¡MATEMATICA EN TUS MANOS!

ABRIL, 2013

Peña Balza Leonel Elaborado por

DETERMINAR

Determinar si el siguiente conjunto es ortogonal:

(-1,4,-3),(3,-4,-7),(5,2,1)

Sean los vectores u = (-1, 4,- 3), v = (3,-4,-7) y w = (5,2,1); queremos determinar si son una base ortogonal de

.

Son 3 vectores en , se forma la matriz y hallamos el determinante de los coeficientes de las variables, que es

D =[(-1)(-4)(1) + (3)(2)(-3) +(4)(−7)(5) - [(5)(-4)(−3)+(2)(-7)(-1) + (3)(4)(1))

D= 4 – 18 - 140 –(60 + 14 + 12) D= −154 -86 D = -240

cuyo determinante detA = –240 (diferente de cero) , lo que implica que los vectores son linealmente independientes, y el conjunto es base de .

Realizamos los productos punto y obtenemos que

u · v = (-1, 4,- 3).(3,-4,-7) = -3 -16 + 21

u · v es diferente de 0 por lo que el conjunto no es ortogonal, entonces, no es una base ortogonal.

Determina si el siguiente conjunto de vectores es ortonormal:

u = (0,1,0), v = (0,-1,0) Para que un conjunto de vectores sea un conjunto ortonormal debe cumplir las condiciones.

(Vi,Vj)=0 ; si i.j y ||Vf||= 1 para i= 1,2,3,…..,n

Realizamos los productos punto y obtenemos que

u · v = (0,1,0).(0,-1,0) = 0 -1 + 0 u · v = -1

u · v es diferente de 0 por lo que el conjunto no es ortogonal, entonces, no es una base ortogonal.

Un conjunto de n vectores en es una base ortonormal si:

• El conjunto es base de • Es un conjunto ortogonal y • Sus vectores son unitarios

Por lo que concluimos que como la base no es ortogonal entonces no es ortonormal.

Dada la base, construir su respectiva base ortonormal por el procedimiento de Gram-Schmidt, B = ( - 2 , 6 ) , ( - 3 , 8 )

a-) Obtenemos el vector auxiliar V1´ = F1 = (-2,6) b-) Vector unitario u1 = v1´ ||V1´||

u1 = (-2,6) √ [(-2)2 + (6)2 ]

u1 = (-2,6) 2 √ 10 u1 = (-1 , 3) √ 10 √ 10

c-) Vector unitario v2´ = v2 - ( v2 , u1) u1

v 2 .u 1 = (-3,8) . (-1 , 3) √ 10 √ 10 v 2 .u 1 = 27 √ 10 (v 2 .u 1). U1 = 27 (-1 , 3 ) √ 10 √ 10 √ 10 (v 2 .u 1). U1 = -27 , 81 ) 10 10

Vector unitario v2´ = (-3,8) – ( 27 , 81 ) 10 10

V2´= (-3/10, 1/10) √ [(-2)2 + (6)2 ] u1 = (-2,6) 2 √ 10 u1 = (-1 , 3) √ 10 √ 10 Vector unitario u2 = v2´ ||V2´||

u2= √10 (-3 , -1 ) 10 10 u2= (-3 , -1 ) √ 10 √ 10 Por lo tanto la base ortonormal es (-1 , 3) , (-3 , -1 ) √ 10 √ 10 √ 10 √ 10

Determine si el siguiente

conjunto forma una base para

R3.

(2, 1, 3), (1, 2, 1), (1, 1, 4), (-1, 1, 5) y verifique al conjunto base, si genera al vector (2, 1, 3).

: No pueden formar una base en R3 porque debería estar formada por 3 vectores linealmente independientes y, en este caso, hay 4 vectores

Verificar si genera al vector (2,1,3)

Para responder esta pregunta debemos investigar si el

vector dado se puede expresar como combinación lineal de

los vectores generadores. Esto, debemos investigar si

existen escalares α , β y Ω que permitan expresar a (2, 1,3)

de la siguiente manera

(2,1,3) = α(1,2, 1) + β(1,1,4) + Ω(-1,1,5)

De esta igualdad obtenemos al siguiente sistema

2= α + β - Ω

1= 2α + β + Ω

3= α + 4β - 5Ω

Utilizando el método de los mínimos cuadrados, calcular la solución aproximada del sistema de ecuaciones

2x + y = 3 X + 2y =0 3x – y = -2

La matriz de los coeficientes del sistema es

Rango de (A) =2 La matriz de los términos independientes

El sistema no tiene solución ya que Rango de Ax = rango (A/B)