
a) Determinar la ecuación adecuada para que la camioneta esté cargada en toda su capacidad.
b) Si se decide enviar 13 cajas del insumo A, 10 del B y 10 del C. ¿Cuántas cajas del insumo D se enviarán?
c) Si se decide enviar un sólo insumo por vez, ¿cuántas cajas de cada insumo se pueden transportar?
a) Si se define;
x1: cantidad de cajas del insumo A x2: cantidad de cajas del insumo B
x3: cantidad de cajas del insumo C x4: cantidad de cajas del insumo D
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51
El modelo que representa la situación 2 es:
10 x1 + 15 x2 + 12 x3 + 20 x4 = 600
b) 10 .13 + 15.10 + 12 10 + 20 x4 = 600 resulta x4= 10 insumos de tipo D
c) En el caso de enviar sólo el insumo A, las variables x2, x3, y x4 tomarán el valor cero y se obtiene:
10 x1 + 15 .0 + 12 .0 + 20 .0 = 600 resultando A = 60
de la misma forma resulta la cantidad de insumos de tipo B es 40, del tipo C 50 y tipo D 30
Diversas situaciones requieren de más de una ecuación para ser modeladas, como la que se presenta a
continuación:
Situación 3: Una fábrica de repuestos automotor decide lanzar al mercados dos nuevos modelos de
carburadores para los cuales necesita dos tipos de piezas: piezas tipo A y piezas tipo B.
Los requerimientos de cada modelo y la disponibilidad de piezas A y B se consignan en la siguiente tabla:
Primer Modelo Segundo Modelo Total disponible por día
Piezas A 8 10 680
Piezas B 4 2 232
¿Cuántas unidades de cada modelo deben fabricarse por día, de manera que se utilicen todas las piezas A y las
piezas B?
Las variables que se emplearán para producir el modelo son:
x1 : número de unidades del Primer Modelo de carburador que se fabrican por día
x2 : número de unidades del Segundo Modelo que se fabrican por día.
De la definición de las incógnitas se desprende que sólo pueden tomar valores enteros no es posible pensar en
fracción de una pieza o en un número negativo de piezas.
Como se disponen de 680 piezas A, y cada unidad del Primer Modelo necesita 8 piezas A y cada unidad del
Segundo Modelo necesita 10 piezas A, se obtiene: 8x1 + 10 x2 = 680
Asimismo la ecuación respecto de las piezas B, es: 4x1 + 2x2 = 232
Por lo tanto, el modelo que representa la situación 3 es:
232x2x4
680x10x8
21
21
Esta expresión se denomina: sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas.
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52
Resolviendo el sistema por el método de sustitución de variables:
De la primera ecuación: x1= 8
x10680 2
Sustituyendo x1= 8
x10680 2 en la segunda ecuación: 2
2
680 104. 2 232
8
xx
Luego:
3405x2+2x2=232 -> x2= 36.
Con el valor x2= 36, resulta x1= 8
360680 = 40.
La solución del sistema es (x1, x2) = (40,36) por lo tanto existe un par ordenado que satisface simultáneamente
las dos ecuaciones. Esto significa que el sistema tiene solución y se clasifica como compatible o consistente.
Para interpretar gráficamente esta situación, se pueden pensar las incógnitas como variables reales. Cada
ecuación lineal admite una representación gráfica que es una recta, llamadas respectivamente L1 y L2. Las rectas
L1 y L2 se cortan en un punto de coordenadas (40, 36).
Situación 4:
Una empresa fabrica compoteras y tazas de cerámica. Por cada compotera o taza existe una cantidad fija de
materia prima que debe colocarse y estar disponible en un recipiente. Un empleado demora un promedio de
dos minutos para seleccionar y colocar en un recipiente la materia prima para cada utensilio y trabaja en forma
permanente durante una jornada diaria de 6 horas. La empresa asigna $72 diarios para la producción, que se
destinan sólo a pagar el material utilizado. Cada utensilio tiene un costo diario de $0,20 en materia prima y
puede fabricar 180 entre los dos. ¿Cuántas compoteras y tazas pueden fabricarse diariamente?
Solución del problema:
El problema puede modelarse en términos de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Donde:
x : cantidad de compoteras
y : cantidad de tazas
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53
72y20,0x20,0
180yx
Resolviendo por el método de sustitución de variables:
De la primera ecuación: y = 180 x;
Sustituyendo en la segunda: 0,20x + 0,20. (180 x) = 72
Resolviendo se obtiene: 36 = 72 que es un absurdo.
En este caso, el problema no tiene solución. Gráficamente:
El sistema de ecuaciones lineales es inconsistente y gráficamente representa dos rectas paralelas.
Si bien se han analizado distintas situaciones que se modelan con un sistema de ecuaciones lineales de dos
ecuaciones y con dos incógnitas, un gran número de ellas requiere la definición de más variables y más
ecuaciones para ser modelado y por lo tanto se necesitarán métodos de resolución más adecuados para estos
casos. Dichos métodos requieren el conocimiento de nuevos conceptos que se presentarán a lo largo de este
material.
Situación 5
En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 barras de cereales de distintos sabores: frutal,
chocolate con leche y con almendras. El presupuesto destinado para esta compra es de $540, siendo el precio
de cada cereal de $4 el frutal, $5 el de chocolate con leche y $6 el de almendras. Conocidos los gustos de los
estudiante, se sabe que entre barras de chocolate con leche y los que contienen almendras se han de comprar
el 20% más que de los frutales. ¿Cuántas barras de cereales de cada sabor se compran por semana?
Solución del Problema:
Se debe determinar la cantidad de cereales de cada sabor que se compran por semana. Por lo tanto este
problema necesita definir tres variables: x1, x2 y x3
x1 : Cantidad de barras de cereales frutales que se compran por semana
x2 : Cantidad de barras de chocolate con leche que se compran por semana
x3 : Cantidad de barras de cereales con almendras que se compran por semana
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54
De acuerdo a la información dada, el modelo que representa la situación 4 es:
{
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 1104𝑥1 + 5𝑥2 + 6𝑥3 = 54012𝑥1 − 10𝑥2 − 10𝑥3 = 0
Como se puede observar, a diferencia de las situaciones anteriores, este sistema contiene tres ecuaciones y tres
incógnitas. Si bien es posible resolver este sistema por el método de sustitución, cuantas más variables contenga
el sistema, más tedioso resulta este método. Por esta razón se incorporarán nuevos método de resolución, cuya
principal característica es trabajar sólo con los coeficientes y términos independientes del mismo.
Sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas
Sean m, n números naturales. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m
ecuaciones lineales con n incógnitas que se indica:
S:
mnmn3m32m21m1
3n3n333232131
2n2n323222121
1n1n313212111
bxa...xaxaxa
..........................................................
bxa...xaxaxa
bxa...xaxaxa
bxa...xaxaxa
donde a11, a12,....., a1n son los coeficientes de la primera ecuación; a21, a22, .......,a2n son los coeficientes de la
segunda ecuación y am1, am2,......, amn los coeficientes de la última ecuación. Las letras x1, x2,....xn son las
incógnitas y b1, b2,......, bm los términos independientes.
Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas se dice que es de orden mxn
Solución de un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas
Se llama solución del sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a toda n-upla (t1, t2,..., tn) de números
reales que es solución de todas las ecuaciones del sistema. El conjunto de las soluciones del sistema se denomina
Conjunto Solución
En símbolos: Conjunto Solución = CS = {(t1, t2,..., tn) con ti R con i = 1,…,n}
Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es compatible o consistente cuando tiene al menos una
solución. Si no tiene solución es incompatible o inconsistente.
Los sistemas de ecuaciones lineales compatibles pueden tener una o infinitas soluciones.
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55
Si un sistema de ecuaciones lineales tiene:
Única solución se denomina determinado
Infinitas soluciones se llama indeterminado.
Interpretación Gráfica para el caso de sistemas de orden 3x3
Al abordar el tema. FUNCIONES, se analizó que las funciones lineales de tres variables, dos de ellas
independientes, se representan en el espacio tridimensional mediante planos.
Estas representaciones gráficas permiten interpretar gráficamente la solución de los sistemas de ecuaciones
lineales de tres incógnitas, como se muestra a continuación:
Si el sistema de ecuaciones tiene solución única la gráfica se ve como:
En los sistemas compatibles indeteminados puede ocurrir:
En los sistemas incompatibles se pueden presentar situaciones gráficas que son:
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
56
Ejemplo: Verifica que S={(-1,0,2)} es el conjunto solución del sistema:
S={
2x − y + z = 0x + 2y − z = −33x + y − 2z = −7
Para comprobar que la solución es única, no hay otra, se recurre a la interpretación gráfica de la solución del
sistema que muestra que cada una de las ecuaciones lineales que conforman el sistema representa un plano
en el espacio y que los tres planos se cortan en un punto:
Método de resolución de Sistemas de ecuaciones lineales: Eliminación de Gauss
El método de eliminación de Gauss permite resolver sistemas de ecuaciones trabajando sólo con los coeficientes
y términos independientes del mismo, sin las variables. Previamente, se introducirán conceptos necesarios para
la comprensión de este método.
Para el caso del sistema de la situación 5:
{
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 1104𝑥1 + 5𝑥2 + 6𝑥3 = 54012𝑥1 − 10𝑥2 − 10𝑥3 = 0
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
57
Se organizan los coeficientes y términos independientes empleando una disposición matricial con el objeto de
resolver el sistema aplicando operaciones elementales sobre dicha matriz.
(1 1 1 1104 5 6 54012 −10 −10 0
)
Operaciones elementales y forma escalonada de una matriz
Se presentarán operaciones que se efectúan entre las filas de una matriz que conducirán, a posteriori, a
describir el método de eliminación de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones.
Una operación elemental de fila (a veces llamada sólo operación de fila u operación de renglón) en una matriz
A, es cualquiera de los tres tipos de operaciones:
i) Intercambio de dos filas.
ii) Reemplazo de una fila por un múltiplo escalar no nulo de ella.
iii) Reemplazo de una fila por la suma entre ella y un múltiplo escalar de otra.
Para indicar estas operaciones elementales usaremos la siguiente notación.
i) Fi Fj intercambiar las filas i y j
ii) Fi c . Fi reemplazar la fila i por la fila i previamente multiplicada por el número real c ; c 0.
iii) Fj Fj + c. Fi reemplazar la fila j por la la fila j más la fila i multiplicada por una constante c.
Estas operaciones elementales también pueden aplicarse sobre las ecuaciones del sistema. Al aplicarlas se
generan sistemas de ecuaciones equivalentes al original, es decir sistemas que admiten la misma solución que
el dado.
En el siguiente cuadro comparativo se muestra cómo se aplican las operaciones elementales, indistintamente
sobre las ecuaciones del sistema o sobre las filas de la matriz que se obtiene del sistema.
Intercambio de ecuaciones o de filas
Con ecuaciones 1 2
1 2
2 3
0
x x
x x
E1E2
3xx2
0xx
21
21 Con matrices2 1 3
1 1 0
F1F2
1 1 0
2 1 3
Multiplicación de una ecuación, o fila, por un escalar distinto de cero
Con ecuaciones 1 2
1 2
2 3
0
x x
x x
E1 E1.(2)
1 2
1 2
4 2 6
0
x x
x x
Con matrices (2 11 −1
| 3| 0
) → (4 −21 −1
| 3| 0
)
F1 F1(2)
Sustitución de una ecuación, o fila, por la suma entre esta y un múltiplo de otra
Con ecuaciones 1 2
1 2
2 3
0
x x
x x
E1 E1 + E2.(-4)
0
352
21
21
xx
xx
Con matrices 2 1 3
1 1 0
2 5 3
1 1 0
F1 F1 + F2.(-4)
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
58
Estas operaciones elementales deben aplicarse estratégicamente en la resolución de un sistema de ecuaciones.
Es decir generando sistemas equivalentes al original pero más simples de resolver, esto se logra transformando
algunos de los coeficientes de las variables en ceros como se muestra a continuación:
Caso particular: cómo obtener un cero como coeficiente de alguna variable en una ecuación
Con ecuaciones
0xx
3xx2
21
22 E1E2
3xx2
0xx
21
21
E2 E2 E1.(-2)+E2 1 2
1 2
0
0 3 3
x x
x x
Con matrices2 1 3
1 1 0
F1F2
1 1 0
2 1 3
F2 F1.(-2)+F2 1 1 0
0 3 3
En términos formales, las operaciones de renglón serán utilizadas con el objetivo de obtener a partir de la matriz
del sistema otra matriz denominada “Forma Escalonada por renglones o Forma de Gauss” de una matriz.
Forma Escalonada por Renglones o Forma de Gauss
Una matriz de orden mxn, se encuentra en la Forma Escalonada por Renglones o Forma de Gauss si se cumplen
las siguientes condiciones:
1- Todas las filas nulas, que son las tienen todos sus elementos iguales a cero, si las hay, aparecen en la parte
inferior de la matriz. Es decir, si existen filas nulas, éstas son las últimas filas de la matriz.
2- El primer número distinto de cero a partir de la izquierda en cualquier fila no nula es 1.
3- Si dos filas sucesivas son diferentes de cero, entonces el primer 1 en la fila inferior aparece más hacia la
derecha que el primer 1 de la fila superior.
4- El número de ceros (que están antes que el 1, desde la izquierda) de la fila inferior es mayor que el número
de ceros de la fila superior.
Ejemplo
Sea M=
3111
0111
5012
una matriz, aplicando operaciones elementales entre filas, podemos obtener una
Forma Escalonada por Renglones de la matriz M.
3111
0111
5012
F1 F3
5012
0111
3111
F2F2 + F1
5012
3020
3111
F3 F3 + 2F1
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
59
1210
3020
3111
F2 F3
3020
1210
3111
F3 F3+(2)F2
1400
1210
3111
F3(1/4)F3
4/1100
1210
3111
Finalmente, la matriz F =
4/1100
1210
3111
es una Forma Escalonada por Renglones de la matriz M.
Las matrices que se dan a continuación están en la Forma Escalonada por Renglones
A =
1000
1110
0201
, B =
0000
2110
5321
y C =
2100
1301
Forma escalonada por renglones reducida (o Forma de Gauss-Jordan)
Una matriz de orden mxn se encuentra en la Forma Escalonada por Renglones Reducida o en la Forma de
Gauss – Jordan si a las tres condiciones de la definición anterior le agregamos la siguiente:
5- Cualquier columna que contenga el primer 1 de un renglón no nulo tiene ceros en las demás posiciones.
Ejemplo
Estas matrices están en la Forma de Gauss - Jordan:
A =
100
010
001
; B =
1000
0010
0001
; C =
0000
2110
5301
; D =
2100
1001
En la Forma Escalonada por Renglones, todos los números situados debajo del primer 1 de una fila de cero son
ceros. En la Forma Escalonada por Renglones Reducida, todos los números situados arriba y abajo del primer 1
de una fila diferente de cero son ceros.
Si una matriz está en la Forma Escalonada por Renglones Reducida entonces
está en la Forma Escalonada por Renglones
¿Es es cierta la proposición recíproca de la anterior? ¿Por qué?
La Forma Escalonada por Renglones o Forma de Gauss de una matriz no es única
Ejemplo
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
60
Sea A =
1113
1121
2222
. Para obtener una Forma Escalonada por Renglones, podemos realizar las siguientes
operaciones elementales, que no son las únicas
1113
1121
2222
F1 2
1 F1
1113
1121
1111
F3 F3 + (3)F1
2220
1121
1111
F2 F2 + (1)F1
2220
2210
1111
F3 2
1 F3
1110
2210
1111
F3F3+(1)F2
3300
2210
1111
F3 3
1F3
1100
2210
1111
La matriz B =
1100
2210
1111
es una Forma Escalonada por Renglones de la matriz A.
Análogamente se puede obtener otra Forma Escalonada por Renglones de la matriz A realizando otras
operaciones elementales de renglón.
A =
1113
1121
2222
F2 F1
1113
2222
1121
F2 F2 +(-2)F1, F3 F3 + (-3)F1
4450
4420
1121
F3 F2
4420
4450
1121
F2 f2.(-1/5)
4420
5/45/410
1121
F3 2F2 + F3
5/125/1200
5/45/410
1121
F3 F3.(5/12)
1100
5/45/410
1121
La matriz C =
1100
5/45/410
1121
es otra Forma Escalonada por Renglones de la matriz A.
La Forma Escalonada por Renglones Reducida o Forma de Gauss – Jordan de una matriz es única
Ejemplo
Dada la matriz A =
111
442 . Para obtener la Forma Escalonada por Renglones Reducida o Forma de Gauss-
Jordan, se pueden realizar las siguientes operaciones elementales:
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
61
111
442 F1(1/2)F1
111
221 F2 F2 +(1)F1
110
221 F2 (1)F2
110
221F1 F1 + (2)F2
110
001
La matriz B =
110
001 es la Forma Escalonada por Renglones Reducida de la matriz A.
Asimismo se puede obtener la matriz B =
110
001 realizando otras operaciones elementales entre las filas de
la matriz A, por ejemplo:
A=
111
442 F1 F2
442
111 F2 F2 + (2)F1
220
111
F2 (1/2)F2
110
111 F1 F1 + (1)F2
110
001 , que es la misma matriz obtenida anteriormente y resulta
ser la única Forma Escalonada por Renglones Reducida de la matriz A.
Resolución del sistema de la situación 5 mediante el método de Gauss:
Aplicar el método de Eliminación de Gauss consiste en transformar la matriz del sistema en una matriz
escalonada por renglones o escalonada reducida por renglones como se muestra a continuación.
El sistema que modeliza la situación 5 es:
{
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 1104𝑥1 + 5𝑥2 + 6𝑥3 = 54012𝑥1 − 10𝑥2 − 10𝑥3 = 0
La matriz que se genera a partir del sistema es:
(1 1 1 1104 5 6 54012 −10 −10 0
)
Esta matriz se denomina Matriz Ampliada del sistema y las siguientes son las matrices de coeficientes y la matriz
de términos independientes del sistema:
(1 1 1 4 5 6 12 −10 −10
) (1105400
)
Se transformará la matriz ampliada en una matriz escalonada o escalonada reducida con la finalidad de generar
una sistema de ecuaciones equivalente al dado pero más sencillo de resolver.
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
62
(1 1 1 1104 5 6 540
12 −10 −10 0 )
(1 1 1 1100 1 2 1000 −22 −22 − 1320
)
F2 F1( -4) + F2
F3 F1( -12) + F3
(1 0 −1 100 1 2 1000 0 22 880
)
F1 F2( -1) + F1
F3 F2( 22) + F3
(1 0 −1 100 1 2 1000 0 1 40
)
F3 F3( 1/22)
(1 0 0 500 1 0 200 0 1 40
)
F1 F3( 1) + F1
F2 F3( -2) + F2
Como se puede observar la forma escalonada reducida de la matriz ampliada del sistema es:
(1 0 0 500 1 0 200 0 1 40
)
Y por lo tanto el sistema de ecuaciones que se obtiene es:
{ 𝑥1 = 50𝑥2 = 20𝑥3 = 40
Este último sistema es equivalente al dado:
Por lo tanto ambos admiten la misma solución: (50; 20; 40)
La respuesta del problema que se modelizó con el sistema de ecuaciones que se acaba de resolver es:
Por semana se compran 50 barras de cereal de sabor frutal, 20 de chocolate con leche y 40 barras de cereal
que contienen almendras.
Rango de una matriz
Sea A una matriz y E cualquier Forma Escalonada por Renglones o forma Gauss de A. El número de filas
diferentes de cero es el mismo en cualquier Forma Escalonada por Renglones de A y coincide con el número de
filas diferentes de cero de la única Forma Escalonada por Renglones Reducida de A o forma Gauss-Jordan. Este
número juega un papel fundamental en gran parte del Álgebra Lineal, y por lo tanto, se le da un nombre especial:
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
63
Se denomina rango de una matriz A y se indica r(A) al número de filas diferentes de cero
de cualquier Forma de Gauss o Gauss - Jordan de la matriz A
Ejemplo
Sea M =
433
211
642
Para determinar su rango se debe obtener una Forma Escalonada por Renglones o su Forma Escalonada por
Renglones Reducida de M aplicando operaciones elementales entre filas; de esta manera:
M =
433
211
642
433
211
321
530
530
321
000
530
321
000
3/510
321
El rango de M es 2 y se indica r(M) = 2.
Ejemplo
Las matrices A =
1000
1110
0201
, B =
0000
2110
5321
y C
10
11 son Formas Escalonadas por Renglones de
tres matrices cuyas definiciones desconocemos. Los rangos de estas matrices desconocidas, cuyas Formas
Escalonadas por Renglones son las matrices A, B y C son 3, 2 y 2, respectivamente.
Teorema del Rango
Los conceptos de rango, conjunto solución y número de ecuaciones están íntimamente ligados como muestra
el próximo teorema.
TEOREMA: Sean S un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas y siendo A y A´ las matrices de
coeficientes y ampliada del sistema S y r(A) y r(A´) los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada,
respectivamente.
Entonces se cumple una de las siguientes proposiciones:
S es incompatible r(A´) > r(A)
S es compatible determinado r(A´) = r(A) y r(A´) = n
S es compatible indeterminado r(A´) = r(A) y r(A´) < n
Un sistema de ecuaciones lineales tiene solución única si y solo si el rango de la matriz de coeficientes y
el rango de la matriz ampliada son iguales y estos rangos iguales coinciden con el número de incógnitas.
Un sistema de ecuaciones lineales tiene infinitas soluciones si y solo si los rangos son iguales y menores
que el número de incógnitas.
La diferencia n r(A) indica la cantidad de incógnitas que asumen valores reales arbitrarios.
Un sistema de ecuaciones lineales no admite solución si y solo si los rangos son distintos.
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
64
Ejemplos
1- Para el sistema de la situación 5:
La forma escalonada reducida de la matriz del sistema resultó:
(1 0 0 500 1 0 200 0 1 40
)
Donde r(A) =3=r(A´) por lo que el sistema resulta compatible de determinada como ya se comprobó al encontrar
como única solución el punto: (50; 20; 40)
y para Escalonada por Renglones se aplican operaciones elementales:
Y se obtiene:
(1 10 10 0
|
2121
)
El sistema dado es incompatible porque los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada r(A) = 2
y r(A´) = 3, respectivamente, son distintos.
la Forma Escalonada por Renglones de la matriz ampliada del sistema se obtiene como sigue:
El sistema tiene infinitas soluciones porque r (A) = r (A´) = 2 y n = 4 > r = 2.
Para obtener las infinitas soluciones, la diferencia n r = 4 2 indica que dos incógnitas deben asumir valores
reales arbitrarios. Por lo tanto:
2
-
-
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
65
x3 = t; x4 = u t, u R ;
x2 = t4
3u
2
1
4
1
; x1 = t4
1u
2
1
4
9 .
El conjunto solución es CS = {( t4
1u
2
1
4
9 , t
4
3u
2
1
4
1
, t , u) t, u R}
Observación: Un sistema que tenga más incógnitas que ecuaciones nunca puede ser compatible determinado
ya que el rango de la matriz siempre es menor que el número de incógnitas: El rango es siempre menor o igual
que el mínimo entre el número de ecuaciones y número de incógnitas. En estos sistemas donde m < n el rango
será menor que m.
Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos
Un sistema de ecuaciones lineales donde todos los términos independientes son nulos se llama Sistema
Homogéneo (SH).
SH:
nmnmm
nn
nn
xa...xaxa
.................................
xa...xaxa
xa...xaxa
Los sistemas lineales homogéneos siempre tienen solución pues la n-upla nula 0 = (0, 0, …, 0) siempre verifica
el sistema. Es decir que un sistema homogéneo nunca es incompatible.
Si r(A) = r(A’) = n la única solución es la nula o trivial
Si r(A) = r(A’) n el sistema tiene infinitas soluciones
Ejemplo
1- Sea el sistema homogéneo SH:
0x2xx
0x2xx2
0xx2x
321
321
321
Observación: Para resolver el sistema por el método de eliminación de Gauss conviene aplicar las operaciones
elementales trabajando con la matriz de coeficientes. No es necesario incluir la columna de términos
independientes porque siempre resultará una columna nula, cualquiera sea la operación elemental que se haga.
Lo que sigue muestra cómo la matriz A de coeficientes del sistema, mediante operaciones elementales entre
filas, se lleva a una forma escalonada:
211
212
121
330
430
121
100
430
121
100
3/410
121
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
66
Los rangos verifican que r(A) = r( A´) = 3 y coinciden con el número de incógnitas entonces el sistema tiene
solución única y es la solución nula (solución trivial)
Si a partir de la forma escalonada se plantea el sistema equivalente al dado se obtiene:
0
03
4
02
3
32
321
x
xx
xxx
Y la solución es CS = {(0, 0, 0)
Ejemplo
2- Para el sistema
043
0
032
21
321
321
xx
xxx
xxx
Se obtiene:
043
111
132
043
132
111
310
310
111
000
310
111
Los rangos verifican que r(A) = r(A´) = 2 y r(A) < 3, donde 3 representa el número de incógnitas entonces el
sistema tiene infinitas soluciones.
El sistema equivalente al dado es:
03
0
32
321
xx
xxx
Si x3 = t, t R; x2 = 3t y x1 = x2 x3 entonces x1 = 3t t = 4t.
El conjunto solución del sistema es CS = {(4 t, 3 t, t ) t R}
3- El sistema
zyx
zyxes homogéneo con más incógnitas que ecuaciones. Como el rango de la matriz de
coeficientes es a lo sumo 2 resultará menor que el número de incógnitas y por lo tanto es compatible
indeterminado.
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
67
ACTIVIDADES: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1- Dados los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
1.1)
5x3x2
2xx
21
21 1.2)
5x3x3
3x2x2
2xx
21
21
21
1.3)
132
32
231
x3xx2
x25x3
x2xx
1.4)
13
231
321
x3x3
x5x2x2
2xxx
1.5)
0z6y3x
0zy2x 1.6)
5z4yx2
1zy2x3
1.7)
0x
5xx
2x5
4x
5
2x
3
32
321
1.8)
34xx2x
12x2x3x
36xx42x
321
321
321
1.9)
40x30x15
4x3x2
3x
8x6x3x 2
32
321
321
1.10)
15x4xx2x
54xxx x
139x4x3x x2
4321
4321
4321
1.11)
02xx73x-
-1xx5x2
1x2xx
321
321
321
1.12)
23xx
1x2x
3xx
21
21
21
1.13)
321
231
132
x33xx
x5x2x2
x2xx2
+
1.14)
23
321
x15x
4x53xx
a) Determinar si son o no compatibles.
b) Si son compatibles hallar su conjunto solución.
2- Hallar X, considerando el sistema de ecuaciones AX = 5X, siendo:
A =
811
441
316
y X =
3
2
1
x
x
x
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
68
3- En los problemas de 1 a 16:
a) Definir las variables que intervienen.
b) Plantear el sistema de ecuaciones lineales que modela el problema.
c) Resolver el sistema, clasifícalo en compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible y
expresar el conjunto solución.
Problema nº 1: Un granjero tiene 1200 hectáreas de tierra en los que cultiva maíz, trigo y soja. Le cuesta $45
por cada hectárea cultivar maíz, $60 por cada hectárea cultivar trigo y $50 por cada hectárea cultivar soja.
Debido a la demanda del mercado cultivará el doble de hectáreas de trigo que de maíz. Ya destinó $63750 para
los costos del cultivo de los cereales. ¿Cuántas hectáreas de cada cereal debe plantar?
Problema nº 2: En una fábrica se producen tres artículos: sillas, mesas de café y mesas para comedor los cuales
deben pasar por tres procesos lijado, pintura y barnizado. Los tiempos requeridos para fabricar una unidad de
cada artículo se muestran en la siguiente tabla:
Lijado Pintura Barnizado
Silla 10 min 6 min 12 min
Mesa de café 12 min 8 min 12 min
Mesa de comedor 15 min 12 min 18 min
Para el proceso de lijado se dispone de 16 hs por semana, para el de pintura 11 horas por semana y para
barnizado 18 hs. ¿Cuántas unidades de cada artículo deben fabricarse por semana de tal forma que se ocupen
todas las horas disponibles de los tres procesos?
Problema nº 3: Un turista que fue a Europa gastó $30 al día por hospedaje en Inglaterra, $20 al día en Francia y
$20 al día en España. Para alimento gastó $ 20, $30 y $20 respectivamente. Además por conceptos varios gastó
$10 en cada uno de los países mencionados. A su regreso su registro de viajero indicaba un total de $340 por
hospedaje, $320 por alimentos y $140 por gastos varios.
Hallar la cantidad de días que estuvo el viajero en cada país.
Problema nº 4: Una compañía produce tres artículos A, B y C que se procesan en tres máquinas, I, II y III. El
tiempo requerido en horas para el procesamiento de cada unidad de cada producto en las tres máquinas están
dados por
I II III
A 3 1 2.
B 1 2 1
C 2 4 1
La máquina I está disponible 850hs, la II durante 1200hs y la III durante 550hs. ¿Cuántas unidades de cada
artículo deben ser producidas para utilizar todo el tiempo disponible de las máquinas?.
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
69
Problema nº 5: Una compañía elabora tres productos que han de ser procesados en tres departamentos. En el
siguiente cuadro se resumen las horas requeridas por unidad de cada producto en cada departamento y las
capacidades semanales se expresan para cada departamento en término de las horas disponibles. Se desea
determinar cuántas unidades de cada producto se pueden elaborar de manera de aprovechar al máximo la
disponibilidad horaria semanal de los tres departamentos (A, B y C)
Producto 1 Producto 2 Producto 3 Hs disponibles
A 2 3.5 3 1200
B 3 2.5 2 1150
C 4 3 2 1400
Problema nº 6: Un inversionista posee tres grupos de acciones: A, B y C. Los precios de las acciones al cierre en
tres días comerciales consecutivos se proporcionan en la siguiente tabla:
Acciones A Acciones B Acciones C
1er día $10 $25 $29
2do día $12 $20 $32
3er día $16 $15 $32
A pesar de la volatilidad de los precios de las acciones, el valor total de las acciones del inversionista permanece
sin cambio en $74000 al final de cada uno de los tres días. ¿Cuánto posee de cada acción el inversionista?
Problema nº 7: Un granjero da de comer a su ganado una mezcla de dos tipos de alimentos. Una unidad del
alimento A proporciona a un novillo el 10% del requerimiento diario de proteínas y el 15 % del de carbohidratos.
Una unidad del alimento B proporciona a un novillo el 12 % del requerimiento diario de proteínas y el 8 % del
de carbohidratos. Si el granjero quiere alimentar a su ganado con el 100% del requerimiento diario de proteínas
y de carbohidratos ¿Cuántas unidades de cada tipo de alimento debe dar a un novillo al día
Problema nº 8: Un departamento de pesca y caza del estado proporciona tres tipos de comida a un lago que
alberga tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de 1 unidad del
alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 2 unidades del alimento 3. Cada pez de la especie 2 consume cada
semana un promedio de 3 unidades del alimento 1, 4 del 2 y 5 del 3. Cada pez de la especie 3 consume cada
semana un promedio de 2 unidades del alimento 1, 1 del 2 y 5 del 3. Cada semana se proporciona al lago
25000 unidades del alimento 1, 20000 del alimento 2 y 55000 del 3. Si se supone que los peces se comen todo
el alimento ¿Cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el lago?
Problema nº 9: Un editor publica libros en tres presentaciones distintas: A, B y C las cuales deben pasar por el
proceso de cosido y pegado. Los tiempos requeridos, por unidad, en cada proceso se muestran en la siguiente
tabla:
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
70
A B C
Cosido 1 min 2 min 3 min
Pegado 2 min 4 min 5 min
La planta de cosido está disponible 6 hs diarias y la planta de pegado está disponible 11hs diarias.
¿Cuántas unidades de cada presentación deben fabricarse por día de tal forma que las dos plantas se
aprovechen en toda su capacidad?
Problema nº 10: Un empresario tiene tres máquinas que son empleadas en la fabricación de cuatro productos
diferentes y para utilizar plenamente las máquinas, estas estarán en operación 8 hs. diarias. El número de horas
que cada máquina es usada en la producción de una unidad de cada uno de los cuatro productos está dado por
Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4
Máquina 1 1 2 1 2
Máquina 2 2 0 1 1
Máquina 3 1 2 3 0
Determinar el número de unidades que se deben producir de cada uno de los cuatro productos en un día de 8
hs. bajo el supuesto que cada máquina se usa las 8hs completas.
Problema nº 11: A una persona le prescribieron tomar 10 unidades de vitamina A, 9 unidades de vitamina D y
19 unidades de vitamina E diariamente. La persona puede elegir entre tres marcas de píldoras. La marca X
contiene 2 unidades de vitamina A, 3 de vitamina D y 5 de vitamina E, la marca Y tiene 1,3 y 4 unidades,
respectivamente y la marca Z contiene 1 de A, ninguna de D y 1 de E.
a) Encuentrar todas las combinaciones posibles de marcas de píldoras que proporcionen las cantidades
requeridas.
b) Si el precio de venta de las píldoras de la marca X es de 1ctvo cada una, de la marca Y es de 6 ctvos y de la Z
es de 3 ctvos ¿Existe una combinación de las halladas en A que cueste 15 ctvos por día?
c) ¿Cuál es la combinación más económica? ¿Cuál es la combinación más cara?
Problema nº 12:
Una compañía de elabora tres productos A, B y C, para los cuales se necesita para fabricarlos tres tipos de
materias primas: M1, M2 y M3. La siguiente tabla muestra los requerimientos de cada producto por unidad:
Producto A Producto B Producto C
M1 12 20 32
M2 16 12 28
M3 8 28 36
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
71
a) Suponiendo que la compañía dispone de 220 unidades de la materia prima de tipo M1, 176 de tipo M2 y
264 de tipo M3.
Determinar las posibles combinaciones de unidades A, B y C que satisfagan las disponibilidades de la
compañía.
b) Suponiendo que cada unidad A tiene un costo de $300, el de tipo B $400 y el de tipo C $600. ¿Cuál es la
combinación más económica?
Problema nº 13: El tesorero de un club invirtió $5000 de los ahorros en tres cuentas distintas, a intereses
anuales del 8, 9 y 10%.El dinero obtenido en un año por los interese fue $460. La cantidad ganada por el
depósito al 10% fue $20 más que la que ganó al 9%. ¿Cuánto dinero invirtió en cada tasa de interés?
Problema nº 14: Un inversionista tiene $100000 para invertir en tres tipos de bonos: corto plazo, mediano plazo
y largo plazo. Si los bonos a corto plazo dan un rendimiento de un 4% anual, los de mediano plazo un 5% y los
de largo un 6%. ¿Qué cantidad de dinero en bonos de cada tipo debe invertir si quiere obtener un rendimiento
anual total de 5,1% con cantidades iguales de bonos de corto plazo y de mediano plazo?
Problema nº 15: Por un rotulador, un cuaderno y una carpeta se pagan $33. Se sabe que el precio del cuaderno
es la mitad del precio del rotulador y que, el precio de la carpeta es igual al precio del cuaderno más el 20% del
precio del rotulador.
a) Calcular los precios que marcaba cada uno de los útiles.
b) Si sobre esos precios se ha hecho el 10% de descuento. ¿Cuáles son los nuevos precios?
Problema nº 16: En una reunión hay 22 personas, entre hombres, mujeres y niños. El doble del número de
mujeres más el triple del número de niños, es igual al doble del número de hombres.
a) Con estos datos, ¿se puede determinar exactamente el número de hombres que hay? Justifica.
b) Si además se sabe que el número de hombres es el doble del de mujeres, ¿cuántos hombres, mujeres y niños
hay?
RESPUESTAS ACTIVIDADES: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1. 1.1) compatible determinado (x1, x2 ) = (1; 1);
1.2) incompatible
1.3) compatible indeterminado ( x1, x2, x3) = (1/3 (1/3)t, 5/3 (2/3)t, t) t R
1.4) compatible indeterminado
( x1, x2, x3) = ( 3 3t, 1 + 4t, t) t R.
1.5) compatible indeterminado (x,y,z) = (-3t, t, t) t R.
1.6) compatible indeterminado
(x,y,z) = (9/7-9/7t, -17/7++10/7t,t) t R
1.7) compatible determinado ( x1 , x2 , x3 ) = ( 0, 5, 0 )
1.8) compatible determinado ( x1 , x2 ,x3 ) = ( 1/2, 1/4, 1/2 )
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
72
1.9) compatible indeterminado
( x1 , x2 ,x3 ) = ( 86t; 8/3 2t; t ) t R
1.10) compatible indeterminado
( x1 , x2 ,x3 , x4) = ( r 3s +2, 2r + s 3, r, s ) r, s R
1.11) compatible indeterminado ( x1, x2, x3 ) = ( 7 3t, 3 t, t) t R.
1.12) incompatible.
1.13) compatible determinado
( x1, x2, x3) = (0, 9/5, 8/5)
1.14) compatible indeterminado
( x1, x2, x3 ) = ( 2 19t, 1 + 5t, t ) t R.
2) compatible indeterminado (x, y, z) = (t, t, 0) t R.
3) Problemas:
3.1. x: número de hectáreas que debe plantar de maíz
y: número de hectáreas que debe plantar de trigo
z: número de hectáreas que debe plantar de soja
x2y
63750z50y60x45
1200zyx
Sistema compatible determinado
Se deben plantar 250 hectáreas de maíz, 500 de trigo y 450 de soja
3.2. x: número de sillas
y: número de mesas de café
z: número de mesas de comedor
1080z18y12x12
660z12y8x6
960z15y12x10
Sistema compatible determinado
Se deben fabricar: 30 sillas, 30 mesas de café y 20 mesas de comedor
3.3. x: número de días que estuvo en Inglaterra
y: número de días que estuvo en Francia
z: número de días que estuvo en España
140z10y10x10
320z20y30x20
340z20y20x30
Sistema compatible determinado
Estuvo: 6 días en Inglaterra , 4 es Francia y 4 en España
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
73
3.4. x: número de unidades del artículo A
y: número de unidades del artículo B
z: número de unidades del artículo C
550zyx2
1200z4y2x
850z2yx3
Sistema compatible determinado
Debe producir: 100 unidades del artículo A, 150 de B y 200 de C
3.5. x: número de unidades a elaborar del Producto 1
y: número de unidades a elaborar el Producto 2
z: número de unidades a elaborar del Producto 3
Sistema compatible determinado
1400z2y3x4
1150z2y5.2x3
1200z3y5.3x2
Se debe elaborar: 200 unidades del Producto 1, 100 unidades del Producto 2 y 150 unidades del Producto 3
3.6. x: número de acciones de tipo A
y: número de acciones de tipo B
z: número de de acciones de tipo C
74000z32y15x16
74000z32y20x12
74000z29y25x10
Sistema compatible determinado
El inversionista tiene: 1500 acciones de tipo A; 1200 acciones de tipo B; 1000 acciones de tipo C
3.7. x: número de unidades del alimento de tipo A
y: número de unidades del alimento de tipo B
1y08.0x15.0
1y12.0x10.0
Sistema compatible determinado
Se le debe dar al novillo por día: 4 unidades de alimento de tipo A y 5 unidades de alimento de tipo B
3.8. x: cantidad de peces de la especie 1
y: cantidad de peces de la especie 2
z: cantidad de peces de la especie 3
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
74
55000z5y5x2
20000zy4x
25000z2y3x
Sistema compatible indeterminado
(x1,x2,x3) = (40000-5x3, x3-5000,x3) 5000 x3 8000
3.9. . x: número de libros con presentación de tipo A
y: número de libros con presentación de tipo B
z: número de libros con presentación de tipo C
660z5y4x2
360z3y2x
Sistema compatible indeterminado
(x, y, z)= (180-2t, t,60) t 90 t N0
3.10. . x: número de unidades del Producto P1
y: número de unidades del Producto P2
z: número de unidades del Producto P3
w: número de unidades del Producto P4
8z3y2x
8wzx2
8w2zy2x
Sistema compatible indeterminado (sólo algunas soluciones verifican las condiciones del problema)
Las posibles soluciones son:
4 unidades del P1, 2 unidades del P2, 0 unidades del P3 y 0 unidades deP4
3 unidades del P1, 1 unidades del P2, 1 unidad del P3 y 1 unidad de P4
2 unidades del P1, 0 unidades del P2, 2 unidades del P3 y 2 unidades deP4
3.11 x: cantidad de píldoras de la marca X
y: cantidad de píldoras de la marca Y
z: cantidad de píldoras de la marca Z
19zy4x5
9y3x3
10zyx2
Sistema compatible indeterminado (sólo algunas soluciones verifican las condiciones del problema)
Las posibles soluciones son:
a) 3 píldoras de la marca X, 0 de Y , 4 de Z
2 píldoras de la marca X, 1 de Y , 5 de Z
1 píldora de la marca X, 2 de Y , 6 de Z
0 píldoras de la marca X, 3 de Y , 7 de Z
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
75
b) 3 píldoras de la marca X, 0 de Y , 4 de Z
c) 3 píldoras de la marca de X, 0 de Y , 4 de Z
0 píldoras de la marca X, 3 de Y , 7 de Z
3.12. x: cantidad de unidades del producto A
y: cantidad de unidades del producto B
z: cantidad de unidades del producto C
264z36y28x8
176z28y12x16
220z32y20x12
Sistema compatible indeterminado (sólo algunas soluciones verifican las condiciones del problema)
Las posibles soluciones son:
a) 5 unidades de A, 8 de B y 0 de C
4 unidades de A, 7 de B y 1 de C
3 unidades de A, 6 de B y 2 de C
2 unidades de A, 5 de B y 3 de C
1 unidades de A, 4 de B y 4 de C
0 unidades de A, 3 de B y 5 de C
b) 0 unidades de A, 3 de B y 5 de C
3.13. x: cantidad de dinero que se invirtió a un interés anual del 8%
y: cantidad de dinero que se invirtió a un interés anual del 9%
z: cantidad de dinero que se invirtió a un interés anual del 10%
5000
0.08 0.09 0.10 460
0.10 0.09 20
x y z
x y z
z y
Sistema compatible determinado
Se invirtió: $1000 al 8%, $2000 al 9%, $2000 al 10%
3.14. x: cantidad de dinero invertido en bonos a corto plazo,
y: cantidad de dinero invertido en bonos a mediano plazo
z: cantidad de dinero invertido en bonos a largo plazo
yx
5100z06.0y05.0x04.0
100000zyx
Sistema compatible determinado
Debe invertir: $30000 en bonos a corto plazo, $30000 en bonos a mediano plazo y $40000 en bonos a largo
plazo.
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
76
3.15. a) x: precio del rotulador
y. precio del cuaderno
z: precio de la carpeta
x20.0yz
x2
1y
33zyx
El precio del rotulador es $ 15, del cuaderno es $7.50 y de la carpeta es $10.50
b) El nuevo precio del rotulador es $ 13.50, del cuaderno es $6.75 y de la carpeta es $9.45
3.16.
h: número de hombres
m: número de mujeres
n: número de niños
a)
h2n3m2
22nmh
No se puede saber cuántos hombres hay exactamente en la reunión porque el sistema no tiene una única
solución.
b)
m2h
h2n3m2
22nmh
El nuevo sistema es compatible determinado. En la reunión hay 12 hombres, 6 mujeres y 4 niños
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
77
Otra estrategia para resolver sistemas de ecuaciones: Regla de Cramer
Se introducirá un nuevo método para resolver sistemas de ecuaciones lineales válidos para aquellos sistemas
en los que la matriz de coeficientes en cuadrada, de orden nxn y con rango n. Dicho método se conoce con la
denominación de “Regla de Cramer”. Previamente se presentarán conceptos que permitirán comprender este
nuevo método.
DETERMINANTE. Concepto
Determinante es una función que teniendo como dominio el conjunto de matrices cuadradas Mnxn y como
conjunto de salida el conjunto de los números reales hace corresponder a cada matriz A de orden nxn un
número real llamado también determinante
En símbolos: det: Mnxn R / det (A) = a, a R
Métodos para calcular determinantes:
Determinantes de matrices de orden 2x2
Si A =
2221
1211
aa
aade orden 2x2. El determinante de la matriz A, det A o |A|, es el nro. Real que se obtiene al
resolver la sustracción entre el producto de los elementos de la diagonal principal y el producto de los elementos
de la diagonal secundaria.
Esto es det (A) = a11a22 a21 a12.
A = aa
aa
2221
1211 = a11a22 a21 a12
Ejemplo
Si A =
31
42 entonces det A = 2.3 4.(1)= 10
Método para calcular determinantes de matrices de orden nxn: Desarrollo por cofactores
El cálculo de determinantes mediante el desarrollo por cofactores requiere del conocimiento de los siguientes
conceptos previos:
Concepto de Menor: Sea A una matriz de orden nxn y Mij la matriz de orden (n–1) x (n–1) obtenida de la matriz
A que se obtiene de eliminar la fila i y la columna j de la matriz A, la matriz M ij se llama ij-ésimo Menor de la
matriz A.
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
78
Ejemplo: Calcular los menores M13 y M32 de una matriz A de orden 3 x 3.
Si A =
433
7110
514
eliminando fila 1 y columna 3 obtenemos M13 =
33
110
y suprimiendo fila 3 y columna 2 resulta M32 =
710
54
Ejemplo:
Sea A =
72274
29251
33272
615310
. Eliminando la tercera fila y la segunda columna de la matriz A obtenemos el Menor
M32 =
724
332
61510
Concepto de Cofactor: Si A es una matriz de orden nxn, el ij-ésimo cofactor de A denotado Aij se define como:
Aij = (–1 )i + j . jiM
Se observa que que si i+j es par la potencia (1)i+j su resultado 1 y si i+j es impar, su resultado es 1, es decir,
(–1 )i+j =
mpariesjisi1
paresjisi1
Ejemplo:
El cofactor A32 correspondiente a la matriz A=
72274
29251
33272
615310
es:
72-
724
332
61510
- M (-1)A 3223
32
Cálculo de determinantes mediante el desarrollo de cofactores
Si la matriz cuadrada A =
nn2n1n
n22221
n11211
a ....a a
..........
..........
a ....a a
a ....a a
det (A) = a 11 A11 + a12 A12 + a13 A13 + ..... + a1n A1n
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
79
A la expresión del lado derecho de la igualdad la llamaremos desarrollo del determinante de la matriz A
mediante los cofactores de la primera fila. Desarrollándola se obtiene:
Si A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
obtenemos que A a11 A11 + a12 A12 + a13 A 13
= (1)1+1a11 aa
aa
3332
2322 +(1)1+2 a12 aa
aa
3331
2321 + (1)1+3 a13 3231
2221
aa
aa
= a11(a22 a33 a23 a32 ) a 12 (a21 a33 a23 a31) + a13 (a21a32 a22 a31)
La ventaja de este método es que permite calcular determinantes de una matriz de orden nxn a partir de
determinantes de una matriz de orden menor, (n-1)x(n-1)
Observación: Si bien el determinante de la matriz se ha planteado desarrollando la primer fila, el valor del
mismo no cambia si se selecciona cualquier otra fila o columna. Siempre conviene seleccionar la que más ceros
tenga.
Ejemplo: Calcular el determinante de una matriz de orden 3x3 implica calcular determinantes de orden 2x2.
Si A =
947
224
251
luego, det A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A 13 =
= (1)1+1.1 94
22 +(1)1+2.(5)
97
24
+ (1)1+3 . 2 47
24
=
= 10 + 5. 50 + 2. 30 = 320
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
80
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES: Regla de Cramer
La regla de Cramer ofrece un método, aplicando determinantes, para resolver un sistema de ecuaciones lineales
de la forma AX = B donde A es la matriz de coeficientes del sistema de orden nxn, X la matriz de las incógnitas
de orden nx1 y B la matriz de los términos independientes de orden nx1.
El valor de la variable j-ésima, se obtiene calculando: A
Ajx j siendo A 0
Aj es el determinante de la matriz Aj que se obtiene a partir de la matriz A reemplazando la columna j-ésima
por la columna de los términos independientes. Nótese que la matriz A debe ser regular.
Genéricamente en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa cuya forma matricial
es: AX=B , donde A =
2221
1211
aa
aa es la matriz de coeficientes y
2
1
b
bB la columna de los términos
independientes, con A 0
Como A 0 el sistema tiene única solución y los valores de las dos incógnitas son:
2221
1211
222
121
1
aa
aa
ab
ab
x
2221
1211
221
111
2
aa
aa
ba
ba
x
Si det A = 0, el sistema AX = B es compatible indeterminado o incompatible y en estos casos es necesario recurrir
a otros métodos como el de eliminación de Gauss para resolverlos.
Ejemplo:
14x5x4
5x2x
21
21 3
54
21A 0
13
3
54
21
514
25
x1
2
3
6
54
21
144
51
x 2
Solución (x1,x2) = (1,2)
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
81
ACTIVIDADES: DETERMINANTES
1- Dada la matriz A =
201
325
514
.Calcular M13, M32, A32, A23 y det A.
2- Si A =
21x0
11x
11x0
y x R, expresar el det A en función de x.
3- Si existe, hallar el valor de kR para que el determinante de la matriz A =
k04
k20
11k
sea cero.
4- Resolver las siguientes ecuaciones en la variable x R:
a) 32xx
13x
= 3/2 b)
14
1611
x2
012
12x
101-
0x1
c) 3 x1
2x + 2
1x
xx x = 0 d) 26
x77
2x
e) 60
1x00
99x0
x2x3
5- Considerando la matriz X =
02
11calcular el determinante de la matriz que se obtiene al resolver:
X2 2X + 3I
6- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando la Regla de Cramer
a)
8y2x
9y2x b)
1y23x
3y6x
c)
02
113
02
yx
zx
zyx
d)
074
102
453
yx
zx
zy
Respuestas Actividades: Determinantes
1. M13 =
01
25 ; M32 =
35
54 ; A32 = 13 ; A23 = 1 ; det A = 13
2. det A = x2 + 3x.
3. No existe ningún valor real que anule el determinante.
4. a) x = 6
1 , x = 2
3 b) x = 4 x = 5 c) x = 2, x = 3
d) x = 3, x = 4. e) x = 4 x = 5
5. El valor del determinante es 2
6. a) (x,y) = (-2,5 ) b) (x,y) = (0.6 ,-0.4 )
c) (x,y,z) = ( 4, 2 ,-1 )
d) (x,y,z) = ( 189/29, -108/29 ,88/29)
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
82
BLOQUE 3
CRIPTOGRAFIA
ECUACIONES MATRICIALES
TEOREMA INTEGRADOR
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
83
LAS MATRICES Y LOS MENSAJES SECRETOS
CRIPTOGRAFÍA
La Criptografía es la ciencia que se encarga de diseñar métodos para mantener confidencial a la información
que es enviada por un medio inseguro.
Casi todos los medios de comunicación son inseguros, es decir, un espía siempre puede intervenir una
comunicación, y en tal caso conocer su contenido, borrar el contenido, etc.
La Criptografía es un algoritmo de cifrado con una clave que permite que el emisor de un mensaje pueda estar
seguro que éste sea confidencial y sólo el receptor autorizado pueda saber el contenido aplicando un proceso
de método de descifrado con su respectiva clave.
La criptografía tiene una amplia historia y ha existido desde los inicios de la civilización.
Para resolver problemas de criptografía es necesario introducir el concepto de matriz inversa.
Matriz Inversa de una matriz cuadrada
Se denomina inversa de una matriz A de orden nxn , a una matriz C de orden nxn para la cual se verifica:
A C = C A = I
Si existe tal matriz C, A es inversible o invertible o no singular o regular y se indica C= A-1
Ejemplos
1- Dada A =
21
01 , se analizará si A tiene inversa. Para ello se recurre a la definición y por lo tanto la
estrategia consiste en buscar una matriz C =
wz
yx que satisfaga A C = C A = I.
Como AC=
2w-y2z-x
yx , por definición se debe cumplir:
2w-y2z-x
yx =
10
01
Aplicando el concepto de matrices iguales se genera un sistema de ecuaciones lineales:
12wy
02zx
0y
1x
Resolviendo el sistema de ecuaciones, la matriz C =
2/12/1
01
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
84
Planteando la igualdad C A = I:
10
01
2wwz
2yyxAC
Nuevamente se obtiene un sistema de ecuaciones lineales:
12w
0 wz
02y
1 yx
que permite obtener C =
2/12/1
01 ; luego, es posible asegurar que la matriz C es la inversa de la matriz A
pues AC = CA = I
2- Sea 1 4
C1/ 2 2
, se analizará si existe una matriz
wz
yxL inversa de C que satisfaga las
igualdades:
C L = L C = I
Calculando C L e igualando este producto a la matriz identidad:
22/1
41
wz
yx
=
w2y)2/1(z2x)2/1(
w4yz4x
=
10
01
Por el concepto de igualdad de matrices se obtiene el sistema de ecuaciones
12w(1/2)y
02z(1/2)x
04wy
14zx
La primera ecuación dice que x + 4 z = 1 y si multiplicando la tercera ecuación por 2: x + 4 z = 0, lo cual es un
absurdo; por lo tanto este sistema no tiene solución. De donde se concluye que la matriz C no tiene inversa.
Los ejemplos precedentes muestran que existen matrices cuadradas que tienen inversa mientras que otras
no la poseen. La condición necesaria, pero NO suficiente, para que una matriz tenga inversa es que sea cuadrada.
Método del Espejo para obtener la inversa de una matriz A de orden nxn
Este método se sustenta en la aplicación de operaciones elementales por renglón.
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
85
Para su aplicación se sugiere aplicar las siguientes etapas:
1) Elaborar una tabla de doble entrada y ubicar en la entrada izquierda la matriz A y en la entrada derecha la
la matriz identidad del mismo orden de A como indica el esquema (AI)
2) Aplicar operaciones elementales con el objeto de obtener una forma escalonada reducida de A. Si la forma
escalonada reducida de A, o forma Gauss-Jordan es la matriz identidad la matriz que se genera en la entrada
derecha es la matriz identidad. Es decir se debe transformar: (AI) en la forma ( I A-1)
Ejemplos:
1- Sea la matriz A = se deteminará una matriz A-1 tal que A . A-1 = A-1 A = I
Aplicando el método de espejo:
Por lo tanto: A-1 =
2- Para la matriz A =
112
201
110 se obtiene:
100
010
001
112
201
110
100
001
010
112
110
201
120
001
010
510
110
201
121
001
010
600
110
201
6/13/11/6
001
010
100
110
201
6/13/11/6
1/61/35/6
010
100
010
201
6/13/11/6
1/61/35/6
/31/311/3
100
010
001
Luego, A-1 =
6/13/11/6
1/61/35/6
1/31/31/3
3- Sea la matriz A= (1 8
1/4 2)
Aplicando el método de espejo se obtiene:
(1 80 0
1 0
−1/4 1)
Se observa que la forma escalonada reducida de A no es la matriz identidad pues se generó una fila completa
de ceros, situación que implica además que el r(A) = 1 < 2
(1 80 0
)
Luego la matriz A no tiene inversa
4 3
1 1
4 3 1 0
1 1 0 1
1 1 0 1
4 3 1 0
1 1 0 1
0 1 1 4
1 1 0 1
0 1 1 4
1 0 1 3
0 1 1 4
1 3
1 4
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
86
Condiciones necesarias y suficientes para la existencia de la Matriz Inversa
Una matriz A de orden nxn admite inversa si y solo si:
- su forma escalonada reducida es la matriz identidad de orden nxn o
- su rango es n: r(A) =n
ENCRIPTACIÓN Y DESENCRIPTACIÓN UN MENSAJE
Sea A una matriz de orden nxn y M un mensaje con forma de matriz de orden nxm entonces:
C = A.M
es el mensaje cifrado.
Para poder descifrar el mensaje, es necesario hallar la matriz M. Esta situación implica resolver una ECUACIÓN
MATRICIAL con incógnita M.
Para poder resolver la ecuación matricial se aplica el concepto de matriz inversa que se denota por: A-1
Luego:
C = A.M
A-1 . C = A-1 . A . M
A-1 . C = I . M
A-1 . C = M
Ejemplo: Para cifrar un mensaje se realiza un proceso que consta de las siguientes etapas:
1- Primera etapa: Proceso de preparación:
Si el mensaje original es : “HOY ES EL PRIMER DÍA”
La primera etapa consiste en CODIFICAR el mensaje con números de acuerdo a la siguiente tabla. Pero
aclaramos que se pueden utilizar otros códigos como lo haremos en otras situaciones.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 13
A B C D E F G H I J K L L M
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
N O P Q R S T U V W X Y Z -
Así, el mensaje queda codificado como:
H O Y - E S - E L - P R I M E R - D I A
8 15 25 27 5 19 27 5 12 27 16 18 9 13 5 18 27 4 9 1
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
87
Dada la clave A =
213
132
111
2-La segunda etapa es el: Proceso de Cifrado
Como la clave tiene orden 3x3 entonces el primer paso para cifrar el mensaje es separar este mensaje de 3 letras
en 3, completando el mensaje a un múltiplo de 3 con blancos.
25158
YOH
19527
SE
12527
LE
181627
RP
5139
EMI
42718
DR
2719
AI
El segundo paso es construir la matriz M del mensaje, colocando como columnas cada grupo de 3 letras.
M =
274518121925
12713165515
91892727278
Finalmente para obtener el mensaje cifrado realizamos el producto A .M
A. M =
213
132
111.
274518121925
12713165515
91892727278
=
26733061624811
61135284575036
19139710332
3-La tercera etapa es el: Proceso de Descifrado
Para descifrar el mensaje simplemente se realiza el producto A-1 . C= M
A-1 .C =
547
111
435.
26733061624811
61135284575036
19139710332 =
274518121925
12713165515
91892727278
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
88
ACTIVIDADES: CRIPTOGRAFIA para realizar en Taller
Actividad 1: El lenguaje de la CRIPTOGRAFIA
Las siguientes actividades tienen por objeto cifrar o descifrar mensajes empleando operaciones matriciales
mediante los siguientes modelos:
Mensaje cifrado o encriptado: C = A.M donde A una matriz de orden nxn y M un mensaje con forma de matriz
de orden nxm
Mensaje descifrado o desencriptado: M= A-1. C
En ambos procesos se emplearán los datos de códigos siguientes:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
A B C D E F G H I J K L M N Ñ
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
O P Q R S T U V W X Y Z -
SUEÑO 29 GUITARRA 30 AUTO 31
LLUEVE 32 PELOTA 33 BICICLETA 34
SOL RADIANTE 35 NOTEBOOK 36 AVIÓN 37
AMÉRICA 38 CONTENTO 39 DE ACUERDO 40
HAMBURGUESA 41 MONITO 42 TORMENTA 43
PAPAS FRITAS 44 PERRITO 45 CARGAR NAFTA 46
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
89
MANZANA 47 MOTO 48 TORTA DE
CUMPLEAÑOS 49
NADAR 50 HOSPITAL 51 CHOCOLATE 52
HELADO 53 PLAYA 54
CAMPAMENTO 55
ESTADIO 56 FLOR 57 CASA 58
LENTES DE SOL 59 SOMBRERO 60 CARAMELO 61
CERO 62 UNO 63 DOS 64
TRES 65 CUATRO 66 CINCO 67
SEIS 68 SIETE 69 OCHO 70
NUEVE 71
Actividades:
1) Realiza un glosario con los términos propios de criptografía. 2) Propone un mensaje M y una matriz de cifrado A de orden 2 y encripta el mensaje. 3) Utiliza la martiz A para cifrar los siguientes mensajes:
𝐴 = (2 3 −1
−1 3 −24 −3 2
)
a) SOMOS SERES HUMANOS b) HUMEDAD Y CALOR
4) Utiliza adecuadamente la matriz de cifrado A y el mensaje cifrado C para hallar el mensaje original M.
a) 𝐴 = (−2 5 12 −3 10 1 −1
); 𝐶 = (−8 21 10016 17 −12−2 −9 −12
98 87 82
−42 −13 −4210 5 18
34
−148
).
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
90
b) 𝐴 = (1 0 10 2 −13 2 −2
); 𝐶 = (26 41 5618 −18 2416 25 80
42 23 29−9 25 1241 18 −13
).
c) 𝐴 = (1 1 −10 2 −10 −1 1
); 𝐶 = (7 8 −713 −3 12−4 6 8
−8 17 11−10 19 513 −3 −2
20280
).
RESPUESTAS Actividades de Criptografía
3) a) 𝐶 = (75 64 362 −12 −4358 60 103
42 69 28−1 32 916 −8 −6
968
−52)
b) 𝐶 = (69 21 6632 5 28−8 10 −16
64 53
−21 −2105 38
)
4) a) HACIENDO CRIPTOGRAFIA
b) FRUTAS Y VERDURAS
c) CIENCIAS ECONOMICAS
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
91
MATRIZ INVERSA. ECUACIONES MATRICIALES Y SISTEMAS
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES A PARTIR DE SU EXPRESIÓN EN FORMA MATRICIAL
Considerando el sistema de ecuaciones lineales que modela la situación 5 ya tratada:
Este sistema puede expresarse en forma matricial como:
(1 1 14 5 612 −10 −10
)(
𝑥1
𝑥2
𝑥3
) = (1105400
)
En general un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir mediante la expresión matricial:
AX=B
donde A es la matriz de coeficientes de orden mxn, X es la matriz de orden nx1 cuyos elementos son las
variables del sistema y B es la matriz de orden mx1 que contiene lo términos independientes del sistema.
Resolver un sistema de la forma AX=B, significa hallar la matriz X que verifica la igualdad. Por esta razón la
expresión AX=B es una ecuación matricial.
El siguiente cuadro comparativo muestra mediante un ejemplo la resolución de ecuaciones algebraicas y
matriciales:
Resolución de una ecuación algebraica Resolución de una ecuación matricial
2x= 3
Multiplicando ambos miembros por el inverso
multiplicativo de 2:
2-1 2 x = 2-1 3
Como producto entre un nro y su inverso
multiplicativo es 1: 2-1 2 = 1, se obtiene:
1 x= ½ 3
Resolviendo:
x = 3/2
AX = B
Multiplicando ambos miembros por el inversa
multiplicativa de A:
A-1 A X =A-1 B
Como producto entre una matriz y su inversa debe ser
la matriz unidad: AA-1 = I, se obtiene:
I X = A-1 B
Resolviendo:
X = A-1 B
¿Pero existe A-1 en el conjunto de las matrices? Para
responder esta pregunta es necesario presentar los
siguientes conceptos:
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
92
Matriz Inversa y Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Por todo lo analizado se afirma:
Dado un sistema de ecuaciones lineales expresado en la forma matricial: AX=B
Si la matriz de coeficientes en cuadrada y tiene inversa su solución es: X= A-1B
Ejemplo: Se resolverá el sistema de ecuaciones lineales que modela la situación 5 aplicando el concepto de
matriz inversa:
Su forma matricial AX = B es: (1 1 14 5 612 −10 −10
) (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
) = (1105400
)
De donde: X = A-1 B, en este caso: (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
) = (1 1 14 5 612 −10 −10
)
−1
(1105400
)
Por lo tanto debemos hallar A-1, es decir: (1 1 14 5 612 −10 −10
)
−1
Aplicando el método de espejo:
A I
(1 1 1 4 5 6 12 −10 −10
| 1 0 00 1 00 0 1
)
(1 1 1 0 1 2 0 −22 −22
| 1 0 0
−4 1 0−12 0 1
)
F2 F1( -4) + F2
F3 F1( -12) + F3
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
93
(1 0 −1 0 1 2 0 0 22
| 5 −1 0
−4 1 0−100 22 1
)
F1 F2( -1) + F1
F3 F2( 22) + F3
(1 0 −1 0 1 2 0 0 1
| 5 −1 0
−4 1 0−50/11 1 1/22
)
F3 F3( 1/22)
(1 0 0 0 1 0 0 0 1
|
5/11 0 1/2256/11 −1 −1/11
−50/11 1 1/22 )
I A-1
F1 F3( 1) + F1
F2 F3( -2) + F2
Luego:
𝐀−𝟏 = (
5/11 0 1/2256/11 −1 −1/11
−50/11 1 1/22)
Por lo tanto:
(
𝑥1
𝑥2
𝑥3
) = (1 1 14 5 612 −10 −10
)
−1
(1105400
)
(
𝑥1
𝑥2
𝑥3
) = (1105400
) (
5/11 0 1/22
56/11 −1 −1/11
−50/11 1 1/22
) = (50
20
40
)
Y la solución del sistema es el punto (50; 20; 40) tal como se obtuvo al aplicar el método de eliminación de
Gauss.
Propiedades de las matrices inversibles
Sean A y B matrices inversibles entonces:
a) La inversa de A B es igual a la inversa de B por la inversa de A. En símbolos: (AB)-1 = B-1 A-1
b) La inversa de la inversa de la matriz A es igual a la matriz A. En símbolos: (A-1 )-1 = A
c) La inversa de At es igual a la transpuesta de la inversa de A. En símbolos: (At )-1 = ( A-1)t
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
94
Aplicación del concepto de matriz inversa para la resolución de ecuaciones matriciales
Ejemplo: Sea la ecuación matricial AX + B = C, donde la matriz X la incógnita y A es una matriz cuadrada que
tiene inversa.
Para determinar la matriz X que verifica la igualdad:
sumando a ambos miembros de la igualdad la opuesta de B,
AX + B + (B) = C + (B)
como B + (B) = N,
AX = C + (B)
Resolviendo
AX = C B
Premultiplicando ambos miembros de la ecuación por A-1
A-1 AX = A-1(C B)
De esta manera
I X = A-1 (C B)
X= A-1(C B)
Por lo tanto, X= A-1(C B) es la solución a la ecuación matricial.
Más ejemplos resueltos:
1) X + A = B
X= B A
3) CX + A = B
CX = B A
C 1 . C . X= C1 . (B A)
IX= C1 .(B A)
X= C1 .(B A)
4) B1 X + C = A
B1 X = A C
BB1 X = B(A C)
IX = B(A C)
X = B(A C)
2) 2X + A = B
X= 21 (B A)
5) A-1XD + H = B
A -1 XD =B H
AA-1 XD = A(B H)
IXD = A(B H)
XD = A(B H)
XDD-1 = A(B H) D-1
XI = A(B H) D-1
X= A(B H) D-1
6) AX + BX = C
(A + B)X = C
(A + B)-1 (A + B)X = (A + B)-1 C
IX = (A + B)-1 C
X = (A + B)-1 C
7) XA+ B = C +2X
XA 2X = C B
X(A 2) = C B
X(A 2I) = C B
X(A 2I)(A 2I)1=(C B)(A2I)1
XI = (C B)(A 2I)1
X = (C B)(A 2I)1
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
95
RELACIONES CONCEPTUALES
TEOREMA: Si A es una matriz inversible entonces det A 0 y
det A 1 = Adet
1
Ejemplo:
Sean A =
51
24, su inversa es A1=
9/218/1
9/118/5. Calculando sus determinantes det A = 18 det A1=
18
1 y
vemos que se verifica el teorema.
El siguiente teorema unifica y relaciona conceptos relativos a sistemas de ecuaciones, matrices y
determinantes. Por este motivo se identificará como Teorema Integrador
TEOREMA INTEGRADOR
Sea A una matriz de orden nxn. Los siguientes enunciados son equivalentes:
a) A es una matriz inversible.
b) El determinante de la matriz A es distinto de cero.
c) Cualquier Forma de Gauss de A es una matriz triangular superior unitaria.
d) La Forma escalonada por renglones reducida de la matriz A es la matriz identidad I de orden nxn.
e) El rango de la matriz A es n.
f) El sistema AX = B es compatible determinado (X= A-1B).
g) El sistema AX = 0 es compatible determinado. Su única solución es la trivial (X= 0)
Ejemplo: En el siguiente ejemplo se muestra la equivalencia de las proposiciones enunciadas en el teorema
anterior.
Para el sistema
24zy2x3
5zyx2
11zyx
. A =
123
112
111
es la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones.
La forma escalonada por renglones reducida de A es la matriz identidad.
123
112
111
210
130
111
210
3/110
111
3/500
3/110
111
100
3/110
111
100
010
001
.
Se observa además que r(A) = 3 y coincide con el orden de A, n = 3.
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
96
El det A = 5
123
112
111
distinto de cero, y existe la matriz inversa de A, A1=
5
3
5
1
5
75
1
5
2
5
15
2
5
1
5
3
.
Para el sistema no homogéneo se verifica
z
y
x
=
5
3
5
1
5
75
1
5
2
5
15
2
5
1
5
3
2
5
4
24
5
11
, por lo que resulta compatible
determinado.
Para el sistema homogéneo se verifica
z
y
x
=
5
3
5
1
5
75
1
5
2
5
15
2
5
1
5
3
por lo que tiene solución trivial.
MÁS RELACIONES CONCEPTUALES
AX = B sistema no homogéneo
r(A´)r(A)leincompatib
nr(A´)r(A)adoindetermin
nr(A´)r(A)odeterminadcompatible
AX = 0 sistema homogéneo r(A)=r(A´) compatibles determinado r(A) n
indeterminado r(A) n
Relación con el determinante de la matriz de coeficientes
Anxn
)soluciones ( adoindetermin sistema 0A
0X rivialsolución t odeterminad compatible sistema 0A0AX
)soluciones ( adoindetermin sistema
ó
leincompatib sistema
0A
odeterminad compatible sistema BAX 0A 1
BAX
Observación: un sistema que tenga más incógnitas que ecuaciones nunca puede ser compatible determinado
ya que el rango de la matriz siempre es menor que el número de incógnitas: El rango es siempre mínimo entre
el nº de ecuaciones y nº de incógnitas. En estos sistemas donde m < n el rango será menor que m.
En un sistema no homogéneo
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
97
Sea Amxn Bmx1 Xnx1 AX= B
adoindetermincompatible
ó
leincompatib
nm
leincompatib
ó
adoindetermincompatible
ó
odeterminadcompatible
nm
En general en un sistema homogéneo
Sea Amxn 0mx1 Xnx1 AX= 0
doindeterminsiemprenm
adoindetermincompatible
ó
odeterminadcompatible
nm
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
98
ACTIVIDADES: MATRIZ INVERSA Y ECUACIONES MATRICIALES
1- Sea B una matriz de orden 2x2, tales que bij = 1 si i > j y bij = 1 para i j. Construir la matriz B y, si existe,
determina B-1.
2- Resolver las siguientes ecuaciones matriciales, considerando que X es la matriz incógnita y A es una matriz
cuadrada que posee inversa.
a) A X + B = C b) (X A)-1 = A-1 B
c) A-1 X A + B = A d) A X – 3 I = 4 (AB + X)
3- Sean R, S y M matrices inversibles y M = RS
a) ¿A qué es igual R? b) ¿A qué es igual S1?
4- Sabiendo que la inversa de A es
12
21 y que la inversa de AB es
21
13.Calcular B.
5- Si A y B son matrices inversibles. ¿Se cumple que A + B es inversible?
6- Justificar si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones
a) La ecuación matricial 2A X + 3AX = AB BA admite como solución X = N
b) Si A y B son matrices regulares de nxn entonces (AB)-1 = A-1B-1
7- Expresar los siguientes sistemas en la forma matricial AX = B. Resolverlos si es posible utilizando la matriz
inversa, X = A-1B
a)
2yx
96y5x
b)
zyx
zyx
zyx
8- Considerando los siguientes sistemas de ecuaciones ¿Se pueden resolver los sistemas aplicando las técnicas
de resolución de ecuaciones matriciales?
a) AX = X siendo: A =
y X =
3
2
1
x
x
x
b) AX = 3X +B siendo: A =
132
250
214
B =
y X =
3
2
1
x
x
x
a) Plantear el sistema a resolver.
b) Determinar si el sistema resulta compatible determinado o indeterminado. Si es compatible, expresar el
conjunto solución.
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
99
RESPUESTA ACTIVIDADES: ECUACIONES MATRICIALES Y SISTEMAS
1. B =
11
11 B-1=
2/12/1
2/12/1
2. a) X = A-1 (C – B) ; b) X = B-1 ; c) X = A (A – B)A-1; d) X = (A – 4)– 1 (3 – 4 A B)
3. a) R = M S-1 b) S-1 = M-1 R
4. A-1 =
12
21 y (AB)-1 =
21
13= C AB = C-1 B = A-1 C-1 =
51
53
10
5. No. Contraejemplo:
A =
10
01 y B =
10
01A y B tienen inversa, pero A + B = O no
6. a) Falso. La solución es la matriz X = A-1 (A B – B A)
b) Falso. La propiedad es Si A y B son matrices regulares de nxn entonces (AB)-1 = B-1 A-1
7. a) (x, y) = ( 3, 1) b) (x, y, z ) = ( 1, 5, -1)
8. a)
02xx
0x4x2x
0x2x
32
321
32
( x1, x2, x3 ) = (0,0,0) sistema homogéneo compatible determinado (solución trivial )
b) compatible determinado (x, y, z) = ( 22, 8, 15/2)
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
100
TALLER CONCEPTUAL DE ALGEBRA LINEAL
Actividad 1: Elaborar un texto que relacione coherentemente los siguientes conceptos: Sistemas de Ecuaciones
Lineales, Método de eliminación de Gauss, Matriz Ampliada, Matriz Escalonada, Matriz Escalonada Reducida,
Rango de una Matriz, Sistemas compatibles determinados, Sistemas Compatibles indeterminados y Sistemas
Incompatibles.
Actividad 2: Responde cada una de las siguientes preguntas correspondientes a cada sistema, y luego
identifica los conceptos: Matriz Escalonada, Matriz Escalonada Reducida, Rango de una Matriz, Sistemas
compatibles determinados, Sistemas Compatibles indeterminados y Sistemas Incompatibles.
Puedes responder empleando herramientas tecnológicas como aplicaciones de smarphone o software
matemáticos
S1-
64
85
yx
yx S2-
32
3
0222
zyx
yx
zyx
S3-
108622
15433
10432
wzyx
wzyx
wzyx
a) Indica la cantidad de incógnitas y ecuaciones que posee cada uno.
b) Determina la solución del sistema con la opción.
c) Verifica dicha solución con la opción.
d) Comprueba los resultados obtenidos abriendo las ventanas de gráficos.
Actividad 3: La importancia del siguiente teorema es integrar los contenidos fundamentales de la las unidades
correspondientes al algebra lineal:
a) Completa los siguientes enunciados del teorema de modo que sean equivalentes.
Para toda matriz A cuadrada se cumple:
La matriz A es inversible o………………………………………………………………………
El rango de A es ………………………………………………………………………………………
La forma escalonada de A es una matriz …………………………………………………
La forma escalonada reducida de A es una matriz ……………………………………
El sistema de ecuaciones lineales AX=B es ………………………………………………
El sistema de ecuaciones lineales AX=0 es ………………………………………………
El determinante de A es …………………………………………………………………………
b) Comprueba que:
b1) La matriz: (1 4
−2 1) cumple todos los enunciados del teorema.
b2) La matriz : (3 61 2
) no cumple ninguno de los enunciados del teorema.
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
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Actividad 4: Para cada enunciado Argumenta si resulta verdadero o falso:
a) El rango de la matriz:(1 2 10 0 1
3/4 3/2 1/4 ) es 3.
b) El sistema homogéneo que tiene por matriz de coeficientes: A = (0 0 40 3 −11 0 1
) admite como única
solución la solución trivial.
c) En un sistema de ecuaciones es incompatible el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la
matriz ampliada del sistema.
d) El sistema
2wz =yx
wz =3y 2x admite infinitas soluciones.
e) Si A es una matriz cuadrada y det (A) = 0 se puede asegurar que X = A-1B es la única solución del sistema de
ecuaciones lineales AX=B.
f) A es una matriz escalar de orden 4 que cumple que aij= 2 para todo i=j. Entonces |A| = 24
g) En el sistema de ecuaciones lineales dado, el rango de la matriz de coeficientes es menor que el rango de la
matriz ampliada. {𝑥 + 𝑧 = 1𝑦 + 𝑥 = 0
𝑦 = 𝑧
h) La matriz de coeficientes del sistema: {𝑥 + 𝑧 = 1𝑦 + 𝑥 = 0
𝑦 = 𝑧 es inversible.
i) X= 2A es solución de la ecuación: 2 X + AB – BA = X I
Actividad 5: Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales, donde A,B,X son matrices cuadradas del mismo
orden y que poseen inversa, y 0 es la matriz nula.
a) AX −BA = 0
b) A(X + A−1)−B = 0
c) A−1(X −BA)−B = 0