MATEMATICA - Doctorado Interinstitucional en Educación ...die.udistrital.edu.co/sites/.../files/...matematicas_grado_segundo.pdf · En relacion con la educacion matematica, el maestro

MATEMATICA

PROGRAMAOORES-AUTORES:

Ministerio de Educaci6n NacionalAna Celia Casliblanco Paiva·Gabriel Gutierrez PalaciosTeresa LeOn PereiraCarmen Lucila Osorno Reves

ASESOR:

Universidad Nacional de ColombiaDr. Carlos E. Vasco Uribe

PROGRAMAOORES-REVISORES:

MimsteriO de Educaci6n NacionalI

Cecilia Casasbuenas ·Santamaria

Ana Celia Castiblanco pa~a _

Virginia Cifuentes de .Buritica

COLABORADOR:

Ministerio de EdUCllCi6n, Nacional -cOrlando MUIl!lra P. .... - .... _._-- -.- .. -.'

Recometldaciones generales',.,-.~.-<. -" __."'>-~" ",:t" ... ,~'. - - "'~'f.., .. '.""_" .. ,:,.,. ~

, ',-' " "" -. --<';>. -.

EI exito de un programa depende, en gran parte, de laforma como se lIeve a la practica. Y la forma como selIeva a la practica depende entre otras cosas, de lamentalidad y de la actitud de quien 10administra. De ahila gran responsabilidad de las personas que ejercenesas funciones.

En relacion con la educacion matematica, el maestrodesempena una funcion importantisima, va que es 131quien en la practica decide en que medida se aplica lareforma.

Y para que el maestro colabore con esta tareanecesita, por 10menos:

- Convencerse de la necesidad del cambio.

- Sentirse particip.ante-.?J.:!ivode la reforma que sehace.

- Conocer que es 10que se va a cambiar.

- Encontrar nuevas formas de trabajo que Iepermitan realizar el cambio que se desea.

Ampliando un poco estos puntos podemos decir:

Co.lwencerse de la necesidad del cambio. Es dificilestablecer cual es el porcentaje de educadores colom-bianos que esta reatmente convencido de la necesidadde reformar la didactica de la matematica. Quienes va 10estan deseando, seguramente han recooocido algunasfallasv / 0 la posibilidad de obtener mejores resultados.Entre quienes no deseanel cambio puede haber algunosque tienen alguna razon pero tambien puede h-abermuchos realmente equivocados. Pueden tener parte derazon si han venido realizando un esfuerzo constantepor actualizarse tanto en los contenidos como en losmetodos. Estan realmente equivocados quiene nohacenevaluacion de su trabajo V desean simplemente

__segulr ..apJicando e.!-metodo que .va conocen V queademas a ellos como maestros les ha dado "buenosresultados". Lo grave es que muchas veces esosresultados '''buenos'' para el maestrD; son resultados"malos" para los alumnos.

. Sentirse participante activo de la reforma que sehace. Las personas directamente responsables de laelaboracion de estos programas consideran necesaria laparticipacion activa de todos los docentes. Esaparticipa-cion incluve sugerencias, criticas, adaptaciones y todoaquello que trate de lograr los.objetivos de la reforma.

Conocer que es 10 que se va a cambiar. Entre loscambios propuestos algunos son de contenidos V otros .son de metodologia. Los cambios de contenidos puedendetectarse mediante un analisis del programa nuevo ydel correspondiente al decreto 1710. Los cambios demetodologia, que se explican a continuaci6n, sonindispensables para lograr el mejoramiento cualitativode la educaci6n.

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Sabemos que ya esta superado el metodo verbalistaen el cual se afirmaba: "La repetici6n es el alma de laensenanza". Igualmente esta superado el metodosensorio-empirista en el cual se afirmaba: "Todoconocimiento entra por los sentidos':. Cada uno fuebueno en su epoca V represent6 seguramente el mayoravance pedag6gico del momento. HoV,estamos segurosde que es necesario ir mas alia de la repeticion mecanicaV de la simple impresion sensorial V de que debemosdecidirnos a organizar las actividades de modo que elestudiante logre "aprender haciendo".

Encontrar nuevas formas de trabajo que Ie permitanrealizar el cambio que se desea. En el programa seproponen algunas que pueden lIevar al nino a "descu-brir", a reformular los conceptos V por consiguiente arealizar un verdadero aprendizaje. Entre esas formasestan: los trabajos en grupo V la soluci6n V formulacionde problemas concretos•..Los....trabajosen.grupo favore,--....:cen la discusi6n, facilitan los aportes individuales yfomentan la colaboraci6n. La solucionv formulaci6n de -problemas concretos ubican al estudiante en surealidad, 10 obligan a ser creativo, ingenioso V 10...._preparan para afrontarotros.problemas..quese ..••.....-:presenten en la vida. . . -- .._- - -

La metodologia que procura que el estuaiante"aprenda haciendo" exige un cambio fundamental envarios aspectos del sistema educativo. Concretamentedeben modificarse el papel del maestro, el.papeldelestudiante, el tiempo destinado para cada tema Vlo que __.se espera que el estudiante aprenda. ~I 'maestro no .puede seguir siendo un transmisor de conocimientos; al .alumno no puede seguir siendo un receptor pasivo decontenidos; en cada tem'a debe darse el tfemponecesario para que el estudi.ante "aprehendil" los'conceptos y el estudiante debe ser un agenteactivode .su propio desarrollo.

Estas ideas, sin ser muy faciles de expresar, son masfacilesde escribir que de-,Ievar a la practica......5inembargo, de. so. apl;cacion depende en grarLparteel:exito de la reforma. Por esoes urgente que.:todBslaspersonas--qtte-efl alguna forma fenganque::aQMJi'iiStrM

- los nuevos programas los conozcan 'muybien.-¥.los..discutan ampliamente, antes de ir a orientar lasactividades de los alumnos. Este trabajo puede agili-zarse con criterios como los que se enuncian a-contin uaci6n:

:.- Considerar que el programa puede servirle,almismo docente como instrumento de capaci,taci6ninmediata. I -

- Preparar oportunamente las actividades que deben. realizar los estudiantes. 'Esa preparaci6n incluve elestudio del tema que se va a desarrollar. la preparaci6nde los materiales, la organizaci6n de 'Ios estudiantes;--,etc. -

Por otra parte todas las personas participantesdebemos recordar Que:

- Cada entidad territorial (Distrito Especial,departa-mento, intendencia 0 comisaria) y cada escuela, debenhacer la adaptaci6n de las actividades, de los ejemplos yde los problemas a sus propias caracteristicas ynecesidades. Algunos educadores desearian que todaslas' actividades se adaptaran al sitio en donde estantrabajando. Habra ejemplos, problemas, materiales,etc., Que resultaran apropiados para cualQuier grupo deestudiantes; otros seran mas apropiados para la costaQue para el interior. E'1 cada caso es el maestro Quienpuede establecer qua tan apropiada resulta unadeterminada actividad. .

- t:a adaptaci6n del currfculo es facil en la medida enque el maestro conozca el medio en Que vive. Por esocada educador debe convertirse en un asiduo investiga-dor de su realidad y con baseen ella formular y resolverproblemas que por ser reales son significativos para losalumnos.

- Con las actividades Quese explican en el programase desea ayudar al docente en su labor. De ningunamanera se Quiere restringuir su participaci6n nidesconocer su iniciativa y creatividad.

- Algunos temas como las relaGiones,los fracciona-rios y la geometrfa se trabajan con enfoques especial-mente diferentes a los tradicionales. Por eso esconveniente estudiar muy atentamente los contenidoscorrespondientes y las actividades propuestas.

- Los objetivos especificos son una ayuda paradetectar las causas de los errores de los alumnos ydesar!ollardistintas estrategias para corregirlos.

- Los indicadores de evaluaci6n son una ayuda paraformular preguntas, problemas e ftemes para las

evaluaciones. Si el objetivo es muy especifico, elindicador practicamente se reduce a una redacci6n delmismo objetivo en una forma mas pr6xima a suutilizaci6n para la evaluaci6n. Si es menosespecffico,loconcreta a situaciones mas facilmente evaluables.

Cuando el logro del ultimo objetivo de un bloquesupone Que los alumnos tuvieron que haber logrado -previa mente los objetivos anteriores de ese mismobloque, basta utilizar el ultimo indicador de evaluaci6n,

Algunos objetivos no se logran en su totalidad alfinalizar una actividad sino Que se logran despues detranscurrido un tiempo. Estos objetivos no se puedenevaluar inmediatamente. EI maestro puede ir obser-vando el nivel en que estan los alumnos e ir reforzandosus actividades hasta la adQuisici6n de los conceptosprevistos. Es entonces cuando al puede decir cuando yc6mo hace la evaluaci6n.

- Es importante Queel maestro tenga en cuenta Quepara la evaluaci6n formativa la ausencia de respuesta, 0

la respuesta diferente a la esperada, sirven de sfntomaspara diagnosticar el estado del proceso cognitivo. Eneste sentido es mas ilustrativa una respuesta noesperada que la respuesta determinada por el indicadorde evaluaci6n: si responden "bien" no se sabe sientendi6 0 no; si responden "mal", el "error" indicac6mo va el proceso de aprendizaje. Por esto se debeobservar que los alumnos esten razonando al dar unarespuesta y que n01a'estan repitiendcrmecanicamente.'---' - -

- La evaluaci6n global del curso debe hacerse conrespecto a los objetivos generales.

Se podrfa continuar analizandq. el manejo delprograma, pero las ideas anteriores puederis'ersuficientes para que quienes 10 van a aplicar tengancriterios claros para administrarlos acertadamente.

Objetivos generales ~

1. Determinary representar conjuntos.

2. Haflar'ein(/mero deerementos de algunosconjuntos.

3. Manejar relaciones de pertenencia y de orden.

4. Hallar sUbconjuntos de un conjunto dado.

5. Reconocer el significado de la "y" y de la "0" enuna instrucci6n

Manejar algunas expresiones como: "todos","algunos", "ninguno",

7. AdQuirir habilidad para el calculo numerico oral y'

escrito.

Reconocer numeros pares y numeros impares.8.

9. Adquirir habilidad para reconocer y representarlos numeros entre cien y mil.

'Distinguir, ante problemas concretos, aQuellosque plantean una situaci6n aditiva 0 multiplicativay darles soluCi6n.

11. Utilizar en el calculo numarico algunas propieda-des de la adici6n y algunas de la multiplicaci6n.

12. Formular el algoritmo para resolver algunasoperaciones.

13. Reconocer multiplos y divisores de algunos",·'",,,"',numeros. . . __,:~~',.

14. Resolver problemas s~ncillos de a~a-I~~~~~~~~!>j-:-~~:---':'':::':'

natorio.

15. Identificar y analizar fronteras y regiones en elplano y en el espacio.

16. 'Reconocer y clasificar algunos s6lidos y algunassuperficies planas.

17. Distinguir y emplear algunas transformaciones enel plano. -

18. Medir longitudes, superficies, amplitudes yduraciones, empleando,en cada caso, alguna delas unidades estandarizadas. -

• Simbohllcu!tn d. nUmIlOS• Nttv"l" d. 0 • 100 con

edICI6n , svslllCCl6n• A'VOl'llmos CDn .pllCiclon,s• Orden .dlll"o

l!S "'.yor qv.I! menOf que

• Ordlnll"• 0,.,_ .••.••-1. + t.-2. etc

• Not1II'oI •• dt 0 11000.011Idltl6n. susUttt1bn., m"'IlpllUtl6n. dlVlsI6n Ilnlcl.cl6I\1

• Num"os p••• y nUme,alImp""

• AIVOfllmos con .pllc"lo"1I• Orden mvlhpltc'hYO

IS mmllplo dees dlVISO'de

• ""lIf.lel mtyO"fS que 1 000con ,dlc,on, SUSIIICCI6n.mul.hphClcI6n y d'VlSI6n

• Algol'llmos grne,.hl.dos p••.•• d'C·IOn,SUSlfltCIOnY multlpll·ClClon con .phuclones

• Numeros pl'lmos• Op.lldoru n.luftles• Intreduetton • los aper.dafts

lr.cClonlnos

• NIl,",les ton .dlclon. sVlir.tcion. rnulllphcttt6n y diVISiOn

• Hum"'tlon ,om'n.• Fflcclon,nos con IIIleI6".

SuSlrlCCtlm y ~llp"clCl6n• Declm.les. cbn ,dte,1m y

SUSlr.CCI6n

• AllJOfl1mOScon .pllelClOfttI• Otd,n mvlhphcllI"a

• NII.,..,,, eon 'dlcI6n, sv,It.ecl6n. mvlllpllelClbn. tflv"16n.

'polrnc1le,on. ,d,ut,on.JOV'fllm,cl.n ,

• Fr,cclon.llos con 'lhcI6n,su,tucCl6n. mulliphucion ,dIVISI6n

• oeclf",I" eM .dltl6n. SUS'ff.ctlbn, mulhphUCI6n ,diVISion

• A10OfII",0' con ,plltlt'''"''• MCOyMCM• Re,one, ,pfDPOfCIOMS

; PYop••• iOllllidld dirIC" 1, inv,fll

I

• A,ll(.lont' ISplcltl., I• Algunol lolldos oeomt"lCOI.

,.guill" :• F'OUf'1 pl.n.s Bo'des ,"ctoS!

y,bordu (UMtI• IntroduCCIOn • I. 'Imet,11• Until Ilblel1lS y tlnnlS)

,• At,'dlS p.,.I.I.s, 1

p.rp.ndlCula,,,• RoIIClon.s y Vuos Angulos• FOfmas glo~tl"CIS flOUI,.

If' CUld"d's, Hi.ngul.res .•fI'tI"'lJUllles , Clfcul.,IS

• HoctOn d. perimltro

• Superhcles Ikon."'s de561t·dost $up,rftCl" pl.ft"

.UntlS· Ifronte"s d.superficlesl '

• Punlos thon',ru' d. Iinllsl.• C.llcle,bltlon de

"I'ngulo. cuadr.do. rlctin·qulo. circula

• Modelo,' d. s6hdos• Cuidril",;os·,lr.peclos• p.,lmetro tvenlllhllda).• Atd,os, dltmllros• A,tI. tr.plelo, cu.drado,

reeltrivulo. I"'ngulo• Cu. kula

• CO(l,t'uttIO"., un ,.g" ,comph

• PoliQonol t.,UI.rfS• ConsUutcl6n dl .lvunos

s611.os• Arlf dll c;,culo• A,,, y, volume" dt .Igunos

s611dOS

• Slunlhcedo de I. "y" )' de I., ·'0" In un. ",S1,uCCI{)n

• hprlSlon,s "Todos". "AlouI nos", ·'Nlnguno'·

I!

I

• Dlyersns slgm"t.dos de18 "y', de I. "0" en ,I hmgu811o,d""no

• OIWet"SiSmanl,as de CUlntl1t-CiI' up',slones

• PrOpOSlt1on.s• Signlftcado. ¥81or de I. ve,d,d.

neg'Clon, tOnllJntlltn. disyun,Cion ucluSlvit

• ~eglti6n de upnslOn'lI (UlInllhead.1

• Ols~unclcin luer1' , diM ('11e1uIIVI I melus,,_'

• ConIUntU')n

., Inlloduwon • I. medlclon delonGitudes pillones ,fbill'rial. tl dm ,tl '"

• Mtdlpon d, IlimpO

• letl1Gilud m. dm, em• Superhcl' Unlltld" .,bnfl

'III. Itm'..• Unld,des de dllf.CI6n: hu'lS.

mmulOI

• longitud 11'1, mulhplo, '(lubmUlllplosY"d. '( WI'.

• Sup.,ticil A,••. p.lron'sSlIndlfllldos: m'. em'. y mm'

.• Volumen, P",ones Ifbitrl"oSI. CIC!lc.d,d pllrontS 'rbt1",ios. lItro

• R.tOlecclon de dlloS• "bullt16n y "prnullclon

d, d.los

• A,ea AI,unos mvlliplos '(.ubmUlliptos dll m' Mld,dl'

'1f""S• Yolumfn' m), dmJ• em),• PliO "'11'10. kilognmo

• Recol'eti6n dl! dl10S• Tabulation y repruenl.cion

d. d.los

• l",cll(16n ,I .n61iSls de d.",

• ConvtfSlones conumd.d's dtlonOltud. "fI, uplcldld ,plllO

• OI,es untilldt, de peso.• Urtldldl.'" liernpo.• ConYtfSlones.

, I

• Noclones de "'tUenclI, p'o·midlo y mod. en un conlunloplqulAo de d.tos i

III

IIIi

I

I

l'

• [I"thc,clones• NoClonde conlun10 elemento• ClInluntos equmumefOSOS• Noclon de union d. conlunlos

dlS,untol• RepresentlCl6n ,,'flu• Art'.glos senCillos

• Plnen,nctt• Notion dt subconlunlo• Union de conlunlos dlsY'untos,

no dlsyunlos• e.,dlnll de un conlunto. cardl

n.1 de I. UhlOn

• PII'I'S can, SIn Olden

• Simboltl,clon d. las rel.c,ontS de putlnenCl1 ,

· tontenenci'• Unton e Inlersecclon• A1ounos ''',glos con '(SIn

Olden

• Aelltlones de conlen,nCI.• Igulld.d de conlunlol• Conlunlo ,ef.flnelll• Compiemenio de un COnlu,1l0·

simbolilltiltn Y JlPfe·,,"tKion

• Algunos IIPOS de ."eglos

• bfensl6n, compfltnSlon• Conlun,os InflMo (MI. uM.

110,VltiO

• Uhlon • Inf.,seCCl6n• P,odVClO c,,"slIno

linfroducclon)• olros IIPOSde .,.,Ias

• InICIKI6" • I. "."".nl.n6'1dl "llelonll

• OIV'''ts mln,,.. d. e,.(fulfo.,.'ltlonn

• P,opltd.des conmuUh¥'1I0tllftV'. mod"II"" de.Igunts oprllc10nlS

• AII.tlones dt o,den Rip"seniition Slgll.1

• P,opled.dn .nhl,mtlflClS Y'tr.nSlh"

• PI.pltd,des COnmuUII" .,socl.un , modu'"'" de.llunas oper.clOnts

• RelIClon InvelS.• D"If.mll s.gn,I,s P,op,,,

d.des ,nuslmhlCl '( 1,.nll,,,'

• Aecop,lkl6n de lIS ope,'clones conmut.ltv ••. 'SOCIIIIW"modut.IIWIS !Studl.d"

• Igullded"

- A medida que el nino crece. puede realizaractividades cad a vez mas complejas. A. medida que elestudiante avanza en el estudio de una materia. puedetrabajar \os conceptos a un nivel mas complejo. Parahacerlo con exito. es necesario que estos se lespresenten en una secuencia adecuada; asi. unos sirvende base para el aprendizaje de los demas.

Eso sucede con los .:ontenidos de matematicas. Loque el nino aprende en primero debe servirle de basepara desarrollaf el programa de segundo; loque aprendeen primero y en segundo debe servirle de base paratercero y as! sucesivamente.

Por consiguiente, al analizar el programa de matema-tica para cualquiera de los grados de la educaci6n

basica. es necesario tener presente cuales contenidos ycon que profundidad se trataron en el grado 0 en losgrad os anteriores. .

En est~ grado se ampliara el concepto de numero y lasituacion aditiva; se iniciara el estudio de la situaci6nmultiplicativa. 10mismoque el de algunas regularidadesdel lenguaje usual. Se continuara con el desarrollo delproceso de medir longitudes y lapsos de tiempo y seiniciara la medici6n de superficies. Tambien seranobjeto de estudio algunos conceptos geometricos yalgunas formas geometricas. y se continuara con laelaboraci6n de graticas de barra.

EI siguiente esquema muestra una propuesta de lasecuencia que se puede seguir en el desarrollo delprograma de segundo grado.

A. Los numeros

hasta 200.

Objetivos 1 al 9.

B. Situaci6n aditiva .de (0 a 200).Objetivos 10 al i5.

C. Iniciaci6n de lasituaci6n multipli-cativa (de a a 200)Objetivos 16 al 22.

E. Operaciones conlos nGmeros hasta1000.Objetivos del 27 al39.

D. Los numeros.hasta 1 000Objetivos 23 al 26.

H. Nociones decom b·i n a tor jay

estadistica.Objetivos 62 al 64.

Sin embargo. a\ desarrollar e\ programa e'sta secuen-ciapuede modificarse teniendo en cuenta \os interesesde los alumnos. Jas necesidades de .integracion y quealgunos temas son pre-requisitos para otros. Otraspropuestas de secuencias podrian ser:

A+ 0 + B+ C+ E+ F+ G+ H

A+ B +D-+C+ E+F+G+ H

si se avanza con los numeros hasta mil, antes deestudiar la situacion multiplicativa. el maestrotendra encuenta que en la descomposici6n de dichos numeros nosera conveniente utilizar \a multiplicacion. En este casolas descomposiciones seran del tipo:

547 = 5 centenas 4 decenas 7 unidades(= - 500+40+7

Cuando se yea la multiplicacion se haran las descom-postciones como se sugiere en la actividad correspon-diente. ~-~.. -

La primera parte del'desarrollo del programa vaencaminado a repasaralgunos temas estudiados en elprimer grado. tales como el concepto de numero. lasimbolizaci6n de los numeros y su descomposici6n endecenas y unidades. Dentro de este repaso se estudianalgunos conjuntos especiales de numeros de maneratal. que sin que aparezcan formulados explicitamente

.objetivos relacionados con -eonjuntos. si se utiliza estelenguaje y tambien las relaciones entre conjuntos y

elementos.

- En el primer grado los alumnos hicieron represen-taciones de conjuntos mediante dibujos que tenian_

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alguna semejanza con los objetos que manipulaban.Este es un primer nivel de simbolizaci6n. En segundo,las representaciones se hacen con los nombres de losobjetos 0 con la. inicial del nombre, evitando que unamisma inicial represente dos 0 mas objetos diferentesde un mismo conjunto; los nombres 0 las iniciales seescriben con minuscula. Las representaciones de loselementos de un conjunto se encierran entre lIaves (II).

Ejemplo: Anibal tiene un balon, un trompo, un carro yun avi6n.

Para representar el conjunto de los juguetes de Anibalse pueden utilizar las siguientes formas:

Para pasar de un nivel de simbolizacion a otro, hay quetener -especial cuidado y cuando sea necesario seguirlos pasos (1), (21y (3) hasta que los alumnos, esponta-neamente, elijan la representacion mas simplificada(que es la mas abstracta).

- En un conjunto se pueden seleccionar algunos desus elery-lentospara formar unlluevo conjunto, que sellama subconjunto del primero.

- Dos conjuntos son disyuntos cuando no tienenelementos comunes. Por ejemplo, el conjunto de losnumeros pares y el conjunto de los numeros impares, .son disyuntos.

- En et lenguaJeordinario hablamoscon frecuencia de"parejas" 0 "pares". Una pareja de enamorados, unapareja de caballos, una pareja de ases (un par de ases)...Generalmente no importa el orden de los dos elementosde la pareja. Una pareja 0 un par,seria pues un conjuntode dos elementos. Por-ejemplo; una pareja-6e numerospodria ser: 5, 10. Pero muchas veces es importante queelprimer elemento de la pareja cumpla una caracteris-tica determinada y el segundo elemento..otra.

Ejemplo: en el conjuntol5, 101 neihay Rropiamente unprimer elemento, pues (5, 101 = (10, 51;pero si queremosQue el primer numero represente la hora yel segundolos minutos, si importa mucho el orden de los elemen-tos: las 10 y 5 no es 10 mismo que las 5 y 10.

Cuando importa el orden y tenemos Que saber cual esel primer elemento y cual el segundo elemento de lapareja, decimos Que esta ordenada, y ya no podemosrepresentar esa pareJa escribiendo los dos elementos,entre IIaves. Podemos lIegar a un acuerdo: cuando elorden sea importante, escribimos los elementos entreparentesis: (~O, 5).

. Entonces la pareja (5, 10) sera distinta a la anterior(10, 5). pues r~presentan trempos drferentes.

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Estas pareja 0 pares, en los que importa el orden de loselementos, se lIaman "parejas ordenadas" 0 "paresordenados" y se representan con parentesis: (a, b).

Las parejas 0 pares en los Que no importa el orden, selIaman "parejas desordenadas" 0 "pares desordena-dos" y se representan con corchetes: la, bl. Lascaracteristicas mas importantes de las parejas 0 paresson

2) (a, b) tiene primer elemento: a, y segundo elemento:b, pero I a, b \ no tiene primer elemento ni segundo'elemento.

- Los conjuntos en los cuales se estudiaran algunasrelaciones deben ser suficientemente conocidos por losalumnos. Mediante esas relaciones se explicitan losnexos Que existen entre los objetos. Asi, en el gradeanterior se inici6 el estudio de las relaciones de orden:.....es mayor Que y es menor Que En estegrade se ampliara el estudio de estas relaciones y setrabajara con otras, tales como: " ...es un multiplo de.....y .....es un divisor de ....".

- En cuanto alas operaciones, en el primer grado, setrataron la adicion y la sustraccion. Mediante unaoperacion a partir de uno 0 dos elementos, se obtiene unnuevo elemento. Asi, dado el elemento 3, la duplicaci6nproduce el elemento 6, 0, dadosJos elementos.2.v.J..Ja __adici6n produce el elemento 2 + 3 0 sea 5. N6teseQue2 + 3es el resultado indicado de la operaci6n. Las operacio-nes son esencialmente de caracter dinamico puestransforman uno 0 dos objetos en otro objeto.

En este grado, ademas de las operaciones de adici6n ysustraccion, se estudiaran la multiplicaci6n y la divisi6n.

Compare estas situaciones:

2 x13=6

2@= 5

En et caso A, aparece la operacion de duplicaraplicada al 3, Que produce el 6. En el caso B, aparece laoperaci6n de multiplicar aplicada al 2 y al 3, Queproduce el 6.

En el caso C, aparece la operaci6n de aumentar entres aplicada al 2, Queproduce el 5. En el caso 0, aparece'Ia operaci6n de sumar aplicada al2 y a13,Queproduce el.5.

Asi, una operaCi6n Que se aplica ados argumentos,lIamada operaci6n binaria, puede tambien interpretarsecomo una operaci6n Que se aplica a un solo argumento,lIamada operac'ion unaria. Explore si a los ninos lesparece mas naturalla operaci6n unaria 0 la binaria, (sinutilizar las expresiones "unaria" ni "binaria").

.- EIconjunto de los multiplos; en sentido estrieto, de unnumero dado, esta formado por aQuelios numeros Queresultan de multiplicar el numero dado por los numeros2, 3, 4, 5, 6, ... Esto indica Que el conjunto de leismultiplos de un numero en sentido estricto, estaformado por los multiplos Que son estrictamentemayores que el numero. Tambien se llama el conjuntode "multiplos estrictos".

EI conjunto de los multiplos, en sentido amplio, de unnumero dado, es el conjunto de los numeros queresultan de multiplicar el numero dado por 1, 2, 3, 4, 5,.... Esto indica que el conjunto de los multiplos de unnumero, en sentido amplio, esta formado por el mismonumero y por todos los multiplos, en sentido estrieto, delnumero. Generalmente en los libros cuando se refierena "Ios multiplos de un numero", 10 consideran ensentido amplio.

- EI conjunto de los divisores, en sentido estrieto, deun numero dado, esta formado por los numerosmenores que el numero dado y tales que, al dividir esenumero dado por cualquiera de ellos, la divisi6n tienecomo residuo cero. Esto indica que el conjunto de losdivisores, en sentido estdcto, de un numero, estaforma do por los divisores del numero que son estrieta-mente menores que al.

EI conjunto de los divisores, en sentido amplio, denumero esta formado por los divisores menores 0

iguales al numero, es decir, esta forma do por el'conjuntode los divisores del numero, en sentido estricto y por el

mismo numero, ya que todo numero, es divisor de slmismo.

- En cuanto a la l6gica matemstica no se trata deempezar su estudio, sino de hacer que el estudiantecaiga en cuenta de ciertas regularidades del lenguajeusual. Son estas regularidades las que se iran matema-tizando progresivamente.

Las expresiones: "todos", "algunos", "ninguno","algunos no", se IIaman cuantificadores. Ademas deestos, hay otros cuantificadores.

Los cuantificadores hacen referencia a la cantidad deelementos que cumplen una condici6n sin recurrir alconteo.

En este grado, se ejercitars el uso concreto de esasexpresiones, sin utilizar la palabra "cuantificador".

En el curso anterior, como iniciaci6n ala construcci6nde grAficas de barras, se construyeron tor res pararepresentar el numero de elementos de un conjunto. Eneste grado, se toman~ en cuenta la frecuencia con que seda un evento y a partir de estos datos se elaborara lagratica de barras correspondiente. .

Objetivos especfficos, indicadores' de evaltiaci6n.actividades y sugerenci.-s metodol6gic~s - .""

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..•.(;~~~4v.~t~~i~~i~~Jw~i~fi~1~~..J~;:,..;~;numer:~,el~~~~~~~~.~i}:cto.

Actividade. y .ugerencia. metodol6glca.

Una actividad para el logro de este objetivo se podrsorganizar utilizando cartulinas, sobre las cuales sepegarsn recortes de revistas y peri6dicos que muestrenobjetos. Asl, cade nino formers sabre una certuline un

.. ~ o~ -

p V5 cinco

._.

conjunto de objetos; En la parte inferior de la cartulina58 dejers un espacio para que los ninos, luego de conterlos elementos del conjunto, representen en cifras y enletras el numero de objetos de cada conjunto.

Por ejemplo:

Tambi~n podr6nhacerr dibujos directamente sobre la cartulinao en los cuedernos de los.-alumnos

Actividades y sugerencias metodol6gicas

Inicialmente, ya manera de repaso, 105 nirlos contarande uno a cien. EI maestro podra hacer enfasis en 105

nombres de los digitos, los cuales escribi6 en cifras y enletras en la actividad anterior. Debera serlalar como losnumeros del once al quince tienen nombres que notienen relaci6n con su formaci6n, por ejemplo:

" es diez y uno, pero se llama once.

'3 es diez y tres pero se llama trece.

'5 es diez y cinco, pero se llama quince.

En cambio

, 6 es diez y seis, y se llama dieciseis.

, ges diez y nueve, y se llama diecinueve.

Es importante que 105 nirlos aprendan como losnumeros comprendidos entre 21 y 29 se escriben conuna sola palabra, asi. por ejemplo:

21es veinte.y uno I.se lIIamaveintiu.no.

23 es veinte y tres y se lIIama veintitres.

27 es veinte y siete y se lIIama veintisiete.

En cambio numeros como los siguientes se escribencon tres palabras:

31 es treinta y uno y se llama treinta y uno.

. 43 es cuarenta y tres y se llama cuarenta y tres.

96 es noventa y seis y se llama noventa y seis.

Para ampliar esta actividad, el maestro idearaejercicios en los que los ninosprl.lC1iqverr 11llectura y 36escritura de los numeros. Por ejemplo se hacen-cuadritos en cartulina, yen ellos se escribe un digito. Acontinuaci6n se colocan dentrode una caja, y se indica aun niflo que saque dos de ellos"y forme un numero dedos digitos ..Otro de sus compafllilros 10 leers yotro 10escribira en el tablero. con palabras:

La actividad puede continuarse can un materialpreparado por los nirlos en grupos. Cada grupo hars unaIista de 105 numeros de uno a cien, escrita en una cintade papel 0 de cartulina.

Se pedirs a cada grupo que lea en su cinta los. numeros que terminen en cera: 10,20,30.40 •... 100. Seharen preguntas como: lc~anto hay que sumar a 10para obtener 207, lcuant~ hay que sumar a 60 I>ara

62

obtener 707, etc., hasta que los nirlos adQuieranhabilidad para contar de 10 en 10, a partir de 10. Can elmismo procedimiento, los ninos contaran de 10 en lOapartir de 1', de , 2, de 13,etc. Estos ejercicios se haranposteriormente sin ayuda de 105 numeros escritos.

Antes de descomponer un numero en decenas yunidades, es conveniente que con algun material (parejemplo piedritas), los nirlos form en los grupos de a1 0que resulten y cuenten las unidades que no alcanzarona formar una decena. 5i el numero de objetos es 24, severa que formaron 2 grupos de a 10 Y quedaron 4unidades sueltas:

5i algun nirlo dice que en 24 hay 24 unidades, larespuesta es correcta, pero si dice que hay4 unidadesiarespuesta es incomplete: es necesario precisar que son -2 decenas y 4 unidades; las 4 unidades son 'Iasque hanqueoado sueltas y no pudieron formar una decena. .

Se propondran ejercicios como:

D D uni~ades

= ·0 decenas y D unidades

Con numeral; digitos escritos sobre cartulinas, en lascuales se hayan escrito los digitos para las unidades,en .azul. y 105 digitos para"las decenas, er:l rojo. se harsnejercicios similares.

EI material puede tener tarjetas como las siguientes: .

88CJD8 GJD D···

5i se pide a un nino que represente ccm~rtuJinas unnumero como 46, el nino seleccionara tarjetas como:

Debera atenderse al orden en la colocacion de estastarjetas.


EI maestro y los ninos conseguiran unos granos de maiz.piedritas 0 tapitas 0 cualquier otro material. Haran conellos un mont6n. Si el material disponible son piedritas,los ninos pasaran en orden y cada uno tomara unaspocas de ellas y las colocara en su pupitre.

Cuando el maestro les indique, las contaran yanotaran el resultado en su cuaderno. Despoes tomaranesas piedritas, de dos en dos, observaran si sobranpiedritas 0 no; en elcaso de que sobren anotarancuantas sobran.

Terminada esta operacion, cada nino tendra lossiguientes datos: el numero de piedritas que toma y elnumero de piedritas que Ie sobraron, despues detomarlas de dos en dos. Una vez que 10sninos tenganestos dos datos, los dictaran 'en forma ordenada almaestro, quien los escribira en el tablero.

Ejemplo: Juanito cO['lte; 10 piedritas y Maria 13piedritas.

Piedras queto'rii6 Juanito.O (b~(~ i1Numero de piedritas: 10 e5@ t1 ~ <@-

Numero de piedritas que sobran al hacer parejas: 0

Piedritas que tom6 Maria ~ ((2) t9 ~ '\Y ~Numero de piedritas: 13 ~ ~ e G ® G!J~

Numero de piedritas que sobrari al hacer parejas: 1

La aetividad puede iniciarse pidiendo a los ninos queescriban algunos de los numeros que ya conocen. Para

Cuando todos los ninos hayan hecho el ejercicio y setenga un numero de datos apreciable. el maestro losanalizara con los ninos, para descubrir que caracteris-tica tienen 10snumeros con los cuales se pueden for marparejas sin que sobren piedritas.

Para iniciar el analisis se haran dos columnas: unacon los numeros que permitieron for mar parejas sin quesobren piedritas, y otra con los numeros con los cualesal for mar parejas sobr6 una.

EI maestro dira a I.os ninos que los numeros de laprimera columna se lIaman NUMEROS PARES, porqueal hacer parejas no sobran piedritas y a los de la segundacolumna IMPARES, porque al hacer parejas sobra unapiedrita~----

Se obtendra una situaci6n como la siguiente:

esto. pueden buscar el anterior y el siguiente de unnumero dado. Analizaran como el anterior'de unnumero se obtiene restando 1 a ese numero y elsiguiente, se obtiene sumando 1 a dicho numero.

De esta manera 100 es el siguiente de 99. ciento cinco

Para obtener numeros mavores Que 100 (entre 100 V ciento Quince200), el maestro pedira a los ninos Querepresenten los

ciento veinticinconumeros de 0 a 99 en diez filas, como se indica acontinuaci6n: ciento treinta V cinco

0, 1, 2, ..... 9 clento cuarenta V cinco--- --- --- ---

"A'

ciento cincuenta V cinco1 0, 1 1, 1 2, ...., 1 9--- --- --- --- ciento sesenta V cinco20 21 22 29 ciento setenta V cinco

30 3 1 32 39 ciento ochenta V cinco

ciento noventa V cinco

Observaran Que se han formado columnas: unaterminada en 0, otra terminada en 1, otra en 2, etc. Enseguida los alumnos escribiran, en palabras, losnumeros de cada columna. Para esto podran utilizar uncuadro comoel siguiente (el espacio en blanco serautilizado despues).

cinco

Quince

veinticinco

.treinta V cinco

cuarenta V cinco

cincuenta v.cinco--

sesenta V cinco..,... ...

setenta V cinco

ochenta y cinco

noventa V cinco - .

Cuando los ninos havan terminado esta tarea,elmaestro 10s orientara para Que entre todos descubranc6mo se pueden obtener los numeros mavores Que lOa,a partir del trab'ajo Que va han realizado.

1:..\~'-

.~~~-g-'~-~~-

-'.''';;';];,.;''=i=--

Observaian Que al ultimo numero Que han simbcifi·zado es 9.9, al segu(r contando teridran fOO--:-,C6mo - -simbolizarlo a partir de.O? Basta colocar 10 en losespacios vados. Asimismo, se hara hasta 109. NoteseQue,esos 10. Que se agregan son 10 decenas. Ell lasdemas filas etunico espacio se lIenara con ell; este:espaciocorresponde al lugar de las centenas.:

EI maestro advertira a los ninos Que al lIenar .Ioslugares vacios se obtlene un numero Que es el resul·lado de haber sumado 100 al numero Que se teniainicialmente, Ejemplo:

__ ~ ---,--to 1.Q a._.2. L--'l'§'l.

108=100+8

15t=100+51

Para la representacion en palabras basta anteponer lapalabra "ciento" a la representaci6n original. Para elcuadro que se tomo como ejemplo se(tiene:

64

Hasta aQu!-nan lIegado al 199. Se puede hacer algunejercicio Que permita afianzar la simbolizaci6n yformaci6n de estos numeros: dar un numero a cada ninopara Que 10 represente V 10 exprese en unidades,decenas y centenas. Para esto, pueden valerse de uncuadro como el siguiente:

Este cuadro permite ver Quela cifra colocada en cadacasilla representa las unidades de ese orden (unidades,decenas 0 centenas) QueQuedaronsueltas, es decir queno alcanzaron a formar una unidad de! orden inmediatosuperior. Tambien, permite ver cuantas unidades.cuantas decenas 0 cuantas centenas haven un numerodeterminado.

Ejemplos: .

Segun la posicion Queocupa cada una de las cifras de"146, el hecho de que 6 este en la casilla de las unidadessignifica Que han Quedado 6 unidades sueltas Que no,alcanzaron a formar una decena; de igual manera el 4 .-significa Que quedaron 4 decenas sueltas que noalcanzar~n a formar una centena yell indica Que

solamente se form6 una centena. Esto es 10Que se tieneen cuenta para representar cualqUler numero enbase dlez.

EI alumno ademas puede contestar alas siguientespreguntas: iCuantas unidades haven 146?, icuantasdecenas haven 146?, icuantas centenas haVen 146?

Encontrara que hay 146 unidades; 14 decenas; 1centena.

AI preguntar a los ninos por el siguiente de 199,aunque no sepan simbolizar doscientos. saben que es199 + 1 Vse procedera a hacer esta adici6n utilizando elcuadro anterior:

AI adicionar 9 + 1 unidades, dan 10 unidades, o~ea 1decena. AI adicionar esta decena con las 9 va existentes.se obtendran 10 decenas, 0 sea una centena queadicionada con la va existente da 2 centenas. De estamanera el nuevo numero se escribe: 200.

A continuaci6n expresaran 200 mediante sumas como:

150 + 50160 + 40140 + 60

Para asto. se distribuiran los ninos en dos grupos. ungrupo dira un sumando V, el otro grupo, el otro Vviceversa. Se escribiran en el tablero las sumascorrespondientes

100 + 100110 + 90. etc.

Unidades

Decenas

Centenas

1 1 0

9

-- --~2 0 0


i='araafianzar la simbolizaci6n de los numeros, analizar~a)gunas particularidades de dicha simbolizaci6n V

ampliar algunas nociones sobre conjuntos, se trabajarscon conjuntos cuvos elementos sean los mismos'nlimeros. Dentro de estas actlvidades se tratars deprecisarel significado de la "V" V de la "0" en unainstrucci6n V el de algunasexpresiones del lenguaje ~-tales como "todoS", "algunos" V "ninguno".

-EI maestro harsanfasis en el uso adecuado de estas.resiones a 10largo de todo el curso.

~;~'"~rd~sarroll~ de la actividad, 105alumnos puedenra~'aliiTe-n' pequei'los grupos. EI maestro les dirs que

van a trabajar con los numeros desde 1 hasta 100.Hacer ~sta observaci6n es de suma importancia, porquelas afirmaeiones, relaciones V conelusiones que se

-estabfezcan, harsn referencia a 105elementos de eseeonjunto (referencial) V no a otros.

Cada uno de los grupos de alumnos, recibirs unainstruc~i6n escrita como:

1. Busca todos 105numeros que se escriben con una'sola cifra.

2. Busca algunos de 105numerosque se escribencondos cifras y que terminan en cero.

3. Busea todos \os numero de dos cifras que ~empiezan con 1.

4. Busea todos los numeros de dos eifras queempiezan con 1 y tambian terminan en 1.

. .

5. Entre 105 rllJmeros que se eseriben con una SQlacifra. busea aquellos que son pares;

6. Busca todos los numeros de una sola cifra que sonimpares.

7. Buseaalgunos de los numeros entre 39 V 61 queson pares.

8. Busea todos los numeros entre 39 y 61 que sonpares.·-

Para verificar si los ninos escribieron los conjuntosdescritos en las tarjetas. se propondra intercambiar.entre los grupos. los trabajos. para que as! sean ellosmismos quienes hagan una primera revisi6n.

Luego. en cada grupo. un nino leera la tarjeta que setes entreg6 al iniciar la actividad, y otro leera la lista delos numeros que encontraron; el maestro escribira en eltablero la Iista de los numeros y aprovechara la ocasi6npara ensenarle a los alumnos una "nueva forma derepresentar conjuntos": los elementos se encierranentre lIaves. { I. y se separan por medio de comas.

Si la instrucci6n es la que aparece en la tarjeta 1, elmaestro escribira la lista que den los ninos asf;

Tarjeta 1: {1. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.1= A

Es importante insistir en la correcta utilizacion de estasimbolizacion; ella es universal.

Si se toman los conjuntos P y B y se reunen. seobservara que el resultado es el conjunto A

De los conjuntos descritos en las tarjetas 2 y 3 sepuede preguntar: ltienen elementos comunes? Se veraque el unico elemento comun es el 10.

tarjeta 2: {10; 20. 30. 40. 50. 60. 70, 80. 90 }

tarjeta 3: \10; 11,12,13.14.15.16.17,18. 19}

lTienen los conjuntos P y B elementos comunes?

Se observara que no. De los conjuntos A y delconjunto dado en la tarjeta 3. se puede decir 10mismo:

Ejemplos: tarjeta 5: I 2. 4, 6. 8} = P no tienen elemento~omunes.

tarjeta 6: {1. 3, 5. 7. 9} = B "Las instrucciones consignadas en las tarjetas 7 y 8permiten ver la diferencia entre la utilizaci6n de las

-- Se observara que todos los elementos de P tambian expresiones todos y algunos. EI maestro les hara caer enson elementos de A. Para hacer esta comparacion la cuenta de que para satisfacer la instrucCi6n dada en la

- pu_ed~nsenalarse en A los elementos de P, asf: tarjeta 7 basta e!tCribir unos pocos elementos. Si alguien

{1. 2. 3, 4. 5. ~ 7. 8. 91 los escribe todos. tambian esta bien. es decir, que en. -0' b 1'"0 ··t ... I' . I .este caso quedan satisfechas tanto la 7 como la 8.- - --:----- tra Slm 0 Izacl n-que perml e vlSUa tzar meJor a . . ... '. . -.-=- ----relaci6n de contenencia entre conjuhtos;es la represenc~-" -EI maestro puede proponerotras"tarjetas y otro tipo d9

taci6n grcHicaque se utiliz6 en el grado anterior. aetividad para los mismos fines.

atros conjuntos que se obtendran a partir de losdeterminados en las tarjetas son:

- el conjunto union de dos de ellos

- el conjunto de los elementos comunes a dos deellos.


sPeiracomparar dos numeros entre 1 y200, mediante las:elac;iones;",.. es mayor que...••0 .~~.•es menor que ..:".

rardrabajar en dos equipcis. Un nino de un equipoarados numeros entre 1y 200. un nino del otro equipa

escribira en el tablero una expresi6n que compare losdos numeros: par ejemplo. si los dos numeros dados son25 y 49. el nino padra escribir expresiones como:

25 es menor que 49. 0 49 es mayor que 25

EI maestro preguntara si recuerdan una forma mas_ carta de escribir las expresiones anteriores. Se lIegara a

las expresiones siguientes:

A menos que el maestro dese~ que los ninos trabajenen especiatcon ulJa de estas dos relaciones, los dejara ,en iibertad de escoger la Quequieran. cuando se les pida·que col1'1parendos numeros. '- .

Para-analizar mejor estas relaciones se pedira ae

losninos que expliquen el porque de cada una de lasexpresiones que aparecen en el tablero. Asl.- para lasque se han tomado como ejemplo. la explicaci6ncompleta quedara:

25 < 49. porque 25 + 24 = 49

0.49> 25 parque 49 = 25 + 24

Para realizar algunos ejercicios de calculo numaricose propondran tareas como: . .

Dados dos numeros, los ninos 105 compararan y

daran la diferencia entre ellos. Para comodidad podranutilizar un cuadro como:

1.Diferencia

36 > 24 12

59 87

112 96

2.Diferencia

57 > 26

70 < 45

5 < 101

201 > 2

70 > 45

99 < 1

3.Diferencia

- - .- ..- --

25 < 20 + 0 1

42 + 0 > 40 5

~:::~,::o----< 31 -- -S- --- ---

--27 < 23 + 0 3

;96 -- > 58 + 0 2

Unidades

Decenas

Centenas

TO

10 0 r>18

25

18 0--_._. __ ._------~~-----

20 0

15 0

35

A continuaci6n, el maestro propondra algunos

problemas cuya solucion exija el empleo de la adicion.Los alumnos tambien podran formular problemas deeste tipo, relacionados con sus experiencias cotidianas:ir a la tienda, hacer el mercado, reunir el dinero, etc.

1. En un jarr6n hay 25 claveles y 12 margaritas.,Cuantas flares hay, en total. en el jarr6n?

2. Ivan tiene 42 bolitas de cristal; su abuelita Ie regal618 mas. ,Cuantas tiene ahora?

3. Zoila fue al mercado y pag6 45 pesos par la compra-de Iimones, 105 pesos por la compra de huevos y 50

pesos por la compra de platanos.,Cuanto gast6 en total?

Nota: Los numeros que intervengan en los ejetciciosdeben ser elegidos can cuidado, atendiendo el grade dedificultad de las operaciones y el progreso de los ninos.A traves de estos problemas se va a repasar el algoritmopara la adici6n. can numeros hasta 200.

En los problemas que se dan como ejemplo se puedeobservar que: -

- en elsegundo se reagrupan las unidades pa~a"lIevar" decenas.

Si para resolver adiciones reagrupando (llevando) haydificultades, el maestro propondra ejercicios paraconvertir unidades a decenas y decenas a centenas.

Para ello, podra utilizar cuadroscomo:

-----Unidades

Decenas

--

- __CemeJ1as_ --

1 0

1 - 0- 0--

--

Aetlvidades y sugereneias metodol6gieas

Si el maestro acostumbra iniciar la clase con unejercicio de calculo mental, en esta ocasi6n, ademasdepreguntar por el resultado, pedira a los alumnos quetraten de explicar los pasos que siguieron para hallarese resultado.

Algunos de esos pasos tendran que ver con el ordenen que se eseogen los sumandos para que resulte masrapido obtener el resultado final 0 el resultado parcial;otros haran referencia alas diferentes formas deasociar los sumandos, cuando hay mas de dos, parafacilitar algunos calculos. Estos cambios en el orden delos sumandos y en las formas diferentes de asociarlos.de dos en dos.para sumarlos, 10haeen los niflos con unarapidez que en ocasiones resulta asombrosa y diffcil desuperar por los adultos no aeostumbrados a este tipo deejercicios. .

-Cuando s~lrata"de unasumade dos sumandos-;'general mente. resulta mas c6modo adicionarle alnumero mayoreLmenor.

Si se utilizan los parentesis para representar la formapractica como se efectua la operaei6n. se tiene:

(8 + 3) + 2. 0 (3 + 2) + 8

o tambien: (8 + 2) + 3.0 (2 + 3) + 8

Sin embargo, la expresi6n formal de la propiedadlIevarla a escribir:

(8 + 2) + 3 = 8 + (2 + 3)

o (8 + 3) + 2 = 8 + (3 + 2)

Para lIegar con los alumnos a expresiones como lasinmediatamente anteriores, el maestro partira de lasque se puedan escribir teniendo en cuenta la practica delos alumnos.

Es decir: (8 + 2) + 3 y (2 + 3~_,

o (8 + 3) + 2 y (3 + 2) + 8

Como la operaci6n permite cambiar el orden de lossumandos

(2+3) + 8 = 8 + (2+3), par la misma raz6nSi sa les pide a los niflos adicionar mentalmente 2 y (3+2) + 8 = 8 +'(3+2)

'18. El.S:P.9.~~I;l!!"qy~[a.mayoria c;alcule:18,+2::: 20, E,~llS.. - &ntonees se puede eseribir:'-':igualdades sa escribiran en el tablero: ._. __ .''.'.' ..

. 18 + 2 = 20, 2 + 18 = 20; (8+2) + 3 ='8 + (2+3). y (8+3)+2=8+ (3+2)

Se concluira que 18 + 2 = 2 + 18.

Se coniiniJara con otros ejercicios decalculo mental, pareeidosyeon la posterior escritura en el tablero, de lasigualdades.eorrespondientes.

A eontinuaci6n, se les daran 'tres sumandos. Se-espera quevarios ninos den el resultado y luego satratara de reconstruir en el tablero el trabajo realizadomentalmente.

Ejemplo: adicionar-sin ayuda de papel y lapizlosnumeros 8. 3 y 2.

Varias form as de asociar los numeros parallallar el_resultado son:

8+3+2

Y5+8

YSi atgunade estas formasno la escriben los niflos. el

maestro podra proponerla. ObserveseQueen la practica'esta es ta forma como se efectua la operaci6n.

'Nota: Cuando la propiedad asociativa se formaliza y, apar'ecen'los parentesis. 1aexpresi6n de esa propie-

dad no corresponde a la practica.

Para reafirmar que la suma es independiente delorden en que sa toman los sumandos, pueden formardos grupos y trabajar con los mismos sumandos. pero ,tomandolos en distinto 'orden. .

De cada grupo pasara un alumno a resolver surespectivo ejereicio; todos los alumnos observarsn lossumandos y los resultados, para que despues de variosejercicios concluyan que el orden en que se tomen lossumandos no altera el resultado de la adici6n.

Observaran;-entonees. que hay algunas operacionesen doride 'no' Importa el orden en que se efectuen: el

resultado no varfa por escoger un orden u otro.

EImaestro seflalara la importancia de esta caracteris-tica 0 propiedad de la adici6n para'facilitar el calculo delresultado: siuno saba ,el resultado en un orden (po,.--ejemplo; 9 +.3 = 121.ya no tiene Quepreocuparse si seolvida por unmomento del resultado en el ordenopuesto (en este caso. 3.+9). EI resultado tiene que ser el'mismo.

. En este grado 10menos importante esel nombre de laspropiedades. Lo esencial es aplicarlas y explicar en queconsisten. Los nombres 'se les diran en el tercer grado.

Otra propiedad de la adici6n es aQuella relacionadacon el cero como sumando. Para lIegar a obtener sumasen las cuales este sumando aparezca, el maestro

inventara ejercicios donde sea necesario escribir ceropara reemplazar expresiones como: "no hay", "nin-gun", "ninguno", etc. Esto podria lograrse si el maestrotoma unos lapices y los reparte entre tres ninos, pero endos rondas, de tal manera que en la segunda ronda auno de los ninos no Ie toque ningun lapiz. Despuesdelreparto, cada nino escribira en el tablero el numero delapices que Ie toc6 en cada ronda, indicara la suma yhallara el resultado.

Ejemplo: el maestro reparti6 251apicesen dos rondas,como 10muestra el cuadro:

Despues de haber realizado muchos ejerclCl05similares at anterior, los ninos observaran que enalgunas de las sumas que aparecenen el tablero, uno delos sumandos es cero y que el resultado de la suma es elotro sumando (distinto de cero). Los ninos daran otrosefemplos en los que se cumpla esta propiedad yconcluiran que al sumar un numero distinto de cero conel numero cero, siempre se obtiene el numero distintode cero.

No es necesario que se de el nombre de la propiedad.La habilidad adquirida se utiliza principal mente para elalgoritmo de la adici6n.

Esteban 7y3 7 + 3 = 10

Jose 2 y 10 2 +-1-0= 12

Enrique 3yO 3+0 = 3


Losniilos utilizaanmaterialescomo: cortezasde arbol,'trozos oe' carton;::piedrlis'pequenas, pajas, ramas de 'arbol. palitos. arcilla.

Inicialmente los ninos se agruparan de a 2. Cada.grupoemplearsuno ,d~ los materiales. Si un grupo

escogio palitos. cada ,nino de eSle grupo tendraunospocOspatitos. EImaestrodebers asegurarse que tenganun nLimero diferentede objetos y les dirs que reCmanelmaterial que poseecaoagrupo'y representen, medianteuna igualdad. el numero de objetos que obtuvieron, asi:si en un grupo un ninotiene 8 palitos y el otro 5 palitos,los reuniran y contaran 13 palitos;los ninos simboliza-ran esta operaci6n d'e lasiguie_~El manera:

8 + 5 = 13

Ahora el maestro drrs que. en cada grupo, uno de losninos retire del monton los objetos que colec6 y entreambos cuenten el numero de objetos que quedaron.Los

. hiMs'.li:eOarari.-quelaoperaci6n que se ha__efel:£()_~Sl cci(VUcsimbolizaran esta

. "~-ope .' ,. .- ."=-:~ .. -.-

Los ninos reunirsn nueva mente loscbjetos quetienen entre 'os dos, los contarsn y luego el otro ninoretirars del monton /{)s objetos que et coloc6. Los dosninos contaran el numero de objetos que quedaron y10simbolizaron asi:

I 13_-8=5

En el tablero seharan trescolumnas, una paracolocarel resultado de la adicion y dos para colocar los

,esultados de las sustracciones. EI maestro escribira laadiciOn y cada nino escribira la sustraccion que Ie

,c.or.r:espondi6.enla aetiYidaltdeacuerdo con el numerode objetos que aporto para la adicion y que despuesretiro para la sustracci6n.

Se obtendra una situaci6n como la siguiente:

Adicio".

8 + 5 = 1313+ 2=1510+ 4r:145 + 15 = 20

13 - 5 = 815 --13 = 214 - 4 =1020 - 15 = 5

13 - 8 = 515- 2=1314-10= 420 - 5 -=15

'EI maestro hara que losnir'los comparen los ejerciciosque: hay en el taoleroylos-Oi'ientara para-que saquenalgunas conclusiones como las siguientes:

- En la columna de la adicion, 10que se hizo fue hallarla suma cuando se conocen dossumandos ..

.-,...En la.columna de la sustraccion,lo que se hizo fuehallar el otro sumando cuando seconocen la suma y unsumando.

En seguida el maestro recordara a 105ninos que en laactividad que desarrollaron alcomenzar la clase, 10primero que hizo cada grupo fue reunir los objetos quetenian entre los dos ninos y que para hallar el numerode objetos se realiz6 una adicion.

Las hars ver que en la segundaparte de la actividad sehiza un proceso contrario al ante!'.ior: se tenian losobjetos reunidos y de ese mont6n se quitaron unosobjetos; en e~te caso, para hallar el numero de objetos

69

que quedan, se hizo una sustraeei6n. A partir de estasobservaciones los nii'los, orientados por el maestro.concluiran que la sustracci6n es la operaci6n inversa dela adici6n.

Ahora el maestro propondra a los ni/'tos un problemacuya soluci~n requiera el uso de la sustracci6n:

- En una caja que contiene 89 Iibros. 57 de ellos sonde matematicas, lcuantos no SCInde matematicas?

De los comentarios y propuestas de soluci6n que denlos nii'los, se escribiran en el tablero aquellas igualdadesque conlleven a la soluci6n del problema:

89 :: ?7 +0 89 - 57 ::0 57 +0::89

Se vera que todas las propuestas exigen que se rea liceuna sustracci6n:

89- 57

32 Iibros que no son de matematicas.

En seguida. el maestro presentara a los nii'los otrassituaciones que requieren el uso de la sustracci6n pararesolverla$.; para esto elaborara 5 tarjetas de cartulina.en cada una de las cuales ira escrita una situaci6ndiferente y las repartira a 5 grupos que los nii'losformaran.

Cada nii'lo copiara en el cuaderno el problemacorrespondiente a su grupo y entre todos discutiran lasituaci6n y propondran Ja soluci6n. EI maestro podrapresentar. entreotr_as. las siguientes situaciones:

:C~ Paraconstruir:1UlcoIratse-necesitan 68 palos,si setienen 41 palos, lcuaAtos palos se deberan conseguir?

- En el curso segundo hay 45 alumnos, de los cuales23 son nii'los, lcuantas nii'las hay?

-En un canasto habia 49 naranjas. Juanito sac6 28,lcuantas naranjas quadaroo en el canasto?

-.En un palomar hay-'-85 palomas, si Sa volaron 25.lcuantas palomas quadaron?

- Mi mama lIeva $ 125 para comprar frutas, si gast6$ 93, lcuanta plata Ie quad6?

£1 maestrorevisara en cada grupoque la soluci6ndada al problema -este correcta.

Actividadel y sugerencias metodol6gical

EI maestro propond~lia-Ios-nii'los una actividad queconsiste en col)tar objetos. Para ello. pedira a 105 nii'lo'sque se org;lnieen en 9 equipos que se enumeraran de 1a 9. A cad~ equipo se Ie asi\Ulara un conjunto para quedetermine cuantos objetos 10 forman. Como condici6npara contar, deberan- haeer grupoS de objetos segun elnumero que Ie correspondi6 al equipo, por ejemplo: el

Ahora. los grupos intercambiaran las tarjetas con loscasos planteados. hasta que cada grupo haya resueltopor 10 menos 3 de 105 5 problemas propuestos.

Como ejercicio. cada grupo podr6 formular unproblema cuya soluci6n requiera el uso de la sustrac-ci6n.

Tambien se propondran problemas que puedansolucionarse mediante 105 dos operaciones estudiadas:la adici6n y la sustracci6n. Los datos de tales problemasse escogeran de tal manera que no sobrepasen losnumeros que conocen 105 ni /'tos,ya que a traves de estosproblemas se van a repasar los algoritmos para laadici6n y la sustracci6n.

Uno de tales problemas podrla ser:

- EI ai'lo pasado la escuela recibi6 para la bibliotecados cajas de libros. en una venlan 96 libros y en la otra104. Del total de estos libros 63 se prestaron a otraescuela, lcuantos fibros quedaron para la biblioteca?

Los nii'los. orientados por el maestro. haran unanalisis del problema y lIegaran a solucionarlo, Hayvarios caminos a seguir, pero es posible que el que tengamas acogida sea:

96 200 -+104 - 63

200 137 ----.

Pero tambien podr!a hallarse la respuesta restando 63de 96 O'ue" 04 y luego adicionado la diferencia. con 104en el primer caso. 0 con 96 en el segundo, asi:

'96 33 104 41

=- 63 + 104' 0 - 63 ~

33c .137 41 137

En·cUJllquierade los caitos lei respuesta es: enblbliotecaquedaron 137 libros.

Otros problemas podran incluir mas de dos suman-dos.

Los alumnos tambien formularan problemas. Paraello podr/an formarse vario~ grupos y entre ellos 58

enviaran 10$ problemas. Estos, una vez resueltos. sedevolveran al grupo que 105 form'ul6.

Es importante que el maestro lea los problemas a finde constatar que los datos son suficientes para hallar Jarespuesta y tambien para vela[por la correCta redacci6nde I()s i!lismos. ,. _. ._, _ .

equipo numero dos. debera hacer grupos de dos en dos.EI equipo numerQ cinco, debera haeer grupos de cincoen cinco.

Como material, se podran emplear objetos reales 0

dibujos. En 10 posible. el conjunto con que cada equipova a trabajar debe motivar a que el conteo se hagaempleando ese numero, por ejemplo: al equipo que va acontar de dos en dos, se Ie puede asignar un conjunto de

un"ac-

IanJas:'leslostos·la

.5 aves, como gallinas, para que determinen el numerode alas que hay en ese conjunto. AI equipo que va acontar de tres en tres, se Ie puede asignar el numero dehojas de un conjunto de 9 treboles. AI equipo Que va acontar de cuatro en cuatro, se Ie podra asignar elnumero de patas que hay en un conjunto de 6 vacas. AIeQuipo Que va a contar de cinco en cinco, se Ie podraasignar el numero de dedos de 4 manos, etc.

Los niflos expresaran el resultado mediante sumas desumandos iguales, aSI:

5 aves tienen: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 alas.

g treboles tienen:3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 27 hojas.

6 vacas tienEm: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24 patas.

4 manos tienen: 5 + 5 + 5 + 5 = 20 dedos, etc.

Despues elaboraran en et tablero un cuadro como elsiguiente, en el Que se consignaran los resultados detodos los eQuipos.En este cuadro se anotara el numerode grupos Que cada eQuipoform6, el numero de objetos-de cada grupo y el total de objetos.

Numero de Numero de objetos,

Totalgrupos de cada grupo

5 2 10

9 3 27

6 4 24

- --.-'--4------.- -_.- _._--5 ------ 20-·-

. - ---.

0-_-

-._.

'- .._---- -- ._------ -_ ..._.

- -

Luego, el maestro y los niflos estudiaran la forma deexpresar 10 que esta consignado en la tabla, para ello sepodran emplear expresiones como:

"5 grupos de 2 objetos son 10 objetos".

"9 grupos de 3 objetos son 27 objetos".

De igual manera, se intentaran otras formas delectura hasta lIegar a expresiones como:

"5 veces 2 es igual a 10".

"9 veces 3 es igual a 27".

A continuci6n eJ maestro explicara a los niflos quepara abreviar la escritura, a cambio de decir "veces", losmatematicos y en generana gente dice "por". Asl. acambio de decir "5 veces 2 es igual a 10", se acostum-bra decir "5 por 2 es igual a 10" y se simbolizaescribiendo "5 x 2 = 10".

Tambien les explicara Que la operaci6n de sumar uncierto numero de veces un numero, se llama multiplica-cion.

A continuacion se podran hacer ejercicios paraexpresar una suma de sumandos iguales como unamultiplicacion.

-8T -S +-8 +8+ 8 + 8 = 48.-

6 veces 8 es igual a 48 .

6 x 8 =48.

EI maestro explica-I'ii-alos niflosque 6y 8 reciben et'nombre de factores y'48;que es el. resultado, se'llama .

producto. --.

Acti.vidades y suger~nciai m et~~~6gicas

Para esta actividad as necesario que los ninos identifi-Quen la multiplicaci6n·como una suma de sumandosiguales; a partir de -esta activO ninos formularanlas.tablas de nl~Itff!!i~_rLh~s .d.iv.idlran en 8grupos paraque:caarunO:e:t~ . , ilJemultiplicarde un numerQ difer-ente,-de_~~.-cada-grupo tendra, -pues, su propio numero.

Cadagrupo trabajara cOll.elconjuntode numeros de 1a 10, aSI: se hara una suma con cada elemento,tomandolo como sumando tantasveces como indique elnumero del grupo. ,

5i es posiblei cada •grupo elaborara su tabla encartulina 0 en una ~oja _depapelque puedacolocarse enlapared. Este material se utilizar-apOSteriormenteparaidentificarmultiplos V divisores de un numero.

Ejemplo:si a un grupole cOTrespondio-elnumero--2,--sumara cada uno de los numeros dos veces y hara unaJabla cornola siguiente:

1 + 1 = 2 2 veces 1es igual a, 22 +' 2= 4 2 veces 2 es igual a 43+ 3= 6 '2 veces 3 es iguala 64+ 4= 8 2 veces 4 es iguala 8

5+ 5 = 10 2 veces 5 es igual a 106+ 6 = 12 2 veces 6 es igual a 127+ 7 = 14 .2 veces 7 es igual a 148+ 8 = 16 2 veces 8 es igual a 169+ 9 = 18 2 veces 9 es igual a 18

10 + 10 = 20 2 veces 10 esigual a 20

AI grupo Que Ie correspondi6 el numero 3, sumara 3veces cada uno de los numeros de 1 a 10. Asimismo 10haran Ios demas grupos.

En II elrtulins u hoja de paper Que van a colocar en lapared har6n otra tabla con cinco columnas y diez filas,dispuestas asl:

En la primer columna deber6 aparecer el numero deveces que se repite el sumando; en la segunda columnael slmbolo "x" que se lee "por".en laterceracolumna elsumando Quese repite; en Iscuarta columna el slmbolo"=" que se lee "es igual a"; en la Quintacolumna el resul-tado de cada suma.

Para el ejemplo ••e tendr6 la siguiente tabla:

2 x , = Z Que se lee: dos por uno. dos2 x 2 = 4 dos por dos, cuatro2 x 3 = 6 dos por Hes, seis2 x 4 = 8 dos por cuatro, ocho2 x 5 = 10 dos por cinco. diez2 x 6 = , 2 dos por seis. doce2 x 7 = '4 QOspor siete. catorce2 x 8 = 16 dos por ocho. dieciseis2 x 9 = , 8 dos por nueve, dieciocho2 x 10 = 20 dos por diez. veinte

Un procedimiento similar al Que se ha hecho para latabla del 2, se efectuara en los grupos. para formularcada una de las tablas de multiplicar de los numeros 3,

.4,5.6,7,8.9.

Cuando cada grupo haya elaborado la tabla demultiplicar del numero correspondiente. un represen-'tante decada grupo la escribira en el tablero. para Que

- todos·talmoten en su-euaderno. Con-asta actividad henQuedadoformuladas las tablas de multiplicar del 2 a19.En la pared figuraran las 8 tablas correspondientes,

Para Que los ninos recuerden con facilidad dichastablas. el maestro puede organizer juegosy concursos.

- Un juego Que se puederealizares-el sigwente;-cfibLijaren el tablero un diagrama como el siguiente:

~.=-,~"-; ....-En estecaso. seQuI~iii~diat.

-deseaestudiar I)tre t851j~lm~eel numero cuya tabla sa quTere 'recor-

EI maestro sei'lalar6 una casilla para Que los nii'loscontesten en coro el resultado de-multiplicar 7 por .elnumero que aparece en la casilla. Se ..procurara nosei'lalar casillas seguidas y sei'lalar varias vecesaque!las casillas donde hay numeroSQue al ser multi-plicados par 7, traen dificLjltades a 105 ninos. En estecaso se escribir6 la ~uma t:orrespo."diente~

Cuando se haya-estudiado una tabla de multiplicar,podra pasar al tablero un nino y sei'lalar las casillas para

Que 105 compllneros contesten en coro el resultado. Estemismo juego puede prestarse para realizar concursoscomo: el Quediga el resultado mas r6pido, el Queno seequivOQue.etc.

Nota: Una sola hora de clase no es suficiente para Quelos ninos formulen y recuerden sin dificultad cualQuierresultado de las tablas de multiplicar; por tanto esconveniente utilizar el tiempo que sea necesario, hastaque los ninos den con rapidez el resultado de cualQuiermultiplicaci6n can numeros menores Que 10.

Ahora, el maestro dara a cada grupo una tarjeta en lacual estera escrito un problema Querequiera el uso de lamultiplicaci6n para solucionarlo.

Algunos problemas Que el maestro propondra en lastarjetas pueden ser: -

- Don Pedrova a sembrar arboles, en 6 hileras. Si encada hi/era Quiere sembrar 9 arboles, ,cuantos arbolessiembra?

- En el curso segundo hay 7 filas de pupitres y encada fila hay 8 pupitres. ,Cuantos pupitres hay ensegundo?

- Se tienen 5 cajas de naranjas y en cada caja hay 10naranjas. ,Cuantas naranjas hay?

- En el sal6n de clase hay 4 cajas de colores; cadacaja tiene 6 16pices.,Cuantos colores hay en el sal6n declase?

- Mi mam6 va al mercado a comprar 81echugasde$ 9 cada una. ,Cuanta plata gast6 mi mam6?

En cada grupo se discutira el problema y la maneracomo debe solucionarse;se puede ayuder con algundibujo. -". ~ ,____ __ .

Por ejemplo, si al problema al cual ~ Ie va a darsoluci6n es: "Don Pedro va a sembrar arboles en 6hileras. Si en capa hilera Quiere sembrar 9 arboles.,Cuantos arboles siembra?". Los nii'los pueden ayu-darse con un dibujo para buscarla soluci6n ....

Es posible que inicialmente no salga de los ,nii'los lasoluci6n correcta del problema, entonces el maestro losorientara para que observen que se trata de una siJmade sumandos iguales, 10 cual corresponde a unamultiplicaci6n .

.Observar6n Que se tienen 6 hileras cada una con 96rboles,es decir. setiene 6 veces 9. Que en slmboloscorresponde a 6 x 9. Recordaran Que'en ias "tablas de -multiplicar el resultado de 6 x 9 es 54, 0 sea, 6 x 9 = 54.Con esto han solucionado el problema diciendo QuedonPedro sembr6 54 arboles.

Si algun nino da como soluci6n del problema la suma(9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 54), el maestro Ie hata ver que fists '.'corl'ecto. perl) 10 orientara para Que10 expresecomo una- .multiplicaci6n, recordandole Que la multiplicaci6n esuna suma de sumandos ig~ales.

_EI maestro intervendra en cada grupo cuando 10 creaoportuno.

Cuando todos los ninos hayan resuelto el problena, decadagrupo saldra un nii'lo al tablero y, 'en orden.escribira el problema y explicara a sus companeros lasoluci6n dada por el grupo. Losdemas nil'los copiaran enel cuaderno los problemas resueltos.

A c tiv id a d es y s u geren c ia s m eto d o l6 gic a s

Pa ra es ta a c tiv id a d eJ m a es tro ela b o ra rs c o n a n terio ri-d a d a lgu n a s ta rjeta s en c a rtu lin a d o n d e ira n d ib u ja d a sb o lita s fo rm a d a s en fila s y c o lu m n a s , c o n u n es p a c io

s u fic ien te en lo s ex trem o s in ferio r y d erec h o p a raa lgu n a s a n o ta c io n es q u e lo s n in o s h a rs n d es p u 8 s .

Lo s s igu ien tes ejem p lo s m u es tra n c 6 m o d eb en d rs -p o n ers e d ic h a s ta rjeta s .

• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • •• • • • • • • •- ._- --------------_ ..- -_ .._ .. ~---_._-_.-. ----

Lo s n in o s s e o rga n iz a n in d e a d o s . E I m a es tro d a rs8 E jem p lo : s i a u n a p a reja Ie c o rres p o n d i6 la ta rjetac a d a p a reja u n a ta rjeta y les p ed irs q u e s e c o lo q u en u n o rep res en ta d a a c o n lin u a c i6 n , u n o d e lo s n iJ\o s o b s er-a l la d o d el o tro , c o m o 10 in d ic a el s igu ien te-d ib iJjo :~----=--v a ra q u e la t8 rjeta tieiie~ h iler~._~~c :!,_lIn a 9 ~_:3 ~b O l1!~~ _

o s ea q u e tien e 4 v ec es3. E x p res a r6 es to c o m o u n as u m a a s l: . -

3 + 3 + 3 + 3 :: 12. y c o m o u n a m u ltip lic a c io n , a s l: 4v ec es 3 0 4 x3 :: 12.

E I o tro n il'\o o b s erv er6 en la ta rja ta3 h ilera s , c a d e u n ac o n 4 b o lita s , es to es .3 v ec es 4 . q u e ex p res a d o c o m o 'u n a s u m a es : 4+ 4 + 4:: 12. q u e a s u v ez c o rres p o n d e a3v ec es 4 03 x 4:: 12.

A I fin a l d e es ta o b s erv a c i6 n la ta rjeta q u ed a r' a s l:

A n tes d e q u e lo s n il'\o s c u en ten .la s tx >Iita .s ,el m ap regu n ta ra s i lo s d o s n il'\o s d e c a d spa:iB iSven'-.

-11U m ero d e b o 11t8 $ 0 n o .Pa ra JO s ~.d e-''?'

v ez n o -es ev id en te q u e :ern u m ero . e0

in d ep en d ien te d ella d o p o r d o n d e'm rre ia ta d eta .

E I m a es tro es p ers ra a q u e lo s n il'\o s d e c a d a p ereja s ec o n v en z a n d e q u e el n u m ero to ta l d e b o Iita s -q u e a m b o ses ts n v ien d o . es el m is m o . ---- ..---

Ca d a n il'\o c o n ta r' el n u m ero d e h ilera s d e b o Iita s q u ev e en la p a rte d e la ta rjeta q u etien e8 1 fren te.y eln u m ero d e b o lita s q u e h a y en c a d a lh ilera , ex p res a r~es ta c a n tid a d c o m o u n a s u m a d e s u m a n d o s igu a 1es yc o m o u n a m u ltip lic a c i6 n y 'es c rib ir6 s u s res u lta d o s enla ta rjeta .

N N..- ..--". II II. --- _.- ..

• ~ • • --"v . i •+ )(

• • • .-~vvC")

+

• • • --.. vv

~ .~,,;l-

.-....::.3· 3 3 3

3 + 3 + 3 + 34 x 3 :: 12

Cada pereja debe anotar en el tablero las operacionesen el orden en que lasrealiz6.

EI maestro los orientar' para que concluyan que henlIegado ambos al mismo resultado. aunque no escribie-ron los factores en elmismo orden y que esteobservaci6n les permite escribir:

4 x 3 =3 x 4

2x 5 =5 x 2

3 x 6 =6 x 3

Ca d a n in o p u ed e a n o ta r en s u c u a d ern o lo s ejerc ic io sq u e a p a rez c a n en el ta b lero .

D es p u es d e q u e to d o s lo s n iflo s h a v a n es c rito en elta b lero el res u lta d o d e s u ejerc ic io , c a d a p a reja p u ed ep ro p o n er ejem p lo s s im ila res q u e n o s e h a v a n tra b a ja d oen c la s e.

U n n iflo p -u ed e es c rib ir u n a m u ltip lic a c i6 n en elta b lero V el o tro n in o a n o ta ra el o tro o rd en en q u e s ep u ed e rea liz a r la m u ltip lic a c io n .

Co m ov a s e VIO, el res u lta d o es in d ep en d ien te d elo rd en en q u e s e es c rib a n lo s fa c to res : (3 x 2)x 4 =4 x (3 x 2).

E s ta o b s erv a c i6 n les p erm ite es c rib ir la s igu ien teigu a ld a d :

(4 x 3 ) x 2 =4 x (3 x 2)

12x 2=4 x 624 = 24

E n lo s d em a s gru p o s s e p ro c ed era en fo rm a s im ila r.Lu ego , c a d a gru p o ex p lic a ra s u s res u lta d o s v en tre to d o ss a c a ra n u n a c o n c lu s io n c o m o la s igu ien te:

"Pa ra efec tu a r u n a m u ltip lic a c i6 n d e 3 fa c to res , s ep u ed e s egu ir u n o d e lo s s igu ien tes p ro c ed im ien to s :

- M u ltip lic a r lo s d o s p rim ero s fa c to resV es e res u l-ta d o m u ltip lic a rlo p o r el terc er fa c to r,0

- M u ltip lic a r el s egu n d o fa c to r p o r el terc eroV es eres u lta d o m u ltip lic a rlo p o r el p rim er fa c to r,0 m u lti-p lic a r el p rim er fa c to r p o r el p ro d u c to d e lo s o tro s d o s .

Se es p era q u e lo s n in o s c o m p ren d a n q u e en u n am u ltip lic a c i6 n s e p u ed e c a m b ia r el o rd en d e lo s fa c to resv el p ro d u c to n o c a m b ia . No es n ec es a rio d a r el n o m b red e es ta p ro p ied a d , s in o q u e h a y q u e s en a la r s uim p o rta n c ia p a ra fa c ilita r el c a lc u lo d el res u lta d o . Si s es a b e el res u lta d o en u n o rd en (p o r ejem p lo 7 x 4 = 28 ),v an o h a y q u e p reo c u p a rs e s i s e o lv id a , p o r u n m o m en to ,d el res u lta d o en el o tro o rd en (en es te ea s o 4 x 7 = 28 ).

D es p u es , el m a es tro d is trib u ira a c a d a gru p o u n ata rjeta d o n d e a p a rez c a p ro p u es ta u n a m u ltip lic a ei6 n d e 3x 2 x 5 = (3 x 2) x 5 = 6 x 5 = 3 0tres fa c to res c o m o la s s igu ien tes : 3 x 2 x 5 = (2 x 5 ) x 3 = 10 x 3 = 3 0

4 x 3 x 2 3 x 3 x 2 1 x 3 x 4 4 x 2 x 5 3 x 2 x 5 = 3 x (2 x 5 ) = 3 x 10 = 3 0____________________ t~x _~x _5 = 3 x (2 x 5 ).

Ped ira a lo s n ii'lo s q u e efec tu en d ieh a m u ltip lic a c i6 n .Lo s n iflo s o b s erv a ra n q u e n o p u ed en m u ltip liea r a lm is m o tiem p o lo s tres fa c to res , PO l'ta n to , b u s c a ra n lam a n era d e h a c erlo; se les orientara dieiendoles quemultipliquen dos factores entre sl V que ese resultado 10inultipliquen por el factor que queda. --

En el caso de 4 x 3 x 2, los ninos multiplicaran los dosprimeros factores, 0 sea, hallaran 4 x 3 = 12 yesteresultado 10multiplicaran por 2 y asi obtendran 12 x 2 =24,que es el resultado de la multiplicacion propuesta enla tarjeta.

EI maestro explicara a los nii'los que al multiplicarprimero 4 x 3 V este resultado multiplicarlo POl'2, 10quese ha hecho es asocial' los dos primeros factores V que sepuede expresar utilizando un parentesis, asi:

(4 x 3) x 2 = 24

EI maestro comprobara que en cada grupo se haya -hecho la multiplicaci6n correctamente.

Ahora les pedira que' efectuen nueva mente lamultiplicaci6n asociifmdo de otramanera V que compa-renios resultados. --

--~Para el ejercicio que se esta estudiando, los ninos

asociaran el 3 V el 2, obtendran 3 x 2 = 6 y luegomultiplicaran el 6 por el 4,0 sea, 6 x 4 = 24. Expresaranesta operaei6n asl: (3 x 2) x 4 = 24.

Observaran que en ambos casas se obtuvo el mismoresultado.

Esta observaci6n les permitira eseribir la igualdad:

(4 x 3) x 2 = (3 x 2) x 4 .

Igualdades de este tipo se escribiran con -base en lapractica, es decir teniendo en cuerita los calculosefeetuados por los alumnos.- Recu~rdese el procedi-miento seguido para adicionar tres sumandos.

74

Se haran ejercicios para que los nii'los apliquen estapropiedad. Ejemplo:

No es neces~rio dar el nombre de la propiedad. Masbien se hara enfasis enla -utilidad de esa propiedad paraencontrar mas tacilmente un resultado.

- Parafi_!'!lliz_~~.:.~-pondran depielos nifloscuyastarjetas tienen soIo'-un-a hilera 0 varias niler-as;-caaa---una con una sola bolita. Si no hay un numero sufi-ciente (por.!o menos5) de estas tarjetas, el maestro 0105 ninQs las elaboraran con anterioridad.

Ejemplo: si a una pareja de niflos Ie toc6 la tarjeta~observaran que hi:!Yci!:tco hileras de un elemento, 0,cinco veces 1, que corresponde a 5 x 1; tambien podrandecir -que hay unahHera con cinco elementos quecorresponde a 1 x 5.

Cuando preguntenel" resultado se espera que losninos contesten:'_: _

5x1 =5-""'"1 x 5 = 5

Todasl8s mul ie~-~rcID~r(r·"

tiC .' - "iSnif'los J)8raqueconcluyanque:af..;muIHpli_ ~tHer numera por el numero 1, -se obtiene siempreel mismo numera.

Como ejer~cio los ninos formularan la tabla del 1.Con su analisis, estan reconociendo el papel del 1 en

la multiplicaci6n-:-- ------- --- -. -

. Nota: Un~ solahora-elase no es suficiente para ellogrode estcjls tres objetivos. EI maestro los dosificara de lamejor forma posible para mantener la motivaci6n y elanimo de \os alumnos en la realizaci6n de las activida-des.

Si el empleo de 105par~ntesis ,todavla no es familiarpara losalumnos •..se-puedeempezar con los diagramasque se vieroo Pitra I" adici6n:

4X\X l4X'iv24

4 x 3 'X 2

V8 x 3

'i

4 x 3 x 2" 'J

3 x 8

V24

...,.;;'-,<+,..-~---

~» g~~,~~~;~~~-;c l!i~~i:~~:;:',2i:i'Reconacerque cuand0etfu,aJ1l , "cacion.??

•·••;~'~~~;:\~~~:~~~a ~;~~:~~~~~~~!,~~~i:t:.,:c ify";'.caodoel'O tro.f actor;por; J:~~j""'I'\0d~J'C)

"s u m a n <lo s y s u m a n d o to s res u h a c lo p a rCia '

0 , ~ ~ i~ ¥ ; [ {~ t> ' : ; ' ; , ; : , , ; l ~ ; ~ ~ : i r '. · ; ~ ; i · , ; }Y· ; : ·


Pa ra es ta a c tiv id a d lo s n ii'lo s s e o rga n iz a ra n en p a reja s ,a c a d a p a reja s e Ie d ic ta ra , p rim ero u n n u m ero en tre 20y 10 , d es p u es o tro n u m ero en tre 1 y 10 , p a ra q u e h a ga n10 s igu ien te:

U n o d e lo s n ii'lo s d e c a d a p a reja , in d ic a ra el p ro d u c tod e lo s n u m ero s q u e s e les - a s ign a ro n y h a lla ra ,el

-. res u lta d o d e es a o p era c i6 n . E I o tro n ii'lo . to m a ra eln u m ero q u e s e d io p rim ero y lo d es c o m p o n d ra en d o ss u m a n d o s . d es p u es m u ltip lic a ra c a d a s u m a n d o p o r el Cu a n d o el m a es tro v ea q u e lo s n ii'lo s m a n eja n es u is egu n d o n u m eroy s u m a ra h iS' res p u e~ta s . -. -- -- ----tec n ic a s in d ifi<:u ltad ,-p o d ra ex p lic a rles q u e es ta tec n ic a ,_.

Cu a n d o a m b o s term in en c o m p a ra ra n s u s res p ec ti- ta m b ien p u ed e em p lea rs e s i -u n o d e lo s fa c to res s ev a s res p u es ta s . Si lo s d ~s d es a rro lla ro n c o rrec ta . d es c o m po n e en lJIa s d e d o s s u m ~C!,I!.c :!o § -,

m en te la a c tiv id a d la s res p u es ta s s era n igu a les . E jem p lo : 8x 4 =(2 + 5 + 1)x 4 ={2'X 4 )+ '(5 x 4 )+ (1 )(4 )='

Si a u n a p a reja s e Ie a s ign a ro n lo s n u m ero s 7 y 5 d eb e _8 ..+ ,2()o +.~-=_3 ?;=_ 8 ' x4 .-=.:32, .tra b a ja r c o m o s e in d ic a a c o n tin u a c i6 n : Pa ra q u e lo s n ii'lesa n -ll'l~n u h a!lp tic a c i6 n p ra c tic a d e------'

es ta tec n ic a . el m a es tro p la n tea ra u n a s itu a c i6 n c o m o las igu ien te: .

U n n in o v a a is tien d a a c o m p ra r15 n a ra n ja sy c a d a. n a ra n ja v a le$ 4 . Pa ra s a b er c u a n to v a len la s n a ra n ja s .p o d ra h a c er la s c u en ta s d e_~ s iJlu ien t~ m a n era : .

10 n a ra n ja s v a len 4 0 p O rq u e 10 x 4 = 4 0

5 n a ra n ja s v a len 20 p o rq u e 5 x 4 = 20

Pa ra a v erigu a r c u a n to v a len la s 15 n a ra n ja s , s es u m a n el v a lo r d e 10 n a ra rija s 'y el v a lo r d e 5 n a ra n ja s;4 0 + 20 = 6 0 . d e d o n d e res u lta q u e"5 -n a ra n ja s v a len

-$ 60. .

E jem p lo : p a ra m u ltip lic a r 12 x 7 p u ed en h a c erlod es c o m p o n ien d o 12, a s i: 12 = 5 + 7y h a lla n d o lo sp ro d u c to s 5 x 7 = 3 5; 7 x 7= 49 , p a ra d es p u es s u m a rlo s :3 5 + 4 9 ,= 8 4 . E I m a es tro -ex p lic a ra q u e c u a n d o u nn u m ero s e d es c o m p o n e en s u m a n d o s , s e a c o s tu m b raem p lea r u n p a ren tes is p a ra en c erra r lo s s u m a n d o s .Ta m b ien s e em p lea n p a ren tes is p a ra in d ic a r lo sp ro d u c to s p a rc ia les . .

U n n in o O tro n ii'lo

7 x 5 = 3 5 7 = 4 + 34 x 5 =203 x 5 =1520 + 15 = 3 5

E n a m b o s c a s o s el res u lta d o es 3 5 .

E I m a es tro p ro p o n d ril d e n u ev o la a c tiv id a d , p erod a n d o la s in s tru c c io n es en fo rm a c o n tra ria , es d ec irel a lu m n o q u e h a b ra h ec h o la m u ltip lic a c i6 n d irec ta -m en te. la h a ra d es c o m p o n ien d o y el q u e la h a b ia h ec h od es c o m p o n ien d o , la h a ra d i~ec ta m en te.

15:1: ,!:i

l~~~~~~.i ..="' ";~i,~,,"4 J.~"4 0 ~ 20 = 6 0 .

, E s ta tefn ic ••..:gu ~p erm J!, •c ,e i_~~fll~!a c t~r:.p o r lo ss u m a n d o s en q u e s e d es c o m p o n e el o tro fa c to r. s ep u ed e lIa m a r "d is trib u c i6 n ". Cu a n d o s e d es a rro lla s ed ic e q u e s e es ta "d is trib u y en d o " u n fa c to r en tre lo ss u m a n d o s . ~ _

D es p u es p a s a ra n a l ta b lerop o rp a ~ex p O n d ra n elejerc ic io . . .

E I m a es tro ex p lic a ra q u e d e es ta m a n era s e p u ed eno b ten er lo s res u lta d o s d e m u ltip lic a c io n es en tren u m ero s m a y o res q u e n o es ta n en la s ta b la s q u e ello ss a b en .

Co m o el p ro c es o d e c o n ta r s e h a c e d e u n o en u n o , lac in ta c o n q u e m a s s e tra b a ja es la d e la s u n id a d es . La sd em a s s e m o v era n s o lo c u a n d o la c in ta q u e es ta a lad erec h a c o m p leta u n a v u elta .

A I p a s a r d e9 9 , la c in ta d e la s d ec en a s h a b raterm in a d o u n a v u elta , es d ec ir, s e h a n c o m p leta d o10d ec en a s , fo rm a n d o s e a s l u n a c a n ten a . Po r 10 ta n to , en lac a s illa d e la s c en ten a s d eb e a p a rec er ell y en la s d o s d ela d erec h a el0, a s l a p a rec era el n u m ero100 c o m orep res en ta c i6 n d e u n a c en ten a s in d ec en a s n i u n id a d ess im p les a d ic io n a les .

Se rec o rta ra n c u a tro c in ta s d e p a p el d iez v ec es m a s Co m o lo s nin o s y a rec o n ~en lo s n u m ero s en tre lo o yla rga s q u e la d is ta n c ia en tre la s d o s s eries d e ra n u ra s y200, el m a es tro p o d ra h a c er u n ra p ,a s o c o lo c a n d os a d iv id ira en10 p a rtes . E n c a d a u n a -'d e la s p 'a rten e--'-n u m ero s -p a ra ' q u eio s n tll-o s lo s tea n y to s es c rib a n c o nes c rib e u n n u m ero d e0 a 9 d eja n d o u n a p es ta n a p a ra p a la b ra s , en el ta b lero . . -

p ega r: E n el p a s o d e ,19 9 a 2o o ,10 s ..n if\o s 'o o s erv a ra n q u e s is e tien en 19 9 y s e m u ev en la s 3 -c in ta s , a p a rec e200, 10q u e in d ic a .Q u e s e,h a ,Jo rm a d o ..o tr.a c en ten a . '

- .. . . - --_ ..~..__:;:;."'-...,.::..::;;,,---..,--

A h o ra el m a es tro m o v era c s o lo la terc era c in ta p a rafo rm a r o tra s c en ten a s y ex p lic a ra la lec tu ra y es c ritu rad e c a d a u n o d e es to s n u m ero s;


E I m a teria l p a ra es ta a c tiv id a d d eb e s er ela b o ra d o c o na n tic ip a c i6 n p o r el m a es tro . Co n s is te en c o n s tru ir u nc o n ta d o r p a rec id o a lo s q u e s e u tiliz a n p a ra m ed ir laga s o lin a Q u e s e Ie ec h a a 10 5 c a rro s , a lo s q u e c u en ta nlo s k il6 m etro s rec o rrid o s . 0 a lo s q u e tien en a lgu n a sgra b a d o ra s . A u n a c a ja s in ta p a s e1<1 h a c en8 ra n u ra s enel fo n d o , d is p u es ta s d e d o s en d o s . E n la p a rte s u p erio rd e es ta s ra n u ra s s e es c rib ira n la s p a la b ra s : u n id a d es ,d ec en a s , c en ten a s , u n id a d es d e m il, a s l:

Pa ra a rm a r el c o n ta d o r, s e d eb e m eter c a d a c in ta enu n p a r d e ra n u ra s y p ega r lo s ex trem o s d e d ic h a c in ta ,a s i:

Pa rte ex terio r d e la c a ja(Vis ib le p a ra el a lu m n o )

Pa rte in terio r d e la c a ja(No v is ib le p a ra el a lu m n o )

A I in ic ia r la a c tiv id a d , la reg.i6 n v is ib le d e c a d a c in ta ,p o r la p a rte ex terio r d e la c a ja , s e c o lo c a d e m a n era q u es e v ea s o lo el O .Se ta p a n lo s tres c ero s d e la iz q u ierd ac o n u n a h o ja d e p a p el.

E I m a es tro c o m en z a ra ro ta n d o la c in ta d e la su n id a d es y lo s n in o s ira n c o n ta n d o en v o z a Tta ; c :u a h d olIegu e a "d iez ", les rec o rd a ra q u e c o n d iez u n id a d es s e

fo rm a u n a d ec en a , y q u e p o r 10 ta n to en la c a s illa d e la sd ec en a s d eb e a p a rec er el 1. Co rrera la h o ja d e p a p el yp a s a ra la s egu n d a c in ta d el0 a l 1. A s l lo s n in o srec o n o c era n el10 c o m o rep res en ta c i6 n d e u n a d ec en as in u n id a d es s im p les a d ic io n a les .

E I m a es tro gira ra la c in ta d e la s u n id a d es n u ev a m en tey el n in o ira rec o n o c ien d o lo s n u m ero s q u e a p a rez c a n .Se h a ra en fa s is en q u e c u a n d o p a s a n n u ev e u n id a d esm a s . a p a rec e u n c ero , 10 q u e in d ic a q u e s e h a fo rm a d oo tra d ec en a; p o r ta n to s e h a ra a p a rec er el 2 en la c a s illad e la s d ec en a s . R ec o n o c era n a s f en el c o n ta d o r eln u m ero20. Se s igu e es te p ro c ed im ien to h a s ta lIega r a99.

Co lo c a ra ; p o r ejem p lo , 3 O O y 1es in d ic a ra q u e h a y 3c en ten a s0 3 "gru p o s d e c ia n " 0 tres c ien to s , YQ u ep a rala es c ritu ra en p a la b ra s s e es c rib e a l n u m ero d ec en ten a s s egu id o d e la p a la b ra "c ia n to s ": "tres c ien -to s ". N6 tes e q u e es ta s d o s p a la b ra s es ta n u n id a s .

Pu ed e in d ic a rs e q u e s e es c rib e "d o s c ien to s ",0

"d o c ien to s '" y "tres c ien to s '>o -·"trec ien to s ", n o h a yp ro b lem a s c o n "c u a tro c ien to S"ni c o n ~h o c ien to s ",ta m b ien p u ed e es c rib irs e "s eis c ien to s ", 0 "s eic ien to s ".

-E I m a es tro s era ' c u id a d o s o 'en ex p lic a r la lec tu ra yes c ritu ra d e lo s n u rn ero s500, 700y 900. E s p o s ib le q u elo s n ii'lo s d ia a "-,"c in c " "s ietec ien to s "y"rlU ev ec iel'ltc i_~'~w r h - -::.0 a s i en lo s c a s o s

--a n ta rig(~_~~ljc i!!'r6 'f"H IjI!I:.'~_"'J'~~8 Sio n a d o 10 sc a m b io s d e es ta s ex p tejiO b es -;.p o r ~:q u jriien to s" .•"s etec ien to s " y "n o v ec ien to s " p o r s er m a s fa c iles d ep ro n u n c ia r, p ero .Q u eesm a s 16 gic a la fo rm a q u e ello sem p lea n .

E s n ec es a rio d a r tiem p o s u fic ien te p a ra q u e lo s n iflo sgra b en es to s n o m b res y s e ejerc iten en la lec tu ra ,es c ritu ra e in terret~c i6 n ~~ es ~~ n u m ero s .

, Pa ra -n u m ero s c o m p ren d ld o s en tre100 y 9 9 9 , elm a es tro -p o d ra d ic ta r a 10 s n ii'lo s u n n u m ero p a ra q u eello s 10 rep res en ten en b a s e d iez , 10 lea n , es c rib a n e

", .in terp reten ., _-,-_~ . -__., .

H a y 7 c en ten a s , 3 d ec en a s . y S u n id a d es s im p les . E lm a es tro p ro eu ra ra q u e s e fo rm en lo s n u m ero s9 9 7 . 9 9 8y 9 9 9 . Se eo n elu ira q u e en 9 9 9 , h a y 9 een ten a s y 9 9u n id a d es s im p les ,10 q u e in d ic a q u e s i s e a grega u n au n id a d s im p le, s e tien en 10 een ten a s .

E n es te m o m en to les rec o rd a ra q u e a s ! c o m o c o n d iezu n id a d es s e fo rm 6 u n a d ec en a , y a s ! c o m o c o n d iezd ec en a s s e fo rm 6 u n a een ten a , a h o ra c o n d iez een ten a ss e fo rm 6 u n "gru p o d e m il", lIa m a d o ta m b ien ·"m illa r".

Pa ra en c o n tra r la fo rm a d e es c rib ir "m il" en b a s e d iez .el m a es tro m o v era la s c u a tro c in ta s y lo s n in o so b s erv a riln el n u m ero 10 0 0 ,10 q u e s ign ifiea q u e es en u m ero req u iere eu a tro c ifra s p a ra s u es c ritu ra en b a s ed iez . A s ! lo s n in o s id en tific a ra n el m illa r c o m o u n au n id a d d e o rd en s u p erio r en el s is tem a d e n u m era c i6 nd e b a s e d iez . A es a s m ed id a s la s lIa m a rem o s "u n id a d esd e m il"0 "u n id a d es d e m illa r".

E I m a es tro s egu ira m o v ien d o la c in ta d e la s u n id a d esd e m il y lo s n in o s rec o n o c era n a s ! lo s n u m ero s 10 0 0 ,20 0 0 ,3 0 0 0 , etc ., c o m o rep res en ta c io n es d e u n a , d o s ,tres , etc ., u n id a d es d e m il, s in c en ten a s , d ec en a s0

u n id a d es s im p les a d ic io n a les .

Co n a lgu n o s c o n ju n to s d e n u m ero s c o m p ren d id o sen tre 0 y 1 0 0 0 , el m a es tro p ro p o n d ra a lgu n o s ejerc ic io s

s im ila res a lo s p ro p u es to s p a ra el u s o d e ex p res io n esc o m o : "to d o s ", "a lgu n o s ", "n in gu n ", etc ., y p a rain terp reta r el s ign ific a d o d e la "y "y d e la "0" en u n ain s tru c c i6 n .

E jem p lo s d e ta les in s tru c c io n es p o d r!a n s er:

- E s c rib a el c o n ju n to d e lo s n u m ero s m en o res q u em il, q u e s e rep res en ta n c o n tres c ifra s"y "term in a n end o s c ero s .

- E s c rib a el c o n ju n to d e lo s n u m ero s , en tre 5 0 0 y10 0 0 , q u e term in a n en 50 en 25 .

Pa ra la p rim era in s tru c c i6 n s e v era q u e lo s elem en to sd el c o n ju n to p ed id o d eb era n c u m p lir d o s c o n d ic io n es :es c rib irs e c o n tres c ifra s"y "term in a r en d o s c ero s . E s tec o n ju n to es [10 0 , 20 0 , 3 0 0 ,4 0 0 , '" 9 0 0 1·

E n el s egu n d o c a s o b a s ta c o n q u e lo s elem en to s 'c u m p la n u n a d e la s d o s c o n d ic io n es : term in a r en 5"0"

term in a r en 25 .

Si n o s e q u ieren es c rib ir m u c h o s elem en to s es m ejo rd ec id irs e p o r la s egu n d a . Si s e es c rib en to d o s lo sterm in a d o s en 5 . a lii es ta ra n in c lu id o s10 q u e term in a nen 25 . A s ! res u lta u n b u en ejem p lo p a ra rec o rd a r lan o c i6 n d e s u b c o n ju n to . .

A c tiv id a d esy s u geren c ia s m eto d o l6 gic a s

Pa ra el d es a rro llo d e es to s o b jetiv o s s e p u ed e em p lea r eIc o n ta d o r ela b o ra d o p a ra la a etiv id a d a n terio r. y a lgu n a sta rjeta s .

In ic ia lm en te u n a lu m n o es c rib ira en el ta b lero :

1 d ec en a = 10 u n id a d es

1 c en ten a = 10 0 u n id a d es = 10 d ec en a s

E s ta s igu a ld a d ~s s e u tiliz a ra n p a ra rea liz a r a lgu n o sejerc ic io s .

Si s e d es ea ex p res a r"u n n u m ero d e d ec en a s "enu n id a d es , el n u m ero d e d ec en a s s e d eb e m U ltip ~r ..10 p a ra o b ten er el n u m ero eq u iv a len te d e u n id a d es .

E jem p lo : 5 d ec en a s = 5 x 10 u n id a d es = 5 0 u n id a d es

Si s e d es ea ex p res a r u n n u m ero d e c en ten a s end ec en a s , el n u m ero d e c en ten a s s e d eb e m u ltip lic a r p o rd iez p a ra o b ten er el n u m ero eq u iv a len te d e d ec en a s .

E jem p lo : 7 c en ten a s = 7 x 10 d ec en a s = 7 0 d ec en a s

O tra tra n s fo rm a c i6 n q u e es p o s ib le h a c er, es ex p res a ru n n u m ero d e c en ten a s en u n id a d es; p a ra h a c erlo .c o m o u n a c en ten a tien e c ien u n id a d es , el n u m ero d ec en ten a s s e m u ltip lic a p o r c ien p a ra o b ten er el n u m eroeq u iv a len te d e u n id a d es . .

E jem p lo : 3 c en ten a s:::""3 x 10 0 u n id a d es = 3 0 0u n id a d es . .

Po d r6 n ela b o ra r u n c u a d ra p a ra "c o lo c a r a lgu n o sn u m ero s . - , ,

O jc h o c u a d ro ten d r6 tres c a s illa s; d e d erec h a aiz q u ierd a .es ta s s er6 ~: c en ten a s . d ec en a s y u n id a d es .

Pa ra _c o lo c a r en a l'u n n u m ero c o m o 5 4 7 ,Teeo rd a r6 nq u e 'h a y 5 c en ten a s . 4 d ec en a sy 7 u n id a d es , a s!:

~ · " f > ; ; C . ·

-'._-:::~ '"'~-:~~.lias·. : -.= ~ : _ j , - ~ .~ ~ \ : ~ - ~ : , -

O es c o m p o n d ra n eln (lm ero 5 4 7 d e la s igu ien tem a n era : I5 4 7 = 5 c en ten a 5 -+ 4 d ec en a s + 7 u n id a d es =5 x (1o o )+ 4x (10 ) + 7 = 5 0 0 + 4 0 + 7

H a ra n o tro s ejerc ic io s p a ra d es c o m p o n er u n n u m ero .

77

20 5 ;; 2 c en ten a sto d ec en a st 5 u n id a d es= 2 x (10 0 )t 0x (10) + 5 = 200 + 0 + 5

A c o n tin u a c io n , 10 s n in o s d es a rro lla ra n o tro s ejerc i-c io s , c o m o lo s s igu ien tes :

- Co n a n terio rid a d a la c la s e, el m a es tro d eb eraela b o ra r a lgu n a s ta rjeta s d o n d e a p a rez c a es c rito u nn u m ero d e c en ten a s ,0 u n n u m ero d e d ec en a s . E Iejerc ic io c o n s is te en q u e u n a lu m n o p a s e a l fren te ys a q u e a l a z a r u n a ta rjeta y la lea en v o z a lta . Si en lata rjeta es ta es c rito u n n u m ero d e c en ten a s , el n in o 10ex p res a ra en d ec en a s y en u n id a d es ; s i es ta es c rito u nn u m ero d e d ec en a s , 10 ex p res a ra en u n id a d es .

E jem p lo :7 c en ten a s= 70 d ec en a s= 700 u n id a d es

6 d ec en a s= 60 u n id a d es

Lo s ejerc ic io s d e c o n v ers io n d e c en ten a s en d ec e-n a s y d e d ec en a s en u n id a d es , s o n es p ec ia l m en teu tiles a n tes d e v er la s u s tra c c io n"p res ta n d o ".

Pa ra res o lv er la s d ific u lta d es q u e s e p res en ten s eem p lea ra c o m o a y u d a , el c o n ta d o r ela b o ra d o ena etiv id a d es a n terio res .

U n ejerc ic io en q u e s e d eb e d es a rro lla r u n p ro c es oin v ers o a l s egu id o en el ejerc ic io a n terio r c o n s is te end a r u n n u m ero d e u n id a d es0 d ec en a s m a y o r q u e d iezp a ra ex p res a r, en c a d a c a s o , a c u a n ta s d ec en a s y ac u a n ta s c en ten a s es eq u iv a len te. Nu ev a m en te s ep u ed e rec u rrir a l em p leo d e ta rjeta s . - ------------

A n tes d e es tu d ia r la m u ltip lic a c io n "lIev a n d o ", esc o n v en ien te rea /iz a r es to s ejerc ic io s .

E jem p lo :200 u n id a d es= 20 d ec en a s= 2 c en ten a s

- 7 0 u n id a d es= 7 d ec en a s

23 u n id a d es= 2 d ec en a s3 u n id a d es25 d ec en a s= 2 c en ten a s5 d ec en a s

Pa ra es te ejerc ic io es c o n v en ien te p o n er a d is p o s ic i6 nd e lo s a lu m n o s el c o n ta d o r. y p ed irles Q u e es c rib a n enes te el n u m ero in d ic a d o en c a d a c a s o y a c o n tin u a c i6 nlea n el n u m ero d e d ec en a s y c en ten a s Q u es e o b tien en;d e es ta fo rm a p o d ra n c o m p ro b a r p o r ejem p lo . Q u e c o n70 u n id a d es n o s e a lc a n z a a o b ten er c en ten a s .

So b re es te tip o d e ejerc ic io s s e d eb e in s is tir c u a n d oh a y d ific u lta d es p a ra a d ic io n a r rea gru p a n d o (liev a n d o ).

---.U n terc er tip o d e ejerc ic io c o n s is te en d a r u n n u m ero .p o r ejem p lo ,q u in ien to s s eten ta y tres , p a ra ex p res a rloen c en ten a s , d ec en a s y u n id a d es . A c o n tin u a c i6 nc o n v ertir la s c en tE!n a s en d ec en a s y ex p res a rlo en'd ec en a s y u n id a d es . Po r u ltim o ex p res a rlo s o lo enim id a d es .

E jem p lo :573 es eQ u iv a len te a5 c en ten a s ,7 d ec en a s , y3 u n id a d es

573 es eq u iv a len te a57 d ec en a s y3 u n id a d es

573 es eq u iv a len te a573 u n id a d es

O tro ejerc ic io q u e s e p u ed e p ro p o n er, es d a r u nd eterm in a d o n u m ero d e u n id a d es , d ec en a s0 c en ten a s ,p a ra Q u e el a lu m n o fo rm e el n u m ero c o rres p o n d ien te.

E jem p lo :5 c en ten a s , 2 d ec en a s y 1 u n id a d

Se es p era q u e el n il'\o es c rib a el n u m ero ten ien d o enc u en ta el v a lo r p o s ic io n a l d e la s c ifra s :5 21 yq u e lIegu ea d a r ex p lic a c io n es c o m p : ' --,

78

5 x (10 0 )t 2 x (10 )t 1 ;; 5 0 0 t 20 t 1 ;: 5 21

Lu ego d e q u e h a y a n d es a rro lla d o es to s ejerc ic io s yo tro s q u e el m a es tro c o n s id ere n ec es a rio s y c u a n d o s eh a y a n a c la ra d o la s d u d a s , s e p o d ra p ro p o n er a lo sa lu m n o s el s igu ien te ju ego Q u e p o d ra n lIa m a r"c en te-n a s , d ec en a s y u n id a d es ".

Pa ra es te ju ego 10 5es tu d ia n tes d eb en o rga n iz a rs e p o rp a reja s . Ca d a in tegra n te d e u n a p a reja es c rib a u nn u m ero d e tres c ifra s en u n a h o ja , s in p erm itir q u e s uc o m p a n ero 10 Yea . Ca d a n il'\o d eb e a d iv in a r c u a l es eln u m ero es c rito p o r s u c o m p a i'lero , s ien d o el ga n a d o r elq u e p rim ero a d iv in e. Pa ra ello s e a y u d a ri3 n d e lo sd a to s o b ten id o s c u a n d o c a d a u n o h a c e u n en s a y o yp regu n ta a l c o m p a n ero s i tien e a lgu n a c ifra c o rrec ta .E s te s o lo c o n tes ta ra d ic ien d o "c en ten a s ", "d ec e-n a s ", "u n id a d es ", s egu n la c ifra Q u e h a y a a d iv in a d oel c o m p a n ero . Si n o a d iv in 6 n in gu n a , c o n tes ta ra·'n in gu n a ". _

E jem p lo : en la p a reja fo rm a d a p o r Ped ro y Ju a r.s u p 6 n ga s e q u e Ped ro es c rib i6 el n u m ero7 3 5y Ju a n el6 8 3 .E I ju ego s e d es a rro lla s u girien d o c a d a u n o , enfo rm a a ltern a d a , u n n u m ero d e tres c ifra s . Pa ra lIev a r u nregis tro d el ju ego c a d a a lu m n o d eb e a n o ta r en u nc u a d ro c o m o el s igu ien te, lo s n u m ero s q u ea ls u giera ylo s q u e s u c o m p a i'lero Ie p regu n ta .

Su p 6 n ga s e Q u e Ped ro es q u ien p r-im ero d ic e u 'n -- -n U m ero c o m o275; c a d a 'u n o a n o ta ,n m Jm JlrJf-Y~u E ln 10 :-:_~----,-

c o m p a ra c o n el q u e tien e es c rito; c o m o ' n in gu n a c ifraes ta b ien c o lo c a d a Ju a n res p o n d e"n in gu n a ", A h o ra et

, tu rn o d e p regu n ta r c o r res p o n d e a Ju a n , q u ien d ic e, p o rejem p lo , el n u m ero437. Ca d a u n o d eb ~J~n o ta r eln u m ero y a h o ra es Ped ro Q u ien d eb s d a ritlfo rm a c i6 n -fu ego d e c o m p a ra r es e n u m ero c O n s u n u m ero ,.q u ees el735. Co m o el tres es ta b ien u b ic a d o en lacolum na d e la sd ec en a s , d eb e d ec ir i'd ec en a s ". Ju a n en c E Jrra ra es tac ifra c o n u n c frc u lo p a ra irfo rm a n d o et n u m eto Q u e d eb e~M M ~ - .

Siex a m in a m o s el) es te m o m en to la s h o ja s s e ten d ra :

H o ja d e Ped ro _ H o ja d e Ju a n

E I ju ego term in a n h u a n d o u n c ) d e 10 s d o s d o s d iga et..n u m ero c o r rec to , a 10 c u a l elc o m p a l'\ero , fu ego d e

c o m p a ra rlo c o n el s u y o , res p o n d er': '''c en ten a s ,o =d ec en a s ,' i u n id a d es ". '-----~----.--:-:.,-'

~ ~ ~ ~ ~ J J f ; , f ' ; 'P . t i ~ ( : 2 < ~ ;,< . b'etiYois especlfi

- ·< ' t : : : - ~ ~ : ~ ~ ' , , · , - -. . ' - ' .

E i;e::to a r m U ltip li lo n es en'10, fa c to res -Ss ;d e:d':C ifiiisY ,c",

"~2';7:",::~,C if~.':~}: ; ' < r ~ '~ : \~ ; . . . ' " . " . . . ,. . , " " .,~, 28 . ,'E fec tu a r, m u ltip lic a Clo n es a b rj;v ia d a ~,PO!'JO .'::,: 1;1:a lu iTln o efec tu a r~:

~r:t;~~~:'~';r~~~~":-~:'::;':~~~~r:e,·'.29.'; E fec t1Ja r m U ltip lic a c io t'les ~n ]a s ' 1:u a les to s ' ., £ 1 eluo lo o .efeetu a r6J:ri~ lti,

)'& ~r',t~~tr~s s ~a n d e~~~fra~",~:~_::,';.,' "",:; d o s c ifra s ,P0 ' ~~~snlim ero1ie,


A I in ic ia r es ta a c tiv id a d c o n v ien e h a c er u n rep a s o d e la sta b la s d e m u ltip lic a r, p a ra 10 c u a l el m a es tro ela b o ra raen el ta b lero u n o s c u a d ro s c o m o el s igu ien te:

Fa c to r 3 8 9 5 4

Fa c to r ·5 7 6 7 7

Pro d u c rn --' 15

Lo s n in o s d es a rro lla ra n u n ju ego Q u e c o n s is te en -m u ltip lic a r lo s d o s n u m ero s q u e a p a rec en en c a d ac o lu m n a d e lo s c u a d ro s y c o lo c a r es e res u lta d o en lau ltim a c a s illa . E n el c u a d ro es ta c o m o ejem p lo 3 x 5= 15 .

Se p ro c u ra rs q u e to d o s lo s n in o s p a rtic ip en en la- ela b o ra c i6 n d e es to s c u a d ro s . E n s egu id a el m a es trod in ~ a lo s n in o s q u e h a y o tra m a n era d e efec tu a r es tam u ltip lic a c i6 n q u e c o n s is te en c o lo c a r lo s n u m ero s Q u es e m u ltip lic s n u n o d eb a jo d el o tro , es c rib ien d o el s ign o"x " a la iz q u ierd a d el s egu n d o fa c to r y tra z a n d o u n alin ea h o riz o n ta l en la p a rte in ferio r, a c o n tin u a c i6 n d e lac u a l s e c o lo c a el res u lta d o d e la m u ltip lic a c i6 n :

3x 5

15

Ta m b len s e p u ed e efec tu a r la o p era c i6 n en u n a ta b lac o m o la s igu ien te:

D ec en a s U n id a d es

, 3x 5

1 r

Lo s n in o s p o d ra n rea liz a r d e es ta m a n era m u ltip lic a -c io n es en tre d o s d igito s , c o m o9 x 8 , 7 x 5 , etc .

E n s egu id a efec tu a rs n m u ltip lic a c io n es d e u n n u m erod e d o s c ifra s p o r u n n u m ero d e u n a c ifra . Co n v ien ec o m en z a r c o n u n ejerc ic io s en c illo d o n d e n o s e lIev e:

13 x 2.Prim ero s e h a rs es ta m u Jtip lic a c i6 n em p lea n d o la

tec n ic a d e d is trib u ir q u e s e es tu d i6 en u n a a c tiv id a da n terio r, 13 s e d es c o m p o n d rs c o m o 10+ 3 y lam u ltip lic a c i6 n q u ed a rs d e la s igu ien te m a n era :

13 x 2= (10 + 3 ) x 2= (10 x 2)+ (3 x 2)= 20 + 6 = 26

E n es te c a s o 20 y 6 s o n p ro d u c to s , p ero n in gu n o es elres u lta d o fin a l, p o r es ta ra z 6 n s e a c o s tu m b ra lIa m a rlo s

"p ro d u c to s p a rc ia les ". E I res u lta d o fin a l d el ejerc ic io s eo b tien e d e s u m a r 20 c o n 6; p o r es o , 26 s e s u ele lIa m a r"p ro d u c to to ta l" d e la m u ltip lic a c i6 n 13 x 2.

E s p o s ib le q u e la d es c o m p o s ic i6 n d el n u m ero 13 end o s s u m a n d o s s e h a ga en o tra fo rm a , c o n 10 c u a l s eo rigin a u n c a m b io q u e es c o n v en ien te a n a liz a r: s i el13s e c o n s id era igu a l a 3+ 10 , la m u ltip lic a c i6 n s ed es a rro lla a s i:

13 x 2= (3 + 10 ) x 2= (3 x 2)+ (1O x 2)= 6 + 20 = 26

E n c u a lq u ier tip o d e m u ltip lic a c i6 n y s iem p re Q u e s ep res er'lten -d ,fi"c u ita d eS,"e T m a es tro -Cleb e'rec u rriraesta-ex p lic a c i6 n .

-~... __ ._,----E s te p ro c ed im ien to es la c la v e d el a lgo ritm o d e~a

m u ltip lic a c i6 n y a q u e s iem p re s e o b tien en .p rD d u eto sp a rc ia les q u eJu ego s e a d ic _io l'la n p a r~ h a lla r-etp rQ .d u Cto ------·.-fin a l. ' . --~------ .----~.- -

Lo s p ro d u c to s p a rc ia les s o n 6 y 20 , 'el p ro d u c to to ta les26 .H ac a m b ia d o el o rd en en q u e a p a rec en lo s p ro d Lieto sp a rc ia les y elp ro d u c to to ta les el m is m o , ~~"".

La d es c o m p o s ic i6 n d e 13 en 3+ 10 p erm itio q u e a tm u ltip lic a r s e tra b a ja ra p rim ero c o n la s u n id a d ess im p les Q u e h a y en 13 y lu e9 0 c o n la s d ec en s $ ._E s tetra b a jo fa c ilita la p ra c tic a d e la m u ltip lic a c i6 n c u a n d o -~d a to s s e d is p o n en en la fo rm a u s u a l. ' ,.

Po s terio r m en te, el m a es tro ex p lic a ra q u eia s m ~lti~lJ.- -c a c io n es a n terio res p u ed en d es a rro lla rs e d ls p o n jen d o .lo s d a to ll en la fo rm a u s u a l:-

13

~Lo s n in o s y a s a b en q u e elp;~;c tJ~i'~it;ie

a d em s s Q u ees e p rO d u c to es :iit$ ~'·es te ejerc ic io d eb a n en c o n tra r .iJn a rn fev a d ilo s d a to s p a ra h a lla r el m is m o res u lta d o ..

13x 2

6-

s e m u ltip lic a 2 p o r 3 u n id a d eF y 's e o b tien e6u n id a d es . E s el p rim er p ro d u c to p a rp ia L .'~

s e m u ltip lic s 2 p o r 1 d ec im a v iie o b tien e ta ec ien a s .E s el s egu n d o p ro d u c to p a rc ia lV p a ra es c rib irloc o n v ien e p ro p ic ia r en tre lo s n in o s u n a d is c u s i6 n s o b red 6 n d e s e es c rib e y p o r q u e.' Cu a n d o lo s n in o s -h a y a nd is c u tid o u n o s m in u to s '--el m a es tro les -R ed ira ,~u eex p o n ga n s u s p u n to s d e v is ta . Lo s a y u d a ra p a ra Q u e

79

_lIegu en a la c o n c lu s i6 n d e q u e2 d ec en a s eq u iv a len a 20u n id a d es .

13x2

6 p ro d u c to s20 p a rc ia les

E n es ta fo rm a . s e tien e n u ev a m",n te lo s s u m a n d o s 6 y20 q u e p erm iten en c o n tra r el p ro d u c to to ta l. E sim p o rta n te q u e lo s n in o s a n a lic en q u e m u ltip lic a r 2 p o r1 d ec en a y o b ten er 2 d ec en a s es eq u iv a len te am u ltip lic a r 2 p o r 10 u n id a d es y o b ten er 20 u n id a d es .

13x2

6

20

26 p ro d u c toto ta l

Se s u m a n lo s p ro d u c to s p a rc ia les . E Ip ro d u c to to ta J esel m is m o h a l/a d o a n terio rm en te a u n q u e s e d is p u s iero nlo s d a to s en o tra fo rm a . E I m a es tro h a ra q u e lo s n in o so b s erv en q u e en la c o lu m n a d e la s u n id a d es la s u m a d e6 c o n 0 d a 6 y les d ira q u e es p o s ib le s u p rim ir el O ._a s i:

13ic2

62

26

Lo s p ro d u c to s p a rc ia les s o n 6 u n id a d es y 2 d ec en a s .la s u m a d a 26 . Se h a o m itid o el 0 y to d a v ia es p o s ib le

-h a ~~(6 tra s l m p lific a c i6 n .-

13x2

26Se m u ltip lic a 2 y 3 y el res u lta d o s e es c rib e en la

c o lu m n a d e la s u n id a d es . D es p u es s e m u ltip lio a 2 p o r 1d ec en a y el res u lta d o s e es c rib e en la c o lu m n a d e la sd ec en a s . (E s ta fo rm a es m a s ra p id a . p ero d eb e em -'p lea rs e s o lo c u a n d o lo s n in o s h a y a n en ten d id o p o r q u es e p u ed en h a c er la s s im p lific a c io n es ).

O tra p o s ib lefo rm a d e p res en ta r lo s d a to s in c lu y e laid en tific a c i6 n-d eTa -s -lin id a d esy d e 1m >:d ec en a s . a s i:

3x 2

La o p era c i6 n s e d es a rro lla s egu n s e ex p lic 6 a n terio r-m en te. A s f s e o b tien en lo s s igu ien tes p a s o s en lao p era c i6 n :


1 3x 2

62 0

2 ( 6


1 3-- x 2

62

2-.-

6

80\


1 3-x 2

2 6

Sigu ien d o el p ro c ed im ien to ex p lic a d o p a ra 13 x 2, s eh a ra n o tra s m u ltip lic a c io n es c o m o 3 2 x 3 . 24 x 2, 12 x 4 .p ro c u ra n d o s egu ir to d o s lo s p a s o s p a ra q u e lo s n in o sa d q u iera n to d a s la s n o c io n es y s e d en c u en ta d e la ss im p lific a c io n es q u e s e h a c en p a ra en c o n tra r u nm eto d o q u e p erm ita res o lv er la s m u ltip ,lic a c io n es c o pfa c ilid a d y ra p id ez .

- A h o ra s e h a ra n m u ltip lic a c io n es d e m a y o r c o m p le-jid a d c o m o : 4 2 x 3 .

Se rea liz a ra n p o r lo s d o s m eto d o s y lu ego s e elegira elm a s c o rto . A l m u ltip lic a r 3 x 2 u n id a d es s e o b ten d ra 6u n id a d es q u e s e c o lo c a ra n en la c o lu m n a d e la su n id a d es . A I m u ltip lic a r 3 x 4 d ec en a s s e o b ten d ra 12d ec en a s , rec o rd a ra n q u e en 12 d ec en a s h a y u n ac en ten a y 2 d ec en a s; el 2 s e c o lo c a ra en la c o lu m n a d ela s d ec en a s y h a b ra n ec es id a d d e a b rir la c o lu m n a d e la sc en ten a s p a ra c o lo c a r el 1.

La m u ltip lic a c i6 n q u ed a ra a s i:

4 2

_ _ _ " __?C_3

6

A I efeetu a r es ta m u ltip lic a c i6 n p o r el m eto d o a b re-v ia d o s e o b ten d ra :

2

x 3

E s im p o rta n te o b s erv a r q u e h u b o n ec es id a d d e h a c erla c a s illa d e la s c en ten a s p a ra c o lo c a r el 1.

Lo s s igu ien tes ejerc ic io s s e p u ed en h a c er d e la m is m am a n era q u e el a n terio r:

8 3 9 2~ 2...L

712.-L .

A h o ra s e- rea liz a ra n m u ltip lic a c io n es "lIev a n d o ". -p rim ero s e lIev a ra n d ec en a s en el p riFJ:Ier p ro d u c to -p a rc ia l y lu ego s e c o m b in a ra el c a s o v is to a n terio rm en te(4 2 x 3 ) ~n es te u ltim o .

- H a lla r el p ro d u c to 16x 3 .

O b s erv es e q u e 16 s e d es c o m P'o n e en 6 + 10 y q u e lo sp ro d u c to s p a rc ia l~s res u lta n d e:

(6 + 10 )x 3 = ( 3 x 6 ) + ( 3x 10 ) = 18 + 3 0= 4 8 .

E n la p r~etic a , la o p era c i6 n s e rea liz a s im p lific a n d o a lm ~x im o el p ro c ed im ien to ; es n ec es a rio"gu a rd a r en lam em o ria " a lgu n o s res u lta d o s p a ra a d ieio n a rlo s c o n lo ss igu ien tes :

Cen ten a s D ec en a s U n id a d es

1 6

x 3

18

3

16~

8

16

~48


1 6

x 3

1 8

3

4 8

Lu ego s e m u ltip lic a 3 x 1= 3 d ec en a s y a es teres u lta d o s e Ie s u m a la d ec en a q u e s e h a b ia gu a rd a d o3 + 1 = 4 d ec en a s , q u e p u ed en es c rib irs e d irec ta -m en te a la iz q u ierd a d e la s 8 u n id a d es .

12L..§...

15x 4

18

~.19

~

Se m u ltip liea 3 x 6= 18 u n id a d es , s e es c rib e el 8(u n id a d es ) y s e lIev a 1 (d ec en a ), q u e s e gu a r-d a -a n -Iam em o ria .


- 4 6

x 3I····· --- - - --- -_ ...

18

12

O tro tip o d e m u ltip lic a c io n es , d o n d e s e c o m b in a n lo sa n terio res es : 4 6 x 3 , a m b o s p ro d u eto s p a rc ia les s o nn u m ero s d e d o s c ifra s .


4 6

. x 3

1 8

1 2

1 3 8

1812

13 8

O b s erv es e q u e 4 6 s e d es c o m p o n e en 6 + 4 0 y q u e lo sp ro d u c to s p a rc ia les res u lta n d e:

Pa ra a giliz a r m a s 'o s c a lc u lo s a n terio res , s e p ro p o n -d ra n a lgu n a s fo rm a s d e rea liz a r a b rev ia d a m n te m u ltip li-c a c io n es c u a n d o u n o d e lo s fa eto res es 10 , 20 , 3 0 . 4 0 ,50. 60. 70, SO, 90.

Pa ra h a lla r 3 x 4 0 s e ten d ra en c u en ta q u e 4 0u n id a d es= 4 d ec en a s; 3 J( 4 = 12 d ec en a s= 120u n id a d es . - --

Pa ra es to lo s n in o s s e d is trib u ira n en9 gru p o s , c a d au n o d e lo s eu a les m u ltip lic a ra el n u m ero 4 p o r u n o d e lo sn u m ero s a n terio res . D e c a d a gru p o s a ld rs u n n in oV

efec tu a ra la m u ltip lic a c i6 n en el ta b lero p o r el m eto d am a s c o rto ..-

. .-- .

Co m o en elc a s o a n terio r. h a y u n a fo rm a ra p id a d eh a lla r el res u lta d o . ten ien d o m u c h o c u id a d o d e "gu a r-d a r en la m em o ria " a q u ello q u e s e "n ev a ". Pero s i s etem e q u e la m em o ria fa ile, s e p u ed e es c rib ir a p a rte10q u e s e "lIev a ". Na tu ra lm en te q u e a s i el p ro c es o n o s eraigu a l d e ra p id o .

E I m a es tro ex p lic a ra la fo rm a ra p id a d e o b ten er elp ro d u c to d e 4 6 x 3 . .

Se p ro p o n d ra n ejerc ic io s c o m o :

28x 5

33x 6

/

4 22 . L

55x 2

E s p o s ib leq u elo s n in o s ten ga n d iflc u lta d p a r.m u ltip liea r p o r O . p u es h a s ta es te m o m en to n o10 h a nh ec h o . Si es to o c u rre el m a es tro p u ed e d a r u n a b rev eex p lic a c i6 n . c o m o la s igu ien te:

La s tres c o lu m n a s s igu ien tes p erm iten ex p res a ra lgu n o s n u m ero ,s d e v a ria s m a n era s :

4 x 3 = 4 v ec es 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 124 x 2=4 v ec es 2=2+ 2+ 2+ 2= 84 x l=4 v ec es 1=1+ 1+ 1+ 1= 44 x O =4 v ec es O =0 + 0 + 0 + 0 = 0

Se p u ed e a firm a r q u e 4 m u ltip lic a d oPo r O ·d a O .

. D es p u es d e m u c h o s ejerc ic io s . lo s n ii'lo s c o n c lu ira nq u e a l m u ltip lic a r u n n u m ero p o r el n u m ero c ero . elres u lta d o es s iem p re c ero .

H ec h a es ta a c la ra c i6 nID Sgru p o s p ro c ed era n area liz a r la m u ltip lic a c io n . Lu ego d e c a d a gru p o s a ld rau n n in oy la efec tu a ra en el ta b lero . o b ten ien d o s e u n as itu a c io n c o m o la s igu ien te:

10 20 3 0 4 0 5 0 6 09 0~ 23.. ~ ~ ~ 2....L2...i..

4 0 8 0 120 16 0 20 0 24 0 3 6 0

Lo s n ii'lo s o b s erv a ra n q u e el res u lta d o d e c a d a u n a d ees ta s m u ltip lic a c io n es tien en u n c ero (0 ) en la su n id a d es Y Q u e ,Ia s o trs s c ifra s d e c a d a res u lta d os e o b tien en m u ltip lic a n d o el 4 'p o r la c ifra d e la s d ec en a s .

E I m a es tro \o s o rien ta ra p a ra q u e en tre to d o s b u s q u enu n m eto d o a b rev ia d o p a ra m u ltip lic a r c u a lq u ier n u m erop o r 10 . 20 . 3 0 •....• 9 0 . Co n c lu ira n Q u e s e m u ltip lic a eln u m ero p o r la c ifra d e la s d ec en a s V s e a grega u n c ero ala d erec h a d el res u lta d o . D e es ta m a n era la m u ltip lic a -c io n p u ed e in d ic a rs e en la fo rm a h o riz o n ta l y c o lo c a r elres u lta d o a l fren te:

20 x 4 = 8 0 .

A h o ra lo s n ii'lo s efec tu a ra n a b rev ia d a m en te a lgu n a s -m u ltip lic a c io n es c o m o :

6 0 x 5 . 4 0 x 8 . 8 0 x 7 .

D es p u es lo s n ii'lo s efec tu a ra n m u ltip lic a c io n es en tren u m ero s d e--d o s c ifra s ,p rim ero "s in lIev a r"y lu ego"lIev a n d o ". Pa ra p la n tea r es ta s m u ltip lic a c io n es s e

_.p a rtlra d e u n lLs .itu a c i6 ri c o m o es ta : .. "._

'. "Si en u n ' b u s Cv ls ja n 3 2 p ers o n a s . lc u a n ta s p ers o n a sv ia ja ra n en 12 b u s es ? "

Lo s n if'lo s c o m en ta ra n la s itu a c i6 n y b u s c a ra n lafo rm a d e s o lu c io n a rla . Co n c lu ira n q u e h a y q u e efec tu a ru n a m u ltip lic a c i6 n : 3 2 x 12. '. '

M u ltip lic a ra n c a d a u n a d e la s c ifia s d e 3 2 p er c a d au n a d e la s c ifra s d e 12. Prim ero la c ifra d e la s u n id a d es :3 2 x 2 u n id a d es q u e eq u iv a len a 6 d ec en a sy 4 u n id a d es .Po r ta n to c o lo c a ra n el 4 en la c o lu m n a d e la s u n id a d es yel 6 en la c o lu m n a d e la s d ec en a s . Lu ego m u ltip lic a ra n el1. q u e es18 c ifra d e la s d ec en a s . p o r 3 2. o b ten d ra n 3 2 x 1d ec eria . 3 2 "d ec eh a s q u e eq u iv llien a 3 20 u n id a d es •.s ec o lo ea es !e res u lt a d o d eb a jo d e 6 4 p a ra efec tu a r las u m a .

- . ..Cen ten a s D ec en a s U n id a d es

-'. 3 2

x 1 2

6 43 -- 2 0

3 8 4

E I m a es tro ex p lic a ra a105 n in o s c o m o 3 20 .u n id a d eseq u iv a len a 3 2 d ec en a s . E lres u lta d o s e p u ed e c o lo c a ren d ec en a s , es c rib ien d o 3 2 en u n a c o lu m n a c o rrid ah a c ia la iz q u ierd a . es d ec ir. q u e el 2 ira en la c o lu m n a d ela s d ec en a s y e~3 en I~ c o l u m n a d e la s c en ten a s . y a ~u een 3 2 d ec en a s h a y 3 ~n ten a s V2 d ec en a s . E ~ s egU ld a

8 2

s e efec tu a ra ' la s u m a y s e h a b ra rea liz a d o la m u ltip lic a ·c i6 n en u n a fo rm a m a s ra p id a a s l :

Cen ten a s D ec en a s U n id a d es.

3 2x 1 2

6 43 2

3 8 4

32x 23

41x 22

3 1..L1.3..

Pa ra term in a r es ta a c tiv id a d s e p ro p o n d ra n a lgu n a s .m u ltip lic a c io n es : '

72x 13


x 7 21 3

2 1 ..---6

7 2

9 3 6

Cu a n d o lo s n if'lo s h a v a n a d q u irid o la h a b ilid a d -d eefeetu a r c o n ra p id ez es ta s m u ltip lic a c io n es s e p u ed enq u ita r la s !ln ea s d iv is o ria s y h a c er la s m u ltip lic a c io n esten ien d o c u id a d o d e c o lo c a r en c o lu m n a lo s n u m ero s vev ita r a s l eQ u lv o c a c io n es .

No ta : A m ed id a Q u e el n il'\o v a efeetu a n d o m u ltip lic a -c io n es c o n ra p id ez V s in d ific u lta d es . s e v a n in tro d u -c ien d o n u ev o s tip o s . v a s ea el m is m o d la0 a l d las igu ien te. E s d ec ir. u n a h o ra d e c la s enO es s u fic ien tep a ra q u e lo s . n il'\o s efec tu en to d a s la s m u ltip lic a c io n esq u e a q \JI s e p ro p o n en .

lu ego d e Q u e Jo s n ii\o s h a y a n rea liz a d o s u fic ien tesejerc ic io s d e m u ltip lic a c io n es c o n d o s n u m ero s d e d o sc ifra s "s in lIev a r", s e les p ro p o n d r~ u n n u ev o tip o d em u ltip lic a c io n es .

E jem p lo :

38

~15 2 ~ p rim er p ro d u eto p a rc ia l 3 8 x 4 o n id !ld es

-1L~ s egu n d o p ro d u c to p a rc ia l 3 8 x 2 d ec en a s9 12 ---+- p ro d u c to

E jerc ic io s :

262-B .

48-U§..

45x '23

35~

3 72-.1!..

E I m a es tro d ed ic a ra u n a s es i6 n es p eCia l p B ra rep a s a rto d o s Jo s c a s ,o s d e m u ltip lic a c i6 n es tu d ia d o s .

U n a s ec u en c ia d e es tes ejerc ic io s p o d ria s er:

4 9 12 24 8 3 23 . 3 6~....!JL 2..!.. --!..L --L4....!....12..--i 24'--

A c tiv id a d a s y a u ga ra n c ia s m eto d o l6 gic a a

E n el c u rs o a n terio r s e fo rm u l6 u n a lgo ritm o p a raefec tu a r a d ic io n es c u y o res u lta d o era u n n u m ero m en o rd e c ien . E n es ta a c tiv id a d s e ex ten d ers d ic h o a lgo ritm o aa d ic io n es d e n u m ero s en tre c ien y m il y a d ic io n es c o ntres s u m a n d o s .

In ic ia lm en te s e h a rs n a lgu n a s a d ic io n es c o n d o ss u m a n d o s c u y o res u lta d o tien e u n id a d es , d ec en a s yc en ten a s . U n ejerc ic io d e es te tip o p u ed e s er 8 5+ 49 .

Po r c o n v en ien c ia s e p u ed e tra z a r u n c i lin ea en c im ad el p rim er s u m a n d o p a ra q u e lo s n in o s a n o ten 10 q u e"lIev a n ".

_1_1_

85~

13 4

Lo s n il'lo s h a rs n a d ic io n es d ed o s s u m a tld o s :- u n o d e. . d o s c ifra s y el o tr_o _d etres c ifra s , c u y o res u lta d o tien e

u n id a d es , d ec en a s y c en ten a s .

82

_1_

24 5+ 82· ... -------

327

Lo s n il'lo s p u ed en rea liz a r o tro s ejerc ic io s c o m o els igu ien te, en lo s c u a les es n ec es a rio "lIev a r" en la su n id a d es y en la s d ec en a s :

_1_1_

298-22.3 7 4

A h o ra s e h a rs n a d ic io n es d e d o s s u m a n d o s . c a d a u n oc o n tres c ifra s y c u y o res u lta d o tien eu n iga d es . d ec en a sy c en ten a s ._ _ __ _ _ __ _

Se· c o m en z a rs c o n u n ejerc ic io en elc u a l n o h a y an ec es id a d d e~'lIev a r" c o m o el s igu ien te:

'75 + 221

Lo s n it\o s c o lo c a rs n lo s s u m a o d o s enla fo rm aa d ec u a d a y efec tu a rs n la s u m a -eo c a d a u n a d ela sc o lu m n a s , s in n in gu n a d ific u lta d .

A s !:17 5

+ .1lL396

E n s egu id a h a rs n u n ejerc ic io en el c u a l s e "lIev e".

Po r ejem p lo :

-'-314

+ 279

(5 9 3 _

E I res u lta d o d e es ta s u m a es 5 9 3 . O b s erv a rs n q u e enes te c a s o s e "lIev !lb a " s o lo en la s d ec en a s .

Ta m b ien h a rs n a lgu n a s s u m a s en la s c u a les s e"lIev e" en la s d ec en a s y en la s c en ten a s . c o m o las igu ien te:

-'-'-428296

724

H a s ta a q u l s e h a n efec tu a d o a d ic io n es c o n d o ss u m a n d o s . Se es p era q u e c o n es to s ejerc ic io s y o tro sq u e el m a es tro p ro p o n d rs . el a lu m n o v a y a a d q u irien d ola h a b ilid a d d e efec tu a r la s o p era c io n es c o n m a y o rra p id ez y , s i es el c a s o , v a y a n o m itien d o a lgu n o s p a s o s ,c o m o el d e c o lo c a r en la p a rte s u p erio r la s c ifra s q u e.58

__ .JI~a n " y p ro c u ra n d o q u e es o s d a to s lo s lIev en en lam em o ria .

A h o ra s e efec tu a rs n a d ic io n es d e tres s u m a n d o s •aumentando cada vez el grade -d ed ific u lfa d .---· -- ---.-----.-~

Co m o p rim er ejerc ic io d e es te tip o , s e h a rs u n a s u m ac o m o la s igu ien te:

3 + 8 + 5

E n -es te m o m en to es im p o rta n te q u e a l tra ta r d e s u m a res to s tres n u m ero s . lo s n il'lo s o b s erv en q u e n o 10p u ed en h a c er a l m is m o tiem p o , eo to n c es rec o rd a rs nq u e s e s u m a n lo ~d o s p rim ero s s u m a o d o s y q u e a eSteres u lta d o s e Ie s u m a el terc er s u m a n d o .

A s l efec tu a rs n 3 + 8= 11 y a es te res u lta d o s u m a ra n 6 .o b ten ien d o q u e "+ 5 = 16 . ...

3+ 8__ 5

16Lo s -n in o s rec o rd a ra n q u e p a ra s im b o liz a r la m a n era

c o m o s e efec tu o la a d ic i6 n s e em p lea n lo s p a ren tes is .asl:

(3 + 8 ) + 5= 11 + 5 = 16

E n tre la s a d ic io n es q u e'lo s n in o s .p o d r'n efec tu a r.~_a u m en ta n d o c a d a v ez el gra d o d e d ific u lta d . es tein es ta $ ,en la s c u a les s e "lIev a " en la s d ec en a s y s e "Jlev e" enla s c en ten a s . res p ec tiv a m en te:

21-ss+ 79

8'

2'8

A h o ra el m a es tro p o d rs fo rm u la r ejerc ic io s s im ila resen c u a n to a l n u m ero d e s u m a n d o s , p ero c o n m a y o rgra d o d ed ific u lta d . p u es a lgu n o s0 to d o s lo s s u m a n d o stien en tres c ifra s . Po r ejem p lo :

193

121+ 28 2

496

1179

235+ - 4 23

737

E s to s ejerc ic io s n o req u ieren n u ev a s ex p lic a c io n es .

Fin a lm en te s e rea liz a ra n a d ic io n es q u e lo s es tu d ia n -tes s egu ra m en te es ta n en c a p a c id a d d e res o lv er. c o m ola s s igu ien tes :

.2_12223 1

+ 5 7 3

926

_1_1_3 2813 2

+ 273

733

D e es ta m a n era lo s n ii"lo s v a n a d q u irien d o la h a b ilid a dp a ra rea liz a r c u a lq u ier a d ic i6 n d e d o s y tres s u m a n d o s .c u y o res u lta d o s ea m en o r q u e1000.


Se p u ed e in ic ia r es ta a c tiv id a d . c o n a lgu n a s s u s tra c c io -n es q u e lo s n ii"lo s p u ed a n rea liz a r. c o m o s o n a q u ella s enla s c u a les n o s ea n ec es a rio "p res ta r" y en la s c u a les las u s tra c c i6 n p u ed e h a ~ers e s in d ific u lta d .

Se p u ed e m en c io n a r a lgu n a s s itu a c io n es c o n c reta sp a ra p la n tea r s u s tra c c io n es c o m o :8-5 = 3 . 9-6 = 3

8:':':'2 '::'6

E n s u s tra c c io n es c o m o : 8 - 9= ? 3 - 9= ? 2 - 6 = ?\05 n in o s d ira n q u e n o s e p u ed en rea liz a r p o rq u ed e 8 n os e p u ed e res ta r 9 . d e 3 n o s e p u ed e res ta r 9 . y d e 2ta m p o c b s e,p u ed e res ta r 6 .

Ta m b ien s eh a ra n s u s fra c c io 'n es c u y o res u lta d o s eac ero . E jem p lo :9 - 9= O . 7 - 7= O . 5 - 5= O .

Pa ra term in a r el rep a s o s e h a n Sn o tra s s u s tra c c io n esq u e s e p u ed en res o lv er a p lic a n d o a lgu n o s d e.lo s c a s o sa n terio res . c o m o :

28-5

98-48

D es p u es s e h a ra n ejerc ic io s en lo s c u a les h a y an ec es id a d d e "p res ta r". Prim ero s e h a lla ra la d iferen c ia

--.-en tre u n n u m ero c u y a rep res en ta c i6 n tien e d o s c ifra s yu n n u m ero c u y a rep res en ta c i6 n tien eUll c itra ...E jem p lo :28 --9.

Lo s n ii"lo s c o lo c a ra 'n el .m in u en d o d eb a jo d el s u s -tra en d o d e ta l m a n era q u ela s u n id a d es d el m in u en d oq u ed en en c o lu m n a c o n la s u n id a d es d el 5 u s tra en d o .

-~ ..•. 'Ta m b ien es c rib ira n el s ign a (-) a n tes d els u s tra en do :

28:=Jt19

Co m en z a n d o p o r la c o lu m n a d e la s u n id a d es . d ire-m o s : d e 8 n o s e p u ed e res ta r 9 . en to n c es p a s a m o s a lac o lu m n a d e la s d ec en a s y "p res ta m o s " 1 d ec en a . q u eeq u iv a le a 10 u n id a d es . E s ta s 10 u n id a d es s u m a d a s c o n8 u n id a d es d a n 18 u n id a d es; a s C y a s e p u ed e res ta r18 - 9 = 9 . es e 9 s e es c rib e d eb a jo d e la lin ea en lac o lu m n a d e la s u n id a d es . Pa ra la c o lu m n a d e la sd ec en a s d ec im o s : 2 - 1 q u e p res ta m o s . es igu a l a 1; es e1 s e es c rib e d eb a jo d e la lin ea in ferio r en la c o lu m n a d ela s d ec en a s . A s i o b ten em o s el res u lta d o 19 .

75=.L

82-8

35= 1 -

U n s egu n d o tip o d e es to s ejerc ic io s . p res en ta la ss u s tr.J.c c iQ !1.e.sen tre n u m ero s c u y a rep res en ta c i6 n tien ed o s c ifra s . c o m o :

86-28

58 _

E I m a es tro p u ed e p ro p o n er ejerc ic io s s im ila res p a raq u e lo s n il'lo s a d q u iera n la h a b ilid a d n ec es a ria p a raefeetu a r es te tip o d e s u s tra c c io n es . _ .

E s im p o rta n te h a c er u n a s u s tra c c i6 n en la q u e la c ifrad e la s u n id a d es d el m in u en d o s ea c ero . E jem p lo :

90.-16

74o 'tro tip o d e es ta s s u s tra c c io n es10 c o n s titu y en

-a q u ella s d o n d e el m in u en d o es u n n u m ero d e tres c ifra sy el s u s tra en d o d e d o s c ifra s . c o m o :

18 7-19

168

£ Lm a es tro p u ed e p ro p o n er s u s tra c c io n es c o m o la ss igu ien tes :

18 0-35

10 2-81 _

130- 75

E n la s u s tra c c i6 n130 - 7 & 1en em o s q u e "p r~s ta r" d elas decenas-y de las centenas, por t8n10,8s im porta~n-te-~q u e io s n in o s rea lic en u n a n a lis is c o m o el s igu ien te:

130-75

55D e c ero n o p o d em o s res ta r5. p a s a m o s a la s _d ec en a s y

"p res ta m o s "1. q u e v a le10 u n id a d es : 10 -5 = 5.

Co lo c a m o s el5 en el s itio c o rres p o n d ien te. A I tra b a ja r.c o n la s d ec en a s d ec im o s : 3 m en o s 1 q u e "p res ta m o s "

- d a 2. A h o ra 2 m en o s 7 n o s e p u ed e efeetu a r. en to n c esp a s a m o s a la c o lu m n a d e la s c en ten a s y p ed im o s"p res ta d o " 1 q u e v a le 10 d ec en a s : es ta s10 d ec en a sm a s 2 d ec en a s d a n 12 d ec en a s . A h o ra s lres ta m o s enla · c o Ju m n a d e la s d ec en a s : ·12 - 7= 5.

E n la c o lu m n a d e la s c en ten a s d ec im o s 1 m en 0 5 1 Q u e"p res ta " es igu a l aO. .

E n ta l c a s o el res u lta d o s eria 0 5 5 , p ero es u s u a l n oes c rib ir el 0 y el res u lta d o es 5 5 .

·E s m u y c o n v en ien te q u e lo s n in o s h a ga n s u fic ien -tes s u s tra c c io n es en la s q u e en tre la s c ifra s d el m i-n u en d o es te el c ero en la s u n id a d es ,0 en la s d ec en a s ,o . en la s u n id a d esy en la s d ec en a s .

U n a d e es ta s s u s tra c c io n es p u ed e s er:

10 2-81

21

E n la c o lu m n a d e la s u n id a d es d ec im o s : 2m en o s 1 esigu a l a ,. 5 e c o lc ea ell en el s itio q u e Ie c o rres p o n d e. E nla c o lu m n a d e la s d ec en a s d ec im o s : d e 0 n o s e p u ed eres ta r 8 , en to n c es p a s a m o s a la c en ten a s y "p res ta m o s "1 q u e v a le 10 d ec en a s . A h o ra s i efec tu a m o s las u s tra c c i6 n en la s d ec en a s ,a s i:l 0 - 8= 2, s e c o lo c a el2en \a c o lu m n a d e la s d ec en a s . E n la c o lu m n a d e la sc en ten a s h a y " es e 1-1 q u e h a b ia m o s "p res ta d o " esigu a l aO. 5 i s e q u iere, s e c o lo c a el 0 d eb a jo d e la lin ea ,en la c o lu m n a d e la s c en ten a s , y s i n o , n o es n ec es a -rio . E I res u lta d o es 0 210 21.

O tro d e lo s ejer~ic io s q u e s e p u ed en rea liz a r en es tec a s o s o n :

2.0 1-175

330 '-- ,- 407-178 -82

tien e c ero s en la s u n id a d esy en la s d ec en a s . U n ejem p loes:

800-132

6 6 8

E n la c o lu m n a d e la s u n id a d es en c o n tra m o s q u e d ec ero n o s e p u ed e res ta r 2. E s n ec es a rio q u e d e la sd ec en a s "p res tem o s " 1; en es te c a s o la c ifra d e la sd ec en a s es 0y n o p o d em o s"p res ta r" d e ella . Ten em o sq u e s a c a r "p res ta d o " 1 a la s c en ten a s , el c u a l v a le 10d ec en a s . D e es a s 10 d ec en a s "p res ta m o s " " q u e v a le10 u n id a d es . A h o ra s e p u ed e efec tu a r 10 - 2= 8 .

Pa s a m o s a la c o lu m n a d e la s d ec en a s q u e, p o r lo s"p res ta m o s " ex p lic a d o s , v a le 9; a q u i la o p era c i6 n q u ed eb erea liz a rs e es9-3 = 6 . Pa s a m o s a la c o lu m n a d e la sc en ten a s y rec o rd a m o s q u e d el 8 h a b ia m o s"p res ta d o "1 y q u e p o r c o n s igu ien te a h r, a h o ra , s 6 10 ten em o s7. E s e7 m en o s 1 d e la s c en ten a s , d el s u s tra en d o , d a 6; a s!o b ten em o s el res u lta d o 6 6 8 .

Se d eb e ten er m u c h o c u id a d o c o n s u s tra c c io n esc o m o es ta s , y a q u e lo s "p res ta m o s " s u c es iv o s d ec en ten a s a d ec en a sy d e d ec en a s a u n id a d es , p u ed enp res en ta r a lgu n a d ific u lta d a lo s n ii'\o s .

Co m o s e-o b s erv a , s e h a id o a u m en ta n d o el gra d e d ed ific u lta d en la s s u s tra c c io n es; s e es p era q u e en es to sejerc ic io s y c o n o tro s q u e el m a es tro p ro p o n ga , el n irloefec tu e c o rrec ta m en te s u s tra c c io n es d o n d e elm i--n u en d o s ea m en o r q u e 10 0 0 . E n c u rs o s p o s terio res ,s e gen era liz a ra es te a lgo ritm o p a ra lo gra r q u e' el n in oefec tu e c u a lq u ier s u s tra c c i6 n .

Actividade. y .ugerencia. m etodol6gicas

Pa ra in ic ia r es ta a etiv id a d el m a es tro h a ril u n rep a s o d elo s '-p ro b lem a s q u e req u iera n el em p leo d e u n a d e la ss igu ien tes o p era c io n es p a ra res o lv ttrlo s :- a d ic i6 n , -s u s tra c c i6 n .-a d ic i6 n y s u s tra c c i6 n y m u ltip lic a c i6 n . Pa raes to es c rib irs en el ta b lero -c u a tro p ro b lem a s c o n c a d a

.", _, u n o d e lo s c a s o s p a ra q u e105 n ii'\o s lo s res u elv a n_~_~ ~in d iYid u a lm en te.

_~-:.,,;~ .. -~ ':eTm a es tro d eb e v erific a r s i lo s n it\o s h a n res u elto-~o rreeta m en te lo s p ro b lem a s; p a ra es to h a ril p a s a r a l

ta b lero c u a tro · n it\o s p a ra q u e c a d a u n o res u elv a u np ro b lem a . Lo s d em ils n il'\o s c o m p a ra rs n s u s res u lta d o sc o n lo s d el ta b lero .

D es p u 6 s , el m a es tro es c rib irs en el ta b lero a lgu n o sp ro b lem a s , q u e p a ra s er res u elto s , req u iera n el em p leod e la a d ic i6 n , d e la s u s tra c c i6 n y d e la m u ltip lic a c i6 n ,c o m o els igu ien te:

"Ju a n ita v a a la tien d a y h a c e la s s igu ien tes c o m p ra s :3 c u a d erO O $ d e$ 15 c a d a u n o , 2 Is p ic es d e$ 4 c a d s u n oy 4 b o rra d o res d e$ 6 c a d a u n o . U ev a$ 10 0 p a ra p a ga r.lCu iln ta p la ta Ie q U ed a 7 " r •

O tro c a s o d e la s s u s tra c c io n es c o n c ero s en elm in u en d o . s o n a Q u ella s d o n d e ef n u m ero d el m in u en d o

Ca d a n it\o res o lv era u n p ro b lem a en s u c u a d ern o .Lu ego p a s a riln a l ta b lero tres n it\o s , q u e res o lv eriln elp ro b lem a a l m is m o tiem p o , c a d a u n o , en u n a d e la s tresregio n es en q u e s eh a d iv id id o p rev ia m en te el ta b lerop a r m ed itTd e ra y a s v ertic a les .

Cu a n d o es to s n it'lo s h a y a n res u elto el p ro b lem a . elm a es tro y lo s n it\o s a n a liz a rs n y d is c u tiriln lo s p ro c ed i-m ien to s u tiliz a d o s y s elec c io n a riln el c o rrec to0 lo sc :o rreeto s , en el c a s o d e Q u e s e h a y a en c o h tra d o m ils d eu i'\s fo rm a d e lIa ger a l res u lta d o . ..,-

5 i n in gu n o d e es to s n it'lo s 10 h iz o c o rreeta m en te, elm a es tro d a ra la s ex p lic a c io n es q u e c rea c o n v en ien tes yp a s a ra a l ta b lero a o tro s tres n it'lo s p a ra q u e res \Jelv a n elp ro b lem a d e a c u erd o a la s in d ic a c io n es d a d a s p er 8 1.Nu ev a m en teS8 a n a liz a ra la fo rm a c o m o c a d a n it\ores o lv i6 el p ro b lem a .

Se p u ed en d a r en tre o tra s la s s igu ien tes ex p lic a c io -n es :"

Pa ra s a b er c u s n to d in ero Ie q u ed 6 a Ju a n ito , ten em o sq u e a v erigu a r c u 6 n to ga s t6 en \a s c o m p ra s q u e h iz o .Pa ra 8 Sto s e h a lla rs p rim ero el p rec io d e lo s tres

85

c u a d ern o s , el p rec io d e 10 5d o s la p ic esy el p rec io d e lo sc u a tro b o rra d o res , efec tu a n d o en c a d a c a s o u n am u ltip lic a c i6 n , a s l:

Prec io d e c u a d ern o s :15 x 3 = 45

Prec io d e lo s la p ic es : 4 x 2= 8Prec io d e lo s b o rra d o res : 6 x 4= 24

Po d em o s h a lla r el'd in ero q u e ga s t6 Ju a n ito en la sc o m p ra s efec tu a n d o u n a a d ic i6 n , a s!:

A ju a n ito Ie q u ed a n 10 0 -""= 23 p es o s .

Po s terio rm en te lo s n iflo s . o rga n iz a d o s en gru p o sfo rm u la ra n p ro b lem a s ten ien d o c o m o m o d elo lo sp ro p u es ta s p o r el m a es tro . Lu ego lo s in terc a m b ia ra ny lo s d es a rro lla ra n

458

+ .11.77

'Obj;;j~~.~;;co..'.~~:'.~~-~}~~~J~_:,\,._:"R ec o n O c ed a ' d iv is i6 n c o m o '--\m ll-o p era c i6c o rres p o n d ien te a a c tiy id a d es d ~ rep a rtic i6 f\.

'.R ~c O ilo Cerl~ d iv i~~n '~~:~~; "$ ~~r~~j6 'rep etid a .L"~' :" _.~" " w , - " , ; ; . ; e ; .~ ' - ; :

' : ' , .> ~ ; ~ : '~ Z ? ~ I : . ~ ¥ '~ Y , " F g ~ S , : , ~ . · , ~ : ; j ' : : > · , ~ ~ ; ; ' ·· ',~-~t~'~0 t~0 ,·~~:(j':t,::.;"

A c tiv id ed e. y s u geren c i •• m eto d o l6 gic a . D es p u es les p la n tea ra el s igu ien te ejem p lo . Q u e

- Pa ra in ic ia r el es tu d io d e la d iv is i6 n , el m a es tro p u ed e m u es tra o tro tip o d e rep a rtic i6 n p a ra Q u e 10 res u elv a nem p lea n d o a lgu n m a teria l c o n c reto .

p la n tea r 'a105 n i/'lo s a lgu n a s s itu a c io n es p a ra q u e en treto d o s la s res u elv a n . "Se tien en Q u e rep a rtir 12 la p ic es en tre u n o s n i/'lo s .

. . . .' lPa ra c u a n to s n i/'lo s a lc a n z a ra n , s i s e Q u iere d a r a c ad aU n a d e es ta s s ltu a c lo n es p o d rla s er. Se t~n en -q u e--~/'I"5 '4 Ia ~- ~i7 "- ----- ------,. , --_ ..

rep a rtir 1218 p ic es en tre 4 n iflo s . lCu a n to s la p ic es Ie,A I 0 p lc es . -c o rres p o n d e a c a d a n i/'lo ? Nu ev a m en te d is c u tira n la fo rm a d e h a c er la rep a rti-

To m a ra n105 12 la p ic es y tra ta ra n d e res o lv er el c i6 n; p ro ~a b lem en te c ~n c lu v a n q u e-Io m ejo r es ir d a n d op ro b lem a . O b s erv a ra n Q u e s e tien e Q u e h a c er u n a a c ~d!a n l/'lo ~ a 4 la .P!?8 ~h a s ta .Q ~e s e a c a b en Io s 12rep a rtic i6 n . E n tre ta d o s d is c u tira n la m a n era c o m o s e v a la J.>lc es ,c a lg~n _p r~IR \I~,:,!g-~lm lla r.-- ..,'

a h a c er'd ic h a rep a rtic i6 ny c o n c lu ira n , Q u e es ta p u ed e A I en trega r lo s p rim ero s c u a tro la p ic es a l p rim er n i/'loh a c ers e p o l' ro n d a s , d a n d o a c a d a n it\o u n la p iz en c a d a q u a d an : 12 - 4 = 8 la p ic es

v u e Ita ,.0 p o r o tro p ro c ed im ien to p a rec id o . A I eo trega r o tro s 4 1a p ic es a o tro n it\o Q u a d a n :8 - 4=A I d a r u n la p iz a c a d a u n o d e 10 5 c u a tro n it\o s a n la 4 'la p iC"es~ ~," , .. " : ~ Z ; ; I : : .

p rim era ro n d a , o b s erv a ra n q u e Q u a d a n 8 la p ic es 12 ~ 4 , -'.. . .•.. .= 8 la p ic es . Lu a go s e h a r' o tra ro n d a d a n d o a c a d a u n o E s to s 4 16 p,c a s s e a n ~!g~~~n 8 u n ~Itlm o! " t \ o , y a s l s ed e lo s c u a tro n i/'lo s o tro 16 p iz;a s f, y a tien en d o s la p ic es . h a b ra n a c a b a d o lo s I8 p lc e~.,;~-:- 4 ,- 0 la p ,c es .

A h ?ra - Q u ed s n 8 - 4= 4 la p ic es , p a ra o t~8 ro n d a ; d e a O b s erv a ra n q u elo s '2'16 p ic es a lc a n z a ro n p a ra 3la p lz p o r c a b ez a .A s f Q u a d a n 4 - 4= 0 la p lc es . Co m o y a n i/'lo s , d a n d o a c a d a u n o 4 la p ic es . Co n c luira n Q u e:s e h a .". a c a b a d o I~s I~p ic es ,S! h a term in a d o la "rep a rtir 12'la p ic es , d e .~. {Ia p ic es ) p o r nit\o , d a 3rep a rtlc l6 ny c a d a n lt\o tlen e 3 la p lc es . n it\o s ":. ".

12-- 4 = 8

8 -4 = ,4

4 -4 =0

p rim ers ro n d a

5 eglln d a ro n d a

la m b i6 n s a fu e res ta o o o s u c es iv a m en ta 4 d e 12,h a s ta q u e a l res u lta d o d e 113 '~Itim a s u s tra c c i6 n fu e c ero .E s d a c ir, q U L en to ta l 4 s a q u it6 3 v ec es d a 12.ex p res a r6 !'l.es to d ic ie ' ..:.::en12, el4 es ta 3 v ec es ",

,0 ta m b i,r(~n 12.eO ' v ec es ".",-.. , . """".'f$ ,,~"'" ~'-'

~D es p ~ii]o s .n i' .:1lf8 .tto Jo s d o s tip o s d ep ro b lem a s y la fo rm a c o m o s e h iz o la rep a rtic i6 n en c a d au n o . Lo s o rien ta ra p a ra q u e c a iga n en la c u en ta d e Q u ea n el p rim er c a s o ' s e rep a rtiero n 12 'l8 p ic es en tre 4 'n it\o s , y a l res u lta d o Ju ero n ,3 Ja p ic es p o rn it\o; en el

"s egu n d o c a s o s e rep a rtiero n lo s 12 la p ic es , d a • 4la p ic es p o r n irio , y eJ res u lta d o fu ero n 3 n in o s . Larep a rtic i6 n ~e h iz o en fo rm a d iferen te en c a d a c a s oy elres u lta d o en u n c a s o fu ero n ..!.'3 la p ic es " y en el o tro "3nit\Os··. - -'

Lo s n it\o s o b s erv a ra n .q u e lo s 12 la p ic a s s e rep a rtie-ro n en 3 ro n d a s , d a n d o c a d a v a z u n I8 p iz a c a d a u n o d elo s 4 n it\o s; es d ec ir, q u e a c a d a n it\o Ie c o rres p o n d iero n3 la p ic es . D e es to s a p u ed e c o n c lu ir Q u a"rep a rtir 12la p ic es en tre 4 n iI'Io s ,d a 3 la p ic es . Sa fu e res ta n d o 4 d e12 h a s ta Q u ael res u lta d o d e la u ltim a s u s tra c c i6 n fu ec ero; es d ec ir, s e h ic iero n tres s u s tra c c io n es s u c es iv a sa n la s Q u e a l s u s tra en d o q u e s e rep iti6 fu e 4 .

E n d efin itiv a , 4 s e Q u it6 3 v ec es d e 12.

E x p res a ra n es to d ic ien d o Q u e:"12 en tre 4 d a 3 '~•.0

ta m b ien , "en 12, 'el 4 c a b a 3 v ec es ".

86

A p es a r d e Q u e la s d o s s itu a c io n es s o n d is tin ta s y d eq u e Ie rep a rtic .j6 n M h iz o ~fo rm a d iferen te, en a m b o sc a s a s s a lIeg6 a .q u ~: ....:.'

"12 en tre4 d a 3 ""12 rep a rtid o en tre 4 , d a 3 ""E n 12, el 4 c a b e 3 v ec es ", etc .

Les d ira Q u e to d a s es ta s ex p res io n es s e p u ed ens in tetiz a r d ic ien d o Q u e:

"12 d iv id id o p o r 4 es igu a l a 3 " YQ u e:e p u ed e s im b o liz a r12 +4 = 3

"D iv id id o p o r", s ign ific a p u es , a v ec es , "d iv id id oen tre" 0 "d iv id id o d e a ...•..

No h a y p o r Q u eex igir Q u es e d iga s iem p re "en tre", n iex c lu ir el "p o r".

Les d ira q u e es ta n u ev a o p era c io n , s e lla m a "d iv is io n "y Q u es e u tiliz a p a ra a c tiv id a d es d e rep a rtic i6 n , en v ez d erea liz a r ta n ta s res ta s s u c es iv a s .

H a ra n o tro s ejerc ic io s q u e req u iera n d e lo s d o s tip o sd e rep a rtic io n es .

E jem p lo s d el p rim er tip o :

- H a y 5 0 p es o s p a ra rep a rtir en tre 10 n in o s . Si to d o sd eb en rec ib ir igu a l c a n tid a d d e d in ero , ic u a n to rec ib ec a d a u n o ?

- Se tien en 3 6 p es o s p a ra c o m p ra r 4 p a s a jes d e b u s ,i d e Q u e p rec io s e p u ed en c o m p ra r p a s a jes ?

E jem p lo s d el s egu n d o tip o :

- R a fa el tien e 4 5 n a ra n ja s . Si en trega 5 n a ra n ja s ac a d a n in o ,"ip a ra c u a n to s n in o s a lc a n z a ra n la s n a ra n ja s ?

- E lv ira tien e 4 0 p es o s p a ra c o m p ra r d ia ria m en te 10p es o s d e p a n , ip a ra c u a n to s d ia s Ie a lc a n z a el d in ero ?

A c tiv id a d es Y s u geren c ia s m eto d o l6 gic a s

Pa ra es ta a c tiv id a d s e p u ed e p a rtir d e u n p ro b lem a Q u ep u ed e s er u n o d e la a c tiv id a d a n terio r0 u n o c o m o els igu ien te: _

"iCu a n to s gru p o s d e 6 n in o s s e p u ed en fo r m a r c o nlo s 4 2 n in o s q u e h a y en la c la s e?".

R es o lv era n el p ro b lem a em p lea n d o c u a lq u ier m eto d o .Segu ra m en te h a ra n la s res ta s s u c es iv a s , la rep a rtic io no d irec ta m en te la d iv is i6 n . Sin em b a rgo . el m a es tro lesm o s tra ra o tra fo rm a d e res o lv er el p ro b lem a :

Se a d ic io n a rep etid a m en te. el n u m ero 6 h a s tac o m p leta r 4 2; 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 4 2.

A s i. lIega ra n a c o n c lu ir q u e s e p u ed en fo rm a r 7gru p o s d e 6 n in o s ; es d ec ir, 7 v ec es 6 es igu a l a42,07 x 6 =-4 2. ..

E lm a es tro ~ o rien ta ra p a ra Q u ec a iga n enIS c u en tad e q u e el p ro b lem a c o n s i~ia en -h a lla n ::m rn ta s v ~c es esn ec es a rio to m a r el 6 p a ra o b ten er 4 2:0 x 6= 4 2. y d eq u e c o n o c ien d o el res u lta d o d e la m u ltip lic a c i6 n y u n od e lo s fa c to res .lo q u e h a y q u e h a lla r es el o tro fa c to r. Lesex p lic a ra Q u ea h o ra es ta n h a c ien d o la o p era c io n in v ers ad e la m u ltip lic a c i6 n , p o rq u e s e p a rte d el res u lta d o y d eu n o d e lo s fa c to res p a ra o b ten er el o tro fa c to r. E s tao p era c io n in v ers a es la d iv is i6 n : 4 2 -:- 6= 7

A s r c o n c lu ira n Q u e d iv id ir es eq u iv a len tea h a lla r u nfa c to r d es c o n o c id o .

. Les d ira q u e es ta d iv is i6 n ta m b ien s e p u ed e s im b o liz a rd e la s igu ien te m a n era y q u e c a d a u n o d e lo s term in o srec ib e u n n o m b re, a s i:

.. ,/2~ ~ : -. _d iViS=~_:.•~.4~.l~:-...._...d _~~i~~~./ . c O Cien te--7-··-...+ -c o c len te

d iv id en d o .d i~id elid o .

D es p u es efec tu a ra n a lgu n a s d iv is io n es ex a c ta s .c o m o es ta s : .

5 4 .~· 2719 •.... 1~K f!-7 2~Cu a n d o h a y a n h ec h o u n n u m ero s u fic ien te d e es ta s

d iv is io n es . s e p u ed en h a c er a lgu n a s d iv is io n es c o nres id u o . p ero a n tes es c o n v en ie.n te rea liz a r a lgu n o sejerc ic io s d e rep a rtic io n .

-Po d ra rl rep a rH r a h o ra 1J.Ja p ic es en tre 4 n jf\o s ,d es p u es 14 la p ic es en tre lo s 4 n il'io s y lu ego 15 la p ic es 'en tre lo s 4 n in o s . O b s erv a ra n Q u een to d o s lo s c a s o s a ih a c er la rep a rtic .i6 n s " u n o s la p ic es Q u en l~a lc a n z a ro n p a r~:O tra r.o n ." '.

.,:T ;scJifi~~~·f~~!~;;;t;m ero'~~}APiC~S.Q ues o b ra ro n ,s e Ie lla m a res id u o;' ...". .'

Lo s n in o s !la ra n u n a lis ta d eto d o s lo s res id u o s Q u eh a n en c o n tra d o a s i: -- .

Si s e rep a rten 12 la p ic es -e-n tre4 n ln o s . el res id u o es Ola p ic es . .,

~i s e rep a rten /13 la p ic es en tre4 n in o s ,et re~id u o es 1la p lz . --. ..~ "

Si s e..rep a rten 14 la p ites en tre 4 n in o s , el res id u o es 2la p ic es .

Si s erep a rte,:\1 5 la p ic es en tre4 .n il'io s . el res id u o es 3la p ic eS.··· --_._~._-----_._, .

E :n s egu id a . el m a es tro les p u ed e p ed ir Q u e rep a rta n16 la p ic es en tre 4 n in o s . '

E s p o s ib le q u e a lgu n o s n in o s n o c a iga n en la c u en ta ,d e q u e a c a d a n in o Iec o rres p o n d en 4 la p ic es Vn o s o b ra nla p ic es , s in o Q u ed iga n Q u ea c a d a n in o Ie c o rres p o n d en3 la p ic es y s o b ra n 4 la p ic es . .

To d a s es ta s res p u es ta s s e p u ed en a p ro v ec h a r p a raex p lic a r a lgu n o s c riterio s im p o rta n tes en el es tu d io d e lad iv is io n c o n res id u o ,

A I efec tu a r la s d iv is io n es s e tien e:

12K --13 ~ 14 ~

-12 3 -12 3 -12 3--0 -1 1 2

t t tres id u o res id u o res id u o '

Po s terio r m en te. h a ra n d iv is io n es en la s q u e h a v ares id u o s in rec u rrir a la s rep a rtic io n es s in o es tim a n d o elc o c ien te, m ed ia n te el u s o d e la s ta b la s d e m u ltip lic a r.

E jem p lo :

5 7 I 8

-!)6~1 '

A I b u s c a r u n n u m ero Q u em u ltip lic a d o p o r 8 d e 5 7 , n o10 v a n en c o n tra r. Se d eb e b u s c a r u n n u m ero q u em u ltip lic a d o p o r 8 d e c o m o res u lta d o u n n u m ero m en o rQ u e5 7 . E s te n u m ero es 7 y en es te c a s o el res id u o es 1.E s te p a s o ta m b ien s e s u ele in d ic a r d ic ien d o :"d eterm i-n a r c u a n ta s v ec es c a b e 8 en 5 7 "'-

E I a lu m n o h a ra u n n u m ero s u fic ien te d e es to sejerc ic io s h a s ta q u e p u ed a c a lc u la r c o n fa c ilid a d V c o nra p id ez d ic h o s c o c ien tes . -

D es p u es el m a es tro les p la n tea ra a lgu n o s p ro b lem a s16 li--- Q u e req u iera n d e la d iv is io n c o m o lo s s igu ien tes :

-1; 14 . _ "H a y 4 7 n a ra n ja s p a ra rep a rtir en tre 9 n in o s ,lCu a n ta s n a ra n ja s Ie c o rres p o n d e a c a d a n in o ?".

j - "M a rga rita v a a la tien d a c o n5 U Sa m iga s . !lev ares id u o $ 4 5 . c o m p ra c o lo m b in a s d e$ 5 p a ra c a d a u n a .lPa ra

c u a n ta s c o lo m b in a s Ie a lc a n z a el d in ero ?".A I em p lea r es ta d is p o s ic i6 n d e lo s d a to s . es n ec es a rio .

ex p lic a r a lo s n in o s . c o m o s e d is p o n en . c o m o s e o o tie-n e----Cu a n d o n a y a n res u efto -u n n u m ero s u fic ien te d ees io s12. p o r q u e s e es c rib e - 12 Y lo s d em a s d eta lles q u e p ro b lem a s .lo s a lu m n o s fo rm u la ra n o tro s p ro b lem a sn ec es iten105 n in o s . E n es ta fo rm a el n in o v a d es c u - Q u e s e res u elv a n em p lean d o la d iv is i6 n;'flm a es tro lo sb rien d o q u 'e el res id u o es u n n u m ero m en o r q u e elo rien ta ra p ara q u e v erifiq u en s i lo s a a to s d el p ro b lem ad iv is o r. .fo rm u la d o s o n s u fic i~':lt~s _p ~~s o lv er!~: __ .._

15 14 .

-121-3---r-

,i----, .res id u o

A c tiv id a d esV s u geren c ia s m eto d o l6 gic a s

A n tes d e rea liz a r es ta a c tiv id a d , es c o n v en ien te leer enla s rec o m en d a c io n es gen era les . q u e figu ra n a l p rin c ip iod el p ro gra m a . lo s c o n ten id o s b a s ic o s rela c io n a d o s c a nel tem a q u e s e v a a es tu d ia r. A lii en c o n fra ra . el m a es tro ,a lgu n a a ' a c la ra c io n es s o b Te la s rela c io n es " •..·esm U ltip lo d e...•• y ~. es d iv is o r d e .

Pa ra p rec is a r el c o n ju n to d e lo S n u m ero s c o n el'Cl/a l 's e tra b a ja ra . el m a es tro d ira ''a ·Io s n in o s q u e es te es tac o n s titu id o p o r lo s n u m ero s d es d e el1 h a s ta el 10 0 .

U n m a teria l u til p a ra el lo gro d e es to s d o s o b jetiv o s ,s o n la s ta b la s d e m u ltip lic a r; q u e lo s a lu m n o sv aela b o ra ro n .

5 x 1 = 5 9 x 1, = 95 x 2 = 10 9 x 2 = 185 x 3 = 15 9 x 3 = 27

5 x 9 = 4 5 9 ic 9 = 8 1 - ---=--'.~-_._._.,.

5 x 10 = 5 0 9 x 10 = 9 0

E I m a es tro I}a ra q u elo s n ii'\o s fije;, s u a ten c i6 n en lo selem en to s -d e la u ltim a c o lu m n a d e la s ta b la sy q u etra ten d e ex p lic a r c 6 m o s e fo rm a n es o s n U m ero s . Sev era -q u e p a ra o b ten erlo s - s em u ltip lic 6 , en el p rim erc a s o , el 5 p o r lo s n u m ero s 1. 2. 3 ... 10 v en el s egu n d o s em u ltip lic 6 el9 p o r lo s m i~m o sJl • o s .

", '.-' ,,' _,"-.:{~:Sc i'-;% ::}.~,~,.~~c .,,:,,~~.,:",E n :s eg~!c !a -<-S!1$ ed e' lis ta d e lo s ' -';n u m ero s d ela u ltiiD a ,c o lu jis ta .s e c o m p te-,ta ra ten ien d o 'E m c u en ta ,q u e"/O s 'flu m ero s q u e en ellafigu ren d eb en "v iv ir" en el referen eia l q u e s e fij6 . Pa rac o m p leta r d ic h a Iis ta es n ec es a rio m u ltip liea r eln u m ero , l:u v a ta b la s e to m e,p o r~lL'l2. •.. etc .• h a s tao b ten er u n p ro d u eto igu a la 10 0 ,0 el in m ed ia to m en o rq u e 10 0 . E I m a es tro , d ira a lo s a lu m n o s q u e lo s

~~~~~Ciij~.a s ~ o b terid ~S s o :m U It.i~IO S d el fa c to r q u e

Se a c o s tu m b ra s im b o liz a r el c o n ju n to d e lo s m u ltip lo s~e ..u n n u m ero u t~J!!1~P u n a .~!:.~u id a d el n u m eroc o rres p o n d ien te., "

Pa ra105 ejem p lo s s e ten d ra :

M 5= {5 . 10 . 15 . 20 . 25 . 3 0 . 3 5 . 4 0 . 4 5 . 5 0 . 5 5 . 6 0 . 6 5 .7 0 . 7 5 . 8 0 . 8 5 .9 0 . 9 5 . lO O }

M 9= [9 .18 .27 .3 6 .4 5 .5 4 .6 3 .7 2.8 1.9 0 . 9 9 }

Si a lgu n n in o n o a c ep ta q u e 5 s ea m u ltip lo d e 5 .0 q u e9 s ea m u ltip lo d e 9 . el m a es tro a p ro v ec h a ra la o c a s io np a ra ex p lic a rles q u e. s i d e la s Iis ta s s e s u p rim e et 5 y el9 .lo s n u m ero s q u e q u ed a n s o n lo s m u ltip lo s m a y o res q u eel n u m ero y q u e a es to s s e les lla m a m u ltip lo s es tric to s .M ien tra s q u e s i s e d eja n la s lis ta s ta l y c o m o es ta n . s etien en lo s m u ltip lo s en s en tid o a m p lio . Pero s e p u ed elJega r a u n c o n v en io y h a b la r d e m u ltip lo s en u n o d e lo sd o s s en tid o s : a q u el q u e lo s n in o s a d o p ten .

Ca d a u n a d e la s lis ta s d e10 5 m u ltip lo s s e p u ed ea u m en ta r h a s ta d o n d e s e q u iera . a m p lia n d o el referen -c ia l. E s c o n v en ien te q u e es to s e h a ga p a ra q u e a lo sn in o s n o les q u ed e la im p res i6 n d e q u e105 m u ltip lo ss o la m en te p u ed en h a lla rs e h a s ta el n u m ero 10 0 .

O tro ejerc ic io p u ed e c o n s is tir en d a r u n c o n ju n to d en u m ero s y q u e c a d a n u m ero d e es e c o n ju n to "s en a le".c o n u n a flec h a . a a q u E W o s q u e s o n s u s m u ltip les;c o n v ien e q u e es to s .m u ltip lo s figu ren en la s ta b la s .·

E jem p lo :

La s ta b la s ta m b ien s e u tiliz a ra n p a ra q u e105 n ii\o sv ea n q u e s i en la c o lu m n a d el 5 figu ra la fila 5 x 2= 10 . enla d el 2; figu ra a s u v ez . la fila 2 x 5= 10 . E s d ec ir. 10 . esm u ltip lo ta n to d e 5 c o m o d e 2. D es p u es d e v a ria so b s erv a c io n es d e es te tip o . s e es p era q u e lo s n in o s n oten ga n q u e m ira r la s ta b la s d e lo s d o s fa c to res p a raa s egu ra r q u e el p ro d u c to es m u ltip lo d e ello s .

Pa ra a fin a n z a r el c o n c ep to d e m u ltip lo . el m a es tro-p u ed e d ec ir u n n u m ero m a y o r q u e9 y p ed irlea lo s n in o s

q u e d iga n a lgu n o s d e s u s m u ltip lo s . E s to s m u ltip lo s s ees c rib ira n en ef ta b lero y s e ex p res a ra n c o m o elp ro d .u c to d el n u m ero p o r o tro n u m ero n a tu ra l.

La a c tiv id a d ' q u e s igu e·es p a ra id en tific a r y h a lJa rd iv is o res d e u n n u m ero . La s 1a b la s d e m u ltip lic a rp m tr8 iru tiJiz a rs e p a ra ta l efec to . ..

Se to m a n v a ria s fila s d e ta b la s d iferen tes . c o m o :

E I m a es tro p regu n ta ra a lo s n in o s q u e p a s a s i d iv id enel p ro d u c to p o r c a d a u n o d e s u s fa c to res . Se v era q u e a lrea liz a r la d iv is io n . el res id u o es c ero :

.Po r es ta ra z 6 n . s e d ic e q u e lo s fa c to res d e u n n u m eros o n d iv is o res d e es e n u m ero . A s i. 7 y 2 s o n d iv is o res d e.14; 7 y 5 s o n d iv is o res d e 3 5 ;9 y 6 s o n d iv is o res d e 5 4 .

Pa ra h a lla r to d o s lo s d iv is o res d e u n n u m ero . p o rejem p lo d ell 2. s e b u s c a n en la s ta b la s la s fila s d o n d e et12 figu re c o m o p ro d u c to :

Si p a ra lo s n in o s res u lta ex tra n o q u e u n n u m ero s ead iv is o r d e s i m is m o . el m a es tro les h a ra u n a a c la ra c i6 ns em eja n te a la q u e les h iz o c u a n d o s ~ h a lla ro n lo sm u ltip lo s d e u n n u m ero : Si s e ex c lu y e el n u m ero . q u ed ael c o n ju n to d e lo s d iv is o res es trieta m en te m en o res q u eel. '

Si en el c a s o d e lo s m u ltip lo s . s e c o n v in o in c lu ir enes to s a l m is m o n u m ero . en to ric es p a ra la lis ta d e lo sd iv is o res s e lIega ra a l m is m o c o n v en io . .

E s fa c it q u e lo s n in o s c o m p ren d a n q u eu n n u m ero s i'-es c iiv is o rd e"s l m is m o ~B a s ta p regu rita rles s i-f21'j)ic es

p u ed en rep a rtirs e en tre 12 n in o s . ~e a q u i res u lta q u e:

E s im p o rta n te q u e fo s n ii\o s :r~~iQ .n ~!C:J!:c ~n c eJllo s ·-"m u ltip lo y d iv is o ·r. .

U n n u m ero es m u ltip lo d e c a d a u n o d e s u s d iv is o res .

U n n u m ero es d iv is o r.d e~d ~~ri~"~-s Vs ·m u ltip IO S.

Co n v ien e a h o ra to m a r el c o n ju n to P=( 2 .3 0 4 .5 . 6 .9 ) y .h a c er el d ia gra m a d e f1ec h a s . d o n d e:c a d a n u m ero

- "s ei'\a le~ a s u s d iv is io n es :"

Si s e c o m p a ra es te d ia gra m a c o n a q u el d o n d e c a d an u m ero s en a la a s u s m (.tItip lo s ,s e v era q u eel s en tid o d e

la s flec h a s es el in v ers o 'l. ."

U n a fo rm a d e h a lla rgra fic a m en te105d iv is O res d e u nn u m ero d a d o . p o d ria h a c ers e u tiliz a n d o p a p el c u a d ric u -Ja d o . Po r ejem p lo . s i s e d a el n u m ero 24 . s e p ed ira a lo s•n ii'\o s q u e p in ten v en ta n a ~Jec ta .o gu .la re$ .q v eten ga n 24c u a d rito s . Lo s n m o s d ib u ja ra n _~~~!~_a s c o m o :

A c tiv id a d es V s u geren c ia s m eto d o l6 gic a s

E s ta a c tiv id a d s e d es a rro lla ra p referen tem en te en elp a tio .

In ic ia lm en te el m a es tro d ira a 10 5n in o s q u e c a d a u n oc a m in e n a c ia d o n d e q u iera . ten ien d o en c u en ta q u ed eb en s egu ir u n c a m in o rec to y q u e c u a n d o elles d e las en a l d eb en d ev o lv ers e p o r el m is m o c a m in o , Pro c u ra rad a d a s en a l c u a n d o a lgu n n in o h a y a 11l3 ga d oa u n a d e la sp a red es d el p a tio0 a a lgu n s itio d o n d e h a y s u no b s ta c u lo q u e Ie im p id a s egu ir c a m in a n d o .

Cu a n d o to d o s 10 5 n ii'lo s s e h a y a n d ev u elto , c a d a u n o

ex p res a ra 10 q u e a c a b a d e h a c er. D e 10 5 n ii'lo s s a ld ra n E l m a es tro les p regu n ta ra s i h a y c a m in o s q u e s ea lgu n a s ex p res io n es c o m o : p a rec en en a lgo , 0 s i v en q u e h a y c am in o s q u e tien en la

, "Yo m e fu i y m e d ev o lv l p o r el m is m o c a m in o " m is m a d irec c i6 n .'-. .

_ :'To d o s c a m in a m o s p o r c a m in o s d iferen tes en el D es p u es : les p ed ira q u eto m a d o s ·d ela m a n o .c c lm 'in enp a tio ".-- p o r p a reja s en la m is m a d irec c i6 n y q u e'c u a n d o

D es p u es . el m a es tro les d ira q u e c o m o c a d a u n o regres en . c a d ap a reja d ib u je 10 5 c a m in o s Q u e s igu i6 .es c o gi6 u n c a m in o p a ra iry v o lv er, en el p a tio , s e p u ed e d '-d .ec ir q "u ec a d a u n o es c o gi6 c a m in a r en u n a d irec c i6 n y A I ib uja r 10 5 c a m [n o s q u e.lIi.9 t.LieJ'p !".p 9rp a r

o b ten d ra n d ib u jo s c o m o lo s s lg:U le.~s : .-..p regu n ta ra s i to d o s lo s n ii'lo s c a m in a ro n en d is tio ta s _. ... '.' _;:~..:;~d irec c io n es . Se tra ta d e q u e 10 5 -n ii'lo s d es c u b ra R q u ep u ed en s egu ir c a m in o s d iferen tes , p ero c o n a lgo enc o m u n : en q u e tien en la m is m a d irec c i6 n .

E n s egu id a , les p ed ira q u e c a m in en n u ev a m en te en lad irec c i6 n q u e q u iera n , y q u e a l regres a r. c a d a u n o d ib u jeen s u c u a d ern o 10 5c a m in o s q u e s igu iero n . Les ex p lic a raq u e a l h a c er el d ib u jo .el c u a d ern o reem p la z a ra el p a tios o b re el c u a l c a m in a ro n y ella p iz . h a ra el p a p el d el n ifloq u ec a m in 6 . Lo s o rien ta ra p a ra q u e d ib u jen 10 5c a m in o s .em p lea n d o u n a lin ea rec ta c o n u n a f1ec h a en c a d aex trem o , p a ra in d ic a r q u e h u b iera n p o d id o s egu irc a m in a n d o . s i n o h lib iera s id o p o r la o rd en d el m a es tro .p o r la c u a l tu v iero n q u e d ev o lv ers e h a s ta lIega r a l s itiod e d o n d e h a b la n p a rtid o . .

90

E I m a es troeu id a ra q u e lo s n in o s p in ten to d a sla sp o s ib ilid a d es . Lu ego s e v era . en c a d a d ib u jo , c u a n to sc u a d rito s tien e d e a lto y c u a n to s d e a n c h o c a d s v en ta n a .E n c a d a c a s o s e h a ra n a n o ta c io n es c o m o :

E n es ta a c tiv id a d , p o d ra n h a lla rs e lo s d iv is o res d e 24 .c o m o s e h iz o en la a n terio r.

E s ta fo rm a gra tic a d e en c o n tra r105 d iv is o res d e u nn u m ero p o d ra a p ro v ec h a rs e, p o s terio rm en te. p a rah a lla r n u m ero s p rim o s . p a ra h a lla r n u m ero s q u e s o nc u a d ra d o s . etc .

Lo s · n il'lo s p o d ra n a h o ra ·-c a m in a r-:d e-a -tres i·.(H :le.ac u a tro . en la m is m a d ire-ec i6 n ..Al d ~!?L!.ia r!~"~ITI.!!lo s

Q u e s igu iero n tres gru p o s d e c u a tro n ii'lo s Q u e c a m in a ·ro n en la m is m a d irec c i6 n , s e p u ed e o b ten er u n d ib u joc o m o el s igu ien te:

//// ~=======E n s egu id a , en el s a l6 n , el m a es tro d ia lo ga ra c o n lo s

n in o s p a ra h a c er u n res u m en d e 10 q u e s e h a h ec h o :H a ra n en tre o tra s , la s s igu ien tes o b s erv a c io n es :

- Ca d a n in o h a elegid o u n c a m in o p a ra ir y v o lv er; esd ec ir, h a elegid o u n a d irec c i6 n p a ra c a m in a r. H a nrep res en ta d o c a d a c a m in o c o n u n a lin ea rec ta . D e es tam a n era s e h a n o b ten id o d iferen tes rec ta s . E n es tem o m en to p a s a ra n a l ta b lero a lgu n o s n in o s y d ib u ja ra nv a ria s rec ta s q u e ten ga n d is tin ta s d irec c io n es .

Cu a n d o lo s n in o ~c a m ill~ro n p o r p a reja s , 10 h ic ie-ro n en -la m is m a d irec c i6 n ;IQ m is m o c u a n d o c a m in a -

, ro n d e a tres0 d e a c u a tro .

A I rep res en ta rlo seam inos Q u e s igu iero n s e o b tu -v iero n d o s , tres0 c u a tro rec ta s q u e v a n en la m is m a 'd irec c i6 n .

Lu ego , el m a es tro d ira a lo s n ii'lo s q u e a l rep res en ta rlo s c a m in o s d e lo s n in o s q u e v a n en la m is m a d irec c i6 n ,s e o b tien en rec ta s q u e v a n en la m i,s m a d irec c io n y q u e aes a s 'rec ta s s e les lla m a"rec ta s p a ra lela s ".-

Co n c lu ira n p u es , q u e rec ta s p a ra lela s s o n a q u ella sq u e tien en la m is m a d irec c i6 n .

Pa ra fin a liz a r, les p ed ira q u e d ib u jen reeta s p a ra le}a s .Ta m b ien p o d ra d ib u ja r en el ta b lero a lgu n a s reeta s p a raq u e el n in o d eterm in e s i s o n p a ra lela s0 n o . E n p a rtic u la rs e d es ta c a ra la d irec c i6 n v ertic a l y -Ia d irec c io nh o riz o n ta l d e la s rec ta s p in ta d a s en el ta b lero .

Lo s n in o s o b s erv a ra n la s p a red es d el s a lo n , la sp u erta s , lo s lib ro s , etc . e id en tific a ra 'n b o rd es q u eten ga n la m is m a d irec c i6 n , es d ec ir, b o r9 B s p a ra lelo s , yd ira n s i es o s b o rd es tien en d irec c i6 n v ertic a l, h o riz o n ta lu o tra d irec c i6 n d iferen te.

Ta m b ien s e p u ed e rep res en ta r u n p u eb lo d es ta c a n d ola s c a lles y la s c a rrera s , p a ra a n a liz a r q u e a lgu n a s c a lless o n a p ro x im a d a m en te p a ra lela s en tre s i, y a lgu n a sc a rrera s ta m b ien 10 s o n . Se in d ic a ra q u e p u ed e l'Ia b erc a lles , c a rrera s , d ia go n a les , tra n s v ers a les . ete .• q u ea u n q u e s o n rec ta s n o s o n p a ra lela s a n in gu n a o tra ,'0

s ea q u e tien en d irec c i6 n d is tin ta 'd e la d e etla s .


Pa ra in lc ia r es ta a c tiv id a d s e p u ed e es tu d ia r d eta lla d a -m en te a lgu n o s m o v im ien to s q u e lo s n in o s rea liz a n ens u s a c tiv id a d es d ia ria s y en s u s ju ego s c o m o s o n lo sgiro s . Lo s n in o s s e p o d ra n fo rm a r en 5 fila s y s e-ejerc ita ra n en el c u m p lim ien to d e 6 rd en es c o m o :

---.= IA Is iz q u ierd a ljA la d erec h a llM ed ia v u elta s o b re -la iz q u ierd a l lU n a v u eIta s a b re la d erec h a l ~' '

Si s e d a la o rd en : "u n a v u elta s a b re la d erec h a :', lo s , ._, "" ' ,F " ' , , ,n ii'\o s d eb en gira r h a s ta q u ed a r en la p o s ic i6 n in ic ia J.

. , "--,'

, Ta m b it\n p o d ria h a c ers ~ o tro giro . d e u n a v u elta , p o r laiz q iJierd a . Lo s giro s s erla n d iferen tes a u n q u e la p o s ic i6 nin ic ia l V la fin a l s ea n la s m is m a s . Si s e d a la o rd en :"m ed ia v u e Ita s a b re la iz q u ierd a " lo s n ii'lo s d eb en gira rh a s ta q u ed a r m ira n d o en el s en tid o o p u es to . Se p u ed ees ta b lec er c o n lo s n in o s q u e es te giro s e d eb e rea liz a rp o r la iz q u ierd a a s l:

~c ~

Ta m b ien p o d ria h a b ers e 'o rd en a d c l d a r m ed iavjJeltli

p o r la d erec h a . E I giro s erla d iferen te a u n q u e la sp o s ic io n es in ic ia les y fin a les fu era n la s m is m a s e,,;a m b o s c a s o s .

Si s e d a la o rd en :"A la iz q u ierd a ", lo s n il'lo s d eb engira r u n c u a rto d e v u elta . h a c ia la iz ..q u !erd a -,~l:;.

Lu ego d e q u e lo s n ii'lo s h a y a n rea liz a d o -v a ria s v ~c eses to s ejerc ic io s . p a s a ra n a l s a l6 n d o n d e s e o rga n iz a ra nj)O r p a reja s . Ca d a in tegra n te, d e la p a reja d ib u ja ralin ---~-'-::-' ----

es q u em a c o m o 8 1s igu ien te, q u e rep res en ta a u n n il'lov is ta ~r en c im a ,y IU~O reeo rta ra la s iltletfl'i I ,

F,.n~ ~.c-. I

E I ju ego c o n s is te en q u ec a d an iflo d eu n ap a reja Ie d au n a o rd en a s u c o m p a"ero , V es te la ejec u ta c o n las H u eta . Lu ego d e v a rio s ejerc ic io s ,105 n in o s c o n a y u d ad el p ro fes o r d eb en d es c u b rir q u e105 giro s s e rea liz a na lred ed o r d e u n eje im a gin a rio q u e p a !>a p o r la c a b ez aV

lIega a l s u elo . a s !:

E I eje d e giro

es u n a v ertic a lq u e p a s a p o r

es te p u n to

Pa ra es te ju ego , s o b re la h o ja s e d eb e d ib u ja r u nc u a d ra d oV s e rec o rta o tro d e la s m is m a s d im en s io n es .E I ju ego c o n s is te en p o n er el c u a d ra d o rec o rta d o s o b reel d ib u jo , d e ta l m a n era q u e 10 c u b ra . Se es c rib en la sletra s A . B . C.0 en la s es q u in a s d el c u a d ra d o rec o rta d o .Lu ego s e h a c e gira r el c u a d ra d o d e- a rrib a h a s ta q u ec u b ra el d e a b a jo , p a ro d e ta l fo rm a q u e lo s v ertic esv a y a n c a m b ia n d o d e s itio . Pu ed e p o n ers e el la p izv ertic a lm en te s o b re el c u a d rito d e en c im a d e m a n eraq u e la p u n ta es te s o b re el p u n to c en tra l. Se a n o ta n la sp o s ic io n es en q u e q u a d a n la s letra s , h a s ta q u e n o h a v ao tra s p o s ib les .

Pa ra m a y o r fa c ilid a d , c a d a n i"o s im b o liz a ra el ejes o s ten ien d o v ertic a lm en te el la p iz c o n la p u n ta s o b re lac a b ez a d e la s ilu eta , d e ta l fo rm a q u e c u a n d o u n n if\o d eu n a o rd en a s u c o m p a f\ero -p a ra -Q u e rea lic e u n girou s a n d o la s ilu eta . es te 10 rea liz a ra u s a n d o c o m o eje ella p iz , c o m o s e ilu s tra en la gra fic a .

wo•A

--:- -C B

8k.lJPo s terio rm en te, s e p o d ra d ib u ja r u n c u a d ra d o en u n

p a p el. c o lo c a n d o u n a letra en c a d a v ertic eV rea liz a rgiro s d el c u a d ra d o .E I eje -d e giro p a s a ra p o r lain ters eec i6 n d e lo s d o s q u ieb res q u e s e o b tien en a ld iv id ir en d o s . c a d a la d o .

Actividadea y augerenciaa m etodol6gicaaE s ta a etiv id a d s e p u ed e d es a rro lla r en el p a tio . A n tes d eip ic ia r s e p rep a ra ra el s igu ien te m ~teria l: s i en el p a tio

92

h a y u n a rb o l. a m a rra ra n a l tro n c o d o s c u erd a s d elm is m o la rgo . a la a ltu ra d e la m a n o d e 10 5 n in o s : Fija ra n 'u n a d e la s c u erd a s a u n a es ta c a c erc a d el a rb o lV la o fra

la d eja ra n s u elta . 5 i n o h a y a rb o l. b u s c a ra n d o s o b jeto sfijo s d e d o n d e a m a rra rla s .

\\

\

\I

U n a lu m n o to m a ra la c u erd a s u eltay d es d e el p u n tod o n d e es ta la es ta c a c o m en z a ra a gira r a lred ed o r d ela rb o l.

Cu a n d o h a y a d a d o c u a tro0 c in c o p a s o s . p a ra ra p a raq u e to d o s h a ga n s o b re s u s c u a d ern o s u n a rep res en ta -c io n d e10 q u e s e h a h ec h o ; el m a es tr.o les d a ra a lgu n a srec o m en d a c io n es c o m o la s s igu ien tes :

Pa ra rep res en ta r la s c u erd a s h a ra n Iin ea s rec ta s ,ten ien d o en c u en ta la p o s ic io n en q u e es ta s q u ed a ro n .E I c a m in o rec o rrid o p o r el n in o p o d ra rep res en ta rlo c o nlin ea s in terru m p id a s in d ic a n d o c o n u n a flec h a els en tid o en el c u a l c a m in o . O b s erv a ra n q u e la s d o s Iin ea ss a len d el m is m o p u n to .

,,\\,

\\III

D es p u es , p a s a ra o tro a lu m n oy c o m en z a ra a gira rn u ev a m en te a lred ed o r d el a rb o l, c u a n d o h a y a d a d ou n o s10 p a s o s , p a ra ra p a ra q u e lo s d em a s h a ga n u n arep res en ta c io n gra fic a d e10 q u e s e h a h ec h o , c o m o10h jc iero n en el c a s o a n terio r. A s i s egu ira n p a s a n d o n in o sa gira r a lred ed o r d el a rb o l"ten ien d o en c u en ta q u e c a d an in o Q u e-p a s e,d e u n m a y o rJ1u m ero d e...p a s o s ,h a s ta q u eel u ltim o d e u n a v u elta c o m p leta , es d ec ir,lIegu e a l s itiod e s a lid a . Ca d a v ez q u e p a s e u n n in o , lo s d em a s h a ra nu n a rep res en ta c io n gra tic a .

5 e es p era q u e h a ga n a lgu n o s d ib u jo s c o m o lo ss igu ien tes :

r -,'j ,~-- .•.. ," "/ ,

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I,/...•.

/.•..- .,--E n s egu id a el m a es tro d ia lo ga ra c o n lo s n in o s s o b re la

a c tiv id a d q u e a c a b a n d e rea liz a r; s e h a ra n en tre o tra sla s s igu ien tes o b s erv a c io n es :

5 e to m e el a rb o l c o m o u n eje0 p u n to a lred ed o r d el-..---c u a ls e9 iro .-

Ca d a n in o giro ,!Ired ed o r d el a rb o l d e d ife·ren tem a n era . Pa ra la rep res en ta c iO n gra fic a , el eje a p a rec ec o m o p u n to c o m u n d e la s d o s rec ta s q u e in d ic a n d es d ed o n d e s e.c o m en z Q a gir~r, Ila s ta d o n d e s e term in o ..

E I m a es tro ex p lic a rc H lu e lo s giro s a lred ed o r d e u n ejes e lIa m a n a n gu lo s y q u e p a ra rep res en ta rlo s gra tic a -m en te s e u tiliz a n d o s rec ta s c o n u n p u n to c o m u n . E Ies p a c io en tre la s rec ta s rep res en ta q u e ta n a m p lio es elgiro . Pa ra refo rz a r es ta id ea , 5 e c o n s egu ira u n c h in c h e0

a lgo q u e s irv a p a ra s o s ten er u n a c u erd a en el ta b lero; yen el ex trem o lib re d e la -c u erd a s e a m a rra ra u n a tiz a .

E I m a es tro p ed ira a u n n in o q u e Ie s irv a d e a u x ilia rp a ra q u e d ib u je s o b re el ta b lero la p o s ic io n in ic ia l d e lac u erd a c u a n d o ella a p o y es o b re elta b lero .Co n la c u erd ab ien tem p la d a d ib u ja ra c o n la liz a , el c a m in o q u e res u ltac u a n d o c o m ien z a ~ gira r.

A lterm in a r, el n In o a u x ifia r d ib u ja ra la n u ev a p o s ic io nd e la c u erd a .

.c"'. \-"-~'--y -

\II

A h o ra el m a es tro p ed ira a lo s n in o s q u e p o r p a reja s ,p a s en a d ip u ja r d iferen tes a n gu lo s . Cu a n d o h a y a nh ec h o u n n u m ero s u fic ien te c tea n gu lo s en el ta b lero , lesd ira q u e b u s q u en u n m ec a n is m o p a ra c o m p a ra r lo sa n gu lo s d ib u ja d o s . Si n o h a y u n a p ro p u es ta m ejo r, elm a es tro les d ira q u e s e fijen en10 a m p lio d el giro en c a d a

93

6 n gu lo . 5 e es p erB q u e 10 & n in o l c o n c lu y a n q u eI.d iferen c ia en tre u n A n gu lo y o tro es la a m p litu d d el giro .

Se p o d rA n d ib u ja r en eI ta b lero v a rio s A n gu lo s d ed iferen te a m p litu d h a s t a d a r u n a v u elta , c o m o 10m u es tra el s igu ien te d ib u jo : -

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II

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E I m a es tro les d irA q u e p a ra d eterm in a r la a m p litu d d eu n lin gu lo s e to m a c o m o referen c ia la v u elta . es d ec it.u n giro a lred ed o r d e u n eje en el q u e s e s a le d e u n p u n toy s e regres a a l m is m o . E n to n c es la v u elta v a a s erv irc o m o u n a u n id a d d e a m p litu d .

Lu ego p a s a rlin a l ta b lero 3 n il'\o s , c a d a u n o rec lb irliu n a c u erd a d e d iferen te Io n gitu d p a ra p in ta r u n a n gu lod e una·v u elta . E n el ta b lero q u ed a ra n d ib u jo s c o m o lo sS1gu ien tes :

,.•..-,j - - - - - \ - - - - - -

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I • I\ f, I

" /.•.... _-",E n s egu id a . lo s n il'\o s d is c u tirlin s o b re la s d iferen c ia s

. 0 s em eja n z a s q u e en c o n tra ro n en tre 10 5 lin gu lo sd ib u ja d o s . Se d a r6 n o rien ta c io n es p a ra q u e c o n c lu y a nq u e 10 5 lin gu lo s n o s o n d iferen tes .- p u es to q u e to d o s s o nd e u n a v u elta; q u e 10 d iferen te es la lo n gitu d d e la sc u erd a s q u e u tiliz ero n p a ra d ib u ja rlo s . E l m a es tro

. a p ro v ec h a rA es te m o m ,n tc fp llra rea firm a r q u e 10 q u e-i1n p o rfa · s n u n · 6 n gu To -ltS1. a m p litu d --o -la a p ertu rafQ rm a d a p o r la s d o s Iln ea s q u e 10 rep reSen ta n y n o ·ella rgo d e s u s la d o s . R ec a lc a n d o es to s a s p ec to s . lesp ed irli q u e d ib u jen a n gu lo s d ed iferen te a m p litu d c o nc u erd a s d e d iferen te lo n gitu d en c a d a Ca s o ."

E n el p a tio u n n itlo "to rn a r6 1a ~u eid a $ u ella y gira rlia lred ed o r d el 6 rb o 1 h a s ta q u e fo rm e u n a lin ea rec ta c o nla c u erd a q u e es t6 fija . a s f:

".,./

I

I,,

Lo s n in o s d ib u ja r6 n es te lin gu lo y s u gerirlin u nn o m b re p a ra 6 1. Se es p era q u e d iga n q u e58 h a gira d om ed ia v u elta . 0 q u e la a m p litu d es d e m ed ia v u elta , p o rta n to . es te lin gu lo s e p u ed e lIa m a r "lin gu lo d e m ed iav u elta ". Ta m b il§ n p o d r'n d ib u ja rlo en el ta b lerou tiliz en d o u n a c u erd a .

O es p u 6 s el m a es tro s e c o lo c a rli a l fren te d ellirb o l d eta l m a n era q u e c u a n d o u n n in o lIa gu e a d o n d e 6 1es tli,h a y a rec o rrid o u n c u a rto d e v u e Ita . Les p ed ir6 q u ed ib u jen es te 6 n gu lo y Ie d en n o m b re. Se es p era q u e lo sa lu m n o s d iga n q u e s e h a gira d o u n c u a rto d e v u elta yq u e a es te A n gu lo s e Ie p u ed e lIa m a r "6 n gu lo d e u nc u a rto d e v u elta ". A es te lin gu lo58 Ie c o n o c e c o n eln o m b re d e "a n gu lo rec to ". p o r ta n to . u n a n gu lo es rec toc u a n d o s u a m p litu d es d e u n c u a rto d e v u elta .

~ •.•.•..••••••••

"\\

E n s egu id a . d ib u ja rA n en el ta b lero v a rio s a n gu lo s d eu n c u a rto d e v u elta , p ro c u ra n d o q u e la lo n gitu d d e lo sla d o s s ea d iferen tep a ra c a d u D gu lo ,_~Q .~~n .jIa c erd ib u jo s c o m o 10 5 s igu ien tes : ----

E I m a es tro ex p lic a rli q u e lo s d ib u jo s rep res en ta 'n elm is m o a n gu lo , en es te c a s o el "lin gu lo d e u n c u a rto d ev u elta " y q u e n o im p o rta la lo n gitu d d e 10 5 la d o s . s in o laa m p litu d0 a p ertu ra q u e h a y en tre 1a s d o s IIn ea s .

Pa ra fin a liz er. lo s n il'\o s d ib u ja rlin en s u s c u a d ern o s y .en el ta b lero d iferen tes A n gu lo s , c la s ific 6 n d o lo s s egu ns u a m p litu d . .

A c tiv id ed e. y s u geren c ie. m eto d o l6 gic a .

Lo s a lu m n o s s e o rga n iz a rllln en gru p o s d e c u a troys a ld r4 n a l p a tio c o n d o s c u erd a s , u n a regia y u nc u a d ern o p a ra h a c er a n o ta c io n es . U n gru p o p a s a rlll a lc en tro y s e d iy id irlll en d o s p a reja s , q u e to m a r4 n la s d o sc u erd a s p a ra q u e la s s o s ten ga n p o r 10 5 ex trem o s d e ta lm a n era q u e la s d o s c u erd a s q u ed en c ru z a d a s .

E jem p lo :

j--_.B a ja rllln -la S-c u erd a s h a s te el p is o y h e~n c in c o

m a rc es , u n a en el p u n to d o n d e s e c ru z a n la s c u erd a syla s o tra s , en io s ex trem o s d e es ta s . _ _

Lo s d em llls a lu m n o s h a rllln u n gr'fic o d e Is s itu a c i6 ns u s c u ed ern o s , rep res en ta n d o la s eu erd a s c o n rec ta s

- y la ~ m a rc a s d e!~u elo c o n p u n to s gru es o s .

E I m a es tro les d irlll q u e en la s reeta s , el p u n to -q u ec o rres p o n d e a l s itio d o n d e s e c ru z a n la s c u erd a s , s es u ele lIa m a r p u n to d e c o rte. -

D es p u es p a S8 rlll o tro gru p o a s o s ten er la s '"-c u erd a ss u s in tegra M es s e c o lo c a rllln en s itio s d iferen tes e I~q u e s e c o lo c a ro n 10 5 a lu m n o s d el gru p o a n terio r, d e ta lm a n era q u e la s c u erd a s s e c ru c en en el m is m o p u n to .

Lo m is m o h a rllln!os d a m 's gru p o s ,y c o m o en lo sc a s o s a n terio res , m ien tra s q u e c a d a gru p o s o s tien e la sc u erd a s en d iferen tes p o s ic io n es , lo s o tro s a lu m n o sh a rllln -u n a rep res en ta c i6 n en -el-c u a d em o . Pa ra fa c ilitar~ic ~a rep res e~c i6 n s e c o lo c a n p rim ero lo s p u n to s q u e -_in d ic a n la -p o s lc l6 n d e lo s a lu m n o s q u e s o s tien eri la sc u erd a s ,y d es p u es s e u n en p o r m ed io d e rec ta s q u e s ec o rta n . -

Lo s n in o s regres a rllln a ' s a l6 n d e c la s e. Po r m ed io d ees q u em a s en el ta b lero , el m a es tro les h a rlll o b s erv a rq u e c u a n d o s e c o rta n d o s rec ta s , s e fo rm a n c u a tro4 n gu lo s ,y q u e la a m p litu d d e es to s n o s iem p re es igu a l.Les p ed irlll q u e o b s erv en la s rep res en ta c io n esy s en a lena q u ella s reeta s q u e a l c o rta rs e, fo rm a n c u a tro Illn gu lo sd e la m is m a a m p litu d . .

Si en n in gu n o d e 10 5 c a s o s s e p res en t6 es ta s itu a c i6 n ,el m a es tro p ed ir' a4 n in o s q u e s e c o lo q u en en u n s itiod o n d e p u ed a n s er o b s erv a d o s p o r to d o s s u s c o m p a n e-ro s , p o r p a reja s u n o Iren te a l o tro .

To m a rllln la s c u erd a s p o r 10 5 ex trem o s , d e m a n era q u eq u ed en c ru z a d a s . Po r ejem p lo :

U n n in o p a s a rj a l ta b lero a h a c er la rep res en ~a c i6 n _

E I m a es tro p regu n ta rlll a lo s a lu m n o s d e c u 6 n to es laa m p litu d d e c a d a u n o d e es to s Illn gu lo s . Se a s p era q u elo s a lu m n o s res p O n d a n :d e u n c u a rto d e y u elte. Co m o ena lgu n o s c a s o s n o es f6 c il v erlo s p a r Ia d irec c i6 n d e la srec ta s , el m a es tro les p o n d r' es te ejem p lo :

/ -Les d irlll q u e la s rec ta s q u e a l c o rta rs e fo rm a n4

6 n gu lo s , to d o s d e u n c u a rto d e "u elta , s e lIa m a n reeta sp erp en d ic u la res .

D es p u ~sS8 p o d rjn d ib u ja r y a rio s ejem p lo s d e reeta sq u e s e c o rta n p a ra q u e 10 5 a lu m n o s c o lo q u en ,d eb a jo d e_

- elia s , s i s o n p erp en d ic u la res0 n o . .-


E I m a es tro ela b o ra ra m o d elo s d e a lgu n o s s o lid o!>geo m etric o s regu la res . Pa ra fa c ilita r es te tra b a jo s ein c Ju y en a c o n tin u a c io n a lgu n o s d ib u jo s q u e p u ed ena y u d a r a rea liz a r m o d elo s h u ec o s en c a rtu lin a .

Pa ra la es fera n o s e in c lu y e u n m o d elo , p o rq u e s uc o n s tru c c io n en c a rtu lin a es b a s ta n te d ific i!. Pu ed e.u s a rs e c o m o m o d elo u n a b o la d e p in g-p o n g, u n a p elo tad e c a u c h o0 u n a b o lita d e c ris ta l0 m a ra ."

E I m a es tro c o lo c a ra c a d a m o d elo s o b re u n a m es a0

s o b re el p is o y a lred ed o r d e c a d a u n o d e ello s p o n d ra u nla z o0 u n a p ita . Lu ego p ed i(s a lo s n in o s q u e b u s q u eno b jeto s c u y a fo rm a s ea p a rec id a a u n o d e105 m o d elo s ylo s c o la q u en d en tro d e lo s la z o s c o rres p o n d ien tes . A s i,----en el la z o en d o n d e s e h a c o lo c a d o la es fera , lo s n in o s

--p o d ra n c o lo c a r o b jeto s c o m o : u n a n a ra n ja ..u n b a lo n , u nc o ro z o . u n a b o la . E n ella z o en d o n d e s e h a c o lo c a d o u nc ilin d ro lo s n in o s -c o lo c a ra n : tiz a , la p ic es , tu b o s , p a lito s ,etc . Segu ra m en te n o h a b ra s u fic ien tes o b jeto s ad is p o s ic io n d e lo s n in o s p a ra q u e p u ed a n s e,'c o lo c a d o s

.- en ·10 s 1a z o s . E n es te c a s o "c o n s egu ira a lgu n o s c o na n terio rid a d .EI m a eS1rOd ira "lo s "rio m b res d eea d a s 6 1id oy h a ra q u ~ lo s n in o s ex p res en o ra lm en te la s em eja n z ad e c a d a o b jeto c o n a lgu n o d e lo s s 6 lid o s geo m etric o sregu la res , a s i: "

U n a n a ra n ja tien e fo rm a p a rec id a a u n a es feraU n go rro d e p a y a s o tien e fo rm a p a rec id a a u n c o n oH a y tu b o s c o o fo rm a p a rec id a a u n c ilin d ro .

A u n q u e n o s e p reten d e q u e lo s n irio s a d q u iera n to d o slo s c o n c ep to s a c erc a d e lo s s o lid o s geo m etTic o sregu la Tes . es c o n v en ien te rec o rd a r.a lo s .m a es tro s Q u een tre lo s s o lid o s geo m etric o s regu la res ".es ta n J6 s c in ~s 6 lid o s Ita m a d o s p la to n ic o s : teta ed ro , c u b e, o c ta ed ro .d o d ec a ed ro e-.jc o s a ed ro; la es fera . el c o n o , et c ilin d rorec to . y la s p ira m id es y p ris m a s rec to s q u e ten ga n c o m ob a s e u n p o ligo n o regu la r.

(l.o s p o ligo n o s regu la res s o n lo s q u e es ta n Iim ita d o S."p o r la d o S q u e tien en la m is m a lo n gitu d y Q u ec o m p ren - .

d en a n gu lo s in tern o s d e la m is m a a m p litu d regu la r).

A c tiv id a d esy s u geren c ;a sm etodol6gicas

E n es ta a c tlv id a d s e u tiliz a ra n lo s m o d elo s d e s 6 1id o sela b o ra d o s p a ra la a c tiv id a d a n terio r.

E I m a es tro les m o s tra ra el c u b o y les p ed ira q u es eria len lo s b o rd es ; lu ego q u e s en a len d o s b o rd esp a ra lelo s (en es te m o m en to rec o rd a ra n q u e d o s rec ta ss o n p a ra lela s c u a n d o tien en la m is m a d irec c i6 n ). Si esp o s rb le ta m b ien s eria la ra n tres b o rd es q u e s ea np a ra lelo s en tre s i y c u a tro b o rd es q u e ta m b ien s ea np a ra lelo s en tre s i.

Se es p era q u e en el c u b o en c u en tren 10 s igu ien te:

1111210

I 9-4.-l""'·8.••..

3 "Q u e el b o rd e 1 es p a ra lelo c o n el b o rd e 2, es te b o rd e

p a ra lelo c o n el b o rd e 3 , y es te b o rd e es p a ra lelo c o n elb o rd e-4; es d ec ir, lo s b o rd es ' 1, 2. 3y 4 s o n p a ra lelo sen tre s i. Ta m b ien en c o n tra ra n 'q u e lo s b o rd es 5 , 6 , 7y 8s o n p a ra lelo s en tre s l y q u e lo s b o rd es9 , 10 ,11 y 12 s o np a ra lelo s en tre s i. ..

. .A .h .o ra ,les..p ed ira q u e~en el c u b o b U Sq u en b o rd ep erp en d ic u la res ,es d ec ir,b o rd es q u e a l c o rta rs e fo rm ena n gu lo s rec to s0 a n gu lo s d e u n c u a rto d e v u elta .E n c o n tra ra n q u e el b o rd e 1 es p erp en d ic u la r c o n lo sb o rd es 5 , 6 , 11 y 12.

A s im is m o ., to m a ra n lo s d em a s b o rd es y h a lla ra n to d o slo s b o rd es q u e s ea n p erp en d ic u la res c o n c a d a u n o .Ca d a n in o d a ra u n ejem p lo d e d o s b o rd es p erp en d ic u la -res , h a s ta q u e s e h a y a s a c a d o el m a y o r n u m ero p o s ib led e ejem p lo s .

E n s egu id a . to m a ra n u n p ris m a rec to d e b a s erec ta n gu la r y u n o d e b a s e c u a d ra n gu la r p a ra q u e

--. s eiia len lo s b o rd es p a ra lelo s y 10 s b o rd es p erp erid ic u la -res . Po d ra n tra b a ja ren la m is m a fo rm a c o m o ' 10h ic Tero -n .en ell:u b o .

D es p u es , lo s n iflo s to m a ra n u n a p ira m id e d e b a s ec u a d ra d a p a ra b u s c a r b o rd es p a ra Je10 s y b o rd esp erp en d ic u la res . ,

E n c o n tra ra n q u e"s O lo en la b a s e h a y b o rd es p a ra lelo s ,.y b o rd es p erp en d ic u la res a s i: .

E I b o rd e 1 es p a ra lelo a l b o rd e 3 .

E I b o rd e 2 es p a ra lelo a l b o rd e 4 .

E I b o rd e 1 es p erp en d ic u la r a lb o rd e 2.

E I b o rd e 1 es p erp en d ic u la r a lb o rd e 4 .

E Jb o rd e 3 es p erp en d ic u la r a lb o rd e 2 etc .

' f

D es p l:Jes lo s n in o s to m a ra n el c o n oV el c ilin d ro p a rab u s c a r s i tien en b o rd es p a ra lelo s; !Iega ra n a lac o n c lu s io n d e q u e es to s s 6 1id o s n o lo s lien en . E s p o s ib leq u e a lgu n n lrio d iga q u e la s d o s b a s es d el c ilin d ro s o n .p a ra lela s; el m a es tro les d ira q u e es o es v erd a d y lesa c la ra ra q u e 10 q u e s e es ta b u s c a n d o es s egm en to s d erec ta q u e s ea n p a ra lelo s y en el c a s o d e la s b a s es es ta ss o n s u p erfic ies y n o s egm en to s d e rec ta .

E n s egu id a les p ed ira q u e en es to s s 6 1id o s ,s en a lenb o rd es p erp en d ic u la res . Ta m b ien en c o n tra ra n q u e n otien en . Co n c lu ira n q u e el c u b o , eJp ris m a rec to d e b a s erec ta n gu la r y el p ris m a rec to d e b a s e c u a d ra n gu la rtien en b o rd es p a ra lelo s y b o rd es p erp en d ic u la res . .

E Jm a es tro o rga n iz a ra a lo s n iiio s en c in c o gru p o s y ac a d a gru p o Ie en trega ra u n o d e lo s s o lid o s regu la res ; esd eG ir, u n gru p o ten d ril u n p ris m a c u a d ra n gu la r. O lro u nc u b o . o tro u n a p ira m id e y o tro u n c o n o . Les p ed ira q u e'o b s erv en la s c a ra s p la n a s d e es to s s 6 Jid o s , la s to q u enc o n la m a n e y h a ga n u n d ib u jo d e c a d a u n a d e ella s .Ca d a gru p o o b s erv a ra y d ib u ja ra to d a s la s c a ra s p la n a sd el s o lid o q u e les c o rres p o n d i6 .

E I gru p o q u e tien e el c u b o d ib u ja ra s eis figu ra s c o m ola s igu ien te:

Lo s q u e tien en u n 'p ris m a d e b a s ec u a d ra n gu la rd ib u ja ra n figu ra s c o m o la s s igu ien tes :

DE I gru p o q u e tien e u n a p ira m id e"d e b a s e c u a d ra d a .

d ib u ja ra figu ra s c o m o la s s igu ien tes :

Lo s q u e tien en el c o n o s o la m en te d ib u ja rA n s u b a s e.

97

Lo s q u e lIen en el c ilin d ro h a ra n lo s d ib u Jo s d e s u sb a s es :

U n rep res en ta n te d e c a d a gru p o p a s a ra a l ta b lero yd lb u Ja ra la s figu ra s q u e h ic iero n . E I m a es tro les d ira q u ec la s lfiq u en es a s figu ra s s egu n s u fo rm a . es d ec ir. lo sn ln o s a gru p a ra n to d a s la s figu ra s q u e tien en tresb o rd es ; en o tro gru p o . es ta ra n to d a s la s figu ra s d e fo rm ared o n d a ; en o tro gru p o la s figu ra s q u e tien en c u a trob o rd es d e igu a l lo n gitu d y en o tro to d a s la s figu ra s q u eta m b ien tien en c u a tro b o rd es . y q u e,-d e.-·-G o s en d o s ,

tien en la m ls m a lo n gitu d . Ca d a n in o d ib u ja ra en s uc u a d ern o la s figu ra s q u e s a liero n d e es ta c la s ific a c io n .

E I m a es tro s en a la ra el gru p o d e figu ra s q u e tien en 3la d o s 0 b o rd es y les p regu n ta ra s i c o n o c en a lgu nn o m b re p a ra la fo rm a d e es a s figu ra s . Si a lgu n o 10 s a b e,10 c o m u n ic a ra a s u s c o m p a n ero s . s i n o , el m a es tro les

d ira q u e to d a s es a s figu ra s tien en fo rm a tria n gu la r.D ib u ja ra n a lgu n a s · figu ra l; d e fo rm a tria n gu la r c o m o la ss ig u ien tes :


Pa ra es ta a {;tiy .id a d ,~o s a fu m n o ~a n iz a d o s en 4

gru p o s . ela b o ra ra n u n o s b a n d erin es en c a rtu lin aen u m era d o s d e 1 a 4 .

E n el p a tio . c u a tro a lu m n o s to m a ra nIDS b a n d erin esn u m era d o s y s e u b ic a ra n en 4 p u n to s d e la s lgu len tem a n era :

.t> .~

.P .P

Sen a la ra la s figu ra s q u e tien en c u a tro b o rd es d e lam is m a lo n gitu d y p regu n ta ra p o r el n o m b re d e la fo rm ad e es ta s figu ra s , lIega n d o a la c o n c lu s io n q u e to d o stlen en fo rm a c u a d ra d a . D lb u ja ra n figu ra s c o m o es ta s :

o DH a ra 10 m is m o c o n la s figu ra s q u e tien en c u a tro

b o rd es c u y a s lo n gitu d es s o n igu a les d e d o s en d o s ;c o n c lu y en d o q u e tien en fo rm a rec ta n gu la r y la s d ib u -ja ra n . -

DLa s figu ra s _q u e tien en fo rm a p a rec id a a la d e la s

ta p a s . la s m o n ed a s ,0 la q u e s e v e c u a n d o s e c o rta enD O Su n a n a ra n ja V s e a b ren lo s p ed a z o s ,..s e-d ic e.q u e-s o l'l---d e fo rm a c irc u la r.

E n s egu id a . el m a es tro p ed ira q u e c a d a n in o d ib u jeu n a figu ra d e c a d a u n a d e la s c u a tro fo rm a s es tu d ia d a s . -Ta m b len les p ed ira Q u e d en el n o m b re d e o b jeto s Q u eten ga n c a ra s p la n a s c o n es a s fo rm a s ; h a c ien d a u n a H s tc f ..el'l el ta b lero d e es to s o b jeto s . Ta m b ien p u ed en to m a ro b jeto s y s en a la r c a ra s Q u e ten ga n es a s fo rm a s .

O tro a lu m n o d eb era h a c er u n rec o rrid o Q u e p a s e p o rd v n d e es ta n lo s c u a tro b a n d erin es en el o rd en1,2,3 V4 .E s te rec o rrid o p o d ra d ib u ja rs e, c o n tiz a . s o b re et p is o .

r- - :-':---"""-'"'"---=- - "-,

I It I

1 II J

I I

~ - .,- - - - - - - _JA h o ra p a s a ra o tro n in o Q u e d eb era h a c er o tro -'

rec o rrid o , p a s a n d o p o r lo s b a n d erin es en el s igu ien teo rd en :1. 3 , 4 , 2,1. E s te n u ev o rec o rrid o p o d ria d ib u ja rs e

. c o n tiz a d e o trO c o lo r.

•...... .....'~~

I ..•....I ..•... ./ II

..•.... .•...I

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..•.... .•...I

<1 -...""+ ./ '" .•.... I p >I "

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"..•....

I "..•.... I

U .......•

E I m a es tro p ed ira a105 n in o s q u e o b s erv en105 d lb u Jo s

y res p o n d a n (E n a lgu n o d e lo s rec o rrid o s Q u e h iz o eln ll;o , p a s o d o s v ec .es p o r el m ls m o lu ga r?

E I m a es tro 10 s o rien ta ra p a ra q u e c o n c lu y a n Q u e s ih a y c ru c es en el d ib u Jo , q u iere d ec ir q u e p o r es e p u n tos e p a s o d o s v ec es ; p o r10 ta n to . el p rim er rec o rrld o n op a s o d o s v ec es p o r el m is m o s itio . m ien tra s q u e els egu n d o s i. Pa ra c o m p ro b a rlo , o tro s d o s n in o s h a ra n d en u ev o lo s m ls m o s rec o rrld o s . E n el s egu n d o c a s o , lo sn in o s Id en tlflc a ra n en el d ib u jo el p u n to d o n d e s e c ru z a nel tra m o d e 1 a 3 y el tra m o d e 4 a 2 y v era n c o m o a lrea liz a r es te rec o rrid o el n in o p a s o d o s v ec es p o r es telu ga r.

E I m a es tro p o d ra tra z a r en el p a tio c a m in o s c o m o lo ss igu ien tes ; p a ra Q u e lo s n in o s lo s rec o rra n p a r-tten d o d es itio s d iferen tes , en s en tid o s d iferen tes , y s in rep etirn m gu n o d e lo s tra m o s y a rec o rrid o s _

.2__ .3

N3

Ped ira a lo s n in o s q u e lo s rec o rra n y lo s c la s ifiq u ens egu n Sl h a y s itio s p o flo s q u e h a y q u e p a s a r m a s d e u n a

v ez ,0 n o .

E I m a es tro ex p lic a ra a lo s n in o s q u e a q u ello s c a m in o sen lo s c u a les . a l rec o rrerlo s , n o s e p a s a s in o u n a v ez p o rc a d a s itio . s e lIa m a n c a m in o s Sim p les . y lo s o tro sc a m in o s s e lIa m a n n o s im p les , y les p ed lra q u e d ib u jenen s u s c u a d ern o s 3 ejem p lo s d e c a m m o s s im p les V 3 d e

c a m in o s n o s im p les _

Si lo s n in o s p ien s a n q u e p o r el p u n to In lc ia l (b a n d erin') ta m b ien p a s a n d o s v ec es : u n a v ez a l s a lir y o tra a llIega r, el m a es tro les h a ra c a er en c u en ta d e q u e enrea lid a d n o p a s a n p o r es e p u n to ~s a len d e el-V-1lega n .aet.--p ero n o p a s q n p o r el.

Pu ed e d ec irles q u e es o s c a m in o s en lo s c u a les h a yu n a m a n era d e rec o rrerlo s c o m en z a n d o V term in a n d oen el m is m o p u n to s in rep etir n in gu n tra m o Va rec o rrid o .s ella m a n c a m in o s c erra d o s V s i a l rec o rrerlo s c o m p le-to s . s in rep etir n in gu n tra m o . term in a n en l!I'tro p u n tod iferen te. s e lIa m a n c a m in o s a b ierto s _ Les p ed ira q u ed ib u jen ejem p lo s d e c a m in o s a b ierto s s im p les V n os im p les . V d e c a m in o s c erra d o s s im p les V n o s im p les .


E n el p n m er gra d o lo s a lu m n o s m id iero n lo n gitu d esem p lea n d o p a tro n es a rb itra rio s c o m o : el p ie. la c u a rta .el jem e. el p a s o . el a n c h o d e lo s d ed o s . etc .. a n te lad ific u lta d Q u e p res en ta n la les u n id a d es . p o r s erd iferen tes d e u n a p ers o n a a o tra . s e v io la n ec es id a d d ec o n v en ir en u tiliz a r u n a u n id a d c o m u n . E s ta u n id a des ta n d a riz a d a es el m etro . Co n ella tra b a ja ro n lo sa lu m n o sy lIega ro n a es ta b lec er Q u ea10 la rgo d elm etro

s e p u ed en c o lo c a r 10 regleta s d e 1 d ec im etro d elo n gitu d . es d ec ir:

.A d is p o s ic iO n d e lo s a tu m n o s s e ten d rim v a rio s m etro sp a ra q u e ~x p r~.§ ~n en m etro s y _d ec im etro s . la m ed id aa p ro x im a d a d el la rgo y d el a n c h o d e la m es a . a e lo sp u p itres . d el ta b lero . etc . Pa ra q u e la a p ro x im a c io n s eam ejo r. lo s a lu m n o s d eb en lIega r a p ro p o n er la es c o gen -

c ia d e u n a u n id a d d e m ed id a m a s p eq u en a q u e eld ec im etro . E s ta u n id a d es el c en tim etro . E I m a es tro lesex p lic a ra c o m o el m etro es ta fo rm a d o p o r 10 0 p a rtec ita sm a s p eq u en a s lIa m a d a s -c en tim etro s . -E n el ta b lero el -m a es tro fija ra u n a tira d e c a rtu lin a en la c u a l s e h a y ad ib u ja d o u n lis to n d e u n m etro c o n d iv is io n es d e u nc en tim etro . Lo s n in o s p o d ra n c o m p ro b a r. c o n ta n d o lo sc en .tim etro s Q u e. en efec to . u n m etro es ta fo rm a d o p o r10 0 c en tim etro s . Lu ego . el m a es tro ex p lic a ra a lo s n in o sla fo rm a d e h a c er u n a m ed ic io n em p lea n d o el m etro y elc en tim etro y d e leer lo s res u lta d o s .

Les p ro p o n d ra q u e ela b o ren u n a tira d e u n m etro d ela rgo . E s ta s rep res en ta c io n es d el m etro p o d ra n s erela b o ra d a s em p lea n d o tira s d e c a rtu lin a0 d e p a p el;'c a d a m etro d eb era es ta r d iv id id o en 10 0 c en tim etro s .

A Iela b o ra r u n m etro el m a es tro h a ra n o ta r a lo s n in o sq u e et p rim er ex trem o Iz q u ierd o n o s e n u m era . y q u e lo sn u m ero s s e p o n en en c im a d e la s d iv is io n es . y n o d en trod e lo s c u a d rito s d e lo s c en tim etro s . a s i:

Lo s n in o s m a rc a ra n a h o ra s o b reel'm etro . c o n u n ta p izro jo . c a d a 10 c en tim etro s y c o n ta ra n la s p a rtes en q u eq u ed o d iv id id o et m etro ; ten ien d o en c u en ta s o la m en tela s m a rc a s ,ro ja s . ,c o m p a ra ra n Jo s res u lta d o s y c o n c lu i-ra n q u e el m etro q u ed a d iv id id o en 10 p a rtes . y q u e c a d au n a d e es a s 10 p a rtec ita s s e lla m a d ec im etro .

Lo s n in o s c o m p ro b a ra n q u e u n m etro es ta fo rm a d op a r 10 d ec im etro s y q u e u n d ec im etro es ta fo rm a d o p a r10 c en tim etro sV es c rib ira il Ja s igu a ld a d es c o rres p o n -d ien t~s . a s i:

1 m etro= 10 d ec im etro s .

1 d ec im etro= 10 c en tim etro s .1 m etro= 10 0 c en tim etro s .

E I d ec im etro v el c en tim etro . c o m o c a b en u n n u m eroex a eto d e v ec es en el m etro s e lIa m a n s u b m u ltip lo s d elm etro .

Lu ego . m ed ir6 n d iferen tes lo n gitu d es . em p lea n d o elm etro c o n s tru id o . p a ra ejerc ita rs e en el m a n ejoV lec tu rad el m is m o . E s to s ejerc ic io s d e m ed ic i6 n lo s p o d ra nh a c er d e la s igu ien te fo rm a :

- (

10 0

Su p o n ga m o s q u e u n n in o en c u en tra q u e ella rgo d e lam es a m id e 17 6 c en tim etro s . o tro n in o a l em p lea r lo sd ec im etro s c o m o b a s e d e s u m ed ic io n y lo s c en tim etro sc o m o m ed id a s ec u n d a ria . en c u en tra q u e es a d is ta n c iam id e '17 d ec im etro s V 6 c en tim etro s . U n terc er n in o a lto m a r el m etro c o m o b a s e d e s u m ed ic io n y el d ec im etroy el c en rim etro . c o m o s ec u n d a rio s . d eb e ex p res a r q u ees a lo n gitu d m id e 1 m etro . 7 d eCim etro s . 6 c en tim etro s . ,

Cu a n d o h a y a n efec tu a d o v a tia s m ed ic io n es d e3 is ta .-.fo rm a . el m a es tro les p ed ira q u e es c rib a n en el ta b leroa lgu n o s d e lo s res u lta d o s q u e o b tu v iero n en ~s ta sm ed ic io n es y lo s o rien ta ra p a ra q u e d ed u z c a n q u e la stres fo rm a s em p lea d a s p a ra ex p res a r u n a 'Io n gitu d s o neq u iv a len tes :

17 6 c en tim etro s= 17 d ec im etro s y 6 c en tim etro s

= 1 m etro . 7 d ec im etro s y 6 c en tim etro s .

Cu a n d o lo s n in o s h a y a n p res en ta d o v a rio s res u lta d o sd e es a fo rm a . el m a es tro les ex p lic a ra q u e p a ra fa c ilita r -la ex p res i6 n d e u n a lo n gitu d en m etro s . d ec im etro sV

c en tim etro s . s e p u ed e ela b o ra r u n c u a d ro c o m o eLs igu ien te: -- -- .... --


U n a a c tiv id a d q u e lo s n in o s d es a rro lla ny p u ed e s erv irc o m o in tro d u c c i6 n p a ra q u e a d q u iera n el c o n c ep to d ep erim etro . es la d e rec o rrer la fro n tera d e u n a s u p erfic ieh a c ien d o eq u ilib rio . c o m o in d ic a la gra tic a .

-/~ ·-t-.,~

------~!~/1

/L _._ _. __ 1

U n ejerc ic io p o d ra c o n s is tir en a v erigu a r c u a n to s p iesd e u n n ii'io . c o lo c a d o s u n o a c o n tin u a c i6 n d el o tro . s en ec .es ita n p a ra rec o rrer to d a la fro n tera d el ja rd in ;rec o rrer la fro n tera d e u n a c a n c h a d e ju ego , a la d e o traregio n d em a rc a d a a rb itra ria m en te. Lu ego d e q u e lo sn il'lo s h a y s n em p lea d o la lo n gitu d d el p ie c o m o u n id a dd e m ed id a , p o d ra d a rs eles u n m etro p a ra q u e d eterm i-n en la lo n gitu d d e la fro n tera .

Pa ra fa c ilita r el tra b a jo s e p o d ra n fo r m a r gru p o s c o nta n to s n il'lo s c o m o la d o s ten ga la fro n tera q u e v a n am ed ir.eo net p ro p 6 s ito d e q u e c a d a --n ti'ia m id a u n la d ed e la fro n tera ; lu ego reu n ien d o105 d a to S",p u ed a no b ten er la lo n gitu d d e la fro n tera s u m a n d o la s lo n gitu -d es d e lo s la d o s .A c o n tin u a c i6 n lo s gru p o s in terc a m b ia -ra n la s regio n es p a ra efec tu a r n u ev a s m ed ic io n es yc o m p a ra r Io s res u fta d o s o b ten jd o s c o n lo s d e o tro sgru p o s , c o m p ro b a n d o q u e la lo n gitu d d e la fro n tera d eu n a regio n es s iem p re la m is m a . in d ep en d ien tem en ted el o rd en en q u e s e m id a n s u s la d o s . ejem p lo :

E I n il'lo q u e n o u s 6 el m etro c o m o u n id a d d e m ed id as in oel d ec im etroV el c en tim etro . d eb era leerlo c o m o 17d ec im etro s y 6 c en tim etro s y p o r u ltim o el n in o q u es o lo em p leo lo s c en tim etro s c o m o u n id a d d em ed id ad eb era leer 17 6 c en tim etro s .

Lo s n in o s d eb en rea liz a r v a ria d o s ejerc ic io s p a ra q u ea p ren d a n a rea liz a rc o n v ers io n es em p lea n d o el c u a d rod e c a s illa s a n terio rm en te p res en ta d o .0 c u a lq u ier o trom ed io q u e les fa c ilite la s c o n v ers io n es

----p a ra o b ten er la lo n gitu d d e la fro n tera d e es ta regi6 n.u n gru p o p u d o h a b er s u m a d o :

4 m etro s+ 6 m etro s+ 5 m etro s+ 3 m etro s =l8 m et-ro s .·-----

U n s egu n d o gru p o p u d o o b ten er la lo n gitu d d e lafro n tera d e la regio n , a s i:

5 m etro s+ 3 m etro s+ 4 m etro s+ 6 m etro s-= 18 m etro s .

U n terc er gru p o p u d o o b ten er el m is m o res ~ttlJ(:iO .p ero s u m a n d o la s 'lo n gitu d es en el s igu ien te o rd en :

3 m etro s+ 6 m etro s+ 5 m etro s .+ 4 m etro s-= 18 m etro s .

E I m a es tro ex p lic a ra q u e la lo n gitu d to ta l d e lafro n tera d e u n a regio n , s e lla m a el p eri m etro d e .Iaregio n . Lo s n in o s d eb era n ex p lic a r c o m o h ic iero n p a ra ·o b ten er el p erim etro d e la s d iferen tes regio n es .c o n c lu y en d o Q u e en to d o s lo s c a s o s 10 o b tu v iero ns u m a n d o la lo n gitu d d e to d o s lo s la d o s d e la fro 'n tera d ela regio n .

A c o n tin u a c i6 n s e p res en ta ra n s itu a c io n es rea lesd o n d e es n ec es a rio h a lla r et p erim etro . E jem p lo s :

Cu a n d o s e v a a c o n s tru ir u n c o rra l, en c erra d o enm a lia , es n ec es a rio c o n o c er el p erim etro d e la regi6 nd es ign a d a p a ra p o d er c a lc u la r la lo n gitu d d e la m a llaq u e s e req u erira .

Cu a n d o s e v a a ela b o ra r el m a rc o p a ra u n c u a d ro ,esn ec es a rio c o n o c en ll p erim etro d el c u a d ra p a ra p rev eerIa lo n gitu d d ellis to n n ec es a rio p a ra c o n s tru irlo ..:> -

Lo s n in o s d ib u ja ra n regio n es p o ligo n a les q u erep re-_s en ta n c o rra les0 c o a d ro sy en c o n tra ra n s u p erim etro .

A c tiv id a d esV s u geren c ia s m eto d o l6 gic a s

Lo s n in o s s e o rga n iz a ra n en 6 gru p o s p a ra m ed ir el a read e u n a s u p erfic ie, em p lea n d o u n id a d es a rb itra ria s d em ed id a , q u e p u ed en s er id ea d a s p o r lo s a lu m n o s0

s u gerid a s p o r el m a es tro . U n gru p o s e en c a rga ra d em ed ir el a rea d e la s u p erfic ie d e la ta p a d el p u p itre, o troel a rea d e la s u p erfic ie d el ta b lero , o tro el a rea d e las u p erfic ie d e la m es a , o tro el a rea d e la s u p erfic ie d elp is o . o tro la d e la p u erta . Pa ra h a c er es ta s m ed ic io n esu tiliz a ra n p a tro n es d e m ed id a d iferen tes c o m o u n a h o jad e c u a d ern o , u n a b a ld o s a , u n b a ld o s in , h o ja s d e p a p elp eriO d ic o d e d iferen tes ta m a n o s , etc . La u n id a d d e a reas era en c a d a c a s o el a rea q u e ten ga la s u p erfic ie d elp a tro n d e m ed id a q u e s e es c o gi6 .

La m ed ic io n s e efec tu a ra d es p la z a n d o , reitera d a -m en te, el p a tro n q u e s e v a a u tiliz ji!r s o b re la s u p erfic ie am ed ir, m a rc a n d o c o n tiz a0 c o n la p iz la regio n q u e v a s em id io .

E I m a es tro ten d ra en c u en ta el c a ra c ter a p ro x im a d od e la m ed id a . Lo m a s p ro b a b le es q u e es ta n o p u ed aex p res a rs e ex a c ta m en te, p o rq u e el p a tro n n o c u b rio u nn u m ero ex a c to d e v ec es la s u p erfic ie q u e s e d es ea b am ed ir. E n es to s c a s o s s e a c ep ta ra nV a n a tiz a ra n la sres p u es ta s q u e d en lo s a lu m n o s , c o m o : "E I a rea d e las u p erfic ie'd el ta b lero es u n p o q u ito m a s gra n d e Q u e lad e 23 b a ld o s a s p o rq u e q u ed a u n p ed a z o s in c u b rir".

__Cu a n d o es ta s ,.s itu a c io n es s e p r.es en ten , el m a es trop o d ra s u gerir a lo s a lu m n o s q u e Iec a m b ien d e fo rm a a lau n id a d p a tro n p ero s in v a ria rle el a rea . E s d ec ir, q u e, s is e'ira ia d el a rea d e la h o ja d e_c u a d ern o , u n a d e la sp o s ib ilid a d es es q u e c o rten la h o ja p o r la m ita d , a10 la rgo

-=--O -,a lo a n c h o , w e g o -p egu en lo s d o s p ed a z o s en o trafo rm a . Y a s i o b tien en u n p a tro n m a s a 1a rga d o , p ero c o .,la m is m a a rea . E s to p u ed e p erm itir'c o io c a r d ic h o p a tro nm o d ific a d o p o r10 m en o s u n a v ez m a s s o b re la s u p erfi-c ie, y a s i el a rea s e a p ro x im a ra m a s a l a rea d e laD

's u p erfic ie q u e s e m id e. E n c a d a s itu a c i6 n s o n lo sa lu m n o s q u ien es en s a Va ra n c u a l es /a fo rm a m a s . - - -

.c o !'v en ien te.

E s m u y p o s ib le q u e lo s n in o s a es ta ed a d n o a c ep ten 'q u e lo s . d o s p ed a z o s d e h o ja s p ega d o s en o tra fo rm a E n es a fo rma p u ed e c a b er m a s v ec es el p a tro n . Peroten ga n la m is m a a rea q u e a n tes . es p o s ib le q u e m u c h o s n in o s n oa c ep ten Q u eel a rea d e

E I m a es tro n o d eb e in s is tir en q u e ello s a c ep ten es ta ~a t~ra .e~ la m is m a q u e la d el. ~u a d rito . E I p r.o fes o r n oc o n s erv a c io n d el a rea a p es a r d el c a m b io d e fo rm a d e la ' .., m Sls .tl.ra en es ta . c o .n s erv a c lo n , q u ~105 n l~o s .l~a ns u p erfic ie. M a s _ta rd e lo s n in o s a d q u trira n es i8 c o n s er_----15 d q u lflen d o -p o r5 1 m ts m O S,c o n es te t1p o d e eJerc lc lo s .

v a c io n . A h o ra u tiliz a ra n el d ec im etro c u a d ra d o p a ra m ed ir,a p ro x im a d a m en te.el a rea d e o tra s s u p erfic ies; 10 h a ra nc o lo c a n d o -el p a tr.o n s o b re la s u p erfic ie, p a ra d eterm in a rc u a n ta s v ec es c a b e. Se p u ed e ir m a r.c a n d o c o n tiz a la sregio n es Q u ey a s e h a n m ed id o p a ra d iferen c ia rla s d e la sregio n es .q u e n o 's e h a n m ed id o .

E jem p lo :

Si el c u a d rito c u y a a rea es d e u n d ec im etro c u a d ra d os e c o lo c o 24 v ec es s o b re la s u p erfic ie d el ta b lero . y lac u b rio to ta lm en te, en to n c es s e p u ed e d ec ir q u e el a read e ~a s u p erfic ie d el ta b lero es d e 24 d ec im etro sc u a d ra d o s .

Pu ed en o b ten er o tra s res p u es ta s c o m o .Ia ss igu ien tes :

E I a rea d e la s u p erfic ie d e la m es a es d e 18 d ec im etro sc u a d ra d o s a p ro x im a d a m en te.

E I a rea d e la s u p erfic ie d el p u p itre es u n p o c o m a s d e10 d ec im etro s c u a d ra d o s .

Se a c ep ta ra n c o m o c o rrec ta s la s res p u es ta s en la s.,~- u e y a n o Q u ep a m a s v ec es el p a tro n en la s u p erfic ie Q u e

--Q u jere m ed ir. A v ec es ,es p o s ib le reo rga n iz a r lo s• iic c ,:.:p a i~C?!:i~~ra q u e Q u ep a n a lgu n a s v ec es m a s , p ero es to

"~,' n o es n ec es a rio p o r a h o ra .

Cu a n d o c a d a 'gru p o h a v a m ed id o el a rea d e las u p erfic ie, u n rep res en ta n te ex p lic a ra a lo s d em a s c o m o

'~--s e'iTlid io , y q o e res u lta d o s o b tu v iero n c o n c a d a u n o d elo s p a tro n es u tiliz a d o s . Lo s res u lta d o s s e p u ed en ira n o ta n d o en el ta b lero .

- Su p o n ga m o s q u e s e m id io el a rea d e la s u p erfic ie d ela m es a ,V : -

U n n ii'lo en c o n tr6 q u e p a ra c u b rir la s u p erfic ie d e lam es a s e n ec es ita ro n 4 h o ja s d o b les d e p a p el p eriQ c jic o (u8 s en c i\la s ). f

O tro n in o h a Jl6 Q u e p a ra c u b rir la s u p erfic ie d e lam es a s e n ec es ita ro n 24 b a ld o s a s .

O tro n ii'lo c u b rio la s u p erfic ie d e la m es a , s e n ec es ita -b a n 7 7 b a ld o s in es .

O tro n in o en c o n tro Q u ep a ra c u b rir la s u p erfic ie d e lam es a s e n ec es ita ro n 3 6 h o ja s d e c u a d ern o . '

Lo s n in o s d eb en en c o n tra r la ra z eSn p o r la c u a l,a u n q u e la s m es a s era n m u y p a rec id a s , la s m ed id a sres u lta ro n ta n d iferen tes . Co m o la c a u s a es q u e c a d an in o em p leo u n p a tro n d e m ed id a c o n a rea d iferen te, elm a es tro les ex p lic a ra lo s in c o n v en ien tes q u e s ep res en ta ria n s i c a d a p ers o n a es c o giera u n a u n id a d d em ed id a a rb itra ria , v ia n ec es id a d d e \lega r a u n a c u erd op a ra es c o ger u n a u n id a d d e m ed id a d e a rea c o m u n .D es p u es les d ira q u e ex is te u n a u n id a d d e m ed id a d ea rea q u e esm u v em p lea d a ,V h a ra q u e o b s erv en u n as u p erfic ie q u e ten ga u n d ec im etro c u a d ra d o d e a rea .E s a s u p erfic ie p u ed e s er o b s erv a d a en u n a c a rtu lin a0

d ib u ja d a en el ta b lero .

Ca d a gru p o c o n s tru ira es te p a tro n en c a rtu lin a0 enu n a h o ja d e c u a d ern o , rec o rta n d o u n c u a d ra d o d e 10 c mp o r c a d a la d o , Lu ego d eterm in a ra n , a p ro x im a d a m en te,c u a n ta s u n id a d es d e a rea tien e la s u p erfic ie q u e s em id io a n terio rm en te, c u b rien d o la c o n la s u p erfic iep a tro n c u y a a rea es d e u n d ec im etro c u a d ra d o .

£ 1 a rea d ela Su p e-rfic ie d e la m es a es ta d a d a p o r etn u m ero d e p a tro n es d e u n d ec im etro c u a d ra d o n ec es a -rio s p a ra c u b rirla , p u es el d ec im etro c u a d ra d o s e ,..es c o gio c o m o u n id a d d e a rea .

Si Q u ed a u n a fra n ja s in c u b rir, s e a c ep ta ra lares p u es ta d e q u e el a rea es u n p o c o m a y o r q u e la d e lo s

. c u a d rito s q u e s e u s a ro n p a ra c u b rir la m es a .

E s p o s ib le ta m b ien rec o rta r lo Sc u a d rito s a l tra v es yp ega rlo s en -u n a tira . a s i:

_______-I

~u a ljjd a ~'

c a d a'e. al~ Sed 'd eerdo1u n .

deu n a"ea ,1a 0


Sec o m en z a ra la a c tiv id a d rec o rd a n d o la s p o s ic io n es d els o l en el h o riz o n te m ien tra s tra n s c u rre el p erio d o d ec la rid a d . ta m b ien rec o rd a ra n q u e el relo j s irv e p a ram ed ir la d u ra c i6 n d e lo s ev en to s , D ib u ja ra n en el ta b 1ero

u n relo j in d ic a n d o el a m a n ec er (6 d e la m a ria n a ), o troin d ic a n d o la m ed ia m a n a n a(9 d e la m a n a n a ). o troin d ic a n d o el m ed io d la (12 d el d ia l, o tro in d ic a n d o lam ed ia ta rd e,(3 d e la ta rd e)y o tro s en a la n d o el a n o c h ec er(6 d e la ta rd e)

E n s egu id a . d ia lo ga ra c o n lo s n in o s s o b re la sa c tiv id a d es q u e ello s rea liz a n d u ra n te el tiem p o 'tra n s c u rrid o en tre el a m a n ec ery la m ed ia m a n a n a ,en tre la m ed ia m a n a n ay et m ed io d ia . en tre el m ed io d ia

'y ~Ia -m ed ia 'ta -rd ey en tre la m e"d ia ta rd ey'el a n o c h ec er.

Lu ~gQ h ~a q u e lo s a lu m n o s to m en d o s p a lillo s . u n om a s la rgo q u e el o tro , u n id o s y a tra v es a d o s p o r u n a lfilern u n o d e s u s ex trem o s .

el m a es tro d ira q u e el p a lillo m a s la rgo s e lla m am in u tero y el m a s c o rto s e lla m a h o ra rio .

Lo s es tu d ll;!n tes to m a n 3 n el m in u tero y el h o ra rio y105

c /a v a ra n en et c en tro d el c irc u lo . en fo rm a q u e e1_m in .u tero q u ed e s o b re el h o ra rio y a m b o s s eria len eln u m ero 12, E I m a es tro d ira q u e c u a n d o a m b o s p a tito sq u ed en en es a p o s ic i6 n . s o n la s 12, Lu ego p ed ira q u e lo s

u 9 ia n tes h a .ga n gira r len ta m en te. h a c ia la d erec h a el


. E I m a es tro o rga n iz a ra u n a a c tiv id a d q u e c o n s is ta enc o n ta r0 regis tra r el n u m ero d e v ec es q u e s e p res en taa lgu n h ec h o . Po r ejem p lo . en p eq u en o s gru p o s .

---:Co n ta ra n c U o 13 n ta sv o lq u eta s . c a m io n es . b u s es . ta ~isy

m in u tero h a s ta q u e lIegu e n u ev a m en te el p u n to d ep a rtid o ,0 s ea . a la s -1-2-:-A f-m is m otiem p o , el h o ra rio d eb eir gira n d o m a s len ta m en te. d e ta l m a n era q u e m ien tra s

.el m in u tero d a u n a v u elta c o m p leta . el h o ra rio s ed es p la c e d e la s 12 a la 1. E s to es u n a s im u la c i6 n d e10

_q u e p a s a en la rea lid a d .

E I m a es tro ex p lic a ra a lo s a Ju m n o s q u e es te d es p la z a -m ien to c o rres p o n d e a u n a h o ra . Lo s n in o s m a rc a ra n ene1relQ j..la s h o ra s q u e c o rres p o n d en a lp erio d o d ec la rid a d y la s q u e c o rres p o n d en a l p erio d o d e o s c u rid a d .

Po s terio rm en te: el m a es tro ex p lic a ra q u e d u ra n te elrec o rrid o d el m in u tero d e u n n u m ero a o tro . p o r ejem p lo .d e la s 12 a la 1. tra n s c u rren 5 m in u to s .

Co n b a s e en es ta ex p lic a c io n . lo s a lu m n o s c a lc u la ra nc u a o to s m in u to s em p lea el m in u tero p a ra d a r u n av u e Ita c o m p leta . .

E I m a es tro m o tiv a ra a lo s es tu d ia n tes p a ra Q u en o m b ren c in c o a c tiv id a d es d e la v id a d ia ria en la s c u a less e u tiliz a el relo j.

Lu a go . en el s a lo n .1<>5 n ilio s p in ta ra n en s u s_c u a d em es a l rel~ s en a la ra n a lgu n a s h o ra s Q u e el

m a es tro les in d iq u e_ Ta m b ien p o r p a reja s lo s n ii'to sp o d ra n ju ga r a q u e u n o s en a le en el relo j u n a h o ra y elo tro lea d ic h a h o ra .0 q u e u n o d iga .u n a h o ray el o tro las en a le en el relo j.

m o to s p a s a n .p o r la v ia . d u ra n te m ed ia h o ra0 4 5m in u to s .

Ca d a gru p o p u ed e lIev 8 r la ' c u en ta d e d o s d e es o s. v eh ic u lo s; n o im p o rta q u e gru p o s d iferen tes c u en ten lo sm is m o s v eh ic u lo s ; es to a y u d a ria a p rec is a r el c o n teo .

Pa ra ello p u ed en ela b o ra r d e a n tem a n o ens uc u a d ern o u n a s ta b la s c o m o :

Vo lQ u eta s

Ca m io n es

B u s es f

~Ta x is ~

Po r c a d a v eh fc u lo Q u e p a s e h a ra n u n a s en a l en lac a s illa c o rres p o n d ien te. Lu ego rep res en ta ra n es to so a to s m ed ia n te to rres0 s im p lem en te rellen a n d oc u a d rito s d e c u a d rfc u la s .0 d ib u ja n d o ta n to s c u a d rito sc o m o s ei'la les0 ra y ita s ten ga n en la ta b la .

A c tiv id a d es . y s u geren c ia s m eto d o l6 gic a s

~E Ltra b a jo ..p o d ra Jn ic ia rs e U ln u n a c h a rla s o b rela sa c tiv id a d a s 'queio$ n in o s d es a rro lla n en u n d ia c o rrien teo c o n ,la s q u e d es a rro lla ro n en el fin d e s em a n a , etc . U n od e lo s a p a rtes d e es ta c h a rla p o d ra s er s o b re la sa c tiv id a d es q u e d es a rro lla n a l lev a n ta rs e. E I m a es tro

'p o n d fa es p ec ia lc u id a d o en el o rd en Q u e s e n a rren la sa c c io n es y h a ra en fa s is en la im p o rta n c ia Q u ees te tien e:p o r ejem p lo , p rim ero d eb en b a n a rs e y lu ego v es tirs e. A I

- v es tirs e p rim ero s e 'c o lo c a n la s m ed ia s y lu ego lo sz a p a to s; s i 10 h a c eh en o rd en c o n tra rio n o q u ed a n b ienv es tid o s , etc .

Pa ra rec o rd a r io s ejem p lo s a n a liz a d o s s e p o d ra n'es c rib it a lgu n o s en el ta b lefO ;- ~

m ed i.a - z a p a to sd es a y u n O - a lm u erz oc a m is a - s a c o

, . ~a rs e - Iev a n ta rs e" " .~ . ~ " _ ' _ · f·~ ; ~ .£ . . " " : - : · -

-ia fu b ieo s s tu d ia r s itu a c io n es en la s Q U eeluiaiiF i.;o -- . ;'p O r'ejem p lo , a l c a m in a r n o es

.:im panante le~$ 'etn ic i8 ;-el.d erec h o 0 'eliz q u ierd o . A I c o lo c a rs e 'Ia c a m is a n o es im p o rta n te q u em a n ga s e c Q Jo q u ep rim ero , la d erec h a o la iz q u ierd a , etc .

E s ta c h a rla p o d ra s er,u til p a ra h a b Ja ra lo s n in o s s o b rec ierto s h a b ito s d e h igien e c o m o el d e b a n a rs e a n tes d ev es tjrs e y ella v a rs e la s m a n o s a n tes d e c o m er. Ta m b iens Ir p ljld ra n es tu d i.a r s itu a c io n es c o m o c ru z a r u n a c a lle;p rim ln o s e d eb e m irltf' a la d o y la d o d e la c a lley tu egoc ru z a r s i es p o 's ib le; en el ta b /ero s e p o d rla es c rib ir.

m ira r - c ru z a r

Lo s n if\o s -p o d ra n -p!a n tea r o tra s s itu a c io n es ei'l la sc u a les eLo !c :i~I'lJen ga im p o rta n c ia . Cu a n d o s e ten ga u n

10 4

B u s es

Ta x is

111111

1111

B u s es Ta x is

Cu a n d o to d o s h a y a n tra b a ja d o en s u c u a d ern o , elm a es tro les p ed ira Q u ec o p ien la s ta b la s en eI ta b leroy

rea lic en lo s d ia gra m a s c o rres p o n d ien tes , ten ien d o enc u en ta d e Q u e u tilic en c u a d rito s Q u e ten ga n la s m is m a sd im en s io n es p a ra q u e lo s d ia gra m a s res u lten c o m p a ra -

..b les . A s i, s i la to rre m a s a lta es la d e la s v o lq u eta s ,q u iere d ec ir q u e es te fu e el v eh ic u lo Q u e p a s 6 c o n m a y o rfrec u en c ia ..

b u en n u m ero d e s itu a c io n es , el'm a es tro d ire a105 n ii'lo s. Q u e,en m a tem a tic a s s e h a a d o p ta d o u n a fo rm a d e

in d ic a r elo rd en en tre105 o b jeto s . Po r ejem p lo , p a ra---:-.$ jm b o liz a r q u e p rim ero ' s o n la s m ed ia s q u e105 z a p a to s ,

s e a s c rib e:

(m ed ia s , z a p a to s )

o s ea , q u e s e es c rib en lo s elem en to s en el o rd enQ u e s e h a elegid o , en tre p a ren tes is , y s ep a ra d o s p o ru n a c o m a .

Pa ra s im b o liz a r q u e p rim ero s e p o n e la c a m is a y lu ego 'el s a c o , s e es erib ira :

(c a m is a . s a c o )

E n lo s ejem p lo s . __,a n terio res en lo s Q u e s e h a'.,~a b lec id o _1J'1. 9 !:d ep _en tre. d o s o b jeto s , s e d ic e q u e'

es to s fo rtn a n p a reja s o rd en a d a s , G en era liz a n d o ,p o d em o s d ec ir q u e s i ten em o s d o s o b jeto s a y bV

Q u erem o s in d ic a r q u e p rim ero es ta ay lu ego b es erib i-·m o s :

. .' (a, b ) ,

q u e p o d em o s leer: p a reja o rd 8 n a d a d e elem en to sa, b .Co n b a s e en10 a n terio r,lo s n in o s d eb era n id en tific a r,c o m o d iferen tes , la p a reja o rd en a d a (m ed ia s , z a p a to s ) yla p a reja o rd en a d a (z a p a to s , ~ed ia s ). La id ea d e q u e 'es a s p a reja s s o n d iferen tes s e p u ed e ex p res a r a s f: '

(m ed ia s , z a p a to s )." (z a p a to s , m ed ia s )

A c o n tin u a c i6 n el m a es tro p ro p o n d ra a lo s n in o sejerc ic io s c o m o lo s s igu ien tes -p a ra q u e lo s d es a rro llenen gru p o s :

',' U n -n i~o tien s u n c o n ju n to d e c u a tro c a m is a s : u n aa z u l, u n a b la n c a , u n a ro jaV u n a liIa . Ta m b ien tien e tres-s a c o s 1 u n o gris , u n o v erd e y u n o n egro . D e c u a n ta s

Lo s a (u m n o s s ef'ia la ra n , en el d ia gra m a , el c ru c erep res en ta d o p o r la p a reja ·(3 . 2) y c o m p ro b a ra n q u eefec tJv a m en te es ta u b ic a d o en o tro s itio , q u e es- -~-[----~----f1---:--1L~.]L --d iferen te a l.c ru c e rep re~n ta d o -p o r la p a reja (2. 3 );

JDDO[ca"83JDDDCCa"82]DO D [Ca lle 1 _

,-:1 r-l r- ~.

fo rm a s d iferen les s e p u ed e v es tir. rec o rd a n d o q u ep rim ero s e c o lo c a la c a m is a y lu ego el s a c o . Ca d a gru p o'(jeb e ir es c rib ien d o la s p o s ib ilid a d es q u e en c u en tre'rec o rd a n d o el o rd en . -

. La s d iferen tes fo rm a s d e c o m b in a rlo s s o n la s:s igu ien tes :--

c a m is a- s a c o

a z u l v erd e

b la n c a v erd e

ro ja v erd e

lila v erd e

c a m is a s a c o

a z u l I n egro

b la n c a n egro

ro ja n egro

lila n egro

E n u n p u eb lo h a y 4 c a rrera s y 3 c a lles .. iCu a n to sc ru c es d e la s c a lles c o n la s c a rrera s , h a b ra ?

-E I m a es tro o rien ta ra a lo s n if'io s p a ra q u e a l u b ic a r lo sc ru c es ,10 h a ga n m ed ia n te p a reja s o rd en a d a s . c o lo -c a n d o c o m o p rim era c o m p o n en te la c a rrera y c o m os egu n d a c o m p o n en te la c -a lle, a s ;. el c ru c e d e la c a -rrera 3 c o n c a lle 2 s e rep res en ta ra d e la s igu ien tem a n era : (c a rrera 3 . c a lle"2) 0 (3 . 2); es te c ru c e es

-d iferen te d el c ru c e d e la c a rrera 2 c o n la c a lle 3 q u e s eep res en ta a s i: (c a rrera 1.-c a tle 3 1-0 (2.3 ). --

H a ra n u n d ib u jo r::ep res en ta n d o h o riz o n ta lm en te la sc a lles y v ertic a lm en te la s c a rrefa s -c o m o el s igu ien te:

~.".,...,.~"' !-- .---'""""~-

c5

A s l s e o b tien en d o s c o n ju n to s , u n o el d e la s c a rrera s .q u e s im b o liz a m o s c o n C y o tro el d e la s c a lles , q u es im b o liz a m o s c o n A .

- I c = t1, 2.-3. ".J- ...' .

.6. ;. (1. 2, 3J

A I s im b o liz a r lo s d iferen tes c ru c es , rec o rd a ra n q u ep rim ero es ta Ia ea rr.er-a y -lu ego Ia c a lle. Co n Ia lis ta d e losc ru c es en c o n tr~~,.~~!.~rle el s igu ien te c o n ju n to :

Ill. 1.), (2,1.). (3.1.). (4,1.). (1. 2.), (2, 2.). (3.2,), (4. 2.).

(1. 3 .), (2. 3.). (3. 3 .1. (4. 3 .>1

Lo s c ru c es105 rep res en ta ra n en el d ia gra m a q u eela b o ra ro n m ed ia n te p u n to s d e la s igu ien te m a n era :

.J' I L-J I_I L-

JJJ~JJJ:Ca"83JJJJJJJ

J:Ca"82JQ QOCCa lte1~~~~

-,111-'11r-N C") ~

III III III ----a l___~ •.. t ~(I) (I)•.. •.. ~•.. •.. :a •..III ID III

U U U u ·

No ta : A i h a c er la rep res en ta c i6 n d e la s c a lles y d e la sc a rrera s . s e h a d e ten er en c u en ta el p u eb lo d o n d e es teu b ic a d a la es c u ~la , p u es m ien tra s q u e en a lgu n o sp u eb lo s la s c a rrera s v a n en la d irec c i6 n n o rte-s u r y la s'Ca lles en la d irec c i6 n o rien te-o c c id en te, en o tro sp u eb lo s la s c a rrera s v a n en la d irec c i6 n o rien te-o c c id en te.II la s c a lles en la d irec c i6 n n o rte-s u r. D e to d a sm a n era s s e d eb e ten er c u id a d o q u e a l rep res en ta r105

c ru c es m ed ia n te p a reja s o rd en a d a s . la p rim era c o m p o -n en te a l d ib u ja r en el ta b lero s ea la h o riz o n ta l y la

_ s egu n d a c o m p o n en te s ea Ja ¥ettic a l.IIen e!p a p el,q u e h tp rim era c o m p o n en te s ea la q u e v a c a m b ia n d o a l c o rrerel-d ed o d e iz q u ierd a a d erec h a s o b re el d ib u jo .

Pa ra refo rz a r la s id ea s ex p res a d a s en es ta a c tiv id a d ,s o b re -p a res en lo s c :u a les es tm p o rta n te el o rd en . p u ed e-a n a liz a rs e a lgu n a s p a la b ra s -en la s c u a les . a l c a m b ia r elo r~en d e la s s ila b a s . c a m b ia el s ign ific a d o .

E jem p lo : la p a la b ra s a eo tien e u n s ign ific a d o; s ic a m b ia m o s el o rd en d e la s s ila b a s o b ten em o s la p a la b rac o •• q u e tien e u n s ign ific a d o d iferen te. A s im is m o s o p aes d iferen te a p a s o . ta p a es d iferen te a p a ta , m a lo esd iferen te a lo m a , ga to es d iferen te a to ga .

Se p u ed e res o lv er u n ejereic io ten ien d o en c u en ta lau b ic a c i6 n d el p u p itre d e c a d a n in o en el s a l6 n <Iec la s e.Su p o n ga m o s q u e h a y 3 0 p u p itresy es ta n c o lo c a d o s enes ta fo rm a : (

Fren te (Ta b lero )

D eifTen teh a eia a tra s h a y 5 fi1a s d ep u p itres y en c a d a Ta m b ien s e p u ed e d a r la p a reja o rd en a d a q u efila h a y6 p u p itres . E I ejereic io c o n s is te en q u e c a d a rep res en ta la m arc a d el p u p itre d e a lgu n n in o , p a ra q u ea lu m n o m a rq u e s u p u p itre m ed ia n te u n a p a reja d iga n el n o m b red el n in o q u e es ta s en ta d o en es eo rd en a d a en la c u a l la p rim era c o m p o n en te s ea la fila en p u p itre. A s i: (4 , 6 ): E s ta m a rea c o rres p o n d e a l p u p itre d ed o n d ees ta u b iea d o el p u p itre y la s egu n d a c o m p o n en te R o s ita. iD e q u ien es el p u p itre q u e es ta m a rc a d o c o n (3 , .s ea el p u es to d el p u p itre"en eS8 fila . 4 )7 lD e q u ie"n el q u e tien e la m a rc a (5 . 5 )?

. A s i el p u p itre d e Ca ro lin a es ta en la p rim era fila y en 0 ta m b ien s e p u ed e ju ga r a q u e u n n in o lIa m e a o tro ,~safilltQ C.LW 8ilLc .J,Jiu to p u es to .p o r ta n to es tep u p itres ePO Tm ed io d ela u b tc a c i6 n d el p u p itre d o n d e es tam a rc a ra c o n (1, 4 ). E I p u p itre d e R ic a rd o es ta en la s en ta d ~, es te a s u v ez lIa m a n i a o tro y a s i. h a s ta q u eterc era fila a p a rtir d e la p u erta y en es a fila o c u p a el lIa m enel m a y o r n u m ero d e n in o s s in eq u iv o c a s s e.s ex to p u es to a p a rtir d el fren te, es te p u p itn a 's em a rc ac o n (3 . 6 ). '

, A s il-o s n in o s s e d a ra n c o en ta ::c fe:q iiels ·p a re.;ao rd en a d a(1.3 ) es d iferen te d e la p a reja -o rd en a d a(3 ,1),p u es la p rim era rep res en ta ' el p u p itre d e Ped ro y las egu n d a el p u p itre d eB erth a .

Se p u ed e p ed ir a u n n in o q u e p a s e a l ta b Jero y es c rib ala m a rc a d el p u p itre d e a lgu n c o m p a n ero :

P PU E STO61 Lu is I I G lo ria I I R ic a rd o I-I R o s ita I I Vieto r JU PU E STO5 1 M a ria I I Ju a n ,I I Irm a I I R o b erto I j Nu b ia J.o,E PU E ST0 4 1 Ca ro lin a - I I G erm a n I I M a n u el I' I Ca rm en z a I I Ja iro JR PU E STO3 1 Ped ro I 1

R a fa el I I A lfo n s o I I Jo rge I I A lb erto ]T· PU E STO21 M a rth a I I A n a I I Nes to r I I Pa tric ia I -I B ea triz ]A PU E STO11 Teres a I I Ca m ilo I I B erth a I I Ja im e -I I Is a b el r

FILA 1 FILA 2 FILA 3 FILA 4 FILA 5

E I n il'lo q u e-es ta s en ta d o en elp u p itre in a fc a d o c o n -Ia ..p a reja (2.5 ), d eb e lIa m a r a o tro n il'lo . p u ed e s er a (3 , 2)d ic ien d o(2. 5 ) lla m a a (3 .2), a s u v ez (3 ,2) d eb e lIa m a r ao tro d ic ien d o : (3 , 2) lla m a a (5 , 6 ). A h o ra (5 . 6 ) lIa m a ra ao tro y a s i s e s egu ira h a s ta q u e a lgu n o s eeq u iv o q u e.yp a gu e la p en iten c ia q u e o rd en e el gru p e.'

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MATEMATICA - Doctorado Interinstitucional en Educación ...die.udistrital.edu.co/sites/.../files/...matematicas_grado_segundo.pdf · En relacion con la educacion matematica, el maestro