MATEMATICA DIFERENCIADO A.URREA MODULO N°2-3°MEDIO

8/3/2019 MATEMATICA DIFERENCIADO A.URREA MODULO N2-3MEDIO

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Colegio Alberto Blest GanaJvenes emprendedores para el siglo XXICoordinacin Acadmica

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Suponemos que ya conocemos los smbolos > (mayor que), 1 para sealar que 4 es mayor que 1. Tambin podemosescribir 2 < 3 para sealar que 2 es menor que 3.

Ejemplos como estos se conocen comodesigualdades.

Sabido esto, diremos que una inecuacin es el enunciado de una desigualdad que incluyealguna de las siguientes relaciones de orden: mayor que(>); menor que ( 1, porque 4 est a la derecha de 1 en la recta numrica.

2 < 3, porque 2 est a la izquierda de 3 en la recta numrica

3 < 1, porque -3 est a la izquierda de 1 en la recta numrica

0 > 4, porque 0 est a la derecha de 4 en la recta numrica

Una inecuacin lineal, entonces, es una expresin matemtica que describe cmo serelacionan entre s dos expresiones lineales.

Por ejemplo: 3 + 5x 18; y otro, 2(x + 3) < 9.

INECUACIONES LINEALES O INECUACIONES DE PRIMER GRADO

SUBSECTOR DE APRENDIZAJE: MatemticaNOMBRE GUIA Y/O MODULO N2: Inecuaciones lineales o inecuaciones de primer gradoNIVEL: 3 MedioPROFESORA: Alejandra UrreaOBJETIVOS GUIA Y/O MODULO DE APRENDIZAJE:

Aplicar Concepto y propiedades de inecuaciones.

Reconocer intervalos en la recta numrica.

Resolver inecuaciones de primer grado con una incgnita.

Resolver ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.

Resolver sistemas de inecuaciones lineales con una incgnita.

Resolver inecuaciones de primer grado con dos incgnitas.

Resolver sistemas de inecuaciones lineales con dos incgnitas.
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___________________________________________________________________________________Como resolver una inecuacin

Resolver una inecuacin es encontrar los valores de la incgnita para los cuales se cumple ladesigualdad. La solucin de una inecuacin es, por lo general, un intervalo o una unin deintervalos de nmeros reales, por ello es que se puede representar haciendo uso deintervalos en la recta numrica, la cual contiene infinitos nmeros reales

Las reglas para la resolucin de una inecuacin son prcticamente las mismas que seemplean para la resolucin de ecuaciones, pero deben tenerse presentes las propiedades delas desigualdades.

Como ya dijimos, se puede ilustrar la solucin de una inecuacin con una grfica, utilizando larecta numrica y marcando el intervalo entre los nmeros que dan solucin a la desigualdad.Si la solucin incluye algn extremo definido del intervalo, en la grfica representamos dichoextremo con un crculo en negrita; en cambio, si la solucin no incluye el extremo, lorepresentamos mediante un crculo en blanco.

Ejemplo: x > 7 (equis es mayor que 7)

Los valores mayores a 7 se representan a la derecha de la recta numrica y no incluyen al 7.

En intervalo desde el punto blanco hacia el infinito a la derecha se escribe:

Ejemplo: x 7 (equis es mayor o igual a 7)

Los valores mayores e iguales a 7 se representan a la derecha de la recta numrica e incluyen

al 7. El intervalo desde el punto negro hacia el infinito a la derecha se escribe:Ntese la postura del corchete cuando incluye y cuando no incluye una cifra determinadadentro del intervalo.

Resolucin de inecuaciones lineales (de primer grado) con una incgnita

Veamos algunos ejemplos:

Resolver la inecuacin 4x - 3 > 53 (Se lee: cuatro equis menos tres es mayor que 53)

Debemos colocar las letras a un lado y los nmeros al otro lado de la desigualdad (en estecaso, mayor que >), entonces para llevar el 3 al otro lado de la desigualdad, le aplicamosel operador inverso (el inverso de 3 es +3, porque la operacin inversa de la resta es lasuma).

Tendremos: 4x 3 + 3 > 53 + 3

4x > 53 +3

4x > 56

Ahora tenemos el nmero 4 que est multiplicando a la variable o incgnita x, entonces lopasaremos al otro lado de la desigualdad dividiendo (la operacin inversa de la multiplicacines la divisin).

Tendremos ahora: x > 56 4

x > 14
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___________________________________________________________________________________Entonces el valor de la incgnita o variable "x" sern todos los nmeros mayores que 14, noincluyendo al 14.

Grficamente, esta solucin la representamos as:

Esto significa que en la recta numrica, desde el nmero 14 (sin incluirlo) hacia la derechatodos los valores (hasta el infinito + ) resuelven la inecuacin.

Veamos el siguiente ejemplo: 11x -5x +1 < 65x +36

Llevamos los trminos semejantes a un lado de la desigualdad y los trminos independientesal otro lado de la desigualdad (hemos aplicado operaciones inversas donde era necesario).

11x 5x +65x < 36 1

Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente

49x < 35

Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos.

Casos EspecialesCuando el lado de la incgnita queda con signo negativo (), se debe realizar un arreglo paraeliminar ese signo negativo, ya que la incgnita nunca debe quedar con valor negativo.

Veamos el siguiente ejemplo:

2x [x (x 50)] < x (800 3x)

Primero quitamos los parntesis:

2x [x x +50] < x 800 +3x

Reducimos trminos semejantes.

2x [50] < 4x 800

Ahora quitamos los corchetes2x 50 < 4x 800

Transponemos los trminos, empleando el criterio de operaciones inversas.

2x 4x < 800 +50

Nuevamente reducimos trminos semejantes y llegamos a

2x < 750

Pero sabemos que no puede quedar signo negativo en la parte de la incgnita, entoncescambiamos de signo a todo (2x queda 2x y 750 queda 750), y adems cambiamos elsentido de la desigualdad (< lo cambiamos por >).

2x > 750

Despejamos x pasando al 2 a dividir, luego simplificamos.


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___________________________________________________________________________________Resolucin de Problemas

No es muy comn encontrar problemas con inecuaciones, pero de todas formas, si nosencontramos frente a este caso, debemos plantearlo en lenguaje matemtico y luego realizarlas operaciones correspondientes para hallar el valor de la incgnita (el dato que deseamosconocer).

Veamos un problema sencillo como ejemplo:

Dentro de cinco aos, Ximena tendr no menos de 18 aos. Qu edad tiene actualmenteXimena?

Tenemos entonces:

x edad de Ximena

x + 5 edad de Ximena en 5 aos

Sabemos que la edad de Ximena en cinco aos ser mayor que 18 aos (Dentro de cincoaos, Ximena tendr no menos de 18 aos).

x + 5 > 18

Resolvemos la inecuacin:

x + 5 > 18

x > 18 -5

x > 13

Entonces podemos afirmar que Ximena actualmente tiene ms de 13 aos, pero no podemosdeterminar exactamente su edad.

Dos ejemplos de inecuaciones representando la solucin en la recta numrica e indicando elintervalo en el cual se ubica sta:

a) X pertenece al intervalo que va entre el menos infinito y el menos un sexto incluido.

b) X pertenece al intervalo que va entre la fraccin incluida y el infinito hacia la derecha.


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Inecuaciones que involucran valor absoluto

Resolveremos inecuaciones que involucran valor absoluto de expresiones de la forma , donde y son

constantes con y es una variable real. Para esto utilizaremos la definicin de valor absoluto, y en los

casos en donde sea posible usar alguna de las propiedades estudiadas las aplicaremos, con el fin de facilitar el

procedimiento de resolucin.

Ejemplo 1

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Solucin

1.

Sabemos que:


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Con esta informacin construimos la siguiente tabla:

En consecuencia el conjunto solucin

Nota: La inecuacin y otras similares se pueden resolver aplicando propiedades del valor absoluto y

adems algunos resultados que se enuncian a continuacin y que aceptaremos sin demostrar.

Resultado 1

1.

2.

Resultado 2

1.

2.

Resultado 3

1.


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2.

Ejemplo

Usando estos resultados y las propiedades correspondientes del valor absoluto, se resuelve as.

Ejemplo

Ejemplo


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Ejercicios

Resuelva cada une de las siguientes inecuaciones:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Ejemplos Adicionales


1.

2.

3.

4.

Solucin:

1.

En este caso se tiene que:


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As:

2.

En este caso se tiene que:

Con esta informacin construimos la siguiente tabla:


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3.

Como:

As:


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4.

Adems:

As:

De aqu se tiene que:

Ejercicio 4


1.

2.

3.

4.


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Sistemas de inecuaciones l ineales con dos incgnitas

La so luc in a este s istema es la interseccin de las regiones que

corresponden a la solucin de cada inecuacin.

1 Re pr es ent am os la r eg i n s ol uci n de l a p ri me ra

inecuacin.

Transformamos la desigualdad en igualdad.

2x + y = 3

D amo s a u na d e l as d os v ar ia bl es d os v al or es , c on l o q ue

obtenemos dos puntos.

x = 0; 2 0 + y = 3; y = 3; (0, 3)

x = 1; 2 1 + y = 3; y = 1; (1, 1)

Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta .


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Tomamos un punto , por e jemplo e l (0, 0) , los sustituimos en la

desigualdad. Si se cumple, la solucin es el semiplano donde se

encuentra el punto, si no la solucin ser el otro semiplano.

2x + y 3

2 0 + 0 3 0 3 S

2 Re pr es ent amos l a r eg i n s ol uci n d e l a s eg und a

inecuacin.

x + y = 1

x = 0; 0 + y = 1; y = 1; (0, 1)

x = 1; 1 + y = 1; y = 0; (1, 0)


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;

x + y 1

0 + 0 1 No

3 La solucin es la interseccin de las regiones soluci ones.

Inecuaciones. Ejercicios

1 Resolver las siguientes inecuaciones


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1

2

3

2 Resuelve el s istema:

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